Elektronik I, Foliensatz 7 2.4 Frequenzraum G. Kemnitz

Elektronik I, Foliensatz 7 2.4 Frequenzraum G. Kemnitz
Elektronik I, Foliensatz 7
2.4 Frequenzraum
G. Kemnitz
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
1/74
1. Frequenzraum
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Frequenzraum
Fouriertransformation
FFT/Matlab
komplexe U, I, R
Schaltung ⇒ Gleichungssystem
Handwerkszeug
Transistorverstärker
Operationsverstärker
Aufgaben
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
2/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
Frequenzraum
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
2/74
1. Frequenzraum
Frequenzraum, Spektrum
Funktionsraum, in dem ein periodisches Zeitsignal als Summe
komplexer Exponentialfunktionen dargestellt wird:
x(t) =
M
X
m=−M
ω0 =
TP
j=
2π
TP
√
X (m) · ej·m·ω0 ·t
Kreisgrundfrequenz
Signalperiode
−1
imaginäre Einheit
X (m)
Spektralwerte, Spektrum
m = f · TP
Frequenzindex
f
G. Kemnitz
·
Frequenz
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
Darstellung der
Spektralwerte durch
Betrag und Phase
X(m)
Im
ϕ
Re
6. Januar 2014
3/74
1. Frequenzraum
Wozu Signaldarstellung im Frequenzraum?
Das Spektrum eines Signals:
ist eine Funktion mit der Frequenz als Argument.
Diese Funktion ist eine umkehrbar eindeutige Darstellung
des Signals:
x(t) ( X (f )
Kapazitäten und Induktivitäten verhalten sich im
Frequenzraum wie frequenzabhängige Widerstände.
Lineare Systeme aus Quellen, R, C und L bilden sich auf ein
lineares frequenzabhängiges Gleichungssystem ab.
Fakt 1
Der Frequenzraum ist ein Mittel zur Beschreibung linearer
Schaltungen mit zeitveränderlichen Quellen, R, C und L durch
ein lineares Gleichungssystem statt durch ein DGL-System.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
4/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
1. Fouriertransformation
Fouriertransformation
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
5/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Fouriertransformation
Mathematische Grundlage der Signaldarstellung im
Frequenzraum ist die Fouriertransformation.
Einer Funktion f (a) mit der Perioden 2 · π wird durch eine
Fourierreihe
∞
X
Xm · cos (m · a + ϕm )
f (a) =
m=0
(Xm Amplitude; ϕm Phasenverschiebung) angenähert.
Nichtperiodische Signale werden durch ein Signal mit
unendlicher Periode angenähert.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
6/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Beispiel: Fourierreihe einer Rechteckfunktion
f3 (a) =
4
π
f9 (a) =
4
π
1
f3 (a) 0
-1
· cos (a) −
· cos (a) −
cos(3·a)
3
cos(3·a)
3
+
cos(5·a)
5
−
cos(7·a)
7
+
cos(9·a)
9
1
f9 (a) 0
-1
−π
fM (a) =
G. Kemnitz
·
4
π
·
PM
m=0 sin
0
π·m
2
·
π
a
cos(m·a)
m
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
7/74
1. Frequenzraum
fM (a) =
1
f19 (a) 0
-1
4
π
·
PM
1. Fouriertransformation
m=0 sin
π·m
2
·
cos(m·a)
m
U0
0
u(t)
−U0
1
0
-1
f39 (a)
−π
0
π
a
0
t
0,5
1
1,5
TP
Achsenbeschriftung für ein formgleiches Spannungssignal
Formgleiches Spannungssignal:
M
π · m cos (m · ω · t)
4 · U0 X
0
·
sin
u (t) =
·
π
2
m
m=1
(ω0 =
G. Kemnitz
·
2π
TP
Kreisgrundfrequenz; TP Signalperiode)
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
8/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Bandbegrenzung
Band:
bandbegrenzt:
Frequenzbereich
Xm = 0 für fm > fmax
|X|
|X| ≥ 0
0
|X| = 0
fmax
f
Fakt 2
Alle Spannungen und Ströme in realen Schaltungen sind
bandbegrenzt.
uC und iL können sich nur stetig ändern.
Eingebaute und unvermeidliche parasitäre C und L bewirken
Bandbegrenzung.
Bandbegrenzter Sprung:
G. Kemnitz
Sprung abzüglich der Kosinusterme
der Frequenzen
fm > fmax
U
t
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
9/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Übergang zur komplexen Exponentialfunktion
Zusammenfassung (Xm , ϕm ) zu einer komplexen Zahl X m
Denition der komplexen
e-Funktion:
umgestellt nach cos (a)
eja
= cos (a) + j · sin (a)
e−ja = cos (a) − j · sin (a)
cos (a) = 12 · eja + e−ja
Ersatz der Kosinusterme der Fourierreihe:
Xm · cos (m · ω0 · t + ϕm ) = X (m) · ej·m·ω0 ·t + X (−m) · e−(j·m·ω0 ·t)
mit X (m) =
Xm
2
· ej·ϕm und X (−m) =
Xm
2
Fourierreihe mit komplexen e-Funktionen:
P
j·m·ω0 ·t
x(t) = M
m=−M X (m) · e
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
· e−j·ϕm
6. Januar 2014
10/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Fourierreihe mit komplexen e-Funktionen
x(t) =
M
X
m=−M
X (m) · ej·m·ω0 ·t
(M Frequenzindex des Signalanteils mit der höchsten
auftretenden Frequenz) neue Summationsgrenzen:
−M ≤ m ≤ M
Die Spektralwerte der negativen Frequenzen 6= 0 sind die
konjugiert komplexen Spektralwerte der positiven
Frequenzen und betragsmäÿig halb so groÿ wie die
Amplituden der Kosinusterme:
X (m) =
Xm j·ϕm
·e
2
und
X (−m) =
Xm −j·ϕm
·e
2
der Gleichanteil bleibt:
X (0) = X0
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
11/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Zeitdiskrete Fouriertransformation
Umkehrbarer Algorithmus zur Berechnung von
N Spektralwerten eines bandbegrenzten Spektrum aus
N äquidistanten Abtastwerten einer Periode des Zeitsignals.
1
u(0) ... u(4) ... u(8) ... u(12) ... Abtastfolge einer Periode
u in V
5
0
0
20
10
15
t in s
-1
TP = 16 · TA (Signalperiode)
TA = 1 s (Abtastintervall)
Die Anzahl der Abtastpunkte N sei geradzahlig, im Idealfall
eine Zweierpotenz (siehe später t()).
Voraussetzung ist die Einhaltung des Abtasttheorems.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
12/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Abtasttheorem
Der Signalanteil mit der höchsten Frequenz muss mehr als
zweimal je Periode abgetastet werden:
N >2·M
Bei Verletzung des Abtasttheorems
sind im Grenzfall N = 2 · M Amplitude und
Phase des Signalanteils mit der höchsten
Frequenz nicht eindeutig festgelegt.
Für N < 2 · M gibt es ein Kosinussignal mit geringerer
Frequenz mit derselben Abtastfolge (Aliasing):
G. Kemnitz
TP = 1,5 · TA
TP = 3 · TA
TA
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
13/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Ausgangspunkt für die Herleitung der Fouriertransformation ist
die Fourierreihe eines bandbegrenzten Signals:
x(t) =
M
X
m=−M
X (m) · ej·m·ω0 ·t
Abtastzeitpunkte:
tn =
Kreisgrundfrequenz:
ω0 =
Exponent:
n·TP
N
2π
TP
m · ω0 · tn =
Abtasttheorem:
M<
2π·m·n
N
N
2
X − N2 = 0
Indexerweiterung:
Für jeden Zeitpunkt tn = n · TA beträgt der Zeitwert:
G. Kemnitz
N
2
x(tn ) = x(n) =
−1
X
m=− N
2
·
X (m) · ej·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
2·π·m·n
N
6. Januar 2014
14/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Die Berechnung von N Zeitwerten x(n) aus N Spektralwerten X (m) erfolgt über die Lösung eines linearen Gleichungssystems aus N Gleichungen mit N Unbekannten:




