測量基礎知識

測量基礎知識
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
―目 次―
測量試験内容
[NO.01] 誤 差論
[NO.02] 測 量機器 ①
[NO.03] 基 準点測 量
[NO.04] G NSS (G PS) 測量
[NO.05] 多 角測量
[NO.06] 測 量機器 ② レ ベル (水準 儀 )
[NO.07] 水 準測量
[NO.08] 用 地測量
[NO.09] 面 積計算
付 録 A 座標 変換
1
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.01]
=
誤差論
最確値(平均値)の標準偏差 ⇒統計学では標
準誤差と呼ぶ。
誤 差 01
算 術平均 値
n
観測値: ₁,
観測値の個数
残差 ₁ ₁
平方残差
₁ ₁
₁
²
²
平方残差の総和
Σ =Σ -
最小
∂ ∂ = より
Σ
n =
また誤差、あるいは残差の総和はゼロであ
るから
これを①に代入してnで割ると
ε²
²+ ²
②
ここで
²は 近 似 的 に 平 均 値 の 分 散 な の
で
²
²= Σ x-2x Σ
n
²→
③
③を②に代入すると
算 術平均 の 標 準偏差
残差
同一精度で観測した個々の観測値の標準偏
差
m 、 の 式の 証明
残差
誤差ε
真値
ε
ε
平方すると
ε²
²
n個の観測値に関して
ε ²
²
ε ²
²
²
²
²
ε ²
²
²
これらを合計すると
ε²
²+2
² ①
分散 標準偏差 の定義は ² ε² nであり、
それぞれの測定値
の分散は
とすると、平均値は
であり、その分散は
=
通常、
とおけるから
2
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
誤 差 11
測定距離
の最確値
:
の測定距離
:
の重み
測 量 ラ ーニ ング 集
[NO.02] 測 量機器 ①
( セオド ライ ト)
→正反観測で消去
③ 鉛直軸 誤差 (v):視準線⊥水平軸 ,水平軸
⊥鉛直軸の場合に,鉛直軸が鉛直方向か
らvだけ傾いている場合を考える。セオ
ドライトの最大傾斜方向に視準線が傾い
たときには,その方向では誤差が生じな
い が , 最 大 傾 斜 の 方 向 か ら 90度 方 向 に は
最大の誤差が起こる。鉛直軸が鉛直方向
から傾いているために水平角読定値に影
響する誤差をいう。
v: 鉛直軸の鉛直線からの傾き
u:鉛直軸の最大傾斜方向からの角度
h:目標の高度角
→ 望遠鏡 正反 の観測 では 消去で きな い。
④ 外心誤 差:視準線が,回転軸の鉛直 軸の中
心 ( O) か ら r だ け 外 れ て い る 場 合 に は ,
目標A,Bに対して外心誤差
, が起こる。
=
=
セ オドラ イト 01
① セ オ ド ラ イ ト ( TS) の 構 造 は , 鉛 直 軸 、
水平軸,視準軸から成り 、これをセオド
ライトの3軸という。
②セオドライトの主要部分には ,水平角や
鉛直角を測る水平目盛盤や鉛直目盛盤,
さらに鉛直軸を鉛直にするためのプレ
ートレベル(上盤気泡菅)がついている。
セ オドラ イト 02
① 視準軸 誤差( c):視準軸は,対物レンズ
中心を通り水平軸に直交する軸。視準線
とは対物レンズ中心と十字線とを結んだ
線。視準軸誤差は視準軸と視準線との違
い。
c:視準線の傾き
h:高度
→正反観測で消去
② 水平軸 誤差( i):視準線と水平軸が直交
し,鉛直軸と水平軸 の直交からiだけ傾い
ている場合を考える。これを水平軸誤差
という。
→正反観測で消去
⑤ 偏心誤 差:目盛盤の中心( O)からはずれ
た位置に鉛直軸(回転軸)の中心がある場
合には,水平角測定値に誤差が生じる。し
かし,対称位置に A,Bの対向測微装置(読
定装置)があり ,180度対称位置が読定さ
れれば,夾角には偏心誤差は含まれない。
→ 測微装 置が 1つ でも正 反観測 で消 去
鉛直角観測では望遠鏡正,反における望遠
鏡の回転角はθであり ,180度の回転は行わ
な い か ら 測 微 装 置 の 位 置 は 1 8 0度 の 対 向 位
置には来ない。したがって ,鉛直角観測では
測 微 装 置 1個 の 場 合 に は 偏 心 誤 差 は 消 去 さ
れない。
⑥目盛誤差:目盛盤の目盛間隔が不等のた
めに,使用する目盛の位置によって測定
値が変わる。これを目盛誤差という。最近
は写真技術を用いる目盛技術が発達し,
大きな目盛誤差はなくなった。
目盛の製作技術の観点から周期性がアト
ランダムであると考え,目盛誤差を消去す
るため目盛の全部を等分した位置で観測す
るし,これらの平均値で ,目盛誤差を近似的
に減らす手法を使用する。n対回観測の場
合,180°/nずつずらして観測する。
5
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
セ オドラ イト 03
○ 正反観 測の 平均値 で消 去でき る誤 差
水平軸誤差:
水平軸と鉛直軸が直交していない
視準軸誤差:
視準軸と視準線が一致していない
目盛盤の偏心誤差:
目盛盤の中心が鉛直軸の中心と一
致していない
望遠鏡の偏心誤差:
望遠鏡の視準線が鉛直軸の中心か
ら外れている
○ 正反観 測の 平均値 で消 去でき ない 誤差
鉛直軸誤差:
鉛直軸の方向が鉛直線の方向に一致してい
ない
目盛誤差:目盛盤の目盛間隔が均一でな
い
ゆらぎによる誤差:
空気密度の不均一さによる目標像のゆ
らぎ
セ オドラ イト 07
○ 視差の 消去
十字線を見て合焦(焦準)ネジで調整す
る
視度調整1回、平均距離の方向を零方向
とし,視度調整を行い ,全方向を観測す
る
( 光波測 距儀 )
光 波測距 儀 01
○ 機能点 検
光学求心装置にフラツキがなく正常で
あること
デジタル表示ランプが正常であること
モニタメーターの表示が正常範囲内で
あ ること
光 波測距 儀 02
○ 測定距 離
セ オドラ イト 04
○ 機能点 検
光学求心装置にふらつきが無く正常な
こと
各軸の回転が円滑であること
気泡管の調整機構が正常で ,気泡の移動
が滑かなこと
望遠鏡の視度調整機構が円滑で、測量中
に視度の変化がないこと
水平鉛直角の読取装置が正常なこと
光波測距儀固有の標準屈折率
n:測定時の光路の屈折率
:見かけの測定距離
:光 波 測 距 儀 が 採 用 す る 標 準
屈折率
:気象観測から得られた屈折率
セ オドラ イト 05
○水平角の検定
3方向に0゚,60゚,120゚,及び30゚,90゚,15
0゚の 3 対 回 を 1 セ ッ ト の 観 測 を 2 セ ッ ト 行
い, 各セットの 倍角差 ,観 測差,中数 値 (T 1
-T 2 )を検定する
λ
λ
セ オドラ イト 06
○鉛直角の検定
3個の目標を1対回観測し ,
高度定数の較差を検定する
気象補正済みの距離(m)
気象補正していない距離
光波測距儀が基準としている気圧
6
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平成
27年
両端点の平均気圧
光波測距儀が基準としている温度( ℃)
t:両端点の平均温度
光波測距儀が基準としている水蒸気圧
両端点の平均水蒸気圧(
)
湿度項
群速度に対する屈折率( ℃,
の空気)
:光波の実効波長( )
光 波測距 儀 03
○ 測定距 離
:測定値
:気象補正値
:器械定数
:反射鏡 (ミラー) 定数
○ 変調周 波数 の影響
f:測定時の周波数
:器械の基準周波数
→ fが f o よ り 低 い と き は f o -f>0,dD<0と な っ
て 測定長 は短 くなる 。
光 波測距 儀 08
○ 距離に 比例 する誤 差
①気象測定による誤差
②周波数変動による誤差
○ 距離に 関係 しない 誤差
①位相差分解能
②器械定数誤差
③器械本体、反射鏡の致心誤差
④反射鏡の定数
⑤反射鏡致心誤差
光 波測距 儀
○ 距離測 定三 点法
:器械定数+反射鏡定数
光 波測距 儀 05
○ 測定距 離の 比例誤 差:屈折 率(n)の 誤差
(Δ n)が 測定 距離( Ds) に及ぼ す影 響
=
, :定数
:気温
:気圧
ト ータル ステ ーショ ン 01
○ 利点
角度と距離の測定が同時に可能
観測データは自動記録され ,手簿記入が
省略できる
(入力 は器 械高と ミラ ー高の み)
転記ミスがなく ,観測時間が短縮
観測データの点検が自動で行える
三次元座標が求まる
一連の自動処理が可能である
(トータルステーション)
光 波測距 儀 06
○ 気象補 正:
:゚
:
: (水蒸気圧)
○ 気象補 正前 に
気温が低くなると→測定距離が長くな
る
気圧が低くなると→測定距離が長くな
る
光 波測距 儀 07
ト ータル ステ ーショ ン 02
○ 短所
重量が重く、価格が高い
取扱が難しい
常識を越えたミスの発見が難しい
人意的なデータ操作ができない
ト ータル ステ ーショ ン 03
○ 発展
角度と距離の同時測定から画的データ
が作成され,道路設計システム ,土木施
7
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成工管理等に利用できる
27年
GPSと組合せた測量システム
構造物を定期的に自動測定し ,歪み等の
管理ができる
ト ータル ステ ーショ ン 04
○ 取扱上 の注 意点
取扱説明書を熟読し ,正しい操作
斜距離と水平距離の間違 ,測点番号 ,器
械高,気象データ,反射鏡定数の手入力
ミスを防止する
器械重量が大きいことから ,三脚のねじ
れ,器械沈下のための脚杭 ,踏み板の設
置等を検討する
バッテリー残量に注意し ,予備電源を用
意す る
データコレクタは ,フロッピーディスク
の湿気や衝撃に弱いため ,取扱には十分
注意する
収 集観測 デー タは , 速や かに , コピ ー ,
パソコン等へ転送 記録する
