Examensarbete Frida Johansson Analys av ledtid för volymprodukter till en nyckelkund hos

Examensarbete Frida Johansson Analys av ledtid för volymprodukter till en nyckelkund hos
Examensarbete
Analys av ledtid för volymprodukter till en nyckelkund hos
Fredriksons Verkstads AB.
Frida Johansson
LiTH-MAT-EX-2010/17-SE
Analys av ledtid för volymprodukter till en nyckelkund hos
Fredriksons Verkstads AB.
Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet
Frida Johansson
LiTH-MAT-EX-2010/17-SE
Examensarbete: 30 hp
Nivå: A
Handledare: Martin Ohlson, Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet
Tommy Johansson, Fredriksons Verkstads AB, Vadstena
Examinator: Martin Ohlson,
Matematiska Institutionen, Linköpings Universitet
Linköping: juni 2010
Förord
Detta arbete är resultatet av mitt examensarbete utfört på Fredriksons Verkstads AB i Vadstena under våren 2010. Jag vill rikta ett stort tack till mina handledare, Tommy Johansson och Martin Ohlson, som hjälp mig under arbetets
gång. Även ett stort tack till personal på Fredriksons som svarat på frågor och
hjälp mig hitta relevant information.
Linköping, juni 2010
Frida Johansson
Johansson, 2010.
v
vi
Sammanfattning
Fredriksons Verkstads AB i Vadstena är en modern verkstadsindustri med kompetens främst inom plåtbearbetning, svetsning, skärande bearbetning och systemmontage. Verksamheten kan delas in i de tre delarna kontraktstillverkning, konstruktion och produktion. Kontraktstillverkningen består av serier till
livsmedels-, medicinteknisk och verkstadsindustrin. Fredriksons Conveyor Solutions konstruerar egna produkter i form av transportörsystem till livs- och
läkemedelsindustrin.
Fredriksons kunder ställer i allt högre grad krav på reducerade ledtider och
ökad leveransprecision. Syftet med examensarbetet är därför att försöka reducera Fredriksons interna ledtider för ett specifikt produktsortiment.
Ett första steg i arbetet med ledtidsreduceringen är att ta fram bra utarbetade prognoser. Framförallt har kvantitativa tidsseriemetoder analyserats. De
enkla tidsseriemetoderna glidande medelvärde och exponentiell utjämning har
undersökts i syfte att förbättra Fredriksons prognoser. Därutöver har en mer
teoretisk fördjupning i avancerade tidsseriemetoder, främst ARMA-processer,
genomförts.
Andra faktorer som påverkar produktionsledtiden är exempelvis partiformning, ställtider, säkerhetsmekanismer, kötider och sekvensering. Även dessa faktorer har analyserats och åtgärder har föreslagits i syfte att reducera Fredriksons
interna ledtider.
Nyckelord: Kötid, Ledtidsreduktion, Partiformning, Prognostisering,
Sekvensering, Ställtid, Säkerhetsmekanismer
Johansson, 2010.
vii
viii
Abstract
Fredriksons Verkstads AB in Vadstena is a modern engineering industry with
expertise mainly in the sheet metal, welding, cutting processing and assembly
systems. Activities can be divided into three parts contract manufacturing, engineering and conveyor solutions. Contract manufacturing consists of series of
food, medical and general industries. Fredriksons Conveyor Solutions designs
their own products in the form of conveyor systems for food and pharmaceutical industries.
Fredriksons customers have increasing demands for reduced lead times and
improved delivery performance. The purpose of this master thesis is therefore
to try to reduce Fredriksons internal lead times for a specific product range.
A first step in the process of lead time reduction is to produce good forecasting. In particular, the quantitative time series methods have been analysed.
The simple time series methods moving average and exponential smoothing has
been studied in order to improve Fredriksons forecasts. In addition, a more theoretical study in the advanced time series methods, mainly ARMA-processes,
has been implemented.
Other factors affecting the production lead time are for example, lot sizing, setup times, security mechanisms, queue times and sequencing. Although
these factors were analysed and measures have been proposed in order to reduce
Fredriksons internal lead times.
Johansson, 2010.
ix
x
Förkortningar
AR
MA
ARMA
ARIMA
FORSYS
TSS
SSE
MAD
MSE
ME
EOQ
SMED
PIA
LOH
Autoregressiv
Moving Average
Autoregressive Moving Average
Autoregressive Integrated Moving Average
Forecasting System
Total Sum of Squares
Sum of Squared Errors
Mean Absolute Deviation
Mean Squared Error
Mean Error
Economic Order Quantity
Single Minute Exchange of Die
Produkter I Arbete
Lageromsättningshastighet
Johansson, 2010.
xi
xii
Innehåll
1 Inledning
1.1 Bakgrund . . .
1.2 Syfte . . . . .
1.3 Metod . . . . .
1.4 Datainsamling
1.5 Läsanvisningar
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
2
2
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
6
6
6
6
6
6
7
3 Teoretisk referensram
3.1 Prognostisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Prognosverksamhet . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Prognostyper . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Efterfrågemodeller . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Prognosmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Prognosfel och prognosuppföljning . . . . . . .
3.2 Partiformning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ekonomisk orderkvantitet . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Lagerhållninskostnader . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ordersärkostnader . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Ekonomiska orderkvantiteter med restriktioner
3.3 Ställtidsanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ställtidsreduktion i en EOQ-modell . . . . . .
3.3.2 SMED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Säkerhetsmekanismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Säkerhetslager . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Säkerhetsledtid . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ökade behov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ledtid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Genomloppstid och produktionsledtid . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
10
10
11
27
30
30
30
31
31
33
33
34
35
35
37
37
37
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Nulägesbeskrivning
2.1 Historik . . . . . . . . . .
2.2 XANO Industri AB . . .
2.2.1 Affärsidé . . . . .
2.2.2 Strategi . . . . . .
2.2.3 Vision . . . . . . .
2.3 Fredriksons Verkstads AB
2.3.1 Företagets koncept
2.3.2 Fabriken . . . . .
Johansson, 2010.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xiii
xiv
Innehåll
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
38
38
39
39
41
43
43
44
45
45
46
47
48
48
49
4 Analys
4.1 Prognostisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Tidsseriemetoder . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Avancerade tidsseriemetoder . . . . . . . . . .
4.2 Partiformning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Fredriksons lagerhållningskostnader . . . . .
4.2.2 Ställtidsreduktion i en EOQ-modell . . . . .
4.3 Jämförelse mellan säkerhetslager och säkerhetsledtid
4.4 Kötid och sekvensering . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Värdeflödesanalys . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
51
52
56
57
57
58
59
62
5 Åtgärdsförslag
5.1 Prognostisering . . . .
5.2 Partiformning . . . .
5.3 Ställtid . . . . . . . .
5.4 Säkerhetsmekanismer
5.5 Sekvensering . . . . .
5.6 Flödesgrupp . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
67
68
68
68
69
3.6
3.7
3.8
3.5.2 Faktisk och planerad ledtid . . . . .
Ledtidsreduktion . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Överlappning av operationer . . . .
3.6.2 Orderklyvning . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Flödesanalys . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Kapacitet och kapacitetsutnyttjande
Köteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 M/M/1-kö . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 M/M/c-kö . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Littles formel . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 M/G/1-kö . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Prioriterade köer . . . . . . . . . . .
3.7.6 Kötid . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sekvensering . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Sekvensering i en resurs . . . . . . .
3.8.2 Sekvensering i två eller flera resurser
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A Analys av prognoser
73
A.1 Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong . . . . . . . 73
A.2 Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong . . . . . . . . . . . . . . 85
Kapitel 1
Inledning
Detta kapitel beskriver examensarbetets bakgrund och syfte. Dessutom görs en
redogörelse för arbetsmetodiken och i slutet av kapitlet följer en läsanvisning.
1.1
Bakgrund
Ett examensarbete motsvarande 20 veckors heltidsstudier genomförs som ett
sista steg för en magisterexamen i matematik. I detta arbete ska jag som student
med hjälp av inhämtade kunskaper från min utbildning på Matematikprogrammet på Linköpings Tekniska Högskola självständigt identifiera och analysera
problem. Denna process sammanställs slutligen i en akademisk rapport.
Examensarbetet har genomförts på Fredriksons Verkstads AB i Vadstena.
Handledare på Fredriksons har varit LEAN koordinator Tommy Johansson,
medan handledare på MAI har varit Martin Ohlson, forskarassistent. I min
matematikutbildning har jag inriktad mig en del mot produktionslogistik, vilket
gjorde att det passade bra att genomföra examensarbetet på Fredriksons.
Fredriksons Verkstads AB erbjuder kontraktsuppdrag av kvalificerade industriprodukter från idé till färdig produkt i små och medelstora serier. Uppdragen
kan omfatta konstruktion, prototyptillverkning, serietillverkning och dokumentation. Företaget arbetar inom branscher som livsmedel, medicinteknik, miljö
och energi. Fredriksons eftersträvar en hög förädlingsgrad i sina uppdrag med
högt teknikinnehåll.
Fredriksons Conveyor Solutions utvecklar och producerar conveyorlösningar.
Produkterna löser kundernas logistik från förpackad vara till pallhantering. Kunderna finns inom branscherna livsmedel och medicinteknik.
Fredriksons kunder ställer i allt högre grad krav på reducerade ledtider samt
ökad leveransprecision. För att möta dessa krav krävs en gedigen analys av
befintliga flöden och arbetssätt, därför har detta examensarbete initierats av
Fredriksons. Examensarbetet kommer att beröra de interna ledtiderna i produktionen för ett av Fredriksons produktsortiment i syfte att reducera ledtiderna.
Johansson, 2010.
1
2
1.2
Kapitel 1. Inledning
Syfte
Syftet med examensarbetet är att reducera ledtiderna för ett av Fredriksons
produktsortiment som tillhör en av deras nyckelkunder.
1.3
Metod
Inledningsvis undersöktes affärssystemet som Fredriksons använder, dels för att
se hur de arbetar idag med exempelvis parametersättningen, men även för att
hitta relevant information för att kunna analysera ledtiderna.
Kunskaper inom produktionslogistik och matematik, främst matematisk
statistik, som är relevanta då ledtider ska analyseras inhämtades och sammanställdes till den teoretiska referensramen. Källorna till de inhämtade kunskaperna består av böcker, kurslitteratur samt utdelat utbildningsmaterial vid
Linköpings Tekniska Högskola.
Med hjälp av teoriavsnittet analyserades prognostisering, partiformning,
ställtider, säkerhetsmekanismer, kötider och sekvensering i syfte att reducera
Fredriksons ledtider. Detta dokumenterades sedan i analysdelen.
Rapporten avslutas med ett åtgärdsförslag som åtgärdar de identifierade
problemen i analysen.
1.4
Datainsamling
Den information detta arbete har krävt har i någon form funnits tillgänglig på
Fredriksons Verkstads AB. Data kommer från intervjuer, Fredriksons intranet
och företagets egna produktdata.
Vid inhämtning av information har stor vikt lagts vid att datan är korrekt
och aktuell. För att säkerställa att informationen har tolkats och använts på
rätt sätt har en kontinuerlig dialog hållits med berörda personer på Fredriksons
Verkstads AB.
1.5
Läsanvisningar
Kapitel 1: Inledning
Det första kapitlet beskriver examensarbetets bakgrund och syfte. Även arbetsmetodiken beskrivs i detta kapitel.
Kapitel 2: Nulägesbeskrivning
Kapitlet inleds med en kort historisk om företaget, därefter följer XANOkoncernens affärsidé, strategi och vision. Slutligen görs en nulägesbeskrivning
av Fredriksons Verkstads AB, där företagets koncept och fabrikens uppbyggnad
presenteras.
1.5. Läsanvisningar
3
Kapitel 3: Teoretisk referensram
Detta kapitel tar upp teorier och synsätt inom främst produktionslogistiken,
som har någon form av anknytning till ledtider. Teorin ligger till grund för
analysen och åtgärdsförslaget. Detta kapitel rekommenderas att läsa för de som
vill få en teoretisk förståelse för lösningen.
Kapitel 4: Analys
I kapitlet analyseras faktorer som påverkar företagets ledtider. Kapitlet bygger
på teorier beskrivna i den teoretiska referensramen och detta kapitel rekomenderas att läsas för att förstå åtgärdsförslaget.
Kapitel 5: Åtgärdsförslag
Utifrån examensarbetets syfte, den teoretiska referensramen och analysen presenteras här åtgärderdsförslag som kan hjälpa Fredriksons att reducera sina
ledtider.
4
Kapitel 1. Inledning
Kapitel 2
Nulägesbeskrivning
Detta kapitel ger en översiktlig bild av Fredriksons Verkstads AB. Inledningsvis presenteras en kort historik om företag och därefter görs en presentation av koncernen
XANO, följt av en presentation av Fredriksons Verkstads AB.
2.1
Historik
År 1917 grundades företaget i Vadstena av Adolf Fredrikson. På den tiden var
verksamheten inriktad på försäljning och reparation av fordon som exempelvis
personbilar, lastbilar för transport av mjölkkannor och lantbruksmaskiner. Företaget var Vadstenas första återförsäljare av bilar. Sonen Gustav Fredrikson tog
över företaget 1931 och inriktningen på verksamheten ändras. Fredriksons började tillverka diselkraftverk och mobila elkraftverk, eftersom de lokala lantbrukarnas elnät till gårdarna var dåligt utbyggda. Kraftverken användes sedan
bland annat till mjölkmaskinerna på gårdarna. 1940 började företaget ta fram
ett system som kunde tömma, rengöra och hantera de tunga 50 liters rostfria
mjölkkannorna som användes vid mjölktransporter.
1960 förändrades marknaden inom mejeribranschen då mjölkkannorna övergick till returemballage i plast. Tre år senare installerades det första disksystemet som var anpassat efter de nya plastemballagen på Motala Mejeri. Det
nya systemet nådde framgångar och kompletta system började levereras över
hela världen. Samma år började sonen Jan-Erik Fredrikson i firman och i slutet
av 1970-talet övertog han företaget.
I samband med en konkurs såldes sedan företaget 1991 till Bo Hellman och
tomgodshanteringen vidareutvecklades. Några år senare tog Fredriksons affärsområden form och nya kunder för legotillverkning tillkom. 2006 sålde Bo Hellman bolaget till XANO Industri AB, men stannade kvar som VD för Fredriksons
fram till sin pension år 2007, då Kristian Rustan tog över som VD. Strax innan
hade en systerfabrik startats upp i Suzhou i Kina för att kunna möta kundernas
önskemål om att finnas på den asiatiska marknaden.
Johansson, 2010.
5
6
2.2
Kapitel 2. Nulägesbeskrivning
XANO Industri AB
XANO är ett börsnoterat bolag och Fredriksons ingår som tidigare nämnt i
XANO-koncernen sedan 2006.
2.2.1
Affärsidé
XANO utvecklar, förvärvar och driver varuproducerande företagsgrupper med
unika och/eller marknadsledande produkter.
2.2.2
Strategi
XANOs produkter skall ha ett högt teknikinnehåll. Servicenivå och leveransberedskap skall vara förstaklassig. Koncernens bolag skall ha lokal förankring
och skapa varaktiga relationer med såväl kunder som leverantörer.
2.2.3
Vision
XANO skall vara en ledande aktör inom utvalda marknadssegment. XANO skall
skapa starka enheter av företag där synenergierna utnyttjas optimalt.
2.3
Fredriksons Verkstads AB
Fredriksons är en modern verkstadsindustri med ca 220 stycken anställda och
en omsättning på ca 400 miljoner kronor. De har lång erfarenhet av plåt och
skärande bearbetning främst inom rostfritt och aluminium och i företaget finns
stor erfarenhet av systemmontage av komplexa produkter. Alltså ligger Fredriksons kompentens främst inom plåtbearbetning, svetsning, skärande bearbetning
och systemmontage.
2.3.1
Företagets koncept
Fredriksons verksamhet kan delas in i de tre delarna kontraktstillverkning, konstruktion och produktion.
Kontraktstillverkning
Huvuddelen av Fredriksons omsättning kommer från kontraktstillverkning av
små till medelstora serier till livsmedels-, medicinteknisk och verkstadsindustrin.
Konstruktion
Fredriksons har en egen avdelning med projektering, design, prototyptillverkning, serietillverkning och teknisk dokumentation.
Produktion
Företaget konstruerar även egna produkter i form av transportörsystem till livsoch läkemedelsindustrin.
2.3. Fredriksons Verkstads AB
2.3.2
7
Fabriken
Fredriksons har en modern fabrik med bred produktionskapacitet. I dagsläget
finns bland annat tre lasermaskiner på 4, 5 respektive 6 kW. Det finns en
stor variation i maskiner för skärande bearbetning exempelvis 5-axliga svarvar, bäddfräsar, svarvar och trycksvarvar. För att kunna leva upp till sina hårda
kvalitetskrav finns ett toppmodernt mätrum.
Figur 2.1: Fabriken.
8
Kapitel 2. Nulägesbeskrivning
Kapitel 3
Teoretisk referensram
I detta kapitel presenteras den teoretiska bakgrund som detta examensarbete bygger
på. Teorin ska dels ligga till grund för åtgärdsförslaget, dels ge läsaren en grundläggande förståelse för ämnesområdet.
3.1
3.1.1
Prognostisering
Prognosverksamhet
En prognos är en välgrundad uppskattning av framtida skeenden. Då den framtida efterfrågan för en artikel inte är känd behöver man använda sig av någon typ
av prognostisering. På lång sikt behöver ekonomiavdelningen prognostisera för
att kunna göra en budgetplanering och marknadsavdelningen skapar prognoser
för planering av nya produkter. På kortare sikt inom produktionen behöver
man prognoser för att göra processval, kapacitetsplanering, materialplanering
och lagerstyrning.
Produktionsledtiden för ett tillverkande företag, som Fredriksons, är uppdelad i två delar. I den första delen, innan kundorderpunkten (den punkt i produktionskedjan där en order är kopplad till en specifik artikel) planeras produktionen baserad på prognos och efter kundorderpunkten är planeringen baserad på
kundorder. Tiden efter kundorderpunkten är leveransledtiden. Prognostisering
och ledtidsanalys hänger alltså samman. Bra utarbetade prognoser bidrar till
att ledtider kan reduceras.
Några grundläggande egenskaper hos prognoser är enligt [7]:
•
•
•
•
•
Prognosen är vanligtvis fel.
En bra prognos är mer än en enskild siffra.
Aggregerade prognoser är säkrare.
Prognossäkerheten avtar med prognoshorisonten.
Prognoser skall inte ersätta känd information.
Johansson, 2010.
9
10
3.1.2
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Prognostyper
Prognoser brukar delas upp i två olika typer av prognoser, kvalitativa och kvantitativa. Till kvalitativa prognoser som även brukar kallas intuitiva prognoser
räknas exempelvis expertutlåtanden, marknasundersökningar och säljkårsuppskattningar.
Kvantitativa prognoser utgår ifrån historiska situationer, då framtida ufall
uppskattas. Tidsseriemetoder som exempelvis glidande medelvärde och exponentiell utjämning är den vanligaste typen av kvantitativa prognoser.
Kausala metoder som regressionsanayls och ekonometriska modeller är en
annan grupp av kvantitativa metoder. Kausala metoder utgår från att en variabels utveckling kan förklaras av någon eller några andra variabler, vilket benämns enkel respektive multipel regression vid regressionsanalys. Ekonometriska
modeller försöker beskriva en del av ekonomin utifrån en serie oberoende
ekvationer [7].
3.1.3
Efterfrågemodeller
Valet av prognosmetod baseras på en efterfrågemodell, vilket är en beskrivning
av hur den underliggande process som genererar efterfrågetidsserien ser ut.
Att dela upp en tidsserie av efterfrågedata i tidsseriekomponenter benämns
dekomposition. De fem olika tidsseriekomponenterna är trend, säsong, cykel,
nivå och slump. Trend, T , är en gradvis ökning eller minskning av efterfrågan. Ett mönster av efterfrågefluktuationer som ofta återkommer årsvis kallas
säsong, S. Cykel, C, är ett mönster som återkommer efter ett antal år, ofta
kopplad till en konjunkturscykel. Nivån, N , är den grundläggande genomsnittliga efterfrågan över tiden. Slump, E, slumpmässiga variationer som ej kan
förklaras och som saknar urskiljbart mönster. Enligt [7] finns det två generella
former for hur tidsseriekomponenterna kombineras i en efterfrågemodell. Vanligast är den multiplikativa modellen där efterfrågan, D, är produkten av de fem
komponenterna
D = T × S × C × N × E.
