1 materijali elektrostatika [3,24 MiB]

Sead Berberović Martin Dadić Elektromagnetska polja – Elektrostatika Zagreb, 2010 Ovo djelo je dano na korištenje pod licencom Creative Commons Imenovanje-Nekomercijalno-Bez prerada 3.0 Hrvatska.
SADRŽAJ 1. UVOD 2. PREDSTAVLJANJE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA 3. IZVORI POLJA: NABOJI I STRUJE 4. COULOMBOV ZAKON 5. JAKOST ELEKTRIČNOG POLJA 6. MATERIJALI U ELEKTRIČNOM POLJU 7. ELEKTRIČNI TOK 8. GAUSSOV ZAKON 9. POTENCIJAL U ELEKTRIČNOM POLJU 10. UVJETI NA GRANICI 11. KAPACITET I KONDENZATOR 12. ENERGIJA STATIČKOG ELEKTRIČNOG POLJA 13. SILE U STATIČKOM ELEKTRIČNOM POLJU 14. PRIMJENA METODE ODSLIKAVANJA U RJEŠAVANJU STATIČKIH ELEKTRIČNIH POLJA 1
2
4
11
14
22
29
31
35
53
57
63
70
74
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
ELEKTROMAGNETSKA POLJA
1.
UVOD
Elektromagnetska teorija polja je osnovna teorija koja opisuje sve pojave u elektrotehnici.
Temelji se na eksperimentalno utvrđenim zakonima, koji su kasnije uobličeni u jedinstvenu
teoriju elektromagnetskih polja:
− Coulombov zakon za silu između nabijenih tijela (1785. g.)
− Biot-Savartov zakon za magnetsku indukciju proizvedenu strujom (1820. g.)
− Ohmov zakon za vođenje struje kroz vodiče (1826. g.)
− Ampèreov zakon kružnog protjecanja za statička magnetska polja (1820. g.)
− Faradayev zakon elektromagnetske indukcije (1831. g.)
− Kirchhoffovi zakoni za strujno-naponske odnose u strujnim krugovima (1847. g.)
Sve ove zakone Maxwell je 1862. g. uobličio u jedinstvenu teoriju elektromagnetskih polja
opisanu u Maxwellovim jednadžbama. To je tzv. klasična teorija elektromagnetskih polja
koja matematički opisuje makroskopske elektromagnetske pojave, povezujući ih s nabojima i
strujama kao izvorima elektromagnetskih polja, potpuno primjenjiva za rješavanje
inženjerskih zadaća. Prema tome, teorija elektromagnetskih polja nije hipotetska, već je
utemeljena na prirodnim, eksperimentalno potvrđenim zakonima.
U okviru klasične elektromagnetske teorije razmatraju se sljedeća zasebna područja:
− Elektrostatika: razmatraju se električne pojave proizvedene mirujućim nabojima kao
izvorima električnog polja
− Magnetostatika: razmatraju se magnetske pojave proizvedene istosmjernim strujama
nepromjenjivim u vremenu kao izvorima magnetskog polja
− Elektromagnetizam: razmatra se jedinstveno vremenski promjenjivo elektromagnetsko
polje.
1
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
2.
PREDSTAVLJANJE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA
Polje je skup vrijednosti pridruženih svakoj točki prostora u danom području, koji opisuje
neko stanje. Ako je vrijednost skalarna fizikalna veličina, onda kažemo da se radi o
skalarnom polju, a ako je vrijednost vektorska veličina onda kažemo da se radi o vektorskom
polju. Dakle, skalarno ili vektorsko polje funkcije su koordinata prostora, a ako im se veličina
još pri tome vremenski mijenja, onda su ta polja još i funkcije vremena.
2.1.
Definicije polja E i B
Sile opažene u elektromagnetskim pokusima pripisujemo postojanju električnog naboja i
njegovom gibanju (električna struja). Raspodjelu naboja i njihovo gibanje u prostoru možemo
promatrati kao uzrok ili izvor, a opaženu silu kao posljedicu ili učinak. Postojanje naboja i
njegovo gibanje stvaraju elektromagnetsko polje u prostoru. Brojni pokusi s elektromagnetskim silama pokazuju slaganje s nekoliko temeljnih postulata:
Postojanje električnog naboja
Prema atomsko-elektronskoj teoriji elektriciteta postoje dvije vrste električnih naboja:
pozitivni (vezani uz protone) i negativni (vezani uz elektrone). Svi su naboji u prirodi
cjelobrojni višekratnici naboja elektrona (elementarni naboj) iznosa 1,602·10-19 C.
Očuvanje električnog naboja
U svakom izoliranom sustavu algebarska suma naboja je konstantna. Naboj ne može niti
nastati niti nestati. Ovaj postulat uvodi naboj kao temeljnu fizikalnu veličinu u
elektromagnetskoj teoriji.
Zakon Lorentzove sile
Elektromagnetsku silu na ispitni naboj koji se nalazi u zadanoj točki u prostoru može se
izaraziti pomoću veličina elektromagnetskog polja u toj točki.
Ukupna sila F na točkasti naboj q koji se giba brzinom v iznosi:
F = q(E + v x B )
(2.1)
Jednadžba (2.1) je jednadžba Lorentzove sile na naboj u elektromagnetskom polju čije
djelovanje je opisano s dva vektorska polja: jakost električnog polja E i magnetska indukcija
B. Ova jednadžba je definicijska relacija za ova dva vektorska polja.
Iz jednadžbe za Lorentzovu silu (2.1) slijedi definicija za jakost električnog polja E:
F 
E = lim   ; v = 0
q →0  q 
(2.2)
Jakost električnog polja E (V/m) omjer je sile na naboj u mirovanju (v = 0) i iznosa naboja q.
Pri tome je potrebno da ispitni naboj q bude nabijena čestica vrlo malih dimenzija (najbolje bi
bilo točka) kako bi se mjerilo polje u točki prostora. Nadalje se još postavlja uvjet da je iznos
ispitnog naboja što je moguće manji (q → 0) kako unošenje ispitnog naboja ne bi mijenjalo
polje koje se mjeri.
2
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Nakon što se odredi jakost električnog polja, naboj je potrebno gibati brzinom v i nakon što se
od ukupne izmjerene sile odbije sila električnog polja q·E odredi se magnetska indukcija B:
vxB=
1
(F − q ⋅ E )
q
(2.3)
Jedinica za magnetsku idukciju je 1T=1Wb/m2.
Ovo je definicijski postupak za određivanje magnetske indukcije. Praktična mjerenja
magnetske indukcije obavljaju se drugim postupcima.
r
E
r
B
r
v
+q
r
r
Fe = qE
r
r
r
Fem = Fe + Fm
r
r r
Fm = q v × B
(
)
Slika 2.1. Lorentzova sila na električni naboj
3
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
3.
IZVORI POLJA: NABOJI I STRUJE
Obrađivat ćemo makroskopsku teoriju klasičnog elektromagnetizma u kojoj se razmatra
elektromagnetsko polje unutar vremenskih intervala i dijelova prostora koji su veliki u odnosu
na atomska mjerila, tj. razmatraju se prosječne vrijednosti elektromagnetskog polja usljed
učinaka velikog broja atoma. U makroskopskom pristupu kao izvori elektromagnetskog polja
uzimaju se tzv. „glatke“ razdiobe naboja i struja, koje su kontinuirane funkcije koordinata
prostora i vremena. Električni naboji i njihovo uređeno gibanje koje tvori električnu struju su
primarni izvori elektromagnetskog polja, a kako je naboj uvijek udružen s materijom, onda je
nabijena materija primarni izvor elektromagnetskog polja. Analiza elektromagnetskih polja u
međuatomskim prostorima spada u područje tzv. mikroskopske odnosno kvantne teorije polja.
3.1.
Makroskopski model vodljivog materijala
Materijale možemo klasificirati kao vodiče, poluvodiče i izolatore, ovisno o njihovu odzivu na
narinuto električno polje. Prema klasičnom planetarnom modelu atom se sastoji iz čvrsto
vezane, pozitivno nabijene jezgre, okružene difuznim elektronskim oblakom koji ima jednaku
količinu negativnog naboja. Većina elektrona je također čvrsto vezana za jezgru pa ih
nazivamo vezani elektroni. Ti vezani elektroni mogu se pomicati, ali ne i napušati matični
atom pod djelovanjem električnog polja. Osim vezanih elektrona, atomi posjeduju i tzv.
slobodne elektrone (elektroni iz vanjskih elektronskih ljuski) koji su stalno u stanju
neuređenog termičkog gibanja, napuštajući matični atom i seleći se u drugi. Ako nije narinuto
vanjsko električno polje njihovo gibanje je potpuno nasumično i u globalu se poništava. Ako
se narine električno polje, onda će se pod djelovanjem Coulombove sile pojaviti dodatna
brzina koja se superponira na nasumična gibanja i prouzrokuje strujanje slobodnih elektrona u
smjeru suprotnom od smjera električnog polja. Taj proces nazivamo vođenjem struje, a
materijale u kojima veliki broj slobodnih elektrona može sudjelovati u vođenju struje
nazivamo električnim vodičima. U nekim materijalima samo mali ili zanemariv broj slobodnih
elektrona može sudjelovati u vođenju pa ih nazivamo dielektričnim materijalima ili
izolatorima. Za njih je pod djelovanjem narinutog električnog polja karakterističan tzv. proces
polarizacije. Posebna vrsta materijala su tzv. poluvodiči u kojima se vođenje struje u
materijalu događa seljenjem vanjskih elektrona, odnosno „šupljina“ u susjedne atome dodanih
„nečistoća“ drugog materijala, čime se popunjavaju tzv. kovalentne veze.
3.2.
Gustoće naboja i struja
Gustoća naboja u nekoj točki prostora definira se kao:
∆Q dQ
=
dV
∆V →0 ∆V
ρ (r , t ) = lim
(3.1)
Gustoća naboja mjeri se u (C/m3).
Količina naboja u zatvorenom prostoru volumena V je:
Q (t ) = ∫ ρ (r , t )dV
(3.2)
V
Jakost struje prema definiciji je:
4
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
∆Q dQ
=
dt
∆t →0 ∆t
I = lim
(3.3)
Jakost struje mjeri se u (A). Dogovorno je definirano da je pozitivan predznak za struju koja
teče u smjeru gibanja pozitivnih naboja.
∆
∆
Slika 3.1. Uz definiciju gustoće prostornog naboja ρ
Gustoća struje koja teče okomito kroz element površine ∆S je:
∆I 
dI

J (r , t ) = a v  lim
= av

dS
 ∆S →0 ∆S 
(3.4)
gdje je av jedinični vektor u smjeru gibanja pozitivnog naboja. Gustoća struje mjeri se u
(A/m2).
Za kondukcijske struje koje su rezultat strujanja elektrona i/ili iona u metalima, poluvodičima,
elektrolitskim otopinama i plinovitim plazmama, gustoća struje ne ovisi o ukupnoj gustoći
naboja ρ već je izravno proporcionalna jakosti električnog polja E prema Ohmovom zakonu:
J =κ ⋅E
(3.5)
gdje je κ električna provodnost (S/m) materijala.
Struja koja prolazi kroz plohu S, na kojoj je normala n je:
I (t ) = ∫ J (r , t ) ⋅ n ⋅ dS
(3.6)
S
5
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
3.3.
Jednadžba kontinuiteta
U svim fizikalnim pokusima opaženo je da je ukupni naboj uvijek očuvan pa je postulat o
očuvanju električnog naboja jedan od temeljnih postulata teorijske fizike. On utvrđuje da je
tok električnog naboja (struja) I iz zatvorenog konačnog prostora volumena V kojeg
obrubljuje ploha S jednak iznosu smanjenja naboja Q unutar tog prostora:
I =−
dQ
dt
d
∫ J ⋅ n ⋅ dS = − ∫ ρ ⋅ dV
dt V
S
(3.7)
gdje je n normala na plohu S. Ova parcijalna diferencijalna jednadžba naziva se jednadžba
kontinuiteta.
Primjeni li se Gaussov teorem:
∫ A ⋅ n ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ A ⋅ dV
S
V
dobije se diferencijalni oblik jednadžbe kontinuiteta:
div J = ∇ ⋅ J = −
3.4.
∂ρ
∂t
(3.8)
Singularne gustoće izvora
Sva fizikalna polja u prirodi su konačna i kontinuirana, stvorena izvorima čije su prostorne
gustoće također uvijek konačne. U približnoj, makroskopskoj teoriji polja često je
matematički pogodno stvarne prostorne gustoće naboja i struja kao izvora polja idealizirano
predstaviti u obliku plošnih ili linijskih gustoća, odnosno kao izvore koncentrirane u točku.
Takve idealizacije rezultiraju u beskonačnoj, tj. singularnoj prostornoj gustoći naboja i struja.
Te nestvarne gustoće izvora proizvode diskontinuirana, a u nekim slučajevima i beskonačna
polja. Stoga idealizaciju stvarnih raspodjela naboja i struja singularnim gustoćama, koja nam
omogućava potrebnu matematičku jednostavnost, treba sprovoditi s oprezom.
3.4.1. Gustoća plošnog naboja
Plošni naboj je naboj raspodijeljen u sloju debljine nula, pa je njegova gustoća σ na plohi S:
∆Q dQ
=
dS
∆S →0 ∆S
σ = lim
(3.9)
Gustoća plošnog naboja mjeri se u (C/m2).
6
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Slika 3.2. Uz definiciju gustoće plošnog naboja σ
Zamislimo vrlo mali valjak volumena ∆V = ∆S·∆l gdje je ∆S površina baze a ∆l visina u
kojem je naboj prostorne gustoće ρ. Ako smanjujemo visinu valjka ∆l, valjak će degenerirati u
plošni element površine ∆S, zbog čega će gustoća prostornog naboja ρ postati beskonačna (tj.
singularna):
ρ ⋅ ∆S ⋅ ∆l
∆Q
= lim
= lim (ρ ⋅ ∆l )
∆S
∆S →0 ∆S
∆S →0
ρ →∞
σ = lim
(3.10)
∆l → 0
Ukupna količina naboja na plohi S je:
Q = ∫ σ ⋅dS
(3.11)
S
3.4.2. Gustoća linijskog naboja
Za nabijene vodiče velike duljine a zanemarivog poprečnog presjeka pogodno je uvesti pojam
gustoće linijskog naboja. Linijski naboj je naboj raspodijeljen po presjeku debljine nula, pa je
njegova gustoća λ na liniji l:
∆ Q dQ
=
dl
∆l →0 ∆l
λ = lim
(3.12)
Gustoća linijskog naboja mjeri se u (C/m).
λ
∆Q
∆l
∆S
Slika 3.3. Uz definiciju gustoće linijskog naboja λ
Zamislimo vrlo mali valjak volumena ∆V = ∆S·∆l gdje je ∆S površina baze a ∆l visina u
kojem je naboj prostorne gustoće ρ. Ako smanjujemo površinu valjka ∆S, valjak će
degenerirati u linijski element dužine ∆l, zbog čega će gustoća prostornog naboja ρ postati
beskonačna (tj. singularna):
7
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
∆Q
ρ ⋅ ∆S ⋅ ∆l
= lim
= lim (ρ ⋅ ∆S )
∆l
∆l →0 ∆l
∆l →0
ρ →∞
λ = lim
(3.13)
∆S →0
Ukupna količina naboja na liniji (duljini) l je:
Q = ∫ λ ⋅dl
(3.14)
l
3.4.3. Točkasti naboj
Na velikim udaljenostima od prostorno raspoređenog naboja čiji ukupni iznos je q ≠ 0 polje se
može pripisati točkastom naboju q smještenom u središte raspodjele naboja r'. Takva
idealizacija rezultira u beskonačnoj, tj. singularnoj gustoći naboja u točki r' pa se pomoću
Diracove δ funkcije koja je definirana kao:
δ (r − r ′) = 0
∫ δ (r − r ′) ⋅ dV = 1
r ≠ r′
r ∈V
V
 Ψ (r ′ ) r ′∈V
∫ Ψ (r ) ⋅ δ (r − r ′) ⋅ dV = 
V
r ′∉V
0
može izraziti kao:
ρ (r ) = q ⋅ δ (r − r ′)
(3.15)
a ukupni naboj je:
∫ ρ (r ) ⋅ dV = ∫ q ⋅ δ (r − r ′) ⋅ dV = q
V
(3.16)
V
Ovakve izvore čije su gustoće predstavljene impulsima oblika Diracove funkcije nazivamo
diskretnim, odnosno točkastim izvorima.
3.4.4. Plošna struja
Plošna struja (strujni oblog) je struja koja teče duž plošnog sloja debljine nula. Gustoća
plošne struje K na plohi S je:
dI
 ∆I 
K = lim  a I
 = aI
∆s 
ds
∆s →0 
(3.17)
gdje je ∆I iznos struje koja teče kroz element duljine ∆s postavljen okomito na tok struje ∆I, a
aI je jedinični vektor u smjeru toka struje. Gustoća plošne struje mjeri se u (A/m). Ako je
debljina sloja u kojem teče struja ∆l onda je iznos struje ∆I = J·∆l·∆s pa će gustoća struje J
postati beskonačna (tj. singularna):
8
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
 ∆I 
 J ⋅ ∆s ⋅ ∆l 
K = lim  a I
 = lim 
 = lim (J ⋅ ∆l )
∆s  ∆s →0  ∆s  J →∞
∆s →0 
(3.18)
∆l →0
K
∆s
∆l
S
aI
Slika 3.4. Uz definiciju plošne struje
Ukupna struja koja teče vodičem po njegovom opsegu c je:
I = ∫ ( K ⋅ a I ) ⋅ ds
(3.19)
c
Slika 3.5. Ukupna struja vodiča protjecanog plošnom strujom K
3.4.5. Linijska struja
Ako vodičem velike duljine a zanemarivog poprečnog presjeka teče struja pogodno je uvesti
pojam linijske struje ili strujnice. Linijska struja mjeri se u (A).
Zamislimo vrlo mali valjak volumena ∆V = ∆S·∆l gdje je ∆S površina baze a ∆l visina u
kojem je struja prostorne gustoće J. Kroz valjak teče struja gustoće J = J∆l/∆l, gdje je smjer
struje vektorski pridijeljen ∆l. Struja kroz poprečni presjek ∆S je i = J·n·∆S gdje je n vektor
okomice na poprečni presjek ∆S u smjeru struje. Slijedi:
i ⋅ ∆l = (J ⋅ n ⋅ ∆S ) ⋅ ∆l = (∆l ⋅ n ⋅ ∆S ) ⋅ J = J ⋅ ∆V
i ⋅ dl = J ⋅ dV
(3.20)
Ako smanjujemo površinu valjka ∆S, valjak će degenerirati u linijski element dužine ∆l, zbog
čega će gustoća prostorne struje J postati beskonačna (tj. singularna):
9
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
i = lim (J ⋅ n ⋅ ∆S )
(3.21)
J →∞
∆S →0
i
J
∆l
∆S
Slika 3.6. Uz definiciju linijske struje i
10
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
4.
COULOMBOV ZAKON
Još su stari Grci, najmanje 600 g. prije nove ere, poznavali djelovanje statičkog elektriciteta
pa i naziv elektricitet potječe iz njihovog naziva za jantar, budući su ustanovili da se trljanjem
jantara privlače sitne čestice vune. Nakon toga tek se 1600. g. engleski fizičar Gilbert
ponovno bavio sličnim pokusima.
Nakon njega, 1785. g. francuski vojni inženjer Charles Coulomb je proveo niz pokusa na
posebno konstruiranoj torzionoj vazi u namjeri da precizno utvrdi silu između tijela nabijenih
statičkim elektricitetom. Coulomb je ustanovio da je sila između dva vrlo mala nabijena tijela
koja se nalaze u vakuumu (praznom prostoru) na udaljenosti koja je puno veća od dimenzija
tijela proporcionalna naboju na svakom od tijela i obrnuto proporcionalna kvadratu
udaljenosti između tijela. Iznos sile koju je izmjerio Coulomb (Coulombov zakon) je:
F =k
Q1 ⋅ Q2
(4.1)
R2
gdje su Q1 i Q2 iznosi naboja na tijelima, R je njihova udaljenost a k je konstanta
proporcionalnosti. U međunarodnom sustavu mjera konstanta proporcionalnosti iznosi:
k=
1
(4.2)
4πε 0
gdje je ε0 dielektrična konstanta praznog prostora iznosa:
ε 0 = 8,854 ⋅10 −12 ≈
10 −9
36π
As/Vm = F/m
(4.3)
Coulombov zakon se onda može pisati:
F=
Q1 ⋅ Q2
4πε 0 ⋅ R 2
(4.4)
Po svojem obliku Coulombov zakon je sličan Newtonovom zakonu gravitacije.
U svojim pokusima Coulomb je također ustanovio da sila djeluje uzduž spojnice nabijenih
tijela i da je privlačna ako su naboji raznoimeni, a odbojna ako su naboji istoimeni. Da bi se
definirao vektorski karakter sile, označimo vektorom položaja (radijus vektorom) r1 položaj
naboja Q1 i vektorom položaja r2 položaj naboja Q2 u prostoru. Vektor udaljenosti između
naboja Q1 i Q2 usmjeren od naboja Q1 prema naboju Q2 je R12 = r2 − r1. Sila kojom naboj Q1
djeluje na naboj Q2 je:
F12 =
Q1 ⋅ Q2
a
2 12
4πε 0 ⋅ R12
(4.5)
gdje je a12 jedinični vektor u smjeru vektora udaljenosti R12:
11
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
a12 =
R12 R12 r2 − r1
=
=
R12 R12 r 2−r1
(4.6)
odnosno, sila se može izraziti i kao:
F12 =
Q1 ⋅ Q2
R12
3
4πε 0 ⋅ R12
(4.7)
Slika 4.1. Sila kojom naboj Q1 djeluje na naboj Q2
Naboj Q2 također djeluje silom na naboj Q1. Vektor udaljenosti između naboja Q1 i Q2
usmjeren od naboja Q2 prema naboju Q1 je R21 = r1 − r2.
Slika 4.2. Sila kojom naboj Q2 djeluje na naboj Q1
Sila kojom naboj Q2 djeluje na naboj Q1 je:
F21 =
Q1 ⋅ Q2
Q ⋅Q
a 21 = − 1 2 2 a12 = − F12
2
4πε 0 ⋅ R21
4πε 0 ⋅ R21
(4.8)
gdje je a21 jedinični vektor u smjeru vektora udaljenosti R21:
a 21 =
R21 R21 r1 − r2
=
=
= −a12 jer je : R21 = R12
R21 R21 r 1−r2
(4.9)
Coulombov zakon je linearan: ako n puta uvećamo naboj Q1 sila na naboj Q2 će se n puta
uvećati. Za izračun ukupne sile kojom skupina naboja djeluje na promatrani naboj
12
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
primjenjujemo načelo superpozicije: ukupna sila na promatrani naboj vektorski je zbroj sila
pojedinih naboja na promatrani naboj.
Coulombov zakon je temeljni zakon elektrostatike, tj. međusobnog djelovanja naboja koji su
u mirovanju. Elektrostatička sila definirana Coulombovim zakonom određuje strukturu
materije. Sila između pozitivnih protona u jezgri i negativnih elektrona u elektronskim
ljuskama je privlačna, ali je uravnotežena centrifugalnom silom kružnog gibanja elektrona
oko jezgre, pa se elektroni ne mogu „zalijepiti“ za jezgru. U jezgri je odbojna sila između
pozitivnih protona uravnotežena snažnim nuklearnim privlačnim silama koje drže jezgru na
okupu.
13
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
5.
JAKOST ELEKTRIČNOG POLJA
Ako jedan od dva naboja, npr. naboj Q1 držimo fiksnim a drugi naboj Q2 lagano pomjeramo u
okolišu naboja Q1 primjetićemo da u svakoj točki naboj Q1 djeluje silom na naboj Q2. Drugim
riječima, naboj Q2 ukazuje na postojanje polja sila koje stvara naboj Q1. Nazovimo naboj Q2
pokusnim nabojem Qp pa je sila na njega prema Coulombovu zakonu:
F1 p =
Q1 ⋅ Q p
4πε 0 ⋅ R12p
a1 p
(5.1)
Izrazimo tu silu po jedinici naboja:
F1 p
Qp
=
Q1
a1 p
4πε 0 ⋅ R12p
(5.2)
Veličina na desnoj strani funkcija je samo naboja Q1 i vektora udaljenosti od naboja Q1 do
pokusnog naboja Qp. Ona dakle opisuje vektorsko polje čiju veličinu nazivamo jakost
električnog polja E:
E=
F1 p
Qp
(5.3)
Jakost električnog polja definiramo kao silu na jedinični naboj. Mjeri se u (N/C=V/m).
Jednadžba (5.3) je definicijska relacija za jakost električnog polja i u skladu je s jednadžbom
(2.2) iz Lorentzove sile. Električno polje možemo opisati kao pobuđeno stanje prostora u
okolišu mirujućih naboja u kojem se osjeća djelovanje električne, Coulombove sile na
mirujući pokusni naboj.
Slika 5.1. Grafički prikaz određivanja jakosti električnog polja pokusnim nabojem Qp
Iz relacija (5.2) i (5.3) slijedi izraz za jakost električnog polja proizvedenog jednim točkastim
nabojem Q1 u vakuumu:
14
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
E=
Q1
a1 p
4πε 0 R12p
(5.4)
Označimo s R duljinu vektora udaljenosti R od točke u kojoj se nalazi točkasti naboj Q do
točke u kojoj izračunavamo jakost električnog polja E i s aR jedinični vektor od R. Jakost
električnog polja je onda:
E=
Q
aR
4πε 0 R 2
(5.5)
Ako točkasti naboj Q postavimo u središte sfernog koordinatnog sustava tada jedinični vektor
aR postaje radijalni jedinični vektor ar a udaljenost R postaje r-koordinata u sfernom
koordinatnom sustavu, pa je jakost električnog polja:
E=
Q
ar
4πε 0 r 2
(5.6)
U pravocrtnom koordinatnom sustavu vrijedi:
R = r = ax x + a y y + az z
ar =
;
R = x2 + y 2 + z 2
ax x + a y y + az z
x2 + y 2 + z 2
pa jakost električnog polja ima sve tri komponente:
E=

