Usages d`une calculatrice dans un cours de - Espace Ecole

Usages d`une calculatrice dans un cours de - Espace Ecole
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commission genevoise de l’Enseignement des Mathématiques (CEM)
http://wwwedu.ge.ch/cem
Usages d’une calculatrice
dans un cours de mathématiques
de la première primaire au onzième degré
PROPOSITIONS D’ACTIVITES
PISTES DE REFLEXION
OCTOBRE 2006
Brochure réalisée par
Eric Burdet (EP), Pierre-Marie Charrière (CO) et Jean-Marie Delley (PO)
Licence CreativeCommons Paternité-NonCommercial-ShareAlike 2.5
Avec le soutien de
SERVICE ECOLE-MEDIAS (SEM)
DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT PRIMAIRE (DGEP)
DIRECTION GENERALE DU CYCLE D’ORIENTATION (DGCO)
DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT POST-OBLIGATOIRE (DGPO)
1
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Remarques
•
•
•
•
Par calculatrice scientifique, on entend une calculatrice ni graphique, ni symbolique.
Durant la rédaction de cette brochure, nous avons travaillé avec les modèles de
calculatrices TI106 et TI34II qui sont actuellement (en 2006) utilisés dans
l’enseignement genevois, mais ce document et les activités proposées se veulent
indépendants du choix de tel ou tel modèle.
Cette brochure est appelée à être modifiée et complétée suite aux futures utilisations
par les enseignants des activités proposées, tant dans le travail quotidien dans les
classes que lors de formations.
Tous les éléments qui composent cette brochure – notamment les activités – peuvent
être librement utilisés, adaptés et modifiés par les enseignants. Ils sont soumis à la
licence Creative Commons Paternité-NonCommercial-ShareAlike 2.5 1, ce qui
signifie qu’il suffit de citer les auteurs du document d’origine, que toute utilisation
commerciale est interdite, et que toutes les éventuelles modifications doivent être
mises à disposition de la communauté selon ces mêmes conditions.
Ils sont téléchargeables sur le site de la CEM à l’adresse suivante :
http://wwwedu.ge.ch/cem/brochurecalc.html.
Cette photo montre la « calculette » hydraulique
construite pour la Cité des Sciences de la Villette.
Elle additionne deux nombres binaires de quatre chiffres.2
Tous nos remerciements vont aux personnes qui ont contribué, directement ou
indirectement, à la réalisation de cette brochure ; tout particulièrement Laura Weiss,
Ruhal Floris et les formateurs du secteur des mathématiques de l’école primaire pour
leur relecture.
1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-NonCommercial-ShareAlike 2.5 disponible
en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5 ou par courrier postal à Creative Commons, 559
Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.
2
Avec l’aimable autorisation de l’inventeur Bernard Gitton.
2
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Table des matières
1. INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 5
2. LA SITUATION ACTUELLE ....................................................................................................................... 6
2.1. QUELQUES EXEMPLES ................................................................................................................................ 6
2.2. EN SUISSE ROMANDE ................................................................................................................................. 7
2.3. OBJECTIFS DE CETTE BROCHURE ................................................................................................................ 7
3. QUELQUES ELEMENTS DE REFLEXION............................................................................................... 8
3.1. LE CONTEXTE ............................................................................................................................................ 8
3.2. CALCULS - OUTILS DE CALCULS ............................................................................................................... 10
3.2.1. Calcul versus raisonnement...................................................................................................... 10
3.2.2. Calcul exact ou approché ......................................................................................................... 10
3.2.3. Différents outils de calcul ......................................................................................................... 11
3.3. DES QUESTIONS ....................................................................................................................................... 13
3.4. QUELQUES ARGUMENTS EN FAVEUR DE SON UTILISATION ....................................................................... 14
3.5. QUELQUES ARGUMENTS EN DEFAVEUR DE SON UTILISATION ................................................................... 14
3.6. QUE CONCLURE ?..................................................................................................................................... 15
3.6.1. Trouver le bon équilibre ........................................................................................................... 15
3.6.2. Travailler sur la durée .............................................................................................................. 15
3.6.3. Quelques recommandations...................................................................................................... 16
3.6.4. Perspectives d’avenir................................................................................................................ 18
4. PROPOSITIONS D’ACTIVITES................................................................................................................ 19
4.1. ACTIVITES DETAILLEES ........................................................................................................................... 19
4.1.1. Tableau récapitulatif A : toutes les activités détaillées............................................................. 20
4.1.2. Tableaux récapitulatifs B.1, B.2 et B.3 : activités classées par type d’élèves, d’apprentissages
et de contexte d’utilisation ................................................................................................................... 22
4.1.3. Tableaux récapitulatifs C1, C2 et C3 : parcours chronologiques dans les activités, par cycle
d’apprentissage .................................................................................................................................... 25
4.2. AUTRES IDEES D’ACTIVITES ..................................................................................................................... 28
5. MANIPULATION D’UNE CALCULATRICE .......................................................................................... 28
5.1. UTILISATIONS JUDICIEUSES ET LIMITES DE LA CALCULATRICE TI-34 II ................................................... 28
5.2. ÉLEMENTS DE MODE D’EMPLOI ................................................................................................................ 36
5.2.1. TI-106 ....................................................................................................................................... 36
5.2.2. TI-34 II...................................................................................................................................... 39
6. BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................................ 52
6.1. DOCUMENTS DE REFERENCE .................................................................................................................... 52
6.2. AUTRES RESSOURCES .............................................................................................................................. 52
7. ANNEXES...................................................................................................................................................... 55
7.1. LA CALCULATRICE DANS LES PLANS D’ETUDES ET LES MOYENS D’ENSEIGNEMENT ................................. 55
7.1.1. EP ............................................................................................................................................. 55
7.1.2. Au cycle d’orientation (CO)...................................................................................................... 56
7.1.2.1. Plan d’études ............................................................................................................................. 56
7.1.2.2. Moyens Enseignement Romands des Mathématiques (Indigo) ................................................. 56
7.1.3. PO ............................................................................................................................................. 57
7.1.3.1. Filière maturité gymnasiale ....................................................................................................... 57
3
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
7.1.3.2. Formation professionnelle ......................................................................................................... 57
7.1.3.3. SCAI.......................................................................................................................................... 57
7.1.3.4. ECG........................................................................................................................................... 57
7.2. CAHIER DES CHARGES DE LA CALCULATRICE, REDIGE PAR LA CEM EN 1999.......................................... 57
7.2.1. Proposition de la CEM ............................................................................................................. 57
7.2.2. COMMENTAIRES DE LA SOUS-COMMISSION .................................................................... 58
7.2.3. Annexe : Mandat de la sous-commission .................................................................................. 60
7.3. ACTIVITES DETAILLEES ........................................................................................................................... 60
Activité 01
Activité 02
Activité 03
Activité 04
Activité 05
Activité 06
Activité 07
Activité 08
Activité 09
Activité 10
Activité 11
Activité 12
Activité 13
Activité 14
Activité 15
Activité 16
Activité 17
Activité 18
Activité 19
Activité 20
Activité 21
Activité 22
Activité 23
Activité 24
Activité 25
Activité 26
« Découverte de la calculatrice »............................................................................................ 62
« Nombres à la chaîne » ......................................................................................................... 68
« Problèmes additifs, multiplicatifs » ..................................................................................... 77
« Mettre à zéro »..................................................................................................................... 87
« Boîtes noires » ..................................................................................................................... 92
« Estimation »....................................................................................................................... 100
« Problèmes divisifs » .......................................................................................................... 105
« Valeur exacte et approchée »............................................................................................. 112
« Retour case départ » .......................................................................................................... 117
« Afficher 10 » ..................................................................................................................... 122
« Une aire et beaucoup de périmètres » ................................................................................ 126
« Tant que ça » ..................................................................................................................... 131
« Un produit à 19 chiffres»................................................................................................... 135
«Connaissance « de base » de la calculatrice»...................................................................... 140
« Limites-machine» .............................................................................................................. 150
« Dernier chiffre» ................................................................................................................. 156
« Grands nombres ».............................................................................................................. 161
« Quelle période ! » .............................................................................................................. 167
« A la recherche de 8 »...................................................................................................... 173
« De simples racines» ........................................................................................................... 178
« Premier de cordée » ........................................................................................................... 183
« Où sont les lapins ?».......................................................................................................... 188
« Appliquons la trigo ! »....................................................................................................... 193
« Vacherie !» ........................................................................................................................ 212
« Ouah la trigo !».................................................................................................................. 219
« Radiobiolopopulo » ........................................................................................................... 229
7.4. AUTRES IDEES D’ACTIVITES ................................................................................................................... 241
4
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
1. Introduction
A la fin des années 70, le prix des calculatrices de poche disponibles sur le marché
devient accessible ; on assiste alors aux premières expériences d’utilisation de ces
nouveaux outils dans les milieux scolaires, surtout au secondaire. Dans les années 80, à
l'école primaire (EP), quelques mallettes de « calculatrices 4 opérations » sont mises par
l’institution à disposition des enseignant-e-s intéressé-e-s, et on fournit aux maîtres du
cycle d’orientation (CO) ces mêmes outils pour qu’ils les utilisent en classe. Au postobligatoire (PO), chaque élève est tenu de s'acheter une calculatrice non graphique et non
programmable, dont le modèle est laissé à son libre choix. A l’époque, la règle implicite
consiste à autoriser aux élèves l’utilisation d’un outil technologique une fois qu'ils
maîtrisent la technique de calcul qu’il permet.
Depuis la fin des années 90, avec l’importance que prend l’informatique dans le monde
du travail, l’apparition généralisée de calculettes dans la société et sous la poussée de
quelques enseignant-e-s particulièrement motivé-e-s, l’institution scolaire décide qu’il
faut intégrer les nouvelles technologies dans les pratiques pédagogiques. Les plans
d'études et moyens d'enseignement en préconisent désormais l'usage (voir annexe 7.1) et
le matériel technologique à disposition dans les établissements croît de manière
importante. Des logiciels comme CabriGéomètre, Mapple, Mathematica, … ainsi que
d’autres outils MITIC3 - CD, DVD, Internet, … - sont de plus en plus souvent utilisés
lors de la production ou de la mise en pratique de séquences pédagogiques. Ce
phénomène touche tous les ordres d'enseignement ainsi que l'Université.
Ces évolutions ne vont par sans susciter quelques résistances de la part de certains
acteurs, enseignant-e-s ou parents. L’émergence de nouvelles technologies a souvent
suscité de telles réactions ; si l’on prend soin de dépasser les échanges d’arguments
définitifs assénés de part et d’autre à l’emporte-pièce, ces résistances permettent
d’interroger les pratiques des précurseurs et de poser de bonnes questions :
Quel statut donner à ces outils : simples substituts de calcul ou réelles
aides à la construction de savoirs mathématiques ?
Doivent-ils être gérés de façon autonome par les élèves ou pris en compte
par les maîtres dans leur enseignement ?
Doivent-ils toujours être laissés à la libre disposition des élèves ou plutôt
être gérés en alternance avec du calcul « à la main » (particulièrement
durant les évaluations) ?
Qu’en est-il réellement des bénéfices attendus, mais aussi des coûts et des
risques d’une telle démarche d’intégration ?
Cette brochure n’a pas pour objectif de traiter en profondeur toutes ces questions, les
auteurs n’en ont ni les moyens, ni les compétences. Nous partons de la constatation
qu’aujourd’hui les calculatrices de poche sont devenues très bon marché et conviviales,
qu’elles offrent des possibilités en constant développement, qu’elles permettent de soustraiter des calculs mathématiques qui auparavant ne pouvaient qu’être réalisés
exclusivement « à la main » (opérations sur les fractions, statistiques, …).
3
MITIC : Médias, Images et Technologies de l’Information et de la Communication
5
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Il nous paraît donc opportun de nous questionner en étudiant dans quelle mesure une
intégration raisonnée des calculatrices peut s’opérer au sein des enseignements de
mathématiques.
2. La situation actuelle
2.1. Quelques exemples
En Suisse, dans les programmes 7-8-9 canton de Vaud, on trouve : « (...) l’enseignant
propose des activités stimulantes qui engagent la participation de tous, individuellement
ou en groupes et éveillent la curiosité : jeux, histoire des mathématiques, usage de la
calculatrice, de logiciels informatiques, construction de modèles, de solides, etc. ». Il
s’agit d’« utiliser la calculatrice avec pertinence », puisque « d’usage courant dans notre
société, [la calculatrice] remplace efficacement divers algorithmes fastidieux ». En
France, à l’école primaire, les travaux numériques prennent appui sur la pratique du
calcul exact ou approché, sous différentes formes souvent complémentaires : le calcul
mental, le calcul à la main (dans le cas de nombres courants et d’opérations
techniquement simples), l’emploi d’une calculatrice. Au collège, Il s’agit de conduire
tous les élèves du cycle central à une maîtrise des calculatrices scientifiques élémentaires.
Le programme officiel précise que « la calculatrice est un objet courant (...) une
utilisation optimale nécessite un apprentissage sur plusieurs points… »4.
Voici ce que l’on peut lire dans les programmes officiels en Belgique : « Calculatrices et
ordinateurs sont des outils performants qui permettent des gains de temps et ouvrent de
nouvelles perspectives. Au premier degré, on préconise l'usage de calculatrices comme
outils d'investigation pour les propriétés des nombres et des opérations. Au deuxième
degré, les ressources et les limites des calculatrices scientifiques doivent devenir
familières aux élèves. Le recours aux calculatrices graphiques et aux ordinateurs est
vivement conseillé. Ils facilitent l'étude des fonctions et de l'algèbre … »
Le programme de la formation québécoise précise que « la technologie, qui influe sur la
mathématique et sur son utilisation, ne saurait se substituer aux activités intellectuelles.
Elle demeure cependant d’une grande utilité. Elle permet notamment à l’élève de faire
des apprentissages en mathématique, d’explorer des situations plus complexes, de
manipuler un grand nombre de données, d’utiliser une diversité de modes de
représentation, de simuler et de faciliter des calculs fastidieux. Il peut ainsi se consacrer à
des activités signifiantes, développer ses aptitudes en calcul mental et approfondir le sens
des concepts et des processus mathématiques. »
On constate donc que l’intégration pédagogique des MITIC, en particulier des
calculatrices, est maintenant largement instituée dans les cantons et pays francophones
proches du notre 5.
4
Bulletin officiel (BO) hors série n° 1 du 14 février 2002 et programmes édités par le CNDP
5
Voir également l’annexe 7 pour référencer la place donnée aujourd’hui aux calculatrice dans les plans
d’étude et moyens d’enseignement EP/CO/PO
6
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
2.2. En Suisse romande
Dès 1998, le plan d’études romand de mathématiques de l’enseignement primaire
mentionne la calculatrice comme outil de calcul à partir de la première primaire.
Lors de la récriture du plan d’études du cycle d’orientation, un livret spécifique sur
l’usage de la calculatrice et des outils informatiques a été intégré.
En 1998, la Commission genevoise de l’Enseignement des Mathématiques (CEM) a pris
position dans ce débat en recommandant d’introduire l’utilisation systématique des
calculatrices dans les cours de mathématiques dès l’école primaire, ainsi qu’en produisant
un cahier des charges pour les machines (voir annexe 7.2). La CEM a proposé de
distinguer deux périodes d’apprentissage : 1EP-4EP et 5EP-9CO6. Suivant cette
recommandation, le Département de l’Instruction Publique (DIP) genevois met depuis
septembre 1999 à disposition :
dès la 1re primaire, des calculatrices effectuant les 4 opérations ; les
machines restent en classe et sont gérées par l’enseignant-e7 ;
dès la 5e primaire et jusqu’à la fin du Cycle d’Orientation des calculatrices
scientifiques (avec calcul de fractions, de puissances, menus déroulants,
respect de l'écriture mathématique, …) ; les machines sont distribuées
gratuitement aux élèves qui en sont alors responsables durant toute leur
scolarité obligatoire8.
Qu’en est-il maintenant de la réalité sur le terrain ? De quelle façon les enseignant-e-s
ont-ils intégré ces calculatrices dans leurs pratiques ? Force est de constater qu’il ne suffit
pas de mettre à disposition un outil pour qu’une utilisation raisonnée et raisonnable
s’institue. De nombreux maîtres – surtout à l’EP – estiment que les calculatrices n’ont pas
leur place dans les cours de mathématiques, d’autres - plutôt au CO ou au PO - continuent
de penser qu’il s’agit exclusivement d’une aide au calcul et qu’il est de la responsabilité
de l’élève d’apprendre à l’utiliser, l’enseignant décidant seulement quand son usage est
autorisé.
2.3. Objectifs de cette brochure
Cette brochure se propose de contribuer au débat, avec deux objectifs principaux :
mettre en avant - pour tous ceux que cela intéresse : maîtres, mais aussi
parents ou décideurs - un certain nombre d’informations autour des
différents usages possibles d’une calculatrice dans les cours de
mathématiques dès l’école primaire, avec les bénéfices attendus, mais
aussi les coûts et les risques d’une telle démarche ;
proposer à tous les enseignants des activités « clés en main » - de la
première primaire (1EP) au onzième degré du post-obligatoire (11PO) qui soient directement en phase avec les plans d’études et les moyens
d’enseignement et qui en illustrent les différents types d’usages. Ces
activités se veulent incitatives, variées, modifiables, conçues pour donner
des idées et proposer des pistes.
6
EP : école primaire, CO : cycle d’orientation, PO : post-obligatoire
7
Jusqu’en juin 2007, le modèle choisi est la TI-106
8
Jusqu’en juin 2007, le modèle choisi dès la 5P est la TI-34 II
7
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
3. Quelques éléments de réflexion
3.1. Le contexte
Qu’on la subisse ou qu’on s’en réjouisse, il n’est plus possible aujourd’hui d’ignorer la
généralisation d’outils technologiques d’un accès toujours plus aisé et à moindres
coûts.
Portables, SMS, télécommandes, jeux, distributeurs de billets TPG9, … : les compétences
moyennes de la population dans la manipulation de ces objets se sont accrues en un temps
record ! Associée à la généralisation d’Internet et des lignes ADSL, on peut sans risque
de se tromper affirmer que notre société est aujourd’hui entrée dans une « ère MITIC10 ».
