Spezielle Relativitätstheorie
STRAHLENOPTIK
1.
GRUNDBEGRIFFE DER STRAHLENOPTIK
1.1 MODELL DER LICHTSTRAHLEN
Weil die Beschreibung des Lichtes sehr kompliziert ist, wird als erste Vereinfachung das Modell
der Lichtstrahlen benutzt. Dieses Modell erklärt die meisten alltäglich auftretenden Phänomene
und wird somit auch noch heutzutage gerne benutzt.
Bei diesem Modell breitet sich das Licht in Form von Lichtbündeln aus. Ein sehr dünnes Lichtbündel
wird als Lichtstrahl bezeichnet.
Die Lichtstrahlen breiten sich im gleichen Medium stets geradlinig aus. Im Vakuum besitzen die
Strahlen eine Ausbreitungsgeschwindigkeit von 299 792 458 m/s. Als Vereinfachung wird im
Folgenden der Wert 3·108 m/s benutzt.
Die Lichtstrahlen sind solange für den Menschen unsichtbar, bis sie auf ein sichtbares Teilchen
stoßen und zurück in das menschliche Auge reflektiert werden.
Das menschliche Auge sieht nur den sichtbaren Bereich des Lichtes. Die Farben, welche der
Mensch erkennen kann sind: rot, orange, gelb, grün, grün-blau, blau und violett. Alle diese Farben
zusammengesetzt ergeben für das menschliche Auge die Farbe weiß.
Lichtstrahlen, welche auseinander gehen, werden divergente Lichtstrahlen genannt. Lichtstrahlen,
welche zusammenkommen, sind konvergent.
1.2 REFLEXION DES LICHTES
a)
Allgemeine Betrachtungen
Lichtstrahlen können auf zwei Weisen von einem Gegenstand zurückgeworfen werden. Man
unterscheidet zwischen:
 der gesetzmäßigen Reflexion an glatten Oberflächen. Das reflektierte Licht erhält eine
bevorzugte Richtung.
 der diffusen Reflexion an rauen Oberflächen. Das Licht wird in alle Richtungen zurückgeworfen.
Mikroskopisch gesehen erhält jedoch jeder Lichtstrahl eine gesetzmäßige Reflexion
Gesetzmäßige Reflexion
z.B. an Spiegel, Alu-Folie
b)
Diffuse Reflexion
z.B. an Papier, Kleider
Die gesetzmäßige Reflexion am ebenen Spiegel
Der Lichtstrahl, welcher auf den Spiegel auftrifft, wird einfallender Lichtstrahl genannt.
Der Lichtstrahl, welcher vom Spiegel zurückgeworfen wird, wird reflektierter Lichtstrahl genannt.
Das Lot (oder Einfallslot) ist eine Hilfslinie, welche senkrecht zum Spiegel steht, in dem Punkt wo
der einfallende Lichtstrahl auf den Spiegel trifft.
Der Einfallswinkel 1 ist der Winkel zwischen dem einfallenden Lichtstrahl und dem Lot.
Der Reflexionswinkel 2 ist der Winkel zwischen dem reflektierten Lichtstrahl und dem Lot.
Strahlenoptik 2
reflektierter
Lichtstrahl
Lot
einfallender
Lichtstrahl
Reflexionswinkel
Einfallswinkel
Spiegel
Das Reflexionsgesetz lautet:
Der einfallende Strahl, das Lot und der reflektierte Strahl liegen in einer Ebene.
Der Einfallswinkel 1 ist gleich dem Reflexionswinkel 2
1 = 2
1.3 BRECHUNG DES LICHTES
a)
Der absolute Brechungsindex eines Mediums
Die Lichtgeschwindigkeit ist in materiellen Medien kleiner als im Vakuum.
Medium
cM (km/s)
Vakuum
Luft
Wasser
Glas
300 000
~300 000
225 000
200 000
Der (absolute) Brechungsindex nM (auch absolute Brechzahl genannt) eines Mediums ist
definiert als der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum und der Lichtgeschwindigkeit
cM im Medium:
nM 
Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum
Geschwindigkeit des Lichtes im Medium
c
nM  0
cM
Da die Lichtgeschwindigkeit in materiellen Medien kleiner ist als im Vakuum, ist der absolute
Brechungsindex immer größer als 1 ( nM>1 ) .
Beispiele :
nLuft =
300000
1
300000
nWasser =
4
300000
 1,33 =
225000
3
nGlas =
300000
3
 1,50 =
200000
2
Der absolute Brechungsindex nM hängt ab von:
 der Farbe (Frequenz, Wellenlänge) des Lichtes.
Violettes Licht (große Frequenz, kleine Wellenlänge) hat eine größere Brechzahl als rotes
Licht (kleine Frequenz, große Wellenlänge).
 der Temperatur des Mediums.
Warme Luft hat eine kleinere Brechzahl als kalte Luft.
große
Wellenlänge
kleine
Frequenz
kleine
Wellenlänge
große
Frequenz
Strahlenoptik 3
b)
Der relative Brechungsindex zweier Medien
Zwei Medien unterscheiden sich durch ihre optische Dichte.
Das Medium mit dem höchsten absoluten Brechungsindex (geringste Lichtgeschwindigkeit) ist das
optisch dichtere Medium, das Medium mit dem geringsten absoluten Brechungsindex (höchste
Lichtgeschwindigkeit) ist das optisch dünnere Medium. Wasser ist also optisch dichter als Luft aber
optisch dünner als Glas.
Man kennzeichnet in der Optik ein Medienpaar durch den relativen Brechungsindex n
n 
ndicht
ndünn

cdünn
cdicht
Da ndicht > ndünn bzw. cdünn > cdicht ist, so ist der relative Brechungsindex zweier Medien stets größer
als 1 ( n > 1 ) .
c)
Experimentelle Herleitung des Brechungsgesetzes
einfallender
Lichtstrahl
Lot
Medium 1