Q
a
2
2  x
4πε 0 x + y + z

(
)
2
x
x2 + y2 + z 2
+ ay
y
x2 + y 2 + z 2
+ az

 (5.7)
2
2
2 
x +y +z 
z
Ako je naboj Q smješten u proizvoljnoj točki Q(x', y', z') određenoj s vektorom položaja r' a
točka u kojoj izračunavamo polje je P(x, y, z), određena s vektorom položaja r tada je vektor
udaljenosti R = r – r':
r ′ = a x x′ + a y y ′ + a z z ′
r = ax x + a y y + az z
;
R = r − r ′ = a x ( x − x′ ) + a y ( y − y ′ ) + a z ( z − z ′ )
R=
(x − x′)2 + ( y − y′)2 + (z − z′)2
a jakost električnog polja je:
E=
E=
Q
4πε 0 R
2
aR =
R
QR
=
4πε 0 R R 4πε 0 R 3
Q
2
Q
[
4πε 0 ( x − x′)2 + ( y − y′)2 + ( z − z′)2
]
3/ 2
[a (x − x′) + a
x
y
( y − y′) + a z (z − z′)]
(5.8)
15
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
ishodište
Slika 5.2. Jakost električnog polja točkastog naboja Q smještenog u proizvoljnoj točki
5.1.
Električno polje skupine točkastih naboja
Zbog linearnosti, ukupnu jakost električnog polja koju u točki prostora P(r) stvara skupina od
n točkastih naboja Qi čiji položaji u prostoru su određeni vektorima položaja r'i, određujemo
primjenjujući načelo superpozicije kao vektorski zbroj jakosti polja pojedinih naboja u
promatranoj točki:
n
n
E (r ) = ∑ Ei (r ) = ∑
i =1
Qi
2
i =1 4πε 0 Ri
Qi Ri
3
i =1 4πε 0 Ri
n
a Ri = ∑
(5.9)
gdje su vektori udaljenosti točke P(r) od pojedinih naboja:
Ri = r − ri′
Slika 5.3. Jakost električnog polja skupine točkastih naboja
16
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
5.2.
Električno polje kontinuiranih raspodjela naboja
Jakost električnog polja kontinuiranih raspodjela naboja: prostorne ρ, plošne σ ili linijske λ,
izračunavamo također primjenjujući načelo superpozicije.
5.2.1.1.Električno polje prostorne raspodjele naboja
Ako je naboj raspodijeljen unutar volumena V sa zadanom prostornom gustoćom ρ,
diferencijalno mali volumen dV u kojem se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = ρ·dV
smatramo točkastim nabojem kojemu je jakost električnog polja određena s (5.5).
Slika 5.4. Jakost električnog polja prostornog naboja
Ukupnu jakost električnog polja izračunavamo „zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih
naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, umjesto vektorske sumacije
koju sprovodimo kod skupine diskretnih točkastih naboja (5.9), ovdje je potrebno sprovesti
integraciju po volumenu V. Vektor udaljenosti točke P(r) u kojoj izračunavamo jakost polja
stvorenog diferencijalnim nabojem dQ u diferencijalnom volumenu dV, čiji položaj je
određen vektorom položaja r', iznosi R = r − r'. Jakost električnog polja je:
dQ ⋅ R
ρ ⋅ dV ⋅ R
1
ρ ⋅ dV ⋅ R
1
(r − r ′)
=∫
=
=
∫ ρ ⋅ dV
∫
3
3
3
3
4πε 0 V
4πε 0 V
R
V 4πε 0 R
V 4πε 0 R
r − r′
E (r ) = ∫
(5.10)
Kod primjene izraza (5.10) potrebno je voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.10) rastavi na
komponente jakosti polja po koordinatnim osima.
5.2.1.2.Električno polje plošne raspodjele naboja
Ako je naboj raspodijeljen po površini S sa zadanom plošnom gustoćom σ, diferencijalno
malu površinu dS na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = σ·dS smatramo
točkastim nabojem kojemu je jakost električnog polja određena s (5.5). Ukupnu jakost
električnog polja izračunavamo „zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako
se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, također je potrebno sprovesti integraciju po
površini S. Vektor udaljenosti točke P(r) u kojoj izračunavamo jakost polja stvorenog
17
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj površini dS, čiji položaj je određen vektorom
položaja r' iznosi R = r − r'. Jakost električnog polja je:
dQ ⋅ R
σ ⋅ dS ⋅ R
1 σ ⋅ dS ⋅ R
1
(r − r ′)
=∫
=
=
∫
∫ σ ⋅ dS
3
3
3
3
4πε 0 S R
4πε 0 S
S 4πε 0 R
S 4πε 0 R
r − r′
E (r ) = ∫
(5.11)
Slika 5.5. Jakost električnog polja plošnog naboja
Kod primjene izraza (5.11) također je potrebno voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.11) rastavi na
komponente jakosti polja po koordinatnim osima.
5.2.1.3.Električno polje linijske raspodjele naboja
Ako je naboj raspodijeljen po liniji l sa zadanom linijskom gustoćom λ, diferencijalno malu
dužinu dl na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = λ·dl smatramo točkastim
nabojem kojemu je jakost električnog polja određena s (5.5).
l
Slika 5.6. Jakost električnog polja linijskog naboja
Ukupnu jakost električnog polja izračunavamo „zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih
naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja, također je potrebno
18
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
sprovesti integraciju po liniji l. Vektor udaljenosti točke P(r) u kojoj izračunavamo jakost
polja stvorenog diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj dužini dl, čiji položaj je
određen vektorom položaja r' iznosi R = r − r'. Jakost električnog polja je:
E (r ) = ∫
l
dQ ⋅ R
λ ⋅ dl ⋅ R
1 λ ⋅ dl ⋅ R
1
(r − r ′)
=
=
=
∫
∫ λ ⋅ dl
3 ∫
3
3
3
4πε 0 l R
4πε 0 l
4πε 0 R l 4πε 0 R
r − r′
(5.12)
Kod primjene izraza (5.12) također je potrebno voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu, te da se integral iz (5.12) rastavi na
komponente jakosti polja po koordinatnim osima.
5.3.
Električni naboj i polje u vodiču
Statičko električno polje je stacionarno polje uzrokovano stacionarnim nabojima, tj. nabojima
u mirovanju. Unutar vodljivog materijala ne može postojati statičko električno polje budući bi
njegovo prisustvo u vodljivom materijalu uzrokovalo tok slobodnih naboja (električnu struju)
čime više ne bismo imali statičke uvjete: E ≡ 0.
U vodiču ne mogu postojati niti naboji u statičkim uvjetima: ρ ≡ 0. Pretpostavimo da smo u
unutrašnjost vodiča unijeli neku količinu naboja. Djelovanjem odbojnih Coulombovih sila
naboji će se udaljavati jedan od drugoga i u konačnici rasporediti na površinu vodiča. Pri
tome će raspodjela naboja na površini vodiča biti takva da se svaki pojedini elementarni naboj
nalazi u stanju ravnoteže sila svih ostalih naboja koji djeluju na njega.
Nadalje, možemo zaključiti da u statičkim uvjetima na površini nabijenog vodiča postoji
samo komponenta polja okomita na površinu vodiča. Naime, kad bi postojala i komponenta
polja koja je tangencijalna na površinu vodiča, ona bi stvarala silu koja bi uzrokovala
pomjeranje slobodnih naboja, a time više ne bi bio ispunjen uvjet stacionarnosti naboja.
Slika 5.7. Jakost električnog polja na površini nabijenog vodiča
5.4.
Silnice električnog polja
Grafički prikaz električnog polja preko vektora jakosti električnog polja je neprikladan, kako
je vidljivo sa slike 5.8. za pozitivni točkasti naboj. Pokusni naboj se u električnom polju pod
djelovanjem sile električnog polja giba određenom putanjom. Tu putanju možemo smatrati
linijom djelovanja sile. Tangenta u svakoj točki te putanje ima smjer djelovanja sile na
pozitivni pokusni naboj, a to je ujedno i smjer električnog polja. Naime, vrijedi:
19
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
F =Q p ⋅E = m
dv
dt
(5.13)
odakle slijedi da je električno polje E u smjeru vektora brzine gibanja v naboja Qp.
Slika 5.8. Grafički prikaz vektora jakosti električnog polja točkastog naboja Q
Putanje kojima se u električnom polju gibaju pokusni pozitivni naboji nazivamo linijama
polja E, linijama sile odnosno silnicama. Silnice nam služe da geometrijski, zorno prikažemo
električno polje. No, prema navedenoj definiciji, silnice opisuju samo smjer djelovanja
električnog polja, ali ne i njegovu jakost. Stoga je konvencijom usvojeno da se silnice
prikazuju tako da je njihova gustoća proporcionalna jakosti električnog polja. Pri tome se
konstanta proporcionalnosti odabire potpuno proizvoljno.
Slika 5.9. Silnice električnog polja
a) pozitivnog točkastog naboja Q; b) dvaju točkastih naboja ± Q
20
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Prikaz električnog polja preko silnica je primjenjiv za dvodimenzionalna polja. Neka je polje
ovisno o x i y-koordinatama i prikazano na slici 5.10. pomoću silnica.
E
Ey
α
Ex
Slika 5.10. Uz određivanje jednadžbe silnica
Iz slike je vidljivo da vrijedi:
tgα =
Ey
Ex
=
dy
dx
(5.14)
Relacija (5.14) daje nam jednadžbu silnica. Potrebno je za zadanu rasopdjelu naboja
izračunati funkcijske ovisnosti za komponente polja Ex = Ex (x, y) i Ey = Ey (x, y), uvrstiti ih u
(5.14) čime se dobije diferencijalna jednadžba silnica.
21
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
6.
6.1.
MATERIJALI U ELEKTRIČNOM POLJU
Vodič u električnom polju
Značajka vodljivih materijala (vodiča) je da u njima postoje slobodni naboji koji se mogu po
vodiču gibati pod djelovanjem sile električnog polja. Ako se vodljivi materijal postavi u
električno polje, električno polje će na slobodne elektrone u vodiču djelovati silom koja je
usmjerena suprotno od smjera električnog polja. Slobodni elektroni u vodiču će se stoga
grupirati uz površinu vodiča na dijelu vodiča gdje električno polje ulazi u vodič, a na
suprotnoj strani gdje električno polje izlazi iz vodiča preostat će manjak slobodnih elektrona,
tj. ostat će pozitivni naboji. Ova pojava se naziva električna influencija a razdvojeni pozitivni
i negativni naboj na vodiču naziva se influencirani (inducirani) naboj. Vodič je i dalje ostao
električki neutralan (postulat o očuvanju električnog naboja), iz čega zaključujemo da je
količina influenciranog pozitivnog naboja jednaka količini influenciranog negativnog naboja.
Slika 6.1. Pojava influenciranog plošnog naboja σinf na površini neutralnog vodiča unešenog
u električno polje jakosti E
Influencirani naboj nalazi se na površini vodiča, jer u unutrašnjosti vodiča ne može biti
naboja. Budući da u unutrašnjosti vodiča nema niti električnog polja, influencirani naboj je
upravo takav da u unutrašnjosti vodiča u potpunosti poništava vanjsko električno polje.
Ujedno, influencirani naboj stvara u vanjskom prostoru svoje vlastito, sekundarno električno
polje koje se superponira na vanjsko narinuto polje i modificira ga. Ako uklonimo vanjsko
električno polje doći će do rekombinacije influencijom razdvojenih pozititivnih i negativnih
naboja i vodič će ponovno biti neutralan.
Dakle, djelovanje vanjskog električnog polja na vodič može se nadomjestiti odgovarajućom
raspodjelom plošnog slobodnog naboja na vodiču gustoće σinf.
22
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Za ilustraciju poništavanja vanjskog polja u vodiču uzmimo primjer u kojem je vanjsko polje
homogeno električno polje E0 stvoreno dvjema paralelnim ravnim pločama velike površine,
koje su nabijene jednakom količinom naboja suprotnog predznaka ± Q (slika 6.2.a).
E0
E0
E0
E0
Einf
E0
+Q
−Q
a)
−Qinf +Qinf
b)
E=0
c)
Slika 6.2. Unošenje vodiča u električno polje
Postavimo li u prostor između ploča vodljivi materijal, na površinama vodljivog materijala
influencirat će se naboj ± Qinf, takav da je Qinf = Q. Influencirani naboj stvara unutar vodiča
svoje električno polje Einf istoga iznosa kao vanjsko električno polje ali suprotno usmjereno
od njega (slika 6.2.b). Ukupno električno polje unutar vodiča je onda poništeno (slika 6.2.c):
E = E0 + Einf = 0.
6.2.
Izolator u električnom polju
Značajka dielektričnih materijala ili izolatora je da ne posjeduju slobodne elektrone, već su
njihovi elektroni vezani za matične atome i ne mogu ih pod djelovanjem vanjskog električnog
polja napuštati. U dielektričnim materijalima, pod djelovanjem vanjskog električnog polja
dolazi do poremećaja u raspodjeli pozitivnog i negativnog naboja koji se naziva električna
polarizacija. Ako nema vanjskog električnog polja atom dielektričnog materijala ima
simetričnu raspodjelu pozitivnog i negativnog naboja čija djelovanja se u potpunosti
neutraliziraju (slika 6.3.a).
Ev
Slika 6.3. Polarizacija vezanog naboja u atomu pod djelovanjem električnog polja
23
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Na atome dielektrika vanjsko električko polje djeluje tako da uzrokuje pomak pozitivnog i
negativnog naboja unutar atoma. Vanjsko električno polje uzrokovat će pomak pozitivne
jezgre u smjeru polja i deformaciju elektronske putanje izdužujući je u elipsast oblik suprotno
do smjera polja (slika 6.3.b). U prvoj aproksimaciji takav poremećaj u raspodjeli naboja
atoma može se prikazati kao dipol p (slika 6.3.c) čije električno polje je usmjereno suprotno
od vanjskog električnog polja.
Za dipol definiramo dipolni moment:
p = q⋅a
(6.1)
gdje je q količina naboja svakog od dva po iznosu jednaka, a po predznaku suprotna točkasta
naboja koji su međusobno pomaknuti za a, a vektor pomaka a je usmjeren od negativnog
prema pozitivnom naboju.
Za ilustraciju djelovanja polarizacije na polje u dielektriku opet uzmimo da je vanjsko polje
homogeno električno polje E0 stvoreno dvjema paralelnim ravnim pločama velike površine,
koje su nabijene jednakom količinom naboja suprotnog predznaka ± Q (slika 6.4.a).
E0
E0
Epol
+Q
E0
a)
−Q
−Qpol +Qpol
E
b)
c)
Slika 6.4. Unošenje izolatora u električno polje
Slika 6.5. Detalj polarizacije unutar dielektričnog materijala
Postavimo li u prostor između ploča dielektrični materijal, unutar dielektričnog materijala
formirat će se dipoli. Djelovanje dipola će se u unutrašnjosti dielektričnog materijala
poništavati, a samo će na površinama dielektričnog materijala postojati polarizacijski naboj ±
24
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Qpol, prema slici 6.5. Ukupni naboj u dielektričnom materijalu, makroskopski gledano, ostao
je jednak nuli, tj. dielektrički materijal je i dalje ostao električki neutralan.
Polarizacijski naboj stvara unutar dielektrika svoje električno polje Epol suprotno usmjereno
od vanjskog električnog polja (slika 6.4.b). Ukupno električno polje unutar dielektričnog
materijala je zbog djelovanja polarizacijskog polja smanjeno (slika 6.4.c): E = E0 + Epol < E0.
6.2.1.1.Vektor električne indukcije i dielektričnost
Opisane fizikalne pojave kvantificiramo u makroskopskom pristupu na sljedeći način. Jakost
električnog polja kojeg stvara polarizacijski naboj Epol proporcionalna je jakosti ukupnog
električnog polja u dielektričnom materijalu E i ovisna je o vrsti dielektričnog materijala:
E pol = − χ e ⋅ E
(6.2)
gdje je χe električna susceptibilnost. Električna susceptibilnost je bezdimenziona konstanta
koja je značajka dielektričnog materijala, a kojom se kvantificira utjecaj vanjskog električnog
polja na polarizaciju. Predznak „−“ u (6.2) označava da je polje polarizacijskog naboja
suprotno usmjereno od vanjskog električnog polja, odnosno ukupnog električnog polja u
dielektričnom materijalu.
Ukupno električno polje u dielektričnom materijalu je:
E = E0 + E pol = E 0 − χ e ⋅ E
(6.3)
Pomnožimo li (6.3) s ε0 dobije se:
ε 0 ⋅ E = ε 0 ⋅ E0 + ε 0 ⋅ E pol = ε 0 ⋅ E0 − ε 0 ⋅ χ e ⋅ E = ε 0 ⋅ E 0 − P
(6.4)
gdje je P vektor polarizacije:
P = ε 0 ⋅ χ e ⋅ E = −ε 0 ⋅ E pol
(6.5)
Preuredimo (6.4):
ε 0 ⋅ E0 = ε 0 ⋅ E + P = ε 0 ⋅ E + ε 0 ⋅ χ e ⋅ E = ε 0 ⋅ E (1 + χ e )
(6.6)
Uvodimo novu veličinu:
D = ε 0 ⋅ E0
(6.7)
koju zovemo vektor električne indukcije ili vektor električnog pomaka. To je vektor istoga
smjera kao i vanjsko električno polje. Naziv „vektor pomaka“ je povijesni naziv koji nema
suvremeno fizikalno objašnjenje, a posljedica je ideje da je on rezultat gibanja, odnosno
pomaka unutar dielektričnog materijala. Vektor električne indukcije D nema jasno fizikalno
značenje kao jakost električnog polja E koja je izravno definirana iz Coulombovog zakona za
silu. On nam služi da kvantificiramo utjecaj električnog polja na dielektrični materijal i uvodi
25
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
se kao dodatna veličina, koja također spada u kategoriju fundamentalnih veličina za
predstavljanje polja. Jedinica za vektore D i P je (C/m2).
Jednadžba (6.6) onda glasi:
D = ε 0 ⋅ E + P = ε 0 ⋅ E (1 + χ e ) = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = ε ⋅ E
(6.8)
gdje je εr relativna dielektrična konstanta:
ε r = 1+ χe
(6.9)
a ε apsolutna dielektrična konstanta ili dielektričnost sredstva:
ε = ε 0 ⋅ε r
(6.10)
Dielektričnost sredstva ε je najčešće konstantna, pa se stoga često naziva dielektrična
konstanta.
Iz relacije (6.7) vidimo da vektor D određuju ε0 i jakost vanjskog električnog polja E0 koje je
stvoreno slobodnim nabojima ± Q te da ne ovisi o polarizaciji materijala.
Iz jednadžbe (6.8) može se izraziti ukupna jakost električnog polja u dielektričnom materijalu
E:
E=
D−P
ε0
= E0 −
P
ε0
=
E
D
D
= 0 =
ε0 ⋅εr εr ε
(6.11)
Dakle, vanjsko električno polje E0 u dielektričnom materijalu smanjuje se usljed polarizacije
materijala za iznos P/ε0, odnosno smanjuje se εr puta u odnosu na jakost polja u vakuumu.
Složene fizikalne pojave polarizacije dielektričnog materijala u makroskopskom pristupu
obuhvatili smo kroz jednu bezdimenzionu konstantu εr koja je značajka materijala.
Izrazi za Coulombovu silu (4.5) i svi izrazi za jakost električnog polja koji su bili dani za
vakuum, u prisustvu dielektričnog materijala modificiraju se tako da se umjesto dielektrične
konstante vakuuma ε0 piše dielektrična konstanta sredstva: ε = ε0·εr.
6.2.1.2.Dielektrična čvrstoća
Pri povećavanju jakosti vanjskog električnog polja koje je narinuto na izolacijski materijal
rastu električne sile koje djeluju na vezane elektrone atoma materijala. Kod velikih iznosa
jakosti električnog polja sile električnog polja mogu otrgnuti vezane elektrone iz vanjskih
elektronskih ljuski atoma, čime se stvara mnoštvo slobodnih naboja. Izolator time gubi svoja
izolacijska svojstva i oštećuje se. Ta pojava naziva se električni proboj a granična vrijednost
električnog polja pri kojoj proboj nastaje naziva se dielektrična čvrstoća i jedna je od značajki
izolacijskih materijala.
Dielektrična čvrstoća ovisi o obliku, trajanju i načinu povećavanja napona koji stvara
električno polje, o temperaturi, tlaku i vlažnosti materijala, o obliku elektroda koje stvaraju
26
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
električno polje, nehomogenosti izolatora i debljini sloja izolatora. Npr. kapljice vode u
transformatorskom ulju znatno mu smanjuju dielektričnu čvrstoću. Kako je dielektrična
čvrstoća važna značajka izolacijskih materijala, pri projektiranju i gradnji električnih uređaja i
naprava važno je oblikovati električno polje tako da njegove najveće vrijednosti ne premašuju
dielektričnu čvrstoću upotrijebljenog izolacijskog materijala.
U tablici 6.1. su dane relativne dielektrične konstante i dielektrične čvrstoće za neke
izolacijske materijale.
Tablica 6.1. Relativne dielektričnosti i probojne čvrstoće nekih izolacijskih materijala
Materijal
Debljina (µm)
suhi zrak
mineralno ulje
kvarc taljeni
mramor
porculan
staklo borosilikatno
natron-papir
polietilen
tinjac
izolacijski lak
15 - 250
25 - 500
Relativna
Dielektrična
dielektričnost εr čvrstoća (kV/cm)
1
21 – 30
5
120 – 200
3,2 – 3,9
120 – 150
8,3 – 10,3
200 – 500
5 – 7,5
200
4,9 – 6
300
1,4 – 2,6
80 – 140
2,2
800 – 2000
6–7
250 – 2000
3,5
> 300
6.2.1.3.Linearnost, izotropnost i homogenost dielektričnog materijala
Dielektrični materijal je linearan ako je u svakoj točki materijala dielektričnost ε konstanta.
Tada je odnos između vektora D i E prema (6.8) linearan. Ako je dielektričnost ε u svakoj
točki materijala ovisna o iznosu jakosti električnog polja |E|, tj. ε = ε(|E|), materijal je
nelinearan.
Dielektrični materijal je homogen ako se iznos dielektričnosti ε ne mijenja od točke do točke
materijala, tj. neovisan je o položaju točke unutar materijala. Ako se dielektričnost ε mijenja s
položajem točke unutar dielektričnog materijala, tj. ε = ε(r) tada je materijal nehomogen.
Ako se dielektrični materijal polarizira jednako u svim smjerovima, takav materijal se naziva
izotropnim i u njemu su vektor jakosti električnog polja E i vektor polarizacije P u istome
smjeru, tj. električna susceptibilnost χe je u svim smjerovima konstanta. U izotropnom
materijalu vrijedi:
P x = ε 0 ⋅ χ e ⋅E x
;
P y = ε 0 ⋅ χ e ⋅E y
;
P z = ε 0 ⋅ χ e ⋅E z
D x = ε ⋅E x
;
D y = ε ⋅E y
;
D z = ε ⋅E z
(6.12)
Za materijal koji nije izotropan (anizotropan), kao što su npr. kristali, vektor jakosti
električnog polja E i vektor polarizacije P nisu u istome smjeru, pošto periodična struktura
kristalnih materijala omogućava puno lakšu polarizaciju uzduž osi kristala. U takvim
materijalima električna susceptibilnost χe je različita u različitim smjerovima, pa vrijedi:
27
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
P x = ε 0 ⋅ χ e11 ⋅E x +ε 0 ⋅ χ e12 ⋅E y +ε 0 ⋅ χ e13 ⋅E z
P y = ε 0 ⋅ χ e 21 ⋅E x +ε 0 ⋅ χ e 22 ⋅E y +ε 0 ⋅ χ e 23 ⋅E z
(6.13)
P z = ε 0 ⋅ χ e31 ⋅E x +ε 0 ⋅ χ e32 ⋅E y +ε 0 ⋅ χ e33 ⋅E z
gdje općenito postoji devet različitih susceptibilnosti χe ovisnih o smjeru polarizacije
materijala i iznosu jakosti električnog polja koje polarizira materijal u tom smjeru. Vektori
električne indukcije po smjerovima su:
D x = ε11 ⋅E x +ε12 ⋅E y +ε13 ⋅E z
D y = ε 21 ⋅E x +ε 22 ⋅E y +ε 23 ⋅E z
(6.14)
D z = ε 31 ⋅E x +ε 32 ⋅E y +ε 33 ⋅E z
s općenito devet različitih dielektričnosti εij koje tvore tenzor dielektričnosti. Jednadžba (6.14)
može se napisati u matričnom obliku:
 D x  ε11 ε12 ε13   E x 
 D  = ε
 