Cette évidence de disponibilité, d’utilité et d’efficacité entraîne une pression pour que le
milieu scolaire intègre d’une part des apprentissages complémentaires liés à ces usages
(maîtriser tel ou tel logiciel, …), d’autre part une réflexion liée au besoin de comprendre,
d’analyser et de connaître les bénéfices et les risques de cette intégration – souvent
réalisée au pas de charge - afin d’en garantir une utilisation raisonnable et raisonnée.
Cette évolution touche également les mathématiques où on constate un recours toujours
plus important aux technologies. Les savoirs mathématiques évoluent, des domaines
comme l’analyse numérique ou les statistiques, grands utilisateurs de MITIC, voient leur
importance et les moyens qui leur sont alloués croître de façon importante.
L’enseignement des mathématiques est lui aussi touché. D’abord quant aux sujets
d’étude choisis : la théorie des nombres, les statistiques ou la géométrie sont revalorisés,
presque toujours en lien avec la proposition d’utiliser tel ou tel outil technologique pour
en favoriser les enseignements et apprentissages. D’autres sujets se voient eux remis en
question – connaissance mémorisée de tables d’opérations ou de valeurs remarquables,
maîtrise de certains algorithmes, …
Deux questions fondamentales se posent alors :
faut-il encore apprendre certaines manipulations que l’on peut faire
facilement avec des machines ? si oui, lesquelles et pourquoi ?
quel équilibre recherche-t-on entre les aspects calculatoires et ceux qui
sont plus liés à la compréhension du sens des mathématiques ?
La didactique – en particulier des mathématiques – a beaucoup à nous apporter pour
tenter de répondre à ces questions (Guin & Trouche, 2003, Floris & Conne, 2007).
Montrant la naïveté de certaines approches selon lesquelles la délégation de tâches
techniques à des logiciels favoriserait automatiquement la conceptualisation, les
recherches en didactique ont montré le rôle important de certaines techniques de calcul
(instrumenté ou non) dans le processus de conceptualisation. Il semble par exemple
aujourd’hui que l’usage des calculatrices peut être un apport intéressant pour mettre en
place la numération dès l’école enfantine. (Del Notaro & Floris, 2004, 2005). Il a été
9
TPG : Transports Publics Genevois
10
MITIC : Médias-Images et Technologies de l’Information et de la Communication
8
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
montré aussi que l’introduction de la calculatrice nécessite une instrumentation des élèves
et de l’enseignement (Rabardel, 1995, Guin & Trouche, 2003 ) sans laquelle on ne voit
que des utilisations rudimentaires.
Parallèlement à ce courant de réflexion qui perçoit de façon positive cet outil et
l’évolution qu’il permet, force est de constater une grande méfiance de nombreux
mathématiciens, enseignant-e-s et parents. Deux débats principaux émergent.
Au niveau culturel d’abord : après 4000 ans de théories mathématiques, comment
accepter l’introduction d’outils électroniques dans la recherche ? Quel est le statut de
résultats obtenus à l’aide de calculs informatiques ? Certains refusent d’entrer en matière
alors que d’autres rétorquent que c’est justement ainsi qu’on débloque des situations sans
issue apparente, qu’on pousse plus avant les investigations qui mèneront à de nouvelles
découvertes11. Pourtant la manipulation de symboles que permettent les outils
électroniques s’inscrit dans la suite logique de l’utilisation des bouliers, abaques, et autres
pascalines et du développement du symbolisme mathématique (écriture décimale, calcul
littéral,…).
Ces nouveaux outils ont dynamisé les mathématiques expérimentales12 et par suite la
théorisation mathématique (calcul des décimales du nombre π).
Au niveau pédagogique ensuite : si les élèves ont une machine à disposition et ne
calculent plus de tête ou à la main, leur investissement dans la résolution d'un problème
est moindre, ils essaient n'importe quoi sans réflexion préalable, n'exercent plus leur
mémoire ; les nombres finissent par avoir tous le même statut, ne sont pas organisés selon
leurs propriétés et leurs comportements dans les opérations ! Mais à contrario, si les
élèves disposent d’une calculatrice, ils peuvent se décharger des tâches techniques pour
se concentrer sur l'appropriation du concept, on peut leur demander d'effectuer plusieurs
essais pour découvrir une notion, essais auxquels ils renonceraient face à l’investissement
demandé et qui seraient par ailleurs « chronophages » dans un cours de mathématiques
sans la calculatrice.
Pour faire suite à ces premiers éléments de réflexion, entrons maintenant plus avant dans
la description de ce qu’on entend aujourd’hui par calcul et outils de calcul.
11
L'exemple le plus connu est certainement celui de la démonstration du théorème des 4 couleurs. Il s’agit
de démontrer que toute carte qui comprend des zones séparées par des frontières peut être coloriée avec
seulement 4 couleurs différentes de telle sorte qu’aucunes zones de mêmes couleurs ne se touchent. En
1989, K. Appel et W. Haken ont montré - en reprenant des travaux antérieurs – qu’il fallait finalement
considérer 1482 cartes critiques qu'il suffisait de traiter une par une, travail qui a été réalisé par ordinateur.
Cette démonstration a donné lieu à un long débat dans la communauté des mathématiciens. Comment
vérifier ce que fait l'ordinateur ? Est-ce équivalent à une démonstration humaine ? Doit-on la valider ?
Depuis lors, les techniques de "preuve par ordinateur" se développent et ont fait évoluer ce qui est accepté
comme preuve. Une exigence est par exemple que le résultat ait été obtenu indépendamment au moins deux
fois.
12
Voir par exemple http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein.
9
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
3.2. Calculs - outils de calculs
3.2.1. Calcul versus raisonnement
Le rapport de la Commission Kahane13 décrit bien une vision des rapports entre calcul et
raisonnement : « Dans la culture, les deux termes : calcul mathématique et raisonnement
apparaissent comme antagonistes. Le calcul est opposé au raisonnement tant dans les
démarches de pensée qu'il met en œuvre que dans les formes d'apprentissage qu'il
requiert. Le calcul renvoie à une activité mécanique, automatisable, sans intelligence, il
est réduit à sa part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l'idée d'entraînement
purement répétitif. En bref, le calcul est perçu comme renvoyant aux basses œuvres du
travail mathématique, tandis que sa partie noble, celle liée au raisonnement est plutôt
associée à la résolution de problèmes géométriques. Cette image, ancrée dans la culture,
est aussi portée par l'enseignement. C'est une géométrie synthétique, sans calcul, qui est
presque exclusivement mobilisée quand il s'agit d'initier les élèves à la rationalité
mathématique, de leur apprendre à démontrer et, lorsque l'on demande à des enseignants
quelles sont les fonctions de l'algèbre au collège, la fonction d'outil de preuve n'est
généralement pas identifiée. On estime par ailleurs que, si l'on dispose d'instruments
pour effectuer la partie mécanisée du calcul, il n'y a plus rien à apprendre puisque le
calcul s'y réduit. Le calcul, qu'il soit numérique ou algébrique, est en fait réduit à ses
traces et le raisonnement qui le guide reste invisible. Ses résultats sont vus comme des
données, ils n'ont pas valeur de preuve.
Il y a, dans l'enseignement, à lutter contre cette vision réductrice du calcul. C'est en
particulier nécessaire si l'on veut poser de façon correcte la question de l'instrumentation
du calcul par les technologies informatiques.
L’utilisation des calculatrices peut, c’est ce que nous espérons essentiellement montrer
au travers des activités proposées, participer pleinement au développement de cette
vision dans laquelle calcul et raisonnement se complètent mutuellement.
Longtemps, le "calcul" a occulté d'autres phases essentielles de la résolution de
problèmes, au point qu'on a consacré à la pratique intensive des algorithmes la majeure
partie du temps réservé à l'enseignement des mathématiques. Si l'objectif de "savoir
compter et calculer" est toujours honoré dans les programmes, on lui a adjoint certaines
conditions : on le lie à la construction des opérations, au sens qu'on donne à ces
opérations et à leurs applications dans les différentes situations qui se présentent. »
3.2.2. Calcul exact ou approché
« Le monde du calcul […] est un monde multiforme. C'est aussi un monde où
s'entrecroisent deux grands types de calcul: le calcul exact et le calcul approché. Calcul
exact et calcul approché sont deux facettes complémentaires du calcul dont les liens se
tissent tout au long de son histoire. Il y a là une continuité majeure susceptible d'aider à
structurer l'enseignement et nous souhaitons lui accorder une importance toute
particulière […]. En fait, l'opposition entre calcul exact et calcul approché dans la
13
A la demande des associations de mathématiciens (APMEP, SMAI, SMF et UPS), le ministère français de
l’éducation a donné mission en avril 1999 au professeur Jean-Pierre Kahane de réunir un groupe
d'enseignants et de chercheurs pour conduire une réflexion globale et à long terme sur l'enseignement des
mathématiques de l'école élémentaire à l'université. Plusieurs rapports ont été rédigés, sur la géométrie, le
calcul, les outils informatiques, les statistiques et probabilités, la formation des enseignants (voir
http://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane)
10
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
culture, renvoie aussi, plus ou moins implicitement, à la distinction entre mathématiques
pures et mathématiques appliquées, et à toutes les hiérarchies de valeurs dont cette
distinction a été porteuse. Aujourd'hui cette distinction semble de plus en plus inadaptée
car, s'il y a des pratiques mathématiques différentes, elles tiennent plus aux types de
problèmes que le mathématicien cherche à résoudre qu'aux objets et aux domaines
mathématiques eux-mêmes »14
Peut-être a-t-on un peu négligé la part du calcul approché dans nos enseignements ? Là
aussi, un usage pertinent de la calculatrice permettrait d’équilibrer la part du calcul exact
et celle du calcul approché en insistant auprès des élèves sur la pertinence de telle ou telle
approche, sur les avantages et inconvénients respectifs et sur les notations associées.
3.2.3. Différents outils de calcul
Pour trouver des résultats aux opérations arithmétiques qu'on a choisi d'effectuer, il existe
différents moyens, réunis sous la dénomination générique « d'outils de calcul ».
En plus de la calculatrice, ces outils de calculs sont les répertoires mémorisés, le calcul
réfléchi, les algorithmes et l'estimation. Ils sont de natures très différentes, plus ou moins
efficaces selon les situations données et susceptibles de générer des difficultés
potentielles spécifiques lors de leur utilisation.
Répertoires mémorisés
Les répertoires mémorisés sont les résultats des opérations (sommes, différences,
produits, quotients, racines, valeurs trigonométriques) que l'élève connaît par cœur. Ces
répertoires s'élaborent au fil des activités, d'abord sous forme d'inventaires plus ou moins
organisés (toutes les sommes égales à 0, 1, …, 10, 12, tous les produits égaux à 2, 3, …,
20, … 36, …, 100), puis sont présentés sous forme de tables (tables d'addition, de
multiplication, …). En construisant ses propres répertoires, l'élève peut se rendre compte
qu'un nombre peut se présenter sous différentes écritures, toutes équivalentes, sous forme
de décomposition additive ou multiplicative. C'est à ce stade que peuvent apparaître
certaines propriétés des opérations qui seront très importantes dans le calcul réfléchi.
L'apprentissage des tables a longtemps été considéré comme un acte de mémorisation
passive. Les recherches sur la mémorisation montrent que si l'apprentissage par cœur
n'est pas à négliger (mettre en mémoire des listes de mots-nombres isolés), une mémoire
dans laquelle les nombres sont structurés par des relations de parenté est beaucoup plus
efficace.
La mémorisation proprement dite est du ressort de l'élève, mais l'enseignant doit
collaborer activement à la mise en relation des nombres, à l'organisation des tables, ainsi
qu’au contrôle du travail qui y est associé. La mémorisation des tables et leur maîtrise
restent indispensables pour que le calcul réfléchi et les algorithmes puissent se construire
solidement sur ces bases.
Calcul réfléchi
Le calcul réfléchi s'appuie sur les propriétés du système de numération (décomposition
d'un nombre en facteurs des puissances de 10) et sur les propriétés des opérations
(associativité, commutativité élément neutre, distributivité de la multiplication sur
l'addition / la soustraction, …). La mise en œuvre plus ou moins consciente de ces
14
Rapport Kahane sur le calcul, p.9 (http://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane/)
11
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
propriétés dépend de l'âge et des connaissances de celui qui le pratique. Il ne s'agit pas
d'appliquer des « trucs » ou des formules toutes faites, mais de choisir la meilleure
procédure dans une situation donnée. C'est donc un calcul intelligent, personnel et
évolutif. Il se distingue en cela du calcul mental traditionnel.
De plus, le calcul réfléchi ne signifie pas une absence de traces écrites. Elles peuvent être
utiles, voire souhaitables, pour soutenir une démarche ou pour mémoriser un résultat
intermédiaire. Le calcul réfléchi permet à l'élève de se débrouiller dans un calcul sans
avoir à recourir systématiquement aux algorithmes ou à la calculatrice. Les procédures de
calcul réfléchi sont là pour lui simplifier la tâche, gagner du temps et de l’assurance. Les
limites de ces procédures justifient par ailleurs l'utilisation d'autres techniques opératoires
(algorithmes).
Algorithmes de calcul
Un algorithme est une suite finie de règles à appliquer dans un ordre déterminé à un
nombre fini de données pour arriver avec certitude, c'est-à-dire sans indétermination ou
ambiguïté, en en nombre fini d'étapes, à un certain résultat, et cela indépendamment des
données. Les algorithmes de calcul mettent en œuvre les règles de notre système de
numération et les propriétés des opérations.
Pour que l'élève puisse donner du sens aux algorithmes abordés, il faut qu’il en
comprenne les propriétés sous-jacentes. En cela, l'emploi en parallèle de matériel peut
être particulièrement profitable.
Pour chaque opération, il existe diverses procédures algorithmiques. Pour choisir quel
algorithme adopter pour chaque opération à enseigner, on a privilégié à Genève:
l’algorithme le plus proche des règles de notre système de numération et
des propriétés des opérations,
l’algorithme permettant d'associer les actions de l'élève à des
transformations du calcul écrit et, par là même, de donner du sens à sa
construction.
Ainsi à Genève, sont aujourd’hui enseignés :
pour l'addition : l'algorithme en colonnes,
pour la soustraction, l'algorithme par échanges,
pour la multiplication, l'algorithme en colonnes avec produits partiels,
pour la division, l'algorithme par échanges.
Si l'enseignement de certains algorithmes perdure dans le temps, d'autres ont été
abandonnés (par exemple l’extraction de racines carrées et l’interpolation pour les tables
trigonométriques).
Estimation
L'estimation prend appui sur le calcul réfléchi. C'est même une forme très évoluée du
calcul réfléchi, que l'on utilise la plupart du temps de manière très intuitive. Elle est
définie comme une procédure personnelle que l'on met en place lorsqu'on prend
conscience que l'on peut se contenter d'un résultat approché, d'une estimation, pour
fournir une réponse que l’on pourrait obtenir par des opérations effectuées généralement
en utilisant un algorithme de calcul ou la calculatrice.
12
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Cette approximation est elle-même le résultat exact d’une opération proche de l'opération
de départ par modification des nombres vers une simplification de ceux-ci, résultat que
l'on obtient alors par calcul réfléchi (24,9 × 6,05 ≅ 25 × 6, c'est-à-dire 150).
Si on explicite ces différents outils de calcul et qu’on effectue un travail spécifique avec
chacun d’entre eux, en en fixant les limites et les avantages, on peut espérer permettre
aux élèves d’acquérir une certaine aisance et choisir en connaissance de cause l’outil le
plus approprié, selon le calcul à effectuer.
3.3. Des questions
Il est maintenant possible de sérier plus précisément un certain nombre de questions
fondamentales lorsqu’on envisage l’utilisation de calculatrices dans un cours de
mathématiques :
Faut-il encore enseigner l'algorithme de la division, l'addition des
fractions, les méthodes d'intégration, etc. alors qu'on peut s'appuyer sur des
outils sûrs, rapides et efficaces ?
La découverte, l'exploration, la compréhension de certains concepts
mathématiques peuvent-elles être favorisées par leur manipulation avec la
calculatrice? Autrement dit, qu’apporte-t-elle à un enseignement des
mathématiques ?
Quand et comment faire intervenir l’outil calculatrice dans ces processus
d’enseignement et d’apprentissage ?
Plus spécifiquement, est-il possible de faire comprendre certains concepts
mathématiques sans passer par la pratique calculatoire (de nombreux
enseignants primaires n'osent par exemple pas se lancer dans des
problèmes qui font appel à des opérations dont les élèves ne maîtrisent pas
encore l'algorithme) ?
Quelle articulation entre travail sur le sens et acquisition d’une maîtrise
technique ? Ces deux axes doivent-il être travaillés séparément,
successivement, conjointement ?
Comment évaluer l’impact de la calculatrice ?
Mais des questions plus opérationnelles sont aussi posées:
L'apprentissage et l'utilisation de la calculatrice - ou des MITIC - sont-ils
de la responsabilité de l'élève ou du maître ?
Quelle place leur donner durant les évaluations ? Quel sens cela peut-il
avoir de tester des élèves sur des compétences techniques prises en charge
par ces outils ?
Comment former les enseignant-e-s à une utilisation raisonnée ?
Quelle formation initiale et continue aux MITIC pour les enseignant-e-s ?
Ce qui revient finalement à une question formulée simplement (mais dont la réponse ne
l’est certainement pas !) : comment intégrer ces outils de façon efficace dans
l'enseignement des mathématiques ?