I en additiv modell adderas istället komponenterna
D = T + S + C + N + E.
Konstant modell
En konstant modell innehåller en konstant nivåterm och en slumpterm,
Dt = a + εt ,
3.1. Prognostisering
11
där
Dt
a
εt
= efterfrågan i period t
= nivå
= slumptal i period t.
Slumptalet är en oberoende stokastisk variabel med väntevärde noll och konstant
standardavvikelse [7].
Trendmodell
Enligt [7] innehåller en trendmodell en konstant nivåterm, en trendterm och
slumpinverkan,
Dt = a + bt + εt ,
där
b
t
= trenden per period
= periodindex.
Kombinerad trend- och säsongsmodell
I en trend- och säsongsmodell ingår en konstant nivåterm, en trendterm, en
säsongsterm och slumpen. Nedan visas ett exempel där säsongstermen representeras av ett säsongsindex,
Dt = (a + bt)ct + εt ,
där
ct
= säsongsindex i period t.
Enligt [7] uppträder säsongseffekterna normalt som diskreta steg.
I [14] beskrivs vilka steg som bör följas då en dekomposition ska genomförs i
syfte att ta fram en efterfrågemodell. De första tre stegen går ut på att identifiera
faktorerna säsong, trend och cykel. Det fjärde och sista steget handlar om att
förbereda en prognos för den kommande tidsperioden.
3.1.4
Prognosmetoder
Tidsseriemetoder
Glidande medelvärde
Glidande medelvärde är en enkel prognosmetod, då efterfrågan antas vara ganska stabil över tiden. Glidande medelvärde ges av
Ft+1 =
1
Dt + Dt−1 + · · · + Dt−N +1
=
N
N
t
X
i=t−N +1
Di ,
12
Kapitel 3. Teoretisk referensram
där
Ft+1
Dt
N
t
=
=
=
=
prognos för period t + 1, gjord i period t
efterfrågan observerad i period t
antalet observationer i medelvärdesbildningen
tidsperiod.
Valet av antalet perioder, N , beror på hur stabil efterfrågan antas vara. Om
den inte är helt konstant bör antalet perioder inte vara så många. Få perioder
ger en mer följsam prognos och en med fler perioder ger en stabilare prognos. Glidande medelvärde reagerar långsamt på systematiska förändringar och
kräver samtidigt ett stort datamaterial, eftersom den bygger på de N senaste
periodernas efterfrågan [7].
Exponetiell utjämning
Exponentiell utjämning är en prognosmetod som är enkel att använda och kräver
få data för prognosuppdatering. Exponentiell utjämning ges av
Ft+1 = αDt + (1 − α)Ft ,
där
Ft+1
Dt
α
t
=
=
=
=
prognos för period t + 1, gjord i period t
efterfrågan observerad i period t
utjämningkonstant (värde mellan 0 och 1)
tidsperiod.
Valet av utjämningskonstantens värde bestäms ofta genom att söka ett α-värde
som ger bäst prognosanpassning till historiska data, t.ex. genom att minimera
medelabsolutfelet. Medelabsolutfelet är en typ av prognosfel som behandlas längre fram. I praktiken hamnar ofta α-värdet mellan 0,05 och 0,3. Ett högre αvärde ger snabbare reaktion på förändringar, men ger samtidigt större känslighet
för slumpinverkan. Ett lägre α-värde ger därmed en stabilare prognos, men reagerar långsammare på systematiska förändringar [7].
Vid en jämförelse med glidande medelvärde och dess val av antalet perioder, N ,
gäller det approximativa förhållandet
α=
2
.
N +1
Exponentiell utjämning med trend (Holts metod)
Holts metod utnyttjar exponentiell utjämning med särskild trendhänsyn och
även trenden uppdateras genom exponentiell utjämning. Holts metod ges av
Ut = αDt + (1 − α)(Ut−1 + Tt−1 ),
Tt = β(Ut − Ut−1 ) + (1 − β)Tt−1 ,
3.1. Prognostisering
13
där
Ut
α
Dt
Tt
β
=
=
=
=
=
exponentiellt utjämnad
utjämningskonstant för
efterfrågan i period t
exponentiellt utjämnad
utjämningskonstant för
medelefterfrågan i period t
medelefterfrågan
trend för period t
trenden.
Utjämningskonstanten för trend β väljs även den mellan 0 och 1. Den kan
ges samma värde som utjämningskonstanten för efterfrågan, men oftast ges
trendtermen mer stabilitet, d.v.s. β ≤ α.
Summan av den exponentiellt utjämnade efterfrågan och trenden blir enligt [7]
efterfrågeprognosen för nästkommande period.
Ft+1 = Ut + Tt ,
där
Ft+1
= prognos för period t + 1, gjord i period t.
För prognoser längre fram i tiden läggs en trendterm till för varje ny period.
Ft,t+τ = Ut + τ Tt , τ ≥ 1,
där
Ft,t+τ
= prognos för period t + τ , gjord i period t.
Exponentiell utjämning med säsong
Vid prognostisering med exponentiell utjämning med hänsyn till multiplikativa
säsongsindex blir formeln enligt [7]:
Ft+1 =
Ft
Dt
+ (1 − α)
α
St
St
St+1 ,
där
St
St+1
= säsongsindex för period t
= säsongsindex för period t + 1.
Exponentiell utjämning med trend och säsong (Winters metod)
Winters metod utgår enligt [7] ifrån följande kombinerade trend- och säsongsmodell som bygger på Holts metod. Vi har
Dt = (a + bt)ct + εt ,
14
Kapitel 3. Teoretisk referensram
där
a
b
t
ct
εt
=
=
=
=
=
nivå
trend per period
periodindex
säsongsindex i period t
slumptal i period t.
Vidare är
Dt
+ (1 − α)(Ut−1 + Tt−1 ),
St−N
Tt = β(Ut − Ut−1 ) + (1 − β)Tt−1 ,
Dt
St = γ
+ (1 − γ)St−N ,
Ut
Ut = α
där
Ut
α
Dt
St
N
Tt
β
γ
=
=
=
=
=
=
=
=
exponentiellt utjämnad medelefterfrågan i period t
utjämningskonstant för medelefterfrågan
efterfrågan i period t
säsongsindex för period t
antal perioder
exponentiellt utjämnad trend för period t
utjämningskonstant för trenden
utjämningskonstant för säsongen.
Utjämningskonstanten för säsong väljs även den mellan 0 och 1. Den kan ges
ungefär samma värde som α. Efter uppdatering av säsongsindex måste dessa
normeras så att summan blir lika med N .
Efterfrågeprognosen för kommande perioder fås sedan enligt följande:
Ft,t+τ = (Ut + τ Tt )St−N +τ , 1 ≤ τ ≤ N,
där
Ft,t+τ
= prognos för period t + τ gjord i preiod t.
Säsongstermen måste justeras om prognosen syftar längre fram än en hel säsong.
För exempelvis N < τ ≤ 2N blir säsongstermen St−2N +τ .
Avancerade tidsseriemetoder
Det här avsnittet inleds med att beskriva autokovarians och autokorrelation
eftersom de är basverkyg som används i de flesta avancerade metoder. Därefter
beskrivs ARMA (autoregressive/moving average) processer som utnyttjas i BoxJenkins metod. Avsnittet avslutas med kortfattade beskrivningar av några andra
avancerade tidsseriemetoder.
Autokovarians och autokorrelation
Autokorrelationen bland stegvisa värden av en tidsserie är enligt [14] ett nyckelverktyg för att identifiera förloppet och ta fram en modell som svarar mot
3.1. Prognostisering
15
datamaterialet. Graden av korrelationen mellan två variabler mäts med korrelationskoefficienten, vars värden ligger mellan -1 och +1. Ett värde nära +1
betyder att det är ett starkt positivt linjärt beroende mellan de två variablerna.
Det betyder att om värdet på den ena variabeln ökar så tenderar även den den
andra variabelns värde att öka. Ett värde nära -1 betyder istället det motsatta,
ökning i en variabel ger minskning i den andra. Om korrelationskoefficienten är
0 finns ingen korrelation mellan variablerna.
En autokorrelationskoefficient liknar en korrelationskoefficient förutom att
den beskriver förhållandet mellan värden på samma variabel, men vid olika
tidpunkter. I en mängd med fullständigt slumpmässiga data så kommer autokorrelationens värde vara nära eller lika med 0, men data med exempelvis tydliga
säsongsvariationer kommer vara starkt autokorrelerade.
Autokorrelationsfunktionen kan uttryckas genom att normalisera
autokovariansfunktionen:
Definition 3.1 Låt {Xt } vara en stationär tidsserie. Autokovariansfunktionen
av {Xt } vid tidpunkt k är
γX (k) = Cov(Xt+k ,Xt ).
Autokorrelationsfunktionen av {Xt } vid tidpunkt k är
ρX (k) =
γX (k)
= Cor(Xt+k ,Xt ).
γX (0)
Definition 3.2 Låt x1 , . . . ,xn vara observationer i en tidsserie. Stickprovsmedelvärdet av x1 , . . . ,xn är
n
x̄ =
1X
xt .
n t=1
Stickprovsautokovariansfunktionen är
n−|k|
1 X
γ̂(k) =
(xt+|k| − x̄)(xt − x̄), − n < k < n.
n t=1
Stickprovsautokorrelationsfunktionen är
ρ̂(k) =
γ̂(k)
, − n < k < n.
γ̂(0)
ARMA-processer
ARMA-processerna används för att modellera en observerad tidsserie som ett
utfall av en stokastisk process. ARMA-processerna kan delas in i de tre generella
klasserna autoregressiv (AR), moving average (MA) och autoregressiva moving
average (ARMA). Stokastiska processer i diskret tid kallas ofta tidsserier. Nedan
följer några användbara definitioner och satser för ARMA-processer. För mer
detaljer se [4] och [5].
16
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Definition 3.3 En stokastisk process {Xn |n = . . . , − 2, − 1,0,1,2, . . .} kallas ett
vitt brus om väntevärdet E[Xn ] = 0 för alla n och autokovariansfunktionen ges
av
γX (n,n + k) =
σ2
0
k=0
k 6= 0.
Definition 3.4 En stokastisk process {Yn } är en autoregressiv process av ordning p, en så kallad AR(p)-process, om
Yn + a1 Yn−1 + a2 Yn−2 + · · · + ap Yn−p = Xn , n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } är ett vitt brus. Polynomet A(s) = 1 + a1 s + a2 s2 + · · · + ap sp kallas
AR-polynomet.
Sats 3.1 Om
A(s) =
p
X
ak sk
k=0
har konvergensradien R1 och
C(s) =
∞
X
ck sk
k=0
har konvergensradien R2 , så gäller att
D(s) = A(s)C(s) =
∞
X
dk sk ,
k=0
där dk =
P∞
i=0
ai bk−i har konvergensradien ≥ min(R1 ,R2 ).
Sats 3.2 Om polynomet
A(s) =
p
X
ak sk
k=0
har alla sina rötter utanför den komplexa enhetscirkeln, så existerar en lösning
till
Yn + a1 Yn−1 + a2 Yn−2 + · · · + ap Yn−p = Xn , n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } är ett vitt brus. Alltså existerar en (unik) svagt stationär process {Yt }
som satisfierar ekvationen, nämligen
Yt =
∞
X
ci Xt−i ,
i=0
där C(s) =
1
A(s)
=
P∞
k
k=0 ck s
och
P∞
i=0
|ci | < ∞.
3.1. Prognostisering
17
Sats 3.3 Låt A(s) vara som i Sats 3.2. Då kan {ck ; k = 0,1, . . .} beräknas enligt
följande. Eftersom A(s)C(s) = 1 så ger den första satsen:
a0 c0 = 1
a0 c1 + a1 c0 = 0
a0 c2 + a1 c1 + a2 c0 = 0
..
.
a0 cn + a1 cn−1 + · · · + ap cn−k = 0 ∀n ≥ p.
Den sista ekvationen är en homogen linjär differensekvation med konstanta koefficienter och har lösningen
ck =
r
X
Pν (k)ukν , k ≥ 0,
ν=1
där uν är en rot till det karakteristiska polynomet
p(s) = a0 sp + a1 sp−1 + · · · + ap .
Pν (s) är ett polynom av grad mν − 1, där mν är multipliciteten av uν . De totalt
p okända koefficienterna i {Pν (s); ν = 1, . . . ,r} bestäms av ekvationerna
∞
X
ak cn−k = δ0,n , n = 0, . . . ,p − 1,
k=0
där
δ0,n =
1
0
n=0
n 6= 0.
Sats 3.4 AR(q)-processens autokovariansfunktion kan skrivas
γY (k) =
r
X
Pν (k)ukν , ∀k = 0,1, . . . ,
ν=1
där de p okända koefficienter bestäms ur ekvationerna
p
X
ci γY (j − i) = c0 σ 2 δ0,j , ∀j = 0, . . . ,p − 1.
i=0
Exempel 3.1 AR(1)-process
Antag att {Yn } är en stationär serie som uppfyller ekvationen
Yn + aYn−1 = Xn , n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } ∼ N (0,σ 2 ), |a| < 1 och Xn är okorrelerad med Ys för varje s < n. Då
fås E[Yn ] = 0 och
γY (k) = Cov(Yn ,Yn+k ) = (−a)k γY (0),
σ2
γY (0) = 1−a
2.
Autokorrelationsfunktionen av {Yn } är alltså
ρY (k) =
γY (k)
= (−a)|k| .
γY (0)
18
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Definition 3.5 En stokastisk process {Yn } är en moving average process av
ordning q, en så kallad MA(q)-process, om
Yn = b0 Xn + b1 Xn−1 + · · · + bq Xn−q , n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } är ett vitt brus. Polynomet B(s) =
Pq
k
k=0 bk s
kallas MA-polynomet.
Sats 3.5 MA(q)-processens autokovariansfunktion kan skrivas
 2
 σ (b0 bk + b1 bk+1 + · · · + bq−k bq ) k = 0, . . . ,q − 1
σ 2 b0 bq
k=q
γY (k) =

0
k > q.
Exempel 3.2 MA(1)-process
Betrakta serien som defineras av ekvationen
Yn = Xn + bXn−1 , n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } ∼ N (0,σ 2 ) och b är en reellvärd konstant. Då fås E[Yn ] = 0, E[Y n ]2 =
σ 2 (1 + b2 ) < ∞ och
 2
 σ (1 + b2 ), k = 0,
σ 2 b,
k = ±1,
γY (n + k,n) =

0,
|k| > 1.
Autokorrelationsfunktionen av {Yn } är

k = 0,
 1,
b/(1 + b2 ), k = ±1,
ρY (k) =

0,
|k| > 1.
Definition 3.6 En stokastisk process {Yn } är en autoregressiv moving average
process av ordning (p,q), en så kallad ARMA(p,q)-process, om
Yn + a1 Yn−1 + a2 Yn−2 + · · · + ap Yn−p = b0 Xn + b1 Xn−1 + · · · + bq Xn−q ,
n = 0, ± 1, . . . ,
där {Xn } är ett vitt brus.
Pq
Pp
Sats 3.6 Låt A(s) = k=0 ak sk och B(s) = k=0 bk sk . Om A(s) har alla sina
rötter utanför enhetscirkeln, så existerar det en unik svagt stationär lösning till
ekvationen, nämligen
Yn =
∞
X
ck Xn−k ,
k=0
där C(s) =
P∞
k
k=0 ck s
=
B(s)
A(s)
och
P∞
k=0
|ck | < ∞.
3.1. Prognostisering
19
Koefficienterna kan nu bestämmas ur
a0 c0 = b0
a0 c1 + a1 c0 = b1
a0 c2 + a1 c1 + a2 c0 = b2
..
.
cn + a1 cn−1 + · · · + an c0 = bn
n ≤ min(p,q)
cn + a1 cn−1 + · · · + ap cn−p = bn
p≤n≤q
cn + a1 cn−1 + · · · + an c0 = 0
q+1≤n≤p
cn + a1 cn−1 + · · · + ap cn−p = 0
n ≥ max(p,q + 1).
Den sista ekvationen är återigen en homogen linjär differensekvation med konstanta koefficienter, vars lösning är
ck =
r
X
Pν (k)ukν , k ≥ max(0,q + 1 − p).
ν=1
De p konstanterna i polynomet Pν (k) och ck för 0 ≤ k < max(0,q + 1 − p) fås
ur de första ekvationerna ovan.
P∞
Sats 3.7 Låt Yn = k=0 ck Xn−k , då gäller
p
X
ak γY (j − k) = σ 2
k=0
q
X
bk ck−j , j ≥ 0.
k=j
Speciellt fås
p
X
ak γY (j − k) = 0, ∀j ≥ max(p,q + 1)
k=0
med lösningen
γY (k) =
p
X
Pν (k)ukν , k ≥ max(0,q + 1 − p).
ν=1
Som randvillkor kan exempelvis
γY (t) = σ 2
∞
X
ck ct+k
k=0
användas.
Exempel 3.3 ARMA(1,1)-process
Autokovariansfunktionerna av processen definerad av
Yn + aYn−1 = Xn + bXn−1 , {Xn } ∼ N (0,σ 2 ),
med |a| < 1 är givna av
(b − a)2
,
γ(0) = σ 2 1 +
1 − a2
(b − a)2 (−a)
γ(1) = σ 2 b − a +
,
1 − a2
γ(k) = (−a)k−1 γ(1), k ≥ 2.
20
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Enkel linjär prediktion
I det här avsnittet behandlas problemet att prediktera värdena Yn+k , k > 0,
av en stationär tidsserie med känt väntevärde, µ, och autokovariansfunktion,
γ, i termer av värdena {Yn , . . . ,Y1 } upp till tid n, enligt en modell beskriven
i [4]. Målet är att hitta den linjära kombinationen av 1, Yn , Yn−1 , . . . ,Y1 , som
prognostiserar Yn+k med så litet medelkvadratfel som möjligt. Den bästa linjära
prediktorn i termer av 1, Yn , Yn−1 , . . . ,Y1 betecknas här Pn Yn+k och har formen
Pn Yn+k = g0 + g1 Yn + · · · + gn Y1 .
Det som återstår är att uttrycka koefficienterna g0 , g1 , . . . ,gn , genom att hitta
de värden som minimerar
S(g0 , . . . ,gn ) = E[Yn+k − Pn Yn+k ]2 .
Eftersom S är en kvadratisk funktion av g0 , . . . ,gn och är nedåt begränsad av
noll, så är det klart att det åtminstone är ett värde av (g0 , . . . ,gn ) som minimerar
S och att minimum uppfyller ekvationerna
∂S(g0 , . . . ,gn )
= 0, j = 0, . . . ,n.
∂gj
Utveckling av derivatorna i ekvationen ovan ger ekvationerna
"
#
n
X
E Yn+k − g0 −
gi Yn+1−i = 0,
"
i=1
n
X
E (Yn+k − g0 −
#
gi Yn+1−i )Yn+1−j = 0, j = 1, . . . ,n.
i=1
Med vektornotation kan ekvationerna skrivas
g0 = µ 1 −
n
X
!
gi
i=1
och
Γn gn = γn (k),
där
gn = (g1 , . . . ,gn )0 , Γn = [γ(i − j)]ni,j=1 ,
γn (k) = (γ(k),γ(k + 1), . . . ,γ(k + n − 1))0 .
Detta ger
Pn Yn+k = µ +
n
X
gi (Yn+1−i − µ)
i=1
och
E[Yn+k − Pn Yn+k ]2 = γ(0) − gn0 γn (k).
3.1. Prognostisering
21
Box-Jenkins
Box, Jenkins och Reinsel, [3], har haft en stor betydelse för området inom statistisk prognostisering. De har föreslagit en bred klass av underliggande statistiska
modeller för efterfrågemönster, likväl som en procedur för att välja ut en passande medlem ur klassen baserad på tillgängliga data. Modellerna är mer komplexa än t.ex. den enkla regressionsmodellen och metoderna för exponentiell
utjämning. Detta gör att prognoserna blir mer tillförlitliga, vilket säkerligen är
av stort intresse framförallt på medellång och lång sikt.
