測量基礎知識

土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 ―目次― 測量試験内容 [NO.01］誤差論 [NO.02］測量機器 ① [NO.03］基準点測量 [NO.04］ＧＮＳＳ（ＧＰＳ）測量 [NO.05］多角測量 [NO.06］測量機器 ② レベル (水準儀 ) [NO.07］水準測量 [NO.08］用地測量 [NO.09］面積計算付録 A 座標変換 1 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.01］＝誤差論最確値（平均値）の標準偏差 ⇒統計学では標準誤差と呼ぶ。誤差 01 算術平均値ｎ観測値： ₁, 観測値の個数残差 ₁ ₁ 平方残差 ₁ ₁ ₁ ² ² 平方残差の総和 Σ ＝Σ －最小 ∂ ∂ ＝より Σ ｎ＝また誤差、あるいは残差の総和はゼロであるからこれを①に代入してｎで割ると ε² ²+ ² ② ここで ²は近似的に平均値の分散なので ² ²＝ Σ x-2x Σ ｎ ²→ ③ ③を②に代入すると算術平均の標準偏差残差同一精度で観測した個々の観測値の標準偏差ｍ、の式の証明残差誤差ε 真値 ε ε 平方すると ε² ² n個の観測値に関して ε ² ² ε ² ² ² ² ² ε ² ² ² これらを合計すると ε² ²+2 ² ① 分散標準偏差の定義は ² ε² ｎであり、それぞれの測定値の分散はとすると、平均値はであり、その分散は＝通常、とおけるから 2 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年誤差 11 測定距離の最確値：の測定距離：の重み測量ラーニング集 [NO.02］測量機器 ① （セオドライト） →正反観測で消去 ③ 鉛直軸誤差 (v)：視準線⊥水平軸，水平軸 ⊥鉛直軸の場合に，鉛直軸が鉛直方向からｖだけ傾いている場合を考える。セオドライトの最大傾斜方向に視準線が傾いたときには，その方向では誤差が生じないが，最大傾斜の方向から 90度方向には最大の誤差が起こる。鉛直軸が鉛直方向から傾いているために水平角読定値に影響する誤差をいう。 v: 鉛直軸の鉛直線からの傾きｕ：鉛直軸の最大傾斜方向からの角度ｈ：目標の高度角 → 望遠鏡正反の観測では消去できない。 ④ 外心誤差：視準線が，回転軸の鉛直軸の中心（ O）からｒだけ外れている場合には，目標Ａ，Ｂに対して外心誤差，が起こる。＝＝セオドライト 01 ① セオドライト（ TS）の構造は，鉛直軸、水平軸，視準軸から成り、これをセオドライトの３軸という。 ②セオドライトの主要部分には，水平角や鉛直角を測る水平目盛盤や鉛直目盛盤，さらに鉛直軸を鉛直にするためのプレートレベル（上盤気泡菅）がついている。セオドライト 02 ① 視準軸誤差（ c）：視準軸は，対物レンズ中心を通り水平軸に直交する軸。視準線とは対物レンズ中心と十字線とを結んだ線。視準軸誤差は視準軸と視準線との違い。 c:視準線の傾きｈ：高度 →正反観測で消去 ② 水平軸誤差（ i）：視準線と水平軸が直交し，鉛直軸と水平軸の直交からiだけ傾いている場合を考える。これを水平軸誤差という。 →正反観測で消去 ⑤ 偏心誤差：目盛盤の中心（ O）からはずれた位置に鉛直軸（回転軸）の中心がある場合には，水平角測定値に誤差が生じる。しかし，対称位置に A,Bの対向測微装置（読定装置）があり，180度対称位置が読定されれば，夾角には偏心誤差は含まれない。 → 測微装置が 1つでも正反観測で消去鉛直角観測では望遠鏡正，反における望遠鏡の回転角はθであり，180度の回転は行わないから測微装置の位置は 1 8 0度の対向位置には来ない。したがって，鉛直角観測では測微装置 1個の場合には偏心誤差は消去されない。 ⑥目盛誤差：目盛盤の目盛間隔が不等のために，使用する目盛の位置によって測定値が変わる。これを目盛誤差という。最近は写真技術を用いる目盛技術が発達し，大きな目盛誤差はなくなった。目盛の製作技術の観点から周期性がアトランダムであると考え，目盛誤差を消去するため目盛の全部を等分した位置で観測するし，これらの平均値で，目盛誤差を近似的に減らす手法を使用する。ｎ対回観測の場合，180°/ｎずつずらして観測する。 5 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年セオドライト 03 ○ 正反観測の平均値で消去できる誤差水平軸誤差：水平軸と鉛直軸が直交していない視準軸誤差：視準軸と視準線が一致していない目盛盤の偏心誤差：目盛盤の中心が鉛直軸の中心と一致していない望遠鏡の偏心誤差：望遠鏡の視準線が鉛直軸の中心から外れている ○ 正反観測の平均値で消去できない誤差鉛直軸誤差：鉛直軸の方向が鉛直線の方向に一致していない目盛誤差：目盛盤の目盛間隔が均一でないゆらぎによる誤差：空気密度の不均一さによる目標像のゆらぎセオドライト 07 ○ 視差の消去十字線を見て合焦（焦準）ネジで調整する視度調整１回、平均距離の方向を零方向とし，視度調整を行い，全方向を観測する（光波測距儀）光波測距儀 01 ○ 機能点検光学求心装置にフラツキがなく正常であることデジタル表示ランプが正常であることモニタメーターの表示が正常範囲内であること光波測距儀 02 ○ 測定距離セオドライト 04 ○ 機能点検光学求心装置にふらつきが無く正常なこと各軸の回転が円滑であること気泡管の調整機構が正常で，気泡の移動が滑かなこと望遠鏡の視度調整機構が円滑で、測量中に視度の変化がないこと水平鉛直角の読取装置が正常なこと光波測距儀固有の標準屈折率ｎ：測定時の光路の屈折率：見かけの測定距離 :光波測距儀が採用する標準屈折率 :気象観測から得られた屈折率セオドライト 05 ○水平角の検定３方向に0ﾟ，60ﾟ，120ﾟ，及び30ﾟ，90ﾟ，15 0ﾟの３対回を１セットの観測を２セット行い，各セットの倍角差，観測差，中数値 (T 1 -T 2 )を検定する λ λ セオドライト 06 ○鉛直角の検定３個の目標を１対回観測し，高度定数の較差を検定する気象補正済みの距離（ｍ）気象補正していない距離光波測距儀が基準としている気圧 6 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年両端点の平均気圧光波測距儀が基準としている温度（ ℃）ｔ：両端点の平均温度光波測距儀が基準としている水蒸気圧両端点の平均水蒸気圧（）湿度項群速度に対する屈折率（ ℃，の空気）：光波の実効波長（）光波測距儀 03 ○ 測定距離：測定値：気象補正値：器械定数：反射鏡（ミラー）定数 ○ 変調周波数の影響 f：測定時の周波数：器械の基準周波数 → fが f o より低いときは f o -f>0,dD<0となって測定長は短くなる。光波測距儀 08 ○ 距離に比例する誤差 ①気象測定による誤差 ②周波数変動による誤差 ○ 距離に関係しない誤差 ①位相差分解能 ②器械定数誤差 ③器械本体、反射鏡の致心誤差 ④反射鏡の定数 ⑤反射鏡致心誤差光波測距儀 ○ 距離測定三点法：器械定数＋反射鏡定数光波測距儀 05 ○ 測定距離の比例誤差：屈折率（n）の誤差 (Δ n)が測定距離（ Ds）に及ぼす影響＝，：定数：気温：気圧トータルステーション 01 ○ 利点角度と距離の測定が同時に可能観測データは自動記録され，手簿記入が省略できる（入力は器械高とミラー高のみ）転記ミスがなく，観測時間が短縮観測データの点検が自動で行える三次元座標が求まる一連の自動処理が可能である（トータルステーション）光波測距儀 06 ○ 気象補正：：ﾟ：：（水蒸気圧） ○ 気象補正前に気温が低くなると→測定距離が長くなる気圧が低くなると→測定距離が長くなる光波測距儀 07 トータルステーション 02 ○ 短所重量が重く、価格が高い取扱が難しい常識を越えたミスの発見が難しい人意的なデータ操作ができないトータルステーション 03 ○ 発展角度と距離の同時測定から画的データが作成され，道路設計システム，土木施 7 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成工管理等に利用できる 27年ＧＰＳと組合せた測量システム構造物を定期的に自動測定し，歪み等の管理ができるトータルステーション 04 ○ 取扱上の注意点取扱説明書を熟読し，正しい操作斜距離と水平距離の間違，測点番号，器械高，気象データ，反射鏡定数の手入力ミスを防止する器械重量が大きいことから，三脚のねじれ，器械沈下のための脚杭，踏み板の設置等を検討するバッテリー残量に注意し，予備電源を用意するデータコレクタは，フロッピーディスクの湿気や衝撃に弱いため，取扱には十分注意する収集観測データは，速やかに，コピー，パソコン等へ転送記録するモニター，データコレクタに異常が発見された時は，作業を中止し，異常原因と影響範囲を調査する測量ラーニング集 [NO.03］基準点測量基準点測量 01 基準点測量：三角測量はなくなり，基準点測量はトータルステーション（ TS）等で角と距離を測り座標差を求める方法，GPS測量機で基線ベクトルを求める方法が行われる。