モニター,データコレクタに異常が発見
された時は,作業を中止し ,異常原因と
影響範囲を調査する
測 量 ラ ーニ ング集
[NO.03] 基 準点測 量
基 準点測 量 01
基準点測量:
三角測量はなくなり,基準点測量はトー
タルステーション( TS)等で角と距離を測り
座標差を求める方法 ,GPS測量機で基線ベク
トルを求める方法が 行われる 。
既知点の基準点に基づき,測角測距を行
い新点の基準点の水平位置,標高を定める
作業をいう。
基 準点測 量 03
(1)作業計画
地形図上で新点の概略位置と測量方式
を決定,平均計画図を作成
作業方法,使用機器,要員,日程につい
て適切な作業計画書を作成
基 準点測 量 04
(2)選点
平均計画図に基づき ,現地で既知点の現
況調査を行い新点位置選定
地形,植生,他現地状況に応じ作業の実
施方法を検討
選点図の作成と平均図の承認を得る
基 準点測 量 05
○平均計画図
地形図等(主に空中写真)を用い机上計
画を作成
既知点と新点の予定位置をプロット
新点条件,配点密度を考慮する
○選点図
平均計画図に基づき現地調査を行い ,測
点間の視通を確認し新点を確定
確認された視通線を記入する
○平均図
観測図,選点図に基づき ,作業規程条件に
適合し効率的に作業できる多角網を確定
○観測平均図
計画機関で承認を得た平均図に基づき作
成す る
基 準点測 量 06
基 準点測 量 02
TSに よる方式
①測量計画
②観測
③計算
GNSS(GPS)に よる方 式
①測量計画
②観測
③計算
○選点の留意点
既知点の数を多くし均等に配置する
交点の数を多くし各路線が強く結ば
れていること
路線は短く,節点の数を少なくする
路線長を均一にする
短かい折線は避ける
○新点の選定条件
視通が良好
8
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成地盤が安定
27年
後続作業の利用
標石の保全等を考慮
最も適切な位置に選定
道路の変更改良 ,新設計画等を関係官公
署に照会し移転のない位置
交通量の多い道路上は避ける
交差点付近は将来の利用面で良い
泥湿地,軟弱地盤河岸,堤防,盛土等の
局部的に地盤沈下が予想される場所は
避ける
発見の容易な場所
埋設,観測作業の容易な場所
基 準点測 量 10
(5)現地計算(補正計算 ,点検計算)
(6)平均計算
新点の水平位置,標高に関する諸要素
を計算し,成果表等を作成する作業
基 準点測 量 07
(3)測量標設置
新点等の位置に永久標識 ,一時標識
を設置する
必要に応じ保護施設を設ける
所定の規格,方法で堅固に埋設する
建標承諾書の取得
測量標設置位置通知書の作成
点の記の作成と写真撮影
基 準点測 量 08
(4)観測
平均図に基づき ,トータルステーション ,
セオドライト ,光波を用い ,関係点間の
水平角,鉛直角,距離を測定する作業
必要に応じ測標水準測量を行う
基準点が直接観測できない場合は ,偏心
要素を測定
計画機関で承認を得た平均図に基づき
観測図を作成
GPS衛星からの電波を受信し位相デ
ータを記録する
基 準点測 量 09
○点検路線
路線長が短いこと
既知点と既知点を結合すること
全既知点が少なくとも1つの点検路線
で結合されていること
全単位多角形は少なくとも路線の1つ
が点検路線と重複すること
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土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.04]
GNSS(GPS)測量
4)短縮 スタテ ィック 法:衛 星数を増 す代わ り
に(5衛 星以 上)観 測時 間を短 縮す る方法 。
( 20分 程度 )
5)キネ マティ ック法:基 準とな る固 定点に 1
台の受信機を固定し,もう1台の受信機は複
数の観測点において短時間で次々と移動しな
が ら行う 方法 である 。
GNSS01
○ 汎地球 測位 システ ム
衛 星軌道 半径 : 高度 20,000kmの 6軌 道
地 球1周 :1 2時間
軌 道情報 は放 送暦
2 4個の 人工 衛星発 信電 波の内 ,
 4 個以上 の衛 星から 同時 受信
水 平 X, Y,高 さ Z,時間T
受 信機の 時計 誤差を 考慮
GNSS04
○ ネット ワー ク型
法 ( 1台で観測 )
(1)
:電 子 基 準 点 の 観 測 値 を 利 用 し , 電 子
基準点内の誤差状況を推定して,エリア内
の 任意指 定位 置(仮 想点 )での 観測 を作成
(2)
: 観 測 点での 各種 誤差を 推定
GNSS05
GNSS02
① 単独測 位
受信機1台で,衛星からの電波に含まれ
るコードの情報によりリアルタイムに位
置 決定を 行う 。
航 法分野 :精 度 100m程 度
既 知点は 不要
② 相対 (干渉)測 位
複数の測点で同時観測を行い,測点間の
相 対 的 位 置 関 係 (距 離 と 方 向 )を 求 め る 方
法
既 知点座 標が 必要
デ ィファ レン シャル 方式:DGPS・差 動 GPS
干 渉測位 方式:ス タティ ック法 ,短 縮スタ
テ ィック 法 ,キネ マテッ ク法(
法 、ネ
ッ トワー ク型
法)
GNSS03
1)DGPS(作動 GPS):単独 測位の よう に ,コード
情 報 で 位 置 を 出 す が , 受 信 を 2箇 所 で 行 い ,
一 方 を 基 準 局 (既 知 点 )と し て 相 対 的 な 位 置
決 定を行 う。 (トラ ンス ロケー ショ ン法)
2) 干 渉 測 位 : 2 点 で 搬 送 波 の 位 相 を 受 信 し ,
その差をとることで電波の行路差を観測量
と して基 線解 析を行 う。行 路差の搬 送波( L
1波 )に 19cm の不確 定が 生じる ので ,次の
方 法で決 定す る。
3)ス タテ ィッ ク法(静的 干渉測 位):観測時
間中、受信機をそれぞれの観測点に固定し
て 連 続 的 に デ ー タ を 取 得 す る 。 ( 1-3時 間 )
○ ジオイ ド補 正:
観測からは
系に準拠する
楕 円体高 hが求 まる
ジオイド高 を補正し楕円体高から標高
を 求 める
日 本測地 系
GNSS06
○ 座標変 換
系 へ の変換 パラ メータ
基 準点座 標 92, パ ラメータ マップ
座 標変換 プロ グラム :
GNSS07
○ 誤差
電 離層伝 搬遅 延誤差 :
周 波数の 2乗 に比例
2 周波 (L1.L2)観 測で 補正
対 流圏伝 搬遅 延誤差 :標 準大気 モデ ル
( 気温, 気圧 、湿度 )で 補正
整 数値バ イア ス:多 重解 からの 基線 解観
測 時間を 確保 する
ア ンテナ 高計 測誤差 :同 機種の アン テナ
を 同方向 に立 てる
時 計誤差 :二 重位相 差を 計算す る
軌 道情報 誤差 :精密 軌道 暦を用 いる
サ イクル スリ ップ
10
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
GNSS08
○ 基線ベ クト ル
観 測 デ ー タ を 解 析 し 衛 星 か ら の 距 離 差 (行
路 差 )より求め る
・ 0.001mま で は
GNSS09
○ 観測( 干渉 測位方 式)
観 測図:セッ ション(同 時に複 数の GNSSを
用 いて行 う観 測)計 画を 記入
既知点と新点を結合する閉多角形を形成
する
異なるセッションの組合せ点検のための
多 角を形 成
異なるセッションの組合せ点検のための
1 辺以上 の重 複観測
標 高取付 :楕 円体高 差= 高低差
( 距 離 500mま で)
GNSS10
① スタテ ィッ ク法( 静的 )
精 度 :数百 kmで 数 cm
測量点にアンテナと受信機を設置し,全
点 同時に GNSS電 波 を受信記 録する
② 短縮ス タテ ィック 法
③ キネマ テッ ク法( 動的 )
既知点に1台の受信機を固定し,もう1台
の受信機を複数の未知点を順次移動し観測
する
GNSS観 測 し 基 線 長 と の 差 が 許 容 範 囲 内 か
を 点検
GNSS13
○ 機能点 検
光学求心装置にフラツキがなく正常であ
る こと
デ ジタル 表示 ランプ が正 常なこ と
モニタメーターの表示が正常範囲内であ
る こと
ア ンテナ 、ケ ーブル 、コ ネクタ ーが 正常で
あ ること
GNSS14
○ 観測値 の点 検
基 線 ベ ク ト ル の 環 閉 合 差 : 25mm
異なる
セッション多角形の,基線ベクトル各成
分 の環閉 合差 を計算 する
重 複する 基線 ベクト ルの 較差: 25mm
重複する基線ベクトルの各成分を比較点検
す る
GNSS15
○ 偏心要 素
偏 心距離 :斜 距離
偏 心角: 方位 角 ,高 低角 ,高低 差
ト ータル ステ ーショ ン等 は
偏 心距離 :基 準面上 の距 離
偏 心角: 零方 向と本 点間 の 夾角
GNSS11
○ 受信高 度角 : 15度 を標 準
上空視 界が 確保で きな い場合 は ,
30度 まで緩 和し てよい
GNSS12
○ 検定
国 土 地 理 院 の GNSS比 較 基 線 場 に お い て 観
測 値と基 線長 の差が 許容 範囲内 かを 点検
GNSS比較 基線 場の使 用が 困難な 場合 は ,1
k m以 上 離 れ た 2点 以 上 の 任 意 の 点 を 設 け
検定された光波等により測定し,基線長
と する
GNSS16
○ 利点
長 距離で 高精 度な測 量が 可能
観 測点間 の視 通がな くて もよい
三 次元的 な相 対位置 が求 まる
天 候障害 が少 ない
全 地球的 範囲 で24 時間 の観測 可能
準 拠楕円 体高 が求ま る
○ 発展
航 測 カ メ ラ と 連 動 す る こ と で ,高 精 度 な
空中三角測量が可能となり,撮影標定図
が 自動出 力き れる