Box och Jenkins modeller bygger på ARMA-processer. I [10] diskuteras
tre steg som involveras i statistisk prognostisering av tidserier: val av modell,
beräkning av parametrarna i modellen och slutligen användning av modellen
för prognostisering. Box-Jenkins ansats medför att de två första stegen behöver
utarbetas i detalj, eftersom det finns många olika klasser av modeller att välja
på. Stegen som ingår i ansatsen är specifikation, identifikation, beräkning och
verifiering.
Specifikation är ett påstående om exakt vilken klass av modeller som är
under möjlig aktning (t.ex. ARMA-modeller). Identifikation betyder val av en
försöksmodell ur klassen genom att använda historiska data och kunskap om de
teoretiska egenskaperna hos de olika lämpliga modellerna (t.ex. behöver p och
q bestämas för ARMA-modellen). Enligt [14] kan identifikationssteget i sin tur
delas in i tre steg: uppnå stationaritet genom subtraktion, välja p och q för icke
säsongsdata och slutligen välja p, q och säsongsparametrar för säsongsdata.
Innan man kan identifiera p och q i ARMA-ekvationen så måste datamaterialet vara horisontellt, vilket betyder trendrensat. Om datamaterialet innehåller
en trend kan den tas bort genom att genomföra succesiva subtraktioner av
datan. Det är det som menas med att stationaritet uppnås genom subtraktion.
Så fort datamaterialet är stationärt, kan p och q identifieras genom att titta på
autokorrelationerna och de partiella autokorrelationerna av den subtraherade
datan. En generell regel är, när autokorrelationerna avtar exponentiellt mot noll
ger det en AR-modell, vars ordning kan uttryckas av antalet partiella autokorrelationer som är skilda från noll. Om de partiella autokorrelationerna avtar
exponentiellt mot noll är modellen MA och dess ordning uttrycks av antalet
statistiskt signifikanta autokorrelationer. En ARMA-modell fås när både autokorrelationerna och de partiella autokorrelationerna avtar exponentiellt mot
noll.
Med beräkning menas statistisk beräkning av parametrarna för den valda
modellen. Parametrarna kan bestämmas t.ex. genom att pröva vilka värden som
ger det minsta prognosfelet i minsta kvadratmening. Verifiering innebär att den
valda modellen kontrolleras för att se hur tillförlitlig den är i termer av att
förklara given data. Statistiska test är användbara speciellt för att undersöka
om residualerna uppvisar uppförandet för ett vitt brus. Om de inte gör det är
det nödvändigt att gå tillbaka och genomföra en ny identifiering.
22
Kapitel 3. Teoretisk referensram
ARIMA-process
I verkligheten används ARMA-processerna sparsamt, eftersom de flesta tidsserievariabler i praktiken inte är stationära. Detta gör att tidsserierna måste differentieras d perioder tillbaka tills dess att stationaritet uppnås. De differentierade
ARMA-modell kallas för autoregressive integrated moving average (ARIMA)
processer [3].
Definition 3.7 En autoregressive integrated moving average (ARIMA) process
av ordning (p,q,d) defineras som
Wn + a1 Wn−1 + · · · + ap Wn−p = Xn + b1 Xn−1 + · · · + bq Xn−q ,
där Wn = Od Yn . OYn = Yn − Yn−1 , d står för antalet gånger som serien differentieras för att bli stationär, Wn är den differentierade tidsvariabeln och Yn är
ARMA-modellen enligt Definition 3.6.
Parzens ARARMA-modeller
Parzens ansats om tidsserieprognostisering är väldigt kraftfull och den har flera
fördelar jämfört med Box-Jenkins metodik. Den saknar begränsningen att datamaterialet måste göras stationärt genom subtraktion och Parzens ansats kan
göras fullständigt automatiserad, d.v.s. att det inte krävs någon som väljer ut
och analyserar en modell. Parzen klassificerar tidsserierna i tre kategorier: de
som har långt minne, de som har kort minne och de som endast innehåller vitt
brus.
Istället för att använda subtraktion för att överföra tidsserierna med långt
minne till tidsserier med kort minne, rekommenderar Parzen en AR(1)- eller
en AR(2)-modell, vars parametrar a1 eller a1 och a2 kan vara > 1, i syfte att
ta bort ickestationariteten. En ARMA-modell rekommenderas för de med kort minne, vilka redan är stationära, så att residualfelen ska bli slumpmässiga.
Namnet ARARMA kommer ifrån att tidsserier med långt minne modelleras med
AR-termer och att de med kort minne också oftast modelleras med AR-termer,
eftersom Parzen föredrar att exempelvis använda en AR(4)-modell istället för
en ARMA(1,1)-modell. MA-termer används bara i de fall då AR-termerna inte
kan uppnå slumpmässiga residualer.
Det första steget i Parzens ansats är att avgöra om tidsserierna har långt eller
kort minne. Vid långt minne står valet mellan en AR(1)- och en AR(2)-modell.
Då det finns en ihållande trend bör en AR(1)-modell användas och en AR(2)modell rekommenderas att använda om trenden är måttlig, vilket betyder att
den inte är ihållande och att den innehåller cykliska variationer. Därefter när
serierna är i stationaritet skall en lämplig modell väljas, vilket i många fall är en
AR(p)-modell. Då återstår att bestämma modellens ordning, vilket kan göras
med hjälp av Akaikes informationskriterium eller ett annat kriterium som kallas
CAT. Beskrivning av dessa kriterier utelämnas med hänvisning till [8].
3.1. Prognostisering
23
AEP-filter
AEP har utvecklats från en AR-modell till en modell som kombinerar långsiktiga
och kortsiktiga komponenter. Modellens form är
Yt = [ψ0t + ψ1t t + · · · + ψqt tq + φ1t Yt−1 + · · ·
zLt
+φpt Yt−p ] × [Iltzlt × Iltz2t × · · · × ILt
] + Xt .
Potensen q tillhör det långsiktiga minnet med tillhörande koefficient ψj , p är
antalet autoregressiva termer som beskriver det kortsiktiga minnet med koefficient φi och L är säsongens längd med tillhörande koefficinet Il . z1t termen
antar värdet 1 om det är säsong 1 vid tidpunkt t och 0 annars. Värdena på aj ,
φi och säsongsindikatorn Il uppdateras enligt följande:
ψjt = ψj(t−1) + |ψj(t−1) |
φit = φi(t−1) + |φi(t−1) |
Ilt = Il(t−1) + Il(t−1)
X̂t
Ŷt
X̂t
Ŷt
X̂t
Ŷt
×
tj
× µt ,
t̄
×
Yt−i
× µt ,
Ȳi
× zlt × µt ,
där X̂t är en felterm, Ŷt är värdet på Yt uttryckt från parametrar som erhölls vid
tiden t−1, t̄ och Ȳi fås ur t̄ = αt+(1−α)(t−1) och Ȳi = αYt−i +(1−α)Ȳt−i , där α
är konstanten som används vid exponentiell utjämning och µt är en tidsjusterad
dämpande faktor som ligger mellan 0 och 1. Se [14] för mer detaljer.
Kalmanfilter
Vid användning av AEP uppdateras parametrarna automatiskt i själva modellen till skillnad från Kalmanfilter där användaren själv måste bestämma sannolikheterna för hur parametrarna ska uppdateras. Skillnanden mellan AEP och
Kalmanfilter är enligt [14] annars så liten att den ena kan ses som ett specialfall
av den andra. I praktiken är AEP mer lämplig att använda för prognostisering
eftersom den är lättare att använda och endast kräver lite eller ingen information
från användaren. Modellen för Kalmanfilter är
Zt = µt + Si,t + Xt ,
µt = µt−1 + βt + δµt ,
βt = βt−1 + δβt ,
Si,t = Si,t−1 + δSi,t ,
där Xt , δµt och δβt är normalfördelade med väntevärde 0 och varians νX , νµ
respektive νβ , och där Zt = ln(Yt ), och µt , βt och St är naturliga logaritmen
för nivå, trend och säsong i serien. Kalmanfilteransatsen börjar med att nivån,
trenden och säsongen preliminärt uttrycks, för att sedan uppdateras genom att
använda ekvationerna ovan.
Både AEP och Kalmanfilter är så kallade anpassningsbara prognosmetoder.
En av de största fördelarna med anpassningsbara metoder att de kan anpassa sig
till förändringar i data. Ibland kan dock anpassningsbara metoder överreagera.
24
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Om en ändring i mönstret är permanent så fungerar anpassningsbara metoder
bäst, är däremot förändringen temporär så rekommenderas ej anpassningsbara
metoder. Det finns dessvärre inget sätt att i förväg avgöra om en förändring i data är permanent eller temporär. Problemet med permanenta kontra temporära
förändringar kan hanteras genom att kontrollera hastigheten av anpassningen.
Detta görs genom den dämpande faktorn i AEP och i Kalmanfilter genom specifikationen av sannolikheterna för ändringarna av parametrarna. Om anpassningen är väldigt långsam så blir den anpassningsbara metoden som de metoder
med konstanta parametrar. För snabbare anpassningar finns risken för överreaktion, vilket leder till försämrad prognostillförlitlighet. En annan stor fördel med
de anpassningsbara metoderna är den rekursiva beräkningen av modellernas
parametrar, vilket ger mycket enklare beräkningsprocedurer. Metoderna kräver
inte heller att gammal data lagras, eftersom all tidigare data finns lagrad i
parametrarnas värden.
Lewandowskis FORSYS
FORSYS, som står för Forecasting System, liknar Winters metod för exponentiell utjämning förutom att parametrarna α, β och δ är anpassningsbara istället
för konstanta. FORSYS tillåter användaren att justera data för speciella händelser som exempelvis variationer i antalet arbetsdagar för olika månader och
temperaturförändringar. Sådana justeringar läggs först in i modellanpassningen
och sedan även i planeringshorisonten om så krävs.
Förutom egenskapen att kunna ta hänsyn till speciella händelser använder
FORSYS en ansats för att förutsäga en trends förändring från kort till lång
sikt. Principen för den så kallade SL (short to long) prognostiseringen är det
att förändringar på kort sikt i data inte nödvändigtvis är permanenta, vilket
betyder att dessa förändringar inte nödvändigtvis påverkar prognosen på lång
sikt. För att uppnå en SL prognos, så varierar FORSYS trendparametrarna i
en modell för exponentiell utjämning [14].
Kausala metoder
Regressionsanalys
Regressionsanalys är en mängd av statistiska tekniker som kvantifierar beroendet av en given ekonomisk variabel på en eller flera andra variabler. Metoden
använder tidigare observationer för att hitta den ekvation som bäst beskriver
sambanden mellan variablerna. Metoden kräver att data samlas in för de aktuella variablerna, att ekvationens form specifieras, att ekvationens koefficienter
beräknas och att ekvationens tillförlitlighet utvärderas [9].
Exempel på en enkel regressionsmodell är trendprojektion. Enligt [7] kan
trendprojektion vara att föredra framför exponentiell utjämning med trend om
en mycket tydlig trend föreligger. Den vanligaste metoden för kurvanpassning då
en underliggande linjär trend kan antas är minsta kvadratmetoden. Med denna
metod som är en typ av linjär regression minimeras summan av kvadratfelen för
avvikelse mellan efterfrågedata och trendlinjen. Ekvationen för regressionslinjen
skrivs:
3.1. Prognostisering
25
yt = a + bt,
där
yt
a
b
t
=
=
=
=
linjens värde i period t
konstant term, linjens värde vid t=0
linjens trendterm
periodindex.
De bästa skattningarna av a och b fås ur sambanden:
P
tDt − N t̄D̄
,
b= P 2
t − N t̄2
a = D̄ − bt̄,
där
Dt
N
t̄,D̄
= efterfrågans värde i period t
= antalet perioder
= medelvärden.
Prognosen i form av trendprojektion skrivs allmänt på formen:
Ft = a + bt,
där
Ft
a
b
= prognos för efterfrågan i period t, med hänsyn till trend
= skattning av nivå vid t=0
= skattning av trenden per period.
I många beslutssituationer kan mer än en variabel användas för att förklara eller
prognostisera en speciell beroendevariabel. Principen för enkel regressionsanalys
är inte tillräcklig i dessa fall utan multipel regressionanalys behöver användas.
Multipel regressionsanalys tillåter att hänsyn tas till mer än en variabel. I [14]
förklaras i sju olika steg hur multipel regressionsanalys kan användas i praktiken.
Steg 1. Formulering av problemet. Först måste företagets ledare meddela
vad problemet är och vad som önskas få förklarat eller uträtt. Formuleringen
skall börja med en beskrivning av beslutfattarens situation och en identifiering
av variabeln eller variablerna som ska prognostiseras.
Steg 2. Val av ekonomiska och andra relevanta indikatorer. Identifiera
möjliga faktorer som har stort inflytande och fastställ vilka av dessa som bör
tas med i regressionsekvationen.
Steg 3. En f örsta testkörning av multipel regression. Den första körningen ska inkludera all data på de oberoende och beroende variablerna. En användbar utdata av testkörningen är den enkla korrelationsmatrisen som används
i steg 4.
26
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Steg 4. Studera korrelationsmatrisen. En grundprincip för att få en bättre
prognos från den här metoden är att noggrant välja ut de variabler som ska
inkluderas i regressionsekvationen. Oberoende variabler vars enkla korrelationer inte ligger så nära ±1 bör plockas ut. I slutet av det här steget ska företagsledaren ha identifierat tre eller fyra alternativa regressionsekvationer som
verkar bra och som kan testas vidare.
Steg 5. Beslut bland individuella regressioner. Nu ska ett dataprogram
användas för att bestämma koefficienterna i de utvalda ekvationerna baserad
på tillgänglig data. För var och en av dessa ekvationer kan sedan hänsyn tas till
signifikansen av hela regressionslinjen, av regressionskoefficienterna och av prognosens standardavvikelse. Så fort en regressionsekvation hittas, vars oberoende
variabler signifikant påverkar beroende variabeln, är den vanliga proceduren att
försöka öka R2 -värdet genom att introducera ytterliggare oberoende variabler.
Steg 6. Kontrollera giltigheten av regressionsantaganden. När två eller
tre bra ekvationer har identifierats så måste ledaren undersöka om de uppfyller
de fyra antagandena, som är: att ett linjärt förhållande existerar, att regressionsfelen har konstant varians, att residualerna är oberoende av varandra och
att två eller flera oberoende variabler inte är starkt korrelerade.
Steg 7. Förbereda en prognos. Så fort ledaren har hittat en regressionsekvation med ett tillräckligt högt R2 -värde och som uppfyller antagandena och
signifikanskravet kan ekvationen användas för prognostisering. Konsekvensen
av att göra så är att hänsyn måste tas till konfidensintervallet för individuella
prognoser och tillförlitligheten hos de oberoende variablernas värde.
Den största vinsten från en regressionsanalys är inte så ofta själva prognostiseringen, utan det är förklaringen och förståelsen för situationen som behandlas.
R2 -statistikan mäter proportionen av variationen i beroendevariabeln som förklaras av den multipla regressionsekvationen, alltså hur bra ekvationen anpassas
till datamaterialet. R2 -statistikan kan enligt uttryckas som
R2 =
T SS − SSE
,
T SS
där
T SS =
n
X
(Dt − D̄)2 ,
t=1
SSE =
n
X
(Ft − Dt )2 ,
t=1
och
Dt
Ft
D̄
t
n
=
=
=
=
=
efterfrågan i period t
prognostiserad efterfrågan i period t
medelvärde
periodindex
antalet perioder.
3.1. Prognostisering
27
T SS står för totala kvadratsumman (total sum of squares) och SSE betyder
summan av kvadratfelen (sum of squared errors) [9].
Ekonometriska modeller och ledande indikatorer
På samma sätt som enkel regressionsanalys är ett specialfall av multipel regression är multipel regression ett specialfall av ekonometriska modeller. Multipel
regression innehåller endast en ekvation medan ekonometriska modeller kan
inkludera flera olika multipla regressionsekvationer. En ekonomterisk modell är
alltså ett system av linjära multipla regressionsekvationer som involverar flera
variabler som är beroende av varandra. I vissa fall används dock benämningen
ekonometrisk på enkla, multipla och system av multipla regressionsekvationer.
Ansatsen för ledande indikatorer är en tidsserieteknik som försöker prognostisera framtida ekonomiska aktiviteter genom att följa och analysera flera
dataserier som tenderar att leda ekonomisk aktivitet och som kan ge en varningssignal om vad som må hända i den allmänna ekonomin. Ledande indikatorer
är tidsserier vars rörelser är korrelerade med rörelserna för en primär serie, men
som tenderar att inträffa mer avancerat för rörelserna i den primära serien.
Typisk exempel i en affärsverksamhet är order som en ledande indikator på
varupartier som sänds, och order tillsammans med varupartier som sänds som
en ledande indikator på intäkter [14].
3.1.5
Prognosfel och prognosuppföljning
Prognosfel
Vid prognostisering är det viktigt att oavsett prognosmetod kunna undersöka
metodens precison. För att kunna göra detta måste man kunna mäta prognosfelen. Prognosfelet i period t defineras som:
et = Dt − Ft ,
där
et
Dt
Ft
= prognosfelet i period t
= efterfrågan i period t
= prognos för period t.
Medelabsolutfelet, M AD (Mean Absolute Deviation), är det vanligaste måttet
på en prognosmetods precision. Medelabsolutfelet beräknas som medelvärdet av
prognosfelens absolutvärde.
M AD =
N
N
1 X
1 X
|et | =
|Dt − Ft |.
N t=1
N t=1
Med exponentiell utjämning kan M AD-värdet uppdateras, vilket är lämpligt
att göra i samband med prognosuppdatering.
28
Kapitel 3. Teoretisk referensram
M ADt = α|et | + (1 − α)M ADt−1 .
Medelkvadratfelet, M SE (Mean Squared Error), är en annan mått på en prognosmetods precision.
M SE =
N
1 X 2
e .
N t=1 t
Medelkvadratfelet är i princip kvadraten på det traditionella spridningsmåttet,
standardavvikelsen. Det finns även ett samband mellan standardavvikelse och
medelabsolutfel. Vid normalfördelning blir förhållandet:
r
σt =
π
M ADt ≈ 1,25 × M ADt .
2
För att avgöra om prognosen ligger över eller under efterfrågan kan precisionsmåttet medelfelet, M E (Mean Error), användas.
ME =
N
1 X
et .
N t=1
Vid uppdatering av medelfelet med hjälp av exponentiell utjämning blir formeln:
M Et = αet + (1 − α)M Et−1 .
Prognosuppföljning
Kontroll av efterfrågedata
Det finns en vanlig metod för kontroll av efterfrågedata som relaterar den innevarande periodens absolutfel till medelabsolutfelet. Om det aktuella absolutfelet är större än en viss faktor av medelabsolutfelet bör värdena på efterfrågan
kontrolleras, d.v.s.
T SDt =
|Dt − Ft |
,
M ADt−1
3.1. Prognostisering
29
där
T SDt
M ADt−1
= kontrollsignal för efterfrågan (Tracking Signal)
= exponentiellt utjämnat medelabsolutfel i period t − 1.
Kontrollsignalen jämförs med en faktor k1 som ofta väljs till 4, vilket svarar
mot en sannolikhet om 99,86% att normalfördelningens area är inom kontrollgränsen, se tabell 3.1. D.v.s. att om T SD är mindre än 4 så kan prognosen ej
förkastas.
Kontrollgräns k1
(medelabsolutfelet)
2
3
4
Motsvarande kontrollgräns vid
standardavvikelse
1,6
2,4
3,2
Sannolikhet att normalfördelad efterfrågan är
inom kontrollgränserna
89,04%
98,36%
99,86%
Tabell 3.1: Kontrollgränser för MAD och standardavvikelse [7].
Kontroll av prognosmetodens medelvärdesriktighet
Genom att studera förhållandet mellan medelfelet och medelabsolutfelet kan
man kontrollera prognosmetodens medelvärdesriktighet.
T SFt =
|M Et |
,
M ADt
där
T SFt
M ADt
M Et
= kontrollsignal för prognosmetoden
= exponentiellt utjämnat medelabsolutfel i period t
= exponentiellt utjämnat medelfel i period t.
Kontrollsignalen jämförs sedan med en faktor k2 , se tabell 3.2. Konfidensgraden
för metoden beror på värdet på utjämningskonstanten α.
