HP 50g Graphing Calculator Benutzerhandbuch

HP 50g grafikfähiger Taschenrechner
Bedienungsanleitung
H
Ausgabe 1
HP Artikel-Nr. F2229AA-90009
Hinweis
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FÜR DIESES HANDBUCH UND ALLE DARIN ENTHALTENEN
BEISPIELE WIRD KEINE GEWÄHR ÜBERNOMMEN. ÄNDERUNGEN
SIND VORBEHALTEN. HEWLETT–PACKARD ÜBERNIMMT WEDER
AUSDRÜCKLICH NOCH STILLSCHWEIGEND
IRGENDWELCHE
HAFTUNG FÜR DIE IN DIESEM HANDBUCH ENTHALTENEN
INFORMATIONEN EINSCHLIESSLICH, ABER NICHT BESCHRÄNKT
AUF DIE FUNKTIONSFÄHIGKEIT DES GERÄTS NOCH DESSEN
NICHTVERLETZUNG EIGNUNG FÜR EINEN BESTIMMTEN ZWECK.
HEWLETT–PACKARD HAFTET NICHT FÜR DIREKTE ODER INDIREKTE
SCHÄDEN IM ZUSAMMENHANG MIT ODER ALS FOLGE DER
LIEFERUNG, BENUTZUNG ODER LEISTUNG DER PROGRAMME
ODER DER VERWENDUNG DIESES HANDBUCHS UND DER DARIN
ENTHALTENEN BEISPIELE.
© 2003, 2006 Hewlett-Packard Development Company, L.P.
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wenn sie nicht durch die Urheberrechtsgesetze zulässig sind, ohne die
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San Diego, CA 92127-1899
USA
Druckgeschichte
Ausgabe 1
Avril 2006
Vorwort
Sie halten einen kompakten Taschenrechner für symbolische und numerische
Anwendungen in Händen, der Ihnen die Berechnung und mathematische
Analyse einer Vielzahl von Aufgaben in den verschiedensten Fachbereichen
erleichtern wird, von elementarer Mathematik bis hin zu Berechnungen im
Ingenieurwesen und anspruchsvollen wissenschaftlichen Aufgabenstellungen.
Obgleich das Gerät hier aufgrund seiner kompakten Abmessungen als
Taschenrechner bezeichnet wird, handelt es sich bei dem HP 50g um einen
vollwertigen grafischen, programmierbaren Handheldcomputer.
Der HP 50g verfügt über zwei verschiedene Betriebsmodi, nämlich über den
RPN-Modus (RPN=Reverse Polish Notation – Umgekehrte Polnische Notation)
und über den ALG-Modus (ALG=Algebra, weitere Details bietet die Seiten 111). Der RPN-Modus wurde bei Taschenrechnern eingeführt, um die Effizienz
von Berechnungen zu verbessern. In dieser Betriebsart werden zunächst die
Operanden einer Berechnung (z. B. die ‘2’ und die ‘3’ in der Berechnung des
Ergebnisses von ‘2+3’) eingegeben und erst anschließend der Operator (z. B.
‘+’ bei der Berechnung von ‘2+3’). Im ALG-Modus hingegen geben Sie
arithmetische Ausdrücke genauso ein, wie Sie sie auf Papier niederschreiben
würden. Um die Berechnung durchzuführen benutzen wir die ENTER Taste.
Dieses Handbuch enthält Beispiele für die Anwendung der verschiedenen
Funktionen und Berechnungsmöglichkeiten dieses Taschenrechners in beiden
Modi.
Die Kapitel sind nach Themen mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad
angeordnet. Sie beginnen mit der Einstellung der Betriebsarten des
Taschenrechners und der Anzeigeoptionen und fahren fort mit
Rechenoperationen auf reellen und komplexen Zahlen, Operationen mit Listen,
Vektoren und Matrizen, detaillierten Beispielen grafischer Anwendungen, der
Benutzung
von
Strings,
Grundlagen
der
Programmierung,
Grafikprogrammierung, Manipulation von Strings, Infinitesimalrechnung/
Analysis, multivariater Infinitesimalrechnung/ Analysis, Anwendungen mit
Differentialgleichungen (einschließlich der Laplace-Transformation, FourierReihen und Fourier-Transformationen), Wahrscheinlichkeitsberechnungen und
statistischen Anwendungen.
Für Operationen mit Symbolen verfügt der Taschenrechner über eine mächtiges
Computer Algebra System (CAS – Computer Algebraic System), mit dem Sie
verschiedene Betriebsarten wählen können, z. B. für komplexe Zahlen und
reelle Zahlen oder exakte (symbolische) und angenäherte (numerische)
Zahlendarstellungen. Das Display kann so eingestellt werden, dass es
Ausdrücke ähnlich wie in einem Lehrbuch anzeigt, was bei der Arbeit mit
Matrizen, Vektoren, Brüchen, Summen, Ableitungen und Integralen nützlich sein
kann. Mit der Hochgeschwindigkeits-Grafikfähigkeit des Taschenrechners
erzeugen Sie grafische Darstellungen in kürzester Zeit.
Dank der Infrarot-Schnittstelle, der RS232-Schnittstelle, der USB-Schnittstelle und
des Kabels, das mit Ihrem Taschenrechner geliefert wird, können Sie Ihren
Taschenrechner mit anderen Taschenrechnern oder Computern verbinden.
Somit können Sie schnell und effizient Daten und Programme mit anderen
Taschenrechnern und Computern austauschen. Der Taschenrechner verfügt über
Anschlüsse für Flash-Memory-Card, um die Speicherung und den Austausch von
Daten mit anderen Anwendern zu ermöglichen.
Die Programmierfähigkeiten des Taschenrechners ermöglichen Ihnen die
Entwicklung von effizienten Anwendungen für spezielle Zwecke. Ob
fortgeschrittene mathematische Anwendungen, spezifische Problemlösungen
oder Datenaufzeichnung – die in Ihren Taschenrechner zur Verfügung
stehenden Programmiersprachen machen ihn zu einem äußerst vielseitigen
Gerät.
Wir hoffen, dass Ihnen ihr Taschenrechner ein treuer, zuverlässiger Begleiter
sein wird, sowohl für Anwendungen in der Ausbildung als auch im Beruf.
Hinweis: Fließkommazahlen werden in diesem Handbuch durch einen
Dezimalpunkt anstelle des Dezimalkommas dargestellt. Dies ist die
Standardeinstellung des Taschenrechners. Sollten Sie lieber mit einem
Dezimalkomma arbeiten wollen, so können Sie die Standardeinstellung ändern.
Der Vorgang wird in Kapitel 1 beschrieben.
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1 - Einführung ,1-1
Grundoperationen ,1-1
Batterien ,1-1
Ein- und Ausschalten des Taschenrechners ,1-2
Einstellen des Kontrasts für das Display ,1-2
Anzeigen im Display des Taschenrechners ,1-3
Menüs ,1-4
SOFT-Menüs vs. CHOOSE boxes ,1-4
Auswahl von SOFT-Menüs oder CHOOSE boxes ,1-5
Das TOOL-Menü ,1-7
Datum und Uhrzeit einstellen ,1-8
Einstellen der Uhrzeit ,1-9
Einstellen des Datums ,1-11
Einführung in die Tastatur des Taschenrechners ,1-12
Auswahl der Taschenrechnermodi ,1-13
Operationsmodus ,1-14
Zahlenformat und Dezimalpunkt oder -komma ,1-19
Winkelmaß ,1-25
Koordinatensystem ,1-26
Beep (Piepsen), Key Click (Tastenklick) und Last Stack (letzter Stack) ,127
Auswahl der CAS-Einstellungen ,1-28
Auswahl der verschiedenen Anzeige-Modi ,1-29
Auswahl der Schrift im Display ,1-30
Auswahl der Eigenschaften des Zeileneditors ,1-31
Auswahl der Stack-Eigenschaften ,1-31
Auswahl der Eigenschaften für den EquationWriter (EQW) (Gleichungseditor) ,1-32
Auswahl der Größe für die Kopfzeile ,1-33
Auswahl der Anzeige für die Uhr ,1-34
Kapitel 2 - Einführung in den Taschenrechner ,2-1
Taschenrechner-Objekte ,2-1
Seite TOC-1
Ausdrücke im Display bearbeiten ,2-4
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken ,2-4
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken ,2-7
Erstellen von algebraischen Ausdrücken ,2-9
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken ,2-9
Erstellen von Ausdrücken mithilfe des EquationWriters (EQW) (Gleichungseditors) ,2-12
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken ,2-14
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken ,2-20
Erstellen von algebraischen Ausdrücken ,2-23
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken ,2-25
Erstellen und Bearbeiten von Summen, Ableitungsfunktionen und Integralen ,2-35
Organisieren der Daten im Taschenrechner ,2-40
Funktionen zur Manipulation von Variablen ,2-41
Das HOME-Verzeichnis ,2-43
Das Unterverzeichnis CASDIR ,2-43
Verzeichnis- und Variablennamen tippen ,2-46
Erstellen von Unterverzeichnissen ,2-47
Zwischen den Unterverzeichnissen hin und her wechseln ,2-52
Löschen von Unterverzeichnissen ,2-53
Variablen ,2-57
Erstellen von Variablen ,2-58
Überprüfen der Inhalte von Variablen ,2-63
Inhalte von Variablen ersetzen ,2-66
Kopieren von Variablen ,2-68
Die Variablen in einem Verzeichnis neu anordnen ,2-71
Verschieben von Variablen über das FILES-Menü ,2-73
Löschen von Variablen ,2-74
Anwenden der Funktion PURGE im Stack im algebraischen Modus ,2-74
Die Funktionen UNDO und CMD ,2-75
Flags ,2-77
Beispiel einer Flageinstellung : general solutions vs. principal value ,
2-78
Weitere erwähnenswerte Flags ,2-80
Seite TOC-2
CHOOSE boxes vs. Soft MENU (Funktionsmenü) ,2-81
Ausgewählte CHOOSE boxes ,2-83
Kapitel 3 - Berechnungen mit reellen Zahlen ,3-1
Überprüfen der Einstellungen des Taschenrechners ,3-1
Überprüfen des Taschenrechnermodus ,3-2
Berechnungen mit reellen Zahlen ,3-2
Änderung des Vorzeichens einer Zahl, einer Variablen oder eines Ausdrucks ,3-3
Die Umkehrfunktion ,3-3
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ,3-3
Verwendung von Klammern ,3-4
Funktion Absolutbetrag ,3-5
Quadrate und Quadratwurzeln ,3-5
Potenzen und Wurzeln ,3-6
Logarithmen mit der Basis 10 und Zehnerpotenzen ,3-6
Verwendung von Zehnerpotenzen bei der Dateneingabe ,3-7
Natürliche Logarithmen und Exponentialfunktionen ,3-7
Trigonometrische Funktionen ,3-7
Inverse trigonometrische Funktionen ,3-8
Unterschied zwischen Funktionen und Operatoren ,3-8
Funktionen von reellen Zahlen im Menü MTH ,3-9
Hyperbolische Funktionen und deren Inverse ,3-10
Funktionen zu reellen Zahlen ,3-13
Sonderfunktionen ,3-17
Konstanten des Taschenrechners ,3-18
Operationen mit Einheiten ,3-19
Das UNITS-Menü ,3-19
Zur Verfügung stehende Einheiten ,3-21
Umrechnung in Grundeinheiten ,3-24
Zahlen Einheiten zuordnen ,3-26
Operationen mit Einheiten ,3-28
Werkzeuge zur Manipulation von Einheiten ,3-31
Physikalische Konstanten im Taschenrechner ,3-33
Spezielle physikalische Funktionen ,3-35
Seite TOC-3
Funktion ZFACTOR ,3-36
Funktion F0λ ,3-37
Funktion SIDENS ,3-37
Funktion TDELTA ,3-37
Funktion TINC ,3-38
Definieren und Anwenden von Funktionen ,3-38
Funktionen die über mehr als einen Ausdruck definiert werden ,3-40
Die Funktion IFTE ,3-40
Kombinierte IFTE-Funktionen ,3-41
Kapitel 4 - Berechnungen mit komplexen Zahlen ,4-1
Definitionen ,4-1
Einstellen des Taschenrechners auf den COMPLEX-Modus ,4-1
Eingabe von komplexen Zahlen ,4-2
Polare Darstellung einer komplexen Zahl ,4-3
Einfache Operationen mit komplexen Zahlen ,4-4
Änderung des Vorzeichens einer komplexen Zahl ,4-5
Eingabe der imaginären Einheit ,4-5
Die CMPLX-Menüs ,4-6
CMPLX-Menü über das Menü MTH ,4-6
Das CMPLX-Menü auf der Tastatur ,4-8
Auf komplexe Zahlen angewandte Funktionen ,4-9
Funktionen aus dem MTH-Menü ,4-9
Funktion DROITE: Gleichung einer Geraden ,4-10
Kapitel 5 - Algebraische und arithmetische Operationen ,5-1
Eingabe von algebraischen Objekten ,5-1
Einfache Operationen mit algebraischen Objekten ,5-2
Funktionen im Menü ALG ,5-3
COLLECT ,5-5
EXPAND ,5-5
FACTOR ,5-5
LNCOLLECT ,5-5
LIN ,5-5
PARTFRAC ,5-5
SOLVE ,5-6
Seite TOC-4
SUBST ,5-6
TEXPAND ,5-6
Weitere Möglichkeiten zum Ersetzen in algebraischen Ausdrücken ,5-6
Operationen mit transzendenten Funktionen ,5-8
Erweitern und Faktorisieren mithilfe der log-exp-Funktionen ,5-8
Erweitern und Faktorisieren anhand trigonometrischer Funktionen ,5-9
Funktionen im Menü ARITHMETIC ,5-10
DIVIS ,5-11
FACTORS ,5-11
LGCD ,5-11
PROPFRAC ,5-11
SIMP2 ,5-11
Menü INTEGER ,5-12
Menü POLYNOMIAL (Polynome) ,5-12
Menü MODULO ,5-13
Anwendungen des Menüs ARITHMETIC ,5-13
Modulare Arithmetik ,5-14
Endliche arithmetische Ringe im Taschenrechner ,5-16
Polynome ,5-19
Modulare Arithmetik mit Polynomen ,5-20
Die Funktion CHINREM ,5-20
Die Funktion EGCD ,5-21
Die Funktion GCD ,5-21
Die Funktion HERMITE ,5-21
Die Funktion HORNER ,5-22
Die Variable VX ,5-22
Die Funktion LAGRANGE ,5-23
Die Funktion LCM ,5-23
Die Funktion LEGENDRE ,5-23
Die Funktion PCOEF ,5-24
Die Funktion PROOT ,5-24
Die Funktion PTAYL ,5-24
Die Funktionen QUOT und REMAINDER ,5-24
Die Funktion EPSX0 und die CAS-Variable EPS ,5-25
Die Funktion PEVAL ,5-25
Die Funktion TCHEBYCHEFF ,5-26
Seite TOC-5
Brüche ,5-26
Die Funktion SIMP2 ,5-26
Die Funktion PROPFRAC ,5-27
Die Funktion PARTFRAC ,5-27
Die Funktion FCOEF ,5-27
Die Funktion FROOTS ,5-28
Step-by-Step Operationen mit Polynomen und Brüchen ,5-28
Das Menü CONVERT und algebraische Operationen ,5-30
Konvertierungs-Menü UNITS (Einheiten) ,5-30
Konvertierungs-Menü BASE ,5-30
Konvertierungs-Menü TRIGONOMETRIC ,5-30
Konvertierungs-Menü MATRIZEN ,5-30
Konvertierungs-Menü REWRITE ,5-31
Kapitel 6 - Lösung von Einzelgleichungen ,6-1
Symbolische Lösung algebraischer Gleichungen ,6-1
Funktion ISOL ,6-2
Funktion SOLVE ,6-3
Funktion SOLVEVX ,6-4
Funktion ZEROS ,6-5
Menü numerischer Löser ,6-6
Polynomgleichungen ,6-7
Finanzmathematische Berechnungen ,6-11
Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten über NUM.SLV ,6-17
,6-25
Das Funktionsmenü SOLVE ,6-32
Das Untermenü ROOT ,6-32
Die Funktion ROOT ,6-32
Variable EQ ,6-33
Das Untermenü SOLVER ,6-33
Das Untermenü DIFFE ,6-36
Das Untermenü POLY ,6-37
Das Untermenü SYS ,6-37
Das Untermenü TVM ,6-38
Seite TOC-6
Kapitel 7 - Lösen von Mehrfachgleichungen ,7-1
Rationale Gleichungssysteme ,7-1
Beispiel 1 – Projektilbewegung ,7-1
Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder ,7-3
Beispiel 3 – System von Polynomgleichungen ,7-5
Lösungen für Simultansysteme mit MSLV ,7-5
Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion ,7-6
Beispiel 2 – Eingang aus einem See in einen offenen Kanal ,7-7
Der Multiple Equation Solver (MES) (Mehrfachgleichungslöser) ,7-12
Anwendung 1 – Lösung von Dreiecken ,7-12
Anwendung 2 – Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten ,7-22
Kapitel 8 - Operationen mit Listen ,8-1
Definitionen ,8-1
Erstellen und Speichern von Listen ,8-1
Erstellen und Zerlegen von Listen ,8-2
Operationen mit Zahlenlisten ,8-3
Änderung des Vorzeichens ,8-4
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ,8-4
Funktionen mit reellen Zahlen von der Tastatur aus ,8-6
Funktionen mit reellen Zahlen aus dem Menü MTH ,8-6
Beispiele von Funktionen, die zwei Argumente verwenden ,8-7
Listen von komplexen Zahlen ,8-8
Listen von algebraischen Objekten ,8-9
Das MTH/LIST-Menü ,8-10
Manipulation der Elemente einer Liste ,8-11
Listengröße ,8-12
Extrahieren und Einfügen von Elementen in eine Liste ,8-12
Position eines Elementes in der Liste ,8-13
Die Funktionen HEAD und TAIL ,8-13
Die Funktion SEQ ,8-13
Die Funktion MAP ,8-14
Funktionen definieren, die Listen benutzen ,8-15
Anwendungen für Listen ,8-17
Seite TOC-7
Harmonischer Mittelwert einer Liste ,8-18
Geometrischer Mittelwert einer Liste ,8-19
Gewogenes Mittel ,8-20
Statistiken gruppierter Daten ,8-22
Kapitel 9 - Vektoren ,9-1
Definitionen ,9-1
Eingabe von Vektoren ,9-2
Eingabe von Vektoren in den Stack ,9-2
Vektoren in Variablen speichern ,9-3
Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW) ,9-4
Erstellen eines Vektors mithilfe von ARRY ,9-7
Kennung, Extrahieren und Hinzufügen von Elementen des Vektors ,9-8
Einfache Operationen mit Vektoren ,9-10
Änderung des Vorzeichens ,9-11
Addition, Subtraktion ,9-11
Multiplikation und Division mit einem Skalar ,9-11
Funktion Absolutbetrag ,9-11
Das Menü MTH/VECTOR ,9-12
Betrag ,9-12
Skalarprodukt ,9-13
Kreuzprodukt ,9-13
Zerlegen eines Vektors ,9-14
Erstellen eines zweidimensionalen Vektors ,9-14
Erstellen eines dreidimensionalen Vektors ,9-15
Änderung des Koordinatensystems ,9-15
Anwendungen von Vektor-Operationen ,9-18
Resultante von Kräften ,9-18
Winkel zwischen Vektoren ,9-19
Kraftmoment ,9-20
Gleichung einer Ebene im Raum ,9-21
Zeilen- und Spaltenvektoren sowie Listen ,9-22
Funktion OBJ ,9-23
Funktion LIST ,9-24
Funktion ARRY ,9-24
Seite TOC-8
Funktion DROP ,9-25
Umwandlung eines Zeilenvektors in einen Spaltenvektor ,9-25
Umwandlung eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor ,9-26
Eine Liste in einen Vektor umwandeln ,9-28
Einen Vektor oder eine Matrix in eine Liste umwandeln ,9-30
Kapitel 10 - Erstellen und Manipulieren von Matrizen ,10-1
Definitionen ,10-1
Eingaben von Matrizen in den Stack ,10-2
Verwendung des Matrix Editors ,10-2
Direktes Eingeben der Matrix in den Stack ,10-3
Erstellen von Matrizen mit den Funktionen des Taschenrechners ,10-4
Funktionen GET und PUT ,10-6
Funktionen GETI und PUTI ,10-7
Funktion SIZE ,10-8
Funktion TRN ,10-8
Funktion CON ,10-9
Funktion IDN ,10-10
Funktion RDM ,10-10
Funktion RANM ,10-12
Funktion SUB ,10-12
Funktion REPL ,10-13
Funktion DIAG ,10-14
Funktion DIAG ,10-14
Funktion VANDERMONDE ,10-15
Funktion HILBERT ,10-16
Programm zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl von Listen ,10-16
Die Listen stellen Spalten der Matrix dar ,10-16
Die Listen stellen Zeilen der Matrix dar ,10-18
Spaltenweise Manipulation von Matrizen ,10-19
Funktion COL ,10-20
Funktion COL ,10-21
Funktion COL+ ,10-22
Funktion COL- ,10-22
Funktion CSWP ,10-23
Seite TOC-9
Zeilenweise Manipulation von Matrizen ,10-23
Funktion ROW ,10-24
Funktion ROW ,10-25
Funktion ROW+ ,10-26
Funktion ROW- ,10-26
Funktion RSWP ,10-27
Funktion RCI ,10-28
Funktion RCIJ ,10-28
Kapitel 11 - Matrix-Operationen und lineare Algebra ,11-1
Operationen mit Matrizen ,11-1
Addition und Subtraktion ,11-2
Multiplikation ,11-2
Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM) ,11-8
Funktion ABS ,11-8
Funktion SNRM ,11-9
Funktionen RNRM und CNRM ,11-10
Funktion SRAD ,11-10
Funktion COND ,11-11
Funktion RANK ,11-12
Funktion DET ,11-13
Funktion TRACE ,11-15
Funktion TRAN ,11-16
Weitere Matrix-Operationen (Das Matrix-Menü OPER) ,11-16
Funktion AXL ,11-17
Funktion AXM ,11-17
Funktion LCXM ,11-17
Lösung linearer Gleichungssysteme ,11-19
Verwenden des numerischen Gleichungslösers für lineare Gleichungssysteme ,11-19
Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Funktion LSQ) ,11-27
Lösung mithilfe der inversen Matrix ,11-29
Lösung durch „Division“ von Matrizen ,11-30
Lösen mehrerer Gruppen von Gleichungen mit derselben Koeffizientenmatrix ,11-31
Seite TOC-10
Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination ,11-32
Schrittweises Verfahren des Taschenrechners zum Lösen linearer Gleichungssysteme ,11-42
Schrittweises Berechnen der Inversen einer Matrix ,11-44
Lösung linearer Gleichungssysteme mit den Funktionen des Taschenrechners ,11-45
Restfehler bei Lösungen linearer Gleichungssysteme (Funktion RSD) ,1149
Eigenwerte und Eigenvektoren ,11-50
Funktion PCAR ,11-50
Funktion EGVL ,11-51
Funktion EGV ,11-52
Funktion JORDAN ,11-53
Funktion MAD ,11-54
Matrixfaktorisierung ,11-55
Die Funktion LU ,11-55
Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung ,11-56
Funktion SCHUR ,11-57
Funktion LQ ,11-57
Funktion QR ,11-57
Quadratische Formen einer Matrix ,11-58
Das Menü QUADF ,11-58
LINEAR APPLICATIONS ,11-60
Funktion IMAGE ,11-61
Funktion ISOM ,11-61
Funktion KER ,11-61
Funktion MKISOM ,11-61
Kapitel 12 - Grafik ,12-1
Grafikoptionen des Taschenrechners ,12-1
Darstellung eines Ausdrucks der Form y = f(x) ,12-2
Hilfreiche Funktionen für Funktionsdarstellungen ,12-5
Eine Grafik zur späteren Verwendung speichern ,12-8
Grafiken transzendenter Funktionen ,12-9
Grafik für ln(X) ,12-9
Seite TOC-11
Graph der Exponentialfunktion ,12-11
Die Variable PPAR ,12-12
Umkehrfunktionen und deren grafische Darstellung ,12-13
Zusammenfassung der Optionen zur Funktionsdarstellung ,12-14
Darstellung von Winkel- und Hyperbelfunktionen ,12-19
Eine Wertetabelle für eine Funktion erstellen ,12-20
Die Variable TPAR ,12-20
Darstellungen in Polarkoordinaten ,12-22
Darstellung von Kegelschnitt-Kurven ,12-24
Parametrische Plots ,12-26
Erzeugen einer Tabelle für parametrische Gleichungen ,12-29
Grafische Darstellung der Lösung für einfache Differentialgleichungen ,12-30
Truth-Plot-Funktion ,12-33
Darstellung von Histogrammen, Balkendiagrammen und Streudiagrammen
,12-34
Balkendiagramme ,12-35
Streudiagramme ,12-37
Steigungsfelder ,12-38
Schnelle 3D-Plots ,12-40
Drahtgitterdarstellungen ,12-42
Ps-Contour-Darstellungen ,12-45
Y-Schnitt-Darstellungen ,12-47
Netzbilddarstellungen ,12-48
Pr-Oberflächendarstellungen ,12-49
Die VPAR-Variable ,12-50
Interaktives Zeichnen ,12-51
DOT+ und DOT- ,12-52
MARK ,12-52
LINE ,12-53
TLINE ,12-53
BOX ,12-54
CIRCL ,12-54
LABEL ,12-54
DEL ,12-54
ERASE ,12-55
Seite TOC-12
MENU ,12-55
SUB ,12-55
REPL ,12-55
PICT ,12-55
X,Y ,12-56
Vergrößern und verkleinern im Grafikfenster (Zoomen) ,12-56
ZFACT, ZIN, ZOUT und ZLAST ,12-56
BOXZ ,12-57
ZDFLT, ZAUTO ,12-57
HZIN, HZOUT, VZIN und VZOUT ,12-58
CNTR ,12-58
ZDECI ,12-58
ZINTG ,12-58
ZSQR ,12-58
ZTRIG ,12-58
Menü SYMBOLIC und Grafiken ,12-59
Das Menü SYMB/GRAPH ,12-59
Funktion DRAW3DMATRIX ,12-62
Kapitel 13 - Anwendungen der Infinitesimalrechnung/ Analysis
,13-1
Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung - Analysis) ,13-1
Grenzwerte und Ableitungen ,13-1
Funktion lim ,13-2
Ableitungen ,13-3
Funktionen DERIV und DERVX ,13-4
Das Menü DERIV&INTEG ,13-4
Berechnen von Ableitungen mit ∂ ,13-5
Die Kettenregel ,13-7
Ableitungen von Gleichungen ,13-7
Implizite Ableitungen ,13-8
Anwendung von Ableitungen ,13-8
Funktion DOMAIN ,13-10
Funktion TABVAL ,13-10
Funktion SIGNTAB ,13-11
Seite TOC-13
Funktion TABVAR ,13-12
Verwenden von Ableitungen zum Berechnen von Extrempunkten ,13-13
Ableitungen höherer Ordnung ,13-15
Stammfunktionen und Integrale ,13-15
Funktionen INT, INTVX, RISCH, SIGMA und SIGMAVX ,13-15
Bestimmte Integrale ,13-16
Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen ,13-18
Integrieren einer Gleichung ,13-19
Methoden der Integration ,13-20
Substitution oder Ändern von Variablen ,13-20
Partielle Integration und Differenziale ,13-21
Integration durch Partialbruchzerlegung ,13-22
Uneigentliche Integrale ,13-23
Integralrechnungen mit Einheiten ,13-23
Unendliche Reihen ,13-25
Taylor- und MacLaurin-Reihen ,13-25
Taylor-Polynom und Rest ,13-26
Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES ,13-27
Kapitel 14 - Anwendungen der multivariaten Analysis/ Infinitesimalrechnung ,14-1
Multivariate Funktionen ,14-1
Partielle Ableitungen ,14-2
Ableitungen höherer Ordnung ,14-3
Die Kettenregel für partielle Ableitungen ,14-4
Totales Differenzial einer Funktion z = z(x,y) ,14-5
Bestimmen der Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen ,14-5
Verwenden der Funktion HESS zur Analyse von Extremwerten ,14-7
Mehrfache Integrale ,14-8
Jacobimatrix einer Koordinatentransformation ,14-10
Doppeltes Integral in Polarkoordinaten ,14-10
Kapitel 15 - Anwendungen der Vektorrechnung ,15-1
Definitionen ,15-1
Gradient und Richtungsableitung ,15-1
Seite TOC-14
Ein Programm zum Berechnen des Gradienten ,15-2
Verwenden der Funktion HESS zum Erhalten des Gradienten ,15-3
Potential eines Gradienten ,15-3
Divergenz ,15-4
Laplace-Operator ,15-5
Rotation ,15-5
Rotationsfreie Felder und Potentialfunktion ,15-6
Vektorpotential ,15-7
Kapitel 16 - Differentialgleichungen ,16-1
Grundfunktionen für Differentialgleichungen ,16-1
Differentialgleichungen eingeben ,16-1
Lösungen im Taschenrechner überprüfen ,16-3
Lösungen als Steigungsfeld anzeigen ,16-3
Das Menü CALC/DIFF ,16-4
Lösung linearer und nicht-linearer Gleichungen ,16-5
Funktion LDEC ,16-5
Funktion DESOLVE ,16-8
Die Variable ODETYPE ,16-9
Laplace-Transformationen ,16-11
Definitionen ,16-12
Laplace-Transformation und Inverse im Taschenrechner ,16-12
Laplace-Transformations-Theoreme ,16-14
Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion ,16-17
Anwendungen der Laplace-Transformation bei der Lösung linearer
ODEs. ,16-19
Fourier-Reihen ,16-29
Funktion FOURIER ,16-31
Fourier-Reihe für eine quadratische Funktion ,16-31
Fourier-Reihe für eine Dreieckschwingung ,16-38
Fourier-Reihe für eine Rechteckschwingung ,16-43
Fourier-Reihen-Anwendungen bei Differentialgleichungen ,16-45
Fourier-Transformationen ,16-47
Definition von Fourier-Transformationen ,16-50
Eigenschaften der Fourier-Transformation ,16-52
Seite TOC-15
Fast Fourier-Transformation (FFT) ,16-53
Beispiele für FFT-Anwendungen ,16-54
Lösung spezifischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung ,16-58
Die Cauchy’sche oder Euler-Gleichung ,16-58
Legendre’sche Gleichung ,16-59
Bessel-Gleichung ,16-60
Chebyshev oder Tschebyscheff-Polynome ,16-63
Laguerre-Gleichung ,16-64
Weber-Gleichung und Hermite-Polynome ,16-65
Numerische und grafische Lösungen von ODEs ,16-65
Numerische Lösung einer ODE erster Ordnung ,16-65
Grafische Lösung einer ODE erster Ordnung ,16-67
Numerische Lösung einer ODE zweiter Ordnung ,16-69
Grafische Lösung einer ODE zweiter Ordnung ,16-72
Numerische Lösung einer steifen ODE erster Ordnung ,16-74
Numerische Lösung von ODEs mit dem Menü SOLVE/DIFF ,16-76
Funktion RFK ,16-76
Funktion RRK ,16-78
Funktion RKFSTEP ,16-79
Funktion RRKSTEP ,16-79
Funktion RKFERR ,16-80
Funktion RSBERR ,16-81
Kapitel 17 - Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
,17-1
Das MTH/PROBABILITY.. Untermenü - Teil 1 ,17-1
Fakultäten, Kombinationen und Permutationen ,17-1
Zufallszahlen ,17-2
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ,17-4
Binomialverteilung ,17-5
Poisson-Verteilung ,17-5
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ,17-6
Die Gammaverteilung ,17-7
Die Exponentialverteilung ,17-7
Die Betaverteilung ,17-7
Seite TOC-16
Die Weibull-Verteilung ,17-8
Funktionen für stetige Verteilungen ,17-8
Stetige Verteilungen für statistische Folgerungen ,17-10
Normalverteilung pdf ,17-10
Normalverteilung cdf ,17-10
Die Studentsche t-Verteilung ,17-11
Die Chi-Quadrat-Verteilung ,17-12
Die F-Verteilung ,17-13
Inverse Verteilungsfunktionen ,17-14
Kapitel 18 - Statistikanwendungen ,18-1
Vorprogrammierte Statistikfunktionen ,18-1
Eingeben von Daten ,18-1
Berechnen von Maßzahlen einer einzigen Variablen ,18-2
Erzeugen von Häufigkeitsverteilungen ,18-6
Anpassen von Daten an die Funktion y = f(x) ,18-11
Ermitteln zusätzlicher Summenmaßzahlen ,18-15
Berechnung von Perzentilen ,18-16
Das Menü STAT ,18-17
Das Untermenü DATA ,18-17
Das Untermenü ΣPAR ,18-18
Das Untermenü 1VAR ,18-19
Das Untermenü PLOT ,18-19
Das Untermenü FIT ,18-20
Das Untermenü SUMS ,18-21
Beispiel für Operationen des Menüs STAT ,18-21
Konfidenzintervalle ,18-25
Schätzung von Konfidenzintervallen ,18-26
Definitionen ,18-26
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei bekannter
Grundgesamtheitsvarianz ,18-27
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei unbekannter Grundgesamtheitsvarianz ,18-27
Konfidenzintervall für einen Anteil ,18-28
Stichprobenverteilung für Differenzen und Summen von Maßzahlen ,
Seite TOC-17
18-29
Konfidenzintervalle für Summen und Differenzen von Mittelwerten ,
18-29
Bestimmen von Konfidenzintervallen ,18-31
Konfidenzintervalle für die Varianz ,18-37
Hypothesentest ,18-39
Vorgehensweise beim Testen von Hypothesen ,18-39
Fehler beim Hypothesentest ,18-40
Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Mittelwert ,18-41
Folgerungen in Bezug auf zwei Mittelwerte ,18-44
Tests mit abhängigen Stichproben ,18-46
Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Anteil ,18-46
Testen der Differenz zweier Anteile ,18-47
Hypothesentest mit vorprogrammierten Funktionen ,18-48
Folgerungen in Bezug auf eine einzige Varianz ,18-52
Folgerungen in Bezug auf zwei Varianzen ,18-54
Weitere Anmerkungen zur linearen Regression ,18-55
Die Methode der kleinsten Quadrate ,18-55
Weitere Gleichungen für die lineare Regression ,18-57
Prognosefehler ,18-58
Konfidenzintervalle und Hypothesentest bei linearer Regression ,18-58
Vorgehensweise mit dem Taschenrechner bei Inferenzmaßzahlen für lineare Regression ,18-59
Mehrfache lineare Anpassung ,18-63
Polynomanpassung ,18-65
Auswählen der besten Anpassung ,18-69
Kapitel 19 - Zahlen mit unterschiedlicher Basis ,19-1
Definitionen ,19-1
Das Menü BASE ,19-1
Die Funktionen HEX, DEC, OCT und BIN ,19-2
Umwandlung zwischen Zahlensystemen ,19-3
Wortgröße ,19-4
Rechenoperationen mit binären Ganzzahlen ,19-5
Das Menü LOGIC ,19-5
Seite TOC-18
Das Menü BIT ,19-6
Das Menü BYTE ,19-7
Hexadezimalzahlen für Pixelreferenzen ,19-7
Kapitel 20 - Anpassen von Menüs und Tastatur ,20-1
Benutzerdefinierte Menüs ,20-1
Menü PRG/MODES/MENU ,20-1
Menü-Nummern (RCLMENU und MENU-Funktionen) ,20-2
Benutzerdefinierte Menüs (MENU und TMENU-Funktionen) ,20-2
Menü-Spezifikationen und CST-Variable ,20-4
Die Tastatur benutzerdefiniert anpassen ,20-5
Untermenü PRG/MODES/KEY ,20-6
Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen ,20-7
Ein Objekt einer benutzerdefinierten Taste zuweisen ,20-7
Benutzerdefinierte Tasten verwenden ,20-7
Die Zuweisung einer benutzerdefinierten Taste rückgängig machen ,208
Mehrere benutzerdefinierte Tasten zuweisen ,20-8
Kapitel 21 - Programmieren mit UserRPL ,21-1
Programmierbeispiel ,21-1
Globale und lokale Variablen und Unterprogramme ,21-2
Geltungsbereich für globale Variablen ,21-4
Geltungsbereich für lokale Variablen ,21-5
Das Menü PRG ,21-6
Navigation durch die RPN-Untermenüs ,21-7
Funktionen der Untermenüs ,21-7
Kürzel innerhalb des Menüs PRG ,21-10
Tastenfolgen für häufig verwendete Befehle ,21-11
Programme zum Generieren von Zahlenlisten ,21-14
Beispiele zum sequentiellen Programmieren ,21-15
Durch Definition einer Funktion erzeugte Programme ,21-16
Programme zur Simulation einer Sequenz von Stack-Operationen ,2118
Interaktive Eingabe in Programmen ,21-21
Seite TOC-19
Prompt mit einem Eingabestring ,21-22
Funktion mit Eingabestring ,21-23
Eingabestring für zwei oder drei Eingabewerte ,21-26
Eingabe über Eingabemasken ,21-29
Erstellen einer Auswahlbox ,21-34
Identifizieren der Ausgabe von Programmen ,21-36
Markieren eines numerischen Ergebnisses ,21-36
Aufspalten eines gekennzeichneten Ergebnisses in eine Zahl und einen
Tag (Kennzeichnung) ,21-36
“Extrahieren” einer gekennzeichneten Größe ,21-36
Beispiele für gekennzeichnete Ausgaben ,21-37
Verwenden von Meldefenstern ,21-41
Relationale und logische Operatoren ,21-47
Relationale Operatoren ,21-47
Logische Operatoren ,21-48
Programmverzweigung ,21-50
Verzweigung mit IF ,21-50
Das CASE-Konstrukt ,21-55
Programmschleifen ,21-57
Das Konstrukt START ,21-58
Das FOR-Konstrukt ,21-64
Das DO-Konstrukt ,21-66
Das WHILE-Konstrukt ,21-68
Fehler und Fehler auffangen ,21-69
DOERR ,21-69
ERRN ,21-70
ERRM ,21-70
ERR0 ,21-70
LASTARG ,21-70
Untermenü IFERR ,21-71
Programmieren in UserRPL im algebraischen Modus ,21-72
Kapitel 22 - Programme zum Manipulieren von Grafiken ,22-1
Das Menü PLOT ,22-1
Benutzerdefinierte Taste für das Menü PLOT ,22-1
Seite TOC-20
Beschreibung des Menüs PLOT ,22-2
Erzeugen von Graphen durch Programme ,22-15
Zweidimensionale Grafiken ,22-16
Dreidimensionale Grafiken ,22-16
Die Variable EQ ,22-17
Beispiele von interaktiven Plots mit dem Menü PLOT ,22-17
Beispiele von programmgenerierten Plots ,22-20
Zeichenbefehle für die Programmierung ,22-22
PICT ,22-23
PDIM ,22-23
LINE ,22-24
TLINE ,22-24
BOX ,22-25
ARC ,22-25
PIX?, PIXON und PIXOFF ,22-26
PVIEW ,22-26
PXC ,22-26
CPX ,22-26
Programmierbeispiele mit Zeichenfunktionen ,22-26
Pixelkoordinaten ,22-30
Animation von Grafiken ,22-31
Animation von Grafiksammlungen ,22-31
Weitere Informationen zu der Funktion ANIMATE ,22-34
Grafikobjekte (GROBs) ,22-35
Das Menü GROB ,22-37
Ein Programm mit Plot- und Zeichenfunktionen ,22-39
Modulare Programmierung ,22-42
Ausführen des Programms ,22-43
Ein Programm zum Berechnen von Hauptspannungen ,22-44
Sortieren der Variablen im Unterverzeichnis ,22-45
Ein zweites Beispiel zum Berechnen des Mohr’schen Kreises ,22-46
Eingabemaske des Programms für den Mohr’schen Kreis ,22-47
Kapitel 23 - Zeichenketten ,23-1
Funktionen im Untermenü TYPE für Zeichenketten ,23-1
Seite TOC-21
Verknüpfen von Zeichenketten ,23-2
Das Menü CHARS ,23-2
Die Zeichenliste ,23-4
Kapitel 24 - Objekte des Taschenrechners und Flags ,24-1
Beschreibung der Objekte des Taschenrechners ,24-1
Funktion TYPE ,24-2
Funktion VTYPE ,24-2
Taschenrechner-Flags ,24-3
Systemflags ,24-3
Funktionen zum Setzen und Ändern von Flags ,24-4
Anwenderflags ,24-5
Kapitel 25 - Datums- und Zeit-Funktionen ,25-1
Das Menü TIME ,25-1
Alarm einrichten ,25-1
Alarme durchsuchen ,25-2
Datum und Uhrzeit einstellen ,25-2
Zeit-Funktionen (TIME) ,25-2
Berechnungen mit Daten ,25-4
Berechnungen mit Zeit ,25-4
Alarm-Funktionen ,25-5
Kapitel 26 - Speicherverwaltung ,26-1
Speicheraufbau ,26-1
Das HOME-Verzeichnis ,26-2
Speicher-Port ,26-2
Prüfen von Objekten im Speicher ,26-3
Sicherungs-Objekte ,26-3
Sichern von Objekten im Port-Speicher ,26-4
HOME sichern und wiederherstellen ,26-4
Speichern, Löschen und Wiederherstellen von Sicherungs-Objekten ,
26-6
Verwenden von Daten aus Sicherungs-Objekten ,26-7
Verwenden von SD-Karten ,26-7
Seite TOC-22
Einsetzen und Entfernen von SD-Karten ,26-8
Formatieren einer SD-Karte ,26-8
Zugriff auf Objekte einer SD-Karte ,26-9
Speichern von Objekten auf der SD-Karte ,26-10
Laden eines Objekts von der SD-Karte ,26-10
Auwerten eines Objekts auf einer SD-Karte ,26-11
Löschen eines Objekts von der SD-Karte ,26-11
Löschen aller Objekte der SD-Karte (durch Formatieren) ,26-12
Angeben eines Verzeichnisses auf der SD-Karte ,26-12
Verwenden von Bibliotheken ,26-13
Installieren und Anhängen von Bibliotheken ,26-13
Bibliotheksnummern ,26-13
Eine Bibliothek löschen ,26-14
Bibliotheken erstellen ,26-14
Pufferbatterie ,26-14
Kapitel 27 - Die Gleichungsbibliothek ,27-1
Lösen einer Aufgabe mit der Gleichungsbibliothek ,27-1
Benutzung des Solvers ,27-2
Benutzung der Menütasten ,27-3
Suchen in der Gleichungsbibliothek ,27-4
Betrachten von Gleichungen ,27-4
Betrachten von Variablen und Wählen von Einheiten ,27-5
Betrachten der Grafik ,27-6
Benutzung des Solvers für mehrere Gleichungen ,27-7
Definieren eines Gleichungssystems ,27-9
Ergebnisse des Solvers für mehrere Gleichungen interpretieren ,27-11
Anhänge
Anhang A - Benutzen von Eingabeformularen ,A-1
Anhang B - Die Tastatur des Taschenrechners ,B-1
Anhang C - CAS-Einstellungen ,C-1
Anhang D - Zusätzlicher Zeichensatz ,D-1
Anhang E - Auswahlbaum im EquationWriter ,E-1
Seite TOC-23
Anhang F - Das Menü (APPS) Anwendungen ,F-1
Anhang G - Nützliche Tastaturkürzel ,G-1
Anhang H - CAS-Hilfesystem ,H-1
Anhang I - Liste der Befehle im Befehlskatalog ,I-1
Anhang J - Menü MATHS ,J-1
Anhang K - Menü MAIN ,K-1
Anhang L - Befehle des Zeileneditors ,L-1
Anhang M - Tabelle eingebauter Gleichungen ,M-1
Anhang N - Index ,N-1
Beschränkte Garantie ,BG-1
Service ,BG-3
Regulatory information ,BG-4
Entsorgung von Altgeräten aus privaten Haushalten in der EU ,BG-7
Seite TOC-24
Kapitel 1
Einführung
Dieses Kapitel vermittelt Ihnen Grundkenntnisse zur Bedienung Ihres
Taschenrechners. Die Beispiele machen Sie mit den Grundoperationen und
Einstellungen des Taschenrechners vertraut, bevor Sie mit den eigentlichen
Berechnungen beginnen.
Grundoperationen
Nachfolgende Beispiele machen Sie mit der Hardware des Taschenrechners
vertraut.
Batterien
Für den Taschenrechner werden vier AAA(LR03)-Batterien zur
Hauptstromversorgung und eine CR2032-Lithium-Batterie für die Sicherung des
Datenspeichers benötigt.
Bevor Sie den Taschenrechner in Betrieb nehmen, legen Sie die Batterien
entsprechend den nachfolgenden Anweisungen ein:
Installation der Batterien für die Hauptstromversorgung
a. Stellen Sie sicher, daß der Rechner ausgeschaltet ist. Öffnen Sie das
Batteriefach, wie unten abgebildet.
b. Setzen Sie die 4 neuen AAA(LR03)-Batterien in das Hauptfach ein. Stellen
Sie sicher, dass alle Batterien in der angegebenen Richtung eingelegt sind.
Seite 1-1
Installation der Batterien für die Sicherung des Datenspeichers
a. Stellen Sie sicher, daß der Rechner ausgeschaltet ist. Drücken Sie die
Abdeckung nach unten. Schieben Sie den Deckel in die angegebene
Richtung und heben Sie ihn an.
Abdeckplatte
Halter
b. Setzen Sie eine neue CR2032-Lithium-Batterie ein. Stellen Sie sicher, dass der
mit (+) gekennzeichnete Pol nach oben zeigt.
c. Setzen Sie den Deckel wieder auf, und schieben Sie ihn an die ursprüngliche
Position zurück.
Nachdem Sie die Batterien installiert haben, drücken Sie [ON], um den
Taschenrechner einzuschalten.
Warnung: Sobald das Symbol für niedrigen Batteriefüllstand angezeigt wird,
sollten die Batterien so schnell wie möglich ausgetauscht werden. Um einen
Datenverlust zu vermeiden, wechseln Sie niemals die Hauptbatterien und die
Batterie für die Sicherung des Datenspeichers gleichzeitig aus.
Ein- und Ausschalten des Taschenrechners
Die $-Taste befindet sich links unten auf der Tastatur. Drücken Sie diese Taste
einmal, um den Taschenrechner einzuschalten. Zum Ausschalten des
Taschenrechners drücken Sie die rechte Umschalttaste @ (von unten die erste
Taste in der zweiten Reihe) und anschließend die Taste $. Beachten Sie,
dass sich als Erinnerung an die Ausschaltfunktion des Taschenrechners auf der
Taste $ eine Markierung OFF in der rechten oberen Ecke befindet.
Einstellen des Kontrasts für das Display
Der Kontrast des Displays kann mit den Tasten + und - bei gleichzeitig
gedrückter $ Taste eingestellt werden. Die Tastenkombination $ (halten)
+ stellt das Display dunkler. Durch Drücken der Tastenkombination $
(halten) - wird das Display heller eingestellt.
Seite 1-2
Anzeigen im Display des Taschenrechners
Schalten Sie Ihren Taschenrechner erneut ein. Das Display sollte wie folgt
aussehen:
Im oberen Teil des Displays erscheinen zwei Zeilen mit den Einstellungen des
Taschenrechners. In der ersten Zeile erscheinen folgende Zeichen:
R D XYZ HEX R= 'X'
Details über die Bedeutung dieser Symbole finden Sie in Kapitel 2.
In der zweiten Zeile erscheinen nachfolgende Zeichen: { HOME }, welche
das HOME-Verzeichnis als aktuelles Verzeichnis im Speicher des
Taschenrechners ausweisen. In Kapitel 2 erfahren Sie, dass Sie in Ihrem
Taschenrechner Daten entweder in Dateien oder Variablen speichern können.
Variablen können in Verzeichnissen und Unterverzeichnissen organisiert
werden. Schließlich können Sie auch eine Verzeichnisstruktur erstellen, ähnlich
der bei Computern gebräuchlichen. Sie können dann durch die
Verzeichnisstruktur navigieren, um das gewünschte Verzeichnis auszuwählen.
Während Sie sich durch die Verzeichnisstruktur bewegen, wird in der zweiten
Zeile des Displays das entsprechende Verzeichnis und Unterverzeichnis
angezeigt.
Am unteren Teil des Displays befinden sich die eine Reihe von Beschriftungen:
@EDIT @VIEW @@ RCL @@ @@STO@ ! PURGE !CLEAR
welche den Funktionstasten F1 bis F6 zugeordnet sind:
ABCDEF
Seite 1-3
Die sechs am unteren Rand des Taschenrechners befindlichen Beschriftungen
wechseln abhängig vom aktuell angezeigten Menü. Die Funktionstaste A ist
jedoch immer der ersten angezeigten Beschriftung zugeordnet, B der
zweiten Beschriftung und so weiter.
Menüs
Die sechs den Funktionstasten A bis F zugeordneten Beschriftungen sind
Befehle eines Funktionsmenüs. Da der Rechner nur über sechs Funktionstasten
verfügt, können auch nur sechs Beschriftungen gleichzeitig angezeigt werden.
Ein Menü kann aber auch mehr als nur sechs Einträge besitzen. Eine Gruppe
von 6 Einträgen wird als Menüseite bezeichnet. Das aktuelle Menü (das TOOLMenü, siehe unten), verfügt über acht Einträge, die auf zwei Seiten angeordnet
sind. Die zweite Seite mit den letzten beiden Einträge kann durch Drücken der
Taste L (Menü NeXT – nächstes Menü) angezeigt werden. Auf der Tastatur
ist dies die dritte Taste von links in der dritten Reihe. Ein weiteres Drücken der
Taste L oder I (dritte Taste in der zweiten Reihe von oben) bringt Sie
zurück ins Hauptmenü TOOL.
Das TOOL-Menü wird im nächsten Abschnitt behandelt. An dieser Stelle
möchten wir einige Menüeigenschaften zeigen, welche Ihnen bei der
Benutzung Ihres Taschenrechners hilfreich sein werden.
SOFT-Menüs vs. CHOOSE boxes
Menüs, auch als SOFT-Menüs bezeichnet, ordnen die Beschriftungen am
unteren Bildschirmrand den sechs Funktionstasten (SOFT-Menütasten) zu
(Abis F). Durch Drücken der entsprechenden Funktionstaste wird die
Funktion der zugehörigen Beschriftung aktiviert. So kann z. B. durch Drücken
der Taste @CLEAR (F) bei aktiviertem TOOL-Menü die Funktion CLEAR
ausgeführt werden, die den Inhalt der Anzeige löscht. Um diese Funktion
auszuprobieren, geben Sie eine Zahl ein, beispielsweise 123`, und
drücken Sie anschließend die Taste F.
Die SOFT-Menüs werden normalerweise zur Auswahl aus einer bestimmten
Menge zusammengehöriger Funktionen eingesetzt. SOFT-Menüs sind aber nicht
die einzige Zugriffsmöglichkeit auf Gruppen von verwandten Funktionen.
Die Alternative dazu sind die so genannten CHOOSE boxes. Um ein Beispiel
einer CHOOSE-boxes zu sehen, aktivieren Sie das TOOL-Menü (durch Drücken
Seite 1-4
der Taste I), und verwenden Sie anschließend die Tastenkombination
‚ã (der Taste 3 zugeordnet). Die folgende CHOOSE box wird
angezeigt:
Diese CHOOSE box ist mit BASE-Menü (Basismenü) beschriftet und stellt eine
durchnummerierte Liste von Funktionen zur Verfügung, von 1. HEX x bis 6.
BR. Diese Anzeige stellt die erste Seite dieses CHOOSE box Menüs dar und
zeigt 6 Menüfunktionen. Mit den Pfeiltasten —˜, welche sich im oberen Teil
der Tastatur unmittelbar unter den Funktionstasten E und F befinden,
können Sie durch das Menü navigieren. Um eine der Funktionen zu starten,
markieren Sie diese Funktion mithilfe der Pfeiltasten —˜ oder einfach durch
Drücken der der CHOOSE box zugeordneten Zahl. Nachdem Sie die Funktion
ausgewählt haben, drücken Sie die Taste @@@OK@@@, Funktionstaste (F). Möchten
Sie z. B. die Funktion RB (reell nach binär) auswählen, könnten Sie die
Tastenfolge 6Fdrücken.
Wenn Sie direkt an den Anfang der Menüseite in einer CHOOSE box springen
möchten, geschieht dies mit der Tastenfolge „—. Um ans Ende der
aktuellen Seite zu gelangen, verwenden Sie die Tastenfolge „˜. Um an
den absoluten Anfang des Menüs zu gelangen, drücken Sie die Tastenfolge
‚—. Um ans absolute Ende des Menüs zu gelangen, drücken Sie die
Tastenfolge ‚˜.
Auswahl von SOFT-Menüs oder CHOOSE boxes
Sie können das Format, in dem Menüs angezeigt werden sollen, durch ändern
eines System-Flags im Taschenrechner selbst bestimmen. (Ein System-Flag ist
eine Variable des Taschenrechners, welche einen bestimmten Operationsmodus
des Taschenrechners überwacht. Weitere Informationen dazu erhalten Sie in
Seite 1-5
Kapitel 24.) Durch Umstellen des System-Flags 117 können Sie die Anzeige von
SOFT-Menü auf CHOOSE boxes ändern. Um zu diesem Flag zu gelangen,
verwenden Sie die Tastefolge:
H @)FLAGS —„ —˜
Auf Ihrem Display erscheint die folgende Anzeige, wobei die Zeile, die mit der
Nummer 117 beginnt, hervorgehoben ist:
Standardmäßig wird die Zeile wie oben aussehen. Die hervorgehobene Zeile
(117 CHOOSE boxes) zeigt an, dass Ihre Anzeige im Display im Moment auf
CHOOSE boxes steht. Bevorzugen Sie aber die Verwendung von
Funktionstasten, drücken Sie @@CHK@@, Funktionstaste (C) gefolgt von @@@OK@@@
(F). Drücken Sie @@@OK@@@ (F) ein weiteres Mal, um zur Normalanzeige des
Taschenrechners zurückzukehren.
Wenn Sie die Tastenfolge ‚ã drücken, sehen Sie, anstelle der CHOOSEbox von vorhin, die erste Seite des STACK-Menüs als sechs den Funktionstasten
zugeordnete Beschriftungen (SOFT-Menü Label):,
Um zwischen den einzelnen Funktionen des Menüs zu navigieren, drücken Sie
die Taste L, um zur nächsten Seite des Menüs zu gelangen oder
„«(der Taste L zugeordnet), um zur vorherigen Seite zurückzukehren.
Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die verschiedenen Seiten des BASEMenüs, auf welche mit der Taste L – zweimal drücken – zugegriffen werden
kann.
Seite 1-6
Ein weiteres Drücken der Taste L, bringt uns auf die erste Menüseite zurück.
Anmerkung: Sobald das System-Flag 117 auf SOFT-Menü gesetzt ist, erhalten Sie über die Tastenkombination ‚(halten) ˜, eine Liste der Funktionen aus dem aktuellen Menü. Z. B. erhalten Sie für die ersten beiden Seiten
im BASE-Menü folgendes:
Um die Einstellung auf CHOOSE boxes zurückzustellen, verwenden Sie die
Tastefolge:
H @)FLAGS —„ —˜@@CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@.
Anmerkungen:
1. Das TOOL-Menü, welches Sie durch Drücken der Taste I aufrufen, wird
immer ein SOFT-Menü erzeugen.
2. Die meisten Beispiele dieser Anleitung zeigen beide Varianten SOFTMenüs und CHOOSE box. Die Programmieranwendungen (Kapitel 21 und
22) verwenden ausschließlich SOFT-Menüs.
3. Zusätzliche Informationen zu SOFT-Menüs vs. CHOOSE boxes erhalten Sie
in Kapitel 2 dieser Anleitung.
Das TOOL-Menü
Die Funktionstasten für das gegenwärtig angezeigte Menü, bekannt als das
TOOL-Menü, sind Operationen zur Manipulation von Variablen zugeordnet
(siehe zusätzliche Seiten über Variablen):
@EDIT A
EDIT – bearbeitet den Inhalt einer Variablen (siehe Kapitel 2
und Anhang L für weitere Informationen zu diesem Thema)
@VIEW B
VIEW – zeigt den Inhalt einer Variablen
@@ RCL @@ C
ReCaLl – holt den Inhalt der Variablen zurück
Seite 1-7
@@STO@ D
STOre – speichert den Inhalt einer Variablen
@PURGE E
PURGE – löscht (bereinigt) eine Variable
@CLEAR F
CLEAR – löscht das Display oder den Stack
Der Taschenrechner hat nur insgesamt sechs Funktionstasten, deshalb können
jeweils lediglich 6 Beschriftungen gleichzeitig angezeigt werden. Ein Menü
kann aber auch mehr als nur sechs Einträge besitzen. Eine Gruppe von 6
Einträgen wird als Menüseite bezeichnet. Eigentlich hat das TOOL-Menü acht
Einträge, aufgeteilt auf zwei Seiten. Die zweite Seite, auf der die letzten beiden
Einträge zu finden sind, kann durch Drücken der Taste L (NeXT-Menü –
nächstes Menü) angezeigt werden. Auf der Tastatur ist dies die dritte Taste von
links in der dritten Reihe.
In diesem Fall sind nur den ersten beiden Funktionstasten Befehle zugeordnet.
Diese Befehle lauten:
@CASCM A CASCMD: Der Befehl CAS CoMmanD, der dazu verwendet wird,
einen Befehl aus dem CAS durch Auswahl aus einer Liste zu
starten
@HELP B Die Hilfefunktion zur Beschreibung der zur Verfügung
stehenden Befehle, kann über die Funktionstaste L erreicht
werden und wird das Original TOOL-Menü anzeigen.
Sie können auch zum TOOL-Menü zurückkehren, indem Sie die
Taste I (zweite Reihe von oben, dritte Taste von links) drücken.
Datum und Uhrzeit einstellen
Der Taschenrechner besitzt eine interne Echtzeituhr. Diese Uhr kann im Display
ständig angezeigt werden und kann sowohl für Alarme als auch für die
Ausführung geplanter Aufgaben eingesetzt werden. Dieser Abschnitt zeigt
nicht nur wie Sie Uhrzeit und Datum einstellen können, sondern auch die
Grundlagen für die Anwendung von CHOOSE boxes und die Dateneingabe in
ein Dialogfeld. Die Dialogfelder Ihres Taschenrechners entsprechen denen eines
Computers.
Um Datum und Uhrzeit einzustellen, verwenden Sie die CHOOSE box TIME,
alternativ zur Funktion der Taste 9. Kombinieren Sie die rechte Shift-Taste
‚ mit der Taste 9, wird die CHOOSE box TIME aktiviert. Dieser Vorgang
kann auch als ‚Ó dargestellt werden. Die Abbildung unten zeigt die
CHOOSE- box für TIME:
Seite 1-8
Wie oben bereits erwähnt, stellt das TIME-Menü vier verschiedene Optionen,
durchnummeriert von 1 bis 4, zur Verfügung. An dieser Stelle ist für uns nur
Option 3. Set time, date... (Datum und Uhrzeit einstellen) von Interesse. Heben
Sie mithilfe der Pfeiltaste ˜ diese Option hervor, und drücken Sie
anschließend die Funktionstaten !!@@OK#@ . Im Anschluss daran erhalten Sie die
Eingabemaske (siehe Anhang 1-A) zur Einstellung von Uhrzeit und Datum:
Einstellen der Uhrzeit
Mit den Zahlentasten (1234567890) können Sie
das Einstellen der Stunden durchführen. Wenn Sie die Uhrzeit auf 11 ändern,
indem Sie 11 drücken, sobald das Feld SET TIME AND DATE
hervorgehoben ist, wird die Zahl 11 in der unteren Zeile der Eingabemaske
angezeigt.
Um die Änderung vorzunehmen, drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ . Im
Stundenfeld erscheint nun die 11, gleichzeitig wird das Minutenfeld
hervorgehoben:
Seite 1-9
Ändern Sie nun das Minutenfeld durch Drücken der Tasten 25 !!@@OK#@ auf
25. Nun wird das Sekundenfeld hervorgehoben. Um dieses Feld auf 45 zu
ändern, geben Sie 45 !!@@OK#@ ein.
Nun wird Feld für das Zeitformat hervorgehoben. Um die aktuellen
Einstellungen des Feldes zu ändern, können Sie entweder die Taste W (zweite
Taste von links, fünfte von unten) oder die Funktionstaste @CHOOS drücken.
•
Benutzen Sie die Taste W, wird sich das Feld für das Zeitformat in eine
der nachfolgenden Optionen ändern.
o AM
: zeigt an, dass es sich um eine Uhrzeit vor Mittag handelt,
d. h. AM (ante meridiem)
o PM : zeigt an, dass es sich um eine Uhrzeit nach Mittag handelt,
d. h. PM (post meridiem)
o 24-hr : zeigt an, dass die Uhrzeit im 24 Stundenformat angezeigt
wird, wobei z. B. 18:00 h 6pm entspricht.
•
Die zuletzt ausgewählte Option wird eingestellt, indem Sie nachfolgende
Schritte durchführen.
Wenn Sie die Funktionstaste @CHOOS benutzen, stehen Ihnen folgende
Optionen zur Auswahl:
Seite 1-10
Benutzen Sie die Pfeiltasten, — ˜, um zwischen diesen drei Optionen
(AM, PM und 24-h) auszuwählen. Um Ihre Auswahl zu bestätigen, drücken
Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ .
Einstellen des Datums
Nachdem Sie das Format der Uhrzeit ausgewählt haben, wird die
Eingabemaske SET TIME AND DATE wie folgt aussehen:
Um das Datum einzustellen, müssen Sie zunächst das Datumsformat auswählen.
Das standardmäßig eingestellte Format lautet M/D/Y (Monat/Tag/Jahr). Um
dieses Format zu ändern, drücken Sie die Pfeiltaste nach unten. Das
Datumsformat wird wie unten angezeigt hervorgehoben:
Benutzen Sie die Funktionstaste @CHOOS, um die verschiedenen Optionen für das
Datumsformat anzeigen zu lassen:
Mit den Pfeiltasten — ˜ heben Sie die gewünschte Auswahl hervor.
Drücken Sie anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ , um diese zu übernehmen.
Seite 1-11
Einführung in die Tastatur des Taschenrechners
Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Diagramm der Tastatur Ihres
Taschenrechners mit nummerierten Zeilen und Spalten.
Column: 1
2
3
5
4
6
Row
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Column:
1
2
3
4
5
Die Abbildung zeigt 10 Reihen von Tasten mit 3, 5 oder 6 Spalten. Reihe 1 hat
6 Tasten, Reihe 2 und 3 haben jeweils 3 Tasten, während Reihe 4 bis 10
jeweils 5 Tasten aufweisen. In der rechten oberen Ecke, in Höhe der Reihen 2
und 3, befinden sich 4 Pfeiltasten.
Jede einzelne Taste hat drei, vier oder fünf verschiedene Funktionen. Die
Hauptfunktion der Taste entspricht der auf der Tastatur hervorgehobenen
Seite 1-12
(größten) Beschriftung. Auch die linke Shift-Taste (8,1), die rechte Shift-Taste
(9,1) und die ALPHA-Taste (7,1), können mit anderen Tasten kombiniert werden,
um alternative Funktionen, die auf der Tastatur angezeigt werden, zu starten. So
hat z. B. die P Taste (4,4), die folgenden sechs Funktionen, die dieser wie
folgt zugeordnet sind:
P
Hauptfunktion, Starten des SYMB-Menüs (SYMBolic –
symbolisch)
„´
Linke Shift-Funktion zum Starten des MTH (Mathematik)-Menüs
…N
Rechte Shift-Funktion zum Starten der Funktion CATalog
(Katalog)
~p
ALPHA-Funktion, um den Großbuchstaben P einzufügen
~„p
ALPHA-linke-Shift-Funktion, um den Kleinbuchstaben P
einzufügen
~…p
ALPHA-rechte-Shift-Funktion, um das Symbol P einzufügen
Von den sechs dieser Taste zugeordneten Funktionen werden nur vier auf der
Taste selbst angezeigt. So sieht diese Taste auf der Tastatur aus:
Beachten Sie, dass Farbe und Position der Beschriftung auf der Taste (SYMB,
MTH, CAT und P) anzeigen, welches die Hauptfunktion (SYMB) ist, und welche
der drei weiteren Funktionen der jeweiligen Tastenkombination linke Shift-Taste
„(MTH), rechte Shift-Taste … (CAT ), und ~ (P) zugeordnet ist.
Weitere Informationen zur Tastatur des Taschenrechners finden Sie in Anhang
B.
Auswahl der Taschenrechnermodi
In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, dass Sie mindestens teilweise im
Umgang mit Auswahl- und Dialogboxen vertraut sind (sollten Sie es nicht sein,
lesen Sie erst Kapitel 2 in diesem Handbuch nach).
Seite 1-13
Drücken Sie die Schaltfläche H (zweite Taste von links, zweite Reihe von
oben), um die folgende Eingabemaske CALCULATOR MODES(Taschenrechnermodi) zu erhalten:
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zur Normalanzeige zurückzukehren.
Nachfolgend einige Beispiele, wie verschiedene Taschenrechnermodi
ausgewählt werden können.
Operationsmodus
Der Taschenrechner bietet zwei verschieden Operationsmodi: den
algebraischen (ALG)-Modus und den Reverse Polish Notation (RPN)-Modus.
Standardmäßig ist der algebraische Modus (wie in der obigen Abbildung
gezeigt) eingestellt, aber Anwender früherer HP-Taschenrechner sind
möglicherweise mit dem RPN-Modus besser vertraut.
Um einen Operationsmodus auszuwählen, öffnen Sie zuerst die CALCULATOR
MODES-Eingabemaske durch Drücken der Schaltfläche H. Das Feld
Operating Mode (Operationsmodus) wird hervorgehoben. Wählen Sie nun
den ALG- oder RPN-Modus durch Drücken der Taste \ (zweite von Links,
Reihe fünf von unten) oder durch Drücken der Funktionstaste @CHOOS aus. Sollten
Sie letztere verwenden, benutzen Sie die Pfeiltasten (— ˜) zur Auswahl des
entsprechenden Modus und drücken Sie anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ ,
um den Vorgang abzuschließen.
Um den Unterschied zwischen diesen beiden Operationsmodi zu
veranschaulichen, berechnen wir nachfolgenden Ausdruck in beiden Modi:
⎛
⎝
3 ⋅ ⎜5 −
23
⎞
⎟
3⋅3⎠
2.5
+e
1
3
Seite 1-14
Um diesen Ausdruck in den Taschenrechner einzugeben, verwenden wir zuerst
den Equation Writer (Gleichungsschreiber), ‚O. Sie benötigen die
folgenden Tasten zusätzlich zu den numerischen Tasten der Tastatur:
!@.#*+-/R
Q¸Ü‚Oš™˜—`
Der EquationWriter ist ein Anzeigemodus, in welchem Sie mathematische
Ausdrücke in expliziter mathematischer Notation, einschließlich Brüche,
Ableitungsfunktionen, Integrale, Wurzeln usw., bilden können. Um mit dem
EquationWriter den oben angegebenen Ausdruck einzugeben, benutzen Sie
die Tastenfolge:
‚OR3*!Ü51/3*3
———————
/23Q3™™+!¸2.5`
Nachdem Sie die Taste ` gedrückt haben, wird im Display des
Taschenrechners nachfolgender Ausdruck angezeigt:
√ (3*(5-1/(3*3))/23^3+EXP(2.5))
Durch erneutes Drücken der Taste ` wird folgender Wert ausgegeben. Wenn
Sie gefragt werden, akzeptieren Sie den „Approx mode“ (Näherungs-Modus),
indem Sie !!@@OK#@ drücken. [Anmerkung: Die oben verwendeten Integerwerte,
z. B. 3, 5, 1 stellen exakte Werte dar. EXP(2,5) hingegen kann nicht als exakter
Wert dargestellt werden, daher ist ein Umschalten in den Approx (Näherungs)Modus erforderlich]:
Sie könnten den Ausdruck jedoch auch direkt, ohne Verwendung des
EquationWriter , wie folgt eingeben:
Seite 1-15
R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™
/23.Q3+!¸2.5`
Sie erhalten dasselbe Ergebnis.
Ändern Sie nun den Modus auf RPN , indem Sie zuerst die Schaltfläche H
drücken. Wählen Sie den RPN--Modus entweder über die Taste \ oder durch
Drücken der Funktionstaste @CHOOS. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um
den Vorgang abzuschließen. Die Anzeige für den RPN-Modus sieht wie folgt
aus:
Beachten Sie, dass im Display die verschiedenen Ausgabeebenen, von unten
nach oben mit 1, 2, 3, usw. durchnummeriert, angezeigt werden. Dies ist der so
genannte Stack (Stapel) des Taschenrechners. Die verschiedenen Ebenen
werden als Stack-Ebenen bezeichnet , d. h. Stack-Ebene 1, Stack-Ebene 2, usw.
Grundsätzlich bedeutet RPN dass Sie, wenn Sie z. B. die Operation 3 + 2
eingeben möchten, nicht die Tastenfolge 3+2` benutzen, sondern
erst die Operanden in der richtigen Reihenfolge, dann erst den Operator, d. h.
3`2+ eingeben.
Während Sie die Operanden , eingeben, erscheinen diese in unterschiedlichen
Stack-Ebenen. Geben Sie 3` ein, erscheint die 3 in Stack-Ebene 1.
Geben Sie als Nächstes 2 ein, wird die 3 eine Ebene nach oben, d. h. in
Stack-Ebene 2, verschoben. Geben wir schließlich + ein, sagen wir dem
Taschenrechner, dass er den Operatoroder das Programm + auf die Objekte
aus Stack-Ebene 1 und 2 anwenden soll. Das Ergebnis, 5, wird in Stack-Ebene
1 angezeigt.
Versuchen wir einige weitere einfache Operationen, bevor wir uns den die
komplizierteren aus dem vorangegangenen algebraischen Modus zuwenden:
123/32
42
3
√27
123`32/
4`2Q
27`3@»
Seite 1-16
Beachten Sie die Position von y und x in den letzten beiden Operationen.
Bevor die Taste Q gedrückt wird, ist die Basis der Exponential-Operation y
(Stack-Ebene 2) während der Exponent x (Stack-Ebene 1) ist. Ähnlich verhält es
sich mit der Quadratwurzel, y (Stack-Ebene 2) ist die Zahl unter dem
Wurzelzeichen während x (Stack-Ebene 1) die Wurzel selbst darstellt.
Versuchen Sie folgendes Beispiel, bei dem 3 Operanden verwendet werden:
(5 + 3) × 2
Berechnet zuerst den Wert (5+3).
Vervollständigt die Berechnung.
5`3+
2X
Versuchen wir uns nun an dem weiter oben vorgeschlagenen Ausdruck:
⎛
⎝
3 ⋅ ⎜5 −
23
⎞
⎟
3⋅3⎠
2.5
+e
1
3
Geben Sie 3 in Ebene 1 ein
Geben Sie 5 in Ebene 1 ein, 3 wird nach y
verschoben
3.`
Geben Sie 3 in Ebene 1 ein, 5 wird in Ebene 2
und 3 in Ebene 3 verschoben
3.*
Tippen Sie 3 und das Multiplikationszeichen, 9
erscheint in Ebene 1
Y
1/(3x3) ist neuester Wert in Ebene 1; 5 in
Ebene 2, 3 in Ebene 3
5 - 1/(3×3) belegt nun Ebene 1, 3 ist in Ebene 2
*
3× (5 - 1/(3×3)) belegt nun Ebene 1.
23.` Geben Sie 23 in Ebene 1 ein, 14,66666 wird in
Ebene 2 verschoben.
3.Q
Geben Sie 3 ein, berechnen Sie 233 in Ebene
1.14,666 befindet sich in Ebene 2.
/
(3× (5-1/(3×3)))/233 ist in Ebene 1
2.5
Geben Sie 2,5 in Ebene 1 ein
!¸
e2,5, erscheint in Ebene 1, in Ebene 2 wird der
vorangegangene Wert angezeigt.
3.`
5.`
Seite 1-17
+
R
(3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2,5 = 12.18369, in
Ebene 1.
√((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2,5) = 3,4905156,
in Ebene 1.
Obwohl der RPN-Modus anfänglich aufwändiger als ALG-Modus erscheint, gibt
es vielfache Vorteile in der Verwendung des RPN-Modus. Z. B. können Sie im
RPN-Modus sehen, wie sich die Gleichung Schritt für Schritt entfaltet. Dies ist
beim Auffinden möglicher Eingabefehler nützlich. Sobald Sie ein wenig Übung
in diesem Modus haben und einige Tricks herausfinden, werden Sie den
gleichen Vorgang schneller und mit weniger Tastenanschlägen berechnen
können. Nehmen wir z. B. die Berechnung von (4×6 - 5)/(1+4×6 - 5). Im RPNModus können Sie ihn wie folgt eingeben:
4`6*5-`1+/
Offensichtlich können Sie auch im RPN-Modus unter Benutzung des
EquationWriters einen Ausdruck in der gleichen Reihenfolge wie im
algebraischen Modus eingeben. Beispiel:
‚OR3.*!Ü5.-1/3.*3.
———————
/23.Q3™™+!¸2.5`
Der daraus resultierende Ausdruck wird in Stack-Ebene 1, wie folgt angezeigt:
Beachten Sie, dass der Ausdruck in Stack-Ebene 1 nach dem Drücken der Taste
` erscheint. Drücken Sie jedoch die Taste EVAL an dieser Stelle, wird der
numerische Wert des Ausdrucks berechnet. Beachten Sie: Wenn Sie im RPNModus die Taste ENTER drücken, wenn keine Kommandozeile vorhanden ist,
wird die Funktion DUP ausgeführt, welche den Inhalt der Stack-Ebene 1 eine
Ebene nach oben, also nach 2 kopiert (genauso werden alle weiteren Ebenen
Seite 1-18
eine Ebene nach oben verschoben). Dies ist sehr nützlich, wie Sie im
vorangegangenen Beispiel sehen konnten.
Um zwischen den Modi ALG bzw. RPN auszuwählen, können Sie auch SystemFlag 95 mit folgender Tastenfolge setzen/löschen:
H@FLAGS 9 ˜ ˜ ˜ ˜ @CHK@@ `
Alternativ dazu können Sie eine der folgenden Abkürzungen verwenden:
• Im ALG-Modus,
CF(-95) wählt den RPN-Modus aus
•
Im RPN-Modus,
95 \` SF wählt den ALG-Modus aus.
Weitere Informationen zu den System-Flags des Taschenrechners finden Sie in
Kapitel 2.
Zahlenformat und Dezimalpunkt oder -komma
Das Wechseln des Zahlenformates erlaubt Ihnen die Anzeige reeller Zahlen im
Taschenrechner benutzerspezifisch anzupassen. Sie werden sehen, dass dies
bei Operationen mit Zehnerpotenzen oder um die Dezimalstellen in einem
Ergebnis einzuschränken äußerst nützlich ist.
Um ein Zahlenformat auszuwählen, öffnen Sie zuerst die CALCULATOR
MODES-Eingabemaske durch Drücken der Schaltfläche H. Benutzen Sie
anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format (Zahlenformat)
auszuwählen. Der voreingestellte Wert ist Std oder Standardformat. Im
Standardformat werden Gleitkommazahlen mit maximaler Genauigkeit (12
signifikante Stellen), die der Taschenrechner erlaubt, angezeigt. Mehr über
reelle Zahlen finden Sie in Kapitel 2. Um dieses und weitere Zahlenformate zu
veranschaulichen, machen Sie die folgenden Übungen:
Seite 1-19
•
Standardformat:
Dies ist der am häufigsten verwendete Modus, weil dieser Modus Zahlen in
der gängigsten Schreibweise anzeigt.
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ mit dem Number format
(Zahlenformat) auf Std eingestellt, um dann zum Display des
Taschenrechners zurückzukehren. Geben Sie die Zahl
123,4567890123456 ein. Beachten Sie, dass diese Zahl 16 Stellen
beinhaltet. Drücken Sie die Taste `. Die Zahl wird auf maximal 12
Stellen gerundet und wird wie folgt angezeigt:
In der Dezimalanzeige werden Integer-Zahlen ohne irgendwelche
Dezimalnullen angezeigt. Zahlen mit unterschiedlichen Nachkommastellen,
werden im Display so angepasst, dass lediglich die notwendigen
Dezimalstellen angezeigt werden. Nachfolgend weitere Beispiele von
Zahlen im Standardformat:
•
Feststehendes Format ohne Nachkommastellen: Drücken Sie die
Schaltfläche H. Benutzen Sie anschließend die Pfeiltaste ˜, um die
Option Number format (Zahlenformat) auszuwählen. Drücken Sie die
Funktionstaste @CHOOS und wählen Sie die Option Fix mit der Pfeiltaste ˜.
Seite 1-20
Beachten Sie, dass das Zahlenformat auf Fix, gefolgt von einer Null (0)
gesetzt ist. Diese Zahl zeigt die Anzahl der Dezimalstellen, welche nach
dem Dezimalkomma im Display des Taschenrechners angezeigt werden
sollen. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des
Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt:
Durch diese Einstellung werden alle Ergebnisse auf die nächste Ganzzahl
gerundet (keine Nachkommastelle wird angezeigt). Im Taschenrechner
selbst, wird diese Zahl dennoch mit allen 12 Stellen gespeichert. Je
nachdem, wie wir die Anzahl der anzuzeigenden Dezimalstellen ändern,
werden zusätzliche Ziffern erneut sichtbar.
Feststehendes Format mit Nachkommastellen:
Dieser Modus wird bei der Arbeit mit begrenzter Präzision benutzt.
Beispielsweise ist es bequem, finanzmathematische Berechnungen im FIX 2
Modus durchführen, da man so ganz einfach Währungseinheiten bis zu
einer Präzision von 1/100 darstellen kann.
Drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen Sie anschließend die Pfeiltaste
˜, um die Option Number format (Zahlenformat) auszuwählen. Drücken
Sie die Funktionstaste @CHOOS und wählen Sie die Option Fix mit der
Pfeiltaste ˜.
Drücken Sie die Pfeiltaste ™, um die Null vor der Option Fix
hervorzuheben. Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @CHOOS, und
wählen Sie mit den Pfeiltasten —˜ sagen wir 3 Dezimalstellen aus.
Seite 1-21
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um die Auswahl abzuschließen.
Drücken Sie die Funktionstaste
!!@@OK#@ , um zum Display des
Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt:
Beachten Sie, dass die Zahl nun gerundet und nicht abgeschnitten ist. Somit
wird die Zahl 123,4567890123456 in dieser Einstellung als 123,457 und
nicht als 123,456 angezeigt, da die Nachkommastelle nach der 6 > 5 ist.
•
Wissenschaftliches Format
Das wissenschaftliche Format wird hauptsächlich zum Lösen von Problemen
in der Physik benutzt, wo Zahlen gewöhnlich mit begrenzter Präzision
multipliziert mit einer Zehnerpotenz angezeigt werden.
Zum Einstellen dieses Formats drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen
Sie anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format
(Zahlenformat) auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @CHOOS und
wählen Sie die Option Scientific (wissenschaftlich) mit der Pfeiltaste ˜.
Lassen Sie die Zahl 3 vor Sci unverändert. (Diese Zahl kann genauso
geändert werden, wie die Zahl der Nachkommastellen des Fixed
Zahlenformates im obigen Beispiel.)
Seite 1-22
Drücken Sie die Funktionstaste
!!@@OK#@ , um zum Display des
Taschenrechners zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt:
Dieses Ergebnis, 1,23E2, ist die Version des Taschenrechners zur
Darstellung einer Zehnerpotenz, d. h. 1,235 × 102. In dieser so genannten
wissenschaftlichen Schreibweise, stellt die dem Sci-Zahlenformat
vorangestellte Ziffer 3 (wie vorher gezeigt) die Anzahl der Dezimalstellen
nach dem Komma dar. Die wissenschaftliche Darstellung beinhaltet immer
eine Ganzzahl (Integer), wie oben zu sehen ist. Deshalb ist in diesem Fall
die Anzahl der signifikanten Stellen vier.
Technisches Format
Das technische Format ähnelt sehr dem wissenschaftlichen Format, mit der
Ausnahme, dass die Zehnerpotenzen Vielfache von drei sind. Zum
Einstellen dieses Formates drücken Sie die Schaltfläche H. Benutzen Sie
anschließend die Pfeiltaste ˜, um die Option Number format
(Zahlenformat) auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @CHOOS , und
wählen Sie mit der Pfeiltaste ˜ die Option Engineering (technisch).
Lassen Sie die Zahl 3 vor dem Eng unverändert. (Diese Zahl kann genauso
geändert werden, wie wir dies im Fixed-Zahlenformat mit den
Dezimalstellen getan haben.)
Seite 1-23
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners
zurückzukehren. Die Zahl wird nun wie folgt angezeigt:
Da diese Zahl drei Ziffern im ganzzahligen Teil enthält, wird diese im
technischen Format mit vier Wertstellen und einer Zehnerpotenz von Null
angegeben. Z. B. wird die Zahl 0,00256 wie unten dargestellt angezeigt:
•
•
•
Dezimalkomma vs. Dezimalpunkt
Dezimalpunkte in Gleitkommazahlen können durch ein Komma ersetzt
werden, wenn der Benutzer mit diesem besser vertraut ist. Um
Dezimalpunkte durch Kommas zu ersetzen, ändern Sie die Option FM in
der CALCULATOR MODES-Eingabemaske wie folgt auf Kommas (Beachten
Sie, dass wir das Zahlenformat auf Std geändert haben):
Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste
˜ einmal und die Pfeiltaste nach rechts ™ um die Option __FM
hervorzuheben. Um Kommas auszuwählen, drücken Sie die Funktionstaste
@@CHK@. Die Eingabemaske sieht wie folgt aus:
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um zum Display des Taschenrechners
zurückzukehren. Die Zahl 123,456789012, die Sie vorher eingegeben
haben, wird nun wie folgt angezeigt:
Seite 1-24
Winkelmaß
Trigonometrische Funktionen beispielsweise benötigen Argumente, die
Flächenwinkel darstellen. Der Taschenrechner stellt drei verschiedene
Winkelmaß--Modi für die Arbeit mit Winkeln zur Verfügung, und zwar:
• Grade: Ein kompletter Umfang beträgt 360 Grad (360o) bzw. 90 Grad
(90o) sind in einem rechten Winkel. Diese Darstellung wird hauptsächlich in
der Standardgeometrie, im Maschinen- oder Stahlbau und im
Vermessungswesen eingesetzt.
•
•
Bogenmaß: Ein kompletter Umfang beträgt 2π (2π r) bzw. π/2 (π/2 r) in
einem rechten Winkel. Diese Notation wird hauptsächlich bei der Lösung
mathematischer oder physikalischer Probleme verwendet. Dies ist der
Standardmodus des Taschenrechners.
Zentesimalgrade: Ein kompletter Umfang beträgt 400 Zentesimalgrade
(400 g) oder 100 Zentesimalgrade (100 g) in einem rechten Winkel. Diese
Notation ist ähnlich dem Gradmodus und war eigentlich zur
"Vereinfachung" der Gradnotation gedacht, wird jedoch heute selten
benutzt.
Das Winkelmaß beeinflusst die trigonometrischen Funktionen wie SIN, COS,
TAN und mit ihnen in Zusammenhang stehende Funktionen.
Um in den Winkelmaßmodus zu wechseln, gehen Sie wie folgt vor:
• Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste
˜zweimal. Wählen Sie nun den Winkelmaß-Modus entweder durch
Drücken der Taste \ (zweite von links, Reihe fünf von unten) oder durch
Drücken der Funktionstaste @CHOOS . Sollten Sie sich für letztere entscheiden,
benutzen Sie die Pfeiltasten —˜ zur Auswahl des entsprechenden
Modus und drücken Sie anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den
Vorgang abzuschließen. Im nachfolgenden Beispiel wurde der Radian-Modus (Bogenmaß) gewählt:
Seite 1-25
Koordinatensystem
Das Koordinatensystem beeinflusst die Eingabe- und Darstellungsart von
Vektoren und komplexen Zahlen. Weitere Informationen über komplexe Zahlen
und Vektoren erhalten Sie in den Kapiteln 4 und 9.
Zwei- und dreidimensionale Vektorkomponenten und komplexe Zahlen können
in jedem der 3 Koordinatensysteme dargestellt werden: Das Kartesische (2dimensional) oder das rechtwinklige (3-dimensional), das zylindrische (3dimensional) oder das Polarsystem (2-dimensional) und das sphärische (nur 3dimensional). In einem Kartesischen oder rechtwinkligen Koordinatensystem hat
ein Punkt P drei lineare Koordinaten (x,y,z), gemessen vom Ursprung entlang
von 3 zueinander senkrechten Achsen (im 2-D Modus wird z als 0
angenommen). In einem zylindrischen oder einem Polarsystem werden die
Koordinaten eines Punktes von (r,θ,z) bestimmt, wobei r eine radiale Distanz,
gemessen vom Ursprung auf die xy-Ebene, darstellt, θ den Winkel, den diese
radiale Distanz r mit der positiven Achse x bildet – gemessen als positive
Richtung gegen den Uhrzeigersinn – und z das Gleiche wie die z-Koordinate in
einem Kartesischen System darstellt (im 2D-Modus wird z als 0 angenommen).
Das rechtwinklige und das polare System sind durch die nachfolgenden
Beziehungen miteinander verbunden:
x = r ⋅ cos(θ )
r = x2 + y 2
y = r ⋅ sin(θ )
θ = tan −1 ⎜ ⎟
⎛ y⎞
⎝ x⎠
z=z
In einem sphärischen System werden die Koordinaten eines Punktes durch
(ρ,θ,φ) bestimmt, wobei ρ eine radiale Distanz, gemessen vom Ursprung eines
Kartesischen Systems, θ den Winkel, der durch die Projektion der linearen
Distanz ρ auf die xy-Ebene entsteht (genau wie θ in Polar-Koordinaten), und φ
den Winkel von der positiven Achse z auf die radiale Distanz ρ darstellt. Das
rechtwinklige und das sphärische System sind durch die nachfolgenden
Beziehungen miteinander verbunden:
Seite 1-26
x = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ cos(θ )
ρ = x2 + y2 + z2
y = ρ ⋅ sin(φ ) ⋅ sin(θ )
θ = tan −1 ⎜ ⎟
z = ρ ⋅ cos(φ )
⎛ y⎞
⎝ x⎠
⎛ x2 + y2 ⎞
⎟
φ = tan −1 ⎜
⎜
⎟
z
⎝
⎠
Um das Koordinaten-System in Ihrem Taschenrechner zu ändern, führen Sie
folgende Schritte durch:
• Drücken Sie die Schaltfläche H. Drücken Sie anschließend die Pfeiltaste
˜ dreimal. Wählen Sie nun den Winkelmaß-Modus entweder durch
Drücken der Taste \ (zweite von links, Reihe fünf von unten) oder durch
Drücken der Funktionstaste @CHOOS . Sollten Sie letztere verwenden, benutzen
Sie die Pfeiltasten —˜ zur Auswahl des entsprechenden Modus und
drücken Sie anschließend die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Vorgang
abzuschließen. Im nachfolgenden Beispiel wird der Polar-KoordinatenModus gewählt:
Beep (Piepsen), Key Click (Tastenklick) und Last Stack (letzter
Stack)
Die letzte Zeile in der CALCULATOR MODES-Eingabemaske, enthält folgende
Optionen:
_Beep _Key Click _Last Stack
Setzen Sie ein Häkchen neben einer der Optionen, wird die entsprechende
Option aktiviert. Diese Optionen werden nachfolgend beschrieben.
Seite 1-27
_Beep
: Wenn ausgewählt, ist der Beeper des Taschenrechners aktiviert.
Diese Operation dient hauptsächlich für Fehlermeldungen,
verfügt jedoch über einige weitere Funktionen, wie: BEEP.
_Key Click : Wird diese Funktion ausgewählt, wird bei jedem Tastenanschlag
ein "Klick" hörbar.
_Last Stack : Sichert den Inhalt des letzten Stack-Eintrags für die
Weiterverwendung mit den Funktionen UNDO und ANS (siehe
Kapitel 2).
Die _Beep Option kann bei Fehlermeldungen für den Anwender nützlich sein.
Diese Option sollten Sie vor Betreten eines Klassenzimmers oder einer
Bibliothek, in dem Sie den Taschenrechner benutzen möchten, ausschalten.
Die _Key Click Option kann auch als hörbare Überprüfung für die Richtigkeit
der Tastenanschläge dienen.
Die _Last Stack Option ist besonders dann vor Vorteil, wenn wir den letzten
Vorgang wieder zurückholen möchten, falls dieser für eine weitere Berechnung
benötigt wird.
Um eine dieser drei Optionen zu wählen bzw. abzuwählen, drücken Sie zuerst
die Taste H. Als Nächstes
• Benutzen Sie die Pfeiltaste ˜ viermal, um die die Option _Last Stack
auszuwählen. Verwenden Sie die Funktionstaste @@CHK@@ , um die Auswahl
zu ändern.
• Drücken Sie die Pfeiltaste š, um die Option _Key Click auszuwählen.
Verwenden Sie die Funktionstaste @@CHK@@ , um die Auswahl zu ändern.
• Drücken Sie die Pfeiltaste š, um die Option _Beep auszuwählen.
Verwenden Sie die Funktionstaste @@CHK@@ , um die Auswahl zu ändern.
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Vorgang abzuschließen.
Auswahl der CAS-Einstellungen
CAS steht für Computer Algebraic System (Algebraisches System des
Taschenrechners). Dies ist das mathematische Herzstück des Taschenrechners,
in welchem die symbolischen mathematischen Operationen und Funktionen
programmiert sind und auch ausgeführt werden. Das CAS bietet eine Reihe von
Einstellungen, die je nach Typ der gewünschten Operation geändert werden
können. Dies sind:
• die unabhängige Standardvariable
• numerischer vs. symbolischer Modus
• Näherungs- vs. exakter Modus
Seite 1-28
•
•
•
•
•
Verbose- vs. Non-verbose-Modus
Einzelschrittmodus für Operationen
aufsteigendes Potenzformat für Polynome
genauer Modus
Vereinfachung von irrationalen Ausdrücken
Weitere Details zur Auswahl der CAS Einstellungen finden Sie in Anhang C.
Auswahl der verschiedenen Anzeige-Modi
Durch Auswahl der verschiedenen Anzeigemodi kann das Display des
Taschenrechners wie gewünscht angepasst werden. Um die möglichen
Displayeinstellungen anzusehen, gehen Sie wie folgt vor:
• Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODESEingabemaske drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ , um die Eingabemaske
DISPLAY MODES anzuzeigen.
•
•
Benutzen Sie die Pfeiltasten, um zwischen den vielen Optionen der DISPLAY
MODES-Eingabemaske zu navigieren: š™˜—.
Um eine der obigen Einstellungen aus- oder abzuwählen, die die Auswahl
eines Häkchens benötigen, wählen Sie zuerst den Unterstrich vor der von
Ihnen gewünschten Option, und bewegen Sie anschließend die
Funktionstaste @@CHK@@ solange, bis die gewünschte Einstellung erreicht ist.
Sobald eine Option gewählt wurde, erscheint ein Häkchen über dem
Unterstrich (d. h. im obigen Beispiel die Option Textbook in der Zeile
Stack:). Nicht ausgewählte Optionen haben kein Häkchen über dem
Unterstrich vor der betreffenden Option (z. B. die Optionen _Small, _Full
page und _Indent in der Zeile Edit:).
Seite 1-29
•
•
Um die Schrift für das Display auszuwählen, markieren Sie das Feld vor der
Option Font: in der DISPLAY MODES-Eingabemaske, und benutzen Sie die
Funktionstaste @CHOOS.
Nachdem Sie nun alle gewünschten Optionen für die Eingabemaske des
DISPLAY MODES ausgewählt oder abgewählt haben, drücken Sie die
Funktionstaste @@@OK@@@. So kehren Sie zur CALCULATOR MODESEingabemaske zurück. Um zur Normalansicht des Taschenrechners
zurückzukehren, drücken Sie die Taste @@@OK@@@ ein weiteres Mal.
Auswahl der Schrift im Display
Durch Veränderung der Schrift, können Sie den Taschenrechner an Ihre
Wünsche anpassen. Wenn Sie z. B. eine 6-Pixel Schrift verwenden, können Sie
in Ihrem Display bis zu 9 Stack Ebenen anzeigen. Folgen Sie diesen
Anweisungen, um die Schrift für Ihr Display auszuwählen:
Drücken Sie zuerst die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske
drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ , um die Eingabemaske DISPLAY MODES
anzuzeigen. Das Feld Font: ist hervorgehoben und die Option Ft8_0:system 8
ist ausgewählt. Dies ist die standardmäßig eingestellte Schrift. Wenn Sie nun
die Funktionstaste @CHOOS drücken, erhalten Sie eine Auflistung aller im System
vorhandenen Schriften, wie unten angezeigt:
Die vorhandenen Optionen sind drei Standard System Fonts (Größe 8, 7 und 6)
und eine Browse... (Such)-Option. Über letztere Option können Sie den
Speicher des Taschenrechners nach weiteren Schriften durchsuchen, welche Sie
möglicherweise selbst erstellt (siehe Kapitel 23) oder auf Ihren Taschenrechner
aufgespielt haben.
Üben Sie das Ändern der Schriftart, indem Sie die Schrift des Taschenrechners
von 7 auf 6 umstellen. Drücken Sie die Funktionstaste OK, um die Auswahl
Seite 1-30
abzuschließen. Nachdem Sie nun eine Schrift ausgewählt haben, drücken Sie
die Funktionstaste @@@OK@@@, um zur CALCULATOR MODES-Eingabemaske
zurückzukehren. Um an dieser Stelle zur Normalansicht des Taschenrechners
zurückzukehren, drücken Sie die Funktionstaste @@@OK@@@ erneut und beachten Sie,
wie sich die Stack-Anzeige verändert, um sich der neuen Schriftart anzupassen.
Auswahl der Eigenschaften des Zeileneditors
Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ innerhalb der
CALCULATOR MODES-Eingabemaske, um die Eingabemaske DISPLAY MODES
anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ einmal, um zur Edit-Zeile
(Bearbeitungszeile) zu gelangen. Diese Zeile weist drei Merkmale auf, die
verändert werden können. Sind diese Eigenschaften ausgewählt (mit einem
Häkchen davor), sind folgende Effekte aktiviert:
_Small
_Full page
_Indent
Die Schriftgröße wird auf „klein“ geändert
Erlaubt es, den Cursor hinter das Zeilenende zu
bewegen
Automatischer Zeileneinzug, wenn eine
Zeilenschaltung vorgenommen wird
Genaue Anweisungen zur Anwendung des Zeileneditors finden Sie in Kapitel 2
dieser Anleitung.
Auswahl der Stack-Eigenschaften
Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske
drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ , um die Eingabemaske DISPLAY MODES
anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ zweimal, um zur Stack-Zeile zu
gelangen. Diese Zeile weist zwei Einstellungen auf, die geändert werden
können. Sind diese Eigenschaften ausgewählt (mit einem Häkchen
gekennzeichnet), sind folgende Effekte aktiviert:
_Small
Die Schrift wird kleiner dargestellt. Maximiert die Anzahl der
Informationen, die auf dem Display angezeigt werden.
Beachten Sie, dass diese Auswahl die für die Stack-Anzeige
ausgewählte Schriftart überschreibt.
_Textbook
Zeigt mathematische Ausdrücke in grafisch mathematischer
Schreibweise an
Seite 1-31
Um diese Einstellungen zu veranschaulichen, wählen Sie entweder den
algebraischen oder den PRN-Modus und benutzen Sie den EquationWriter, um
folgendes bestimmtes Integral einzugeben:
‚O…Á0™„虄¸\x™x`
Im algebraischen Modus, wenn weder _Small noch _Textbook ausgewählt
wurden, sieht die nachfolgende Ansicht für das Ergebnis dieser Eingabe wie
folgt aus:
Wenn nur die Option _Small ausgewählt wurde, sieht das Display wie folgt
aus:
Ist aber die Option _Textbook ausgewählt (Standardwert), sieht das Ergebnis
der Anzeige wie folgt aus, unabhängig davon, ob die Option _Small
ausgewählt wurde:
Auswahl der Eigenschaften für den EquationWriter (EQW)
(Gleichungseditor)
Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske
drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ , um die Eingabemaske DISPLAY MODES
anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜dreimal, um zur Zeile EQW
(EquationWriter = Gleichungseditor) zu gelangen. Diese Zeile weist zwei
Einstellungen auf, die geändert werden können. Sind diese Eigenschaften
ausgewählt (mit einem Häkchen gekennzeichnet), sind folgende Effekte
aktiviert:
Seite 1-32
_Small
Ändert die Schrift auf klein, während Sie den
EquationEditor (Gleichungseditor) benutzen
_Small Stack Disp
Zeigt eine kleine Schriftart im Stack für die Anzeige im
Format Textbook (Textbuch) an
Genaue Anweisungen zur Benutzung des EquationWriters (EQW) werden an
anderer Stelle in dieser Anleitung beschrieben.
So wird z. B. das oben dargestellte Integral,
∫
∞
0
e − X dX , wenn Sie _Small
Stack Disp in der Zeile EQW in der Eingabemaske DISPLAY MODES
auswählen, wie folgt angezeigt:
Auswahl der Größe für die Kopfzeile
Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske
drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ , um die Eingabemaske DISPLAY MODES
anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ viermal, um zur Zeile Header
(Kopfzeile) zu gelangen. Dem Feld Header ist standardmäßig der Wert 2
zugewiesen. Dies bedeutet, dass der obere Teil des Displays zwei Zeilen
enthält, eine, in der die aktuellen Einstellungen des Taschenrechners angezeigt
werden und eine zweite, in der das aktuelle Unterverzeichnis im Speicher des
Taschenrechners angezeigt wird (Diese Zeilen wurden in einem
vorangegangenen Abschnitt der Anleitung beschrieben). Der Anwender kann
diese Einstellungen auf 1 oder 0 setzen, um die Anzahl der Kopfzeilen im
Display zu verringern.
Seite 1-33
Auswahl der Anzeige für die Uhr
Drücken Sie die Schaltfläche H, um die CALCULATOR MODESEingabemaske zu starten. Innerhalb der CALCULATOR MODES-Eingabemaske
drücken Sie die Funktionstaste @@DISP@ (D), um die Eingabemaske DISPLAY
MODES anzuzeigen. Drücken Sie die Pfeiltaste ˜ viermal, um zur Zeile
Header (Kopfzeile) zu gelangen. Das Feld Header (Kopfzeile) wird
hervorgehoben. Benutzen Sie die rechte Pfeiltaste (™), um den Unterstrich vor
der Option _Clock oder _Analog auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste
@@CHK@@ solange, bis die gewünschte Einstellung erreicht ist. Ist die Auswahl
_Clock hervorgehoben, wird die Uhrzeit und das Datum in der rechten oberen
Ecke des Displays angezeigt. Ist auch die Option _Analog ausgewählt, wird
eine analoge anstelle einer digitalen Uhr angezeigt. Ist die Option _Clock nicht
ausgewählt, oder die Kopfzeile nicht sichtbar bzw. zu klein, wird das Datum
und die Uhrzeit im Display nicht angezeigt.
Seite 1-34
Kapitel 2
Einführung in den Taschenrechner
In diesem Kapitel wird eine Reihe von Basisoperationen des Taschenrechners
erläutert, einschließlich der Anwendung des EquationWriters und der
Manipulation von Datenobjekten im Taschenrechner. Studieren Sie die Beispiele
in diesem Kapitel genau, um die Fähigkeiten Ihres Taschenrechners für
zukünftige Anwendungen genau zu erfassen.
Taschenrechner-Objekte
Alle Zahlen, Ausdrücke, Zeichen, Variablen usw., die im Taschenrechner erstellt
oder manipuliert werden können, werden als Objekt bezeichnet. Einige der
nützlichsten Objekttypen werden nachfolgend aufgelistet.
Reelle Zahlen. Diese Objekte stellen eine positive oder negative Zahl mit 12
Stellen und einem Exponenten zwischen -499 und +499 dar. Beispiele von
reellen Zahlen sind: 1, -5, 56,41564 1,5E45, -555,74E-95
Bei der Eingabe einer reellen Zahl können Sie die Taste V zum Eintragen des
Exponenten und die Taste \ zum Ändern des Vorzeichens des Exponenten
oder der Mantisse benutzen.
Beachten Sie, dass die reelle Zahl immer mit einem Dezimalkomma
eingegeben werden muss, auch wenn die Zahl keine Nachkommastellen
besitzt. Andernfalls wird die Zahl als Integer (Ganzzahl) betrachtet, die jedoch
ein anderes Objekt des Taschenrechners darstellt. Reelle Zahlen verhalten sich
so, wie Sie es von einer Zahl in einer mathematischen Operation erwarten
würden.
Integer-Zahlen. Diese Objekte stellen Integer-Zahlen dar (Ganzzahlen ohne
Dezimalstellen) und haben keine Grenzen (ausgenommen die des Speichers im
Taschenrechner). Beispiele von Integer Zahlen sind: 1, 564654112, 413165467354646765465487. Beachten Sie, dass diese Zahlen kein
Dezimalkomma enthalten.
Wegen ihres Speicherformats behalten Integer-Zahlen immer ihre volle
Genauigkeit bei der Berechnung. Wird beispielsweise die Operation 30/14
mit Integer-Zahlen durchgeführt, erhalten Sie das Ergebnis 15/7 und nicht
Seite 2-1
2,142. Um ein Ergebnis als reelle Zahl (Real - Gleitkommazahl) zu erzwingen,
benutzen Sie die Funktion NUM ‚ï.
Integer-Zahlen werden wegen Ihrer vollen Genauigkeit in Rechenoperationen
häufig in CAS-basierten Funktionen verwendet.
Wird im CAS (siehe Anhang C) der APPROX (Näherungs)-Modus ausgewählt,
werden Integer-Zahlen automatisch in reelle Zahlen umgewandelt. Sollten Sie
nicht planen, das CAS zu benutzen, wird empfohlen, gleich in den
Näherungsmodus zu wechseln. Weitere Informationen dazu erhalten Sie in
Anhang C.
Häufig werden Integer- mit reellen Zahlen gemischt oder eine Integer- als reelle
Zahl interpretiert. Der Taschenrechner wird eine derartige Vermischung von
Objekten bemerken und Sie fragen, ob Sie in den Näherungsmodus wechseln
möchten.
Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen , die die imaginäre
Einheit , i 2= -1 enthalten. So wird z. B. die komplexe Zahl 3 + 2i als (3, 2) in
den Taschenrechner eingegeben.
Komplexe Zahlen können kartesisch oder in Polarkoordinaten, abhängig von
den Einstellungen des Taschenrechners, dargestellt werden. Beachten Sie dabei,
dass komplexe Zahlen immer Kartesisch gespeichert werden, lediglich die
Anzeige ist betroffen. Dadurch bleibt die Genauigkeit in den Berechnungen
weitestgehend erhalten.
Die meisten mathematischen Funktionen arbeiten mit komplexen Zahlen. Daher
ist es nicht erforderlich, dass Sie eine spezielle "komplexe +"-Funktion, zum
Addieren von komplexen Zahlen verwenden, denn Sie können die gleiche +
Funktion auf reelle oder Integer-Zahlen anwenden.
Operationen mit Vektoren und Matrizen verwenden Objekte des Typs 3, reelle
Arrays (Zahlenfelder) , und falls benötigt Typ 4, komplexe Arrays. Objekte des
Typs 2, Strings (Zeichenketten), sind einfache mit der alpha-numerischen
Tastatur erzeugte (zwischen Anführungszeichen gesetzte) Textzeilen.
Eine Liste ist lediglich eine Ansammlung von Objekten zwischen zwei
geschwungenen Klammern, im RPN-Modus durch Leerschritte (die Leertaste ist
als # beschriftet) bzw. im algebraischen Modus durch Kommas getrennt.
Seite 2-2
Listen, Objekte des Typs 5, sind besonders bei der Berechnung von
Zahlensammlungen nützlich. So können z. B. die Spalten einer Tabelle als
Listen eingegeben werden. Falls gewünscht, kann die Tabelle auch als Matrix
oder Array eingegeben werden.
Objekte des Typs 8 sind Programme in der User RPL Sprache. Dies sind
einfache Anweisungsfolgen, die zwischen den Symbolen << und >>
eingegeben werden.
Programmen zugeordnet sind auch Objekte des Typs 6 und 7, Globale bzw.
Lokale Namen. Diese Namen oder Variablen werden zur Speicherung aller
Arten von Objekten benutzt. Das Konzept von globalen oder lokalen Namen
hängt mit dem Gültigkeits- oder dem Einflussbereich einer Variablen in einem
Programm zusammen.
Ein algebraisches Objekt , oder einfach Algebraik (Objekt des Typs 9), ist ein
gültiger algebraischer Ausdruck zwischen Anführungszeichen oder
Hochkommata.
Ganze Binärzahlen , Objekte des Typs 10, werden in einigen Anwendungen
der Informatik verwendet.
Grafische Objekte , Objekte des Typs 11, speichern die vom Taschenrechner
erstellten Grafiken.
Gekennzeichnete Objekte, Objekte des Typs 12, werden als Ausgabe vieler
Programme verwendet, um die Ergebnisse zu identifizieren. So bedeutet z. B.
im gekennzeichneten Objekt Mean: 23,2, das Wort Mean: die Kennzeichnung
zur Identifikation der Zahl 23,2 als Mittelwert einer Stichprobe.
Einheitenobjekte , Objekte des Typs 13, sind numerische Werte, an die eine
physikalische Einheit angehängt ist.
Verzeichnisse , Objekte des Typs 15, sind Speicherstellen, welche bei der
Organisation von Variablen, ähnlich den Verzeichnissen eines PC, behilflich
sind.
Bibliotheken, Objekte des Typs 16, sind Programme im Speicher des
Taschenrechners, auf welche innerhalb eines Verzeichnisses (oder
Unterverzeichnisses) in Ihrem Taschenrechner zugegriffen werden kann. In ihrer
Verwendung ähneln sie built-in functions (integrierten Funktionen), Objekten des
Seite 2-3
Typs 18, und built-in commands (integrierten Befehlen) den Objekten des Typs
19.
Ausdrücke im Display bearbeiten
In diesem Abschnitt werden Beispiele zur Bearbeitung von Ausdrücken direkt im
Display des Rechners gezeigt (algebraische History oder RPN-Stack).
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken
Für dieses Beispiel wählen wir den algebraischen Modus und ein Fix (festes)
Format mit 3 Dezimalstellen als Anzeige im Display. Wir geben nun den
nachfolgenden arithmetischen Ausdruck ein:
1.0
7.5
5.0 ⋅
3.0 − 2.0 3
1.0 +
Um diesen Ausdruck einzugeben, verwenden Sie folgende Tastenfolge:
5.*„Ü1.+1./7.5™/
„ÜR3.-2.Q3
Der daraus resultierende Ausdruck sieht wie folgt aus: 5.*(1.+1./7.5)/(Ä3.-2.^3).
Drücken Sie die Taste `, um den Ausdruck wie folgt anzuzeigen:
Beachten Sie dabei, dass, wenn Ihr CAS auf EXACT eingestellt ist (siehe
Anhang C) und Sie Ihre Eingabe für Ganzzahlen über Integer-Werte machen,
das Ergebnis ein symbolischer Ausdruck ist, z. B.
5*„Ü1+1/7.5™/
Seite 2-4
„ÜR3-2Q3
Bevor ein Ergebnis erstellt wird, werden Sie darauf hingewiesen, in den Approx
mode (Näherungsmodus) zu wechseln. Akzeptieren Sie die Änderung, um
nachfolgendes Ergebnis zu erzielen (angezeigt im Fix-Modus (fester
Dezimalmodus) mit drei Nachkommastellen – siehe Kapitel 1):
Wenn der Ausdruck direkt in den Stack eingegeben wird, wird der
Taschenrechner in diesem Fall versuchen, einen Wert für den Ausdruck zu
berechnen, sobald Sie die Taste ` drücken. Wird der Ausdruck aber in
Anführungszeichen eingegeben, wird der Taschenrechner den Ausdruck
genauso ausgeben, wie Sie diesen eingegeben haben. Im nachfolgenden
Beispiel geben wir den gleichen Ausdruck wie oben ein, aber verwenden dabei
Anführungszeichen. Für diesen Fall stellen wir auf den algebraischen Modus
um, setzen den CAS-Modus auf Exact (entfernen das Häkchen bei _Approx),
und stellen den Anzeige-Modus auf Textbook. Die dafür erforderlichen
Tastenanschläge sehen wie folgt aus:
³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
Das Ergebnis wird wie folgt angezeigt:
Um den Ausdruck auszuwerten können wir die Funktion EVAL, wie nachfolgend
gezeigt, anwenden:
μ„î`
Seite 2-5
Wie im vorangegangenen Beispiel werden Sie auch diesmal gefragt, ob Sie
das CAS auf Approx umstellen möchten. Sobald Sie dies getan haben, erhalten
Sie das gleiche Ergebnis wie zuvor.
Eine alternative Möglichkeit, den vorher eingegebenen Ausdruck in
Anführungszeichen auszuwerten, ist die Anwendung der Option …ï. Um
den Ausdruck aus dem bestehenden Stack wieder herzustellen, benutzen Sie
folgende Tastenfolge: ƒƒ…ï
Wir geben nun den obigen Ausdruck ein, während der Taschenrechner auf den
RPN-Modus eingestellt ist. Wir setzen das CAS auf Exact und die Anzeige auf
Textbook. Die Tastenfolge zur Eingabe des Ausdrucks zwischen
Anführungszeichen bleibt gleich wie oben, d. h.:
³5*„Ü1+1/7.5™/
„ÜR3-2Q3`
Dies ergibt die nachfolgende Ausgabe:
Drücken Sie die Taste ` ein weiteres Mal, um zwei Kopien zur Auswertung
des Ausdrucks im Stack zu behalten. Als Erstes werten wir den Ausdruck mit der
Funktion EVAL aus, und anschließend verwenden wir die Funktion NUM.
Hier die einzelnen Schritte im Detail: Werten Sie zuerst den Ausdruck mit der
Funktion EVAL aus. Dieser Ausdruck ist semi-symbolisch, das bedeutet, er enthält
sowohl Gleitkomma-Komponenten als auch eine √3 im Ergebnis. Als Nächstes
verändern wir die Stack Anordnung und werten den Ausdruck mit der Funktion
NUM aus.
™
Tauschen Sie die Stack Ebenen 1 und 2 (mit dem Befehl
SWAP) aus
…ï
Werten Sie den Ausdruck mit der Funktion NUM aus
Dieses Ergebnis ist nun rein numerisch, so dass die Ergebnisse im Stack, obwohl
Sie den gleichen Ausdruck darstellen, unterschiedlich aussehen. Um aber zu
Seite 2-6
überprüfen, ob diese das gleiche Ergebnis liefern, subtrahieren wir beide Werte
und berechnen die Differenz mit der Funktion EVAL:
-
Subtrahieren Sie Ebene 1 von Ebene 2
μ
Berechnen Sie mithilfe der Funktion EVAL
Das Ergebnis ist Null (0).
Anmerkung: Vermeiden Sie es, Integer- mit reellen Zahlen zu vermischen,
um Konflikte in der Berechnung zu vermeiden. Für viele Anwendungen in der
Physik und Technik, einschließlich numerischer Lösung von Gleichungen, Statistikanwendungen usw., funktioniert der APPROX-Modus (siehe Anhang C)
besser. Für mathematische Anwendungen, z. B. Infinitesimalrechnung, Vektor
Analysis, Algebra usw. wird der EXACT-Modus bevorzugt. Machen Sie sich mit
beiden Methoden vertraut und lernen Sie, wie Sie für unterschiedliche Berechnungen (siehe Anhang C) aus einem in den anderen Modus umschalten können.
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken
Angenommen, wir geben den folgenden Ausdruck zwischen
Anführungszeichen ein, während das CAS im RPN-Modus auf EXACT steht:
1
7.5 . Es wurde also
und nicht den eigentlich beabsichtigten Ausdruck: 5 ⋅
3 − 23
1+
ein inkorrekter Ausdruck durch folgende Eingabe angegeben:
³5*„Ü1+1/1.75™/
„ÜR5-2Q3`
Um in den Zeileneditor zu gelangen, drücken Sie „˜. Der Ausdruck sieht
nun wie folgt aus:
Seite 2-7
Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der
sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet. Da in
diesem Fall die Bearbeitung im Löschen einiger Zeichen und Ersetzen dieser
durch Andere besteht, werden wir die Pfeiltasten š™ dazu benutzen, den
Cursor auf dem zu verändernden Zeichen zu positionieren und anschließend
die Löschtaste ƒ betätigen, um diese Zeichen zu entfernen.
Die nachfolgenden Tastenanschläge vervollständigen die Bearbeitung in
diesem Fall:
• Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™, bis sich der Cursor rechts des
Dezimalkommas in der Zahl 1,75 befindet
• Drücken Sie die Löschtaste ƒ zweimal, um das Zeichen 1, zu
löschen.
• Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™ einmal, um den Cursor rechts der
Zahl 7 zu positionieren
• Tippen Sie das Komma mit der Taste .ein
• Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™, bis sich der Cursor direkt rechts
neben der Zahl √5 befindet
• Drücken Sie die Löschtaste ƒ einmal, um das Zeichen 5 zu löschen
• Geben Sie mit der Taste 3 eine 3 ein
• Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren
Der bearbeitete Ausdruck befindet sich nun im Stack.
Die Bearbeitung einer Eingabezeile im algebraischen Modus erfolgt genau wie
im RPN-Modus. Sie können dieses Beispiel im algebraischen Modus
wiederholen, um die Aussage zu überprüfen.
Seite 2-8
Erstellen von algebraischen Ausdrücken
Algebraische Ausdrücke beinhalten nicht nur Zahlen, sondern auch Namen von
Variablen. Als Beispiel geben wir nachfolgenden algebraischen Ausdruck ein:
x
R +2L
R+ y
b
2L 1 +
Wir stellen den algebraischen Operationsmodus am Taschenrechner ein, setzen
das CAS auf Exact und die Anzeige auf Textbook. Um diesen algebraischen
Ausdruck einzugeben, verwenden wir folgende Tastenfolge:
³2*~l*R„Ü1+~„x/~r™/
„ Ü ~r+~„y™+2*~l/~„b
Drücken Sie `, um das folgende Ergebnis zu erhalten:
Dieser Ausdruck kann ebenfalls im RPN-Modus eingegeben werden, was zum
gleichen Ergebnis wie im algebraischen Modus führt.
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken
Algebraische Ausdrücke werden mit dem Zeileneditor ähnlich wie arithmetische
Ausdrücke bearbeitet (siehe Beispiel oben). Nehmen wir an, wir möchten den
oben eingegebenen Ausdruck wie unten gezeigt verändern:
x2
R +2 L
R+x
b
2L 1 +
Seite 2-9
Um diesen algebraischen Ausdruck mit dem Zeileneditor zu bearbeiten
benutzen wir „˜. Damit wird der Zeileneditor gestartet und der zu
bearbeitende Ausdruck sieht wie folgt aus:
Der Cursor zur Bearbeitung ist ein blinkender nach links gerichteter Pfeil, der
sich über dem ersten Zeichen der zu bearbeitenden Zeile befindet. Wie in
einem früheren Beispiel zur Bearbeitung von Zeilen werden wir die Pfeiltasten
š™ zur richtigen Positionierung des Cursors benutzen und anschließend die
Löschtaste ƒ verwenden, um entsprechende Zeichen zu löschen.
Die nachfolgenden Tastenanschläge vervollständigen die Bearbeitung in
diesem Fall:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™, bis sich der Cursor rechts vom x
befindet
Tippen Sie Q2, um die Potenz 2 für das x einzugeben
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™, bis sich der Cursor rechts vom y
befindet
Drücken Sie die Löschtaste ƒ einmal, um das Zeichen y zu löschen
Drücken Sie ~„x um ein x einzugeben
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™ viermal, um den Cursor rechts des
Sternchens *zu positionieren
Drücken Sie R um das Symbol für die Quadratwurzel einzugeben
Drücken Sie „Ü, um ein Klammernpaar einzugeben (gibt es
immer paarweise)
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™ einmal und anschließend die
Löschtaste ƒ ebenfalls einmal, um die rechte Klammer des obigen
Klammerpaares zu löschen.
Drücken Sie die rechte Pfeiltaste ™ viermal, um den Cursor rechts vom
b zu positionieren
Geben Sie „Ü ein, um ein zweites Klammerpaar zu öffnen
Seite 2-10
•
•
Drücken Sie die Löschtaste ƒ einmal, um die linke Klammer des
oben eingefügten Klammerpaares zu löschen.
Drücken Sie die Taste `, um zur Normalanzeige des
Taschenrechners zurückzukehren.
Nachfolgend das Ergebnis:
Beachten Sie, dass der Ausdruck um Faktoren wie |R|, den Absolutbetrag,
und SQ(b⋅R), die Quadratwurzel von b⋅R, erweitert wurde. Um zu sehen,
ob wir dieses Ergebnis vereinfachen können, benutzen wir
FACTOR(ANS(1)) im ALG-Modus:
•
Drücken Sie „˜, um den Zeileneditor ein weiteres Mal zu starten.
Die Lösung lautet nun:
•
Drücken Sie ein weiteres Mal `, um zur Normalanzeige
zurückzukehren.
Seite 2-11
Um den gesamten Ausdruck im Display zu sehen, ändern wir die Option
auf _Small Stack Disp in der DISPLAY MODES-Eingabemaske (siehe Kapitel
1). Nachdem Sie diese Änderung durchgeführt haben, sieht Ihre Anzeige
wie folgt aus:
Anmerkung: Um griechische oder andere Buchstaben in algebraische Ausdrücke einzugeben, benutzen Sie das Menü CHARS. Dieses Menü wird mit
der Tastenkombination …± gestartet. Detailinformationen zu diesem
Thema finden Sie in Anhang D.
Erstellen von Ausdrücken mithilfe des EquationWriters
(EQW) (Gleichungseditors)
Der EquationWriter ist ein mächtiges Werkzeug, welches Ihnen nicht nur
erlaubt, eine Gleichung einzugeben und anzusehen, sondern auch Änderungen
vorzunehmen und zusätzliche Funktionen für beliebige einzelne Teile der
Gleichung einzugeben und anzuwenden. Mit dem EquationWriter (EQW)
können Sie daher komplexe mathematische Operationen direkt oder im
Einzelschrittmodus durchführen, genauso wie Sie es mit Papier und Bleistift z. B.
bei der Lösung von Problemen der Infinitesimalrechnung/ Analysis tun würden.
Der EquationWriter wird durch Drücken der Tastenkombination …‚O
gestartet (dritte Taste vierte Reihe von oben). Die Anzeige sieht wie folgt aus.
Die sechs Funktionstasten für den EquationWriter aktivieren die nachfolgenden
Funktionen:
@EDIT : ermöglicht es dem Anwender, eine Eingabe mit dem Zeileneditor zu
bearbeiten (siehe obige Beispiele)
Seite 2-12
@CURS : markiert einen Ausdruck und fügt diesem einen grafischen Cursor hinzu
@BIG
: falls ausgewählt (die Auswahl wird durch das Zeichen in der
Beschriftung angezeigt) wird die Schriftgröße 8 im Editor verwendet
(die größte vorhandene Schrift)
@EVAL : damit können Sie einen im EquationWriter hervorgehobenen Ausdruck
symbolisch oder numerisch auswerten (ähnlich wie …μ)
@FACTO : ermöglicht es Ihnen, einen im EquationWriter hervorgehobenen
Ausdruck zu faktorisieren (falls eine Faktorisierung möglich ist)
@SIMP : ermöglicht es Ihnen, einen markierten Ausdruck in der EquationWriter
Anzeige zu vereinfachen (sofern man diesen gemäß den
algebraischen Regeln des CAS vereinfachen kann)
Drücken Sie die Taste L, erscheinen zwei weitere Menüeinträge, wie unten
aufgezeigt:
Die sechs Funktionstasten für den EquationWriter starten die nachfolgenden
Funktionen:
@CMDS : ermöglicht Ihnen den Zugriff auf CAS-Befehle, welche in alphabetischer
Reihenfolge aufgelistet sind. Dies bewährt sich bei der Einfügung von
CAS Befehlen in einen im EquationWriter vorhandenen Ausdruck.
@HELP : startet die CAS-Hilfefunktion des Taschenrechners, um Informationen
und Beispiele zu CAS-Befehlen zur Verfügung zu stellen.
Einige Beispiele in der Anwendung des EquationWriters werden unten
aufgezeigt.
Seite 2-13
Erstellen von arithmetischen Ausdrücken
Die Eingabe von arithmetischen Ausdrücken in den EquationWriter ist ähnlich
wie die Eingabe von in Anführungszeichen eingeschlossenen Ausdrücken in den
Stack. Der Hauptunterschied besteht darin, dass die in den EquationWriter
eingegebenen Ausdrücke im "Textbook"-Stil (wie in einem Texteditor) statt
zeilenweise geschrieben werden. Sobald Sie ein Divisionszeichen (d. h. /) in
den EquationWriter eingeben, wird daher ein Bruch erzeugt und der Cursor in
den Zähler gesetzt. Benutzen Sie die Pfeiltaste nach unten, um zum Nenner zu
gelangen. Versuchen Sie beispielsweise, folgende Tastenfolge in den
EquationWriter einzugeben: 5/5+2
Das Ergebnis ist der Ausdruck
Der Cursor wird als ein nach links gerichteter Pfeil angezeigt. Der Cursor
markiert die aktuelle Position, an der eine Änderung vorgenommen werden
kann. Die Eingabe eines oder mehrerer Zeichen, Funktionsnamen oder
Operation wird an der Stelle erfolgen, an der sich der Cursor aktuell befindet.
Geben Sie beispielsweise an der Cursorposition in der obigen Abbildung
Folgendes ein:
*„Ü5+1/3
Der bearbeitete Ausdruck sieht wie folgt aus:
Angenommen, Sie möchten den Ausdruck des Nenners in der Klammer ändern,
d. h. (5+1/3) durch (5+π2/2) ersetzen. Als Erstes benutzen wir die Löschtaste
(ƒ), löschen den Ausdruck 1/3 und ersetzen diesen Bruch wie folgt durch
π2/2: ƒƒƒ„ìQ2
Seite 2-14
An dieser Stelle angekommen, sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Um den Nenner 2 in den Ausdruck einzufügen, müssen wir den kompletten
Ausdruck π2 hervorheben (markieren). Dazu drücken wir die rechte Pfeiltaste
(™) einmal. An dieser Stelle fügen wir folgende Tastenfolge ein: /2
Der Ausdruck sieht nun wie folgt aus:
Nehmen wir an, Sie möchten den Bruch 1/3 zu diesem Ausdruck hinzufügen,
d. h. Sie möchten folgenden Ausdruck eingeben:
5
5 + 2 ⋅ (5 +
π
2
2
+
)
1
3
Als Erstes müssen wir den gesamten ersten Ausdruck entweder mit der rechten
Pfeiltaste (™) oder der Taste nach oben (—) hervorheben, und diesen
Vorgang so oft wiederholen, bis der gesamte Ausdruck markiert ist (in diesem
Fall sieben Mal), wobei Ihre Anzeige dann wie folgt aussehen sollte:
Seite 2-15
ANMERKUNG: Alternativ kann auch von der Ursprungsposition des Cursors
ausgehend (im Nenner rechts von der 2 im Ausdruck π2/2) die Tastenkombination ‚— - interpretiert als (‚ ‘ ) - verwendet werden.
Sobald der Ausdruck wie oben gezeigt hervorgehoben ist, tippen Sie
nachstehende Tastenfolge ein +1/3, um den Bruch 1/3
hinzuzufügen. Sie erhalten dann:
Verringern der Schriftgröße des Ausdrucks
Um den Ausdruck in einer kleineren Schrift darzustellen (was bei einem langen
und verschachtelten Ausdruck hilfreich sein kann), drücken Sie einfach die
Funktionstaste @BIG . In diesem Fall sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Um zur größeren Schriftart zurückzukehren, drücken Sie die Funktionstaste @BIG
ein weiteres Mal.
Auswerten/Berechnen des Ausdrucks
Um den Ausdruck (oder Teile des Ausdrucks) innerhalb des EquationWriters zu
berechnen, markieren Sie den Teil, den Sie berechnen möchten, und drücken
die Funktionstaste @EVAL .
Um beispielsweise den gesamten Ausdruck in diesem Beispiel zu berechnen,
markieren Sie zuerst den gesamten Ausdruck, indem Sie ‚ ‘ drücken.
Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @EVAL . Befindet sich Ihr
Taschenrechner im CAS-Modus Exact (d. h. der _Approx CAS Modus ist nicht
ausgewählt), erhalten Sie das nachfolgende symbolische Ergebnis:
Seite 2-16
Möchten Sie den vorherigen, noch nicht berechneten Ausdruck, zurückholen,
benutzen Sie die Funktion UNDO, d. h. …¯ (die erste Taste in der dritten
Reihe von oben). Der wiederhergestellte Ausdruck wird, genau wie vorhin,
markiert angezeigt:
Wünschen Sie eine Gleitkommaberechnung (numerisch), benutzen Sie die
Funktion NUM (d. h. …ï). Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
Benutzen Sie Funktion UNDO ( …¯) ein weiteres Mal, um den
ursprünglichen Ausdruck wiederherzustellen:
Berechnen eines Unterausdrucks
Angenommen, aus obigem Ausdruck möchten Sie lediglich den in Klammer
stehenden Ausdruck im Nenner des ersten Bruches berechnen. Benutzen Sie
Seite 2-17
dazu die Pfeiltasten, um diesen bestimmten Unterausdruck auszuwählen.
Nachfolgend eine Möglichkeit, wie Sie dies tun können:
˜ Hebt nur den ersten Bruch hervor
˜ Hebt den Zähler des ersten Bruches hervor
™ Hebt den Nenner des ersten Bruches hervor
˜ Hebt das erste Glied im Nenner des ersten Bruches hervor
™ Hebt das zweite Glied im Nenner des ersten Bruches hervor
˜ Hebt den ersten Faktor im zweiten Term im Nenner des ersten Bruches
hervor
™ Hebt den in Klammer stehenden Ausdruck im Nenner des ersten Bruches
hervor
Da dies der Unterausdruck ist, den wir berechnen möchten, können wir an
dieser Stelle die Funktionstaste @EVAL drücken, welche uns nachfolgendes
Ergebnis liefert:
Eine weitere symbolische Berechnung: Angenommen, an dieser Stelle möchten
wir lediglich den Bruch auf der linken Seite berechnen. Drücken Sie die
Pfeiltaste (—) dreimal, um diesen Bruch auszuwählen, was dann wie folgt
aussieht:
Seite 2-18
Anschließend drücken Sie die Funktionstaste @EVAL , um den nachfolgenden
Ausdruck zu erhalten:
Versuchen wir es an dieser Stelle nun mit einer numerischen Berechnung dieses
Gliedes. Verwenden Sie dazu …ï, um nachfolgendes Ergebnis zu
erhalten:
Heben wir nun den Bruch auf der rechten Seite hervor, um auch für dieses Glied
eine numerische Berechnung zu erhalten, und lassen wir die Summe der beiden
Dezimalwerte unter Verwendung von ™ …ï C in kleiner Schrift
anzeigen, dann erhalten wir:
Um den Ausdruck hervorzuheben und im EquationWriter zu berechnen,
benutzen wir — D, wodurch wir folgendes Ergebnis erzielen:
Seite 2-19
Bearbeiten von arithmetischen Ausdrücken
Nachfolgend zeigen wir einige Bearbeitungsmerkmale des EquationWriters als
Beispiel. Wir beginnen, indem wir den im vorherigen Beispiel verwendeten
Ausdruck eingeben:
Dann verwenden wir die Bearbeitungsmöglichkeiten des EquationWriters, um
den Ausdruck wie folgt umzuwandeln:
In vorangegangenen Übungen haben wir die Pfeiltasten zur Markierung von
Unterausdrücken für Berechnungen verwendet. In diesem Fall benutzen wir sie,
um einen bestimmten Bearbeitungscursor auszuwählen. Nachdem Sie die
Eingabe des ursprünglichen Ausdrucks vervollständigt haben, wird der
Eingabecursor (ein nach links gerichteter Pfeil) rechts von der 3 im Nenner des
zweiten Bruchesstehen, so wie es hier zu sehen ist:
Drücken Sie die Pfeiltaste (˜), um zum reinen Bearbeitungscursor zu
gelangen. Die Anzeige sieht nun wie folgt aus:
Seite 2-20
Mit der linken Pfeiltaste (š) können Sie den Cursor im Allgemeinen nach links
bewegen, dieser hält aber bei jeder einzelnen Komponente des Ausdrucks.
Nehmen wir z. B. an, dass wir als erstes den Ausdruck π 2/2 in den Ausdruck
LN(π5/3) umwandeln möchten. Mit dem aktivierten reinen Cursor, wie oben
angezeigt, drücken Sie die Pfeiltaste š zweimal, um die 2 im Nenner von π
2
/2 hervorzuheben. Drücken Sie als Nächstes die Löschtaste ƒ einmal, um
den Cursor in einen Einfügecursor umzuwandeln. Drücken Sie dann die Taste
ƒ ein zweites Mal, um die 2 zu löschen und dann 3, um die 3
einzugeben. An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Als Nächstes drücken Sie die Pfeiltaste (˜), um mit dem reinen
Bearbeitungscursor die 3 im Nenner von π 2/3 hervorzuheben. Drücken Sie die
Pfeiltaste (š)ein weiteres Mal, um den Exponenten 2 im Ausdruck π 2/3
hervorzuheben. Drücken Sie als Nächstes die Löschtaste (ƒ) einmal, um den
Cursor in einen Einfügecursor umzuwandeln. Drücken Sie die Taste ƒ ein
zweites Mal, um die 2 zu löschen, um dann die 5 über die Taste 5
einzugeben. Drücken Sie die Pfeiltaste (—) dreimal, um den Ausdruck π 5/3
hervorzuheben. Tippen Sie anschließend ‚¹, um die Funktion LN auf
diesen Ausdruck anzuwenden. Die Anzeige sieht nun wie folgt aus:
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Als Nächstes werden wir die 5 innerhalb der Klammern in ½ ändern, indem
wir nachfolgende Tastenfolge benutzen:
šƒƒ1/2
Dann markieren wir den gesamten Ausdruck in der Klammer und fügen das
Quadratwurzelzeichen wie folgt ein: ————R
Als Nächstes konvertieren wir die 2 vor der Klammer des Nenners wie folgt in
2/3 :
šƒƒ2/3
An dieser Stelle sieht der Ausdruck wie folgt aus:
Der letzte Schritt besteht darin, den Bruch 1/3 rechts vom Ausdruck zu
entfernen. Dies wird wie folgt erreicht: —————
™ƒƒƒƒƒ
Die endgültige Version sieht nun so aus:
Zusammenfassung: Wollen Sie einen Ausdruck im EquationWriter bearbeiten,
sollten Sie zunächst die Pfeiltasten (š™—˜) benutzen, um den
Ausdruck, auf welchen Sie eine Funktion anwenden möchten, hervorzuheben
(z. B. die Funktion LN und Quadratwurzel im obigen Beispiel). Drücken Sie an
einer beliebigen Stelle wiederholt die Pfeiltaste (˜), um zum reinen
Bearbeitungscursor zu gelangen. In diesem Modus verwenden Sie dann die
Pfeiltasten (š™), um im Ausdruck von einem Glied zum nächsten zu
wechseln. Sind Sie an einem der Punkte, den Sie bearbeiten möchten,
Seite 2-22
angekommen, benutzen Sie die Löschtaste (ƒ), um den Einfügecursor zu
wählen und fahren mit der Bearbeitung des Ausdrucks fort.
Erstellen von algebraischen Ausdrücken
Ein algebraischer Ausdruck ähnelt einem arithmetischen, mit der Ausnahme,
dass in dem algebraischen auch lateinische oder griechische Buchstaben
eingefügt werden können. Das Vorgehen zum Erstellen eines algebraischen
Ausdrucks gleicht dem zum Erstellen eines arithmetischen Ausdrucks, mit der
Ausnahme, dass eine alphabetische Tastatur zur Verfügung steht.
Nehmen wir nachfolgendes Beispiel, um die Anwendung des EquationWriters
bei der Eingabe eines algebraischen Ausdrucks zu veranschaulichen. Nehmen
wir an, wir möchten folgenden Ausdruck eingeben.
2
⎛ x + 2 μ ⋅ Δy ⎞
λ + e − μ ⋅ LN ⎜
⎟
θ 1/ 3
3
⎝
⎠
Verwenden Sie dazu folgende Tastenfolge:
2 / R3 ™™ * ~‚n + „¸\ ~‚m
™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c
~„y ——— / ~‚t Q1/3
Dies ergibt die nachfolgende Ausgabe:
In diesem Beispiel haben wir mehrere lateinische Kleinbuchstaben verwendet,
und zwar x (~„x), mehrere griechische Buchstaben, und zwar λ
(~‚n), aber auch eine Kombination aus lateinischen und griechischen
Buchstaben, Δy (~‚c
Seite 2-23
~„y). Sie erinnern sich: Um einen lateinischen Kleinbuchstaben
eingeben zu können, benötigen Sie die Kombination ~„ gefolgt von dem
Buchstaben, den Sie eingeben möchten. Sie können auch Sonderzeichen
mithilfe des Menüs CHARS (…±) eingeben, wenn Sie sich nicht alle
Tastenkombinationen für diese merken möchten Eine Auflistung häufig
verwendeter ~‚-Tastenkombinationen wurde in einem vorangegangenen
Abschnitt aufgeführt.
Der Ausdrucksbaum
Der Ausdrucksbaum ist ein Diagramm, das anzeigt, auf welche Weise der
EquationWriter einen Ausdruck interpretiert. Ein ausführliches Beispiel finden
Sie in Anhang E.
Die Funktion CURS
Die Funktion CURS (@CURS) im EquationWriter (Taste B) konvertiert die
Anzeige in eine grafische Anzeige und erzeugt einen grafischen Cursor, der
über die Pfeiltasten (š™—˜) gesteuert werden kann, um
Unterausdrücke auszuwählen. Der mit @CURS ausgewählte Unterausdruck wird in
der grafischen Anzeige mit einem Rahmen dargestellt. Nachdem Sie einen
Unterausdruck ausgewählt haben, können Sie die Taste ` drücken, um den
ausgewählten Unterausdruck im EquationWriter hervorgehoben anzuzeigen.
Die nachfolgenden Abbildungen zeigen unterschiedlich ausgewählte
Unterausdrücke und die entsprechende EquationWriter-Anzeige nach Drücken
der Taste ` an.
Seite 2-24
Bearbeiten von algebraischen Ausdrücken
Bei der Bearbeitung von algebraischen Ausdrücken gelten die gleichen Regeln
wie bei der Bearbeitung von algebraischen Gleichungen:
• Benutzen Sie die Pfeiltasten (š™—˜), um den Ausdruck zu
markieren.
• Drücken Sie wiederholt den Pfeil (˜), um zum reinen
Bearbeitungscursor zu gelangen. In diesem Modus verwenden Sie
dann die Pfeiltasten (š™), um sich von einem Glied zum nächsten
im Ausdruck zu bewegen.
• Benutzen Sie die Löschtaste (ƒ) an einem Bearbeitungspunkt, um
den Eingabecursor zu wählen und bearbeiten Sie den Ausdruck.
Um den reinen Bearbeitungscursor in Aktion zu sehen, beginnen wir mit dem
algebraischen Ausdruck, welchen wir im obigen Beispiel eingegeben haben:
Drücken Sie den Pfeil ˜, da wo sich der Cursor aktuell befindet, um zum
reinen Bearbeitungscursor zu gelangen. Die 3 im Exponenten θ wird
hervorgehoben. Benutzen Sie die Pfeiltaste š, um sich von einem Element des
Ausdrucks zum anderen zu bewegen. Die Auswahlreihenfolge des reinen
Bearbeitungscursors in unserem Beispiel lautet wie folgt (drücken Sie wiederholt
die linke Pfeiltaste š):
1. Die 1 im Exponenten von 1/3
2. θ
3. Δy
4. μ
5. 2
Seite 2-25
6. x
7. μ in der Exponentialfunktion
8. λ
9. 3 in der √3
10. die 2 im Bruch 2/√3
An dieser Stelle können wir den reinen Bearbeitungscursor in einen
Einfügecursor ändern, indem wir die Löschtaste (ƒ) drücken. Benutzen wir
nun diese beiden Cursor (den reinen Bearbeitungscursor und den
Einfügecursor), um den aktuellen Ausdruck wie folgt zu ändern:
Haben Sie die Übung von vorhin gleich durchgeführt, sollte jetzt der reine
Bearbeitungscursor auf der Zahl 2 im ersten Faktor des Ausdrucks stehen.
Führen Sie nachstehende Tastenfolge aus, um den Ausdruck zu bearbeiten:
™ ~‚2 Trägt die Fakultät für die 3 in der Quadratwurzel ein (das
Eintragen der Fakultät ändert den Cursor in einen Auswahlcursor)
˜˜™™
Wählt das μ in der Exponentialfunktion
/3*~‚f Ändert das Argument der Exponentialfunktion
™™™™
Wählt Δy aus
R
Platziert ein Quadratwurzelsymbol über Δy
(auch dieser Vorgang ändert den Cursor in den Auswahlcursor)
˜˜™—— S Wählen Sie θ1/3, und tragen Sie die Funktion SIN
ein.
Die Anzeige sieht wie folgt aus:
Seite 2-26
Berechnen eines Unterausdrucks
Da wir den Unterausdruck
SIN (θ 1 / 3 ) bereits hervorgehoben haben, drücken
wir nun die Funktionstaste @EVAL , um diesen Unterausdruck zu berechnen. Die
Lösung lautet:
Einige algebraische Ausdrücke können nicht weiter vereinfacht werden.
Versuchen Sie folgende Tastenkombination: —D. Sie werden feststellen,
dass lediglich das vollständige Argument der Funktion LN hervorgehoben wird,
sonst erfolgen keine Aktionen. Dies ist der Fall, weil der Ausdruck nach den
Regeln des CAS nicht weiter berechnet (oder vereinfacht) werden kann. Drücken
Sie die Tastenfolge —D erneut, gibt es weiterhin keine Änderungen im
Ausdruck. Ein weiterer Versuch mit dieser Tastenfolge —D hingegen,
ändert den Ausdruck wie folgt:
Betätigen Sie diese Tastenfolge —D ein weiteres Mal, erscheinen weitere
Änderungen:
Dieser Ausdruck passt nicht mehr in den Anzeigebildschirm des
EquationWriters. Der gesamte Ausdruck lässt sich aber in einer kleineren Schrift
Seite 2-27
anzeigen. Drücken Sie die Funktionstaste @BIG , um das folgende Ergebnis zu
erhalten:
Auch mit der größeren Schrift ist es möglich, sich durch den gesamten Ausdruck
mit dem reinen Bearbeitungscursor zu bewegen. Versuchen Sie die Tastenfolge
C˜˜˜˜, um den reinen Bearbeitungscursor über den Faktor 3 im
ersten Glied des Zählers zu bewegen. Drücken Sie die Pfeiltaste ™, um sich
durch den Ausdruck zu bewegen.
Einen Ausdruck vereinfachen
Drücken Sie die Funktionstaste @BIG , um erneut die Anzeige wie in der
vorangegangenen Abbildung (siehe oben) zu erhalten. Drücken Sie nun die
Funktionstaste @SIMP , um zu sehen, ob dieser Ausdruck, wie er sich im
EquationWriter befindet, noch weiter vereinfacht werden kann. Das Ergebnis ist
die nachfolgende Anzeige:
Die Anzeige zeigt das Argument der Funktion SIN, und zwar
3
θ ,
LN (θ )
umgewandelt in e 3 . Dies mag zwar nicht wie eine Vereinfachung
aussehen, es ist jedoch insofern eine Vereinfachung, als dass die
Quadratwurzelfunktion mit der inversen Funktion exp-LN ersetzt wurde.
Faktorisieren eines Ausdrucks
In diesem Beispiel werden wir versuchen einen Polynomausdruck zu
faktorisieren. Um mit dem vorangegangenen Beispiel weiterzumachen, drücken
Seite 2-28
Sie die Taste `. Starten Sie dann den EquationWriter durch Drücken der
Tasten ‚O erneut. Geben Sie folgende Gleichung ein:
XQ2™+2*X*~y+~y Q2™~‚a Q2™™+~‚b Q2
Dies ergibt dann:
Wählen wir nun die ersten 3 Glieder des Ausdruckes aus, und versuchen wir,
diesen Unterausdruck in seine Faktoren zu zerlegen: ‚—
˜‚™‚™. Dies ergibt:
Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Folgendes zu erhalten:
Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯. Als
Nächstes geben Sie die Tastefolge ˜˜˜™™™™™™™—
——‚™ ein, um die letzten beiden Glieder im Ausdruck zu markieren,
d. h.:
Seite 2-29
Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Nachfolgendes zu erhalten:
Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯.
Markieren wir nun den gesamten Ausdruck, indem wir die Pfeiltaste ( —)
einmal drücken. Drücken Sie die Funktionstaste @FACTO, um Folgendes zu
erhalten:
Um zum ursprünglichen Ausdruck zurückzukehren, drücken Sie ‚¯.
Anmerkung: Drücken Sie die Funktionstaste @EVAL oder @SIMP während der
gesamte Ausdruck hervorgehoben ist, erhalten Sie die folgende Vereinfachung
des Ausdruckes:
Verwenden der Menütaste CMDS
Verwenden wir den Polynomenausdruck aus vorangegangenem Beispiel und
drücken die Taste L, um die Funktionstasten der Menüs @CMDS und @HELP
anzuzeigen. Diese beiden Befehle gehören zum zweiten Teil des
Softwaremenüs im EquationWriter. Versuchen wir nun ein Beispiel, in dem die
Funktionstaste @CMDS zur Anwendung kommt: Drücken Sie die Funktionstaste
@CMDS, um eine Auflistung der CAS-Befehle zu erhalten:
Seite 2-30
Als Nächstes wählen Sie den Befehl DERVX (die Ableitungsfunktion in Bezug
auf die Variable X, die aktuelle unabhängige Variable im CAS)mit
nachstehender Tastenkombination aus: ~d˜˜˜. Nun ist der Befehl
DERVX ausgewählt:
Drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ , um Folgendes zu erhalten:
Anschließend drücken Sie die Taste L, um zum ursprünglichen
EquationWriter Menü zurückzukehren und dann die Funktionstaste @EVAL@ , um
die Ableitungsfunktion zu berechnen. Die Lösung lautet:
Verwenden des Menüs HELP (Hilfe)
Drücken Sie die Taste L, um die Funktionstasten @CMDS und @HELP anzuzeigen.
Drücken Sie die Funktionstaste @HELP, um eine Auflistung der CAS-Befehle zu
erhalten: Drücken Sie dann ~ d ˜ ˜ ˜, um den Befehl DERVX
Seite 2-31
auszuwählen. Drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ , um Informationen zum
Befehl DERVX zu erhalten:
Eine genaue Erklärung zur Verwendung der Hilfefunktion für das CAS finden
Sie in Kapitel 1. Um zum EquationWriter zurückzukehren, drücken Sie die
Funktionstaste @EXIT. Drücken Sie `, um den EquationWriter zu verlassen.
Verwenden der Bearbeitungs-Funktionen BEGIN, END, COPY, CUT und PASTE
Um die Bearbeitung zu vereinfachen, egal im EquationWriter oder im Stack,
werden im Taschenrechner fünf Bearbeitungsfunktionen zur Verfügung gestellt.
Dies sind BEGIN, END, COPY, CUT und PASTE, die in Kombination mit der
rechten Shift-Taste (‚) und den entsprechenden Tasten (2,1), (2,2), (3,1),
(3,2) und (3,3) gestartet werden. Dies sind die ganz links angeordneten Tasten
der Reihen 2 und 3. Die Aktionen dieser Bearbeitungsfunktionen sind hier
aufgelistet:
BEGIN:
END:
COPY:
CUT:
PASTE:
markiert den Anfang einer zu bearbeitenden Zeichenkette
markiert das Ende einer zu bearbeitenden Zeichenkette
kopiert die Zeichenkette, die mit BEGIN und END ausgewählt
wurde
schneidet die Zeichenkette, die mit BEGIN und END ausgewählt
wurde, aus
fügt die zuvor kopierte oder ausgeschnittene Zeichenkette an der
aktuellen Cursorposition ein
Um ein Beispiel zu sehen, starten wir den EquationWriter und geben den
nachfolgenden Ausdruck ein (wurde in einem vorangegangenen Beispiel
benutzt):
2 / R3 ™™ * ~‚m + „¸\ ~‚m
™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c
~„y ——— / ~‚t Q1/3
Seite 2-32
Der ursprüngliche Ausdruck sieht wie folgt aus.
Wir möchten nun den Unterausdruck x+2⋅λ⋅Δy aus dem Argument der Funktion
LN entfernen und an die Position rechts von λ im ersten Glied verschieben. Eine
Möglichkeit dies zu tun, lautet: ˜ššš———
‚ªšš—*‚¬
Der veränderte Ausdruck sieht wie folgt aus:
Anschließend kopieren wir den Bruch 2/√3 aus dem Ausdruck ganz links und
fügen ihn in den Zähler des Arguments der Funktion LN ein. Versuchen Sie
folgende Tastenkombination:
˜˜šš———‚¨˜˜
‚™ššš‚¬
Die Anzeige sieht wie folgt aus:
Wenn Sie im EquationWriter arbeiten, benötigen Sie die Funktionen BEGIN
und END nicht, da Zeichenketten mit den Pfeiltasten ausgewählt werden
Seite 2-33
können. Die Funktionen BEGIN und END werden hauptsächlich dann benötigt,
wenn wir uns im Zeileneditor befinden. Wählen wir z. B. den Term x+2⋅λ⋅Δy in
diesem Ausdruck aus, jedoch diesmal unter Verwendung des Zeileneditors
innerhalb des EquationWriters, werden folgende Tastendrücke benötigt:
‚—A
Die Anzeige des Zeileneditors sieht wie folgt aus: (Die Anführungszeichen
werden nur angezeigt, wenn der Taschenrechner im RPN-Modus ist.)
Um den gewünschten Unterausdruck auszuwählen, verwenden Sie:
™™™™™™™™‚¢
™™™™™™™™™™‚¤
In der Anzeige unten ist der gewünschte Unterausdruck hervorgehoben:
Wir können nun diesen Ausdruck kopieren und wie folgt in den Nenner des
Argumentes der Funktion LN einfügen:
‚¨™™… (27 Mal) … ™
ƒƒ… (9 Mal) … ƒ ‚¬
Die Anzeige des Zeileneditors sieht nun wie folgt aus:
Drücken Sie `, dann erhalten Sie den Ausdruck im EquationWriter (in kleiner
Schriftart drücken Sie die Funktionstaste @BIG ):
Seite 2-34
Drücken Sie `, um den EquationWriter zu verlassen.
Erstellen und Bearbeiten von Summen, Ableitungsfunktionen und
Integralen
Summen, Ableitungsfunktionen und Integrale werden im Allgemeinen für die
Infinitesimalrechnung-, sowie bei Wahrscheinlichkeits- und StatistikAnwendungen eingesetzt. In diesem Abschnitt zeigen wir einige Beispiele
solcher Operationen, erstellt mit dem EquationWriter. Verwenden Sie den ALGModus.
Summen
Wir benutzen den EquationWriter, um folgende Summe einzugeben:
∞
1
∑k
k =1
2
Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten. Anschließend drücken
Sie dann ‚½, um das Summenzeichen einzugeben. Beachten Sie, dass
die Anzeige des EquationWriters Eingabefelder für den Index der Summe und
für die zu summierende Menge zur Verfügung stellt. Um diese Eingabefelder
auszufüllen, benutzen Sie die Tastefolge:
~„k™1™„è™1/~„kQ2
Die daraus resultierende Anzeige sieht wie folgt aus:
Seite 2-35
Um den entsprechenden Ausdruck im Zeileneditor anzuzeigen, drücken Sie
‚—und die Funktionstaste A, um folgende Ansicht zu erhalten:
Dieser Ausdruck zeigt die allgemeine Form einer Summe, die direkt in den
Stack oder Zeileneditor eingegeben wurde:
Σ(Index = Startwert, Endwert, Summationsausdruck)
Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die dadurch
entstehende Anzeige ist nicht die Summe, die wir eingegeben haben, sondern
deren symbolischer Wert, und zwar:
Um die nicht berechnete Summenformel wieder herzustellen, verwenden Sie
‚¯. Um die Summe neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste
D. Diese zeigt erneut, dass gilt:
∞
1
∑k
k =1
2
=
π2
6
.
Sie können den EquationWriter benutzen, um zu beweisen, dass gilt:
∞
1
∑ k = +∞ .
k =1
Diese Summe (eine unendliche Reihe darstellend) wird als divergent bezeichnet.
Auch doppelte Summationen sind möglich, so z. B.:
Seite 2-36
Ableitungsfunktionen
Wir benutzen den EquationWriter, um folgende Ableitungsfunktion einzugeben:
d
(α ⋅ t 2 + β ⋅ t + δ )
dt
Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu starten. Drücken Sie
anschließend ‚¿, um zu dem (partiellen) Ableitungsfunktionszeichen zu
gelangen. Beachten Sie, dass das Zeichen bei der Eingabe in den
EquationWriter eine Eingabemöglichkeit für den abzuleitenden Ausdruck und
die Ableitungsvariable zur Verfügung stellt. Um diese Eingabefelder
auszufüllen, benutzen Sie die Tastefolge:
~„t™~‚a*~„tQ2
™™+~‚b*~„t+~‚d
Die Anzeige sieht wie folgt aus.
Um den entsprechenden Ausdruck im Zeileneditor anzuzeigen, drücken Sie
‚—und die Funktionstaste A, um folgende Ansicht zu erhalten:
Daraus ersehen wir, dass der allgemeine Ausdruck einer Ableitungsfunktion im
Zeileneditor oder Stack wie folgt lautet:
∂Variable(Funktion von Variablen)
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Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die so entstandene
Anzeige ist nicht die Ableitungsfunktion, die wir eingegeben haben, sondern
deren symbolischer Wert, und zwar:
Um die abzuleitende Funktion wiederherzustellen, verwenden Sie ‚¯. Um
die Ableitungsfunktion neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste
D. Diese zeigt erneut, dass gilt:
d
(α ⋅ t 2 − β ⋅ t + δ) = 2α ⋅ t + β .
dt
Auch eine Ableitung aus einer Ableitung ist möglich, so z. B.:
welche ausgewertet
ergibt.
Seite 2-38
Anmerkung: Für eine partielle Ableitung ist die Notation
∂
(
∂x
)
einwandfrei. Die richtige Notation für eine Gesamtableitung (d. h. eine
Ableitung bei einer Variablen) lautet
d
( ) . Der Taschenrechner macht
dx
jedoch keinen Unterschied zwischen partiellen und Gesamtableitungen.
Bestimmte Integrale
Wir benutzen den EquationWriter, um folgendes bestimmte Integral
∫
τ
0
t ⋅ sin(t ) ⋅ dt einzugeben. Drücken Sie ‚O, um den EquationWriter zu
starten. Drücken Sie anschließend ‚Á, um zu dem Integralzeichen zu
gelangen. Beachten Sie, dass das Zeichen, wenn es in den EquationWriter
eingegeben wird, Eingabefelder für die Grenzwerte des Integrals, den
Integranden und die Integrationsvariable zur Verfügung stellt. Um diese
Eingabefelder auszufüllen, benutzen Sie die Tastefolge:
0™~‚u™~ „
t*S~„t™~„t. Die Anzeige sieht wie folgt aus:
Um den entsprechenden Ausdruck im Zeileneditor anzuzeigen, drücken Sie —
— und die Funktionstaste A. Sie erhalten folgende Ansicht:
Daraus ersehen wir, dass der allgemeine Ausdruck einer Ableitungsfunktion im
Zeileneditor oder Stack wie folgt lautet: ∫(untere_Grenze,
obere_Grenze,Integrand,Integrationsvariable)
Drücken Sie `, um zum EquationWriter zurückzukehren. Die entstandene
Anzeige ist nicht das bestimmte Integral, das wir eingegeben haben, sondern
sein symbolischer Wert, und zwar:
Seite 2-39
Um den zu integrierenden Ausdruck wiederherzustellen, verwenden Sie
‚¯. Um das Integral neu zu berechnen, verwenden Sie die Funktionstaste
D. Diese zeigt erneut, dass
∫
τ
0
t ⋅ sin(t ) ⋅ dt = sin(τ ) − τ ⋅ cos(τ )
Auch Doppelintegrale sind möglich. Zum Beispiel:
Ausgewertet ergibt es 36. Eine Teilauswertung ist auch möglich, beispielsweise:
Der Wert dieser Integrals beträgt 36.
Organisieren der Daten im Taschenrechner
Sie können Daten in Ihrem Taschenrechner organisieren, indem Sie Variablen in
einer Verzeichnisstruktur ablegen (speichern). Um den Speicher des
Taschenrechners zu verstehen, sehen wir uns zunächst einmal das
Dateiverzeichnis an. Drücken Sie die Tastenkombination „¡(erste Taste in
Seite 2-40
der zweiten Reihe von oben), um zum Dateimanager des Taschenrechners zu
gelangen:
Diese Ansicht ist eine Momentaufnahme des Taschenrechnerspeichers und der
Verzeichnisstruktur. In der Anzeige sehen wir, dass der Taschenrechner drei
Speicherschnittstellen (Ports - oder Speicherpartitionen) hat, Schnittstelle
0:IRAM, Schnittstelle 1:ERAM, und Schnittstelle 2:FLASH. Speicherschnittsellen
werden dazu benutzt, Fremdanwendungen, Bibliotheken aber auch Backups zu
speichern. Auch die Größe der drei Schnittstellen wird angegeben. In der
vierten und den darauf folgenden Zeilen der Anzeige wird die
Verzeichnisstruktur des Taschenrechners angezeigt. Das oberste Verzeichnis (im
Moment hervorgehoben) ist das Home-Verzeichnis und enthält ein vordefiniertes
Unterverzeichnis CASDIR. Die File Manager (Datei-Manager) Ansicht verfügt
über drei Funktionen, die Funktionstasten zugeordnet sind:
@CHDIR :
Wechselt in das ausgewählte Verzeichnis
@CANCL :
Aktion abbrechen
@@OK@@ :
Auswahl bestätigen
Um z. B. ins Verzeichnis CASDIR zu wechseln, drücken Sie die Pfeiltaste
˜und anschließend @CHDIR . Dadurch wird das File Manager-Fenster
geschlossen und wir erhalten die Normalanzeige des Taschenrechners. In der
zweiten Zeile von oben werden Sie in der Anzeige { HOME CASDIR } sehen,
was anzeigt, dass Sie sich momentan im Verzeichnis CASDIR innerhalb des
HOME-Verzeichnisses befinden.
Funktionen zur Manipulation von Variablen
In dieser Anzeige stehen insgesamt 20 Befehle zur Verfügung, welche
Funktionstasten zugeordnet sind und der Erstellung, Bearbeitung und
Manipulation von Variablen dienen. Die ersten sechs Funktionen sind wie folgt
belegt:
@EDIT
zum Bearbeiten einer hervorgehobenen Variablen
Seite 2-41
@COPY
@MOVE
@@RCL@
zum Kopieren einer hervorgehobenen Variablen
zum Verschieben einer hervorgehobenen Variablen
zum Wiederherstellen des Inhalts einer hervorgehobenen
Variablen
@EVAL
zum Berechnen einer hervorgehobenen Variablen
@TREE
zum Anzeigen der Verzeichnisstruktur in der sich die Variable
befindet
Wenn Sie die Taste L drücken, erhalten Sie den nächsten zur Verfügung
stehenden Satz von Funktionen:
@PURGE
zum Löschen oder Bereinigen einer Variablen
@RENAM
zum Umbenennen einer Variablen
@NEW
zum Erstellen einer neuen Variablen
@ORDER
zum Anordnen mehrerer Variablen in einem Verzeichnis
@SEND
zum Senden einer Variablen an einen anderen Taschenrechner
oder Computer
@RECV
zum Empfangen einer Variablen von einem anderenΓ
Taschenrechner oder Computer
Wenn Sie die Taste L drücken, erhalten Sie die dritte zur Verfügung
stehende Menüseite:
@HALT
um vorübergehend zum Stack zurückzukehren
@VIEW
um den Inhalt einer Variablen anzuzeigen
@EDITB
um den Inhalt einer binären Variablen zu bearbeiten (ähnlich
wie @EDIT)
@HEADE
um das Verzeichnis, in dem sich die Variable aus der Kopfzeile
befindet, anzuzeigen
@LIST
stellt eine Liste von Variablennamen und BeschreibungenΓ
bereit
@SORT
um Variablen nach einem bestimmten Sortierkriterium zu
anzuordnen
Wenn Sie die Taste L drücken, erhalten Sie die letzten verfügbaren
Funktionent:
@XSEND
um eine Variable mit dem X-Modem-Protokoll zu senden
@CHDIR
um das Verzeichnis zu wechseln
Um zwischen den verschiedenen Funktionsmenü-Befehlen zu navigieren, können
Sie nicht nur die Taste NEXT (L) sondern auch die Taste PREV („«)
verwenden.
Seite 2-42
Der Benutzer ist eingeladen, nun diese Funktionen selbst ausprobieren. Die
Anwendung ist ziemlich einfach.
Das HOME-Verzeichnis
Wie bereits erwähnt, ist das HOME-Verzeichnis das Basis-Verzeichnis des
Taschenrechners. Um zu dem HOME-Verzeichnis zu gelangen, können Sie die
Funktion UPDIR („§) benutzen – wiederholen Sie diesen Vorgang solange
bis der Ausdruck {HOME} in der zweiten Zeile Ihres Displays erscheint.
Alternativ dazu können Sie auch „(halten) § verwenden, drücken Sie
` im algebraischen Modus. In diesem Beispiel enthält das HOMEVerzeichnis nichts weiter als das CASDIR (CAS-Verzeichnis). Drücken Sie die
Taste J, werden die Variablen in den Funktionstasten angezeigt:
Unterverzeichnisse
Um Ihre Daten in einer gut organisierten Verzeichnisstruktur zu speichern,
können Sie Unterverzeichnisse im HOME-Verzeichnis anlegen und in diesen
wiederum weitere Unterverzeichnisse. Die entstehende Hierarchie ist ähnlich zu
der, wie sie auch in Form von Ordnern auf modernen Computern zu finden ist.
Die Unterverzeichnisse können so benannt werden, dass der Name bereits über
den Inhalt des Unterverzeichnisses Auskunft gibt, Sie können den Namen
jedoch frei wählen.
Das Unterverzeichnis CASDIR
Das Unterverzeichnis CASDIR enthält einige für die ordnungsgemäße Funktion
des Taschenrechners erforderliche Variablen des CAS (Computer Algebraic
System, siehe Anhang C). Um den Inhalt des Verzeichnisses anzuzeigen,
können wir die Tastenkombination „¡ benutzen, die den File Manager
(Dateimanager) erneut öffnet:
Seite 2-43
Diesmal ist CASDIR in der Anzeige hervorgehoben. Um den Inhalt des
Verzeichnisses anzuzeigen, drücken Sie die Funktionstaste @@OK@@ oder `. Wir
erhalten:
In der Anzeige ist eine Tabelle, die die Variablen im CASDIR beschreibt. Dies
sind im Speicher des Taschenrechners vordefinierte Variablen, welche
bestimmte Parameter für die CAS-Operation festlegen (siehe Anhang C). Die
obige Tabelle enthält vier Spalten:
• In der ersten Spalte ist der Typ der Variablen angezeigt (d. h. 'EQ' bedeutet
eine Variable hat den Typ Gleichung, |R zeigt an, dass es sich um eine
Variable mit einem reellen Wert handelt, { } steht für eine Liste, nam
bedeutet 'ein globaler Name' und das Symbol
stellt eine grafische
Variable dar).
• Die zweite Spalte stellt den Namen der Variablen, d. h. PRIMIT, CASINFO,
MODULO, REALASSUME, PERIOD, VX und EPS dar.
• Spalte 3 enthält eine weitere Spezifikation für den Typ der Variablen, z. B.
bedeutet ALG algebraischer Ausdruck, GROB steht für grafisches Objekt,
INTG bedeutet eine numerische Integer-Variable, LIST stellt eine Liste von
Daten dar, GNAME bedeutet globaler Name und REAL ist eine numerische
reelle (Gleitkommazahl-) Variable.
• Die vierte und letzte Spalte ist die Größe, in Byte, der abgeschnittenen
Variablen ohne Dezimalstellen (d. h. Halbbytes). So benötigt z. B. die
Variable PERIOD 12,5 Byte, während die Variable REALASSUME 27,5 Byte
benötigt (1 Byte = 8 Bit, 1 Bit ist die kleinste Einheit im Speicher von
Computern und Taschenrechnern).
Seite 2-44
CASDIR-Variablen im Stack
Drücken Sie die Taste $, wird die vorangegangene Anzeige geschlossen und
Sie erhalten die Normalanzeige des Taschenrechners. Standardmäßig kommen
wir zum TOOL-Menü zurück:
Wir können die Variablen im aktuellen Verzeichnis CASDIR ansehen, indem wir
die Taste J drücken (erste Taste in der zweiten Reihe von oben). Folgende
Anzeige erscheint:
Drücken Sie die Taste L, sehen Sie eine weitere, in diesem Verzeichnis
gespeicherte Variable:
•
•
•
Um z. B. den Inhalt der Variablen EPS anzuzeigen, drücken Sie ‚@EPS@.
Dies zeigt den Wert von EPS als ,0000000001an.
Um den Wert einer numerischen Variablen anzuzeigen, müssen wir nur die
entsprechende Funktionstaste für die Variable drücken. So zeigt z. B.
Drücken von cz gefolgt von ` den gleichen Wert der Variablen im Stack,
wenn der Taschenrechner auf Algebraic gesetzt ist. Befindet sich der
Taschenrechner im RPN-Modus, müssen Sie nur die Funktionstaste ohne
` drücken.
Um den vollen Namen einer Variablen anzuzeigen, drücken Sie zuerst
Hochkomma und dann die der Variablen entsprechende Funktionstaste. So
z. B. für die im Stack aufgelistete Variable PERIO verwenden wir
³@PERIO@, was den String 'PERIOD' ausgibt. Diese Prozedur gilt für
beide Operationsmodi des Taschenrechners, den algebraischen wie auch
den RPN-Modus.
Variablen in CASDIR
Die in CASDIR enthaltenen Standardvariablen sind:
PRIMIT
Letzte berechnete Stammfunktion, keine
!!Standardvariable, sondern eine, die wir in einem
Seite 2-45
vorangegangenen Beispiel erstellt haben
CASINFO
ein Graph das CAS-Informationen liefert
MODULO
Modulo für modulare Arithmetik (Standard = 13)
REALASSUME
Auflistung von Variablennamen, von welchen
angenommen wird, dass sie reelle Werte darstellen
PERIOD
Intervall für trigonometrische Funktionen
(Standard = 2π)
VX
Name der unabhängigen Standardvariablen
(Standard = X)
EPS
Wert des kleinen Inkrementes (Epsilon), (Standard = 10-10)
Diese Variablen werden für die Funktionen des CAS benutzt.
Verzeichnis- und Variablennamen tippen
Um Namen für Variablen einzugeben, müssen Sie eine durchgängige
Zeichenfolge eingeben, welche entweder nur aus Buchstaben oder aus einer
Kombination von Buchstaben und Zahlen bestehen kann. Wenn Sie nicht die
Tasten ~, oder Tastenkombination ~„ oder ~‚ beim Eingeben
jedes Buchstabens betätigen möchten, können Sie auch lediglich die Taste ~
halten und den Namen einfach eingeben. Sie können aber auch die
alphabetische Tastatur temporär feststellen und einen kompletten Namen
eingeben, bevor Sie diese wieder freigeben. Folgende Tastenkombinationen
stellen die alphabetische Tastatur fest:
~~ stellt die alphabetische Tastatur in Großbuchstaben fest. Wenn die
Tastatur so eingestellt ist, können Sie Kleinbuchstaben mit gehaltener „ Taste
erzeugen, während Sie Sonderzeichen mit gehaltener ‚ Taste eingeben
können. Ist die alphabetische Tastatur auf Großschreibung festgestellt, können
Sie mit der Tastenkombination „~ auf permanente Kleinschreibung
wechseln.