13
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
3.4. Quelques arguments en faveur de son utilisation
Relevons ici les arguments les plus souvent mis en avant pour justifier l’utilisation de la
calculatrice dans les cours de mathématiques :
Cela entraîne plus de motivation chez les élèves, tant pour les plus forts
que pour les plus faibles. Les premiers peuvent ainsi aborder des
problèmes plus stimulants en sous-traitant les parties techniquement
difficiles ou longues à la machine, les seconds dépasser d’éventuels
blocages « psychologiques » (par exemple devant le calcul algébrique) et
utiliser la calculatrice soit pour contourner leurs difficultés, soit pour
traiter des énoncés qui amènent plus de sens15 ;
on valorise dans le cadre scolaire la maîtrise de certains outils
technologiques acquise par des élèves hors de l’école ;
on contribue à développer un esprit critique par rapport à l’emploi de la
technologie ;
cela participe – lorsqu’un travail spécifique est entrepris – à la
compréhension de certains concepts mathématiques (dissociation du
nombre de sa graphie, représentation des nombres, explicitation de
certaines notations identiques utilisées dans des contextes différents,
travail autour des grands et petits nombres, …) ;
on possède ainsi un excellent outil pour encourager les élèves à essayer
pour produire des conjectures (production de nombreux essais à coût
moindre), donc à pratiquer pleinement la démarche scientifique : explorer,
rechercher, découvrir, raisonner, conjecturer, argumenter, infirmer,
valider, démontrer ;
on augmente le champ des situations possibles et leur variété, tant dans des
contextes connus, qui peuvent être abordés sous de nouveaux angles, que
pour en découvrir de nouveaux ;
on aborde de nouveaux champs d’étude et des concepts nouveaux
(statistiques, simulation, estimation, calcul approché, algorithmique) qui
ont désormais une grande place dans le monde scientifique ;
on autonomise le travail ;
on autorise plus de créativité.
3.5. Quelques arguments en défaveur de son utilisation
Contradictoirement, d’autres avancent également des arguments en défaveur d’une
utilisation de la calculatrice en classe :
Il y a un risque de masquer des lacunes quant à la maîtrise des techniques
de base indispensables pour la bonne suite des études et pour les
mathématiques sociales ;
on perd trop de temps, sur les heures dédiées à l’enseignement des
mathématiques, pour arriver à une maîtrise correcte de l’outil ;
15
Voir « Donner du sens aux mathématiques », Dominique Nancy,
http://www.forum.umontreal.ca/numeros/1999-2000/Forum00-03-06/article02.html
14
mars
2000,
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
il y a un risque que les manipulations techniques écrasent certaines
représentations possibles de concepts mathématiques ;
on investit du temps pour acquérir des compétences qui évoluent très vite ;
qu’en est-il du coût financier induit par l’achat de ce matériel, tant pour la
collectivité que pour les élèves (en cas de perte ou casse) ? Est-ce vraiment
une priorité d’investir dans cette direction ?
3.6. Que conclure ?
3.6.1.
Trouver le bon équilibre
Il n’y a certainement pas de règle absolue et définitive du type « la calculatrice est à
bannir » ou « elle est LA solution ! » ! Ce qui paraît par contre certain, c’est qu’elle
est aujourd’hui bel et bien présente dans le paysage scolaire et qu’il s’agit de la
prendre en compte. Les élèves en disposent et l’utilisent ! On peut décréter que cet
usage est de leur responsabilité exclusive, mais il nous paraît qu’une réelle plus-value
potentielle aux enseignements et aux apprentissages ne sera réalisée qu’à travers une
utilisation clairement et explicitement cadrée par les enseignants. Selon le sujet
abordé, la méthodologie choisie et les objectifs visés, l’enseignant-e devra se
questionner :
Pourquoi la calculatrice ici ?
Dans quel(s) rôle(s) ?
Quand (en introduction, après l’enseignement, en procédant par allersretours …) ?
Comment ?
Quels avantages en attend-t-on ?
Quel investissement cela nécessite-t-il, par exemple pour explorer et faire
maîtriser la « simple » manipulation de certaines fonctions de la machine ?
Quels risques éventuels aussi, par exemple celui que l’élève croie pouvoir
se reposer sur la machine et désinvestisse ses apprentissages ?
Quelle évaluation ?
Finalement, ce qu’on pourrait souhaiter c’est d’assister à une évolution dans laquelle les
pratiques actuelles - un outil auquel on assigne un type unique d’utilisation (exécuter)
souvent entièrement déléguée aux élèves – se voient enrichies de la vision d’un véritable
outil pédagogique dont l’usage doit être clairement et explicitement piloté par
l’enseignant-e ; sans chercher à opposer utilisation de la calculatrice et maîtrise de
savoirs de base, mais bien plutôt en faisant en sorte que la seconde puisse s’appuyer sur
la première.
3.6.2.
Travailler sur la durée
La recherche en didactique des mathématique et les expériences dans les classes montrent
qu’il est illusoire de penser qu’on peut déléguer aux seuls élèves la responsabilité de
développer leur rapport à la calculatrice pour qu’elle devienne l’un des outils qu’ils
pourront raisonnablement choisir d’utiliser lorsqu’ils pratiqueront les mathématiques, en
ayant conscience de ses avantages et limites. Un travail spécifique et explicite des
enseignant-e-s doit être fait sur la durée pour construire cette représentation. C’est
pourquoi, au delà d’activités isolées, nous proposons également des parcours (voir 4.1.3)
15
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
qui, sur un cycle scolaire – la 5-6ème EP, la 7-9 du CO et les degrés 10-11 du PO –
devraient permettre aux maîtres d’envisager globalement la place à donner à la
calculatrice tout au long de l’année.
3.6.3. Quelques recommandations
Pour ce faire, plusieurs conditions nous paraissent devoir être réunies :
Identifier beaucoup plus clairement – sur tout le cursus d’un élève, probablement
par cycles d’apprentissage de deux ou trois ans 16 - les connaissances de base qui sont du
domaine des répertoires mémorisés et qui sont indispensables pour la poursuite des
études17, sans pour autant réduire les enseignements de mathématiques à leurs uniques
apprentissages. Parallèlement, clarifier également les compétences attendues en termes de
maîtrise de l’outil calculatrice.
Investir l’usage – plutôt les usages – de la calculatrice d’un regard professionnel et
explicite, par exemple en déterminant les situations18 où la calculatrice :
doit être proscrite
quand la leçon ou l’évaluation vise - à tous les niveaux - l’entraînement
de procédures (numériques ou littérales).
est utile
pour que les élèves puissent contrôler leurs résultats en travail
autocorrectif ;
pour différencier l’enseignement (peut être utilisée par certains élèves
et pas par d’autres, peut être utilisée à certains moments et pas à
d’autres, …) ;
quand on veut que les élèves réussissent à résoudre des problèmes,
faisant appel par exemple à la modélisation d’une situation, en pouvant
« essayer » des calculs « pour voir ».
est nécessaire
quand on veut introduire ou stabiliser de nouvelles opérations que les
élèves ne maîtrisent pas sur le plan technique, ou pour travailler le sens
d’une notion sans le confondre avec des techniques (algorithmes) qui
lui sont associées ;
pour que les élèves s’interrogent sur des phénomènes mathématiques et
aient envie d’en connaître la raison, allant si possible jusqu’à une
démarche démonstrative. Ils entrent alors dans des démarches de
mathématiques expérimentales, où de nombreux essais permettent
d’émettre des conjectures.
est indispensable
avec des élèves en grande difficulté pour qu’ils ne renoncent pas
d’avance à résoudre un problème à cause de problèmes de calcul ;
16
Par exemple 1-2EP / 3-6EP / 7-9CO / 10-11PO
17
Par exemple les tables d’addition et de multiplication à l’EP, les carrés parfaits au CO, certaines valeurs
trigonométriques au PO
18
Laura Weiss, MathEcole 215
16
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
quand on travaille une notion pour laquelle la connaissance technique
n’est pas au programme ou qui nécessiterait le recours aux tables
numériques (extraction de racines, calcul de rapports trigonométriques,
logarithmes, …).
Expliciter les différents contextes d’utilisation de la calculatrice
De même qu’il existe différents types de calculs, on peut distinguer les différents
contextes dans lesquels peuvent être les calculatrices :
RECHERCHER/EXPLORER : l’élève aborde des notions mathématiques
nouvelles ou les travaille sous un angle qu’il ne connaît pas encore ; la calculatrice
permet de découvrir, de conjecturer, de produire et d’effectuer des calculs à
interpréter, … Elle participe à l’expérimentation et au processus de
compréhension.
Exemples :
activité 01
boîtes noires à décrypter
fractions continues au PO
APPROFONDIR/CONCEPTUALISER
l’élève approfondit des notions
mathématiques déjà abordées afin d’améliorer sa compréhension du concept ou de
la technique utilisés. C’est aussi l’occasion de d’aiguiser son sens critique.
Exemples :
activité 08
étude des propriétés des suites de nombres
EXECUTER : l’élève est dans un contexte de mathématiques connues, la machine
exécute des tâches acquises mais fastidieuses, longues ou répétitives en se
substituant à un autre outil de calcul.
Exemples :
la multiplication en 2 EP, le logarithme en 11 PO) quelle différence
entre ces deux puces ?
sous-traiter les calculs acquis mais complexes, longs ou répétitifs (ex :
démonstration par exhaustion lors de situations comportant un nombre
fini de cas [recherche de facteurs premiers 7-8 CO])
VERIFIER : la calculatrice permet de vérifier une estimation ou un calcul effectué
à l’aide d’un autre outil (de tête, à la main, …).
Exemples :
activité 02
estimation d’un résultat
Prendre en compte les réalités du terrain, en particulier les difficultés potentielles
rencontrées par les enseignant-e-s. Historiquement, et aujourd’hui encore, on doit
constater que ces machines ont été mises à disposition sans que leur statut soit clairement
établi dans la continuité par l’institution scolaire, en déléguant aux maîtres la
responsabilité de leur utilisation (ou non !), sur la base des quelques éléments figurant
dans les PE et ME. A l’EP, le statut de la calculatrice est celui d’un outil de calcul parmi
les autres, alors qu’au CO un thème entier du plan d’études lui est consacré - au même
niveau que l’initiation au raisonnement et à la recherche ! Au PO, quasi aucune mention
17
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
de cet outil et de son statut. Bien sûr, quelques formations ont été proposées (voir
imposées), mais l’impact réel sur le terrain reste extrêmement faible. Une intégration
réussie ne se fera qu’en emportant la conviction des maîtres. Des exemples concrets des
apports possibles de ces outils pour la pédagogie font souvent défaut, sauf dans les
moyens d’enseignement du CO (les MERM). Espérons que cette brochure et les offres de
formation qui l’accompagnent participeront à l’amélioration de cette situation.
Exploiter les dispositifs existants et futurs
favorisant l’intégration de
l’enseignement avec calculatrice (calculatrice transparente pour la rétroprojection, élève
sherpa19, écrans interactifs).
3.6.4. Perspectives d’avenir
Tout ce travail devra également se faire en étant attentif aux inévitables développements
en cours ou à venir de ces outils et en anticipant les évolutions qui à leur tour ne
manqueront pas de venir interroger les pratiques actuelles :
L’arrivée prochaine d’outils de base intégrant des possibilités graphiques
(les calculatrices graphiques sont explicitement mentionnées dans de
nombreux PE et programmes de pays environnants). Cela aura
immanquablement un impact important sur le domaine de l’étude des
fonctions, dès les premiers degrés (représentations graphiques possibles,
facilitation d’une vision « dynamique » des mathématiques, …) ;
L’émergence d’outils spécifiques proposés par les constructeurs pour
accompagner l’utilisation pédagogique de leurs produits de base ;
La possibilité pour le maître de programmer des calculatrices de base pour
proposer des activités spécifiques aux élèves (problèmes de type « boîte
noire », détournement de certaines fonctions, …) ;
La baisse des coûts des calculatrices symboliques et graphiques (CAS),
qui permettent d’effectuer des manipulations formelles (factorisation,
dérivées, …) et dont l’impact sur les enseignements sera probablement
important20.
19
Si dans une classe tous les élèves disposent d’un outil de calcul personnel, on peut parfois grâce à un
dispositif technologique adéquat permettre à tous de voir ce qui se passe chez un élève particulier, qui est
alors appelé «élève sherpa ». Cette terminologie est en particulier pratiquée par Luc Trouche avec des TI89
(Trouche 1998). On peut imaginer de pouvoir bientôt le faire avec de « simples » calculatrices.
20
Plusieurs expériences ont eu lieu ces dernières années, en particulier dans des collèges, mais on n’a pas
encore porté de regard rétroactif pour les évaluer et estimer de quelle façon ces outils influent sur les
enseignements et les apprentissages.
18
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
4. Propositions d’activités
4.1. Activités détaillées
Les enseignant-e-s, et plus généralement toute personne intéressée, trouveront ici
26 activités détaillées, présentées selon un canevas commun consistant en principe en :
une fiche de présentation
un énoncé élève
un corrigé détaillé
des commentaires pour le maître
des éléments de synthèse / à institutionnaliser
d’éventuels exercices de consolidation.
Certaines de ces activités proposent des questions de recherche ou de développement,
d’autres des exercices dans lesquels il s’agit d’utiliser la calculatrice, d’autres encore un
travail plus spécifique sur la calculatrice elle-même. Dans tous les cas, elles se placent
clairement dans le contexte d’un cours de mathématiques et ont comme objectif de
participer à l’acquisition de savoirs et compétences mathématiques (excepté celle qui
concerne les connaissances de base de la machine).
Elles sont classées selon trois catégories :
le degré auquel elles sont à priori destinées (par cycle d’apprentissage) :
1-2-3-4 EP
5-6 EP
7-8-9 CO
10-11 PO21
l’organisation des apprentissages spécifique à chaque ordre
d’enseignement :
numération - opérations pour l’EP
nombres et opérations - grandeurs et mesures - fonctions et
proportionnalité - calcul littéral pour le CO
calcul numérique - calcul algébrique - trigonométrie - logarithmes et
exponentielles pour le PO
le contexte d'utilisation de la calculatrice :
rechercher / explorer
approfondir / conceptualiser
exécuter
vérifier
Voir les tableaux A - toutes les activités détaillées - ainsi que les trois tableaux
récapitulatifs B.1, B.2 et B.3 - les activités détaillées présentées par types d’élèves,
d’apprentissages et de contextes d’utilisation (pages suivantes).
21
EP : école primaire, CO : cycle d’orientation, PO : post-obligatoire
19
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Enfin, dans le but de proposer aux enseignants qui le souhaitent un travail avec l’outil
calculatrice qui soit non seulement ponctuel mais qui puisse également s’inscrire dans la
durée, nous proposons un parcours progressif qui relie les activités entre-elles et qui
peut être effectué durant un cycle d’apprentissage. Rappelons que de manière générale,
toutes ces ressources sont à considérer comme des pistes et peuvent être adaptées ou
modifiées22.
Ces parcours sont disponibles dans le tableau récapitulatif C (voir 4.1.3).
4.1.1.
Tableau récapitulatif A : toutes les activités détaillées
n°
Nom
Degrés
Contexte
d'utilisation
Domaine
mathématique
01
Découverte de la
calculatrice
1-2 EP
Rechercher
Numération, opérations
02
Nombres à la chaîne
1-2-3-4 EP
Vérifier
Outils de calcul,
addition, soustraction
03
Problèmes additifs,
multiplicatifs
1-2-3-4 EP
Exécuter
Vérifier
Conceptualiser
Problèmes additifs,
multiplicatifs
04
Mettre à zéro
3-4-5-6 EP
Approfondir
Système de numération
05
Boîtes noires
5-6 EP
Rechercher
Opérations,
applications
06
Estimation
5-6 EP
7 CO
Vérifier
Estimation, division
07
Problèmes divisifs
5-6 EP
7 CO
Exécuter
Vérifier
Conceptualiser
Division euclidienne
08
Racine carrée et
valeurs approchées
7-8-9 CO
Exécuter
Calcul littéral
09
Recherche de
preuve par l’algèbre
7-8-9 CO
Rechercher
Nombres et Opérations
10
Recherche de
stratégies
7-8-9 CO
Exécuter
Grandeurs et mesures
11
Aire et Périmètre
7-8-9 CO
Approfondir
Fonctions
12
Pourcentage et
estimation
7-8-9 CO
Approfondir
Nombres et Opérations
22
Toutes ces ressources sont sous licence Creative Commons Paternité-NonCommercial-ShareAlike 2.5
(voir page 2). Elles sont également disponibles en format électronique en faisant la demande à l’un des
auteurs : eric.burdet@edu.ge.ch, pierre-marie.charriere@edu.ge.ch ou jean-marie.delley@edu.ge.ch). Enfin,
elles sont aussi disponibles en téléchargement sur le site de la CEM à l’adresse
http://wwwedu.ge.ch/cem/brochurecalc.html.
20
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
13
Algorithme
7-8-9 CO
Approfondir
Nombres et Opérations
14
Connaissance de
base de la machine
10-11 PO
Exécuter
Calcul numérique
15
Limites-machine ?
10-11 PO
Rechercher
Calcul algébrique
16
Dernier chiffre
10-11 PO
Approfondir
Calcul numérique
17
Grands nombres
10-11 PO
Exécuter
Calcul numérique
18
Quelle période !
10-11 PO
Approfondir
Calcul numérique
19
A la recherche
de 8
10-11 PO
Approfondir
Calcul numérique
20
De simples racines
10-11 PO
Approfondir
Calcul algébrique
21
Premier de cordée
10-11 PO
Approfondir
Calcul algébrique
22
Où sont les lapins ?
10-11 PO
Approfondir
Calcul algébrique
23
Appliquonslatrigo !
10-11 PO
Approfondir
Trigonométrie
24
Vacherie
10-11 PO
Rechercher
Trigonométrie
25
Ouahlatrigo
10-11 PO
Approfondir
Trigonométrie
26
Radiobiolopopulo
Approfondir
Logarithme /
Exponentielle
10-11 PO
Les activités elles-mêmes sont disponibles en un dossier indépendant en annexe 7.3
21
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
4.1.2.
