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Materialien zur Altlastenbehandlung
Nr. 7/97
Simulation von Grundwasserströmungs- und
Transportprozessen im
Festgesteinsgrundwasserleiter im Rahmen der
Altlastenbehandlung
Teil 1
Modellierungsgrundlagen von Strömungs- und
Transportprozessen im Festgestein im Rahmen
der Altlastenbehandlung
Sächsisches Landesamt für Umwelt und Geologie
Vorbemerkung
Die vorliegende Broschüre gliedert sich in zwei Teilthemen:
Teil I "Modellierungsgrundlagen von Strömungs- und Transportprozessen im Festgestein im
Rahmen der Altlastenbehandlung" und
Teil II " Recherche und Bewertung
Altlastenbehandlung in Sachsen"- ,
der
Eignung
von
Simulationsverfahren für
die
Sie ist insbesondere für die dem SMU nachgeordneten bzw.- fachaufsichtlich zugeordneten
Behörden gedacht, die mit Aufgaben im Altlasten- und Grundwasserbereich befaßt sind.
Diese beiden Spezialthemen wurden in Vorbereitung des Materialienbandes 4/1997 "Simulation
von Grundwasserströmungs- und -transportprozessen im Rahmen der Altlastenbehandlung
(Lockergestein, Festgestein und ungesättigte Zone)" bearbeitet und sollen zum einen als
vertiefendes Schulungsmaterial und zum anderen als Arbeitsmittel bei eigenen gutachterlichen
Leistungen Anwendung finden.
Folgende Sachbereiche werden behandelt:
•
Parameterermittlung,
•
analytische Grundwasserströmungsberechnung,
•
numerische Grundwasserströmungs- und -transportberechnung.
Die Veröffentlichung erfolgt wie durch den Bearbeiter (siehe Impressum} vorgelegt- Die
angeführten Praxisbeispiele sind bezüglich ihrer konkreten Fallgestaltung in diesem Rahmen nicht
überprüft worden und deshalb nur als prinzipiell mögliche Anwendungsbeispiele zu verstehen.
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1.1: Hydrogeologische Klassifizierung von Grundwassersystemen (aus KOLDITZ & ZIELKE
1994)
Abb. 2.1: Systematisierung von Klufttypen (aus HÄHNE & FRANKE 1983)
Abb. 2.2: Klassifizierung geologischer Kluftsysteme (Aus CHERNYSHEV & DEARMAN 1991)
Abb. 2.3: Hohlraumbildung im Verlaufe der Verkarstung (aus LEGE ET AL. 1995
Abb. 3.1: Gesteinsdurchlässigkeit und Gebirgsdurchlässigkeit parallel zu einer Kluftschar mit
unterschiedlichen Spaltweiten (aus WITTKE & JÜNGLING 1979)
Abb. 3.2: Permeabilitäten für kristalline Gesteine (aus CLAUSER 1992)
Abb. 3.3: Typische Randbedingungen für Grundwasserströmungen (nach BUSCH et al. 1993)
Abb. 3.4: Strömungsregime in der Geohydraulik (aus BUSCH ET AL. 1993)
Abb. 3.5: Gültigkeitsbereich des Darcy-Gesetzes (zitiert aus MATTHEß & UBELL 1983)
Abb. 3.6: Widerstandsgesetze und spezifische Durchflüsse für Kluftströmungen (aus Louis 1967)
Abb. 3.7: Natürliche Kluft mit rauhen Oberflächen und Schematisierung mit bereichsweise
konstanten Kluftöffnungsweiten (aus HELMIG 1993)
Abb. 3.8: Kanalisierungseffekt in einer fraktalen Kluft mit bereichsweise konstanten
Kluftöffnungsweiten (aus HELMIG 1993)
Abb. 3.9: (a) Bohrlochgeometrie und Ausdehnung des stimulierten RH12IRH15-Reservoirs, (b)
Kluftnetzwerk
Abb. 3.10: Abhängigkeit der Reservoirimpedanz von den Spaltbreiten der beiden
Kluftpopulationen (b1 und b2) und resultierende Anisotropie
Abb. 3.11: Ungespannter (oben) und gespannter Karstgrundwasserleiter (unten)(aus BROWN et
al. 1975)
Abb. 4.1: Physiko-chemische Transportphänomene in Grundwassersystemen (aus KROHN 1991)
Abb. 4.2: Einfluß der Matrixdiffusion auf die Durchbruchscharakteristik eines Tracerimpulses (aus
NERETNIEKS 1993)
Abb. 4.3: Kausalkette von Matrixdiffusion, Sorption und Intrapartikeldiffusion
Abb. 5.1: Modellkonzepte für geklüftet-poröse Medien (aus KOLDITZ 1995)
Abb. 5.2: Betrachtungsmaßstäbe für Modelluntersuchungen im Kluftgestein (aus BEAR &
BERKOWITZ 1987)
Abb. 5.3: Querschnitt durch einen gespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN &
DE RIDDER 1990)
Abb. 5.4: Querschnitt durch einen halbgespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN
& DE RIDDER 1990)
Abb. 5.5: Querschnitt durch einen ungespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN &
DE RIDDER 1990)
Abb. 6.1: Hybrides Finite-Element/Rand-Elemente-Netz (aus HAO 1994)
Abb. 7.1: Abgrenzung der Berechnungs- und Aussagegebiete für die Standortmodellierung der
Deponie Münchehagen (aus LEGE ET AL. 1995)
Abb. 8.1: Geklüftete Tonsteine in einem Polder der Deponie MÜNCHEHAGEN (aus 95 GEIßLER
1994)
Abb. 8.2: Durchgangskurven und kumulative Wiedergewinnung von Bromid, Uranin und Benzoat
im Förderbrunnen (aus MAIER & DÖRHÖFER 1994)
Abb. 8.3: Plan des Versuchsfeldes MÜNCHEHAGEN - Brunnenanordnung und Versuche (aus
DÖRHÖFER & MAIER 1993)
Abb. 8.4: Vergleich der gemessenen und berechneten Durchbruchskurven von Mikropartikeln und
Nitrat (Versuch 1b) (aus MAIER & DÖRHÖFER 1994)
Abb. 8.5: Vergleich der gemessenen und berechneten Durchbruchskurven von (a) Mikropartikeln
und (b) Bromid (Markierungsversuch II) (aus LEGE 1995)
Abb. 8.6: "AOX"-Verteilung im Grundwasserabstrom der Deponie MÜNCHEHAGEN (aus FRITZ
ET AL. 1994)
Abb. 8.7: Simulation der aktuellen Schadstoffverteilung im Grundwasserabstrom der Deponie
MÜNCHEHAGEN (aus LEGE 1995)
Abb. 8.8: Konzentrationsentwicklung im Grundwasserabstrom der Deponie entsprechend den
Szenarien (a) keine Sanierung und (b) Sanierung (aus LEGE 1995)
Abb. 8.9: Strecken- und Laugungsblöcke der Grube
Abb. 8.10: Berechneter Schadstoffaustrag an einem Strecken-Blockkontaktbereich nach 30
Jahren
Abb. 8.11: (a) 3D-Finite-Element-Modell (89 130 Knoten) und (b) modellierte
Haupstreckengeometrie für das Flutungsexperiment der Grube Königstein
Abb. 8.12: Berechnete hydraulische Höhe nach (a) 0,1 und (b) 365 Tagen nach Füllbeginn sowie
modellierte Schadstofffreisetzung nach (c) 0,1 und (d) 365 Tagen im Flutungsexperiment
Abb. 8.13: Großräumiges Finite-Element-Modell der Grube Königstein
Abb. 8.14: Berechnete dreidimensionale Schadstoffverteilung im Grubenbereich nach drei Jahren
seit Beginn der Flutung
Tabellenverzeichnis
Tab. 1.1: Grundwasserleiter und -nichtleiter
Tab. 1.2: Klassifizierung einiger Gesteine in Leiter bis Nichtleiter (aus RICHTER & LILLICH 1975)
Tab. 2.1: Petrologische Klassifizierung der Festgesteine (nach MAUHESS & UBELL 1983)
Tab. 2.2: Kluftentstehung - Ursachen und resultierende Klufttypen
Tab. 2.3: Struktur des Kluftgesteins - Wasserwegsamkeiten
Tab. 3.1: Hohlraumanteile von Festgesteinen (nach MAUHESS & UBELL 1983)
Tab. 3.2: Richtwerte für den dimensionslosen Speicherkoeffizienten
Tab. 3.3: Parameter, die das Speichervermögen eines Aquifers kennzeichnen (aus STOBER
1986)
Tab. 3.4: Parameter, die das Leitvermögen eines Aquifers kennzeichnen (aus STOBER 1986)
Tab. 3.5: Hydraulische Leitfähigkeiten von Festgesteinen - Sedimentäre Festgesteine
Tab. 3.6: Hydraulische Leitfähigkeiten von Festgesteinen - Magmatite und Metamorphite
Tab. 3.7: Hydromechanische Kräfte in einem hydrogeologischen System
Tab. 3.8: Typische Randbedingungen in Grundwassersystemen (nach BUSCH ET AL. 1993)
Tab. 3.9: Hydraulische Widerstandsbeiwerte und Durchlässigkeitsbeiwerte der Filterströmung in
Kluftgesteinen
Tab. 4.1: Hydrodynamische Dispersion in verschiedenen Skalenbereichen
Tab. 4.2: Klassifizierung chemischer Reaktionssysteme
Tab. 4.3: Kinetische Ansätze für homogene Nichtgleichgewichtsreaktionen
Tab. 4.4: Sorptionsisotherme für schnelle heterogene Reaktionen
Tab. 4.5: Bedeutung der Matrixdiffusion für den Stofftransport in Grundwassersystemen
Tab. 4.6: Grundwassersimulatoren für Dichteströmungen
Tab. 5.1: Systematisierung hydrogeologischer Modelle - Modellgeometrie
Tab. 5.2: Systematik - Strömungsmodelle
Tab. 5.3: Systematik - Stofftransportmodelle
Tab. 5.4: Physikalische Nichtgleichgewichtsprozesse
Tab. 5.5: Chemische Nichtgleichgewichtsprozesse
Tab. 5.6: Gleichgewichtsstatus für physiko-chemische Prozesse (reaktiver Transport)
Tab. 6.1: Grundlegende Differentialgleichungen für den Wärme- und Stofftransport
Tab. 6.2: Analytische Lösungen für die hydraulische Druckhöhenverteilung bei
Grabenanströmungen in gespannten, ungespannten und halbgespannten Aquiferen (aus
KINZELBACH 1987)
Tab.6.3: Transport in Schichtaquiferen
Tab.6.4: Transport in Kluft-Matrix-Systemen (Matrixdiffusion)
Tab.6.5: Systematisierung analytischer Modelle zur Matrixdiffusion (aus KOLDITZ1995)
Tab.6.6: Übersicht von Zeitschrittverfahren
Tab.6.7: Diskretisierungskriterien und Konservativitätsbetrachtungen
Tab.6.8: PECLET-Zahl
Tab.6.9: Bedeutung der Element-PECLET-Zahl
Tab. 8.1: Modellparameter zur Anpassung der Grundwassermarkierungsexperimente
Anlagenverzeichnis
Anlage 1-1: Benchmarks und Beispiele zur Modellierung
Anlage 1-2: Hydrogeologische Karten
1 Einleitung
1.1 Einordnung der Aufgabe und Zusammenfassung
Der hier vorliegende Teil l des Berichtes dokumentiert Modellierungsgrundlagen der Simulation
von Strömungs- und Transportprozessen im Rahmen der Altlastenbehandlung für
Festgesteinsgrundwasserleiter.
Dabei geht es um die Hydrogeologie der Festgesteine, die Modellbildung zur Prozeßsimulation in
Festgesteinen, relevante Modellierungsmethoden und um die Demonstration der Methoden in der
Anwendung.
Mit dem Bericht wird ein kompakter Überblick der Gesamtproblematik gegeben. Ziel war, die Fülle
vorliegender Informationen in einer Art Wissensspeicher anzulegen, der als Nachschlagewerk zur
Modellierung von geohydraulischen Vorgängen und Migrationsprozessen in Festgesteinen mit
konkretem Bezug zur Altlastenbehandlung dienen kann. Die Aufbereitung und Ordnung des
Materials soll eine rasche Orientierung ermöglichen. Zu diesem Zweck wird eine große Zahl von
komprimierenden Übersichtstabellen und -abbildungen angeboten, die eine gezielte Suche zu
konkreten Fragestellungen erleichtern soll.
Dieser Wissensspeicher kann natürlich kein Ersatz für Lehrbücher oder Aufsätze in Fachjournalen
sein. Zum vertieften Studium sollten die zahlreichen Literaturverweise im Bericht hinzugezogen
werden.
Der Bericht beginnt mit der Einordnung von Grundwassersystemen sowie der geologischen und
strukturellen Einteilung der Festgesteine als Grundwasserleiter (Abschn. 2). Von besonderem
Interesse sind Kluft-, Karstaquifere und durch den Bergbau aufgeschlossene anthropogene
Hohlräume, welche nach Stillegung und Flutung ein künstlich angelegtes Grundwasserreservoire
darstellen. Die geologischen Gegebenheiten werden durch die in der Anlage 1-3 beigefügten
Karten für Deutschland und Sachsen illustriert.
In den Kapiteln 'Hydraulische Prozesse' (Abschn. 3) und 'Transportprozesse' (Abschn. 4) geht es
um die physikalischen und physiko-chemischen Grundlagen von Strömung und Migration sowie
um deren modellhafte Formulierung (Modellparameter, Modellgleichungen, Randbedingungen).
Dabei gilt es, die Besonderheiten in Festgesteinen herauszustellen (Kluftströmung,
Kanalisierungseffekte, Netzwerkhydraulik, Matrixdiffusion).
Ein separates Kapitel ist den Modellierungskonzepten (Abschn. 5) gewidmet, wo die
grundsätzlichen Modellansätze für klüftig-poröse Medien beschrieben werden (Kluft-Modelle,
Kontinua-Modelle bzw. gekoppelte Hybrid-Modelle). Im Mittelpunkt stehen ihre spezifischen
Einsatzmöglichkeiten für Gleichgewichts- bzw. Nichtgleichgewichtsprozesse.
Im sechsten Kapitel werden analytische und numerische Berechnungsverfahren (Abschn. 6)
vorgestellt. Zur Illustration dieses mitunter schwer zugänglichen Materials wird dem Bericht eine
Beispielsammlung (Anlage 1-2) beigefügt, wo an einer Reihe von Testbeispielen der Einsatz
numerischer Berechnungsmethoden demonstriert wird.
Im vorletzten Teil wird ein Leitfaden für die Modellierung von Deponien und Altlasten (Abschn. 7)
vorgestellt, der von LEGE ET AL. (1995) entwickelt und exemplarisch anhand der
Standortmodellierung der ehemaligen Deponie Münchehagen (Niedersachsen) angewendet
wurde. Hierzu sei auch auf die in der genannten Quelle enthaltenen Checklisten verwiesen.
Der Bericht schließt mit zwei Praxisbeispielen (Abschn. 8) zur Altlastenmodellierung: die schon
erwähnte Deponie Münchehagen und die ehemalige Urangrube im sächsischen Königstein.
1.2 Klassifizierung von Grundwassersystemen
Generell kann eine vom Grundwassergehalt abhängige hydrogeologische Gliederung des
Untergrundes in die wasserungesättigte Bodenzone (Aerations- oder Sickerwasserzone) und die
wassergesättigte Bodenzone (Grundwasserzone) vorgenommen werden. Der Übergang zwischen
diesen Bodenzonen erfolgt nicht abrupt, sondern allmählich innerhalb des sog. Kapillarsaums. Die
Begrenzung des Grundwasserkörpers bildet die gedachte Grundwasseroberfläche, eine
Potentialfläche mit atmosphärischem Druck. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit erfolgt eine
Beschränkung der Untersuchungen auf den wassergesättigten' Grundwasserbereich.
Nach der DIN 4049 wird unter dem Begriff "Grundwasser" das unterirdische Wasser verstanden,
das die Hohlräume der Erdrinde zusammenhängend ausfüllt und dessen Dynamik von der
Schwerkraft sowie die durch die Grundwasserbewegung ausgelösten Reibungskräfte bestimmt
wird.
Grundwasserleiter (Aquifere) sind wasserführende Gesteine. Hinsichtlich der Durchlässigkeit und
Speicherfähigkeit von Grundwasser wird in der Hydrogeologie folgende Systematik vorgenommen:
Tab. 1.1: Grundwasserleiter und -nichtleiter
Bezeichnung
hydraulische Charakterisierung
Aquifer
wasserdurchlässig und wasserspeicherfähig
(Grundwasserleiter)
Aquitard
(Grundwassergeringleiter)
Aquidude
(Grundwassernichtleiter)
Aquifuge
(Grundwassernichtleiter)
wenig wasserdurchlässig und wenig
wasserspeicherfähig
sehr wenig wasserdurchlässig, aber
wasserspeicherfähig
weder wasserdurchlässig noch
wasserspeicherfähig
Gesteine bilden einen Verband von einzelnen Mineralkörnern, der von luft- und
flüssigkeitsgefüllten Hohlräumen durchzogen ist. Dabei erfolgt eine Unterteilung in Lockergesteine
und Festgesteine. Als Lockergesteine werden lose, unverfestigte Gemenge von Gesteins- und
Mineralbestandteilen bezeichnet. Festgesteine sind dagegen diagenetisch verfestigte
Sedimentgesteine, Metamorphite und Magmatite (5. Abschn. 2).
Der Begriff des Grundwasserleiters oder -nichtleiters ist im allgemeinen nicht an bestimmte
stratigrafische Einheiten gebunden. Die Tab. 1.2 gibt eine Übersicht einiger Locker- und
Festgesteine bezüglich ihrer Fähigkeit, Grundwasser zu leiten.
Tab. 1.2: Klassifizierung einiger Gesteine in Leiter bis Nichtleiter (Aus RICHTER & LILLICH 1997)
Gesteine können vielfältige Hohlraumstrukturen sowohl geogen als auch anthropogenen
Ursprungs aufweisen, wie
•
Poren
•
Trennfugen
•
Lösungshohlräume (Verkarstung)
•
durch den Bergbau entstandene Hohlräume.
Entsprechend dem strukturellen Aufbau der Gesteinshohlräume werden im hydrogeologischen
Sinne folgende Grundwassertypen unterschieden (Abb. 1.1)
•
Porengrundwasserleiter
•
Karstgrundwasserleiter
•
Kluftgrundwasserleiter
Abb. 1.1: Hydrogeologische Klassifizierung von Grundwassertypen (Aus KOLDITZ & ZIELKE 1994)
2 Festgesteine als Grundwasserleiter
Gegenstand der vorliegenden Ausarbeitung sind Festgesteinsgrundwasserleiter. Festgesteine
nehmen ungefähr 55% der Landoberfläche Deutschlands ein und sind damit von großer
Bedeutung für das Grundwasserdargebot. In der Anlage sind die geologischen Karten von
Deutschland und Sachsen zu finden. In den sächsischen Mittelgebirgen kommen vor allem
Kristalline, Plutonite, paläozoische Vulkanite und prädevonische Formationen vor.
Die diagenetisch bedingte Vielfalt möglicher Festgesteinsbildungen (Abschn. 2.1) führt in gleicher
Weise zu mannigfaltigen Hohlraumstrukturen mit entsprechenden Konsequenzen für die
Grundwasserbewegung.
Typisch für die Struktur der Kluftgesteine (Abschn. 2.2) ist die Zerlegung des Gebirges durch
Trennfugen, die verschiedene Ursachen haben kann (Tab. 2.2). Dabei können z. B. alterierte
Kluft- oder Zerrüttungszonen durchaus poröse Füllungen aufweisen. Ferner besitzen einige
sedimentäre Festgesteine neben der Klüftung z.T. auch große Matrixporositäten (Tab. 2.3). Aus
struktureller Sicht ließe sich so eine weitere Untergliederung in klüftig-poröse bzw. klüftige
Festgesteine vornehmen.
Ähnlich ist die Situation bei Karstgesteinen (Abschn. 2.3), wo zusätzlich Lösungshohlräume
vorkommen, in denen sich das Grundwasser u. U. in Form von Gerinneströmungen bewegt.
Letztlich ist die Gewichtung der unterschiedlichen hydrodynamischen Struktureigenschaften, wie
porös, klüftig oder verkarstet, ausschlaggebend für die Zuordnung zu einem Aquifertyp gemäß
Abb. 1.1.
Neben den natürlichen Gesteinshohlräumen als Grundwasserleiter sind im Festgestein auch
anthropogene Hohlräume von besonderer Bedeutung, speziell auch in Sachsen, wie sie durch den
Untertagebergbau entstanden sind. Nach ihrer Flutung bilden sich künstlich geschaffene,
großräumige Grundwassersysteme. Ihre Modellierung, speziell auch aus der Sicht der
Altlastenbehandlung, stellt spezifische methodische und simulationstechnische Anforderungen,
auf die im Rahmen dieser Ausarbeitung eingegangen wird (Abschn. 8.2).
Damit deutet sich bereits an, daß eine strikte Trennung in der methodischen Behandlung von
Locker- und Festgesteinsgrundwasserleitern faktisch nicht gegeben ist,
da in
Festgesteinsaquiferen sowohl Darcy- als auch Kluftströmungen relevant sind. Aus
modelltechnischer Sicht bedeutet das den Einsatz hybrider Konzepte (Abschn. 5, Kopplung
kontinuierlicher und diskontinuierlicher Modellansätze), die derzeit noch Gegenstand der
Forschung sind.
Bei vielen praktischen Aufgabenstellungen werden auch die Kluftaquifere im Sinne poröser
Medien abstrahiert. So werden z. B. Darcy-basierte Modellansätze auch für
Festgesteinsgrundwasserleiter eingesetzt, damit die entsprechenden Aufgabenstellungen
beherrschbar sind.
2.1 Petrologische Klassifizierung
Entsprechend ihrer diagenetischen Besonderheiten wird folgende Einteilung der Festgesteine
vorgenommen (Tab. 2.1):
Sedimentäre Festgesteine entstehen durch die Verkittung der Mineralkörner durch Bindemittel
(Zementierung).
Metamorphe Festgesteine sind das Ergebnis einer Umkristallisation unter hohen Temperaturen
und Spannungen.
Magmatische Festgesteine bilden sich bei der Verschmelzung von Mineralkörnern durch
Kristallisationsvorgänge.
Tab. 2.1: Petrologische Klassifizierung der Festgesteine (nach MATTHESS & UBELL 1983)
Sedimentäre Festgesteine
Metamorphe Gesteine
(Metamorphite)
Magmatische Gesteine
(Magmatite)
Pelite
(Tonsteine, Schluffsteine,
Mergelsteine)
Gneise
kristalline Schiefer
Plutonite
(Granit, Gabbros, Diorite)
Psephitisch-psammitische
Gesteine
(Sandsteine, Konglomerate,
Grauwacken)
Quarzite
Vulkanite
(metamorphisierte Sandsteine) (Basalte, Tuffe)
Karstgesteine
(Karbonate, Dolomite,
Kalksteine: Gips- und
Anhydritgesteine)
Marmore
(metamorphisierte Kalk- und
Dolomitsteine)
Evaporite, Halite
(Salzgesteine)
2.2 Kluftgesteine
Trennfugen - Klüfte
Charakteristisch für die Struktur der meisten Festgesteine ist die Zerlegung des Gebirges durch
Trennfugen. Ursachen für die Kluftbildung können geologische, tektonische, chemische und
physikalische Prozesse sein (Tab. 2.2). Die Vielzahl der vorkommenden geologischen Trennfugen
wird in der Hydrogeologie unter dem Begriff ,,Kluft" zusammengefaßt (Abb. 2.1). Klüftige
grundwasserleitende und -nichtleitende Formationen werden Kluftgesteine genannt.
Festgesteine weisen unterschiedliche Elastizitätseigenschaften auf. Es werden kompetente und
inkompetente Gesteine unterschieden. Kompetente Gesteine, wie Sandsteine, Quarzite,
Kalksteine und Magmatite, sind hart und spröde. Diese zerbrechen bei mechanischen
Beanspruchungen. Sie neigen zur Kluftbildung. Inkompetente Gesteine, wie Tone, Schluffe und
Salzgesteine, weisen aufgrund ihrer Plastizität nur eine geringe Klüftung auf. Tab. 2.3 gibt eine
Übersicht von gesteinsspezifischen Kluftstrukturen.
Tab. 2.2: Kluftentstehung - Ursachen und resultierende Klufttypen
Ursache
Klufttyp
Sedimentationswechsel bzw. -unterbrechungen
Schicht- und Bankungsfugen
Tektonische Beanspruchung
Schieferungsfugen, (Pressungsklüfte,
Entspannungsklüfte, Zerrungsklüfte)
chemische Lösung (Verkarstung)
Lösungs- oder Absonderungsfugen
Abkühlung in Magmatiten
Abkühlungsfugen
Quellung, Hydratationssprengung
(Volumenvergrößerung durch
Kristallwasseraufnahme)
Abb. 2.1: Systematisierung von Klufttypen (Aus HÄHNE & FRANKE 1983)
Tab. 2.3: Struktur des Kluftgesteins - Wasserwegsamkeiten
Gesteinsart
Struktur des Kluftgesteins
Ursache
Pelite
klüftig-porös
Diagenese
Psephitisch-psammitische
Gesteine
klüftig-porös
Diagenese
Karstgesteine
Lösungshohlräume durch
Verkarstung
chemische Lösungsvorgänge
Evaporite,
Haute(Salzgesteine)
wenig geklüftet
Kluftverschlüsse
Plastizität der Gesteine
Kriechen
Metamorphe Gesteine
hydraulisch anisotrope
Kluftsysteme(Faktor 2-3)
Tektonisch anisotroper
Spannungszustand bei
Kluftentstehung
steil einfallende Klüfte
tektonische Situation während
Plutonentstehung
Auflockerung
oberflächennaher Schichten
Quarz- und Pegmatitgänge
Hangzerreibung Kriechen
Sedimentäre Festgesteine
Magmatische Gesteine
Plutonite
horizontale
Entspannungsklüfte
Kluftzonen
poröse Klüfte
Kluftverschlüsse
Vulkanite
hexagonale Kluftstrukturen
Kluftverschlüsse
Zerlegung senkrecht zu den
Isothermen (Abkühlungsklüfte)
Mineralausscheidungen
Die in geologischen Formationen vorkommenden Kluftsysteme können vielfältige Strukturen
aufweisen (Abb. 2.2). CHERNYSHEV & DEARMAN (1991) präsentieren einen anschaulichen
Katalog möglicher Kluftgeometrien. Dabei lassen sich sphäroidale und polygonale Kluftstrukturen
sowie Kluftpopulationen mit bestimmten Vorzugsrichtungen für die verschiedenen Gesteine
unterscheiden (VENEZIANO 1978, CHILES 1988). Aus bruchmechanischen Betrachtungen
schließt DERSHOWITZ (1984), daß die Kluftausbreitung gestoppt wird, sobald eine andere Kluft
getroffen wird.
Abb. 2.2 Klassifizierung geologischer Kluftsysteme (Aus CHERYSHEV & DEARMAN 1991):
(a) sphäroidale Klüfte in Andesiten
(b) polygonale Klüfte in Basalten
(c) polygonale Klüfte in Kalksteinen
(d) orthogonale Kluftsysteme in Graniten
(e) komplexe Kluftsysteme in Sandsteinen
(f) unregelmäßige Kluftsysteme in Doleriten
Klüftig-poröses Gestein
Insbesondere sedimentäre Festgesteine können neben der Klüftung auch signifikante Porositäten
aufweisen (Tab. 2.3). Die Porosität bezeichnet bekanntlich den Hohlraumgehalt des Gesteins.
Oftmals werden auch ungeordnete Mikrokluftsysteme (z. B. in kristallinen Formationen) als
Porensystem bezeichnet.
