Lehrerhandreichung - Analytische Geometrie

Lehrerhandreichung - Analytische Geometrie
EL-9650G/9900G
Grafikrechner
Teil 3:
Analytische
Geometrie
Lehrerhandreichung
für den effizienten Einsatz im Unterricht
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort ...................................................................................................................... 2
MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME.............................................. 3
Eingabe von Matrizen............................................................................................... 3
Lösung eines LGS .................................................................................................... 5
Mit Matrizenrechnung.............................................................................................. 5
Schnelle Lösung (Gauß-Verfahren) ........................................................................ 6
Entwicklung des Lösungsverfahrens....................................................................... 7
LGS ohne Lösung ................................................................................................. 10
LGS mit unendlich vielen Lösungen...................................................................... 11
VEKTOREN.............................................................................................................. 12
Vektoren als 3 x 1 Matrix........................................................................................ 12
Vektoren als Liste................................................................................................... 13
Vektoroperationen .................................................................................................. 13
Vervielfachen: ....................................................................................................... 13
Summe und Linearkombination: ........................................................................... 13
Hinweis: Der Malpunkt kann entfallen.Skalarprodukt: ........................................... 13
Skalarprodukt:....................................................................................................... 14
Betrag eines Vektors............................................................................................. 14
Winkel zwischen 2 Vektoren ................................................................................. 15
Umwandlung der Darstellungen............................................................................ 15
Lineare Unabhängigkeit ......................................................................................... 17
GERADEN UND EBENEN ....................................................................................... 18
Geraden ................................................................................................................... 18
Geradengleichung................................................................................................. 18
Punkte auf der Geraden........................................................................................ 18
Lagebeziehungen zweier Geraden ....................................................................... 19
Ebenen in Parameterdarstellung........................................................................... 22
Ebenengleichung .................................................................................................. 22
Punkte auf einer Ebene......................................................................................... 22
Ebene und Gerade................................................................................................ 24
Ebene und Ebene ................................................................................................. 25
Koordinaten- und Normalenform .......................................................................... 26
Umwandlung und Normalenvektor ........................................................................ 26
Aufstellen der Koordinatenform aus drei Punkten................................................. 28
Ebene und Gerade................................................................................................ 29
Ebene und Ebene ................................................................................................. 31
1
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Drei Ebenen .......................................................................................................... 32
Die Hessesche Form............................................................................................. 33
ABSTÄNDE.............................................................................................................. 33
Punkt – Ebene ...................................................................................................... 33
Punkt – Gerade..................................................................................................... 34
Windschiefe Geraden............................................................................................ 36
ANWENDUNGEN .................................................................................................... 37
Mehrstufige Prozesse............................................................................................. 37
Punktverbindungen – Splines ............................................................................... 43
Fourieranalyse ........................................................................................................ 47
STICHWORTVERZEICHNIS.................................................................................... 55
Vorwort
Diese Heft „Teil3 – Analytische Geometrie“ ist das dritte aus der Reihe
„Lehrerhandreichung für den effizienten Einsatz im Unterricht“. Sein Inhalt orientiert
sich am Lehrplan der Kursstufe in Baden-Württemberg, kann aber sicherlich auf
andere Lehrpläne übertragen werden.
Für Neueinsteiger wird empfohlen, sich zunächst mit dem Kapitel „Einführung in das
Rechnen mit dem EL-9650/EL-9900“ aus dem Heft „Teil 1 – Analysis1“ zu beschäftigen. Trotzdem versuche ich, die meisten Schritte ausführlich darzustellen.
In der Bezeichnung der Menu-Punkte orientiere ich mich am EL-9650. Beim EL-9900
sind einige Tasten und Menus anders belegt. Dies betrifft insbesondere die Tasten Pi,
MATRIX, VARS und STATPLOT.
Die Analytische Geometrie ist sicher nicht das Haupteinsatzgebiet eines GTR. Deshalb
ist auch nicht daran gedacht, dass alle vorgestellten Möglichkeiten und Beispiele im
Unterricht eingesetzt werden sollten. Vielmehr will ich die Möglichkeiten des GTR
ausloten, Alternativen aufzeigen und so die Gelegenheit bieten, aus einer breiteren
Palette auszuwählen und dem eigenen Unterricht anzupassen, wie es dem
unterrichtenden Lehrer angemessen erscheint.
Selbst wenn man sich darauf beschränkt, nur größere lineare Gleichungssysteme mit
dem GTR lösen zu lassen, ergeben sich eine ganze Reihe von Aufgabenstellungen,
welche man früher nie oder nur selten im Unterricht behandelt hätte. Auch für Projektoder Schülerarbeiten bieten sich viele neue Möglichkeiten.
Bernhard Schäffer, Mannheim
2
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Viele Probleme der Analytischen Geometrie führen auf lineare Gleichungssysteme,
welche mit dem GTR gelöst werden können. Obwohl der GTR unter
die Möglichkeit bietet, lineare Gleichungssysteme bis zum Grad 6 ohne Kenntnis von Matrizen
zu lösen (wenn es eine eindeutige Lösung gibt), bietet es sich in der Analytischen
Geometrie an, die Matrizenschreibweise zu verwenden und diese direkt auf den GTR
zu übertragen. Deshalb sind die ersten beiden Kapitel den Matrizen und den linearen
Gleichungssystemen (LGS) gewidmet.
Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
Eingabe von Matrizen
Zur Eingabe von Matrizen wählen wir mit
das Matrizenmenu.
Die einzelnen Unterpunkte dienen für verschiedene Aufgabenbereiche.
Mit ...
A NAME
B EDIT
C OPE
D MATH
E []
... kann eine bestehende Matrix im Home-Bildschirm
aufgerufen werden.
... kann eine Matrix neu erstellt oder verändert werden.
... können eine Reihe von Matrixoperationen durchgeführt
werden.
... können weitere Operationen durchgeführt und LGS gelöst
werden.
... kann eine Matrix direkt aus dem Home-Bildschirm eingegeben
werden (näheres siehe Handbuch).
Hinweis: Eine bereits definierte Matrix kann nur über
C (DEL) 2 (Matrix)
gelöscht werden.
3
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Die Auswahl dieses Punktes zeigt die definierten
Matrizen an, welche einzeln mit
gelöscht
werden können. Das Menu muss mit
verlassen werden.
Zur Eingabe der Matrix A (im Weiteren verwende ich oft die Schreibweise [A])
wählen wir also
B (EDIT) 1 (mat A)
Zunächst muss die Dimension eingegeben und mit
oder
bestätigt werden. Danach erscheint die gewünschte
Matrix, gefüllt mit 0.
Hinweis: Wird bei einer bestehenden Matrix die Dimension verändert, so werden
bereits eingegebene Werte übernommen, soweit sie hineinpassen.
Nun geben wir die Werte ein. Bestätigen wir die Zahl mit
, so springt der Cursor
danach eine Spalte nach rechts. Ist das Ende der Zeile erreicht, so springt er in die erste
Spalte der nächsten Zeile. Bestätigen wir mit
oder
, so springt er danach
eine Zeile nach unten bzw. oben. Vor der Eingabe kann mit den Cursortasten jede
Position (einschließlich der Eingabe der Dimension) angesteuert werden.
Nebenstehend ist eine Matrix mit 4
Zeilen und 5 Spalten ( 4 x 5 ) eingegeben. Der GTR kann sie nicht
in voller Größe auf dem Display
darstellen. Mit den Cursortasten
können aber die ausgeblendeten
Bereiche angesteuert und sichtbar
gemacht werden.
4
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Hinweise:
• Das – Vorzeichen muss mit der Taste
erzeugt werden. Verwendet man
, so wird der eingegebene Wert von einem
statt dessen die Rechentaste
eventuell bereits vorhandenen Wert abgezogen.
• Wie bei der Eingabe kann eine bestehende Matrix verändert werden.
• Die erzeugte Matrix kann im Home-Bildschirm
den Aufruf von
betrachtet werden durch
A (NAME) 1 (mat A)
Im Home-Bildschirm erscheint mat A.
Drückt man nun
, so wird die Matrix
angezeigt. Sie kann aber nicht verändert werden.
Lösung eines LGS
Mit Matrizenrechnung
Ein LGS kann durch Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor gelöst werden.
Stehen die Koeffizienten des (homogenen) LGS in der Matrix [A] und die Konstanten
auf der rechten Seite im Vektor b , so kann das LGS geschrieben werden in der Form
[A] * x = b , wobei x die Variablen enthält. Gelöst wird das System durch Multiplikation von links mit [A]-1 :
[A]-1 * [A] * x = [A]-1 * b d.h. x = [A]-1 * b d.h. x enthält nun die Lösung.
Beispiel: Das LGS
[A ] * x =
2a + 6b – 3c + 12d = -6
4a + 3b + 3c + 15d = 6
4a – 3b + 6c + 6d = 6
– 3b + 5c – 2d = 14
 2 6 − 3 12 
 − 6


