Article01.

Article01.
Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 11,4, 487-497(1995)
ÁLVARO L.G.A. COUTINHO*
JOSÉ L.D. ALVES*
e
PHILIPPE R.B. DEVLOO**
* COPPE/UFRJ Programa de Engenharia Civil
Caixa Postal 68506
21945-970 Rio de Janeiro, RJ - Brasil
** Faculdade de Engenharia Civil- UNICAMP
Caixa Postal 6021
13081-970 Campinas, SP - Brasil
Neste trabalho propoe-se um novo melhoramento técnica elemento por elemento (EPE),
que se utiliza da deficiencia de posto natural das matrizes de elemento. Dessa forma, o cálculo
dos residuos necessário na soluciio iterativa do sistema de equacoes pode ser efetuado sem a
avaliacáo explícita das matrizes de elemento. Os produtos matriz por vetor siio otimizados
para minimizar o número de operacóes de ponto flutuante e a área de memória. A técnica
resultante constitui-se em um método livre de matrizes no sentido em que niio há necessidade
de armazenamento para as matrizes de elemento, o que prove um método poderoso para a
abordagem de problemas de grandes dimensoes. O desempenho da técnica EPE Livre de
Matrizes é avaliado na soluciio de problemas simétricos e nao simétricos em diversos ambientes
computacionais, desde estacoes de trabalho até supercomputadores paralelos.
SUMMARY
In this work a new improvement is proposed for the element by element technique (EBE),
using the natural rank deficiency of the element matrices. With this technique the residual
calculation, required for iterative solution methods can be done without the explicit evaluation
of the element matrices. The matrix-vector products are optimized to minimize the number
of floating point operations and memory requirements. The resulting technique constitutes in
a matrix free method, as there is no need to store the element matrices, providing a powerful
tool for the treatment of large problems. The performance of the EBE Matrix R e e technique
is evaluated in the solution of symmetric and non-symmetric problems in severa1 different
computational environments, from workstations to parallel supercomputers.
Recibido: Enero 1995
OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España)
ISSN 0213-1315
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D ALVES E P.R.B. DEVLOO
INTRODUCAO
Formulacóes implícitas de elementos finitos para a solucáo de problemas em
engenharia (linear ou náo linear, em regime permanente ou transiente) requerem a
soluciio de um sistema de equacóes lineares em cada passo de tempo ou iteraciio.
Tanto a matriz de coeficientes como o vetor independente sáo construídos a partir
das contribuicoes dos elementos. A matriz resultante é esparsa e em perfil. A ordern
de tais sistemas pode variar de milhares a milhoes de equacoes, tornando imperativa
uma escolha cuidadosa do método de solucáo. Métodos diretos baseados em alguma
forma da eliminacao de Gauss podem ser utilizados para a solucáo desses sistemas, mas
logo se tornam proibitivos para problemas de interesse prático, particularmente em tres
dimensoes. Estratégias empregando métodos iterativos sáo mais interessantes devido
A sua menor demanda de memória. Entretanto, o número de operacóes necessário
ao cálculo da solucáo dentro de uma tolerancia pré-especificada náo é conhecido a
priori, sendo dependente de algumas propriedades do sistema e da escolha de um précondicionador adequado.
Ko iimbito do método dos elementos finitos, a implementacao de estratégias
iterativas de soluciio empregando técnicas elemento por elemento (EPE), tanto para
a avaliacáo do resíduo como para a construcáo do pré-condicionador, oferece várias
vantagens. A estrutura EPE permite a vetorizacáo/paraleliza@o de toda a estratégia de
solucáo, apresenta uma baixa demanda de memória e é muito adequada para os métodos
adaptativos e multimalha já que é insensível a ordem de numeracáo dos nós. As técnicas
EPE tem sido utilizadas com sucesso na soluciio de sistemas de equacóes simétricos e
náo simétricos em várias aplicacóes, desde estruturas e sólidos até problemas de fluidos8.
