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Rapid Control Prototyping

Alexander Kuznietsov THM

Übersicht

Modellbildung dynamischer Systeme

Identifikation dynamischer Systeme

Modellbasierter Entwurf von Regelkreisen

Modellbasierte Tests

Echtzeitfähige Implementierung

Rapid Control Prototyping: Ziele

Aufstellen mathematischer Modelle interdisziplinärer

Regelstrecken

Implementierung und Verifizierung der Modelle mit

Matlab/Simulink

Systemidentifikation (Herleitung der

Modellgleichungen aus experimentellen Daten)

Modellbasierte Entwurfsverfahren für Regler

Validierung und echtzeitfähige Implementierung der regelungstechnischen Algorithmen mit Matlab/Simulink

Rapid Control Prototyping: Voraussetzungen

Grundkenntnisse der Elektrotechnik, Physik und

Kinematik

Verständnis mathematischer Werkzeuge

(Differentialgleichungen, Laplace-Transformation,

Zustandsraum-Darstellung, numerisches Integrieren und Differenzieren)

Theoretische und praktische Kenntnisse der

Regelungstechnik (Systemdynamik,

Regelungstechnik, Digitale Mess- und

Regelungstechnik)

Kenntnisse und Erfahrungen mit Matlab/Simulink

Grundkenntnisse Programmierung

Übertragungsfunktion: Masse-Feder-Dämpfer System,

Reihenschwingkreis

m m

s

s

2

X

X

(

s

(

)

s

)

2

(

X

X

(

m m

s s

2

s s

+

+

b b

2

+

+

b b

s s

X

X

s s

+

+

k k

)

s s

+

+

k k

X

X

) =

=

F

F

(

s

(

)

s

)

G

G s

(

)

s

)

=

=

m m

s

s

2

2

+

1

+

1

b b

s s

+

+

k k s s

=

=

F

F

(

s

(

)

s

) u

E

(t) i

1

(t)

L R

C

i

2

(t) i

3

(t) u

A

(t)

L

L

U

U a

G

C

C

a s

( )

u

&

& &

a t

(

L

(

L

)

)

=

=

L

L

+

+

R

R

C

C

C

s

2

s

s

2

s

C

C

&

a

&

a

( )

+

+

u u a t

( )

=

=

u u e

( )

2

+

+

R

R

C

C

s s

+

+

1

)

) =

=

U

U e

( )

1

1

2

+

+

R

R

C

C

s s

+

+

1

Eingang

(

a n

(

b m

s n s m

+

+

a n

1

b m

1

s n

− 1

s m

− 1

+

+

...

+

...

+

a

1

b

1

s s

+

+

a

0

b

0

)

Y

( )

)

X

( )

=

Daraus folgt:

G

=

Y

X

=

b m a n

s m s n

+

b m

1

+

s m

1

a n

− 1

s n

1

+

...

+

...

+

+

b a

1

1

s s

+

+

b

0

a

0

Diese Funktion (Quotient Ausgang zum Eingang) heißt

Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems .

Diese Funktion ist als Quotient zweier Polynome darstellbar (Zähler- und Nennerpolynom).

Die Summen-Standardform kann in die Produkt-Standardform umgewandelt werden:

G

=

Y

X

=

k

(

s

n

1

) (

s

n

2

)

....

(

s

n m

)

(

s

p

1

) (

s

p

2

)

....

(

s

p n

)

X(s) Y(s)

G(s)

Die Gewichtsfunktion charakterisiert ein lineares dynamisches System vollständig!

Was ist die Entsprechung der Gewichtsfunktion im Frequenzbereich?

y

( )

=

t g

(

t

τ

) ( )

d

τ

0

Y

( )

=

G

( )

X

( )

Für einen Dirac-Impulse U(s)=1 am Eingang ergibt sich:

Y

( )

=

G

( )

1

=

G

( )

Das heißt:

Die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion ist

Übertragungsfunktion!

Die Sprungantwortfunktion ist Systemreaktion auf eine sprunghafte Änderung am Eingang x(t)

1

σ

t

( )

=

1 ,

 0 ,

t t

<

0

0 t

Die Laplace-Transformierte des Einheitssprunges ist 1/s.

