Grundlagen der Elektrotechnik I - Beuth Hochschule für Technik Berlin

TFH Berlin
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
WS 2005/6
1
TFH Berlin
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Inhaltsverzeichnis
Seite
1.
Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1
SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2
Schreibweise von Größen (DIN 1313) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3
Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4
Grafische Darstellungen, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.
Grundbegriffe der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1
Das Wesen der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3
Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4
Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6
Stark temperaturabhängige Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7
Nichtlineare Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.
Berechnung von Gleichstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1
Vorzeichen- und Richtungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2
Einfache nichtverzweigte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3
Der verzweigte elektrische Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4
Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5
Lineare Maschennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5.2 Das Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.
Energie und Leistung; Energieumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1
Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2
Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.2 Wärmeleitung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.
Das elektrische Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1
Feldbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2
Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3
Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4
Elektrische Feldstärke und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5
Geschichtete Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.
Das elektrische Feld in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1
Nichtleiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2
Elektrische Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3
Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4
Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.1 Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.2 Schichtkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.3 Rohrkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.4 Wickelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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Drehkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Betriebsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Grundschaltungen von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Geschichtetes Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Kraftwirkung im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Elektrodynamische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Energieinhalt eines geladenen Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Das statische elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Größen des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Die magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Magnetisches Feld eines Rohrleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Magnetisches Feld eines Koaxialleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Erweitertes Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Einfluss von Material und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ringkernspule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Das Rechnen mit magnetischen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Magnetische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Magnetisierungskennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Verluste durch Ummagnetisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
µFe und µrFe -Bestimmung aus Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Grafisches Verfahren zur AP- und µ-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Spulen-Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
L-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Kraftwirkung auf bewegte Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Kraft auf frei bewegte Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Hall-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Energie im Magnetkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
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7.8.6
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Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Selbstinduktionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung . . . . . . . . .
Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grundlagen der Elektrotechnik I
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Literatur
1. Grafe/Loose/Kühn
'Grundlagen der E-Technik' Band 1+2
Verlag Technik Berlin, Hüthig Verlag
2. Moeller/Frohne/Löcherer/Müller
'Grundlagen der E-Technik'
'Beispiele zu Grundlagen der E-Technik'
Teubner Verlag
3. A. Haug
'Grundzüge der E-Technik'
Hanser Verlag
4. Lunze/Wagner
'Einführung in die E-Technik' Arbeitsbuch
Hüthig Verlag
5. Lunze
'Einführung in die E-Technik' Lehrbuch
Hüthig Verlag
6. G. Hagmann
'Grundlagen der E-Technik' Studienbuch
Aula Verlag Wiesbaden
7. G. Hagmann
'Aufgabensammlung zu den Grundlagen der E-Technik'
Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden
8. H. Classnitzer
'Einführung in die E-Technik'
Verlag Berliner Union
9. Zastrow
'Grundlagen der E-Technik'
Vieweg Verlag
10. H. Lindner
'Elektroaufgaben' Band I + II
Fachbuchverlag Leipzig-Köln
11. Führer/Heidemann/Nerreter
'Grundgebiete der Elektrotechnik' Band 1+2
Hanser Verlag
12. Kruschwitz/Müllenborn
'Aufgabensammlung E-Technik'
Vieweg Verlag
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13. Wolfschlag/Siemens AG
'Einheiten,Größen und Formelzeichen in der Elektroindustrie'
Hanser Verlag
14. Fricke/Vaske
'Grundlagen der E-Technik' Teil 1
Teubner Verlag
15. Benz/Heinks/Starke
'Tabellenbuch Elektronik Nachrichtentechnik'
Kohl + Noltemeyer Verlag Frankfurter Fachverlag
16. Friedrich
'Tabellenbuch Elektrotechnik Elektronik'
Dümmler Verlag Bonn
17. Lindner/Brauer/Lehmann
'Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik'
Fachbuchverlag Leipzig-Köln
18. Kories/Schmidt-Walter
'Taschenbuch der Elektrotechnik'
Verlag Harri Deutsch
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1. Allgemeines
1.1 SI-Einheitensystem
Unterscheidung
- Physikalische Größen (U, I, s, t ...)
- abgeleitete Größen (P, W, Q, R, 0 ...)
- bezogene, spezifische Größen (k, i, :, g ...)
L spezifische Größen sind u.a. Materialkonstanten, Koeffizienten (Beiwerte),
Proportionalitätsfaktoren.
Historische Entwicklung von Größen und Einheitensystemen:
1.
metrisches System (1799 Frankreich)
M K S Weg/Masse/Zeit
MKS
2.
absolutes System (1832 Gauß/Weber)
cm, g, s
cgs
3.
giorgisches System (1921)
MKSA
m, kg, sec, el. Strom
MKSA
4.
Technisches Maßsystem bis 1969
5.
Internationales Einheitensystem ab 1960 (11. Generalkonferenz)
SI-Einheiten (Systeme International de Unites)
SI
M (Weg), kp (Kraft), S (Zeit)
Das SI-Einheitensystem gilt seit 1969 als Bundesgesetz. Übergangsfrist endete 1977. Alle
Staaten, die das metrische (dekadische) System verwenden, haben das SI-System als
Grundlage der nationalen Normen.
Das Si-System ist kohärent.
L Die Basisgrößen und Einheiten sind durch Gleichungen verknüpft, die nur den Zahlenfaktor 1 haben.
Basisgrößen
Länge
Masse
Zeit
el. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
m
kg
s
A
K
cd
mol
Wellenlänge einer Atomstrahlung
kg-Prototyp
Periodendauer einer Atomstrahlung
Kraft zwischen zwei Leitern
273,16te Teil des Tripelpunktes von H2O
Lichtstärke eines schwarzen Strahlers
Anzahl von Atom- oder Molekülteilen
Nationale Festlegungen in DIN-Normen (Auszug)
DIN 1301
DIN 1304
DIN 1305
DIN 1306
DIN 1313
DIN 1314
Einheiten, Einheitennamen, Einheitenzeichen
Allgemeine Formelreichen
Masse, Kraft, Gewicht, Last; Begriffe
Dichte; Begriffe
Schreibweise phys. Gleichungen in Naturwissenschaft und Technik
Druck; Begriffe, Einheiten
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
DIN 1315 Winkel; Begriffe, Einheiten
DIN 1320 Akustik; Grundbegriffe
DIN 1323 Elek. Spannung, Potential, Zweipolquelle, elektromot. Kraft; Begriffe
DIN 1324 Elektrisches Feld; Begriffe
DIN 1325 Magnetisches Feld; Begriffe
DIN 1338 Formelschreibweise und Formelsatz
DIN 1339 Einheiten magnetischer Größen
DIN 1341 Wärmeübertragung; Grundbegriffe, Einheiten, Kenngrößen
DIN 1344 Elektrische Nachrichtentechnik; Formelzeichen
DIN 1355 Zeit, Kalender, Wochennumerierung, Tagesdatum, Uhrzeit
DIN 1357 Einheiten elektrischer Größen
DIN 4890 Inch-Millimeter, Grundlagen für die Umrechnung
DIN 4892 Inch-Millimeter, Umrechnungstabellen
DIN 4893 Millimeter-Zoll, Umrechnungstabellen
DIN5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und Lichttechnik
DIN 5483 Zeitabhängige Größen; Benennungen der Zeitabhängigkeit
DIN 5490 Gebrauch der Wörter bezogen, spezifisch, relativ, normiert und reduziert
DIN 6814 Begriffe der radiologischen Technik; Allgemeines
DIN 25404 Kerntechnik; Formelzeichen
DIN 40110 Wechselstromgrößen
DIN 40121 Elektromaschinenbau; Formelzeichen
DIN 66035 Kalorie - Joule; Joule - Kalorie; Umrechnungstabellen
DIN 66036 Pferdestärke - Kilowatt, Kilowatt - Pferdestärke; Umrechnungstabellen
DIN 66037 Kilopond je cm² Bar, Bar - Kilopond je cm²; Umrechnungstabellen
DIN 66039 Kilokalorie - Wattstunde, Wattstunde-Kilokalorie; Umrechnungstabellen
Abgeleitete Einheiten
Beispiel: Farad
1 F = 1 C/V
1C=1As
1 V = 1 J/C
1J=1Nm
1 N = 1 kg m/s²
Einheiten außerhalb de SI: u.a. Liter, Minute, Stunde, Tonne
Nicht mehr zugelassene Einheiten: u.a. Pond, atm, at, Torr, PS
1.2
Schreibweise von Größen (DIN 1313)
Es gilt:
G =
Größe =
{G}
Zahlenwert
@
[G]
@ Einheit
Beispiele:
1. el. Stromstärke von 1,86 Ampere:
2. Kraft von 68,5 Newton:
I = 1,86 A
F = 68,5 N
(Die kursive Darstellung der Größen kann zur Verdeutlichung angewendet werden.)
8
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Grundlagen der Elektrotechnik I
1.3
Gleichungsarten
1.)
Größengleichungen
Prof. Dr. Suchaneck
Sie beschreiben die physikalischen Zusammenhänge, gelten unabhängig von Einheiten.
Beispiel:
F
Kraft
=
=
m
@
Masse @
a
Beschleunigung
L
jede Größe wird mit Zahlenwert und Einheit eingesetzt.
2.)
Einheitengleichung
Sie beschreiben die Umrechnung der Einheiten.
Beispiel:
3.)
1N
[F]
=
=
1 kg
[m]
@
@
1 m/s²
[a]
Zugeschnittene Größengleichung
Die einzusetzenden Größen werden durch die zugehörigen oder verlangten Einheiten dividiert.
Beispiel:
4.)
F
N
=
m
kg
@
a
m/s²
Zahlenwertgleichungen
Sie gelten nur für bestimmte Einheiten, die angegeben werden müssen.
Ohne zusätzliche Angaben sind Zahlenwertgleichungen unbrauchbar.
Beispiel:
Blindwiderstand
xc =
xc in S
f in kHz
C in :F
159
f·C
5.)
Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten (Vorsätze und Vorsatzzeichen)
101
102
103
106
109
1012
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
da
h
k
M
G
T
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
d
c
m
:
n
p
L In der Praxis sollen möglichst 3er-Potenzabstufungen verwendet werden (sog. “wissenschaftliche“ Schreibweise).
1.4
Grafische Darstellungen, Diagramme
Sie sind besonders wichtig für nichtlineare Funktionen (Kennlinien) nach DIN 461
Beispiel:
Diodenkennlinie
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Prof. Dr. Suchaneck
IF
mA
5
4
3
2
1
0,5
1
1,5
UF
V
Die Skalenteilung ist linear (mit Null-Punkt) oder logarithmisch (ohne Null-Punkt).
Weitere Möglichkeiten:
Die Einheiten werden als Bruch (z.B.
Bildbeschriftung z.B.
4V
5V
6V
U
4
5
6
UF
V
U
) oder am Zahlenwert (z.B. 3V) geschrieben.
V
Durchlasskennlinie Diode 1N4148 möglich.
Wichtig: Unvollständige Diagramme sind bedeutungslos.
2.
2.1
Grundbegriffe der Elektrizität
Das Wesen der Elektrizität
Elektrische Erscheinungen sind schon seit der Frühgeschichte der Menschheit bekannt.
-
Unsichtbares Vorhandensein von el. Ladungen
(z.B. Anziehen von Haaren)
Sichtbarer Ausgleich von el. Ladungen
bzw. stille Entladung
6 Kräfte
6 Blitz
6 Elmsfeuer, Nordlicht
Experimentell können Ladungen erzeugt werden, z.B. durch Reiben von Hartgummi, Bernstein usw.
L Beobachtung von anziehenden und abstoßenden Kräften
Schlussfolgerung: Es müssen positive und negative Ladungen existieren.
Beispiele: klebendes Papierblatt, aufstehende Haare, Staub auf Plexiglas etc.
Spontaner Ladungsausgleich ist durch seine Nebenwirkungen wahrnehmbar: Licht (Blitz),
Ausdehnung (Donner), Funken (Knistern). Dagegen bleibt der Ladungsausgleich im el.
Stromkreis ohne Hilfsmittel verborgen.
10
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Das Wesen der Elektrizität liegt im Vorhandensein, dem Aufbau und dem Ausgleich von
Ladungen.
Was ist eine Ladung?
Die Atomphysik hat frühzeitig Vorstellungsmodelle entwickelt, welche die Ladung und ihren
Transport (elektrische Strömung) erklären helfen.
Die Ladung
Größe Q = N@e
N = Teilchenzahl
e = Elementarladung
Die Ladung Q besteht aus zählbaren Elementarladungen, deren Träger Bestandteile der
Atome oder Moleküle sind (Beweglich oder als Raumladung).
Bestandteile der Atome:
Das Bohr'sche Atommodell (1913)
Beispiel: Cu-Atom
Der Kern besteht aus:
29 Protonen 6
34 Neutronen 6
Die Schalen haben 29 Elektronen 6
pos. Ladungen × Ordnungszahl
ohne el. Ladung
neg. Ladungen
L Es sind gleichviele pos. und neg. Ladungen vorhanden, d.h. nach außen ist das Cu-Atom
elektrisch neutral.
Eigenschaften der Atombestandteile
Elementarteilchen
Proton
Elektron
Neutron
Masse in g
1,67·10-24
9,1 ·10-28
1,67·10-24
Ladung in As
+1,6·10-19 +e
-1,6·10-19
-e
0
L Die Masse des Elektrons ist sehr klein (0,5 Promille des Protons beziehungsweise Neutrons), dadurch leicht zu beschleunigen (Anwendung: Braun'sche Röhre, Fernsehröhre).
Die äußeren Schalen bestimmen das chemische und physikalische (elektrische) Verhalten
der Atome.
Äußere Schale L Valenzelektronen, Wertigkeitselektronen (mögliche freie Elektronen)
Elemente, die elektrisch interessant sind:
Ordn.zahl
13
14
15
29
Element
Aluminium
Silizium
Phosphor
Kupfer
Symbol
Al
Si
P
Cu
Schalen
K L
2
8
2
8
2
8
2
8
M N
3
4
5
18 1
O
P
Bemerkung
p-Dot./Metall
Halbleiter
n-Dot.
Metall
11
TFH Berlin
31
32
33
47
79
Grundlagen der Elektrotechnik I
Gallium
Germanium
Arsen
Silber
Gold
Ga
Ge
As
Ag
Au
2
2
2
2
2
8
8
8
8
8
Prof. Dr. Suchaneck
18 3
18 4
18 5
18 18 1
18 32 18 1
p-Dot.
Halbleiter
n-Dot.
Metall
Metall
Erkenntnisse:
Metalle sind gute elektrische Leiter. (sog. Kupfergruppe: Silber, Gold, Kupfer),
erkennbar auch durch 18-1 Anordnung ÷ die 18er Schale bildet mit Nachbaratom Kristallgitter.
Ca. 1023 Elektronen/cm³ (ein Elektron je Atom) sind Leitungselektronen
÷ Ladungsträger mit der Ladung e (freie Elektronen).
Nichtleiter können kaum freie Ladungsträger zur Verfügung stellen z.B. Edelgase, Kunststoffe, Glas, reines Wasser. Die Elektronen haben feste Bindungen, vollständige Schalen.
Nichtleiter können leitfähig werden, wenn hohe Energien von außen zugeführt werden, z.B.
Wärme
÷ Atom-, Molekülschwingungen
Strahlung
÷ Elektronenanregung
Feldstärke
÷ Feldkräfte reißen Bindungen auf
Halbleiter besitzen im reinsten Zustand fast keine freien Ladungsträger (Eigenleitung)
÷
erhöhte Leitfähigkeit durch Einlagern von Fremdatomen (Dotierung)
höherwertig n-Material
niederwertig p-Material (Störstellenleitung)
z.B. Silizium, Germanium, Selen
Ionen
Elektronen des neutralen Atom fehlen ÷ positiv geladenes Ion (Kation)
zusätzliche Elektronen am neutralen Atom angelagert ÷ negativ geladenes Ion (Anion)
2.2
Elektrischer Strom
Die Größe (Stärke) der elektrischen Strömung ist als elektrische Stromstärke I (oder i) definiert.
Q
I'
[I]=A (Ampere)
t
Der Strom I ist die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit den Leiterquerschnitt durchströmt.
Vorausgesetzt: Strom zeitlich konstant und gleichmäßig über den Querschnitt verteilt
L Gleichstrom.
Sonst muss der Skineffekt beachtet werden (Stromverdrängung).
Stromdichte S
S'
I
A
übliche Werte für Kupfer 1... 10
[S]'
A
mm²
A
mm²
A=Leiterquerschnitt
, je nach Wärmeableitung (VDE 0100).
12
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Beispiel:
Wieviele Elektronen bewegen sich in 1 Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters,
wenn 1 A fließt?
Lösung:
Q'I@t'1As
Q'N@e
N'Anzahl der Elektronen
Q
1As
N' '
e 1,6@10&19As
'6,24@1018 Elektronen
Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen
Die Strömungs- (Drift) Geschwindigkeit der Elektronen ist gering (.1mm/s).
Der Energieimpuls setzt sich aber mit nahezu Lichtgeschwindigkeit (.300·106m/s) fort.
1cm³ Cu enthält 0,84·1023 freie Elektronen mit je e=-1,6·10-19As.
Dichte ne=0,84·1023 Elek./cm³ (Cu)
Es gilt:
I'
I'
Q
,
t
A@s@ne@e
t
ve'
S
n e@e
Q'A@s@n e@e,
A
s
S
ve
t
N'A@s@ne
=Querschnitt
=Weg
=Stromdichte
=mittlere Strömungsgeschwindigkeit
=Zeit
Beispiel:
Durch einen Cu-Draht mit 1mmi fließt ein Gleichstrom von 10A.
a) Wieviele Elektronen fließen je s durch den Querschnitt?
b) Wie schnell bewegen sich die Ladungen?
c) Wie groß ist die Stromdichte?
a)
Q'N@e'I@t
6
b)
c)
ve'
N I
10A
Elek.
' '
'6,24@1019
&19
t e 1,6@10 As
s
I
'
n e@e@A
10A
0,84@1023
Elek.
@1,6@10&19As @7,85@10&3cm²
cm³
' 0,095
cm
s
I
10A
A
' 12,73
S' '
A 0,785mm²
mm²
Elektronenbeweglichkeit :
: ist ein Maß dafür, wie schnell sich die beweglichen
Ladungsträger im Gitterverband bewegen können.
: ist eine Materialkonstante.
µ'
ve
E
13
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2.3
Grundlagen der Elektrotechnik I
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Die elektrische Spannung
Zwischen zwei räumlich getrennten Ladungen +Q0 und -Q0 bildet sich ein elektrisches Kraftfeld aus.
L Ruhende Ladungen: elektrostatisches Feld.
Zwischen den beiden Ladungen und auch auf zwischen Ihnen befindliche Ladungsträger
wirken Kräfte. Ähnlich dem Magnetfeld.
Die Hauptkraftrichtung an einem Ort ist durch die Feldstärkelinien (Feldlinien) gegeben.
r
E
Kraft auf die Ladung Q in Richtung E:
P und F
P gleiche Richtung
Ist Q positiv:
E
P und F
P entgegengesetzte Richtung.
Q negativ: :
E
P
P
F'Q@
E
P
P F , [E]' V
El. Feldstärke E'
Q
m
[F]'
V@C
'N,
m
P
E
P
E
PF
[Q]'C (Coulomb)
P
F
Wird die Ladung Q im elektrischen Feld vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt, ist die mechanische Arbeit W zu leisten.
2
P ds
P
W 12'mF
n
W 12'j Fi @s i
oder
i'1
1
P)
(si = kleinste Wegstrecken in Richtung F
P und in ds
P in gleicher Richtung:
Wenn F
P und in ds
P entgegengesetzt:
F
÷ Energie wird freigesetzt
÷ Energie muss aufgewendet werden
W 12'W 1&W 2
W 1 = potentielle Energie vor der Bewegung
W 2 = potentielle Energie nach der Bewegung
14
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Das Potential n ist
n1'
W1
Q
bzw. n2'
W2
Q
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(Energie bezogen auf die Ladung)
Das elektrische Potential n definiert die örtliche Verteilung des Niveaus der pot. Energie im
el. Feld
W
U12' 12 'n1& n2
Q
Der Potentialunterschied n1& n2 heißt elektrische Spannung U12 .
Der Index gibt den Bezugspunkt an:
U12'n1&n2'&U21
Definition nach DIN 5489:
Die Spannung U12 entlang einem Weg von Pkt.1 nach Pkt.2 wird positiv gerechnet, wenn
das Potential im Pkt.1 größer als im Pkt.2 ist.
Einheiten
[Energie]= Joule (J), 1J = 1Ws
Spannung'
Energie
Ladung
[U]'1V'
1Ws 1Ws 1W
'
'
1C 1As 1A
Beispiel:
Vorhandene Ladung Q=-1As
im Punkt 1: W 1=1J
Potential
n1'
W1
Q
'
1J
V@A@s
'&1
'&1V
&1As
As
im Punkt 2: W 2=2J
n2'&2V
÷
W 12'W 1&W 2'1J&2J'&1J
U12'n1&n2'
Stromdichte S'
I
A
W 12
Q
'
&1J
'1V
&1As
I = ne·e·ve·A
mit ve=µ·E
I = ne·e·µ·E·A
S= ne·e·µ·E
6=ne·e·µ
: = Elektronenbeweglichkeit
6 = spezifische Leitfähigkeit
(Proportionalitätsfaktor)
S=6·E
Die Stromdichte S ist der Feldstärke E proportional.
Die Stromstärke I ist der Spannung U proportional.
15
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Wo tritt eine Feldstärke bzw. Spannung auf, d.h. Kraftwirkung eines el. Feldes?
1.) Ladungserzeugung durch Kräfte bzw. Energiezufuhr
wie Magnetfelder, Strahlung, chemische Wirkung, mechanische Reibung
Spannungserzeugung einer sog. EMK (Elektromotorische Kraft, Urspannung U0)
Beispiele:
Wärme:
Magnetfeld:
Strahlung:
Chemische Wirkung:
Mechanische Reibung:
Mechanische Spannung:
Seebeck-Effekt
Dynamo
Solarzelle
Primär-Element
Band-Generator
Piezo-Effekt
2.) Durch gebremsten (Stau) Ladungsträgerfluss in Leitern (Widerstände etc.)
2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz
Wird an einen gleichförmigen Leiter eine Spannung angelegt, so werden infolge der Feldstärke die freien Ladungsträger bewegt (Strom I).
÷