Tableaux récapitulatifs B.1, B.2 et B.3 : activités classées par type d’élèves, d’apprentissages et de contexte
d’utilisation
1-2-3-4 EP
Numération
Exécuter
5-6 EP
Opérations
Numération
Problèmes additifs,
multiplicatifs
(Act. n° 03)
Problèmes divisifs
(Act. n° 07)
Boîtes noires
(Act. n° 05)
Rechercher /
Explorer
Découverte de la
calculatrice
(Act. n° 01)
Découverte de la
calculatrice
(Act. n° 01)
Approfondir /
Conceptualiser
Mettre à zéro
(Act. n° 04)
Problèmes additifs,
multiplicatifs
(Act. n° 03)
Nombres à la chaîne
(Act. n° 02)
Vérifier
Opérations
Problèmes additifs,
multiplicatifs
(Act. n° 03)
Mettre à zéro
(Act. n° 04)
Problèmes divisifs
(Act. n° 07)
Estimation
(Act. n° 06)
Tableau récapitulatif B.1 : activités classées par type d’apprentissage et de contexte d’utilisation pour l’EP
Rappel : les activités elles-mêmes sont disponibles en un dossier indépendant en annexe 7.3
22
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
7-8-9 CO
Nombres et opérations
Approfondir /
Conceptualiser
Calcul littéral
Fonctions et
proportionnalité
Aire et Périmètre
(Act. n° 11)
Exécuter
Rechercher /
Explorer
Grandeurs et mesures
Recherche de preuve par
l’algèbre (Act. n° 09)
Recherche de stratégies
(Act. n° 10)
Algorithme (Act. n° 13)
Pourcentage et estimation
(Act. n° 12)
Racine carrée et valeurs
approchées (Act. n° 08)
Vérifier
7 CO
Act. n° 10 et Act. n° 11
8 CO
Act. n° 12 et Act. n° 13
9 CO
Act. n° 08 et Act. n° 09
Tableau récapitulatif B.2 : activités classées par type d’apprentissages et de contexte d’utilisation pour le CO
Rappel : les activités elles-mêmes sont disponibles en un dossier indépendant en annexe 7.3
23
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
11-12 PO
Calcul numérique
Exécuter
Trigonométrie
Log/Exp
Connaissance de base de la
machine (Act. n° 14)
Grands nombres
(Act. n° 17)
Limites-machine
(Act. n° 15)
Vacherie
(Act. n° 24)
Dernier chiffre
(Act. n° 16)
De simples racines
(Act. n° 20)
Appliquons la trigo !
(Act. n° 23)
A la recherche de 8
(Act. n° 19)
Premier de cordée
(Act. n° 21)
Ouahlatrigo
(Act. n° 25)
Quelle période !
(Act. n° 18)
Où sont les lapins ?
(Act. n° 22)
Rechercher /
Explorer
Approfondir /
Conceptualiser
Calcul algébrique
Radiobiolopopulo
(Act. n° 26)
Vérifier
Tableau récapitulatif B.3 : activités classées par type d’apprentissages et de contexte d’utilisation pour le PO
Rappel : les activités elles-mêmes sont disponibles en un dossier indépendant en annexe 7.3
24
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
4.1.3.
Tableaux récapitulatifs C1, C2 et C3 : parcours chronologiques dans les activités, par cycle d’apprentissage
Tableau récapitulatif C.1 : liens entre les activités et les thèmes et modules des moyens d'enseignement romands.
Découverte de la
1P - 2P
Module 3 : des problèmes pour connaître l'addition,
calculatrice
Utiliser des écritures mathématiques
(Act. 01)
1P - 2P
Module 3 : des problèmes pour connaître l'addition
Utiliser des outils pour calculer
3P - 4P
Module 3 : des problèmes pour connaître l'addition
Champ B : Apprendre à calculer
1P - 2P
Module 3 : des problèmes pour connaître l'addition
Reconnaître des problèmes additifs et soustractifs
3P - 4P
Module 3 et 4 : des problèmes pour connaître l'addition, la multiplication,
Champ A : Reconnaître des problèmes additifs, soustractifs, multiplicatifs et divisifs
3P - 4P
Module 2 : des problèmes pour approcher le nombre et lui donner du sens
5P
Thème 2 : Nombres naturels et opérations & Thème 3 : Approche des nombres rationnels
6P
Thème 2 : Nombres naturels et opérations & Thème 6 : Nombres rationnels et opérations
Boîtes noires
(Act. 05)
5P
Thème 9 : Applications
6P
Thème 7 : Applications
Estimation
(Act. 06)
5P
Thème 6 : Division dans IN
6P
Thème 2 : Nombres naturels et opérations
Problèmes divisifs
(Act. 07)
5P
Thème 6 : Division dans IN
6P
Thème 2 : Nombres naturels et opérations
Nombres à la chaîne
(Act. 02)
Problèmes additifs,
multiplicatifs
(Act. 03)
Mettre à zéro
(Act. 04)
25
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Tableau récapitulatif C.2 : parcours chronologique dans les activités CO – proposant aussi bien les activités numérotées détaillées dans
l’annexe 7.3 et celles de l’annexe 7.4 (dont le numéro commence par II_)
en 7ème (touches des 4 opérations, des calculs en chaîne, de correction, des parenthèses, des mémoires, de l’écriture fractionnaire)
Nombres premiers
II_56
Approximation
Opérations
Problèmes
II_01 – II_32 – II_67
Nombres relatifs
II_05 – II_43 – II_51
II_74 – II_53 – II_60
–
II_79
Priorité opérations
(Act. 11)
II_58
(Act.
10)
II_63
Calcul littéral
II_40
→
→
→
en 8ème (touches des relatifs, %, Pi, 1/x, carré et racines carrée et cubique, écriture scientifique)
Nombres
II_81 – II_83 – II_61
Particularité de la
(Act. 12) – II_42
calculatrice (à répartir
Problèmes (nombres)
dans l’année)
II_31 – II_15 – II_04
– II_07 – II_35
→
Logique
II_47
→
II_66 (Act. 13) –
II_03 – II_52
→
Racines et Puissances
II_54 – II_10 – II_48
Fonction
II_06
Calcul littéral
II_13
en 9ème (touches Get xy puissances)
Nombres
II_39 – II_49 –
II_45 – II_85 –
II_11(Act. 08)
→
Problèmes
(arithmétique)
II_62 – II_55 – II_57
→
Calcul littéral
II_16 –
II_14 (Act. 09) –
II_30 – II_49 – II_02
26
→
Opérateur constant
Programmation
II_38 – II_69 – II_37
Statistiques
II_68
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Tableau récapitulatif C.3 : parcours chronologique dans les activités PO détaillées dans l’annexe 7.3
Connaissance de base de la machine (Act. 14)
Limites-machines (Act. 15)
Dernier chiffre (Act. 16)
Grands nombres (Act.17)
Quelle période ! (Act.18)
A la recherche de 8 (Act.19)
De simples racines (Act.20)
Premier de cordée (Act.21)
Où sont les lapins ? (Act.22)
Appliquonslatrigo ! (Act.23)
Radiobiolopopulo ! (Act.26)
Vacherie ! (Act.24)
Ouahlatrigo ! (Act.25)
27
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
4.2. Autres idées d’activités
De nombreuses autres activités ont été répertoriées durant la préparation de ce travail. Il
était impossible de les décrire toutes précisément, mais il a été choisi d’en garder trace
afin que les enseignant-e-s puissent éventuellement y puiser d’autres idées.
Elles sont listées dans l’annexe 7.4, classées par types d’élèves concernés (cette
classification étant parfois très subjective, il ne faut pas hésiter à regarder les activités
d’autres degrés !).
Ces activités sont disponibles en un dossier indépendant dans l’annexe 7.4.
5. Manipulation d’une calculatrice
5.1. Utilisations judicieuses et limites de la calculatrice TI-34 II
Ci-dessous se trouvent des exemples de quelques utilisations judicieuses et de quelques
limites de la calculatrice : la division euclidienne, l’ordre des opérations, les opérateurs
constants, le calcul avec des fractions, la simplification des fractions, le nombre de
décimales, la notation scientifique et le calcul de moyennes.
A chaque séquence de touches est associée une capture d’écran de la calculatrice.
•
Division euclidienne
%Y
Un chocolatier vient de confectionner 283 pralinés identiques.
Il a prévu de placer ces pralinés dans des boites contenant chacune 12 pralinés.
Combien de boites parviendra-t-il à remplir au maximum et combien de pralinés
non emballés restera-t-il ?
283 % Y 12 <
283 Int¾ 12
23
7
——— ——— ——— ———
Q
º
R
Réponse : 23 boites remplies et 7 pralinés restent non emballés.
La division euclidienne n'a de sens que si le dividende et le diviseur sont des nombres
entiers. La calculatrice affiche un message d'erreur si l'un de ces deux nombres n'est pas
un entier positif.
•
Multiplication implicite
Dans de nombreux cas, on peut faire l'économie de la touche V et de la touche E. En
effet, l'absence de signe opératoire est comprise comme une multiplication toutes les fois
où il n'y a pas d'ambiguïté et < ferme toutes les parenthèses ouvertes.
28
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
•
Ainsi pour les opérations suivantes,
Il suffit d'appuyer sur les touches
4 ⋅ (2 + 3 )
4D2T3<
22 ⋅ 5
2F5<
5⋅ 4
5%b4<
le quart de la réponse précédente
1>4%i<
3·À
3g<
2·sin(30)
2 % B < 30
Ordre des opérations
L'ordre des opérations est respecté également lorsque l'on utilise les opérateurs
mémorisés.
Attention dès lors si l'on veut par exemple élever des nombres négatifs au carré :
M4m
%mF<
-4 2
1
OP1= 2
º
-16.
La calculatrice effectue -(42), ce qui correspond bien à l'ordre des opérations indiqué.
Parade possible :
%m%iF<
M4<m
Ans 2
1
OP1=Ans 2
º
16.
Ainsi, c'est l'opération (-4) 2 qui est effectuée.
•
Opérateurs constants
m et o
Pour quelles valeurs, la fonction f : x a 4 x 2 + 5 x − 6 s'annule-t-elle ?
Par tâtonnement, en calculant les valeurs f(x) pour un grand nombre de valeurs de la
variable. (CO)
Programmation
%nL<
OP1=¹A
%p4z<FT5z<U6<
OP2=4A 2 +5A– ¹
29
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Utilisation
0mo
1mo
2
4A +5A–6
1
6.
º
0.8 m o
0.5 m o
2
4A +5A–6
1
3.
º
0.7 m o
2
4A +5A–6
1
0.56.
M3mo
4A +5A–6
1
-0.54.
º
M1mo
4A 2 +5A–6
1
15.
4A 2 +5A–6
1
0.
º
M2mo
4A 2 +5A–6
1
-7.
º
º
0.75 m o
2
º
4A 2 +5A–6
1
-2.5.
º
4A 2 +5A–6
1
0.
º
En utilisant la formule de Viète (PO)
Programmation
%nDMz"<T%bz"<FU4z<
z""<EEWD2z<E<
OP1=(-B+Ñ(B ¹
%pDMz"<U%bz"<FU4z<
z""<EEWD2z<E<
Utilisation
4L<
5L"<
º
4¹A
º
5¹B
4.
5.
m
º
-6¹C
-6.
o
(-B+Ñ(B 2 -4A ¹
1
0.75
•
M6L""<
(-B–Ñ(B 2 -4A ¹
1
-2.
º
Calcul avec des fractions
º
>
Pierre et Jean et ont entamé un gâteau.
Pierre a pris un quart du gâteau.
Jean a pris le cinquième de ce qui restait.
Quelle est la part du gâteau qui reste après le passage de Pierre et de Jean ?
Sur la calculatrice TI-34 II, il existe deux modes de simplification : manuel (réglage par défaut)
ou automatique.
30
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
En mode manuel (% ~ " " Manual <) :
1 U 1 > 4 U 1 > 5 D1 U 1 > 4 E <
¹
1–1/4–1/5(1
12 / 20
º
N/D¹n/d
}<
AnsSimp
6 / 10
º
}<
Ans Simp
3/5
º
N/D¹n/d
1 U 1 > 4 U 1 > 5 D1 U 1 > 4 E <
1–1/4–1/5(1 ¹
12 / 20
º
}4<
Ans Simp 4
3/5
º
N/D¹n/d
} < simplifie la fraction par le plus petit facteur premier commun. On peut aussi choisir
le facteur de simplification, en écrivant le facteur de simplification choisi entre } et <.
La calculatrice affiche si la fraction peut encore être simplifiée. En répétant } <, on arrive
inévitablement à une fraction irréductible.
En mode automatique (% ~ " " Auto <) :
1 U 1 > 4 U 1 > 5 D1 U 1 > 4 E <
1–1/4–1/5(1 ¹
3/5
º
La réponse est directement donnée sous forme de fraction irréductible.
Attention
L'écriture des nombres sous forme de fraction n'est possible sur la calculatrice que si
numérateur et dénominateurs sont des nombres entiers positifs et le dénominateur un
nombre positif. Si ce n'est pas le cas, il faut utiliser l'opérateur division (W).
2>M5<
ou % b 3 E > 2 <
SYNTAX
Error
SYNTAX
Error
Parade possible
-!W<
-W<
º
2¾-5
-0.4
Ñ(3)¾2
0.866025404
R<
º
AnsF
-2 / 5
Exception : À
Angles en radians (% I RAD <)
g>6
À/ 6
Ô
Pi / 6
RAD
31
º
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Simplification de fractions
}
La calculatrice ne simplifie pas toutes les fractions réductibles.
856 > 1712 } <
DOMAIN
Error
Parade possible :
En mode manuel (% ~ " " Manual <) :
856 > 1712 <
}5<
R<
º
856/1712
º
AnsF
5 / 10
0.5
AnsSimp 5
1/2
N/D¹n/d
En mode automatique (% ~ " " Auto <) :
856 > 1712 <
R<
º
856/1712
0.5
•
º
AnsF
1/2
Écriture décimale, écriture fractionnaire
RQ
La calculatrice ne tient compte que d'un certain nombre de décimales.
En voici des exemples.
0.33333333 R < (8 décimales)
º
0.33333333
0.33333333
mais
0.3333333339 Q < (10 décimales)
0.333333333 ¹
1/3
º
!
De même,
0.1234567891 U 0.123456789 <
0.123456789 ¹
1. ×
mais
º
-10
10
0.12345678912 U 0.1234567891 <
0.123456789 ¹
0.
º
!
32
º
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
•
Nombre de décimales
%‚
Autour d'une piscine rectangulaire de 32 mètres de
périmètre, on a installé, par sécurité, une barrière à 2
mètres des bords.
Quelle est la longueur de la barrière ?
La réponse est à donner avec une précision de l'ordre du centimètre.
%‚2
32 T 2 g 2 <
º
32+2À2
44.57
Réponse : 44,57 mètres
FIX
% ‚ 2 n'a d'effet que sur l'affichage du résultat, arrondi au centième, la machine
calculant en prenant une approximation de À = 3,14159265359.
Le résultat est différent si on prend une approximation au centième de À
32 T 2 V 3.14 V 2 <
%‚8
32+2×3.14×2
44.56
º
Réponse : 44,56 mètres
FIX
Autre exemple :
%‚4
25 W 7 < V7<
º
25¾7
3.5714
FIX
Mais
Ans×7
25.0000
º
FIX
3.574 V 7 <
3.5714×7
24.9998
º
FIX
•
Notation scientifique
C
Calcule la distance du système solaire à Proxima du Centaure en sachant qu'un
rayon de lumière met environ 4 ans pour nous parvenir de cette étoile et que la
vitesse de la lumière vaut approximativement 300'000 km/s.
4 V 365 V 24 V 3600 V 3 C 5 <
4×365×24×36 ¹
3.78432 ×
º
13
10
Réponse : Proxima du Centaure se trouve approximativement à 3,78 ⋅ 1013 km du
système solaire.
33
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
C permet d'entrer une valeur en notation scientifique (écriture d'un nombre décimal
différent de 0 sous la forme d'un produit de deux facteurs, le premier étant un nombre
décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 et le second facteur une
puissance entière de 10)
La calculatrice TI-34 II ne permet ni la conversion d'une notation décimale en notation
scientifique ni l'inverse.
Bien plus, la calculatrice impose la notation pour les résultats, en valeur absolue,
supérieurs ou égaux à 10000000000 ( 1⋅ 1010 ) ou strictement inférieurs à 0,000000001
( 1⋅ 10 -9 ) et la notation décimale pour les résultats compris , en valeur absolue, entre ces
deux bornes.
Appuyer sur C équivaut à frapper V 10 G .
Ainsi pour entrer 5 ⋅ 1012 , il suffit de taper 5 C 12
Attention, si on tape 5 V 10 C12, on obtient 5 ⋅ 1013 .
Attention encore :
Les résultats affichés dépendent du nombre de chiffres significatifs que la calculatrice
peut stocker. En effet, la machine tronque les nombres à partir d'une certaine décimale en
fonction du nombre de chiffres qu'il y a avant la virgule. Ainsi, selon les cas, on peut
obtenir un résultat exact ou complètement erroné. Voici un exemple :
(10-5+105-10-5) : 105
D C -5 T C 5 U C -5 E W C 5 <
(¯ - 5+¯5-¯ - 5
¹
º
1.
Mais (105+10-5-105) : 10-5 …
D C 5 T C -5 U C 5 E W C -5 <
(¯5+¯ - 5-¯5)
¹
0.
•
º
!
Calcul de moyennes :
Durant le trimestre, les élèves ont effectué 5 récitations, 2 épreuves et une
épreuve trimestrielle.
L'épreuve trimestrielle compte pour un tiers de la moyenne trimestrielle, la
moyenne des récitations pour un deuxième tiers et la moyenne des épreuves pour
le dernier tiers.
Voici les notes de Marie :
R1 = 2
R2 = 4
R3 = 4
R4 = 4,5
R5 = 5,5
E1 = 2,5
E2 = 4
Trim = 4,5
Quelle est la moyenne trimestrielle au dixième de Marie ?
34
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Chaque récitation compte pour 1/15 (2/30) de la moyenne, chaque épreuve pour 1/6
(5/30) de la moyenne et l'épreuve trimestrielle pour 1/3 (10/30). Cela se traduit par une
fréquence de 2 pour chaque récitation, de 5 pour chaque épreuve et par 10 pour l'épreuve
trimestrielle.
%‚1
(résultat au dixième)
% t 1-VAR
1-VAR 2-VAR
<
¹
FIX
FIX
STAT
2$ 2
v
X1=
FRQ =
Ó
FIX
STAT
FIX
Ó
STAT
$ 4 $ 2 $ 4 $ 2 $ 4.5 $ 2 $ 5.5 $ 2 $ 2.5 $ 5 $ 4 $ 5 $ 4.5 $10
u"Ï
n Ï Sx Îx ¹
3.9
FIX
STAT
Marie a donc une moyenne trimestrielle insuffisante, et ce malgré l'évidente progression
en cours de trimestre.