X − N2
x (0)








N
x (1)
 X −2 +1 


=Q·


..
..








.
.




N
x (N − 1)
X 2 −1
Q N × N -Matrix mit den komplexen Koezienten:
qmn = ej·
2·π·m·n
N
Die Determinante beträgt
det (Q) = N
Sie ist somit ungleich null. Damit ist die Transformation
umkehrbar.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
15/74
1. Frequenzraum
1. Fouriertransformation
Berechnung der Spektralwerte aus der Abtastfolge:

Q−1
X − N2

 X −N + 1
2


.

.
.

N
X 2 −1







−1 
=Q ·




x (0)
x (1)
.
.
.
x (N − 1)







N × N -Matrix mit den komplexen Koezienten:
qmn =
2·π·m·n
1
· e−j· N
N
Fakt 3
Die Berechnung der Spektralwerte für eine Abtastfolge eines
bandbegrenzten Signals erfolgt über die Lösung eines linearen
Gleichungssystems.
Die praktische Berechnung erfolgt in der Regel über
die FFT (Fast Fourier Transformation) und
die
IFFT (Inverse Fast Fourier Transformation).
·
G. Kemnitz
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
16/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
2. FFT/Matlab
FFT/Matlab
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
17/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Von der Matrixmultiplikation zur FFT
Zirkulare Verschiebung der Spektralwerte der negativen
Frequenzen um N Indexpositionen in den positiven Bereich:
N
2
x(n) =
−1
X
m=0
|
für
X (m) · ej·
0≤m< N
2
2·π·m·n
N
{z
}
+
N
−1
X
m=+ N
2
(positive Freq.)
|
X (m − N ) · ej·
{z
2·π·(m−N )·n
N
für − N
2 ≤m<0 (negative Freq.)
j·2π·N ·n
}
der hinzukommende Faktor e− N
ist eins und entfällt.
Mit X (m − N ) = X (m) bleibt die Gleichheit erhalten. Die
Transformationsvorschrift mit dem zirkular verschobenen
Spektralvektor
x(n) =
N
−1
X
m=0
X (m) · ej·
2·π·m·n
N
liefert dieselbe Zeitfolge.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
18/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
x(n) =
N
−1
X
m=0
X (m) · ej·
2·π·m·n
N
Darstellung der Exponentialterme als Potenzen der
Hilfsvariablen
2·π
v = ej· N
Ergebnis:
x(n) =
N
−1
X
m=0
X (m) · v m·n
Aus historischen oder numerischen Gründen wird statt der
Spektralwerte deren N -facher Wert benutzt:
W (m) = N · X (m)
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
19/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Die inverse zeitdiskrete Fouriertransformation (IFFT) berechnet
die Abtastfolge für den Vektor aus den N -fachen Spektralwerten
der positiven Frequenzen und den N -fachen zirkular in den
positiven Bereich verschobenen negativen Frequenzen:







mit:
G. Kemnitz
x (1)
.
.
.
x (N − 1)
1
V=
N
·

x (0)

v0
 0
 v

· .
 ..

v0







=V·




v1
v2
.
.
.
v N −1
W (0)
W (1)
.
.
.
W (N − 1)
···
···
..
.
···
v N −1









v 2·(N −1) 


.

.
.

(N −1)2
v
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
20/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Die zeitdiskrete Fouriertransformation ist die inverse Operation
(Umkehrung) davon:







mit:
G. Kemnitz
W (1)
.
.
.
W (N − 1)
N ·V
·

W (0)
−1








 = N · V −1 · 




v −1
v0
 0
 v

= .
 ..

v0
v2
.
.
.
v
−(N −1)
···
···
..
.
···
x (0)
x (1)
.
.
.
x (N − 1)
v −(N −1)









v −2·(N −1) 


.

.
.

2
−(N −1)
v
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
21/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Umrechnung Transformationsergebnis ⇔ Spektrum
|X|
1
Indextransformation
Amplitudenskalierung
−8 −6 −4 −2
−8
TP
−6
TP
|W |
−2
G. Kemnitz
−4
TP
2
4
6
m
0
2
TP
4
TP
6
TP
f
16
0
2
1
0
·
−2
TP
0
4
6
8
5
2
TP
4
TP
10
12
10
6
TP
−8
TP
−6
TP
−4
TP
14
k
15
Index in Matlab
−2
TP
f
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
22/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Schnelle Fouriertransformation (FFT)
Die FFT (Fast Fourier Transformation) ist ein Algorithmus,
der durch geschicktes Ausklammern die Anzahl der
komplexen Multiplikationen und Additionen von N 2 auf im
günstigsten Fall N · log2 (N ) reduziert1 .
Für die IFFT (Inverse Fast Fourier Transformation) gilt
dasselbe, nur mit inverser Transformationsmatrix.
Matlab-Funktionen:
W=fft(x); % fast fourier transformation
x=ifft(W); % inverse fast fourier transformation
(x Abtastfolge; W transformierter Frequenzvektor).
1
Der günstigste Fall ist, wenn
N
eine Zweierpotenz ist. Die bevorzugten
Werte für die Anzahl der Abtastpunkte sind entsprechend 16, 32, 64, 128,
256, 1024, ...
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
23/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
In Matlab beginnt die Indexzählung mit Eins:
|X|
1
Indextransformation
Amplitudenskalierung
−8 −6 −4 −2
−8
TP
−6
TP
|W |
−2
G. Kemnitz
−4
TP
2
4
6
m
0
2
TP
4
TP
6
TP
f
16
0
2
1
0
·
−2
TP
0
4
6
8
5
2
TP
4
TP
10
12
10
6
TP
−8
TP
−6
TP
−4
TP
14
k
15
Index in Matlab
−2
TP
f
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
24/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Beispiel für die Berechnung und Darstellung eines
Spektrums
Eingabe und Darstellung der Abtastfolge des Zeitsignals
TP
N
u
t
=
=
=
=
1;
2∧ 6;
[ ... ];
(0:N-1)*TP/N;
subplot(3,1,1); plot(t,u);
G. Kemnitz
u(t)
in V
Periodendauer in s
Abtastwerte je Periode
Vorgabe der N Abtastwerte
Folge der N Zeitwerte
Darstellung der Zeitfunktion
2
1
0
·
%
%
%
%
%
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t in s
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
25/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Berechnung und Darstellung des Spektrums
U = fft(u)/N;
% Berechnung des Spektrums
f = (0:N/2-1)/TP;
% Vektor der positiven Freq.
subplot(3,1,2); stem(f, abs(U(1:N/2))s); % Betrag der Spektralwerte
|U (f )|
in V
1
0,1
0,01
0
5
10
15
20
subplot(3,1,3); stem(f, angle(U(1:N/2)));
Phase(U (f ))
G. Kemnitz
f in Hz
30
% Phasenverschiebung
% der Spektralwerte
3
0
-3
0
·
5
10
15
20 f in Hz 30
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
26/74
1. Frequenzraum
2. FFT/Matlab
Wurde das Abtasttheorem eingehalten?
Zeitfunktion für 300 statt 64 Abtastwerten je Periode:
% für 300 Zeitwert
for n=1:300
% Abtastzeitpunkt festlegen
t(n)=(n-10)/200;
% Wert mit Gleichanteil initialisieren
u(n)=U(1);
% für die 31 Spektralterme mit f > 0
for m=2:32
u(n)=u(n)+2*real(U(m)*e∧ (j*2*pi*f(m)*t(n)));
% doppelten Realteil hinzufügen
end;
end;
plot(t, u);
G. Kemnitz
2