Die Stromstärke I steigt mit der Feldstärke E, der spezifischen Leitfähigkeit i und dem
Leiterquerschnitt A.
Kehrwert des spezifischen Leitfähigkeit 6 ist der spezifische Widerstand D.
1
I'κ@A@ @U
R
1
κ@A@ 'G' Proportionalitätsfaktor ' Leitwert
R
I'G@U
Der Kehrwert von G ist der elektrische Widerstand R.
I'
Einheiten
1
U
R
Ohm‘sches Gesetz
A
[G]' 'S (Siemens)
V
[κ]'S@
m
mm²
R'
1
G
U'R@I
V
[R]' 'Ω (Ohm)
A
[ρ]'
V
Ω mm²
mm'
A
m
Ohm‘scher Widerstand von Leitern
R'ρ@
R
A
Einheit S
16
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Voraussetzung:
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A über R konstant,
Gleichstrom (Skineffekt bei Wechselstrom!)
6 und D sind temperaturabhängige Materialkonstanten.
6 und D für verschiedene Leitermaterialien bei Raumtemperatur:
Material
D20 /
620 /
Ω mm²
m
S@
m
mm²
Aluminium
0,029
34,48
Kupfer
0,0178
56,18
Silber
0,016
62,5
Gold
0,022
45,45
0,5
2
Kohle
.100
.0,01
Wolfram
0,055
18,18
Konstantan
Beispiel: Widerstand von Leitern
Widerstand von Leitungen aus Cu und Al.
Welchen Widerstand haben 1m-lange Leitungsabschnitte mit Querschnitten A=0,75, 1,5,
2,5, 4 mm² bei h=20°C ?
L auf 1m bezogen: Widerstandsbelag R'
R' =
R
1
= ρ 20 ⋅
A
l
A/mm²
2.5
0,75
1,5
2,5
4
Belag Cu
R'
0,024
0,012
0,0071
0,0045
S/m
Belag Al
R'
0,039
0,019
0,012
0,0073
S/m
100m Cu
R
2,4
1,2
0,71
0,45
S
100m Al
R
3,9
1,9
1,2
0,73
S
Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern
Der Widerstand von Leitermaterialien ändert sich mit der Temperatur z.B. nimmt er zu bei
Metallen.
Die Widerstandsänderung ist nichtlinear und die wahre Kennlinie kann durch ein Polynom
angenähert werden.
Rh2'Rh1(1%α1[h2&h1]%β1[h2&h1]2%γ[h2&h1]3...)
17
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Bis h2 =100 °C wird im allg. nur mit "1 gerechnet.
"1 und $1 gelten nur bezogen auf h1 (z.B. 20°C)
÷
"1 ("20) linearer Temperaturkoeffizient TK
Einheit:
÷
$1 quadratischer TK
Einheit:
Also gilt vereinfacht bis h2=100°C:
1
K
1
K2
Rh2 . R20 (1+"20 [h2-h1])
ªh
Rh2 . R20 +"20 R20 ªh
ªR
Rh2 . R20 +"20 R20 ªh
÷
α20'
ªR
ªh@R20
TK
18
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Beispiele:
1)
Temperaturstabile Widerstände (Messwiderstände) haben folgende Angabe des
Temperaturkoeffizienten:
TK=50 ppm
2)
heißt: α'50@10&6
(z.B.)
1
K
Temperaturmesswiderstand PT100
Platinwiderstand mit R=100Ω bei der Temperatur h=0°C.
α'3,908@10&3
Koeffizienten:
1
K
β'&0,5802@10&6
1
Nach DIN 43760
K2
Wie groß ist der Widerstand bei h2=100°C?
R100'100Ω [1%3,908@10&3
1
1
100K & 0,5802@10&6
(100K)2]
2
K
K
R100'138,5Ω
Beispiele für TK von Leitern/ Widerstandsmaterialien
Material
α 20 in 1/ K
Temperaturbereich
Al
3,77 @ 10-3
-40°C ... 100°C
Cu
3,93 @ 10-3
"
Fe
6,6 @ 10-3
"
-1000 @ 10-6
"
± 50 @ 10-6
"
Konstantan
- 3 @ 10-6
"
Wolfram
4,1 @ 10-3
Platin
3,908 @ 10-3
Kohle
(Widerstand)
Metallfilm
"
-40°C ... 2200°C
("0)
-40°C ... 100°C
Berechnung temperaturabhängiger Widerstände
Anwendung: Ermittlung (indirekte Messung) der mittleren Wicklungstemperatur von elektrischen Maschinen.
Rk
Widerstand kalt (vor Erwärmung) hk
Rw Widerstand
dann gilt:
warm hw = h2
Rh2 = R20 [1 + "20 (h2 - 20°C)]
19
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R w R20 [1 + α 20 ( ϑ w − 20° C)] 1 / α 20 − 20° C + ϑ w ϑ M + ϑ w
=
=
=
Rk
R20 [1 + α 20 ( ϑ k − 20° C)] 1 / α 20 − 20° C + ϑ k
ϑM + ϑ k
Materialkenntemperatur
ϑM =
1
α 20
− 20° C
hM = 235°C Kupfer
hM = 245°C Aluminium
2.6
Stark temperaturabhängige Widerstände
1)
Heißleiter, NTC-Widerstände
Der Widerstand nimmt bei Erwärmung nichtlinear ab.
Symbol
Schaltzeichen nach DIN 40712
Erwärmung infolge Fremderwärmung
oder Eigenerwärmung
Fremderwärmung: für Messzwecke, Kompensation
S Messheißleiter: Erfassung der Umgebungstemperatur oder eines anderen
Mediums, dabei muss die Eigenerwärmung vernachlässigbar sein.
S Kompensationsheißleiter: Kompensation des positiven TK von Metall(film)widerständen
Eigenerwärmung: bei anliegender Spannung
S Anlassheißleiter (Heizfäden, Motoren, Relais etc.)
S Regelheißleiter (Spannungsstabilisierung)
wichtig:
NTC darf nicht an einer konstanten Spannung, sondern nur über einen Vorwiderstand betrieben werden, sonst Selbstzerstörungsgefahr!
Selbstzerstörung!
6 zunehmende Verlustleistung führt zur Widerstandsabnahme: dadurch
weitere Zunahme der Verlustleistung
Herstellung: gesinterte Metalloxide (Magnesium, Titan u.a.)
÷ polykristalline Struktur mit Halbleitereigenschaft, keine Sperrschichten,
Eigenleitung
÷ billig, robust, polaritätsunabhängig, Anwendung z.B. in Kfz.
20
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Prof. Dr. Suchaneck
Kennlinien:
Stationäre Stromspannungskennlinie
Abhängigkeit des Heißleiterwiderstandes von der
Temperatur
Temperaturverhalten von Heißleitern
Der Widerstandswert von Heißleitern ändert sich ungefähr exponentiell mit der Temperatur.
Mathematisch lässt sich der Widerstandswert als Funktion der Heißleitertemperatur näherungsweise berechnen:
B(
RT 'RT @e
1
0
1 1
& )
T1 T0
RT1 =Widerstandswert für gegebene Temperatur
RT0=Widerstandsnennwert bei Bezugstemperatur
e =2,718...
B =Materialkonstante 2000...6000K
(Mischungsverhalten der Oxide)
T1 =gegebene Temperatur in K
T0 =Bezugstemperatur in K
Der TK "NTC ändert sich stark, daher nur für einen kleinen Temperaturbereich ªT sinnvoll.
α NTC =
−B
T2
für B=4000K und T0=27°C = 300K:
α NTC =
− 4000K
−2 1
=$ − 4,4% / K
2 2 = − 4,4 ⋅ 10
300 K
K
21
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2)
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Kaltleiter, PTC-Widerstände
Der Widerstand nimmt mit der Erwärmung zu.
Symbol
In bestimmten Temperaturbereichen steigt der
Widerstandswert sprungförmig an.
Die mathematische Beschreibung des Widerstandsverlaufs ist kompliziert und nur in kleinen Bereich
hinreichend genau möglich.
Technologie: gesinterte Oxide (Titanat-Keramik )
Wirkung: Halbleitung und Ferroelektrizität bei
Curietemperatur bilden sich Sperrschichten aus:
hochohmiger (Halbleitung)
Wechselstromverhalten: R ist frequenzabhängig
Widerstandsverlauf von PTCWiderständen
Anwendungen: Steuer-, Regel- und Überwachungsaufgaben, unerwünscht bei Glühlampen,
ca. 3...10facher Überstrom beim Einschalten wegen großem Temperaturbereich.
Bei technischen PTC-Widerständen sehr starke Widerstandsänderung.
1.)
Messtechnik
S
Strömungswächter als Sensoren. Pv wird abgeleitet, dadurch h kleiner als hSprung.
Anwendung: Niveau-Überwachung in Tanks
2.) Strombegrenzung
S
S
S
S
S
2.7
Überlastschutz von elektrischen Maschinen, Isolierstoffe werden geschützt
PTC wird in die Cu-Wicklungen eingewickelt.
Regelung, Begrenzung der Kühlwassertemperatur von Motoren (PKW)
Ersatz: Thermostat ÷ Lüfter-Motor wird eingeschaltet.
Stabilisierung kleiner Ströme
Entmagnetisierung von Lochmasken der Farbbildröhre hoher Anlaufstrom, danach kleiner Reststrom
selbstregelnde Heizelemente
Nichtlineare Widerstände
Widerstände mit linearem Verlauf der Strom/Spannung-Kennlinie heißen:
lineare Ohm'sche Widerstände.
÷
Der Widerstand R wie auch der spezifische Widerstand sind unabhängig von Strom
und Spannung.
Voraussetzung: Konstante Temperatur.
Ein Widerstand mit TK = 0 bleibt auch bei Erwärmung linear.
Bei Widerständen mit TK =
/ 0 ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang.
÷
indirekte Nichtlinearität.
22
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Echte nichtlineare Widerstände sind auch ohne Temperaturänderung nichtlinear. In bestimmten Grenzen von I und U folgt die Kennlinie U,I dieser Widerstände in der Regel einem
einfachen Exponentialgesetz.
I = K ⋅ Uα
(1)
oder
U = C ⋅ Iβ
(2)
[K]=S;
1: lin. symmetrischer Widerstand
2: lin. unsymm. Widerstand
[C]=S
6 Ohm‘scher Widerstand
6 Ohm‘scher Widerstand mit idealer
Diode (Präzisionsgleichrichter)
3: nichtlin. symmetrischer Widerst. 6 VDR-Widerstand,
2 Dioden antiparallel
4: nichtlin. unsymm. Widerst.
6 Diode, Z-Diode, Gleichrichter
U
'R' Proportionalitätskonstante
I
nichtlinear: R=f(U, I) ÷ keine Konstante
linear:
Nichtlineare Widerstände spezieller Art:
Dioden in Durchlassrichtung
unsymmetrische Kennlinie
Die mathematische Beschreibung ist bei Dioden anders als bei anderen nichtlinearen Widerständen:
UF
I F'IS (e
m@U T
IS = Sättigungsstrom
UT= Temperaturspannung
m = Korrekturwert 1...2
&1)
÷ e-Funktion
Eine andere Darstellung der e-Funktion ist mit einer Reihenentwicklung möglich:
U
1 U
1 U
I F'IS( F % [ F ]2 % [ F ]3 % ...)
m@UT
2 m@UT
6 m@UT
linearer
Teil
quadrat.
Teil
Anteil klein,
vernachlässigbar
÷ Es entsteht ein zusammengesetzter Widerstand aus linearen und nichtlinearen Anteilen.
VDR-Widerstände (Varistoren)
Voltage Dependent Resistance
23
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Ersatzschaltbild:
symmetrische Kennlinie
Näherung:
Material:
Durchlassspannung U=n·UF, da polykristalline Struktur
Silizium-Karbid SiC
Zinkoxid ZnO (SIOV, Handelsname)
Die typischen VDR-Widerstände haben folgende Werte:
Anwendung: 3.
3.1
C.15...104
$.0,03...0,35
Überspannungsbegrenzer (Telefon, Blitzschutz, Messtechnik)
Kontaktschutz (Funkenlöschung bei induktiven Lasten)
Fernsehschaltungstechnik (Wechselspannungsstabilisierung)
Berechnung von Gleichstromkreisen
Vorzeichen- und Richtungsregeln
(nach DIN 5489)
Willkürliche, teils historische Festlegungen (Konventionen).
Erleichterung der Berechnung von Stromkreisen
a) konventionelles positives System.
1) Der Zahlenwert des Stromes wird positiv gerechnet.
L positive Ladungsträger bewegen sich beim Ladungsausgleich in Richtung des Strompfeiles (von + nach -).
2)
Der Zahlenwert der Spannung (Potentialunterschied) zwischen zwei Punkten (Klemmen) eines Stromkreises wird positiv gerechnet, wenn die Pfeilrichtung zum Punkt mit
niedrigem Potential zeigt (-).
3)
Bezugssystem
Bei komplizierten Netzwerken mit vielen Grundbestandteilen (R's, Quellen) kann keine
verbindliche Richtungsangabe gemacht werden.
Festlegung eines vorläufigen Bezugssystems. (Danach kann bei negativen Zahlenergebnissen die Pfeilrichtung geändert werden).
1)
wichtig
An Verbrauchern (passive Zweipole) haben Strom und Spannung immer die gleiche
Pfeilrichtung.
Verbraucher-Pfeilsystem
24
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Daraus resultiert:
Bei einer Quelle, die Leistung abgibt sind Strom und Spannung entgegen gesetzt gerichtet.
ErzeugerPfeilsystem
U und I entgegen
VerbraucherPfeilsystem
U und I gleich
willkürlich selbst festgelegtes
System ÷ Bezugssystem
Doppelpfeile haben keine Aussage (vermeiden).
3.2
Einfache nichtverzweigte Stromkreise
Bestandteile eines einfachen Stromkreises sind:
1. Elektrische Quelle:
2. Ladungsträger-Leitung:
3. Elektrische Senke:
erzeugt getrennte Ladungen
verlustarmer Ladungstransportweg
Umformer in andere Energieformen (Verbraucher, Last)
Andere Aufteilung: aktiver Zweipol-Vierpol-passiver Zweipol
Quellen
Spannungsquelle:
Schaltbild
ideale
Spannungsquelle Ri=0
reale
Spannungsquelle Ri>0
ideal: U1 = konstant, unabhängig von I
Y Ri 60
schwer realisierbar (mit Regler abschnittsweise möglich)
real:
U. konstant (“eingeprägte“ Spannung) Y Ri <<
Konstantspannungsquelle
U
U
Y U1'0
I'I K' 0
Kurzschlussstrom
I' 0
RI
Ri%R
25
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U1'U2
Y
(ideale Leitung)
U1'U0&
U0@Ri
Ri%R
R=∞,
Leerlauf
'U0 (
U0'Ui%U1 ,
Prof. Dr. Suchaneck
U1'U0&Ui'U0&I@Ri
R
)
Ri%R
U1 = U0 ,
I= 0
Kurzschluss
R'0
Beispiel:
An einer Batterie wird im Leerlauf eine Klemmenspannung von 62 V gemessen.
Der Innenwiderstand beträgt 0,2S
Welcher Strom fließt bei einem Lastwiderstand von 6S?
Leerlauf
U0'Ul ,
I'
U0
62V
'10A
Ri%R 0,2Ω%6Ω
'
Beispiel:
Eine Spannungsquelle mit einer Quellenspannung U0 = 24 V hat einen Innenwiderstand von
R=3S. Es wird ein Lastwiderstand R=10S angeschlossen. Bestimme rechnerisch und grafisch die Klemmenspannung und die Stromstärke.
Grafisch:
I=1,8A
U=18,5V
I K'
U0 24V
'
'8A
Ri 3Ω
Rechnerisch:
I'
U0
24V
'1,85A
Ri%R 3Ω%10Ω
U'U0
'
R
10Ω
'24V
'18,5V
Ri%R
3Ω%10Ω
26
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Ermittlung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle
1) Aus Leerlaufspannung Ul und Kurzschlussstrom IK
R i'
Ul U0
'
Ik I K
(L nicht immer möglich!)
2) Belastung der Quelle nacheinander mit zwei unterschiedlichen Widerständen R1 und R2
Es gilt:
U0'I1@Ri % I1@R1
U0'I2@Ri % I2@R2
Gleichsetzen ergibt:
I1@Ri%I1@R1'I2@Ri%I2@R2
I1@Ri&I2@Ri'I2@R2&I1@R1
Ri (I1&I2)'U2&U1
Ri '
U2&U1
I1&I2
Ri '
ªU
ªI
Stromquelle
Schaltbild
I=konstant
Idealfall G i 6 0 (Rp 6 4)
Real:
I. konstant (“eingeprägter Strom“ )
Konstantstromquelle Y G i klein
27
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Prof. Dr. Suchaneck
Eigenschaft der Leitung
(Hin + Rückleitung )
1)
2)
Verlustlose Leitung ÷ Supraleiter
Verlustarme Leitung
RLtg « Ri
S
S
S
S
bei großen Leistungen nur mit Hochspannung möglich
R so kurz wie möglich,
ρ so klein wie möglich (Kupfer, Aluminium),
A so groß wie möglich.
Eigenschaften der Senke
1) Ohm'scher Verbraucher (linear, nichtlinearer)
W el. 6 W ther.
2) Energieumformer
W el. 6 W mech.%W ther.
(E-Motoren, Magnete etc.)
3) Aufladung von Quellen (Akkumulator)
Elektrolyse (chemische Wirkung)
Reihenschaltung linearer Widerstände
(Serie, Hintereinander)
Ein realer einfacher Stromkreis besteht bereits aus der Reihenschaltung von Innen-,
Leitungs-und Außenwiderstand und einer Spannungsquelle.
÷ Reihenschaltung von n Widerständen
Die Leitungswiderstände RLtg sind in Regel sehr klein.
Ersatzschaltbild mit
diskreten Elementen
Energie geht nicht verloren:
÷
allgemeines Schaltbild
(Energieerhaltungsatz)
Die vom Generator (Quelle) aufgebrachte Energie W= U· I · t muss in den Verbraucherwiderständen in Wärme umgesetzten Energie gleich sein.
W'U0@I@t'U1@I@t % U2@I@t % U3@I@t %...% UN@I@t
28
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n
U0'U1%U2%U3%...%UN'j Ue
nE ds'0
n
j Ue'0
oder
e'0
e'1
2)
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Umlaufintegral
2. Kirchhoff'sches Gesetz (Physiker 1824-87)
Mit dem Ohm'schen Gesetz für lineare Widerstände
wird
Un'I@Rn
U0'I@R1%I@R2%I@R3%...%I@Rn
U0'I(R1%R2%R3%...%Rn)'I@Rges
Rges
n
Rges'j Rn'R1%R2%R3%...%Rn
1
L Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Teilwiderstände
Spannungsteiler-Regel (unbelasteter Spannungsteiler)
U1 I ⋅ R1 R1
=
=
U2 I ⋅ R2 R2
oder z.B. bei 4 R‘s
U4
U0
'
U4
4
'
I@R4
4
'
R4
4
j Un I@j Rn j Rn
1
1
1
Erkenntnis:
Die Spannungabfälle (Potentialunterschiede) verhalten sich wie die Widerstandwerte.
U2
=
2
R2
∑U ∑R
n
1
=
2
R2
R1 + R 2
⇒
U2 = Ua =
n
1
Ua =
Rechenbeispiel
R2
U0
R1 + R 2
R2
⋅U
R1 + R2 0
R2'2kΩ
R1'10kΩ
U0'12V
R2
2kΩ
Ua'
@U0'
@12V'2V
R1%R2
10kΩ%2kΩ
Ua'?
29
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Grafische Darstellung eines Spannungsteilers mit R2 variabel
Für eine Spannungs- bzw. Stromquelle mit Last gibt es 3 wichtige Betriebsarten
U L . U0
1.) Spannungsanpassung
I L . I0
2.) Stromanpassung
3.) Leistungsanpassung
wenn
wenn
RL » R i
RL « R i
P L =Maximum
Leistungsanpassung
P'U@I
R2'RL
P L'UL@I L'(U0&IL@Ri)IL
mit
Ri
)
Ri + RL
RL
= U0 2
Ri + RL
(Ri + RL ) 2
U0 2 (1 −
U0
IL =
Ri + RL
⇒ PL =
P L 'max?
Bestimmung durch Differenzieren:
P L'U0²
RL
(Ri%RL)²
'U0²
RL
Ri²%2RiRL%RL²
Maximum von P L kann berechnet werden, wenn die 1. Ableitung Null gesetzt wird:
dP L U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(0%2Ri%2RL)@U0²RL
'
'0
dRL
N²
Ableitung von P L mit Hilfe der Quotientenregel.
Z
d( ) Z| ⋅ N − N| ⋅ Z
N =
dRL
N2
dPL
dRL
'0
N'Ri²%2RiRL%RL²
Z'U0²@RL
6RLoptimal
30
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Es genügt wenn der Zähler gleich Null gesetzt wird
U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(2Ri%2RL)@U0²RL'0
(Ri²%2RiRL%RL²)&2RiRL&2RL²'0
Ri²&RL²'0
Ri'RL
PLmax'U0²
RL
'
U0²
(Ri%RL)² 4@Ri
Verhältnisse bei Leistungsanpassung: Ri'RL
Pges = U0 ⋅ IL
mit IL = I =
2
⇒ Pges
U0
Ri + RL
2
U0
U
=
= 0
2Ri
Ri + RL
(mit Ri = RL )
2
Pi = Ui ⋅ IL = Pges
2
2
U
U
U
− PL = 0 − 0 = 0
2Ri 4Ri
4Ri
Es gilt also: PLmax'Pimax
Spannung UL und Strom IL
bei Ri = RL
Pges = U0 ⋅ IL
→
IL =
Pges
U0
2
U0
U
1
=
= 0 = IK
2Ri ⋅ U0 2Ri 2
2
P
U
2R U
UL = L = 0 ⋅ i = 0
IL
4Ri U0
2
Also: Am Ausgang halbe Leerlaufspannung und halber Kurzschlussstrom bei Leistungsanpassung
Leistung und Wirkungsgrad
bei den Leistungsanpassung (Ri = RL)
2
PLmax U0 2Ri 1
=
⋅
=
4Ri U0 2 2
Pges
η=
=$ 50%
PL
1
⋅ 100% = ⋅ 100% = 50%
2
Pges
Bei Ri = RL wird die max. Leistung übertragen bei einem Wirkungsgrad von 50%.
Diese Leistungsanpassung ist wichtig in der Nachrichtentechnik.
Beispiel:
Verstärkeranpassung an Lautsprecher
Dagegen ist in der Energietechnik der maximale Übertragungswirkungsgrad interessant.
Dabei liegt Spannungsanpassung vor, dabei gilt: RL >> Ri
η=
RL
Ri + RL
üblich: η > 95%
31
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Prof. Dr. Suchaneck
Beispiele zum 2. Kirchhoff'schen Satz
Berechnung mit dem Maschensatz
Vorgehen:
1)
Alle Spannungspfeile eintragen (Stromrichtung gegebenenfalls beliebig
festlegen, aber einhalten).
Willkürlich einen Umlaufsinn festlegen und an einer beliebigen Stelle mit
dem Maschenumlauf beginnen.
2)
Zahlenbeispiel:
U01 = 6V
U02 = 9V
R1 = 4 S
R2 = 12 S
R3 = 50 S
R4 = 20 S
U1 − U01 + U4 + U3 + U2 + U02 = 0
U01 − U02 = U1 + U2 + U3 + U4
= I ⋅ Rges
→
I=
=
3.3
Arbeit
U01 − U02
Rges
−3 V
6V − 9V
=
= − 0,0349 A = −34,9mA
4Ω + 12Ω + 50 Ω + 20Ω 86 Ω
Der verzweigte elektrische Stromkreis
W = U ⋅ Iges ⋅ t = U ⋅ I1 ⋅ t + U ⋅ I2 ⋅ t + U ⋅ I3 ⋅ t +...+U ⋅ In ⋅ t
→ Iges = I1 + I2 + I3 +...+In
Knotenregel, 1. Kirchhoff‘sches Gesetz
→
∑I = 0
Mit dem Ohm‘schen Gesetz:
U
U
U
U
U
1
1
1
1
=
+
+
+...+
= U⋅ ( +
+
+...+
)
Rges R1 R2 R3
Rn
R1 R2 R3
Rn
32
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1
÷
Rges
1
1
1
1
+
+
+...+
R1 R2 R3
Rn
=
G ges = G1 + G2 + G3 +...+ Gn
oder
Allg. Aussage:
Prof. Dr. Suchaneck
Gesamtleitwert = EEinzelleitwerte
Rges ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand
Parallelschaltung von 2 Widerständen:
Praxisformel
Rges =
1
1
1
+
R1 R2
=
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Beispiele
1. Parallelschaltung von 4 Widerständen
Gesucht: Rges
Rges =
2. R1 = 500kS
Rges = 200kS
R2 = ?
500S ||1,3kS || 22kS ||100kS
1
1
1
1
1
+
+
+
, kΩ 22kΩ 100kΩ
500Ω 13
Rges =
= 354,02Ω
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Rges (R1 + R2 ) = R1 ⋅ R2
RgesR1 + RgesR2 = R1 ⋅ R2
RgesR2 − R1R2 = −RgesR1
R2 (Rges − R1 ) = −RgesR1
R2 =
Stromteiler-Regel
Annahme: U = konstant
Rges ⋅ R1
R2 =
200kΩ ⋅ 500kΩ
= 333,3kΩ
500kΩ − 200kΩ
R1 − Rges
(analog zum Spannungsteiler)
U = I1 ⋅ R1 = I2 ⋅ R2 = ⋅ ⋅ ⋅ = Iges ⋅ Rges
I1 R 2 G1
=
=
I2 R1 G2
I1
Iges
=
Rges
R1
=
G1
G ges
Ströme verhalten sich umgekehrt proportional zu den
Widerständen und direkt proportional zu den Leitwerten.
33
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Die Ersatzstromquelle
GL =
Ersatzstromquelle = Konstantstromquelle + Gi
→ IL = I0 (1 −
Gi
GL
) = I0
Gi + GL
Gi + GL
÷ eingeprägter Strom
∑I = 0
I0 = Ii = IL = 0
IL = I0 − Ii = I0 − U ⋅ Gi
|
1
1
= I0
U = UL = IL
GL
Gi + GL
Umrechnung
U = I0 ⋅ Rges = I0
Ersatzstromquelle
Gi =
1
;
Ri
1
RL
I0 =
U0
Ri
]
1
1
= Io
G ges
Gi + GL
Ersatzspannungsquelle
Ri =
1
;
Gi
U0 = I0
1
Gi
Zusammenstellung
Ersatzstromquelle
Leerlauf
GL = 0
Kurzschluss
GL 6 4
Leistungsanpassung
GL =Gi
Spannungsanpassung
Stromanpassung
I0
Gi
=0
ILl = 0, ULl =
ILK = I0 , ULK
2
Ersatzspannungsquelle
ILl = 0, ULl = U0
ILK =
U0
, ULK = 0
Ri
I0
4 Gi
U
RL = Ri , PL = Pi = 0
4Ri
------------------
RL >> Ri ⇒ UL ≈ U0
PL = Pi =
GL >> Gi ⇒ IL ≈ I0
2
------------------
34
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Reihenschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand
Beispiel: Widerstand und Diode in Durchlassrichtung
Gesucht: Gesamtwiderstand
Lösung: Rechnerisch oder Grafisch
I
R
D
R+D
I4
I3
Die rechnerische Lösung ist schwierig, da die
exakte Diodenkennlinie nur mit großen Aufwand
zu ermitteln ist. Üblich ist die empirisch ermittelte, typische Kennlinie, die grafisch in Datenblättern angegeben wird.
÷ Daher ist die grafische Lösung zweckmäßig.
I2
Lösungsprinzip:
I1
Addition der Teilspannungen bei konstantem
Strom: ÷ ergibt jeweils einen Punkt auf der resultierenden Gesamtkennlinie (R+D).
U
Parallelschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand
Beispiel: Transistoreingang (Basis) mit parallelem Basis-Teilerwiderstand
Gesucht: R ges = RB 2 rBE
÷ Lösung wieder grafisch, da zweckmäßiger
I
Lösungsprinzip:
R||D
D
Die Teilströme bei jeweils konstanter
Spannung werden addiert:
÷ Summe ergibt einen Punkt auf der
neuen, gemeinsamen Widerstandskennlinie (R||D).
RB2
U
35
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Gemischte Stromkreise
(Anwendung von Maschen- und Knotenregel)
In einem gemischten Stromkreis kommen Reihen- und Parallelschaltungen von aktiven und
passiven Zweipolen vor.
Der belastete Spannungsteiler (Potentiometer)
def.
ULl
= k = 0...1
U1
Gesucht:
→
ULl = k ⋅ U1
UL = f (U1,RL ,R)
Berechnung mit Parallelschaltung und Spannungsteilerregel
1. Parallelschaltung
Rp =
Reihe
RL ⋅ k ⋅ R
RL + k ⋅ R
RR = (1 − k ) ⋅ R
2. Spannungsteilerregel
UL
RP
=
=
U1 RP + RR
RL ⋅ k ⋅ R
 R ⋅ k ⋅R