Dementsprechend wird die Übertragungsfunktion im Laplacebereich folgendermaßen dargestellt:

Y

( )

=

G

( )

1

s

=

G s

Anhand dieser Gleichung können wir auch die Beziehung zwischen den beiden im Zeitbereich herleiten:

Die Impulsfunktion (Dirac-Impuls) ist die Ableitung des Einheitssprunges!

Die Gewichtsfunktion (Impulsantwort) ist die Ableitung der

Übergangsfunktion (Sprungantwortfunktion)

Eingangssignal sei ein Einheitssprung.

Welcher Wert stellt sich am Ausgang des Systems nach langer Zeit ein?

x(t) , y(t) y(∞)

x(∞)=1

Endwertsatz der Laplace-Transformation:

y

( )

= lim

s

0

[

s

Y

]

= lim

s

0

[

s

G

]

= lim

s

0



s

G

1

s



= lim

s

0

[

G

]

=

G

( )

Falls sich das System wirklich auf einen Endwert einpendelt, dann sprechen wir über die statische Verstärkung des Systems K=y(∞)/x(∞) . Für rein statische Betrachtung

(im eingeschwungenen Zustand) können wir dann ein lineares System durch seine statische Verstärkung ersetzen.

Achtung:

Diese Formel ist nur für stabile Systeme einsetzbar. Für oszillierende

Systeme bekommt man den Mittelwert der Schwingung.

Proportionales Verhalten (P-System):

Übertragungsfunktion: G(s)=K

Nur ein Parameter: Verstärkung K

Sprungantwortfunktion:

h

(

t

)

=

K

⋅ σ

t

( )

Differenzierendes Verhalten (D-System):

Übertragungsfunktion: G(s)=T

D

.

s

Nur ein Parameter: Vorhaltezeit T

D

Sprungantwortfunktion:

h

(

t

)

=

T

D

⋅ δ

Achtung: In Realität gibt es keine „reine“ Kapazität ohne ohmschen

Widerstandsanteil bzw. keinen „reinen“ Dämpfer ohne federndes

(kraft-proportionales) Verhalten.

Ein idealer Differenzierer ist nicht realisierbar.

Inegrierendes Verhalten (I-System):

Übertragungsfunktion: G(s)=K

I

/ s

Nur ein Parameter: Vorhaltezeit K

I

Häufig in Regelstrecken vorhanden:

Beschleunigung->Drehzahl->Position

Sprungantwortfunktion:

h

(

t

)

=

K

I

t

⋅ σ

P, I und D-Systeme werden oft als Regleranteile eingesetzt

Proportional-verzögerndes Verhalten 1.

Ordnung (PT1)

Übertragungsfunktion:

G

( )

=

1

+

K

T

s

=

K

T

1

T

1

+

s

Viele einfache Regelstrecken haben ein solches Verhalten, bzw. lassen sich näherungsweise damit beschreiben.

Parameter: K- Verstärkung, T – Zeitkonstante. Sprungantwortfunktion wurde bereits im Beispiel analysiert

Proportional-verzögerndes Verhalten 2.

Ordnung (PT2)

i

1

(t)

L R i

3

(t) u

E

(t)

T

2

=

C i

2

(t) u

A

(t)

LC

;

G

T

1

=

RC

;

K

F

=

1

=

K

F

T

2

2

s

2

T

1

=

b k

1

+

T

1

s

+

1

=

K

F s

2

K

F

+

2

d

=

ω

n

2

ω

n

1

k

T

2

=

s

+

ω

n

2

;

M k

ω

n

1

=

T

2

Eigenfrequ enz

,

rad

sec

;

d

=

T

1

2

T

2

,

Dämpfung

1 .

