Entwicklung einer Lernsoftware für den interaktiven Zugang zur

Entwicklung einer Lernsoftware für den interaktiven Zugang zur
Staatsexamensarbeit Matthias Amelunxen
1.1 Juni 1999
Entwicklung einer Lernsoftware
für den interaktiven Zugang
zur Quantenphysik
mittels Zeigerdiagrammen
Prüfungsarbeit in Physik
Im Rahmen des Ersten Staatsexamens
erstellt von
Matthias Amelunxen
0
1
Einleitung
1
2
Die vorhandene Lernsoftware ......................................................................... 3
3
Die Quantenmechanik mit Pfadintegralen....................................................... 4
3.1 Die Behandlung der Quantenmechanik in Schulbüchern............................ 4
3.1.1
Das Schulbuch „Impulse Physik 2“[11] .............................................. 4
3.1.2
Das Schulbuch „Metzler Physik“[10] ................................................. 5
3.1.3
Fazit der Schulbuchbetrachtung .......................................................... 7
3.2 Feynmans Ansatz ........................................................................................ 7
3.2.1
Das Pfadintegral in der Quantenmechanik - Vergleich mit der
klassischen Mechanik.......................................................................... 7
4
3.2.2
Die Reduktion des Pfadintegrals - Einführung der Uhren................... 9
3.2.3
Die Verallgemeinerung des Huygensschen Prinzips......................... 10
3.2.4
Einsatzmöglichkeiten in der Schule .................................................. 10
Das Programmpaket ...................................................................................... 12
4.1 Die Oberflächengestaltung ........................................................................ 12
4.2 Die Programmteile..................................................................................... 13
4.2.1
Die Startseite ..................................................................................... 13
4.2.2
Der Programmteil „Das Prinzip der Quantenmechanik - die Stoppuhr
und alle möglichen Wege“ ................................................................ 14
4.2.3
Der Programmteil „Von der Stoppuhr zur Wellenfunktion“............. 20
4.2.4
Der Programmteil „Darstellung einer Wellenfunktion durch viele
Uhren“ ............................................................................................... 24
4.2.5
Der Programmteil „Geradlinige Ausbreitung von Licht“ ................. 27
4.2.6
Der Programmteil „Reflexion am ebenen Spiegel“........................... 30
4.2.7
Der Programmteil „Reflexion am Reflexionsgitter“ ......................... 32
4.2.8
Der Programmteil „Interferenz am Doppelspalt“.............................. 34
4.2.9
Der Programmteil „Wellenfunktion eines freien Elektrons“............. 37
4.2.10 Der Programmteil „Wellenfunktion eines Elektrons an einer
Potentialstufe“ ................................................................................... 38
4.2.11 Der Programmteil „Wellenfunktion eines Elektrons im unendlich
tiefen Potentialtopf“........................................................................... 41
Zusammenfassung und Ausblick........................................................................... 44
Literaturverzeichnis............................................................................................... 45
Anhang .................................................................................................................. 46
A1 Die Systemvoraussetzungen ........................................................................ 46
A2 Die Entwicklungsumgebung Delphi 3......................................................... 46
1
Einleitung
Die Quantenmechanik bereitete schon Generationen von Schülern und Studenten 1
enorme Schwierigkeiten. Die Darstellung im Unterricht stützte und stützt sich noch
heute zumeist auf die Verwendung zweier Modellvorstellungen: Licht und andere
Quantenteilchen werden als Welle oder als Korpuskel betrachtet. Verwirrend ist die
hierdurch gegebene Wahlmöglichkeit: Warum verhält sich ein Photon beim
Photoeffekt wie ein Teilchen, am Doppelspalt hingegen wie eine Welle? Und woher
„weiß“ es, was es gerade „zu sein hat“?
Dieses Phänomen wird gemeinhin mit dem Ausdruck „Dualismus Teilchen - Welle“
beschrieben. An der Lösung dieses Problems arbeiteten so berühmte Männer wie
Albert Einstein (1879-1955), Erwin Schrödinger (1887-1961), Werner Heisenberg
(1901-1976), Nils Bohr (1885-1962) und Max Born (1882-1970). Die auftretenden
Schwierigkeiten werden in einem Ausspruch Borns deutlich:
Es war damals viel verlangt, dass jemand, der jeden Tag Interferenzen
beobachtet, an eine Erneuerung der Korpuskulartheorie glauben sollte.
...Einstein ... sagte etwa, dass die Wellen nur dazu da seien, um den
korpuskularen Lichtquanten den Weg zu weisen, und er sprach in diesem Sinne
von einem "Gespensterfeld". Dieses bestimmte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
ein Lichtquant, der Träger von Energie und Impuls, einen bestimmten Weg
einschlägt. ([11], S. 201)
Ziel dieser Staatsexamensarbeit ist es, Lehrer wie Schüler bei der Einführung der
Quantenmechanik im Unterricht soweit wie möglich durch den Einsatz von
Animationen und interaktiven Sequenzen zu unterstützen. Dabei wird ein Zugang zu
diesem Thema gewählt, der auf den Physiker Richard P. Feynman zurückgeht (vgl.
Kap. 3.2). Durch ihn gelingt es, direkt von Anfang an das Wellenmodell mit dem
Korpuskelmodell zu verbinden, oder, anders ausgedrückt, das Elektron richtig
darzustellen: Als Teilchen UND Welle.
Aus der später durchgeführten Schulbuchbetrachtung (vgl. Kap. 2.1) wird ersichtlich,
dass immer noch der Weg über Wellen- und Korpuskelmodell der gewöhnliche ist.
Die große Gefahr hierbei ist aber, dass viele Schüler durch äußere Umstände, wie
Abwahl des Faches oder Verlassen der Schule, die Verbindung der beiden nicht mehr
1
Die Verwendung der männlichen Form schließt hier und im folgenden die weibliche mit ein.
1
vermittelt bekommen. Damit fehlt der Grundstein für die moderne Physik. Meiner
Meinung nach ist es durchaus möglich, direkt mit der Einführung des vollständigen
Modells zu beginnen, ohne die Schüler zu überfordern. Dadurch gewinnt man die
von Anfang an vorhandene Konsistenz sowie die Möglichkeit dafür, dass sich der für
die neue Betrachtungsweise nötige Gewöhnungseffekt einstellt.
Für die Entwicklung des Programmes galten folgende Zielsetzungen:
Die Oberfläche sollte ansprechend, aber nicht unnötig überladen gestaltet sein. Durch
mit der Maus steuerbare Eingabeelemente sollte eine schnelle und unkomplizierte
Programmbedienung ermöglicht werden. Als Inhalte standen die prinzipielle
Wirkungsweise der Quantenmechanik (QM) im Vordergrund, absolute Zahlenwerte,
die erfahrungsgemäß sehr abschreckend auf Schüler wirken, treten zurück.
2
2
Die vorhandene Lernsoftware
Vor Beginn der Arbeit führte ich eine umfassende Softwarerecherche durch, dabei
waren auch die Staatsexamensarbeiten von Michael Wünstel [3] und Ulrike
Burkhard [4] sehr hilfreich. Diese hatten etwa ein Jahr zuvor ebenfalls die bis zu
diesem Zeitpunkt vorhandene Lernsoftware zum Thema Quantenmechanik
untersucht,
allerdings
lagen
dort
die
Schwerpunkte
auf
weiterführenden
Betrachtungen wie den Wellenfunktionen eines Elektrons bei verschiedenen
Potentialformen sowie der Heisenbergschen Unschärferelation.
Insgesamt lässt sich feststellen, dass mit einer Ausnahme keine Software zu diesem
Thema auf dem Markt gefunden wurde, die zum anschaulichen und interaktiven
Gebrauch in der Schule geeignet wäre.
Diese eine Ausnahme stellt das Programm [9] dar, welches ebenfalls Feynmans
Ansatz zur Einführung verwendet und umfassend alle Phänomene der geometrischen
Optik sowie viele einfachere Beispiele im Zusammenhang mit Elektronen behandelt.