音 響測深 機と 連動す るこ とで ,海洋 調査 ,
河 川の流 量流 速観測 が行 える
11
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.05]
多角測量
三 角点
( 歴史)
一 等三角 測量 ではイ ンバ ールテ ープ(ワ イヤ )
で 計 測 し た 数 百 メ ー ト ル の 基 線 Iに 基 づ い て 、
そ の 辺 を 含 む 2つ の 三 角 形 ( 基 線 Iは 四 辺 形 の
対 角線)の内 角を調 整し て、も う一 つの対 角線
II( 何 回も拡 大して 40k m)を求め 、各 辺 40k
mぐらいの三角形にして、日本の三角測量は
明 治時代 に完 成する 。
三角測量の形は三角網と三角鎖とがあるが、
前者は日本国内及び朝鮮半島、後者は満州国
時代に行われ、東京原点は朝鮮半島から満州
ま でを結 合し ている 。
三 角測量 から 電波測 距装 置(テ ルロ メータ )が
開 発され 、三 辺測量 にな り、さ らに 光波測 距装
置 により 多角 測量が 行わ れてい る。
セオドライトと光波測距儀の一体型の器械、
つ まり角 度と 距離が 同時 に測れ る、TS(トー タ
ル ステー ショ ーン)が開 発され て、それが 現在
ま で使用 され ている ので 、そ の構造・誤 差、偏
心 観測、その 他多角 測量 に関係 する 事柄を 、こ
こ では取 り扱 うこと にす る。
多 角 測 量 01
正 弦定理 :
余 弦定理 :
表6
観 測結果
T' 53 25'23"
e
2.000m
φ 330 00'00"
=1/2000 2 105 =100"
=53o 25'23"
S’が 既 知 の 場 合 ( 2 辺 夾 角 )
(例 : 平 成 22年 補 )
距 離 AB=Sの 算 出
観 測結果
S' 900m
e
100m
T
314°00'00"
φ 254°00'00"
面 積:
( R: 外接円半 径)
多 角 測 量 02
○偏心補正
1) 視 準点 (目 標 )の偏心
( 例 : 平 成 23年 補 )
( 偏心) ∠ BAC= Tの 算出
S=2,000m
12
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
多 角 測 量 03
○ 鉛直軸 誤差 :
v:鉛直 軸傾斜 角
U:鉛直 軸最大 傾斜 角と視 準目 標角
H:視準 高度角
( U=90゚のとき )
気 泡管軸 が鉛 直軸に 直交 してい ない
目標高低角が大きくなると誤差も大きく
なる
気泡偏位量で観測値を補正すると誤差は
小
さ くなる
H 2 =40.487+1.4-1.9=239.987m
(例②)反観測
既 知点 1の標高 H 1 =200.000m
求 点 2での高低 角 2 =-1 31 40
観 測斜め 距離 L= 1,500.000m
求 点 2での器械 高 i 2 =1.5m
既 知点 1での目 標高 f 1 =1.8m
H 2 =200.000-39.992-1.5+1.8=240.292m
多 角 測 量 08
○ 気差
測 定距離 Sを挟 む中心 角:
多 角 測 量 04
Sを 挟 む地球の 中心角 : =
○ 水平軸 誤差 :
水 平軸が 鉛直 軸に直 交し ていな い
屈 折係数 K=R/R ( = 0.14)
(気 差 )
(球 差 )
多 角 測 量 05
○ 視準軸 誤差 :
視 準線が 水平 軸に直 交し ていな い
多 角 測 量 06
目 盛盤の 偏心 誤差: 外心 誤差
視 準軸の 偏心 誤差
目 盛誤差 :目 盛間隔 が均 等でな いこ とに
よ る誤差
180゚/ nず つ目盛 位置 を変え て観 測する
多 角 測 量 07
高低計 算
正 観測( 既知 点→求 点) :両差 Kは+
反 観測( 求点 →既知 点) :両差 Kは-
正 反の平 均→ 両差 Kは消去 される
(例 ① )正 観 測
既 知点 1の標高 H 1 = 200.000m
既 知点 1での高 低角 1 =1 32 50
点 1-2間 の斜め 距離 L=1499.475m
既 知点 1での器 械高 i 1 =1.4m
求 点 2での目標 高 f 2 =1.9m
(両 差 )
両 差K = 球差 -気差
両 差+: 既知 点→求 点
両 差-: 求点 →既知 点
(例③)
水 平距離 S=1,500.000m
球差=
0.177m
気差=
0.025m
両 差K =球差 -気 差 =0.152m
(∴ 四 等三角点 間の両 差は 約 15cmで あ る。 )
多 角 測 量 09
○ 傾斜補 正:
L:斜距 離
(例)
L=500.000m
h=16.0m
Cg=-0.256m
水 平距離 D=500.000-0.256=499.744m
13
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
多 角 測 量 10
平 均高低 角
○ 投影補 正:
H 1 :点1の 標 高
i 1 : 点 1の 器械高
H 2 : 点 2の 標高
i 2 :点 2の 器械高
R=6370km
H m :楕円 体上の 両端 点の平 均高 さ
Ng: 両 端点の 平均 ジオイ ド高
D:測 定 距離
(例 )
点 1の 標高 H 1 =200.000m
点 2の 標高 H 2 =239.987m
回 転楕円 体上 平均高 さで の水平 距離
D=1,498.928m
ジ オイド 高 Ng=37.507m
器 械高
m
平均
Ng:ジ オイド高 ( A,Bの平均 値)
R: 地 球の平均 半径
準 拠楕円 体上 の平均 高さ
(例)
斜 め距離 L=1,499.468m
H 1 =200.000m
i 1 =1.5m
H 2 =239.987m
i 2 =1.5m
既 知点 1での高 低角 1 =1 32 50
求 点 2での高低 角 2 =-1 31 40
ジ オイド 高 Ng=37.507m
準 拠楕円 体上 の平均 高さ
( この Nは卯酉 線曲率 半径 )
-0.061m
水 平距離 S=1,498.867m
注 ) 地 球 の 平 均 半 径 Rは 卯 酉 線 曲 率 半 径 Nと 子
午 線曲率 半径 Mか ら計算さ れ、ジオイ ド高 Ngは
GSIの HPか ら 緯 度 、 経 度 を 用 い て 得 ら れ ま す 。
緯 度 34 41 25 、経度 135 30 19 と する と、ジオ
イ ド 2000よ り Ng=37.507m となり ます 。
( この Nは卯酉 線曲率 半径 )
楕 円体上 の距 離 S=1,498.867m
多 角 測 量 12
○ スチー ルテ ープに よる 距離の 計算
ℓ
多 角 測 量 11
○ 基準面 上の 距離( S)
S:回 転楕 円体 上の 距 離
L:斜 距離
H 1 :A点 の標高
i 1 : 器 械高
H 2 :B点 の標高
i2: 器械 高
1 : A点 におけ る高低 角
2 : B点 におけ る高低 角
ℓ
(t-t o )L>0のと き:+ 補正
傾斜 補正 Cg:- 補正
投影 補正 C h : H>0のと きは- 補正
多 角 測 量 13
○ 朝夕の 角観 測
 水 平角: 朝夕 がよい
 高 低角: 朝夕 は避け る
多 角 測 量 14
14
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
27年 ,基 準方向
○成
零方向
自 点より 高次 点を採 用す る
全 方向の 平均 距離, 平均 高度を 配慮
北 方の点 を採 用する
平 面 直 角 座 標 系 に お い て , A点 を 通 り X軸 に 平
行 な 直 線 の +X の 方 向 か ら 右 周 り に B点 の 方 向
ま で測っ た角
真 北方向 角
( 方位角 )= (方向 角) -( 真北方向 角)
多 角 測 量 15
○ 球面か ら平 面への 投影
(平 面 直角座標 系 )
m:縮 尺係 数
y : y座標値
R: 平 均曲率半 径
m o :原 点 の縮率 ( 0.9999)
(例 ① )平面直 角座標 値x =-187,323.352m、y=
-35,145.927m 、緯 度 =34 18 38.157 で の縮尺
係 数mを 求め ると、
GRS80楕 円体の 長半径 a=6,378,137m
扁 平率の 逆数 1/f=298.2572221
b=6,56752.314m
卯 酉線曲 率半 径
子 午線曲 率半 径
平 均半径
多 角 測 量 17
○ 三角点 成果 表
1)三角 点ごと に作成 され,標題に三 角点の 等
級 ,点名 ,標 石番号 が表 示 され る。
2)B,Lは 準拠 楕円体 上の 地理学 的緯 度、経 度を
示 す。
3)真北 方向角 は,当該三 角点を 通る 座標の 北
か ら子午 線方 向の方 向角 である 。
4) X,Yは 平面 直角座 標系 の座標 値を 示す 。
5)標 高( H)は 東京湾 平均 海面( ジオ イド)上
の 高さを 示す 。
6)ジオイ ド高 は準拠 楕円 体を基 準と したジ オ
イ ド面ま での 高さを 示す 。
7) 柱 石 長 は 永 久 標 識 を 設 置 し た 在 位 の 柱 石 ,
又 は金属 標の 長さを 示す 。
8)平均 方向角 は,当該三 角点か ら視 準点 方 向
の準拠楕円体面上の球面方向角で,平均計
算 で得ら れた 値で表 す。
9)距離 は,当 該三角 点か ら視準 点ま での準 拠
楕 円体上 の球 面距離 を表 す。
10) 縮 尺 係 数 s/Sは 球 面 距 離 Sに こ の 値 を 乗 ず
ると,その点に属する平面直角座標系の平
面 距離 sとなる 係数で ある 。
距 離の縮 率
多 角 測 量 18
水 平角観 測手 簿の例
(2点 の Y座 標 値 y 1 ,y 2 か ら の 縮 尺 係 数 )
s
(例 ② )2つ の 点 の 平 面 直 角 座 標 値 x 1 =-187,323.