 y   21 ε 22 ε 23   E y 
 Dz  ε 31 ε 32 ε 33   E z 
(6.15)
U vektorskoj i matričnoj formi jednadžba (6.15) može se pisati kao:
[D] = [ε ][E ]
(6.16)
Ako su ε11 = ε22 = ε33 = ε a svi ostali elementi u matrici [ε] su jednaki nuli, sredstvo je
izotropno i jednadžba (6.16) može se pisati kao:
[D ] = ε [E ]
(6.17)
Dielektrična konstanta ε dielektričnih materijala također može ovisiti o frekvenciji polja i
temperaturi. Frekvencijska ovisnost kod visokih frekvencija je važna činjenica koju treba
uzeti u obzir. Mi ćemo se u osnovi dalje baviti dielektričnim materijalima koji su linearni,
homogeni i izotropni.
28
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
7.
ELEKTRIČNI TOK
Električni tok je integralna veličina koja nam je važna za objašnjenje djelovanja električnog
polja od jedne do druge točke u prostoru.
Električni tok kroz površinu S je integral normalne komponente vektora D kroz površinu S:
φe = ∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ Dn ⋅ dS = ∫ D ⋅ cos α ⋅dS
S
S
(7.1)
S
gdje je n normala na element površine dS.
D
n
α
Dn = D·cosα
dS
Slika 7.1. Uz definiciju električnog toka
Električni tok vezan je za površinu S kroz koju prolazi pa je integralna, skalarna veličina za
razliku od vektora E i D koje su diferencijalne veličine definirane za svaku točku prostora.
Električni tok mjeri se u (C).
Električni tok može biti pozitivan, ako izlazi iz površine S (slika 7.2.a) ili negativan, ako ulazi
kroz površinu S (slika 7.2.b):
a) α < 90o, oštri kut
D·n > 0, Φe > 0
b) α > 90o, tupi kut
D·n < 0, Φe < 0.
Slika 7.2. Električni tok koji izlazi (a) i ulazi (b) kroz površinu S
Ako je između normale n na površinu S i vektora D kut α = 90o, tada električno polje samo
tangira površinu S i nema električnog toka kroz površinu S: Φe = 0.
29
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Diferenciramo li izraz (7.1) za električni tok dobije se:
d φe = D ⋅ n ⋅ d S
Pomnoži li se dobijeni izraz s n i podijeli s dS dobije se:
D=n
dφ e
dS
;
D=
dφ e
dS
(7.2)
Prema tome, vektor D ima još jedno značenje: on predstavlja gustoću električnog toka u bilo
kojoj točki prostora.
U okolišu nabijenih tijela linije vektora D nazivaju se D-linije ili linije električnog toka. Za
linearni dielektrični materijal one su podudarne s E-linijama odnosno silnicama.
30
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
8.
GAUSSOV ZAKON
Gaussov zakon je, pored Coulombovog zakona, jedan od temeljnih zakona elektrostatike.
Ilustrirat ćemo ga na primjeru točkastog naboja Q kojeg okružimo s dvije zatvorene površine:
kuglom površine S, polumjera R čije središte je podudarno s položajem točkastog naboja Q i
nekom proizvoljnom zatvorenom površinom S' prema slici 8.1.
dS'
dΦ '
dΦ
dS
R
Slika 8.1. Električni tok točkastog naboja
Iz točkastog naboja radijalno (zrakasto) izlaze silnice električnog polja (linije električnog
toka) i njihova gustoća, koja je srazmjerna jakosti električnog polja, opada s udaljenošću r od
točkastog naboja s 1/r2.
Ako promotrimo jedan stožac kojeg obrubljuju silnice električnog polja, kroz sve presjeke
takvoga stošca dS i dS', koje su na različitim udaljenostima od točkastog naboja Q, prolazi isti
broj silnica, tj. isti je električni tok kroz te presjeke: dΦe = dΦ'e. Nadalje, možemo zaključiti
da će i ukupni električni tok kroz obje površine biti isti:
φe = ∫ dφe = φe′ = ∫ dφe′
(8.1)
S′
S
Dakle, tok električnog polja kroz bilo kakvu zatvorenu površinu oko točkastog naboja Q, kao
izvora električnog polja, uvijek je isti i neovisan o obliku zatvorene površine.
Izračunajmo tok električnog polja kroz kuglu površine S sa slike 8.1. Postavimo ishodište
sfernog koordinatnog sustava u središte kugle. Jakost električnog polja na površini kugle je
konstantnog iznosa i radijalna:
E = ar
Q
= konst.
4πε ⋅ R 2
Vektor D na površini kugle je također konstantnog iznosa i radijalan:
D = ε ⋅ E = ar
Q
= konst.
4π ⋅ R 2
31
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Normala na kuglu je radijalni vektor n = ar pa vrijedi:
D ⋅ n = ar ⋅ ar
Q
Q
=
= konst.
2
4π ⋅ R
4π ⋅ R 2
pa je električni tok kroz zatvorenu površinu (kuglu) S:
Q
Q
Q
Q
dS =
dS =
S=
4π ⋅ R 2 = Q
2
2 ∫
2
2
4π ⋅ R S
4π ⋅ R
4π ⋅ R
S 4π ⋅ R
φe = ∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫
S
(8.2)
Dobili smo interesantan rezultat da je ukupni električni tok kroz zatvorenu površinu koja
obuhvaća točkasti naboj Q po iznosu točno jednak točkastom naboju Q. Kako smo već
zaključili da je tok električnog polja točkastog naboja Q kroz bilo kakvu zatvorenu površinu
koja je zatvorena oko točkastog naboja uvijek isti, vrijedi da je za bilo kakvu zatvorenu
površinu S:
φ e = ∫ D ⋅ n ⋅ dS = Q
(8.3)
S
Proširimo navedeno razmatranje za dva točkasta naboja Q1 i Q2. Primjenimo načelo
superpozicije pa vrijedi:
D = D1 + D2
(8.4)
∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ D1 ⋅ n ⋅ dS + ∫ D2 ⋅ n ⋅ dS =Q1 + Q2 = ∑ Q
S
S
S
Ako unutar zatvorene površine S nema naboja onda prema (8.4) vrijedi:
∫ D ⋅ n ⋅ dS = 0
(8.5)
S
U tom slučaju, sve silnice električnog polja koje ulaze u zatvorenu površinu i izlaze iz te
zatvorene površine, budući da unutar zatvorene površine nema pozitivnih odnosno negativnih
naboja koji su izvori odnosno ponori električnog polja.
nb
na
Slika 8.2. Električni tok kroz zatvorenu površinu unutar koje nema naboja
32
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Vrijedi:
na = − nb
φa = ∫ Da ⋅ na ⋅ dS < 0
;
φb = ∫ Db ⋅ nb ⋅ dS > 0
Sa
;
φa = φb
(8.6)
Sb
∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ Da ⋅ na ⋅ dS + ∫ Db ⋅ nb ⋅ dS = φa + φb = 0
S
Sa
Sb
Načelo superpozicije možemo primijeniti za bilo koju kontinuiranu raspodjelu naboja
prostornu, plošnu ili linijsku. Ako uzmemo kao opći slučaj prostornu raspodjelu naboja
možemo općenito pisati:
∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ ρ s ⋅ dV
S
(8.7)
V
gdje je S bilo kakva zatvorena površina koja obrubljuje prostor volumena V unutar kojega se
nalazi prostorna gustoća slobodnog naboja ρs koji stvara električno polje, odnosno vektor
električne indukcije D. Na desnoj strani relacije (8.7) ne pojavljuje se prostorna gustoća
polarizacijskog naboja, budući da vektor električne indukcije D stvaraju slobodni naboji.
Osim toga, ukupna količina polarizacijskog naboja u dielektriku volumena V jednaka je nuli.
Relacija (8.7) je Gaussov zakon. Važnost Gaussovog zakona je u sljedećem:
− ako nam je poznato električno polje u prostoru volumena V s pomoću Gaussovog
zakona možemo izračunati ukupni naboj u tom prostoru,
− za jednostavne, simetrične raspodjele naboja primjenom Gaussovog zakona možemo
izračunati jakost električnog polja. Ovakvi izračuni su ograničeni na slučajeve u
kojima možemo odabrati Gaussovu površinu po kojoj radimo integraciju na lijevoj
strani u (8.7) takvu da možemo izvući vektor D iz integrala u (8.7).
8.1.
Diferencijalni oblik Gaussovog zakona
Divergencija nekog vektorskog polja A je skalar koji je definiran u svakoj točki polja i koji je
prostorna derivacija tog polja:
∫ A ⋅ n ⋅ dS
div A = ∇ ⋅ A = lim
S
V
V →0
gdje je S zatvorena površina koja obrubljuje volumen V, a n je normala usmjerena izvan
diferencijalne površine dS.
Ako za vektorsko polje uzmemo polje vektora električne indukcije D i primjenimo Gaussov
zakon (8.7) dobijemo da je njegova divergencija:
div D = ∇ ⋅ D = lim
V →0
div D = ∇ ⋅ D = ρ s
∫ D ⋅ n ⋅ dS
∫ ρ s ⋅dV
S
V
V
= lim
V →0
V
(8.8)
33
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Dakle, divergencija vektora električne indukcije D jednaka je prostornoj gustoći slobodnog
naboja ρs. Drugim riječima, slobodni naboji su izvori (pozitivni) i ponori (negativni) vektora
električne indukcije D. Relacija (8.8) je Gaussov zakon u diferencijalnom obliku i odnosi se
na bilo koju točku prostora u kojem postoji električno polje.
Do istog rezultata došli bismo ako na Gaussov zakon primjenimo Gaussov teorem:
∫ A ⋅ n ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ A ⋅ dV
S
V
Dobije se:
∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ D ⋅ dV = ∫ ρ s ⋅ dV
S
V
V
div D = ∇ ⋅ D = ρ s
U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) divergencija vektora D je:
div D = ∇ ⋅ D =
∂Dx ∂D y ∂Dz
+
+
= ρs
∂x
∂y
∂z
(8.9)
U cilindričnom koordinatnom sustavu (r, α, z) divergencija vektora D je:
1 ∂
 1 ∂Dα ∂Dz
div D = ∇ ⋅ D =  (r ⋅ Dr ) +
+
= ρs
r  ∂r
∂z
 r ∂α
(8.10)
U sfernom koordinatnom sustavu (r, ϑ , α) divergencija vektora D je:
div D = ∇ ⋅ D =
1
r2
∂ 2
 ∂r r ⋅ Dr

(
1  ∂
) + r ⋅ sin
(Dϑ ⋅ sin ϑ ) + 1 ∂Dα = ρ

ϑ ∂ϑ
r ⋅ sin ϑ ∂α



s
(8.11)
34
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
9.
POTENCIJAL U ELEKTRIČNOM POLJU
Materija je u svom osnovnom stanju neutralna, tj. isti je broj pozitivnih i negativnih naboja.
Osim toga, vrijedi postulat o očuvanju električnog naboja kojim se iskazuje da je u svakom
izoliranom sustavu algebarska suma naboja konstantna. Prema tome, ako želimo dobiti
izdvojene pozitivne i negativne naboje u izoliranom sustavu, npr. sustavu od dvije paralelne
vodljive ploče, onda pozitivni naboj na jednoj ploči i negativni naboj na drugoj ploči možemo
stvoriti tako da odvodimo s jedne ploče negativne naboje (čime ona postaje nabijena
pozitivnim nabojem +Q) i prenosimo ih na drugu ploču (čime ona postaje nabijena
negativnim nabojem –Q). Budući da je takav sustav izoliran, ukupni naboj i dalje ostaje
konstantan, tj. jednak nuli. Za razdvajanje naboja potrebno je utrošiti energiju koja se
manifestira u privlačnoj sili između ploča nabijenih raznoimenim nabojima ±Q, odnosno u
električnom polju stvorenom između ploča, koje Coulombovom silom djeluje na pokusni
naboj unešen u to polje. Ta energija naboja u električnom polju je potencijalna energija
naboja koja se može iskazati preko veličine koja se naziva električni potencijal.
9.1.
Potencijalna energija naboja u električnom polju
Analizirajmo primjer u kojem se pozitivni točkasti naboj +q nalazi u električnom polju jakosti
E. Na točkasti naboj q djeluje sila električnog polja FE = q·E. Kako je naboj q pozitivan,
smjer sile FE bit će isti kao i smjer električnog polja E. Ako je naboj q slobodan, tj. ne držimo
ga nikakvom silom, sila električnog polja će uzrokovati pomak naboja u smjeru polja (slika
9.1.a). Pomakom naboja povećat će se njegova kinetička energija. To povećanje kinetičke
energije naboja dobija se iz električnog polja pa će energija sustava nabijenih ploča biti
umanjena za taj iznos.
Slika 9.1. Prikaz sile na naboj q
a) naboj je slobodan u polju E; b) na naboj djeluje vanjska sila Fv
Diferencijalna energija koju električno polje preda točkastom naboju q pri njegovom
diferencijalnom pomaku dl je:
dWE = FE ⋅ dl = q ⋅ E ⋅ dl
(9.1)
Diferencijalna energija dWE iz (9.1) je diferencijalni rad kojeg je izvršilo električno polje E.
Načinimo sada diferencijalni pomak dl naboja u polju nekom vanjskom silom Fv suprotno
smjeru djelovanja polja E (slika 9.1.b). Vanjska sila Fv mora svladati silu električnog polja, tj.
mora joj biti jednaka po iznosu i suprotnog smjera: Fv = – FE = – q·E (uz ovaj uvjet nema
povećanja brzine naboja, odnosno nema povećanja njegove kinetičke energije). Diferencijalni
rad kojeg obavi vanjska sila Fv je:
35
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
dW = Fv ⋅ dl = − FE ⋅ dl = −q ⋅ E ⋅ dl
(9.2)
Vidimo da su diferencijalne energije iz (9.1) i (9.2) jednake po iznosu, suprotnog smjera. To
znači da pozitivni rad izvršen silom električnog polja dWE odgovara negativnom radu kojeg je
izvršila vanjska sila dW.
Ako je pomak dl okomit na smjer polja, tada je E·dl jednak nuli i nema promjene energije.
Pogodno je ove odnose usporediti s pomicanjem mase u gravitacijskom polju. Ako masu
podižemo uvis, suprotno djelovanju gravitacijske sile, potrebno je utrošiti rad. Taj se rad
iskazuje u povećanju potencijalne energije mase. Ako oslobodimo masu, ona će sama padati
prema dolje, dakle izvršit će se rad na račun smanjenja potencijalne energije mase. Ako pak,
masu pomjeramo okomito na gravitacijsku silu, tj. na istoj visini onda nema promjena u
njezinoj potencijalnoj energiji.
Analizirajmo detaljnije odnose pri pomaku naboja suprotno smjeru električnog polja i
pretpostavimo da pri takvom pomaku dolazi i do promjene brzine naboja. Vrijedi jednadžba
gibanja prema II Newtonovom zakonu:
Fv + FE = m ⋅ a = m
dv
dv dl
dv
= m ⋅ = m⋅v
dt
dl dt
dl
(9.3)
gdje je m masa naboja (čestice), a je ubrzanje naboja, v brzina naboja a dl diferencijalni
pomak naboja. Pomnožimo li (9.3) s dl dobije se:
Fv ⋅ dl + FE ⋅ dl = m ⋅ v ⋅ dv
(9.4)
odnosno:
 m ⋅ v2 
 − FE ⋅ dl
Fv ⋅ dl = d

 2 
(9.5)
U (9.5) su:
Fv ⋅ dl = dA
− utrošeni rad vanjske sile Fv,
 m ⋅ v2 
 = dWk − promjena kinetičke energije naboja,
d

 2 
− FE ⋅ dl = dW p − promjena potencijalne energije naboja.
Dakle, (9.5) se može pisati u obliku:
dA = dWk + dW p
(9.6)
36
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Rad vanjske sile dA utroši se na promjenu kinetičke energije naboja dWk i promjenu
potencijalne energije naboja dWp.
Ukupni utrošeni rad pri pomicanju naboja iz točke b do točke a u električnom polju E
suprotno smjeru polja je onda:
va 
a
m ⋅ v2  a
 − ∫ FE ⋅ dl
A = ∫ Fv ⋅ dl = ∫ d
2  b
b
vb 
(9.7)
gdje su vb i va brzine naboja u točki b, odnosno točki a.
Ako pri pomaku naboja iz točke b u točku a nije promijenjena njegova kinetrička energija, tj.
vb = va, utrošeni rad vanjske sile mogao se pretvoriti samo u povećanje njegove potencijalne
energije:
a
a
A = ∫ Fv ⋅ dl = − ∫ FE ⋅ dl = W p ( a ) − W p (b)
b
(9.8)
b
Ako pak na naboj ne djeluje vanjska sila Fv = 0, tada je utrošeni rad vanjske sile nula i vrijedi:
a
A = ∫ Fv ⋅ dl = 0
b
 m ⋅ v2  a
 − ∫ FE ⋅ dl = 0
d
∫ 
2  b
vb 
Wk (a ) − Wk (b) + W p (a ) − W p (b) = 0
va
(9.9)
odnosno:
Wk (a ) + W p (a ) = Wk (b) + W p (b)
(9.10)
Pod djelovanjem sile električnog polja naboj će se pomicati iz točke a u točku b, u smjeru
polja. Pri tome će mu se smanjivati njegova potencijalna energija, a povećavati kinetička
energija, tj. naboj će se pod djelovanjem sile električnog polja ubrzavati.
Dakle, razlika potencijalnih energija naboja u točkama a i b u električnom polju prema (9.8)
je:
a
a
W p (a ) − W p (b) = − ∫ FE ⋅ dl = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl
b
(9.11)
b
Potencijalna energija naboja u jednoj točki polja može se prema (9.11) iskazati samo u
odnosu na neku referentnu točku. Naime, svaka je potencijalna energija neodrediva do na
konstantu čija vrijednost ovisi o izboru referentne točke u kojoj uzimamo da je potencijalna
energija jednaka nuli. Tako npr. za gravitacijsku potencijalnu energiju uzimamo da je
referentna točka na razini mora, tj. na nultoj nadmorskoj visini, na kojoj je potencijalna
gravitacijska energija nula. U statičkom električnom polju za referentnu točku obično
37
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
uzimamo beskonačnost. U beskonačno dalekoj točki jakost električnog polja jednaka je nuli
pa je i potencijalna energija naboja jednaka nuli.
Dakle, ako je točka b = ∞ u kojoj je Wp(∞) = 0, onda je potencijalna energija naboja u točki a:
a
a
W p (a ) = − ∫ FE ⋅ dl = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl
∞
(9.12)
∞
Relaciju (9.12) možemo riječima opisati na sljedeći način: potencijalna energija naboja q u
nekoj točki električnog polja a jednaka je radu kojeg je potrebno izvršiti da bi se naboj q iz
beskonačnosti (gdje nema polja) doveo u točku polja a, suprotno djelovanju sile električnog
polja.
Iz (9.11) i (9.12) vidi se da je potencijalna energija naboja u nekoj točki polja funkcija te
točke Wp = Wp(r) ali nije razvidno da li je ovisna o putu kojim smo izvršili pomak naboja iz
točke a u točku b, odnosno iz ∞ u točku a. Da bi odredili postoji li ovisnost o putu,
analizirajmo jednostavni primjer da je polje E stvoreno točkastim nabojem Q smještenim u
središte sfernog koordinatnog sustava (slika 9.2):
E = ar
Q
4πε r 2
Slika 9.2. Prikaz izračuna razlike potencijalnih energija u polju točkastog naboja Q
Izračunajmo razliku potencijalnih energija pri pomaku pokusnog naboja q od točke a(ra, ϑ a ,
αa) do točke b(rb, ϑb , αb) proizvoljnim putem l prema slici 9.2. Diferencijalni put dl je:
38
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
dl = a r dr + aϑ rdϑ + aα r sin ϑdα
Razlika potencijalnih energija prema (9.11) je:
a
W p (a ) − W p (b) = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl = −
b
W p (a ) − W p (b) = −
Q⋅q a 1
∫ a r (a r dr + aϑ rdϑ + aα r sin ϑdα )
4πε b r 2
Q ⋅ q ra dr
Q ⋅ q  1  ra Q ⋅ q  1 1 
 − 
−  =
∫ 2 =−
4πε rb r
4πε  r  rb 4πε  ra rb 
Kako je ra < rb, uz pozitivan točkasti naboj Q, vrijedi da je Wp(a) > Wp(b), tj. veća je
potencijalna energija pokusnog naboja q u bližoj točki a (gdje je jače polje točkastog naboja
Q) nego u daljoj točki b.
Izračunajmo sada razliku potencijalnih energija pri pomaku pokusnog naboja q od točke a do
točke b drugim putem l' prema slici 9.2. Integracija po putu l' ide od točke b do točke c, zatim
od točke c do točke d i konačno od točke d to točke a. Diferencijalni putevi su:
od b do c: dl1′ = aα rb sin ϑb dα
od c do d: dl 2′ = aϑ rb dϑ
od d do a: dl3′ = a r dr
;
;
;
αb < α < αa
ϑb < ϑ <ϑ a
rb < r < ra
Razlika potencijalnih energija prema (9.11) je:
W p (a ) − W p (b) = −
d
a

1
1
Q ⋅ q c 1
 ∫ a r 2 (aα rb sin ϑb dα ) + ∫ a r 2 (aϑ rb dϑ ) + ∫ a r 2 (a r dr )
4πε b rb
rb
r
c
d

W p (a ) − W p (b) = −
ra
dr 
Q⋅q 
Q ⋅ q  1  ra Q ⋅ q  1 1 
 − 
−  =
0 + 0 + ∫ 2  = −
4πε 
4πε  r  rb 4πε  ra rb 
rb r 
Za oba puta integracije dobijen je isti rezultat. Dakle, potencijalna energija naboja u statičkom
električnom polju ne ovisi o putu, već samo o početnoj i krajnjoj točki toga puta.
Također možemo napisati da vrijedi:
a
W p (a ) − W p (b) = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl
po nekom putu l
b
b
W p (b) − W p (a ) = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl
po nekom putu l ′
a
Zbrojimo li prethodne dvije relacije dobije se:
a
b
0 = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl − ∫ q ⋅ E ⋅ dl
b
a
39
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
odnosno:
∫ q ⋅ E ⋅ dl = 0
(9.13)
l
Promjena potencijalne energije (utrošeni rad) pri pomaku naboja q po bilo kojoj zatvorenoj
krivulji l (pomak od točke b po bilo kojem putu i povratak natrag u istu točku b) jednaka je
nuli, tj. potencijalna energija naboja u statičkom električnom polju je konzervirana. Stoga za
statičko električno polje kažemo da je konzervativno, što iskazujemo s:
∫ E ⋅ dl = 0
(9.14)
l
Integral jakosti električnog polja E po bilo kojoj zatvorenoj krivulji l jednak je nuli.
9.2.
Diferencijalni oblik zakona o konzervativnosti električnog polja
Primjenimo na relaciju (9.14) Stokesov teorem:
∫ A ⋅ dl = ∫ (∇ x A) ⋅ n ⋅ dS
c
S
gdje je A vektorsko polje koje prolazi kroz površinu S, na kojoj je definirana normala n, a
površina S je obrubljena konturom c. Primjena na (9.14) daje:
∫ E ⋅ dl = ∫ (∇ x E ) ⋅ n ⋅ dS = 0
c
S
odakle slijedi:
∇ x E = rot E = 0
(9.15)
Dakle, rotacija vektora jakosti statičkog električnog polja E jednaka je nuli. Relacija (9.15)
iskazuje konzervativnost statičkog električnog polja u diferencijalnom obliku i odnosi se na
bilo koju točku prostora u kojem postoji električno polje.
U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) rotacija vektora E je:
ax
∂
∇xE =
∂x
Ex
ay
∂
∂y
Ey
az
∂E y 
 ∂E
 ∂E
∂E
∂E 
∂E
∂
 + a y  x − z  + a z  y − x  = 0
= a x  z −