Der große Nachteil dieser Software ist die eingeschränkte Interaktivität. Sämtliche
Parameter müssen numerisch eingegeben werden. Das setzt voraus, dass das
Ergebnis eigentlich im Voraus bekannt sein müsste, um einen gewissen Effekt zu
erzielen. Eine schnelle Variation der Parameter ist nicht möglich. Die Bedienung
durch eine Maus, wie sie Schüler mittlerweile durch den Umgang mit dem eigenen
PC
gewohnt
sind,
ist
ebenfalls
nicht
vorgesehen.
Zusätzlich
ist
die
Oberflächengestaltung wenig ansprechend, sie entspricht dem DOS- Standard. All
diese Faktoren erschweren eine entdeckende und selbständige Nutzung durch
Schüler.
3
3
Die Quantenmechanik mit Pfadintegralen
3.1 Die Behandlung der Quantenmechanik in Schulbüchern
Stellvertretend werden hier zwei Schulbücher daraufhin untersucht, wie sie in das
Thema Quantenmechanik einführen. Außerdem steht am Ende jeder Betrachtung
eine Abschätzung darüber, ob und wie das Programm zur Unterstützung des
Unterrichts eingesetzt werden kann.
3.1.1
Das Schulbuch „Impulse Physik 2“[11]
Das neue Buch aus dem Jahr 1997 geht zur Einführung der Quantenmechanik vom
Wellenmodell und dem Huygensschen Prinzip aus. Damit werden alle gängigen
Phänomene wie Reflexion, Beugung und Interferenz am Gitter erklärt. Direkt im
Anschluss führt der Doppelspaltversuch von Claus Jönsson in das Kapitel
„Mikroobjekte“ ein. Dort ist auch ein Auszug aus dessen Originalveröffentlichung
abgedruckt, in dem die Schwierigkeiten bei der Herstellung der Spalte beschrieben
werden. Auf diesem Weg kann den Schülern die sonst so lebensfremde QM ein
Stück weit näher gebracht werden. Die häufig auftretenden Floskeln wie „Wir
nehmen einen Doppelspalt und...“ entfallen, die mühsame Forschungsarbeit eines
Physikers wird sichtbar.
Fazit der Versuchsbeschreibung ist folgender Satz: „Mit Hilfe des Interferenzmusters
kann nur von einer Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Auftreffort gesprochen
werden.“ ([11], S. 193). Der Begriff der Wahrscheinlichkeit fällt hierbei zum ersten
Mal. Durch ein weiteres Experiment, der Beugung von Photonen an einer
Nadelspitze (Geoffrey Taylor, 1909), wird dargestellt, dass auch bei Reduktion der
Lichtintensität bis hin zu einzelnen Photonen bei entsprechend langer Belichtung ein
Interferenzbild entsteht. Dieses kann also kein Effekt einer Photon - PhotonWechselwirkung sein. Der hieraus gezogene Schluss korrigiert die bisherige
Interpretation des Wellenmodells: „Die mit dem Wellenmodell vorhersagbare
Intensitätsverteilung liefert nur ein Maß für die Auftreffwahrscheinlichkeit des
Photons an einer Stelle.“ ([11], S. 197)
Durch exemplarische Lösung der Schrödingergleichung für ein Elektron im
unendlich tiefen Potentialtopf wird ein Einblick in die theoretische Physik gegeben
4
und die Größe ψ sowie deren Quadrat näher betrachtet. Dabei ist ψ eine nicht
messbare Größe, Zustandsfunktion genannt. ψ2 hingegen wird als messbare
Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert.
Meiner Meinung nach ist diese Einführung sehr gelungen, werden doch die im
Unterricht demonstrierbaren Phänomene wie Reflexion und Beugung anschaulich
durch das Wellenmodell erklärt und direkt danach dieses gut funktionierende Modell
für Sonderfälle erweitert bzw. uminterpretiert. Das Lösen der Schrödingergleichung
bietet die Möglichkeit, Schülern die mathematische Vorhersagbarkeit physikalischer
Phänomene an einem Beispiel zu demonstrieren. Außerdem wird so der Grund für
die Energiequantisierung gebundener Zustände ersichtlich, ein einfaches Modell des
Wasserstoffatoms ist geschaffen.
Photo- und Comptoneffekt, welche das Korpuskelmodell begründen, sind hinter der
Einführung des Wahrscheinlichkeitsmodells für Elektronen angefügt. Das erzwingt
die anschließende Frage nach der Konsistenz von Wahrscheinlichkeits- und
Korpuskelmodell. Durch die Entstehung eines Interferenzbildes hinter einem Gitter
bei schwacher Belichtung ist diese gesichert. Elektronen und Photonen können in
gleicher Weise beschrieben werden.
Der scheinbare Widerspruch zwischen Teilchen- und Wellenmodell kann bei diesem
Zugang gar nicht erst entstehen.
Bei einem Unterrichtsaufbau nach diesem Buch kann das vorliegende Programm
eine große Unterstützung bieten, da es nach Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte ψ2 die schon im Wellenmodell behandelten Effekte aus der neuen Sicht noch
einmal erläutert und die Schüler so an das Arbeiten mit Wahrscheinlichkeiten
gewöhnt.
3.1.2
Das Schulbuch „Metzler Physik“[10]
Das Kapitel „Wellenmodell des Lichts“ wird mit einem kurzen Rückblick auf die
geometrische Optik und das dort verwendete Strahlenmodell begonnen. Danach
führen die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit sowie die Betrachtung von
Interferenz- und Beugungserscheinungen das Wellenmodell ein.
Gegen Ende dieses Abschnittes wird die Entstehung der Lichtintensitätsverteilung an
Einzelspalt und Gitter durch Pfeildiagramme erklärt.
5
Durch Addition der jeweils zu einem Spalt gehörenden Zeiger entsteht die
Resultierende, Amplitude genannt. Deren Länge wird in ein Phasen - AmplitudenDiagramm eingetragen, wobei die Phase den Winkel bezeichnet, um den sich
benachbarte Pfeile in ihrer Richtung unterscheiden.
Durch Quadrieren der Amplitudenlänge erhält man eine Kurve, die modulo einer
Konstante
die
Intensitätsverteilung
angibt.
Dabei
tritt
der
Aspekt
der
Wahrscheinlichkeit nicht auf.
Erst im Kapitel „Wahrscheinlichkeitswellen beim Licht“, das im großen Abschnitt
„Einführung
in
die
Quantenphysik“
enthalten
ist,
werden
Wellen-
und
Teilchenmodell kombiniert. Beim Doppelspaltexperiment mit Licht wird durch
Originalaufnahmen dokumentiert, dass einzelne Photonen auf den Schirm treffen und
durch ihre Vielzahl erst das bekannte Interferenzbild entsteht. Hieraus ergibt sich der
Schluss, dass es sich bei der im Wellenmodell gefundenen Intensitätsverteilung nur
um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte genannt, handeln kann. Unterstützt
wird dieser durch eine ausführlich beschriebene Computersimulation.
Die Erweiterung des neuen Modells erfolgt durch die Einführung der de BroglieWellen, Betrachtung der Beugung von Elektronen am Grafitgitter und die erneute
Diskussion des Doppelspaltexperiments, diesmal mit Elektronen.
Meines Erachtens ist der hier beschriebene Zugang zur Quantenmechanik
problematisch:
Das in großer Ausführlichkeit behandelte Wellenmodell kann sich in den Köpfen der
Schüler festigen, da, zumindest, wenn nach dem Buch vorgegangen wird, sehr viel
Zeit bis zur Einführung des Wahrscheinlichkeitsmodells, die zwei Kapitel später
erfolgt, vergeht. Und auch dort wird erst auf die Quantisierung von Licht
eingegangen; Compton- und Photoeffekt führen zum Korpuskelmodell hin. Erst im
letzten Schritt wird, im Gegensatz zum vorher betrachteten Buch [11], die
Wahrscheinlichkeit ins Spiel gebracht. So entsteht auch hier zunächst wieder der
Dualismus Teilchen - Welle.
Die Chancen der Feynmanschen Darstellungsweise werden weitgehend ungenutzt
gelassen.
Das vorliegende Programm eignet sich bei Verwendung dieses Buches nur zur
Festigung des Wissens nach Abschluss der gesamten Unterrichtseinheit. Ein
paralleler Einsatz ist kaum möglich.