Konfidensgrad (%)
80
90
95
98
100
Kontrollgräns k2
då α=0,1
0,36
0,45
0,51
0,60
1,00
Kontrollgräns k2
då α=0,2
0,54
0,66
0,74
0,81
1,00
Tabell 3.2: Konfidensgrad för prognosmetodens medelvärdesriktighet [7].
Se [7] för mer detaljer om prognosfel och prognosuppföljning.
30
Kapitel 3. Teoretisk referensram
3.2
Partiformning
Hur stora kvantiteter ska produceras och/eller köpas in varje gång ett behov
uppstår? Orderkvantitet, partistorlek eller batchstorlek är olika benämningar på
denna kvantitet. Att bestämma denna kvantitet kallas partiformning och syftet
med detta är att åstadkomma en avvägning mellan lagerhållningskostnader och
ordersärkostnader.
3.2.1
Ekonomisk orderkvantitet
EOQ-modellen även kallad Wilson-formeln som beräknar den ekonomiska orderkvantiteten, EOQ (Economic Order Quantity), är en enkel modell för optimering av partistorlek, som Fredriksons kan ha nytta av. För att beräkna
den ekonomiska orderkvantiteten hittar man en avvägning mellan lagerhållningskostnader och ordersärkostnader, se figur 3.1. För att kunna använda EOQmodellen förutsätts enligt [7] att:
•
•
•
•
Produktefterfrågan per tidsenhet (D) är konstant och känd.
Ordersärkostnaden (K) är känd och oberoende av orderkvantiteten.
Lagerhållningskostnaden per enhet och tidsenhet (H) är konstant och känd.
Inleverans till lagret sker av hela orderkvantiteten på en gång.
Härledning av Wilson-formeln för bestämning av den optimala orderkvantiteten
(Q∗ ):
Antalet gånger en order behöver placeras beror på hur stor efterfrågan är och
orderkvantiteten (Q). Kostnaden för lagerhållning beräknas utifrån medellagret.
Totalkostnadsfunktionen uttrycks därför som:
C=K
Q
D
+H .
Q
2
Orderkvantiteten som ger den lägsta kostnaden fås nu genom:
dC
D
H
= −K 2 +
=0
dQ
Q
2
d2 C
D
= 2K 3 > 0
dQ2
Q
r
2KD
∗
⇒Q =
H
3.2.2
Lagerhållninskostnader
Kostnaden för lagerhållning, H, är kapitalbindningskostnad, kostnad för materialhantering, lagerhyra, försäkring, kassationer och inkurans. Lagerhållningskostnaden bestäms som lagerhållningräntan multiplicerat med artikelvärdet [7].
3.2. Partiformning
31
Figur 3.1: Kostnadselementen som funktioner av orderkvantiteten [7].
3.2.3
Ordersärkostnader
Vid inköp innefattar ordersärkostnaderna, K, administrativ orderhanteringstid
och kostnad för dokumenthantering. Vid produktion är ställkostnaden eller uppsättningskostnaden den väsentliga delen i ordersärkostnaden, men även kostnaden för administrativ orderbehandling inkluderas. När ställkostnaden ska räknas ut tas kapacitetskostnaden per tidsenhet och multipliceras med ställtiden
[7].
3.2.4
Ekonomiska orderkvantiteter med restriktioner
Wilson-formeln behandlar bara enskilda artiklar. Det vanligaste är dock att ett
lagersystem består av flera olika artiklar, vilka kan behandlas separat förutsatt
att de är oberoende av varandra. Flera artiklar kan t.ex. konkurrera om en viss
lageryta eller så kan det finnas budgetrestriktioner för maximal kapitalbindning
i lager. Ställkostnad kan också vara en begränsande faktor för hur stora kvantiteter som kan produceras. I dessa fall behövs optimeringsmodeller för att lösa
problemet med bestämning av ekonomiska orderkvantiteter [7].
För Fredriksons är problemet med ställtidsrestriktioner aktuellt att titta närmare på hur det kan lösas. Det är lämpligt att betrakta ställtidsrestriktionen
som en ställkostnadsrestriktion.
Vi vill minimera totalkostandsfuntionen
Ctot =
N
X
i=1
Ki
Di
Qi
+ Hi ,
Qi
2
då

 PN Ki Di
≤M
i=1
Q
 Q ≥ 0 ∀ii
i
32
Kapitel 3. Teoretisk referensram
där
Ctot
Ki
Hi
Di
Qi
M
=
=
=
=
=
=
totalkostnad
ordersärkostnad för artikel i
lagerhållningskostnad för artikel i
efterfrågan för artikel i
orderkvantitet för artikel i
maximal ställkostnad.
Målfunktionen innehåller order- och lagerhållningkostnad, vilket leder till att
minimeringsproblemet inte blir linjärt. Vi kan lösa det genom att skapa en
Lagrange-funktion enligt följande metodik:
r
2Ki Di
∗
1. Separat optimerning med Wilson-formeln Qi =
.
Hi
2a. Undersök om lösningen är tillåten med avseende på bivillkoret. Om inte
villkoret är bindande är lösningen i 1. optimal.
PN Ki Di
Om bivillkoret är bindande d.v.s. i=1
> M bildas LagrangeQ
i
2b.
P Ki Di
funktionen: L = Ctot + λ
−M ,
i
Qi
där λ = Lagrange-multiplikatorn.
De optimala orderkvantiteterna bildas nu genom att lösa ekvationerna:
∂L X Ki Di
=
− M = 0,
∂λ
Qi
i
Ki Di
Ki Di
∂L
Hi
=− 2 +
−λ 2 =0
∂Qi
Qi
2
Qi
Hi
Ki Di
(1 + λ) =
⇒
Q2i
2
s
2Ki Di (1 + λ)
⇒ Q∗iL =
Hi
(3.1)
(3.2)
(3.2) i (3.1) ger:
s
X
i
Ki Di
Hi
=M
2Ki Di (1 + λ)
⇒ λ = ...
Q∗L = [. . .]
Även fallet då det finns en begränsning på hur stor den maximala kapitalbindningen i lager får vara har undersökts. Det är dock svårt att finna någon praktisk
tillämpning på detta för Fredriksons, då det i dagsläget bara finns möjlighet att
sätta en maximal kapitalbindning i lager för hela sortimentet med artiklar. Antalet artiklar är alldeles för många för att de praktiskt skulle kunna utnyttja
modellen som i så fall skulle se ut enligt följande:
3.3. Ställtidsanalys
33
Vi vill minimera totalkostandsfuntionen
Ctot =
N
X
i=1
Ki
Di
Qi
+ Hi ,
Qi
2
då
PN
i=1 vi Qi ≤ M
Qi ≥ 0 ∀i
där
Ctot
Ki
Hi
Di
Qi
M
vi
=
=
=
=
=
=
=
totalkostnad
ordersärkostnad för artikel i
lagerhållningskostnad för artikel i
efterfrågan för artikel i
orderkvantitet för artikel i
maximal kapitalbindning i lager
artikelvärdet för artikel i.
Metodiken är därefter densamma som i fallet då vi har en ställtidsbegränsning.
3.3
Ställtidsanalys
Den tid det tar att ställa om en produktionsutrustning från tillverkning av en
produkt till en annan typ av produkt kallas ställtid. Ställtiden är oberoende
av partistorleken. Ställtiden defineras som tiden från den sista korrekta enheten i ett parti till den första korrekta enheten i nästa parti. Under ställtiden
kan produktionsutrustningen inte användas för bearbetning, vilket betyder att
ställtiden är kapacitetskrävande [7].
Genom att minska ställtiden ökar den tillgängliga kapaciteten och flexibiliteten i produktionen. En sänkning av ställtiden bidrar även till en reducerad ledtid, eftersom ställtiden är en del av ledtiden. En ställtidsreduktion gör
även att man kan ha mindre partistorlekar. Förhållandet mellan ställtid och
ekonomisk orderkvantitet behandlas senare. Även kvalitén kan förbättras i och
med en minskning av ställtiden eftersom korta ställtider leder till små partistorlekar, vilket gör att defekta artiklar snabbare upptäcks. Lagernivåerna påverkas
också positivt av en ställtidsreduktion, eftersom inte lika mycket behöver ligga
på lager om man producerar små kvantiteter ofta [11].
3.3.1
Ställtidsreduktion i en EOQ-modell
Sambandet mellan optimal ekonomisk orderkvantitet (EOQ) och ställtid ges
enligt [11] av
r
2KD
2rvD
=
EOQ =
H
cs
r
Q∗R
sR
⇒ ∗ =
Q
s
r
34
Kapitel 3. Teoretisk referensram
där
K
c
s
H
r
v
D
Q∗
Q∗R
s
sR
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ordersärkostnad (ställkostnad)
kapacitetskostnad per tidsenhet
ställtid
lagerhållningskostnad per enhet och tidsenhet
lagerhållningsränta
artikelvärde
efterfrågan per tidsenhet
gammal optimal orderkvantitet
ny optimal orderkvantitet efter ställtidsreduktion
gammal ställtid
ny ställtid efter reduktion.
Figur 3.2: Effekter av ställtidsreduktion [11].
3.3.2
SMED
Det finns två olika typer av ställ, invändiga och utvändiga. Invändigt ställ är det
verkliga stället som kräver att maskinen stannar och utvändigt ställ är arbete
som är relaterat till stället men som kan förberedas medan maskinen körs.
En beprövad metod för ställtidsreduktion är SMED (Single Minute Exchange
of Die) som går ut på att invändiga och utvändiga ställ identifieras och omvand-
3.4. Säkerhetsmekanismer
35
las. Båda ska sedan reduceras [11].
Riktlinjer för SMED
• Analysera ställtiden
- Vad kan förberedas i förväg?
- Vad är den verkliga ställtiden?
- Vad kan göras efter stället?
• Standardisera processen och produkterna
- Standarddimensioner för verktyg och fixturer.
- Begränsat antal av produkttyper.
• Eliminera justeringar och slöseri (waste)
- Göra sig av med behovet av justering av utrustning efter ställen.
- Få första arbetsbiten av ett nytt parti korrekt.
3.4
Säkerhetsmekanismer
Det finns generellt två olika typer av osäkerhet, tid och kvantitet. Osäkerheten
kan antingen bero på osäkerhet i efterfrågan eller osäkerhet i tillgången. För att
gardera sig mot osäkerhet och alltså kunna producera och leverera produkter
i rätt antal, i rätt kvantitet och i rätt tid, så införs säkerhetsmekanismer. Det
förekommer tre principiellt olika typer av säkerhetsmekanismer enligt [7]:
• Säkerhetslager
• Säkerhetsledtid
• Ökade behov
3.4.1
Säkerhetslager
Säkerhetslager används för att kompensera för osäkerhet i prognoser. Bristsituationer uppstår om efterfrågan blir större än beräknat. Blir däremot efterfrågan
mindre än beräknat, så inkommer order till lagret tidigare än planerat och kostnad för lagerhållning uppstår. Säkerhetslagrets storlek bestäms vanligtvis baserat på önskad servicenivå. Två vanliga servicenivåbegrepp är enligt [7] SERV1
och SERV2 . SERV1 beskriver sannolikheten att kunna leverera direkt ur lager
under en ordercykel och SERV2 beskriver andel av efterfrågan som kan levereras direkt ur lager.
I det första fallet bestäms säkerhetslagret som en säkerhetsfaktor multiplicerad
med standardavvikelsen för prognosfelet under ledtiden:
SS = kσL = kσLγ ,
där
SS
σ
σL
k
L
γ
=
=
=
=
=
=
säkerhetslager
standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel per period
standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel under ledtiden
säkerhetsfaktor (erhålls ur statistiktabell)
ledtiden i antal prognosperioder
konstant.
36
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Konstanten γ beror på korrelationen mellan prognosfelen i olika perioder. γ
är lika med 0,5 om ingen korrelation föreligger och värdet på γ växer mot 1
vid ökad korrelation. Säkerhetsfaktorn, k, beräknas utifrån sannolikheten att få
brist. Säkerhetslagret ska täcka variationerna hos en stokastisk variabel som är
normalfördelad med väntevärde noll och standardavvikelse σL ,
SERV1
= P (att ej få brist) = P (xL ≤ SS)
SS − 0
SS
xL − 0
≤
=Φ
,
=P
σL
σL
σL
där Φ är fördelningsfunktionen för en standard normalfördelning. Se tabell 3.3
för förhållande mellan servicenivå och säkerhetsfaktor vid normalfördelning.
Servicenivå
50 %
95 %
97,5 %
99 %
Säkerhetsfaktor k
0
1,65
1,96
2,33
Tabell 3.3: Förhållande mellan servicenivå och säkerhetsfaktor [7].
I de fall då det även finns osäkerhet i ledtid kan säkerhetslagret ta hänsyn till
detta genom att komplettera formeln med ledtidens standardavvikelse.
p
SS = k Lσ 2 + D2 (σ(L))2 ,
där
D
σ(L)
= efterfrågan per period
= standardavvikelsen för ledtiden.
Här antas efterfrågan vara normalfördelad och efterfrågans och ledtidens sannolikhetsfördelningar oberoende.
För att använda sig av den andra definationen av säkerhetslager, SERV2 , beräknas först den förväntade bristens storlek under en ordercykel,
Z ∞
1
x
E[brist] =
(x − SS) ϕ
dx
σ
σ
L
L
SS
Med variabelsubstitutionen z =
Z
x
erhålls:
σL
∞
(σL z − SS)ϕ(z)dz =
E[brist] =
SS/σL
= σL ϕ
SS
σL
SS
− SS 1 − Φ
σL
Denna brist relateras därefter till efterfrågan under ordercykeln d.v.s. Q,
SERV2 = 1 −
E[brist]
.
Q
3.5. Ledtid
37
Storleken på säkerhetslagret bestäms nu ur de två senare utrycken, vid en given
servicenivå och orderkvantitet.
3.4.2
Säkerhetsledtid
Säkerhetsledtid är lämplig att använda då det finns osäkerhet i artiklarnas
ledtider. Säkerhetsledtid innebär att order planeras att bli färdiga en viss tid
innan det faktiska behovet, vilket betyder att den totala ledtiden ökar. Vid
införande eller förlängning av säkerhetsledtiden kommer order att tidigareläggas, varvid material- och kapacitetsbehovet ökar. Däremot minskar behovet då
säkerhetsledtiden minskas och order senareläggs [7].
3.4.3
Ökade behov
Säkerhetsmekanismen ökade behov används för att ta hänsyn till exempelvis
kassationer. Det är vanligt att hänsyn tas till kassattionsprocenten redan i produktstrukturens ingår-i-kvantiteter. Ökade behov kan med fördel användas i
huvudplanen för att skapa säkerhet med avseende på osäkerhet i en produkts
variantfördelning [7].
3.5
Ledtid
Med ledtid avses den tid som förlöper från det att behovet av en aktivitet eller
grupp av aktiviteter uppstår till dess att man har vetskap om att aktiviteten
eller aktiviteterna har utförts. Ledtiden kan delas in i tre typfall: ledtid för
utveckling av ny produkt, ledtid för leverans utifrån kundens perspektiv och
ledtid i produktionen utifrån det producerande företagets perspektiv [7]. Det
sistnämnda fallet är det som är intressant då Fredriksons ledtider ska analyseras.
3.5.1
Genomloppstid och produktionsledtid
Genomloppstiden är den totala tiden kopplad till produktion av en produkt
eller en viss kvantitet av denna produkt. Genomloppstiden brukar delas upp i
förråds- eller inköpsledtid, produktionsledtid och lagerledtid.
Förrådsledtiden är den tid råmaterial och komponenter kopplade till produkten ligger i förråd. För varor som köps direkt mot en kundorder är det
leveranstiden från leverantören (inköpsledtiden) som är relevant.
Produktionsledtiden är tiden från förrådsuttag till inleverans i slutlagret
eller direktleverans till kunden. Alla produktionsaktiviteter och tiden material
befinner sig i mellanlager räknas till den här delen av genomloppstiden. Produkter i detta stadium benämns ofta som produkter i arbete, PIA.
Produktionsledtiden kan i sin tur delas in i ett antal steg, där varje varje produktionssteg har sin egen ledtid. Den över tiden ackumulerade ledtiden är inte
nödvändigtvis summan av alla produktionsstegs individuella ledtider, eftersom
vissa produktionssteg kan utföras parallellt. Stegen som produktionsledtiden
kan delas in i är transporttid, kötid, ställtid, operationstid och väntetid. Transporttiden är tiden det tar att flytta en produkt från en operation till en annan.
38
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Den tid som en produkt eller ett produktparti väntar före en operation innan
operationen är tillgänglig och bearbetningen kan börja kallas för kötid. Ställtiden är tiden det tar att ställa om en produktionsutrustning från tillverkning
av en produkt till en annan. Tiden som går åt för bearbetning i den aktuella
operationen benämns operationstid. Väntetiden är den tiden som produkterna
får vänta efter respektive operation innan de transporteras vidare till nästa steg
i produktionen.
Lagerledtiden är tiden slutprodukter ligger i färdigvarulagret innan de levereras till kund [7].
3.5.2
Faktisk och planerad ledtid
Faktiska ledtiden är den tid som verkligen går åt för de olika stegen i produktionen och den verkliga tiden som produkten eller dess ingående komponenter
befinner sig i förråd respektive färdigvarulager.
Planerade ledtiden är den tid som är planerad att använda för en produkt
eller ett parti. Till den genomsnittliga ledtiden adderas ofta en säkerhetstid
för att säkerställa leveransens punktlighet. Alltså förlänger en säkerhetstid den
planerade ledtiden, men gör den också säkrare vilket gör att det är lättare att
följa planeringen.
För stor säkerhetstid resulterar emellertid ofta i ännu längre genomsnittliga
faktiska ledtider. Det beror på den så kallade onda ledtidscykeln. Teorin grundar
sig på att om den planerade ledtiden förlängs, släpps nya order tidigare till
produktionen för att hinna produceras i tid. Vilket i sin tur leder till att fler
produkter befinner sig i produktionen samtidigt, så beläggningen ökar och i
slutändan även kötiderna. Den ökade kötiden bidrar till en längre faktisk ledtid
och i sämsta fall försenas leveranserna. Alltså förlängs den planderade ledtiden
ännu mer [12].
3.6
Ledtidsreduktion
Två metoder vars främsta syfte är att reducera genomloppstiden för en order är
enligt [7] överlappning av operationer och orderklyvning.
3.6.1
Överlappning av operationer
Överlappning av operationer innebär att delkvantiteter av ett parti transporteras
vidare till nästa operation innan hela partiet färdigbearbetats, se figur 3.3. Detta leder till att orderns totala genomloppstid reduceras. Genom förberedande
synkroniserad uppsättning för den överlappande operationen kan ledtiden reduceras ytterligare. Kötiden elimineras samtidigt framför den andra operationen.
Alltså kan överlappning av operationer leda till mycket reducerade genomloppstider. Det negativa med överlappning är att antalet transporter ökar. Detta kan
leda till ökad beläggning av transportmedel eller så kan det leda till en utjämning av transportbehovet. En utjämnad beläggning av transportmedel kan vara
gynnsam för tillgängligheten till transporter, vilket leder till att väntetiden för
3.6. Ledtidsreduktion
39
ordern reduceras.
Att använda sig av överlappning av operationer fungerar bäst på flödesgrupper, där produktionsstegen inte är fysiskt sammanbundna men där korta
avstånd gör att man kan knyta ihop olika resurser planeringsmässigt. I en funktionell verkstad leder ett stort antal överlappningar till en stor känslighet för
störningar, men överlappning kan användas på enstaka stora order för att reducera genomloppstiden [7].
Figur 3.3: Principen för överlappning [7].
3.6.2
Orderklyvning
Orderklyvning innebär att en tillverkningsorder delas in i ett antal delpartier
och bearbetas i mer än en resurs eller produktionsgrupp, se figur 3.4. Orderns
genomloppstid reduceras i och med att den totala operationstiden fördelas på
parallella resurser. För att minimera genomloppstiden ska orderklyvningen planeras så att bearbetningen avslutas samtidigt i alla resurser. Det negativa med
orderklyvning är att det krävs investering i nya verktyg/maskiner om det inte
redan finns parallella resurser [7].
3.6.3
Flödesanalys
Eftersom kö- och väntetider ofta utgör en betydande del av genomloppstiden
bör fokus läggas på att reducera dessa tider. I [1] belyses att kö- och väntetiderna ökar med en ökat kapacitetsutnyttjande.