+ (1 − k ) ⋅ R
(RL + k ⋅ R) ⋅  L
 RL + k ⋅ R

UL
RL ⋅ k ⋅ R ⋅ (RL + k ⋅ R)
=
U1 (RL + k ⋅ R) ⋅ [RL ⋅ k ⋅ R + (RL + k ⋅ R)(1 − k ) ⋅ R]
=
=
RL ⋅ k ⋅ R
RL ⋅ k ⋅ R + (R ⋅ RL + k ⋅ R²)(1 − k )
RL ⋅ k ⋅ R
 1 R 

RL ⋅ k ⋅ R ⋅ 1 +  +
 (1 − k )
  k RL 

1
1
=
=
1 k R
1 R
1+ − +
(1 − k )
(1 − k )
+
k k RL
k RL
UL =
1
⋅ U1
1 R
(1 − k )
+
k RL
36
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Grafische Darstellung des Ergebnisses
UL
= f (k)
U1
Wertetabelle
Parameter
R
RL
k
0.00010.001
,
.. 1
ri
1.. 4
i
0
a( k , r )
UL
U1
k
r .( 1
10
k)
100
1
0
0,1
1
10
4
0
0
0
0
0
0,2
0,2
0,2
0,17
0,08
0
0,4
0,4
0,39
0,32
0,12
0
0,8
0,8
0,79
0,7
0,31
0
1
1
1
1
0
1
k
R
RL
1
1
0.8
0.6
a k, r
i
0.4
1
8
RL=4
Leerlauf
0
8
RL=0
Kurzschluss
0.2
0
0
0.2
0.4
k
0.6
0.8
1
(mit Mathcad)
Potentiometer: Einstellbare Spannungsteiler
S
S
weites Anwendungsgebiet in Mess-, Regel- und Steuertechnik
feinstufige Einstellung der Ausgangsspannung UL
Vorteile:
Nachteile:
Einfaches Prinzip, kostengünstig
Bei Belastung Verluste im Potentiometer verbunden mit nichtlinearem Verhalten
Praktische Auslegung:
Wichtig:
Bei
R << RL für akzeptable Linearität
Üblich wird der Querstrom Iq = 5...10 IL gewählt, damit ergibt sich
für R:
U1
R=
5...10 ⋅ IL
R
≈ 1 ist das Potentiometer durch Überlastung am Schleiferanfang bzw.
RL
Schleiferende gefährdet.
Beispiel
Ein Drahtpotentiometer von R=5kS ist für Pmax=5W ausgelegt.
Bei welchem min. Lastwiderstand RL am Abgriff ist das Poti gefährdet? U1=100V
37
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Lösung:
P
5W
=
= 316
, mA
R
5kΩ
÷ 31,6mA dürfen an allen Stellen des Widerstandsdrahtes des Potis fließen.
Imax des Potis bestimmen
[
P = I² ⋅ R
(
U1 = I1 (1 − k )R + R ⋅ k RL
→
I=
)]
÷ Größte Gefahr am Widerstandsanfang: Zur Vereinfachung wird k=1 gesetzt.
(
)
U1 = I1 R RL = I1
→ RL =
R ⋅ RL
R + RL
U1 ⋅ R

U 
I1  R − 1 
I1 

=
U1 ⋅ R
100 V ⋅ 5kΩ
=
= 8,62kΩ
I1 ⋅ R − U1 316
, mA ⋅ 5kΩ − 100 V
Beispiel
Spannungsteiler für U1=12V, UL=5V,
RL=150S
Der Querstrom soll Iq=2IL und Iq=8IL betragen.
Gesucht:
R1 und R2 für beide Fälle und die Lastspannungsänderung ªUL, wenn RL auf
100S abfällt.
8IL
2IL
UL
5V
=
= 33mA
RL 150Ω
33mA
Iq = 8 ⋅ IL = 8 ⋅ 33mA = 264mA
66mA
IL =
R2 =
UL
5V
=
= 18,9 Ω
Iq
264mA
R1 =
U1 − UL
12V − 5 V
=
= 23,6Ω
Iq + IL
264mA + 33mA
75,76Ω
70,71Ω
Lastspannungsänderung für RL=100S:
8IL
R2 ⋅ RL
18,9Ω ⋅ 100Ω
=
= 15,9Ω
R2 + RL 18,9Ω + 100Ω
RP '
15,9 Ω
UL ' = U1
= 12V
= 4,83 V
R1 + RP '
23,6Ω + 15,9Ω
RP ' =
∆UL = UL '−UL = 4,83 V − 5 V = −0,17 V
2IL
43,1Ω
4,57V
−0,43 V
Berechnung einer Ersatzspannungsquelle
Anwendung von Kirchhoff I und II ÷ GI=0, GU=0
38
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Innenwiderstand eines Spannungsteilers
Eingangsspannung + Teiler
=
Grundstromkreis mit
Ersatzspannungsquelle
UL = U01 − IL ⋅ Ri
Beispiel:
Gegeben: U0, R1, R2, RL
Gesucht: UL=f(IL, U0)
Ansatz mit Kirchhoff
M1: U0 - U1 - UL = 0
M2: U2 - UL = 0
K1: I1 - I2 - IL = 0
Ohmsches Gesetz:
I1 = I2 + IL =
÷ UL = U2
÷ I1 = I2 + IL
U1 = I1 @R1
UL
+ IL
R2
einsetzen in M1 ergibt:
−UL = −U0 +
U

U0 −  L + IL  R1 − UL = 0
 R2

UL
R1 + ILR1
R2

R 
UL  1 + 1  = U0 − ILR1
R2 

UL = U0
UL =
Ergebnis:
Probe:
Ri = R1 R2
Ri =
R2
R ⋅R
− IL 1 2
R1 + R2
R1 + R 2
↓
U01
↓
− IL ⋅ Ri
Koeffizientenvergleich
U01 = Ausgangsspannung des unbelasteten Teilers (IL = 0)
U01 ULl
R2
R
R ⋅R
=
=
U0 ⋅ 1 = 2 1 = R1 R 2
Ik
ILk
R1 + R 2
U0 R1 + R 2
U01 = ULl =
R2
U0
R1 + R 2
39
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Beispiel:
Bestimmung der Funktion
stellung.
R ⋅R
Ri = 1 2
R1 + R 2
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Ri
= f (k ) des unbelasteten Potentiometers mit grafischer DarR
R1 = (1 − k )R
R2 = k ⋅ R
(1 − k )R ⋅ k ⋅ R
(1 − k )R + k ⋅ R
(1 − k )R ⋅ k ⋅ R
(1 − k )R
= (1 − k )R ⋅ k
=
Ri =
 1− k  1− k + k
k ⋅ R
+ 1
k

 k
Ri =
Ri
= (1 − k )k = k − k ²
R
÷
Wertetabelle
k
0
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
1
Ri
R
0
0,16
0,24
0,25
0,24
0,16
0
UL
U0
Ri
R
1
0,5
0,4
0,8
UL
U0
0,4
0,3
0,25
0,2
0,2
0,1
0,6
Ri
R
0,2
0,4 0,5 0,6
0,8
k
1
Berechnung gemischter Widerstandschaltungen
÷ Kombination von Reihen- und Parallelschaltungen
Beispiele
1.
R ges =
R1 ⋅ R 2
+ R3
R1 + R 2
40
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2.
Rges =
Zahlenbeispiel
3.
(R1 + R2 ) ⋅ R3
+ R4
R1 + R 2 + R3
U = 220 V
R1 = 1200Ω
R2 = 700Ω
R3 = 100Ω
R4 = 300 Ω
Rges
(R + R 5 ) ⋅ R3
= R1 + R2 + 4
R 3 + R4 + R5
= 1200Ω + 700Ω +
R5 = 150Ω
Gesucht I5
(300Ω + 150Ω)100Ω
100Ω + 300Ω + 150Ω
= 1982Ω
U
= 111mA
I=
Rges
I5 R3 (R 4 + R5 )
R3 (R4 + R 5 )
=
=
(R3 + R4 + R5 )(R 4 + R5 )
I
R4 + R5
I5 = I ⋅
R3
100Ω
= 111mA ⋅
(R 3 + R 4 + R5 )
100Ω + 300Ω + 150Ω
I5 = 20,2mA
4.
R1 = 10Ω
R2 = 20Ω
R3 = 15Ω
Welchen Wert muss R4 haben, wenn der Gesamtwiderstand in beiden Schalterstellungen
gleichbleiben soll?
Ansatz:
Rges1 = R1 R2
Rges 2 = R1 (R2 + R 3 ) R 4
math. einfacher ist:
41
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1
Rges1
=
Prof. Dr. Suchaneck
1
Rges 2
1
1
1
1
1
+
=
+
+
R1 R2 R1 R2 + R3 R4
1
1
1
=
−
R4 R2 R2 + R3
R4 =
1
1
1
−
R 2 R2 + R 3
=
1
1
1
−
20 Ω 20Ω + 15Ω
= 46,67Ω
5. Kettenschaltung
R1 = 30Ω, R2 = 70Ω, R3 = 20Ω, R4 = 160 Ω, R5 = 40Ω, R6 = 80Ω, R7 = 120Ω
U = 24 V
Wieviel % von U beträgt U7 ?
Wieviel % von I beträgt I7 ?
Berechnung
REF → RCD → R AB = Rges = 77,61Ω
U2 RCD
=
→ U2 = 14,72 V
U Rges
Spannungsverhältnisse
U4
REF
=
→ U4 = 8,79 V
U2 R3 + REF + R5
U7
R7
=
→ U7 = 5,27 V
U4 R 6 + R7
U7 5,27 V
=
= 0,22 → 22%
24 V
U
U
5,27 V
= 43,9mA
I7 = 7 =
R7 120Ω
I=
24 V
U
=
= 309,2mA
Rges 77,61Ω
I7
43,7mA
=
= 0,142 → 14,2%
309,2mA
I
42
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Beispiel: Widerstandswürfel
Jede Kante eines Würfels habe den Widerstand 1S. Wie groß ist der Widerstand zwischen
den gegenüberliegenden Eckpunkten A und C?
Lösung:
Vorstellung: Würfel zwischen A und C auseinandergezogen
Die in A und C zusammenlaufenden Widerstände je 1S in 2 parallele Widerstände je 2S
aufspalten: dadurch entstehen 6 parallele Zweige je 5S.
Rechnung:
Jeder Parallelzweig:
R' AC = 2Ω + 1Ω + 2Ω = 5Ω
Widerstand zwischen A und C:
R AC =
5
1
1
=
= Ω
 1  6Ω 6
6