∂z
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂z
 ∂y
 ∂x
Ez
(9.16)
U cilindričnom koordinatnom sustavu (r, α, z) rotacija vektora E je:
∂E 
∂E 
1 ∂
 1 ∂E z ∂Eα 
 ∂E
∇ x E = ar 
−
 + aα  r − z  + a z  (rEα ) − r  = 0
∂z 
∂r 
r  ∂r
∂α 
 ∂z
 r ∂α
(9.17)
40
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
U sfernom koordinatnom sustavu (r, ϑ , α) rotacija vektora E je:
∂E
1  ∂
(sin ϑ ⋅ Eα ) − ϑ  + aϑ 1  1 ∂E r − ∂ (r ⋅ Eα ) +

r ⋅ sin ϑ  ∂ϑ
∂α 
r  sin ϑ ∂α ∂r

∂E 
1 ∂
+ aα  (r ⋅ Eϑ ) − r  = 0
r  ∂r
∂ϑ 
∇ x E = ar
9.3.
(9.18)
Električni potencijal
Električni potencijal u nekoj točki električnog polja je omjer potencijalne energije naboja u
toj točki polja i iznosa tog naboja:
ϕ (a) =
W p (a )
q
(9.19)
Možemo također reći da je električni potencijal u nekoj točki električnog polja po iznosu
jednak potencijalnoj energiji jediničnog naboja q = 1 C u toj točki.
Jedinica za električni potencijal je volt: 1V = 1J/1C. Veće jedinice koje se susreću u energetici
su kV i MV, a manje koje susrećemo u elektronici mV i µV.
Iz (9.12) slijedi da električni potencijal u nekoj točki polja možemo izračunati iz poznate
jakosti električnog polja E:
a
ϕ (a ) = − ∫ E ⋅ dl
(9.20)
∞
Prema zaključcima iz prethodnog potpoglavlja, izračun potencijala prema (9.20) također je
neovisan o putu integracije od ∞ do točke a u kojoj se potencijal izračunava.
Električni potencijal je druga veličina koja nam služi za kvantificiranje pojava u električnom
polju. Prva veličina je bila vektorska veličina – jakost električnog polja E koja je definirana u
svakoj točki polja. Za razliku od jakosti električnog polja, električni potencijal je skalarna
veličina, također definirana u svakoj točki polja. Budući da je potencijal skalarna veličina, u
mnogim zadaćama je jednostavnije izračunati skalarno polje potencijala φ(r), pa onda
naknadno iz njega izračunati vektorsko polje jakosti polja E(r).
9.3.1.1.Potencijal točkastog naboja
Izračunajmo potencijal točkastog naboja primjenjujući (9.20). Jakost električnog polja
točkastog naboja Q u sfernom koordinatnom sustavu je:
E = ar
Q
4πε r 2
Kako je izračun potencijala prema (9.20) neovisan o putu integracije, treba odabrati
najpogodniji put integracije, a to je radijalni, istoga smjera kao i jakost električnog polja: dl =
ar·dr. Potencijal točke koja je na udaljenosti r od točkastog naboja je:
41
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
r
ϕ ( r ) = − ∫ E ⋅ dl = −
∞
Q r  1
Q  1 r
− 
∫ a r  2  ⋅ a r dr = −
4πε ∞  r 
4πε  r  r =∞
Q
ϕ( r ) =
(9.21)
4πε r
9.3.1.2.Potencijal skupine točkastih naboja
Zbog linearnosti, ukupni električni potencijal kojeg u točki prostora P(r) stvara skupina od n
točkastih naboja Qi čiji položaji u prostoru su određeni vektorima položaja r'i, određujemo
primjenjujući načelo superpozicije kao algebarski zbroj potencijala pojedinih naboja u
promatranoj točki:
n
Qi
1 n Qi
1 n Qi
=
=
∑
∑
4πε i =1 Ri 4πε i =1 r − ri′
i =1 4πεRi
n
ϕ (r ) = ∑ ϕi (r ) = ∑
i =1
(9.22)
gdje su udaljenosti točke P(r) od pojedinih naboja:
Ri = Ri = r − ri′
9.3.1.3.Potencijal kontinuiranih raspodjela naboja
Potencijal kontinuiranih raspodjela naboja: prostorne ρ, plošne σ ili linijske λ, izračunavamo
također primjenjujući načelo superpozicije.
Potencijal prostorne raspodjele naboja
9.3.1.3.1.
Ako je naboj raspodijeljen unutar volumena V sa zadanom prostornom gustoćom ρ,
diferencijalno mali volumen dV u kojem se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = ρ·dV
smatramo točkastim nabojem kojemu je potencijal određen s (9.21). Ukupni potencijal
izračunavamo „zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o
kontinuiranoj raspodjeli naboja, umjesto sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih
točkastih naboja (9.22), ovdje je potrebno sprovesti integraciju po volumenu V. Udaljenost
točke P(r) u kojoj izračunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ u
diferencijalnom volumenu dV, čiji položaj je određen vektorom položaja r' iznosi R =│R│ =
│r − r'│. Potencijal je:
dQ
ρ ⋅ dV
1 ρ ⋅ dV
1 ρ ⋅ dV
=∫
=
=
∫
∫
4πε V R
4πε V r − r ′
V 4πεR
V 4πεR
ϕ (r ) = ∫
(9.23)
Kod primjene izraza (9.23) potrebno je voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu.
42
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Potencijal plošne raspodjele naboja
9.3.1.3.2.
Ako je naboj raspodijeljen po površini S sa zadanom plošnom gustoćom σ, diferencijalno
malu površinu dS na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = σ·dS smatramo
točkastim nabojem kojemu je potencijal određen s (9.21). Ukupni potencijal izračunavamo
„zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj
raspodjeli naboja, također je potrebno sprovesti integraciju po površini S. Udaljenost točke
P(r) u kojoj izračunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj
površini dS, čiji položaj je određen vektorom položaja r' iznosi R =│R│ = │r − r'│.
Potencijal je:
dQ
σ ⋅ dS
1 σ ⋅ dS
1 σ ⋅ dS
=∫
=
=
∫
∫
4πε S R
4πε S r − r ′
S 4πεR S 4πεR
ϕ (r ) = ∫
(9.24)
Kod primjene izraza (9.24) također je potrebno voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu.
Potencijal linijske raspodjele naboja
9.3.1.3.3.
Ako je naboj raspodijeljen po liniji l sa zadanom linijskom gustoćom λ, diferencijalno malu
dužinu dl na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = λ·dl smatramo točkastim
nabojem kojemu je potencijal određen s (9.21). Ukupni potencijal izračunavamo „zbrajanjem“
doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja,
također je potrebno sprovesti integraciju po liniji l. Udaljenost točke P(r) u kojoj
izračunavamo potencijal stvoren diferencijalnim nabojem dQ na diferencijalnoj dužini dl, čiji
položaj je određen vektorom položaja r' iznosi R =│R│ = │r − r'│. Potencijal je:
ϕ (r ) = ∫
l
dQ
λ ⋅ dl
1 λ ⋅ dl
1 λ ⋅ dl
=∫
=
=
∫
∫
4πεR l 4πεR 4πε l R
4πε l r − r ′
(9.25)
Kod primjene izraza (9.25) također je potrebno voditi računa o tome da je vektor položaja
diferencijalnog naboja r' i vektor udaljenosti R potrebno iskazati kao funkcije prostornih
koordinata u odgovarajućem koordinatnom sustavu.
9.4.
Razlika potencijala (napon)
Iz (9.11) i (9.19) možemo izraziti razliku potencijala (električni napon) između dvije točke a i
b električnog polja E:
a
U ab = ϕ ( a) − ϕ (b) = − ∫ E ⋅ dl
(9.26)
b
Razlika potencijala (napon) Uab označava da je to potencijal točke a u odnosu na potencijal
točke b. Ako je električni napon Uab pozitivan, to znači da je točka a na višem potencijalu
(pozitivni točkasti naboj ima višu potencijalnu energiju u toj točki) nego točka b.
Napon između točaka b i a je:
43
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
b
U ba = ϕ (b) − ϕ ( a ) = − ∫ E ⋅ dl = −U ab
(9.27)
a
Napon između točaka a i b u polju točkastog naboja Q prema (9.26) je:
a
U ab = − ∫ E ⋅ dl = −
b
Q ra  1 
Q
∫ a r  2  ⋅ a r dr = −
4πε r =rb  r 
4πε
U ab = ϕ (a ) − ϕ (b) =
Q
4πε
 1  ra
− 
 r  r =rb
1 1
 − 
 ra rb 
(9.28)
Ako je točkasti naboj Q pozitivan i ako je ra < rb, vrijedi da je Uab > 0, tj. φ(a) > φ(b), tj. veći
je potencijal u bližoj točki a (gdje je jače polje točkastog naboja Q) nego u daljoj točki b.
Iz (9.28) slijedi također potencijal točkastog naboja u odnosu na beskonačno daleku točku;
ako postavimo b → ∞, φ(∞) → 0, slijedi:
ϕ( a )
Q
4πε ra
što je identično relaciji (9.21).
Ako potencijal neke točke a iskažemo u odnosu na potencijal referentne točke b, rb = Rref,
φ(rb) = φref, iz (9.28) slijedi:
ϕ (a) =
Q
4πε
1
 − 1
 ra Rref


 + ϕ ref


(9.29)
ili općenito, dijeljenjem (9.11) s q dobije se:
a
ϕ (a ) = − ∫ E ⋅ dl + ϕ ref
(9.30)
Rref
Prema tome, potencijal neke točke u električnom polju možemo odrediti uz proizvoljan izbor
referentne točke Rref i potencijala u referentnoj točki φ(Rref). Time se ne utječe na razlike
potencijala, odnosno napone u polju. To se naziva skaliranje električnog potencijala.
9.5.
Veza između jakosti električnog polja i potencijala
Iz definicijske relacije za razliku potencijala (9.26) slijedi da je diferencijalna razlika
potencijala dφ na udaljenosti dl duž puta od točke b do točke a:
dϕ = − E ⋅ dl = − E ⋅ dl ⋅ cos α = − E ⋅ dl ⋅ cos α = − El ⋅ dl
(9.31)
44
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
gdje je α kut između vektorâ jakosti električnog polja E i puta dl, a El je komponenta jakosti
električnog polja E usmjerena duž puta dl (slika 9.3).
Slika 9.3. Uz definiciju veze između jakosti električnog polja i potencijala
Iz (9.31) slijedi:
dϕ
= − E ⋅ cos α = − El
dl
(9.32)
gdje je dφ/dl derivacija potencijala u smjeru dl. Ova derivacija je usmjerena derivacija koja
ovisi o smjeru dl pa time o kutu α. Ako je dl u smjeru jediničnog vektora aE jakosti
električnog polja E, tj. dl = aE ·dl, tada je α = 0 i vrijedi:
dϕ
dl
= −E
dl = a E dl
Ako je dl suprotan od smjera jediničnog vektora aE jakosti električnog polja E, tj. dl = –aE ·dl,
tada je α = π i vrijedi:
dϕ
dl
=
dl = − a E dl
dϕ
dl
=E
(9.33)
max
Dakle, maksimalna derivacija potencijala je u smjeru suprotnom od smjera električnog polja
E i po iznosu je jednaka jakosti električnog polja E. Pomnožimo li (9.33) s jediničnim
vektorom –aE = a–E usmjerenim suprotno od smjera jakosti električnog polja E, dobijemo:
a− E
dϕ
dl
= a − E ⋅ E = −a E ⋅ E = − E
(9.34)
max
Izraz na lijevoj strani u (9.34) predstavlja vektorsku veličinu koju nazivamo gradijentom od φ:
a− E
dϕ
dl
= grad ϕ = ∇ϕ = − E
(9.35)
max
odnosno:
E = −grad ϕ = −∇ϕ
(9.36)
45
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Relacija (9.36) ukazuje nam da je vektor jakosti električnog polja E usmjeren u smjeru pada
potencijala, tj. od višeg k nižem potencijalu. To je u skladu s objašnjenjima danim za napon
Uab u polju točkastog naboja (9.28).
Do istog izraza možemo doći ako u (9.31) uvrstimo vektore E i dl u pravocrtnom
koordinatnom sustavu:
E = a x Ex + a y E y + a z Ez
;
(
dl = a x dx + a y dy + a z dz
)(
dϕ = − E ⋅ dl = − a x E x + a y E y + a z E z ⋅ a x dx + a y dy + a z dz
)
Ako uzmemo da je dl = axdx i dy = dz = 0, tada je:
(
)
dϕ = − E ⋅ dl = − a x E x + a y E y + a z E z ⋅ (a x dx ) = − E x dx
dϕ
dx
=
y = konst.
z = konst.
∂ϕ
= −E x
∂x
Ako uzmemo da je dl = aydy i dx = dz = 0, tada je:
(
)(
)
dϕ = − E ⋅ dl = − a x E x + a y E y + a z E z ⋅ a y dy = − E y dy
dϕ
dy
=
x = konst.
z = konst.
∂ϕ
= −E y
∂y
Ako uzmemo da je dl = azdz i dx = dy = 0, tada je:
(
)
dϕ = − E ⋅ dl = − a x E x + a y E y + a z E z ⋅ (a z dz ) = − E z dz
dϕ
dz
=
x = konst.
y = konst.
∂ϕ
= − Ez
∂z
Jakost električnog polja je onda:
 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ 
 = −grad ϕ = −∇ϕ
E = a x E x + a y E y + a z E z = − a x
+ ay
+ az
∂y
∂z 
 ∂x
(9.37)
U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) jakost električnog polja E izražena preko
gradijenta potencijala φ je:
 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ 

E = −grad ϕ = − a x
+ ay
+ az
∂y
∂z 
 ∂x
(9.38)
46
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
U cilindričnom koordinatnom sustavu (r, α, z) jakost električnog polja E izražena preko
gradijenta potencijala φ je:
1 ∂ϕ
∂ϕ 
 ∂ϕ
E = −grad ϕ = − a r
+ aα
+ az

r ∂α
∂z 
 ∂r
(9.39)
U sfernom koordinatnom sustavu (r, ϑ , α) jakost električnog polja E izražena preko
gradijenta potencijala φ je:
1 ∂ϕ
1
∂ϕ 
 ∂ϕ
E = −grad ϕ = − a r
+ aϑ
+ aα

r ∂ϑ
r ⋅ sin ϑ ∂α 
 ∂r
(9.40)
Kako je jakost električnog polja E derivacija potencijala prema (9.36) slijedi važno svojstvo
električnog potencijala φ: električni potencijal je kontinuirana funkcija. Ukoliko bi
potencijal bio diskontinuirana funkcija, na mjestu diskontinuiteta bi onda prema (9.36) imali
beskonačan iznos jakosti električnog polja, što je fizikalno nemoguće.
9.6.
Ekvipotencijalne plohe
Ekvipotencijalne plohe su geometrijsko mjesto točaka u prostoru gdje postoji električno polje
na kojima je potencijal konstantan:
ϕ (r ) = ϕe = konst.
(9.41)
Ako se radi o električnom polju koje je prikazano u ravnini, onda govorimo o
ekvipotencijalnim linijama koje su krivulje u prostoru na kojima je potencijal konstantan.
U skladu s definicijom potencijala (9.19), ekvipotencijalne plohe (linije) su također
geometrijsko mjesto točaka u prostoru gdje postoji električno polje na kojima je konstantna
potencijalna energija pokusnog naboja q:
ϕ (a ) =
W p (a)
q
;
We = q ⋅ ϕ e = konst.
(9.42)
Ekvipotencijalne plohe imaju dva važna svojstva:
− Prema (9.42) u svakoj točki ekvipotencijalne plohe, potencijalna energija pokusnog
naboja q je ista. Zato se pri pomicanju pokusnog naboja q po ekvipotencijalnoj plohi ne
troši niti dobija nikakav rad. Daljnja posljedica ovoga je da je električno polje okomito na
ekvipotencijalnu plohu. Naime, kad bi električno polje imalo komponentu tangencijalnu
na ekvipotencijalnu plohu, onda bi se pri pomicanju naboja po ekvipotencijalnoj plohi
dobijao ili trošio rad, čime bi se mijenjala potencijalna energija naboja, a to je u
suprotnosti s definicijom ekvipotencijalnih ploha. Prema tome silnice električnog polja i
ekvipotencijalne plohe su međusobno okomite. Nadalje, u potpoglavlju 5.3. zaključili
smo da na površini vodiča u statičkim uvjetima postoji samo normalna komponenta polja.
Iz toga slijedi da je površina vodiča u statičkim uvjetima ekvipotencijalna ploha.
47
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
− Drugo svojstvo slijedi iz činjenice da je prema (9.36) jakost električnog polja E jednaka
derivaciji potencijala. To znači da je gustoća ekvipotencijala srazmjerna jakosti polja.
Neka polje ima samo jednu komponentu, npr. Ex. Tada je prema (9.37):
E = a x E x = −a x
∂ϕ
∆ϕ
≈ −a x
∂x
∆x
⇒
∆x = −
∆ϕ
Ex
(9.43)
Ako nacrtamo ekvipotencijale tako da je razlika potencijala ∆φ između njih jednaka, onda će
razmak između ekvipotencijala ∆x biti to manji što je veća jakost električnog polja Ex.
Ekvipotencijalne plohe točkastog naboja su kugle:
ϕ (r ) =
Q
4πεr
= ϕe
⇒
r=
Q
4πεϕ e
= konst.
(9.44)
a to je jednadžba kugli. U ravninskom prikazu to su kružnice. Na slici 9.4. prikazane su
ekvipotencijale i silnice točkastog naboja.
Uar0 – Ubr0 = 15 V
Ua∞ – Ub∞ = 15 V
Slika 9.4. Ekvipotencijale i silnice točkastog naboja
48
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Prikaz ekvipotencijala načinjen je s razlikom potencijala između dviju susjednih
ekvipotencijala ∆φ = 5 V. Na slici su također dane ekvipotencijale uz dva različita skaliranja
potencijala: na gornjoj polovici slike prikazane su ekvipotencijale uz Rref = r0, a na donjoj uz
Rref = ∞. U oba slučaja je φ(Rref) = 0. Sa slike uočavamo irelevantnost izbora referentne točke
na napon (razliku potencijala). Ta irelevantnost prisutna je i kod određivanja jakosti
električnog polja. Prema (9.36) ista je jakost električnog polja za familiju potencijalnih
funkcija koje se međusobno razlikuju za konstantu. Jakost električnog polja, koja je jednaka
derivaciji potencijala, bit će ista za sve te potencijalne funkcije bez obzira na izbor referentne
točke Rref i potencijala u referentnoj točki φ(Rref). Jakost električnog polja je fizikalna veličina,
definirana iz sile na naboj (Coulombov zakon) dok je električni potencijal izvedena veličina,
uvedena da se olakša izračun jakosti električnog polja.
Za ilustraciju, odredimo primjenom izraza (9.29) potencijale točkastog naboja na tri
udaljenosti r1 = 1 m, r2 = 2 m, r3 = 3 m, pri čemu je:
a) Rref = ∞, φ(Rref) = 0,
b) Rref = r0 = 2 m, φ(Rref) = 0.
Iz (9.29):
ϕ (r ) =
Q
4πε
1
 − 1
 r Rref