Une fois les fréquences entrées, il n'est plus nécessaire de les réintroduire.
Ainsi, pour Joseph qui est dans la même classe et qui a obtenu les notes suivantes :
R1 = 5
E1 = 4
R2 = 5,5
E2 = 3,5
R3 = 5
Trim = 3,5
R4 = 4,5
R5 = 4
v 5 $ $ 5.5 $ $ 5 $ $ 4.5 $ $ 5 $ $ 4 $ $ 3.5 $ $ 3.5
u"Ï
n Ï Sx Îx ¹
4.0
FIX
STAT
35
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
5.2. Éléments de mode d’emploi
5.2.1.
TI-106
Fonctions
Exemples
Écriture
mathématique
Remarques
Touches à
utiliser
Mise en
marche
[ON/C]
Remise à zéro
[ON/C] [ON/C]
Extinction
La calculatrice s'éteint d'ellemême lorsque le couvercle est
remis en place.
Nombre de
chiffres
conservés en
mémoire/ dans
les registres
La calculatrice ne conserve que
les 8 premiers chiffres d'un
nombre. Ainsi, si l'on tape le
calcul 123456789 - 12345678, le
résultat donné est 0.
Résultat
négatif
La calculatrice indique les
résultats inférieurs à 0 par un tout à gauche de l'écran.
Résultat le plus
grand
(maximum)
La calculatrice n'affiche que les
résultats inférieurs à 100'000'000
(108). Si le résultat est supérieur,
la machine l'indique par un E
(erreur) à gauche de l'affichage.
Résultats
rationnels non
décimaux
La calculatrice ne garde en
mémoire qu'une approximation
des résultats. Ainsi, si l'on tape
8 [÷] 3 [×] 3 [=], le résultat
affiché est 7.9999998 et non 8.
Addition
792 + 16
792 [+] 16 [=]
Soustraction
126 − 45
126 [−] 45 [=]
Multiplication
12 × 13
12 [×] 13 [=]
Division
156 : 6
156 [÷] 6 [=]
36
La division d'un nombre par 0 n'a
pas de solution dans IR.
Par exemple, il n'est pas possible
de trouver le résultat de 3 : 0. En
effet, aucun nombre réel
multiplié par 0 ne donne 3.
Si l'on fait ce calcul la
calculatrice, la machine affiche
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
un E (erreur) tout à gauche de la
ligne d'affichage.
Correction
d’une faute de
frappe
12 + 15 16
12 × 10 + 5
12 [+] 15
[ON/C]
[+] 16 [=]
12 [×] 10
[ON/C]
[+] 5 [=]
Opérateur
constant
Ordre des
opérations
2+3
4+3
2 [+] 3 [=]
4 [=]
8−6
3−6
8 [−] 6 [=]
3 [=]
3×8
3 × 15
3 [×] 8 [=]
15 [=]
27 : 3
15 : 3
27 [÷] 3 [=]
15 [=]
87 + 3 +3 + 3
87 [+] 3 [=] [=]
[=]
(3 + 8) × 5
3 [+] 8 [×] 5 [=]
3+8×5=
3 + (8 × 5)
8 [×] 5 [+] 3 [=]
5 × (3 + 8)
3 [+] 5 [×] 8 [=]
La touche [ON/C] permet
d'effacer le dernier chiffre ou la
dernière opération (opérateur et
nombre)
Attention, contrairement aux
autres opérations, lors d'une
multiplication, c'est le premier
facteur qui est répété !
La calculatrice TI-106 effectue
les opérations dans l'ordre où
elles sont saisies ; les résultats
intermédiaires sont affichés
immédiatement lors de la saisie
d'un nouvel opérateur.
D'autres fonctions (racine carrée, exposant entier, inverse, pourcentage, mise en mémoire)
sont prévues sur la calculatrice TI-106 mais ne concernent pas les programmes de
mathématiques 1P-4P.
Pour l'utilisation de ces fonctions, prière de se référer au mode d'emploi fourni avec la
calculatrice.
37
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
5.2.2.
TI-34 II
Fonctions
Exemples
Écriture
mathématique
Touches à utiliser
Affichage
&
Mise en marche
%'
Extinction
Opérations de
base
(EP)
Remarques
5 × 12 − 45
La calculatrice s'éteint automatiquement si
aucune touche n'est enfoncée pendant environ
5 minutes.
5 V 12 U 45 <
º
5×12½45
15.
Attention à ne pas confondre la soustraction
(touche U) et le signe d'un nombre relatif
(touche M) !
Lorsque l'on divise un nombre par 0, la
calculatrice affiche un message d'erreur.
Opérations de
base
(CO - PO)
Répétition des
opérations
5 ⋅ (− 12 ) + 45
5 V M 12 T 45
<
º
5×-12+45
-15.
Suite des
puissances de 2
1<
º
1
1.
V2<
º
Ans×2
2.
<
º
Ans×2
4.
<
º
Ans×2
8.
39
Attention à ne pas confondre la soustraction
(touche U) et le signe d'un nombre relatif
(touche M) !
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Division
euclidienne
13 ÷ 4
13 % Y 4 <
13 Int¾ 4
3
1
——— ——— ——— ———
Q
º
R
Divise 2 entiers positifs et affiche le quotient
Q, et le reste R. Seul le quotient est stocké
dans Ans.
La division euclidienne n'a de sens que si le
dividende et le diviseur sont des nombres
entiers. La calculatrice affiche un message
d'erreur si l'un de ces deux nombres n'est pas
un entier positif.
Parenthèses
(EP)
Parenthèses
(CO - PO)
4 × (2 + 3 )
4VD2T3E<
º
4×(2+3)
20.
4 ⋅ (2 + 3 )
4VD2T3E
<
º
4×(2+3)
20.
4D2T3E<
Le nombre placé avant ou après la parenthèse
est implicitement multiplié.
º
4(2+3)
20.
Multiplication
implicite,
économie de
touches
(CO - PO)
4 ⋅ (2 + 3 )
4D2T3<
22 ⋅ 5
2F5<
5⋅ 4
Dans de nombreux cas, on peut faire
l'économie de la touche V et de la touche E.
En effet, l'absence de signe opératoire est
comprise comme une multiplication toutes les
fois où il n'y a pas d'ambiguïté et < ferme
toutes les parenthèses ouvertes.
5%b4<
le quart de la
réponse précédente
1>4%i<
3·À
3g<
2·sin(30)
2 % B < 30
<
0,25 · 0,5
.25 V .5 <
Il n'est pas nécessaire d'entrer le 0 pour les
nombres décimaux dont les chiffres à gauche
de la virgule sont nuls.
40
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
1) Expressions entre parenthèses
Ordre des
opérations (EP)
2) Fonctions qui sont introduites après
l'argument telles que x2
3) Puissances (∧)
4) Multiplications et divisions
5) Additions et soustractions
6) < termine toutes les opérations et
ferme toutes les parenthèses ouvertes.
1) Expressions entre parenthèses
Ordre des
opérations (CO)
2) Fractions
3) Fonctions qui sont entrées après l'argument
telles que x2
4) Puissances (∧) et racines (Ñ )
5) Signe du nombre relatif (-)
6) Multiplications, multiplications implicites,
divisions
7) Additions et soustractions
8) Conversions (Ab/c↔d/e, `F, `D, `%,
`DMS)
9) < termine toutes les opérations et
ferme toutes les parenthèses ouvertes.
1) Expressions entre parenthèses
Ordre des
opérations (PO)
2) Fonctions qui ont besoin d'une parenthèse
et qui précèdent l'argument telles que les
fonctions trigonométriques ou
logarithmiques
41
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
3) Fractions
4) Fonctions qui sont entrées après l'argument
telles que x2 et les convertisseurs d'unité
d'angle (° ′ ″ r g)
5) Puissances (∧) et racines (Ñ )
6) Signe du nombre relatif (-)
7) Arrangements (nPr) et combinaisons (nCr)
8) Multiplications, multiplications implicites,
divisions
9) Additions et soustractions
10) Conversions (Ab/c↔d/e, `F, `D,
`%, `DMS)
11) < termine toutes les opérations et
ferme toutes les parenthèses ouvertes.
Réponse
précédente
(EP)
3×3
3V3<
º
3×3
9.
3×3×3
V3<
Ans est l'abréviation du mot anglais answer qui
veut dire réponse. C'est le résultat du calcul
précédent.
º
Ans×3
27.
Réponse
précédente
(CO - PO)
3⋅3
3V3<
º
3×3
9.
3⋅3⋅3
V3<
º
Ans×3
27.
3
3⋅3⋅3
3%c%i
<
3 x ÑAns
º
3.
42
Ans est l'abréviation du mot anglais answer qui
veut dire réponse. C'est le résultat du calcul
précédent.
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Entrées
précédentes
1+ 1
1T1<
º
1+1
2.
2+2
2T2<
º
2+2
4.
3+3
3T3<
º
3+3
6.
4+4
4T4<
Après l'évaluation d'une expression, les
touches # et $ permettent de faire défiler les
entrées précédentes qui sont stockées dans les
registres de la calculatrice (EP).
Cette fonction est particulièrement utile pour
que l'élève puisse revenir sur des essais qu'il a
effectués précédemment sans les noter. (EP)
º
4+4
8.
2+2+2
###
2+2
Ó
%"T2<
2+2+2
º
6.
Effacement
Correction
Réinitialisation
de la
calculatrice
-
Efface un message d'erreur
Efface la ligne en cours d'édition
Déplace le curseur vers la dernière entrée de
l'historique (registres mémorisés) quand
l'affichage est vide
J
Supprime le caractère à l'emplacement du
curseur.
Supprime tous les caractères à droite quand la
touche J est maintenue enfoncée ; supprime
ensuite 1 caractère à gauche du curseur chaque
fois que la touche J est enfoncée.
%f
Insère un caractère à l'emplacement du curseur
%Y<
ou
& et -
RESET: N Y
43
Restaure les réglages par défaut de la machine ;
efface les variables en mémoire, les opérations
en attentes, l'historique, les opérateurs
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
calculatrice
& et -
MEM CLEARED
Mémoires
(CO - PO)
15 L
¹ A B C D E
<
15¹A
¹
La calculatrice permet de conserver 5 variables
en mémoire (A, B, C, D, E).
º
15.
7V
mémorisés et Ans.
Il est possible de stocker un nombre réel ou
une expression dont le résultat est un nombre
réel dans une variable en mémoire.
º
7×
z accède au menu des variables.
%h
A B C D E
Lpermet de stocker les valeurs des
variables.
¹
15.
7 × 15
2
<F<
7 × 15
% h rappelle les valeurs des variables.
2
º
1575.
L"
¹ A B C D E
<
Ans¹B
¹
º
1575.
7 × 15 : 4
z"
A B C D E ¹
1575.
<W4<
B¾4
2
º
393.75
%{Y<
CLR VAR: Y N
44
% { efface toutes les valeurs des
variables.
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Opérateurs
mémorisés
f(x) = 2x+3
% nV 2 T 3 <
OP1= × 2+3
f(4)
4m
4 × 2+3
1
f(6)
Plus petit
multiple
commun
Plus grand
diviseur
commun
Simplification
de fractions
(CO PO)
6m
6 × 2+3
1
º
11.
º
15.
OP2 Ù× 2
g(x) = 2x
% p!
V2<
g(4)
4o
1
8.
g(g(4))
o
2
16.
g(g(g(4)))
o
3
32.
%p!<
OP2= × 2
Il est aussi possible de faire en sorte que la
calculatrice n'affiche que le compteur et le
résultat (en excluant l'entrée) Pour cela il faut
appuyer % n ou % p ; puis appuyer
sur ! jusqu'à ce que le = soit mis en
surbrillance (Ù). Il suffit de répéter la
manœuvre pour désactiver ce réglage.
º
%d"""""
" < 12 % ` 20
<
lcm(12,20
pgcd(10'395,6930)
%d"""""
" " < 10395 % `
6930 <
gcd(10395,6 ¹
3465.
135
=?
60
% ~ = d/e
Manual
(é l
déf )
ppcm(12,20)
Pour mémoriser un opérateur en OP1 ou OP2 :
1. Appuyer sur % n ou % p.
2. Entrez l'opération (toute combinaison de
nombres, d'opérateurs, ou des
fonctions et leurs arguments.
3. Appuyer sur < pour sauvegarder
l’ensemble.
4. m ou o rappelle et affiche l'opération
sur la ligne d'entrée. La calculatrice donne
automatiquement le résultat (sans appuyer sur
<) du côté gauche de la ligne du résultat. Si
l'on appuie plusieurs fois sur m ou o, le
compteur s'incrémente de 1 à chaque fois.
60.
º
Il existe deux modes de simplification : manuel
ou automatique.
45
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
(réglage par défaut)
(CO - PO)
135 > 60 <
135/60
135 / 60
º
N/D¹n/d
}<
AnsSimp
45 / 20
º
N/D¹n/d
}<
AnsSimp
9/4
º
% ~ = d/e Auto
135/60
º
9/4
135 > 60 <
Opérations
avec des
fractions
(CO - PO)
7 2 5
+ ⋅
2 3 4
5/6+2/3 × 5/4
20 / 12
º
N/D¹n/d
5/6+2/3 × 5/4
5/3
º
% ~ = AËb/c
Manual
5/6+2/3 × 5/4
1u8/12
º
% ~ = AËb/c
Auto
5/6+2/3 × 5/4
1u2/3
% ~ = d/e
Auto
Dans le second cas, } < réduit
directement la fraction à sa forme irréductible.
L'écriture des nombres sous forme de fraction
n'est possible sur la calculatrice que si
numérateur et dénominateur sont des nombres
entiers. De plus le dénominateur doit être
positif. Si ce n'est pas le cas, il faut utiliser
l'opérateur division.
5>6T2>3V5>
4<
% ~ = d/e
Manual
(réglage par défaut)
Dans le premier cas, } < simplifie la
fraction par le plus petit facteur premier
commun. On peut aussi choisir le facteur de
simplification, en écrivant le facteur de
simplification choisi entre } et <.
La calculatrice affiche si la fraction peut
encore être simplifiée. En répétant }
<, on arrive inévitablement à une fraction
irréductible.
N/D¹n/d
46
º
La calculatrice peut être réglée de manière à
afficher les résultats :
- en notation française (notation habituelle des
fractions à Genève) ou
- en notation anglo-saxonne (les nombres
rationnels sont écrits comme somme d'un
nombre entier et d'une fraction strictement
comprise entre 0 et 1).
Dans tous les cas, les résultats qui ne peuvent
pas être affichés en tant que fraction sont
affichés sous forme décimale approchée.
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Conversion
d'une fraction
en écriture
décimale et
réciproquement
(CO - PO)
135
=?
60
% ~ = d/e
Manual
(réglage par défaut)
135/60
135 / 60
º
N/D¹n/d
135 > 60 <
Q<
º
AnsD
2.25
R<
AnsF
225 / 100
º
N/D¹n/d
% ~ = d/e
Auto
Q<
º
135/60
9/4
º
AnsD
2.25
R<
º
AnsF
9/4
Puissances
Racines (EP)
22 + 2
2FT2<
2 2 +2
º
6.
25
% b 25 E <
º
Ñ (25
5.
53
3
8
5G3<
º
5^3
125.
3%c8<
La conversion de fractions en écriture décimale
est selon les cas exacte ou approchée.
3xÑ8
º
2.
47
La calculatrice ne convertit les nombres
décimaux en fraction que dans la mesure de ses
possibilités.
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Puissances
Racines
(CO-PO)
22 + 2
2FT2<
2 2 +2
º
6.
% b 25 E <
25
º
Ñ (25
5.
5G3<
53
3
º
5^3
125.
3%c8<
8
3xÑ8
º
2.
% ~ = d/e ;
Manual
(réglage par défaut)
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝4⎠
−1
⎛ 1⎞
2⋅⎜ ⎟
⎝2⎠
Notation
scientifique
(CO - PO)
3>4%a<
3/4 - 1
º
4/3
−
1
2
(7,28 ⋅ 10 )⋅ (3 ⋅ 10 )
5
8
(7,28 ⋅ 10 )⋅ (3 ⋅ 10 )
-5
8
2VD1>2EG
M1>2%a<
2 × (1/2)^-1/ ¹
2.828427125
º
7.28 C 5 V 3 C 8
<
7.28 ¯ 5 × 3 ¯ 8
2.184 ×
º
7.28 C M 5 V 3 C 8
<
7.28 ¯ -5 × 3 ¯ 8
21840.
48
14
10
º
C permet d'entrer une valeur en notation
scientifique (écriture d'un nombre décimal
différent de 0 sous la forme d'un produit de
deux facteurs, le premier étant un nombre
décimal supérieur ou égal à 1 et strictement
inférieur à 10 et le second une puissance
entière de 10)
N.B. Taper C équivaut à frapper V 10 G
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
La calculatrice n'affiche un résultat en notation
scientifique que s'il est supérieur ou égal à
10000000000 ( 1⋅ 10 10 ) ou strictement
inférieur à 0,000000001 ( 1⋅ 10 -9 ), en valeur
absolue.
Valeur de 2ּÀ
Nombre de
décimales (CO - arrondie au
millième
PO)
2g<
2À
6.283185307
%‚
F0123456789
º
% ‚ permet d'afficher les résultats avec un
nombre de décimale déterminé. Il est possible
de régler le nombre de décimale entre 0 et 9.
FIX
3 (ou " " " "
<)
º
2À
6.283
FIX
2À
6.283185307
º
%‚2
149 W 7 <
149 ¾ 7
º
V7<
Ans × 7
%‚8
149 : 7 × 7
Cette fonction n'a d'effet que sur l'affichage.
21.29
FIX
º
149.00
FIX
Par contre
21.29 V 7 <
21.29 × 7
149.03
º
FIX
Valeur arrondie Valeur de 2ּÀ
avec une valeur
(PO)
de À arrondie au
millième
2 %d"
<
g%`3<
abs round
¹
2round( À ,3
6.284
49
% ‚ 8 (ou % ‚ F) restaure le format
de notation standard (point flottant).