既知点の基準点に基づき，測角測距を行い新点の基準点の水平位置，標高を定める作業をいう。基準点測量 03 (1)作業計画地形図上で新点の概略位置と測量方式を決定，平均計画図を作成作業方法，使用機器，要員，日程について適切な作業計画書を作成基準点測量 04 (2)選点平均計画図に基づき，現地で既知点の現況調査を行い新点位置選定地形，植生，他現地状況に応じ作業の実施方法を検討選点図の作成と平均図の承認を得る基準点測量 05 ○平均計画図地形図等（主に空中写真）を用い机上計画を作成既知点と新点の予定位置をプロット新点条件，配点密度を考慮する ○選点図平均計画図に基づき現地調査を行い，測点間の視通を確認し新点を確定確認された視通線を記入する ○平均図観測図，選点図に基づき，作業規程条件に適合し効率的に作業できる多角網を確定 ○観測平均図計画機関で承認を得た平均図に基づき作成する基準点測量 06 基準点測量 02 TSによる方式 ①測量計画 ②観測 ③計算 GNSS(GPS)による方式 ①測量計画 ②観測 ③計算 ○選点の留意点既知点の数を多くし均等に配置する交点の数を多くし各路線が強く結ばれていること路線は短く，節点の数を少なくする路線長を均一にする短かい折線は避ける ○新点の選定条件視通が良好 8 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成地盤が安定 27年後続作業の利用標石の保全等を考慮最も適切な位置に選定道路の変更改良，新設計画等を関係官公署に照会し移転のない位置交通量の多い道路上は避ける交差点付近は将来の利用面で良い泥湿地，軟弱地盤河岸，堤防，盛土等の局部的に地盤沈下が予想される場所は避ける発見の容易な場所埋設，観測作業の容易な場所基準点測量 10 (5)現地計算（補正計算，点検計算） (6)平均計算新点の水平位置，標高に関する諸要素を計算し，成果表等を作成する作業基準点測量 07 (3)測量標設置新点等の位置に永久標識，一時標識を設置する必要に応じ保護施設を設ける所定の規格，方法で堅固に埋設する建標承諾書の取得測量標設置位置通知書の作成点の記の作成と写真撮影基準点測量 08 (4)観測平均図に基づき，トータルステーション，セオドライト，光波を用い，関係点間の水平角，鉛直角，距離を測定する作業必要に応じ測標水準測量を行う基準点が直接観測できない場合は，偏心要素を測定計画機関で承認を得た平均図に基づき観測図を作成ＧＰＳ衛星からの電波を受信し位相データを記録する基準点測量 09 ○点検路線路線長が短いこと既知点と既知点を結合すること全既知点が少なくとも１つの点検路線で結合されていること全単位多角形は少なくとも路線の１つが点検路線と重複すること 9 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.04］ＧＮＳＳ（ＧＰＳ）測量 4）短縮スタティック法：衛星数を増す代わりに（５衛星以上）観測時間を短縮する方法。（２０分程度） 5）キネマティック法：基準となる固定点に１台の受信機を固定し，もう１台の受信機は複数の観測点において短時間で次々と移動しながら行う方法である。 GNSS01 ○ 汎地球測位システム衛星軌道半径：高度 20,000kmの 6軌道地球１周：１２時間軌道情報は放送暦２４個の人工衛星発信電波の内，  ４個以上の衛星から同時受信水平 X， Y，高さ Z，時間T 受信機の時計誤差を考慮 GNSS04 ○ ネットワーク型法（ 1台で観測） (1) :電子基準点の観測値を利用し，電子基準点内の誤差状況を推定して，エリア内の任意指定位置（仮想点）での観測を作成 (2) ：観測点での各種誤差を推定 GNSS05 GNSS02 ① 単独測位受信機１台で，衛星からの電波に含まれるコードの情報によりリアルタイムに位置決定を行う。航法分野：精度 100m程度既知点は不要 ② 相対 (干渉)測位複数の測点で同時観測を行い，測点間の相対的位置関係 (距離と方向 )を求める方法既知点座標が必要ディファレンシャル方式：DGPS・差動 GPS 干渉測位方式：スタティック法，短縮スタティック法，キネマテック法（法、ネットワーク型法） GNSS03 1）DGPS(作動 GPS)：単独測位のように，コード情報で位置を出すが，受信を 2箇所で行い，一方を基準局 (既知点 )として相対的な位置決定を行う。（トランスロケーション法） 2）干渉測位：２点で搬送波の位相を受信し，その差をとることで電波の行路差を観測量として基線解析を行う。行路差の搬送波（ L 1波）に 19ｃｍの不確定が生じるので，次の方法で決定する。 3）スタティック法（静的干渉測位）：観測時間中、受信機をそれぞれの観測点に固定して連続的にデータを取得する。（ 1-3時間） ○ ジオイド補正：観測からは系に準拠する楕円体高 hが求まるジオイド高を補正し楕円体高から標高を求める日本測地系 GNSS06 ○ 座標変換系への変換パラメータ基準点座標 92，パラメータマップ座標変換プログラム： GNSS07 ○ 誤差電離層伝搬遅延誤差：周波数の２乗に比例２周波 (L1.L2)観測で補正対流圏伝搬遅延誤差：標準大気モデル（気温，気圧、湿度）で補正整数値バイアス：多重解からの基線解観測時間を確保するアンテナ高計測誤差：同機種のアンテナを同方向に立てる時計誤差：二重位相差を計算する軌道情報誤差：精密軌道暦を用いるサイクルスリップ 10 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 GNSS08 ○ 基線ベクトル観測データを解析し衛星からの距離差 (行路差 )より求める・ 0.001mまでは GNSS09 ○ 観測（干渉測位方式）観測図：セッション（同時に複数の GNSSを用いて行う観測）計画を記入既知点と新点を結合する閉多角形を形成する異なるセッションの組合せ点検のための多角を形成異なるセッションの組合せ点検のための１辺以上の重複観測標高取付：楕円体高差＝高低差（距離 500mまで） GNSS10 ① スタティック法（静的）精度 :数百 kmで数 cm 測量点にアンテナと受信機を設置し，全点同時に GNSS電波を受信記録する ② 短縮スタティック法 ③ キネマテック法（動的）既知点に１台の受信機を固定し，もう１台の受信機を複数の未知点を順次移動し観測する GNSS観測し基線長との差が許容範囲内かを点検 GNSS13 ○ 機能点検光学求心装置にフラツキがなく正常であることデジタル表示ランプが正常なことモニタメーターの表示が正常範囲内であることアンテナ、ケーブル、コネクターが正常であること GNSS14 ○ 観測値の点検基線ベクトルの環閉合差： 25mm 異なるセッション多角形の，基線ベクトル各成分の環閉合差を計算する重複する基線ベクトルの較差： 25mm 重複する基線ベクトルの各成分を比較点検する GNSS15 ○ 偏心要素偏心距離：斜距離偏心角：方位角，高低角，高低差トータルステーション等は偏心距離：基準面上の距離偏心角：零方向と本点間の夾角 GNSS11 ○ 受信高度角： 15度を標準上空視界が確保できない場合は， 30度まで緩和してよい GNSS12 ○ 検定国土地理院の GNSS比較基線場において観測値と基線長の差が許容範囲内かを点検 GNSS比較基線場の使用が困難な場合は，1 k m以上離れた 2点以上の任意の点を設け検定された光波等により測定し，基線長とする GNSS16 ○ 利点長距離で高精度な測量が可能観測点間の視通がなくてもよい三次元的な相対位置が求まる天候障害が少ない全地球的範囲で２４時間の観測可能準拠楕円体高が求まる ○ 発展航測カメラと連動することで ,高精度な空中三角測量が可能となり，撮影標定図が自動出力きれる音響測深機と連動することで，海洋調査，河川の流量流速観測が行える 11 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.05］多角測量三角点（歴史）一等三角測量ではインバールテープ（ワイヤ）で計測した数百メートルの基線 Iに基づいて、その辺を含む 2つの三角形（基線 Iは四辺形の対角線）の内角を調整して、もう一つの対角線 II（何回も拡大して 40ｋｍ）を求め、各辺 40ｋｍぐらいの三角形にして、日本の三角測量は明治時代に完成する。