Die Kategorie des klüftig-porösen Mediums bringt zum Ausdruck, daß verschiedenskalige
Strukturen den Prozeßablauf charakterisieren. Das bedeutet, für ein klüftig-poröses Gestein
bestimmen die großskaligen Klüfte das Leitvermögen, während die kleinskaligen Poren- oder
Mikrokluftnetzwerke die Speicherkapazität des Gesteinsverbandes festlegen.
2.3 Karstgesteine
Laut hydrogeologischer Systematik von Grundwassersystemen (Abb. 1.1) werden neben den
Poren- und Kluftaquiferen die Karstgrundwasserleiter hervorgehoben, die teilweise auch als
Sonderfall von Kluftgrundwasserleitern eingeordnet werden. Aus petrologischer Sicht gehören die
Karstgesteine den sedimentären Festgesteinen an (Tab. 2.1).
Der Verkarstungsprozeß tritt in wasserlöslichen Gesteinen auf, wie Karbonatgesteine ( Kalke
CaCO3, Dolomite) und Anhydrit- sowie Gipsgesteine (Sulfatgesteine CaSO4). Die chemische
Auflösung geht im allgemeinen von wasserführenden Klüften aus. In Abhängigkeit von den
spezifischen klimatischen (humid, arid) und chemischen Bedingungen (z.B. CO2- und
Wassergehalte) können über geologische Zeiträume vielfältige Karsthohlraumstrukturen
entstehen, wie Gerinne, Kavernen, Grotten und Höhlen mit sehr unterschiedlichen Ausmaßen (
Abb. 2.3)
Abb. 2.3: Hohlraumbildung im Verlaufe der Verkarstung (Aus Lege et al. 1995)
Aufgrund der vielfältigen Genesemöglichkeiten weisen Karstgesteine sehr differenzierte
hydrogeologische Eigenschaften, wie Hohlraumanteile, nutzbare Porositäten und hydraulische
Leitfähigkeiten auf. Aus hydrogeologischer Sicht wird ferner zwischen Seichtem Karst (liegt über
Vorflutniveau) und Tiefem Karst (liegt unter Vorflutniveau) unterschieden.
Bekannte Karstgebiete in Deutschland sind z.B.:
•
Schwäbische und Fränkische Alb (Abschn. 4.5)
•
Muschelkalk im Süddeutschen Schichtstufenland und Thüringer Becken
•
Kreidekarst in Norddeutschland
•
Karbonatfolgen in den Eifelkalkmulden
3 Hydraulische Prozesse im Festgestein
Im vorangegangenen Abschnitt ging es um den strukturellen Aufbau der Festgesteine. Zur
Beschreibung der Grundwasserbewegung im Festgestein gilt es, geeignete Parameter zu
bestimmen, welche die hydraulischen Prozesse treffend charakterisieren. Jeder Parameter (oder
besser Modellparameter) ist dabei stets mit einer bestimmten Modellvorstellung behaftet. Das
heißt, ein realer Festgesteinsaquifer wird als poröses oder mehrfach-poröses Medium, als
Aquiferschichtkomplex oder als Kluftsystem mit mehr oder weniger speicher- und leitfähigen
Gesteinsblöcken idealisiert. Zusätzlich sind natürliche (Karsterscheinungen) und anthropogene
Hohlräume (Bergwerke) zu berücksichtigen. Entsprechend dem gewählten Modellkonzept sind die
notwendigen Parameter zu bestimmen. Das sind z. B. Speicherkoeffizienten und
Leitfähigkeitsbeiwerte für poröse Medien, Austauschkoeffizienten für mehrfach-poröse Medien
sowie Trennfugen- und Gesteinsdurchlässigkeiten, Kluftdaten (z. B. Häufigkeit, Raumlage, Größe
von Klüften) für Kluftmedien.
Der Erkundungsaufwand zur Konstruktion detaillierter Kluftmodelle ist sehr hoch. Ferner gibt es
mit Simulationsprogrammen auf der Basis von Kluftnetzwerk-Modellen erst geringe
Praxiserfahrungen. Stochastische Modelltechniken für heterogene Aquifere oder Kluftsysteme sind
äußerst rechenaufwendig, da für statistisch repräsentative Aussagen eine große Zahl von
Realisierungen durchgespielt werden muß (s. auch Abschn. 5).
Für praktische Belange wird deshalb oftmals die Homogenisierbarkeit des Festgesteinsaquifers
als Kontinuum (äquivalent poröses Medium) angenommen. Dabei wird a priori vorausgesetzt, daß
der Verbindungsgrad von Fließwegsamkeiten (Poren, Klüfte, Karsthohlräume, Stollengänge)
hinreichend gut ist, um die Kontinuität von mittleren Parameterwerten zu garantieren. Für
hinreichend große Untersuchungsgebiete ist dieser Kontinuum-Ansatz eine geeignete
Approximation. Die entsprechenden integralen Modellparameter können z. B. durch den Test
eines hinreichend langen Bohrlochabschnittes gewonnen werden.
In diesem Abschnitt werden zunächst die Parameter der Grundwasserhydraulik poröser und
klüftiger Medien (Porosität - Kluftvolumen, Speicherkoeffizient, hydraulische Durchlässigkeit)
definiert und typische Werte für Festgesteine angegeben (Abschn. 3.1). Anschließend wird das
mathematische Modell der Geohydraulik in Form der herrschenden Modellgleichungen
(Bilanzgesetz, Dynamisches Grundgesetz, Randbedingungen) entwickelt (Abschn. 3.2). Dabei
werden auch die Grenzen des Darcy-Gesetzes aufgezeigt. Schließlich wird auf die
hydrodynamischen Besonderheiten der Grundwasserströmungen in klüftigen (Abschn. 3.3) und
karstigen Festgesteinen (Abschn. 3.4) eingegangen.
3.1 Parameter der Grundwasserhydraulik
Porosität - Kluftvolumen
Die Porositätsangabe ist zunächst nur eine Aussage über den Hohlraumgehalt eines geologischen
Mediums, welche die geometrischen Eigenschaften des Gesteins beschreibt (Tab. 3.1). Der
Hohlraumanteil von klüftig-porösen Festgesteinen setzt sich aus der Porosität der Gesteinsmatrix
und dem Kluftvolumen des Trennfugensystems zusammen.
(3.1)
mit:
Vp
- Volumen des Porenraums
Vk
- Volumen des Kluftraums
Vt
- Gesamtvolumen des Gesteinskomplexes
Tab. 3.1: Hohlraumanteile vor Festgesteinen (Nach MATTHESS & UBELL 1983)
Gesteine
Porosität
nutzbare Porosität
nutzbares
Kluftvolumen
Pelite
Ton- und Mergelsteine
0 - 13 %
0.5 - 4.7 %
Psephitischepsammitische
Gesteine
0.4 37 %
0 - 32 %
0.1 - 5 %
Karstgesteine
Kalksteine
Gipssteine
Kreideformationen
0.1-67%
<4.8
30-44 %
1-2%
0.7-13%
-
Salzgesteine
<1%
-
-
Gneise
unverwittert
verwittert
0.1 - 3 %
bis zu 50 %
kristalline Schiefer
0.5 - 5 %
<5 %
2.3 - 8 %
Vulkanite
0.1 - 50 %
Andesit, dichter Basalt
blasen reiche
Für die Grundwasserbewegung steht nicht der gesamte Hohlraum zur Verfügung. Ursachen für
die Verringerung des durchströmbaren Hohlraumanteils sind:
das auf den Oberflächen der Gesteinskörner und Klüfte adhäsiv gebundene Haftwasser
(Adsorptions- und Adhäsionswasser), damit ergeben sich Mindestporen- und Kluftweiten für eine
Strömung (ca. 8µm), die in Haarrissen u. U. unterschritten werden können, in feinen Poren und
Rissen gebundenes Kapillarwasser, der Verbindungsgrad der Poren- und Kluftsysteme (sog.
Dead-End-Poren oder -Klüfte).
Der für die Grundwasserströmung verbleibende Hohlraumanteil setzt sich dann aus der nutzbaren
Porosität und dem nutzbaren Kluftvolumen zusammen und wird mit ne symbolisiert.
Speicherkoeffizient
Gemäß DIN 4049 ist der spezifische Speicherkoeffizient SS als Änderung des gespeicherten
Wasservolumens je Volumeneinheit bei Änderung der Standrohrspiegelhöhe um 1 Meter definiert
bzw. die gespeicherte Wassermenge, die aus einer Volumeneinheit des Aquifers je Einheit
Höhenabsenkung frei wird. Der Speicherkoeffizient S ist die entsprechende integrale Größe über
die Aquifermächtigkeit (Tab. 3.3).
(3.2)
Der Speicherkoeffizient trägt einerseits der Elastizität des Grundwasserleiters infolge der
Veränderung des speicherwirksamen Hohlraums bei Wasserentnahme oder -auffüllung
(Formationskompressibilität) und andererseits der Kompressibilität des Grundwassers Rechnung.
Die Formationskompressibilität äußert sich z.B. in luftdruckabhängigen Grundwasserspiegelschwankungen.
Ein gespannter Aquifer reagiert elastisch auf Wasserentnahme oder -verpressung durch
Ausdehnung oder Verdichtung des Matrixskeletts. Gesteinskörner und Wasser sind dabei nahezu
als inkompressibel anzusehen. Für ungespannte Aquifere spielt die Formationskompressibilität nur
eine geringere Rolle im Vergleich zur vertikalen Änderung der freien Grundwasseroberfläche, die
das Abflußverhalten (Entwässerung) bestimmt. Die Werte für Speicherkoeffizienten für gespannte
und ungespannte Grundwasserleiter weichen somit stark voneinander ab (Tab. 3.2).
Tab. 3.2: Richtwerte für den dimensionslosen Speicherkoeffizienten
Aguifertyp
Quelle
S[-]
gespannt
HÖLTING (1989)
5*10-5 - 5*10-3
halbgespannt
WALTON (1992)
10-2
ungespannt
HÖLTING (1989)
0.1 - 0.4
Hydraulische Leitfähigkeit
Das hydraulische Leitvermögen von Grundwasserleitern wird durch die in Tab. 3.4 aufgeführten
Kennzahlen charakterisiert. Die Bestimmung der hydraulischen Parameter erfolgt z. B. durch
Pumpversuche,
Markierungsversuche
(Grundwasserabstandsgeschwindigkeiten)
und
Wasseraltersdatierungen.
Gemäß der DIN 4049 wird zwischen Gesteins- und Trennfugendurchlässigkeit unterschieden,
welche zusammen die Gebirgsdurchlässigkeit ergeben. Abb. 3.1 illustriert die Relation zwischen
Gesteins- und Gebirgsdurchlässigkeit für einige Festgesteine. Es wird deutlich, daß vor allem
Trennfugen die hydraulisch wirksamen Räume darstellen.
Lediglich für psephitisch-psammitische und Karstgesteine hat die Gesteinsdurchlässigkeit eine
Bedeutung für die Hydraulik des Gesteinsverbandes (Tab. 3.5). Sind Gesteinsporen und
Trennfugen hydraulisch relevant, so muß der Grundwasserleiter als klüftig-poröses Medium
betrachtet und der Fluidaustausch zwischen der Gesteinsmatrix und den Klüften berücksichtigt
werden.
Abb. 3.1: Gesteinsdurchlässigkeit und Gebirgsdurchlässigkeit parallel zu einer Kluftschar mit
unterschiedlichen Spaltweiten (Aus WITTKE & JÜNGLING 1979)
Tab. 3.3: Parameter, die das Speichervermögen eines Aquifers kennzeichnen (Aus STOBER 1986)
Tab. 3.4: Parameter, die das Leitvermögen eines Aquifers kennzeichnen (Aus STOBER 1986)
Zur Bestimmung der hydraulischen Leitfähigkeit von Kluftgesteinen werden häufig sog.
Parallelkluft-Modelle (z. B. SNOW, 1965) herangezogen. Dabei wird vereinfachend angenommen,
das Gebirge sei von Scharen paralleler, äquidistanter Klüfte mit gleichen Spaltbreiten durchzogen.
Die Gebirgsdurchlässigkeit in Kluftrichtung läßt sich dann für laminare Strömungsverhältnisse
leicht bestimmen durch die Beziehung:
(3.3)
mit: 2b - Kluftweite (Spaltbreite) und 2B - Kluftabstand
Die Gesteinsdurchlässigkeit wird hierbei vernachlässigt. Für ein beliebiges Bezugssystem läßt sich
dann ein Tensor der Gebirgsdurchlässigkeit aufstellen. Existieren mehrere verschieden orientierte
Kluftscharen, kann die resultierende Gesamtgebirgsdurchlässigkeit durch die Superposition der
Einzeltensoren berechnet werden. Dabei werden allerdings Druckverluste in den
Kluftverschneidungen vernachlässigt. Ein bekanntes hydraulisches Phänomen in Kluftgesteinen
ist, daß die Richtung der Kluftwassergeschwindigkeit nicht nur dem hydraulischen Gradient folgt,
sondern auch entscheidend von der Trennfugengeometrie abhängt.
CLAUSER (1992) kompiliert Permeabilitäten für kristalline Gesteinsformationen, wobei ein
Skaleneffekt in Abhängigkeit vom Maßstab der Messung feststellbar ist (Abb. 3.2).
Abb. 3.2: Permeabilitäten für kristalline Gesteine (Aus GLAUSER 1992)
Tab. 3.5: Hydraulische Leitfähigkeiten von Festgesteinen - Sedimentäre Festgesteine
Tab. 3.6: Hydraulische Leitfähigkeiten von Festgesteinen - Magmatite und Metamorphite
3.2 Modellgleichungen der Grundwasserhydraulik
Bilanzgesetz der Geohydraulik (Phasenmassenerhaltung)
Das Bilanzgesetz der Geohydraulik resultiert aus dem Massenerhaltungsprinzip in Anwendung auf
die fluide Phase. Es besagt, daß die Massenänderung in einem Kontrollvolumen gleich der
Differenz der ein- und ausströmenden Fluidmasse ist:
(3.4)
Für thermohaline Systeme, in denen signifikante Dichteänderungen mit Temperatur- und
, gilt folgendes Bilanzgesetz:
Salinitätsveränderungen einhergehen:
(3.5)
Für Strömungen mit freien Oberflächen wird auf BUSCH ET AL. (1993) und DIERSCH (1994)
verwiesen.
Dynamisches Grundgesetz der Geohydraulik - Darcy-Gesetz
Das dynamische Grundgesetz der Geohydraulik resultiert aus dem Impulserhaltungsprinzip
(Newtonsches Grundgesetz) in Anwendung auf die mobile, fluide Phase.
Die nachfolgende Tabelle listet
hydromechanischen Kräfte auf.
die
in
einem
hydrogeologischen
System
relevanten
Tab. 3.7: Hydromechanische Kräfte n einem hydrogeologischen System
Kraftwirkungen
Ursachen, Erscheinungen
Trägheitskraft
(Volumenkraft)
lokale und konvektive Beschleunigungen,
Zentrifugalkräfte,
Wirbelbildung und Stoßverluste durch die.
Querschnittsänderungen der Porenkanäle
und Kluftverschneidungen
Druckkraft
(Flächenkraft)
Potentialunterschiede
Reibungskraft
(Flächenkraft -> fiktive Volumenkraft)
Viskosität
R = c0 + c1v + c2v2
turbulente Reibung
laminare Reibung
Haftreibung
Schwerkraft
(Volumenkraft)
Gravitation
Kapillarkraft
(Linienkraft -> fiktive Flächenkraft)
interphasiger Impulsaustausch
van-der-Waals'sche Kräfte
unterschiedliche Oberflächenspannungen
zweier aneinandergrenzender Fluide
Trägheit, Haft- und turbulente Reibung sowie Kapillarität können gewöhnlich für
Grundwasserströmungen in der gesättigten Zone vernachlässigt werden. Dann vereinfacht sich
die Navier-Stokes-Gleichung der Impulsbilanzierung zum Darcy-Gesetz, welches das
Gleichgewicht von Druck-, Schwer- und laminarer Reibungskraft formuliert:
(3.6)
Randbedingungen
BUSCH ET AL. (1993) geben eine anschauliche Systematik typischer Randbedingungen für
Grundwasserströmungen mit Beispielen, die in der Abb. 3.3 und der zugehörigen Tab. 3.8
zusammengestellt sind.
Abb. 3.3: Typische Randbedingung für Grundwasserströmungen (Nach BUSCH ET AL. 1993)
Tab. 3.8: Typische Randbedingung in Grundwassersystemen (Nach BUSCH ET AL. 1993)
Gültigkeitsgrenzen des Darcy-Gesetzes
Das Darcy-Gesetz besitzt Gültigkeit im Rahmen der getroffenen Modellvereinfachungen. Abb. 3.4
und Abb. 3.5 illustrieren die unteren und oberen Gültigkeitsgrenzen der linearen Darcy-Gleichung.
Abb. 3.4: Strömungsregime in der Geohydraulik (Aus BUSCH ET AL: 1993)
Abb. 3.5: Gültigkeitsbereich des Darcy-Gesetzes (zitiert aus MATTHEß & UBELL 1983)
Mit Hilfe vom Potentialgradienten abhängiger Durchlässigkeitsbeiwerte:
(3.7)
kann der Aktionsradius des Filterströmungsgesetzes auf die sog. prä- und postlinearen
Strömungsbereiche ausgeweitet werden (HÄFNER ET AL. 1985, BUSCH ET AL. 1993).
(3.8)
Prälinearer Bereich - Molekulareffekte
Erstens ist ein hydraulischer Mindestgradient erforderlich, um das durch Adhäsion und Adsorption
gebundene Haftwasser zu bewegen. Ferner sind bestimmte Mindestquerschnitte von Poren oder
Mindestklaffweiten von Klüften notwendig, um eine Durchströmung zu erlauben. Diese
Mindestwerte sind durch die Schichtdicke des Haftwasserfilms gegeben, der sich durch
elektromolekulare Kräfte auf den Poren- oder Kluftwandungen ausbildet. LOUIS (1967) gibt z. B.
Werte von 3-8 µm für diese Mindestweiten an.
Postlinearer Bereich - Turbulenzeffekte
Der nach lineare Strömungsbereich ist durch Turbulenzeffekte infolge anwachsenden
Trägheitskräfte gekennzeichnet. LOUIS (1967) gibt kritische Reynolds-Zahlen (Verhältnis von
Trägheits- zu Reibungskräften) für den Übergang laminarer in turbulente Regime für
Kluftströmungen an (Abb. 3.6). Der allmähliche Übergang in den Strömungsregimen ist durch die
starke Variation in den Porengrößen und damit verbundenen Porenwassergeschwindigkeiten
bedingt. In einem Übergangsstadium können somit gleichzeitig laminar und turbulent durchströmte
Bereiche vorliegen. Mit weiter anwachsenden Geschwindigkeiten wird dann nach und nach das
ganze Poren- oder Kluftsystem von turbulenten Strömungen erfaßt.
Bereits FORCHHEIMER (1914) formulierte folgenden nichtlinearen Zusammenhang zwischen
hydraulischem Gradient und Filtergeschwindigkeit, um die Übergangsbereiche von laminarer über
teilturbulente bis zur voll ausgebildet turbulenten Grundwasserströmung mathematisch zu
erfassen:
(3.9)
Die Wichtung der Parameter A und B entscheidet über das vorliegende Strömungsregime.
3.3 Grundwasserströmung in Kluftaquiferen
Der spezifische Durchfluß in einer Trennfuge ist abhängig (5. Abb. 3.6):
•
vom hydraulischen Widerstandsbeiwert
•
von der Kluftrauhigkeit d/2b
•
von der Reynolds-Zahl
und damit
.
Diese Zusammenhänge kommen in den sog. Widerstandsgesetzen zum Ausdruck:
(3.10)
wobei die verschiedenen Funktionalitäten durch hydraulisch glatte und rauhe Strömungen
unterschieden werden (Tab. 3.9). Aus der Analogiebetrachtung zwischen Spalt- und
Filterströmungen ergeben sich Durchlässigkeitsbeiwerte, die abhängig vom Druckpotential und
seinem Gradienten sind (vgl. Gl. (3.7)).
Tab. 3.9: Hydraulische Widerstandsbeiwerte und Durchlässigkeitsbeiwerte der Filterströmung in
Kluftgesteinen
Abb. 3.6: Widerstandsgesetze und spezifische Durchflüsse für Kluftströmungen (Aus LOUIS 1967)
Für laminare Spaltströmungen sind insbesondere das Hagen-Poiseuille-Gesetz (parabolisches
Geschwindigkeitsprofil einer Spaltströmung) sowie das ,,Cubic Law" (Transmissivität einer Kluft ist
proportional zur dritten Potenz der hydraulischen Spaltöffnungsweite) von Interesse.
Kanalisierungseffekte in Klüften
Kanalisierungseffekte in natürlichen Klüften - channeling - resultieren aus der Rauhigkeit von
Kluftoberflächen. Felsmechanische Beanspruchungen von Kluftoberflächen, wie Auflast und
Scherung sowie thermomechanische Effekte verstärken die Tendenz zur Kanalbildung in Klüften
(TSANG & TSANG 1987, KOLDITZ & DIERSCH 1993).
Zur Modellierung der Topografien von Kluftoberflächen kommen stochastische (MORENO ET AL.
1988) und fraktale Methoden (BROWN 1987) zum Einsatz. BRASE (1992) und HELMIG (1993)
stellen ein fraktales Kluftmodell auf der Basis finiter, planparalleler Platten vor. Die Abb. 3.7
illustriert die Schematisierung einer natürlichen Kluft mit variabler Kluftöffnungsweite durch
stückweise konstante Spaltbreiten.
Abb. 3.7: Natürliche Kluft mit rauhen Oberflächen und Schematisierung mit bereichsweise
konstanten Kluftöffnungsweiten (Aus HELMIG 1993)
Grundlage des mathematischen Modells zur Bestimmung der Kluftöffnungsweitenverteilung ist die
Theorie der fraktalen BROWN'schen Bewegung. Der Kluftgenerator bestimmt die
Spaltbreitenverteilung
aus
einer
vorzugebenden
mittleren
Öffnungsweite
sowie
Standardabweichung und einer fraktalen Dimension D, welche die räumliche Korrelation der
Spaltbreiten wiedergibt. Das bedeutet, je größer die fraktale Dimension, desto größer sind die
Unterschiede der Kluftöffnungsweiten in benachbarten Elementen.
HELMIG (1993) präsentiert ein anschauliches Beispiel zur Demonstration des
Kanalisierungseffektes in einer Kluft mit variabler Öffnungsweite. Dazu wird eine quadratische
Kluft in 33 x 33 planparallele Kluftelemente unterteilt. Die Abb. 3.8 zeigt die berechnete
Geschwindigkeitsverteilung in der Kluft mit einer mittleren Öffnungsweite b = 8.7*1O-4 m, einer
= 4.3*1O-4 m und einer fraktalen Dimension D = 2.9.
Standardabweichung
Abb. 3.8: Kanalisierungseffekt in einer fraktalen Kluft mit bereichsweise konstanten
Kluftöffnungsweiten (Aus HELMIG 1993)
Hydraulik von Kluftsystemen
Entscheidend für die Hydraulik eines Netzwerks sind weniger die speziellen geometrischen
Eigenschaften individueller Klüfte, sondern vielmehr die Verbindungen der Elemente
untereinander zu einem leitfähigen Netzwerk. Um vom geometrischen zum hydraulischen Modell
zu gelangen, muß die sog. Konnektivität (Verbindungsgrad) eines Netzwerks festgestellt werden.
Dabei gelangt die Perkolationstheorie (Filtertheorie) zum Einsatz. Zur Beurteilung der
Konnektivität eines Netzwerks ist die globale Leitfähigkeit zwischen zwei Beobachtungspunkten (z.
B. Bohrlöcher) von Interesse.
In einer Standortstudie zur Geothermielokation Rosemanowes (Cornwall, UK) untersuchen
KOLDITZ ET AL. (1995) u.a. die Hydraulik der Kluftreservoirs im Kristallin des Carmenellis
Granites. Die statistische Auswertung der Kluftdaten ergab die Existenz zweier dominierender
Kluftpopulationen mit bevorzugten Ausrichtungen. Die Abb. 3.9a zeigt das stimulierte Reservoir,
das durch die Bohrungen RH12 und RH15 aufgespannt wird. Die Erstreckung des Reservoirs
wurde anhand von seismischen Daten lokalisiert.
Abb. 3.9b illustriert das aus Kluftaufnahmen und Flow-Logs abstrahierte Kluftsystem, das die
Basis für ein deterministisches Kluftnetzwerk-Modell bildet.
Abb.: 3.9: (a) Rohrlochgeometrie und Ausdehnung des stimulierten RH12/RH15-Reservoirs, (b)
Kluftnetzwerk
Abb. 3.10 zeigt die simulierte Abhängigkeit der hydraulischen Reservoirimpedanz von den
Spaltbreiten der einzelnen Kluftscharen sowie die gemessenen Werte mit Hilfe der simultanen
Modelleichung anhand hydraulischer und thermischer Daten konnte die hydraulische Anisotropie
des Kluftreservoirs bestimmt werden.
Danach besitzt die in Richtung minimalen tektonischen Hauptspannungen orientierte
Kluftpopulation eine ca. 25mal größere Permeabilität als die sekundäre Kluftfamilie. Ferner wird
deutlich, daß erst bei Gesteinsdurchlässigkeiten größer als 10-6m s-1 die hydraulische Interaktion
zwischen Klüften und Gesteinsmatrix signifikant wird.
Abb. 3.10: Abhängigkeit der Reservoirimpedanz von den Spaltbreiten der beiden Kluftpopulationen
(b1 und b2) und resultierende Anisotropie
3.4 Grundwasserströmung in Karstaquiferen
Infolge der sehr differenzierten Genese von Karstgesteinen weisen diese sehr unterschiedliche
hydrogeologische Eigenschaften auf. Stark verkarstete Gerinne bilden z.T. Vorfluter für das
Grundwasser aus den Gesteinsporen und Klüften. Oftmals sind in Karstgesteinen voneinander
unabhängige Hohlraumsysteme anzutreffen, was extreme Grundwasserspiegelschwankungen zur
Folge hat. Ferner führt die signifikante hydraulische Anisotropie in Karstaquiferen zu dem
bekannten
Phänomen,
daß
die
Grundwasserfließrichtung
nicht
immer
den
Grundwassergleichennormalen folgt. Die Abbildung dieser Heterogenitäten und Anisotropien
erfordert spezielle Modellierungskonzepte, wie Hybrid- und Mehrkontinua-Ansätze (s. Abb. 5.1).
Die häufig vorkommenden großen Grundwassergeschwindigkeiten in Karstaquiferen erfordern die
Erweiterung des Darcy-Gesetzes für turbulente Fließregime (postlinearer Bereich, Gl. (3.9)).
Für kleinmaßstäbliche Betrachtungen geben BROWN ETAL. (1975) folgende Gleichung für die
Berechnung der Filtergeschwindigkeit nach CHEZY an
(3.11)
mit: C - ein von der Art der Hohlräume abhängiger Koeffizient, F - der Querschnitt des
Karsthohlraumes, U - der benetzte Umkreis des Karsthohlraumes.
Für ausgedehnte Karstsysteme werden i .d. R. Äquivalentansätze verwendet, d.h. diese werden
wie einfach oder mehrfach poröse Medien behandelt. Voraussetzung ist wieder, daß der
Vernetzungsgrad der Karstgänge im Beobachtungsmaßstab hinreichend gut ist.