6
3.1.3
Fazit der Schulbuchbetrachtung
Es scheint sinnvoll, spätestens nach dem Wellenmodell die neue Interpretationsweise
mit Wahrscheinlichkeiten einzuführen, um die Schüler nicht unnötig mit dem
scheinbaren Widerspruch „Teilchen - Welle“ zu belasten. „Impulse Physik 2“
verfolgt diesen Weg. Durch die so entstandene Reihenfolge ist es nur noch
notwendig,
die
Konsistenz
dieser
beiden
Modelle
mit
dem
Wahrscheinlichkeitsmodell nachzuprüfen.
Meiner Meinung nach wäre es
aber
auch möglich und nützlich,
die
Quantenmechanik durch das Doppelspaltexperiment mit einzelnen Photonen oder
Elektronen einzuleiten und die älteren Modelle nur als Vereinfachung für spezielle
Anwendungen zu sehen.
3.2 Feynmans Ansatz
Richard P. Feynman (1918-1988), Physiker und Nobelpreisträger, entwickelte eine
eigene Methode, um die Quantenmechanik anschaulich darzustellen. Eine starke
Triebfeder hierbei war seine gute Freundin, Alix Mautner, die ihn lange Zeit um eine
Vorlesung zu diesem Thema, ausgelegt für fachfremdes Publikum, gebeten hatte.
Daraus entstand 1985 in Zusammenarbeit mit dem Lehrer Ralph Leighton das
populärliterarische Buch „QED“ [1]. Allerdings setzte Feynman Teile der dort
enthaltenen
Inhalte
und
Veranschaulichungen
schon
weit
früher
in
wissenschaftlichen Büchern, beispielsweise in dem von mir verwendeten Werk
„Quantum Mechanics And Path Integrals“ [6] von 1965, ein.
3.2.1
Das Pfadintegral in der Quantenmechanik - Vergleich mit der
klassischen Mechanik
Betrachtet man ein klassisches Teilchen in einem äußeren Potential V, so ergibt sich
r
der Weg r (t), den es benutzt, um von einem Punkt A zum Zeitpunkt tA nach Punkt B
zum Zeitpunkt tB zu kommen, durch Variationsrechnung folgendermaßen:
Die Lagrange- Funktion für dieses Teilchen ist:
(
)
rr
r
m r& 2
L = L r& , r , t =
r − V(r , t )
2
7
Die klassische Wirkung S wird durch folgendes Integral beschrieben:
(
)
B
r
rr
S = S [r (t )] = ∫ L r& , r , t dt
t
tA
r
Dabei steht r ( t ) für jeden möglichen Pfad. Der, den das Teilchen benutzt, der
klassische Weg also, ist dadurch ausgezeichnet, dass dort die Wirkung minimal wird.
Berechnen lässt er sich durch Lösen der Lagrangeschen Bewegungsgleichung
d  ∂L   ∂L 
 −  = 0
dt  ∂x&   ∂x 
In der Quantenmechanik wird nicht mehr ein einziger Pfad gefunden, auf dem sich
das Teilchen sicher bewegen muss, sondern es kann alle möglichen Wege von einem
Punkt zum anderen nehmen, von denen jedem eine Wahrscheinlichkeitsamplitude
r
K[r (t )] zugewiesen wird.
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude des Teilchens, von A nach B zu gelangen,
errechnet sich aus der Summe der Einzelamplituden für jeden Weg:
K[B, A ]
r
=
∑ K[r (t )]
alle Pfade
von A nach B
Die Einzelamplituden sind komplexe Zahlen, sie haben alle den gleichen Betrag aber
unterschiedliche Phasen:
K (B, A ) ~ e iS / h
Hierbei ist S die klassische Wirkung.
Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, von A nach B zu kommen, wird aus der
Summe ein Integral, welches folgendermaßen geschrieben wird:
8
B
r
K (B, A ) = ∫ e iS / h D r (t )
A
Dabei drückt das große D aus, dass es sich hier nicht um ein normales, sondern um
ein Pfadintegral handelt.
Genauer betrachtet sind diese beiden scheinbar verschiedenen Konzepte identisch:
Die zu einem Weg gehörende Phase wird durch die Wirkung in Einheiten von h
angegeben.
Da nun bei quantenmechanischen Phänomenen die Wirkung in etwa dieser
Größenordnung liegt, bewirkt die Änderung eines Weges in der Nähe desjenigen mit
der kleinsten Wirkung auch nur eine kleine Änderung der Phase, und die
Wahrscheinlichkeitsamplituden einer ganzen Menge von Möglichkeiten überlagern
sich konstruktiv. Im Gegensatz dazu ist die Wirkung eines klassischen Teilchens sehr
groß im Verhältnis zu h . Deshalb verursacht eine (in klassischen Maßstäben) kleine
Variation des Weges eine sehr große Änderung der Phase. Konstruktiv tragen zur
Resultierenden nur sehr wenige Pfade nahe dem klassischen bei. Alle anderen
Einzelamplituden
heben
sich
mit
denen
ihrer
„Nachbarn“
auf.
Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein klassisches Teilchen auf einem anderen Weg
als eben dem klassischen bewegt, ist somit praktisch gleich null (vgl. [6], S. 26-39,
[7]).
3.2.2
Die Reduktion des Pfadintegrals - Einführung der Uhren
Feynman vereinfacht das Pfadintegral folgendermaßen:
r
Jeder mögliche Weg r ( t ) erhält eine Uhr. Die Länge des Uhrzeigers ist gleich dem
r
Betrag der Wahrscheinlichkeitsamplitude K[ r (t)] des Pfades.
Das Teilchen wird auf seinem Weg von A nach B „gestoppt“. Der Winkel des
Zeigers am Punkt B ist gleich dem der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsamplitude an
dieser Stelle.
Da es unmöglich ist, alle Möglichkeiten darzustellen, werden, ohne das Ergebnis
dadurch in seiner Aussage zu verfälschen, Vertreter ausgewählt.
9
Die Resultierende aller Wahrscheinlichkeitsamplituden entsteht durch Addition der
Zeiger in ihrer Endstellung. Das Quadrat hiervon wiederum ergibt die
Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen auf irgendeinem der möglichen
Wege von A nach B gelangt.
3.2.3
Die Verallgemeinerung des Huygensschen Prinzips
Eine funktionierende Modellvorstellung der optischen Phänomene an Gittern,
Spiegeln und Spalten für starke Lichtquellen liefert schon das Huygenssche Prinzip,
wonach in jedem Punkt einer Wellenfront eine kreis- oder im dreidimensionalen eine
kugelförmige Welle ausgesandt wird. Die neue Wellenfront entsteht durch
Überlagerung all dieser Elementarwellen. So besteht zu jedem Zeitpunkt die
Möglichkeit eines Wechsels der Ausbreitungsrichtung, dabei stehen alle Wege zur
Verfügung. Auch hier erhält man, ähnlich wie beim Arbeiten mit Zeigern,
Interferenz.
Der große Mangel dieser Darstellung ist die Betrachtung von Licht als Welle; zeigen
doch Experimente, dass immer nur ganze Photonen oder Elektronen gemessen
werden, eine Verteilung eines solchen Teilchens über einen Schirm ist unmöglich.
Diese wäre aber bei Reduktion der Lichtintensität nötig, um Helligkeitsmaxima und
– Minima zu erzeugen. Deshalb ist die Interpretation des Resultierendenquadrates als
Wahrscheinlichkeit unumgänglich.
3.2.4
Einsatzmöglichkeiten in der Schule
Der
verblüffende
Zusammenhang
zwischen
klassischer
Mechanik
und
Quantenmechanik kann in der Schule genutzt werden, um das Interesse der Schüler
zu wecken; geht es doch um ein Gebiet, das, wie ein Nobelpreisträger, nämlich
Feynman selbst sagt, nicht zu verstehen ist (vgl. [1], S. 20). Vielleicht kann gerade an
dieser Stelle ein neuer Anfang liegen, die Herausforderung, das „Unmögliche“
nachzuvollziehen.
