F5: Kapazit ten und Induktivit ten, Zeitdiskrete Modellierung

F5: Kapazit ten und Induktivit ten, Zeitdiskrete Modellierung
Elektronik I, Foliensatz 5
2.1 Kapazitäten und Induktivitäten,
2.2 Zeitdiskrete Modellierung
G. Kemnitz
Institut für Informatik, Technische Universität Clausthal
2. Dezember 2014
G. Kemnitz
·
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Zeitveränderliche Ströme und Spannungen
Ab jetzt dürfen Spannungen und Ströme auch Signale, d.h.
zeitabhängige Gröÿen sein.
Zeitabhängige Ströme und Spannungen werden im Weiteren
zur Unterscheidung von konstanten Strömen und
Spannungen mit den kleinen Buchstaben i und u bezeichnet.
Denition 1
Ein Signal ist der zeitliche Werteverlauf einer physikalischen
Gröÿe, der zur Darstellung von Information verwendet wird.
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Zusätzliche physikalische Gesetzmäÿigkeiten
Umladeströme
Spannungsänderungen in einem Leiter erfordern
Ladungsänderungen.
Ladungsänderung erfordern Umladeströme.
Umladeströme in den Knotengleichungen berücksichtigen!
Modellierung mit einem neuen Zweipol: Kapazität
Induktionsspannungen
G. Kemnitz
Stromdurchossene Leiter sind von einem Magnetfeld
umgeben.
Änderungen des Magnetfeldes verursachen
Induktionsspannungen.
Induktionsspannungen in den Maschengleichungen
berücksichtigen!
Modellierung mit einem neuen Zweipol: Induktivität
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Inhalt
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Kapazität, Induktivität
Kapazität
Induktivität
Gegeninduktivität
Dreckeekte
Aufgaben
Zeitdiskretes Modell
Prinzip
Glättungskondensator
Schaltnetzteil
H-Brücke
CMOS-Inverter
Aufgaben
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1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
Kapazität, Induktivität
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1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
1. Kapazität
Kapazität
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1. Kapazität, Induktivität
1. Kapazität
Kapazität
Die Spannung ist proportional zur Feldstärke.
Die Ursache elektrischer Felder sind Ladungsträger.
Spannung proportional Ladung. Proportionalitätsfaktor
Kapazität: C =
i2
i1
Q
u
i1
Leitung 1
elektrisches Feld
Leitung 2
i1
i2
iC = ddQt
C
Tafel
u
i2
i1
uC ∼ Q
i2
Modellierung als Zweipol, der Bauteil (Kondensator) oder
Element einer Ersatzschaltung, z.B. einer Leitung, sein kann.
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1. Kapazität, Induktivität
1. Kapazität
Die Maÿeinheit der Kapazität ist Farad:
[C] = 1 F = 1
As
V
Die Kapazität zwischen Schaltungspunkten ist meist
wesentlich kleiner als 1 pF = 10−12 F.
kapazitiver Umladestrom:
dQ
du
=C·
dt
dt
Um über einer Kapazität von 1 pF die Spannung um 1 V zu
erhöhen, muss sie mit einer Ladung von 10−12 As geladen
werden, z.B. indem 1 ns lang ein Strom von 1 mA ieÿt.
i=
Die Spannung zwischen zwei Schaltungspunkten ändert sich
nur so schnell, wie sich die Kapazität auf- bzw. entlädt:
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1
u(t) =
·
C
·
Z
t
t0
i(τ ) · d τ + u(t0 )
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1. Kapazität, Induktivität
1. Kapazität
Kondensatoren
Kapazitätszweipole als Bauteile werden als Kondensatoren
bezeichnet. Es gibt Sie im Bereich von pF bis mehrere Farad.
Kleine Kapazitäten sind einfache Plattenkondensatoren mit:
C =ε·
A
d
Gröÿere verwenden Spezialkeramik/Folie mit groÿem ε als
Isolator.
Noch gröÿere werden in Vielschicht- oder gewickelter
Bauweise zur Vergröÿerung von A gefertigt.
gewickelt
iC
Leiter
Isolator
Leiter
G. Kemnitz
·
A
d
Vielschicht
uC
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1. Kapazität, Induktivität
Elektrolytkondensatoren
1. Kapazität
Elektrolytkondensatoren
Sehr dünne elektrolytisch erzeugte Isolationsschicht.
Groÿe Kapazität pro Fläche und Volumen.
Nur mit einer positiven Spannung in der angegebenen
Richtung betreibbar.
Bei Falschpolung wird die Isolationsschicht verstört.
Kurzschluss der Platten. Ohne Strombegrenzung thermische
Zerstörung.