Neste trabalho, propoe se um novo melhoramento técnica elemento-por-elemento,
que se utiliza da deficiencia de posto natural das matrizes de elemento. Cada matriz
de elemento possui, dependendo da equacáo diferencial envolvida em sua formulacao,
um certo grau de singularidade. A Tabela 1 sumariza, para alguns tipos de elementos
finitos, a correspondente deficiencia de posto verificada. E possível, entáo, calcular
os resíduos nos elementos minimizando-se o volume de operacóes de ponto flutuante
necessárias e, em alguns casos, eliminando-se por completo o cálculo e armazenamento
das matrizes de elemento propriamente ditas. É nesse sentido que a nova técnica EPE
constitui-se em um método livre de matrizes, proporcionando uma estratégia vantajosa
para a solucáo de problemas de grandes dimensóes.
Elemento Finito
Deficiencia de Posto
Transferencia de Calor (1D,2D,3D)
Viga
Trelica 3D
Elasticidade 3D
Casca
1
2
5
6
6
Tabela 1. Deficiencia de Posto de alguns Elementos Finitos
O restante do presente trabalho encontra-se organizado da seguinte forma. Na
secáo que se segue siio resumidas as características essenciais da técnica EPE. Na
seqüencia, a nova técnica EPE é aplicada ao cálculo dos resíduos em trelicas espaciais,
geometricamente nao-lineares. Na próxima secáo, mostra-se como esses conceitos
podem ser extendidos a formulacóes estabilizadas do método dos elementos finitos
através da solucáo de um problema escalar puramente convectivo, discretizado segundo
a formulaqáo SUPG, em dois supercomputadores vetoriais/paralelos, o CRAY Y-MP
e o CRAY C90. O artigo encerra-se com um resumo das principais conclusóes desse
trabalho.
Deve-se ter em mente que, nas implementacóes de operacóes esparsas entre matrizes
e vetores na forma elemento-por-elemento, nem a matriz A nem o vetor independente b
sáo montados. O vetor de resíduos, r, é construído a partir das contribuicóes individuais
dos elementos segundo
nel
I' =
nel
Cbe CA,U,
-
e=l
e=l
onde be é o vetor independente a nível de elemento, A, é a matriz de elemento e u,
sáo as componentes do vetor global da solucáo, u, restrito aos graus de liberdade do
elemento. A quantidade de elementos na malha é dada por nel. As operacóes EPE sáo
em geral realizadas de acordo com os seguintes passos7:
1. Agrupar as componentes de um arranjo global para o arranjo correspondente aos
graus de liberdade do elemento;
2. Efetuar as operacóes EPE;
3. Espalhar e acumular os resultados em um arranjo global.
Os cálculos envolvidos nos passos de 1 a 3 tem um conteúdo vetorial intrínseco,
tornando as operacóes EPE adequadas para implementacáo nos supercomputadores
a t ~ a i s ~como
, ~ , veremos adiante. No entanto, para os elementos finitos usuais,
as dimensóes dos arranjos envolvidos nos cálculos sáo relativamente pequenas.
Nos supercomputadores vetoriais o desempenho global pode ser significativamente
melhorado através do processamento blocado dos elementos, indexando os cálculos
pelos elementos pertencentes ao bloco corrente. Uma vez que vários elementos podem
compartilhar um nó comum (ou grau de liberdade) os resultados da operacáo de
espalhamento e acumulacáo seráo determinados pelo último elemento a ser processado.
A solucáo para se evitar tal problema reside na reordenacáo dos elementos segundo
blocos internamente disjuntos, onde nenhum par de elementos pertencentes a um
mesmo grupo possui um nó comum. Esse enfoque é equivalente aplicacáo de um
algoritmo de coloracáo de malha. No ambito de cada cor ou grupo pode-se também
paralelizar as operacóes, o que torna esse esquema bem adequado aos computadores
vetoriais/paralelos.