 
3 15 
4 3
 6 
*
x
=
4 − 3 6
 6 
6 


 
 0 − 3 5 − 2
 14 

 

führt auf
a
 
b
mit x =  
c
 
d 
 
5
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
[A] wird als mat A in den GTR eingegeben:
B (EDIT) 1 (mat A)
b wird als mat B eingegeben:
B (EDIT) 2 (mat B)
Aus dem Home-Bildschirm
wird die Lösung aufgerufen:
A (NAME) 1 (mat A)
A (NAME) 2 (mat B)
Diese Methode bietet sich aber für den Unterricht eher nicht an. Vielmehr verwendet
man statt dessen das Gauß-Verfahren.
Schnelle Lösung (Gauß-Verfahren)
Will man - z.B. in einer früheren Phase - die Matrizenschreibeweise für die Lösung
eines LGS als Black-Box verwenden oder ist das Lösungsverfahren bereits hergeleitet,
so wird man die Lösung mit dem Befehl rrowEF (= reduced row echolon form) bestimmen. Dieser verwendet das Gaußverfahren bis zur Diagonalgestalt der Matrix.
Aufgabe: Löse das LGS mit 4 Gleichungen und 4 Variablen:
2a + 6b – 3c + 12d = -6
4a + 3b + 3c + 15d = 6
4a – 3b + 6c + 6d = 6
– 3b + 5c – 2d = 14
Die zugehörige Koeffizientenmatrix wird in den GTR eingegeben (siehe Eingabe von
Matrizen) .
6
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Dann schaltet man mit
auf den Home-Bildschirm (Rechenbildschirm). Dieser
kann gegebenenfalls zunächst mit
gelöscht werden.
Die Auswahl von
D (MATH) 4 (rrowEF)
bringt den gewünschten Befehl auf den Schirm.
Nun wird der Name der Koeffizientenmatrix aufgerufen
A (NAME) 1 (mat A)
und die Berechnung der Diagonalgestalt mit
gestartet.
Wir können die Lösung ablesen: a = -3 , b = 2 , c = 4 und d = 0.
Entwicklung des Lösungsverfahrens
Die „manuelle“ Durchführung des Gaußverfahrens mit dem GTR ist, wegen der Syntax der benötigten Befehle, etwas umständlich. Die erforderlichen Befehle finden sich
unter
C (OPE)
07
08
09
10
row_swap
row_plus
row_mult
row_m.p.
Vertauschen von Zeilen
Addition einer Zeile zu einer anderen
Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl
Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen
Die genaue Syntax soll nun an Beispielen erklärt werden. Das jeweilige Ergebnis wird
zwar auf dem Bildschirm ausgegeben, ist aber noch nicht gespeichert. Für die Weiterarbeit sollte also das Ergebnis unter dem gleichen oder einem anderen Namen gespeichert werden.
7
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Hinweise:
• Alternativ kann auch im nächsten Befehl mit
Bezug genommen werden.
• Alle Befehle werden vom
auf das letzte Ergebnis
-Bildschirm aus aufgerufen.
Beispiele:
1. In der oben eingegebenen Matrix A sollen die zweite und dritte Zeile vertauscht
und das Ergebnis unter Matrix B abgespeichert werden.
C (OPE) 07 (row_swap)
A (NAME) 1 (mat A)
row_swap(Matrix,Zeile,Zeile)
(*)
(*)
A (NAME) 2 (mat B) (*)
(*) Auswahl je nach GTR-Modell. Bei allen Modellen kann die Auswahl aber
mit
erfolgen.
2. In der ursprünglichen Matrix A soll die erste Zeile mit (–2) multipliziert
werden. Das Ergebnis soll wieder als Matrix A zur Verfügung stehen.
C (OPE) 09 (row_mult)
(*)
A (NAME) 1 (mat A)
row_mult(Faktor,Matrix,Zeile)
(*)
A (NAME) 1 (mat A) (*)
3. In der neuen Matrix A soll die erste Zeile zur zweiten addiert werden. Das
Ergebnis soll nicht abgespeichert werden.
row_plus(Matrix,Zeile,zu Zeile)
C (OPE) 08 (row_plus)
A (NAME) 1 (mat A)
(*)
(*)
8
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
4. In der zuletzt erzeugten Matrix soll die erste Zeile zur dritten addiert werden.
C (OPE) 08 (row_plus)
(*)
5. In der zuletzt erzeugten Matrix soll die zweite Zeile mit (-1/3) multipliziert
werden.
Hinweis: Da der benötigte Befehl vor Kurzem
bereits verwendet wurde, kann durch mehrmalige
Auswahl von
die entsprechende Zeile auf
den Schirm zurückgerufen und passend verändert
werden.
6. In der zuletzt erzeugten Matrix soll das 5-fache der zweiten Zeile zur dritten
addiert werden.
row_m.p.(Faktor,Matrix,Zeile,zu Zeile)
C (OPE) 10 (row_m.p.)
(*)
7. In der zuletzt erzeugten Matrix soll das 1-fache der zweiten Zeile zur vierten
addiert werden.
Hinweis: Da der benötigte Befehl gerade eben
verwendet wurde, kann durch
die entsprechende Zeile auf den Schirm gerufen und
passend verändert werden.
8. In der zuletzt erzeugten Matrix soll das 2/3-fache
der dritten Zeile zur vierten addiert werden.
Damit steht das erste Teilergebnis fest: d = 0
Durch rückschreitendes Einsetzen kann die vollständige Lösung bestimmt werden.
9
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
10
Hinweise:
• Die soeben gewonnene Dreiecksgestalt kann vom GTR mit einem Befehl
erreicht werden:
D (MATH) 3 (rowEF)
gefolgt vom Namen den Matrix
A (NAME) 1 (mat A)
Der GTR bringt die Diagonale zusätzlich auf 1. Da er nicht mit Brüchen
arbeitet, wird dadurch das Auffinden der Lösung erschwert.
• Die Diagonalgestalt kann durch weitere elementare Umformungen erreicht
werden.
• Die konsequente Verwendung von row_m.p. kann die Arbeit erleichtern, weil
auf den Befehl und über
ständig über
zurückgegriffen werden kann.
auf die vorherige Matrix
• Es ist sinnvoll, jede neu erzeugte Matrix abzuspeichern (z.B. als Matrix B), weil
jeder Fehler in der Eingabe den Zugriff auf die letzte richtige Matrix unmöglich
machen kann. Nach einem Fehler legt der Aufruf von Matrix B
A (NAME) 2 (mat B)
die letzte richtige Matrix zur Weiterarbeit wieder in den
-Speicher.
LGS ohne Lösung
Das Gaußverfahren mit dem Befehl rrowEF kann auch angewendet werden, wenn das