Bei MATTHESS & UBELL (1983) sind folgende Beziehungen für die spez. Filtergeschwindigkeiten
in Karstgrundwasserleiter zu finden (s. Abb. 3.11):
•
Strömung mit freier Oberfläche
(3.12)
•
gespannter Grundwasserleiter
(3.13)
mit: QA- spez. Filtergeschwindigkeit (Flächengeschwindigkeit) [m2s-1], n - Wichtungskoeffizient
zwischen laminaren (n=1) und turbulenten Fließregimen (n=2), m - Mächtigkeit des gespannten
Karstgrundwasserleiters,
- Einfallswinkel der Schicht.
MATTHESS
&
UBELL
(1983)
geben
typische
Abstandsgeschwindigkeiten
in
-3
-1
-1
Karstgrundwasserleitern mit 5*10 bis 10 ms an. Diese relativ geringe Varianz der
Abstandsgeschwindigkeiten trotz vorkommender starker Potentialgefälle resultiert aus der
Koexistenz laminarer und turbulenter Fließbereiche.
Abb. 3 11: ungespannter (oben) und gespannter Karstgrundwasserleiter (unten) (Aus BROWN ET AL.
1975)
4 Transportprozesse im Festgestein
Neben der Altlastenbehandlung bzw. Neuanlage von Deponien sind Transportprozesse im
geologischen Untergrund auch von Interesse für die Bewertung der Grundwassergüte und die
Nutzbarmachung geothermischer Energie.
Geologische Barriere
Die günstigen Barriereeigenschaften geringleitender Festgesteine weisen diese als potentielle
Standorte für die Lagerung von Abfällen aus. Dennoch muß die Wirksamkeit solcher geologischen
Barrieren durch standortspezifische Untersuchungen und darauf basierende Modellbetrachtungen
nachgewiesen werden. Szenarioanalysen mit Hilfe von Computersimulationen gewinnen dabei
zunehmende Bedeutung für die Deponietechnik z. B. für Umweltverträglichkeitsstudien, die
Einholung der wasserrechtlichen sowie abfallrechtlichen Genehmigungen zum Deponiebetrieb, die
Bewertung des Gefährdungspotentials (Risikoabschätzung, Langzeitsicherheit) und die Auslegung
von Sanierungsmaßnahmen im Schadensfall. Ferner können mit Modellen kostenintensive
Meßstellennetze für das Monitoring von Schadstoffemissionen optimiert werden. Insbesondere im
Zusammenhang mit der Standortsicherheit radioaktiver Endlager wurde in den letzten Jahren
international ein enormes Forschungspotential zur Erkundung geeigneter Gesteinsformationen
aufgeboten.
In den letzten Jahren wurden eine Reihe standortbezogener Forschungsvorhaben durchgeführt,
welche die Eignung der in Niedersachsen häufig vorkommenden Tonsteine für die Anlage von
Deponien im Tagebau zum Gegenstand hatten. Beispielhaft sind die umfangreichen
Erkundungsprogramme in den Lokationen VÖHRUM und MÜNCHEHAGEN (SCHNEIDER &
GÖTTNER 1991, DORHÖFER ET AL. 1994). Dabei ging es um die Bewertung des natürlichen
Rückhaltevermögens von Tonsteinen im Sinne einer geologische Barriere zur Behinderung von
Schadstoffausbreitungen. Zur Charakterisierung des Zusammenwirkens geohydraulischer,
geochemischer und geobiologischer Rückhaltemechanismen wurde der Begriff Multibarriere"
geprägt. Die Simulation dieser komplexen, gekoppelten Prozeßabläufe bei der Stoffmigration im
geologischen Untergrund ist nach wie vor eine Herausforderung für die mathematische
Modellierung.
Verantwortlich für die Änderungen in den Wärme- und Stoffhaushalten sind
Transportmechanismen (advektive, diffusive sowie dispersive Wärme- und Stoffströme),
Energieumwandlungen (Kompressionsarbeit, Dissipation) und chemische Reaktionssysteme (Abb.
4.1), die in den nachfolgenden Abschnitten behandelt werden.
Abb. 4.1: Physiko-chemische Transportphänomene in Grundwassersystemen (Aus KRÖHN 1991)
4.1 Transportmechanismen
Advektion
Wird Wärme oder Substanz im Sinne einer Fracht passiv mit einer Strömung transportiert, so
spricht man von einer Advektion.
Der advektive Massenfluß ist:
(4.1)
Die (freie) Konvektion ist ein Spezialfall der Advektion, wobei Strömungen durch
Dichteunterschiede des Fluids induziert werden (Anlage Beispielsammlung - 5.6 Elder-Problem).
Ursachen für Dichteänderungen sind Temperatur- und/oder Konzentrationsgefälle. Strömungen,
die durch Temperatur- und Konzentrationsunterschiede ausgelöst werden, nennt man (doppeltdiffusive) thermohaline Konvektionen (Anlage Beispielsammlung - 5.7 Thermohalines ElderProblem).
Bei mikroskopischer Betrachtung wird die Wärme- oder Stofffracht mit der lokalen
Partikelgeschwindigkeit des Porenwassers in der Gesteinsmatrix oder in der Kluft bewegt. Die
makroskopische Größe zur Beschreibung des advektiven Wärmetransports in einem porösen
Medium (z. B. Gesteinsmatrix) ist die sogenannte Abstandsgeschwindigkeit, die sich als Mittelwert
der Geschwindigkeiten von Fluidpartikeln in einem REV darstellt.
Diffusion
Die physikalische Ursache der Diffusion sind Wärmebewegungen von Atomen, Ionen und
Molekülen (BROWN'sche Molekularbewegung), die zum Ausgleich von Temperatur- und
Konzentrationsunterschieden führen. Diffusion kann als Mischungsvorgang auf mikroskopischer
Ebene verstanden werden. Die mathematische Beschreibung der Diffusion erfolgt mit Hilfe der
FOURIER'schen und FICK'schen Gesetze, wonach die diffusive Stromdichte proportional zu den
Temperatur- bzw. Konzentrationsgradienten angenommen wird. Die Diffusionskoeffizienten im
freien Flüssigkeitsraum sind abhängig von der Molekülgröße, der Temperatur, der dynamischen
Fluidviskosität und der chemischen Struktur der Substanz (STOKES-EINSTEIN'sche Beziehung).
•
Diffusion in porösen Medien
In porösen Medien gibt es allein durch die Geometrie des Porenraums (Porosität, Tortuosität)
zusätzliche Behinderungen für die diffusive Stoffausbreitung. Der Diffusionsraum wird weiter
eingeengt in wasserungesättigten Systemen. Da der diffusive Austausch gelöster Substanzen nur
in der wäßrigen Phase stattfinden kann, bilden nur die wasserbenetzten verbundenen
Porenkanäle Wegsamkeiten für den diffusiven Transport. Ferner wirken elektromolekulare Effekte,
die den Diffusionsprozeß beeinflussen, was z. B. die Ausbreitung von Ionen in den Poren des
Tongesteins beeinträchtigt. Aufgrund der negativ geladenen Tonmineraloberfläche steht für
Anionen ein gewisser Teil der Porenraums nicht zur Verfügung (Anionenausschlußeffekt).
Gleichermaßen wirkt sich die erhöhte Viskosität im Haftwasserfilm auf den Kornoberflächen
hinderlich für die Stoffdiffusion aus. Die Summe aller den Diffusionsprozeß behindernder Faktoren
wird in einem sog. lmpedanzfaktor zusammengefaßt:
y = f(ne, T) (4.2)
SCHNEIDER & GOTTNER (1991) fassen verschiedene empirische Ansätze für die funktionale
Abhängigkeit des lmpedanzfaktors zusammen.
Der effektive Diffusionskoeffizient für ein poröses Medium ist demnach abhängig vom molekularen
Diffusionskoeffizienten, der die Diffusion im freien Flüssigkeitsraum charakterisiert, und dem
lmpedanzfaktor, der in gewissem Sinne eine transportwirksame Porosität darstellt:
D* = y Dm (4.3)
lmpedanzfaktoren können somit indirekt aus den molekularen und den im Experiment
gemessenen effektiven Diffusionskoeffizienten bestimmt werden.
Der diffusive Massenfluß ist:
(4.4)
Aufgrund ihrer Bedeutung für Festgesteine werden die spezifischen Diffusionsprozesse in klüftigen
Medien (Matrixdiffusion) im Abschn. 4.4 gesondert behandelt.
Hydrodynamische Dispersion
Viele Standardwerke der Hydrogeologie weisen auf die Bedeutung des Dispersionsphänomens
bei Transportvorgängen im Grundwasser hin. BEIMS (1983) charakterisiert die mechanische
Dispersion als ,,die statistische Abweichung der Wanderung der Migranten (Komponenten)
gegenüber ihrem statistischen Mittelwert, dem Erwartungswert". Seit den fünfziger Jahren wurden
verschiedene Dispersionstheorien entworfen, z. B. Kapillarröhren-Modelle (TAYLOR 1953) oder
statistische Modelle (SCHEIDEGGER 1954, JOSSELIN DE JONG 1958). Im Rahmen der
makroskopischen Betrachtungsweise wird gewöhnlich ein FICK'sches Analogon (Gl. (4.4)) für den
dispersiven Massenfluß verwendet, wobei der Dispersionskoeffizient als bodenspezifische
Materialkonstante angenommen wird (SCHEIDEGGER 1974):
(4.5)
Im allgemeinen gilt für den Dispersionstensor folgende Form:
(4.6)
wobei αijkl ein Dispersivitätstensor vierter Stufe ist. Für praktische Anwendungen wird oftmals der
konstitutive Ansatz nach SOHEIDEGGER (1961) verwendet:
(4.7)
mit den longitudinalen bzw. transversalen Dispersionslängen
bzw.
der streng genommen
nur für isotrope Medien gilt. Molekulare Diffusion und mechanische Dispersion werden oft zur sog.
hydrodynamischen Dispersion zusammengefaßt, mit dem Tensor der hydrodynamischen
Dispersion:
(4.8)
Dispersion infolge von Geschwindigkeitsfluktuationen bewirkt ähnlich wie Diffusion einen
Ausgleich von Temperatur- und Konzentrationsunterschieden. Die physikalische Ursache des
Dispersionsphänomens ist ein Spektrum von Geschwindigkeitsvariabilitäten, das zur
makroskopischen Vermischung führt. Dispersionseffekte sind skalenabhängig, d.h. die
Modellparameter (Dispersionslängen) sind von der Größe des Betrachtungsmaßstabes
mitbestimmt (BEIMS 1980, GELHAR 1986). Ursachen für das Dispersionsphänomen in
verschiedenen Skalenbereichen sind in Tab. 4.1 zusammengestellt.
Thermodispersion wird in Analogie zur mechanischen Stoffdispersion betrachtet. Nach MARSILY
(1986) sind Dispersionslängen für Stoff- und Wärmetransport größenmäßig vergleichbar. Die
sowohl in wäßriger als auch fester Phase der Gesteinsmatrix stattfindende Wärmediffusion führt
zu einer intensiven thermischen Durchmischung in der Gesteinsmatrix, so daß die
Wärmedispersion bei natürlichen Strömungsverhältnissen im Untergrund im Vergleich zu den
advektiven und diffusiven Wärmetransportprozessen in der Regel nur eine untergeordnete Rolle
spielt (BEAR 1972). Gleichermaßen sind dispersive Effekte infolge der differentiellen
Geschwindigkeitsverteilung in einer Kluft oder Pore nur von geringer Bedeutung.
Tab. 4.1: Hydrodynamische Dispersion in verschiedenen Skalenbereichen
Ursache
Bezeichnung
Skalenbereich in
[m]
Geschwindigkeitsprofil in einer Pore oder Kluft
TAYLOR-Dispersion
10-5 - 10-3
Tortuosität des Porensystems
korngerüstbedingte
Dispersion
10-3 - 10-2
Variabilität der hydraulischen Durchlässigkeit
in einer Kluft (channeling) bzw. geologischen
Formation
kleinskalige Makrodispersion
10-2 - 102
großräumige Vermischungen in Kluftsystemen
bzw. mehrstöckigen Grundwassersystemen
durch Klüftungen, Schichtungen oder
Verwerfungen
großskalige Makrodispersion
>102
Charakteristik des Transportprozesses
Der physikalische Charakter eines Transportprozesses wird durch das Verhältnis von Advektion
und Diffusion bzw. Dispersion geprägt, welches mit Hilfe der PECLET-Zahl angegeben werden
kann.
(4.9)
mit:
D
- Koeffizient der hydrodynamischen Dispersion
- Temperaturleitfähigkeit
L
- charakteristischer Längenmaßstab für den Transportprozeß
Neben ihrer physikalischen Bedeutung spielt die PECLET-Zahl auch eine wichtige Rolle für
numerische Berechnungsverfahren, wo sie als Stabilitätskriterium auftritt (s. Tab. 6.9).
4.2 Chemische Reaktionssysteme
Wasserinhaltsstoffe können untereinander oder mit Feststoffbestandteilen reagieren, was eine
Änderung der zum Transport bereitstehenden gelösten Stoffmasse zur Folge hat.
Klassifizierung chemischer Reaktionssysteme
Chemische Reaktionssysteme können danach charakterisiert werden, in welchem Zeitmaßstab
chemische
Prozesse
gegenüber
transportspezifischen
Vorgängen
ablaufen
(Gleichgewichtszustand) und ob
(Mehrphasensysteme, s. Tab. 5.5):
chemische
Prozesse
phasenübergreifend
agieren
Tab. 4.2: Klassifizierung chemischer Reaktionssysteme
Schnelle Gleichgewichtsreaktionen können durch algebraische Gleichungen erfaßt werden. Für
langsame Nichtgleichgewichtsreaktionen sind Differentialgleichungen erforderlich, welche die
Reaktionskinetik beschreiben. Die Gleichgewichtsbedingung besagt, daß das lokale
Konzentrationsverhältnis der Reaktionsteilnehmer konstant ist, es sei denn durch externe
Entnahmen bzw. Zugaben werden andere Mischungsverhältnisse herbeigeführt.
Im Rahmen der Konstitutivtheorie kann die komplexe Abhängigkeit der chemischen
Reaktionsraten von den thermodynamischen Variablen systematisch entwickelt werden
(DIERSCH 1985). Entsprechend der Klassifizierung chemischer Reaktionstypen gemäß Tab. 4.2
werden im folgenden nur einige der bekanntesten phänomenologischen Ansätze für chemische
Reaktionsraten zusammengestellt.
homogene Reaktionen
Schnelle homogene Reaktionen können mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes und den sich
ergebenden stöchiometrischen Beziehungen bearbeitet werden.
langsame homogene Reaktionen
Bei Nichtgleichgewichtsreaktionen, die im Vergleich zum Transportprozeß langsam ablaufen, muß
die Kinetik der chemischen Umsetzung berücksichtigt werden. Die Abhängigkeit der Reaktionsrate
von der Stoffkonzentration wird meist empirisch beschrieben. Die nachfolgende Tabelle zeigt
einige kinetische Ansätze für typische Reaktionen erster Ordnung.
Tab. 4.3: Kinetische Ansätze für homogene Nichtgleichgewichtsreaktionen
Die Abbauraten
weisen komplexe stoffspezifische Abhängigkeiten von chemischen (pH-Wert,
Mineralzusammensetzung, Wassergehalt), physikalischen (Temperatur, Druck) und biologischen
(organischer Kohlenstoffgehalt) Faktoren auf, die mathematisch nur schwer erfaßbar sind.
heterogene Reaktionen
Interphasige Austauschprozesse (Sorption) können physikalisch (VAN-DER-WAALS'SCHE Kräfte)
oder chemisch (chemische Bindungen) bedingt sein. Sorptionsvorgänge können bei
entsprechenden Änderungen des chemischen Milieus umkehrbar sein (Adsorption-Desorption),
wobei es zu Hysteresiserscheinungen kommen kann. Zur Transportmodellierung in
phasenübergreifenden Reaktionssystemen muß der Massenaustausch zwischen fluider und fester
Phase erfaßt werden. Diese phänomenologischen Gleichungen heißen Sorptionsisotherme,
welche eine Beziehung zwischen der auf der Feststoffmatrix adsorbierten und der in der fluiden
Phase gelösten Substanz aufstellen. Wie der Name bereits verrät, gelten diese Gleichungen für
isotherme Verhältnisse. Die Änderung der Reaktionstemperatur scheidet hier als
thermodynamische Variable aus.
Die Klassifizierung nach Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtsprozessen erfolgt danach, ob
chemische Reaktionen schnell oder langsam im Vergleich zum Transportvorgang ablaufen (Tab.
4.2). Gleichgewichtsisotherme basieren auf der Annahme, daß sich auf der Feststoffmatrix
adsorbierte Substanz und in der fluiden Phase gelöste Substanzen im Gleichgewicht befinden.
Das heißt, eine Konzentrationsänderung in einer der beiden Phasen bewirkt den sofortigen
Konzentrationsausgleich in der komplementären Phase. Diese Gleichgewichtsbedingungen gelten
bei konstanter Temperatur. Nichtgleichgewichtsisotherme gehen davon aus, daß sich der
Gleichgewichtszustand nicht augenblicklich, sondern nur ratenweise einstellen kann.
schnelle heterogene Reaktionen
Für die Gleichgewichtssorption wird eine algebraische Beziehung zwischen sorbierter und gelöster
Konzentration der chemischen Spezies aufgestellt:
(4.10)
Die gebräuchlichsten Sorptionsisotherme sind in der folgenden Tab. 4.4 zusammengestellt. Die
lineare HENRY-lsotherme wird oft verwendet, wenn geringe Konzentrationen auftreten. Der
Verteilungskoeffizient KD gibt dann die Relation zwischen sorbierter und gelöster Substanz an.
Streng genommen erlaubt nur eine homogene Stoffverteilung in einem Aquifer die Annahme eines
konstanten Verteilungskoeffizienten im Sinne einer Aquiferkonstanten. Im Gegensatz zu den
Ansätzen von HENRY und FREUNDLICH berücksichtigt die LANGMUIR-lsotherme die begrenzte
Sorptionskapazität an der Feststoffoberfläche. Die Sorptionsrate ist proportional zur Anzahl der
freien Sorptionsplätze. Eine umfangreiche Sammlung von Regressionsgleichungen für die
Sorptionscharakteristik umweltrelevanter Substanzen ist z. B. in SCHNEIDER & GÖTTNER (1991)
zu finden.
Tab. 4.4: Sorptionsisotherme für schnelle heterogene Reaktionen
Dabei sind k1 und k2 stoff- und bodenspezifische Parameter, die abhängig z.B. vom pH-Wert und
von den Kationenaustauschkapazitäten sind.
langsame heterogene Reaktionen
Im Falle eines fehlenden chemischen Gleichgewichts zwischen sorbierender und lösender Phase
muß eine separate Differentialgleichung aufgestellt werden, welche die Reaktionskinetik
wiedergibt:
(4.11)
Beispiele für Nichtgleichgewichts-Sorptionsisotherme kann man z.B. in BOLT & BRUGGENWERT
(1976) finden.
Wärmeproduktion
Aufgrund radioaktiver oder chemischer Prozesse in geologischen Formationen kann Wärme
generiert oder reduziert werden. Eine Wärmeproduktion infolge radioaktiven Zerfalls kann durch
die entsprechende Substanz selbst herbeigeführt werden. Chemische Reaktionen mit endo- oder
exothermen Charakteren können durch die Wechselwirkung verschiedener Stoffe ausgelöst
werden.
4.3 Modellgleichungen von Geomigrationsprozessen
Die Stoffbilanzgleichungen resultieren aus dem Massenerhaltungsprinzip in Anwendung auf die
einzelnen chemischen Spezies. Die Massenänderung in einem Kontrollvolumen ergibt sich aus
den advektiven, diffusiven und dispersiven Massenflüssen. Chemische Umsetzungen werden in
Form von Quellen-Senken-Termen in die Stofftransportgleichung eingefügt. Es gilt die phasenund komponentenbezogene Stoffbilanzgleichung:
(4.12)
Im folgenden wird ein aus fluider und fester Phase bestehendes Zweiphasensystem betrachtet
(wassergesättigter Aquifer). Ferner beschränken sich die weiteren Untersuchungen auf binäre
Stoffsysteme (k=2). Das heißt, neben der Wasserkomponente wird nur eine maßgebliche
Transportkomponente (mit der volumenbezogenen Stoffkonzentration C) berücksichtigt, die sich
sowohl im gelösten (CW) oder auch adsorbierten Zustand (CS) befinden kann. Es gelten
nachfolgende Stoffbilanzgleichungen für die wäßrige und die feste Phase:
(4.13)
(4.14)
Die Divergenzformen der Bilanzgleichungen lassen sich unter Verwendung der BOUSSINESQApproximation für die Fluidmassenbilanz und der Annahme eines nichtdeformierbaren porösen
Mediums in die gebräuchliche konvektive Formulierung übertragen:
(4.15)
(4.16)
Oft wird die in der Feststoffphase gebundene Stoffkonzentration auch pro Masse der trockenen
Feststoffmatrix angegeben:
(4.17)
Gleichgewichtsprozesse
Für Gleichgewichtsreaktionen können die phasenbezogenen Gleichungen (4.15) und (4.16)
zusammengefaßt werden. Man erhält dann die gebräuchliche Stoffbilanzgleichung für das FluidFeststoff-System:
(4.18)
mit dem Retardationsfaktor:
(4.19)
Die Division der Gl. (4.18) durch den Retardationsfaktor (R > 1) zeigt, daß eine Adsorption die
Stoffausbreitung hemmt, da Abstandsgeschwindigkeiten und Dispersionskoeffizienten verringert
werden. Für lineare Adsorptionsisotherme kommt es zur gleichmäßigen Verzögerung der
Stoffmigration. Nichtlineare Adsorptionsisotherme, die zu nichtlinearen Differentialgleichungen
führen, verzögern das Voranschreiten einer Konzentrationsfront und führen zu
nichtsymmetrischen Konzentrationsverteilungen (KINZELBACH 1992).
Nichtgleichgewichtsprozesse
Eindimensionale reaktive Transportmodelle unter Berücksichtigung des Stoffaustausches
zwischen mobilen und immobilen Bereichen eines Aquifersystems stammen z. B. von DEANS
(1963) (ohne Dispersion), COATS & SMITH (1964) und VAN GENUCHTEN & WIERENGA (1976):
(4.20)
(4.21)
.
Die
Gl.
(4.21)
charakterisiert
den
mit
dem
Massenaustauschparameter
Nichtgleichgewichtsprozeß beim Stoffaustausch zwischen fluider und fester Phase. Ein weiteres
Phänomen, das zu Nichtgleichgewichtsprozessen führt, ist die Matrixdiffusion (Abschn. 4.4).
Wärmebilanzgleichung
Für den Wärmetransport in klüftig-porösen Medien gilt folgende Bilanzgleichung
(z. B. KOLDITZ 1995):
(4.22)
4.4 Transportprozesse in Kluftgesteinen
Die strukturelle Inhomogenität des Festgesteins, insbesondere der Wechsel von hochleitfähigen
Klüften und geringleitfähiger Gesteinsmatrix, führt ebenso zu stark heterogen ausgeprägten
Transportprozessen. Dabei fungieren Klüfte als schnelle Transportwege, während die
Gesteinsmatrix eine Speicherfunktion einnimmt. Physikalische und chemische Vorgänge im
Kluftgestein laufen i.d.R. unter Nichtgleichgewichtsbedingungen ab, was entsprechende
Anforderungen an die Modellierung stellt (Abschn. 5.2). Die Homogenisierbarkeit des
Transportmediums zu einem äquivalent porösen Medium ist oft fraglich, so daß Mehrkontinua- und
Hybrid-Ansätze auf den Plan gerufen werden (Abschn. 5).
Die Austauschvorgänge zwischen wasserwegsamen Klüften und der Gesteinsmatrix sind
überwiegend diffusiver Natur und werden unter dem Begriff ,,Matrixdiffusion" zusammengefaßt.
Die Diffusion in das Haftwasser des Porenraums und der damit verbundene Zugang zu den
inneren Oberflächen der Gesteinsmatrix ermöglicht einen komplexen Sorptionsvorgang im
Kluftgestein (Abb. 4.3).
Matrixdiffusion
Unter dem Begriff "Matrixdiffusion" versteht man Problemstellungen, die den Einfluß des Stoff- und
Wärmeaustausches zwischen Grundwasserleitern und wenig oder nicht durchflossenen
Aquiferteilen bzw. zwischen wasserführenden Klüften und der angrenzenden, nahezu
undurchlässigen Festgesteinsmatrix untersuchen (Abb. 4.3). Transversale Matrixdiffusion in
geschichteten Komplexen führt zu ähnlichen Erscheinungen bei der Beobachtung von
Durchbruchskurven wie eine laterale Dispersion im Grundwasserleiter. Durchbruchskurven
werden gespreizt (RASMUSON & NERETNIEKS 1981).
GRISAK & PICKENS (1980) diskutieren hydrogeologische Fragestellungen, für die Matrixdiffusion
von unmittelbarer Bedeutung ist (Tab. 4.5).
Tab. 4.5: Bedeutung der Matrixdiffusion für den Stofftransport in Grundwassersystemen
Die Relevanz der Matrixdiffusion beim Stofftransport im klüftigen Gestein wurde in einer Reihe von
Labor- und Feldversuchen nachgewiesen (NERETNIEKS 1980, PFINGSTEN 1990). In
Zusammenwirkung mit der Sorption kann sich die Matrixdiffusion als wirksamer
Rückhaltemechanismus z. B. gegen den Schadstoffaustrag aus Deponien erweisen (MAIER &
DÖRHÖFER 1994, LEGE ET AL. 1995). Im Abschn. 8.1 wird diesbezüglich eine Fallstudie zur
Matrixdiffusion im klüftigen Tonstein vorgestellt. Zur besseren Charakterisierung von
Transporteigenschaften geklüfteter Formationen werden zunehmend auch kombinierte Stoff- und
Wärmetracerexperimente durchgeführt und ausgewertet (ROBINSON & JONES 1987, NICOL &
ROBINSON 1990, KOHL ET AL. 1993, LIEDTKE ETAL. 1994).
Neben den Diffusivitäten chemischer Substanzen werden Eindringtiefen in die Gesteinsmatrix
auch durch die Struktur des mikroskaligen Kluftsystems, insbesondere von Länge und
Öffnungsweiten der Mikroklüfte, beeinflußt. So erklären sich unterschiedliche Penetrationslängen
von kleineren Molekülen (z. B. Chlorid) und größeren Kolloiden (z. B. Silizium). Ferner sind die
Sorptionseigenschaften der Spezies von Bedeutung. Aus dem Zusammenspiel von
Matrixdiffusion, Adsorption auf den inneren Oberflächen der Matrix und Intrapartikeldiffusion (Abb.
4.3) ergibt sich ein komplexer Austauschvorgang zwischen wasserführenden Klüften und der
Matrix, der unter Nichtgleichgewichtsbedingungen abläuft (COATS & SMITH 1964, MILLER &
PEDIT 1992).
Kanalisierungen in Klüften sind auch für die Intensität der Austauschvorgänge mit der Matrix von
Bedeutung, da diese nur durch die wasserbenetzten Teile der Kluftoberfläche stattfinden.
Transportmodelle unter Berücksichtigung variabler Kluftöffnungsweiten stammen z. B. von TSANG
ET AL. (1988, 1991) und THOMPSON (1991). Dabei werden die Dispersionseigenschaften von
Klüften mit rauhen Oberflächen untersucht. NERETNIEKS (1993) verwendet zur Parametrisierung
der Matrixdiffusion eine korrigierte Porendiffusivität Dp, welche die Verringerung der zur Verfügung
stehenden Austauschfläche infolge von Strömungskanalisierungen berücksichtigt (Abb. 4.2).
HALDEMANN ET AL. (1991) messen in einem Laborversuch die flächenhafte
Konzentrationsverteilung in einer Kluft.