Einfallswinkel
Grenzfläche

Medium 2
gebrochener
Lichtstrahl
Brechungswinkel
Trifft ein Lichtstrahl auf die Trennfläche zwischen zwei Medien, so wird ein Teil des Lichtes nach
dem Reflexionsgesetz in dem Medium 1 reflektiert (nicht abgebildet) und ein Teil dringt in das
Medium 2 ein. Der Lichtstrahl verändert beim Übergang vom Medium 1 ins Medium 2 seine
Ausbreitungsrichtung; er wird gebrochen. Dieser Vorgang wird Brechung des Lichtes oder
Refraktion des Lichtes genannt.
Alle Winkel im optisch dünnen Medium bezeichnen wir durch  (1, 2, 3 …), alle Winkel im
optisch dichten Medium durch  (1, 2, 3 …).
Die ersten Versuche, ein Brechungsgesetz zu finden, gehen auf Ptolemäus (etwa 150 n. Chr.)
zurück. Seine Messungen stellen höchstwahrscheinlich die älteste physikalische experimentelle
Untersuchung dar.
Er maß für verschiedene Einfallswinkel den dazugehörigen Brechungswinkel und fasste die
Wertepaare in Tabellen zusammen. Er stellte fest, dass für jeden durchsichtigen Stoff eine neue
Tabelle angefertigt werden muss, war aber nicht in der Lage, aus den Tabellen das zugrunde
liegende Gesetz abzuleiten. Dies gelang erst 1500 Jahre später, nämlich 1618 dem holländischen
Mathematiker Willebord Snellius.
Beim Ablesen (Abb. 2.) des Einfallswinkels und des entsprechenden Brechungswinkels zwischen
Luft und Glas entsteht folgende Tabelle:
Einfallswinkel in der Luft 
0°
15°
30°
45°
60°
70°
80°
Brechungswinkel im Glas 
0°
10°
19,5°
28°
35°
38,5°
41°
Wenn diese Messwerte in eine Grafik eingefügt werden, dann ist kein eindeutiger Zusammenhang
zwischen den beiden Winkeln zu erkennen.
Strahlenoptik 4
45
40
Brechungswinkel
35
30
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
Einfallswinkel
Für Einfallswinkel in Luft bis etwa 40° ergibt sich einer linearer Verlauf des Schaubildes  = k’.
Bei höheren Winkeln weicht der Verlauf aber immer mehr von einer Nullpunktgeraden ab. Es
besteht also keine direkte Proportionalität zwischen den Winkeln  und .
Berechnet man nun sin und sin, fügt diese Werte in eine neue Grafik ein, dann erhält man eine
direkte Proportionalität zwischen diesen Werten.
Winkel in der Luft 
0°
15°
30°
45°
60°
70°
80°
Winkel im Glas 
0°
10°
19,5°
28°
35°
38,5°
41°
sin 
0,00
0,26
0,50
0,71
0,87
0,94
0,98
sin 
0,00
0,17
0,33
0,47
0,57
0,62
0,65
0,7
0,6
sin 
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,2
0,4
sin 
0,6
0,8
1
Das Schaubild ergibt eine Nullpunktgerade, demnach ist sin direkt proportional zu sin. Also gilt
auch
sin 
sin 
Der Betrag der Konstanten k
sin = f(sin)
 k

konstant
ergibt aus der Steigung der Nullpunktgeraden im Schaubild
k


k

sin  B  sin  A
sin  B  sin  A
0,4  0
0,6  0
2
3
Es ist zu vermuten, dass die Konstante k in Verbindung steht mit den optischen Eigenschaften der
beiden Medien, Glas und Luft. Für dieses Medienpaar ergibt sich ein relativer Brechungsindex n
n 
ndicht
ndünn

nGlas
n Luft

1,50
1

3
2
Strahlenoptik 5
Es gilt demnach
1
n

k
Wir erhalten schließlich
sin 
sin 
 k
1
n

oder
sin 
sin 
 n
BRECHUNGSGESETZ
sin   n·sin 
ndicht
ndünn
n 
mit
cdünn
cdicht

 Winkel im optisch dünnen Medium
 Winkel im optisch dichten Medium
d)
Theoretische Herleitung des Brechungsgesetzes (Prinzip von Fermat)
Um 1650 suchte Fermat nach einem „höheren“ Prinzip das ihm erlauben würde, das
Brechungsgesetz herzuleiten und zu einem tieferen Verständnis der Lichtausbreitung zu gelangen.
Er fand dieses Prinzip und formulierte es folgendermaßen:
Von allen möglichen Wegen die das Licht nehmen kann, um von einem Punkt zu einem anderen zu
gelangen, wählt es den Weg der am wenigsten Zeit beansprucht.
Im Folgenden untersuchen wir den Übergang des Lichtes aus einem Medium 1 in ein Medium 2. In
einem bestimmten Medium breitet sich das Licht geradlinig aus. An der Grenzfläche der beiden
Medien wird der Strahl gebrochen:
y
yA
A

s1

x
0

n1
xB
x
s2
n2 > n1
n2
B
yB
Medium 1
Medium 2
Die Strecken betragen:
s1  x 2  y A2
s2 
und
xB  x2  y B2
Um von A nach B zu gelangen, benötigt das Licht die Zeit:
s
s
t ( x)  1  2 
c1 c2
x 2  y A2
c1

x B  x 2  y B2
c1
Zur Bestimmung der kürzesten Zeit wird die Ableitung der Zeit t zur Position x berechnet:
2 x
t ' x  
t' x  
c1 ·2  x  y
2
2
A