G. Kemnitz
+
Elektrolyt
·
-
iC
+
−
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u≥0
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1. Kapazität, Induktivität
Reihenschaltung
1. Kapazität
iC C1
C2
uC1
uC2
uC
uC = uC.1 + uC.2
Z t
Z t
1
1
=
·
iC (τ ) · d τ +
·
iC (τ ) · d τ + uC.1 (t0 ) + uC.2 (t0 )
C1 t0
C2 t0
Z t
1
1
=
+
·
iC (τ ) · d τ + uC.1 (t0 ) + uC.2 (t0 )
C1 C2
t0
Das Reziproke der Gesamtkapazität ist die Summe der
Reziproken der Einzelkapazitäten:
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1
1
1
=
+
C
C1 C2
·
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1. Kapazität, Induktivität
1. Kapazität
Parallelschaltung
iC
iC1
iC2
C1
C2
uC
d uC
d uC
d uC
= iC.1 + iC.2 = C1 ·
+ C2 ·
dt
dt
dt
C = C1 + C2
iC = C ·
Hilfestellung: Modell des Plattenkondensators:
C =ε·
A
d
Parallelschaltung ⇒ Vergröÿerung der Fläche A
Reihenschaltung ⇒ Vergröÿerung des Abstands d
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1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
2. Induktivität
Induktivität
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1. Kapazität, Induktivität
2. Induktivität
Jeder elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umgeben.
Bei Änderung des Stroms ändert sich die gespeicherte
magnetische Energie.
Es wird eine zur Stromänderung proportionale Spannung
induziert, die der Änderung des Stromes entgegen wirkt.
Proportionalitätsfaktor: L (Induktivität), Maÿeinheit Henry
(1 H = 1 Vs/A)
Strom,Magnetfeld und
Induktionsspannung
Schaltsymbol der Induktivität
L
i
i
u=L·
di
dt
u=L·
di
dt
Modellierung als Zweipol, der Bauteil (Spule) oder Element
einer Ersatzschaltung, z.B. einer Leitung, sein kann.
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1. Kapazität, Induktivität
2. Induktivität
Der Strom über einer Induktivität (auch der einer Leitung)
lässt sich nur so schnell ändern, wie das Magnetfeld auf- oder
abgebaut wird:
1
i(t) = ·
L
Z
t
t0
u(τ ) · d τ + i(t0 )
Bei einer konstanten Spannung u(τ ) = U nimmt der Strom
proportional mit der Zeit zu:
i(t) =
U
· t + i(t0 )
L
Die Gröÿenordnung der Induktivität einer Leitung ist ≈ 1 nH
je mm Leitungslänge.
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1. Kapazität, Induktivität
2. Induktivität
Beispielrechnung
Wie viel Strom ieÿt, wenn eine Spannungsquelle mit UQ = 1 V
mit einer Leitung der Länge 1 m für 1 µs kurzgeschlossen wird?
nH
Die Induktivität ist etwa L ≈ 1 m · 11mm
= 1 µH.
Anfangsstrom i (0) = 0. Für t ≤ 1 µs gilt:
1V
·t
1 µH
Endwert nach 1 µs: i(1 µs) = 1 A.
i(t) =
Die Eingenschaft, dass ein Strom bei Kurzschluss einer
Spannungsquelle eine geringe Zeit benötigt, bis er so groÿ ist,
dass er das Bauteil zerstört, wird z.B. bei der ÜberstromAbschaltautomatik von Leistunge-MOS-Transistoren benutzt.
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1. Kapazität, Induktivität
2. Induktivität
Spule
Die Regel, dass die Induktivität sich proportional
zur Leitungslänge verhält, gilt nur für gerade Leiter.
Bei dem Bauteil Spule umschlieÿt die Leitung den magnetischen
Fluss mehrfach:
iL
uw
iL
uw
uL = n · uw ∼ n2 ·
iL
uw
d iL
dt
Φ ∼ n · iL
Φ magnetischer Fluss
n Anzahl der Windungen
uw induzierte Spannung je Windung
Für die Magnetfelderzeugung verlaufen die Ströme durch die
einzelnen Windungen parallel.
Für die induzierten Spannungen bilden die Wicklungen eine
Reihenschaltung.
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1. Kapazität, Induktivität
iL
uw
iL
uw
uL = n · uw ∼ n2 ·
iL
uw
d iL
dt
2. Induktivität
Φ ∼ n · iL
Φ magnetischer Fluss
n Anzahl der Windungen
uw induzierte Spannung je Windung
Der magnetische Fluss wächst proportional mit der
Windungszahl n.
Der Proportionalitätsfaktor hängt von der Geometrie der
Spule und dem Material, in dem sich das Magnetfeld
ausbreitet, ab1 .
Für die induzierten Spannungen bilden die Wicklungen eine
Reihenschaltung; uL proportional zu n und Φ :
L ∼ n2
Spulen für hohe Induktivitäten haben einen eisenhaltigen Kern, meist
Ferit (magnetussverstärkend, nichtleitend, nicht magnetisierbar).