~~„~ stellt die alphabetische Tastatur auf Kleinbuchstaben fest. So
eingestellt, müssen Sie, bevor Sie einen Großbuchstaben eingeben können, die
Taste „ drücken. Um die Feststellung auf Kleinschreibung aufzuheben,
drücken Sie „~
Um die Feststellung auf Großschreibung aufzuheben, drücken Sie ~
Seite 2-46
Versuchen wir nun an einigen Beispielen, Verzeichnisse/ Variablennamen in
den Stack einzugeben. Nehmen wir an, Sie befinden sich im algebraischen
Modus (obwohl diese Anweisungen genauso im RPN-Modus funktionieren).
Probieren Sie die nachfolgende Tastenkombination aus. Mit nachfolgenden
Anweisungen werden wir folgende Wörter eingeben: ‘MATH’, ‘Math’ und
‘MatH’
~~math`
~~m„a„t„h`
~~m„~at„h`
Im Display des Taschenrechners wird folgendes angezeigt (links algebraischer
Modus, rechts RPN-Modus):
Anmerkung: Wenn System Flag 60 gesetzt ist, können Sie die alphabetische Tastatur einfach mit der Taste ~ feststellen. Weitere Informationen
zu System Flags finden Sie in Kapitel 1.
Erstellen von Unterverzeichnissen
Unterverzeichnisse können entweder in der FILES-Umgebung oder mit dem
Befehl CRDIR erstellt werden. Nachfolgend werden beide Ansätze zur
Erstellung von Unterverzeichnissen vorgestellt.
Verwenden des FILES-Menüs
Unabhängig vom Operationsmodus des Taschenrechners (algebraisch oder
RPN) können wir anhand der im FILES-Menü aktivierten Funktionen eine
Verzeichnisstruktur basierend auf dem HOME-Verzeichnis erstellen. Drücken Sie
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„¡, um das FILES-Menü zu starten. Sofern das HOME-Verzeichnis nicht
bereits hervorgehoben ist, d. h.
benutzen Sie die Pfeiltasten (—˜), um es hervorzuheben. Drücken Sie
anschließend die Funktionstaste @@OK@@ . Die Anzeige sieht wie folgt aus:
wobei Sie feststellen können, dass sich zurzeit nur ein Objekt im HOMEVerzeichnis befindet, und zwar das Unterverzeichnis CASDIR. Erstellen wir nun
ein weiteres Unterverzeichnis mit den Namen MANS (für Handbücher –
MANualS) in welchem wir die Variablen, welche wir im Laufe dieser Anleitung
erstellen, speichern möchten. Um dieses Unterverzeichnis zu erstellen, drücken
Sie erst: L @@NEW@@ . Sie erhalten die folgende Eingabemaske:
Das Eingabefeld Object ist das erste Eingabefeld in der Maske und
standardmäßig hervorgehoben. Dieses Feld kann den Inhalt einer neuen
Variablen, die wir erstellen, enthalten. Da es noch keine Inhalte für das neue
Seite 2-48
Unterverzeichnis an dieser Stelle gibt, überspringen wir dieses Eingabefeld
einfach mit der Pfeiltaste ˜ einmal. Nun wird das Feld Name hervorgehoben.
An dieser Stelle geben wir den Namen des neuen Unterverzeichnisses (oder
der Variablen, je nachdem was der Fall ist) wie folgt ein:
~~mans`
Der Cursor springt ins Kontrollfeld _Directory. Drücken Sie die Funktionstaste
@@CHK@@ um anzugeben, dass Sie ein Verzeichnis erstellen wollen und
anschließend @@OK@@, um die Eingabemaske zu verlassen. Die Variablenauflistung
für das HOME-Verzeichnis können Sie in der nachfolgenden Anzeige sehen:
In der Anzeige sehen Sie, dass ein neues Verzeichnis (MANS) innerhalb des
HOME-Verzeichnisses existiert.
Als Nächstes erstellen wir ein Unterverzeichnis mit dem Namen INTRO (für
Einführung – INTROduction) innerhalb des Verzeichnisses MANS, zur
Speicherung der Variablen aus unseren Beispielen in den nächsten Abschnitten
dieses Kapitels. Drücken Sie die Taste $, um zur Normalanzeige des
Taschenrechners (das Menü TOOLS wird angezeigt) zurückzukehren. Drücken
Sie dann J, um die Inhalte des HOME-Verzeichnisses in den Funktionstasten
anzuzeigen. Die Anzeige könnte wie folgt aussehen (haben Sie weitere
Variablen innerhalb des HOME-Verzeichnisses erstellt, werden diese ebenfalls
bei den Funktionstasten angezeigt):
Seite 2-49
Um in das MANS-Verzeichnis zu wechseln, drücken Sie die entsprechende
Funktionstaste (in diesem Fall A) und, falls Sie im algebraischen Modus sind,
die Taste `. In der zweiten Zeile der Verzeichnisstruktur wird {HOME
M NS} angezeigt. Die Funktionstasten werden aber, wie unten gezeigt, keine
Beschriftungen aufweisen, weil noch keine Variablen für dieses Verzeichnis
gespeichert wurden.
Erstellen wir nun ein neues Unterverzeichnis INTRO, indem wir wie folgt
vorgehen:
„¡@@OK@@ L @@NEW@@ ˜ ~~intro` @@CHK@@ @@OK@@
Drücken Sie die Taste $ gefolgt von der Taste J, um sich den Inhalt des
Verzeichnisses MANS wie folgt anzuzeigen:
Drücken Sie nun die Funktionstaste )!INTRO, um ins Unterverzeichnis INTRO zu
wechseln. Ein leeres Verzeichnis wird angezeigt. Später werden wir einige
Beispiele zur Erstellung von Variablen sehen.
Verwenden des Befehls CRDIR
Mit dem Befehl CRDIR können Verzeichnisse erstellt werden. Diesen Befehl
erreicht man über die Taste Befehlskatalog (die Taste ‚N, zweite in der
vierten Reihe von oben), über die Programmiermenüs (die Taste „°
entspricht der Taste ‚N) oder einfach durch direktes Eintippen.
•
Über die Taste Katalog
Drücken Sie ‚N~c. Benutzen Sie die Pfeiltasten (—˜), um
CRDIR zu finden. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl zu
starten.
•
Über die Programmiermenüs
Drücken Sie „°. Auf diese Wese erhalten Sie das nachfolgende
Aktionsmenü zur Programmierung:
Seite 2-50
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 2. MEMORY… auszuwählen,
oder einfach nur die 2. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch
erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü:
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY…
auszuwählen, oder einfach nur die 5. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@.
Dadurch erhalten Sie das nachfolgende Pull-Down-Menü:
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. CRDIR … auszuwählen
und drücken Sie dann @@OK@@.
Befehl CRDIR im algebraischen Modus
Sobald Sie mit einer der oben genannten Möglichkeiten das CRDIR ausgewählt
haben, steht Ihnen dieser Befehl im Stack wie nachfolgend abgebildet zur
Verfügung:
Seite 2-51
An dieser Stelle, müssen Sie einen Verzeichnisnamen, sagen wir chap1,
eingeben:
~~„~chap1~`
Der Name des neuen Verzeichnisses wird im Funktionstastenmenü angezeigt,
z. B.:
Befehl CRDIR im RPN-Modus
Um CRDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der
Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren. Zum Beispiel:
~~„~chap2~`
Starten Sie den Befehl CRDIR mit einer der oben genannten Möglichkeiten,
z. B. über die Taste ‚N:
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl zur Erstellung des
Unterverzeichnisses zu aktivieren:
Zwischen den Unterverzeichnissen hin und her wechseln
Um in der Verzeichnisstruktur weiter „nach unten“ zu wechseln, müssen Sie die
dem Unterverzeichnis, in das Sie wechseln möchten, entsprechende
Funktionstaste drücken. Die Auflistung der Variablen in einem Unterverzeichnis,
Seite 2-52
erhalten Sie, wenn Sie die Taste J (VARiablen) drücken. Um in ein
übergeordnetes Verzeichnis zu wechseln, benutzen Sie die Funktion UPDIR,
d. h. Sie geben 㤠ein.
Alternativ können Sie auch das FILES-Menü dazu benutzen, d. h. Sie drücken
„¡. Benutzen Sie die Pfeiltasten ( —˜), um das Unterverzeichnis, in
welches Sie wechseln möchten, auszuwählen, und anschließend !CHDIR (Change
DIRectory = Verzeichnis wechseln) oder die Funktionstaste A. Dadurch
werden Ihnen die Inhalte des Unterverzeichnisses, in welches Sie gewechselt
haben, im Funktionstastenmenü angezeigt.
Löschen von Unterverzeichnissen
Um ein Unterverzeichnis zu löschen, verwenden Sie eine der nachfolgenden
Prozeduren:
Verwenden des FILES-Menüs
Drücken Sie die Taste „¡, um das FILES-Menü auszuwählen. Wählen Sie
das Verzeichnis, in dem sich das Unterverzeichnis, das Sie löschen möchten,
befindet und drücken Sie dann falls nötig !CHDIR. Das FILES Menü wird
geschlossen und die Inhalte des ausgewählten Verzeichnisses angezeigt. In
diesem Fall müssen Sie die Taste ` drücken. Drücken Sie die Funktionstaste
@@OK@@, um sich die Inhalte des Verzeichnisses auf dem Display anzuzeigen.
Wählen Sie das Unterverzeichnis (oder die Variable), das Sie löschen möchten,
aus. Drücken Sie L@PURGE. Sie sehen eine ähnliche Anzeige wie unten:
Die Zeichenfolge 'S2' ist in diesem Fall der Name des zu löschenden
Unterverzeichnisses. Das Funktionstastenmenü enthält folgende Optionen:
@YES@
Fahren Sie mit dem Löschen des Unterverzeichnisses (der
Variablen) fort
@ALL@
Fahren Sie mit dem Löschen aller Unterverzeichnisse
(Variablen) fort
Seite 2-53
!ABORT
@@NO@@
Unterverzeichnis (Variable) nicht aus einer Liste löschen
Unterverzeichnis (Variable) nicht löschen
Nachdem Sie nun einen dieser vier Befehle ausgewählt haben, kommen Sie zur
Anzeige der Inhalte des Unterverzeichnisses zurück. Der Befehl !ABORT, bringt
jedoch eine Fehlermeldung
und Sie müssen die Taste @@OK@@ drücken, bevor Sie zur Auflistung der Variablen
zurückkehren.
Verwenden des Befehls PGDIR
Mit dem Befehl PGDIR können Verzeichnisse bereinigt werden. Genau wie der
Befehl CRDIR, ist der Befehl PGDIR über die Taste ‚N oder über die Taste
„°auswählbar oder kann direkt eingegeben werden.
•
Über die Taste Katalog
Drücken Sie ‚N~~pg. Der Befehl PGDIR sollte nun
hervorgehoben sein. Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl
zu starten.
•
Über die Programmiermenüs
Drücken Sie „°. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende
Aktionsmenü zur Programmierung:
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 2. MEMORY… auszuwählen
und drücken Sie dann @@OK@@. Dadurch erhalten Sie das nachfolgende PullDown-Menü:
Seite 2-54
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 5. DIRECTORY …
auszuwählen. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Dadurch erhalten Sie das
nachfolgende Pull-Down-Menü:
Benutzen Sie die Pfeiltaste ( ˜), um Option 6. PGDIR… auszuwählen und
drücken Sie dann @@OK@@.
Befehl PGDIR im algebraischen Modus
Sobald Sie mit einer der oben genannten Möglichkeiten PGDIR ausgewählt
haben, steht Ihnen dieser Befehl im Stack wie nachfolgend abgebildet zur
Verfügung:
An dieser Stelle müssen Sie den Namen eines existierenden Verzeichnisses
eingeben, sagen wir S4:
~s4`
Als Ergebnis wird das Unterverzeichnis )@@S4@@ gelöscht:
Seite 2-55
Anstatt den Namen des Verzeichnisses einzutippen, können Sie auch einfach
die entsprechende Funktionstaste aus der Auflistung des PGDIR ( ) Befehls
drücken, z. B.
Drücken Sie @@OK@@, um Nachfolgendes zu erhalten:
Anschließend drücken Sie )@@S3@@, um 'S3' als das Argument zu PGDIR
einzugeben.
Drücken Sie `, um das Unterverzeichnis zu löschen:
Befehl PGDIR im RPN-Modus
Um PGDIR im RPN-Modus zu benutzen, muss, bevor Sie den Befehl starten, der
Name des Verzeichnisses im Stack bereits existieren. Zum Beispiel:
³~s2`
Seite 2-56
Starten Sie den Befehl PGDIR mit einer der oben genannten Möglichkeiten,
z. B. über die Taste ‚N:
Drücken Sie die Funktionstaste !!@@OK#@ , um den Befehl zum Löschen des
Unterverzeichnisses zu aktivieren:
Anwendung des PURGE Befehls aus dem TOOL-Menü
Das TOOL-Menü erreicht man durch Drücken der Taste I (Abbildungen:
algebraischer und RPN-Modus):
Der Befehl PURGE kann über die Funktionstaste @PURGE aktiviert werden. In den
nachfolgenden Beispielen möchten wir das Unterverzeichnis S1 löschen:
•
Algebraischer Modus: Drücken Sie @PURGE J)@@S1@@`
•
RPN-Modus: Drücken Sie J³@S1@@ `I@PURGE J
Variablen
Variablen sind ähnlich wie Dateien auf der Festplatte eines Computers. Eine
Variable kann ein Objekt speichern (numerische Werte, algebraische
Ausdrücke, Listen, Vektoren, Matrizen, Programme usw.). Auch
Unterverzeichnisse können als Variablen dargestellt werden (eigentlich ist ein
Unterverzeichnis im Taschenrechner gleichzeitig eine Art TaschenrechnerObjekt).
Variablen werden über deren Namen aufgerufen, welche aus einer beliebigen
Kombination von Buchstaben und Zahlen bestehen können, wobei aber das
erste Zeichen immer ein Buchstabe sein muss (lateinisch oder griechisch). Einige
Seite 2-57
Sonderzeichen, wie z. B. der Pfeil, (→) können in Variablennamen verwendet
werden, aber nur in Kombination mit einem Buchstaben. Somit ist ‘→A’ ein
gültiger Name für eine Variable, ‘→’ hingegen nicht. Beispiele von gültigen
Variablennamen sind: ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’,
‘A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, usw.
Eine Variable kann nicht denselben Namen wie eine Funktion im
Taschenrechner haben. Sie können also keine Variable mit den Namen SIN
erstellen, weil ein Befehl mit dem Namen SIN im Taschenrechner existiert.
Nachfolgend ist eine Auflistung reservierter Variablennamen im
Taschenrechner: ALRMDAT, CST, EQ, EXPR, IERR, IOPAR, MAXR, MINR, PICT,
PPAR, PRTPAR, VPAR, ZPAR, der_, e, i, n1,n2, …, s1, s2, …, ΣDAT, ΣPAR, π, ∞
Variablen können in Unterverzeichnissen organisiert werden.
Erstellen von Variablen
Genau wie wir dies mit Unterverzeichnissen bisher gemacht haben, können wir
auch Variablen über das FILES-Menü erstellen. Als Beispiel möchten wir in
einem zuvor erstellten Unterverzeichnis {HOME M NS INTRO} nachfolgende
Variablen mit den unten aufgeführten Werten erstellen.
Name
A
α
A12
Q
R
z1
p1
Inhalt
12.5
-0.25
3×105
‘r/(m+r)'
[3,2,1]
3+5i
<< → r 'π*r^2' >>
Typ
reell
reell
reell
Algebraik
Vektor
komplex
Programm
Verwenden des FILES-Menüs
Benutzen wir das FILES-Menü, um die Variable A einzugeben. Nehmen wir an,
dass wir uns im Unterverzeichnis {HOME M NS INTRO} befinden. Um in
dieses Unterverzeichnis zu gelangen, drücken Sie: „¡ und wählen Sie
das Unterverzeichnis INTRO, wie unten gezeigt, aus:
Seite 2-58
Drücken Sie @@OK@@ um in das Verzeichnis zu gelangen. Sie bekommen eine
Anzeige "no entries" – keine Einträge (das Unterverzeichnis INTRO ist an dieser
Stelle noch leer)
Drücken Sie die Taste L, um zur nächsten Seite des Funktionstastenmenüs zu
gelangen und drücken Sie die Funktionstaste @@NEW@@. Sie erhalten die folgende
Eingabemaske für NEW VARIABLE (neue Variable):
Um die Variable A (siehe Tabelle oben) einzugeben, müssen wir zuerst ihren
Inhalt eingeben, und zwar die Zahl 12,5, und anschließend den Namen. Dies
geschieht wie folgt: 12.5
@@OK@@ ~a@@OK@@. Die Anzeige sieht folgendermaßen aus:
Seite 2-59
Drücken Sie @@OK@@ ein weiteres Mal, um die Variable zu erstellen. Die neue
Variable wird wie abgebildet in der Variablenliste angezeigt:
Die Auflistung zeigt eine reelle Variable (|R) mit dem Namen A, welche einen
Speicherplatz von 10,5 Byte belegt. Um sich den Inhalt der Variablen
anzuzeigen, drücken Sie L@VIEW@.
• Drücken Sie die Funktionstaste @GRAPH , um den Inhalt in grafischem Format
darzustellen.
•
•
•
Drücken Sie die Funktionstaste @TEXT , um den Inhalt im Textformat
darzustellen.
Drücken Sie @@OK@@ , um zur Variablenliste zurückzukehren
Drücken Sie $ ein weiteres Mal, um zur Normalanzeige zurückzukehren.
Die Variable A sollte nun bei den Funktionstasten angezeigt werden:
Seite 2-60
Verwenden des Befehls STO
Ein einfacherer Weg, eine Variable zu erstellen, führt über den Befehl STO
(d. h. die Taste K). Für die Erstellung der noch fehlenden Variablen werden
die Beispiele im algebraischen und im RPN-Modus angezeigt:
Name
α
Inhalt
-0.25
Typ
reell
A12
Q
R
z1
p1
3×105
‘r/(m+r)'
[3,2,1]
3+5i
<< → r 'π*r^2' >>
reell
Algebraik
Vektor
komplex
Programm
Algebraischer Modus
Drücken Sie nachstehende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in der
Variablen α zu speichern: 0.25\ K ~‚a. An
dieser Stelle wird Ihre Anzeige wie folgt aussehen:
Dieser Ausdruck bedeutet, dass der Wert -0,25 in α gespeichert wird
(das Symbol deutet darauf hin). Drücken Sie nun `, um die
Variable zu erzeugen. Die Variable wird nun unter den Beschriftungen
der Funktionstasten angezeigt.
Nachfolgend die Tastenkombinationen zur Eingabe der noch
verbleibenden Variablen:
A12: 3V5K~a12`
Q: ~„r/„Ü
~„m+~„r™™ K~q`
R: „Ô3‚í2‚í1™ K~r`
z1: 3+5*„¥ K~„z1` (Bestätigen
Sie den Wechsel in den Complex Modus, falls Sie gefragt werden).
p1: ‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™ K~„p1`..
An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Seite 2-61
Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen wieder
finden: p1, z1, R, Q, A12, α.
•
RPN-Modus
Drücken Sie nachstehende Tastenfolge, um den Wert -0,25 in eine
Variable α zu speichern: .25\`³~‚a`.
An dieser Stelle wird Ihre Anzeige wie folgt aussehen:
Mit –0.25 auf Level 2 des Stapels und 'α' auf Level 1 des Stapels
können Sie die K-Taste benutzen, um die Variable zu erstellen. Die
Variable wird nun bei den Funktionstasten angezeigt.
Um den Wert 3×105 in die Variable A12 einzugeben, kann auch eine
kürzere Version dieser Prozedur benutzt werden:
3V5³~a12` K
Nachfolgend eine Methode den Inhalt von Q einzugeben:
Q: ~„r/„Ü
~„m+~„r™™ ³~q` K
Um den Wert von R einzugeben, kann auch eine noch kürzere Version
dieser Prozedur benutzt werden:
R: „Ô3#2#1™ ³~rK
Beachten Sie bitte, dass man die Elemente eines Vektors im RPNModus besser durch einen Leerschritt (#) als durch das Komma
(‚í ) voneinander trennt, wie dies im algebraischen Modus
verwendet wurde.
Seite 2-62
z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K
(Bestätigen Sie den Wechsel in den Complex Modus, falls Sie gefragt
werden).
p1: ‚å‚é~„r³„ì*
~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K.
An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Am unteren Rand werden Sie sechs oder sieben Variablen wieder
finden: p1, z1, R, Q, A12, α.
Überprüfen der Inhalte von Variablen
Zur Übung, wie Sie in den Inhalt einer Variablen reinspähen können, werden
wir die sieben vorhin eingegeben Variablen benutzen. Wir haben gezeigt, wie
das FILES-Menü dazu verwendet wird den Inhalt der Variablen A aus einer
früheren Übung anzusehen. In diesem Abschnitt zeigen wir einen einfacheren
Weg den Inhalt einer Variablen zu betrachten.
Funktionstaste für die Variable drücken
Diese Prozedur zeigt den Inhalt einer Variablen an, sofern diese einen
numerischen oder algebraischen Wert bzw. ein Array enthält. Zum Beispiel
können Sie zur Überprüfung des Inhalts der oben aufgeführten Variablen
nachfolgende Tasten drücken:
Algebraischer Modus
Drücken Sie nachfolgende Tastenfolge: J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@ `. An
dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Drücken Sie als Nächstes nachstehende Tastenfolge: @@A12@ ` @@@»@@ ` L
@@@A@@@ `. An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie folgt aus:
Seite 2-63
Wenn Sie nun die Funktionstaste, die p1 zugeordnet ist, drücken, erhalten Sie
eine Fehlermeldung (versuchen Sie es mit L @@@p1@@ `)
Anmerkung: Durch Drücken von @@@p1@@ ` versuchen wir das Programm p1
zu starten (run). Dieses Programm aber erwartet eine numerische Eingabe.
Versuchen Sie folgendes Beispiel: $@@@p1@ „Ü5`. Die Lösung
lautet:
Das Programm hat folgende Struktur: << → r 'π*r^2' >>
Die Symbole « » weisen auf ein Programm in der RPL-Sprache hin. Die Zeichen
→ r weisen darauf hin, dass eine Eingabe, welche als r bezeichnet wird, dem
Programm zur Verfügung gestellt werden muss. Das Programm nimmt den Wert
r und berechnet den algebraischen Ausdruck 'π*r^2'. Im obigen Beispiel nimmt
r den Wert 5 an, somit wird der Wert von πr2 als π⋅25 wiedergegeben. Dieses
Programm berechnet somit eine Kreisfläche mit einem gegebenen Radius von r.
Seite 2-64
RPN-Modus
Im RPN-Modus müssen Sie lediglich die entsprechende Funktionstaste drücken,
um den Inhalt einer numerischen oder algebraischen Variablen zu erhalten. Im
vorliegenden Fall können wir versuchen, in die oben erstellten Variablen z1, R,
Q, A12, α, und A wie folgt hineinzuspähen: J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@
An dieser Stelle sieht Ihre Anzeige wie abgebildet aus:
Um den Inhalt von A anzuzeigen, drücken Sie L @@@A@@@.
Um das Programm p1 mit r = 5 zu starten, drücken Sie: L5 @@@p1@@@.
Beachten Sie dass Sie, um das Programm im RPN-Modus auszuführen, nur die
Eingabe (5) machen und die entsprechende Funktionstaste drücken müssen. (Im
algebraischen Modus müssen Klammern zur Eingabe des Argumentes gesetzt
werden).
Verwendung der rechten Shift-Taste ‚ gefolgt von der entsprechenden
Funktionstaste.
Im algebraischen Modus kann der Inhalt einer Variablen durch Drücken von
J @ und der zugehörigen Menütaste angezeigt werden. Versuchen Sie
nachfolgende Beispiele:
J‚@@p1@@ ‚ @@z1@@ ‚ @@@R@@ ‚@@@Q@@ ‚ @@A12@@
Hinweis: Im RPN-Modus brauchen Sie nicht ‚ zu drücken (sondern nur J
und die zugehörige Menütaste).
Nach obiger Eingabe erscheint folgende Anzeige (algebraischer Modus links
und RPN-Modus rechts)
Seite 2-65
Beachten Sie, dass in diesem Fall der Inhalt des Programms p1 in der Anzeige
erscheint. Um die noch verbleibenden Variablen in diesem Verzeichnis
anzusehen, drücken Sie L .
Anzeigen der Inhalte aller Variablen im Display
Benutzen Sie die Tastenkombination ‚˜ um den Inhalt aller Variablen auf
dem Display anzuzeigen. Zum Beispiel:
Drücken Sie die Taste $, um zur Normalanzeige des Taschenrechners
zurückzukehren.
Inhalte von Variablen ersetzen
Der Austausch des Variableninhalts kann man als Speichern eines
unterschiedlichen Wertes in demselben Variablennamen betrachten. Somit
können wir die oben erstellten Variablen als Beispiele zur Veranschaulichung
des Austauschs von Variableninhalten verwenden.
Verwenden des Befehls STO
Zur Veranschaulichung nehmen wir die sechs vorhin erstellten Variablen p1, z1,
R, Q, A12, a und A und tauschen den Inhalt der Variablen A12 (im Moment
eine numerische Variable) mit dem algebraischen Ausdruck ‘β/2’ aus. Dabei
Verwenden wir den Befehl STO. Zuerst im algebraischen Modus:
Seite 2-66
³~‚b/2™ K @@A12@@ `
Überprüfen Sie den neuen Inhalt der Variablen A12 mithilfe von ‚@@A12@@ .
Und nun das Gleiche im RPN-Modus:
³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K
oder vereinfacht:
³~‚b/2™ ³@@A12@@ K
Verwenden der linken Shift-Taste „ gefolgt von der Funktionstaste der
Variablen (RPN)
Dies ist eine äußerst einfache Art, den Inhalt von Variablen zu ändern,
funktioniert aber nur im RPN-Modus. Die Prozedur besteht darin, den neuen
Inhalt der Variablen zu tippen und in den Stack einzugeben und anschließend
die linke Shift-Taste gefolgt von der der Variablen zugeordneten Funktionstaste
zu drücken. Wenn wir z. B. im RPN-Modus den Inhalt der Variablen z1 auf
‘a+b×i ’ ändern möchten, verwenden wir:
³~„a+~„b*„¥`
Dadurch wird der algebraische Ausdruck ‘a+b⋅i ’ in Stack-Ebene 1 eingetragen.
Um dieses Ergebnis in die Variable z1 einzugeben, verwenden wir:
J„@@@z1@@
Um uns den Inhalt von z1 anzusehen, verwenden wir: ‚@@@z1@@
Ein äquivalenter Weg im algebraischen Modus sieht wie folgt aus:
~„a+~„b*„¥` K @@@z1@@ `
Um uns den neuen Inhalt von z1 anzusehen, verwenden wir: ‚@@@z1@@
Verwenden der Variablen ANS(1) (Algebraischer Modus)
Im algebraischen Modus können wir die Variable ANS(1) verwenden, um den
Inhalt einer Variablen auszutauschen. Die Prozedur, um den Inhalt von z1 auf
‘a+bi’ abzuändern, sieht beispielsweise folgendermaßen aus: „î K
Seite 2-67
@@@z1@@ `. Um uns den neuen Inhalt von z1 anzusehen, verwenden wir:
‚@@@z1@@
Kopieren von Variablen
Die nachfolgenden Übungen zeigen uns verschiedene Wege, Variablen aus
einem Unterverzeichnis in ein anderes zu kopieren.
Verwenden des FILES-Menüs
Um eine Variable von einem Unterverzeichnis in ein anderes zu kopieren,
können wir das FILES-Menü verwenden. So haben wir z. B. im Unterverzeichnis
{HOME MANS INTRO} die folgenden Variablen p1, z1, R, Q, A12, α und A.
Nehmen wir an, wir möchten die Variable A kopieren und eine Kopie dieser im
Unterverzeichnis {HOME MANS} ablegen. Weiterhin werden wir die Variable
R kopieren und eine Kopie im HOME-Verzeichnis ablegen. So führen Sie den
Vorgang durch: Drücken Sie „¡@@OK@@ , um nachfolgende Variablenliste zu
erzeugen:
Benutzen Sie die Pfeiltaste ˜, um die Variable A auszuwählen (es ist die
letzte in der Auflistung), anschließend drücken Sie @@COPY@. Der Taschenrechner
wird sich mit der Anzeige 'PICK DESTINATION:' (Ziel wählen) melden
Benutzen Sie die Pfeiltaste —, um das Unterverzeichnis MANS auszuwählen
und drücken Sie dann @@OK@@. Drücken Sie nun „§, erscheint in der Anzeige
der Inhalt des Unterverzeichnisses MANS (beachten Sie dass die Variable A,
wie erwartet, in der Liste auftaucht):
Seite 2-68
Drücken Sie $ @INTRO@ ` (im algebraischen Modus) oder $ @INTRO@ (im
RPN-Modus), um zum Verzeichnis INTRO zurückzukehren. Drücken Sie
„¡@@OK@@ , um die Variablenliste des Verzeichnisses {HOME MANS INTRO}
zu erzeugen: Benutzen Sie die Pfeiltaste (˜), um die Variable R auszuwählen
und drücken Sie dann @@COPY@. Benutzen Sie die Pfeiltaste (—), um das
Verzeichnis HOME auszuwählen und drücken Sie dann @@OK@@. Drücken Sie nun
㤠zweimal, erscheint in der Anzeige das HOME-Verzeichnis, in welchem
sich nun eine Kopie von R befindet.
History im algebraischen Modus verwenden
Hier ist eine Methode, um mithilfe der History (Stack) eine Variable aus einem
Verzeichnis in ein anderes zu kopieren, wenn sich der Taschenrechner im
algebraischen Modus befindet. Nehmen wir an, wir befinden uns im
Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO} und möchten den Inhalt der Variablen
z1 ins Unterverzeichnis {HOME MANS} kopieren. Verwenden Sie dazu
folgende Tastenfolge: ‚@@z1@ K@@z1@ `. Dadurch werden einfach die
Inhalte von z1 in sich selbst gespeichert (z1 bleibt unverändert). Als Nächstes
verwenden Sie „§` um ins {HOME MANS} Unterverzeichnis zu
wechseln. Die Anzeige des Taschenrechners sieht wie folgt aus:
Seite 2-69
Benutzen Sie die Löschtaste ƒ ƒ ƒ (dreimal), um die letzten drei Zeilen
im Display zu entfernen. An dieser Stelle ist der Stack bereit, den Befehl
ANS(1)z1 auszuführen. Drücken Sie `, um den Befehl auszuführen.
Verwenden Sie anschließend ‚@@z1@, um den Inhalt der Variablen zu
überprüfen.
Verwendung des Stacks im RPN-Modus
Um die Verwendung des Stacks beim Kopieren einer Variablen aus einem
Unterverzeichnis in ein anderes im RPN-Modus zu demonstrieren, nehmen wir
an, Sie befinden sich im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO} und wir
möchten den Inhalt der Variablen z1 ins HOME-Verzeichnis kopieren.
Verwenden Sie nachfolgende Prozedur: ‚@@z1@ `³@@z1@ `
Damit zeigen Sie den Inhalt und den Namen der Variablen im Stack an. Die
Anzeige des Taschenrechners sieht wie folgt aus:
Verwenden Sie nun „§„§, um ins HOME-Verzeichnis zu wechseln
und drücken Sie K, um den Vorgang zu beenden. Mit ‚@@z1@ können Sie
den Inhalt der Variablen überprüfen.
Zwei oder mehrere Variablen im algebraischen Modus mithilfe des Stacks
kopieren
Nachfolgende Übung dient zur Demonstration des Kopiervorgangs für zwei
oder mehr Variablen über den Stack im algebraischen Modus. Nehmen wir an,
wir befinden uns im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO} und möchten die
Variablen R und Q ins Unterverzeichnis {HOME MANS} kopieren. Die dafür
erforderliche Tastenkombination sieht wie folgt aus:
‚@@ @R@@ K@@@R@@ `
‚@@ @Q@@ K@@@Q@@ `
Seite 2-70
„§`
ƒ ƒ ƒ`
ƒƒƒƒ`
Um den Inhalt der Variablen zu überprüfen, verwenden Sie ‚@@ @R@ und ‚@@
@Q.
Dieser Vorgang kann verallgemeinert werden, um drei oder mehrere Variablen
zu kopieren.
Zwei oder mehrere Variablen im RPN-Modus mithilfe des Stacks kopieren
Nachfolgende Übung dient zur Demonstration des Kopiervorgangs für zwei
oder mehr Variablen über den Stack im RPN-Modus. Erneut nehmen wir an,
dass wir uns im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO} befinden und die
Variablen R und Q ins Unterverzeichnis {HOME MANS} kopieren möchten. Die
dafür erforderliche Tastenkombination sieht wie folgt aus:
‚@@ @R@@ ³@@@R@@ `
‚@@ @Q@@ ³@@@Q@@ `
„§K K
Um den Inhalt der Variablen zu überprüfen, verwenden Sie ‚@@ @R@ und ‚@@
@Q.
Dieser Vorgang kann verallgemeinert werden, um drei oder mehrere Variablen
zu kopieren.
Die Variablen in einem Verzeichnis neu anordnen
In diesem Abschnitt veranschaulichen wir, wie wir den Befehl ORDER zur
Neuanordnung der Variablen in einem Verzeichnis verwenden. Nehmen wir
an, dass wir vom Unterverzeichnis {HOMES MANS}, in welchem sich die
Variablen A12, R, Q, z1, A und das Unterverzeichnis INTRO befinden,
ausgehen – wie unten gezeigt. (Kopieren Sie A12 von INTRO nach MANS).
Seite 2-71
Algebraischer Modus
In diesem Beispiel befindet sich der Taschenrechner im algebraischen Modus.
Nehmen wir an, wir möchten die Anordnung der Variablen auf INTRO, A, z1,
Q, R, A12 ändern. Um die Funktion ORDER zu starten, gehen Sie wie folgt vor:
„°˜@@OK@@
Wählen Sie MEMORY aus dem Programmiermenü
˜˜˜˜ @@OK@@ Wählen Sie DIRECTORY aus dem Menü MEMORY
—— @@OK@@
Wählen Sie ORDER aus dem Menü DIRECTORY
In der Anzeige ist die folgende Eingabezeile zu sehen:
Als Nächstes geben wir die neue Anordnung der Variablen an, indem wir
deren Namen in Anführungszeichen setzen:
„ä ³)@INTRO ™‚í³@@@@A@@@
™‚í³@@@z1@@™‚í³@@@Q@@@™
‚í³@@@@R@@@ ™‚í³@@A12@@ `
Im Display sehen Sie die neue Anordnung der Variablen:
RPN-Modus
Im RPN-Modus wird die Auflistung der neu angeordneten Variablen vor
Anwendung des Befehls ORDER angezeigt. Angenommen, wir beginnen mit
derselben Situation wie oben, aber im RPN-Modus, d. h.
Die neu angeordnete Liste wird wie folgt erzeugt:
Seite 2-72
„ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ `
Anschließend geben Sie den Befehl ORDER, wie vorhin ein, d. h.
„°˜@@OK@@
Wählen Sie MEMORY aus dem Programmiermenü
˜˜˜˜ @@OK@@ Wählen Sie DIRECTORY aus dem Menü MEMORY
—— @@OK@@
Wählen Sie ORDER aus dem Menü DIRECTORY
Das Ergebnis ist die nachfolgende Anzeige:
Verschieben von Variablen über das FILES-Menü
Um eine Variable von einem Unterverzeichnis in ein anderes zu verschieben,
können wir das Menü FILES verwenden. So haben wir z. B. im Unterverzeichnis
{HOME MANS INTRO} folgende Variablen: p1, z1, R, Q, A12, α , A.
Nehmen wir an, wir möchten die Variable A12 ins Unterverzeichnis {HOME
MANS} kopieren. So führen Sie den Vorgang durch: Drücken Sie „¡@@OK@@
, um die Variablenliste anzuzeigen. Benutzen Sie die Pfeiltaste ˜, um die
Variable A12 auszuwählen und drücken Sie dann @@MOVE@. Der Taschenrechner
wird sich mit der Anzeige 'PICK DESTINATION:' (Ziel wählen) melden.
Benutzen Sie die Pfeiltaste —, um das Unterverzeichnis MANS auszuwählen
und drücken dann @@OK@@. Nun sehen Sie den Inhalt des Unterverzeichnisses
{HOME MANS INTRO}:
Beachten Sie, dass die Variable A12 nicht mehr da ist. Drücken Sie nun
„§, wird Ihnen der Inhalt des Unterverzeichnisses MANS einschließlich
der Variablen A12 angezeigt.
Seite 2-73
Anmerkung: Mithilfe des Stacks können Sie eine Variable verschieben,
indem Sie das Kopieren und Löschen einer Variable miteinander verbinden.
Wie Sie Variablen löschen können, wird im nächsten Abschnitt demonstriert.
Löschen von Variablen
Variablen können mithilfe der Funktion PURGE gelöscht werden. Auf diese
Funktion kann direkt mithilfe des TOOL (I) oder des FILES-Menüs
„¡@@OK@@ zugegriffen werden.
Verwenden des Befehls FILES
Der Befehl FILES kann dazu verwendet werden, Variablen einzeln zu löschen.
Um eine Variable aus einem vorgegebenen Unterverzeichnis zu löschen,
können wir das FILES-Menü verwenden. So sind z. B. im Unterverzeichnis
{HOME MANS INTRO} folgende Variablen p1, z1, R, Q, α und A verblieben.
Nehmen wir an, wir löschen die Variable A. Sie führen den Vorgang wie folgt
durch: Drücken Sie „¡@@OK@@ , um die Variablenliste anzuzeigen. Benutzen
Sie die Pfeiltaste ˜, um die Variable A auszuwählen (es ist die letzte in der
Auflistung), drücken Sie anschließend L@PURGE@ @@@YES@@@. Nun sehen Sie den
Inhalt des Unterverzeichnisses {HOME MANS INTRO} ohne die Variable A:
Anwenden der Funktion PURGE im Stack im algebraischen Modus
Wir beginnen wieder im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO}, in welchem
sich die Variablen p1, z1, Q, R und α befinden. Wir wenden nun den PURGE
Seite 2-74
Befehl an, um die Variable p1 zu löschen. Drücken Sie I @PURGE@ J@@p1@@
`. In der Anzeige wird nun gemeldet, dass die Variable p1 entfernt wurde:
Mit dem PURGE Befehl können Sie mehr als eine Variable löschen, indem Sie
deren Namen in die Argumentliste von PURGE eintragen. Wenn wir nun z. B.
die Variablen R und Q gleichzeitig löschen möchten, können wir nachfolgende
Übung versuchen. Drücken Sie:
I @PURGE@ „ä³ J@@@R!@@ ™ ‚í ³ J@@@Q!@@
In der Anzeige erscheint zu diesem Zeitpunkt folgender Befehl, der nun zur
Ausführung bereitsteht:
Um den Löschvorgang der Variablen durchzuführen, drücken Sie `. Die
Anzeige weist nun nur noch die verbleibenden Variablen auf:
Anwenden der Funktion PURGE im Stack im RPN-Modus
Wir beginnen wieder im Unterverzeichnis {HOME MANS INTRO}, in welchem
nun nur noch die Variablen p1, z1, Q, R und α vorhanden sind. Wir wenden
nun den PURGE Befehl an, um die Variable p1 zu löschen. Drücken Sie
³@@p1@@ ` I @PURGE@. In der Anzeige wird nun gemeldet, dass die
Variable p1 entfernt wurde:
Seite 2-75
Um zwei Variablen gleichzeitig zu löschen, sagen wir die Variablen R und Q,
müssen wir zuerst eine Liste erstellen (im RPN-Modus müssen die Elemente der
Liste nicht wie im algebraischen Modus durch Komma getrennt werden): J
„ä³ @@@R!@@ ™ ³ @@@Q!@@ `. Drücken Sie anschließend I@PURGE@,
um die Variablen zu löschen.
Die Funktionen UNDO und CMD
Die Funktionen UNDO und CMD sind dann nützlich, wenn Sie kürzlich
gelöschte Befehle wiederherstellen möchten oder eine Operation rückgängig
machen möchten, weil Ihnen ein Fehler unterlaufen ist. Diese Funktionen
funktionieren in Zusammenhang mit der Taste HIST: UNDO bekommen Sie
durch die Tastenfolge ‚¯, während Sie CMD über die Tastenfolge
„®erhalten.
Um die Funktion UNDO zu veranschaulichen, versuchen Sie nachfolgende
Übung im algebraischen (ALG) Modus: 5*4/3`. Der Befehl
UNDO (‚¯) wird das Ergebnis einfach löschen. Die gleiche Übung im
RPN-Modus erfolgt über nachfolgende Tastenkombination:
5`4`*3`/. Benutzen Sie ‚¯ an dieser Stelle,
wird die letzte Operation (20/3) rückgängig gemacht, während die
ursprünglichen Ausdrücke im Stack erhalten bleiben:
Um den Befehl CMD zu veranschaulichen, geben wir nachfolgendes im
algebraischen Modus ein. Drücken Sie ` nach jeder Eingabe.
Als Nächstes verwenden Sie die Funktion CMD („®), um die letzten vier
Befehle, die der Anwender eingegeben hat, anzuzeigen, d. h.
Seite 2-76
Mithilfe der Pfeiltasten (—˜) können Sie durch diese Befehle nach oben
und nach unten navigieren; dabei können Sie einen beliebigen hervorheben,
den Sie neu eingeben möchten. Sobald Sie den Befehl ausgewählt haben, den
Sie eingeben möchten, drücken Sie @@@OK@@@.
Die Funktion CMD funktioniert im RPN-Modus genauso, ausgenommen dass die
Befehlsliste nur Zahlen oder algebraische Objekte enthält. Eingegebene
Funktionen werden nicht angezeigt. Versuchen Sie z. B. nachfolgende Übung
im RPN-Modus:
5`2`3/*S
³S5*2`.
Die Tastenkombination „® erzeugt die nachfolgende Auswahlbox:
Wie Sie sehen können, werden die in der ersten Berechnung verwendeten
Zahlen, 3, 2 und 5 in der Auswahlbox angezeigt, genauso das algebraische
Objekt ‘SIN(5x2)’, aber nicht die Funktion SIN, welche zuvor in das
algebraische Objekt eingefügt wurde.
Flags
Ein Flag ist ein Boolescher Wert, welcher gesetzt oder gelöscht werden kann
(wahr oder falsch) und der eine bestimmte Einstellung des Taschenrechners oder
eine Option in einem Programm spezifiziert. Flags werden im Taschenrechner
über Zahlen identifiziert. Im Taschenrechner existieren insgesamt 256 Flags,
durchnumeriert zwischen -128 und 128. Die positiven Flags werden als
Anwenderflags bezeichnet und diesem für Programmierzwecke zur Verfügung
Seite 2-77
gestellt. Die durch negative Zahlen dargestellten Flags werden als Systemflags
bezeichnet und beeinflussen die Arbeitsweise des Taschenrechners.
Um sich die aktuellen Systemflageinstellungen anzusehen, drücken Sie die Taste
H und anschließend die Funktionstaste @FLAGS! (d. h. F1). Sie erhalten eine
Anzeige mit der Überschrift SYSTEM FLAGS, in welcher die Zahlen der Flags
und die entsprechenden Einstellungen angezeigt werden.
(Anmerkung: In dieser Anzeige wird, da nur Systemflags vorhanden sind,
lediglich der Betrag der Flagnummer angegeben). Man sagt ein Flag ist gesetzt
(set), wenn ein Häkchen () vor der Flagnummer angezeigt wird. Andernfalls ist
das Flag not-set (nicht gesetzt) oder cleared. Um den Status eines System Flags
zu ändern, drücken Sie die Funktionstaste @@CHK@! während das Flag, das Sie
verändern möchten, hervorgehoben ist, oder Sie benutzen die Taste \. Sie
können Sie Pfeiltasten ( —˜) benutzen, um in der Liste der Systemflags zu
navigieren.
Obwohl es 128 System Flags gibt, werden nicht alle benutzt und einige dienen
nur zur internen Systemsteuerung. Systemflags, auf die der Anwender keinen
Zugriff besitzt, werden auch nicht angezeigt. In Kapitel 24 wird eine komplette
Liste der Flags vorgestellt.
Beispiel einer Flageinstellung : general solutions vs. principal
value
Z. B. ist der Standardwert für System Flag 01 general solutions. Dies bedeutet,
dass, wenn eine Gleichung mehrere Lösungen hat, alle Lösungen vom
Taschenrechner angezeigt werden, in den meisten Fällen in Form einer Liste .
Drücken Sie die Funktionstaste @CHECK, können Sie das System Flag 01 auf
principal value setzen. Diese Einstellung zwingt den Taschenrechner einen
einzigen Wert anzuzeigen, auch als Hauptwert der Lösung bezeichnet.
Um dies in Aktion zu sehen, setzen Sie zuerst das System Flag 01 (d. h.
wählen Sie Principal Value (Hauptwert) ). Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zur
Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren. Versuchen wir nun, eine
Seite 2-78
quadratische Gleichung , sagen wir t2+5t+6 = 0, mit dem Befehl QUAD zu
lösen.
Algebraischer Modus
Benutzen Sie folgende Tastenkombination: ‚N~q. (Benutzen Sie dann
die Pfeiltasten —˜, um QUAD auszuwählen.) Drücken Sie anschließend
@@OK@@ .
Um die Gleichung als erstes Argument der Funktion QUAD einzugeben,
verwenden Sie die Tastenfolge:
‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6——
‚Å0`
‚í ~ „t`
Die Lösung lautet:
Ändern Sie nun die Einstellung von Flag 1 auf General solutions (Allgemeine
Lösungen): H@FLAGS@@@CHK@ @@OK@@ @@OK@@ . Lösen Sie erneut: ——``.
Im Ergebnis werden nun zwei Werte angezeigt:
RPN-Modus
Setzen Sie zunächst System Flag 01 (d. h. Principal Value – Hauptwert ).
Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zur Normalanzeige des Taschenrechners
zurückzukehren. Anschließend tippen Sie die quadratische Gleichung wie folgt
ein:
Seite 2-79
‚O~ „t Q2™+5*~ „t+6——
‚Å0`
` (behalten Sie eine zweite Kopie im RPN-Stack)
³~ „t`
Verwenden Sie nachfolgende Tastenfolge, um den QUAD Befehl zu starten:
‚N~q. (Benutzen Sie dann die Pfeiltasten —˜, um QUAD
auszuwählen.) Drücken Sie anschließend @@OK@@ . In der Anzeige wird der
Hauptwert angezeigt:
Ändern Sie nun die Einstellung von Flag 01 auf General solutions (Allgemeine
Lösungen): H@FLAGS@@@CHK@ @@OK@@ @@OK@@ . Lösen Sie den Ausdruck erneut:
ƒ³ ~ „t` ‚N~q (Benutzen Sie dann die Pfeiltasten
—˜, um den Befehl QUAD auszuwählen.) Drücken Sie anschließend @@OK@@ .
In der Anzeige bekommen Sie die nachfolgenden zwei Lösungen:
Weitere erwähnenswerte Flags
Betrachten wir nochmals die aktuelle Flag-Einstellung, indem wir die Taste H
drücken und anschließend die Funktionstaste @FLAGS!. Stellen Sie sicher, dass Sie
das System Flag 01, welches in einer früheren Übung gesetzt wurde, löschen.
Verwenden Sie die Pfeiltasten ( —˜), um in der System Flag-Liste zu
navigieren.
Einige interessante Flags und deren bevorzugte Werte für die Übungen aus
dieser Anleitung sind:
Seite 2-80
02 Constant → symb
03 Function → symb
27 ‘X+Y*i’ → (X,Y)
60 [α][α] locks
: Konstante Werte (z. B. π) werden als Symbole
beibehalten
: Funktionen werden nicht automatisch ausgewertet,
stattdessen werden diese als symbolische Ausdrücke
geladen.
: Komplexe Zahlen werdenals geordnete Paare
dargestellt
: Die Tastenfolge ~~ stellt die alphabetische!
Tastatur fest. Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zur!
Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren.
CHOOSE boxes vs. Soft MENU (Funktionsmenü)
In einigen Beispielen dieses Kapitels konnten wir Menü-Befehlslisten auf dem
Display angezeigt, sehen. Diese Menülisten werden als CHOOSE boxes
bezeichnet. Um beispielsweite mit dem Befehl ORDER die Variablen in einem
Verzeichnis neu anzuordnen, gehen wir im algebraischen Modus wie folgt vor:
„°˜
Zeige Menüliste PROG und wähle MEMORY
@@OK@@ ˜˜˜˜ Zeige Menüliste MEMORY und wähle DIRECTORY
@@OK@@ ——
Zeige Menüliste DIRECTORY und wähle ORDER
Seite 2-81
@@OK@@
Starte den Befehl ORDER. Sie können alternativ auf diese
Menüs über die Funktionstasten zugreifen, und zwar durch
Setzen des System-Flags 117. Um dieses Flag zu setzen
versuchen Sie Folgendes:
H @FLAGS! ———————
In der Anzeige erscheint Flag 117 als nicht gesetzt (CHOOSE boxes), wie
nachfolgend zu sehen ist:
Drücken Sie die Funktionstaste @@CHK@, um Flag 117 auf soft Menu zu setzen. In
der Anzeige wird diese Änderung angezeigt:
Drücken Sie zweimal @@OK@@, um zur Normalanzeige des Taschenrechners
zurückzukehren.
Nun werden wir versuchen, den Befehl ORDER mit einer ähnlichen Tastenfolge
wie oben zu finden, d. h. wir starten mit „°.
Seite 2-82
Beachten Sie, dass wir in diesem Fall anstelle einer Menüliste
Funktionstastenbeschriftungen mit den verschiedenen Optionen für das Menü
PROG erhalten, d. h.
Drücken Sie B, um das Funktionsmenü MEMORY ()@@MEM@@) auszuwählen. In
der Anzeige erscheint nun:
Drücken Sie E, um das Funktionsmenü DIRECTORY ()@@DIR@@) auszuwählen.
Der Befehl ORDER wird nicht angezeigt. Um diesen anzuzeigen, benutzen wir
die Taste L:
Um den Befehl ORDER zu starten, drücken wir die Funktionstaste C(@ORDER).
Obwohl nicht auf ein bestimmtes Beispiel angewendet, zeigt diese Übung zwei
Optionen für Menüs im Taschenrechner (CHOOSE boxes und soft -MENUs).
Hinweis: Die meisten der Beispiele in diesem Handbuch gehen davon aus, dass
Flag 117 die Standardeinstellung beinhaltet (also nicht gesetzt ist). Haben Sie
das Flag gesetzt und wollen die Beispiele nachvollziehen, sollten Sie das Flag
zuvor löschen.
Ausgewählte CHOOSE boxes
Einige Menüs werden immer als CHOOSE boxes angezeigt, darunter sind
z. B.:
•
Das Menü APPS (APPlicationS – Anwendungen), aufgerufen mit der
Taste G, erste Taste in der zweiten Reihe von oben:
Seite 2-83
•
Das Menü CAT (CATalog – Katalog), aufgerufen mit der Taste
‚N, zweite Taste in der vierten Reihe von oben:
•
Das Menü HELP, aufgerufen mit I L @HELP
•
Das Menü CMDS (CoMmanDS – Befehle), welches innerhalb des
EquationWriters mit der Tastenfolge ‚O L @CMDS aktiviert wird
Seite 2-84
Kapitel 3
Berechnungen mit reellen Zahlen
In diesem Kapitel wird die Verwendung des Taschenrechners für Operationen
und Funktionen in Zusammenhang mit reellen Zahlen erläutert. Operationen
dieser Art werden in den meisten üblichen Berechnungen in den Bereichen
Physik und Technik angewendet. Der Benutzer sollte mit der Tastatur vertraut
sein, um bestimmte auf der Tastatur befindliche Funktionen aufrufen zu können
(z. B. SIN, COS, TAN usw.). Es wird davon ausgegangen, dass dem Leser die
Bedienungsweise des Taschenrechners bekannt ist, d. h. das Auswählen des
Betriebsmodus (siehe Kapitel 1) sowie die Verwendung von Menüs und Choose
boxes (Kapitel 1), und dass er über Erfahrungen im Umgang mit Variablen
verfügt (Kapitel 2).
Überprüfen der Einstellungen des Taschenrechners
Um die aktuellen CAS-Einstellungen des Taschenrechners zu überprüfen,
beachten Sie die oberste Zeile im Display des Taschenrechners im
Normalbetrieb. So könnten Sie z. B. die folgenden Einstellungen sehen: RAD
XYZ DEC R = ‘X’
RADiane (Bogenmaß) steht für das Winkelmaß, XYZ für rechtwinklige
(Kartesische) Koordinaten, DECimal ist die Zahlenbasis, Reelle Zahlen
bevorzugt, = bedeutet "genaue" Ergebnisse, und 'X' ist der Wert der
unabhängigen Standardvariablen.
Andere mögliche Einstellungen wären beispielsweise:
DEG R∠Z HEX C ~ ‘t’
Hier steht DEGrees (Grade) für das Winkelmaß, R∠Z für Polar-Koordinaten,
HEXadezimalzahlen, C bedeutet komplexe Zahlen erlaubt, ~ steht für
"ungefähre" Ergebnisse und 't' für die unabhängige Standardvariable.
Im Allgemeinen sind in diesem Bereich des Displays sieben Elemente enthalten.
Jedes Element wird durch eine Zahl zwischen 1 und 7 gekennzeichnet. Die
möglichen Werte für die Elemente werden in Klammern hinter der Beschreibung
des Elementes angegeben. Darüber hinaus wird die Erklärung für jeden
einzelnen dieser Werte angezeigt:
Seite 3-1
1. Spezifikation des Winkelmaßes (DEG, RAD, GRD)
DEG: Grad, 360 Grad bilden einen vollständigen Kreis
RAD: Bogenmaß, 2π bilden einen vollständigen Kreisumfang
GRD: Zentesimalgrad, 400 Zentesimalgrad bilden einen
vollständigen Kreis
2. Spezifikationen des Koordinatensystems (XYZ, R∠Z, R∠∠). Das Symbol
∠ steht für Winkelkoordinaten
XYZ: Kartesisch oder rechtwinklig (x,y,z)
R∠Z: zylindrische Polarkoordinaten (r,θ,z)
R∠∠: sphärische Koordinaten (ρ,θ,φ)
3. Spezifikation der Zahlenbasis (HEX, DEC, OCT, BIN)
HEX: Hexadezimalzahlen (Basis 16)
DEC: Dezimalzahlen (Basis 10)
OCT: Oktalzahlen (Basis 8)
BIN: Binärzahlen (Basis 2)
4. Reeller oder komplexer Modus (R, C)
R:
reelle Zahlen
C:
komplexe Zahlen
5. Exakter Modus oder Näherungsmodus (=,~)
=
exakter (symbolischer) Modus
~
Näherungsmodus (numerischer)
6. unabhängige Standard CAS-Variable (z. B. 'X', 't' usw.)
Überprüfen des Taschenrechnermodus
Im RPN-Modus werden die verschiedenen Stack-Ebenen auf der linken Seite des
Displays angezeigt. Im ALGEBRAISCHEN Modus gibt es keine
durchnumerierten Stack-Ebenen und das Wort ALG wird in der oberen Zeile des
Displays rechts angezeigt. Der Unterschied zwischen diesen beiden
Operationsmodi wurde detailliert in Kapitel 1 beschrieben.
Berechnungen mit reellen Zahlen
Beim Durchführen von Berechnungen mit reellen Zahlen wird empfohlen, das
CAS auf Real (im Gegensatz zum Complex-Modus) einzustellen. In einigen
Fällen könnten Sie ein komplexes Ergebnis erhalten, wobei Sie dann vom
Taschenrechner aufgefordert werden, in den Complex-Modus zu wechseln. Der
Exact-Modus ist der Standardmodus für die meisten Berechnungen. Sie sollten
Seite 3-2
daher mit Ihren Berechnungen in diesem Modus starten. Sollte es erforderlich
sein, in den Approx-Modus umzuschalten, werden Sie vom Taschenrechner
dazu aufgefordert. Es gibt keine bevorzugte Auswahl für das Winkelmaß oder
für die Zahlenbasis. Berechnungen mit reellen Zahlen werden sowohl im
algebraischen (ALG) Modus als auch im Reverse Polish Notation- (RPN) Modus
vorgeführt.
Änderung des Vorzeichens einer Zahl, einer Variablen oder eines
Ausdrucks
Drücken Sie die Taste \. Im ALG-Modus können Sie, bevor Sie eine Zahl
eingeben, \ drücken, z. B. \2.5`. Das Ergebnis ist = -2,5.
Im RPN-Modus müssen Sie zuerst mindestens einen Teil der Zahl eingeben und
dann die Taste \ verwenden, z. B. 2.5\. Das Ergebnis ist = 2,5. Bei Verwenden der Funktion \, wenn keine Befehlszeile vorhanden ist,
wendet der Taschenrechner die Funktion NEG (Umkehr des Vorzeichens) auf
das Objekt in der ersten Stack-Ebene an.
Die Umkehrfunktion
Verwenden Sie die Taste Y. Im ALG-Modus drücken Sie zuerst Y, gefolgt
von einer Zahl oder einem algebraischen Ausdruck, z. B. Y2. Das
Ergebnis ist = ½ oder 0,5. Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl und dann
die Funktion ein, z. B.: 4`Y. Das Ergebnis ist = ¼ oder 0,25.
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Verwenden Sie die reinen Operationstasten, also + - * /. Im ALGModus tippen Sie einen Operanden, dann einen Operator, dann wiederum
einen Operanden gefolgt von einem ` ein, um ein Ergebnis zu erzielen.
Beispiele:
3.7 + 5.2 `
6.3 - 8.5 `
4.2 * 2.5 `
2.3 / 4.5 `
Die ersten der drei oben aufgeführten Operationen werden in der Anzeige
dargestellt:
Seite 3-3
Im RPN-Modus geben Sie einen Operanden nach dem anderen, jeweils durch
ein ` getrennt, ein. Anschließend drücken Sie die Taste für den Operator.
Beispiele:
3.7`
6.3`
4.2`
2.3`
5.2
8.5
2.5
4.5
+
*
/
Im RPN-Modus können Sie alternativ dazu die Operanden durch Leerzeichen
(#) trennen, bevor Sie die Befehlstaste drücken. Beispiele:
3.7#5.2
6.3#8.5
4.2#2.5
2.3#4.5
+
*
/
Verwendung von Klammern
Klammern können dazu verwendet werden, Operationen zu gruppieren, und
Funktionsargumente einzuschließen. Klammern erhält man über die
Tastenkombination „Ü. Klammern treten immer paarweise auf, z. B. bei
der Berechnung von (5+3.2)/(7-2.2):
Im ALG-Modus:
„Ü5+3.2™/„Ü7-2.2`
Im RPN-Modus benötigen Sie keine Klammern, die Berechnung erfolgt direkt im
Stack:
5`3.2+7`2.2-/
Seite 3-4
Wenn Sie im RPN-Modus den Ausdruck in Anführungszeichen schreiben,
können Sie diesen wie im algebraischen Modus eingeben.
³„Ü5+3.2™/
„Ü7-2.2`μ
In beiden Fällen, im ALG- wie auch im RPN-Modus, kann der EquationWriter
zur Eingabe verwendet werden:
‚O5+3.2™/7-2.2
Der Ausdruck kann innerhalb des EquationWriters ausgewertet werden, indem
Sie nachstehende Tastenfolge verwenden
————@EVAL@ oder ‚—@EVAL@
Funktion Absolutbetrag
Die Funktion Absolutbetrag, ABS, kann über die Tastenkombination „Ê
aufgerufen werden. Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen
durchführen, müssen Sie die Funktion vor dem Argument eingeben, z. B. wie
folgt:
„Ê \2.32`
Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.:
2.32\„Ê
Quadrate und Quadratwurzeln
Die Quadratfunktion, SQ, kann über die Tastenkombination „º
aufgerufen werden. Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen
durchführen, müssen Sie die Funktion vor dem Argument eingeben, z. B. wie
folgt:
„º\2.3`
Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.:
2.3\„º
Seite 3-5
Die Quadratwurzelfunktion, √, kann über die Taste R aufgerufen werden.
Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen durchführen, müssen Sie die
Funktion vor dem Argument eingeben, z. B. wie folgt:
R123.4`
Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.:
123.4R
Potenzen und Wurzeln
Die Potenzfunktion, ^, wird über die Taste Q aufgerufen. Wenn Sie im Stack
im ALG-Modus rechnen, geben Sie die Base (y) gefolgt von der Taste Q und
anschließend den Exponenten (x) ein, z. B.:
5.2Q1.25
Im RPN-Modus geben Sie zuerst die Zahl, dann die Funktion ein, z. B.:
5.2`1.25`Q
Die Wurzelfunktion XROOT(y,x) kann über die Tastenkombination ‚»
erreicht werden. Sollten Sie im Stack im ALG-Modus Berechnungen durchführen,
müssen Sie die Funktion XROOT gefolgt von den Argumenten (y,x), durch
Komma voneinander getrennt, eingeben, z. B. wie folgt:
‚»3‚í 27`
Im RPN-Modus müssen Sie zuerst das Argument y, dann x und schließlich die
Funktion aufrufen, z. B. wie folgt: 27`3`‚»
Logarithmen mit der Basis 10 und Zehnerpotenzen
Die Berechnung von Logarithmen mit der Basis 10 wird über die
Tastenkombination ‚Ã (Funktion LOG) durchgeführt, während die
Umkehrfunktion (ALOG oder Antilogarithmus) über die Tastenkombination
„Â berechnet wird. Im ALG-Modus wird die Funktion vor dem Argument
eingegeben:
‚Ã2.45`
„Â\2.3`
Seite 3-6
Im RPN-Modus wird das Argument vor der Funktion eingegeben:
2.45` ‚Ã
2.3\` „Â
Verwendung von Zehnerpotenzen bei der Dateneingabe
Zehnerpotenzen, d. h. Zahlen wie -4.5×10 -2 usw., werden mithilfe der Taste
V eingegeben. Z. B. im ALG-Modus:
\4.5V\2`
Oder im RPN-Modus:
4.5\V2\`
Natürliche Logarithmen und Exponentialfunktionen
Natürliche Logarithmen (d. h. Logarithmen mit der Basis e = 2,7182818282)
werden über die Tastenkombination ‚¹ (Funktion LN) berechnet, während
ihre Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion (Funktion EXP), unter Verwendung
von „¸berechnet wird. Im ALG-Modus wird die Funktion vor dem
Argument eingegeben:
‚¹2.45`
„¸\2.3`
Im RPN-Modus wird das Argument vor der Funktion eingegeben:
2.45` ‚¹
2.3\` „¸
Trigonometrische Funktionen
Drei trigonometrische Funktionen sind einfach über die Tastatur abrufbar: Sinus
(S), Kosinus (T) und Tangens (U). Die Argumente dieser Funktion sind
Winkel und können daher in jedem beliebige Winkelmaß (Grad, Bogenmaß,
Zentesimalgrad) eingegeben werden. Z. B. können nachfolgende
trigonometrische Funktionen bei ausgewähltem Winkelmaß DEG (Grad) wie
folgt berechnet werden:
Im ALG-Modus:
S30`
Seite 3-7
T45`
U135`
Im RPN-Modus:
30`S
45`T
135`U
Inverse trigonometrische Funktionen
Die über die Tastatur zur Verfügung stehenden inversen trigonometrischen
Funktionen lauten Arcussinus (ASIN), Arcuscosinus (ACOS) und Arcustangens
(ATAN) und können über die jeweiligen Tastenkombinationen „¼,
„¾ und „À aufgerufen werden. Da die Inversen der
trigonometrischen Funktionen Winkel darstellen, werden die Ergebnisse im
ausgewählten Winkelmaß (DEG, RAD, GRD) ausgegeben. Nachfolgend einige
Beispiele:
Im ALG-Modus:
„¼0.25`
„¾0.85`
„À1.35`
Im RPN-Modus:
0.25`„¼
0.85`„¾
1.35`„À
Alle oben aufgeführten Funktionen (ABS, SQ, √, ^, XROOT, LOG, ALOG, LN,
EXP, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN) können mit den Grundrechenarten
(+-*/) zur Bildung komplexerer Ausdrücke kombiniert werden. Der
EquationWriter, dessen Funktionsweise in Kapitel 2 beschrieben wurde, ist für
derartige Ausdrücke optimal geeignet, ungeachtet des Modus, auf den der
Taschenrechner eingestellt ist.
Unterschied zwischen Funktionen und Operatoren
Funktionen wie ABS, SQ, √, LOG, ALOG, LN, EXP, SIN, COS, TAN, ASIN,
ACOS und ATAN erfordern ein einziges Argument. Ihre Anwendung im ALGModus ist daher recht einfach, z. B. ABS(x). Einige Funktionen, wie
beispielsweise XROOT, benötigen zwei Argumente, z. B. XROOT(x,y). Diese
Funktion wird über die entsprechende Tastenfolge ‚» aufgerufen.
Seite 3-8
Operatoren hingegen werden nach einem einzelnen Argument oder zwischen
zwei Argumenten eingesetzt. Die Fakultät (!) z. B. wird nach einer Zahl
eingegeben, z. B. 5~‚2`. Da dieser Operator lediglich ein
einziges Argument benötigt, wird er als unär bezeichnet. Operatoren, welche
zwei Argumente benötigen, wie z. B. + - * / Q, werden als
Binäroperatoren bezeichnet, z. B. 3*5 oder 4Q2.
Funktionen von reellen Zahlen im Menü MTH
Das Menü MTH (MaTHematics) beinhaltet eine Reihe von mathematischen
Funktionen, die hauptsächlich auf reelle Zahlen angewandt werden. Um in
dieses Menü zu gelangen, drücken Sie die Tastenkombination „´. Mit
der Standardeinstellung CHOOSE boxes für System Flag 117 (siehe Kapitel 2)
wird das MTH-Menü als Menüliste dargestellt:
Da im Taschenrechner eine Vielzahl mathematischer Funktionen vorhanden ist,
wurde das MTH-Menü nach dem Objekttyp, mit dem die Funktion arbeitet,
sortiert. Z. B. werden die Optionen 1. VECTOR., 2. MATRIX. und 3. LIST. auf
genau diese Datentypen angewendet (d. h. Vektoren, Matrizen und Listen), die
detailliert in einem späteren Kapitel erörtert werden. Die Optionen 4.
HYPERBOLIC.. und 5. REAL.. sind reellen Zahlen zugeordnet und werden in
diesem Kapitel erläutert. Option 6. BASE.. wird für Umrechnungen von Zahlen
in unterschiedliche Basen verwendet und wird ebenfalls in einem späteren
Kapitel erörtert. Option 7. PROBABILITY.. wird für WahrscheinlichkeitsAnwendungen eingesetzt und in einem der nächsten Kapitel erörtert. Option 8.
FFT.. (Fast Fourier Transform) ist eine Anwendung zur Signalbearbeitung und
wird in einem anderen Kapitel erörtert. Option 9. COMPLEX.. enthält
Funktionen für komplexe Zahlen, welche im nächsten Kapitel erörtert werden.
Option 10. CONSTANTS ermöglicht den Zugriff auf die Konstanten im
Taschenrechner. Diese Option wird weiter unten in diesem Abschnitt erörtert.
Schließlich ist da noch die Option 11. SPECIAL FUNCTIONS.., ´ die Funktionen
für höhere Mathematik einschließt und ebenfalls in diesem Abschnitt erörtert
werden wird.
Seite 3-9
Im Allgemeinen sollten Sie, um eine dieser Funktionen anzuwenden, Anzahl
und Anordnung der für die einzelnen Funktionen erforderlichen Argumente
beachten und sich stets vergegenwärtigen, dass im ALG-Modus immer zuerst
die Funktion und dann das Argument eingegeben wird, während im RPNModus erst das Argument in den Stack eingegeben und anschließend die
Funktion ausgewählt wird.
Verwendung der Rechnermenüs:
1. Da die Funktionsweisen von MTH-Funktionen (und vielen anderen Taschenrechnermenüs) sehr ähnlich sind, werden wir nur die Funktionsweise der
Menü-Option 4. HYPERBOLIC.. in diesem Abschnitt beschreiben, mit der
Absicht, die generelle Funktionsweise der einzelnen Taschenrechnermenüs
aufzuzeigen. Achten Sie insbesondere auf die Vorgehensweise bei der
Auswahl verschiedener Optionen.
2. Für eine schnelle Auswahl der nummerierten Optionen in einer Menüliste
(oder CHOOSE box) geben Sie einfach die entsprechende Nummer der
gewünschten Option über die Tastatur ein. Um z. B. die Option 4. HYPERBOLIC.. im Menü MTH auszuwählen, drücken Sie einfach die 4.
Hyperbolische Funktionen und deren Inverse
Um das hyperbolische Funktionsmenü aufzurufen, wählen Sie im MTH-Menü die
Option 4. HYPERBOLIC.. und bestätigen anschließend mit der Taste @@OK@@.
Die hyperbolischen Funktionen sind:
Sinus Hyperbolicus , SINH, und dessen Inverse ASINH oder sinh-1
Kosinus Hyperbolicus, COSH, und dessen Inverse ACOSH oder cosh-1
Tangens Hyperbolicus, TANH, und dessen Inverse ATANH oder tanh-1
Seite 3-10
Dieses Menü enthält zusätzlich die nachfolgenden Funktionen:
EXPM(x) = exp(x) – 1,
LNP1(x) = ln(x+1).
Schließlich gibt es die Option 9. MATH, welche den Anwender zurück in das
Menü MTH versetzt.
So benötigen Sie z. B. zum Berechnen der Funktion tanh(2,5) im ALG-Modus
folgende Tastenfolge:
„´
4 @@OK@@
5 @@OK@@
2.5`
Auswahl des MTH-Menüs
Auswahl des Menüs 4. HYPERBOLIC..
Auswahl der Funktion 5. TANH
Berechnen von tanh(2,5)
In der Anzeige erscheint folgende Ausgabe:
Für die gleiche Kalkulation im RPN-Modus wird nachfolgende Tastenfolge
benötigt:
2.5`
„´
4 @@OK@@
5 @@OK@@
Geben Sie das Argument in den Stack ein
Auswahl des MTH-Menüs
Auswahl des Menüs 4. HYPERBOLIC..
Auswahl der Funktion 5. TANH
Die Lösung lautet:
Die aufgeführten Operationen setzen voraus, dass Sie die Standard-Einstellung
für System Flag 117 (CHOOSE boxes) verwenden: Haben Sie die Einstellungen
dieses Flags auf SOFT menu (siehe Kapitel 2) festgelegt, wird das MTH-Menü
wie folgt angezeigt (linke Seite ALG-Modus, rechte Seite RPN-Modus):
Seite 3-11
Wenn Sie die Taste L drücken, werden die weiteren noch zur Verfügung
stehenden Optionen angezeigt:
Anmerkung: Durch Drücken von „« gelangen Sie zu den ersten
Optionen des Menüs MTH zurück. Mit der Tastenkombination ‚˜ erhalten Sie eine Auflistung der Menüfunktionen in der Anzeige, z. B.:
Um beispielsweise das hyperbolische Funktionsmenü aus diesem Menü
aufzurufen, drücken Sie die Taste )@@HYP@ . Sie erhalten nachfolgende Darstellung:
Um letztendlich die hyperbolische Funktion Tangens Hyperbolicus (tanh) zu
erhalten, drücken Sie einfach die Taste @@TANH@.
Anmerkung: Um zusätzliche Optionen dieses Funktionsmenüs anzuzeigen,
drücken Sie entweder die Taste L oder die Tastenkombination „«.
Um z. B. dieselbe Funktion tanh(2,5) im ALG-Modus, wenn SOFT-Menu anstelle
von CHOOSE boxes aktiviert ist, zu erhalten, gehen Sie wie folgt vor:
„´
Wählen Sie das MTH-Menü
Seite 3-12
@@HYP@
@@TANH@
2.5`
Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC..
Wählen Sie die Funktion TANH
Berechnen Sie tanh(2,5)
Denselben Wert errechnen Sie im RPN-Modus über nachfolgende Tastenfolge:
2.5`
„´
@@HYP@
@@TANH@
Geben Sie das Argument in den Stack ein
Wählen Sie das MTH-Menü
Wählen Sie das Menü HYPERBOLIC..
Wählen Sie die Funktion TANH
Als Übung zur Anwendung von hyperbolischen Funktionen, überprüfen Sie die
nachfolgenden Werte:
SINH (2.5) = 6.05020..
ASINH(2.0) = 1.4436…
COSH (2.5) = 6.13228..
ACOSH (2.0) = 1.3169…
TANH(2.5) = 0.98661..
ATANH(0.2) = 0.2027…
EXPM(2.0) = 6.38905….
LNP1(1.0) = 0.69314….
An dieser Stelle sollte noch einmal betont werden, dass die in diesem Abschnitt
beschriebene allgemeine Verfahrensweise auf alle Auswahlmöglichkeiten in
jedem Menü des Taschenrechners anwendbar ist.
Funktionen zu reellen Zahlen
Bei Auswahl der Option 5. REAL.. aus dem Menü MTH mit auf CHOOSE boxes
gesetztem System Flag 117 wird folgende Menüliste erzeugt.
Seite 3-13
Option 19., MATH, versetzt den Anwender zurück ins MTH-Menü. Die übrigen
Funktionen sind in sechs verschiedene Gruppen zusammengefasst und werden
nachfolgend beschrieben.
Wenn das System Flag 117 auf SOFT-Menüs gesetzt ist, werden die Funktionen
aus REAL im wie folgt dargestellt (der verwendete Modus ist der ALG-Modus,
dieselben Funktionstasten stehen jedoch auch im RPN-Modus zur Verfügung):
Die letzte Funktion, )@@MTH@, versetzt den Anwender zurück in das Menü MTH.
Funktionen zur Prozentrechnung
Diese Funktionen dienen der Berechnung von Prozentualanteilen und damit
verbundenen Werten, wie im Folgenden dargestellt wird:
% (y,x)
: berechnet den Wert für den Prozentsatz x von einer Zahl y
%CH(y,x) : berechnet 100(y-x)/x, d. h. den Prozentsatz der Änderung für die
Differenz der beiden Zahlen.
%T(y,x)
: berechnet 100 x/y, d. h. den Gesamtprozentsatz bzw. den
Prozentsatz für das Verhältnis einer Zahl (x) zu einer anderen Zahl
(y).
Diese Funktionen benötigen zwei Argumente, wir veranschaulichen
nachfolgend die Berechnung %T(15,45), d.h., Berechnung des prozentualen
Verhältnisses von 15 und 45. Nehmen wir an, der Rechner ist im ALG-Modus
und System Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt. Das Verfahren sieht wie folgt
aus:
„´
5 @@OK@@
3 @@OK@@
15
‚í
45
`
Wählen Sie das Menü MTH.
Wählen Sie Menü 5. REAL...
Wählen Sie die Funktion 5. %T .
Geben Sie das erste Argument ein.
Geben Sie ein Komma ein, um die Argumente
voneinander zu trennen.
Geben Sie das zweite Argument ein.
Berechnen Sie die Funktion.
Nachfolgend das Ergebnis:
Seite 3-14
Im RPN-Modus befindet sich Argument y in der zweiten Stack-Ebene, während
sich Argument x in der ersten Stack-Ebene befindet. Dies bedeutet, dass Sie
zunächst x und dann y eingeben sollten, genau wie im ALG-Modus. Somit
erfolgt die Berechnung von %T(15,45) im RPN-Modus mit auf CHOOSE boxes
gesetztem System Flag 117 wie folgt:
15`
45`
„´
5 @@OK@@
3 @@OK@@
Geben Sie das erste Argument ein.
Geben Sie das zweite Argument ein.
Wählen Sie das Menü MTH .
Wählen Sie Menü 5. REAL..
Wählen Sie die Funktion 5. %T.
Anmerkung: Die Beispiele in diesem Abschnitt veranschaulichen im Allgemeinen den Einsatz von Funktionen mit zwei Argumenten. Funktionen mit 3
oder mehr Argumenten können aus diesen Beispielen abgeleitet werden.
Als Beispiel für Anwendungen von Funktionen zur Prozentrechnung überprüfen
Sie die nachfolgenden Werte: %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.6363..,
%T(500,20) = 4
Minimum und Maximum
Verwenden Sie diese Funktionen, um den Minimal- oder Maximalwert von zwei
Argumenten zu berechnen.
MIN(x,y) : Minimum von x und y
MAX(x,y) : Maximum von x und y
Als Beispiel überprüfen Sie, ob MIN(-2,2) = -2 und MAX(-2,2) = 2 sind.
Modulo:
MOD: y mod x = Rest von y/x. Das bedeutet, wenn x und y Integer-Zahlen
sind, ist y/x = d + r/x, wobei d = Quotient und r = Rest gilt. Es gilt also in
diesem Fall r = y mod x.
Beachten Sie, dass MOD keine Funktion darstellt, sondern vielmehr einen
Operator. D. h., dass im ALG-Modus MOD als y MOD x und nicht als
Seite 3-15
MOD(y,x) eingegeben werden sollte. Somit ist die Vorgehensweise bei MOD
ähnlich wie bei den Operatoren +, -, *, /.
Als Beispiel überprüfen Sie, ob 15 MOD 4 = 15 mod 4 = Rest von 15/4 = 3
ist.
Absolutbetrag, Vorzeichen, Mantisse, Exponent, Ganzzahliger und Bruchanteil
ABS(x) : berechnet den Absolutbetrag |x|.
SIGN(x) : legt das Vorzeichen von x fest, d. h. -1, 0 oder 1.
MANT(x) : bestimmt die Mantisse einer Zahl basierend auf log10.
XPON(x) : bestimmt die Zehnerpotenz in der Zahl.
IP(x)
: bestimmt den ganzzahligen Teil einer reellen Zahl.
FP(x)
: bestimmt den Bruchanteil einer reellen Zahl.
Als Übung überprüfen Sie, ob ABS(-3) = |-3| = 3, SIGN(-5) = -1, MANT(2540)
= 2,540, XPON(2540) = 3, IP(2,35) = 2, FP(2,35) = 0,35.
Aufrunden, Abschneiden, nächst kleinere (floor) und nächst höhere (ceiling)
Grenzzahl Funktion
RND(x,y) : rundet y auf x Dezimalstellen.
TRNC(x,y) : schneidet y auf x Dezimalstellen ab.
FLOOR(x) : nächstgelegene Ganzzahl, kleiner oder gleich x.
CEIL(x)
: nächstgelegene Ganzzahl, größer oder gleich x.
Als Übung überprüfen sie, ob RND(1,4567,2) = 1.46, TRNC(1,4567,2) = 1,45,
FLOOR(2,3) = 2, CEIL(2,3) = 3 ist.
Bogenmaß-in-Grad- und Grad-in-Bogenmaß-Funktionen
D→R (x): konvertiert Grade in Bogenmaß.
R→D (x): konvertiert Bogenmaß in Grade.
Als Übung überprüfen Sie, ob DR(45) = 0,78539 (d. h., 45o = 0,78539rad),
RD(1,5) = 85,943669.. (d. h., 1,5rad = 85,943669..o) ist.
Seite 3-16
Sonderfunktionen
Option 11. Special functions… (Sonderfunktionen) im MTH-Menü beinhaltet
folgende Funktionen:
GAMMA:
PSI:
Psi:
Die Gammafunktion Γ(α)
N-te Ableitung der Digamma-Funktion
Digamma-Funktion, Ableitung des In(Gamma)
Die Gamma-Funktion wird wie folgt definiert
∞
Γ(α ) = ∫ x α −1e − x dx . Diese
0
Funktion wird in der angewandten Mathematik in Wissenschaft und Technik
sowie für Wahrscheinlichkeits- und Statistik-Berechnungen eingesetzt.
Fakultät einer Zahl
Die Fakultät einer positiven Integer-Zahl n wird als n!=n⋅(n-1)⋅(n-2) …3⋅2⋅1 mit
0! = 1 definiert. Über die Tastenfolge ~‚2 ist die Funktion Fakultät im
Taschenrechner verfügbar. In beiden Modi, ALG und RPN, geben Sie zuerst
die Zahl, gefolgt von der Tastenfolge ~‚2, ein. Beispiel:
5~‚2`.
Die oben definierte Gamma-Funktion hat die folgende Eigenschaft:
Γ(α) = (α−1) Γ(α−1), für α > 1.
Daher kann diese mit der Fakultät einer Zahl verglichen werden, d. h. Γ(α) =
(α−1)!, wenn α eine positive Ganzzahl ist. Sie können die Funktion Fakultät
auch zur Berechnung der Gamma-Funktion und umgekehrt verwenden, z. B.
Γ(5) = 4! oder 4~‚2`. Die Funktion Fakultät steht im MTHMenü über das Menü 7. PROBABILITY.. (Wahrscheinlichkeit) zur Verfügung.
Seite 3-17
Die Funktion PSI, Ψ(x,y) stellt die y-te Ableitung der Digamma-Funktion dar,
d. h.
dn
Ψ (n, x) = n ψ ( x) , wobei ψ(x) als die Digamma-Funktion oder Psidx
Funktion bekannt ist. Für diese Funktion muss y eine positive Ganzzahl sein.
Die Funktion Psi, ψ(x) oder Digamma-Funktion, wird als
definiert.
ψ ( x) = ln[Γ( x)]
Beispiele dieser Sonderfunktionen werden sowohl im ALG- wie auch im PRNModus gezeigt. Als Beispiel überprüfen Sie, ob GAMMA(2,3) = 1,166711…,
PSI(1,5,3) = 1,40909. und Psi(1,5) = 3,64899739..E-2 ist.
Diese Berechnungen werden im nachfolgenden Screenshot dargestellt:
Konstanten des Taschenrechners
Nachfolgend
Konstanten:
• e:
• i:
• π:
die von Ihrem Taschenrechner verwendeten mathematischen
die Basis des natürlichen Logarithmus.
die imaginäre Einheit ii 2 = -1.
das Verhältnis zwischen Länge eines Kreises und seinem
Durchmesser.
• MINR: die im Taschenrechner zur Verfügung stehende kleinste reelle
Zahl.
• MAXR: die im Taschenrechner zur Verfügung stehende größte reelle
Zahl.
Um Zugriff auf diese Konstanten zu erhalten, wählen Sie Option 11.
CONSTANTS.. (Konstanten) im Menü MTH.
Seite 3-18
Die Konstanten werden wie folgt aufgelistet:
Durch Auswahl eines dieser Einträge wird der ausgewählte Wert, entweder als
Symbol ( z. B. e, i, π, MINR, oder MAXR) oder als Zahlenwert (2,71.., (0,1),
3,14.., 1E-499, 9,99..E499), in den Stack ausgegeben.
Beachten Sie, dass e über die Tastatur als exp(1) zur Verfügung steht, d. h.
„¸1` im ALG-Modus oder 1` „¸ im RPN-Modus.
Auch π ist direkt über die Tastatur verfügbar als „ì. Schließlich ist auch i
über die Tastatur verfügbar (über die Taste „¥).
Operationen mit Einheiten
Zahlen im Taschenrechner können unterschiedlichen Einheiten zugeordnet sein.
So können Sie Ergebnisse über ein konsistentes Einheitensystem berechnen und
die Ergebnisse mit der geeigneten Kombination von Einheiten ausgeben lassen.
Das UNITS-Menü
Das UNITS-Menü wird über die Tastenkombination ‚Û (der Taste 6
zugeordnet) gestartet. Mit auf CHOOSE boxes gesetztem System Flag 117 wird
das nachfolgende Menü angezeigt:
Seite 3-19
Option 1. Tools.. enthält Funktionen, welche sich auf Einheiten beziehen (diese
werden zu einem späteren Zeitpunkt diskutiert). Optionen 3. Length.. bis
17.Viscosity.. enthalten Menüs mit einer Reihe von Einheiten für jede der
beschriebenen Größen. Wenn Sie z. B. das Menü 8. Force.. (Kraft) auswählen,
erhalten Sie das folgende Menü mit Einheiten:
Der Benutzer wird die meisten der Einheiten (einige davon, wie z. B. Dyne,
werden heutzutage eher selten verwendet) aus dem Physikunterricht wieder
erkennen: N = Newton, dyn = Dyne, gf = Gramm – Kraft (um von GrammMasse oder einfach Gramm als Gewichtseinheiten zu unterscheiden), kip =
Kilopond (1000 Pfund), lbf = Pound-Force (um von Pfund als Gewichtseinheit zu
unterscheiden) und pdl = Poundal.
Um eine Einheit einer Zahl zuzuordnen, muss auf diese Zahl ein Unterstrich
folgen. So wird die Kraft von 5 N als 5_N eingegeben.
Für umfassende Berechnungen mit Einheiten bieten die SOFT-Menüs eine
bequemere Möglichkeit, Einheiten zuzuordnen. Ändern Sie das System Flag
117 in SOFT menus (siehe Kapitel 1), und verwenden Sie die
Tastenkombination ‚Û, um in folgende Menüs zu gelangen. Drücken Sie
die Taste L, um auf die nächste Seite des Menüs zu gelangen.
Seite 3-20
Wenn Sie die entsprechende Funktionstaste drücken, wird ein Untermenü mit
Einheiten zu dieser Auswahl angezeigt. Z. B. stehen für das Untermenü @)SPEED
folgende Einheiten zur Verfügung:
Durch erneutes Drücken der Funktionstaste @)UNITS gelangen Sie zum UNITSMenü zurück.
Beachten Sie, dass Sie jederzeit die vollständige Liste der Menüeinträge durch
Drücken der Tastenfolge ‚˜ anzeigen können. Es werden z. B. für die
Größe @)ENRG nachfolgende Einträge als mögliche Einheiten angezeigt:
Anmerkung: Verwenden Sie die Taste L oder die Tastenkombination
„«zur Navigation zwischen den einzelnen Menüs.
Zur Verfügung stehende Einheiten
Nachfolgend finden Sie eine Liste von Einheiten, welche über das UNITS-Menü
zur Verfügung stehen. Erst wird das Symbol der Einheit, gefolgt vom Namen der
Einheit in Klammern, angezeigt:
LENGTH (LÄNGE)
m (Meter), cm (Zentimeter), mm (Millimeter), yd (Yard), ft (Fuß), in (Zoll), Mpc
(Mega Parsec), pc (Parsec), lyr (Lichtjahr), au (astronomische Einheit), km
(Kilometer), mi (internationale Meile), nmi (Seemeile), miUS (US gesetzliche
Seite 3-21
englische Meile), chain (Chain), rd (Rod), fath (Kubikfuß), ftUS
(Vermessungsfuß), Mil (Mil), μ (Mikron), Å (Angström), fermi (Fermi)
AREA (FlÄCHE)
m^2 (Quadratmeter), cm^2 (Quadratzentimeter), b (Barn – Maßeinheit des
Wirkungsquerschnittes), yd^2 (Quadratyard), ft^2 (Quadratfuß), in^2
(Quadratzoll), km^2 (Quadratkilometer), ha (Hektar), a (Ar), mi^2
(Quadratmeile), miUS^2 (gesetzliche englische Quadratmeile), acre (Acre)
VOLUME (VOLUMEN)
m^3 (Kubikmeter), st (Ster), cm^3 (Kubikzentimeter), yd^3 (Kubikyard), ft^3
(Kubikfuß), in^3 (Kubikzoll), l (Liter), galUK (UK Gallone), galC (Kanadische
Gallone), gal (US Gallone), qt (Quart), pt (Pint), ml (Milliliter), cu (US Tasse),
ozfl (US fluid ounce), ozUK (UK fluid ounce), tbsp (Löffel), tsp (Teelöffel), bbl
(Barrel), bu (Bushel - Trockenhohlmaß), pk (Peck - Trockenmaß), fbm (Board Foot
- Holzmaß)
TIME (ZEIT)
yr (Jahr), d (Tag), h (Stunde), min (Minute), s (Sekunde), Hz (Hertz)
SPEED (GESCHWINDIGKEIT)
m/s (Meter pro Sekunde), cm/s (Zentimeter pro Sekunde), ft/s (Fuß pro
Sekunde), kph (Kilometer pro Stunde), mph (Meilen pro Stunde), knot (Knoten –
nautische Meilen pro Stunde), c (Lichtgeschwindigkeit), ga
(Gravitationsbeschleunigung)
MASS (MASSE)
kg (Kilogramm), g (Gramm), Lb (avoirdupois Pound - Handelspfund), oz (Unze),
slug (Slug, Gee-pound), lbt (Troy pound), ton (short ton), tonUK (long ton), t
(metrische Tonne), ozt (Troy Unze), ct (Karat), grain (Grain), u (atomare
Masseeinheit), mol (Mol)
FORCE (KRAFT)
N (Newton), dyn (Dyne), gf (Gramm-Kraft), kip (Kilopond-Kraft), lbf (poundforce), pdl (Poundal)
Seite 3-22
ENERGY (ENERGIE)
J (Joule), erg (Erg), Kcal (Kilokalorie), Cal (Kalorie), Btu (englische Kalorie Wärmemenge), ft×lbf (Foot-Pound), therm (EEC (GB) Wärmeeinheit zur
Lieferung von Stadtgas), MeV (Megaelektronen Volt), eV (Elektronenvolt)
POWER (KRAFT)
W (Watt), hp (Pferdestärke)
PRESSURE (DRUCK)
Pa (Pascal), atm (Atmosphäre), bar (Bar), psi (Pfund pro Quadratzoll), torr
(Torr), mmHg (Millimeter Quecksilbersäule), inHg (Zoll Quecksilbersäule),
inH20 (Zoll Wassersäule)
TEMPERATUR
o
C (Grad Celsius), o F (Grad Fahrenheit), K (Kelvin), o R (Grad Rankine)
ELEKTRISCHER STROM (Elektrische Maßeinheiten)
V (Volt), A (Ampere), C (Coulomb), Ω (Ohm), F (Farad), W (Watt), Fdy
(Faraday), H (Henry), mho (mho – inverse ohmsche Einheit), S (Siemens), T
(Tesla), Wb (Weber )
ANGLE (Maßeinheiten von Flächenwinkel und Raumwinkel)
(Sexagesimalgrad), r (Bogenmaß), Grad (Zentesimalgrad), arcmin
(Bogenminute), arcs (Bogensekunde), sr (Steradiant)
o
LICHT (Maßeinheiten für das Licht)
fc (Footcandle), flam (Foot-Lambert), lx (Lux), ph (Phot), sb (Stilb), lm (Lumen), cd
(Candela), lam (Lambert)
RADIATION (STRAHLUNG)
Gy (Gray), rad (Rad), rem (Rem), Sv (Sievert), Bq (Becquerel), Ci (Curie), R
(Röntgen)
VISCOSITY (VISKOSITÄT)
P (Poise), St (Stokes)
Nicht aufgelistete Einheiten
Seite 3-23
Nicht aufgelistete Einheiten im UNITS-Menü, die dennoch im Taschenrechner
vorhanden sind: gmol (Gramm-Mol), lbmol (Pound-Mol), rpm (Umdrehungen
pro Minute), dB (Dezibel). Diese Maßeinheiten erreicht man über das Menü
117.02, welches im ALG-Modus über MENU (117.02) oder im RPN-Modus
unter MENU 117.02 ` gestartet wird. In der Anzeige des Menüs erhalten
Sie nachfolgende Einträge (verwenden Sie dazu die Tastenfolge ‚˜, um
die Beschriftungen im Display anzuzeigen):
Auf diese Einheiten kann jedoch auch über den Katalog zugegriffen werden,
z. B. folgendermaßen:
gmol:
lbmol:
rpm:
dB:
‚N~„g
‚N~„l
‚N~„r
‚N~„d
Umrechnung in Grundeinheiten
Verwenden Sie die Funktion UBASE, um jede dieser Einheiten in die
Standardeinheiten des SI-Systems zu konvertieren. Um z. B. herauszufinden,
welchen Wert 1 Poise (Viskositätseinheit) in SI-Einheiten darstellt, gehen Sie wie
folgt vor:
Im ALG-Modus, wobei System Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt ist:
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
@@OK@@
Wählen Sie das Menü TOOLS.
˜ @@OK@@
Wählen Sie die Funktion UBASE.
1 ‚Ý Tragen Sie 1 und Unterstrich ein.
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
—@@OK@@
Wählen Sie die Option VISCOSITY.
@@OK@@
Wählen Sie das Menü UNITS.
`
Konvertieren Sie die Einheiten.
Seite 3-24
Als Ergebnis erhalten Sie die folgende Anzeige (d. h. 1 Poise = 0,1 kg/(m⋅s)):
Das Gleiche im RPN-Modus, wobei System Flag 117 auf CHOOSE boxes
gesetzt ist:
1
Tragen Sie 1 (kein Unterstrich) ein.
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
— @@OK@@
Wählen Sie die Option VISCOSITY.
@@OK@@
Wählen Sie die Einheit P (Poise.)
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
@@OK@@
Wählen Sie das Menü TOOLS.
˜ @@OK@@
Wählen Sie die Funktion UBASE
Im ALG-Modus,System Flag 117 ist auf SOFTmenus gesetzt:
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
)@TOOLS
Wählen Sie das Menü TOOLS.
@UBASE
Wählen Sie die Funktion UBASE.
1 ‚Ý Tragen Sie 1 und Unterstrich ein.
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
„« @)VISC Wählen Sie die Option VISCOSITY.
@@@P@@
Wählen Sie die Einheit P (Poise).
`
Konvertieren Sie die Einheiten.
Im RPN-Modus, wobei System Flag 117 auf SOFT menus gesetzt ist:
1
Tragen Sie 1 (kein Unterstrich) ein.
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
„« @)VISC Wählen Sie die Option VISCOSITY.
@@@P@@
Wählen Sie die Einheit P (Poise).
‚Û
Wählen Sie das Menü UNITS.
@TOOLS
Wählen Sie das Menü TOOLS.
@UBASE
Wählen Sie die Funktion UBASE.
Seite 3-25
Zahlen Einheiten zuordnen
Um eine Einheit einer Zahl zuzuordnen, muss ein Unterstrich an diese Zahl
angehängt werden (‚Ý, Taste(8,5)). So wird die Kraft von 5 N als 5_N
eingegeben.
Nachfolgend die Tastenfolge, die im ALG-Modus, mit auf CHOOSE boxes
gesetztem System Flag 117, eingegeben werden muss:
5 ‚Ý
Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein.
‚Û
Begeben Sie sich in das Menü UNITS.
8 @@OK@@
Wählen Sie die Krafteinheiten (8. Force..).
@@OK@@
Wählen Sie Newton (N).
`
Geben Sie die Menge mit der Einheit in den
Stack ein.
Die Anzeige wird wie folgt aus dargestellt:
Anmerkung: Vergessen Sie den Unterstrich, wird das Ergebnis als 5*N
ausgegeben, wobei N eine mögliche Variable darstellt, nicht jedoch die Einheit Newton.
Verwenden Sie nachfolgende Tastenfolge, um dieselbe Eingabe im RPN-Modus
vorzunehmen:
5
Geben Sie die Zahl ein (geben Sie keinen
Unterstrich ein).
‚Û
Begeben Sie sich in das Menü UNITS.
8 @@OK@@
@@OK@@
Wählen Sie die Krafteinheiten (8. Force..).
Wählen Sie Newton (N).
Beachten Sie dabei, dass der Unterstrich automatisch eingefügt wird, wenn der
RPN-Modus aktiviert ist. Das Ergebnis ist die nachfolgende Anzeige:
Seite 3-26
Wie zuvor angedeutet, wird, wenn das System Flag 117 auf SOFT menus steht,
das Menü UNITS als Bezeichnung für die Funktionstasten angezeigt. Diese
Einstellung erweist sich für umfassende Berechnungen mit Einheiten als äußerst
praktisch.
Nachfolgend die Tastenfolge zur Eingabe von Einheiten mit ausgewählter
Option SOFTmenus im ALG- und im PRN-Modus: Um im ALG-Modus den
Ausdruck 5_N einzugeben, verwenden Sie die Tastenfolge:
5 ‚Ý
‚Û
L @)@FORCE
@ @@N@@
`
Tragen Sie die Zahl und den Unterstrich ein.
Begeben Sie sich in das Menü UNITS.
Wählen Sie die Einheiten für die Kraft.
Wählen Sie Newton (N).
Geben Sie die Menge mit der Einheit in den Stack
ein.
Um denselben Ausdruck im RPN-Modus einzugeben, verwenden Sie die
Tastenfolge:
5
‚Û
L @)@FORCE
@ @@N@@
Tragen Sie die Zahl (ohne Unterstrich) ein.
Begeben Sie sich in das Menü UNITS.
Wählen Sie die Einheiten für die Kraft.
Wählen Sie Newton (N).
Anmerkung: Sie können einen Ausdruck mit Einheiten eingeben, indem Sie
den Unterstrich und die Einheiten über die ~–Taste eingeben,
5‚Ý~n ergibt z. B. den folgenden Eintrag: 5_N.
Vorzeichen von Einheiten
Für Einheiten können Sie Vorzeichen gemäß der nachfolgenden Tabelle aus
dem SI-System eingeben.
Als Erstes wird die Abkürzung des Vorzeichens aufgeführt, anschließend der
Name, gefolgt vom Exponenten x im Faktor 10x, welcher dem jeweiligen
Vorzeichen entspricht:
Seite 3-27
_______________________________________________________
Vorzeichen Name x
Vorzeichen Name x
_______________________________________________________
Y
yotta
+24
d
deci
-1
Z
zetta
+21
c
centi -2
E
exa
+18
m
milli
-3
μ
micro -6
P
peta
+15
T
tera
+12
n
nano -9
G
giga
+9
p
pico
-12
M
mega +6
f
femto -15
k,K
kilo
+3
a
atto
-18
h,H
hecto +2
z
zepto -21
D(*)
deka
+1
y
yocto -24
_______________________________________________________
(*) Im SI-System finden Sie das Vorzeichen (da) anstelle von D. Verwenden Sie
dennoch das D für Deka im Taschenrechner.
Um diese Vorzeichen einzugeben, tippen Sie einfach das Vorzeichen über die
~-Tastatur ein. Um z. B. 123 pm (1 Picometer) einzugeben, tippen Sie
Folgendes ein:
123‚Ý~„p~„m
Verwenden Sie UBASE, um in die Standard-Einheit (1 m) umzuwandeln; das
Ergebnis wird wie folgt dargestellt:
Operationen mit Einheiten
Sobald eine Menge, gefolgt von Einheiten, in den Stack eingegeben wurde,
kann diese in Berechnungen ähnlich wie reine Zahlen verwendet werden, mit
der Ausnahme, dass Mengen mit Einheiten nicht als Argumente in Funktionen
eingesetzt werden können (z. B. SQ oder SIN). Bei dem Versuch, LN(10_m) zu
berechnen, erhalten Sie eine Fehlermeldung: Error: Bad Argument Type.
Seite 3-28
Hier finden Sie einige Berechnungsbeispiele im ALG-Modus. Gehen Sie bei der
Multiplikation und Division von Mengen mit Einheiten vorsichtig vor: Sie müssen
jede Menge mit der dazugehörigen Einheit in Klammern einschließen. Um z. B.
das Produkt 12,5m × 5,2 yd einzugeben, muss Ihre Eingabe wie folgt aussehen
(12,5_m)*(5,2_yd) `:
Sie wird dann als 65_(m⋅yd) angezeigt. Verwenden Sie die Funktion UBASE,
um in die Einheiten des SI-Systems zu konvertieren:
Anmerkung: Beachten Sie zu jedem Zeitpunkt, dass die Variable ANS(1)
über die Tastenkombination „î(der Taste ` zugeordnet) aufgerufen
werden kann.
Um eine Division durchzuführen, z. B. 3250 mi / 50 h, geben Sie diese wie
folgt ein: (3250_mi)/(50_h) `
Dies ergibt mit der UBASE Funktion in SI-Einheiten konvertiert Folgendes:
Seite 3-29
Additionen und Subtraktionen können im ALG-Modus ohne Eingabe von
Klammern durchgeführt werden. So kann z. B. 5 m + 3200 mm ganz einfach
als 5_m + 3200_mm ` eingegeben werden.
Kompliziertere Ausdrücke wie der folgende hingegen benötigen Klammern:
(12_mm)*(1_cm^2)/(2_s) `:
Bei Stack-Berechnungen im PRN-Modus werden keine Klammern bei der
Eingabe unterschiedlicher Ausdrücke benötigt, die Eingabe sieht z. B. wie folgt
aus:
12_m ` 1,5_yd ` *
3250_mi ` 50_h ` /
Diese Operationen ergeben folgende Ausgabe:
Testen Sie auch nachfolgende Operationen:
5_m ` 3200_mm ` +
12_mm ` 1_cm^2 `* 2_s ` /
Diese letzten beiden Operationen ergeben folgende Ausgabe:
Seite 3-30
Anmerkung: In Ausdrücke des EquationWriters dürfen keine Einheiten
eingegeben werden.
Werkzeuge zur Manipulation von Einheiten
Das Menü UNITS enthält ein Untermenü TOOLS, welches folgende Funktionen
zur Verfügung stellt:
CONVERT(x,y): konvertiert Einheitenobjekt x in Einheiten des!
Objektes y.
UBASE(x):
konvertiert Einheitenobjekt x in SI-Einheiten.
UVAL(x):
extrahiert den Wert aus Einheitenobjekt x
UFACT(x,y):
klammert eine Einheit y aus dem Einheitenobjekt x
aus.
UNIT(x,y):
kombiniert den Wert von x mit den Einheiten von y.
Die Funktion UBASE wurde im Detail in einem früheren Abschnitt dieses Kapitels
beschrieben. Um auf eine dieser Funktionen zuzugreifen, gehen Sie wie in den
vorangegangen gezeigten UBASE Beispielen vor. Beachten Sie, dass, während
die Funktion UVAL ein einziges Argument benötigt, für die Funktionen
CONVERT, UFACT und UNIT jeweils zwei Argumente benötigt werden.
Probieren Sie die nachfolgenden Übungen in der von Ihnen bevorzugten
Einstellung Ihres Taschenrechners durch. Die nachfolgende Ausgabe wurde im
ALG-Modus mit auf SOFT menus eingestelltem System Flag 117 erzeugt:
CONVERT-Beispiele
Beide Beispiele ergeben das gleiche Ergebnis um 33 Watt in btus zu
konvertieren:
CONVERT(33_W,1_hp) `
CONVERT(33_W,11_hp) `
Diese Operationen werden in der Anzeige wie nachfolgend dargestellt:
Seite 3-31
UVAL-Beispiele:
UVAL(25_ft/s) `
UVAL(0.021_cm^3) `
UFACT-Beispiele:
UFACT(1_ha,18_km^2) `
UFACT(1_mm,15,1_cm) `
UNIT-Beispiele
UNIT(25,1_m) `
UNIT(11,3,1_mph) `
Seite 3-32
Physikalische Konstanten im Taschenrechner
Analog zu der Behandlung von Einheiten erörtern wir ebenfalls die im
Taschenrechner zur Verfügung stehenden physikalischen Konstanten. Die
physikalischen Konstanten des Taschenrechners befinden sich in einer constants
library (Konstantenbibliothek), welche mit dem Befehl CONLIB aufgerufen
werden kann. Um diesen Befehl zu starten, müssten Sie lediglich folgende
Eingabe im Stack vornehmen:
~~conlib~`
Alternativ wählen Sie den Befehl CONLIB aus dem Befehle Katalog wie folgt
aus: Starten Sie zuerst den Katalog ‚N~c. Verwenden Sie dann die
Pfeiltasten —˜, um CONLIB auszuwählen. Anschließend drücken Sie die
Funktionstaste F(@@OK@@). Falls erforderlich, drücken Sie `.
Die Anzeige der Konstantenbibliothek wird wie folgt dargestellt (verwenden die
Pfeiltasten zur Navigation in der Bibliothek):
Seite 3-33
Die dieser Anzeige zugeordneten Funktionstasten der CONSTANTS LIBRARY
enthalten folgende Funktionen:
SI
wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in SIEinheiten angezeigt.
ENGL wenn ausgewählt, werden die Werte der Konstanten in
Englischen-Einheiten angezeigt (*).
UNIT wenn ausgewählt, werden die Konstanten zusammen mit den
ihnen zugeordneten Einheiten ausgegeben (*).
VALUE wenn ausgewählt, werden die Konstanten ohne Einheiten
ausgegeben.
STK kopiert den Wert (mit oder ohne Einheiten) in den Stack.
QUIT dient dem Verlassen der Konstantenbibliothek.
(*) Nur dann aktiv, wenn die Funktion VALUE aktiviert ist.
So wird die erste Seite der CONSTANTS LIBRARY-Anzeige dargestellt, wenn die
Option VALUE ausgewählt wurde (Einheiten im SI-System):
Um die Werte der Konstanten im englischen (bzw. Imperial-) System
anzuzeigen, drücken Sie die Option @ENGL :
Seite 3-34
Schalten Sie die UNITS-Option aus (durch Drücken der Taste @UNITS), werden
lediglich die Werte angezeigt (in diesem Fall wurden englische Einheiten
ausgewählt):
Um den Wert von Vm in den Stack zu kopieren, wählen Sie einen Variablen-Namen und drücken Sie erst die Taste !
und dann @QUIT@. Ist der
Taschenrechner auf ALG-Modus eingestellt, wird die Anzeige wie folgt
dargestellt:
Die Anzeige zeigt einen so genannten tagged value (gekennzeichneten Wert)
Vm:359,0394. In diesem Fall ist Vm die Kennzeichnung des Ergebnisses.
Jede arithmetische Operation, die mit dieser Zahl durchgeführt wird, ignoriert
die Markierung. Probieren Sie z. B. Folgendes aus:
‚¹2*„î`, wodurch folgendes Resultat erzeugt wird:
Bei der gleichen Berechnung im RPN-Modus verwenden Sie folgende
Tastenfolgen (nachdem der Wert von Vm aus der Konstantenbibliothek
extrahiert wurde): 2`*‚ ¹.
Spezielle physikalische Funktionen
Menü 117, ausgewählt über MENU (117) im ALG-Modus oder MENU 117
` im RPN-Modus, erzeugt das nachfolgende Menü (Beschriftungen werden
mithilfe der Tasten ‚˜ angezeigt):
Seite 3-35
Die Funktionen schließen ein:
ZFACTOR: Gaskompressibilitätsfunktion Z Faktor
FANNING: Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung
DARCY: Darcy-Weisbach Widerstandsfaktor der Strömungsauffächerung
F0λ: Funktion für die Stärke der Schwarzkörperstrahlung (Planckscher Strahler)
SIDENS: innere Dichte Silizium
TDELTA: Funktion für die Temperaturzunahme
Auf der zweiten Seite dieses Menüs (drücken Sie L) finden Sie nachfolgende
Elemente:
Auf dieser Menüseite befinden sich eine Funktion (TINC) und eine Anzahl
Maßeinheiten, die in einem früheren Abschnitt beschrieben wurden (siehe
oben). Die für uns interessante Funktion ist:
TINC:
Befehl Wertzuwachs (Inkrement) für die Temperatur
Von den Funktionen in diesem Menü (UTILITY), d. h. ZFACTOR, FANNING,
DARCY, F0λ, SIDENS, TDELTA und TINC, werden die Funktionen FANNING
und DARCY in Kapitel 6 in Zusammenhang mit Gleichungen zur
Durchflussberechnung in Rohrleitungen beschrieben. Für die verbleibenden
Funktionen finden Sie nachfolgend eine kurze Beschreibung.
Funktion ZFACTOR
Die Funktion ZFACTOR berechnet den Berichtigungsfaktor für die
Gaskompressibilität bei nicht idealem Verhalten von Kohlenwasserstoffgas. Die
Funktion wird über ZFACTOR(xT, yP) aufgerufen, wobei xT die verringerte
Temperatur, d. h. das Verhältnis der momentanen Temperatur zur pseudokritischen Temperatur ist und yP der verringerte Druck, d. h. das Verhältnis des
momentanen Drucks zum pseudo-kritischen Druck darstellt. Der Wert von xT
Seite 3-36
muss zwischen 1,05 und 3,0 liegen, während der Wert von yP zwischen 0 und
30 liegen muss. Beispiel im ALG-Modus:
Funktion F0λ
Die Funktion F0λ (T, λ) berechnet den Bruch (dimensionslos) der gesamten
Stärke der Schwarzkörperstrahlung bei einer Temperatur T zwischen den
Wellenlängen 0 und λ. Sind T und λ keine Einheiten zugewiesen, wird
angenommen, dass T in K und λ in m enthalten ist. Beispiel im ALG-Modus:
Funktion SIDENS
Die Funktion SIDENS(T) berechnet die innere Dichte von Silizium (in Einheiten
von 1/cm3) als Funktion der Temperatur T (T in K), für T zwischen 0 und 1685
K, z.B.:
Funktion TDELTA
Die Funktion TDELTA(T0,Tf) liefert den Temperaturzuwachs Tf – T0. Das Ergebnis
wird in der gleichen Maßeinheit, falls überhaupt, wie T0 ausgegeben.
Andernfalls erhalten Sie einfach die Zahlendifferenz, z.B.:
Der Zweck dieser Funktion besteht darin, eine Temperaturdifferenzberechnung
bei unterschiedlichen Maßeinheiten der Temperatur zu vereinfachen.
Andernfalls wird einfach nur die jeweilige Differenz der Zahlen berechnet. Z. B.
Seite 3-37
Funktion TINC
Die Funktion TINC(T0,ΔT) berechnet T0+DT. Diese Funktion ist TDELTA insofern
ähnlich, als das Ergebnis in der Maßeinheit T0 ausgegeben wird. Andernfalls
ist das Ergebnis eine einfache Addition dieser Werte, wie z. B.:
Definieren und Anwenden von Funktionen
Der Benutzer kann selbst eigene Funktionen definieren, indem er den Befehl
DEF über die Tastenfolge „à(der Taste 2 zugeordnet) aufruft. Die
Funktion muss im nachfolgenden Format eingegeben werden:
Funktionsname(Argumente) = Ausdruck_der_die Argumente_enthält
Als Beispiel könnte eine einfache Funktion H(x) = ln(x+1) + exp(-x) definiert
werden.
Angenommen, Sie müssten diese Funktion für eine Zahl von diskreten Werten
auswerten. Sie möchten daher hierfür nur eine einzige Taste verwenden und
das gewünschte Ergebnis ohne umständliches separates Eintippen der
einzelnen Werte auf der rechten Seite anzeigen. Im nachfolgenden Beispiel
wird davon ausgegangen, dass sich der Taschenrechner im ALG-Modus
befindet. Geben Sie die nachfolgende Tastenfolge ein:
„à³~h„Ü~„x™‚Å
‚¹~„x+1™+„¸~„x`
Die Anzeige wird wie folgt dargestellt:
Seite 3-38
Drücken Sie die Taste J. Sie werden feststellen, dass sich eine neue Variable
in Ihrer Funktionstaste (@@@H@@) befindet. Um den Inhalt dieser Variablen
anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@H@@. In der Anzeige erscheint nun Folgendes:
Somit enthält nun die Variable H ein Programm:
<< x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >>
Hierbei handelt es sich um ein einfaches Programm in der StandardProgrammiersprache der Taschenrechner. Diese Programmiersprache wird als
UserRPL bezeichnet. Das oben aufgeführte Programm ist relativ einfach und
besteht aus zwei Bestandteilen, welche sich zwischen den ProgrammContainern << >> befinden:
• Eingabe: x x
• Verarbeitung: ‘LN(x+1) + EXP(x) ‘
Dies wird so interpretiert: trage einen Wert ein, der temporär dem Namen x
(als lokale Variable bezeichnet) zugeordnet wird, werte den Ausdruck zwischen
den Anführungszeichen, der die lokale Variablen enthält, aus und zeige dann
den berechneten Ausdruck an.
Um die Funktion im ALG-Modus zu starten, geben Sie den Namen der Funktion
ein, gefolgt vom Argument in Klammern, z. B. @@@H@@@ „Ü2`.
Nachfolgend einige Beispiele:
Seite 3-39
Im RPN-Modus müssen Sie zuerst das Argument eingeben und dann die
Funktionstaste, welche der Variablen mit dem Namen @@@H@@@ entspricht, drücken,
bevor die Funktion gestartet wird. Sie könnten z. B. Folgendes ausprobieren:
2@@@H@@@ . Die weiteren oben aufgeführten Beispiele können wie folgt
eingegeben werden: 1.2@@@H@@@ , 2`3/@@@H@@@ .
Funktionen können jedoch auch über mehr als zwei Argumente verfügen. So
zeigt z. B. die untere Abbildung die Definition der Funktion K(α,β) = α+β und
ihrer Auswertung mit den Argumenten K(√2,π) und K(1.2,2.3):
Die Inhalte der Variablen K sind: << α β ‘α+β’ >>.
Funktionen die über mehr als einen Ausdruck definiert
werden
In diesem Abschnitt behandeln wir Funktionen, die von zwei oder mehreren
Ausdrücken definiert werden. Ein Beispiel einer solchen Funktionen ist:
⎧ 2 ⋅ x − 1,
f (x) = ⎨ 2
⎩ x − 1,
x < 0⎫
⎬
x > 0 ⎭
Im steht die Funktion IFTE (IF-Then-Else) zur Beschreibung solcher Funktionen zur
Verfügung.
Die Funktion IFTE
Die IFTE-Funktion wird als IFTE (Bedingung, Aktion-wenn-wahr, Aktion-wenn-falsch)
geschrieben.
Wenn die Bedingung wahr ist, wird die Bedingung-wenn-wahr ausgeführt,
andernfalls Bedingung-wenn-falsch. So können wir z. B., um die obige Funktion
zu beschreiben, ‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ eingeben. Die Funktion IFTE
befindet sich im Befehlskatalog (‚N). Das Symbol ‘>’ (größer als) ist als
solches eingebbar (der Taste Y zugeordnet). Verwenden Sie nachfolgende
Befehlsfolge, um diese Funktion im ALG-Modus zu definieren:
DEF(f(x) =
IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)).
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Drücken Sie anschließend `. Im RPN-Modus geben Sie die Definition der
Funktion zwischen Apostrophen ein:
‘f(x) = IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’
Drücken Sie dann „à.
Drücken Sie J, um ins Variablen-Menü zurückzukehren. In Ihrem
Funktionstastenmenü sollte die Variable @@@f@@@ zur Verfügung stehen. Drücken Sie
nun ‚@@@f@@@, um das resultierende Programm anzuzeigen:
<< x ‘IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ >>
Um diese Funktion im ALG-Modus zu berechnen, geben Sie den
Funktionsnamen, f, gefolgt von der Zahl ein, in der Sie den Ausdruck auswerten
möchten, z. B. f(2), und drücken dann `. Im RPN-Modus geben Sie eine
Zahl ein und drücken dann @@@f@@@. Überprüfen Sie z. B., ob f(2) = 3 ergibt,
während f(-2) = -5 ist.
Kombinierte IFTE-Funktionen
Um eine kompliziertere Funktion, wie z.B. die nachfolgende Funktion, zu
programmieren,
⎧ − x , x < −2
⎪ x + 1, − 2 ≤ x < 0
⎪
g ( x) = ⎨
⎪ x − 1, 0 ≤ x < 2
⎪⎩
x2 , x ≥ 2
können Sie unterschiedliche Stufen der Funktion IFTE kombinieren, d. h.:
‘g(x) = IFTE(x<-2, -x, IFTE(x<0, x+1, IFTE(x<2, x-1, x^2)))’,
Definieren Sie die Funktion über eine der oben vorgestellten Möglichkeiten, und
überprüfen Sie, ob g(-3) = 3, g(-1) = 0, g(1) = 0 und g(3) = 9 ergibt.
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Kapitel 4
Berechnungen mit komplexen Zahlen
In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Berechnung und Anwendungen von
Funktionen mit komplexen Zahlen.
Definitionen
Eine komplexe Zahl z ist eine als z = x + iy geschriebene Zahl, wobei x und y
reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit, definiert durch i2 = -1 darstellt.
Die Zahl x+iy hat einen reellen Teil x = Re(z) und einen imaginären Teil y =
Im(z). Wir können uns eine komplexe Zahl als ein Punkt P(x,y) in der x-y-Ebene
vorstellen, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als die
imaginäre Achse bezeichnet wird. Somit wird die Schreibweise einer
komplexen Zahl in Form von x+iy als Kartesische Darstellung bezeichnet. Eine
alternative Kartesische Darstellung ist das geordnete Paar z = (x,y). Die polare
Darstellung einer komplexen Zahl lautet z = re iθ = r⋅cosθ + i r⋅sinθ, wobei r =
|z| =
x 2 + y 2 der Betrag der komplexen Zahl z ist, und θ = Arg(z) =
arctan(y/x) das Argument der komplexen Zahl z darstellt. Das Verhältnis
zwischen der Kartesischen und der polaren Darstellung einer komplexen Zahl
ergibt sich aus der Euler Formel: e iθ = cos θ + i sin θ. Die konjugiert komplexe
Zahl einer komplexen Zahl z = x + iy = re iθ, ist⎯z = x – iy = re -iθ. Die konjugiert
komplexe Zahl von i kann als Spiegelung von z an der reellen (x) Achse
betrachtet werden. Ähnlich kann die Negative von z, –z = -x-iy = - re iθ, als die
Spiegelung von z am Ursprung betrachtet werden.
Einstellen des Taschenrechners auf den COMPLEX-Modus
Bei der Arbeit mit komplexen Zahlen ist es von Vorteil, den Taschenrechner in
den Komplex-Modus umzustellen. Verwenden Sie dazu die Tastenfolge
H)@@CAS@ ˜˜™ @@CHK@@ .
Der COMPLEX Modus wird in der CAS MODES Anzeige ausgewählt, indem
die Option _Complex mit einem Häkchen versehen wird, d. h.
Seite 4-1
Drücken Sie @@OK@@ zweimal, um zum Stack zurückzukehren.
Eingabe von komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen können in eine der beiden Kartesischen Darstellungsweisen in
den Taschenrechner eingegeben werden, entweder x+iy oder (x,y). Die
Ergebnisse im Taschenrechner werden in Form geordneter Paare, d. h. als (x,y)
angezeigt. Im ALG-Modus z. B. wird die komplexe Zahl (3,5,-1.2) wie folgt
eingegeben:
„Ü3.5‚í\1.2`
Eine komplexe Zahl kann jedoch auch als x+iy eingegeben werden. Im ALGModus wird 3,5-1,2i wie folgt eingegeben:
3.5 -1.2*„¥`
Nach Eingabe dieser komplexen Zahlen erhalten Sie folgende Anzeige:
Im RPN-Modus können diese Zahlen über folgende Tastenfolge eingegeben
werden:
„Ü3.5‚í1.2\`
(Beachten Sie, dass die Taste "Vorzeichen ändern" nach der Zahl 1,2
eingegeben wird, genau anders herum wie im ALG-Modus-Beispiel).
Im RPN-Modus sieht die Anzeige wie folgt aus:
Seite 4-2
Beachten Sie, dass die letzte Eingabe eine komplexe Zahl im Format x+iy ist,
weil die Zahl zwischen einzelnen Anf¸hrungsstrichen eingegeben wurde und
somit einen algebraischen Ausdruck darstellt. Verwenden Sie die Taste EVAL
(μ), um diese Zahl zu berechnen.
Sobald der algebraische Ausdruck berechnet wurde, erhalten Sie die komplexe
Zahl wieder in der Form (3,5,1,2).
Polare Darstellung einer komplexen Zahl
Das obige Ergebnis zeigt eine Kartesische (rechtwinklige) Darstellung der
komplexen Zahl 3,5-1,2i. Eine polare Darstellung ist möglich, wenn wir das
Koordinatensystem über die Funktion CYLIN auf zylindrisch oder polar ändern.
Sie finden diese Funktion im Katalog (‚N). Ändern wir auf polare
Darstellung, erhalten wir im RPN-Modus folgendes Ergebnis:
Für dieses Ergebnis wird die Standardnotation verwendet und das rechtwinklige
Maß auf Bogenmaß umgestellt (Mithilfe der Funktion RAD können Sie jederzeit
auf Bogenmaß umstellen). Das obige Ergebnis stellt einen Betrag von 3,7 und
einen Winkel von 0,33029... dar. Das Winkelsymbol (∠) wird vor dem Winkel
angezeigt.
Zur Kartesischen Darstellung oder zu rechtwinkligen Koordinaten kommen Sie
mit der Funktion RECT wieder zurück (zu finden im Katalog ‚N). Eine
komplexe Zahl in polarer Darstellung wird als z = r⋅eiθ geschrieben. Die
Eingabe dieser komplexen Zahl kann in den Taschenrechner über ein
geordnetes Paar erfolgen, das wie folgt aussieht (r, ∠θ). Das Winkelsymbol (∠)
kann als ~‚6 eingegeben werden. So kann z. B. die komplexe Zahl z
= 5,2e1.5i wie folgt eingegeben werden (die Zahlen stellen den RPN-Stack vor
und nach Eingabe der Zahl dar):
Seite 4-3
Da das Koordinatensystem auf rechtwinklige (oder Kartesische) Darstellung
eingestellt ist, konvertiert der Taschenrechner die eingegebene Zahl in
Kartesische Koordinaten, d. h. x = r cos θ, y = r sin θ, in diesem Fall (0,3678…,
5,18…).
Ist hingegen das Koordinatensystem (über die Funktion CYLIN) auf zylindrisch
eingestellt, bekommen Sie eine polare Darstellung bei der Eingabe einer
komplexen Zahl (x,y), wobei x und y reelle Zahlen sind. Geben Sie z. B. in
zylindrische Koordinaten die Zahl (3.,2.) ein. Nachfolgend können Sie den
RPN-Stack vor und nach Eingabe dieser Zahl sehen:
Einfache Operationen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen können über die vier Grundrechenarten (+-*/)
kombiniert werden. Die Ergebnisse entsprechen den algebraischen Regeln nach
der Formel i2= -1. Operationen mit komplexen Zahlen entsprechen denen mit
reellen Zahlen. Versuchen Sie, mit dem Taschenrechner im ALG-Modus und dem
CAS auf Complex eingestellt, folgende Zahlen einzugeben: (3+5i) + (6-3i):
Beachten Sie, dass die reellen Teile (3+6) und die imaginären Teile (5-3) jeweils
miteinander kombiniert werden und das Ergebnis ein geordnetes Zahlenpaar
mit dem reellen Teil 9 und dem imaginären Teil 2 darstellt. Versuchen Sie
nachfolgende Berechnungen selbst:
Seite 4-4
(5-2i) - (3+4i) = (2,-6)
(3-i)·(2-4i) = (2,-14)
(5-2i)/(3+4i) = (0.28,-1.04)
1/(3+4i) = (0.12, -0.16)
Anmerkungen:
Das Produkt zweier Zahlen wird wie nachfolgend dargestellt: (x1+iy1)(x2+iy2)
= (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1).
Die Division zweier komplexer Zahlen wird erreicht, wenn man sowohl den
Zähler als auch den Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners
multipliziert, d. h.
x1 + iy1
x + iy1 x 2 − iy 2 x1 x 2 + y1 y 2
x y −x y
= 1
⋅
=
+ i ⋅ 2 21 12 2
2
2
x 2 + iy 2 x 2 + iy 2 x 2 − iy 2
x2 + y 2
x2 + y 2
Somit ist die Inverse INV (wird mit der Taste Y aktiviert) definiert als:
1
1
x − iy
x
y
=
⋅
= 2
+i⋅ 2
2
x + iy x + iy x − iy x + y
x + y2
Änderung des Vorzeichens einer komplexen Zahl
Das Vorzeichen einer komplexen Zahl kann mit der Taste \ geändert
werden, z. B. -(5-3i) = -5 + 3i
Eingabe der imaginären Einheit
Um die imaginäre Einheit einzugeben, verwenden Sie „¥
Seite 4-5
Beachten Sie dabei, dass die Zahl i als geordnetes Zahlenpaar (0,1)
eingegeben wird, wenn das CAS im APPROX-Modus steht. Im EXACT-Modus
wir die imaginäre Einheit als i eingegeben.
Weitere Operationen
Operationen wie Betrag, Argument, reelle und imaginäre Anteile, aber auch
konjugiert komplexe Zahlen werden weiter unten innerhalb des Menüs CMPLX
im Detail erläutert.
Die CMPLX-Menüs
Im Taschenrechner stehen zwei CMPLX (CoMPLeX – komplex) Menüs zur
Verfügung. Eines steht über das Menü MTH (in Kapitel 3 vorgestellt) und eines
direkt über die Tastatur (‚ß) zur Verfügung. Nachfolgend werden beide
CMPLX-Menüs vorgestellt.
CMPLX-Menü über das Menü MTH
Wenn das System-Flag 117 ist auf CHOOSE boxes (siehe Kapitel 2) eingestellt
ist, wird das CMPLX-Untermenü innerhalb des MTH-Menüs wie folgt aufgerufen:
„´9 @@OK@@. Die nachfolgenden Screenshots veranschaulichen diese
Schritte:
Das erste Menü (Optionen 1 bis 6) weist folgende Funktionen auf:
RE(z)
: Reeller Teil einer komplexen Zahl
IM(z)
: Imaginärer Teil einer komplexen Zahl
C→R(z)
: Nimmt eine komplexe Zahl (x,y) und trennt sie in ihre reellen und
imaginären Teile
R→C(x,y) : Bildet die komplexe Zahl (x,y) aus den reellen Zahlen x und y
Seite 4-6
ABS(z)
ARG(z)
: Berechnet den Betrag einer komplexen Zahl oder einer reellen
Zahl.
: Berechnet das Argument einer komplexen Zahl.
Die noch verbleibenden Optionen (Optionen 7 bis 10) sind nachfolgende:
SIGN(z) : Berechnet eine komplexe Zahl mit Betrag 1als z/|z|.
NEG
: Ändert das Vorzeichen von z
CONJ(z) : Erzeugt die konjugiert komplexe Zahl von z
Nachfolgend finden Sie einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen. Achten
Sie darauf, dass im ALG-Modus das Argument der Funktion vorangestellt
werden muss, während im RPN-Modus erst das Argument eingegeben und
dann die Funktion ausgewählt wird. Vergessen Sie auch nicht, dass Sie diese
Funktionen als Funktionsmenüs erreichen können, indem Sie das System-Flag
117 setzen (siehe Kapitel 3).
In der ersten Anzeige sind die Funktionen RE, IM und CR zu sehen. Beachten
Sie, dass die letzte Funktion eine Liste {3. 5.} zurückgibt, welche die reellen und
imaginären Komponenten der komplexen Zahl darstellt:
In der nachfolgenden Anzeige sind die Funktionen RC, ABS und ARG
abgebildet. Beachten Sie dabei, dass die Funktion ABS als |3.+5.·i| übersetzt
wird, die Notation des Absolutbetrags. Auch das Ergebnis der Funktion ARG,
das einen Winkel darstellt, wird in den zuletzt ausgewählten Winkeleinheiten
Seite 4-7
ausgegeben. In unserem Beispiel wird ARG(3.+5.·i) = 1,0303… in Bogenmaß
ausgegeben.
In der nächsten Abbildung stellen wir Beispiele zu den Funktionen SIGN, NEG
(welche als das Minuszeichen – angezeigt wird) und CONJ dar.
Das CMPLX-Menü auf der Tastatur
Ein zweites CMPLX-Menü kann über die Tastatur aufgerufen werden, indem Sie
die mit der rechten Shift-Taste verbundene Funktion der Taste 1, d. h.
‚ß eingeben. Ist das System-Flag 117 auf CHOOSE boxes eingestellt,
wird das CMPLX-Menü wie folgt angezeigt:
Das so erhaltene Menü enthält einige bereits im vorangegangenen Abschnitt
vorgestellte Funktionen, und zwar ARG, ABS, CONJ, IM, NEG, RE und SIGN.
Auch die Funktion i, die der Tastenkombination „¥ entspricht, ist
enthalten. Sie ermöglicht, die imaginäre Einheit i in einen Ausdruck
einzugeben.
Seite 4-8
Das tastaturbasierte CMPLX-Menü ist eine Alternative zum MTH-basierten
CMPLX-Menü, in dem Grundfunktionen für komplexe Zahlen enthalten sind.
Nehmen Sie die zuvor gezeigten Beispiele unter Verwendung des
tastaturbezogenen CMPLX-Menüs als Übung.
Auf komplexe Zahlen angewandte Funktionen
Viele der tastaturbasierten Funktionen für reelle Zahlen in Kapitel 3, z. B. SQ,
LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS oder ATAN können auch auf
komplexe Zahlen angewendet werden. Das Ergebnis ist wieder eine komplexe
Zahl, wie in nachfolgenden Beispielen zu sehen ist. Um diese Funktionen
anzuwenden, gehen Sie genau wie vorher für reelle Zahlen beschrieben (siehe
Kapitel 3) vor.
Anmerkung: Wenn Sie trigonometrische Funktionen und deren Inverse mit
komplexen Zahlen verwenden, sind die Argumente keine Winkel mehr.
Deshalb hat das für den Taschenrechner ausgewählte Winkelmaß für diese
Funktionen bei komplexen Argumenten keine Auswirkung auf die Berechnung.
Informationen zum Verständnis und zur formalen Definition trigonometrischer
und anderer Funktionen für komplexe Zahlen erhalten Sie in einem Buch über
komplexe Variablen.
Funktionen aus dem MTH-Menü
Die hyperbolischen Funktionen und deren Inverse sowie die Gamma-, PSI- und
Psi-Funktionen (Sonderfunktionen) wurden bereits in Kapitel 3 vorgestellt und auf
reelle Zahlen angewandt. Diese Funktionen können auf dieselbe Weise wie auf
reelle auch auf komplexe Zahlen angewendet werden. Nachfolgend einige
Beispiele:
Seite 4-9
Die nachfolgende Anzeige zeigt, dass die Funktionen EXPM und LNP1 auf
komplexe Zahlen nicht angewandt werden können. Hingegen akzeptieren die
Funktionen GAMMA, PSI und PSi komplexe Zahlen:
Funktion DROITE: Gleichung einer Geraden
Die Funktion DROITE hat als Argument zwei komplexe Zahlen, beispielsweise
x1+iy1 und x2+iy2 und gibt als Ergebnis die Gleichung einer Geraden,
beispielsweise y = a+bx, welche die Punkte (x1,y1) und (x2,y2) enthält, aus.
Z. B. kann die Linie zwischen den Punkten A(5,-3) und B(6,2) wie folgt ermittelt
werden (Beispiel im algebraischen Modus):
Die Funktion DROITE finden Sie im Befehls-Katalog (‚N).
Mit EVAL(ANS(1)) wird das Ergebnis vereinfacht zu:
Seite 4-10
Kapitel 5
Algebraische und arithmetische Operationen
Ein algebraisches Objekt (auch als Algebraik bezeichnet) kann eine beliebige
Zahl, Variable oder ein algebraischer Ausdruck sein, der nach den Regeln der
Algebra berechnet, manipuliert oder kombiniert werden kann. Beispiele für
algebraische Objekten sind:
•
•
•
•
Eine Zahl:
Der Name einer
Ein Ausdruck:
Eine Gleichung:
12,3, 15,2_m, ‘π’, ‘e’, ‘i’
Variablen: ‘a’, ‘ux’, ‘width’ usw.
‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’
‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0,5’
Eingabe von algebraischen Objekten
Algebraische Objekte können mithilfe von einfachen Anführungszeichen direkt
in Ebene 1 des Stacks oder über den EquationWriter ‚O eingegeben
werden. Sie können beispielsweise das algebraische Objekt ‘π*D^2/4’ direkt
in den Stack, Ebene 1, eingeben: ³„ì*~dQ2/
4`. Die resultierende Anzeige wird links für den ALG-Modus und rechts
für den RPN-Modus dargestellt:
Ein algebraisches Objekt kann auch im EquationWriter erstellt und
anschließend an den Stack gesendet werden. Die Bedienung des
EquationWriters wurde in Kapitel 2 beschrieben. Zur Übung erstellen Sie das
folgende algebraische Objekt im EquationWriter:
Nachdem Sie das Objekt erzeugt haben, drücken Sie, um es im Stack
anzuzeigen (nachfolgend im ALG- und RPN-Modus angezeigt):
Seite 5-1
Einfache Operationen mit algebraischen Objekten
Algebraische Objekte können genau wie jede reelle oder komplexe Zahl
addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert (ausgenommen durch Null),
potenziert sowie als Argumente für eine Reihe von Standardfunktionen
(exponential, logarithmisch, trigonometrisch, hyperbolisch usw.) verwendet
werden. Um die Grundoperationen mit algebraischen Objekten zu
veranschaulichen, erstellen wir einige Objekte, beispielsweise ‘π*R^2’ und
‘g*t^2/4’, und speichern sie in den Variablen A1 und A2 (siehe Kapitel 2,
"Erstellen von Variablen"). Nachfolgend finden Sie die Tastenfolge, um im ALGModus die Variable A1 einzugeben: :³„ì*~rQ2™
K ~a1 `, die Anzeige sieht wie folgt aus:
Die Tastenfolge für den RPN-Modus sieht so aus: ³„ì*~r
Q2`~a1 K
Nachdem Sie nun die Variable A2 gespeichert und die Taste gedrückt haben,
erscheinen die Variablen in der Anzeige wie folgt:
Seite 5-2
Im ALG-Modus zeigen folgende Tastenkombinationen eine Anzahl von
Operationen mit den algebraischen Objekten, die in den Variablen @@A1@@ und
@@A2@@ enthalten sind (drücken Sie J, um zum Variablen-Menü
zurückzukehren):
@@A1@@ + @@A2@@ `
@@A1@@ - @@A2@@ `
@@A1@@ * @@A2@@ `
@@A1@@ / @@A2@@ `
‚¹@@A1@@
„¸@@A2@@
Zum gleichen Ergebnis kommen Sie, wenn Sie im RPN-Modus die folgenden
Tastenfolgen verwenden:
@@A1@@ @@A2@@ + μ
@@A1@@ @@A2@@ * μ
@@A1@@ ‚ ¹ μ
@@A1@@ @@A2@@ - μ
@@A1@@ @@A2@@ / μ
@@A2@@ „ ¸ μ
Funktionen im Menü ALG
Das Menü ALG (algebraisch) erreicht man über die Tastenfolge ‚× (der
Taste 4 zugeordnet). Ist das System-Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt,
zeigt das ALG-Menü folgende Funktionen an:
Seite 5-3
Wir möchten hier keine Beschreibung jeder einzelnen Funktion bringen,
sondern den Anwender darauf hinweisen, dass er sie in der Hilfefunktion des
Taschenrechners anzeigen lassen kann: I L @)HELP@ ` . Um eine
bestimmte Funktion auszuwählen, geben Sie den ersten Buchstaben der
Funktion ein. Geben Sie beispielsweise für die Funktion COLLECT ~c ein
und verwenden anschließend die Pfeiltasten —˜, um im Hilfefenster zu
COLLECT zu wechseln.
Um den Vorgang abzuschließen, drücken Sie @@OK@@.. Nachfolgend die
Hilfeansicht für die Funktion COLLECT:
Die Zeile "See: (Siehe:): EXPAND FACTOR“ am unteren Rand der Anzeige
verweist auf andere Hilfefunktionseinträge zu den Funktionen EXPAND und
FACTOR. Um direkt zu diesen Einträgen zu gelangen, drücken Sie für EXPAND
die Funktionstaste @SEE1! und für FACTOR @SEE2!. Wenn Sie z. B. @SEE1! drücken,
erhalten Sie nachfolgende Informationen für EXPAND:
Seite 5-4
Hilfefunktion
Eine Hilfefunktion, welche durch das TOOL NEXT CASCMD erreichbar ist,
erlaubt Ihnen das Durchsuchen aller CAS Befehle.
Die Hilfefunktion gibt nicht nur Informationen über die einzelnen Befehle,
sondern auch ein Anwendungsbeispiel. Dieses Beispiel kann durch Drücken der
Funktionstaste @ECHO! in Ihren Stack kopiert werden. Um z. B. für den obigen
Eintrag zu EXPAND das Beispiel in den Stack zu kopieren, drücken Sie die
Funktionstaste @ECHO! (drücken Sie `, um den Befehl auszuführen):
Wir überlassen es dem Benutzer, die Liste der verfügbaren CAS-Funktionen
selbst zu ergründen. Hier sind einige Beispiele:
Die Hilfefunktion zeigt folgende Informationen zu den Befehlen:
COLLECT:
EXPAND:
FACTOR:
LNCOLLECT:
LIN:
PARTFRAC:
Seite 5-5
SOLVE:
SUBST:
TEXPAND:
Anmerkung: im PRN-Modus muss das jeweilige Argument der Funktion
vorangestellt werden, erst dann wird die Funktion selbst ausgewählt. Z. B.
müssen Sie, um TEXPAND im RPN-Modus aufzurufen, wie folgt vorgehen:
³„¸+~x+~y`
Wählen Sie an dieser Stelle die Funktion TEXPAND aus dem Menü ALG
(oder direkt aus dem Katalog ‚N), um die Operation abzuschließen.
Weitere Möglichkeiten zum Ersetzen in algebraischen Ausdrücken
Die oben gezeigte Funktion SUBST wird dazu verwendet, um eine Variable in
einem Ausdruck zu ersetzen. Eine zweite Art des Ersetzens kann mit der
Tastenfolge ‚¦ (der Taste I zugeordnet) durchgeführt werden. Die
nachfolgende Eingabe ersetzt beispielsweise den Wert x = 2 im Ausdruck x+x2
im ALG-Modus. Die Zahl auf der linken Seite zeigt, wie dieser Ausdruck
einzugeben ist, (der ersetzte Wert, x=2, muss zwischen zwei Klammern stehen)
bevor Sie die Taste ` betätigen. Nachdem die Taste ` gedrückt wurde,
wird das Ergebnis in der rechten Abbildung angezeigt:
Seite 5-6
Im RPN-Modus wird dies erreicht, indem Sie zuerst den Ausdruck, in dem der
Austausch stattfinden soll (x+x2), gefolgt von einer Liste (siehe Kapitel 8) mit der
zu ersetzenden Variablen, einem Leerzeichen und dem Wert, der eingesetzt
werden soll, d. h. {x 2}, eingeben. Der letzte Schritt, um den Vorgang
abzuschließen, ist die Tastenkombination: ‚¦.
Die dazu erforderlichen Tastenanschläge lauten wie folgt:
³~„x+~„xQ2`
„ä~„x#2` ‚¦`
Im ALG-Modus kann mehr als eine Variable ersetzt werden. Dies wird im
nachfolgenden Beispiel gezeigt (Abbildungen bevor und nachdem Sie die Taste
` gedrückt haben).
Im RPN-Modus kann ebenfalls mehr als eine Variable gleichzeitig ersetzt
werden, wie in nachfolgendem Beispiel gezeigt wird. Beachten Sie, dass im
RPN-Modus eine Liste von Variablennamen und Werten für den Austausch
verwendet wird.
Ein anderer Ansatz für den Austausch besteht darin, die im Taschenrechner zu
ersetzenden Ausdrücke als Variablen zu definieren und die Namen der
Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einzufügen. Speichern Sie z. B. im
ALG-Modus folgende Variablen:
Seite 5-7
Geben Sie anschließend den Ausdruck A+B ein:
Der zuletzt eingefügte Ausdruck wird nach Drücken der Taste ` automatisch
ausgewertet und bringt das oben gezeigte Ergebnis.
Operationen mit transzendenten Funktionen
Im Taschenrechner stehen eine ganze Reihe von Funktionen zur Verfügung,
welche zum Austausch von Ausdrücken mit logarithmischen, Exponential-,
trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen mit Ausdrücken in Form von
trigonometrischen Identitäten oder Exponentialfunktionen verwendet werden
können. Die Menüs mit Funktionen zum Austausch von trigonometrischen
Funktionen können direkt von der Tastatur aus gestartet werden, indem Sie die
rechte Shift-Taste gefolgt von der Taste 8, d. h. ‚Ñ drücken. Die
Kombination dieser Taste mit der linken Shift-Taste, d. h. ‚ Ð startet ein
Menü, welches Ihnen erlaubt, Ausdrücke anhand von Exponential- oder
natürlichen Logarithmus-Funktionen zu ersetzen. In den folgenden Abschnitten
werden diese Menüs im Detail vorgestellt.
Erweitern und Faktorisieren mithilfe der log-exp-Funktionen
Mit „Ð erhalten Sie das folgendes Menü:
Seite 5-8
Informationen und Beispiele zu diesen Befehlen erhalten Sie über die
Hilfefunktion des Taschenrechners. Einige der Befehle aus dem Menü EXP&LN,
d. h. LIN, LNCOLLECT und TEXPAND befinden sich auch im ALG-Menü,
welches vorher vorgestellt wurde. Die Funktionen LNP1 und EXPM wurden im
Menü HYPERBOLIC unter dem Menü MTH vorgestellt (siehe Kapitel 2). Die
einzige noch verbleibende Funktion ist EXPLN. Die Beschreibung dieser
Funktion ist in der linken Abbildung zu sehen, das Beispiel dazu aus der
Hilfefunktion finden Sie in der rechten Abbildung:
Erweitern und Faktorisieren anhand trigonometrischer Funktionen
Das Menü TRIG wird über die Tastenkombination ‚Ñ aufgerufen und
enthält folgende Funktionen:
Seite 5-9
Mithilfe dieser Funktionen können Ausdrücke durch Ersetzen einer bestimmten
trigonometrischen Kategorie durch eine andere vereinfacht werden. Z. B.
erlaubt die Funktion ACOS2S das Ersetzen der Funktion Arcuscosinus (acos(x))
durch deren Umformung als einen Ausdruck von Arcussinus (asin(x)).
Eine Beschreibung dieser Befehle und Beispiele und ihrer Anwendung finden
Sie über die Hilfefunktion des Taschenrechners (IL@HELP). Der Anwender
wird dazu aufgefordert, diese Hilfe nach Informationen zu den Befehlen im
Menü TRIG zu durchsuchen.
Beachten Sie, dass der erste Befehl im Menü TRIG das Menü HYPERBOLIC
darstellt, dessen Funktionen in Kapitel 2 bereits vorgestellt wurden.
Funktionen im Menü ARITHMETIC
Das Menü ARITHMETIC enthält eine Anzahl von Untermenüs für spezifische
Anwendungen in der Zahlentheorie (Ganzzahlen, Polynome usw.), aber auch
eine Reihe von Funktionen für allgemeine arithmetische Operationen. Das
ARITHMETIC-Menü wird über die Tastenkombination „Þ (der Taste 1
zugeordnet) gestartet. Ist für das System-Flag 117 das CHOOSE boxes
gewählt, erscheint nach Eingabe von „Þ das nachfolgende Menü:
Die Optionen 5 bis 9 (DIVIS, FACTORS, LGCD, PROPFRAC, SIMP2) aus dieser
Liste entsprechen den allgemeinen Funktionen für Ganzzahlen und Polynome.
Die verbliebenen Optionen (1. INTEGER, 2. POLYNOMIAL, 3. MODULO und
4. PERMUTATION) sind eigentlich Untermenüs mit Funktionen, die bestimmten
mathematischen Objekten zugeordnet sind. Der Unterschied zwischen den
Seite 5-10
Untermenüs (Optionen 1 bis 4) und reinen Funktionen (Optionen 5 bis 9) wird
klar, wenn das System-Flag 117 auf SOFT-menus gesetzt ist. Starten Sie das
Menü ARITHMETIC („Þ) erhalten Sie nun:
Nachfolgend stellen wir Ihnen die Einträge der Hilfefunktion zu den Funktionen
aus den Optionen 5 bis 9 des Menüs ARITHMETIC vor (IL@HELP):
DIVIS:
FACTORS:
LGCD (größter gemeinsamer Nenner):
PROPFRAC (reiner Bruch):
SIMP2:
Die den ARITHMETIC-Untermenüs zugeordneten Funktionen INTEGER,
POLYNOMIAL, MODULO und PERMUTATION sind folgende:
Seite 5-11
Menü INTEGER
EULER
IABCUV
IBERNOULLI
ICHINREM
IDIV2
IEGCD
IQUOT
IREMAINDER
ISPRIME?
NEXTPRIME
PA2B2
Ganzzahlen < n, die koprim/teilerfremd mit n sind
Löst au + bv = c, wobei a, b, c = Ganzzahlen sind
n-te Bernoulli Zahl
Chinesischer Restesatz für Ganzzahlen
Euklidische Division von zwei Ganzzahlen
Gibt als Ergebnis u, v, sodass gilt au + bv = gcd(a,b)
Euklidischer Quotient zweier Ganzzahlen
Euklidischer Rest für Division zweier Ganzzahlen
Überprüft, ob eine Ganzzahl eine Primzahl ist
Nächste Primzahl für eine vorgegebene Ganzzahl
Primzahl als Quadratnorm einer komplexen Zahl
PREVPRIME
Vorhergehende Primzahl für eine vorgegebene
Ganzzahl
Menü POLYNOMIAL (Polynome)
ABCUV
CHINREM
CYCLOTOMIC
DIV2
EGDC
FACTOR
Polynomgleichung nach Bézout (au+bv=c)
Chinesischer Restesatz für Polynome
n-tes Kreisteilungspolynom
Euklidische Division zweier Polynome
Gibt u, v aus au+bv=gcd(a,b) zurück
Zerlegt eine Integer-Zahl oder ein Polynom in Faktoren
FCOEF
Erzeugt einen Bruch bei gegebenen Nullstellen und
FROOTS
Vielfachheiten
Gibt Nullstellen und Vielfachheiten eines Bruches zurück
GCD
Größter gemeinsamer Teiler zweier Zahlen oder!
HERMITE
HORNER
LAGRANGE
Polynoms
Hermite-Polynom n-ten Grades
Hornersche Berechnung eines Polynoms
Lagrange-Interpolation des Polynoms
LCM
Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen oder
LEGENDRE
PARTFRAC
Polynome
Legendre-Polynom n-ten Grades
Partialbruch-Zerlegung eines gegebenen Bruches
Seite 5-12
PCOEF
PTAYL
QUOT
RESULTANT
REMAINDER
STURM
STURMAB
(Hilfefunktionseintrag fehlt)
Gibt Q(x-a) in Q(x-a) = P(x) zurück, Taylor Polynom
Euklidischer Quotient zweier Polynome
Determinante der Sylvester-Matrix zweier Polynome
Euklidischer Restesatz zweier Polynome
Sturm-Kette eines Polynoms
Zeichen an unterer Grenze und Anzahl der Nullen
zwischen den Grenzen
Menü MODULO
ADDTMOD
DIVMOD
DIV2MOD
EXPANDMOD
FACTORMOD
GCDMOD GCD
INVMOD
MOD
MODSTO
MULTMOD
POWMOD
SUBTMOD
Addition zweier Ausdrücke, Modulo aktuelles Modul
Division zweier Polynome, Modulo aktuelles Modul
Euklidische Division zweier Polynome, mit ModuloKoeffizienten
Erweitert/vereinfacht Polynome, Modulo aktuelles
Modul
Zerlegt ein Polynom in Faktoren, Modulo aktuelles
Modul
Größter gemeinsamer Teiler zweier Polynome, Modulo
aktuelles Modul
Inverse der Ganzzahl-, Modulo aktuelles Modul
(Hilfefunktionseintrag fehlt)
Ändert die Modulo-Einstellung auf den angegebenen
Wert
Multiplikation zweier Polynome, Modulo aktuelles
Modul
Potenziert ein Polynom, Modulo aktuelles Modul
Subtraktion zweier Polynome, Modulo aktuelles Modul
Anwendungen des Menüs ARITHMETIC
In diesem Abschnitt werden Hintergrundinformationen für die Anwendung der
Funktionen des ARITHMETIC-Menüs dargestellt. Gleich anschließend werden
Definitionen aus den Themenbereichen von Polynomen, polynomischen Brüchen
und zur modularen Arithmetik erläutert. Die vorgestellten Beispiele werden
unabhängig von den Einstellungen des Taschenrechners (ALG oder RPN)
behandelt.
Seite 5-13
Modulare Arithmetik
Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Ganzzahlen, welche periodisch
auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer Uhr. Ein
solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring verwendete
Anzahl von Ganzzahlen begrenzt ist, wird die Arithmetik in diesem Ring als
endliche Arithmetik bezeichnet. Nehmen wir an, unsere endliche Zahl von
Ganzzahlen besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, …, n-1, n. Die Arithmetik in
diesem Zählsystem können wir auch als modulare Arithmetik des Moduls n
bezeichnen. Im Falle der Stunden einer Uhr, wäre das Modul 12. (Wenn wir
jedoch in der modularen Arithmetik mit den Stunden einer Uhr arbeiten,
müssten wir die Integer-Zahlen 0, 1, 2, 3, …, 10, 11, und nicht 1, 2, 3,…,11,
12) verwenden.
Operationen in modularer Arithmetik
Addition in modularer Arithmetik mit dem Modul n, wobei n eine positive
Ganzzahlahl darstellt, folgt den Regeln dass, wenn j und k zwei positive
Ganzzahlen, beide kleiner als n sind und j+k≥ n ist, j+k als j+k-n definiert wird.
Im Beispiel mit unserer Uhr bedeutete das für n = 12: 6+9 “=” 3. Um diese
"Gleichwertigkeit" von unendlichen arithmetischen Gleichheiten zu
unterscheiden, wird das Symbol ≡ anstelle des Gleichzeichens gesetzt und das
Verhältnis zwischen diesen Zahlen als Kongruenzund nicht als Gleichwertigkeit
bezeichnet. Somit würden wir für das obige Beispiel 6+9 ≡ 3 (mod 12)
schreiben und diesen Ausdruck wie folgt lesen "sechs plus neun ist kongruent zu
drei, Modul 12". Stellen die Zahlen die Stunden seit Mitternacht dar, kann z. B.
die Kongruenz 6+9 ≡ 3 (mod 12) als "sechs Stunden nach der neunten Stunde
nach Mitternacht, wird drei Stunden nach Mittag sein" interpretieren. Andere
Summen, welche in Modul 12-Arithmetik definiert werden können sind
beispielsweise: 2+5 ≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12); 7+5 ≡ 0 (mod 12)
usw.
Die Regeln für die Subtraktion lauten wie folgt: wenn j – k < 0, dann wird j-k als
j-k+n definiert. Somit liest man 8-10 ≡ 10 (mod 12) als "acht minus zehn ist
kongruent zu zehn, Modul zwölf". Ein weiteres Beispiel einer Subtraktion in
Modul 12-Arithmetik wäre 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9
(mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12) usw.
Seite 5-14
Die Multiplikation erfolgt nach der Regel, dass wenn j⋅k > n ( wobei j⋅k = m⋅n +
r und m und r positive Integer-Zahlen kleiner als n darstellen), dann ist j⋅k ≡ r
(mod n). Das Produkt von j mal k in Modul n-Arithmetik ist im Grunde
genommen der Ganzzahlrest von j⋅k/n in der unendlichen Arithmetik, wenn
j⋅k>n. So gilt z. B. in Modul 12-Arithmetik 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (oder 7⋅3/12 =
21/12 = 1 + 9/12, d. h., der Ganzzahlrest von 21/12 ist 9). Wir können nun
7⋅3 ≡ 9 (mod 12) schreiben und das letzte Ergebnis wie folgt lesen: "sieben
mal drei ist kongruent zu neun, Modul zwölf".
Der Divisionsvorgang kann wie folgt über die Multiplikation definiert werden: r/
k ≡ j (mod n), wenn j⋅k ≡ r (mod n). Das bedeutet, dass r den Restwert von j⋅k/
n darstellen muss. So gilt z. B. 9/7 ≡ 3 (mod 12), weil 7⋅3 ≡ 9 (mod 12)
darstellt. Einige Divisionen sind in der modularen Arithmetik nicht erlaubt. So
können Sie z. B. in Modul-12-Arithmetik 5/6 (mod 12) nicht definieren, weil die
Multiplikationstabelle von 6 das Ergebnis 5 in Modul-12-Arithmetik nicht
anzeigt. Nachfolgend die Multiplikationstabelle:
6*0
6*1
6*2
6*3
6*4
6*5
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
(mod
12)
12)
12)
12)
12)
12)
0
6
0
6
0
6
6*6 (mod 12)
6*7 (mod 12)
6*8 (mod 12)
6*9 (mod 12)
6*10 (mod 12)
6*11 (mod 12)
0
6
0
6
0
6
Formale Definition eines endlichen arithmetischen Ringes
Der Ausdruck a ≡ b (mod n) wird als "a ist kongruent zu b, Modulo n"
interpretiert und gilt, wenn (b-a) ein Vielfaches von n ist. Anhand dieser
Definition werden die arithmetischen Regeln wie folgt vereinfacht:
Wenn
dann
a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n),
a+c ≡ b+d (mod n),
a-c ≡ b - d (mod n),
a×c ≡ b×d (mod n).
Für die Division befolgen Sie die zuvor beschriebenen Regeln. Z. B. ist 17 ≡ 5
(mod 6) und 21 ≡ 3 (mod 6). Unter Verwendung dieser Regeln können wir
schreiben:
Seite 5-15
17 + 21 ≡ 5 + 3 (mod 6) => 38 ≡ 8 (mod 6)
=> 38 ≡ 2 (mod 6)
=> -4 ≡ 2 (mod 6)
17 – 21 ≡ 5 -3 (mod 6)
17 × 21 ≡ 5 × 3 (mod 6) => 357 ≡ 15 (mod 6) => 357 ≡ 3 (mod 6)
Beachten Sie, dass Sie immer, wenn das Ergebnis auf der rechten Seite der
"Kongruenz" größer als das Modulo ist, (in diesem Fall n = 6), ein Vielfaches
des Modulo von diesem Ergebnis abziehen und zu einer Zahl, die kleiner als
das Modulo ist, vereinfachen können. Somit können die Ergebnisse aus dem
ersten Fall 8 (mod 6) auf 2 (mod 6) vereinfacht werden und die Ergebnisse im
dritten Fall, 15 (mod 6) auf 3 (mod 6). Verwirrend? Sie können mit dieser
Funktionalität problemlos umgehen, wenn Sie den Taschenrechner diese
Operationen durchführen lassen. Lesen Sie den nächsten Abschnitt für ein
besseres Verständnis der Verarbeitung endlicher arithmetischer Ringe in Ihrem
Taschenrechner.
Endliche arithmetische Ringe im Taschenrechner
Schon immer haben wir unsere endlichen arithmetischen Operationen so
definiert, dass deren Ergebnisse einen positiven Wert ergeben. Das in Ihrem
Taschenrechner existierende arithmetische System ist so eingestellt, dass der
Ring mit Modul n die Zahlen -n/2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2, enthält, wenn
n eine gerade Zahl ist und –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n-3)/2, (n-1)/2
enthält, wenn n eine ungerade Zahl ist. Für n = 8 (gerade) umfasst der
arithmetische Ring Ihres Taschenrechners z. B. die Zahlen (-3,-2,-1,0,1,3,4),
während für n = 7 (ungerade) der entsprechende endliche arithmetische Ring
die Zahlen (-3,-2,-1,0,1,2,3) umfasst.
Modulare Arithmetik im Taschenrechner
Um das modulare arithmetische Menü im Taschenrechner zu starten, wählen
Sie das Untermenü MODULO aus dem Menü ARITHMETIC („Þ). Das
Menü beinhaltet die Funktionen ADDTMOD, DIVMOD, DIV2MOD,
EXPANDMOD, FACTORMOD, GCDMOD, INVMOD, MOD, MODSTO,
MULTMOD, POWMOD und SUBTMOD. Eine kurze Beschreibung dieser
Funktionen finden Sie in dem entsprechenden Abschnitt oben. Zunächst stellen
wir einige Anwendungen dieser Funktionen vor.
Seite 5-16
Einstellung des Moduls (oder MODULO)
Im Taschenrechner befindet sich eine Variable mit dem Namen MODULO ,
welche sich im Verzeichnis {HOME CASDIR} befindet und in welcher der Wert
des MODULO für modulare arithmetische Anwendungen gespeichert ist.
Der Standartwert für MODULO lautet 13. Um den Wert von MODULO zu
ändern, können Sie den neuen Betrag direkt in der Variable MODULO im
Unterverzeichnis {HOME CASDIR} speichern. Alternativ dazu können Sie einen
neuen MODULO-Wert über die Funktion MODSTO speichern.
Modulare arithmetische Operationen mit Zahlen
Verwenden Sie die Funktionen ADDTMOD, SUBTMOD, MULTMOD, DIV2MOD,
DIVMOD (für Division) und POWMOD zur Addition, Subtraktion,
Multiplikation, Division oder Potenzierung in der modularen Arithmetik. Im RPNModus müssen Sie zwei Zahlen für die Operation eingeben, beide durch ein
[ENTER] oder ein [SPC] voneinander getrennt, und anschließend die
entsprechende modulare arithmetische Funktion drücken. Versuchen Sie
beispielsweise folgende Operationen für ein Modul von 12:
ADDTMOD-Beispiel
6+5 ≡ -1 (mod 12)
11+5 ≡ 4 (mod 12)
6+6 ≡ 0 (mod 12)
8+10 ≡ -6 (mod 12)
SUBTMOD-Beispiele
5 - 7 ≡ -2 (mod 12)
11 – 8 ≡ 3 (mod 12)
8 – 4 ≡ 4 (mod 12)
8 - 12 ≡ -4 (mod 12)
5 –10 ≡ -5 (mod 12)
MULTMOD-Beispiele
6⋅8 ≡ 0 (mod 12)
5⋅6 ≡ 6 (mod 12)
9⋅8 ≡ 0 (mod 12)
11⋅3 ≡ -3 (mod 12)
3⋅2 ≡ 6 (mod 12)
DIVMOD-Beispiele
12/3 ≡ 4 (mod 12)
25/5 ≡ 5 (mod 12)
66/6 ≡ -1 (mod 12)
6+7 ≡ 1 (mod 12)
12/8 (mod 12) existiert nicht
64/13 ≡ 4 (mod 12)
Seite 5-17
DIV2MOD-Beispiele
2/3 (mod 12) existiert nicht
26/12 (mod 12) nicht
125/17 (mod 12) ≡ 1 mit Restwert = 0
68/7 ≡ -4 (mod 12) mit Restwert = 0
7/5 ≡ -1 (mod 12) mit Restwert = 0
Anmerkung: DIVMOD ermittelt den Quotienten der modularen Division j/k
(mod n), während DIMV2MOD nicht nur den Quotienten, sondern auch den
Restwert der modularen Division j/k (mod n) ermittelt.
POWMOD-Beispiele
23≡ -4 (mod 12)
118 ≡ 1 (mod 12)
35≡ 3 (mod 12)
62 ≡ 0 (mod 12)
510≡ 1 (mod 12)
99 ≡ -3 (mod 12)
In den oben gezeigten Beispielen mit Operationen zur modularen Arithmetik
haben wir Zahlen benutzt, die nicht unbedingt zum Ring gehören, d. h. Zahlen
wie 66, 125, 17 usw. Der Taschenrechner konvertiert diese Zahlen erst in
Ringwerte und wendet dann die Operationen auf sie an. Sie können Zahlen
auch selbst mit der Funktion EXPANDMOD in einen Ringwert konvertieren. Zum
Beispiel:
EXPANDMOD(125) ≡ 5 (mod 12)
EXPANDMOD(17) ≡ 5 (mod 12)
EXPANDMOD(6) ≡ 6 (mod 12)
Die modulare Inverse einer Zahl
Nehmen wir an eine Zahl k gehört einem endlichen arithmetischen Ring des
Moduls n an, dann ist die modulare Inverse von k, d. h. 1/k (mod n), eine Zahl
j, die sich als j⋅k ≡ 1 (mod n) verhält. Die modulare Inverse einer Zahl erhält
man mit der Funktion INVMOD im MODULO-Untermenü des Menüs
ARITHMETIC. In Modul 12-Arithmetik z. B.:
1/6 (mod 12) existiert nicht
1/5 ≡ 5 (mod 12)
1/7 ≡ -5 (mod 12)
1/11 ≡ -1 (mod 12)
1/3 (mod 12) existiert nicht
Seite 5-18
Der MOD-Operator
Der MOD-Operator wird zur Ermittlung der zu einer gegebenen Ganzzahl
gehörigen Ringzahl für ein gegebenes Modul verwendet. Auf Papier wird diese
Operation als m mod n = p geschrieben und wird "m Modul von n ist gleich p"
gelesen. Um beispielsweise 15 mod 8 zu berechnen, geben Sie ein:
•
•
im ALG-Modus: 15 MOD 8`
im RPN-Modus: 15`8` MOD
Das Ergebnis ist 7, d. h. 15 mod 8 = 7. Versuchen Sie folgende Übungen:
18 mod 11 = 7
23 mod 17 = 6
23 mod 2 = 1
34 mod 6 = 4
40 mod 13 = 1
Eine praktische Anwendung der Funktion MOD für Programmierzwecke besteht
darin, herauszufinden, ob eine Integer-Zahl gerade oder ungerade ist, da n
mod 2 = 0, wenn n gerade ist und n mod 2 = 1, wenn n ungerade ist. Sie kann
auch zur Ermittlung, ob m ein Vielfaches einer anderen Integer-Zahl n ist (dies
ist der Fall, wenn m mod n = 0 ist), verwendet werden.
Anmerkung: In der Hilfefunktion des Taschenrechners finden Sie eine Beschreibung und Beispiele zu weiterer modularer Arithmetik. Viele dieser Funktionen können auf Polynome angewandt werden. Informationen zur modularen
Arithmetik mit Polynomen finden Sie in Büchern zur Zahlentheorien.
Polynome
Polynome sind algebraische Ausdrücke, die aus einem oder mehreren Gliedern,
welche abfallende Potenzen einer gegebenen Variable enthalten, bestehen. So
ist z. B. der Ausdruck ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ ein Polynom dritten Grades der
Variablen X, während ‘SIN(X)^2-2’ ein Polynome zweiten Grades in SIN(X)
darstellt. Eine Aufzählung von Funktionen zu Polynomen im Menü ARITHMETIC
wurde weiter oben vorgenommen. Im Folgenden finden Sie einige allgemeine
Definitionen zu Polynomen. In diesen Definitionen stellen A(X), B(X), C(X), P(X),
Q(X), U(X), V(X) usw. Polynome dar.
• Polynombruch: ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind,
beispielsweise C(X) = A(X)/B(X)
• Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms: Werte von X, für die P(X) = 0
• Polstellen eines Bruches: Nullstellen des Nenners
Seite 5-19
•
•
•
Vielfachheit der Nullstellen oder Pole: die Anzahl des Auftretens einer
Nullstelle, z. B. hat P(X) = (X+1)2(X-3) die Nullstellen {-1, 3} mit den
Vielfachheiten {2,1}
Kreisteilungs-Polynom (Pn(X)): ein Polynom des Grades EULER(n), dessen
Nullstellen die primitiven n-ten Wurzeln von Eins sind, z. B. P2(X) = X+1,
P4(X) = X2+1
Bézouts Polynomgleichung: A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X)
Nachstehend finden Sie spezifische Anwendungsbeispiele von Polynomen.
Modulare Arithmetik mit Polynomen
Auf die gleiche Art, wie wir einen endlichen arithmetischen Ring für Zahlen in
einem vorangegangenen Abschnitt definiert haben, können wir auch einen
endlichen arithmetischen Ring für Polynome mit einem gegebenen Polynom als
Modul definieren. So können wir z. B. ein bestimmtes Polynom P(X) als P(X) = X
(mod X2) definieren oder ein anderes Polynom als Q(X) = X + 1 (mod X-2).
Ein Polynom P(X) ist Teil eines arithmetischen Ringes von Polynomen des Moduls
M(X), wenn es ein drittes Polynom Q(X) gibt, und zwar so, dass (P(X) – Q(X)) ein
Vielfaches von M(X) darstellt. Dann würden wir schreiben: P(X) ≡ Q(X) (mod
M(X)). Letzterer Ausdruck wird als “P(X) ist kongruent mit Q(X) modulo M(X)”
interpretiert.