352m、y 1 =-35,145.927m、緯度 1 =34 18 38.1
57 と x 2 =-187,113.858m 、 y 2 =-34,609.285m 、
2 =34 18 45.022 の距 離の 縮率は、次 のよう に
求 められ る。
m= s/S=0.999920018
多 角 測 量 16
方 位角
A点 を 通る子午 線を基 準に B点 まで測っ た角
方 向角
準 則 38条
15
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
1級 基 準点測量
2級
1級TS
2級
2級 TS
3級
4級
倍 角差
15
20
30
30
60
観測 差
8
10
20
20
40
②
ℓ
式 ①から
③
こ れを式 ②に 代入し て変 形すれ ば
ℓ
上 の例は 4級基 準点測 量と すると 、
① 倍角差 = 40 < 60 → 合格
② 観測差 = 40 = 40 → 合格
③ 観測角 = (140+100)/4= 60
→ 321°35 60 = 321°36 0
ℓ
正 しい天 頂角(鉛直 角)は 式④か ら計 算でき る。
式 ①と式 ②を 加える と
ℓ
⑤
こ の 2cが高度 定数で ある 。
多 角 測 量 19
○ 高度定 数
ある目標の高度角を望遠鏡正、反で測った値
を r、ℓとする と r+ℓ=一定 となり、こ れを高 度
定 数 と い う 。 普 通 の セ オ ド ラ イ ト は r+ =360
となっている。高度定数が大きくなる場合に
は 、 望 遠 鏡 気 泡 管 軸 を 調 整 し て 360 に 近 づ け
る。
図1
④
( 鉛直角 手簿 (高度 定数 )の計 算例 )
図2
定 数差= 63-56= 7 < 10 ( 1級 基準点)
図3
準 則 38条 (高 度定数 の較 差)
1級 基 準点 10
2級 基 準点(1級 TS) 15
( 2級 TS) 30
3級 基 準点 30
4級 基 準点 60
図 1の よ う に 視 準 線 の 接 眼 鏡 側 に 目 盛 盤 の 9
0°を 合 わ せ る べ き と こ ろ 、 cだ け ず れ て 固 定
さ れてい るも のとす る。
図 2は 望 遠 鏡 正 で 目 標 Pを 視 準 し た 場 合 で 、 正
し い天頂 角( 鉛直角 )を Zと すると、
①
次 に 図 3は 望 遠 鏡 を 反 転 し 、 望 遠 鏡 反 で 目 標 P
を 視準し た場 合であ り、
16
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
多 角 測 量 20
ド高
標高 ジオイ
楕円体高
地面
: 測線 の誤 差
・ : 測線 に直角 方向 の誤差
: 方 向角 の誤差
d:交 角の 誤差
ジオイ
ド
楕円 海水
体
面
多 角 測 量 21
○座標の計算
X o ,Y o :既 知 点 Oの座標
Ti:X軸 に 平 行 な 方 向 か ら 測 線 ま で の 右 周 り 水
平角
Si:測 定辺長( 平面距 離)
内 角測定 の場 合
外 角測定 の場 合
( 平 成 19年 )点 Aの座標値 は、X=-500.00m、Y=
+1,000.00mと する場 合、点 Pの X座標 値及び Y座
標 値の値 はい くらか 。
方 向角 TAP=310°
距 離 SAP= 1,000m
多 角 測 量 24
○ 倍角差 ,較 差,観 測差
r:正
ℓ:反
倍角 : r+ℓ
較差 : r-ℓ
倍角 差: 倍角の 最大 と最小 の差
観測 差: 較差の 最大 と最小 の差
多 角 測 量 25
○ 倍角 ,倍角 差,較差 ,観 測差に 含ま れる 誤 差
① 目標の 視準 誤差
② 目盛盤 の読 取誤差
③ 目盛盤 の目 盛誤差
④ 視準軸 誤差 ・水平 軸誤 差
⑤ 鉛直軸 誤差
⑥ 偏心誤 差
区分
倍角
倍 角差
較差
観 測差
1
○
○
○
○
2 3 4
○ ○
○ ○
○
○
○
5
○
6
多 角 測 量 26
多 角 測 量 22
○ 新点精 度:
結 合 多 角:混 在する 多角 網の他 ,
型があ
る。
単 路 線:両端 に既知 点を 有し ,一路 線で新 点を
結 ぶ方式 。
閉 合 多 角 : 2個 以 上 の 単 位 多 角 ( 閉 合 多 角 形 )
に より形 成さ れる多 角方 式。
Q: 図形の良 否
( Qは 小さいほ ど図形 の精 度は良 い)
m: 単位重み 精度( 秒)
多 角 測 量 27
閉 合誤差 :
多 角 測 量 23
○ 測距と 測角 の精度 の釣 り合い
ℓ
閉 合比: R =
17
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
=
正 しい距 離=
ℓ
m
多 角 測 量 33
多 角 測 量 28
ト ラバー スの 調整
○コ ン パ ス 法 則
角 度,距 離の 精度が 等し いとき
S i :各 測 線長
[S]:全長
○ト ラ ン シ ッ ト 法 則
角 度の精 度が ,距離 より 高いと き
各 々の緯 距 , 経距に 比例 配分
① 1方 向の角の 測定精 度 は いくら にな るか。
② 測距の 測定 精度( =測 距の標 準偏 差 /測定距
離 )はい くら になる か。
致 心 誤差に 基づく 方 向 の標準 偏差:
m に対し
ラ ディ アン
→ 秒に換 算
セオドライト自体の 方向測定の標準偏
差:
測 距の精 度を
多 角 測 量 31
○ 距 離 測 定 三 点 法 ( 光 波 測 距 儀 04よ り )
D 3 +K=D 1 +D 2 +2K
K: 器 械 定 数 + 反 射 鏡 定 数
( 例)平 坦な 土地で 器械 高 ,反 射鏡 高を同 じに
して,光波測距儀で
の各区間の距離を測
定 した。器械 定数は いく らか。プリ ズム定 数=
m と する 。
m,
m,
m
だ から器 械定 数=
○ 測距と 測角 の精度 の釣 り合い
角の測定精度=セオドライトの測定誤差+
致 心誤差
(
)=
多 角 測 量 34
光 波測距 儀 08よ り
光 波測距 儀を 用いて ,2点 A、B間の斜 距離を 求
め る場合 ,誤 差源と なら ないも のは どれか 。
(1)気 温 , (2)気 圧 , (3)測 距 儀 の 変 調 周 波 数 ,
(4)測 距 儀 の 器 械 定 数 , (5)A点 に お け る B点 の
高 度角
解 答 (5)
多 角 測 量 32
多 角 測 量 35
○ 変 調 周 波 数 の 影 響 ( 光 波 測 距 儀 07よ り )
気象要素の測定誤差が,光波測距儀の測定
距離に及ぼす影響は,概略で次式により表さ
れ る。
:測定時 の周波 数
: 器械 の基準 周波 数
気 温測定 の精 度が 1℃のと き,これと 釣り合
う 気圧測 定の 精度は いく らか。
例 変調周波数の基準値が
の
光 波測距 儀に より 点 間の 距離を 測定 し ,
m を 得た が ,変 調周 波数を 調べ たら
で あった。正 しい距 離は いくら か。
多 角 測 量 36
○方向角の閉合差
18
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平成
27年 A,B間の 結合ト ラバ ースを 行い、次 の
三 角点
夾 角を得 た。
=
=
=
=
=
既 知点間 の方 向角
=
= ゜
観 測方向 角の 閉合差 はい くらか 。
=
か ら へ の方 向角 =
(1) から へ の方向 角
Cか ら Aへの方 向角は
多 角 測 量 39
多 角 測 量 37
○方向角の標準偏差
結 合トラ バー スにお いて
4個 の 夾角βを 10"の 精度で 測定し た。方向 角 T
の 標準偏 差は いくら にな るか。ただ し ,A,C点
の 方向角 には 誤差が 無い とする 。
Pに 偏 心してTを 観 測した。 T を求 める 。
距 離 S = 1,800m
偏 心距離 e=2m
T=300°
φ = 36°
△ APBよ り x1=∠ ABPと して
″
°
多 角 測 量 38
○ 新 点 Cか ら 見 た 点 Aの 方 向 角
座標
点
m
点
m
座 標差
点
m
を 求める ため
=
を 求める と
m
m
m
19
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年 を 求める と
°
左 右の三 角形 の を 対頂角 として △ APCか ら
①
△ ABCよ り
②
① =②よ り
=
20
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.06]
測 量 機 器 ② レ ベ ル (水 準 儀 )
(レベル)
レ ベ ル 01
○気泡管の感度
気 泡 管 軸:直 読式の 場合 には ,気泡 管の目 盛の
中央の接線,合致式の場合には気泡が合致し
て 見える 状態 の気泡 の中 央の接 線で ある。
(感度)
) 気 泡管 の曲 率半径 を用 いる場 合
=
)気泡 管上の 目盛(
)に 対する 中心角
で 表す場 合
(気泡管の感度の測定)
① レベル と標 尺の距 離( )を
m に置き ,
レ ベルを ほぼ 水平(気泡 管の目 盛の 読み dl)
に する。
② その時 の標 尺の読 みを aと する。
③水準儀の俯仰ねじを回転し気泡管の目盛を
n 目盛だ け動 かす( 気泡 の読み dr) 。
④ その時 の標 尺の読 みは bとす る。
⑤ 気泡管 の感 度(傾 角)
整 準ネジ の回 転が円 滑で あるこ と
レ ベ ル 03
○測定点検
30m隔 てて,2 本の標 尺を 正しく 立て ,中
央にレベルを整置し,両標尺間の高低差
を 測定す る
レ ベ ル 位 置 を 両 標 尺 で 結 ぶ 直 線 上 に 18 m
移動して,再び両標尺間の高低差を測定
し,測定値の差が許容範囲内かを点検す
る
脚 向を 180度か えて2 回測 定する
(両側 目盛 標尺は 片側 2回)
レ ベ ル 04
水準測量作業用電卓(データコレクタ)
○利点:
従 来の手 簿に かえて 使用 できる