G s

1 , 2

=

ω

n

2

=

ω

n s

2

(

+

d

2

d

±

ω

n d s

2

+

1

ω

n

2

)

d

>

1

d

2

1

>

0

2 .

d

=

1

d

2

1

=

0

2 .

d

<

1

d

2

1

<

0

zwei unterschie dliche Polstellen zwei gleiche Polstellen zwei komplexe Polstellen

Polstellen sind reell

d

>

1 ;

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.9

0.8

0.7

0.1

0

0

1

h

( )

=

1

+

d

2

d

2

d

2

1

1

e

s

1

t

+

d

2

d d

2

2

1

e

s

2

t

1

Step Response

0.5

1 1.5

Time (sec)

2 2.5

3

d

=

1 ;

h

( )

=

1

e

ω

n t

ω

n

t

e

ω

n t

Step Response

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

1

0.9

0.8

0.7

0.1

0

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

d

<

1 ;

h

( )

=

1

e

− ω

n dt

1

d

2 sin

[

ω

n

1

d

2

t

+ ϕ

;

] ϕ

= arctan

1

d

2

d

Sprungantw ort PT2

1.8

1.6

1.4

1.2

d=0,1 d=0,5 d=0,7 d=1 d=2 d=5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5

1 1.5

Zeit (sec)

2 2.5

3

Die Übertragungsfunktion ist eine Funktion, die eine komplexe Variable s a uf eine komplexe Zahl G(s) abbildet. Sie kann als Real- und

Imaginäranteil oder als Betrag und Phase ausgedrückt werden:

G

( )

=

Re

{

G

( ) }

+

j

Im

{

G

( ) }

=

G

( )

e j

⋅ ϕ

Diese stehen wie folgt in Beziehung zueinander:

G

=

[

Re

{

G

( ) } ]

2

+

[

Im

{

G

( ) } ]

2

; ϕ = arctan

Im

{

G

( )

Re

{

G

( ) }

}

Bisher hat man das Verhalten eines Regelungssystems über die komplexe

Variable s und der Lage der Pole und Nullstellen in der s-Ebene beschrieben.

Als sehr wichtige und zweckmäßige Alternative zu diesem Ansatz steht das

Frequenzgangverfahren zur Verfügung.

Der Frequenzgang eines Systems ist definiert als die stationäre Antwort auf ein sinusförmiges

Eingangssignal. Für ein sinusförmiges Eingangssignal sind bei einem linearen System im stationärem Zustand sowohl das Ausgangssignal als auch alle anderen Signale innerhalb des

Systems ebenfalls reine Sinusschwingungen. Das Ausgangssignal unterscheidet sich vom

Eingangssignal ausschließlich durch Amplitude und Phasenlage.

Für das Eingangssignal x(t)

=

s

2

A

ω

+

ω

2 u(t) y(t)

u

=

A

⋅ sin

ω

t

U

Und die Übertragungsfunktion G(s)

G(s)

G

( )

=

Y

=

s

2

Z n i

=

1

(

s

p i

)

A

ω

+

ω

2

G

( )

=

k

1

s

p

1

+

k

2

s

p

+

...

+

k n s

p n

+

y

( )

k

1

e p

1

t k

2

e p

2

t

...

k n e p n t

L

1

B

1

s

s

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

2

Für ein stabiles System gilt im eingeschwungenen Zustand:

+

+

ω

B

2

2

B

1

s

2

s

+

B

2

+

ω

2

k i

e p i t

0

y

( )

=

L

1



B

1

s

2

s

+

+

ω

B

2

2



=

B

1 cos

ω

t

+

B

2 sin

ω

t

=

A

K

( )

⋅ sin

(

ω

t

+ ϕ

)

Anregung mit einem sinusförmigen Eingangsignal:

u

( )

=

A

⋅ sin

ω

t

Nach Einschwingen (Abklingen der homogenen Lösung der DGL) ergibt sich ein sinusförmiges Ausgangssignal mit der selben Frequenz:

y

( )

=

A

K

( )

⋅ sin

(

ω

t

+ ϕ

( ) )

Die Amplitudenverstärkung und die Phasenverschiebung sind frequenzabhängig!

Berechnen oder messen wir K(

ω

) für alle Werte von

ω und tragen sie in ein Diagramm ein, so ergibt sich der Am plitude ngang.

Tun wir dies für ϕ

(

ω

), so ergibt sich der Phas e ngang.