Die Funktion CHINREM
CHINREM steht für CHINese REMainder (Chinesischer Restesatz). Die in
diesem Befehl kodierte Operation löst ein System von Kongruenten unter
Anwendung des Chinesischen Restesatz-Theorems . Dieser Befehl kann mit
Polynomen (wie auch mit Integer-Zahlen, Funktion ICHINREM) verwendet
werden. Die Eingabe besteht aus zwei Vektoren [Ausdruck_1, Modulo_1] und
[Ausdruck_2, Modulo_2]. Die Ausgabe ist ein Vektor [Ausdruck_3, Modulo_3],
wobei Modulo_3 aus dem Produkt (Modulo_1)⋅(Modulo_2) ermittelt wird.
Beispiel: CHINREM([X+1, X^2-1],[X+1,X^2]) = [X+1,-(X^4-X^2)]
Aussage des Chinesische Restsatz-Theorems für Ganzzahlen
Wenn m1, m2,…,mr paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und a1, a2, …,
ar beliebige Integer-Zahlen sind, dann gibt es genau eine Integer-Zahl x, welche
gleichzeitig die folgenden Kongruenzen erfüllt: x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod
Seite 5-20
m2), …, x ≡ ar (mod mr). Zusätzlich sind, wenn x = a eine Lösung ist, alle
anderen Lösungen kongruent zu einem Modulo, das dem Produkt von m1⋅m2⋅
… mr entspricht.
Die Funktion EGCD
EGCD steht für Extended Greatest Common Divisor größter gemeinsamer
Teiler). Für zwei Polynome A(X) und B(X) erzeugt die Funktion EGCD die
Polynome C(X), U(X), and V(X), sodass gilt C(X) = U(X)*A(X) + V(X)*B(X). So
gilt z. B. für A(X) = X^2+1, B(X) = X^2-1, EGCD(A(X),B(X)) = {2, 1, -1}, d. h., 2
= 1*( X^2+1’)-1*( X^2-1). Auch ist EGCD(‘X^3-2*X+5’,’X’) = { 5,1,-(X^2-2)},
d. h. 5 = – (X^2-2)*X + 1*(X^3-2*X+5).
Die Funktion GCD
Die Funktion GCD (Greatest Common Denominator – größter gemeinsamer
Nenner) dient zur Ermittlung des größten gemeinsamen Nenners zweier
Polynome oder zweier Listen von Polynomen derselben Länge. Bevor Sie die
Funktion GCD anwenden, müssen die beiden Polynome oder Listen von
Polynomen in Stack-Ebene 2 und 1 verschoben werden. Das Ergebnis ist ein
Polynom oder eine Liste, die den größten gemeinsamen Nenner der beiden
Polynome oder aller Listen der Polynome darstellt. Es folgen Beispiele im RPNModus (Taschenrechner steht im Exact Modus):
‘X^3-1’`’X^2-1’`GCD ergibt: ‘X-1’
{‘X^2+2*X+1’,’X^3+X^2’} `{'X^3+1','X^2+1'}!!`GCD results in {'X+1'
1}
Die Funktion HERMITE
Die Funktion HERMITE [HERMI] verwendet als Argument eine Ganzzahl k und
gibt das Hermite-Polynom k-ten Grades zurück. Ein Hermite-Polynom, Hek(x)
wird definiert als
He0 = 1, Hen ( x) = (−1) n e x
2
/2
d n −x2 / 2
(e
), n = 1,2,...
dx n
Eine alternative Definition des Hermite-Polynoms lautet
Seite 5-21
d n − x2
H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) e
(e ), n = 1,2,...
dx n
n
x2
wobei dn/dxn = n-te Ableitungsfunktion zu x. Dies ist die im Taschenrechner
verwendete Definition.
Beispiele: Die Hermite-Polynome dritten und fünften Grades lauten wie folgt:
HERMITE(3) = ‘8*X^3-12*X’,
und
HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’.
Die Funktion HORNER
Die Funktion HORNER erzeugt die Horner- oder synthetische Division eines
Polynoms P(X) durch den Faktor (X-a). Als Eingabe der Funktion wird das
Polynom P(X) und die Zahl a benötigt. Die Funktion gibt – in dieser Reihenfolge
– den Quotienten des Polynoms Q(X), welcher aus der Division von P(X) durch
(X-a) entsteht, den Wert a und den Wert von P(a) zurück. Mit anderen Worten
P(X) = Q(X)(X-a)+P(a). Zum Beispiel: HORNER(‘X^3+2*X^2-3*X+1’,2) =
{‘X^2+4*X+5’, 2, 11}. Wir könnten somit schreiben, dass X3+2X2-3X+1 =
(X2+4X+5)(X-2)+11. Ein weiteres Beispiel: HORNER(‘X^6-1’,-5)= {’X^55*X^4+25*X^3-125*X^2+625*X-3125’,-5, 15624} d. h.,
X6 -1 = (X54
3
2
5*X +25X -125X +625X-3125)(X+5)+15624.
Die Variable VX
Im Verzeichnis {HOME CASDIR} gibt es eine Variable mit dem Namen VX ,
welche standardmäßig den Wert 'X' annimmt. Dies ist der Name der
bevorzugten unabhängigen Variablen für algebraische Anwendungen und
Infinitesimalrechnung/ Analysis. Vermeiden Sie, den Variablennamen VX in
Ihren Programmen oder Gleichungen zu verwenden, um eine Verwechslung mit
der CAS-Variablen VX zu vermeiden. Wenn Sie sich jedoch auf die xKomponente der Geschwindigkeit beziehen möchten, können Sie dafür
entweder vx oder Vx benutzen. Zusätzliche Informationen zu CAS-Variablen
finden Sie in Anhang C.
Seite 5-22
Die Funktion LAGRANGE
Die Funktion LAGRANGE benötigt als Eingabe eine Matrix mit zwei Zeilen und
n Spalten. Die Matrix speichert Datenpunkte in der Form [[x1,x2, …, xn] [y1, y2,
…, yn]]. Die Funktion LAGRANGE erzeugt ein erweitertes Polynom aus
n
n
pn −1 ( x) = ∑
j =1
∏(x − x )
k
k =1, k ≠ j
n
∏(x
k =1, k ≠ j
j
− xk )
⋅ y j.
So können wir z. B. für n = 2 schreiben:
p1 ( x) =
x − x2
x − x1
( y − y2 ) ⋅ x + ( y2 ⋅ x1 − y1 ⋅ x2 )
⋅ y1 +
⋅ y2 = 1
x1 − x2
x2 − x1
x1 − x2
Überprüfen Sie dieses Ergebnis mit Ihrem Taschenrechner:
LAGRANGE([[ x1,x2],[y1,y2]]) = ‘((y1-y2)*X+(y2*x1-y1*x2))/(x1-x2)’.
Weitere Beispiele: LAGRANGE([[1, 2, 3][2, 8, 15]]) = ‘(X^2+9*X-6)/2’
LAGRANGE([[0.5,1.5,2.5,3.5,4.5][12.2,13.5,19.2,27.3,32.5]]) =
‘-(.1375*X^4+ -.7666666666667*X^3+ - .74375*X^2 +
1.991666666667*X-12.92265625)’.
Anmerkung: Matrizen werden in Kapitel 10 eingeführt.
Die Funktion LCM
Die Funktion LCM (Least Common Multiple – kleinstes gemeinsames Vielfaches)
berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Polynome oder Listen von
Polynomen der gleichen Länge. Beispiele:
LCM(‘2*X^2+4*X+2’ ,‘X^2-1’ ) = ‘(2*X^2+4*X+2)*(X-1)’.
LCM(‘X^3-1’,‘X^2+2*X’) = ‘(X^3-1)*( X^2+2*X)’
Die Funktion LEGENDRE
Ein Legendre-Polynom n-ten Grades ist eine Polynom-Funktion, die die
Differentialgleichung
(1 − x 2 ) ⋅
d2y
dy
− 2 ⋅ x ⋅ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0 löst.
2
dx
dx
Um das Legendre-Polynoms n-ten Grades zu erhalten, verwenden Sie
LEGENDRE(n), z. B. wie folgt:
Seite 5-23
LEGENDRE(3) = ‘(5*X^3-3*X)/2’
LEGENDRE(5) = ‘(63*X ^5-70*X^3+15*X)/8’
Die Funktion PCOEF
Wenn wir ein Array mit den Nullstellen des Polynoms haben, erzeugt die
Funktion PCOEF ein Array, das die Koeffizienten der entsprechenden Polynome
enthält. Die Koeffizienten gehören in abfallender Reihenfolge zu den Potenzen
der unabhängigen Variablen. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung
PCOEF([-2,–1,0,1,1,2]) = [1. –1. –5. 5. 4. –4. 0.], welche das Polynom X6 -X55X4+5X3+4X2-4X darstellt.
Die Funktion PROOT
Wenn wir ein Array der Koeffizienten eines Polynoms in abfallender
Reihenfolge haben, erzeugt die Funktion PROOT die Nullstellen des Polynoms.
Beispielsweise gilt für X2+5X-6 =0 PROOT([1 –5 6]) = [2. 3.].
Die Funktion PTAYL
Wenn wir ein Polynom P(X) und eine Zahl a haben, ergibt die Funktion PTAYL
einen Ausdruck Q(X-a) = P(X), d. h. es erzeugt ein Polynom in Potenzen von (Xa). Dies ist auch als Taylor-Polynom bekannt, von welchem auch der Name der
Funktion abgeleitet wurde, Polynom & TAYLor.
Z. B. ergibt PTAYL(‘X^3-2*X+2’,2) = ‘X^3+6*X^2+10*X+6’.
Eigentlich sollten Sie dieses Ergebnis so interpretieren
‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’.
Wir können es überprüfen, indem wir die Substitution benutzen: ‘X = x – 2’.
Wir erhalten wieder das ursprüngliche Polynom, aber mit einem
kleingeschriebenen x anstelle eines großgeschriebenen.
Die Funktionen QUOT und REMAINDER
Die Funktionen QUOT und REMAINDER geben den Quotienten Q(X)
beziehungsweise den Restwert R(X), die aus der Division der zwei Polynome
P1(X) und P2(X) resultieren, wieder. Sie geben also die Werte für Q(X) und R(X)
aus P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X) wieder. Beispiel:
Seite 5-24
QUOT(X^3-2*X+2, X-1) = X^2+X-1
REMAINDER(X^3-2*X+2, X-1) = 1.
Somit können wir schreiben: (X3-2X+2)/(X-1) = X2+X-1 + 1/(X-1).
Anmerkung: Sie könnten letzteres Ergebnis auch für PROPFRAC erhalten:
PROPFRAC(‘(X^3-2*X+2)/(X-1)’) = ‘X^2+X-1 + 1/(X-1)’.
Die Funktion EPSX0 und die CAS-Variable EPS
Die Variable ε (Epsilon) wird normalerweise in mathematischen Lehrbüchern zur
Darstellung einer sehr kleinen Zahl verwendet. Verwenden Sie die Funktion
EPSX0, wird im CAS des Taschenrechners eine Variable EPS mit dem
Standardwert 0,0000000001 = 10-10 erzeugt. Sobald diese Variable erzeugt
wurde, können Sie ihren Wert in einen von Ihnen gewünschten Wert für EPS.
ändern. Wird die Funktion EPSX0 auf ein Polynom angewendet, werden alle
Koeffizienten, deren absoluter Wert kleiner als EPS ist, mit Null ersetzt. Die
Funktion EPSX0 ist im ARITHMETIC-Menü nicht enthalten, sondern kann nur
über den Funktionskatalog (N) gestartet werden. Beispiel:
EPSX0(‘X^3-1.2E-12*X^2+1.2E-6*X+6.2E-11)=
‘X^3-0*X^2+.0000012*X+0’.
Mit μ:
‘X^3+.0000012*X’.
Die Funktion PEVAL
Die Funktion PEVAL (Polynomial EVALuation – Auswertung des Polynoms) kann
zur Auswertung eines Polynoms p(x) = an⋅xn+an-1⋅x n-1+ …+ a2⋅x2+a1⋅x+ a0,
verwendet werden, wenn [an, an-1, … a2, a1, a0] ein Array von Koeffizienten ist
und a den Wert von x0 darstellt. Das Ergebnis ist die Auswertung p(x0). Die
Funktion PEVAL ist im ARITHMETIC-Menü nicht enthalten, sondern kann nur über
die Funktionskatalog (N) gestartet werden. Beispiel:
PEVAL([1,5,6,1],5) = 281.
Seite 5-25
Die Funktion TCHEBYCHEFF
Die Funktion TCHEBYCHEFF(n) erzeugt das Tschebyscheff-(oder Chebyshev-)
Polynom der ersten Art, Grad n, definiert als Tn(X) = cos(n⋅arccos(X)). Ist die
Ganzzahl n negativ (n < 0), erzeugt die Funktion TCHEBYCHEFF(n) ein
Chebyshev-Polynom der zweiten Art, Grad n, definiert als Tn(X) =
sin(n⋅arccos(X))/sin(arccos(X)). Beispiele:
TCHEBYCHEFF(3) = 4*X^3-3*X
TCHEBYCHEFF(-3) = 4*X^2-1
Brüche
Brüche können mit den Funktionen EXPAND und FACTOR, aus dem Menü ALG
(‚×) erweitert bzw. faktorisiert werden. Beispiel:
EXPAND(‘(1+X)^3/((X-1)*(X+3))’) = ‘(X^3+3*X^2+3*X+1)/(X^2+2*X-3)’
EXPAND(‘(X^2)*(X+Y)/(2*X-X^2)^2)’) = ‘(X+Y)/(X^2-4*X+4)’
EXPAND(‘X*(X+Y)/(X^2-1)’) = ‘(X^2+Y*X)/(X^2-1)’
EXPAND(‘4+2*(X-1)+3/((X-2)*(X+3))-5/X^2’) =
‘(2*X^5+4*X^4-10*X^3-14*X^2-5*X+30)/(X^4+X^3-6*X^2)’
FACTOR(‘(3*X^3-2*X^2)/(X^2-5*X+6)’) = ‘X^2*(3*X-2)/((X-2)*(X-3))’
FACTOR(‘(X^3-9*X)/(X^2-5*X+6)’ ) = ‘X*(X+3)/(X-2)’
FACTOR(‘(X^2-1)/(X^3*Y-Y)’) = ‘(X+1)/((X^2+X+1)*Y)’
Die Funktion SIMP2
Die Funktionen SIMP2 und PROPFRAC werden zur Vereinfachung von Brüchen
bzw. zur Erzeugung eines reinen Bruches verwendet. Die Funktion SIMP2
benötigt als Argument zwei Zahlen oder Polynome, welche den Zähler und
Nenner eines rationalen Bruches darstellen und gibt den vereinfachten Zähler
und Nenner für sie zurück. Beispiel: SIMP2(‘X^3-1’,’X^2-4*X+3’) = {
‘X^2+X+1’,‘X-3’}.
Seite 5-26
Die Funktion PROPFRAC
Die Funktion PROPFRAC konvertiert einen rationalen Bruch in einen "reinen"
Bruch, d. h. einem Bruchteil wird ein Integer-Wert hinzugefügt, falls eine
derartige Zerlegung möglich ist. Beispiel:
PROPFRAC(‘5/4’) = ‘1+1/4’
PROPFRAC(‘(x^2+1)/x^2’) = ‘1+1/x^2’
Die Funktion PARTFRAC
Die Funktion PARTFRAC zerlegt einen rationellen Bruch in Teilbrüche, die
zusammen den ursprünglichen Bruch ergeben. Beispiel:
PARTFRAC(‘(2*X^6-14*X^5+29*X^4-37*X^3+41*X^2-16*X+5)/(X^57*X^4+11*X^3-7*X^2+10*X)’) =
‘2*X+(1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+X/(X^2+1))’
Diese Technik ist besonders bei der Berechnung von Integralen (siehe Kapitel
über Infinitesimalrechnung) mit rationalen Brüchen von Nutzen.
Wenn Sie den Complex-Modus aktiviert haben, sieht das Ergebnis wie folgt
aus:
‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’
Die Funktion FCOEF
Die Funktion FCOEF erzeugt einen rationalen Bruch, wenn die Nullstellen und
Pole des Bruches bekannt sind.
Anmerkung: Wenn wir einen rationalen Bruch F(X) = N(X)/D(X) haben, können die Nullstellen dieses Bruches mit der Gleichung N(X) = 0 und die Pole
über D(X) = 0 berechnet werden.
Die Eingabe für diese Funktion ist ein Vektor der Nullstellen, gefolgt von deren
Vielfachheit (d. h. wie oft kommt eine Nullstelle vor) und der Pole, gefolgt von
deren Vielfachheit, dargestellt als negative Zahl. Wenn wir beispielsweise einen
Bruch erstellen möchten, dessen Nullstellen 2 mit Vielfachheit 1,0 mit
Seite 5-27
Vielfachheit 3 und -5 mit Vielfachheit 2 sind und der die Pole 1 mit Vielfachheit
2 und -3 mit Vielfachheit 5 hat, gehen Sie wie folgt vor:
FCOEF([2, 1, 0, 3, –5, 2, 1, –2, –3, –5]) = ‘(X-- 5)^2*X^3*(X-2)/(X- - 3)^5*(X1)^2’
Drücken Sie μ„î` (oder im RPN-Modus einfach μ) erhalten Sie:
‘(X^6+8*X^5+5*X^4-50*X^3)/(X^7+13*X^6+61*X^5+105*X^4-45*X^3297*X^2-81*X+243)’
Die Funktion FROOTS
Die Funktion FROOTS erzeugt die Nullstellen und Pole eines Bruches. Wenn wir
z. B. die Funktion FROOTS auf obiges Ergebnis anwenden, erhalten wir [1 –2.
–3 –5. 0 3. 2 1. –5 2.]. Das Ergebnis enthält die Pole, gefolgt von deren
Vielfachheit als negative Zahl und die Nullstellen, gefolgt von deren Vielfachheit
in Form einer positiven Zahl. In diesem Fall sind die Pole (1, -3) mit
entsprechender Vielfachheit (2,5) und die Nullstellen (0, 2, -5) mit der
entsprechenden Vielfachheit (3, 1, 2).
Ein weiteres Beispiel lautet: FROOTS(‘(X^2-5*X+6)/(X^5-X^2)’)= [0 –2. 1 –1. 3
1. 2 1.], d. h., Pole = 0 (2), 1(1) und Nullstellen = 3(1), 2(1). Befinden Sie sich
im Complex-Modus, sieht ihr Ergebnis wie folgt aus:
[0 –2. 1 –1. – ((1+i*√3)/2) –1. – ((1–i*√3)/2) –1. 3 1. 2 1.].
Step-by-Step Operationen mit Polynomen und Brüchen
Stellen Sie das CAS auf Step/step, wird der Taschenrechner schrittweise
Vereinfachungen von Brüchen und Operationen mit Polynomen anzeigen. Dies
ist besonders bei der synthetischen Division nützlich, um die einzelnen Schritte
der Division zu sehen. Das Beispiel der Division
X 3 − 5X 2 + 3X − 2
X −2
Seite 5-28
wird ausführlich in Anhang C erläutert. In nachfolgendem Beispiel wird eine
längere synthetische Division angezeigt:
X 9 −1
X 2 −1
Beachten Sie, dass DIV2 im ARITH/POLYNOMIAL-Menü zur Verfügung steht.
Seite 5-29
Das Menü CONVERT und algebraische Operationen
Das Menü CONVERT wird über die Tasten „Ú (die Taste 6) gestartet.
Das Menü fasst alle Umwandlungs-Menüs im Taschenrechner zusammen.
Nachstehend finden Sie eine Abbildung mit der Liste der Menüs:
Die in den einzelnen Untermenüs vorhandenen Funktionen werden nachfolgend
besprochen.
Konvertierungs-Menü UNITS (Einheiten) (Option 1)
Dieses Menü entspricht dem Menü UNITS unter Verwendung von ‚Û. Die
Anwendungen dieses Menüs werden ausführlich in Kapitel 3 erläutert.
Konvertierungs-Menü BASE (Option 2)
Dieses Menü entspricht dem Menü BASE unter Verwendung von ‚ã. Die
Anwendungen dieses Menüs werden ausführlich in Kapitel 19 erläutert.
Konvertierungs-Menü TRIGONOMETRIC (Option 3)
Dieses Menü entspricht dem Menü TRIG unter Verwendung von ‚Ñ. Die
Anwendungen dieses Menüs werden ausführlich in diesem Kapitel erläutert.
Konvertierungs-Menü MATRIZEN (Option 5)
Dieses Menü enthält zusätzlich die folgenden Funktionen:
Seite 5-30
Diese Funktionen werden ausführlich in Kapitel 10 erläutert.
Konvertierungs-Menü REWRITE (Option 4)
Dieses Menü enthält die folgenden Funktionen:
Die Funktionen IR und RI werden zur Konvertierung einer Ganzzahl
(Integer- I) in eine reelle Zahl (R), oder umgekehrt, verwendet. Ganzzahlen
werden ohne Dezimalpunkte angegeben, während reelle Zahlen, die einen
ganzzahligen Wert enthalten, einen Dezimalpunkt am Ende besitzen, z. B.
Die Funktion NUM hat den gleichen Effekt wie die Tastenkombination
‚ï (der Taste ` zugeordnet). Die Funktion NUM konvertiert ein
symbolisches Ergebnis in ein Gleitkomma-Ergebnis. Die Funktion Q
konvertiert einen Gleitkommawert in einen Bruch. Die Funktion Qπ konvertiert
einen Gleitkommawert in einen Bruch von π, wenn ein solcher Bruch von π für
die Zahl gefunden werden kann; andernfalls konvertiert sie diese Zahl in einen
Bruch. Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen.
Seite 5-31
Aus den Funktionen des Menüs REWRITE stehen die Funktionen DISTRIB, EXPLN,
EXP2POW, FDISTRIB, LIN, LNCOLLECT, POWEREXPAND und SIMPLIFY für
algebraische Ausdrücke zur Verfügung. Viele dieser Funktionen werden in
diesem Kapitel vorgestellt. Aus Gründen der Vollständigkeit zeigen wir die
Einträge in der Hilfefunktion für diese Funktionen.
DISTRIB
EXPLN
EXP2POW
FDISTRIB
LIN
LNCOLLECT
Seite 5-32
POWEREXPAND
SIMPLIFY
Seite 5-33
Kapitel 6!
Lösung von Einzelgleichungen
In diesem Kapitel behandeln wir die Funktionen des Taschenrechners zur
Lösung von Einzelgleichungen der Form f(X) = 0. Der Taste 7 sind zwei
Menüs für die Lösung von Gleichungen zugewiesen, der symbolische SOLVer
(Löser) („Î) und der NUMerische SOLVer (Löser) (‚Ï).
Nachfolgend werden einige Funktionen aus diesen Menüs beschrieben. Ändern
Sie für diese Beispiele den CAS-Modus auf Complex (siehe Kapitel 2).
Symbolische Lösung algebraischer Gleichungen
Nachfolgend werden einige Funktionen aus dem Menü Solver beschrieben.
Aktivieren Sie das Menü über die Tastenkombination. Mit dem System-Flag 117
auf CHOOSE boxes gesetzt, werden folgende Menüeinträge aufgelistet:
Die Funktionen DESOLVE und LDEC werden zur Lösung von
Differentialgleichungen, Thema eines anderen Kapitels, verwendet und deshalb
in den folgenden Abschnitten nicht näher erläutert. Ähnlich die Funktion
LINSOLVE, die zur Lösung von mehrfachen linearen Gleichungen dient und
ebenfalls in einem anderen Kapitel dargelegt wird. Die Funktionen ISOL und
SOLVE können zur Lösung einer Unbekannten in einer Polynomgleichung
verwendet werden. Die Funktion SOLVEX löst eine Polynomgleichung, in der die
Standard-CAS-Variable VX (standardmäßig 'X') die Unbekannte ist. Schließlich
gibt es noch die Funktion ZEROS, die Nullstellen (Wurzeln) eines Polynoms
bereitstellt. Für alle Funktionen im S.SLV-Menü außer ISOL sind Einträge über
die CAS-Hilfefunktion (IL@HELP ) verfügbar.
Seite 6-1
Funktion ISOL
Mit der Funktion ISOL (Gleichung, Variable) erhalten Sie die Lösung(en) für die
Gleichung durch Isolierung der Variablen. Um beispielsweise t in der Gleichung
at3-bt = 0 zu ermitteln, wenn der Taschenrechner im ALG-Modus ist, können wir
wie folgt vorgehen:
Im RPN-Modus erhalten wir das gleiche Ergebnis, wenn wir die Gleichung,
gefolgt von der Variablen, in den Stack schreiben und anschließend die
Funktion ISOL eingeben. Bevor Sie die Funktion ISOL ausführen, sollte die
Anzeige im RPN-Modus wie in der Abbildung auf der linken Seite aussehen.
Nachdem Sie die Funktion ISOL ausgeführt haben, sieht ihre Anzeige wie in
der rechten Abbildung aus:
Das erste Argument in ISOL kann ein Ausdruck – wie oben aufgeführt – oder
eine Gleichung sein. Versuchen Sie z. B. im ALG-Modus:
Anmerkung: Um das Gleichzeichen (=) in einer Gleichung zu schreiben,
verwenden Sie die Tastenfolge ‚Å (der Taste \ zugeordnet).
Das gleiche Problem kann wie unten abgebildet im RPN-Modus gelöst werden
(Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach der Anwendung der Funktion
ISOL):
Seite 6-2
Funktion SOLVE
Die Funktion SOLVE hat die gleiche Syntax wie die Funktion ISOL, nur dass
SOLVE auch zur Lösung einer Menge von Polynomgleichungen verwendet
werden kann. In der Abbildung unten finden Sie den Hilfetext für die Funktion
SOLVE mit der Lösung der Gleichung X^4 – 1 = 3:
Die folgenden Beispiele zeigen die Funktion SOLVE im ALG- und im RPNModus:
Die obige Abbildung zeigt zwei Lösungen. In der ersten, β4 -5β =125, findet
SOLVE keine Lösungen { }. In der zweiten hingegen, β4 - 5β = 6, findet SOLVE
gleich vier Lösungen, die in der letzten Ausgabezeile angezeigt sind. Die letzte
Lösung ist nicht sichtbar, weil die Anzahl der Buchstaben der Lösung größer als
die Anzeigebreite des Displays ist. Sie können jedoch mithilfe der Pfeiltaste
(˜), welche den Zeileneditor aktiviert, alle Lösungen ansehen (dieser
Vorgang kann jederzeit benutzt werden, wenn die Ausgabezeile länger als die
Breite der Taschenrechner-Displays ist):
Seite 6-3
Die entsprechende Anzeige für diese beiden Beispiele im RPN-Modus ist
nachstehend vor und nach der Anwendung der Funktion SOLVE zu sehen:
Benutzen Sie in diesem Modus die Pfeiltaste ˜, wird der Zeileneditor
gestartet:
Funktion SOLVEVX
Die Funktion SOLVEVX löst eine Gleichung für die Standard-CAS-Variable in der
reservierten Variablen VX. Standardmäßig ist der Wert dieser Variablen 'X'.
Nachfolgend einige Beispiele im ALG-Modus mit VX = 'X':
Im ersten Fall konnte SOLVEVX keine Lösung finden. Im zweiten Fall hat
SOLVEVX eine einzige Lösung gefunden, X = 2.
Seite 6-4
Nachfolgend die Anzeige der beiden Beispiele im RPN-Stack (vor und nach
Anwendung der Funktion SOLVEVX):
Die Gleichung, die als Argument für die Funktion SOLVEVX benutzt wird, muss
auf einen rationalen Ausdruck vereinfacht werden können. Z. B. wird die
nachfolgende Gleichung von SOLVEVX nicht verarbeitet:
Funktion ZEROS
Die Funktion ZEROS berechnet Lösungen einer Polynomgleichung, ohne deren
Vielfachheit anzuzeigen. Als Eingabe für die Funktion werden der Ausdruck für
die Gleichung und der Name der Variablen, nach der zu lösen ist, benötigt.
Die folgenden Beispiele werden im ALG-Modus durchgeführt:
Um die Funktion ZEROS im RPN-Modus zu verwenden, muss zuerst der
Polynomausdruck eingegeben werden, dann die zu lösende Variable und
anschließend die Funktion ZEROS. Die nachfolgenden Abbildungen zeigen den
RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ZEROS auf die beiden
obigen Beispiele.
Seite 6-5
Die Funktionen des oben aufgeführten symbolischen Lösers ermitteln Lösungen
für rationale Gleichungen (hauptsächlich für Polynomgleichungen). Wenn alle
Koeffizienten der zu lösenden Gleichung numerisch sind, ist auch eine
numerische Lösung über den numerischen Löser des Taschenrechners möglich.
Menü numerischer Löser
Der Taschenrechner bietet eine starke Umgebung zur Lösung von einzelnen
algebraischen oder transzendenten Gleichungen. Um auf diese Umgebung
zuzugreifen, starten sie den numerischen Löser (NUM.SLV) mithilfe von
‚Ï. Sie erhalten Ein Drop-Down-Menü mit folgenden Optionen:
Die Position 2. Solve diff eq.. wird in einem späteren Kapitel über
Differentialgleichungen näher behandelt. Position 4. Solve lin sys.. wird in
einem späteren Kapitel über Matrizen behandelt. Position 6. MSLV (Mehrfacher
SoLVer (für Gleichungssysteme)) wird im nächsten Kapitel erläutert.
Nachfolgend präsentieren wir Anwendungen zu den Positionen 3. Solve poly..,
5. Solve finance und 1. Solve equation.. (in dieser Reihenfolge). In Anhang 1-A
am Ende von Kapitel 1 finden Sie Hinweise zur Benutzung von
Eingabeformularen und Beispiele für Anwendungen mit dem numerischen Löser.
Seite 6-6
Anmerkungen:
1. Wenn Sie eine Lösung in der NUM.SLV Anwendung berechnen, wird der
gefundene Wert in den Stack geschrieben. Dies erweist sich als nützlich,
wenn sie diesen Wert für spätere Operationen benötigen.
2. Bei jedem Start einer Anwendung im NUM.SLV-Menü werden eine oder
mehrere Variablen erzeugt.
Polynomgleichungen
Wenn Sie die Option Solve poly… in der SOLVE Umgebung Ihres
Taschenrechners benutzen, können Sie:
(1) Lösungen zu einer Polynomgleichung finden,
(2) die Koeffizienten des Polynoms bei einer bekannten Anzahl von Nullstellen
ermitteln, sowie
(3) einen algebraischen Ausdruck für das Polynom als Funktion von X ermitteln.
Lösungen zu einer Polynomgleichung berechnen
Eine Polynomgleichung ist eine Gleichung mit folgender Struktur: anxn + an-1xn1 + …+ a x + a = 0. Der fundamentale Lehrsatz der Algebra besagt, dass es
1
0
n Lösungen zu jeder Polynomgleichung n-ten Grades gibt. Jedoch können
einige Lösungen auch komplexe Zahlen sein. Als Beispiel lösen Sie die
Gleichung: 3s4 + 2s3 - s + 1 = 0.
Wir setzen die Koeffizienten der Gleichung in einen Vektor [an,an-1,a1 a0]. Für
dieses Beispiel benutzen wir den Vektor [3,2,0,-1,1]. Um diese
Polynomgleichung mit dem Taschenrechner zu lösen, versuchen Sie Folgendes:
‚Ϙ˜@@OK@@
Wählen Sie Solve poly…
„Ô3‚í2‚í 0
‚í 1\‚í1@@OK@@
Tragen Sie die Koeffizienten
in einen Vektor ein
@SOLVE@
Lösen Sie die Gleichung
In der Anzeige wird die Lösung wie folgt aussehen:
Seite 6-7
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren. Der Stack zeigt die folgenden
Ergebnisse im ALG-Modus an (das gleiche Ergebnis würde auch im RPN-Modus
angezeigt):
Um alle Lösungen anzuzeigen, drücken Sie die Pfeiltaste (˜) zur Navigation
im Zeileneditor:
Alle Lösungen sind komplexe Zahlen: (0.432,-0.389), (0.432,0.389),
(-0.766, 0.632), (-0.766, -0.632).
Anmerkung: Beachten Sie, dass komplexe Zahlen im Taschenrechner als
geordnete Paare dargestellt werden, wobei die erste Zahl im Paar den reellen
Teil und die zweite den imaginären Teil darstellt. Z. B. wird die Zahl (0,432,0,389), eine komplexe Zahl, normalerweise als 0,432 – 0,389i dargestellt,
wobei i die imaginäre Einheit, d. h. i2 = -1 darstellt.
Anmerkung: Der fundamentale Lehrsatz der Algebra besagt, dass es n
Lösungen zu jeder Polynomgleichung n-ten Grades gibt. Es gibt einen weiteren
Lehrsatz in der Algebra, der besagt, dass, wenn eine Lösung einer Polynomgleichung mit reellen Koeffizienten eine komplexe Zahl ist, dann ist die konjugierte
dieser Zahl auch eine Lösung. Mit anderen Worten, komplexe Lösungen zu
einer Polynomgleichung mit reellen Koeffizienten treten paarweise auf. Dies
bedeutet, dass Polynomgleichungen ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Lösung haben.
Seite 6-8
Erzeugen von Polynom-Koeffizienten , wenn die Nullstellen des Polynoms
bekannt sind
Angenommen, Sie möchten ein Polynom erstellen, dessen Nullstellen die Zahlen
[1, 5, -2, 4] sind. Um den Taschenrechner für diesen Zweck zu nutzen, führen
Sie folgende Schritte aus:
‚Ϙ˜@@OK@@
˜„Ô1‚í5
‚í2\‚í 4@@OK@@
@SOLVE@
Wählen Sie Solve poly…
Tragen Sie die Nullstellen in
einen Vektor ein
Lösen der Koeffizienten
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren, die Koeffizienten werden im
Stack angezeigt.
Drücken Sie ˜, um alle Koeffizienten im Zeileneditor anzuzeigen.
Anmerkung: Möchten Sie ein Polynom mit reellen Koeffizienten erhalten,
das aber komplexe Nullstellen besitzt, müssen Sie die komplexen Nullstellen
als Paare von konjugierten Zahlen eingeben. Um dies zu veranschaulichen,
erstellen wir ein Polynom mit den Nullstellen [1 (1,2) (1,-2)]. Überprüfen Sie,
dass das erhaltene Polynom nur reelle Koeffizienten enthält. Versuchen Sie
auch ein Polynom mit den Nullstellen [1 (1,2) (-1,2)] zu erstellen, und
überprüfen Sie, dass das daraus resultierende Polynom komplexe Koeffizienten
enthält.
Erstellen eines algebraischen Ausdrucks für das Polynom
Sie können bei der Erstellung eines algebraischen Ausdrucks für ein Polynom
mit vorgegebenen Nullstellen oder Koeffizienten den Taschenrechner benutzen.
Der ermittelte Ausdruck wird als Standard-CAS-Variable X ausgegeben. (Die
Seite 6-9
nachfolgenden Beispiele zeigen, wie Sie X mit einer anderen Variable über die
Funktion | ersetzen können.)
Um den algebraischen Ausdruck mithilfe der Koeffizienten zu erstellen, nehmen
Sie nachfolgendes Beispiel. Nehmen wir an, die Koeffizienten des Polynoms
sind [1,5,-2,4]. Verwenden Sie dazu folgende Tastenfolge:
Wählen Sie Solve poly…
Tragen Sie die Koeffizienten in
einen Vektor ein
‚Ϙ˜@@OK@@
„Ô1‚í5
‚í2\‚í 4@@OK@@
—@SYMB@
`
Erzeugen Sie den symbolischen
Ausdruck
Zurück zum Stack
Der so ermittelte Ausdruck wird im Stack wie folgt angezeigt:
'X^3+5*X^2+-2*X+4'.
Um den algebraischen Ausdruck mithilfe der Nullstellen zu erstellen, nehmen
Sie folgendes Beispiel. Nehmen wir an, die Nullstellen des Polynoms lauten
[1,3,-2,1]. Verwenden Sie dazu folgende Tastenfolge:
‚Ϙ˜@@OK@@
˜„Ô1‚í3
‚í2\‚í 1@@OK@@
˜@SYMB@
`
Wählen Sie Solve poly…
Tragen Sie die Nullstellen in
einen Vektor ein
Erzeugen Sie den symbolischen
Ausdruck
Zurück zum Stack
Der so erzeugte Ausdruck wird im Stack wie folgt angezeigt:
'(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X-1)'.
Um die Ergebnisse auszumultiplizieren, können Sie den Befehl EXPAND
verwenden. Der daraus resultierende Ausdruck sieht wie folgt aus:
Seite 6-10
'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'.
Ein weiterer Ansatz, einen Ausdruck für das Polynom zu bekommen, besteht
darin, zunächst die Koeffizienten zu erzeugen und anschließend den
algebraischen Ausdruck mit hervorgehobenen Koeffizienten. Versuchen Sie in
diesem Fall:
‚Ϙ˜@@OK@@
˜„Ô1‚í3
‚í2\‚í 1@@OK@@
@SOLVE@
˜@SYMB@
`
Wählen Sie Solve poly…
Tragen Sie die Nullstellen in
einen Vektor ein
Lösung für die Koeffizienten
Erzeugen Sie den symbolischen
Ausdruck
Zurück zum Stack
Der so ermittelte Ausdruck wird im Stack wie folgt angezeigt: 'X^4+-3*X^3+ 3*X^2+11*X+-6*X^0'. Die Koeffizienten werden in Stack-Ebene 2 angezeigt.
Finanzmathematische Berechnungen
Die Berechnungen in Position 5. Solve finance.. im numerischen Löser
(NUM.SLV) werden zur Berechnung des „Zeitwertes des Geldes“ verwendet,
von besonderer Bedeutung in der technischen Wirtschaft und anderen
Finanzanwendungen. Diese Anwendung kann mit der Tastenkombination
„sÒ (der Taste 9 zugeordnet) gestartet werden. Bevor wir diese
Lösungsumgebung im Detail erläutern, führen wir einige Definitionen ein,
welche zum Verständnis finanzmathematischer Operationen im Taschenrechner
erforderlich sind.
Definitionen
Es kommt häufig vor, dass man zur Entwicklung eines Projektes Geld von einem
Finanzinstitut oder aus öffentlichen Mitteln leihen muss. Die geliehene
Geldsumme wird als aktueller Wert/ Barwert (PV) bezeichnet. Dieser
Geldbetrag muss in n Raten (Zeitabschnitten) (normalerweise Vielfache oder
Untereinheiten eines Monats) zurückgezahlt werden Die Raten unterliegen einer
jährlichen Zinsrate von I%YR. Die Anzahl von Zeitabschnitten pro Jahr (P/YR)
ist eine Ganzzahl von Zeitabschnitten, in welche das Jahr zum Zwecke der
Seite 6-11
Kreditzurückzahlung unterteilt wurde. Standardwerte von P/YR sind 12 (eine
Zahlung pro Monat), 24 (zwei Zahlungen pro Monat) oder 52 (wöchentliche
Zahlungen). Die Rate(PMT) ist die Summe, die der Leiher an den Verleiher am
Anfang oder am Ende jedes Zeitabschnittes n der Leihfrist bezahlen muss. Der
zukünftige Wert/ Endwert des Geldes (FV) ist der Wert der ausgeliehenen
Geldsumme am Ende von n Zeitschabschnitten. Normalerweise erfolgt die
Bezahlung jeweils am Ende eines Zeitabschnittes, sodass der Entleiher am End
des ersten Zeitabschnittes mit der Bezahlung beginnt und die gleiche feste
Summe am Ende des zweiten, dritten usw. Zeitabschnittes bis hin zum letzten
Zeitabschnitt n bezahlt.
Beispiel 1 – Berechnung der Rückzahlung eines Kredits
Wenn 2 Millionen Dollar bei einem jährlichen Zinssatz von 6,5% mit einer
Leihfrist von 60 Monaten ausgeliehen werden, wie viel beträgt die monatliche
Ratenzahlung? Um die Schulden vollständig innerhalb von 60 Monaten zu
bezahlen, sollte der Endwert des Darlehens Null betragen. Um dies über die
finanzmathematischen Merkmale des Taschenrechners durchzuführen, benutzen
wir die nachfolgenden Werte: n = 60, I%YR = 6,5, PV = 2000000, FV = 0, P/
YR = 12. Um diese Daten einzugeben und die Zahlung, PMT, zu berechnen,
gehen Sie wie folgt vor:
„Ò
60 @@OK@@
6,5 @@OK@@
2000000 @@OK@@
˜
0 @@OK@@
— š @@SOLVE!
Starten Sie die Eingabemaske für
Finanzmathematik
Geben Sie n = 60 ein
Geben Sie I%YR = 6,5 % ein
Geben Sie PV = 2.000.000 US$ ein
Übergehen Sie PMT, da Sie dies berechnen möchten
Geben Sie FV = 0 ein, die Option End wird
hervorgehoben
Heben Sie PMT hervor, um diesen Wert zu ermitteln
Die Anzeige sieht wie folgt aus:
Seite 6-12
In der Anzeige erscheint der Wert für PMT als –39.132,30, d. h. der
Kreditnehmer wird eine monatliche Rate von US $ 39.132,30 am Ende jedes
Monats innerhalb der kommenden 60 Monate zahlen, um den Gesamtbetrag
zurückzuzahlen. Der Grund, warum der Wert PMT negativ ausgefallen ist,
besteht darin, dass der Taschenrechner die Werte aus der Sicht des
Kreditnehmers betrachtet. Der Kreditnehmer besitzt ein Plus von US $
2.000.000,00 in der Zeitspanne t = 0, dann beginnt er mit der Zahlung,
sodass jedes Mal – US $ 39132,30 in den Perioden t = 1, 2, ..., 60
hinzuaddiert werden. Bei t = 60 liegt der tatsächliche Nettowert in den Händen
des Entleihers bei Null. Wenn Sie nun den Betrag von US $ 39.132,30 nehmen
und diesen mit 60 Zahlungen multiplizieren, wird die tatsächlich zurückgezahlte
Gesamtsumme US $ 2.347.937,79 betragen. Somit macht der Verleiher einen
Nettogewinn von $ 347.937,79 in den 5 Jahren, in welchen er das Projekt des
Kreditnehmers finanziert.
Beispiel 2 – Berechnung der Amortisation/ Tilgung für einen Kredit
Sie erhalten die gleiche Lösung zu dem Problem aus Beispiel 1, wenn Sie die
Taste @)@AMOR!!, welche für TILGUNG steht, drücken. Diese Option wird benutzt, um
zu ermitteln, wie viel am Ende einer bestimmten Leihfrist insgesamt getilgt
wurde. Nehmen wir an, dass wir 24 Leihfristen in der ersten Zeile der
Tilgungssanzeige verwenden, d. h. 24 @@OK@@. Drücken Sie anschließend
@@AMOR@@. Sie erhalten folgendes Ergebnis:
Diese Anzeige wird so interpretiert, dass nach 24 Monaten
Schuldenrückzahlungen der Kreditnehmer insgesamt US $ 723.211,43 des
geschuldeten Betrags getilgt und US $ 215.963,68 an Zinsen bezahlt hat. Der
Kreditnehmer muss noch eine Differenz von US $ 1.276.788,57 innerhalb der
nächsten 36 Monate zurückzahlen.
Überprüfen Sie, was passiert, wenn Sie 60 bei den Zahlungen eingeben:
starten Sie die Tilgungsanzeige und drücken Sie dann @@OK@@ @@AMOR@@. Die Anzeige
sieht nun wie folgt aus:
Seite 6-13
Das bedeutet, dass am Ende von 60 Monaten der entliehene Betrag von US $
2.000.000,00 zusammen mit den Zinsen von US $ 347.937,79 abbezahlt
wurde, der Differenzbetrag aber noch US $ 0,000316 beträgt, welche der
Kreditnehmer dem Verleiher schuldet, ist. Sicherlich sollte der Differenzbetrag
aber Null sein. Der im Display angezeigte Wert ist ein schlichter
Rundungsfehler entstanden aus der numerischen Lösung.
Drücken Sie $ oder ` zweimal, um zur Normalansicht des
Taschenrechners zurückzukehren.
Beispiel 3 – Berechnen der Zahlung am Anfang der Zeitspanne
Lösen wir das gleiche Problem wie in den Beispielen 1 und 2, jedoch mit der
Option, dass die Zahlung am Anfang der jeweiligen Zahlungsperiode
stattfindet. Verwenden Sie folgende Schritte:
„Ò
60 @@OK@@
6,5 @@OK@@
2000000 @@OK@@
˜
0 @@OK@@
@@CHOOS@ —@@OK@@
— š @@SOLVE!
Starten Sie die Eingabemaske für Finanzmathematik
Geben Sie n = 60 ein
Geben Sie I%YR = 6,5 % ein
Geben Sie PV = 2.000.000 US$ ein
Übergehen Sie PMT, da wir diese berechnen
möchten
Geben Sie FV = 0 ein, die Option End wird
hervorgehoben
Ändern Sie die Option für die Zahlung auf Begin
(Anfang)
Heben Sie PMT hervor, um diesen Wert zu lösen
In der Anzeige erscheint der Wert für PMT als -38.921,47, d. h. der
Kreditnehmer wird eine monatliche Rate von US $ 38.921,48 am Anfang jedes
Monats während der kommenden 60 Monate zahlen, bis er den Gesamtbetrag
zurückgezahlt hat. Beachten Sie, dass der Betrag den der Kreditnehmer
Seite 6-14
monatlich zu bezahlen hat, wenn er diesen am Anfang jeden Monats bezahlt,
geringfügig niedriger als der am Ende des gleichen Monats ist. Der Grund
dafür ist, dass der Verleiher Zinsguthaben für die Bezahlungen am Anfang des
Monats bekommt, und somit die Schuldlast des Kreditnehmers etwas verringert.
Anmerkungen:
1. Die finanzmathematische Umgebung erlaubt es, jeden beteiligten Wert,
d. h. n, I%YR, PV, FV, P/Y, wenn die anderen Werte des Darlehens
bekannt sind, zu berechnen. Heben Sie einfach den Wert, den Sie
berechnen möchten, hervor und drücken Sie @@SOLVE!. Das Ergebnis wird im
hervorgehobenen Feld angezeigt.
2. Die in der finanzmathematischen Umgebung des Taschenrechners
berechneten Werte werden mit ihrer entsprechenden Kennung
(Kennzeichen zur Identifizierung) in den Stack kopiert.
Löschen von Variablen
Wenn Sie die finanzmathematische Umgebung Ihres Taschenrechners zum
ersten Mal verwenden, werden im HOME-Verzeichnis oder in einem anderen
Unterverzeichnis die Variablen @@@N@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ erzeugt, um die
entsprechenden Werte für die verschiedenen Berechnungen zu speichern. Sie
können sich den Inhalt dieser Variablen wie folgt anzeigen lassen:
‚@@ @n@@ ‚@I©YR@ ‚@@PV@@ ‚@@PMT@@ ‚@@PYR@@ ‚@@FV@@.
Sie können sie für zukünftige Verwendung im Verzeichnis belassen oder mithilfe
der Funktion PURGE aus dem Verzeichnis löschen. Um im ALG-Modus alle
Variablen auf einmal zu löschen, versuchen Sie Folgendes:
I@PURGE J „ä
³‚@@@n@@
™ ‚í
³ ‚@I©YR@
™ ‚í
³ ‚@@PV@@
™ ‚í
³ ‚@@PMT@@
Geben Sie PURGE ein und erstellen Sie eine
Liste der Variablen
Geben Sie den Namen der Variablen N ein
Geben Sie ein Komma ein
Geben Sie den Namen der Variablen I%YR!
ein
Geben Sie ein Komma ein
Geben Sie den Namen der Variablen PV ein
Geben Sie ein Komma ein
Geben Sie den Namen der Variablen PMT ein
Seite 6-15
™ ‚í
³ ‚@@PYR@@
™ ‚í
³ ‚@@FV@@.
`
Geben Sie ein Komma ein
Geben Sie den Namen der Variablen PYR ein
Geben Sie ein Komma ein
Geben Sie den Namen der Variablen FV ein
Führen Sie den PURGE-Befehl aus
In den nachfolgenden Abbildungen sehen Sie den PURGE-Befehl zum Löschen
aller Variablen im Verzeichnis sowie das Ergebnis, nachdem Sie den Befehl
ausgeführt haben.
Im RPN-Modus können Sie diesen Befehl wie folgt ausführen:
J „ä
@@@n@@
@I©YR@
@@PV@@
@@PMT@@
@@PYR@@
@@FV@@
`
I@PURGE
Erstellen Sie eine Liste von Variablen, die
gelöscht werden sollen
Geben Sie den Namen der Variablen N ein
Geben Sie den Namen der Variablen I%YR
ein
Geben Sie den Namen der Variablen PV
ein
Geben Sie den Namen der Variablen PMT ein
Geben Sie den Namen der Variablen PYR ein
Geben Sie den Namen der Variablen FV ein
Geben Sie die Liste der Variablen in den Stack
Löschen Sie die Variablen in der Liste
Bevor Sie den PURGE-Befehl eingeben, sieht der RPN-Stack wie folgt aus:
Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten über NUM.SLV
Das Menü NUM.SLV des Taschenrechners ermöglicht in Position 1. Solve
equation.. die Lösung verschiedener Typen von Gleichungen in einer einzigen
Seite 6-16
Variablen, einschließlich nicht-linearer algebraischer und transzendenter
Gleichungen. Als Beispiel lösen wir die Gleichung ex-sin(πx/3) = 0.
Geben Sie den Ausdruck einfach als algebraisches Objekt ein und speichern
Sie dieses in der Variablen EQ. Die dazu erforderlichen Tastenfolgen im ALGModus lauten:
³„¸~„x™-S„ì
*~„x/3™‚Å 0™
K~e~q`
Funktion STEQ
Die Funktion STEQ, die über den Befehls-Katalog (‚N) gestartet wird,
speichert ihr Argument in der Variablen EQ, z. B. im ALG-Modus:
Im RPN-Modus tragen Sie die Gleichung zwischen zwei Apostrophen ein und
starten den Befehl STEQ. Auf diese Weise kann die Funktion STEQ als Kürzel
zur Speicherung des Ausdrucks in der Variablen EQ verwendet werden.
Drücken Sie J, um die neu erstellte Variable EQ anzuzeigen:
Wechseln Sie anschließend in die SOLVE-Umgebung und wählen Sie Solve
equation… unter Verwendung der Tastenfolge: ‚Ï@@OK@@. Die
entsprechende Anzeige sieht wie folgt aus:
Seite 6-17
Die Gleichung, die wir gerade in der Variablen EQ gespeichert haben, ist
bereits im Feld Eq in der Eingabemaske SOLVE EQUATION geladen. Auch ein
mit x beschriftetes Feld wird bereitgestellt. Um die Gleichung zu lösen, müssen
Sie einfach nur noch das Feld vor dem X markieren, indem Sie die Pfeiltaste
˜ benutzen und dann @SOLVE@ drücken. Die angezeigte Lösung ist X: 4,5006E2:
Dies ist jedoch nicht die einzig mögliche Lösung für diese Gleichung. Um z. B.
eine negative Lösung zu erhalten, tragen Sie, bevor Sie die Gleichung lösen,
eine negative Zahl in das Feld X: ein. Versuchen Sie 3\@@@OK@@˜@SOLVE@.
Die Lösung lautet nun X: -3,045.
Lösungsschema für die Gleichung Solve…
Der numerische Löser für Gleichungen mit einer Unbekannten funktioniert wie
folgt:
• Erlaubt dem Anwender, die Gleichung einzugeben oder die zu
lösenden Gleichung zu wählen @CHOOS.
• Erzeugt eine Eingabemaske mit Eingabefeldern für alle Variablen in
der Gleichung, die in der Variablen EQ gespeichert ist.
• Der Anwender muss die Werte aller vorkommenden Variablen
eingeben bis auf die eine, die ermittelt werden soll.
• Anschließend markiert der Anwender das Feld mit der Unbekannten,
für welche die Gleichung gelöst werden soll und drückt dann @SOLVE@
Seite 6-18
•
Der Anwender kann eine Lösung erzwingen, indem er eine Schätzung
der Lösung im entsprechenden Eingabefeld vorgibt, bevor er die
Gleichung löst.
Der Taschenrechner benutzt einen Suchalgorithmus, um ein Intervall zu finden,
für welches die Funktion das Vorzeichen ändert, was darauf hinweist, dass es
eine Nullstelle oder Lösung für die Gleichung gibt. Er verwendet anschließend
eine numerische Methode, um einen Näherungswert für die Lösung zu
ermitteln.
Die Lösung, die der Taschenrechner sucht, wird durch den vorhandenen
Anfangswert im Feld der Unbekannten bestimmt. Ist kein Wert vorhanden,
benutzt der Taschenrechner den Standardwert Null. Somit können Sie mehr als
nur eine Lösung zu einer Gleichung suchen, indem Sie diesen Anfangswert im
Feld der Unbekannten ändern. Beispiele zu Lösungen für die Gleichung werden
nachfolgend gezeigt.
Beispiel 1 – Hooke’sches Gesetz für Dehnung und Spannung
Die zu verwendende Gleichung ist das Hooke’sche Gesetz für normale
Dehnung in x-Richtung eines Feststoffteilchens, welches einer Spannung, gemäß
nachfolgender Abbildung, unterliegt
⎡σ xx
⎢
⎢σ yx
⎢σ zx
⎣
Die Gleichung lautet
e xx =
σ xy σ xz ⎤
⎥
σ yy σ yz ⎥
σ zy σ zz ⎥⎦
1
[σ xx − n ⋅ (σ yy + σ zz )] + α ⋅ ΔT , wobei exx
E
die Einheit der Dehnung in x-Richtung ist, σxx, σyy und σzz, die normalen
Spannungen, die auf die Teilchen in Richtung der Achsen x, y und z einwirken,
sind, E das Youngs Elastizitätsmodul des Materials, n das Poisson-Verhältnis des
Materials, α der thermische Dehnungskoeffizient des Materials und ΔT der
Temperaturanstieg ist.
Angenommen, Sie haben folgende Daten: σxx= 2500 psi, σyy =1200 psi, und
σzz = 500 psi, E = 1200000 psi, n = 0.15, α = 0,00001/oF, ΔT = 60 oF. Um
die Dehnung exx zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor:
Seite 6-19
‚Ï@@OK@@
‚O
Starten Sie den numerischen Löser, um die Gleichung
zu lösen
Starten Sie den EquationWriter, um die Gleichung
einzugeben
An dieser Stelle befolgen Sie die Anweisungen aus Kapitel 2, Verwendung des
EquationWriters zur Erstellung einer Gleichung. Die Gleichung, die Sie ins Feld
Eq eingeben, sollte so aussehen (beachten Sie, dass wir nur einen Unterindex
benutzen, um auf die Variablen hinzuweisen, d. h. exx wird als ex geschrieben,
usw. -- dies wird gemacht, um Zeit beim Eintippen zu sparen):
Benutzen Sie folgende Abkürzungen für Sonderzeichen:
σ:
~‚s
α: ~‚a
Δ: ~‚c
beachten Sie dabei, dass die Kleinbuchstaben mit ~„ vor dem
Buchstaben eingegeben werden, somit wird x als ~„x eingegeben.
Drücken Sie `, um zum Löser zurückzukehren. Geben Sie die oben
vorgeschlagenen Werte in die entsprechenden Felder ein, sodass die Anzeige
im Löser wie folgt aussieht:
Mit hervorgehobenem ex: Feld, drücken Sie @SOLVE@, um die Lösung für ex zu
ermitteln.
Seite 6-20
Drücken Sie @EDIT, während das Feld ex: markiert ist, ist die Lösung in der
SOLVE EQUATION Eingabemaske zu sehen. Das Ergebnis lautet
2,470833333333E-3. Drücken Sie @@@OK@@, um EDIT (Bearbeitungsmodus) zu
verlassen.
Angenommen Sie möchten nun das Young-Modul, welches die Dehnung von
exx = 0,005 unter der gleichen Spannung erzeugt, wobei die thermische
Ausdehnung unbeachtet bleibt, ermitteln. In diesem Fall, sollten Sie den Wert
0,005 in das Feld ex: eingeben und eine Null in das Feld ΔT: (ist ΔT = 0,
werden keine thermischen Effekte berücksichtigt). Um E zu berechnen,
markieren Sie das Feld E:, und drücken Sie @SOLVE@. Das Ergebnis, mit der @EDIT
Funktion zu betrachten, lautet E »449000 psi. Drücken Sie @SOLVE@ `, um zur
Normalansicht zurückzukehren.
Beachten Sie, dass die Ergebnisse der Berechnungen, die innerhalb des
numerischen Lösers ausgeführt wurden, in den Stack kopiert wurden:
Sie werden in Ihren Funktionstasten auch die Variablen finden, die denen, die
Sie in der Gleichung EQ gespeichert haben, entsprechen (drücken Sie L,
um alle Variablen in Ihrem Verzeichnis anzuzeigen), d. h. die Variablen ex, ΔT,
α, σz, σy, n, σx und E.
Beispiel 2 – Spezifische Energie im offen Kanalsdurchfluss
Spezifische Energie in einem offenen Kanaldurchfluss wird als Energie pro
gemessene Gewichtseinheit zum Kanalboden bezeichnet. Nehmen wir an E =
spezifische Energie, y = Kanaltiefe, V = Durchflussgeschwindigkeit,
g = Gravitationsbeschleunigung, dann schreiben wir
Seite 6-21
E = y+
V2
.
2g
Die Durchflussgeschwindigkeit ist durch V = Q/A gegeben, wobei Q=
Wasserabfluss und A die Fläche des Querschnitts darstellt. Die Fläche ist
abhängig vom verwendeten Querschnitt, z. B. für einen trapezförmigen
Querschnitt, wie in Abbildung unten gezeigt, A = (b+my) ×y, wobei b= die
Breite des Kanalbodens und m= Seitenwandneigung des Querschnitts ist.
z
2
n
c
Wir können E wie oben gezeigt in die Gleichung eingeben und Hilfsvariablen
für A und V verwenden, sodass die Eingabemaske für die Grundvariablen y,
Q, g, m und b wie nachfolgend gezeigt Eingabefelder zur Verfügung stellt:
• Erstellen Sie zuerst ein Unterverzeichnis SPEN (SPecific ENergy –
spezifische Energie) und arbeiten Sie in diesem Unterverzeichnis.
• Als Nächstes definieren Sie folgende Variablen:
•
Starten Sie den numerischen Löser, um die Gleichungen zu lösen:
‚Ï@@OK@@. Beachten Sie, dass die Eingabemaske bereits Einträge
für die Variablen y, Q, b, m und g enthält:
Seite 6-22
•
Versuchen Sie folgende Eingabedaten: E = 10 ft, Q = 10 cfs (Kubikfuß
pro Sekunde), b = 2,5 ft, m = 1,0, g = 32,2 ft/s2:
•
Lösen Sie die Gleichung für y.
•
Das Ergebnis ist 0,149836.., d. h. y = 0,149836.
Es ist jedoch bekannt, dass es für y in dieser Gleichung für die
spezifische Energie eigentlich zwei Lösungen gibt. Die Lösung, die wir
gerade ermittelt haben, entspricht einer numerischen Lösung mit einem
Ausgangswert von 0 (der voreingestellte Standardwert für y, d. h. wenn
das Lösungsfeld leer ist, ist der Ausgangswert 0). Um die andere
Lösung zu finden, müssen Sie einen größeren Wert für y eingeben,
sagen wir 15. Markieren Sie anschließend das Eingabefeld y und
lösen Sie die Gleichung für y erneut:
Seite 6-23
Das Ergebnis ist nun 9,99990, d. h. y = 9,99990 ft.
Dieses Beispiel veranschaulicht die Anwendung von Hilfsvariablen zur
Erstellung komplizierter Gleichungen. Sobald NUM.SLV aktiviert ist, werden die
von den Hilfsvariablen implizierten Ersetzungen eingefügt und die
Eingabemaske für die Gleichung stellt ein Eingabefeld für primitive oder
fundamentale Variablen, die aus der Ersetzung resultieren, zur Verfügung. Das
Beispiel veranschaulicht auch eine Gleichung, die mehr als eine Lösung hat und
wie der erste Schätzwert für die Lösung beeinflusst, welche Lösung gefunden
wird.
Im nächsten Beispiel werden wir die Funktion DARCY zur Berechnung des
Reibungsfaktors in Rohrleitungen verwenden. Zunächst definieren wir die
Funktion für unsere Zwecke.
Sonderfunktion für Rohrleitungsdurchfluss: DARCY (ε/D,Re)
Die Darcy-Weisbach-Gleichung wird zur Berechnung des Energieverlustes (pro
Gewichtseinheit) hf bei einem Rohrleitungsdurchmesser D, einer absoluten
Rauheit ε und Länge L verwendet, wenn die Durchflussgeschwindigkeit in der
Leitung V ist. Die Gleichung lautet
hf = f ⋅
L V2
. Die Menge f wird als
⋅
D 2g
Reibungsfaktor des Durchflusses bezeichnet und stellt eine Funktion der relativen
Rauheit der Rohrleitung, ε/D und einer (dimensionslosen) Reynoldschen Zahl Re
dar. Die Reynoldsche Zahl ist als Re = ρVD/μ = VD/ν definiert, wobei ρ und μ
die Dichte und die dynamische Viskosität der Flüssigkeit darstellen, während ν =
μ/ρ die kinematische Viskosität der Flüssigkeit darstellt.
Der Taschenrechner stellt eine Funktion mit dem Namen DARCY zur Verfügung,
welche als Eingabe in dieser Reihenfolge die relative Rauheit ε/D und die
Reynoldsche Zahl zur Berechnung des Reibungsfaktors f erhält. Die Funktion
DARCY kann über den Befehlskatalog aufgerufen werden:
Seite 6-24
So können Sie beispielsweise für ε/D = 0,0001 und Re = 1000000 den
Reibungsfaktor berechnen, indem Sie eingeben DARCY(0,0001,1000000). In
der nachfolgenden Abbildung wurde die Funktion NUM () zur Berechnung
des numerischen Wertes der Funktion verwendet:
Das Ergebnis ist f = DARCY(0,0001,1000000) = 0,01341…
Die Funktion FANNING(ε/D,Re)
In aerodynamischen Anwendungen wird ein anderer Reibungsfaktor verwendet,
der sogenannte Fanning-Reibungsfaktor. Der Fanning-Reibungsfaktor fF, wird als
der 4-fache Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor f bezeichnet. Der Taschenrechner
stellt eine Funktion FANNING zur Verfügung, welche die gleichen Eingaben
wie die Funktion DARCY benutzt, d. h. ε/D und Re, und stellt den FANNINGReibungsfaktor als Ergebnis zur Verfügung. Überprüfen Sie, dass
FANNING(0,0001,1000000) = 0,0033603589181s ergibt.
Beispiel 3 – Strömung in einem Rohr
Für die nachfolgenden Beispiele sollten Sie ein separates Unterverzeichnis
(PIPES) erstellen. Die Hauptgleichung für die Strömung in einem Rohr, ist
Seite 6-25
selbstverständlich die Darcy-Weisbach-Gleichung. Geben Sie also
nachfolgende Gleichung in EQ ein:
Geben Sie auch die folgenden Variablen (f, A, V, Re) ein:
In diesem Fall haben wir die Hauptgleichung (Darcy-Weisbach-Gleichung) in
EQ gespeichert und anschließend mehrere ihrer Variablen durch andere
Ausdrücke, über die Definition der Variablen f, A, V und Re, ausgetauscht. Um
die kombinierte Gleichung zu sehen, benutzen Sie EVAL(EQ). In diesem Beispiel
haben wir die Anzeige so geändert, dass die Gleichung vollständig im Display
angezeigt wird:
Somit lautet die zu lösende Gleichung, nachdem diese mit den verschiedenen
Variablen aus dem Verzeichnis kombiniert wurde, wie folgt:
Seite 6-26
QD ⎞
⎛
⎜
⎟
2
8Q 2 L
ε
h f = 2 5 ⋅ DARCY ⎜ , πD / 4 ⎟
⎜D
Nu ⎟
π gD
⎜
⎟
⎝
⎠
Die kombinierte Gleichung enthält die nicht mehr weiter zu ersetzenden
Variablen hf, Q, L, g, D, ε und Nu.
Starten Sie den numerischen Löser (‚Ï@@OK@@), um die in der SOLVE
EQUATION-Eingabemaske vorhandenen grundlegenden Variablen
anzuzeigen.
Angenommen, wir verwenden die Werte hf = 2 m, ε = 0,00001 m, Q = 0,05
m3/s, Nu = 0,000001 m2/s, L = 20 m und g = 9,806 m/s2 und möchten den
Durchmesser D berechnen. Tragen Sie die Eingabewerte ein und lösen Sie die
Gleichung für D. Das Ergebnis lautet 0,12, d. h., D = 0,12 m.
Ist die Gleichung dimensional gesehen konsistent, können Sie Einheiten zu den
Eingabewerten, wie in der Abbildung unten gezeigt, hinzufügen. Sie müssen
diese Einheiten jedoch zu den ursprünglichen Schätzwerten in der Lösung
hinzufügen. Im nachstehenden Beispiel fügen wir vor Lösung des Problems 0_m
ins Feld D: ein. Die Lösung ist in der rechten Abbildung zu sehen:
Seite 6-27
Drücken Sie die Taste `, um zur Normalansicht des Taschenrechners
zurückzukehren. Die Lösung für D wird im Stack angezeigt.
Beispiel 4 – Universelle Gravitation
Newtons Gesetz der universellen Gravitation besagt, dass die Größe der
Anziehungskraft zweier Körper der Masse m1 und m2, die in einem Abstand r
voneinander entfernt sind, über die Gleichung
werden kann.
F =G⋅
M 1 ⋅ M 2 dargestellt
.
r2
In diesem Fall ist G die universelle Gravitationskonstante, deren Wert man über
die Funktion CONST im Taschenrechner erhalten kann:
Wir können die Gleichung für jedes Glied, ausgenommen G, lösen, indem wir
die Gleichung wie folgt eingeben:
Diese Gleichung speichern wir dann in EQ:
Seite 6-28
Wenn Sie nun den numerischen Löser für diese Gleichung starten, erhalten Sie
eine Eingabemaske mit den Eingabefeldern F, G, m1, m2 und r.
Lösen wir dieses Problem nun, indem wir verschiedene Einheiten für die
bekannten Variablen einsetzen: m1 = 1.0´106 kg, m2 = 1.0´1012 kg, r =
1.0´1011 m. Geben Sie einen Wert von 0_N in Feld F ein, um sicher zu stellen,
dass die Lösung mit den Einheiten des Taschenrechners richtig ausgewertet
wird:
Lösen Sie die Gleichung für F, kehren Sie dann zur Normalansicht zurück. Die
Lösung ist F: 6,67259E-15_N, oder F = 6,67259×10 -15 N.
Anmerkung: Wenn Sie Einheiten im numerischen Löser benutzen wollen,
stellen Sie sicher, dass alle Variablen die richtigen Einheiten haben, dass diese
kompatibel sind und dass die Gleichung dimensional gesehen homogen ist.
Seite 6-29
Unterschiedliche Wege Gleichungen in EQ einzugeben
In all den gezeigten Beispielen haben wir die zu lösende Gleichung vor
Aktivierung des numerischen Lösers direkt in die Variable EQ eingegeben. Aber
die zu lösende Gleichung kann auch direkt in den Löser eingegeben werden,
sobald Sie diesen gestartet haben, indem Sie die Inhalte des Feldes EQ in der
Eingabemaske des numerischen Lösers bearbeiten. Sollte die Variable EQ beim
Start des numerischen Lösers (‚Ï@@OK@@) nicht bereits definiert sein, wird
das Feld EQ hervorgehoben:
Sie können an dieser Stelle eine neue Gleichung über @EDIT eingeben. Sie
bekommen ein Apostroph-Paar, sodass Sie den Ausdruck dazwischen eingeben
können:
Geben Sie die Gleichung, beispielsweise X^2 - 125 = 0, direkt in den Stack
ein, müssen Sie anschließend @@@OK@@@ drücken.
Seite 6-30
An dieser Stelle ist die Gleichung zur Lösung bereit.
Alternativ dazu können Sie zur Eingabe Ihrer Gleichung den EquationWriter
starten, nachdem Sie @EDIT gedrückt haben. Drücken Sie `, um zum
numerischen Löser zurückzukehren.
Eine weitere Möglichkeit, eine Gleichung in die Variable EQ einzugeben, ist,
eine bereits bestehende Variable, die in EQ eingegeben werden soll, aus dem
Verzeichnis auszuwählen. Das bedeutet, dass Ihre Gleichung bereits in einer
Variablen gespeichert sein muss. Nehmen wir z. B. an, dass wir die folgenden
Gleichungen in die Variablen EQ1 und EQ2 bereits eingegeben haben:
Starten Sie nun den numerischen Löser (‚Ï@@OK@@), und heben Sie das Feld
EQ hervor. Drücken Sie an dieser Stelle die Funktionstaste @CHOOS, und benutzen
Sie die Pfeiltasten (—˜), um beispielsweise die Variable EQ1,
auszuwählen:
Nachdem Sie die Variable EQ1 ausgewählt haben, drücken Sie @@@OK@@@, um die
Variable EQ in den Löser zu laden. Die neue Gleichung steht nun zur Lösung
bereit.
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Das Funktionsmenü SOLVE
Über das Menü SOLVE kann über Funktionstasten auf einige der Funktionen des
numerischen Lösers zugegriffen werden. Um in dieses Menü im RPN-Modus zu
gelangen, verwenden Sie: 74 MENU (bzw. im ALG-Modus MENU(74).
Alternativ dazu können Sie jedoch auch die Tastenkombination ‚ (halten)
7 zum Starten des Menüs SOLVE benutzen. Die von SOLVE zur Verfügung
gestellten Untermenüs lauten wie folgt:
Das Untermenü ROOT
Im Untermenü ROOT sind folgende Funktionen und Untermenüs enthalten:
Die Funktion ROOT
Die Funktion ROOT wird zur Lösung einer Gleichung für eine gegebene
Variable mit einem geschätzten Anfangswert verwendet. Im RPN-Modus
befindet sich die Gleichung in Stack-Ebene 3, während der Variablenname in
Ebene 2 zu finden ist und der geschätzte Anfangswert in Ebene 1. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Aktivierung der
Funktion @ROOT:
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Im ALG-Modus würden Sie zum Starten der Funktion ROOT wie folgt vorgehen:
ROOT(‘TAN(θ)=θ’,’θ’,5)
Variable EQ
Die Funktionstaste @@EQ@@ in diesem Untermenü wird als Referenz auf die Variable
EQ verwendet. Das Drücken der Funktionstaste ist gleichwertig mit dem
Verwenden der Funktion RCEQ (ReCall EQ).
Das Untermenü SOLVER
Das Untermenü SOLVR startet das Funktionsmenü Löser für die aktuell in EQ
gespeicherte Gleichung. Nachfolgend einige Beispiele:
Beispiel 1 – Lösen der Gleichung t2-5t = -4
Wenn Sie beispielsweise die Gleichung ‘t^2-5*t=-4’ in EQ speichern und
anschließend @)SOLVR drücken, wird folgendes Menü gestartet:
Dieses Ergebnis zeigt an, dass Sie die Gleichung am oberen Rand des Displays
für einen Wert t lösen können. Wenn Sie z. B. versuchen, „[ t ] zu lösen,
erhalten Sie den Wert t: 1, nachdem kurz die Meldung "Solving for t" (t lösen)
aufblinkt. Es gibt jedoch eine weitere Nullstelle für diese Gleichung, welche
man durch Änderung des Wertes von t vor einer erneuten Berechnung erhält.
Gehen Sie wie folgt vor: 10 [ t ], und drücken Sie dann „[ t ]. Die Lösung
lautet nun t: 4,0000000003. Um dieses Ergebnis zu überprüfen, drücken Sie
die Funktionstaste @EXPR=, welche den Ausdruck in EQ mit dem aktuellen Wert
von t berechnet. In diesem Fall lautet das Ergebnis:
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Um die SOLVR Umgebung zu verlassen, drücken Sie J. An dieser Stelle
haben Sie keinen Zugang zum Menü SOLVE, somit Sie müssen dieses erneut
wie oben angezeigt, starten, um mit den nachfolgenden Beispielen
fortzufahren.
Beispiel 2 – Lösen der Gleichung Q = at2+bt
In EQ kann auch eine Gleichung, die mehr als eine Variable enthält,
gespeichert werden, beispielsweise ‘Q = at^2 + bt’. Wenn Sie in diesem Fall
das Funktionsmenü SOLVE gestartet haben und @)ROOT @)SOLVR drücken, erhalten
Sie nachfolgende Anzeige:
In dieser SOLVR Umgebung können Sie Werte für jede einzelne aufgelistete
Variable festlegen, indem Sie diesen Wert einfach in den Stack eingeben und
die entsprechende Funktionstaste drücken. Angenommen, wir möchten die
Werte Q = 14, a = 2 und b = 3 eingeben. Gehen Sie wie folgt vor: 14 [ Q
], 2 [ a ], 3 [ b ].
Da den Variablen Q, a und b numerische Werte zugewiesen werden,
erscheinen die zugewiesenen Werte in der linken oberen Ecke des Displays. An
dieser Stelle können wir t mithilfe von „[ t ] lösen. Das Ergebnis ist t: 2.
Drücken Sie nun @EXPR=, erhalten Sie die Ergebnisse:
Beispiel 3 – Zwei simultane Gleichungen lösen, jeweils eine auf einmal
Sie können mehr als eine Gleichung lösen, indem Sie erst eine Gleichung lösen
und den gleichen Vorgang solange wiederholen, bis eine Lösung gefunden
wurde. So erhalten Sie z. B., wenn Sie nachfolgende Liste von Gleichungen in
die Variable EQ eingeben – EQ: { ‘a*X+b*Y = c’, ‘k*X*Y=s’}, mit der
Tastenfolge @)ROOT @)SOLVR innerhalb des Funktionsmenüs SOLVE die folgende
Anzeige:
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Die erste Gleichung, d. h. a*X + b*Y = c, wird im oberen Teil des Displays
angezeigt. Sie können Werte für die Variablen a, b und c eingeben,
beispielsweise 2 [ a ] 5 [ b ] 19 [ c ]. Da wir nur eine Gleichung auf
einmal lösen können, geben wir einen geschätzten Anfangswert für Y,
beispielsweise 0 [ Y ] ein und lösen die Gleichung für X, mit „[ X ]. Dies
ergibt den Wert X: 9,4999…. Um den Wert der Gleichung an dieser Stelle zu
überprüfen, drücken Sie @EXPR=. Die Ergebnisse sind: Left (links): 19, Right
(rechts): 19. Um die nächste Gleichung zu lösen, drücken Sie L @NEXQ. Im
Display werden die Funktionstasten wie folgt angezeigt:
Geben wir z. B. die Werte k = 2, s = 12 ein. Lösen Sie die Gleichung dann für
Y, und drücken Sie @EXPR=. Die Ergebnisse sind nun wie folgt:
Dann fahren wir fort und navigieren zwischen den beiden Gleichungen vor und
zurück, lösen die erste für X und die zweite für Y solange, bis X und Y zu einer
Lösung führen. Um sich zwischen den Gleichungen hin und her zu bewegen,
verwenden wir die Taste @NEXQ. Um X und Y zu lösen, benutzen Sie
entsprechend „[ X ] und „[ Y ]. Die folgende Sequenz von Lösungen
wird erstellt:
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Nachdem Sie nun die beiden Gleichungen gelöst haben, jeweils eine auf
einmal, bemerken wir, dass X sich bis zur dritten Nachkommastelle dem Wert
7,500, während Y sich dem Wert 0,799 nähert.
Verwenden von Maßeinheiten mit dem SOLVR Unterprogramm
Nachfolgend finden Sie einige Richtlinien für den Gebrauch von Maßeinheiten
mit dem SOLVR Unterprogramm:
• Das Eintragen eines vermuteten Lösungswertes mit Maßeinheiten für
eine gegebene Variable, sorgt für die Verwendung dieser in der
Lösung.
• Wenn eine neue Vermutung ohne Maßeinheiten eingegeben wird,
werden die Maßeinheiten, die vorher für diese Variable gespeichert
werden, benutzt.
• Um Maßeinheiten zu entfernen, tragen Sie eine Zahl ohne
Maßeinheiten in eine Liste als die neue Vermutung ein, d.h. verwenden
Sie das Format {Zahl}.
• Eine Liste von Zahlen kann als Vermutung für eine Variable angegeben
werden. In diesem Fall werden als Maßeinheiten die zu der letzten
Zahl in der Liste gehörenden Maßeinheiten verwendet. Z.B. sorgt die
Eingabe {1.41_ft 1_cm 1_m} dafür, dass Meter (m) als Einheit für diese
Variable benutzt werden.
• Der Ausdruck, der in der Lösung verwendet wird, muss konsistente
Einheiten haben, sonst wird eine Fehlermeldung ausgegeben, sobald
versucht wird, eine Lösung zu berechnen.
Das Untermenü DIFFE
Das Untermenü DIFFE enthält eine Reihe von Funktionen für die numerische Lösung
von Differenzialgleichungen. Die zur Verfügung stehenden Funktionen sind:
Diese Funktionen werden im Detail in Kapitel 16 erläutert.
Das Untermenü POLY
Das Untermenü POLY führt Operationen mit Polynomen durch. Die enthaltenen
Funktionen sind:
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Funktion PROOT
Diese Funktion wird dazu verwendet, die Nullstellen eines Polynoms für einen
bekannten Vektor, der die Koeffizienten des Polynoms in absteigender
Reihenfolge der Potenz der unabhängigen Variable enthält, zu ermitteln. Mit
anderen Worten, wenn das Polynom anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0,
ist, sollte der Vektor von Koeffizienten als [an, an-1, … , a2, a1 , a0]
eingegeben werden. So sind z. B. die Nullstellen des Polynoms mit den
Koeffizienten [1, -5, 6] die Werte [2, 3].
Funktion PCOEF
Diese Funktion erzeugt die Koeffizienten [an, an-1, … , a2, a1 , a0] eines
Polynoms anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0, für einen bekannten Vektor
von Nullstellen [r1, r2, …, rn]. So ergibt z. B. ein Vektor, dessen Nullstellen [-1,
2, 2, 1, 0] sind, folgende Koeffizienten: [1, -4, 3, 4, -4, 0] Das Polynom lautet
x5 - 4x4 + 3x3 + 4x2 – 4x.
Funktion PEVAL
Diese Funktion wertet ein Polynom für einen bekannten Vektor seiner
Koeffizienten [an, an-1, … , a2, a1 , a0] und einen gegebenen Wert von x0
aus, d. h., PEVAL berechnet anx0n + an-1x0n-1 + … + a2x02 + a1x0 + a0. So
ergibt z. B. die Funktion PEVAL für die Koeffizienten [2, 3, -1, 2] und einen Wert
von 2 den Wert 28.
Das Untermenü SYS
Das Untermenü SYS enthält eine Auflistung von Funktionen zur Lösung linearer
Systeme. Die in diesem Untermenü aufgelisteten Funktionen sind:
Diese Funktionen werden im Detail in Kapitel 11 erläutert.
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Das Untermenü TVM
Das Untermenü TVM enthält Funktionen zur Berechnung des Zeitwertes des
Geldes (Time Value of Money). Dies ist eine alternative Möglichkeit,
finanzmathematische Probleme zu lösen (siehe Kapitel 6). Die verfügbaren
Funktionen werden nachfolgend angezeigt:
Das Untermenü SOLVR
Das Untermenü SOLVR aus dem Untermenü TVM startet den Löser zur Lösung
von TVM-Problemen. Wenn Sie an dieser Stelle @)SOLVR drücken, erhalten Sie die
nachfolgende Anzeige:
Als Beispiel versuchen wir es mit den Werten n = 10, I%YR = 5,6, PV = 10000
und FV = 0 und geben dann „[ PMT ] ein, um PMT = -1021,08…. zu
berechnen. Wenn Sie nun L drücken, erscheint folgende Anzeige:
Drücken Sie J, um die SOLVR Umgebung zu verlassen. Suchen Sie den Weg
zurück zum Untermenü TVM innerhalb des Untermenüs SOLVE, um auch die
anderen vorhandenen Funktionen zu testen.
Funktion TVMROOT
Diese Funktion benötigt als Argument den Namen einer der Variablen im TVMProblem. Die Funktion gibt die Lösung für diese Variable zurück, vorausgesetzt,
die anderen Variablen existieren und ihre Werte wurden zuvor gespeichert. So
können wir z. B., nachdem wir eines der obigen TVM-Probleme gelöst haben,
beispielsweise für 'N' wie folgt lösen: [ ‘ ] ~n` @TVMRO. Das Ergebnis ist
10.
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Funktion AMORT
Diese Funktion nimmt einen Wert, der einen Zahlungszeitraum darstellt
(zwischen 0 und n) an und gibt das (zurückgezahlte) Kapital, die Zinsen und
den Saldo für die momentan gespeicherten TVM-Variablen zurück. Wenn wir
z. B. mit den vorhin benutzten Daten die Funktion AMORT für einen Wert 10
starten, erhalten wir:
Funktion BEG
Wenn diese Funktion ausgewählt ist, werden die Berechnungen innerhalb der
Funktion TMV mit Zahlungen am Anfang jeder Zahlungsperiode ausgeführt. Ist
sie nicht ausgewählt, werden die Berechnungen innerhalb der Funktion TMV mit
Zahlungen am Ende jeder Zahlungsperiode durchgeführt.
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Kapitel 7!
Lösen von Mehrfachgleichungen
Viele wissenschaftliche und technische Probleme benötigen die gleichzeitige
Lösung mehrerer Gleichungen. Der Taschenrechner stellt, wie unten gezeigt,
mehrere Verfahrensweisen zur Lösung von Mehrfachgleichungen zur Verfügung.
Beachten Sie, dass in diesem Kapitel keine Lösungen für Systeme mit linearen
Gleichungen vorgestellt werden. Lösungen für lineare Systeme werden in einem
späteren Kapitel über Matrizen und lineare Algebra ausführlich erklärt.
Rationale Gleichungssysteme
Gleichungen, die sich in Polynome oder rationale algebraische Ausdrücke
umwandeln lassen, können mithilfe der Funktion SOLVE direkt mit dem
Taschenrechner gelöst werden. Sie müssen die Liste der Gleichungen als
Elemente eines Vektors zur Verfügung stellen. Die Liste der zu lösenden
Variablen muss ebenfalls als Vektor zur Verfügung stehen. Bevor Sie versuchen,
mit diesem Verfahren eine Lösung zu ermitteln, stellen Sie sicher, dass das CAS
im Exakt-Modus ist. Auch sollten Sie beachten, dass das CAS zur Lösung eines
angegebenen Systems von Gleichungen umso länger benötigt, je komplizierter
ein Ausdruck ist. Beispiele für diese Anwendung finden Sie in den folgenden
Abschnitten:
Beispiel 1 – Projektilbewegung
Verwenden Sie die Funktion SOLVE mit nachfolgenden Vektorargumenten,
wobei das erste Argument die Liste der Gleichungen [‘x = x0 + v0*COS(θ0)*t’
‘y =y0+v0*SIN(θ0)*t – g*t^2/2’]` darstellt, das zweite hingegen die zu
lösenden Variablen, beispielsweise t und y0, d. h., [‘t’ ‘y0’].
In diesem Beispiel verwenden wir den RPN-Modus zur Lösungsfindung. Der
Grund für dieses Vorgehen besteht darin, dass wir die Lösung Schritt für Schritt
berechnen können. Im ALG-Modus ist die Lösung ziemlich ähnlich. Zuerst
speichern wir den ersten Vektor (Gleichungen) in eine Variable A2 und den
Vektor mit den Variablen in die Variable A1. Im RPN-Stack sieht die Anzeige,
bevor Sie die Variablen gespeichert haben, wie folgt aus:
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An dieser Stelle müssen wir nur noch K zweimal drücken, um die Variablen
zu speichern.
Für die Lösungsfindung schalten Sie das CAS in den Exakt-Modus und listen Sie
dann die Inhalte der Variablen A2 und A1 – in dieser Reihenfolge – @@@A2@@@ @@@A1@@@
auf.
Verwenden Sie nun den Befehl SOLVE (aus dem Menü S.SLV: „Î). Nach
etwa 40 Sekunden erhalten Sie als Ergebnis eine Liste:
{ ‘t = (x-x0)/(COS(θ0)*v0)’
‘y0 = (2*COS(θ0)^2*v0^2*y+(g*x^2(2*x0*g+2*SIN( 0))*COS(θ0)*v0^2)*x+
(x0^2*g+2*SIN(θ0)*COS(θ0)*v0^2*x0)))/(2*COS(θ0)^2*v0^2)’]}
Drücken Sie μ, um den Vektor aus der Liste zu entfernen und verwenden Sie
anschließend den Befehl OBJ, um die Gleichungen separat im Stack
aufzulisten.
Anmerkung: Diese Methode hat in diesem Beispiel einwandfrei funktioniert,
weil die Unbekannten t und y0 algebraische Ausdrücke der Gleichungen
darstellten. Diese Methode funktioniert jedoch nicht, wenn wir versuchen θ0 zu
lösen, weil θ0 Teil eines transzendenten Ausdrucks ist.
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Beispiel 2 – Spannungen in einem dickwandigen Zylinder
Nehmen wir an, wir haben einen dickwandigen Zylinder mit Innen- und
Außendurchmesser a und b, welcher einem inneren Druck Pi und einem
äußeren Druck Po ausgesetzt ist. An jedem Radialabstand r von der Achse des
Zylinders aus werden die Spannungen in Radial- und Querrichtung - σrr und
σθθ - durch folgende Formel berechnet:
σ θθ
a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po )
,
=
+
b2 − a 2
r 2 ⋅ (b 2 −a 2 )
a 2 ⋅ Pi − b 2 ⋅ Po a 2 ⋅ b 2 ⋅ ( Pi − Po )
σ rr =
−
.
b2 − a 2
r 2 ⋅ (b 2 −a 2 )
Beachten Sie dabei, dass der einzige Unterschied zwischen den beiden
Gleichungen in der rechten Seite der Ausdrücke zu finden ist und allein im
Vorzeichen zwischen den beiden Brüchen besteht. Um diese Gleichungen in
den Taschenrechner einzugeben, schlagen wir daher folgendes vor: Sie geben
zunächst den ersten Ausdruck ein und speichern diesen unter T1, dann den
zweiten und speichern diesen unter T2. Eine spätere Eingabe dieser
Gleichungen kann dann durch Laden von T1 und T2 in den Stack durchgeführt
werden, um diese dann zu addieren und zu subtrahieren. Nachfolgend wird
gezeigt, wie Sie dies im EquationWriter tun können.
Geben Sie T1 ein und speichern Sie den Ausdruck:
Geben Sie T2 ein und speichern Sie den Ausdruck:
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Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel den RPN-Modus verwenden, die
Vorgehensweise im ALG-Modus ist jedoch ziemlich ähnlich. Erstellen Sie die
Gleichung für σθθ: J@@@T1@@@ @@T2#@@ + ~‚s ~‚t ` ™
‚Å
Erstellen Sie die Gleichung für σrr: J@@@T1@@@ @@T2#@@ - ~‚s ~„r
` ™ ‚Å
Erstellen Sie aus diesen beiden Gleichungen einen Vektor mit der Funktion
ARRAY (starten Sie diese aus dem Befehls-Katalog mit ‚N), nachdem
Sie eine 2 eingegeben haben:
Nehmen wir nun an, dass wir Pi und Po, mit vorgegebenen a, b, r, σrr und σθθ
lösen möchten. Wir erstellen einen Vektor mit den Unbekannten:
Zur Lösung für Pi und Po verwenden wir den Befehl SOLVE aus dem Menü S.SLV
(„Î), es kann etwa eine Minute dauern bis das Ergebnis im
Taschenrechner vorliegt:
{[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’
‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, d. h.,
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Beachten Sie, dass das Ergebnis einen Vektor [ ] innerhalb einer Liste { } enthält.
Benutzen Sie μ, um das Symbol für Liste zu entfernen. Verwenden Sie die
Funktion OBJ , um den Vektor zu zerlegen. Die Lösung lautet:
Diese beiden Beispiele stellen Systeme von linearen Gleichungen dar, welche
genauso gut mit der Funktion LINSOLVE (siehe Kapitel 11) bearbeitet werden
können. Das nachfolgende Beispiel zeigt die Funktion SOLVE, angewendet auf
ein System von Polynomgleichungen.
Beispiel 3 – System von Polynomgleichungen
Die nachfolgende Abbildung zeigt die Lösung des Systems X2+XY=10, X2-Y2=5 mithilfe der Funktion SOLVE:
Lösungen für Simultansysteme mit MSLV
Die Funktion MSLV ist die letzte Option im Menü ‚Ï:
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Nachfolgend finden Sie den Hilfeeintrag für die Funktion MSLV:
Beispiel 1 – Beispiel aus der Hilfefunktion
Wie für alle anderen Funktionseinträge, gibt es in der Hilfefunktion auch ein
Beispiel zum Eintrag MSLV, wie oben gezeigt. Beachten Sie, dass die Funktion
MSLV drei Argumente benötigt:
1. Einen Vektor, der die Gleichungen enthält, d. h.
‘[SIN(X)+Y,X+SIN(Y)=1]’
2. Einen Vektor, der die zu lösenden Variablen enthält, d. h. ‘[X,Y]’
3. Einen Vektor, der die Anfangswerte für die Lösung beinhaltet, d. h. die
Anfangswerte der Variablen X und Y sind Null in diesem Beispiel.
Im ALG-Modus drücken Sie @ECHO, um das Beispiel in den Stack zu kopieren,
drücken Sie dann `, um das Beispiel auszuführen. Um alle Elemente der
Lösung anzusehen, müssen Sie den Zeileneditor mit der Pfeiltaste (˜)
aktivieren:
Im RPN-Modus wird die Lösung für dieses Beispiel wie folgt gefunden:
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Durch Aktivierung der Funktion MSLV erscheint folgende Anzeige.
Sie haben wahrscheinlich festgestellt, dass während der Berechnung der Lösung
in der linken oberen Ecke des Displays Zwischenergebnisse angezeigt werden.
Da die von MSLV gelieferte Lösung numerisch ist, zeigen die Informationen in
der linken oberen Ecke die Ergebnisse des iterativen Prozesses auf dem Weg
zur Lösung an. Die endgültige Lösung ist X = 1,8238, Y = -0,9681.
Beispiel 2 – Eingang aus einem See in einen offenen Kanal
Bei diesem speziellen Problem zum Durchfluss in einem offenen Kanal muss die
Lösung für zwei Gleichungen simultan erfolgen, nämlich für die
Energiegleichung:
Q=
V2
und für die Manning-Gleichung:
Ho = y +
2g
Cu A 5 / 3
⋅
⋅ S o . In diesen Gleichungen stellt Ho die Druckhöhe (m oder
n P2/3
ft) dar, welche beim Durchfluss am Eingang des Kanals vorhanden ist, y ist die
Durchflusstiefe (m oder ft), V = Q/A die Geschwindigkeit (m/s oder ft/s), Q die
Wassermenge (m3/s oder ft3/s), A der Flächeninhalt des Querschnitts (m2
oder ft2), Cu der Koeffizient, welcher von den Systemeinheiten (Cu = 1,0 für die
SI, Cu = 1,486 für das englische Einheitensystem) abhängt, n ist der ManningKoeffizienten, eine Maßeinheit der Rauheit der Kanalwandoberfläche (z. B. für
Beton, n = 0,012), P der benetzte Umfang des Querschnitts ( m oder ft) und So
die Neigung des Kanalbettes als Bruch. Für einen trapezförmigen Kanal, wie
unten gezeigt, wird die Fläche über die Formel A = (b + my ) y dargestellt,
während der benetzte Umfang mit
P = b + 2 y 1 + m 2 gegeben ist, wobei b
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die Breite des Bodens (m oder ft) und m die Seitenwandneigung (1V:mH) des
Querschnittes darstellt.
Normalerweise muss man die Energie- wie auch die Manning-Gleichung für y
und Q gleichzeitig lösen. Sobald diese Gleichungen in den primitiven (=nicht
weiter zu ersetzenden) Variablen b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt
sind, bleibt uns das folgende Gleichungssystem f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Diese
beiden Gleichungen können wir wie folgt erstellen:
Wir nehmen an, dass wir den ALG- und den Exakt-Modus im Rechner
verwenden werden, obwohl, die Definition und Lösung der Gleichungen mit
MSLV im RPN Modus sehr ähnlich abläuft. Erstellen Sie ein Unterverzeichnis,
beispielsweise CHANL (für offener CHANneL – Kanal), und innerhalb dieses
Unterverzeichnisses die nachfolgenden Variablen.
Um die ursprünglichen Gleichungen EQ1 und EQ2 wie oben dargestellt als
Ausdrücke einfacher Variablen zu sehen, können wir die Funktion EVAL nutzen,
welche wir auf jede Gleichung anwenden, d. h., μ@@@EQ1@@ μ @@@EQ2@@. Die
Gleichungen werden im Stack wie folgt angezeigt (kleine Schriftart
ausgewählt):
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Wir stellen fest, dass diese Gleichungen tatsächlich als Ausdrücke der
einfachen Variablen b, m, y, g, So, n, Cu, Q und Ho dargestellt werden können.
Um y und Q zu lösen, müssen wir den anderen Variablen Werte zuweisen.
Angenommen, wir verwenden folgende Werte: H0 = 5 ft, b = 1,5 ft, m = 1, n =
0,012, S0 = 0,00001, g = 32,2 und Cu = 1,486. Bevor wir diese Variablen
zur Lösung mit MSLV verwenden können, müssen wir die Werte in die
entsprechenden Variablennamen eintragen. Dies kann wie folgt erreicht
werden:
Nun sind wir bereit, die Gleichung zu lösen. Zuvor jedoch müssen wir die
beiden Gleichungen zusammen in einen Vektor eingeben. Dies erreichen wir
durch Speichern des Vektors in einer Variablen mit dem Namen EQS (EQationS
– Gleichungen):
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Als Anfangswerte für die Variablen y und Q verwenden wir y = 5 (entspricht
dem Wert von Ho, welches der Maximalwert ist, den y annehmen kann) und Q
= 10 (dies ist nur ein Schätzwert). Um die Lösung zu erhalten, wählen wir die
Funktion MSLV aus dem Menü NUM.SLV, z. B. können wir ‚Ï6@@@OK@@@
zur Eingabe des Befehls im Display benutzen:
Als Nächstes geben wir die Variable EQS LL@@EQS@ , gefolgt vom Vektor
[y,Q]
‚í„Ô~„y‚í~q™
und unseren anfänglichen Schätzwerten ‚í„Ô5‚í
10 ein.
Vor dem Drücken der Taste ` sieht die Anzeige wie folgt aus:
Drücken Sie `, um das System von Gleichungen zu lösen. Wenn Sie das
Winkelmaß nicht auf Bogenmaß (Radian) gestellt haben, könnten Sie folgende
Anfrage erhalten:
Seite 7-10
Drücken Sie @@OK@@ und fahren Sie mit der Lösung fort. Ein Zwischenergebnis
könnte wie folgt aussehen:
Der Vektor im oberen Teil zeigt, während der Lösungsprozess fortschreitet, die
aktuellen Werte von [y,Q] und den Wert ,358822986286, der die
Konvergenzkriterien der zur Lösungsfindung verwendeten numerischen
Methode darstellt, an. Wenn das System gut eingestellt ist, wird sich dieser
Wert an Null annähern. An dieser Stelle sollte eine numerische Lösung
gefunden worden sein. Nachdem MSLV eine Lösung gefunden hat, sollte die
Anzeige wie folgt aussehen:
Das Ergebnis ist eine Liste von drei Vektoren. Der erste Vektor stellt die gelösten
Gleichungen dar. Der zweite Vektor ist die Liste der Unbekannten. Der dritte
Vektor stellt die Lösung dar. Um sich diese Vektoren anzusehen, drücken Sie die
Pfeiltaste ˜ zum Starten des Zeileneditors. Das Ergebnis wird wie folgt
angezeigt:
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Die vorgeschlagene Lösung ist [4.9936.., 20.661…]. Das bedeutet, y = 4,99 ft
und Q = 20,66 ft3/s. Um die Lösung im Detail anzusehen, benutzen Sie die
Pfeiltasten (š™—˜).
Der Multiple Equation Solver (MES)
(Mehrfachgleichungslöser)
Der Mehrfachgleichungslöser ist eine Umgebung, in der Systeme von
Mehrfachgleichungen durch Lösen jeweils einer Unbekannten aus einer
Gleichung gelöst werden können. Er ist eigentlich kein Löser für
Simultanlösungen, sondern eher ein schrittweiser Löser für eine Reihe
miteinander verbundener Gleichungen. Um die Verwendung des MES bei der
Lösung von Mehrfachgleichungen zu veranschaulichen, stellen wir im nächsten
Abschnitt eine trigonometrische Anwendung vor. Die nachfolgenden Beispiele
werden im RPN-Modus erzeugt:
Anwendung 1 – Lösung von Dreiecken
In diesem Abschnitt arbeiten wir mit einer wichtigen Anwendung von
trigonometrischen Funktionen: der Berechnung der Maße eines Dreieckes. Die
Lösung ist im Taschenrechner unter Verwendung des Mehrfachgleichungslösers
oder kurz MES implementiert.
Nehmen wir das Dreieck ABC aus der Abbildung unten.
γ
β
α
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Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist immer 180°, d. h. α + β + γ =
180o. Der Sinussatz besagt dass:
sin α sin β sin γ
=
=
.
a
b
c
Der Kosinussatz besagt dass:
a2 = b2 + c2 – 2⋅b⋅c⋅cos ,
b2 = a2 + c2 – 2⋅a⋅c⋅cos β,
c2 = a2 + b2 – 2⋅a⋅b⋅cos γ.
Um ein Dreieck lösen zu können, müssen Sie mindestens 3 der folgenden sechs
Variablen kennen: a, b, c, α, β, γ. Dann können Sie die Gleichungen des
Sinussatzes, des Kosinussatzes und der Summe der Innenwinkel anwenden, um
die anderen drei Variablen zu berechnen.
Sind drei Seiten bekannt, kann die Fläche des Dreiecks mit der Heronschen
Formel
A = s ⋅ ( s − a) ⋅ ( s − b) ⋅ ( s − c) , berechnet werden, wobei s als der
Halbumfang des Dreiecks bekannt ist, d. h.
s=
a+b+c
.
2
Lösung eines Dreiecks anhand des Multiple Equation Solvers (MES)
(Mehrfachgleichungslösers)
Der Mehrfachgleichungslöser (MES) ist eine Werkzeug des Taschenrechners,
das zur Lösung zweier oder mehrerer gekoppelter Gleichungen verwendet
wird. Es muss noch darauf hingewiesen werden, dass der MES die Gleichungen
nicht simultan löst. Die Vorgehensweise ist die, dass er die bekannten Variablen
nimmt, und dann in einer Liste von Gleichungen sucht, bis eine gefunden wird,
die für eine unbekannte Variable gelöst werden kann. Dann wird nach einer
weiteren Gleichung gesucht, die für die nächsten Unbekannten gelöst werden
kann, usw., bis alle Unbekannten gelöst sind.
Erstellen eines Arbeitsverzeichnisses
Wir werden den MES zur Lösung von Aufgabenstellungen in Zusammenhang
mit Dreiecken verwenden. Dazu erstellen wir eine Liste von Gleichungen, die
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dem Sinus- und Kosinus-Satz, der Regel der Summe der Innenwinkel eines
Dreiecks und der Heronschen Formel für die Fläche entsprechen. Erstellen Sie
als Erstes im HOME-Verzeichnis ein Unterverzeichnis mit dem Namen TRIANG,
und wechseln Sie in dieses Verzeichnis. Anweisungen zur Erstellung von
Unterverzeichnissen finden Sie in Kapitel 2.
Eingabe der Liste von Gleichungen
Geben Sie entweder durch Direkteingabe in den Stack oder mithilfe des
EquationWriters im Verzeichnis TRIANG die folgende Liste von Gleichungen ein
(Beachten Sie dabei, dass ~‚a das Zeichen α und ~‚b das
Zeichen β erzeugt. Das Zeichen γ muss über ‚±mit @ECHO erzeugt werden):
‘SIN(α)/a = SIN(β)/b’
‘SIN(α)/a = SIN(γ)/c’
‘SIN(β)/b = SIN(γ)/c’
‘c^2 = a^2+b^2-2*a*b*COS(γ)’
‘b^2 = a^2+c^2-2*a*b*COS(β)’
‘a^2 = b^2+c^2-2*b*c*COS(α)’
‘α+β+γ = 180’
‘s = (a+b+c)/2’
‘A = √ (s*(s-a)*(s-b)*(s-c))’
Geben Sie anschließend die Zahl 9 ein, und erstellen Sie eine Liste von
Gleichungen mit der Funktion LIST (verwenden Sie dazu den Befehls-Katalog
‚N). Speichern Sie die Liste in der Variablen EQ.
Die Variable EQ enthält nun eine Liste von Gleichungen, welche während des
Lösungsvorgangs mit dem MES zur Lösungsfindung durchsucht werden.
Titel für ein Fenster eingeben
Als Nächstes erstellen wir eine String (Zeichenkette)-Variable mit dem Namen
TITLE, welche den String „Triangle Solution“ ("Lösung des Dreiecks") enthält:
‚Õ
Öffnen Sie die Anführungszeichen im Stack
~~„~
Sperrt die Tastatur für die Eingabe von
Kleinbuchstaben.
Seite 7-14
„triangle#
„solution
`
³
~~title`
K
Geben Sie den Text ein: Triangle_ (Dreieck_)
Geben Sie den Text ein: Solution (Lösung)
Geben Sie den String "Triangle Solution"
(Lösung des Dreiecks) in den Stack ein
Öffnen Sie die einfachen (')
Anführungszeichen im Stack
Geben Sie den Variablennamen 'TITLE' (Titel)
ein
Speichern Sie den String in 'TITLE'
Erstellen einer Liste von Variablen
Erstellen Sie anschließend eine Liste von Variablennamen im Stack, wie
nachfolgend gezeigt:
{ a b c α β γ A s }
Speichern Sie diese in der Variablen LVARI (Liste von VARIablen). Die Liste von
Variablen stellt die Reihenfolge, in der die Variablen im MES aufgelistet
werden, dar, sobald dieser gestartet wird. In dieser Liste müssen alle Variablen
für die Gleichungen enthalten sein, da ansonsten die Funktion MTM (siehe
unten) nicht ordnungsgemäß ausgeführt werden kann. Nachfolgend ist die
Tastenfolge, die dazu erforderlich sind, die Liste zu erstellen und zu speichern:
Drücken Sie falls nötig J, um ins Variablenmenü zu gelangen. In Ihrem Menü
sollten die Variablen @LVARI! !@TITLE @@EQ@@ angezeigt werden.
Vorbereitungen zur Ausführung des MES
Als nächster Schritt wird der MES gestartet und eine Beispiellösung gesucht.
Bevor wir dies aber tun, setzen wir das Winkelmaß auf DEGrees (Grad), falls es
nicht bereits auf Grad umgestellt ist. Dazu geben wir ein: ~~deg`.
Weiterhin möchten wir die Inhalte der Variablen TITLE und LVARI im Stack
behalten; dies geschieht durch Verwendung von:
!@TITLE @LVARI!
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Wir werden die nachfolgenden MES-Funktionen verwenden
• MINIT: MES INITialization: (Initialisierung des MES) initialisiert die in
EQ gespeicherten Variablen der Gleichungen
• MITM: MES’ Menu Item: (Menüpunkt) Nimmt einen "title" (Titel) aus
Stack-Ebene 2 und die Liste der Variablen aus Stack-Ebene 1 und setzt
den Titel als Überschrift über das MES-Fenster und verwendet die
Variablen in der in der Liste angegebenen Reihenfolge als Beschriftung
für die Funktionstasten. Im vorliegenden Beispiel haben wir bereits
einen Titel ("Triangle Solution") und eine Variablenliste ({ a b c α β
γ A s }) in Stack-Ebene 2 und 1 bereit, um den MITM zu starten.
• MSOLV: MES SOLVEr (MES Löser) startet den Mehrfachgleichungslöser
(MES) und wartet auf eine Anwendereingabe.
MES interaktiv verwenden
Um den MES mit den im Stack aufgeführten Variablen LVARI und TITLE zu
starten, aktivieren Sie die Befehle MINIT, MITM und schließlich MSOLV (diese
Funktionen sind im Befehls-Katalog ‚N zu finden).
Der MES wird mit der folgenden vorhandenen Liste von Variablen gestartet
(Drücken Sie L, um die vollständige Liste anzusehen):
Drücken Sie L ein weiteres Mal, um auch die dritte Variablenliste
anzuzeigen. Sie sollten folgendes sehen:
Drücken Sie L noch einmal, um erneut die erste Menüseite von Variablen
anzuzeigen.
Versuchen wir eine einfache Lösung des Falles I unter Verwendung von a = 5, b
= 3, c = 5. Benutzen Sie dazu folgende Einträge:
Seite 7-16
5[ a ]
3[ b ]
5[ c ]
a:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt.
b:3 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt.
c:5 wird in der oberen linken Ecke des Displays angezeigt.
Um die Winkel zu ermitteln, verwenden Sie:
„[ α ]
Der Rechner meldet Solving for α, (löse für α) und zeigt das
Ergebnis α: 72.5423968763.
Anmerkung: Ist der Wert, den Sie erhalten größer als 180, versuchen Sie
Folgendes:
10[ α
„[ α ]
]
reinitialisiert a auf einen kleineren Wert
Rechner liefert die Lösung fürα
Anschließend berechnen wir die beiden anderen Werte:
„[ β ]
„[ γ ]
Die Lösung ist β: 34.9152062474.
Die Lösung ist γ: 72.5423968763.
Sie sollten nun die Werte der drei aufgeführten Winkel in Stack-Ebene 3 bis 1
sehen. Drücken Sie + zweimal, um zu überprüfen, ob die Summe aller drei
zusammen tatsächlich 180° beträgt.
Drücken Sie die Taste L, um zur nächsten Seite des Menüs zu gelangen. Um
nun die Fläche zu berechnen, verwenden Sie „[ A ]. Der Taschenrechner
wird zuerst die Lösung aller anderen Variablen ermitteln und anschließend die
Fläche A berechnen: 7.15454401063.
Seite 7-17
Anmerkung: Sobald eine Lösung gefunden wurde, meldet der Taschenrechner die Bedingungen für die Lösung entweder als Null (Zero) oder Vorzeichenwechsel (Sign Reversal). Möglicherweise werden weitere Meldungen angezeigt,
sobald der Taschenrechner Schwierigkeiten bei der Lösungsfindung begegnet.
Drücken Sie nun „@@ALL@@, werden alle Variablen gelöst, zeitweise werden
Zwischenergebnisse angezeigt. Drücken Sie nun ‚@@ALL@@, um alle Lösungen
zu sehen:
Wenn Sie den Vorgang abgeschlossen haben, drücken Sie $, um zur MESUmgebung zurückzukehren. Drücken Sie J, um die MES-Umgebung zu
verlassen und zur Normalansicht des Taschenrechners zurückzukehren.
Variablen in Unterverzeichnissen organisieren
Ihr Variablenmenü wird nun die folgenden Variablen enthalten (drücken Sie
L, um auch die zweite Seite der Variablen anzuzeigen):
Es wurden Variablen, die allen Variablen in den Gleichungen aus EQ
entsprechen, erstellt. Nun gibt es da noch eine neue Variable Mpar (MES
Parameter), welche Informationen zu den aktuellen Einstellungen des MES für
diesen einen Satz von Gleichungen enthält. Mithilfe von ‚@Mpar können Sie
den Inhalt der Variable Mpar anzeigen. Sie erhalten folgendes kryptische
Ergebnis: Library Data. (Bibliotheksdaten). Dies bedeutet, dass die MES-
Seite 7-18
Parameter in einer Binärdatei kodiert sind und der Anwender auf diese nicht
zugreifen kann.
Als Nächstes möchten wir die Reihenfolge der Parameter im Menü ändern, was
wir unter Verwendung der folgenden Schritte durchführen können:
1. Erstellen Sie eine Liste, welche { EQ Mpar LVARI TITLE } enthält, unter
Verwendung von:
„ä @@@EQ@@@ @Mpar! !@LVARI @@TITLE `
Setzen Sie die Inhalte von LVARI unter Verwendung von: @LVARI in den Stack
.
3. Verknüpften Sie beide Listen, indem Sie + drücken.
Verwenden Sie die Funktion ORDER (benutzen Sie dazu den Befehls-Katalog
‚N), um die Reihenfolge der Variablen, die in Stack-Ebene 1 angezeigt
werden, festzulegen.
5/ Drücken Sie J, um Ihre Variablenliste wiederherzustellen. Die Liste sollte
wie folgt aussehen:
2.
5. Drücken Sie L, um das erste Variablenmenü wiederherzustellen.
Programmieren der MES Dreiecks-Lösung über User RPL
Um das Starten des MES für spätere Anwendungen zu vereinfachen, erstellen
wir ein Programm, das den MES mit einer einzigen Taste aufruft. Das Programm
sollte wie folgt aussehen: << DEG MINIT TITLE LVARI MITM MSOLVR >> und
kann wie folgt eingegeben werden:
‚å
~~
deg#
minit#
~
Öffnet das Programmsymbol
Sperrt die alphanumerische Tastatur
Geben Sie DEG (Winkelmaß wird auf
DEGress (Grad) gesetzt) ein
Geben Sie MINIT_ ein
Entsperrt die alphanumerische Tastatur
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@TITLE
Listen Sie den Namen TITLE im Programm auf
@LVARI
Listen Sie den Namen LVARI im Programm auf
~~
Sperrt die alphanumerische Tastatur
mitm#
Geben Sie MITM_ ein
msolvr
Geben Sie MSOLVR
`
Geben Sie das Programm in den Stack ein
Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit dem Namen TRISOL (für
TRIangle SOLution –Dreieckslösung) unter Verwendung von:
³~~trisol` K
Drücken Sie falls nötig J, um Ihre Variablenliste wieder herzustellen. In Ihrem
Menü sollte jetzt die Funktionstaste @TRISO zur Verfügung stehen.
Das Programm ausführen - Lösungsbeispiele
Um das Programm auszuführen, drücken Sie die Funktionstaste @TRISO. Sie
erhalten nun das MES-Menü, das der Lösung des Dreiecks entspricht. Versuchen
wir nun die Beispiele der drei weiter oben aufgeführten Fälle zur Lösung eines
Dreiecks.
Beispiel 1 – rechtwinkliges Dreieck
Verwenden Sie a = 3, b = 4, c = 5. Hier ist die Tastenfolge für die Lösung:
3[ a ] 4 [ b ] 5[ c ]zur Eingabe der Daten
„[ α ]
Das Ergebnis lautet für α: 36.8698976458
„[ β ]
Das Ergebnis lautet für β: 53.1301023541.
„[ γ ]
Das Ergebnis lautet für γ: 90.
L
Um zum nächsten Variablenmenü zu
gelangen.
[][ A ]
Die Lösung lautet für A: 6.
LL
Um zum nächsten Variablenmenü zu
gelangen.
Beispiel 2 – Beliebiges Dreieck
Verwenden Sie a = 3, b = 4, c = 6. Das hier verwendete Lösungsverfahren
besteht darin, alle Variablen gleichzeitig zu lösen und anschließend die Lösung
in den Stack zu laden.
J @TRISO
Um die Daten zu löschen und den MES neu
zu starten
3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Um Daten einzugeben
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L
„ @ALL!
‚ @ALL!
Um zum nächsten Variablenmenü zu
gelangen.
Lösen aller Unbekannten.
Zeige die Lösung:
Die Lösung lautet:
Am unteren Rand der Anzeige haben Sie die Funktionstasten:
@VALU @EQNS! @PRINT %%%% %%%% @EXIT
Das kleine schwarze Rechteck neben dem Namen der Funktion @VALU zeigt an,
dass die Werte und nicht die Gleichungen, aus denen diese berechnet wurden,
auf dem Bildschirm angezeigt werden. Um sich die für die Lösung verwendeten
Gleichungen anzusehen, drücken Sie die Funktionstaste @EQNS!. Die Anzeige
sieht wie folgt aus:
Die Funktionstaste @PRINT wird dazu benutzt, den Bildschirminhalt falls
vorhanden auf einem Drucker auszugeben. @EXIT bringt Sie zur MES-Umgebung
zurück, um ggf. eine neue Lösung zu ermitteln. Um zur Normalansicht
zurückzukehren, drücken Sie J.
Die nachfolgende Tabelle von Lösungen für Dreiecke zeigt die jeweils
eingegebenen Daten fettgedruckt und die Lösungen in Kursivschrift. Um die
Lösungen zu überprüfen, versuchen Sie, das Programm mit diesen Eingaben
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auszuführen. Vergessen Sie nicht, am Ende jeder Lösung J @TRISO
einzugeben, um die Variableninhalte zu löschen und die MES-Lösung erneut zu
starten. Andernfalls bleiben möglicherweise Informationen aus
vorangegangenen Lösungen erhalten, was zu chaotischen Ergebnissen in Ihren
folgenden Berechnungen führen kann.
c
α( ο)
β( ο)
γ( ο)
7.2
20.229
75
84.771 8.6933
14.26 22.616
27
130.38 23.309
a
b
2.5
6.9837
7.2
8.5
21.92
17.5
13.2
90
52.98
37.03
115.5
41.92
23
29.6
75
32
73
328.81
10.27
3.26
10.5
77
18
85
16.66
17
25
32
31.79
50.78
A
97.44 210.71
Hinzufügen einer INFO Schaltfläche zu Ihrem Verzeichnis
Eine Informationsschaltfläche hilft Ihnen, sich die Operationen und Funktionen
des Verzeichnisses zu merken. Das Einzige, was wir in diesem Verzeichnis
wissen sollten, ist, dass man durch Drücken von @TRISO die Lösung des Dreiecks
startet. Sie sollten folgendes Programm eingeben: <<“Druecken Sie [TRISO], um zu
starten“ MSGBOX >>(<<“Press [TRISO] to start.“ MSGBOX >>) Speichern Sie dies in
einer Variablen INFO. Als Ergebnis wird die erste Variable in Ihrem Verzeichnis
nun eine @INFO Schaltfläche sein.
Anwendung 2 – Geschwindigkeit und Beschleunigung in
Polarkoordinaten
Zweidimensionale Partikelbewegung in Polarkoordinaten beinhaltet oft die
Ermittlung der Radial- und Transversalkomponenten der Geschwindigkeit sowie
die Beschleunigung der gegebenen Partikel r, r’ = dr/dt, r” = d2r/dt2, θ, θ’ = d
θ /dt und, θ” = d2θ/dt2. Nachfolgende Gleichungen werden verwendet:
v r = r&
vθ = rθ&
a r = &r& − rθ& 2
a = rθ&& + 2r&θ&
θ
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Erstellen Sie ein Unterverzeichnis POLC (POLar Coordinates –
Polarkoordinaten), das wir bei der Berechnung von Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen in Polarkoordinaten verwenden. Geben Sie die folgenden
Variablen in dieses Unterverzeichnis ein:
__________________________________________________________________
zu speichern in Variable:
Programm oder Wert
<< PEQ STEQ MINIT NAME LIST MITM MSOLVR >>
SOLVEP
"vel. & acc. polar coord." (Geschw. & Beschl.. Polarkoord.)
NAME
{ r rD rDD θD θDD vr vθ v ar aθ a }
LIST
{ 'vr = rD' 'vθ = r*θD' 'v = √(vr^2 + vθ^2)'
'ar = rDD − r*θD^2' 'aθ = r*θDD + 2*rD*θD'
'a = √(ar^2 + aθ^2)' }
PEQ
__________________________________________________________________
Nachfolgend Erläuterungen zu den Variablen:
SOLVEP = ein Programm, welches den Mehrfachgleichungslöser (MES) für die
in der Variablen PEQ gespeicherten Gleichungen startet;
NAME = eine Variable, in welcher der Name/ die Überschrift des
Mehrfachgleichungslösers (MES), und zwar, "vel. & acc. polar
coord." gespeichert wird;
LIST =
PEQ =
eine Liste der in den Berechnungen verwendeten Variablen, in der
Reihenfolge eingegeben, in der wir diese in der
Mehrfachgleichungslöser-Umgebung anzeigen lassen möchten;
eine Liste von Gleichungen, die gelöst werden sollen. Sie beziehen
sich auf die Radial- und Transversalkomponenten der
Geschwindigkeit (vr, vθ) und der Beschleunigung (ar, aθ) in
Polarkoordinaten sowie die Gleichungen zur Berechnung der
Beträge von Geschwindigkeit (v) und Beschleunigung (a), wenn
die Polarkomponenten bekannt sind.
r, rD, rDD = r (Radialkoordinaten), r-Punkt (r-dot - erste Ableitungsfunktion von
r), r-zwei-Punkt (r-double dot zweite Ableitungsfunktion von r).
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θD, θDD =
θ-Punkt (θ-dot - erste Ableitungsfunktion von θ), θ-zwei-Punkt (θdouble dot - zweite Ableitungsfunktion von θ).
________________________________________________________________
Nehmen wir an, Sie haben folgende Informationen: r = 2,5, rD = 0,5, rDD = 1,5, θD = 2,3, θDD = -6,5, und Sie müssen die Werte für vr, vθ, ar, aθ, v und a
ermitteln.
Starten Sie den Mehrfachgleichungslöser durch Drücken von J@SOLVE. Im
Display erscheint eine Anzeige mit der Beschriftung "vel. & acc. polar coord.",
die wie folgt aussieht:
Um die Werte der bekannten Variablen einzutragen, geben Sie einfach den
Wert ein und drücken Sie die Taste, die dieser Variablen entspricht. Verwenden
Sie dazu folgende Tastenfolge: 2,5 [ r ] 0,5 [ rD ] 1,5 \ [ rDD ] 2,3 [ θD ]
6,5 \ [ θDD ].
Beachten Sie dabei, dass wenn Sie einen bestimmten Wert eingegeben haben,
die Variable mit dem entsprechenden Wert in der linken oberen Ecke des
Displays erscheint. Nun haben wir die bekannten Variablen eingegeben. Die
Ermittlung der Unbekannten kann auf zwei verschiedene Arten erfolgen:
a). Lösen Sie für einzelne Variablen, z. B. „[ vr ] ergibt vr: 0,500. Drücken
Sie L„[ vθ ], um vθ : 5,750 zu erhalten usw. Die noch verbleibenden
Ergebnisse sind - v: 5,77169819031; ar: -14,725; aθ: -13,95 und a:
20,2836911089.
b). Lösen Sie alle Variablen auf einmal, indem Sie „@ALL! drücken. Im
Display werden die Werte, sobald diese ermittelt wurden, angezeigt. Ist die
Berechnung beendet, können Sie ‚@ALL! drücken, um alle Ergebnisse
anzuzeigen. In diesem Fall haben wir:
Seite 7-24
Drücken Sie die Funktionstaste @EQNS, erhalten Sie die Gleichungen für jeden
einzelnen Wert in der Anzeige, die zur Lösung benutzt wurden:
Um einen neuen Satz von Werten zu verwenden, drücken Sie entweder
@EXIT @@ALL@ LL oder J @SOLVE.
Versuchen wir in weiteres Beispiel mit den Werten r = 2,5, vr = rD = -0,5, rDD
= 1,5, v = 3,0, a = 25,0. Ermitteln Sie θD, θDD, vθ, ar und aθ. Sie sollten
folgende Ergebnisse erhalten:
Seite 7-25
Kapitel 8
Operationen mit Listen
Listen sind Objekte des Taschenrechners, die besonders bei der
Datenverarbeitung und in der Programmierung hilfreich sein können. In diesem
Kapitel werden Beispiele von Operation mit Listen vorgestellt.
Definitionen
Im Kontext des Taschenrechners wird eine Liste als eine Reihe von Objekten,
eingeschlossen in ein Klammerpaar, getrennt durch Leerschritte (#) im RPNModus oder Kommas (‚í) in beiden Modi, definiert. Objekte, die in eine
Liste eingefügt werden können sind Zahlen, Buchstaben, Strings, Namen von
Variablen und/oder Operatoren. Listen sind besonders bei der Manipulation
von Datensätzen und in einigen Programmieranwendungen von Bedeutung.
Beispiele von Listen sind:
{ t 1 }, {"BET " h2 4}, {1 1.5 2.0},
{a a a a}, { {1 2 3} {3 2 1} {1 2 3}}
In den unten aufgeführten Beispielen beschränken wir uns auf numerische Listen.
Erstellen und Speichern von Listen
Um eine Liste im ALG-Modus zu erstellen, drücken Sie zunächst die
Klammertaste „ä (der Taste + zugeordnet), geben Sie anschließend
die Elemente der Liste ein und trennen Sie diese durch ein Komma voneinander
(‚í). Mit den nachfolgenden Tastenkombinationen geben Sie die Liste {1
2 3 4} ein und speichern diese in der Variablen L1.
„ä 1 ‚í 2 ‚í 3 ‚í 4
™K~l1`
In der Anzeige erscheint Folgendes:
Die linke Abbildung zeigt die Anzeige vor dem Drücken der Taste `,
während auf der rechten Seite die Anzeige nach dem Speichern der Liste in L1
Seite 8-1
angezeigt wird. Beachten Sie vor dem Drücken der Taste `, dass in der Liste
die Elemente durch ein Komma getrennt dargestellt werden. Nachdem Sie nun
die Taste ` gedrückt haben, verschwinden die Kommas und die Elemente
sind durch Leerschritte voneinander getrennt.
Um dieselbe Liste im RPN-Modus einzugeben, verwenden Sie die Tastenfolge:
„ä 1 # 2 # 3 # 4 `
~l1`K
Die Abbildung zeigt den RPN-Stack vor dem Drücken der Taste K:
Erstellen und Zerlegen von Listen
Das Erstellen und Zerlegen von Listen macht nur im RPN-Modus Sinn. In diesem
Operationsmodus benutzen wir die Funktion OBJ zum Zerlegen der Liste. Mit
dieser Funktion wird im RPN-Stack eine Liste in ihre Elemente zerlegt, wobei in
Stack-Ebene 1 die Anzahl der Elemente in der Liste angezeigt wird. Die
nächsten beiden Abbildungen zeigen den Stack mit einer kleinen Liste vor und
nach Anwendung der Funktion OBJ:
Beachten Sie, dass nach Anwenden der Funktion OBJ die Elemente der Liste
in den Stack-Ebenen 4 bis 2 angezeigt werden, während Ebene 1 die Anzahl
der Elemente in der Liste enthält.
Um im RPN-Modus eine Liste zu erstellen, geben Sie erst die Elemente in den
Stack ein, dann Größe der Liste und starten Sie die Funktion LIST (wählen Sie
diese mit folgender Tastenkombination aus dem Funktionskatalog:
‚N‚é suchen Sie sie anschließend unter Verwendung der
Pfeiltasten (—˜) und wählen Sie sie aus). In den nachfolgenden
Seite 8-2
Abbildungen sehen Sie eine Liste der Länge 4, vor und nach Anwenden der
Funktion LIST:
Anmerkung: Wird die Funktion OBJ im ALG-Modus angewendet, gibt sie
einfach die Liste wieder und fügt dieser die Listengröße hinzu:
Operationen mit Zahlenlisten
Um Operationen mit Zahlenlisten zu veranschaulichen, werden wir zusätzlich
zu der oben erstellten L1 einige weitere Listen erzeugen: L2={-3,2,1,5}, L3={6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}. Nach Eingabe der Listen L2, L3 und L4
sieht die Anzeige im ALG-Modus wie folgt aus:
Im RPN-Modus werden drei Listen und deren Namen, bereit zum Speichern,
angezeigt. Um die Listen in diesem Fall zu speichern, drücken Sie dreimal die
Taste K.
Seite 8-3
Änderung des Vorzeichens
Wenn sie auf eine Liste von Zahlen angewandt wird, ändert die Taste
"Vorzeichen ändern" (\) das Vorzeichen aller Elemente in der Liste. Zum
Beispiel:
Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Die Multiplikation und Division einer Liste durch eine einzelne Zahl wird über
die gesamte Liste angewandt, z. B.:
Bei der Subtraktion einer einzelnen Zahl von einer Liste wird die Zahl von jedem
Element der Liste abgezogen, z. B.:
Die Addition einer einzelnen Zahl zu einer Liste erzeugt eine um diese Zahl
erweiterte Liste. Das Element wird nicht zu jedem einzelnen Element der Liste
addiert. Zum Beispiel:
Die Subtraktion, Multiplikation und Division von numerischen Listen der gleichen
Länge erzeugt durch gliedweise Anwendung der Operation eine Liste der
gleichen Länge:
Seite 8-4
Die Division L4/L3 enthält einen Eintrag „unendlich“, weil eines der Elemente in
L3 eine Null ist:
Haben die Listen für Rechenoperation verschiedene Längen, wird eine
Fehlermeldung (Error: Invalid Dimensions – Fehler: ungültige Dimensionen)
ausgegeben.
Wird das Pluszeichen (+) auf Listen angewandt, verhält sich dieses als
Verkettungsoperator, in dem Sinn, dass zwei Listen zusammenfügt und nicht
Glied für Glied addiert werden. Zum Beispiel:
Um eine gliedweise Addition zweier Listen gleicher Länge zu erzielen, muss der
Operator ADD verwendet werden. Dieser Operator kann mithilfe des
Funktionskatalogs (‚N) geladen werden. In der nachfolgenden Abbildung
wird eine ADD Anwendung gezeigt, um die Listen L1 und L2, gliedweise zu
addieren:
Seite 8-5
Funktionen mit reellen Zahlen von der Tastatur aus
In Listen können auch Funktionen mit reellen Zahlen (ABS, ex, LN, 10x, LOG,
SIN, x2, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) von der Tastatur aus verwendet
werden. Hier einige Beispiele:
ABS
EXP und LN
LOG und ANTILOG
SQ und Quadratwurzel
SIN, ASIN
COS, ACOS
TAN, ATAN
INVERSE (1/x)
Funktionen mit reellen Zahlen aus dem Menü MTH
Nachfolgend Funktionen des MTH-Menüs die für Listen von Interesse sind – aus
dem Menü HYPERBOLIC: SINH, ASINH, COSH, ACOSH, TANH, ATANH und
aus dem Menü REAL: %, %CH, %T, MIN, MAX, MOD, SIGN, MANT, XPON,
IP, FP, RND, TRNC, FLOOR, CEIL, DR, RD. Im Folgenden sind einige dieser
Seite 8-6
Funktionen, die nur ein Argument benötigen, in Ihrer Anwendung auf Listen
dargestellt:
SINH, ASINH
COSH, ACOSH
TANH, ATANH
SIGN, MANT, XPON
IP, FP
FLOOR, CEIL
DR, RD
Beispiele von Funktionen, die zwei Argumente verwenden
In den nachfolgenden Abbildungen finden Sie Anwendungen der Funktion %
zur Auflistung von Argumenten. Die Funktion % benötigt zwei Argumente. Das
erste der beiden Beispiele zeigt Fälle, in denen nur eines der beiden Argumente
eine Liste darstellt.
Seite 8-7
Die Ergebnisse sind Listen, auf deren Elemente die Funktion % so angewandt
wird, wie es das Argument, das eine Liste darstellt, vorgibt. Zum Beispiel,
%({10, 20, 30},1) = {%(10,1),%(20,1),%(30,1)},
und
%(5,{10,20,30}) = {%(5,10),%(5,20),%(5,30)}
Im nachfolgenden Beispiel sind beide Argumente der Funktion % Listen
derselben Größe. In diesem Fall, wird eine gliedweise Verteilung der
Argumente durchgeführt, d. h.,
%({10,20,30},{1,2,3}) = {%(10,1),%(20,2),%(30,3)}
Diese Beschreibung der Funktion % für Listen-Argumente zeigt die
allgemeingültige Verfahrensweise für die Auswertung von Funktionen mit zwei
Argumenten, wenn entweder eines der Argumente oder beide Listen sind.
Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele der Funktion RND:
Listen von komplexen Zahlen
Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie man aus zwei Listen derselben Länge eine
Liste von komplexen Zahlen erstellt, vorausgesetzt, beide Listen sind gleich lang,
wobei eine Liste die reellen Teile und die zweite Liste die imaginären Teile der
komplexen Zahlen enthält. Verwenden Sie L1 ADD i*L2.
Seite 8-8
Auch Funktionen wie LN, EXP, SQ, usw. können auf Listen von komplexen
Zahlen angewandt werden, z. B.:
Das nachfolgende Beispiel zeigt Anwendungen der Funktion RE(reeller Teil),
IM(imaginärer Teil), ABS(Betrag) und ARG(Argument) für komplexe Zahlen. Das
Ergebnisse ist jeweils Listen von reellen Zahlen:
Listen von algebraischen Objekten
Nachfolgend Beispiele von Listen mit algebraischen Objekten, auf welche die
Funktion SIN angewendet wurde:
Seite 8-9
Das MTH/LIST-Menü
Das Menü MTH stellt eine Reihe von Funktionen, die ausschließlich auf Listen
angewendet werden können, zur Verfügung. Mit dem System-Flag 117 auf
CHOOSE boxes gesetzt sieht es wie folgt aus:
Das gleiche Menü mit System-Flag auf 117 auf SOFT menus gesetzt:
In diesem Menü finden wir die nachfolgenden Funktionen:
ΔLIST
ΣLIST
ΠLIST
: Berechnet das Inkrement zwischen aufeinander folgenden
Elementen in der Liste
: Berechnet die Summe der Elemente in der Liste
: Berechnet das Produkt der Elemente in der Liste
SORT
REVLIST
: Sortiert die Elemente aufsteigend
: Kehrt die Reihenfolge in der Liste um
ADD
: Operator für die gliedweise Addition zweier Listen der gleichen
Länge (Beispiele für diesen Operator wurden oben gezeigt)
Nachfolgend einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen im ALG-Modus:
Seite 8-10
SORT und REVLIST können kombiniert werden, um eine Liste in absteigender
Folge zu sortieren.
Arbeiten Sie im RPN-Modus, legen Sie die Liste auf den Stack und wählen Sie
dann die gewünschte Operation. Um zum Beispiel die Differenz zwischen
aufeinanderfolgenden Elementen der Liste L3 zu berechnen, drücken Sie:
l3`!´˜˜ #OK# #OK#
Hiermit wird L3 auf den Stack gelegt und anschließend die ΔLIST-Operation aus
dem MTH-Menü gewählt.
Manipulation der Elemente einer Liste
Das PRG-(Programmier) Menü enthält ein Untermenü LIST mit verschiedenen
Funktionen, die zur Manipulation von Elementen in einer Liste dienen. Mit dem
System-Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt sieht es wie folgt aus:
Position 1. ELEMENTS.. enthält die folgenden Funktionen, die zur Manipulation
von Elementen in Listen dienen:
Seite 8-11
Listengröße
Die Funktion SIZE (Größe) aus dem Untermenü PRG/LIST/ELEMENTS kann zur
Ermittlung der Größe (oder Länge) der Liste verwendet werden, z. B.
Extrahieren und Einfügen von Elementen in eine Liste
Um Elemente aus einer Liste zu extrahieren, benutzen wir die Funktion GET,
welche im Untermenu PRG/LIST/ELEMENTS zu finden ist. Die Argumente der
Funktion GET sind eine Liste und die Nummer des Elementes, das Sie aus dieser
Liste entfernen möchten. Um Elemente in eine Liste einzufügen, benutzen wir die
Funktion PUT, welche ebenfalls im Untermenu PRG/LIST/ELEMENTS zu finden
ist. Die Argumente der Funktion PUT bilden eine Liste, die Position, die wir
ersetzen möchten, und der Wert, mit dem diese ersetzt werden soll.
Anwendungsbeispiele für die Funktionen GET und PUT finden Sie nachfolgend:
Die Funktionen GETI und PUTI, auch im Unterverzeichnis PRG/ELEMENTS/ zu
finden, können auch zum Extrahieren oder Einfügen von Elementen in eine Liste
verwendet werden. Diese beiden Funktionen werden jedoch hauptsächlich in
der Programmierung verwendet. Die Funktion GETI benutzt die gleichen
Argumente wie GET und gibt eine Liste, die Position des Elements plus Eins und
das Element an der gewünschten Position zurück. Die Funktion PUTI verwendet
die gleichen Argumente wie GET und gibt sowohl die Liste als auch die
Listengröße zurück.
Seite 8-12
Position eines Elementes in der Liste
Zur Bestimmung der Position eines Elementes in einer Liste verwenden Sie die
Funktion POS, welche die Liste und das gewünschte Element als Argument
enthält. Zum Beispiel:
Die Funktionen HEAD und TAIL
Die Funktion HEAD extrahiert das erste Element der Liste. Die Funktion TAIL
entfernt das erste Element einer Liste und gibt die noch verbleibende Liste
zurück. Nachfolgend einige Beispiele:
Die Funktion SEQ
Position 2. PROCEDURES.. im Menü PRG/LIST enthält folgende Funktionen, die
in Zusammenhang mit Listenoperationen verwendet werden:
Die Funktionen REVLIST und SORT wurden bereits als Teil des Menüs MTH/LIST
vorgestellt. Die Funktionen DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB und STREAM
sind zur Programmierung von Funktionen für zur Listenbearbeitung im RPNModus gedacht. Die Funktion SEQ dient zur Erstellung einer Werteliste für
Seite 8-13
einen bestimmten gegebenen Ausdruck und wird nachfolgend ausführlich
beschrieben.
Die Funktion SEQ enthält als Argumente einen Ausdruck in Form eines Index,
den Namen dieses Index und Start- und Endwerte, sowie das Inkrement und
gibt eine Liste zurück, die aus der Auswertungen des Ausdruckes für alle
möglichen Werte des Index besteht. Die allgemeine Form der Funktion ist
SEQ(Ausdruck, Index, Start, Ende, Inkrement).
Im nachfolgenden Beispiel legen wir im ALG-Modus folgende Werte fest:
Ausdruck = n2, Index = n, Start = 1, Ende = 4 und Inkrement = 1
Die erzeugte Liste entspricht den Werten {12, 22, 32, 42}. Im RPN-Modus
können Sie vor Anwendung der Funktion SEQ verschiedene Argumente der
Funktion wie folgt auflisten:
Die Funktion MAP
Die Funktion MAP, welche ebenfalls über den Befehls-Katalog (‚N)
aufgerufen werden kann, benötigt als Argumente eine Liste von Zahlen und eine
Funktion f(X) oder ein Programm << a … >> und erzeugt eine Liste, die aus
der Anwendung der Funktion oder des Programms auf die Zahlenliste entsteht.
Z. B. wendet der nachfolgende Funktionsaufruf von MAP eine SIN(X) Funktion
auf die Liste {1,2,3} an:
Seite 8-14
Im ALG-Modus lautet die Syntax:
~~map~!Ü!ä1@í2@í3™@
í S~X`
Im RPN-Modus lautet die Syntax:
!ä1@í2@í3`³S~X`~~m
ap`
In beiden Fällen können Sie das MAP-Kommando entweder eingeben (wie in
den obigen Beispielen) oder aus dem CAT-Menü auswählen.
Der nachfolgende Aufruf der Funktion MAP verwendet als zweites Argument ein
Programm anstelle einer Funktion:
Funktionen definieren, die Listen benutzen
In Kapitel 3 haben wir die Funktion DEFINE ( „à), die zum Erzeugen von
Funktionen aus reellen Zahlen mit einem oder mehreren Argumenten dient,
vorgestellt. Eine über DEF definierte Funktion kann auch auf Listen-Argumente
angewandt werden. Beachten Sie, dass man bei Funktionen, die eine Addition
enthalten, den Operator ADD und nicht das Pluszeichen (+) verwenden
muss. Wenn wir beispielsweise im ALG-Modus (nachfolgend gezeigt) die
Funktion F(X,Y) = (X-5)*(Y-2) definieren,
können wir Listen (z. B. die Variablen L1 und L2, welche wir weiter oben in
diesem Kapitel definiert haben) zur Auswertung der Funktion verwenden, was
zu folgendem Ergebnis führt:
Seite 8-15
Da in der Funktion keine Addition vorkommt, ist die Anwendung dieser Funktion
zur Auflistung von Argumenten recht einfach. Wenn wir jedoch die Funktion
G(X,Y) = (X+3)*Y erstellen, wird ein Versuch, diese Funktion mit ListenArgumenten (L1, L2) zu berechnen, fehlschlagen:
Um dieses Problem zu beheben, können wir die Inhalte der Variablen @@@G@@@,
welche wir im Stack über die Tasten …@@@G@@@ anzeigen können, bearbeiten,
um das Pluszeichen (+) mit ADD zu ersetzen:
Anschließend speichern wir den bearbeiteten Ausdruck in der Variablen @@@G@@@:
Seite 8-16
Die Auswertung G(L1,L2) ergibt nur folgendes Ergebnis:
Alternativ dazu können Sie die Funktion von Anfang an mit ADD anstelle des
Pluszeichens (+)definieren, d. h. Sie verwenden
DEFINE('G(X,Y)=(X
DD 3)*Y'):
Sie können die Funktion jedoch auch als G(X,Y) = (X--3)*Y definieren.
Anwendungen für Listen
Dieser Abschnitt zeigt eine Reihe von Anwendungen von Listen zur Berechnung
von Statistiken/ Maßzahlen einer Stichprobe. Unter einer Stichprobe verstehen
wir eine Liste von Werten, beispielsweise {s1, s2, …, sn}. Nehmen wir an, die
interessierende Stichprobe ist die Liste
{1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1}
und wir speichern diese in eine Variable mit dem Namen S (in der
nachfolgenden Abbildung sehen Sie dies im ALG-Modus, der entsprechende
Vorgang im RPN-Modus ist sehr ähnlich. Vergessen Sie jedoch nicht, dass Sie
im RPN-Modus immer erst die Argumente einer Funktion in den Stack eingeben
müssen und erst dann die Funktion starten):
Seite 8-17
Harmonischer Mittelwert einer Liste
Diese Stichprobe ist klein genug, um die Anzahl der Elemente im Display
abzählen zu können (n=10). Für eine größere Liste, können wir die Funktion
SIZE benutzen, um die Anzahl der Elemente in der Liste anzuzeigen, z. B.
Nehmen wir an, wir möchten das harmonische Mittel der Stichprobe, welches
wie nachfolgend definiert ist, berechnen:
sh =
1
1
1
∑
n k =1 s n
n
=
1
1⎛ 1 1
1⎞
⎜⎜ + + L + ⎟⎟
n ⎝ s1 s 2
sn ⎠
.
Um diesen Wert zu berechnen können wir wie folgt vorgehen:
1. Wenden Sie die Funktion INV() auf die Liste S an
2. Wenden Sie nun auf die in Ebene 1 erhaltene Liste die Funktion ΣLIST()
an.
Seite 8-18
3. Teilen Sie das obige Ergebnis durch n = 10:
4. Wenden Sie auf das letzte Ergebnis die Funktion INV() an:
Somit ist der harmonische Mittelwert der Liste S gleich sh = 1,6348…
Geometrischer Mittelwert einer Liste
Der geometrische Mittelwert einer Stichprobe wird wie folgt definiert:
xg = n
n
∏x
k =1
k
= n x1 ⋅ x 2 L x n
Um den geometrischen Mittelwert der in S gespeicherten Liste zu
berechnen, können wir wie folgt vorgehen:
1. Wenden Sie die Funktion ΠLIST() auf die Liste S an:
Seite 8-19
2. Wenden Sie die Funktion XROOT(x,y), d. h. die Tastenfolge ‚»
an, um das Ergebnis in Stack-Ebene 1 zu erhalten:
Somit ist der geometrische Mittelwert der Liste S gleich sg = 1,003203…
Gewogenes Mittel
Nehmen wir an, die Daten in Liste S, wie oben definiert, also
S = {1,5,3,1,2,1,3,4,2,1}
werden von folgenden Gewichten beeinflusst
W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Wenn wir die Liste der Gewichte als W = {w1,w2,…,wn} erstellen, stellen wir
fest, dass das k-te Element in der Liste W, durch wk = k definiert werden kann.
Somit können wir die Funktion SEQ dazu verwenden, um diese Liste zu
erzeugen und sie dann in der Variable @@@W@@@ wie folgt speichern:
Seite 8-20
Wenn wir eine Liste mit Daten {s1, s2, …, sn } und eine Liste mit Gewichten {w1,
w2, …, wn } haben, kann das gewogene Mittel der Daten in S wie folgt
definiert werden:
n
sw =
∑w
k =1
k
⋅ sk
n
∑ wk
.
k =1
Um nun das gewogene Mittel der Daten aus der Liste S mit den Werten der
Gewichte aus der Liste W zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen:
1. Multiplizieren Sie die Listen S und W:
2. Wenden Sie die Funktion ΣLIST auf das erzielte Ergebnis an, um den
Zähler von sw zu berechnen:
3. Wenden Sie die Funktion ΣLIST ein weiteres Mal an, um den Nenner
von sw zu berechnen:
Seite 8-21
4. Verwenden Sie den Ausdruck ANS(2)/ANS(1), um das ausgewogene
Mittel zu berechnen:
Somit ist das ausgewogene Mittel der Liste S mit den Gewichten in Liste W
gleich sw= 2,2.
Anmerkung: ANS(1) bezieht sich auf das letzte Ergebnis (55), während
sich ANS(2) auf das vorletzte Ergebnis (121) bezieht.
Statistiken gruppierter Daten
Gruppierte Daten werden normalerweise als Tabelle, unter Angabe der
Häufigkeit (w) der Daten in den jeweiligen Klassen oder Bins angezeigt. Jede
Klasse oder Bin wird durch eine Klassenmarke (s), normalerweise der
Mittelpunkt der Klasse, repräsentiert. Nachfolgend ein Beispiel von gruppierten
Daten:
Klasse
Grenzen
0-2
2-4
4-6
6-8
8 -10
Klasse
Marke
sk
1
3
5
7
9
Häufigkeit
Zähler
wk
5
12
18
1
3
Die Daten der Klassenmarken können in der Variablen S gespeichert werden,
während der Häufigkeitszähler in der Variablen W wie folgt gespeichert
werden kann:
Seite 8-22
Nehmen wir an, unsere Liste von Klassenmarken ist S = {s1, s2, …, sn } und die
Liste der Häufigkeitszähler W = {w1, w2, …, wn }, dann stellt der Mittelwert der
Daten in S mit den Gewichten W den Mittelwert der gruppierten Daten dar,
welcher in diesem Kontext als s bezeichnet wird.
n
s=
∑ wk ⋅ s k
k =1
n
∑ wk
n
=
∑w
k =1
k
N
⋅ sk
,
k =1
n
Dabei stellt
N = ∑ wk die Summe aller Häufigkeiten dar..
k =1
Der Mittelwert der Daten in Liste S und W kann somit mit dem gleichen
Verfahren, wie oben für den gewogenen Mittelwert vorgestellt, berechnet
werden, d. h.:
Wir speichern diesen Wert in einer Variablen mit den Namen XBAR:
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Die Varianz dieser gruppierten Daten wird wie folgt definiert
n
V =
∑ wk ⋅ ( s k − s ) 2
k =1
n
∑w
k =1
k
n
=
∑w
k =1
k
⋅ (sk − s ) 2
N
Um das letzte Ergebnis zu berechnen, können wir wie folgt vorgehen:
Die Standardabweichung der gruppierten Daten ist die Quadratwurzel der
Varianz:
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Kapitel 9
Vektoren
Dieses Kapitel stellt Beispiele zur Eingabe von und zum Arbeiten mit Vektoren
zur Verfügung, sowohl für mathematische Vektoren mit vielen Elementen, als
auch für physikalische Vektoren, bestehend aus nur 2 bis 3 Komponenten.
Definitionen
Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor eine Gruppierung von 2 oder mehr in
einer Spalte oder Zeile angeordneten Elementen. Diese bezeichnen wir als
Zeilen- oder Spaltenvektoren. Nachfolgend werden einige Beispiele gezeigt:
⎡− 1⎤
v = ⎢⎢ 3 ⎥⎥, u = [1,− 3, 5, 2]
⎢⎣ 6 ⎥⎦
Physikalische Vektoren haben zwei oder drei Komponenten und können zur
Darstellung von physikalischen Größen wie Positionen, Geschwindigkeiten,
Beschleunigungen, Kräften, Momenten, Impulsen und Drehimpulsen,
Winkelgeschwindigkeiten und Drehbeschleunigungen usw. eingesetzt werden.
Auf das Kartesische Koordinatensystem (x,y,z) bezogen, gibt es Einheitsvektoren
i, j, k, die den einzelnen Richtungen der Koordinaten zugeordnet sind, sodass
ein physikalischer Vektor A hinsichtlich seiner Komponenten Ax, Ay, Az wie folgt
geschrieben werden kann: A = Axi + Ayj + Azk.
Eine alternative Notation für diese Vektoren ist: A = [Ax, Ay, Az], A = (Ax, Ay,
Az), oder A = < Ax, Ay, Az >. Eine zweidimensionale Version dieses Vektors
wird als A = Axi + Ayj, A = [Ax, Ay], A = (Ax, Ay) oder A = < Ax, Ay >
dargestellt. Da im Taschenrechner die Vektoren zwischen eckigen Klammern [ ]
geschrieben werden, wählen wir von nun an die Schreibweise A = [Ax, Ay]
oder A = [Ax, Ay, Az], um auf zwei- oder dreidimensionale Vektoren
hinzuweisen. Der Betrag eines Vektors A wird als |A| =
Ax2 + Ay2 + Az2
definiert. Ein Einheitsvektor in Richtung des Vektors A wird als eA = A/|A|
definiert. Vektoren können mit einer Skalarzahl multipliziert werden, z. B. kA =
[kAx, kAy, kAz]. Physikalisch gesehen ist der Vektor kA parallel zu Vektor A
wenn k>0 oder antiparallel zu Vektor A, wenn k<0 ist. Die Negative eines
Seite 9-1
Vektors wird als –A = (–1)A = [–Ax, –Ay, –Az] definiert. Division durch eine
Skalarzahl kann als Multiplikation interpretiert werden, d. h. A/k = (1/k)⋅A.
Addition und Subtraktion von Vektoren wird als A±B = [Ax ± Bx, Ay ± By, Az ±
By] definiert, wobei B den Vektor B = [Bx, By, Bz] darstellt.
Es gibt zwei Definitionen von Produkten von physikalischen Vektoren, ein Skalaroder internes Produkt (Skalarprodukt) und ein Vektor- oder äußeres Produkt
(Kreuzprodukt). Das Skalarprodukt erzeugt einen Skalar, welcher als A•B =
|A||B|cos(θ) definiert wird, wobei θ den Winkel zwischen den beiden
Vektoren darstellt. Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor A×B dessen Betrag
|A×B| = |A||B|sin(θ) ist und dessen Richtung durch die sogenannte
Dreifingerregel bestimmt wird (eine grafische Darstellung dieses Vorgangs
finden Sie in einem Physik-, Mathe- oder Mechanik-Buch). In Kartesischen
Komponenten geschrieben ist A•B = AxBx+AyBy+AzBz und A×B = [AyBzAzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx]. Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann aus der
Definition des Skalarproduktes als cos(θ) = A•B/|A||B|= eA•eB ermittelt
werden. Somit ist, wenn zwei Vektoren A und B senkrecht zueinander stehen (θ
= 900 = π/2rad), A•B = 0.
Eingabe von Vektoren
Im Taschenrechner werden die Vektoren als eine in Klammern eingeschlossene
Reihe von Zahlen dargestellt und typischerweise als Zeilenvektoren eingegeben.
Im Taschenrechner werden die Klammern mit der Tastenkombination „Ô
erzeugt, welche der Taste * zugeordnet ist. Nachfolgend einige Beispiele
von Vektoren im Taschenrechner.
[3.5, 2.2, -1.3, 5.6, 2.3] Eine allgemeiner Zeilenvektor
[1.5,-2.2]
Ein 2-D Vektor
[3,-1,2]
Ein 3-D Vektor
['t','t^2','SIN(t)']
Ein Vektor von algebraischen
Objekten
Eingabe von Vektoren in den Stack
Ist der Taschenrechner im ALG-Modus, wird der Vektor durch Öffnen eines
Klammerpaares („Ô) und eintippen der durch Komma getrennten
(‚í) Komponenten oder Elemente in diese Klammern in den Stack
eingegeben. Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die Eingabe eines
numerischen, gefolgt von einem algebraischen Vektor. Die linke Abbildung
zeigt den algebraischen Vektor vor Drücken der Taste „. Die Abbildung
Seite 9-2
rechts zeigt die Anzeige des Taschenrechners, nachdem der algebraische
Vektor eingegeben wurde:
Im RPN-Modus können Sie einen Vektor in den Stack eingeben, indem Sie ein
Klammernpaar öffnen und die Komponenten oder Elemente des Vektors
entweder durch Komma (‚í) oder Leerzeichen (#) getrennt eingeben.
Beachten Sie, dass nachdem Sie die Taste ` gedrückt haben, der
Taschenrechner in beiden Fällen die Elemente des Vektors durch Leerzeichen
getrennt anzeigt.
Vektoren in Variablen speichern
Vektoren können in Variablen gespeichert werden. In den folgenden
Abbildungen sehen Sie die Vektoren
u2 = [1, 2], u3 = [-3, 2, -2], v2 = [3,-1], v3 = [1, -5, 2],
die in den jeweiligen Variablen @@@u2@@, @@@u3@@, @@@v2@@ und @@@v3@@ gespeichert
werden. Zunächst im ALG-Modus:
Dann das Gleiche im RPN-Modus (bevor Sie wiederholt die Taste K
drücken):
Seite 9-3
Eingabe von Vektoren mithilfe des MatrixWriters (MTRW)
Vektoren können auch über den MatrixWriter „² eingegeben werden
(dritte Taste vierte Reihe von oben). Dieser Befehl erzeugt eine Art Tabelle,
welche den Reihen und Spalten einer Matrix entspricht (Details zur Anwendung
und Benutzung des MatrixWriters werden in einem nachfolgenden Kapitel
erörtert). Für einen Vektor möchten wir Daten nur in die oberste Reihe
eingeben. Standardmäßig ist die Zelle in der ersten Zeile und ersten Spalte
ausgewählt. Am unteren Teil der Tabelle finden Sie nachfolgende
Funktionstasten:
@EDIT! @VEC ←@WID @WID→ @GO→ @GO↓
Benutzen Sie die Taste @EDIT, um die Inhalte einer ausgewählten Zelle
des MatrixWriters zu ändern.
Wenn sie ausgewählt ist, erzeugt die Taste @VEC@@ einen Vektor, im
Gegensatz zu einer Matrix, mit einer Zeile und mehreren Spalten.
Vektoren vs. Matrizen
Um zu sehen, wie die Taste @VEC@ arbeitet, machen Sie folgende Übung:
(1) Starten Sie den MatrixWriter („²). Mit den Optionen @VEC und
@GO→ ausgewählt, geben Sie folgende Tastenkombination ein
3`5`2``. Dies ergibt [3. 5. 2.]. (Im RPN-Modus
können Sie nachfolgende Tastenfolge benutzen, um das gleiche Ergebnis
zu erhalten: 3#5#2``).
(2) Mit der Option @VEC@@ nicht ausgewählt und @GO→ ausgewählt, geben Sie
folgendes ein: 3#5#2``. Dies ergibt [[3. 5. 2.]].
Obwohl diese beiden Ergebnisse sich nur in der Anzahl der verwendeten
Klammern unterscheiden, stellen diese für den Taschenrechner unterschiedliche
mathematische Objekte dar. Ersteres ist ein Vektor mit 3 Elementen und letzteres stellt eine Matrix mit einer Zeile und drei Spalten dar. Es gibt Unterschiede in der Art, wie mathematische Operationen auf einen Vektor im
Gegensatz zu einer Matrix angewendet werden. Deshalb lassen wir die Funktionstaste @VEC ausgewählt, während wir den MatrixWriter benutzen.
Seite 9-4
Die Taste ←@WID wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle zu
verringern. Drücken Sie die Taste mehrmals, um zu sehen, wie sich die
Spaltenbreite im MatrixWriter verringert.
Die Taste @WID→ wird verwendet, um die Breite der Spalten in der Tabelle
zu vergrößern. Drücken Sie die Taste mehrmals, um zu sehen wie sich die
Spaltenbreite in ihrem MatrixWriter vergrößert.
Wenn sie ausgewählt ist, wählt die Taste @GO→ beim Drücken der Taste
` automatisch die nächste Zelle rechts von der Position der aktuellen
Zelle. Diese Option ist standardmäßig eingestellt.
Wenn hingegen sie ausgewählt ist, springt die Taste @GO↓ beim Drücken der
Taste ` automatisch in die nächste Zelle unterhalb der Position der
aktuellen Zelle.
Nach rechts bewegen vs. nach unten bewegen im MatrixWriter
Aktivieren Sie den MatrixWriter und geben Sie folgendes ein:
3`5`2``, während die Taste @GO→ ausgewählt ist
(Standard). Um den Unterschied zu sehen, geben Sie als Nächstes die gleiche
Zahlenfolge mit ausgewählter @GO↓ Taste ein. Im ersten Fall haben Sie einen
Vektor bestehend aus drei Elementen eingegeben. Im zweiten Fall haben Sie
eine Matrix bestehend aus drei Zeilen und einer Spalte eingegeben
Starten Sie den MatrixWriter über „² und drücken Sie L, um die
zweite Zeile des Funktionsmenüs am unteren Teil der Anzeige anzuzeigen. Die
nachfolgenden Tasten werden angezeigt:
@+ROW@ @-ROW @+COL@ @-COL@ @→STK@@ @GOTO@
Die Taste @+ROW@ fügt eine Zeile mit lauter Nullen an der Stelle der
ausgewählten Zelle in die Tabelle ein.
Die Taste @-ROW löscht die ganze Zeile, in der sie eine Zelle ausgewählt
haben.
Die Taste @+COL@ trägt eine ganze Spalte Nullen an der Stelle der
ausgewählten Zelle in die Tabelle ein.
Die Taste @-COL@ löscht die Spalte, in der sie eine Zelle ausgewählt haben.
Seite 9-5
Die Taste @→STK@@ verschiebt den Inhalt der ausgewählten Zelle in den Stack.
Wenn die Taste @GOTO@ gedrückt ist, wird der Anwender aufgefordert, die
Zahl für die Zeile und Spalte, in der der Cursor positioniert werden soll,
einzugeben.
Wird die Taste L ein weiteres Mal gedrückt, erscheint das letzte Menü,
welches nur noch die eine Funktion @@DEL@ (löschen) enthält.
Die Funktion @@DEL@ löscht die Inhalte der ausgewählten Zelle und ersetzt
diese mit einer Null.
Um zu sehen wie diese Tasten funktionieren, machen Sie folgende Übung:
(1) Starten Sie den MatrixWriter über „². Stellen Sie sicher, dass die
Tasten @VEC und @GO→ ausgewählt sind.
(2) Geben Sie Folgendes ein:
1`2`3`
L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@
2`1`5`
4`5`6`
7`8`9`
(3) Bewegen Sie den Cursor zwei Positionen nach oben, indem Sie die
Pfeiltaste ——— zweimal drücken. Drücken Sie anschließend @-ROW.
Die zweite Zeile wird verschwinden.
(4) Drücken Sie nun @+ROW@. Eine Zeile von drei Nullen erscheint nun in der
zweiten Zeile.
(5) Drücken Sie @-COL@. Die erste Spalte verschwindet.
(6) Drücken Sie @+COL@. Eine Zeile von zwei Nullen erscheint nun in der ersten
Zeile.
(7) Drücken Sie nun @GOTO@ 3@@OK@@ 3@@OK@@ @@OK@@, um zu Position (3,3) zu
springen.
(8) Drücken Sie @→STK@@. Der Inhalt der Zelle (3,3) wird in den Stack
verschoben, obwohl Sie diese im Moment noch nicht sehen können.
(9) Drücken Sie `, um zur normalen Ansicht zurückzukehren. Element (3,3)
und die vollständige Matrix sollten jetzt auf dem Display angezeigt werden.
Seite 9-6
Zusammenfassung der Verwendung des MatrixWriters zur Eingabe von Vektoren
Zusammengefasst: Um einen Vektor mithilfe des MatrixWriters einzugeben,
starten Sie diesen („²) und geben Sie die Elemente des Vektors ein,
indem Sie nach jedem einzelnen Element die Taste ` drücken. Drücken Sie
anschließend ``. Stellen Sie sicher, dass die Tasten @VEC und @GO→@
ausgewählt sind.
Beispiel: „²³~„xQ2`2`5\``
erzeugt:
[‘x^2‘ 2 –5 ]
Erstellen eines Vektors mithilfe von ARRY
Auch die Funktion →ARRY, welche im Funktionskatalog (‚N‚é,
verwenden Sie die Pfeiltasten —˜, um die Funktion zu lokalisieren), zu
finden ist, kann zur Eingabe von Vektoren verwendet werden. Geben Sie im
ALG-Modus ARRY(Elemente des Vektors, Anzahl der Elemente) ein, z. B.
Im RPN-Modus:
(1) Geben Sie die n Elemente in der Reihenfolge, wie Sie diese angezeigt
haben möchten, (wenn von links nach rechts gelesen) in den RPN-Stack ein.
(2) Geben Sie n als letzten Eintrag ein.
(3) Verwenden Sie die Funktion ARRY.
Ihr Display wird den RPN-Stack wie folgt anzeigen – vor und nach dem
Anwenden der Funktion ARRY:
Seite 9-7
Im RPN-Modus nimmt die Funktion [→ARRY] die Objekte aus den Stack-Ebenen
n+1, n, n-1, …, bis hin zu Ebenen 3 und 2 und konvertiert diese in einen Vektor
bestehend aus n Elementen. Das Objekt, das sich ursprünglich in Stack-Ebene
n+1 befindet, wird so zum ersten Element, das Objekt aus Ebene n das zweite
Element und so weiter.
Anmerkung: Die Funktion ARRY kann auch über das Menü PRG/TYPE
(„°) aufgerufen werden.
Kennung, Extrahieren und Hinzufügen von Elementen
des Vektors
Speichern Sie einen Vektor in einer Variablen, beispielsweise A, können Sie die
Elemente des Vektors kennzeichnen, indem Sie A(i) verwenden, wobei i eine
Ganzzahl, kleiner oder gleich der Vektorgröße darstellt. Erstellen Sie z. B.
nachfolgendes Array (Reihe) und speichern Sie dieses in der Variablen A: [-1, 2, -3, -4, -5]:
Um z. B. wieder auf das dritte Element von A zuzugreifen, könnten Sie einfach
A(3) in den Taschenrechner eingeben. Im ALG-Modus geben Sie einfach A(3)
ein. Im RPN-Modus müssen Sie 'A(3)' `μ eingeben.
Mit den Elementen des Arrays können Sie Operationen durchführen, indem Sie
algebraische Ausdrücke eingeben und berechnen, wie z. B.:
Seite 9-8
Sie können auch kompliziertere Ausdrücke, in denen die Elemente von A
vorkommen, erstellen. So können wir z. B. mithilfe des EquationWriters
(‚O) die folgende Summenbildung der Elemente aus A eingeben:
Markieren wir nun den gesamten Ausdruck und benutzen die Funktionstaste
@EVAL@, erhalten wir das Ergebnis: -15.
Anmerkung: Vektor A können wir auch als indexierte Variable bezeichnen,
weil A nicht nur einen, sondern mehrere Werte, welche durch den Unterindex
identifiziert werden, darstellt.
Um ein Element in einem Array zu ersetzen, verwenden wir die Funktion PUT
(diese kann aus dem Funktionen Katalog ‚N oder dem Untermenü PRG/
LIST/ELEMENTS – letzteres wurde in Kapitel 8 erläutert – aufgerufen werden).
Im ALG-Modus müssen Sie die Funktion PUT mit folgenden Argumenten
verwenden: PUT(Array, zu ersetzende Position, neuer Wert). Um beispielsweise
den Inhalt von A(3) auf 4,5 zu ändern, geben Sie folgendes ein:
Seite 9-9
Im RPN-Modus können sie den Wert eines Elementes aus A ändern, indem Sie
einen neuen Wert in diesem Element speichern. Wenn wir z. B. den Inhalt von
A(3) von seinem derzeitigen Wert -3 auf 4,5 ändern möchten, gehen wir wie
folgt vor:
4.5`³~a„Ü 3`K
Um diese Änderung zu überprüfen, drücken wir: ‚@@@@A@@. Das Ergebnis sieht
nun wie folgt aus: [-1 -2 4.5 -4 -5 ].
Anmerkung: Dieser Ansatz den Wert eines Elementes im Array zu ändern,
ist im ALG-Modus nicht erlaubt. Versuchen Sie den Wert 4,5 in A(3) in diesem
Modus zu speichern, erhalten Sie nachfolgende Fehlermeldung: Invalid Syntax
(ungültige Syntax).
Die Länge eines Vektors können Sie über die Funktion SIZE ermitteln – diese
kann über den Befehls-Katalog (N) oder über das Untermenü PRG/LIST/
ELEMENTS aufgerufen werden. Nachfolgend einige Beispiele, die auf vorhin
gespeicherten Arrays und Vektoren basieren:
Einfache Operationen mit Vektoren
Um Operationen mit Vektoren zu veranschaulichen, verwenden wir die
Vektoren A, u2, u3, v2 und v3, die wir in einer vorangegangenen Übung
gespeichert haben.
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Änderung des Vorzeichens
Um das Vorzeichen eines Vektors zu ändern, benutzen Sie die Taste \, z. B.
Addition, Subtraktion
Bei der Addition und Subtraktion von Vektoren müssen die beiden Operanden
die gleiche Länge haben:
Ein Versuch Vektoren verschiedener Länge zu addieren oder zu subtrahieren,
erzeugt eine Fehlermeldung (Invalid Dimension – ungültige Dimension), so z. B.
v2+v3, u2+u3, A+v3, usw.
Multiplikation und Division mit einem Skalar
Multiplikation und Division mit einem Skalar ist ganz einfach:
Funktion Absolutbetrag
Wird die Funktion Absolutbetrag (ABS) auf einen Vektor angewandt, ermittelt
diese den Betrag des Vektors. Der Betrag für einen Vektor A = [A1,A2,…,An]
wird wie folgt definiert
| A |=
Ax2 + Ay2 + L + Az2 . Im ALG-Modus geben
Seite 9-11
Sie den Namen der Funktion, gefolgt von den Argumenten des Vektors, ein.
Zum Beispiel wird der Ausdruck BS([1,-2,6]), BS( ), BS(u3) in
der Anzeige wie folgt aussehen:
Das Menü MTH/VECTOR
Das Menü MTH („´) enthält ein Menü mit speziellen Funktionen für
Vektor-Objekte:
Das Menü VECTOR enthält die folgenden Funktionen (System-Flag 117 ist auf
CHOOSE boxes gesetzt):
Betrag
Der Betrag eines Vektors, wie zuvor beschrieben, kann mit der Funktion ABS
ermittelt werden. Die Funktion steht auch über die Tastatur („Ê) zur
Verfügung. Anwendungsbeispiele für die Funktion ABS wurden weiter vorne
gezeigt.
Seite 9-12
Skalarprodukt
Die Funktion DOT wird zur Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren
der gleichen Länge verwendet. Einige Beispiele zur Anwendung der Funktion
DOT, unter Verwendung der zuvor gespeicherten Vektoren A, u2, u3, v2, and
v3, werden als Nächstes im ALG-Modus gezeigt. Der Versuch das
Skalarprodukt zweier Vektoren unterschiedlicher Länge zu berechnen, führt zu
einer Fehlermeldung:
Kreuzprodukt
Die Funktion CROSS wird zur Berechnung des Kreuzproduktes zweier 2-D
Vektoren, zweier 3-D Vektoren oder eines 2-D und eines 3-D Vektors eingesetzt.
Um ein Kreuzprodukt zu berechnen, wird ein 2-D Vektor der Form [Ax, Ay] als 3D Vektor [Ax, Ay,0] behandelt. Nachfolgend werden Beispiele zweier 2-D und
zweier 3-DVektoren im ALG-Modus angezeigt. Beachten Sie, dass das
Kreuzprodukt zweier 2-D Vektoren einen Vektor nur in z-Richtung, d. h. einen
Vektor der Form [0, 0, Cz] erzeugt.
Beispiele eines Kreuzproduktes eines 3-D Vektors mit einem 2-D Vektor, oder
umgekehrt, werden nachfolgend gezeigt:
Seite 9-13
Der Versuch ein Kreuzprodukt zweier Vektoren, deren Länge nicht 2 oder 3 ist,
zu bilden wird eine Fehlermeldung erzeugen: (Invalid Dimension), z. B.