º
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Conversion
d'angles
(PO)
45° = ? rad.
%I"
<
DEG RAD
45 =
° ' ''
% I affiche un menu pour choisir l'unité
d'angle (degrés DEG ou radians RAD)
r ¹
RAD
º
45°
Pi/4
<<
RAD
° ' ''
5π
= ? deg.
6
r ¹
5g>6="""
<
Pour convertir un angle d'une unité dans une
autre :
1. choisir dans ce menu l'unité d'arrivée.
2. entrer la valeur de l'angle et l'unité de départ
à l'aide de la touche =.
ou inversement.
RAD
DEG RAD
%I!
5 À /6 r
º
150.
<<
Fonctions
trigonométriques
(PO)
tan(
5À
)
4
% I RAD <
%B!!
<
5g>4<
¸
tan tan - 1
RAD
º
tan(5 À /4
1.
RAD
% I DEG <
sin(60)
%B
<
60 <
sin sin - 1
¹
sin(60
0.866025404
50
º
% B affiche le menu de toutes les
fonctions trigonométriques :
sinus (sin), arc sinus (sin-1),
cosinus (cos), arc cosinus (cos-1),
tangente (tan) et arc tangente (tan-1).
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Fonctions
logarithme et
exponentielle
(PO)
ln(1)
%A
<
log 10 ^
¹
% A affiche un menu des fonctions
logarithmes et exponentielles (log, 10^,ln, e^).
º
log(1
e 0,5
¸
%A!
<
.5 <
La calculatrice utilise pour e la valeur
approchée 2,718281828459
0.
1<
ln e ^
¹
e^(.5
1.648721271
51
º
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
6. Bibliographie
L’utilisation de nouveaux outils en classe suscite réflexions et expérimentations ; voici
quelques propositions de documents de référence pour qui souhaite aller plus loin dans la
réflexion, ainsi que d’autres ressources glanées durant la réalisation de ce travail.
6.1. Documents de référence
CEM.- Rapport sur les calculatrices.- 1999.- 4 p. (voir Annexe 7.2)
Guin, D. et Trouche, L. (Eds) : 2003, Calculatrices symboliques; Transformer un outil en un
instrument de travail mathématique: un problème didactique. Grenoble : La Pensée Sauvage.
Floris, R et Conne, F (Eds) : 2007, Environnements informatiques, enjeux pour l’enseignement
des mathématiques.
Commission KAHANE. - « Rapport Kahane sur le calcul + Annexe au rapport ».http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHAG03.htm. - 44p + 17p.
IREM GRENOBLE, Groupe « DÉBAT SCIENTIFIQUE ». - « Une activité en or ».- mars
2006.- http://www.ac-grenoble.fr/irem/new2006/Debat_scientifique. - 20p.
IUFM CRÉTEIL.- « Une calculatrice, un outil à part entière ».http://maths.creteil.iufm.fr/Second_degre/module_info/calculatrice_presentation.htm.
MATH-ECOLE.- « A l’école obligatoire, la calculatrice peut-elle contribuer à l’apprentissage
des maths ? ».- n° 215, juillet 2005. - 9p.
MATH-ECOLE.- « Quelques idées et des activités en cohérence pour un enseignement des
maths avec la calculatrice ». - n° 215, juillet 2005. - 9p.
6.2. Autres ressources
Auteur(s)
Titre [ source ]
Luca Del Notaro,
Ruhal Floris
L'utilisation de la calculette à l'école élémentaire.
[ Math-École - n° 215, juillet 2005 ]
Jean-Baptiste
Lagrange
Mathématiques : calcul formel, programmation. Un point de vue
didactique.
[ Bulletin n°429, APMEP ]
Dominique
Nancy
Donner du sens aux mathématiques.
[ http://www.forum.umontreal.ca/numeros/1999-2000/Forum0003-06/article02.html ]
Louis-Olivier
Pochon
L'ordinateur pour enseigner les mathématiques, sous la direction
de Bernard Cornu.
[ http://www.sens-neuchatel.ch/bulletin/fr-bull.htm ]
52
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Inspection
générale - France
Enseignement des mathématiques et TICE.
[ http://www.educnet.education.fr/math/textes_officiels/cadrage_
math_et_tice.pdf ]
Laura Weiss
Petit vade mecum pour l'utilisation de la calculatrice TI34 au CO.
[ http://www.unige.ch/fapse/SSE/teachers/floris/lmedidmath/Uf71
2/calculatrice/vademecumTI34.pdf ]
Laura Weiss
Difficultés et erreurs caractéristiques liées à l'utilisation de la
calculatrice.
[ DIP, Genève ]
Eric Bruillard
Étude sur quelques obstacles d'usage des calculettes à l'école
élémentaire.
[ Grand N, n°53
http://www.ac-grenoble.fr/irem/new2006/revues/ ]
CREM
Les mathématiques de la maternelle jusqu'à 18 ans.
[ http://www.apmep.asso.fr/article.php3?id_article=557 ]
IUFM Créteil
Le calcul et la calculatrice dans les programmes du cycle 3 de
l’école élémentaire.
[ http://maths.creteil.iufm.fr/Second_degre/module_info/documen
ts/calculatrice_primaire.pdf ]
IUFM Créteil
La calculatrice au collège.
[ http://maths.creteil.iufm.fr/Second_degre/module_info/documen
ts/calculatrice_college.pdf ]
IUFM Créteil
Une calculatrice au lycée.
[ http://maths.creteil.iufm.fr/Second_degre/module_info/documen
ts/calculatrice_lycee_2002-2003.pdf ]
IUFM Créteil
Calcul numérique à l'école primaire: Compétences devant être
acquises.
[ http://maths.creteil.iufm.fr/Second_degre/module_info/documen
ts/competences_calculatrice_primaire.pdf ]
Ministère
éducation
nationale FR
Utiliser les calculatrices en classe.
[ http://www.eduscol.education.fr/prog ]
RM di Scala
Package pédagogique multimédia.
[ http://rmdiscala.developpez.com/cours ]
Direction
enseignement
scolaire
Utiliser les calculatrices en classe.
[ http://rmdiscala.developpez.com/cours/ ]
Rapport Kahane
Rapport d'étape sur l'informatique et l'enseignement des
mathématiques.
[ http://smf.emath.fr/Enseignement/commissionKahane/RapportIn
fomath/html/RapportInfoMath.html ]
Luc Trouche
Complexité de l'interaction homme-machine dans les
environnements informatisés d'apprentissage
[ http://www.irem.univ-montp2.fr/Trouche/ ]
53
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Luc Trouche
Expérimenter et prouver : faire des mathématiques au lycée avec
des calculatrices symboliques 38 variations sur un thème imposé
IREM de Montpellier, Montpellier, 1998
Michèle Artaud
et
Joël Denisot
Structures, fonctionnement, écologie des organisations
didactiques à propos de la calculatrice.
[ In J.L. Dorier & al. (Eds). Actes de la XIe école d’été de
didactique des mathématiques (pp. 97-107). Grenoble : La Pensée
Sauvage éditions. ]
Laura Weiss
Activités Calcul.
[ DIP, Genève ]
Floris Ruhal
et Gruner
Mémoire et formules.
[ DIP, Genève ]
Gruner
7ème Calculatrice.
[ DIP, Genève ]
Alain Gagnebin,
Ninon Guignard,
François Jaquet
Apprentissage et enseignement des mathématiques,
Commentaires Didactiques sur les Moyens d'Enseignement pour
les Degrés 1 à 4 de l'École Primaire (pages jaunes).
[ http://www.erz.be.ch/site/fr/comeo-planification-maths-3p4p.doc ]
Danalet, Dumas,
Studer, VillarsKneubühler
Mathématiques 3P, Livre du maître.
[ DIP Genève ]
Danalet, Dumas,
Studer, VillarsKneubühler
Mathématiques 4P, Livre du maître.
[ DIP Genève ]
Roger Foggiato
Algorithmes de calcul : lesquels enseigner ?
[ DIP Genève ]
François Jaquet,
Louis-Olivier
Pochon
La calculatrice dans les écoles de Suisse romande; quelques
repères historiques.
[ Math-École 216 octobre 2005 ]
G.Th.Guilbaud
Leçons d'à peu près.
[ christian bourgeois éditeur ]
M. Chastellain,
J-A. Calame,
M. Brêchet
MERM Indigo.
[ DIP Genève ]
Des compléments bibliographiques collectés durant ce travail sont disponibles sur simple
demande auprès des auteurs23, ou directement sur le site de la CEM à l’adresse
http://wwwedu.ge.ch/cem/brochurecalc.html.
23
Eric Burdet (eric.burdet@edu.ge.ch), Pierre-Marie Charrière (pierre-marie.charriere@edu.ge.ch) et Jean-Marie
Delley (jean-marie.delley@edu.ge.ch)
54
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
7. Annexes
7.1. La calculatrice dans les plans d’études et les moyens
d’enseignement
7.1.1.
EP
« L’un des enjeux de la nouvelle édition de Mathématiques 5ème et Mathématiques 6ème est
de faire évoluer les attitudes et les conceptions dans le domaine des outils de calcul pour que la
calculatrice […]» Mathématiques 6ème, éd. 2002, Méthodologie – Commentaires, pp 22-23.
Documents romands :
Plan d'études romand de mathématiques, Degrés 1 - 6, COROME – 1997.
Volet "Opérations, fonctions et linéarité".
Intention : Choisir l'outil de calcul le mieux adapté à la situation et à ses propres
compétences.
Compétence attendue : Accepter ou refuser l'affichage d'un résultat par estimation de
l'ordre de grandeur ou la connaissance de propriétés des opérations.
Progression : Temps de construction, de structuration et de consolidation de la 1P à la
6P.
Moyens d'enseignement romands
Commentaires Didactiques sur les Moyens d'Enseignement pour les Degrés 1 à 4 de
l'École Primaire (pages jaunes).
8. Les outils de calcul : La calculatrice p.142-143.
Mathématiques 3e année primaire, Livre du maître, Module 3, p. 120-121 et Module 4,
p. 161.
Mathématiques 4e année primaire, Livre du maître, Module 3, p. 122-123 et Module 4,
p. 165.
Mathématiques 5e année primaire, Méthodologie - Commentaires, Introduction p.22-23,
thème 3, p. 71, thème 6, p. 120.
Mathématiques 6e année primaire, Méthodologie - Commentaires, Introduction p.22-23,
thème 2, p. 57, thème 6, p. 154-155.
Activités « calculatrice» extraites des moyens mathématiques COROME.
3P module 2 : des problèmes pour approcher le nombre et lui donner du sens
o Champ 2-B (comparer les nombres) : Mauvaise touche, p. 85.
o Champ 2-C (établir des liens entre une collection organisée en unités,
dizaines, … et son écriture chiffrée et sa désignation orale) : Touché, p.
104.
4P module 2 : des problèmes pour approcher le nombre et lui donner du sens.
o Champ 2-B (comparer les nombres) : Touché, p. 97.
5P thème 3 : approche des nombres rationnels.
55
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
o L 5 Multiplication lacunaire, p. 29.
o L 7 Touche pas à mes touches, p. 29.
5P thème 8 : opérations dans Q.
o L 17 Touche abîmée, p. 82.
6P thème 2 : nombres naturels et opérations.
o L 3 Le plus grand nombre.
o L 9 Défi à la calculatrice.
Document produit la le secteur des mathématiques de l'enseignement primaire
Algorithmes de calcul : lesquels enseigner ?, p. 11-12.
7.1.2.
Au cycle d’orientation (CO)
7.1.2.1.
Plan d’études
Dans le livret 10 « Usages de la calculatrice et des outils informatiques », on trouve les
intentions suivantes :
Permettre aux élèves de manipuler correctement une calculatrice.
Permettre aux élèves d'avoir un regard critique sur les résultats affichés par la calculatrice.
Décharger partiellement les élèves des calculs pour leur permettre de se consacrer plus à la
réflexion et à la démarche mathématique.
Utiliser la calculatrice comme moyen participant à l'apprentissage de notions mathématiques.
7.1.2.2.
Moyens Enseignement Romands des Mathématiques (Indigo)
Dans le livre « Structure et Organisation » on peut lire :
« L’un des enjeux de Mathématiques 7-8-9 est de faire évoluer les attitudes et les conceptions
dans le domaine des outils de calcul, pour que la calculatrice y trouve sa place, en tant
qu’instrument de calcul, pour effectuer ou valider des opérations, et en tant qu’objet
d’investigation scientifique, par exemple pour découvrir de nouveaux nombres ou de nouvelles
relations. »
« Une des ambitions premières, […], est de confronter la calculatrice, les algorithmes écrits et
le « calcul réfléchi », pour montrer que ce dernier reste maître des deux autres lorsqu’il s’agit
d’estimer un résultat d’opération ou de juger de sa vraisemblance, de décider de l’ordre de
grandeur ou du degré de précision d’une réponse obtenue. »
Dans le livre « Nombres et Opérations » il est précisé : « […] il serait cependant faux de
débuter par un apprentissage systématique du fonctionnement de chacune de ses touches, […].
Il serait tout aussi erroné de l’utiliser comme un simple « presse-bouton » dans le but de gagner
du temps, sans s’interroger sur elle et sans porter de regard critique sur les résultats affichés.
Voilà pourquoi la majorité des apprentissages, relatifs à son fonctionnement, interviennent en
interaction directe avec les sujets traités. »
56
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
7.1.3. PO
7.1.3.1.
Filière maturité gymnasiale
Programme de mathématiques année 1 et 2 : « De même, les outils technologiques - calculatrice
simple, calculatrice graphique et symbolique, logiciels spécifiques [de représentations
graphiques, de géométrie (CABRI), de calcul formel (DERIVE, MATHEMATICA, …)
peuvent participer, dans le cadre d'une utilisation raisonnée, à la compréhension des concepts
théoriques et des applications. »
7.1.3.2.
Formation professionnelle
Aucune mention dans les programmes
7.1.3.3.
SCAI
Rien n'est précisé dans le plan d'études quant à l'usage de la calculatrice.
Remarque : à disposition dans l'école un stock de calculatrices (toutes simples : 4 opérations +
la racine carrée) prêtées aux élèves pendant les cours où elles sont utilisées, ce qui est peu
fréquent.
7.1.3.4.
ECG
Aucune mention dans les programmes.
7.2. Cahier des charges de la calculatrice, rédigé par la CEM en 1999
Lors de sa plénière du 24 septembre 1999, la CEM s'est penchée sur l'introduction et
l'utilisation des calculatrices dans l'enseignement obligatoire genevois. Elle a décidé à
l'unanimité (moins une abstention) de faire parvenir aux directions générales de l'enseignement
primaire et du cycle la proposition ci-dessous :
7.2.1.
Proposition de la CEM
La calculatrice est un outil reconnu socialement, techniquement et didactiquement parlant. A
Genève, les plans d'études et moyens d'enseignement en vigueur au primaire et du cycle
d'orientation la mentionnent explicitement24. Après concertation entre les trois ordres
d'enseignement et par souci de cohérence, la CEM propose que les élèves de la 5e primaire à la
9e du CO disposent du même modèle.25 Ses caractéristiques opérationnelles minimales se
trouvent dans les commentaires. En ce qui concerne les élèves du début du primaire [1P-4P] le
choix se portera sur un modèle plus simple.
Cette proposition résultant du travail de la sous-commission "UTILISATION DES MOYENS
ELECTRONIQUES PERSONNELS", celle-ci a tenu à faire figurer ci-après les commentaires
qui la justifient.
24
On trouve dans ces documents les différentes raisons qui ont motivé cette introduction.
25
De l'avis des enseignants du PO, les caractéristiques opérationnelles minimales demandées pour ce modèle (cf.
p.3 - Liste des exigences "Modèle 2") permettent son utilisation jusqu'au 11e degré de la plupart des filières du
secondaire II, exception faite d’un problème identifié quant à l’utilisation de l’écriture scientifique et qui devra être pris
en compte lors du renouvellement des machines.
57
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
7.2.2. COMMENTAIRES DE LA SOUS-COMMISSION
•
Intégrer les outils électroniques dans l'apprentissage
Dans notre société, si les besoins en habileté dans l'appréhension d'un résultat numérique
restent toujours primordiaux, le développement des calculatrices a rendu l'apprentissage des
objectifs d'agilité et de rapidité dans l'utilisation des algorithmes du calcul écrit nettement
moins important.
Cette rupture d'équilibre entre l'importance du calcul mental et du calcul écrit, I'apparition
explicite de l'utilisation de la calculatrice dans les plans d'études, programmes et exercices du
primaire et du cycle comme un des outils de calcul proposés aux élèves, la systématisation des
activités "problèmes" dans l'enseignement des mathématiques, rendent nécessaire le choix d'un
modèle [unique] de calculatrice et l'introduction d'un "apprentissage" de son maniement.
•
La calculatrice comme outil pédagogique
La calculatrice aide à :
replacer les mathématiques au centre de l'apprentissage : la calculatrice est
un outil pour atteindre les buts fixés. La maîtrise des algorithmes de calcul écrit
n'étant plus un objectif prioritaire, savoir "bien calculer" n'est plus la justification
des cours de mathématiques ;
renforcer la compréhension des concepts : une partie du temps dévolu à
l'apprentissage et à l'entraînement des techniques devrait pouvoir être dégagé
pour approfondir la compréhension des concepts mathématiques, compréhension
souvent occultée par l'apprentissage de "trucs" permettant de réussir ;
cibler l'enseignement sur la prise de décision : pour l'élève, choisir l'opération
appropriée au problème donné est la principale difficulté. La reconnaissance des
lois additives et multiplicatives devient ainsi un des objectifs de l'enseignement ;
augmenter le champ des situations traitées : son utilisation dans la résolution
des problèmes permet de proposer des situations qui, avec des stratégies de
calcul écrit, demanderaient un traitement exagérément long ;
remotiver les élèves qui échouent pour des raisons de lacunes opératoires :
chercher de manière empirique en effectuant des essais successifs.