1
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1. Kapazität, Induktivität
Parallelschaltung
2. Induktivität
iL
(keine Magnetfeldkopplung)
iL1
iL2
L1
L2
uL
iL = iL.1 + iL.2
Z t
Z t
1
1
=
·
uL (τ ) · d τ +
·
uL (τ ) · d τ + iL.1 (t0 ) + iL.2 (t0 )
L1 t0
L2 t0
Z t
1
1
+
·
uL (τ ) · d τ + iL.1 (t0 ) + iL.2 (t0 )
=
L1 L2
t0
Das Reziproke der Gesamtinduktivität ist die Summe der
Reziproken der Einzelinduktivitäten:
1
1
1
=
+
L
L1 L2
G. Kemnitz
·
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1. Kapazität, Induktivität
2. Induktivität
Reihenschaltung
iL
(keine Magnetfeldkopplung)
L1
L2
uL1
uL2
uL
uL = uL.1 + uL.2 = L1 ·
d iL
d iL
+ L2 ·
dt
dt
Die Gesamtinduktivität ist die Summe der Einzelinduktivitäten:
G. Kemnitz
L = L1 + L2
·
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1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
3. Gegeninduktivität
Gegeninduktivität
·
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1. Kapazität, Induktivität
3. Gegeninduktivität
Gegeninduktivität
iL1
uL1 = L1 ·
nj
Φ
iL1
d iL1
dt
···
+ M1.2 ·
iL1
d iL2
dt
iL2
uL2 = L2 ·
Windungsanzahl Wicklung j
magnetischer Fluss
u1
u2
=
iL2 · · ·
d iL2
dt
+ M2.1 ·
iL2
d iL1
dt
Lj ∼ n2j
Mj.k ∼ nj · nk
L1 M1.2
M2.1 L2
Φ ∼ n1 · iL1 + n2 · iL2
·
Eigeninduktivität j
Gegeninduktivität j.k
d i1
dt
d i2
dt
Jede Stromänderung verursacht in allen Leitern, die vom
selben Magnetfeld umgeben sind, eine Induktionsspannung.
G. Kemnitz
·
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1. Kapazität, Induktivität
3. Gegeninduktivität
Transformator
ie0 =
Ûe
ω·L
· sin(ω · t)
ia = 0
ue = Ûe · cos(ω · t)
ua =
n2
n1
· ue
Primärwicklung
Kern
Sekundärwicklung
Betrachtungsfall 1: ia = 0
ie regelt sich so ein, dass die Eingangsspannung gleich der
Induktionsspannung ist:
ue
=
Ûe · cos (ω · t) = L1 ·
ie0
=
Ûe
· sin (ω · t)
ω·L
d ie0
dt
Die induzierte Ausgangsspannung ist Eingangsspannung mal
Windungsverhältnis.
·
G. Kemnitz
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1. Kapazität, Induktivität
ie =
Ûe
ω·L
· sin(ω · t) +
n2
n1
· ia
ue = Ûe · cos(ω · t)
ia =
3. Gegeninduktivität
ua
RL
ua =
n2
n1
versorgte Schaltung
· ue
RL
Kompensation des Sekundärstroms ia durch einen zusätzlichen
Primärstrom ie1 so, dass der den Kern umieÿende Strom gleich
bleibt:
G. Kemnitz
ie = ie0 + ie1 = ie0 +
ia =
ie =
·
ω · Ûe
n2
· ia =
· sin (ω · t)
n
L1
| 1{z }
ua
n2 ue
n2 Ûe · cos (ω · t)
=
=
·
·
RL
n1 RL
n1
RL
2
Ûe
n2
Ûe · cos (ω · t)
· sin (ω · t) +
·
ω·L
n1
RL
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1. Kapazität, Induktivität
3. Gegeninduktivität
Leistungsumsatz in einem Transformator
P
= ue · ie0 + ue · ie1
| {z } | {z }
PBlind
=
PWirk
2
Ûe2
n2 · Ûe2 · cos (ω · t)
· sin (ω · t) · cos (ω · t) +
ω · L1
n1 · RL
|
{z
} |
{z
}
PBlind (Blindleistung)
ue
0
PWirk ∼ cos(ω · t)2
im Mittel positiv
0
PBlind ∼ cos(ω · t) · sin(ω · t)
im Mittel null
G. Kemnitz
PWirk (Wirkleistung)
Energieaufnahme
Energieabgabe
0
t
·
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1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
4. Dreckeekte
Dreckeekte
·
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1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Parasitäre Kapazitäten und Induktivitäten
Jede Verbindung besitzt eine Induktivität.
Zwischen allen benachbarten Verbindungen gibt es
Kapazitäten und Gegeninduktivitäten.
Die meisten dieser Kapazitäten und Induktivitäten:
sind unerwünscht und
bleiben im (Simulations-) Modell unberücksichtigt.
Der unerwünschte Einuss auf die Funktion wird bei der
Simulation nicht sichtbar.
Die Ursachen der dadurch verursachten Fehlfunktionen sind
messtechnisch schwer zu lokalisieren.