Abweichungen zwischen
Vorgabezeitsignal und
Zeitsignal zum Spektrum,
Abtatasttheorem verletzt
u in V 1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t in s
Periode
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
27/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
3. komplexe U, I, R
komplexe U, I, R
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
28/74
1. Frequenzraum
3. komplexe U, I, R
Komplexe Spannungen und Ströme
Die folgende Theorie basiert auf dem Überlagerungssatz und
gilt nur für lineare Systeme.
In einem linearen System können alle Quellenwerte in eine
Summe komplexer Exponentialterme vom Typ
u (t)
i (t)
= U (ω) · ejωt
= I (ω) · ejωt
(U (ω) komplexe Spannung; I (ω) komplexer Strom; ω Kreisfrequenz) zerlegt und die Berechnung der gesuchten
Ströme und Spannungen für jede Kreisfrequenz ω extra
durchgeführt werden.
Die Gesamtströme und -spannungen sind dann die Summe
der Ströme und Spannungen für jede Kreisfrequenz ω , für die
die berechneten komplexen Ströme bzw. Spannungen
ungleich null sind.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
29/74
1. Frequenzraum
3. komplexe U, I, R
Komplexer Widerstand Z =
Widerstand u = R · i:
Kapazität i = C ·
I ·e
Z=
du
dt :
jωt
=
U
I
=
Induktivität u = L ·
G. Kemnitz
jωt
U ·e
Z=
·
U · ejωt
U
Z=
I
U
I
U
I
= R · I · ejωt
= R
d ejωt
C ·U ·
= jωC · U · ejωt
dt
1
j
=−
jωC
ωC
di
dt:
d ejωt
= =L·I ·
= jωL · I · ejωt
dt
= jωL
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
30/74
1. Frequenzraum
3. komplexe U, I, R
Zeigerdarstellung
Komplexe Spannungen, Ströme und Widerstände besitzen einen
Betrag und eine Phase und lassen sich als Zeiger in der
komplexen Ebene darstellen. Für den komplexen Widerstand:
|Z| · ejϕZ =
ist der Betrag
|Z| =
|U |·ejϕU
|I|·ejϕI
|U |
|I|
komplexe Ebene
Im
und beträgt die Phase:
ϕZ = jϕU − jϕI
An der Kapazität ist die Spannung
zum Strom um π/2 verzögert.
An der Induktivität eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
U L = jωL · I
I
Re
j
U C = − ωC
·I
6. Januar 2014
31/74
1. Frequenzraum
3. komplexe U, I, R
Gibt es wirklich imaginäre Spannungen und
Ströme?
Für jede Frequenz einzeln ja, in einem reellen Signal jedoch
nicht.
Warum?
Weil ein reelles Zeitsignal zu jedem Spektralwert einer
positiven Frequenz auch noch den konjugiert komplexen
Spektralwert der negativen Frequenz enthält, so dass sich die
Imaginäranteile immer paarweise gegenseitig aufheben.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
32/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
4. Schaltung
⇒
Gleichungssystem
Schaltung ⇒ Gleichungssystem
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
33/74
1. Frequenzraum
4. Schaltung
⇒
Gleichungssystem
Kirchhosche Sätze für komplexe U und I
u1
u3
i1 K1
R1
ue
G. Kemnitz
R3
C2
M1
i2
i5
K2
C3
u2
R2
i3
R4
M2
i4
K1 :
i1 − i2 − i3 = 0
K2 :
i3 − i4 − i5 = 0
M1 :
L5
u4
u5
M3
u1 + u2 = ue
M2 : −u2 + u3 + u4 = 0
M3 :
·
−u4 + u5 = 0
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
34/74
1. Frequenzraum
i1
i2
=
I 1 · ejωt
=
ejωt
I2 ·
4. Schaltung
⇒
u1
u3
i1 K1
R1
ue
R3
C2
u2
=
I 3 · ejωt
i4
=
I 4 · ejωt
i5
=
I 5 · ejωt
u1
=
u2
=
u3
=
u4
=
U 1 · ejωt = R1 · I 1 · ejωt
1
U 2 · ejωt = R2 + jωC
· I 2 · ejωt
2
1
U 3 · ejωt = R3 + jωC
· I 3 · ejωt
3
u5
=
U 5 · ejωt = jωL5 · I 5 · ejωt
ue
=
U e · ejωt
G. Kemnitz
·
R2
U 4 · ejωt = R4 · I 4 · ejωt
i2
i3
M2
i5
K2
C3
R4
i3
M1
Gleichungssystem
L5
u4
i4
u5
M3
Der zeitabhängige Term
ejωt kürzt sich aus allen
Knoten- und Maschengleichungen heraus.
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
35/74
1. Frequenzraum
4. Schaltung
⇒
Gleichungssystem
Die kirchhoschen Sätze gelten auch für die komplexen
Spannungen und Ströme:
U1
U3
I 1 K1
X 1 = R1
Ue
M1