Abb. 4.2: Einfluß der Matrixdiffusion auf die Durchbruchscharakteristik eines Tracerimpulses (aus
NERETNIEKS 1993)
Im Gegensatz zum Stofftransport können bei der Wärmemigration in geologischen Formationen
dispersive Effekte meistens vernachlässigt werden. Damit erhält man faktisch eine
dispersionsfreie Näherung unter Berücksichtigung der Matrixdiffusion, die sich analytisch leichter
handhaben läßt als Aufgabenstellungen mit geschwindigkeitsabhängigen dispersiven
Transportanteilen. Diese Modellvereinfachungen erlauben sogar die analytische Lösung von
quasi-dreidimensionalen Aufgabenstellungen (Abschn. 6.1). Ein weiterer Unterschied der
Matrixdiffusion von chemischer Substanz und Wärme ergibt sich daraus, daß Stoffdiffusion im
wesentlichen in der flüssigen Phase (stagnierendes Porenwasser) stattfindet, während sich die
Wärme sowohl in der fluiden als auch festen Phase (Feststoffmatrix) ausbreitet. Über die
Matrixdiffusion beim Wärmetransport im geklüfteten Festgestein wird detailliert in KOLDITZ
(1995a, b) berichtet.
Komplexe Sorptions-Diffusions-Modelle
Wasserinhaltsstoffe können dem mobilen Grundwasser durch chemische (Adsorption auf der
Oberfläche des Feststoffgerüsts z. B durch lonenaustausch) und physikalische Prozesse
(Matrixdiffusion - Diffusion in das Haftwasser des Porenraums) entzogen werden. Sind Stoffe auf
der Oberfläche der Gesteinsmatrix gebunden, können diese diffusiv weiter in das Innere der
Gesteinskörner gelangen. Dieser Vorgang wird als Intrapartikeldiffusion bezeichnet. Mit Hilfe des
Konzepts der Intrapartikeldiffusion gelingt MILLER & PEDIT (1992) die Modellierung der
beobachteten Hysteresis (d. h. Ad- und anschließende Desorption verlaufen auf verschiedenen
Sorptionsisothermen) beim Sorptionsvorgang von Lindan in einem Sandaquifer. Das
Entscheidende ist, daß mit der Einführung dieses physikalischen Modells auf die Verwendung
empirischer, phänomenologischer Ansätze für die Beschreibung der Nichtgleichgewichtssorption
verzichtet werden kann. Zur Stoffmassenbilanzierung in einer Feststoffphase mit angenommener
Kugelstruktur gehen MILLER &RABIDEAU (1993) von einer mikroskopischen Diffusionsgleichung
aus:
(4.23)
Die makroskopische Konzentration in der Feststoffphase, die dann mit der gelösten Substanz in
der flüssigen Phase bilanziert wird, erhält man durch die Mittelung über ein repräsentatives
Kugelvolumen mit dem Radius R,
(4.24)
Die Abb. 4.3 soll das komplexe Zusammenwirken von Matrixdiffusion, Sorption und
Intrapartikeldiffusion in einem heterogenen Aquifer skizzieren. Die Kausalkette beginnt mit
Austauschvorgängen zwischen mobiler und immobiler ,,Phase" durch Matrixdiffusion gefolgt von
Adsorptionsvorgängen zwischen flüssiger und fester Phase. Dabei wird deutlich, daß die
Wasserinhaltsstoffe durch Matrixdiffusion auch Zugang zu den inneren Oberflächen des
Gesteinsmaterials erhalten, die durch Haftwasser benetzt sind. Aufgrund von Matrixdiffusion wird
so die zur Verfügung stehende Oberfläche für eine Adsorption erheblich vergrößert. Durch
Intrapartikeldiffusion können die Substanzen weiter in das Innere der Gesteinsmatrix befördert
werden. Die Desorptionsfähigkeit solch fest eingelagerter Stoffe ist damit behindert.
Abb. 4.3: Kausalkette von Matrixdiffusion, Sorption und Intrapartikeldiffusion
4.5 Transportprozesse in Karstaquiferen
Zur Transportsimulation in Karstgesteinen werden vielfach Mehrkontinua-Modelle oder SpeicherDurchfluß-Modelle eingesetzt.
TEUTSCH (1988) entwickelt ein sog. Mobilitätsmodell (Double-Permeability) für den advektiven
Stofftransport in Karstaquiferen auf der Basis von Particle-Tracking-Verfahren. Dabei bilden das
Karst- (Drainageraum) und das Feinkluftsystem (Speicherraum) die transportwirksamen Areale.
Speichermodelle (Double-Porosity) berücksichtigen dagegen nur die Akkumulation in der
Festgesteinsmatrix. In diesem Fall können die Transportgleichungen für die beiden Kontinua
(Karstsystem und Gesteinsmatrix) entkoppelt werden. Die Zustandsgrößen des einen Kontinuums
können dann als Funktion der Zustandsgrößen des anderen angegeben werden. Der Austausch
zwischen den einzelnen Modell-Kontinua kann über Linear- und Gradienten-Ansätze realisiert
werden, wobei letztere für die Nachbildung von Nichtgleichgewichtsprozessen geeignet sind
(BIRKHÖLZER 1994). Entscheidend für die Wahl eines Transferansatzes sind die
charakteristischen Zeitmaßstäbe der Austauschprozesse.
Transportbetrachtungen im Karst der Frankenalb und der Schneealpe (Österreich) mit Hilfe von
Speicher-Durchfluß-Modellen sind in den DVWK-Schriften (Bd. 109) zu finden. Dabei muß die
Wechselwirkung zwischen schnell entwässerndem Drainageraum (Karsthohlräume) und langsam
entwässerndem Speicherraum (Feinkluftsystem) berücksichtigt werden. Die Modelle werden
anhand isotopen-hydrologischer Daten (Tritium, Sauerstoff-18) geeicht. Im Ergebnis kann man die
Abflußanteile aus den Drainage und Speicherräumen bzw. mittlere Verweilzeiten von Tracern
bestimmen.
4.6 Dichteströmungen
Die geothermischen und geochemischen Bedingungen in hydrogeologischen Systemen können
sich sehr vielfältig gestalten. Mit zunehmender Tiefe einhergehende Temperatur- und
Salinitätserhöhungen führen zu Dichteänderungen des Grundwassers. Infolge dichteinduzierter
Auftriebswirkungen können sich großräumige konvektive Zirkulationsregime im Untergrund
ausbilden.
Dichteeffekte im Grundwasser haben nicht nur für die Deponietechnik eine Bedeutung, sondern
sind auch für die Trinkwassergewinnung und die Nutzbarmachung geothermischer Energie von
Interesse.
Neben
natürlichen
hydrothermalen
Zirkulationssystemen
können
Konvektionserscheinungen auch antropogen durch die Ausbeutung geothermischer Lagerstätten
hervorgerufen werden, z. B. bei der Thermalwasserförderung und anschließender
Kaltwasserreinjizierung oder beim Hot-Dry-Rock-Verfahren (KAPPELMEYER ET AL. 1991).
Die Salzwasserintrusion ist ein bekanntes Phänomen in der Grundwasserhydraulik von
Satz/Süßwassersystemen, das z. B. für die Bewirtschaftung küstennaher Aquifere von Bedeutung
ist (Anlage Beispielsammlung - 5.8 HENRY-Problem). Ein weiteres Problemfeld sind
Dichteströmungen infolge von Leckagen hochkonzentrierter Schadstoffe aus Deponien (Anlage
Beispielsammlung - 5.9 Salzdom Problem).
Sind die Substanzen darüber hinaus wärmeerzeugend, können auch thermohaline
Kopplungseffekte wirksam werden. Das ist insbesondere für die Einlagerung von radioaktiven
Abfällen im Salzgestein von Belang. Bei sog. doppelt-diffusiven oder thermohalinen Konvektionen
wird
der
Strömungsvorgang
sowohl
durch
Konzentrationsals
auch
durch
Temperaturunterschiede in Gang gesetzt (Anlage Beispielsammlung - 5.7 und 5.9 Thermohaline
Probleme). Thermohaline Phänomene sind auch für die Hydrodynamik hochmineralisierter
Thermalwässer von Bedeutung, wie sie z. B. in Nordostdeutschland vorkommen.
Die mathematische Modellierung dichtegetriebener Konvektionsströmungen reicht bis in die
vierziger Jahre zurück. HORTON & ROGERS (1945), LAPWOOD (1948) und WOODING (1962)
bestimmen mittels strömungsanalytischer Methoden hydrodynamische Stabilitätskriterien, die
Bedingungen für das Einsetzen einer Konvektion parametrisieren. Im Rahmen der internationalen
HYDROCOIN- (1992) und INTRAVAL-Projekte (1992) wurde ein umfangreicher Katalog
geeigneter Testbeispiele für Grundwassermodelle erstellt.
Die Verifizierung numerischer Grundwassersimulatoren für Dichteströmungen ist problembehaftet
(SEGOL 1994). Analytische bzw. semi-analytische Lösungen für die nichtlineare Problemstellung
existieren nur für wenige stationäre Prinzipbeispiele, so z. B. für die Zellularkonvektion (BENARDKonvektion) und die Salzwasserintrusion mit stationärer Salz/Süßwassergrenze (HENRY 1964).
Zur Verifikation komplexer, dichteabhängiger Transportmodelle müssen die Ergebnisse
verschiedener numerischer Simulationsprogramme miteinander verglichen werden, wie das in der
Vergangenheit vielfach praktiziert wurde (Tab. 4.6).
Modellgleichungen
Hier werden noch einmal die Modellgleichungen für den Stoff- und Wärmetransport bei
Dichteströmungen zusammengestellt. Für die Strömung stoffbeladener Fluide unter
nichtisothermen Bedingungen müssen die Strömungs-, Stoff- und Wärmetransportgleichungen
gekoppelt betrachtet werden. Die Stoffbilanzierung beschränkt sich dabei auf die in der flüssigen
Phase gelösten Substanzen. Ferner werden reaktive Prozesse vernachlässigt. Die Feststoffphase
nimmt somit nur an der Wärmebilanzierung teil. Deshalb wird eine Vereinfachung in der
Schreibweise vorgenommen. Die Markierung der auf die wäßrige Phase bezogenen Größen durch
den Exponenten "w" entfällt im folgenden.
Fluidmassenbilanz (Kontinuitätsgleichung):
(4.25)
Impulsbilanz (erweiterte DARCY-Gleichung):
(4.26)
(4.27)
Stoffmassenbilanz (in der fluiden Phase gelöster Stoff):
(4.28)
Wärmebilanz:
(4.29)
Tab. 4.6: Grundwassersimulatoren für Dichteströmungen
Simulator
(alphabetisch)
Literaturreferenzen zur Programmverifizierung
FAST
HOLZBECHER (1991)
FEFLOW
DIERSCH (1981), DIERSCH (1988), KOLDITZ (1994), DIERSCH
(1995)
METROPOL
LEIJNSE & HASSANIZADEH (1989), LEIJNSE (1992)
NAMMU
HERBERT ET AL. (1988)
ROCKFLOW
KRÖHN (1991), KRÖHN (1994), KOLDITZ ET AL. (1995e), RATKE
(1995)
SUTRA
VOSS & SOUZA (1987)
SWIFT
REEVES ET AL. (1986)
TOUGH2
OLDENBURG & PREUSS (1995)
5 Modellierungskonzepte
Generell lassen sich zwei Modellkonzepte für geklüftete Medien unterscheiden (Abb. 5.1):
diskrete Kluft-Modelle und Kontinuum-Modelle,
die mit hierarchischen (Deterministik, Fraktale) und stochastischen Modelltechniken umgesetzt
werden können. Der Einsatz dieser Modellkonzepte ist abhängig vom Untersuchungsmaßstab
(Abb. 5.2), von der Signifikanz der Inhomogenitäten, d.h. von Kontrasten in strukturellen
Inhomogenitäten im Untersuchungsgebiet (z. B. Größenordnungsunterschiede in den
Permeabilitäten von Klüften und Festgesteinsmatrix) und nicht zuletzt von der Datenlage. KluftModelle gelangen zum Einsatz, wenn die Vorgänge im Untersuchungsgebiet durch die Klüftung
beherrscht werden und so eine explizite Behandlung der Diskontinuitäten erforderlich ist.
Kontinuum-Modelle basieren auf der Annahme, daß das inhomogene (geklüftete)
Untersuchungsgebiet durch eine physikalisch begründete Änderung des Beobachtungsmaßstabes
stückweise homogenisierbar ist. Im Rahmen des porösen-Medium-Konzepts erfolgt dabei durch
Mittelwertbildungen eine Übersetzung mikroskopischer Größen (bezogen auf den
Untersuchungsmaßstab) auf ein makroskopisches Niveau. Im Ergebnis der Mittelungsprozedur
müssen die makroskopischen Größen dem Kontinuitätsprinzip genügen. Das heißt, für eine
kontinuumsmechanische Betrachtungsweise muß die Stetigkeit von Zustandsgrößen und
Materialparametern im Modellgebiet gewährleistet sein, wobei Anisotropien zugelassen sind.
Dieser Kontinuumsansatz kann skalenabhängig umgesetzt werden. Für lokale Betrachtungen wird
z. B. die Festgesteinsmatrix, die auf mikroskopischer Ebene infolge der Mikroklüftung ein
heterogenes Mehrphasensystem darstellt, zum porösen Medium abstrahiert. Für regionale
Untersuchungen können u. U. auch Kluftsysteme homogenisiert werden.
Hybrid-Modell
Kluft- und Kontinuum-Modelle müssen kombiniert werden, wenn die Austauschvorgänge (z. B.
Matrixdiffusion) zwischen Klüften und Festgestein von Bedeutung sind. Dabei werden Klüfte direkt
in das Matrixkontinuum eingebettet, um die Wechselwirkungen lokal berücksichtigen zu können.
Für die Untersuchung von Wärmetransportvorgängen ist die Interaktion zwischen Klüften und
Festgestein von besonderem Interesse, da das Festgestein die Funktion des Wärmespeichers
einnimmt, während wasserführende Klüfte den Abtransport der Wärme realisieren. Aufgrund ihres
Mikrokluftsystems stellt die Festgesteinsmatrix auch ein hydraulisches System dar. Im Rahmen
des Kontinuumansatzes für Mehrphasensysteme wird die Festgesteinsmatrix als poröses Medium
verstanden. Die Kombination von diskreten Kluft- mit Kontinuum-Modellen wird im folgenden als
Hybrid-Modell für geklüftet-poröse Medien bezeichnet (Abb. 5.1).
Mehrkontinua-Modell
Ein weiteres Modellkonzept zur Erfassung der Heterogenität von Kluft- und Karstaquiferen ist das
Mehrkontinua-Modell. Dabei werden Kluftsystemen und Gesteinsmatrix separate, sich
,,überlappende" Kontinua zugeschrieben, die über Austauschterme miteinander gekoppelt sind.
Auf die Art und Weise können die stark variierenden Leit- und Speicherfähigkeitscharakteristiken
von Kluftsystemen und Gesteinsmatrix realisiert werden. Über Möglichkeiten und Grenzen der
Kontinuumsapproximation wird z. B. in TEUTSCH (1988) und BIRKHÖLZER (1994) berichtet.
Abb. 5.1: Modellkonzepte für geklüftet-poröse Medien (Aus KOLOITZ 1995)
Modellgeometrie
Hydrogeologische Modelle haben sich mit der komplizierten geometrischen Struktur geologischer
Formationen und komplexen Prozeßabläufen darin auseinanderzusetzen.
Die sich im geologischen Untergrund abspielenden hydraulischen, mechanischen, thermischen
und chemischen Vorgänge sind eng miteinander gekoppelt und aufgrund prozeßabhängiger
Material- und Reservoireigenschaften nichtlinearer Natur. Eine mathematische Modellierung derart
komplexer Prozesse gelingt derzeit nur für vereinfachte Modellgeometrien.
Bei Kluftgesteinen handelt es sich meist um räumlich geklüftete Medien, wobei die
Kluftoberflächen komplizierte Topografien aufweisen. Informationen über die Strukturierung liegen
meist nur punktweise durch Bohraufschlüsse oder flächenhaft durch Kluftaufnahmen in
Bergwerken vor. Repräsentative Modellgeometrien müssen entweder stark abstrahiert oder
stochastisch generiert werden (Tab. 5.1).
Die Modellentwicklung spiegelt in anschaulicher Weise die Aktualisierung geometrischer
Vorstellungen über die Struktur von Kluftgesteinen wider, die wesentlich durch die Entwicklung
hochauflösender Instrumente zur Kluftaufnahme ermöglicht wurde. Zunächst ging man davon aus,
daß z. B. hydraulische Stimulationen des Grundgebirges zur Ausbildung einzelner vertikaler
Rißflächen führt (Tab. 5.1: Einzel- und Parallelkluft-Modelle). Grundlage dieser Überlegungen
liefert die Bruchmechanik für homogene Körper bei tektonischen Spannungsverhältnissen.
Bohrloch-Messungen widerlegten diese Hypothese. Vielmehr wird durch hydraulische
Stimulationen ein räumliches Netzwerk vorhandener natürlicher Klüftungen aktiviert (Tab. 5.1:
Kluftnetzwerk-Modelle). Dabei lassen sich Kluftfamilien statistisch mit bestimmten
Vorzugsorientierungen und Häufigkeitsverteilungen identifizieren. Kluftnetzwerk-Modelle sind vor
allem für dreidimensionale Betrachtungen äußerst rechenaufwendig. So sind inverse
Modellierungen zur Parameteridentifizierung bisher nur eingeschränkt ausführbar. Für die
Interpretation von Feldversuchen wird Kluftgestein deshalb oft wie ein, aus der klassischen
Grundwasserhydraulik bekannter, poröser Aquifer behandelt. Die Beschreibung geklüfteter
Festgesteinsaquifere mit homogenen Äquivalenz-Ansätzen (Tab. 5.1: Kontinuum-Modelle) ist
problembehaftet. Bei eingeschränkter Datenkenntnis über die Struktur der geologischen
Formationen und aufgrund rechentechnischer Beschränkungen ist die Anwendung von
homogenen Ersatzmodellen allerdings oft die einzige Alternative für Modellbetrachtungen und
Parameterabschätzungen. Bei Anwendungsaufgaben ist der Einsatz verschiedener Konzepte
sinnvoll, um die Unschärfe der einzelnen Modelle eingrenzen zu können.
Tab. 5.1 Systematisierung hydrogeologischer Modelle - Modellgeometrie
Die in Tabelle 5.1 vorgenommene Klassifizierung ist auch im Sinne maßstabsbezogener
Betrachtungen geeignet (Abb. 5.2):
Abb. 5.2: Betrachtungsmaßstäbe für Modelluntersuchungen im Kluftgestein (aus BEAR &
BERKOWITZ 1987)
5.1 Strömungsmodelle
Die nachfolgende Tab. 5.2 soll eine Übersicht von Grundwasserströmungsmodellen geben. Dem
Modellierer soll damit die Einordnung seiner zu bearbeitenden Aufgabenstellung erleichtert
werden. Die angegebenen Literaturzitate sind für das vertiefte Studium zu empfehlen.
Generell wird zwischen Einphasen- und Mehrphasenströmungen unterschieden. Eine weitere
Untergliederung erfolgt nach den Bodenzonen - wasserungesättigte Aerationszone und
wassergesättigte Grundwasserzone (Abschn. 1.2) und den darin ablaufenden spezifischen
Prozessen.
Bei Einphasenströmungen gibt es nur eine mobile Phase, wobei die Besonderheiten
kompressibler Fluide (Bodenluft, Erdgas) und inkompressibler Fluide (Wasser, Erdöl) zu beachten
sind. Bei Mehrphasenströmungen muß die Hydrodynamik mehrerer nichtmischbarer Fluide
betrachtet werden. In der Regel erfordert das die simultane Lösung der einzelnen
Bilanzgleichungen für jede der nichtmischbaren Fluide, was zu hochgradig nichtlinearen
Gleichungssystemen führt und die Berechnung erschwert. Simulationsprogramme zur Berechnung
von Mehrphasenströmungen sind z. B. TOUGH (PRUESS ET AL. 1995), ROCKFLOW-MM
(HELMIG & NATKE 1992) und MUFTE (HELMIG ET AL. 1995).
Für lnfiltrationsprobleme, wo es um die vertikale Wasserbewegung in der wasserungesättigten
Bodenzone geht, wird die Dynamik der Gasströmung meist vernachlässigt. Der Luftdruck wird
dann als konstant angenommen. Die Aufgabenstellung führt zur sog. RICHARDSON-Gleichung,
die ebenfalls nichtlinearer Natur ist. Entscheidend für die Wasserströmung in der Aerationszone ist
die Abhängigkeit des Durchlässigkeitsbeiwertes vom Bodenwassergehalt.
Zur Lösung von Modellaufgaben werden oft vereinfachte Modellgeometrien betrachtet, wobei
gewisse Symmetrieeigenschaften ausgenutzt werden, wie z. B. Grabenanströmungen (lineare
Strömung), Brunnenanströmungen (zylindersymmetrische Strömung) oder Brunnensysteme mit
Vorflutern (horizontal-ebene Strömungen). Dabei wird die Dimensionalität der Aufgabenstellung
auf die der wesentlichen Prozesse reduziert.
Für vertikal-ebene Strömungen in Salz/Süßwassersystemen mit einhergehenden signifikanten
Dichteänderungen infolge starker Konzentrations- oder Temperaturänderungen können
Dichteeffekte eine wesentliche Rolle spielen. Für solche heterogenen Fluide müssen
dichteinduzierte Auftriebswirkungen im dynamischen Grundgesetz der Geohydraulik
(Impulsbilanz) berücksichtigt werden, was eine gekoppelte Betrachtung der Strömungs- und
Transportprozesse erfordert (5. Abschn. 4.6).
Tab. 5.2: Systematik - Strömungsmodelle
Abb. 5.3: Querschnitt durch einen gespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN & DE
RIDDER 1990)
Abb. 5.4: Querschnitt durch einen halbgespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN &
DE RIDDER 1990)
Abb. 5.5: Querschnitt durch einen ungespannten Aquifer mit Förderbrunnen (aus KRUSEMANN & DE
RIDDER 1990)
5.2 Transportmodelle
Die Tab. 5.3 zur Systematik von Stofftransportmodellen soll als Orientierungshilfe dienen, um die
zu bearbeitende Aufgabenstellung einordnen zu können.
Die prinzipielle Gliederung erfolgt wiederum nach Ein- bzw. Mehrphasenprozessen und weiter
nach Ein- bzw. Mehrkomponentensystemen. Transportmodelle für reaktive MehrkomponentenSysteme sind äußerst komplex und besitzen eine große Zahl von Bestimmungsgrößen
(Freiheitsgraden). Die Entwicklung solcher Modelle, wobei Transport- (z. B. PLUME2D) und
reaktionskinetische Modelle (z. B. MINTEQ) miteinander gekoppelt werden, ist derzeit Gegenstand
der Forschung (WALTER ET AL. 1994a,b). Meist beschränkt man sich in der Transportsimulation
chemischer Substanzen auf Einkomponenten-Systeme, wobei nur die Migration der maßgeblichen
Transportkomponente betrachtet wird.
Die zum Transport bereitstehenden Substanzmengen werden durch chemische Reaktionssysteme
und biologische Prozesse (Bakterienwachstum, Mortalität, Biodegradation; s. z. B.
CORAPCIOGLU ET AL. 1994) beeinflußt.
Ferner gibt es Besonderheiten beim Transport mischbarer bzw. nichtmischbarer Fluide
(Verdrängungsprozesse) zu beachten. Wichtig ist auch die Rückkopplung der Stoffumverteilung
auf die Hydrodynamik (Konvektionsphänomene, Dichteströmungen), was weniger für relativ
homogene Fluide mit geringen Dichtevariationen sondern mehr für heterogene Fluide mit großen
Dichteunterschieden (hochkonzentrierte Lösungen, DNAPLs) von Bedeutung ist.
Beim Transport von chemischen Substanzen wird im allgemeinen zwischen konservativen
(passiven) bzw. nichtkonservativen (reaktiven) Stoffe unterschieden. Konservative Tracer, wie z.
B. Chlorid und Bromid, werden dabei nur passiv mit der Strömung bewegt, wobei sich diese
diffusiv und dispersiv vermischen. Das Transportgeschehen reaktiver Substanzen wird durch eine
Vielzahl möglicher chemischer Reaktionstypen beeinflußt.
Im folgenden wird die Problematik von Gleichgewichts- bzw. Nichtgleichgewichtsprozessen
angerissen.
Tab. 5.3: Systematik - Stofftransportmodelle
Nichtgleichgewichtsprozesse
Für heterogene Transportmedien wie klüftige Festgesteine ist die Annahme von
Gleichgewichtsbedingungen für physikalische, chemische bzw. biologische Prozeßabläufe oft
problematisch.
Nichtgleichgewichtsprozesse können allein physikalisch durch die Präsenz mobiler und immobiler
Grundwasserzonen mit entsprechenden diffusiven oder dispersiven Austauschvorgängen
ausgelöst werden (s. Tab. 5.4).
Tab. 5.4: Physikalische Nichtgleichgewichtsprozesse
Chemische Nichtgleichgewichtsprozesse sind durch die Kinetik chemischer Reaktionsabläufe
bedingt (Tab. 5.5). Für die Charakterisierung des relativen Gleichgewichtsstatus reaktiver
Transportvorgänge sind ferner die Zeitmaßstäbe der jeweiligen physikalischen und chemischen
Prozesse relevant (Tab. 5.6).
Tab 5.5 Chemische Nichtgleichgewichtsprozesse
Tab. 5.6: Gleichgewichtsstatus für physiko-chemische Prozesse ( reaktiver Transport)
6 Berechnungsverfahren
6.1 Analytische Methoden
Die analytische Lösung einer Anfangs-Randwertaufgabe soll die explizite Zeit- und
Ortsabhängigkeit der gesuchten Funktion in geschlossener Form liefern. Ausführliche
Beschreibungen analytischer Methoden zur Lösung von Anfangs-Randwertaufgaben sind z. B. in
CARSLAW & JAGER (1959), BEAR (1979) und HÄFNER ET AL. (1992) zu finden.
Zusammenstellungen analytischer Modelle für Strömungs- und Transportprobleme in
hydrogeologischen Systemen, wie geschichtete Aquifer-Komplexe und Kluftgesteine, geben z. B.
VOIGT & HÄFNER (1983), SCHULZ (1985), KOLDITZ (1993), KOLDITZ (1994b) und SEGOL
(1994).
Differentialgleichungen
Die grundlegenden Differentialgleichungen für die
Transportprozesse lassen sich wie folgt klassifizieren:
interessierenden
Tab. 6.1: Grundlegende Differentialgleichungen für Wärme- und Stofftransport
Superpositionsprinzip
Eine wichtige Eigenschaft linearer Differentialgleichungen mit entsprechenden
Randbedingungen ist das Superpositionsprinzip - die Additivität von Lösungen.
Sind Ti spezielle Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung:
Strömungs-
und
L(Ti) = 0 (6.1)
so erfüllt die lineare Kombination:
(6.2)
ebenfalls die Ausgangsgleichung unter der Voraussetzung, daß jede der speziellen Lösungen die
geforderten Anfangs- und Randbedingungen erfüllt. Mit Hilfe des Superpositionsprinzips kann z. B.
die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung vereinfacht werden. Ein
spezifisches
Superpositionsprinzip
für
instationäre
Aufgaben
mit
zeitabhängigen
Randbedingungen ist das Verfahren nach DUHAMEL.
FOURIER'sche Methode
Die Methode nach FOURIER eignet sich insbesondere für allseitig begrenzte Modellgebiete. Für
lineare Differentialgleichungen kann die allgemeine Lösung T in die allgemeine Lösung des
homogenen Problems T1 und eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems T2 zerlegt
werden. Dabei wird eine Variablenseparation in Form einer FOURIER-Reihe vorgenommen:
(6.3)
Aufgrund der Variablenseparation können für Eigen- bzw. Zeitfunktionen gewöhnliche
Differentialgleichungen formuliert werden, die mit den Rand- bzw. Anfangsbedingungen versehen
sind. Aus Eindeutigkeitsgründen wird bezüglich der Eigenfunktionen zusätzlich paarweise
Orthogonalität gefordert. FOURIER-Reihen werden auch zur Stabilitätsanalyse numerischer
Verfahren eingesetzt.