Natürlich soll es nicht zum Ziel gemacht werden, eine Physikvorlesung an die Schule
vorzuverlegen. Aber allein das Wecken des Schülerinteresses an diesem Gebiet,
10
daran, wie QM und Mechanik die Phänomene auf der Erde beschreiben, scheint mir
ein großes Ziel.
Durch die von Feynman gewählte Methode wird den Schülern weitgehend die Last
des Erlernens neuer Begriffe genommen. Gerade für die hier auftretende neue
Sichtweise ist das sehr wichtig, da sonst weitere Probleme durch die fremde
Fachterminologie hinzukommen. Ohne explizit komplexe Zahlen zu verwenden,
gelingt es ihm mit Hilfe der Uhrzeiger, den bei gewöhnlichen grafischen
Darstellungen auftretenden Verlust von realem oder imaginärem Anteil der
Wellenfunktion zu umgehen. Die Anschaulichkeit wird enorm gesteigert, da die
Länge der Resultierenden immer sichtbar bleibt.
Als weiteren wichtigen Punkt möchte ich anführen, dass der Dualismus TeilchenWelle endlich beseitigt ist. Das Einführen der Wahrscheinlichkeit macht es möglich,
auch bei Durchführung eines Versuches mit einem einzelnen Photon oder Elektron
Aussagen über den Ausgang zu treffen. Hier würde das Huygenssche Prinzip nicht
mehr greifen, es wäre sogar falsch, da es, wie oben erwähnt, eine Verteilung des
einen Teilchens im Raum erfordert.
Alle diese Vorteile werden im Programm QED ausgenutzt, allein durch die
Verwendung
rotierender
Zeiger
werden
viele
einfachere
Phänomene
der
Quantenmechanik beschrieben.
11
4
Das Programmpaket
4.1 Die Oberflächengestaltung
•
Die Oberflächen der einzelnen Programmteile sind in Fenstern, wie sie von
Windows-Anwendungen her bekannt sind, erstellt.
•
Der Bereich des Bildschirms, auf dem eine Simulation oder eine Animation
abgespielt wird, ist blau unterlegt. Der restliche Bereich erhielt einen grauen
Hintergrund.
Dadurch
soll
ein
schnelleres
Zurechtfinden
auf
den
Bildschirmseiten erreicht werden.
•
Die Bedienelemente sind auf eigenen, gegen den Hintergrund abgesetzten
Flächen zusammengefasst.
•
Die Buttons für das Starten, Beenden oder Unterbrechen einer Simulation oder
Animation sind mit Symbolen gekennzeichnet, wie sie auch an Videorecordern
und CD-Playern zu finden sind, mit welchen Schüler täglich umgehen.
•
Auf jeder Bildschirmseite befindet sich ein Informationsbutton. Durch Anklicken
öffnet sich ein Fenster, auf dem einige Hinweise und Erläuterungen zum Inhalt
und zur Bedienung des entsprechenden Programmteils zu finden sind.
•
Bewegt man den Mauszeiger über ein Bildschirmelement, so wird in der
Bodenleiste eine kurze Information über die Funktion oder ein Bedienhinweis
eingeblendet.
•
Die einzelnen Programmteile können über die Menüseite erreicht werden.
Schließt man eine Seite, so gelangt man automatisch wieder dorthin zurück. Dies
ermöglicht das direkte Erreichen des gewünschten Programmteils.
•
Um eine möglichst einfache und effektive Parametereingabe zu erreichen,
werden Schieberegler eingesetzt. Sie bieten gegenüber der numerischen Eingabe
außerdem den Vorteil, dass die Auswirkungen kontinuierlicher Veränderungen
der Ausgangsdaten direkt mitverfolgt werden können.
12
4.2 Die Programmteile
4.2.1
Die Startseite
Die Startseite stellt den Mittelpunkt des Programmes dar. Sie wird beim Öffnen
automatisch aufgerufen. Von dort aus gelangt man dann durch Anklicken der
einzelnen Punkte in die entsprechenden Unterprogramme. Auf diese Art wird das
Durchlaufen vieler Teilprogramme, um an eine bestimmte Stelle zu gelangen,
vermieden und trotzdem eine sichtbare Strukturierung gewahrt.
Die wesentlichen Inhalte gliedern sich in zwei Teile: Teil eins behandelt Probleme
der geometrischen Optik, Teil zwei verschiedene Wellenfunktionen von Elektronen.
Die Programmpunkte bauen mehr oder weniger aufeinander auf, müssen aber nicht
unbedingt alle verwendet werden. Das ermöglicht die Benutzung des Programmes
sowohl als vollständige Erarbeitungsgrundlage als auch als Nachschlagewerk, um
theoretisch Gelerntes durch Animationen zu veranschaulichen und das Wissen zu
festigen. Außerdem kann ein Infofenster mit Informationen über das Programm
aufgerufen werden.
Um die Handhabung zu erleichtern, wechseln die Programmpunkte immer dann,
wenn sich der Mauszeiger über ihnen befindet, sie also durch Mausklick angewählt
werden können, ihre Farbe.
13
Abbildung 1: Die Startseite.
4.2.2
Der Programmteil „Das Prinzip der Quantenmechanik - die Stoppuhr
und alle möglichen Wege“
Als Einführung in die Behandlung der Quantenmechanik mit Pfadintegralen wurde
ein Beispiel gewählt, welches in seinen einzelnen Bestandteilen nichts Neues für die
Schüler enthält. Auf diese Weise kann die erste Schwelle beim Einstieg in ein neues
Thema, die große Menge der neuen Fachbegriffe, umgangen werden.
Die wichtigsten Inhalte dieses Programmteils sind die Wellenfunktionen für jeden
der möglichen ununterscheidbaren Wege des quantenmechanischen Teilchens,
repräsentiert durch die Stoppuhren, sowie die Addition der Wellenfunktionen aller
ununterscheidbaren Wege, repräsentiert durch die Addition der Zeiger.
Zur Veranschaulichung der Inhalte benutzte ich den Vergleich zwischen einem
„normalen“ Rennfahrer mit einem solchen, der sich nach den Regeln der
Quantenmechanik richtet. Er erhielt den Namen „Atomi“, um anzudeuten, in
welchen Größenordnungen es sich im letzteren Fall handelt. Die Rennstrecke
verläuft beide Male in einem sich aufspaltenden Tunnel. Die Kernaussage „Wenn die
14
beiden Tunnel ein bestimmtes Längenverhältnis aufweisen, kommt Atomi nicht mehr
heraus, bei einer geringfügigen Veränderung aber doch mit einer bestimmten
Wahrscheinlichkeit, die deutlich größer als Null ist!“, ist für Schüler verblüffend,
macht das Thema aber sicher auch interessant. Sie beschreibt auf jeden Fall im
Wesentlichen den Unterschied zwischen klassischer Physik und Quantenmechanik in
den im Programm behandelten einfachen Fällen. Durch den Tunnel, der sich erst in
seinem Inneren aufspaltet und sich vor dem Ausgang wieder vereinigt, wird die
Ununterscheidbarkeit der Wege angedeutet, die zur Ermöglichung der Interferenz der
Wellenfunktionen gefordert werden muss.
Abbildung 2: Die Einleitung in das Beispiel des Rennfahrers. Im oberen Bildbereich sind
die beiden Tunnel zu erkennen, die sich erst nach der Einfahrt verzweigen.
15
Abbildung 3: Die weitere Einführung in das Problem.
Abbildung 4: Atomi wird auf dem Weg durch den oberen Tunnel gestoppt. Die Spitze der
gelben Linie gibt seine aktuelle Position an. Die Uhr läuft.
16
Abbildung 5: Der Uhrzeiger wird im über der Uhr befindlichen Feld abgespeichert.
Abbildung 6: Der zweite Weg wird abgefahren und die Zeit gestoppt.
17
Abbildung 7: Die beiden Zeiger werden addiert.
Abbildung 8: Die Resultierende wird eingeführt.
18
Abbildung 9: Zusätzlicher erklärender Text.
Abbildung 10: Der Tunnel ist am roten Punkt variierbar in seiner Form und Länge. Im
abgebildeten Beispiel ergab die Pfeiladdition eine Resultierendenlänge von null.