För att förstå vad som påverkar kö- och väntetider och hur de påverkas finns
det ett antal begrepp som först måste redas ut.
40
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Figur 3.4: Principen för orderklyvning [7].
• Flöde
- dynamiken från det att ett inflöde kommer in i produktionsprocessen,
behandlas i diverse aktiviteter och slutligen lämnar processen som ett
utflöde
• Flödesenhet
- det som passerar genom en process exempelvis material
• Flödestakt (R = genomsnittlig flödestakt)
- genomsnittliga antalet flödesenheter som produceras i processen per
tidsenhet
• Flödestid (T = genomsnittlig flödestid)
- tiden det tar för en enhet från det att den går in i en process tills
den lämnar processen
• Lager (I = genomsnittligt lager)
- antalet flödesenheter inom processens väggar vid en speciell tid, alltså
flödesenheterna som kommit in i processen men inte nått slutet än
Sambandet mellan flödestakt, flödestid och lager benämns enligt [1] Littles lag:
I =R×T
Hur många gånger ett lager omsätts per år kallas lageromsättningshastighet
(LOH) och defineras enligt [7] som:
LOH =
Omsättning(kvantitet eller värde)
Lager(kvantitet eller värde)
Lageromsättningshastiget kan även defineras som :
3.6. Ledtidsreduktion
41
LOH =
R
1
=
I
T
Den totala flödestiden är summan av den teoretiska ledtiden och väntetiden.
Teoretisk ledtid är den minsta ledtid som krävs för att producera en flödesenhet då den inte behöver vänta någonstans i processen och väntetiden är den
totala tiden en flödesenhet spenderar i kö. Flödestidseffektiviteten eller ledtidseffektiviteten som beräknas som kvoten mellan den teoretiska flödestiden och
genomsnittligga flödestiden ger en indikation på hur stora kö- och väntetiderna
är [1].
Angreppssätt för att reducera flödestiden enligt [1].
1. Reducera kö- och väntetiderna.
2. Reducera den teoretiska flödestiden genom att minska arbetsinnehållet av
kritiska aktiviteter och flytta arbete från den kritiska vägen.
Den kritiska vägen är vägen som har den totalt längsta cykeltiden och en kritisk
aktivitet är en aktivitet på den vägen. Arbetsinnehållet av kritiska aktiviteter
kan minskas genom att eliminiera icke värdeskapande aktiviteter exempelvis
transporter, öka aktivitetshastigheten, reducera antalet upprepande aktiviter
och genom att ändra produktmixen. Att flytta arbete från den kritiska vägen
kan antingen ske genom att flytta arbete från en kritisk till en icke-kritisk aktivitet eller genom att lägga arbetet före eller efter den kritiska vägen.
3.6.4
Kapacitet och kapacitetsutnyttjande
Processkapacitet defineras enligt [1] som den maximalt ihållande flödestakten
i en process och den teoretiska kapaciteten är den maximala flödestakten en
resurs kan hålla om den är fullt utnyttjad. Den teoretiska kapaciteten för en
hel produktionsprocess styrs av kapaciteten hos den begränsande resursen eller
resursgruppen, den så kallade teoretiska flaskhalsen.
Kapacitetsutnyttjandet ger en uppfattning om hur stor del av resurserna
som används till att generera produkter och i slutändan intäkter. Kapacitetsutnyttjande kan defineras på flera olika sätt beroende på hur kapaciteten mäts
Kapacitetsutnyttjande =
Flödestakt(st/t.e.)
Kapacitet(st/t.e.)
eller
Kapacitetsutnyttjande =
Operationstid per period(t.e.)
.
Kapacitet per period(t.e.)
Kapacitetsutnyttjande med hänsyn till partistorlek och ställtid
D
(QT + S)
Q
Kapacitetsutnyttjande =
,
Cap
42
Kapitel 3. Teoretisk referensram
där
D
Q
T
S
Cap
=
=
=
=
=
efterfrågan (st/t.e.)
partistorlek (st)
processtid (t.e./st)
ställtid (t.e.)
kapacitet (st/t.e.).
Kapacitetsutnyttjande för resurser med flera artiklar
P
i∈j
Kapacitetsutnyttjande =
Di Tij +
Di
Sij
Qi
Capj
,
där
Di
Qi
Tij
Sij
Capj
=
=
=
=
=
efterfrågan för artikel i
partistorlek för artikel i
processtid för artikel i i resurs j
ställtid för artikel i i resurs j
kapacitet för resurs j.
Processkapaciteten är ofta mindre än den teoretiska kapaciteten hos en process,
eftersom resurserna oftast inte är fullt utnyttjade. Resursenheterna alternerar
mellan perioder då de är uttnyttjande och perioder då de inte utnyttjas och tid
går förlorad. Tidsförlusterna kan antingen vara planerade eller oplanerade.
Faktorer som reducerar processkapacitet.
•
•
•
•
•
•
•
Maskinavbrott
Förebyggande underhåll (service av maskiner)
Ställ
Materialbrist
Blockering (platsbrist för att förvara producerade enheter)
Batchstorlekar
Produktmix
Metoder för att förbättra processkapaciteten.
1.
2.
3.
4.
Minska operationstiden i flaskhalsen.
Öka batchstorleken i flaskhalsen för att minska andelen ställ.
Öka antalet resurser i flaskhalsen (parallella resurser).
Öka planerad tillgänglig kapacitet i flaskhalsen.
Operationstiden i flaskhalsen kan exempelvis minskas genom att minska arbetsinnehållet hos en aktivitet utförd av flaskhalsen, flytta en del av arbetsinnehållet till en resurs som inte är flaskhals eller genom att modifiera produktmixen.
Ytterliggare ett sätt att definera kapacitetsutnyttjandet, ρ, är
ρ=
Ri
,
Rp
där
Ri = ankomsttakt
Rp = processens maximala flödestakt.
3.7. Köteori
43
Säkerhetskapaciteten, Rs defineras som skillanden mellan maximal flödestakt
och ankommande flödestakt:
Rs = Rp − Ri = (1 − ρ)Rp
3.7
Köteori
Kö bildas om tiden mellan ankomster varierar, om servicetiden varierar eller om
dessa tider inte är synkroniserade. Väntevärde och varians är viktiga mått för
att mäta tiden mellan ankomster respektive servicetid. Variationskoefficienten
som är kvoten mellan standardavvikelsen och väntevärdet är det mått som används i många formler för att mäta kölängder [1].
Här behandlas köteori ur ett mera matematiskt perspektiv. Olika typer av
köer som möjligtvis kan uppstå i en tillverkande verkstad tas upp. Avsnittet
kräver vissa förkunskaper i sannolikhetslära och teori om Markovkedjor för att
förstå bakomliggande teori.
3.7.1
M/M/1-kö
Ett M/M/1-kösystem betyder att ankomstprocessen är minneslös d.v.s. att de
ankommande jobben antas följa en Poissonprocess och att servicetiderna (bearbetningstiderna) är oberoende och likafördelade exponentialfördelade stokastiska
variabler. Det är en resurs (maskin) som kan ta emot oändligt många jobb.
Låt λ vara ankomsttakten, µ bearbetningstakten och ρ = λ/µ. Antalet jobb,
N (t), i en M/M/1-kö kan ses som en Markovkedja i kontinuerlig tid. Den stationära fördelningen för tillstånd j är enligt [6]
πj = (1 − ρ)ρj ,
då λ < µ. (Om inte ρ < 1 kommer sannolikheten gå mot 0.)
Det förväntade antalet jobb i systemet ges av
E[N ] =
∞
X
jP (N = j) =
∞
X
j=0
j(1 − ρ)ρj = (1 − ρ)ρ
j=0
∞
X
d j
ρ
dρ
j=0
∞
d 1
ρ
d X j
ρ = (1 − ρ)ρ
=
.
= (1 − ρ)ρ
dρ j=0
dρ 1 − ρ
1−ρ
Det förväntade antalet jobb i kö, Nq , ges av
E[Nq ] =
∞
X
jP (N = j + 1) =
j=1
= (1 − ρ)ρ2
∞
X
j(1 − ρ)ρj+1 = (1 − ρ)ρ2
j=1
d
dρ
∞
X
j=1
ρj = (1 − ρ)ρ2
d 1
ρ2
=
.
dρ 1 − ρ
1−ρ
∞
X
d j
ρ
dρ
j=1
44
3.7.2
Kapitel 3. Teoretisk referensram
M/M/c-kö
Ett M/M/c-kösystem har Poisson anländande och c resurser var och en med
exponentiell bearbetningstid. Utnyttjandegraden för ett kösystem med oändlig
kapacitet defineras som ρ = λ/(cµ) där λ är ankomsttakten, µ är bearbetningstakten för en individuell resurs och c är antalet resurser. Sätt a = λ/µ.
Här är den stationära fördelningen för läge j enligt [6]
ρj−c ac
π0 , j ≥ c + 1,
c!
πj =
där
1
π0 = Pc−1
aj
j=0 j!
+
ac 1
c! 1−ρ
, λ < cµ.
Låt W beteckna väntetiden i kö. Sannolikheten att ett anländande jobb finner
alla resurser upptagna och måste vänta i kö ges av
P (W > 0) = P (N ≥ c) =
∞
X
ρj−c πc =
j=c
c
=
1 a
P
1 − ρ c! c−1
j=0
πc
1−ρ
1
aj
j!
+
ac 1
c! 1−ρ
:= C(c,a).
Det förväntade antalet jobb i kö ges då av
E[Nq ] =
∞
X
j(j − c)ρj−c πc = πc
j=c
∞
X
jρj
j=0
ρ
ρ
=
πc =
C(c,a)
2
(1 − ρ)
1−ρ
och vi har
E[N ] = E[Nq ] +
λ
.
µ
Väntetidsfördelning uttrycks som
P (W ≤ x) = 1 − C(c,a)exp{−cµ(1 − ρ)x}.
Den förväntade kötiden ges av
Z ∞
Z
E[W ] =
P (W ≥ x)dx =
0
∞
C(c,a)exp{−cµ(1 − ρ)x}dx =
0
C(c,a)
.
cµ(1 − ρ)
Eftersom E[τ ] = 1/µ, så är den genomsnittliga totala förseningen
1
C(c,a)
E[T ] = E[W ] + E[τ ] =
+1 ,
µ c(1 − ρ)
där τ är bearbetningstiden för ett anländande jobb, W är kötiden och T är den
totala tiden i systemet.
3.7. Köteori
3.7.3
45
Littles formel
Låt N (t) vara en slumpvariabel som representerar antalet jobb i systemet vid
tiden t och låt A(t) vara en slumpvariabel representerande antalet ankomster
fram till tiden t. Antag att tiden mellan ankomsterna kan ses som oberoende, lika
fördelade slumpmässiga variabler med ändligt väntevärde. Låt X beteckna en
slumpvariabel representerande tiden mellan två ankomster och låt λ = 1/E[X].
Då gäller limt→+∞ E[A(t)]/t = λ. Antag att när t → +∞, då når N (t) en
stationär fördelning när N är en slumpvariabel med den fördelningen. Låt T vara
en slumpvaraiabel representerande tiden ett slumpmässigt valt jobb spenderar
i systemet, när systemet är i jämnvikt. Då gäller Littles formel
E[N ] = λE[T ].
En variant på Littles formel kan användas på en bit av systemet, där Nq (t), antalet jobb i kö och W , väntetiden innan bearbetningen börjar betraktas. Formeln
ser då ut enligt följande
E[Nq ] = λE[W ].
På liknande sätt, låt Ns (t) beteckna antalet jobb som bearbetas vid tiden t och
låt τ vara bearbetningstiden. Littles formel på den delen av systemet ger
E[Ns ] = λE[τ ].
För ett system med endast en resurs kan Ns (t) endast vara 0 eller 1, så E[Ns ]
representerar den andel tid som resursen är upptagen. Låt π0 = limt→+∞ P (N (t) =
0) beteckna det stationära tillståndets sannolikhet att systemet är tomt. Då är
1 − π0 = E[Ns ] = λE[τ ],
eller
π0 = 1 − λE[τ ],
eftersom π0 är andelen tid som resursen är upptagen. Därför defineras utnyttjandet av en enkel resurs, ρ, som
ρ = λE[τ ].
Utnyttjandet av ett system med c resurser, ρ, defineras som
ρ=
λE[τ ]
.
c
Se [6] för mer detaljer.
3.7.4
M/G/1-kö
Ett M/G/1-kösystem betyder att vi har en generell servicetidsfördelning, en
resurs och att jobben anländer som en Poissonprocess. Låt τ beteckna bearbetningstiden. Antalet jobb, N (t), kan inte längre ses som en Markovkedja,
eftersom endast exponentialfördelning har minneslöshet [6].
46
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Residualservicetiden, R, defineras som den återstående tiden för att slutföra
nuvarande jobb i en resurs, sett från det anländande jobbets synvinkel. Väntevärdet för residualservicetiden är
E[τ 2 ]
.
2E[τ ]
E[R] =
Låt R0 vara residualservicetiden för ett jobb som bearbetas. Då gäller följande
E[R0 ] =
λ
E[τ 2 ].
2
Variationskoefficienten för servicetiden, Cτ , ges av
Cτ2 =
στ2
.
E[τ ]2
Den förväntade kötiden blir då
E[W ] =
ρ(1 + Cτ2 )
E[τ ].
2(1 − ρ)
Ett M/D/1-system har konstant bearbetningstid, så Cτ ≡ 0 och
E[W ] =
ρ
E[τ ],
2(1 − ρ)
som kan jämföras med M/M/1-systemets
E[W ] =
3.7.5
ρ
E[τ ].
1−ρ
Prioriterade köer
Här betraktas K klasser av jobb. Jobb av typen k anländer enligt en Poissonfördelning med parameter λk och har bearbetningstid med täthetsfunktion
pτk (x). En separat kö hålls för varje klass och varje gång en resurs blir ledig,
väljs det jobbet med högst prioritet ut och börjar bearbetas. Bearbetningsutnyttjandet för typ k jobb är enligt [6]
ρk = λk E[τk ].
Antag nu att resursernas totala utnyttjande är mindre än 1;
ρ = ρ1 + · · · + ρK < 1.
Annars kommer köerna med lägst prioritet växa utan begränsning.
Väntevärdet för väntetiden för ett typ k jobb ges enligt [6] av
E[Wk ] =
E[R0 ]
(1 −
Pk−1
j=1
ρj )(1 −
Pk
j=1
ρj )
,
3.7. Köteori
47
där
λE[τ 2 ]
,
2
λ = λ1 + · · · + λk ,
λk
λ1
E[τ12 ] + · · · +
E[τk2 ].
E[τ 2 ] =
λ
λ
E[R0 ] =
Den förväntade kötiden för ett typ k jobb kan därför skrivas
PK
E[Wk ] =
3.7.6
2(1 −
2
j=1 λj E[τj ]
Pk−1
Pk
j=1 ρj )(1 −
j=1
ρj )
.
Kötid
Enligt [1] defineras lager i ett kösystem som
√
Ii =
ρ
2(c+1)
1−ρ
Ci2 + Cp2
,
2
där
c
ρ
Ci
Cp
=
=
=
=
antalet paralella servrar
kapacitetsutnyttjande
variationskoefficienten för tiden mellan ankomsterna
variationskoefficienten för processtiden.
Kösystem med en enkel server och exponentialfördelad tid
Ii =
ρ2
.
1−ρ
Ovanstående uttryck för lager i ett kösystem med en enkel server är bara ett
annat sätt att uttrycka det förväntade antalet jobb i kö i ett M/M/1-kösystem,
se avsnitt 3.7.1.
Alltså fås att kötiden ökar med ökat kapacitetsutnyttjande, se figur 3.5.
Metoder för att reducera kötiden enligt [1].
1. Reducera variabiliteten
- tid mellan ankomster
- servicetid
2. Ändra säkerhetskapaciteten
- öka säkerhetskapaciteten
- flexibel säkerhetskapacitet
3. Synkronisera flödet
- styra kapaciteten mot efterfrågan
- styra efterfrågan mot kapaciteten
- synkronisera flödet i processen
48
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Figur 3.5: Förhållandet mellan kö- och väntetid och kapacitetsutnyttjande [1].
3.8
Sekvensering
Problemet att bestämma i vilken turordning olika produkter ska tillverkas i en
produktionsanläggning kallas sekvensering. Optimerande metoder används endast på enklare problem, eftersom sekvenseringsproblem är mycket komplicerade. De optimerande modellerna som tas upp i det här avsnittet är sekvensering
i en enskild resurs (maskin) och sekvensering i två eller flera resurser.
3.8.1
Sekvensering i en resurs
Det enklaste sekvenseringsproblemet är att planera in ett antal order på en
enskild resurs. Vilken regel som används beror på vilket målkriterium som
ska uppnås. Det kan exempelvis vara att minimera ordernas genomsnittliga
genomloppstid, minimera genomsnittlig försening, minimera maximal genomloppstid, minimera maximal försening och minimera total produktionstid. Alla
tillåtna sekvenser minimerar den totala produktionstiden om det inte förekommer sekvensberoende ställtider. Sekvensberoende ställtider innebär att ställtiden mellan order beror på i vilken sekvens de bearbetas. Det är även möjligt att
använda dessa planeringsmetoder i flödesgrupper och andra produktionssystem
som har en dominerande kritisk resurs, en så kallad flaskhals som då behandlas
som en enskild resurs [7].
Först in först ut
Orderna avverkas i den ordning som de anländer till produktionsgruppen [7].
Kortaste operationstid först
Den här metoden går ut på att produktionsledtiden jämförs för de order som
ska tillverkas och börjar med den som har kortast produktionstid. Metoden
minimerar den totala genomloppstiden, vilket ofta leder till låga PIA-nivåer på
grund av att orderna släpps igenom så snabbt som möjligt. Nackdelarna med
3.8. Sekvensering
49
den här metoden är att det inte tas någon hänsyn till när olika order måste
levereras och att de största orderna får lång genomloppstid då de alltid står
längst bak i kön, då nya kortare order kommer in löpande [7].
Tidigaste färdigdatum
Metoden går ut på att tillverka den order med närmaste färdigpunkt. Detta
kan avse den aktuella opertionen, artiklens planerade färdigtid eller hela orderns leveransdatum. Modellen minimerar den maximala förseningen, men inte
antalet förseningar [7].
Kritisk kvot
Beräkning av den kritiska kvoten utförs genom att dividera tiden som är kvar
till leverans med tiden det tar att tillverka ordern. De order som får lägst kritisk
kvot produceras först, eftersom skillnaden mellan deras produktionstid och tiden
kvar till leverans är minst [7].
3.8.2
Sekvensering i två eller flera resurser
I fallet då alla order ska gå igenom två resurser i samma ordning finns det enkel
algoritm, som minimerar den totala produktionstiden. Metoden benämns Johnsons algoritm och metoden går ut på att de order med kortast operationstid i
maskin ett planeras in först för att maskin två så fort som möjligt ska ha något
att arbeta med. De order med kortast operationstid i maskin två planeras in så
sent som möjligt i sekvensen för att inte maskin två ska bli stående med arbete
kvar allt för länge i sekvensen.
Algoritm 3.1
1. Välj ut den order med kortast operationstid i första eller andra resursen.
2. Om tiden tillhör den första resursen, så placeras ordern först i sekvensen.
3. Om tiden tillhör den andra resursen, så placeras ordern sist i sekvensen.
4. Ta bort den ordern.
5. Upprepa 1-4 tills alla order är sekvensierade.
Johnsons algoritm kan i specialfall även användas på fler än två reurser. I fallet
med tre resurser fungerar det om den mittersta resursen inte är flödets flaskhals.
I så fall behandlas den första och andra resursen som en första resurs och den
andra och tredje resursen som en andra resurs [7].
50
Kapitel 3. Teoretisk referensram
Kapitel 4
Analys
I detta kapitel redovisas de olika problemen som har undersökts för att försöka reducera Fredriksons ledtider. Analysen och den teoretiska referensramen ska tillsammans
ligga till grund för den prioriterade åtgärdsplanen.
4.1
Prognostisering
4.1.1
Tidsseriemetoder
De nio artiklarna med högst volymvärde ur det valda produktsortimentet valdes
ut, för att undersöka hur väl den prognostiserade efterfrågan stämmer överens
med den verkliga efterfrågan på urvalet. (Artiklarna benämns A-I.) För år 2009
togs försäljningsstatistiken fram för varje månad på respektive artikel, alltså den
verkliga efterfrågan.