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES E P.R.B. DEVLOO
Frequentemente, estruturas reticuladas espaciais de grande porte requerem o
emprego de uma formulacáo náo-linear geométrica para a obtencáo de uma melhor
aproximacáo dos esforcos normais nas barras. Métodos iterativos sao mais adequados
a esse cálculo, uma vez que aproximam o estado final de equilíbrio de uma forma
contínua, sem a necessidade da montagem e fatoracáo da matriz de rigidez global. Já
foi demonstrado que ao se considerar a estrutura especial da matriz Hessiana para
trelicas espaciais geometricamente náo-lineares4, uma economia considerável pode ser
obtida em termos de tempo de CPU em comparacao ii implementacoes que empregam
a matriz de rigidez propriamente dita. A energia potencial interna de uma trelica
espacial é dada por
onde A é a área da secáo transversal da trelica, E é o módulo de elasticidade, 1
é o comprimento da trelica e Al é o alongamento. No iimbito de um sistema de
coordenadas cartesiano, (xl, yl, zl) e ( 2 2 , ya, z2) sáo as coordenadas das extremidades
Sejam (ul, vi, wl) e (u2, v2, w2) os
da trelica na configuracao de referencia.
deslocamentos de suas extremidades, medidos no mesmo sistema de coordenadas.
Portanto
Tomando-se duas derivadas parciais em relacáo a (Au, Av, Aw) chega se ii
seguinte matriz Hessiana nao-linear,
+
+
+
onde Ig é a matriz identidade de ordem tres e dT = (Ax Au, Ay Av, Az A w ) ~ .
Nota-se claramente nesse caso, que a matriz Hessiana é a soma de duas matrizes de
posto um e tres, respectivamente. Ao serem calculados os produtos matriz por vetor,
as operacoes ser50 efetuadas de acordo com a estratégia EPE, o que totaliza 36nel
multiplicac6es e 30nel adic6es. Considerando-se a estrutura especial dos elementos,
o número de operacóes pode ser consideravelmente reduzido. As etapas genéricas da
estratégia EPE, nesse caso, podem ser re-escritas da seguinte maneira:
1. Espalhe os deslocamentos nodais para um vetor local de deslocamentos, mantendo
u, v e w em arranjos separados;
2. Calcule AuT = (Au, Av, A W ) ~;
+
3. Calcule Au* = Au(Ax Au) , Av* = Av(Ay
some para obter S = Au* Av* Aw*;
4. Obtenha sT = S d T = (Su,S", S W ) ;
+
+
1
5. Multiplique sT por
+ Av) , Aw* = Aw(Az + Aw) e
SS" ;
para obter SS",SSv,
6. Calcule as forcas nodais equivalentes :
=A
F v =
U
*
(&) + ssu
~
aV* (o)
,+Al + S s u
FU= AW
*EA
,+,
+
Ssw
7. Monte as contribuicoes dos resíduos no elemento para os nós.
Utilizando os passos descritos acima o número de operacóes para efetuar um
produto matriz por vetor é 12nel multiplicacóes e 5nel adicóes. O algoritmo utilizado
para a solucáo as equacóes nao-lineares é o método de Newton onde a inversáo da
matriz para as iteracóes de Newton é feita pelo método dos gradientes conjugados
precondicionado. O precondicionador utilizado é a matriz bloco-diagonal onde cada
bloco corresponde a uma matriz nodal 3x3. Os resultados numéricos mostram que
mesmo para estruturas moderadamente grandes o número de iteracóes nao é excessivo.
Para uma estrutura com 921 nós e 3516 barras, a análise nao-linear geométrica com
a presente formulacáo convergiu em 4 iteracóes. O número de iteracóes do método de
gradientes conjugados precondicionado correspondente a análise nao-linear completa
é de 184. O desempenho global do algoritmo indicou a taxa de 2.5 Mflops em uma
estacáo de trabalho IBM RS/6000 Modelo 320, onde 8.8 segundos de CPU foram
gastos na rotina dos produtos matriz por vetor. Pode-se concluir que a combinaciio
eficiente dos métodos iterativos com produtos matriz por vetor otimizados proporciona
tempos de solucáo da ordem de segundos, mesmo para trelicas de grande porte,
abrindo a possibilidade do desenvolvimento de algoritmos de otimizacáo de trelicas
que exijam a soluciio de várias configuracóes.