2  x B  x 
·  1
c2 ·2 
x B  x 2  y B2
x x
x
 B
c1 ·s1 c2 ·s2
t' ( x ) 
cos2    cos2   

c1
c2
Strahlenoptik 6
t' ( x ) 
sin  sin 

c1
c2
Ein Minimum liegt vor, wenn die Ableitung t’(x) gleich Null ist:
t' ( x )  0 
sin  sin 

c1
c2
Daraus folgt das Brechungsgesetz von Snellius:
sin 
sin 
e)

c1
c2
n2
n1

 n  sin 
 n  sin 
Diskussion des Brechungsgesetzes
sin 
sin 

ndicht
ndünn
 n
n >1
mit
 Winkel im optisch dünnen Medium
 Winkel im optisch dichten Medium
 Übergang vom optisch dünnen ins optisch dichte Medium
sin 

sin 
n
o
 = 0°   = 0°  keine Ablenkung
o
0° <  < 90°   <  da n > 1  Brechung zum Lot hin
o
 = 90°

 = GR
 GR ist der größtmögliche Winkel im optisch dichten
Medium  Grenzwinkel
sin  GR
sin  GR
sin 90
n
1

 n 1
n


ndünn
ndicht
 Übergang vom optisch dichten ins optisch dünne Medium
sin 
 n  sin 
o
 = 0°   = 0°  keine Ablenkung
o
0° <  < GR   >  da n > 1  Brechung vom Lot weg
o
 = GR
o
 > GR


 = 90°  gerade noch Austritt ins optisch dünne Medium; im
optisch dünnen Medium verläuft der Lichtstrahl
entlang der Grenze zwischen beiden Medien
sin  > sin GR
n  sin  > n  sin GR
sin  > n  n-1
sin  > 1
Strahlenoptik 7
Dies ist nicht möglich da sin   1 sein muss. Der Lichtstrahl kann nicht mehr aus dem
optisch dichten Medium austreten. Er wird in seiner Gesamtheit reflektiert, der Physiker
spricht von Totalreflexion. Daher bezeichnet er den Winkel  GR als Grenzwinkel der
Totalreflexion mit
 GR
1
 sin 1  
n
Luft
1. Übergang Wasser → Luft:
 = 

 = 0°
Wasser
Lichtquelle
Luft
2. Übergang Wasser → Luft:

Lichtquelle



  mit 
teilweise Reflexion
Wasser
er
Luft
Wasser
Lichtquelle
Luft
3. Übergang Wasser → Luft:
 > GR
Es entsteht Totalreflexion. Das Licht
kann nicht mehr das Wasser nicht mehr
verlassen.
4. Übergang Wasser → Luft:
 veränderlich
Lichtquelle
Wasser
Strahlenoptik 8
2.
DIE PLANPARALLELE PLATTE
Fällt ein Lichtstrahl senkrecht auf eine planparallele Platte, so geht ein ungebrochener Stahl
hindurch. Fällt er schräg auf, so erfährt er beim Durchgang eine Parallelverschiebung d.

n1
A
M


B

h
n2
d
N
n2 > n1
n 
n2
n1
C
n1
Brechungsgesetz in A:
sin   n  sin 
Durch die Symmetrie des Problemes befinden sich in C die gleichen Winkel wie in A. Also erhält
man auch hier das Brechungsgesetz:
sin 

sin 
n
Der Lichtstrahl, welcher aus der Platte austritt, ist parallel mit dem einfallenden Lichtstrahl.
Im Dreieck ABC ist die seitliche Verschiebung:
d = BC = AC · sin ( – )
(1)
Im Dreieck ACN erhalten wir für die Dicke h der Platte:
h = AN = AC · cos 

AC 
h
cos 
(2)
(2) in (1) ergibt:
 d
h  sin    
cos 
Die seitliche Verschiebung vergrößert sich mit der Dicke h der Platte. Sie hängt auch ab vom
Einfallswinkel  und dem Brechungswinkel , also, durch das Brechungsgesetz, von dem relativen
Brechungsindex der zwei Medien.
Die Parallelverschiebung kann auch nur mittels der Dicke h, des Einfallswinkels  und der relativen
Brechzahl n ausgedrückt werden.
Mit Hilfe der trigonometrischen Formel
sin(x – y) = sin(x)·cos(y) – cos(x)·sin(y)
lässt sich die Formel der Parallelverschiebung verändern:
Strahlenoptik 9
d
h  sin    
sin  ·cos   cos ·sin 
 h·
cos 
cos 

cos ·sin  

d  h· sin  
cos  

Desweiteren gilt die trigonometrische Formel
sin2(x) + cos2(x) =1
=>

cos ·sin 
d  h· sin  

1  sin 2 





cos( x )  1 sin 2 x 
Dadurch:
Für die Brechung gilt:
sin 

sin 
n
Dadurch erhalten wir für die Parallelverschiebung:
d

sin 

cos  ·

n
 h ·  sin  
2
sin 

1

n2










cos  · sin 

 h ·  sin  
sin 2 

n  1

n2

d








cos  ·sin
 h ·  sin  
n 2  sin 2 





Strahlenoptik 10
3.
DAS PRISMA
3.1 DEFINITIONEN
Prismen sind Körper aus lichtdurchlässigen Stoffen, die von zwei sich schneidenden Ebenen
begrenzt sind.
Die Schnittkante dieser beiden Ebenen wird Brechungskante C oder brechende Kante genannt.
Der Winkel  an der brechenden Kante wird brechender Winkel oder Prismenwinkel genannt.
Trifft ein Lichtstrahl auf eine Seite eines Prismas, so wird er im Allgemeinen zweimal gebrochen
und tritt somit auf der zweiten Seite in eine neue Richtung aus. Der Winkel zwischen den
Richtungen des einfallenden Lichtstrahles und des austretenden Lichtstrahles wird
Ablenkungswinkel  genannt.
C
δ