 5Ω  5
Eine Lösung ist auch mit der Stern-Dreieckumformung möglich.
43
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Stern- und Dreiecksschaltungen
C
C
allg.
Anwendung in der Drehstromtechnik
Schaltungsvereinfachung
Stern
T-Schaltung (Vierpol)
Dreieck
π-Schaltung (Vierpol)
3.4
Umrechnung Sternschaltung ⇔ Dreieckschaltung
Annahme zur Ermittlung der Umrechnungsformeln: Der Widerstand zwischen je 2 Punkten
muss bei beiden Schaltungen gleich sein.
Punkt
Y
∆
1- 2
R1 + R2 = R12 (R31 + R23 ) =
R12 (R31 + R23 )
= RE12
R12 + R23 + R31
2-3
R2 + R3 = R23 (R12 + R31 ) =
R23 (R12 + R31 )
= RE23
R12 + R23 + R31
3 -1
R3 + R1 = R31 (R23 + R12 ) =
R31(R23 + R12 )
= RE31
R12 + R23 + R31
Umrechnung
∆→Y
Wenn R12, R23 und R31 gegeben sind, können R1, R2 und R3 berechnet werden.
R1 = RE12 − R 2
R2 = RE23 − R 3
R3 = RE31 − R1
44
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⇒
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R1 = RE12 − RE23 + RE31 − R1
2R1 = RE12 − RE23 + RE31
1
(RE12 − RE23 + RE31 )
2
2R12R31
R R + R12R23 − R23R31 − R23R12 + R31R12 + R31R23
=
R1 = 12 31
2(R12 + R23 + R31 )
2(R12 + R23 + R31 )
R1 =
R1 =
R12 ⋅ R 31
R12 + R23 + R31
(1)
Durch zyklisches Vertauschen der Indizes:
R2 =
R23 ⋅ R12
R12 + R23 + R 31
Umrechnung
R3 =
(2)
R31 ⋅ R 23
R12 + R23 + R 31
(3)
Y→∆
Dabei sind R1, R2 und R3 gegeben und R12, R23 und R31 können berechnet werden.
Ansatz: Verhältnisbildung mit (1), (2) und (3)
R1 R31
=
R2 R23
R2 R12
=
R3 R31
R3 R23
=
R1 R12
(1) geteilt durch R31
R1 =
R12
R31
R12
R12
=
R
R2 R2
+ 23 + 1
+
+1
R31
R3 R1
nach R12 auflösen ergibt
R12 = R1 + R2 +
R1 ⋅ R 2
R3
mit zyklischer Vertauschung
R23 = R 2 + R 3 +
R2 ⋅ R3
R1
R31 = R 3 + R1 +
R 3 ⋅ R1
R2
45
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3.5
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Lineare Maschennetze
Netzwerke
Ein allg. Netzwerk ist aus Zweigen, Knoten und Maschen aufgebaut.
Knoten
Zweig:
Kette von Zweipolen innerhalb eines
Netzwerkes, von gleichem Strom
durchflossen
Knoten:
Verbindungspunkt mehrerer Zweige
Masche: insich geschlossene Kette von Zweigen
Masche
Knoten
Zweig
Muster eines allgemeinen Netzwerkes
z=14
m=6
k=9
Zweige, d.h. 14 unbekannte Ströme
Maschen
Knoten
Beispiel:
÷
Lineares Gleichungssystem mit z Unbekannten und z Gleichungen
46
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Aufstellung der zur Lösung erforderlichen Gleichungen
Î
Kennzeichnung der Ströme und Spannungen
Quellen: Spannungen von + ÷ - (vorläufiges Bezugssystem)
Ströme entgegengesetzt
Widerstände:
ã
Spannungen und Ströme gleichgerichtete Pfeil
Maschengleichungen
m Gleichnungen
nach Kirchhoff, 'U=0
Maschen mit Umlaufsinn bezeichnen,
Gleichungen aufschreiben
ä
Knotengleichungen
(k-1) Gleichungen
'I=0
Knoten bezeichnen
Gleichungen aufschreiben: hineinfließende Ströme positiv, herausfließende negativ
eine Knotengleichung weglassen (streichen)
÷ insgesamt ergeben sich im Beispiel z=m+k-1=6+9-1=14 Gleichungen
Lösung des Gleichungssystems
1.
direkte Anwendung der Kirchhoff‘schen Sätze
÷ alle Gleichungen verwenden (geeignet für Rechenprogramme)
2.
Maschenstromverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)
Stromquellen werden in Spannungsquellen umgerechnet,
die (k-1) Knotengleichen werden eingespart,
es wird nur mit Maschen gerechnet. Gearbeitet wird mit Widerständen und Strömen
3.
Knotenpotentialverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)
Spannungsquellen werden in Stromquellen umgerechnet,
m Gleichungen werden eingespart,
nur die (k-1) Knotengleichungen werden gebraucht.
Gearbeitet wird mit Leitwerten und Spannungen.
3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen
Zur Lösung (Reduktion) des Gleichungssystems mit allen Gleichungen bieten sich im wesentlichen folgende Methoden an:
a)
b)
c)
Eliminieren durch zweckmäßiges Einsetzen bis unbekannte durch bekannte Größen
ausgedrückt sind. (Methode des „scharfen Hinsehens“)
Gauß‘scher Algorithmus (Additionsmethode)
Matrizenlösung mit Cramer‘scher Regel
47
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Beispiel
Einfaches Netzwerk mit Quellen und Lastwiderständen
Lösung mit dem Gauß‘schen Algorithmus
I1
IA
K1
m=2
k=2
I2
U1
U2
R1
R2
M2
M1
U01
÷
RA
UA
U02
Maschengleichungen
Knoten
k-1=1
Knotengleichungen
Gegeben: U01, U02, R1, R2, RA
Gesucht: I1, UA, IA
K2
Aufstellung der Gleichungen
M1
I2@R2
-I1@R1
IA@0
=
U02-U01
M2
-I2@R2
0
-IA@RA
=
-U02
K1
I2
I1
-IA
=
0
Die Anwendung des Gauß‘schen Algorithmus bedeutet: Gleichungen reduzieren
a11x1
+a12x2
+a13x3
=
c1
a21x1
+a22x2
+a23x3
=
c2
a31x1
+a32x2
+a33x3
=
c3
Prinzip:
a 21
und Addition zur 2. Gleichung.
a11
a
Multiplikation der 1. Gleichung mit − 31 und Addition zur 3. Gleichung.
a11
Multiplikation der 1. Gleichung mit −
Multiplikation der 2. Gleichung* mit −
a 32
und Addition zur 3. Gleichung*.
a22 *
* bedeutet modifiziert
Zuerst I1 berechnen ÷ Spalten vertauschen
M1
I2@R2
0
-I1@R1
=
U02-U01
M2
-I2@R2
-IA@RA
0
=
-U02
K1
I2
-IA
I1
=
0
48
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I2 in M1 und K1 eliminieren
a
−R 2
M1 mit − 21 = −
= 1 multiplizieren und zu M2 addieren, d.h. M1 und M2 addieren.
a11
R2
M1
I2@R2
0
-I1@R1
=
U02-U01
M2
-I2@R2
-IA@RA
0
=
-U02
M2*
0
-IA@RA
-I1@R1
=
-U01
U02-U01
M1 mit −
a 31
1
multiplizieren und zu K1 addieren.
=−
a11
R2
I2@R2
M1
0
-I1@R1
=
=
=
U02 − U01
R2
M1*
-I2
0
I1 RR1
2
K1
I2
-IA
I1
K1*
0
-IA
I1 R 1 + I1
2
=
M1
I2@R2
IA@0
-I1@R1
=
M2*
0
-IA@RA
-I1@R1
=
-U01
=
U02 − U01
−
R2
R
−
0
−
U02 − U01
R2
insgesamt:
R
I1 R1 + I1
2
K1*
0
-IA
IA in K1* eliminieren
a
1
M2* mit − 32 = −
multiplizieren und zu K1* addieren.
a 22
RA
M2*
0
K1*
0
K1**
0
I1
I1
(
R1
R1
U01
+
+
RA
R2
RA
)=
I1 RR1
=
-IA
I1 RR1 + I1
=
0
I1 RR1 + I1 RR1 + I1
2
A
=
A
2
U01
RA
U02 − U01
−
R2
U01
U02 − U01
−
RA
R2
U01
U02 − U01
−
RA
R2
R1R 2 + R 1R A + R A R 2
R AR 2
-IA
U02-U01
=
I1 =
U 01R 2 − (U 02 − U 01 )R A
R AR 2
U 01R 2 − (U 02 − U 01 )R A
R1R2 + R A (R1 + R2 )
49
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Zahlenbeispiel
U01=100V, U02=110V
R1=10S, R2=10S, RA=200S
100 V ⋅ 10 Ω − (110 V − 100 V )200Ω
= − 244mA
10 Ω ⋅ 10Ω + 200Ω(10Ω ⋅ 10Ω )
I2 ⋅ R 2 − I1 ⋅ R1 = U02 − U01
mit M1:
÷
I1 =
I2R2 = U02 − U01 + I1R1
= 110 V − 100 V + ( −244mA ) ⋅ 10Ω
= 10 V − 2,44 V
= 7,56 V
mit M2:
÷
- I2 ⋅ R2 − UA = −U02
UA = U02 − I2R2
= 110 V − 7,56 V
= 102,44 V
U
IA = A = 0,512 A
RA
Lösung mit Determinanten, Cramer‘sche Regel
Berechnung von Determinanten, Prinzip:
a11 a12
= a11a 22 − a 21a12
a 21 a 22
a11 a12
a 21 a 22
a 31 a 32
a13
a
a 23 = a11 22
a 32
a 33
a 23
a 33
+ a12
a 23
a 21
a 33
a 31
+ a13
a 21 a 22
a 31 a 32
Ausgangsmatrix (vorheriges Beispiel)
I2
R2
−R2
1
I1
IA
−R1
0 = U02 − U01
0
−R A = −U02
1
−1 =
0
Zur Berechnung eines unbekannten Stromes wird in der Ausgangsmatrix die Spalte des
unbekannten Stromes durch die Spalte mit den bekannten Größen ersetzt. Diese Matrix mit
der ausgetauschten Spalte wird dann durch die Ausgangsmatrix dividiert.
50
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0
R2 U02 −U01
−R2 −U02 −R A
R ( −U02 ( −1) − 0) + (U02 − U01 )(( −R A )1 − ( −1)( −R 2 ) + 0()
1
0
−1
I1 =
= 2
0
R2 −R1
R 2 ( 0 − 1( −R A ) + ( −R1 )(( −R A )1 − ( −1)( −R 2 ) + 0()
0
−R2
−R A
1
−1
1
1100 VΩ − 2100 VΩ −1000 VΩ
10 Ω ⋅ 110 V + 10 V( −200Ω − 10Ω)
=
=
2000Ω ² + 2100 Ω ²
4100Ω ²
10Ω ⋅ 200Ω + ( −10Ω)( −200Ω − 10Ω)
= −0,244 A
I1 =
R2
−R 2
1
IA =
R2
−R2
1
IA =
−R1
U02 −U01
0
−U02
R (0 + U02 ) + ( −R1 )(( −U02 ) − 0)(U02 − U01 )( −R2 − 0)
1
0
= 2
0
−R1
R2 ( 0 − 1( −R A ) + ( −R1 )(( −R A )1 − ( −1)( −R 2 ) + 0()
0 −R A
1
−1
10Ω ⋅ 110 V + 10Ω ⋅ 110 V + 10 V( −10Ω) 2100 VΩ
=
= 0,512A
4100Ω ²
4100Ω ²
UA = R A ⋅ I A = 200 Ω ⋅ 0,512A = 102,4 V
3.5.2 Das Überlagerungsverfahren
Überlagerungssatz von Helmholtz (1853)
÷
In einem linearen System kann die Gesamtwirkung aller Ursachen an einer Stelle
durch Addition (Zusammenzählen) der Wirkungen der Einzelursachen bestimmt werden. (Anwendung auf vielen Gebieten der Physik)
Anwendung bei der Berechnung elektrischer Netzwerke mit linearen Komponenten
Die Ströme in den Zweigen und die Spannungen zwischen den Knotenpunkten eines linearen elektrischen Netzwerkes mit mehreren voneinander unabhängigen Quellen für Spannung und Strom sind gleich der Summe der Teilströme und -spannungen die von den Einzelquellen verursacht werden.
Voraussetzungen:
S
S
Lineare Widerstände ÷ Proportionalität zwischen U und I,
nichtlineare Widerstände können abschnittsweise linearisiert werden
unabhängige aktive Zweipole
51
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Mathematische Beziehungen
Ix =
2.
3.1
3.2
4.
5.
6.1
6.2
7.
∑I
xU0i
+
i=1
Verfahrensweise
1.
n
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m
∑I
xI0 i
i=1
alle Spannungsquellen bis auf eine überbrücken,
die Innenwiderstände bleiben bestehen.
alle m Stromquellen durch Unterbrechung abschalten
Teilstrom IxU01 mit U01 berechnen, evtl. mit Stern/Dreieckumformung etc.
wie bis 3.1 aber mit U02 bis U0n
Alle n Spannungsquellen überbrücken,
Alle Stromquellen (m-1) mit bis auf eine (Ik1) durch Unterbrechung abschalten
Teilstrom IxIk1 mit Ik1 berechnen, evtl. mit Hilfsverfahren
wie bis 6.1 aber mit Ik2 bis Ikm
Alle Teilströme zum Gesamtstrom Ix addieren.
Beispiel zum Überlagerungsprinzip
I1
IL
I2
2 Spannungsquellen speisen 1 Verbraucher
R1
Gesucht: I1
RL
U02
U01
1. Schritt:
R2
U02=0
I1/1
R1
R2
RL
I1/1 =
U01
U01
=
Rges1 R1 + R2 RL
U01
2. Schritt:
U01=0
I2 / 2 =
I1/2
I2/2
R1
R2
Stromteilerregel
− I1/ 2 R1 RL
=
I2 / 2
R1
RL
U02
÷
3. Schritt:
U02
R2 + R1 / /RL
Addition der Teilströme
I1/ 2 = −
R1 RL
R1
⋅
U02
R 2 + R1 RL
I1=I1/1+I1/2
52
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3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen
Verfahren zur Vereinfachung von Stromkreisen und zur Erleichterung der Berechnung durch
Reduzierung auf die Schnittstellengrößen IA und UA (Grundstromkreis).
Als bekannt vorausgesetzt:
das Verhalten von Grundstromkreisen mit Quelle, Innenwiderstand, Lastwiderstand,
Strom, Leistung, Widerstandsverhältnisse, Anpassung.
Zweipolberechnung
passiver Zweipol:
aktiver Zweipol:
Netzwerk ohne Quellen aus passiven Schaltungselementen
Netzwerk aus passiven und aktiven Schaltungselementen
÷ Widerstände und Quellen
Beispiel: aktiver Zweipol
|
oder
Ersatzspannungsquelle
U0 =
Ri =
(U01 + U02 )R 3
= U Al
R1 + R 2 + R 3
U Al
= (R1 + R 2 ) R 3 + R 4
IAk
Ersatzstromquelle
I4
Iges
=
Iges =
R3 R 4
R4
U01 + U02
R1 + R2 + R3 R4
⇒ I0 = I4 =
Gi =
(U01 + U02 ) ⋅ R3 R4
R4 (R1 + R 2 + R3 R4 )
I0 = IAk = I4
1
1
=
Ri (R1 + R2 ) R3 + R4
53
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Verfahren zur Stromkreisvereinfachung
1.
Festlegung einer Trennstelle (Klemmen) zwischen aktivem und passivem Zweipol an
der Stelle der gesuchten Größe IL und UL.
2.
Vereinfachung der an den Klemmen angeschlossenen Zweipole (aktiv sowie passiv)
zum Grundstromkreis.
3.
Berechnung der gesuchten Größen z. B. mit den Formeln für die Grundstromkreise.
mit Ersatzstromquelle
Mit Ersatzspannungsquelle
UL = U0 − IL ⋅ Ri
= U0 ⋅
IL =
=
(1)
RL
RL + Ri
IL = I0 − UL ⋅ Gi
(5)
GL
GL + Gi
(6)
= I0 ⋅
(2)
U0 − UL
Ri
(3)
UL =
U0
Ri + RL
(4)
=
I0 − IL
Gi
(7)
I0
Gi + GL
(8)
1.Beispiel:
R1=10S
U0
100V
IL A I3
R2
100S
R3=10S
UL
R4=20S
R5
500S
Gesucht:
IL=I3
R4
200S
B
1.1 Berechnung mit Ersatzspannungsquelle
1.Schritt
Vereinfachung rechte Seite
RL = R 3 + R5 (R 4 + R6 ) = 10Ω + 500Ω 220Ω = 162, 7Ω
2.Schritt
Vereinfachung linke Seite
R2
U01 = ULl = U0 ⋅
= 90,9 V
R1 + R 2
R2
U0 ⋅
U
R1 + R 2
R ⋅R
= 2 1 = R1 R 2 = 9,09Ω
Ri = Ll =
U0
ILk
R1 + R 2
R1
54
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mit (4)
IL = I3 =
=
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U01
Ri + RL
90,9 V
9,09Ω + 162, 7Ω
= 528,9mA
1.2 Rechnung mit Ersatzstromquelle
1
1. Schritt
GL =
= 6,143mS
RL
2. Schritt
(linke Seite)
I0 = ILl =
Gi =
ILk
ULl
U0 100 V
=
= 10 A
10Ω
R1
U0
R1
R + R2
1
=
=
= 1
= 0,011S
R2
R1 ⋅ R2
Ri
U0 ⋅
R1 + R2
3. Schritt mit (6)
I3 = IL = I0 ⋅
GL
6,1mS
= 10 A
= 528,9mA
GL + Gi
6,1mS + 0,11S
2. Beispiel:
Brückenschaltung
Zerlegung in 2 Quellen und 1 passiver Zweipol, gesucht U5
⇒
U01 = U0 ⋅
U02 = U0 ⋅
R2
= U0 ⋅ k 1
R1 + R2
R4
= U0 ⋅ k 2
R3 + R4
Ri1 =
R1 ⋅ R2
= R1 ⋅ k 1
R1 + R2
Ri 2 =
R 3 ⋅ R4
= R3 ⋅ k 2
R3 + R4
Masche:
U01 − I5Ri1 − I5R5 − I5Ri2 − U02 = 0;
U01 − U5 (
U5 =
I5 =
U5
R5
Ri1
R
+ 1 + i2 ) − U02 = 0
R5
R5
U01 − U02
1
(Ri1 + Ri2 + R5 )
R5
→ I5 =
U01 − U02
(Ri1 + Ri2 + R 5 )
55
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4.
Energie und Leistung; Energieumformung (Zusammenfassung)
1)
Elektrische Energie ∆W12 = (ϕ 1 − ϕ 2 )N
⋅ q = U ⋅ I ⋅ ∆t =
12
4 4
3 { {
2)
P=
Elektrische Leistung
*
Q = I⋅∆ t
U
∫
t2
t1
u( t) ⋅ i( t)dt
∆W
=U
⋅ I ; p(t) = u(t) ⋅ i(t)
{
∆t
*
(1)
(2)
* Gleichspannung, Gleichstrom
3)
Energieumformung; Wirkungsgrad (in % 6 multiplizieren mit 100%)
η=
PN
PN
=
Pges PN + PV
PV = (1 − η) ⋅ Pges
4.1
PN=Nutzleistung
Pges=Gesamtleistung
PV=Verlustleistung
(3)
(4)
Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie
Gewinnung elektr. Energie
∆ Wel = η ⋅ ∆ Wmech
Abgabe mech. Energie
∆ Wmech = η ⋅ ∆ Wel
Geradlinige Bewegung
Drehbewegung
(5)
(6)
∆W
∆s
=F⋅
= F ⋅ v (8)
∆t
∆t
(9); P = M ⋅ ∆ϕ = M ⋅ ω = M π ⋅ n (10)
∆t
30
∆Wmech = F ⋅ ∆s
P=
(7);
∆Wmech = F ⋅ ∆s = M ⋅ ∆ϕ
∆Wmech = F ⋅ ∆s = m ⋅ a ⋅ ∆s = m
Geradlinige Beschleunigung
v2
=
∆s
= m ⋅ a ⋅ v (12)
∆t
∆v
F ⋅ ∆t
→ ∆v =
mit (7) und (11) F =
m
∆t
P = m⋅a⋅
Drehbeschleunigung
∫ m ⋅ v ⋅ dv =
v1
∆v
⋅ ∆ s = m ⋅ v ⋅ ∆v
∆t
m
2
2
( v 2 − v1 )
2
(11)
(11a)
∆ω
2
∆ W = F ⋅ ∆s = m ⋅ a ⋅ ∆s = m ⋅ r
⋅ r{
∆ϕ = mr
{ ⋅ ω∆ω (13)
∆t
J
{
∆s
a
ω2
=
1
∫ J ⋅ ωdω = 2 J(ω
2
2
2
− ω 1 ) (13a)
ω1
P=
∆W
∆ω
= J⋅ ω
= J⋅ ω ⋅ a
∆t
∆t
mit (9) und (13) M = m ⋅ r 2
∆ω
∆t
(14)
→ ∆ω =
M ⋅ ∆t
M ⋅ ∆t ⋅ 30
; ∆n =
J
J⋅ π
56
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Umrechnung ω auf n ; [n]=min-1
∆W =
ω=
Prof. Dr. Suchaneck
n ⋅ 2π
= 0,105n
60
1
2
2
2
2
J ⋅ 0,105 2 (n 2 − n1 ) = 5,48 ⋅ 10 − 3 ⋅ J(n 2 − n1 )
2
J
∆W
2
2
P=
= 5,48 ⋅ 10 − 3 ⋅ (n2 − n1 )
∆t
∆t
(15)
[ ∆W ] = Ws
[ ∆t ] = s
[n] = min −1
(16)
[J] = kg ⋅ m 2
Energie freier Elektronen
Energie ∆W = F ⋅ ∆s = q ⋅ E ⋅ ∆s = q ⋅ U = −16
, ⋅ 10 −19 ⋅ U
Geschwindigkeit (v<<c)
m0 ⋅ v 2
= e ⋅U → v =
2
Energie 1J = 1Ws = 1Nm = 1kg
Einheiten:
2eU
m
= 0,594 U ; [ v] =
m0
s
m2
s2
Nm
m2
Leistung 1W = 1
= 1kg 3
s
s
4.2 Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie (Wärme)
4.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers (Temperaturerhöhung)
∆Wth = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ = c ⋅ m ⋅ ( ϑ 2 − ϑ 1 ) ; c ⋅ m = C th
C = Wärmekapazität
∆Wth
∆ϑ
= c ⋅m⋅
→ Pth ⋅ ∆t = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
c = spezifische Wärmekap.
∆t
∆t
1
mit p( t)dt = c ⋅ m ⋅ ( ϑ 2 − ϑ 1 ) → ϑ 2 =
p( t)dt +ϑ 1
c ⋅m
Pth =
∫
∫
4.2.2 Wärmeleitung eines Körpers
Wärmefluss von x2(h2) nach x1(h1);
Pth ⋅ ∆x = λ ⋅ A ⋅ ∆ϑ
R th =
∆ϑ
∆x
=
Pth λ ⋅ A
ªx=Dicke
λ = Wärmeleitzahl; [ λ ] =
W
m⋅K
A = durchströmte Fläche
λ cu = 372 mW⋅K
57
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Prof. Dr. Suchaneck
4.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) von festen auf flüssige oder gasförmige Medien
Pth = PK = α ⋅ A KF ⋅ ∆ϑ
∆ϑ = ϑ KF − ϑ U
R th =
∆ϑ
1
=
Pth α ⋅ A KF
α − Werte
α ML = 10
Metall / Luft
α = Wärmeübergangskoeffizient
KF = Konvektionsfläche
W
K ⋅m2
Metall / Wasser α ML = 350
W
U = Umgebung
K ⋅m2
Vergleich
thermisch
elektrisch
Energie
∆Wth = Q th = Pth ⋅ ∆t = C th ⋅ ∆ϑ
(Wärmemenge)
Ladung Q = I ⋅ ∆t = C ⋅ U
Wärmestrom Pth =
Q th
∆t
Strom I =
Temperaturintervall ∆ϑ = ϑ 2 − ϑ 1
Wärmekapazität C th = c ⋅ m =
Wärmeleitfähigkeit λ
(Wärmeleitzahl)
∆Wth Q th
=
∆ϑ
∆ϑ
Q
∆t
Spannung U = ϕ 2 − ϕ1
Kapazität C =
Q
U
spez. Leitwert κ
Beispiele zum Kapitel 4
1.
Zur Spannungsversorgung eines elektrischen Gerätes werden 5 Batterien je 1,5V
Reihenschaltung) eingesetzt. Die Stromaufnahme beträgt I=50mA.
Wieviel kostet 1kWh aus diesen Batterien, wenn die Lebensdauer 80 Stunden und der
Kaufpreis 0,55 EUR je Batterie beträgt?
W=U@I@t=5@1,5V@0,05A@80h=30Wh=0,03kWh
Kosten =
2.
1kWh
, EUR
⋅ 5 ⋅ 0,55EUR = 9170
0,03kWh
Die Leistungsaufnahme eines Elektrowärmegerätes soll verdreifacht werden. Um wieviel muss die Spannung gesteigert werden? R bleibt konstant.
58
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Prof. Dr. Suchaneck
P2 = 3 ⋅ P1
2
2
U2
U
= 3⋅ 1
R
R
2
2
U2 = 3 ⋅ U1
2
U2 = 3 ⋅ U1 = 3 ⋅ U1
3.
Zwei Glühlampen mit den Leistungen P1=40W und P2=60W an jeweils UL=40V werden
in Reihe an U=80V geschaltet. Wie groß muss der parallel zur Lampe 1 geschaltete
Widerstand R sein, damit an beiden Lampen 40V liegt?
U
= 40 V
2
U2
U2
, R2 =
R1 =
P1
P2
U1 = U2 =
R2 = R R1
R2 =
R ⋅ R1
R + R1
→ R ⋅ R1 = R2 ⋅ R + R2 ⋅ R1
→ R(R1 − R2 ) = R2 ⋅ R1
R2 ⋅ R1
U2U2
=
R=
R1 − R2 P P U2 ( 1 − 1 )
1 2
P1 P2
R=
4.
40 2 V 2
= 80Ω
1
1
)
40 W 60 W (
−
40 W 60 W
Ein elektrischer Motor mit einer Leistungsaufnahme P1=25kW ist mit einer Förderpumpe gekoppelt, die aus einem 300m tiefen Schacht Wasser heraufpumpen soll.
Zu berechnen ist die pro Minute geförderte Wassermenge.
Einheiten:
Wirkungsgrad Motor: ηM = 0,82
1Nm = 1Ws
Wirkungsgrad Motor: ηP = 0,7
Abgegebene Leistung:
P2 = ηM ⋅ ηP ⋅ P1 = 0,82 ⋅ 0,7 ⋅ 25kW = 14,35kW = 14350
Nm
s
F ⋅h
P=
t
F = m⋅g
1W = 1
Nm
s
m
s2
kg ⋅ m
1N = 1 2
s
1kg = 1 Liter
g = 9,81
59
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P2 =
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Prof. Dr. Suchaneck
m⋅ g⋅h
∆h
=F
t
∆t
Nm
14350
⋅ 60s
P2 ⋅ t
s
→m=
=
m
g⋅h
9,81 2 ⋅ 300m
s
kgm 2
s
2
2
Ns
m = 292,56
= 292,56 s
= 292,56kg
m
m
→ V = 292,56 Liter pro Minute
5.
Ein Strom I=80A fließt für t=1,5s durch ein R=60m langen Alu-Draht mit A=1,5mm²
(Masse m=0,243kg).
Wie groß ist die Temperaturerhöhung im Leiter? (Wärmeverlust vernachlässigber)
c Al = 896
J
kgK
∆Wth = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
P ⋅ t = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
I2 ⋅ R ⋅ t = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
ρ⋅l
I2 ⋅
⋅ t = c ⋅ m ⋅ ∆ϑ
A
Ω ⋅ mm 2
⋅ 60m ⋅ 15
(80 A ) ⋅ 0,0278
, s
I2 ⋅ ρ ⋅ l ⋅ t
m
=
= 49K
→ ∆ϑ =
J
c⋅m⋅ A
2
⋅ 15
0,243kg ⋅ 896
, mm
kgK
2
6.
Ein Wasserheizgerät mit P=21kW erwärmt 80 Liter Wasser von h1=20°C auf h2=60°C.
Welche Zeit wird benötigt, wenn der Wirkungsgrad mit 0=0,8 angenommen wird?
c W = 4187
J
kgK
c ⋅ m ⋅ ∆ϑ = P ⋅ t ⋅ η
→P=
c ⋅ m ⋅ ∆ϑ c ⋅ m ⋅ ( ϑ 2 − ϑ 1 )
=
t⋅η
t⋅η
c ⋅ m ⋅ (ϑ 2 − ϑ 1)
=
P⋅η
= 797,5s = 13,3min
→t=
4187
J
⋅ 80kg ⋅ ( 60° C − 20° C)
kgK
21 ⋅ 10 3 W ⋅ 0,8
60
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5.
Grundlagen der Elektrotechnik I
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Das elektrische Strömungsfeld
÷ elektrisches Feld in Leitern (siehe DIN 1324)
Bekannt:
1. Was ist elektrischer Strom
2. Warum fließt elektrischer Strom
3. elektrischer Stromkreis
Bisherige Betrachtung:
Strom im linearen Leiter
(linear bedeutet: Durchmesser konstant, homogenes Material)
Nun sollen die Verhältnisse im beliebig geformten Leiter untersucht werden.
Zur Beschreibung ist die Einführung des Feld-Begriffes zweckmäßig.
÷ Ein Feld ist ein Zustand des Raumes; jedem Raumpunkt einer physikalischen Größe
(Feldgröße) kann ein Wert zugeordnet werden.
Unterscheidung:
Vektorfeld: Feldgröße ist ein Vektor
z.B. el. Feld
Skalarfeld: Feldgröße ist ein Skalar
z.B. Temperaturfeld
Ursachen des el. Strömungsfeldes:
r
r
Auf el. Ladungen Q = N ⋅ q = N ⋅ e werden Kräfte F = Q ⋅ E im el. Feld ausgeübt.
Hauptrichtung dieser Kräfte ÷ Kraft-Feldlinien.
Orte gleichen Potentials ÷ Äquipotentiallinien.
Die Äquipotentiallinien schneiden die Feldlinien rechtwinklig (orthogonal).
Homogene und inhomogene Felder
5.1
Feldbilder
Beispiele
1.)
homogen
r
r
r F
S( x) ~ E =
Q
r
S1
r
r
S3 = S1
Homogenes Feld: Feldvektor hat an jeder Stelle den gleichen Betrag und gleiche Richtung.
61
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2.)
Grundlagen der Elektrotechnik I
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inhomogen
Beispiel: zylindrischer Behälter mit Elektrolyt
r
S(r, ϕ )
Inhomogenes Feld:
Feldvektor ist nach Betrag und Richtung
ortsabhängig.
5.2
Stromdichte
S=
Stromdichte bei homogener Stromverteilung:
Stromdichte bei inhomogener Stromverteilung:
S = f ( A ) und A = f(x, y)
I
A
S=
Einheit
A
mm 2
dI( A ) dI( x, y)
∆I
=
=
dxdy
∆A ∆A → 0 dA
r
Zusammenhang zwischen der el. Feldstärke E und der Stromdichte
S dA =
dU
R
dI = S ⋅ dA 