LGS keine oder unendlich viele Lösungen besitzt. Dabei muss die Anzahl der Variablen und Gleichungen nicht übereinstimmen
Bestimme die Lösung des LGS
2x1 + 6x2 – 3x3 = -6
4x1 + 3x2 + 3x3 = 6
4x1 – 3x2 + 6x3 = 6
2x1 + 2x2 + 3x3 = 4
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Dazu geben wir die 4 x 4 Matrix A ein mit
B (EDIT) 1 (mat A)
und schalten auf den
-Bildschirm.
Dort rufen wir
D (MATH) 4 (rrowEF)
auf, tragen der Namen der Matrix nach
A (NAME) 1 (mat A)
und starten mit
.
Die letzte Zeile bedeutet, dass 0*x3 = 1 sein soll. Da dies nicht möglich ist, ist das LGS
unlösbar d.h. L ={}.
LGS mit unendlich vielen Lösungen
Bestimme die Lösung des LGS
2x1 + 6x2 – 3x3 = -6
4x1 + 3x2 + 3x3 = 6
4x1 – 3x2 + 9x3 = 18
Wie oben wird zunächst die Matrix eingegeben und
rrowEF aufgerufen.
Hinweise:
• Über
B (EDIT) 1 (mat A) und Änderung der Dimension auf 3 x 4 können
die Zahlen zunächst übernommen und Änderungen vorgenommen werden.
• Mit
kann im
-Bildschirm der rrowEF-Befehl übernommen und mit
ausgeführt werden.
11
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Die letzte Zeile, bestehend aus 4 Nullen, bedeutet: Aus 0*x3 = 0 kann geschlossen
werden, dass es zunächst für x3 unendlich viele Lösungen (alle reellen Zahlen)gibt.
Mit dem Parameter t für x3 ergibt sich aus der zweiten Zeile
x2 – t = -2 bzw. x2 = -2 + t.
Eingesetzt in Zeile 1 erhält man x1 = 3 – 1,5t und als Lösung des LGS
(3 – 1,5t / -2 + t / t ).
Hinweis:
Dieses Verfahren löst auch LGS, bei denen mehrere Parameter für die Lösung benötigt
werden.
Mit x3 = t und x2 = s ergibt sich die Lösung ( -0.8 – 0,2s + 0,4t / s / t ).
Vektoren
Vektoren kann man mit dem GTR grundsätzlich auf zwei verschiedene Arten
darstellen.
Vektoren als 3 x 1 Matrix
1
Der Vektor a = 2 wird im Matrizeneditor wie eine
3
3x1 - Matrix eingegeben.
Im Home-Bildschirm
Aufruf von
wird diese durch den
A (NAME) 1 (mat A)
wie nebenstehend angezeigt.
12
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Vektoren als Liste
Grundsätzlich können viele Berechnungen auch mit Vektoren in Listenform durchgeführt werden. Dies ist einfacher einzugeben – man muss aber auf die Spaltenform
des Vektors und die Namensgebung durch Buchstaben verzichten.
Direkt im
-Bildschirm wird eingeben:
1
2
3
Hinweis:
Listen können auch im Listeneditor unter
A (edit list)
eingegeben werden.
Vektoroperationen
Die grundlegenden Operationen lassen sich im
Darstellungen durchführen.
-Bildschirm in beiden
Vervielfachen:
Matrix:
2*
Liste:
2*
A (NAME) 1 (mat A)
Summe und Linearkombination:
-3
Nachdem wir zunächst den Vektor b =  1  als Matrix
-2
B bzw. Liste 2 (L2) eingegeben haben, kann die
Berechnung entsprechend durchgeführt werden.
Hinweis: Der Malpunkt kann entfallen.
13
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Skalarprodukt:
Das Skalarprodukt kann als Matrizenmultiplikation a (transponiert) * b durch die
Tastenfolge
D (MATH) 2 (trans)
A (NAME) 1 (mat A)
A (NAME) 2 (mat B)
berechnet werden.
Über Listen ist die Berechnung einfacher. Die Listen werden (gliedweise) miteinander
multipliziert und die Produkte addiert. Der Befehl zur Summierung befindet sich im
-Menu.
B (MATH) 5 (sum)
Betrag eines Vektors
Nachdem man das Skalarprodukt mit sich selbst in
Matrizenschreibweise ausgeführt hat, steht das Ergebnis immer noch in einer Matrix. Daraus lässt sich keine
Wurzel ziehen. Das Element muss zuerst aus der
Matrix extrahiert werden. Dies gelingt durch den
Zugriff (1,1) auf das Element der ersten Zeile und
ersten Spalte des letzten Ergebnisses.
Mit Listen ist dies wesentlich einfacher, da die Summe
der Produkte bereits als Zahl vorliegt.
Hinweise:
• Statt L1*L1 kann auch L1² geschrieben werden.
• Die Malpunkte müssen nicht geschrieben werden.
14
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Winkel zwischen 2 Vektoren
In der Listendarstellung kann die Berechnung in einem Zug erfolgen. Gegebenenfalls
ist zuvor die Winkeleinstellung Deg unter
B
zu wählen.
Umwandlung der Darstellungen
a) Vektor a aus Liste L1 in Matrix A :
C (OPE) 12 (list→mat)
A (NAME) 1 (mat A)
Das Ergebnis kann mit
A (NAME) 1 (mat A)
betrachtet werden.
b) Vektor a aus Matrix A in Liste L1
C (OPE) 11 (mat→list)
A (NAME) 1 (mat A)
15
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
c) Aufbau einer Matrix aus Listen
Aus den drei Listen L1={1,2,3} , L2={-3,1,-2) und L3={-2,-1,-6} soll eine
Matrix C mit den Listen als Spaltenvektoren aufgebaut werden.
C (OPE) 12 (list→mat)
A (NAME) 3 (mat C)
d) Zerlegung einer Matrix in Vektoren(Listen)
Umgekehrt kann die Matrix C wieder in 3 Listen zerlegt werden.
C (OPE) 11 (mat→list)
A (NAME) 3 (mat C)
e) Erweiterung einer bestehenden Matrix
Liegen die Vektoren in Matrixschreibweise vor, so muss die erste Matrix durch
die anderen schrittweise erweitert werden (augment).
C (OPE) 04 (augment)
A (NAME) 1 (mat A)
A (NAME) 2 (mat B)
Genauso kann ein weiterer Vektor zugefügt
werden.
Hinweis: So können beliebige Matrizen passender Dimension zusammengefügt
werden.
16
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Lineare Unabhängigkeit
Wir beschränken uns auf die Untersuchung dreier Vektoren, da 4 Vektoren immer
linear abhängig sind und das Verhältnis zweier Vektoren normalerweise direkt
ersichtlich ist.
Untersuche die drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit:
1
4
2
2
0
 