Den prognostisering som har genomförts på Fredriksons på dessa artiklar är
en prognos på den årliga efterfrågan, som sedan har uppdaterats några gånger
per år. Prognoserna sätts utifrån hur det har sett ut tidigare och hur det förväntas bli framöver. Ingen speciell metod används. I en del fall har man fått tagit del
av kundens prognos. För att även prognoserna skulle fås månadsvis, så delades
årsvolymen med antalet månader och en ny prognos fick börja gälla månaden
efter det att en uppdatering genomförts.
Därefter jämfördes verklig efterfrågan med den prognostiserade efterfrågan.
Till att börja med ritades grafer upp för att se hur väl de stämde överens och
sedan beräknades prognosfelet för varje månad. Medelfelet och medelabsolutfelet räknades sedan fram för hela året med hjälp av formler från avsnitt 3.1.5.
Excelfiler som skapades för att analysera prognoserna finns i bilaga A.1.
Snart kunde konstateras att prognosen och efterfrågan inte stämde så bra överens. Därför prövades ett par kända tidsseriemodeller på samma efterfrågan för
att se om resultat blev bättre. Metoderna glidande medelvärde och exponetiell
utjämning var de som användes, se avsnitt 3.1.4. Konstanten som används vid
exponentiell utjämning sattes till 0,3 eftersom det i de flesta fallen gav det lägsta värdet på medelabsolutfelet. Med dessa metoder blir prognosfelen mindre,
men det blir långt ifrån bra eftersom efterfrågan är så ojämn. Kontrollsignal för
Johansson, 2010.
51
52
Kapitel 4. Analys
efterfrågan och kontrollsignal för prognosmetoden från avsnitt 3.1.5 användes
även som en form av prognosuppföljning på de nya prognoserna.
Prognosen kan inte förkastas i mer än ett av de undersökta fallen, då kontrollgränsen k1 = 4 används. Väljer man istället k1 = 2, vilket svarar mot en
sannolikhet om 89,04% att normalfördelad efterfrågan är inom kontrollgränserna, så förkastas prognosen i betydligt flera fall. Se tabell 3.1 i avsnitt 3.1.5 och
bilaga A.1.
Konfidensgraden för prognosmetodens medelvärdesriktighet skiljer sig mycket mellan olika tidsperioder på respektive artikel och även mellan artiklarna.
Då återstod att undersöka om efterfrågan uppvisade någon trend eller några
säsongsvariationer. För att kunna göra detta togs försäljningsstatistiken för de
senaste tre åren fram. Exelfiler med prognoser då hänsyn tas till säsong finns i
bilaga A.2. Inga tydliga trender eller säsongsvariationer kunde påvisas. Om en
tydlig trend föreligger och man inte tar hänsyn till detta, kommer prognosen
hela tiden släpa efter, vilket man kan se att den inte gör då medelabsolutfelet
inte ökar för varje månad. Tillgången på data är lite bristfällig för att kunna
göra utförligare analyser, eftersom många artiklar är ganska nya.
4.1.2
Avancerade tidsseriemetoder
Pronostisering för fem av de nio utvalda artiklarna med högst volymvärde (artikel C-G) undersöktes vidare med hjälp av ARMA-processer, som finns beskrivna i avsnittet om avancerade tidsseriemetoder i avsnitt 3.1.4. Till att börja med
plottades efterfrågan för respektive artikel tre år tillbaks i tiden, se figur 4.1,
och tillhörande stickprovs autokorrelationsfunktioner, se figur 4.2, för att se om
en AR-, MA- eller ARMA-process är lämpligast att använda. Den valda modellens ordning sattes till 1 i samtliga fall eftersom endast 36 mätpunkter finns
tillgängliga. En ARMA(1,1)-modell passar bättre än en AR(1)- eller MA(1)modell för alla utvalda artiklar. Modellens parametrar bestämdes sedan genom
att pröva vilka värden som ger det minsta prognosfelet i minsta kvadratmening.
Även bästa linjära prediktor skattades och jämfördes med den valda modellen,
se figur 4.3, där xdata är efterfrågan. Slutligen plottades residualernas stickprovs autokorrelationsfunktioner, för att se att de uppvisar uppförandet för vitt
brus, se figur 4.4.
Modellen för artikel C blir följande ARMA(1,1)-modell
Yn − 0,9198Yn−1 = Xn + 0,08564Xn−1
och den bästa linjära prediktorn är
Pn Yn+k = 1 − 0,9018Yn .
Modellen för artikel D blir följande ARMA(1,1)-modell
Yn − 0,9093Yn−1 = Xn + 0,2274Xn−1
och den bästa linjära prediktorn är
Pn Yn+k = 1 − 0,9134Yn .
4.1. Prognostisering
53
140
250
120
200
100
150
80
60
100
40
50
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
40
400
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
120
350
100
300
80
250
200
60
150
40
100
20
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
40
140
120
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Figur 4.1: Månadsvis efterfrågan år 2007-2009 för artikel C-G.
Modellen för artikel E blir följande ARMA(1,1)-modell
Yn − 0,9217Yn−1 = Xn + 0,1407Xn−1
och den bästa linjära prediktorn är
Pn Yn+k = 1 − 0,8823Yn .
Modellen för artikel F blir följande ARMA(1,1)-modell
Yn − 0,9935Yn−1 = Xn − 0,47Xn−1
och den bästa linjära prediktorn är
Pn Yn+k = 1 − 0,8578Yn .
54
Kapitel 4. Analys
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
0
−20
20
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
0.1
−15
−10
−5
0
5
10
15
0
−20
20
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Figur 4.2: Autokorrelationsfunktionerna för efterfrågan för artikel C-G.
Modellen för artikel G blir följande ARMA(1,1)-modell
Yn − 0,9881Yn−1 = Xn − 0,4494Xn−1
och den bästa linjära prediktorn är
Pn Yn+k = 1 − 0,8403Yn .
I de ovanstående fem fallen har samma datamaterial för respektive artikel använts vid skattning av ARMA-modellerna och valideringen av de bästa linjära
prediktorerna, eftersom det inte finns tillgång på så stort datamaterial. Det
hade annars varit lämpligt att skatta modellerna med hjälp av en del av datamaterialet och validerat med en annan del, vilket då hade gjort modellerna mer
tillförlitliga.
4.1. Prognostisering
55
y1. (1−step pred)
y1. (1−step pred)
xdata; measured
skattadModell; fit: 45.05%
xdata; measured
skattadModell; fit: 46.06%
200
120
100
150
y1
y1
80
100
60
40
50
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
5
y1. (1−step pred)
15
20
25
30
35
y1. (1−step pred)
120
350
10
xdata; measured
skattadModell; fit: 42.44%
xdata; measured
skattadModell; fit: 31.6%
300
100
250
80
y1
y1
200
60
150
40
100
20
50
0
5
10
15
20
25
30
0
35
5
10
15
20
25
30
35
y1. (1−step pred)
xdata; measured
skattadModell; fit: 31.21%
120
100
y1
80
60
40
20
0
5
10
15
20
25
30
35
Figur 4.3: Modellens anpassning till den bästa linjära prediktorn för artikel C-G.
56
Kapitel 4. Analys
1
1.2
0.8
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0
0.2
−0.2
0
−0.4
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−0.2
−20
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−0.4
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Figur 4.4: Residualernas autokorrelationsfunktioner för artikel C-G.
4.2
Partiformning
Fredriksons använder sig i dagsläget inte av någon speciell partiformningsmetod,
istället baseras orderkvantiteten bara på årsvolymen och vald partiformningsmetod som i de allra flesta fall är periodbeställningar som ska täcka upp behovet
för en eller flera veckor. I allt för många fall stämmer inte dessa parametrar så
väl överens med den satta årsvolymen.
4.2. Partiformning
4.2.1
57
Fredriksons lagerhållningskostnader
Kapitalkostnad: 30 %
Materialhantering + lagerhyra: 4,5 %
Försäkring: 0,05 %
Kassationer: 0,5 %
Inkurans: 3 %
⇒Lagerhållningränta: 38 %
Kapitalkostnaden, försäkring och inkurans är givna värden. Kassationens värde
togs fram genom att för en representativ månad ta fram en kassationslista där
kostnaden för kasserat material återfinns och dividera detta med den totala materialkostanden under samma period. Kostnaden för den totala materialhantering för år 2009 togs fram och av det räknas 7/24 till lagerhållningen, vilket ger
materialhanteringskostnaden för lagerhållning. Lagerhållningkostnaden beräknas genom att uppskatta lagringsutrymmet till 1 250 m2 och multiplicera detta
med kostnaden för varje kvadratmeter. För att få det procentuella värdet på materialhanteringen och lagerhyran, adderas ovanstående två värden och divideras
sedan med det aktuella lagervärdet.
4.2.2
Ställtidsreduktion i en EOQ-modell
Exempel på ställtidsreduktion i en EOQ-modell från avsnitt 3.3.1, för en utvald
artikel ur Fredriksons sortiment.
r = 38%
v = 28,27 kr
slaser = 6 min
sgradning = 3 min
skantpress = 6 min
claser = 791 kr/tim
cgradning = 389 kr/tim
ckantpress = 420 kr/tim
D = 1696 st/år
H = r × v = 10,7426 kr/enhet
K = slaser × claser + sgradning × cgradning + skantpress × ckantpress = 140,55 kr
⇒ Q∗ = 211
Ny ekonomisk orderkvantitet, då ställtiderna har ändrats jämnt fördelad över
de tre produktionsgrupperna:
58
Kapitel 4. Analys
r
sR
s
Reducering av ställtiden med
1
3
⇒ Q∗R = 211 ×
q
Reducering av ställtiden med
2
3
⇒ Q∗R = 211 ×
5
q 15
Q∗R = Q∗ ×
Ökning av ställtiden med
1
3
⇒ Q∗R = 211 ×
Ökning av ställtiden med
2
3
⇒ Q∗R = 211 ×
⇒
Dubblering av ställtiden
Q∗R
= 211 ×
10
q 15
20
q 15
25
q 15
30
15
= 172
= 122
= 244
= 272
= 298
Minska laserns ställtid med 1/3 av den gemensamma ställtiden.
1
× claser + sgradning
60 q
2Kny D
Q∗R =
= 105
H
Kny =
⇒
× cgradning + skantpress × ckantpress = 34,75 kr
Med ovanstående ställtidsreduktion sänker man alltså den ekonomiska orderkvantiteten till ungefär hälften.
4.3
Jämförelse mellan säkerhetslager och säkerhetsledtid
I dagsläget använder sig Fredriksons inte av något säkerhetslager utan av säkerhetsledtid. Här beräknas säkerhetslager för ett par artiklar ur Fredriksons
sortiment för att sedan jämföras med den satta säkerhetsledtiden. Fredriksons
har som mål att ha en servicenivå på 98 %, vilket motsvarar säkerhetsfaktorn
k=2,055, se avsnitt 3.4.1.
Artikel 1
σ̂
ρ
γ
L
=
=
=
=
41,106 per år
0,26
0,63
5 dagar
⇒ SS = k × σ̂ × Lγ = 2,055 × 41,106 ×
5
250
0,63
≈7
Då den givna artikeln har en årsvolym på 1056 enheter, kan säkerhetslagret
översättas till en säkerhetsledtid på 2 dagar ty,
7
= 0,0066 år ≈ 2 dagar
1056
vilket kan jämföras med den givna säkerhetsledtiden på 3 dagar.
Artikel 2
σ̂
ρ
γ
L
=
=
=
=
28,602 per år
-0,41
0,30
15 dagar
4.4. Kötid och sekvensering
59
⇒ SS = k × σ̂ × Lγ = 2,055 × 28,602 ×
15
250
0,30
≈ 26
Då den givna artikeln har en årsvolym på 1058 enheter, kan säkerhetslagret
översättas till en säkerhetsledtid på 6 dagar ty,
26
= 0,0246 år ≈ 6 dagar
1058
vilket kan jämföras med den givna säkerhetsledtiden på 2 dagar.
Den skattade standardavvikelsen, σ̂, har beräknats utifrån efterfrågans prognosfel för år 2009, enligt
v
u
n
u 1 X
t
σ̂ =
(xj − x̄),
n − 1 j=1
där n är antalet prognosperioder, (x1 , . . . ,xn ) är prognosfelet i respektive period
och x̄ är medelvärdet för prognosfelen [13].
Korrelationskoefficienten, ρ fås genom följande formel från [2]
ρ(X,Y ) =
E(XY ) − E(X)E(Y )
Cov(X,Y )
=
,
σX σY
σX σY
där värdena på de stokastiska variabelerna X och Y kommer från prognosfelen
år 2008 respektive år 2009.
Värdet på konstanten γ har därefter bestämts utifån korrelationens värde, då
faktum är att ρ=-1 motsvara γ=0, ρ=0 motsvara γ=0,5 och ρ=1 motsvarar
γ=1.
4.4
Kötid och sekvensering
I det här avsnittet sekvensieras ett antal jobb bestående av samma plåtkvalité,
som lämpligtvis bearbetas i en flödesgrupp för plåtbearbetning. Detta genomförs för att belysa vikten av en genomtänkt sekvensering, för att uppnå en så
kort bearbetningstid som möjligt. Därefter undersöks med hjälp av köteori hur
sekvenseringen påverkar kötiden. Figur 4.5 visar operationstiderna för orderna
i respektive maskin.
Eftersom gradning inte är någon styrande operation så fungerar det bra att
sekvensera dessa jobb med Johnsons algoritm, se avsnitt 3.8.2. Laser plus gradning betraktas som den första resursen och gradning plus kantpress betraktas
som den andra resursen. Algoritm 3.1 ger sekvensen
A − F − C − D − E − B,
vilket ger den totala genomloppstiden 243,9 minuter. Figur 4.6 visar ett Ganttschema.
60
Kapitel 4. Analys
Operationstid (minuter) för order
A
B
C
D
E
Antal
5
131
24
62
34
Laser
9,0 32,2 14,4 23,9 39,6
Gradning 10,0 38,8 20,4 21,6 23,0
Kantpress 19,5 51,3 50,4 40,0 42,6
F
25
15,8
7,2
17,5
Figur 4.5: Operationstider för olika order i respektive resurs.
Figur 4.6: Gantt-schema.
Sekvenseras jobben enligt kortaste operationstid först, se avsnitt 3.8.1, betraktas
kantpressen som den styrande operationen som man sekvenserar efter. I detta
fall blir sekvensen
F − A − D − E − C − B,
vilket ger den totala genomloppstiden 255,6 minuter. Figur 4.7 visar ett Ganttschema.
Figur 4.7: Gantt-schema.
Johnsons algoritm är den sekvenseringsregeln som ger bäst resultat i det här och
liknande problem, då Fredriksons vill ha så korta genomloppstider som möjligt.
Kötiden framför kantpressen som är den styrande operationen i flödesgruppen
ska nu undersökas. Antag att kösystemet som uppstår är av typen M/M/1,
alltså att jobben anländer som en Poissonprocess och att bearbetningstiderna
är oberoende och likafördelade exponentialfördelade stokastiska variabler. Endast en kantpress arbetar med dessa jobb. Ankomsttakten, λ, beräknas utifrån
laserns eller gradningens bearbetningstid beroende på vilken av dessa som har
den högsta bearbetningstakten och därmed även det högsta kapacitetsutnyttjandet. Bearbetningstakten, µ, beräknas utifrån kantpressens bearbetningstid. Se
4.4. Kötid och sekvensering
61
tabell 4.1 för jobbens respektive ankomsttakt, bearbetningstakt och kapacitetsutnyttjande.
λA =
λB =
λC =
λD =
λE =
λF =
10,0
5
38,8
131
20,4
24
23,9
62
39,6
34
15,8
25
= 2,00 st/min,
= 0,30 st/min,
= 0,85 st/min,
= 0,39 st/min,
= 1,16 st/min,
= 0,63 st/min,
µA =
µB =
µC =
µD =
µE =
µF =
19,5
5
51,3
131
50,4
24
40,0
62
42,6
34
17,5
25
ρA =
ρB =
ρC =
ρD =
ρE =
ρF =
= 3,90 st/min,
= 0,39 st/min,
= 2,10 st/min,
= 0,65 st/min,
= 1,25 st/min,
= 0,70 st/min,
2,00
3,90
0,30
0,39
0,85
2,10
0,39
0,65
1,16
1,25
0,63
0,70
= 0,51
= 0,77
= 0,40
= 0,60
= 0,93
= 0,90
Tabell 4.1: Ankomsttakt, bearbetningstakt och kapacitetsutnyttjande.
I tabell 4.2 redovisas det förväntade antalet jobb i systemet, jobb i kö, den
förväntade kötiden och den genomsnittliga totala förseningen beräknade enligt
formler från avsnitt 3.7.1.
Order
A
B
C
D
E
F
E[N ]
1,04
3,35
0,67
1,50
13,29
9,00
E[Nq ]
0,53
2,58
0,27
0,90
12,36
8,10
E[W ]
0,27
8,58
0,32
2,31
10,63
12,86
E[T ]
0,52
11,15
0,79
3,85
11,43
14,29
Tabell 4.2: Genomsnittliga värden för olika order.
Den förväntade kölängden ökar med ökat kapacitetsutnyttjande.
Antag nu att det finns två prioriteringsklasser av jobb, med ett jobb i varje kö.
Order A tillhör den första klassen och order C tillhör den andra klassen. Nu
antas att vi har ett M/G/1-kösystem. Den förväntade kötiden för klass k blir
enligt avsnitt 3.7.5
P2
2
j=1 λj E[τj ]
E[Wk ] =
,
Pk−1
Pk
2(1 − j=1 ρj )(1 − j=1 ρj )
där
E[τj2 ] = V [τj ] + E[τ ]2 =
2
.
µ2j
2
2
+ λ2 2
µ21
µ2
E[W1 ] =
= 0,66
2(1 − ρ1 )
2
2
λ1 2 + λ2 2
µ1
µ2
E[W2 ] =
= 7,35
2(1 − ρ1 )(1 − ρ)
λ1















⇒
62
Kapitel 4. Analys
den genomsnittliga förväntade kötiden
E[Wprioritering ] =
λ1
λ2
E[W1 ] + E[W2 ] = 2,66.
λ
λ
Detta kan jämföras med ett M/G/1-kösystem utan prioritering.
λ1
λ2
E[τ12 ] + E[τ22 ] = 0,23
λ
λ
2
λE[τ
]
E[R0 ] =
= 0,33
2
E[τ 2 ] =
ger den genomsnittliga förväntade kötiden
E[W ] =
E[R0 ]
= 3,67.
1−ρ
Sekvensering med Johnsons algoritm har förbättrat den genomsnittliga kötiden.
4.5
Värdeflödesanalys
Värdeflödesanalys (Value Stream Mapping, VSM) är en LEAN-tillverkningsteknik som går ut på att man analyserar flödet av material och information
som för närvarande krävs för att man ska kunna leverera en produkt eller tjänst
till en kund.
VSM har genomförts rent teoretiskt med hjälp av givna data ur MONITOR
på ett antal artiklar ur det valda produktsortimentet. MONITOR är det affärssystem som används på Fredriksons. Efter att en slutprodukt att undersöka
har valts ut, så undersöktes vilka komponenter som ingår i den och på vilken nivå
i produktstrukturen som de ligger. Därefter genomfördes VSM på alla fiktiva
och lagerförda artiklar i tur och ordning nerifrån och upp genom produktstrukturen. Fiktiva artiklar är artiklar som inte representerar någon fysisk företeelse
utan används av administrativa skäl, exempelvis för att underlätta strukturregisterunderhåll. Lagerförda artiklar är artiklar som Fredriksons tillverkar själva.
Köpekomponenterna är i det här fallet oväsentliga och undersöktes därför inte.
För varje artikel hämtades ur MONITOR parametrarna säkerhetsledtid,
partiformningsregel, orderkvantitet, minimumkvantitet, årsvolym och dagstakt.
På artikelnivå fås även ställtid och operationstid för de produktionsgrupper
som artikeln ska passera. Varje produktionsgrupp har även en given grundtid,
kapacitets-, bemannings-, effektivitetsfaktor och kötid. Antalet skift vid respektive produktionsgrupp är också information som har hämtats.
Efter insamling av dessa data ritades flödet upp för varje artikel från första operation till lagerläggning, för att ledtiden därefter ska kunna beräknas.