A equacáo de conveccáo-difusáo escalar, em regime permanente, em duas
dimensóes, descreve fenomenos importantes e pode ser escrita na forma
492
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES E P.R.B. DEVLOO
onde v é um campo de velocidades com divergente nulo, k é o coeficiente de difusiio
e f representa os termos fonte no volume. As condicoes de contorno sáo dadas por
u = U em
n . l c V u = g em
r,
rg
(9)
(10)
onde o contorno de R é tal que dR = r, U rge n é o vetor unitário normal a fronteira,
orientado para o exterior do domínio.
A formulacáo de elementos finitos Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG)
para o problema acima pode ser dada por
+
B (wh, u )
O
v
w
h
L (uh) dR
=O
(11)
e=l
onde wh é a funcáo discreta de ponderacáo e uh é a forma discreta de u. As funcoes
wh e uh sáo definidas sobre os espacos usuais de elementos finitos. Os termos da
formulaciio acima siio
B (wh, uh) =
L (uh)
Sn
Vwh,C (uh) dR
= v .v u h - V
-
lu
. (kvuh)
whgdr
(12)
-f
(13)
A equaqáo (12), após a integra550 por partes usual, corresponde ao termo de
Galerkin. A segunda integral, equacáo (ll),é o termo SUPG2. A formulacáo é
variacionalmente consistente no sentido em que para uh -t u, o termo de estabilizaciio
se anula. O parametro r é estabelecido para prover a quantidade correta de difusáo ao
longo das linhas de corrente. Considerando-se apenas elementos triangulares de lado
reto e funcoes de interpolacáo lineares, a formulaciio SUPG conduz, após integracáo,
As seguintes matrizes de elemento
Y23
Y31
y12
Y23
[Y23
Y31
Y31
Y12
Y12
vx
KA = 6
+ x32x32
Y31Y23 + 1 1 3 x 3 2
Y12Y23 + 2 2 1 x 3 2
Y23923
KPG=
r
Y23
1
232
+ 6 [ x233 22
x13
213
x13
+232x13
Y31y31 + x 1 3 x 1 3
Y12Y31 + 2 1 2 x 1 3
Y23Y31
*:1
221
Y23Y12
y31Y12
Y12Y12
(14)
+ 232x21
+
+
x31x21
x12x21
232
232
213
221
1
(16)
onde X i j = x i - x j , y i j = y i - y j , i, j = 1 , 2 , 3 sáo as diferencas entre as coordenadas
cartesianas dos nós do elemento, A é a área do elemento u, e vy sáo as velocidades do
centróide do elemento:
u,
=
u;
+ u: + v; ,
3
vy
vy
=
+ u; + vy
3
(17)
A matriz KA corresponde ao termo convectivo de Galerkin e é facil verificar que se
trata de uma matriz de posto igual a um. A matriz de difusáo de Galerkin, designada
por K D , é uma matriz de posto igual a dois. A contribuiciio SUPG é representada
pela matriz KpG que também é uma matriz de posto dois. A matriz final para o
elemento é a soma dessas tres matrizes. O sistema de equacoes resultante é em geral
náo simétrico. Considerando que se deseja de fato calcular os produtos matriz por
vetor durante o processo iterativo de soluciio, ou nesse caso, os fluxos nos elementos,
uma economia considerável em relaciio ao número de operacoes de ponto flutuante
pode ser alcancada através da avaliaciio direta dos fluxos. Supondo que os valores da
solucáo para os nós do elemento siio dados por ui,u2 e u3 os fluxos convectivos de
Galerkin sáo calculados simplesmente por
e os fluxos difusivos de Galerkin como
finalmente, os fluxos correspondentes ao termo SUPG siio dados por
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES E P.R.B. DEVLOO
Nao há portanto a necessidade do cálculo e armazenamento das matrizes de
elemento, tornando essa nova técnica EPE um método livre de matrizes. É interessante notar que esse enfoque , embora um método de elementos finitos, guarda uma