•
Apprendre à utiliser une calculatrice
Bien souvent, une bonne estimation est suffisante pour entrer dans une situation ou pour avoir
une idée de l'ordre de grandeur de la réponse attendue. Dans tous ces cas, la calculatrice doit
rester un outil de vérification.
Pour permettre aux élèves d'utiliser leur calculatrice à bon escient [pour être bon avec une
calculatrice, il est nécessaire d'être très fort en calcul mental], il est indispensable de
développer le sens du nombre et des opérations. Les apprentissages tels que :
o connaissance des nombres ;
o connaissance de la grandeur des nombres et comparaison ;
o connaissance des relations entre les nombres ;
o choix et utilisations des nombres et des opérations appropriés ;
o intuition de l'effet des opérations sur les nombres utilisés ;
o développement de compétences en calcul mental et réfléchi ;
58
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
font partie des composantes du bon usage de la calculatrice.
De plus, I'habileté à "calculer mentalement", "estimer", "approximer", "substituer", qui fait
partie du champ d'application du calcul contenu dans nos programmes, est unanimement
considérée par la société de l'an 2000, comme un de ses besoins en mathématiques.
Si la prise en charge de l'apprentissage de son maniement technique ainsi que le guidage de son
utilisation dans les activités proposées sont indispensables (des études ont montré que l'absence
de prise en charge du guidage de cet apprentissage avait mené les élèves à une utilisation
contre-productive de leur calculatrice), cet apprentissage ne fait pas partie des finalités de
l'enseignement des mathématiques.
Pour en faire un vrai outil pédagogique, les réponses aux questions "quand faut-il l'utiliser ?",
"pour quel usage ?", "comment s'en servir ?", devraient être les principales préoccupations
relatives à son utilisation en classe.
•
Choix d'un modèle unique de la 5P à la 9e du CO.
Avec comme principales préoccupations de :
assurer la cohérence des pratiques de calcul mental et électronique entre le
primaire et le cycle ;
simplifier l'appropriation de l'outil par l'élève : on peut prévoir que, si la
calculatrice sera un outil pédagogique en classe, elle sera également considérée,
par l'élève à la maison, comme un outil de travail ;
faciliter l'enseignement des mathématiques dans la scolarité obligatoire : tous les
élèves ayant le même modèle, la tâche des enseignants sera plus aisée.
Nous avons choisi l'option de proposer la remise à chaque élève d'une calculatrice en 5e
primaire, calculatrice dont il sera responsable jusqu'à la fin de la 9e du cycle.
Pour faciliter le choix d'un modèle, dans un premier temps, nous avons recensé les besoins
techniques et pédagogiques du primaire et du cycle. Après ce travail et une étude des modèles
disponibles sur le marché, nous avons constaté que des modèles récents satisfaisaient toutes les
attentes opératoires mentionnées dans la liste des exigences opératoires ci-dessous.
•
Choix d'un modèle pour les élèves de la 1P à la 4P
Toutes les calculatrices répondant au premier critère retenu, les quatre opérations, les autres
critères, en particulier l'ergonomie, deviennent déterminants pour le choix du modèle.
•
Liste des exigences opératoires auxquelles doivent répondre les modèles choisis
Modèle 1 - Primaire: 1 P - 4P
o les quatre opérations
o bonne lisibilité de l'affichage
o très bonne qualité ergonomique
o et, si possible,
o possibilité de conserver les calculs pour revenir en "arrière"
Modèle 2 - Primaire : 5P - 6P & Cycle: 7e - 9e les quatre opérations
o la division euclidienne
o possibilité de conserver et de modifier les calculs
59
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
o deux lignes d'affichage
o opérations sur les fractions, possibilité de conversion
o fonctions "carré" et "racine carrée"
o fonction "inverse"
o opérations avec des puissances quelconques [entières]
o parenthèses
o au moins trois mémoires
7.2.3.
Annexe : Mandat de la sous-commission
La sous-commission "UTILISATION DES MOYENS ELECTRONIQUES PERSONNELS" a
pour mandat : "l'étude de l'intérêt pédagogique et didactique des différents moyens de calculs
électroniques dans les trois ordres d'enseignement genevois".
En particulier, elle se prononcera sur :
le type de calculatrice le plus favorable pour les élèves de la scolarité obligatoire ;
la coordination de leur utilisation entre le primaire et le cycle d'orientation ;
les "attentes "opératoires" des enseignants du cycle" ;
I'utilisation de calculatrices "programmables - avec écran graphique - avec langage
symbolique" et des ordinateurs portables dans I'enseignement postobligatoire.
Elle consultera les hautes écoles pour connaître leurs attentes.
7.3. Activités détaillées
Les enseignant-e-s, et plus généralement toute personne intéressée, trouveront ici 26 activités
détaillées, présentées selon un canevas commun consistant en principe en :
une fiche de présentation
un énoncé élève
un corrigé détaillé
des commentaires pour le maître
des éléments que les élèves devraient retenir / à institutionnaliser / pour la
synthèse
d’éventuels exercices de consolidation.
Certaines de ces activités proposent des questions de recherche ou de développement, d’autres
des exercices dans lesquels il s’agit d’utiliser la calculatrice, d’autres encore un travail plus
spécifique sur la calculatrice elle-même. Dans tous les cas, elles se placent clairement dans le
contexte d’un cours de mathématique et ont comme objectif de participer à l’acquisition de
savoirs et compétences mathématiques (excepté l’activité qui concerne les connaissances de
base de la machine).
60
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Liste des activités détaillées
n°
Nom
Degrés
Domaine
mathématique
01
Découverte de la calculatrice
1-2 EP
Numération, opérations
02
Nombres à la chaîne
1-2-3-4 EP
Outils de calcul,
addition, soustraction
03
Problèmes additifs, multiplicatifs
1-2-3-4 EP
Problèmes additifs,
multiplicatifs
04
Mettre à zéro
3-4-5-6 EP
Système de numération
05
Boîtes noires
5-6 EP
Opérations, applications
06
Estimation
5-6 EP
7 CO
Estimation, division
07
Problèmes divisifs
5-6 EP
7 CO
Division euclidienne
08
Racine carrée et valeurs approchées
7-8-9 CO
Calcul littéral
09
Recherche de preuve par l’algèbre
7-8-9 CO
Nombres et Opérations
10
Recherche de stratégies
7-8-9 CO
Grandeurs et Mesures
11
Aire et Périmètre
7-8-9 CO
Fonctions
12
Pourcentage et estimation
7-8-9 CO
Nombres et Opérations
13
Algorithme
7-8-9 CO
Nombres et Opérations
14
Connaissance de base de la machine
10-11 PO
Calcul numérique
15
Limites-machine ?
10-11 PO
Calcul algébrique
16
Dernier chiffre
10-11 PO
Calcul numérique
17
Grands nombres
10-11 PO
Calcul numérique
18
Quelle période !
10-11 PO
Calcul numérique
19
A la recherche de 8
10-11 PO
Calcul numérique
20
De simples racines
10-11 PO
Calcul algébrique
21
Premier de cordée
10-11 PO
Calcul algébrique
22
Où sont les lapins ?
10-11 PO
Calcul algébrique
23
Appliquonslatrigo !
10-11 PO
Trigonométrie
24
Vacherie
10-11 PO
Trigonométrie
25
Ouahlatrigo
10-11 PO
Trigonométrie
26
Radiobiolopopulo
10-11 PO
Logarithme /
Exponentielle
61
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 01 « Découverte de la calculatrice »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Découverte de la calculatrice
Sous-titre
Degrés concernés
1-2 EP (voir Commentaires pour le maître, Prolongements)
Durée estimée
45 minutes
Résumé
Partir à la découverte de la calculatrice.
Contexte d’usage de
la calculatrice
RECHERCHER
Contenus
mathématiques visés
chiffre / nombre
aspect cardinal du nombre
addition et soustraction
Prérequis
Aucun
Lien(s) avec les plans
d'études et moyens
d’enseignement
OA : Lire, écrire, décomposer des nombres entiers
Utiliser des écritures additives et soustractives
PE : NEN : Passer du mot-nombre à son écriture chiffrée
et inversement
Passer du code oral ou écrit à sa décomposition en
unités, dizaines, centaines, …et inversement
OFL : Accepter ou refuser l'affichage d'un résultat
Mots-clé
Source
Secteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire
62
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Consigne (Activité 01)
L'enseignant :
"Je vous ai distribué un objet.
Je vous laisse un moment pour partir à sa découverte.
Lorsque vous découvrez quelque chose, vous le notez à votre manière sur une feuille pour ne pas
l'oublier.
Tout à l'heure, vous me direz tout ce que vous avez découvert et je le noterai au tableau."
63
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 01)
Cette activité peut facilement être proposée avec n'importe quelle calculatrice "quatre opérations".
Certains constats seront évidemment différents.
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
-
Faire connaissance avec un nouvel outil et son
maniement,
Repérer les symboles connus,
Distinguer les touches nombres des touches
opératoires,
Distinguer chiffre et nombre
Démarches possibles
-
Appuyer sur les touches pour faire apparaître des
nombres,
Composer un numéro et utiliser la calculatrice
comme un téléphone portable,
Écrire puis effacer des nombres,
Écrire la suite des nombres naturels,
Écrire le plus grand nombre possible,
Choisir un nombre et essayer de l'afficher à l'écran,
Essayer de lire un nombre affiché
Chercher le plus grand nombre possible que l'on peut
afficher
Faire des opérations et vérifier le résultat,
…
Difficultés potentielles
-
Ouvrir et mettre en marche la machine,
Effacer ce qui est affiché,
Comprendre la signification des différents symboles,
Comprendre ce que signifie le E affiché en bas à
gauche de l'écran,
…
64
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Mise en commun
Lors de la mise en commun, les élèves font part des leurs
découvertes, observations, remarques ou constats que
l'enseignant note sur une affiche, sans émettre de
jugement. Les observations contradictoires, les avis
divergents sont des occasions de débats et l'enseignant
s'efforce de ne pas trancher dans un premier temps. Par
contre, lorsqu'il reformule ce que dit un élève, il utilisera
les termes qui conviennent.
La liste des observations et des constats peut être
complétée par la suite. Les élèves continueront d'explorer
leur machine et feront de nouvelles découvertes qui seront
consignées lors des mises en commun suivantes.
Exemples de constats
(voir aussi éléments à institutionnaliser ci-dessous)
-
Les touches ne sont pas toutes de la même couleur.
Les touches sont de différentes tailles.
Il y a des symboles connus et d'autres qu'on ne
connaît pas.
Quand on tape un nombre en commençant par 0, le 0
disparaît.
On ne peut pas écrire plus de 8 symboles.
…
65
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Proposition(s) de
déroulement
Nombre d'élèves
Toute la classe, travail individuel ou par groupes de 2.
Matériel
-
1 calculatrice par élève (ou pour deux élèves)
Feuilles de papier brouillon
Feuilles grand format (affiches)
L'enseignant distribue une calculatrice fermée et une
feuille de papier à chaque élève (ou pour 2 élèves).
Il énonce la consigne puis laisse 20 à 30 minutes aux
élèves pour expérimenter et noter leurs découvertes.
Lors de la mise en commun, les découvertes sont notées
par l'enseignant sur l'affiche. Ensuite, un deuxième temps
est laissé aux élèves pour explorer les découvertes faites
par leurs camarades.
Lors d'une seconde mise en commun, la liste des
découvertes est complétée et confirmée. C'est l'occasion
pour l'enseignant à institutionnaliser quelques points de
l'utilisation de la calculatrice.
Prolongements
possibles
-
Écrire le plus grand nombre possible avec la
calculatrice.
Chercher différentes manières pour écrire 0.
Chercher les chiffres que l'on peut aussi lire en
retournant la calculatrice.
Chercher les nombres qui peuvent être lus en
retournant la calculatrice.
Rechercher des opérations qui ne changent pas le
nombre de départ.
Trouver une (toutes les) addition(s) dont la somme
est … (… + … = 6).
Trouver toutes les manières de trouver 10.
A partir d'un nombre, rechercher les opérations qui
ne changent pas le nombre de départ.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
66
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse
-
Ouverture et fermeture du boîtier,
Mise en marche et arrêt de la machine,
Remise à 0 de la calculatrice,
Les touches "chiffres" et leur disposition,
Les touches + et – en lien avec les connaissances des élèves,
Les touches = et ON/C , et ce à quoi elle servent.
Les autres touches que celle citées ci-dessus peuvent être nommées mais ne sont pas utilisées
pour l'instant.
67
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 02 « Nombres à la chaîne »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Nombres à la chaîne
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
1-2-3-4 EP
Durée estimée
Une première période de 45 minutes puis plusieurs
moments d'une quinzaine de minutes
Résumé
Passer d'un nombre à un autre en faisant un minimum
d'opérations.
Contexte d’usage de
la calculatrice
VERIFIER
Contenus et
compétences
mathématiques
visés
Calcul réfléchi,
Répertoires mémorisés additif et soustractif
Estimation
Prérequis
Connaissance des quatre opérations
Extrait(s)
du plan d'études
Calcul réfléchi,
PE : Utiliser des propriétés des opérations et du système de
numération pour effectuer des calculs de façon
efficace
Répertoires mémorisés : de 0+0 à 9+9, de 0 - 0 à 19 -9
Mots-clés
Addition, soustraction, répertoires mémorisés, calcul
réfléchi, estimation
Source
Secteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire
68
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 02)
Nombres à la chaîne
Mélange les cartes.
Prends-en 5 au hasard.
Aligne ces 5 cartes, faces visibles, les unes à la suite des autres.
Écris le premier nombre sur ta calculatrice.
À partir de ce nombre, effectue sur ta calculatrice un minimum d'opérations de manière à
obtenir le deuxième nombre.
Chaque opération est effectuée à partir du dernier résultat que tu as obtenu.
Note tout ce que tu fais.
Lorsque tu es parvenu au nombre de la deuxième carte, continue de la même manière pour les
nombres des cartes suivantes.
69
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
25 26 27 28 29
70
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
30 31 32 33 34
35 36 37 38 39
40 41 42 43 44
45 46 47 48 49
50 51 52 53 54
55 56 57 58 59
60 61 62 63 64
71
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
65 66 67 68 69
70 71 72 73 74
75 76 77 78 79
80 81 82 83 84
85 86 87 88 89
90 91 92 93 94
95 96 97 98 99
72
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 02)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
Développer, en fonction des nombres en jeu, les
procédures de calcul des élèves : les répertoires mémorisés
additifs et soustractifs, le calcul réfléchi et l'estimation.
Démarches possibles
-
faire des essais au hasard
compter sur les doigts
faire un dessin
faire des pas de 1 en 1 (5 + 1 + 1 + 1 = 8)
faire des pas de 10 et de 1 (5 + 10 + 1 + 1 = 17)
utiliser la calculatrice pour déterminer une différence
essayer d'autres opérations que l'addition et la
soustraction
passer systématiquement par 0 (15 - 15 + 26 = 26)
appuyer sur la touche ON/C
utiliser la droite numérique
consulter la table d'addition ou de soustraction
utiliser des procédures de calcul réfléchi
…
Difficultés potentielles
-
comprendre de la consigne dans son ensemble,
respecter tous les éléments de l'énoncé,
choisir la bonne opération, l'addition ou la
soustraction,
noter les opérations effectuées,
…
Relances
-
relire ou faire relire tout ou partie de l'énoncé,
inciter les élèves à adopter des démarches rapides
proposer de s'aider de la droite numérique
inciter les élèves de se passer des tables ou de la
bande numérique
…
Mise en commun : voir déroulement.
73
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Proposition(s) de
déroulement
Nombre d'élèves
Toute la classe, par groupes de 2 ou 3.
Matériel
-
1 calculatrice par élève
1 jeu de cartes nombres de 0 à 10 (1P) par groupe
1 jeu de cartes nombres de 0 à 20 (2P) par groupe
1 jeu de cartes nombres complet (3P - 4P) par groupe
(annexe à photocopier sur carton léger en
agrandissant éventuellement puis couper)
En 1P - 2P, l'enseignant lit la consigne à haute voix et la
répète. En 3P - 4P, il distribue l'énoncé et les élèves en
prennent connaissance.
La première tâche des élèves consiste à s'approprier cette
consigne. Dans un premier temps, l'enseignant observe ses
élèves et les laisse se débrouiller seuls. Il favorise
cependant les interactions au sein des groupes et relit une
partie de la consigne ou met le doigt sur une partie de
l'énoncé qui n'est pas prise en compte. La compréhension
de la consigne se fait petit à petit et peut faire l'objet d'une
première mise en commun.
Dans un second temps, les élèves cherchent des stratégies
pour obtenir le plus rapidement possible le nombre de la
carte suivante. Les constats, les manières de noter ses
résultats, le choix des opérations, les démarches utilisées
pour s'approcher le plus possible devraient faire l'objet
d'une deuxième mise en commun. Il est alors indispensable
que l'enseignant mette en évidence les procédures de calcul
réfléchi utilisées par l'un ou l'autre de manière à ce qu'elles
puissent être essayées par les autres élèves lorsque
l'activité est reprise.
En effet, pour être utile et développer les compétences
calculatoires des élèves, cette activité doit être proposée à
plusieurs reprises. Elle peut d'ailleurs être faite
individuellement et être mise à disposition dans le coin
mathématique.
Variables didactiques
En fonction du niveau des élèves, il est possible
d'augmenter ou de diminuer l'ordre de grandeur des
nombres en jeu. Il est aussi possible de proposer des
chaînes de nombres plus ou moins longues.
74
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Prolongements
possibles
Lorsqu'elle est bien comprise, cette activité peut également
être proposée sous forme de jeu
o pour 2 ou 3 élèves : le premier élève qui réussit à
atteindre le nombre suivant reçoit la carte, le vainqueur
étant celui qui a le plus de cartes à la fin du jeu.
o par équipes de 3 élèves : une série de nombres étant
affichée au tableau noir, l'équipe qui arrive à faire toute
la chaîne des opérations correctes (et que ces opérations
sont correctes) en un minimum de temps a gagné.
L'émulation provoquée par le jeu devrait inciter les élèves
à adopter des démarches de plus en plus rapides et ainsi
leur permettre de renforcer leurs répertoires mémorisés et
les procédures de calcul réfléchi.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse
Répertoires mémorisés
Les répertoires mémorisés sont les résultats des opérations (ici sommes, différences voire
produits ou quotients) que l'élève doit connaître par cœur.