a =   , b =   , c = -4
-3
1
7
Sind die Vektoren in Matrixform oder als Listen
eingegeben, so erzeugen wir zunächst daraus ein
Spaltenmatrix. Andernfalls geben wir die Matrix
[ a , b , c ] direkt ein.
Mit
D (MATH) 4 (rrowEF)
A (NAME) 1 (mat A)
erzeugen wir die Diagonalgestalt.
Besteht die letzte Zeile aus lauter Nullen, so sind die Vektoren linear abhängig, weil
das gelöste LGS r* a +s* b +t* c = 0 unendliche viele Lösungen besitzt. Andernfalls
sind die drei Vektoren linear unabhängig.
Hinweise:
• Drei linear unabhängige Vektoren führen
immer auf die 3x3 - Einheitsmatrix.
• Verwendet man dieses Verfahren für zwei
Vektoren, so entsteht immer die dritte Zeile mit
nur Nullen. Die Zeile muss für die Bewertung
ignoriert und diese anhand der zweiten Zeile
vorgenommen werden. Im Beispiel sind a und
b linear unabhängig.
17
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Geraden und Ebenen
Geraden
Auch wenn der Aufwand in vielen Fällen nicht lohnt, sollen die Möglichkeiten ausgelotet werden, welche der GTR bietet.
Legt man Wert auf einfachere Eingabe und Verarbeitung, so kann mit Listen gearbeitet werden, auch wenn diese als Zeilen geschrieben werden und dadurch die Unterscheidung von Punkten und Vektoren erschwert wird. Alternativ können Punkte als
Listen und Vektoren in Matrixform verwendet werden, wobei Umwandlungen unvermeidbar sind. Es kann aber auch konsequent mit Matrizen gearbeitet werden.
Geradengleichung
Durch die beiden Punkte P(3/-1/2) und Q(-7/-5/8) soll eine Gerade gelegt werden.
Zunächst geben wir die Punktkoordinaten in Listen ein.
Der Richtungsvektor wird als Differenz der Listen
gespeichert.
Falls gewünscht, kann der Richtungsvektor noch durch
2 geteilt werden.
Nach Interpretation von L1 als Stützvektor lautet die
zugehörige Gleichung :
3
-5
-1
g: x = L1 + t*L3 =   + t * -2
2
3
Punkte auf der Geraden
a) Zu jedem Parameter t aus den reellen Zahlen kann
der zugehörige Geradenpunkt berechnet werden durch
Eingabe der rechten Seite der Gleichung.
b) Liegt der Punkt R(15,5/4/-5,5) auf g ?
Ein Punkt R (in L4) liegt genau dann auf der Geraden g, wenn die Gleichung
L1 + t*L3 = L4 eine Lösung für t hat.
18
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Umgeformt heißt das:
t*L3 = L4 – L1
d.h. die Vektoren (L4 - L1) und L3 müssen linear
abhängig sein.
Wir erzeugen also aus L3 und (L4-L1) eine Matrix.
C (OPE) 12 (list→mat)
A (NAME) 1 (mat A)
A (NAME) 1 (mat A)
Wenn nicht sofort ersichtlich ist, ob (L1 – L4) ein
Vielfaches von L3 ist, erzeugen wir die Diagonalgestalt
und erhalten für den einzigen Parameter t die Lösung
t = 2,5.
Hinweis: Liegt der Punkt nicht auf g, so liefert die
Diagonalgestalt einen Widerspruch in Zeile 2
(z.B. 0*t=1).
Lagebeziehungen zweier Geraden
Grundsätzlich kann die Schreibweise auch hier verwendet werden. Um auch die
andere Vorgehensweise zu erläutern, werde ich diesen Punkt vollständig in Matrizenschreibweise bearbeiten.
Untersuche die Lage der beiden Geraden g und h zueinander.
7
2
-2
g: x =   + t * 3
2
1
4
1
-6
und h: x =   + s * 1
-1
2
Zunächst erzeugen wir im Matrizeneditor die 4 Vektoren als 3x1-Matrizen [A], [B],
[C] und [D] .
19
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Ein traditioneller Ansatz löst nun das LGS a + t* b = c + s* d oder umgeformt
t* b - s* d = c - a
Wir können also die Matrix mit den Spaltenvektoren b , - d , c - a erzeugen. Dazu
erweitern wir [B] um –[D] und danach um [C] – [A].
C (OPE) 04 (augment)
A (NAME) 2 (mat B)
A (NAME) 4 (mat D)
C (OPE) 04 (augment)
A (NAME) 3 (mat C)
A (NAME) 1 (mat A)
Hinweise:
• Der zweite augment-Aufruf kann auch durch
Ausdrucks erfolgen.
und Korrektur des
• Da die Ergebnisse bisher nirgendwo gespeichert sind ist es sinnvoll, das letzte
Ergebnis z.B. unter [E] zu speichern.
A (NAME) 5 (mat E)
Nun lassen wir das LGS in [E] bzw. dem ANS-Speicher lösen.
D (MATH) 4 (rrowEF)
20
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Da es nur zwei Parameter gibt, ist die dritte Zeile voller Nullen bedeutungslos und die
Lösung lautet
t = -1 und s = 1.
Der entstehende Schnittpunkt ergibt sich aus
[A] – 1*[B] zu (5/-5/1).
Bemerkung: Man kann die Diagonalgestalt auch so interpretieren: Die drei Vektoren
b , - d , c - a sind linear abhängig mit genau einer Lösung für t und s. Also muss es
einen Schnittpunkt geben.
4
Wir ändern nun h so ab, dass die Geraden parallel sind: d = 6
2
Unser Vorgehen liefert:
Die drei Vektoren b , - d , c - a sind linear abhängig. Das LGS liefert aber in Zeile 2
einen Unlösbarkeit für s. Deshalb können die Geraden nur parallel sein.
1
Nun ändern wir h so ab, dass die geraden windschief sind: d = 2
3
Die drei Vektoren sind linear unabhängig, die Geraden sind windschief. Da es nur
zwei Parameter in unserem Ansatz gibt, schließt die dritte Zeile eine Lösung aus.
21
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Bemerkung:
Zwei identische Geraden führen zu einer Lösung wie
z.B. :
Die Vektoren sind linear abhängig und das LGS lässt unendlich viele Lösungen für t
und s zu.
Ebenen in Parameterdarstellung
Ebenengleichung
Eine Ebene E soll durch die drei Punkte A(4/3/1) , B(5/1/4) und C(7/3/2) festgelegt
sein.
Nach Eingabe der drei Ortvektoren [A], [B] und [C]
kann man die Spannvektoren durch [B] – [A] und
[C] – [A] bestimmen und nach [D] bzw. [E]
abspeichern.
Die Ebene hat also die Gleichung
4
1
3
3
-2
E: x = [A] + r*[D] + s*[E] =   + r*  + s*0
1
3
1
Punkte auf einer Ebene
a) Durch die Verwendung von reellen Zahlen für r und
s lassen sich Punkte auf der Ebene bestimmen.
b) Um zu überprüfen, ob ein Punkt F(-3/-1/4), dessen
Ortsvektor unter [F] abgespeichert ist, in der Ebene
liegt, muss die Gleichung
[A] + r*[D] + s*[E] = [F]
gelöst werden.
22
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Die Umformung
r*[D] + s*[E] = [F] – [A]
zeigt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die drei Vektoren [D] , [E] und [F] – [A]
linear abhängig sind.
Auf jeden Fall benötigen wir die Matrix, welche aus diesen drei Spaltenvektoren
gebildet wird. Dazu erweitern wir schrittweise [D].
C (OPE) 04 (augment)
A (NAME) 4 (mat D)
A (NAME) 5 (mat E)
C (OPE) 04 (augment)
A (NAME) 6 (mat F)
A (NAME) 1 (mat A)
Diese Matrix wird auf Diagonalgestalt gebracht.
D (MATH) 4 (rrowEF)
Das Ergebnis zeigt dreierlei:
-
Die Vektoren sind linear abhängig.
r = 2 und s = -3
Der Punkt F liegt in Ebene E.
Bemerkung:
Liegt F nicht in E, so liefert diese Vorgehensweise die
Einheitsmatrix. Die Vektoren sind linear unabhängig.
23
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Ebene und Gerade
2
1
0
Wie liegt die Gerade x =   + t * 1 bezüglich E ?
1
2
Zunächst geben wir den Stützvektor als [G] und den
Richtungsvektor als [H] ein.
Zu lösen ist die Gleichung
[A] + r*[D] + s*[E] = [G] + t*[H]
bzw.
r*[D] + s*[E] – t*[H] = [G] – [A]
Wir erweitern also schrittweise [D] um [E], -[H] und [G] – [A].
Diese Matrix wird auf Diagonalgestalt gebracht.
Das LGS besitzt eine eindeutige Lösung. Die
Nachkommastellen lassen auf einen gemeinsamen
Nenner 9 schließen.
Deshalb multiplizieren wir die Matrix mit 9 (Achtung:
Dividieren geht nicht !), anschließend mit 2 und
erhalten das Ergebnis:
17
11
20
r = 18 , s = -18 und t = 18
Der Schnittpunkt lautet also
28 10 29
[G] + t*[H] = ( 9 / 9 / 9 ).
24
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Bemerkungen:
• Ist g parallel zu E, so liefert das System keine Lösung, d.h. einen Widerspruch
in der letzten Zeile.
• Liegt g in E, so liefert das System unendlich viele Lösungen, d.h. nur Nullen in
der letzten Zeile.
Ebene und Ebene
2
1
2
0
1
Wie liegt die Ebene H: x =   + u *   + v * 1 bzgl. E ?
1
2
1
Die Ebene E ist weiterhin unter [A], [D] und [E] gespeichert.
Die Ebene H soll unter [G], [H] und [I] angespeichert sein.
Zu lösen ist das LGS
[A] + r*[D] + s*[E] = [G] + u*[H] + v*[I]
bzw.
r*[D] + s*[E] – u*[H] – v*[I] = [G] – [A]
Wieder erzeugen wir die Matrix aus den entsprechenden Spaltenvektoren.
Das entstandene LGS wird gelöst.
Die letzte Zeile liefert den gesuchten Zusammenhang
1
7
u + 2 v = 10
bzw.
7
1
u = 10 – 2 v
Die Gleichung der Schnittgeraden erhalten wir durch Einsetzen in die Gleichung der
Ebene H.
25
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
x = [G] + u*[H] + v*[I]
7
1
= [G] + 10 *[H] - 2 v*[H] + v*[I]
7
1
= [G] + 10 [H] + v*([I] - 2 [H])
 3,7 
 1,5 
 