19
4.2.3
Der Programmteil „Von der Stoppuhr zur Wellenfunktion“
Feynman entwickelte den in dieser Arbeit verwendeten Ansatz zur Erklärung der
Quantenmechanik für eine Vorlesung vor fachfremdem Publikum. Er musste also
einen Weg finden, ohne komplexe Zahlen oder gar Funktionen Wellen zu
beschreiben. Dies gelang ihm sehr anschaulich durch die Einführung von
Stoppuhren, wie in Kapitel 3.2.2 beschrieben. Da dieses Programm jedoch in der
Oberstufe eingesetzt werden soll, erschien es mir sinnvoll, den Zusammenhang
zwischen Stoppuhr und Wellenfunktion darzustellen. Dabei habe ich bewusst auf die
Verwendung komplexer Zahlen verzichtet, um einerseits die Anzahl neuer Begriffe
gering zu halten und andererseits die problemlose Verwendung auch im Grundkurs
zu ermöglichen.
Ein kleiner Nachteil der Stoppuhren liegt in ihrer gewohnten Drehrichtung gegen die
mathematisch positive Richtung. Hier war abzuwägen, ob man linksdrehende Uhren
einführen und so die Konsistenz mit der Mathematik bewahren oder die Vorstellung
und Alltagserfahrung sowie den Wortschatz der Schüler nutzen sollte. Ich habe mich
für Letzteres entschieden, im Bewusstsein, dass eine spätere Einführung der
komplexen Zahlen durch das „Uhrenbild“ etwas erschwert werden könnte.
Allerdings ergeben sich nun gute Vergleichsmöglichkeiten, z. B. kann ein „der Welle
entgegengehen und deshalb die Uhr vorstellen müssen“ verglichen werden mit einem
anderen, gut bekannten Vorgang: „Der Sonne entgegenfliegen und deshalb die Uhr
vorstellen müssen.“
Das Umdenken „Zurückstellen heißt eigentlich vorstellen“ halte ich für
problematischer und hinderlicher für die Vorstellung als das spätere Festlegen der
mathematisch positiven Drehrichtung.
Ergänzend sei hier noch erwähnt, dass sich dieser Programmteil sehr gut zur
Simulation des Dopplereffekts eignet, da, anders als bei Abbildungen in Büchern,
eine animierte Welle vorliegt, die an einem verschiebbaren Punkt ausgewertet wird.
Bewegt man diesen gegen die Ausbreitungsrichtung, so kann die scheinbare
Erhöhung der Frequenz deutlich beobachtet werden.
20
Abbildung 11: Die abgebildete Welle läuft von links nach rechts.
Abbildung 12: Die Welle wird durch einen Schlitz beobachtet. Der noch sichtbare gelbe
Fleck bewegt sich periodisch auf und ab.
21
Abbildung 13: Die rotierende Zeigerspitze liegt immer in derselben Höhe wie der
sichtbare Wellenausschnitt, der Bezug zur Kreisbewegung wird deutlich.
Abbildung 14: Die Abdeckung ist entfernt, der Ort, an dem die Wellenfunktion von der
Uhr beschrieben wird, ist durch den senkrechten roten Balken markiert. Periodendauer,
Kreisfrequenz und deren Bezug zur Phase werden erläutert.
22
Abbildung15: Die Zeit wird angehalten, die Welle verändert sich nicht mehr. Der rote
Balken und damit der Auswertungspunkt der Wellenfunktion kann mit dem Schieberegler
geändert werden, der Uhrzeiger folgt der Auslenkung der Welle.
Abbildung 16: Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge, Änderung des Ortes und der
Zeigerstellung der Uhr wird verdeutlicht.
23
Abbildung 17: Die Welle verändert sich wieder. Der Ort, an dem die Welle durch die Uhr
dargestellt wird, kann weiter mit dem Schieberegler verändert werden.
4.2.4
Der Programmteil „Darstellung einer Wellenfunktion durch viele
Uhren“
Nachdem im vorangegangenen Teil der Arbeit der Zusammenhang zwischen
Stoppuhr und Wellenfunktion dargelegt wurde, soll hier nun die Sinuskurve als
Darstellung ersetzt werden durch eine Kette von Uhrzeigern. Wie im Programm
beschrieben, stellt jeder Zeiger die Funktion an der Stelle dar, an der sich sein
Fußpunkt befindet. Der große Vorteil gegenüber der Sinusdarstellung liegt darin,
dass der imaginäre Anteil nicht mehr verlorengeht. Nur so ist ein korrektes Addieren
von mehreren Wellen und das Auffinden der richtigen Wahrscheinlichkeitsamplitude
auch grafisch möglich.
24
Abbildung 18: Eine von links nach rechts laufende Welle wird simuliert.
Abbildung 19: An einigen Orten werden Zeiger zur Darstellung der Welle eingesetzt.
Dreiecke verdeutlichen die Beziehung zwischen Uhr und Wellenfunktion.
25
Abbildung 20: Die Welle wird nur noch durch Uhren dargestellt.
Abbildung 21: Eine Erhöhung der Uhrenzahl ergibt eine genauere Darstellung.
26
4.2.5
Der Programmteil „Geradlinige Ausbreitung von Licht“
Eine wichtige Voraussetzung zur unkomplizierten Behandlung der einfacheren
quantenmechanischen Probleme ist die geradlinige Fortbewegung der Teilchen im
Raum. In der Schule wird dies als selbstverständlich angenommen; insbesondere in
der geometrischen Optik spricht man sogar von „Strahlen“. Auch Schüler vermuten
aus alltäglichen Beobachtungen heraus, dass sich Licht geradlinig ausbreitet, wenn es
nicht durch Linsen oder andere Apparaturen gebeugt oder gebrochen wird. Wenn
aber nun von einer „Addition aller Möglichkeiten“ die Rede ist, wird zunächst nicht
klar, warum zu diesen, ganz entgegen der Erfahrung, nicht auch beliebige
gekrümmte Bahnen gehören sollten, was tatsächlich auch der Fall ist. Die Lösung
dieses
scheinbaren
Widerspruchs
liegt
darin
begründet,
dass
sich
quantenmechanische Teilchen mit einer hohen Wahrscheinlichkeit geradlinig
bewegen, aber eben manchmal auch nicht. Es stellt sich die Frage, wie man hierfür
eine Erklärung finden kann.
Die anschauliche Ausarbeitung dieses Sachverhaltes gestaltete sich schwierig: Als
feste Größen sind die Teilchen- bzw. Lichtquelle und der Empfänger (Detektor)
gegeben. Nun existieren aber unendlich viele Wege dazwischen. Es ist also
unmöglich, diese alle darzustellen. Bader „löst“ dieses Problem in seinem Programm
[9], indem er als mögliche Wege zwei aneinandergesetzte Kreisabschnitte vorgibt.
Hiermit zeigt er, dass von diesen möglichen Bahnen die annähernd geraden den
größten Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsamplitude beisteuern. Mir erschien diese
Methode als nicht sehr sinnvoll, da die Frage, warum sich Licht auf geraden Bahnen
bewegen sollte, hier nur abgeändert wird zu der Frage, warum es dieses auf
Kreisbögen tun sollte. Außerdem ist diese Darstellung in keiner Weise interaktiv, die
vorgegebenen Bahnen werden vom Computer automatisch erzeugt und die
zugehörigen Zeiger bzw. Wellenfunktionen berechnet. Deshalb beschränkte ich mich
auf die Betrachtung einer Gruppe von elf eng beieinander liegenden Wegen.
Überlagert man nämlich hier die zugehörigen Wellenfunktionen, ergibt sich bei einer
starken Veränderung der Weglängen innerhalb der Gruppe eine relativ kurze
Resultierende und umgekehrt. Wenn sich aber schon die in einem gewissen Bereich
liegenden Wellenfunktionen gegenseitig aufheben, ist kaum zu erwarten, dass sie in
der
Summe
über
alle
möglichen
Wege,
also
in
der
zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsamplitude, einen nennenswerten Beitrag leisten.
27
In diesem Programmteil können nun auf einer Zeichenfläche zweidimensionale
Lichtwege „vorgeschlagen“ werden, indem man sie mit der Maus zeichnet.
