competition mathematique

competition mathematique
Compétition de mathématiques
Les maths
24 décembre 2013
"As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain ; and as
far as they are certain, they do not refer to reality".
—Albert Einstein (1879–1955)
Junior :
Exercice 1 :
Soit f une fonction continue sur ]a, b[ ( −∞ ≤ a < b ≤ +∞) telle que :
lim f (x) = l1 < 0
et lim f (x) = l2 > 0
x→a
x→b
Montrer que f s’annule sur ]a, b[
Exercice 2 :
existe-t-il une fonction injective f :IR–>IR vérifiant :
pour tout réel x : f (x2 ) − (f (x))2 >
1
?
4
Exercice 3 :
Trouver toutes les fonctions f : IR–>IR continues vérifiant :
f (x + y) = f (x)f (y)
Exercice 4 :
Soient a, b, c, x, y, z > 0, Prouver que :
(a2 + x2 )(b2 + y 2 )(c2 + z 2 ) > (ayz + bxz + cxy − xyz)2
1
Exercice 5 :
Soit un réel x , 0 < x <
π
4
Montrer que : sin(x)sin(x) < cos(x)cos(x)
Exercice 6 : (inégalité de Carlson)
Soit a1 , a2 , ..., an des réels strictement positifs.
Montrer que : (a1 + a2 + ... + an )2 <
2
π2 2
(a + 22 a22 + ... + n2 an2 )
6 1
"Nature not only suggests to us problems, she suggests their solution".
Henri Poincaré (1854–1912)
Senior :
Exercice 1 :
Soit n un entier naturel non nul, et soient :
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an et b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
deux suites réelles non décroissantes, vérifiant :
a1 + a2 + ... + ai ≤ b1 + b2 + ... + bi pour tout i ∈ 1, 2, ..., n − 1 et ;
a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ... + bn
Supposons que pour tout réel m, le nombre des couples (i, j) vérifiant :
ai − aj = m est égale au nombre des couples (l, k) vérifiant : bk − bl = m
Montrer que : ai = bi pour tout i ∈ 1, 2, ..., n
Exercice 2 :
L’équation :
x2 + 2y 2 + 98z 2 = |11 {z
· · · 1}
666f ois
admet-elle des solutions entiers ?
Exercice 3 :
Soit f :IR–>IR une fonction de classe C 3
Prouver qu’il existe un réel a, tel que : f (a)f 0 (a)f 00 (a)f 000 (a) ≥ 0
Exercice 4 :
Prouver que l’équation :
x2 + y 2 + z 2 + u2 = 2xyzu
n’a pas de solutions dans IN.
3
Exercice 5 :
Existe-t-elle une fonction f :]0,+∞[–>]0,+∞[ telle que :
f (x)2 ≥ f (x + y)(f (x) + y) pour tout x, y > 0 ?
Exercice 6 :
Soit a, b et c les longueurs des côtés d’un triangle d’aire S
√
Montrer que : a2 + b2 + c2 ≥ 4 3S
Fin
Bonne chance :)
4
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