E dl
dU 
S dA =
dI =
R
R 
E⋅ l
S⋅ A =
R
l
mit R =
; κ = spez. Leitfähigkeit
κ⋅A
E⋅ l
S⋅ A =
= E⋅κ ⋅ A
l
κ⋅A
∫
∫
→ S = κ ⋅E
allg.
r
r
S = κ ⋅E
Das Flächenintegral des Feldvektors heißt Fluss (hier: Strom I).
I≈
n
∑
k =1
r r
( S ⋅ ∆ A )k
exakt
r r
I = S dA
∫
A
62
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5.3
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Widerstandsberechnung
Beispiele:
1)
Ein Widerstandsdraht mit der Länge R=1m hat ein R=2S und
κ=2
m
.
Ω mm 2
Es fließt ein Strom I=4A.
a) Wie groß ist die Stromdichte im Leiter?
b) Wie groß ist die Feldstärke im Leiter?
2
l
1 ⋅ m ⋅ Ω ⋅ mm
1
A=
=
= mm 2
κ ⋅R
2 ⋅ m ⋅ 2Ω
4
I
A
4A
S= =
= 16
A 1 mm 2
mm 2
4
a)
2)
b)
A
S
mm 2 = 8 V
E= =
m
κ 2 m
2
R ⋅ mm
16
Ein galvanisiertes Kunststoffrohr mit
ri=20mm; ra=30mm;
R=50cm
hat eine spez. Leitfähigkeit κ = 10 −14
m
.
Ω mm 2
Wie groß ist der Widerstand
zwischen Innen- und Außenfläche?
(Stirnflächen ohne Metall)
dr
κ⋅A
dr
=
κ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ l
dR =
A = 2π ⋅ r ⋅ l
ra
ra
ra
i
i
i
1
dr
dr
→ R = dR =
=
κ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ l
κ ⋅ 2π ⋅ l r r
r
r
∫
=
=
3)
∫
∫
r
r
1
1
1
ln]ra =
(ln ra − ln ri ) =
ln a
[
i
κ ⋅ 2π ⋅ l
κ ⋅ 2π ⋅ l
κ ⋅ 2π ⋅ l ri
1
10 −14
m
⋅ 2π ⋅ 0,5m
Ω ⋅ mm 2
ln
30mm
= 12,91 MΩ
20mm
Gegeben ist ein zylindrischer metallischer Becher,
gefüllt mit Elektrolyt. Mittig ist eine Elektrode aus
Metall angeordnet.
Zu bestimmen ist die Stromdichte in Abhängigkeit
vom Radius r bei einer bestimmten Stromstärke I.
r
S
63
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I=
∫
r
SdA r =
Ar
2π
∫ S(h ⋅ r ⋅ dϕ ) = S ⋅ h ⋅ r ∫ dϕ = S ⋅ h ⋅ r ⋅ 2π
Ar
→S=
Prof. Dr. Suchaneck
0
I
h ⋅ r ⋅ 2π
~
Das Elektrolyt hat eine max. Stromdichte Szul
4)
—›
1
r
ri=rimin ist dadurch festgelegt.
Ein Kurzschlussstrom von I=500A tritt von einem halbkugelförmigen Erder in das Erdreich ein. Zu berechnen ist der Potentialverlauf als Funktion des Abstandradius r vom
Eintrittspunkt aus. Spez. Widerstand des Erdreichs:
D=50Sm
r r
r
S ⋅ dA = S ⋅ dA da senkrecht auf dA
r r
I = S ⋅ dA = S dA = S ⋅ 2πr 2
Halbkugel
∫
∫
A
→S=
A
I
A
500 A
,
=
=
79
58
2πr 2
2πr 2
r2
A
m2
A
m
ρ ⋅I
E = ρ⋅S =
= 50 Ω ⋅ m ⋅ 79,58 2 = 3978,87 V 2
2
r
r
2πr
ϕ 0 = ϕ r∞ = 0
r r
∞
r
ρ dr
ρ 1 1
m
ϕr = ϕ
= I
 −  = 3978,87 V
r∞ − ∫ Eds
{r = I
2
∫
{
r
2π r
2π  r ∞ 
dr
Am Erder bei r = 1m: S = 79,58
0
∞
r
dA
r r
S,E
r
Wie groß ist die Schrittspannung (ªR=1m) im Abstand r=10m und 2m?
n10m=397,89V;
n11m=361,72V
ÿ U10/11=36,17V
Schrittspannung bei r=10m
ÿ U2/3=663,15V
Schrittspannung bei r=2m
64
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5.4
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Elektrische Feldstärke und Spannung
r
r
Aufgrund S = κ ⋅ E gilt:
r
r
Jede Feldlinie des Vektors S ist gleichzeitig auch eine Feldlinie des Vektors E .
E=
Im linearen (homogenen) Leiter gilt:
r
allg. (homogen) E = E =
÷
ϕ1 − ϕ 2
l 12
dϕ
dl
Die el. Feldstärke ist ein Vektor in Richtung des Stromdichtevektors mit dem Betrag
des örtlichen Potentialgefälles.
Spannung im homogenen Feld:
r r
U12 = E ⋅ l12
r
E ändert sich von Punkt zu Punkt, daher muss der Weg
r
r r
in differentielle Wegelemente ds zerlegt werden.
dϕ = −E ⋅ ds
r
r
-Zeichen:
E zeigt in Richtung des Potentialgefälles
dϕ
E
=
−
und dϕ ist als Potentialzunahme definiert.
ds
Spannung im inhomogenen Feld:
r
s
z.B.
r
E
Die Gesamtspannung erhält man durch Integration
1
2
2
r r
U12 = ϕ 1 − ϕ 2 = dϕ = − dϕ = E ⋅ ds = −U21 = −( ϕ 2 − ϕ 1 ).
∫
2
für das Beispiel:
∫
1
∫
1
U12 = ϕ 1 − ϕ 2 = 10 V − 8 V = − (8 V − 10 V ) = 2 V
allg. gilt:
Die el. Spannung zwischen zwei Punkten eines Weges ist gleich dem Linienintegral der el.
Feldstärke längs des Weges.
2
r r
U12 = E ⋅ ds
∫
Der Wert des Linienintegrals ist wegunabhängig.
1
Für einen geschlossenen Weg (Umlauf) 1÷2÷1 erhält man stets den Wert 0 für das Linienintegral.
∫
r r
E ⋅ ds = 0
Umlaufintegral, siehe Kirchhoff: GU=0
65
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5.5
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Geschichtete Materialien
Die leitenden Schichten haben unterschiedliche Leitfähigkeiten 6. Dadurch ergibt sich eine
jeweils verschiedene elektrische Feldstärke mit unterschiedlichem Potentialverlauf.
κ1
κ2
κ3
1mm dick ÷ A=40mm²
S
cm
S
κ2 = 2
cm
S
κ3 = 4
cm
I=80mA
κ1 = 1
20
Gesucht:
20
20
Potential- und Feldverlauf
I ⋅ ∆l 1
κ⋅A
80mA ⋅ 20mm
∆ϕ 1 =
= 400mV
S
2
⋅ 40mm
1
10mm
nach gleicher Rechnung:
∆ϕ 2 = 200mV
80mA
S
I
mA
;
S= =
=2
2
κ
A 40mm
mm 2
2mA ⋅ 10mm
mV
mV
→ E1 =
= 20
= 200
2
mm
cm
mm ⋅ 1S
∆ϕ 1 = I ⋅ ∆R1 =
E=
∆ϕ 3 = 100mV
Nach gleicher Rechnung:
mV
mV
E2 = 100
; E3 = 50
cm
cm
r
S
66
TFH Berlin
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
6. Das elektrische Feld in Nichtleitern
Elektrostatisches Feld
Eigenschaften
r
r F
Es gilt E =
Q
1.
2.
Ladungen ruhen ÷ I=0
Feld (-kräfte) wie im Strömungsfeld vorhanden
Ähnlichkeit mit dem Strömungsfeld in Leitern, dort ist ein Material mit spez. Leitfähigkeit 6
und eine Stromdichte vorhanden.
Beim elektrostatischen Feld geht die Stromdichte zu Null, verschwindet. Das Material zwischen den ortsfesten Ladungen ist nichtleitend (Isolator), rdas sogenannte Dielektrikum.
Im elektrischenr Strömungsfeld ist der Stromdichtevektor S immer in Richtung des Feldstärkevektors E .
Beim
Verschwinden der Stromdichte bleibt aber das elektrische Feld mit den Feldlinien von
r
E unverändert, ebenso die Äquipotentialflächen.
Vergleich
Strömungsfeld
elektrostatisches Feld
r
r
I
Stromdichte S = r
A
r
r S
E=
κ
6.1
Verschiebungsdichte
r
r D
E=
ε
r Q
D= r
A
Nichtleiter im elektrostatischen Feld
Wie im vorherigen Vergleich angedeutet hat der Nichtleiter mit der Materialkonstanten g
einen Einfluss auf das elektrostatische Feld.
Mit folgendem Experiment kann der Einfluss gezeigt werden:
Ein Plattenkondensator mit Vakuum als Dielektrikum wird auf U0 aufgeladen. Anschließend
wird der Feldraum mit einem Isolierstoff ausgefüllt.
Feststellung: Die Spannung an den Platten wird geringer UC<U0. Nach Entfernung des Isolierstoffes steigt die Spannung wieder auf den alten Wert an.
Der Faktor
U0
= ε r ≥ 1 heißt Permittivitätszahl oder relative Dielektrizitätskonstante.
UC
r
Genauer Zusammenhang zwischen E und Qi im Vakuum:
Q i = ε 0 ⋅ E ⋅ A i Qi = kleine Prüfladung
Ai = Fläche der Prüfladung
ε 0 = Proportionalitätsfaktor, elektrische Feldkonstante
ε 0 = 8,8542 ⋅ 10 − 12
As
V ⋅m
67
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6.2
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Elektrische Verschiebungsdichte
r
Die ladungstrennende Wirkung des el. Feldes wird durch den Verschiebungsdichte-Vektor D
beschrieben.
r
r
D = ε0 ⋅E
[D] = [ ε 0 ] ⋅ [E] =
As ⋅ V
As
= 2
Vm ⋅ m m
r
(für Vakuum)
r
Der Vektor D hat im Feld die gleiche Richtung wie E .
D=
Qi
Ai
Die Verschiebungsdichte ist im gesamten Feldraum vorhanden.
6.3
Elektrische Kapazität
Durch einen Versuch ist feststellbar, dass die Ladung Q eines Plattenkondensators linear
mit der angelegten Spannung ansteigt.
Q ~U
Genauer:
Q = C ⋅U
C ist ein Proportionalitätsfaktor und heißt Kapazität.
C=
÷
Q
U
[C] =
As
[Q]
=1
= 1 Farad = 1 F
V
[U]
Jede beliebige Anordnung von 2 Leitern, getrennt durch ein Dielektrikum hat eine
Kapazität. Technische Realisierung in Kondensatoren.
Möglicher Kapazitätsbereich: 10 −12 ... ≈ 1 F . Neuere Entwicklungen von sog. "SuperCaps" basieren auf speziellen chemischen Verfahren und ermöglichen Kapazitäten
von einigen 1000F, allerdings mit rel. kleinen Betriebsspannungen .
Die Kapazität eines Kondensators ist abhängig von der Geometrie und der Permittivität des
Dielektrikums. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für die Feldstärke.
Die relative Dielektrizitätszahl (Permittivitätszahl) eines Dielektrikums ergibt sich mit:
εr =
E0
E
Für Vakuum und annähernd für Luft ist ε r = 1 .
Weitere Materialien (Auswahl):
gr
Papier (ölgetränkt)
4,3
Papier trocken
2
Keramik
6...4000
Polyäthylen
2,3
68
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Grundlagen der Elektrotechnik I
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r
Wichtig: Die el. Verschiebungsdichte D bleibt konstant.
r
r
D = εr ⋅ ε0 ⋅ E
6.4
Permittivität ε = ε r ⋅ ε 0
Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und g
∫
U = Eds
;
E=
D
ε
;
D=
Q
A
Ansatz:
C=
Für lineare, homogene Anordnungen:
(Block- KreiswickelRöhrenkondensatoren etc.)
∫
C=
Q
U
,
Q
Q
ds
A⋅ε
6.4.1 Plattenkondensator
U=
∫
Q
ds
ε
A
⋅
{
s = d Dicke
Konstant
U=
Q
d
A⋅ε
C=
Q Q ⋅ A ⋅ ε ε ⋅ A ε0 ⋅ εr ⋅ A
=
=
=
U
Q⋅d
d
d
C=
ε 0 ⋅ εr ⋅ A
d
6.4.2 Schichtkondensator
Schichtung einzelner Plattenkondensatoren
Gesamtfäche
C=
ε0 ⋅ εr ⋅ A
⋅n
d
Ages=n@A
n=Anzahl der Plattenpaare (Schichten)
69
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Grundlagen der Elektrotechnik I
6.4.3 Rohrkondensator
U=
Q
∫ A ⋅ ε ds
; ds = dr ; A = 2π rl
1
Q
dr
2π l ⋅ ε r
ra
Q
Q
Q
[ ln r ] rria =
U=
(ln ra − ln ri ) =
ln
2π l ⋅ ε
2π l ⋅ ε
2π l ⋅ ε ri
∫
U=
ri
Prof. Dr. Suchaneck
d
R
Q
U
mit C =
ra
C = ε 0 ε r 2π l
1
r
ln rai
6.4.4 Wickelkondensator
Im Prinzip ist der Wickelkondensator ein n-facher Rohrkondensator. Die exakte Kapazitätsberechnung wäre nur bei
einem idealen Wickel sinnvoll. Praktisch wird gerechnet:
C ≈ 2⋅
ε 0 ε r ⋅ A Wickel
d
AWickel=Fläche des Bandes,
Faktor 2 für die doppelte Nutzung der Fläche.
6.4.5 Drehkondensator
Drehkondensatoren werden in verschiedenen Ausführungen als kapazitätsveränderliche
Kondensatoren hergestellt.
Üblich sind folgende Arten:
1)
Frequenzgerade
f0 =
1
2π LC
A(α ) ~
2)
1
f0
2
~
→C=
1
α2
1
1
⋅
+ C Anf
( 2π ) 2 L f0 2
Wird durch Plattenform erreicht
Kapazitätsgerade
C = K ⋅ α + C Anf
K = Kapazität bezogen auf Winkel α
Mit Plattenhalbkreisform
6.5
Betriebsfeldstärke
EN =
E zul
kV
; S ≈ 2...5 (Sicherheit), E zul = 15...180 mm
S
Nennfeldstärke
EN =
UN
dN
→ dN =
UN
Dicke des Dielektrikums
EN
70
TFH Berlin
Grundlagen der Elektrotechnik I
6.6
Grundschaltungen von Kondensatoren
a)
Parallelschaltung
C1 =
Q ges
Prof. Dr. Suchaneck
Q
Q1
Q
; C 2 = 2 ; C ges = ges
U
U
U
= Q 1 + Q 2 = U ⋅ C1 + U ⋅ C 2
C ges =
U( C1 + C 2 )
= C1 + C 2 ...+ C n
U
Weiter gilt:
I1 ⋅ ∆t I2 ⋅ ∆t
=
C1
C2
→
Kapazitive Stromteilung
I1
I
= 2
C1 C 2
b) Reihenschaltung
1. Ladungsmenge ist gleich:
i1 = i2 = i
Q 1 = Q 2 = Q = konstant
2.
U1 + U2 = Uges
→ Q = C1U1 = C 2U2
⇒ Uges =
Q
Q
+
C1 C 2
Kapazitive
Spannungsteilung
→ C ges =
Q
=
Uges
U1 C 2
=
U2 C1
Q
 1
1 
Q
+