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1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Ground Bounce
UV
DIC1
(Sender)
DIC2
(Empfänger)
ue
ua
LM1
uM1 = LM1 ·
LM2
d iM1
dt
iM1
M
uM2 = LM2 ·
d iM2
dt
iM2
DIC digitaler integrierter Schaltkreis
LM.i Induktivität der Verbindung zum Bezugspunkt (typ. 10−8 H)
Die wahrgenommene Eingangsspannung am Eingang von DIC2:
ue = ua + LM1 ·
d iM1
d iM2
− LM2 ·
dt
dt
Gröÿenordnung der Spannungsverfälschungen:
G. Kemnitz
LM.i ·
·
d iM.i
100 mA
≈ 10 nH ·
= 1V
dt
ns
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1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Potentielle Fehlfunktionen
Die Induktionsspannung auf der Massezuleitung kann sein:
positiv ⇒ potentielle Signalverfälschung von 0 in 1
negativ⇒ potentielle Signalverfälschung von 1 in 0
für alle Anschlusssignale des Schaltkreises.
Maÿnahmen zur Fehlervermeidung:
Signale nach Schaltvorgängen erst nach Abschluss der
kapazitiven und induktiven Umladevorgänge auswerten.
Stützkondensatoren.
Induktivitätsarme Masseleitungen (keine scharfen Knicke,
groÿächige Masseleitungen oder Masseebene).
Schaltanken nur so steil wie nötig.
Dierenzielle Signalübertragung.
G. Kemnitz
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29/74
1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Stützkondensator
UV
digitaler
Schaltkreis
LM
C
Stützkondensator
schnelle
Stromänderungen
langsame Stromänderungen
Induktivitätsarmer Scheibenkondensator mit einer Kapazität
von etwa 10 nF bis 100 nF als Spannungsquelle für schnelle
Stromänderungen.
Anordnung unmittelbar an den Versorgungsanschlüssen des
Schaltkreises.
Extra Stützkondensator(en) je digitaler Schaltkreis.
G. Kemnitz
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30/74
1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Dierenzielle Signalübertragung
Extra Leitung statt Masseleitung für die Bezugsspannung.
Auswertung der Dierenz zwischen zwei Signalleitungen
statt der Dierenz zum Bezugspunkt.
Induktionsspitzen auf den Versorgungsleitungen haben
keinen Einuss auf die Dierenzspannung am Eingang des
Empfängers, weil sie nicht in der Masche liegen.
G. Kemnitz
UV
Empfänger
Signalquelle
ua
·
ue
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1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Induktives Übersprechen
Benachbarte Leitungen funktionieren wie ein Transformator.
Schnelle Stromänderungen auf einer Leitung verursachen
Induktionsspannungsspitzen auf den benachbarten
Leitungen.
uL1
ue1
uL1
ua1
uL2
ue1
ua1
ue2
uL2
ua2
ue2
G. Kemnitz
ua2
t
·
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32/74
1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Vermeidung von induktivem Übersprechen
Vermeidung schneller Stromänderungen.
Masseleitung zwischen zwei Signalleitungen.
Dierenzielle Signalübertragung (Minderung des induktiven
Übersprechens durch Kompensation der Magnetfelder durch
den Rückstrom).
ue1
i1
ua1
i1
i2
ue2
i2
ua2
magnetischer
Fluss verur- magnetischer
sacht von i1 Fluss verursacht von i2
Koaxialkabel
Twisted-Pair-Kabel
G. Kemnitz
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33/74
1. Kapazität, Induktivität
4. Dreckeekte
Kapazitives Übersprechen
Kapazitiven Spannungsteiler zwischen benachbarten
Leitungen.
Vermeidung von Fehlfunktionen:
Geeignete Leitungsführung,
Signaländerungsgeschwindigkeiten nicht gröÿer als nötig etc.
G. Kemnitz
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34/74
1. Kapazität, Induktivität
G. Kemnitz
5. Aufgaben
Aufgaben
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35/74
1. Kapazität, Induktivität
5. Aufgaben
Aufgaben
Wie groÿ ist die Gesamtkapazität der nachfolgenden Schaltung?
C1
C2
C3
C1 = 2 µF
C2 = 3 µF
C3 = 1 µF
Über einer Induktivität L = 10 mH liegt eine konstante
Spannung U an. Wie groÿ ist diese Spannung, wenn der
Strom in einer Zeit ∆t = 1 ms von 100 mA auf 200 mA
ansteigt?
Wie viel elektrische Energie wird dabei in magnetische
Energie umgesetzt?
Warum vergröÿert sich die Induktivität eines Drahtes, wenn er zu
einer Spule aufgewickelt wird?
G. Kemnitz
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36/74
1. Kapazität, Induktivität
5. Aufgaben
Transformatorberechnung
Ein Transformator zur Umwandlung der Netzspannung von 230 V
in eine Niederspannung von 20 V hat eine Sekundärwicklung, an
der die Niederspannung abgegrien wird, mit n2 = 40
Windungen.