Der Zeichenvorgang wird per Mausklick gestartet und automatisch beendet, wenn
der Zeichenstift über den Detektor bewegt wird. Zu diesem vorgegebenen Weg
berechnet der Computer nach einem festgelegten Schema annähernd parallel
verlaufende Nachbarwege. Die zugehörigen Wellenfunktionen werden in Form von
Stoppuhrzeigern addiert und das Resultierendenquadrat gebildet.
Es lässt sich sehr deutlich zeigen, dass bei geradliniger Verbindung zwischen Quelle
und Detektor die größte Resultierendenlänge entsteht, der Beitrag dieser Wege zur
Gesamtwahrscheinlichkeitsamplitude also am größten ist.
So ist das Problem der Vorgabe festgelegter Lichtwege umgangen worden, die
Schüler können interaktiv mitverfolgen, wie bei einer Annäherung der Wegform an
eine Gerade die zugehörige Wahrscheinlichkeit wächst.
Abbildung 22: Ein beliebiger Lichtweg wurde eingezeichnet. Die Pfeiladdition sowie die
abgetragene Resultierendenlänge stammen noch vom letzten Simulationsdurchgang.
28
Abbildung 23: Die ähnlichen Wege sind berechnet, abgelaufen und die entstehenden
Zeiger addiert.
Abbildung 24: Der gerade Lichtweg mit der größtmöglichen Resultierenden.
29
4.2.6
Der Programmteil „Reflexion am ebenen Spiegel“
Eines der einfachsten Probleme der in der Schule vorkommenden Quantenmechanik
wird hier näher betrachtet: Eine Lichtquelle beleuchtet über einen ebenen Spiegel
einen Detektor. Die Schüler können nun durch Veränderungen der Spiegelbreite und
–Position untersuchen, welche Teile des Spiegels „wichtig“ für die Reflexion sind,
also einen großen Beitrag zur Resultierenden liefern, und welche nicht.
Das
aus
der
Mittelstufe
bekannte
Reflexions-„Gesetz“:
"Einfallwinkel
=
Ausfallwinkel" kann untersucht werden. Deutlich ist zu sehen, dass ein „Ablaufen
und stoppen“ der mittleren Lichtwege solche Uhrzeiger hervorbringt, die in ähnliche
Richtungen zeigen. Das unter dem Spiegel angeordnete Laufzeitdiagramm liefert
anschaulich die Begründung hierzu: Für die Wege, für die Einfall- und Ausfallwinkel
in etwa gleich lang sind, gilt, dass die Laufzeiten ein lokales Minimum annehmen
und deshalb auch in etwa gleich lang sind. Dieser Sachverhalt wird mitunter in den
Schulen bei der Einführung von Maximierungsaufgaben berechnet. Durch die
Ähnlichkeit der Zeiten können sich natürlich auch die Stoppuhren nur in sehr
begrenztem Maße weiterdrehen. So entsteht bei der Addition eine große
Resultierende, die betrachteten Wege tragen also viel zur Gesamtwahrscheinlichkeit
bei. Bei Veränderung der Farbe, z. B. bei Erhöhung der Frequenz, wirken sich kleine
Laufzeitunterschiede stärker auf die Zeigerstellung aus. Für blaues Licht ist also der
„günstige“ reflektierende Bereich eines Spiegels schmaler als für rotes.
Eine weitere mögliche Erkenntnis liegt darin, dass man den Spiegel nicht in die Mitte
zwischen Quelle und Detektor setzen und dann seine Breite beliebig verringern kann.
Nach dem altbekannten „Gesetz“ müsste die Reflexion genauso wahrscheinlich sein
wie bei Verwendung eines sehr großen Spiegels. Stellt man die Breite aber minimal
ein, so kann nur noch ein einziger Lichtweg zur Reflexion beitragen, die
Resultierende ist gleich dessen Zeiger und damit verhältnismäßig kurz.
30
Abbildung 25: Reflexion am ganzen Spiegel sowie Pfeiladdition. Am jeweiligen
Auftreffpunkt wird die Laufzeit sowie der zugehörige Stoppuhrzeiger abgetragen.
Abbildung 26: Nur der mittlere Spiegelteil ist aktiv. Die Resultierende ist fast genauso
lang wie in Abb. 25.
31
4.2.7
Der Programmteil „Reflexion am Reflexionsgitter“
Der Spiegel aus dem vorangegangenen Programmteil wurde hier in viele kleine
Segmente zerlegt, die durch Anklicken mit der Maus ein - und ausgeschaltet werden
können. So lässt sich ein Reflexionsgitter herstellen. Um schneller Konstellationen
mit fast allen oder keinen Segmenten zu erhalten, besteht eine weitere Option darin,
diese alle auf einmal zu aktivieren oder zu deaktivieren.
In der Schule werden optische Gitter meist so eingeführt, dass das Phänomen der
Beugung demonstriert und dann nach seinen Ursachen gesucht wird. Dieser
Programmteil ermöglicht ein umgekehrtes Vorgehen:
Die Simulation wird einmal mit dem vollen Spiegel durchgeführt. Unter jedem
Segment wird der zugehörige Stoppuhrzeiger abgebildet. Jetzt kann eine
„Pfeilvorzugsrichtung“ gewählt werden, z. B. „nach oben“. Alle Segmente, deren
zugehörige Zeiger nicht im Wesentlichen in diese zeigen, werden deaktiviert. Die
Resultierende wird dann aus einer rein konstruktiven Interferenz gebildet und ist
länger als beim kompletten Spiegel. Der noch weitaus verblüffendere Effekt ist aber
folgender:
Die Teile des Gitters, für die der Einfallswinkel etwa gleich dem Ausfallwinkel ist,
welche also nach klassischen Vorstellungen einzig und allein reflektieren, werden
deaktiviert. Startet man nun die Simulation, ergibt sich trotzdem eine relativ große
Resultierende; die Wahrscheinlichkeit, dass ein Quant den Weg über dieses Gitter
zum Detektor nimmt, ist unter Umständen nicht einmal wesentlich kleiner als die bei
Verwendung eines ganzen Spiegels. Das Phänomen der Beugung ist erklärt.
Eine Veränderung der Lichtfarbe zeigt, dass das erstellte Gitter nicht für alle
Frequenzen gleich gut funktioniert, es ergeben sich dann auch destruktive
Interferenzen.
32
Abbildung 27: Das vollständig eingeschaltete Gitter entspricht dem vollen Spiegel.
Abbildung 28: Ein Beugungsgitter. Die Resultierende ist größer als in Abb. 27, obwohl
der mittlere Bereich des Spiegels inaktiv ist.
33
4.2.8
Der Programmteil „Interferenz am Doppelspalt“
Erst 1960 gelang es Prof. Dr. Claus Jönsson an der Universität Tübingen, das
Doppelspaltexperiment mit Elektronen durchzuführen. Das Hauptproblem lag in der
Herstellung der benötigten sehr schmalen Spalte und Spaltabstände (vgl. [11], S.
191). Mit Licht starker Intensität kann auch in der Schule gezeigt werden, dass durch
einen Doppelspalt ein Interferenzmuster erzeugt wird.
Die Erklärung zu beiden Phänomenen soll in diesem Programmteil gegeben werden.
Dazu betrachtet man ein einzelnes Photon, das von einer Lichtquelle ausgesandt
wird. Dieses besitzt genau zwei Möglichkeiten, auf stückweise geradlinigen Wegen
an eine bestimmte Stelle am Schirm zu gelangen. Dort wird es mit dem Detektor
nachgewiesen.
Wie in den vorherigen Programmteilen werden diese beiden Pfade abgelaufen,
gestoppt und die Resultierenden sowie deren Quadrat gebildet, welches als dünner
Balken entsprechender Länge rechts neben dem Detektor erscheint.
Mit der Maus kann man den Detektor verschieben. So lassen sich mehrere Positionen
am
Schirm
daraufhin
untersuchen,
wie
groß
die
zugehörige
Wahrscheinlichkeitsamplitude für ein Auftreffen des Photons auf diese Stelle ist.