3.2 GESAMTABLENKUNG
n1

δ
K
n1 < n2
A
B
1
1
2
2
n2
Im Allgemeinen wird der Lichtstrahl zweimal im gleichen Sinn gebrochen.
Brechung an der Eintrittsfläche (im Punkt A):
sin 1  n  sin 1
mit
n
n2
n1
Brechung an der Austrittsfläche (im Punkt B) :
n  sin  2  sin  2
Im Dreieck ABC ist die Summe der drei Winkel (90° – 1) (beim Punkt A), (90° – 2) (beim Punkt
B) und  (beim Punkt C) gleich 180°:
(90° – 1) + (90° – 2) +  = 180°
 = 180° – (90° – 1) – (90° – 2)
 = 1 + 2
(1)
Strahlenoptik 11
Im Dreieck ABK ist die Summe der drei Winkel (1 – 1) (beim Punkt A), (2 – 2) (beim Punkt B)
und (180° – ) (beim Punkt K) gleich 180°:
1  1    2   2   180   
 180
 1  1   2   2  


 180  180

 1   2  
  1  1   2   2
  1   2  1   2 
Also mit (1) :
3.3 EXPERIMENTELLE HERLEITUNG DER MINIMALABLENKUNG
Indem für den gleichen Eintrittspunkt A der Einfallswinkel 1 verändert wird, kann die Veränderung
der Ablenkung δ experimentell aufgezeigt werden. Wenn der Einfallswinkel 1 von Null an
vergrößert wird, wird die Ablenkung δ zuerst kleiner bis zu einem Minimum δmin und dann wieder
größer.
 in °
Ablenkung für  = 40° und n = 1,5
50
40
30
δmin
20
10
0
0
20
1 = 2
und
1 = 2
40
60
80
1 in °
Wenn der Ablenkungswinkel ein Minimum ist, geht der Strahl symmetrisch durch das Prisma, somit
gilt 1 = 2 und 1 = 2.
Für die Winkel im Prisma gilt somit bei Minimalablenkung :

 = 1 + 2
1   2 

2
Der Ablenkungswinkel ergibt somit bei Minimalablenkung:
 min  2  1  
Der Einfallswinkel lässt sich umschreiben zur Form:
1 
 min  
2
Setzt man diese Gleichungen in das Brechungsgesetz ein, so ergibt dies :
sin 1 = n · sin 1
sin
 min  
2
 n  sin

2
Strahlenoptik 12
sin
n 
 min  
2
sin

2
Bildet Luft das optisch dünnere Medium, so kann diese Gleichung benutzt werden um die Brechzahl nP des Prismas zu bestimmen, da  und δmin leicht messbar sind. Es gilt dann nP = n , da
nLuft = 1 ist.
Wenn alle Winkel klein sind (z.B. bei Prismen mit kleinem Brechungswinkel) kann man den
Sinus eines Winkels durch das Bogenmaß des Winkels (in rad) ersetzen. Es ergibt sich dann
 min  
n 
2


2
 min  
 min

 n   
 min

n  1  
(nur gültig für   10°)
3.4 THEORETISCHE HERLEITUNG DER MINIMALABLENKUNG
Die Ablenkung δ ist gegeben durch :
 = 1 + 2 – 
Um die kleinste Ablenkung δmin zu bestimmen, müssen wir δ in Funktion einer einzelnen Variablen
ausdrücken und dann hiervon die Ableitung gleich Null setzen. Versuchen wir deshalb δ in Funktion
von 1 auszudrücken.
 Brechungsgesetz an der Eintrittsfläche:
n1  sin  1  n2  sin 1
also:
 n2

·sin 1 
 n1

 1  arcsin 
 Brechungsgesetz an der Austrittsfläche:
n2  sin  2  n1  sin  2
also:
 n2

·sin  2 
 n1

 2  arcsin 
mit  = 1 + 2 ergibt dies:
 n2

· sin   1 
 n1

 2  arcsin 
Strahlenoptik 13
 Gesamtablenkung δ :
n

n

 = arcsin  2 ·sin 1  + arcsin  2 ·sin   1  – 
 n1

 n1

d
=0
d 1
 Minimalablenkung wenn :
f x   arcsin u x 
Merke :
 1 
n2
·cos
n1
1
 
n2 2
·sin 2
n1
 1 
cos 1 
1
  ·sin
n2 2
n1
2
+
 1 
f ' x  

u ' x 
1  u 2 x 
   1 ·  1
n2
·cos
n1
1
 
n2 2
·sin 2
n1
   1 
= 0
cos   1 
=
1
  ·sin
n2 2
n1
2
   1 
Dies gilt nur wenn sowohl
cos1   cos  1 
als auch
sin 2 1   sin 2   1  ist.
Diese beiden Gleichungen sind nur gleichzeitig wahr wenn 1 =  – 1 ist  1 =
Des Weiteren gilt  = 1 + 2 , somit muss 2 = 1 =

2

2
sein.
Bei Minimalablenkung verläuft der Lichtstrahl symmetrisch durch das Prisma. Es gilt dann :
2 = 1 =