 
=  2,4  + v*  0 
 1,7 
 0,5 
 
 
Bemerkungen:
• Sind E und H parallel, so liefert die Matrix in der letzten Zeile eine nichterfüllbare Bedingung (z.B. 0 0 0 0 1 ).
• Bei identischen Ebenen treten in der letzten Zeile nur Nullen auf.
Koordinaten- und Normalenform
Umwandlung und Normalenvektor
Die Parameterform der Ebene E soll in die Koordinatenform überführt werden. Dazu
ist die Gleichung
4
1
3
1
0
0
3
-2
0
0
1
0
  + r*  + s*  = x1*  + x2*  + x3* 
1
3
1
0
0
1
zu lösen, wobei die Parameter r und s eliminiert werden müssen.
Um den GTR sinnvoll einsetzen zu können, muss die Gleichung wieder umgestellt
werden.
1
3
1
0
0
4
-2
0
0
1
0
r*  + s*  – x1*  – x2*  – x3*  = – 3
3
1
0
0
1
1
26
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Entweder erzeugen wir aus den bereits eingegebenen Vektoren die entsprechende
Matrix oder wir geben die zugehörige 3 x 6 Matrix [J] direkt ein (Vorzeichen
beachten!!).
Das LGS wird gelöst und die letzte Zeile ausgewertet.
Sie bringt direkt (bei obiger Reihenfolge der
Parameter/Variablen) die Koordinatenform:
1*x1 - 4*x2 - 3*x3 = -11
Auf diese Weise kann auch der Normalenvektor der Ebene bestimmt werden, da er aus
1
den Koeffizienten der Koordinatenform besteht: n =-4 .
-3
Er kann aber auch als eine vom Nullvektor verschiedene Lösung des LGS
u *n= 0 , v*n= 0
bestimmt werden.
 1  n1
-2 n 
  *  2 = 0 ,
 3  n3
 3   n 1
0 n 
  *  2 = 0 ⇒
 1   n 3
n1 – 2n2 + 3n3 = 0
3n1 – 0n2 + n3 = 0
Wir geben das LGS in eine Matrix I der Dimension 2x3
oder 2x4 ein ...
...und lassen die Diagonalgestalt im Home-Bildschirm
bestimmen.
27
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Wegen des ersichtlichen Nenners 3 multiplizieren wir
das Ergebnis mit 3 und entnehmen der letzten Zeile:
3n2 - 4n3 = 0
Da wegen der beliebigen Länge des Normalenvektors eine Koordinate frei (ungleich
0) gewählt werden kann, bietet sich an: n2 = 4 und n3 = 3 . Aus der ersten Zeile
-1
ergibt sich dann 3n1 + n3 = 0 bzw. n1 = -1 und damit n = 4  .
3
Aufstellen der Koordinatenform aus drei Punkten
Gesucht ist die Koordinatenform der Ebene durch A(1/2/5) , B(-3/3/11) und C(0/3/2).
Jede Ebene, die nicht durch den Ursprung geht, kann auch in der Form
ax1 + bx2 + cx3 = 1
geschrieben werden. Dieser Ansatz kann zunächst für jede Ebene versucht werden,
wenn drei Punkte gegeben sind. Er führt auf das LGS
1a + 2b + 5c = 1
-3a + 3b + 11c = 1
0a + 3b + 2c = 1
welches als Matrix geschrieben. . .
. . . und gelöst werden kann.
Die Gleichung der Ebene lautet also 0,15x1 + 0,3x2 + 0,05x3 = 1
bzw. mit ganzzahligen Koeffizienten
3x1 + 6x2 + x3 = 20
28
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Hinweise:
• Liefert dieses Vorgehen einen Widerspruch in der dritten Zeile, so geht die gesuchte Ebene durch den Ursprung. In [A] muss dann die 4. Spalte in Nullen abgeändert, das LGS neu gelöst und aus der reduzierten Matrix die Gleichung der
Ebene aufgebaut werden.
So folgt aus dem nebenstehenden Ergebnis
a + 2c = 0 und b + 3c = 0
Die Wahl einer Variablen ist frei, z.B. mit c = -1 ist a = 2 und b = 3
d.h.
E: 2x1 + 3x2 - x3 = 0
• Natürlich kann man dieses Verfahren auch dazu verwenden, die Koordinatenform aus der Parameterform zu gewinnen, wenn man aus der Parameterform
drei Ebenenpunkte berechnet.
Ebene und Gerade
2
1
0
Wie liegt die Gerade g: x =   + t * 1 bezüglich E ?
1
2
Stützvektor und Richtungsvektor werden zunächst als
Listen oder Matrizen gespeichert. Ich verwende hier 2
Listen.
Zunächst werden die 3 Komponenten von g ohne GTR in die Ebenengleichung
x1 - 4*x2 - 3*x3 = -11
eingesetzt
⇒
(2 + t) – 4(0 + t) – 3(1 + 2t) = –11
und diese Gleichung dem Solver übergeben:
Nach dem Aufruf von
erscheint ein leerer
Bildschirm, auf dem diese Gleichung eingegeben
werden kann.
29
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Nach der abschließenden Eingabe von
kann der
GTR erkennen, dass es sich um eine lineare Gleichung
handelt und die Lösungsmethode „Equation“
vorschlagen. Der dabei angezeigte Wert für T ist ohne
Bedeutung.
Wir starten mit
die Berechnung. Anscheinend
lässt sich der GTR durch die Struktur der Gleichung
verwirren und wechselt zum Newton-Verfahren. Den
Startwert 0 können wir übernehmen.
Mit erneutem
starten wir dieses Berechnung und
der GTR liefert die Lösung T = 1.111111111 sowie die
Werte für die rechte und linke Seite der Gleichung und
deren Differenz zur Genauigkeitsabschätzung.
Da T nun gespeichert ist, können wir den Schnittpunkt
im
-Bildschirm berechnen lassen.
Bemerkungen:
• Leider lassen sich Listenberechnungen nicht mit Brüchen durchführen.
• Die Gleichung kann im Solver auch mit der Variablen X eingegeben werden
(etwas einfacher). Direkt nach der Lösung steht auch der Wert in X zur
Weiterberechnung zur Verfügung.
• Wenn es keine Lösung gibt, endet das NewtonVerfahren mit einer Fehlermeldung.
• Wenn g in E liegt, so liefert das NewtonVerfahren zu jedem Startwert den Startwert als Lösung. Man muss also
aufpassen, wenn der Startwert als Lösung präsentiert wird und das Verfahren
mit einem anderen Startwert erneut durchrechnen lassen. Ergibt sich wieder der
Startwert als Lösung, so liegt g in der Ebene.
• Mit
kommt man im Solver immer eine Ebene zurück.
30
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Ebene und Ebene
a) Beide in Koordinatenform
Um die Schnittgerade der beiden Ebenen 3x1 – 4x2 + x3 = 1 und 5x1 + 2x2 – 3x3 = 6
zu gewinnen, löst man das LGS, welches aus diesen beiden Gleichungen besteht.
Die entsprechende 2x4 Matrix [A] wird dazu in
Diagonalgestalt übergeführt.
Bemerkung:
Wieder ergibt sich das Problem, dass der GTR hier
nicht mit Brüchen arbeitet. Wenn man erkennt, dass die
Dezimalentwicklung etwas mit dem Nenner 13 zu tun
hat, bietet sich an, die Matrix mit 13 zu multiplizieren.
Aus x2 – 0,538461538*x3 = 0,5 erhält man mit 0,538461538*x3 = t :
x2 = 0,5 + t
Eingesetzt in sie erste Zeile x1 = 1 + 0,384615384*x3 = 1 –0,714285713*t erhält man
ein recht unbefriedigendes Ergebnis.
Besser wäre in diesem Fall, das LGS in [A] selbst zu lösen.
Dazu wird das 2-fache der zweiten Zeile zur ersten addiert.
C (OPE) 10 (row_m.p.)
A (NAME) 1 (mat A)
Mit x3 = 13t erhält man aus der ersten Zeile
13x1 – 5*13 t = 13
oder
x1 = 1 + 5t.
Eingesetzt in die zweite Zeile erhält man
1
5(1 + 5t) + 2x2 –3*13t = 6 bzw. x2 = 2 + 7t.
1 + 5t
x1 
  1  5
1
x 
Die Gleichung der Schnittgeraden lautet dann x =  2 =  2 + 7t = 1/2 + t* 7 
x3  13t   0 
13
31
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
b) Liegt eine Ebene in Koordinatenform und die andere in Parameterform vor, so
setzt man die Komponenten der Parameterform in die Koordinatenform ein und
lässt die entstehende Gleichung lösen. (vergl. Ebene und Gerade)
Drei Ebenen
Bestimme die gemeinsamen Punkte der drei Ebenen
x1 + x2 + x3 = 10
x1 + 4x2 – x3 = 0
3x1 + 6x2 + x3 = 20
Dies ergibt die 3x4 Matrix . . .
. . . in der Diagonalgestalt . . .
. . . und mit 3 multipliziert.
Da der GTR kein eindeutiges Ergebnis liefert (d.h. einen gemeinsamer Punkt), gibt es
eine Schnittgerade.
Aus
3x1 + 5x3 = 40
40
x1 = 3 - 5t
d.h.
x
und
3x2 – 2x3 = -10
und
x2 = - 3 + 2t
 403 
 
= -10
3
0
oder eine andere Form.
10
-5
+ t* 2 
3
und der Wahl von x3 = 3t folgt
32
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Die Hessesche Form
Um die Ebenengleichung x1 – 2x2 + 4x3 = 1 in die Hessesche Form zu bringen, muss
1
der Betrag des Normalenvektors -2 berechnet werden. Dazu speichern wir diesen in
4
eine Liste und summieren die Quadrate. Die Wurzel speichern wir, für spätere Berechnungen.
1
-2
4
B (MATH) 5 (sum)
x1 – 2x2 + 4x3 - 1
Die Hessesche Form lautet also:
21
=0
Abstände
Punkt – Ebene
Welchen Abstand hat der Punkt P(1/6/2) von der Ebene E: x1 – 2x2 + 4x3 = 1 ?
Wie oben beschrieben wurde die Ebene in die
Hessesche Form gebracht. Dabei wurde der
Normalenvektor in L1 und sein Betrag in N
abgespeichert.
x1 – 2x2 + 4x3 - 1
21
=0
33
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Das Einsetzen der Punktkoordinaten lässt sich über eine Summierung des Listenprodukts erreichen.
Also wird zunächst P als Liste L2 gespeichert.
Den Abstand können wir dann in einem Ausdruck berechnen:
B (MATH) 5 (sum)
Bemerkung:
Da hierbei auf die Betragsbildung verzichtet wurde, muss dies gegebenenfalls
nachgeholt werden.
Punkt – Gerade
In einem traditionellen Verfahren wird zunächst eine Gleichung der Ebene durch den
Punkt und senkrecht zur Geraden aufgestellt, diese mit der Geraden zum Schnitt gebracht und der Abstand des Schnittpunktes vom gegebenen Punkt berechnet. Die nötigen Teilschritte können mit GTR - Unterstützung durchgeführt werden.
Welchen Abstand hat der Punkt R(2/-3/5) von der Geraden g mit der Gleichung
4
2
3
 