Auf einer Fläche im unteren Bildschirmbereich wird die Differenz der beiden
Lichtweglängen angezeigt. So kann schnell erkannt werden, dass es bei der
Interferenz nicht auf die absolute Länge der beiden Pfade, sondern eben nur auf
deren Unterschied ankommt. Durch den Vergleich von Längendifferenz,
Wellenlänge
und
Wahrscheinlichkeitsamplitude
wird
deutlich,
dass
ein
Wegunterschied von λ 2 eine destruktive und einer von λ eine konstruktive
Interferenz ergeben.
Eine Option lässt das automatische Verschieben des Detektors zu, wodurch für jede
Position
die
Wahrscheinlichkeitsamplitude
ermittelt
wird
und
so
eine
Dichteverteilung entsteht.
Im realen Experiment kommen zu dem Interferenzeffekt des Doppelspalts noch die
der Einzelspalte hinzu. Dies zu berücksichtigen hätte aber hier bedeutet, eine klare
Darstellung (nur zwei zu addierende Zeiger) sowie die ausschließliche Übermittlung
des wichtigsten Inhalts einzubüßen.
Dasselbe Experiment, ausgeführt mit Elektronen, wird im Programm ALEA [12], das
ebenfalls im Fachbereich Physik der Universität Mainz entstanden ist, ausführlich
34
behandelt. Die Darstellung mit Zeigern wird dort nicht verwendet, aber mit dem hier
erworbenen Wissen kann darauf verzichtet werden.
Als Weiterführung kann ALEA dazu dienen, die wirkliche Wahrscheinlichkeitsdichte darzustellen, in der auch der Einfluss der Einzelspalte berücksichtigt ist.
Auf die Möglichkeit, die Spalte einzeln zu verschließen, wurde ebenfalls verzichtet,
da dies, genauso wie die Verschiebung und Verbreiterung der Spalte, in ALEA
enthalten ist.
Abbildung 29: Der Detektor wurde an eine bestimmte Stelle geschoben und diese
ausgewertet. Die beiden Stoppuhrzeiger sind zur Resultierenden addiert, deren Quadrat
rechts neben dem Detektor abgetragen ist.
35
Abbildung 30: Der Detektor wird automatisch nach unten verschoben; die Auswertung
der einzelnen Positionen ergibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
Abbildung 31: Vergleich der Dichten von blauem und rotem Licht.
36
4.2.9
Der Programmteil „Wellenfunktion eines freien Elektrons“
Die hier benutzte Wellenfunktion stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar:
Das Elektron besitzt eine völlig scharfe Energie. Dadurch entstehen keine
Wellenpakete wie bei Überlagerung von Wellenfunktionen aus einem bestimmten
Energiespektrum. Als Folge hiervon ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht
örtlich begrenzt, die Amplitudenquadrate der Welle sind an jedem Ort gleich groß.
Für das Elektron bedeutet dies, dass es überall mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
anzutreffen ist. In der Realität kann man einen solchen Zustand vergleichen mit dem
eines Elektrons im Strahl einer Elektronenquelle mit schmalem Energiespektrum.
Diese
Quelle
strahlt
schon
unendlich
lange,
was
bedeutet,
dass
die
Antreffwahrscheinlichkeit für ein beliebiges Elektron an jeder Stelle konstant und ein
Maß für die Größe der Wahrscheinlichkeitsamplitude an diesem Ort ist. Praktisch
müsste man also überall die relative Häufigkeit für das Auffinden eines Elektrons
ermitteln.
Als wichtiger Lerneffekt dieses Abschnitts soll gezeigt werden, dass, obwohl die
„Welle“ etwas zeitlich Veränderliches ist, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eine
zeitunabhängige Größe ist.
Weiterhin kann durch Veränderung der Elektronenenergie2 mit dem Schieberegler
gezeigt werden, dass sich zwar die räumliche und zeitliche Periodizität der
Wellenfunktion ändert, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit jedoch nicht.
2
In diesen Betrachtungen wird die Ruheenergie des Elektrons nicht mit einberechnet. Das Thema
„Relativitätstheorie“ wird in der Schule meistens erst nach der Quantenmechanik behandelt, eine
Verwendung an dieser Stelle würde die Schüler sicher verwirren.
37
Abbildung 32: Die obere Zeile zeigt die Wellenfunktion, die mittlere deren Quadrat und
die unterste die Elektronenenergie als Funktion des Ortes.
4.2.10 Der
Programmteil
„Wellenfunktion
eines
Elektrons
an
einer
Potentialstufe“
Ein Elektron, dessen Wellenfunktion wie im vorherigen Programmteil beschrieben
dargestellt wird, trifft auf eine Potentialstufe. Ist seine Energie kleiner als die Höhe
der Stufe, so kann man beobachten, dass eine reflektierte Welle entsteht, deren
Zeigerlänge identisch ist mit der der einlaufenden Welle. Allein der Phasensprung an
der Stufe variiert mit dem Verhältnis von Elektronenenergie zu Stufenhöhe. Ist
dieses klein, so beträgt der Sprung annähernd 180°, die Resultierende der
Überlagerung und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit direkt vor der Stufe
verschwinden. Links davon bildet sich eine stehende Welle, es gibt Stellen der
totalen Auslöschung. Dort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null.
Rechts der Stufe ist zu beobachten, dass es einen Anteil gibt, der, obwohl dies
klassisch nicht möglich wäre, in die Stufe eindringt. Die Zeigerlänge und damit die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit nehmen exponentiell mit der Eindringtiefe ab. Diese
Erscheinung bezeichnet man als „Tunneleffekt“.
38
Liegt die Teilchenenergie in der Höhe der Oberkante der Stufe, so sind ein- und
auslaufende Welle in Phase, die Resultierende ist doppelt so lang wie die einzelnen
Zeiger und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an der Reflexionsstelle ist vervierfacht.
Die „Welle“ verliert in diesem Fall im rechten Bereich ihre räumliche Periodizität, es
besteht keine Welle mehr. Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron anzutreffen, ist dort
überall gleich.
Erhöht man die Energie über die Stufenhöhe hinaus, so verringert sich die Länge der
Zeiger des reflektierten Anteils, die links resultierende stehende Welle ist nur noch
moduliert, totale destruktive Interferenz liegt nicht mehr vor. Rechts der Stufe nimmt
die Zeigerlänge und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ab. Als Grenzfall einer
sehr kleinen Stufe lässt sich eine ungestört durchlaufende Welle erahnen.
Die Veränderung des Phasensprungs ist vergleichbar mit der Reflexion einer
Seilwelle am losen oder festen Ende.
Nur aus Uhrzeigern konstruierbar ist diese Simulation nicht, die Zeigerlängen und
Phasensprünge ergeben sich aus der Lösung der Schrödingergleichung.
Abbildung 33: Die Wellenfunktion eines Elektrons an der Potentialstufe, hier mit sehr
kleiner Teilchenenergie. Durch den Phasensprung zwischen einlaufender und reflektierter
Welle von annähernd 180° verschwindet die Resultierende vor der Stufe.
39
Abbildung 34: Die Elektronenenergie ist in etwa halb so hoch wie die der Stufe. Deutlich
ist der Tunneleffekt zu erkennen, die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Stufe ist
ungleich null.
Abbildung 35: Elektronen- und Stufenenergie sind gleich. Die Wellenfunktion verliert
rechts der Stufe ihre räumliche Periodizität.
40
Abbildung 36: Die Elektronenenergie ist viel höher als die der Stufe. Die Modulation der
Welle im linken Bereich ist schon recht schwach. Rechts der Stufe ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit räumlich konstant.
4.2.11 Der Programmteil „Wellenfunktion eines Elektrons im unendlich tiefen
Potentialtopf“
Als Weiterführung des Falles der Potentialstufe wird nun der unendlich tiefe
Potentialtopf eingeführt. Hierzu wird eine von links einlaufende Welle betrachtet, die
gegen eine unendlich hohe Potentialwand prallt. Wie im vorausgegangenen
Programmteil gezeigt, ergibt sich ein Phasensprung von 180°. Hin- und rücklaufende
Welle überlagern sich zu einer stehenden. Im linken Bildschirmbereich ist eine
zweite, ebenfalls unendlich hohe Stufe angebracht. Dort muss sich ebenfalls ein
Phasensprung von 180° ergeben. Damit nun die links reflektierte Welle mit der von
rechts einlaufenden sowie der ersten nach rechts laufenden konstruktiv interferiert,
muss sie mit letzterer in Phase sein. Ansonsten ergäbe sich eine mehr oder weniger
schnelle Auslöschung der vielfach reflektierten Wellen. Für das Entstehen
stationärer, also zeitlich unveränderlicher (Wahrscheinlichkeits-) Zustände sind also
nur bestimmte Energien zulässig.