LAPLACE-Transformation
Zur Lösung der transportspezifischen Differentialgleichungen für einseitig begrenzte Modellgebiete
eignet sich insbesondere die LAPLACE-Transformation. Dabei wird der gesuchten Funktion f eine
LAPLACE-Transformierte gemäß folgender Gleichung zugeordnet:
H
F ( s, x ) =
∞
òe
− st
H
f ( t , x ) dt (6.4)
0
mit:
S
- LAPLACE-Variable
F
- Originalfunktion
F
- LAPLACE-Transformierte (Bildfunktion)
Im Ergebnis der LAPLACE-Transformation können anstelle der partiellen Differentialgleichungen
dann gewöhnliche Differentialgleichungen bezüglich der LAPLACE-Transformierten abgeleitet
werden, die nur noch ortsabhängig sind. Der Erfolg dieses Lösungsverfahrens hängt davon ab, ob
die. Rücktransformation in den Zeitbereich in geschlossener Form gelingt oder numerische
Methoden zum Einsatz gelangen müssen (z. B. STEHFEST 1979). Bei mehrdimensionalen
Problemstellungen muß ferner eine Separation der einzelnen Ortskoordinaten möglich sein. Eine
weitere Möglichkeit zur analytischen Lösung von Transportaufgaben bieten z.B.
hypergeometrische Reihenansätze (KOLDITZ 1988).
Modellvereinfachungen
Die Anwendbarkeit analytischer Berechnungsverfahren zur Lösung von Transportproblemen
erfordert eine Reihe von Modellvereinfachungen. So können nur lineare Differentialgleichungen
(keine Druck- und Temperaturabhängigkeiten der Materialeigenschaften) und vereinfachte,
symmetrische Modellgeometrien (z.B. Einzel- und Parallelkluftsysteme) behandelt werden.
Darüber hinaus gibt es Einschränkungen für realisierbare Anfangs- und Randbedingungen.
Anwendungsgebiete
Mit Hilfe analytischer Modelle können die prinzipiellen Transportvorgänge in natürlichen Systemen
beschrieben werden. Analytische Methoden eignen sich gut zur Untersuchung der Sensitivität des
Systemverhaltens bei Parametervariationen und zur Parameteridentifizierung. Analytische Modelle
liefern die exakte Lösung einer Differentialgleichung und sind daher unverzichtbar für die
Verifikation numerischer Modelle. Insbesondere können Anhaltspunkte für aufzubringende
räumliche und zeitliche Diskretisierungen gewonnen werden, die eine notwendige Genauigkeit des
numerischen Modells garantieren.
In den nachfolgenden Tabellen sind einige analytische Strömungs- und Transportmodelle
zusammengestellt. Anwendungen dieser analytischen Lösungsverfahren sind z. B. in HÄFNER ET
AL. (1985), KINZELBACH (1987), HÄFNER ET AL. (1992), KOLDITZ (1995) zu finden.
In der gesättigten Grundwasserzone wird zwischen gespannten, halbgespannten sowie
ungespannten Aquiferen differenziert (5. Abb. 5.3-5.5), für die eine Reihe analytischer Lösungen
existieren (Tab. 6.2).
Tab. 6.2: Analytische Lösungen für die hydraulische Druckhöhenverteilung bei Grabenströmungen
in gespannten, ungespannten und halbgespannten Aquiferen (aus KINZELBACH 1987)
Analytische Transportmodelle
In den nachfolgenden Tabellen sind analytische Modelle für Stoff- und Wärmetransportprobleme in
porösen und klüftigen Medien zusammengestellt.
•
poröse Medien
Tab. 6.3: Transport in Schichtaquiferen
•
Kluft-Matrix-Systeme
Tab. 6.4: Transport in Kluft-Matrix-Systemen (Matrixdiffusion)
Tab. 6.5: Systematisierung analytischer Modelle zur Matrixdiffusion (aus KOLDITZ 1995)
6.2 Numerische Methoden
Die Einsatzmöglichkeiten analytischer Verfahren zur Lösung von Strömungs- und
Transportaufgaben sind meist begrenzt auf Problemstellungen mit vereinfachten, symmetrischen
Modellgeometrien und Randbedingungen. Analytische Lösungsverfahren versagen im
allgemeinen bei variierenden Materialeigenschaften entweder infolge der Heterogenität des
Mediums oder aufgrund sich ändernder Zustandsgrößen. Der Einsatz numerischer
Berechnungsmethoden erlaubt wesentliche Erweiterungen gegenüber den analytisch
handhabbaren Aufgabenstellungen, so die Behandlung gekoppelter Prozesse (StrömungTransport-Reaktion-Mechanik), die zu nichtlinearen Differentialgleichungssystemen führen und die
Betrachtung komplexer räumlicher Modellgeometrien (z. B. Kluftnetzwerke, heterogene
Aquifersysteme). Beispiele für Aufgabenstellungen mit nichtlinearen Differentialgleichungen sind:
•
Dichteströmungen (Konvektion)
•
ungespannte Grundwasserströmungen (Freispiegelgewässer)
•
Mehrphasenströmungen
•
chemische Nichtgleichgewichtsreaktionen
Die
diskrete
Approximation
einer
Differentialgleichung
führt
unweigerlich
zu
Diskretisierungsfehlern. Numerische Methoden liefern immer nur eine Näherung der exakten
Lösung der Differentialgleichung. Deshalb muß stets der Nachweis der Konsistenz des
numerischen mit dem physikalischen Modell erbracht werden. Für solche Verifikationen bieten
sich Vergleiche zwischen analytischen und numerischen Berechnungsergebnissen an. Die
wichtigsten Eigenschaften numerischer Näherungslösungen sind ihre Stabilität und Genauigkeit
(Abschn. 6.2.4). Diskretisierungskriterien, deren Beachtung den Approximationsfehler so klein wie
möglich halten soll, lassen sich leider nur für vereinfachte Differentialgleichungen konsequent
ableiten. Hinweise für korrekte Orts- und Zeitdiskretisierungen kann man wiederum aus dem
Vergleich mit analytischen Vorgaben gewinnen. Numerische Modelle (Diskretisierungen) können
so zunächst anhand von vereinfachten, analytisch lösbaren Problemstellungen verifiziert werden.
Für den Plausibiltätsnachweis komplexer numerischer Modelle müssen dann Konvergenztests
(Netzeffekte) bzw. Ergebnisvergleiche mit anderen numerischen Verfahren oder Modellen erbracht
werden.
Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen sind z. B.:
•
Finite-Elemente-Methode (FEM)
•
Finite-Differenzen-Methode (FDM)
•
Randintegral-Methode (BEM)
•
Bilanzmethode (CVM) (Integrale FDM, Finite-Volumen-Methode)
•
Charakteristiken-Methode Random-Walk-Methode
Die beiden letztgenannten Verfahren wurden insbesondere zur Behandlung hyperbolischer
Differentialgleichungen entwickelt. Eine umfassende Einführung in die Spezifik der verschiedenen
numerischen Verfahren geben z. B. DIERSCH (1985), KINZELBACH (1987), HÄFNER ET AL.
(1992), VREUGDENHIL & KOREN (1993) und HELMIG (1995).
Zunächst sollen einige Grundbegriffe der numerischen Mathematik erläutert werden. Wir
betrachten die partielle Differentialgleichung für die Feldgröße T:
L(T)=0
(6.5)
mit dem Differentialoperator L. Die diskrete Approximation der Differentialgleichung läßt sich dann
wie folgt schreiben:
(6.6)
Die Beziehungen zwischen Differentialgleichung und ihrer diskreten Approximation sowie
zwischen exakter Lösung und Näherungslösung werden in der folgenden Grafik demonstriert.
(6.7)
Differentialgleichung und ihre diskrete Approximation
Konsistenz
Konsistenz zwischen Differentialgleichung und ihrer diskreten Approximation (z. B. FiniteElemente-Gleichung) bedeutet, daß der Abbruchfehler zwischen beiden Gleichungen (Trunkation)
gegen Null geht. Das heißt, für
für beliebig kleine Orts- und Zeitauflösungen
verschwindende Orts- und Zeitschritte sind Differentialgleichung und ihre diskrete Approximation
identisch:
(6.8)
Konvergenz
Konvergenz bedeutet, daß der Abbruchfehler zwischen exakter und genäherter Lösung
(Diskretisierungsfehler) für beliebig kleine Orts- und Zeitauflösungen
Null geht:
gegen
(6.9)
Das Äquivalenztheorem von LAX besagt, daß die Konvergenz zwischen exakter Lösung der
Differentialgleichung und Näherungslösung gewährleistet ist, wenn Stabilität und Konsistenz
gesichert sind (RICHTMEYER & MORTON 1967). Die Allgemeingültigkeit des
Äquivalenztheorems ist umstritten, insbesondere für nichtlineare Differentialgleichungen, wenn
zusätzliche Probleme hinsichtlich der Lösungseindeutigkeit auftreten.
Numerische Stabilität
Eine numerische Lösung verhält sich instabil, wenn der durch die diskrete Approximation
gemäß Gl. (6.5) über alle Grenzen geht. Das heißt, die
induzierte Abbruchfehler
Lösung der Differentialgleichung und die Näherungslösung divergieren. Stabilität bedeutet nicht
automatisch Konsistenz. Unter Umständen können stabile numerische Lösungen aufgefunden
werden, die keine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichungen darstellen.
Numerische Dispersion
Die numerische Dispersion ist eine Erscheinung bei der Näherungslösung von
Differentialgleichungen, die auf Diskretisierungsfehlern beruht. Numerische Dispersion entsteht
durch die Interpolation der Feldgröße zwischen den Gitterpunkten.
6.2.1 Finite-Elemente-Methode
Lösung der Randwertaufgabe
Zu den Vorteilen der Finite-Elemente-Methode (FEM) zählt die flexible Behandlung komplexer
Modellgeometrien. Dabei können z. B. multidimensionale Elementekombinationen verwendet
werden, um die komplizierte Struktur geklüfteter geologischer Formationen behandeln zu können.
Ziel der numerischen Methode ist zunächst die Übersetzung der aus der Modelltheorie
resultierenden differentiellen Bilanzgleichungen in diskretisierte Gleichungen und anschließend die
Ableitung konsistenter, konvergenter Näherungslösungen. Die Literatur zur Methode der FinitenElemente und ihrer Anwendung in der Hydrogeologie ist zahlreich (z. B. PINDER & GRAY 1977,
HUYAKORN & PINDER 1983, DIERSCH 1985, KINZELBACH 1987, ZIELKE ET AL. 1991,
SEGOL 1994), so daß nachfolgend nur die wichtigsten Verfahrensschritte vorgestellt werden
sollen:
1.
Aufstellen der Funktionalgleichung (z. B. Methode d. gewichteten Residuen)
2.
Partielle Integration, GREEN'scher lntegralsatz
3.
Aufstellen des algebraischen Gleichungssystems
4.
Ortsdiskretisierung (LAGRANGE-Elemente, SERENDIPITY-Elemente)
5.
Transformation in lokale Elementkoordinaten (isoparametrisches Elementkonzept)
6.
Numerische Integration (z. B. GAUSS-Quadratur)
7.
Zeitdiskretisierung (s. Abschn. 6.2.2)
8.
Lösung der Gleichungssysteme (z. B. GAUSS-Eliminierung, CG-Verfahren, CHOLESKIDekomposition)
Die allgemeine Finite-Elemente-Methode kann in verschiedene Lösungstechniken klassifiziert
werden, z. B. die Standard-GALERKIN-FEM, die TAYLOR-GALERKIN-FEM und die PETROVGALERKIN-FEM (Upwind-Verfahren).
Upwind- Verfahren
Überwiegt der advektive gegenüber dem dispersiven Transportanteil, kommt es zur Ausbildung
scharfer Fronten in der Vermischungszone. Dort treten große Gradienten der Transportgröße auf.
Oftmals ist es nicht möglich, schmale Vermischungszonen im numerischen Modell hinreichend
genau aufzulösen, zumal sich die Position der Front im dynamischen System ändert. Im Ergebnis
erhält man oszillierende Lösungen im Übergangsbereich. Für die Simulation advektiv dominanter
Transportprozesse werden deshalb vielfach sogenannte Upwind-Verfahren eingesetzt
(NOORISHAD & MEHRAN 1982, ZIENKIEWICZ 1984). Gegenüber dem Standard-GALERKINVerfahren werden modifizierte Wichtungsfunktionen verwendet (PETROV-GALERKIN-Verfahren),
die das Gewicht zur Diskretisierung räumlicher Gradienten stromabwärts verlagern. Das heißt, die
Stützstellen zur Approximation räumlicher Ableitungen werden entgegen der Fließrichtung
gewählt. Upwind-Schemata dämpfen numerische Oszillationen durch die Erzeugung numerischer
Dispersion. Die Lösungen werden ,,glatter". Das geschieht allerdings auf Kosten der Konsistenz
zwischen dem physikalischen und dem numerischen Modell. Der Approximationsfehler von
Upwind-Verfahren kann minimiert werden (z. B. HELMIG 1993). Beim Streamline-UpwindVerfahren wirken die modifizierten Wichtungsfunktionen nur in Stromlinienrichtung, d. h. es wird
nur der advektive Transportanteil gewichtet. Somit wird keine numerische Querdispersion,
transversal zu den Stromlinien, erzeugt.
Zur Aufstellung des FE-Modells für geklüftete geologische Formationen werden im
Programmsystem ROCKFLOW die geometrischen Besonderheiten der auftretenden Strukturen
ausgenutzt.
Zur
räumlichen
Auflösung
geklüfteter
Medien
wird
ein
spezielles
Diskretisierungskonzept verfolgt, indem die Dimensionalität der einzelnen Strukturkomponenten
vereinfacht betrachtet wird. Bohrungen, Klüfte und Gesteinsblöcke werden wie linien-, flächenbzw. volumenhafte Gebilde behandelt (GÄRTNER 1987, WOLLRATH 1990, KRÖHN 1991,
HELMIG 1993, SHAO 1994, RATKE 1994, KOLDITZ 1995).
6.2.2 Finite-Differenzen-Verfahren
Finite-Differenzen-Verfahren sind aufgrund der einfachen Grundidee und Implementierung sehr
verbreitet. Die in den Bilanzgleichungen vorkommenden differentiellen Ableitungen werden direkt
durch Differenzenquotienten approximiert. Nachteilig sind die strukturierten Rastergitter für die
diskrete Approximation, so können komplexe Geometrien nur schwer nachgebildet werden. Bei
nicht-orthogonalen Gittern gibt es zusätzlich gemischte Terme in den Finite-DifferenzenGleichungen. Die Verknüpfung der zeitabhängigen Variablen mit den Knotenpunkten ergibt eine
Reihe spezifischer Rechenschemata, die i. a. in explizite (z. B. Leap-Frog-Schema, Lax-WendroffSchema) und implizite Verfahren (z. B. Preissmann-Schema) eingeteilt werden können (z. B.
RATKE 1992, HELMIG 1995). Im Ergebnis der Diskretisierung der Differentialgleichungen erhält
man ein algebraisches Gleichungssystem, das direkt oder iterativ gelöst werden muß.
Differenzenapproximationen lassen sich mit Hilfe von TAYLOR-Reihen in den Knotenpunkten - i entwickeln
(6.10)
So erhält man z. B. für Vorwärts- und Rückwärts-Differenzenquotienten benachbarter
Knotenpunkte die Ausdrücke
(6.11)
Werden die Terme höherer Ordnung auf den rechten Seiten der Gl. (6.11) vernachlässigt, erhält
für die Approximation der Ortsableitungen. Die
man eine Genauigkeit erster Ordnung
Verwendung von Zentraldifferenzen führt zu einem Schema mit höherer Genauigkeit zweiter
Ordnung
(6.12)
Aus den Gl. (6.11) lassen sich zweite Ableitungen ebenfalls mit geringeren Trunkationsfehlern von
zweiter Genauigkeitsordnung konstruieren
(6.13)
6.2.3 Rand-Elemente-Methode
Während es sich bei der Finite-Elemente-Methode um ein sog. Gebietsverfahren handelt, wo das
gesamte, in einzelne Berechnungselemente zerlegte, Kalkulationsgebiet betrachtet wird, basiert
die Rand-Elemente-Methode (BEM - Boundary Element Method) auf der Auswertung von
Randintegralen auf dem Gebietsrand. Dabei müssen gewisse Einschränkungen bezüglich der
Struktur des umrandeten Gebietes (Homogenität) sowie der Prozeßabläufe darin hingenommen
werden. Ferner können keine Angaben über Feldgrößen (z. B. Konzentration) im Gebietsinneren
gemacht werden (LIGGET & LIU 1983, SHAPIRO & ANDERSSON 1983, ELSWORTH 1987,
SHOA 1994).
Der Vorteil der BEM liegt im äußerst geringen Diskretisierungs- und damit Rechenaufwand.
Interessant ist die BEM vor allem für komplex strukturierte Gebiete (geklüftete Medien) und in der
Kopplung mit der FEM, indem die Vorteile beider Verfahren ausgenutzt werden können (5.
Kopplung von FEM und BEM).
Wie bei der FEM werden die zu lösenden Differentialgleichungen zunächst in eine schwache Form
(Funktionalgleichung) übersetzt und dann mit einer Variationsmethode (z. B. Methode der
gewichteten Residuen) gelöst.
Die Grundidee der BEM besteht darin, daß sämtliche Gebietsintegrale in der schwachen
Formulierung durch die geschickte Wahl von speziellen Wichtungsfunktionen verschwinden. Das
gelingt, wenn diese Wichtungsfunktionen Fundamentallösungen der ursprünglichen
Differentialgleichung sind. Die Existenz solcher Fundamentallösungen ist die wesentliche
Voraussetzung für den Einsatz der BEM, welche damit i. d. R. auf Potential- und
Diffusionsprobleme beschränkt ist, die auf LAPLACE- oder POISSON-Gleichungen zurückführen
(s. Tab. 6.1).
Stationäre Strömung
Die wesentlichen Schritte des Rand-Element-Verfahrens sollen anhand des stationären
Strömungsproblems veranschaulicht werden. Die Potentialgleichung für die hydraulische
Druckhöhe sowie ihre schwache Form lauten in diesem Fall:
(6.14)
Die partielle Integration erlaubt schließlich die Ableitung der Beziehung:
(6.15)
mit:
- Gebietsrand
- Modellgebiet
- Wichtungsfunktion
Entscheidend ist, wie gesagt, die Wahl geeigneter Wichtungsfunktionen, so daß das
Gebietsintegral auf der linken Seite der obigen Gleichung verschwindet. Dies ist der Fall, wenn die
Wichtungsfunktion eine Fundamentallösung der Potentialgleichung für die hydraulische Druckhöhe
ist:
(6.16)
mit:
(6.17)
Dann gilt:
(6.18)
und die Randintegralgleichung lautet:
(6.19)
welche die Berechnung der Druckhöhenverteilung auf dem Gebietsrand erlaubt, ohne die
Druckverteilung im gesamten Gebiet kennen zu müssen.
Instationäre Probleme
Die Anwendung der Rand-Element-Methode für Diffusionsprobleme erfordert eine
Erweiterung für zeitabhängige Probleme. Dazu wurden in der Vergangenheit
verschiedene Verfahren entwickelt, wie Finite-Differenzen-Approximationen für die
Zeitableitungen, die Anwendung der LAPLACE-Transformationstechnik und die
Verwendung zeitabhängiger Fundamentallösungen (LIGGET & LIU 1983).
Kopplung von FEM und BEM
Die Kombination der beiden Näherungsverfahren wird z. B. in der Akustik, der
Wellenmechanik und Festkörpermechanik seit langem betrieben. Dabei sollen die
Vorzüge der einzelnen Approximationsmethoden ausgenutzt werden.
Die Kopplung von Gebiets- und Randmethode erscheint auch sinnvoll für die Prozeßsimulation in
klüftig-porösen Gesteinen (SHAO 1994). So können lineare Strömung und diffusiver Transport in
der Gesteinsmatrix durch die BEM erfaßt werden. Für die Modellierung nichtlinearer Strömungen
(s. Abschn. 3.2) und des advektiv-dispersiven Transports in den Klüften ist die FEM bestens
gerüstet. Die Hoffnung der Verfahrenskopplung besteht vor allem darin, den
Diskretisierungsaufwand für klüftigen Medien reduzieren zu können.
Die Abbildung 6.1 zeigt die hybride Vernetzung eines Kopplungsgebietes. Aus den
Erhaltungsprinzipien ergeben sich entsprechende Kopplungsbedingungen auf dem gemeinsamen
Rand, so die Kontinuität von Massenflüssen (NEUMANN-Bedingung). Ferner wird die Stetigkeit
von Feldgrößen auf dem Kopplungsrand gefordert (Dirichlet-Bedingung). Neben den
physikalischen Bedingungen sind auch numerische Aspekte zu beachten, wie die Konsistenz von
Ansatzfunktionen.
Abb. 6.1 Hybrides Finite-Elemente/Rand-Elemente-Netz (Aus SHAO 1994)
6.2.4 Zeitdiskretisierung
Lösung der Anfangswertaufgabe
Die sich aus der FEM ergebenden algebraischen Gleichungssysteme können in allgemeiner Form
geschrieben werden:
(6.20)
(die Kennzeichnung der Approximation durch Tilde wird im
mit der Näherungslösung
folgenden weggelassen), den Koeffizientenmatrizen [C] und [D] sowie dem Vektor {r}, der
Randbedingungen und äußere Lasten repräsentiert.
Die zeitliche Auflösung von transienten Größen erfolgt mit Hilfe von Differenzenansätzen:
(6.21)
Für die zeitliche Auswertung der übrigen Terme kann mit der Wahl der Kollokationsstelle
eine
Wichtung zwischen altem und neuem Zeitniveau herbeigeführt werden. Für die Transportgröße
erhält man z. B.:
(6.22)
Die allgemeine Matrizengleichung lautet dann:
(6.23)
bzw.
(6.24)
wenn die Terme zum alten Zeitpunkt und die Quellterme auf der rechten Seite zusammengefaßt
werden. Je nach Wahl der Kollokationsstelle ergeben sich verschiedene Zeitschemata mit
verschiedenen Genauigkeiten und Stabilitätseigenschaften.
Tab. 6.6: Übersicht von Zeitschrittverfahren
Explizites Zeitschema
(6.25)
Vorteile:
symmetrische Koeffizientenmatrix vor der Unbekannten auf der linken
Seite (CG-Löser anwendbar),
Lumping möglich (Zusammenziehen der Koeffizienten auf der
Hauptdiagonale der Matrix [C]
Nachteile: bedingt stabil (Zeitschrittbeschränkung)
Implizites Crank-Nicilson Zeitschema
(6.26)
Vorteile:
stabil, Genauigkeit zweiter Ordnung
Nachteile:
bedingt oszillationsfrei,
unsymmetrische Koeffizientenmatrix vor der Unbekannten auf der linken Seite,
höherer Rechenaufwand
voll implizites Zeitschema
(6.27)
Vorteile
stabil, oszillationsfrei
Nachteile
Genauigkeit erster Ordnung, unsymmetrische Koeffizientenmatrix vor der
Unbekannten auf der linken Seite, höherer Rechenaufwand
6.2.5 Stabilität und Konsistenz diskreter Näherungsverfahren
Die Stabilitäts- und Konsistenzeigenschaften von Näherungsverfahren werden wesentlich durch
die Güte der zeitlichen und örtlichen Diskretisierung bestimmt. Je feiner die Auflösung der
diskreten Approximation ist, desto besser stimmen die exakte Lösung der Ausgangsgleichung und
die Näherungslösung der diskretisierten Gleichung überein. Für die Untersuchung der Stabilität
und Konsistenz von Diskretisierungsverfahren gibt es eine Reihe mathematischer Methoden, z. B.:
Eigenwertanalyse von Matrizengleichungen (z. B. RICHTMEYER & MORTON 1967, DIERSCH
1985).
Differenzenanalyse (HIRT 1968, KINZELBACH 1987)
FOURIER- bzw. VON-NEUMANN-Analyse (z. B. ROACHE 1976, PINDER & GRAY 1977)
Im Ergebnis der mathematischen Analyse können Kriterien für korrekte Zeit- und
Ortsdiskretisierungen abgeleitet werden, wobei gewisse Gültigkeitseinschränkungen für
mehrdimensionale und nichtlineare Differentialgleichungen hingenommen werden müssen.
Stabilitätsbetrachtung mittels Eigenwertanalyse
Wir beschränken uns zunächst auf die Stabilitätsuntersuchung der Anfangswertaufgabe. Dazu
sollen Quellterme unberücksichtigt bleiben. Eine Diskussion zur Stabilität bezüglich Quellterme
kann man z. B. in SCHWETLICK & KRETZSCHMAR (1994) finden. Ohne Quellterme läßt sich die
diskrete Bilanzbeziehung (6.20) leicht in ihre Eigenwertgleichung umformen:
(6.28)
Zur Sicherung der Stabilität ergibt sich aus dem Maximumprinzip folgende
Bedingung:
(6.29)
Der Betrag des größten Eigenwerts (Spektralradius) muß demnach kleiner Eins
sein. Durch die Umformung der diskreten Transportgleichung (6.24) in ihre
Eigenwertform kann die Stabilitätsforderung (6.23) in eine Beziehung für den
Zeitwichtungsfaktor:
(6.30)
umgeschrieben werden. Die zeitliche Wichtung der transienten Transportgröße (z. B.
hat also wesentlichen
Konzentration oder Temperatur) während eines Lösungsschrittes
Einfluß auf die Stabilitätseigenschaften des numerischen Verfahrens. Ferner folgt aus der Gl.
(6.30), daß gewisse implizite Zeitschemata bedingungslos stabil sind (sog. A-Stabilität). Das
CRANK-NICOLSON-Schema bildet faktisch die untere Grenze dieser stabilen Verfahren.
Wird neben Stabilität auch Oszillationsfreiheit gefordert, gilt eine schärfere Bedingung für die
Eigenwerte der Matrizengleichung (6.28):
(6.31)
bedingungslos
Diese Forderung wird allein durch das voll implizite Zeitschrittverfahren
für beliebige Zeit- und Ortsdiskretisierungen erfüllt. Für die Oszillationsfreiheit des CRANKNICOLSON-Verfahrens gilt die Bedingung:
PGCr < 2
(6.32)
Differenzenanalyse der advektiven Transportgleichung
Stabilität und Genauigkeit numerischer Verfahren lassen sich am einfachsten durch
Differenzenanalysen für eindimensionale Differentialgleichungen erläutern. Für die Diskussion der
Anfangswertaufgabe verwenden wir die eindimensionale advektive Transportgleichung:
(6.33)
Werden lokale Ableitungen durch Rückwärtsdifferenzen und zeitliche Ableitungen durch
Vorwärtsdifferenzen (explizites Schema) approximiert, erhält man die Knotengleichung für den iten Gitterpunkt:
(6.34)
Die Funktionswerte werden durch TAYLOR-Reihenansätze entwickelt:
(6.35)
und in Gl. (6.34) eingesetzt. Dann ergibt sich eine andere als die ursprüngliche Transportgleichung
(6.35), die einen zusätzlichen Dispersionsterm enthält, der allein aus der Diskretisierung
hervorgeht:
(6.36)
Eine Schlüsselrolle dieser sogenannten numerischen Dispersion spielt die COURANT-Zahl gemäß
Gl. (6.43). Für eindimensionale Aufgaben kann die numerische Dispersion durch die geeignete
Wahl der Orts- und Zeitschrittweiten ausgelöscht werden, wenn Cr = 1 ist. Für COURANT-Zahlen
größer Eins ergeben sich oszillierende Lösungen. Für COURANT-Zahlen kleiner Eins kommt es
zur Glättung der scharfen Fronten, die bei rein advektivem Transport entstehen. Das numerische
Schema induziert eine künstliche Dispersion. Während die Neutralisierung der numerischen
Dispersion für eindimensionale Aufgaben keine Probleme bereitet, gelingt dies für inhomogene
Strömungen in mehrdimensionalen Gebieten nicht mehr konsequent im gesamten
Berechnungsgebiet. Oszillierende Lösungen entstehen z. B. auch bei der Verwendung von
zentralen Differenzen im lokalen Gradienten:
(6.37)
Werden wiederum die TAYLOR-Reihenansätze gemäß Gl. (6.37) verwendet, erhält man eine
Gleichung mit sog. numerischer Antidispersion:
(6.38)
Das heißt, der Dispersionsterm mit positivem Vorzeichen führt nicht zum Abbau von
Konzentrationsgradienten, sondern zur Überhöhung. Die einhergehenden Über- und
Unterschwingungen werden als numerische Oszillationen bezeichnet. Für den eindimensionalen
Fall ist eine Kompensierung dieser artifiziellen Antidispersionsterme möglich durch die Einführung
kontraproduktiver Dispersionsterme, wenn die Bedingung:
(6.39)
eingehalten wird. Ähnlich wie in der Beziehung (6.30) die numerische Dispersion über die
COURANT-Zahl gesteuert werden kann, erscheint in diesem Fall die Gitter-PECLET-Zahl gemäß
Gl. (6.45) als Regulator.