CROSS(v3,A), usw.
Zerlegen eines Vektors
Zum Zerlegen eines Vektors in seine Elemente oder Komponenten wird die
Funktion V verwendet. Wird diese im ALG-Modus benutzt, erzeugt V eine
Liste mit den Elementen des Vektors, z. B.
Wenn sie im RPN-Modus angewendet wird, listet die Funktion V die Elemente
im Stack auf, z. B. erstellt V(A) die folgende Ausgabe im RPN-Stack (Vektor A
wird in Ebene 6 angezeigt).
Erstellen eines zweidimensionalen Vektors
Die Funktion V2 wird im RPN-Modus zur Erstellung eines Vektors mit den
Werten in Stack-Ebene 1: und 2: verwendet. Ihr Display wird, vor und nach
Anwenden der Funktion V2, wie folgt aussehen:
Seite 9-14
Erstellen eines dreidimensionalen Vektors
Die Funktion V3 wird im RPN-Modus zur Erstellung eines Vektors mit den
Werten in Stack-Ebene 1:, 2: und 3: verwendet. Ihre Anzeige wird, vor und
nach Anwenden der Funktion V2, wie folgt aussehen:
Änderung des Koordinatensystems
Um das aktuelle Koordinatensystem in ein rechtwinkliges (Kartesisches),
zylindrisches (Polares) oder sphärisches zu ändern, werden die Funktionen
RECT, CYLIN und SPHERE verwendet. Das aktuelle System wird in der
entsprechenden CHOOSE box (System-Flag 117 nicht gesetzt) markiert oder im
entsprechenden SOFT-Menü (System-Flag 117 gesetzt) als ausgewählt
angezeigt. In der nachfolgenden Abbildung sehen Sie, dass das RECT(rechtwinklige) Koordinatensystem ausgewählt ist (in beiden Menüformaten):
Ist das rechtwinklige oder Kartesische Koordinatensystem ausgewählt, erscheint
in der oberen Zeile des Displays ein Feld XYZ, und alle 2-D oder 3-D Vektoren,
die Sie in den Taschenrechner eingeben, werden als Komponenten (x,y,z) des
Vektors dargestellt. Um den Vektor A = 3i+2j-5k einzugeben, verwenden wir
die Werte [3,2,-5]; der Vektor wird wie folgt angezeigt:
Um anstelle einer Kartesischen Komponente eines Vektors eine zylindrische
(Polar) Komponente einzugeben, müssen wir den Betrag r , der die Projektion
des Vektors auf die x-y Ebene darstellt, einen Winkel θ (im aktuellen
Winkelmaß), welcher den Winkel von r auf die positive x-Achse darstellt, sowie
Seite 9-15
eine Z-Komponente des Vektors eingeben. Dem Winkel θ muss das
Winkelzeichen (∠) vorangesetzt sein, erzeugt mit den Tasten ~‚6.
Nehmen wir z. B. an, dass wir einen Vektor r = 5, θ = 25o (DEG sollte als
Winkelmaß ausgewählt sein) und z = 2,3 haben, können wir den Vektor wie
folgt eingeben:
„Ô5 ‚í ~‚6 25 ‚í 2.3
Bevor Sie ` drücken, sieht die Anzeige wie die links dargestellte Abbildung
aus. Nach Drücken der Taste `, sieht Ihre Anzeige wie in der rechten
Abbildung aus (Das numerische System wurde für dieses Beispiel auf Fix mit
drei Dezimalstellen geändert).
Beachten Sie, dass der Vektor in Kartesischen Koordinaten angezeigt wird, mit
den Komponenten x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z, obwohl wir ihn in PolarKoordinaten eingegeben haben. Das ist deshalb so, weil die Anzeige des
Vektors immer im standardmäßig eingestellten Koordinatensystem erfolgt. In
diesem Fall haben wir x = 4,532, y = 2,112 und z = 2,300
Nehmen wir an, wir geben nun einen Vektor in sphärischen Koordinaten ein
(d. h. als (ρ,θ,φ), wobei ρ die Länge des Vektors darstellt, θ der Winkel der xyProjektion des Vektors auf die positiven Seite der x-Achse ist und φ den von ρ
und der positiven Seite der z-Achse gebildeten Winkel darstellt) mit den Werten
ρ = 5, θ = 25o und φ = 45o. Wir verwenden dazu: „Ô5 ‚í
~‚6 25 í ~‚6 45
Die nachfolgende Abbildung zeigt die Umwandlung des Vektors von
sphärischen in Kartesische Koordinaten mit x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin (φ) cos
(θ), z = ρ cos(φ). In diesem Fall ist x = 3,204, y = 1,494 und z = 3,536
Seite 9-16
Wenn das CYLINdrical (zylindrische) System gewählt wurde, erscheint in der
obersten Zeile des Displays ein Feld R∠Z und ein in zylindrischen Koordinaten
eingegebener Vektor wird auch in seinen zylindrischen (Polar-) Koordinaten
(r,θ,z) angezeigt. Um dies zu veranschaulichen, ändern wir das
Koordinatensystem auf CYLINdrical (zylindrisch), um zu sehen wie der Vektor in
der letzten Anzeige in seine zylindrischen (Polar-) Koordinaten umgerechnet
wird. Die zweite Komponente wird mit dem Winkelzeichen vor der Zahl
dargestellt, um sie als Winkel zu kennzeichnen.
Die Konvertierung von Kartesischen auf zylindrische Koordinaten folgt den
Regeln, dass r = (x2+y2)1/2, θ = tan-1(y/x) und z = z, ist. Im obigen Fall wurde
durch die Transformation (x,y,z) = (3,204, 2,112, 2,300) in (r,θ,z) =
(3,536,25o,3,536) umgewandelt.
Ändern wir an dieser Stelle das Winkelmaß auf Bogenmaß (Radian). Geben
wir nun einen Vektor in Kartesischer Form ein wird dieser, selbst wenn das
CYLINdrical (zylindrische) Koordinatensystem aktiv ist, in Kartesischen
Koordinaten angezeigt, z. B.
Das liegt daran, dass die Ganzzahlen für die Anwendung mit dem CAS
gedacht sind, und somit die Komponenten des Vektors in Kartesischer Form
erhalten bleiben. Um eine Konvertierung in Polar-Koordinaten zu erzwingen,
geben Sie die Komponenten des Vektors als reelle Zahlen ein ( d. h. fügen Sie
einen Dezimalpunkt hinzu), z. B. [2., 3., 5.].
Ist das zylindrische Koordinatensystem ausgewählt und wir geben einen Vektor
mit sphärischen Koordinaten ein, wird dieser automatisch in seine zylindrische
Seite 9-17
(polare) Äquivalente (r,θ,z) geändert, wobei r = ρ sin φ, θ = θ und z = ρ cos ist.
Nachfolgend sehen Sie ein Beispiel eines Vektors, der mit sphärischen
Koordinaten eingegeben und in seine Polar-Koordinaten umgewandelt wurde.
In diesem Fall ist ρ = 5, θ = 25o und φ = 45o, während die Umwandlung
anzeigt, dass r = 3,563 und z = 3,536 ist (Ändern Sie zu DEG):
Als Nächstes ändern wir das Koordinatensystem auf sphärische Koordinaten,
indem wir die Funktion SPHERE aus dem Untermenü VECTOR des Menüs MTH
verwenden. Sobald dieses Koordinatensystem ausgewählt wurde, wird in der
obersten Zeile des Displays das R∠∠ Format angezeigt. Die letzte Anzeige wird
sich wie folgt ändern:
Beachten Sie, dass Vektoren, die wir in zylindrischen (Polar-) Koordinaten
eingegeben haben, auf sphärisch umgeändert wurden. Die Umwandlung
besteht darin, dass ρ = (r2+z2)1/2, θ = θ und φ = tan-1(r/z) ist. Der Vektor, der
ursprünglich in Kartesischen Koordinaten dargestellt wurde, bleibt jedoch
unverändert.
Anwendungen von Vektor-Operationen
In diesem Abschnitt zeigen wir Ihnen einige Beispiele von Operationen mit
Vektoren, die in der Physik oder Mechanik verwendet werden.
Resultante von Kräften
Angenommen, ein Teilchen wird nachfolgenden Kräften (in N) ausgesetzt: F1 =
3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k und F3 = 2i-3k. Um die Resultante zu ermitteln, d. h.
die Summe all dieser Kräfte, können Sie im ALG-Modus folgenden Ansatz
verwenden:
Seite 9-18
Somit ist die Resultante R = F1+ F2 + F3 = (3i+8j-6k)N. Im RPN-Modus
verwenden Sie:
[3,5,2] ` [-2,3,-5] ` [2,0,3] ` + +
Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel zwischen zwei Vektoren A, B, kann mithilfe der Formel θ =cos1
(A•B/|A||B|) ermittelt werden.
Angenommen, Sie möchten den Winkel zwischen den Vektoren A = 3i-5j+6k
und B = 2i+j-3k ermitteln, können Sie im ALG-Modus wie folgt vorgehen
(Winkelmaß auf Grad eingestellt):
1 - Geben Sie die Vektoren ein: [3,-5,6], drücken Sie `, [2,1,-3] dann `.
2 - DOT(ANS(1),ANS(2)) berechnet das Skalarprodukt
3 - ABS(ANS(3))*ABS((ANS(2)) berechnet das Produkt der Beträge
4 - ANS(2)/ANS(1) berechnet cos(θ)
5 - ACOS(ANS(1)) gefolgt von NUM(ANS(1)), berechnet θ
Die Schritte werden in den nachfolgenden Abbildungen (natürlich im ALGModus) angezeigt:
!!!
Dies ergibt das Ergebnis θ = 122,891o. Im RPN-Modus gehen Sie wie folgt
vor:
[3,-5,6] ` [2,1,-3] ` DOT
[3,-5,6] ` BS [2,1,-3] ` BS *
/
COS NUM
Seite 9-19
Kraftmoment
Das Moment das von einer Kraft F auf einen Punkt O ausgeübt wird, wird als
Kreuzprodukt M = r×F bezeichnet, wobei r auch als Kraftarm bekannt ist und
den Ortsvektor in Punkt O in Richtung des Anwendungspunktes der Kraft
darstellt. Angenommen, eine Kraft F = (2i+5j-6k)N hat einen Kraftarm von r =
(3i-5j+4k)m. Um das Moment, das diese Kraft auf den Arm ausübt, zu
ermitteln, verwenden wir die Funktion CROSS, wie nachfolgend gezeigt:
Somit ist M = (10i+26j+25k) m⋅N. Wir wissen, dass der Betrag von M sich so
verhält, dass |M| = |r||F|sin(θ), wobei θ den Winkel zwischen r und F
darstellt. Wir können diesen Winkel als θ = sin-1(|M| /|r||F|) über
nachfolgende Operationen ermitteln:
1 - ABS(ANS(1))/(ABS(ANS(2))*ABS(ANS(3)) berechnet sin(θ)
2 - ASIN(ANS(1)), gefolgt von NUM(ANS(1)) berechnet θ
Diese Rechenvorgänge werden in den nachfolgenden Abbildungen im ALGModus dargestellt:
Somit beträgt der Winkel zwischen den Vektoren r und F θ = 41,038o. Im RPNModus können wir wie folgt vorgehen: [3,-5,4] ` [2,5,-6] `
CROSS
BS [3,-5,4] ` BS [2,5,-6] ` BS * /
SIN NUM
Seite 9-20
Gleichung einer Ebene im Raum
Nehmen wir an, dass wir einen Punkt P0(x0,y0,z0) im Raum haben und einen
Vektor N = Nxi+Nyj+Nzk senkrecht (normal) zu einer Ebene, welche den Punkt
P0 enthält. Unser Problem ist es, die Gleichung für diese Ebene zu finden. Wir
können einen Vektor mit dem Startpunkt P0 und dem Endpunkt P(x,y,z), ein
willkürlicher Punkt auf dieser Ebene, erstellen. Somit ist dieser Vektor r = P0P =
(x-x0)i+ (y-y0)j + (z-z0)k senkrecht zu dem normalen Vektor N, da r sich
vollständig in der Ebene befindet. Wir haben gesehen, dass für zwei
zueinander senkrechte Vektoren N und r, N•r =0 ist. Somit können wir dieses
Ergebnis zur Ermittlung der Gleichung der Ebene verwenden.
Um diesen Ansatz zu veranschaulichen, nehmen wir an, der Punkt P0 ist P0(2,3,1) und der Normalvektor N = 4i+6j+2k, dann können wir den Vektor N und
den Punkt P0 als zwei Vektoren, wie unten gezeigt, eingeben. Als Letztes geben
wir noch den Vektor [x,y,z] ein:
Dann berechnen wir den Vektor P0P = r als ANS(1) – ANS(2), d. h.
Schließlich nehmen wir das Skalarprodukt von ANS(1) und ANS(4) und setzen
dies gleich Null, um die Operation N•r =0 zu vervollständigen:
Seite 9-21
Nun können wir die Funktion EXPAND (im ALG-Menü) verwenden, um den
Ausdruck zu auszumultiplizieren:
Somit lautet die Gleichung der Ebene durch den Punkt P0(2,3,-1) mit einem
normalen Vektor von N = 4i+6j+2k wie folgt: 4x + 6y + 2z – 24 = 0. Im RPNModus verwenden Sie:
[2,3,-1] ` ['x','y','z'] ` - [4,6,2] DOT EXP ND
Zeilen- und Spaltenvektoren sowie Listen
Alle in diesem Kapitel gezeigten Vektoren sind Zeilenvektoren. In einigen Fällen
jedoch, ist es erforderlich, Spaltenvektoren zu erstellen (z. B., um vordefinierte
statistische Funktionen im Taschenrechner anzuwenden). Der einfachste Weg
einen Spaltenvektor einzugeben, ist, jedes einzelne Element des Vektors in ein
Klammerpaar zu setzen, alle zusammen befinden sich in einem weiteren
Klammerpaar. Geben Sie beispielsweise ein:
[[1.2],[2.5],[3.2],[4.5],[6.2]] `
Dies wird im nachfolgenden Spaltenvektor dargestellt:
Seite 9-22
In diesem Abschnitt zeigen wir Ihnen, wie Sie einen Spalten- in einen
Zeilenvektor, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor, eine Liste in einen Vektor und
einen Vektor (oder Matrix) in eine Liste umwandeln können.
Zunächst zeigen wir diese Umwandlungen im RPN-Modus. In diesem Modus
verwenden wir die Funktionen OBJ, LIST, ARRY und DROP, um die
Umwandlung durchzuführen. Um einen einfacheren Zugang zu diesen
Funktionen zu bekommen, setzen wir das System-Flag 117 auf SOFT menus
(siehe Kapitel 1). Wenn dieses Flag gesetzt ist, können die Funktionen OBJ,
ARRY und LIST über „° @)TYPE! aufgerufen werden. Die Funktionen
OBJ, ARRY und LIST können über die Funktionstasten A, B und
C aufgerufen werden. Auf die Funktion DROP kann über „°@)STACK
@DROP zugegriffen werden.
Nachfolgend erläutern wir die Anwendung der Funktionen OBJ, LIST,
ARRY und DROP mit einigen Beispielen.
Funktion OBJ
Diese Funktion zerlegt ein Objekt in seine Komponenten. Ist das Argument eine
Liste, wird die Funktion OBJ die Elemente der Liste im Stack anzeigen, wobei
die Anzahl der Elemente in Stack-Ebene 1 angezeigt wird, z. B. ergibt
{1,2,3} ` „°@)TYPE! @OBJ@ folgendes:
Wird die Funktion OBJ auf einen Vektor angewandt, wird eine Liste mit den
Elementen des Vektors im Stack angezeigt und die Anzahl der Elemente des
Vektors befindet sich innerhalb von Klammern (als eine Liste) in Stack-Ebene 1.
Folgendes Beispiel veranschaulicht diese Anwendung: [1,2,3] `
„°@)TYPE! @OBJ@ ergibt:
Seite 9-23
Wenden wir nun die Funktion OBJ erneut an, wird die Liste {3.} in StackEbene 1 wie folgt zerlegt:
Funktion LIST
Diese Funktion wird zur Erstellung einer Liste eingesetzt, wenn die Elemente der
Liste und die Länge oder Größe der Liste bekannt sind. Im RPN-Modus sollte die
Listengröße, beispielsweise n, in Stack-Ebene 1 eingegeben werden. Die
Elemente der Liste sollten in die Stack-Ebenen 2:, 3:,..., n+1: eingegeben
werden. Um z. B. die Liste {1, 2, 3} zu erstellen, geben Sie Folgendes ein:
1` 2` 3` 3` „°@)TYPE! !LIST@.
Funktion ARRY
Diese Funktion wird zur Erstellung eines Vektors oder einer Matrix verwendet. In
diesem Abschnitt werden wir sie zur Erstellung eines Vektors oder eines
Spaltenvektors (d. h. eine Matrix aus n Zeilen und einer Spalte) verwenden. Um
einen regulären Vektor zu erstellen, tragen wir die Elemente des Vektors in den
Stack ein und in Stack-Ebene 1 geben wir die Vektorgröße als Liste an, z. B.:
1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! !ARRY@ ein.
Um einen Spaltenvektor bestehend aus n Elementen zu erstellen, geben wir die
Elemente des Vektors in den Stack und in Stack-Ebene 1 die Liste {n 1} ein. Z. B.
1` 2` 3` „ä 1‚í3` „°@)TYPE!
!ARRY@.
Seite 9-24
Funktion DROP
Diese Funktion hat die gleiche Wirkung wie die Löschtaste (ƒ).
Umwandlung eines Zeilenvektors in einen Spaltenvektor
Wir veranschaulichen die Umwandlung mit dem Vektor [1,2,3]. Geben Sie
diesen Vektor in den RPN-Stack ein, um die Übung zu verfolgen. Um einen
Zeilen- in einen Spaltenvektor umzuwandeln, müssen wir die nachfolgenden
Operationen im RPN-Stack durchführen:
1 - den Vektor mit der Funktion OBJ zerlegen
2 - 1+ drücken, um die Liste in Stack-Ebene 1 von {3} in {3,1} zu ändern
3 - die Funktion ARRY verwenden, um den Spaltenvektor zu erzeugen
Wir können diese drei Schritte in ein UserRPL-Programm eingeben, wie
nachfolgend (immer noch im RPN-Modus) gezeigt:
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ 1 + !ARRY@
`³~~rxc` K
Eine neue Variable, @@RXC@@, wird nach Drücken von J im Funktionsmenü zur
Verfügung stehen:
Seite 9-25
Drücken Sie ‚@@RXC@@, um das in der Variablen RCX enthaltene Programm
anzuzeigen:
<< OBJ 1 + RRY >>
Diese Variable, @@RXC@@, kann nun zur direkten Umwandlung eines Zeilenvektors
in einen Spaltenvektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den
Zeilenvektor ein, und drücken Sie anschließend @@RXC@@. Versuchen Sie z. B.:
[1,2,3] ` @@RXC@@.
Nachdem wir nun diese Variable definiert haben, können wir sie auch im ALGModus dazu verwenden, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor umzuwandeln.
Ändern wir nun den Modus des Taschenrechners auf ALG und versuchen wir
nachfolgende Prozedur: [1,2,3] ` J @@RXC@@ „ Ü „ î
ergibt:
Umwandlung eines Spaltenvektors in einen Zeilenvektor
Um diese Umwandlung zu veranschaulichen, geben wir den Spaltenvektor
[[1],[2],[3]] im RPN-Modus ein. Gehen Sie dann wie in
nachfolgender Übung gezeigt vor, um den Spalten- in einen Zeilenvektor
umzuwandeln.
1 - Verwenden Sie die Funktion OBJ, um den Spaltenvektor zu zerlegen.
2 - Verwenden Sie die Funktion OBJ, um die Liste in Stack-Ebene 1 zu
zerlegen.
Seite 9-26
3 - Drücken Sie die Löschtaste ƒ (auch als Funktion DROP bekannt), um die
Zahl aus Stack-Ebene 1 zu entfernen.
4 - Verwenden Sie die Funktion LIST, um eine Liste zu erzeugen.
5 - Verwenden Sie die Funktion ARRY, um den Zeilenvektor zu erzeugen.
Wir können diese fünf Schritte wie nachfolgend (immer noch im RPN-Modus)
gezeigt, in ein UserRPL-Programm eingeben:
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ @OBJ@
„°@)STACK @DROP „°@)TYPE! !LIST@ !ARRY@ `
³~~cxr ` K
Eine neue Variable, @@CXR@, wird nach Drücken von J im Funktionsmenü zur
Verfügung stehen:
Seite 9-27
Drücken Sie ‚@@CXR@@, um das in der Variablen CXR enthaltene Programm
anzuzeigen:
<< OBJ OBJ DROP RRY >>
Die Variable @@CXR@@ kann nun zur direkten Umwandlung eines Spaltenvektors in
einen Zeilenvektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den
Zeilenvektor ein, und drücken Sie anschließend @@CXR@@. Versuchen Sie z. B.:
[[1],[2],[3]] ` @@CXR@@.
Nachdem wir nun die Variable @@CXR@@ definiert haben, können wir sie auch im
ALG-Modus dazu verwenden, einen Zeilen- in einen Spaltenvektor
umzuwandeln. Ändern wir nun den Modus des Taschenrechners auf ALG und
versuchen wir nachfolgende Prozedur:
[[1],[2],[3]] ` J @@CXR@@ „Ü „î
Das Resultat sieht dann so aus:
Eine Liste in einen Vektor umwandeln
Um diese Umwandlung zu veranschaulichen, geben wir die Liste {1,2,3}im
RPN-Modus ein. Gehen Sie dann wie in der folgenden Übung gezeigt vor, um
die Liste in einen Vektor umzuwandeln.
1 - verwenden Sie die Funktion OBJ, um den Spaltenvektor zu zerlegen
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2 - geben Sie eine 1 ein und verwenden dann die Funktion LIST, um eine Liste
in Stack-Ebene 1 zu erstellen.
3 - verwenden Sie die Funktion ARRY, um den Vektor zu erzeugen
Wir können diese drei Schritte wie nachfolgend (im RPN-Modus) gezeigt in ein
UserRPL-Programm eingeben:
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ @OBJ 1 !LIST@ !ARRY@ `
³~~lxv ` K
Eine neue Variable, @@LXV@@, wird nach Drücken der Taste J unter den
Funktionstasten zur Verfügung stehen.
Drücken Sie ‚@@LXV@@, um das in der Variablen LVX enthaltene Programm
anzuzeigen:
<< OBJ 1 LIST RRY >>
Die Variable @@LXV@@ kann nun zur direkten Umwandlung einer Liste in einen
Vektor verwendet werden. Geben Sie im RPN-Modus den Zeilenvektor ein, und
drücken Sie anschließend @@LXV@@. Versuchen Sie z. B.: {1,2,3} ` @@LXV@@.
Nachdem wir nun die Variable @@LXV@@ definiert haben, können wir sie auch im
ALG-Modus dazu verwenden, eine Liste in einen Vektor umzuwandeln. Ändern
wir nun den Modus des Taschenrechners auf ALG, und versuchen wir folgendes
Verfahren: {1,2,3} ` J @@LXV@@ „Ü „î, ergibt:
Seite 9-29
Einen Vektor oder eine Matrix in eine Liste umwandeln
Im Taschenrechner wird die Funktion AXL zur Umwandlung eines Vektors in eine
Liste bereitgestellt. Diese Funktion können Sie aus dem Befehls-Katalog wie folgt
aufrufen:
‚N~~axl~@@OK@@
Als Beispiel wenden Sie im RPN-Modus die Funktion AXL auf den Vektor
[1,2,3]an, unter Verwendung der Tastenfolge [1,2,3] ` XL. Die
folgende Anzeige zeigt die Anwendung der Funktion AXL auf den gleichen
Vektor im ALG-Modus.
Seite 9-30
Kapitel 10
Erstellen und Manipulieren von Matrizen
In diesem Kapitel finden Sie Beispiele zur Erstellung von Matrizen im
Taschenrechner und zur Veranschaulichung der Manipulation von Zellen einer
Matrix.
Definitionen
Bei einer Matrix handelt es sich ganz einfach um ein rechtwinkliges Array von
Objekten (d. h. Zahlen, algebraische Objekte), bestehend aus mehreren Zeilen
und Spalten. Eine Matrix A mit n Zeilen und m Spalten enthält somit n×m
Elemente. Ein generisches Element einer Matrix wird durch die indiziierte
Variable aij, welche der Zelle in einer Zeile i und Spalte j entspricht, dargestellt.
Anhand dieser Notation kann die Matrix A als A = [aij]n×m definiert werden.
Nachfolgend die gesamte Matrix:
A = [aij ] n×m
⎡ a11
⎢a
= ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣a n1
a12
a 22
M
an2
L a1m ⎤
L a 2 m ⎥⎥
.
⎥
O
⎥
L a nm ⎦
Eine Matrix ist quadratisch, wenn m = n zutrifft. Das Transponieren einer Matrix
besteht darin, die Zeilen gegen die Spalten auszutauschen und umgekehrt.
Somit ist die Transponierte der Matrix A, AT = [(aT)ij] m×n = [aji]m×n. Die
Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix ist die Menge der Elemente aii.
Eine Identitätsmatrix, In×n, ist eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der
Hauptdiagonale alle 1 sind, während alle weiteren Elemente außerhalb der
Diagonalen Null sind. So wird z. B. eine Identitätsmatrix 3×3 wie folgt definiert:
⎡1 0 0 ⎤
I = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
Auch kann eine Identitätsmatrix als In×n = [δij] dargestellt werden, wobei δij,
eine Funktion, bekannt als Kroneckers Delta, darstellt und wie folgt definiert ist:
Seite 10-1
⎧1, if i = j
.
0
,
if
i
≠
j
⎩
δ ij = ⎨
Eingaben von Matrizen in den Stack
In diesem Abschnitt werden zwei unterschiedliche Methoden zur Eingabe von
Matrizen in den Stack des Taschenrechners gezeigt: (1) mithilfe des Matrix
Editors und (2) durch direktes Eingeben der Matrix in den Stack.
Verwendung des Matrix Editors
Analog zu Vektoren, wie in Kapitel 9 beschrieben, können Matrizen mithilfe des
Matrix Editors in den Stack eingegeben werden. Um z. B. die folgende Matrix
einzugeben, gehen Sie wie folgt vor:
⎡− 2.5 4.2 2.0⎤
⎢ 0.3
1.9 2.8⎥⎥,
⎢
⎢⎣ 2
− 0.1 0.5⎥⎦
Starten Sie zuerst den Matrix Writer über „². Stellen Sie sicher, dass die
Option @GO→ gewählt ist. Verwenden Sie dazu die nachstehende Tastenfolge:
2.5\` 4.2` 2`˜ššš
.3` 1.9` 2.8 `
2` .1\` .5`
An dieser Stelle wird Ihre Anzeige in etwa wie folgt dargestellt:
Drücken Sie ` ein weiteres Mal, um die Matrix in den Stack zu verschieben.
Nachfolgend wird der Stack im ALG-Modus vor und nach dem zweiten Druck
von ` gezeigt:
Seite 10-2
Bei ausgewähltem Textbook-Modus (über H@)DISP! und Textbook
angekreuzt), wird die Matrix wie oben abgebildet angezeigt, andernfalls sieht
sie folgendermaßen aus:
Im RPN-Modus wird die Anzeige annähernd gleich dargestellt.
Anmerkung: Der Matrix Writer wurde in Kapitel 9 ausführlich erklärt.
Direktes Eingeben der Matrix in den Stack
Dasselbe Ergebnis wie oben wird erzielt, wenn nachfolgende Zeilen direkt in
den Stack eingeben werden:
„Ô
„Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™
‚í
„Ô .3 ‚í 1.9 ‚í 2.8 ™
‚í
„Ô 2 ‚í .1\ ‚í .5
Um eine Matrix direkt in den Stack einzugeben, öffnen Sie ein Klammerpaar
(„Ô) und schließen Sie jede Zeile der Matrix in ein weiteres
Klammernpaar („Ô) ein. Die Elemente der Matrix müssen durch Komma
(‚í .) voneinander getrennt werden, gleichermaßen die Klammern
zwischen den Zeilen. (Anmerkung: Im RPN-Modus können Sie die inneren
Klammern nach Eingabe der ersten Zahlenreihe aussparen. Sie können z. B.
anstelle von [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] einfach [[1 2 3] 4 5 6 7 8 9] eingeben.)
Seite 10-3
Speichern Sie diese Matrix nun für spätere Übungen unter dem Namen A.
Verwenden Sie hierzu im ALG-Modus K~a und im RPN-Modus
³~a K.
Erstellen von Matrizen mit den Funktionen des
Taschenrechners
Einige Matrizen können mit den bestehenden Funktionen des Taschenrechners
erstellt werden, die entweder über das Untermenü MTH/MATRIX/MAKE des
MTH-Menüs („´) zur Verfügung stehen,
oder im Menü MATRICES/CREATE, verfügbar über „Ø, zu finden sind:
Das Untermenü MTH/MATRIX/MAKE (der Einfachheit halber als Menü MAKE
bezeichnet) enthält die folgenden Funktionen:
Seite 10-4
Das Untermenü MATRICES/CREATE (der Einfachheit halber als Menü CREATE
bezeichnet) enthält die folgenden Funktionen:
Wenn Sie die Menüs (MAKE und CREATE) näher betrachten, werden Sie
feststellen, dass beide die gleichen Funktion enthalten (GET, GETI, PUT, PUTI,
SUB, REPL, RDM, RANM, HILBERT, VANDERMONDE, IDN, CON, →DIAG und
DIAG→). Im Menü CREATE finden Sie die Untermenüs COLUMN (Spalte) und
ROW (Zeile), welche Sie jedoch auch im Menü MTH/MATRIX finden. Im Menü
MAKE sind die Funktionen SIZE enthalten, die im Menü CREATE hingegen nicht
enthalten sind. Im Allgemeinen jedoch stellen beide Menüs, MAKE und
CREATE, die gleichen Funktionen zur Verfügung. In den nachfolgenden
Beispielen wird der Zugriff auf die Funktionen über das Menü MAKE erörtert.
Am Ende dieses Abschnittes finden Sie eine Tabelle mit den entsprechenden
Tastenfolgen, die erforderlich sind, um auch dann diese Funktionen über das
Menü CREATE aufzurufen, wenn das System-Flag 117 auf SOFT menus
eingestellt ist.
Ist das System-Flag (Flag 117) auf SOFT menus eingestellt, kann das Menü
MAKE über die nachfolgende Tastenfolge gestartet werden: „´!)MATRX
!)MAKE!
Die zur Verfügung stehenden Funktionen werden als Funktionstasten des Menüs
angezeigt (drücken Sie L, um den nächsten Satz von Funktionen
anzuzeigen):
Seite 10-5
Ist System-Flag 117 auf SOFT menus eingestellt, können die Funktionen des
Menüs CREATE über „Ø)@CREAT ausgewählt werden und werden wie folgt
dargestellt:
In den nächsten Abschnitten wird die Anwendung der Matrix-Funktionen in den
Menüs MAKE und CREATE vorgestellt.
Funktionen GET und PUT
Die Funktionsweise von GET, GETI, PUT und PUTI für Matrizen ist mit derjenigen
für Listen oder Vektoren vergleichbar, d. h., Sie müssen die Position der
Elemente, welche Sie mit GET oder PUT verwenden möchten, angeben.
Während jedoch in Listen und Vektoren lediglich ein Index zur Identifizierung
eines Elementes erforderlich ist, benötigen Sie in Matrizen zwei Indizes {Zeile,
Spalte} zur Identifizierung der Elemente in der Matrix. Nachfolgend
Anwendungsbeispiele für GET und PUT:
Die oben gespeicherte Matrix wird in die Variable A aufgenommen, um die
Funktionen GET und PUT zu veranschaulichen. Die Extraktion des Elements a23
aus der Matrix A kann im ALG-Modus wie folgt durchgeführt werden:
Beachten Sie dabei, dass wir das gleiche Ergebnis erhalten, wenn (2,3)
eingegeben und anschließend ` gedrückt wird. Im RPN-Modus führen wir
diese Übung mit der Tastenfolge @@@A@@@ ` 3 ` GET oder (2,3) `
durch.
Seite 10-6
Nehmen wir an, es soll der Wert ‘π’ in Zelle a31 der Matrix eingegeben
werden. Dazu wird die Funktion PUT verwendet, z. B:
Im RPN-Modus kann die gleiche Operation auf folgende Weise durchgeführt
werden: J @@@A@@@ {3,1} ` „ì PUT. Alternativ kann im RPN-Modus
auch Nachfolgendes eingegeben werden: „ì³ (2,3) ` K.
Um den Inhalt der Variablen A anzuzeigen, drücken Sie @@@A@@@.
Funktionen GETI und PUTI
Die Funktionen PUTI und GETI werden in UserRPL-Programmen verwendet, da
sie in der Lage sind, einen Index für wiederholte Verwendung von PUT und GET
zu speichern. Die Indexliste einer Matrix variiert zunächst in den Spalten. Um
die Anwendung zu veranschaulichen, wird nachfolgende Übung im RPNModus vorgeschlagen: @@@A@@@ {2,2}` GETI. Folgende Abbildungen zeigen
den RPN-Stack vor und nach Verwendung der Funktion GETI:
Beachten Sie dabei, dass das Display für die erneute Verwendung der Funktion
GETI oder GET vorbereitet ist - der Spaltenindex der ursprünglichen Referenz
wird um 1 erhöht (d. h. von {2,2} auf {2,3}) - während gleichzeitig der
extrahierte Wert, A(2,2) = 1,9, in Stack-Ebene 1 angezeigt wird.
Nehmen wir nun an, dass Sie den Wert 2 in Element {3 1} mithilfe der Funktion
PUTI eingeben möchten. Während Sie sich nach wie vor im RPN-Modus
befinden, probieren Sie nachfolgende Tastefolge aus: ƒ ƒ{3 1} `
2 ` PUTI. Folgende Abbildungen zeigen den RPN-Stack vor und nach
Verwendung der Funktion PUTI:
Seite 10-7
In diesem Fall wurde die 2 in Position {3 1} ersetzt, d. h. jetziger Wert A(3,1) =
2 und die Indexliste um 1 (Spalte zuerst- d. h. von {3,1} auf {3,2}) erhöht. Die
Matrix befindet sich in Ebene 2 und die um einen Schritt erhöhte Indexliste in
Ebene 1 des Stacks.
Funktion SIZE
Die Funktion SIZE stellt eine Liste bereit, in welcher die Anzahl der Zeilen und
Spalten der Matrix in Stack-Ebene 1 angezeigt wird. Die nachfolgende
Abbildung zeigt einige Anwendungen der Funktion SIZE im ALG-Modus:
Im RPN-Modus werden diese Übungen mithilfe von @@@A@@@ SIZE und
[[1,2],[3,4]] ` SIZE durchgeführt.
Funktion TRN
Die Funktion TRN wird zur Erstellung der „Transkonjugierten“ einer Matrix, d. h.
der Transponierten (TRAN), gefolgt von der Komplex-Konjugierten (CONJ)
verwendet. In den nachfolgenden Abbildungen sehen Sie die ursprüngliche
Matrix der Variablen A und deren Transponierte, in Kleinschrift angezeigt (siehe
Kapitel 1).
Ist das Argument eine reelle Matrix, erstellt TRN einfach die Transponierte der
reellen Matrix. Versuchen Sie z. B. TRN(A) und vergleichen Sie das Ergebnis mit
TRAN(A).
Seite 10-8
Im RPN-Modus wird die Transkonjugierte einer Matrix A über @@@A@@@ TRN
ermittelt.
Anmerkung: Im Taschenrechner steht die Funktion TRAN auch im Untermenü
MATRICES/OPERATIONS zur Verfügung:
Z. B. im ALG-Modus:
Funktion CON
Die Argumente der Funktion sind eine Liste mit zwei Elementen, diese stellen die
Anzahl der Zeilen und Spalten der zu erzeugenden Matrix dar, und ein
konstanter Wert. Die Funktion CON erstellt eine Matrix mit konstanten
Elementen. So erzeugt z. B. der folgende Befehl im ALG-Modus eine 4×3
Matrix, deren Elemente alle gleich -1,5 sind:
Im RPN-Modus wird das gleiche Ergebnis über {4,3} ` 1.5 \
` CON erzielt.
Seite 10-9
Funktion IDN
Die Funktion IDN (IDeNtity matrix) erstellt eine Einheitsmatrix von
vorgegebener Größe. Beachten Sie, dass es sich bei einer Einheitsmatrix um
eine quadratische Matrix handeln muss. Es wird daher nur ein Wert benötigt,
um diese vollständig zu beschreiben. Um z. B. eine Identitätsmatrix von 4×4 im
ALG-Modus zu erstellen, verwenden Sie:
Sie können jedoch ebenso eine bestehende quadratische Matrix als Argument
der Funktion IDN verwenden, z. B.
Die erhaltene Identitätsmatrix verfügt über die gleichen Dimensionen wie die
Matrix im Argument. Beachten Sie dabei, dass der Versuch, eine rechteckige
Matrix (d. h. nicht quadratisch) als Argument von IDN zu verwenden, eine
Fehlermeldung erzeugt.
Im RPN-Modus wurden die beiden oben genannten Beispiele mithilfe von
4` IDN und @@@A@@@ IDN erzeugt.
Funktion RDM
Die Funktion RDM (Re-DiMensioning) wird zur Konvertierung von Vektoren und
Matrizen in Matrizen und Vektoren verwendet. Die Eingabe der Funktion besteht
aus dem ursprünglichen Vektor oder der Matrix, gefolgt von einer Liste,
bestehend aus einer einzigen Zahl, wenn in einen Vektor konvertiert werden
soll, bzw. aus zwei Zahlen, wenn die Konvertierung in eine Matrix erfolgen soll.
In ersterem Fall stellt die Zahl die Dimension des Vektors dar, im letzteren Fall
die Zahl der Zeilen und Spalten der Matrix. Die nachfolgenden Beispiele
veranschaulichen die Anwendung der Funktion RDM:
Seite 10-10
Umdimensionieren eines Vektors in eine Matrix
Das nachfolgende Beispiel veranschaulicht, wie im ALG-Modus ein Vektor aus 6
Elementen in eine Matrix von 2 Zeilen und 3 Spalten umdimensioniert wird:
Um die obige Matrix im RPN-Modus zu erstellen, kann die Tastenfolge
[1,2,3,4,5,6] ` {2,3} ` RDM verwendet werden.
Umdimensionieren einer Matrix in eine andere Matrix
Im ALG-Modus wird nun die oben erstellte Matrix verwendet und in eine Matrix
von 3 Zeilen und 2 Spalten umdimensioniert:
Im RPN-Modus wird ganz einfach {3,2}` RDM verwendet.
Umdimensionieren einer Matrix in einen Vektor
Um eine Matrix in einen Vektor umzudimensionieren, verwenden Sie als
Argumente die Matrix, gefolgt von einer Liste, die die Anzahl der Elemente in
der Matrix enthält. Um beispielsweise im ALG-Modus die Matrix aus
vorangegangenem Beispiel in einen Vektor der Länge 6 umzuwandeln,
verwenden Sie:
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Im RPN-Modus verwenden Sie {6} ` RDM, vorausgesetzt, die Matrix
befindet sich bereits im Stack.
Anmerkung: Die Funktion RDM stellt einen direkteren und effizienteren Weg
zur Umwandlung von Listen in Arrays und umgekehrt dar, als der am Ende von
Kapitel 9 beschriebene.
Funktion RANM
Die Funktion RANM (RANdom Matrix) erstellt eine Matrix mit zufällig erzeugten
ganzzahligen Elementen für eine vorgegebene Liste mit der Anzahl der Zeilen
und Spalten (den Dimensionen der Matrix). So werden z. B. im ALG-Modus
zwei verschiede 2×3 Matrizen mit zufällig erzeugten Elementen unter
Verwendung des gleichen Befehls, R NM({2,3}), erzeugt.
Im RPN-Modus verwenden Sie {2,3} ` R NM.
Offensichtlich weichen die Ergebnisse aus Ihrem Taschenrechner
höchstwahrscheinlich von den oben gezeigten Ergebnissen ab. Die erzeugten
Zufallszahlen sind Ganzzahlen, gleichverteilt zwischen [-10,10], d. h. jede
einzelne dieser 21 Zahlen kann mit derselben Wahrscheinlichkeit ausgewählt
werden. Die Funktion RANM ist bei der Erstellung von Matrizen jeder Größe
hilfreich, um Operationen mit Matrizen oder die Anwendung von MatrixFunktionen veranschaulichen zu können.
Funktion SUB
Die Funktion SUB extrahiert eine Untermatrix aus einer bestehenden Matrix,
vorausgesetzt, Sie geben die Anfangs- und Endposition der Untermatrix an.
Wenn wir beispielsweise die Elemente a12, a13, a22 und a23 aus dem letzten
Ergebnis als eine Matrix 2×2 extrahieren möchten, verwenden wir im ALGModus:
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Im RPN-Modus verwenden wir, vorausgesetzt, die ursprüngliche Matrix 2×3
befindet sich bereits im Stack {1,2} ` {2,3} ` SUB.
Funktion REPL
Die Funktion REPL ersetzt eine Untermatrix oder fügt sie in eine größere Matrix
ein. Die Eingabe für diese Funktion ist die Matrix, in welcher der Austausch
erfolgen soll, die Position an welcher dieser Austausch zu erfolgen hat und die
einzufügende Matrix. Als Beispiel nehmen wir die Matrix, die wir aus
vorangegangenem Beispiel erhalten haben, und geben die Matrix
[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] ein. In der nachfolgenden linken
Abbildung ist die neue Matrix im ALG-Modus vor dem Drücken der Taste `
zu sehen. In der rechten Abbildung ist die Anwendung der Funktion RPL zum
Ersetzen der 2×2 -Matrix in NS(2) in der 3×3-Matrix, die sich im Moment in
NS(1)befindet zu sehen, Anfangsposition ist in {2,2}:
Wenn Sie im RPN-Modus arbeiten gehen wir wie folgt vor, vorausgesetzt, die
2×2-Matrix befindet sich im Stack:
[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]`™ (diese letzte Taste vertauscht
die Inhalte der Stack-Ebenen 1 und 2) {1,2} ` ™ (ein weiterer Austausch
der Ebene 1 und 2) REPL.
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Funktion →DIAG
Die Funktion →DIAG nimmt die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix mit
den Dimensionen n×n und erstellt einen Vektor mit der Dimension n, der die
Elemente der Hauptdiagonalen enthält. So können wir z. B. für die Matrix, die
uns aus vorangegangenem Beispiel bleibt, die Hauptdiagonale wie folgt
extrahieren:
Im RPN-Modus müssen wir, wenn sich die 3×3-Matrix im Stack befindet, einfach
nur die Funktion DI G starten, um das gleiche Ergebnis wie oben zu
erzielen.
Funktion DIAG→
Die Funktion DIAG→ nimmt einen Vektor und eine Liste von Matrix-Dimensionen
{Zeilen, Spalten} und erstellt eine Diagonalmatrix mit einer Hauptdiagonale,
deren Elemente mit den jeweils passenden Vektorelementen ersetzt wurde. So
erzeugt z. B. der Befehl
DI G([1,-1,2,3],{3,3})
eine Diagonalmatrix mit den ersten 3 Elementen des Vektorargumentes:
Im RPN-Modus können wir [1,-1,2,3] ` {3,3}` DI G
verwenden, um das gleiche Ergebnis wie oben zu erzielen.
Ein weiteres Beispiel zur Anwendung der Funktion DIAG→ wird nun im ALGModus gezeigt:
Im RPN-Modus verwenden wir dafür [1,2,3,4,5] ` {3,2}`
DI G.
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In diesem Fall soll eine 3×2 Matrix, mit so vielen Elementen des Vektors
[1,2,3,4,5] wie möglich als Hauptdiagonalelemente erzeugt werden. Die
Hauptdiagonale für eine rechtwinklige Matrix beginnt in Position (1,1) und
bewegt sich weiter zu (2,2), (3,3) usw. bis entweder die Anzahl der Zeilen oder
der Spalten erschöpft ist. In diesem Fall wurde die Anzahl der Spalten (2) vor
der Anzahl der Zeilen (3) aufgebraucht, sodass die Hauptdiagonale nur die
Elemente in den Positionen (1,1) und (2,2) enthält. Somit wurden lediglich die
ersten beiden Elemente des Vektors zur Bildung der Hauptdiagonale benötigt.
Funktion VANDERMONDE
Die Funktion VANDERMONDE erzeugt die Vandermonde-Matrix der Dimension
n, basierend auf einer vorgegebenen Liste von Eingabedaten. Die Dimension n
stellt natürlich die Länge der Liste dar. Besteht die Eingabeliste aus den
Objekten {x1, x2,… xn}, dann ist eine Vandermonde-Matrix im Taschenrechner
eine Matrix, die aus folgenden Elementen besteht:
⎡1
⎢
⎢1
⎢1
⎢
⎢M
⎢1
⎣
x1
x2
x3
M
xn
x12 L x1n−1 ⎤
⎥
x 22 L x 2n−1 ⎥
x32 L x3n−1 ⎥
⎥
M O M ⎥
x n2 L x nn−1 ⎥⎦
Als Beispiel geben Sie folgenden Befehl im ALG-Modus für die Liste {1,2,3,4}
ein:
Im RPN-Modus geben Sie {1,2,3,4} ` V NDERMONDE ein.
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Funktion HILBERT
Die Funktion HILBERT erstellt die Hilbert-Matrix für eine Dimension n. Die n×n
Hilbert-Matrix Hn = [hjk]n×n, verhält sich – nach Definition wie folgt:
h jk =
1
j + k −1
Die Hilbert-Matrix wird zur numerischen Anpassung von Kurven durch die
lineare Quadrat-Methode verwendet.
Programm zur Erstellung einer Matrix aus einer Anzahl
von Listen
In diesem Abschnitt stellen wir einige UserRPL-Programme zur Erstellung einer
Matrix aus einer Anzahl von Listen von Objekten zur Verfügung. Die Listen
können Spalten (Programm @CRMC) oder Zeilen der Matrix (Programm @CRMR)
darstellen. Die Programme werden im RPN-Modus eingegeben und die
Anweisungen für die Tastenkombinationen gelten für System-Flag 117 auf
SOFT-Menüs gesetzt. Dieser Abschnitt ist für Sie als Übung gedacht, um sich mit
den Programmierfunktionen des Taschenrechners vertraut zu machen. Die
Programme werden unten aufgelistet, auf der linken Seite sind die zum Starten
der Programmschritte erforderlichen Tastenfolgen zu finden, während auf der
rechten Seite die Zeichen zu sehen sind, die im Display erscheinen, wenn Sie
jene Tastenanschläge durchführen. Zunächst stellen wir die zur Erstellung des
Programms CRMC erforderlichen Schritte vor.
Die Listen stellen Spalten der Matrix dar
Das Programm @CRMC ermöglicht es Ihnen, eine p×n Matrix (d. h. p Zeilen und n
Spalten), aus n Listen von jeweils p Elementen, zu erstellen. Um dieses
Programm zu erstellen, verwenden Sie folgende Tastenkombinationen:
Tastenfolge:
‚å
„°@)STACK! @@DUP@
‚ é # ~ „n
‚å
erzeugt:
«
DUP
n
<<
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1„°@)STACK! @SWAP
„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@
~„j
„°@)TYPE OBJ
ARRY@
„°@)BRCH! @)@IF@@ @@IF@@
~ „j#
~ „n
„°@)TEST! @@@<@@@
„°@)BRCH! @)@IF@ @THEN
~ „j #1+
„°@)STACK! L@ROLL
„°@)BRCH! @)@IF@ @END
„°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT
„°@)BRCH! @)@IF@ @@IF@@
~ „n #1
„°@)TEST! @@@>@@@
„°@)BRCH! @@IF@ @THEN
1#
~ „n #1„°@)BRCH! @)FOR@! @FOR@
~ „j #
~ „j #1+
„°@)STACK! L@ROLL!
„°@)BRCH! @)FOR@! @NEXT!
„°@)BRCH! )@@IF@! @END@
~„n #
„´@)MATRX! @)COL! @COL!
`
Zum Sichern des Programms
1 SWAP
FOR
j
OBJ
ARRY
IF
j
n
<
THEN
j1 +
ROLL
END
NEXT
IF
n1
>
THEN
1
n1FOR
j
j1+
ROLL
NEXT
END
n
COL
Das Programm wird in Ebene 1
angezeigt
³~~crmc~ K
Anmerkung: Wenn Sie dieses Programm im HOME-Verzeichnis speichern,
kann dieses von jedem Unterverzeichnis aus aufgerufen werden.
Um sich den Inhalt des Programms anzusehen, drücken Sie J‚@CRMC. Das
Programm-Listing sieht wie folgt aus:
Seite 10-17
« DUP → n « 1 SW P FOR j OBJ→ → RRY IF j n < THEN j 1 +
ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL
NEXT END n COL→ » »
Um dieses Programm im RPN-Modus zu verwenden, geben Sie die n Listen in
der Reihenfolge, in welcher diese als Spalten der Matrix dargestellt werden
sollen, ein, tragen Sie dann den Wert n ein und drücken Sie @CRMC. Als Beispiel
versuchen Sie nachfolgende Übung:
{1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMC
Ihre Anzeige wird im RPN Stack wie folgt angezeigt – vor und nach
Anwendung des Programms @CRMC:
Um dieses Programm im ALG-Modus zu verwenden, drücken Sie @CRMC, gefolgt
von einem Klammerpaar („Ü). Innerhalb der Klammern geben Sie die
Datenlisten, welche die Spalten der Matrix darstellen, durch Kommas getrennt
ein, und schließlich ein weiteres Komma sowie die Anzahl der Spalten. Der
Befehl sollte wie folgt aussehen:
CRMC({1,2,3,4}, {1,4,9,16}, {1,8,27,64}, 3)
Nachfolgend ist die Ausführung des Programms CRMC im ALG-Modus zu
sehen:
Die Listen stellen Zeilen der Matrix dar
Das vorangegangene Programm kann leicht angepasst werden, um eine Matrix
zu erstellen, bei der die Eingabelisten Zeilen der fertigen Matrix werden sollen.
Die einzige Änderung, die Sie im Programm-Listing vornehmen müssen, ist
COL→ mit ROW→ auszutauschen. Um diese Änderung vorzunehmen, gehen
Sie wie folgt vor:
Seite 10-18
‚@CRMC
˜‚˜—ššš
ƒƒƒ
~~row~`
Das Programm CRMC im Stack
anzeigen
Ans Ende des Programms gehen
Löschen von COL
ROW eintippen, Programm
eingeben
Zum Speichern des Programms verwenden Sie:
³~~crmr~ K
{1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMR
Ihre Anzeige wird im RPN-Stack wie folgt aussehen – vor und nach Anwendung
des Programms @CRMR:
Diese Programme werden hauptsächlich bei statistischen Anwendungen
verwendet, im Speziellen jedoch bei der Erstellung der Statistik-Matrix ΣDAT.
Beispiele zur Anwendung dieses Programms werden in einem späteren Kapitel
gezeigt.
Spaltenweise Manipulation von Matrizen
Der Taschenrechner enthält ein Menü mit Funktionen zur spaltenweisen
Manipulation von Matrizen. Dieses Menü kann wie in folgender Abbildung
über MTH/MATRIX/COL.. („´) aufgerufen werden, wenn System-Flag
117 auf CHOOSE boxes gesetzt wurde:
Oder es wird über das Untermenü MATRICES/CREATE/COLUMN aufgerufen:
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Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf:
Ist das System-Flag 117 auf SOFT menus gesetzt, kann das Menü COL
entweder über „´!)MATRX !)@@COL@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@COL@
aufgerufen werden. Beide Ansätze zeigen dieselben Funktionen an:
Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt.
Funktion →COL
Die Funktion →COL nimmt als Argument eine Matrix und zerlegt diese in
Vektoren, entsprechend ihrer Spalten. Nachfolgend wird eine Anwendung der
Funktion COL im ALG-Modus gezeigt. Die verwendete Matrix wurde zu
einem früheren Zeitpunkt bereits in der Variablen A gespeichert. Die Matrix ist
in der linken Abbildung zu sehen: Die rechte Abbildung zeigt die in Spalten
zerlegte Matrix. Verwenden Sie den Zeileneditor, um das gesamte Ergebnis
anzuzeigen (aufgerufen mit der Taste ˜).
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Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst
die Funktion COL starten, d. h. @@@A@@@ COL. Nachfolgende Abbildungen
zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion COL.
In diesem Ergebnis befindet sich die erste Spalte nach der Zerlegung in der
obersten Stack-Ebene, während in Stack-Ebene 1 die Anzahl der Spalten der
ursprünglichen Matrix zu finden ist. Die Matrix bleibt bei der Zerlegung nicht
erhalten, d. h. sie ist im Stack nicht mehr verfügbar.
Funktion COL→
Die Funktion COL→ hat die entgegensetzte Wirkung der Funktion →COL, d. h.
wenn Sie n Vektoren der gleichen Länge haben und die Zahl n, so bildet die
Funktion COL eine Matrix, indem sie die eingegebenen Vektoren als Spalten
der Matrix darstellt. Hier ein Beispiel im ALG-Modus. Der verwendete Befehl
war:
COL([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)
Geben Sie im RPN-Modus die n Vektoren in die Stack Ebenen n+1, n, n-1,…,2
ein und anschließend die Zahl n in die Stack Ebene 1. Bei dieser Eingabe wird
die Funktion COL die Vektoren als Spalten in die Matrix einfügen. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion COL.
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Funktion COL+
Die Funktion COL+ nimmt als Argumente eine Matrix, einen Vektor der gleichen
Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Ganzzahl n, die die
Position einer Spalte darstellt. Die Funktion COL+ fügt den Vektor in Spalte n
der Matrix ein. Als Beispiel setzen wir im ALG-Modus die zweite Spalte in
Matrix A mithilfe des Vektors [-1,-2,-3] ein, d. h.
Im RPN-Modus geben wir zuerst die Matrix ein, dann den Vektor und die
Nummer der Spalte, bevor wir die Funktion COL+ anwenden. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion COL+.
Funktion COLDie Funktion COL- verwendet als Argument eine Matrix und eine Integer-Zahl,
welche die Position einer Spalte in der Matrix darstellt. Die Funktion gibt die
ursprüngliche Matrix mit einer Spalte weniger wieder, zusätzlich wird auch die
extrahierte Spalte als Vektor dargestellt. Hier ein Beispiel im ALG-Modus unter
Verwendung der in A gespeicherten Matrix:
Im RPN-Modus laden Sie die Matrix erst in den Stack, dann geben Sie die Zahl,
die eine Spalte der Matrix darstellt, vor Anwendung der Funktion COL- ein. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion COL-.
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Funktion CSWP
Die Funktion CSWP (Column SWaP – Austauschen von Spalten) verwendet als
Argumente zwei Indizes, beispielsweise i und j, (welche zwei unterschiedliche
Spalten in der Matrix darstellen) und eine Matrix und erstellt daraus eine neue
Matrix mit den Spalten i und j vertauscht. Das nachfolgende Beispiel im ALGModus zeigt die Anwendung dieser Funktion. Als Beispiel nehmen wir die in
der Variablen A gespeicherte Matrix. Zuerst wird diese Matrix aufgelistet.
Im RPN-Modus können Sie mit der Funktion CSWP die Spalten einer Matrix in
Stack-Ebene 3, deren Indizes in Stack-Ebene 1 und 2 aufgelistet sind,
vertauschen. Als Beispiel sehen Sie nachfolgend den RPN-Stack vor und nach
Anwendung der Funktion CSWP auf die Matrix A, um die Spalten 2 und 3 zu
vertauschen:
Wie Sie sehen können, wurden die Spalten, welche sich in Position 2 und 3
befunden haben, ausgetauscht. Der Austausch von Spalten und Zeilen (siehe
unten) wird häufig bei der Lösung von linearen Gleichungen mit Matrizen
verwendet. Eine genauere Beschreibung dieser Operationen erfolgt in einem
späteren Kapitel.
Zeilenweise Manipulation von Matrizen
Der Taschenrechner enthält ein Menü mit Funktionen zur zeilenweisen
Manipulation von Matrizen. Dieses Menü kann über MTH/MATRIX/ROW..
(„´), wie in nachfolgender Abbildung gezeigt, aufgerufen werden, wenn
System-Flag 117 auf CHOOSE boxes gesetzt wurde:
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Oder es wird über das Untermenü MATRICES/CREATE/ROW aufgerufen:
Beide Ansätze weisen die gleichen Funktionen auf:
Ist das System-Flag 117 auf SOFT menus gesetzt, kann das Menü ROW
entweder über „´!)MATRX !)@@ROW@ oder über „Ø!)@CREAT@ !)@@ROW@
aufgerufen werden. Beide Ansätze weisen dieselben Funktionen auf:
Die Anwendung dieser Funktionen wird nachfolgend dargestellt.
Funktion →ROW
Die Funktion →ROW nimmt als Argument eine Matrix und zerlegt diese
zeilenweise in Vektoren. Nachfolgend wird eine Anwendung der Funktion
ROW im ALG-Modus gezeigt. Die verwendete Matrix wurde zu einem
früheren Zeitpunkt bereits in der Variablen A gespeichert. Die Matrix ist in der
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linken Abbildung zu sehen: Die rechte Abbildung zeigt die in Zeilen zerlegte
Matrix. Verwenden Sie den Zeileneditor, um das gesamte Ergebnis anzuzeigen
(aufgerufen mit der Taste ˜).
Im RPN-Modus müssen Sie die Matrix zuerst in den Stack laden, und dann erst
die Funktion ROW starten, d. h. @@@A@@@ ROW. Die folgenden Abbildungen
zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW.
In diesem Ergebnis ist die erste Zeile nach der Zerlegung in der höchsten StackEbene, während in Stack-Ebene 1 die Anzahl der Zeilen der ursprünglichen
Matrix zu finden ist. Die Matrix bleibt bei der Zerlegung nicht erhalten, d. h. sie
ist im Stack nicht mehr verfügbar.
Funktion ROW→
Die Funktion ROW→ hat die entgegensetzte Wirkung der Funktion →ROW,
d. h. wenn Sie n Vektoren der gleiche Länge haben und die Zahl n, bildet die
Funktion ROW→ eine Matrix, indem sie die eingegebenen Vektoren als Zeilen
der Matrix darstellt. Hier ein Beispiel im ALG-Modus. Der verwendete Befehl
war:
ROW([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)
Geben Sie im RPN-Modus die n Vektoren in die Stack-Ebenen n+1, n, n-1,…,2
ein und anschließend die Zahl n in Stack-Ebene 1. So eingegeben, wird die
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Funktion ROW die Vektoren als Zeilen in die Matrix einfügen. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion ROW.
Funktion ROW+
Die Funktion ROW+ nimmt als Argument eine Matrix, einen Vektor der gleichen
Länge wie die Anzahl der Zeilen in der Matrix und eine Integer-Zahl n, die die
Position einer Zeile darstellt. Die Funktion ROW+ fügt den Vektor in Zeile n der
Matrix ein. Als Beispiel setzen wir im ALG-Modus die zweite Zeile in Matrix A
mithilfe des Vektors [-1,-2,-3] ein, d. h.:
Im RPN-Modus geben wir zuerst die Matrix ein, dann den Vektor und die
Nummer der Zeile, bevor wir die Funktion ROW+ anwenden. Die nachfolgende
Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der Funktion ROW+.
Funktion ROWDie Funktion ROW- verwendet als Argument eine Matrix und eine Integer-Zahl,
welche die Position der Zeile in der Matrix darstellt. Die Funktion gibt die
ursprüngliche Matrix mit einer Zeile weniger wieder, zusätzlich wird auch die
extrahierte Zeile als Vektor dargestellt. Hier ein Beispiel im ALG-Modus unter
Verwendung der in A gespeicherten Matrix:
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Im RPN-Modus laden Sie die Matrix erst in den Stack, dann geben Sie die Zahl,
die eine Zeile der Matrix darstellt, vor Anwendung der Funktion ROW- ein. Die
nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion ROW-.
Funktion RSWP
Die Funktion RSWP (Row SWaP – Austauschen von Zeilen) verwendet als
Argumente zwei Indizes, beispielsweise i und j, (welche zwei unterschiedliche
Zeilen in der Matrix darstellen) und eine Matrix und erstellt daraus eine neue
Matrix mit den Zeilen i und j vertauscht. Das nachfolgende Beispiel im ALGModus zeigt die Anwendung dieser Funktion. Als Beispiel nehmen wir die in
der Variablen A gespeicherte Matrix. Zuerst wird diese Matrix aufgelistet.
Im RPN-Modus können Sie mit der Funktion CSWP die Zeilen einer Matrix in
Stack-Ebene 3, deren Indizes in Stack-Ebene 1 und 2 aufgelistet sind,
vertauschen. Als Beispiel sehen Sie nachfolgend den RPN-Stack vor und nach
Anwendung der Funktion CSWP auf die Matrix A, um die Zeilen 2 und 3 zu
vertauschen:
Wie Sie sehen können, wurden die Zeilen, welche sich in Position 2 und 3
befunden haben, ausgetauscht.
Funktion RCI
Die Funktion RCI steht für Multiplikation der Zeile I mit einem konstanten Wert
und die Ersetzung der ursprünglichen Zeile durch die multiplizierte. Das
nachfolgende Beispiel im ALG-Modus nimmt die in der Variablen A
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gespeicherte Matrix, multipliziert den konstanten Wert 5 mit der Zeile Nr. 3 und
ersetzt diese Zeile mit dem Ergebnis der Multiplikation.
Die gleiche Übung wird in nachfolgender Abbildung im RPN-Modus angezeigt.
Die linke Abbildung zeigt die Erstellung der Matrix, den Faktor und die Anzahl
der Zeilen in den Stack-Ebene 3, 2 und 1. Die rechte Abbildung zeigt die
resultierende Matrix, nachdem die Funktion RCI angewendet wurde.
Funktion RCIJ
Die Funktion RCIJ steht für “nehme Zeile I und multipliziere diese mit der
Konstanten C, addiere dann dieses Produkt zur Reihe J und ersetze die Reihe J
mit der errechneten Summe". Diese Art von Operation wird häufig in der
Gaußschen oder Gauß-Jordan Elimination verwendet (weitere Einzelheiten zu
dieser Prozedur finden Sie in einem späteren Kapitel). Die Argumente der
Funktion sind: (1) die Matrix, (2) der konstante Wert, (3) die Zeile die mit der
Konstanten in (2) multipliziert werden soll und (4) die Zeile, die mit der
Summme, wie oben beschrieben, ersetzt werden soll. Nehmen wir z. B. die in A
gespeicherte Matrix, multiplizieren wir die dritte Spalte mit 1,5 und addieren
diese zu Spalte 2. Folgendes Beispiel wird im ALG-Modus ausgeführt:
Im RPN-Modus, geben Sie zuerst die Matrix, gefolgt von der Konstanten, ein,
dann die Zeile, die mit der Konstanten multipliziert werden soll und schließlich
die Zeile, die ersetzt werden soll. Die nachfolgende Abbildung zeigt den RPN-
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Stack vor und nachdem die Funktion RCIJ, unter denselben Bedingungen, wie in
dem Beispiel im ALG-Modus vorhin gezeigt, angewendet wurde:
Seite 10-29
Kapitel 11!
Matrix-Operationen und lineare Algebra
In Kapitel 10 führten wir das Konzept der Matrix ein und stellten mehrere
Funktionen zum Eingeben, Erstellen und Bearbeiten von Matrizen vor. In diesem
Kapitel präsentieren wir Beispiele für Matrix-Operationen und -Anwendungen in
Bezug auf Probleme der linearen Algebra.
Operationen mit Matrizen
Matrizen können wie andere mathematische Objekte addiert und subtrahiert
werden. Sie können mit einem Skalar oder auch miteinander multipliziert
werden. Sie können auch mit einer reellen Zahl potenziert werden. Eine für
Anwendungen der linearen Algebra wichtige Operation ist die Bildung der
Inversen einer Matrix. Diese Operationen werden nun im Detail dargestellt.
Zur Veranschaulichung der Operationen erstellen wir mehrere Matrizen, die wir
in Variablen speichern. Die generischen Namen der Matrizen lauten Aij und
Bij, wobei i die Anzahl der Zeilen und j die Anzahl der Spalten der Matrizen
darstellen. Die verwendeten Matrizen werden mithilfe der Funktion RANM
(Zufallsmatrizen) erzeugt. Wenn Sie diese Übung mit dem Taschenrechner
durchführen, erhalten Sie andere als die hier aufgeführten Matrizen, sofern Sie
sie nicht genau wie unten dargestellt im Taschenrechner speichern. Unten sind
die im ALG-Modus erzeugten Matrizen A22, B22, A23, B23, A32, B32, A33
und B33 dargestellt:
Seite 11-1
Im RPN-Modus
{2,2}` R
{2,3}` R
{3,2}` R
{3,3}` R
lauten die Schritte
NM 'A22'K
NM 'A23'K
NM 'A32'K
NM 'A33'K
wie folgt:
{2,2}`
{2,3}`
{3,2}`
{3,3}`
R
R
R
R
NM
NM
NM
NM
'B22'K
'B23'K
'B32'K
'B33'K
Addition und Subtraktion
Gegeben seien zwei Matrizen A = [aij]m×n und B = [bij]m×n. Diese beiden
Matrizen können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Anzahl ihrer
Zeilen und Spalten übereinstimmt. Die resultierende Matrix C = A ± B = [cij]m×n
besitzt die Elemente cij = aij ± bij. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele im
ALG-Modus unter Verwendung der oben gespeicherten Matrizen (z.B. @A22@ +
@B22@)
Im RPN-Modus lauten die Schritte wie folgt:
22 ` B22`+
23 ` B23`+
32 ` B32`+
22 ` B22`23 ` B23`32 ` B32`-
Wie hier veranschaulicht, ist die Umwandlung der Beispiele vom ALG-Modus in
den RPN-Modus einfach. Die übrigen Beispiele für Matrix-Operationen werden
ausschließlich im ALG-Modus durchgeführt.
Multiplikation
Es sind diverse Multiplikationsoperationen mit Matrizen möglich. Diese werden
im Folgenden beschrieben.
Seite 11-2
Multiplikation mit einem Skalar
Durch Multiplikation der Matrix A = [aij]m×n mit einem Skalar ergibt sich die
Matrix C = kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. Die Negative einer Matrix wird durch die
Operation -A =(-1)A = [-aij] m×n definiert. Unten sind einige Beispiele für die
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar dargestellt.
Durch die Kombination von Addition und Subtraktion mit der
Skalarmultiplikation können wir Linearkombinationen von Matrizen derselben
Dimension bilden, z. B.
In einer Linearkombination von Matrizen können wir eine Matrix mit einer
imaginären Zahl multiplizieren, um eine Matrix komplexer Zahlen zu erhalten,
z. B.
Matrix-Vektor-Multiplikation
Die Matrix-Vektor-Multiplikation ist nur dann möglich, wenn die Anzahl der
Matrix-Spalten mit der Länge des Vektors übereinstimmt. Diese Operation
Seite 11-3
erfolgt nach den im nächsten Abschnitt dargestellten Regeln der MatrixMultiplikation. Es folgen mehrere Beispiele für die Matrix-Vektor-Multiplikation:
Die Vektor-Matrix-Multiplikation ist hingegen nicht definiert. Diese Multiplikation
kann jedoch als spezieller Fall der im Folgenden definierten MatrixMultiplikation ausgeführt werden.
Matrix-Multiplikation
Die Matrix-Multiplikation ist durch Cm×n = Am×p⋅ Bp×n, definiert, wobei A =
[aij]m×p, B = [bij]p×n und C = [cij]m×n. Beachten Sie, dass die MatrixMultiplikation nur dann möglich ist, wenn die Anzahl der Spalten im ersten
Operanden gleich der Anzahl der Zeilen im zweiten Operanden ist. Das
allgemeine Element des Produkts, cij, ist definiert als
p
cij = ∑ aik ⋅ bkj , for i = 1,2,K, m; j = 1,2,K, n.
k =1
Dies bedeutet, dass das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte des Produkts
C dadurch gebildet wird, dass die einzelnen Größen der i-ten Zeile von A mit
den einzelnen Größen der j-ten Spalte von B multipliziert und die Produkte
addiert werden. Die Matrix-Multiplikation ist nicht kommutativ, d. h., allgemein
gilt: A⋅B ≠ B⋅A. Darüber hinaus kann sogar eine der Multiplikationen nicht
vorhanden sein. In den folgenden Bildschirmabbildungen werden die
Ergebnisse der Multiplikationen der zuvor gespeicherten Matrizen dargestellt:
Seite 11-4
!!!
Die im vorherigen Abschnitt vorgestellte Matrix-Vektor-Multiplikation kann als
Produkt einer m×n-Matrix mit einer n×1-Matrix (d. h. einem Spaltenvektor)
gedacht werden, der eine m×1-Matrix (also einen anderen Vektor) ergibt.
Überprüfen Sie die im vorherigen Abschnitt dargestellten Beispiele, um diese
Aussage zu verifizieren. Aus diesem Grund sind die in Kapitel 9 definierten
Vektoren für den Zweck der Matrixmultiplikation hauptsächlich Spaltenvektoren.
Das Produkt eines Vektors mit einer Matrix kann gebildet werden, wenn der
Vektor ein Zeilenvektor ist, d. h. eine 1×m-Matrix, die bei der Multiplikation mit
einer m×n-Matrix eine 1×n-Matrix (einen anderen Zeilenvektor) ergibt. Damit
der Taschenrechner einen Zeilenvektor erkennen kann, müssen Sie diesen in
Klammern eingeben, z. B.
Gliedweise Multiplikation der einzelnen Größen
Die gliedweise Multiplikation der einzelnen Zellen zweier Matrizen derselben
Dimensionen ist durch Verwendung der Funktion HADAMARD möglich. Das
Ergebnis ist natürlich eine weitere Matrix derselben Dimensionen. Diese
Funktion ist über den Funktionskatalog (‚N) oder über das Untermenü
MATRICES/OPERATIONS („Ø) verfügbar. Im Folgenden werden
Anwendungen der Funktion HADAMARD vorgestellt:
Seite 11-5
Potenzieren einer Matrix mit einer reellen Zahl
Sie können eine Matrix mit einer beliebigen Zahl potenzieren, solange diese
reell ist. Das folgende Beispiel zeigt das Ergebnis, wenn die zuvor angelegte
Matrix B22 mit 5 potenziert wird:
Sie können eine Matrix auch mit einer Zahl potenzieren, ohne sie zuvor als
Variable zu speichern:
Im algebraischen Modus lautet die Eingabe: [Matrix eingeben oder wählen]
Q [Potenz eingeben] `.
Im RPN-Modus lautet die Eingabe: [Matrix eingeben oder wählen] † [Potenz
eingeben] Q`.
Matrizen können mit negativen Zahlen potenziert werden. Hierbei ist das
Resultat 1/[Matrix]^ABS(Potenz).
Seite 11-6
Die Einheitsmatrix
In Kapitel 9 wird die Einheitsmatrix als Matrix I = [δij]n×n vorgestellt, wobei δij
die Kronecker-Deltafunktion darstellt. Einheitsmatrizen können durch
Verwendung der in Kapitel 9 beschriebenen Funktion IDN erzeugt werden. Für
die Einheitsmatrix gilt: A⋅I = I⋅A = A. Zur Überprüfung dieser Eigenschaft stellen
wir die folgenden Beispiele dar und verwenden hierfür die bereits
gespeicherten Matrizen:
Die inverse Matrix
Die Inverse einer quadratischen Matrix A ist die Matrix A-1, sodass A⋅A-1 =
A-1⋅A = I, wobei I die Einheitsmatrix mit derselben Dimension wie A ist. Mit
dem Taschenrechner erhalten Sie die Inverse einer Matrix durch die
Umkehrfunktion INV (d. h mit der Y-Taste). Unten sind Beispiele für die
Inverse einiger zuvor gespeicherter Matrizen dargestellt:
Zur Überprüfung der Eigenschaften der inversen Matrix stellen wir die
folgenden Multiplikationen dar:
Seite 11-7
Beschreiben einer Matrix (Das Matrixmenü NORM)
Das Matrixmenü NORM (NORMALIZE) wird mit der Tastenkombination
„´ aufgerufen (Systemflag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt):
Das Menü enthält die folgenden Funktionen:
Diese Funktionen werden im Folgenden beschrieben. Da viele dieser Funktionen
Konzepte der Matrixtheorie, z. B. Singulärwerte, Rang usw., verwenden,
enthalten die Beschreibungen der Funktionen kurze Darstellungen dieser
Konzepte.
Funktion ABS
Mit der Funktion ABS wird die Frobenius-Norm einer Matrix berechnet. Für eine
Matrix A = [aij] m×n wird die Frobenius-Norm einer Matrix definiert als
A
F
=
n
m
∑∑ a
i =1 j =1
2
ij
Wenn es sich bei der betreffenden Matrix um einen Zeilen- oder Spaltenvektor
handelt, ist die Frobenius-Norm ||A||F einfach der Betrag des Vektors. Die
Funktion ABS kann direkt über die Tastenkombination „Ê aufgerufen
werden.
Führen Sie im ALG-Modus die folgenden Übungen durch (mit den zuvor für
Matrix-Operationen gespeicherten Matrizen):
Seite 11-8
Funktion SNRM
Mit der Funktion SNRM wird die Spektralnorm einer Matrix berechnet, die als
der größte Singulärwert der Matrix definiert ist und auch als euklidische Norm
der Matrix bezeichnet wird. Beispiel:
Singulärwertzerlegung
Zum Verständnis der Funktion SNRM müssen wir das Konzept der Matrixzerlegung erläutern. Die Matrixzerlegung umfasst im Wesentlichen die Bestimmung
von mindestens zwei Matrizen, die die ursprüngliche Matrix ergeben, wenn sie
in einer bestimmten Reihenfolge (eventuell mit Matrixinversion oder -transposition) multipliziert werden. Bei der Singulärwertzerlegung (SVD) wird eine
rechteckige Matrix Am×n als Am×n = Um×m ⋅Sm×n ⋅V Tn×n beschrieben,
wobei es sich bei U und V um Orthogonalmatrizen und bei S um eine Diagonalmatrix handelt. Die diagonalen Elemente von S werden als Singulärwerte
von A bezeichnet und sind in der Regel so angeordnet, dass für i = 1, 2, …, n1 gilt, dass si ≥ si+1. Die Spalten [uj] von U und [vj] von V sind die entsprechenden Singulärvektoren. (Für Orthogonalmatrizen gilt: U⋅ UT = I. Eine Diagonalmatrix besitzt nur entlang ihrer Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null.)
Der Rang einer Matrix kann anhand ihrer SVD bestimmt werden, indem die
Anzahl der nichtsingulären Werte gezählt wird. Der nächste Abschnitt enthält
Beispiele für die Singulärwertzerlegung.
Seite 11-9
Funktionen RNRM und CNRM
Die Funktion RNRM gibt die Zeilennorm einer Matrix und die Funktion CNRM
die Spaltennorm einer Matrix zurück. Beispiele:
Zeilennnorm und Spaltennorm einer Matrix
Die Zeilennorm einer Matrix wird berechnet, indem die Summen der absoluten
Werte aller Elemente in jeder Zeile gebildet werden und anschließend der
Höchstwert dieser Summen ausgewählt wird. Die Spaltennorm einer Matrix
wird berechnet, indem die Summen der absoluten Werte aller Elemente in
jeder Spalte gebildet werden und anschließend der Höchstwert dieser Summen ausgewählt wird.
Funktion SRAD
Mit der Funktion SRAD wird der Spektralradius einer Matrix bestimmt. Dieser ist
als der größte Betrag der Eigenwerte einer Matrix definiert. Beispiel:
Definition der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix sind das Ergebnis der Matrixgleichung A⋅x = λ⋅x. Die diese Gleichung erfüllenden Werte von λ werden als
Eigenwerte der Matrix A bezeichnet. Die für jeden Wert von λ aus der Gleichung resultierenden Werte von x werden als Eigenvektoren der Matrix bezeichnet. Weitere Informationen über das Berechnen von Eigenwerten und
Eigenvektoren erhalten Sie weiter hinten in diesem Kapitel.
Seite 11-10
Funktion COND
Mit der Funktion COND wird die Konditionszahl einer Matrix bestimmt.
Beispiele:
Konditionszahl einer Matrix
Die Konditionszahl einer quadratischen nichtsingulären Matrix ist als das
Produkt der Matrixnorm und der Norm ihrer Inversen definiert, d. h.
cond(A) = ||A||×||A-1||. Wir wählen als Matrixnorm ||A|| den
Höchstwert ihrer Zeilennorm (RNRM) und ihrer Spaltennorm (CNRM),
während als Norm ihrer Inversen ||A-1|| der Mindestwert ihrer Zeilennorm
und Spaltennorm gewählt wird. Somit gilt ||A|| = max(RNRM(A),CNRM(A))
und ||A-1|| = min(RNRM(A-1), CNRM(A-1)).
Die Konditionszahl einer singulären Matrix ist Unendlich. Die Konditionszahl
einer nichtsingulären Matrix bestimmt, wie weit die Matrix von der Singularität
entfernt ist. Je größer die Konditionszahl, desto näher befindet sich die Matrix
an der Singularität. (Eine singuläre Matrix ist eine Matrix, für die keine inverse
Matrix vorhanden ist.)
Führen Sie für Matrix A33 folgende Übung zur Matrixkonditionszahl durch. Die
Konditionszahl ist COND(A33). Zeilennorm und Spaltennorm für A33 werden
auf der linken Seite angezeigt. Die entsprechenden Zahlen für die inverse
Matrix INV(A33) werden auf der rechten Seite angezeigt:
Da RNRM(A33) > CNRM(A33), ist ||A33|| = RNRM(A33) = 21. Da
außerdem CNRM(INV(A33)) < RNRM(INV(A33)), ist ||INV(A33)|| =
Seite 11-11
CNRM(INV(A33)) = 0.261044... Die Konditionszahl wird somit als
CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.7871485… berechnet.
Funktion RANK
Mit der Funktion RANK wird der Rang einer quadratischen Matrix bestimmt.
Testen Sie folgende Beispiele:
Rang einer Matrix
Der Rang einer quadratischen Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix. Angenommen, Sie erstellen eine quadratische Matrix An×n als A = [c1 c2 … cn], wobei ci (i = 1, 2, …, n) Vektoren
sind, die die Spalten von Matrix A darstellen. Wenn dann eine dieser Spalten,
z. B. ck,, als
ck =
∑d
⋅ c j , beschrieben werden kann,
j
j ≠ k , j∈{1, 2 ,..., n}
wobei die Werte dj konstant sind, ist ck von den in der Summe enthaltenen
Spalten linear abhängig. (Beachten Sie, dass die Werte von j jeden Wert in
der Menge {1, 2, …, n} in jeder beliebigen Kombination enthalten, solange
j≠k.) Wenn der obige Ausdruck für keinen der Spaltenvektoren gebildet werden kann, sind alle Spalten linear unabhängig. Eine vergleichbare Definition
der linearen Unabhängigkeit von Zeilen kann entwickelt werden, indem die
Matrix als eine Spalte von Zeilenvektoren dargestellt wird. Wenn daher
rank(A) = n, besitzt die Matrix eine Inverse und ist eine nichtsinguläre Matrix.
Wenn hingegen rank(A) < n, ist die Matrix singulär und keine Inverse
vorhanden.
Bestimmen Sie beispielsweise den Rang der folgenden Matrix:
Seite 11-12
Der Rang ist 2. Der Grund hierfür ist, dass die zweite Zeile [2,4,6] gleich dem
Produkt der ersten Zeile [1,2,3] mit 2 ist. Somit ist Zeile zwei von Zeile 1 linear
abhängig und die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen ist 2. Sie
können überprüfen, ob die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen 3 ist.
Der Rang, die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Zeilen, ist in
diesem Fall 2.
Funktion DET
Mit der Funktion DET wird die Determinante einer quadratischen Matrix
berechnet. Beispiel:
Seite 11-13
Determinante einer Matrix
Die Determinanten einer 2x2- und einer 3x3-Matrix werden durch dieselbe
Anordnung dargestellt, wie die Elemente der Matrizen, jedoch zwischen
vertikalen Linien, also
a11
a12
a 21
a 22
,
a11
a12
a13
a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
Eine 2×2-Determinante wird berechnet, indem die Elemente auf ihrer
Diagonalen multipliziert und diese Produkte mit positivem bzw. negativem
Vorzeichen addiert werden, wie im Diagramm unten dargestellt.
Die 2×2-Determinante lautet daher
a11
a12
a 21
a 22
= a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
Eine 3×3-Determinante wird berechnet, indem die Determinante erweitert wird.
Dies geschieht, indem die ersten beiden Spalten der Determinante kopiert und
rechts von Spalte 3 eingefügt werden, wie im Diagramm unten dargestellt. Im
Diagramm sind auch Elemente dargestellt, die auf die gleiche Weise wie zuvor
bei einer 2×2-Determinante multipliziert werden, wobei das Produkt das
entsprechende Vorzeichen erhält. Nach der Multiplikation werden die
Ergebnisse addiert, um die Determinante zu erhalten.
Seite 11-14
Determinanten für quadratische Matrizen höherer Ordnung können mithilfe
von Determinanten niedrigerer Ordnung, die als Kofaktor bezeichnet werden,
berechnet werden. Hierbei wird die Determinante einer n×n-Matrix (auch als
n×n-Determinante bezeichnet) zu einer Summe der Kofaktoren „erweitert“, bei
denen es sich um (n-1)×(n-1) Determinanten handelt, multipliziert mit den
Elementen einer einzelnen Zeile oder Spalte, wobei die Vorzeichen
abwechselnd positiv und negativ sind. Diese „Erweiterung“ wird mit den
Kofaktoren der Ordnung (n-2)×(n-2) auf die nächste (niedrigere) Ebene
übertragen usw., bis nur noch eine umfangreiche Summe von 2×2Determinanten vorhanden ist. Die 2×2-Determinanten werden dann mit der
oben dargestellten Methode berechnet.
Die Berechnung einer Determinante durch Entwicklung der Kofaktoren ist
insofern sehr ineffizient, als dass die Anzahl der nötigen Operationen mit der
Größe der Determinante sehr schnell zunimmt. Eine effizientere und bei
numerischen Anwendungen bevorzugte Methode besteht darin, das Ergebnis
einer Gauß-Elimination zu verwenden. Die Gauß-Elimination wird zum Lösen
linearer Gleichungssysteme verwendet. Diese Methode wird weiter unten in
diesem Kapitel dargestellt.
Die Determinante einer Matrix A wird als det(A) dargestellt. Die Determinante
einer singulären Matrix ist gleich Null.
Funktion TRACE
Mit der Funktion TRACE wird die Spur einer quadratischen Matrix berechnet,
die als die Summe der Elemente ihrer Hauptdiagonalen definiert ist oder als
Seite 11-15
n
tr (A) = ∑ aii .
i =1
Beispiele:
Funktion TRAN
Die Funktion TRAN gibt die Transponierte einer reellen Matrix oder die
konjugierte Transponierte einer komplexen Matrix zurück. TRAN ist mit TRN
äquivalent. Die Funktion TRN wurde in Kapitel 10 erläutert.
Weitere Matrix-Operationen (Das Matrix-Menü OPER)
Das Matrixmenü OPER (OPERATIONS) wird mit der Tastenkombination
„Ø aufgerufen (Systemflag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt):
Das Menü OPERATIONS enthält die folgenden Funktionen:
Seite 11-16
Die Funktionen ABS, CNRM, COND, DET, RANK, RNRM, SNRM, TRACE und
TRAN sind auch im Menü MTH/MATRIX/NORM (das Thema des vorherigen
Abschnitts) verfügbar. Die Funktion SIZE wurde in Kapitel 10 dargestellt. Die
Funktion HADAMARD wurde bereits im Zusammenhang mit der MatrixMultiplikation vorgestellt. Die Funktionen LSQ, MAD und RSD werden bei der
Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet und in einem späteren Abschnitt
dieses Kapitels dargestellt. In diesem Abschnitt werden nur die Funktionen AXL
und AXM erläutert.
Funktion AXL
Mit der Funktion AXL wird ein Feld (eine Matrix) in eine Liste umgewandelt und
umgekehrt. Beispiele:
Anmerkung: Die letzte Operation ist mit der Operation des in Kapitel 10
dargestellten Programms CRMR vergleichbar.
Funktion AXM
Mit der Funktion AXM wird ein Feld mit ganzen Zahlen oder Brüchen in die
entsprechende Dezimal- oder Näherungsform umgewandelt. Beispiel:
Funktion LCXM
Mit der Funktion LCXM können Matrizen erzeugt werden, für die gilt, dass das
Element aij eine Funktion von i und j ist. Die Eingangswerte dieser Funktion sind
zwei Ganzzahlen n und m, die die Anzahl der Zeilen und Spalten der zu
erzeugenden Matrix darstellen, und ein Programm mit den Eingangswerten i
Seite 11-17
und j. Die Zahlen n und m sowie das Programm belegen jeweils Ebene 3, 2
bzw. 1 des Stacks. Die Funktion LCXM kann über den Befehlskatalog ‚N
aufgerufen werden.
Um beispielsweise eine 2´ 3-Matrix zu erzeugen, deren Elemente durch aij =
(i+j)2 gegeben sind, speichern Sie zunächst im RPN-Modus das folgende
Programm in der Variablen P1. Bevor Sie K drücken, wird der RPN-Stack wie
folgt angezeigt:
Die Ausführung der Funktion LCXM erfordert in diesem Fall, dass Sie Folgendes
eingeben:
2`3`‚@@P1@@ LCXM `
In der folgenden Abbildung ist der RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion LCXM dargestellt:
Im ALG-Modus erhalten Sie dieses Beispiel durch folgende Eingabe:
Das Programm P1 muss jedoch im RPN-Modus erstellt und gespeichert worden
sein.
Seite 11-18
Lösung linearer Gleichungssysteme
Ein System von n linearen Gleichungen mit m Variablen kann folgendermaßen
beschrieben werden:
a11⋅x1 + a12⋅x2 + a13⋅x3 + …+
a21⋅x1 + a22⋅x2 + a23⋅x3 + …+
a31⋅x1 + a32⋅x2 + a33⋅x3 + …+
.
.
.
…
.
.
.
…
an-1,1⋅x1 + an-1,2⋅x2 + an-1,3⋅x3 + …+
an1⋅x1 + an2⋅x2 + an3⋅x3 + …+
a1,m-1⋅x m-1 + a1,m⋅x m = b1,
a2,m-1⋅x m-1 + a2,m⋅x m = b2,
a3,m-1⋅x m-1 + a3,m⋅x m = b3,
.
.
.
.
.
.
an-1,m-1⋅x m-1 + an-1,m⋅x m = bn-1,
an,m-1⋅x m-1 + an,m⋅x m = bn.
Dieses lineare Gleichungssystem kann als Matrixgleichung An×m⋅xm×1 = bn×1
beschrieben werden, wenn wir folgende Matrix und Vektoren definieren:
⎡ a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ M
⎢
⎣an1
a12 L a1m ⎤
⎡ x1 ⎤
⎡ b1 ⎤
⎥
⎥
⎢
⎢b ⎥
a22 L a2 m ⎥
x2 ⎥
⎢
x=
b = ⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢M⎥
M O M ⎥
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
an 2 L anm ⎦ n×m
⎣ xm ⎦ m×1 ,
⎣bn ⎦ n×1
,
Verwenden des numerischen Gleichungslösers für lineare
Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme können mit dem Taschenrechner auf viele Arten
gelöst werden. Eine Möglichkeit besteht in der Verwendung des numerischen
Gleichungslösers ‚Ï. Wählen Sie im unten (links) angezeigten Fenster
des numerischen Gleichungslösers die Option 4. Solve lin sys aus, und drücken
Sie @@@OK@@@. Anschließend wird folgende Eingabemaske angezeigt (rechts):
Seite 11-19
Um das lineare Gleichungssystem A⋅x = b zu lösen, geben Sie die Matrix A im
Format [[ a11, a12, … ], … [….]] in das Feld A: ein. Geben Sie außerdem den
Vektor b in das Feld B: ein. Wenn das Feld X: markiert ist, drücken Sie [SOLVE].
Ist eine Lösung verfügbar, wird im Feld X: der Lösungsvektor x angezeigt. Die
Lösung wird außerdem in Ebene 1 des Stacks kopiert. Es folgen einige
Beispiele.
Ein quadratisches Gleichungssystem
Das lineare Gleichungssystem
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn
⎡ x1 ⎤
⎡ 2 3 − 5⎤
⎥
⎢
A = ⎢1 − 3 8 ⎥, x = ⎢⎢ x2 ⎥⎥, und
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣2 − 2 4 ⎥⎦
⎡ 13 ⎤
b = ⎢⎢− 13⎥⎥.
⎢⎣ − 6 ⎥⎦
In diesem Gleichungssystem ist die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der
Unbekannten identisch. Es wird als quadratisches Gleichungssystem bezeichnet.
Für dieses System ist in der Regel eine eindeutige Lösung vorhanden. Das
Gleichungssystem bildet die Schnittmenge der durch die drei Gleichungen
dargestellten drei Ebenen im Koordinatensystem (x1, x2, x3).
Zum Eingeben von Matrix A können Sie den MatrixWriter aktivieren, während
das Feld A: ausgewählt ist. In den folgenden Bildschirmabbildungen sind der
MatrixWriter für die Eingabe von Matrix A sowie die Eingabemaske für den
numerischen Gleichungslöser nach der Eingabe von Matrix A dargestellt
(drücken Sie im Matrix Writer `):
Seite 11-20
Drücken Sie ˜, um das Feld B: auszuwählen. Vektor b kann mit einfachen
Klammern als Zeilenvektor eingegeben werden, d. h. [13,-13,-6] @@@OK@@@.
Nachdem wir Matrix A und Vektor b eingegeben haben und das Feld X:
markiert ist, können wir @SOLVE! drücken, um eine Lösung für dieses
Gleichungssystem zu bestimmen:
Die Lösung wird unten dargestellt.
Um die Lösung im Stack anzuzeigen, drücken Sie `. Die Lösung lautet x =
[1,2,-1].
Um die Lösung auf ihre Richtigkeit zu überprüfen, geben Sie Matrix A ein und
multiplizieren die Matrix mit diesem Lösungsvektor (Beispiel im algebraischen
Modus):
Seite 11-21
Unterbestimmtes Gleichungssystem
Das lineare Gleichungssystem
2x1 + 3x2 – 5x3 = -10,
x1 – 3x2 + 8x3 = 85,
kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn
⎡ x1 ⎤
⎡ 2 3 − 5⎤
A=⎢
, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, und
⎥
⎣1 − 3 8 ⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡− 10⎤
b=⎢
⎥.
⎣ 85 ⎦
Dieses Gleichungssystem verfügt über mehr Unbekannte als Gleichungen und ist
daher nicht eindeutig bestimmt. Wir können die Bedeutung dieser Aussage
veranschaulichen, wenn wir uns vorstellen, dass jede der linearen Gleichungen
eine Ebene in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (x1, x2,
x3) darstellt. Die Lösung des obigen Gleichungssystems stellt die Schnittmenge
zweier Ebenen im Raum dar. Wir wissen jedoch, dass die Schnittmenge zweier
(nichtparalleler) Ebenen eine gerade Linie und nicht ein einzelner Punkt ist.
Daher erfüllen mehrere Punkte die Bedingungen des Gleichungssystems. In
diesem Sinn ist das Gleichungssystem nicht eindeutig bestimmt.
Wir suchen nun mit dem numerischen Gleichungslöser nach einer Lösung dieses
Gleichungssystems: ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@. Geben Sie Matrix A und
Vektor b wie im vorherigen Beispiel veranschaulicht ein, und drücken Sie @SOLVE,
wenn das Feld X: markiert ist:
Seite 11-22
Um ggf. Details des Lösungsvektors anzuzeigen, drücken Sie die Taste @EDIT!.
Hierdurch wird der MatrixWriter aktiviert. Verwenden Sie im MatrixWriter die
rechte bzw. linke Pfeiltaste, um innerhalb des Vektors zu navigieren, z. B.
Die Lösung lautet somit x = [15,373 2,4626 9,6268].
Um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren, drücken Sie `.
Das im Folgenden beschriebene Verfahren kann zum Kopieren von Matrix A
und Lösungsvektor X in den Stack verwendet werden. Um die Richtigkeit der
Lösung zu überprüfen, gehen Sie folgendermaßen vor:
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie ——, um das Feld A: zu markieren.
Drücken Sie L @CALC@ `, um Matrix A in den Stack zu kopieren.
Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser
zurückzukehren.
Drücken Sie ˜ ˜@CALC@ `, um den Lösungsvektor X in den Stack
zu kopieren.
Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser
zurückzukehren.
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren.
Der Stack wird nun im ALG-Modus wie folgt angezeigt:
Seite 11-23
Speichern Sie nun das letzte Ergebnis in einer Variablen X und die Matrix in
einer Variablen A:
Drücken Sie K~x`, um den Lösungsvektor in der Variablen X zu
speichern.
Drücken Sie ƒ ƒ ƒ, um drei Ebenen des Stacks zu leeren.
Drücken Sie K~a`, um die Matrix in der Variablen A zu speichern.
Überprüfen Sie nun die Lösung, indem Sie @@@A@@@ * @@@X@@@ ` drücken. Dies
ergibt folgendes Ergebnis (drücken Sie ˜, um die Vektorelemente
anzuzeigen): [-9,99999999992 85]. Dies unterscheidet sich nicht sehr vom
ursprünglichen Vektor b = [-10 85].
Geben Sie außerdem @@A@@@ * [15,10/3,10] ` ‚ï` ein, also:
Das Ergebnis bedeutet, dass x = [15,10/3,10] auch eine Lösung des
Gleichungssystems darstellt, und bestätigt unsere Aussage, dass ein
Gleichungssystem, das über mehr Unbekannte als Gleichungen verfügt, nicht
eindeutig bestimmt (unterbestimmt) ist.
Wie berechnet der Taschenrechner die zuvor dargestellte Lösung x = [15,37…
2,46… 9,62…]? Der Taschenrechner minimiert den Abstand von einem Punkt,
der die Lösung darstellt, zu jeder der durch die Gleichungen im linearen
Gleichungssystem dargestellten Ebenen. Der Taschenrechner verwendet die
Methode der kleinsten Quadrate , d. h., die Summe der Quadrate dieser
Abstände bzw. Fehler wird minimiert.
Seite 11-24
Überbestimmtes Gleichungssystem
Das lineare Gleichungssystem
x1 + 3x2 = 15,
2x1 – 5x2 = 5,
-x1 + x2 = 22,
kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn
3⎤
⎡1
⎡x ⎤
⎢
A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, und
⎣ x2 ⎦
⎢⎣− 1 1 ⎥⎦
⎡15 ⎤
b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥.
⎢⎣22⎥⎦
Dieses System verfügt über mehr Gleichungen als Unbekannte (überbestimmtes
Gleichungssystem). Für das System gibt es keine einzelne Lösung. Jede lineare
Gleichung im oben dargestellten Gleichungssystem stellt eine gerade Linie in
einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (x1, x2) dar. Sofern
zwei der drei Gleichungen des Systems nicht dieselbe Gleichung darstellen,
besitzen die drei Linien mehr als einen Schnittpunkt. Daher ist die Lösung nicht
eindeutig. Mithilfe einiger numerischer Algorithmen kann eine Lösung für das
Gleichungssystem erzwungen werden, indem der Abstand vom mutmaßlichen
Lösungspunkt zu jeder Linie des Gleichungssystems minimiert wird. Dies ist der
vom numerischen Gleichungslöser des Taschenrechner verwendete Ansatz.
Wir suchen nun mit dem numerischen Gleichungslöser nach einer Lösung
dieses Gleichungssystems: ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@. Geben Sie Matrix A
und Vektor b wie im vorherigen Beispiel veranschaulicht ein, und drücken Sie
@SOLVE, wenn das Feld X: markiert ist:
Um ggf. Details des Lösungsvektors anzuzeigen, drücken Sie die Taste @EDIT!.
Hierdurch wird der MatrixWriter aktiviert. Verwenden Sie im MatrixWriter die
rechte bzw. linke Pfeiltaste, um innerhalb des Vektors zu navigieren, z. B.
Seite 11-25
Drücken Sie `, um zum numerischen Gleichungslöser zurückzukehren. Um
die Richtigkeit der Lösung zu überprüfen, gehen Sie folgendermaßen vor:
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie ——, um das Feld A: zu markieren.
Drücken Sie L @CALC@ `, um Matrix A in den Stack zu kopieren.
Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser
zurückzukehren.
Drücken Sie ˜ ˜@CALC@ `, um den Lösungsvektor X in den Stack
zu kopieren.
Drücken Sie @@@OK@@@ , um zum numerischen Gleichungslöser
zurückzukehren.
Drücken Sie `, um zum Stack zurückzukehren.
Der Stack wird nun im ALG-Modus wie folgt angezeigt:
Speichern Sie nun das letzte Ergebnis in einer Variablen X und die Matrix in
einer Variablen A:
Drücken Sie K~x`, um den Lösungsvektor in der Variablen X zu
speichern.
Drücken Sie ƒ ƒ ƒ, um drei Ebenen des Stacks zu leeren.
Drücken Sie K~a`, um die Matrix in der Variablen A zu speichern.
Überprüfen Sie nun die Lösung, indem Sie @@@A@@@ * @@@X@@@ ` drücken, sodass
als Ergebnis der Vektor [8.6917… -3.4109… -1.1301…] angezeigt wird. Dies
Seite 11-26
unterscheidet sich von [15 5 22], dem ursprünglichen Vektor b. Bei der
„Lösung“ handelt es sich einfach um den Punkt mit der geringsten Entfernung zu
den drei durch die Gleichungen des Systems dargestellten Linien und nicht um
eine exakte Lösung.
Lösung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Funktion LSQ)
Mit der Funktion LSQ wird eine Lösung nach der Methode der kleinsten
Quadrate für ein lineares Gleichungssystem Ax = b nach den folgenden
Kriterien ausgegeben:
•
•
•
Wenn A eine quadratische nichtsinguläre Matrix ist (d. h., sie verfügt
über A eine inverse Matrix oder ihre Determinante ist ungleich Null),
gibt LSQ die exakte Lösung des linearen Gleichungssystems zurück.
Wenn A keinen vollen Zeilenrang aufweist (unterbestimmtes
Gleichungssystem), gibt LSQ aus einer unendlichen Anzahl von
Lösungen die Lösung mit der minimalen euklidischen Länge zurück.
Wenn A keinen vollen Spaltenrang aufweist (überbestimmtes
Gleichungssystem), gibt LSQ die „Lösung“ mit dem minimalen
Residuum e = A⋅x – b zurück. Möglicherweise gibt es keine Lösung für
das Gleichungssystem. Daher ist der zurückgegebene Wert keine echte
Lösung des Gleichungssystems, sondern lediglich der Wert mit dem
kleinsten Residuum.
Die Eingangswerte für die Funktion LSQ sind Vektor b und Matrix A, in dieser
Reihenfolge. Die Funktion LSQ ist über den Funktionskatalog (‚N)
verfügbar. Im Folgenden wiederholen wir die zuvor mit dem numerischen
Gleichungslöser ermittelten Lösungen mit der Funktion LSQ:
Quadratisches Gleichungssystem
Gegeben sei das System
2x1 + 3x2 – 5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
⎡ x1 ⎤
⎡2 3 − 5⎤
⎥
⎢
A = ⎢1 − 3 8 ⎥, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, und
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣2 − 2 4 ⎥⎦
⎡ 13 ⎤
b = ⎢⎢− 13⎥⎥.
⎢⎣ − 6 ⎥⎦
Seite 11-27
Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt:
Unterbestimmtes Gleichungssystem
Gegeben sei das System
2x1 + 3x2 –5x3 = -10,
x1 – 3x2 + 8x3 = 85,
⎡ x1 ⎤
⎡2 3 − 5⎤
A=⎢
, x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥, und
⎥
⎣1 − 3 8 ⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡− 10⎤
b=⎢
⎥.
⎣ 85 ⎦
Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt:
Überbestimmtes Gleichungssystem
Gegeben sei das System
x1 + 3x2 = 15,
2x1 – 5x2 = 5,
-x1 + x2 = 22,
Seite 11-28
3⎤
⎡1
⎡x ⎤
⎢
A = ⎢ 2 − 5⎥⎥, x = ⎢ 1 ⎥, und
⎣ x2 ⎦
⎣⎢− 1 1 ⎥⎦
Die mit LSQ ermittelte Lösung wird unten dargestellt:
⎡15 ⎤
b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥.
⎣⎢22⎦⎥
Vergleichen Sie diese drei Lösungen mit den Lösungen, die mit dem
numerischen Gleichungslöser berechnet wurden.
Lösung mithilfe der inversen Matrix
Die Lösung des Gleichungssystems A⋅x = b, wobei A eine quadratische Matrix
ist, lautet x = A-1⋅b. Dieses Ergebnis entsteht durch Multiplikation der ersten
Gleichung mit A-1, also A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Definitionsgemäß ist A-1⋅A = I, daher
schreiben wir I⋅x = A-1⋅b. Darüber hinaus ist I⋅x = x, somit gilt x = A-1⋅b.
Für das zuvor verwendete Beispiel
2x1 + 3x2 –5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
ermitteln wir mit dem Taschenrechner die Lösung wie folgt:
Seite 11-29
Diese ist mit dem zuvor ermittelten Ergebnis identisch.
Lösung durch „Division“ von Matrizen
Obwohl die Division für Matrizen nicht definiert ist, können wir mithilfe der
Taste / des Taschenrechners Vektor b durch Matrix A „dividieren“, um in der
Matrixgleichung A⋅x = b eine Lösung für x zu finden. Es handelt sich hier um
eine willkürliche Erweiterung der algebraischen Division von Matrizen, d. h.,
aufgrund von A⋅x = b wagen wir zu schreiben x = b/A (Mathematiker
würden schaudern!). Dies wird selbstverständlich als (1/A)⋅b = A-1⋅b
interpretiert und entspricht der Verwendung der Inversen von A im vorherigen
Abschnitt. Das Verfahren für die „Division“ von b durch A wird unten für
2x1 + 3x2 – 5x3 = 13,
x1 – 3x2 + 8x3 = -13,
2x1 – 2x2 + 4x3 = -6,
veranschaulicht. In den folgenden Bildschirmabbildungen wird das Verfahren
dargestellt:
Seite 11-30
Es handelt sich um dieselbe Lösung, die oben mit der inversen Matrix ermittelt
wurde.
Lösen mehrerer Gruppen von Gleichungen mit derselben
Koeffizientenmatrix
Angenommen Sie möchten die folgenden drei Gruppen von Gleichungen lösen:
X + 2Y + 3Z = 14,
2X + 4Y + 6Z = 9,
2X + 4Y + 6Z = -2,
3X - 2Y + Z = 2,
3X - 2Y + Z = -5,
3X - 2Y + Z = 2,
4X + 2Y - Z = 5,
4X + 2Y - Z = 19,
4X + 2Y -Z = 12.
Die drei Gleichungssysteme können als eine einzige Matrixgleichung dargestellt
werden: A⋅X = B, mit
⎡ X (1)
3⎤
⎡1 2
⎢
⎢
⎥
A = ⎢3 − 2 1 ⎥, X = ⎢ Y(1)
⎢ Z (1)
⎢⎣4 2 − 1⎥⎦
⎣
X ( 2)
Y( 2 )
Z ( 2)
X ( 3) ⎤
⎥
Y( 3) ⎥,
Z ( 3) ⎥⎦
⎡14 9 − 2⎤
B = ⎢⎢ 2 − 5 2 ⎥⎥.
⎢⎣ 5 19 12 ⎥⎦
Die Indizes in den Variablennamen X, Y und Z geben an, auf welches
Gleichungssystem sie sich beziehen. Zur Lösung dieses erweiterten Systems
verwenden wir im RPN-Modus folgendes Verfahren:
[[14,9,-2],[2,-5,2],[5,19,12]] `
[[1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `/
Das Ergebnis dieser Operation lautet:
2⎤
⎡1 2
⎢
X = ⎢2 5
1 ⎥⎥.
⎢⎣3 − 1 − 2⎥⎦
Seite 11-31
Gauß- und Gauß-Jordan-Elimination
Bei der Gauß-Elimination wird eine quadratische Koeffizientenmatrix, die zu
einem System mit n linearen Gleichungen und n Unbekannten gehört, über
mehrere Zeilenoperationen zu einer oberen Dreiecksmatrix (Treppenform)
reduziert. Dieses Verfahren wird als Vorwärtssubstitution bezeichnet. Aufgrund
der Reduzierung der Koeffizientenmatrix zu einer oberen Dreiecksmatrix kann
mit einem als Rückwärtssubstitution bezeichneten Verfahren, bei dem jeweils nur
eine Gleichung bearbeitet wird, eine Lösung für alle n Unbekannten ermittelt
werden.
Beispiel für die Gauß-Elimination mit Gleichungen
Zur Veranschaulichung der Gauß-Elimination verwenden wir folgendes System
mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:
2X + 4Y + 6Z = 14,
3X - 2Y + Z = -3,
4X + 2Y - Z = -4.
Wir speichern diese Gleichungen mit dem Taschenrechner in den Variablen E1,
E2 bzw. E3, wie unten dargestellt. Für Backup-Zwecke wurde außerdem eine
Liste mit den drei Gleichungen erstellt und in der Variablen EQS gespeichert.
Falls eine fehlerhafte Eingabe erfolgt, bleiben die Gleichungen somit dennoch
für den Benutzer verfügbar.
Zu Beginn der Vorwärtssubstitution dividieren wir die erste Gleichung (E1) durch
2, speichern sie in E1 und zeigen die drei Gleichungen erneut an:
Seite 11-32
Anschließend ersetzen wir die zweite Gleichung E2 durch (Gleichung 23×Gleichung 1, also E1-3×E2) und die dritte Gleichung durch (Gleichung 34×Gleichung 1) und erhalten
Dann dividieren wir die zweite Gleichung durch -8 und erhalten:
Anschließend ersetzen wir die dritte Gleichung E3 durch (Gleichung
3+6×Gleichung 2, also E2+6×E3) und erhalten:
Beachten Sie, dass der Taschenrechner beim Ausführen einer Linearkombination
von Gleichungen das Ergebnis in einen Ausdruck auf der linken Seite der
Gleichung ändert, d. h. in einen Ausdruck, der rechts auf = 0 endet. Die letzte
Gruppe von Gleichungen wird somit als folgende äquivalente Gruppe von
Gleichungen interpretiert:
X + 2Y + 3Z = 7,
Y + Z = 3,
-7Z = -14.
Bei der Gauß-Elimination besteht die Rückwärtssubstitution darin, dass die
Werte der Unbekannten ermittelt werden, wobei mit der letzten Gleichung
Seite 11-33
begonnen und der Vorgang mit den jeweils oberen Gleichungen fortgesetzt
wird. Wir ermitteln daher zuerst Z:
Dann setzen wir in Gleichung 2 (E2) für Z=2 ein und ermitteln Y in E2:
Anschließend setzen wir in E1 für Z=2 und für Y=1 ein und ermitteln X in E1:
Die Lösung lautet somit X = -1, Y = 1, Z = 2.
Beispiel für die Gauß-Elimination mit Matrizen
Das im obigen Beispiel verwendete Gleichungssystem kann als Matrixgleichung
A⋅x = b dargestellt werden, wenn wir schreiben:
6⎞
⎡X ⎤
⎡ 14 ⎤
⎛2 4
⎜
⎟
A = ⎜ 3 − 2 1 ⎟, x = ⎢⎢ Y ⎥⎥, b = ⎢⎢ − 3⎥⎥.
⎜ 4 2 − 1⎟
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣− 4⎥⎦
⎝
⎠
Seite 11-34
Um mithilfe der Gauß-Elimination eine Lösung für die Matrix des
Gleichungssystems zu erhalten, erstellen wir zunächst eine A entsprechende, so
genannte erweiterte Matrix, also
A aug
⎛2 4
6 14 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟
⎜ 4 2 −1 − 4⎟
⎝
⎠
Bei Matrix Aaug handelt es sich um die ursprüngliche Matrix A mit einer neuen
Spalte, die die Elemente von Vektor b enthält und rechts von der äußersten
rechten Spalte von A eingefügt (d. h. erweitert) wird.
Nachdem die erweiterte Matrix gebildet wurde, können wir mit ihr
Zeilenoperationen durchführen, mit denen die ursprüngliche Matrix A zu einer
oberen Dreiecksmatrix reduziert wird. Hierfür verwenden wir den RPN-Modus
(H\@@OK@@), wobei Systemflag 117 auf SOFT menu gesetzt ist. Verwenden
Sie für den Taschenrechner folgende Tastenkombinationen. Geben Sie zunächst
die erweiterte Matrix ein, und erstellen Sie im Stack eine Kopie der Matrix.
(Dieser Schritt ist nicht erforderlich, dient jedoch der Absicherung, damit Sie
über eine Kopie der erweiterten Matrix verfügen, falls Ihnen bei der
durchzuführenden Vorwärtssubstitution ein Fehler unterläuft.):
[[2,4,6,14],[3,-2,1,-3],[4,2,-1,-4]] ``
Speichern Sie die erweiterte Matrix in der Variablen AAUG:
³~~aaug~ K
Wenn eine Kopie der erweiterten Matrix im Stack vorhanden ist, drücken Sie
„´ @MATRX! @ROW!, um das Menü ROW zu aktivieren. Wenden Sie
anschließend die folgenden Zeilenoperationen auf die erweiterte Matrix an:
Multiplizieren Sie Zeile 1 mit ½: 2Y 1 @RCI!
Multiplizieren Sie Zeile 1 mit -3, und addieren Sie sie zu Zeile 2 hinzu, dabei
wird diese diese ersetzet: 3\ # 1 #2 @RCIJ!
Multiplizieren Sie Zeile 1 mit -4, und addieren Sie sie zu Zeile 3 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 4\#1#3@RCIJ!
Seite 11-35
Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -1/8: 8\Y2 @RCI!
Multiplizieren Sie Zeile 2 mit 6, und addieren Sie sie zu Zeile 3 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 6#2#3 @RCIJ!
Wenn Sie diese Operationen manuell durchführen würden, müssten Sie
folgendermaßen vorgehen:
A aug
A aug
⎛2 4
6 14 ⎞ ⎛ 1 2
3 7 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟ ≅ ⎜ 3 − 2 1 − 3⎟
⎜ 4 2 −1 − 4⎟ ⎜ 4 2 −1 − 4⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛1 2
3
7 ⎞ ⎛1 2
3
7 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
≅ ⎜ 0 − 8 − 8 − 24 ⎟ ≅ ⎜ 0 1
1
3 ⎟
⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟ ⎜ 0 − 6 − 13 − 32 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
A aug
⎛1 2 3 7 ⎞
⎜
⎟
≅ ⎜0 1 1 3 ⎟
⎜ 0 0 − 7 − 14 ⎟
⎝
⎠
Das Symbol ≅ („entspricht“) gibt an, dass der folgende Ausdruck zu der
vorherigen Matrix, auf die einige Zeilenoperationen (bzw. Spaltenoperationen)
angewendet wurden, äquivalent ist.
Die resultierende Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix und äquivalent zu der
Gruppe von Gleichungen
X +2Y+3Z = 7,
Y+ Z = 3,
-7Z = -14.
Diese können nun wie im vorherigen Beispiel durch Rückwärtssubstitution
einzeln nacheinander gelöst werden.
Seite 11-36
Gauß-Jordan-Elimination mit Matrizen
Bei der Gauß-Jordan-Elimination werden die Zeilenoperationen in der aus der
Vorwärtssubstitution resultierenden oberen Dreiecksmatrix solange fortgesetzt,
bis anstelle der ursprünglichen Matrix A eine Einheitsmatrix gebildet wurde.
Beispielsweise können wir im gerade dargestellten Fall die Zeilenoperationen
wie folgt fortsetzen:
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -1/7: 7\Y 3 @RCI!
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -1, und addieren Sie sie zu Zeile 2 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 1\ # 3 #2 @RCIJ!
Multiplizieren Sie Zeile 3 mit -3, und addieren Sie sie zu Zeile 1 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 3\#3#1@RCIJ!
Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -2, und addieren Sie zu sie Zeile 1 hinzu, dabei
wird diese ersetzet: 2\#2#1 @RCIJ!
Wenn Sie diesen Vorgang manuell durchführen, ergeben sich folgende Schritte:
Aaug
⎛ 1 2 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 0 − 1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟ ≅ ⎜ 0 1 0 1 ⎟.
⎜ 0 0 1 2⎟ ⎜ 0 0 1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Pivotisierung
Wenn Sie die Zeilenoperationen in den oben dargestellten Beispielen sorgfältig
untersuchen, werden Sie feststellen, dass durch viele dieser Operationen eine
Zeile durch ihr entsprechendes Element in der Hauptdiagonalen dividiert wird.
Dieses Element wird als Pivot-Element bezeichnet. In zahlreichen Fällen kann
das Pivot-Element den Wert Null annehmen, sodass die Zeile nicht durch ihr
Pivot-Element dividiert werden kann. Zur Vereinfachung der numerischen Lösung
eines Gleichungssystems mit der Gauß- oder Gauß-Jordan-Elimination empfiehlt
es sich außerdem, als Pivot-Element das Element mit dem größten absoluten
Seite 11-37
Wert in einer Spalte zu verwenden. In diesen Fällen vertauschen wir Zeilen vor
der Anwendung der Zeilenoperationen. Dieses Vertauschen von Zeilen wird als
Teilpivotisierung bezeichnet. Zum Befolgen dieser Empfehlung müssen häufig
Zeilen in der erweiterten Matrix vertauscht werden, wenn eine Gauß- oder
Gauß-Jordan-Elimination durchgeführt wird.
Bei der Pivotisierung während einer Matrixelimination können Sie die
numerische Lösung noch weiter vereinfachen, indem Sie das Element mit dem
größten absoluten Wert in der betreffenden Spalte bzw. Zeile als Pivot-Element
auswählen.
Dies
erfordert
möglicherweise,
dass
bei
einigen
Pivotisierungsoperationen nicht nur Zeilen, sondern auch Spalten vertauscht
werden. Wenn bei der Pivotisierung Zeilen- und Spaltentausch zulässig ist, wird
dieses Verfahren als Totalpivotisierung bezeichnet.
Beim Vertauschen von Zeilen und Spalten bei der Teil- bzw. Totalpivotisierung ist
es erforderlich, die Tauschvorgänge aufzuzeichnen, da hierbei die Anordnung
der Unbekannten in der Lösung geändert wird. Eine Möglichkeit zum
Aufzeichnen der Spaltentauschvorgänge bei der Teil- bzw. Totalpivotisierung
besteht darin, zu Beginn des Verfahrens eine Permutationsmatrix P = In×n zu
erstellen. Jeder in der erweiterten Matrix Aaug erforderliche Zeilen- oder
Spaltentausch wird auch in der Permutationsmatrix als Zeilen- bzw.
Spaltentausch registriert. Wenn die Lösung ermittelt wurde, multiplizieren wir
die Permutationsmatrix mit dem Vektor der Unbekannten x, um die richtige
Anordnung der Unbekannten in der Lösung zu erhalten. Mit anderen Worten,
die endgültige Lösung ist durch P⋅x = b’ definiert, wobei b’ die letzte Spalte in
der erweiterten Matrix darstellt, nachdem die Lösung ermittelt wurde.
Beispiel für Gauß-Jordan-Elimination mit Totalpivotisierung
Die Totalpivotisierung wird anhand eines Beispiels veranschaulicht. Lösen Sie
das folgende Gleichungssystem unter Verwendung von Totalpivotisierung und
Gauß-Jordan-Elimination:
X + 2Y + 3Z = 2,
2X + 3Z = -1,
8X +16Y- Z = 41.
Die erweiterte Matrix und die Permutationsmatrix lauten wie folgt:
Seite 11-38
A aug
⎡1 2 3 2 ⎤
⎡1 0 0⎤
⎢
⎥
= ⎢2 0 3 − 1⎥, P = ⎢⎢0 1 0⎥⎥.
⎣⎢8 16 − 1 41⎥⎦
⎣⎢0 0 1⎥⎦
Speichern Sie die erweiterte Matrix in der Variablen AAUG, und drücken Sie
dann ‚@AAUG, um die erweiterte Matrix in den Stack zu kopieren. Wir
möchten, dass der Befehl CSWP (Spalten vertauschen) verfügbar bleibt, für den
wir Folgendes eingeben: ‚N~~cs~ (CSWP suchen), @@OK@@. Sie
erhalten eine Fehlermeldung. Drücken Sie $, und ignorieren Sie die
Meldung.
Machen Sie anschließend das Menü ROW verfügbar, indem Sie „Ø
@)CREAT @)@ROW@ drücken.
Nun können wir mit der Gauß-Jordan-Elimination mit Totalpivotisierung
beginnen. Wir müssen die Permutationsmatrix per Hand aufzeichnen, tragen
Sie also die oben dargestellte Matrix P in Ihr Notizbuch ein.
Zunächst überprüfen wir das Pivot-Element a11. Wir stellen fest, dass das
Element mit dem größten absoluten Wert in der ersten Zeile und ersten Spalte
der Wert a31 = 8 ist. Da diese Zahl als Pivot-Element verwendet werden soll,
vertauschen wir die Zeilen 1 und 3 mit dem Befehl 1#3L @RSWP. Die
erweiterte Matrix und die Permutationsmatrix lauten nun:
8
2
1
16
0
2
-1
3
3
41
-1
2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
Beim Überprüfen des Pivot-Elements an Position (1,1) stellen wir fest, dass 16
besser als Pivot-Element geeignet ist als 8. Daher führen wir mit folgendem
Befehl einen Spaltentausch durch: 1#2‚N @@OK@@ @RSWP. Die
erweiterte Matrix und die Permutationsmatrix lauten nun:
16
0
2
8
2
1
-1
3
3
41
-1
2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Seite 11-39
Der größte mögliche Wert befindet sich jetzt an Position (1,1), d. h., wir haben
an Position (1,1) eine Totalpivotisierung durchgeführt. Anschließend dividieren
wir durch das Pivot-Element:
16Y1L @RCI@. Die Permutationsmatrix bleibt unverändert, doch
die erweiterte Matrix lautet nun:
1
0
2
1/2 -1/16 41/16
2
3
-1
1
3
2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Als Nächstes entfernen wir die 2 aus Position (3,2):
2\#1#3@RCIJ
1
0
0
1/2 -1/16 41/16
2
3
-1
0
25/8 -25/8
0
1
0
0
0
1
1
0
0
Nachdem wir die Elemente von Spalte 1 unter dem Pivot-Element mit Nullen
aufgefüllt haben, überprüfen wir das Pivot-Element an Position (2,2). Wir stellen
fest, dass die Zahl 3 an Position (2,3) besser als Pivot-Element geeignet ist und
vertauschen daher Spalte 2 und 3 durch die Eingabe: 2#3
‚N@@@OK@@
1
0
0
-1/16
3
25/8
1/2 41/16
2
-1
0
-25/8
0
1
0
1 0
0 0
0 1
Bei Überprüfung des Pivot-Elements an Position (2,2) stellen wir fest, dass der
Wert 25/8 an Position (3,2) größer als 3 ist. Wir vertauschen daher Spalte 2
und 3 durch die Eingabe: 2#3 L@RSWP
1
0
0
-1/16
25/8
3
1/2 41/16
0
-25/8
2
-1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
Seite 11-40
Nun können wir Spalte 2 durch das Pivot-Element 25/8 dividieren, indem wir
³8/25™#2 L @RCI eingeben.
1
0
0
-1/16 1/2
1
0
3
2
41/16
-1
-1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
Anschließend entfernen wir die 3 aus Position (3,2) durch folgende Eingabe:
3\#2#3@RCIJ
1
0
0
-1/16 1/2
1
0
0
2
0 1
0 0
1 0
41/16
-1
2
0
1
0
Nachdem wir die Stellen unter dem Pivot-Element mit Nullen aufgefüllt haben,
überprüfen wir das Pivot-Element an Position (3,3). Der aktuelle Wert 2 ist
größer als ½ oder 0, daher lassen wir ihn unverändert. Wir dividieren die
ganze dritte Reihe durch 2, um das Pivot-Element in 1 umzuwandeln, indem wir
folgende Eingabe verwenden: 2Y3@RCI
1
0
0
-1/16 1/2
1
0
0
1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
41/16
-1
1
Anschließend entfernen wir ½ an Position (1,3) durch die Eingabe:
2 Y \#3#1@RCIJ
1
0
0
-1/16
1
0
0
0
1
33/16
-1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
Schließlich entfernen wir noch -1/16 aus Position (1,2) durch folgende
Eingabe:
16 Y # 2#1@RCIJ
1
0
0
2
0 1 0
Seite 11-41
0
0
1
0
0
1
-1
1
0 0 1
1 0 0
Nun verfügen wir über eine Einheitsmatrix in dem der ursprünglichen
Koeffizientenmatrix A entsprechenden Abschnitt der erweiterten Matrix und
können mithilfe des in Permutationsmatrix P codierten Zeilen- und
Spaltentausches die Lösung ermitteln. Wir bestimmen den Vektor der
Unbekannten x, den Vektor der geänderten Unabhängigen b' und die
Permutationsmatrix P wie folgt:
⎡X ⎤
⎡2⎤
⎡0 1 0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
x = ⎢ Y ⎥, b' = ⎢− 1⎥, P = ⎢⎢0 0 1⎥⎥.
⎢⎣ Z ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣1 0 0⎥⎦
Die Lösung lautet P⋅x=b’ oder
⎡0 1 0 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎡ 3 ⎤
⎢0 0 1⎥ ⋅ ⎢ Y ⎥ = ⎢− 1⎥.
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
Dies ergibt
⎡Y ⎤ ⎡ 3 ⎤
⎢ Z ⎥ = ⎢− 1⎥.
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ X ⎥⎦ ⎣⎢ 1 ⎥⎦
Schrittweises Verfahren des Taschenrechners zum Lösen linearer
Gleichungssysteme
Bei dem gerade erläuterten Beispiel handelt es sich natürlich um ein
schrittweises, vom Benutzer durchgeführtes Verfahren zur Lösung linearer
Gleichungssysteme mit Totalpivotisierung für die Gauß-Jordan-Elimination. Sie
können das vom Taschenrechner ohne weitere Benutzerangaben verwendete
schrittweise Verfahren zum Lösen eines Gleichungssystems anzeigen, indem Sie
im CAS des Taschenrechners die Option Step/Step wie folgt auswählen:
Seite 11-42
Verwenden Sie dann für dieses Beispiel im RPN-Modus folgende Eingabe:
[2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/
Der Taschenrechner zeigt eine erweiterte Matrix an, die aus der
Koeffizientenmatrix A und der Einheitsmatrix I besteht, während gleichzeitig die
nächste Berechnung angezeigt wird.
L2 = L2-2⋅L1 bedeutet „Reihe 2 (L2) durch die Operation L2-2 L1 ersetzen“. Bei
der manuellen Ausführung dieser Operation würde dies folgender Eingabe
entsprechen: 2\#1#1@RCIJ. Drücken Sie @@@OK@@@, und beachten
Sie die auf dem Bildschirm des Taschenrechners angezeigten Operationen. Es
wird die Ausführung der folgenden Operationen angezeigt:
L3=L3-8⋅L1, L1 = 2⋅L1--1⋅L2, L1=25⋅L1--3⋅L3, L2 = 25⋅L2-3⋅L3.
Anschließend erscheint die folgende Meldung, die das Ergebnis der
Reduzierung („Reduction result“) enthält:
Wenn Sie @@@OK@@@ drücken, gibt der Taschenrechner das Endergebnis [1 2 –1]
aus.
Seite 11-43
Schrittweises Berechnen der Inversen einer Matrix
Die Berechnung einer inversen Matrix kann als Berechnung der Lösung eines
erweiterten Systems [A | I ] betrachtet werden. Beispielsweise würden wir für
Matrix A aus dem vorherigen Beispiel die erweiterte Matrix wie folgt schreiben:
A aug ( I )
⎡1 2
3 1 0 0⎤
⎢
⎥
= ⎢3 − 2 1 0 1 0⎥.
⎢⎣4 2 − 1 0 0 1⎥⎦
Um die Zwischenschritte bei der Berechnung sowie die Inverse anzuzeigen,
geben Sie einfach Matrix A aus dem vorherigen Beispiel ein, und drücken Sie
Y, während im CAS des Taschenrechners die Option Step/Step aktiviert ist.
Verwenden Sie folgende Eingabe:
[[ 1,2,3],[3,-2,1],[4,2,-1]] `Y
Nach Ausführung der einzelnen Schritte lautet die ausgegebene Lösung:
Der Taschenrechner hat nicht eigentlich eine Gauß-Jordan-Elimination mit
Totalpivotisierung angezeigt, sondern ein Verfahren zum Berechnen der
Inversen einer Matrix mithilfe einer Gauß-Jordan-Elimination ohne Pivotisierung.
Dieses Verfahren zum Berechnen der Inversen beruht auf der erweiterten Matrix
(Aaug)n×n = [A n×n |In×n].
Der Taschenrechner zeigt die Schritte bis zu dem Punkt an, an dem die linke
Seite der erweiterten Matrix in eine Diagonalmatrix umgewandelt wurde. Nun
besteht der letzte Schritt im Dividieren jeder Zeile durch das entsprechende
Pivot-Element der Hauptdiagonalen. Mit anderen Worten, der Taschenrechner
hat (Aaug)n×n = [A n×n |In×n] in [I |A-1] konvertiert.
Seite 11-44
Inverse Matrizen und Determinanten
Beachten Sie, dass alle Elemente in der oben berechneten inversen Matrix
durch den Wert 56 oder einen seiner Faktoren (28, 7, 8, 4 oder 1) dividiert
werden. Wenn Sie die Determinante von Matrix A berechnen, erhalten Sie
det(A) = 56.
Wir können A-1 = C/det(A) schreiben, wobei C folgende Matrix darstellt:
8
8⎤
⎡0
⎢
C = ⎢ 7 − 13 8 ⎥⎥.
⎢⎣14 6
− 8⎥⎦
Bei dem Ergebnis (A-1)n×n = C n×n /det(A n×n) handelt es sich um ein
allgemeines Ergebnis, das auf eine beliebige nichtsinguläre Matrix A zutrifft.
Auf der Grundlage des Gauß-Jordan-Algorithmus kann eine allgemeine
Darstellung der Elemente von C geschrieben werden.
Aufgrund der oben skizzierten Gleichung A-1 = C/det(A) ist die inverse
Matrix A-1 nicht definiert, wenn det(A) = 0. Die Bedingung det(A) = 0 definiert
somit auch eine singuläre Matrix.
Lösung linearer Gleichungssysteme mit den Funktionen des
Taschenrechners
Die einfachste Möglichkeit zum Lösen eines linearen Gleichungssystems A⋅x =
b mit dem Taschenrechner besteht darin, b einzugeben, A einzugeben und
anschließend die Divisionsfunktion / zu verwenden. Wenn das lineare
Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt ist, kann mit der Funktion
LSQ (Least SQares, kleinste Quadrate) eine „Lösung“ ermittelt werden. Mit den
Funktionen des Menüs MATRICES’ LINEAR SYSTEMS, das über „Ø
aufgerufen werden kann (setzen Sie Systemflag 117 auf CHOOSE boxes),
bietet der Taschenrechner jedoch andere Möglichkeiten zum Lösen linearer
Gleichungssysteme.
Seite 11-45
Die Funktionen dieses Menüs lauten LINSOLVE, REF, rref, RREF und SYST2MAT.
Funktion LINSOLVE
Als Argumente der Funktion LINSOLVE werden ein Feld von Gleichungen und
ein Vektor verwendet, der die Namen der Unbekannten enthält. Die Funktion
ermittelt die Lösung linearer Gleichungssysteme. In den folgenden Fenstern wird
der Eintrag der Hilfefunktion (siehe Kapitel 1) für LINSOLVE und das
zugehörige, im Eintrag aufgeführte Beispiel dargestellt. Im rechten Fenster wird
das unter Verwendung des Zeileneditors (drücken Sie zum Aktivieren ˜)
erzeugte Ergebnis angezeigt:
Es folgt ein weiteres Beispiel im ALG-Modus. Geben Sie Folgendes ein:
LINSOLVE([X-2*Y+Z=-8,2*X+Y-2*Z=6,5*X-2*Y+Z=-12],
[X,Y,Z])
Die Lösung lautet: [X=-1,Y=2,Z = -3].
Für die Funktion LINSOLVE werden symbolische Ausdrücke verwendet. Die
Funktionen REF, rref und RREF arbeiten mir der erweiterten Matrix bei der
Gauß-Elimination.
Funktionen REF, rref und RREF
Die obere Dreiecksform, zu der die erweiterte Matrix bei der
Vorwärtssubstitution im Rahmen der Gauß-Elimination reduziert wird, wird als
Treppenform bezeichnet. Die Funktion REF (Reduce to Echelon Form, zu
Treppenform reduzieren) erzeugt eine solche Matrix, wenn die erweiterte Matrix
auf Ebene 1 des Stacks vorhanden ist.
Seite 11-46
Gegeben sei die erweiterte Matrix
A aug
⎡1 − 2 1 0 ⎤
⎢
⎥
= ⎢2 1 − 2 − 3⎥.
⎢⎣5 − 2 1 12 ⎥⎦
Sie stellt ein lineares Gleichungssystem A⋅x = b dar, mit
A = [[1,-2,1],[2,1,-2],[5,-2,1]],
und
b = [[0],[-3],[12]].
Geben Sie die erweiterte Matrix ein, und speichern Sie sie im ALG-Modus in
der Variablen AAUG:
[[1,-2,1,0],[2,1,-2,-3][5,-2,1,12] UG
Die Anwendung der Funktion REF erzeugt die Ausgabe:
Das Ergebnis ist die obere Dreiecksmatrix (Treppenform) der Koeffizienten, die
aus der Vorwärtssubstitution bei der Gauß-Elimination resultiert.
Die als Ergebnis der Gauß-Jordan-Elimination gebildete Diagonalmatrix wird
als zeilenreduzierte Treppenform bezeichnet. Funktion RREF (Row-Reduced
Echelon Form, zeilenreduzierte Treppenform): Durch Aufruf dieser Funktion wird
eine zeilenreduzierte Treppenform erzeugt, sodass die Koeffizientenmatrix zu
einer Einheitsmatrix reduziert wird. Die zusätzliche Spalte der erweiterten
Matrix enthält die Lösung des Gleichungssystems.
Als Beispiel wird das Ergebnis der Anwendung der Funktion RREF auf die
Matrix AAUG im ALG-Modus dargestellt:
Seite 11-47
Das Ergebnis ist die durch Gauß-Jordan-Elimination ohne Pivotisierung
gebildete, endgültige erweiterte Matrix.
Mit der Funktion rref erhalten Sie eine zeilenreduzierte Treppenform für eine
erweiterte Matrix. Diese Funktion erzeugt eine Liste der Pivot-Elemente und eine
äquivalente Matrix in zeilenreduzierter Treppenform, sodass die
Koeffizientenmatrix zu einer Diagonalmatrix reduziert wird.
Beispielsweise erzeugt die Funktion rref für die Matrix AAUG folgendes
Ergebnis:
Die Ausgabe im zweiten Fenster oben erhalten Sie durch Aktivieren des
Zeileneditors (drücken Sie ˜). Das Ergebnis enthält die Pivot-Elemente 3, 1,
4, 1, 5 und 2 sowie eine reduzierte Diagonalmatrix.
Funktion SYST2MAT
Mit dieser Funktion wird ein lineares Gleichungssystem in die äquivalente
erweiterte Matrix konvertiert. Das folgende Beispiel erhalten Sie über die
Hilfefunktion des Taschenrechners:
Seite 11-48
Das Ergebnis ist die dem Gleichungssystem entsprechende erweiterte Matrix:
X+Y = 0
X-Y = 2
Restfehler bei Lösungen linearer Gleichungssysteme (Funktion
RSD)
Mit der Funktion RSD werden die ReSiDuen bzw. Restfehler bei der Lösung der
Matrixgleichung A⋅x=b berechnet, die ein System von n linearen Gleichungen
mit n Unbekannten darstellt. Wir können die Lösung dieses Systems als Lösung
der Matrixgleichung f(x) = b -A⋅x = 0 betrachten. Angenommen, wir erzeugen
mit einer numerischen Methode als erste Näherung die Lösung x(0). Wir
berechnen f(x(0)) = b - A⋅x(0) = e ≠ 0. e ist somit ein Vektor der Residuen der
Funktion für den Vektor x = x (0).
Als Argumente der Funktion RSD sind b, A und x(0) erforderlich. Der
zurückgegebene Vektor lautet e = b - A⋅x(0). Wenn beispielsweise A =
[[2,-1][0,2]], x(0) = [1.8,2.7] und b = [1,6], können wir den
Vektor der Residuen wie folgt ermitteln:
Das Ergebnis lautet e = b - A⋅x(0) = [ 0.1 0.6 ].
Anmerkung: Wenn wir die Korrektur der Werte von x(0) durch den Vektor
Δx = x – x (0) darstellen, können wir für Δx eine neue Matrixgleichung A⋅Δx
= e erstellen. Durch das Ermitteln von Δx finden wir mit x = x(0) + Δx die
tatsächliche Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems.
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Eigenwerte und Eigenvektoren
Für eine quadratische Matrix A können wir die Eigenwertgleichung A⋅x = λ⋅x
erstellen, wobei die die Gleichung erfüllenden Werte von λ als Eigenwerte von
Matrix A bezeichnet werden. Wir können für jeden Wert von λ in der
Gleichung Werte von x ermitteln, die der Eigenwertgleichung erfüllen. Diese
Werte von x werden als Eigenvektoren von Matrix A bezeichnet. Die
Eigenwertgleichung kann auch als (A – λ⋅I)x = 0 geschrieben werden.
Diese Gleichung besitzt nur dann eine nicht triviale Lösung, wenn die Matrix (A
- λ⋅I) singulär ist, d. h., wenn det(A - λ⋅I) = 0.
Die letzte Gleichung erzeugt eine algebraische Gleichung mit einem Polynom
der Ordnung n für eine quadratische Matrix An×n. Die resultierende Gleichung
wird als charakteristisches Polynom der Matrix A bezeichnet. Die Lösung des
charakteristischen Polynoms ergibt die Eigenwerte der Matrix.
Der Taschenrechner enthält mehrere Funktionen, mit denen Sie Informationen
über Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix erhalten. Einige
dieser Funktionen befinden sich im Menü MATRICES/EIGEN, das mit „Ø
aktiviert wird.
Funktion PCAR
Mit der Funktion PCAR wird unter Verwendung der Werte der Variablen VX
(eine für das CAS reservierte Variable, die in der Regel gleich „X“ ist) das
charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix erzeugt. Geben Sie
beispielsweise im ALG-Modus folgende Matrix ein, und ermitteln Sie mit PCAR
die charakteristische Gleichung: [[1,5,-3],[2,-1,4],[3,5,2]]
Seite 11-50
Unter Verwendung der Variablen λ zur Darstellung der Eigenwerte ist dieses
charakteristische Polynom als λ 3-2λ 2-22λ +21=0 zu interpretieren.
Funktion EGVL
Mit der Funktion EGVL (EiGenVaLues, Eigenwerte) werden die Eigenwerte einer
quadratischen Matrix erzeugt. Die Eigenwerte der unten dargestellten Matrix
werden z. B. im ALG-Modus mit der Funktion EGVL berechnet:
Eigenwerte λ = [ -√10, √10 ].
Anmerkung: In einigen Fällen können Sie möglicherweise keine „exakte“
Lösung für das charakteristische Polynom ermitteln und erhalten bei Verwendung der Funktion EGVL als Ergebnis eine leere Liste. Wenn dieser Fall eintritt,
ändern Sie den Berechnungsmodus in CAS in den Näherungsmodus (Approx)
und wiederholen Sie die Berechnung.
Beispielsweise wird bei der folgenden Übung im exakten Modus als Ergebnis
eine leere Liste ausgegeben.
Seite 11-51
Ändern Sie den Modus in den Näherungsmodus (Approx), und wiederholen
Sie die Eingabe. Sie erhalten folgende Eigenwerte:
[(1,38;2,22), (1,38;-2,22), (-1,76;0)].
Funktion EGV
Mit der Funktion EGV (EiGenwerte und EigenVektoren) werden die Eigenwerte
und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix erzeugt. Die Eigenvektoren
werden als die Spalten einer Matrix zurückgegeben, während die
entsprechenden Eigenwerte die Komponenten eines Vektors sind.
Als Beispiel werden die Eigenvektoren und Eigenwerte der unten aufgeführten
Matrix im ALG-Modus durch Anwendung der Funktion EGV ermittelt:
In der Ergebnisliste werden die Eigenwerte als Spalten der Matrix angezeigt.
Um die Eigenwerte anzuzeigen, können wir den Befehl GET(ANS(1),2)
verwenden, d. h. das zweite Element in der Liste des vorherigen Ergebnisses
abrufen.Die Eigenwerte lauten:
Gesamt:
λ1 = 0.29, x1 = [ 1,00;0,79;–0,91]T;
λ2 = 3,16; x2 = [1,00;-0,51; 0,65] T;
λ3 = 7,54; x1 = [-0,03; 1,00; 0,84] T.
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Anmerkung: Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte, und ihre
Eigenvektoren sind zueinander orthogonal. Für das gerade erläuterte Beispiel
können Sie überprüfen, ob x1•x2 = 0, x1•x3 = 0 und x2•x3 = 0.
Funktion JORDAN
Die Funktion JORDAN ist für die Diagonalisierung oder Jordan-Zerlegung einer
Matrix konzipiert. Mit der Funktion JORDAN werden im RPN-Modus für eine
quadratische Matrix A vier Ausgaben erzeugt:
•
•
•
•
Das Minimalpolynom von Matrix A (Ebene 4 des Stacks)
Das charakteristische Polynom von Matrix A (Ebene 3 des Stacks)
Eine Liste der jedem Eigenwert von Matrix A entsprechenden
Eigenvektoren (Ebene 2 des Stacks)
Ein Vektor mit den Eigenvektoren von Matrix A (Ebene 1 des Stacks)
Führen Sie im RPN-Modus beispielsweise diese Übung aus:
[[4,1,-2],[1,2,-1],[-2,-1,0]]
JORD N
Die Ausgabe lautet wie folgt:
4: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
3: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
2: { }
1: { }
Dieselbe Übung wird im ALG-Modus wie in den folgenden
Bildschirmabbildungen dargestellt:
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Funktion MAD
Obwohl diese Funktion nicht im Menü EIGEN zur Verfügung steht, stellt sie auch
Informationen über die Eigenwerte einer Matrix bereit. Die Funktion MAD ist im
Untermenü MATRICES OPERATIONS („Ø) verfügbar und zum Erzeugen
der adjungierten Matrix einer Matrix konzipiert.
Im RPN-Modus erzeugt die Funktion MAD mehrere Eigenschaften einer
quadratischen Matrix:
•
•
•
•
die Determinante (Ebene 4 des Stacks)
die formale Inverse (Ebene 3 des Stacks)
die Matrixkoeffizienten des durch (x⋅I-A) ⋅p(x)=m(x)⋅I definierten
Polynoms p(x) (Ebene 2 des Stacks)
das charakteristische Polynom der Matrix (Ebene 1 des Stacks)
Beachten Sie, dass die Form der Gleichung (x⋅I-A)⋅p(x)=m(x)⋅I der der
Eigenwertgleichung A⋅x = λ⋅x entspricht.
Geben Sie als Übungsbeispiel im RPN-Modus Folgendes ein:
[[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] M D
Das Ergebnis lautet:
4: -8.
3: [[ 0,13 –0,25 –0,38][-0,25 0,50 –0,25][-0,38 –0,25 –0,88]]
2: {[[1 0 0][0 1 0][0 0 1]] [[ -2 1 –2][1 –4 –1][-2 –1 –6] [[-1 2 3][2 –4 2][3 2 7]]}
1: ‘X^3+-6*x^2+2*X+8’
Dasselbe Beispiel wird im ALG-Modus wie folgt angezeigt:
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Matrixfaktorisierung
Die Faktorisierung bzw. Zerlegung einer Matrix besteht aus der Ermittlung von
Matrizen, die durch Multiplikation die Ausgangsmatrix ergeben. Wir stellen die
Matrixzerlegung durch Verwendung der Funktionen im Matrixmenü FACT dar.
Dieses Menü wird mit „Ø aufgerufen.
Die Funktionen dieses Menüs lauten: LQ, LU, QR, SCHUR, SVD und SVL.
Die Funktion LU
Der Eingabewert für die Funktion LU ist eine quadratische Matrix A. Die
Ausgabe ist eine untere Dreiecksmatrix L, eine obere Dreiecksmatrix U und eine
Permutationsmatrix P auf Ebene 3, 2 bzw. 1 des Stacks. Die Ergebnisse für L, U
und P erfüllen die Gleichung P⋅A = L⋅U. Beim Aufruf der Funktion LU führt der
Taschenrechner mithilfe einer Teilpivotisierung eine LU-Zerlegung von A nach
dem Crout-Algorithmus durch.
Beispielsweise ergibt die folgende Eingabe im RPN-Modus: [[1,2,5][3,1,-2][7,6,5]] LU
die Werte:
3:[[7 0 0][-1 2.86 0][3 –1.57 –1]
2:[[1 0.86 0.71][0 1 2][0 0 1]]
1:[[0 0 1][1 0 0][0 1 0]]
Im ALG-Modus wird dasselbe Beispiel wie folgt angezeigt:
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Orthogonalmatrizen und Singulärwertzerlegung
Eine quadratische Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten Einheitsvektoren
darstellen, die zueinander orthogonal sind. Die Matrix U = [v1 v2 … vn] mit
den Spaltenvektoren vi, i = 1, 2, …, n und der Eigenschaft vi•vj = δij, wobei δij
die Kronecker-Deltafunktion darstellt, ist daher eine Orthogonalmatrix. Aus
diesen Bedingungen folgt außerdem, dass U⋅ UT = I.
Die Singulärwertzerlegung (SVD) einer rechteckigen Matrix Am×n erfolgt daher
durch Bestimmung der Matrizen U, S und V, sodass Am×n = U m×m ⋅S m×n ⋅V T
n×n, wobei U und V Orthogonalmatrizen sind und S eine Diagonalmatrix ist.
Die diagonalen Elemente von S werden als Singulärwerte von A bezeichnet
und sind in der Regel so angeordnet, dass für i = 1, 2, …, n-1 gilt, dass si ≥
si+1. Die Spalten [uj] von U und [vj] von V sind die entsprechenden
Singulärvektoren.
Funktion SVD
Im RPN-Modus ist der Eingabewert für die Funktion SVD (Singular Value
Decomposition, Singulärwertzerlegung) eine Matrix An×m. Die Funktion gibt auf
den Ebenen 3, 2 bzw. 1 des Stacks die Matrizen Un×n und Vm×m sowie einen
Vektor s zurück. Die Dimension des Vektors s ist gleich dem Minimum der
beiden Werte n bzw. m. Die Matrizen U und V entsprechen der bereits
erläuterten Definition für die Singulärwertzerlegung, während der Vektor s die
Hauptdiagonale der bereits eingeführten Matrix S darstellt.
Beispielsweise ergibt die folgende Eingabe im RPN-Modus: [[5,4,1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD
3: [[-0,27 0,81 –0,53][-0,37 –0,59 –0,72][-0,89 3,09E-3 0,46]]
2: [[ -0,68 –0,14 –0,72][ 0,42 0,73 –0,54][-0,60 0,67 0,44]]
1: [ 12,15 6,88 1,42]
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Funktion SVL
Die Funktion SVL (Singular VaLues, Singulärwerte) gibt die Singulärwerte einer
Matrix An×m als Vektor s zurück, dessen Dimension gleich dem Minimum von n
bzw. m ist. Beispielsweise ergibt [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]]
SVL im RPN-Modus
[12.15 6.88 1.42].
Funktion SCHUR
Im RPN-Modus erzeugt die Funktion SCHUR die Schur-Zerlegung einer
quadratischen Matrix A und ergibt die Matrizen Q und T auf Ebene 2 bzw. 1
des Stacks, sodass A = Q⋅T⋅QT, wobei Q eine Orthogonalmatrix und T eine
Dreiecksmatrix ist. Beispielsweise ergibt
[[2,3,-1][5,4,-2][7,5,4]] SCHUR
im RPN-Modus folgende Ausgabe:
2: [[0,66 –0,29 –0,70][-0,73 –0,01 –0,68][ -0,19 –0,96 0,21]]
1: [[-1,03 1,02 3,86 ][ 0 5,52 8,23 ][ 0 –1,82 5,52]]
Funktion LQ
Die Funktion LQ erzeugt die LQ-Faktorisierung einer Matrix An×m und gibt auf
Ebene 3, 2 bzw. 1 des Stacks eine untere Trapezmatrix Ln×m, eine
Orthogonalmatrix Qm×m und eine Permutationsmatrix Pn×n zurück. Für die
Matrizen A, L, Q und P gilt P⋅A = L⋅Q. (Eine aus einer n×m-Matrix gebildete
Trapezmatrix entspricht einer aus einer n×n-Matrix gebildeten Dreiecksmatrix.)
Beispielsweise erzeugt
[[ 1, -2, 1][ 2, 1, -2][ 5, -2, 1]] LQ
die Werte
3: [[-5,48 0 0][-1,10 –2,79 0][-1,83 1,43 0,78]]
2: [[-0,27 0,81 –0,18][ -0.36 –0.50 –0.79][-0.20 –0.78 –0.59]]
1: [[0 0 1][0 1 0][1 0 0]]
Funktion QR
Die Funktion QR erzeugt im RPN-Modus die QR-Faktorisierung einer Matrix
An×m und gibt auf Ebene 3, 2 bzw. 1 des Stacks eine Orthogonalmatrix Qn×n,
eine obere Trapezmatrix Rn×m und eine Permutationsmatrix Pm×m zurück. Für
die Matrizen A, P, Q und R gilt A⋅P = Q⋅R. Beispielsweise erzeugt [[ 1,2,1][ 2,1,-2][ 5,-2,1]] QR
die Werte
Seite 11-57
3: [[-0,18 0,39 0,90][-0,37 –0,88 0,30][-0,91 0,28 –0,30]]
2: [[ -5,48 –0,37 1,83][ 0 2,42 –2,20][0 0 –0,90]]
1: [[1 0 0][0 0 1][0 1 0]]
Anmerkung: Über die Hilfefunktion des Taschenrechners erhalten Sie
Beispiele und Definitionen für sämtliche Funktionen dieses Menüs. Führen Sie
diese Übungen im ALG-Modus aus, um die Ergebnisse in diesem Modus zu
betrachten.
Quadratische Formen einer Matrix
Die quadratische Form einer quadratischen Matrix A ist ein aus x⋅A⋅xT
gebildetes Polynom. Für A = [[2,1,–1][5,4,2][3,5,–1]] und x = [X Y Z]T wird
z. B. die entsprechende quadratische Form wie folgt berechnet:
x ⋅ A ⋅ x = [X
T
= [X
Endergebnis:
Y
Y
⎡2 1 − 1⎤ ⎡ X ⎤
Z ] ⋅ ⎢⎢5 4 2 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ Y ⎥⎥
⎢⎣3 5 − 1⎥⎦ ⎢⎣ Z ⎥⎦
⎡ 2X + Y − Z ⎤
Z ] ⋅ ⎢⎢5 X + 4Y + 2 Z ⎥⎥
⎢⎣ 3 X + 5Y − Z ⎥⎦
x⋅A⋅xT = 2X2+4Y2-Z2+6XY+2XZ+7ZY
Das Menü QUADF
Der Taschenrechner enthält das Menü QUADF für Operationen mit
QUADratischen Formen. Das Menü QUADF wird mit „Ø aufgerufen.
Dieses Menü enthält die Funktionen AXQ, CHOLESKY, GAUSS, QXA und
SYLVESTER.
Seite 11-58
Funktion AXQ
Die Funktion AXQ erzeugt im RPN-Modus unter Verwendung der n Variablen in
einem Vektor auf Ebene 1 des Stacks die zu einer Matrix An×n auf Ebene 2 des
Stacks gehörende quadratische Form. Die Funktion gibt die quadratische Form
auf Ebene 2 des Stacks und den Vektor der Variablen auf Ebene 1 des Stacks
zurück. Beispielsweise ergibt
[[2,1,-1],[5,4,2],[3,5,-1]] `
['X','Y','Z'] ` XQ
folgende Werte:
2: ‘2*X^2+(6*Y+2*Z)*X+4*Y^2+7*Z*y-Z^2’
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]
Funktion QXA
Die Argumente für die Funktion QXA sind eine quadratische Form auf Ebene 2
des Stacks und ein Vektor von Variablen auf Ebene 1 des Stacks. Die Funktion
gibt auf Ebene 2 des Stacks die quadratische Matrix A zurück, von der die
quadratische Form abgeleitet wurde, und auf Ebene 1 des Stacks die Liste der
Variablen. Beispielsweise ergibt
'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' `
['X','Y','Z'] ` QX
folgende Werte:
2: [[1 2 –8][2 1 0][-8 0 –1]]
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]
Diagonale Darstellung einer quadratischen Form
Für eine symmetrische quadratische Matrix A kann die Matrix A
„diagonalisiert“ werden, indem eine Orthogonalmatrix P ermittelt wird, für die
gilt: PT⋅A⋅P = D, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Wenn Q = x⋅A⋅xT eine auf
A basierende quadratische Form ist, kann die quadratische Form Q so
dargestellt werden, dass sie mit Q = x⋅A⋅xT = (P⋅y)⋅A⋅(P⋅y)T = y⋅(PT⋅A⋅P)⋅yT =
y⋅D⋅yT nur quadratische Ausdrücke einer Variablen y enthält, sodass x = P⋅y.
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Funktion SYLVESTER
Die Funktion SYLVESTER benötigt eine symmetrische quadratische Matrix A als
Argument und gibt einen Vektor zurück, der die Diagonalwerte einer
Diagonalmatrix D enthält, sowie eine Matrix P, sodass PT⋅A⋅P = D.
Beispielsweise ergibt
[[2,1,-1],[1,4,2],[-1,2,-1]] SYLVESTER
die Werte
2: [ 1/2 2/7 -23/7]
1: [[2 1 –1][0 7/2 5/2][0 0 1]]
Funktion GAUSS
Die Funktion GAUSS gibt die diagonale Darstellung einer quadratischen Form
Q = x⋅A⋅xT zurück und benötigt als Argumente die quadratische Form auf
Ebene 2 des Stacks und den Vektor der Variablen auf Ebene 1 des Stacks. Der
Aufruf dieser Funktion führt zu folgenden Ergebnissen:
• Ein Feld von Koeffizienten, die die Diagonalwerte von D darstellen
(Ebene 4 des Stacks)
• Eine Matrix P, sodass A = PT⋅D⋅P (Ebene 3 des Stacks)
• Die diagonalisierte quadratische Form (Ebene 2 des Stacks)
• Die Liste der Variablen (Ebene 1 des Stacks)
Beispielsweise erzeugt
'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' `
['X','Y','Z'] ` G USS
folgende Werte:
4: [1 –0,333 20,333]
3: [[1 2 –8][0 –3 16][0 0 1]]
2: ’61/3*Z^2+ -1/3*(16*Z+-3*Y)^2+(-8*z+2*Y+X)^2‘
1: [‘X’ ‘Y’ ‘Z’]
LINEAR APPLICATIONS
Das Menü LINEAR APPLICATIONS wird über „Ø aufgerufen.
Seite 11-60
Unten sind die Informationen über die Funktionen dieses Menüs dargestellt, die
Sie mit der Hilfefunktion des Taschenrechners aufrufen können. Die
Abbildungen stellen den entsprechenden Eintrag der Hilfefunktion und die
zugehörigen Beispiele dar.
Funktion IMAGE
Funktion ISOM
Funktion KER
Funktion MKISOM
Seite 11-61
Kapitel 12!
Grafik
In diesem Kapitel werden einige der Grafikfunktionen des Taschenrechners
vorgestellt. Wir stellen Grafiken von Funktionen in kartesischen Koordinaten und
Polarkoordinaten vor, parametrische Plots, Streudiagramme, Balkendiagrammen
und eine Vielzahl von dreidimensionalen Grafiken.
Grafikoptionen des Taschenrechners
Über die Tastenkombination „ô(D) gelangen Sie zur Liste der im
Taschenrechner verfügbaren Grafikformate. Bitte beachten Sie, dass Sie diese
beiden Tasten gleichzeitig drücken müssen, um eine Grafikfunktion
einzuschalten, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten. Wenn Sie die 2D/3DFunktion eingeschaltet haben, erscheint auf dem Taschenrechnerdisplay das
Fenster PLOT SETUP, darin befindet sich auch das Feld TYPE (siehe Abb. unten).
Gleich neben dem Feld TYPE erscheint normalerweise die Option Function
hervorgehoben. Das ist der voreingestellte Standard-Grafiktyp des
Taschenrechners. Um die Liste der verfügbaren Grafiktypen anzuzeigen,
drücken Sie die Funktionstaste @CHOOS. Dann erscheint ein Dropdown-Menü mit
folgenden Optionen (mit den Pfeiltasten „nach oben“ bzw. „nach unten“
können Sie diese durchblättern):
Seite 12-1
Diese Grafikoptionen werden im Folgenden kurz beschrieben.
Function: für Gleichungen der Form y = f(x) in ebenen kartesischen
Koordinaten.
Polar: für Gleichungen der Form r = f(θ) in Polarkoordinaten in der Ebene.
Parametric: zur Darstellung von Gleichungen der Form x = x(t), y = y(t) in der
Ebene.
Diff Eq:zur Darstellung numerischer Lösungen linearer Differentialgleichungen.
Conic: zur Darstellung von Kegelschnitt-Gleichungen (Kreise, Ellipsen,
Hyperbeln und Parabeln).
Truth: zur Darstellung von Ungleichungen in der Ebene.
Histogram: zur Darstellung von Häufigkeiten in Form von Histogrammen
(Statistikanwendungen).
Bar: zur Darstellung einfacher Balkendiagramme.
Scatter:zur Darstellung von Streudiagrammen für diskrete Datensätze
(Statistikanwendungen).
Slopefield: zur Darstellung von Steigungsfeldern einer Funktion f(x,y) = 0.
Fast3D: zur Darstellung von Kurvenoberflächen im Raum.
Wireframe: zur Darstellung von Kurvenoberflächen im Raum, dargestellt als
Drahtgitter.
Ps-Contour: zur Darstellung von Oberflächenkonturdiagrammen.
Y- Slice: zur Darstellung der Schnittansicht einer Funktion f(x,y).
Gridmap: zur Darstellung realer und imaginärer Teilverläufe einer komplexen
Funktion.
Pr-Surface: für parametrische Oberflächen aus x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).
Darstellung eines Ausdrucks der Form y = f(x)
In diesem Abschnitt stellen wir ein Beispiel für die Darstellung einer Funktion der
Form y = f(x) vor. Um mit der Darstellung fortzufahren, muss zunächst die
Variable x gelöscht werden, wenn diese im aktuellen Verzeichnis definiert ist (x
soll die unabhängige Variable in der Taschenrechnerfunktion PLOT sein und
sollte deshalb nicht vorbelegt sein). Erstellen Sie ein Unterverzeichnis mit der
Seite 12-2
Bezeichnung 'TPLOT' (für Testplot = Testdarstellung) oder einem anderen
aussagekräftigen Namen, um folgende Übung durchzuführen.
Als Beispiel stellen wir nun die folgende Funktion dar:
f ( x) =
x2
exp(− )
2
2π
1
•
Gehen Sie zunächst in das Menü PLOT SETUP durch Drücken von
„ô. Stellen Sie sicher, dass die Option „Function” im Feld TYPE
und ‘X’ als unabhängige Variable (INDEP) gewählt ist. Drücken Sie
L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Das Fenster
PLOT SET UP sollte nun wie folgt aussehen:
•
Anmerkung: Sie werden feststellen, dass eine neue Variable mit der
Bezeichnung PPAR bei den Funktionstasten erscheint. Diese
Bezeichnung steht für Plot PARameters (= Parameter darstellen). Um
deren Inhalt anzuzeigen, drücken Sie ‚@PPAR . Eine detaillierte
Erklärung des Inhalts von PPAR finden Sie weiter hinten in diesem
Kapitel. Drücken Sie ƒ, um diese Zeile aus dem Stack zu holen.
•
Durch Drücken von „ñ gelangen Sie in das Menü PLOT
(gleichzeitig drücken, wenn Sie im RPN-Modus sind). Drücken Sie @ADD,
um zum Equation Writer zu gelangen. Dort werden Sie aufgefordert,
die rechte Seite einer Gleichung Y1(x) = auszufüllen. Geben Sie die
darzustellende Funktion ein, sodass der Equation Writer Folgendes
anzeigt:
Seite 12-3
•
Drücken Sie `, um zum Fenster PLOT FUNCTION zurückzukehren.
Der Ausdruck ‘Y1(X) = EXP(-X^2/2)/√(2*π)’ wird hervorgehoben.
Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Anmerkung: Bei den Funktionstasten werden zwei neue Variablen
angezeigt, EQ und Y1. Um den Inhalt von EQ anzuzeigen, drücken Sie
‚@@@EQ@@. Der Inhalt von EQ ist einfach die Funktionsbezeichnung ‘Y1(X)’.
Die Variable EQ wird vom Taschenrechner dazu verwendet, die darzustellende/n Gleichung/en zu speichern.
Um den Inhalt von Y1 anzuzeigen, drücken Sie ‚@@@Y1@@. Sie erhalten die
Funktion Y1(X) in Form des Programms:
<< →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π)‘ >>.
Drücken Sie ƒ zweimal, um den Inhalt aus dem Stack zu entfernen.
•
Durch Drücken von „ò gelangen Sie in das Menü PLOT
WINDOW (gleichzeitig drücken, wenn Sie im RPN-Modus sind).
Verwenden Sie einen Bereich von –4 bis 4 für H-VIEW und drücken Sie
anschließend @AUTO, um V-VIEW automatisch zu erzeugen. Das Fenster
PLOT WINDOW sieht folgendermaßen aus:
•
Den Graph darstellen: @ERASE @DRAW (Warten Sie, bis der
Taschenrechner den Graph fertig gestellt hat.)
Bezeichnungen anzeigen: @EDIT L @LABEL @MENU
Erstes Grafik-Menü wiederherstellen: LL@)PICT
Kurvenverlauf verfolgen: @TRACE @@X,Y@@ . Mit den Pfeiltasten „nach links”
bzw. „nach rechts” (š™) können Sie sich auf der Kurve hin und her
bewegen. Die Koordinaten der Punkte, die sie verfolgen, werden unten
auf dem Display angezeigt. Prüfen Sie, dass für x = 1.05; y = 0.231
•
•
•
Seite 12-4
gilt. Prüfen Sie außerdem, dass für x = -1.48; y = 0.134 gilt. Die
folgende Abbildung stellt die Kurve im Verfolgungsmodus dar:
•
Um das Menü wiederherzustellen und in das Fenster PLOT WINDOW
zurückzukehren, drücken Sie L@CANCL @@OK@@.
Hilfreiche Funktionen für Funktionsdarstellungen
Zur Besprechung dieser PLOT-Optionen ändern wir die Funktion ab, um ihr
einige echte Nullstellen aufzuzwingen. (Da die aktuelle Kurve vollständig
oberhalb der x-Achse liegt, hat sie keine wirklichen Nullstellen.) Drücken Sie
‚@@@Y1@@, um den Inhalt der Funktion Y1 im Stack aufzulisten:
<< →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π) ‘ >>.
Zur Bearbeitung dieses Ausdrucks verwenden Sie:
˜
‚˜
ššš-0.1
`
Startet den Zeileneditor
Bewegt den Cursor an das Zeilenende
Ändert den Ausdruck
Zurück zur Taschenrechnerdisplay.
Anschließend speichern Sie den geänderten Ausdruck in der Variablen y
mithilfe von „@@@Y1@@ im RPN-Modus oder über „îK @@@Y1@@ im ALGModus.
Die darzustellende Funktion ist jetzt:
f ( x) =
x2
exp(− ) − 0.1
2
2π
1
Durch Drücken von „ò gelangen Sie in das Menü PLOT WINDOW
(gleichzeitig drücken, wenn Sie im RPN-Modus sind). Behalten Sie einen
Bereich von –4 bis 4 für H-VIEW bei und drücken Sie anschließend ˜@AUTO,
um V-VIEW zu erzeugen. Zur grafischen Darstellung der Kurve drücken Sie
@ERASE @DRAW
Seite 12-5
•
•
•
•
•
•
Wenn der Graph dargestellt ist, drücken Sie @)@FCN!, um in das functionMenü zu gelangen. In diesem Menü erhalten Sie zusätzliche
Informationen über die Darstellung, z. B. Schnittpunkte mit der x-Achse,
Nullstellen, Steigung von Stützgeraden, Bereich unter einer Kurve, usw.
Wenn Sie z. B. die Nullstelle auf der linken Seite der Kurve suchen,
bewegen Sie den Cursor in die Nähe dieses Punkts und drücken Sie
@ROOT. Sie erhalten das Ergebnis: ROOT: -1.6635…. Drücken Sie L,
um zum Menü zurückzukehren. Dies ist das Ergebnis von „ROOT“ für
die aktuelle Darstellung:
Wenn Sie den Cursor zur rechten Seite der Kurve hin bewegen, indem
Sie die rechte Pfeiltaste (™) und anschließend @ROOT drücken, dann ist
das Ergebnis für ROOT: 1.6635... Der Taschenrechner hat vor der
Anzeige der Nullstelle gemeldet, dass das Ergebnis über SIGN
REVERSAL (Vorzeichenumkehr) gefunden wurde. Drücken Sie L, um
zum Menü zurückzukehren.
Wenn Sie @ISECT drücken, sehen Sie den Schnittpunkt der Kurve mit der
x-Achse, welcher im Wesentlichen die Nullstelle markiert. Platzieren Sie
den Cursor genau auf der Nullstelle und drücken Sie @ISECT. Sie werden
dieselbe Meldung wie zuvor erhalten, und zwar SIGN REVERSAL
(Vorzeichenumkehr), bevor das Ergebnis für I-SECT angezeigt wird:
1.6635…. Die Funktion @ISECT ist dafür vorgesehen, den Schnittpunkt
zweier beliebiger Kurven zu ermitteln, der dem Cursor am nächsten ist.
In diesem Fall, in dem es lediglich um eine Kurve geht, nämlich Y1(X),
ist der gesuchte Schnittpunkt der von f(x) mit der x-Achse. Der Cursor
muss jedoch direkt an der Nullstelle platziert werden, um dasselbe
Ergebnis zu erzielen. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren.
Platzieren Sie den Cursor auf einen beliebigen Punkt der Kurve und
drücken Sie @SLOPE. Sie erhalten dann den Wert für die Steigung in
diesem Punkt. Zum Beispiel ist an der negativen Nullstelle SLOPE
(Steigung): 0.16670…. Drücken Sie L, um zum Menü
zurückzukehren.
Um den höchsten Punkt einer Kurve zu ermitteln, positionieren Sie den
Cursor in die Nähe des Scheitelpunkts und drücken Sie @EXTR Das
Seite 12-6
•
•
•
•
•
•
Ergebnis ist EXTRM: 0.. Drücken Sie L, um zum Menü
zurückzukehren.
Weitere verfügbare Softkeys im ersten Menü sind @AREA zur Berechnung
der Fläche unterhalb der Kurve und @SHADE zur Schattierung der Fläche
unterhalb der Kurve. Drücken Sie L, um weitere Optionen
anzuzeigen. Das zweite Menü enthält eine Funktionstaste mit der
Bezeichnung @VIEW, die die dargestellte Gleichung einige Sekunden
lang aufblinken lässt. Drücken Sie @VIEW. Alternativ können Sie auch die
Taste @NEXQ (NEXt eQuation = nächste Gleichung) drücken, um den
Namen der Funktion Y1(x) anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum
Menü zurückzukehren.
Über die Funktionstaste
erhalten Sie abhängig von der
Cursorposition den Wert für f(x). Platzieren Sie den Cursor an eine
beliebige Stelle auf der Kurve und drücken Sie
. Der Wert wird in
der unteren linken Ecke des Displays angezeigt. Drücken Sie L, um
zum Menü zurückzukehren.