G

( )

=

G

( )

=

Re

( )

+

j

Im

K

( )

=

G

( )

=

Re

2

( )

+

Im

2

( )

; ϕ

( )

= arctan

Im

Re

( )

G

( )

=

s

3

+

7

s

2

30

+

40

s

+

34

=

(

s

+

1

)(

s

+

3

30

j

5

)(

s

+

3

+

j

5

)

i(t) ue(t)

R

C

i(t) ua(t)

τ

=

RC

G

=

τ

s

1

+

1

=

τ

1

j

ω

+

1

=

1

τ

τ

2

ω

2

j

ω

+

1

Re

( )

=

1

+

τ

1

2

ω

2

;

G

(

j

ω

)

=

1

1

+

τ

2

ω

2

;

Im

( )

= −

ω

1

+

τ

2

τ

ω

2 ϕ

= − arctan

(

ω

τ

)

i(t) ue(t)

R

C

i(t) ua(t)

1

G

(

j

ω

)

=

1

+

τ

2

ω

2

20 lg

G

(

j

ω

)

τ

ω

<<

1

=

20 lg

1

1

+

τ

2

ω

2

20 lg

G

(

j

ω

)

=

= −

10 lg

[

1

+

τ

10 lg

( )

=

0

dB

2

ω

2

]

τ

ω

>>

1

20 lg

G

(

j

ω

)

= −

10 lg

(

τ

2

ω

2

)

=

20 lg

(

τ

ω

)

= −

20 lg

20 lg

τ

ω

<<

1

τ

ω

>>

1

=

0

dB

20 lg

(

ωτ

)

τ

ω

<<

1

τ

ω

>>

1

= arctan

( ) arctan

(

− ∞

)

=

0

°

= −

90

°

Logarithmische Skalierung der Amplituden:

Multiplikation von Übertragungsfunktionen entspricht Addition der Amplitudengänge

G

( )

=

G

1

( )

G

2

( )

;

G

(

j

ω

)

=

G

1

(

j

ω

)

G

2

(

j

ω

)

20 lg

[

G

(

j

ω

)

]

=

20 lg

[

G

1

(

j

ω

)

G

2

(

j

ω

)

]

=

20 lg

[

G

1

(

j

ω

)

]

+

20 lg

Lineare Skalierung der Phasen:

[

G

2

(

j

ω

)

]

Multiplikation von Übertragungsfunktionen entspricht Addition der Phasengänge

G

( )

=

G

1

( )

G

2

( )

;

G

(

j

ω

)

=

G

1

(

j

ω

)

G

2

(

j

ω

)

e j

ϕ

=

e j

ϕ

1

e j

ϕ

2 ϕ

( )

= ϕ

1

( )

+ ϕ

2

( )

=

e j

[ ϕ

1

( )

+ ϕ

2

( ) ]

Die Vorteile logarithmischer Darstellung:

Nichtlineare Teile des Amplitudenganges werden asymptotisch linear dargestellt. Eckpunkt entspricht dabei der Grenzfrequenz

Multiplikative Komponenten des Amplitudenganges transformieren sich in additive Komponenten bei logarithmischen Darstellung

Die in der Praxis am häufigsten eingesetzte Reglerstruktur ist der PID-Regler.

Es gibt zwei alternative Darstellungsmöglichkeiten, die inhaltlich identisch sind:

G

R

=

K

P

+

K

I

1

s

+

K

D

s

P-Anteil I-Anteil D-Anteil

Im Zeitbereich:

u

=

K

P

e

( )

+

K

I

t e

( )

d

τ

0

+

K

D d

dt e

( )

G

R

=

K

P

1

+

T

I

1

s

+

T

D

s

Proportionale

Verstärkung

Nachstellzeit Vorhaltezeit

u

( )

=

K

P

e

+

t

o e

( )

d

τ

T

I

+

T

D d dt e

Als vereinfachte Sonderfälle des PID-Reglers entstehen durch Nullsetzen der

K

P

, K

I

oder K

D

Faktoren P-, PI, PD oder I-Regler (alle andere

Kombinationsmöglichkeiten sind von untergeordneter praktischer Bedeutung)

Typischerweise fällt beim Reglerentwurf erst die Entscheidung für eine bestimmte Reglerstruktur (z.B. P, PI, PID) und anschließend werden die

Reglerparameter bestimmt.

Sprungantwort eines PID-Reglers

D-Anteil: Dirac-Impuls der Höhe K

P

.