Differenzenanalyse der advektiv-dispersiven Transportgleichung
DIERSCH (1985) analysiert die Randwertaufgabe
(eindimensionale, stationäre, quellenfreie Gleichung):
zum
advektiv-dispersiven
Transport
(6.40)
Dabei untersucht DIERSCH (1985) die Stabilitätseigenschaften von Finite-Elemente-Verfahren,
die sich aus der Ortsdiskretisierung ergeben. Für lineare Finite-Elemente z. B. bestehen folgende
Forderungen:
GALERKIN-FEM
Upwind-FEM
Pg < 2
Oszillationen werden
verursacht, sobald die ElementPECLET-Zahl den Wert 2
übersteigt.
Für beliebige
Ortsdiskretisierungen muß der
Upwind-Parameter α größer als
der kritische Wert sein.
Ähnliche Bedingungen können für Elemente höherer Ordnung abgeleitet werden.
Konsistenzbetrachtung
Fehlerabschätzungen zur Genauigkeit diskreter Approximationen können mit Hilfe von TAYLORReihenentwicklungen der Feldgröße gewonnen werden. Dabei werden die Terme der
Differentialgleichung durch die TAYLOR-Reihenentwicklungen ersetzt. Unter Verwendung der
Knotengleichungen erhält man eine Beziehung, die den Trunkationsfehler durch die diskrete
Approximation beschreibt. Für die eindimensionale Advektions-Diffusions-Gleichung gilt dann:
(6.41)
Die Terme auf der rechten Seite stellen die durch Zeit- und Ortsapproximation induzierte
numerische Diffusion, Dispersion und Dissipation dar. Dabei wurde die Konsistenzordnung bereits
erhöht, indem für die Zeitableitungen höherer Ordnung entsprechende Ausdrücke verwendet
werden, die sich aus der Differenzierung der Advektions-Diffusions-Gleichung nach der Zeit
ergeben (TAYLOR-Verfahren). Der Approximationsfehler (numerische Dispersion) der UpwindFEM für den Fall linearer Finiter-Elemente beträgt z. B.:
(6.42)
wobei der Faktor a für die GALERKIN-FEM verschwindet, hingegen für Upwind-Verfahren zu Eins
wird. Um stabile Verfahren mit bestmöglicher Genauigkeit zu erhalten, können UpwindWichtungen problemspezifisch optimiert werden (DIERSCH 1985, HELMIG 1993).
Verallgemeinerung von Diskretisierungskriterien
Aus der bisherigen Diskussion der Eigenschaften numerischer Verfahren anhand
eindimensionaler Gleichungen wird deutlich, daß eine Reihe von Annahmen erforderlich ist, um
Diskretisierungskriterien explizit abzuleiten. Die Untersuchung zur Numerik zweidimensionaler
Transportprobleme erfordert einen weitaus größeren Aufwand (KlNZELBACH 1987). Bei
komplexeren Aufgabenstellungen werden zur Stabilitäts- und Konsistenzbetrachtung auch
Konservativitätsüberlegungen herangezogen (Tab. 6.7).
Tab. 6.7: Diskretisierungskriterien und Konservativitätsberechnungen
Tab. 6.8: PECLET-Zahl
Die Gitter-PECLET-Zahl läßt sich physikalisch, mathematisch und numerisch interpretieren (Tab.
6.9). Im physikalischen Sinne ist sie eine elementspezifische Maßzahl für das Verhältnis zwischen
advektivem und dispersivem Wärmetransport. Mathematische Bedeutung erlangt dieses
Verhältnis für die Charakteristik der Differentialgleichung
Tab. 6.9: Bedeutung der Element-PECLET-Zahl
Das PECLET-Kriterium garantiert die Stabilität der numerischen Lösung für eine eindimensionale,
stationäre, quellen-senken-freie Transportgleichung. Die Wirksamkeit der ,,Antidispersion" hängt
allerdings neben der Element-PECLET-Zahl auch von der Größe der örtlichen Änderung des
Gradienten der Transportgröße ab. Oszillationsgefahr besteht also vornehmlich dort, wo starke
Gradientenänderungen auftreten (z. B. in Grenzschichten).
Prinzipiell sollten die Simulationen zunächst mit den genauesten Verfahren ausgeführt werden, d.
h. mit dem Standard-GALERKIN-Verfahren unter Verwendung expliziter oder semi-impliziter
(CRANK-NICOLSON) Zeitschrittstrategien. Die Konsistenzordnung kann mit dem TAYLORGALERKIN-Verfahren erhöht werden. Allerdings erfordert diese Konsistenzerhöhung aus
Stabilitätsgründen die konsequente Einhaltung des COURANT-Kriteriums auch für implizite
Zeitschemata. Die genannten Verfahren sind zwar insbesondere bei advektiv-dominantem
Transport oszillationsanfällig. Sie weisen dafür schonungslos auf die Ursachen hin, wie z. B.
ungenügende Diskretisierung des Simulationsgebietes, während z. B. Upwind-Verfahren oder/und
implizite Zeitschrittvorgehensweise glatte, aber verfälschte Ergebnisse suggerieren. Diese
dispersiven Methoden sollten erst dann wohldosiert zum Einsatz kommen, wenn die genaueren
Verfahren versagen. Zum Genauigkeitstest einer numerischen Lösung sollten stets auch
Netzeffekte ausgeschlossen werden. Das heißt, die Konvergenz einer numerischen Lösung darf
dann angenommen werden, wenn eine weitere Netzverfeinerung keine Lösungsveränderung mehr
anzeigt.
7 Leitfaden für die Modellierung
In diesem Abschnitt wird in knapper Form ein Leitfaden für die Modellierung von Deponien und
Altlasten dargelegt, der in LEGE ET AL. (1995) ausführlich beschrieben ist. Dort findet man auch
eine Reihe von Checklisten, die eine Erarbeitung von Modellierungsstudien erleichtern soll, ohne
einem starren Schematismus zu folgen. Dieser Leitfaden erhebt in keiner Weise den Anspruch
einer unikalen Bearbeitungsvorschrift, sondern ist vielmehr eine Empfehlung für die
Vorgehensweise bei hydrogeologischen Modellierungen. Jeder Standort hat seine struktur- und
hydrogeologischen Besonderheiten, die ganz spezifische Anforderungen an Modelle stellen.
Die wesentlichen Arbeitsschritte des Leitfadens sind:
1 Einordnung der Problemstellung
2 Datenakquisition
3 Modellierung
4 Ergebnispräsentation
7.1 Einordnung der Problemstellung
Den Auftraggeber (z. B. ein Deponiebetreiber) einer Modellierungsstudie interessiert letztlich nur,
was er zur Sicherung oder Sanierung einer Deponie unternehmen muß und was geeignete
Maßnahme dafür sind. Diese technische Problemstellung muß zunächst in berechenbare bzw.
meßbare Modellgrößen (z. B. Schadstoffkonzentrationen) übersetzt werden.
Die Zielstellung für die Modellierung ist zu definieren. Generell lassen sich Erkundungs-,
Prognose- und Optimierungsprobleme differenzieren. Ferner sind Erkundungs-, Berechnungs- und
Aussagegebiete (Abb. 7.1) sowie die zeitliche Abgrenzung der Modellaussagen festzulegen (z. B.
anhand der Lebensdauer von Baumaßnahmen).
In der Erkundungsphase (Datenakquisition) soll der Ist-Zustand des hydrogeologischen Systems
erfaßt werden (z. B. Stratigrafie des geologischen Systems, Durchlässigkeitsverteilung,
Grundwasserhöhengleichenpläne, aktuelle Kontaminationsausbreitung etc.). In dieser
Bestandsaufnahme geht es auch darum, die Datenqualität und -dichte sowie die Komplexität des
hydrogeologischen Systems einzuschätzen, um ein Modellkonzept (Modellbildung) entwerfen zu
können. Die Modellierung beginnt eigentlich schon in dieser erkundenden Phase. Hinter jedem
Parameter verbirgt sich letztlich eine Modellvorstellung (z. B. Typkurvenanpassungen zur
Durchlässigkeitsbestimmung nach dem THEIS-Verfahren für homogene poröse Medien).
Prognose und Optimierung setzen ein kalibriertes Modell voraus. In der Modellvorhersage geht es
u. a. um die Bewertung der Wirksamkeit der natürlichen geologischen Barriere, die Auslegung von
geeigneten
Sanierungsmaßnahmen
(Dichtungswände,
Abwehrbrunnen,
Drainage),
Risikoabschätzungen und die Kostenersparnis durch Optimierung von Maßnahmen.
Abb. 7.1: Abgrenzung der Berechnungs- und Aussagegebiete für die Standortmodellierung der
Deponie Münchehagen (aus LEGE ET AL. 1995)
7.2 Datenakquisition
Die Datenerfassung ist einer der wichtigsten Bearbeitungsabschnitte. Das Modell kann schließlich
nur so gut sein, wie die in ihm verarbeiteten Daten es sind. Hier muß sorgfältig alles
zusammengetragen werden, was an hydrogeologischen, geochemischen, hydrogeothermischen
Informationen vorliegt, um das Modell sukzessiv mit Parametern zu bestücken. Die relevanten
geohydraulischen, geochemischen und Migrationsparameter werden in den Abschnitten 3 und 4
detailliert beschrieben. Anhand einer Checkliste nach LEGE ET AL. (1995) kann man sich rasch
einen Überblick verschaffen, was gewöhnlich an Daten zur Verfügung steht und was Modelle
verarbeiten können. Für die Datenakquisition empfiehlt sich in jedem Fall eine enge
Zusammenarbeit zwischen dem erkundenden Hydrogeologen vor Ort und dem abstrahierenden
Modellierer, da wichtige Detailinformationen in Berichten mitunter übersehen werden.
7.3 Modellierung
Modellbildung
Ziel der Datenakquisition ist es schließlich, das physiko-chemische System zu charakterisieren
und entsprechende Modellklassifizierungen gemäß Tab. 5.2 und Tab. 5.3 vorzunehmen. Dabei
müssen u.a. folgende Fragestellungen beantwortet werden:
•
ist der Aquifer gespannt oder ungespannt,
•
sind die Strömungsverhältnisse stationär oder instationär,
•
liegen Ein- oder Mehrphasenströmungssysteme vor,
•
müssen Dichteeffekte berücksichtigt werden,
•
sind die Schadstoffe reaktiv oder folgen sie ungebremst einem dispersiven
Transportmechanismus,
•
handelt es sich um Ein- oder Mehrkomponentensysteme mit entsprechenden
chemischen Umsetzungen.
Die Datenlage entscheidet schließlich über die notwendige und hinreichende Komplexität des
auszuwählenden Modells. Hierbei wird eine weitere Schematisierung vorgenommen, indem die
wesentlichen Prozesse herausgefiltert werden. Diese Modellvereinfachung soll die Anzahl der
Unbekannten und somit des Rechenaufwandes in vernünftigen Grenzen halten. Der nächste
Schritt für den Programmentwickler ist die Umsetzung des physiko-chemischen Modells für die
Prozeßbeschreibung in ein mathematisches. Auf der Basis der fundamentalen Erhaltungssätze für
Masse, Impuls und Energie geht es dabei um die Aufstellung von Modellgleichungen für die
interessierenden Zustandsgrößen (Abschn. 3.2, 4.3). Der Modellanwender muß sich im Ergebnis
dieser Etappe ein geeignetes Simulationsprogramm aussuchen (Teil A: Software-Recherche).
Eine weitere Schematisierung ist notwendig bezüglich der Modellgeometrie. Durch die
Positionierung plausibler Randbedingungen (z. B. Vorfluter, Wasserscheiden) muß das
Modellgebiet abgegrenzt werden. Weiterhin müssen die im Ergebnis der Datenakquisition
gewonnenen Parameter im Modellgebiet plaziert und ggf. interpoliert werden.
Zur Lösung der Modellgleichungen stehen die im Abschn. 6 erläuterten analytischen und
numerischen Berechnungsmethoden zur Verfügung. Die Verwendung eines analytischen
Verfahrens für ein stark vereinfachtes Modell zur Abschätzung z. B. von Migrationslängen und
Verweilzeiten ist in jedem Fall zu empfehlen, um eine erste Vorstellung über den Prozeßablauf zu
bekommen und später die Plausibilität des komplexeren numerischen Modells zu testen.
Modelleichung
Unter dem Begriff der Modelleichung werden hier die verschiedenen Aspekte:
Verifizierung, Kalibrierung und Validierung zusammengefaßt.
Die Modellverifizierung ist für den Programmentwickler eine existenzielle Aufgabe, um die
Korrektheit seines Simulationsprogramms unter Beweis zu stellen. Dazu wird in der Regel ein
Ergebnisvergleich mit analytischen (exakten) Lösungen bzw. mit anderen numerischen Codes (z.
B. für nichtlineare Probleme) abverlangt. Ein anderer Aspekt der Verifizierung eines numerischen
Modells, der auch für den Programmanwender relevant ist, betrifft den Test der Modellgenauigkeit
(Konsistenz). Die diskrete Approximation von Differentialgleichungen mittels numerischer
Methoden liefert immer nur eine Näherungslösung. Neben der Einhaltung von
Diskretisierungskriterien (Tab. 6.7-6.9) sollten stets auch Konvergenzuntersuchungen mittels Netzund Zeitschrittverfeinerungen durchgeführt werden.
Bei der Modellkalibrierung geht es um die Fixierung noch freier Modellparameter, z. B. solcher die
nicht direkt in Experimenten bestimmt werden können. Diese indirekte Parameterbestimmung
kann durch die Anpassung von Meßkurven (z. B. Tracerdurchgangskurven) erfolgen (Abb. 8.4 und
Abb. 8.5). Dabei kommen sog. inverse Methoden zum Einsatz (z. B. HÄFNER ET AL. 1992).
Anhand gegebener Zustandsgrößen (Variablen in den Gleichungen) sollen hierbei die
Materialparameter (Koeffizienten in den Gleichungen) bestimmt werden. Zur Kalibrierung des
Standortmodells für die Lokation MÜNCHEHAGEN rekonstruiert LEGE (1995) ausgehend von der
Deponierungsgeschichte den heutigen Ist-Zustand der Kontamination (Abb. 8.6 und Abb. 8.7).
Unter einer Modellvalidierung versteht man die gelungene Reproduktion oder Vorhersage eines
Experiments, das nicht zur Kalibrierung des Modells verwendet wurde, also unabhängig davon
erfolgt. Die Problematik einer Validierung wird in den Abbildungen 8.4 und 8.5 deutlich. MAIER &
DÖRHÖFER (1994) und LEGE (1995) kalibrieren ihre Modelle mit Hilfe eines Tracerexperimentes,
um dann die Validierung anhand des zweiten Versuchs zu prüfen. Die beiden Experimente wurden
in unterschiedlich langen Versuchsstrecken (6m bzw. 18m) durchgeführt. So sind die auftretenden
Abweichungen mit Sicherheit auf Skaleneffekte in den hydraulischen Durchlässigkeiten und
Dispersionslängen zurückzuführen, die aufgrund der signifikanten Klüftung des Münchehagener
Tonsteins und damit verbundenen Problematik der Konnektivität des Kluftsystems noch verstärkt
auftreten.
Prognose
Das an Meßdaten kalibrierte Modell soll zur Vorhersage von möglichen Kontaminationsverläufen
bzw. den Erfolgsaussichten von Sanierungsmaßnahmen eingesetzt werden (Abb. 8.8). wichtiger
Teil der Prognose ist die Bewertung des Einflusses der Modellunsicherheiten auf das
Systemverhalten (Sensitivitätsanalyse) im Sinne einer Risikoabschätzung. Das heißt z. B., wie
wirkt sich der Unschärfebereiche der Modellparameter (5. Kalibrierung) auf die Varianz der
Zielgröße (Schadstoffkonzentration) aus. Für solche Szenarioanalysen werden zunehmend auch
statistische Methoden eingesetzt. Gerade bei der Modellierung komplexer Prozeßabläufe sollte
eine Plausibilitätskontrolle (z. B. mit 1-D Speicher-Durchfluß-Modellen) keineswegs fehlen. Ein
weiteres Aufgabenfeld von Prognosemodellen ist z. B. die Optimierung von
Sanierungsmaßnahmen.
7.4 Ergebnispräsentation
Die Präsentation der Ergebnisse steht am Ende eines mitunter konfliktreichen und beschwerlichen
Weges einer Modellstudie. An ihr wird schließlich der Erfolg der Arbeit gemessen, so daß der
Ergebnisdarstellung auch ein gebührender Zeitanteil zusteht. Hier muß der Sachbearbeiter zeigen,
ob es ihm gelungen ist, die Fragestellungen des Projektes umfassend zu beantworten.
Moderne
Visualisierungswerkzeuge
bieten
hierbei
vielfältige
Möglichkeiten
der
Ergebnisdarstellung (BEHRENDT 1995). Diese Mittel können gezielt eingesetzt werden, um
komplexe Prozeßabläufe klar und anschaulich darzustellen. Dennoch ist ein sparsamer Einsatz
von Farben und Effekten geraten, um nicht Gefahr zu laufen, nur ,,bunte Bildchen" zu
präsentieren, die wenig zum umfassenden Verständnis der Problematik beitragen. Vielmehr sollte
bewußt auf Probleme hingedeutet werden wie z. B. Modellunsicherheiten und Vorschläge
unterbreitet werden, wie diese z. B. durch gezielte Experimente weiter eingegrenzt werden
können.
8 Praxisbeispiele
8.1 Vorbemerkungen
Im nachfolgenden Abschnitt werden zwei Praxisbeispiele für Altlastenmodellierungen vorgestellt.
Während das Fallbeispiel Münchehagen (Abschn. 8.2) die Untersuchung und Modellierung einer
Deponie im klüftigen Tongestein beschreibt, behandelt das Fallbeispiel der Urangrube Königstein
(Abschn. 8.3) die komplexe Modellierung von Altlastenproblemen in Grundwassersystemen mit
ausgeprägten, durch den Bergbau entstandenen Hohlraumsystemen.
Die Komplexität beider Fallbeispiele läßt ihre umfassende Darstellung im Rahmen der
vorliegenden Ausarbeitung nicht zu. Im Vordergrund steht ein Überblick der Problemstellungen
und Lösungsansätze, die Anregungen für entsprechende Arbeiten an anderen Standorten geben
soll.
8.2 Fallbeispiel Münchehagen - Deponie im Tongestein
Standort Münchehagen
Die ehemalige Sonderabfalldeponie MÜNCHEHAGEN wurde zum Teststandort des
Verbundvorhabens ,,Deponieuntergrund" ausgewählt (BGR 1991-1993). Die vormalige Tongrube
befindet sich etwa 40 km westlich von Hannover. Der Vorfluter des hydrogeologischen Systems ist
die Ils, die in die Weser mündet. Der geologische Unterbau der seit 1983 geschlossenen Deponie
besteht aus stark verfestigtem und intensiv geklüftetem Ton (Abb. 8.1). Die registrierte
Schadstoffausbreitung im Grundwasserabstrom der Deponie deutet bereits auf die Wirkung
zusätzlicher
Rückhaltemechanismen
hin.
Würde
der
Schadstoff
der
regionalen
Grundwassergeschwindigkeit folgen, hätte sich die Kontaminationsfahne innerhalb der letzten 15
Jahre bis zu 600m stromabwärts ausbreiten müssen. Tatsächlich wurden im Grundwasser z. B.
leichtflüchtige Kohlenwasserstoffe nur bis zu 40m vom Deponierand entfernt gemessen (Abb. 8.6).
Abb. 8.1: Geklüftete Tonsteine in einem Polder der Deponie MÜNCHEHAGEN (aus GEIßLER 1994)
In einer Reihe von Projekten wurde ein umfangreiches geowissenschaftliches
Erkundungsprogramm in der Lokation MÜNCHEHAGEN bestritten (DÖRHÖFER ET AL. 1994).
Zur Charakterisierung der Transporteigenschaften des Tonsteins wurde dabei hochwertiges
Datenmaterial bereitgestellt. Dazu zählen Diffusions- und Sorptionsversuche im Labor sowie
Markierungsversuche im Gelände (MAIER & DÖRHÖFER 1994, BERNHARDT 1994). Zur
Beobachtung des Schadstoffaustrags aus der Deponie wurden über 100 Grundwassermeßstellen
eingerichtet. Die für die hydrogeologische Modellierung relevante Datenbasis ist im Anhang
zusammengestellt.
In diesem Abschnitt wird das Phänomen der Matrixdiffusion bezüglich ihrer retardierenden
Wirkung bei der Schadstoffausbreitung im Tongestein näher diskutiert. Daneben besitzt Tonstein
aufgrund seiner hohen Matrixporosität eine beträchtliche Sorptionsfähigkeit. Matrixdiffusion und
Adsorption sind wirksame Rückhaltemechanismen, welche dem mobilen Grundwasser große
Schadstoffmengen entziehen können. Die feste Einlagerung von Kontaminanten in die
Gesteinsmatrix erweist sich allerdings bei Sanierungsmaßnahmen als hinderlich. Die
Barrierewirkung des Tonsteins bezüglich der Schadstoffmigration resultiert also nicht nur aus den
Dichtungseigenschaften der hydraulisch gering leitenden Formation, sondern auch aus den
Retardationseigenschaften durch die Aufnahmefähigkeit der Tonmatrix. Nur die hydraulische
Charakterisierung einer geologischen Barriere wäre nicht umfassend genug.
Die Auswertung des Migrationsverhaltens der verschiedenen konservativen und reaktiven
Testchemikalien ist sehr aufschlußreich für die Bewertung der einzelnen Transportmechanismen:
•
hydrodynamische Dispersion
Mikropartikel entsprechender Größe können kaum in die Matrix eindringen. Ihr Transport erfolgt im
wesentlichen advektiv-dispersiv. Durchbruchskurven von Mikropartikeln sind zur Eichung von
Dispersionslängen geeignet (Abb. 8.4).
•
Matrixdiffusion
Im Vergleich zur raschen Partikelpassage bleiben Nitrat- und Bromidtracer deutlich zurück (Abb.
8.4). Die unterschiedlichen Durchgangszeiten der Maxima resultieren aus der retardierenden
Wirkung der Matrixdiffusion. Typisch für die Matrixdiffusion ist ein langanhaltender
Konzentrationsnachlauf in der Durchbruchscharakteristik - das sog. tailing (Abb. 8.2).
•
Sorption
MAIER & DÖRHÖFER (1994) verwenden auch sorbierende Substanzen als Tracer. Der Vergleich
von Konzentrationsverlaufskurven konservativer Stoffe (Bromid) und reaktiver Substanzen (Uranin
und Benzoat) belegt, daß durch Adsorption eine zusätzliche Rückhaltewirkung hervorgerufen wird
(Abb. 8.2).
Abb. 8.2: Durchgangskurven und kumulative Wiedergewinnung von Bromid, Uranin und Benzoat im
Förderbrunnen (Aus MAIER & DÖRHÖFER 1994)
Modellierung
Zur Simulation des Stofftransports im Tonstein stehen eine Reihe von Modellansätzen zur
Verfügung (SCHNEIDER & GOUNER 1991, KOLDITZ 1994e, LEGE ET AL. 1995). Mit Hilfe eines
analytischen 1-D Advektions-Dispersions-Stromröhrenmodells nach OGATA & BANKS (1961)
(Tab. 6.3) studiert: LEGE (1995) den Einfluß von Porosität, hydraulischer Leitfähigkeit,
Dispersivität und Grundwasserabstandsgeschwindigkeit auf die Migrationslängen. Dabei wird
deutlich, daß der beobachtete Schadstoffaustrag im Grundwasserabstrom der Deponie nicht ohne
zusätzliche Rückhaltemechanismen erklärbar ist.
Abb. 8.3: Plan des Versuchsfeldes MÜNCHEHAGEN - Brunnenanordnung und Versuche (Aus
DÖRHÖFER & MAIER 1993)
•
Kalibrierung
Zur Modellkalibrierung verwenden MAIER& DÖRHÖFER (1994) und LEGE (1995) die im
unbelasteten Anstrombereich der Deponie durchgeführten Grundwassermarkierungsexperimente
Ib und II. Abb. 8.3 zeigt das Versuchsfeld bestehend aus zehn Bohrungen mit jeweils 20 m langen
Filterstrecken (5-25 m unter Gelände). Mit einer konstanten Förderrate von Q = 0.3 m3 h-1 wird ein
radialsymmetrisches Strömungsfeld erzeugt. Als Tracer werden Mikropartikel (Durchmesser ca. 2
µm), konservative (Natriumnitrat, Bromid) und sorbierende Substanzen (Uranin, Benzoat)
verwendet. In der ersten Versuchsreihe (I) erfolgt die Zugabe der Testsubstanzen einmalig,
während des zweiten Experiments (II) wird 14-tägig injiziert. Wichtig hinsichtlich der Bewertung
von Skalenabhängigkeiten in den Transportvorgängen ist, daß die Markierungsversuche in
unterschiedlich langen Versuchsstrecken stattfinden. Die Abstände zwischen den lnjektions- und
Entnahmebohrungen betragen 6 m für das Experiment Ib und 18 m für das Experiment II.
Abb. 8.4 und Abb. 8.5 zeigen Modellanpassungen der gemessenen Durchbruchskurven. Die
Modellparameter sind in Tab. 8.1 zusammengestellt.
Abb. 8.4: Vergleich der gemessenen und berechneten Durchbruchskurven von Mikropartikeln und
Nitrat (Versuch Ib) (aus MAIER & DÖRHÖFER 1994)
Die verwendeten Parallelkluft-Modelle sind in der Lage, die Durchgänge der Tracermaxima gut
wiederzugeben. Dies kann über die Steuerung der Abstandsgeschwindigkeiten erfolgen. Die freien
Modellparameter sind dann: effektive Kluftporosität und hydraulische Leitfähigkeit der Kluft.
Problematisch ist die genaue Anpassung der Flanken der Konzentrationsverlaufskurven. Hier
müssen Kompromisse gemacht werden. Bei vernachlässigbarer Matrixdiffusion (Partikelfiltration)
wird die Spreizung der Durchbruchskurven im wesentlichen durch die Dispersionslängen
bestimmt. MAIER & DÖRHÖFER (1994) eichen ihr Modell an der Nitratkurve des Versuchs Ib,
dafür kann der Partikeldurchgang nicht genau wiedergegeben werden (Abb. 8.4). LEGE (1995)
konzentriert seine Modelle auf die Simultane Reproduktion beider Versuchsreihen /Ib, II) mit
unterschiedlich langen Fließstrecken (Abb. 8.5)
Abb. 8.5: Vergleich der gemessenen und berechneten Durchbruchskurven von (a) Mikropartikeln
und (b) Bromid (Markierungsversuch II) (aus LEGE 1995).