x =   + t * 1
3
-1
?
2
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also n =  1  und ihre Gleichung lautet
-1
2x1 + x2 – x3 = d
Durch Einsetzen der Koordinaten von R erhält man c.
Mit R in L1 und n in L2 erhält man c durch
Summierung von L1*L2: c = -4
Hinweis:
sum findet man unter
B (MATH) 5 (sum)
34
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Die Komponenten von g werden in die Ebenengleichung eingesetzt:
2(4+2t) + (3+t) – (3 – t) = -4
und t bestimmt.
Im
wird die Gleichung eingegeben, mit
bestätigt und mit
gelöst.
Mit {4,3,3} –2*L2 erhält man den Schnittpunkt,
.
abgespeichert mit
L3 – L1 ergibt den Vektor, dessen Betrag berechnet werden muss.
B (MATH) 5 (sum)
Der Abstand d beträgt also 20 .
R
g
d
r
r− p
ϕ
P
0
H
u0
p
Eine andere Möglichkeit ergibt sich aus
nebenstehender Zeichnung: ( r =
Ortsvektor zu R, p = Ortsvektor zu P).
|PH| = | r - p |*cos ϕ , wobei ϕ der Winkel
HPR ist.
( r - p )* u 0
u
Es gilt cos ϕ =
, wenn u 0 =
| r - p |*1
u
der Einheitsvektor in u-Richtung ist.
Damit ergibt sich |PH| = |( r - p )* u 0 | und nach Pythagoras gilt
d=
( r - p )²-(( r - p )* u 0 )²
35
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
36
Mit r - p = L1 – {4,3,3} in L3 und | u | = 6 ergibt sich d² = 20.
Windschiefe Geraden
(
)
Für den Abstand zweier windschiefer Geraden gibt es die Formel d = q − p ⋅ n0 .
6
-3
5
1
1
1
4
Soll also der Abstand der beiden Geraden g: x =   +t*  und h: x =   +s* 1 
4
1
13
-2
berechnet werden, so muss zunächst der Normaleneinheitsvektor gebildet werden.
-3 n1
Die Bedingung  1  * n2 = 0 ,
 1  n3
 1  n1
 1  n 
  *  2 = 0 ⇒
-2 n3
-3n1 + n2 + n3 = 0
n1 + n2 - 2n3 = 0
wird über eine Matrix gelöst.
4n1 – 3n3 = 0
4n2 – 5n3 = 0
3
Mit n3 = 4 ergibt sich n1 = 3 und n2 = 5, also 5 mit dem Betrag
4
6
5
3
1
4
Mit   in L1 ,   in L2 und 5 in L3 berechnen wir
4
13
4
den Abstand d = 6,78822...
50 .
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
37
Anwendungen
Gerade die Fähigkeit des GTR, große LGS schnell lösen sowie Matrizen leicht multiplizieren zu können, eröffnen viele neue Möglichkeiten für Anwendungen. Diese
können im Unterricht, als Projekte oder als Schülerarbeiten durchgeführt werden.
Mehrstufige Prozesse
Die Gesellschaftsstruktur in England ist stark konservativ geprägt. Auf der Basis von
Beruf, Bildung, Einkommen etc. ist die Zugehörigkeit zu einer der drei Gesellschaftsklassen Oberschicht (O), Mittelschicht (M) und Unterschicht (U) definiert. Nach einer
Untersuchung, die 1949 in England und Wales durchgeführt wurde, sind die Gesellschaftsschichten nicht statisch, sondern es finden von Generation zu Generation Übergänge zwischen den einzelnen Schichten statt. Es wurde untersucht, in welchem Ausmaß der soziale Status des Vaters den des Sohnes beeinflusst. Die erhobenen Daten
können durch das folgendes Bild ausgedrückt werden:
Die angegebenen Prozentsätze zeigen die
Übergangswahrscheinlichkeiten:
So bleiben z.B. nur 44,8% der
Oberschichtsöhne in der Oberschicht,
während 48,8% in die Mittelschicht und
6,8% sogar in die Unterschicht
abrutschen. 5,4% der Mittelschichtsöhne gelingt der Aufstieg in die
Oberschicht.
Man kann diese Zahlen in einer Tabelle darstellen:
von
nach
Oberschicht
Mittelschicht
Unterschicht
Oberschicht
Mittelschicht
Unterschicht
0,448
0,484
0,068
0,054
0,699
0,247
0,011
0,503
0,486
Kennt man die Verteilung einer Generation, so kann man für die nächste Generation
eine Vorhersage treffen.
Sind zu Beginn xO Personen in der Oberschicht, xM Personen in der Mittelschicht und
xU Personen in der Unterschicht, so gilt für die nächste Generation:
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
0,448* xO + 0,054* xM + 0,011* xU = y0
0,484* xO + 0,699* xM + 0,503* xU = yM
0,068* xO + 0,247* xM + 0,486* xU = yU ,
wobei y0 , yM und yU die Anzahl der Personen in den jeweiligen Schichten der
nächsten Generation sind.
Dieses LGS legt die Schreibweise als Matrix nahe.
Diese Matrix, bestehend aus den
Übergangswahrscheinlichkeiten, heißt
Übergangsmatrix.
Bemerkung:
Eine solche Übergangsmatrix kann nicht aus beliebigen Zahlen bestehen. Vielmehr
müssen alle Spaltensummen 1 ergeben.
Man definiert nun die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor durch folgende
Vorschrift: Man erhält die Koordinaten des Ergebnisvektors, indem zeilenweise jedes
Element einer Zeile der Matrix wird mit der entsprechenden Koordinate des Vektors
multipliziert und die Produkte addiert werden.
Durch diese Vorschrift erhält man genau das angegebene LGS in der Schreibweise
[A]* x = y
 0,448 0,054 0,011   xO   yO 


bzw.  0,484 0,699 0,503  *xM = yM
 0,068 0,247 0,486   xU   yU 


 xO  20
Für eine gegebene Ausgangsverteilung xM =50 (in frei gewählten Einheiten mit der
 xU  30
Summe 100) kann der GTR die neue Verteilung
berechnen.
20
Dazu wird 50 als 3 x 1 - Matrix B gespeichert. . .
30
. . . und die Multiplikation ausgeführt.
38
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Um nun die Entwicklung über mehrere Generationen
verfolgen zu können, muss [A] immer wieder mit dem
Ergebnis multipliziert werden.
Dabei genügt es, nach der ersten Berechnung von
mat A * Ans diesen Befehl durch
zurückzuholen
und mit
ausführen zu lassen.
Interessanterweise stellt man fest, dass sich die
Ergebnisse nach einigen Generationen praktisch nicht
mehr verändern.
Man kann nun die Anfangswerte variieren.
Nach wenigen Generationen stellt sich praktisch wieder die selbe Verteilung ein.
Bemerkung:
Der zum stabilen Zustand gehörige Vektor heißt Eigenvektor zum Eigenwert 1der
Matrix A.. Dieser Eigenvektor kann über die Gleichung [A]* x = x gefunden
werden.
39
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
a
Mit x = b lautet das zugehörige LGS
c
0,448* a + 0,054* b + 0,011* c = a
0,484*a + 0,699* b + 0,503* c = b
0,068* a + 0,247* b + 0,486* c = c
bzw. umgeformt als homogenes LGS
-0,552* a + 0,054* b + 0,011* c = 0
0,484*a – 0,301* b + 0,503* c = 0
0,068* a + 0,247* b – 0,514* c = 0
Die zugehörige Matrix erhält man leicht, wenn man [A] editiert, den Cursor auf die zu
ändernden Zahlen setzt und sie mit
neu berechnen lässt.
Die geänderte Matrix [A], welche das zu lösende
homogene LGS darstellt, wird nun in die zeilenreduzierte Gestalt gebracht.
Es ergeben sich unendlich viele Lösungen.
Aus a – 0,217639412 c = 0 und b – 2,021054737 c = 0 ergeben sich die Lösungen in
 0,217639412 


Vektorschreibweise: x = c*  2,021054737  , wobei für uns die Lösung von Interesse


1


ist, deren Koordinatensumme wieder 100 ergibt:
c*(0,217639412 + 2,021054737 + 1) = 100 d.h. c = 30,87664207
und damit
x =
40
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
41
Durchführung dieser Berechnung mit dem GTR:
Liste aus den 3 Koordinaten erzeugen:
Liste aufsummieren:
100 durch die Summe teilen:
Liste mit dem
Quotienten multiplizieren:
Liste in Matrix D umwandeln:
(zur besseren Darstellung)
Matrix D anzeigen:
Kann man dieses Ergebnis auch auf einem anderen Weg gewinnen ?
Die Berechnung zur Zustände erfolgte nach folgendem Schema:
[A]* x 0 = x 1 ; [A]* x 1 = x 2 ; [A]* x 2 = x 3 ; [A]* x 3 = x 4
. . . [A]* x n-1 = x n
Also ist z.B. x 3 = [A]* x 2 = [A]*[A]* x 1 = [A]*[A]* [A]* x 0
Versuchen wir es mit dem GTR:
Wir stellen zunächst die alte Matrix A wieder her.
B (EDIT) 1 (mat A)
Der Ausgangszustand steht in [B].
B (EDIT) 2 (mat B)
...
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Statt [A] dreimal nacheinander anzuwenden,
berechnen wir [A]3 .. .
A (NAME) 1 (mat A)
. . . und wenden das Ergebnis auf [B] an.
A (NAME) 2 (mat B)
Das Ergebnis entspricht genau dem der dreimaligen Anwendung von [A] auf die
Zustandsvektoren.
Kurzschreibweise:
Den stabilen Zustand kann man also annähern, wenn man eine hohe Potenz von [A]
berechnet (und zur Sicherheit mit der nächst-höheren Potenz vergleicht).
Damit wäre die Multiplikation von Matrizen eingeführt. Ob man das Berechnungsschema herleitet oder evtl. nur mitteilt, sei dahingestellt.
Betrachten wir nun [A]n für große n:
42
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Auch hier ist eine Stabilisierung festzustellen. Interessant ist, dass jede Spalte den
Eigenvektor (normiert auf 1) darstellt. Das Langzeitverhalten ist also, ohne
Vorgabe der Anfangswerte, aus [A]n ablesbar.
Bemerkungen:
• Dieses Verhalten beruht auf dem Satz (Kurzfassung):
Sei [A] die Übergangsmatrix einer regulären Markowkette für die der
Grenzwert [A]n für n→∞ existiert, so ist die Gleichgewichtsverteilung b
eindeutig durch die Eigenwertgleichung [A]* b = b festgelegt und es gilt : Im
Grenzwert besteht [A]n aus den Spaltenvektoren b .
Für weitere Informationen sei auf die Theorie der Markowketten verwiesen.
•
 0,076 