2
und
2 = 1
3.5 DISPERSION
Fällt weißes Licht durch ein Prisma, so wird das Licht in seine Farben aufgeteilt. Diese Erscheinung
beruht auf der Abhängigkeit des absoluten Brechungsindexes nP des Prismenmaterials von der
Farbe (Frequenz, Wellenlänge) des Lichtes  Dispersion. Je größer der absolute
Brechungsindex, desto größer die Ablenkung. Da np,violett > np,rot , wird der violette Anteil stärker
abgelenkt als der rote Anteil des weißen Lichtes, die einzelnen Spektralfarben des weißen Lichtes
werden erkennbar.
Strahlenoptik 14
4.
DIE LINSEN
4.1 EINTEILUNG DER LINSEN
Eine Linse ist ein rotationssymmetrischer Körper der meist aus Glas oder Kunststoff hergestellt ist.
Das optische Medium ist von zwei Kugelflächen begrenzt.
a)
Sammellinse oder Konvexlinse
Die Sammellinse ist in der Mitte dicker als am Rand.
Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet:
Sammellinse
Optische Achse
b)
Zerstreuungslinse oder Konkavlinse
Die Zerstreuungslinse ist in der Mitte dünner als am Rand.
Auf Skizzen wird sie folgendermaßen eingezeichnet:
Zerstreuungslinse
Optische Achse
Strahlenoptik 15
4.2 HAUPTSTRAHLEN BEI LINSEN
a)
Sammellinse oder Konvexlinse
Ein Lichtbündel, welches parallel zur optischen Achse verläuft, wird nach dem Durchgang
durch eine Sammellinse in einem Punkt gebündelt. Dieser Punkt wird Brennpunkt F1
genannt. Die Distanz zwischen dem Mittelpunkt der Linse und dem Brennpunkt ist die
Brennweite und wird mit dem Buchstaben f angeschrieben. Symmetrisch zum Mittelpunkt
der Linse befindet sich der zweite Brennpunkt F2.
O
F2
F1
F1 und F2: Brennpunkte
OF1 = OF2 = f ist die Brennweite
 Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, verläuft nach der
Brechung durch den Brennpunkt F1
 Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F2 verläuft, verläuft nach der Brechung
parallel zur optischen Achse weiter
 Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie
weiter
b)
Zerstreuungslinse oder Konkavlinse
Bei einer Zerstreuungslinse wird ein paralleles Lichtbündel hinter der Linse zerstreut, scheint
jedoch aus einem Punkt zu entspringen. Dieser Punkt ist der Brennpunkt F1 der
Zerstreuungslinse.
O
F1
F2
 Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, scheint nach der Brechung
aus dem Brennpunkt F1 zu kommen
 Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F2 verlaufen müsste, verläuft nach der
Brechung parallel zur optischen Achse weiter
 Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie
weiter
4.3 BILDENTSTEHUNG BEI LINSEN
Im Idealfall wird Licht, das von einem Punkt ausgeht, durch eine Linse so gebrochen, dass es
entweder wieder in einem Punkt vereinigt wird (meistens bei Sammellinsen) oder so verläuft, als
käme es aus einem Punkt (meistens bei Zerstreuungslinsen).
Strahlenoptik 16
Bilder an Linsen lassen sich einfach konstruieren, wenn man jeweils aus der unendlichen
Mannigfaltigkeit aller Strahlen, die von einem Punkt ausgehen und hinter der Linse wieder in
einem Punkt vereinigt werden, nur die Strahlen auswählt, deren Verlauf sich ohne Berechnung
angeben lässt – die Hauptstrahlen.
Wir unterscheiden:
 reelle Bilder: die Strahlen konvergieren (vereinigen sich) hinter der Linse, somit können
diese Bilder auf einem Schirm auffangen werden.
 virtuelle Bilder: die Strahlen divergieren hinter der Linse (nur ihre gedachte
Verlängerungen vereinigen sich vor der Linse), somit können diese Bilder durch unser Auge
erkannt werden, jedoch nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden.
Ob reelle oder virtuelle Bilder entstehen, hängt von der Position des Gegenstandes zur Linse ab.
G
F2
O
F1
f
B
f
g
F1, F2 :
G:
B:
g:
b:
f :
b
Brennpunkte
Gegenstandsgröße
Bildgröße
Gegenstandsweite
Bildweite
Brennweite
Es gelten folgende übliche Vorzeichenregel:
 Brennweite:
Sammellinse:
Zerstreuungslinse:
f > 0;
f<0
 Gegenstand :
reeller Gegenstand:
g > 0; G > 0
 Bild:
reelles Bild: b > 0; B > 0
virtuelles Bild: b < 0; B < 0
Strahlenoptik 17
4.4 LAGE UND EIGENSCHAFTEN DER BILDER BEI SAMMELLINSEN
G
O
F1
F2
G
O
F1
F2
G
O
F1
F2
G
O
F1
F2
G
O
F1
F2
G
F1
O
F2
Strahlenoptik 18
Gegenstandsweite g
Bildweite b
Bildeigenschaften
+
f
verkleinert, umgekehrt, reell
+  > g > 2f
f < b < 2f
verkleinert, umgekehrt, reell
2f
2f
gleich groß, umgekehrt, reell
2f > g > f
2f < b < ∞
vergrößert, umgekehrt, reell
f
+
sehr groß, umgekehrt, reell
f >g>0
–∞<b<0
vergrößert, aufrecht, virtuell
g  0
b  0
gleich groß, aufrecht, virtuell
4.5 LAGE UND EIGENSCHAFTEN DER BILDER BEI ZERSTREUUNGSLINSEN
Dieselben Gesetze wie für die Sammellinsen sind auch hier gültig.
Die Brennweite ist negativ zu wählen: f < 0
G
F1
Das Bild ist immer
O
F2
- verkleinert
- aufrecht
- virtuell
-
Also :
Gegenstandweite
Bildweite
+ > g > 0
–f < b < 0
Strahlenoptik 19
4.6 ABBILDUNGSMAßSTAB UND ABBILDUNGSGLEICHUNG
Die Zusammenhänge zwischen der Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B, der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f der Linse werden mit Hilfe von zwei Gesetzen
beschrieben: dem Abbildungsmaßstab und der Abbildungsgleichung.
a)
Abbildungsmaßstab
Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt:
B b
G B
oder


g b
G g
Der Abbildungsmaßstab  gibt uns an, wie viel mal das Bild größer ist als der Gegenstand. Da der
Abbildungsmaßstab stets positiv ist, müssen wir schreiben
 