電子レベルと組合せることで,観測値が
作業用電卓に自動入力でき,誤読や誤入
力 がなく なる
○性能:
一 定容量 のデ ータ保 存が 可能で ある
入 力観測 値の 加工が でき ない
観 測値の チェ ック計 算機 能があ る
耐 久性に 優れ る
(電子レベル)
気 泡 管 の 目 盛 d ( mm) = 2m m ×n
気 泡 管 目 盛 1mmに 対 す る 傾 角 : θ /d
感 度 = 2θ ”/d( mm)
レ ベ ル 02
電 子 レ ベ ル 01
自動レベルとデジタルカメラ(画像処理
機 能)を 組合 せたも の
センサーからデジタル情報に変換す
る
コンペンセンタにより水平方向の視準線
を 確保す る
○機能点検
水 準器感 度:
以 上を使 用
気 泡管レ ベル:円 形水準 器 ,主水準 器軸と
視 準線の 平行 を点検 する
自 動レベ ル ,電 子レベル,円形水準 器,視
準 線の点 検 , コンペ ンセ ータの 点検
標 尺付属 水準 器の点 検
鉛直軸回転はマイクロメータのフラツキ
が なく円 滑で あるこ と
気泡管調整機構が正常で,気泡移動が滑
か なこと
望 遠鏡の 視度 調整機 構が 円滑で ある こと
十 字線調 整ネ ジに摩 耗が ないこ と
21
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.07]
水準測量
水 準 測 量 01
○ くい打 調整
誤差 :
補正 :
ℓ ℓ
ℓ
=0:水 平
<0:上 向
>0:下 向
・レベルを両標尺の直線上に整置するレベ
ル脚は特定の2脚が視準線に平行,かつ進行
方 向 に 対し 左右交 互に 整置す る
③ 三脚沈 下誤 差:
・地 盤堅固な 場所に 整置 し ,後視,前 視,前
視 ,後視 と観 測する
④ 零点誤 差:
・ 偶数回 観測 する
・ 出発点 に立 てた標 尺を 到着点 に立 てる
⑤ 標尺台 の沈 下:
・ 地盤堅 固な 場所に 整置 する
⑥ 球差, 気差 :等距 離で 観測す る
⑦ 炎動カ ゲロ ウ:距 離を 短くし て観 測
⑧ 目盛誤 差:
・標尺の 上下 部両端( 20cm)の観 測は 避ける
水 準 測 量 04
① 標尺間 距離 ( m )の 中間に レベ ルを据 え
る。
② その際 の後 視 前 視 を 読 み取る
③ レ ベ ル を前 視 の 標 尺か ら ( = m ) 離 れ た
点 に 移動さ せる 。
④ そのと きの 読み , を 読 み取る。
⑤ 直読式 の場 合 , 点に おいて
の値を
読むように整準ねじで調整し,気泡管調整
ね じで気 泡を 中央に 導く 。
( 合致式 の場 合)プ リズ ム調整 ねじ で ,気 泡の
像 を一致 させ る。
水 準 測 量 02
( 自動レ ベル の場合 )
1.整 準ね じで 器械を 水平 にする 。
2.自 動 レ ベ ル を 鉛 直 軸 周 り に 180回 転 さ せ る 。
3.こ の と き ,円 形 気 泡 管 の 気 泡 が ず れ て い る
ときには,その半分を気泡管調整ねじで調整
す る。
○ 電子レ ベル ,自動 レベ ル
コ ンペン セー タと画 像処 理機能
鉛 直の傾 き 10'以 内ま では 自動
視 準線の 調整 が必要
気 泡管の 調整 が必要
バ ーコー ド目 盛標尺 とセ ットで 使用
バ ーコー ド目 盛標尺 の距 離
水 準 測 量 05
○標尺補正:
標尺目盛誤差は目盛線位置刻印誤差と温
度
変 化によ る伸 縮に起 因し 変化す る
こ れらの 誤差 を少な くす る温度 補正
1 級,2 級水 準測量 で行 う
2級水準測量の標尺補正は、水準点の高
低
差 70m以 上に20℃ の標 尺補 正量を 用い る
○標尺補正量
基 準温 度 に おけ る標尺 定数
観 測時 の温度
基 準温 度
: 膨張係 数
: 高低 差
例
水 準 測 量 03
○ 誤差消 去法
① 視準軸 誤差 :等距 離で 観測す る
② 鉛直軸 誤差 :
基 準温度 の尺 定数:
線 膨張係 数:
観 測比高 :
観 測時の 温度
℃ 、基 準温度
℃ とすると ,
=
℃、
22
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平成
27年 正
標尺補
=
×
水 準 測 量 06
○ 楕円補 正:
水 準測量 は ,水準面 を基 にして 測量 する。水
準面はその点における重力方向に直交する面
を連ねたものであるので,重量で決まる面で
あ る。重 力は ,引力 と自 転のた めの 遠心力 との
合 力であ る。遠心力 は赤 道で最 大で ,極で は最
小 になる 。
水準面に対する比高をジオイド面からの
標 高にお きか える補 正
1 級,2 級水 準測量 で行 う
補正計算:
異なる観測高低差を統一基準日の観測高
低
差 に引き なお す補正
変 動速度 を一 定と仮 定し 観測値 を基 準日
の 値に引 きな おす補 正
水 準 測 量 09
○ 水準測 量:
既知点 の水 準点に 基づ き ,高低差 を測定 し ,
新 点水準 点の 標高を 定る 作業
水 準 測 量 10
: 点 間の中 数緯度
: 点間の 緯度差 (分 )
( ラ ジアン )
: 点間 の平均 標高 ( )
低 緯度 高緯 度:- 補正
高 緯度 低緯 度:+ 補正
正 標 高 : 重力 補正し た標 高
正 規 正 標 高 : 標準的な 重力を 使用 する標 高
水 準 測 量 07
○ 変動補 正
地盤沈下は観測作業中も進行するため,基
準 日に全 路線 の全観 測は 不可能 であ る
そ のため の基 準日に 引き なおす 補正
1)直 接水 準測 量
2点間の高低差をレベルと標尺を用い直
接
観 測する
レベルを2本の標尺の中央に水平に整置
し,
両標尺の目盛を直接読み取り高低差を求
め る
2) 渡 河水準測 量
直 接水準 測量 で結べ ない 水準路 線を 連結
す る目的 で, 2点間 の高 低差を レベ ル ,
標 尺,目 標板 を用い 直接 観測す る
3) 間 接水準測 量
2点間の高低差を
等を用い,角度,距
離 を観測 し, 間接的 に求 める
水 準 測 量 11
水 準 測 量 08
○ 地盤沈 下調 査
単 期間で 行う
前 年度と 同一 時期に 行う
前 年度と 同一 地域で 行う
1 級水準 測量 の精度 を確 保する
再 測は時 期を 遅らせ ず速 やかに 行う
調 査 事 項 :変 動が大 きい 水準点 は ,
前回と今回の観測間に他機関での移転,
改
埋 がない かを 確認す る
人 為的, 自動 車,そ の他 工事等 の移 動が
な いかを 確認 する
傾 斜を確 認す る
検 測を実 施し 観測値 を確 認する
○順序
① 作業計 画
② 選点
③ 測量標 の設 置
④ 観測
⑤ 計算( 現地 計算、 平均 計算)
⑥ 成果等 の整 理
水 準 測 量 12
④ 観測
水準路線は往復観測(簡易水準測量を除
く)
往 の標尺 と復 の 標 尺 は 交 換 す る
水 準点間 でレ ベルは 偶 数 回 す える
前 視・後視の視 準 距 離 を 等 し く ,レ ベルは
両 標尺の直 線 上 に 整置
23
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成三
27年
脚の特定の2脚と視準線を常に平行に
し,
か つ進行 方向 に左右 交互 に整置
新 点は埋 標後 24時 間 経 過 し た後観測
1 級水準 測量 では、開始・終了・固定 点到
着 時に気 温 を 1℃ 単 位 で測 定
水 準 測 量 13
⑤ 点検計 算
全単位水準環について,全水準路線の環閉
合 差,既知点 から既 知点 の閉合 差を 計算し ,
観 測値の 良否 を判定 する
水 準測量 14
重 量平均 によ る標高 計算
表 9-1
観測結果
路線 観測誤差
観測高低差
A→E
2km
2.139m
B→E
3km
-0.688m
E→C
1km
+3.069m
E→D
2km
-1.711m
水 準測量 15
(再 測)
第 65条 1級水 準測量 、2 級水準 測量 、3級 水
準測量及び4級水準測量の観測において、水
準点及び固定点によって区分された区間の往
復 観測値 の較 差が、許容 範囲を 超え た場合 は、
再 測する もの とする 。
一 往復 観測値 の較差 の許 容範囲 は、次 表を標
準 とする 。
1級 2.5mm√ S
2級 5mm√ S
3級 10mm√S
4級 20mm√S
(例 : 平成 23年 )1級水 準測 量
A→ (1)較 差 1.0m m: 距離 500m
(1)→ (2)較 差 0.3m m:距 離 500m
(2)→ (3)較 差 -1.9m m: 距離 500m
(3)→ B較 差 -1.1m m:距離 500m
較差
∴ (2)→ (3)の 路 線 の 較 差
を 再測す る。
>
表 9-2
既知点成果
既知点
標高
A
5.153m
B
3.672m
C
6.074m
D
1.290m
観 測標高
重量
24
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
ラーニング集
[NO.08]
用地測量
用 地 測 量 01
○ 用地測 量:
土地,境界等を調査し用地取得等に必要
な 資料, 図面 を作成 する 作業
4級基準点測量,4級水準測量以上の精
度 をもつ 基準 点に基 づき 行う
③ 境界確 認:
現 地一筆 ごと に土地 境界(境 界点)を 確認
す る作業
境 界確認 の立 会通知
境 界立会 (官 民、民 民)
境 界確定 :土 地境界 立会 確認書
方 法:
現 地で転 写図 ,土 地調査 表に基 づき ,関 係
権 利者立 会の 上 ,境界点 を確認 ,所 定の標
杭 を設置
用 地 測 量 06
用 地 測 量 02
作業工 程
①作 業計 画
②資 料調 査
③境 界確 認
④境 界測 量
⑤境 界点 間測量
⑥面 積計 算
⑦用 地実 測図原 図等 作成
用 地 測 量 03
① 作業計 画
用 地測量 実施 区域の 地形 ,土 地利用 ,植 生