Die erwähnte Erhebung in England brachte eine Verteilung von  0,634  (in %),
 0,290 


also relativ nahe an der berechneten Gleichgewichtsverteilung.
Punktverbindungen – Splines
Durch die 4 Punkte (0/1) , (1/2) , (2/4) und (3/4) soll eine Kurve gelegt werden.
Der einfachste Ansatz führt auf das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten
Grades (von der Verbindung durch Geradenstücke abgesehen).
Mit f(x) = a*x³ + b*x² + c*x + d kommt man auf die 4 Gleichungen
a*0 + b*0 + c*0 + d = 1
a*1 + b*1 + c*1 +d = 2
a*2³ + b*2² + c*2 + d = 4
a*3³ + b*3² + c*3 + d = 4
und kann das entsprechende LGS in eine 4x5 Matrix eingeben.
43
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Hinweise:
• Eingabe unter
B (EDIT) 1 (mat A)
• Potenzen können als solche eingegeben werden, z.B.
Mit
D (MATH) 4 (rrowEF)
A (NAME) 1 (mat A)
führen wir sie in die Diagonalgestalt und erhalten die Lösungen
a=-0,5 ; b= 2 ; c=-0,5 ; d= 1
Mit diesen Koeffizienten lassen wir das Schaubild zeichnen.
Unter
geben wir ein. . .
0.5
3
0.5
2
1
. . . stellen unter
einen passenden
Bildschirmausschnitt ein . . .
. . . und lassen mit
zeichnen.
Grundsätzlich kann man mit dem Ergebnis zufrieden sein.
Interpretiert man das Schaubild z.B. als Straßenverlauf, so erscheint das Ergebnis nicht
optimal: Zwischen den ersten beiden Orten und kurz vor dem Zielort sind unnötige
Bögen entstanden.
44
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
45
Eine bessere Annäherung erhält man durch Splines. Diese können gut angenähert
werden, indem man jedes Teilstück zwischen 2 Punkten durch eine ganzrationale
Funktion (höchstens) dritten Grades ausdrückt, wobei auf glatte Übergänge zu achten
ist, d.h. dass die ersten beiden Ableitungen an den Übergängen übereinstimmen.
Wir benötigen also drei ganzrationale Funktionen
f1(x) = a1*x³ + b1*x² + c1*x + d1
f2(x) = a2*x³ + b2*x² + c2*x + d2
f3(x) = a3*x³ + b3*x² + c3*x + d3
und folgende Bedingungen:
Stetigkeit der Gesamtfunktion:
f1(0) = 1
f1(1) = 2
und
f2(2) = 4
und
f3(3) = 4
f ’1(1) = f ’2(1)
f ’’1(1) = f ’’2(1)
Stetigkeit der ersten Ableitung:
Stetigkeit der zweiten Ableitung:
f2(1) = 2
f3(2) = 4
und
und
f ’2(2) = f ’3(2)
f ’’2(2) = f ’’3(2)
Um zu weiteren Bedingungen zu kommen, kann man das Krümmungsverhalten am
Rand festlegen. Da die Kurve dort gerade verlaufen soll, muss die zweite Ableitung an
diesen Stellen 0 sein:
f ’’1(0) = 0 und f ’’3(3) = 0
Durch diese Bedingungen erhält man 12 Gleichungen mit 12 Variablen:
a1
0
1
0
0
0
0
3
0
6
0
0
0
b1
0
1
0
0
0
0
2
0
2
0
1
0
c1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
d1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a2
0
0
1
8
0
0
-3
12
-6
12
0
0
b2
0
0
1
4
0
0
-2
4
-2
2
0
0
c2
0
0
1
2
0
0
-1
1
0
0
0
0
d2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Diese 12x13 Matrix [A] geben wir in den GTR ein. . .
a3
0
0
0
0
8
27
0
-12
0
-12
0
18
b3
0
0
0
0
4
9
0
-4
0
-2
0
2
c3
0
0
0
0
2
3
0
-1
0
0
0
0
d3
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
2
2
4
4
4
0
0
0
0
0
0
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
B (EDIT) 1 (mat A)
. . . und lösen über die Diagonalgestalt.
D (MATH) 4 (rrowEF)
A (NAME) 1 (mat A)
Somit erhält man die drei Teilfunktionen
f1(x) = 0,4x³ + 0,6x + 1
f2(x) = - x³ + 4,2x² – 3,6x + 2,4
f3(x) = 0,6x³ – 5,4x² + 15,6x – 10,4
für 0 ≤ x ≤ 1
für 1 ≤ x ≤ 2
für 2 ≤ x ≤ 3
Lässt man alle drei Schaubilder einzeichnen, so kann
man gut beobachten, wie die (Teil)-Kurven ineinander
übergehen.
46
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Fourieranalyse
Bei einer Fourier-Analyse wird eine periodische Funktion durch eine Summe von
Sinusfunktionen ( und /oder Kosinusfunktionen) angenähert.
Beispiel: Eine Gitarrenseite, welche in der Mitte angezupft wird, schwingt zunächst
näherungsweise in Dreiecksform. Welche Obertöne werden in welcher Stärke mit
angeregt ?
Zur Vereinfachung wird eine
Periode von 2π angenommen.
Der Anstieg auf den maximalen
Wert 1 wird beschrieben durch die
Gleichung g(x) =
2
π
x.
Die durch das Schaubild gegebene
Funktion soll durch die Summe
aus 4 Sinusfunktionen angenähert
werden, wobei nur die ungeraden Vielfachen von x verwendet werden.
f(x) = a*sin(x) + b*sin(3x) + c*sin(5x) + d*sin(7x)
Die 4 nötigen Gleichungen für a – d entnehmen wir dem Vergleich mit g(x).
Dazu unterteilen wir [0; π/2] in 4 etwa gleiche Teilintervalle und erhalten 4
Gleichungen der Form (mit
f(x) = g(x)
B 2 (Bogenmaß) )
mit x aus { 0.4 ; 0.8 ; 1.2 ; π /2 }.
f(0) = g(0) muss nicht verwendet werden, da die verwendeten sin-Funktionen diese
Eigenschaft mitbringen.
Die zugehörige Matrix lautet, wenn im
sin 0.4
sin 0.8
sin 1.2
sin π /2
sin 1.2
sin 2.4
sin 3.6
sin 3 π /2
-Editor Y1 =
sin 2
sin 4
sin 6
sin 5 π /2
2
sin 2.8
sin 5.4
sin 8.4
sin 7 π /2
π
x definiert ist
y1(0.4)
y1(0.8)
y1(1.2)
y1(π /2)
47
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Zur Erzeugung der Matrix bilden wir zunächst im Listeneditor eine Liste L1 mit den
Stützstellen { 0.4 ; 0.8 ; 1.2 ; π /2 }.
A (EDIT)
Die Listen L2 bis L5 definieren wir durch sin(k*L1) mit k = 1,3,5,7 .
L6 wird als Y1(L1) berechnet (wie unten ausgeführt).
Hinweis:
Bestehende Listen können auf zwei Arten gelöscht werden:
1. Cursor auf den Listenkopf (Listennamen) setzen,
bestätigen.
drücken und mit
C (DEL) 1 (List)
2.
einzelne Listen löschen.
auswählen und mit
verlässt das Menu.
Ausführung:
Im Listeneditor setzen wir den Cursor auf das erste Feld der L1 und geben
0.4
0.8
1.2
2
ein.
Die erste Spalte der Matrix enthält die sin-Werte dieser
Liste. Wir setzen also den Cursor auf den Listenkopf
von L2 und geben ein
.
Die Liste wird gefüllt.
Für die zweite Spalte benötigen wir die sin-Werte der
dreifachen Listenwerte. Wir setzen dazu den Cursor auf
den Listenkopf von L3 und geben ein
.
48
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
In L4 erzeugen wir entsprechend die sin-Werte der 5-fachen Listenwerte.
.
In L5 erzeugen wir entsprechend die sin-Werte der 7-fachen Listenwerte.
.
In L6 erzeugen wir die rechte Seite des LGS, indem wir dieY1-Werte aus L1
berechnen.
Also setzen wir den Cursor wieder auf den Listenkopf und rufen auf
A
A 1 (Y1)
Aus den 5 Listen L2 – L6 bauen wir nun die Matrix F auf.
C (OPE)12 (list→mat)
A (NAME) 6 (mat F)
Matrix F wird nun auf Diagonalgestalt gebracht.
D (MATH) 4 (rrowEF)
A (NAME) 6 (mat F)
Damit sind die Koeffizienten für die Fourier-Entwicklung berechnet.
49
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
50
Für die Übernahme der Werte in die Funktionsgleichung schreiben wir diese entweder
auf oder speichern sie um. Im zweiten Fall speichern wir das Ergebnis zunächst unter
einem Matrixnamen ab . . .
A (NAME) 7 (mat G)
. . . und entnehmen daraus die Werte der 5. Spalte.
A (NAME) 7 (mat G)
1
5
u.s.w.
Hinweis:
Mit
können wir den Befehl zurückrufen, dann abändern und mit