Wie groÿ ist die Windungszahl der Primärwicklung?
Wie müsste die Windungszahl der Sekundärwicklung
verändert werden, damit der Trafo eine Niederspannung von
8 V liefert?
Wie groÿ ist der maximale Strom der 8V-Sekundärwicklung,
wenn die 230V-Primärwicklung mit einer 0,1 A-Sicherung
abgesichert ist2 ?
2
Der Blindstrom sei im Überschlag zu vernachlässigen.
G. Kemnitz
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37/74
1. Kapazität, Induktivität
5. Aufgaben
Allg. Entwurfsregeln
Warum benötigen schnelle digitale Schaltkreise
Stützkondensatoren?
Welchen Vorteil hat ein groÿer Störabstand beim Entwurf
digitaler Schaltungen?
G. Kemnitz
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38/74
2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
Zeitdiskretes Modell
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39/74
2. Zeitdiskretes Modell
Eine Schaltung mit zeitveränderlichen Spannungen und Strömen
bildet sich auf ein Dierentialgleichungssystem ab. Wie löst man
am einfachsten Dierentialgleichungssysteme?
⇒ Numerisch unter Annäherung der Dienenzialgleichungen
durch Dierenzengleichungen.
G. Kemnitz
·
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2. Dezember 2014
40/74
2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
1. Prinzip
Prinzip
·
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41/74
2. Zeitdiskretes Modell
1. Prinzip
Zeitdiskretes Modell für Kapazitäten und
Induktivitäten
Eine Kapazität verhält sich wie eine Spannungsquelle, deren Wert
sich proportional zum Strom ändert. Eine Induktivität verhält
sich wie eine Stromquelle, deren Wert sich proportional zur
Spannung ändert.
Für einen kleinen Zeitschritt
∆t = tn+1 − tn
Kapazität
⇒ Konstantspannungsquelle
Induktivität ⇒ Konstantstromquelle
G. Kemnitz
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42/74
2. Zeitdiskretes Modell
1. Prinzip
Z tn+1
∆t
1
·
iC · d t ≈ uC (n) +
· iC (n)
C tn
C
Z tn+1
∆t
1
uL · d t ≈ iL (n) +
· uL (n)
iL (n + 1) = iL (n) + ·
L tn
L
uC (n + 1) = uC (n) +
(∆T Dauer eines Zeitschritts.)
Kapazität
Original
Ersatz
iC
iC
uC
uC (n + 1) = uC (n) +
∆t
C
· iC (n)
iL
Induktivität
G. Kemnitz
·
uL
uL
iL (n + 1) = iL (n) +
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∆t
L
· uL (n)
2. Dezember 2014
43/74
2. Zeitdiskretes Modell
1. Prinzip
Schaltungsanalyse fast wie im stationären Betrieb
Ersatz von C und L durch Quellen.
Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen.
Wahlweise Ersatz der Ströme oder Spannungen an den
Widerständen durch ii = ui /Ri bzw. ui = ii · Ri .
Lösen des Gleichungssystems.
Neu ist:
Festlegen der Anfangswerte für uC.i und iL.i
Wiederhole für jeden Berechnungsschritt
Lösen des Gleichungssystems
Berechnen der Folgewerte für uC.i und iL.i
G. Kemnitz
·
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2. Dezember 2014
44/74
2. Zeitdiskretes Modell
Beispiel
uR1
R1
ue
Ersatz der
Kapazitäten und
Induktivitäten
durch
Quellen
G. Kemnitz
uR3
i1
i3
R3
C2
uC3
C3
uC2
R2
R4
uR2
uR1
R1
uC2
R2
M1
uR3
i1 K1
i3
L
uL
iL
uC3
K2
R3
R4
uR2
i2
uR4
i4
i2
ue
·
1. Prinzip
M2
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uR4
iL
i4
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2. Zeitdiskretes Modell
uR1
ue
uC2
R2
M1
K1 :
i1
K2 :
M1 : R1 · i1
M2 :
uR3
i1 K1
R1
1. Prinzip
i3
−i2
+R2 · i2
−R2 · i2
K2
R3
R4
uR2
i2
uC3
M2
−i3
i3
+R3 · i3
uR4
i4
−i4
+R4 · i4
Die Quellenwerte für den nächsten Zeitschritt:
uC2 (n + 1)
=
uC3 (n + 1)
=
iL (n + 1)
=
G. Kemnitz
·
iL
= 0
= iL
= ue − uC2
= uC2 − uC3
∆t
· i2 (n)
C2
∆t
· i3 (n)
uC3 (n) +
C3
∆t
∆t
iL (n) +
· uR4 (n) = iL (n) +
· R4 · i4 (n)
L
L
uC2 (n) +
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2. Zeitdiskretes Modell
Simulation
uE in V
1
0
0
100
uR4 in mV
200
300
400
t in µs
200
0
0
100
200
300
400
t in µs
∆t halbieren, bis sich
uR4 nicht mehr ändert3 .