Positionieren Sie den Cursor an einen beliebigen Punkt der Kurve und
drücken Sie TANL, um die Gleichung der Tangente zu dieser Kurve in
diesem Punkt zu erhalten. Die Gleichung wird in der unteren linken
Ecke des Displays angezeigt. Drücken Sie L, um zum Menü
zurückzukehren.
Wenn Sie
drücken, stellt der Taschenrechner die abgeleitete
Funktion f'(x) = df/dx sowie auch die ursprüngliche Funktion f(x) dar.
Beachten Sie, dass sich die beiden Kurven an zwei Punkten schneiden.
Bewegen Sie den Cursor in die Nähe des linken Schnittpunkts und
drücken Sie @)@FCN! und @ISECT, um den Wert für I-SECT zu erhalten: (0.6834…,0.21585). Drücken Sie L, um zum Menü
zurückzukehren.
Um das FCN-Menü zu verlassen, drücken Sie @)PICT (oder L)PICT).
Drücken Sie @CANCL, um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu
gelangen. Drücken Sie anschließend L @@@OK@@@, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Anmerkung: Der Stack zeigt alle ausgeführten Grafik-Operationen mit
entsprechender Bezeichnung an.
•
Gehen Sie durch Drücken von „ñ in das Menü PLOT (gleichzeitig
drücken, wenn Sie im RPN-Modus sind). Beachten Sie, dass die
hervorgehobenen Felder im PLOT-Menü nun die Ableitungen von Y1(X)
Seite 12-7
•
enthalten. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige
zurückzukehren.
Drücken Sie ‚@@EQ@@, um den Inhalt von EQ zu prüfen. Sie werden
feststellen, dass darin an Stelle eines Ausdrucks eine Liste enthalten ist.
Die Liste enthält als Elemente einen Ausdruck für die Ableitung von
Y1(X) und Y1(X) selbst. Ursprünglich enthielt EQ nur Y1(x). Nachdem
wir
in der @)FCN@-Umgebung gedrückt haben, hat der
Taschenrechner automatisch die Ableitung von Y1(x) zur
Gleichungsliste in EQ hinzugefügt.
Eine Grafik zur späteren Verwendung speichern
Wenn Sie Ihre Grafik in einer Variablen speichern möchten, rufen Sie das Menü
PICTURE auf, indem Sie auf š drücken. Drücken Sie anschließend @EDIT
LL@PICT. Damit wird das aktuelle Bild als Grafikobjekt erfasst. Um zum
Stack zurückzukehren, drücken Sie @)PICT @CANCL.
In Ebene 1 des Stacks sehen Sie ein Grafikobjekt, das mit Graphic 131 x
64 bezeichnet ist. Dieses kann unter einem beliebigen Variablennamen
gespeichert werden, z. B. PIC1.
Um die Abbildung erneut anzuzeigen, rufen Sie den Inhalt von PIC1 aus dem
Stack ab. Der Stack enthält folgende Zeile: Graphic 131 × 64. Um die
Grafik anzuzeigen, drücken Sie auf š, um das Fenster PICTURE aufzurufen.
Löschen Sie das aktuelle Bild, @EDIT L@ERASE.
Bewegen Sie den Cursor durch Drücken der Tasten
obere Ecke des Displays.
š und — in die linke
Um die Abbildung in der Ebene 1 des Stacks anzuzeigen, drücken Sie L
REPL .
Um zur normalen Taschenrechnerfunktion zurückzukehren, drücken Sie @)PICT
@CANCL.
Anmerkung: Um keine Druckflächen zu verschwenden, werden keine weiteren Beispielgrafiken zu den folgenden Anleitungen zum Erstellen von
Grafiken abgebildet. Der Benutzer kann diese jedoch zu Übungszwecken
selbst erstellen.
Seite 12-8
Grafiken transzendenter Funktionen
In diesem Abschnitt werden wir anhand einiger Grafikfunktionen des
Taschenrechners das typische Verhalten des natürlicher Logarithmus sowie von
Exponential-, Winkel- und Hyperbelfunktionen aufzeigen. In diesem Kapitel
werden keine Grafiken abgebildet, Sie können diese jedoch auf Ihrem
Taschenrechner sehen.
Grafik für ln(X)
Wenn Sie im RPN-Modus sind, drücken Sie gleichzeitig die linke Umschalttaste
„ und die Taste ô (D), um das Fenster PLOT SETUP anzuzeigen. Das
Feld mit der Bezeichnung Type ist dann hervorgehoben. Wenn die Option
Function noch nicht gewählt ist, drücken Sie den Softkey @CHOOS und wählen
mit den Auf- und Abwärtstasten die Option Function Drücken Sie
anschließend @@@OK@@@, um die Auswahl abzuschließen. Stellen Sie sicher, dass das
Feld Indep: die Variable ‘X’ enthält. Wenn das nicht der Fall ist, drücken Sie die
Pfeiltaste „nach unten“ zweimal, bis das Feld Indep hervorgehoben ist. Drücken
Sie anschließend die Funktionstaste @EDIT und ändern Sie den Wert der
unabhängigen Variablen in ‘X’. Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Drücken Sie
L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Ändern Sie als Nächstes die Größe des PLOT-Fensters. Wenn Sie im RPNModus sind, drücken Sie gleichzeitig die linke Umschalttaste „ und die Taste
ñ (A), um das Fenster PLOT-FUNCTION anzuzeigen. Wenn in diesem
Fenster eine Gleichung hervorgehoben ist, drücken Sie @@DEL@@, um das Fenster
wie erforderlich vollständig zu leeren. Wenn das Fenster PLOT-FUNCTION leer
ist, erscheint folgende Aufforderung: No Equ., Press ADD. Drücken Sie den
Softkey @@ADD@!. Dadurch startet der Equation Writer mit dem Ausdruck Y1(X)= .
Geben Sie LN(X) ein. Drücken Sie `, um wieder in das Fenster PLOTFUNCTION zu gelangen. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige
zurückzukehren.
Wenn Sie im RPN-Modus sind, drücken Sie gleichzeitig die linke Umschalttaste
„ und die Taste ò(B), um das Fenster PLOT WINDOW - FUNCTION
anzuzeigen. Normalerweise wird dann im Display der horizontale (H-View) und
vertikale (V-View) Bereich wie folgt angezeigt: H-View: -6.5
6.5, V-View: -3.9
4.0
Seite 12-9
Dies sind die jeweiligen voreingestellten Standardwerte für die x- und y-Bereiche
des aktuellen Fensters für die Grafikanzeige. Ändern Sie den Wert für H-VIEW
folgendermaßen: H-View: -1 10, und zwar über 1\@@@OK@@ 10@@@OK@@@.
Drücken Sie anschließend die Funktionstaste @AUTO , um den Taschenrechner den
entsprechenden Vertikalbereich ermitteln zu lassen. Nach einigen Sekunden
wird dieser Bereich im Fenster PLOT WINDOW-FUNCTION angezeigt. Jetzt
können Sie die Grafik für ln(X) erstellen. Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die
natürliche Logarithmusfunktion darzustellen.
Um diese Grafik mit Bezeichnungen zu versehen, drücken Sie @EDIT L@)LABEL.
Drücken Sie @MENU, um die Menübezeichnungen zu entfernen und ein Vollbild
der Grafik anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum aktuellen Grafikmenü
zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT, um zum ursprünglichen Grafikmenü
zurückzukehren.
Um die Koordinaten einzelner Kurvenpunkte zu ermitteln, drücken Sie @TRACE
(der Cursor bewegt sich dann zu einem Punkt auf der Kurve, der etwa in der
Mitte des horizontalen Bereichs liegt). Drücken Sie anschließend (X,Y), um die
Koordinaten der aktuellen Cursorposition anzuzeigen. Diese Koordinaten
erscheinen am unteren Bildschirmrand. Mit den Pfeiltasten „nach links” bzw.
„nach rechts” können Sie den Cursor entlang der Kurve bewegen. Wenn Sie
den Cursor entlang der Kurve bewegen, werden die Koordinaten der Kurve am
unteren Bildschirmrand angezeigt. Prüfen Sie dies anhand der Daten Y:1.00E0,
X:2.72E0. Das ist der Punkt (e,1), wenn ln(e) = 1 ist. Drücken Sie L, um zum
Grafikmenü zurückzukehren.
Wenn Sie jetzt @)FCN @ROOT drücken, gelangen Sie zum Schnittpunkt der Kurve mit
der x-Achse. Der Taschenrechner gibt den Wert Root (Nullstelle): 1 zurück,
und bestätigt damit, dass ln(1) = 0 ist. Drücken Sie LL@)PICT @CANCL, um
zum Fenster PLOT WINDOW – FUNCTION zurückzukehren. Drücken Sie `,
um zur normalen Anzeige zurückzukehren. Sie werden feststellen, dass die
Nullstelle aus dem Grafikmenü in den Stack des Taschenrechners kopiert
worden ist.
Seite 12-10
Anmerkung: Wenn Sie J drücken, enthält Ihre Variablenliste neue Variablen mit den Bezeichnungen @@@X@@ und @@Y1@@ . Drücken Sie ‚@@Y1@@ , um den
Inhalt dieser Variablen anzuzeigen. Sie erhalten das Programm << → X ‘LN(X)’
>> und Sie werden feststellen, dass dies dasselbe Programm ist, das aus der
Definition der Funktion ‘Y1(X) = LN(X)’ mithilfe von „à resultiert.
Das passiert im Grunde genommen auch, wenn Sie mittels @@ADD@! eine Funktion
im Fenster PLOT – FUNCTION hinzufügen (dem Fenster, das Sie durch gleichzeitiges Drücken von ñim RPN-Modus erreichen), d. h. die Funktion
wird definiert und der Variablenliste hinzugefügt.
Drücken Sie als Nächstes ‚@@@X@@@, um den Inhalt dieser Variablen
anzuzeigen. Der Wert 10,275 wird im Stack abgelegt. Dieser Wert wird durch
unsere Auswahl des horizontalen Anzeigebereichs festgelegt. Wir haben einen
Bereich zwischen -1 und 10 für X gewählt. Zum Erstellen der Grafik erzeugt
der Taschenrechner Werte innerhalb dieses Bereichs mithilfe konstanter Schritte
und die erzeugten Werte werden beim Zeichnen des Graphen nach und nach
in der Variablen @@@X@@@ abgelegt. Im horizontalen Bereich (-1,10) scheint die
verwendete Schrittweite 0,275 zu sein. Wenn der Wert für X größer als der
Maximalwert des Bereichs wird (in diesem Fall, wenn X = 10,275 ist), dann
endet die Darstellung des Graphen. Der letzte Wert für X für die aktuelle
Grafik wird in der Variablen X festgehalten. Löschen Sie X und Y1, bevor Sie
fortfahren.
Graph der Exponentialfunktion
Laden Sie zunächst die Funktion exp(X), indem Sie (im RPN-Modus:
gleichzeitig) die linken Umschalttaste „ und die Taste ñ (V) drücken,
um zum Fenster PLOT-FUNCTION zu gelangen. Drücken Sie @@DEL@@, um die
Funktion LN(X) zu löschen, wenn Sie Y1 nicht schon wie oben vorgeschlagen
gelöscht haben. Drücken Sie @@ADD@! und anschließend „¸~x`, um
EXP(X) einzugeben und zum Fenster PLOT-FUNCTION zurückzukehren. Drücken
Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) die linke Umschalttaste „ und die
Taste ò (B), um das Fenster PLOT WINDOW - FUNCTION anzuzeigen.
Ändern Sie den Wert für H-VIEW folgendermaßen:
H-View: -8 2,
Seite 12-11
und zwar über 8\@@@OK@@ 2@@@OK@@@. Drücken Sie anschließend @AUTO.
Nachdem der vertikale Bereich berechnet ist, drücken Sie @ERASE @DRAW, um die
Exponentialfunktion darzustellen.
Um diese Grafik mit Bezeichnungen zu versehen, drücken Sie @EDIT L@)LABEL.
Drücken Sie @MENU, um die Menübezeichnungen zu entfernen und ein Vollbild
der Grafik zu erhalten. Drücken Sie LL@)PICT! @CANCL, um wieder in das
Fenster PLOT WINDOW – FUNCTION zu gelangen. Drücken Sie `, um zur
normalen Anzeige zurückzukehren.
Die Variable PPAR
Drücken Sie J, um bei Bedarf zum Variablenmenü zurückzukehren. In Ihrem
Variablenmenü sollte sich eine Variable mit der Bezeichnung PPAR befinden.
Drücken Sie ‚@PPAR , um den Inhalt dieser Variablen in den Stack zu laden.
Drücken Sie die Pfeiltaste „nach unten“, um den Stack-Editor zu starten; und
verwenden Sie die Pfeiltasten „nach oben“ und „nach unten“, um den
vollständigen Inhalt von PPAR anzuzeigen. Auf dem Bildschirm erscheinen die
folgenden Werte:
PPAR steht für Plot PARameters (=Parameter darstellen) und der Inhalt enthält
(-8.,-1.10797263281)
und
zwei
geordnete
Paare
reeller
Zahlen,
(2.,7.38905609893),
welche jeweils die Koordinaten der unteren linken und der oberen rechten Ecke
der Darstellung angeben. Als Nächstes listet PPAR den Namen der
unabhängigen Variablen, X, auf, gefolgt von einer Zahl, die das Inkrement der
unabhängigen Variable bei der Generierung der Darstellung festlegt. Der hier
angezeigte Wert ist der voreingestellte Wert, Null (0.), der das Inkrement für X
in der grafischen Darstellung auf 1 Pixel festlegt. Das nächste PPAR-Element ist
eine Liste, die zuerst die Koordinaten des Schnittpunkts der Achsen enthält, d. h.
(0.,0.), gefolgt von einer Liste, welche die jeweiligen Skalenbeschriftungen für
die x- und y-Achse festlegt {# 10d # 10d}. Anschließend ist in PPAR Typ der
Seite 12-12
Darstellung zu finden, die erzeugt werden soll, d. h. FUNCTION, und
schließlich die Bezeichnung der y-Achse, d. h. Y.
Die Variable PPAR wird, sofern nicht vorhanden, jedes Mal erzeugt, wenn eine
Darstellung erzeugt wird. Der Inhalt der Funktion ändert sich entsprechend dem
Typ der Darstellung und der im PLOT-Fenster gewählten Optionen (das Fenster,
das durch gleichzeitiges Betätigen der Tasten „ und ò(B) angezeigt
wird).
Umkehrfunktionen und deren grafische Darstellung
Nehmen wir an, wir haben y = f(x). Wenn wir nun eine Funktion y = g(x)
finden, bei der g(f(x)) = x, dann können wir sagen, dass g(x) die
Umkehrfunktion von f(x) ist. In der Regel wird die Schreibweise g(x) = f -1(x)
verwendet, um eine Umkehrfunktion zu bezeichnen. Mithilfe dieser
Schreibweise können wir dann Folgendes schreiben: Wenn y = f(x), dann ist x
= f -1(y). Und auch: f(f -1(x)) = x und f -1(f(x)) = x.
Wie schon zuvor erwähnt, sind die Funktionen ln(x) und exp(x) die Umkehrung
der jeweils anderen, d. h. ln(exp(x)) = x und exp(ln(x)) = x. Das kann mit dem
Taschenrechner geprüft werden, indem folgende Ausdrücke in den Equation
Writer eingegeben und berechnet werden: LN(EXP(X)) und EXP(LN(X)). Beide
Ergebnisse sollten X sein.
Wenn eine Funktion f(x) und deren Umkehrung f -1(x) gleichzeitig auf denselben
Achsen dargestellt werden, spiegeln sich deren Graphen gegenseitig an der
Geraden y = x. Diese Tatsache kann mit dem Taschenrechner für die Funktionen
LN(X) und EXP(X) folgendermaßen überprüft werden:
Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) „ñ. Die Funktion Y1(X) =
EXP(X) sollte im Fenster PLOT - FUNCTION noch aus der vorherigen Übung zur
Verfügung stehen. Drücken Sie @@ADD@! und geben Sie die Funktion Y2(X) =
LN(X) ein. Laden Sie außerdem die Funktion Y3(X) = X. Drücken Sie
L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) „ò und ändern Sie den Bereich
von H-VIEW folgendermaßen:
H-View: -8 8
Drücken Sie @AUTO, um den vertikalen Bereich zu erzeugen. Drücken Sie @ERASE
@DRAW, um die Grafik y = ln(x), y = exp(x) und y =x zu erzeugen, und zwar
gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind.
Seite 12-13
Sie werden feststellen, dass nur die Kurve für y = exp(x) deutlich sichtbar ist. Bei
der @AUTO-Auswahl des vertikalen Bereichs ist ein Fehler unterlaufen. Folgendes
ist passiert: Wenn Sie @AUTO im Fenster PLOT FUNCTION – WINDOW drücken,
dann erzeugt der Taschenrechner den vertikalen Bereich anhand der ersten
Funktion in der Liste der darzustellenden Funktionen. Und in diesem Fall ist dies
die Funktion Y1(X) = EXP(X). Sie müssen den vertikalen Bereich nun selbst
eingeben, damit die anderen beiden Funktionen in derselben Darstellung
angezeigt werden.
Drücken Sie @CANCL, um wieder in das Fenster PLOT FUNCTION – WINDOW zu
gelangen. Ändern Sie die vertikalen und horizontalen Bereiche
folgendermaßen: H-View: -8 8, V-View: -4 4
Durch Auswahl dieser Bereiche stellen Sie sicher, dass der Verhältnis von
vertikaler zu horizontaler Achse 1:1 bleibt. Drücken Sie @ERASE @DRAW zur
Darstellung des natürlichen Logarithmus, der Exponential- und der „y = x“Funktion. Die Grafik wird zeigen, dass LN(X) und EXP(X) Spiegelungen ihrer
selbst an der Geraden y = X sind. Drücken Sie @CANCL , um zum Fenster PLOT
WINDOW – FUNCTION zurückzukehren. Drücken Sie `, um zur normalen
Anzeige zurückzukehren.
Zusammenfassung der Optionen zur
Funktionsdarstellung
In diesem Abschnitt erhalten Sie Informationen bezüglich der Fenster PLOT
SETUP, PLOT-FUNCTION und PLOT WINDOW, welche Sie durch Drücken der
linken Umschalttaste zusammen mit den Funktionstasten A bis D
erreichen. Auf Basis der oben gezeigten Beispiele zum Erstellen von Grafiken,
gehen Sie bei der grafischen Darstellung einer Funktion (d. h. der Darstellung
einer oder mehrerer Funktionen der Form Y = F(X)) folgendermaßen vor:
Gleichzeitig „ô drücken, wenn Sie im RPN-Modus sind: Zugriff auf das
Fenster PLOT SETUP. Falls erforderlich, ändern Sie TYPE in FUNCTION und
geben Sie anschließend die Bezeichnung der unabhängigen Variablen ein.
Einstellungen:
Seite 12-14
•
Wenn Sie _Simult aktivieren, bedeutet dies, dass, wenn sich zwei oder
mehr Darstellungen in derselben Grafik befinden, diese beim Erstellen der
Grafik gleichzeitig abgebildet werden.
• Wenn Sie _Connect aktivieren, bedeutet dies, dass die Kurve als
durchgehende Kurve dargestellt wird, und nicht als Aneinanderreihung
einzelner Punkte.
• Wenn Sie _Pixels aktivieren, bedeutet dies, dass die durch H-Tick und
V-Tick angezeigten Markierungen durch entsprechend viele Pixel getrennt
werden.
• Der voreingestellte Wert für H-Tick und V-Tick ist 10.
Optionen der Funktionstasten:
• Mit @EDIT können Sie Funktionswerte in einem ausgewählten Feld ändern.
• Mit @CHOOS können Sie die Art der Darstellung auswählen, wenn das Feld
Type: hervorgehoben ist. Für diese Übung wird dieses Feld auf
FUNCTION gesetzt.
Anmerkung: Die Funktionstasten @EDIT und @CHOOS stehen nicht gleichzeitig zur Verfügung. Es steht entweder die eine oder die andere zur
Auswahl, je nachdem, welches Eingabefeld markiert ist.
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie die Funktionstaste AXES, um die Darstellung von Achsen in der
Grafik zu aktivieren bzw. zu deaktivieren. Wenn die Option ‘plot axes’
(Achsen darstellen) aktiviert ist, erscheint ein kleines Quadrat im Tastenfeld:
@AXES . Wenn dieses Quadrat nicht vorhanden ist, werden die Achsen in
der Grafik nicht dargestellt.
Mithilfe von @ERASE löschen Sie die aktuell im Grafik-Display angezeigten
Graphen.
Mit @DRAW erzeugen Sie einen Graph entsprechend des aktuellen Inhalts von
PPAR für die Gleichungen, die im Fenster PLOT-FUNCTION aufgelistet sind.
Drücken Sie L, um zur zweiten Seite des Funktionsmenüs zu gelangen.
Mit @RESET setzen Sie alle ausgewählten Felder auf ihren Vorgabewert
zurück.
Mit @CANCL machen Sie alle Änderungen am Fenster PLOT SETUP rückgängig
und kehren zum normalen Taschenrechneranzeige zurück.
Seite 12-15
•
Drücken Sie @@@OK@@@, um alle Änderungen im Fenster PLOT SETUP zu
speichern und zum normalen Taschenrechneranzeige zurückzukehren.
Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) „ñ Rufen Sie das Fenster PLOT
auf (in diesem Fall wird es mit PLOT –FUNCTION bezeichnet).
Optionen des Funktionsmenüs:
• Mit @EDIT können hervorgehobene Gleichungen geändert werden.
• Mit @@ADD@! können neue Gleichungen der Darstellung hinzugefügt werden.
Anmerkung: Mit @@ADD@! bzw. @EDIT wird der Equation Writer EQW
gestartet, mit dem Sie neue Gleichungen eingeben bzw. vorhandene Gleichungen ändern können.
•
•
•
•
•
•
•
•
Mit @@DEL@@ können hervorgehobene Gleichungen entfernt werden.
Mit @CHOOS können Gleichungen hinzugefügt werden, die bereits in Ihrem
Variablenmenü definiert worden sind, die aber nicht im Fenster PLOT –
FUNCTION angezeigt werden.
Mithilfe von @ERASE löschen Sie Kurven, die aktuell im Grafikdisplay
angezeigt werden.
Mit @DRAW erzeugen Sie eine Kurve entsprechend des aktuellen Inhalts von
PPAR für die Gleichungen, die im Fenster PLOT-FUNCTION aufgelistet sind.
Drücken Sie L, um die zweite Menüliste zu aktivieren.
Mit
und
kann eine ausgewählte Gleichung eine Position
nach oben bzw. nach unten verschoben werden.
Falls gewünscht, können mit @CLEAR alle Gleichungen, die derzeit im Fenster
PLOT – FUNCTION aktiviert sind, aus dem Fenster gelöscht werden. Der
Taschenrechner fordert Sie auf, den Löschvorgang zu bestätigen. Wählen
Sie YES und drücken Sie @@@OK@@@, um mit dem Löschen aller Funktionen
fortzufahren. Wählen Sie NO und drücken Sie @@@OK@@@, um die Option
CLEAR zu deaktivieren.
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@, um zur normalen Taschenrechner-Anzeige
zurückzukehren.
„ò drücken (im RPN-Modus: gleichzeitig):Zugriff auf das Fenster PLOT
WINDOW .
Seite 12-16
Einstellungen:
• Geben Sie im Darstellungsfenster die obere und untere Begrenzung für die
horizontale Ansicht (H-View) und die vertikale Ansicht (V-View) ein. Oder,
• geben Sie die untere und obere Begrenzung für die horizontale Ansicht (HView), ein und drücken Sie @AUTO , während der Cursor in einem der V-ViewFelder steht, um den Bereich der vertikalen Ansicht (V-View) automatisch zu
erzeugen. Oder,
• geben Sie die untere und obere Begrenzung für die vertikale Ansicht (VView) ein und drücken Sie @AUTO , während der Cursor in einem der H-ViewFelder steht, um den Bereich der horizontalen Ansicht (H-View) automatisch
zu erzeugen.
• Der Taschenrechner verwendet den Bereich der horizontalen Ansicht (HView) dazu, Datenwerte für die Grafik zu erzeugen, es sei denn, Sie
ändern die Optionen Indep Low, (Indep) High bzw. (Indep) Step. Diese
Werte bestimmen jeweils die Mindest-, Maximal- und Inkrementwerte der
unabhängigen Variablen, die in der Darstellung verwendet werden. Wenn
die Felder Indep Low, (Indep) High und (Indep) Step auf den Wert Default
eingestellt sind, verwendet der Taschenrechner die Mindest- und
Maximalwerte, die in H-VIEW festgelegt sind.
• Wenn _Pixels aktiviert ist, bedeutet dies, dass die Inkremente der
unabhängigen Variablen in Pixel angegeben sind und nicht als
Grafikkoordinaten.
Optionen des Funktionsmenüs:
• Mit @EDIT können alle Einträge im Fenster bearbeitet werden.
• Verwenden Sie @AUTO gemäß den Erläuterungen unter Einstellungen.
• Mithilfe von @ERASE löschen Sie Kurven, die aktuell im Grafik-Display
angezeigt werden.
• Mit @DRAW erzeugen Sie eine Kurve entsprechend des aktuellen Inhalts von
PPAR für die Gleichungen, die im Fenster PLOT-FUNCTION aufgelistet sind.
• Drücken Sie L, um die zweite Menüliste zu aktivieren.
• Mit @RESET setzen Sie das ausgewählte Feld (d. h. dort, wo sich der Cursor
befindet) auf seinen Vorgabewert zurück.
Seite 12-17
•
•
•
•
•
•
Mit @CALC gelangen Sie in den Stack des Taschenrechners, um
Rechenoperationen durchzuführen, die zur Ermittlung von Werten
notwendig sein können, die für eine der Optionen in diesem Fenster
benötigt werden. Wenn Sie auf den Stack des Taschenrechners zugreifen,
sind auch die Funktionstasten @CANCL und @@@OK@@@ verfügbar.
Verwenden Sie @CANCL, wenn Sie die aktuelle Rechnung beenden und zum
Bildschirm PLOT WINDOW zurückkehren möchten. Oder,
Verwenden Sie @@@OK@@@, um die Ergebnisse Ihrer Berechnung zu übernehmen
und zur Maske PLOT WINDOW zurückzukehren.
Mit @TYPES erhalten Sie Informationen über die Objektarten, die im
ausgewählten Optionsfeld verwendet werden können.
Mit @CANCL machen Sie alle Änderungen im Fenster PLOT WINDOW
rückgängig und kehren zur normalen Taschenrechneranzeige zurück.
Drücken Sie @@@OK@@@ , um alle Änderungen im Fenster PLOT WINDOW
anzunehmen und zum normalen Taschenrechnerdisplayzurückzukehren.
„ó drücken (im RPN-Modus: gleichzeitig): Stellt die Kurve auf Basis der
Einstellungen, die in der Variablen PPAR gespeichert sind, und der aktuellen, im
Fenster PLOT – FUNCTION definierten Funktionen dar. Wenn im Grafik-Display
bereits eine andere Kurve als die, die Sie gerade darstellen möchten,
vorhanden ist, wird diese mit der neuen Darstellung überlagert. Wenn dies nicht
erwünscht ist, sollten Sie die in den Fenstern PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION und
PLOT WINDOW verfügbaren Funktionstasten @ERASE @DRAW verwenden.
Seite 12-18
Darstellung von Winkel- und Hyperbelfunktionen
Die oben zur Darstellung von LN(X) und EXP(X) beschriebenen Verfahren
können – einzeln oder auch gleichzeitig – angewandt werden, um beliebige
Funktionen der Form y = f(x) darzustellen. Wir überlassen es dem Leser, zur
Übung Darstellungen von Winkel- und Hyperbelfunktionen und deren
Umkehrfunktionen zu erstellen. Die folgende Tabelle gibt Werte vor, die jeweils
für die vertikalen und horizontalen Bereiche verwendet werden können. Sie
können die Funktion Y=X bei der gleichzeitigen Darstellung einer Funktion und
ihrer Umkehrfunktion einschließen, um ihre Spiegelung an der Geraden Y = X
nachzuprüfen.
Funktion:
SIN(X)
ASIN(X)
SIN & ASIN
COS(X)
ACOS(X)
COS & ACOS
TAN(X)
ATAN(X)
TAN & ATAN
SINH(X)
ASINH(X)
SINH & ASINH
COSH(X)
ACOSH(X)
COS & ACOS
TANH(X)
ATANH(X)
TAN & ATAN
Bereich H-View
Minimum
Maximu
m
-3.15
3.15
-1.2
1.2
-3.2
3.2
-3.15
3.15
-1.2
1.2
-3.2
3.2
-3.15
3.15
-10
10
-2
-2
-2
2
-5
5
-5
5
-2
2
-1
5
-5
5
-5
5
-1.2
1.2
-5
5
Bereich V-View
Minimum
Maximu
m
AUTO
AUTO
-1.6
1.6
AUTO
AUTO
-1.6
1.6
-10
10
-1.8
1.8
-2
-2
AUTO
AUTO
-5
5
AUTO
AUTO
-1
5
AUTO
AUTO
-2.5
2.5
Seite 12-19
Eine Wertetabelle für eine Funktion erstellen
Mit den Tastenkombinationen „õ(E) und „ö(F), im RPNModus gleichzeitig gedrückt, kann der Benutzer eine Wertetabelle für
Funktionen erstellen. Wir erstellen zum Beispiel eine Tabelle für die Funktion
Y(X) = X/(X+10) im Bereich -5 < X < 5, und zwar gemäß folgender Anleitung:
•
•
•
•
Wir erzeugen Werte der Funktion f(x), die oben definiert ist, für x-Werte
von –5 bis 5 und in Schritten von 0,5. Zunächst muss sichergestellt werden,
dass der Grafiktyp im Fenster PLOT SETUP (gleichzeitig „ô drücken,
wenn im RPN-Modus) auf FUNCTION eingestellt ist. Das Feld neben der
Option Type ist hervorgehoben. Wenn dieses Feld nicht bereits auf
FUNCTION eingestellt ist, drücken Sie die Funktionstaste @CHOOS, wählen die
Option FUNCTION und drücken Sie @@@OK@@@.
Drücken Sie anschließend ˜, um das Feld vor der Option EQ
hervorzuheben, geben Sie den Funktionsausdruck ‘X/(X+10)’ ein und
drücken Sie @@@OK@@@.
Um die im Fenster PLOT SETUP vorgenommenen Änderungen zu
übernehmen, drücken Sie L @@@OK@@@. Damit kehren Sie zur normalen
Anzeige zurück.
Der nächste Schritt ist das Öffnen des Fensters für das Einrichten der Tabelle
mithilfe der Tastenkombination „õ (d. h. Funktionstaste E) –
gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind. Damit rufen Sie einen
Bildschirm auf, in dem Sie den Anfangswert (Start) und die Schrittgröße
(Step) auswählen können. Geben Sie Folgendes ein: 5\ @@@OK@@@
0.5 @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ (d. h. Zoomfaktor = 0.5). Betätigen
Sie die Funktionstaste @@CHK, sodass vor der Option Small Font (kleine
Schriftart) bei Bedarf ein Häkchen erscheint. Drücken Sie anschließend
@@@OK@@@. Damit kehren Sie zur normalen Anzeige zurück.
Die Variable TPAR
Wenn Sie das Einrichten der Tabelle abgeschlossen haben, erzeugt Ihr
Taschenrechner eine Variable mit der Bezeichnung TPAR (Table PARameters =
Tabellenparameter), in der die für die zu erzeugende Tabelle relevanten Daten
gespeichert werden. Um den Inhalt dieser Variablen anzuzeigen, drücken Sie
‚@TPAR .
Seite 12-20
•
Um die Tabelle anzuzeigen, drücken Sie „ö (d. h., Softkey F) –
gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind. Dadurch wird eine Tabelle für
die Werte x = -5, -4.5,… mit den entsprechenden Werten für f(x) erzeugt,
die standardmäßig als Y1 aufgeführt sind. Mit den Pfeiltasten „nach oben“
und „nach unten“ können Sie sich in der Tabelle bewegen. Sie werden
feststellen, dass für die unabhängige Variable x kein Endwert festgelegt
wurde. Deshalb geht die Tabelle über den vorher empfohlenen
Maximalwert für x, nämlich x = 5, hinaus.
Wenn die Tabelle angezeigt wird, sind unter anderem folgende Optionen
verfügbar: @ZOOM, @@BIG@ und @DEFN.
•
•
•
Wenn @DEFN gewählt wurde, wird die Definition der unabhängigen Variable
angezeigt.
Mit der Taste @@BIG@ wird die Schriftart in der Tabelle von klein auf groß und umgekehrt - geändert. Probieren Sie es aus.
Wenn die Taste @ZOOM gedrückt wird, erscheint ein Menü mit den folgenden
Optionen: In, Out, Decimal, Integer und Trig. Führen Sie folgende Übungen
aus:
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Wenn die Option In hervorgehoben ist, drücken Sie @@@OK@@@. Die Tabelle
wird daraufhin erweitert und die x-Inkremente betragen jetzt 0.25 und
nicht mehr 0.5. Der Taschenrechner multipliziert einfach das
ursprüngliche Inkrement von 0.5 mit dem Zoomfaktor 0.5, um das neue
Inkrement von 0.25 zu generieren. Daher ist die Zoom In-Option
nützlich, wenn Sie eine höhere Auflösung für die x-Werte in Ihrer
Tabelle erzielen möchten.
Um die Auflösung zusätzlich um den Faktor 0.5 zu erhöhen, drücken
Sie @ZOOM erneut, wählen In erneut und drücken anschließend @@@OK@@@.
Das Inkrement für x beträgt nun 0.0125.
Um das vorherige x-Inkrement wiederherzustellen, drücken Sie @ZOOM
—@@@OK@@@,um die Option Un-zoom zu wählen. Das x-Inkrement wird auf
0.25 erhöht.
Um das ursprüngliche x-Inkrement von 0.5 wiederherzustellen, können
Sie erneut die Option Un-zoom wählen oder die Option zoom out
aktivieren, indem Sie @ZOOM @@@OK@@@ drücken.
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Mit der @ZOOM -Option „Decimal“ (Dezimal) erzeugen Sie x-Inkremente
von 0.10.
Mit der @ZOOM -Option „Integer“ (Ganzzahl) erzeugen Sie x-Inkremente
von 1.
Mit der Option „Trig“ erzeugen Sie Inkremente aus Bruchteilen von π,
diese ist deshalb für die Darstellung von Winkelfunktionen hilfreich.
Um zur normalen Taschenrechner-Anzeige zurückzukehren, drücken
Sie `.
Darstellungen in Polarkoordinaten
Zunächst ist es sinnvoll, die in den vorhergehenden Beispielen verwendeten
Variablen zu löschen (z. B., X, EQ, Y1, PPAR), und zwar mit der Funktion
PURGE (I @PURGE). Damit werden alle Parameter, die mit Grafiken verbunden
sind, gelöscht. Drücken Sie J, um zu prüfen, ob tatsächlich alle Variablen
entfernt wurden.
Versuchen Sie, die Funktion f(θ) = 2(1-sin(θ)) wie folgt darzustellen:
• Stellen Sie zunächst sicher, dass das Winkelmaß Ihres Taschenrechners
auf Bogenmaß (Radian) eingestellt ist.
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten),
um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE in Polar, indem Sie @CHOOS ˜ @@@OK@@@ drücken.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie Folgendes ein:
³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@.
•
•
•
•
Der Cursor befindet sich jetzt im Feld Indep. Drücken Sie
³~‚t @@@OK@@@, um die unabhängige Variable auf θ zu setzen.
Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten),
um zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall wird es als PLOT –
POLAR bezeichnet).
Ändern Sie den Bereich von H-VIEW auf –8 bis 8 durch Drücken von
8\@@@OK@@@ 8@@@OK@@@ und den Bereich von V-VIEW auf -6 bis 2
durch Drücken von 6\@@@OK@@@ 2@@@OK@@@.
Seite 12-22
Anmerkung: H-VIEW und V-VIEW legen lediglich die Skalenbereiche
des Anzeigefensters fest und deren Bereich bezieht sich in diesem Fall nicht
auf den Wertebereich der unabhängigen Variablen.
•
•
•
•
•
Setzen Sie den Wert Indep Low auf 0 und den Wert High auf 6,28 (≈ 2π)
durch Drücken von: 0@@@OK@@@ 6.28@@@OK@@@.
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die Funktion in Polarkoordinaten darzustellen.
Das Ergebnis ist eine herzförmige Kurve. Diese Kurve wird als Kardioide
bezeichnet (von cardios, griechisch Herz).
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um den Graphen mit Bezeichnern
anzuzeigen. Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Drücken Sie
L @)PICT, um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren.
Drücken Sie @TRACE @x,y @ , um die Kurve zu verfolgen. Die am unteren Rand
des Displays angezeigten Daten sind der Winkel θ und der Radius r, wobei
letzterer mit dem Buchstaben Y bezeichnet ist (Standardbezeichnung der
abhängigen Variablen).
Drücken Sie L@CANCL, um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu
gelangen. Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige
zurückzukehren.
In dieser Übung haben Sie die Gleichung, die dargestellt werden soll, direkt im
Fenster PLOT SETUP eingegeben. Sie können darzustellende Gleichungen auch
im Fenster PLOT eingeben, und zwar durch (im RPN-Modus gleichzeitiges)
Drücken von „ñ. Wenn Sie zum Beispiel „ñ drücken, nachdem Sie
die vorherige Übung abgeschlossen haben, dann wird die Gleichung ‘2*(1SIN(θ))’ hervorgehoben. Nehmen wir an, Sie möchten zusammen mit der
vorherigen Gleichung auch die Funktion ‘2*(1-COS(θ))’ darstellen.
Seite 12-23
•
•
Drücken Sie @@ADD@! und drücken Sie 2*„Ü1T~‚t`, um die neue Gleichung einzugeben.
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die beiden Gleichungen in derselben Grafik
darzustellen. Das Ergebnis sind zwei sich überschneidende Kardioiden.
Drücken Sie @CANCL $, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Darstellung von Kegelschnitt-Kurven
Die allgemeinste Form einer Kegelschnitt-Kurve
in der x/y-Ebene ist:
2
2
Ax +By +Cxy+Dx+Ey+F = 0. Wir erkennen auch die KegelschnittGleichungen, die in der Normalform für folgende geometrische Abbildungen
gegeben sind:
•
Kreis :
(x-xo)2+(y-yo)2 = r2
•
Ellipse :
(x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1
•
•
Parabel:
Hyperbel:
(y-b)2 = K(x-a) or (x-a)2 = K(y-b)
(x-xo) 2/a2 + (y-yo) 2/b2 = 1 or xy = K,
wobei xo, yo, a, b und K konstant sind.
Die Bezeichnung Kegelschnitt-Kurve resultiert daraus, dass diese Abbildungen
(Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel) aus der Verschneidung einer Ebene mit
einem Kegel entstehen. Ein Kreis ist beispielsweise die Schnittfläche eines
Kegels mit einer Ebene, die rechtwinklig zur Hauptachse des Kegels steht.
Mit dem Taschenrechner ist es möglich, eine oder mehrere Kegelschnitt-Kurven
darzustellen, und zwar durch Auswahl von „Conic“ für die Funktion TYPE im
Menü PLOT. Stellen Sie sicher, dass Sie die Variablen PPAR und EQ löschen,
bevor Sie fortfahren. Speichern Sie beispielsweise die folgende Liste von
Gleichungen
{ ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ }
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in der Variablen EQ.
Wir erkennen diese als Gleichungen als die eines Kreises, dessen Mittelpunkt
auf (1,2) liegt, mit einem Radius √3, und die einer Ellipse, deren Mittelpunkt auf
(0,0) liegt, mit einer Halbachsenlänge a = 2 und b = √3.
•
•
•
•
•
•
•
Gehen Sie in die PLOT-Umgebung, und zwar durch (im RPN-Modus
gleichzeitiges) Drücken von „ô, und wählen Sie anschließend Conic
als TYPE aus. Die Liste der Gleichungen erscheint im Feld EQ.
Stellen Sie sicher, dass die unabhängige Variable (Indep) auf ‘X’ und die
abhängige Variable (Depnd) auf ‘Y’ gesetzt ist.
Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Durch Drücken von „ò gelangen Sie in das Menü PLOT WINDOW
(gleichzeitig drücken, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten).
Ändern Sie den Bereich für H-VIEW auf -3 bis 3 durch Drücken von
3\@@@OK@@@ 3@@@OK@@@. Ändern Sie auch den Bereich für V-VIEW auf -1,5
bis 2 durch Drücken von 1.5\@@@OK@@@ 2@@@OK@@@.
Ändern Sie die Felder Indep Low: und High: auf “Default” (Vorgabewert)
durch Drücken von L @RESET, während diese beiden Felder
hervorgehoben sind. Wählen Sie die Option Reset value (Wert
zurückstellen), nachdem Sie @RESET gedrückt haben. Drücken Sie @@@OK@@@ , um
das Zurückstellen der Werte abzuschließen. Drücken Sie L, um zum
Hauptmenü zurückzukehren.
Stellen Sie den Graph dar: @ERASE @DRAW.
Anmerkung: Die Bereiche H-VIEW und V-VIEW wurden so ausgewählt,
dass die Überschneidung der beiden Kurven zu sehen ist. Es gibt keine allgemeine Regel für die Auswahl der Bereiche, sie sollten lediglich basierend auf
unserem Wissen über die Kurven ausgewählt werden. Bei den oben gezeigten
Gleichungen ist beispielsweise bekannt, dass der Kreis auf x von -3+1 = -2 bis
3+1 = 4 geht, und auf y von -3+2=-1 bis 3+2=5. Zudem reicht die Ellipse,
deren Zentrum am Ursprung (0,0) liegt, von -2 bis 2 auf x, und von -√3 bis √3
auf y.
Seite 12-25
Beachten Sie, dass die äußersten rechten und linken Bereiche des Kreises und
der Ellipse jeweils nicht dargestellt werden. Das gilt für alle Kreise und Ellipsen,
die unter der Einstellung von Conic als TYPE dargestellt werden.
•
•
•
Zur Anzeige der Bezeichnungen: @EDIT L@)LABEL @MENU
Zur Wiederherstellung des Menüs: LL@)PICT
Um die Koordinaten von Schnittpunkten zu ermitteln, drücken Sie die
Funktionstaste @(X,Y)@ und bewegen Sie den Cursor mithilfe der Pfeiltasten so
nah wie möglich an diese Punkte heran. Die Koordinaten des Cursors
werden im Display angezeigt. Der linke Schnittpunkt befindet sich
beispielsweise in der Nähe von (-0.692, 1.67) und der rechte Schnittpunkt
liegt etwa bei (1.89,0.5).
•
Um das Menü wieder herzustellen und in das Fenster PLOT zurückzukehren,
drücken Sie L@CANCL.
Um zur normalen Taschenrechner-Anzeige zurückzukehren, drücken Sie
L@@@OK@@@.
•
Parametrische Plots
Parametrische Plots in der Ebene
sind grafische Darstellungen, deren
Koordinaten durch ein System von Gleichungen x = x(t) und y = y(t) erzeugt
werden, und bei denen t als Parameter dient. Ein Beispiel für eine derartige
Grafik ist die Flugbahn eines Projektils, x(t) = x0 + v0⋅COS θ0⋅t, y(t) = y0 +
v0⋅sin θ0⋅t – ½⋅g⋅t2. Um Gleichungen wie diese darzustellen, die konstante
Werte x0, y0, v0 und θ0 beinhalten, müssen die Werte dieser Parameter in
Variablen gespeichert werden. Für dieses Beispiel erstellen Sie ein
Unterverzeichnis namens ‘PROJM’ für PROJectile Motion (=Projektilbewegung).
Speichern Sie in diesem Unterverzeichnis die folgenden Variablen: X0 = 0, Y0
= 10, V0 = 10 , θ0 = 30 und g = 9.806. Stellen Sie sicher, dass das
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Winkelmaß des Taschenrechners auf DEG eingestellt ist. Definieren Sie
anschließend die Funktionen (über „à):
X(t) = X0 + V0*COS(θ0)*t
Y(t) = Y0 + V0*SIN(θ0)*t – 0.5*g*t^2
Damit werden die Variablen @@@Y@@@ und @@@X@@@ den Funktionstasten hinzugefügt.
Um die Grafik selbst zu erstellen, gehen wir folgendermaßen vor:
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE auf Parametric durch Drücken von @CHOOS ˜˜@@@OK@@@.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘X(t) + i*Y(t)’ @@@OK@@@ ein, um das
parametrische Diagramm als das einer komplexen Variable zu definieren.
(Die realen und imaginären Teile der komplexen Variable entsprechen den
x- und y-Koordinaten der Kurve.)
• Der Cursor ist jetzt im Feld Indep. Drücken Sie ³~„t @@@OK@@@, um
die unabhängige Variable auf t zu ändern.
• Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall heißt es PLOT –
PARAMETRIC). Anstatt zuerst die horizontale und vertikale Ansicht zu
ändern, so wie dies bei den anderen Darstellungsarten gemacht worden ist,
legen wir nun zuerst die unteren und oberen Werte der unabhängigen
Variablen fest, und zwar so:
• Wählen Sie das Feld Indep Low durch Drücken von ˜˜. Ändern Sie
den Wert auf 0@@@OK@@@. Dann ändern Sie den Wert von High auf
2@@@OK@@@. Geben Sie 0. 1@@@OK@@@ als den Step –Wert ein (d. h.
Schrittgröße = 0.1).
Seite 12-27
Anmerkung: Durch diese Einstellungen sorgen wir dafür, dass der
Parameter t den Wert t = 0, 0.1, 0.2, … usw. annimmt, bis der Wert 2.0
erreicht ist.
•
Drücken Sie @AUTO. Damit wird ein automatischer Wert für den Bereich HVIEW und V-VIEW erzeugt. Dieser basiert auf den Werten der
unabhängigen Variable t und den verwendeten Definitionen für X(t) und
Y(t). Das Ergebnis ist Folgendes:
•
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um das parametrische Diagramm zu zeichnen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Grafik mit Bezeichnern
anzuzeigen. Die Fensterparameter sind so, dass nur die Hälfte der
Bezeichner der x-Achse zu sehen ist.
•
Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT,
um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren.
Drücken Sie TRACE @(X,Y)@, um die Koordinaten eines beliebigen Punktes in
der Grafik zu bestimmen. Mit ™ und š bewegen Sie den Cursor
entlang der Kurve. Am unteren Rand des Displays werden der Wert des
Parameters t und die Koordinaten des Cursors als (X,Y) angezeigt.
Drücken Sie L@CANCL, um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu
gelangen. Dann drücken Sie $ oder L@@@OK@@@, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
•
•
Seite 12-28
Bei Prüfung Ihrer Funktionstasten sehen Sie, dass Sie nun folgende Variablen
haben: t, EQ, PPAR, Y, X, g, θ0, V0, Y0, X0. Die Variablen t, EQ, und PPAR
werden vom Taschenrechner erzeugt, um die aktuellen Werte des Parameters t
und der darzustellenden Gleichung EQ (die ‘X(t) + I∗Y(t)’ enthält) sowie die
Darstellungsparameter zu speichern. Die anderen Variablen enthalten die
Werte von Konstanten, die in den Definitionen von X(t) und Y(t) verwendet
werden.
Sie können verschiedene Werte in den Variablen speichern und neue
parametrische Plots der in diesem Beispiel verwendeten Projektil-Gleichungen
erzeugen. Wenn Sie den Inhalt des aktuellen Bildes löschen möchten, bevor Sie
einen neuen Plot erstellen, müssen Sie in das Fenster PLOT, PLOT WINDOW
oder PLOT SETUP wechseln, und zwar durch Drücken von „ñ , „ò
oder „ô (im RPN-Modus müssen die beiden Tasten gleichzeitig gedrückt
werden). Dann drücken Sie @ERASE @DRAW. Drücken Sie @CANCL, um wieder zum
Fenster PLOT, PLOT WINDOW oder PLOT SETUP zurückzukehren. Drücken Sie
$ oder L@@@OK@@@, um zum normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Erzeugen einer Tabelle für parametrische Gleichungen
In einem früheren Beispiel haben wir eine Wertetabelle (X,Y) für einen
Ausdruck der Form Y=f(X) erzeugt, d. h. eine Grafik des Typs Function. In
diesem Abschnitt zeigen wir, wie eine Tabelle für einen parametrischen Plot
erzeugt wird. Zu diesem Zweck nutzen wir die parametrischen Gleichungen, die
im Beispiel oben definiert wurden.
•
•
Zunächst gehen wir in das Fenster TABLE SETUP durch Drücken von
„õ (gleichzeitig drücken im RPN-Modus). Wir setzen den
Anfangswert der unabhängigen Variablen auf 0.0 und den
Schrittgrößenwert (Step) auf 0.1. Drücken Sie @@@OK@@@.
Erzeugen Sie die Tabelle durch Drücken von „ö (im RPN-Modus
gleichzeitig). Diese Tabelle hat drei Spalten, jeweils einen für den
Parameter t und die Koordinaten der entsprechenden Punkte. Für diese
Tabelle werden die Koordinaten mit X1 und Y1 bezeichnet.
Seite 12-29
•
•
Mit den Pfeiltasten š™—˜ können Sie sich in der Tabelle
bewegen.
Drücken Sie $, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Diese Vorgehensweise zur Erzeugung einer passenden Tabelle für den aktuellen
Darstellungstyp kann auch für andere Darstellungsarten benutzt werden.
Grafische Darstellung der Lösung für einfache
Differentialgleichungen
Einfache Differentialgleichungen können durch Auswahl von Diff Eq im Feld
TYPE des Fensters PLOT SETUP folgendermaßen dargestellt werden: Nehmen
wir an, wir wollten x(t) aus der Differentialgleichung dx/dt = exp(-t2) darstellen,
und zwar mit den folgenden Anfangsbedingungen: x = 0 bei t = 0. Mit dem
Taschenrechner kann die Lösung für Differentialgleichungen der Form Y'(T) =
F(T,Y) dargestellt werden. In unserem Fall ist Yx und Tt, und damit
F(T,Y)f(t,x) = exp(-t2).
Vor Darstellung der Lösung, x(t), für t = 0 bis 5, löschen wir die Variablen EQ
und PPAR.
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Diff Eq.
Drücken Sie ˜ und drücken Sie ³„ ¸-~
„tQ2@@@OK@@@.
Der Cursor ist jetzt im Feld H-Var. Jetzt sollte H-Var:0 und V-Var:1 sein.
Das ist der vom Taschenrechner verwendete Code, um die darzustellenden
Variablen zu identifizieren. H-Var:0 bedeutet, dass die unabhängige
Variable (die später ausgewählt wird) auf der horizontalen Achse
dargestellt wird. V-Var:1 bedeutet dementsprechend, dass die abhängige
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•
•
•
•
Variable (voreingestellte Standardbezeichnung 'Y’) auf der vertikalen Achse
dargestellt wird.
Drücken Sie ˜. Der Cursor ist jetzt im Feld Indep. Drücken Sie ³~
„t@@@OK@@@, um die unabhängige Variable auf t zu ändern.
Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall heißt es PLOT WINDOW –
DIFF EQ).
Ändern Sie den Wert für H-VIEW und V-VIEW folgendermaßen: H-VIEW: -1
5, V-VIEW: -1 1.5
•
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•
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•
Ändern Sie den Wert Init auf 0 und den Endwert auf 5, und zwar mithilfe
von: 0@@@OK@@@ 5@@@OK@@@.
Die Werte „Step“ und „Tol“ stellen den Schritt der unabhängigen Variable
und die Konvergenztoleranz dar, die von der numerischen Lösung
verwendet werden sollen. Wir lassen diese Werte auf den voreingestellten
Standardeinstellungen (wenn das Wort default nicht im Feld Step: erscheint,
setzen wir mit L @RESET alle Werte auf die voreingestellten Werte zurück.
Drücken Sie L, um zum Hauptmenü zurückzukehren.) Drücken Sie ˜.
Der Wert Init-Soln stellt den Anfangswert für die Lösung, von dem aus die
Berechnung des numerischen Ergebnisses gestartet wird, dar. In diesem Fall
haben wir die Ausgangsbedingung x(0) = 0, und deshalb müssen wir
diesen Wert mithilfe von 0@@@OK@@@ auf 0.0 ändern.
Drücken Sie @ERASE @DRAW , um die Lösung für die Differentialgleichung
darzustellen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Grafik mit Bezeichnern
anzuzeigen.
Drücken Sie L, um zum Menü zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT,
um zum ursprünglichen Grafikmenü zurückzukehren.
Seite 12-31
•
•
•
•
•
Wenn wir die Darstellung der Kurve betrachten, werden wir feststellen, dass
die Kurve nicht sehr glatt verläuft. Das liegt daran, dass der Plotter mit
Zeitschritten arbeitet, die zu groß sind. Um einen feineren und glatteren
Graphen zu erhalten, sollte ein Schritt von 0.1 verwendet werden.
Versuchen Sie es mit folgenden Tasten: @CANCL ˜˜˜. 1@@@OK@@@
@ERASE @DRAW. Die Darstellung wird dann zwar etwas länger benötigen, bis
sie fertig ist, aber die Form wird deutlich glatter sein.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Achsen mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen. Beachten Sie, dass die Bezeichnungen für die
Achsen als 0 (horizontal) und 1 (vertikal) angezeigt werden. Dies sind die
Definitionen für die Achsen gemäß den Einstellungen im Fenster PLOT
WINDOW (siehe oben), d. h. H-VAR (t): 0, und V-VAR(x): 1.
Drücken Sie LL@)PICT,um zum Menü und in den PICT-Bereich
zurückzukehren.
Drücken Sie (X,Y), um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem
Graphen zu bestimmen. Mit ™ und š bewegen Sie den Cursor im
Grafikbereich. Am unteren Rand des Displays werden die Koordinaten des
Cursors als (X,Y) angezeigt. Der Taschenrechner verwendet X und Y als
voreingestellte Standardbezeichnung für die horizontale bzw. vertikale
Achse.
Drücken Sie L@)CANCL, um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu
gelangen. Drücken Sie anschließend $, um zur normalen Anzeige
zurückzukehren.
Weitere Einzelheiten zur Verwendung von grafischen Lösungen für
Differentialgleichungen finden Sie in Kapitel 16.
Seite 12-32
Truth-Plot-Funktion
Die Truth-Plot-Funktion wird verwendet, um zweidimensionale Darstellungen von
Bereichen zu erstellen, die bestimmte mathematische Bedingungen, die wahr
oder falsch sein können, erfüllen. Nehmen wir beispielsweise an, Sie wollen
den Bereich für X^2/36 + Y^2/9 < 1 darstellen,
dann gehen Sie folgendermaßen vor:
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE auf Truth.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie {‘(X^2/36+Y^2/9 < 1)','(X^2/16+Y^2/
9 > 1)’} @@@OK@@@ ein, um die darzustellenden Bedingungen zu definieren.
• Der Cursor ist jetzt im Feld Indep. Belassen Sie dieses auf ‘X’, wenn es
bereits auf diese Variable eingestellt ist, oder ändern Sie es auf ‘X’, falls
nicht.
• Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall PLOT WINDOW – TRUTH
genannt). Belassen wir es auf dem voreingestellten Standardwert für den
Fensterbereich: H-View: -6.5 6.5, V-View: -3.9 4.0 (Mit L @RESET
(wählen Sie “Reset all”) @@OK@@ L werden diese zurückgestellt).
Anmerkung: Wenn der Fensterbereich nicht die voreingestellten
Standardeinstellungen zeigt, dann können diese am schnellsten durch Drücken
von L@RESET@ (wählen Sie „Reset all“) @@@OK@@@ L zurückgestellt werden.
•
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um den Truth-Plot zu zeichnen. Da der
Taschenrechner den gesamten Darstellungsbereich Punkt für Punkt abfragt,
dauert es ein paar Minuten bis der Truth-Plot fertig gestellt ist. Die aktuelle
Grafik sollte eine schattierte Ellipse erzeugen mit den Halbachsen 6 und 3
(in x bzw. y) und Zentrum im Ursprung.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU, um die Grafik mit Bezeichnern
anzuzeigen. Die Fensterparameter sind so, dass nur die Hälfte der
Bezeichner der x-Achse zu sehen ist. Drücken Sie L, um zum Menü
zurückzukehren. Drücken Sie L@)PICT, um zum ursprünglichen
Grafikmenü zurückzukehren.
Seite 12-33
•
Drücken Sie (X,Y), um die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der
Grafik zu bestimmen. Mit den Pfeiltasten bewegen Sie den Cursor im
Grafikbereich. Am unteren Rand des Displays werden die Koordinaten des
Cursors als (X,Y) angezeigt.
• Drücken Sie L@)CANCL, um wieder in den Bereich PLOT WINDOW zu
gelangen. Dann drücken Sie $ oder L@@@OK@@@, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Wenn Sie die Bedingungen multiplizieren, dann können Sie mehr als eine
Bedingung gleichzeitig darstellen. Wenn Sie beispielsweise die Abbildung der
Punkte darstellen möchten, bei denen X2/36 + Y2/9 < 1 ist und X2/16 + Y2/9
> 1, dann gehen Sie wie folgt vor:
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘(X^2/36+Y^2/9 < 1)⋅ (X^2/16+Y^2/9
> 1)’@@@OK@@@ ein, um die darzustellenden Bedingungen zu definieren.
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um den Truth-Plot zu zeichnen. Auch hier müssen
sie Geduld aufbringen, bis der Taschenrechner den Graphen fertig gestellt
hat. Wenn Sie die Darstellung abbrechen möchten, dann drücken Sie
einmal $. Drücken Sie anschließend @CANCEL .
Darstellung von Histogrammen, Balkendiagrammen und
Streudiagrammen
Histogramme, Balkendiagramme und Streudiagramme werden zur Darstellung
von diskreter Daten verwendet, die in der reservierten Variable ΣDAT abgelegt
sind. Diese Variable wird nicht nur für diese Arten von Grafiken verwendet,
sondern auch für viele andere Statistikanwendungen, die wir in Kapitel 18
vorstellen. Tatsächlich ist es so, dass wir die Erläuterung des Histogramms auf
später verschieben, nämlich bis wir zu diesem Kapitel kommen, da die
Darstellung eines Histogramms die Gruppierung von Daten erfordert sowie die
Durchführung einer Häufigkeitsanalyse vor der eigentlichen Darstellung. In
diesem Abschnitt zeigen wir, wie Daten in die Variable ΣDAT geladen werden
und wie Balken- und Streudiagramme dargestellt werden.
Mit den folgenden Daten werden wir Balken- und Streudiagramme erzeugen:
Seite 12-34
x
3.1
3.6
4.2
4.5
4.9
5.2
y
2.1
3.2
4.5
5.6
3.8
2.2
z
1.1
2.2
3.3
4.4
5.5
6.6
Balkendiagramme
Stellen Sie zunächst sicher, dass das CAS Ihres Taschenrechners im Modus
Exact ist. Danach geben Sie die oben genannten Daten als Matrix ein, d. h.
[[3.1,2.1,1.1],[3.6,3.2,2.2],[4.2,4.5,3.3],
[4.5,5.6,4.4],[4.9,3.8,5.5],[5.2,2.2,6.6]] `
und legen Sie diese in ΣDAT ab. Verwenden Sie dazu die Funktion STOΣ (aus
dem Funktionskatalog ‚N) Drücken Sie VAR, um zum Variablenmenü
zurückzukehren. Im Stack sollte eine Funktionstaste mit der Bezeichnung ΣDAT
zur Verfügung stehen. Untenstehende Abbildung zeigt die Speicherung dieser
Matrix im ALG-Modus:
Erzeugung der Grafik:
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Bar.
Im Feld ΣDAT wird eine Matrix angezeigt. Das ist die Matrix, die wir zuvor
unter ΣDAT abgelegt haben.
Seite 12-35
•
•
•
•
•
•
Markieren Sie das Feld Col: . Mit diesem Feld können Sie die Spalte aus
ΣDAT wählen, die dargestellt werden soll. Der voreingestellte Standardwert
ist 1. Lassen Sie diesen stehen, um die Spalte 1 in ΣDAT darzustellen..
Drücken Sie L@@@OK@@@, um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie V-VIEW folgendermaßen: V-View: 0 5.
Drücken Sie @ERASE @DRAW, um das Balkendiagramm zu zeichnen.
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Dann drücken Sie $ oder L@@@OK@@@, um zur normalen
Taschenrechneranzeige zurückzukehren.
Die Zahl der darzustellenden Balken bestimmt die Breite der Balken. H- und VVIEW sind standardmäßig auf 10 voreingestellt. Wir haben V-VIEW geändert,
um den Maximalwert der Spalte 1 aus ΣDAT besser unterzubringen.
Balkendiagramme sind hilfreich bei der Darstellung kategorischer (d. h.
nichtnumerischer) Daten.
Nehmen wir an, wir möchten die Daten aus Spalte 2 der ΣDAT-Matrix
darstellen:
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜˜, um das Feld Col: hervorzuheben und drücken Sie 2
@@@OK@@@ und anschließend L@@@OK@@@.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie V-VIEW folgendermaßen: V-View: 0 6
Drücken Sie @ERASE @DRAW.
Seite 12-36
•
Drücken Sie @CANCL, um zum Fenster PLOT WINDOW zurückzukehren, und
anschließend $, um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Streudiagramme
Wir verwenden dieselbe ΣDAT-Matrix, um Streudiagramme zu erzeugen.
Zunächst werden wir die Werte von y gegen x darstellen, und dann die von y
gegen z, und zwar wie folgt:
•
•
•
•
•
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•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Scatter.
Drücken Sie ˜˜ um das Feld Cols: hervorzuheben. Geben Sie
1@@@OK@@@ 2@@@OK@@@ ein, um die Spalte 1 für X und die Spalte 2 für Y für
das Punktdiagramm Y gegen X auszuwählen.
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie den Grafikfensterbereich folgendermaßen: H-View: 0 6, V-View:
0 6.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Streudiagramm zu zeichnen. Drücken Sie
@EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik ohne Menü, im Vollbild und mit
Bezeichnern zu sehen (Der Cursor bleibt jedoch in der Mitte der Grafik):
Seite 12-37
•
•
Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie anschließend $ oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Zur Darstellung von y gegen z gehen Sie folgendermaßen vor:
•
•
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜˜ um das Feld Cols: hervorzuheben. Geben Sie
3@@@OK@@@ 2@@@OK@@@ ein, um die Spalte 3 für X und die Spalte 2 für Y für
das Streudiagramm Y gegen X auszuwählen.
Drücken Sie L@@@OK@@@um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie den Grafikfensterbereich folgendermaßen: H-View: 0 7, V-View:
0 7.
Drücken Sie @ERASE @DRAWum das Streudiagramm zu zeichnen. Drücken Sie
@EDIT L @LABEL @MENUum die Grafik im Vollbild, ohne Menü und mit
Bezeichnern zu sehen.
Drücken Sie LL@)PICTum den Bereich EDIT zu verlassen.
Drücken Sie @CANCLum wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Steigungsfelder
Steigungsfelder werden dazu verwendet, Lösungen für Differentialgleichungen
der Form y’ = f(x,y) zu veranschaulichen. Im Grunde genommen zeigt die
Grafik Segmente, die tangential zur Lösungskurve liegen, da y’ = dy/dx - an
Seite 12-38
jedem beliebigen Punkt (x,y) gemessen - die Steigung der Tangente im Punkt
(x,y) darstellt.
Um beispielsweise die Lösung zur Differentialgleichung y’ = f(x,y) = x+y, zu
veranschaulichen, gehen Sie folgendermaßen vor:
•
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Slopefield.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘X+Y’ @@@OK@@@ ein.
Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie den Grafikfensterbereich folgendermaßen: X-Left:-5, X-Right:5, YNear:-5, Y-Far: 5
•
Drücken Sie @ERASE @DRAWum die Steigungsfelddarstellung zu zeichnen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENUum die Grafik im Vollbild, ohne Menü
und mit Bezeichnern zu sehen.
•
Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
•
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Dann drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Wenn Sie die Darstellung des Steigungsfeldes auf Papier bringen, dann können
Sie von Hand Linien nachvollziehen, die tangential zu den Liniensegmenten in
der Darstellung liegen. Diese Linien haben die Eigenschaft, dass y(x,y) =
konstant für die Lösung von y’ = f(x,y). Deshalb sind Steigungsfelder nützliche
Seite 12-39
Werkzeuge für die Veranschaulichung besonders schwierig zu lösender
Gleichungen.
Versuchen Sie auch ein Steigungsfeld für die Funktion y’ = f(x,y) = - (y/x)2
darzustellen, und zwar wie folgt:
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Slopefield.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘− (Y/X)^2’ @@@OK@@@ ein.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Steigungsfelddarstellung zu zeichnen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik im Vollbild, ohne Menü
und mit Bezeichnern zu sehen.
Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
Drücken Sie @CANCL um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Dann drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Schnelle 3D-Plots
Der schnelle 3D-Plot wird dazu verwendet, dreidimensionale Oberflächen, die
durch Gleichungen der Form z = f(x,y) beschrieben werden, zu
veranschaulichen. Wenn Sie beispielsweise z = f(x,y) = x2+y2 veranschaulichen
möchten, dann können Sie folgendermaßen vorgehen:
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE auf Fast3D.
• Drücken Sie ˜ und geben ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ ein.
• Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
• Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Seite 12-40
•
•
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
Anmerkung: Die Step Indep: und Depnd: -Werte legen die Zahl der
Rasterlinien fest, die in der Grafik verwendet werden. Je größer diese
Zahlen, desto langsamer geht die Erstellung der Grafik voran. Dennoch ist
die für die Grafikerzeugung benötigte Zeit relativ kurz. Zunächst behalten
wir jedoch die voreingestellten Standardwerte von 10 und 8 für die
„Step“s bei.
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die dreidimensionale Oberfläche zu zeichnen.
Das Ergebnis ist die Drahtgitterdarstellung einer Oberfläche mit dem
Referenz-Koordinatensystem in der unteren linken Bildschirmecke. Mit den
Pfeiltasten (š™—˜) können Sie die Ausrichtung der Oberfläche
verändern. Die Ausrichtung des Referenz-Koordinatensystems ändert sich
entsprechend. Versuchen Sie die Oberflächenausrichtung selbst zu ändern.
Die folgenden Abbildungen zeigen einige Ansichten der Grafik:
•
•
Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT.
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
•
Ändern Sie die „Step”-Daten folgendermaßen ab: Step Indep: 20
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Oberflächenplot zu betrachten.
Beispielansichten:
Depnd: 16
Seite 12-41
•
•
•
Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT.
Drücken Sie @CANCL um wieder zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie $ oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Versuchen Sie auch, einen schnellen 3D-Plot für die Oberfläche z = f(x,y) = sin
(x2+y2) zu erstellen.
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X^2+Y^2)’ @@@OK@@@ ein.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Diagramm zu zeichnen.
Wenn Sie fertig sind, drücken Sie @EXIT.
Drücken Sie @CANCL um zum Fenster PLOT WINDOW zurückzukehren.
Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zur normalen Rechneranzeige
zurückzugelangen.
Drahtgitterdarstellungen
Drahtgitter-Darstellungen sind Grafiken dreidimensionaler Oberflächen, die
folgendermaßen beschrieben werden z = f(x,y). Im Gegensatz zu schnellen 3DPlots sind Drahtgitterdarstellungen statische Grafiken. Der Benutzer kann den
Blickwinkel für die Darstellung wählen, d. h. von welchem Punkt aus die
Oberfläche betrachtet wird. Um beispielsweise eine Drahtgitterdarstellung für
die Oberfläche z = x + 2y –3 zu erzeugen, gehen Sie wie folgt vor:
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Wireframe.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘X+2*Y-3’ @@@OK@@@ ein.
Seite 12-42
•
•
•
•
Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step Indep:
10 Depnd: 8
Die Koordinaten XE, YE und ZE stehen für die „Augenkoordinaten“, d. h. die
Koordinaten, von denen aus der Betrachter die Darstellung sieht. Die gezeigten
Werte sind die voreingestellten Standardwerte. Die Step Indep: und Depnd: Werte legen die Zahl der Rasterlinien fest, die in der Grafik verwendet werden.
Je größer diese Zahl ist, desto länger dauert die Erzeugung der Grafik.
Zunächst behalten wir jedoch die voreingestellten Standardwerte von 10 und 8
für die „Step“s bei.
•
•
•
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die dreidimensionale Oberfläche zu zeichnen.
Das Ergebnis ist ein Drahtgitterbild der Oberfläche.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen. Diese Version der Grafik beschränkt sich auf den
unteren Teil der Anzeige. Wir können den Blickwinkel ändern, um eine
andere Version der Grafik zu sehen.
Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT
WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie die Augenkoordinaten folgendermaßen ab: XE:0 YE:-3
ZE:3
•
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Oberflächenplot zu betrachten.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen.
Seite 12-43
Diese Version der Grafik beansprucht mehr Raum im Display als die
vorherige. Wir können den Blickwinkel noch einmal ändern, um eine
andere Version der Grafik zu sehen.
•
•
Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT
WINDOW zu gelangen.
Ändern Sie die Augenkoordinaten folgendermaßen ab: XE:3 YE:3
ZE:3
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Oberflächenplot zu betrachten. Dieses Mal
befindet sich der Hauptteil der Grafik auf der rechten Seite des Displays.
•
•
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
DrückenSie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Versuchen Sie auch, eine Drahtgitterdarstellung für die Oberfläche z = f(x,y) =
sin x2+y2 zu erstellen.
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜ und geben ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ ein.
Seite 12-44
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um das Drahtgitter zu zeichnen. Drücken Sie @EDIT
L@)MENU @LABEL um die Grafik im Vollbild, ohne Menü und mit Bezeichnern
zu sehen.
•
•
Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Ps-Contour-Darstellungen
Ps-Contour-Darstellungen
sind
Konturdarstellungen
dreidimensionaler
Oberflächen, die folgendermaßen beschrieben werden: z = f(x,y). Die
erzeugten Konturen sind Projektionen von ebenen Oberflächen (Höhenlinien), z
= konstant, auf die xy-Ebene. Um beispielsweise eine PS-Contour-Darstellung für
die Oberfläche z = x2+y2 zu erzeugen, gehen Sie wie folgt vor:
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE auf Ps-Contour.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@ ein.
• Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
• Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
• Ändern Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich, und zwar: X-Left:-2, XRight:2, Y-Near:-1 Y-Far: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Konturgrafik zu zeichnen. Dieser Vorgang
dauert eine Weile. Haben sie bitte Geduld. Das Ergebnis ist eine
Konturdarstellung der Oberfläche. Beachten Sie, dass die Konturen nicht
unbedingt durchgehend sind, sie liefern jedoch ein gutes Bild der ebenen
Oberflächen der Funktion.
Seite 12-45
•
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen.
•
Drücken Sie LL@)PICT@CANCL um wieder in den Bereich PLOT
WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
•
Versuchen Sie auch, eine Ps-Contour-Darstellung für die Oberfläche z = f(x,y) =
sin x cos y zu erstellen.
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X)*COS(Y)’ @@@OK@@@ ein.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Konturdarstellung zu zeichnen. Drücken
@EDIT L@)LABEL @MENU um die Grafik im Vollbild, ohne Menü und mit
Bezeichnern zu sehen.
Drücken Sie LL@)PICT um den Bereich EDIT zu verlassen.
Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Seite 12-46
Y-Schnitt-Darstellungen
Y-Schnitt-Darstellungen sind animierte Darstellungen von z gegen y für
verschiedene Werte von x aus der Funktion z = f(x,y). Um beispielsweise eine YSchnitt-Darstellung für die Oberfläche z = x3-xy3 zu erzeugen, gehen Sie wie
folgt vor:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Y-Slice.
Drücken Sie ˜ und geben ‘X^3+X*Y^3’ @@@OK@@@ ein.
Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:
-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low:-1, Z-High:1, Step Indep: 10 Depnd: 8
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die dreidimensionale Oberfläche zu zeichnen.
Sie werden sehen, dass der Taschenrechner eine Reihe von Kurven auf dem
Bildschirm erstellt, die sofort wieder verschwinden. Wenn der
Taschenrechner mit der Erstellung aller Y-Schnitt-Kurven fertig ist, dann geht
er automatisch zur Animation der verschiedenen Kurven über. Eine Kurve
sehen Sie unten.
Drücken Sie $, um die Animation abzubrechen. Drücken Sie @CANCL um
wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Seite 12-47
Versuchen Sie auch, eine Y-Schnitt-Darstellung für die Oberfläche z = f(x,y) =
(x+y) sin y zu erstellen.
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘(X+Y)*SIN(Y)’ @@@OK@@@ ein.
• Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Y-Schnitt-Animation zu erzeugen.
• Drücken Sie $, um die Animation abzubrechen.
• Drücken Sie @CANCL um wieder in das Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie anschließend $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Netzbilddarstellungen
Netzbilddarstellungen erzeugen ein Netz orthogonaler Kurven, die eine
Funktion einer komplexen Größe der Form w =f(z) = f(x+iy) beschreiben, wobei
z = x+iy eine komplexe Größe ist. Die dargestellten Funktionen entsprechen
dem reellen und imaginären Teil von w = Φ(x,y) + iΨ(x,y), d. h. sie stellen die
Kurven Φ(x,y) =konstant und Ψ(x,y) = konstant dar. Um beispielsweise eine
Netzbilddarstellung für die Funktion w = sin(z) zu erzeugen, gehen Sie wie
folgt vor:
• Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
• Ändern Sie TYPE auf Gridmap.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘SIN(X+i*Y)’ @@@OK@@@ ein.
• Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und bei
Depnd: ‘Y’ .
• Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
• Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
• Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1 Y-Far: 1, XXLeft:-1 XXRight:1, YYNear:-1, yyFar: 1, Step
Indep: 10 Depnd: 8
• Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Netzbilddarstellung zu zeichnen. Das
Ergebnis ist ein Netz von Funktionen, die den reellen und imaginären Teilen
einer komplexen Funktion entsprechen.
• Drücken Sie @EDIT L@LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen.
Seite 12-48
•
•
Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT
WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Andere Funktionen einer komplexen Größe, die für eine Netzbilddarstellung
geeignet sind, sind:
(1) SIN((X,Y)) d. h. F(z) = sin(z)
(2)(X,Y)^2
d. h. F(z) = z2
z
(3) EXP((X,Y))
d. h. F(z) = e
(4) SINH((X,Y))
d. h. F(z) = sinh(z)
(5) TAN((X,Y)) d. h. F(z) = tan(z)
(6) ATAN((X,Y))
d. h. F(z) = tan -1(z)
(8) 1/(X,Y)
d. h. F(z) = 1/z
(7)(X,Y)^3
d. h. F(z) = z3
(9) √ (X,Y)
d. h. F(z) = z1/2
Pr-Oberflächendarstellungen
Pr-Oberflächen-Darstellungen (parametrische Oberflächen) werden für
dreidimensionale Oberflächen verwendet, deren Koordinaten (x,y,z) mit x =
x(X,Y), y = y(X,Y), z=z(X,Y) beschrieben werden, wobei X und Y die
unabhängigen Parameter sind.
Anmerkung: Die Gleichungen x = x(X,Y), y = y(X,Y) und z=z(X,Y) stellen die
parametrische Beschreibung einer Oberfläche dar. X und Y sind die unabhängigen Parameter. In den meisten Lehrbüchern werden u und v als Parameter
verwendet und nicht X und Y. Deshalb wird die parametrische Beschreibung
einer Oberfläche mit x = x(u,v), y = y(u,v), z=z(u,v) angegeben.
Wenn beispielsweise eine Pr-Oberflächendarstellung für die Oberfläche x =
x(X,Y) = X sin Y, y = y(X,Y) = x cos Y, z=z(X,Y)=X, erzeugt werden soll, dann
gehen Sie folgendermaßen vor:
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Pr-Surface.
Drücken Sie ˜ und geben Sie ‘{X*SIN(Y), X*COS(Y), X}’ @@@OK@@@ ein.
Stellen Sie sicher, dass bei Indep: die Variable ‘X’ gewählt ist und ‘Y’ bei
Depnd: .
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
zum Fenster PLOT WINDOW zu gelangen.
Behalten Sie den voreingestellten Grafikfensterbereich bei, und zwar: X-Left:1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High:1, XE: 0, YE:-3, zE:0, Step
Indep: 10, Depnd: 8
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die dreidimensionale Oberfläche zu zeichnen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL @MENU um die Grafik mit Bezeichnern und
Bereichen anzuzeigen.
Drücken Sie LL@)PICT @CANCL um wieder in den Bereich PLOT
WINDOW zu gelangen.
Drücken Sie $, oder L@@@OK@@@ um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Die VPAR-Variable
Die Variable VPAR (Volumenparameter) enthält Informationen bezüglich des
„Volumens“, das benötigt wird, um eine dreidimensionale Grafik zu erzeugen.
Deshalb wird sie immer erzeugt, wenn Sie eine dreidimensionale Darstellung
wie z.B. Fast3D, Wireframe (Drahtgitter) oder Pr-Surface (Pr-Oberfläche)
erstellen.
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Interaktives Zeichnen
Immer wenn wir eine zweidimensionale Grafik erzeugen, erscheint im
Grafikbildschirm eine Funktionstaste mit der Bezeichnung @)EDIT . Wenn Sie auf
@)EDIT drücken, erscheint ein Menü, das folgende Optionen bereit hält (weitere
Funktionen erhalten Sie mit L):
Mit den Beispielen oben können Sie die Funktionen LABEL, MENU, PICT, und
REPL ausprobieren. Viele der restlichen Funktionen, z.B. DOT+, DOT-, LINE,
BOX, CIRCL, MARK, DEL usw. können dazu verwendet werden, Punkte, Linien,
Kreise usw. auf dem Grafikbildschirm zu zeichnen, und zwar gemäß der
untenstehenden Beschreibung. Damit Sie sehen können, wie diese Funktionen
verwendet werden, machen wir folgende Übung:
Zunächst rufen wir den Grafikbildschirm auf, und zwar gemäß der folgenden
Anweisungen:
•
•
•
•
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten),
um zum Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie TYPE auf Function, falls erforderlich.
Ändern Sie EQ auf ‘X’
Stellen Sie sicher, dass Indep: auch auf ‘X” eingestellt ist.
Drücken Sie L@@@OK@@@ um zur normalen Anzeige zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten),
um zum PLOT-Fenster zu gelangen (in diesem Fall heißt es PLOT –
POLAR).
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•
•
•
Ändern Sie den Bereich von H-VIEW auf –10 bis 10 durch Drücken von
10\@@@OK@@@ 10@@@OK@@@ und den Bereich von V-VIEW auf -5
bis 5 durch Drücken von 5\@@@OK@@@ 5@@@OK@@@.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um die Funktion darzustellen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL um der Grafik Bezeichner hinzuzufügen.
Drücken Sie LL (oder „«) um zum ursprünglichen EDITMenü zurückzukehren.
Jetzt zeigen wir die Verwendung der verschiedenen Zeichenfunktionen am
fertigen Grafikbildschirm. Dabei verwendet man den Cursor und die Pfeiltasten
(š™—˜) um den Cursor auf dem Grafikbildschirm zu bewegen.
DOT+ und DOTWenn die Funktion DOT+ gewählt ist, dann werden überall dort, wohin der
Cursor bewegt wird, Pixel aktiviert, und er hinterlässt so eine Spur. Wenn DOTgewählt wird, ist das Gegenteil der Fall, d. h. der Cursor löscht die Pixel auf
seinem Weg.
Sie können den Cursor beispielsweise mit den ™— Tasten irgendwo in die
Mitte des ersten Quadranten der xy-Ebene bewegen und dann @DOT+@@ drücken.
Der Bezeichner wird ausgewählt (DOT+@). Drücken Sie die ™ Taste, sie sehen
wie eine horizontale Linie entsteht. Jetzt drücken Sie @DOT-@, um diese Option
auszuwählen ( @DOT-@ ). Halten Sie die Taste š gedrückt, um zu sehen wie
die Linie, die sie eben erzeugt haben, ausradiert wird. Wenn das
abgeschlossen ist, dann drücken Sie @DOT-, um diese Option abzuwählen.
MARK
Mit diesem Befehl kann der Benutzer einen Markierungspunkt setzen, der
vielfältig verwendet werden kann, zum Beispiel als:
•
•
•
Linienanfang für den Befehl LINE oder TLINE,
Eckpunkt für den Befehl BOX (Rechteck),
Mittelpunkt für den Befehl CIRCLE (Kreis).
Seite 12-52
Wenn nur der Befehl MARK verwendet wird, dann erscheint an der markierten
Stelle ein x (Kreuzchen). Drücken Sie L@MARK zur Demonstration.
LINE
Dieser Befehl wird zum Ziehen einer Linie zwischen zwei Punkten in der Grafik
verwendet. Zur Demonstration setzen Sie den Cursor irgendwo in den ersten
Quadranten und drücken Sie „«@LINE. Auf dem Cursor erscheint eine
Markierung, die den Anfang der Linie kennzeichnet. Mit der Taste ™
bewegen Sie den Cursor von der aktuellen Position aus nach rechts, sagen wir
etwa 1 cm, und drücken dann @LINE. Es wird eine Linie zwischen dem Anfangsund Schlusspunkt gezogen.
Beachten Sie, dass der Cursor am Schlusspunkt dieser Linie immer noch aktiv
ist, und der Taschenrechner damit bereit ist, eine neue Linie zu ziehen, und
zwar mit diesem Punkt als Anfangspunkt. Drücken Sie ˜ um den Cursor nach
unten zu bewegen, sagen wir um etwa 1 cm, und drücken Sie dann noch
einmal @LINE. Jetzt sollten Sie einen gestreckten Winkel haben, der von einem
horizontalen und einem vertikalen Segment eingeschlossen ist. Der Cursor ist
immer noch aktiv. Um ihn zu deaktivieren, drücken Sie @LINE, ohne ihn zu
bewegen. Der Cursor erhält wieder seine normale Form (ein Kreuz) und die
Funktion LINE ist nicht mehr aktiv.
TLINE
(Toggle LINE) Bringen Sie den Cursor zur Demonstration in den zweiten
Quadranten. Drücken Sie @TLINE. Eine Markierung erscheint am Anfangspunkt
der Linie. Bewegen Sie den Cursor mit den Pfeiltasten von diesem Punkt weg
und drücken dann @TLINE. Eine Linie wird von der derzeitigen Cursorposition
zum zuerst gewählten Bezugspunkt gezogen. Nun erscheint eine Linie, die
konträr zum Hintergrund ist, d. h. Pixel, die zuvor aktiviert waren, werden jetzt
deaktiviert bzw. andersherum. Um die letzte gezogene Line zu entfernen,
drücken Sie noch einmal @TLINE. Um die Funktion TLINE zu deaktivieren,
bewegen Sie den Cursor an den Punkt zurück, an dem TLINE aktiviert worden
ist, und drücken dann @LINE @LINE.
Seite 12-53
BOX
Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Rechteckes in der Grafik verwendet.
Bewegen Sie den Cursor zu einer freien Fläche der Grafik und drücken Sie
@BOX@. Damit wird der Cursor hervorgehoben. Bewegen Sie den Cursor mit den
Pfeiltasten in diagonaler Richtung zu einem anderen Punkt. Drücken Sie noch
einmal @BOX@. Es erscheint ein Rechteck, dessen Diagonale die Anfangs- und
Schlussposition des Cursors verbindet. Die Anfangsposition des Rechtecks ist
immer noch mit einem x markiert. Wenn der Cursor nun zu einer anderen Stelle
hin bewegt wird und @BOX@ gedrückt wird, wird ein neues Rechteck mit diesem
Punkt als Anfangspunkt erzeugt. Um die Funktion BOX zu deaktivieren,
bewegen Sie den Cursor an den Punkt zurück, an dem BOX aktiviert worden ist,
und drücken Sie dann @LINE @LINE.
CIRCL
Dieser Befehl erzeugt einen Kreis. Markieren Sie den Mittelpunkt des Kreises mit
dem Befehl MARK und bewegen Sie den Cursor dann zu einem Punkt, der Teil
des Kreisumfangs ist. Drücken Sie anschließend @CIRCL. Um die Funktion CIRCL
zu deaktivieren, bringen Sie den Cursor an die Stelle zurück, an der die
Markierung gesetzt wurde, und drücken dann @LINE.
Probieren Sie diesen Befehl aus, indem Sie den Cursor in einen freien Teil der
Grafik bringen und dann @MARK drücken. Bewegen Sie den Cursor dann zu
einem anderen Punkt und drücken Sie @CIRCL . Es erscheint ein Kreis, dessen
Mittelpunkt auf der Markierung MARK liegt, und dessen Umfang die letzte
Cursorposition durchläuft.
LABEL
Durch Drücken von @LABEL setzen Sie Bezeichner an der x- und y-Achse der
aktuellen Grafik. Diese Funktion wurde bereits ausführlich in diesem Kapitel
besprochen.
DEL
Dieser Befehl wird dazu verwendet, einen Teil der Grafik, der zwischen zwei
Markierungen (MARK) liegt, zu entfernen. Bewegen Sie den Cursor zu einem
Punkt in der Grafik und drücken Sie dann @MARK. Bewegen Sie den Cursor dann
zu einem anderen Punkt und drücken Sie noch einmal @MARK . Drücken Sie
anschließend @@DEL@. Der Teil der Grafik, der in dem Rechteck zwischen den
beiden Markierungen liegt, wird gelöscht.
Seite 12-54
ERASE
Mit der Funktion ERASE löschen Sie das gesamte Grafikfenster. Dieser Befehl
steht im PLOT-Menü zur Verfügung und auch in den PLOT-Fenstern, zu denen
man über die Funktionstasten gelangt.
MENU
Durch Drücken auf @MENU werden die Funktionstasten-Bezeichner entfernt und die
Grafik wird ohne diese angezeigt. Zum Wiederherstellen der Bezeichner
drücken Sie L.
SUB
Mit diesem Befehl können Sie einen Teilbereich eines Grafikobjekts extrahieren.
Das extrahierte Objekt wird automatisch im Stack abgelegt. Wählen Sie den
Teilbereich aus, den Sie extrahieren möchten, und zwar durch Markieren (mit
MARK) eines Punktes der Grafik und eines zweiten Punktes, der diagonal zum
ersten Punkt liegt, sodass das entstehende Rechteck den gewünschten
Teilbereich der Grafik einschließt. Drücken Sie anschließend @@SUB@. Diese
Funktion kann dazu verwendet werden, Teile einer Grafik innerhalb der Grafik
zu bewegen.
REPL
Mit diesem Befehl kann der Inhalt eines Grafikobjekts, das sich in Ebene 1 des
Stack befindet, an der Cursorposition im Grafikfenster eingefügt werden. Die
linke obere Ecke des einzufügenden Grafikobjekts kommt dann an die
Cursorposition. Wenn Sie also eine Grafik aus dem Stack in das Grafikfenster
einfügen möchten, sodass das gesamte Fenster ausgefüllt wird, sollten Sie sich
vergewissern, dass der Cursor ganz in der oberen linken Ecke des Displays
steht.
PICT
Mit diesem Befehl können Sie eine Kopie der aktuellen Grafik im Grafikfenster
als Grafikobjekt im Stack ablegen. Das Grafikobjekt, das im Stack abgelegt
wird, kann für jede Art der Verwendung mit einem beliebigen Namen
gespeichert werden.
Seite 12-55
X,Y
Mit diesem Befehl kopieren Sie die Koordinaten der aktuellen Cursorposition in
den Stack, und zwar als Benutzerkoordinaten.
Vergrößern und verkleinern im Grafikfenster (Zoomen)
Immer wenn Sie interaktiv eine zweidimensionale Funktionsgrafik erstellen,
können Sie mit der ersten Funktionstaste, die die Bezeichnung @)ZOOM trägt, auf
Funktionen zugreifen, mit denen Sie Teile der aktuellen Grafik vergrößern und
verkleinern können. Das Menü ZOOM enthält folgende Funktionen (Drücken
L, um zum nächsten Menü zu gelangen):
Wir stellen im Folgenden jede dieser Funktionen vor. Wir müssen lediglich eine
Grafik gemäß den Anweisungen in Kapitel 12 oder mit einem der Programme,
die an früherer Stelle in diesem Kapitel behandelt worden sind, erzeugen.
ZFACT, ZIN, ZOUT und ZLAST
Nach Drücken von @)ZFACT erscheint eine Eingabemaske, mit der Sie die
aktuellen X- und Y-Faktoren ändern können. Die X- und Y-Faktorenverbinden die
horizontalen und vertikalen benutzerdefinierten Bereichseinheiten mit den
entsprechenden Pixelbereichen. Ändern Sie den H-Faktor auf 8. und drücken
Sie @@@OK@@@, dann ändern Sie den V-Faktor auf 2. und drücken @@@OK@@. Kreuzen Sie
die Option „Recenter on cursor“ (= neu auf Cursor zentrieren) an und
drücken Sie @@@OK@@.
Seite 12-56
Zurück im Grafikdisplay drücken Sie @@ZIN@. Die Grafik wird neu gezeichnet und
zwar mit dem neuen vertikalen und horizontalen Einteilungsfaktor und der
Cursorposition als Mittelpunkt, während die ursprüngliche Bildgröße erhalten
bleibt (d. h. die ursprüngliche Pixelzahl in beiden Richtungen). Mit den
Pfeiltasten können Sie sich, so weit möglich, in der vergrößerten Grafik
umherbewegen.
Zum Verkleinern drücken Sie, abhängig von den unter ZFACT eingestellten Hund V-Faktoren, @)ZOOM @ZOUT. Die daraus resultierende Grafik enthält mehr Details
als die vergrößerte Grafik. Es ist jederzeit möglich, zum jeweils letzten
Zoomfenster zurückzukehren, und zwar über @ZLAST.
BOXZ
Das Vergrößern und Verkleinern einer bestimmten Grafik kann auch über die
Funktionstaste BOXZ erfolgen. Mit BOXZ können Sie einen rechtwinkligen
Bereich („Box“) auswählen, den Sie vergrößern möchten. Bewegen Sie den
Cursor in eine der Ecken der Box (mithilfe der Pfeiltasten) und drücken Sie @)ZOOM
@BOXZ. Dann gehen Sie mit den Pfeiltasten in die gegenüberliegende Ecke der
gewünschten Zoombox. Der Cursor zeigt die Zoombox in der Anzeige an.
Wenn die Zoombox wie gewünscht ausgewählt ist, drücken Sie @ZOOM. Der
Taschenrechner vergrößert den Inhalt der Zoombox, sodass dieser den
gesamten Bildschirm ausfüllt.
Wenn Sie jetzt @ZOUT drücken, dann fährt der Taschenrechner aus der aktuellen
Zoombox unter Anwendung der H- und V-Faktoren heraus, sodass es sein kann,
dass die Grafik nicht ganz so wiederhergestellt wird, wie sie vor dem Zoomen
war.
ZDFLT, ZAUTO
Durch Drücken von @ZDFLT wird die aktuelle Darstellung neu gezeichnet, und
zwar mithilfe der voreingestellten Standardwerte der x- und y-Bereiche, d. h. –
6.5 bis 6.5 für x und –3.1 bis 3.1 für y. Der Befehl @ZAUTO wiederum erzeugt ein
Zoomfenster unter Anwendung des Bereichs der aktuellen unabhängigen
Seite 12-57
Variable (x), wobei jedoch der Bereich der abhängigen Variable (y) an die
Kurve angepasst wird (so wie bei Verwendung der Funktion @AUTO in der
Eingabemaske im Fenster PLOT WINDOW („ò drücken - im RPN-Modus
gleichzeitig).
HZIN, HZOUT, VZIN und VZOUT
Mit diesen Funktionen können Sie in das Grafikfenster hinein- und wieder
heraus zoomen, in horizontaler und in vertikaler Richtung entsprechend den
aktuellen H- und V-Faktoren.
CNTR
Hiermit wird das Bild vergrößert, wobei das Zentrum des Zoomfensters die
aktuelle Cursorposition ist. Die verwendeten Zoomfaktoren sind die aktuellen Hund V-Faktoren.
ZDECI
Vergrößert die Grafik so, dass die Begrenzungen des x-Intervalls auf einen
Dezimalwert abgerundet werden.
ZINTG
Vergrößert die Grafik so, dass die Pixeleinheiten benutzerdefinierte Einheiten
werden. Der Mindestwert des PICT-Fensters ist beispielsweise 131 Pixel. Wenn
Sie nun ZINTG verwenden und der Cursor auf dem Bildschirmmittelpunkt steht,
dann wird das Fenster vergrößert, sodass die x-Achse von –64.5 bis 65.5
reicht.
ZSQR
Vergrößert die Grafik so, dass der Darstellungsmaßstab bei 1:1 bleibt, wobei
die x-Skala angepasst wird und die y-Skala bestehen bleibt, wenn das Fenster
breiter als hoch ist. Dies erzwingt ein proportionales Zoomen.
ZTRIG
Vergrößert die Grafik so, dass die x-Skala einen Bereich von etwa –3π to +3π
umfasst, dem bevorzugten Bereich bei trigonometrischen Funktionen.
Seite 12-58
Anmerkung: Keine dieser Funktionen kann programmiert werden. Sie sind
nur im interaktiven Gebrauch nützlich. Hier gilt es, den Befehl @ZFACT im
ZOOM-Menü nicht mit der Funktion ZFACTOR zu verwechseln, die in
Gasdynamik- und chemischen Anwendungen verwendet wird (siehe Kapitel 3).
Menü SYMBOLIC und Grafiken
Das SYMBOLIC MENU (symbolisches Menü) wird durch Drücken der Taste P
(Tastenfeld: vierte Taste von links in der vierten Reihe von oben) aktiviert. Dieses
Menü enthält eine Liste von Menüs im Zusammenhang mit dem Computer
Algebraic System (Algebraisches System des Computers), kurz CAS genannt,
und diese sind:
Alle außer einem dieser Menüs sind direkt von der Tastatur erreichbar, durch
Drücken der entsprechenden im Folgenden aufgeführten Tastenkombinationen.
Aufgeführt ist auch das Kapitel des Benutzerhandbuchs, in dem das
entsprechende Menü beschrieben ist:
ALGEBRA..
ARITHMETIC..
CALCULUS..
SOLVER..
TRIGONOMETRIC..
EXP&LN..
‚× (Taste 4)
„Þ (Taste 1)
„Ö (Taste 4)
„Î (Taste 7)
‚Ñ (Taste 8)
„Ð (Taste 8)
Kap.
Kap.
Kap.
Kap.
Kap.
Kap.
5
5
13
6
5
5
Das Menü SYMB/GRAPH
Das Untermenü GRAPH im Menü SYMB enthält folgende Funktionen:
Seite 12-59
DEFINE: gleicht der Tastenfolge „à (Taste 2).
GROBADD: fügt zwei GROBs ein, den ersten über dem zweiten (siehe Kapitel
22).
PLOT(Funktion): Zeichnet eine Funktion, ähnlich wie „ô
PLOTADD(Funktion): fügt diese Funktion der Liste der darzustellenden
Funktionen hinzu, ähnlich wie „ô
Plot setup..: identisch zu „ô
SIGNTAB(Funktion): Zeichentabelle einer bestimmten Funktion, in der positive
und negative Bereiche, Nullstellen und unendliche Asymptoten verzeichnet sind.
TABVAL: Wertetabelle für eine Funktion.
TABVAR: Variationstabelle einer Funktion.
Es folgen einige Beispiele für diese Funktionen.
PLOT(X^2-1) wirkt ähnlich wie „ô bei EQ: X^2 -1. Mithilfe von @ERASE
@DRAW wird die Darstellung erzeugt:
PLOTADD(X^2-X) ist ähnlich wie „ô, aber fügt folgende Funktion zu EQ
hinzu: X^2 -1. Mithilfe von @ERASE @DRAW wird die Darstellung erzeugt:
Seite 12-60
TABVAL(X^2-1,{1, 3}) erzeugt eine Liste von {min max} –Werten der Funktion im
Intervall {1,3}, während SIGNTAB(X^2-1) das Vorzeichen der Funktion im
Intervall (-∞,+) zeigt, wobei f(x) > 0 in (-∞,-1), f(x) <0, in (-1,1), und f(x) > 0 in
(1,+ ∞) ist.
TABVAR(LN(X)/X) erzeugt folgende Variationstabelle:
Eine detaillierte Interpretation der Variationstabelle lässt sich einfacher im RPNModus durchführen:
Die Ausgabe erfolgt in einem grafischen Format, wobei die ursprüngliche
Funktion F(X) gezeigt wird, die Ableitung F’(X) gleich nach Ableitung und nach
der Vereinfachung und schließlich eine Variationstabelle. Die Tabelle besteht
aus zwei Reihen, die auf der rechten Seite beschriftet sind. Die obere Zeile zeigt
nun also die Werte für X und die zweite Zeile die Werte für F. Die Fragezeichen
kennzeichnen Unsicherheiten bzw. nicht definierte Werte. Beispielsweise ist für
X<0 LN(X) nicht definiert, deshalb zeigen die X-Reihen ein Fragezeichen in
diesem Intervall. Genau bei Null (0+0) ist F unendlich, da X = e, F = 1/e. F
steigt vor Erreichen dieses Wertes, was mit dem Pfeil nach oben angezeigt wird,
Seite 12-61
und sinkt nach diesem Wert (X=e), und wird dann etwas größer als Null (+:0),
wenn X gegen unendlich geht. Die untenstehende Abbildung der Kurve zeigt
diese Beobachtungen auf:
Funktion DRAW3DMATRIX
Diese Funktion nimmt eine n×m Matrix als Argument, Z, = [ zij ], sowie einen
Minimal- und Maximalwert für die Darstellung. Am besten wählen Sie die
Werte vmin und vmax so, dass diese die Werte aus Z enthalten. Der allgemeine
Aufruf der Funktion ist deshalb DRAW3DMATRIX(Z,vmin,vmax). Um die
Handhabung dieser Funktion zu zeigen, erzeugen wir zunächst eine 6×5
Matrix unter Verwendung von RANM({6,5}), und dann rufen wir die Funktion
DRAW3DMATRIX auf, gemäß nachstehender Darstellung:
Die Darstellung ähnelt dem schnellen 3D-Plot. Unten sind verschiedene
Ansichten der Darstellung abgebildet:
Seite 12-62
Kapitel 13
Anwendungen der Infinitesimalrechnung/
Analysis
In diesem Kapitel wird die Anwendung der Taschenrechnerfunktionen auf
Operationen der Infinitesimalrechnung erläutert, z. B. Grenzwerte, Ableitungen,
Integrale, Potenzreihen usw.
Das Menü CALC (Infinitesimalrechnung - Analysis)
Zahlreiche der in diesem Kapitel dargestellten Funktionen befinden sich im
Menü CALC des Taschenrechners, das über die Tastenkombination „Ö
(der Taste 4 zugeordnet) aufgerufen wird. Das Menü CALC enthält die
folgenden Einträge:
Bei den ersten vier Optionen dieses Menüs handelt es sich eigentlich um
Untermenüs für (1) Ableitungen und Integrale, (2) Grenzwerte und
Potenzreihen, (3) Differenzialgleichungen und (4) Grafiken. In diesem Kapitel
werden die Funktionen (1) und (2) dargestellt. Differenzialgleichungen, der
Inhalt von Menüpunkt (3), werden in Kapitel 16 dargestellt. Grafikfunktionen,
der Inhalt von Menüpunkt (4), wurden am Ende von Kapitel 12 dargestellt. Bei
den abschließenden Menüpunkten 5. DERVX und 6. INTVX handelt es sich um
die Funktionen, mit denen Sie eine Ableitung und ein unbestimmtes Integral für
eine Funktion der CAS-Standardvariablen (normalerweise ’X’) erhalten. Die
Funktionen DERVX und INTVX werden später ausführlicher behandelt.
Grenzwerte und Ableitungen
Bei der Differenzialrechnung werden Ableitungen (oder Änderungsraten) von
Funktionen und ihre Anwendungen in der mathematischen Analysis behandelt.
Die Ableitung einer Funktion ist als der Grenzwert der Differenz einer Funktion
definiert, wenn das Inkrement der unabhängigen Variablen gegen Null geht.
Seite 13-1
Grenzwerte werden außerdem verwendet, um die Stetigkeit von Funktionen zu
überprüfen.
Funktion lim
Der Taschenrechner enthält die Funktion lim zum Berechnen der Grenzwerte
von Funktionen. Bei dieser Funktion wird ein Ausdruck als Eingangswert
verwendet, der eine Funktion und die Stelle, an der der Grenzwert zu
berechnen ist, enthält. Die Funktion lim kann über den Befehlskatalog (‚N
~„l) oder über die Option 2. LIMITS & SERIES des Menüs CALC (siehe
oben) aufgerufen werden.
Anmerkung: Die Funktionen im Menü LIMITS & SERIES sind unten abgebildet:
Mithilfe der Funktion DIVPC werden zwei Polynome dividiert, sodass sich eine
Reihenentwicklung ergibt. Die Funktionen DIVPC, SERIES, TAYLOR0 und TAYLOR werden in Reihenentwicklungen von Funktionen verwendet und in diesem
Kapitel ausführlicher erläutert.
Die Funktion lim wird im ALG-Modus als lim(f(x),x=a) eingegeben, um
den Grenzwert
lim f ( x) zu berechnen. Geben Sie im RPN-Modus zunächst
x→ a
die Funktion, dann den Ausdruck ’x=a’ und schließlich die Funktion lim ein. Im
Folgenden werden Beispiele für den ALG-Modus einschließlich einiger
Grenzwerte gegen Unendlich dargestellt. Die Tastenkombinationen für das erste
Beispiel lauten wie folgt (im algebraischen Modus und wenn Systemflag 117
auf CHOOSE boxes gesetzt ist):
Seite 13-2
„Ö2 @@OK@@ 2 @@OK@@ x+1‚í x‚Å
1`
Das Unendlichkeitssymbol ist der Taste 0 zugeordnet. d. h., „è.
Um einseitige Grenzwerte zu berechnen, hängen Sie ein +0 oder -0 an den
Variablenwert. Ein “+0” steht für rechten Grenzwert und ein “-0” steht für linken
Grenzwert. Zum Beispiel kann der Grenzwert von x − 1 für x gegen 1 von
links durch folgende Eingabe bestimmt werden (ALG-Modus):
‚N~„l˜$OK$ R!ÜX1™@íX@Å1+0`
Es erscheint das folgende Resultat:
Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion f(x) mit x = a ist definiert als der Grenzwert
df
f ( x + h) − f ( x )
= f ' ( x) = lim
h
−
>
0
dx
h
Seite 13-3
In den folgenden Bildschirmabbildungen werden einige Beispiele für
Ableitungen mit diesem Grenzwert dargestellt:
Funktionen DERIV und DERVX
Die Funktion DERIV nimmt als Eingangswert Ableitungen von beliebigen
unabhängigen Variablen an, während die Funktion DERVX Ableitungen in
Bezug auf die CAS-Standardvariable VX (normalerweise ’x’) als Argument
benötigt. Während die Funktion DERVX auch direkt im Menü CALC verfügbar
ist, können beide Funktionen über das Menü CALCL („Ö) im Untermenü
DERIV.&INTEG aufgerufen werden.
Die Funktion DERIV benötigt eine Funktion, beispielsweise f(t), und eine
unabhängige Variable, z. B. t, während für die Funktion DERVX nur eine
Funktion von VX erforderlich ist. Im Folgenden werden Beispiele im ALG-Modus
dargestellt. Beachten Sie, dass im RPN-Modus die Argumente vor dem
Anwenden der Funktion eingegeben werden müssen.
Das Menü DERIV&INTEG
Die in diesem Untermenü verfügbaren Funktionen sind unten aufgelistet:
Seite 13-4
Von diesen Funktionen werden DERIV und DERVX für Ableitungen verwendet.
Zu den anderen Funktionen zählen Funktionen für Stammfunktionen und
Integrale (IBP, INTVX, PREVAL, RISCH, SIGMA und SIGMAVX), Fourier-Reihen
(FOURIER) und Vektorrechnung (CURL, DIV, HESS, LAPL). Zunächst werden die
Funktionen DERIV und DERVX erläutert. Die übrigen Funktionen werden
entweder weiter unten in diesem Kapitel oder in den folgenden Kapiteln
dargestellt.
Berechnen von Ableitungen mit ∂
Das Symbol ist als ‚¿ (die T-Taste) verfügbar. Dieses Symbol kann zum
Eingeben einer Ableitung in den Stack oder im EquationWriter verwendet
werden (siehe Kapitel 2). Wenn Sie mithilfe des Symbols eine Ableitung in den
Stack eingeben, geben Sie direkt danach die unabhängige Variable und dann,
in Klammern eingeschlossen, die abzuleitende Funktion ein. Verwenden Sie
daher zum Berechnen der Ableitung d(sin(r),r) im ALG-Modus die Tastenfolge:
‚¿~„r„ÜS~„r`
Im RPN-Modus muss dieser Ausdruck in Anführungszeichen eingeschlossen
werden, bevor er in den Stack eingegeben wird. Im ALG-Modus lautet das
Ergebnis:
Seite 13-5
Im EquationWriter gibt der Taschenrechner folgenden Ausdruck aus, wenn Sie
‚¿ drücken:
Der Einfügecursor () befindet sich rechts vom Nenner, bis Sie eine
unabhängige Variable eingeben, z.B. s: ~„s. Drücken Sie anschließend
die Nach-Rechts-Taste (™), um den Cursor an den Platzhalter zwischen den
Klammern zu verschieben.
Geben Sie anschließend die abzuleitende Funktion ein, z. B. s*ln(s):
Zum Berechnen der Ableitung im EquationWriter drücken Sie viermal die NachOben-Taste —, um den gesamten Ausdruck auszuwählen, und drücken Sie
anschließend @EVAL. Die Ableitung wird im EquationWriter wie folgt berechnet:
Seite 13-6
Anmerkung: Das Symbol ∂ wird in der Mathematik verwendet, um eine partielle Ableitung zu bezeichnen, d. h. die Ableitung einer Funktion mit mehreren
Variablen. Jedoch werden normale und partielle Ableitungen vom Taschenrechner nicht unterschieden und für beide wird dasselbe Symbol verwendet.
Beachten Sie diesen Unterschied, wenn Sie Ergebnisse des Taschenrechners zu
Papier bringen.
Die Kettenregel
Die Kettenregel für Ableitungen wird auf Ableitungen zusammengesetzter
Funktionen angewendet. Ein allgemeiner Ausdruck für die Kettenregel lautet
d{f[g(x)]}/dx = (df/dg)⋅(dg/dx). Bei Verwendung des Taschenrechners sieht
diese Formel wie folgt aus:
Bei dem Ausdruck d1 vor g(x) und f(g(x)) in der Formel oben handelt es sich um
eine Abkürzung, die vom Taschenrechner verwendet wird, um eine erste
Ableitung anzugeben, wenn die unabhängige Variable, in diesem Fall x,
eindeutig definiert ist. Somit wird das Ergebnis wie in der oben dargestellten
Formel für die Kettenregel interpretiert. Es folgt ein weiteres Beispiel für eine
Anwendung der Kettenregel:
Ableitungen von Gleichungen
Mit dem Taschenrechner können Sie Ableitungen von Gleichungen berechnen,
d. h. Ausdrücke, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Ableitungen
enthalten. Unten werden einige Beispiele dargestellt:
Seite 13-7
Beachten Sie, dass in den Ausdrücken, in denen das Ableitungszeichen (∂) oder
die Funktion DERIV verwendet wurde, das Gleichheitszeichen in der Gleichung
beibehalten wird, jedoch nicht in den Fällen, in denen die Funktion DERVX
verwendet wurde. In diesen Fällen wurde die Gleichung neu geschrieben, und
alle zugehörigen Ausdrücke wurden auf die linke Seite des Gleichheitszeichens
verschoben. Außerdem wurde das Gleichheitszeichen entfernt, doch der
Ergebnisausdruck ist selbstverständlich gleich Null.
Implizite Ableitungen
Implizite Ableitungen können z. B. in folgenden Ausdrücken verwendet werden:
Anwendung von Ableitungen
Mit Ableitungen können Graphen von Funktionen berechnet und Funktionen
einer Variablen optimiert werden (z. B. Suchen der Maxima und Minima). Im
Folgenden werden einige Anwendungen von Ableitungen dargestellt.
Analyse der Graphen von Funktionen
In Kapitel 11 wurden einige Funktionen vorgestellt, die auf dem
Grafikbildschirm zur Analyse der Graphen von Funktionen der Form y = f(x) zur
Verfügung stehen. Zu diesen Funktionen zählen (X,Y) und TRACE zum
Seite 13-8
Bestimmen von Punkten des Graphen sowie Funktionen in den Menüs ZOOM
und FCN. Mithilfe der Funktionen im Menü ZOOM können Sie die Darstellung
eines Graphen vergrößern, um ihn detaillierter analysieren zu können. Diese
Funktionen werden in Kapitel 12 ausführlich beschrieben. Unter den Funktionen
des Menüs FCN können SLOPE, EXTR, F' und TANL zum Bestimmen der
Steigung einer Tangente des Graphen, zum Bestimmen der Extremwerte
(Minima und Maxima) der Funktion, zum Zeichnen der Ableitung und zum
Bestimmen der Gleichung für die Tangente verwendet werden.
Probieren Sie folgendes Beispiel für die Funktion y = tan(x) aus.
• Drücken Sie (im RPN-Modus: gleichzeitig) „ô, um das Fenster
PLOT SETUP zu öffnen.
• Ändern Sie ggf. mithilfe von [@CHOOS] TYPE in FUNCTION.
• Drücken Sie ˜ und geben Sie die Gleichung ’TAN(X) ’ ein.
• Stellen Sie sicher, dass die unabhängige Variable auf ’X’ gesetzt ist.
• Drücken Sie L @@@OK@@@, um zum normalen Display des
Taschenrechners zurückzukehren.
• Drücken Sie gleichzeitig „ò, um das PLOT-Fenster aufzurufen.
• Ändern Sie den H-VIEW-Bereich auf -2 bis 2 und den V-VIEW-Bereich
auf -5 bis 5.
• Drücken Sie @ERASE @DRAW, um die Funktion in Polarkoordinaten zu
zeichnen.
Die resultierende Zeichnung wird wie folgt dargestellt:
•
•
•
Beachten Sie die vertikalen Linien, die Asymptoten darstellen. Diese
sind nicht Bestandteil des Graphen, sondern zeigen die Punkte an, an
denen TAN(X) bei bestimmten Werten von X gegen ± ∞ geht.
Drücken Sie @TRACE @(X,Y)@ und bewegen Sie den Cursor an Punkt X:
1,08E0, Y: 1,86E0. Drücken Sie anschließend L@)@FCN@ @SLOPE. Das
Ergebnis ist die Steigung: 4,45010547846.
Drücken Sie LL@TANL. Hierdurch wird die Gleichung der Tangente
erstellt und der zugehörige Graph in dieselbe grafische Darstellung
gezeichnet. Das Ergebnis wird in der Abbildung unten dargestellt:
Seite 13-9
•
Drücken Sie L @PICT @CANCL $, um zum normalen Display des
Taschenrechners zurückzukehren. Beachten Sie, dass die gewünschte
Steigung und Tangente im Stack aufgelistet sind.
Funktion DOMAIN
Mit der über den Befehlskatalog (‚N) verfügbaren Funktion DOMAIN
erhalten Sie den Definitionsbereich einer Funktion als eine Liste von Zahlen und
Beschreibungen. Beispielsweise gibt
an, dass die Funktion LN(X) zwischen –∞ und 0 nicht definiert ist (?), dass sie
jedoch zwischen 0 und +∞ definiert ist (+). Andererseits gibt
an, dass diese Funktion weder zwischen –∞ und -1 noch zwischen 1 und +∞
definiert ist. Der Definitionsbereich dieser Funktion lautet daher -1<X<1.
Funktion TABVAL
Diese Funktion wird über den Befehlskatalog oder im Menü CALC über das
Untermenü GRAPH aufgerufen. Als Argument der Funktion TABVAL sind die
Funktion der CAS-Variablen, f(X), und eine Liste zweier Zahlen erforderlich, die
den relevanten Bereich für die Funktion f(X) darstellen. Die Funktion TABVAL gibt
die Eingabewerte plus den Wertebereich der Funktion zurück, der dem für die
Eingabe verwendeten Bereich entspricht. Beispiel:
Seite 13-10
Durch dieses Ergebnis wird angegeben, dass der Wertebereich der Funktion
f (X ) =
1
X 2 +1
, der dem Definitionsbereich D = { -1,5 } entspricht, R =
⎧ 2 26 ⎫
,
⎬ ist.
⎨
26
2
⎭
⎩
Funktion SIGNTAB
Mit der über den Befehlskatalog (‚N) aufrufbaren Funktion SIGNTAB
erhalten Sie Informationen über das Vorzeichen einer Funktion in ihrem
Definitionsbereich. Beispielsweise gibt SIGNTAB für die Funktion TAN(X)
an, dass TAN(X) zwischen –π/2 und 0 negativ und zwischen 0 und π/2 positiv
ist. In diesem Fall liefert SIGNTAB in den Intervallen zwischen –∞ und -π/2 und
zwischen +π/2 und ∞ keine Informationen (?). Somit liefert SIGNTAB in diesem
Fall ausschließlich Informationen über den Hauptdefinitionsbereich von TAN(X),
also -π/2 < X < +π/2.
Unten ist ein zweites Beispiel für die Funktion SIGNTAB abgebildet:
In diesem Fall ist die Funktion für X<-1 negativ und für X>-1 positiv.
Seite 13-11
Funktion TABVAR
Diese Funktion wird über den Befehlskatalog oder im Menü CALC über das
Untermenü GRAPH aufgerufen. Als Eingangswert wird die Funktion f(VX)
verwendet, wobei VX die CAS-Standardvariable ist. Die Funktion gibt im RPNModus Folgendes zurück:
•
Ebene 3: die Funktion f(VX).
•
Zwei Listen. Die erste Liste gibt die Steigung der Funktion (d. h. die
Bereiche, in denen die Werte ab- oder zunehmen) in Bezug auf die
unabhängige Variable VX an, die zweite Liste die Steigung der
Funktion in Bezug auf die abhängige Variable.
•
Ein Grafikobjekt, das anzeigt, wie die Steigungstabelle berechnet
wurde.
Beispiel: Berechnen Sie mithilfe der Funktion TABVAR die Funktion Y = X3-4X211X+30. Verwenden Sie im RPN-Modus die folgenden Tastenkombinationen:
'X^3-4*X^2-11*X+30'`‚N~t(Auswahl von TABVAR) @@OK@@
Der Taschenrechner zeigt auf Ebene 1 des Stacks Folgendes an:
Dies ist ein Grafikobjekt. Um das gesamte Ergebnis anzuzeigen, drücken Sie
˜. Die Steigungstabelle (Variation Table) der Funktion wird wie folgt
dargestellt:
Seite 13-12
Drücken Sie $, um zum normalen Display des Taschenrechners
zurückzukehren. Drücken Sie ƒ, um dieses letzte Ergebnis aus dem Stack zu
entfernen.
Ebene 1 enthält nun zwei Listen, die der obersten und untersten Zeile der zuvor
dargestellten Grafikmatrix entsprechen. Diese Listen können zum
Programmieren verwendet werden. Drücken Sie ƒ, um dieses letzte Ergebnis
aus dem Stack zu entfernen.
Im Folgenden wird die oben dargestellte Steigungstabelle erläutert: Die Funktion
F(X) nimmt für X im Intervall (-∞, -1) zu und erreicht das Maximum 36 bei X = 1. Dann nimmt F(X) bis X = 11/3 ab und erreicht das Minimum -400/27.
Anschließend nimmt F(X) bis +∞ zu. Außerdem ist bei X = ±∞ auch F(X) = ±∞.
Verwenden von Ableitungen zum Berechnen von Extrempunkten
„Extrempunkte“, bzw. Extremwerte, sind die allgemeine Bezeichnung für die
Maximal- und Minimalwerte einer Funktion in einem bestimmten Intervall. Da
die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt die Steigung der
Tangente zur Kurve in diesem Punkt darstellt, stellen die Werte von x für f'(x) =
0 die Punkte dar, an denen der Graph der Funktion ein Maximum oder
Minimum erreicht. Darüber hinaus gibt der Wert der zweiten Ableitung der
Funktion f“(x) an diesen Punkten an, ob der Punkt ein relatives oder lokales
Maximum [f“x)<0] bzw. Minimum [f“(x)>0] ist. Dies wird in der folgenden
Abbildung veranschaulicht.
Seite 13-13
In dieser Abbildung beschränken wir uns darauf, die Extrempunkte der Funktion
y = f(x) im x-Intervall [a,b] zu bestimmen. In diesem Intervall befinden sich zwei
Punkte, x = xm und x = xM, an denen f’(x)=0 ist. Der Punkt x = xm stellt ein
lokales Minimum dar, wobei f”(x)>0 ist, während der Punkt x = xM ein lokales
Maximum darstellt, wobei f”(x)<0 ist. Aus dem Graphen von y = f(x) folgt, dass
sich das absolute Maximum im Intervall [a,b] bei x = a und das absolute
Minimum bei x = b befindet.
Um beispielsweise zu bestimmen, wo sich die kritischen Punkte der Funktion
`X^3-4*X^2-11*X+30 befinden, können wir im ALG-Modus die folgenden
Eingaben verwenden:
Wir ermitteln zwei kritische Punkte, bei x = 11/3 und bei x = -1. Geben Sie
zum Berechnen der zweiten Ableitung an jedem Punkt Folgendes ein:
Auf dem letzten Bildschirm wird angezeigt, dass f“(11/3) = 14 ist, sodass x =
11/3 ein relatives Minimum ist. Für x = -1 gilt Folgendes:
Seite 13-14
Dieses Ergebnis bedeutet, dass f“(-1) = -14 ist, sodass x = -1 ein relatives
Maximum ist. Berechnen Sie die Funktion an diesen Punkten, um zu überprüfen,
ob tatsächlich gilt: f(-1) > f(11/3).
Ableitungen höherer Ordnung
Ableitungen höherer Ordnung können durch mehrfaches Anwenden einer
Ableitungsfunktion berechnet werden. Beispiel:
Stammfunktionen und Integrale
Die Stammfunktion einer Funktion f(x) ist die Funktion F(x), mit f(x) = dF/dx. Da
z. B. d(x3) /dx = 3x2, lautet für f(x) = 3x2 die Stammfunktion F(x) = x3 + C,
wobei C eine Konstante ist. Eine Stammfunktion kann als unbestimmtes Integral
dargestellt werden, d. h.
∫ f ( x)dx = F ( x) + C , genau dann wenn f(x) = dF/
dx gilt und C eine Konstante ist.
Funktionen INT, INTVX, RISCH, SIGMA und SIGMAVX
Der Taschenrechner enthält zum Berechnen der Stammfunktionen von
Funktionen die Funktionen INT, INTVX, RISCH, SIGMA und SIGMAVX. Die
Funktionen INT, RISCH und SIGMA können mit Funktionen beliebiger Variablen
verwendet werden, während die Funktionen INTVX und SIGMAVX die
Funktionen der CAS-Variablen VX (normalerweise ’x’) verwenden. Die
Funktionen INT und RISCH benötigen daher nicht nur den Ausdruck für die zu
integrierende Funktion, sondern auch den Namen der unabhängigen
Seite 13-15
Variablen. Die Funktion INT benötigt außerdem einen Wert von x, an dem die
Stammfunktion berechnet wird. Die Funktionen INTVX und SIGMAVX benötigen
nur den Ausdruck der in Bezug auf VX zu integrierenden Funktion. Im
Folgenden werden einige Beispiele im ALG-Modus dargestellt.
Beachten Sie, dass die Funktionen SIGMAVX und SIGMA für Integranden
konzipiert sind, die eine ganzzahlige Funktion, z. B. die oben dargestellte
Fakultätsfunktion (!), umfassen. Sie erzeugen eine so genannte diskrete
Ableitung, d. h. eine ausschließlich für ganze Zahlen definierte Ableitung.
Bestimmte Integrale
Bei einem bestimmten Integral einer Funktion wird die resultierende
Stammfunktion am oberen und unteren Grenzwert eines Intervalls (a,b)
ausgewertet, und die berechneten Werte werden subtrahiert. Die Formel lautet
∫
b
a
f ( x)dx = F (b) − F (a ), wobei f(x) = dF/dx.
Die PREVAL(f(x),a,b)-Funktion des CAS kann solche Berechnungen vereinfachen.
Sie gibt f(b)-f(a) zurück, wobei x die CAS-Variable VX ist.
Seite 13-16
Der Taschenrechner verfügt zum Berechnen bestimmter Integrale auch über das
Integralsymbol als Tastenkombination ‚Á (der U-Taste zugeordnet).
Integrale können am einfachsten im EquationWriter erstellt werden (ein Beispiel
hierfür finden Sie in Kapitel 2). Im EquationWriter erhalten Sie mit dem Symbol
‚Á das Integralzeichen sowie Platzhalter für die Integrationsgrenzen
(a,b), für die Funktion f(x) und für die Integrationsvariable (x). In den folgenden
Bildschirmabbildungen wird das Erstellen eines bestimmten Integrals
veranschaulicht. Der Einfügecursor befindet sich zunächst an der unteren
Grenze der Integration. Geben Sie einen Wert ein und drücken Sie die NachOben-Taste (™), um zur oberen Grenze der Integration zu wechseln. Geben
Sie an dieser Position einen Wert ein, und drücken Sie erneut ™, um zur
Position des Integranden zu wechseln. Geben Sie den Ausdruck für den
Integranden ein und drücken Sie die Taste erneut, um zum Platzhalter des
Differenzials zu wechseln. Geben Sie an dieser Position die Variable der
Integration ein, und das Integral kann berechnet werden.
Nun können Sie ` drücken, um das Integral an den Stack zurückzugeben,
wie in der folgenden Eingabe (ALG-Modus) dargestellt:
Dies ist das allgemeine Format für das bestimmte Integral, wenn es direkt in den
Stack eingegeben wird, d. h. ∫ (untere Grenze, obere Grenze, Integrand,
Variable der Integration).
Wenn Sie an dieser Stelle ` drücken, wird das Integral im Stack berechnet:
Seite 13-17
Das Integral kann auch im EquationWriter berechnet werden, indem Sie den
gesamten Ausdruck auswählen und die Menütaste @EVAL verwenden.
Schrittweise Berechnung von Ableitungen und Integralen
Wenn in den CAS MODES-Fenstern die Option Step/Step ausgewählt ist (siehe
Kapitel 1), wird die Berechnung von Ableitungen und Integralen in einzelnen
Schritten angezeigt. In der folgenden Abbildung wird z. B. die Berechnung
einer Ableitung im EquationWriter dargestellt:
!!!
Beachten Sie die Anwendung der Kettenregel im ersten Schritt, wobei die
Ableitung der Funktion unter dem Integral explizit im Zähler bleibt. Im zweiten
Schritt wird der resultierende Bruch rationalisiert (die Quadratwurzel aus dem
Nenner entfernt) und vereinfacht. Im dritten Schritt wird die endgültige Version
angezeigt. Jeder Schritt wird durch Drücken der Menütaste @EVAL angezeigt, bis
der Punkt erreicht ist, an dem der Ausdruck durch die weitere Anwendung der
Funktion EVAL nicht mehr geändert wird.
Im folgenden Beispiel wird die schrittweise Berechnung eines bestimmten
Integrals im EquationWriter dargestellt:
Seite 13-18
!!!
Beachten Sie, dass durch das schrittweise Vorgehen Informationen über die von
CAS zum Lösen dieses Integrals ausgeführten Zwischenschritte bereitgestellt
werden. CAS bestimmt zunächst ein Quadratwurzelintegral, dann einen
rationalen Bruch sowie einen zweiten rationalen Ausdruck und liefert dann das
Endergebnis. Beachten Sie, dass diese Schritte für den Taschenrechner sinnvoll
sind, obwohl für den Benutzer nicht genügend Informationen über die einzelnen
Schritte geboten werden.
Integrieren einer Gleichung
Das Integrieren eine Gleichung ist unkompliziert. Der Taschenrechner integriert
einfach beide Seiten der Gleichung gleichzeitig, z. B.
Seite 13-19
Methoden der Integration
Wie in den folgenden Beispielen gezeigt, können mit dem Taschenrechner
mehrere Integrationsmethoden angewendet werden.
Substitution oder Ändern von Variablen
Angenommen, wir möchten das Integral
berechnen. Bei einer
schrittweisen Berechnung im EquationWriter lautet die Abfolge der
Variablensubstitutionen wie folgt:
Im zweiten Schritt wird die zu verwendende passende Substitution dargestellt, u
= x2-1.
In den letzten vier Schritten wird die Entwicklung der Lösung gezeigt: eine
Quadratwurzel, dann ein Bruch, ein zweiter Bruch und das Endergebnis. Das
Ergebnis kann unter Verwendung der Funktion @SIMP vereinfacht werden und
wird dann wie folgt angezeigt:
Seite 13-20
Partielle Integration und Differenziale
Ein Differenzial einer Funktion y = f(x) ist als dy = f'(x) dx definiert, wobei f'(x)
die Ableitung von f(x) ist. Differenziale werden für die Darstellung kleiner
Inkremente in den Variablen verwendet. Das Differenzial eines Produkts zweier
Funktionen y = u(x)v(x) wird durch dy = u(x)dv(x) + du(x)v(x) oder einfach durch
d(uv) = udv - vdu angegeben. Somit wird das Integral von udv = d(uv) - vdu als
∫ udv = ∫ d (uv) − ∫ vdu
geschrieben. Da gemäß der Definition eines
Differenzials ∫dy = y ist, schreiben wir den vorherigen Ausdruck als
∫ udv = uv − ∫ vdu .
Diese, als partielle Integration bezeichnete Formel kann zum Bestimmen eines
Integrals verwendet werden, wenn dv auf einfache Weise integriert werden
kann. Beispielsweise kann das Integral ∫xexdx durch partielle Integration
bestimmt werden, wenn wir u = x, dv = exdx verwenden, da v = ex. Wenn du =
dx ist, lautet das Integral ∫xexdx = ∫udv = uv - ∫vdu = xex - ∫exdx = xex - ex.
Der Taschenrechner enthält im Menü CALC/DERIV&INTG die Funktion IBP, die
als Argumente die ursprüngliche zu integrierende Funktion, also u(X)*v'(X), und
die Funktion v(X) benötigt und u(X)*v(X) sowie -v(X)*u’(X) zurückgibt. Mit
anderen Worten, die Funktion IBP gibt die beiden Ausdrücke auf der rechten
Seite der Gleichung der partiellen Integration zurück. Für das oben verwendete
Beispiel können wir im ALG-Modus Folgendes schreiben:
Seite 13-21
Somit können wir die Funktion IBP verwenden, um die Komponenten einer
partiellen Integration bereitzustellen. Der nächste Schritt muss separat
ausgeführt werden.
Es ist wichtig zu erwähnen, dass das Integral direkt berechnet werden kann,
indem z. B. folgende Eingabe verwendet wird:
Integration durch Partialbruchzerlegung
Die in Kapitel 5 vorgestellte Funktion PARTFRAC ermöglicht die Zerlegung eines
Bruches in Partialbrüche. Diese Methode empfiehlt sich, um einen komplizierten
Bruch in eine Summe einfacher Brüche zu zerlegen, die dann nacheinander
integriert werden können. Um beispielsweise
∫
X5 +5
dX
X 4 + 2X 3 + X
zu integrieren, können wir den Bruch wie folgt in seine Partialbrüche zerlegen:
Die direkte Integration führt zum gleichen Ergebnis, wobei einige Ausdrücke
umgestellt werden (Rigorous Modus im CAS, siehe Kapitel 2):
Seite 13-22
Uneigentliche Integrale
Hierbei handelt es sich um Integrale mit Unendlich als Integrationsgrenze.
Üblicherweise wird bei einem uneigentlichen Integral zunächst das Integral als
Grenzwert gegen Unendlich berechnet, z. B.
∫
∞
1
ε dx
dx
=
lim
.
x 2 ε →∞ ∫ 1 x 2
Mit dem Taschenrechner setzen wir die Berechnung wie folgt fort:
Stattdessen können Sie auch das Integral mit Unendlich als Grenzwert sofort
berechnen, z. B.:
Integralrechnungen mit Einheiten
Ein Integral kann auch mit mit Einheiten versehenen Integrationsgrenzen
berechnet werden, wie man im nachfolgenden Beispiel (im ALG-Modus, mit
CAS auf Approx-Modus eingestellt) sehen kann. Auf der linken Seite ist das im
Editor eingetippte Integral vor Drücken der Taste ` zu sehen. Auf der rechten
Seite steht das Ergebnis nach Drücken der Taste `.
Seite 13-23
Geben Sie das Integral mit dem CAS auf Exact-Modus eingestellt ein, werden
Sie aufgefordert in den Approx-Modus umzustellen. Die Grenzen des Integrals
werden jedoch in einem anderen Format ausgegeben, wie hier gezeigt:
Die hier gezeigten Grenzen sind 1×1_mm und 0×1_mm, was 1_mm und 0_mm
entspricht. Beachten Sie nur die unterschiedlichen Ausgabeformate.
Einige Notizen zu der Verwendung von Einheiten innerhalb der
Integrationsgrenzen:
1 – Die Einheiten der unteren Integrationsgrenze sind die, die im Endresultat
angezeigt werden, wie das im nachstehenden Beispiel veranschaulicht wird:
2 – Die Einheiten der oberen Grenze müssen mit denen der unteren konsistent
sein. Andernfalls ist das Ergebnis ein nicht ausgewertetes Integral. Zum Beispiel:
Seite 13-24
3 – Der Integrand kann auch zwei Einheiten beinhalten. Zum Beispiel:
4 – Beinhalten beide, die Grenzwerte wie auch der Integrand, Einheiten, wird
das Ergebnis eine Kombination dieser Einheiten, entsprechend den Regeln der
Integration, sein. Zum Beispiel:
Unendliche Reihen
∞
Eine unendliche Reihe hat die Form
∑ h ( n )( x − a )
n
. Unendliche Reihen
n = 0 ,1
beginnen normalerweise mit dem Index n = 0 oder n = 1. Jedes Glied der
Reihe besitzt einen Koeffizienten h(n), der vom Index n abhängt.
Taylor- und MacLaurin-Reihen
Eine Funktion f(x) kann mit einer Taylor-Reihe zu einer unendlichen Reihe um
einen Punkt x=x0 entwickelt werden, also
∞
f ( x) = ∑
n=0
f ( n ) ( xo )
⋅ ( x − xo ) n ,
n!
wobei f(n)(x) die n-te Ableitung von f(x) darstellt, mit x, f(0)(x) = f(x).
Seite 13-25
Wenn x0 gleich Null ist, wird die Reihe als MacLaurin-Reihe bezeichnet, d. h.
∞
f ( x) = ∑
n=0
f ( n ) (0) n
⋅x
n!
Taylor-Polynom und Rest
In der Realität können nicht alle Glieder einer unendlichen Reihe berechnet
werden. Stattdessen berechnen wir mit einem Polynom der Ordnung k, Pk(x)
einen Näherungswert für die Reihe und schätzen die Ordnung eines Residuums
Rk(x), sodass
k
f ( x) = ∑
n =0
d. h.
∞
f ( n ) ( xo )
f ( n ) ( xo )
n
⋅ ( x − xo ) + ∑
⋅ ( x − xo ) n ,
n!
n!
n = k +1
f ( x) = Pk ( x) + Rk ( x).
Das Polynom Pk(x) wird als Taylor-Polynom bezeichnet. Die Ordnung des
Residuums wird als eine kleine Größe h = x-x0 geschätzt, d. h., das Polynom
wird bei einem Wert von x berechnet, der sehr nah an x0 liegt. Das Residuum
wird durch
Rk ( x ) =
f ( k +1) (ξ ) k +1
⋅h ,
k!
angegeben, wobei ξ eine Zahl nahe x = x0 ist. Da ξ im Gegensatz zu einem
Schätzwert für das Residuum normalerweise nicht bekannt ist, geben wir einen
Schätzwert für die Ordnung des Residuums in Bezug auf h an, d. h., wir sagen,
dass Rk(x) einen Fehler der Ordnung hn+1 aufweist, oder R ≈ O(hk+1). Wenn h
eine kleine Zahl ist, z. B. h<<1, ist hk+1 in der Regel sehr klein, d. h.
hk+1<<hk<< …<< h << 1. Je größer daher für x nahe x0 die Zahl der Elemente
im Taylor-Polynom ist, desto niedriger ist die Ordnung des Residuums.
Seite 13-26
Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES
Die Funktionen TAYLR, TAYLR0 und SERIES werden zum Erzeugen von TaylorPolynomen sowie für Taylor-Reihen mit Residuen verwendet. Diese Funktionen
sind im Menü CALC/LIMITS&SERIES verfügbar, das bereits in diesem Kapitel
beschrieben wurde.
Die Funktion TAYLOR0 führt eine MacLaurin-Entwicklung um X = 0 eines
Ausdrucks in der unabhängigen Standardvariablen VX (in der Regel ’X’) durch.
Bei der Entwicklung wird eine relative Potenz 4. Ordnung verwendet, d. h., die
Differenz zwischen der höchsten und niedrigsten Potenz beträgt 4. Beispiel:
Die Funktion TAYLR ergibt die Taylor-Entwicklung der Funktion einer beliebigen
Variablen x um einen Punkt x = a für die vom Benutzer angegebene Ordnung k.
Somit hat die Funktion das Format TAYLR(f(x-a),x,k). Beispiel:
Die Funktion SERIES ergibt ein Taylor-Polynom, wobei als Argumente die zu
entwickelnde Funktion f(x), nur ein Variablenname (bei MacLaurin-Reihen) oder
ein Ausdruck der Form ’Variable = Wert’, der den Entwicklungspunkt der TaylorReihe angibt, und die Ordnung der zu erzeugenden Reihe verwendet werden.
Die Funktion SERIES gibt zwei Ausgabeobjekte zurück: Eine Liste mit vier
Elementen und ein Ausdruck für h = x - a, wenn das zweite Argument im
Funktionsaufruf ’x = a’ lautet, also ein Ausdruck für das Inkrement h. Die als
erstes Ausgabeobjekt zurückgegebene Liste enthält die folgenden Elemente:
1 -Einen bidirektionalen Grenzwert der Funktion am Entwicklungspunkt, d. h.
lim f ( x)
x→ a
Seite 13-27
2 - Einen äquivalenten Wert für die Funktion nahe x = a
3 - Einen Ausdruck für das Taylor-Polynom
4 - Die Ordnung des Residuums bzw. Restes
Wegen der relativ umfangreichen Ausgabe ist diese Funktion im RPN-Modus
leichter zu handhaben. Beispiel:
Entfernen Sie den Inhalt der Ebene 1 des Stacks, indem Sie ƒ drücken, und
geben Sie dann μ ein, um die Liste in ihre Bestandteile zu zerlegen. Die
Ergebnisse lauten wie folgt:
In der Abbildung rechts oben wird der Zeileneditor verwendet, um die
Reihenentwicklung im Detail anzuzeigen.
Seite 13-28
Kapitel 14
Anwendungen der multivariaten Analysis/
Infinitesimalrechnung
Die Bezeichnung „Multivariate Analysis/ Infinitesimalrechnung“ bezieht sich auf
Funktionen mit mindestens zwei Variablen. In diesem Kapitel werden die
Grundkonzepte der multivariaten Infinitesimalrechnung einschließlich partieller
Ableitungen und mehrfacher Integrale erläutert:
Multivariate Funktionen
Eine Funktion mit mindestens zwei Variablen kann im Taschenrechner mit der
Funktion DEFINE („à) definiert werden. Um das Konzept partieller
Ableitungen zu veranschaulichen, definieren wir zwei multivariate Funktionen
f(x,y) = x cos(y) und g(x,y,z) = (x2+y2)1/2sin(z) wie folgt:
Wir können diese Funktionen genau wie jede andere Taschenrechnerfunktion
berechnen, z. B.
Graphen zweidimensionaler Funktionen können mit schnellen 3D-Plots,
Drahtgitter- (Wireframe), Ps-Contour-, Y-Schnitt-, Netz- (Gridmap) und PrOberflächen-zeichnungen erstellt werden, wie in Kapitel 12 beschrieben.
Seite 14-1
Partielle Ableitungen
Betrachten Sie die Funktion mit zwei Variablen z = f(x,y). Die partielle Ableitung
der Funktion für x ist definiert durch den Grenzwert
f ( x + h, y ) − f ( x , y )
∂f
= lim
.
h
∂x h→0
Entsprechend ist
∂f
f ( x, y + k ) − f ( x , y )
= lim
.
∂y k →0
k
Wir verwenden die zuvor definierten multivariaten Funktionen, um mit diesen
Definitionen partielle Ableitungen zu berechnen. Dies sind die Ableitungen von
f(x,y) für x bzw. y:
Beachten Sie, dass die Definition der partiellen Ableitung für x beispielsweise
erfordert, dass y unverändert bleibt, während als Grenzwert h0 verwendet
wird. Dies bietet eine Möglichkeit zur schnellen Berechnung partieller
Ableitungen multivariater Funktionen: Verwenden Sie die Regeln gewöhnlicher
Ableitungen für die relevante Variable, während alle anderen Variablen als
Konstanten betrachtet werden. So ist z. B.
∂
(x cos( y ) ) = cos( y ), ∂ (x cos( y ) ) = − x sin( y ) ,
∂x
∂y
wobei es sich um dieselben Ergebnisse wie bei den zuvor berechneten
Grenzwerten handelt. Betrachten Sie ein weiteres Beispiel:
∂
yx 2 + y 2 = 2 yx + 0 = 2 xy
∂x
(
)
Seite 14-2
Bei dieser Berechnung behandeln wir y als Konstante und berechnen
Ableitungen des Ausdrucks nach x.
Entsprechend können Sie die Ableitungsfunktionen des Taschenrechners, z. B.
DERVX, DERIV und ∂ (in Kapitel 13 ausführlich beschrieben), zum Berechnen
von partiellen Ableitungen verwenden. Entsinnen Sie sich, dass die Funktion
DERVX die CAS-Standardvariable VX (in der Regel „X“) verwendet. Sie können
daher mit DERVX nur Ableitungen nach X berechnen. Im Folgenden werden
einige Beispiele für partielle Ableitungen erster Ordnung dargestellt:
!!!
Ableitungen höherer Ordnung
Die folgenden Ableitungen höherer Ordnung können als
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
∂2 f
=
⎜ ⎟, 2 = ⎜⎜ ⎟⎟,
2
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y
∂y ⎝ ∂y ⎠
∂x
∂2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f
∂ ⎛ ∂f ⎞
= ⎜ ⎟,
= ⎜⎜ ⎟⎟
∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠
definiert werden. Die letzten beiden Ausdrücke stellen gemischte Ableitungen
dar. Die Zeichen im Nenner für partielle Ableitungen geben die Ordnung der
Seite 14-3
Ableitung an. Auf der linken Seite wird die Ableitung zunächst nach x und
dann nach y berechnet, und auf der rechten Seite ist die Reihenfolge
umgekehrt. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass bei einer stetigen und
differenzierbaren Funktion Folgendes gilt:
∂2 f
∂2 f
=
.
∂y∂x ∂x∂y
Ableitungen dritter, vierter und höherer Ordnung werden auf ähnliche Weise
definiert.
Um mit dem Taschenrechner Ableitungen höherer Ordnung zu berechnen,
wenden Sie einfach die Ableitungsfunktion so häufig wie erforderlich an. Unten
werden einige Beispiele dargestellt:
Die Kettenregel für partielle Ableitungen
Betrachten Sie die Funktion z = f(x,y), wobei x = x(t), y = y(t). Die Funktion z
stellt eigentlich eine zusammengesetzte Funktion von t dar, wenn wir sie als z =
f[x(t),y(t)] schreiben. In diesem Fall wird die Kettenregel für die Ableitung dz/dt
wie folgt geschrieben:
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
⋅ + ⋅
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Um den Ausdruck anzuzeigen, den der Taschenrechner für diese Version der
Kettenregel erzeugt, geben Sie Folgendes ein:
Seite 14-4
Das Ergebnis wird durch d1y(t)⋅d2z(x(t),y(t))+d1x(t)⋅d1z(x(y),y(t)) ausgegeben.
Der Ausdruck d1y(t) bedeutet „die Ableitung von y(t) für die erste unabhängige
Variable, d. h. t“ oder d1y(t) = dy/dt. Entsprechend ist d1x(t) = dx/dt.
Andererseits bedeutet d1z(x(t),y(t)) „die erste Ableitung von z(x,y) für die erste
unabhängige Variable, d. h. x“ oder d1z(x(t),y(t)) = ∂z/∂x. Entsprechend ist
d2z(x(t),y(t)) = ∂z/∂y. Daher muss der obige Ausdruck folgendermaßen
interpretiert werden:
dz/dt = (dy/dt)⋅(∂z/∂y) + (dx/dt)⋅(∂z/∂x).
Totales Differenzial einer Funktion z = z(x,y)
Wenn wir die letzte Gleichung mit dt multiplizieren, erhalten wir das totale Differenzial der Funktion z = z(x,y), d. h. dz = (∂z/∂x)⋅dx + (∂z/∂y)⋅dy.
Eine andere Variante der Kettenregel wird angewendet, wenn z = f(x,y), x =
x(u,v), y = y(u,v), sodass z = f[x(u,v), y(u,v)]. Die folgenden Formeln stellen die
Kettenregel für diesen Fall dar:
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
⋅
+ ⋅ ,
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
⋅ + ⋅
∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
Bestimmen der Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen
Damit die Funktion z = f(x,y) bei (xo,yo) einen Extrempunkt (Extremwert)
aufweist, müssen ihre Ableitungen ∂f/∂x und ∂f/∂y an diesem Punkt
verschwinden. Dies sind die notwendigen Bedingungen. Die hinreichenden
Bedingungen dafür, dass die Funktion am Punkt (xo,yo) einen Extremwert
aufweist, sind ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 und Δ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 > 0.
Seite 14-5
Der Punkt (xo,yo) ist ein relatives Maximum, wenn ∂2f/∂x2 < 0, oder ein relatives
Minimum, wenn ∂2f/∂x2 > 0. Der Wert Δ wird als Diskriminante bezeichnet.
Wenn Δ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 < 0, liegt eine als Sattelpunkt
bezeichnete Bedingung vor, wobei die Funktion bei x ein Maximum erreicht,
wenn y als Konstante beibehalten wird, während gleichzeitig ein Minimum
erreicht wird, wenn x als Konstante beibehalten wird, oder umgekehrt.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Extrempunkte (sofern vorhanden) der Funktion
f(X,Y) = X3-3X-Y2+5. Wir definieren zunächst die Funktion f(X/Y) und ihre
Ableitungen fX(X,Y) = ∂f/∂X, fY(X,Y) = ∂f/∂Y. Anschließend lösen wir
gleichzeitig die Gleichungen fX(X,Y) = 0 und fY(X,Y) = 0:
Wir finden kritische Punkte bei (X,Y) = (1,0) und (X,Y) = (-1,0). Zum Berechnen
der Diskriminante berechnen wir die zweiten Ableitungen fXX(X,Y) = ∂2f/∂X2,
fXY(X,Y) = ∂2f/∂X/∂Y und fYY(X,Y) = ∂2f/∂Y2.
Das letzte Ergebnis gibt an, dass die Diskriminante Δ = -12X lautet. Für (X,Y) =
(1,0) ist daher Δ<0 (Sattelpunkt) und für (X,Y) = (-1,0) ist Δ>0 und ∂2f/∂X2<0
(relatives Maximum). Die unten dargestellte, vom Taschenrechner erzeugte und
mit dem Computer bearbeitete Abbildung veranschaulicht diese beiden Punkte:
Seite 14-6
Verwenden der Funktion HESS zur Analyse von Extremwerten
Die Funktion HESS kann wie folgt zum Analysieren der Extremwerte einer
Funktion zweier Variablen verwendet werden. Als Eingabe für die Funktion
HESS werden generell eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2,
…,xn) und ein Vektor der Funktionen [’x1’ ’x2’… ’xn’] verwendet. Die Funktion
HESS gibt die Hesse-Matrix der Funktion φ zurück, definiert als Matrix H = [hij]
= [∂2φ/∂xi∂xj], den Gradienten der Funktion für n Variablen grad f = [ ∂φ/∂x1,
∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] und die Liste der Variablen [’x1’ ’x2’… ’xn’].
Im RPN-Modus können Anwendungen der Funktion HESS einfacher grafisch
dargestellt werden. Im folgenden Beispiel wenden wir die Funktion HESS auf
die Funktion φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ an. Die Bildschirmabbildungen zeigen
den RPN-Stack vor und nach der Anwendung der Funktion HESS.
Wenn der Gradient auf Ebene 2 auf eine Funktion mit zwei Variablen
angewendet wird und gleich Null ist, stellt er die Gleichungen für kritische
Punkte dar, d. h. ∂φ/∂xi = 0, während die Matrix auf Ebene 3 Ableitungen
zweiter Ordnung enthält. Somit können die Ergebnisse der Funktion HESS zur
Analyse der Extremwerte von Funktionen mit zwei Variablen verwendet werden.
Seite 14-7
Gehen Sie beispielsweise für die Funktion f(X,Y) = X3-3X-Y2+5 im RPN-Modus
wie folgt vor:
’X^3-3*X-Y^2+5’ ` [‘X’,’Y’] `
HESS
SOLVE
μ
‘s1’ K ‘s2’ K
Funktion und Variablen eingeben
Funktion HESS anwenden
Kritische Punkte suchen
Vektor zerlegen
Kritische Punkte speichern
Die Variablen s1 und s2 enthalten an dieser Stelle die Vektoren [’X=-1’, ’Y=0’]
bzw. [’X=1’, ’Y=0’]. Die Hesse-Matrix befindet sich an dieser Stelle auf Ebene 1.
‘H’ K
J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï
Hesse-Matrix speichern
s1 in H einsetzen
Die resultierende Matrix A besitzt die Elemente a11 = ∂2φ/∂X2 = -6., a22 =
∂2φ/∂X2 = -2. und a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. Die Diskriminante für diesen
kritischen Punkt s1(-1,0) ist Δ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (-6.)(-2.) = 12.0
> 0. Da ∂2φ/∂X2 < 0 ist, stellt Punkt s1 ein relatives Maximum dar.
Anschließend ersetzen wir den zweiten Punkt s2 in H:
J @@@H@@@ @@s2@@ SUBST ‚ï
s2 in H ersetzen
Die resultierende Matrix besitzt die Elemente a11 = ∂2φ/∂X2 = 6., a22 = ∂2φ/
∂X2 = -2. und a12 = a21 = ∂2φ/∂X∂Y = 0. Die Diskriminante für diesen
kritischen Punkt s2(1,0) ist Δ = (∂2f/∂x2)⋅(∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 = (6.)(-2.) -12.0 <
0 und gibt einen Sattelpunkt an.
Mehrfache Integrale
Eine physikalische Interpretation eines normalen Integrals
∫
b
a
f ( x)dx ist die
Fläche unter der Kurve y = f(x) zwischen den x-Koordinaten x = a und x = b. Die
Erweiterung eines „normalen“ Integrals auf drei Dimensionen ist ein doppeltes
Seite 14-8
Integral einer Funktion f(x,y) über einem Bereich R auf der x-y-Fläche, das den
Rauminhalt des Körpers unter der Fläche f(x,y) über dem Bereich R darstellt. Der
Bereich R kann als R = {a<x<b, f(x)<y<g(x)} oder als R = {c<y<d, r(y)<x<s(y)}
beschrieben werden. Somit kann das doppelte Integral wie folgt geschrieben
werden:
b
g( x)
a
f ( x)
∫∫ φ ( x, y )dA = ∫ ∫
R
φ ( x, y )dydx = ∫
d
c
∫
s( y )
r( y )
φ ( x, y )dydx
Die Berechnung eines doppelten Integrals mit dem Taschenrechner ist
unkompliziert. Ein doppeltes Integral kann im EquationWriter erzeugt werden
(siehe das Beispiel in Kapitel 2). Ein Beispiel folgt. Dieses doppelte Integral wird
direkt im EquationWriter berechnet, indem der ganze Ausdruck ausgewählt und
die Funktion @EVAL verwendet wird. Das Ergebnis ist 3/2. Wenn Sie im CAS
MODES-Fenster die Option Step/Step auswählen, ist eine schrittweise Ausgabe
möglich.
Seite 14-9
Jacobimatrix einer Koordinatentransformation
Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = x(u,v), y = y(u,v). Die
Jacobimatrix dieser Transformation wird definiert als
⎛ ∂x
⎜
| J |= det( J ) = det⎜ ∂u
⎜ ∂y
⎜
⎝ ∂u
∂x ⎞
⎟
∂v ⎟
∂y ⎟
⎟
∂v ⎠
Wenn Sie mit dieser Transformation ein Integral berechnen, lautet der zu
verwendende Ausdruck
∫∫φ ( x, y)dydx = ∫∫φ[ x(u, v), y(u, v)] | J | dudv ,
R
R'
wobei R' der durch die Koordinaten (u,v) angegebene Bereich R ist.
Doppeltes Integral in Polarkoordinaten
Zur Transformation von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten
verwenden wir x(r,θ) = r cos θ und y(r, θ) = r sin θ. Somit lautet die Jacobimatrix
der Transformation
∂x
| J |= ∂r
∂y
∂r
∂x
∂θ = cos( θ ) − r ⋅ sin(θ ) = r
∂y
sin(θ ) r ⋅ cos(θ )
∂θ
Bei diesem Ergebnis werden Integrale in Polarkoordinaten als
∫∫ φ (r,θ )dA = ∫
R'
β
α
∫
g (θ )
f (θ )
φ ( r,θ )rdrdθ
geschrieben, wobei der Bereich R' in Polarkoordinaten R’ = {α < θ < β, f(θ) < r
< g(θ)} lautet.
Doppelte Integrale in Polarkoordinaten können in den Taschenrechner
eingegeben werden, wenn sichergestellt wird, dass die Jacobimatrix |J| = r im
Seite 14-10
Integranden enthalten ist. Es folgt ein Beispiel für ein doppeltes Integral, dessen
Berechnung in Polarkoordinaten schrittweise angezeigt wird:
Seite 14-11
Kapitel 15
Anwendungen der Vektorrechnung
In diesem Kapitel stellen wir mehrere Funktionen aus dem Menü CALC für die
Berechnung von Skalar- und Vektorfeldern vor. Das Menü CALC wurde in
Kapitel 13 ausführlich vorgestellt. Wir haben insbesondere auf mehrere
Funktionen im Menü DERIV&INTEG hingewiesen, die für die Vektorrechnung
verwendet werden können, nämlich CURL, DIV, HESS und LAPL. Ändern Sie für
die Übungen in diesem Kapitel das Winkelmaß in Bogenmaß (Radian).
Definitionen
Eine für einen Raumbereich definierte Funktion, z. B. φ(x,y,z), wird als
Skalarfeld bezeichnet. Beispiele hierfür sind Temperatur, Dichte und Spannung
in der Nähe einer Ladung. Wenn die Funktion durch einen Vektor definiert ist,
d. h. F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, wird sie als Vektorfeld bezeichnet.
Der folgende Operator, der als Del- oder Nabla-Operator bezeichnet wird, ist
ein Vektoroperator, der auf eine Skalar- oder Vektorfunktion angewendet
werden kann:
∇[ ] = i ⋅
∂
[ ]+ j ⋅ ∂ [ ]+ k ⋅ ∂ [
∂x
∂y
∂z
]
Wenn dieser Operator auf eine Skalarfunktion angewendet wird, können wir
den Gradienten der Funktion erhalten, und wenn er auf eine Vektorfunktion
angewendet wird, können wir die Divergenz und die Rotation dieser Funktion
erhalten. Die Kombination von Gradient und Divergenz ergibt einen weiteren
Operator, der als Laplace-Operator einer Skalarfunktion bezeichnet wird. Diese
Operationen werden nun vorgestellt.
Gradient und Richtungsableitung
Der Gradient einer Skalarfunktion φ(x,y,z) ist eine Vektorfunktion, die durch
Seite 15-1
gradφ = ∇φ = i ⋅
∂φ
∂φ
∂φ
+ j⋅
+k⋅
∂x
∂y
∂z
definiert ist. Das Skalarprodukt des Gradienten einer Funktion mit einem
bestimmten Einheitsvektor stellt die Änderungsrate der Funktion entlang diesem
bestimmten Vektor dar.Diese Änderungsrate wird als Richtungsableitung
Duφ(x,y,z) = u•∇φ der Funktion bezeichnet.
Die maximale Änderungsrate der Funktion erfolgt an jedem beliebigen Punkt in
der Richtung des Gradienten, d. h. entlang einem Einheitsvektor u = ∇φ/|∇φ|.
Der Wert der Richtungsableitung ist gleich dem Betrag des Gradienten an
einem beliebigen Punkt Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ|.
Die Gleichung φ(x,y,z) = 0 stellt eine Fläche im Raum dar. Der Gradient der
Funktion ist an jedem Punkt der Fläche senkrecht zur Fläche. Daher kann die
Gleichung der Tangentialebene zur Kurve an diesem Punkt mit der in Kapitel 9
dargestellten Methode ermittelt werden.
Die im Menü CALC verfügbare Funktion DERIV stellt die einfachste Möglichkeit
dar, den Gradienten zu erhalten, z. B.
Ein Programm zum Berechnen des Gradienten
Das folgende Programm, das Sie in der Variablen GRADIENT speichern
können, verwendet die Funktion DERIV zum Berechnen des Gradienten einer
Skalarfunktion von X,Y,Z. Berechnungen für andere Basisvariablen sind nicht
möglich. Wenn Sie häufig mit (X,Y,Z) arbeiten, erleichtert diese Funktion jedoch
die Berechnungen:
<< X Y Z 3 ARRY DERIV >>
Seite 15-2
Geben Sie das Programm im RPN-Modus ein. Nachdem Sie den ALG-Modus
gestartet haben, können Sie die Funktion GRADIENT wie im folgenden Beispiel
aufrufen:
Verwenden der Funktion HESS zum Erhalten des Gradienten
Mit der Funktion HESS können Sie den Gradienten einer Funktion wie im
Folgenden dargestellt erhalten. Wie in Kapitel 14 erläutert, wird als Eingabe für
die Funktion HESS eine Funktion mit n unabhängigen Variablen φ(x1, x2, …,xn)
und ein Vektor der Funktionen [„x1“ „x2“…„xn“] verwendet. Die Funktion HESS
gibt die Hesse-Matrix der Funktion φ zurück, definiert als die Matrix H = [hij] =
[∂φ/∂xi∂xj], den Gradienten der Funktion für n Variablen grad f = [ ∂φ/∂x1,
∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] und die Liste der Variablen [„x1“ „x2“…„xn“]. Im
folgenden Beispiel wenden wir im RPN-Modus die Funktion HESS auf das
Skalarfeld φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ an:
Somit ist der Gradient [2X+Y+Z, X, X]. Alternativ kann man die Funktion DERIV
wie folgend verwenden, um das selbe Ergebnis zu erhalten:
DERIV(X^2+X*Y+X*Z,[X,Y,Z]).
Potential eines Gradienten
Wenn ein Vektorfeld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k und eine Funktion
φ(x,y,z) gegeben sind, sodass f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y und h = ∂φ/∂z, dann wird
φ(x,y,z) als Potentialfunktion für das Vektorfeld F bezeichnet. Es folgt, dass F =
grad φ = ∇φ.
Der Taschenrechner enthält die Funktion POTENTIAL, die über den
Befehlskatalog (‚N) verfügbar ist, um die Potentialfunktion eines
Seite 15-3
Vektorfeldes zu berechnen, sofern dies existiert. Wenn beispielsweise F(x,y,z) =
xi + yj + zk ist, ergibt sich durch Anwenden der Funktion POTENTIAL
Folgendes:
Da die Funktion SQ(x) den Wert x2 darstellt, gibt dieses Ergebnis an, dass die
Potentialfunktion für das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk durch die Gleichung
φ(x,y,z) = (x2+y2+z2)/2 dargestellt wird.
Beachten Sie, dass die Bedingungen für das Vorhandensein von φ(x,y,z),
nämlich f = ∂φ/∂x, g = ∂φ/∂y und h = ∂φ/∂z, mit den Bedingungen ∂f/∂y =
∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x und ∂g/∂z = ∂h/∂y äquivalent sind. Anhand dieser
Bedingungen lässt sich schnell bestimmen, ob das Vektorfeld über eine
entsprechende Potentialfunktion verfügt. Wenn eine der Bedingungen ∂f/∂y =
∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x, ∂g/∂z = ∂h/∂y nicht zutrifft, ist die Potentialfunktion
φ(x,y,z) nicht vorhanden. In diesem Fall gibt die Funktion POTENTIAL eine
Fehlermeldung zurück. Beispielsweise weist das Vektorfeld F(x,y,z) = (x+y)i + (xy+z)j + xzk keine entsprechende Potentialfunktion auf, da ∂f/∂z ≠ ∂h/∂x. Die
Meldung des Taschenrechners in diesem Fall wird unten dargestellt:
Divergenz
Die Divergenz einer Vektorfunktion F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k wird
als Skalarprodukt des Del-Operators mit der Funktion definiert, d. h.
divF = ∇ • F =
∂f ∂g ∂h
+
+
∂x ∂y ∂z
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Die Divergenz eines Vektorfeldes kann mit der Funktion DIV berechnet werden.
Beispielsweise wird für F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ] die Divergenz wie folgt im
ALG-Modus berechnet:
Laplace-Operator
Die Divergenz des Gradienten einer Skalarfunktion ergibt einen Operator, der
als Laplace-Operator bezeichnet wird. Der Laplace-Operator einer
Skalarfunktion φ(x,y,z) wird somit durch
∇ 2φ = ∇ • ∇ φ =
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ
+
+
∂x 2 ∂x 2 ∂x 2
angegeben. Die partielle Differenzialgleichung ∇2φ = 0 wird als LaplaceGleichung bezeichnet.
Der Laplace-Operator einer Skalarfunktion kann mit der Funktion LAPL
berechnet werden. Geben Sie beispielsweise zum Berechnen des LaplaceOperators der Funktion φ(X,Y,Z) = (X2+Y2)cos(Z) Folgendes ein:
Rotation
Die Rotation eines Vektorfeldes F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k wird
durch das Kreuzprodukt des Del-Operators mit dem Vektorfeld definiert, d. h.:
i
j
k
∂
∂
∂
[]
[]
[]
curlF = ∇ × F =
∂x
∂y
∂z
f ( x, y , z ) g ( x, y , z ) h ( x , y , z )
Seite 15-5
⎛ ∂h ∂g ⎞ ⎛ ∂f ∂h ⎞
⎛ ∂h ∂g ⎞
= i⎜⎜ − ⎟⎟ + j⎜ − ⎟ + k ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠
⎝ ∂y ∂z ⎠
Die Rotation des Vektorfeldes kann mit der Funktion CURL berechnet werden.
Beispielsweise wird für die Funktion F(X,Y,Z) = [XY,X2+Y2+Z2,YZ] die Rotation
wie folgt berechnet:
Rotationsfreie Felder und Potentialfunktion
In einem vorherigen Abschnitt dieses Kapitels haben wir die Funktion
POTENTIAL vorgestellt, um die Potentialfunktion φ(x,y,z) für ein Vektorfeld
F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k zu berechnen, sodass F = grad φ = ∇φ.
Wir haben auch angegeben, dass die Bedingungen für das Vorhandensein von
φ wie folgt lauten: ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x und ∂g/∂z = ∂h/∂y. Diese
Bedingungen sind mit folgendem Vektorausdruck äquivalent:
curl F = ∇×F = 0.
Ein Vektorfeld F(x,y,z) mit der Rotation Null wird als rotationsfreies Feld
bezeichnet. Daraus schließen wir, dass für ein rotationsfreies Feld F(x,y,z) eine
Potentialfunktion φ(x,y,z) stets vorhanden ist.
In einem vorherigen Beispiel haben wir versucht, eine Potentialfunktion für das
Vektorfeld F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk zu finden und haben eine von der
Funktion POTENTIAL zurückgegebene Fehlermeldung erhalten. Um zu
überprüfen, ob es sich hierbei um ein Rotationsfeld handelt (d. h. ∇×F ≠ 0),
verwenden wir für dieses Feld die Funktion CURL:
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Andererseits ist das Vektorfeld F(x,y,z) = xi + yj + zk tatsächlich rotationsfrei,
wie unten gezeigt:
Vektorpotential
Wenn für ein Vektorfeld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k eine
Vektorfunktion Φ(x,y,z) = φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k vorhanden ist, sodass F
= curl Φ = ∇× Φ, wird die Funktion Φ(x,y,z) als Vektorpotential von F(x,y,z)
bezeichnet.
Der Taschenrechner enthält die über den Befehlskatalog (‚N) verfügbare
Funktion VPOTENTIAL, um das Vektorpotential Φ(x,y,z) zu berechnen, wenn das
Vektorfeld F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k vorhanden ist. Für das
Vektorfeld F(x,y,z) = -(yi+zj+xk) ergibt VPOTENTIAL beispielsweise
D. h. Φ(x,y,z) = -x2/2j + (-y2/2+zx)k.
Es sollte darauf hingewiesen werden, dass für ein Vektorfeld F mehrere
Vektorpotentialfunktionen Φ vorhanden sind. In der folgenden
Bildschirmabbildung wird beispielsweise gezeigt, dass die Rotation der
Vektorfunktion Φ1 = [X2+Y2+Z2,XYZ,X+Y+Z] durch den Vektor F = ∇× Φ2 = [1XY,2Z-1,ZY-2Y] dargestellt wird. Durch Anwendung der Funktion VPOTENTIAL
wird die Vektorpotentialfunktion Φ2 = [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)] erstellt, die sich
von Φ1 unterscheidet. Der letzte Befehl in der Bildschirmabbildung zeigt, dass
tatsächlich F = ∇× Φ2. Somit ist eine Vektorpotentialfunktion nicht eindeutig
bestimmt.
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Die Beziehung der Komponenten des Vektorfeldes F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j
+h(x,y,z)k und der Vektorpotentialfunktion Φ(x,y,z) =
φ(x,y,z)i+ψ(x,y,z)j+η(x,y,z)k wird durch f = ∂η/∂y - ∂ψ/∂x, g = ∂φ/∂z - ∂η/∂x
und h = ∂ψ/∂x - ∂φ/∂y bestimmt.
Als Bedingung für das Vorhandensein der Funktion Φ(x,y,z) ist, dass div F = ∇
•F = 0, d. h. ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂f/∂z = 0. Wenn daher diese Bedingung nicht
erfüllt ist, ist die Vektorpotentialfunktion Φ(x,y,z) nicht vorhanden. Beispielsweise
gibt die Funktion VPOTENTIAL für F = [X+Y,X-Y,Z^2] eine Fehlermeldung
zurück, da die Funktion F die Bedingung ∇•F = 0 nicht erfüllt:
Die Bedingung ∇•F ≠ 0 wird in der folgenden Bildschirmabbildung überprüft:
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Kapitel 16
Differentialgleichungen
In diesem Kapitel stellen wir Beispiele zur Lösung gewöhnlicher
Differentialgleichungen (ODE) mithilfe der Rechnerfunktionen vor. Eine
Differentialgleichung ist eine Gleichung, die Ableitungen der unabhängigen
Variable einschließt. In den meisten Fällen suchen wir die abhängige Funktion,
welche die Differentialgleichung erfüllt.
Grundfunktionen für Differentialgleichungen
In diesem Abschnitt stellen wir einige Anwendungen des Taschenrechners zur
Eingabe, Überprüfung und Anzeige von Lösungen einer ODE vor.
Differentialgleichungen eingeben
Der Schlüssel zur Verwendung von Differentialgleichungen im Taschenrechner
ist die Eingabe der Ableitungen in die Gleichung. Der einfachste Weg eine
Differentialgleichung einzugeben, ist die Eingabe in den EquationWriter. Zur
Eingabe der ODE
(x-1)⋅(dy(x)/dx)2 + 2⋅x⋅y(x) = ex sin x, verwenden Sie zum Beispiel:
‚O „ Ü~ „x -1 ™™™*‚¿ ~„x
™~„y„Ü~„x™™ Q2 ™™+2*
~„ x * ~„ y „Ü~„x ™™™™
‚= „¸ ~„ x ™*S~„x `
Die Ableitung dy/dx wird dargestellt durch ∂x(y(x)) oder durch d1y(x). Für
Lösungs- oder Berechnungszwecke muss y(x) im Ausdruck spezifiziert sein, d. h.
die abhängige Variable muss in jeder Ableitung in der Gleichung ihre
unabhängige Variable(n) enthalten.