 + ϕ ref


slijedi:
a)
ϕ (r1 ) =
Q
Q
=
4πεr1 4πε
U13 = ϕ ( r1 ) − ϕ ( r3 ) =
;
ϕ (r2 ) =
Q
Q 1
=
4πεr 2 4πε 2
;
ϕ (r3 ) =
Q
4πεr3
=
Q 1
4πε 3
Q  1 Q 2
1 −  =
4πε  3  4πε 3
b)
 1 1 Q 1
Q  1 1
Q  1 1
Q 1
 −  = −
 −  =
 −  = 0 ; ϕ (r3 ) =
; ϕ (r2 ) =
4πε  r 2 2 
4πε  r 3 2 
4πε 6
 r1 2  4πε 2
Q  1  1  Q 2
U13 = ϕ (r1 ) − ϕ (r3 ) =
 −  −  =
4πε  2  6   4πε 3
ϕ (r1 ) =
Q
4πε
Na primjeru ovog jednostavnog izračuna ilustrirana je proizvoljnost izbora referentne točke
Rref i potencijala u referentnoj točki φ(Rref).
9.7.
Diferencijalna jednadžba potencijala
Gaussov zakon u diferencijalnom obliku dan je relacijom (8.8):
div D = ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ (εE ) = ρ s
(8.8)
Uvrstimo li jakost električnog polja E iz (9.32):
E = −grad ϕ = −∇ϕ
(9.36)
49
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
dobije se:
∇ ⋅ [ε (− ∇ϕ )] = ρ s
(9.45)
Ako je sredstvo homogeno (ε = konst.) onda relacija (9.45) prelazi u:
∇ ⋅ ∇ϕ = −
ρs
ε
(9.46)
odnosno:
∆ϕ = −
ρs
ε
(9.47)
Diferencijalna jednadžba (9.47) naziva se Poissonova jednadžba i primjenjuje se na
rješavanje potencijala u homogenom sredstvu.
Ako u prostoru nema slobodnih naboja ρs = 0, tada Poissonova jednadžba (9.47) prelazi u
Laplaceovu jednadžbu u homogenom prostoru:
∆ϕ = 0
(9.48)
U pravocrtnom koordinatnom sustavu (x, y, z) Poissonova jednadžba (9.47) je:
∆ϕ =
ρ
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 + 2 =− s
2
ε
∂x
∂y
∂z
(9.49)
U cilindričnom koordinatnom sustavu (r, α, z) Poissonova jednadžba (9.47) je:
∆ϕ =
1 ∂  ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
ρ
+ 2 =− s
r
+ 2
2
r ∂r  ∂r  r ∂α
ε
∂z
(9.50)
U sfernom koordinatnom sustavu (r, ϑ , α) Poissonova jednadžba (9.47) je:
∆ϕ =
1 ∂  2 ∂ϕ 
1
∂ 
∂ϕ 
1
∂ 2ϕ
ρ
r
+
sin
+
=− s
ϑ