三角測量の形は三角網と三角鎖とがあるが、前者は日本国内及び朝鮮半島、後者は満州国時代に行われ、東京原点は朝鮮半島から満州までを結合している。三角測量から電波測距装置（テルロメータ）が開発され、三辺測量になり、さらに光波測距装置により多角測量が行われている。セオドライトと光波測距儀の一体型の器械、つまり角度と距離が同時に測れる、TS（トータルステーショーン）が開発されて、それが現在まで使用されているので、その構造・誤差、偏心観測、その他多角測量に関係する事柄を、ここでは取り扱うことにする。多角測量 01 正弦定理：余弦定理：表6 観測結果 T' 53 25'23" e 2.000ｍ φ 330 00'00" =1/2000 2 105 =100" =53o 25'23" S’が既知の場合（２辺夾角） (例：平成 22年補 ) 距離 AB=Sの算出観測結果 S' 900ｍ e 100ｍ T 314°00'00" φ 254°00'00" 面積：（ R：外接円半径）多角測量 02 ○偏心補正 1）視準点 (目標 )の偏心（例：平成 23年補）（偏心） ∠ BAC＝ Tの算出 S=2,000m 12 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年多角測量 03 ○ 鉛直軸誤差： v：鉛直軸傾斜角 U：鉛直軸最大傾斜角と視準目標角 H：視準高度角（ U=90ﾟのとき）気泡管軸が鉛直軸に直交していない目標高低角が大きくなると誤差も大きくなる気泡偏位量で観測値を補正すると誤差は小さくなる H 2 =40.487+1.4-1.9=239.987ｍ（例②）反観測既知点 1の標高 H 1 =200.000ｍ求点 2での高低角 2 =-1 31 40 観測斜め距離 L= 1,500.000ｍ求点 2での器械高 i 2 =1.5ｍ既知点 1での目標高 f 1 =1.8ｍ H 2 =200.000-39.992-1.5+1.8=240.292ｍ多角測量 08 ○ 気差測定距離 Sを挟む中心角：多角測量 04 Sを挟む地球の中心角： = ○ 水平軸誤差：水平軸が鉛直軸に直交していない屈折係数 K=R/R （＝ 0.14） (気差） (球差）多角測量 05 ○ 視準軸誤差：視準線が水平軸に直交していない多角測量 06 目盛盤の偏心誤差：外心誤差視準軸の偏心誤差目盛誤差：目盛間隔が均等でないことによる誤差 180ﾟ／ｎずつ目盛位置を変えて観測する多角測量 07 高低計算正観測（既知点→求点）：両差 Kは＋反観測（求点 →既知点）：両差 Kは－正反の平均→ 両差 Kは消去される (例 ① )正観測既知点 1の標高 H 1 = 200.000ｍ既知点 1での高低角 1 =1 32 50 点 1-2間の斜め距離 L=1499.475ｍ既知点 1での器械高 i 1 =1.4ｍ求点 2での目標高 f 2 =1.9ｍ (両差 ) 両差Ｋ = 球差－気差両差＋：既知点→求点両差－：求点 →既知点（例③）水平距離 S=1,500.000ｍ球差= 0.177ｍ気差= 0.025ｍ両差Ｋ =球差 -気差 =0.152ｍ (∴ 四等三角点間の両差は約 15cmである。 ) 多角測量 09 ○ 傾斜補正： L：斜距離（例） L=500.000ｍ h=16.0ｍ Cg=-0.256m 水平距離 D=500.000-0.256=499.744m 13 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年多角測量 10 平均高低角 ○ 投影補正： H 1 :点1の標高 i 1 ：点 1の器械高 H 2 ：点 2の標高 i 2 ：点 2の器械高 R=6370km H ｍ :楕円体上の両端点の平均高さ Ng：両端点の平均ジオイド高 D:測定距離 (例 ) 点 1の標高 H 1 =200.000ｍ点 2の標高 H 2 =239.987ｍ回転楕円体上平均高さでの水平距離 D=1,498.928ｍジオイド高 Ng=37.507ｍ器械高 m 平均 Ng:ジオイド高（ A,Bの平均値） R：地球の平均半径準拠楕円体上の平均高さ（例）斜め距離 L=1,499.468m H 1 =200.000ｍ i 1 =1.5m H 2 =239.987ｍ i 2 =1.5m 既知点 1での高低角 1 =1 32 50 求点 2での高低角 2 =-1 31 40 ジオイド高 Ng=37.507ｍ準拠楕円体上の平均高さ（この Nは卯酉線曲率半径） -0.061m 水平距離 S=1,498.867m 注）地球の平均半径 Rは卯酉線曲率半径 Nと子午線曲率半径 Mから計算され、ジオイド高 Ngは GSIの HPから緯度、経度を用いて得られます。緯度 34 41 25 、経度 135 30 19 とすると、ジオイド 2000より Ng=37.507ｍとなります。（この Nは卯酉線曲率半径）楕円体上の距離 S=1,498.867m 多角測量 12 ○ スチールテープによる距離の計算 ℓ 多角測量 11 ○ 基準面上の距離（ S） S:回転楕円体上の距離 L:斜距離 H 1 :A点の標高 i 1 ：器械高 H 2 :B点の標高 i2：器械高 1 ： A点における高低角 2 ： B点における高低角 ℓ (t-t o )L>0のとき：＋補正傾斜補正 Cg：－補正投影補正 C h ： H>0のときは－補正多角測量 13 ○ 朝夕の角観測  水平角：朝夕がよい  高低角：朝夕は避ける多角測量 14 14 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平 27年，基準方向 ○成零方向自点より高次点を採用する全方向の平均距離，平均高度を配慮北方の点を採用する平面直角座標系において， A点を通り X軸に平行な直線の +X の方向から右周りに B点の方向まで測った角真北方向角（方位角）＝（方向角） -（真北方向角）多角測量 15 ○ 球面から平面への投影 (平面直角座標系 ) m:縮尺係数ｙ： y座標値 R：平均曲率半径 m o :原点の縮率（ 0.9999） (例 ① )平面直角座標値ｘ =-187,323.352ｍ、y= -35,145.927ｍ、緯度 =34 18 38.157 での縮尺係数ｍを求めると、 GRS80楕円体の長半径 a=6,378,137ｍ扁平率の逆数 1/f=298.2572221 b=6,56752.314ｍ卯酉線曲率半径子午線曲率半径平均半径多角測量 17 ○ 三角点成果表 1）三角点ごとに作成され，標題に三角点の等級，点名，標石番号が表示される。 2）B,Lは準拠楕円体上の地理学的緯度、経度を示す。 3）真北方向角は，当該三角点を通る座標の北から子午線方向の方向角である。 4） X,Yは平面直角座標系の座標値を示す。 5）標高（ H）は東京湾平均海面（ジオイド）上の高さを示す。 6）ジオイド高は準拠楕円体を基準としたジオイド面までの高さを示す。 7）柱石長は永久標識を設置した在位の柱石，又は金属標の長さを示す。 8）平均方向角は，当該三角点から視準点方向の準拠楕円体面上の球面方向角で，平均計算で得られた値で表す。 9）距離は，当該三角点から視準点までの準拠楕円体上の球面距離を表す。 10）縮尺係数 s/Sは球面距離 Sにこの値を乗ずると，その点に属する平面直角座標系の平面距離 sとなる係数である。距離の縮率多角測量 18 水平角観測手簿の例 (2点の Y座標値 y 1 ,y 2 からの縮尺係数 ) ｓ (例 ② )2つの点の平面直角座標値 x 1 =-187,323. 352ｍ、y 1 =-35,145.927ｍ、緯度 1 =34 18 38.1 57 と x 2 =-187,113.858ｍ、 y 2 =-34,609.285ｍ、 2 =34 18 45.022 の距離の縮率は、次のように求められる。 