1. Prinzip
% Anzahl Zeitschritte
N = 400;
% Zeitschritt in s
T = 1E-6;
% in Ohm
R1 = 1E3;
% in Ohm
R2 = 1E3;
% in Ohm
R3 = 1E3;
% in Ohm
R4 = 1E3;
% in Farad
C1 = 1E-6;
% in Farad
C2 = 1E-6;
% in Henry
L1 = 1E-2;
% Eingangsspannung
ue = ...
% Anfangswerte
u C2(1)= 0;
u C3(1)= 0;
i L(1) = 0;
M = [ 1 -1 -1 0;
0 0 1 -1;
R1 R2 0 0; ∧
0 -R2 R3 R4] -1;
for n=1:N
V = [0; i L(n); ue(n)-u C2(n);
u C2(n)-u C3(n)];
i = M*V;
u C2(n+1) = u C2(n) + T/C2 * i(2);
u C3(n+1) = u C3(n) + T/C3 * i(3);
= R4 * i(4);
u R4(n)
i L(n+1) = i L(n) + T/L * u R4(n);
end;
plot((1:N)*T, u R4);
für Informatik,rechts
Technische
Universität
Clausthal
Im· Institut
Matlabprogramm
ist ∆t
die Variable
T.
3
G. Kemnitz
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
2. Glättungskondensator
Glättungskondensator
·
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2. Zeitdiskretes Modell
2. Glättungskondensator
Brückengleichrichter mit Glättungskondensator
Übertragungsverhalten
Schaltung
mit
Kondensator
ua = 0
D1
RE
ue
ue
D2
D3
RL
C
+
t
ua
D4
Tafel
t
Der Kondensator wirkt wie eine zeitveränderliche
Spannungsquelle.
Für die Dioden sind drei Arbeitsbereiche zu unterscheiden.
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·
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2. Zeitdiskretes Modell
2. Glättungskondensator
Ersatzschaltungen
uRE
Arbeitsbereich I:
ue > ua + 2 · U F
D1
ue
RE
D4
uRE
Arbeitsbereich II:
ue < −ua − 2 · UF
UF
D2
−ue
RE
D3
UF
UF
RL
C
iC
ua (n + 1) = ua (n)
+ ∆Ct · iC (n)
C
iC
ua (n + 1) = ua (n)
+ ∆Ct · iC (n)
UF
RL
Das Netzwerk aus ue , RE , 2 × UF und RL zu einem Zweipol aus
uErs , RErs zusammenfassen ...
G. Kemnitz
iC (n) =
·
RL
RE +RL
· (|ue (n)| − 2 · UF ) − ua (n)
RE k RL
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2. Zeitdiskretes Modell
2. Glättungskondensator
Sonderfall: RE → 0 (keine Begrenzung des Umladestroms):
D1/D3 UF
|ue |
RL
D4/D2 UF
C
iC
ua (n) = |ue (n)| − 2 · UF
Arbeitsbereich III: alle Dioden gesperrt:
RL
−iC (n) =
ua (n)
;
RL
C
iC
ua (n + 1) = ua (n)
+ ∆Ct · iC (n)
ua (n + 1) = ua (n) · 1 −
∆t
RL · C
(diskrete Näherung für eine abklingende Exponentialfunktion)
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
2. Glättungskondensator
Simulation
3
ue
ua
u in V
0
−3
G. Kemnitz
0
5
10
15
20
t in ms
·
% in Ohm
RE = 100;
RL = 1E3;
% in Ohm
C = 1E-5;
% in F
% in V
UF = 0.7;
% Zeitschritt in s
T = 1E-4;
...
kUE = RL/(RL+RE);
RErs = RL*RE/(RL+RE);
uc(1) = 0;
for n=1:N
% in V
t(n) = (n-1)*T;
ua(n) = uc(n);
if ue(n)-ua(n) > 2*UF
ic = (kUE*(ue(n)-2*UF)-ua(n))/RErs;
elseif -ue(n)-ua(n) > 2*UF
ic = (kUE*(-ue(n)-2*UF)-ua(n))/RErs;
else
ic = -ua(n)/RL
end;
uc(n+1) = uc(n)+T/C*ic;
end;
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2. Zeitdiskretes Modell
2. Glättungskondensator
Einfaches Gleichspannungsnetzteil
D1
D2
uW230V
uW8V
D3
1
C
+
uG
D4
mit
Kondensator
uW8V
t
uG
t
L7805
2
IL = 5 mA . . . 1 A
3
C2
100 nF
versorgte
Schaltung
UV ≈ 5 V
Spannungsstabilisierung
mit Transistorlängsregler
nach Foliensatz F3
Trafo für 230V Eingangsspannung, etwa 8V
Ausgangsspannung und 1A Ausgangsstrom
Brückengleichrichter
Glättungskondensator ca. 500 bis 2000 µF
Stabilisierungsschaltkreis mit kleinen induktonsarmen
Kapazitäten am Ein- und Ausgang
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
3. Schaltnetzteil
Schaltnetzteil
·
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2. Zeitdiskretes Modell
3. Schaltnetzteil
Schaltnetzteile
Erzeugung einer nahezu konstanten Spannung ua aus einer
unstabilen4 Quellspannungen UV .
hoher Wirkungsgrad, kleine Bauform, ...