1
M2
I2
0
1
R2 + jωC
2 1
− R2 + jωC
2
0
·
X 4 = R4
U2
−1

 0


 R1


 0

0
G. Kemnitz
X 3 = R3 +
X2 =
1
R2 + jωC
2
U4
I4
−1
0
0
1
−1
−1
0
0
R4
0
−R4
jωL5
0
I5
I 3 K2
1
jωC3
R3 +
0
1
jωC3
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
X 5 = jωL3
U5
M3

I1

 I
 2

· I
 3

 I
 4
I5


0

 

  0 
 

 

= U 
  e 
 

  0 
 

0
6. Januar 2014
36/74
1. Frequenzraum
4. Schaltung
⇒
Gleichungssystem
Zusammenfassung
Die Schaltungsanalyse im Frequenzbereich erfolgt nach
demselben Formalismus wie für den stationären Zustand, nur
dass die Spannungen, Ströme und Widerstände durch die
komplexen Spannungen, Ströme und Widerstände ersetzt
sind.
Schaltungsanalyse für periodische Eingabesignale
Eingabe: Zeitsignal ⇒ Abtastfolge
Berechnung des Spektrums aus der Abtastfolge
Wiederhole für alle Frequenzen des Spektrums
Berechnung der gesuchten komplexen Ströme und
Spannungen
Rücktransformation der gesuchten Gröÿen in eine Zeitfolge
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
37/74
1. Frequenzraum
4. Schaltung
⇒
Gleichungssystem
Sonderfall: stationärer Betrieb
Basisfunktion:
ej·0·t = 1
komplexe Spannung ⇒ stationäre Spannung:
U · ej·2π·0·t = U
komplexer Strom ⇒ stationärer Strom:
I · ej·2π·0·t = I
Induktivität ⇒ Verbindung:
XL = j · 0 · L = 0
Kapazität ⇒ Unterbrechung
X C = lim
f →0
G. Kemnitz
·
1
→∞
j · 2π · f · C
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
38/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
5. Handwerkszeug
Handwerkszeug
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
39/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
Schaltungsumformungen und Vereinfachungen
Aus der Gültigkeit der kirchhoschen Sätze für die komplexen
Spannungen und Ströme folgt, dass auch der gesamte
Werkzeugkasten für die Schaltungsanalyse auf die
Schaltungsmodellierung mit komplexen Spannungen und Strömen
übertragbar ist.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
40/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
Zusammenfassen komplexer Widerstände
Reihenschaltung
U ges
U
U
= Z ges = 1 + 2 = Z 1 + Z 2
I
I
I
I
UR
UL
R
L
π
2
|Z RL | 100
R
10
1
0,01 0,1
1
10
100
0
− π2
Phase(Z RL )
ω·L
R
Z RL = R + j · ω · L
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
41/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
Parallelschaltung
I ges
I
1
1
I
1
= 1+ 2 =
+
=
U
Z ges
U
U
Z1 Z2
I RL
UL
UR
|Z RLC |
R
R
L
UC
IC
10
1
0,1
0,01
π
2
0,01 0,1
Z RLC = Z RL k Z C =
=
G. Kemnitz
·
1
1
R+j·ω·L
10 100
√
ω· L·C
0 Phase(Z RLC )
− π2
1
+j·ω·C
R+j·ω·L
1 + j · ω · R · C − ω2 · L · C
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
42/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
Spannungsteiler
G. Kemnitz
Z1
U Z1
Z2
U Z2
Ue
Ua = Ue ·
·
Ia = 0
Ua
Z2
Z1 + Z2
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
43/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
Frequenzgang eines RC-Glieds
R
Ua U e
Ue
C
Ua
1
0,1
0,01
0,01 0,1
Z 1 = R und Z 2 =
1
10 ω · R · C
1
jωC :
Ua = Ue ·
R
1
j·ω·C
1
+ j·ω·C
=
Ue
1+j·ω·R·C
Für niedrige Frequenzen ist die Ausgangsspannung gleich der
Eingangsspannung. Für hohe Frequenzen nimmt ihr Betrag
umgekehrt proportional mit der Frequenz ab.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
44/74
1. Frequenzraum
5. Handwerkszeug
RLC-Spannungsteiler
Ua
= Ue ·
1
j·ω·C
R+j·ω·L+
1
j·ω·C
= Ue ·
1
1+j·
q
ω
Q·ω0
−
ω
ω0
2
(1)
√
L
Q= · C
Güte, ω0 = 1/ L · C Resonanzfrequenz. Mit
Q ≈ 1 ist das ein Tiefpass und mit Q 1 ein Bandpass.
1
R
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
45/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
6. Transistorverstärker
Transistorverstärker
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
46/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Der Frequenzgang der Stromverstärkung
Die Verstärkung eines Bipolartransistors hat eine ähnliche