 2

 2 2
2
2
∂
r
∂
r
∂
∂
ε
ϑ
ϑ
r

 r sin ϑ

 r sin ϑ ∂α
(9.51)
Odgovarajuće Laplaceove jednadžbe na desnoj strani imaju nulu.
9.8.
Jedinstvenost rješenja Poissonove i Laplaceove jednadžbe
Beskonačno mnogo rješenja za skalarno polje potencijala može zadovoljiti Laplaceovu (9.48)
odnosno Poissonovu jednadžbu (9.47). Da bi rješenje potencijala neke elektrostatičke zadaće
bilo jedinstveno, ono mora zadovoljavati Laplaceovu odnosno Poissonovu jednadžbu, te
također uvjete potencijala na rubovima područja proračuna (rubni uvjeti).
50
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Za određivanje potrebnih rubnih uvjeta koji daju jednoznačno rješenje potencijala,
analizirajmo sustav statičkog električnog polja prikazanog na slici 9.5. Neka se unutar
prostora volumena V ograničenog površinom S koja se sastoji od više površina S0, S1, ..., SN
nalazi linearni homogeni dielektrični materijal dielektričnosti ε i neka se unutar volumena V
nalazi slobodni naboj prostorne gustoće ρ (naboj ne mora postojati, pa će onda rješenje
potencijala biti opisano Laplaceovom jednadžbom).
Slika 9.5. Sustav statičkog električnog polja
Pretpostavimo da postoje dva različita rješenja potencijala φ1 i φ2 Poissonove jednadžbe u
volumenu V. Mora vrijediti:
∆ϕ1 = −
ρ
ε
;
∆ϕ 2 = −
ρ
ε
(9.52)
Ako te dvije Poissonove jednadžbe oduzmemo dobije se:
∆ϕ1 − ∆ϕ 2 = ∆(ϕ1 − ϕ 2 ) = 0
(9.53)
Dakle, razlika rješenja mora zadovoljavati Laplaceovu jednadžbu. Rješenje statičkog
električnog polja:
E = −∇ϕ
bit će jedinstveno ako je:
ϕ1 − ϕ 2 = 0
ili ϕ1 − ϕ 2 = konst. u V
(9.54)
Da bismo ispitali pod kojim je uvjetima to ispunjeno, primjenimo prvi Greenov identitet:
∫u
S
∂v
dS = ∫ [u∆v + ∇u∇v ]dV
∂n
V
(9.55)
u kojeg uvrstimo u = v = φ1 – φ2. Dobije se, uvažavajući (9.53):
∫ (ϕ1 − ϕ 2 )
S
∂ (ϕ1 − ϕ 2 )
2
dS = ∫ [∇(ϕ1 − ϕ 2 )] dV
∂n
V
(9.56)
51
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Da bi rješenje statičkog električnog polja bilo jedinstveno prema uvjetu (9.54), desna strana u
jednadžbi (9.56) mora biti jednaka nuli. Lijeva strana u jednadžbi (9.56) jednaka je nuli u
sljedećim karakterističnim slučajevima:
1. φ1 – φ2 = 0, odnosno φ1 = φ2 u svim točkama površine S. Tada i u cijelom području V
vrijedi φ1 = φ2.
2. ∂φ1/∂n – ∂φ2/∂n = 0, odnosno ∂φ1/∂n = ∂φ2/∂n u svim točkama površine S. Tada i u
cijelom području V vrijedi φ1 = φ2 + φ0.
3. φ1 – φ2 = 0 na jednom dijelu površine S, a ∂φ1/∂n – ∂φ2/∂n = 0 na ostatku površine S.
Tada i u cijelom području V vrijedi φ1 = φ2.
Sukladno tome, rješenje Poissonove (Laplaceove) jednadžbe je jedinstveno ako su na
rubovima proračuna zadani rubni uvjeti definirani u ova tri karakteristična slučaja. Prema
tome razlikujemo tri formulacije rubnih uvjeta u rješavanju Poissonove (Laplaceove)
jednadžbe:
1. Dirichletovi uvjeti: Rješenje Poissonove (Laplaceove) jednadžbe jedinstveno je u
području proračuna V ako je zadan potencijal na zatvorenoj površini S koja obuhvaća
područje proračuna V.
2. Neumannovi uvjeti: Rješenje Poissonove (Laplaceove) jednadžbe jedinstveno je do na
konstantu u području proračuna V ako je zadana derivacija potencijala ∂φ/∂n na
zatvorenoj površini S koja obuhvaća područje proračuna V.
3. Miješani uvjeti: Rješenje Poissonove (Laplaceove) jednadžbe jedinstveno je u
području proračuna V ako je na jednom dijelu zatvorene površine S koja obuhvaća
područje proračuna V zadan potencijal a na ostatku površine S zadana derivacija
potencijala ∂φ/∂n.
U svakoj od tih formulacija vektori D i E će također biti jedinstveni u području proračuna V i
na zatvorenoj površini S koja obuhvaća područje proračuna V.
Izravna posljedica jedinstvenosti rješenja Poissonove (Laplaceove) jednadžbe je da se statičko
električno polje ne mijenja ako bilo koji dio ili cijelu ekvipotencijalnu površinu prekrijemo
tankim slojem metala zanemarive debljine. Zbog svojstva metala da je u statičkom
električnom polju ekvipotencijalan, potencijal na toj površini se neće promijeniti. Zbog
jedinstvenosti rješenja Poissonove (Laplaceove) jednadžbe potencijal se neće promijeniti niti
u jednoj točki polja.
52
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
10.
UVJETI NA GRANICI
U makroskopskom pristupu izvore polja koji su stvarne gustoće prostornog naboja
idealiziramo u obliku singularnih gustoća naboja: plošnih i linijskih. Takve idealizacije mogu
onda imati za posljedicu diskontinuitete u veličinama polja.
10.1.
Uvjeti na granici dva dielektrika
Uzmimo da se na graničnoj površini S dva dielektrika dielektričnosti ε1 i ε2 nalazi slobodni
naboj plošne gustoće σs. Neka je s n12 označena normala na graničnu površinu S, usmjerena iz
sredstva „1“ u sredstvo „2“ prema slici 10.1.
Slika 10.1. Određivanje vektora električne indukcije D na granici
Primjenimo Gaussov zakon na mali cilindar površine baze dS, visine h. Vrijedi: n12 = – n1 =
n2, te dS = dS1 = dS2. Primjena Gaussovog zakona (8.7) daje:
∫ D ⋅ n ⋅ dS = ∫ ρ s ⋅ dV
S
(10.1)
V
D1 ⋅n1 ⋅dS1 + D2 ⋅n 2 ⋅dS 2 + (doprinos toku kroz plašt ) = ρ s ⋅ h ⋅ dS
Ako visinu cilindra h smanjujemo (h → 0) dobije se:
lim {− D1 ⋅ n12 ⋅ dS + D2 ⋅ n12 ⋅ dS + (doprinos toku kroz plašt )} = lim {ρ s ⋅ h ⋅ dS } (10.2)
h→0
h →0
Kad visina cilindra h → 0, doprinos toku kroz plašt cilindra također → 0. Podijelimo li (10.2)
s dS, na desnoj strani prema (3.10) dobijemo plošnu gustoću slobodnog naboja σs. Relacija
(10.2) prelazi u:
n12 ( D2 − D1 ) =σ s
(10.3)
Normalna komponenta vektora električne indukcije D mijenja se na granici za iznos gustoće
plošnog slobodnog naboja na granici. Ako na granici nema slobodnog naboja σs = 0, onda su
normalne komponente vektora električne indukcije D s obje strane granice jednake:
n12 ( D2 − D1 ) = 0
⇒
D1n = D2n
(10.4)
53
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
a normalne komponente vektora jakosti električnog polja E obrnuto su srazmjerene
dielektričnostima:
D1n = D2 n
⇒
⇒
ε1E1n = ε 2 E2n
E1n ε 2
=
E2 n ε 1
(10.5)
Primjenimo uvjet konzervativnosti statičkog električnog polja (9.14) na malu pravokutnu
petlju stranica dl i h prema slici 10.2. Vrijedi: dl = – dl1 = dl2.
Slika 10.2. Određivanje vektora jakosti električnog polja E na granici
Primjena (9.14) daje:
∫ E ⋅ dl = 0
l
E1 ⋅ dl1 + E 2 ⋅ dl 2 + (doprinosi na stranicama h ) = 0
(10.6)
Ako stranice h smanjujemo (h → 0) dobije se:
lim {− E1 ⋅ dl + E 2 ⋅ dl + (doprinosi na stranicama h )} = 0
(10.7)
h →0
Kad stranice h → 0, doprinos na bočnim stranicama h također → 0. Relacija (10.7) prelazi u:
E1 ⋅ dl = E 2 ⋅ dl
(10.8)
Vrijedi:
(
⋅ dl ⋅ cos(90
)
E1 ⋅ dl = E1 ⋅ dl ⋅ cos 90 o − α1 = E1 ⋅ dl ⋅ sin α1
E 2 ⋅ dl = E 2
pa (10.8) prelazi u:
o
(10.9)
)
− α 2 = E2 ⋅ dl ⋅ sin α 2
E1 ⋅ dl ⋅ sin α1 = E2 ⋅ dl ⋅ sin α 2
(10.10)
Podijelimo li (10.10) s dl, dobije se:
E1 ⋅ sin α1 = E 2 ⋅ sin α 2
⇒
E1t = E 2t
⇒ n12 x ( E 2 − E1 ) = 0
(10.11)
Tangencijalne komponente vektora jakosti električnog polja E ne mijenjaju se na granici, a
normalne komponente vektora električne indukcije D srazmjerene su dielektričnostima:
54
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
E1t = E2t
D1t
⇒
ε1
=
D2t
ε2
⇒
D1t ε1
=
D2t ε 2
(10.12)
Iz uvjeta (10.4) i (10.11) slijedi zakon loma silnice električnog polja na granici bez slobodnog
naboja (slika 10.3):
Slika 10.3. Zakon loma silnice električnog polja
Vrijedi:
tgα1 =
E1t
E1n
tgα 2 =
;
E 2t
E2 n
E1t
tgα1 E1n E1t ⋅ E2 n ε 1
=
=
=
tgα 2 E2t
E2t ⋅ E1n ε 2
E2 n
10.2.
(10.13)
Uvjeti na granici vodič-dielektrik
Uvjeti (10.3) i (10.11) mogu se primjeniti i na granicu vodič-dielektrik imajući u vidu
svojstvo vodiča da u vodiču u statičkim uvjetima nema električnog polja. Neka je sredstvo
„1“ vodič, a sredstvo „2“ dielektrik dielektrične konstante ε prema slici 10.4. U vodiču nema
polja, D1 = 0, pa uvjet (10.3) prelazi u:
n12 ( D2 − D1 ) =σ s
⇒
n12 D2 = σ s
⇒
D2n = σ s
;
E2 n =
σs
ε
(10.14)
Slika 10.4. Električno polje na granici vodič-dielektrik
55
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Na površini nabijenog vodiča postoji samo normalna komponenta vektora električne indukcije
D jednaka u svakoj točki plošnoj gustoći slobodnog naboja na površini vodiča u toj točki,
odnosno na površini nabijenog vodiča postoji samo normalna komponenta jakosti električnog
polja E.
U vodiču nema polja, E1 = 0, pa uvjet (10.11) prelazi u:
E1t = E2t
⇒
E2 t = 0
(10.15)
Na površini nabijenog vodiča nema tangencijalne komponente jakosti električnog polja E.
Dobijeni rezultati u skladu su s fizikalnim razmatranjima načinjenim u potpoglavlju 5.3.
56
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
11.
KAPACITET I KONDENZATOR
Ako izoliranom vodiču dovodimo naboj onda će i njegov potencijal rasti. To je evidentno iz
svih izraza za potencijal različitih raspodjela naboja (9.17) do (9.21). Ako se vodljivo tijelo
koje nabijamo nalazi u linearnom dielektričnom materijalu, potencijal vodiča bit će
srazmjeran naboju na vodiču, što iskazujemo s:
Q = C ⋅ϕ
(11.1)
Konstantu proporcionalnosti:
C=
Q
(11.2)
ϕ
nazivamo kapacitet promatranog tijela. Jedinica za kapacitet je farad: 1F = 1C/1V. U
linearnim dielektričnim materijalima kapacitet je geometrijska karakteristika statičkog
električnog polja i dielektričnosti, a neovisan je o naboju i potencijalu vodiča.
Odredimo kapacitet usamljene vodljive kugle polumjera R, nabijene nabojem Q, u sredstvu
dielektričnosti ε. Primjenom Gaussovog zakona lako možemo izračunati da je jakost
električnog polja kugle na udaljenosti r > R od njezina središta:
E (r ) = ar
Q
4πεr 2
(11.3)
tj. ista je kao jakost električnog polja kojeg stvara točkasti naboj Q smješten u središtu kugle.
Stoga je i potencijal nabijene kugle na udaljenosti r > R od njezina središta isti kao potencijal
kojeg stvara točkasti naboj Q smješten u središtu kugle:
ϕ (r ) =
Q
4πεr
(11.4)
Potencijal na površini kugle (r = R) prema (11.4) je:
ϕ (R ) =
Q
4πεR
(11.5)
a kapacitet usamljene vodljive kugle prema (11.2) je onda:
C=
Q
= 4πεR
ϕ (R )
(11.6)
Iz (11.6) vidmo da kapacitet ovisi samo o geometriji (polumjeru kugle R) i dielektričnosti
sredstva ε.
57
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
11.1.
Kapacitet kondenzatora
Potencijal nabijenog vodljivog tijela ovisan je o količini naboja koja se na tom tijelu nalazi,
ali također ovisi i o nabojima (njihovom iznosu i predznaku) na vodljivim tijelima koja se
nalaze u njegovoj blizini. Tako npr. ako u blizinu vodljive kugle nabijene pozitivnim nabojem
dovedemo drugu kuglu nabijenu negativnim nabojem, potencijal pozitivno nabijene kugle će
se smanjiti. Kako je naboj pozitivno nabijene kugle ostao nepromijenjen, a potencijal joj se
smanjio, prema (11.2) povećat će joj se kapacitet. Dakle, kapacitet nabijenog vodljivog tijela
možemo povećati tako da mu se u blizinu dovede vodljivo tijelo nabijeno nabojem suprotnog
predznaka.
Specijalni slučaj, koji najčešće susrećemo u praksi, jeste kada dva bliska, međusobno
izolirana vodljiva tijela, nabijemo istim nabojima Q suprotnog predznaka. Takve naprave
zovemo kondenzatori a služe nam za pohranjivanje naboja, odnosno energije električnog
polja. Vodljiva tijela koja se nalaze u prostoru ispunjenom materijalom dielektričnosti ε
nazivamo elektrodama (slika 11.1). Nabijanje kondenzatora možemo načiniti spajanjem
elektroda kondenzatora na izvor istosmjernog napona, npr. na bateriju.
Slika 11.1. Kondenzator kao sustav dviju elektroda
Električno polje E u tom sustavu povezano je s nabojima na vodičima, a napon (razlika
potencijala) povezan je s poljem E preko jednadžbe (9.22). Ako je materijal između elektroda
kondenzatora linearan, jakost električnog polja E je u svakoj točki srazmjerna naboju Q (ili –
Q) a to znači da je i napon između elektroda srazmjeran naboju:
Q = C (ϕ1 − ϕ 2 ) = C ⋅ U12 = C ⋅U
(11.7)
Veličinu C, koja je konstantna, nazivamo kapacitetom kondenzatora:
C=
Q
U
(11.8)
Kod izračunavanja kapaciteta kondenzatora može biti zadan naboj na elektrodama ili napon
između elektroda. Ako je zadan naboj Q na elektrodama, potrebno je prvo izračunati jakost
električnog polja E za zadanu razdiobu naboja, iz koje se onda prema (9.22) izračuna napon:
1
U = U12 = ϕ1 − ϕ 2 = − ∫ E ⋅ dl
(9.22)
2
58
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
a kapacitet je onda:
C=
Q
=
U
Q
(11.9)
1
− ∫ E ⋅ dl
2
Ako je zadan napon U između elektrodama, potrebno je prvo izračunati jakost električnog
polja E za zadani napon, rješenjem diferencijalne jednadžbe potencijala. Naboj na jednoj od
elektroda odredi se onda primjenom Gaussovog zakona (8.3):
Q = ∫ D ⋅ n ⋅ dS
(8.3)
S
pri čemu se površina S postavlja tako da obuhvaća jednu od elektroda. Kapacitet je onda:
Q
C= =
U
11.2.
∫ D ⋅ n ⋅ dS
S
(11.10)
U
Sustav vodiča i parcijalni kapaciteti
Razmotrit ćemo sada odnose u statičkom električnom polju koje je formirano od N odvojenih
nabijenih vodljivih tijela prema slici 11.2.
Slika 11.2. Električno polje sustava od N nabijenih vodiča
Sva su ta tijela povezana preko električnog polja: raspodjela naboja na svakom tijelu nastala
je pod utjecajem naboja svih ostalih tijela i statičko električno polje nastaje djelovanjem
naboja sa svih tijela. U takvom sustavu odaberemo referentnu ekvipotencijalnu plohu kojoj
pridjeljujemo nulti potencijal. U statičkim električnim poljima najčešće za tu referentnu plohu
odabiremo površinu zemlje.
Sa nekog i-tog vodljivog tijela polaze linije električnog toka (D-linije) na preostalih N-1 tijela
i na referentnu plohu kojoj pridjeljujemo indeks „0“. Ukupni električni tok s nekog i-tog tijela
jednak je zbroju električnih tokova koji odlaze prema ostalim tijelima:
φi = φi 0 + φi1 + ... + φi ,i −1 + φi ,i +1 + ... + φi , N
;
i = 0,..., N
(11.11)
59
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Ukupni električni tok s i-tog tijela Φi prema Gaussovom zakonu (8.3) jednak je naboju na tom
tijelu Qi. Električni tokovi koji s i-tog tijela odlaze na neko j-to tijelo Φij jednaki su naboju Qij
na j-tom tijelu (dio ukupnog naboja na j-tom tijelu) kojeg veže električnim poljem električni
tok Φij. Dakle, vrijedi:
N
Qi = Qi 0 + Qi1 + ... + Qi ,i −1 + Qi ,i +1 + ... + Qi , N = ∑ Qij
;
i = 0,..., N
(11.12)
j =0
j ≠i
U linearnim dielektričnim sredstvima naboj je srazmjeran razlici potencijala, pa uvodimo
pojam parcijalnih kapaciteta Cij kao omjer naboja koji je vezan električnim poljem između
dva tijela Qij i razlike potencijala između tih tijela:
Cij =
Qij
ϕi − ϕ j
;
i = 0,..., N
;
i= j
Cij = Cii = 0
i≠ j
;
(11.13)
Zbog simetrije vrijedi: Cij = Cji. Uvrštenjem parcijalnih kapaciteta (11.13) u (11.12) dobije se:
N
N
j =0
j ≠i
j =0
(
Qi = ∑ Qij = ∑ Cij ϕi −ϕ j
)
;
i = 0,..., N
(11.14)
U mnogim primjenama pogodno je izraz (11.14) preurediti tako da umjesto ovisnosti naboja o
razlikama potencijala izrazimo ovisnost naboja o potencijalu pojedinih vodiča:
N
N
N 
Qi =  ∑ Cij ϕi + ∑ − Cij ϕ j = ∑ bijϕ j
j =0
j =0
 j =0 
(
)
;
i = 0,..., N
(11.15)
gdje su bij koeficijenti indukcije ili kapacitivni koeficijenti. Iz (11.15) slijedi veza između
parcijalnih kapaciteta i kapacitivnih koeficijenata:
b ij = −Cij
;
i = 0,..., N
;
j = 0,..., N ; j ≠ i
bij = bii = ∑ Cik ;
i = 0,..., N
;
j =i
N
(11.16)
k =0
U sustavu sa slike 11.2. ukupni naboj u sustavu za statičko električno polje jednak je nuli.
Takve sustave nazivamo potpunim sustavima. Čak i ako su sva vodljiva tijela nabijena
nabojem istoga predznaka, npr. pozitivnim, sav električni tok koji odlazi sa tih tijela završit će
na referentnoj plohi (zemlji) i na njoj inducirati naboj Q0 negativnog predznaka iznosa istoga
kao zbroj svih pozitivnih naboja na tijelima. To znači da možemo postaviti dodatnu
jednadžbu:
N
Q0 = − ∑ Qi
(11.17)
i =1
60
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Naboj Q0 možemo izraziti iz (11.14) preko parcijalnih kapaciteta tijelâ C0j prema referentnoj
plohi:
N
N
j =1
j =1
(
Q0 = ∑ Q0 j = ∑ C0 j ϕ 0 − ϕ j
)
(11.18)
Kako obično uzimamo da je potencijal referentne plohe φ0 = 0, (11.18) prelazi u:
N
Q0 = − ∑ C0 j ⋅ ϕ j
(11.19)
j =1
Suma naboja Qi prema (11.15) je:
N
N N
i =1
i =1 j =1
∑ Qi = ∑ ∑ bijϕ j
(11.20)
Uvrštavanjem (11.19) i (11.20) u (11.17) dobije se:
N
N N
N N
j =1
i =1 j =1
j =1i =1
− ∑ C0 j ⋅ ϕ j = − ∑ ∑ bijϕ j = − ∑ ∑ bijϕ j
(11.21)
odakle slijedi parcijalni kapacitet j-tog tijela prema referentnoj plohi:
N
N
i =1
i =1
C j 0 = C0 j = ∑ bij = ∑ b ji
(11.22)
jer je bij = –Cij, Cij = Cji pa je bij =bji.
Veza između potencijala i naboja na tijelima (11.15) tada je:
N
Qi = ∑ bijϕ j
;
i = 1,..., N
(11.23)
j =1
što se može zapisati matrično:
[Q] = [b]⋅ [ϕ ]
(11.24)
Obično je jednostavnije izraziti potencijale u ovisnosti o nabojima na tijelima:
[ϕ ] = [a ] ⋅ [Q ]
(11.25)
gdje su aij takozvani potencijalni koeficijenti. Iz (11.24) i (11.25) vidimo da lako možemo
odrediti članove matrice kapacitivnih koeficijenata [b] inverzijom matrice potencijalnih
koeficijenata [a]:
[b] = [a ]−1
(11.26)
61
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