ausführen, bis alle benötigten Werte abgespeichert sind.
Nun wechseln wir in den
-Editor. Die komplette
Dreiecksfunktion im Bereich von 0 bis ◊ lässt sich
schreiben als Y2 = 1 – |
2
π
x –1| = 1 – |Y1 – 1|
Hinweise:
• Den Betrag findet man unter
B 1 und Y1 unter
• Y1 kann deaktiviert werden (Cursor auf = und
A
A 1 (Y1).
).
Will man nun beobachten, wie die Fourierreihe die Funktion immer besser beschreibt,
lässt man die Teilsummen nacheinander zeichnen.
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Als Maß für die Güte der Annäherung könnte der
Flächeninhalt zwischen x-Achse und Kurve dienen.
Wir berechnen also die Integrale zu Y2 und Y6 im
-Bildschirm.
Hinweise:
• Das Integralzeichen und dx findet man unter
A (CALC) 06 bzw.07.
• Den zweiten Integralaufruf erhält man über
und Ersetzen von Y2 durch
Y6 (
A
).
• Der exakte Wert ist π /2 , welchen das erste Integral auch liefert.
Um die Frequenzverteilung im Schaubild sichtbar zu machen, benötigen wir zwei
Listen: L1 für die Vielfachen der Grundfrequenz (bei uns = 1,2,3,4,5,6,7) und L2 für
die Stärke (Beträge der Koeffizienten der Fourier-Reihe).
Über
A (EDIT)
geben wir die beiden Listen ein (evtl. vorher löschen).
51
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Zur Darstellung rufen wir
A (PLOT1)
auf und wählen nebenstehende Einstellungen.
Für die Zeichnung deaktivieren wir zunächst im
diese sonst mitgezeichnet werden), wählen
-Editor alle Funktionen (da
A 9 (Stat)
oder stellen nebenstehendes
ein.
zeichnet die Frequenzverteilung in
Vielfachen der Grundfrequenz.
Hinweis:
Für die Weiterarbeit sollten die Statistik-Plots wieder
abgeschaltet werden.
E (ON/OFF) 2
auswählen und mit
bestätigen.
Interessant wäre nun die Frage, ob man durch andere Fourierreihen mit mehr Gliedern
eine bessere Annäherung erreichen kann. Die entstehende Matrix ist natürlich größer
und kann, wegen der beschränkten Listenanzahl, nicht so einfach erzeugt werden. Es
besteht die Möglichkeit, alle Matrix-Elemente per Hand einzugeben oder die Matrix in
zwei oder mehr Teilschritten aufzubauen.
Dies soll in Kurzform beschrieben werden.
Die durch das Schaubild gegebene Funktion soll durch die Summe aus 7 Sinusfunktionen angenähert werden, wobei alle Vielfachen von x verwendet werden.
52
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
f(x) = a*sin(x) + b*sin(2x) + c*sin(3x) + d*sin(4x) + e*sin (5x) + f*sin(6x) + g*sin(7x)
Dazu unterteilen wir [0; π/2] in 7 etwa gleiche Teilintervalle und erhalten 7
Gleichungen der Form (mit
f(x) = g(x)
B 2 (Bogenmaß) )
mit x aus { k*0.224 ; π /2 } , k = 1..6.
Die 7 rechten Intervallgrenzen legen wir in L1 ab.
Die Listen L2 bis L6 werden gefüllt mit:
L2:
L3:
L4:
L5:
L6:
sin L1
sin 2L1
sin 3L1
sin 4L1
sin 5L1
Aus den Listen L2 bis L6 wird zunächst eine Teilmatrix F erstellt.
Dies ist eine 7x5 Matrix.
Die fehlenden Spalten tragen wir nach.
Dazu berechnen wir die Listen L2, L3 und L4 neu:
L2:
L3:
L4:
sin 6L1
sin 7L1
Y1(L1)
Nun erzeugen wir eine Hilfsmatrix H aus L2, L3 und L4 ...
... und erweitern [F] um [H].
C (OPE) 4 (augment)
53
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Das Ergebnis speichern wir wieder nach [F] zurück
(oder aus Sicherheitsgründen unter einem anderen
Namen).
Diese Matrix wird in Diagonalgestalt überführt, so
dass die Koeffizienten abgelesen werden können
Sicherheitshalber kann man die Matrix auch wieder
abspeichern und die Koeffizienten auslesen.
Das Schaubild der gefundenen Funktion lassen wir
zeichnen. Es stimmt im Anstieg perfekt mit den
Bedingungen überein, im Abstieg wird aber überhaupt
nicht mehr korrekt beschrieben.
Lässt man die Teilfunktionen ( -0,5 ≤ y ≤ 1,5 )zeichnen, findet man schnell eine
Erklärung:
Geeignet scheinen nur die Teilfunktionen, welche dieselbe Symmetrie aufweisen, wie
die zu beschreibende Funktion, nämlich sin x , sin 3x , sin 5x und sin 7x , wie zunächst verwendet.
54
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
Hinweise:
• Die allgemeine Fourieranalyse verwendet
f(x) = a0 +
n
∑ (a
k =1
k
sin kωx + bk cos kωx) für n gegen unendlich.
• Will man die betrachtete Dreiecksfunktion allein durch alle sin-Funktionen
darstellen, so muss man die Stützstellen gleichmäßig im ganzen Intervall [0; π]
verteilen. Dann kommt man z.B. auf (mit Maple berechnet)
x → 0.8217512362 sin( x ) − 0.001466966737 sin( 2 x ) − 0.1015010575 sin( 3 x )
+ 0.002321672680 sin( 4 x ) + 0.04630649408 sin( 5 x ) − 0.005820329265 sin( 6 x )
− 0.03044121217 sin( 7 x )
mit dem nebenstehenden Schaubild und
einem Integralwert von 1.585660209.
Man erkennt, dass die Anteile mit geraden
Vielfachen von x stark zurücktreten.
Je weiter man die Reihe berechnet, desto deutlicher wird dieser Effekt.
Stichwortverzeichnis
A
Abstände 33
ANS 8
augment 16
B
Betrag 50
D
Diagonalgestalt 6, 7
Dreiecksgestalt 10
E
Ebene
Koordinatenform 26
Punkt auf 22
und Ebene 25, 31
und Gerade 24, 29
Ebenen 18
mehrere 32
Parameterform 22
Eigenvektor 39
Einheitsmatrix 17
55
Mathematik mit dem Sharp EL-9650/EL-9900 – Teil 3 – Analytische Geometrie
F
Fourieranalyse 47
Frequenzverteilung 51
G
Gauß-Verfahren 6,7
Geraden 18
Lage 19
parallel 21
Punkt auf 18
Schnittpunkt 21
Geradengleichung 18
H
Hessesche Form 33
Home-Bildschirm 5
I
Integral 51
K
Koordinatenform 28
L
LGS
ohne Lösung 10
unendliche viele Lösungen 11
Lineare Unabhängigkeit 17
Linearkombination 13
Liste 13
Lösung eines LGS 5
Lösungsverfahrens 7
M
mat 5
Matrix
ändern 5
anzeigen 5
Aufbau aus Listen 16
aufrufen 3
Dimension 4
Eingabe 3, 4
erweitern 16
Inverse 5
löschen 3
Operationen 3
speichern 10
verändern 3
Zerlegung in Vektoren 16
Mehrstufige Prozesse 37
Multiplikation
Matrix mit Matrix 42
Matrix mit Vektor 38
N
Normalenvektor 26, 27
R
row_m.p. 9
row_mult 8
row_plus 8
row_swap 8
rowEF 10
rrowEF 6
S
Skalarprodukt 14
Splines 43
Statistik-Plots 52
Ü
Übergangsmatrix 38
Übergangswahrscheinlichkeiten 38
U
Umwandlung 15
Liste in Matrix 15
Matrix in Liste 15
V
Vektor 12
Operationen 13
Winkel zwischen 15
Betrag 14
56
EL-9650G/9900G
Grafikrechner
GTRANGEOMETRIE
TEIL 3:
ANALYTISCHE
GEOMETRIE
Sharp Electronics (Europe) GmbH
Sonninstraße 3, 20097 Hamburg
Tel.: 040/23 76-0, Fax: 040/23 76-29 19
www.sharp.de
Die Anfertigung einer notwendigen Anzahl von Fotokopien für den
Einsatz in einer Klasse, einer Lehrerfortbildung oder einem Seminar ist
gestattet. Hierbei ist auf das Urheberrecht des Verfassers hinzuweisen.
Jede Verwertung in anderen als den genannten oder den gesetzlich zulässigen Fällen ist ohne schriftliche Zustimmung von Sharp nicht zulässig.
Bestellnummer: GTR-Analytische Geometrie
Weitere Informationen erhalten Sie auf: www.sharp-in-der-schule.de
lehrerhandreichung
für den effizienten einsatz im unterricht
Was this manual useful for you? yes no
Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Download PDF

advertising