Frequenzabhängigkeit wie die Übertragungsfunktion eines
RC-Gliedes:
1
β = β0 ·
1 + j · ff0
β0 Grundverstärkung
f0 Übergangsfrequenz
β
β0 1
0,1
0,01
0,01 0,1
1
Für hohe Frequenzen f f0 :
fg
1
β0 · f0
β = β0 ·
= −j ·
= −j ·
f
f
f
j · f0
fg = β0 · f0 Grenzfrequenz (Frequenz für β = 1).
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
10
f
f0
6. Januar 2014
47/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Der Frequenzgang der Gesamtverstärkung
Beim Aufbau eines Transistorverstärkers wird die
Verstärkung der Gesamtschaltung durch externe
Widerstände eingestellt.
Verstärkung ↓ Übergangsfrequenz ↑
Ersatzschaltung für f = 0
U
RQ IB BEF β0 · IB RC
UV
RC
Ue
RE
Ua
UV
RQ
Ersatzschaltung für f 6= 0
β · IB
RQ I
RC
ua
ue
G. Kemnitz
B
RE
Ue
·
RE
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
Ua
6. Januar 2014
48/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
RQ I B
Ue
Ue =
β · IB
RE
RQ + RE · 1 + β
RC
Ua
· IB
U a = −RC · β · I B
RC · β · U Q
= −
RQ + RE · 1 + β
RC · U Q
= −
(RQ + RE ) · β1 + RE
1
1
j·f
+
=
β
β0
fg
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
49/74
1. Frequenzraum
Ua = −
RC · U e
(RQ + RE ) · β10 +
6. Transistorverstärker
j·f
fg
=
+ RE
vU0 · U e
1+
j·f
fV0
(2)
Für niedrige Frequenzen beträgt die Verstärkung:
RC
RC
vU0 = −
≈−
1
RE
(RQ + RE ) · β0 + RE
Die Übergangsfrequenz der
√ Spannungsverstärung fV0 , bei der die
Verstärkung auf das vU0 / 2 abgesunken ist, beträgt:
fg · (RQ + RE ) · β10 + RE
RE
fV0 =
≈ fg ·
(RQ + RE )
RQ + RE
Für einen Quellenwiderstand RQ RE ist die Übergangsfrequenz der Spannungsverstärkung nahe der Grenzfrequenz der
Stromverstärkung des Transistors. Für eine hochohmige Quelle
ist die Übergangsfrequenz wesentlich geringer.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
50/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Basisschaltung
Die Basis liegt (für f 6= 0) auf dem Bezugspotenzial
Transistorverstärker für hohe Frequenzen und Bandbreiten.
Ersatzschaltung f = 0
RE
UV
RC
RE
ue
G. Kemnitz
·
Ue
β0
1+β0
IE
· IE
UBEF
RC
Ua
UV
Ersatzschaltung f 6= 0
ua
RE
IE
β
1+β
Ue
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
· IE
RC
Ua
6. Januar 2014
51/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
RE
IE
β
1+β
Ue
IE
=
Ua
=
Ua
=
· IE
RC
Ua
U
− e
RE
β · RC · I E
RC · U e
−
=
1+β
RE · 1 + β1
R · Ue
C
RE · 1 + β10 +
j·f
fg
≈
RC · U e
v ·U
= U0 j·fe
j·f
1 + fV0
RE · 1 + fg
Die Verstärkung für niedrige Frequenzen beträgt:
vU0 = RC /RE
Die Übergangsfrequenz
der Spannungsverstärung fV0 (für
√
vV0 / 2) ist gleich der Grenzfrequenz der Stromverstärkung:
fV0 = fg
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
52/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Arbeitspunkt
Der Arbeitspunkt beschreibt die Spannungen und Ströme im
stationären Zustand.
Der Transistor muss für den gesamten nutzbaren Ein- und
Ausgangsspannungsbereich im Normalbereich arbeiten.
Ein groÿer Ein- und Ausgangsspannungsbereich verlangt,
dass der Arbeitspunkt auf der Übertragungsfunktion in der
Mitte des Verstärkungsbereichs liegt.
G. Kemnitz
linearer Arbeitsbereich
Arbeitspunkt
Ua
t
t
·
Ue
Verstärkungsbereich
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
53/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Einstellung des Arbeitspunktes:
über den Gleichanteil der Eingangsspannung ue
eine Gleichspannungsquelle in Reihe zur
Eingangssignalquelle.
Alternative:
Nur Spektralanteile mit einer Frequenz f ≥ fu verstärken
(fu minimale Nutzfrequenz).
Der Frequenzbereich darunter und der stationäre Betrieb
werden für die Einstellung des Arbeitspunkts genutzt.
Trennung von Gleichanteil und Nutzsignal mit RC-Gliedern.
UV
UV
ue
Ue.AP
G. Kemnitz
ua
ua
ue
Ue.AP
Ue.AP Gleichspannung zur Arbeitspunkteinstellung
Der Transistorverstärker selbst
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