状況等を把握し,用地測量の細分ごとに
作 業計画 を作 成する
作 業計画 書
( 作業方 法, 使用主 要機 器,日 程要 員)
既 存成果 の借 用
測 量調査 範囲 の確認
権 利者資 料の 借用
④ 境界測 量
現地で境界点を測定し,座標値等を求め
る作 業
補 助基準 点の 設置
境 界点測 量
座 標,距 離, 方向角 計算
用 地境界 仮杭 の設置
用 地境界 杭の 設置
観 測手簿 ,計 算書
方 法:
4 級以上 の基 準点か ら放 射法に よる
や むを得 ない 時は補 助基 準点を 設置 する
測量結果に基づき,計算から境界点の座
標 値、境 界点 間距離 ,方 向角を 求め る
用 地 測 量 07
○ 数値法
・T S,トラ ンシッ ト ,光 波を用い,4級基準
点 から放 射法 により 境界 座標を 求め る
○ 図上法
・基準点 に平 板を設 置し ,放 射法に より ,境界
点 位置を 直接 図示す る
用 地 測 量 04
② 資料調 査
土地取得等に係る土地の用地測量に必要
な 資料を 整理 ,作成 する 作業
作業計画に基づき法務局に備る地図,地
図 に準ず る図 面(公図 ),公 共団体に 備る
地 図等(公図 等)の転写 等を ,土地 登記 簿
調 査、建物登 記簿調 査、権利 者確認 調査に
区 分し行 う
用 地 測 量 08
○ 補助基 準点
放射法の基点となる基準点を家屋の密集
等 で設置 でき ない場 合に 設置す る
基 準 点 か ら の 辺 長 100m以 内 , 節 点 1 点 以
内 の開放 多角 測量に より 設置す る
所 定標杭 を設 置する
用 地 測 量 09
用 地 測 量 05
○ 用地境 界仮 杭設置
25
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成用
27年
地幅杭位置以外の境界線上で用地境界
杭の設置が必要な場合に,現地に用地境
界 仮杭を 設置 する作 業
用地幅杭または用地境界仮杭と同一点に,
所 定の用 地境 界杭(コン クリー ト杭 )を 設
置 換する 作業
 方 法:
交点計算による用地境界仮杭の座標値に
基 づき, 4級 基準点 より 放射法 で行 う
用地幅杭線と境界線の交点を視通法によ
り 決定す る
⑦ 用地実 測図 原図等 作成
 前節までの結果に基づき,用地実測図原
図 、用地 平面 図を作 成す る作業
 用 地実測 図原 図:
境 界点等 を図 紙に展 開す る
 用 地平面 図:
用地実測図原図の境界点等の必要事項を透
写し,現地建物等の必要項目を測定し描画
する
用 地 測 量 14
用 地 測 量 10
○ 用地境 界仮 杭と用 地幅 杭
用 地境界 仮杭 :
境界確認において確認した画地境界と用
地 幅杭線 の交 点
用 地幅杭 :
中心杭,役杭等からの中心線直角方向の用
地 幅杭点
用 地 測 量 11
⑤ 境界点 間測 量
境界測量等の隣接境界点間距離を測定し,
精 度を確 認す る 作業
距 離計算 値と 測定値 を比 較する
境 界測量 ,用 地境界 仮杭 設置 ,用地 境界杭
設 置の終 了時 に行う
隣接する境界点間,境界点と用地境界点
との距離を全辺現地測定し,用地幅杭設
置 測量で 計算 された 距離 と比較 し行 う
座 標より 面積 を求め る。
Y座
X 座標
境界点
標値
値(m)
(m)
A
20
20
51
1020
B
-38
10
-45
1710
C
-30
-25
-51
1530
D
7
-41
45
315
Σ
4575
Σ/2
2287.5
下 のよう に計 算する とよ り簡単 であ る。
Y座
X 座標
境界点
標値
値(m)
(m)
A
0
0
51
0
B
-58
-10
-45
2610
C
-50
-45
-51
2550
D
-13
-61
45
-585
Σ
4575
Σ/2
2287.5
面積=2,287.5m
用 地 測 量 12
⑥ 面積計 算
境界測量の成果に基づき,各筆等の取得
用 地の面 積 , 残地の 面積 を算出 する 作業
座 標法, 数値 三斜法 によ り行う
面 積計算 :
 用地取得する又は使用する区域
取 得等の 区域 に対し て行 う
残 地計算 :
一筆の土地が用地幅杭線により3分割以
上の場合,または一筆の土地の残地が一
画 地とし て利 用困難 な場 合に行 う
用 地 測 量 13
26
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
測量
より
ラーニング集
[NO.09]
面積計算
三 角形の 面積 公式 01
1) 底 辺 a,高 さh
(例題 )底辺= 10m、高さ= 5mの三角形の面
(例 題 )一 辺 の 長 さ が 15m 、 両 点 の 角 が そ れ ぞ
れ 35°、 68°の 三角形の 面積は 、
積は
2)
二辺 (a,b)と夾 角 (γ)
5) 二 等 辺 三 角 形 の 底 辺 と 頂 角
(例題 )二辺が 10m、8mであり、その夾角が
60°のとき、この三角形の面積は
3)
三辺(へ ロンの 公式 )
l
L
ここで、2s=a+b+c
θ
(例題 )三辺がそれぞれ 3m、4m、5mの三角
形の面積は、
l
4) 二 角 (β,γ)と 夾 辺(a)
A
ℓ
α
ℓ
c
ℓ
b
β
γ
ℓ
C
B
a
(例 題 )二 等 辺 三 角 形 の 隅 切 り の 面 積 を 求 め よ 。
た だし、 底辺 5m 、頂角105°と する。
27
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
四 辺 形 の 面 積 02
A
D
δ
a
α
c
β
(例 題 )
辺 a= 10m ,c= 8m、角α= 88°、β= 75°、γ
= 68°、δ= 129°の とき 、この 四変 形の面 積
は いくら か。
γ
B
E
C
( 与件) 辺 a,c、 角α 、β 、γ、 δ
( 求件) 辺 BC,AD、面 積 S= □ ABCD
d
A
f
D
α
δ
a
h
四 辺 形 の 面 積 03
180゚-(
α+β)
c
β
γ
B
C
b
E
E
g
e
△ ABEよ り
△ CDEよ り
A
D
δ
a
α
β
γ
B
b
C
d
A
f
D
α
h
a
δ
S1
B
b
180゚-(
α+β)
c
β
S2
γ
C
E
g
e
28
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
( 求件) CD=c,AD=d、 面積 S
( 与件 ) 角α 、β、 γ、 δ 、辺 a,b
( 求件) CD,AD、 面積 S
x
E
y
A
d
D
δ
a
α
c
β
γ
B
b
C
境 界 線 の 整 正 04
1) 屈 曲線を直 線にす る
B
β
c
a
TAB
P
α
A
D
TCP
γ
u
κ
b
C
△ ABCの 面積を 変えな いで、境 界線を 直線 APに
す る場合 の uを 計算す る。
( 与件) A,B,C,Dの座 標、 角α、 κ
△ ABCの 面積=
△ ADCの 面積=
①
②
① =② より
(例 題 )
( 与件 ) 辺 a= 10m ,b= 12.918m 、角α = 88°、
β = 75°、γ = 68°、δ = 129°のと き、こ の
四 変形の 面積 はいく らか 。
Pの 座 標
29
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
( 例題)
( 既知)角κ = 110°、γ = 30°、α = 25°31
06 、 c=25.534m
( 求める もの )距離 u
⑤
境 界 線 の 整 正 05
2) 屈 曲線を あ る平行 線で 直線に する
⑥
( 例題)
( 既 知 ) 角 κ = 110°、 φ = 80°、 ω = 89°、
γ = 30°、辺 a=22m 、 b=28m
( 求める もの ) u,v,w
A
c
b
w
P
λ
R
S
φ
u
κ
B
v
ω
γ
a
C
( 既知 )△ ABCの 各辺 a,b,c、角 γ ,κ、φ 、ω
( 求める 量) 長さ u,v,w
屈 曲 境 界 線 BACを 、 直 線 RCと PR=w の 直 線 と が
交 角 ω で 交 わ る 任 意 の 平 行 線 PRに 整 正 す る 。
そ のため PB=u、CR=v、PR=w を 以下に求 める。
①
②
BCの 頂点 を Oと する三 角形 を△ ABOとす ると
w=23.887m
③
④
△ PROよ り
30
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
(四辺形の面積の証明)
O
平 行 線 の 交 点 座 標 06
120
R
α1
ω
P
P2
110
κ
v
l2=
20m
5m
=1
l1
u
α1
=45
゚
w
R'
C
P3
P1
100
110
100
120
5m
1=
ω
n
ω2
=4
m
P'
P
道路
φ
λ
B
20゚
=1
α2 β=75゚
a
130
k
( 与件)
P 1 (x 1 ,y 1 )=(100.000,100.000)
P 2 (x 2 ,y 2 )=(100.607,110.607)
P 3 (x 3 ,y 3 )=(100.607,127.928)
道 路幅員
道 路幅員
+)
また
道 路の長 さℓ
①
②
道 路の長 さℓ
さ らに正 弦定 理より
③
④
③ 、④を ①、 ②に適 用し て、 2つを足 すと、
-)
( 求件)
点 P(x,y)
( 解法)直線 式k Pと直線 式n Pの交点 より Pを
求 める。
直 線 P 1 P 2 //k Pよ り
y-y 1 =
(x-x 1 )
y-100=1(x-10)
y=x
P 1 P 2 の 式 ; x-y=0 ①
31
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
一成
般 27年
的 に 直 線 Ax+By+C=0と P(x 1 ,y 1 )と の 距 離 d
は
ℓ
ℓ
( 1)
ℓ
で 求めら れる ので、