acentuada semelhanca com o método dos volumes finitos6. Para a avaliaqao da técnica
EPE Livre de Matrizes selecionamos um problema simples de convecqiio escalar em um
domínio quadrado R = [O, 11 x [O, 11 , com as condicoes de contorno, u = O em y = 0;
u = O em {(x, y) 1 x = O, y < 0.25); u = 1 em {(x, y) 1 x = 0,0.25 < y < 1). Condisoes
de fluxo nulo no contorno foram prescritas em x = 1 e y = 1. O campo de velocidades
tem módulo unitário e forma um angula de 45 graus com o eixo x. O domínio
foi discretizado com o emprego de várias malhas compostas respectivamente por
64x64, 128x128, 256x256 e 512x512 células, cada célula composta de dois elementos
triangulares. Os sistemas de equacoes lineares nao-simétricos foram resolvidos por dois
métodos iterativos distintos, para que fossem avaliados os desempenhos relativos, o
GMRES(k) e o Bi-CGSTAB. Para uma descric50 desses métodos sugere-se a leitura
de1. A Tabela 11 apresenta um resumo do número de operacoes necessárias em cada
passo desses algoritmos. Nessa tabela Av significa o número de produtos matriz por
vetor (ou matvec, por acronismo), dot para os produtos internos e/ou normas, e saxpy
para atualizacoes de vetores do tipo saxpy, de acordo com a terminologia BLAS.
Tabela 11. Operac6es por iteracáo e demanda de memória (n é a ordem do sistema)
As várias malhas foram processadas em uma única CPU de um CRAY Y MP, considerando um precondicionamento diagonal 2 esquerda, que apresenta a
complexidade computacional de uma saxpy adicional. As Tabelas 111 e IV listam
os tempos de CPU em segundos, o número de iteracoes necessárias para se alcansar a
tolerancia desejada na soluciio e o número de Mflops (milhoes de operasoes de ponto
flutuante por segundo) para cada execuc50. Considerou-se a convergencia alcancada
para uma norma relativa dos resíduos inferior a
O algoritmo GMRES(k)
empregou um sub-espaco de Krylov contendo cinco (5) vetores.
Os resultados obtidos demostram que ambos algoritmos apresentam basicamente
o mesmo desempenho. Foi observado que a maior parte do tempo de CPU é consumida
na rotina matvec, a qual emprega a técnica EPE Livre de Matrizes. Para o problema
de maior dimensiio outros experimentos foram realizados em uma única CPU do
supercomputador CRAY C90. Os resultados encontram se listados na Tabela V, onde
pode ser observado que para ambos algoritmos foi alcancado um alto desempenho.
É interessante comparar a demanda de memória entre a abordagem aqui
apresentada e a da técnica EPE convencional, onde as matrizes de elemento si50
calculadas e armazenadas. A Tabela VI apresenta os números para essa comparacao,
onde 1 Mword corresponde a 1 x lo6 palavras de 64bits.
Malha
64 x
128 x
256 x
512 x
64
128
256
512
CPU(s)
Iteraqóes
Mflops
2.865
19.211
138.094
1016.480
184
326
595
1107
114.4
119.7
121.1
122.3
Tabela 111. Resultados para o algoritmo GMRES(5)
Malha
64 x
128 x
256 x
512 x
64
128
256
512
CPU(s)
Iteraqóes
Mflops
1.959
14.156
121.037
1022.055
74
146
316
675
112.0
120.1
121.0
122.2
Tabela IV. Resultados para o algoritmo Bi-CGSTAB
1
Método
1 CPU(s) 1 Mflops 1
Tabela V. Informac6es da soluciio para a malha 512 x 512 no CRAY C90
Tabela VI. Demanda de memória em Mwords para a malha 512 x 512
Deve ser observado que em ambos algoritmos a técnica EPE convencional requer
cerca de 30% de memória a mais do que a alternativa EPE Livre de Matrizes.