 C1 C 2 
C ges =
1
1
1
1
+
+ ...+
C1 C 2
Cn
bei 2 Kondensatoren: C ges =
C1 ⋅ C 2
C1 + C 2
6.7
Geschichtetes Dielektrikum
a)
Wird das Dielektrikum quer zur Fläche A aus zwei Materialien geschichtet , so ergeben sich rechnerisch zwei Kondensatoren mit der sich jeweils durch die Teilung ergebenden Fläche A1 und A2, die parallel geschaltet sind.
C ges = C1 + C 2
Dicke d bleibt konstant
Parallelschaltung
71
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
b) Wird das Dielektrikum parallel zur Fläche A aus zwei Materialien geschichtet , so ergeben sich rechnerisch zwei Kondensatoren mit der sich jeweils durch die Teilung ergebenden Dicken d1 und d2, die in Reihe geschaltet sind.
C ges =
Fläche A bleibt konstant
6.8
C1 ⋅ C 2
C1 + C 2
Reihenschaltung
Kraftwirkung im elektrostatischen Feld
1. 2 Punktladungen
r
r F
E=
q
Für Ladungsträger im el. Feld gilt:
r
r
r
→ F = q⋅E = Q ⋅E
r
r
(positive Ladung: F in Richtung E)
Die Punktladung Q1 hat die Verschiebungsdichte D = Q
A Kugel
Die Äquipotentialflächen sind Kugeloberflächen.
A Kugel = 4 πr 2
also mit
D1 =
Q1
4 πr 2
und E1 =
D1
Q1
=
ε
ε ⋅ 4 πr 2
ergibt die Kraft auf eine zweite Punktladung Q2 im Abstand r von Q1:
r
r
Q ⋅Q
F = Q 2 ⋅ E1 = 1 22
ε ⋅ 4 πr
Coulomb‘sches Gesetz
r r
F = E⋅Q
2. 2 geladene Platten mit Fläche A
bzw. dF = E ⋅ dQ
→ dQ = C ⋅ dU
dF = E ⋅ C ⋅ dU =
C = ε 0 εr
U
C
C 1
C ⋅ U2 C ⋅ E2 d
F = dF =
U ⋅ dU = ⋅ U2 =
=
d0
d 2
2d
2
r
Fr
E
mit
U
⋅ C ⋅ dU
d
∫
A
d
→
F = ε 0εr
∫
A 2
E
2
72
TFH Berlin
6.9
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Elektrodynamische Vorgänge
6.9.1 Energieinhalt eines geladenen Kondensators
Allg. gilt:
∆WC = U ⋅ I ⋅ ∆t
∆WC =
mit
C=
Q
Q I⋅ t
→ U=
=
U
C C
I2 ⋅ t
∆t
C
t
t
i( t) 2 ⋅ t
1
dt =
i( t) 2 tdt
oder WC =
C
C0
0
∫
∫
t
I2  1 2 
I2 ⋅ t 2
WC =  t  =
C  2 0
2C
Für i(t)=I=const. :
mit
U=
I⋅ t
C
wird
I=
U⋅ C
t
Für den Plattenkondensator mit C = ε 0 ε r
WC = ε 0 ε r
WC =
÷
A
d
E2 A ⋅ d ε 2
= E V
2
2
U2 C 2 t 2 C ⋅ U2
=
2
2C ⋅ t 2
; E=
U
gilt:
d
(V=Volumen)
6.9.2 Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV
Beim Schließen des Schalters wird dem einen Kondensatorbelag positive Ladung zugeführt, dem anderen Ladung entzogen.
Physikalisch: neg. Belag reichert Elektronen an.
Der Ladestrom IC im äußeren Kreis findet seine Fortsetzung im Inneren des Kondensators durch einen scheinbaren Ladungsverschiebestrom IV.
Q = IC ⋅ t
→
mit ∆Q = ∆UC ⋅ C
a)
IC = ∆Q
∆t
dQ = du C ⋅ C
∆Q = IC ⋅ ∆t
→
→
bzw. iC ( t) = dQ
dt
÷
iC ( t ) = C
duC
dt
Zeitliche Darstellung von uC(t) bei konstantem IC
mit iC ( t) = C
du C
für t=t0 ... t1
dt
t1
÷
1
uC ( t) =
iC dt + K
Ct
∫
0
73
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Ist iC konstant:
÷
uC ( t) =
IC ⋅ ∆t
C
+ UCt 0
d.h. es entsteht ein zeitlich linearer Spannungsanstieg.
In der Regel wird angesetzt: UCt 0 = 0
Beispiel:
C=30µF
IL
mA
∆t 01 = t1 − t 0 = 3s
∆t 23 = 2s
∆t 45 = 5s
t
s
I
∆UC 01 = L ∆t10
C
−3
= 3 ⋅ 10 A− 6⋅ 3s = 300 V
30 ⋅ 10 F
∆UC12 = 0 V
−3
⋅ 2s = −400 V
∆UC 23 = −6 ⋅ 10 A
−6
30 ⋅ 10 F
∆UC 34 = 0 V
UC
V
−3
∆UC 45 = 1 ⋅ 10 A− 6⋅ 5 s = 167 V
30 ⋅ 10 F
t
s
b)
Auf- und Entladung mit zeitlich veränderlichem Strom
÷
Ladung eines Kondensators über einen Widerstand an konstanter Spannung, Entladung über einen Widerstand.
Ansatz:
iC ( t ) = C
du C
dt
Aufladung an konstanter Spannung U
Masche:
U = uR + u C = R ⋅ iC + u C ( t)
du C
+ u C ( t)
dt
du
− R ⋅ C C = u C ( t) − U
dt
U = R⋅C
→
DGL 1.Ordnung
74
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Lösung der DGL durch Trennung der Variablen
∫
du C
1
=−
dt
uC ( t) − U
RC
∫
RC = τ Zeitkonstante
t
→ ln(u C ( t) − U) = −
+⊂
RC
⊂
→ uC ( t) − U = e
{⋅e
−
t
RC
K
Bedingung:
t=0
→ K=−U
uC = 0
÷
uC ( t) = U − U ⋅ e
−
t
τ
−
t
τ
= U(1 − e )
−t
duC
d
iC ( t) = C
= C ⋅ (U − U ⋅ e τ )
dt
dt
−t
= C( −U ⋅ ( − ) 1 ⋅ e τ )
τ
t
−
1
iC ( t ) = C ⋅
⋅U⋅ e τ
RC
t
U −
iC ( t) = e τ
R
÷
Entladung
Masche:
u C ( t) + i C ( t) ⋅ R = 0
du C
dt
Variablen trennen
du C
1
dt
=−
uC ( t)
RC
→ u C ( t) = −R ⋅ C
∫
ln u C = −
∫
1
t +⊂
RC
t
−
⊂
τ
e ⋅e
→ u C ( t) = {
Bedingung für t=0:
UC(0)=UC0=U
÷
−
K
t
τ
t
t
−
du
C
i C ( t ) = C C = − ⋅ UC 0 ⋅ e τ
dt
τ
u C ( t) = UC 0 ⋅ e
÷
iC ( t) = −
UC 0 − τ
⋅e
R
75
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Zeitverläufe:
Aufladung
Prof. Dr. Suchaneck
uC
100%
.99%
63%
Kondensatorspannung
t
1J
2J
3J
4J
5J
iC
U
R
Kondensatorstrom
37%
1J
2J
3J
4J
5J
t
uC
Entladung
100%
Kondensatorspannung
37%
.1%
t
1J
2J
3J
4J
5J
t
37%
Kondensatorstrom
U
R
-iC
76
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Grundlagen der Elektrotechnik I
7.
Das statische elektromagnetische Feld
7.1
Grundbegriffe
Prof. Dr. Suchaneck
Magnetismus:
÷
Kraftwirkung eines Magneten der Eisenteile anziehen kann.
Natürliche Magnete: Magnetit (Fe3O4)
Der Bahnverlauf und die Rotation der Elektronen erzeugen den Magnetismus.
Magnetismus entsteht durch die Bewegung von Ladungen.
Neben dem natürlichen Magnetismus existiert der Elektromagnetismus (Oersted 1820)
Ein durch einen Leiter fließender Strom I erzeugt im Leiter und außerhalb ein magnetisches
r
Kraftfeld mit der Feldstärke H , das magnetisches Feld heißt.
Wie im elektrischen Feld sind die Hauptkraftrichtungen in Richtung der Feldlinien.
Nachweis z.B. mit der Magnetnadel.
Der Nordpol zeigt in Feldrichtung (Rechtsschraubenregel)
r
H
r
magnetische Feldstärke H
7.2
Größen des magnetischen Feldes
7.2.1 Die magnetische Flussdichte
Feststellung durch Experiment:
Ein stromdurchflossener Leiter übt Kraft F auf einen Magneten aus.
F-I
F-R
R = Länge des Leiters
Daraus lässt sich die Magnetfeldgröße B, die magnetische Flussdichte, definieren.
homogen
B=
F
I⋅ l
[B] = 1
N
Vs
=1 2 =1T
A ⋅m
m
(Tesla)
r
allgemein Vektor B
77
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÷
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Die magnetische Flussdichte B ist auch für die Induktionswirkung des Magnetfeldes
wichtig: daher der alte Name magnetische Induktion.
Nach DIN 1325 wegen Verwechselungmöglichkeit des Begriffes nicht mehr verwenden.
7.2.2 Der magnetische Fluss
r
Das Flächenintegral der Flussdichte B heißt magnetischer Fluss Φ
r r
Φ = B dA
∫
[Φ ] = 1
A
homogenes Feld:
Φ =B⋅A
Vs 2
m = 1Vs = 1Wb
m2
(Weber)
(Magnetfeld senkrecht zu A)
7.2.3 Das Durchflutungsgesetz
Einfache symmetrische Anordnung:
B=K⋅
÷
I
r
K = Konstante
r
B
Strom I erzeugt Flussdichte B !
Da das Feld eine Kreisform hat, ergibt das Integral um den Leiter:
∫
r r
B ds = B ⋅ 2πr
mit B = K ⋅
I
r
r r
→ B ds = K ⋅ 2π ⋅ I
∫
Auch für beliebige nichtkreisförmige Umläufe bleibt
∫
r r
B ds = K
⋅ 23
π ⋅I
12
µ
Die Konstante K ⋅ 2π heißt Permeabilität :.
Für Vakuum und annähernd Luft ist
µ = µ 0 = 4 π ⋅ 10 −7
Vs
Vs
= 1257
⋅ 10 −6
,
A ⋅m
A ⋅m
:0 = magnetische Feldkonstante
Bei anderen Materialien muss zusätzlich die relative Permeabilitätskonstante :r (auch
Permeabilitätszahl genannt) berücksichtigt werden.
µ = µr ⋅ µ0
78
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
r
Bei beliebiger Leiteranordnung gilt der Zusammenhang zwischen B und I :
r r
B ds = µ ⋅ I
∫
7.2.4 Durchflutung
Die Summe aller Ströme, die eine Fläche durchsetzen, heißt Durchflutung Θ .
Θ=
n
∑I
[Θ ] = A
k
k =1
Damit ergibt sich
∫
r r
B ds = µ ⋅ Θ
∫
→
r
B r
ds = Θ
µ
Zu beachten ist, dass : meist ortsabhängig ist.
7.2.5 Magnetische Feldstärke
r
r B
H=
µ
÷
[H] =
Vs ⋅ A ⋅ m A
=
m
m 2 ⋅ Vs
r
r
B = µ0 ⋅ µr ⋅ H
Damit kann das Durchflutungsgesetz beschrieben werden
∫
∫
r r
H ds = Θ
r r
r r
H ds = I = S dA
magnetische Umlaufspannung
∫
A
2
∫
r r
Analog zur elektrischen Spannung: U12 = E ds
Linienintegral
7.3
∫
1
r r
E ds = 0
Magnetisches Feld
7.3.1 Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters
1)
Außerhalb des Leiters (ra $ rL) ist der
gesamte Strom I wirksam.
Ha =
I
2πra
~
1
ra
→ Hyperbel
79
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2)
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Innerhalb des Leiters (ri # rL) ist nur der umschlossene effektive Restquerschnitt mit
Iri
Iges
Hi =
2
Ai
π ⋅ ri
=
=
A ges π ⋅ rL 2
Iri
∫
ds
{
=
Iri
2π ⋅ ri
=
r
→ Iri = Iges  i 
 rL 
Iges ⋅ ri
2
2π ⋅ ri ⋅ rL
2
=
I ⋅ ri
2π ⋅ rL
2
2
wirksam (Teilstrom).
Hi ~ ri
Umfang
Hmax =
I
2πrL
Ha ~
1
ra
7.3.2 Magnetisches Feld eines Rohrleiters
a)
Innenraum
r < r1
→ H1(r ) = 0
(Im Innenraum
fließt kein Strom!)
a)
Außenraum
r2 < r < ∞
r r
I, S = konst.
→ H3 (r ) =
I
2πr
(Wie zyl. Leiter)
80
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c)
Grundlagen der Elektrotechnik I
Rohrwand
Prof. Dr. Suchaneck
2π r
r1 < r < r2
∫ SdA ∫ ∫ S ⋅ r dr dα
A
→ H2 (r ) =
∫ ds
=
0 r1
2πr
2
=
mit S =
I
∫
dA
=
S(r 2 − r1 )π
2πr
I
2
2
(r2 − r1 )π
= konst.
A
H2 ( r ) =
Zahlenbeispiel:
(r2 2
I = 500 A
r1 = 5mm
2
2
(r 2 − r1 )
⋅
2r
− r12 )π
I
→
H2 (r ) =
I (r 2 − r1 )
2
2
2πr (r2 − r1 )
r2 = 10mm
500 A
A
2
12
,
=
mm 2
(10 2 − 5 2 )mm 2 π
I
500 A
A
H2 (r2 ) = H3 (r2 ) =
=
= 7958
−3
2πr2 2π10 ⋅ 10 m
m
S=
500 A(6 2 − 5 2 )mm 2
A
= 1945
−3
2
2
2
m
2π 6 ⋅ 10 m(10 − 5 )mm
A
A
H2 (7,5mm) = 4421 ;
H2 ( 9mm) = 6602
m
m
H2 ( 6mm) =
H3 (r = 2r2 ) =
500 A
I
A
= 3979
=
−3
2π 2r2 2π 20 ⋅ 10 m
m
81
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
7.3.3 Magnetisches Feld eines Koaxialleiters (Koaxialkabel)
Hin- und Rückleiter koaxial angeordnet
Innen
Außen
I<0
I>0
Hinleiter
Rückleiter
Diese Zuordnung ist willkürlich festgelegt, auch in umgekehrter Richtung möglich.
Zahlenwerte als Beispiel: r1=1mm; r2=3mm; r3=3,5mm; I=2A; S1, S2=konstant (Gleichstrom)
1)
Feld im Innenleiter H1
H1(r ) =
−I ⋅ r
2π
(0 # r # r1)
H1(r1 ) =
2
⋅ r1
−I
−2 A
A
=
= −318
−3
m
2π ⋅ r1 2π ⋅ 10 m
H1(0 ) = 0
÷ linearer Verlauf
2)
Feld im Zwischenraum (Dielektrikum) H2
H2 (r ) =
−I
2π ⋅ r
H2 (r1 ) = H1(r1 ) =
H2 (r2 ) =
(r1 # r # r2)
−I
A
= −318
2π ⋅ r1
m
−2A
A
= −106
−3
m
2π ⋅ 3 ⋅ 10 m
÷ Hyperbel-Verlauf
3)
(r2 # r # r3)
Feld im Außenleiter H3
Dieses Feld setzt sich aus dem Feld des Innenleiters und des Außenleiters zusammen
und wird durch Überlagerung berechnet.
1
−I
H3 (r ) =
+
2π r 2π r
2π r
2
2
− I S2 ⋅ 2π  (r − r2 ) 
+
∫0 r∫ S2 ⋅ r dr dα = {
2π r
2π r 
2 
2
1
44
4
2
444
3
Innen −
leiter
mit S =
Außenleiter
I
I
= 2
A r3 − A r2 (r3 − r2 2 )π
I (r 2 − r2 2 )
−I
→ H3 (r ) =
+
2π r 2π r (r3 2 − r2 2 )
82
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H3 (r2 ) =
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
04
647
8
2
2
I (r2 − r2 )
−I
A
+
= H2 (r2 ) = −106
2
2
2πr2 2πr (r3 − r2 )
m
r3 + r2
−2A
2A( 3,25 2 − 3 2 ) ⋅ 10 −6 m 2
+
H3 ( 2 ) =
123
2π ⋅ 3,25 ⋅ 10 − 3 m 2π ⋅ 3,25 ⋅ 10 −3 m( 3,25 2 − 3 2 ) ⋅ 10 −6 m 2
Mitte
A
A
A
+ 47,1 = 50,9
m
m
m
2 A(3,5 2 − 3 2 ) ⋅ 10 −6 m 2
−2A
+
=0
H3 (r3 ) =
2π ⋅ 3,5 ⋅ 10 −3 m 2π ⋅ 3,5 ⋅ 10 −3 m( 3,5 2 − 3 2 ) ⋅ 10 − 6 m 2
= −97,9
÷ nichtlinearer Feldverlauf
4)
Feld im Außenraum H4
H4 (r ) = 0
(r3 < r)
da die Summe der
umschlossenen Ströme 0 ist.
∑I= 0
Feldbild
(Qualitativ)
Wichtige Erkenntnis:
Im Außenraum kompensiert
sich Feld des Innen- und Außenleiters, d.h.
der Außenraum ist feldfrei.
÷ Dies gilt nur für ein ideales
koaxiales Kabel. In der Praxis
ist durch Kabel-Unsymmetrien
die Feldkompensation unvollständig.
83
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
7.3.4 Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung
Parallelführung von Hin- und Rückleiter
(Ohne Berechnung, nur qualitativ.)
Aus Moeller/Frohne/Löchener/Müller: ‘Grundlagen der Elektrotechnik‘
Erkenntnis:
Das Feld im Außenraum ist nicht Null.
Gegenüber dem Einzelleiterfeld ist das
Gesamtfeld außen geschwächt.
7.3.5 Erweitertes Durchflutungsgesetz
Überlagerung mehrerer Durchflutungen
Die gesamte Durchflutung 1 (Magnetische Spannung) ergibt sich aus der Summe der Einzeldurchflutungen.
Θ = N1 ⋅ I1 + N2 ⋅ I2 +...+Nn ⋅ In
∫
= H ds = H1 ⋅ ∆s1 + H2 ⋅ ∆s 2 +...
Beispiel: magnetische Kern mit unterschiedlichen Querschnitten und Längen.
Zur Vereinfachung werden
die Inhomogenitäten in den
Ecken vernachlässigt, es wird
von der Mitte des Querschnittes aus gerechnet.
Es gilt näherungsweise:
H1 ⋅ l 1 + H2 ⋅ l 2 + H3 ⋅ l 3 + H4 ⋅ l 4 + HL ⋅ l L + H5 ⋅ l 5 = Θ = N1 ⋅ I1 + N2 ⋅ ( −I2 )
84
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
7.3.6 Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen
1. Ringkernspule mit ferromagnetischem Kern