P-Anteil: Auf diesen Wert fällt die

T

D

Sprungantwort nach dem Abklingen des D-

Anteils wieder zurück.

I-Anteil: Linearer Anstieg der Steigung K

P

/T

I

P-Anteil:

Stellgröße ist proportional zur Regelabweichung.

"Je größer die Regelabweichung ist, desto größer muss auch die Stellgröße sein!"

Schneller Abbau der Regelabweichung; aber sie wird evtl. nicht vollständig abgebaut.

I-Anteil:

Stellgröße entspricht dem Integral (Summe) der vorangegangenen

Regelabweichungen.

Änderung der Stellgröße entspricht der Regelabweichung.

"Solange eine Regelabweichung auftritt, muss die Stellgröße verändert werden!"

Langsamer aber vollständiger Abbau der Regelabweichung.

D-Anteil:

Stellgröße entspricht der Änderung (Steigung) der Regelabweichung.

"Je stärker sich die Regelabweichung ändert, umso stärker muss die Regelung eingreifen!"

Sehr schnelle Reaktion. Auch bei kleinen Regelabweichungen mit falscher Tendenz aktiv.

b

K x

M

Ms

2

X

+

BsX

( )

+

KX

( )

=

F

( )

G

M

=

=

1

kg

;

1

Ms

2

+

Bs

+

K b

=

10

N m

s

;

K

=

20

N m

;

F

=

1

N

F

F(s)

1

s

2

+

10

s

+

20

X(s)

Step Response

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0

0

0.05

0.045

0.04

0.035

0.03

.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Skalierungsfehler 95%

Zeitkonstante ca. 1 s

Einstellzeit ca. 1,8 s

F(s)

+

-

P-Regler

1

s

2

+

10

s

+

20

Step Response

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1.4

1.2

0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X(s)

G

( )

=

X

F

Kp=30

Kp=300

=

s

2

1

+

10

s

+

( 20

+

K

P

)

Regeldifferenz ca. 5%

Überschwingung ca. 30%

Einstellzeit ca. 1 s

F(s)

+

-

PD-

Regler

1

s

2

+

10

s

+

20

X(s)

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Step Response

Kp=30

Kp=300

PD Kp=300, Kd=10

0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

G

PD

=

X

F

=

s

2

+

(

10

+

K

D s

K

D

+

)

s

K

P

+

( 20

+

K

P

)

Regeldifferenz ca. 5% (gleich)

Überschwingung ca. 10% (besser)

Einstellzeit ca. 0,6 s (besser)

Zeitkonstante ca. 0,01 s (gleich)

F(s)

+

-

PI-Regler

1

s

2

+

10

s

+

20

X(s)

Step Response

1.4

1.2

1

0.8

0.6

PD Kp=300 Kd=10

PI Kp=30 Ki=70

0.4

0.2

0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

G

PI

=

X

F

=

s

3

+

10

s

2

K

+

p s

(

20

+

+

K

I

K

P

)

s

+

K

I

Regeldifferenz 0

Überschwingung vernachlässigbar

Einstellzeit ca. 0,8 s (gleich)

Zeitkonstante ca. 0,3 s

F(s)

+

-

PID-Regler

1

s

2

+

10

s

+

20

X(s)

1.4

1.2

1

Step Response

PD Kp=300 Kd=10

PI Kp=30 Ki=70

PID Kp=350 Ki=300 Kd=5500

G

PID

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

1.2

1.4

1.6

1.8

2

=

s

3

+

(

10

+

K

D s

2

K

D

+

K p s

+

)

s

2

+

(

20

+

K

I

K

P

)

s

+

K

I

Regeldifferenz 0

Überschwingung 0

Einstellzeit ca. 0,8 s (gleich)

Zeitkonstante ca. 0,04 s

G

(

s

(

)

s

)

=

=

m m

s s

2

2

+

1

+

1

b b

s

s

+

+

k k m

=

1

kg

;

b

=

10

N

s

;

m

K

=

20

N m

Null- und Polstellen des Systems

Impulse- und Sprungantwortfunktion

Impulse- und Sprungantwortfunktion

Ltiview zur Systemanalyse

Analyse im Frequenzbereich

Analyse im Frequenzbereich

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