Vid varje operation antecknades stycktid och ställtid, så att den värdeskapande
tiden för vald orderkvantitet kunde räknas ut. Under flödet antecknades sedan
ledtiden i dagar för transport och kötider mellan varje operation. Slutligen summerades dessa ledtider och den teoretiska ledtiden genereras utifrån de givna
4.5. Värdeflödesanalys
63
värden i MONITOR. Den värdeskapande tiden är en mycket liten del av ledtiden. Ledtiden för slutprodukten är summan av ledtiderna för den kedja av
komponenter som har längst ledtid plus ledtiden för den slutliga monteringen
och lagerläggningen.
Efter att teoretiskt ha genomfört VSM på ett par artiklar genomfördes en
utförligare VSM där en artikel som var på väg genom fabriken kunde undersökas
i praktiken. Första steget var att ute i fabriken följa artikelns väg bakifrån med
början i färdigvarulagret för att slutligen nå råmaterialförådet. För hand ritades
varje lagerplats och produktionsgrupp upp. På de lagerplatser där det fanns några artiklar noterades antalet. Därefter ritades flödet upp på större papper för
att få en bra överblick över flödet.
Genomloppstiden beräknades sedan genom att vid varje lagerplats som innehåll artiklar räkna ut hur många dagar som krävdes för att få igenom alla artiklar, då hänsyn togs till given dagstakt baserad på förväntad årsvolym. Dessa
värden summerades slutligen för att få artikelns genomloppstid, vilket sedan
jämfördes med den värdeskapande tiden.
Nästa steg vid en värdeflödesanalys är att titta på det nuvarande flödet
och se om man kan försöka ändra för att förbättra ledtiden. Först och främst
såg man att det fanns många onödiga lagerplatser, vilket även leder till många transporter. Orderkvantiteten som använd är inte optimal, därför har en ny
orderkvantitet räknats fram med den kända Wilson-formeln för ekonomisk orderkvantitet. Hur den används och med vilka värden tas upp längre fram.
Den aktuella artikeln ska gå igenom operationerna laser, gradning och kantpress innan den monteras ihop med andra komponenter. I dagsläget är fabriken
uppbyggd som en funktionell verkstad det vill säga maskiner och utrustning av
samma slag finns i samma avdelning. Ett förslag på förbättring är att skapa en
flödesgrupp med en laser, en gradningsmaskin och en kantpress där en mängd
artiklar kan passera innan de transporteras till nästa operation. Det skulle reducera ledtiderna eftersom ställtiderna skulle minska och mindre batcher skulle
kunna köras. Den nya förväntade genomloppstiden räknades sedan fram som
ovan.
För att detta skulle vara praktiskt genomförbart behöver företaget investera
i en ny gradningsmaskin (Fladder). Ett urval av plåtar som skulle vara lämpliga
att köra i den här flödesgruppen togs därefter fram. Då undersöktes hur många
timmar som ett treskift förväntades få ut på ett år och undersökte hur många
timmar som hade använts i respektive produktionsgrupp föregående år på valda
plåtar. Kantpressens använda tid för dessa plåtar ska stämma överens med hur
mycket tid man kan få ut, eftersom kantpressen anses vara flaskhalsen i detta
flöde.
Tillslut genomfördes en kostnadsanalys för att påvisa att det här är ett lönsamt
förslag.
64
Kapitel 4. Analys
Nuläge:
Årsvolym: D = 1696 st
Dagstakt: 6,8 st/dag
EOQ: Q∗ = 240
Partiformning: P = 20 dagar
Minimumkvantitet: 240
Genomloppstid baserad på dagstakt: 62,6 dagar
Teoretisk ledtid enligt MONITOR: 10 dagar
Värdeskapande tid: 87,35 min
Förslag:
Årsvolym: D = 1696 st
Dagstakt: 6,8 st/dag
Lagerhållningsränta per år: r = 38%
Artikelvärde: v = 28,27 kr
Ordersärkostnad:
q K=kapacitetskostnad/tim×ställtid(tim)=420 ×
∗
6
60
kr
2KD
vr
EOQ: Q =
= 115
Partiformning: P=15 dagar
Minimumkvantitet: 1
Genomloppstid baserad på dagstakt: 34,5 dagar
Teoretisk ledtid enligt MONITOR: 6 dagar
Värdeskapande tid: 87,10 min
Kostnadsanalys:
Ledtidsreduktion: 45% ⇒ kapitalbindningsreduktion med 1,3 miljoner kr
Kapitalränta: 30%
Produktionseffektivisering: 50% av 3000 tim
⇒1500 tim á 300 kr = 450000 kr
Kostnad för flytt av maskiner: 50000 kr
Investering i beg. Fladder: 700000 kr
Justera beredningar 100 tim á 500 kr: 50000 kr
⇒ Payofftid: 50000+700000+50000
0,3×1300000+450000 = 0,95 år
Känslighetsanalys:
En ledtidsreduktion med 20% ⇒ Payofftid = 1,3 år
Effektiviseringen uteblir ⇒ Payofftid= 2 år
Båda enligt ovan ⇒ Payofftid= 4,8 år
Figur 4.8: Befintligt flöde.
4.5. Värdeflödesanalys
65
66
Kapitel 4. Analys
Figur 4.9: Förslag.
Kapitel 5
Åtgärdsförslag
Utifrån den teoretiska referensramen och analysen presenteras här en del åtgärdsförslag som förhoppningsvis kan hjälpa Fredriksons att reducera ledtiderna.
5.1
Prognostisering
Utifrån de analyser som genomförts har det varit svårt att dra några slutsatser
om hur utarbetningen av prognoser bör se ut, för att stämma bra överens med
den verkliga efterfrågan. Många artiklar uppvisar en mycket ojämn efterfrågan,
vilket gör att de enkla tidseriemetoderna som glidande medelvärde och exponentiell utjämning från avsnitt 3.1.4 inte fungerar så bra. Dock blir prognosfelen
något mindre än i dagsläget, då inte hänsyn tas till någon tidsseriemetod. Därför
rekommenderas att glidande medelvärde eller exponentiell utjämning används.
De är dessutom relativt enkla att använda.
5.2
Partiformning
Parametersättningen av den ekonomiska orderkvantiteten bör ses över och justeras på en stor del av artiklarna. Förslagsvis används den kända Wilson-formeln
från avsnitt 3.2.1, för optimering av partistorlek i så stor utsträckning som
möjligt. I dagsläget är det lämpligt att använda lagerhållningsräntan som togs
fram i avsnitt 4.2.1, då lagerhållningskostnaden ska tas fram. Räntan förändras
dock med tiden, vilket kräver att den räknas om kontinuerligt. Artikelvärdet
som används i formeln ska vara oberoende av partistorleken. Den väsentliga
delen i ordersärkostnaden är ställkostnaden, så för enkelhetens skull tas enbart
hänsyn till den.
Behåll partiformningsregeln periodbeställning, dock bör periodens längd anpassas efter den prognostiserade årsvolymen och partistorleken. Parametern
minimumkvantitet sätts rimligen till 1 i de flesta fallen.
I de fall då det förekommer någon form av begränsning, som exempelvis
ställtid, föreslås att möjligheten att använda den optimerande modellen för
ekonomisk orderkvantitet med begränsning från avsnitt 3.2.4 undersöks.
Johansson, 2010.
67
68
5.3
Kapitel 5. Åtgärdsförslag
Ställtid
Ledtiden beror till stor del på ställtiden, direkt genom att den är en del av ledtiden och indirekt eftersom den t.ex. påverkar partistorleken och produktionens
flexibilitet. Därför rekommenderas att en ställtidsreduktion genomförs genom
att tillämpa den beprövade metoden SMED (Single Minute Exchange of Die),
beskriven i avsnitt 3.3.2.
5.4
Säkerhetsmekanismer
I de fall då det finns en stor osäkerhet i efterfrågan bör möjligheten att använda
säkerhetslager undersökas. Den första definitionen av säkerhetslager, SERV1 , se
avsnitt 3.4.1, rekommenderas att använda, dels för att den är enklare beräkningsmässigt än SERV2 , men även för att det är den som beskriver sannolikheten
att kunna leverera direkt ur lager under en ordercykel. En vald servicenivå kan
enkelt omvandlas till en säkerhetsfaktor med hjälp av en normalfördelningstabell. Säkerhetslagret fås sedan genom att multiplicera säkerhetsfaktorn med
standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel under ledtiden.
Ligger däremot osäkerheten i ledtiden är det lämpligt att fortsätta använda säkerhetsledtid. I dessa fall bör bestämningen av säkerhetsledtiden ses över.
Förslagsvis kan ett beräknat säkerhetslager omvandlas till en säkerhetsledtid
på samma sätt som genomfördes i analysdelens avsnitt 4.3 , då säkerhetslagret
jämfördes med den satta säkerhetsledtiden.
Det optimala vore dock att använda formeln för beräkning av säkerhetslager
som även tar hänsyn till osäkerhet i ledtiden, se avsnitt 3.4.1. Den formeln
kräver dock mera data och ytterligare beräkningar eftersom den utöver standardavvikelsen för efterfrågans prognosfel under ledtiden även kräver ledtidens
standardavvikelse.
5.5
Sekvensering
Vid sekvensering av ett antal order i en enskild resurs spelar det ingen roll
vilken av sekvenseringsreglerna som används då man ser till produktionstiden,
eftersom alla tillåtna sekvenseringsregler minimerar produktionstiden. För att
minimera den totala genomloppstiden, vilket är relevant då ledtiderna ska reduceras bör sekvenseringsregeln kortast operationstid först användas. Se avsnitt
3.8.1.
Johnsons algoritm 3.1 beskriven i avsnitt 3.8.2 rekommenderas att använda
då order ska sekvenseras genom två eller flera resurser, som t.ex. i den föreslagna
flödesgruppen på plåtavdelningen. Johnsons algoritm är den enda metoden som
är optimerande. I de fall då det inte är praktiskt genomförbart att använda den
optimerande metoden bör jobben istället sekvenseras efter kortast operationstid
först i den kritiska resursen.
Genom att använda sig av Johnsons algoritm påvisades i analysdelens avsnitt
4.4 att den förväntade kötiden minskar jämfört med om jobben inte sekvenseras
5.6. Flödesgrupp
69
utifrån någon specifik prioriterningsregel. En minskning av kötiden bidrar till
att ledtiden reduceras. Sekvenseringen har alltså stor betydelse för ledtiden.
5.6
Flödesgrupp
Arbetet med en flödesgrupp på plåtavdelningen som föreslogs i värdeflödesanalysen, avsnitt 4.5, påbörjades under detta examensarbete. Resultatet av detta bör
senare utvärderas och jämföras med hur det fungerade tidigare. Har ledtiderna
minskat jämfört med tidigare? Positiva och negativa faktorer som har uppkommit i och med förändringen bör vägas mot varandra. Visar det sig att fördelarna
är fler än nackdelarna är det lämpligt att arbeta vidare med den nya arbetsformen och skapa flera liknande flödesgrupper i fabriken.
70
Kapitel 5. Åtgärdsförslag
Litteraturförteckning
Skriftliga
[1] Anupinidi, R., Chopra, S., Deshmukh, S. D., Van Mieghem, J. A. och Zemel,
E. (2006), Managing Business Process Flows, Pearson Education, New Jersey.
[2] Blom, G. (1984), Sannolikhetsteori med tillämpningar, Studentlitteratur,
Lund
[3] Box, G. E. P., Jenkins, G. M. och Reinsel, G. C. (2008), Time Series Analysis: Forecasting and Control, John Wiley & Sons, USA.
[4] Brockwell, P. J. och Davis, R. A. (2002), Introduction to Time Series and
Forecasting, Springer, New York.
[5] Koski, T. (2009), Kursmaterial ur kursen Stokastiska processer TAMS32,
Linköpings Tekniska Högskola, Linköping.
[6] Nobel, J. M. (2009) Kursmaterial ur kursen Markov chains and queueing
theory NMAC22, Linköpings Tekniska Högskola, Linköping.
[7] Olhager, J. (2008), Produktionsekonomi, Studentlitteratur, Malmö.
[8] Parzen, E., ARARMA Models for Time Series Analysis and Forecasting,
Journal of Forecasting, 1, 1, 66-82.
[9] Samuelson, W. F. och Marks, S. G. (2006), Managerial Economics, John
Wiley & Sons, USA.
[10] Silver, E. A. och Peterson, R. (1985), Decision Systems for Inventory Management and Production Planning, John Wiley & Sons, USA.
[11] Tang, O. (2009A), Kursmaterial ur kursen Analys och utveckling av produktionsverksamhet TPPE19, Linköpings Tekniska Högskola, Linköping.
[12] Tang, O. (2009B), Kursmaterial ur kursen Produktionslogistik TPPE21,
Linköpings Tekniska Högskola, Linköping.
[13] Walpole, R. E., Myers, R. H., Myres, S. L. och Ye, K. (2002), Probability
and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice-Hall, New Jersey
[14] Wheelwright, S. C. och Makridakis, S. (1985), Forecasting Methods for
Management, John Wiley & Sons, USA.
[15] Yates, R. D. och Goodman, D. J. (2005), Probability and Stochastic Processes, John Wiley & Sons, USA.
Johansson, 2010.
71
72
Litteraturförteckning
Muntliga
Tommy Johansson, Fredriksons Verkstads AB (Handledare)
Ronny Johansson, Fredriksons Verkstads AB
Åke Franzén, Fredriksons Verkstads AB
Katarina Öhman, Fredriksons Verkstads AB
Elektroniska
www.fredriksons.se
Fredriksons Verkstads AB:s intranet
Bilaga A
Analys av prognoser
Här presenteras de skapade Exceldokumenten som användes för att analysera Fredriksons prognoser med hjälp av tidsseriemetoderna glidande medelvärde och exponentiell utjämning.
A.1
Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller
säsong
Artikel A
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
125
-70
200902
70
125
-55
200903
54
108
-54
200904
64
58
6
200905
83
58
25
200906
52
58
-6
200907
149
117
32
200908
72
117
-45
200909
100
117
-17
200910
118
108
10
200911
84
108
-24
200912
88
108
-20
ABS
70
55
54
6
25
6
32
45
17
10
24
20
MAD= 30.33
ME= -18.17
dvs
37% av medelefterfrågan
resp
-22% av medelefterfrågan prognosen ligger i genomsnitt 22% över efterfrågan
Ny prognos 1 då glidande medelvärde har använts (N=3)
Johansson, 2010.