iz kojih se onda prema (11.16) i (11.22) odrede svi parcijalni kapaciteti:
C ij = −bij
N
C j 0 = ∑ bij
;
i = 0,..., N
;
j = 0,..., N ; j ≠ i
(11.27)
j =1
Sustav vodiča možemo onda prikazati nadomjesnom shemom parcijalnih kapaciteta.
Potencijal i-tog čvora u takvoj shemi odgovara potencijalu i-tog vodiča u polju, a parcijalni
kapacitet Cij spajamo između i-tog i j-tog čvora.
62
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
12.
ENERGIJA STATIČKOG ELEKTRIČNOG POLJA
U potpoglavlju (9.1) analizirali smo potencijalnu energiju naboja q koji se dovodi u električno
polje jakosti E:
a
a
∞
∞
W p (a ) = − ∫ FE ⋅ dl = − ∫ q ⋅ E ⋅ dl = q ⋅ ϕ (a )
(9.12)
Relacija (9.12) predstavlja energiju međudjelovanja (energiju interakcije) naboja q i nekog
vanjskog električnog polja E, koje je opisano skalarnim poljem potencijala φ(r).
Analizirat ćemo sada energiju koju je potrebno utrošiti da se izgradi sustav naboja.
12.1.
Potencijalna energija sustava točkastih naboja
Analizirat ćemo energiju koju je potrebno utrošiti da bi se formirao skup od 4 pozitivna
točkasta naboja Q1, Q2, Q3 i Q4 prema slici 12.1. Pretpostavimo da su svi naboji početno bili u
beskonačnosti i da sustav naboja gradimo tako da jedan po jedan naboj dovodimo iz
beskonačnosti.
Put Q2 od ∞ do P2
Put Q3 od ∞ do P3
Slika 12.1. Formiranje sustava od 4 točkasta naboja
Za dovođenje prvog naboja Q1 iz beskonačnosti u točku P1 nije potrebno utrošiti nikakav rad
budući da u prostoru ne postoji nikakvo električno polje.
Za dovođenje drugog naboja Q2 iz beskonačnosti u točku P2 potrebno je utrošiti energiju da se
u prostor, u kojem postoji električno polje stvoreno nabojem Q1, naboj Q2 iz beskonačnosti
dovede u točku P2. Ta energija prema (9.12) je:
63
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
W2 = ϕ12 ⋅ Q2 =
Q1
Q2
4πεR12
(12.1)
gdje je s φ12 označen potencijal kojeg u točki P2 stvara točkasti naboj Q1, a s R12 označena
udaljenost naboja Q1 i Q2 (udaljenost između točaka P1 i P2).
Jasno je da bi istu energiju trebalo utrošiti da smo prvo iz beskonačnosti doveli naboj Q2 u
točku P2, a zatim iz beskonačnosti u točku P1 doveli naboj Q1, što iskazujemo relacijom:
W2 = ϕ 21 ⋅ Q1 =
Q2
Q1
4πεR12
(12.2)
gdje je s φ21 označen potencijal kojeg u točki P1 stvara točkasti naboj Q2, a s R12 označena
udaljenost naboja Q1 i Q2 (udaljenost između točaka P1 i P2).
Za dovođenje trećeg naboja Q3 iz beskonačnosti u točku P3 potrebno je utrošiti energiju da se
u prostor, u kojem postoji električno polje stvoreno nabojima Q1 i Q2, naboj Q3 iz
beskonačnosti dovede u točku P3. Ta energija prema (9.12) je:
W3 = ϕ13 ⋅ Q3 + ϕ 23 ⋅ Q3 =
Q1
Q2
Q3 +
Q3
4πεR13
4πεR23
(12.3)
gdje je su φ13 i φ23 potencijali koje u točki P3 stvaraju točkasti naboji Q1 i Q2, a R13 i R23 su
udaljenosti naboja Q1 i Q2 od naboja Q3 (udaljenost između točaka P1 i P3 odnosno između
točaka P2 i P3 ).
Ista energija bila bi potrebna ako je prvo naboj Q3 iz beskonačnosti doveden u točku P3, a
zatim da su dovođeni naboji Q1 i Q2:
W3 = ϕ31 ⋅ Q1 + ϕ32 ⋅ Q2 =
Q3
Q3
Q1 +
Q2
4πεR13
4πεR23
(12.4)
gdje je su φ31 i φ32 potencijali koje u točkama P1 i P2 stvara točkasti naboj Q3.
Za dovođenje četvrtog naboja Q4 iz beskonačnosti u točku P4 potrebno je utrošiti energiju da
se u prostor, u kojem postoji električno polje stvoreno nabojima Q1, Q2 i Q3, naboj Q4 iz
beskonačnosti dovede u točku P4. Ta energija prema (9.12) je:
W4 = ϕ14 ⋅ Q4 + ϕ 24 ⋅ Q4 + ϕ34 ⋅ Q4 =
Q3
Q1
Q2
Q4 +
Q4 +
Q4
4πεR14
4πεR24
4πεR34
(12.5)
gdje je su φ14, φ23 i φ34 potencijali koje u točki P4 stvaraju točkasti naboji Q1, Q2 i Q3, a R14,
R24 i R34 su udaljenosti naboja Q1, Q2 i Q3 od naboja Q4.
Ista energija bila bi potrebna ako je prvo naboj Q4 iz beskonačnosti doveden u točku P4, a
zatim da su dovođeni naboji Q1, Q2 i Q3:
64
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
W4 = ϕ 41 ⋅ Q1 + ϕ 42 ⋅ Q2 + ϕ 43 ⋅ Q3 =
Q4
Q4
Q4
Q1 +
Q2 +
Q3
4πεR14
4πεR24
4πεR34
(12.6)
gdje je su φ41, φ42 i φ43 potencijali koje u točkama P1, P2 i P3 stvara točkasti naboj Q4.
Ukupna energija potrebna da se formira sustav naboja dobije se zbrojem (12.1), (12.3) i
(12.5):
W = W2 + W3 + W4 = (ϕ12 ⋅ Q2 ) + (ϕ13 ⋅ Q3 + ϕ 23 ⋅ Q3 ) + (ϕ14 ⋅ Q4 + ϕ 24 ⋅ Q4 + ϕ34 ⋅ Q4 )
(12.7)
Ukupna energija potrebna da se formira sustav naboja dobije se također zbrojem (12.2), (12.4)
i (12.6):
W = W2 + W3 + W4 = (ϕ 21 ⋅ Q1 ) + (ϕ31 ⋅ Q1 + ϕ32 ⋅ Q2 ) + (ϕ 41 ⋅ Q1 + ϕ 42 ⋅ Q2 + ϕ 43 ⋅ Q3 )
(12.8)
Ako (12.7) i (12.8) zbrojimo i podijelimo s dva dobije se ukupna energija W potrebna da se
formira sustav od 4 točkasta naboja:
W=
1
[(ϕ 21 + ϕ31 + ϕ 41 )Q1 + (ϕ12 + ϕ32 + ϕ42 )Q2 + (ϕ13 + ϕ23 + ϕ 43 )Q3 + (ϕ14 + ϕ 24 + ϕ34 )Q4 ]
2
(12.9)
Uočimo da u izrazu (12.9) nema članova energije φ11·Q1, φ22·Q2, φ33·Q3 i φ44·Q4 koji su
produkti jednog naboja i vlastitog potencijala kojeg na mjestu naboja stvara sam naboj. Taj
potencijal je beskonačan, pa su i energije beskonačne. Ovi članovi energije φ11·Q1, φ22·Q2,
φ33·Q3 i φ44·Q4 nazivaju se vlastite energije točkastog naboja i predstavljaju energiju potrebnu
da se formira točkasti naboj. Energija potrebna da se formira točkasti naboj (naboj stisnut u
geometrijsku točku volumena nula) je beskonačna. Dakle, u izrazu (12.9) za energiju
potrebnu za stvaranje sustava točkastih naboja nije sadržana i vlastita energija potrebna da se
izgrade točkasti naboji Q1, Q2, Q3 i Q4.
Izraz (φ21 + φ31 + φ41) predstavlja zbroj potencijala u točki P1 koje stvaraju točkasti naboji Q2,
Q3 i Q4 kada sami djeluju. Označimo taj potencijal s φ1 i analogno označimo ostale zbrojeve
potencijala u (12.9):
ϕ1 = ϕ 21 + ϕ31 + ϕ 41 ; ϕ 2 = ϕ12 + ϕ32 + ϕ 42 ; ϕ3 = ϕ13 + ϕ 23 + ϕ 43 ; ϕ 4 = ϕ14 + ϕ 24 + ϕ34
(12.10)
pa (12.9) prelazi u:
W=
1
(ϕ1 ⋅ Q1 + ϕ 2 ⋅ Q2 + ϕ3 ⋅ Q3 + ϕ 4 ⋅ Q4 )
2
(12.11)
Za skupinu od n točkastih naboja, možemo pisati:
W =
1 n
∑ Qi ⋅ ϕ i
2 i =1
(12.12)
65
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
gdje je Qi naboj donešen iz beskonačnosti u točku Pi a φi je potencijal kojeg u točki Pi (na
mjestu i-tog naboja Qi) stvaraju svi ostali točkasti naboji, osim naboja Qi.
12.2.
Potencijalna energija kontinuiranih raspodjela naboja
12.2.1.1. Potencijalna energija prostorne raspodjele naboja
Ako imamo naboj prostorne gustoće ρ raspodijeljen u prostoru volumena V, diferencijalno
mali volumen dV u kojem se nalazi diferencijalni naboj dQ = ρ·dV možemo smatrati
točkastim nabojem kojemu je energija određena s (12.12). Ukupnu energiju izračunavamo
„zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj
raspodjeli naboja, umjesto sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih točkastih naboja
(12.12), ovdje je potrebno sprovesti integraciju po volumenu V:
W=
1
∫ ρ ⋅ ϕ ⋅ dV
2V
(12.13)
gdje je φ ukupni potencijal na mjestu diferencijalnog volumena dV kojeg stvaraju svi naboji u
sustavu, uključujući i naboj dQ = ρ·dV. Ako je zadana kontinuirana raspodjela naboja ρ, onda
će i potencijal biti kontinuirana funkcija. Stoga je u izrazu (12.13) sadržana ukupna energija
raspodjele naboja, uključujući i vlastitu energiju. U tome se (12.13) razlikuje od izraza
(12.12) za energiju sustava točkastih naboja. Kada bi izraz (12.13) primjenili na sustav
točkastih naboja na mjestu naboja „1“ dobili bi da je φ11 = ∞ i ρ = ∞.
12.2.1.2. Potencijalna energija plošne raspodjele naboja
Ako je naboj raspodijeljen po površini S sa zadanom plošnom gustoćom σ, diferencijalno
malu površinu dS na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = σ·dS smatramo
točkastim nabojem kojemu je energija određena s (12.12). Ukupnu energiju izračunavamo
„zbrajanjem“ doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj
raspodjeli naboja, umjesto sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih točkastih naboja
(12.12), ovdje je potrebno sprovesti integraciju po površini S:
W=
1
∫ σ ⋅ ϕ ⋅ dS
2S
(12.14)
gdje je φ ukupni potencijal na mjestu diferencijalne površine dS kojeg stvaraju svi naboji u
sustavu, uključujući i naboj dQ = σ·dS. Ako je zadana kontinuirana raspodjela naboja σ, onda
će i potencijal biti kontinuirana funkcija, pa je stoga u izrazu (12.14) sadržana ukupna
energija raspodjele naboja, uključujući i vlastitu energiju.
12.2.1.3. Potencijalna energija linijske raspodjele naboja
Ako je naboj raspodijeljen po liniji l sa zadanom linijskom gustoćom λ, diferencijalno malu
dužinu dl na kojoj se nalazi diferencijalna količina naboja dQ = λ·dl smatramo točkastim
nabojem kojemu je energija određena s (12.12). Ukupnu energiju izračunavamo „zbrajanjem“
doprinosa tih diferencijalnih naboja dQ. Kako se ovdje radi o kontinuiranoj raspodjeli naboja,
umjesto sumacije koju sprovodimo kod skupine diskretnih točkastih naboja (12.12), ovdje je
potrebno sprovesti integraciju po liniji l:
66
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
W=
1
∫ λ ⋅ ϕ ⋅ dl
2l
(12.15)
gdje je φ ukupni potencijal na mjestu diferencijalne duljine dl kojeg stvaraju svi naboji u
sustavu, uključujući i naboj dQ = λ·dl. Ako je zadana kontinuirana raspodjela naboja λ, onda
će i potencijal biti kontinuirana funkcija, pa je stoga u izrazu (12.15) sadržana ukupna
energija raspodjele naboja, uključujući i vlastitu energiju.
12.3.
Energija prikazana preko veličina polja
Primjenimo na izraz (12.13) Gaussov zakon u diferencijalnom obliku (8.8):
div D = ∇ ⋅ D = ρ s
(8.8)
pa izraz za energiju prostorne raspodjele naboja (12.13) prelazi u:
W=
1
∫ ϕ (∇ ⋅ D ) ⋅ dV
2V
(12.16)
Primjenimo identitet:
∇ ⋅ ( f ⋅ A) = f ⋅ (∇ ⋅ A) + A ⋅ (∇f )
gdje je f skalar a A vektor, uz f = φ i A = D. Dobijemo:
∇ ⋅ (ϕ ⋅ D ) = ϕ ⋅ (∇ ⋅ D ) + D ⋅ (∇ϕ )
odakle je:
ϕ ⋅ (∇ ⋅ D ) = ∇ ⋅ (ϕ ⋅ D ) − D ⋅ (∇ϕ ) = ∇ ⋅ (ϕ ⋅ D ) + D ⋅ E
(12.17)
jer je prema (9.32) E = – ∇φ. Uvrštenjem (12.17) u (12.16) dobije se:
W=
1
1
1
∫ ϕ ⋅ (∇ ⋅ D )dV = ∫ ∇ ⋅ (ϕ ⋅ D )dV + ∫ D ⋅ EdV
2V
2V
2V
(12.18)
Primjenimo li Gaussov teorem:
∫ ∇ ⋅ A ⋅ dV = ∫ A ⋅ n ⋅ dS
V
S
Dobije se:
W=
1
1
∫ ϕ ⋅ D ⋅ n ⋅ dS + ∫ D ⋅ E dV
2S
2V
(12.19)
67
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Ako dio prostora u kojem postoji električno polje ograničimo volumenom V, onda drugi
integral iz (12.19) predstavlja energiju električnog polja sadržanu u volumenu V, a prvi
integral predstavlja doprinos energiji električnog polja u prostoru izvan volumena V.
Uzmimo sada da volumen V uključuje cijeli prostor; tada površina S postaje zatvorena
površina u beskonačnosti. Potencijal φ će s porastom udaljenosti r opadati s 1/r, vektor
električne indukcije D opadat će s 1/r2, pa će produkt φ·D opadati s 1/r3, a pri tome će
površina S rasti s r2. Prema tome, kada r → ∞, onda će podintegralna funkcija u prvom
integralu težiti k nuli. U tom slučaju (12.19) prelazi u:
1
1
2
∫ D ⋅ EdV = ∫ ε ⋅ E dV
2V
2V
W=
(12.20)
gdje volumen V obuhvaća cijeli prostor do u beskonačnost (odnosno cijeli prostor u kojem
postoji električno polje).
Iz relacije (12.12) slijedi da je energija utrošena za izgradnju sustava naboja sadržana u
nabojima, dok iz relacije (12.19) slijedi da je energija sadržana u električnom polju. Naime, u
volumenu V ne moraju uopće postojati naboji koji stvaraju električno polje; oni mogu biti
smješteni izvan volumena V i stvarati električno polje izvan i unutar volumena V. Prema
(12.19) slijedi da i u volumenu V, u kojem nema naboja, postoji energija električnog polja,
sadržana u polju.
Iz (12.20) slijedi da je gustoća energije električnog polja:
1
w = ε ⋅ E2
2
12.4.
(J/m 3 )
(12.21)
Energija kondenzatora
Primjenom (12.14) možemo izračunati energiju potrebnu da se izgradi sustav razdvojenih
naboja na kondenzatoru s dvije elektrode. U kondenzatoru naboj na elektrodama je isti,
suprotnih predznaka ± Q. Energija naboja na pozitivno nabijenoj elektrodi čiji potencijal je φ1
je:
W1 =
1
1
1
∫ σ ⋅ ϕ1 ⋅ dS = ϕ1 ∫ σ ⋅ dS = Q ⋅ ϕ1
2S
2 S
2
(12.22)
jer je elektroda ekvipotencijalna φ1 = konst., a ukupni naboj na njoj je Q.
Energija naboja na negativno nabijenoj elektrodi čiji potencijal je φ2 je:
W2 =
1
1
∫ σ ⋅ ϕ 2 ⋅ dS = − Q ⋅ ϕ 2
2S
2
(12.23)
jer je elektroda ekvipotencijalna φ2 = konst., a ukupni naboj je – Q.
Ukupna energija sadržana u električnom polju kondenzatora onda je:
68
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
1
1
1
1
1
W = W1 + W2 = Q ⋅ ϕ1 − Q ⋅ ϕ 2 = Q (ϕ1 − ϕ 2 ) = Q ⋅U12 = Q ⋅U
2
2
2
2
2
(12.24)
odnosno uz Q = C·U slijedi:
1
1 Q2
W = C ⋅U 2 =
2
2 C
(12.25)
ovisno o tome je li zadan napon U ili naboj Q kondenzatora.
69
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
13.
SILE U STATIČKOM ELEKTRIČNOM POLJU
13.1.
Sila na površini nabijenog vodiča
Izraz za silu na površinu nabijenog vodiča izvest ćemo na primjeru homogenog polja u
pločastom kondenzatoru, površine ploča S, razmaknutih za d, koje su nabijene istim
količinama naboja suprotnog predznaka ±Q (slika 13.1).
Fm
Slika 13.1. Uz određivanje sila u pločastom kondenzatoru
Kako su elektrode nabijene nabojem suprotnog predznaka između njih djeluje privlačna sila
Fe. Ako djelovanjem vanjske, mehaničke sile Fm izvršimo pomak pozitivno nabijene
elektrode za diferencijalnu duljinu dl suprotno smjeru djelovanja polja E (odnosno suprotno
od smjera električne sile Fe) utrošit će se rad koji se iskaže u povećanju energije
kondenzatora:
dWm = dWe
⇒
1
1
Fm ⋅ dl = w ⋅ dV = εE 2 dV = εE 2 S ⋅ dl
2
2
(13.1)
Radi se o izoliranom sustavu (kondenzator nabijen i odspojen) pa se naboj na elektrodama
neće promijeniti, Q = konst. Stoga će jakost električnog polja između elektroda kondenzatora
ostati nepromjenjena zbog D = σ = konst. Mehanička sila po iznosu je jednaka električnoj sili,
Fm = Fe pa iz (13.1) slijedi da je iznos sile na elektrodu pločastog kondenzatora:
1
Fe = Fm = εE 2 S
2
(13.2)
Sila na jedinicu površine je:
f =
Fe 1 2 1
= εE = D ⋅ E
S 2
2
(13.3)
Kako je na površini vodiča D = σ prema (10.14), izraz (13.3) se može pisati:
1
1σ2
f = σ ⋅E =
2
2 ε
(13.4)
Izraz (13.4) za jediničnu silu vrijedi općenito i za nehomogeno polje. Iznos ukupne sile na
površinu nabijenog vodiča u slučaju nehomogenog polja dobijemo integriranjem jedinične
sile f iz (13.4) po površini S vodiča:
70
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
F = ∫ f ⋅ dS =
S
1
1
1 σ2
2
⋅ dS
∫ ε ⋅ E ⋅ dS = ∫ σ ⋅ E ⋅ dS = ∫
2S
2S
2S ε
(13.5)
Kako je jakost električnog polja E normalna na površinu nabijenog vodiča i sila, koja je
posljedica polja, bit će okomita na površinu, pa je sila u vektorskom zapisu:
1
1 σ2
2
⋅ n ⋅ dS
∫ ε ⋅ E ⋅ n ⋅ dS = ∫
2S
2S ε
F=
(13.6)
Sila na jednu elektrodu pločastog kondenzatora iz analiziranog primjera prema (13.5) je:
F=
1
1
1
∫ σ ⋅ E ⋅ dS = E ∫ σ ⋅ dS = Q ⋅ E
2S
2 S
2
(13.7)
jer je polje homogeno: E = konst.
13.2.
Određivanje sila pomoću energije
Određivanje sila pomoću energije pohranjene u statičkom električnom polju temelji se na
zakonu o očuvanju energije i načelu virtualnog pomaka poznatog iz mehanike. Na taj način
možemo odrediti rezultantnu silu ali nam ta metoda ne daje uvid u prostorni raspored sila.
Analizirajmo sustav statičkog električnog polja kojeg stvara N nabijenih vodiča. Zamislimo
da je električna sila koja djeluje na jedan vodič iz tog sustava pomaknula taj vodič za
virtualno mali pomak δs u smjeru osi s. Ako je s-komponenta sile na taj vodič Fs, ta je sila
izvršila rad:
δAe = Fs ⋅ δs
(13.8)
pa je s-komponenta sile:
Fs =
δAe
δs
(13.9)
Rad električne sile δAe možemo izraziti iz promjene energije pohranjene u statičkom
električnom polju. Razlikujemo dva slučaja:
a) Naboji u sustavu vodiča ostaju konstantni (izolirani sustav). To znači da smo vodiče
spojili na izvor, nabili i nakon toga odspojili od izvora. Svi pomaci u sustavu (rad) u tom
slučaju mogu biti izvršeni samo na račun energije pohranjene u statičkom električnom
polju, pa vrijedi:
δAe = −δWe
(13.10)
Sila je onda:
71
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Fs = −
δWe
δs
(13.11)
b) Potencijali u sustavu ostaju konstantni (neizolirani sustav). To znači da su vodiči ostali
spojeni na izvore koji im održavaju potencijale konstantnim bez obzira na pomake. Da bi
to bilo moguće moraju se pri pomaku nekog vodiča za δs iz izvora dovesti na sve vodiče
dodatni naboji δQk jer su se promijenili parcijalni kapaciteti pa se mijenjaju i naboji na
vodičima prema (11.14). Ukupni rad kojeg pri tome obave izvori δAi prema (9.12) je:
N
δAi = ∑ ϕ k ⋅ δQk
(13.12)
k =1
Prema zakonu o očuvanju energije taj rad se može utrošiti na rad električnih sila δAe i na
povećanje energije pohranjene u polju:
δAi = δAe + δWe
(13.13)
Prema (12.12) pohranjena energija u polju povećala se za:
δWe =
1 N
∑ ϕ k ⋅ δQk
2 k =1
(13.14)
Iz (13.12), (13.13) i (13.14) slijedi da je:
δAe = δWe =
1 N
∑ ϕ k ⋅ δQk
2 k =1
(13.15)
pa je sila:
Fs =
δWe
δs
(13.16)
Odredimo primjenom izrazâ (13.11) i (13.16) silu u smjeru osi s u kondenzatoru kapaciteta C.
Za izolirani kondenzator prema (13.11) slijedi:
∂ 1 Q2 
1
∂ 1
δW 
Fs = − e 
=− 
= − Q2  