m＝ s/S=0.999920018 多角測量 16 方位角 A点を通る子午線を基準に B点まで測った角方向角準則 38条 15 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 1級基準点測量 2級 1級TS 2級 2級 TS 3級 4級倍角差 15 20 30 30 60 観測差 8 10 20 20 40 ② ℓ 式 ①から ③ これを式 ②に代入して変形すれば ℓ 上の例は 4級基準点測量とすると、 ① 倍角差＝ 40 ＜ 60 → 合格 ② 観測差＝ 40 ＝ 40 → 合格 ③ 観測角＝ (140+100)/4＝ 60 → 321°35 60 ＝ 321°36 0 ℓ 正しい天頂角（鉛直角）は式④から計算できる。式 ①と式 ②を加えると ℓ ⑤ この 2ｃが高度定数である。多角測量 19 ○ 高度定数ある目標の高度角を望遠鏡正、反で測った値を r、ℓとすると r+ℓ＝一定となり、これを高度定数という。普通のセオドライトは r+ =360 となっている。高度定数が大きくなる場合には、望遠鏡気泡管軸を調整して 360 に近づける。図1 ④ （鉛直角手簿（高度定数）の計算例）図2 定数差＝ 63-56＝ 7 ＜ 10 （ 1級基準点）図3 準則 38条（高度定数の較差） 1級基準点 10 2級基準点（1級 TS） 15 （ 2級 TS） 30 3級基準点 30 4級基準点 60 図 1のように視準線の接眼鏡側に目盛盤の 9 0°を合わせるべきところ、 cだけずれて固定されているものとする。図 2は望遠鏡正で目標 Pを視準した場合で、正しい天頂角（鉛直角）を Zとすると、 ① 次に図 3は望遠鏡を反転し、望遠鏡反で目標 P を視準した場合であり、 16 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年多角測量 20 ド高標高ジオイ楕円体高地面：測線の誤差・：測線に直角方向の誤差：方向角の誤差 d：交角の誤差ジオイド楕円海水体面多角測量 21 ○座標の計算 X o ,Y o :既知点 Oの座標 Ti:X軸に平行な方向から測線までの右周り水平角 Si:測定辺長（平面距離）内角測定の場合外角測定の場合（平成 19年）点 Aの座標値は、X=-500.00m、Y= +1,000.00mとする場合、点 Pの X座標値及び Y座標値の値はいくらか。方向角 TAP＝310° 距離 SAP＝ 1,000ｍ多角測量 24 ○ 倍角差，較差，観測差 r：正 ℓ：反倍角： r+ℓ 較差： r-ℓ 倍角差：倍角の最大と最小の差観測差：較差の最大と最小の差多角測量 25 ○ 倍角，倍角差，較差，観測差に含まれる誤差 ① 目標の視準誤差 ② 目盛盤の読取誤差 ③ 目盛盤の目盛誤差 ④ 視準軸誤差・水平軸誤差 ⑤ 鉛直軸誤差 ⑥ 偏心誤差区分倍角倍角差較差観測差 1 ○ ○ ○ ○ 2 3 4 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 5 ○ 6 多角測量 26 多角測量 22 ○ 新点精度：結合多角：混在する多角網の他，型がある。単路線：両端に既知点を有し，一路線で新点を結ぶ方式。閉合多角： 2個以上の単位多角（閉合多角形）により形成される多角方式。 Q：図形の良否（ Qは小さいほど図形の精度は良い） m：単位重み精度（秒）多角測量 27 閉合誤差：多角測量 23 ○ 測距と測角の精度の釣り合い ℓ 閉合比： R = 17 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 = 正しい距離＝ ℓ ｍ多角測量 33 多角測量 28 トラバースの調整 ○コンパス法則角度，距離の精度が等しいとき S i :各測線長 [S]:全長 ○トランシット法則角度の精度が，距離より高いとき各々の緯距，経距に比例配分 ① 1方向の角の測定精度はいくらになるか。 ② 測距の測定精度（＝測距の標準偏差 /測定距離）はいくらになるか。致心誤差に基づく方向の標準偏差：ｍに対しラディアン → 秒に換算セオドライト自体の方向測定の標準偏差：測距の精度を多角測量 31 ○ 距離測定三点法（光波測距儀 04より） D 3 +K=D 1 +D 2 +2K K：器械定数＋反射鏡定数（例）平坦な土地で器械高，反射鏡高を同じにして，光波測距儀での各区間の距離を測定した。器械定数はいくらか。プリズム定数＝ｍとする。ｍ，ｍ，ｍだから器械定数＝ ○ 測距と測角の精度の釣り合い角の測定精度＝セオドライトの測定誤差+ 致心誤差（）＝多角測量 34 光波測距儀 08より光波測距儀を用いて，2点 A、B間の斜距離を求める場合，誤差源とならないものはどれか。 (1)気温， (2)気圧， (3)測距儀の変調周波数， (4)測距儀の器械定数， (5)A点における B点の高度角解答 (5) 多角測量 32 多角測量 35 ○ 変調周波数の影響（光波測距儀 07より）気象要素の測定誤差が，光波測距儀の測定距離に及ぼす影響は，概略で次式により表される。：測定時の周波数：器械の基準周波数気温測定の精度が 1℃のとき，これと釣り合う気圧測定の精度はいくらか。例変調周波数の基準値がの光波測距儀により点間の距離を測定し，ｍを得たが，変調周波数を調べたらであった。正しい距離はいくらか。多角測量 36 ○方向角の閉合差 18 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 A,B間の結合トラバースを行い、次の三角点夾角を得た。＝＝＝＝＝既知点間の方向角＝＝゜観測方向角の閉合差はいくらか。 = からへの方向角＝ (1) からへの方向角 CからＡへの方向角は多角測量 39 多角測量 37 ○方向角の標準偏差結合トラバースにおいて 4個の夾角βを 10"の精度で測定した。方向角 T の標準偏差はいくらになるか。ただし，A,C点の方向角には誤差が無いとする。 Pに偏心してTを観測した。 T を求める。距離 S ＝ 1,800ｍ偏心距離 e＝2ｍ T=300° φ ＝ 36° △ APBより x1=∠ ABPとして ″ ° 多角測量 38 ○ 新点 Cから見た点 Aの方向角座標点ｍ点ｍ座標差点ｍを求めるため＝を求めるとｍｍｍ 19 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年を求めると ° 左右の三角形のを対頂角として △ APCから ① △ ABCより ② ① ＝②より＝ 20 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.06］測量機器 ② レベル (水準儀 ) （レベル）レベル 01 ○気泡管の感度気泡管軸：直読式の場合には，気泡管の目盛の中央の接線，合致式の場合には気泡が合致して見える状態の気泡の中央の接線である。（感度））気泡管の曲率半径を用いる場合＝）気泡管上の目盛（）に対する中心角で表す場合（気泡管の感度の測定） ① レベルと標尺の距離（）をｍに置き，レベルをほぼ水平（気泡管の目盛の読み dl）にする。 ② その時の標尺の読みを aとする。 ③水準儀の俯仰ねじを回転し気泡管の目盛をｎ目盛だけ動かす（気泡の読み dr）。 ④ その時の標尺の読みはｂとする。 ⑤ 気泡管の感度（傾角）整準ネジの回転が円滑であることレベル 03 ○測定点検 30m隔てて，２本の標尺を正しく立て，中央にレベルを整置し，両標尺間の高低差を測定するレベル位置を両標尺で結ぶ直線上に 18 m 移動して，再び両標尺間の高低差を測定し，測定値の差が許容範囲内かを点検する脚向を 180度かえて２回測定する（両側目盛標尺は片側２回）レベル 04 水準測量作業用電卓（データコレクタ） ○利点：従来の手簿にかえて使用できる電子レベルと組合せることで，観測値が作業用電卓に自動入力でき，誤読や誤入力がなくなる ○性能：一定容量のデータ保存が可能である入力観測値の加工ができない観測値のチェック計算機能がある耐久性に優れる（電子レベル）気泡管の目盛ｄ（ mm）＝ 2ｍｍ ×ｎ気泡管目盛 1mmに対する傾角： θ /ｄ感度＝ 2θ ”/d（ mm）レベル 02 電子レベル 01 自動レベルとデジタルカメラ（画像処理機能）を組合せたものセンサーからデジタル情報に変換するコンペンセンタにより水平方向の視準線を確保する ○機能点検水準器感度：以上を使用気泡管レベル：円形水準器，主水準器軸と視準線の平行を点検する自動レベル，電子レベル，円形水準器，視準線の点検，コンペンセータの点検標尺付属水準器の点検鉛直軸回転はマイクロメータのフラツキがなく円滑であること気泡管調整機構が正常で，気泡移動が滑かなこと望遠鏡の視度調整機構が円滑であること十字線調整ネジに摩耗がないこと 21 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.07］水準測量水準測量 01 ○ くい打調整誤差：補正： ℓ ℓ ℓ =0：水平 <0：上向 >0：下向・レベルを両標尺の直線上に整置するレベル脚は特定の２脚が視準線に平行，かつ進行方向に対し左右交互に整置する ③ 三脚沈下誤差：・地盤堅固な場所に整置し，後視，前視，前視，後視と観測する ④ 零点誤差：・偶数回観測する・出発点に立てた標尺を到着点に立てる ⑤ 標尺台の沈下：・地盤堅固な場所に整置する ⑥ 球差，気差：等距離で観測する ⑦ 炎動カゲロウ：距離を短くして観測 ⑧ 目盛誤差：・標尺の上下部両端（ 20cm）の観測は避ける水準測量 04 ① 標尺間距離（ｍ）の中間にレベルを据える。 ② その際の後視前視を読み取る ③ レベルを前視の標尺から（＝ｍ）離れた点に移動させる。 ④ そのときの読み，を読み取る。 ⑤ 直読式の場合，点においての値を読むように整準ねじで調整し，気泡管調整ねじで気泡を中央に導く。（合致式の場合）プリズム調整ねじで，気泡の像を一致させる。水準測量 02 （自動レベルの場合） 1.整準ねじで器械を水平にする。 2.自動レベルを鉛直軸周りに 180回転させる。 3.このとき ,円形気泡管の気泡がずれているときには，その半分を気泡管調整ねじで調整する。 ○ 電子レベル，自動レベルコンペンセータと画像処理機能鉛直の傾き 10'以内までは自動視準線の調整が必要気泡管の調整が必要バーコード目盛標尺とセットで使用バーコード目盛標尺の距離水準測量 05 ○標尺補正：標尺目盛誤差は目盛線位置刻印誤差と温度変化による伸縮に起因し変化するこれらの誤差を少なくする温度補正１級，２級水準測量で行う２級水準測量の標尺補正は、水準点の高低差 70m以上に20℃ の標尺補正量を用いる ○標尺補正量基準温度における標尺定数観測時の温度基準温度：膨張係数：高低差例水準測量 03 ○ 誤差消去法 ① 視準軸誤差：等距離で観測する ② 鉛直軸誤差：基準温度の尺定数：線膨張係数：観測比高：観測時の温度 ℃ 、基準温度 ℃ とすると，＝ ℃、 22 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年正標尺補＝ × 水準測量 06 ○ 楕円補正：水準測量は，水準面を基にして測量する。水準面はその点における重力方向に直交する面を連ねたものであるので，重量で決まる面である。重力は，引力と自転のための遠心力との合力である。遠心力は赤道で最大で，極では最小になる。水準面に対する比高をジオイド面からの標高におきかえる補正１級，２級水準測量で行う補正計算：異なる観測高低差を統一基準日の観測高低差に引きなおす補正変動速度を一定と仮定し観測値を基準日の値に引きなおす補正水準測量 09 ○ 水準測量：既知点の水準点に基づき，高低差を測定し，新点水準点の標高を定る作業水準測量 10 ：点間の中数緯度：点間の緯度差（分）（ラジアン）：点間の平均標高（）低緯度高緯度：－補正高緯度低緯度：＋補正正標高：重力補正した標高正規正標高：標準的な重力を使用する標高水準測量 07 ○ 変動補正地盤沈下は観測作業中も進行するため，基準日に全路線の全観測は不可能であるそのための基準日に引きなおす補正 1)直接水準測量２点間の高低差をレベルと標尺を用い直接観測するレベルを２本の標尺の中央に水平に整置し，両標尺の目盛を直接読み取り高低差を求める 2）渡河水準測量直接水準測量で結べない水準路線を連結する目的で，２点間の高低差をレベル，標尺，目標板を用い直接観測する 3）間接水準測量２点間の高低差を等を用い，角度，距離を観測し，間接的に求める水準測量 11 水準測量 08 ○ 地盤沈下調査単期間で行う前年度と同一時期に行う前年度と同一地域で行う１級水準測量の精度を確保する再測は時期を遅らせず速やかに行う調査事項：変動が大きい水準点は，前回と今回の観測間に他機関での移転，改埋がないかを確認する人為的，自動車，その他工事等の移動がないかを確認する傾斜を確認する検測を実施し観測値を確認する ○順序 ① 作業計画 ② 選点 ③ 測量標の設置 ④ 観測 ⑤ 計算（現地計算、平均計算） ⑥ 成果等の整理水準測量 12 ④ 観測水準路線は往復観測（簡易水準測量を除く）往の標尺と復の標尺は交換する水準点間でレベルは偶数回すえる前視・後視の視準距離を等しく，レベルは両標尺の直線上に整置 23 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成三 27年脚の特定の２脚と視準線を常に平行にし，かつ進行方向に左右交互に整置新点は埋標後 24時間経過した後観測１級水準測量では、開始・終了・固定点到着時に気温を 1℃ 単位で測定水準測量 13 ⑤ 点検計算全単位水準環について，全水準路線の環閉合差，既知点から既知点の閉合差を計算し，観測値の良否を判定する水準測量 14 重量平均による標高計算表 9-1 観測結果路線観測誤差観測高低差 A→E 2km 2.139ｍ B→E 3km -0.688ｍ E→C 1km +3.069ｍ E→D 2km -1.711ｍ水準測量 15 （再測）第 65条１級水準測量、２級水準測量、３級水準測量及び４級水準測量の観測において、水準点及び固定点によって区分された区間の往復観測値の較差が、許容範囲を超えた場合は、再測するものとする。一往復観測値の較差の許容範囲は、次表を標準とする。 1級 2.5mm√ S 2級 5mm√ S 3級 10mm√S 4級 20mm√S (例：平成 23年 )1級水準測量 A→ (1)較差 1.0ｍｍ：距離 500ｍ (1)→ (2)較差 0.3ｍｍ：距離 500ｍ (2)→ (3)較差 -1.9ｍｍ：距離 500ｍ (3)→ B較差 -1.1ｍｍ：距離 500ｍ較差 ∴ (2)→ (3)の路線の較差を再測する。＞表 9-2 既知点成果既知点標高 A 5.153ｍ B 3.672ｍ C 6.074ｍ D 1.290ｍ観測標高重量 24 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量ラーニング集 [NO.08］用地測量用地測量 01 ○ 用地測量：土地，境界等を調査し用地取得等に必要な資料，図面を作成する作業４級基準点測量，４級水準測量以上の精度をもつ基準点に基づき行う ③ 境界確認：現地一筆ごとに土地境界（境界点）を確認する作業境界確認の立会通知境界立会（官民、民民）境界確定：土地境界立会確認書方法：現地で転写図，土地調査表に基づき，関係権利者立会の上，境界点を確認，所定の標杭を設置用地測量 06 用地測量 02 作業工程 ①作業計画 ②資料調査 ③境界確認 ④境界測量 ⑤境界点間測量 ⑥面積計算 ⑦用地実測図原図等作成用地測量 03 ① 作業計画用地測量実施区域の地形，土地利用，植生状況等を把握し，用地測量の細分ごとに作業計画を作成する作業計画書（作業方法，使用主要機器，日程要員）既存成果の借用測量調査範囲の確認権利者資料の借用 ④ 境界測量現地で境界点を測定し，座標値等を求める作業補助基準点の設置境界点測量座標，距離，方向角計算用地境界仮杭の設置用地境界杭の設置観測手簿，計算書方法：４級以上の基準点から放射法によるやむを得ない時は補助基準点を設置する測量結果に基づき，計算から境界点の座標値、境界点間距離，方向角を求める用地測量 07 ○ 数値法・ＴＳ，トランシット，光波を用い，４級基準点から放射法により境界座標を求める ○ 図上法・基準点に平板を設置し，放射法により，境界点位置を直接図示する用地測量 04 ② 資料調査土地取得等に係る土地の用地測量に必要な資料を整理，作成する作業作業計画に基づき法務局に備る地図，地図に準ずる図面（公図），公共団体に備る地図等（公図等）の転写等を，土地登記簿調査、建物登記簿調査、権利者確認調査に区分し行う用地測量 08 ○ 補助基準点放射法の基点となる基準点を家屋の密集等で設置できない場合に設置する基準点からの辺長 100m以内，節点１点以内の開放多角測量により設置する所定標杭を設置する用地測量 09 用地測量 05 ○ 用地境界仮杭設置 25 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成用 27年地幅杭位置以外の境界線上で用地境界杭の設置が必要な場合に，現地に用地境界仮杭を設置する作業用地幅杭または用地境界仮杭と同一点に，所定の用地境界杭（コンクリート杭）を設置換する作業  方法：交点計算による用地境界仮杭の座標値に基づき，４級基準点より放射法で行う用地幅杭線と境界線の交点を視通法により決定する ⑦ 用地実測図原図等作成  前節までの結果に基づき，用地実測図原図、用地平面図を作成する作業  用地実測図原図：境界点等を図紙に展開する  用地平面図：用地実測図原図の境界点等の必要事項を透写し，現地建物等の必要項目を測定し描画する用地測量 14 用地測量 10 ○ 用地境界仮杭と用地幅杭用地境界仮杭：境界確認において確認した画地境界と用地幅杭線の交点用地幅杭：中心杭，役杭等からの中心線直角方向の用地幅杭点用地測量 11 ⑤ 境界点間測量境界測量等の隣接境界点間距離を測定し，精度を確認する作業距離計算値と測定値を比較する境界測量，用地境界仮杭設置，用地境界杭設置の終了時に行う隣接する境界点間，境界点と用地境界点との距離を全辺現地測定し，用地幅杭設置測量で計算された距離と比較し行う座標より面積を求める。 