Tab. 8.1: Modellparameter zur Anpassung der GW-Markierungsexperimente
•
Standortbetrachtungen.
Ausgehend von dem an Tracerversuchen kalibrierten Modell stellt LEGE (1995)
Langzeituntersuchungen für den Standort der Deponie MÜNCHEHAGEN an. Dabei geht es
zunächst um die Rekonstruktion des bisherigen Schadensverlaufs seit der Schließung der
Altdeponie im Jahr 1973.
Abb. 8.6 zeigt die im Juli/August 1992 gemessene Kontaminationsfahne. ,,AOX" ist dabei ein
Summenparameter, der verschiedene chlorierte Kohlenwasserstoffe zusammenfaßt (FRITZ ET
AL. 1994). Das Vorankommen der Schadstofffront in den letzten 20 Jahren kann mit Hilfe des
verwendeten Parallelkluft-Modells quantitativ gut wiedergegeben werden (Abb. 8.7). LEGE (1995)
präsentiert zwei Szenarien, die den möglichen Kontaminationsverlauf in den nächsten 100 Jahren
eingrenzen: (a) keine Sanierung und (b) Sanierung durch Entfernung des Müllkörpers. Abb. 8.8
demonstriert die Auswirkungen dieser Extremfälle anhand von Konzentrationsverlaufskurven in
verschiedenen Beobachtungspunkten.
Abb. 8.6: ,,AOX"-Verteilung im Grundwasserabstrom der Deponie MÜNCHEHAGEN (aus FRITZ ET
AL. 1994)
Abb. 8.7: Konzentrationsentwicklung im Grundwasserabstrom der Deponie entsprechend den
Szenarien (a) keine Sanierung und (b) Sanierung (Aus LEGE 1995)
Abb. 8.8: Konzentrationsentwicklung im Grundwasserabstrom der Deponie entsprechend den
Szenarien (a) keine Sanierung und (b) Sanierung (Aus LEGE 1995)
Die Modellstudien zum Deponiestandort MÜNCHEHAGEN haben interessante Ergebnisse
erbracht und werfen eine Reihe neuer Fragen auf (LEGE ET AL. 1995). Darüber hinaus liegt im
Ergebnis des beispielhaften Erkundungsprogramms ein hervorragender Datensatz bereit, der zu
weitergehenden Modellbetrachtungen ermutigt, um die komplexen Transportvorgänge im
geklüfteten Tongestein noch besser verstehen zu können:
•
Kanalisierungseffekte
Die in den Durchbruchskurven der Tracerexperimente beobachteten Mehrfachspitzen (,,multiplepeaks") sind ein Indiz für Kanalisierungseffekte, die durch Channeling-Modelle erfaßt werden
können.
•
Kluftnetzwerk-Modelle
Im Tonstein der Lokation MÜNCHEHAGEN wurden intensiv vernetzte Kluftsysteme detektiert
(GEIßLER 1994), die den Einsatz von Netzwerkmodellen auf den Plan rufen. Ein weiterer Hinweis
für die Notwendigkeit von Kluftnetzwerk-Modellen sind die unterschiedlichen hydraulischen
Leitfähigkeiten, welche für die Anpassungen der Tracerexperimente Ib und II notwendig sind. In
diesem Kontext stehen auch die ungewöhnlich großen Dispersionslängen der Parallelkluft-Modelle
zur Debatte, hinter denen sich u. U. Vermischungen im Kluftnetzwerk verbergen.
•
reaktive Prozesse im Grundwasser
Bislang erfolgte keine Interpretation von Durchbruchskurven sorbierenden Tracer. Die Labor- und
Feldmessungen von MAIER & DÖRHÖFER (1994) sind geeignet, um die Rolle von chemischen
Nichtgleichgewichtsprozessen bei der Schadstoffrückhaltung im geklüfteten Tonstein zu
untersuchen. Dabei könnte das Zusammenspiel von diffusiven (Matrixdiffusion) und reaktiven
Rückhaltemechanismen (Adsorption) näher studiert werden.
•
skalenübergreifende Modellbetrachtungen
Für die Lokation MÜNCHEHAGEN liegen Daten über Transportprozesse in verschiedenskaligen
Systemen
vor,
so
Diffusionszellenversuche
im
Zentimeterbereich,
Grundwassermarkierungsversuche im Meterbereich und Langzeitbeobachtungen im Zehner- bis
Hundertmeterbereich. Diese Meßergebnisse bieten sich an für skalenübergreifende
Modelluntersuchungen zum Zweck einer systematischen Äquivalenzbetrachtung (,,upscaling").
8.3 Fallbeispiel Königstein
Mit der Einstellung der Uranbergbaues und der Schließung der Grube Königstein sind hohe
Anforderungen an eine sachgerechte, technologisch abgesicherte und wissenschaftlich
begründete Sanierung gestellt. Das zentrale Problem stellt dabei die Flutung der Lagerstätte dar.
Für die favorisierten und alternativen Flutungsvarianten sind möglichst detaillierte Kenntnisse über
die räumliche und zeitliche Entwicklung der geohydrodynamischen und geochemischen Prozesse
sowohl im unmittelbaren Lagerstättenbereich als auch im Umfeld notwendig, um alle damit im
Zusammenhang stehenden kurz- und langfristigen ökologischen und ökonomischen
Konsequenzen sachgerecht beurteilen und geeignete technisch/technologische Maßnahmen
ableiten zu können (DIERSCH ET AL., 1995a).
Die Modellierung der Grundwasserströmungs- und Stofftransportprozesse ist für das
Gesamtvorhaben der Sanierung des Grubenstandortes Königstein von zentraler Bedeutung.
Dabei werden gesicherte Aussagen zur räumlichen und zeitlichen Verteilung der Schadstoffe im
dreidimensionalen Grundwasserleitersystem infolge der Flutung des Bergbaugebäudes erwartet.
Von besonderem Interesse sind dabei exponierte Bereiche und Meßpunkte, wie
Grundwasserentnahmestellen und Vorfluter. Andererseits soll die Stofftransportmodellierung die
Entwicklung des Flutungsmechanismus in der gefluteten Grube und im Kontrollstreckensystem
prognostizieren. Die Modelluntersuchungen beziehen sich dabei auf eine Reihe möglicher
Flutungsvarianten, woraus sich Empfehlungen zum Flutungsregime und zur Vervollständigung des
vorhandenen bzw. geplanten Überwachungssystems ableiten lassen.
Uranbergbaurevier Königstein
Die Grube Königstein und das dazugehörige Untersuchungsgebiet befindet sich am Südrand des
Bundeslandes Sachsen, südöstlich der Stadt Dresden im Raum Pirna - Bad Schandau. Das
gesamte Untersuchungsgebiet hat eine Ausdehnung von etwa 18 km x 17 km. Das Bergbaugebiet
Königstein liegt im südöstlichen Bereich des Pirnaer Senkungstroges, über dem Ablagerungen der
Kreidezeit sedimentiert wurden. Die Uranvererzung ist hauptsächlich an das Cenoman, der
ältesten Formation der Oberkreidezeit, gebunden. Das kristalline Fundament wird von den
Lausitzer Granodioriten des Unterkarbon und im Südteil aus dem Markersbacher Granit des
Permokarbon gebildet.
Mit Beginn der sechziger Jahre wurde das Gebiet Königstein auf seine Abbauwürdigkeit hin
untersucht. Im Jahre 1967 begann nach lnbetriebnahme der Schachtanlagen und Vorrichtung der
Lagerstätte der Uranerzabbau. 1984 erfolgte die Umstellung vom traditionellen Abbauverfahren
auf chemische Urangewinnung, d. h. die Herauslösung des Urans aus dem Gestein unter
Verwendung chemischer Reagenzien (Laugung). Als Haupttechologien kamen zur Anwendung:
(1) Blocklaugung unter Tage über Bohrlöcher im Anstehenden oder in Magazinen (durch
Sprengungen zerkleinertes Haufwerk), (2) Übertägige Haufenlaugung und (3) Schlammlaugung
der bei der Schachtwasserreinigung anfallenden Erzschlämme. Die chemische Gewinnung des
Uran erfolgte im schwefelsauren Milieu mit Konzentrationen von 2 bis .3 g/l Schwefelsäure.
Modellproblem
Eine Stofftransportmodellierung in der Grube und im Umgebungsbereich der Grube ist im
Spektrum zwischen komplexer geochemischer und geohydrodynamischer Modellierung
angesiedelt:
Methodologisch: Die Komplexität des zu modellierenden Systems ist nominell außerordentlich
groß. Für die einzelnen physikalischen und chemischen Prozesse sind sehr unterschiedliche
Raum- und Zeitdimensionen charakteristisch. Das System ist dreidimensional und instationär,
verfügt über diverse nichtlineare Abhängigkeiten, hervorgerufen durch die chemischen
Reaktionsbedingungen, die Existenz freier Oberflächen und Dichtekopplungseffekte, und es weist
erhebliche Parameterkontraste auf.
Parametrisch: Die Modellierungen müssen sich mit den experimentellen und in-situBeobachtungsmöglichkeiten im Einklang befinden. Die Reproduzierbarkeit von Modellergebnissen
im Makromaßstab des Untersuchungs- und Kontrollgebietes wird naturgemäß immer schwieriger,
je komplizierter die betrachteten Phänomene gestaltet sind. Für die Kontrolle und Steuerung der
Grubenflutung kommt es primär darauf an, die maßgebenden, vermeindlich kausal verstandenen
Effekte zu beobachten, ohne dabei lokale oder sekundäre Wirkungen außer acht zu lassen.
Mathematisch/Numerisch: Die mathematische Beherrschung und rechentechnische Realisierung
bedarf einer sinnvollen Dimensionierung des zu lösenden Problems. Bei der notwendigen
Berücksichtigung
sowohl
lokaler
(Grubeninnenbereich)
als
auch
regionaler
(Grubenumgebungsbereich) Einflüsse, der Modellierung maßgebender Kopplungswirkungen und
den Heterogenitätseigenschaften (multiplefreie Oberflächen, Dichteeffekte, Schichtenstruktur,
Grubenhohlraumbedingungen, Grenzschichten, geologische Störungen und Schwächezonen),
eingeschlossen die Instationarität der Prozesse, ergeben sich für die dreidimensionalen (3D)
Berechnungen hohe Anforderungen bezüglich der einzusetzenden numerischen Algorithmen
sowie der rechentechnischen Mittel und Ressourcen.
Basisdaten
Als Basisdaten wurden all jene Daten zusammengefaßt, die für die topographische,
hydrographische und hydrogeologische Beschreibung des Untersuchungsgebietes mit seiner
notwendigen Detailauflösung von Relevanz sind. Dabei bestand das Ziel, die Daten aus
unterschiedlichen Quellen und in unterschiedlichem Format (Karten, Pläne, Tabellen,
Eintragungen usw.) zusammenzuführen und in digitaler Form einheitlich zu fassen und zu
ergänzen. Diese Arbeiten basierten auf dem Geographischen Informationssystem (GIS)
ARC/INFO und ArcView (ESRI, 1994). Eine 3D-Visualisierung des umfangreichen GISDatenbestandes der Grube kann unmittelbar mittels des Systems DAVIS erfolgen (DIERSCH ET
AL., 1995c), siehe Abbildung 8.9.
Abb. 8.9: Strecken- und Laugungsblöcke der Grube Königstein (Ausschnitt)
Die so erstellte und weiter ausbaubare GIS-Datenbasis der Grube Königstein steht somit
vollständig neben und unabhängig von den numerischen Modellen. Dies ist von Vorteil in
verschiedener Hinsicht: (1) Detail- und Gebietsmodelle begründen sich auf einer einheitlichen
Datenbasis, (2) Modellvernetzungen in 3D (und 2D) können variabel gestaltet werden und (3)
Modelle mit unterschiedlichem Aufgabenschwerpunkt und numerischem Genauigkeitsanspruch
sind in vereinfachter Weise generierbar.
Modellbereiche
Die Bewertung von unterschiedlichen Untersuchungsmaßstäben ist für die Modellierung der
Transportprozesse im Nah- und Fernfeld der Grube Königstein von wesentlicher Bedeutung.
Insbesondere bedarf es der Klärung der zugrundeliegenden physiko-chemischen Wirkungen beim
Stoffübergang aus der gering- oder nichtdurchlässigen Gesteinsmatrix in die durchflossene,
transportwirksame Umgebung des weitverzweigten Strecken- und Hohlraumsystems der Grube.
Folgende Vorgehensweise bei der Modellierung wurde gewählt:
(A) Gruben-Detailmodelle: Berechnung und Untersuchung des Stoffaus- und -abtrages aus den
Gesteinsblöcken in das Flutungsmedium über die Strecken- und Schachtverbindungen in Variation
maßgebender Abhängigkeiten. Das Ziel besteht dabei, den Stofftransport innerhalb der Grube mit
guter Auflösung zu beschreiben, Abhängigkeiten zu quali- und quantifizieren und eine realistische
Quell/Senkenbeschreibung des Schadstoffes für die großräumigen Schadstoffuntersuchungen zu
begründen.
(B)
Gebietsmodelle:
3D-Berechnung
des
großräumigen
Stofftransportes
im
Grundwasserleitersystem unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus der GrubenDetailmodellierung und vorhandener Resultate der Gebietshydraulik. Von besonderer Bedeutung
ist dabei, eine hinreichend genaue Beschreibung der grubeninternen, aggregierten Prozesse in
das Gesamtmodell zu übernehmen, um den Stoffaustrag aus diesem Bereich und den Transport
des Schadstoffes im Abstrombereich für Langzeituntersuchungen ,,realistisch" zu erfassen.
Eine großmaßstäbliche Modellierung zur Analyse der Strömungs- und Transportprozesse, die
auch die Vorgänge im Grubenumfeld mit einschließt sowie hydrogeologische und
entwässerungstechnische Anhängigkeiten verfolgt, erfordert - mehr oder weniger - eine
Schematisierung und Aggregierung der detaillierten Bedingungen des Grubengebäudes mit
seinem Netzwerk von Strecken, Querschlägen, Überhauen, Laugungsblöcken, Magazinen und
Pfeilern. Eine detailtreuere, im Maßstab des Flutungsraumes ausgelegte Modellierung, bei der die
geometrischen und für die Strömungs- und Transportprozesse relevanten ,,inneren" Bedingungen
mit bestmöglicher Auflösung beschrieben werden können, tangiert die gebietsmaßstäblichen
Betrachtungen. Die Berechnungen erfolgten auf der Grundlage der Simulationssystems FEFLOW
(DIERSCH, 1994 und WASY, 1994).
Schadstofffreisetzung aus Laugungsblöcken
Eine Abschätzung der möglichen Strömungsgradienten im Flutungsraum der Grube führte auf eine
Hinterfragung der Prozesse, die für die Freisetzung von Schadstoffen aus Blöcken und Magazinen
verantwortlich sein können. Da nur sehr kleine horizontale Strömungsgradienten auftreten können
(im Bereich zwischen und maximal), ist der Anteil der erzwungenen Konvektion in den
schadstofftragenden Blöcken und Magazinen vernachlässigbar gering und Diffusionsprozesse
gewinnen Übergewicht, die eine sehr langsame Schadstofffreisetzung bedingen.
Ein ganz neuer Aspekt ergibt sich aber, wenn Dichteströmungswirkungen in die Betrachtung zur
Schadstofffreisetzung einbezogen werden. Die Abschätzungen ergaben, daß bereits bei
Konzentrationen von 1 g/l (Sulfat) sehr große Rayleigh-Zahlen in den Gesteinsblöcken
kennzeichnend sind und freie Konvektionsprozesse vorherrschen müssen. Untersuchungen an
Detailmodellen lassen erwarten, daß Dichtewirkungen sehr großen Einfluß auf den
Schadstoffaustrag aus Blöcken und Magazinen nehmen. Sie können gegenüber der rein diffusiven
Wirkung die Schadstofffreisetzungsrate um Größenordnungen übertreffen. Der geometrische
Einfluß des dichteinduzierten Schadstoffaustrages aus Blöcken erweist sich dabei als groß. So ist
damit zu rechnen, daß in Teilen der Grube die oberen Lagen in der Nähe offener Strecken und
Hohlräume durch den Gravitationseinfluß schneller freigesetzt werden, während tiefere Lagen sich
diesen Wirkungen zunehmend entziehen und der Schadstoff über einen sehr langen Zeitraum dort
fixiert bleibt, siehe Abbildung 8.10.
Abb. 8.10: Berechneter Schadstoffaustrag an einem Strecken-Blockkontaktbereich nach 30 Jahren,
3D-Dichteströmungsmodell mit 126 378 Knoten
Flutungsexperiment
Die numerische Simulation der Strömungs- und Stofftransportprozesse im Grubengebäude
orientierte sich auf einen Teilabschnitt der Grube, der bereits einer Flutung unterzogen wurde.
Dieses, als Flutungsexperiment bezeichnete Teilgebiet ist Gegenstand einer Modellierung mit
größerem Detailliertheitsgrad, vergleichende Untersuchungen und Modellverifizierungen an in-situ
gewonnenen Beobachtungsdaten vorzunehmen und das Verständnis der eingetretenen
Flutungsprozesse durch Nachrechnung verbessern zu helfen. Die Modelle des
Flutungsexperimentes besitzen dabei eine gute geometrische Abbildung der dreidimensionalen
Hohlraumgeometrie in Form von Strecken und vertikalen Verbindungen, eine gute Auflösung der
geometrischen und parametrischen Bedingungen für Blöcke und Magazinbereiche, eine
Nachbildung der Pfeiler und ihrer Dämme mit hoher Genauigkeit und eine detailgetreue Belegung
einer dreidimensionalen Schadstoffanfangsverteilung in Blöcken und Magazinen.
Die Abbildung 8.11 zeigt das verwendete Finite-Element-Modell und die damit erfaßte
Hauptstreckenhohlraumgeometrie für den Experimentalflutungsabschnitt der Grube Königstein.
Der Füllprozeß und die Schadstofffreisetzung werden anhand der berechneten
Wasserspiegellagen und Konzentrationsverteilungen in den Abbildung 8.12 dargestellt.
Abb. 8.11: (a) 3D-Finite-Element-Modell (89 130 Knoten) und (b) modellierte Hauptstreckengeometrie
für das Flutungsexperiment der Grube Königstein
Abb. 8.12: Berechnete hydraulische Höhe nach (a) 0,1 und (b) 365 Tagen nach Füllbeginn sowie
modellierte Schadstofffreisetzung nach (c) 0,1 und (d) 365 Tagen im Flutungsexperiment
Die Aufarbeitung des Flutungsexperimentes ermöglichte das Verständnis zur Modellierung von
durchflossenen Hohlräumen und von Wechselbeziehungen zwischen Hohlräumen und Gestein.
Mittels der Beobachtungswerte des Experimentes konnte die Möglichkeit und Sinnfälligkeit der
Modellierung der Grubenflutung direkt nachgewiesen werden. Die Simulationen liefern eine erste
Gesamtvorstellung über die im Flutungsexperiment herrschenden hydrodynamischen Prozesse
und führen zu einem besseren Verständnis der sich bei der Flutung einstellenden
Transportphänomene
im
Grubeninnenraum.
Die
in
der
Realität
beobachteten
Wasserspiegelanstiegskurven und Schadstoffdurchbruchsrelationen am Beispiel von S04 konnten
am Modell nachvollzogen werden.
Flutungsszenarien und Prognose der großräumigen Schadstoffentwicklung
Gegenstand der großräumigen Schadstoffmodellierung war die Untersuchung von verschiedenen
ausgewählten Varianten zur Flutung des Grubengebäudes. Als Ausgangspunkt für die
Modellierung wurde der heutige Zustand der Grube betrachtet, d. h. der untere Grundwasserleiter
ist im Bereich der Grube fast vollständig entwässert, und im oberen Grundwasserleiter hat sich
infolgedessen ein Absenkungstrichter ausgebildet. Im Zuge der Sanierung soll nun die Grube
,,abgeworfen" werden: Die Einleitung des Prozesses der eigentlichen Grubenflutung, indem das
Grubengebäude mit Wasser gefüllt wird. Dabei stehen unterschiedliche technologische Varianten
zur Diskussion. Mit einem verfeinerten Grundwasserströmungs- und -transportmodell sind die
Verhältnisse auf Grund der sich durch das Abwerfen der Grube verändernden hydraulischen
Bedingungen zu untersuchen mit dem Ziel,
die möglicherweise negativen Einflüsse auf die Grundwasserleiter und auf vorhandene
Wasserfassungen abzuschätzen,
verschiedene Flutungsvarianten zu vergleichen und
sensible Bereiche erkennen zu helfen, um Kontroll- und Steuerstrategien für die Sanierung darauf
abstimmen zu können.
Ein großräumiges Strömungs- und Transportmodell wurde aufgebaut, das sowohl die Prozesse im
Grubeninnenraum als auch im Grubenumgebungsbereich mit guter Auflösung abzubilden in der
Lage ist. Die Fläche des gesamten Modellgebietes beträgt dabei ca. 192 km2. Eine dichte
Vernetzung wurde im Grubenraum gewählt, um die relativ schmalen Geometrien der Strecken und
Störungszonen hinreichend genau zu beschreiben. Das Modell führte auf ca. 320 000
dreiecksprismatische finite Elemente, wie in Abbildung 8.13 dargestellt ist.
Abb. 8.13: Großräumiges Finite-Element-Modell der Grube Königstein (315 305 Pentaeder-Elemente,
169 520 Knoten)
Besonderheiten der Modellierung des Flutungsvorganges bestehen darin, daß zum einen die
Prozeßdynamik durch die Existenz von zwei freien Oberflächen wesentlich geprägt ist. Auf der
anderen Seite ist die Schadstofffreisetzung im Grubenraum mit dem Anstieg des
Füllwasserspiegels verbunden. Die hierfür notwendigen numerischen Techniken werden in
DIERSCH ET AL. (1995a) und (1995b) näher beschrieben und diskutiert. Abb. 8.14 zeigt eine so
berechnete Schadstoffausbreitung
im dreidimensionalen Grubenraum
nach einem
prognostizierten Zeitraum von 3 Jahren seit Flutungsbeginn.
Abb. 8.14: Berechnete dreidimensionale Schadstoffverteilung im Grubenbereich nach drei Jahren
seit Beginn der Flutung
Die
erzielten
Modellierungsergebnisse
erlauben,
das
Verständnis
der
schadstofftransportwirksamen Phänomene im Grubengebäude zu verbessern, die dominanten
Transportwirkungen in der Grube und im Grubenumfeld im Wechselspiel der konvektiven,
dispersiven und chemischen Einflüsse zu bewerten, die Möglichkeiten und Grenzen der
Nachrechnung von in-situ-Beobachtungen für die komplexen Strömungs- und Transportprozesse
der Grube aufzuzeigen (Flutungsexperiment), die hydraulische Wirkungsweise des entworfenen
Kontrollstreckensystems nachzuweisen und die derzeitigen Sanierungsstrategien zu untermauern
sowie eine Gefährdungs- und Schadstoffeinflußabschätzung des Grundwassers im
Umgebungsbereich der Grube Königstein in einer Langzeitprognose vorzunehmen.
Aus der Sicht der vorliegenden Ausarbeitung ist von besonderem Interesse, wie das
Grubengebäude im Modell als Hohlraumsystem nachgebildet wurde. Hierzu wurden zwei
unterschiedliche Ansätze gewählt.
Für Gruben-Detailmodelle, z. B. das Modell des Flutungsexperiments, wurde eine Diskretisierung
verwendet, die eine hinreichend genaue Abbildung der Strecken als Hohlräume im Modell zuließ.
Hierzu wurden vierecksprismatische Hexaederelemente gewählt. Der Porosität im Modell wurde
entsprechend dem Hohlraumvolumen der Strecken angepaßt. Die Strömung in den Strecken
wurde vereinfacht über das lineare Darcy-Fließgesetz, mit entsprechend modifizierten
Durchlässigkeiten, modelliert.
Für das Gebietsmodell wurden die Wirkungen der Streckensysteme hydraulisch abgeschätzt.
Unter Verwendung der Formel von Colebrook und White wurden Druckverluste in
Streckenabschnitten berechnet. Diese wiederum dienten der Abschätzung repräsentativer
Durchlässigkeitsbeiwerte bei Ansatz eines linearen Fließgesetzes. Aus diesen Durchlässigkeiten
und den Gebirgsdurchlässigkeiten wurden repräsentative Mischdurchlässigkeiten für die finiten
Elemente (Dreiecknetz) ermittelt. Entsprechend wurden mittlere Porositäten für die Elemente aus
dem Hohlraumvolumen und der Gebirgsporosität bestimmt.
Die durchgeführten Modelltests und -verifizierungen haben die Anwendbarkeit dieses Konzeptes
bestätigt. Verbesserungen sind erreichbar, wenn die Streckensysteme als hydraulische Systeme
mit nichtlinearem Fließgesetz nachgebildet werden. Eine entsprechende Weiterentwicklung von
FEFLOW ist in Vorbereitung.
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10. Symbolverzeichnis
b
[m]
- halbe Kluftöffnungsweite
B
[m]
- halber Kluftabstand
c
[J kg-1 K-1]
- spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
[kg m-3]
- Volumenkonzentration der maßgeblichen chem. Spezies in der
α-Phase
kg m-3]
- Volumenkonzentration der k-ten Komponente in der α-Phase
Cr
[1]
- COURANT-Zahl
cp
[J m-3 K-1]
- volumenbezogene Wärmekapazität
d
[m]
- Oberflächenrauhigkeit
2
-1
[m s ]
- hydrodynamischer Dispersionstensor
[m2 s-1]
- mechanischer Dispersionstensor
Dm
[m2 s-1]
- molekulare Diffusionskonstante
Dnum
[m2 s-1]
- numerische Dispersion
D*
[m2 s-1]
-1
E
- effektive Diffusionskonstante
-1
[J m s K ]
- Thermodispersionstensor
[Pa]
- EIastizitätsmodul
f, F
Fo
-1
- Originalfunktion LAPLACE-Transformierte
[1]
- NEUMANN-Zahl
-2
[m s ]
- Gravitationsbeschleunigung
h
[m]
- hydraulische Druckhöhe (Piezometerhöhe)
imp
[Pa s m-3]
- hydraulische lmpedanz
- diffusiver Strom
- absoluter Strom
[m2]
- Permeabilitätstensor
[m s-1]
- hydraulischen Leitfähigkeitstensor
[m3 kg-1]
- Verteilungskoeffizient
[m]
- charakteristische Elementlänge
L
[-]
- Differentialoperator
M
[m]
- Aquifermächtigkeit
ne
[1]
- nutzbare (effektive) Porosität (Volumenanteil des mobilen
Porenwassers)
KD
n
[1]
- totale Porosität (Hohlraumvolumenanteil)
[1]
- Außennormalenvektor
N
[1]
- Auftriebsverhältniszahl
p
[Pa]
- Druck (Normalspannung)
Pe
[1]
- PECLET-Zahl
Pg
[1]
- Element- oder Gitter-PECLET-Zahl
[m s-1]
- Filtergeschwindigkeit
R
[1]
- Retardationsfaktor
-3
-1
[kg m s ]
- makroskopische chemische Reaktionsrate der k-ten Komponente
[kg m-3 s-1]
- intraphasige chemische Reaktionsrate der k-ten Komponente
[kg m-3 s-1]
- interphasige chemische Reaktionsrate der k-ten Komponente
Ra
[1]
- RAYLEIGH-Zahl
Re
[1]
- RAYNOLDS-Zahl
S
[s-1]
- LAPLACE-Variable
S
[1]
- Speicherkoeffizient
Ss, S0
t1/2
-1
[m ]
- spezifischer Speicherkoeffizient
[s]
- Zeitkoordinate bzw. Zeitschrittweite
[s]
- Halbwertszeit einer chemischen Substanz
- Transportgröße
T
T
[m2 s-1]
- Transmissivität
T
[K]
- Temperatur
[m s-1]
- (mittlere) mikroskopische Geschwindigkeit
(Abstandsgeschwindigkeit)
[m3]
- Volumen
[m]
- Ortsvektor (karthesische Ortskoordinaten)
[m]
- Gitterweiten in die entsprechenden Koordinatenrichtungen
[Pa-1]
- isothermer Kompressibilitätskoeffizient eines Festkörpers
[T-1]
- isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient eines Festkörpers
[m]
- Dispersivitätstensor einer chem. Spezies
[m]
- longitudinale und transversale Dispersionslängen einer chem.