Sie können eine Gleichung auch direkt in den Stack eingeben, indem Sie das
Symbol ∂ in den Ableitungen verwenden. Zur Eingabe der folgenden ODE mit
Ableitungen zweiter Ordnung: d2u(x)/dx2 + 3u(x)⋅(du(x)/dx) + u(x)2 = 1/x
direkt auf den Bildschirm, verwenden Sie:
³‚∂ ~„x„Ü‚¿~„x„ Ü~ „u
„Ü ~„x™™™+3*~ „u„Ü
Seite 16-1
~„x™*‚¿~„x„ Ü~„u„ Ü
~„x ™™ +~„u„ Ü ~„x™ Q2
‚ Å 1/ ~„x`
Das Ergebnis lautet: ‘∂x(∂x(u(x)))+3*u(x)*∂x(u(x))+u^2=1/x ’. Dieses
Format wird auf dem Display angezeigt, wenn die Option _Textbook in der
Display-Einstellung (H@)DISP) nicht aktiviert ist. Drücken Sie ˜ zum Anzeigen
der Gleichung im EquationWriter.
Eine alternative Notation für die direkte Eingabe der Ableitungen in den Stack ,
ist die Verwendung von ‘d1’ für die Ableitung nach der ersten unabhängigen
Variable, ‘d2’ für die Ableitung nach der zweiten unabhängigen Variable, usw.
Eine Ableitung zweiter Ordnung wäre z. B. d2x/dt2, wobei x = x(t), als
‘d1d1x(t)’ geschrieben würde und (dx/dt)2 als ‘d1x(t)^2’. Somit würde die
ODE ∂2y/∂t2 – g(x,y)⋅ (∂2y/∂x2)2 = r(x,y), mithilfe dieser Notaiton als
‘d2d2y(x,t)-g(x,y)*d1d1y(x,t)^2=r(x,y)’ geschrieben werden.
Die Notation, die ‘d’ und die Ordnung der unabhängigen Variable verwendet,
wird vom Taschenrechner bevorzugt, wenn eine Berechnung Ableitungen
umfasst. Zum Beispiel führt die Verwendung von DERIV, im ALG-Modus,
DERIV(‘x*f(x,t)+g(t,y) = h(x,y,t)’,t), zum folgenden Ausdruck:
Weil die Ordnung der Variable t in f(x,t), g(t,y), und h(x,y,t) verschieden ist,
haben Ableitungen nach t verschiedene Indizes, d.h. d2f(x,t), d1g(t,y), und
d3h(x,y,t). Sie sind jedoch alle Ableitungen nach derselben Variable.
Ausdrücke für Ableitungen, die die Indexnotation- für die Ordnung der Variable
verwenden, werden im EquationWriter nicht in die Ableitungsnotation
übersetzt, wie Sie durch Drücken von ˜ überprüfen können, solange das
letzte Ergebnis noch in der Stack-Ebene 1 enthalten ist. Der Taschenrechner
versteht jedoch beide Notationen und geht dementsprechend nach der
verwendeten Notation vor.
Seite 16-2
Lösungen im Taschenrechner überprüfen
Um unter Verwendung des Taschenrechners zu überprüfen, ob eine Funktion
eine bestimmte Gleichung erfüllt, verwenden Sie die Funktion SUBST (siehe
Kapitel 5), um die Lösung in der Form ‘y = f(x)’ oder ‘y = f(x,t)’, usw. in die
Differentialgleichung einzusetzen. Möglicherweise müssen Sie das Ergebnis
mithilfe von EVAL vereinfachen, um die Lösung zu bestätigen. Um z. B. zu
überprüfen, ob u = A sin
Im ALG-Modus:
SUBST(‘∂t(∂t(u(t)))+ω0^2*u(t) = 0’,‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’) `
EVAL(ANS(1)) `
Im RPN-Modus:
‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ `
SUBST EVAL
Das Ergebnis ist
‘0=0’.
Für dieses Beispiel könnten Sie auch Folgendes verwenden, um die
Differentialgleichung einzugeben: ‘∂t(∂t(u(t))))+ ω0^2*u(t) = 0’.
Lösungen als Steigungsfeld anzeigen
Steigungsfeld-Grafiken, die in Kapitel 12 näher erklärt wurden, werden
verwendet, um die Lösung einer Differentialgleichung der Form dy/dx = f(x,y)
zu veranschaulichen. Eine Steigungsfeld-Anzeige zeigt eine Reihe von
Segmenten tangential zur Lösungskurve y = f(x). Die Steigung des Segments
wird an jedem Punkt (x,y) durch dy/dx = f(x,y), bei einem beliebigen Punkt (x,y)
ausgewertet, angezeigt und stellt die Steigung der Tangente bei Punkt (x,y) dar.
Beispiel 1 – Berechnen Sie die Lösung zur Differentialgleichung y’ = f(x,y) = sin
x cos y mithilfe einer Steigungsfeld-Grafik. Um dieses Problem zu lösen,
befolgen Sie die Anweisungen in Kapitel 12 für Steigungsfeld-Zeichnungen.
Seite 16-3
Wenn Sie die Steigungsfeld-Zeichnung manuell nachzeichnen könnten, könnten
Sie mit der Hand die Linien verfolgen, die zu den in der Zeichnung gezeigten
Liniensegmenten tangential verlaufen. Diese Linien bilden die Linien von y(x,y) =
konstant für die Lösung von y’ = f(x,y). Steigungsfelder sind nützliche Hilfsmittel
bei der Anzeige außergewöhnlich schwierig zu lösender Gleichungen.
Zusammenfassend sind Steigungsfelder grafische Hilfsmittel, um die Kurven von
y = g(x) anzuzeigen, die den Lösungen der Differentialgleichung dy/dx = f(x,y)
entsprechen.
Das Menü CALC/DIFF
Das Untermenü DIFFERENTIAL EQNS im Menü CALC („Ö) enthält
Funktionen zur Lösung von Differentialgleichungen. Das Menü ist unten (SystemFlag 117 ist auf CHOOSE boxes gesetzt) aufgelistet.
Diese Funktionen werden nachfolgend kurz beschrieben. Später in diesem
Kapitel werden Sie eingehender erläutert.
DESOLVE: Die Differentialgleichungs-SOLVEr errechnet eine Lösung, falls
möglich.
ILAP: Inverse LAPlace-Transformation, L-1[F(s)] = f(t)
LAP: LAPlace-Transformation, L[f(t)]=F(s)
LDEC: löst lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten,
einschließlich Systeme von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
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Lösung linearer und nicht-linearer Gleichungen
Eine Gleichung, in der die abhängige Variable und all ihre Ableitungen ersten
Grades sind, wird lineare Differentialgleichung genannt. Anderenfalls wird die
Gleichung als nicht-linear bezeichnet. Beispiele für lineare
Differentialgleichungen sind: d²x/dt2 + β⋅(dx/dt) + ωo⋅x = A sin ωf t, und ∂C/
∂t + u⋅(∂C/∂x) = D⋅(∂2C/∂x2).
Eine Gleichung, deren rechter Teil (der nicht die Funktion oder deren
Ableitungen enthält) gleich Null ist, wird als homogene Gleichung bezeichnet.
Anderenfalls wird sie als nicht-homogen bezeichnet. Die Lösung der
homogenen Gleichung ist als allgemeine Lösung bekannt. Eine spezielle Lösung
ist eine, die eine nicht-homogene Gleichung, erfüllt.
Funktion LDEC
Der Taschenrechner stellt die Funktion LDEC (Befehl Lineare
Differentialgleichung - Linear Differential Equation Command) zur Verfügung,
um die allgemeine Lösung einer linearen ODE jeder beliebigen Ordnung mit
konstanten Koeffizienten zu finden, ob sie homogen ist oder nicht. Diese
Funktion erfordert zwei verschiedene Eingaben von Ihrer Seite:
•
•
den rechten Teil der ODE
die charakteristische Gleichung der ODE
Beide Eingaben müssen in Form der unabhängigen Standard-Variable des CAS
(normalerweise ‘X’) des Taschenrechners erfolgen. Die Ausgabe der Funktion ist
die allgemeine Lösung der ODE. Die Funktion LDEC ist über das Menü CALC/
DIFF verfügbar. Die Beispiele sind im RPN-Modus aufgeführt, sie können jedoch
problemlos in den ALG-Modus übertragen werden.
Beispiel 1 – Um die homogene ODE d3y/dx3-4⋅(d2y/dx2)-11⋅(dy/dx)+30⋅y =
0 zu lösen, geben Sie ein: :0 ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC
μ. Die Lösung hierfür lautet:
Seite 16-5
wobei cC0, cC1, und cC2 Integrationskonstanten sind. Dieses Ergebnis scheint
sehr kompliziert zu sein, kann aber vereinfacht werden durch Verwendung von
K1 = (10*cC0-(7+cC1-cC2))/40, K2 = -(6*cC0-(cC1+cC2))/24,
und
K3 = (15*cC0+(2*cC1-cC2))/15.
Die Lösung lautet dann:
y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x.
Der Grund für die komplizierte Kombination von Konstanten in der Lösung des
LDEC ist, dass LDEC für die Errechnung der Lösung intern LaplaceTransformationen verwendet (später in diesem Kapitel behandelt), welche die
Lösung einer ODE in eine algebraische Lösung umwandeln. Die Kombination
von Konstanten ist auf die Ausklammerung der Exponentialterme, nach Erhalt
der Lösung für die Laplace-Transformation, zurückzuführen.
Beispiel 2 – Mithilfe der Funktion LDEC werden nicht-homogene ODEs gelöst:
d3y/dx3-4⋅(d2y/dx2)-11⋅(dy/dx)+30⋅y = x2.
Geben Sie Folgendes ein:
'X^2' ` 'X^3-4*X^2-11*X+30' ` LDEC μ
Die Lösung, die hier teilweise im EquationWriter angezeigt wird, lautet:
Wenn Sie die Kombination der Konstanten, welche die Exponentialterme
begleiten, mit einfachen Werten ersetzen, kann der Ausdruck vereinfacht
werden zu: y = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x + (450⋅x2+330⋅x+241)/13500.
Wir erkennen die ersten drei Terme als allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung (siehe Bsp. 1 oben). Wenn yh die Lösung für die homogene
Gleichung darstellt, d.h. yh = K1⋅e–3x + K2⋅e5x + K3⋅e2x, können Sie beweisen,
dass die verbleibenden Terme in der oben angeführten Lösung, d.h. yp =
(450⋅x2+330⋅x+241)/13500 eine spezielle Lösung der ODE darstellen.
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Anmerkung: Dieses Ergebnis ist übertragbar auf alle nicht-homogenen linearen ODEs, d.h. vorausgesetzt die Lösung der homogenen Gleichung yh(x)ist
bekannt, kann die Lösung der entsprechenden nicht-homogenen Gleichung
y(x), als
y(x) = yh(x) + yp(x),
geschrieben werden, wobei yp(x) eine spezielle Lösung der ODE ist.
Um zu beweisen, dass yp = (450⋅x2+330⋅x+241)/13500, tatsächlich eine
spezielle Lösung der ODE ist, verwenden Sie Folgendes:
'd1d1d1Y(X)-4*d1d1Y(X)-11*d1Y(X)+30*Y(X) = X^2'`
'Y(X)=(450*X^2+330*X+241)/13500' `
SUBST EV L
Geben Sie dem Taschenrechner 10 Sekunden zur Errechnung des Ergebnisses:
‘X^2 = X^2’.
Beispiel 3 – Ein System linearer Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten lösen.
Nehmen wir das System linearer Differentialgleichungen:
x1’(t) + 2x2’(t) = 0,
2x1’(t) + x2’(t) = 0.
In algebraischer Form wird es geschrieben als: A⋅x’(t) = 0, wobei
⎡1 2 ⎤
A=⎢
⎥ . Das System kann mithilfe der Funktion LDEC mit den Argumenten
⎣2 1⎦
[0,0] und Matrix A im ALG-Modus, wie im folgenden Bildschirm dargestellt,
gelöst werden:
Seite 16-7
Die Lösung wird als Vektor mit den Funktionen [x1(t), x2(t)] angezeigt. Durch
Drücken von ˜ wird der MatrixWriter gestartet. Dieser ermöglicht dem
Anwender die Komponenten des Vektors anzusehen. Um alle Details jeder
einzelnen Komponente zu sehen, drücken Sie die Softmenü-Taste @EDIT!.
Vergewissern Sie sich, dass die Komponenten wie folgt lauten:
Funktion DESOLVE
Der Taschenrechner kann mithilfe der Funktion DESOLVE (Löser für
Differentialgleichungen) bestimmte Arten von Differentialgleichungen lösen. Die
Funktion benötigt die Eingabe der Differentialgleichung und der unbekannten
Funktion und erzeugt wenn möglich die Lösung der Gleichung. Sie können auch
einen Vektor mit der Differentialgleichung und den Anfangsbedingungen
eingeben, anstatt nur eine Differentialgleichung als Eingabe für DESOLVE zur
Verfügung zu stellen. Die Funktion DESOLVE ist über das Menü CALC/DIFF
verfügbar. Beispiele für DESOLVE-Anwendungen werden unten im RPN-Modus
angeführt.
Beispiel 1 – Lösen Sie die ODE erster Ordnung:
dy/dx + x2⋅y(x) = 5.
Verwenden Sie im Taschenrechner:
'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE
Die Lösung lautet {‘y = (INT(5*EXP(xt^3/3),xt,x)+cC0)*1/EXP(x^3/3))’ }, d.h.
Seite 16-8
(
)
y ( x) = exp(− x 3 / 3) ⋅ ∫ 5 ⋅ exp( x 3 / 3) ⋅ dx + cC0 .
Die Variable ODETYPE
Auf den Kennzeichnungen für die Funktionstasten werden Sie eine neue Variable @ODETY (ODETYPE) erkennen. Diese Variable wird beim Aufruf der Funktion
DESOL erzeugt und enthält einen String, der die Art der als Eingabe für DESOLVE verwendeten ODE zeigt. Drücken Sie @ODETY, um den String “1st order
linear” zu erhalten.
Beispiel 2 – Lösen Sie die ODE zweiter Ordnung:
d2y/dx2 + x (dy/dx) = exp(x).
Verwenden Sie im Taschenrechner:
‘d1d1y(x)+x*d1y(x) = EXP(x)’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE
Das Ergebnis ist ein Ausdruck, welcher zwei implizite Integrationen enthält,
nämlich
Bei dieser speziellen Gleichung erkennen wir jedoch, dass der linke Teil der
Gleichung d/dx(x dy/dx) lautet, somit wird die ODE nun wie folgt geschrieben:
d/dx(x dy/dx ) = exp x,
und
x dy/dx = exp x + C.
Seite 16-9
Dann können wir schreiben:
dy/dx = (C + exp x)/x = C/x + ex/x.
Sie können versuchen, im Taschenrechner zu integrieren:
‘d1y(x) = (C + EXP(x))/x’ ` ‘y(x)’ ` DESOLVE
Das Ergebnis lautet: { ‘y(x) = INT((EXP(xt)+C)/xt,xt,x)+C0’ }, d.h..,
y ( x) = ∫ ⋅
ex + C
dx + C 0
x
Wenn wir versuchen die Integration manuell durchzuführen, schaffen wir das
nur bis:
y ( x) = ∫ ⋅
ex
dx + C ⋅ ln x + C 0 ,
x
weil das Integral von exp(x)/x in geschlossener Form nicht vorhanden ist.
Beispiel 3 – Eine Gleichung mit Anfangsbedingungen lösen. Lösen Sie
d2y/dt2 + 5y = 2 cos(t/2),
mit den Anfangsbedingungen
y(0) = 1.2, y’(0) = -0.5.
Verwenden Sie im Taschenrechner:
[‘d1d1y(t)+5*y(t) = 2*COS(t/2)’ ‘y(0) = 6/5’ ‘d1y(0) = -1/2’]
‘y(t)’ `
DESOLVE
Achten Sie darauf, dass die Anfangsbedingungen in ihre exakten Formen ‘y(0)
= 6/5’, statt ‘y(0)=1.2’, und ‘d1y(0) = -1/2’, statt, ‘d1y(0) = -0.5’ abgeändert
wurden. Durch Umwandlung in diese exakten Ausdrücke wird die Lösung
vereinfacht.
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Anmerkung: Um Brüche für Dezimalwerte zu erhalten, verwenden Sie die
Funktion Q (siehe Kapitel 5).
Die Lösung hierfür lautet:
Drücken Sie μμ, um das Ergebnis wie folgt zu vereinfachen:
‘y(t) = -((19*√5*SIN(√5*t)-(148*COS(√5*t)+80*COS(t/2)))/190)’.
Drücken Sie J @ODETY ,um den String “Linear w/ cst coeff” für den ODETyp in diesem Fall zu erhalten.
Laplace-Transformationen
Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t) erzeugt eine Funktion F(s) im
Bildbereich und kann verwendet werden, um die Lösung einer linearen
Differentialgleichung mit f(t) über algebraische Methoden zu erhalten. Für diese
Anwendung sind drei Schritte nötig:
1. Durch Verwendung der Laplace-Transformation wird die lineare ODE mit f(t)
in eine algebraische Gleichung umgewandelt.
2. Die unbekannte F(s) wird im Bildbereich über algebraische Manipulation
gelöst.
3. Eine inverse Laplace-Transformation wird verwendet, um die in Schritt 2
bestimmte Bildfunktion in die Lösung der Differentialgleichung f(t)
umzuwandeln.
Seite 16-11
Definitionen
Die Laplace-Transformation für die Funktion f(t) ist die Funktion F(s), definiert als
L{ f (t )} = F ( s ) = ∫
∞
0
f (t ) ⋅ e − st dt.
Die Bildvariable s kann eine komplexe Zahl sein und ist normalerweise auch
eine.
Viele praktische Anwendungen der Laplace-Transformation enthalten eine
ursprüngliche Funktion f(t), in der t für Zeit steht, z. B. in Kontrollsysteme in
elektrischen oder hydraulischen Schaltkreisen. Normalerweise ist die
Systemantwort nach einer Zeit t>0 von Interesse, somit enthält die oben
genannte Definition für die Laplace-Transformation eine Integration für Werte
mit t größer als Null.
Die inverse Laplace-Transformation bildet die Funktion F(s) auf die ursprüngliche
Funktion f(t) im Zeitbereich ab, d.h. L -1{F(s)} = f(t).
Das Faltungsintegral oder das Faltungsprodukt zweier Funktionen f(t) und g(t),
wobei g in der Zeit verschoben ist, wird definiert als:
t
( f * g )(t ) = ∫ f (u ) ⋅ g (t − u ) ⋅ du
0
Laplace-Transformation und Inverse im Taschenrechner
Mithilfe der Funktionen LAP und ILAP kann die Laplace-Transformation bzw.
inverse Laplace-Transformation einer Funktion f(VX) ausgeführt werden, wobei
VX die vorgegebene unabhängige CAS Variable darstellt, die Sie auf 'X' setzen
sollten.
Somit gibt der Taschenrechner die Transformation oder die inverse
Transformation als Funktion von X wieder. Die Funktionen LAP und ILAP sind im
Menü CALC/DIFF verfügbar. Die Beispiele sind im RPN-Modus angeführt, sie
können jedoch problemlos in den ALG-Modus übertragen werden. Für diese
Beispiele setzen Sie den CAS-Modus auf Real und Exact.
Seite 16-12
Beispiel 1 – Um die Definition der Laplace-Transformation zu erhalten,
verwenden Sie Folgendes: ‘f(X)’ ` L P im RPN-Modus oder
L P(F(X)) im ALG-Modus. Der Taschenrechner gibt das Ergebnis (RPN
links, ALG rechts) wie folgt wieder:
Vergleichen Sie diese Ausdrücke mit den vorher in der Definition der LaplaceTransformation angegebenen, d.h.,
∞
L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) ⋅ e − st dt ,
0
und Sie werden merken, dass die CAS Standardvariable X im Fenster des
EquationWriter die Variable s aus dieser Definition ersetzt. Somit erhalten Sie
durch Verwendung der Funktion LAP eine Funktion in X, welche die LaplaceTransformation von f(X) ist.
Beispiel 2 – Bestimmen Sie die Laplace-Transformation von f(t) = e2t⋅sin(t).
Verwenden Sie:
‘EXP(2*X)*SIN(X)’ ` LAP Der Taschenrechner gibt folgendes Ergebnis
wieder:1/(SQ(X-2)+1). Drücken Sie μ, um 1/(X2-4X+5) zu erhalten.
Wenn Sie dieses Ergebnis auf Papier übertragen würden, würden Sie
Folgendes schreiben:
F ( s ) = L{e 2t ⋅ sin t} =
1
s − 4⋅s +5
2
Beispiel 3 – Bestimmen Sie die inverse Laplace-Transformation von F(s) = sin(s).
Verwenden Sie:
‘SIN(X)’ ` ILAP. Geben Sie dem Taschenrechner einige Sekunden zur
Errechnung des Ergebnisses: ‘ILAP(SIN(X))’ bedeutet, dass kein Ausdruck
geschlossener Form für f(t) vorliegt, sodass f(t) = L -1{sin(s)}.
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Beispiel 4 – Bestimmen Sie die inverse Laplace-Transformation von F(s) = 1/s3.
Verwenden Sie:
‘1/X^3’ ` ILAP μ. Der Taschenrechner kommt zu folgendem Ergebnis:
‘X^2/2’, was als L -1{1/s3} = t2/2 interpretiert wird.
Beispiel 5 – Bestimmen Sie die Laplace-Transformation der Funktion f(t) = cos
(a⋅t+b). Verwenden Sie: ‘COS(a*X+b)’ ` LAP. Der Taschenrechner kommt zu
folgendem Ergebnis:
Drücken Sie μ, um –(a sin(b) – X cos(b))/(X2+a2) zu erhalten. Die
Transformation wird wie folgt interpretiert: L {cos(a⋅t+b)} = (s⋅cos b – a⋅sin b)/
(s2+a2).
Laplace-Transformations-Theoreme
Um die Bestimmung der Laplace-Transformation von Funktionen zu erleichtern,
können Sie auf verschiedene Theoreme zurückgreifen. Einige sind unten
aufgelistet. Es sind auch einige Beispiele für Theorem-Anwendungen enthalten.
•
Ableitungssatz für die erste Ableitung. Sei fo als Anfangsbedingung für f(t),
d.h., f(0) = fo, dann gilt
L{df/dt} = s⋅F(s) - fo.
Beispiel 1 – Die Geschwindigkeit eines sich bewegenden Partikels v(t) wird
definiert als v(t) = dr/dt, wobei r = r(t) die Position des Partikels ist. Nehmen
Sie ro = r(0), und R(s) =L{r(t)}, dann kann die Transformation der Geschwindigkeit als V(s) = L{v(t)}=L{dr/dt}= s⋅R(s)-ro geschrieben werden.
•
Ableitungssatz für die zweite Ableitung. Sei fo = f(0), und (df/dt)o = df/
dt|t=0, dann ist L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o.
Beispiel 2 – In Fortsetzung zu Beispiel 1 wird die Beschleunigung a(t) als a(t) =
d2r/dt2 definiert. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit vo = v(0) = dr/dt|t=0, ist,
dann kann die Laplace-Transformation der Beschleunigung wie folgt geschrieben werden:
Seite 16-14
A(s) = L{a(t)} = L{d2r/dt2}= s2⋅R(s) - s⋅ro – v o.
•
Ableitungssatz für die n-te Ableitung. Sei f (k)o = dkf/dxk|t = 0, und fo = f(0),
dann gilt
L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o.
•
Linearitätssatz. L{af(t)+bg(t)} = a⋅L{f(t)} + b⋅L{g(t)}.
•
Ableitungssatz für die Bildfunktion. Angenommen F(s) = L{f(t)}, dann gilt
dnF/dsn = L{(-t)n⋅f(t)}.
Beispiel 3 – Sei f(t) = e–at, unter Verwendung des Taschenrechners mit ‘EXP(a*X)’ ` LAP, und Sie erhalten ‘1/(X+a)’, oder F(s) = 1/(s+a). Die dritte
Ableitung dieses Ausdrucks kann wie folgt berechnet werden:
‘X’ ` ‚¿ ‘X’ `‚¿ ‘X’ ` ‚¿ μ
Das Ergebnis lautet
‘-6/(X^4+4*a*X^3+6*a^2*X^2+4*a^3*X+a^4)’, oder
d3F/ds3 = -6/(s4+4⋅a⋅s3+6⋅a2⋅s2+4⋅a3⋅s+a4).
Verwenden Sie nun ‘(-X)^3*EXP(-a*X)’ ` LAP μ. Das Ergebnis ist genau
das gleiche.
•
Integrationssatz Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt
L
•
{∫
t
0
}
f (u )du =
1
⋅ F ( s ).
s
Faltungssatz Sei F(s) = L{f(t)}, und G(s) = L{g(t)}, dann gilt
Seite 16-15
L
{∫
t
0
}
f (u ) g (t − u )du = L{( f * g )(t )} =
L{ f (t )} ⋅L{g (t )} = F ( s) ⋅ G ( s )
Beispiel 4 – Verwenden Sie den Faltungssatz und berechnen Sie die LaplaceTransformation von (f*g)(t), if f(t) = sin(t), und g(t) = exp(t). Zur Berechnung von
F(s) = L{f(t)}, und G(s) = L{g(t)}, verwenden Sie: ‘SIN(X)’ ` LAP μ. Ergebnis: ‘1/(X^2+1)’, d.h., F(s) = 1/(s2+1).
Und: ‘EXP(X)’ ` LAP. Ergebnis: ‘1/(X-1)’, d.h. G(s) = 1/(s-1). Somit ist
L{(f*g)(t)} = F(s)⋅G(s) = 1/(s2+1)⋅1/(s-1) = 1/((s-1)(s2+1)) = 1/(s3-s2+s-1).
•
Verschiebungssatz für eine Verschiebung nach rechts. Sei F(s) = L{f(t)}, dann
gilt:
L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s).
•
Verschiebungssatz für eine Verschiebung nach links. Sei F(s) = L{f(t)} und a
>0, dann gilt:
a
L{ f (t + a )} = e as ⋅ ⎛⎜ F ( s ) − ∫ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt ⎞⎟.
0
⎝
⎠
•
•
•
•
Ähnlichkeitssatz Sei F(s) = L{f(t)}, und a>0, dann ist L{f(a⋅t)} = (1/a)⋅F(s/a).
Dämpfungssatz Sei F(s) = L{f(t)}, dann ist L{e–bt⋅f(t)} = F(s+b).
Divisionssatz Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt:
∞
⎧ f (t ) ⎫
L⎨
⎬ = ∫ s F (u )du.
⎩ t ⎭
Laplace-Transformation einer periodischen Funktion der Periode T:
L{ f (t )} =
T
1
⋅ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt.
− sT ∫ 0
1− e
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•
Grenzwerttheorem für den Anfangswert: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt:
f 0 = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
t →0
•
s →∞
Grenzwerttheorem für den endgültigen Wert: Sei F(s) = L{f(t)}, dann gilt:
f ∞ = lim f (t ) = lim[ s ⋅ F ( s)].
t →∞
s →0
Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion
Bei der Analyse von Kontrollsystemen ist es üblich, eine Funktionsart zu
verwenden, die bestimmte physikalische Vorfälle, wie die plötzliche Aktivierung
eines Schalters (Heavisides Schrittfunktion, H(t)) oder eine plötzliche,
momentane Spitze im Eingang eines Systems (Dirac’sche Deltafunktion δ(t))
darstellen. Sie sind Teil einer Klasse von Funktionen, die als generalisierte oder
symbolische Funktionen bekannt sind [als Beispiel siehe Friedman, B., 1956,
Principles and Techniques of Applied Mathematics, Dover Publications Inc.,
New York (1990 Nachdruck)].
Die formale Definition der Dirac’schen Deltafunktion δ(x) ist δ(x) = 0 für x ≠0
und
∫
∞
−∞
δ ( x)dx = 1.0.
Wenn f(x) eine kontinuierliche Funktion ist, dann gilt:!
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ).
Eine Interpretation für das oben genannte Integral nach Friedman (1990) ist,
dass die Funktion δ den Wert der Funktion f(x) bei x = x0. „herausgreift“. Die
Dirac’sche Deltafunktion ist typischerweise von einem Aufwärtspfeil beim Punkt
x = x0 gekennzeichnet der anzeigt, dass die Funktion einen „Nicht-Null“-Wert
nur bei diesem speziellen Wert von x0 hat.
Heavisides Schrittfunktion, H(x), wird definiert als:
Seite 16-17
⎧1, x > 0
H ( x) = ⎨
⎩0, x < 0
Für eine kontinuierliche Funktion f(x):
∫
∞
−∞
f ( x) H ( x − x0 )dx = ∫
∞
x0
f ( x)dx.
Die Dirac’sche Deltafunktion und Heavisides Schrittfunktion sind durch dH/dx =
δ(x) verbunden. Die zwei Funktionen sind in der nachfolgenden Abbildung
dargestellt.
y
y
(x _ x 0 )
H(x _ x 0 )
1
x0
x
x0
x
Sie können beweisen, dass L{H(t)} = 1/s,
woraus hervorgeht, dass L{Uo⋅H(t)} = Uo/s ist,
wobei Uo eine Konstante ist. Weiter gilt L -1{1/s}=H(t)
und L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).
Bei Verwendung des Verschiebungssatzes für eine Verschiebung nach rechts
L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), können wir Folgendes schreiben:
L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = (1/s)⋅e–ks.
Ein weiteres wichtiges Ergebnis, als zweiter Verschiebungssatz für eine
Verschiebung nach rechts bekannt, ist, dass L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a), mit F(s) =
L{f(t)}.
Im Taschenrechner wird die Heaviside Schrittfunktion H(t) einfach als ‘1’
bezeichnet. Um die Transformation im Taschenrechner zu überprüfen,
verwenden Sie: 1 ` LAP. Das Ergebnis lautet ‘1/X’, d.h., L{1} = 1/s.
Ähnlich führt ‘U0’ ` LAP zum Ergebnis ‘U0/X’, d.h., L{U0} = U0/s.
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Sie erhalten die Dirac’sche Deltafunktion im Taschenrechner durch Verwendung
von: 1` ILAP
Das Ergebnis lautet ‘Delta(X)’.
Das Ergebnis ist rein symbolisch, d. h. Sie können keinen numerischen Wert für
‘Delta(5)’ finden.
Dieses Ergebnis kann als Laplace-Transformation der Dirac’schen Deltafunktion
bezeichnet werden, weil aus L -1{1.0}= δ(t), folgt, dass L{δ(t)} = 1.0
Bei Verwendung des Verschiebungssatzes für eine Verschiebung nach rechts
L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), können wir L{δ(t-k)}=e–ks⋅L{δ(t)} = e–ks⋅1.0 = e–ks
schreiben.
Anwendungen der Laplace-Transformation bei der Lösung
linearer ODEs.
Zu Beginn des Abschnitts über die Laplace-Transformation haben wir darauf
hingewiesen, dass Sie diese Transformationen verwenden können, um eine
lineare ODE im Zeitbereich in eine algebraische Gleichung im Bildbereich
umzuwandeln. Die resultierende Gleichung wird dann nach einer Funktion F(s)
mittels algebraischen Methoden gelöst und die Lösung der ODE wird durch
Anwendung der inversen Laplace-Transformation auf F(s) gefunden.
Die Sätze für Ableitungen einer Funktion, d.h.:
L{df/dt} = s⋅F(s) - fo,
L{d2f/dt2} = s2⋅F(s) - s⋅fo – (df/dt) o,
und, allgemein:
L{dnf/dtn} = sn⋅F(s) – sn-1⋅fo −…– s⋅f(n-2)o – f (n-1) o,
sind besonders nützlich für die Transformation einer ODE in eine algebraische
Gleichung.
Beispiel 1 – Bei der Lösung derODE erster Ordnung,
dh/dt + k⋅h(t) = a⋅e–t,
können wir unter Verwendung der Laplace-Transformation Folgendes schreiben:
Seite 16-19
L{dh/dt + k⋅h(t)} = L{a⋅e–t},
L{dh/dt} + k⋅L{h(t)} = a⋅L{e–t}.
Anmerkung: ‘EXP(-X)’ ` LAP ergibt ‘1/(X+1)’, d.h. L{e–t }=1/(s+1).
Mit H(s) = L{h(t)}, und L{dh/dt} = s⋅H(s) - ho, wobei ho = h(0) ist, lautet die
umgewandelte Gleichung s⋅H(s)-ho+k⋅H(s) = a/(s+1).
Verwenden Sie den Taschenrechner zum Lösen nach H(s) durch Eingabe von:
‘X*H-h0+k*H=a/(X+1)’ ` ‘H’ ISOL
Das Ergebnis ist
‘H=((X+1)*h0+a)/(X^2+(k+1)*X+k)’.
Um die Lösung der ODE h(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden:
OBJ ƒ ƒ μ
ILAP
Das Ergebnis lautet
Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks
Führt die inverse Laplace-Transformation durch
. Wir können X durch t in diesem
Ausdruck ersetzen und Ergebnisse in h(t) = a/(k-1)⋅e-t +((k-1)⋅ho -a)/(k-1)⋅e-kt
vereinfachen.
Überprüfen Sie wie die Lösung der ODE aussähe, wenn Sie die Funktion LDEC
verwenden würden:
‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC μ
Das Ergebnis lautet:
d.h.
h(t) = a/(k-1)⋅e -t +((k-1)⋅cCo -a)/(k-1)⋅e-kt.
Somit stellt cC0 im Ergebnis von LDEC die Anfangsbedingung h(0) dar.
Seite 16-20
Anmerkung: Wenn Sie die Funktion LDEC zur Lösung einer linearer ODE
der Ordnung n in f(X) verwenden, wird das Ergebnis in Form von n Konstanten
cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1) angezeigt, die die Anfangsbedingungen f(0),
f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0) darstellen.
Beispiel 2 – Verwenden Sie die Laplace-Transformation zur Lösung der linearen
Gleichung zweiter Ordnung
d2y/dt2+2y = sin 3t.
Unter Verwendung der Laplace-Transformation können wir Folgendes schreiben:
L{d2y/dt2+2y} = L{sin 3t},
L{d2y/dt2} + 2⋅L{y(t)} = L{sin 3t}.
Anmerkung: ‘SIN(3*X)’ ` LAP μ ergibt ‘3/(X^2+9)’, d.h.,
L{sin 3t}=3/(s2+9).
Mit Y(s) = L{y(t)}, und L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, wobei yo = h(0) ist und y1
= h’(0), lautet die umgewandelte Gleichung:
s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + 2⋅Y(s) = 3/(s2+9).
Verwenden Sie den Taschenrechner zum Lösen nach Y(s) durch Schreiben von:
‘X^2*Y-X*y0-y1+2*Y=3/(X^2+9)’ ` ‘Y’ ISOL
Das Ergebnis lautet
‘Y=((X^2+9)*y1+(y0*X^3+9*y0*X+3))/(X^4+11*X^2+18)’.
Um die Lösung der ODE y(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden:
OBJ ƒ ƒ
ILAPμ
Das Ergebnis lautet
Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks
Führt die inverse Laplace-Transformation durch
Seite 16-21
d.h.
y(t) = -(1/7) sin 3x + yo cos √2x + (√2 (7y1+3)/14) sin √2x.
Überprüfen Sie wie die Lösung der ODE aussähe, wenn Sie die Funktion LDEC
verwenden würden.
‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC μ
Das Ergebnis lautet:
D.h. wir erhalten das gleiche Ergebnis wie zuvor mit cC0 = y0 und cC1 = y1.
Anmerkung: Anhand der beiden gezeigten Beispiele können wir die Aussage bestätigen, dass die Funktion ILAP zur Lösung linearer ODEs - bei gegebener rechter Seite der Gleichung und gegebener charakteristischer Gleichung
der zugehörigen homogenen ODE – Laplace-Transformationen sowie inverse
Laplace-Transformationen verwendet.
Beispiel 3 - Betrachten Sie die Gleichung
d2y/dt2+y = δ(t-3),
wobei δ(t) eine Dirac’sche Deltafunktion ist.
Unter Verwendung der Laplace-Transformation können wir Folgendes schreiben:
L{d2y/dt2+y} = L{δ(t-3)},
L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}.
Seite 16-22
Mit ‘Delta(X-3)’ ` LAP errechnet der Taschenrechner EXP(-3*X), d.h., L{δ(t3)} = e–3s. Mit Y(s) = L{y(t)}, und L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, wobei yo = h(0)
ist und y1 = h’(0), lautet die umgewandelte Gleichung s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s)
= e–3s. Verwenden Sie den Taschenrechner zum Lösen nach Y(s) durch
Eingeben von:
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL
Das Ergebnis lautet ‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’.
Um die Lösung der ODE y(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden:
OBJ ƒ ƒ
ILAP μ
Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks
Führt die inverse Laplace-Transformation durch
Das Ergebnis lautet ‘y1*SIN(X)+y0*COS(X)+SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’.
Anmerkung:
[1]. Ein weiterer Weg, um die inverse Laplace-Transformation des Ausdrucks
‘(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’ zu erhalten, ist die Partialbruchzerlegung
des Ausdrucks, d.h.
‘y0*X/(X^2+1) + y1/(X^2+1) + EXP(-3*X)/(X^2+1)’,
und die Verwendung des Linearitätssatzes der inversen Laplace-Transformation
L -1{a⋅F(s)+b⋅G(s)} = a⋅L -1{F(s)} + b⋅L -1{G(s)},
zum Schreiben von:
L -1{yo⋅s/(s2+1)+y1/(s2+1)) + e–3s/(s2+1)) } =
yo⋅L -1{s/(s2+1)}+ y1⋅L -1{1/(s2+1)}+ L -1{e–3s/(s2+1))},
Seite 16-23
Somit können wir den Taschenrechner verwenden, um folgendes Ergebnis zu
erhalten:
‘X/(X^2+1)’ ` ILAP
Ergebnis, ‘COS(X)’, d.h., L -1{s/(s2+1)}= cos t.
‘1/(X^2+1)’ ` ILAP
Ergebnis, ‘SIN(X)’, d.h.., L -1{1/(s2+1)}= sin t.
‘EXP(-3*X)/(X^2+1)’ ` ILAP Ergebnis, SIN(X-3)*Heaviside(X-3)’.
[2]. Das letzte Ergebnis, d.h. die inverse Laplace-Transformation des Ausdrucks
‘(EXP(-3*X)/(X^2+1))’, kann auch unter Verwendung des zweiten
Verschiebungssatzes für eine Verschiebung nach rechts berechnet werden,
L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a),
wenn wir eine inverse Laplace-Transformation für 1/(s2+1) finden können.
Geben Sie im Taschenrechner ‘1/(X^2+1)’ ` ILAP ein. Das Ergebnis lautet
‘SIN(X)’. Somit ist L -1{e–3s/(s2+1)} = sin(t-3)⋅H(t-3),
Überprüfen Sie, wie die Lösung der ODE aussähe, wenn Sie die Funktion LDEC
verwenden würden.
‘Delta(X-3)’ ` ‘X^2+1’ ` LDEC μ
Das Ergebnis lautet:
‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)’.
Bitte beachten Sie, dass die Variable X in diesem Ausdruck tatsächlich die
Variable t in der ursprünglichen ODE ist. Somit kann die Lösung auf Papier wie
folgt geschrieben werden:
y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin(t − 3) ⋅ H (t − 3)
Wenn wir dieses Ergebnis mit dem vorherigen Ergebnis für y(t) vergleichen,
schließen wir daraus, dass cCo = yo, cC1 = y1 ist.
Seite 16-24
Definition und Anwendung der Schrittfunktion von Heaviside im
Taschenrechner
Durch das vorhergehende Beispiel haben Sie einige Erfahrungen in der
Verwendung der Dirac’schen Deltafunktion als Eingabe in einem System (d.h.
im rechten Teil der ODE bei der Beschreibung des Systems). In diesem Beispiel
verwenden wir die Schrittfunktion von Heaviside H(t). Im Taschenrechner
können wir diese Funktion wie folgt definieren:
‘H(X) = IFTE(X>0, 1, 0)’ `„à
Diese Definition erzeugt die Variable @@@H@@@ als Funktionstastenbeschriftung im
Taschenrechner.
Beispiel 1 – Um die grafische Darstellung für H(t-2) zu erhalten, verwenden Sie
z. B. eine Zeichnung des Typs FUNCTION (siehe Kapitel 12):
•
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um
ins Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie ggf. TYPE auf FUNCTION.
Ändern Sie EQ zu ‘H(X-2)’.
Vergewissern Sie sich, dass Indep auf ‘X’ gesetzt ist.
Drücken Sie L @@@OK@@@ , um zum normalen Taschenrechnerdisplay
zurückzukehren.
Drücken Sie „ò (gleichzeitig), um ins Fenster PLOT zu gelangen.
Ändern Sie den H-VIEW Bereich auf 0 bis 20, und den V-VIEW Bereich auf
-2 bis 2.
Drücken Sie @ERASE @DRAW zum Anzeigen der Funktion.
Die Funktion H(X) kann im Taschenrechner nicht mit LDEC, LAP, oder ILAP
verwendet werden. Sie müssen die Hauptergebnisse verwenden, die Sie vorher
mit der Schrittfunktion von Heaviside errechnet haben, verwenden, d.h. L{H(t)} =
1/s, L -1{1/s}=H(t), L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks und L -1{e–as
⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a).
Beispiel 2 – Die Funktion H(t-to) hat den Effekt, dass Sie auf die Funktion f(t) bei
t = to umschaltet, wenn sie mit einer Funktion f(t), d.h., H(t-to)f(t), multipliziert
wird. Die Lösung, zu der wir oben in Beispiel 3 gekommen sind, war z.B. y(t) =
yo cos t + y1 sin t + sin(t-3)⋅H(t-3). Nehmen wir an, wir verwenden die
Seite 16-25
Anfangsbedingungen yo = 0.5, und y1 = -0.25. Lassen Sie uns sehen, wie
diese Funktion aussieht:
•
Drücken Sie „ô (gleichzeitig, falls Sie im RPN-Modus arbeiten), um
ins Fenster PLOT SETUP zu gelangen.
Ändern Sie ggf. TYPE auf FUNCTION.
Ändern Sie EQ auf ‘0.5*COS(X)-0.25*SIN(X)+SIN(X-3)*H(X-3)’.
Vergewissern Sie sich, dass Indep auf ‘X’ gesetzt ist.
H-VIEW: 0 20, V-VIEW: -3 2.
Drücken Sie @ERASE @DRAW um den Graphen der Funktion zu erzeugen.
Drücken Sie @EDIT L @LABEL um den Graphen der Funktion zu sehen.
Die resultierende Grafik wird wie folgt aussehen:
Beachten Sie, dass das Signal mit einer relativ kleinen Amplitude beginnt, bei
t=3 jedoch plötzlich auf ein Schwingungssignal mit größeren Schwingungen
umschaltet. Der Unterschied im Signalverlauf vor und nach t = 3 ist das
„Einschalten“ der speziellen Lösung yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3). Der Signalverlauf vor t
= 3 stellt den Beitrag der homogenen Lösung yh(t) = yo cos t + y1 sin t dar.
Die Lösung einer Gleichung mit einem Steuersignal nach der Schrittfunktion von
Heaviside wird unten angeführt.
Beispiel 3 – Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung d2y/dt2+y = H(t-3),
wobei H(t) eine Schrittfunktion von Heaviside ist. Unter Verwendung der
Laplace-Transformation können wir Folgendes schreiben: L{d2y/dt2+y} = L{H(t3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t-3)}. Der letzte Term im Ausdruck lautet: L{H(t-3)}
= (1/s)⋅e–3s. Mit Y(s) = L{y(t)}, und L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, wobei yo =
h(0) ist und y1 = h’(0), lautet die umgewandelte Gleichung: s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 +
Y(s) = (1/s)⋅e–3s. Ändern Sie ggf. den CAS-Modus auf Exact. Verwenden Sie
den Taschenrechner zum Lösen nach Y(s) durch Eingabe von:
Seite 16-26
‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL.
Das Ergebnis lautet ‘Y=(X^2*y0+X*y1+EXP(-3*X))/(X^3+X)’.
Um die Lösung der ODE y(t) zu finden, müssen wir die inverse LaplaceTransformation wie folgt verwenden:
OBJ ƒ ƒ
ILAP
Isoliert den rechten Teil des letzten Ausdrucks
Führt die inverse Laplace-Transformation durch
Das Ergebnis lautet ‘y1*SIN(X-1)+y0*COS(X-1)-(COS(X-3)-1)*Heaviside(X-3)’.
Somit schreiben wir als Lösung: y(t) = yo cos t + y1 sin t + H(t-3)⋅(1+sin(t-3)).
Überprüfen Sie, wie die Lösung der ODE aussähe, wenn Sie die Funktion LDEC
verwenden würden:
‘H(X-3)’ `[ENTER] ‘X^2+1’ ` LDEC
Das Ergebnis lautet:
Bitte beachten Sie, dass die Variable X in diesem Ausdruck tatsächlich die
Variable t in der ursprünglichen ODE darstellt, und dass die Variable ttt in
diesem Ausdruck eine Hilfsvariable ist. Somit kann die Lösung auf Papier wie
folgt geschrieben werden:
∞
y (t ) = Co ⋅ cos t + C1 ⋅ sin t + sin t ⋅ ∫ H (u − 3) ⋅ e −ut ⋅ du.
0
Beispiel 4 – Zeichnen Sie die Lösung zu Beispiel 3 unter Verwendung der
gleichen Werte für yo und y1, die in der Grafik in Beispiel 1 oben verwendet
wurden. Wir zeichnen nun die Funktion:
Seite 16-27
y(t) = 0.5 cos t –0.25 sin t + (1+sin(t-3))⋅H(t-3).
Im Bereich 0 < t < 20 und bei Änderung des vertikalen Bereichs auf (-1,3),
sollte die Grafik wie folgt aussehen.
Wiederum gibt es eine neue Komponente in der Bewegung, die bei t=3, d.h.
der besondere Lösung yp(t) = [1+sin(t-3)]⋅H(t-3), einsetzt und die Lösung für t>3
verändert.
Die Schrittfunktion von Heaviside kann, wie im Folgenden dargestellt, mit einer
konstanten Funktion und linearen Funktionen kombiniert werden, um
Rechteckimpulse, Dreieckimpulse und Sägezahnimpulse zu erzeugen:
•
Rechteckimpuls der Größe Uo im Intervall a < t < b:
f(t) = Uo[H(t-a)-H(t-b)].
•
Dreieckimpuls mit einem Maximalwert von Uo, der ab a < t < b ansteigt
und ab b < t < c fällt:
f(t) = Uo⋅ ((t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)]+(1-(t-b)/(b-c))[H(t-b)-H(t-c)]).
•
Sägezahnimpuls, der bis zu einem Maximalwert von Uo für a < t < b steigt
und bei b = t plötzlich auf Null absinkt:
f(t) = Uo⋅ (t-a)/(b-a)⋅[H(t-a)-H(t-b)].
•
Sägezahnimpuls, der plötzlich bis zu einem Maximalwert von Uo bei t = a
ansteigt, und dann linear bis Null für a < t < b abfällt:
f(t) = Uo⋅[1-(t-a)/(b-1)]⋅[H(t-a)-H(t-b)].
Seite 16-28
Beispiele für die von diesen Funktionen erzeugten Graphen für Uo = 1, a = 2, b
= 3, c = 4, horizontaler Bereich = (0,5), und vertikaler Bereich = (-1, 1.5),
sehen Sie in den Abbildungen unten:
Fourier-Reihen
Fourier-Reihen sind Reihen, welche die Sinus- und Kosinusfunktionen
einbeziehen und werden typischerweise zur Entwicklung periodischer
Funktionen verwendet. Eine Funktion f(x) wird als periodisch mit Periode T
bezeichnet, wenn f(x+T) = f(t). Beispiel: Weil sin(x+2π) = sin x und cos(x+2π) =
cos x ist, sind die Funktionen sin und cos 2π-periodische Funktionen. Wenn
zwei Funktionen f(x) und g(x) periodisch mit der Periode T sind, dann ist auch
ihre lineare Kombination h(x) = a⋅f(x) + b⋅g(x) periodisch mit Periode T. Eine Tperiodische Funktion f(t) kann in eine Reihe von Sinus- und Kosinus-Funktionen,
bekannt als Fourier-Reihe, entwickelt werden, die gegeben ist durch:
∞
2nπ
2nπ ⎞
⎛
f (t ) = a 0 + ∑ ⎜ a n ⋅ cos
t + bn ⋅ sin
t⎟,
T
T ⎠
n =1 ⎝
wobei die Koeffizienten an und bn gegeben sind durch:
a0 =
1
T
∫
T /2
−T / 2
f (t ) ⋅ dt , a n =
2 T /2
2nπ
f (t ) ⋅ cos
t ⋅ dt ,
∫
T −T / 2
T
Seite 16-29
bn = ∫
T /2
−T / 2
f (t ) ⋅ sin
2nπ
t ⋅ dt.
T
Die folgenden Übungen werden im ALG-Modus durchgeführt, wobei der CASModus auf Exact gesetzt ist. (Wenn Sie eine Grafik produzieren, wird der CASModus auf Approx. zurückgesetzt. Vergessen Sie nicht, ihn wieder auf Exact
umzustellen, nachdem die Grafik erzeugt wurde). Angenommen die Funktion
f(t) = t2+t ist periodisch mit Periode T = 2. Um die Koeffizienten a0, a1, und b1
für die entsprechende Fourier-Reihe zu bestimmen, müssen wir wie folgt
vorgehen: Definieren Sie zuerst Funktion f(t) = t2+t:
Nun berechnen wir die Koeffizienten mithilfe des EquationWriters
(Gleichungsschreibers):
Somit sind die ersten drei Terme der Funktion:
f(t) ≈ 1/3 – (4/π2)⋅cos (π⋅t)+(2/π)⋅sin (π⋅t).
Seite 16-30
Ein grafischer Vergleich der ursprünglichen Funktion mit der Fourier-Entwicklung
unter Verwendung der drei Terme zeigt, dass die Annäherung für t < 1, oder
um diesen Bereich herum, akzeptabel ist. Wir hatten jedoch angenommen,
dass T/2 = 1. Deshalb ist die Annäherung nur zwischen –1 < t < 1 gültig.
Funktion FOURIER
Ein weiterer Weg, um eine Fourier-Reihe zu bestimmen, ist die Verwendung von
komplexen Zahlen, wie folgt:
f (t ) =
+∞
∑c
n = −∞
n
⋅ exp(
2inπt
),
T
wobei
cn =
1 T
2 ⋅ i ⋅ n ⋅π
f (t ) ⋅ exp(−
⋅ t ) ⋅ dt , n = −∞,...,−2,−1,0,1,2,...∞.
∫
T 0
T
Die Funktion FOURIER ergibt den Koeffizienten cn der komplexen Form der
Fourier-Reihe, wenn die Funktion f(t) und der Wert von n gegeben sind. Die
Funktion FOURIER erfordert, dass Sie den Wert der Periode (T) einer Tperiodischen Funktion in die CAS Variable PERIOD speichern, bevor Sie die
Funktion aufrufen. Die Funktion FOURIER ist im Untermenü DERIV im CALCMenü verfügbar („Ö).
Fourier-Reihe für eine quadratische Funktion
Bestimmen Sie die Koeffizienten c0, c1, und c2 für die Funktion f(t) = t2+t, mit
Periode T = 2. (Anmerkung: Weil das von der Funktion FOURIER verwendete
Integral im Intervall [0,T] berechnet wird, während das weiter oben definierte
im Intervall [-T/2,T/2] berechnet wurde, müssen wir die Funktion in der T-Achse
verschieben, indem wir T/2 von t subtrahieren, d.h. wir verwenden g(t) = f(t-1)
= (t-1)2+(t-1).)
Seite 16-31
Mithilfe des Taschenrechners im ALG-Modus definieren wir zunächst die
Funktionen f(t) und g(t):
Als nächstes gehen wir in das CASDIR-Unterverzeichnis unter HOME, um den
Wert der Variable PERIOD zu verändern, z. B. „ (gedrückt halten)
§`J @)CASDI `2 K @PERIOD `
Kehren Sie zum Unterverzeichnis zurück, in dem Sie die Funktionen f und g
definiert haben, und berechnen Sie die Koeffizienten (ggf. auf Complex-Modus
umschalten, wenn Sie gefragt werden):
Seite 16-32
Somit ist
c0 = 1/3, c1 = (π⋅i+2)/π2, c2 = (π⋅i+1)/(2π2).
Die Fourier-Reihe mit drei Elementen wird wie folgt geschrieben:
g(t) ≈ Re[(1/3) + (π⋅i+2)/π2⋅exp(i⋅π⋅t)+ (π⋅i+1)/(2π2)⋅exp(2⋅i⋅π⋅t)].
Eine Zeichnung der verschobenen Funktion g(t) und der Fourier-ReihenAnnäherung folgt:
Die Annäherung ist einigermaßen annehmbar für 0<t<2, auch wenn sie nicht
so gut wie im vorherigen Beispiel ist.
Ein allgemeiner Ausdruck für cn
Die Funktion FOURIER kann einen allgemeinen Ausdruck für den Koeffizienten
cn der komplexen Fourier-Reihen-Entwicklung bereitstellen. Bei Verwendung der
gleichen Funkton g(t) wie vorher, ist beispielsweise der allgemeine Term cn
gegeben durch (die Abbildungen geben das Ergebnis in normaler und kleiner
Schriftart wieder):
Seite 16-33
Nach Vereinfachung des vorherigen Ergebnisses lautet der allgemeine
Ausdruck:
(nπ + 2i ) ⋅ e 2inπ + 2i 2 n 2π 2 + 3nπ − 2i
cn =
2n 3π 3 ⋅ e 2inπ
Wir können diesen Ausdruck noch weiter vereinfachen, wenn wir die Eulersche
Formel für komplexe Zahlen verwenden, d.h. e2inπ = cos(2nπ) + i⋅sin(2nπ) = 1 +
i⋅0 = 1, da cos(2nπ) = 1 und sin(2nπ) = 0 für n ganzzahlig.
Mit dem Taschenrechner können Sie den Ausdruck im Gleichungsschreiber
vereinfachen (‚O), indem Sie e2inπ = 1ersetzen. Die Abbildung zeigt den
Ausdruck nach der Vereinfachung.
Das Ergebnis lautet cn = (i⋅n⋅π+2)/(n2⋅π2).
Die komplexe Fourier-Reihe zusammenfügen
Nachdem wir den allgemeinen Ausdruck für cn, ermittelt haben, können wir
eine endliche komplexe Fourier-Reihe zusammenfügen, indem wir die
Summenfunktion (Σ) im Taschenrechner wie folgt verwenden:
•
Bestimmen Sie zuerst eine Funktion c(n), die den allgemeinen Term cn in
der komplexen Fourier-Reihe darstellt.
Seite 16-34
•
Definieren Sie nun die endliche komplexe Fourier-Reihe F(X,k), wobei X die
unabhängige Variable ist und k die Anzahl der zu verwendenden Terme
bestimmt. Idealerweise würden wir diese endliche komplexe Fourier-Reihe
wie folgt schreiben:
F(X , k) =
k
∑ c(n) ⋅ exp(
n=− k
2 ⋅ i ⋅π ⋅ n
⋅ X)
T
Weil jedoch die Funktion c(n) für n = 0 nicht definiert ist, sollten wir den
Ausdruck wie folgt schreiben:
F ( X , k , c0) = c0 +
k
∑ [c(n) ⋅ exp(
n =1
2 ⋅ i ⋅π ⋅ n
2 ⋅ i ⋅π ⋅ n
⋅ X ) + c(−n) ⋅ exp(−
⋅ X )],
T
T
Oder, in der Eingabezeile des Taschenrechners, als:
DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+
c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’),
wobei T die Periode T = 2 darstellt. Die folgenden Screenshots zeigen die
Definition der Funktion F und die Speicherung von T = 2.
Seite 16-35
Die Funktion @@@F@@@ kann verwendet werden, um den Ausdruck für komplexe
Fourier-Reihen für einen endlichen Wert von k zu verändern. Für k = 2, c0 = 1/
3 und mit t als unabhängige Variable können wir F(t,2,1/3) beispielsweise
auswerten, um Folgendes zu erhalten:
Das Ergebnis zeigt nur den ersten Term (c0) und einen Teil des ersten
Exponentialterms in der Reihe. Das Dezimalformat wurde auf auf Fix mit 2
Dezimalstellen geändert, um einige Koeffizienten in der Entwicklung und im
Exponenten anzuzeigen. Wie erwartet sind die Koeffizienten komplexe Zahlen.
Die Funktion F, somit definiert, genügt, um Werte der endlichen Fourier-Reihe zu
erhalten. Einen Einzelwert der Reihe F(0.5,2,1/3) kann man z. B. erhalten,
wenn man Folgendes verwendet (Einstellungen: CAS-Modus auf Exact gesetzt,
step-by-step und Complex):
Akzeptieren Sie ggf. die Umschaltung auf den Approx-Modus. Das Ergebnis ist
der Wert –0.40467…. Der tatsächliche Wert der Funktion g(0.5) ist g(0.5) = 0.25. Die folgenden Berechnungen zeigen, wie sehr sich die Fourier-Reihe an
diesen Wert annähert, wenn die Anzahl der Komponenten in der Reihe,
gegeben durch k, zunimmt:
F (0.5, 1, 1/3) = (-0.303286439037,0.)
F (0.5, 2, 1/3) = (-0.404607622676,0.)
F (0.5, 3, 1/3) = (-0.192401031886,0.)
F (0.5, 4, 1/3) = (-0.167070735979,0.)
Seite 16-36
F (0.5, 5, 1/3) = (-0.294394690453,0.)
F (0.5, 6, 1/3) = (-0.305652599743,0.)
Um die Ergebnisse der Reihe mit denen der ursprünglichen Funktion zu
vergleichen, laden Sie diese Funktionen in die Eingabeform PLOT-FUNCTION
(„ñ - gleichzeitig, wenn im RPN-Modus):
Verändern Sie die Grenzen des Zeichnungsfensters („ò) wie folgt:
Drücken sie die Softmenü-Tasten @ERASE @DRAW, um die Zeichnung zu erstellen:
Beachten Sie, dass die Reihe mit 5 Termen die Grafik mit den Funktionen sehr
eng im Intervall 0 bis 2 umrandet (d.h. durch die Periode T = 2). Es ist auch
eine Periodizität im Graphen der Reihe zu erkennen. Diese Periodizität kann
leicht veranschaulicht werden, indem der horizontale Bereich der Zeichnung auf
(-0.5,4) ausgedehnt wird:
Seite 16-37
Fourier-Reihe für eine Dreieckschwingung
Beachten Sie die Funktion
⎧ x, if 0 < x < 1
,
g ( x) = ⎨
2
−
x
,
if
1
<
x
<
2
⎩
die wir als periodisch mit T = 2 annehmen. Diese Funktion kann im
Taschenrechner im ALG-Modus durch folgenden Ausdruck definiert werden:
DEFINE(‘g(X) = IFTE(X<1,X,2-X)’)
Wenn Sie Beispiel 1 schon beendet haben, haben Sie bereits einen Wert für 2
in der CAS Variable PERIOD gespeichert. Wenn Sie sich nicht sicher sind,
überprüfen Sie den Wert dieser Variable und speichern Sie ggf. eine 2 darin.
Der Koeffizient c0 für die Fourier-Reihe wird wie folgt berechnet:
Der Taschenrechner wird Sie auffordern, in den Approx-Modus zu wechseln, um
die im Integranden enthaltene Funktion IFTE() zu integrieren. Bei Bestätigung
des Wechsels zu Approx erscheint c0 = 0.5. Wenn wir nun einen allgemeinen
Ausdruck für den Koeffizienten cn erhalten wollen, verwenden wir:
Seite 16-38
Der Taschenrechner ermittelt ein Integral, das numerisch nicht ausgewertet
werden kann, weil es vom Parameter n abhängt. Der Koeffizient kann dennoch
berechnet werden, indem seine Definition in den Taschenrechner eingegeben
wird, d.h.
1 1
⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞
⋅ ∫ X ⋅ EXP⎜ −
⎟ ⋅ dX +
2 0
T
⎝
⎠
1 2
⎛ i⋅2⋅n ⋅π⋅X⎞
⋅ ∫ (2 − X) ⋅ EXP⎜ −
⎟ ⋅ dX
2 1
T
⎝
⎠
,
wobei T = 2 die Periode ist. Der Wert von T kann gespeichert werden mittels:
Durch Eingabe des ersten Integrals oben in den EquationWriter
(Gleichungsschreiber), Auswahl des gesamten Ausdrucks und Verwendung von
@EVAL@, erhalten wir Folgendes:
Rufen Sie die Zeile einπ = cos(nπ) + i⋅sin(nπ) = (-1)n erneut auf. Durch den
Austauschvorgang im oben erhaltenen Ergebnis erhalten wir:
Seite 16-39
Drücken Sie ``, um dieses Ergebnis auf den Bildschirm zu kopieren.
Aktivieren Sie dann erneut den EquationWriter, um das zweite Integral zu
berechnen, das den Koeffizienten cn, definiert, d.h.,
Durch Ersetzen von einπ = (-1)n und Verwenden von e2inπ = 1 erhalten wir:
Drücken Sie ``, um dieses zweite Ergebnis auf den Bildschirm zu
kopieren. Fügen Sie nun ANS(1) und ANS(2) hinzu, um den vollständigen
Ausdruck für cn zu erhalten:
Durch Drücken von ˜ wird dieses Ergebnis in den EquationWriter gelegt, wo
wir es vereinfachen (@SIMP@) können auf:
Seite 16-40
Durch erneutes Ersetzen von!einπ = (-1)n erhalten wir:
Dieses Ergebnis wird verwendet, um die Funktion c(n) wie folgt zu definieren:
DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’)
d.h.
Als nächstes definieren wir die Funktion F(X,k,c0), um die Fourier-Reihe zu
berechnen (wenn Sie Beispiel 1 abgeschlossen haben, ist diese Funktion bereits
gespeichert):
DEFINE(‘F(X,k,c0) = c0+Σ(n=1,k,c(n)*EXP(2*i*π*n*X/T)+
c(-n)*EXP(-(2*i*π*n*X/T))’),
Um die ursprüngliche Funktion und die Fourier-Reihe zu vergleichen, können wir
eine Simultanzeichnung beider Funktionen erzeugen. Die Details sind ähnlich
wie in Beispiel 1, außer dass wir hier einen horizontalen Bereich von 0 bis 2
und einen vertikalen Bereich von 0 bis 1 verwenden und die zu zeichnenden
Gleichungen wie folgt anpassen:
Seite 16-41
Die resultierende Grafik ist unten für k = 5 aufgeführt (die Anzahl der Elemente
in der Reihe ist 2k+1, d.h. 11 in diesem Fall):
In der Zeichnung ist es schwierig, die ursprüngliche Funktion von der FourierReihen-Annäherung zu unterscheiden. Die Verwendung von k= 2 bzw. von 5
Termen in der Reihe führt nicht zu einer so guten Annäherung:
Die Fourier-Reihe kann verwendet werden, um eine periodische
Dreieckschwingung (oder Sägezahnwelle) zu erzeugen, indem der horizontale
Achsenbereich z. B. von -2 auf 4 verändert wird. Die unten angeführte Grafik
verwendet k = 5:
Seite 16-42
Fourier-Reihe für eine Rechteckschwingung
Eine Rechteckschwingung kann verändert werden unter Verwendung der
Funktion:
⎧ 0, if 0 < x < 1
⎪
g ( x) = ⎨ 1, if 1 < x < 3
⎪0, if 3 < x < 4
⎩
In diesem Fall ist die Periode T=4. Achten Sie darauf, dass Sie den Wert der
Variable @@@T@@@ auf 4 setzen (verwenden Sie: 4 K @@@T@@ `). Die Funktion
g(X) kann im Taschenrechner definiert werden durch:
DEFINE(‘g(X) = IFTE((X>1) AND (X<3),1,0)’)
Die Funktion wird wie folgt gezeichnet (horizontaler Bereich: 0 bis 4, vertikaler
Bereich:0 bis 1.2 ):
Mithilfe eines ähnlichen Vorgehens wie bei der Dreiecksform in Beispiel 2 oben,
werden Sie sehen, dass
c0 =
1
T
3
⋅ ⎛⎜ ∫ 1 ⋅ dX ⎞⎟ = 0.5 ,
⎠
⎝ 1
und
Seite 16-43
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir einπ/2 = in und e3inπ/2
= (-i)n verwenden, um Folgendes zu erhalten:
Die Vereinfachung des rechten Teils von c(n) oben ist einfacher auf Papier zu
vollziehen (d.h. manuell). Geben Sie dann den Ausdruck für c(n) erneut wie in
der linken oberen Abbildung ein, um die Funktion c(n) zu definieren. Die
Fourier-Reihe wird mit F(X,k,c0) berechnet, wie in den Beispielen 1 und 2 oben
mit c0 = 0.5. Für k = 5, d.h. mit 11 Komponenten, ist die Annäherung unten
angeführt:
Seite 16-44
Eine bessere Annäherung kann durch Verwendung von k = 10 erreicht werden,
d.h.:
Bei k = 20 ist die Annäherung sogar noch besser, aber die Erstellung der
Grafik dauert länger.
Fourier-Reihen-Anwendungen bei Differentialgleichungen
Nehmen wir an, wir wollen die periodische Rechteckschwingung aus dem
vorherigen Beispiel als Anregung eines ungedämpften Feder-Masse-Systems
berechnen, dessen homogene Gleichung wie folgt lautet: d2y/dX2 + 0.25y = 0.
Wir können die Anregungskraft erhalten, indem wir eine Annäherung mit k =
10 aus der Fourier-Reihe errechnen, unter Verwendung von SW(X) =
F(X,10,0.5):
Wir können dieses Ergebnis als erste Eingabe für die Funktion LDEC
verwenden, um eine Lösung des Systems d2y/dX2 + 0.25y = SW(X) zu
erhalten, wobei SW(X) für die Rechteckschwingung von X steht. Die zweite
Eingabe ist die charakteristische Gleichung, die der oben angeführten
homogenen ODE entspricht, d.h. ‘X^2+0.25’.
Seite 16-45
Mithilfe dieser zwei Eingaben kommt die Funktion LDEC zu folgendem Ergebnis
(Dezimalformat geändert auf Fix mit 3 Dezimalstellen):
Drücken Sie ˜ zum Anzeigen des vollständigen Ausdrucks im
EquationWriter. Die Untersuchung der Gleichung im EquationWriter bringt
hervor, dass zwei Integrationskonstanten existieren, cC0 und cC1. Die Werte
kann man mithilfe der Anfangsbedingungen berechnen. Nehmen wir an, wir
verwenden die Werte cC0 = 0.5 und cC1 = -0.5, dann können wir diese
Werte in der obigen Lösung mithilfe der Funktion SUBST (siehe Kapitel 5)
ersetzen. Verwenden Sie in diesem Fall SUBST(ANS(1),cC0=0.5) `, gefolgt
von SUBST(ANS(1),cC1=-0.5) `. Zurück im normalen Taschenrechnerdisplay
können wir Folgendes verwenden:
Das letztere Ergebnis kann als Funktion FW(X) wie folgt definiert werden (das
letzte Ergebnis ausschneiden und in den Befehl einfügen):
Seite 16-46
Wir können nun den reellen Teil dieser Funktion zeichnen. Wechseln Sie vom
Dezimal-Modus auf Standard und verwenden Sie:
Die Lösung ist unten angeführt:
Fourier-Transformationen
Bevor wir auf das Konzept von Fourier-Transformationen eingehen, sprechen wir
über die allgemeine Definition einer Integral-Transformation. Generell gesehen,
ist eine Integral-Transformation eine Transformation, die eine Funktion f(t) mit
einer neuen Funktion F(s) verbindet, und zwar durch eine Integration der Form
b
F ( s ) = ∫ κ ( s, t ) ⋅ f (t ) ⋅ dt. Die Funktion κ(s,t) wird als Kern der
a
Transformation bezeichnet.
Mithilfe einer Integral-Transformation können wir eine Funktion in ein bestimmtes
Spektrum von Komponenten zerlegen. Um das Konzept eines Spektrums zu
verstehen, betrachten Sie die Fourier-Reihe
∞
f (t ) = a0 + ∑ (an ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x ),
n =1
die eine periodische Funktion mit einer Periode T darstellt. Diese Fourier-Reihe
kann geschrieben werden als
Seite 16-47
∞
f ( x) = a0 + ∑ An ⋅ cos(ϖ n x + φ n ),
n =1
wobei
⎛b ⎞
An = a n2 + bn2 , φ n = tan −1 ⎜⎜ n ⎟⎟,
⎝ an ⎠
für n =1,2, …
Die Amplitude An wird als das Spektrum der Funktion bezeichnet und ermittelt
die Größenordnung der Komponente von f(x) mit der Frequenz fn = n/T. Die
Grund- oder Fundamentalfrequenz in der Fourier-Reihe ist f0 = 1/T, somit sind
alle anderen Frequenzen Vielfache dieser Grundfrequenz, d.h. fn = n⋅f0. Wir
können auch eine Winkelfrequenz, ωn = 2nπ/T = 2π⋅fn = 2π⋅ n⋅f0 = n⋅ω0,
bestimmen, wobei ω0 die grundlegende oder fundamentale Winkelfrequenz
der Fourier-Reihe ist.
Bei Verwendung der Winkelfrequenz-Notation wird die Fourier-ReihenEntwicklung wie folgt geschrieben:
∞
f ( x) = a 0 + ∑ An ⋅ cos(ω n x + φ n ).
n =1
∞
= a 0 + ∑ (a n ⋅ cos ω n x + bn ⋅ sin ω n x )
n =1
Eine Zeichnung der Werte An gegen ωn ist die typische Darstellung eines
diskreten Spektrums für eine Funktion. Das diskrete Spektrum wird zeigen, dass
die Funktion Komponenten bei Winkelfrequenzen ωn aufweist, die ganzzahlige
Vielfache der fundamentalen Winkelfrequenz ω0 sind.
Nehmen wir an, wir müssen eine nicht periodische Funktion in eine Sinus- und
Kosinus-Komponente entwickeln. Eine nicht periodische Funktion kann man sich
als Funktion mit unendlich großer Periode vorstellen. Somit wird für einen sehr
großen Wert von T die fundamentale Winkelfrequenz ω0 = 2π/T zu einer sehr
kleinen Größe, z. B. Δω. Die Winkelfrequenz, die ωn = n⋅ω0 = n⋅Δω, (n = 1, 2,
…, ∞) entspricht, nimmt dabei auch Werte an, die näher und näher aneinander
Seite 16-48
heranrücken, was die Notwendigkeit eines kontinuierlichen Spektrums von
Werten andeutet.
Die nicht periodische Funktion kann deshalb wie folgt geschrieben werden:
∞
f ( x) = ∫ [C (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ x) + S (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ x)]dω ,
0
wobei
C (ω ) =
∞
1
⋅ ∫ f ( x) ⋅ cos(ω ⋅ x) ⋅ dx,
2π −∞
S (ω ) =
∞
1
⋅ ∫ f ( x) ⋅ sin(ω ⋅ x) ⋅ dx.
2π −∞
und
Das kontinuierliche Spektrum ist gegeben durch:
A(ω ) = [C (ω )] 2 + [ S (ω )] 2
Die Funktionen C(ω), S(ω) und A(ω) sind kontinuierliche Funktionen einer
Variable ω, welche zur transformierten Variable für die weiter unten definierte
Fourier-Transformation wird:
Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Koeffizienten C(ω), S(ω) und das kontinuierliche
Spektrum A(ω) für die Funktion f(x) = exp(x) für x > 0 und f(x) = 0, x < 0.
Geben Sie die folgenden Integrale in den Taschenrechner ein und werten Sie
diese aus, um C(ω) bzw. S(ω) zu berechnen. Die CAS-Modi sind auf Exact und
Real gesetzt.
Seite 16-49
Die Ergebnisse lauten:
Das kontinuierliche Spektrum A(ω) wird berechnet als:
Definieren Sie diesen Ausdruck durch Verwendung der Funktion DEFINE
(„à) als Funktion. Zeichnen Sie dann das kontinuierliche Spektrum im
Bereich 0 < ω < 10 wie folgt:
Definition von Fourier-Transformationen
Es können verschiedene Arten von Fourier-Transformationen definiert werden.
Nachfolgend finden Sie die Definitionen der Sinus-, der Kosinus- und der
vollständigen Fourier-Transformationen und deren Inversionen, die in diesem
Kapitel verwendet werden:
Fourier-Sinustransformation
Fs{ f (t )} = F (ω ) =
2
π
⋅∫
∞
0
f (t ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ dt
Inverse-Sinustransformation
Seite 16-50
∞
Fs−1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0
Fourier-Kosinustransformation
Fc{ f (t )} = F (ω ) =
2
π
⋅∫
∞
0
f (t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt
Inverse-Kosinustransformation
∞
Fc−1 {F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) ⋅ dt
0
Fourier-Transformation (echte)
F { f (t )} = F (ω ) =
1 ∞
⋅
f (t ) ⋅ e −iωt ⋅ dt
2π ∫−∞
Inverse Fourier-Transformation (echte)
∞
F −1{F (ω )} = f (t ) = ∫ F (ω ) ⋅ e −iωt ⋅ dt
−∞
Beispiel 1 – Bestimmen Sie die Fourier-Transformation der Funktion f(t) = exp(- t)
für t >0 und f(t) = 0 für t<0.
Das kontinuierliche Spektrum F(ω) wird mit dem folgenden Integral berechnet:
1
2π
= lim
ε →∞
∫
∞
0
e −(1+iω )t dt = lim
ε →∞
1
2π
∫
1 ⎡1 − exp(−(1 + iω )t ) ⎤
⎥=
1 + iω
2π ⎢⎣
⎦
ε
0
e −(1+iω )t dt
1
1
.
2π 1 + iω
⋅
Dieses Ergebnis kann durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit der
Konjugierten des Nenners vereinfacht werden, d. h. 1-iω. Das Ergebnis lautet
nun:
F (ω ) =
1
1
1
⋅
=
2π 1 + iω 2π
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 − iω ⎞
⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟
⎝ 1 + iω ⎠ ⎝ 1 − i ω ⎠
Seite 16-51
=
ω ⎞
1 ⎛ 1
−i⋅
⎜
⎟
2
2π ⎝ 1 + ω
1+ ω 2 ⎠
und stellt eine komplexe Funktion dar.
Der Absolutbetrag der reellen und imaginären Teile der Funktion kann wie folgt
gezeichnet werden:
Anmerkung:
Der Absolutbetrag der Fourier-Transformation |F(ω)| ist das Frequenzspektrum
der ursprünglichen Funktion f(t). Für das oben angeführte Beispiel gilt |F(ω)| =
1/[2π(1+ω2)]1/2. Die Zeichnung für |F(ω)| gegen ω wurde vorher gezeigt.
Einige Funktionen, wie konstante Werte, sin x, exp(x), x2, etc., haben keine
Fourier-Transformation. Funktionen, die gleich schnell genug gegen Null
gehen, wenn x gegen Unendlich geht, haben Fourier-Transformationen.
Eigenschaften der Fourier-Transformation
Linearität: Wenn a und b Konstanten sind, und f und g Funktionen, dann ist
F{a⋅f + b⋅g} = a F{f }+ b F{g}.
Transformation partieller Ableitungen Sei u = u(x,t). Wenn die FourierTransformation die Variable x umwandelt, dann gilt:
F{∂u/∂x} = iω F{u}, F{∂2u/∂x2} = -ω2 F{u},
F{∂u/∂t} = ∂F{u}/∂t, F{∂2u/∂t2} = ∂2F{u}/∂t2
Faltung: Für Fourier-Transformations-Anwendungen ist die Faltungsfunktion
definiert als:
Seite 16-52
( f * g )( x) =
1
2π
⋅ ∫ f ( x − ξ ) ⋅ g (ξ ) ⋅ dξ .
Die folgende Eigenschaft gilt für die Faltung:
F{f*g} = F{f}⋅F{g}.
Fast Fourier-Transformation (FFT)
Die Fast Fourier-Transformation/ schnelle Fourier-Transformation ist ein
Computeralgorithmus, durch welchen eine diskrete Fourier-Transformation (DFT)
sehr effizient berechnet werden kann. Dieser Algorithmus findet in der Analyse
verschiedener zeitabhängiger Signale Anwendung, von der Messung von
Turbulenzen bis zu Kommunikationssignalen.
Die diskrete Fourier-Transformation einer Reihe von Datenwerten {xj}, j = 0, 1,
2, …, n-1, ist eine neue endliche Folge {Xk}, definiert als:
Xk =
1 n −1
∑ x j ⋅ exp(−i ⋅ 2πkj / n),
n j =0
k = 0,1,2,..., n − 1
Die direkte Berechnung der Folge Xk bezieht n2 Produkte ein, die einen
enormen Aufwand an Computerzeit (oder Taschenrechnerzeit), vor allem für
große Werte von n, benötigen würde. Die Fast Fourier-Transformation reduziert
die benötigte Anzahl an Operationen auf die Ordnung von n⋅log2n. Für n =
100 z. B. benötigt die FFT ungefähr 664 Operationen, während die direkte
Berechnung 10.000 Operationen benötigen würde. Somit wird die Anzahl der
Operationen mithilfe der FFT um einen Faktor von 10000/664 ≈ 15 reduziert.
Die FFT arbeitet an der Sequenz {xj}, indem sie sie in eine Reihe kleinerer
Sequenzen teilt. Die DFTs der kürzeren Sequenzen werden berechnet und
später auf höchst effiziente Weise zusammengeführt. Details zum Algorithmus
finden Sie z. B. in Kapitel 12 in Newland, D.E., 1993, „An Introduction to
Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis – Third Edition“ , Longman
Scientific and Technical, New York.
Seite 16-53
Die einzige Voraussetzung für die Anwendung der FFT ist, dass die Zahl n eine
Potenz von 2 ist, d.h. wählen Sie Ihre Daten so, dass 2, 4, 8, 16, 32, 62 usw.
als Punkte enthalten sind.
Beispiele für FFT-Anwendungen
FFT-Anwendungen enthalten normalerweise Daten, die aus einem
zeitabhängigen Signal diskretisiert wurden. Der Taschenrechner kann z.B. über
einen Computer oder Daten-Logger mit diesen Daten gespeist werden, damit
sie verarbeitet werden können. Sie können auch Ihre eigenen Daten erzeugen,
indem Sie eine Funktion programmieren und einige zufällige Zahlen
hinzufügen.
Beispiel 1 – Definieren Sie die Funktion f(x) = 2 sin (3x) + 5 cos(5x) +
0.5*RAND, wobei RAND der gleichverteilte Zufallszahlengenerator ist, der im
Taschenrechner integriert ist. Erzeugen Sie 128 Datenpunkte unter Verwendung
von x-Werten im Intervall (0,12.8). Speichern Sie diese Werte in einem Array
und führen Sie eine FFT an diesem durch.
Zuerst definieren wir die Funktion f(x) als RPN-Programm:
<< x ‘2*SIN(3*x) + 5*COS(5*x)’ EVAL RAND 5 * + NUM >>
und speichern dieses Programm in Variable @@@@f@@@. Geben Sie dann das
folgende Programm ein, um 2m Datenwerte zwischen a und b zu errechnen.
Das Programm wird die Werte von m, a und b verwenden:
<< m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j
‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f NEXT n ARRY >> >> >> >>
Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen GDATA (Generate DATA).
Führen Sie dann das Programm für die folgenden Werte aus: m = 5, a = 0, b =
100.. Verwenden Sie im RPN-Modus:
5#0#100@GDATA!
Seite 16-54
Die unten angeführte Abbildung ist ein Box-Plot der erstellten Daten. Um die
Grafik zu erstellen, kopieren Sie zuerst das angelegte Array und transformieren
Sie dieses dann in einen Spaltenvektor unter Verwendung von: OBJ 1 +
ARRY (Funktionen OBJ und ARRY sind im Befehlskatalog enthalten
‚N). Speichern Sie das Array in ΣDAT mithilfe der Funktion STOΣ (auch
über ‚N verfügbar). Wählen Sie Bar als TYPE für die Grafik und setzen
Sie das Ansichtsfenster auf folgende Werte: H-VIEW: 0 32, V-VIEW: -10 10 und
BarWidth auf 1. Drücken Sie @CANCL $, um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
Um die FFT auf dem Array in der Stack-Ebene 1 durchzuführen, wenden Sie die
Funktion FFT im Menü MTH/FFT auf das Array ΣDAT: @£DAT FFT an. Die FFT
errechnet ein Array mit komplexen Zahlen, welche die Arrays für die
Koeffizienten Xk der DFT sind. Der Betrag der Koeffizienten Xk stellt ein
Frequenzspektrum der ursprünglichen Daten dar. Um den Betrag der
Koeffizienten zu erhalten, könnten Sie das Array mithilfe in eine Liste
umwandeln und dann die Funktion ABS auf die Liste anwenden. Dies erfolgt
durch: OBJ μƒLIST „Ê
Schlussendlich können Sie die Liste erneut zurück in einen Spaltenvektor
konvertieren, welcher in ΣDAT gespeichert wird:
OBJ 1`2LIST ARRY STOΣ
Um das Spektrum zu zeichnen, folgen Sie den Anweisungen für die Erstellung
eines Balkendiagramms, die weiter vorne beschrieben wurde. Der vertikale
Bereich muss auf –1 bis 80 geändert werden. Das Frequenzspektrum sieht wie
folgt aus:
Seite 16-55
Das Spektrum zeigt zwei große Komponenten für zwei Frequenzen (dies sind
die sinusförmigen Komponenten sin (3x) und cos(5x)) und eine Reihe kleinerer
Komponenten für andere Frequenzen.
Beispiel 2 – Um das Signal zu produzieren, welches durch das Spektrum
gegeben ist, ändern wir das Programm GDATA so, dass es einen Absolutbetrag
beinhaltet und somit wie folgt lautet:
<< m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j
‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >>
Speichern Sie diese Programmversion unter dem Namen GSPEC (Generate
SPECtrum). Führen Sie das Programm dann für die Werte m = 6, a = 0, b =
100 aus, indem Sie folgendes verwenden:
6#0#100@GSPEC!
Drücken Sie nach Abschluss `, um eine zusätzliche Kopie des SpektrumArrays zu behalten. Konvertieren Sie diesen Reihenvektor in einen Spaltenvektor
und speichern Sie diesen in ΣDAT . Befolgen Sie die Schritte zur Erstellung einer
Balkengrafik, das für dieses Beispiel erstellte Spektrum sieht wie unten aus. Der
horizontale Bereich ist in diesem Fall 0 bis 64 und der vertikale Bereich ist –1
bis 10:
Um das Signal wiederzugeben, für welches das Spektum angezeigt wird,
verwenden Sie die Funktion IFFT. Da wir eine Kopie des Spektrums gespeichert
Seite 16-56
haben (einen Reihenvektor), brauchen Sie nur die Funktion IFFT im Menü MTH/
FFT oder über den Befehlskatalog ‚N finden. Eine weitere Möglichkeit ist
die Eingabe des Funktionsnamens, d.h. geben Sie ein: ~~ifft`.
Das Signal wird als Array (Reihenvektor) mit komplexen Zahlen angezeigt. Wir
interessieren uns nur für den reellen Teil der Elemente. Um den reellen Teil aus
den komplexen Zahlen zu extrahieren, verwenden Sie die Funktion RE aus dem
Menü CMPLX (siehe Kapitel 4), d.h. geben Sie ~~re` ein. Daraus
resultiert ein weiterer Reihenvektor. Konvertieren Sie ihn zu einem Spaltenvektor,
speichern Sie ihn in ΣDAT und erstellen Sie ein Balkendiagramm, um das Signal
anzuzeigen. Das Signal für dieses Beispiel ist unten dargestellt mit einem
horizontalen Bereich von 0 bis 64 und einem vertikalen Bereich von –1 bis 1:
Außer einer großen Spitze bei t = 0, ist das Signal vorwiegend Rauschen. Ein
kleinerer vertikaler Bereich (-0.5 to 0.5) zeigt das Signal folgendermaßen:
Seite 16-57
Lösung spezifischer Differentialgleichungen zweiter
Ordnung
In diesem Abschnitt zeigen und lösen wir verschiedene Arten gewöhnlicher
Differentialgleichungen, deren Lösungen in Form einiger klassischer Funktionen
definiert werden, z. B. Bessel-Funktion, Hermite'sche Polynome usw. Die
Beispiele sind im RPN-Modus angeführt.
Die Cauchy’sche oder Euler-Gleichung
Eine Gleichung der Form x2⋅(d2y/dx2) + a⋅x⋅ (dy/dx) + b⋅y = 0, wobei a und b
reella Konstanten sind, ist als Cauchy’sche oder Euler-Gleichung bekannt. Eine
Lösung zur Cauchy’schen Gleichung kann gefunden werden unter der
Annahme, dass y(x) = xn.
Geben Sie die Gleichung wie folgt ein: ‘x^2*d1d1y(x)+a*x*d1y(x)+b*y(x)=0’
`
Geben Sie dann die vorgeschlagene Lösung ein und ersetzen Sie ‘y(x) = x^n’
` @SUBST
Das Ergebnis lautet: ‘x^2*(n*(x^(n-1-1)*(n-1)))+a*x*(n*x^(n-1))+b*x^n =0,
vereinfacht: ‘n*(n-1)*x^n+a*n*x^n+b*x^n = 0’. Durch eine Division durch x^n
erhalten wir eine algebraische Hilfsgleichung: ‘n*(n-1)+a*n+b = 0’, oder:
n 2 + (a − 1) ⋅ n + b = 0 .
•
Wenn die Gleichung zwei verschiedene Nullstellen enthält, z. B. n1 und n2,
dann ist die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung y(x) = K1⋅x n1 + K2⋅x
n .
2
•
Wenn b = (1-a)2/4, dann hat die Gleichung eine doppelte Nullstelle n1 =
n2 = n = (1-a)/2, und die Lösung lautet y(x) = (K1 + K2⋅ln x)xn.
Seite 16-58
Legendre’sche Gleichung
Eine Gleichung der Form (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wobei n
eine reelle Zahl ist, ist als Legendre’sche Gleichung bekannt. Jede Lösung für
diese Gleichung wird Legendre'sche Funktion genannt. Wenn n eine nicht
negative Ganzzahl ist, nennt man die Lösungen Legendre’sche Polynome. Das
Legendre’sche Polynom der Ordnung n ist gegeben durch
M
Pn ( x) = ∑ (−1) m ⋅
m =0
=
(2n − 2m)!
⋅x n − 2 m
2 ⋅ m!⋅(n − m)!⋅(n − 2m)!
n
(2n)!
(2n − 2)!
⋅ xn − n
⋅ x n − 2 + ... − .. ,
2
2 ⋅ (n!)
2 ⋅ 1!⋅(n − 1)!(n − 2)!
n
wobei M = n/2 oder (n-1)/2, je nachdem welche davon eine Ganzzahl ist.
Legendre’sche Polynome sind im Taschenrechner vorprogrammiert und können
mithilfe der Funktion LEGENDRE aufgerufen werden, falls die Ordnung des
Polynoms n gegeben ist. Die Funktion LEGENDRE kann über den Befehlskatalog
(‚N) oder über das Menü ARITHMETIC/POLYNOMIAL aufgerufen
werden (siehe Kapitel 5). Im RPN-Modus erhält man die ersten sechs
Legendre’schen Polynome wie folgt:
0 LEGENDRE, Ergebnis: 1,
d.h. P0(x) = 1.0.
1 LEGENDRE, Ergebnis: ‘X’,
d.h. P1(x) = x.
2 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(3*X^2-1)/2’,
d.h. P2(x) = (3x2-1)/2.
3 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(5*X^3-3*X)/2’,
d.h. P3(x) =(5x3-3x)/2.
4 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(35*X^4-30*X^2+3)/8’,
d.h.
4
2
P4(x) =(35x -30x +3)/8.
5 LEGENDRE, Ergebnis: ‘(63*X^5-70*X^3+15*X)/8’, d.h.
P5(x) =(63x5-70x3+15x)/8.
Die ODE (1-x2)⋅(d2y/dx2)-2⋅x⋅ (dy/dx)+[n⋅ (n+1)-m2/(1-x2)] ⋅y = 0, hat
folgende Funktion als Lösung: y(x) = Pnm(x)= (1-x2)m/2⋅(dmPn/dxm). Diese
Funktion wird eine assoziierte Legendre-Funktion genannt.
Seite 16-59
Bessel-Gleichung
Die gewöhnliche Differentialgleichung x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)+ (x2-ν2) ⋅y =
0, wobei der Parameter ν eine nicht negative reale Zahl ist, wird Bessel’sche
Differentialgleichung genannt. Lösungen zur Bessel-Gleichung sind als BesselFunktionen erster Art der Ordnung ν gegeben:
(−1) m ⋅ x 2 m
,
2 m +ν
⋅ m!⋅Γ(ν + m + 1)
m =0 2
∞
J ν ( x ) = xν ⋅ ∑
wobei ν keine Ganzzahl ist. Die Funktion Gamma Γ(α) ist in Kapitel 3 definiert.
Wenn ν = n eine Ganzzahl ist, werden die Bessel-Funktionen erster Art für n =
Ganzzahl definiert durch
(−1) m ⋅ x 2 m
.
2m+n
⋅ m!⋅(n + m)!
m =0 2
∞
J n ( x) = x n ⋅ ∑
Egal, ob wir im Taschenrechner ν (keine Ganzzahl) oder n (Ganzzahl)
verwenden, können wir die Bessel-Funktion erster Art definieren, indem wir die
folgende endliche Reihe verwenden:
Somit haben wir die Kontrolle über die Ordnung, n, der Funktion und über die
Anzahl der Elemente in der Reihe k. Sobald Sie diese Funktion eingegeben
haben, können Sie die Funktion DEFINE verwenden, um die Funktion J(x,n,k) zu
definieren. Dies erzeugt die Variable @@@J@@@ unter den Funktionstasten. Um z. B.
J3(0.1) mithilfe von 5 Termen in der Reihe auszuwerten, berechnen Sie
J(0.1,3,5), d.h. im RPN-Modus: .1#3#5@@@J@@@. Das Ergebnis
lautet 2.08203157E-5.
Wenn Sie einen Ausdruck für J0(x) mit beispielsweise 5 Termen in der Reihe
erhalten möchten, verwenden Sie J(x,0,5). Das Ergebnis lautet:
Seite 16-60
‘1-0.25*x^2+0.015625*x^4-4.3403777E-4*x^6+6.782168E-6*x^86.78168*x^10’.
Für nicht ganzzahlige Werte ν wird die Lösung zur Bessel-Gleichung gegeben
durch:
y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x).
Für ganzzahlige Werte sind die Funktionen Jn(x) und J-n(x) linear abhängig, da
Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x),
deshalb können wir sie nicht verwenden, um eine allgemeine Funktion für die
Gleichung zu erhalten. Stattdessen verwenden wir die Bessel-Funktionen zweiter
Art, definiert als
Yν(x) = [Jν(x) cos νπ – J−ν(x)]/sin νπ,
für nicht ganze Zahlen ν, und für eine Ganzzahl n mit n > 0, definiert durch
Yn ( x) =
x
x n ∞ (−1) m−1 ⋅ (hm + hm+ n ) 2 m
⋅ J n ( x) ⋅ (ln + γ ) + ⋅ ∑ 2 m+ n
⋅x
π
2
π m =0 2
⋅ m!⋅(m + n)!
2
−
x −n
π
(n − m − 1)! 2 m
⋅x
2 m−n
⋅ m!
m =0 2
n −1
⋅∑
wobei γ die Euler-Konstante ist, definiert durch
γ = lim[1 +
r →∞
1 1
1
+ + ... + − ln r ] ≈ 0.57721566490...,
2 3
r
und hm stellt die harmonische Reihe dar.
hm = 1 +
1 1
1
+ + ... +
2 3
m
Seite 16-61
Für den Fall n = 0 wird die Bessel-Funktionen zweiter Art definiert als
Y0 ( x) =
∞
(−1) m −1 ⋅ hm 2 m ⎤
2 ⎡
x
⋅ ⎢ J 0 ( x) ⋅ (ln + γ ) + ∑ 2 m
⋅x ⎥.
π ⎣
2
⋅ (m!) 2
m =0 2
⎦
Mit diesen Definitionen ist eine allgemeine Lösung der Bessel-Gleichung für alle
Werte von ν gegeben durch y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅Yν(x).
In einigen Fällen ist es nötig, die Bessel-Gleichung mit einer komplexen Lösung
zu versehen, indem die Bessel-Funktion dritter Art der Ordnung ν definiert wird
als
Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x), and Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x),
Diese Funktionen sind auch als erste und zweite Hankel-Funktionen der
Ordnung ν bekannt.
Bei einigen Anwendungen kann es sein, dass Sie die so genannte modifizierte
Bessel-Funktionen erster Art der Ordnung ν verwenden müssen, definiert als
Iν(x)= i-ν⋅Jν(i⋅x), wobei i die imaginäre Einheit ist. Diese Funktionen sind
Lösungen zur Differentialgleichung x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)- (x2+ν2) ⋅y = 0.
Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Art
Kν(x) = (π/2)⋅[I-ν (x)−Iν (x)]/sin νπ,
sind auch Lösungen dieser ODE.
Sie können Funktionen für die Bessel-Funktionen im Taschenrechner auf ähnliche
Weise eingeben, wie sie es zur Definition von Bessel-Funktionen erster Art getan
haben. Achten Sie darauf, dass die unendlichen Reihen im Taschenrechner in
endliche Reihen umgewandelt werden müssen.
Chebyshev oder Tschebyscheff-Polynome
Die Funktionen Tn(x) = cos(n⋅cos-1 x), und Un(x) = sin[(n+1) cos-1 x]/(1-x2)1/2, n
= 0, 1 werden Chebyshev oder Tschebyscheff-Polymone erster bzw. zweiter Art
Seite 16-62
genannt. Die Polynome Tn(x) sind Lösungen zur Differentialgleichung
x2)⋅(d2y/dx2) − x⋅ (dy/dx) + n2⋅y = 0.
(1-
Im Rechner erzeugt die Funktion TCHEBYCHEFF das Chebyshev oder
Tschebyscheff Polynom der ersten Art mit Ordnung n, gegeben einen Wert n >
0. Wenn die Ganzzahl n (n < 0) negativ ist, erzeugt die Funktion
TCHEBYCHEFF ein Tschebyscheff Polynom der zweiten Art mit Ordnung n.
Dessen Definition lautet:
Un(x) = sin(n⋅arccos(x))/sin(arccos(x)).
Sie können über den Befehlskatalog (‚N) auf die Funktion TCHEBYCHEFF
zugreifen.
Die ersten vier Chebyshev- oder Tschebyscheff-Polynome erster und zweiter Art
erhält man wie folgt:
0 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: 1,
-0 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: 1,
1 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: ‘X’,
-1 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: 1,
d.h.
d.h.
d.h.
d.h.
T0(x) = 1.0.
U0(x) = 1.0.
T1(x) = x.
U1(x) =1.0.
2 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: ‘2*X^2-1,
-2 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: ‘2*X’,
d.h.
d.h.
T2(x) =2x2-1.
U2(x) =2x.
d.h.
T3(x) = 4x3-3x.
d.h.
U3(x) = 4x2-1.
3 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: ‘4*X^3-3*X’,
-3 TCHEBYCHEFF, Ergebnis: ‘4*X^2-1’,
Seite 16-63
Laguerre-Gleichung
Laguerre’s Gleichung ist die lineare ODE zweiter Ordnung der Form x⋅(d2y/
dx2) +(1−x)⋅ (dy/dx) + n⋅y = 0. Laguerre-Polynome, definiert als
L0 ( x) = 1, Ln ( x) =
e x d n (x n ⋅ e−x )
⋅
, n = 1,2,... ,
n!
dx n
sind Lösungen zur Laguerre-Gleichung. Laguerre-Polynome können auch
berechnet werden mit:
(−1) m
m!
m =0
n
Ln ( x ) = ∑
= 1− n ⋅ x +
⎛n⎞
⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ x m .
⎝m⎠
n ( n − 1) 2
( −1) n n
⋅ x − ... + .... +
⋅x
4
n!
Der Term
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
= C (n, m)
⎝ m ⎠ m!(n − m)!
ist der m-te Koeffizient der Binomialentwicklung (x+y)n. Er gibt auch die Anzahl
möglicher Kombinationen für die gleichzeitige Ziehung von m Elementen aus n
wieder. Diese Funktion ist im Taschenrechner als Funktion COMB im Menü
MTH/PROB verfügbar (siehe auch Kapitel 17).
Sie können die folgende Funktion definieren, um Laguerre-Polynome zu
berechnen:
Wenn Sie die Definition in den EquationWriter eingegeben haben, drücken Sie
die Funktion DEFINE, um die Funktion L(x,n) in der Variable @@@L@@@ zu erzeugen.
Um die ersten vier Laguerre-Polynome zu erzeugen, verwenden Sie L(x,0),
L(x,1), L(x,2), L(x,3). Die Ergebnisse lauten:
Seite 16-64
L0(x) = .
L 1(x) = 1-x.
L 2(x) = 1-2x+ 0.5x2
L 3(x) = 1-3x+1.5x2-0.16666…x3.
Weber-Gleichung und Hermite-Polynome
Die Weber-Gleichung wird definiert als: d2y/dx2+(n+1/2-x2/4)y = 0, für n =
0, 1, 2, … Eine spezielle Lösung dieser Gleichung ist durch die Funktion y(x) =
exp(-x2/4)H*(x/√2) gegeben, wobei die Funktion H*(x) das Hermite-Polynom
ist:
H 0 * = 1, H n * ( x) = (−1) n e x
2
d n − x2
(e ), n = 1,2,..
dx n
Im Taschenrechner ist die Funktion HERMITE über das Menü ARITHMETIC/
POLYNOMIAL verfügbar. Die Funktion HERMITE hat als Argument eine
Ganzzahl n und gibt das Hermite-Polynom des n-ten Grades zurück. Die ersten
vier Hermite-Polynome können z. B. durch Verwendung von berechnet werden:
0 HERMITE, Ergebnis: 1,
d.h. H0* = 1.
1 HERMITE, Ergebnis: ‘2*X’,
2 HERMITE, Ergebnis: ‘4*X^2-2’,
d.h. H1* = 2x.
d.h. H2* = 4x2-2.
3 HERMITE, Ergebnis: ’8*X^3-12*X’,
d.h. H3* = 8x3-12x.
Numerische und grafische Lösungen von ODEs
Differentialgleichungen, die nicht analytisch gelöst werden können, können
numerisch oder grafisch gelöst werden, wie unten aufgezeigt wird.
Numerische Lösung einer ODE erster Ordnung
Durch die Verwendung des numerischen Lösers (‚Ï), können Sie auf eine
Eingabeform zugreifen, mit deren Hilfe Sie lineare gewöhnliche
Differentialgleichungen erster Ordnung lösen können. Die Anwendung dieser
Funktion wird anhand des folgenden Beispiels vorgestellt. Die in der Lösung
Seite 16-65
verwendete Methode ist ein Runge-Kutta Algorithmus vierter Ordnung, der im
Taschenrechner vorprogrammiert ist.
Beispiel 1 – Angenommen wir möchten die Differentialgleichung dv/dt = -1,5
v1/2, mit v = 4 bei t = 0 lösen. Wir müssen v für t = 2 finden.
Zuerst erstellen wir den Ausdruck, indem wir die Ableitung definieren und sie in
der Variable EQ speichern. Die Abbildung links zeigt den Befehl im ALG-Modus
und die rechte Abbildung zeigt den RPN-Stack vor Drücken von K.
Gehen Sie dann in den NUMERICAL SOLVER und wählen Sie den
Differentialgleichungs-Löser ‚Ϙ @@@OK@@@ Geben Sie die folgenden
Parameter ein:
Zum Lösen drücken Sie: @SOLVE (warten) @EDIT@. Das Ergebnis lautet 0,2499 ≈
0,25. Drücken Sie @@@OK@@@.
Lösung dargestellt als Wertetabelle
Angenommen wir möchten eine Wertetabelle von v für t = 0,00, 0,25, …, 2,00
anfertigen, dann gehen wir wie folgt vor:
Erstellen Sie zuerst die Tabelle, in die Sie die Ergebnisse eintragen. Schreiben
Sie das Schritt-für-Schritt-Ergebnis in die Tabelle:
t
0.00
0.25
…
2.00
v
0.00
…
Seite 16-66
Als nächstes ändern Sie in der SOLVE-Umgebung den endgültigen Wert der
unabhängigen Variable auf 0,25, verwenden Sie dazu:
—.25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (warten) @EDIT
(Löst auf nach v bei t = 0,25, v = 3,285 …. )
@@OK@@ INIT+ — . 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,25 und den endgültigen Wert von t auf
0,5, löst auf nach v(0,5) = 2,640…).
@@OK@@ @INIT+—,75 @@OK@@ ™™@SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,5 und endgültigen Wert von t auf 0,75, löst
auf nach v(0,75) = 2,066…).
@@OK@@ @INIT+—1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,75 und endgültigen Wert von t auf 1, löst
auf nach v(1) = 1,562…).
Wiederholen Sie die Schritte für t = 1,25; 1,50; 1,75; 2,00. Drücken Sie @@OK@@,
nachdem Sie sich das letzte Ergebnis in @EDIT angesehen haben. Um zum
normalen Taschenrechnerdisplay zurückzukehren, drücken Sie $ oder
L@@OK@@. Die verschiedenen Lösungen werden im Speicher angezeigt, das
letzte Ergebnis in Ebene 1.
Die endgültigen Ergebnisse sehen wie folgt aus (auf die dritte Dezimalstelle
gerundet):
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
v
4.000
3.285
2.640
2.066
1.562
1.129
0.766
0.473
0.250
Grafische Lösung einer ODE erster Ordnung
Wenn wir keine Lösung geschlossener Form für das Integral erhalten können,
können wir das Integral zeichnen, indem wir im Feld TYPE der PLOT-Umgebung
Seite 16-67
die Funktion Diff Eq wie folgt auswählen: Nehmen wir an, wir wollen die
Position x(t) für eine Geschwindigkeitsfunktion v(t) = exp(-t2), mit x = 0 bei t = 0
zeichnen. Wir wissen, dass es für das Integral keinen Ausdruck geschlossener
Form gibt, wir wissen jedoch, dass die Definition von v(t) wie folgt lautet: dx/dt
= exp(-t2).
Der Taschenrechner ermöglicht das Zeichnen der Lösung der
Differentialgleichungen der Form Y'(T) = F(T,Y). In unserem Fall nehmen wir Y =
x und T = t an, daher gilt F(T,Y) = f(t, x) = exp(-t2). Zeichnen wir nun die Lösung
x(t), für t = 0 bis 5, indem wir die folgenden Tastatureingaben verwenden:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
„ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten), um in die PlotUmgebung zu gelangen.
Markieren Sie das Feld vor TYPE mithilfe der Tasten —˜. Drücken Sie
dann @CHOOS, und markieren Sie Diff Eq mithilfe der Tasten —˜.
Drücken Sie @@OK@@.
Ändern Sie Feld F: auf ‘EXP(- t^2)’.
Vergewissern Sie sich, dass die folgenden Parameter gesetzt sind auf: HVAR: 0, V-VAR: 1
Ändern Sie die unabhängige Variable auf t.
Bestätigen Sie die Änderungen von PLOT SETUP: L @@OK@@
„ò (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus arbeiten) um in die
Umgebung PLOT WINDOW zu gelangen
ändern Sie die horizontale und vertikale Einstellung des Ansichtsfenster auf
die folgenden Werte: H-VIEW: -1
5; V-VIEW: -1 1.5
Verwenden Sie die folgenden Werte für die verbleibenden Parameter: Init:
0, Final: 5, Step: Default, Tol: 0,0001, Init-Soln: 0
Um die Grafik zu zeichnen, verwenden Sie: @ERASE @DRAW
Seite 16-68
Wenn Sie beobachten, wie die Grafik gezeichnet wird, werden Sie erkennen,
dass die Grafik nicht sehr fein ist. Der Grund dafür ist, dass der Zeichner einen
Zeitschritt verwendet, der für eine feine Zeichnung zu groß sein könnte. Um die
Grafik zu vereinfachen und feiner zu gestalten, verwenden Sie einen Schritt von
0,1. Drücken Sie @CANCL und ändern Sie den Step-Wert auf 0,1. Verwenden Sie
dann @ERASE @DRAW erneut, um die Grafik neu zu zeichnen. Der Zeichenvorgang
wird länger dauern, aber die Form ist deutlich feiner als zuvor. Tippen Sie @EDIT
L @LABEL @MENU, um die Achsenbezeichnungen und den Bereich zu sehen.
Beachten Sie, dass die Namen für die Achsen als 0 (horizontal, für t) und 1
(vertikal, für x) angezeigt werden. Die Definitionen für die im Fenster PLOT
SETUP gezeigten(„ô) Achsen lauten H-VAR: 0, und V-VAR: 1. Um die
grafische Lösung im Detail zu sehen, verwenden Sie:
LL@PICT
@(X,Y)@
um das Menü wieder herzustellen und zur PICT-Umgebung
zurückzukehren.
Um die Koordinaten jedes beliebigen Punktes in der Grafik zu
bestimmen.
Verwenden Sie š™ Tasten, um den Cursor im Zeichnungsbereich zu
bewegen. Unten im Bildschirm sehen Sie die Koordinaten des Cursors als (X,Y),
d.h. der Taschenrechner verwendet X und Y als Standardnamen für die
horizontale bzw. die vertikale Achse. Drücken Sie L@CANCL, um das Menü
wiederherzustellen und zur Umgebung PLOT WINDOW zurückzukehren.
Drücken Sie schlussendlich $, um in das normale Display zurückzukehren.
Numerische Lösung einer ODE zweiter Ordnung
Die Integration einer ODE zweiter Ordnung kann durch Definieren der Lösung
als Vektor geschehen. Als Beispiel nehmen wir an, dass ein Feder-Masse-System
einer Dämpfungskraft ausgesetzt ist, die sich proportional zu seiner
Geschwindigkeit verhält, sodass die daraus resultierende Differentialgleichung
lautet:
Seite 16-69
d 2x
dx
= −18.75 ⋅ x − 1.962 ⋅
2
dt
dt
oder,
x" = - 18.75 x - 1.962 x',
Die Anfangsbedingungen sind v = x' = 6, x = 0, bei t = 0. Wir möchten x, x'
bei t = 2 finden.
Schreiben Sie die ODE neu als: w' = Aw, wobei w = [ x x' ]T ist und A die 2
x 2 Matrix, die unten angeführt wird.
'
1 ⎤ ⎡ x⎤
⎡x⎤ ⎡ 0
⎢ x'⎥ = ⎢− 18.75 − 1.962⎥ ⋅ ⎢ x'⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
Die Anfangsbedingungen werden nun geschrieben als w = [0 6]T, für t = 0.
(Anmerkung: Das Symbol [ ]T steht für die Transponierte des Vektors oder der
Matrix).
Um dieses Problem zu lösen, erstellen Sie zuerst die Matrix A und speichern Sie
diese, z. B. im ALG-Modus:
Aktivieren Sie dann den numerischen Differentialgleichungs-Löser mithilfe von:
‚ Ï ˜ @@@OK@@@. Um die Differentialgleichung mit Startzeit t = 0 und
Endzeit t = 2 zu lösen, sollte die Eingabeform für den DifferentialgleichungsLöser wie folgt aussehen (achten Sie darauf, dass der Init:-Wert für Soln: ein
Vektor ist [0, 6]):
Seite 16-70
Drücken Sie @SOLVE (warten) @EDIT, um nach w(t=2) aufzulösen. Die Lösung
lautet [,16716… -,6271…], d.h., x(2) = 0,16716, und x'(2) = v(2) = -0,6271.
Drücken Sie @CANCL, um in die SOLVE-Umgebung zurückzukehren.
Lösung als Wertetabelle
Im vorherigen Beispiel waren wir nur daran interessiert, die Werte für Position
und Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t zu finden. Wenn wir eine
Wertetabelle von x und x', für t = 0,00; 0,25, …, 2,00, erstellen möchten,
gehen wir wie folgt vor: Erstellen Sie zuerst die Tabelle, in die Sie die
Ergebnisse eintragen:
t
0.00
0.25
…
2.00
x
0.00
x'
6.00
…
…
Als nächstes ändern Sie in der SOLVE-Umgebung den endgültigen Wert der
unabhängigen Variable auf 0,25, verwenden Sie dazu:
—,25 @@OK@@ ™™ @SOLVE (warten) @EDIT
(Löst auf nach w bei t = 0,25, w = [0,968 1,368]. )
@@OK@@ INIT+ — , 5 @@OK@@ ™™@SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,25 und endgültigen Wert von t auf 0,5, löst
nochmals auf nach w(0,5) = [0,748 -2,616])
@@OK@@ @INIT+ —,75 @@OK@@™™@SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,5 und endgültigen Wert von t auf 0,75, löst
nochmals nach auf w(0,75) = [0,0147 -2,859])
@@OK@@ @INIT+ —1 @@OK@@ ™™ @SOLVE (warten) @EDIT
(Verändert Anfangswert von t auf 0,75 und endgültigen Wert von t auf 1, löst
nochmals auf nach w(1) = [-0,469 -0,607])
Wiederholen Sie dies für t = 1,25; 1,50; 1,75; 2,00. Drücken Sie @@OK@@ nach
der Betrachtung des letzten Ergebnisses in @EDIT. Um zum normalen
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren, drücken Sie $ oder L@@OK@@. Die
Seite 16-71
verschiedenen Lösungen werden im Speicher angezeigt, das letzte Ergebnis in
Ebene 1.
Die Endergebnisse sehen wie folgt aus:
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x
0.000
0.968
0.748
-0.015
-0.469
x'
6.000
1.368
-2.616
-2.859
-0.607
t
x
x'
1.25 -0.354 1.281
1.50 0.141 1.362
1.75 0.227 0.268
2.00 0.167 -0.627
Grafische Lösung einer ODE zweiter Ordnung
Beginnen Sie mit der Aktivierung des numerischen Differentialgleichungs-Lösers
‚ Ï ˜ @@@OK@@@. Der SOLVE-Bildschirm sollte wie folgt aussehen:
Beachten Sie, dass die Anfangsbedingung für die Lösung (Soln: w Init:[0., …)
den Vektor [0, 6] enthält. Drücken Sie L @@OK@@.
Drücken Sie dann „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind), um in
die PLOT—Umgebung zu gelangen. Markieren Sie das Feld vor TYPE mithilfe
der Tasten —˜. Drücken Sie dann @CHOOS, und markieren Sie Diff Eq
mithilfe der Tasten —˜. Drücken Sie @@OK@@. Ändern Sie den Rest des
Bildschirms PLOT SETUP, bis er wie folgt aussieht:
Seite 16-72
Beachten Sie, dass die Option V-Var: auf 1 gesetzt ist, was darauf hinweist,
dass das erste Element in der Vektorlösung, d.h. x’, gegen die unabhängige
Variable t gezeichnet werden muss.
Bestätigen Sie die Änderungen von PLOT SETUP durch Drücken von L @@OK@@.
Drücken Sie dann „ò(gleichzeitig, wenn Sie im RPN-Modus sind), um in
die PLOT WINDOW—Umgebung zu gelangen. Ändern Sie die Eingabeform,
damit sie wie folgt aussieht:
Um die „x’ gegen t“-Grafik zu zeichnen, verwenden Sie: @ERASE @DRAW. Die
Zeichnung von x’ gegen t sieht wie folgt aus:
Um die zweite Kurve zu zeichnen, müssen wir das Eingabefenster PLOT SETUP
nochmals verwenden. Um auf diese Form von der Grafik aus zuzugreifen,
verwenden Sie: @CANCL L @@OK@@ „ô (gleichzeitig, wenn Sie im RPNModus sind). Ändern Sie die Werte des Feldes V-Var: auf 2 und drücken Sie
@DRAW (drücken Sie nicht auf @ERASE
oder Sie verlieren die oben erzeugte
Grafik). Verwenden Sie: @EDIT L @LABEL @MENU, um Namen und Bereich der
Achsen zu sehen. Beachten Sie, dass die Bezeichnung für die x-Achse die Zahl
0 ist (stellt die unabhängige Variable dar), während die Bezeichnung für die yAchse die Zahl 2 ist (stellt die zweite Variable dar, d.h. die zuletzt gezeichnete
Variable). Die kombinierte Grafik sieht wie folgt aus.
Seite 16-73
Drücken
Sie
LL
@PICT
@CANCL$,
Taschenrechnerdisplay zurückzukehren.
um
zum
normalen
Numerische Lösung einer steifen ODE erster Ordnung
Wir betrachten die ODE: dy/dt = -100y+100t+101, unter der
Anfangsbedingung y(0) = 1.
Exakte Lösung
Die Gleichung kann geschrieben werden als dy/dt + 100 y = 100 t + 101 und
mithilfe eines integrierenden Faktors IF(t) = exp(100t) wie folgt gelöst werden
(im RPN-Modus mit CAS auf Exact-Modus gesetzt):
‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH
Das Ergebnis lautet ‘(t+1)*EXP(100*t)’.
Dann fügen wir eine Integrationskonstante hinzu, mithilfe von: ‘C’ `+
Anschließend teilen wir durch FI(x), mithilfe von: ‘EXP(100*t)’ `/.
Das Ergebnis lautet: ‘((t+1)*EXP(100*t)+C)/EXP(100*t)’, d.h., y(t) = 1+ t
+C⋅e100t. Die Anwendung der Anfangsbedingung y(0) = 1 ergibt 1 = 1 + 0 +
C⋅e0, or C = 0, wobei die spezielle Lösung y(t) = 1+t ist.
Numerische Lösung
Wenn wir eine direkte numerische Lösung der ursprünglichen Gleichung dy/dt
= -100y+100t+101 mit dem numerischen Löser des Taschenrechners
versuchen, erkennen wir, dass der Taschenrechner zur Erstellung einer Lösung
länger braucht, als im vorangegangenen Beispiel für die erste Ordnung. Um
Seite 16-74
dies zu überprüfen, setzen Sie den numerischen Differentialgleichungs-Löser
(‚ Ϙ @@@OK@@@) auf:
Hier versuchen wir, den Wert von y(2) zu erhalten, bei y(0) = 1. Markieren Sie
das Feld Soln: Final und drücken Sie @SOLVE. Sie können feststellen, dass eine
Lösung 6 Sekunden braucht, während die Lösung im Beispiel für die erste
Ordnung fast unmittelbar fertig war. Drücken Sie $, um die Berechnung
abzubrechen.
Dies ist ein Beispiel für eine steife gewöhnliche Differentialgleichung. Die
allgemeine Lösung einer steifen ODE enthält Komponenten, die sich durch sehr
verschiedene Raten bei gleichem Inkrement der unabhängigen Variable
auszeichnen. In diesem speziellen Fall enthält die allgemeine Lösung y(t) = 1+ t
+C⋅e100t die Komponenten ‘t’ und ‘C⋅e100t’, die sehr unterschiedlich variieren,
außer in den Fällen C=0 oder C≈0 (z. B. für C = 1, t =0.1, C⋅e100t =22026).
Der numerische ODE-Löser des Taschenrechners ermöglicht die Lösung steifer
ODEs, indem die Funktion _Stiff im Bildschirm SOLVE Y’(T) = F(T,Y)
ausgewählt wird. Ist diese Funktion aktiviert, müssen Sie die Werte für ∂f/∂y
und ∂f/∂t eingeben. Im vorliegenden Fall sind dies ∂f/∂y =-100 und ∂f/∂t =
100.
Geben Sie diese Werte in die entsprechenden Felder des Bildschirms SOLVE
Y’(T) = F(T,Y) ein.
Seite 16-75
Danach verschieben Sie den Kursor auf das Feld Soln:Final und drücken Sie
@SOLVE. Diesmal erhalten Sie die Lösung nach ca. 1 Sekunde. Drücken Sie @EDIT,
um folgende Lösung anzuzeigen: 2,9999999999, d.h. 3,0.
Anmerkung: Die Option Stiff ist auch für grafische Lösungen von
Differentialgleichungen verfügbar.
Numerische Lösung von ODEs mit dem Menü SOLVE/
DIFF
Das Softmenü SOLVE wird aktiviert, indem das 74 MENU im RPN-Modus
verwendet wird. Dieses Menü wird in Kapitel 6 näher erklärt. Eines der
Untermenüs, DIFF, enthält Funktionen für die numerische Lösung gewöhnlicher
Differentialgleichungen. die zum Programmieren verwendet werden können.
Diese Funktionen werden als nächstes im RPN-Modus beschrieben, wobei
Systemflag 117 auf SOFT menus gesetzt ist (sieh Seite 16-75).
Die im Menü SOLVE/DIFF verfügbaren Funktionen sind folgende:
Funktion RFK
Diese Funktion wird verwendet, um Lösungen eines Anfangswert-Problems für
Differentialgleichungen erster Ordnung mithilfe des Runge-Kutta-Fehlbert
Lösungsschemas 4th -5th Ordnung zu berechnen. Nehmwn wir an, die zu
lösende Differentialgleichung ist gegeben durch dy/dx = f(x,y), mit y = 0 bei x
= 0, und Sie lassen ein Konvergenzkriterium ε für die Lösung zu. Sie können
auch ein Inkrement der unabhängigen Variable Δx für die Verwendung in der
Funktion spezifizieren. Um die Funktion auszuführen, müssen Sie den Stack wie
folgt vorbereiten:
3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
2:
{ ε Δx }
1:
xfinal
Der Wert auf der ersten Stack-Ebene ist der Wert der unabhängigen Variable,
für den Sie eine Lösung finden möchten, d.h. Sie möchten yfinal = fs(xfinal),
finden, wobei fs(x) die Lösung der Differentialgleichung darstellt. Die zweite
Seite 16-76
Stack-Ebene enthält möglicherweise nur den Wert von ε, und der Schritt Δx wird
als kleiner Standardwert genommen. Nachdem Sie die Funktion @@RKF@@
ausgeführt haben, wird im Stack Folgendes angezeigt:
2:
1:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
ε
Der Wert der Lösung, yfinal, wird in Variable @@@y@@@ verfügbar sein. Diese Funktion
ist für Programmiervorgänge geeignet, da die Spezifikationen der
Differentialgleichung und die Toleranz im Stack für neue Lösungen bereit
stehen. Beachten Sie, dass die Lösung die Anfangsbedingung x = 0 bei y = 0
verwendet. Wenn Ihre wirklichen Anfangslösungen x = xinit bei y = yinit sind,
dann können Sie diese Werte immer noch der Lösung von RKF hinzufügen,
wobei Sie aber auf die folgende Beziehung achten müssen.
RKF-Lösung
x
y
0
xfinal
0
yfinal
Wirkliche Lösung
x
y
yinit
xinit
xinit + xfinal yinit + yfinal
Die folgenden Bildschirme zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RKF für die Differentialgleichung dy/dx = x+y, ε = 0,001, Δx = 0,1
Nach Anwendung der Funktion RKF enthält die Variable @@@y@@@ den Wert
4.3880.
Funktion RRK
Die Funktion ist ähnlich der RKF-Funktion, außer dass RRK (Rosenbrock und
Runge-Kutta-Methoden) als Eingabeliste auf Stack-Ebene 3 nicht nur die Namen
der unabhängigen und abhängigen Variablen und die Funktion, die die
Differentialgleichung definiert, benötigt, sondern auch die Ausdrücke für die
Seite 16-77
ersten und zweiten Ableitungen des Ausdrucks. Somit sieht der Eingabe-Stack
für diese Funktion aus wie folgt:
3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/∂y’ }
2:
{ ε Δx }
1:
xfinal
Der Wert auf der ersten Stack-Ebene ist der Wert der unabhängigen Variable
für die Sie eine Lösung finden möchten, d.h. Sie möchten yfinal = fs(xfinal),
finden, wobei fs(x) die Lösung zur Differentialgleichung darstellt. Die zweite
Speicherebene enthält möglicherweise nur den Wert von ε, und der Schritt Δx
wird als kleiner Standardwert genommen. Nachdem Sie die Funktion @@RKF@@,
ausgeführt haben, wird im Speicher Folgendes angezeigt:
2: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ }
1:
{ ε Δx }
Der Wert der Lösung yfinal,wird in Variable @@@y@@@ verfügbar sein.
Diese Funktion kann verwendet werden, um so genannte „steife“
Differentialgleichungen zu lösen.
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RRK:
Der in der Variable y gespeicherte Wert ist 3,00000000004.
Funktion RKFSTEP
Die Eingabeliste dieser Funktion ist ähnlich wie die der Funktion RKF, auch die
Toleranz für die Lösung und ein möglicher Schritt Δx sind ähnlich. Die Funktion
gibt die gleiche Eingabeliste, gefolgt von der Toleranz und einer Schätzung des
nächsten Schrittes in der unabhängigen Variable zurück. Die Funktion gibt die
Eingabeliste, die Toleranz und den nächsten Schritt in der unabhängigen
Variable, welcher der Toleranz genügt, zurück. Somit sieht der Eingabespeicher
wie folgt aus:
3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
Seite 16-78
2:
1:
ε
Δx
Nachdem Sie die Funktion ausgeführt haben, wird im Speicher Folgendes
angezeigt:
3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
2:
ε
1:
(Δx)next
Somit wird diese Funktion verwendet, um die angemessene Größe eines
Zeitschrittes zu bestimmen, welcher der erforderlichen Toleranz genügt.
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RKFSTEP:
Die Ergebnisse zeigen an, dass (Δx)next = 0,34049….
Funktion RRKSTEP
Die Eingabeliste dieser Funktion ist ähnlich wie die der Funktion RRK. Sie
umfasst auch die Toleranz für die Lösung und einen möglichen Schritt Δx sowie
eine Zahl (LAST), welche die in der Lösung zuletzt verwendete Methode
spezifiziert (1, wenn RKF verwendet wurde, oder 2, wenn RRK verwendet
wurde). Die Funktion RRKSTEP gibt dieselbe Eingabeliste, gefolgt von der
Toleranz, einer Schätzung des nächsten Schrittes in der unabhängigen Variable
und der aktuellen Methode (CURRENT), die verwendet wird um zum nächsten
Schritt zu gelangen, zurück. Somit sieht der Eingabespeicher wie folgt aus:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
3:
ε
2:
Δx
1:
LAST
Nachdem Sie die Funktion ausgeführt haben, wird im Speicher Folgendes
angezeigt:
Seite 16-79
4:
3:
2:
1:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
ε
(Δx)next
CURRENT
Somit wird diese Funktion verwendet, um die angemessene Größe eines
Zeitschrittes ((Δx)next), welcher der erforderlichen Toleranz genügt sowie die
Methode, die verwendet wurde, um zu diesem Ergebnis zu kommen
(CURRENT) zu bestimmen.
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RRKSTEP:
Die Ergebnisse zeigen, dass (Δx)next = 0,00558 und dass die RKF-Methode
(CURRENT = 1) verwendet werden sollte.
Funktion RKFERR
Diese Funktion gibt die Schätzung des absoluten Fehlers für einen bestimmten
Schritt bei der Lösung eines für die Funktion RKF beschriebenen Problems
zurück. Der Eingabe-Stack sieht wie folgt aus:
2:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
1:
Δx
Nachdem Sie die Funktion ausgeführt haben, wird im Stack Folgendes
angezeigt:
4:
{‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’}
3:
ε
2:
Δy
1:
Error
Somit wird diese Funktion verwendet, um das Inkrement der Lösung, Δy, sowie
den absoluten Fehler (error) zu bestimmen.
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RKFERR:
Seite 16-80
Die Ergebnisse zeigen, dass Δy = 0,827… und error = -1,89…×10 -6 ist.
Funktion RSBERR
Diese Funktion arbeitet ähnlich wie die Funktion RKERR, aber mit den
Eingabeelementen, die für die Funktion RRK aufgelistet sind. Somit sieht der
Eingabe-Stack für diese Funktion wie folgt aus:
2: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ }
1:
Δx
Nachdem Sie die Funktion ausgeführt haben, wird im Stack Folgendes
angezeigt:
4: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’ ‘∂f/∂x’ ‘∂f/vy’ }:
3:
ε
2:
Δy
1:
Error
Die folgenden Screenshots zeigen den RPN-Stack vor und nach Anwendung der
Funktion RSBERR:
Die Ergebnisse zeigen, dass Δy = 4,1514… und error = 2,762..., für Dx = 0,1
sind. Überprüfen Sie, dass, wenn Dx auf 0,01 vermindert wird, Δy = 0,00307… und error = 0,000547 sind.
Anmerkung: Wenn Sie die Befehle im DIFF-Menü verwenden, werden die
Werte von x und y erzeugt und als Variablen im Taschenrechner abgelegt. Die
Ergebnisse, die die Funktionen in diesem Kapitel erzeugen, hängen von den
aktuellen Werten von x und y ab. Daher können einige der hier vorgestellten
Ergebnisse von denen abweichen, die Sie in Ihrem Taschenrechner erhalten.
Seite 16-81
Kapitel 17
Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
In diesem Kapitel geben wir Beispiele zur Anwendung der Rechnerfunktionen
für Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Das MTH/PROBABILITY.. Untermenü - Teil 1
Das Untermenü MTH/PROBABILITY.. ist über die Tastenkombination
„´verfügbar. Wenn das Systemflag 117 auf die CHOOSE boxes gesetzt
ist, erscheint die folgende MTH-Optionsliste (siehe Abb. auf der linken Seite
unten). Wir haben die Option PROBABILITY.. (Option 7) ausgewählt, um die
folgenden Funktionen zu zeigen (siehe Abb. auf der rechten Seite unten):
In diesem Abschnitt besprechen wir die Funktionen COMB, PERM, ! (Fakultät),
RAND und RDZ.
Fakultäten, Kombinationen und Permutationen
Die Fakultät einer Ganzzahl n wird definiert als: n! = n⋅ (n-1) ⋅ (n-2)…3⋅2⋅1.
Definitionsgemäß ist 0! = 1. Fakultäten werden bei der Berechnung von
Permutationen und Kombinationen von Objekten verwendet. Beispielsweise ist
die Anzahl der Permutationen von r Objekten aus einer Menge mit n
verschiedenen Objekten
n
Pr = n( n − 1)(n − 1)...(n − r + 1) = n! /( n − r )!
Außerdem beträgt die Anzahl der Kombinationen für die gleichzeitige
Entnahme von r Elementen aus n
Seite 17-1
⎛ n ⎞ n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
=
r!
r!(n − r )!
⎝r⎠
Um die Notation zu vereinfachen, verwenden Sie P(n, r) für Permutationen und
C(n, r) für Kombinationen. Wir können Kombinationen, Permutationen und
Fakultäten mit den Funktionen COMB, PERM und ! aus dem Untermenü MTH/
PROBABILITY.. berechnen. Die Bedienung dieser Funktionen wird im Folgenden
beschrieben:
•
COMB(n,r): Kombinationen für die gleichzeitige Entnahme von r
Elementen aus n
•
PERM(n,r): Permutationen für die gleichzeitige Entnahme von r
Elementen aus n
•
n!: Fakultät einer positiven Ganzzahl. Für eine Nicht-Ganzzahl gibt x!
dann Γ(x+1) zurück, wobei Γ(x) die Gamma-Funktion ist (siehe Kapitel
3). Das Fakultätssymbol (!) kann auch als Tastenkombination
~‚2 eingegeben werden.
Beispiele für Anwendung dieser Funktionen werden im Folgenden gezeigt:
Zufallszahlen
Der Rechner bietet einen Zufallszahlengenerator, der gleichverteilte zufällige
reelle Zahlen zwischen 0 und 1 ausgibt. Der Generator kann zufällige
Zahlensequenzen ausgeben. Nach einer bestimmten Anzahl jedoch (einer
wirklich hohen Anzahl) tendiert die Sequenz dazu, sich selbst zu wiederholen.
Aus diesem Grund ist der Zufallszahlengenerator eher ein
Pseudozufallsgenerator. Um eine Zufallszahl mit Ihrem Rechner zu erzeugen,
verwenden Sie die Funktion RAND aus dem Untermenü MTH/PROBABILITY. Die
folgende Abbildung zeigt eine Anzahl zufälliger Zahlen, die mit RAND erstellt
Seite 17-2
wurden. Die Zahlen in der linken Abbildung sind mit einem Aufruf der Funktion
RAND ohne Argument erstellt worden. Wenn Sie eine Argumentenliste in die
Funktion RAND einsetzen, erhalten Sie die Zahlenliste plus eine zusätzliche
Zufallszahl, die wie in der rechten Abbildung gezeigt angehängt wird.
Zufallszahlengeneratoren arbeiten im Allgemeinen so, dass sie einen Wert
nehmen, der als “Ausgangszahl” (seed) des Generators bezeichnet wird, und
einen mathematischen Algorithmus auf dieser "Ausgangszahl" ausführen, der
eine neue (pseudo)zufällige Zahl erzeugt. Wenn Sie eine Zahlensequenz
erzeugen wollen und diese später wiederholen möchten, können Sie die
"Ausgangszahl" des Generators durch Verwendung der Funktion RDZ(n)
ändern, wobei n die “Ausgangszahl” vor erzeugen der Sequenz darstellt.
Zufallszahlengeneratoren beginnen mit einer "Ausgangszahl“, die in die erste
Zufallszahl der Serie umgewandelt wird. Die aktuelle Zahl dient als
"Ausgangszahl" für die nächste Zahl und so weiter. Durch erneutes Verwenden
derselben "Ausgangszahl" für die Sequenz können Sie dieselbe Sequenz mehr
als einmal erzeugen. Probieren Sie beispielsweise das Folgende aus:
RDZ(0,25) `
Verwenden Sie 0,25 als "Ausgangszahl".
RAND() `
Erste Zufallszahl = 0,75285…
RAND() `
Zweite Zufallszahl = 0,51109…
RAND() `
Dritte Zufallszahl = 0,085429….
Beginnen Sie die Sequenz erneut:
RDZ(0,25) `
Verwenden Sie 0,25 als "Ausgangszahl".
RAND() `
Erste Zufallszahl = 0,75285…
RAND() `
Zweite Zufallszahl = 0,51109…
RAND() `
Dritte Zufallszahl = 0,085429….
Um eine Sequenz zufälliger Zahlen zu erzeugen, verwenden Sie die Funktion
SEQ. Um beispielsweise eine Liste mit 5 Zufallszahlen zu erzeugen, können Sie
im
ALG-Modus:
SEQ(R ND(),1,5,1)
verwenden.
Im
RPN-Modus
verwenden Sie nachfolgendes Programm:
Seite 17-3
« n « 1 n FOR j RND NEXT n LIST » »
Speichern Sie es in der Variablen RLST (Random LiST) und verwenden Sie
J5@RLST!, um eine Liste mit 5 Zufallszahlen zu erzeugen.
Die Funktion RNDM(n,m) kann dazu verwendet werden, um eine Matrix mit n
Reihen und m Spalten zu erzeugen, deren Elemente aus zufälligen Ganzzahlen
zwischen -1 und 1 bestehen (siehe Kapitel 10).
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine zufällige Variable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur eine begrenzte
Anzahl von Werten annehmen kann. So kann beispielsweise die Anzahl der
Regentage an einem bestimmten Ort als diskrete Zufallsvariable betrachtet
werden, weil wir diese nur als ganze Zahlen zählen. Wenn X eine diskrete
Zufallsvariable darstellt, wird ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung (pmf) durch f(x)
= P[X=x] dargestellt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den
Wert x annimmt.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung muss die Bedingungen erfüllen, dass
f(x) >0, für alle x,
und
∑ f ( x) = 1.0 .
all x
Eine kumulative Verteilungsfunktion (cdf) wird definiert als
F ( x) = P[ X ≤ x] = ∑ f (k ) .
k≤x
Als Nächstes definieren wir eine Reihe von Funktionen, um diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu berechnen. Wir schlagen vor, dass Sie ein
Unterverzeichnis anlegen, etwa HOME\STATS\DFUN (Diskrete FUNktionen), in
dem wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion für
Binomial- und Poisson-Verteilungen berechnen.
Seite 17-4
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung ist gegeben durch
⎛n⎞
f (n, p, x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p x ⋅ (1 − p) n− x , x = 0,1,2,..., n ,
⎝ x⎠
wobei (nx) = C(n,x) die Zahl der Kombinationen für gleichzeitige Entnahme von
x Elementen aus n ist. Die Werte n und p sind die Verteilungsparameter. Der
Wert n stellt die Anzahl der Wiederholungen eines Experiments oder einer
Beobachtung dar, die eins von zwei möglichen Ergebnissen annehmen kann,
z.B. Erfolg oder Misserfolg. Wenn die Zufallsvariable X die Anzahl der Erfolge
in den n Wiederholungen darstellt, dann stellt p die Wahrscheinlichkeit, dass
eine beliebige Wiederholung n ein Erfolg ist, dar. Die Verteilungsfunktion für
die Binomialverteilung ist gegeben durch
x
F (n, p, x) = ∑ f (n, p, x), x = 0,1,2,..., n
k =0
Poisson-Verteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Poisson-Verteilung ist gegeben durch
f (λ , x ) =
e −λ ⋅ λx
, x = 0,1,2,..., ∞ .
x!
Wenn in diesem Ausdruck die Zufallsvariable X die Anzahl der Vorkommen
eines Ereignisses oder einer Beobachtung pro Zeiteinheit, Länge, Fläche,
Volumen usw. darstellt, dann ist der von I dargestellte Parameter die
durchschnittliche Anzahl von Vorkommen pro Zeiteinheit, Länge, Fläche,
Volumen usw. Die Verteilungsfunktion für die Poisson-Verteilung ist gegeben
durch
x
F (λ , x) = ∑ f (λ , x), x = 0,1,2,..., ∞
k =0
Seite 17-5
Verwenden Sie als nächstes die Funktion DEFINE („à), um die folgenden
Wahrscheinlichkeits- (pmf) und Verteilungsfunktionen (cdf) zu definieren:
DEFINE(pmfb(n,p,x) = COMB(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x))
DEFINE(cdfb(n,p,x) = Σ(k=0,x,pmfb(n,p,k)))
DEFINE(pmfp(λ,x) = EXP(-λ)*λ^x/x!)
DEFINE(cdfp(λ,x) = Σ(k=0,x,pmfp(λ,x)))
Die Funktionsnamen stehen für:
•
pmfb:
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Binomialverteilung
•
cdfb:
Verteilungsfunktion für die Binomialverteilung.
•
pmfp:
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Poisson-Verteilung
•
cdfp:
Verteilungsfunktion für die Poisson-Verteilung.
Beispiele für Berechnungen, die diese Funktionen verwenden, werden im
Folgenden gezeigt:
Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine stetige Zufallsvariable X wird durch
eine Funktion f(x), die als Wahrscheinlichkeitsdichte (pdf) bekannt ist,
charakterisiert. Die pdf hat die folgenden Eigenschaften: f(x) > 0, für alle x und
P[ X < x ] = F ( x ) =
∫
+∞
−∞
∫
x
−∞
f (ξ )dξ .
f ( x)dx = 1.
Wahrscheinlichkeiten werden mit der kumulativen Verteilungsfunktion (cdf), F(x),
berechnet, definiert durch
P[ X < x] = F ( x) = ∫
x
−∞
f (ξ )dξ , wobei P[X<x] für
Seite 17-6
“die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X kleiner als der Wert x ist”
steht.
In diesem Abschnitt beschreiben wir mehrere stetige
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, einschließlich der Gamma-, Exponential-,
Beta- und Weibull-Verteilungen. Diese Verteilungen werden in jedem
Statistikbuch beschrieben. Einige dieser Verteilungen verwenden die vorhin
definierte Gammafunktion, die im Rechner mit der Fakultätsfunktion als Γ(x) =
(x-1)! für jede reelle Zahl x berechnet wird.
Die Gammaverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) für die Gammaverteilung ist gegeben
durch
f ( x) =
1
x
⋅ xα −1 ⋅ exp(− ), f
β Γ(α )
β
α
x > 0, α > 0, β > 0;
Die entsprechende (kumulative) Verteilung (cdf) würde durch ein Integral
angegeben werden, dass keine Auflösung in geschlossener Form hat.
Die Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist die Gammaverteilung mit a = 1. Ihre pdf wird
gegeben durch
f ( x) =
1
β
⋅ exp(−
x
β
), f
x > 0, β > 0 ,
während ihre cdf durch F(x) = 1 - exp(-x/β), for x>0, β >0 gegeben ist.
Die Betaverteilung
Die pdf für die Gammaverteilung ist gegeben durch
f ( x) =
Γ(α + β )
⋅ xα −1 ⋅ (1 − x) β −1 , f
Γ(α ) ⋅ Γ( β )
0 < x < 1, α > 0, β > 0 .
Seite 17-7
Wie im Fall der Gammaverteilung ist die entsprechende cdf für die
Betaverteilung auch durch ein Integral, für dass es keine geschlossene Lösung
gibt, gegeben.
Die Weibull-Verteilung
Die pdf für die Weibull-Verteilung ist gegeben durch
f ( x) = α ⋅ β ⋅ x β −1 ⋅ exp(−α ⋅ x β ),
fΓ x > 0, α > 0, β > 0 .
Während die entsprechende cdf gegeben ist durch
F ( x) = 1 − exp(−α ⋅ x β ),
fΓ x > 0, α > 0, β > 0 .
Funktionen für stetige Verteilungen
Um eine Funktionssammlung zu definieren, die die Gamma-, Exponential-, Betaund Weibull-Verteilung enthält, erstellen Sie zuerst ein Unterverzeichnis namens
CFUN (Stetige FUNktionen) und definieren die folgenden Funktionen (wechseln
Sie in den Approx-Modus):
Gamma-pdf: 'gpdf(x) = x^(α-1)*EXP(-x/β)/(β^α*GAMMA(α))'
Gamma-cdf:
'gcdf(x) = ∫(0,x,gpdf(t),t)'
Beta-pdf:
' βpdf(x)= GAMMA(α+β)*x^(α-1)*(1-x)^(β-1)/(GAMMA(α)*GAMMA(β))'
Beta-cdf:
' βcdf(x) = ∫(0,x, βpdf(t),t)'
Exponential-pdf:
'epdf(x) = EXP(-x/β)/β'
Exponential-cdf:
'ecdf(x) = 1 - EXP(-x/β)'
Weibull-pdf:
'Wpdf(x) = α*β*x^(β-1)*EXP(-α*x^β)'
Weibull-cdf:
'Wcdf(x) = 1 - EXP(-α*x^β)'
Verwenden Sie die Funktion DEFINE, um diese Funktionen zu definieren. Geben
Sie als nächstes die Werte für α und β ein, z.B., 1K~‚a`
2K ~‚b`
Zuletzt müssen Sie für die cdf von Gamma- und Beta-Funktion die
Programmdefinitionen bearbeiten, um NUM zu den durch die Funktion
DEFINE erstellten Programmen hinzuzufügen. So sollte beispielsweise die
Seite 17-8
Gamma-cdf, d.h., die Funktion gcdf, wie folgt verändert werden: Ç x
'NUM( ∫ (0,x,gpdf(t),t))' È und wieder in @gcdf gespeichert
werden. Wiederholen Sie diesen Vorgang für βcdf.
Anders als die zuvor definierten diskreten Funktionen enthalten die in diesem
Abschnitt definierten stetigen Funktionen nicht ihre Parameter (α und/oder β) in
ihren Definitionen. Deshalb müssen Sie diese nicht im Display eingeben, um die
Funktionen zu berechnen. Diese Parameter müssen jedoch vorher definiert
werden, indem die entsprechenden Werte in den Variablen α und β
gespeichert werden. Wenn alle Funktionen und die Werte α und β gespeichert
worden sind, können Sie die Menümarkierungen mit der Funktion ORDER
zuordnen. Die Funktion wird wie folgt aufgerufen:
ORDER({‘α’,’β’,’gpdf’,’gcdf’,’βpdf’,’βcdf’,’epdf’,’ecdf’,’Wpdf’,’Wcdf’})
Wenn Sie diesem Befehl folgen, zeigen die Menümarkierungen das Folgende
(Drücken Sie L, um zur zweiten Liste zu gelangen. Drücken Sie noch einmal
L, um wieder zur ersten Liste zu gelangen):
Einige Anwendungsbeispiele dieser Funktionen für die Werte α = 2, β = 3
werden unten gezeigt. Achten Sie auf die Variable IERR, die in der zweiten
Abbildung auftaucht. Sie stammt aus der numerischen Integration der Funktion
gcdf.
Seite 17-9
Stetige Verteilungen für statistische Folgerungen
In diesem Abschnitt besprechen wir vier stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
die allgemein für Probleme in Zusammenhang mit statistischen Folgerungen
verwendet werden. Diese Verteilungen sind die Normalverteilung, die
Studentsche t-Verteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2) und die F-Verteilung.
Die vom Taschenrechner angebotenen Funktionen, um Wahrscheinlichkeiten für
diese Verteilungen zu berechnen, sind im Menü MTH/PROBABILITY (weiter
oben in diesem Kapitel vorgestellt) enthalten. Die Funktionen sind NDIST, UTPN,
UTPT, UTPC und UTPF. Ihre Anwendung wird in den folgenden Abschnitten
beschrieben. Um diese Funktionen zu sehen, aktivieren Sie das Menü MTH:
„´ und wählen Sie die Option PROBABILITY:
Normalverteilung pdf
Der Ausdruck für die Normalverteilung pdf lautet:
f ( x) =
1
σ 2π
exp[−
(x − μ )2
],
2σ 2
wobei μ der Erwartungswert ist und σ2 die Verteilungsvarianz. Um den Wert
von f(μ,σ2,x) für die Normalverteilung zu berechnen, verwenden Sie die
Funktion NDIST mit den folgenden Argumenten: Erwartungswert μ, Varianz σ2
und ein Wert x, d.h., NDIST(μ,σ2,x). Überprüfen Sie, dass beispielsweise für
eine Normalverteilung f(1,0;0,5;2,0) = 0,20755374 ist.
Normalverteilung cdf
Der Taschenrechner besitzt eine Funktion UTPN, die das obere Ende der
Normalverteilung berechnet, d.h., UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X<x). Um den Wert
des oberen Endes der Normalverteilung UTPN zu erhalten, müssen wir die
Seite 17-10
folgenden Werte eingeben: Erwartungswert μ, Varianz σ2 und einen Wert x,
z.B., UTPN((μ,σ2,x)
Überprüfen Sie, dass beispielsweise für eine Normalverteilung mit μ = 1,0 und
σ2 = 0,5 UTPN(0,75) = 0,638163 ist. Verwenden Sie UTPN(1,0;0,5;0,75) =
0,638163.
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen für die Normalverteilung [X is
N(μ,σ2)] können unter Verwendung der Funktion UTPN wie folgt definiert
werden:
• P(X<a) = 1 - UTPN(μ, σ2,a)
• P(a<X<b) = P(X<b) - P(X<a) = 1 - UTPN(μ, σ2,b) - (1 - UTPN(μ, σ2,a)) =
UTPN(μ, σ2,a) - UTPN(μ, σ2,b)
• P(X>c) = UTPN(μ, σ2,c)
Beispiele: Bei Verwendung von μ = 1,5 und σ2 = 0,5 ergibt sich:
P(X<1,0) = 1 - P(X>1,0) = 1 - UTPN(1,5; 0,5; 1,0) = 0,239750.
P(X>2,0) = UTPN(1,5; 0,5; 2,0) = 0,239750.
P(1,0<X<2,0) = F(1,0) - F(2,0) = UTPN(1,5;0,5;1,0) - UTPN(1,5;0,5;2,0) =
0,7602499 – 0,2397500 = 0,524998.
Die Studentsche t-Verteilung
Die Studentsche t- oder einfach die t-Verteilung hat einen Parameter ν, der als
die Freiheitsgrade der Verteilung bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
(pdf) ist gegeben durch
ν +1
f (t ) =
Γ(
ν
2
)
Γ( ) ⋅ πν
2
⋅ (1 +
t2
ν
)
ν +1
−
2
,−∞ < t < ∞ ,
wobei Γ(α) = (α-1)! die im Kapitel 3 definierte GAMMA-Funktion ist.
Der Rechner stellt die Funktion UTPT für Werte für das obere Ende der
(kumulativen) Verteilung der t-Verteilung bereit, wenn der Parameter ν und der
Seite 17-11
Wert von t gegeben sind, d.h. UTPT(ν,t). Die Definition dieser Funktion ist
deshalb
∞
t
UTPT (ν , t ) = ∫ f (t )dt = 1 − ∫ f (t )dt = 1 − P (T ≤ t )
−∞
t
Zum Beispiel ist UTPT(5;2,5) = 2,7245…E-2. Andere
Wahrscheinlichkeitsberechnungen für die t-Verteilung mit der Funktion UTPT
können wie folgt definiert werden:
•
•
•
P(T<a) = 1 - UTPT(ν,a)
P(a<T<b) = P(T<b) - P(T<a) = 1 - UTPT(ν,b) - (1 - UTPT(ν,a)) = UTPT(ν,a)
- UTPT(ν,b)
P(T>c) = UTPT(ν,c)
Beispiele: Gegeben ist ν = 12, bestimme:
P(T<0,5) = 1-UTPT(12;0,5) = 0,68694..
P(-0,5<T<0,5) = UTPT(12;-0,5)-UTPT(12;0,5) = 0,3738…
P(T> -1,2) = UTPT(12;-1,2) = 0,8733…
Die Chi-Quadrat-Verteilung
Die Chi-Quadrat-Verteilung (χ2) hat einen Parameter ν, der als Freiheitsgrade
bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) ist gegeben durch
ν
1
f ( x) =
ν
ν
−1
−
x
⋅ x 2 ⋅ e 2 ,ν > 0, x > 0 .
2 2 ⋅ Γ( )
2
Der Taschenrechner stellt über [UTPC] Werte für das obere Ende der
(kumulativen) Verteilung der χ2-Verteilungbereit, wenn der Wert x und der
Parameter ν gegeben sind. Die Definition dieser Funktion ist deshalb
UTPC (ν , x) = ∫
∞
t
f ( x)dx = 1 − ∫
t
−∞
f ( x)dx = 1 − P( X ≤ x) .
Seite 17-12
Zur Verwendung dieser Funktion benötigen wir die Freiheitsgrade ν und den
Wert der Chi-Quadrat-Variable, x, d.h. UTPC(ν,x). Zum Beispiel ist UTPC(5;
2,5) = 0,776495…
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen können für die Chi-QuadratVerteilung mit der Funktion UTPC wie folgt definiert werden:
•
•
•
P(X<a) = 1 - UTPC(ν,a)
P(a<X<b) = P(X<b) - P(X<a) = 1 - UTPC(ν,b) - (1 - UTPC(ν,a)) =
UTPC(ν,a) - UTPC(ν,b)
P(X>c) = UTPC(ν,c)
Beispiele: Gegeben ist ν = 6, bestimme:
P(X<5,32) = 1-UTPC(6;5,32) = 0.4965..
P(1,2<X<10,5) = UTPC(6;1,2)-UTPC(6;10,5) = 0,8717…
P(X> 20) = UTPC(6;20) = 2,769..E-3
Die F-Verteilung
Die F-Verteilung hat zwei Parameter νN = Zähler der Freiheitsgrade und νD =
Nenner der Freiheitsgrade. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (pdf) ist gegeben
durch
νN ν2N ν2N −1
Γ(
)⋅( ) ⋅ F
2
νD
f ( x) =
νN
νD
νN ⋅ F (νN +2νD )
Γ( ) ⋅ Γ( ) ⋅ (1 −
)
2
2
νD
νN + νD
Der Taschenrechner stellt über die Funktion UTPF Werte für das obere Ende der
(kumulativen) Verteilung der F-Verteilung bereit, wenn die Parameter νN und νD
und der Wert von F gegeben sind. Die Definition dieser Funktion ist deshalb
∞
t
t
−∞
UTPF (νN ,νD, F ) = ∫ f ( F )dF = 1 − ∫
f ( F )dF = 1 − P(ℑ ≤ F ) .
Seite 17-13
Zum Beispiel, um UTPF(10;5; 2,5) = 0,161834… zu berechnen.
Verschiedene Wahrscheinlichkeitsberechnungen können für die F-Verteilung mit
der Funktion UTPF wie folgt definiert werden:
•
•
P(F<a) = 1 - UTPF(νN, νD,a)
P(a<F<b) = P(F<b) - P(F<a) = 1 -UTPF(νN, νD,b)- (1 - UTPF(νN, νD,a))
•
= UTPF(νN, νD,a) - UTPF(νN, νD,b)
P(F>c) = UTPF(νN, νD,a)
Beispiel: Gegeben ist νN = 10, νD = 5, finde:
P(F<2) = 1-UTPF(10;5;2) = 0,7700…
P(5<F<10) = UTPF(10;5;5) – UTPF(10;5;10) = 3,4693..E-2
P(F>5) = UTPF(10;5;5) = 4,4808..E-2
Inverse Verteilungsfunktionen
Für eine stetige Zufallsvariable X mit der kumulativen Dichtefunktion (cdf) F(x) =
P(X<x) = p, müssen wir, um die inverse Verteilungsfunktion zu berechnen, den
Wert von x finden, sodass x = F-1(p). Dieser Wert ist in den Fällen der
Exponential- und der Weibull-Verteilungen relativ einfach zu finden, da ihre
cdf’s einen Ausdruck in geschlossener Form haben:
•
Exponential: F(x) = 1 - exp(-x/β)
•
Weibull: F(x) = 1-exp(-αxβ)
(Bevor Sie fortfahren, denken Sie daran, die Variablen α und β zu löschen). Um
die inversen cdf’s für diese beiden Verteilungen zu finden, müssen wir nur in
diesen Ausdrücken nach x auflösen, d.h.:
Exponential:
Weibull:
Seite 17-14
Für die Gamma- und Beta-Verteilungen sind die aufzulösenden Ausdrücke
aufgrund der vorhandenen Integrale komplizierter, d.h.:
•
Gamma:
•
Beta:
p=∫
p=∫
x
0
x
0
1
z
⋅ z α −1 ⋅ exp(− )dz
β
β Γ(α )
α
Γ(α + β )
⋅ z α −1 ⋅ (1 − z ) β −1 dz
Γ(α ) ⋅ Γ( β )
Eine numerische Auflösung mit dem numerischen Löser ist wegen des im
Ausdruck enthaltenen Integralzeichens nicht machbar. Es ist jedoch eine
grafische Lösung möglich. Detaillierte Informationen, wie Sie die Nullstellen
eines Graphen finden, werden in Kapitel 12 vorgestellt. Um numerische
Ergebnisse zu gewährleisten, ändern Sie die Einstellung des CAS auf Approx.
Die zu zeichnende Funktion für die Gamma-Verteilung ist
Y(X) = ∫(0,X,z^(α-1)*exp(-z/β)/(β^α*GAMMA(α)),z)-p.
Für die Beta-Verteilung ist die zu zeichnende Funktion
Y(X) =
∫(0,X,z^(α-1)*(1-z)^(β-1)*GAMMA(α+β)/(GAMMA(α)*GAMMA(β)),z)-p.
Um den Plot zu erstellen, ist es notwendig, die Werte von α, β und p zu
speichern, bevor Sie einen Plot starten. Zum Beispiel ist für α = 2, β = 3 und p =
0,3 der Plot von Y(X) für die Gamma-Verteilung der folgende (Beachten Sie
bitte, dass wegen der komplizierten Natur der Funktion Y(X) einige Zeit benötigt
wird, bevor der Graph erzeugt wird. Bleiben Sie geduldig.):
Seite 17-15
Es werden mit der Funktion @ROOT zwei Nullstellen für diese Funktion innerhalb
der Plotumgebung gefunden. Wegen des Integrals in der Gleichung wird die
Nullstelle geschätzt und nicht im Grafikfenster gezeigt. Sie erhalten in der
Anzeige nur die Nachricht „Constant?“. Wenn Sie aber an diesem Punkt `
drücken, wird die Näherungswert in der Anzeige aufgeführt. Es werden in der
rechten Abbildung unten zwei Nullstellen gezeigt.
Alternativ können Sie die Funktion @TRACE @(X,Y)@ verwenden, um die Nullstellen
durch Verfolgen der Kurve nahe ihrer Schnittpunkte mit der x-Achse zu
schätzen. Zwei Schätzungen werden unten gezeigt:
Diese Schätzungen schlagen die Lösungen x = -1,9 und x = 3,3 vor. Sie können
diese “Lösungen” durch Auswertung der Funktion Y1(X) für X = -1,9 und X = 3,3
überprüfen, d.h.,
Für die Normal-, Studentschen t-, Chi-Quadrat- (χ2) und F-Verteilungen, die
durch die Funktionen UTPN, UTPT, UPTC und UTPF im Taschenrechner
dargestellt werden, finden Sie die Inverse durch Lösung einer der folgenden
Gleichungen:
•
•
•
Normal:
studentische t:
Chi-Quadrat:
p = 1 – UTPN(μ,σ2,x)
p = 1 – UTPT(ν,t)
p = 1 – UTPC(ν,x)
Seite 17-16
•
F-Verteilung:
p = 1 – UTPF(νN,νD,F)
Wir weisen darauf hin, dass der zweite Parameter in der UTPN-Funktion σ2 ist,
nicht σ2, und die Verteilungsvarianz darstellt. Auch ist das Symbol ν (der
kleingeschriebene griechische Buchstabe nü) im Taschenrechner nicht
verfügbar. Sie können beispielsweise das γ (Gamma) statt des ν verwenden.
Der Buchstabe γ ist über den Zeichensatz (‚±) verfügbar.
Um beispielsweise den Wert von x für eine Normalverteilung mit μ = 10, σ2 =
2, mit p = 0,25 zu erhalten, speichern Sie die Gleichung ‘p=1UTPN(μ,σ2,x)’ in der Variablen EQ (Abbildung auf der linken Seite unten).
Dann starten Sie den numerischen Löser, um das Eingabefeld auf der rechten
Seite der Abbildung zu erhalten:
Der nächste Schritt besteht in der Eingabe der Werte von μ, σ2 und p und der
Auflösung für x:
Dieses Eingabefeld kann zur Auflösung nach jeder der vier Variablen, die in
der Gleichung für die Normalverteilung vorkommen, genutzt werden.
Um die Auflösung der Gleichungen mit den Funktionen UTPN, UTPT, UTPC und
UTPF zu erleichtern, können Sie ein Unterverzeichnis UTPEQ anlegen, in das
Sie die oben aufgelisteten Gleichungen abspeichern:
Seite 17-17
Damit haben Sie an diesem Punkt die vier Gleichungen zur Auflösung zur
Verfügung. Sie müssen nur eine der Gleichungen in das EQ-Feld in den
numerischen Löser laden und mit der Lösung einer der Variablen fortfahren.
Beispiele für UTPT, UTPC und UPTF werden unten gezeigt:
Wir weisen darauf hin, dass wir in allen oben gezeigten Beispielen mit p =
P(X<x) arbeiten. Bei vielen statistischen Problemen versuchen wir tatsächlich,
den Wert von x zu finden, für den P(X>x) = α. Weiterhin arbeiten wir am
ehesten für die Normalverteilung mit der Standardnormalverteilung, in welcher
μ =0 und σ2 = 1 ist. Auf die Standardnormalvariable wird normalerweise als Z
Bezug genommen, sodass das zu lösende Problem P(Z>z) = α ist. Für diese
Fälle statistischer Probleme können wir die folgenden Gleichungen speichern:
Mit diesen vier Gleichungen haben Sie, immer wenn Sie den numerischen Löser
starten, die folgenden Auswahlmöglichkeiten:
Seite 17-18
Beispiele für Lösungen der Gleichungen EQNA, EQTA, EQCA und EQFA
werden unten gezeigt:
ʳʳʳʳʳ
Seite 17-19
Kapitel 18
Statistikanwendungen
In diesem Kapitel werden statistische Anwendungen des Taschenrechners
vorgestellt, z. B. Stichprobenmaßzahlen, die Häufigkeitsverteilung von Daten,
einfache Regression, Konfidenzintervalle und Hypothesentests.
Vorprogrammierte Statistikfunktionen
Der Taschenrechner enthält vorprogrammierte Statistikfunktionen, auf die über
die Tastenkombination ‚Ù zugegriffen werden kann (mit der Taste für die
Zahl 5 identisch). Folgende Statistikanwendungen können mit dem
Taschenrechner aufgerufen werden:
Die Anwendungen werden in diesem Kapitel ausführlich dargestellt. Zuerst
jedoch zeigen wir, wie Daten für die statistische Analyse eingegeben werden.
Eingeben von Daten
Für die Analyse eines einzelnen Satzes von Daten (Stichprobe) können wir die
Anwendungen 1, 2 und 4 in obiger Liste verwenden. Für alle diese
Anwendungen ist es erforderlich, dass die Daten als Spalten der Matrix ΣDAT
verfügbar sind. Sie können hierzu die Daten mithilfe des MatrixWriters
(„²) in Spalten eingeben.
Diese Vorgehensweise ist bei einer großen Anzahl von Datenpunkten
möglicherweise ermüdend. Es bietet sich an, stattdessen die Daten als Liste
(siehe Kapitel 8) einzugeben und die Liste mithilfe des Programms CRMC in
einen Spaltenvektor zu konvertieren (siehe Kapitel 10). Stattdessen können Sie
auch das folgende Programm eingeben, um eine Liste in einen Spaltenvektor zu
konvertieren. Geben Sie das Programm im RPN-Modus ein:
« OBJ 1 2 LIST ARRY »
Seite 18-1
Speichern Sie das Programm in einer Variablen mit der Bezeichnung LCX.
Nachdem Sie das Programm im RPN-Modus gespeichert haben, können Sie es
auch im ALG-Modus verwenden.
Um einen Spaltenvektor in der Variablen ΣDAT zu speichern, verwenden Sie die
Funktion STOΣ, die über den Katalog (‚N) verfügbar ist, z. B. STOΣ
(ANS(1)) im ALG-Modus.
Beispiel 1 – Erstellen Sie mithilfe des oben definierten Programms LXC einen
Spaltenvektor mit den folgenden Daten: 2,1 1,2 3,1 4,5 2,3 1,1 2,3
1,5 1,6 2,2 1,2 2,5,
Geben Sie im RPG-Modus die Daten in eine Liste ein:
{2,1 1,2 3,1 4,5 2,3 1,1 2,3 1,5 1,6 2,2 1,2 2,5 } `@LXC
Speichern Sie die Daten mithilfe der Funktion STOΣ in ΣDAT.
Hinweis: Sie können statistische Daten auch durch Starten einer
Statistikanwendung (wie z.B. Single-var, Frequencies or Summary
stats) und anschließendem Drücken von #EDIT# eingeben. Dadurch wird der
Matrix Writer gestartet. Geben Sie die Daten wie gewohnt ein. In diesem Fall
werden die Daten beim Verlassen des Matrix Writers automatisch in ΣDAT
gespeichert.
Berechnen von Maßzahlen einer einzigen Variablen
Es wird vorausgesetzt, dass der einzelne Datensatz als Spaltenvektor in der
Variablen ΣDAT gespeichert wurde. Drücken Sie ‚Ù, um auf die
einzelnen Programme von STAT zuzugreifen. Drücken Sie @@@OK@@@, um 1. Singlevar.. auszuwählen. Anschließend ist eine Eingabemaske mit der Beschriftung
SINGLE-VARIABLE STATISTICS verfügbar, und die derzeit in der Variablen
ΣDAT vorhandenen Daten sind in der Maske als Vektor aufgelistet. Da nur eine
Spalte vorhanden ist, muss vor dem Feld Col: der Wert 1 stehen. Das Feld Type
bestimmt, ob Sie mit einer Stichprobe oder einer Grundgesamtheit arbeiten. Die
Standardeinstellung ist „Stichprobe“ (sample). Bewegen Sie den Cursor an die
horizontale Linie vor den Feldern Mean, Std Dev, Variance, Total, Maximum
Seite 18-2
und Minimum, und drücken Sie die Menütaste @CHK@, um die Werte
auszuwählen, die von diesem Programm ausgegeben werden sollen. Drücken
Sie anschließend @@@OK@@. Die ausgewählten Werte werden mit der
entsprechenden Beschriftung auf dem Bildschirm des Taschenrechners
aufgelistet.
Beispiel 1 – Für die im vorherigen Beispiel gespeicherten Daten lauten die
Ergebnisse für die Maßzahlen einer einzigen Variablen wie folgt:
Mean: 2,13333333333;
Std Dev: 0,964207949406;
Variance: 0,929696969697
Total: 25,6;
Maximum: 4,5;
Minimum: 1,1
Definitionen
Für diese Größen gelten folgende Definitionen:
Angenommen es sind mehrere Datenpunkte x1, x2, x3, … vorhanden, die
unterschiedliche Werte derselben diskreten oder kontinuierlichen Variablen x
darstellen. Die Menge aller möglichen Werte der Größe x wird als
Grundgesamtheit von x bezeichnet. Eine endliche Grundgesamtheit enthält nur
eine bestimmte Anzahl von Elementen xi. Wenn die Größe x den Wert einer
kontinuierlichen Größe darstellt und daher theoretisch eine unendliche Anzahl
von Werten annehmen kann, ist die Grundgesamtheit in diesem Fall unendlich.
Wenn Sie eine Teilmenge einer Grundgesamtheit auswählen, die durch n
Datenwerte {x1, x2, …, xn}, dargestellt wird, haben Sie eine Stichprobe der
Werte von x ausgewählt.
Stichproben sind durch eine Anzahl von Werten oder Maßzahlen
gekennzeichnet. Es gibt Lagemaßzahlen, z. B. Mittelwerte, Medianwerte und
häufigste Werte, sowie Streuungsmaße, z. B. Wertebereich, Varianz und
Standardabweichung.
Lagemaßzahlen
Seite 18-3
Der Mittelwert (bzw. das arithmetische Mittel), ⎯x, der Stichprobe ist als
Durchschnittswert der Elemente der Stichprobe definiert:
x=
1 n
⋅ ∑ xi .
n i =1
Der durch obige Gleichung ermittelte, mit Total beschriftete Wert stellt die
Summe der Werte von x oder Σxi = n⋅⎯x dar. Dies ist der Wert, den der
Taschenrechner unter der Überschrift Mean ausgibt. Andere in bestimmten
Anwendungen verwendete Werte sind das geometrische Mittel xg bzw. das
harmonische Mittel xh, die wie folgt definiert sind:
x g = n x1 ⋅ x 2 L x n ,
n
1
1
=∑ .
x h i =1 xi
Beispiele für die Berechnung dieser Werte mithilfe von Listen finden Sie in
Kapitel 8.
Der Median ist der Wert, der den Datensatz in der Mitte teilt, wenn die
Elemente in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind. Bei einer ungeraden
Zahl n von geordneten Elementen ist der Medianwert dieser Stichprobe der
Wert an Position (n+1)/2. Bei einer geraden Zahl n von Elementen ist der
Medianwert der Durchschnittswert der Elemente an den Positionen n/2 und
(n+1)/2.
Obwohl
die
vorprogrammierten
Statistikfunktionen
des
Taschenrechners nicht die Berechnung des Medianwertes umfassen, kann auf
sehr einfache Weise ein Programm geschrieben werden, mit dem unter
Verwendung von Listen dieser Wert berechnet wird. Wenn Sie beispielsweise
den Medianwert mithilfe der Daten in ΣDAT ermitteln möchten, geben Sie im
RPN-Modus folgendes Programm ein (Weitere Informationen über das
Programmieren in der Sprache User RPL finden Sie in Kapitel 21.):
« nC « RCLΣ DUP SIZE 2 GET IF 1 > THEN nC COL− SWAP DROP OBJ
1 + ARRY END OBJ OBJ DROP DROP DUP n « LIST SORT IF ‘n
MOD 2 == 0’ THEN DUP ‘n/2’ EVAL GET SWAP ‘(n+1)/2’ EVAL GET + 2 /
ELSE ‘(n+1)/2’ EVAL GET END “Median” TAG » » »
Seite 18-4
Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen MED. Es folgt ein Beispiel für
die Anwendung dieses Programms.
Beispiel 2 – Um das Programm auszuführen, müssen Sie zunächst die Matrix
ΣDAT vorbereiten. Geben Sie anschließend die Nummer der Spalte in ΣDAT
ein, deren Medianwert Sie ermitteln möchten, und drücken Sie @@MED@@.