Y座 X 座標境界点標値値（ｍ）（ｍ）Ａ 20 20 51 1020 Ｂ -38 10 -45 1710 Ｃ -30 -25 -51 1530 Ｄ 7 -41 45 315 Σ 4575 Σ/2 2287.5 下のように計算するとより簡単である。 Y座 X 座標境界点標値値（ｍ）（ｍ）Ａ 0 0 51 0 Ｂ -58 -10 -45 2610 Ｃ -50 -45 -51 2550 Ｄ -13 -61 45 -585 Σ 4575 Σ/2 2287.5 面積＝2,287.5ｍ用地測量 12 ⑥ 面積計算境界測量の成果に基づき，各筆等の取得用地の面積，残地の面積を算出する作業座標法，数値三斜法により行う面積計算：  用地取得する又は使用する区域取得等の区域に対して行う残地計算：一筆の土地が用地幅杭線により３分割以上の場合，または一筆の土地の残地が一画地として利用困難な場合に行う用地測量 13 26 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年測量よりラーニング集 [NO.09］面積計算三角形の面積公式 01 1）底辺 a,高さｈ (例題 )底辺＝ 10ｍ、高さ＝ 5ｍの三角形の面 (例題 )一辺の長さが 15ｍ、両点の角がそれぞれ 35°、 68°の三角形の面積は、積は 2) 二辺 (a,b)と夾角 (γ) 5）二等辺三角形の底辺と頂角 (例題 )二辺が 10ｍ、8ｍであり、その夾角が 60°のとき、この三角形の面積は 3) 三辺（へロンの公式） l L ここで、2s=a+b+c θ (例題 )三辺がそれぞれ 3ｍ、4ｍ、5ｍの三角形の面積は、 l 4) 二角 (β,γ)と夾辺（a） A ℓ α ℓ c ℓ b β γ ℓ C B a (例題 )二等辺三角形の隅切りの面積を求めよ。ただし、底辺 5ｍ、頂角105°とする。 27 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年四辺形の面積 02 A D δ a α c β (例題 ) 辺 a＝ 10ｍ ,c＝ 8ｍ、角α＝ 88°、β＝ 75°、γ ＝ 68°、δ＝ 129°のとき、この四変形の面積はいくらか。 γ B E C （与件）辺 a,c、角α 、β 、γ、 δ （求件）辺 BC,AD、面積 S＝ □ ABCD ｄ A ｆ D α δ a h 四辺形の面積 03 180ﾟ-( α+β) c β γ B C ｂ E E g e △ ABEより △ CDEより A D δ a α β γ B ｂ C ｄ A ｆ D α h a δ S1 B ｂ 180ﾟ-( α+β) c β S2 γ C E g e 28 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年（求件） CD=c,AD=d、面積 S （与件 ) 角α 、β、 γ、 δ 、辺 a,b （求件） CD,AD、面積 S x E y A d D δ a α c β γ B ｂ C 境界線の整正 04 1）屈曲線を直線にする B β ｃ a TAB P α A D TCP γ u κ ｂ C △ ABCの面積を変えないで、境界線を直線 APにする場合の uを計算する。（与件） A,B,C,Dの座標、角α、 κ △ ABCの面積＝ △ ADCの面積＝ ① ② ① =② より (例題 ) （与件 ) 辺 a＝ 10ｍ ,b＝ 12.918ｍ、角α ＝ 88°、 β ＝ 75°、γ ＝ 68°、δ ＝ 129°のとき、この四変形の面積はいくらか。 Pの座標 29 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年（例題）（既知）角κ ＝ 110°、γ ＝ 30°、α ＝ 25°31 06 、 c=25.534ｍ（求めるもの）距離 u ⑤ 境界線の整正 05 2）屈曲線をある平行線で直線にする ⑥ （例題）（既知）角 κ ＝ 110°、 φ ＝ 80°、 ω ＝ 89°、 γ ＝ 30°、辺 a=22ｍ、 b=28ｍ（求めるもの） u,v,w A ｃｂ w P λ R S φ u κ B ｖ ω γ a C （既知）△ ABCの各辺 a,b,c、角 γ ,κ、φ 、ω （求める量）長さ u,v,w 屈曲境界線 BACを、直線 RCと PR=ｗの直線とが交角 ω で交わる任意の平行線 PRに整正する。そのため PB=u、CR=ｖ、PR=ｗを以下に求める。 ① ② BCの頂点を Oとする三角形を△ ABOとすると w=23.887m ③ ④ △ PROより 30 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年（四辺形の面積の証明） O 平行線の交点座標 06 120 R α1 ω P P2 110 κ v l2= 20m 5m =1 l1 u α1 =45 ﾟ w R' C P3 P1 100 110 100 120 5ｍ 1＝ ω ｎ ω2 ＝4 ｍ P' P 道路 φ λ B 20ﾟ＝1 α2 β＝75ﾟ a 130 ｋ（与件） P 1 (x 1 ,y 1 )=(100.000,100.000） P 2 (x 2 ,y 2 )=(100.607,110.607） P 3 (x 3 ,y 3 )=(100.607,127.928) 道路幅員道路幅員 +) また道路の長さℓ ① ② 道路の長さℓ さらに正弦定理より ③ ④ ③ 、④を ①、 ②に適用して、 2つを足すと、 -) （求件）点 P(x,y) （解法）直線式ｋ Pと直線式ｎ Pの交点より Pを求める。直線 P 1 P 2 //ｋ Pより y-y 1 = (x-x 1 ) y-100=1(x-10) y=x P 1 P 2 の式； x-y=0 ① 31 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平一成般 27年的に直線 Ax+By+C=0と P(x 1 ,y 1 )との距離 d は ℓ ℓ （ 1） ℓ で求められるので、式 ①と P(x,y)より、直線ｋ Pは次のように表せる。 x-y±5√ 2=0 ② 直線 kPの切片は +なので x-y+5√ 2=0 x-y+7.0711=0 ② とする。 ℓ ただし、倍面積 S＝ 2△ P 1 P 2 P 3 、ℓ 1 ＝ P 1 P 2 、ℓ 2 ＝ P 2 P 3 であり、ω 1 、ω 2 は道路幅員である。面積は以下のようにしても求められる。点名 P1 P2 P3 P 2 P 3 //Pnより y-y 2 = (x-x 2 ) y-110.607= (x-110.607) y=-1.7321x+302.1894 1.7321x+y-302.1894=0 この直線式と P(x,y)との距離より X Y Y i+1 -Y i-1 X i (Y i+1 -Y i-1 ) 100 100 -17.321 -1732.1 110.607 110.607 27.928 3089.032 100.607 127.928 -10.607 -1067.14 倍面積＝S 289.7938 面積 144.8969 二直線の交点 07 P2 Pnの式のルートの符号も -とすると 1.732x+y-294.1896=0 ③ ② +③ より xを解くと x-y+7.0711=0 ② +） 1.732x+y-294.1896=0 ③ 2.7321x=287.1185 ∴ x=105.091 ② に代入すると 105.091-y+7.0711=0 ∴ y=112.162 P(105.091,112.162) P3 P(x,y) （別解） P点の座標は次式でも求められる。 