b)
B
G
b

g
Abbildungsgleichung
Aus der Ähnlichkeit der blau gefärbten Dreiecke folgt:
G
B

g f
f
B
f

G g f

B b

G g
b
f

g g f
g · f = b · (g – f)
g·f=b·g–b·f
b·g=b·f+g·f
1
f

| : (b · g · f)
1
1

g
b
Strahlenoptik 20
4.7 BRECHKRAFT
Oft wird nicht die Brennweite einer Linse angegeben, sondern ihre Brechkraft D in Dioptrien.
Dies ist z.B. bei Brillengläsern der Fall.
1
f
D 
Für die Einheit der Brechkraft D gilt :
1
[D] =
= m-1 = 1 dpt (1 Dioptrie)
m
4.8 SEHWINKEL UND BILDGRÖßE
a)
Sehwinkel
G
O
ω
g
Der Sehwinkel ist der Winkel unter dem ein Beobachter einen Gegenstand sieht. Er wird mit
ω bezeichnet.
tan  
Also gilt für den Sehwinkel :
b)
G
g
Zusammenhang zwischen Bildgröße und Sehwinkel
Es lässt sich zwischen Bildgröße B und der Sehwinkel ω folgender Zusammenhang ableiten:
G B

g b
G
ω
b
B  ·G
g
ω
B
b
g
Bb·
G
g
B  b  tan 
c)
Formel zur Berechnung der Bildgröße bei weit entfernten Gegenständen
Bei weit entfernten Gegenständen lassen sich 2 Annährungen machen :
 g  

1
g
 0

1
f

b 
1
b

1
g

1
b
f
Das Bild entsteht im Brennpunkt der Linse.
Strahlenoptik 21
  sehr klein 
tan    (rad )
Schließlich erhalten wir für die Bildgröße bei weit entfernten Gegenständen
B  b  tan 
B 
f 
4.9 VERGRÖßERUNG EINES OPTISCHEN INSTRUMENTS
Das auf der Netzhaut entstehende reelle Bild ist umso größer, je näher sich der Gegenstand vor
der Augenlinse befindet. Dies ist auf eine Vergrößerung des Sehwinkels zurückzuführen. Befindet
sich aber der Gegenstand zu nahe an der Augenlinse, so kann diese kein scharfes Bild mehr
erzeugen. Die Gegenstandsweite bei der ein normales Auge den Gegenstand noch ohne
Anstrengung scharf sehen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite s. Die deutliche
Sehweite ist auf 25 cm festgelegt.
Die Größe des Bildes auf der Netzhaut ohne Einsatz von optischen Instrumenten ist also durch die
deutliche Sehweite begrenzt. Um ein noch größeres Bild zu erzeugen müssen Lupen, Mikroskope
und Fernrohre zwischen Gegenstand und Auge eingesetzt werden. Ihre Wirkung besteht darin,
dass sie den Sehwinkel noch zusätzlich vergrößern.
Sei:
B2
B1
V
2
1
Bildgröße mit optischem Instrument
Bildgröße ohne optisches Instrument
Vergrößerung des optischen Instrumentes
Sehwinkel mit optischem Instrument
Sehwinkel ohne optisches Instrument
Man definiert die Vergrößerung V
V
V

B2
B1

b  tan 2
b  tan 1

tan 2
tan 1
4.10 DIE LUPE
Die Lupe ist eine Sammellinse kurzer Brennweite (einige Zentimeter). Sie erzeugt virtuelle,
vergrößerte, aufrechte Bilder eines Gegenstands. Die Vergrößerung einer Lupe hängt von der
Brennweite der Lupe und von der Entfernung Gegenstand-Lupe ab.
In der Regel wird die Normalvergrößerung der Lupe angegeben. In diesem Fall befindet sich
der Gegenstand im Brennpunkt der Linse und das Auge muss sich am wenigsten anstrengen, da es
Strahlenoptik 22
auf unendlich akkomodiert  Bild 1. Es entsteht dann ein unendlich großes virtuelles aufrechtes
Bild, das unendlich weit entfernt ist.
Bild 1
Die Vergrößerung wird stets auf die Bildgröße ohne Lupe bei deutlicher Sehweite s bezogen. Die
deutliche Sehweite ist die Gegenstandsweite bei der ein normales Auge den Gegenstand noch
ohne Anstrengung scharf sehen kann. Sie ist auf 25 cm festgelegt Bild 2.
Bild 2
Für g = f beträgt die Normalvergrößerung V :
G
tan 2
G·s
s 25cm
f
V