Funktionsprinzip
Phase 1: Induktivität L auaden.
Phase 2: Induktivität L in die Glättungskondensator C
entladen.
Bauteile: Quelle UV , L, C , Schalttransistor, Diode, Regelung
mit PWM-Ausgang.
Wandlertypen:
Aufwärtswandler: kleine UV ⇒ groÿe ua
Abwärtswandler: groÿe UV ⇒ kleine ua
Invertierender Wandler: positive UV ⇒ negative ua
4
Z.B. einer Spannung, die zwischen 10 V und 20 V liegen darf.
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2. Zeitdiskretes Modell
3. Schaltnetzteil
Aufwärtswandler
L
D
x ∈ {0, 1}
UV
C
iL (n + 1) = iL (n) +
UV
Schaltung
∆t
L
R
ua
Phase 1: x = 1
· UV
D
R
uL
C
∆t
ua (n + 1) = ua (n) · 1 − R·C
Tafel
Phase 2: x = 0
iL (n + 1) = iL (n) +
UV
uL
∆t
L
· uL (n)
UF
iC = iL −
R
C
ua
R
ua (n + 1) = ua (n) +
Regelung der Ausgangsspannung über ηT =
die x eins ist; TP Periodendauer).
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·
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tx1
TP
∆t
C
· iC
Tafel
(tx1 Zeit,
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2. Zeitdiskretes Modell
3. Schaltnetzteil
Simulationsprogramm
for n=1:N
if < T ransistor in Schritt n gesperrt >
iL(n+1)=iL(n)+(dt/L)*UV;
UV = 5;
% in V
ua(n+1)=ua(n)*(1-dt/(R*C));
L = 6E-2; % in H
elseif iL>0
R = 1E2; % in Ohm
iL(n+1)=iL(n)+(dt/L)*(UV-UF-ua(n));
C = 1E-4; % in F
ua(n+1)=ua(n)+(dt/C)*(iL(n)-ua(n)/R);
dt = 1E-5; % in s
else
N = ...; % Abtastwerte
iL(n)=0; iL(n+1)=0;
t
= ...; % Zeitvektor
ua(n+1)=ua(n)*(1-dt/(R*C));
iL(1) = 0;
Anfangsend;
werte
ua(1) = 0;
end;
< Ergebnisausgabe >
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·
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
3. Schaltnetzteil
ηT = 0,7
0,8
iL in A
0,6
0,4
ηT = 0,5
0,2
0
ηT = 0,7
20
ua in V
15
ηT = 0,5
10
5
0
·
0
10
20
30
40
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50
t in ms
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2. Zeitdiskretes Modell
3. Schaltnetzteil
Invertierender Wandler
L
UV
Prinzipschaltung
D
x ∈ {0, 1}
C
R
Transistor eingeschaltet (x = 0)
iL (n + 1) = iL (n) + ∆Lt · UV
(linearer Anstieg)
D
UV
L
iL (n + 1) = iL (n) +
L
∆t
L
ua
R
C
· (ua (n) − UF ) UF
R
∆t
ua (n + 1) = ua (n) · 1 − R·C
(abklingende e-Funktion)
Transistor ausgeschaltet x = 1
iC = −iL −
C
ua
R
ua (n + 1) = ua (n) +
∆t
C
· iC
iL ieÿt in Phase 2 in umgekehrter Richtung durch C
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
4. H-Brücke
H-Brücke
·
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2. Zeitdiskretes Modell
4. H-Brücke
Simulation einer H-Brücke mit induktiver Last
stufenlose Stromeinstellung für Elektromagneten
Stromglättung bei einer stufenlosen Leistungssteuerung über
PWM
a) Schaltung
Ersatzschaltung Kurzschluss
(x1 = x3 = 0)
(x2 = x4 = 1)
UV
D1
x1
D2
x2
uL
L
uR
R
i(1) = 0;
for n=1:N
if ...
i(n+1)=...