Durch die optimale Konzentration des magn. Feldes im ferromagnetischen Ringkern ist die
Anordnung sehr streuarm, d.h. der Feldanteil außerhalb des Kernes ist sehr gering.
rm = mittlerer Feldlinienradius
effektive Länge allg. l e =
Re = 2B rm
Re
Beispiel:
∫ ds
wird meist in Datenblättern angegeben bzw. durch
Messung ermittelt
I=1A; N=100Wdg.; rm=5cm
∫
Θ = N ⋅ I = 100 ⋅ 1A = 100 A = H ds = Hm ⋅ 2πrm
→ Hm =
Θ
100 A
A
=
=
,
318
3
2πrm 2π ⋅ 5 ⋅ 10 −2 m
m
2. Zylinderspule mit und ohne magn. Kern
Exakte Feldberechnung schwierig, da der äußere Feldanteil Ha inhomogen ist. Da Ha relativ
klein ist, wird er bei praktischen Berechnungen vernachlässigt.
∫
Θ = N ⋅ I = l Sp ⋅ Hi + Ha ds
123
≈0
Θ
N⋅I
→ HSp ≈ Hi ≈
=
l Sp l Sp
l Sp möglichst groß, damit H vernacha
D lässigbar ist.
7.3.7 Einfluss von Material und Geometrie
Analogie elektrisches und magnetisches Feld (Vertauschung von U]I)
Wie im elektrischen Feld das Dielektrikum hat im magnetischen Feld das Kernmaterial
einen entscheidenden Einfluss auf die Feld-Größen.
85
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Elektrisches Feld
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Magnetisches Feld
Verschiebungs-Flussdichte
Magnetische Flussdichte
Φ
= µ ⋅ H = µ0 ⋅ µr ⋅ H
A
[B] = Vs2
Q
= ε ⋅ E = ε0 ⋅ εr ⋅ E
A
[D] = As2
B=
D=
m
m
el. Feldkonstante ε 0 = 8,854 ⋅ 10 −12
As
Vm
Dielektrizitätszahl ε r = 1 ... 10000
ψ = elektrischer Fluß = Ladung Q
Q =D⋅A
,
magn. Feldkonstante µ 0 = 1257
⋅ 10 −6
Permeabilitätszahl
Vs
Am
µ r = 0,9 ... 100000
magnetischer Fluß Φ = B × A
homogen Φ = B ⋅ A
r r
inhomogen Φ = B dA
∫
A
7.4
Der magnetische Kreis
Analogie zum elektrischen Stromkreis
elektrisch
magnetisch
U = I (R1 + R2 )
Θ = Φ (Rm1 + Rm2 )
l
κ⋅A
U
Rges =
I
Rm =
R=
G ges =
l
µ⋅A
Rmges =
1
Rges
=
I
U
Λ=
Magnetisches Ersatzschaltbild
Θ
Φ
1
Rmges
=
Φ
Θ
Λ = Permeanz
magn. Leitwert
U =$ Θ, Vm
I =$ Φ
R =$ Rm
Beispiele:
7.4.1 Ringkernspule mit Eisenkern
1.) Ohne Luftspalt
Index1
:r=:rFe=500 (Eisen)
r=35mm; A=1,2cm²
I=100mA; N=100Wdg.
86
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Θ = I ⋅ N = HFe1 ⋅ l Fe1
→
HFe1 =
BFe1 = µ 0 ⋅ µ rFe ⋅ HFe1 = 1257
,
⋅ 10 −6
Φ Fe1 = BFe1 ⋅ A Fe = 28,6 ⋅ 10 −3
Prof. Dr. Suchaneck
I ⋅ N 0,1A ⋅ 100
A
10 A
=
=
= 45,5
−3
l Fe1
m
2 πr
2π ⋅ 3,5 ⋅ 10 m
Vs
A
Vs
⋅ 500 ⋅ 45,5 = 28,6 ⋅ 10 −3 2 = 28,6 ⋅ 10 −3 T
Am
m
m
Vs
⋅ 12
, ⋅ 10 − 4 m 2 = 3,4 ⋅ 10 −6 Vs
2
m
Θ
10 A
A
=
= 2,9 ⋅ 10 −6
−6
Φ Fe1 3,4 ⋅ 10 Vs
Vs
andere Rechnung:
RmFe1 =
;Λ=
1
RmFe1
= 0,34 ⋅ 10 − 6
Vs
A
l Fe1
A
2π ⋅ 35 ⋅ 10 − 3 m
=
≈ 2,9 ⋅ 10 −6
RmFe1 =
2
−4
µ ⋅ A Fe µ 0 ⋅ 500 ⋅ 12
Vs
, ⋅ 10 m
2.) Mit Luftspalt
Index2
Θ = I ⋅ N = HFe 2 ⋅ l Fe 2 + HL ⋅ l L
mit HFe 2 =
BFe2
µ Fe
und HL =
BL
µL
sowie l Fe 2 = l Fe1 − l L = 2π ⋅ 35 ⋅ 10 − 3 m − 0,5 ⋅ 10 − 3 m = 0,219m
und der Annahme
Φ Fe ≡ Φ L ≡ Φ 2 d.h. das Streufeld ist vernachlässigbar,
A Fe ≈ A L
Θ = Φ 2 (RmFe2 + RmL )
RmFe2 =
l Fe2
0,219m
6 A
=
=
⋅
2
,
91
10
µ ⋅ A Fe µ 0 ⋅ 500 ⋅ 12
Vs
, ⋅ 10 − 4 m 2
lL
0,5 ⋅ 10 − 3 m
A
=
= 3,31⋅ 10 6
RL =
−4
2
µ 0 ⋅ A L µ 0 ⋅ 12
Vs
, ⋅ 10 m
→ Φ2 =
Θ
10 A
=
RmFe2 + RmL (2,91 + 3,31) ⋅ 10 − 6
A
Vs
= 161
, ⋅ 10 − 6 Vs
Φ2
161
, ⋅ 10 −6 Vs
= 13,4mT
=
B2 =
A Fe,L
12
, ⋅ 10 −4 m 2
HFe 2 =
B2
=
µ 0 ⋅ µ rFe
13,4 ⋅ 10 −3 mVs2
Vs
⋅ 10 −6 Am
⋅ 500
1257
,
Bilanz
Θ
= 214
, A
m
13,4 ⋅ 10 − 3 mVs2
B2
HL =
=
= 10,7 ⋅ 10 3 A
6
−
Vs
µ 0 1257
m
,
⋅ 10 Am
Φ
B
Luftspalt
ohne
mit
10A
10A
Tendenz
konstant
3,4 ⋅ 10 -6 Vs 1,6 ⋅ 10 -6 Vs
28,6 ⋅ 10 -3 mVs2
Rmges 2,9 ⋅ 10 6
A
Vs
13,4 ⋅ 10 -3 mVs2
6,2 ⋅ 10 6
A
Vs
kleiner
kleiner
größer
87
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7.4.2 Das Rechnen mit magnetischen Widerständen
Beispiel:
"M"- Kern (M65)
a
c
f
g
RL
= 65mm
= 10mm
= 20mm
= 20mm
= 0,5mm
µrFe = 500
N = 400Wdg.
I = 1A
Gesucht: alle Rm, M, B, H
Streuung vernachlässigt
A1,2 ' c@g '10mm@20mm ' 2@10&4m²;
A L ' A3 ' g@f ' 4@10&4m²
c
a &2
c
2
2c
R1,2 ' a&2 %2
' a&c%a&c ' 110mm; R3 ' a& &RL ' 54,5mm
2
2
2
R1,2
Rm1,2 '
µFe@AFe
HL '
&4
1,257@10 Vs@500@4@10 m²
0,5@10&3m A m
&6
&4
1,257@10 Vs@1@4@10 m²
Rmges '
Rm1,2
2
' 2,17@105
' 9,94@105
%Rm3%RmL ' 16,49@105
Θ
=
Rmges
1A ⋅ 400
A
16,49 ⋅ 10
Vs
5
µo
'
A
Vs
A
Vs
A
Vs
A
Vs
= 242,6 ⋅ 10 −6 Vs
Φ L,3 242,6 ⋅ 10 −6 Vs
= 606,4 ⋅ 10 −3 T;
=
=
−4
2
A L ,3
4 ⋅ 10 m
BL,3
' 8,75@105
1,257@10&6Vs@500@2@10&4m²
&6
RmL '
BL,3
110@10&3m A m
54,5@10&3m A m
Rm3 '
Φ L,3 =
'
magn. Ersatzbild
B1,2 =
Φ L ,3
= BL,3
2A 1,2
B1,2,3
606,4@10&3T
A
606,4@10&3T
A
' 482,4@103 ; H1,2,3 '
'
' 965
Vs
m
µo@µr
Vs
m
1,257@10&6
1,257@10&6
@500
Am
Am
88
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7.4.3 Magnetische Materialeigenschaften
Allg.
B=:o·:r·H ÷ Stoffe mit :r >1 verstärken die Flussdichte und mit :r <1 schwächen.
Die im magnetischen Kreis eingebrachten Stoffe werden unterschieden:
:r <1
-
Diamagnetisch, Flussdichte B wird geschwächt (Blei, Kupfer u.a)
:r >1
-
Paramagnetisch, schwache Erhöhung von B (Platin, Wolfram, Aluminium
u.a.)
:r >>1
-
Ferromagnetisch, starke bis sehr starke Erhöhung von B (nicht linear) (Eisen, Nickel, Kobalt, Legierungen u.a.)
Kristallstruktur wichtig ÷ z.B. Chromnickelstahl ist unmagnetisch
Temperatureinfluss: Bei der Curietemperatur (Fe -770°C) geht schlagartig der Ferromagnetismus in den Paramagnetismus über. Anwendung z.B. Lötspitzentemperaturregelung.
Schlageinwirkung entmagnetisiert teilweise einen Dauermagneten.
Für magnetische Kreise werden fast immer ferromagnetische Kernmaterialien verwendet.
Die Permeabilität : bzw. :r eines ferromagnetischen Stoffes ist nicht konstant, sondern eine
Funktion der Feldstärke H, d.h. µ' B ist nicht konstant.
H
( BH )max = µ max
Bopt
Hopt
89
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Prof. Dr. Suchaneck
Die Permeabilität : hängt ab von:
1.
2.
3.
4.
Eisensorte, Legierung: Weicheisen, Dynamoblech etc.
Feldstärke :=f(H)
Magnetische Vorgeschichte: Remanenz, Koerzitivkraft
Temperatur unterhalb der Curietemperatur (z.B. bei Ferrit)
7.4.4 Magnetisierungskennlinien
Die vollständige Kurve B=f(H) heißt Hystereseschleife
B
1
+B max
+B r
-H s
Neukurve
-H c
+H c
+H s
H
-B r
2
±Hc
±Br
±Bmax
±Hs
-B max
magn. Koerzitivfeldstärke
magn. Remanenzflussdichte
magn. Sättigungsflussdichte
magn. Sättigungsfeldstärke
Je nach Verwendungzweck wird eine zweckmäßige Hysteresekurve durch Werkstoffwahl
verwendet.
Zum Beispiel: weichmagnetisch mit einer schlanken Hysteresekurve für Wechselstrommagnete (-maschinen), hartmagnetisch mit einer breiten Hysteresekurve für Permanentmagnete (Lautsprecher u.a.)
90
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Hartmagnetisch
Prof. Dr. Suchaneck
Weichmagnetisch
Rechteck-Kurve
Transformatoren
el. Maschinen
Elektromagnete
Relais
magn. Verstärker
Speicherkerne für
Digitalrechner (alt)
Remanenz- und
Koerzitivfeldstärke
klein wg. Verluste
beim Ummagnetisieren, Remanenz
÷ "Kleben"
Remanenz gleich
Sättigungsflussdichte
gutes Schaltverhalten
hohe Spannungsausbeute beim Umschalten
Anwendung
Dauermagnete
Permanentpole
für elektrische
Maschinen
Wichtige Eigenschaften
hohe remanente
Flussdichte Br
hohe Koerzitivfeldstärke Hc
7.4.5 Verluste durch Ummagnetisieren
Das Produkt (Fläche)
∫ HdB
hat die Einheit
A Vs Ws
⋅
=
m m² m³
Volumenbezogene
Energie (Arbeit)
Ummagnetisierungsverlust je Schleifendurchlauf:
WHyst = VKern ⋅ ∫ HdB
÷
Angabe in Datenblättern
|
Volumen
7.4.6 :Fe und :rFe -Bestimmung aus Kennlinien
Def.
µ Fe =
BFe/A
HFe/A
A=Arbeitspunkt
µ rFe =
BFe/A
HFe/A ⋅ µ o
91
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Prof. Dr. Suchaneck
Beispiele:
1.)
Gesucht :Fe und :rFe für Dynamoblech bei HFe/A=50A/m
Aus Kennlinie: BFe/A=0,12T
÷
2.)
BFe/A 0,12 Vs ⋅ m
Vs
= 2,4 ⋅ 10 −3
=
HFe/A
50 m ² ⋅ A
m⋅ A
µ Fe =
µ rFe =
(Arbeitsblatt Dynamoblech)
µ Fe
2,4 ⋅ 10 −3 Vs ⋅ m ⋅ A
= 1909,3
=
µo
⋅ 10 −6 Vs ⋅ m ⋅ A
1257
,
Gesucht optimaler Arbeitspunkt AP für Permalloy C, :rFemax
Lösung durch Parallelverschiebung der Hilfslinien von :rFe als Tangente an die Magnetisierungskennlinie (Arbeitsblatt Kennlinien).
÷
BFe/A = 0,42
µ rFemax =
3.)
Vs
;
m²
HFe/A = 4,4
0,42
4,4 ⋅ 1257
,
⋅ 10
−6
A
m
Vs ⋅ m ⋅ m ⋅ A
= 75938
Vs ⋅ m ² ⋅ A
Gesucht :rAnf für Mu-Metall
÷
µ rAnf =
0,01
= 33148
0,24 ⋅ µo
7.4.7 Grafisches Verfahren zur AP- und :-Bestimmung
Eisenkreis mit Luftspalt
÷
Luftspalt erhöht die Sättigungsfeldstärke, z.B. bei der Vormagnetisierung durch
Gleichstrom (Netzteil-Glättungsdrossel).
Luftspalt linearisiert Übertragerkennlinie (z.B. Übertrager für Sinusspannungen)
RmL
Es gilt
RmFe
1 = M(RmL+RFe)
= HL · RL + HFe · RFe
Problem:
RFe und RmL ist als Funktion B=f(H) als Grafik gegeben.
92
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1.)
Grundlagen der Elektrotechnik I
Ermittlung der Luftspaltgeraden
Bedingung:
2.)
Prof. Dr. Suchaneck
AFe = AL ;
MFe = ML
also: BFe = BL und HL =
1.
Leerlauf:
BFe = 0
÷
HFe0 =
Θ
l Fe
(H0)
2.
Kurzschluss:
HFe = 0
÷
BFeK =
Θ ⋅ µo
lL
(BK)
BL BFe
=
µo
µo
HFe0 und BFeK ergeben die Luftspaltgerade
und der Schnittpunkt der Luftspaltgeraden mit der Magnetisierungskurve
ist der Arbeitspunkt AP
=$ RFe
=$ RmL
=$ Rmges
HFe =
Θ Fe
l Fe
HL' =
HL =
ΘL
l Fe
ΘL
l
= HL' ⋅ Fe
lL
lL
Konstruktion der Scherung:
S
S
(vgl. el. Stromkreis: Kennlinie von Diode mit Vorwiderstand
konstruieren)
Luftspaltgerade spiegeln, d.h. als linearer Widerstand einzeichnen, 2 Geraden-Punkte (0/0) und (BK/H0).
Feldstärken punktweise addieren, es ergeben sich jeweils Punkte der neuen Kennlinie, der gescherten Kennlinie.
93
TFH Berlin
7.5
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Induktivität
7.5.1 Selbstinduktivität
(Vergleiche: Elektrische Kapazität)
Die Selbstinduktivität oder kurz Induktivität eines Leiters ist allg. das Verhältnis aus magn.
Fluss und erregendem Strom, d.h. Fluss bezogen auf den Strom.
Die Selbstinduktivität ist abhängig von Geometrie und Materialeigenschaften.
Analogie zum elektrischen Feld:
C=
Q A ⋅D A ⋅D
A
=
=
= ε⋅
U E⋅d D
d
⋅d
ε
Vertauschung
U → I; Q → Φ; D → B; E → H; ε → µ ergibt: L =
Φ
I
7.5.2 Spulen-Induktivität
Gesamtspulenfluss ψ = N ⋅ Φ
L=
Ψ N⋅ Φ
=
I
I
mit Φ =
Θ
Rmges
=
N⋅I
Rmges
[L] =
1
N⋅N⋅I
L=
= N2 ⋅
= N2 ⋅ A L
I ⋅ Rmges
Rmges
L = N2
Beispiel:
Vs
=H
A
Henry
magn. Leitwert Λ =
1
= AL
Rm
µ oµr ⋅ A
l
Ringkernspule
Ringkern
N30
(Werte aus Datenbuch)
da = 34mm
di = 20mm
h = 12,5mm
l e = 82mm
A e = 83mm 2
Gesucht:
L, µ e , Imax , B max
AL = 5000nH
A
m
N = 20 Wdg.
Hmax = 50
Index e = effektive Werte
94
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AL =
1
Rmges
→ µ re =
Grundlagen der Elektrotechnik I
=
Prof. Dr. Suchaneck
µ o ⋅ µ re ⋅ A e
le
AL ⋅ l e
Ae ⋅ µ o
Vs
⋅ 82 ⋅ 10 −3 m
A
=
= 3930
−6
2
− 6 Vs
,
83 ⋅ 10 m ⋅ 1257
⋅ 10
A⋅m
A
−3
Hmax ⋅ l e 50 m ⋅ 82 ⋅ 10 m
Imax =
=
= 0,2 A
N
20
Vs
A
Bmax = µ o ⋅ µ re ⋅ Hmax = 1257
⋅ 10 −6
⋅ 3930 ⋅ 50 = 247mT
,
A⋅m
m
L = N2 ⋅ A L = 20 2 ⋅ 5000nH = 2mH
5000 ⋅ 10 -9
2. Beispiel:
Zylindrische Luftspule
N = 30 Wdg., A = 28,3 ⋅ 10 -6 m ², l Sp = 15
, cm
L=
N² N² ⋅ µ o ⋅ A
=
=
Rm
l Sp
Gesucht: L
Vs
⋅ 28,3 ⋅ 10 −6 m ²
A ⋅m
0,015m
⋅ 10 −6
30² ⋅ 1257
,
= 2,13µH
7.5.3 L-Bestimmung
a) mit A L -Wert aus Datenbuch
L = N2 ⋅ AL ; AL =
µ o ⋅ Ae
1
=
Rme
le
eff. Werte der Gesamtanordnung
z.B. mit Luftspalt
b) aus Kennlinien (bei nichtlinearem Zusammenhang)
Mit
Θ, l Fe , l L → Ho und BK (Luftspaltgerade)
→ Arbeitspunkt BFeA , HFeA
damit µ rFe =
BFeA
µ o ⋅ HFeA
weiter mit µ rFe , µ o , l L , l Fe , A
die magn. Widerstände RmFe und RmL berechnen und
abschließend mit N
N2
→ L=
Rmges
95
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Bestimmung von A L -Wert und L im Arbeitspunkt
Beispiel:
l Fe = 0,25m; A = 5 ⋅ 10 −4 m 2 ; l L = 10 −4 m; N = 1000Wdg.
I = 100mA ( 50mA, 25mA, 12,5mA )
Θ = N ⋅ I = 1000 ⋅ 100 ⋅ 10 − 3 A = 100 A (50A, 25A, 12,5A)
H0 =
Θ 100 A
A
=
= 400
m
l 0,25m
(200
A
A
A
, 100 , 50 )
m
m
m
Θ ⋅ µo
A
bei H0 = 400
→ BK =
=
m
lL
100 A ⋅ 1257
⋅ 10 −6
,
10 − 4 m
Mit H0 und BK die Luftspaltgerade einzeichnen
BFeA = 0,72 T;
Abgelesen:
HFeA = 170
÷
Vs
A ⋅ m = 126
, T
Schnittpunkt ergibt Arbeitspunkt
A
m
BFe/A
=
µ o ⋅ HFe/A
0,72 T
= 3370
A
− 6 Vs
⋅ 10
,
1257
170
A ⋅m
m
l Fe
A
0,25m
RmFe =
=
= 118,1⋅ 10 3
Vs
µ o ⋅ µ rFe ⋅ A
Vs
L ⋅ 3370 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 m ²
⋅ 10 −6
,
1257
A ⋅m
lL
A
10 −4 m
RmL =
=
= 159,2 ⋅ 10 3
Vs
µo ⋅ A
Vs
,