Entretanto, ambas as técnicas EPE sáo muito mais atraentes do que urna soluqiio
direta com armazenamento em perfil, a qual necessitaria, nesse caso, de uma área
de memória de 269.22 Mwords, apenas para armazenar os termos da matriz global.
Para finalizar, utilizando as facilidades de autotaslczng disponíveis no sistema C90, os
códigos foram paralelizados empregando a estratégia delineada na Seciio 1. Os custos
de ambas as soluqoes, GMRES(5) e Bi-CGSTAB, foram dominados pelas operaqoes
matvec e apresentaram o mesmo desempenho global. A Tabela VI1 apresenta os
ganhos relativos para a execuciio em paralelo, a eficiencia computacional e a taxa de
desempenho em Gflops para a soluqiio empregando o Bi-CGSTAB em uma máquina
A.L.G.A. COUTINHO, J.L.D. ALVES E P.R.B. DEVLOO
de 16 CPUs, respectivamente para toda a execucáo (job) e para a rotina matvec.
Em todas as medicoes, quer em modo vetorial e/ou paralelo, o desempenho
verificado encontra se no entorno de um terco do desempenho de pico do processador.
Isso é muito razoável, uma vez que todos os algoritmos foram codificados em
FORTRAN 77, fazendo uso das diretivas de compilacáo disponíveis. Nenhuma otimizaciio de código foi realizada além daquela efetuada pelo compilador
propriamente dito.
Tarefa
Ganho
matvec
10.30
14.45
Eficiencia
Gflops
0.90
3.023
4.241
Tabela VII. Informacoes da solucáo em paralelo para a malha 512 x 512 no
CRAY C90 - Bi-CGSTAB
CONCLUSOES
Um novo melhoramento da técnica EPE foi proposto neste trabalho. Este se
baseia na exploracáo cuidadosa da deficiencia de posto das matrizes de elemento,
resultando em uma economia considerável de operacoes de ponto flutuante e
memória. Além disso, no caso em que as matrizes de elemento podem ser avaliadas
explicitamente, um método EPE Livre de Matrizes pode ser desenvolvido, onde
náo há necessidade de armazenar as matrizes de elemento. Este enfoque requer
um mínimo de memória, e fornece uma estratégia adequada para problemas de
grandes dimensoes, onde o emprego de métodos iterativos de solucáo é fortemente
recomendado. Os experimentos numéricos efetuados mostram que a estratégia
proposta permite a solucao de grandes trelicas espaciais, geometricamente náolineares, em alguns segundos nas estacoes de trabalho correntes. Problemas náosimétricos de grande porte podem ser solucionados com desempenho da ordem de
Gflops em um supercomputador vetorial/paralelo CRAY C916.
AGRADECIMENTOS
Os recursos computacionais do CRAY Y-MP 231232 foram oferecidos pelo
Centro Nacional de Supercomputaciio da Universidade Federal do Rio Grande do
Sul, Brasil. Agradecimentos especiais A Sra. Denise G. Ewald do Centro Nacional
de Supercomputacáo, pelo apoio inestimável. Os autores gostariam também de
manifestar sua gratidáo ao Sr. Tibério Bulhoes, da CRAY Brasil, pelo auxílio na
paralelizacáo de nosso código. Agradecimentos especiais ao Sr. S. Kremer, que nos
forneceu acesso ao CRAY C90 em Eagan, Minnesota, Estados Unidos da América.
1. R. Barret, M. Berry, T.F. Chan, J . Demmel, J. Donato, J . Dongarra, V. Eijkhout, R.
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