G. Kemnitz
·
i
x3
D3
L
x4
D4
R
i(n + 1) = i(n)
− ∆T
L · uR
uR = R · i
i(n + 1) = i(n) · 1 − R·∆t
L
Programm ergänzen
x1 bis x4 geschaltete Transistoren
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2. Zeitdiskretes Modell
4. H-Brücke
Ersatzschaltungen mit Versorgungsspannung über
der Last
positive Ausgabe
(x1 = x4 = 1) ∧ (x2 = x3 = 0)
negative Ausgabe
(x1 = x4 = 0) ∧ (x2 = x3 = 1)
UV
L
i(n + 1) = i(n)
+ ∆T
L · (UV − uR )
uR = R · i
¡
¢
R·∆t
i(n + 1) = i(n) · 1 − L + ∆T
L · UV
Matlab-Programm ergänzen
G. Kemnitz
·
L
i(n + 1) = i(n)
− ∆T
L · (UV + uR )
uR = R · i
UV
¡
¢ ∆T
i(n + 1) = i(n) · 1 − R·∆t
− L · UV
L
Matlab-Programm ergänzen
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2. Zeitdiskretes Modell
4. H-Brücke
Ersatzschaltung alle Transistoren aus
Zur Kurzschlussvermeidung beim Umschalten:
negative Ausgabe ⇒ Leerlauf ⇒ positive Ausgabe
positive Ausgabe ⇒ Leerlauf ⇒ Kurzschluss ...
Leerlauf 1
(x1 = x2 = x3 = x4 = 0) ∧ (i > 0)
D2
UF
i(n + 1) = i(n)
− ∆T
L · (UV + uR + 2 · UF )
uR = R · i
D3
·
uR = R · i
UF
UV
¡
¢ ∆T
i(n + 1) = i(n) · 1 − R·∆t
− L · (UV + 2 · UF )
L
Matlab-Program ergänzen
G. Kemnitz
Leerlauf 2
(x1 = x2 = x3 = x4 = 0) ∧ (i < 0)
UV
UF
D1
i(n + 1) = i(n)
+ ∆T
L · (UV − uR + 2 · UF )
D4
UF
¡
¢ ∆T
i(n + 1) = i(n) · 1 − R·∆t
+ L · (UV + 2 · UF )
L
Matlab-Program ergänzen
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2. Zeitdiskretes Modell
4. H-Brücke
Beispielsimulation
1
0
1
0
x1 = x4
x2 = x3
i in A
Tastverhältnis
0,75
0,5
0,25
0,5
0
-0,25
G. Kemnitz
0
·
5
10
15
20
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t in ms
R = 10 Ω
L = 100 mH
0,25 TP = 1 ms
UV = 15 V
UF = 0,7 V
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
5. CMOS-Inverter
CMOS-Inverter
·
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2. Zeitdiskretes Modell
5. CMOS-Inverter
Simulation von CMOS-Invertern
u2
u1
u0
Schaltung
UV
CL
ui−1
u3
UV
Simulationsmodell
iDP
ui = uC
ui−1
iDN
CL
uC (n + 1) = uC (n)
− ∆T
C · (iDP (n) + iDN (n))
MOS-Transistoren verhalten sich nichtlinear
G. Kemnitz
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2. Zeitdiskretes Modell
5. CMOS-Inverter
Berechnung des Stroms iDN
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
5. CMOS-Inverter
Berechnung des Stroms iDP
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
5. CMOS-Inverter
Simulation des Gatters
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
·
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5. CMOS-Inverter
2. Dezember 2014
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
5. CMOS-Inverter
UV
u0
u0
0
taus.1
tein.1
UV
u1
u1
0
taus.2
tein.2
UV
u2
u2
0
taus.3
tein.3
UV
u3
u3
0
0
·
0,2
0,4
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0,6
0,8
t in ns
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2. Zeitdiskretes Modell
G. Kemnitz
6. Aufgaben
Aufgaben
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2. Zeitdiskretes Modell
6. Aufgaben
Algorithmus zur zeitdiskreten Simulation
uR1
R1
C1
ue (t)
uL
iC1
uC1
iL
L
iC2
C2
uC2
R2
uA (t)
bekannte Größen
alle Bauteile
Signalverlauf von uE
Schrittweite ∆t
Anfangswerte von
uC1 , uC2 und iL
Ersatzschaltung mit den Kapazitäten und der Induktivität
als Quellen.
Knoten- und Maschengleichungen zur Berechnung der
Ströme durch die Kapazitäten und der Spannung über der
Induktivität. Umstellung des Gleichungssystems nach den
gesuchten Gröÿen.
Ergänzung: Anfangsinitialisierung, Schleife und Gleichungen
zur Berechnung der Spannungen über den Kapazitäten und
dem Strom durch die Induktivität.
G. Kemnitz
·
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2. Zeitdiskretes Modell
6. Aufgaben
Abwärtswandler
L
x = {0, 1}
UV
D
C
R
ua
Aufstellen der Ersatzschaltungen mit der Kapazität und der
Induktivität als Quellen für beide Betriebsphasen.
Berechnungsvorschriften für den Folgestrom durch die
Induktivität und die Folgespannung über der Kapazität.
Verbale Beschreibung, wie die Schaltung funktioniert.
G. Kemnitz
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