54/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Typischer Signalverstärker
UV
Signalquelle
RQ
R1
RC
Empfänger
C3
C1
C2
ua
ue
R2
RE1
RE2
REE
Für die Arbeitspunkteinstellung (stationärer Zustand) sind
die Kapazitäten Unterbrechungen. Mit dieser Ersatzschaltung werden R1 , R2 , RE1 und RC geeignet festgelegt.
Im Frequenzbereich des Nutzsignals seinen alle Z C
vernachlässigbar klein. Mit dieser Ersatzschaltung werden C1
bis C3 und RE2 festgelegt.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
55/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Arbeitspunkteinstellung
R1
≈ 10 · IB
R2
IB
Richtwerte
URC ≈ 40% · UV
β0 · I B
UCE ≈ 40% · UV
RC
UBEF
UBEF + URE1
UV
RE1
URE ≈ 20% · UV
Beispiel:
gegeben: UV = 5 V, β0 ≈ 100, UBEF ≈ 0,7 V und RC = 1 kΩ
gesucht: RE1 , R1 und R2
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
56/74
1. Frequenzraum
IR1 ≈ 220 µA
R1
IR2 ≈ 200 µA
G. Kemnitz
R2
UV = 5 V
UR1 ≈ 3,3 V
IB ≈ 20 µA
UBEF = 0,7 V
UR2 ≈ 1,7 V
RE1 ≈
R1 ≈
R2 ≈
·
6. Transistorverstärker
RC
1 kΩ
IC ≈ 2 mA
β0 · IB
RE1
IE ≈ 2 mA
URC ≈ 2 V
UCE ≈ 2 V
URE ≈ 1 V
1V
≈ 500 Ω
2 mA
3,3 V
≈ 15 kΩ
220 µA
1,7 V
≈ 8,6 kΩ
200 µA
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
57/74
1. Frequenzraum
6. Transistorverstärker
Ersatzschaltung im genutzten Frequenzbereich
RQ
Ue
R1
β · IB
IB
Z C1
R2
RE1
Z C2
RC
RE2
Z RQ
REE
β · IB
IB
U e.ers = k 1 · U e
Z RE
Z C3
Ua
U ZRC = v U · U e.ers
Z RC
Aa = k 2 · U ZRC
Ersatzschaltungsparameter:
G. Kemnitz
·
Z RQ
=
k1
=
j
RQ1 −
k R1 k R2
ω · C1
R1 k R2
j
(R1 k R2 ) + RQ1 + − ω·C
1
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
58/74
1. Frequenzraum
RQ
Ue
β · IB
IB
Z C1
R1
6. Transistorverstärker
R2
RE1
Z C2
RC
RE2
Z RQ
U e.ers = k 1 · U e
G. Kemnitz
·
Z RE
Z RE
=
Z RC
=
k2
=
REE
β · IB
IB
Z C3
Ua
U ZRC = v U · U e.ers
Z RC
Aa = k 2 · U ZRC
j
RE2 −
k RE1
ω · C2
j
REE −
k RC
ω · C3
REE
REE + X C3
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
59/74
1. Frequenzraum
Z RQ
U e.ers = k 1 · U e
6. Transistorverstärker
β · IB
IB
Z RE
U ZRC = v U · U e.ers
Z RC
Aa = k 2 · U ZRC
Die Spannungsverstärkung dieser Ersatzschaltung wurde bereits
auf Folie 51, Gl. 2 hergeleitet:
vU =
Ua
Z RC
−
1
Ue
Z RQ + Z RE · β0 +
j·f
fg
+ Z RE
≈
Z RC
Z RE
Weitere Entwurfsschritte (am einfachsten mit Matlab oder einem
Simulator durch Probieren):
Mit RE2 gewünschte Spannungsverstärkung einstellen.
C1 bis C3 so festlegen, dass sie die Spannungsverstärkung bis
zur unteren Nutzfrequenz nur unerheblich absenken.
Kontrolle, das die Verstärkung auch im maximalen
Nutzfrequenzbereich ausreicht.
Kontrolle der Verlustleistungen, ...
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
60/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
7. Operationsverstärker
Operationsverstärker
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
61/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Frequenzgang eines Operationsverstärkers
v 0 = v00 ·
1
1+j·
f
f0
=
1
1
v00
+j·
f
fg
v00 Verstärkung für niedrige Frequenzen;
f0 Übergangsfrequenz;
fg Grenzfrequenz: fg = v00 · f0
Idealer Operationsverstärker v00 → ∞:
fg
f
Der nutzbare Frequenzbereich hängt von der externen
Beschaltung ab.
G. Kemnitz
lim (v 0 ) = −j ·
v00 →∞
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
62/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Nicht invertierender Verstärker
vu0 → ∞
1000
R2
Ua U e
Ua
Ue
R1
Ua =
1
v0
vu0 =
vu0 = 100
100
vu0 = 10
10
1
10−3 10−2 10−1
R1 +R2
R1
Ue
vu0 · U e
=
R1
+ R1 +R2
1 + j · ffv0
mit vu0 =
1
f
fg
fg
R1 + R2
, fv0 =
R1
vu0
Die Übergangsfrequenz verhält sich umgekehrt proportional zur
Verstärkung.
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
63/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Im Frequenzbereich f fv0
Z2
Z2
Z1
Ua
Ue
Ue
Z1
Verstärkung des nichtinvertierenden Verstärkers:
Z + Z2
Ua = 1
· Ue