Verwenden Sie für die derzeit in ΣDAT vorhandenen Daten (die in einem
vorherigen Beispiel eingegeben wurden) das Programm MED, um anzuzeigen,
dass Median: 2.15.
Der häufigste Wert einer Stichprobe wird besser durch Histogramme bestimmt,
daher wird er in einem späteren Abschnitt definiert.
Streuungsmaße
2
Die Varianz (Var) der Stichprobe ist definiert als s x =
n
1
⋅ ∑ ( xi − x ) 2 .
n − 1 i =1
Die Standardabweichung (St Dev) der Stichprobe ist einfach die Quadratwurzel
der Varianz, d. h. sx.
Der Wertebereich der Stichprobe ist die Differenz zwischen Maximal- und
Minimalwerten der Stichprobe. Da der Taschenrechner mit den
vorprogrammierten Statistikfunktionen die Maximal- und Minimalwerte der
Stichprobe ausgibt, können Sie den Wertebereich auf einfache Weise
berechnen.
Variationskoeffizient
Beim Variationskoeffizienten einer Stichprobe wird der Mittelwert, eine
Lagemaßzahl, mit der Standardabweichung, einem Streuungsmaß, kombiniert
und als Prozentzahl definiert durch: Vx = (sx/⎯x)100.
Stichprobe und Grundgesamtheit
Die oben verwendeten vorprogrammierten Funktionen für Maßzahlen einer
einzigen Variablen können auf eine endliche Grundgesamtheit angewendet
werden, indem auf dem Bildschirm SINGLE-VARIABLE STATISTICS die
Seite 18-5
Option Type: Population ausgewählt wird. Der Hauptunterschied besteht in
den Werten der Varianz und der Standardabweichung, die berechnet werden,
indem im Nenner der Varianz n und nicht (n-1) verwendet wird.
Beispiel 3 – Wenn Sie Beispiel 1 dieses Abschnitts wiederholt ausführen und als
Type nicht Sample, sondern Population verwenden, erhalten Sie für
Mittelwert, Gesamtwert, Maximum und Minimum dieselben Werte. Für Varianz
und Standardabweichung sind jedoch folgende Werte gegeben: Varianz:
0,852; Standardabweichung: 0,923.
Erzeugen von Häufigkeitsverteilungen
Die Anwendung 2. Frequencies im Menü STAT kann zum Erzeugen von
Häufigkeitsverteilungen für einen Satz von Daten verwendet werden. Die Daten
müssen wieder als Spaltenvektor verfügbar sein, der in der Variablen ΣDAT
gespeichert ist. Drücken Sie zu Beginn ‚Ù˜ @@@OK@@@. Die anschließend
angezeigte Eingabemaske enthält die folgenden Felder:
ΣDAT:
Col:
X-Min:
Bin Count:
Bin Width:
die Matrix mit den betreffenden Daten.
die zu betrachtende Spalte von ΣDAT.
die untere Klassengrenze (Standardwert = -6,5).
die Anzahl der Klassen (Standardwert = 13).
die einheitliche Breite jeder Klasse (Standardwert = 1).
Definitionen
Folgende Definitionen erleichtern das Verständnis der Bedeutung dieser
Parameter: Wenn eine Menge von n Datenwerten {x1, x2, …, xn} gegeben ist,
die in keiner bestimmten Reihenfolge aufgelistet sind, ist es häufig erforderlich,
diese Daten in einer Reihe von Klassen zu gruppieren, indem die Häufigkeit
oder Anzahl der Werte jeder Klasse gezählt wird. (Anmerkung: Im
Taschenrechner werden Klassen als „bins“ = „Kästen“ bezeichnet.)
Angenommen die Klassen werden ermittelt, indem das Intervall (xbot, xtop) in k
= Bin Count Klassen unterteilt wird. Dies geschieht durch die Auswahl einer
Anzahl von Klassengrenzen, also {xB1, xB2, …, xBk+1}, sodass Klasse 1 durch
xB1-xB2 begrenzt ist, Klasse 2 durch xB2- xB3 usw. Die letzte Klasse, Klasse k, ist
durch xBk - xB k +1 begrenzt.
Seite 18-6
Der der Mitte jeder Klasse entsprechende Wert x wird als Klassenmittelpunkt
bezeichnet und ist für i = 1, 2, …, k durch xMi = (xBi + xB i+1)/2 definiert.
Wenn die Klassen so gewählt werden, dass die Klassengröße identisch ist,
können wir die Klassengröße als Bin Width = Δx = (xmax - xmin) / k definieren,
und die Klassengrenzen können mit xBi = xbot + (i - 1) * Δx berechnet werden.
Jeder Datenpunkt xj, j = 1, 2, …, n gehört zur i-ten Klasse, wenn xBi ≤ xj < xB
i+1.
Durch die Anwendung 2. Frequencies.. im Menü STAT wird eine
Häufigkeitszählung durchgeführt, und die Werte, die möglicherweise unter dem
Minimum oder über dem Maximum der Klassengrenzen (d. h. die Ausreißer)
liegen, werden protokolliert.
Beispiel 1 – Um das Ermitteln von Häufigkeitsverteilungen besser
veranschaulichen zu können, möchten wir einen relativ umfangreichen
Datensatz von 200 Datenpunkten erzeugen, indem wir wie folgt vorgehen:
•
•
•
•
•
Zunächst aktivieren wir den Zufallszahlengenerator durch Verwendung von
RDZ(25) im ALG-Modus oder 25 ` RDZ im RPN-Modus (siehe
Kapitel 17).
Geben Sie das folgende Programm im RPN-Modus ein:
« n « 1 n FOR j RAND 100 * 2 RND NEXT n LIST » »,
und speichern Sie es unter dem Namen RDLIST (RanDom number LIST
generator, Zufallszahlenlistengenerator).
Generieren Sie die Liste von 200 Zahlen durch Verwendung von
RDLIST(200) im ALG-Modus, oder durch Eingabe von 200 ` @RDLIST@ im
RPN-Modus.
Verwenden Sie das Programm LXC (siehe oben), um die auf diese Weise
generierte Liste in einen Spaltenvektor zu konvertieren.
Speichern Sie mithilfe der Funktion STOΣ den Spaltenvektor in ΣDAT.
Seite 18-7
•
Ermitteln Sie über ‚Ù @@@OK@@@ Informationen zu den einzelnen
Variablen. Verwenden Sie als Typ des Datensatzes Sample, und wählen Sie
für die Ergebnisse alle Optionen aus. Die Ergebnisse für dieses Beispiel
lauten:
Mean: 51,0406, Std Dev: .29,5893…, Variance: 875,529…
Total: 10208.12, Maximum: 99,35, Minimum: 0,13
Dies bedeutet, dass die Daten im Bereich von Werten nahe Null bis zu Werten
nahe 100 liegen. Bei Verwendung ganzer Zahlen können wir den Bereich der
Daten als (0,100) festlegen. Zum Erzeugen einer Häufigkeitsverteilung
verwenden wir das Intervall (10,90) und unterteilen es in 8 Klassen mit der
Breite 10.
•
•
Wählen Sie das Programm 2. Frequencies.. aus, indem Sie ‚Ù˜
@@@OK@@@ drücken. Die Daten sind bereits in ΣDAT vorhanden, und die Option
Col muss den Wert 1 aufweisen, da ΣDAT nur eine einzige Spalte enthält.
Ändern Sie X-Min in 10, Bin Count in 8 und Bin Width in 10, und drücken
Sie @@@OK@@@.
Im RPN-Modus werden die Ergebnisse im Stack als Spaltenvektor auf Ebene 2
des Stacks angezeigt und als Zeilenvektor mit zwei Komponenten auf Ebene 1
des Stacks. Der Vektor auf Ebene 1 des Stacks stellt die Anzahl der Ausreißer
außerhalb des Intervalls dar, für das die Häufigkeitszählung ausgeführt wurde.
In diesem Fall erhalten Sie die Werte [25. 22.], die angeben, dass im ΣDATVektor 25 Werte kleiner als 10 und 22 Werte größer als 90 vorhanden sind.
•
Drücken Sie ƒ, um die Vektorausreißer aus dem Stack zu entfernen. Das
verbleibende Ergebnis ist die Häufigkeitsverteilung der Daten. Diese kann
wie unten gezeigt in eine Tabelle übertragen werden.
Die Tabelle wurde anhand der Informationen erstellt, die wir zum Generieren
der Häufigkeitsverteilung bereitgestellt hatten, obwohl die einzige vom
Taschenrechner ausgegebene Spalte die Spalte fi (Frequency, Häufigkeit) ist.
Die Klassennummern und Klassengrenzen können bei Klassen einheitlicher
Größe einfach berechnet werden, und der Klassenmittelpunkt ist einfach der
Durchschnittswert der Klassengrenzen für jede Klasse. Schließlich wird die
kumulierte Häufigkeit ermittelt, indem zu jedem Wert in der letzten Spalte
Seite 18-8
(außer dem ersten) die Häufigkeit in der nächsten Zeile addiert und das
Ergebnis in der letzten Spalte der nächsten Zeile ersetzt wird. Somit ist die
kumulierte Häufigkeit für die zweite Klasse 18+15 = 33, während die
kumulierte Häufigkeit für die dritte Klasse 33+16 = 49 ist usw. Die kumulierte
Häufigkeit stellt die Häufigkeit der Zahlen dar, die kleiner oder gleich der
oberen Grenze einer beliebigen Klasse sind.
Klassen-Nr. Klasse
i
< XB1
Grenze
XB i+1
Ausunter
reißer Wertebereich
XBi
Klassenmittelpunkt
Häufigkeit
Xmi
fi
SummenHäufigkeit
25
1
10
20
15
18
18
2
20
30
25
14
32
3
30
40
35
17
49
4
40
50
45
17
66
5
50
60
55
22
88
6
60
70
65
22
110
7
70
80
75
24
134
k=8
80
90
85
19
153
>XBk
Ausüber
reißer Wertebereich
22
Wenn ein vom Taschenrechner generierter (Spalten-)Vektor der Häufigkeiten
vorhanden ist, können Sie den Vektor der kumulierten Häufigkeiten ermitteln,
indem Sie im RPN-Modus folgendes Programm verwenden:
« DUP SIZE 1 GET freq k « {k 1} 0 CON cfreq « ‘freq(1,1)’ EVAL
‘cfreq(1,1)’ STO 2 k FOR j ‘cfreq(j-1,1) +freq(j,1)’ EVAL ‘cfreq (j,1)’ STO NEXT
cfreq » » »
Speichern Sie das Programm unter dem Namen CFREQ. Verwenden Sie das
Programm zum Generieren einer Liste von kumulierten Häufigkeiten (drücken
Sie @CFREQ, wenn der Spaltenvektor der Häufigkeiten im Stack vorhanden ist).
Das Ergebnis für dieses Beispiel ist ein Spaltenvektor, der die letzte Spalte der
obigen Tabelle darstellt.
Seite 18-9
Histogramme
Ein Histogramm ist ein Balkendiagramm, in dem die Häufigkeit als Höhe der
Balken und die Klassengrenzen als Breite der Balken dargestellt werden. Wenn
die Ursprungsdaten (d. h. die ursprünglichen Daten vor Ausführung der
Häufigkeitszählung) in der Variablen ΣDAT vorhanden sind, können Sie als
Diagrammtyp Histogram auswählen und den ursprünglichen Wert von x, die
Anzahl der Klassen und die Klassenbreite angeben, um das Histogramm zu
generieren. Sie können stattdessen auch wie im obigen Beispiel den
Spaltenvektor generieren, der die Häufigkeitszählung enthält, diesen Vektor in
ΣDAT speichern und als Diagrammtyp Barplot auswählen. Im nächsten
Beispiel wird gezeigt, wie die erste Methode zum Generieren eines
Histogramms verwendet wird.
Beispiel 1 – Generieren Sie unter Verwendung der im obigen Beispiel
erzeugten 200 Datenpunkte (in ΣDAT als Spaltenvektor gespeichert) ein
Histogramm der Daten, indem Sie X-Min = 10, Bin Count = 16 und Bin Width
= 5 verwenden.
•
•
•
Drücken Sie zunächst „ô (gleichzeitig, sofern Sie im RPN-Modus
sind), um die Eingabe im Fenster PLOT SETUP zu aktivieren. Ändern Sie in
diesem Fenster Type: in Histogramm, und stellen Sie sicher, dass die Option
Col: 1 ausgewählt ist. Drücken Sie anschließend L@@@OK@@@.
Drücken Sie dann „ò (gleichzeitig, sofern Sie im RPN-Modus sind),
um die Eingabe im Fenster PLOT WINDOW – HISTOGRAM zu aktivieren.
Ändern Sie die Informationen in diesem Fenster in H-View: 10 90, V-View:
0 15, Bar Width: 5.
Drücken Sie @ERASE @DRAW@, um das folgende Histogramm zu generieren:
Seite 18-10
•
Drücken Sie @CANCEL, um zum vorherigen Fenster zurückzukehren. Ändern
Sie die Werte für V-View und Bar Width erneut, sodass diese nun wie folgt
lauten: V-View: 0 30, Bar Width: 10. Das neue Histogramm, das auf
demselben Datensatz beruht, wird nun wie folgt dargestellt:
Die Darstellung der Häufigkeit fi gegen die Klassenmittelpunkte xMi wird als
Häufigkeitspolygon bezeichnet. Die Darstellung der kumulierten Häufigkeit
gegen die oberen Grenzen wird als Häufigkeitsverteilungskurve der kumulierten
Häufigkeit bezeichnet. Sie können Streudiagramme erzeugen, die diese beiden
Darstellungen simulieren, indem Sie die entsprechenden Daten in die Spalten 1
und 2 einer neuen ΣDAT-Matrix eingeben und im Fenster PLOT SETUP Type: in
SCATTER ändern.
Anpassen von Daten an die Funktion y = f(x)
Mit dem Programm 3. Fit data.., das im Menü STAT als Option 3 verfügbar ist,
können lineare, logarithmische, exponentielle und Potenzfunktionen an
Datensätze (x,y) angepasst werden, die in Spalten der ΣDAT-Matrix gespeichert
sind. Damit dieses Programm effektiv eingesetzt werden kann, müssen in der
Variablen ΣDAT mindestens zwei Spalten vorhanden sein.
Beispiel 1 – Anpassen einer linearen Funktion an die Daten in der folgenden
Tabelle:
x
y
0
0.5
1
2.3
2
3.6
3
6.7
4
7.2
5
11
Seite 18-11
•
•
•
Geben Sie zunächst die Daten in den beiden obigen Zeilen in die Spalten
der Variablen ΣDAT ein, indem Sie den MatrixWriter und die Funktion
STOΣ verwenden.
Verwenden Sie zum Aufrufen des Programms 3. Fit data.. die folgende
Tastenkombination: ‚Ù˜˜@@@OK@@@. In der Eingabemaske wird die
aktuelle Variable ΣDAT angezeigt, die bereits geladen ist. Legen Sie ggf.
für eine lineare Anpassung im Setup-Fenster die folgenden Parameter fest:
Drücken Sie @@OK@@, um die Datenanpassung auszuführen. Die unten für
unseren Datensatz dargestellte Ausgabe dieses Programms besteht im RPNModus aus den folgenden drei Zeilen:
3: '0,195238095238 + 2,00857142857*X'
2: Correlation: 0,983781424465
1: Covariance: 7,03
Auf Ebene 3 wird in Form einer Gleichung dargestellt, in diesem Fall y =
0,06924 + 0,00383 x. Auf Ebene 2 wird der Stichprobenkorrelationskoeffizient
der Stichprobe dargestellt, und auf Ebene 1 die Kovarianz von x-y.
Definitionen
Für eine Stichprobe von Datenpunkten (x,y) definieren wir die
Stichprobenkovarianz als
s xy =
1 n
∑ ( xi − x )( y i − y ) .
n − 1 i =1
Seite 18-12
Der Stichprobenkorrelationskoeffizient für x,y wird definiert als
rxy =
s xy
sx ⋅ s y
.
Hierbei stellen sx, sy die Standardabweichungen von x bzw. y dar, d. h.
s x2 =
1 n
( xi − x ) 2
∑
n − 1 i=1
s y2 =
1 n
( yi − y ) 2 .
∑
n − 1 i=1
Bei den Werten sxy und rxy handelt es sich um die Werte für „Covariance“ bzw.
„Correlation“, die mit der Funktion „Fit data“ des Taschenrechners ermittelt
wurden.
Linearisierte Funktionen
Zahlreiche gekrümmte Funktionen können zu einer linearen Form abgeflacht
werden. Beispielsweise können die durch den Taschenrechner bereitgestellten
unterschiedlichen Modelle für die Datenanpassung wie in der folgenden
Tabelle dargestellt linearisiert werden.
Art der
Anpassung
Linear
Tatsächliches
Linearisiertes
Unabh.
Variable
Abh.
Variable
Kovar.
Modell
Modell
ξ
η
sξη
y = a + bx
[dito]
x
y
sxy
Log.
y = a + b ln(x)
Exp.
Potenz.
[dito]
ln(x)
y
sln(x),y
y=a
ebx
ln(y) = ln(a) + bx
x
ln(y)
sx,ln(y)
y=a
xb
ln(y) = ln(a) + b ln(x)
ln(x)
ln(y)
sln(x),ln(y)
Die Stichprobenkovarianz von ξ,η ist durch
sξη =
1
∑ (ξ i − ξ )(ηi − η ) definiert.
n −1
Seite 18-13
Wir definieren außerdem die Stichprobenvarianz von ξ bzw. η als
1 n
(ξ i − ξ ) 2
sξ =
∑
n − 1 i =1
sη2 =
2
Der Stichprobenkorrelationskoeffizient rξη lautet
1 n
(η i − η ) 2 .
∑
n − 1 i =1
rξη =
sξη
sξ ⋅ sη
.
Die allgemeine Form der Regressionsgleichung lautet η = A + Bξ.
Optimale Datenanpassung
Der Taschenrechner kann bestimmen, welche der linearen oder linearisierten
Funktionen die beste Anpassung für eine Menge von (x,y) Datenpunkten ergibt.
Wir veranschaulichen die Verwendung dieser Funktion mit einem Beispiel.
Nehmen wir an, Sie möchten ermitteln, welche der Datenanpassungsfunktionen
die beste Anpassung für die folgenden Daten ergibt:
x
y
0.2
3.16
0.5
2.73
1
2.12
1.5
1.65
2
1.29
4
0.47
5
0.29
10
0.01
Geben Sie zunächst die Daten als Matrix ein, indem Sie entweder die Daten
unter Verwendung des Matrix-Editors eingeben oder indem Sie mit dem in
Kapitel 10 entwickelten Programm CRMC zwei Listen von Daten für x und y
eingeben. Speichern Sie dann diese Matrix mit der Funktion STOΣ in der
Statistikmatrix ΣDAT.
Starten Sie anschließend mit ‚Ù˜˜@@@OK@@@ die Anwendung zur
Datenanpassung. Es wird die aktuelle Variable ΣDAT angezeigt, die bereits
geladen ist. Legen Sie ggf. im Setup-Fenster die folgenden Parameter fest:
Drücken Sie @@@OK@@@, um die folgende Ausgabe zu erhalten:
Seite 18-14
3: '3,99504833324*EXP(-,579206831203*X)'
2: Correlation: -0,996624999526
1: Covariance: -6,23350666124
Die beste Anpassung für die Daten lautet daher y = 3,995 e-0.58⋅x.
Ermitteln zusätzlicher Summenmaßzahlen
Für einige Berechnungen von Stichprobenmaßzahlen bietet sich die
Anwendung 4. Summary stats.. im Menü STAT an. Drücken Sie zunächst
erneut ‚Ù, wechseln Sie mit der Nach-Unten-Taste ˜ zur vierten
Option, und drücken Sie @@@OK@@@. Die anschließend angezeigte Eingabemaske
enthält die folgenden Felder:
ΣDAT:
X-Col, Y-Col:
_ΣX _
ΣY…:
Die Matrix mit den betreffenden Daten.
Die Verwendung dieser Optionen ist nur sinnvoll, wenn die
Matrix ΣDAT mehr als zwei Spalten enthält. Standardmäßig
wird für Spalte x die Spalte 1 und für Spalte y die Spalte 2
verwendet.
Summenmaßzahlen, die Sie als Ergebnisse dieses Programms
auswählen können, indem Sie das entsprechende Feld mithilfe
von [CHK] mit einem Häkchen versehen, wenn dieses Feld
ausgewählt ist.
Viele dieser Summenmaßzahlen werden zum Berechnen von Maßzahlen für
zwei Variablen (x,y) verwendet, die über die Funktion y = f(x) verbunden sind.
Daher gehört dieses Programm gewissermaßen zum Programm
Beispiel 1 – Ermitteln Sie für die gegenwärtig in ΣDAT vorhandenen x-y-Daten
alle Summenmaßzahlen.
•
•
•
Rufen Sie die Option summary stats... mit ‚Ù˜˜˜@@@OK@@@
auf.
Wählen Sie die den x- und y-Daten entsprechenden Spaltennummern aus,
d. h. X-Col: 1 und Y-Col: 2.
Wählen Sie mit der Taste @CHK@ alle Optionen für die Ausgabe aus, d. h.
_ΣX, _ΣY usw.
Seite 18-15
•
Drücken Sie @@@OK@@@, um die folgenden Ergebnisse zu erhalten:
ΣX: 24,2; ΣY: 11,72; ΣX2: 148,54; ΣY2: 26,6246; ΣXY: 12,602; NΣ:8
Anmerkung: Das Menü STAT enthält zwei weitere Anwendungen, nämlich
und 6. Conf. Interval.. Diese beiden Anwendungen werden
weiter unten in diesem Kapitel erläutert.
5. Hypth. Tests..
Berechnung von Perzentilen
Durch Perzentile wird ein Datensatz in 100 Teile unterteilt. Das grundlegende
Verfahren zum Berechnen des 100 p-ten Perzentils (0 < p < 1) in einer
Stichprobe der Größe n lautet wie folgt:
1. Ordnen Sie die n Beobachtungen in aufsteigender Reihenfolge an.
2. Bestimmen Sie das Produkt n⋅p.
A. Wenn n⋅p keine Ganzzahl ist, runden Sie das Produkt auf die nächste
Ganzzahl, und ermitteln Sie den entsprechenden Wert in der
geordneten Datenreihe.
B. Wenn n⋅p eine Ganzzahl ist, z. B. k, berechnen Sie den Mittelwert des
k-ten und (k-1)-ten Wertes.
Anmerkung: Regel für das Runden auf Ganzzahlen: Wenn für einen nicht
ganzzahligen Wert x.yz… der Wert y ≥ 5, runden Sie auf x+1. Wenn y < 5,
runden Sie auf x.
Dieser Algorithmus kann durch das folgende, im RPN-Modus eingegebene
Programm implementiert werden (Informationen über das Programmieren
erhalten Sie in Kapitel 21):
« SORT DUP SIZE p X n « n p * k « IF k CEIL k FLOOR - NOT THEN X k
GET X k 1 + GET + 2 / ELSE k 0 RND X SWAP GET END » » »
Wir speichern dieses Programm in der Variablen %TILE (percent-tile bzw.
Perzentil). Für dieses Programm ist als Eingabe ein Wert p zwischen 0 und 1
erforderlich, der das 100p-Perzentil darstellt, sowie eine Liste von Werten. Das
Programm gibt das 100p-Perzentil der Liste zurück.
Seite 18-16
Beispiel 1 – Bestimmen Sie das 27%-Perzentil der Liste { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7
9}. Geben Sie im RPN-Modus 0,27 ` { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9} `
@%TILE ein. Geben Sie im ALG-Modus %TILE(0,27,{2,1,0,1,3,5,1,2,3,6,7,9} ein.
Das Ergebnis lautet 1.
Das Menü STAT
Über das Menü STAT kann auf sämtliche oben beschriebenen
vorprogrammierten Statistikfunktionen zugegriffen werden. Sie können das
Menü STAT aufrufen, indem Sie im RPN-Modus folgenden Befehl verwenden:
96 MENU
Sie können ein eigenes Programm erstellen, z. B. @STATm, um das Menü STAT
direkt zu aktivieren. Der Inhalt dieses Programms ist lediglich: Ç 96 MENU È.
Das Menü STAT enthält die folgenden Funktionen:
Wenn Sie eine der diesen Menüs zugeordneten Tasten drücken, erhalten Sie
wie unten beschrieben Zugriff auf unterschiedliche Funktionen.
Das Untermenü DATA
Das Untermenü DATA enthält Funktionen zum Bearbeiten der Statistikmatrix
ΣDATA:
Diese Funktionen bewirken Folgendes:
Σ+ : fügt dem unteren Rand der Matrix ΣDATA eine Zeile auf Ebene 1 hinzu.
Σ- : entfernt die letzte Zeile in der Matrix ΣDATA und legt diese auf Ebene 1
des Stacks ab.
Die geänderte Matrix ΣDATA wird gespeichert.
CLΣ : löscht die aktuelle Matrix ΣDATA.
Seite 18-17
ΣDAT: legt Inhalte der aktuellen Matrix ΣDATA auf Ebene 1 des Stacks ab.
„ΣDAT: speichert die Matrix auf Ebene 1 des Stacks in der Matrix ΣDATA.
Das Untermenü ΣPAR
Das Untermenü ΣPAR enthält Funktionen zum Ändern von Statistikparametern.
Die dargestellten Parameter entsprechen denen im letzten Beispiel für die
Datenanpassung.
Die auf dem Bildschirm angezeigten Parameter lauten:
Xcol: gibt die Spalte von ΣDATA an, die x darstellt (Standardwert: 1)
Ycol: gibt die Spalte von ΣDATA an, die y darstellt (Standardwert: 2)
Intercept: zeigt den Achsenabschnitt der letzten Datenanpassung an (Standardwert:
0)
Slope: zeigt die Steigung der letzten Datenanpassung an (Standardwert: 0)
Model: zeigt das aktuelle Datenanpassungsmodell an (Standardwert: LINFIT)
Die mit den Funktionstasten aufgerufenen Funktionen bewirken Folgendes:
XCOL: Aufruf mit n @XCOL, ändert Spalte X in n.
YCOL: Aufruf mit n @YCOL, ändert Spalte Y in n.
ΣPAR: zeigt Statistikparameter an.
RESET: setzt Parameter auf die Standardwerte zurück.
INFO: zeigt Statistikparameter an.
Das Untermenü MODL in ΣPAR
Dieses Untermenü enthält Funktionen, mit denen Sie durch Drücken der
entsprechenden Taste das Datenanpassungsmodell in LINFIT, LOGFIT, EXPFIT,
PWRFIT oder BESTFIT ändern können.
Seite 18-18
Das Untermenü 1VAR
Das Untermenü 1VAR enthält Funktionen zum Berechnen der Maßzahlen für die
Spalten in der Matrix ΣDATA.
Folgende Funktionen sind verfügbar:
TOT
: zeigt die Summe jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
MEAN : zeigt den arithmetischen Mittelwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA
an.
SDEV : zeigt die Standardabweichung jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
MAXΣ : zeigt den Maximalwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
MINΣ : zeigt den Minimalwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
BINS
: stellt bei Verwendung von xs, Δx, n [BINS] die Häufigkeitsverteilung
für Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA mit den durch
[xs,xs+Δx], [xs,xs+2Δx],…, [xs,xs+nΔx] definierten Häufigkeitsklassen
bereit.
VAR
: zeigt die Varianz jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
PSDEV : zeigt die Grundgesamtheitsstandardabweichung (anhand von n statt
von (n-1)) jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
PVAR
: zeigt die Grundgesamtheitsvarianz jeder Spalte in der Matrix ΣDATA
an.
MINΣ : zeigt den Mindestwert jeder Spalte in der Matrix ΣDATA an.
Das Untermenü PLOT
Das Untermenü PLOT enthält Funktionen zum Erzeugen grafischer Darstellungen
der Daten in der Matrix ΣDATA.
Diese Funktionen lauten:
BARPL : erzeugt ein Balkendiagramm mit den Daten in der Spalte Xcol der
Matrix ΣDATA.
Seite 18-19
HISTP
: erzeugt ein Histogramm der Daten in der Spalte Xcol der Matrix
ΣDATA, wobei eine 13 Klassen entsprechende Standardbreite
verwendet wird, sofern die Klassengröße nicht mit der Funktion BINS
im Untermenü 1VAR (siehe oben) geändert wird.
SCATR : erzeugt ein Streudiagramm der Daten in der Spalte Ycol der Matrix
ΣDATA gegen die Daten in der Spalte Xcol der Matrix ΣDATA. Die
Regressionsgleichung wird in der Variablen EQ gespeichert.
Das Untermenü FIT
Das Untermenü FIT enthält Funktionen zum Anpassen von Gleichungen an die
Daten in den Spalten Xcol und Ycol der Matrix ΣDATA.
Die in diesem Untermenü verfügbaren Funktionen lauten:
ΣLINE : stellt die der letzten Anpassung entsprechende Gleichung bereit.
LR
: stellt Achsenabschnitt und Steigung der letzten Anpassung bereit.
PREDX : Aufruf mit y @PREDX, ermittelt x bei gegebenem y für die Anpassung y
= f(x).
PREDY : Aufruf mit x @PREDY, ermittelt y bei gegebenem x für die Anpassung y =
f(x).
CORR : stellt den Korrelationskoeffizienten für die letzte Anpassung bereit.
COV : stellt die Stichprobenkovarianz für die letzte Anpassung bereit.
PCOV : zeigt die Grundgesamtheitskovarianz für die letzte Anpassung an.
Seite 18-20
Das Untermenü SUMS
Das Untermenü SUMS enthält Funktionen zum Ermitteln von Summenmaßzahlen
der Daten in den Spalten Xcol und Ycol der Matrix ΣDATA.
ΣX
ΣY
ΣX^2
ΣY^2
ΣX*Y
NΣ
:
:
:
:
:
stellt die
stellt die
stellt die
stellt die
stellt die
Spalten
: stellt die
Summe der Werte in der Spalte Xcol bereit.
Summe der Werte in der Spalte Ycol bereit.
Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Xcol bereit.
Summe der Quadrate der Werte in der Spalte Ycol bereit.
Summe von x⋅y bereit, d. h. der Produkte der Daten in den
Xcol und Ycol.
Anzahl der Spalten in der Matrix ΣDATA bereit.
Beispiel für Operationen des Menüs STAT
ΣDATA sei die auf der nächsten Seite dargestellte Matrix.
•
•
•
Geben Sie mit dem Matrix-Editor die Matrix auf Ebene 1 des Stacks ein.
Speichern Sie die Matrix in ΣDATA mit dem Befehl @)DATA „ @£DAT
Berechnen Sie die Maßzahlen für jede Spalte: @)STAT @)1VAR:
@TOT
@MEAN
@SDEV
@MAX£
@MIN£
L @VAR
@PSDEV
@PVAR
•
ergibt [38,5 87,5 82799,8]
ergibt [5,5, 12,5 11828,54…]
ergibt [3,39… 6,78… 21097,01…]
ergibt [10 21,5 55066]
ergibt [1,1 3,7 7,8]
ergibt [11,52 46,08 445084146,33]
ergibt [3,142… 6,284… 19532,04…]
ergibt [9,87… 39,49… 381500696,85…]
Daten:
Seite 18-21
⎡ 1.1
⎢ 3.7
⎢
⎢ 2.2
⎢
⎢ 5.5
⎢ 6.8
⎢
⎢ 9.2
⎢10.0
⎣
•
•
3.7
7.8 ⎤
8.9
101 ⎥⎥
5.9
25 ⎥
⎥
12.5 612 ⎥
15.1 2245 ⎥
⎥
19.9 24743⎥
21.5 55066⎥⎦
Erzeugen Sie ein Streudiagramm für die Daten in den Spalten 1 und 2, und
passen Sie eine entsprechende Gerade daran an:
@)STAT @)£PAR @RESET
setzt die Statistikparameter zurück
L @)STAT @PLOT @SCATR
@STATL
erzeugt Streudiagramm
zeichnet die Datenanpassung als Gerade
@CANCL
wechselt zum Hauptbildschirm
Bestimmen Sie die Anpassungsgleichung und einige ihrer Maßzahlen:
@)STAT @)FIT@ @£LINE
@@@LR@@@
ergibt '1,5+2*X'
ergibt Intercept: 1,5, Slope: 2
Seite 18-22
3 @PREDX
1 @PREDY
@CORR
@@COV@@
L@PCOV
•
Ermitteln Sie Summenmaßzahlen für die Daten in den Spalten 1 und 2:
@)STAT @)SUMS:
@@@£X@@
@@@£Y@@
@@£X2@
@@£Y2@
@@£XY@
@@@N£@@
•
ergibt 0,75
ergibt 3,50
ergibt 1,0
ergibt 23,04
ergibt 19,74…
ergibt
ergibt
ergibt
ergibt
ergibt
ergibt
38,5
87,5
280,87
1370,23
619,49
7
Passen Sie die Daten in den Spalten 1 (x) und 3 (y) mit einer
logarithmischen Anpassung an:
L @)STAT @)£PAR 3 @YCOL
@)MODL @LOGFI
legt Ycol = 3 und
Model = Logfit fest
L @)STAT @PLOT @SCATR
erzeugt ein Streuungsdiagramm von y
gegen x
zeigt die Linie für logarithmische Anpassung
an
@STATL
Seite 18-23
Offensichtlich ist die logarithmische Anpassung keine gute Lösung.
@CANCL
wechselt zum Hauptbildschirm
•
Wählen Sie mit folgendem Befehl die beste Anpassung aus:
@)STAT @£PAR @)MODL @BESTF
zeigt EXPFIT als beste Anpassung für diese
Daten an
L@)STAT @)FIT @£LINE
@CORR
2300 @PREDX
5,2 @PREDY
L @)STAT @PLOT @SCATR
@STATL
•
•
ergibt '2,6545*EXP(0,9927*X)'
ergibt 0,99995… (gute Korrelation)
ergibt 6,8139
ergibt 463,33
erzeugt ein Streuungsdiagramm von y!
gegen x
zeigt die Linie für logarithmische
Anpassung an
Um zum Menü STAT zurückzukehren, verwenden Sie L@)STAT.
Um wieder zum Variablenmenü zurückzukehren, verwenden Sie J.
Seite 18-24
Konfidenzintervalle
Bei der statistischen Folgerung handelt es sich um Schlussfolgerungen in Bezug
auf eine Grundgesamtheit anhand der aus den Stichprobendaten gewonnenen
Informationen. Damit die Stichprobendaten aussagekräftig sind, muss die
Stichprobe zufällig sein, d. h., die Auswahl einer bestimmten Stichprobe muss
mit derselben Wahrscheinlichkeit wie die Auswahl jeder anderen möglichen
Stichprobe aus einer bestimmten Grundgesamtheit erfolgen. Im Folgenden
werden einige für das Konzept der Zufallsstichprobe relevanten Begriffe
erläutert:
•
Grundgesamtheit
•
•
Stichprobe
Zufallsstichprobe
•
Zufallsvariable
: die Menge aller denkbaren Werte eines Prozesses
oder Attributs einer Komponente.
: Teilmenge einer Grundgesamtheit.
: eine für die Grundgesamtheit repräsentative
Stichprobe.
: für einen Stichprobenraum definierte reellwertige
Funktion. Kann diskret oder kontinuierlich sein.
Falls eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die
Grundgesamtheit zutrifft, die von einem Parameter θ abhängt, kann zum
Schätzen von θ eine Zufallsstichprobe der Größe n von Werten (X1, X2, X3,
..., Xn) verwendet werden.
•
•
•
•
•
Stichprobenverteilung : die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von
X1,X2,X3,... , Xn.
Maßzahl:
jede Funktion der Werte, die quantifizierbar ist und
keine unbekannten Parameter enthält. Eine Maßzahl
ist eine Zufallsvariable, die für Schätzungen
verwendet werden kann.
Punktschätzung:
wenn für den Parameter θ ein einziger Wert
bereitgestellt wird.
Konfidenzintervall:
ein numerisches Intervall, das mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit den Parameter θ enthält.
Schätzfunktion:
Regel oder Methode zum Schätzen des Parameters
θ.
Seite 18-25
•
Schätzwert:
der Wert, den die Schätzfunktion in einer
bestimmten Anwendung zurückgibt.
Beispiel 1 – X stelle die Zeit (Stunden) dar, die für die Ausführung eines
bestimmten Fertigungsprozesses erforderlich ist. Gegeben sei folgende
Stichprobe der Werte von X: 2,2 2,5 2,1 2,3 2,2. Die Grundgesamtheit,
der die Stichprobe entnommen wurde, ist die Menge aller möglichen Werte für
die Fertigungszeit und daher eine unendliche Grundgesamtheit. Nehmen wir
an, der zu schätzende Grundgesamtheitsparameter ist der Mittelwert μ. Wir
verwenden als Schätzfunktion den Mittelwert ⎯X der Stichprobe, der durch
folgende Gleichung (Regel) definiert ist:
X =
1 n
⋅ ∑ Xi.
n i =1
Für die betreffende Stichprobe ist der Schätzwert für μ die Stichprobenmaßzahl
⎯x = (2,2+2,5+2,1+2,3+2,2)/5 = 2,26. Dieser einzelne Wert von ⎯X, also ⎯x
= 2,26, stellt eine Punktschätzung des Grundgesamtheitsparameters μ dar.
Schätzung von Konfidenzintervallen
Die nächste Stufe der statistischen Folgerung nach der Punktschätzung ist die
Intervallschätzung. Dies bedeutet, dass wir nicht einen einzelnen Wert einer
Schätzfunktion ermitteln, sondern zwei Maßzahlen a und b angeben, durch die
ein Intervall definiert wird, das mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit den
Parameter θ enthält. Die Endpunkte des Intervalls werden als Vertrauensgrenzen
und das Intervall (a,b) als Konfidenzintervall bezeichnet.
Definitionen
(Cl,Cu) sei ein Konfidenzintervall, das den unbekannten Parameter θ enthält.
•
•
Die statistische Sicherheit bzw. das Konfidenzniveau ist die Menge (1-α) mit
0 < α < 1, sodass P[Cl < θ < Cu] = 1 - α, wobei P[ ] eine
Wahrscheinlichkeit darstellt (siehe Kapitel 17). Der vorherige Ausdruck
definiert die so genannten zweiseitigen Vertrauensgrenzen.
Ein unteres einseitiges Konfidenzintervall wird durch Pr[Cl < θ] = 1 - α
definiert.
Seite 18-26
•
•
Ein oberes einseitiges Konfidenzintervall wird durch Pr[θ < Cu] = 1 - α
definiert.
Der Parameter α wird als Signifikanzniveau bezeichnet. Typische Werte für
α sind 0,01, 0,05 und 0,1, die den Konfidenzniveaus 0,99, 0,95 bzw.
0,90 entsprechen.
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei
bekannter Grundgesamtheitsvarianz
X sei der Mittelwert einer Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen
Grundgesamtheit mit der bekannten Standardabweichung σ entnommen wurde.
Das zentrale zweiseitige Konfidenzintervall 100(1-α)% [d. h. 99 %, 95 %,
90 %, usw.] für den Grundgesamtheitsmittelwert μ ist (⎯X−zα/2⋅σ/√n , ⎯X+zα/
2⋅σ/√n ), wobei zα/2 eine normalverteilte Zufallsvariable darstellt, die mit der
Wahrscheinlichkeit α/2 überschritten wird. Der Standardfehler des
Stichprobenmittelwertes ⎯X ist ⋅σ/√n.
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100(1-α)% für den
Grundgesamtheitsmittelwert μ lautet X+zα⋅σ/√n bzw. ⎯X−zα⋅σ/√n. Somit ist ein
unteres einseitiges Konfidenzintervall durch (-∞ , X+zα⋅σ/√n) und ein oberes
einseitiges Konfidenzintervall durch (X−zα⋅σ/√n,+∞) definiert. Beachten Sie,
dass wir in diesen letzten beiden Konfidenzintervallen nicht den Wert zα/2,
sondern zα verwenden.
Im Allgemeinen ist der Wert zk in der Standardnormalverteilung als der Wert
von z definiert, dessen Überschreitungswahrscheinlichkeit k ist, d. h. Pr[Z>zk] =
k oder Pr[Z<zk] = 1 – k. Die Normalverteilung wurde in Kapitel 17 erläutert.
Konfidenzintervalle für den Grundgesamtheitsmittelwert bei
unbekannter Grundgesamtheitsvarianz
⎯X und S sei der Mittelwert bzw. die Standardabweichung einer
Zufallsstichprobe der Größe n, die einer unendlichen Grundgesamtheit mit
Normalverteilung und der unbekannten Standardabweichung σ entnommen
wurde. Das zentrale zweiseitige Konfidenzintervall 100 ⋅ (1-α)% [d. h. 99 %,
95 %, 90 %, usw.] für den Grundgesamtheitsmittelwert μ ist (⎯X− tn-1, α/2 ⋅S /
√n , ⎯X+ tn-1, α/2 ⋅S/√n ), wobei tn-1, α/2 eine Studentsche t-Verteilung mit dem
Freiheitsgrad ν = n-1 und der Überschreitungswahrscheinlichkeit α/2 darstellt.
Seite 18-27
Die obere und untere einseitige Vertrauensgrenze 100 ⋅ (1-α)% für den
Grundgesamtheitsmittelwert μ lautet
X + tn-1, α/2⋅S/√n bzw. ⎯X− tn-1, α/2⋅S /√n.
Kleine und große Stichproben
Für die Studentsche t-Verteilung gilt, dass sie für n>30 nicht von der
Standardnormalverteilung zu unterscheiden ist. Wenn daher bei Stichproben
mit mehr als 30 Elementen die Grundgesamtheitsvarianz nicht bekannt ist,
können
Sie
dasselbe
Konfidenzintervall
wie
bei
bekannter
Grundgesamtheitsvarianz verwenden, müssen jedoch σ durch S ersetzen.
Stichproben mit n>30 werden üblicherweise als große Stichproben bezeichnet,
andernfalls handelt es sich um kleine Stichproben.
Konfidenzintervall für einen Anteil
Eine diskrete Zufallsvariable X folgt einer Bernoulli-Verteilung, wenn X nur zwei
Werte annehmen kann: X = 0 (Fehlschlag) und X = 1 (Erfolg). Wenn X ~
Bernoulli(p) und p die Erfolgswahrscheinlichkeit ist, ist der Mittelwert bzw.
Erwartungswert von X gleich E[X] = p, und die Varianz lautet Var[X] = p(1-p).
Wenn ein Experiment mit X n-Mal wiederholt wird und k erfolgreiche
Ergebnisse aufgezeichnet werden, ist der Schätzwert p durch p' = k/n definiert,
und der Standardfehler p' ist σp’ = √(p⋅(1-p)/n). In der Praxis wird in der Formel
für den Standardfehler p durch den Stichprobenschätzwert für p, d. h. p',
ersetzt.
Bei einer großen Stichprobe mit n>30, n⋅p>5 und n⋅(1-p)>5 ist die
Stichprobenverteilung nahezu eine Normalverteilung. Daher ist das zentrale
zweiseitige Konfidenzintervall 100(1-α)% für den Grundgesamtheitsmittelwert
(p'+zα/2⋅σp’, p'+zα/2⋅σp’). Bei einer kleinen Stichprobe (n<30) kann mit (p'-tn1,α/2⋅σp’,p’+tn-1,α/2⋅σp’) ein Schätzwert für das Konfidenzintervall ermittelt
werden.
Seite 18-28
Stichprobenverteilung für Differenzen und Summen von
Maßzahlen
S1 und S2 seien unabhängige Maßzahlen auf der Grundlage von zwei
Stichproben der Größe n1 bzw. n2 aus zwei Grundgesamtheiten. Außerdem
seien die jeweiligen Mittelwerte und Standardfehler der
Stichprobenverteilungen dieser Maßzahlen μS1 und μS2 bzw. σS1 und σS2. Die
Differenz der aus den beiden Grundgesamtheiten entnommenen Maßzahlen
S1-S2 weist eine Stichprobenverteilung mit dem Mittelwert μ S1−S2 = μS1 - μS2
und dem Standardfehler σ S1−S2 = (σS12 + σS22)1/2 auf. Außerdem weist die
Summe der Maßzahlen S1+S2 den Mittelwert S1+S2 = μS1 +μS2 und den
Standardfehler σS1+S2 = (σS12 + σS22)1/2 auf.
Schätzfunktionen für den Mittelwert und die Standardabweichung von Differenz
und Summe der Maßzahlen S1 und S2 sind durch folgende Gleichungen
definiert:
μˆ S ± S = X 1 ± X 2 ,
1
2
σˆ S ± S =
1
2
σ S21
n1
+
σ S22
n2
In diesen Ausdrücken sind⎯X1 und ⎯X2 die Werte der Maßzahlen S1 und S2 der
aus den beiden Grundgesamtheiten entnommenen Stichproben, und σS12 und
σS22 sind die Varianzen der Grundgesamtheiten der Maßzahlen S1 und S2,
aus denen die Stichproben entnommen wurden.
Konfidenzintervalle für Summen und Differenzen von Mittelwerten
Wenn die Grundgesamtheitsvarianzen σ12 und σ22 bekannt sind, werden die
Konfidenzintervalle für Differenz und Summe der Mittelwerte der
Grundgesamtheiten, d. h. μ1±μ2, durch folgenden Ausdruck definiert:
2
2
2
2 ⎞
⎛
⎜(X ± X ) − z ⋅ σ1 + σ 2 , (X ± X ) + z ⋅ σ1 + σ 2 ⎟
2
1
2
α/2
α /2
⎜ 1
n1 n 2
n1
n 2 ⎟⎠
⎝
Seite 18-29
Bei großen Stichproben, d. h. n1>30 und n2>30, und unbekannten, jedoch
gleichen Grundgesamtheitsvarianzen σ12 = σ22 werden die Konfidenzintervalle
für Differenz und Summe der Mittelwerte der Grundgesamtheiten, d. h. μ1±μ2,
durch folgenden Ausdruck definiert:
2
2
2
2 ⎞
⎛
⎜ ( X ± X ) − z ⋅ S1 + S 2 , ( X ± X ) + z ⋅ S1 + S 2 ⎟.
α /2
α /2
2
1
2
⎜ 1
n1 n2
n1 n2 ⎟⎠
⎝
Wenn eine der Stichproben klein ist, d. h. n1<30 oder n2<30, und die
Grundgesamtheitsvarianzen σ12 = σ22 unbekannt, jedoch gleich sind, können
wir für die Abweichung μ1±μ2 den „zusammengefassten“ Schätzwert sp2 =
[(n1-1)⋅s12+(n2-1)⋅s22]/( n1+n2-2) ermitteln.
In diesem Fall sind die zentralen Konfidenzintervalle für die Summe und
Differenz der Mittelwerte der Grundgesamtheiten, d. h. μ1±μ2, durch folgenden
Ausdruck definiert:
(( X
1
± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s 2p , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s 2p
)
Hierbei stellt ν = n1+n2-2 den Freiheitsgrad in der Studentschen t-Verteilung dar.
Für die letzten beiden Optionen geben wir an, dass die Varianzen der
Grundgesamtheit gleich sein müssen, obwohl sie nicht bekannt sind. Dies ist der
Fall, wenn die beiden Stichproben derselben Grundgesamtheit oder zwei
Grundgesamtheiten entnommen wurden, von denen wir annehmen, dass sie
dieselbe Varianz der Grundgesamtheit aufweisen. Wenn wir jedoch Grund zu
der Annahme haben, dass die beiden unbekannten Varianzen der
Grundgesamtheit
voneinander
abweichen,
können
wir
folgendes
Konfidenzintervall verwenden:
(( X
1
± X 2 ) − tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2 , ( X 1 ± X 2 ) + tν ,α / 2 ⋅ s X2 1 ± X 2
)
Seite 18-30
Hierbei ist die geschätzte Standardabweichung für Summe oder Differenz durch
s X1 ± X 2 =
s12 s 22
+
n1 n2
definiert und ν, der Freiheitsgrad der t-Verteilung, wird mit folgender Formel
berechnet (das Ergebnis wird auf die nächste Ganzzahl gerundet):
[( S12 / n1 ) + ( S 22 / n 2 )] 2
ν=
[( S12 / n1 ) /(n1 − 1)] + [( S 22 / n2 ) /(n2 − 1)]
Bestimmen von Konfidenzintervallen
Die Anwendung 6. Conf Interval kann mit ‚Ù—@@@OK@@@ aufgerufen
werden. Die Anwendung enthält die folgenden Optionen:
Diese Optionen werden im Folgenden erläutert:
1. Z-INT: 1 μ : Konfidenzintervall einer einzelnen Stichprobe für den
Mittelwert der Grundgesamtheit μ mit bekannter Varianz der
Grundgesamtheit oder bei großen Stichproben mit unbekannter
Varianz der Grundgesamtheit.
2. Z-INT: μ1−μ2: Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte der
Grundgesamtheiten μ1- μ2 mit entweder bekannten Varianzen der
Grundgesamtheiten oder bei großen Stichproben mit unbekannten
Varianzen der Grundgesamtheiten.
Seite 18-31
3. Z-INT: 1 p : Konfidenzintervall einer einzelnen Stichprobe für den Anteil p
bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der
Grundgesamtheit.
4. Z-INT: p1− p2: Konfidenzintervall für die Differenz zweier Anteile p1-p2 für
große Stichproben mit unbekannten Varianzen der
Grundgesamtheiten.
5. T-INT: 1 μ : Konfidenzintervall einer einzelnen Stichprobe für den
Grundgesamtheitsmittelwert μ bei kleinen Stichproben mit
unbekannter Varianz der Grundgesamtheit.
6. T-INT: μ1−μ2: Konfidenzintervall für die Differenz zweier
Grundgesamtheitsmittelwerte μ1-μ2 für kleine Stichproben mit
unbekannten Varianzen der Grundgesamtheiten.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie das zentrale Konfidenzintervall für den Mittelwert
einer Grundgesamtheit, wenn eine Stichprobe mit 60 Elementen anzeigt, dass
der Mittelwert der Stichprobe⎯x = 23,3 und die Standardabweichung s = 5,2
beträgt. Verwenden Sie α = 0,05. Die Konfidenzniveau beträgt C = 1-α = 0,95.
Wählen Sie die erste Option im oben abgebildeten Menü aus, indem Sie @@@OK@@@
drücken. Geben Sie die erforderlichen Werte wie dargestellt in die
Eingabemaske ein:
Drücken Sie @HELP, um ein Fenster aufzurufen, in dem das Konfidenzintervall
anhand vom Taschenrechner generierter Zufallszahlen erläutert wird. Blättern
Sie im dann angezeigten Fenster mithilfe der Taste ˜ nach unten. Drücken Sie
@@@OK@@@, wenn Sie das Hilfefenster schließen möchten. Dadurch wird das oben
abgebildete Fenster erneut angezeigt.
Drücken Sie @@@OK@@@, um das Konfidenzintervall zu berechnen. Das vom
Taschenrechner angezeigte Ergebnis lautet:
Seite 18-32
Das Ergebnis bedeutet, dass ein Konfidenzintervall für 95 % berechnet wurde.
Der im obigen Fenster angezeigte Wert für Critical z entspricht den Werten
±zα/2 in der Formel des Konfidenzintervalls (⎯X−zα/2⋅σ/√n , ⎯X+zα/2⋅σ/√n ).
Die Werte μ Min und μ Max stellen die obere bzw. untere Grenze dieses
Intervalls dar, d. h μ Min = ⎯X−zα/2⋅σ/√n und μ Max = ⎯X+zα/2⋅σ/√n.
Drücken Sie @GRAPH, um eine grafische Darstellung des Konfidenzintervalls
anzuzeigen:
Das Diagramm stellt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die Position der
kritischen Punkte ±zα/2, den Mittelwert (23,3) und die entsprechenden
Bereichsgrenzen (21,98424 und 24,61576) dar. Drücken Sie @TEXT, um zum
vorherigen Ergebnisfenster zurückzukehren und/oder drücken Sie @@@OK@@@, um die
Konfidenzintervallumgebung zu schließen. Die Ergebnisse werden auf dem
Bildschirm des Taschenrechners angezeigt.
Beispiel 2 – Die Daten aus zwei Stichproben (Stichprobe 1 und 2) geben an,
dass⎯x 1 = 57,8 und ⎯x2 = 60,0. Die Stichprobengrößen betragen n1 = 45 und
n2 = 75. Wenn bekannt ist, dass die Standardabweichungen der
Grundgesamtheiten σ1 = 3,2 und σ2 = 4,5 betragen, bestimmen Sie das
Konfidenzintervall von 90 % für die Differenz der Grundgesamtheitsmittelwerte,
d. h. μ1- μ 2.
Seite 18-33
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜@@@OK@@@, um Option 2. Z-INT: μ1–
μ2.. auszuwählen. Geben Sie folgende Werte ein:
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und
Diagrammform dargestellt:
Die Variable Δμ stellt μ1–μ2 dar.
Beispiel 3 – Eine Meinungsumfrage gibt an, dass 60 Personen aus einer
Stichprobe von 150 Personen höhere Vermögenssteuern zur Finanzierung
öffentlicher Projekte befürworten. Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall von
99 % für den Grundgesamtheitsanteil, der höhere Steuern befürwortet.
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜˜ @@@OK@@@, um Option 3. Z-INT:
μ1–μ2.. auszuwählen. Geben Sie folgende Werte ein:
Seite 18-34
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten als Text und
Diagramm dargestellt:
Beispiel 4 – Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall von 90 % für die Differenz
der beiden Anteile, wenn Stichprobe 1 unter 120 Versuchen 20 Erfolge
aufweist und Stichprobe 2 unter 100 Versuchen 15 Erfolge aufweist.
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ˜˜˜@@@OK@@@, um Option 4. ZINT: p1–p2.. aufzurufen. Geben Sie folgende Werte ein:
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und
Diagrammform dargestellt:
Beispiel 5 – Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall von 95 % für den Mittelwert
der Grundgesamtheit, wenn eine Stichprobe von 50 Elementen den Mittelwert
15,5 und die Standardabweichung 5 aufweist. Die Standardabweichung der
Grundgesamtheit ist nicht bekannt.
Seite 18-35
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie — — @@@OK@@@, um Option 5. T-INT: μ
aufzurufen. Geben Sie folgende Werte ein:
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und
Diagrammform dargestellt:
Die Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Studentschen tVerteilung für den Freiheitsgrad ν = 50–1 = 49 dar.
Beispiel 6 – Bestimmen Sie ein Konfidenzintervall von 99 % für die Differenz
der Mittelwerte zweier Grundgesamtheiten mit den Stichprobendaten x1 =
157,8,⎯x2 = 160,0 und n1 = 50, n2 = 55. Die Standardabweichungen der
Grundgesamtheiten betragen s1 = 13,2 und s 2 = 24,5.
Drücken Sie ‚Ù—@@@OK@@@, um die Konfidenzintervallfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie —@@@OK@@@, um Option 6. T-INT: μ1−μ2
aufzurufen. Geben Sie folgende Werte ein:
Seite 18-36
Drücken Sie anschließend @@@OK@@@. Die Ergebnisse werden unten in Text- und
Diagrammform dargestellt:
Bei diesen Ergebnissen wird vorausgesetzt, dass die Werte s1 und s2 die
Standardabweichungen der Grundgesamtheiten darstellen. Wenn diese Werte
jedoch die Standardabweichungen der Stichproben darstellen, müssen Sie
dieselben Werte wie zuvor, jedoch mit Auswahl der Option _pooled eingeben.
Die Ergebnisse lauten nun:
Konfidenzintervalle für die Varianz
Zum Erstellen einer Formel für das Konfidenzintervall der Varianz stellen wir
zuerst die Stichprobenverteilung der Varianz vor: Gegeben sei eine
Zufallsstichprobe X1, X2 ..., Xn unabhängiger normalverteilter Variablen mit
dem Mittelwert μ, der Varianz σ2 und dem Stichprobenmittelwert ⎯X. Die
Maßzahl
n
1
Sˆ 2 =
⋅ ∑ ( X i − X )2 ,
n − 1 i =1
ist eine erwartungstreue Schätzfunktion der Varianz σ2.
Seite 18-37
Die Menge
(n − 1) ⋅
Sˆ 2
σ2
n
= ∑ ( X i − X ) 2 , weist eine Chi-Quadrat-Verteilung
i =1
χn-12 mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 auf. Das beidseitige Konfidenzintervall (1α)⋅100 % wird durch
Pr[χ2n-1,1-α/2 < (n-1)⋅S2/σ2 < χ2n-1,α/2] = 1- α ermittelt.
Das Konfidenzintervall für die Grundgesamtheitsvarianz σ2 lautet daher
[(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2].
Hierbei stellen χ2n-1,α/2 und χ2n-1,1-α/2 die Werte dar, um die eine Variable
χ2 mit dem Freiheitsgrad ν = n-1 mit den Überschreitungswahrscheinlichkeiten
α/2 bzw. 1- α/2 von den Erwartungswerten abweichet.
Die obere einseitige Konfidenzintervallgrenze für σ2 ist durch (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α
definiert.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie anhand der Ergebnisse aus einer Stichprobe der
Größe n = 25, die eine Stichprobenvarianz s2 = 12,5 aufweist, für die
Grundgesamtheitsvarianz σ2 ein Konfidenzintervall von 95 %.
In Kapitel 17 wird zum Lösen der Gleichung α = UTPC(γ,x) der numerische
Gleichungslöser verwendet. In diesem Programm stellt γ den Freiheitsgrad (n-1)
und α die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten eines bestimmten Wertes
von x (χ2) dar, d. h. Pr[χ2 > χα2] = α.
Für das vorliegende Beispiel gilt α = 0,05, γ = 24 und α = 0,025. Die Lösung
der oben dargestellten Gleichung lautet χ2n-1,α/2 = χ224,0.025 =
39,3640770266.
Der Wert χ2n-1,α/2 = χ224,0.975 wird hingegen anhand der Werte γ = 24 und α
= 0,975 berechnet. Das Ergebnis lautet χ2n-1,1-α/2 = χ224,0.975 =
12,4011502175.
Seite 18-38
Die oberen und unteren Grenzen des Konfidenzintervalls lauten wie folgt
(führen Sie diese Berechnungen im ALG-Modus aus):
(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12,5/39,3640770266 = 7,62116179676
(n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2 = (25-1)⋅12,5/12,4011502175 = 24,1913044144
Das Konfidenzintervall von 95 % lautet für dieses Beispiel somit
7,62116179676 < σ2 < 24,1913044144.
Hypothesentest
Eine Hypothese ist eine Aussage über eine Grundgesamtheit (beispielsweise
über ihren Mittelwert). Die Billigung dieser Aussage beruht auf einer
statistischen Überprüfung einer der Grundgesamtheit entnommenen Stichprobe.
Der sich anschließende Vorgang und die Entscheidungsfindung werden als
Hypothesentest bezeichnet.
Der Hypothesentest besteht aus dem Entnehmen einer Zufallsstichprobe aus der
Grundgesamtheit und dem Erstellen einer statistischen Hypothese über die
Grundgesamtheit. Wenn das postulierte Modell oder die postulierte Theorie
durch die Werte nicht gestützt werden, wird die Hypothese verworfen. Wenn
die Werte jedoch mit der Hypothese übereinstimmen, wird sie nicht verworfen,
aber auch nicht notwendigerweise übernommen. Dieser Entscheidung ist ein
Signifikanzniveau α zugeordnet.
Vorgehensweise beim Testen von Hypothesen
Die Vorgehensweise beim Hypothesentest besteht aus den folgenden sechs
Schritten:
1. Geben Sie eine Nullhypothese H0 an. Dies ist die zu testende Hypothese.
Beispiel: H0: μ1-μ2 = 0, d. h. wir nehmen an, dass die Mittelwerte von
Grundgesamtheit 1 und Grundgesamtheit 2 identisch sind. Wenn H0 wahr
ist, wird jede Differenz der Mittelwerte Fehlern bei der Zufallsstichprobe
zugeschrieben.
2. Geben Sie eine Alternativhypothese H1 an. Diese kann für das vorliegende
Beispiel H1: μ1-μ2 ≠ 0 lauten. [Anmerkung: Dies ist es, was wir eigentlich
testen möchten.]
Seite 18-39
3. Bestimmen Sie eine Testkenngröße T, oder geben Sie diese an. Im
vorliegenden Beispiel beruht T auf der Differenz der Mittelwerte ⎯X1-⎯X2.
4. Verwenden Sie die bekannte (oder vermutete) Verteilung der Testkenngröße
T.
5. Definieren Sie anhand des zuvor zugewiesenen Signifikanzniveaus α einen
Zurückweisungsbereich (die kritische Region R) für die Testkenngröße.
6. Bestimmen Sie anhand der ermittelten Daten, ob der berechnete Wert der
Testkenngröße innerhalb oder außerhalb des kritischen Bereichs liegt.
Wenn sich die Testkenngröße innerhalb des kritischen Bereichs befindet,
sagen wir, dass die getestete Größe ein Signifikanzniveau von 100α
Prozent aufweist.
Anmerkung:
1. Für das vorliegende Beispiel ergibt die Alternativhypothese H1: μ1-μ2 ≠ 0
einen so genannten zweiseitigen Test. Wenn die Alternativhypothese H1: μ1-μ2
> 0 oder H1: μ1-μ2 < 0 lautet, liegt ein einseitiger Test vor.
2. Die Wahrscheinlichkeit des Zurückweisens der Nullhypothese ist gleich dem
Signifikanzniveau, d. h. Pr[T∈R|H0] = α. Die Notation Pr[A|B] stellt die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Voraussetzung des Eintretens
von Ereignis B dar.
Fehler beim Hypothesentest
Für Hypothesentests verwenden wir die Begriffe „Fehler vom Typ I“ bzw. „Fehler
vom Typ II“, um Fälle zu definieren, in denen eine wahre Hypothese
zurückgewiesen oder eine falsche Hypothese akzeptiert (nicht zurückgewiesen)
wird. Es sei T = Wert der Testkenngröße, R = Zurückweisungsbereich, A =
Beibehaltungsbereich, sodass R
Zurückweisen einer wahren Hypothese
Pr[Fehler Typ I] = Pr[T∈R|H0] = α
Nicht Zurückweisen einer falschen Hypothese
Pr[Fehler Typ II] = Pr[T∈A|H1] = β
Betrachten wir nun die Fälle, in denen wir die richtige Entscheidung treffen:
Seite 18-40
Nicht Zurückweisen einer wahren Hypothese
Pr[Not(Fehler Typ I)] = Pr[T∈A|H0] = 1 - α
Zurückweisen einer falschen Hypothese
Pr[Not(Fehler Typ II)] = Pr [T∈R|H1] = 1 - β
Das Komplement von β wird als Mächtigkeit des Tests der Nullhypothese H0
gegen die Alternativhypothese H1 bezeichnet. Anhand der Mächtigkeit eines
Tests wird beispielsweise die Mindestgröße einer Stichprobe bestimmt, um die
Fehlerwahrscheinlichkeit zu verringern.
Auswählen der Werte von α und β
Ein typischer Wert des Signifikanzniveaus (oder der Wahrscheinlichkeit eines
Fehlers vom Typ I) ist α = 0,05 (d. h. durchschnittlich eine falsche
Zurückweisung pro 20 Tests). Wenn ein Fehler vom Typ I ernsthafte Folgen hat,
wählen Sie für α kleinere Werte aus, z. B. 0,01 oder sogar 0,001.
Der Wert von β, d. h. die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ II, hängt
von α, der Stichprobengröße n und dem tatsächlichen Wert des getesteten
Parameters ab. Daher wird der Wert von β nach dem Ausführen des
Hypothesentests bestimmt. Üblicherweise werden Diagramme gezeichnet, die β
bzw. die Mächtigkeit des Tests (1- β) als Funktion des tatsächlichen Wertes des
getesteten
Parameters
darstellen.
Diese
Diagramme
werden
als
Operationscharakteristik bzw. Gütefunktion bezeichnet.
Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Mittelwert
Zweiseitige Hypothese
Das Problem besteht im Testen der Nullhypothese Ho: μ = μo gegen die
Alternativhypothese H1: μ≠ μο bei einer statistischen Sicherheit von (1-α)100%
oder einem Signifikanzniveau α bei einer Stichprobe der Größe n mit einem
Mittelwert ⎯x und einer Standardabweichung s. Dieser Test wird als zweiseitiger
Test bezeichnet. Der Test wird in folgenden Schritten ausgeführt:
Zunächst berechnen wir die entsprechende Maßzahl für den Test (to oder zo)
wie folgt:
Seite 18-41
• Wenn n < 30 und die Standardabweichung σ
der Grundgesamtheit
bekannt ist, verwenden Sie die z-Kenngröße:
zo =
x − μo
σ/ n
• Wenn n > 30 und σ bekannt ist, verwenden Sie zo wie oben dargestellt.
Wenn σ nicht bekannt ist, ersetzen Sie in zo σ durch s, d. h.
zo =
x − μo
s/ n
• Wenn n < 30 und σ nicht bekannt ist, verwenden Sie die t-Kenngröße
to =
x − μ o , mit dem Freiheitsgrad ν = n - 1.
s/ n
Berechnen Sie dann den entweder zο oder tο zugeordneten P-Wert (eine
Wahrscheinlichkeit) und vergleichen Sie ihn mit α, um zu bestimmen, ob die
Nullhypothese zurückgewiesen werden soll. Der P-Wert für einen zweiseitigen
Test ist entweder durch
P-Wert = P(|z|>|zo|) oder durch P-Wert = P(|t|>|to|) definiert.
Die beim Hypothesentest zu verwendenden Kriterien lauten:
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
Der P-Wert für einen zweiseitigen Test kann mithilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktionen des Taschenrechners wie folgt berechnet werden:
• Bei Verwendung von z: P-Wert = 2⋅UTPN(0,1,|zo|)
• Bei Verwendung von t: P-Wert = 2⋅UTPT(ν,|to|)
Beispiel 1 – Testen Sie die Nullhypothese Ho: μ = 22,5 ( = μo) gegen die
Alternativhypothese H1: μ ≠22,5 bei einer statistischen Sicherheit von 95 %,
d. h. α = 0,05, und verwenden Sie hierfür eine Stichprobe der Größe n = 25
mit dem Mittelwert ⎯x = 22,0 und der Standardabweichung s = 3,5. Wir setzen
voraus, dass wir den Wert der Standardabweichung für die Grundgesamtheit
nicht kennen. Daher berechnen wir die t-Kenngröße wie folgt:
Seite 18-42
to =
x − μ o 22.0 − 22.5
=
= −0.7142
s/ n
3.5 / 25
Der entsprechende P-Wert für den Freiheitsgrad ν = 25 - 1 = 24 lautet
P-Wert = 2⋅UTPT(24;-0.7142) = 2⋅0,7590 = 1,518.
Da 1,518 > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: μ =
22,0 nicht zurückweisen.
Einseitige Hypothese
Das Problem besteht im Testen der Nullhypothese Ho: μ = μo gegen die
Alternativhypothese H1: μ > μο oder H1: μ< μο bei einer statistischen Sicherheit
von (1-α)100% oder einem Signifikanzniveau α anhand einer Stichprobe der
Größe n mit einem Mittelwert x und einer Standardabweichung s. Dieser Test
wird als einseitiger Test bezeichnet. Die Ausführung eines einseitigen Tests
beginnt wie der zweiseitige Test und, wie oben dargestellt, mit der Berechnung
der entsprechenden Kenngröße für den Test (to oder zo).
Anschließend berechnen wir den entweder zο oder tο zugeordneten P-Wert und
vergleichen diesen mit α, um zu bestimmen, ob die Nullhypothese
zurückgewiesen werden soll. Der P-Wert für einen zweiseitigen Test ist entweder
definiert durch
P-Wert = P(z > |zo|) oder durch P-Wert = P(t > |to|).
Die beim Hypothesentest zu verwendenden Kriterien lauten:
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
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Beachten Sie, dass es sich um dieselben Kriterien wie beim zweiseitigen Test
handelt. Der Hauptunterschied liegt in der Art der Berechnung des P-Wertes.
Der P-Wert für einen einseitigen Test kann mithilfe der
Wahrscheinlichkeitsfunktionen des Taschenrechners wie folgt berechnet werden:
• Bei Verwendung von z: P-Wert = UTPN(0,1,zo)
• Bei Verwendung von t : P-Wert = UTPT(ν,to)
Beispiel 2 – Testen Sie die Nullhypothese Ho: μ = 22,0 (= μo) gegen die
Alternativhypothese H1: μ >22,5 bei einer statistischen Sicherheit von 95 %,
d. h. α = 0,05, und verwenden Sie hierfür eine Stichprobe der Größe n = 25
mit dem Mittelwert ⎯x = 22,0 und der Standardabweichung s = 3,5. Wir gehen
wieder davon aus, dass wir den Wert der
Grundgesamtheitsstandardabweichung nicht kennen. Daher ist der Wert der tKenngröße mit dem entsprechenden Wert des oben dargestellten zweiseitigen
Tests identisch, d. h. to = -0,742, und der P-Wert für Freiheitsgrad ν = 25 - 1 =
24 lautet:
P-Wert = UTPT(24; |-0,7142|) = UTPT(24;0,7142) = 0,2409.
Da 0,2409 > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: μ =
22,0 nicht zurückweisen.
Folgerungen in Bezug auf zwei Mittelwerte
Die zu testende Nullhypothese lautet Ho: μ1-μ2 = δ bei einer statistischen
Sicherheit von (1-α)100% oder dem Signifikanzniveau α und Verwendung
zweier Stichproben mit den Größen n1 und n2, den Mittelwerten⎯x1 und ⎯x2
sowie den Standardabweichungen s1 und s2. Wenn die den Stichproben
entsprechenden Grundgesamtheitsstandardabweichungen σ1 und σ 2 bekannt
sind oder wenn n1 > 30 und n2 > 30 (große Stichproben), lautet die zu
verwendende Testkenngröße
Seite 18-44
zo =
( x1 − x2 ) − δ
σ 12
n1
+
σ 22
.
n2
Wenn n1 < 30 oder n2 < 30 (mindestens eine kleine Stichprobe), verwenden
Sie folgende Testkenngröße:
t=
( x1 − x 2 ) − δ
(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 22
n1n2 (n1 + n2 − 2)
n1 + n2
Zweiseitige Hypothese
Wenn die Alternativhypothese eine zweiseitige Hypothese ist, d. h. H1: μ1-μ2 ≠
δ, wird der P-Wert für diesen Test wie folgt berechnet:
•
•
Bei Verwendung von z: P-Wert = 2⋅UTPN(0,1,|zo|)
Bei Verwendung von t : P-Wert = 2⋅UTPT(ν,|to|)
Hierbei wird der Freiheitsgrad der t-Verteilung durch ν = n1 + n2 - 2 bestimmt.
Die Testkriterien lauten
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
Einseitige Hypothese
Wenn die Alternativhypothese eine zweiseitige Hypothese ist, d. h. H1: μ1-μ2 <
δ oder H1: μ1-μ2 > δ, wird der P-Wert für diesen Test wie folgt berechnet:
• Bei Verwendung von z: P-Wert = UTPN(0,1, |zo|)
• Bei Verwendung von t : P-Wert = UTPT(ν,|to|)
Die beim Hypothesentest zu verwendenden Kriterien lauten:
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
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Tests mit abhängigen Stichproben
Wenn zwei Stichproben der Größe n mit paarweisen Datenpunkten vorhanden
sind, müssen wir diesen Fall wie eine einzige Stichprobe der Differenzen der
paarweise verbundenen Werte behandeln, statt die Nullhypothese H: μ1-μ2 = δ
unter Verwendung der Mittelwerte und Standardabweichungen der beiden
Stichproben zu testen. Mit anderen Worten, generieren Sie eine neue
Zufallsvariable X = X1-X2, und testen sie Ho: μ = δ, wobei μ den Mittelwert der
Grundgesamtheit für X darstellt. Sie müssen daher⎯x und s für die Stichprobe
der Werte von x ermitteln. Der Test wird dann mit den bereits beschriebenen
Methoden als Test mit einer einzigen Stichprobe fortgesetzt.
Folgerungen in Bezug auf einen einzigen Anteil
Angenommen wir möchten die Nullhypothese H0: p = p0 testen, wobei p die
Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Ergebnisses bei einer beliebigen
Wiederholung des Bernoulli-Versuchs darstellt. Zum Testen der Hypothese
führen wir n Wiederholungen des Experiments durch und ermitteln, dass k
erfolgreiche Ergebnisse aufgezeichnet werden. Somit wird durch p' = k/n ein
Schätzwert von p angegeben.
Die Varianz der Abweichung wird mit sp2 = p'(1-p')/n = k⋅(n-k)/n3 geschätzt.
Angenommen der Wert Z = (p-p0)/sp, entspricht der Standardnormalverteilung,
d. h. Z ~ N(0,1). Der Wert der zu testenden Kenngröße lautet z0 = (p'-p0)/sp.
Statt anhand des P-Wertes zu bestimmen, ob die Hypothese beibehalten wird,
verwenden wir den Vergleich zwischen dem kritischen Wert von z0 und dem α
oder α/2 entsprechenden Wert von z.
Zweiseitiger Test
Bei Verwendung eines zweiseitigen Tests ermitteln wir den Wert von z α/2, mit
Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 oder Φ(z α/2) = 1- α/2,
wobei Φ(z) die kumulierte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
darstellt (siehe Kapitel 17).
Seite 18-46
Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/
2.
Mit anderen Worten, der Zurückweisungsbereich ist R = { |z0| > zα/2 } und
der Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }.
Einseitiger Test
Bei Verwendung eines einseitigen Tests ermitteln wir den Wert von S mit
Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α oder Φ(z α) = 1- α.
Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα und H1: p>p0 oder
wenn z0 < - zα und H1: p<p0.
Testen der Differenz zweier Anteile
Nehmen wir an, wir möchten die Nullhypothese H0: p1-p2 = p0 testen, wobei
p's für die beiden Grundgesamtheiten 1 und 2 die Wahrscheinlichkeit eines
erfolgreichen Ergebnisses einer beliebigen Wiederholung des BernoulliVersuchs darstellt. Zum Testen der Hypothese führen wir für Grundgesamtheit 1
n1 Wiederholungen des Experiments durch und ermitteln, dass k1 erfolgreiche
Ergebnisse aufgezeichnet werden. Außerdem ermitteln wir für n2 Versuche in
Stichprobe 2 k2 erfolgreiche Ergebnisse. Die Schätzwerte p1 und p2 sind somit
durch p1' = k1/n1 bzw. p2' = k2/n2 definiert.
Die Varianzen für die Stichproben werden geschätzt als
s12 = p1'(1-p1')/n1 = k1⋅(n1-k1)/n13 bzw. s22 = p2'(1-p2')/n2 = k2⋅(n2-k2)/n23.
Die Varianz der Anteilsdifferenz wird mit sp2 = s12 + s22 geschätzt.
Angenommen der Wert Z = (p1-p2-p0)/sp, entspricht der
Standardnormalverteilung, d. h. Z ~ N(0,1). Der Wert der zu testenden
Kenngröße lautet z0 = (p1'-p2'-p0)/sp.
Zweiseitiger Test
Bei Verwendung eines zweiseitigen Tests ermitteln wir den Wert von z α/2 mit
Seite 18-47
Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 oder Φ(z α/2) = 1- α/2,
wobei Φ(z) die kumulierte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
darstellt.
Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα/2 oder wenn z0 < - zα/
2.
Mit anderen Worten ist der Zurückweisungsbereich R = { |z0| > zα/2 } und der
Beibehaltungsbereich ist A = {|z0| < zα/2 }.
Einseitiger Test
Bei Verwendung eines einseitigen Tests ermitteln wir den Wert von za mit
Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α oder Φ(z α) = 1- α.
Weisen Sie die Nullhypothese H0 zurück, wenn z0 >zα und H1: p1-p2 > p0
oder wenn z0 < - zα und H1: p1-p2 <p0.
Hypothesentest mit vorprogrammierten Funktionen
Der Taschenrechner enthält unter 5. Hypoth. Tests.. Hypothesentestprozeduren,
die mit ‚Ù—— @@@OK@@@ aufgerufen werden können.
Wie bei der bereits erläuterten Berechnung von Konfidenzintervallen bietet
dieses Programm die folgenden 6 Optionen:
Diese Optionen werden genau wie bei den Anwendungen für das
Konfidenzintervall interpretiert:
Seite 18-48
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Z-Test: 1 μ: Hypothesentest einer einzelnen Stichprobe für den Mittelwert
der Grundgesamtheit μ mit bekannter Varianz der Grundgesamtheit oder
bei großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit.
Z-Test: μ1−μ2: Hypothesentest für die Differenz der Mittelwerte der
Grundgesamtheiten μ1- μ2 mit entweder bekannten Varianzen der
Grundgesamtheiten oder bei großen Stichproben mit unbekannten
Varianzen der Grundgesamtheiten.
Z-Test: 1 p: Hypothesentest einer einzelnen Stichprobe für den Anteil p bei
großen Stichproben mit unbekannter Varianz der Grundgesamtheit.
Z-Test: p1− p2: Hypothesentest für die Differenz zweier Anteile p1-p2, bei
großen Stichproben mit unbekannten Varianzen der Grundgesamtheiten.
T-Test: 1 μ: Hypothesentest einer einzelnen Stichprobe für den Mittelwert
der Grundgesamtheit μ bei kleinen Stichproben mit unbekannter Varianz
der Grundgesamtheit.
T-Test: μ1−μ2: Hypothesentest für die Differenz zweier Mittelwerte der
Grundgesamtheit μ1-μ2 bei kleinen Stichproben mit unbekannten Varianzen
der Grundgesamtheiten.
Führen Sie die folgenden Übungen aus:
Beispiel 1 – Testen Sie für μ0 = 150, σ = 10, ⎯x = 158, n = 50 und α = 0.05
die Hypothese H0: μ = μo gegen die Alternativhypothese H1: μ ≠ μ0.
Drücken Sie ‚Ù—— @@@OK@@@, um die Hypothesentestfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie @@@OK@@@, um Option 1. Z-Test: 1 μ
auszuwählen.
Geben Sie die folgenden Daten ein und drücken Sie @@@OK@@@:
Anschließend werden Sie aufgefordert, die Alternativhypothese auszuwählen.
Wählen Sie μ ≠150 aus und drücken Sie @@OK@@. Das Ergebnis lautet:
Seite 18-49
Anschließend weisen wir H0: μ = 150 gegen H1: μ ≠ 150 zurück. Der Testwert z
lautet z0 = 5,656854. Der P-Wert lautet 1,54×10 -8. Die kritischen Werte ±zα/2
= ±1,959964 entsprechen dem kritischen Bereich x {147,2 152,8}.
Diese Informationen können durch Drücken der Menütaste @GRAPH grafisch
dargestellt werden:
Beispiel 2 – Testen Sie für μ0 = 150, ⎯x = 158, s = 10, n = 50 und α = 0,05,
die Hypothese H0: μ = μo gegen die Alternativhypothese H1: μ > μ0. Die
Standardabweichung der Grundgesamtheit σ ist nicht bekannt.
Drücken Sie ‚Ù—— @@@OK@@@, um die Hypothesentestfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie ——@@@OK@@@, um Option 5. T-Test: 1
μ aufzurufen.
Geben Sie die folgenden Daten ein und drücken Sie @@@OK@@@:
Seite 18-50
Wählen Sie die Alternativhypothese H1: μ > 150 aus und drücken Sie @@@OK@@@.
Das Ergebnis lautet:
Wir weisen die Nullhypothese H0: μ0 = 150 gegen die Alternativhypothese H1:
μ > 150 zurück. Der Testwert lautet t0 = 5,656854 mit P-Wert =
0,000000393525. Der kritische Wert von t lautet tα = 1,676551 und entspricht
dem kritischen Wert ⎯x = 152,371.
Drücken Sie @GRAPH, um die Ergebnisse wie folgt grafisch darzustellen:
Beispiel 3 – Aufgrund der Daten zweier Stichproben gilt⎯x1 = 158, ⎯x1 = 160,
s1 = 10, s2 = 4,5, n1 = 50 und n2 = 55. Testen Sie für α = 0,05 und eine
„zusammengefasste“ Varianz die Hypothese H0: μ1−μ2 = 0 gegen die
Alternativhypothese H1: μ1−μ2 < 0.
Drücken Sie ‚Ù—— @@@OK@@@, um die Hypothesentestfunktion des
Taschenrechners aufzurufen. Drücken Sie —@@@OK@@@, um Option 6. T-Test: μ1−μ2
auszuwählen. Geben Sie die folgenden Daten ein und drücken Sie @@@OK@@@:
Seite 18-51
Wählen Sie die Alternativhypothese μ1< μ2 aus und drücken Sie @@OK@@. Das
Ergebnis lautet:
Somit behalten wir die Hypothese μ1−μ2 = 0 oder H0: μ1=μ2 gegen die
Alternativhypothese H1: μ1−μ2 < 0 oder H1: μ1=μ2 bei (oder genauer: weisen
sie nicht zurück). Der Testwert t lautet t0 = -1,341776 mit dem P-Wert =
0,09130961 und der kritische Wert t lautet –tα = -1, 659782. Die Ergebnisse
werden wie folgt grafisch dargestellt:
Diese drei Beispiele sollten für das Verständnis der vorprogrammierten
Hypothesentestfunktion des Taschenrechners ausreichen.
Folgerungen in Bezug auf eine einzige Varianz
Die zu testende Nullhypothese lautet Ho: σ2 = σo2 bei einer statistischen
Sicherheit von (1-α)100% oder dem Signifikanzniveau α sowie der
Verwendung einer Stichprobengröße n und der Varianz s2. Die zu
verwendende Testkenngröße ist eine chi2-Testkenngröße, die wie folgt definiert
ist:
χ o2 =
(n − 1) s 2
σ 02
Seite 18-52
Je nach der ausgewählten Alternativhypothese wird der P-Wert wie folgt
berechnet:
P-Wert = P(χ2<χo2) = 1-UTPC(ν,χo2)
• H1: σ2 < σo2
•
•
H1: σ2 > σo2
H1: σ2 ≠ σo2
P-Wert = P(χ2>χo2) = UTPC(ν,χo2)
P-Wert =2⋅min[P(χ2<χo2), P(χ2>χo2)] =
2⋅min[1-UTPC(ν,χo2), UTPC(ν,χo2)]
Hierbei erzeugt die Funktion min[x,y] den Minimalwert von x bzw. y
(entsprechend erzeugt max[x,y] den Maximalwert von x bzw. y). UTPC(ν,x)
stellt den oberen Bereich der Verteilungsfunktion des Taschenrechners für den
Freiheitsgrad ν = n - 1 dar.
Die Testkriterien sind mit den für den Hypothesentest der Mittelwerte
verwendeten Testkriterien identisch, also
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
Beachten Sie, dass dieses Verfahren nur zulässig ist, wenn es sich bei der
Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde, um eine
normalverteilte Grundgesamtheit handelt.
Beispiel 1 – Gegeben sei σo2 = 25, α = 0.05, n = 25 und s2 = 20, und die
Stichprobe sei einer normalverteilten Grundgesamtheit entnommen. Zum Testen
der Hypothese Ho: σ2 = σo2 gegen H1: σ2 < σo2 berechnen wir zunächst
Mit dem Freiheitsgrad ν = n - 1 = 25 - 1 = 24 berechnen wir den P-Wert als
P-Wert = P(χ2<19.2) = 1-UTPC(24,19.2) = 0,2587…
Da 0,2587… > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: σ2
=25(= σo2) nicht zurückweisen.
Seite 18-53
Folgerungen in Bezug auf zwei Varianzen
Die zu testende Nullhypothese lautet Ho: σ12 = σ22 bei einer statistischen
Sicherheit von (1-α)100% oder dem Signifikanzniveau α sowie der
Verwendung zweier Stichproben mit den Größen n1 und n2 und den Varianzen
s12 und s22. Die zu verwendende Testkenngröße ist die Testkenngröße F, die
wie folgt definiert ist:
Fo =
s N2
sD2
Hierbei stellen sN2 und sD2 Zähler und Nenner der Kenngröße F dar. Die
Auswahl von Zähler und Nenner hängt von der getesteten Alternativhypothese
ab, wie unten dargestellt. Die entsprechende Verteilung für F weist die
Freiheitsgrade νN = nN-1 und νD = nD-1 auf, wobei nN und nD die den
Varianzen sN2 bzw. sD2 entsprechenden Stichprobengrößen darstellen.
In der folgenden Tabelle wird die Auswahl von Zähler und Nenner für Fo je
nach der ausgewählten Alternativhypothese dargestellt:
____________________________________________________________________
AlternativTestFreiheitshypothese
kenngröße
grade
____________________________________________________________________
Fo = s22/s12
νN = n2-1, νD = n1-1
H1: σ12 < σ22 (einseitig)
H1: σ12 > σ22 (einseitig)
H1: σ12 ≠σ22 (zweiseitig)
Fo = s12/s22
Fo = sM2/sm2
νN = n1-1, νD = n2-1
νN = nM-1,νD = nm-1
sM2=max(s12,s22), sm2=min(s12,s22)
___________________________________________________________________
(*) nM ist der zu sM gehörende Wert von n, und nm ist der zu sm gehörende
Wert von n.
____________________________________________________________________
Der P-Wert wird in sämtlichen Fällen wie folgt berechnet: P-Wert = P(F>Fo) =
UTPF(νN, νD,Fo)
Die Testkriterien lauten:
• Ho zurückweisen, wenn P-Wert < α
• Ho nicht zurückweisen, wenn P-Wert > α
Seite 18-54
Beispiel 1 – Gegeben seien zwei normalverteilten Grundgesamtheiten
entnommene Stichproben, sodass n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0,36 und s22 =
0,25. Wir testen die Nullhypothese Ho: σ12 = σ22 bei Signifikanzniveau α =
0,05 gegen die Alternativhypothese H1: σ12 ≠ σ22. Für eine beidseitige
Hypothese müssen wir sM und sm, wie folgt bestimmen:
sM2=max(s12,s22) = max(0,36;0.25) = 0,36 = s12
sm2 = min(s12,s22) = min (0,36;0,25) = 0,25 = s22
Außerdem gilt
nM = n1 = 21,
nm = n2 = 31,
νN = nM - 1= 21-1=20,
νD = nm -1 = 31-1 =30.
Die Testkenngröße F lautet daher Fo = sM2/sm2=0,36/0,25=1,44.
Der P-Wert lautet: P-Wert = P(F>Fo) = P(F>1.44) = UTPF(νN, νD,Fo) =
UTPF(20;30;1,44) = 0,1788…
Da 0,1788… > 0,05, d. h. P-Wert > α, können wir die Nullhypothese Ho: σ12
= σ22 nicht zurückweisen.
Weitere Anmerkungen zur linearen Regression
In diesem Abschnitt werden die weiter oben in diesem Kapitel dargestellten
Konzepte der linearen Regression weiter ausgearbeitet und ein Verfahren für
den Hypothesentest von Regressionsparametern vorgestellt.
Die Methode der kleinsten Quadrate
x = eine unabhängige nicht-zufällige Variable und Y = eine abhängige
Zufallsvariable. Die Regressionskurve von Y auf x ist als die Beziehung zwischen
x und dem Mittelwert der entsprechenden Verteilung der Werte von Y’s
definiert.
Die Regressionskurve von Y auf x sei linear, d. h. die Mittelwertverteilung der
Werte von Y’s ist durch Α + Βx definiert. Y unterscheidet sich vom Mittelwert (Α
+ Β⋅x) durch den Wert ε, sodass Y = Α + Β⋅x + ε, wobei ε eine Zufallsvariable
ist.
Seite 18-55
Zeichnen Sie ein Streuungsdiagramm, um visuell zu überprüfen, ob die Daten
einem linearen Trend entsprechen.
Für n paarweise verbundene Werte (xi, yi) sei y durch
∧y
= a + b⋅x definiert, wobei a und b konstant sind.
Der Prognosefehler sei als ei = yi - ∧yi = yi - (a + b⋅xi) definiert.
Die Methode der kleinsten Quadrate erfordert, dass wir a und b so auswählen,
dass die Summe quadratischer Fehler (SSE, Sum of Squared Errors) minimiert
wird:
n
n
i =1
i =1
SSE = ∑ ei2 =∑ [ y i − (a + bxi )]2
Die Bedingungen lauten:
∂
( SSE ) = 0
∂a
∂
( SSE ) = 0
∂b
Wir erhalten die so genannten Normalgleichungen:
n
∑y
i =1
n
∑x
i =1
i
n
i
= a ⋅ n + b ⋅ ∑ xi
i =1
n
n
i =1
i =1
⋅ y i = a ⋅ ∑ xi + b ⋅ ∑ xi2
Hierbei handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten
a und b, das mit den Taschenrechnerfunktionen für lineare Gleichungen gelöst
werden kann. Es ist jedoch nicht erforderlich, sich mit diesen Berechnungen zu
beschäftigen, da Sie die weiter oben dargestellte Option 3. Fit Data.. im
Menü ‚Ù verwenden können.
Seite 18-56
Anmerkung:
• a,b sind erwartungstreue Schätzfunktionen für Α, Β.
• Das Gauß-Markov-Theorem besagt, dass unter allen erwartungstreuen
Schätzfunktionen für Α und Β die Schätzfunktionen der kleinsten Quadrate
(a,b) am effizientesten sind.
Weitere Gleichungen für die lineare Regression
Die Summenmaßzahlen, z. B. Σx, Σx2 usw., können zum Definieren der
folgenden Größen verwendet werden:
n
n
1⎛ n ⎞
2
S xx = ∑ ( xi − x ) 2 = (n − 1) ⋅ s x2 = ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
n ⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1
1⎛ n ⎞
S y = ∑ ( yi − y ) = (n − 1) ⋅ s = ∑ yi − ⎜ ∑ y i ⎟
n ⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1
n
2
2
y
n
2
2
n
n
1 ⎛ n ⎞⎛ n
⎞
S xy = ∑ ( xi − x )( y i − y ) 2 = (n − 1) ⋅ s xy = ∑ xi y i − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟
n ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠
i =1
i =1
Hieraus folgt, dass die Standardabweichungen von x und y sowie die
Kovarianz von x,y durch
sx =
S xx
, sy =
n −1
S yy
bzw.
sxy =
Der Stichprobenkorrelationskoeffizient lautet
rxy =
n −1
S yx
n −1
definiert sind.
S xy
S xx ⋅ S yy
.
Für⎯x, ⎯y, Sxx, Syy und Sxy lautet die Lösung der Normalgleichungen
Seite 18-57
a = y − bx ,
Prognosefehler
b=
S xy
S xx
=
s xy
s x2
Die Regressionskurve von Y auf x ist durch Y = Α + Β⋅x + ε definiert. Bei einer
Menge von n Datenpunkten (xi, yi) gilt Yi = Α + Β⋅xi + εI, (i = 1,2,…,n), mit Yi =
unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert (Α + Β⋅xi) und
der gemeinsamen Varianz σ2 sowie εi = unabhängige normalverteilte
Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der gemeinsamen Varianz σ2.
Es sei yi = tatsächlicher Datenwert und ^yi = a + b⋅xi = Datenprognose der
kleinsten Quadrate. Der Prognosefehler lautet dann: ei = yi - ^yi = yi - (a + b⋅xi).
Ein Schätzwert von σ2 ist der so genannte Standardfehler der Schätzung
s e2 =
S yy − ( S xy ) 2 / S xx n − 1 2
1 n
2
−
+
=
=
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 )
[
y
(
a
bx
)]
∑
i
i
n−2
n−2
n − 2 i =1
Konfidenzintervalle und Hypothesentest bei linearer Regression
Im Folgenden sind einige Konzepte und Gleichungen für statistische
Schlussfolgerungen bei linearer Regression aufgeführt:
•
Vertrauensgrenzen für Regressionskoeffizienten:
Für die Steigung (Β): b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx,
Für den Abschnitt (Α):
a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 < Α <
a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2,
wobei t der Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2
entspricht und n die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt.
•
Hypothesentest für die Steigung Β:
Die Nullhypothese H0: Β = Β0 wird getestet gegen die Alternativhypothese
H1: Β ≠ Β0. Die Testkenngröße lautet t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx), wobei t der
Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2 entspricht und n
Seite 18-58
die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt. Der Test wird wie
ein Mittelwert-Hypothesentest ausgeführt, d. h, bei gegebenem
Signifikanzniveau α wird der kritische Wert von t , tα/2 bestimmt und
anschließend H0 zurückgewiesen, wenn t0 > tα/2 oder wenn t0 < - tα/2.
Wenn Sie den Test für den Wert Β0= 0 ausführen und der Test ergibt, dass
die Nullhypothese H0: Β = 0 nicht zurückgewiesen werden kann, ist die
Gültigkeit der linearen Regression zweifelhaft. Mit anderen Worten, die
Aussage Β ≠ 0 wird durch die Stichprobendaten nicht bestätigt. Es handelt
sich daher um einen Test für die Signifikanz des Regressionsmodells.
•
Hypothesentest für den Achsenabschnitt Α:
Die Nullhypothese H0: Α = Α0 wird getestet gegen die Alternativhypothese
H1: Α ≠ Α0. Die Testkenngröße lautet t0 = (a-Α0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2,
wobei t der Studentschen t-Verteilung mit dem Freiheitsgrad ν = n – 2
entspricht und n die Anzahl der Datenpunkte in der Stichprobe darstellt.
Der Test wird wie ein Mittelwert-Hypothesentest ausgeführt, d. h, bei
gegebenem Signifikanzniveau α wird der kritische Wert von t = tα/2
bestimmt und anschließend H0 zurückgewiesen, wenn t0 > tα/2 oder wenn
t0 < - tα/2.
•
Konfidenzintervall für den Mittelwert von Y bei x = x0, i.e., α+βx0:
a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2 < α+βx0 <
a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2.
•
Prognosegrenzen: Konfidenzintervall für den Prognosewert Y0=Y(x0):
a+b⋅x−(t n-2,α/2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2 < Y0 <
a+b⋅x+(t n-2, α /2)⋅se⋅[1+(1/n)+(x0 -⎯x)2/Sxx]1/2.
Vorgehensweise mit dem Taschenrechner bei Inferenzmaßzahlen
für lineare Regression
1) Geben Sie (x,y) als Datenspalten in die Statistikmatrix ΣDAT ein.
Seite 18-59
2) Erzeugen Sie für die entsprechenden Spalten von ΣDAT ein Streudiagramm
und überprüfen Sie den linearen Verlauf anhand der entsprechenden
Anzeige von H-VIEW und V-VIEW.
3) Verwenden Sie für die Datenanpassung als gerade Linie
‚Ù˜˜@@@OK@@@, und ermitteln Sie a, b, sxy (Kovarianz) sowie rxy
(Korrelation).
4) Ermitteln Sie ⎯x, ⎯y, sx, sy mit ‚Ù˜@@@OK@@@,. In Spalte 1 werden die
Maßzahlen für x und in Spalte 2 die Maßzahlen für y angezeigt.
5) Berechnen Sie
S xx = (n − 1) ⋅ s x2 , se2 =
n −1 2
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 )
n−2
6) Ermitteln Sie für Konfidenzintervalle oder zweiseitige Tests mit tα/2 bei (1α)100 % Konfidenzniveau anhand einer t-Verteilung mit ν = n -2.
7) Ermitteln Sie für ein- oder zweiseitige Tests den Wert von t unter
Verwendung der entsprechenden Gleichung für Α oder Β. Weisen Sie die
Nullhypothese zurück, wenn P-value < α.
8) Verwenden Sie für Konfidenzintervalle die entsprechenden, oben
dargestellten Formeln.
Beispiel 1 – Bestimmen Sie für die folgenden Daten (x,y) das Konfidenzintervall
von 95 % für die Steigung B und den Achsenabschnitt A.
x
y
2,0
5,5
2,5
7,2
3,0
9,4
3,5
10,0
4,0
12,2
Geben Sie die Daten (x,y) in die Spalten 1 bzw. 2 von ΣDAT ein. Ein
Streudiagramm der Daten veranschaulicht einen annähernd linearen Verlauf:
Verwenden Sie die Option Fit Data des Menüs ‚Ù, um folgende Werte
zu erhalten:
Seite 18-60
3: '-0,86 + 3,24*X'
2: Correlation: 0,989720229749
1: Covariance: 2,025
Diese Ergebnisse bedeuten, dass a = -0,86, b = 3,24, rxy = 0,989720229749
und sxy = 2,025. Der Korrelationskoeffizient ist nahe genug an 1,0, um den
linearen Verlauf des Diagramms zu bestätigen.
Über die Option Single-var… des Menüs ‚Ù erhalten wir ⎯x = 3, sx =
0,790569415042,⎯y = 8,86, sy = 2,58804945857.
Anschließend berechnen wir für n = 5
S xx = (n − 1) ⋅ s x2 = (5 − 1) ⋅ 0.790569415042 2 = 2.5
s e2 =
n −1 2
⋅ s y ⋅ (1 − rxy2 ) =
n−2
5 −1
⋅ 2.5880...2 ⋅ (1 − 0.9897...2 ) = 0.1826...
5−2
Konfidenzintervalle für die Steigung (Β) und den Achsenabschnitt (A):
•
•
Zunächst erhalten wir t n-2,α/2 = t3,0.025 = 3,18244630528 (Informationen
über ein Programm zur Lösung der Gleichung für tν,a erhalten Sie in Kapitel
17):
Anschließend berechnen wir die Größen
(t n-2,α/2)⋅se/√Sxx = 3,182…⋅(0,1826…/2,5)1/2 = 0,8602…
(t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 =
3,1824…⋅√0,1826…⋅[(1/5)+32/2,5] 1/2 = 2,65
•
Schließlich lautet der Konfidenzintervall von 95 % für die Steigung B:
(-0,86-0,860242; -0,86+0,860242) = (-1,72; -0,00024217)
Seite 18-61
Der Konfidenzintervall von 95 % für den Achsenabschnitt A lautet: (3,242,6514; 3,24+2,6514) = (0,58855;5,8914).
Beispiel 2 – Nehmen wir an, die in Beispiel 1 verwendeten Daten für y stellen
die Dehnung (in hundertstel Zentimeter) eines einer Kraft x (in zehntel
Kilogramm) ausgesetzten Metallseiles dar. Wir nehmen für dieses physikalische
Phänomen an, dass der Achsenabschnitt A den Wert Null aufweist. Zur
Überprüfung dieser Annahme testen wir die Nullhypothese H0: Α = 0 gegen
die Alternativhypothese H1: Α ≠ 0 bei dem Signifikanzniveau α = 0,05.
Die Testkenngröße lautet t0 = (a-0)/[(1/n)+⎯x2/Sxx]1/2 = (-0,86)/ [(1/5)+32/
2,5] ½ = -0,44117. Der kritische Wert von t für ν = n – 2 = 3 und α/2 = 0,025
kann mit der in Kapitel 17 entwickelten numerischen Lösung für die Gleichung α
= UTPT(γ,t) berechnet werden. In diesem Programm stellt γ den Freiheitsgrad (n2) und α die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten eines bestimmten Wertes
von t dar, d. h. Pr[ t>tα] = 1 – α. Im vorliegenden Beispiel lautet der Wert des
Signifikanzniveaus α = 0,05, g = 3, und tn-2,α/2 = t3,0.025. Zudem gilt für γ = 3
und α = 0,025, dass tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3,18244630528. Da t0 > - tn-2,α/2,
können wir die Nullhypothese H0: Α = 0 gegen die Alternativhypothese H1: Α
≠ 0 bei dem Signifikanzniveau α = 0,05. nicht zurückweisen.
Dieses Ergebnis bedeutet, dass A = 0 für die lineare Regression geeignet ist.
Schließlich wurde für a der Wert –0,86 ermittelt. Dieser Wert ist relativ nahe bei
Null.
Beispiel 3 – Testen Sie die Signifikanz für die lineare Regression. Testen Sie die
Nullhypothese für die Steigung H0: Β = 0 gegen die Alternativhypothese H1: Β
≠ 0 beim Signifikanzniveau α = 0,05 für die lineare Anpassung von Beispiel 1.
Die Testkenngröße lautet t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx) = (3,24-0)/(√0,18266666667/
2.5) = 18,95. Der kritische Wert von t für ν = n – 2 = 3 und α/2 = 0,025
wurde in Beispiel 2 als tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3,18244630528 ermittelt. Da t0 >
tα/2, müssen wir die Nullhypothese H1: Β ≠ 0 beim Signifikanzniveau α = 0,05
für die lineare Anpassung von Beispiel 1 zurückweisen.
Seite 18-62
Mehrfache lineare Anpassung
Gegeben sei ein Datensatz der Form
x1
x11
x12
x13
.
.
x2
x21
x22
x32
.
.
x3
x31
x32
x33
.
.
…
…
…
…
x1,m-1
x1,m
x 2,m-1
x 2,m
x 3,m-1
x 3,m
xn
xn1
xn2
xn3
.
.
.
…
…
x n,m-1
x n,m
y
y1
y2
y3
.
.
ym-1
ym
Nehmen wir an, wir möchten eine Datenanpassung der Form y = b0 + b1⋅x1 +
b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bn⋅xn ermitteln. Sie können die Annäherung mithilfe der
kleinsten Quadrate an die Werte der Koeffizienten b = [b0 b1 b2 b3 … bn]
durch Erzeugen der Matrix X erhalten:
_
_
1
x11
x21
x31
…
xn1
1
x12
x22
x32
…
xn2
1
x13
x32
x33
…
xn3
.
.
1
.
.
x1,m
.
.
x 2,m
.
.
x 3,m
.
…
.
.
x n,m
_
_
Der Vektor der Koeffizienten wird dann mit b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y ermittelt, wobei y
den Vektor y = [y1 y2 … ym]T darstellt.
Verwenden Sie als Beispiel die folgenden Daten, um die mehrfache lineare
Anpassung zu ermitteln.
y = b0 + b1⋅x1 + b2⋅x2 + b3⋅x3,
Seite 18-63
x1
x2
x3
y
1,20
2,50
3,50
4,00
6,00
3,10
3,10
4,50
4,50
5,00
2,00
2,50
2,50
3,00
3,50
5,70
8,20
5,00
8,20
9,50
Sie können mit dem Taschenrechner im RPN-Modus wie folgt vorgehen:
Erstellen Sie zunächst im Verzeichnis HOME ein Unterverzeichnis MPFIT
(Multiple linear and Polynomial data FITting, Mehrfache lineare Anpassung und
Polynomanpassung) und gehen Sie in das Unterverzeichnis MPFIT. Geben Sie
im Unterverzeichnis folgendes Programm ein:
« X y « X TRAN X * INV X TRAN * y * » »
und speichern Sie es in einer Variablen MTREG (MulTiple REGression).
Geben Sie anschließend die Matrizen X und b in den Stack ein:
[[1,1.2,3.1,2][1,2.5,3.1,2.5 ][1,3.5,4.5,2.5][1,4,4.5,3][1,6,5,3.5]]
`` (speichern Sie eine zusätzliche Kopie)
[5,7;8,2;5,0;8,2;9,5] `
Drücken Sie J@MTREG. Das Ergebnis lautet: [-2,1649…,–0,7144…,1,7850…,7,0941…], d. h.
y = -2,1649–0,7144⋅x1 -1,7850×10 -2⋅x2 + 7,0941⋅x3.
Der Stack des Taschenrechners sollte den Wert von Matrix X und Vektor b
enthalten. Die angepassten Werte von y werden durch y = X⋅b ermittelt.
Drücken Sie daher einfach *, um folgendes Ergebnis zu erhalten: [5,63...
8,25... 5,03... 8,22... 9,45...],
Seite 18-64
Vergleichen Sie diese angepassten Werte mit den ursprünglichen Werten, wie
in der folgenden Tabelle dargestellt:
x1
x2
x3
y
1,20
2,50
3,50
4,00
6,00
3,10
3,10
4,50
4,50
5,00
2,00
2,50
2,50
3,00
3,50
5,70
8,20
5,00
8,20
9,50
angepasstes y
5,63
8,25
5,03
8,22
9,45
Polynomanpassung
Gegeben sei der x-y-Datensatz {(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn)}. Nehmen wir an,
wir möchten ein Polynom der Ordnung p an diesen Datensatz anpassen. Mit
anderen Worten, wir möchten eine Datenanpassung der Form y = b0 + b1⋅x +
b2⋅x2 + b3⋅x3 + … + bp⋅xp durchführen. Sie können die Annäherungsmethode
der kleinsten Quadrate an die Werte der Koeffizienten b = [b0 b1 b2 b3 …
bp] durch Erzeugen der Matrix X durchführen.
_
1
_
2
3
x1
x1
x1
1
x2
1
x3
x22
x32
x23
x33
.
.
1
.
.
xn
.
.
.
.
x n2
xn 3
_
…
p-1
x1
y1
p
…
x2
p-1
y2 p
…
x3 p-1
y3 p
.
.
.
.
x n p-1
yn p
.
…
_
Der Vektor der Koeffizienten wird dann mit b = (XT⋅X) -1⋅XT⋅y ermittelt, wobei y
den Vektor y = [y1 y2 … yn]T darstellt.
In Kapitel 10 wurde die einem Vektor x = [x1 x2 … xm] entsprechende
Vandermonde-Matrix definiert. Die Vandermonde-Matrix ist mit der Matrix X für
die Polynomanpassung vergleichbar, enthält jedoch lediglich n und nicht (p+1)
Spalten.
Seite 18-65
Wir können die Funktion VANDERMONDE zum Erstellen der Matrix X
verwenden, wenn wir die folgenden Regeln beachten:
Wenn p = n-1, ist X = Vn.
Wenn p < n-1, entfernen Sie die Spalten p+2, …, n-1, n aus Vn, um X zu
erzeugen.
Wenn p > n-1, fügen Sie die Spalten n+1, …, p-1, p+1 zu Vn hinzu, um die
Matrix X zu erzeugen.
In Schritt 3 dieser Liste müssen wir berücksichtigen, dass die Spalte i (i= n+1,
n+2, …, p+1) den Vektor [x1i x2i … xni] darstellt. Wenn wir für x eine Liste von
Datenwerten und keinen Vektor verwenden, d. h. x = { x1 x2 … xn }, können
wir die Folge { x1i x2i … xni } einfach berechnen. Wir wandeln anschließend
diese Liste in einen Vektor um und verwenden das Menü COL, um diese Spalten
der Matrix Vn hinzuzufügen, bis X fertig gestellt ist.
Nachdem X erstellt und der Vektor y verfügbar ist, entspricht die Berechnung
des Koeffizientenvektors b der mehrfachen linearen Anpassung (der vorherigen
Matrixanwendung). Somit können wir ein Programm zum Berechnen der
Polynomanpassung schreiben, das auf dem bereits für die mehrfache lineare
Anpassung verwendeten Programm aufbaut. Wir müssen diesem Programm die
oben aufgeführten Schritte 1 bis 3 hinzufügen.
Der Algorithmus für dieses Programm kann daher wie folgt geschrieben
werden:
Geben Sie die Vektoren x und y derselben Dimension als Listen ein.
(Anmerkung: Da für die Funktion VANDERMONDE eine Liste als Eingabe
verwendet wird, empfiehlt es sich, die (x,y)-Daten als Liste einzugeben.) Geben
Sie außerdem den Wert von p ein.
• n = Größe von Vektor x bestimmen
• Mit der Funktion VANDERMONDE die Vandermonde-Matrix Vn für die
eingegebene Liste x generieren
• If p = n-1, then
X = Vn,
Else If p < n-1
Seite 18-66
die Spalten p+2, …, n aus Vn entfernen, um X zu erstellen
(FOR-Schleife und COL- verwenden)
Else
die Spalten n+1, …, p+1 zu Vn hinzufügen, um X zu erstellen
•
•
(FOR-Schleife, xi berechnen, in Vektor konvertieren, COL+ verwenden)
y in Vektor konvertieren
b mit dem Programm MTREG berechnen (siehe obiges Beispiel für
mehrfache lineare Anpassung)
Es folgt die Übertragung des Algorithmus in ein Programm in der Sprache USER
RPL. (Weitere Informationen über das Programmieren erhalten Sie in Kapitel
21.)
«
xyp
«
x SIZE n
«
x VANDERMONDE
IF 'p<n-1' THEN
n
p2+
FOR j
j COL− DROP
-1 STEP
ELSE
IF 'p>n-1' THEN
n1+
p1+
FOR j
x j ^
OBJ ARRY
j COL+
Programm starten
Listen x und y sowie p (Ebenen 3,2,1) eingeben
Unterprogramm 1 starten
Größe der Liste x bestimmen
Unterprogramm 2 starten
x in Stack ablegen, Vn ermitteln
Durch diese IF-Klausel wird Schritt 3 des Algorithmus
implementiert
n in Stack ablegen
p+1 berechnen
Schleife j = n-1, n-2, …, p+1, step = -1 starten
Spalte entfernen und aus Stack löschen
FOR-STEP-Schleife beenden
n+1 berechnen
p+1 berechnen
Schleife mit j = n, n+1, …, p+1 starten
xj als Liste berechnen
Liste in Array konvertieren
Spalte zu Matrix hinzufügen
Seite 18-67
NEXT
END
END
y OBJ ARRY
MTREG
NUM
»
»
»
FOR-NEXT-Schleife beenden
Zweite IF-Klausel beenden
Erste IF-Klausel beenden. Das Ergebnis ist X
Liste y in ein Array konvertieren
Von Programm MTREG verwendetes X und y
In Dezimalformat konvertieren
Unterprogramm 2 beenden
Unterprogramm 1 beenden
Hauptprogramm beenden
Speichern Sie das Programm in einer Variablen POLY (POLYnomanpassung).
Verwenden Sie als Beispiel die folgenden Daten, um eine Polynomanpassung
mit p = 2, 3, 4, 5, 6 zu erhalten.
x
2,30
3,20
4,50
1,65
9,32
1,18
6,24
3,45
9,89
1,22
y
179,72
562,30
1969,11
65,87
31220,89
32,81
6731,48
737,41
39248,46
33,45
Da wir für die Anpassung von Polynomen unterschiedlicher Ordnung dieselben
x-y-Daten verwenden, sollten Sie die Listen der Datenwerte x und y in den
Variablen xx bzw. yy speichern. Auf diese Weise müssen wir die Daten nicht
bei jeder Anwendung des Programms POLY erneut eingeben. Gehen Sie daher
wie folgt vor:
{ 2,3 3,2 4,5 1,65 9,32 1,18 6,24 3,45 9,89 1,22 } ` 'xx' K
Seite 18-68
{179,72 562,30 1969,11 65,87 31220,89 32,81 6731,48 737,41 39248,46
33,45} ` 'yy' K
Verwenden Sie zum Anpassen der Daten an die Polynome folgende Eingabe:
@@xx@@ @@yy@@ 2 @POLY. Ergebnis: [4527,73 -3958,52 742,23]
d. h.
y = 4527,73-3958,52x+742,23x2
@@xx@@ @@yy@@ 3 @POLY. Ergebnis: [ –998,05 1303,21 -505,27 79,23]
d. h.
y = -998,05+1303,21x-505,27x2+79,23x3
@@xx@@ @@yy@@ 4 @POLY. Ergebnis: [20,92 –2,61 –1,52 6,05 3,51]
d. h.
y = 20,92-2,61x-1,52x2+6,05x3+3,51x4.
@@xx@@ @@yy@@ 5 @POLY. Ergebnis: [19,08 0,18 –2,94 6,36 3,48 0,00]
d. h.
y = 19,08+0,18x-2,94x2+6,36x3+3,48x4+0,0011x5
@@xx@@ @@yy@@ 6 @POLY. Ergebnis: [-16,73 67,17 –48,69 21,11 1,07 0,19 0,00]
d. h.
y = -16,72+67,17x-48,69x2+21,11x3+1,07x4+0,19x5-0,0058x6
Auswählen der besten Anpassung
Wie Sie aus den obigen Ergebnissen ersehen können, können Sie ein
beliebiges Polynom an einen Satz von Daten anpassen. Nun ergibt sich die
Frage, welche Anpassung für die Daten am besten geeignet ist. Für die
Auswahl der besten Anpassung können mehrere Kriterien verwendet werden:
•
•
•
Der Korrelationskoeffizient r. Dieser Wert ist auf den Bereich –1 < r < 1
eingeschränkt. Je näher r an dem Wert +1 oder –1 ist, desto besser ist
die Datenanpassung.
Die Summe der quadratischen Fehler SSE. Hierbei handelt es sich um
die Größe, die durch den Ansatz der kleinsten Quadrate minimiert
werden soll.
Ein Diagramm von Residuen. Hierbei handelt es sich um ein Diagramm
der Fehler, die den einzelnen ursprünglichen Datenpunkten
entsprechen. Wenn diese Fehler vollständig zufällig sind, darf das
Residuendiagramm keinen bestimmten Verlauf aufweisen.
Bevor wir diese Kriterien in einem Programm implementieren, stellen wir
folgende Definitionen vor:
Seite 18-69
Für die Vektoren x und y der an die Polynomgleichung anzupassenden Daten
erstellen wir die Matrix X und berechnen mit ihr einen Vektor der
Polynomkoeffizienten b. Wir können mit y' = X⋅b einen Vektor angepasster
Daten y' berechnen.
Ein Fehlervektor wird mit e = y – y' berechnet.
Die Summe der quadratischen Fehler ist gleich dem Quadrat des Betrags des
Fehlervektors, d. h. SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y'i)2.
Zum Berechnen des Korrelationskoeffizienten müssen wir zunächst die
Gesamtquadratsumme SST (Sum of Squared Totals) ermitteln, die als SST = Σ
(yi-⎯y)2 definiert ist, wobei y den Mittelwert der ursprünglichen Werte von y
darstellt, d. h. ⎯y = (Σyi)/n.
Für SSE und SST ist der Korrelationskoeffizient definiert durch
r = [1-(SSE/SST)] 1/2.
Im Folgenden wird das neue Programm mit der Berechnung von SSE und r
dargestellt (wir empfehlen nochmals, auf der letzten Seite dieses Kapitels
nachzulesen, wie die Variablen- und Befehlsnamen in dem Programm erstellt
werden):
«
xyp
«
x SIZE n
«
x VANDERMONDE
IF 'p<n-1' THEN
n
p2+
Programm starten
Listen x und y sowie Zahl p eingeben.
Unterprogramm 1 starten.
Größe der Liste x bestimmen
Unterprogramm 2 starten
x in Stack ablegen, Vn ermitteln
Diese IF-Klausel entspricht Schritt 3!des
Algorithmus.
n im Stack ablegen.
p+1 berechnen.
Seite 18-70
FOR j
j COL− DROP
-1 STEP
ELSE
IF 'p>n-1' THEN
n1+
p1+
FOR j
x j ^
OBJ ARRY
j COL+
NEXT
END
END
y OBJ ARRY
X yv
«
X yv MTREG
NUM
b
«
b yv
Xb*
ABS SQ DUP
y ΣLIST n /
n 1 LIST SWAP CON
yv − ABS SQ
/
NEG 1 + √
Schleife j = n-1 bis p+1, step = -1 starten
Spalte entfernen und aus Stack löschen.
FOR-STEP-Schleife beenden.
n+1 berechnen
p+1 berechnen
Schleife mit j = n, n+1, …, p+1 starten
xj als Liste berechnen
Liste in Array konvertieren
Spalte zu Matrix hinzufügen
FOR-NEXT-Schleife beenden
Zweite IF-Klausel beenden
Erste IF-Klausel beenden. Erzeugt X
Liste y in ein Array konvertieren
Matrix und Array als X und y eingeben
Unterprogramm 3 starten
Von Programm MTREG
verwendetes X und y
Bei Bedarf Umwandlung in
Fließkommawerte
Als b übergebener Ergebnisvektor
Unterprogramm 4 starten
b und yv im Stack ablegen
X⋅b berechnen
e = y - X⋅b berechnen
SSE berechnen, Kopie erstellen
⎯y berechnen
Vektor mit n Werten von ⎯y erstellen
SST berechnen
SSE/SST berechnen
r = [1–SSE/SST ]1/2 berechnen
Seite 18-71
“r” TAG
SWAP
“SSE” TAG
È
È
È
È
È
„Tag“-Ergebnis als „r“
Ebene 1 und 2 des Stacks vertauschen
„Tag“-Ergebnis als SSE
Unterprogramm 4 beenden
Unterprogramm 3 beenden
Unterprogramm 2 beenden
Unterprogramm 1 beenden
Hauptprogramm beenden
Speichern Sie dieses Programm unter dem Namen POLYR, um auf die
Berechnung des Korrelationskoeffizienten r hinzuweisen.
Wenn das Programm POLYR für Werte von p zwischen 2 und 6 verwendet
wird, wird die folgende Tabelle mit Werten des Korrelationskoeffizienten r und
der Summe der quadratischen Fehler SSE erzeugt:
p
2
3
4
5
6
r
0,9971908
0,9999768
0,9999999
0,9999999
0,9999998
SSE
10731140,01
88619,36
7,48
8,92
432,60
Während der Korrelationskoeffizient für alle Werte von p in der Tabelle sehr
nahe an 1,0 ist, variieren die Werte von SSE stark. Der kleinste Wert von SSE
entspricht p = 4. Sie können somit die bevorzugte Polynomanpassung für die
ursprünglichen x-y-Daten wie folgt auswählen:
y = 20,92-2,61x-1,52x2+6,05x3+3,51x4.
Seite 18-72
Kapitel 19!
Zahlen mit unterschiedlicher Basis
In diesem Kapitel zeigen wir Beispiele für Zahlenberechnungen mit anderer
Basis als der Dezimalbasis.
Definitionen
Das Zahlensystem, das für das tägliche Rechnen verwendet wird, ist als
Dezimalsystem bekannt, da es 10 (Latein, deca) Stellen, nämlich 0-9,
verwendet, um eine reelle Zahl zu schreiben. Computer, auf der anderen Seite,
verwenden ein System, das auf zwei möglichen Zuständen basiert dem
Binärsystem. Diese beiden Zustände werden durch 0 und 1 dargestellt, AN und
AUS oder Hochspannung und Niedrigspannung. Computer verwenden auch
Zahlensysteme, die auf acht Stellen (0-7), also dem Oktalsystem, und sechzehn
Stellen (0-9, A-F), dem Hexadezimalsystem, basieren. Wie im Dezimalsystem
bestimmt die relative Position der Stellen den Wert. Im Allgemeinen kann eine
Zahl n in Basis b als Zahlenreihe n = (a1a2 …an.c1c2 …cm)b. geschrieben
werden. Der “Punkt” teilt n “ganzzahlige” Stellen von m “dezimalen” Stellen ab.
Der Zahlenwert umgewandelt in unser übliches Dezimalsystem wird wie folgt
berechnet: n = a1⋅bn-1 + a2⋅bn-2 + … + anb0 + c1⋅b-1 + c2⋅b-2 + … +cm⋅b-m.
Zum Beispiel: (15,234)10 = 1⋅101 + 5⋅100 + 2⋅10 -1 + 3⋅10 -2 + 4⋅10 -3 und
(101,111)2 = 1⋅22 + 0⋅21 + 1⋅20 + 1⋅2-1 + 1⋅2-2 + 1⋅2-3
Das Menü BASE
Während der Rechner normalerweise im Dezimalsystem bedient wird, können
Sie auch Berechnungen mit dem Binär-, Oktal- oder Hexadezimalsystem
durchführen. Viele der Funktionen zum Arbeiten mit anderen als dem
Dezimalsystem sind im Menü BASE über ‚ã(die Taste 3) verfügbar.
Wenn das Systemflag 117 auf die CHOOSE boxes gesetzt ist, zeigt das Menü
BASE die folgenden Einträge:
Seite 19-1
Ist die Systemmarkierung 117 auf SOFT menus eingestellt, zeigt das Menü
BASE das Folgende:
Mit diesem Format wird deutlich, dass die Einträge LOGIC, BIT und BYTE im
Menü BASE selbst Untermenüs sind. Diese Menüs werden später in diesem
Kapitel besprochen.
Die Funktionen HEX, DEC, OCT und BIN
Zahlen in Nicht-Dezimalsystemen wird ein #-Symbol im Rechner vorangestellt.
Das Symbol # ist sofort verfügbar als „â(die Taste 3). Um Auszuwählen,
welches Zahlensystem (derzeitige Basis) für Zahlen verwendet wird, denen ein #
vorangestellt ist, wählen Sie eine der folgenden Funktionen im ersten Menü
BASE, d.h., HEX(hexadezimal), DEC(dezimal), OCT(oktal), oder BIN(binär).
Wenn beispielsweise @HEX! ausgewählt wird, wird jede Zahl, die in den
Rechner geschrieben wird und mit einem # beginnt, als Hexadezimalzahl
geschrieben. So können Sie Zahlen wie #53, #A5B, etc. in diesem System
schreiben. Wenn andere Systeme ausgewählt werden, werden die Zahlen
automatisch in die neue aktuelle Basis umgewandelt.
Die folgenden Beispiele zeigen dieselben Zahlen mit vorangestelltem #-Symbol
für verschiedene Basen:
HEX
DEC
OCT
BIN
Seite 19-2
Da das Dezimalsystem (DEC) 10 Stellen besitzt (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), umfasst
das Hexadezimalsystem (HEX) 16 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F),
das Oktalsystem (OCT) 8 Stellen (0,1,2,3,4,5,6,7) und das Binärsystem (BIN)
nur 2 Stellen (0,1).
Umwandlung zwischen Zahlensystemen
Unabhängig davon, welches Zahlensystem gewählt wurde, wird es als
Binärsystem bezeichnet, um die Funktionen RB und BR verwenden zu
können. Wenn beispielsweise @HEX! ausgewählt ist, wandelt die Funktion BR
jede Hexadezimalzahl (mit vorangestelltem #) in eine Dezimalzahl um,
während die Funktion RB in die entgegengesetzte Richtung umwandelt.
Probieren Sie die folgenden Beispiele aus, HEX ist die derzeitige Basis:
Die folgenden Beispiele zeigen Umwandlungen mit dem Oktalsystem als Basis:
Wir zeigen auch Transformationen mit dem Binärsystem als aktuelle Basis:
Wir weisen darauf hin, dass Sie immer, wenn Sie eine Zahl mit vorangestelltem
# eingeben, als Eintrag die eingegebene Zahl mit vorangestelltem # und
nachgestelltem h, o, oder b (hexadezimal, oktal oder binär) erhalten. Der als
Seite 19-3
Suffix verwendete Buchstabe hängt davon ab, welches nichtdezimale
Zahlensystem ausgewählt wurde, d.h. HEX, OCT, oder BIN.
Probieren Sie die folgenden Umwandlungen, damit Sie sehen, was passiert,
wenn Sie @DEC@ auswählen:
Die einzige Auswirkung, die die Auswahl des DEC (Dezimalsystem) hat, ist,
dass Dezimalzahlen mit vorangestelltem #-Symbol mit dem Suffix d versehen
werden.
Wortgröße
Die Wortgröße ist die Bitanzahl in einem Binärobjekt. Standardmäßig beträgt
die Wortgröße 64 Bits. Die Funktion RCWS (ReCall WordSize) zeigt die
aktuelle Wortgröße. Die Funktion STWS (SeT the WordSize) ermöglicht dem
Benutzer, die Wortgröße auf eine beliebige Zahl zwischen 0 und 64
einzustellen.
Die Änderung der Wortgröße beeinflusst die Weise, wie binäre ganzzahlige
Rechenoperationen ausgeführt werden. Wenn beispielsweise eine binäre
Ganzzahl die aktuelle Wortgröße überschreitet, fallen die Bits vorne weg,
bevor eine Rechenoperation mit einer solchen Zahl durchgeführt werden kann.
Rechenoperationen mit binären Ganzzahlen
Die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Vorzeichenwechsel,
Multiplikation und Division sind für binäre Ganzzahlen definiert. Einige
Beispiele für Addition und Subtraktion mit verschiedenen aktuellen Basen
werden unten gezeigt:
# 02h + #12 h = #B2Ch
#2562d + #298d = #2860d
#5002o + #452o = #5454o
#101000000010b + #100101010b = #101100101100b
Seite 19-4
# 02h - #12 h = #8D8h
#2562d - #298d = #2264d
#5002o - #452o = #4330o
#101000000010b - #100101010b = #100011011000b
Das Menü LOGIC
Das Menü LOGIC ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden
Funktionen:
Die Funktionen AND, OR, XOR (exklusives OR) und NOT sind logische
Funktionen. Bei der Eingabe in diese Funktionen handelt es sich um zwei Werte
oder Ausdrücke (einer im Fall von NOT), die als binäre logische Ergebnisse
ausgedrückt werden können, d.h. 0 oder 1. Zahlenvergleiche mit den
Vergleichsoperatoren =, ≠, >, <, ≤ und ≥, sind logische Anweisungen, die
entweder wahr (1) oder falsch (0) sein können. Einige Beispiele für logische
Anweisungen werden unten gezeigt:
Die Funktionen AND, OR, XOR und NOT können auf die Vergleichsaussagen
entsprechend der folgenden Regeln angewendet werden:
1 AND 1 = 1
1 OR 1 = 1
1 XOR 1 = 0
NOT(1) = 0
1 AND 0 = 0
1 OR 0 = 1
1 XOR 0 = 1
NOT(0) = 1
0 AND 1 = 0
0 OR 1 = 1
0 XOR 1 = 1
0 AND 0 = 0
0 OR 0 = 0
0 XOR 0 = 0
Diese Funktionen können zur Bildung logischer Aussagen zu
Programmierzwecken verwendet werden. Im Kontext dieses Kapitels werden sie
Seite 19-5
zur für bitweise Operationen entsprechend der oben gezeigten Regeln
verwendet. Zum Beispiel:
AND (BIN)
!OR (BIN)
XOR (BIN)
NOT (HEX)
Das Menü BIT
Das Menü BIT ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden
Funktionen:
Die Funktionen RL, SL, ASR, SR, RR, sind im Menü BIT enthalten und werden zur
Änderung von Bits in einer binären Ganzzahl verwendet. Die Definition dieser
Funktionen wird unten gezeigt:
RL: Rotate Left one bit (ein Bit nach links drehen), z.B., #1100b #11000b
SL: Shift Left one bit (ein Bit nach links schieben), z.B., #1101b #11010b
ASR:Arithmetic Shift Right one bit (ein Bit arithmetisch nach rechts schieben),
z.B., #1100010b #110001b
Seite 19-6
SR: Shift Right one bit (ein Bit nach rechts schieben), z.B., #11011b
#1101b
RR: Rotate Right one bit (ein Bit rechts drehen), z.B., #1101b #10000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000001b
Das Menü BYTE
Das Menü BIT ist über BASE (‚ã) erreichbar und bietet die folgenden
Funktionen:
Die Funktionen RLB, SLB, SRB, RRB, sind im Menü BIT, enthalten und werden zur
Änderung von Bits in einer binären Ganzzahl verwendet. Die Definition dieser
Funktionen wird unten gezeigt:
RLB: Rotate Left one byte (ein Byte nach links drehen), z.B., #1100b #110000000000b
SLB: Shift Left one byte (ein Byte nach links schieben), z.B., #1101b #110100000000b
SRB:Shift Right one byte (ein Byte nach rechts schieben), z.B., #11011b #0b
RRB: Rotate Right one byte (ein Byte nach rechts drehen), z.B., #1101b #11010000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000b
Hexadezimalzahlen für Pixelreferenzen
Viele Druckoptionsspezifikationen verwenden Pixelreferenzen als Eingabe, z.B.,
{ #332h #A23h } #Ah 0. 360. ARC, um einen Bogen aus einem Kreis zu
zeichnen. Wir verwenden die Funktionen CPX und PXC um schnell
Seite 19-7
zwischen Benutzereinheitskoordinaten und Pixelreferenzen umzurechnen. Diese
Funktionen finden Sie in der Befehlsreferenz (‚N).
Unten werden einige Beispiele gezeigt:
Seite 19-8
Kapitel 20!
Anpassen von Menüs und Tastatur
Durch die Anwendung der verschiedenen Taschenrechner-Menüs kennen Sie
sich nun mit der Arbeitsweise vonMenüs für verschiedene Anwendungen aus.
Sie kennen sich auch mit vielen der Funktionen aus, die mit Hilfe der Tastatur,
entweder als ihre Hauptfunktion oder durch die Kombination mit der linken
Umschalttaste („), rechten Umschalttaste (‚) oder ALPHA-Taste (~)
aufgerufen werden können. In diesem Kapitel geben wir Beispiele für
aufgabenspezifisch angepasser Menüs und für Tasten auf der Tastatur, die für
die gewünschte Anwendung hilfreich sein können.
Benutzerdefinierte Menüs
Ein benutzerdefiniertes Menü ist ein Menü, das vom Benutzer eingerichtet
wurde. Die Menüeinstellungen sind in der reservierten Variable CST
gespeichert. Somit müssen Sie für die Erstellung eines Menüs diese Variable mit
den Funktionen, die Sie im Menü anzeigen möchten, und den Aktionen, die
über die Funktionstasten ausgeführt werden sollen, zusammenführen. Um
Beispiele eines benutzerdefinierten Menüs geben zu können, müssen wir Flag
117 auf den SOFT menu setzen. Setzen Sie das Flag auf SOFT menu, bevor Sie
fortfahren (siehe Kapitel 2 zur Setzung von Flags).
Menü PRG/MODES/MENU
Befehle, die bei der Anlegung benutzerdefinierter Menüs hilfreich sind, sind im
Menü MENU enthalten, auf das über das Menü PRG („°) zugegriffen
werden kann. Wenn das Systemflag 117 auf das SOFT menu gesetzt ist, führt
die Sequenz „°L @)MODES @)MENU zu folgendem Funktionstastenmenü:
Die folgenden Funktionen sind verfügbar:
MENU: Aktiviert ein Menü durch Eingabe seiner Nummer
CST:
Verweist auf die CST-Variable, z. B. zeigt ‚@@CST@@ die CST-Inhalte.
Seite 20-1
TMENU: Wird anstatt MENU verwendet, um ein temporäres Menü zu erstellen,
ohne die Inhalte von CST zu überschreiben.
RCLMENU: Zeigt die Menü-Nummer des aktuellen Menüs an.
Menü-Nummern (RCLMENU und MENU-Funktionen)
Jedes vordefinierte Menü hat eine zugewiesene Nummer. Nehmen wir an, Sie
aktivieren das MTH-Menü („´).Dann gehen Sie über den
Funktionskatalog (‚N) zur Funktion RCLMENU und aktivieren Sie diese. Im
ALG-Modus drücken Sie einfach `, wenn RCLMENU() im Bildschirm
angezeigt wird. Das Ergebnis ist die Zahl 3.01. Somit können Sie das Menü
MTH aktivieren, indem Sie im ALG-Modus MENU(3.01) verwenden, oder
3.01 MENU im RPN-Modus.
Die meisten Menüs können aktiviert werden, ohne die Nummer zu kennen,
indem man die Tastatur verwendet. Einige Menüs sind jedoch nicht über die
Tastatur abrufbar. Das Funktionstastenmenü STATS ist z. B. nur über die Funktion
MENU zugänglich. Dessen Nummer ist 96.01. Verwenden Sie
MENU(96.01) im ALG-Modus, oder 96.01 MENU im RPN-Modus, um in
das Softmenü STAT zu gelangen.
Anmerkung: Die Nummer 96.01 in diesem Beispiel bedeutet, dass es um
das erste (01) Untermenü von Menü 96 geht.
Benutzerdefinierte Menüs (MENU und TMENU-Funktionen)
Nehmen wir an, Sie müssen vier Funktionen für eine bestimmte Anwendung
aktivieren. Sagen wir, Sie müssen schnell auf die Funktionen EXP, LN, GAMMA
und (~‚2) zugreifen und Sie möchten diese in ein Funktionstastenmenü
verschieben, das für eine Weile aktiv sein wird. Dies könnten Sie durch
Einrichtung eines temporären Menüs mit der Funktion TMENU erreichen, oder
als ein dauerhafteres Menü mit der Funktion MENU. Der Hauptunterschied ist,
dass die Funktion MENU die Variable CST erstellt und TMENU nicht. Ist die
Variable CST permanent in Ihrem Unterverzeichnis erstellt, dann können Sie das
Menü jederzeit aktivieren, indem Sie die Spezifikationen in CST durch Drücken
Seite 20-2
von „£ verwenden. In TMENU gehen die Spezifikationen verloren,
nachdem das temporäre Menü mit einem anderen ersetzt wird.
Z. B. wird ein Menü im RPN-Modus wie folgt eingerichtet:
{EXP LN GAMMA !} ` TMENU `
oder
{EXP LN GAMMA !} ` MENU `
erstellen das folgende Menü:
Um eine dieser Funktionen zu aktivieren, brauchen Sie nur ein
Funktionsargument (eine Nummer) einzugeben und dann die entsprechende
Softmenü-Taste zu drücken.
Im ALG-Modus ist die Liste, die als Argument für eine Funktion TMENU oder
MENU eingegeben werden muss, komplizierter:
{{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}}
Der Grund dafür ist, dass im RPN-Modus die Befehlsnamen sowohl
Funktionstastenbeschriftungen als auch Befehle sind. Im ALG-Modus haben die
Befehlsnamen keine Auswirkung, weil die ALG-Funktionen von Klammern und
Argumenten gefolgt sein müssen. In der oben angeführten Liste (für den ALGModus) ist in jedem Untermenü ein Name für die Taste, z. B. "exp" angeführt,
gefolgt von der Art, in der die Funktion in den Speicher eingetragen wird,
sodass das Argument der Funktion bei der Eingabeaufforderung eingegeben
werden kann, z. B. “EXP(“. Wir brauchen uns nicht darum zu kümmern, die
Klammer zu schließen, da der Taschenrechner die Klammer schließen wird,
bevor er die Funktion ausführt. Die Implementation der Funktion TMENU im
ALG-Modus mit der oben angeführten Argumentenliste wird unten beschrieben.
Zuerst müssen wir die Liste eingeben, dann errichten wir ein temporäres Menü
(siehe Funktionstastenbezeichnungen) mithilfe der Funktion
TMENU(ANS(1)). Auf der linken Seite wird auch angezeigt, was passiert,
wenn Sie die Funktionstaste @@exp! drücken, d.h. die Eingabeaufforderung EXP(.
Das Ergebnis der Operation nach Eingabe von 8` wird auf der rechten
Seite angezeigt.
Seite 20-3
Eine einfachere Version des Menüs kann wie folgt definiert werden:
MENU({{”EXP(“,“LN(“,“GAMMA(“,”!(“}).
Erweitertes RPN-Menü
Die oben angeführte Liste für den ALG-Modus kann leicht verändert werden, um
sie im RPN-Modus anzuwenden. Die veränderte Liste sieht dann wie folgt aus:
{{“exp”,EXP},{“ln”,LN},{“Gamma”,GAMMA},{“!”,!}}
Sie können versuchen, diese Liste mit TMENU oder MENU im RPN-Modus zu
verwenden, um sicherzustellen, dass Sie das gleiche Menü erhalten, wie vorher
im ALG-Modus.
Menü-Spezifikationen und CST-Variable
Aus den beiden oben angeführten Übungen erkennen wir, dass die
allgemeinste Liste für Menüspezifikationen einige Unterlisten enthält, die der
Anzahl der in Ihrem benutzerdefinierten Menü anzuzeigenden Elemente
entsprechen. Jede Unterliste enthält einen Namen für die Funktionstaste gefolgt
von einer Funktion, einem Ausdruck, Namen oder anderem Objekt, das bei
Drücken der Funktionstaste ausgeführt wird. Bei der Spezifizierung der
Menüliste im ALG-Modus ist im Vergleich zum RPN-Modus besondere Vorsicht
geboten. Im RPN-Modus kann die Auswirkung der Funktionstaste ein einfacher
Taschenrechner-Befehl sein (z. B. EXP, LN, etc., wie oben angeführt), während
es im ALG-Modus ein String mit dem Befehlsaufruf sein muss, dessen Argument
vom Benutzer eingegeben werden muss, bevor ` gedrückt und der Befehl
ausgeführt wird. Die oben angeführten Beispiele zeigen den Unterschied auf.
Die allgemeine Form der Argumentenliste für die Befehle TMENU oder MENU
im ALG-Modus lautet:
Seite 20-4
{“Bezeichnung1”,”Funktion1(“,”ls1(“,”rs1(“), {“bezeichnung2”,
“Funktion2(“,”ls2(“,”rs2(“),…}
Im RPN-Modus hat die Argumentenliste hingegen folgendes Format:
{“Bezeichnung1”, Funktion1, ls1, rs1}, {“Bezeichnung2”, Funktion2, ls2,
rs2},…}
In diesen Spezifikationen stellen Funktion1, Funktion 2, usw. die Hauptfunktion
der Taste dar, während ls1, ls2, usw. die Tastenfunktion für die Kombination mit
der linken Shift-Taste sind. Ähnlich dazu stellen rs1, rs2, usw. die Tastenfunktion
für die Kombination mit der rechten Shift-Taste dar. Die Liste wird in Variable
CST gespeichert, wenn der Befehl MENU verwendet wird. Sie können in jedem
Unterverzeichnis eine andere CST-Variable haben und Sie können die aktuellen
Inhalte von CST ständig mit denen einer anderen Variable ersetzen, indem Sie
die richtig formatierte Liste für die Erstellung eines anderen benutzerdefinierten
Menüs speichern.
Anmerkung: Sie können ein 21x8 GROB (siehe Kapitel 22) benutzen, um
ein Symbol im Funktionstastenmenü zu erstellen. Als Übung versuchen Sie im
RPN-Modus:
{{GROB 21 8 00000EF908FFF900FFF9B3FFF9A2FFF9A3FFF9A0FFF388FF
“hp” }}
` MENU
Damit wird das hp Logo auf der Taste A dargestellt. Drücken Sie A wird
der Text 'hp' in der Befehlszeile erscheinen.
Die Tastatur benutzerdefiniert anpassen
Jede Taste auf der Tastatur kann durch zwei Zahlen identifiziert werden, die ihre
Reihe und Spalte darstellen. Die Taste VAR (J) liegt z. B. in Reihe 3 von
Spalte 1 und wird deshalb als Taste 31 bezeichnet. Da jedoch jeder Taste bis
zu zehn Funktionen zugewiesen sind, wird jede Funktion durch Dezimalstellen
zwischen 0 und 1, gekennzeichnet und zwar laut den folgenden
Spezifikationen:
Seite 20-5
,0 oder 1, Taste allein
,2, Taste in Kombination mit „
,3, Taste in Kombination mit ‚
,4, Taste in Kombination mit ~
,5, Taste in Kombination mit ~„
,6, Taste in Kombination mit ~‚
0,01 oder 0,11, nicht zutreffend
,21, Taste gleichzeitig mit „
,31, Taste gleichzeitig mit ‚
,41, Taste gleichzeitig mit ~
,51, ~Taste gleichzeitig mit „
,61, ~Taste gleichzeitig mit ‚
Somit wird die VAR-Funktion als Taste 31.0 oder 31.1 bezeichnet und die
UPDIR-Funktion als Taste 31.2. Die COPY-Funktion wird Taste 31.3 sein, das
große J ist Taste 31.4, und das kleine j ist Taste 31.5. (Taste 31.6 ist nicht
definiert). Im Allgemeinen wird eine Taste durch die Reihenfolge XY.Z
beschrieben, wobei X = Reihennummer, Y = Spaltennummer und Z =
Umschaltung ist.
Wir können eine bestimmte Taste mit der Taste USER verbinden (linke
Umschalttaste mit der Taste ~ oder „Ì um eine benutzerdefinierte
Tastenfunktion zu erstellen. Im Prinzip kann die ganze Tastatur neu definiert
werden, um eine Reihe benutzerdefinierter Funktionen durchzuführen.
Untermenü PRG/MODES/KEY
Befehle, die bei der Anlegung einer benutzerdefinierten Tastatur hilfreich sind,
sind im Menü KEYS enthalten, auf das über das Menü PRG („°)
zugegriffen werden kann. Wenn das Systemflag 117 auf SOFT menus gesetzt
ist, führt die Sequenz „°L @)MODES @)KEYS
zu folgenden Funktionstasten (KEYS):
Die folgenden Funktionen sind verfügbar:
ASN: Weist einer Taste, die durch XY.Z spezifiziert wird, ein Objekt zu.
STOKEYS: Speichert die benutzerdefinierte Tastenliste.
RCLKEYS: Zeigt die benutzerdefinierte Tastenliste an.
Seite 20-6
DELKEYS: Macht die Zuweisung für eine oder mehrere Tasten in der
benutzerdefinierten Tastenliste rückgängig. Die Argumente sind
entweder 0, zum Rückgängigmachen aller benutzerdefinierten
Tasten, oder XY.Z, zum Rückgängigmachen der Zuweisung für Taste
XY.Z.
Die aktuelle benutzerdefinierte Tastenliste aufrufen
Verwenden Sie den Befehl RCLKEYS um die aktuelle benutzerdefinierte
Tastenliste anzuzeigen. Vor jeder benutzerdefinierten Tastenzuweisung, sollte
das Ergebnis eine Liste sein, die den Buchstaben S, d.h. {S}, enthält.
Ein Objekt einer benutzerdefinierten Taste zuweisen
Angenommen Sie möchten auf den altmodischen PLOT-Befehl zugreifen, der mit
in den Taschenrechnern der Serie HP 48G eingeführt wurde, aber gegenwärtig
nicht direkt von der Tastatur aus verfügbar ist. Die Menü-Nummer für dieses
Menü ist 81.01. Sie können dieses Menü wie folgt aktivieren:
ALG-Modus: MENU(81.01)
RPN-Modus: 81.01 ` MENU `
Wenn Sie dieses Menü auf schnelle Weise von der Tastatur aus aktivieren
wollen, könnten Sie dieses Menü der Taste GRAPH (C) zuweisen, deren
Verweisnummer 13.0 ist, d.h.. erste Reihe, dritte Spalte, Hauptfunktion. Um ein
Objekt einer Taste zuzuweisen, verwenden Sie die Funktion ASN, wie folgt:
ALG-Modus:
SN(<<MENU(81.01)>>,13.0)
RPN-Modus: << 18.01 MENU >> ` 13.0 `
SN
Ein weiteres nützliches Menü ist das Original-Menü SOLVE (am Ende von
Kapitel 6 dieser Anleitung beschrieben), das durch ‚(halten) 7 aktiviert
werden kann.
Benutzerdefinierte Tasten verwenden
Um diese benutzerdefinierte Taste zu verwenden, geben sie „Ì ein und
drücken Sie dann die Taste C. Beachten Sie, dass der Bildschirm nach
Drücken von „Ì die Spezifikation 1USR in der zweiten Display-Zeile
Seite 20-7
anzeigt. Durch Drücken von „Ì C, sollten Sie in diesem Beispiel
wieder das Menü PLOT erhalten, wie unten dargestellt:
Wenn Sie mehr als eine benutzerdefinierte Taste haben und mehr als eine
gleichzeitig anwenden möchten, können Sie die Tastatur im USER-Modus durch
Eingabe von „Ì„ sperren, bevor Sie die benutzerdefinierten Tasten
drücken. Ist die Tastatur im USER-Modus festgestellt, wird die Spezifikation USR
in der zweiten Display-Zeile angezeigt. Um die Tastatur wieder freizugeben,
drücken Sie nochmals „Ì.
Die Zuweisung einer benutzerdefinierten Taste rückgängig
machen
Um die oben durchgeführte Zuweisung zu löschen, verwenden Sie die Funktion
DELKEYS wie folgt:
ALG-Modus:
DELKEYS(13.0)
RPN-Modus:
13.0 ` DELKEYS `
Mehrere benutzerdefinierte Tasten zuweisen
Der einfachste Weg, um mehrere benutzerdefinierte Tasten zuzuweisen, ist der,
eine Liste von Befehlen und Tastenspezifikationen einzugeben. Nehmen wir
an, wir weisen die drei trigonometrischen Funktionen (SIN, COS, TAN) und die
drei hyperbolischen Funktionen (SINH, COSH, TANH) jeweils den Tasten von
A bis F als benutzerdefinierte Tasten zu. Verwenden Sie im RPN-Modus:
{SINʳ11.0ʳCOSʳ12.0ʳT Nʳ13.0ʳSINHʳ14.0ʳCOSHʳ15.0ʳT NHʳ
16.0} ` STOKEYS `
Verwenden Sie im ALG-Modus:
STOKEYS({"SIN(" , 11.0, "COS(", 12.0, "T N(", 13.0,
"SINH(", 14.0, "COSH(", 15.0, "T NH(", 16.0}) `
Seite 20-8
Verwenden Sie dise Tasten beispielsweise im RPN-Modus durch::
5„ÌA 4„ÌB
6„ÌC
2„ÌD 1„ÌE 2„ÌF
Um die Zuweisung für alle benutzerdefinierten Tasten rückgängig zu machen,
verwenden Sie:
ALG-Modus: DELKEYS(0)
RPN-Modus: 0 DELKEYS
Überprüfen Sie mit Hilfe der Funktion RCLKEYS, ob die benutzerdefinierten
Definitionen gelöscht wurden.
Seite 20-9
Kapitel 21
Programmieren mit UserRPL
Die allgemein verwendete Programmiersprache zur Programmierung des
Taschenrechners ist UserRPL. Programmkomponenten können im Zeileneditor,
durch Eingabe zwischen den Programm-Containern, « », zusammengebaut
werden. Da die meisten Anwender in der Programmierung im RPN-Modus
erfahrener sind, werden die meisten Beispiele in diesem Kapitel im RPN-Modus
dargestellt. Um die Eingabe der Befehle zu vereinfachen, empfehlen wir
zusätzlich, das Systemflag 117 auf SOFT menus einzustellen. Die Programme
funktionieren natürlich genauso im ALG-Modus, nachdem sie im RPN-Modus
getestet und Fehler beseitigt wurden. Wenn Sie es vorziehen, im ALG-Modus zu
arbeiten, lernen Sie einfach das Programmieren in RPN und schalten Sie dann
den Taschenrechner in den ALG-Modus, um mit den Programmen zu arbeiten.
Auf der letzten Seite in diesem Kapitel finden Sie ein einfaches Beispiel der
UserRPL-Programmierung im ALG-Modus.
Programmierbeispiel
In den vorangegangenen Kapiteln dieses Handbuches haben wir Ihnen bereits
einige Programme für verschiedene Anwendungen vorgestellt (beispielsweise
wurden in Kapitel 10 CRMC und CRMT vorgestellt, die zum Erstellen einer
Matrix anhand einer Anzahl von Listen dienen). In diesem Abschnitt zeigen wir
Ihnen ein einfaches Programm, um Konzepte zur Programmierung des
Taschenrechners vorzustellen. Das Programm, das wir nachfolgend erstellen,
dient zur Definition der Funktion f(x) = sinh(x)/(1+x2) und akzeptiert Listen als
Argumente (d.h. x kann, wie in Kapitel 8 beschrieben, eine Liste von Zahlen
sein). In Kapitel 8 wurde bereits erläutert, dass das Plus-Zeichen als
Verkettungsoperator für Listen dient und diese nicht Glied für Glied addiert. Eine
gliedweise Addition in Listen wird mit dem ADD-Operator durchgeführt. Zum
Definieren der oben genannten Funktion, verwenden wir daher das folgende
Programm:
«'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE »
Zur Eingabe des Programms gehen Sie wie folgt vor:
Seite 21-1
Tastenfolge:
‚å
[']~„x™K
Erzeugt:
«
~„x
„´@)HYP @SINH
1#~„x „º
x
SINH
1 x SQ
„´@LIST @ADD@
Berechne (1+x2),
dividiere dann
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE
ADD
/
'x'
PURGE
_______________________
__________
_____________________
/
[']~„x™
'x' STO
`
Interpretiert als:
Starte ein RPL Programm
Speichere Ebene 1 in
Variable x
Setze x in Ebene 1
Berechne sinh aus Ebene 1
Gebe 1 ein und berechne
x2
Lösche Variable x
Programm in Ebene 1
Verwenden Sie die Tastenfolge [']~„gK zum Speichern des
Programms.
Zum Wiederherstellen des Variablen-Menüs drücken Sie J und berechnen
Sie dann g(3.5), indem Sie den Wert des Arguments in Ebene 1 eingeben
(3.5`) und anschließend @@@g@@@ drücken. Das Ergebnis ist 1,2485…,
d.h., g(3.5) = 1,2485. Berechnen Sie auch g({1 2 3}), indem Sie die Liste in
Ebene 1 der Anzeige eingeben: „ä1#2#3`und @@@g@@@
drücken. Ist das CAS-Modul im Modus EXACT, wird das Ergebnis {SINH(1)/2
SINH(2)/5 SINH(3)/10} sein. Befindet sich das CAS-Modul im Modus
APPROXIMATE, ist das Ergebnis {0,5876.. 0,7253… 1,0017…}.
Globale und lokale Variablen und Unterprogramme
Das Programm @@@g@@@, wie oben definiert, kann durch die Verwendung von
‚@@@g@@@ dargestellt werden als:
« 'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE »
Beachten Sie, dass das Programm den Variablen-Namen x zur Speicherung der
Werte aus Stack-Ebene 1 mit den Programmschritten 'x' STO verwendet. Die
Variable x wird beim Ausführen des Programms, wie alle Variablen, die Sie
Seite 21-2
vorher gespeichert haben, in ihrem Variablen-Menü gespeichert. Nach
Berechnen der Funktion wird die Variable x vom Programm gelöscht, sodass
diese nach Beenden des Programms im Variablen-Menü nicht mehr angezeigt
wird. Würde die Variable x nach Beenden des Programms nicht gelöscht
werden, stünde sie uns auch weiterhin zur Verfügung. Aus diesem Grunde
bezeichnet man die Variable x, wie sie in diesem Programm verwendet wird,
als eine globale Variable. Eine Folge der Verwendung von x als globale
Variable ist, dass eine vorher definierte Variable mit dem Namen x von dieser
Variablen mit demselben Namen überschrieben und nach Ausführen des
Programms komplett aus dem Variablen-Menü entfernt wird.
Aus Sicht der Programmierung ist eine globale Variable daher eine Variable,
auf die der Anwender nach Ausführen des Programms zurückgreifen kann.
Innerhalb des Programms kann aber auch eine lokale Variable definiert
werden, die nur in diesem Programm gültig ist und auf die nach Ausführen des
Programms nicht mehr zugegriffen werden kann. Das vorhergehende Programm
könnte folgendermaßen modifiziert werden:
« → x « x SINH 1 x SQ ADD / » »
Das Pfeilsymbol (→) erhält man aus der Kombination der rechten Shift-Taste
‚ mit der Taste 0, d.h. ‚é. Beachten Sie auch, dass es ein weiteres
Paar Programmsymbole (« ») gibt, die anzeigen, dass innerhalb des
Hauptprogramms ein Unterprogramm existiert, und zwar « x SINH 1 x SQ
ADD / ». Das Hauptprogramm startet mit der Kombination → x. Hierdurch wird
der Wert in Ebene 1 des Stacks der lokalen Variablen x zugeordnet. Danach
fährt das Programm innerhalb des Unterprogramms fort, x wird in den Stack
geschrieben, danach SINH(x) ermittelt, anschließend 1 in den Stack
geschrieben, dann x in den Stack geschrieben, x quadriert und 1 zu x addiert.
Abschließend wird die Stack-Ebene 2 (SINH(x)) durch die Stack-Ebene 1 (1+x2)
dividiert. Danach wird die Programmsteuerung wieder an das Hauptprogramm
übergeben. Da sich aber zwischen dem ersten und zweiten Satz der Symbole
(»), die das Programm abschließen, keine weiteren Befehle mehr befinden, wird
das Programm beendet. Der letzte Wert im Stack, hier SINH(x)/ (1+x2), wird
als Ergebnis des Programms ausgegeben.
Seite 21-3
Die der letzten Programmversion entstammende Variable x belegt nie einen
Platz unter den Variablen ihres Variablen-Menüs. Sie wird innerhalb des
Speichers des Taschenrechners verarbeitet, und hat keinen Einfluss auf
gleichlautende Variablen Ihres Variablen-Menüs. Aus diesem Grunde wird die
Variable x, wie hier lokal innerhalb eines Programms verwendet, als eine lokale
Variable bezeichnet..
Anmerkung: Wollen Sie das Programm @@@g@@@ modifizieren, setzen Sie den
Programmnamen in den Stack (³@@@g@@@ `) und drücken Sie dann „˜.
Verwenden Sie anschließend die Pfeiltasten (š™—˜) zum Navigieren
innerhalb des Programms. Verwenden Sie die Zurück-/Löschtaste, ƒ, um
unerwünschte Zeichen zu löschen. Zum Hinzufügen von Programm-Containern
(d.h. Ç È), drücken Sie ‚å. Da die Symbole immer paarweise erscheinen, müssen Sie diese am Anfang und am Ende eines Unterprogramms
aufrufen und dann jeweils eine Komponente mit der Löschtaste ƒ löschen,
um das erforderliche Programm zu erzeugen, in unserem Fall:
« → x « x SINH 1 x SQ ADD / » ».
Drücken Sie nach dem Editieren des Programms `. Das modifizierte Programm wird erneut in die Variable @@g@@ gespeichert.
Geltungsbereich für globale Variablen
Jede Variable, die Sie im HOME-Verzeichnis, in anderen Verzeichnissen oder
Unterverzeichnissen definieren, wird aus Sicht der Programmentwicklung als
globale Variable betrachtet. Der Geltungsbereich einer solchen Variablen, d.h.,
die Position im Verzeichnisbaum, von der aus auf die Variable zugegriffen
werden kann, hängt von der Position der Variablen in diesem Baum ab (siehe
Kapitel 2).
Die Regel zur Feststellung des Geltungsbereiches einer Variablen lautet wie
folgt: Eine Variable ist zugänglich von dem Verzeichnis aus, in dem sie sich
befindet oder von jedem Unterverzeichnis dieses Verzeichnisses, sofern sich in
dem entsprechenden Unterverzeichnis nicht eine Variable mit gleichem Namen
befindet. Aus dieser Regel ergeben sich folgende Schlussfolgerungen:
Seite 21-4
•
•
•
Auf eine globale Variable im HOME-Verzeichnis kann von jedem
Verzeichnis innerhalb des HOME-Verzeichnisses zugegriffen werden, sofern
diese nicht in einem Verzeichnis oder Unterverzeichnis des HOMEVerzeichnisses neu definiert wurde.
Sobald Sie eine Variable innerhalb eines Verzeichnisses oder
Unterverzeichnisses neu definieren, hat diese Definition Vorrang vor allen
anderen Definitionen innerhalb eines übergeordneten Verzeichnisses.
Wird ein Programm gestartet, das auf eine gegebene globale Variable
zugreift, verwendet das Programm den Wert der globalen Variablen aus
dem Verzeichnis, von dem aus das Programm gestartet wurde. Befindet sich
im Startverzeichnis des Programms keine Variable mit entsprechendem
Namen, sucht das Programm alle übergeordneten Verzeichnisse,
einschließlich des HOME-Verzeichnisses durch und verwendet dann den
Wert der entsprechenden Variablen, die sich in einem Verzeichnis befindet,
das dem Verzeichnis des Programms am nächsten liegt.
Auf ein in einem gegebenen Verzeichnis definiertes Programm kann von diesem
und von jedem Unterverzeichnis dieses Verzeichnisses zugegriffen werden.
Alle diese Regeln mögen einem neuen Anwender zunächst verwirrend
erscheinen. Sie können aber auf folgenden Vorschlag vereinfacht werden: Um
Ihre Daten zu organisieren, erstellen Sie Verzeichnisse und Unterverzeichnisse
mit sinnvollen Namen, und stellen Sie sicher, dass sich alle benötigten
globalen Variablen auch in dem entsprechenden Unterverzeichnis befinden.
Geltungsbereich für lokale Variablen
Lokale Variablen sind nur in einem Programm oder einem Unterprogramm aktiv.
Daher erstreckt sich ihr Geltungsbereich nur auf das Programm oder
Unterprogramm, in dem sie definiert sind. Ein Beispiel einer lokalen Variablen
ist der Index einer FOR-Schleife (weiter unten in diesem Kapitel beschrieben),
beispielsweise « → n x « 1 n FOR j x NEXT n LIST » »
Seite 21-5
Das Menü PRG
In diesem Kapitel wird das Menü PRG (Programmierung) erläutert, wobei
Systemflag 117 auf SOFT menus eingestellt ist. Mit dieser Einstellung werden
die Untermenüs und Befehle im Menü PRG als Beschriftungen der
Funktionstasten dargestellt. Dies vereinfacht das Eingeben von
Programmierbefehlen im Zeileneditor bei der Programmerstellung.
Um das Menü PRG aufzurufen, verwenden Sie die Tastenfolge „°.
Innerhalb des Menüs PRG finden wir folgende Untermenüs (drücken Sie L
um zur nächsten Untermenü-Seite zu wechseln):
Nachfolgend finden Sie eine kurze Beschreibung dieser Untermenüs und deren
Untermenüs:
STACK: Funktionen zur Manipulation von Elementen im RPN-Stack
MEM: Funktionen zur Speichermanipulation
DIR:
Funktionen zur Manipulation von Verzeichnissen
ARITH: Funktionen zur Manipulation von Indizes, die in Variablen
gespeichert sind
BRCH: Kollektion von Untermenüs für Programmverzweigungen und
Programmschleifen
IF:
IF-THEN-ELSE-END Anweisung für Programmverzweigungen
CASE: CASE-THEN-END Anweisung für Programmverzweigungen
START: START-NEXT-STEP Anweisung für Programmverzweigungen
FOR: FOR-NEXT-STEP Anweisung für Schleifen
DO:
DO-UNTIL-END Anweisung für Schleifen
WHILE: WHILE-REPEAT-END Anweisung für Schleifen
TEST:
Vergleichs-Operatoren, logische Operatoren, Funktionen zum Testen
von Flags
TYPE:
Funktionen zum Konvertieren von Objekttypen, zum Aufspalten von
Objekten, usw.
LIST:
Funktionen zum Manipulieren von Listen
Seite 21-6
ELEM: Funktionen zum Manipulieren von Elementen einer Liste
PROC: Funktionen für Anwendungen von Verfahren auf Listen
GROB: Funktionen zum Manipulieren grafischer Objekte
PICT:
Funktionen zum Zeichnen von Bildern in der Grafikanzeige
CHARS: Funktionen zum Manipulieren von Zeichenketten
MODES: Funktionen zum Ändern der Rechenmodi
FMT:
Ändern des Zahlen- und Kommaformats
ANGLE:Ändern des Winkelmaßes und Koordinatensystems
FLAG: Setzen und Löschen von Flags, Prüfen des Flag-Status
KEYS: Definieren und Aktivieren anwenderdefinierter Tasten (Kapitel
20)
MENU: Definieren und Aktivieren anwenderdefinierter Menüs
(Kapitel 20)
MISC: Ändern verschiedener anderer Modi (Warnton, Uhr!usw.)
IN:
Funktionen für Programmeingaben
OUT:
Funktionen für Programmausgaben
TIME:
Zeitgesteuerte Funktionen
ALRM: Manipulieren des Alarms
ERROR: Funktionen zur Fehlerbehandlung
IFERR: IFERR-THEN-ELSE-END Anweisung für Fehlerbehandlung
RUN:
Funktionen zum Starten von Programmen und zur Fehlersuche
Navigation durch die RPN-Untermenüs
Starten Sie mit der Tastenkombination „°. Drücken Sie dann die
entsprechende Funktionstaste (z.B. @)@MEM@@). Wollen Sie dann auf ein Untermenü
des Menüs zugreifen (z.B. @)@DIR@@ innerhalb des Menüs @)@MEM@@), drücken Sie die
entsprechende Taste. Um in der Hierarchie ein Menü nach oben zu wechseln,
drücken Sie L bis Sie zu dem Eintrag für das übergeordneten Menü (z.B. zu
@)@MEM@@ im Untermenü @)@DIR@@) oder zum Menü PRG ( @)@PRG@@ ) gelangen.
Funktionen der Untermenüs
Nachfolgend finden Sie eine Auflistung der Untermenüs des Menüs PRG und
deren jeweiliger Funktionen.
Seite 21-7
STACK
DUP
SWAP
DROP
OVER
ROT
UNROT
ROLL
ROLLD
PICK
UNPICK
PICK3
DEPTH
DUP2
DUPN
DROP2
DROPN
DUPDU
NIP
NDUPN
MEM
PURGE
MEM
BYTES
NEWOB
ARCHI
RESTO
LIST/ELEM
GET
GETI
PUT
PUTI
SIZE
MEM/DIR
PURGE
RCL
STO
PATH
CRDIR
PGDIR
VARS
TVARS
ORDER
BRCH/IF
IF
THEN
ELSE
END
BRCH/WHILE
WHILE
REPEAT
END
TEST
BRCH/CASE ==
≠
CASE
THEN
<
END
>
≤
MEM/ARITH BRCH/START ≥
STO+
START
AND
STONEXT
OR
STOx
STEP
XOR
STO/
NOT
BRCH/FOR
INCR
SAME
DECR
FOR
TYPE
SINV
NEXT
SF
SNEG
STEP
CF
SCONJ
FS?
BRCH/DO
FC?
BRCH
DO
FS?C
IFT
UNTIL
FC?C
IFTE
END
LININ
GROB
GROB
BLANK
GOR
GXOR
SUB
CHARS
SUB
REPL
POS
SIZE
NUM
MODES/FLAG
SF
CF
FS?
FC?
FS?C
TYPE
OBJ
ARRY
LIST
STR
TAG
UNIT
CR
RC
NUM
CHR
DTAG
EQ
TYPE
VTYPE
LIST
OBJ
LIST
SUB
REPL
MODES/MISC
BEEP
CLK
SYM
STK
ARG
Seite 21-8
POS
HEAD
TAIL
REPL
LCD
LCD
SIZE
LIST/PROC ANIMATE
DOLIST
PICT
DOSUB
NSUB
PICT
ENDSUB PDIM
STREAM
LINE
REVLIST
TLINE
SORT
BOX
SEQ
ARC
PIXON
PIXOF
PIX?
PVIEW
PXC
CPX
CHR
OBJ
STR
HEAD
TAIL
SREPL
FS?C
FC?C
STOF
RCLF
RESET
MODES/FMT
STD
FIX
SCI
ENG
FM,
ML
MODES/KEYS
ASN
STOKEYS
RECLKEYS
DELKEYS
MODES/MENU
MENU
CST
MODES/ANGLE TMENU
DEG
RCLMENU
RAD
GRAD
RECT
CYLIN
SPHERE
TIME
DATE
DATE
TIME
TIME
TICKS
ERROR
DOERR
ERRN
ERRM
ERR0
LASTARG
TIME/ALRM
ACK
ACKALARM
STOALARM
ERROR/IFERR
IFERR
THEN
ELSE
CMD
INFO
IN
INFORM
NOVAL
CHOOSE
INPUT
KEY
WAIT
PROMPT
OUT
PVIEW
TEXT
CLLCD
DISP
FREEZE
MSGBOX
BEEP
RUN
DBUG
SST
SST↓
NEXT
HALT
KILL
OFF
Seite 21-9
RCLALARM
DELALARM
FINDALARM
END
Kürzel innerhalb des Menüs PRG
Viele der oben für das Menü PRG aufgeführten Funktionen stehen auch auf
andere Weise zur Verfügung:
•
•
•
•
•
•
Vergleichsoperatoren (≠, ≤, <, ≥, >) sind über die Tastatur verfügbar.
Viele Funktionen und Einstellungen im Untermenü MODES können über
die Eingabefunktionen der H-Taste aktiviert werden.
Auf Funktionen des Untermenüs TIME kann über die Tastenfolge
‚Ó zugegriffen werden.
Die Funktionen STO und RCL (im Untermenü MEM/DIR) sind über die
Tasten K und „© verfügbar.
Die Funktionen RCL und PURGE (im Untermenü MEM/DIR) sind über
das Menü TOOL (I) verfügbar.
Wenn Sie im Untermenü BRCH vor Drücken einer beliebigen
Untermenü-Taste die linke („) oder die rechte Shift-Taste (‚)
drücken, werden die Konstrukte, die zur ausgewählten Untermenü-Taste
gehören, erstellt. Dies funktioniert nur, wenn der Taschenrechner im
RPN-Modus steht. Nachfolgend einige Beispiele:
„ @)@IF@@
„@CASE@
„ @)@IF@@
„@CASE@
„ @)START
„@)@FOR@
Seite 21-10
„ @)START
„@)@FOR@
„ @)@@DO@@
„@WHILE
Beachten Sie, dass das Einfügezeichen () nach dem Schlüsselwort jeder
Anweisung/ Bedingung steht, sodass Sie mit der Eingabe gleich an der
richtigen Stelle beginnen können.