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
200902
70
200903
54
200904
64
60
4
200905
83
63
20
200906
52
67
-15
200907
149
66
83
200908
72
95
-23
200909
100
75
25
200910
118
107
11
200911
84
97
-13
ABS
4
20
15
83
23
25
11
13
73
200902
200903
200904
200905
200906
200907
200908
200909
200910
200911
200912
125
108
58
58
58
117
117
117
108
108
108
-55
-54
6
25
-6
32
-45
-17
10
-24
-20
55
54
6
25
6
32
45
17
10
24
20
MAD= 30.33
ME= -18.17 Bilaga A. Analys av prognoser
dvs
37% av medelefterfrågan
resp
-22% av medelefterfrågan prognosen ligger i genomsnitt 22% över efterfrågan
Ny prognos 1 då glidande medelvärde har använts (N=3)
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
200902
70
200903
54
200904
64
60
4
200905
83
63
20
200906
52
67
-15
200907
149
66
83
200908
72
95
-23
200909
100
75
25
200910
118
107
11
200911
84
97
-13
200912
88
102
-14
ABS
4
20
15
83
23
25
11
13
14
MAD= 23.11
ME= 8.67
dvs
28% av medelefterfrågan
resp
11% av medelefterfrågan prognosen ligger i genomsnitt 11% under efterfrågan
Artikel A
160
140
120
Antal
74
70
54
64
83
52
149
72
100
118
84
88
Efterfrågan
100
Prognos
80
Ny prognos 1
60
Ny prognos 2
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Månad (2009)
Ny prognos 2 då glidande medelvärde har använts (N=6)
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
200902
70
200903
54
200904
64
200905
83
200906
52
200907
149
63
86
200908
72
79
-7
200909
100
79
21
200910
118
87
31
200911
84
96
-12
200912
88
96
-8
ABS
7
21
31
12
8
MAD= 8,78
ME= 12,33
dvs
11% av medelefterfrågan
resp
15% av medelefterfrågan
Ny prognos 3 då exponentiell utjämning har använts, α= 0,3
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
108
-53
200902
70
92
-22
200903
54
85
-31
200904
64
76
-12
200905
83
72
11
200906
52
76
-24
200907
149
68
81
200908
72
93
-21
200909
100
86
14
200910
118
91
27
200911
84
99
-15
200912
88
94
-6
ABS
53
22
31
12
11
24
81
21
14
27
15
6
MAD= 26,26
ME= -4,21
dvs
32% av medelefterfrågan
resp
-5% av medelefterfrågan
Artikel A
160
140
9
10
11
12
200903
200904
200905
200906
200907
200908
200909
200910
200911
200912
54
64
83
52
149
72
100
118
84
88
63
79
79
87
96
96
86
-7
21
31
-12
-8
MAD= 8,78
7
21
31
12
8
ME= 12,33
dvs
11%hänsyn
av medelefterfrågan
A.1. Tidsseriemetoder
utan
till trend eller säsong
resp
75
15% av medelefterfrågan
Ny prognos 3 då exponentiell utjämning har använts, α= 0,3
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
55
108
-53
200902
70
92
-22
200903
54
85
-31
200904
64
76
-12
200905
83
72
11
200906
52
76
-24
200907
149
68
81
200908
72
93
-21
200909
100
86
14
200910
118
91
27
200911
84
99
-15
200912
88
94
-6
ABS
53
22
31
12
11
24
81
21
14
27
15
6
MAD= 26,26
ME= -4,21
dvs
32% av medelefterfrågan
resp
-5% av medelefterfrågan
Antal
Artikel A
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos 3
1
2
3
4
5
6
7
8
Månad (2009)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
28,00
26,15
27,68
22,95
19,27
20,54
38,54
33,17
27,28
27,35
23,57
18,40
TSD(t)
0,78
1,20
0,43
0,47
1,22
3,92
0,54
0,41
1,01
0,54
0,27
ME(t)
-17,50
-18,80
-22,54
-19,35
-10,34
-14,30
14,15
3,72
6,67
12,92
4,62
1,33
TSF(t)
0,72
0,81
0,84
0,54
0,70
0,37
0,11
0,24
0,47
0,20
0,07
9
10
11
12
76
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel B
Månad Efterfrågan
200901
0
200902
500
200903
0
200904
30
200905
160
200906
330
200907
0
200908
130
200909
340
200910
245
200911
124
200912
1080
Prognos
250
250
167
167
167
167
167
167
167
167
167
167
Prognosfel
-250
250
-167
-137
-7
163
-167
-37
173
78
-43
913
MAD= 198.75
dvs
81% av medelefterfrågan
resp
26% av medelefterfrågan
ABS
250
250
167
137
7
163
167
37
173
78
43
913
ME= 64.083
Ny prognos 1 då glidande medelvärde har använts (N=3)
Månad Efterfrågan
200901
0
200902
500
200903
0
200904
30
200905
160
200906
330
200907
0
200908
130
200909
340
200910
245
200911
124
200912
1080
Prognos
Prognosfel
ABS
167
177
63
173
163
153
157
238
236
-137
-17
267
-173
-33
187
88
-114
844
137
17
267
173
33
187
88
114
844
MAD= 206.63
dvs
84% av medelefterfrågan
resp
41% av medelefterfrågan
ME= 101.22
Artikel B
1200
Antal
1000
800
Efterfrågan
600
Prognos
400
Ny prognos 1
200
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
A.1. Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong
Ny prognos 2 då exponentiell utjämning har använts, α= 0,3
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
0
297
-297
200902
500
208
292
200903
0
296
-296
200904
30
207
-177
200905
160
154
6
200906
330
156
174
200907
0
208
-208
200908
130
146
-16
200909
340
141
199
200910
245
201
44
200911
124
214
-90
200912
1080
187
893
ABS
297
292
296
177
6
174
208
16
199
44
90
893
MAD= 224,37
ME= 43,63
dvs
92% av medelefterfrågan
resp
18% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
181,00
214,30
238,81
220,27
155,99
161,39
175,37
127,56
148,99
117,50
109,25
344,37
TSD(t)
1,61
1,38
0,74
0,03
1,12
1,29
0,09
1,56
0,30
0,77
8,17
ME(t)
37,50
113,85
-9,11
-59,47
-39,83
24,32
-45,38
-36,56
34,11
37,07
-1,05
267,17
TSF(t)
0,53
0,04
0,27
0,26
0,15
0,26
0,29
0,23
0,32
0,01
0,78
77
78
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel C
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
153
150
3
200902
135
150
-15
200903
125
150
-25
200904
40
100
-60
200905
56
100
-44
200906
99
100
-1
200907
52
67
-15
200908
67
67
0
200909
145
67
78
200910
100
67
33
200911
99
67
32
200912
130
67
63
ABS
3
15
25
60
44
1
15
0
78
33
32
63
MAD= 30,75
ME= 4,08
dvs
31% av medelefterfrågan
resp
4% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
153
154
-1
200902
135
153
-18
200903
125
148
-23
200904
40
141
-101
200905
56
111
-55
200906
99
94
5
200907
52
96
-44
200908
67
83
-16
200909
145
78
67
200910
100
98
2
200911
99
99
0
200912
130
99
31
0,3
ABS
1
18
23
101
55
5
44
16
67
2
0
31
MAD= 30,19
ME= -12,63
dvs
30% av medelefterfrågan
resp
-13% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
36,75
31,25
28,74
50,43
51,72
37,61
39,44
32,29
42,73
30,50
21,46
24,40
TSD(t)
ME(t)
4,75
-2,20
-8,41
-36,19
-41,75
-27,82
-32,59
-27,49
0,88
1,20
0,95
10,05
0,50
0,73
3,51
1,09
0,09
1,16
0,40
2,08
0,05
0,01
1,46
TSF(t)
0,07
0,29
0,72
0,81
0,74
0,83
0,85
0,02
0,04
0,04
0,41
Antal
Artikel C
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
A.1. Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong
79
Artikel D
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
38
117
-79
200902
52
117
-65
200903
64
100
-36
200904
17
50
-33
200905
53
50
3
200906
43
50
-7
200907
51
83
-32
200908
67
83
-16
200909
82
83
-1
200910
112
83
29
200911
95
83
12
200912
61
83
-22
ABS
79
65
36
33
3
7
32
16
1
29
12
22
MAD= 27.92
ME= -20.58
dvs
46% av medelefterfrågan
resp
-34% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
38
103
-65
200902
52
84
-32
200903
64
74
-10
200904
17
71
-54
200905
53
55
-2
200906
43
54
-11
200907
51
51
0
200908
67
51
16
200909
82
56
26
200910
112
64
48
200911
95
78
17
200912
61
83
-22
0.3
ABS
65
32
10
54
2
11
0
16
26
48
17
22
MAD= 25.34
ME= -7.41
dvs
41% av medelefterfrågan
resp
-12% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
26.50
28.04
22.67
32.10
23.03
19.52
13.69
14.40
17.95
27.08
24.01
23.47
TSD(t)
ME(t)
-16.00
-20.69
-17.53
-28.50
-20.51
-17.75
-12.40
-3.86
5.17
18.13
17.75
5.76
1.19
0.36
2.39
0.06
0.49
0.00
1.17
1.82
2.69
0.62
0.92
TSF(t)
0.74
0.77
0.89
0.89
0.91
0.91
0.27
0.29
0.67
0.74
0.25
Artikel D
140
120
Antal
100
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
80
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel E
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
94
150
-56
200902
148
150
-2
200903
97
133
-36
200904
41
100
-59
200905
73
100
-27
200906
109
100
9
200907
98
150
-52
200908
126
150
-24
200909
155
150
5
200910
133
133
0
200911
92
133
-41
200912
95
133
-38
ABS
56
2
36
59
27
9
52
24
5
0
41
38
MAD= 29.08
ME= -26.75
dvs
28% av medelefterfrågan
resp
-25% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
94
145
-51
200902
148
130
18
200903
97
135
-38
200904
41
124
-83
200905
73
99
-26
200906
109
91
18
200907
98
97
1
200908
126
97
29
200909
155
106
49
200910
133
120
13
200911
92
124
-32
200912
95
115
-20
0.3
ABS
51
18
38
83
26
18
1
29
49
13
32
20
MAD= 31.53
ME= -10.14
dvs
30% av medelefterfrågan
resp
-10% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
37.25
31.52
33.55
48.33
41.62
34.48
24.58
25.92
32.94
26.82
28.44
25.78
TSD(t)
ME(t)
29.25
25.92
6.66
-20.18
-21.91
-9.99
-6.55
4.13
17.69
16.14
1.63
-4.73
0.49
1.21
2.47
0.54
0.43
0.04
1.18
1.90
0.38
1.20
0.69
TSF(t)
0.82
0.20
0.42
0.53
0.29
0.27
0.16
0.54
0.60
0.06
0.18
Antal
Artikel E
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
A.1. Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong
81
Artikel F
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
106
208
-102
200902
138
208
-70
200903
150
192
-42
200904
63
133
-70
200905
49
133
-84
200906
97
133
-36
200907
116
167
-51
200908
129
167
-38
200909
191
167
24
200910
153
167
-14
200911
199
167
32
200912
193
167
26
ABS
102
70
42
70
84
36
51
38
24
14
32
26
MAD= 49.08
ME= -35.42
dvs
37% av medelefterfrågan
resp
-27% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
106
191
-85
200902
138
166
-28
200903
150
157
-7
200904
63
155
-92
200905
49
128
-79
200906
97
104
-7
200907
116
102
14
200908
129
106
23
200909
191
113
78
200910
153
136
17
200911
199
141
58
200912
193
159
34
0.3
ABS
85
28
7
92
79
7
14
23
78
17
58
34
MAD= 43.45
ME= -6.18
dvs
33% av medelefterfrågan
resp
-5% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
62.50
52.04
38.63
54.69
61.83
45.37
36.00
32.07
45.85
37.08
43.25
40.58
TSD(t)
0.44
0.14
2.39
1.44
0.11
0.31
0.64
2.43
0.36
1.55
0.79
ME(t)
33.50
15.16
8.41
-21.76
-38.78
-29.23
-16.22
-4.49
20.27
19.17
30.71
31.80
TSF(t)
0.29
0.22
0.40
0.63
0.64
0.45
0.14
0.44
0.52
0.71
0.78
Artikel F
250
Antal
200
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
82
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel G
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
43
67
-24
200902
73
67
6
200903
40
67
-27
200904
25
50
-25
200905
55
50
5
200906
61
50
11
200907
120
100
20
200908
64
100
-36
200909
67
100
-33
200910
96
92
4
200911
56
92
-36
200912
67
92
-25
MAD= 21
dvs
resp
ABS
24
6
27
25
5
11
20
36
33
4
36
25
ME= -13.33
33% av medelefterfrågan
-21% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
43
65
-22
200902
73
58
15
200903
40
63
-23
200904
25
56
-31
200905
55
47
8
200906
61
49
12
200907
120
53
67
200908
64
73
-9
200909
67
70
-3
200910
96
69
27
200911
56
77
-21
200912
67
71
-4
0.3
ABS
22
15
23
31
8
12
67
9
3
27
21
4
MAD= 20.13
ME= 1.42
dvs
31% av medelefterfrågan
resp
2% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
24.00
21.26
21.66
24.40
19.61
17.30
32.31
25.28
18.66
21.09
21.14
15.97
TSD(t)
ME(t)
20.00
18.46
6.15
-4.94
-0.93
2.92
22.25
12.91
8.08
13.68
3.19
1.07
0.62
1.06
1.42
0.35
0.61
3.89
0.27
0.13
1.43
1.01
0.18
TSF(t)
0.87
0.28
0.20
0.05
0.17
0.69
0.51
0.43
0.65
0.15
0.07
Artikel G
140
120
Antal
100
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
A.1. Tidsseriemetoder utan hänsyn till trend eller säsong
83
Artikel H
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
52
125
-73
200902
74
125
-51
200903
59
100
-41
200904
46
67
-21
200905
46
67
-21
200906
41
67
-26
200907
101
117
-16
200908
62
117
-55
200909
84
117
-33
200910
111
83
28
200911
99
83
16
200912
72
83
-11
ABS
73
51
41
21
21
26
16
55
33
28
16
11
MAD= 32.67
ME= -25.33
dvs
46% av medelefterfrågan
resp
-36% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
52
105
-53
200902
74
89
-15
200903
59
85
-26
200904
46
77
-31
200905
46
68
-22
200906
41
61
-20
200907
101
55
46
200908
62
69
-7
200909
84
67
17
200910
111
72
39
200911
99
84
15
200912
72
88
-16
0.3
ABS
53
15
26
31
22
20
46
7
17
39
15
16
MAD= 25.55
ME= -5.98
dvs
36% av medelefterfrågan
resp
-8% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
31.00
26.21
26.00
27.46
25.70
24.03
30.60
23.47
21.59
26.83
23.38
21.24
TSD(t)
ME(t)
-24.00
-21.31
-22.57
-25.06
-24.02
-22.85
-2.22
-3.61
2.63
13.55
14.08
4.98
0.48
0.97
1.19
0.79
0.78
1.91
0.22
0.73
1.81
0.57
0.70
TSF(t)
0.81
0.87
0.91
0.93
0.95
0.07
0.15
0.12
0.51
0.60
0.23
Artikel H
140
120
Antal
100
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
84
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel I
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
59
117
-58
200902
96
117
-21
200903
82
100
-18
200904
42
67
-25
200905
43
67
-24
200906
81
67
14
200907
54
100
-46
200908
87
100
-13
200909
129
100
29
200910
128
108
20
200911
103
108
-5
200912
78
108
-30
ABS
58
21
18
25
24
14
46
13
29
20
5
30
MAD= 25.25
ME= -14.75
dvs
31% av medelefterfrågan
resp
-18% av medelefterfrågan
Ny prognos då exponentiell utjämning har använts, α=
Månad Efterfrågan Prognos Prognosfel
200901
59
111
-52
200902
96
95
1
200903
82
95
-13
200904
42
91
-49
200905
43
77
-34
200906
81
67
14
200907
54
71
-17
200908
87
66
21
200909
129
72
57
200910
128
89
39
200911
103
101
2
200912
78
101
-23
0.3
ABS
52
1
13
49
34
14
17
21
57
39
2
23
MAD= 26.90
ME= -4.52
dvs
33% av medelefterfrågan
resp
-6% av medelefterfrågan
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
MAD(t)
23.50
16.69
15.72
25.82
28.15
24.05
21.89
21.69
32.23
34.20
24.59
24.26
TSD(t)
ME(t)
13.00
9.34
2.51
-13.06
-19.22
-9.11
-11.43
-1.64
15.90
22.77
16.58
4.56
0.03
0.80
3.14
1.30
0.51
0.70
0.97
2.62
1.20
0.06
0.96
TSF(t)
0.56
0.16
0.51
0.68
0.38
0.52
0.08
0.49
0.67
0.67
0.19
Artikel I
140
120
Antal
100
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
Månad (2009)
8
9
10
11
12
A.2. Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
Artikel A
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
158
372
179
710
236
0.77
2
136
194
199
529
176
0.58
3
118
316
321
755
252
0.82
4
286
190
290
766
255
0.83
Efterfrågan Prognos Prognosfel
179
358
-179
199
174
25
321
351
-30
290
324
-34
MAD= 67
dvs
resp
Summa
698
1072
989
2759
920
3.00
ABS
179
25
30
34
ME=
27% av medelefterfrågan
-22% av medelefterfrågan
-54.5
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
179
363
-184
184
20092
199
229
-30
30
20093
321
314
7
7
20094
290
321
-31
31
MAD= 62.94
ME=
dvs
25% av medelefterfrågan
resp
-24% av medelefterfrågan
-59.57
Artikel A
Antal
A.2
85
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
1
2
3
Kvartal (2009)
4
86
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel B
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
514
978
500
1993
664
0.57
Kvartal
2
3
2320
758
341
485
520
470
3181
1713
1060
571
0.90
0.49
4
1188
1038
1449
3675
1225
1.04
Efterfrågan Prognos Prognosfel
500
667
-167
520
501
19
470
501
-31
1449
501
948
MAD= 291.25
ME=
dvs
40% av medelefterfrågan
resp
26% av medelefterfrågan
Summa
4780
2842
2939
10561
3520
3.00
ABS
167
19
31
948
192.25
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
500
502
-2
2
20092
520
801
-281
281
20093
470
386
84
84
20094
1449
882
567
567
MAD= 233.58
ME=
dvs
32% av medelefterfrågan
resp
13% av medelefterfrågan
92.02
Antal
Artikel B
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
1
2
3
Kvartal (2009)
4
A.2. Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
87
Artikel C
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
194
570
413
1178
392
0.86
2
145
555
195
895
298
0.65
3
257
356
264
877
292
0.64
4
391
448
329
1168
389
0.85
Efterfrågan Prognos Prognosfel
413
450
-37
195
300
-105
264
201
63
329
201
128
Summa
987
1929
1201
4117
1372
3.00
ABS
37
105
63
128
MAD= 83.25
ME=
dvs
28% av medelefterfrågan
resp
4% av medelefterfrågan
12.25
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
413
505
-92
92
20092
195
363
-168
168
20093
264
306
-42
42
20094
329
391
-62
62
MAD= 90.91
ME=
dvs
30% av medelefterfrågan
resp
-30% av medelefterfrågan
-90.91
Artikel C
600
500
Antal
400
Efterfrågan
300
Prognos
200
Ny prognos1
100
0
1
2
3
Kvartal (2009)
4
88
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel D
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
14
1
154
170
56
0.38
2
6
69
113
188
63
0.42
3
3
244
200
447
149
0.99
4
11
266
268
545
182
1.21
Efterfrågan Prognos Prognosfel
154
334
-180
113
150
-37
200
249
-49
268
249
19
MAD= 71.25
ME=
dvs
39% av medelefterfrågan
resp
-34% av medelefterfrågan
Summa
34
580
735
1349
450
3.00
ABS
180
37
49
19
-61.75
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
154
114
40
40
20092
113
140
-27
27
20093
200
313
-113
113
20094
268
340
-72
72
MAD= 62.81
ME=
dvs
34% av medelefterfrågan
resp
-23% av medelefterfrågan
-42.92
Antal
Artikel D
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
1
2
3
Kvartal (2009)
4
A.2. Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
89
Artikel E
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
9
6
339
355
118
0.44
2
55
138
223
416
139
0.52
3
21
370
379
770
257
0.96
4
36
501
320
857
286
1.07
Efterfrågan Prognos Prognosfel
339
298
41
223
300
-77
379
450
-71
320
399
-79
MAD= 67
dvs
resp
Summa
121
1015
1261
2397
799
3.00
ABS
41
77
71
79
ME=
21% av medelefterfrågan
-15% av medelefterfrågan
-46.5
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
339
220
119
119
20092
223
299
-76
76
20093
379
512
-133
133
20094
320
525
-205
205
MAD= 133.37
ME=
dvs
42% av medelefterfrågan
resp
-23% av medelefterfrågan
-73.66
Artikel E
600
500
Antal
400
Efterfrågan
300
Prognos
200
Ny prognos1
100
0
1
2
3
Kvartal (2009)
4
90
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel F
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
19
6
394
420
140
0.40
2
63
253
209
525
175
0.50
3
14
478
436
928
309
0.88
4
32
715
545
1292
431
1.23
Efterfrågan Prognos Prognosfel
394
608
-214
209
399
-190
436
501
-65
545
501
44
MAD= 128.25
ME=
dvs
32% av medelefterfrågan
resp
-27% av medelefterfrågan
Summa
128
1452
1584
3164
1055
3.00
ABS
214
190
65
44
-106.25
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
394
236
158
158
20092
209
355
-146
146
20093
436
550
-114
114
20094
545
718
-173
173
MAD= 147.39
ME=
dvs
37% av medelefterfrågan
resp
-17% av medelefterfrågan
-68.61
Antal
Artikel F
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
1
2
3
Kvartal (2009)
4
A.2. Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
91
Artikel G
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
7
6
156
170
56
0.37
2
23
109
141
273
91
0.59
3
25
150
251
426
142
0.92
4
35
267
219
521
174
1.13
Efterfrågan Prognos Prognosfel
156
201
-45
141
150
-9
251
300
-49
219
276
-57
MAD= 40
dvs
resp
Summa
90
532
767
1389
463
3.00
ABS
45
9
49
57
ME=
21% av medelefterfrågan
-21% av medelefterfrågan
-40
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
156
80
76
76
20092
141
165
-24
24
20093
251
246
5
5
20094
219
303
-84
84
MAD= 47.19
ME=
dvs
25% av medelefterfrågan
resp
-3% av medelefterfrågan
-6.57
Artikel G
350
300
Antal
250
Efterfrågan
200
Prognos
150
Ny prognos1
100
50
0
1
2
3
Kvartal (2009)
4
92
Bilaga A. Analys av prognoser
Artikel H
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
7
8
185
201
67
0.38
2
23
102
133
258
86
0.49
3
17
278
247
542
181
1.03
4
31
265
282
578
193
1.10
Efterfrågan Prognos Prognosfel
185
350
-165
133
201
-68
247
351
-104
282
189
93
Summa
78
653
847
1578
526
3.00
ABS
165
68
104
93
MAD= 107.5
ME=
dvs
51% av medelefterfrågan
resp
-29% av medelefterfrågan
-61
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
185
133
52
52
20092
133
191
-58
58
20093
247
365
-118
118
20094
282
351
-69
69
MAD= 74.25
ME=
dvs
35% av medelefterfrågan
resp
-23% av medelefterfrågan
-48.46
Artikel H
400
350
Antal
300
250
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
200
150
100
50
0
1
2
3
Kvartal (2009)
4
A.2. Tidsseriemetoder med hänsyn till säsong
93
Artikel I
Kvartal
År
2007
2008
2009
Summa
Medelvärde
Säsongsindex
Kvartal
20091
20092
20093
20094
1
11
7
237
256
85
0.42
2
24
109
166
299
100
0.49
3
11
278
270
559
186
0.91
4
18
394
309
721
240
1.18
Efterfrågan Prognos Prognosfel
237
334
-97
166
201
-35
270
300
-30
309
189
120
Summa
64
788
982
1834
611
3.00
ABS
97
35
30
120
MAD= 70.5
ME=
dvs
29% av medelefterfrågan
resp
-4% av medelefterfrågan
-10.5
Ny prognos1 då hänsyn tas till säsong (exponentiell utjämning α=0,3)
Efterfrågan Prognos Prognosfel
ABS
Kvartal
20091
237
142
95
95
20092
166
199
-33
33
20093
270
354
-84
84
20094
309
424
-115
115
MAD= 81.85
ME=
dvs
33% av medelefterfrågan
resp
-14% av medelefterfrågan
-34.54
Antal
Artikel I
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Efterfrågan
Prognos
Ny prognos1
1
2
3
Kvartal (2009)
4
94
Bilaga A. Analys av prognoser
Copyright
The publishers will keep this document online on the Internet - or its possible replacement - for a period of 25 years from the date of publication barring
exceptional circumstances. The online availability of the document implies a permanent permission for anyone to read, to download, to print out single copies
for your own use and to use it unchanged for any non-commercial research and
educational purpose. Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses of the document are conditional on the consent of the
copyright owner. The publisher has taken technical and administrative measures to assure authenticity, security and accessibility. According to intellectual
property law the author has the right to be mentioned when his/her work is
accessed as described above and to be protected against infringement. For additional information about the Linköping University Electronic Press and its
procedures for publication and for assurance of document integrity, please refer
to its WWW home page: http://www.ep.liu.se/
Upphovsrätt
Detta dokument hålls tillgängligt på Internet - eller dess framtida ersättare under 25 år från publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära
omständigheter uppstår. Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och
en att läsa, ladda ner, skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd.
All annan användning av dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För
att garantera äktheten, säkerheten och tillgängligheten finns det lösningar av
teknisk och administrativ art. Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att
bli nämnd som upphovsman i den omfattning som god sed kräver vid användning
av dokumentet på ovan beskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras
eller presenteras i sådan form eller i sådant sammanhang som är kränkande för
upphovsmannens litterära eller konstnärliga anseende eller egenart. För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se förlagets hemsida
http://www.ep.liu.se/
c 2010, Frida Johansson
Johansson, 2010.
95
Was this manual useful for you? yes no
Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Related manuals

Download PDF

advertisement