P4 ℓ P1 ℓ ℓ ℓ （与件） (求件 ) P(x,y)の位置 32 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平 27年（成解答）直線 P 1 P 2 と直線 P 3 P 4 との交点を求め P（ x,y）とする。 P1P2 面積の分割 08 y-y 1 = (x-x 1 ) y-100=1.00004(x-100) y=1.00004x-0.00398 ① A h' P3P4 y-y 3 = (x-x 3 ) y-102.123=-1.01022(x-198.111) y=-1.01022x+302.2582 ② ① -② より y=1.00004x-0.00398 ① -)y=-1.01022x+302.2582 ② 0=2.01026x-302.26218 ∴ x=150.360 ① に代入すると y=1.00004(150.360)-0.00398 ∴ y=150.362 ∴ P(150.360,150.362) h m D E L' n B C L （別解） △ ABCをｍ：ｎに分割する。ここで、点名 P1 P3 P4 点名 □ X Y Y i+1 -Y i-1 100 100 198.111 102.123 103.568 197.632 倍面積面積 X Y X i (Y i+1 -Y i-1 ) -95.509 97.632 -2.123 -9550.9 19341.97315 -219.874864 9571.198288 4785.599144 Y i+1 -Y i-1 X i (Y i+1 -Y i-1 ) P1 100 100 -95.509 -9550.9 P3 198.111 102.123 100.506 19911.34417 P2 200.502 200.506 95.509 19149.74552 P4 103.568 197.632 -100.506 -10409.2054 倍面積 19100.98428 面積 9550.492138 （例）△ ABCの面積 S=60m 、これを m:n＝ 3：2に分けるとすると、辺 ADはいくらになるか。ただし、 h=15ｍとする。（解答） k=4785.599144/9550.492138=0.50108 33 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年から同様により（例題）図に示す△ ABCの面積を m:n=3：2に分ける。BC=L=10ｍのとき、CDはいくらになるか。 ∴AD= 面積の分割 10 面積の分割 09 A A D(定点） h h n h' F m n m C B E L1 B C L2 L D L2 L1 L 定点 Dを通る直線によって △ ABCの面積をｍ：ｎに分割する。 △ ABCをｍ：ｎに分割する。 △ ABCの高さをｈとし、とすれば、△ BCD Mによって点は BC上に来るか、又は AC上に来るかが定まる。 a) △ BDC＞ Mの場合 △ ABCの高さをｈ、△ BDEの高さを h とするとまた、 M:N=m:nなのでところで上の Sの式に代入すると 34 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平 b)成 27年 △ BDC<Mの場合 □ □ 面積の分割 11 d B C m E a F b e ① , n ② ① に②を適用すると A D c 上の図は、AD//BCの台形を表し、それを平行な EFで分割するものである。面積はｍ：ｎに分割している。 (例題 ) 台形 BCDAの上底＝ 20ｍ、下底＝ 30ｍの面積をそれぞれ m:n＝ 3：2に分割するとき、上底、下底に平行な分割線の長さを求めよ。 ① h' h" G B C 面積の分割 12 h d m 三角形の面積：行列式によっても解けます。 F E e n D A c (例題 )次の 3点の面積を行列式と座標法で求めよ。 1(50.000,50.000),2(26.484,83.854),3(67.6 62,123.908) 上の図から 35 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平 27年法）（成行列式（注意）上の式は 1点が必ず原点にあること。つまり、任意の 3点が与えられたときに、全点から 1つの点の座標を差し引けばよい。 S=1167.97ｍ (座標法 ) 点番号三角形の面積 14 X 1 50 2 26.484 3 67.662 Y Yi+1-Yi-1 50 83.854 123.908 倍面積面積 Xi(Yi+1-Yi-1) -40.054 73.908 -33.854 -2002.7 1957.379 -2290.63 -2335.95 -1167.97 X B' (x2-x3,y2-y3) A' (x1-x3,y1-y3) B(x2,y2) A(x1,y1) Y 三角形の面積 13 O(0,0) X C(x3,y3) B(x2,y2) h A(x1,y1) Y O(0,0) 3点、 A(x 1 ,y 1 )、 B(x 2 ,y 2 )、 C(x 3 ,y 3 )のままで、この三角形の面積は、上の図の示すように C点 (x3,y3)を原点 O(0,0)に平行移動すれば求められる。移動後の座標より (1) 又は (2) 又は (3) ABの直線式 (例題 )次の 3点の面積を式 (2)で求めよ。 A(50.000,50.000),B(26.484,83.854),C(67.6 62,123.908) （行列式による三角形の面積）点名点 O(0,0)と直線 ABとの距離 h A B C X Y 50 50 26.484 83.854 67.662 123.908 倍面積面積 Xi(Yi+1Yi+2) -40.054 -2002.7 73.908 1957.379 -33.854 -2290.63 -2335.95 -1167.97 Yi+1-Yi+2 36 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年（解答） □ 四辺形の面積 15 ＝四辺形の面積 16 対角線 p,qと交角 θ より四辺形の面積を求める。 S □ ABCDの面積 A(x A ,y A ), B(x B ,y B ), C(x C ,y C ), D(x D ,y D ) A p2 P D q1 p1 ｐ X O ｑ θ B B q2 R A C Q C D □ Y 証明） □ □ □ □ □ □ □ □ □ （例題） □ における対角線ｐ＝ 20ｍ、ｑ＝ 30ｍ、対角線交角 θ ＝ 60°のとき、この面積はいくらか。 □ （例題）次の四辺形の面積を行列法で求めよ。 A(5.000,5.000), B(2.648,8.385), C(6.766, 37 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 D(15.260,8.503) 12.391), 隅切り面積 S 2 S 2 =□ APBO-扇形面積（ S）点番号 A B C D X Y Xi+2-Xi Yi+2-Yi 5 5 1.766 7.391 2.648 8.385 -12.612 0.118 6.766 12.391 15.26 8.503 倍面積 -93.0069 面積ｍ2 -46.50 地積＝ 46.50ｍ (例題 ) 曲線半径 R=10ｍ、交角θ＝ 95°のとき、弧長、 SL,弦長、中央縦距、扇形面積、弓形面積及び隅切り面積を求めよ。扇形等の面積 17 弧長 c＝ Rθ ＝ 10ｍ ×(95°/ρ °)＝ 15.708ｍ TL c SP S2 S1 M A SL θ P B 弦長 L= L S R θ/2 中央縦距 O 弧長 c＝ Rθ（ラジアン） SL（セカント）＝ P-SP（曲線中点）扇形面積 S ＝ PO-R 弦長 L= 弓形面積 S 1 中央縦距扇形面積 S 隅切り面積 S 2 よりただし、ρ°＝ 180°/π 、π は円周率である。弓形面積 S 1 S 1 =扇形面積 -△ ABO＝ S-△ ABO 38 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 = 分割 18 ℓ K k α＝ 88ﾟ0 7'05 " 250㎡ S θ' l θ＝120ﾟ L 分割 19 面積 Sの土地のうち S 1 =250ｍを KL線で分割する。 