式 ①と P(x,y)よ り、直 線k Pは 次のよう に表せ
る。
x-y±5√ 2=0 ②
直 線 kPの 切片 は +なので
x-y+5√ 2=0
x-y+7.0711=0 ②
と する。
ℓ
た だし、倍面 積 S= 2△ P 1 P 2 P 3
、ℓ 1 = P 1 P 2 、ℓ 2 = P 2 P 3 で あり、ω 1 、ω 2 は 道路幅
員である。面積は以下のようにしても求めら
れ る。
点名
P1
P2
P3
P 2 P 3 //Pnより
y-y 2 =
(x-x 2 )
y-110.607=
(x-110.607)
y=-1.7321x+302.1894
1.7321x+y-302.1894=0
こ の直線 式と P(x,y)と の 距離よ り
X
Y
Y i+1 -Y i-1 X i (Y i+1 -Y i-1 )
100
100 -17.321
-1732.1
110.607 110.607
27.928
3089.032
100.607 127.928 -10.607
-1067.14
倍面積=S
289.7938
面積
144.8969
二 直 線 の 交 点 07
P2
Pnの 式の ルー トの符 号も -と すると
1.732x+y-294.1896=0 ③
② +③ より xを 解くと
x-y+7.0711=0 ②
+) 1.732x+y-294.1896=0 ③
2.7321x=287.1185
∴ x=105.091
② に代入 する と
105.091-y+7.0711=0
∴ y=112.162
P(105.091,112.162)
P3
P(x,y)
( 別解)
P点 の 座標は次 式でも 求め られる 。
P4
ℓ
P1
ℓ
ℓ
ℓ
( 与件)
(求 件 )
P(x,y)の 位置
32
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
27年
(成
解答)
直 線 P 1 P 2 と 直 線 P 3 P 4 と の 交点を 求め P( x,y)と
す る。
P1P2
面 積 の 分 割 08
y-y 1 =
(x-x 1 )
y-100=1.00004(x-100)
y=1.00004x-0.00398 ①
A
h'
P3P4
y-y 3 =
(x-x 3 )
y-102.123=-1.01022(x-198.111)
y=-1.01022x+302.2582 ②
① -② より
y=1.00004x-0.00398 ①
-)y=-1.01022x+302.2582 ②
0=2.01026x-302.26218
∴ x=150.360
① に代入 する と
y=1.00004(150.360)-0.00398
∴ y=150.362
∴ P(150.360,150.362)
h
m
D
E
L'
n
B
C
L
( 別解)
△ ABCを m:n に分割 する 。
こ こで、
点
名
P1
P3
P4
点名
□
X
Y
Y i+1 -Y i-1
100
100
198.111 102.123
103.568 197.632
倍 面積
面積
X
Y
X i (Y i+1 -Y i-1 )
-95.509
97.632
-2.123
-9550.9
19341.97315
-219.874864
9571.198288
4785.599144
Y i+1 -Y i-1
X i (Y i+1 -Y i-1 )
P1
100
100
-95.509
-9550.9
P3
198.111
102.123
100.506
19911.34417
P2
200.502
200.506
95.509
19149.74552
P4
103.568
197.632
-100.506
-10409.2054
倍面積
19100.98428
面積
9550.492138
( 例)△ ABCの 面積 S=60m 、こ れを m:n= 3:2に
分 けると する と、辺 ADは いくら にな るか。ただ
し 、 h=15m と する。
( 解答)
k=4785.599144/9550.492138=0.50108
33
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
から
同 様に
より
( 例題)図に 示す△ ABCの 面積を m:n=3:2に 分
け る。BC=L=10m のと き、CDはい くら になる か。
∴AD=
面 積 の 分 割 10
面 積 の 分 割 09
A
A
D(定点)
h
h
n
h'
F
m
n
m
C
B
E
L1
B
C
L2
L
D
L2
L1
L
定 点 Dを 通 る 直 線 に よ っ て △ ABCの 面 積 を m :
n に分割 する 。
△ ABCを m:n に分割 する 。
△ ABCの 高さを hとし 、
と すれば、△ BCD Mに よ っ て点は BC上 に来る か、
又 は AC上 に来 るかが 定ま る。
a) △ BDC> Mの 場 合
△ ABCの 高さを h、△ BDEの 高さを h と すると
ま た、 M:N=m:nな ので
と ころで
上 の Sの式に代 入する と
34
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
b)成 27年
△ BDC<Mの 場 合
□
□
面 積 の 分 割 11
d
B
C
m
E
a
F
b
e
①
,
n
②
① に②を 適用 すると
A
D
c
上 の図は 、AD//BCの 台形を 表し、それ を平行 な
EFで 分割 する もので ある 。面積 はm:nに 分割
し ている 。
(例 題 )
台 形 BCDAの 上 底 = 20m 、 下 底 = 30m の 面 積 を
そ れぞれ m:n= 3:2に分割 すると き、上 底、下
底 に平行 な分 割線の 長さ を求め よ。
①
h'
h"
G
B
C
面 積 の 分 割 12
h
d
m
三 角形の 面積 :行列 式に よって も解 けます 。
F
E
e
n
D
A
c
(例 題 )次 の 3点 の 面 積 を 行 列 式 と 座 標 法 で 求
め よ。
1(50.000,50.000),2(26.484,83.854),3(67.6
62,123.908)
上 の図か ら
35
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
27年 法)
(成
行列式
( 注 意 ) 上 の 式 は 1点 が 必 ず 原 点 に あ る こ と 。
つ まり、任意 の 3点が与え られた とき に、全点
か ら 1つの点の 座標を 差し 引けば よい 。
S=1167.97m
(座 標 法 )
点番
号
三 角 形 の 面 積 14
X
1
50
2 26.484
3 67.662
Y
Yi+1-Yi-1
50
83.854
123.908
倍面積
面積
Xi(Yi+1-Yi-1)
-40.054
73.908
-33.854
-2002.7
1957.379
-2290.63
-2335.95
-1167.97
X
B'
(x2-x3,y2-y3)
A'
(x1-x3,y1-y3)
B(x2,y2)
A(x1,y1)
Y
三 角 形 の 面 積 13
O(0,0)
X
C(x3,y3)
B(x2,y2)
h
A(x1,y1)
Y
O(0,0)
3点 、 A(x 1 ,y 1 )、 B(x 2 ,y 2 )、 C(x 3 ,y 3 )の ま ま で 、
こ の三角 形の 面積は、上 の図の 示す ように C点
(x3,y3)を 原 点 O(0,0)に 平 行 移 動 す れ ば 求 め
ら れる。 移動 後の座 標よ り
(1)
又は
(2)
又は
(3)
ABの 直線 式
(例 題 )次 の 3点 の面積 を 式 (2)で 求めよ 。
A(50.000,50.000),B(26.484,83.854),C(67.6
62,123.908)
( 行列式 によ る三角 形の 面積)
点名
点 O(0,0)と 直 線 ABと の距 離 h
A
B
C
X
Y
50
50
26.484
83.854
67.662
123.908
倍面積
面積
Xi(Yi+1Yi+2)
-40.054
-2002.7
73.908 1957.379
-33.854 -2290.63
-2335.95
-1167.97
Yi+1-Yi+2
36
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
( 解答)
□
四 辺 形 の 面 積 15
=
四 辺 形 の 面 積 16
対 角 線 p,qと 交 角 θ よ り 四 辺 形 の 面 積 を 求 め
る。
S
□ ABCDの 面積
A(x A ,y A ), B(x B ,y B ), C(x C ,y C ), D(x D ,y D )
A
p2
P
D
q1
p1
p
X
O
q
θ
B
B
q2
R
A
C
Q
C
D
□
Y
証 明)
□
□
□
□
□
□
□
□
□
( 例題)
□
に お け る 対角 線 p = 20m 、 q = 30m 、
対 角 線 交 角 θ = 60°の と き 、 こ の 面 積 は い く
ら か。
□
( 例題)次の 四辺形 の面 積を行 列法 で求め よ。
A(5.000,5.000), B(2.648,8.385), C(6.766,
37
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
成 27年 D(15.260,8.503)
12.391),
隅 切り面 積 S 2
S 2 =□ APBO-扇 形面積 ( S)
点番号
A
B
C
D
X
Y
Xi+2-Xi
Yi+2-Yi
5
5
1.766
7.391
2.648
8.385
-12.612
0.118
6.766 12.391
15.26
8.503
倍面積
-93.0069
面積m2
-46.50
地 積= 46.50m
(例 題 )
曲 線半径 R=10m 、交角θ= 95°のとき 、弧長 、
SL,弦 長、中央 縦距、扇形 面積、弓形 面積及 び
隅 切り面 積を 求めよ 。
扇 形 等 の 面 積 17
弧 長 c= Rθ