∂s  2 C Q =konst.
2
∂s  C 
 δs Q =konst.
(13.17)
Za neizolirani kondenzator prema (13.16) slijedi:
∂ 1
1
∂C
δW 

Fs =  e 
=  CU 2 
= U2
∂s
U =konst. 2
 δs U = konst. ∂s  2
(13.18)
Primjenimo ove izraze na pločasti kondenzator iz primjera sa slike 13.1. Neka je os s u kojoj
računamo silu razmak ploča d.
Za izolirani kondenzator (Q = konst.) prema (13.17) sila je:
72
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
1
∂ 1
1 2 ∂ d 
1 2 1
Fd = − Q 2
 =− Q
 =− Q
2
∂d  C 
2
∂d  εS 
2
εS
(13.19)
Sila je negativna, tj. djeluje u smjeru smanjenja razmaka d između elektroda. Time se
povećava kapacitet i smanjuje energija pohranjena u polju. Ta je sila jednaka onoj izračunatoj
u (13.7). Naime, vrijedi:
E=
D
ε
=
σ
Q
=
ε S ⋅ε
;
1
1 1
F = Q2
= Q⋅E
2
εS 2
Za neizolirani kondenzator (U = konst.) prema (13.18) sila je:
1
∂C 1 2 ∂  εS 
1 2 εS
Fd = U 2
= U
 =− U 2
2
∂d 2
∂d  d 
2
d
(13.20)
Sila je negativna, tj. djeluje u smjeru smanjenja razmaka d između elektroda. Time se
povećava kapacitet i povećava energija pohranjena u polju.
Dakle, u oba slučaja sila djeluje tako da nastoji povećati kapacitet. U izoliranom sustavu sile
djeluju tako da se sustav postavi u stanje u kojem ima minimalnu energiju. U neizoliranom
sustavu sile djeluju tako da se sustav postavi u stanje u kojem ima maksimalnu energiju.
73
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
14.
PRIMJENA METODE ODSLIKAVANJA U RJEŠAVANJU STATIČKIH
ELEKTRIČNIH POLJA
Neke složene zadaće statičkih električnih polja u ograničenom prostoru mogu se egzaktno i
vrlo jednostavno riješiti primjenom metode odslikavanja. Razmotrit ćemo najjednostavniju
Direchletovu rubnu zadaću: pozitivni točkasti naboj +Q nalazi se ispred beskonačne vodljive
ravnine koja je uzemljena, tj. ravnina je na nultom potencijalu prema slici 14.1.
Uzemljena vodljiva ravnina
Slika 14.1. Točkasti naboj ispred vodljive uzemljene ravnine
Sve silnice električnog polja točkastog naboja završavaju na vodljivoj ravnini i na njoj
influenciraju negativne naboje. Ukupni influencirani naboj jednak je –Q. Plošna gustoća
influenciranog naboja na ravnini je različita i opada s povećanjem udaljenosti od točkastog
naboja.
Ako zamijenimo vodljivu ravninu na kojoj se nalazi nejednolika gustoća influenciranog
naboja s točkastim nabojem –Q, smještenim na udaljenosti a lijevo od ravnine, na mjestu
ravnine (y = 0) bit će potencijal nula, φ = 0, te će u svim točkama na površini ravnine jakost
električnog polja biti normalna na ravninu (slika 14.2.):
Slika 14.2. Potencijal i polje dva točkasta naboja: izvornog +Q i odslikanog –Q
74
ELEKTROMAGNETSKA POLJA - ELEKTROSTATIKA
Točkasti naboj –Q kojim smo prema slici 14.2. zamijenili vodljivu ravninu s nejednolikom
raspodjelom influenciranog naboja naziva se odslikani naboj, a postupak zamjene naziva se
metoda odslikavanja.
Kako je na graničnoj ravnini y = 0 na slikama 14.1. i 14.2. isti potencijal φ = 0, prema
teoremu o jedinstvenosti rješenja jednadžbe potencijala (opisanom u potpoglavlju 9.7.) bit će
u cijelom desnom poluprostoru (uključujući i vodljivu ravninu y = 0) isti potencijali za obje
zadaće: izvornu zadaću s izvornim točkastim nabojem i influenciranim nabojem, te
nadomjesnu zadaću s izvornim i odslikanim točkastim nabojem. Jednakost potencijala u svim
točkama poluprostora znači da su jednaki i jakost električnog polja E i vektor električne
indukcije D.
Kod izračunavanja jakosti električnog polja kojeg stvaraju kontinuirane raspodjele naboja u
lineranim sredstvima primjenjujemo načelo superpozicije. To znači, da možemo primijeniti
metodu odslikavanja na bilo koju raspodjelu naboja u linearnom sredstvu ispred uzemljene
vodljive ravnine, prema slici 14.3.
λ
Vodljiva ravnina φ = 0
λ
Ekvipotencijalna površina φ = 0
−λ
Slika 14.3. Primjeri odslikavanja naboja na uzemljenoj vodljivoj ravnini
Metoda odslikavanja primjenjuje se još u brojnim primjerima: odslikavanje točkastog naboja
na vodljivoj kugli, odslikavanje na cilindričnim vodičima, odslikavanje točkastog naboja na
granici dva dielektrika itd.
75