⋅ 10 − 6
⋅ 5 ⋅ 10 − 4 m ²
1257
A ⋅m
A
Rmges = RmFe + RmL = 277,3 ⋅ 10 3
Vs
1
AL =
= 3606nH
Rmges
µ rFe =
L = N2 ⋅ A L = 1000 2 ⋅ 3606nH = 3,6H
Wichtig:
Bei anderen Strömen andere µ rFe , L , etc.
Ergebnistabelle:
µ rFe
Θ
A
T
A/m
100
0,72
170
3370
50
0,34
88,5
25
0,14
12,5
0,05
L
A/Vs
A/Vs
nH
H
118,1·103 159,2·103
3606
3,6
3056
130,2·103
"
3460
3,46
53
2101
189,3·103
"
2870
2,87
35
1136
350,2·103
"
1960
1,96
96
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7.6
Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Kräfte im Magnetfeld
Magnetischer Eisenkreis mit Luftspalt ÷ Elektromagnete, Schaltgeräte etc.
lL
Kraft im Luftspalt
Φ
Analogie
el. Feld
r
HL
r r
U
F = E ⋅ Q ⇒ dF = EdQ = E ⋅ CdUC = C ⋅ CdUC
d
C
⇒ F=
d
magn. Feld
UC
∫U
C
0
⋅ dUC =
C 1 2
⋅ UC
d 2
r r
I
F = H ⋅ Φ ⇒ dF = HdΦ = H ⋅ LdI = ⋅ LdI
l
I
L
L 1
⇒ F=
I ⋅ dI = ⋅ I2
l0
l 2
∫
Umrechnung auf Feldgrößen
2
2
Φ ⋅H
ΦL
L I2 Φ
H
B ⋅ A ⋅ B BL ⋅ A
F = ⋅ = L ⋅I⋅ L = L L =
=
=
l 2
2
2
2 ⋅ µo
2 ⋅ µo
2 ⋅ µo ⋅ A
I
Anwendung:
Relais für Gleich- und Wechselstrom, Dreheisenmesswerk, wg.
Φ 2 (bzw. I2 ) entfällt die Vorzeichenabhängigkeit.
Beispiel: Flachrelais
A Fe = 1cm 2
A L = 5cm 2
l L = 0,3mm
l Fe = 0,2m
µ rFe = 2000
N = 1000 Wdg.
I = 0,24 A
keine Streuung
Gesucht: Anziehungskraft F
97
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Θ = I ⋅ N = 240 A
A
A
A
→ Rmges = 127,2 ⋅ 10 4
; RmL = 47,7 ⋅ 10 4
Vs
Vs
Vs
Θ
Φ
240A
= 189
= 0,38 T
Φ=
=
, ⋅ 10 − 4 Vs; BL =
Rmges
AL
4 A
127,2 ⋅ 10
Vs
B
Φ ⋅ HL
A
Ws
HL = L = 0,3 ⋅ 10 6
→ FL =
= 28,4
= 28,4N
µo
m
m
2
RmFe = 79,5 ⋅ 10 4
7.6.1 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen (el. Strom)
÷ Kraft auf el. Leiter und Elektronen: z.B. E-Motor, Stromschienen, Bildröhre (TV, Monitor)
7.6.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld
R
r
F
r
B
α
Kraft immer senkrecht zu den
Feldlinien
F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sinα
F ist richtungsabhängig, Polarität von I und B bestimmen Richtung von F.
Technische Stromrichtung beachten.
Eindeutige Angabe der Kraftrichtung mit vektorieller Angabe.
r
def. l = Länge l in Richtung von Strom I
r
r r
F = I ( l × B)
Kreuzprodukt, Vektorprodukt
r
Fläche ~ F
r
B
r
l
r
|F| = F = I ⋅ l ⋅ B ⋅ sin α
d. h. bei 90° : Fmax
r
F
Wichtige Anwendungen: Drehspulmesswerk, Elektromotor u.a.
98
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
7.6.3 Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern
r
F2
r
F1
r
F1
I1
I2
I1
I2
r
F2
a
I2 erzeugt das Feld für den Leiter mit dem Strom I1 mit dem Abstand a.
B 2 = µ o ⋅ H2 = µ o
I2
2πa
F1 = I1 ⋅ l ⋅ B 2 ⋅ sin α = I1 ⋅ l ⋅ I2 ⋅
µo
2πa
F1 = I2 ⋅
mit I1 = I2 = I
l
⋅ µo
2 πa
Anwendungen:
L Def. des Ampere:
R=1m; a=1m;
I=1A
—›
F=2·10-7 N
L Kraftberechnung bei Stromschienen im Kurzschlussfall
Beispiel:
Kurzschlussstrom IK=50·103 A; Abstand der Schienen a=0,25m
Schienenlänge 1m
Wie groß ist die Kraft im Kurzschlussfall?
F = I2 ⋅
Vs
l
1m
⋅ µ o = ( 50 ⋅ 10 3 A ) 2 ⋅
⋅ 1257
,
⋅ 10 − 6
Am
2πa
2π ⋅ 0,25m
= 2 ⋅ 10 3 N
7.6.4 Kraft auf frei bewegte Ladung
÷
Elektronenablenkung
Es ist unerheblich, ob eine Ladung im Leiter geführt wird, oder frei im Raum fliegt.
Die Kraft ist stets senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zum Magnetfeld!
Bewegte Ladung dQ
I=
dQ
dt
99
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r
r dQ
r r
dl r
→ dF =
⋅ (d l × B) = dQ(
× B)
dt
dt
ÆÈÇ
r
v = Augenblicksgeschwindig keit der Ladung dQ
Die gesamte Kraft F auf die bewegte Ladung Q erhält man durch Integration
r
r r
F = Q( v × B)
Lorentzkraft
r
B
Elektronenablenkung
r
v
r
F
7.6.5 Hall-Generator
Ausnutzung des Hall-Effektes (E.A. Hall, 1880)
Hall-Generatoren bestehen aus einer polykristallinen Halbleiterschicht aus Indium- oder
Iridiumverbindungen aber auch aus Silizium oder Germanium.
Die Halbleiterschicht hat zwei Steuerstromanschlüsse und zwei Kontakte zum Abgriff der
Hall-Spannung.
Wird der Halbleiter von einem Magnetfeld durchsetzt, so wirkt auf den Steuerstrom die
Lorentzkraft, d.h. die Ladungsträger werden von ihrer ursprünglichen Bahn (ohne Magnetfeld) abgelenkt und es entsteht die Hallspannung.
÷
Die Ablenkung von Ladungsträgern im Magnetfeld verursacht deren Trennung, dadurch
entsteht eine Potentialdifferenz, d.h. eine el. Spannung.
Die Polarität der Hallspannung ist abhängig von der Art der Ladungsträger (p-Halbleiter oder
n-Halbleiter).
Hallspannung
UH =
KH
⋅ ISt ⋅ B
d
K H = Hallkonstante
d = Schichtdicke des Halbleiters
ISt = Steuerstrom
B = Flußdichte senkrecht zum Halbleiter
100
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Grundlagen der Elektrotechnik I
Prof. Dr. Suchaneck
Hallgenerator
Bis zu Steuerstromstärken ISt.500mA und Flussdichten B.1T besteht Proportionalität zwischen B und UH. Je nach Halbleiter sind Hallspannungen bis zu 500mV möglich.
In Metallen tritt eine sehr kleine, technisch kaum nutzbare Hallspannung auf.
Anwendungen:
•
•
•
Messung großer Gleich- und Wechselströme mittels Magnetfeld des Leiters (Stromwandler)
Messung von Gleichstromleistung (Hall-Generator als Multiplizierer)
kontaktloser Schalter (Geber für Zündzeitpunkt in Otto-Motoren)
Neben dem Hallgenerator kommt zur Messung von magnetischen Flüssen noch die Feldplatte zum Einsatz. Die Feldplatte ist ein passives Bauelement, bei dem sich der el. Widerstand beim Auftreten eines magnetischen Flusses verändert.
7.7
Energie im Magnetkreis
Allgemeine Definition ‘Energie=Kraft mal Weg‘ gilt auch hier:
lm
2
L IL
W = Fds =
⋅
⋅ ds
l
2
m
0 12
4 4
3
F
∫
∫
2
L IL
=
⋅
=
lm 2
W=
7.8
L ⋅ IL
2
lm
∫
0
2
ds =
L IL
⋅
⋅ lm
lm 2
2
Energie einer Spule
Magnetische Induktion
7.8.1 Selbstinduktionsspannung
Bekanntlich erzeugt der elektrische Strom in einem Leiter ein Magnetfeld. Jede Änderung
des Stromes hat auch eine Änderung des Magnetfeldes zur Folge.
Ein sich änderndes Magnetfeld hat eine Induktionswirkung auf Ladungsträger, d.h. es werden Ladungsträger verschoben, getrennt, es wird eine el. Spannung erzeugt.
101
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÷
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Jede Stromänderung in einem Leiter führt zur Erzeugung einer Spannung, der sog.
Selbstinduktionsspannung, die der Ursache entgegen wirkt (Lenz‘sche Regel).
Ein Leiter ist eine Spule mit einer gestreckten Windung, demnach gilt vorhergesagtes auch
für allg. Spulen mit entsprechend größerer Wirkung.
Induktionsgesetz
ui = − L ⋅
analog zum el. Feld:
diL
= Stromänderungsgeschwindigkeit
dt
diL
dt
ic = C ⋅
duC
dt
Vertauschung von i ø u und L ø C ergibt das Induktionsgesetz.
Die induzierte Spannung wirkt der äußeren Spannung entgegen, daher das neg. Vorzeichen.
Als Summe liegt an der Spule die Spannung
uL = L ⋅
diL
dt
t
Durch Integration kann der Spulenstrom berechnet werden:
Ψ N⋅ Φ
L=
=
I
I
mit
uL = N ⋅
dΦ
dt
;
1
iL ( t) =
uL ( t)dt + iL ( 0)
L
∫
0
N⋅ Φ
I=
= iL
L
Induktionsgesetz beschrieben mit der Flussänderung
7.8.2 Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten
Aufmagnetisieren: UL > 0
Entmagnetisieren: UL < 0
Näherung:
RL ÷ 0, uR << uL
Auf- und Entmagnetisierung mit konstanter Spannung
uL=UL= konst
t1
U ⋅ (t − t )
1
iL ( t) =
UL dt + iL ( 0) = L 1 0 + iL ( 0)
L
L
∫
t0
ÆÈÇ
∆IL
∆I =
⇒ linearer Stromanstieg
UL ⋅ ∆t
L
102
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Beispiel 1:
a)
iL ( t1 ) = ?
iL ( t1 ) =
b)
wenn iL ( t
= 0)
= 0; t1 = ∆ t1 = 20ms
UL ⋅ ∆t1
12V ⋅ 20ms
+0=
= 96mA
L
2,5H
∆t 2 für vollkommene Entmagnetisierung → iL ( t 2 ) = 0
∆t 2 =
∆IL /E
−96mA
⋅L =
⋅ 2,5H = 9,6ms
UL /E
−25 V
( ohne Z - Diode: ∆t 2 = 240ms)
c)
Gespeicherte Energie
2
L ⋅ IL
2,5H ⋅ (96mA ) 2
WL =
=
= 115
, mWs
2
2
d)
Verlustleistung der Dioden beim Entmagnetisieren bei einer Taktfrequenz f=10Hz
PV =
WL 115
, mWs
=
= 115mW
100ms
T
Beispiel 2:
Wie groß ist die Induktivität L,
wenn folgender Stromverlauf vorliegt?
diL
= UL = 24 V
dt
U ⋅ ∆t 24 V ⋅ 1ms
→ L= L
=
= 12mH
∆IL
2A
uL = L
2A
iL
24V
0
1ms
2ms
t
uL
-24V
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Beispiel 3:
Zeichne dem Spannungsverlauf uL(t) entsprechend den gegebenen Stromverlauf bei einer
idealen Induktivität L=1mH.
UL1 = 1mH
3A
= 7,5 V;
400 µs
UL 2 = 1mH
−6 A
= −30 V;
200 µs
UL 4 = 1mH
3A
= 30 V;
100µs
UL 5 = 1mH
0A
= 0;
50µs
UL7 = 1mH
− 2A
= −40 V;
50µs
UL 8 = 0;
UL 3 = 1mH
UL 6 = 1mH
0A
= 0;
300 µs
2A
= 40 V;
50µs
7.8.3 Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten mit R und L
R = Ri + RL
|
|
Quelle Spulenwiderstand
Masche
U0 − L
diL
− iL ⋅ R = 0
dt
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Rechnung wie bei der Aufladung des Kondensators:
÷
1.
Vertauschung i ø u
Zeitkonstante
τ=
L
R
Aufmagnetisierung
imax
t
−
U
iL / A ( t) = 0 (1 − e τ )
R
↓
imax = iL ( ∞ )
t
di
U
1 −
uL = L ⋅ L = L ⋅ ( 0 − 0 ⋅ ( − ) ⋅ e τ )
τ
dt
R
uL / A = U0 ⋅ e
−
t
τ
Spannung nimmt ab
↓
uL ( 0)
2.
Entmagnetisierung
t
iL /E
−
U
= 0 ⋅e τ
R
↓
imax
U0
R
Der Strom fließt im ersten
Moment weiter.
t
uL /E
−
di
= L ⋅ L /E = −U0 ⋅ e τ
dt
− U0
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Beispiel
a)
b)
c)
a)
Auf wieviel % von iL ( ∞ ) ist die Spule nach
t A = 8ms aufgeladen?
Wie lange dauert die Entmagnetisierung auf
10% von iL ( ∞ ) bei RE = 0Ω und 200Ω ?
Welche max. Spannung USp tritt im Abschaltmoment auf?
iL ( t) = iL ( ∞ ) ⋅ (1 − e
−
t
τ
)
t
8 ms
−
−
i ( 8ms)
→ L
= (1 − e τ ) = (1 − e 3H/ 600 Ω ) = 0,798
iL ( ∞ )
=$ 79,8%
b)
iL /E = iL ( ∞ ) ⋅ e
−
tE
τ
t
− E
i
→ L /E = e τ = 0,1 → tE = − τ ⋅ ln 0,1
iL ( ∞ )
=-
tE(200 Ω ) = -
c)
3H
ln 0,1 = 115
, ms
600Ω
3H
ln 0,1 = 8,6ms
800Ω
→
USp ( 0) =
− US
⋅ RE = 0
RL
RE = 200Ω →
USp (0) =
− 60 V
⋅ 200Ω = − 20 V
600Ω
RE = 10kΩ →
USp ( 0) = − 1000 V
RE = 0
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7.8.4 Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung
Schaltung:
uL = L
o
di
= L⋅ i
dt
(1)
Masche
uL + iL ⋅ RL + UK = 0
o
L ⋅ i L + iLRL + UK = 0
o
i L + iL ⋅
÷
Lösungsansatz mit folgender Funktion iL ( t) = k 1 ⋅ ek 2 ⋅t + k 3
RL −Uk
=
L
L
(2) Dgl.
(3)
bei t=0 abschalten
1. Bedingung mit (2)
iL ( t = 0 ) =
Uo
= k1 ⋅ 1+ k 3
RL
(4)
÷ Strom fließt im Abschaltmoment weiter
2. Bedingung
UK = konst. ⇒
k 1k 2 ² ⋅ 1 + k 1k 2 ⋅
3. Bedingung
dUK
=0
dt
RL
=0
L
o
iL + i L
RL
=0
L
Dgl. (2) für t=0
k 1k 2 ² ⋅ 1 + k 1k 2 ⋅
RL
U
=− K
L
L
k2 = −
k1 ⋅ ( −)
(6)
RL
=0
L
k 1k 2k 2 = −k 1k 2
(4) ÷ (6)
oo
(5)
k 1k 2 ⋅ 1 + 0 + (k 1 ⋅ 1 + k 3 )
aus (5)
⇒
RL
L
RL
L
RL Uo RL
U
+
=− K
L RL L
L
→
→ k1 =
τ=
L
RL
Uo + UK
RL
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mit (4)
Prof. Dr. Suchaneck
Uo Uo + UK
U
U
U
U
=
+ k3 → k3 = o − o − K = − K
RL
RL
RL RL RL
RL
k 1, k 2 , k 3 → (3)
ergibt:
t
U + UK − L /RL UK
il ( t) = o
⋅e
−
RL
RL
t
di
U + UK
R −
uL ( t) = L ⋅ L = L ⋅ o
⋅ ( − L )e L /RL − 0
dt
RL
L
→
uL ( t) = −(Uo + UK ) ⋅ e
−
t
L /RL
7.8.5 Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld
Lineare Bewegung
+
+
+
r
F
l
Q
+
r
v
+
R = Leiterlänge
ds = Wegelement
v = Geschwindigkeit
B = Flussdichte
r
" = Winkel des Weges zu B
u1
r
B
-
-
-
-
l
r
v
r
B
Induzierte Spannung (1 Schleife):
u1 = −
dΦ
B ⋅ dA ⋅ sin α
B ⋅ l ⋅ ds ⋅ sin α
=−
=−
= −B ⋅ l ⋅ v ⋅ sin α
dt
dt
dt
N Leiterschleifen:
uN = −N ⋅ B ⋅ l ⋅ v ⋅ sinα
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7.8.6 Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ω = 2⋅ π ⋅f
(Abgriff der induzierten Spannung u über Schleifringe)
B, Φ
Annahme:
bei t=0 steht die Fläche A der Leiterschleife senkrecht zu B bzw. Φ .
Ausgangsposition ÷ Winkel "=0 (zwischen A und B)
d.h. bei t=0 ist Φ max = B ⋅ A
Nach Drehung um "=90°:
r
r
Vektoriell betrachtet haben B und A zwar zueinander einen Winkel von 90°, aber der magnetische Fluss, der durch die Fläche
tritt, ist 0 → Φ = 0
÷ Der magn. Fluss durch die Leiterschleife ändert sich mit dem cos des Drehwinkels ".
r r
Φ( t) = B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ cos α ( t)
Mit
α = ω⋅t
r r
Φ( t) = B ⋅ A = B ⋅ A ⋅ cos ωt berechnet sich die induzierte Spannung:
u1 = −
dΦ
d cos ωt
= −BA
dt
dt
u1 = B
⋅ A4
⋅3
ω ⋅ sin ωt
12
4
u$
u1( t) = u$ ⋅ sin ωt
Bei einer Spule mit N Windungen erhält man:
uN ( t) = N ⋅ u$ ⋅ sin ωt
u( t) =
dΦ
dt
ui ( t ) = −
dΦ
dt
Φ max
−
π
2
π
2
π
3
π
2
2π
Φ( t)
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