 
tan1 G
f ·G f
f
s
Für g < f ist die Vergrößerung um so stärker je näher der Gegenstand sich an der Lupe befindet,
s
im Maximalfall ist sie
1.
f
Die Vergrößerung V einer Lupe liegt zwischen
s
f
und
s
1.
f
Mit einer Lupe von 5 cm Brennweite erzielt man 5- bis 6-fache Vergrößerung.
Die Vergrößerung einer Lupe ist umso stärker je geringer die Brennweite bzw. je größer die
Brechkraft der Lupe ist. Nimmt die Brechkraft zu, so nimmt auch der Krümmungsradius der
Sammellinse zu. Die Gegenstandsweite g und somit die Brennweite f kann daher nicht unter 1 cm
fallen. Eine Lupe kann maximal eine 25fache-Vergrößerung erreichen.
Strahlenoptik 23
5.
AUFGABEN ZUR STRAHLENOPTIK
1) Ein Lichtstrahl fällt unter 75° auf eine 15 mm dicke Glasplatte der Brechzahl 1,50, die auf der
Rückseite versilbert ist. Ein Teil des Lichtes dringt in das Glas ein und wird an der Unterseite
reflektiert, ein Teil wird an der Oberseite reflektiert.
a) Drücke den Abstand d der beiden parallel austretenden Strahlen in Funktion von
Einfallswinkel , Plattendicke h und Brechzahl n aus !
b) Bestimme den Abstand d !
2) Die Abbildung zeigt den Weg eines Lichtstrahles beim Übergang von Glas in Luft.
a) Auf welcher Seite der Grenzfläche befindet sich das
Glas ?
b) Wo ist der einfallende, wo der reflektierte und wo der
gebrochene Lichtstrahl ?
c) Wo liegen Einfallswinkel, Reflexionswinkel und
Brechungswinkel ?
3) Ein schmales Lichtbündel trifft die Wasseroberfläche eines Aquariums unter dem Einfallswinkel
von 45°. Der gebrochene Lichtstrahl fällt auf den Boden des Aquariums, trifft dort auf einen
horizontal liegenden Spiegel, wird zurück zur Oberfläche reflektiert und an der Grenzfläche zur
Luft gebrochen. Der Brechungsquotient des Wassers beträgt 1,33.
a) Wie groß ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Richtung, unter der das
Licht die Wasseroberfläche wieder verlässt ?
b) Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, in welchen der einfallende und der
reflektierte Lichtstrahl durch die Wasseroberfläche stoßen, wenn das Wasser 15 cm tief ist?
4)
a) Welche Brechzahl muss ein zylindrischer Stab
mindestens haben, damit alle durch seine Stirnfläche
eintretenden
Strahlen
durch
Totalreflexion
weitergeleitet werden ?
b) Wie groß ist der maximale Eintrittswinkel für
nSTAB = 1,33 ?
5) Ein Fisch schwimmt 50 cm unter einer ruhigen Wasseroberfläche (n = 1,33). Welche Gebiete
außerhalb des Wassers kann er direkt sehen und welche Gebiete im Wasser kann er über eine
Reflexion sehen ? (Skizze anfertigen)
Strahlenoptik 24
6) In einer Wellenwanne ist ein flaches Gebiet von einem Gebiet mit tieferem Wasser geradlinig
abgegrenzt. Eine ebene Welle läuft vom flachen Wasser ins tiefe Wasser. Der Einfallswinkel
beträgt 45°, der Brechungswinkel ist 60°.
a) In welchem Verhältnis stehen die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Welle in den beiden
Gebieten ?
b) In welchem Verhältnis stehen die Wellenlängen ?
7) a) Eine Fensterscheibe der Dicke 5 mm besitzt die Brechzahl 1,5. Welche Parallelverschiebung d ergibt sich bei einem Eintrittswinkel von 45° ?
b) Ersetze in der Gleichung für d mit Hilfe des Brechungsgesetzes  durch  !
8) Ein Lichtstrahl trifft unter dem Winkel  = 60° auf eine planparallele Glasplatte von 5 cm
Dicke. Der Brechungsindex der Platte beträgt 1,50. Die Platte ist von Luft umgeben. Berechnen
Sie die Parallelverschiebung des durchgehenden Strahles !
9) Ein Lichtstrahl trifft senkrecht auf die erste Fläche eines Glasprismas der Brechzahl 1,6 und
wird insgesamt um 30° abgelenkt. Wie groß sind Austrittswinkel und brechender Winkel des
Prismas ?
10) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt aus Luft kommend auf ein Prisma auf. Der brechende
Winkel des Prismas beträgt 45° und die Brechungszahl ist 1,77.
a) Wie groß ist die Minimalablenkung und bei welchem Einfallswinkel tritt sie ein ?
b) Der Strahl tritt unter einem Winkel von 60° ein. Berechne den Ablenkungswinkel !
c) Für welche Einfallswinkel ist gerade noch Durchgang mit Austritt an der anderen
Seitenfläche möglich ?
11) Ein monochromatischer Lichtstrahl fällt unter einem Winkel von 35° auf ein sich in Luft
befindliches Glasprisma der Brechungszahl n’ = 1,55 auf. Bei diesem Einfallswinkel kann der
Strahl an der gegenüberliegenden Seitenfläche gerade noch in Luft austreten.
a) Berechne den brechenden Winkel des Glasprismas !
b) Das Glasprisma wird in eine Flüssigkeit der Brechungszahl n’’ gestellt. Bei ansonsten
unveränderten Versuchsbedingungen erleidet der einfallende Strahl nun Minimalablenkung.
Berechne die Brechungszahl n’’ und den Minimalablenkungswinkel !
12) Ein Glasprisma ist von Luft umgeben. Es hat den Brechungsquotienten 1,70. Sein brechender
Winkel beträgt 60°.
a) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl für symmetrischen Durchgang auffallen, und
wie groß ist dann die Ablenkung ?
b) Unter welchem Winkel muss der Lichtstrahl auffallen, damit er streifend aus dem Prisma
tritt, und was geschieht, wenn der Einfallswinkel noch kleiner wird ?
13) Mit einer Kleinbildkamera der Brennweite 5 cm soll eine Person der Größe 1,80 m im
Hochformat fotografiert werden. Bei Hochformat beträgt die maximale Bildgröße B = 36 mm.
Wie groß muss die Gegenstandsentfernung sein ?
Strahlenoptik 25
14) Mit der gleichen Kleinbildkamera wie in Aufgabe 13 soll der Mond (G = 3476 km, g = 384400
km) abgebildet werden. Berechne Sehwinkel und Bildgröße ! Schlussfolgere !
15) In welcher Bildweite und Bildgröße wird eine 1,75 m große Person abgebildet, die 6,5 m von
einer Linse mit der Brennweite 25 cm entfernt ist ?
16) Berechnen Sie die Entfernung und Größe eines Gegenstandes, der von einer Linse mit 18 cm
Brennweite in einer Bildweite 24 cm und einer Größe 10 cm abgebildet wird !
17) Welche Brennweite muss eine Linse haben, damit sie von einem 3,12 m entfernten 1,2 m
großen Gegenstand ein 10 cm großes Bild erzeugt ?
18) Ein Gegenstand soll von einer Linse mit 7,5 cm Brennweite die dreifache Größe erhalten.
Berechnen Sie seine Gegenstands- und Bildweite !
19) Folgender Gegenstand (fester Pfeil) ergibt folgendes Bild (gestrichelter Pfeil). Wo befindet sich
die Linse und welche Brennweite hat die Linse ?
a)
b)
c)
c)
d)
20) Ein Gegenstand von 3 cm befindet sich 4 cm vor einer Zerstreuungslinse. Rückt man ihn um
weitere 6 cm von der Linse weg, so wird das Bild doppelt so klein.
a) Wie groß ist die Brennweite der Linse ? Bestimme auch Bildgrößen und Bildweiten !
b) Wohin muss man den Gegenstand stellen, damit sich zwischen ihm und seinem Bild 30 cm
Abstand befinden ?
21) Wie groß muss die Gegenstandsweite g eines sich vor einer Sammellinse befindlichen
Gegenstandes sein, damit die Distanz x zwischen ihm und seinem Bild minimal wird ?
22) Ein Gegenstand von 2 cm Größe steht vor einer bikonvexen Linse und ergibt ein virtuelles Bild
von 4 cm Größe.
a) Rückt man ihn um 2 cm weiter von der Linse weg, so entsteht ein reelles Bild der Größe
8 cm. Bestimme hieraus die Brennweite der Linse sowie die Bild- und Gegenstandsweiten !
b) In welche Richtung und wie weit muss man den Gegenstand verschieben, damit zwischen
ihm und seinem virtuellen Bild eine Distanz von 10 cm ist ?
Strahlenoptik 26
23) Ein Filmvorführgerät soll die 18 mm hohen Filmbilder auf eine 2,5 m hohe Projektionswand
abbilden, die 30 m entfernt ist.
a) Welche Brennweite muss das Objektiv haben ?
b) Wie groß ist der Sehwinkel für einen Kinobesucher, der 10 m bzw. 20 m von der Leinwand
entfernt sitzt ?
24) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm. Es soll aus der Einstellung auf
Unendlich aus eine Gegenstandsweite von 10 m bzw. 1m bzw. 0,50 m eingestellt werden.
a) Um welche Strecke muss das Objektiv verschoben werden ?
b) Wie groß ist in jedem Fall der Abbildungsmaßstab ?
25) Das Objektiv eines Fotoapparates hat eine Brennweite f = 5 cm.
a) Wie groß ist auf dem Film das Bild des Mondes, wenn der Mond dem bloßen Auge unter
einem Sehwinkel von 0,5° erscheint ?
b) Welche Brennweite müsste man wählen, damit das Bild 5 mm groß wird ?
c) Wie groß wäre das Bild, wenn man ein Teleobjektiv mit f = 15cm verwenden würde ?
26) Wir wollen eine Sammellinse der Brennweite 5 cm als Lupe zur Betrachtung eines 4,9 cm
entfernten Objektes der Größe 1 mm benutzen.
a) Wo entsteht das Bild und wie groß ist es ?
b) Bestimme Abbildungsmaßstab und Vergrößerung !
Strahlenoptik 27
6.
AUFGABEN ZUR STRAHLENOPTIK - LÖSUNGEN
1) a) d (  )  2·h·
sin  · cos
n 2  sin 2 
b) d = 6,54 mm
2) a) Oben: Luft; Unten: Glas
b) 3 = Einfallender Lichtstrahl
1 = Reflektierter Lichtstrahl
2 = Gebrochener Lichtstrahl
c)  = Einfallswinkel
 = Reflexionswinkel
 = Brechungswinkel
3) a) Richtungsänderung um 2 ·  = 90°
b) Abstand = 2·x = 2 · h·tan = 18,83 cm
4) a) n  1,41
b)  = 61,27°
5)
6) a)
b)
c1 n2 sin 
sin 45
, also hier:



sin 60
c2 n1 sin 
2
3
1
2

2
3
7) a)  = 28,13°;
d = 1,65 mm

cos
b) d  h · sin  ·  1 

2
n  sin 2 





8)  = 35,26°;
d = 2,56 cm
9)  = 34,26°;
 = 64,26°
10) a)  = 40,27°
b)  = 43,63°
c) 1  19°
bei
1 = 42,64°
11) a)  = 61,90°
b) d = 8,10° ; n’’ = 1,39
Strahlenoptik 28
12) a)  = 58,21°;  = 56,42°
b) 1 = 43,68° ; wenn  kleiner wird, dann tritt der Strahl nicht mehr auf der zweiten Seite
aus (Totalreflexion)
13) g = 255 cm
14)  = 0,5181° ; B = 0,452 mm
15) b = 26 cm
16) g = 72 cm
B = 7 cm
;
G = 30 cm
;
17) f = 24 cm (Sammellinse) ; f = -28,4 cm (Zerstreuungslinse)
18) g = 10 cm ; b = 30 cm (Sammellinse) /// g = 5 cm ; b = -15 cm (Zerstreuungslinse)
19) a) Sammellinse ; f = 1,15 cm
b) Sammellinse ; f = 2,6 cm
c) Zerstreuungslinse ; f = – 1,6 cm
d) geht nicht
20) a) f = – 2 cm;
Bildgrößen: B = – 1 cm, resp. B’ = – ½ cm
Bildweiten: b = – 43 cm, resp. B’ = – 53 cm
b) g = 31,88 cm und b = – 1,88 cm
21) g = 2 · f
22) a) f=
8
3
cm
Anfang: gAnfang = 43 cm ; bAnfang = –
8
3
Später: gSpäter =
cm
10
3
b) g’ = 2,19 cm und
werden.
cm ; bSpäter =
40
3
cm
b’ = -12,19 cm ; also muss um 1,14cm näher an die Linse gerückt
23) a) f = 21,6 cm
b) 10 = 0,245 rad
und 20 = 0,125 rad
24) a) s10m = 0,251 mm;
b) 10m = 0,00503;
s1m = 2,63 mm;
1m = 0,05026;
s0,5m = 5,55 mm
10m = 0,111
25) a) B = 0,436 mm
b) f = 57,3 cm
c) B = 1,31 mm
26) a) b = – 245 cm
b)  = 50
und
und
B = 5 cm
V = 5,1
Strahlenoptik 29
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