41
Außerhalb des Topfes muss die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons gleich
null sein, da es nicht in die Wände tunneln kann. Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird
so zu einer stetigen Funktion und damit ohne Sprungstellen, was bei der Lösung der
Schrödingergleichung als Randbedingung vorgegeben wird.
Die so erhaltenen Energieeigenwerte können durch Variation der Elektronenenergie
mittels Schieberegler gefunden werden. Eine weitere Option ermöglicht deren
automatisches Auffinden durch Drücken eines Buttons.
Diese einfache Konstellation ist sehr gut geeignet, um Schülern das Entstehen von
Energieniveaus, beispielsweise im Wasserstoffatom, zu erläutern.
Abbildung 37: Die Wellenfunktion erfüllt nicht die Randbedingungen, die eingestellte
Energie ist also kein Eigenwert.
42
Abbildung 38: Alle Energieeigenwerte sind vom Rechner gesucht und angezeigt. Der
drittniedrigste ist gewählt. Die Wellenfunktion stellt eine stehende Welle mit drei
Bäuchen dar.
43
Zusammenfassung und Ausblick
Das Programm QED soll Lehrer und Schüler bei der Einführung der
Quantenmechanik unterstützen. Durch die große Interaktivität und die hohe Anzahl
der verwendeten Animationen wird die Schüleraktivität im Unterricht gefördert.
Mir ist bewusst, dass der Lehrer durch den Einsatz dieser Software keinesfalls
entbehrlich wird. Einführende und ergänzende Erläuterungen sind unumgänglich.
Durch den gegliederten Aufbau ist es dem Anwender ermöglicht, selbst darüber zu
entscheiden, welche Teile des Programms verwendet werden sollen und welche
nicht.
Die Lernerfolge durch den zusätzlichen Einsatz der Visualisierung physikalischmathematischer Probleme dürften deutlich erkennbar sein, was erste Versuche mit
fachfremden Testpersonen zeigten. Gerade bei der Behandlung von zeitlich
veränderlichen Vorgängen wie Wellen bietet sich die Verwendung von animierten
Darstellungen an, was an Schulen immer noch selten geschieht.
Das zugrundeliegende Konzept der Zeigeraddition bietet wie kein anderes die
Möglichkeit, Wellenphänomene zu erklären, ohne auf Projektionen komplexer
Funktionen auf Real- oder Imaginärteil zurückgreifen zu müssen. Auch die
Einführung der komplexen Zahlen ist nicht zwingend notwendig.
Nach dem Entstehen des Programmes wird es nun notwendig sein, durch intensiven
Testeinsatz an Schulen zu klären, welche Punkte in der Gestaltung, dem Inhalt sowie
der Bedienung noch verbessert werden können. Durch die sehr positiven Äußerungen
von Lehrern, die vorläufige Versionen der beschriebenen Software bei Fortbildungen
demonstriert bekamen, wurde deutlich, dass ein Einsatz eben dieser durchaus
erwünscht ist.
Durch die modulare Programmierung ist eine spätere Erweiterung, auch durch
Fremdpersonen, leicht durchzuführen. So behandelt ein weiterer Programmteil, der
schon im Entstehen ist, den Tunneleffekt eines Elektrons durch einen Potentialwall.
44
Literaturverzeichnis
[1]
Feynman, Richard P.: QED, Piper Verlag GmbH, München, 1997
[2]
Warken, Elmar: Delphi 3, Addison Wesley Longman GmbH, 1997
[3]
Wünstel, Michael: Entwicklung von Lernsoftware zur Darstellung typischer
Quantenphänomene, Staatsexamensarbeit, Johannes Gutenberg-Universität
Mainz, 1997
[4]
Burkhard, Ulrike: Veranschaulichung der Quantenphysik durch Wellenpakete
an Hand speziell dafür entwickelter Computersimulationen, Staatsexamensarbeit, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 1997
[5]
Benutzerhandbuch Borland Delphi 3, Borland GmbH, Langen, 1997
[6]
Feynman, R. P., Hibbs, A. R.: Quantum Mechanics and Path Integrals,
McGraw-Hill Inc., New York, 1965
[7]
Fechner, Andrea: „Warum ist ein Vektorpotential ‚real‘?“ in: Physik in
unserer Zeit Nr 1, Wiley-VCH Verlag GmbH, Weinheim, 1998
[8]
Bader, Franz: Eine Quantenwelt ohne Dualismus, Schroedel Schulbuchverlag
GmbH, Hannover, 1996
[9]
Bader, Franz: Quanten-Physik: Ein Computerprogramm
[10]
Grehn, Joachim (Hg.): Metzler Physik, J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung und Carl Ernst Poeschel Verlag GmbH, Stuttgart, 1992
[11]
Bayer, Reinhard u. a.: Impulse Physik 2, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart,
1997
[12]
Wünstel, Michael und Burkhard, Ulrike: ALEA, Simulationssoftware zur
Quantenmechanik, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart, 1998
45
Anhang
A1 Die Systemvoraussetzungen
Systemvoraussetzungen für das Programm QED ist Windows 95/98. Programmiert
wurde es auf einem Pentium 233 mit 32 MB Arbeitsspeicher. Alle Animationen
liefen mit ausreichender Geschwindigkeit, allerdings konnte durch Variation einiger
Parameter festgestellt werden, dass in manchen Fällen der Prozessor und nicht die
implementierte
Zeitverzögerung
den
geschwindigkeitsbegrenzenden
Faktor
darstellte. Daher kann es auf langsameren Rechnern (486ern) zu Beeinträchtigungen
bei
der
Laufgeschwindigkeit
kommen.
Es
mussten
jedoch
die
Vorteile
rechenaufwendiger Animationen gegen die Nachteile hoher Ansprüche an die
vorhandene Hardware abgewogen werden. Durch die enorme Steigerung der
Leistungsdaten und den extremen Preisverfall bei Personalcomputern schien ein
mittelschneller Pentium I-PC als Maßstab geeignet.
A2 Die Entwicklungsumgebung Delphi 3
Bei der Auswahl der Entwicklungsumgebung spielten folgende Kriterien eine Rolle:
Als Betriebssystem kam wegen der großen Verbreitung nur Windows 95/98 in Frage.
Um die Bedienerfreundlichkeit zu erhöhen und den Anwender nicht durch neue,
unbekannte Steuerungselemente zu belasten, sollten diese und der Programmaufbau
eine möglichst ähnliche Funktionalität und Erscheinungsform wie Windows 95/98
besitzen. Außerdem sollte eine Programmiersprache zugrunde liegen, die eine
spätere problemlose Erweiterung des Programmes durch dritte erlaubt. Deshalb und
durch die angestrebte Verwendung als Schulsoftware bot sich Turbo- Pascal an.
Diese
Sprache
wird
im
Informatikunterricht
der
Oberstufe
sowie
in
Anfängervorlesungen der Mathematik, z.B. Algorithmen I, verwendet. Eine
komfortable Windows-orientierte Entwicklungsumgebung bietet Borlands Delphi 3,
die zugehörige Sprache Object-Pascal ist sehr eng mit Turbo-Pascal verwand. Delphi
3 stellt eine große Menge vorgefertigter Objekte zur Verfügung, wie etwa Fenster,
Buttons oder Schieberegler. Fügt man ein solches Objekt auf der Arbeitsfläche ein,
generiert Delphi den zugehörigen Quelltext automatisch und fügt ihn in den bereits
46
bestehenden ein. Dort können dann die Routinen für die möglichen Ereignisse, z. B.
das Anklicken eines Buttons, eingetragen werden.
47
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Thank you for your participation!

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