Spezies
[m3 kg-1]
- Massendichteverhälzniszahl
V
µ
[Pa-1]
- isothermer Kompressibilitatskoeffizient eines Fluids
[T-1]
- isobarer Wärmeausdehnungskoeffizient eines Fluids
[1]
- Einheitstensor
[1]
- lmpedanzfaktor
[1]
- Abbruchfehler
[1]
- Zeitwichtungsfaktor
[m2 s-1]
- Temperaturleitfähigkeit
[s-1]
- Abbaurate einer chemischen Substanz
[1]
- hydraulischer Widerstandsbeiwert
[W m-1 K-1]
- Wärmeleitfähigkeitstensor
[1]
- Eigenwerttensor
[Pa s]
- Scher- oder dynamische Viskosität
[kg m-3]
- Massendichtefunktion, Phasendichte
[Pa]
- Spannungstensor
[1]
- Konzentrationsmassenfraktion
Exponenten, Indizes
- physikalische Größe der festen bzw. der wäßrigen Phase
- Koordinatenprojektionen einer Größe
- Referenzgröße
spezielle Symbole
- Laplace-Operator
- diskrete Schrittweite (Ort, Zeit)
- 3-D Nabla-Operator:
- 2-D Nabla-Operator:
.
,:
|...|
- Vektorprodukt, Tensorprodukt
- Betrag einer Größe
- diskrete Approximation
Anlage I-1
Benchmarks und Beispiele
Testbeispiele für die numerische Grundwassersimulation
(Übersetzung des Originals aus dem Englischen)
FEFLOW-Beispiele:
1. Aufgabenstellung nach Ogata & Banks (1961):
1-D advektiv-dispersiv-reaktiver Transport
Aufgabenstellung nach Tang et al. (1981):
Matrixdiffusion im Kluftgestein
Aufgabenstellung nach Henry (1964):
Salzwasserintrusion
Quelle:
KOLDITZ, O. (1994): Benchmarks and examples for numerical groundwater simulations. - In:
Diersch H.-J., FEFLOW Manual, WASY - Gesellschaft für wasserwirtschaftliche Planung und
Systemforschung, Berlin.
1 Ogata & Banks' Problem: 1-D Advektion-Dispersion-ZerfalI
1.1 Problembeschreibung
Abbildung 1.1 zeigt die typische Feldsituation, die die Reduktion der Dimensionalität auf ein 1-D
Problem erlaubt.
Abb. 1.1: Typische Feldsituationen für die Anwendung von 1-D-Modellen (Sauty, 1980; Kinzelbach,
1992)
1.2 Annahmen
Die folgenden Annahmen müssen eingeführt werden, um eine analytische Lösung zu erhalten:
Grundwasserleiter: gespannt, unendlich ausgedehnt, homogen, isotrop, konstante Mächtigkeit,
horizontale Piezometeroberfläche
Brunnengalerie:
eindimensional
konstante
Entnahmerate,
Brunnen
erfaßt
die
1.3 Modellgleichungen
Die bestimmenden Modellgleichungen des untersuchten Problems sind:
(1.1)
Anfangsbedingung:
C(0,x) = 0 (1.2)
Randbedingungen:
(1.3)
mit:
Tabelle 1.1: Modellparameter
Symbol
Name
Einheit
c
Kontaminant-Konzentration
ML-3
Dd
molekularer
Diffusionskoeffizient
L2T-1
Scheidegger-Bear
hydrodynamischer
Dispersionstensor
L2T-1
Spezifischer Darcy-Fluß
LT-1
Retardationsfaktor
1
Halbwertszeit des
radioaktiven Zerfalls
T
t1/2
gesamte
Mächtigkeit,
X
Filtergeschwindigkeit
LT-1
Koordinate
L
Koeffizient der longitudinalen
Dispersivität
L
Henry Sorptionskoeffizient
1
Konzentrationszerfallrate
T-1
kinematische Porosität
1
1.4 Analytische Lösung
Die analytische Lösung von Gl. (1.1) mit den Bedingungen (1.2) und (1.3) nach Ogata & Banks
(1961 ) ist folgende:
(1.4)
mit:
Fehlerfunktion:
(1.5)
(1.6)
Vernachlässigt man den Zerfallseffekt, λ=0, γ=1, vereinfacht sich die Gl. (1.6) zu:
(1.7)
Betrachtet man die Migration eines idealen Tracers können wir R =1 verwenden.
Zur Bestimmung des Langzeitverhaltens gilt die Limesrelation:
(1.8)
und die Gl. (1.4) reduziert sich zu:
(1.9)
1.5 Numerische Lösung
Die Abbildung 1.2 zeigt das Finite-Element-Gitter, das für die numerische Analyse verwendet
wurde.
Abb. 1.2: Finite-Element-Gitter
Tabelle 1.2: Parameter
Parameter
FEFLOW
Stationäre Strömung
Strömungsrandbedingungen
- konstantes Potential am Injektionspunkt
h (t,x=0m) = 0
- konstanter Fluß an der äußeren Berandung
Q(t,x=100m) = 0.1 m2d-1
Strömungsparameter
- Transmissivität
T=1.0[x10-4]m2s-1
Instationärer Transport
Transportanfangsbedingungen
- homogene Konzentration
c(0,x) = 0
Transportrandbedingungen
- konstante Konzentration am Injektionspunkt
c(t,0) = c0
Transportparameter
- Aquiferdicke
M = 1m
- Porosität
= n 0.2
- Sorptionskoeffizient
= 0, deshalb, R = 0.2
- Molekulare Diffusion
- longitudinale, transversale Dispersivität
- Zerfallsrate
Dd = 0 [10-9 m2s-1]
= 5m
= 0.002 x [10-4s-1]
FEM
- Gitter
Abbildung 1.2
- Zeitschrittregime
Konstant: dt = 0.1-1d
- Gleichungslöser
PCG (ORTHOMIN)
1.6 Ergebnisse
Die Abbildung 1.3 und Tabelle 1.3 zeigen den Vergleich der analytisch und numerisch
berechneten Durchbruchkurven der Kontamination zu unterschiedlichen Zeitpunkten einschließlich
der Transportmechanismen gemäß Gl. (1.1). Es wurde eine sehr gute Übereinstimmung von
analytischer Lösung und numerischen Ergebnissen erreicht.
Abb. 1.3: Berechnete Durchbruchkurven (Advektion-Dispersions-Zerfall)
Tabelle 1.3: Vergleich der analytischen und numerischen Ergebnisse
Die Abbildung 1.4 und Tabelle 1.4 zeigen der Vergleich der analytisch und numerisch berechneten
Durchbruchkurven der Kontamination zu unterschiedlichen Zeitpunkten ausschließlich Zerfall
gemäß Gl. (1.7). Für Langzeitberechnungen ist es schwierig den zweiten Term in Gl. (1.1) mit
hinreichender Genauigkeit unter Verwendung von Reihenapproximationen zu berechnen. Deshalb
verwenden wir assymptotische Lösungen entsprechend Gl. (1.9), die gering vom der numerischen
Lösung abweichen.
Abb. 1.4: Berechnete Durchbruchkurven (ohne Zerfall)
Tabelle 1.4: Berechnete Durchbruchkurven (ohne Zerfall)
1.7 Referenzen
/1/
Kinzelbach, W. (1992) Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen im
Grundwasser.- R. Oldenbourg Verlag, 2. Auflage, ISBN 3486-26347-1.
/2/
Ogata, A. & Banks, R. B. (1961) A solution of the differential equation of longitudinal dispersion in
porous media.- Professional paper No. 41 1-A, United States geological Survey.
/3/
Sauty, J. P. (1980) An analysis of hydrodispersive transfer in aquifers.- Water Resources Research,
16(1): 14~158.
2 Tang et al.'s Problem: Matrix Diffusion in klüftig-porösen
Medien
2.1 Problembeschreibung
In diesem Beispiel sollen Prozesse beschrieben werden, die für den Transport gelöster Stoffe in
klüftigen Medien bedeutsam sind. Die Rolle der Diffusion beim. Transport gelöster Stoffe durch
geologische Medien wurde in vielen Forschungsbereichen erkannt. Grisack & Pickens (1980)
berichten, daß die quantitative Analyse des gelösten Transportes durch Klüfte mit Diffusion in eine
poröse Matrix in unterschiedlichem hydrogeologischem Kontext betrachtet werden kann. Das
schließt ein: Grundwasserneubildung und daran gebundener Stofftransport zum Grundwasser,
Grundwasserchemie, sekundäre Kluftmineralogie und Matrixdiagenese in klüftigen Medien,
Kontaminant Transport, Tracertest, Grundwasseraltersbestimmung und Erzablagerungen in
hydrodynamischen Systemen.
Abbildung 2.1 zeigt eine Skizze der berücksichtigten Aquifersituation zur Untersuchung des
Stofftransports entlang einer diskreten Kluft in einem gesättigten porösen Gestein.
Abb. 2.1: Schematische Skizze eines Kluft-Matrix-Systems (Abbildung von Tang et al., 1981)
2.2 Annahmen
Die folgenden Annahmen werden bezüglich der geometrischen und hydrauIischen Eigenschaften
des Kluft-Matrix-Systems eingeführt:
Kluft: fest, konstante Dicke, Breite << Länge, komplette Vermischung quer zur Kluft durch
transversale Diffusion und Dispersion
Matrix: Durchlässigkeit ist vernachlässigbar
Kluftströmung: Konstante Speisungsrate, eindimensionale Strömung
Die folgenden Transportmechanismen werden berücksichtigt:
Kluft: Advektion, longitudinale mechanische Dispersion, molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall
Kluftmatrix: molekulare Diffusion von der Kluft in die Matrix, Adsorption auf der Kluftoberfläche
Matrix: Adsorption, molekulare Diffusion, radioaktiver Zerfall.
2.3 Modellgleichungen
Die bestimmenden Modellgleichungen der Massenbilanz des Kontaminanten in der Kluftdomäne
(0 <-y < b) sind:
(2.1)
mit den folgenden Anfangs- und Randbedingungen:
(2.2)
Die Bestimmungsgleichung für die Matrix
ist:
(2.3)
mit den folgenden Anfangs- und Randbedingungen:
(2.4)
mit den folgenden Parametern:
Tabelle 2.1: Modellparameter
Symbol
Name
Einheit
b
Halbe Kluftweite
L
C
Kontaminat Konzentration
ML-3
Dd
Molekularer Diffusionskoeffizient
L2T-1
Scheidegger-Bear hydrodynamischer
Dispersionstensor für die Kluft
L2T-1
Scheidegger-Bear hydrodynamischer
Dispersionstensor für die Matrix
L2T-1
Kf
Verteilungskoeffizient für die Kluft
L
Km
Verteilungskoeffizient für die Matrix
L
qx = q
Spezifischer Darcy-Fluß
LT-1
Retardationsfaktor für die Kluft
1
Retardationsfaktor für die Matrix
1
Halbwertszeit
T
Porengeschwindigkeit
LT-1
x
Koordinate entlang der Kluft
L
y
Koordinate senkrecht zur Kluft
L
Koeffizient der longitudinalen Dispersivität
L
Kinematische Porosität
1
Zerfallsrate
T-1
t1/2
hochgestellt '
Kenngröße der Matrix
2.4 Analytische Lösung
Generelle transiente Lösung
Die generelle Lösung des gekoppelten Systems der Gleichung (2.1 - 2.4) wurde bei Tang et al.
(1981) unter Verwendung der Laplace-Transformation abgeleitet. Die Lösung nimmt die Form
eines Integrals an, welches mittels numerischer Quadratur (Tang et al. Verwendet die GaußQuadratur) ausgewertet werden muß.
Transiente Lösung unter Vernachlässigung der Dispersion in der Kluft
Vernachlässigt man die Dispersion in der Kluft D = 0, kann eine einfachere Lösung erhalten
werden.
Kontaminantverteilung in der Kluft:
(2.5)
Kontaminantverteilung in der Matrix:
(2.6)
Stationäre Lösung
Eine andere vereinfachte Lösung ist verfügbar für stationäre Bedingungen, wenn angenommen
wird, daß
ist.
Stationäre Kontaminantverteilung in der Kluft:
(2.7)
Stationäre Kontaminantverteilung in der Matrix:
(2.8)
Eine stationäre Lösung ist sehr nützlich für die Vorhersage endgültiger Ausbreitungsdistanzen.
2.5 Numerische Analyse (FEM)
Die Abbildung 2.2 zeigt das Finite-Element-Gitter für die numerische Analyse.
Abb. 2.2: Finite-Element-Gitter
Tabelle 2.2: FEFLOW Parameter
Parameter
FEFLOW
stationäre Strömung
Strömungsanfangsbedingungen
h(o,x,y) = 0m
Strömungsrandbedingungen
- Fluß am linken Klufteingang
q(t,0,y<b) = 0.75 md-1
- Konstantes Potential am rechten Kluftausgang h(t,x=3m,y<b) = 0
Strömungsparameter
- Klufttransmissivität
T = 1 [x10-4] m2s-1
- Gesteinstransmissivität
T' = 0 [x10-4] m2s-1
instationärer Transport
Transportanfangsbedingungen
- homogene Konzentration
Transportrandbedingungen
c(0,x,y) = 0
- konstante Konzentration am linken
Klufteingang
c(t,0,y<b) = c0
- keine Strömung am rechten Kluftausgang
- keine Strömung an der Matrixberandung
Transportparameter
- Aquiferdicke
M = 1m
- Porosität
- Sorptionskoeffizient
deshalb, R = R' = 1
- molekulare Diffusivität
Dd = 0 [10-9 m2s-1]
D'd = 0.1 - 0.00001 [10-9 m2s-1]
- longitudinale, transversale Dispersivität
- Zerfallsrate
FEM
- Gitter (vgl. Abb. 2.2)
Np = 2562, ne = 2460
∆xmin = 6 10-2m, ∆ymin = 6 10-5m
- Zeitschrittregime
- Gleichungslöser
konstant:
direkt PCG (ORTHOMIN)
2.6 Ergebnisse
Die folgenden Abbildungen illustrieren den Effekt der Matrixdiffusion auf die
Konzentrationsverteilung in der Kluft resultierend aus der permanenten Kontamination am linken
Klufteingang. Das verwendete Spektrum der Diffusionskoeffizienten ist repräsentativ für die
meisten geologischen Medien.
Abbildung 2.3 zeigt die analytischen Profile von Tang et al. (1981) und numerische Profile von
Grisack & Pickens (1980) für eine Berechnungszeit von 14 Tagen In Abhängigkeit von den
Diffusionswerten verteilen sich die möglichen Konzentrationsprofile über das gesamte Spektrum.
Abbildung 2.4 zeigt die entsprechenden FEFLOW Ergebnisse.
Abb. 2.3: Effekt der Matrixdiffusion auf Konzentrationsprofile in den Klüften (Abbildung von Tang et
al., 1981)
Abb. 2.4: Effekt der Matrixdiffusion auf Konzentrationsprofile in der Kluft - FEFLOW Ergebnisse im
Vergleich mit analytischen Lösungen von Tang et al., 1981
Abb. 2.5: Effekt der Matrixdiffusion auf den zeitlichen Lösungsdurchbruch bei einer Distanz von 0,76
m vom Quellpunkt (Abbildung von Tang et al.,1981)
Abb. 2.6: Effekt der Matrixdiffusion auf den zeitlichen Lösungsdurchbruch bei einer Distanz von 0,76
m vom Quellpunkt, FEFLOW Ergebnisse verglichen mit den analytischen Lösungen von Tang et al.,
1981
Abbildung 2.5 zeigt die analytischen und numerischen Konzentrationskurven bei einer Distanz von
0,76 m von der Kontaminationsquelle für unterschiedliche Werte der Matrixdiffusion nach Tang et
al. (1981) beziehungsweise Grisack & Pickens (1980). Besonders im mittleren Bereich der
Diffusionswerte treten bemerkenswerte Unterschiede in den Durchbruchkurven auf, die aus der
unzureichenden Diskretisierung nahe der Kluft resultieren
Bild 2.6 zeigt die zeitlichen Durchbruchkurven für den gleichen Fall berechnet mit FEFLOW.
Zunächst wird der Effekt des parabolischen Geschwindigkeitsprofils demonstriert, y=0
korrespondiert zum Kluftzentrum, y=b entspricht der Kluftoberfläche. Für große MatrixDiffusivitäten sind die Konzentrationswerte an der Kluftoberfläche und im Kluftzentrum (Gebiet
maximaler Geschwindigkeit) identisch. Verringerung des Einfluß der Matrixdiffusion bedeutet ein
Differenzierung zwischen der Konzentration am Kluftzentrum und an der Kluftoberfläche. Die
Konzentrationswerte differieren um bis zu 5%. Die FEFLOW Ergebnisse für das Kluftzentrum,
unter Verwendung des FE-Gitters gemäß Abbildung 2.2 stimmen gut mit den analytischen
Lösungen von Tang et al. (1981) überein, die auf dem Konzept einer mittleren Geschwindigkeit in
Kluft beruhen.
2.7 Referenzen
/1/
Grisack, G. E. & Pickens, J. F. (1980) Solute transport through fractured media: 1. The effect of matrix
diffusion.- Water Resources Research, 16(4): 719-730.
/2/
Tang, D. H. & Frind E. 0. & Sudicky. E. A. (1981) Contaminant transport in fractured porous media:
Analytical solution for a single fracture.- Water Resources Research, 17(3): 55~564
3 Henry's Problem
Henry's Problem beschreibt das Vordringen einer Salzwasserfront in einem gespannten
Grundwasserleiter der im Ausgangszustand mit nichtkontaminiertem Frischwasser gefüllt ist.
Henry (1964) entwickelte eine Lösungstechnik für dieses Problem, die die stationäre
Kontaminationsverteilung bestimmt. Dabei wird die Boussinesq-Approximation verwendet, die die
Existenz von Stromfunktionen voraussetzt.
Henry (1964) erhält analytische Beziehungen für die Stromfunktion und die Konzentration in Form
von Fourier-Reihen. Die resultierenden algebraischen Gleichungen für die Koeffizienten der
Fourier-Reihen müssen mittels numerischer Techniken bestimmt werden. Das ,,Mysterium" von
Henry's Lösung ist, daß bis heute kein numerisches Modell eng an Henry's semianalytische
Lösung herangekommen ist (Segol, 1994). Dennoch, aufgrund des Fehlens jeglicher
nichtnumerischer Technik für diese Art von nichtlinearen Problemen, wurde Henry's Lösung zum
Standardtest von Grundwassermodellen mit variabler Dichte.
3.1 Problembeschreibung
Der idealisierte Grundwasserleiter für die Simulation von Henry's Problem ist in Abbildung 3.1
dargestellt. Die Strömungsrandbedingungen sind durch undurchlässige Randbedingungen.
entlang der Sohle und der Deckschicht gekennzeichnet. Der Grundwasserleiter wird mit einem
konstanten Fluß von Frischwasser gespeist. Auf der ,,lnland"-Seite ist die Konzentration null, was
Frischwasser entspricht. Auf der ,,Küsten"-Seite ist die Konzentration von Salzwasser gesetzt
(Abbildung 3.1).
Abb. 3.1: Definition des Henry's Problem (Abb. von Kröhn 1991)
Das stationäre Strömungsmuster und die Konzentrationsverteilung nach Henry (1964) sind in den
Abbildungen 3.2 und 3.3 gezeigt. Zusätzlich sind die Lösungen für das scharfe Interface (GhybenHerzberg Interface) auf den Konzentrationsgleichen überlagert.
Abb. 3.2: Stromfunktion nach Henry's semianalytischer Lösung (Abb. von Henry, 1964)
Abb. 3.3: Konzentrationsverteilung nach Henry's semianalytischer Lösung (Abb. von Henry, 1964)
Dichte der Lösungen
Tab. 3.1 gibt die Größen wieder, die für die Beschreibung der dichteabhängigen Strömung
verwendet
werden:
Massendichte,
Massenkonzentration
und
Massenanteil.
Die
3
Massenkonzentration entspricht der Masse der Spezies (Wasser oder Salz) per m Lösung. Die
Werte korrespondieren zur angenommenen Situation einer Seewasserintrusion.
Tabelle 3.1: Dichte, Konzentration, Massenanteil
Massendichte
Massenkonzentration
Wasser
Cw = 988.389 kg m-3
Salz
Cs = 36.592 kg m-3
Salzlösung
Ch = 1024.99 kg m-3
Massenanteil
Die variierende Dichte der Lösung, abhängig vom Gehalt an gelöstem Salz, wird beschrieben
durch die Gleichung,
(3.1)
Die Dichtevariationen der verschiedenen Lösungen (Wasser und Salz) sind in Abbildung 3.4
weiter illustriert. Je mehr Salz gelöst ist, desto weniger Wasser ist in einem Kubikmeter Lösung
enthalten.
Abb. 3.4: Massenkonzentration von Salz, Wasser und Lösung
Um die Abhängigkeit der Lösungsdichte vom Salzgehalt zu beschreiben, wird häufig eine lineare
Funktion verwendet,
(3.2)
die auf Taylor-Reihen Approximationen beruht,
(3.3)
Der Dichteverhältniskoeffizient
muß deshalb zur erhaltenden Masse korrespondieren,
entweder zur Massenkonzentration, zum Massenanteil oder deren normierte Größen.
3.2 Modellgleichungen
Nachfolgend werden die grundlegenden Gleichungen für Salzwasserintrusionsprobleme kurz
zusammengestellt. Für transiente Strömungsprobleme ist die Fluid-Massenbilanz:
(3.4)
Setzt man die Beziehung für den spezifischen Durchfluß an, ergibt sich
(3.5)
Für stationäre Strömung vereinfacht sich Gl. (3.4) zu,
(3.6)
Die Kontinuitätsgleichung der Salzkonzentration ist
(3.7)
das Darcy-Gesetz formuliert die Bilanz des linearen Moments als
(3.8)
Die folgende Tabelle stellt die Modellparameter und ihre in der vorliegenden Studie verwendeten
Werte zusammen.
Tabelle 3.2: Modellparameter
3.3 Numerische Analyse
Die Abbildungen 3.5 und 3.6 zeigen die Finite-Element-Gitter für die nachfolgenden
Berechnungen. Das grobe Gitter A entspricht dem häufig in der Literatur für Verifikationszwecke
verwendetem Gitter. Jedoch erzeugt dieses Gitter viel numerische Dispersion wegen der GitterPecletzahl von 20. Das feinere Gitter B wird angewendet, um genauere Ergebnisse zu erzielen.
Abb. 3.5: Finite-Element-Gitter A (Finite Element ne = 200, Knotenpunkte np = 231)
Abb. 3.6: Finite-Element-Gitter B (Finite Element ne = 500, Knotenpunkte np = 5151)
Tabelle 3.3 Simulationsparameter
3.4 Ergebnisse und Diskussion
Zunächst vergleichen wir unsere Ergebnisse mit bisherigen Ergebnissen von Voss & Souza (1987)
und Galeati et al. (1992), erhalten mit dem groben Netz. Die Abb. 3.7 a-c zeigt die normalisierte
Salzkonzentration für unterschiedliche Dispersionsmodelle.
Abb. 3.7: a-c Lage von Konzentrationsgleichen beim Gleichgewicht (grobes Netz)
(a) Konst. Dispersion Dd = 6.6 x 10-6 m2s-1,
(b) Konst. Dispersion Dd = 18.86 x 10-6 m2s-1, und
(c) geschwindigkeitsabhängige Dispersion
Deckschicht);
linke Seite: FEFLOW Ergebnisse,
(von der Sohle zur
rechte Seite: (a) + (b) Voss & Souza (1987), (c) Galeati et al. (1992)
Die berechnete Ausbreitung der Konzentrationsgleichen im Grundwasserleiter stimmt sehr gut
überein. Einige kleine Unterschiede in der Salzverteilung treten nahe der "Küsten"-Randbedingung
auf. Dies wird durch unterschiedliche Randbedingungen bei Voss & Souze (1987) verursacht. Sie
verwendeten eine wechselnde Randbedingung, d. h. Annahme der Solekonzentration, wenn der
Fluß nach innen gerichtet ist und Annahme eines Konzentrationsgradienten gleich Null, wenn der
Fluß nach außen gerichtet ist.
Das enge Gitter B ergibt erheblich andere Ergebnisse, wie aus Abb. 3.8 a-c zu ersehen ist.
Abb. 3.8: a-c Lage der Konzentrationsgleichen im Gleichgewicht (feines Netz) -
(a) Konst. Dispersion Dd = 6.6 x 10-6 m2s-1
(b) Konst. Dispersion Dd= 18.86 x 10-6 m2s-1, und
(c) geschwindigkeitsabhängige Dispersion
Deckschicht)
(von der Sohle bis zur
Die auf der linken Seite dargestellten Ergebnisse wurden unter Annahme der BoussinesqApproximation ermittelt, wohingegen die Salzverteilung auf der rechten Seite zur erweiterten
Boussinesq-Approximation gehört. Weiter sind auf der rechten Seite Salzverteilungen für
unterschiedliche Randbedingungen für die Salzkonzentration an der "Küsten"-Seite gegeben. Die
variieren
Bereiche der Dirichlet- (C = 1) und Neumann-Bedingungen
zwischen z = 0.5 - 0.7 m. Jedoch haben diese Veränderungen keinen Einfluß auf die Ausbreitung
der Salzwasserfront.
Abschließend werden die Stromlinien und die Verteilung der hydraulischen Höhe dargestellt, die
mit dem feinen Gitter B ermittelt wurden.
Abb. 3.9: Stromfunktionen - feines Gitter
Abb. 3.10: Potentialverteilung - feines Gitter
3.5 Referenzen
/1/
Frind, E. O. (1982) Simulation of Iong-term transient density-dependent transport in groundwater.
Advances in Water Resources, 5: 7~88
/2/
Galeati, G., Gambolati, G. & Neumann, 5. (1992) Coupled and partially coupled Eulerian-Lagrangian
model of freshwater-seawater mixing.- Water Resources Research, 28(1): 149-165.
/3/
Henry, H. R. (1964) Effects of dispersion on salt enroachment in coastal aquifers.- In: U.S. Geological
Survey Water Supply Paper 1613-C, Sea water in coastal aquifers: C7-C84.
/4/
Kröhn, K.-P. (1991) Simulation von Transportvorgängen im klüftigen Gestein mit der Methode der
Finiten-Elemente.- Bericht Nr.29/1991, Institut für Strömungsmechanik, Universität Hannover,
Dissertation
/5/
Segol, G. (1994) Classic groundwater simulation: proving and improving numeneal models.- Bandis
Hall, 531p.
/6/
Voss, C. 1. & Souza, W. R. (1987) Variable density flow and solute transport simulation of regional
aquifers containing a narrow freshwater-saltwater transition zone, Water Resources Research,
23(10): 1851-1866.
Anlage I-2
Hydrogeologische Übersichten
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