α ＝ 88°07 05 、 θ ＝ 120°とするとき、線分ｋ、 ℓはいくらか。三角形の面積 S 1 = P'(x',y') A(45,35) B(60,85) d' ℓ 1400㎡ C(30,80) φ=20ﾟより、 F(25,20) ℓ d 又は E(10,30) D(5,50) ① ℓ 正弦定理より多角形 ABCDEFの面積（ S）を方向角φ ＝ 20°の境界線 P Pで多角形 P BCDP(S 1 )=1400ｍになるように分割する。点 P,点 P の座標を求めよ。 ℓ 1.1547k=1.89333ℓ ② これに① を代入して ℓ ℓ ℓ ∴ ℓ＝ 17.467ｍ（ ℓ＞ 0） ① に代入すると ∴ P(x,y) ＝公式に代入するとｍ（ヒント） ① P(x,y)、 P (x ,y )のままで計算すると、変数が 4個となり、非常に複雑な方程式になる。 ② EDより勾配を求め Pの座標式を距離ｄで表す。 ③ 同様に、ABより勾配を求め、P の座標式を距離 d で表す。 ④ このままでは P,P の座標は d、 d の関数なので、 P,P の方向角φ を用いて d をｄで表す。そうすれば P,P はｄの関数になるから、 dは面積計算から以下のように求めることができる。 (解答 ) 39 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平 27年 Pの位置は 1）成Eより P ③ ④ 1.18816d-6.312 倍面積 -0.288176d +13.4125d-63.12 -0.63398d -79.6061d+3433.93＝ 2800 -0.63398d -79.6061d+633.93=0 d +125.5653d-999.918＝0…(1) 方程式(1)の解 P点の座標ｄ=7.514(条件 d>0) ① ＝ 47.606+0.35645d ② ＝ 43.688+1.18816d ③ ＝ 10-0.24254d ④ ＝ 30+0.97014d 5）座標計算（ A)P点の座標 (式 (1)と dより ) (1) 2） P の位置は（ B） P 点の座標 (式 (2)と d より ) (2) 3）d を dで表すためφ ＝ 20°と (1)、(2)を用い多角形 P'PEFA の面積点 X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 名 P' 50.285 52.615 47.710 2399.097856 B 60 85 27.385 1643.079139 C 30 80 -35 -1050 D 5 50 -42.710 -213.5518402 P 8.178 37.290 2.615 21.38714805 倍面積 2800.012302 面積 1400.00ｍ -1.05842d+0.85324d -7.73895=0 (3) 4） (3)を上の (2)に代入すると P の座標は =45+0.28735 =47.606+0.35645d =35+0.95783 =43.688+1.18816d (4) 多角形 P BCDPの面積点名 P' X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) ① ② 55-0.97014d -0.345806d -26.5797d+2618.33 36.312-1.18816d 2178.72-71.2896d B 60 85 C 30 80 D 5 50 -35 0.97014d-50 -1050 4.8507d-250 分割 20 40 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 d 22.935 B(60,85) ① ＝ 5+0.64018d A(45,35) ②＝50+0.76822d ③ ＝ 35-0.76822d ④ ＝ -35+0.76822d C(30,80) Mの座標の計算 F(25,20) M(x,y) E(10,30) D(5,50) 多角形 ABCDEFの土地（ S）を AMで等分割したい。 M(x,y)を求めよ。（解答） ABCDEFの面積点番号 A B C D E F X Y 45 35 60 85 30 80 5 50 10 30 25 20 倍面積面積ｍ Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 65 2925 45 2700 -35 -1050 -50 -250 -30 -300 5 125 4150 2075.00 付録 A 座標変換 (1)Helmert変換座標軸の回転（θ）、座標原点の移動 xo yo 及び座標 (x,y)の縮率 λ を考慮すれば、次式で書ける。 (1-1) そこで、上の式において (1-2) (1-3) Mの座標の式とおけば、式 (1-1)は次のように簡単に表せる。 (1-4) 又は (1-5) 点番号 A B C M X Y Yi+1-Yi-1 Xi(Yi+1-Yi-1) 45 35 ③ 1575-34.5699d 60 85 45 2700 30 80 ④ 23.0466d-1050 ① ② -45 -28.8081d-225 40.3314d+3000=2075 倍面積この式は、二次元のヘルマート変換式と呼ばれる。これら 4個のパラメータを最小二乗法で求めると，それらの 4個の要素は次のように求めることができる。 (1-6) -40.3314d=-925 41 土地家屋調査士測量問題ラーニング集平成 27年 Y y' y x' X Θ Y Ycos Θ P (2-4) y' xo X Xsin Θ Ysin Θ yo Xcos Θ とおけば、式 (2-3)は次のように表せる。 x' (2-5) x 図 1 Hermert変換 (2)アフィン変換通常、二次元のアフィン変換式 (affine t ransformation)は、次のように書く。したがって、最初に示した式 (2-1)を導いた。通常、二次元のアフィン変換式と呼ばれている。これら 6個の変換係数（パラメータ）を最小二乗法で求めると，それらの６個の要素は次式で求めることができる。 (2-6) (2-1) しかしながら、それら 6個のパラメータ（変換式の係数）の幾何学的意味が明らかでないので、これを解いておこう。式 (1-1)におけるヘルマート変換式において測定座標 X、Y軸の縮率( 傾きと y軸の傾き )と、x軸のを与えると、それらは次式で表される。 (3)コロケーション以前に用いたある一つの平面座標ＸＹと時間が経過した時点での同じ点の平面座標ｘｙがあり、前者の座標ＸＹをすべてｘｙに変換したい場合がある。また、両座標系が任意座標系で、座標軸の回転と原点の移動量のみが考えられる場合である。ここで、両座標系の原点の縮率はm o =1.0とする。そのときには、４個のパラメータの Helme rt変換、又は６個のパラメータのアフィン変換により、殆ど正確に変換が行えるものとみなしていたが、これが誤りであることが判明した。以下に 3個の変数（ 3個の要素）の変換式を導くことにする。たとえば、通常の Helmert変換では、次の式で表される。 (2-2) そこで、上の式において (2-3) y Y y' Θy Ysin Xcos Θy Θx P (3-1) Y しかし、今回の設定はλ =1.0なので、 Θx yo xo Xsin Θx Ycos Θy X X (3-2) x' この式 (3 - 2)を通常の最小二乗法で解くには、 , , , と 42 x 図2 アフィン変換土地家屋調査士測量問題ラーニング集平お成い27年て、 4個のパラメータから 3個の要素を解くことになるが、これは正しくない。しかし今まで、変数は 3個なので、3個のパラメータ（又は 3個の要素）を直接解くことを考えなければならない。そうしないと、上に m o = 1.0,又は λ =1.0と仮定して座標を求めたことの設定に反することになる。そのため、式 (3-2)を次のような条件式にする。 ( 3 - 3 ) 繰り返し計算による正しい要素計算 (3-9) 回転角（）と平行移動量（）に関し、テーラー展開して誤差式を作るには (3-4) (3-5) 又は、これを行列に置き換えて、繰り返し計算により要素を解く。 (3-6) 又は (3-7) (3-8) ここで：の近似値：の近似値：x,yの近似値：の近似値 43

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