Tastenfolgen für häufig verwendete Befehle
Im Folgenden finden Sie Tastenfolgen, mit denen Sie häufig vorkommende
Befehle zur numerischen Programmierung im Menü PRG aufrufen können. Die
Befehle werden vorerst nach Menüs aufgeführt:
@)STACK
DUP
„°@)STACK @@DUP@@
SWAP
„°@)STACK @SWAP@
DROP
„°@)STACK @DROP@
@)@MEM@@ @)@DIR@@
PURGE
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @PURGE
ORDER
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @ORDER
)@BRCH@ @)@IF@@
Seite 21-11
IF
THEN
ELSE
END
„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@
„°@)@BRCH@
@)@IF@@
@)@IF@@
@)@IF@@
@)@IF@@
@@@IF@@@
@THEN@
@ELSE@
@@@END@@
)@BRCH@ @)CASE@
CASE
THEN
END
„°@)@BRCH@ @)CASE@ @CASE@
„°@)@BRCH@ @)CASE@ @THEN@
„°@)@BRCH@ @)CASE@ @@END@
)@BRCH@ @)START
START
NEXT
STEP
„°@)@BRCH@ @)START @START
„°@)@BRCH@ @)START @NEXT
„°@)@BRCH@ @)START @STEP
)@BRCH@ @)@FOR@
FOR
NEXT
STEP
„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@FOR@@
„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@NEXT@
„°@)@BRCH@ @)@FOR@ @@STEP@
)@BRCH@ @)@@DO@@
DO
UNTIL
END
„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@@DO@@
„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @UNTIL
„°@)@BRCH@ @)@@DO@@ @@END@@
)@BRCH@ @)WHILE@
WHILE
REPEAT
END
„°@)@BRCH@ @)WHILE@ @WHILE
„°)@BRCH@ @)WHILE@ @REPEA
„°)@BRCH@ @)WHILE@ @@END@
@)TEST@
==
AND
OR
XOR
NOT
SAME
„° @)TEST@ @@@≠@@@
„° @)TEST@ L @@AND@
„° @)TEST@ L @@@OR@@
„° @)TEST@ L @@XOR@
„° @)TEST@ L @@NOT@
„° @)TEST@ L @SAME
SF
„° @)TEST@ L L @@@SF@@
Seite 21-12
CF
FS?
FC?
FS?C
FC?C
„°@)TEST@ L L @@@CF@@
„° @)TEST@ L L @@FS?@
„° @)TEST@ L L @@FC?@
„° @)TEST@ L L @FS?C
„° @)TEST@ L L @FC?C
OBJ
ARRY
LIST
STR
TAG
NUM
CHR
TYPE
„°@)TYPE@ @OBJ @
„°@)TYPE@ @ ARRY
„°@)TYPE@ @ LIST
„°@)TYPE@ @ STR
„°@)TYPE@ @ TAG
„°@)TYPE@ L @NUM@
„°@)TYPE@ L @CHR@
„°@)TYPE@ L @TYPE@
@)TYPE@
@)LIST@ @)ELEM@
GET
GETI
PUT
PUTI
SIZE
HEAD
TAIL
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
„°@)LIST@
@)ELEM@ @@GET@@
@)ELEM@ @GETI@
@)ELEM@ @@PUT@
@)ELEM@ @PUTI@
@)ELEM@ @SIZE@
@)ELEM@ L @HEAD@
@)ELEM@ L @TAIL@
@)LIST@ @)PROC@
REVLIST
SORT
SEQ
„°@)LIST@ @)PROC@ @REVLI@
„°@)LIST@ @)PROC@ L @SORT@
„°@)LIST@ @)PROC@ L @@SEQ@@
@)MODES @)ANGLE@
DEG
RAD
„°L@)MODES @)ANGLE@ @@DEG@@
„°L@)MODES @)ANGLE@ @RAD@@
@)MODES @)MENU@
CST
„°L@)MODES @)MENU@ @@CST@@
Seite 21-13
MENU
BEEP
„°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@
„°L@)MODES @)MISC@ @@BEEP@
INFORM
INPUT
MSGBOX
PVIEW
„°L@)@@IN@@
„°L@)@@IN@@
„°L@)@OUT@
„°L@)@OUT@
@INFOR@
@INPUT@
@MSGBO@
@PVIEW@
DBUG
SST
SST↓
HALT
KILL
„°LL
„°LL
„°LL
„°LL
„°LL
@)@RUN@
@)@RUN@
@)@RUN@
@)@RUN@
@)@RUN@
@)@@IN@@
@)@RUN@
@@DBG@
@@SST@
@SST↓@
@HALT@
@KILL
Programme zum Generieren von Zahlenlisten
Beachten Sie, dass außer den Funktionen des Menüs PRG weitere Funktionen,
die Sie zum Programmieren verwenden können, zur Verfügung stehen. Im
Grunde können fast alle Funktionen des Taschenrechners in ein Programm
integriert werden. So können Sie beispielsweise Funktionen des Menüs MTH
verwenden. Speziell für Operationen mit Listen können Sie die Listenfunktionen,
wie SORT, ΣLIST usw., aus dem Menü MTH/LIST verwenden.
Als zusätzliche Programmierübung, aber auch, um die oben aufgeführten
Tastenfolgen zu üben, werden nachfolgend drei Programme zum Erstellen oder
Manipulieren von Listen gezeigt. Die Programmnamen und Code-Listings lauten
wie folgt:
LISC:
« → n x « 1 n FOR j x NEXT n LIST » »
CRLST:
« → st en df « st en FOR
→LIST
j j df STEP en st - df / FLOOR 1 +
»»
CLIST:
Seite 21-14
« REVLIST DUP DUP SIZE 'n' STO ΣLIST SWAP TAIL DUP SIZE 1 - 1
SWAP FOR j DUP ΣLIST SWAP TAIL NEXT 1 GET n LIST REVLIST 'n'
PURGE »
Die Arbeitsweise der Programme ist wie folgt:
(1) LISC: Erzeugt eine Liste mit n Elementen, die alle gleich einer Konstante c
sind.
Ablauf: Geben Sie nacheinander n und dann c ein, drücken Sie
anschließend @LISC
Beispiel: 5 ` 6.5 ` @LISC erzeugt folgende Liste: {6.5 6.5 6.5 6.5 6.5}
(2) CRLST: Erzeugt eine Liste mit Zahlen von n1 bis n2 mit einem Inkrement von
Δn, d.h.,{n1, n1+Δn, n1+2⋅Δn, … n1+N⋅Δn }, wobei N = floor((n2-n1)/
Δn)+1.
Ablauf: geben Sie nacheinander n1, , dann n2 und dann Δn ein und
drücken Sie anschließend @CRLST
Beispiel: .5 `3.5 `.5 ` @CRLST erzeugt: {0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5}
(3) CLIST: Erzeugt eine Liste mit der kumulierten Summe der Elemente, d.h.,
wenn die Originalliste {x1 x2 x3 … xN} enthält, erzeugt CLIST die folgende
Liste:
N
{x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 ,..., ∑ xi }
i =1
Ablauf: Legen Sie die Originalliste in Ebene 1 ab, drücken Sie @CLIST.
Beispiel: {1 2 3 4 5} `@CLIST erzeugt {1 3 6 10 15}.
Beispiele zum sequentiellen Programmieren
Generell ist jede beliebige Sequenz von Befehlen des Taschenrechners, die von
den Programm-Containern
und » eingeschlossen wird, ein Programm. Auch
Unterprogramme können Teil eines Programms werden. Die Beispiele, die
vorher in diesem Handbuch aufgeführt wurden (z.B. in Kapitel 3 und 8),
können in zwei Kategorien unterteilt werden: (a) Programme, die durch
Definition einer Funktion erzeugt wurden und (b) Programme, die eine Abfolge
von Stack-Operationen ausführen. Diese beiden Arten von Programmen werden
Seite 21-15
nachfolgend beschrieben. Generell bestehen diese Programme aus
EingabeVerarbeitungAusgabe. Daher werden diese Programme als
sequentielle Programme bezeichnet.
Durch Definition einer Funktion erzeugte Programme
Hierbei handelt es sich um Programme, die mithilfe der Funktion DEFINE
(„à) mit einem Argument, das wie folgt aussieht, erstellt wurden:
'function_name(x1, x2, …) = Ausdruck mit den Variablen x1, x2, …'
Das Programm wird in der Variablen mit dem Namen function_name
gespeichert. Wird das Programm mit der Tastenfolge ‚function_name wieder
in den Stack geladen, sieht das Programm wie folgt aus:
« x1, x2, … 'Ausdruck mit Variablen x1, x2, …'».
Um die die Funktion mit einen Satz von Eingabevariablen x1, x2, … im RPNModus zu auszuführen, geben Sie einige Variablen in richtiger Reihenfolge
(d.h., x1 zuerst, dann x2, x3, usw.) ein und drücken Sie dann die
Funktionstaste @function_name. Der Taschenrechner gibt das Ergebnis der
Funktion function_name(x1, x2, …) aus.
Beispiel: Manning-Gleichung für weite rechteckige Kanäle.
Als Beispiel nehmen Sie die Manning-Gleichung, die den Durchfluss (Durchfluss
je Einheit der Breite) q in einem weiten, rechteckigen, offenen Kanal berechnet:
q=
Cu 5 / 3
y0
S0 ,
n
wobei Cu eine Konstante ist , die von den verwendeten Maßeinheiten abhängt
[Cu = 1.0 gilt für das International System (S.I. – metrisches System) und Cu =
1.486 gilt für das britische Maßsystem (E.S.)], n den Manning-Koeffizienten für
Rauhigkeit, der von der Kanaloberfläche und anderen Faktoren abhängt, y0 die
Flusstiefe und S0 das dimensionslose Gefälle des Kanals darstellt.
Seite 21-16
Anmerkung: Werte des Manning-Koeffizienten n können Tabellen als
dimensionslose Werte entnommen werden. Sie liegen im Allgemeinen
zwischen 0,001 und 0,5. Auch der Wert von Cu ist dimensionslos. Der Wert
für y0 muss jedoch die korrekte Dimension aufweisen, d.h., m für S.I. und Fuß
für E.S. Das Ergebnis für q wird dann in der richtigen Maßeinheit ausgegeben,
d.h., m2/s in S.I. und ft2/s in E.S. Die Manning-Gleichung ist daher nicht
dimensionskonsistent.
Angenommen wir wollen die Funktion q(Cu, n, y0, S0) zur Berechnung des
Durchflusses q für diesen Fall erstellen . Verwenden Sie den Ausdruck:
‘q(Cu,n,y0,S0)=Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’,
als Argument der Funktion DEFINE. Beachten Sie, dass der Exponent 5./3. in
der Gleichung einen Bruch mit reellen Zahlen (durch Dezimalkomma/ -punkt
gekennzeichnet) darstellt. Falls erforderlich drücken Sie J, um die
Variablenliste zu laden. An dieser Stelle befindet sich unter den Funktionstasten
eine Variable mit der Bezeichnung @@@q@@@. Um den Inhalt von q anzuzeigen,
drücken Sie ‚@@@q@@@. Das Programm, das durch die Definition der Funktion
q(Cu,n,y0,S0) erstellt wurde, wird wie folgt angezeigt:
« → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ ».
Dies wird interpretiert als “gebe Cu, n, Y0, S0 nacheinander ein und berechne
dann den Ausdruck”. Um beispielsweise q für Cu = 1,0, n = 0,012, y0 = 2 m
und S0 = 0,0001 im RPN-Modus zu berechnen, geben Sie ein:
1 ` 0,012 ` 2 ` 0,0001 ` @@@q@@@
Das Ergebnis ist 2,6456684 (oder q = 2,6456684 m2/s).
Anstatt Sie durch ` getrennt einzugeben, können Sie die einzelnen
Eingabedaten auch durch Leerzeichen getrennt in eine einzelne Zeile des Stacks
eingeben.
Seite 21-17
Programme zur Simulation einer Sequenz von Stack-Operationen
In diesem Fall gehen wir davon aus, dass sich die Glieder, die zur Folge der
Operationen gehören, im Stack befinden. Der erste Schritt im Programm ist das
Öffnen eines Programm-Containers über ‚å. Anschließend werden die
einzelnen Operationen eingegeben. Nachdem Sie alle Operationen
eingegeben haben, drücken Sie `, um das Programm abzuschließen. Wenn
Sie das Programm nur ein einziges Mal verwenden wollen, können Sie an
dieser Stelle μ drücken, um das Programm mit den verfügbaren
Eingabedaten durchzuführen. Soll das Programm immer wieder verwendet
werden, muss es unter einem Variablennamen gespeichert werden.
Die einfachste Art ein solches Programm zu beschreiben, ist anhand eines
Beispiels:
Beispiel: Staudruck für einen rechteckigen Kanal
Nehmen wir an, wir wollen den Staudruck hv in einem rechteckigen Kanal der
Breite b mit einer Flusstiefe y und einer Durchflussmenge Q berechnen. Die
spezifische Energie wird als hv = Q2/(2g(by)2) berechnet, wobei g der
Erdbeschleunigung (g = 9,806 m/s2 in S.I.-Einheiten oder g = 32,2 ft/s2 in
E.S.-Einheiten) entspricht. Wollen wir hv für Q = 23 cfs (Kubikfuß pro Sekunde =
ft3/s), b = 3 ft und y = 2 ft berechnen, geben wir ein: hv = 232/(2⋅32.2⋅
(3⋅2)2). Im RPN-Modus können wir interaktiv berechnen:
2`3*„º32.2*
2*23㼪/
Das Ergebnis ist 0,228174 oder hv = 0,228174.
Um diese Berechnung als Programm aufzubauen, müssen sich die
Eingabedaten (Q, g, b, y) in der Reihenfolge, in der sie bei der Berechnung
verwendet werden, im Stack befinden. In Hinblick auf die Variablen Q, g, b
und y ausgedrückt, wird die soeben durchgeführte Kalkulation wie folgt
eingegeben (bitte nicht eintippen):
y ` b *㼠g *2* Q 㼪/
Seite 21-18
Wie Sie sehen, wird y zuerst verwendet, dann folgen nacheinander b, g und Q
(in dieser Reihenfolge). Daher müssen wir die Variablen für diese Berechnung
in umgekehrter Reihenfolge eintippen, d.h. (bitte nicht eintippen):
Q ` g `b `y `
Für die einzelnen zu berücksichtigenden Werte verwenden wir:
23 ` 32.2 ` 3 `2 `
Das Programm selbst enthält nur die Tastenfolgen (oder Anweisungen), die
nach Entfernen der Eingabewerte aus vorangegangener Berechnung übrig
bleiben, d.h. Q, g, b und y werden entfernt (bitte nicht eintippen):
y ` b *㼠g *2* Q 㼪/
Übrig bleiben nur noch die nachfolgend gezeigten Operationen (bitte nicht
eintippen):
` *„ *2* „º™/
Anmerkung: Verwenden Sie bei der Eingabe des Programms nicht die Taste
™, sondern die Tastenfolge: „°@)STACK @SWAP@.
Anders als bei der interaktiven Berechnung müssen wir in dem Programm die
Stack-Ebenen 1 und 2 austauschen. Um das Programm zu erstellen, verwenden
Sie die nachstehenden Tastenfolgen:
‚å
*
„º
*
2*
„°@)STACK @SWAP@
„º
„°@)STACK @SWAP@
/
`
Öffnen der Programmsymbole
Multiplizieren von y mit b
Quadrieren von (b⋅y)
(b⋅y)2 mit g multiplizieren
Eingeben einer 2 und Multiplizieren mit g⋅ (b⋅y)2
Austauschen von Q mit 2⋅g⋅ (b⋅y)2
Quadrieren von Q
Austauschen von 2⋅g⋅ (b⋅y)2 mit Q2
Dividieren von Q2 durch 2⋅g⋅ (b⋅y)2
Programm eingeben
Seite 21-19
Das Programm sieht dann wie folgt aus:
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / »
Anmerkung: SQ ist die Funktion, die sich aus der Tastenfolge „º
ergibt.
Erstellen wir nun eine Kopie des Programms und speichern Sie diese unter dem
Variablen-Namen hv:
³~„h~„v K
Im Funktionstastenmenü sollte jetzt eine neue Variable @@@hv@@@ vorhanden sein.
(Drücken Sie J, um die Variablenliste aufzurufen.) Das Programm, das sich
noch im Stack befindet, kann mit der Funktion EVAL ausgeführt werden. Das
Ergebnis sollte wie zuvor 0,228174... betragen. Das Programm ist für spätere
Verwendung unter dem Namen @@@hv@@@ verfügbar. Verwenden Sie beispielsweise
für Q = 0,5 m3/s, g = 9,806 m/s2, b = 1,5 m und y = 0,5 m:
0,5 # 9,806 #1,5 # 0,5 @@@hv@@@
Anmerkung: # wird hier als Alternative zu ` für die Dateneingabe
verwendet.
Das Resultat ist nun 2,26618623518E-2, d.h. hv = 2,26618623518×10 -2 m.
Anmerkung: Da die in @@@hv@@@ programmierte Gleichung
dimensionskonsistent ist, können bei der Eingabe auch
Einheiten verwendet werden.
Wie bereits früher erwähnt, handelt es sich bei den beiden Programmen in
diesem Absatz um sequentielle Programme. Das bedeutet, das Programm folgt
einem einzelnen Pfad, INPUT OPERATION OUTPUT. Eine Verzweigung von
Programmen über die Befehle des Menüs „°@)@BRCH@ ist möglich. Weitere
Details hierzu finden Sie weiter unten.
Seite 21-20
Interaktive Eingabe in Programmen
Bei den vorausgegangenen Programmbeispielen ist es für den Anwender nicht
immer klar, in welcher Reihenfolge die Variablen vor der Programmausführung
im Stack angeordnet sein müssen. Bei dem Programm @@@q@@@, geschrieben als
« → Cu n y0 S0 ‘Cu/n*y0^(5/3)*√S0’ »,
ist es immer möglich, die Programmdefinitionen neu in den Stack (‚@@@q@@@) zu
laden, um zu sehen, in welcher Reihenfolge die Variablen eingegeben werden
müssen; hier: → Cu n y0 S0. Bei dem Programm @@@hv@@@ bietet die Definition
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / »
keinen Hinweis auf die Eingabereihenfolge der Daten, es sei denn, Sie sind mit
RPN und der UserRPL-Sprache gut vertraut.
Ein Weg, das Resultat eines Programms wie eine Formel zu überprüfen besteht
darin, symbolische Variablen anstelle von numerischen Ergebnissen in den
Stack einzugeben und dann das Programm mit diesen Werten arbeiten zu
lassen. Hierzu muss das CAS-Modul (Calculator Algebraic System) des
Taschenrechners auf symbolic und exact eingestellt sein. Dies geschieht
mithilfe von H@)CAS@. Vergewissern Sie sich, dass die Optionen _Numeric und
_Approx deaktiviert sind. Um zur Normalanzeige zurückzukehren, drücken Sie
@@OK@@ @@OK@. Zum Anzeigen des Variablen-Menüs drücken Sie J.
Letzteren Ansatz verenden wir im Folgenden, um festzustellen, welche Formel
hinter der Verwendung des Programms @@hv@@ verborgen ist: Wir wissen, dass für
das Programm 4 Eingaben erforderlich sind. Daher verwenden wir die
symbolischen Variablen S4, S3, S2 und S1, deren Namen die jeweilige
Eingabeebene im Stack widerspiegeln:
~s4` ~s3`
~s2`
~s1`
Drücken Sie anschließend @@hv@@. Die daraus resultierende Formel könnte in etwa
wie folgt aussehen
Seite 21-21
‘SQ(S4)/(S3*SQ(S2*S1)*2)’,
wenn Ihre Anzeige nicht auf “Textbook”-Stil eingestellt ist, oder wie dies
SQ( S 4)
S 3 ⋅ SQ( S 2 ⋅ S1) ⋅ 2
wenn der “Textbook”-Stil ausgewählt wurde. Da wir wissen, dass die Funktion
SQ( ) für x2 steht, interpretieren wird das letzte Resultat als
S 42
,
2 ⋅ S 3 ⋅ ( S 2 ⋅ S1) 2
welches die Positionen der verschiedenen Eingabeebenen des Stacks in der
Formel anzeigt. Wenn wir dieses Resultat mit der von uns programmierten
Originalformel vergleichen, d.h.
hv =
Q2
,
2 g (by ) 2
erkennen wir, dass wir y in Stack-Ebene 1 (S1), b in Stack-Ebene 2 (S2), g in
Stack-Ebene 3 (S3) und Q in Stack-Ebene 4 (S4) eingeben müssen.
Prompt mit einem Eingabestring
Diese beiden Ansätze sind nicht sehr effizient für die Bestimmung der
Reihenfolge für die Eingabedaten. Sie können dem Anwender aber bei der
Identifikation der Eingabedaten helfen, indem Sie ihm die Namen der
einzugebenden Variablen anzeigen. Die einfachste, von der UserRPL-Sprache
zur Verfügung gestellte Methode, ist die Verwendung von Zeichenketten und
der Funktion INPUT („°L@)@@IN@@ @INPUT@) zum Laden der Eingabedaten.
Das folgende Programm fordert den Anwender auf, einen Wert für die Variable
a einzugeben und legt diesen dann in die Stack-Ebene 1 ab.
Seite 21-22
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ »
Das Programm enthält die Symbole :: (tag) und (return), verfügbar über die
Tastenfolgen „ê und ‚ë, beide der Taste . zugeordnet. Das
Symbol Tag (::) dient dazu, Zeichenketten für die Ein- und Ausgabe zu
markieren. Das Symbol Return () entspricht dem Drücken der Eingabetaste auf
einem Computer. Die Zeichenketten zwischen den Anführungszeichen (“ “)
werden direkt über die alphanumerische Tastatur eingegeben.
Speichern Sie das Programm in eine Variable mit der Bezeichnung INPTa (für
INPuT a).
Starten Sie das Programm durch Drücken der Funktionstaste @INPTa.
Als Resultat wird der Anwender aufgefordert, einen Wert für a einzugeben. Der
Cursor wird direkt rechts von dem Prompt :a: gesetzt. Geben Sie beispielsweise
35 ein und drücken `. Als Resultat erscheint der Eingabestring :a:35 in
Stack-Ebene 1.
Funktion mit Eingabestring
Wenn Sie den oben erwähnten Code beispielsweise zum Berechnen der
Funktion f(a) = 2*a^2+3 verwenden wollen, können Sie das Programm
folgendermaßen modifizieren:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ » »
Speichern Sie dieses neue Programm unter dem Namen ‘FUNCa’ (FUNCtion
von a):
Seite 21-23
Starten Sie das Programm durch Drücken von @FUNCa. Sobald Sie dazu
aufgefordert werden, geben Sie z.B. 2 ein und drücken Sie dann `. Das
Ergebnis ist der algebraische Ausdruck 2a2+3. Dies ist aber falsch. Der
Taschenrechner bietet Ihnen Funktionen zum Überprüfen Ihres Programms und
zum Auffinden logischer Fehler während der Programmausführung.
Fehlersuche im Programm
Um die Fehlerursache herauszufinden, verwenden wir die Funktion DBUG wie
folgt:
³@FUNCa `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
2`
@SST↓≅
@SST↓≅
@SST↓≅
@SST↓≅
@SST↓≅
@SST↓≅
Kopiert den Programmnamen in StackEbene 1
Startet die Fehlersuche (den Debugger)
Schrittweise Fehlersuche, Ergebnis:
“Enter a:”
Ergebnis: {“ a:” {2 0} V}
Ergebnis: der Anwender wird aufgefordert,
einen Wert für a einzugeben
Geben Sie den Wert 2 für a ein. Ergebnis:
“:a:2”
Ergebnis: a:2
Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von →a
Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm
springen «
Ergebnis: ‘2*a^2+3’
Ergebnis: ‘2*a^2+3’, Unterprogramm
verlassen »
Ergebnis: ‘2*a^2+3’, Hauptprogramm
verlassen »
Ein erneutes Drücken der Funktionstaste @SST↓@ führt zu keinem weiteren
Ergebnis, da wir das gesamte Programm Schritt für Schritt durchgegangen sind.
Diese Fehlersuche brachte keinerlei Anhaltspunkte, warum das Programm nicht
den Wert von 2a2+3 für a = 2 berechnet. Um zu sehen, welchen Wert a im
Unterprogramm hat, müssen wird den Debugger neu starten und den Wert von
a im Unterprogramm berechnen. Versuchen Sie folgendes:
Seite 21-24
J
³@FUNCa `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
2`
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
Lädt das Variablenmenü
Kopiert den Programmnamen in die StackEbene 1
Startet die Fehlersuche (den Debugger)
Schrittweise Fehlersuche, Ergebnis:
“Enter a:”
Ergebnis: {“ a:” {2 0} V}
Ergebnis: Anwender wird aufgefordert, für
a einen Wert einzugeben
Geben Sie den Wert 2 für a ein. Ergebnis:
“:a:2”
Ergebnis: a:2
Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von →a
Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm
springen «
An dieser Stelle befinden wir uns im Unterprogramm « ‘2*a^2+3’ », das die
lokale Variable a verwendet. Um den Wert von a anzuzeigen, verwenden Sie:
~„aμ
Tatsächlich wird für die lokale Variable a = 2
angezeigt.
Brechen wir hier den Debugger ab, da wir das Ergebnis ja bereits kennen. Um
den Debugger zu stoppen, drücken Sie @KILL. Es erscheint die Meldung <!>
Interrupted zur Bestätigung des abgebrochenen Prozesses. Um zur
Normalanzeige des Taschenrechners zurückzukehren, drücken Sie $.
Anmerkung:
Immer, wenn Sie im Debug-Modus @SST↓@ drücken, erscheint
oben links in der Anzeige der auszuführende
Programmschritt. Eine Funktionstaste @@SST@ ist auch als Teil des
Untermenü @)RUN im Menüs PRG verfügbar. Diese Funktion
kann dazu verwendet werden, sofort ein Unterprogramm,
das von einem Hauptprogramm aus aufgerufen wird,
auszuführen. Beispiele zur Anwendung von @@SST@ folgen
später.
Seite 21-25
Programm korrigieren
Die einzig mögliche Erklärung dafür, dass das Programm kein numerisches
Ergebnis ausgibt, scheint auf das Fehlen des Befehls NUM nach dem
algebraischen Ausdruck ‘2*a^2+3’ zurückzuführen zu sein. Wir editieren das
Programm und fügen die fehlende Funktion EVAL ein. Das bearbeitete
Programm sieht dann wie folgt aus:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ NUM » »
Speichern Sie das Programm wieder unter FUNCa und starten Sie es mit a = 2.
Dieses Mal ist das Ergebnis 11, d.h., 2*22+3 = 11.
Eingabestring für zwei oder drei Eingabewerte
In diesem Abschnitt werden wir innerhalb des HOME-Verzeichnisses ein
Unterverzeichnis, das Beispiele für Eingabestrings mit ein, zwei oder drei
Werten enthält, erstellen. Dies sind allgemeine Eingabestrings, die in zukünftige
Programme integriert werden können, unter Berücksichtigung, dass sich die
Variablennamen entsprechend den Anforderungen der einzelnen Programme
ändern können.
Erstellen wir als erstes ein Unterverzeichnis mit der Bezeichnung PTRICKS
(Programmier-TRICKS), in dem wir nützliche Programmkomponenten ablegen,
die wir in späteren komplexeren Programmen verwenden können. Zum Erstellen
des Verzeichnisses wechseln Sie zunächst in das HOME-Verzeichnis. Zum
Anlegen des nachfolgenden Unterverzeichnisses PTRICKS verwenden Sie im
HOME-Verzeichnis die nachstehende Tastenfolge:
³~~ptricks`
Geben Sie den Verzeichnisnamen
‘PTRICKS’ ein
„°@)@MEM@@ @)@DIR@@ @CRDIR
Erstellen Sie das Verzeichnis
J
Laden Sie die Variablenliste
Ein Programm kann mehr als 3 Eingabewerte benötigen. Wenn wir
Eingabestrings verwenden, wollen wir die Anzahl der Werte auf 5
Seite 21-26
beschränken, da wir normalerweise nur 7 Stack-Ebenen sehen können. Wenn
wir die Stack-Ebene 7 zum Eingeben eines Namens für den Eingabestring
verwenden und die Ebene 6 frei halten, um die Anzeige einfacher lesen zu
können, bleiben zur Definition von Eingabevariablen nur noch die Stack-Ebenen
1 bis 5 übrig.
Programm mit Eingabestring für zwei Eingabewerte
Ein Programm für zwei Eingabewerte, beispielsweise a und b, sieht wir folgt
aus:
« “Enter a and b: “ {“:a::b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ »
Dieses Programm kann durch Modifizieren des Inhalts von INPTa leicht erstellt
werden. Speichern Sie dieses Programm in die Variable INPT2.
Anwendung: Berechnen einer Funktion mit zwei Variablen
Betrachten Sie das Gesetz über Ideale Gase pV = nRT, wobei p = Gasdruck
(Pa), V = Gasvolumen(m3), n = Mol (gmol), R = universelle Gaskonstante =
8,31451_J/(gmol*K) und T = absolute Temperatur (K) darstellen.
Wir können den Druck p als Funktion von zwei Variablen V und T als p(V,T) =
nRT/V für eine gegebene Gasmasse definieren, da n auch konstant bleibt.
Gehen wir davon aus, dass n = 0,2 gmol ist, ist die Funktion, die wir
programmieren wollen
p (V , T ) = 8.31451 ⋅ 0.2 ⋅
T
J T
= (1.662902 _ ) ⋅ .
V
K V
Die Funktion kann durch Eingeben des folgenden Programms festgelegt werden:
« → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’ »
Dieses speichern wir dann in der Variable @@@p@@@.
Seite 21-27
Als nächstes muss der Eingabestring hinzugefügt werden, der den Anwender
auffordert, die Werte für V und T einzugeben. Hierzu modifizieren Sie das
Programm in @@@p@@@ wie folgt:
« “Enter V and T: “ {“
:V: :T: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T ‘(1.662902_J/K)*(T/V)’
»
Speichern Sie das modifizierte Programm wieder unter @@@p@@@. Drücken Sie @@@p@@@ ,
um das Programm zu starten. Geben Sie für V = 0.01_m^3 und für T = 300_K
ein und drücken Sie dann `. Als Ergebnis erscheint 49887.06_J/m^3. Die
Einheit J/m^3 entspricht der Einheit Pascals (Pa), die im S.I.-System bevorzugte
Maßeinheit für den Druck.
Anmerkung: Da wir absichtlich bei der Definition der Funktion Einheiten
verwendet haben, müssen auch die Werte zum Erzielen eines korrekten Ergebnisses mit Einheiten eingegeben werden.
Programm mit Eingabestring für drei Eingabewerte
Ein Programm für drei Eingabewerte, beispielsweise a, b und c, sieht wir folgt
aus:
« “Enter a, b and c: “ {“ :a: :b: :c: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ »
Dieses Programm kann durch Modifizieren des obigen Inhalts von INPT2 leicht
erstellt werden. Speichern Sie das Programm unter der Bezeichnung INPT3. Mit
diesem Programm ist unsere Sammlung von Programmen, die dem Anwender
ermöglichen, einen, zwei oder drei Werte einzugeben, vervollständigt.
Speichern Sie diese Programme als Vorlagen und kopieren und modifizieren
Sie diese für neue Programme, die Sie erstellen.
Anwendung: Berechnen einer Funktion mit drei Variablen
Nehmen wir an, dass wir das Programm für das Gesetz über Ideale Gase so
modifizieren wollen, dass auch n für Mol als zusätzliche Variable
eingeschlossen wird. Das bedeutet, dass wir die nachfolgende Funktion wie
folgt definieren
Seite 21-28
p(V , T , n) = (8.31451 _
J n ⋅T
)
,
K V
und sie so modifizieren wollen, dass drei verschiedene Variablen eingegeben
werden können. Die Vorgehensweise ähnelt der, die wir schon bei der
Definition der Funktion p(V.T) angewendet haben. Das Programm sieht dann
wie folgt aus:
« “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V) ‘ »
Speichern Sie dieses Programm in der Variablen @@@p@@@. Um das Programm zu
starten, drücken Sie @@@p@@@.
Geben Sie für V = 0.01_m^3, für T = 300_K und für n = 0,8_mol ein. Bevor
Sie ` drücken, sieht der Stack folgendermaßen aus:
Drücken Sie `. Das Resultat ist 199548.24_J/m^3, oder 199548.24_Pa =
199.55 kPa.
Eingabe über Eingabemasken
Die Funktion INFORM („°L@)@@IN@@ @INFOR@.) kann zum Erstellen
detaillierter Eingabemasken für ein Programm verwendet werden. Die Funktion
INFORM benötigt 5 Argumente in nachstehender Reigenfolge:
1. Einen Titel: Eine Zeichenkette zur Beschreibung der Eingabemaske
2. Felddefinitionen: Eine Liste mit einer oder mehreren Felddefinitionen {s1
s2 … sn}, wobei jede Felddefinition, si, eines von zwei Formaten
aufweisen kann:
Seite 21-29
a. Eine einfache Feldbezeichnung: Eine Zeichenkette
c/ Eine Liste mit einer oder mehreren Felddefinitionen {“label”
“helpInfo” type0 type1 … typen}. “label” ist eine
Feldbezeichnung. “helpInfo” ist eine Zeichenkette zur
detaillierten Beschreibung des Feldes und die “Type”Spezifikation ist eine Liste von Variablentypen, die in dem Feld
erlaubt sind (siehe Objekttypen im Kapitel 24).
3. Information zum Feldformat: Eine einzelne Zahl col oder eine Liste {col
tabs}. In dieser Spezifikation ist col die Anzahl der Spalten in der
Eingabebox und tabs (optional) legt die Anzahl der Tab-Stops
zwischen den Labeln und Feldern der Maske fest. Die Liste kann eine
leere Liste sein. Vorgabewert sind col = 1 und tabs = 3.
4. Liste mit Reset-Werten: Eine Liste mit Werten, auf welche bei Auswahl
der Option @RESET die verschiedenen Felder einer Eingabemaske
zurücksetzt werden.
5. Liste mit Anfangs-Werten: Eine Liste, welche die Anfangs-Werte der
Felder enthält.
Die Listen unter 4 und 5 können leer sein. Außerdem können Sie den Befehl
NOVAL („°L@)@@IN@@ @NOVAL@) verwenden, wenn für diese Optionen
keine Werte auszuwählen sind.
Ist die Funktion INFORM aktiviert und Sie haben die Option @CANCEL
eingegeben, erhalten Sie eine Null, andernfalls erhalten Sie eine Liste mit den
in die Felder eingegebenen Werten in der spezifizierten Reihenfolge sowie die
Zahl 1, d.h. im RPN-Stack:
2:
1:
{v1 v2 … vn}
1
Wenn also der Wert in der Stack-Ebene gleich 0 ist, wurde keine Eingabe
vorgenommen, während eine 1 anzeigt, dass die Eingabewerte in der StackEbene 2 zur Verfügung stehen.
Beispiel 1 - Als Beispiel betrachten Sie das folgende Programm INFP1 (INput
Form Programm 1), um den Durchfluss Q in einem offenen Kanal nach der
Chezy-Formel zu berechnen: Q = C⋅(R⋅S)1/2, wobei C der Chezy-Koeffizient,
eine Funktion aus der Rauhigkeit der Kanaloberfläche (typische Werte 80 -
Seite 21-30
150), ist, R der hydraulische Radius des Kanals (eine Länge) und S die Neigung
des Kanalbetts (eine dimensionslose Zahl von 0,01 bis 0,000001). Das
folgende Programm definiert eine Eingabemaske über die Funktion INFORM:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:”
“Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120
1 .0001} { 110 1.5 .00001 }
INFORM »
Im Programm lauten die oben angeführten 5 Komponenten wie folgt:
1. Titel: “ CHEZY’S EQN”
2. Felddefinitionen: Hier haben wir drei mit den Labels “C:”, “R:”, “S:”,
die Infostrings “Chezy coefficient”, “Hydraulic radius”, “Channel bed
slope”, und die Beschränkung der Eingabe auf den Datentyp 0 (reelle
Zahlen) für alle drei Felder:
{ { “C:” “Chezy’s coefficient” 0}
{ “R:” “Hydraulic radius” 0 }
{ “S:” “Channel bed slope” 0} }
3. Information zum Feldformat: { } (eine leere Liste, es werden die
Vorgabewerte verwendet)
4. Liste mit Reset-Werten: { 120 1 .0001}
5. Liste mit Anfangs-Werten: { 110 1.5 .00001}
Speichern Sie dieses Programm in der Variable INFP1. Drücken Sie @INFP1 zum
Starten des Programms. Die Eingabemaske mit den geladenen Anfangswerten
sieht wie folgt aus:
Um zu verdeutlichen, was mit diesen Werten beim Zurücksetzen geschieht,
drücken Sie L @RESET (wählen Sie Reset all, um die Werte der Felder
zurückzusetzen):
Seite 21-31
Geben Sie nun verschiedene Werte für die drei Felder ein, sagen wir C = 95, R
= 2,5 und S = 0,003. Drücken Sie nach jedem neuen Wert @@@OK@@@. Nach dieser
Änderung sieht die Eingabemaske folgendermaßen aus:
Um nun die Werte in das Programm zu übertragen, drücken Sie noch einmal
@@@OK@@@. Hierdurch wird die Funktion INFORM aktiviert und im Stack erscheint:
Soweit die Demonstration der Verwendung von INFORM. Um zu sehen, wie
diese Eingabewerte in einer Berechnung verwendet werden können,
modifizieren wir das Programm wie folgt:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:”
“Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120
1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM IF THEN OBJ DROP C R S
‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX END
»
Die oben gezeigten Programmschritte enthalten nach dem Befehl INFORM eine
bedingte Verzweigung mithilfe von IF-THEN-ELSE-END (eine detaillierte
Beschreibung finden Sie an anderer Stelle in diesem Kapitel). Das Programm
kann, abhängig vom Wert in der Stack-Ebene 1, zu einer von zwei
Möglichkeiten springen. Ist der Wert 1, springt das Programm zu den Befehlen:
Seite 21-32
OBJ DROP C R S ‘C*√(R*S)’ NUM “Q” TAG
Diese Befehle errechnen Q und setzen einen „Tag“ auf Q. Befindet sich aber
der Wert 0 in Stack-Ebene 1 (was der Fall ist, wenn @CANCEL beim Verwenden
der Eingabemaske gedrückt wird), springt das Programm zu den Befehlen:
“Operation cancelled” MSGBOX
Diese Befehle erzeugen die Meldung, dass die Operation abgebrochen wurde.
Anmerkung: Die Funktion MSGBOX gehört zu einer Sammlung von
Ausgabefunktionen im Menü PRG/OUT. Die Befehle IF, THEN, ELSE, END
finden Sie im Menü PRG/BRCH/IF. Die Funktionen OBJ, TAG befinden
sich im Menü PRG/TYPE. DROP steht unter PRG/STACK zur Verfügung. Die
Funktionen und NUM finden Sie auf der Tastatur.
Beispiel 2 – Um die Verwendung des 3. Eintrages (Informationen zum
Feldformat) der Argumente für die Funktion INFORM zu illustrieren, ändern Sie
die leere Liste des Programms INFP1 in { 2 1 }. Dies bedeutet, dass nur 2
Spalten anstelle der Standardvorgabe von 3 und nur 1 Tab-Stopp verwendet
werden. Speichern Sie dieses neue Programm in der Variable INFP2:
« “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:”
“Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { 2 1 } {
120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 }
INFORM IF THEN OBJ DROP C
R S ‘C*(R*S)’ NUM “Q” TAG ELSE “Operation cancelled” MSGBOX
END »
Starten Sie das Programm @INFP2, erhalten Sie die folgende Eingabemaske:
Seite 21-33
Beispiel 3 - Ändern Sie Informationsliste für das Feldformat in { 3 0 } und
speichern Sie das Programm als INFP3. Starten Sie das Programm und schauen
Sie sich die neue Eingabemaske an:
Erstellen einer Auswahlbox
Die Funktion CHOOSE („°L@)@@IN@@ @CHOOS@) bietet dem Anwender die
Möglichkeit, eine Auswahlbox in ein Programm zu integrieren. Diese Funktion
benötigt drei Argumente:
1. Ein Prompt (eine Zeichenkette, die die Auswahlbox beschreibt)
2. Eine Liste der Auswahldefinitionen {c1 c2 … cn}. Eine Auswahldefinition
ci kann eine der beiden unten aufgeführten Formate haben:
a. Ein Objekt, z.B. eine Zahl, ein algebraischer Ausdruck, usw.,
das in der Auswahlbox angezeigt wird und als
Auswahlergebnis übernommen wird.
b. Eine Liste {object_displayed object_result}, die so aufgebaut
ist, dass object_displayed in der Auswahlbox angezeigt wird
und object_result als Ausgabe für das Ergebnis übernommen
wird.
3. Eine Zahl, die die Position der Standardauswahl in einer Auswahlliste
anzeigt. Ist dieser Wert 0, ist keine Standardauswahl hervorgehoben.
Die Aktivierung der CHOOSE-Funktion gibt entweder Null, wenn @CANCEL
gewählt wurde, oder andernfalls die gewählte Option (z.B. v) sowie die Zahl 1
zurück, d.h. im RPN-Stack:
2:
1:
v
1
Beispiel 1 – Die Manning-Gleichung zur Kalkulation der Durchflussgeschwindigkeit in einem offenen Kanal verwendet einen von den verwendeten
Einheiten abhängigen Koeffizienten Cu. Verwenden Sie das S.I. (Internationales
System), dann ist Cu = 1,0. Verwenden Sie jedoch das E.S. (Englische System),
Seite 21-34
dann ist Cu = 1,486. Das folgende Programm verwendet eine Auswahlbox zum
Festlegen des zu verwendenden Maßsystems von Cu. Speichern Sie es in der
Variable CHP1 (CHoose-Programm 1):
« “Units coefficient” { { “S.I. units” 1}
{ “E.S. units” 1.486}
} 1 CHOOSE »
Starten Sie das Programm (drücken Sie @CHP1), so erscheint die folgende
Auswahlbox:
Abhängig davon, ob Sie S.I. units oder E.S. units vorwählen, legt
Funktion CHOOSE entweder einen Wert von 1 oder einen Wert von 1,486 in
Stack-Ebene 2 und 1 in Ebene 1 ab. Brechen Sie die Auswahlbox ab, gibt
CHOICE eine Null (0) zurück.
Die durch die Funktion CHOOSE zurückgegeben Werte können von anderen
Programmbefehlen, wie im modifizierten Programm CHP2 gezeigt, verwendet
werden.
« “Units coefficient” { { “S.I. units” 1} { “E.S. units”
1.486} } 1 CHOOSE IF THEN “Cu” TAG ELSE “Operation
cancelled” MSGBOX END »
Die auf die Funktion CHOOSE folgenden IF-THEN-ELSE-END-Anweisungen
besagen, dass in diesem Programm eine Entscheidung anhand des in der StackEbene 1 abgelegten Wertes getroffen wird. Ist der Wert in der Stack-Ebene 1
gleich 1, erzeugen die Anweisungen “Cu” TAG ein gekennzeichnetes
(tagged) Ergebnis auf dem Bildschirm. Ist der Wert 0 erscheint in der Anzeige
die Meldung “Operation cancelled” MSGBOX, was bedeutet, dass die
Operation abgebrochen wurde.
Seite 21-35
Identifizieren der Ausgabe von Programmen
Der einfachste Weg numerische Ausgaben von Programmen zu identifizieren
ist, diese Ergebnisse zu kennzeichnen. Bei einem "Tag" (Kennzeichnung)
handelt es sich einfach um einen String, der an eine Zahl oder an ein Objekt
angehängt wird. Der String bekommt einen Namen, der dem Objekt entspricht.
Als wir beispielsweise weiter oben in den Programmen INPTa (oder INPT1) und
INPT2 nach Fehlern gesucht haben, erhielten wir als Ergebnis numerische
Ausgaben wie :a:35.
Markieren eines numerischen Ergebnisses
Um ein numerisches Ergebnis zu kennzeichnen, müssen Sie Zahl und
Kennzeichnungs-String in Stack-Ebene 2 ablegen. Verwenden Sie dann die
Funktion →TAG („ ° @)TYPE@ @ TAG). Um beispielsweise das Ergebnis
B:5.zu erhalten, geben Sie Folgendes ein:
5`‚Õ~b„ ° @)TYPE@ @ TAG
Aufspalten eines gekennzeichneten Ergebnisses in eine Zahl und
einen Tag (Kennzeichnung)
Zum Aufspalten eines gekennzeichneten Ergebnisses in die Zahl und den
dazugehörigen Tag verwenden Sie einfach die Funktion OBJ („°@)TYPE@
@OBJ @). Durch →OBJ wird der numerische Wert in der Stack-Ebene 2 und der
Tag (Kennzeichnung) in der Stack-Ebene 1 abgelegt. Wollen Sie nur den
numerischen Wert weiter verwenden, können Sie den Tag mithilfe der Rücktaste
ƒ löschen. So produziert beispielsweise die Aufspaltung der
gekennzeichneten Größe B:5 (siehe oben) folgendes Ergebnis:
“Extrahieren” einer gekennzeichneten Größe
Mit “Extrahieren” ist das Herausziehen des Objekts aus einer gekennzeichneten
Größe gemeint. Die Funktion wird mit der nachstehenden Tastenfolge
aufgerufen: „ ° @)TYPE@ L @DTAG. So gibt DTAG beispielsweise bei einer
gekennzeichneten Größe a:2 den Wert 2 zurück.
Seite 21-36
Anmerkung: Bei mathematischen Operationen mit gekennzeichneten
Größen extrahiert der Taschenrechner die numerischen Werte automatisch. So
zeigen beispielsweise die folgenden Abbildungen zwei gekennzeichnete
Größen vor und nach Drücken von * im RPN-Modus:
Beispiele für gekennzeichnete Ausgaben
Beispiel 1 –gekennzeichnete Ausgabe für FUNCa
Wir wollen die vorher definierte Funktion FUNCa so ändern, dass damit
gekennzeichnete Ausgaben erstellt werden. Holen Sie mit ‚ @FUNCa den Inhalt
der FUNCa in den Stack. Die Originalfunktion sieht folgendermaßen aus:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM »»
Modifizieren Sie sie wie folgt:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM ”F” →TAG »»
Speichern Sie das modifizierte Programm wieder mithilfe von „ @FUNCa unter
FUNCa. Starten Sie das Programm durch Drücken von @FUNCa. Geben Sie, wenn
Sie hierzu aufgefordert werden, den Wert 2 ein, und drücken Sie `. Das
Resultat ist nun ein gekennzeichnetes Ergebnis F:11 .
Beispiel 2 - Gekennzeichnete Ein- und Ausgabe mit FUNCa
In diesem Beispiel modifizieren wir FUNCa so dass nicht nur das
berechnete Ergebnis sondern auch eine Kopie der Eingabe
gekennzeichnet ausgegeben wird.
Rufen Sie mit ‚ @FUNCa den Inhalt von FUNCa in den Stack.
Seite 21-37
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
NUM ”F” →TAG » »
Modifizieren Sie sie wie folgt:
« “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘
EVAL ”F” →TAG a SWAP» »
(Beachten Sie, dass die Funktion SWAP über die Tastenfolge „°@)STACK
@SWAP@) aufgerufen wird. Speichern Sie das modifizierte Programm wieder
mithilfe von „ @FUNCa unter FUNCa. Starten Sie das Programm durch Drücken
von @FUNCa. Geben Sie, wenn Sie hierzu aufgefordert werden, den Wert 2 ein,
und drücken Sie `. Als Ergebnis erhalten Sie die gekennzeichneten Zahlen
a:2. in Stack-Ebene 2 und F:11. in Stack-Ebene 1.
Anmerkung: Da wir einen Eingabestring für die Eingabe der Daten
verwenden, speichert die lokale Variable a einen gekennzeichneten Wert (in
obigem Beispiel :a:2 ). Daher müssen wir es für die Ausgabe nicht
kennzeichnen. Wir müssen nur in das Unterprogramm ein a vor die SWAPFunktion einfügen und die gekennzeichnete Eingabe wird in den Stack
geschrieben. Es soll noch mal darauf hingewiesen werden, dass bei der
Ausführung einer Funktion die Markierung der Eingabe automatisch
weggelassen und nur deren numerischer Wert bei der Berechnung verwendet
wird.
Um sich die Funktion FUNCa Schritt für Schritt anzuschauen, können Sie die
Funktion DBUG wie folgt verwenden:
³ @FUNCa `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
Kopiert den Programmnamen in StackEbene 1
Startet die Fehlersuche (den Debugger)
Schrittweise Fehlersuche, Ergebnis:
“Enter a:”
Ergebnis: {“ a:” {2 0} V}
Ergebnis: Anwender wird aufgefordert, für
a einen Wert einzugeben
Seite 21-38
2`
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓≅
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
Geben Sie 2 für a ein. Ergebnis: “:a:2”
Ergebnis: a:2
Ergebnis: Stack leeren, Ausführung von
→a
Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm
springen «
Ergebnis: ‘2*a^2+3’
Ergebnis: Stack leeren, ins Unterprogramm
springen
Ergebnis: 11.,
Ergebnis: “F”
Ergebnis: F: 11.
Ergebnis: a:2.
Ergebnis: Austausch von Ebene 1 und 2
Unterprogramm verlassen »
Hauptprogramm verlassen »
Beispiel 3 - Gekennzeichnete Ein- und Ausgabe mit Funktion p(V,T)
In diesem Beispiel modifizieren wir das Programm @@@p@@@ so, dass Eingabe,
Ausgabe und Ergebnis gekennzeichnet werden. Rufen Sie mit ‚@@@p@@@ den
Inhalt des Programms in den Stack.
« “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ »
Modifizieren Sie das Programm wie folgt:
« “Enter V, T and n: “ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.34451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p”
→TAG » »
Anmerkung: Beachten Sie, dass wir die Berechnung und Markierung der
Funktion p(V,T,n) in ein Unterprogramm gelegt [die Befehlssequenz, die sich
innerhalb der inneren Programmsymbole « » befindet] und den Aufruf der
Variablen V, T und n vorangestellt haben. Dies ist erforderlich, da ohne die
Trennung der beiden Variablenlisten (V T N « V T n) durch
Programmsymbole das Programm davon ausgeht, dass der Eingabebefehl
Seite 21-39
→V T N V T n
sechs Eingabewerte erfordert, obwohl nur drei vorhanden sind. Es würde zu
einer Fehlermeldung kommen und die Programmausführung würde
abgebrochen werden.
Um das Unterprogramm in die modifizierte Version des Programms @@@p@@@
einzufügen, müssen wir sowohl am Anfang als auch am Ende des
Unterprogramms ‚å verwenden. Da die Programmsymbole beim Aufruf
von ‚å immer paarweise auftreten, müssen wir das Abschlusssymbol am
Anfang (È) und das Anfangssymbol am Ende («) des Unterprogramms löschen.
Um irgendein Zeichen während der Bearbeitung eines Programms zu löschen,
setzen Sie den Cursor rechts hinter das Zeichen und löschen Sie dies mit der
Rückschritt-Taste ƒ.
Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in der Variable p.
Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@. Geben Sie, wenn Sie
dazu aufgefordert werden, für V = 0.01_m^3, für T = 300_K und für n =
0,8_mol ein. Bevor Sie die Taste ` drücken, sieht der Stack folgendermaßen
aus:
Nach Ausführung des Programms erscheint der Stack wie folgt:
Seite 21-40
Zusammenfassung: Die Verwendung von Markierungen, um Ein- und
Ausgabevariable zu identifizieren, zieht sich wie ein Faden durch alle drei
Beispiele. Verwenden wir einen Eingabe-String für die Eingabewerte, werden
diese bereits gekennzeichnet und können einfach wieder zur Ausgabe in den
Stack geladen werden. Der Befehl →TAG erlaubt es uns, die Ausgabe eines
Programms zu identifizieren.
Verwenden von Meldefenstern
Eine vornehmere Art, die Ausgabe eines Programms anzuzeigen, ist über
Meldefenster. Der Befehl für ein Meldefenster wird durch die Tastenfolge
„°L@)@OUT@ @MSGBO@ aufgerufen. Um den Ausgabe-String in einem Fenster
anzuzeigen, muss sich dieser in Stack-Ebene 1 befinden. Um die Funktion des
Befehls MSGBOX kennen zu lernen, versuchen Sie nachfolgende Übung:
‚Õ~‚t~„ê1.2
‚Ý ~„r~„a~„d
„°L@)@OUT@ @MSGBO@
Als Ergebnis sehen Sie folgendes Meldefenster:
Drücken Sie @@@OK@@@ zum Löschen des Meldefensters.
Sie können ein Meldefenster zur Anzeige einer gekennzeichneten Ausgabe
eines Programms verwenden, indem Sie diese Ausgabe in einen String für
MSGBOX umwandeln. Um ein gekennzeichnetes Ergebnis, eine Formel oder
einen nicht gekennzeichneten Wert in einen String umzuwandeln, verwenden
Sie die Funktion →STR, verfügbar über die Tastenfolge „°@)TYPE@ @ STR.
Verwenden eines Meldefensters zur Programmausgabe
Die Funktion @@@p@@@ aus dem letzten Beispiel kann folgendermaßen geändert
werden:
Seite 21-41
« “Enter V, T and n: “ {“
:V:
:T: :n: “ {2 0} V } INPUT
OBJ→ → V T n « V T n ‘(8.34451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p”
→TAG →STR MSGBOX » »
Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in der Variable p.
Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@. Geben Sie, wenn Sie
dazu aufgefordert werden, für V = 0.01_m^3, für T = 300_K und für n =
0,8_mol ein.
Wie in der älteren Version von @@@p@@@ sieht der Stack vor Drücken der Taste `
folgendermaßen aus:
Bei der ersten Programmausgabe handelt es sich um ein Meldefenster mit
folgendem String:
Drücken Sie @@@OK@@@ zum Löschen des Meldefensters. Im Stack steht nun
Folgendes:
Seite 21-42
Ein- und Ausgabe in einem Meldefenster anzeigen
Wir können das Programm so modifizieren, dass sowohl Ein- als auch Ausgabe
im Meldefenster angezeigt werden. Das dahingehend abgeänderte Programm
@@@p@@@ sieht folgendermaßen aus:
« “Enter V, T and n: “ {“
OBJ→ → V T n « V →STR “
:V:
:T:
:n: “ {2 0} V } INPUT
” + T →STR “
” + n →STR “
”+
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR + + +
MSGBOX » »
Beachten Sie, dass Sie im Unterprogramm nach den Variablennamen V, T und
n folgenden Code eingeben müssen:
→STR “
”+
Um diesen Code das erste Mal einzugeben, verwenden Sie die Tastenfolge:
„°@)TYPE@ @ STR ‚Õ ‚ë ™+
Da die Funktionen des Menüs TYPE über die Funktionstasten weiter verfügbar
sind, geben Sie im Unterprogramm für die zweite und dritte Code-Folge (→STR
“ ” + ) (also nach den Variablen T und n) die nachstehende Tastenfolge ein:
@ STR ‚Õ ‚ë ™+
Sie werden feststellen, dass nach der Tastenfolge ‚ë im Stack eine neue
Zeile erzeugt wird.
Die letzte Modifikation, die noch vorgenommen werden muss, ist das Eingeben
von drei Pluszeichen nach dem Funktionsaufruf am Ende des Unterprogramms.
Anmerkung: Das Pluszeichen (+) wird in diesem Programm zur
Verknüpfung von Strings verwendet. Verknüpfung bedeutet einfach die
Zusammenführung einzelner Strings.
Um die Funktionsweise des Programms anzusehen,
Seite 21-43
•
Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „@@@p@@@ in der Variable
p.
•
Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste @@@p@@@.
•
Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0,01_m^3, für T =
300_K und für n = 0,8_mol ein.
Wie in der älteren Version von [ p ] sieht der Stack vor Drücken der Taste
[ENTER] für Ihre Eingabe folgendermaßen aus:
Bei der ersten Programmausgabe handelt es sich um ein Meldefenster mit
folgendem String:
Drücken Sie @@@OK@@@ zum Löschen des Meldefensters.
Integrieren von Einheiten in ein Programm
Wie Sie bei den verschiedenen Versionen des Programms @@@p@@@ gesehen haben,
kann das Anhängen von Einheiten an die Eingabewerte ziemlich mühsam sein.
Sie können es so einrichten, dass das Programm selbst diese Einheiten an die
Ein- und Ausgabewerte anhängt. Veranschaulichen wir diese Option, indem wir
unser Programm @@@p@@@ ein weiteres Mal wie folgt abändern.
Laden Sie den Inhalt des Programms @@@p@@@ mit der Tastenfolge ‚@@@p@@@ wieder
in den Stack und modifizieren es wie folgt:
Seite 21-44
Anmerkung: Zur besseren Übersicht und zum leichteren Verständnis haben
wir das Programm willkürlich in verschiedene Zeilen aufgeteilt. Das Programm
muss nicht unbedingt so im Stack angezeigt werden. Die Befehlsfolge ist
jedoch auf jeden Fall richtig. Beachten Sie auch, dass das Zeichen nicht im
Stack angezeigt wird, sondern eine neue Zeile erzeugt.
« “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“
:V:
:T:
:n: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T n
« V ‘1_m^3’ *
T ‘1_K’ *
n ‘1_mol’ * → V T n
« V “V” →TAG →STR “ ” + T “T” →TAG →STR “ ” + n “n” →TAG
→STR “
”+
‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ EVAL “p” →TAG →STR + + +
MSGBOX » » »
Diese neue Programmversion enthält eine zusätzliche Unterprogrammebene
(also eine dritte Ebene der Programmsymbole Ç È und einige Schritte, die
Listen verwenden, beispielsweise
V ‘1_m^3’ * { } + T ‘1_K’ * + n ‘1_mol’ * + EVAL → V T n
Dieser Programmcode wird wie folgt interpretiert: (Wir verwenden als
Eingabewerte:V:0.01, :T:300, und :n:0.8):
1. V
: Der Wert von V als gekennzeichnete Eingabe (z.B.
V:0,01) wird in den Stack gestellt.
2. ‘1_m^3’
: Die S.I.-Einheiten von V werden dann in Stack- Ebene 1
gestellt und die gekennzeichnete Eingabe für V in
Stack-Ebene 2 verschoben.
3. *
: Durch Multikplikation der Inhalte aus den StackEbenen 1 und 2 erzeugen wir eine Zahl mit Einheiten
(z.B., 0.01_m^3), der Tag geht jedoch verloren.
4. T ‘1_K’ *
: Wert von T mit S.I.-Einheiten berechnen
5. n ‘1_mol’ *
: Wert von n mit S.I.-Einheiten berechnen
Seite 21-45
6. → V T n
: Die Werte von V, T und n in den Stack-Ebenen 3, 2
und 1 werden an die nächste Unterprogrammebene
weitergegeben.
Um zu sehen, wie diese Programmversion arbeitet, führen Sie folgende Schritte
durch:
•
•
•
Speichern Sie das Programm mit der Tastenfolge „[ p ] in der
Variable p.
Starten Sie das Programm durch Drücken der Taste [ p ].
Geben Sie, wenn Sie dazu aufgefordert werden, für V = 0,01, für T = 300
und für n = 0,8 ein (Einheiten sind nun nicht mehr erforderlich).
Vor Drücken der Taste ` sieht der Stack folgendermaßen aus:
Drücken Sie die Taste ` zum Ausführen des Programms. Bei der ersten
Programmausgabe handelt es sich um ein Meldefenster mit folgendem String:
Zum Löschen des Meldefensters drücken Sie @@@OK@@@.
Ausgabe im Meldefenster ohne Einheiten
Ändern wir das Programm @@@p@@@ ein weiteres Mal, um es ganz ohne Einheiten
zu verwenden. Das Programm ohne Einheiten, sieht dann wie folgt aus:
Seite 21-46
« “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“
:V:
:T:
:n: “ {2 0} V }
INPUT OBJ→ → V T n
« V DTAG
T DTAG
n DTAG → V T n
« “V=” V →STR + “ ”+ “T=” T →STR + “ ” + “n=”
“ ” +
n →STR +
‘8.34451*n*T/V‘ EVAL →STR “p=” SWAP + + + + MSGBOX » » »
Wird das Programm mit den Werten V = 0,01, T = 300 und n = 0,08 gestartet,
erscheint im Meldefenster folgende Ausgabe:
Zum Löschen des Meldefensters drücken Sie die Taste @@@OK@@@.
Relationale und logische Operatoren
Bis jetzt haben wir hauptsächlich mit sequentiellen Programmen gearbeitet. Die
UserRPL-Sprache bietet Befehle, die im Programmablauf Verzweigungen und
Schleifen ermöglichen. Viele davon treffen Entscheidungen basierend darauf,
ob eine logische Aussage wahr oder unwahr ist. In diesem Absatz stellen wir
relationale und logische Operatoren vor, mit deren Hilfe solche logischen
Aussagen aufgebaut werden können.
Relationale Operatoren
Relationale Operatoren/ Vergleichsoperatoren vergleichen die relative Position
von zwei Objekten. Wenn Sie beispielsweise nur mit reellen Zahlen arbeiten,
werden mit diesen Operatoren die relativen Positionen von zwei oder mehreren
reellen Zahlen ermittelt. Abhängig von den tatsächlich verwendeten Zahlen
können solche Aussagen wahr (im Taschenrechner durch die Zahl 1 dargestellt)
oder falsch (im Taschenrechner durch die Zahl 0 dargestellt) sein.
Seite 21-47
Zum Programmieren stehen folgende relationale Operatoren zur Verfügung:
____________________________________________________
Operator
Meaning
Example
____________________________________________________
==
„ist gleich“
‘x==2’
≠
„ist nicht gleich“
‘3 ≠ 2’
<
„ist kleiner als“
‘m<n’
>
„ist größer als“
‘10>a’
≥
„ist größer als oder gleich“
‘p ≥ q’
≤
„ist kleiner als oder gleich“
‘7≤12’
____________________________________________________
Alle Operatoren, mit Ausnahme von == (der durch die Tastenfolge ‚Å
‚Å erzeugt wird), stehen auf der Tastatur zur Verfügung. Sie finden sie
auch in „° @)TEST@.
Zwei Zahlen, Variablen oder algebraische Ausdrücke, verknüpft mit einem
relationalen Operator, bilden einen logischen Ausdruck, der wahr (1.), falsch
(0.) oder nicht ausgewertet sein kann. Um festzustellen, ob ein logischer
Ausdruck wahr oder unwahr ist, stellen Sie ihn in die Stack-Ebene 1 und
drücken (μ). Beispiele:
μ, Ergebnis: 1. (wahr)
‘2>10’ μ, Ergebnis: 0. (unwahr)
‘2<10’
In dem nächsten Beispiel gehen wir davon aus, dass die Variable m nicht
initialisiert wurde (ihr wurde noch kein numerischer Wert zugewiesen);
‘2==m’ μ, Ergebnis: ‘2==m’
Die Tatsache, dass das Ergebnis nach der Auswertung dem Originalausdruck
entspricht, bedeutet, dass keine eindeutige Auswertung vorgenommen werden
kann.
Logische Operatoren
Logische Operatoren sind Ausdrücke, die in einfache logische Aussagen
integriert werden oder diese modifizieren können. Die verfügbaren logischen
Operatoren können über die nachstehende Tastenfolge aufgerufen werden:
„° @)TEST@ L.
Seite 21-48
Folgende Operatoren stehen zur Verfügung: AND, OR, XOR (exklusives oder),
NOT und SAME. Abhängig vom Wert der betroffenen logischen Aussage
erzeugen die Operatoren Ergebnisse die entweder wahr oder unwahr sind. Der
Operator NOT (Negation) arbeitet mit einzelnen logischen Aussagen. Alle
anderen verwenden immer zwei logische Aussagen.
Eine Auflistung aller möglichen Kombinationen für eine oder zwei Aussagen
zusammen mit dem Ergebnis der Anwendung eines bestimmten logischen
Operators führt zu einer Wahrheitstabelle für den Operator. Nachfolgend
finden Sie Wahrheitstabellen für alle im Taschenrechner verfügbaren logischen
Operatoren:
p
1
0
NOT p
0
1
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p AND q
1
0
0
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p OR q
1
1
1
0
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p XOR q
0
1
1
0
Seite 21-49
Auch der logische Operator SAME ist im Taschenrechner integriert. Hierbei
handelt es sich nicht um einen logischen Standardoperator. Dieser ermittelt, ob
zwei Objekte identisch sind. Ist dies der Fall, wird 1 (wahr) zurückgegeben, ist
dies nicht der Fall, wird 0 (unwahr) zurückgegeben. Geben Sie beispielsweise
folgende Übung im RPN-Modus ein, wird als Wert 0 zurückgegeben:
‘SQ(2)’ ` 4 ` SAME
Beachten Sie, dass bei der Verwendung von SAME der Begriff "identisch" sehr
genau ausgelegt wird. Aus diesem Grund ist SQ(2) nicht identisch mit 4,
obwohl der numerische Wert beider Ausdrücke 4 ergibt.
Programmverzweigung
Verzweigung eines Programmablaufes bedeutet, dass das Programm zwischen
zwei oder mehreren Abläufen entscheidet. Die UserRPL-Sprache stellt zu diesem
Zweck verschiedene Befehle zur Verfügung. Über nachfolgende Tastenfolge
können Sie das Menü mit diesen Befehlen erreichen:
„°@)@BRCH@
In diesem Menü finden Sie Untermenüs für die Befehlsanweisungen.
Die Konstrukte IF…THEN..ELSE…END und CASE…THEN…END werden als
Verzweigungskonstrukte bezeichnet. Die weiteren Anweisungen wie START,
FOR, DO und WHILE dienen zum Einfügen von Wiederholungen in ein
Programm und werden als Schleifenkonstrukte bezeichnet. Die zuletzt
genannten Anweisungen werden in einem späteren Absatz näher beschrieben.
Verzweigung mit IF
In diesem Absatz finden Sie Beispiele zu den Konstrukten IF…THEN…END und
IF…THEN…ELSE…END.
Seite 21-50
Das Konstrukt IF…THEN…END
IF…THEN…END ist die einfachste Form des IF-Konstruktes. Die allgemeine
Syntax des Befehls lautet wie folgt:
IF logische_Aussage THEN Programmschritte END.
Diese Anweisung arbeitet wie folgt:
1. Auswerten der logischen Aussage
2. Ist die logische Aussage wahr, Ausführung der Programmschritte und
Fortsetzung des Programmablaufs nach dem Befehl END.
3. Ist die logische Aussage unwahr, Überspringen der Programmschritte und
Fortsetzung des Programmablaufs nach dem Befehl END.
Um IF, THEN, ELSE und END einzugeben, verwenden Sie:
„°@)@BRCH@ @)@IF@@
Die Funktionen @@@IF@@ @@THEN @@ELSE@ @@ END@@ stehen in diesem Menü zur Verfügung,
müssen aber vom Anwender einzeln eingegeben werden. Alternativ dazu
können Sie das IF…THEN…END Konstrukt mit der nachstehenden Tastenfolge
direkt in den Stack eingeben:
„°@)@BRCH@ „ @)@IF@@
Hierdurch wird im Stack folgende Eingabe abgelegt:
Der Cursor befindet sich vor der IF-Anweisung und der Anwender muss nun
seine logische Aussage eingeben, die beim Ausführen des Programms dann
das IF-Konstrukt aktiviert.
Beispiel: Geben Sie das folgende Programm ein
Seite 21-51
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ EVAL END ”Done” MSGBOX » »
und speichern Sie es unter dem Namen ‘f1’. Drücken Sie J, um sich zu
vergewissern, dass die Variable @@@f1@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur
Verfügung steht. Prüfen Sie die folgenden Ergebnisse:
0
@@@f1@@@ Ergebnis: 0
1.2 @@@f1@@@ Ergebnis: 1.44
3.5 @@@f1@@@ Ergebnis: nichts passiert
10 @@@f1@@@ Ergebnis: nichts passiert
Diese Ergebnisse bestätigen, dass das IF…THEN...END-Konstrukt korrekt
arbeitet. Das Programm berechnet die Funktion f1(x) = x2, wenn x < 3
(anderenfalls erfolgt keine Ausgabe).
Das Konstrukt IF…THEN…ELSE…END
Das Konstrukt IF…THEN…ELSE…END führt zu, abhängig vom Wahrheitswert
der logischen Aussage, zwei verschiedenen Programmverläufen. Die
allgemeine Form der Anweisung sieht wie folgt aus:
IF logische_Aussage THEN Programmschritte_falls_wahr ELSE
Programmschritte_falls_unwahr END.
Dieses Konstrukt arbeitet wie folgt:
1. Auswerten der logischen Aussage
2. Ist die logische Aussage wahr, Ausführung der Programmschritte_falls_wahr
und Fortsetzen des Programmablaufs nach dem Befehl END.
3. Ist die logische Aussage unwahr, Ausführung der
Programmschritte_falls_unwahr und Fortsetzung des Programmablaufs nach
dem Befehl END.
Alternativ können Sie das Konstrukt IF…THEN...ELSE…END mit der
nachstehenden Tastenfolge direkt in den Stack eingeben:
„°@)@BRCH@ ‚ @)@IF@@
Hierdurch wird im Stack folgende Eingabe abgelegt:
Seite 21-52
Beispiel: Geben Sie das folgende Programm ein:
« → x « IF ‘x<3’ THEN ‘x^2‘ ELSE ‘1-x’ END EVAL ”Done” MSGBOX »
»
und speichern Sie es unter dem Namen ‘f2’. Drücken Sie J, um sich zu
vergewissern, dass die Variable @@@f2@@@ tatsächlich in Ihrem Variablen-Menü zur
Verfügung steht. Prüfen Sie die folgenden Ergebnisse:
0 @@@f2@@@ Ergebnis: 0
1.2 @@@f2@@@ Ergebnis: 1.44
3.5 @@@f2@@@ Ergebnis: -2.5 10 @@@f2@@@ Ergebnis: -9
Diese Ergebnisse bestätigen, dass das IF…THEN...ELSE...END-Konstrukt korrekt
arbeitet. Das Programm berechnet folgende Funktion:
⎧ x 2 , if x < 3
f 2 ( x) = ⎨
⎩1 − x, otherwise
Anmerkung: Für diesen speziellen Fall könnte als Alternative auch die
Funktion IFTE in folgender Form verwendet werden: ‘f2(x) = IFTE(x<3,x^2,1-x)’
Verschachtelte IF…THEN…ELSE…END Konstrukte
In den meisten Programmiersprachen, die über IF…THEN…ELSE…END
Konstrukte verfügen, sieht das allgemeine Format folgendermaßen aus:
IF logische_Aussage THEN
Programmschritte_falls_wahr
ELSE
Programmschritte_falls_unwahr
END
Seite 21-53
Wenn Sie ein Programm mit einer IF-Anweisung für den Taschenrechner
erstellen, können Sie zunächst den Code, wie oben dargestellt, von Hand
notieren. Für Programm @@@f2@@@ könnten Sie beispielsweise folgendes schreiben:
IF x<3 THEN
x2
ELSE
1-x
END
Dieses Konstrukt funktioniert einwandfrei, wenn Ihre Funktion nur zwei
Verzweigungen hat. Bei Funktionen mit drei oder mehr Verzweigungen müssen
Sie die IF...THEN...ELSE...END Anweisungen ineinander verschachteln.
Betrachten Sie beispielsweise folgende Funktion:
⎧
x 2 , if x < 3
⎪
⎪⎪ 1 − x, if 3 ≤ x < 5
f 3 ( x) = ⎨ sin( x), if 5 ≤ x < 3π
⎪exp( x), if 3π ≤ x < 15
⎪
⎪⎩ − 2, elsewhere
Folgendes wäre ein möglicher Weg, diese Funktion mit IF… THEN … ELSE …
END Konstrukten zu berechnen:
IF x<3 THEN
x2
ELSE
IF x<5 THEN
1-x
ELSE
IF x<3π THEN
sin(x)
ELSE
IF x<15 THEN
Seite 21-54
exp(x)
ELSE
-2
END
END
END
END
Ein komplexes IF-Konstrukt wie dieses wird verschachteltes IF … THEN … ELSE
… END-Konstrukt genannt.
Eine Möglichkeit f3(x) , mit einem verschachtelten IF-Konstrukt zu berechnen,
wäre das folgende Programm:
« → x « IF ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ ELSE IF ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ ELSE IF
‘x<3*π‘ THEN ‘SIN(x)‘ ELSE IF ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ ELSE –2 END
END END END EVAL » »
Speichern Sie das Programm in die Variable @@@f3@@@ und versuchen Sie Folgende
Berechnungen:
1.5 @@f3@@@
2.5
4.2
5.6
12
23
@@@f3@@@
@@@f3@@@
@@@f3@@@
@@@f3@@@
@@@f3@@@
Ergebnis: 2.25 (d.h., x2)
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
6.25 (d.h., x2)
-3.2 (d.h., 1-x)
-0.631266… (d.h., sin(x), x in Bogenmaß)
162754.791419 (d.h., exp(x))
-2. (d.h., -2)
Das CASE-Konstrukt
Das Konstrukt CASE wird zum Programmieren von Verzweigungen mit mehreren
möglichen Programmverläufen verwendet, ähnlich der verschachtelten IFAnweisung die weiter oben gezeigt wurde. Die allgemeine Form dieses
Konstrukts sieht wie folgt aus:
CASE
Logische_Aussage1 THEN Programmschritte1 END
Logische_Aussage2 THEN Programmschritte2 END
Seite 21-55
.
.
.
Logische_Aussage THEN Programmschritte END
Standart_Programmschritte (optional)
END
Bei der Auswertung dieser Anweisung testet das Programm jede einzelne
logische Aussage, bis es eine findet, die wahr ist. Das Programm führt dann die
entsprechenden Programmschritte aus und fährt mit dem Programm nach dem
Befehl END fort.
Die Anweisungen CASE, THEN und END finden Sie mit der Tastenfolge
„°@)@BRCH@ @)CASE@ .
Wenn Sie sich im Menü BRCH befinden, d.h., („°@)@BRCH@ ), können Sie die
folgenden Tastenkürzel verwenden, um Ihr CASE-Konstrukt einzugeben (Die
Position des Cursors wird durch das Symbol angezeigt):
•
„@)CASE@: Startet das Case-Konstrukt mit den Eingabeaufforderungen:
CASE THEN END END
•
‚@)CASE@: Beendet eine CASE-Zeile, indem es THEN END anfügt.
Beispiel – Programm f3(x) mit einem CASE-Konstrukt
Die Funktion wird durch die folgenden 5 Ausdrücke definiert:
⎧
x 2 , if x < 3
⎪
⎪⎪ 1 − x, if 3 ≤ x < 5
f 3 ( x) = ⎨ sin( x), if 5 ≤ x < 3π
⎪exp( x), if 3π ≤ x < 15
⎪
⎩⎪ − 2, elsewhere
Mit CASE-Anweisungen in der UserRPL-Sprache können wir diese Funktion wie
folgt codieren:
Seite 21-56
« → x « CASE ‘x<3‘ THEN ‘x^2‘ END ‘x<5‘ THEN ‘1-x‘ END ‘x<3*π‘
THEN ‘SIN(x)‘ END ‘x<15‘ THEN ‘EXP(x)‘ END –2 END EVAL » »
Speichern Sie das Programm unter @@f3c@. Versuchen Sie dann die folgenden
Beispiele:
1.5
@@f3c@
Ergebnis: 2.25 (d.h., x2)
2.5
4.2
5.6
12
23
@@f3c@
@@f3c@
@@f3c@
@@f3c@
@@f3c@
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
6.25 (d.h., x2)
-3.2 (d.h., 1-x)
-0.631266… (d.h., sin(x), x in Bogenmaß)
162754.791419 (d.h., exp(x))
-2. (d.h., -2)
Wie Sie sehen, erzeugt f3c genau die gleichen Ergebnisse wie f3. Der einzige
Unterschied liegt in den Konstrukten für die Verzweigungen. Bei der Funktion
f3(x), die 5 verschiedene Ausdrücke für die Definition verwendet, ist die CASEAnweisung vielleicht einfacher zu codieren als eine Anzahl verschachtelter IF …
THEN … ELSE … END Konstrukte.
Programmschleifen
Bei Programmschleifen handelt es sich um Konstrukte, über die das Programm
eine bestimmte Anzahl von Aussagen wiederholt. Angenommen Sie möchten
die Gesamtsumme der Quadrate der Integer-Zahlen von 0 bis n berechnen,
d.h.
n
S = ∑k2
k =0
Um diese Summe zu berechnen, müssen Sie im Gleichungs-Editor nur ‚½
eingeben und dann die Grenzwerte und Ausdrücke für die Summenbildung
laden (Beispiele hierzu finden Sie in den Kapiteln 2 und 13). Um den Einsatz
von Programmschleifen zu veranschaulichen, werden wir diese Summenbildung
mit unserem eigenen UserRPL-Code berechnen. UserRPL bietet vier
verschiedene Konstrukte zur Programmierung von Programmschleifen, START,
FOR, DO und WHILE. Die Konstrukte START und FOR verwenden einen Index
Seite 21-57
oder Zähler, um festzulegen, wie oft die Schleife ausgeführt werden soll. Die
Konstrukte DO und WHILE verwenden eine logische Aussage, um zu
entscheiden, wann eine Schleife verlassen wird. Eine genauere Erläuterung zum
Verwenden der Schleifenbefehle finden Sie im nächsten Absatz.
Das Konstrukt START
START verwendet zwei Werte eines Index, um eine Anzahl an Anweisungen
wiederholt auszuführen. Es gibt zwei verschiedene START-Konstrukte:
START…NEXT und START … STEP. START…NEXT wird verwendet, wenn der
Index jeweils um 1 erhöht wird. START…STEP wird.
Die Befehle des START-Konstruktes rufen Sie wie folgt auf:
„°@)@BRCH@ @)START @START
Innerhalb des Menüs BRCH („°@)@BRCH@) stehen folgende Tastenfolgen zum
Erstellen eines START-Konstruktes zur Verfügung (das Symbol zeigt die CursorPosition):
•
„ @START : Startet das START…NEXT Konstrukt: START NEXT
•
‚ @START : Startet das START…STEP Konstrukt: START STEP
Das START…NEXT-Konstrukt
Die allgemeine Form der Anweisung sieht wie folgt aus:
Startwert Endwert START Programmschritte NEXT
Da in diesem Fall das Inkrement 1 ist, sollten Sie sicherstellen, dass Startwert
< Endwert, damit die Schleife beendet werden kann. Anderenfalls kommt es
zu einer so genannten Endlosschleife.
Seite 21-58
Beispiel – Berechnen der oben definierten Summenbildung S
Das START…NEXT-Konstrukt hat einen Index, auf dessen Wert der Anwender
nicht zugreifen kann. Da für die Berechnung aber der Index selbst erforderlich
ist (in diesem Fall k), erstellen wir einen eigenen Index k, der innerhalb der
Schleife, jedes Mal wenn das Programm die Schleife durchläuft, erhöht wird.
Nachfolgendes Programm stellt eine Möglichkeit dar, S zu berechnen:
« 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1. ‘k‘ STO+ ‘S‘ STO
NEXT S “S” TAG » »
Geben Sie das Programm in Ihren Taschenrechner ein und speichern Sie dieses
unter @@@S1@@@.
Nachfolgend eine kurze Erläuterung zur Arbeitsweise des Programms:
1. Das Programm benötigt als Eingabe eine Ganzzahl. Vor Ausführen des
Programms befindet sich diese Zahl (n) in Stack-Ebene 1. Das Programm
wird gestartet.
2. Eine Null wird eingegeben und n in die Stack-Ebene 2 geschoben.
3. Der Befehl DUP, der über die Tastenfolge ~~dup~ eingegeben
werden kann, kopiert den Inhalt der Stack-Ebene 1, verschiebt alle StackEbenen nach oben und schreibt die gerade erstellte Kopie in Stack-Ebene
1. Nachdem DUP ausgeführt wurde, befindet sich n in Stack-Ebene 3 und
die Ebenen 1 und 2 enthalten Nullen.
4. Der Programmcode → n S k speichert die Werte von n, 0 und 0 in den
lokalen Variablen n, S, k. Man sagt, dass die Variablen n, S und k
initialisiert wurden (S und k auf 0 und n auf den Wert, den der Anwender
ausgewählt hat).
5. Der Programmcode 0. n START beschreibt eine START-Schleife deren
Index die Werte 0, 1, 2, …, n annehmen wird.
6. Die Summe S wird durch den folgenden Programmcode um k2 erhöht: k
SQ S +
7. Der Index k wird durch den folgenden Programmcode um 1 erhöht: 1. k
+
8. An dieser Stelle stehen die aktuellen Werte für S und k in den StackEbenen 2 und 1. Der Programmcode ‘k‘ STO speichert den Wert der
Stack-Ebene 1 in die lokale Variable k. Danach steht der aktuelle Wert
Seite 21-59
von S in Stack-Ebene 1.
9. Der Programmcode ‘S‘ STO speichert den Wert der Stack-Ebene 1 in der
lokalen Variable k. Danach ist der Stack leer.
10. Der Programmteil NEXT erhöht den Index um 1 und setzt das
Programm an den Beginn der Schleife (Schritt 6).
11. Die Schleife wird wiederholt, bis der Index den maximalen Wert n erreicht
hat.
12. Der letzte Teil des Programms ruft den letzten Wert von S (die Summe) auf,
kennzeichnet diesen und schreibt ihn in Stack-Ebene 1, wo dieser dann als
Ausgabe angezeigt wird.
Um das Programm Schritt für Schritt zu betrachten, können Sie den Debugger
wie folgt verwenden (n = 2). SL1 bedeutet Stack-Ebene 1:
J2[‘] @@@S1@@ `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
Schreiben Sie eine 2 in Ebene 2 und den
Programmnamen ‚S1’ in Ebene 1
Starten der Fehlersuche (des Debuggers)
SL1 = 2.
SL1 = 0., SL2 = 2.
SL1 = 0., SL2 = 0., SL3 = 2. (DUP)
Leeren des Stacks (-> n S k)
Leeren des Stacks (Ç - Starten des
Unterprogramms)
SL1 = 0., (Startwert des Schleifenindex)
SL1 = 2.(n), SL2 = 0 (Endwert des
Schleifenindex)
Leeren des Stacks (START –
Beginn der Schleife)
--- Erster Durchlauf der Schleife für k = 0
@SST↓@
SL1 = 0. (k)
@SST↓@
SL1 = 0. (SQ(k) = k2)
@SST↓@
SL1 = 0.(S), SL2 = 0. (k2)
@SST↓@
SL1 = 0. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 1., SL2 = 0. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 0.(k), SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2)
Seite 21-60
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
SL1 = 1.(k+1), SL2 = 0. (S + k2)
SL1 = ‘k’, SL2 = 1., SL3 = 0. (S + k2)
SL1 = 0. (S + k2) [Speichert den Wert von
SL2 = 1, in SL1 = ‚k’]
SL1 = ‘S’, SL2 = 0. (S + k2)
Leeren des Stacks [Speichert Wert von
SL2 = 0, in SL1 = ‚S’ ]
Leeren des Stacks (NEXT –
Ende der Schleife)
--- Zweiter Durchlauf der Schleife für k = 1
@SST↓@
SL1 = 1. (k)
@SST↓@
SL1 = 1. (SQ(k) = k2)
@SST↓@
SL1 = 0.(S), SL2 = 1. (k2)
@SST↓@
SL1 = 1. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 1., SL2 = 1. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 1.(k), SL2 = 1., SL3 = 1. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 2.(k+1), SL2 = 1. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = ‘k’, SL2 = 2., SL3 = 1. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 1. (S + k2) [Speichert den Wert von
SL2 = 2, in SL1 = ‚k’]
@SST↓@
SL1 = ‘S’, SL2 = 1. (S + k2)
@SST↓@
Leeren des Stacks [Speichert den Wert von
SL2 = 1, in SL1 = ‚S’ ]
@SST↓@
Leeren des Stacks (NEXT – Ende der Schleife)
--- Dritter Durchlauf der Schleife für k = 2
@SST↓@
SL1 = 2. (k)
@SST↓@
SL1 = 4. (SQ(k) = k2)
@SST↓@
SL1 = 1.(S), SL2 = 4. (k2)
@SST↓@
SL1 = 5. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 1., SL2 = 5. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 2.(k), SL2 = 1., SL3 = 5. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = 3.(k+1), SL2 = 5. (S + k2)
@SST↓@
SL1 = ‘k’, SL2 = 3., SL3 = 5. (S + k2)
Seite 21-61
SL1 = 5. (S + k2) [Speichert den Wert von
SL2 = 3, in SL1 = ‚k’]
SL1 = ‘S’, SL2 = 5. (S + k2)
Leeren des Stacks [Speichert den Wert von
SL2 = 0, in SL1 = ‚S’ ]
Leeren des Stacks (NEXT –
Ende der Schleife)
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
@SST↓@
--- bei n = 2 ist der Schleifenindex verbraucht und das Programm fährt mit den
Anweisungen nach NEXT fort
@SST↓@
SL1 = 5 (S wird in den Stack geladen)
@SST↓@
SL1 = “S”, SL2 = 5 (“S” wird in den Stack
geschrieben)
@SST↓@
SL1 = S:5 (markieren des Ausgabewerts)
@SST↓@
SL1 = S:5 (Unterprogramm verlassen È)
@SST↓@
SL1 = S:5 (Hauptprogramm verlassen È)
Die Schritt-für-Schritt-Auflistung ist hier beendet. Das Ergebnis des Programms
@@@S1@@ mit n = 2 beträgt S:5.
Prüfen Sie auch die folgenden Ergebnisse: J
3
5
10
30
@@@S1@@
@@@S1@@
@@@S1@@
@@@S1@@
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
S:14
S:55
S:385
S:9455
4
8
20
100
@@@S1@@
@@@S1@@
@@@S1@@
@@@S1@@
Ergebnis: S:30
Ergebnis: S:204
Ergebnis: S:2870
Ergebnis: S:338350
Das START…STEP Konstrukt
Die allgemeine Form des Konstrukts lautet wie folgt:
Startwert Endwert START Programmschritte Inkrement NEXT
Startwert, Endwert und Inkrement des Schleifenindex können positive oder
negative Werte haben. Bei einem Inkrement > 0 wird die Schleife so lange
ausgeführt, wie der Index kleiner oder gleich Endwert ist. Bei einem
Seite 21-62
Inkrement < 0 wird die Schleife so lange ausgeführt, wie der Index größer
oder gleich Endwert ist.
Beispiel – Erstellen einer Werteliste
Nehmen Sie an, dass Sie eine Werteliste für x von x = 0.5 bis x = 6.5 in
Schritten von 0.5 erstellen wollen. Dafür können Sie das folgende Programm
verwenden:
« → xs xe dx « xs DUP xe START DUP dx + dx STEP DROP xe
xs – dx / ABS 1 + →LIST » »
und es in die Variable @GLIST speichern.
In diesem Programm sind xs = Startwert der Schleife, xe = Endwert der Schleife
und dx = Inkrement der Schleife. Das Programm schreibt Werte für xs, xs+dx,
xs+2⋅dx, xs+3⋅dx, … in den Stack. Dann errechnet es mit dem folgenden
Programmcode die Anzahl der erstellten Elemente:
xe xs – dx / ABS 1. +
Am Ende erstellt das Programm eine Liste mit den Elementen aus dem Stack.
•
•
Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIST
folgende Liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5} erstellt.
Um die Schritt-für-Schritt-Ausführung anzusehen, verwenden Sie das
Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise:
J1 # 1.5 # 0.5 `
[ ‘ ] @GLIST `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Parameter 1 1.5 0.5 eingeben
Programmnamen in Ebene 1
Start der Fehlersuche (des
Debuggers)
Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten,
wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden.
Seite 21-63
Das FOR-Konstrukt
Wie beim START-Konstrukt, gibt es auch bei FOR zwei Varianten: Das
FOR…NEXT-Konstrukt, bei einer Erhöhung des Index um 1 und das FOR…STEPKonstrukt mit einer Erhöhung des Index, um eine Zahl, die vom Anwender selbst
auszuwählen ist. Anders als beim START-Konstrukt, müssen wir bei FOR für den
Schleifenindex einen Namen vergeben (z.B. j, k, n). Wir müssen uns aber nicht
wie bei START um die Erhöhung des Index selbst kümmern. Der entsprechende
Wert des Index kann für weitere Berechnungen verwendet werden.
Die Befehle des FOR-Konstrukts rufen Sie wie folgt auf:
„°@)@BRCH@ @)@FOR
Innerhalb des Menüs BRCH („°@)@BRCH@) stehen folgende Tastenfolgen zur
Verfügung, um ein FOR-Konstrukt zu erstellen (das Symbol zeigt die CursorPosition):
•
„ @)@FOR: Startet das FOR…NEXT- Konstrukt: FOR NEXT
•
‚ @)@FOR: Startet das FOR…STEP- Konstrukt: FOR STEP
Das FOR…NEXT-Konstrukt
Die allgemeine Form der Anweisung sieht wie folgt aus:
Startwert Endwert FOR Schleifenindex Programmschritte
NEXT
Um eine Endlosschleife zu verhindern, stellen Sie sicher, dass Startwert <
Endwert ist.
Beispiel – Berechnung der Summenbildung S mit einem FOR…NEXT Konstrukt
Das folgende Programm berechnet die Summenbildung
Seite 21-64
n
S = ∑k2
k =0
Verwenden Sie eine FOR…NEXT-Schleife:
« 0 → n S « 0 n FOR k k SQ S + ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » »
Speichern Sie dieses neue Programm in der Variable @@S2@@. Versuchen Sie
folgende Beispiele: J
3 @@@S2@@
Ergebnis: S:14
4 @@@S2@@
Ergebnis: S:30
5 @@@S2@@
Ergebnis: S:55
8 @@@S2@@
Ergebnis: S:204
10 @@@S2@@
Ergebnis: S:385
20 @@@S2@@
Ergebnis: S:2870
30 @@@S2@@
Ergebnis: S:9455
100 @@@S2@@
Ergebnis: S:338350
Sicher werden Sie schon bemerkt haben, dass dieses Programm sehr viel
einfacher ist als das unter @@@S1@@ gespeicherte. Der Index k muss innerhalb des
Programms weder initialisiert noch inkrementiert werden. Das Programm selbst
übernimmt diese Aufgaben.
Das FOR…STEP-Konstrukt
Die allgemeine Form des Konstrukts sieht wie folgt aus:
Startwert Endwert FOR Schleifenindex Programmschritte
Inkrement STEP
Startwert, Endwert und Inkrement des Schleifenindex können positive oder
negative Werte sein. Bei einem Inkrement > 0 wird die Schleife so lange
ausgeführt, wie der Index kleiner oder gleich Endwert ist. Bei einem
Inkrement < 0 wird die Schleife so lange ausgeführt, wie der Index größer
oder gleich Endwert ist. Die Programmanweisungen werden mindestens ein
Mal ausgeführt (z.B. gibt 1 0 START 1 1 STEP 1 zurück).
Beispiel – Erstellen einer Werteliste mit einem FOR…STEP-Konstrukt
Geben Sie das folgende Programm ein
Seite 21-65
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + → n « xs xe FOR x x
dx STEP n →LIST » » »
und speichern Sie dies in der Variable @GLIS2 .
•
•
Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS2
folgende Liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5} erstellt.
Um die Ausführung Schritt für Schritt anzusehen, verwenden Sie das
Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise:
J1 # 1.5 # 0.5 `
[‘] @GLIS2 `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Parameter 1 1.5 0.5 eingeben
Programmnamen in Ebene 1
Start der Fehlersuche
(des Debuggers)
Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten,
wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden.
Das DO-Konstrukt
Die allgemeine Form des Konstrukts sieht wie folgt aus:
DO Programmschritte UNTIL logische_Aussage END
Das DO-Konstrukt startet eine unendliche Schleife und führt die
Programmschritte aus, bis die logische Aussage FALSE (0) zurückgibt. Die
logische_Aussage muss den Wert eines Index enthalten, dessen Wert durch
die Programmschritte verändert wird.
Beispiel 1 – Dieses Programm erzeugt in der oberen linken Ecke der Anzeige
einen Zähler, der in einer Endlosschleife 1 aufaddiert, bis durch Drücken auf
eine Taste der Zähler gestoppt wird: « 0 DO DUP 1 DISP 1 + UNTIL KEY
END DROP »
Der Ausdruck KEY wird TRUE, sobald eine Taste gedrückt wird.
Beispiel 2 – Berechnen der Summenbildung S mit einer DO...UNTIL...ENDSchleife
Seite 21-66
Das folgende Programm berechnet die Summenbildung
n
S = ∑k2
k =0
Verwenden Sie eine DO…UNTIL…END-Schleife:
« 0. → n S « DO n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO UNTIL ‘n<0‘ END
S “S” TAG » »
Speichern Sie das neue Programm in der Variable @@S3@@. Versuchen Sie
folgendes Beispiel: J
3 @@@S3@@
Ergebnis: S:14
4 @@@S3@@
Ergebnis: S:30
5 @@@S3@@
Ergebnis: S:55
8 @@@S3@@
Ergebnis: S:204
10 @@@S3@@
Ergebnis: S:385
20 @@@S3@@
Ergebnis: S:2870
30 @@@S3@@
Ergebnis: S:9455
100 @@@S3@@
Ergebnis: S:338350
Beispiel 3 – Erzeugen einer Liste mit einem DO...UNTIL...END-Konstrukt
Geben Sie das folgende Programm ein
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs DO
‘x+dx’ EVAL DUP ‘x’ STO UNTIL ‘x≥xe’ END n →LIST » » »
und speichern es in der Variable @GLIS3 .
•
•
Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS3
folgende Liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5} erstellt.
Um die Ausführung Schritt für Schritt zu betrachten, verwenden Sie das
Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise:
J1 # 1.5 # 0.5 `
[‘] @GLIS3 `
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Parameter 1 1.5 0.5 eingeben
Programmnamen in Ebene 1
Start der Fehlersuche (des
Debuggers)
Seite 21-67
Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten,
wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden.
Das WHILE-Konstrukt
Die allgemeine Form des Konstrukts sieht wie folgt aus:
WHILE logische_Aussage REPEAT Programmschritte END
Der Befehl WHILE wiederholt die Programmschritte so lange, wie die
logische_Aussage wahr ist (nicht Null). Ist dies nicht mehr der Fall, fährt
das Programm mit den Befehlen direkt nach END fort. Die
Programmschritte müssen einen Index enthalten, der geändert wird, bevor
die logische_Aussage zu Beginn der nächsten Wiederholung überprüft
wird. Anders als beim Befehl DO, wird die Schleife, wenn die Überprüfung der
logischen_Aussage beim ersten Mal unwahr zurück gibt, nie ausgeführt.
Beispiel 1 – Berechnung der Summenbildung S mit einem
WHILE…REPEAT…END-Konstrukt
Das folgende Programm berechnet die Summenbildung
n
S = ∑k2
k =0
Verwenden einer WHILE…REPEAT…END
« 0. → n S « WHILE ‘n≥0‘ REPEAT n SQ S + ‘S‘ STO n 1 – ‘n‘ STO
END S “S” TAG » »
Speichern Sie das neue Programm in der Variable @@S4@@. Versuchen Sie folgende
Beispiele: J
3
5
10
30
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
S:14
S:55
S:385
S:9455
4
8
20
100
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
@@@S4@@
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
Ergebnis:
S:30
S:204
S:2870
S:338350
Seite 21-68
Beispiel 2 – Erzeugen einer Liste mit einer WHILE…REPEAT...END-Schleife
Geben Sie das folgende Programm ein:
« → xs xe dx « xe xs – dx / ABS 1. + xs → n x « xs WHILE
‘x<xe‘ REPEAT ‘x+dx‘ EVAL DUP ‘x‘ STO END n →LIST » » »
und speichern Sie es in der Variable @GLIS4 .
•
•
Prüfen Sie, ob der Programmaufruf 0.5 ` 2.5 ` 0.5 ` @GLIS4
folgende Liste {0.5 1. 1.5 2. 2.5} erstellt.
Um die Ausführung Schritt für Schritt zu betrachten, verwenden Sie das
Programm DBUG für eine kurze Liste, beispielsweise:
J1 # 1.5 # 0.5 `
Parameter 1 1.5 0.5 eingeben
[‘] @GLIS4 `
Programmnamen in Ebene 1
„°LL @)@RUN@ @@DBG@
Start der Fehlersuche (des
Debuggers)
Verwenden Sie @SST↓@ , um in das Programm zu springen und zu beobachten,
wie die einzelnen Anweisungen abgearbeitet werden.
Fehler und Fehler auffangen
Mithilfe der Funktionen des Untermenüs PRG/ERROR können Sie Fehler im
Taschenrechner behandeln und Fehler in Programmen auffangen. Das Menü
PRG/ERROR kann mit der Tastenfolge „°LL@)ERROR@ aufgerufen
werden. Es enthält die folgenden Funktionen und Untermenüs:
DOERR
Diese Funktion simuliert einen benutzerdefinierten Fehler, wobei sich der
Taschenrechner so verhält, als wäre dieser Fehler tatsächlich aufgetreten. Der
Funktion kann als Argument eine Ganzzahl, eine binäre Ganzzahl, eine
Fehlermeldung oder eine Null (0) übergeben werden. Geben Sie beispielsweise
Seite 21-69
im RPN-Modus 5` @DOERR ein, erscheint die folgende Fehlermeldung:
Error: Memory Clear (Fehler: Speicher leer).
Wenn Sie #11h ` @DOERR eingeben, erscheint die folgende Meldung: Error:
Undefined FPTR Name (Fehler: nicht definierter FPTR Name)
Wenn Sie “TRY AGAIN” ` @DOERR eingeben, bekommen Sie die Meldung:
TRY AGAIN (VERSUCHEN SIE ES ERNEUT)
Schließlich erzeugt 0` @DOERR die folgende Meldung: Interrupted
(unterbrochen)
ERRN
Diese Funktion gibt die Kennziffer des letzten Fehlers zurück. Wenn Sie
beispielsweise 0Y$@ERRN versuchen, erscheint die Nummer #305h.
Diese binäre Ganzzahl steht für den Fehler Infinite Result (unendliches
Ergebnis)
ERRM
Diese Funktion gibt eine Zeichenkette mit der Meldung des letzten Fehlers
zurück. Wenn Sie z.B. im Approx.-Modus 0Y$@ERRM eingeben, erhalten
Sie die folgende Zeichenkette: “Infinite Result” (unendliches Ergebnis)
ERR0
Mit dieser Funktion wird die letzte Fehlernummer gelöscht, sodass die Funktion
ERRN nachher im Approx-Modus #0h zurückgibt. Wenn Sie beispielsweise
0Y$@ERR0 @ERRN versuchen, erhalten Sie # 0h. Versuchen Sie hingegen
0Y$@ERR0 @ERRM einzugeben, erhalten Sie eine leere Zeichenkette “ “.
LASTARG
Diese Funktion gibt Kopien der Argumente des zuletzt ausgeführten Befehls
oder der zuletzt ausgeführten Funktion zurück. Wenn Sie im RPN-Modus
3/2` eingeben und dann LASTARG (@LASTA) drücken, werden im
Seite 21-70
Stack die Werte 3 und 2 aufgelistet. Geben Sie im RPN-Modus 5U`
ein, gibt LASTARG eine 5 aus.
Untermenü IFERR
Das Untermenü @)IFERR bietet die folgenden Funktionen:
Dies sind die Anweisungen der IFERR … THEN … END oder IFERR … THEN …
ELSE … END-Konstrukte. Mit beiden logischen Konstrukten können Fehler, die
bei der Programmausführung auftreten, abgefangen werden. Wenn Sie im
Untermenü @)ERROR „@)IFERR oder ‚@)IFERR eingeben, werden die
Komponenten der IFERR-Konstrukte in den Stack geschrieben und können dort
vom Benutzer vervollständigt werden:
Die allgemeine Form der beiden Konstrukte sieht wie folgt aus:
IF Abfangausdruck THEN Fehlerausdruck END
IF Abfangausdruck THEN Fehlerausdruck ELSE Normalausdruck END
Die Arbeitsweise dieser logischen Konstrukte entspricht denen, die Sie bei IF …
THEN … END und IF … THEN … ELSE … END bereits kennen gelernt haben.
Wird während der Ausführung der Abfangausdrücke ein Fehler entdeckt, wird
der Fehlerausdruck ausgeführt. In allen anderen Fällen wird der
Normalausdruck ausgeführt.
Betrachten Sie beispielsweise das folgende Programm (@ERR1), das als Eingabe
zwei Matrizen A und b verwendet und dabei den Abfangausdruck A b / auf
Fehler prüft (RPN-Modus, also A/b). Tritt ein Fehler auf, ruft das Programm die
Seite 21-71
Funktion LSQ (Least SQuares, siehe Kapitel 11) auf, um das Gleichungssystem
zu lösen:
« A b « IFERR A b / THEN LSQ END » »
Testen Sie das Programm mit den Argumenten A = [ [ 2, 3, 5 ] , [1, 2, 1 ] ] und
b = [ [ 5 ] , [ 6 ] ]. Eine einfache Division dieser Argumente verursacht einen
Fehler: /Error: Invalid Dimension.
Mit der Fehlerabfrage des Programms @ERR1 jedoch ergibt sich mit den gleichen
Argumenten: [0.262295…, 0.442622…].
Programmieren in UserRPL im algebraischen Modus
Obwohl alle Programme, die wir bisher vorgestellt haben, im RPN-Modus
erstellt und auch ausgeführt wurden, können Sie, wenn Sie sich im
algebraischen Modus befinden, Programme auch mithilfe der Funktion RPL> in
UserRPL eingeben. Die Funktion wird über den Befehlskatalog aufgerufen.
Versuchen Sie als Beispiel das folgende Programm im ALG-Modus einzugeben
und speichern Sie dies in der Variablen P2:
« → X ‘2.5-3*X^2’ »
Starten Sie zuerst die RPL> Funktion aus dem Befehlskatalog (‚N). Alle im
ALG-Modus gestarteten Funktionen werden mit einem Klammerpaar an den
Funktionsnamen angehängt dargestellt. Die Funktion RPL> ist hier keine
Ausnahme. Bevor Sie aber ein Programm in das Display eingeben, müssen Sie
diese Klammern entfernen. Zum Löschen der Klammern aus der RPL>()
Anweisung verwenden Sie die Pfeiltasten (š™) sowie die Löschtaste (ƒ).
An dieser Stelle können Sie das RPL-Programm eingeben. Nachfolgende
Abbildung zeigt den RPL> Befehl zusammen mit dem Programm vor und nach
Drücken der Taste `.
Zum Speichern des Programms verwenden Sie den Befehl STO.
Seite 21-72
„îK~p2`
Eine Auswertung des Programms P2 für das Argument X = 5 wird in der
nachfolgenden Abbildung dargestellt:
Obwohl Sie im ALG-Modus Programme erstellen können, werden ohne
Benutzung der Funktion RPL> einige RPL-Konstrukte Fehlermeldungen
hervorrufen, sobald Sie ` drücken. Ein Beispiel:
Verwenden Sie dagegen RPL>, gibt es beim Laden des Programms im ALGModus keine Probleme:
Seite 21-73
Kapitel 22
Programme zum Manipulieren von Grafiken
Dieses Kapitel enthält einige Beispiele, mit denen die Funktionen des
Taschenrechners für interaktive bzw. programmgesteuerte Manipulierung von
Grafiken erläutert werden. Wie in Kapitel 21, empfiehlt sich auch hier die
Verwendung des RPN-Modus, sowie das Setzen des Systemflags 117 auf SOFT
menus. « »
In Kapitel 12 wurden mehrere Grafikanwendungen des Taschenrechners
vorgeführt. Die Beispiele in Kapitel 12 haben die interaktive Erzeugung von
Grafiken mithilfe der vorprogrammierten Eingabemasken des Taschenrechners
behandelt. Grafiken können auch in Ihren Programmen eingesetzt werden, z.B.
für die Verdeutlichung der numerischen Ergebnisse. Für die Lösung solcher
Aufgaben werden zuerst die Funktionen im Menü PLOT beschrieben.
Das Menü PLOT
Befehle zum Einstellen und Erstellen von Grafiken finden Sie im Menü PLOT. Ins
Menü PLOT gelangen Sie mit nachfolgender Tastenfolge: 81.0
1„°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@.
Das so erzeugte Menü erlaubt dem Anwender Zugang zu einer Vielzahl von
Grafik-Funktionen. Definieren wir die Taste C (GRAPH) für einen einfachen
Zugang zum beschriebenen Menü, für die nachfolgenden Beispiele.
Benutzerdefinierte Taste für das Menü PLOT
Verwenden Sie die nachfolgende Tastenfolge, um zu überprüfen, ob auf dem
Taschenrechner bereits benutzerdefinierte Tasten gespeichert wurden.
„°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLKE@.
Seite 22-1
Falls keine benutzerdefinierten Tasten gespeichert sind, wird eine Liste mit einem
S zurückgegeben (z.B. {S}). Dies bedeutet, dass auf Ihrem Taschenrechner nur
die standardmäßige Tastendefinition gespeichert ist.
Um eine Taste als benutzerdefinierte Taste zu belegen, müssen Sie zu dieser
Liste eine Anweisung bzw. ein Programm, gefolgt von der Angabe der Taste
hinzufügen (mehr dazu finden Sie in Kapitel 20). Geben Sie die nachfolgende
Liste { 8 << 81.01 MENU >> 13.0 } in den Stack ein und verwenden
Sie die Funktion STOKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@), um die Taste
C als Zugriffstaste für das Menü PLOT zu definieren. Mit „°L@)MODES
@)@KEYS@ @@RCLK@ können Sie überprüfen, ob die Liste im Taschenrechner gespeichert
wurde.
Anmerkung: Bei der Beschreibung des Menüs PLOT, sowie seiner Funktionen oder Untermenüs, werden keine Beispiele aufgeführt. In diesem
Abschnitt werden wir uns mehr auf die Inhalte des Menüs PLOT in Bezug auf
verschiedene Grafikarten konzentrieren.
Um eine benutzerdefinierte Taste zu aktivieren, müssen Sie vor Drücken der
gewünschten Taste oder Tastenfolge, erst „Ì drücken (genau wie bei der
Taste ~). Um das Menü PLOT mit der oben angegebenen Tastendefinition zu
starten, drücken Sie „ÌC. Das folgende Menü erscheint (drücken Sie
L, um zum zweiten Menü zu gelangen).
Beschreibung des Menüs PLOT
Die folgende Abbildung zeigt die Einträge des Menüs PLOT. Die Zahlen
oberhalb der Menüs und Funktionen dienen als Referenz in der nachfolgenden
Beschreibung dieser Objekte.
Seite 22-2
Die Funktionstasten 3D, STAT, FLAG, PTYPE und PPAR haben auch eigene
Untermenüs, die zu einem späteren Zeitpunkt ausführlicher beschrieben werden.
An dieser Stelle werden nur die Funktionen beschrieben, die im Menü Nummer
81.02 direkt mit den Funktionstasten aufgerufen werden können. Diese
Funktionen lauten:
LABEL (10)
Mit der Funktion LABEL werden die Achsen eines Plots beschriftet, einschließlich
der Variablennamen bzw. der unteren Grenzwerte und oberen Grenzwerte der
Achsen. Die Namen der Variablen werden aus den Informationen in der
Variable PPAR zusammengestellt.
AUTO (11)
Die Funktion AUTO (AUTO Maßstab) berechnet den Anzeigebereich für die yAchse oder für beide Achsen (x und y) in zweidimensionalen Plots, je nach
Plottyp, der in PPAR definiert wurde. Bei dreidimensionalen Grafiken hat die
Funktion AUTO keine Auswirkungen. Bei zweidimensionalen Plots werden von
der Funktion AUTO die folgenden Aktionen ausgeführt:
• FUNCTION
• CONIC
• POLAR
: Je nach Plotbereich von x, berechnet die Funktion einige
Werte für EQ; anschließend der größte und der kleinste
Wert von y bestimmt.
: Der Maßstab der y-Achse wird mit dem der x-Achse gleich
gesetzt.
: Basierend auf den Werten der unabhängigen Variablen
(meistens θ) berechnet die Funktion einige Werte für EQ;
Seite 22-3
•
•
•
•
•
anschließend werden die größten und kleinsten Werte von
x und y bestimmt.
PARAMETRIC : Führt zu einem ähnlichen Ergebnis wie POLAR, bezogen
auf die Werte des Parameters, der die Gleichungen für x
und y definiert.
TRUTH
: Hat keine Wirkung.
BAR
: Der Bereich der x-Achse wird zwischen 0 und n+1 gesetzt,
wobei n die Anzahl der Elemente aus ΣDAT ist. Der
Wertebereich von y hängt vom Inhalt von ΣDAT ab.
Minimum und Maximum von y werden bestimmt, so dass
die x-Achse immer in der Grafik eingeschlossen ist.
HISTOGRAM : Ähnlich wie BAR.
SCATTER
: Setzt die Bereiche der x- und y-Achsen, abhängig vom
Inhalt der unabhängigen und abhängigen Variablen aus
ΣDAT.
INFO (12)
Die Funktion INFO ist ausschließlich interaktiv (d.h. sie ist nicht
programmierbar). Wird die entsprechende Funktionstaste gedrückt, so werden
Informationen über die aktuellen Plotparameter angezeigt.
EQ (3)
Der Variablenname EQ ist der Speicherung der aktuellen Gleichung einer
Grafik bzw. der Lösung von Gleichungen vorbehalten (siehe Kapitel ...). Die
Funktionstaste EQ aus diesem Menü kann so verwendet werden, als wäre das
Variablenmenü verfügbar. Wenn z.B. [ EQ ] gedrückt wird, werden die
aktuellen Inhalte der Variablen angezeigt.
ERASE (4)
Die Funktion ERASE löscht den aktuellen Inhalt des Grafikfensters. Während der
Programmierung wird mit dieser Funktion sichergestellt, dass das Grafikfenster
vor dem Plotten einer neuen Grafik gelöscht wird.
DRAX (5)
Die Funktion DRAX zeichnet, falls diese sichtbar sind, die Achsen im aktuellen
Plot.
Seite 22-4
DRAW (6)
Die Funktion DRAW zeichnet den Plot, der in PPAR definiert wurde.
Das Menü PTYPE unter PLOT (1)
Das Menü PTYPE listet die Namen aller zweidimensionalen, im Taschenrechner
vorprogrammierten Plottypen auf. Das Menü enthält die folgenden
Funktionstasten:
Diese Tasten entsprechen den Plottypen Function, Conic, Polar, Parametric, Truth
und Diff Eq, die weiter oben beschrieben wurden. Wird eine dieser
Funktionstasten während der Eingabe eines Programms gedrückt, wird an
dieser Stelle im Programm der entsprechende Funktionsaufruf eingefügt.
Drücken Sie L )@PLOT, um zum Hauptmenü PLOT zurückzukehren.
Das Menü PPAR (2)
Im PPAR-Menü stehen verschiedene Optionen für die PPAR-Variable zur
Verfügung, welche den folgenden Funktionstasten entsprechen. Drücken Sie
L, um zum nächsten Menü zu gelangen.
Anmerkung: Die hier dargestellten SCALE-Befehle sind SCALE, SCALEW
und SCALEH, und zwar in dieser Reihenfolge.
Die folgende Abbildung zeigt die im Menü PPAR enthaltenen Funktionen. Die
Buchstaben oberhalb der Funktionen dienen als Referenz in der nachfolgenden
Beschreibung der Funktionen.
Error! Not a valid link.
Seite 22-5
INFO (n) und PPAR (m)
Wenn Sie @INFO drücken oder ‚ @PPAR eingeben, während Sie sich in diesem
Menü befinden, erscheint eine Liste mit den aktuellen PPAR-Einstellungen.
Beispiel:
Diese Informationen haben die folgende Bedeutung: X ist die unabhängige
Variable (Indep), Y ist die abhängige Variable (Depnd), der Bereich der xAchse liegt zwischen –6,5 und 6,5 (Xrng), der Bereich der y-Achse liegt
zwischen -3,1 und 3,2 (Yrng). Die letzte Information auf dem Bildschirm, der
Wert von Res (Auflösung), bestimmt das Intervall der unabhängigen Variable,
das für die Erstellung des Plots verwendet wird.
Die Funktionstasten im Menü PPAR(2) sind Befehle, die in Programmen
eingesetzt werden können. Diese Befehle lauten:
INDEP (a)
Der Befehl INDEP gibt die unabhängige Variable und deren Plotbereich an.
Diese Angaben werden in der Variablen PPAR als dritter Parameter gespeichert.
Der Standardwert ist 'X'. Der unabhängigen Variable können folgende Werte
zugeordnet werden:
•
•
•
•
•
Name einer Variable, z.B. 'Vel'
Name einer Variable aus einer Liste, z.B. { Vel }
Name einer Variable und ein Bereich aus einer Liste, z.B. { Vel 0 20 }
Ein Bereich ohne einen Variablen-Namen, z.B. { 0 20 }
Zwei Werte, die einen Bereich darstellen, z.B. 0 20
In einem Programm steht nach jeder dieser Angaben der Befehl INDEP.
DEPND (b)
Seite 22-6
Der Befehl DEPND gibt den Namen der abhängigen Variable an. Bei TRUTHPlots (Wahrheitsplots) spezifiziert er außerdem den Plotbereich. Der
Standardwert ist Y. Die Angaben für die Variable DEPND sind identisch mit
denen für die Variable INDEP.
XRNG (c) und YRNG (d)
Der Befehl XRNG gibt den Plotbereich für die x-Achse an, und der Befehl YRNG
den Plotbereich für die y-Achse. Diese Befehle erfordern die Eingabe der
Minima und Maxima von x bzw. y. Die Werte für die Achsenbereiche von x
und y werden in den ersten zwei Elementen der Variablen PPAR als geordnete
Paare (xmin, ymin) und (xmax, ymax) gespeichert. Die Standardwerte für xmin und
xmax sind jeweils -6,5 und 6,5. Die Standardwerte für xmin und xmax sind
jeweils –3,1 und 3,2.
RES (e)
Der Befehl RES (RESolution - Auflösung) gibt beim Erstellen eines bestimmten
Plots das Intervall zwischen den Werten der unabhängigen Variable an. Die
Auflösung kann entweder in Benutzereinheiten als eine reelle Zahl oder in Pixel
als binäre Ganzzahl (Zahlen, die mit # anfangen, wie z.B. #10) angegeben
werden. Die Auflösung wird in der Variablen PPAR als vierter Parameter
gespeichert.
CENTR (g)
Der Befehl CENTR hat als Argument ein geordnetes Paar (x,y) oder einen Wert
x, und passt die ersten zwei Elemente in der Variablen PPAR (z.B. (xmin, ymin)
und (xmax, ymax)) so an, dass die Mitte des Plots sich in (x,y) bzw. (x,0) befindet.
SCALE (h)
Der Befehl SCALE bestimmt den Maßstab des Plots, der als Anzahl von
Benutzereinheiten pro Tick-Zeichen angegeben wird. Der Standardwert beträgt
1 Benutzereinheit pro Tick-Zeichen. Der Befehl SCALE benötigt zwei Zahlen als
Argumente, xscale und yscale für die neuen horizontalen und vertikalen
Maßstäbe. Dieser Befehl bewirkt, dass die Parameter (xmin, ymin) und (xmax,
ymax) in PPAR an den gewünschten Maßstab angepasst werden. Die Mitte des
Plots bleibt erhalten.
Seite 22-7
SCALEW (i)
Wird ein Faktor xfactor angegeben, multipliziert der Befehl SCALEW den
horizontalen Maßstab mit diesem Faktor. Das W aus SCALEW steht für das
englische Wort für Breite (Width). Nach der Ausführung des SCALEW-Befehls
werden die Werte xmin und xmax in PPAR geändert.
SCALEH (j)
Wird ein Faktor yfactor angegeben, multipliziert der Befehl SCALEH den
vertikalen Maßstab mit diesem Faktor. Das H aus SCALEH steht für das
englische Wort für Höhe (Height). Nach der Ausführung des SCALEH-Befehls
werden die Werte ymin und ymax in PPAR geändert.
Anmerkung: Die von SCALE, SCALEW oder SCALEH vorgenommenen
Änderungen können zum Vergrößern oder Verkleinern eines Plots verwendet
werden.
ATICK (l)
Der Befehl ATICK (TICK-Zeichen für Achsen) wird dazu verwendet, TickZeichenvermerke für die Achsen vorzunehmen. Der Befehl ATICK akzeptiert die
folgenden Eingabewerte:
•
Eine reelle Zahl x: setzt die Tick-Vermerke für beide Achsen (x und y) auf xEinheiten
• Eine Liste mit reellen Zahlen { x y }: setzt die Tick-Vermerke für beide Achsen
(x und y) auf x- bzw. y-Einheiten
• Eine binäre Ganzzahl #n: setzt die Tick-Vermerke für beide Achsen (x und
y) auf #n Pixel
Eine Liste mit zwei binären Ganzzahlen { #n #m }: setzt die Tick-Vermerke für
beide Achsen (x und y) auf #n bzw. #m Pixel.
AXES (k)
Der Eingabewert für den Befehl AXES besteht entweder aus einem geordneten
Paar (x,y) oder aus einer Liste {(x,y) atick "Beschriftung x-Achse" "Beschriftung
y-Achse"}. Der Parameter atick wird für die Angabe der Tick-Vermerke
verwendet, wie bereits beim Befehl ATICKbeschrieben wurde. Das geordnete
Paar ist die Mitte des Plots. Wird für AXES nur ein geordnetes Paar angegeben,
so wird nur der Ursprung der Achsen geändert. Das Argument im Befehl AXES,
Seite 22-8
egal ob geordnetes Paar oder Werteliste, wird als fünfter Parameter in PPAR
gespeichert.
Drücken Sie @)PLOT, um zum Menü PLOT zurückzukehren.
Drücken Sie L, um zum zweiten Menü der Menüreihe PLOT zu gelangen.
RESET (f)
Diese Taste setzt die Plotparameter auf ihre Standardwerte zurück.
Das Menü 3D unter PLOT (7)
Das Menü 3D enthält zwei Untermenüs, PTYPE und VPAR, sowie eine Variable,
EQ. Da die Bedeutung von EQ bereits erläutert wurde, werden wir uns hier auf
die Inhalte der Menüs PTYPE und VPAR konzentrieren. Die nachstehende
Darstellung zeigt die Struktur des 3D-Menüs.
Das Menü PTYPE unter 3D (IV)
Das Menü PTYPE unter 3D enthält die folgenden Funktionen:
Diese Funktionen entsprechen den Grafikoptionen Slopefield, Wireframe, YSlice, Ps-Contour, Gridmap und Pr-Surface, die bereits in diesem Kapitel
beschrieben wurden. Wird eine dieser Funktionstasten während der Eingabe
eines Programms gedrückt, wird an dieser Stelle im Programm der
Seite 22-9
entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie L )@)@3D@@, um zum
Hauptmenü 3D zurückzukehren.
Das Menü VPAR unter 3D (V)
Die Variable VPAR steht für Volume PARameter (Volumenparameter) und bezieht
sich auf ein Parallelepiped im Raum, in dessen Innerem eine beliebige
dreidimensionale Grafik erzeugt wird. Wird im 3D-Menü [VPAR] gedrückt,
werden die folgenden Funktionen aufgerufen. Drücken Sie L, um zum
nächsten Menü zu gelangen:
Als Nächstes wird die Bedeutung dieser Funktionen erläutert:
INFO (S) und VPAR (W)
Wird @INFO (S) gedrückt, erscheinen die Informationen, die in der oberen
Abbildung auf der linken Seite zu sehen sind. Die Bereiche Xvol, Yvol und Zvol
bestimmen die Größe des Parallelepipeds, in dem die Grafik eingefügt wird.
Xrng und Yrng sind die Wertebereiche von x bzw. y als unabhängige Variablen
in der Ebene x-y, die für die Erzeugung von Funktionen der Art z = f(x,y)
verwendet werden.
Drücken Sie L und @INFO (Y), um die Informationen zu erhalten, die in der
oberen Abbildung auf der rechte Seite dargestellt sind. Dieses sind die Werte
für die Position des Blickwinkels für die dreidimensionale Grafik (Xeye, Yeye,
Zeye) sowie die Anzahl der Schritte in x und y, die für die Erstellung eines
Rasters zur Darstellung der Oberfläche verwendet werden.
Seite 22-10
XVOL (N), YVOL (O) und ZVOL (P)
Diese Funktion benötigt die Eingabe des unteren bzw. oberen Grenzwertes und
bestimmt die Größe des Parallelepipeds, in dem die Grafik erzeugt werden soll.
Diese Werte werden in der Variablen VPAR gespeichert. Die Standardwerte für
die Bereiche XVOL, YVOL und ZVOL sind –1 bis 1.
XXRNG (Q) und YYRNG (R)
Diese Funktionen erfordern die Eingabe des unteren bzw. oberen Grenzwertes
und bestimmen die Bereiche der Variablen x und y, die für die Erstellung von
Funktionen der Art z = f(x,y) verwendet werden. Die Standardwerte der
Bereiche XXRNG und YYRNG sind die Gleichen wie bei XVOL und YVOL.
EYEPT (T)
Die Funktion EYEPT benötigt als Eingabe die reellen Werte x, y und z als
Position des Blickwinkels auf die dreidimensionalen Grafik. Der Blickwinkel ist
ein Punkt im Raum von dem aus die dreidimensionale Grafik beobachtet wird.
Wird der Blickwinkel geändert, werden unterschiedliche Ansichten der Grafik
dargestellt. Die Abbildung unten zeigt den Blickwinkel in Bezug auf den
gegenwärtigen Grafikraum und seiner Projektion in die Anzeigenebene.
NUMX(U) und NUMY (V)
Die Funktionen NUMX und NUMY bestimmen die Anzahl der Punkte bzw. der
Schritte für jede Richtung, die für die Erstellung des Bezugsrasters verwendet
werden sollen, aus dem anschließend die Werte von z = f(x,y) berechnet
werden.
VPAR (W)
Dient lediglich als Referenz auf die Variable VPAR.
RESET (X)
Die Parameter auf dem Bildschirm werden auf ihre Standardwerte
zurückgesetzt.
Drücken Sie L )@)@3D@@, um zum Menü 3D zurückzukehren.
Drücken Sie @)PLOT, um zum Menü PLOT zurückzukehren.
Seite 22-11
Das Menü STAT unter PLOT
Das Menü STAT ermöglicht den Zugang zu Plots, die für statistische Analysen
verwendet werden. Hier stehen die folgenden Untermenüs zu Verfügung:
Die folgende Abbildung zeigt die Struktur des Menüs STAT aus dem Menü
PLOT. Die Zahlen und Buchstaben bei jeder Funktion dienen in der
nachstehenden Beschreibung lediglich als Referenz.
Seite 22-12
Das Menü PTYPE unter STAT (I)
Das Menü PTYPE enthält die folgenden Funktionen:
Diese Tasten entsprechen den Grafiktypen Bar (A), Histogram (B) und
Scatter(C), die bereits beschrieben wurden. Wird eine dieser Funktionstasten
während der Eingabe eines Programms gedrückt, wird an dieser Stelle im
Programm der entsprechende Funktionsaufruf eingefügt. Drücken Sie @)STAT, um
zum Menü STAT zurückzukehren.
Das Menü DATA unter STAT (II)
Das Menü DATA enthält die folgenden Funktionen:
Die Funktionen in diesem Menü werden zum Manipulieren der statistischen
Matrix ΣDAT verwendet. Mit den Funktionen Σ+ (D) und Σ- (E) werden
Datenreihen zu der Matrix hinzugefügt bzw. aus dieser entfernt. CLΣ (F) löscht
die Matrix ΣDAT (G), während die Funktionstaste ΣDAT nur als Referenz für
interaktive Anwendungen verwendet wird. Mehr zu diesen Funktionen finden
Seite 22-13
Sie im Kapitel über statistische Anwendungen. Drücken Sie @)STAT, um zum Menü
STAT zurückzukehren.
Das Menü ΣPAR unter STAT (III)
Das Menü ΣPAR enthält die folgenden Funktionen:
INFO (M) und ΣPAR (K)
Die Taste INFO in ΣPAR enthält die oben abgebildeten Informationen. Diese
Informationen sind in der Variablen ΣPAR zu finden. Die angezeigten Werte
sind die Standardwerte für Spalte x, Spalte y, den Achsenabschnitt und den
Richtungskoeffizienten des Regressionsmodells, sowie der Modelltyp, der an die
Daten in ΣDAT angelegt werden muss.
XCOL (H)
Mit dem Befehl XCOL wird angegeben, welche Spalte aus ΣDAT, falls mehrere
vorhanden sind, die Spalte x oder die Spalte der unabgängigen Variable ist.
YCOL (I)
Mit dem Befehl YCOL wird angegeben, welche Spalte aus ΣDAT, falls mehrere
vorhanden sind, die Spalte y oder die Spalte der abhängigen Variablen ist.
MODL (J)
Der Befehl MODL bestimmt das auszuwählende Modell für die
Datenangleichung in ΣDAT, sofern eine Datenangleichung implementiert wird.
Drücken Sie @!MODL, um die verfügbaren Optionen anzusehen. Das folgende
Menü erscheint:
Seite 22-14
Diese Funktionen entsprechen der linearen, logarithmischen, Exponential-,
Potenz- oder der besten (Best Fit) Angleichung. Mehr zur Datenregression finden
Sie weiter unten in diesem Kapitel. Drücken Sie )£@PAR, um zum Menü ΣPAR
zurückzukehren.
ΣPAR (K)
ΣPAR ist lediglich eine Referenz auf die Variable ΣPAR für interaktive Aktionen.
RESET (L)
Diese Funktion setzt die Inhalte von ΣPAR auf ihre Standardwerte zurück.
Drücken Sie L @)STAT, um zum Menü STAT zurückzukehren. Drücken Sie
[PLOT], um zum Hauptmenü PLOT zurückzukehren.
Das Menü FLAG unter PLOT
Das Menü FLAG ist ein interaktives Menü, daher steht Ihnen die Auswahl
zwischen den folgenden Optionen zur Verfügung:
•
AXES
•
CNCT
•
SIMU
: Wird diese Option ausgewählt, so werden die Achsen, falls
sichtbar, innerhalb der Grafikoberfläche bzw. des
Grafikvolumens angezeigt.
: Wird diese Option ausgewählt, wird die grafische Darstellung
so erzeugt, dass einzelne Punkte miteinander verbunden sind.
: Wenn diese Option ausgewählt wurde, und es soll mehr als
ein Graph im gleichen Achsensystem geplottet werden, dann
werden alle Graphen gleichzeitig erzeugt.
Drücken Sie @)PLOT, um zum Menü PLOT zurückzukehren.
Erzeugen von Graphen durch Programme
Bevor ein Plot in einem Programm erzeugt werden kann, müssen die Variablen
PPAR, ΣPAR, und/oder VPAR eingestellt werden, je nachdem, ob es sich um
Seite 22-15
eine zweidimensionale Grafik handelt, die mittels einer Funktion, mittels Daten
aus ΣDAT oder mittels einer dreidimensionalen Funktion definiert ist. Diese
Variablen können Sie mithilfe der bereits vorher beschriebenen Befehle
einrichten.
Als Nächstes wird das allgemeine Format von Variablen, die für die Erzeugung
von verschiedenen Plottypen erforderlich sind, beschrieben.
Zweidimensionale Grafiken
Die zweidimensionalen Grafiken, die von den Funktionen Function, Conic,
Parametric, Polar, Truth und Differential Equation erzeugt werden, verwenden
die Variable PPAR im folgenden Format:
{ (xmin, ymin) (xmax, ymax) indep res axes ptype depend }
Die zweidimensionalen Grafiken, die aus Daten aus der statistischen Matrix
erzeugt werden, nämlich Bar, Histogram und Scatter, verwenden die Variable
ΣPAR im folgenden Format:
{ x-column y-column slope intercept model }
Zusätzlich wird auch die Variable PPAR im oben angegebenen Format
verwendet.
Die Bedeutung der verschiedenen Parameter aus PPAR und ΣPAR wurde in
einem vorangegangenen Abschnitt erläutert.
Dreidimensionale Grafiken
Die dreidimensionalen Grafiken, nämlich die Optionen Slopefield, Wireframe,
Y-Slice, Ps-Contour, Gridmap und Pr-Surface, verwenden die Variable VPAR im
folgenden Format:
Seite 22-16
{xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh, xmin, xmax, ymin,
ymax, xeye, yeye, zeye, xstep, ystep}
Die Wertpaare von x, y und z haben die folgende Bedeutung:
• Dimensionen des Betrachtungsparallelepipeds (xleft, xright, ynear,
yfar, zlow, zhigh)
• Bereich der unabhängigen Variablen x und y (xmin, xmax, ymin, ymax)
• Position des Betrachtungspunktes (xeye, yeye, zeye)
• Anzahl der Schritte in den Richtungen x und y (xstep, ystep)
Dreidimensionale Grafiken benötigen auch die Variable PPAR mit den oben
angegebenen Parametern.
Die Variable EQ
Außer für Plots, die auf ΣDAT basieren, müssen für alle anderen Plots die zu
plottenden Funktionen durch Speichern der Ausdrücke oder Referenzen dieser
Funktionen in der Variable EQ definiert werden.
Kurz gesagt, muss für die Erzeugung eines Plots in einem Programm
gegebenenfalls die Variable EQ geladen werden. Danach werden PPAR, PPAR
und ΣPAR oder PPAR und VPAR geladen. Anschließend wird durch Angeben
des entsprechenden Plottyps: FUNCTION, CONIC, POLAR, PARAMETRIC,
TRUTH, DIFFEQ, BAR, HISTOGRAM, SCATTER, SLOPE, WIREFRAME, YSLICE,
PCONTOUR, GRIDMAP oder PARSURFACE der Graph selbst erzeugt.
Beispiele von interaktiven Plots mit dem Menü PLOT
Um besser zu verstehen, wie das Programm mit den PLOT-Befehlen und Variablen umgeht, versuchen Sie, mit dem Menü PLOT die folgenden
interaktiven Plots zu erzeugen.
Beispiel 1 – Funktionsplot:
„ÌC
@)PTYPE @FUNCT
‘√r’ `„ @@EQ@@
Aufrufen des Menüs PLOT (*)
Wählen von FUNCTION als Plottyp
Speichern der Funktion ‘√r’ in EQ
Seite 22-17
@)PPAR
~„r`@INDEP
~„s`@DEPND
1 \# 10 @XRNG
1 \# 5 @YRNG L
{ (0, 0) {.4 .2} “Rs” “Sr”}!`
@AXES
L @)PLOT
@ERASE @DRAX L @LABEL
L @DRAW
@)EDIT L@MENU
LL@)PICT @CANCL
Anzeigen der Plot-Parameter
Definieren von ‘r’ als
unabhängige Variable
Definieren von ‘s’ als
abhängige Variable
Definieren Sie (-1, 10) als x-Bereich
Definieren Sie (-1, 5) als y-Bereich
Definitionsliste der Achsen
Definieren der Achsenmitte, Ticks,
Beschriftungen
Rückkehr Menü PLOT
Löschen des Bildes, Zeichnen der
Achsen und Beschriftungen
Zeichnen der Funktion und
Anzeigen des Bildes
Entfernen der Menüeinträge
Rückkehr zur Normalanzeige
(*) Das Menü PLOT kann durch die benutzerdefinierte Taste C aufgerufen
werden, wie in diesem Kapitel bereits beschrieben wurde.
Beispiel 2 – Parametrischer Plot (Gebrauch von RAD – Bogenmaß als Winkel):
„ÌC
Menü PLOT aufrufen
@)PTYPE @PARAM
Wählen von PARAMETRIC als
Plottyp
{ ‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ } `
Definieren der komplexen Funktion
X+iY
„ @@EQ@@
Speichern der komplexen Funktion in
EQ
@)PPAR
Anzeigen der Plot-Parameter
{t 0 6.29} `@INDEP
Definieren Sie ‘t’ als unabhängige
Variable
~y`@DEPND
Definieren Sie ‘Y’ als abhängige
Variable
2.2 \# 2.2 @XRNG
Definieren Sie (-2.2, 2.2) als x-Bereich
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1.1 \# 1.1 @YRNG L
{ (0,0) {.4 .2} “X(t)” “Y(t)”} `
@AXES
L @)PLOT
@ERASE @DRAX L @LABEL
L @DRAW
@)EDIT L@MENU LL@)PICT @CANCL
Definieren Sie (-1.1, 1.1) als y-Bereich
Definitionsliste der Achsen
Definieren der Achsenmitte, Ticks,
Beschriftungen
Rückkehr zum Menü PLOT
Löschen des Bildes, Zeichnen der
Achsen und Beschriftungen
Zeichnen der Funktion und
Anzeigen des Bildes
Plot beenden
Beispiel 3 – Polarplot:
„ÌC
@)PTYPE @POLAR
‘1+SIN(θ)’ `„ @@EQ@@
@)PPAR
{ θ 0 6.29} ` @INDEP
~y` @DEPND
3 \# 3 @XRNG
0.5 \# 2.5 @YRNG L
{ (0,0) {.5 .5} “x” “y”} `
@AXES
L @)PLOT
@ERASE @DRAX L @LABEL
L @DRAW
@)EDIT L@MENU
LL@)PICT @CANCL
Menü PLOT aufrufen
POLAR als Plottyp wählen
Speichern der komplexen Funktion
r = f(θ) in EQ
Anzeigen der Plot-Parameter
Definieren Sie ‘θ’ als unabhängige
Variable
Definieren Sie ‘Y’ als abhängige
Variable
Definieren Sie (-3,3) als x-Bereich
Definieren Sie (-0.5, 2.5) als yBereich
Definitionsliste der Achsen
Definieren der Achsenmitte, Ticks,
Beschriftungen
Rückkehr zum Menü PLOT
Löschen des Bildes, Zeichner der
Achsen, Beschriftungen
Zeichnen der Funktion und Anzeige
des Bildes
Entfernen der Menüeinträge
Rückkehr zur Normalanzeige
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Diese Beispiele zeigen ein Muster für das interaktive Erstellen von
zweidimensionalen Grafiken durch das Menü PLOT.
1 – PTYPE auswählen
2 – Die zu plottende Funktion in der Variable EQ speichern (dabei auf das
richtige Format achten, z.B. ‘X(t)+iY(t)’ bei PARAMETRIC)
3 – Namen (und gegebenenfalls den Bereich) der unabhängigen und
abhängigen Variablen eingeben
4 – Die Angaben für die Achse als Liste eingeben { center atick x-label y-label }
5 – Erzeugen einer vollständig beschrifteten Grafik mit Achsen mithilfe von
ERASE, DRAX, LABEL, DRAW
Auf die gleiche Weise können Plots mit einem Programm erzeugt werden, aber
in diesem Fall muss nach dem Aufruf der Funktion DRAW auch der Befehl
PICTURE eingefügt werden, um den Grafikbildschirm wieder in den Stack zu
laden.
Beispiele von programmgenerierten Plots
In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie die Plots aus den letzten drei Beispielen
anhand eines Programms erzeugt werden. Bevor Sie mit der Eingabe des
Programms beginnen, aktivieren Sie das Menü PLOT, um die Eingabe von
Grafikbefehlen (wie z.B. („ÌC) zu erleichtern.
Beispiel 1 –Funktionsplot: Geben Sie das folgende Programm ein:
«
{PPAR EQ} PURGE
‘√r’ STEQ
‘r’ INDEP
‘s’ DEPND
FUNCTION
{ (0.,0.) {.4 .2}
“Rs” “Sr” } AXES
Starten des Programms
Die aktuellen Werte von PPAR und
EQ löschen
‘√r’ in EQ speichern
Unabhängige Variable auf ‘r’ setzen
Abhängige Variable auf ‘s’ setzen
FUNCTION als Plottyp wählen
Achseninformationen setzen
Seite 22-20
–1. 5. XRNG
–1. 5. YRNG
ERASE DRAW DRAX LABEL
PICTURE »
x-Bereich setzen
y-Bereich setzen
Löschen des Bildes und zeichnen
des Plots, der Achsen und der
Beschriftungen
Grafikbildschirm wieder in den
Stack laden
Speichern Sie das Programm in der Variable PLOT1. Um das Programm
auszuführen, drücken Sie J, falls erforderlich, und drücken Sie anschließend
@PLOT1.
Beispiel 2 – Parametrischer Plot: Geben Sie das folgende Programm ein:
«
Starten des Programms
RAD {PPAR EQ} PURGE
Auf Bogenmaß wechseln,
Löschen der Werte der Variablen
‘SIN(t)+i*SIN(2*t)’ STEQ
Speichern von ‘X(t)+iY(t)’ in EQ
{ t 0. 6.29} INDEP
Unabhängige Variable auf ‘r’ setzen,
mit Bereich
‘Y’ DEPND
Abhängige Variable auf ‘Y’ setzen
PARAMETRIC
PARAMETRIC als Plottyp wählen
{ (0.,0.) {.5 .5} “X(t)”
“Y(t)” } AXES
Achseninformationen setzen
–2.2 2.2 XRNG
x-Bereich setzen
–1.1 1.1 YRNG
y-Bereich setzen
ERASE DRAW DRAX LABEL
Löschen des Bildes und Zeichnen des
Plots, der Achsen und der
Beschriftungen
PICTURE
Grafikbildschirm wieder in den Stack
laden
»
Programm beenden
Speichern Sie das Programm in der Variable PLOT2. Um das Programm
auszuführen, drücken Sie, falls erforderlich, J und anschließend @PLOT2.
Beispiel 3 –Polarplot: Geben Sie das folgende Programm ein:
Seite 22-21
«
RAD {PPAR EQ} PURGE
‘1+SIN(θ)’ STEQ
{ θ 0. 6.29} INDEP
‘Y’ DEPND
POLAR
{ (0.,0.) {.5 .5}
“x” “y”} AXES
–3. 3. XRNG
–.5 2.5 YRNG
ERASE DRAW DRAX LABEL
PICTURE
»
Starten des Programms
Auf Bogenmaß wechseln,
Löschen der Werte der Variablen
‘f(θ)’ in EQ speichern
Unabhängige Variable auf
‘θ’ setzen, mit Bereich
Abhängige Variable auf ‘Y’ setzen
POLAR als Plottyp wählen
x-Bereich setzen
y-Bereich setzen
Löschen des Bildes und Zeichnen
des Plots, der Achsen und der
Beschriftungen
Grafikbildschirm wieder in den
Stack laden
Programm beenden
Speichern Sie das Programm in der Variable PLOT3. Um das Programm
auszuführen, drücken Sie, falls erforderlich, J und anschließend @PLOT3.
Diese Beispiele zeigen die Verwendung von PLOT-Befehlen in Programmen.
Hierbei handelt es sich nur um erste Übungen für die Programmierung von Plots.
Sie sollten versuchen, eigene Übungen zur Programmierung von Plots
durchzuführen.
Zeichenbefehle für die Programmierung
Abbildungen in einem Grafikfenster können Sie direkt aus einem Programm
heraus, mithilfe von Befehlen wie z.B. denen aus dem Menü PICT, welche mit
„°L@PICT@ aufgerufen werden, einfügen. In diesem Menü stehen
nachfolgende Funktionen zur Verfügung. Drücken Sie L, um zum nächsten
Menü zu gelangen.
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Offensichtlich führen die Befehle LINE, TLINE und BOX die gleichen
Operationen aus, wie die deren interaktive Gegenstücke, vorausgesetzt die
entsprechenden Eingaben werden getätigt. Diese, sowie die anderen
Funktionen im Menü PICT beziehen sich auf das Grafikfenster, dessen Bereiche
von x und y in der Variable PPAR bestimmt werden, wie dies bereits weiter oben
für unterschiedliche Typen von Grafiken demonstriert wurde. Nachstehend
werden die Funktionen des Befehls PICT beschrieben.
PICT
Diese Funktionstaste entspricht der Variablen PICT, in welcher die aktuellen
Inhalte des Grafikfensters gespeichert werden. Der Name der Variable kann
jedoch nicht zwischen Anführungszeichen gesetzt werden und in der Variable
selber können nur Grafikobjekte gespeichert werden. In dieser Hinsicht
unterscheidet sich PICT von allen anderen Variablen im Taschenrechner.
PDIM
Die Funktion PDIM benötigt als Eingabe, entweder zwei geordnete Paare
(xmin,ymin) (xmax ymax) oder zwei binäre Ganzzahlen #w und #h. PDIM bewirkt,
dass die aktuellen Inhalte von PICT durch einen leeren Bildschirm ersetzt
werden. Wenn das Argument (xmin,ymin) (xmax ymax) ist, werden diese Werte
zum Bereich der benutzerdefinierten Koordinaten in PPAR. Sind die Argumente
jedoch #w und #h, bleiben die Bereiche der benutzerdefinierten Koordinaten in
PPAR unverändert, aber die Größe der Grafik ändert sich auf #h ´ #w Pixel.
PICT und der Grafikbildschirm
PICT, der Speicherplatz des aktuellen Graphen, kann als ein zweidimensionaler
Graph betrachtet werden, der eine Mindestgröße von 131 Pixel Breite und 64
Pixel Höhe aufweist. Die maximale Breite von PICT beträgt 2048 Pixel, ohne
Beschränkung der maximalen Höhe. Die Pixel sind die einzelnen Punkte des
Displays, die ein- oder ausgeschaltet (dunkel bzw. hell) werden, um Text oder
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Graphen darzustellen. Das Display des Taschenrechners besteht aus 131 mal
64 Pixel, was der Mindestgröße von PICT entspricht. Falls PICT größer als das
Display ist, kann der Graph PICT als ein zweidimensionaler Bereich betrachtet
werden, der auf dem Display hin und her bewegt werden kann, wie in der
nachstehenden Abbildung zu sehen ist.
LINE
Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder
zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet
eine Linie zwischen den angegebenen Koordinaten.
TLINE
Dieser Befehl (Toggle LINE – umgekehrte Linie) benötigt als Eingabe zwei
geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1
#m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet eine Linie zwischen den angegebenen
Koordinaten und schaltet anschließend die eingeschalteten Pixel der Linie aus
und umgekehrt.
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BOX
Dieser Befehl benötigt als Eingabe zwei geordnete Paare (x1,y1) (x2, y2) oder
zwei Paare von Pixelkoordinaten {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Der Befehl zeichnet ein
Kästchen, bei dem die Diagonalen von den zwei eingegebenen
Koordinatenpaaren bestimmt werden.
ARC
Dieser Befehl wird zum Zeichnen eines Bogens verwendet. ARC benötigt
nachfolgende Objekte als Eingabe:
•
Koordinaten der Bogenmitte als (x,y) in benutzerdefinierten Koordinaten
oder {#n, #m} in Pixel.
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•
•
Radius des Bogens als r (benutzerdefinierte Koordinaten) oder #k (Pixel).
Anfangswinkel θ1 und Endwinkel θ2.
PIX?, PIXON und PIXOFF
Diese Funktionen benötigen als Eingabe die Koordinaten des Punktes in
Benutzereinheiten (x,y) oder in Pixel {#n, #m}.
•
•
•
PIX? überprüft, ob an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} das Pixel an ist.
PIXOFF schaltet das Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} aus.
PIXON schaltet das Pixel an der Position (x,y) bzw. {#n, #m} ein.
PVIEW
Dieser Befehl benötigt als Eingabe die Koordinaten eines Punktes in
Benutzereinheiten (x,y) oder in Pixel {#n, #m}, und setzt die Inhalte aus PICT mit
der linken oberen Ecke an den angegebenen Punkt. Wird eine leere Liste als
Argument angegeben, erfolgt die Ausgabe des Bildes in der Mitte des Displays.
PVIEW aktiviert den Grafikcursor bzw. das Bildmenü nicht. Diese können mit
PICTURE aktiviert werden.
PXC
Die Funktion PXC konvertiert Pixelkoordinaten {#n #m} in Koordinaten in
Benutzereinheiten (x,y).
CPX
Die Funktion CPX konvertiert Koordinaten von Benutzereinheiten (x,y) in
Pixelkoordinaten {#n #m}.
Programmierbeispiele mit Zeichenfunktionen
In diesem Abschnitt werden die oben beschriebenen Befehle für die Erzeugung
von Grafiken mithilfe von Programmen verwendet. Die Programmcodes sind auf
der mitgelieferten Diskette bzw. CD-ROM zu finden.
Beispiel 1 – Ein Programm, das Zeichenbefehle verwendet
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Das folgende Programm erzeugt eine Zeichnung auf dem Grafikbildschirm.
(Dieses Programm wurde nur dafür geschrieben, die Befehle für die Erzeugung
von Zeichnungen auf dem Bildschirm zu erläutern).
«
DEG
0. 100. XRNG
0. 50. YRNG
ERASE
(5., 2.5) (95., 47.5) BOX
(50., 50.) 10. 0. 360. ARC
(50., 50.) 12. –180. 180. ARC
1 8 FOR j
(50., 50.) DUP
‘12*COS(45*(j-1))’ NUM
‘12*SIN(45*(j-1))’ NUM
RC
+
LINE
NEXT
{ } PVIEW
»
Starten des Programms
Wählen Sie Grad als Winkelmaß
x-Bereich setzen
y-Bereich setzen
Bild löschen
Kästchen zwischen (5,5) und (95,95)
zeichnen
Kreis mit der Mitte in (50,50) und r
=10 zeichnen
Kreis mit der Mitte in (50,50) und r
=12 zeichnen
8 Linien im Inneren des Kreises
zeichnen
Die Linienmitte befindet sich im
Punkt (50,50)
Berechnen von x , das andere Ende bei
50 + x
Berechen von y , das andere Ende
bei 50 + y
Konvertieren von x y in (x,y),
komplexe Zahlen
(50,50) zu (x,y) addieren
Zeichnen der Linie
Ende der FOR-Schleife
Anzeigen des Bildes
Beispiel 2 – Ein Programm zum Plotten eines natürlichen Flussquerschnitts
Diese Anwendung kann sich bei der Feststellung der Fläche und der
befeuchteten Randbereiche eines Flussquerschnitts als sehr nützlich erweisen.
Normalerweise wird ein Flussquerschnitt anhand einer Reihe von Punkten, und
zwar in Koordinaten x und y bezogen auf ein beliebiges Koordinatensystem,
vermessen. Diese Punkte werden gezeichnet und danach wird eine
Entwurfszeichnung des Querschnitts in einer bestimmten Höhe der
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Wasseroberfläche erzeugt. Die folgende Abbildung zeigt die in diesem
Abschnitt beschriebenen Elemente.
Dieses Programm, das auf der mitgelieferten Diskette bzw. CD-ROM zu finden
ist, verwendet vier Unterprogramme: FRAME, DXBED, GTIFS und INTRP. Das
Hauptprogramm, XSECT genannt, benötigt als Eingabe eine Matrix mit den
Werten von x und y sowie die Höhe der Wasseroberfläche Y (siehe
Abbildung), in dieser Reihenfolge. Das Programm erzeugt eine Grafik des
Querschnitts, wobei die Eingabedaten in der Grafik als Punkte dargestellt
werden. Außerdem wird die freie Oberfläche des Querschnitts angezeigt.
Wir empfehlen Ihnen, ein neues Unterverzeichnis für die Speicherung der
Programme zu erstellen. Sie können das Unterverzeichnis RIVER (Fluss) nennen,
da es sich hier um unregelmäßige, für Flüsse typische Querschnitte von offenen
Kanälen handelt.
Um das Programm XSECT auszuführen, verwenden Sie die folgenden
Datensätze. Diese werden als Matrizen mit zwei Spalten eingegeben, wobei
die erste Spalte für x und die zweite für y vorgesehen ist. Die Matrizen werden
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in Variablen mit Namen wie z.B. XYD1 (X-Y Datensatz 1) und XYD2 (X-Y
Datensatz 2) gespeichert. Um das Programm auszuführen, holen Sie einen
Datensatz in den Stack (z.B. J @XYD1!), geben Sie danach die Höhe der
Wasseroberfläche (z.B. 4,0) ein, und drücken Sie anschließend @XSECT. Der
Taschenrechner zeigt eine Entwurfszeichnung des Querschnitts mit der
entsprechenden Wasseroberfläche an. Drücken Sie $, um die Grafikanzeige
zu beenden.
Versuchen Sie folgende Beispiele:
@XYD1! 2 @XSECT
@XYD1! 3 @XSECT
@XYD1! 4 @XSECT
@XYD1! 6 @XSECT
Bei der Ausführung des Programms XSECT müssen Sie ein wenig Geduld
haben. Aufgrund der hohen Anzahl verwendeter Grafikfunktionen, ohne die
numerische Iterationen mitzuzählen, kann es eine Weile dauern, bis die Grafik
erzeugt wird (etwa 1 Minute).
Datensatz 1
X
0,4
1,0
2,0
3,4
4,0
5,8
7,2
7,8
9,0
y
6,3
4,9
4,3
3,0
1,2
2,0
3,8
5,3
7,2
Datensatz 2
x
0,7
1,0
1,5
2,2
3,5
4,5
5,0
6,0
7,1
8,0
9,0
10,0
10,5
11,0
y
4,8
3,0
2,0
0,9
0,4
1,0
2,0
2,5
2,0
0,7
0,0
1,5
3,4
5,0
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Anmerkung: Das Programm FRAME, wie es ursprünglich geschrieben
wurde (siehe Diskette oder CD-ROM) behält nicht den richtigen Maßstab der
Grafik bei. Wenn Sie den richtigen Maßstab behalten möchten, ersetzen Sie
FRAME durch das folgende Programm:
« STOΣ MINΣ MAXΣ 2 COL DUP COL DROP – AXL ABS AXL 20
/ DUP NEG SWAP 2 COL + ROW DROP SWAP yR xR « 131
DUP RB SWAP yR OBJ DROP – xR OBJ DROP - / * FLOOR
RB PDIM yR OBJ DROP YRNG xR OBJ DROP XRNG ERASE » »
Dieses Programm beschränkt die Breite der Variable PICT auf 131 Pixel – die
minimale Pixelgröße der horizontalen Achse – und passt die Anzahl der Pixel
der vertikalen Achse so an, dass der 1:1 Maßstab zwischen der vertikalen und
der horizontalen Achse erhalten bleibt.
Pixelkoordinaten
Die folgende Abbildung zeigt die Grafikkoordinaten für einen typischen
(minimalen) Bildschirm von 131´64 Pixeln. Pixelkoordinaten werden von der
linken oberen Ecke des Bildschirms aus {# 0h # 0h} gemessen. Dies entspricht
den benutzerdefinierten Koordinaten (xmin, ymax). Die maximalen Koordinaten
in Pixel entsprechen der rechten unteren Ecke des Bildschirms {# 82h #3Fh};
dieser Punkt entspricht den benutzerdefinierten Koordinaten (xmax, ymin). Die
Koordinaten der zwei Ecken werden in der nachfolgenden Abbildung sowohl in
Pixel als auch in benutzerdefinierten Koordinaten dargestellt.
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Animation von Grafiken
In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Sie mit dem Plottyp Y-Slice animierte
Grafiken erzeugen können. Nehmen wir an, dass Sie die Wanderwelle f(X,Y) =
2,5 sin(X-Y) animieren wollen. Wir können X als Zeit in der Animation
betrachten und Plots der Funktion f(X,Y) gegen Y für unterschiedliche Werte von
X erstellen. Zum Erstellen der Grafik gehen Sie wie folgt vor:
•
„ô gleichzeitig drücken. Wählen Sie Y-Slice für TYPE,
‘2.5*SIN(X-Y)’ für EQ, ‘X’ für INDEP. Drücken Sie L@@@OK@@@.
•
„ò gleichzeitig drücken (im RPN-Modus). Verwenden Sie die
folgenden Werte:
•
Drücken Sie @ERASE @DRAW. Geben Sie dem Taschenrechner ein wenig
Zeit, damit er alle erforderlichen Grafiken erzeugen kann. Wenn die
Operation abgeschlossen ist, wird auf dem Bildschirm eine
sinusförmige Wanderwelle angezeigt.
Animation von Grafiksammlungen
Mit der Funktion ANIMATE kann eine Reihe von Grafiken, die in den Stack
geladen wurden, animiert werden. Sie können eine Grafik auf dem
Grafikbildschirm durch Verwenden der Befehle aus den Menüs PLOT und PICT
erzeugen. Um die erzeugte Grafik in den Stack abzulegen, verwenden Sie PICT
RCL. Wenn Sie n Grafiken auf den Ebenen n bis 1 des Stacks haben, können
Sie mit dem Befehl n ANIMATE aus den Grafiken im Stack eine Animation
erstellen.
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Beispiel 1 – Animation einer Welle auf der Wasseroberfläche
Als Beispiel geben Sie das folgende Programm ein, welches 11 Grafiken
erzeugt, sodass in der Mitte des Grafikbildschirms ein Kreis abgebildet wird
und der Radius dieses Kreises in jeder nachfolgenden Grafik um einen
konstanten Wert erhöht wird.
«
RAD
131 RB 64 RàB PDIM
0 100 XRNG 0 100 YRNG
1 11 FOR j
ERASE
(50., 50.) ‘5*(j-1)’ NUM
0 ‘2*π’ NUM ARC
PICT RCL
NEXT
11 ANIMATE
»
Starten des Programms
Setzen der Winkeleinheit auf
Bogenmaß
PICT auf 131x64 Pixel setzen
x- und y-Bereiche auf 0-100 setzen
Schleife bei j = 1 ..11 starten
Aktuelles PICT löschen
Die Mittelpunkte der Kreise (50,50)
Kreis mit einem Radius von r
= 5(j-1) zeichnen
Aktuelles PICT in den Stack
ablegen
Ende der FOR-NEXT-Schleife
Animieren
Programm beenden
Speichern Sie dieses Programm in der Variable PANIM (Plot ANIMation). Um
das Programm auszuführen, drücken Sie (falls erforderlich) J und @PANIM. Der
Taschenrechner braucht über eine Minute, um die Grafiken zu erzeugen und
die Animation zu starten. Deshalb sollten Sie sich ein wenig gedulden. Auf dem
Display erscheint das Symbol einer Sanduhr für eine scheinbar lange Zeit.
Danach erscheint eine Animation, die an Wellen erinnert, die sich beim
Eintauchen eines kleinen Steines auf der Wasseroberfläche bilden. Drücken Sie
$, um die Animation zu beenden.
Die 11 Grafiken, die vom Programm erzeugt wurden, stehen im Stack weiterhin
zur Verfügung. Wenn Sie die Animation erneut ausführen möchten, verwenden
Sie einfach: 11 ANIMATE. (Die Funktion ANIMATE können Sie mit
„°L@)GROB L @ANIMA aufrufen). Die Animation wird erneut ausgeführt.
Seite 22-32
Drücken Sie $, um die Animation wieder zu beenden. Beachten Sie, dass
die Zahl 11 weiterhin auf Ebene 1 des Stacks bleibt. Drücken Sie ƒ, um
diese aus dem Stack zu entfernen.
Nehmen wir an, dass Sie die Abbildungen, die diese Animation bilden, in
einer Variablen speichern wollen. Sie können eine Liste, sagen wir WLIST, mit
diesen Bildern zusammenstellen, wenn Sie wie folgt vorgehen:
11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K
Drücken Sie J, um die Liste mit den Variablen wiederherzustellen. Die
Variable @WLIST sollte jetzt in der Auflistung der Funktionstasten erscheinen.
Verwenden Sie das folgende Programm, um die Liste der Variablen erneut zu
animieren:
«
WLIST
OBJ
ANIMATE
»
Starten des Programms
WLIST-Liste in den Stack ablegen
Liste zerlegen, Stack-Ebene 1 = 11
Animation starten
Programm beenden
Speichern Sie dieses Programm in der Variablen RANIM (Re-ANIMate).
Drücken Sie @RANIM, um das Programm auszuführen.
Das folgende Programm animiert die Grafiken aus WLIST vorwärts und
rückwärts:
«
WLIST
REVLIST +
OBJ
ANIMATE
»
Starten des Programms
DUPWLIST-Liste in den Stack ablegen,
eine Kopie erstellen
Reihenfolge umkehren, die beiden
Listen verknüpfen
Liste in ihre Elemente zerlegen, Ebene
1 = 22
Animation starten
Programm beenden
Seite 22-33
Speichern Sie dieses Programm in der Variable RANI2 (Re-ANImate Version 2).
Drücken Sie @RANI2, um das Programm auszuführen. Die Animation simuliert
jetzt eine Welle auf der Wasseroberfläche, die von den Wänden eines
kreisförmigen Behälters zur Mitte reflektiert wird. Drücken Sie $, um die
Animation zu beenden.
Beispiel 2 – Animation der Graphen verschiedener Potenzfunktionen
Nehmen wir an, Sie wollen die Plots der Funktionen f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, 4
im selben Achsensystem animieren. Dazu können Sie das folgende Programm
verwenden:
«
RAD
131 RB 64 RB PDIM
0 2 XRNG 0 20 YRNG
0 4 FOR j
‘X^j’ STEQ
ERASE
DRAX LABEL DRAW
PICT RCL
NEXT
5 ANIMATE
Starten des Programms
Winkelmaß auf Bogenmaß setzen
PICT auf 131´64 Pixel setzen
x- und y-Bereiche setzen
Schleife wird bei j = 0,1,…,4
gestartet
‘X^j’ in der Variable EQ ablegen
Aktuelles PICT löschen
Achsen, Beschriftungen, Funktion
zeichnen
Aktuelles PICT in den Stack ablegen
Ende der FOR-NEXT-Schleife
Animieren
»
Speichern Sie dieses Programm in der Variable PWAN (PoWer function
Animation – Animation der Potenzfunktion). Um das Programm auszuführen,
drücken Sie (falls erforderlich) J und @PWAN. Der Taschenrechner zeichnet jede
einzelne Potenzfunktion bevor die Animation, in der die fünf Funktionen eine
nach der anderen geplottet werden, gestartet wird. Drücken Sie $, um die
Animation zu beenden.
Weitere Informationen zu der Funktion ANIMATE
Die Funktion ANIMATE, wie sie in den zwei vorigen Beispielen verwendet
wurde, benötigt als Eingabe die zu animierenden Grafiken sowie die Anzahl
dieser Grafiken. Sie können zusätzliche Informationen für die Animation
Seite 22-34
angeben, wie z.B. das Zeitintervall zwischen der Darstellung der einzelnen
Grafiken und die Anzahl der Wiederholungen der Darstellung. Das allgemeine
Format der Funktion ANIMATE für solche Fälle ist wie folgt:
n-graphs
{ n {#X #Y} delay rep } ANIMATE
n stellt die Anzahl der Grafiken dar, {#X #Y} steht für die Pixelkoordinaten der
rechten unteren Ecke der zu plottenden Fläche (siehe Abbildung unten), delay
sind die Sekunden zwischen den Darstellungen von aufeinander folgenden
Grafiken der Animation und rep ist die Anzahl der Wiederholungen der
Animation.
Grafikobjekte (GROBs)
Das Wort GROB kommt von GRaphics OBjects (Grafikobjekte) und es entspricht
der Pixel-für-Pixel-Beschreibung eines Bildes auf dem Display. Wird also ein Bild
in ein GROB konvertiert, entsteht aus diesem eine Reihe von binären Ziffern (in
Englisch binary digits = bits), d.h. Nullen und Einsen. Nehmen wir das
folgende Beispiel, um die GROBs, sowie die Konvertierung von Bildern in
GROBs zu erläutern.
Sobald eine Grafik auf dem Taschenrechner erstellt wird, wird diese Grafik als
Inhalt einer besonderen Variablen PICT gespeichert. Der Inhalt von PICT kann
mit der nachfolgenden Tastenfolge angezeigt werden:
PICT RCL(„°L@)PICT @PICT „©).
Auf Ebene 1 des Stacks wird line Graphic 131×80 angezeigt (falls die
standardmäßige Größe des Displays verwendet wird), gefolgt von einer
Entwurfszeichnung des oberen Teils der Grafik. Beispiel:
Drücken Sie ˜, wird die Grafik aus Ebene 1 auf dem Bildschirm des
Taschenrechners angezeigt. Drücken Sie @CANCL, um zur Normalanzeige des
Taschenrechners zurückzukehren.
Seite 22-35
Die Grafik in Ebene 1 ist immer noch nicht im GROB-Format, obwohl sie
definitionsgemäß ein Grafikobjekt ist. Um die Grafik aus dem Stack in ein GROB
zu konvertieren, müssen Sie die folgende Eingabe vornehmen:
3`„°L@)GROB @GROB . Nun erscheinen die folgenden Informationen
auf Ebene 1:
Der erste Teil der Beschreibung ähnelt dem, was wir ursprünglich hatten, und
zwar Graphic 131×64, aber diesmal wird Graphic 13128 × 8 angezeigt.
Die Grafikanzeige jedoch wird hier von einer Reihe von Nullen und Einsen
ersetzt, welche die Pixel des Originalgraphen darstellen. Somit wurde der
Originalgraph in seine entsprechende Bit-Darstellung konvertiert.
Auch Gleichungen können in GROBs konvertiert werden. Geben Sie mit dem
EquationWriter die Gleichung ‘X^2+3’ auf Ebene 1 des Stacks ein und drücken
Sie anschließend 1` „°L@)GROB @GROB. In Stack-Ebene 1 befindet
sich nun ein wie folgt aussehendes GROB:
Diese zum Grafikobjekt konvertierte Gleichung kann jetzt in der Grafikanzeige
angesehen werden. Zum Wiederherstellen der Grafikanzeige drücken Sie š.
Bewegen Sie den Cursor an eine leere Stelle des Graphen und drücken Sie
@)EDIT LL@REPL. Die Gleichung ‘X^2-5’ wird in den Graphen eingefügt.
Beispiel:
Seite 22-36
Durch das Einfügen von Gleichungen und Text in GROBs können diese zum
Dokumentieren der Grafiken eingesetzt werden.
Das Menü GROB
Das Menü GROB kann mit „°L@)GROB @GROB aufgerufen werden und
enthält die folgenden Funktionen. Um zum nächsten Menü zu gelangen,
drücken Sie L:
GROB
Von diesen Funktionen haben wir bereits: SUB, REPL (aus dem Grafikmenü
EDIT), ANIMATE [ANIMA] und GROB verwendet. ([ PRG ] ist nur eine
Möglichkeit, zum Programmmiermenü zurückzukehren.) Sie haben sicher
bemerkt, dass in den letzten zwei Beispielen bei der Konvertierung der Grafik in
ein GROB die Zahl 3 verwendet wurde, während bei der Konvertierung der
Gleichung in ein GROB die Zahl 1 verwendet wurde. Dieser Parameter der
Funktion GROB gibt die Größe des zu konvertierenden Objekts an, und zwar
0 oder 1 für kleine Objekte, 2 für mittelgroße Objekte und 3 für große Objekte.
Nachstehend werden die übrigen Funktionen des Menüs GROB beschrieben.
BLANK
Die Funktion BLANK, mit den Argumenten #n und #m, erstellt ein leeres
Grafikobjekt mit der Breite und Höhe, die durch die Werte #n bzw. #m definiert
werden. Diese Funktion ist vergleichbar mit der Funktion PDIM aus dem Menü
GRAPH.
GOR
Die Funktion GOR (Graphics OR) benötigt als Eingabe grob2 (ein Ziel-GROB),
ein Koordinatensystem und grob1. Diese Funktion bewirkt die Überlagerung von
grob1 über grob2 (oder PICT), beginnend bei den angegebenen Koordinaten.
Die Koordinaten können in Benutzereinheiten (x,y) oder in Pixel {#n #m}
angegeben werden. GOR verwendet die OR-Funktion, um den Zustand (an
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oder aus) jedes Pixels im überlappenden Bereich zwischen grob1 und grob2 zu
ermitteln.
GXOR
Die Funktion GXOR (Graphics XOR ) hat die gleiche Funktion wie GOR, in
diesem Fall wird der endgültige Zustand der Pixel jedoch im überlappenden
Bereich zwischen den Objekten grob1 und grob2 mit XOR ermittelt.
Anmerkung: Wird in GOR oder GXOR grob2 durch PICT ersetzt, erfolgt
keine Ausgabe. Um die Ausgabe anzusehen, müssen Sie PICT mit PICT RCL
oder PICTURE wieder in den Stack laden.
LCD
Nimmt das angegebene GROB und zeigt es auf dem Bildschirm be