= 10m ×(95°/ρ °)= 15.708m
TL
c
SP
S2
S1
M
A
SL
θ
P
B
弦 長 L=
L
S
R
θ/2
中 央縦距
O
弧 長 c= Rθ( ラジア ン)
SL( セカ ント )= P-SP( 曲線中 点)
扇 形面積 S
= PO-R
弦 長 L=
弓 形面積 S 1
中 央縦距
扇 形面積 S
隅 切り面 積 S 2
より
た だし 、ρ°= 180°/π 、π は円周 率であ る。
弓 形面積 S 1
S 1 =扇 形 面積 -△ ABO= S-△ ABO
38
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
=
分 割 18
ℓ
K
k
α=
88゚0
7'05
"
250㎡
S
θ'
l
θ=120゚
L
分 割 19
面 積 Sの 土 地 の う ち S 1 =250m を KL線 で 分 割 す
る。
α = 88°07 05 、 θ = 120°と す る と き 、 線 分
k 、 ℓはいくら か。
三 角形の 面積 S 1 =
P'(x',y')
A(45,35)
B(60,85)
d'
ℓ
1400㎡
C(30,80)
φ=20゚
よ り、
F(25,20)
ℓ
d
又は
E(10,30)
D(5,50)
①
ℓ
正 弦定理 より
多 角形 ABCDEFの 面 積( S)を方向 角φ = 20°の
境 界 線 P Pで 多 角 形 P BCDP(S 1 )=1400m に な る
よ うに分 割す る。点 P,点 P の座 標を 求めよ 。
ℓ
1.1547k=1.89333ℓ ②
こ れに① を代 入して
ℓ
ℓ
ℓ
∴ ℓ= 17.467m ( ℓ> 0)
① に代入 する と
∴
P(x,y)
=
公 式に代 入す ると
m
( ヒント )
① P(x,y)、 P (x ,y )の ま ま で 計 算 す る と 、 変
数 が 4個 と な り 、 非 常 に 複 雑 な 方 程 式 に な る 。
② EDよ り 勾 配 を 求 め Pの 座 標 式 を 距 離 d で 表
す。
③ 同様に、ABよ り 勾配を求 め、P の座 標式を
距 離 d で 表す 。
④ こ の ま まで は P,P の 座 標 は d、 d の 関 数 な の
で 、 P,P の 方 向角φ を用 いて d を d で表す 。
そ う す れ ば P,P は d の 関 数 に な る か ら 、 dは
面積計算から以下のように求めることができ
る。
(解 答 )
39
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
27年 Pの位 置は
1)成Eより
P
③
④
1.18816d-6.312
倍面積
-0.288176d +13.4125d-63.12
-0.63398d -79.6061d+3433.93=
2800
-0.63398d -79.6061d+633.93=0
d +125.5653d-999.918=0…(1)
方程式(1)の解
P点 の 座標
d=7.514(条件 d>0)
① = 47.606+0.35645d
② = 43.688+1.18816d
③ = 10-0.24254d
④ = 30+0.97014d
5) 座 標計算
( A)P点 の座標 (式 (1)と dよ り )
(1)
2) P の 位置は
( B) P 点の座 標 (式 (2)と d より )
(2)
3)d を dで 表す ためφ = 20°と (1)、(2)を 用い
多角形 P'PEFA の面積
点
X
Y
Yi+1-Yi-1
Xi(Yi+1-Yi-1)
名
P' 50.285 52.615
47.710
2399.097856
B
60
85
27.385
1643.079139
C
30
80
-35
-1050
D
5
50
-42.710
-213.5518402
P
8.178 37.290
2.615
21.38714805
倍面積
2800.012302
面積
1400.00m
-1.05842d+0.85324d -7.73895=0
(3)
4) (3)を 上の (2)に 代入す ると P の 座 標は
=45+0.28735
=47.606+0.35645d
=35+0.95783
=43.688+1.18816d
(4)
多 角形 P BCDPの 面 積
点
名
P'
X
Y
Yi+1-Yi-1
Xi(Yi+1-Yi-1)
①
②
55-0.97014d
-0.345806d -26.5797d+2618.33
36.312-1.18816d
2178.72-71.2896d
B
60
85
C
30
80
D
5
50
-35
0.97014d-50
-1050
4.8507d-250
分割 20
40
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
d
22.935
B(60,85)
① = 5+0.64018d
A(45,35)
②=50+0.76822d
③ = 35-0.76822d
④ = -35+0.76822d
C(30,80)
Mの 座 標の計算
F(25,20)
M(x,y)
E(10,30)
D(5,50)
多 角形 ABCDEFの 土 地( S)を AMで等 分割 したい 。
M(x,y)を 求め よ。
( 解答)
ABCDEFの 面積
点番号
A
B
C
D
E
F
X
Y
45
35
60
85
30
80
5
50
10
30
25
20
倍面積
面積m
Yi+1-Yi-1
Xi(Yi+1-Yi-1)
65
2925
45
2700
-35
-1050
-50
-250
-30
-300
5
125
4150
2075.00
付 録 A 座標 変換
(1)Helmert変 換
座標軸の回転(θ)、座標原点の移動
xo yo 及 び 座 標 (x,y)の 縮 率 λ を 考 慮 す れ
ば、次式で書ける。
(1-1)
そこで、上の式において
(1-2)
(1-3)
Mの 座 標の式
とおけば、式 (1-1)は次のように簡単に表せ
る。
(1-4)
又は
(1-5)
点
番
号
A
B
C
M
X
Y
Yi+1-Yi-1
Xi(Yi+1-Yi-1)
45
35 ③
1575-34.5699d
60
85
45
2700
30
80 ④
23.0466d-1050
① ②
-45 -28.8081d-225
40.3314d+3000=2075
倍面積
この式は、二次元のヘルマート変換式と
呼ばれる。これら 4個のパラメータを最小二
乗法で求めると,それらの 4個の要素は次の
ように求めることができる。
(1-6)
-40.3314d=-925
41
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平 成 27年
Y
y'
y
x'
X
Θ
Y
Ycos
Θ
P
(2-4)
y'
xo
X
Xsin
Θ
Ysin
Θ
yo
Xcos
Θ
とおけば、式 (2-3)は次のように表せる。
x'
(2-5)
x
図 1 Hermert変 換
(2)アフ ィン 変換
通常、二次元のアフィン変換式 (affine t
ransformation)は、次のように書く。
したがって、最初に示した式 (2-1)を導い
た。通常、二次元のアフィン変換式と呼ばれ
ている。これら 6個の変換係数(パラメータ)
を最小二乗法で求めると,それらの6個の
要素は次式で求めることができる。
(2-6)
(2-1)
し か し な が ら 、 そ れ ら 6個 の パ ラ メ ー タ
(変換式の係数)の幾何学的意味が明らか
でないので、 これを解いておこう 。
式 (1-1)に お け る ヘ ル マ ー ト 変 換 式 に お
いて測定座標 X、Y軸の縮率(
傾き
と y軸の 傾き
)と、x軸の
を 与え ると 、それ ら は
次式で表される。
(3)コロ ケー ション
以前に用いたある一つの平面座標XYと
時間が経過した時点での同じ点の平面座標
xyがあり、前者の座標XYをすべてxy
に変換したい場合がある。また、両座標系が
任意座標系で、座標軸の回転と原点の移動
量のみが考えられる場合である。ここで、両
座標系の原点の縮 率はm o =1.0とする。
そのときには、4個のパラメータの Helme
rt変 換 、 又 は 6 個 の パ ラ メ ー タ の ア フ ィ ン
変換により、殆ど正確に変換が行えるもの
とみなしていたが、これが誤りであること
が判明した。以下に 3個の変数( 3個の要素)
の変換式を導くことにする。
たとえば、通常の Helmert変換では、次の
式で表される。
(2-2)
そこで、上の式において
(2-3)
y
Y
y'
Θy
Ysin
Xcos
Θy
Θx
P
(3-1)
Y
しかし、今回の設定はλ =1.0なので、
Θx
yo
xo
Xsin
Θx
Ycos
Θy
X
X
(3-2)
x'
こ の 式 (3 - 2)を 通 常 の 最 小 二 乗 法 で 解 く
には、
,
,
,
と
42
x
図2
アフィン 変換
土地家屋調査士測量問題ラーニング集
平
お成
い27年
て 、 4個 の パ ラ メ ー タ か ら 3個 の 要 素 を
解くことになるが、これは正しくない。しか
し今まで、変数は 3個なので、3個のパラメー
タ(又は 3個の要素)を直接解くことを考え
な ければなら ない。そう しないと、 上に m o =
1.0,又 は λ =1.0と 仮 定 し て 座 標 を 求 め た こ
との設定に反することになる。
そのため、式 (3-2)を次のような条件式に
する。
( 3 - 3 )
繰り返し計算による正しい要素計算
(3-9)
回転角( )と平行移動量(
)に関し、
テーラー展開して誤差式を作るには
(3-4)
(3-5)
又は、これを行列に置き換えて、繰り返し
計算により要素を解く。
(3-6)
又は
(3-7)
(3-8)
ここで
:
の近似値
:
の近似値
:x,yの近似値
:
の近似値
43
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