Z1
Verstärkung des invertierenden Verstärkers:
Z
Ua = − 2 · Ue
Z1
G. Kemnitz
Ua
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
(3)
(4)
6. Januar 2014
64/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Nicht invertierender Verstärker mit RC-Beschaltung
G. Kemnitz
Z2 = R
Ue
Z1 =
Z1 =
1
jωC
Ua
1
; Z2 = R
jωC
Übertragungsfunktion:
Ua =
·
1
jωC
+R
1
jωC
· U e = (1 + jω · R · C) · U e
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
65/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Invertierender Verstärker mit RC-Beschaltung
G. Kemnitz
Z2 =
R2
1+jω·R2 ·C
R2
C
Z 1 = R1
Ue
Z 1 = R1 ; Z 2 =
Ua
R2
1 + jω · R2 · C
Übertragungsfunktion:
R2
Ua = −
· Ue
R1 · (1 + jω · R2 · C)
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
66/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Nachbildung des RLC-Spannungsteilers
U C3
U R1
U R2
M1
C3
I2
K R2
R1
Ue
G. Kemnitz
I1
I=0
M3
∆U = 0
I2
C2
I3
U C2
Ua
M2
I1 − I2 + I3 = 0
1
M1 : R1 · I 1 + R2 + j·ω·C
· I2 = U e
2
K:
M2 :
M3 :
·
1
− j·ω·C
· I2 + U a = 0
2
−R2 · I 2 −
1
j·ω·C3
· I3 = 0
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
67/74
1. Frequenzraum
7. Operationsverstärker
Auösen nach U a (U e ) durch eliminieren der 3 unbekannten
Ströme:
Ua =
Ue
1 + j · ω · C2 · (R1 + R2 ) − ω 2 · R1 · R2 · C2 · C3
Das ist derselbe Typ von Übertragungsfunktion wie für den
RLC-Spannungsteiler auf Folie 46:
Ue
Ua =
1+j·
Ein Koezientenvergleich
ergibt für die Resonanzfrequenz:
ω0 =
√
1
R1 ·R2 ·C2 ·C3
und für die Güte:
Q=
G. Kemnitz
·
1
ω0 ·C2 ·(R1 +R2 )
ω
Q·ω0
−
ω
ω0
2
10
Ua U e
1
Q = 7,14
Q = 2,86
Q = 1,43
Q = 0,71
0,1
0,01
0,2
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
1
ω
ω0
10
6. Januar 2014
68/74
1. Frequenzraum
G. Kemnitz
8. Aufgaben
Aufgaben
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
69/74
1. Frequenzraum
8. Aufgaben
Bestimmung des Spektrums
1
u0 in V
0
−1
−2
−1
0
1
2
t in s
TP = 2 s
Suchen einer geeigneten Fourierreihe
Anpassen an den gegebenen Signalverlauf
Darstellung der Abtastfolge und der Ergebnisse der
Fourierreihe einmal mit drei und einmal mit neun
Summanden (Matlabprogramm).
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
70/74
1. Frequenzraum
8. Aufgaben
Imaginärer Strom?
Was bedeutet es physikalisch, wenn ein berechneter Strom einen
Imaginärteil besitzt, wie z.B. der Strom:
I 1 = (1 + j) mA
Gibt es dann in der Schaltung imaginäre Ströme?
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
71/74
1. Frequenzraum
8. Aufgaben
Zusammenfassen komplexer Widerstände
C1
R1
C1 K1
R1
C2
R2
C2
R2
K2
Za
Zb
Wie groÿ sind die komplexen Ersatzwiderstände Z a und Z b ?
Unter welcher Bedingung sind die Ersatzwiderstände beider
Schaltungen gleich?
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
72/74
1. Frequenzraum
8. Aufgaben
Grenzfrequenz und Arbeitspunkt
RE
ue
UV1
RC
ua
UV
RE = 220 Ω
RC = 1 kΩ
UV = 5 V
β0 = 100
fg = 100 MHz
UBEF ≈ 0,7 V
Stellen Sie die Ersatzschaltung für den stationären Zustand
mit dem Transistor im Normalbereich auf.
Wie groÿ ist die Versorgungsspannung UV1 zu wählen, damit
die Ausgangsspannung im stationären Zustand 3 V beträgt?
Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion.
Welche Amplitude darf ein kosinusförmiges Ausgangssignal
maximal haben (Mittelwert 3 V)?
Stellen Sie die Ersatzschaltung für Frequnzen f > 0 null auf.
Wie groÿ ist die Verstärkung für Frequenzen f fg ?
Wie groÿ ist die Übergangsfrequenz der Verstärkung?
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
73/74
1. Frequenzraum
8. Aufgaben
Filter mit Operationsverstärkern
R2
R
C
Ue
R1
C
Ue
Ua
a)
Ua
b)
Wie lauten die Übertragungsfunktionen?
G. Kemnitz
·
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
6. Januar 2014
74/74
Was this manual useful for you? yes no
Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Download PDF

advertisement