Ces répertoires s'élaborent au fil des activités, d'abord sous forme d'inventaires plus ou moins
organisés (toutes les sommes égales à 0, 1, …, 10, 12, tous les produits égaux à 2, 3, …, 20, …
36, …, 100) puis sont présentés sous forme de tables (table d'addition, de multiplication, …).
L'enseignant a un rôle extrêmement important à jouer dans l'organisation de ces résultats et
dans la mise en évidence de nombreux constats et relations numériques qui favoriseront
l'apprentissage des répertoires.
Exemples de constats ou de relations entre les nombres :
- La somme de 2 nombres impairs est un nombre pair.
- Tous les multiples de 5 se terminent par 5 ou 0.
- 17 - 12 = 7 - 2
- Multiplier par 4, c'est prendre le double du double
75
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Calcul réfléchi
Le calcul réfléchi s'appuie sur les propriétés du système de numération (décomposition d'un
nombre en facteurs de puissances de 10 ou en facteurs de 1,10, 100 etc.) et sur les propriétés
des opérations (associativité, commutativité élément neutre, distributivité de la multiplication
sur l'addition/la soustraction, …).
Les procédures de calcul réfléchi sont personnelles et évolutives. Il est dès lors important que
l'enseignant permette à ses aux élèves de montrer à la classe les procédures de calcul réfléchi
qu'ils ont utilisées. Ensuite il doit donner aux élèves l'occasion d'expérimenter ces différentes
procédures dans de nouveaux calculs de manière à ce que chaque élève puisse choisir celle qui
lui est la plus efficace.
Exemples de démarches pour calculer 25 - 19 :
25 - 10 - 9
20 - 19 + 5
25 - 20 + 1
25 + 1 - 20
…
On lira avec intérêt les textes des moyens d'enseignement concernant les répertoires mémorisés et
le calcul réfléchi :
LM 1P : p. 226 à 229
LM 2P : p. 258 à 262
LM 3P : p. 115 à 117
LM 4P : p. 117 à 119
Commentaires didactiques sur les moyens d'enseignement pour les degrés 1 à 4 de l'école primaire
p. 119 à 128
76
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 03 « Problèmes additifs, multiplicatifs »26
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Problèmes additifs, multiplicatifs
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
1-2-3-4 EP
Durée estimée
Une trentaine de minutes par problème
Résumé
Résoudre des problèmes additifs, soustractifs,
multiplicatifs, divisifs
Contexte d’usage de
la calculatrice
EXECUTER
VERIFIER
CONCEPTUALISER
Contenus et
compétences
mathématiques
visés
Reconnaissance de problèmes additifs ou soustractifs,
multiplicatifs ou divisifs
Prérequis
Extrait(s)
du plan d'études
Résoudre des problèmes additifs et soustractifs
Résoudre des problèmes multiplicatifs et divisifs.
Mots-clés
Problème additif, soustractif, multiplicatif, divisif
Source
Moyens d'enseignement romands
26
Énoncé n°II_74 de la liste complète des activités proposées en 7.4
77
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 03)
LM 1P p. 180 : Le Cortège (avant-dernier problème)
Arthur a un collier avec 32 bonbons.
Il en mange 20 d'un coup.
Combien a-t-il encore de bonbons à manger ?
Note comment tu as fait.
LM 2P p. 198 : Fête foraine (problème 14)
Sur le bateau, il y a 126 pirates. 84 pirates débarquent à l'Ile Bleue pour y rester. Combien de
pirates continuent le voyage ?
Épreuve cantonale 2P 2006 : Le match de basket
Les kangourous et les girafes jouent au basket.
Pendant la première mi-temps, l'équipe des kangourous marque 38 points et l'équipe des girafes
marque 27 points.
Pendant la deuxième mi-temps, les kangourous marquent 25 points et les girafes 32 points.
Combien de points en tout a marqué l'équipe qui gagne le match ?
Montre comment tu fais pour trouver la réponse.
LE 3P p. 12 : Au manoir (problème 3)
Elsa s'est entraînée pendant trois jours ; elle a tiré 128 flèches le premier jour, 131 flèches le
deuxième jour et 67 flèches le troisième jour.
Combien Elsa a-t-elle tiré de flèches en tout ?
78
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
LM 3P p. 175 : Placage
Trouve combien il faut de plaques rectangulaires comme celle-ci :
pour recouvrir une surface formée de 216 carreaux comme celui-ci :
LM 4P p. 127 : Haute fidélité , LE 4P p. 41
LE 4P p. 21 : Carrousel (problème 8)
L'Hôtel Palace comprend 20 chambres carrées de 4 m de côté et 12 chambres carrées de 5 m de
côté.
Un tapissier doit coller une frise sur le haut des murs de toutes les chambres. La frise est fournie
en rouleaux de 50 m.
Combien de rouleaux faudra-t-il ?
79
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Attentes fin de 4P p. 22 : Boîtes d'œufs
Voici un énoncé :
On a 252 œufs.
On veut les ranger dans des boîtes.
Une boîte pleine contient 12 œufs.
Mélanie a trouvé 21 avec sa calculatrice en faisant une seule opération.
Écris l’opération qu’elle a faite sur sa calculatrice.
80
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (Activité 03)
LM 1P p. 180 : Le Cortège (avant-dernier problème)
20 + … = 32
ou
32 - 20 =
Réponse : 12 bonbons
Plusieurs démarches de calcul peuvent être utilisées par les élèves : dessin et dénombrement,
utilisation d'un boulier ou de la bande numérique ou, bien sûr, la calculatrice.
LM 2P p. 198 : Fête foraine (problème 14)
84 + … = 126
ou
126 - 84 =
Réponse : 42 pirates
En 2P, les élèves ne connaissent pas encore l'algorithme qui leur permettrait de calculer cette
différence et les nombres en jeu ne permettent pas des procédures de dessin et dénombrement.
La calculatrice est alors nécessaire.
Épreuve cantonale 2P 2006 : Le match de basket
Plusieurs démarches sont possibles :
- Effectuer les deux opérations (38+25 et 27+32) et comparer les résultats.
- Observer que les chiffres des dizaines sont les mêmes pour les deux équipes, comparer la
somme des chiffres unités (8+5 et 7+2) et ne calculer la somme des points que pour l'équipe
gagnante.
-…
Les calculs peuvent être fait soit avec le support d'un dessin, soit par calcul réfléchi, soit, pour
certains élèves, par algorithme.
Réponse : 63 points
81
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
LE 3P p. 12 : Au manoir (problème 3)
128 + 131 + 67 =
Réponse : 326 flèches
Plusieurs élèves de 3P sont déjà capables d'effectuer cette addition à l'aide d'un algorithme. Dans
ce cas, la calculatrice peut être utilisée comme outil de vérification.
Mais pour la plupart des élèves, s'agissant d'une somme de 3 termes, la calculatrice est encore
bien utile.
LM 3P p. 175 : Placage
8 × … = 216
ou 216 : 8 =
Réponse : 27 plaques
La multiplication lacunaire demande plusieurs essais avant de parvenir à la solution,
contrairement à la division qui permet d'obtenir le résultat en faisant une seule opération.
L'énoncé ne donne aucune indication sur la forme de la surface à recouvrir. Pour que le
problème soit soluble, on doit supposer, soit que la forme de la surface est telle qu'on peut la
recouvrir avec des plaques entières sans trous ni chevauchements, soit que l'on peut couper les
plaques.
LM 4P p. 127 : Haute fidélité
Démarches possibles de l'élève
Concernant l'invention de problèmes
Poser des questions uniquement sur le prix des articles :"Combien coûtent …
et …?"
Poser des questions sur la différence entre prix des articles et montant à
disposition : "Combien restera-t-il après avoir acheté …", "Combien manquet-il pour acheter …", Combien de cassettes pourrait-on acheter ?"
…
Concernant les procédures de résolution
Utiliser un outil de calcul : calcul réfléchi, algorithme, droite numérique,
calculatrice, estimation
Utiliser diverses opérations : additions et soustractions, multiplications et
divisions
…
82
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
LE 4P p. 21 : Carrousel (problème 8)
Exemple de démarche :
Longueur de la frise pour 1 chambre de 4 m de côté (périmètre d'un carré de 4 m de côté) : 4 × 4
Longueur de la frise pour 20 chambres de 4 m de côté : 4 × 4 × 20
Longueur de la frise pour 1 chambre de 5 m de côté : 4 × 5
Longueur de la frise pour 12 chambres de 4 m de côté : 4 × 5 × 12
Longueur de la frise pour toutes les chambres de l'hôtel : 4 × 4 × 20 + 4 × 5 × 12
Nombre de rouleaux nécessaires : (4 × 4 × 20 + 4 × 5 × 12) : 50
Réponse : 12 rouleaux
Outre la représentation du problème et les nombreuses étapes de sa résolution, la dernière
difficulté réside dans le fait que le quotient (560 : 50) n'est pas entier (ou qu'il n'y a pas de
nombre entier qui, multiplié par 50, donne 560 (50 × … = 560)).
Une interprétation de cette dernière opération est encore nécessaire.
Attentes fin de 4P p. 22 : Boîtes d'œufs
L'opération correcte est : 252 : 12.
La calculatrice est là pour contraindre l’élève à utiliser la division. En effet la calculatrice ne
permet de résoudre en un seul essai l’opération lacunaire 12 × ….. = 252 à moins d'avoir
beaucoup de chance.
Si l’élève propose 21 × 12 comme opération, on le mettra en garde sur le fait que la réponse à
trouver est 21 et non 252.
83
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 03)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
Pour chaque problème posé, l'aspect conceptuel des
opérations devrait primer sur l'aspect calculatoire. Le but
est avant tout que l'élève comprenne le problème et pose
correctement l'opération ou les opérations.
Dans certains cas, l'élève n'est pas capable de trouver la
réponse par calcul car l'ordre de grandeur des nombres et
la méconnaissance des algorithmes mettent en échec les
stratégies qu'il sait utiliser (compter sur ses doigts, faire un
dessin, utiliser la droite numérique, les tables, …). Dans ce
cas là, la calculatrice ne fait qu'exécuter les calculs.
Dans d'autres cas, l'élève pose une addition ou une
multiplication lacunaire. La calculatrice peut alors lui
permettre de prendre conscience de l'utilité des opérations
inverses et de leur donner du sens.
Dans d'autres cas enfin, l'élève est capable d'effectuer les
calculs posés (algorithme ou utilisation experte du calcul
réfléchi). Dans ce cas-là, la calculatrice sert à vérifier les
résultats obtenus.
Difficultés et relances potentielles
L'appropriation du problème est la principale difficulté que
rencontrent les élèves. L'enseignant peut demander s'il y a
des mots qui n'ont pas été compris, demander à l'élève ce
qu'il a compris, demander de reformuler la consigne.
Souvent le fait de relire et de reformuler l'énoncé permet à
l'élève de comprendre du moins partiellement ce qui lui est
demandé.
L'enseignant peut aussi encourager les élèves à faire un
dessin, un schéma, …
Mise en commun
La mise en commun devrait permettre de mettre en
évidence :
- la manière de se représenter un problème
- le choix des opérations et la façon de les noter
- les calculs proprement dits.
Il ne s'agit pas de faire une correction de chaque problème
mais d'abord de comparer les différentes procédures des
élèves.
84
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Proposition(s) de
déroulement
Il est important que l'enseignant confronte ses élèves à des
problèmes de différents types (composition d'états (EEE),
comparaison d'états (ECE), transformations d'états (ETE),
composition de transformations (TTT), …) et faisant appel
à différentes opérations.
Pour chaque problème, travail individuel dans un premier
temps.
Dans un deuxième temps, les élèves peuvent comparer par
2 les résultats obtenus et les manières d'y arriver.
La mise en commun porte avant tout sur la compréhension
de l'énoncé, les opérations choisies et la manière de les
noter.
Prolongements
possibles
Tout autre problème additif, soustractif, multiplicatif ou
divisif.
Il ne s'agit pas de proposer des problèmes spécifiques à
faire avec la calculatrice mais de saisir toutes les occasions
où la calculatrice peut s'avérer utile, soit parce que les
nombres en jeu sont trop grands, soit pour conceptualiser
une opération, soit pour vérifier les calculs.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
85
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (Activité 03)
-
La nécessité de se représenter un problème, de dessiner, de faire un schéma, …
-
Le lien de réciprocité entre les opérations : l'addition et la soustraction, la multiplication et la
division
-
Les opérations inverses, la soustraction et la division, ne sont pas commutatives, contrairement
à l'addition et la multiplication.
-
L'écriture conventionnelle des opérations avec l'utilisation des symboles spécifiques.
-
Quelques termes : somme, différence, produit, quotient, termes, facteurs, dividende, diviseur,
reste.
-
Sensibiliser les élèves aux erreurs d'écritures (par exemple, 4 × 5 = 20 + 3 = 23 est erroné, car 4
× 5 ≠ 20 + 3)
-
L'ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations (par exemple, pour 3 + 4 × 5, la
calculatrice donne comme réponse 60 alors que le résultat correct est 23)
On lira bien sûr avec intérêt les introductions des modules des moyens d'enseignement :
LM 1P p. 169
LM 2P p. 181
LM 3P p. 112 et 156
LM 3P p. 114 et 152
86
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 04 « Mettre à zéro »27
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Mettre à zéro
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
3-4 EP
5-6 EP (cf. Variables dans l'analyse a priori des
Commentaires pour le maître)
Durée estimée
1 période
Résumé
A partir d'un nombre donné, soustraire des milliers, des
unités, des centaines, des dizaines, … jusqu'à obtenir 0.
Contexte d’usage de
la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques visées
Système de numération
Base 10
Prérequis
Avoir quelques notions de notre système de numération
Lien(s) avec les plans
d'études et moyens
d’enseignement
OA : Lire, écrire, décomposer des nombres entiers
PE : NEN Produire un nombre plus grand ou plus petit
qu'un nombre donné d'une unité, d'une centaine,
d'une dizaine.
ME : Module 2, champ C
Mots-clé
Numération, unité, dizaine, centaine, …
Source
27
Énoncé n°II_28 de la liste complète des activités proposées en 7.4
87
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 04)
Sur ta calculatrice, écris un nombre de 4 chiffres dont tous les chiffres sont différents.
Effectue une seule opération de telle sorte que le plus grand chiffre soit remplacé par 0 (ou par
un vide) mais que tous les autres chiffres restent les mêmes.
A nouveau, effectue une seule opération de sorte que le plus grand chiffre suivant soit remplacé
par 0 (ou par un vide) mais que tous les autres chiffres restent les mêmes.
Continue de la même manière jusqu'à ce que tu obtiennes 0.
Note le nombre de départ, et à chaque fois l'opération effectuée et le résultat obtenu.
88
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 04)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
Par cette activité, c'est le système de numération que l'on
cherche à consolider et en particulier la décomposition de
tout nombre en somme de puissances de 10.
Démarches possibles
-
essayer d'autres opérations que la soustraction
faire des essais en notant les résultats obtenus
passer directement à 0 en soustrayant le nombre de
départ
écrire un nombre commençant par 0
ne pas tenir compte de l'ordre décroissant des chiffres
ne proposer que des nombres dont les chiffres sont
consécutifs
…
Relances
-
inciter l'élève à noter ce qu'il fait
proposer de commencer par des nombres ayant moins
de chiffres
imposer un nombre de départ
…
Mise en commun
Lors de la mise en commun, les élèves expriment et
comparent leurs démarches, rapportent les observations et
constats qu'ils ont faits.
C'est aussi l'occasion de discuter de :
la différence entre chiffre et nombre
faire le lien entre le nombre soustrait et la position du
chiffre
A la fin de la mise en commun, certains termes peuvent
être institutionnalisés : unités, dizaines, centaines , … ,
chiffre, nombre, …
Variables didactiques
En fonction du niveau des élèves, il est possible de
modifier l'ordre de grandeur des nombres (3 chiffres, 7
chiffres, …)
Pour les élèves de 5P - 6P, cette activité peut être reprise
avec des nombres décimaux.
89
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Proposition(s) de
déroulement
Les élèves prennent connaissance individuellement de la
consigne. Ils engagent le travail en fonction de ce qu'ils ont
compris. Une mise en commun intermédiaire portant sur la
compréhension de la consigne peut être proposée par
l'enseignant.
Les élèves poursuivent leur travail en notant leurs résultats
mais en notant également les constats et découvertes.
La mise en commun finale porte sur les observations faites
par les élèves et l'institutionnalisation de certains termes.
Prolongements
possibles
Effectuer une seule opération de telle sorte qu'à chaque
fois le plus petit chiffre soit remplacé par 9 mais que tous
les autres chiffres restent les mêmes, jusqu'à n'obtenir que
des 9.
Effectuer une seule opération de telle sorte …
- qu'un des chiffres augmente/diminue de 1,
- que les chiffres inférieurs à 5 soient doublés,
- que les chiffres pairs soient diminués de moitié,
-…
D'autres questions peuvent être posées :
Quelle opération permet d'augmenter de 1 chaque
chiffre (9 devient alors 0) ?
Quelle opération permet de déplacer la virgule d'un
cran vers la droite ou vers la gauche ?
Quelle opération permet d'intervertir deux chiffres
consécutifs du nombre ?
Quelle opération permet d'intervertir deux chiffres
non consécutifs du nombre ?
Activités du module 2, champ C
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
90
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (Activité 04)
Dans notre système décimal de numération, tout nombre peut être exprimé comme somme de
puissances de 10. Par exemple, 12504 est un nombre qui s’obtient par la séquence d'opérations :
(1 × 10000) + (2 × 1000) + (5 × 100) + 4
(
) (
) (
)
ou encore 1 × 104 + 2 × 103 + 5 × 102 + (0 × 10) + (4 × 1) .
L'activité proposée met bien en évidence cette valeur positionnelle des chiffres. Un 1 placé tout
à droite n'a pas la même valeur qu'un 1 placé en 4e position depuis la droite. Dans le premier
cas, il représente une unité et vaut 1; dans le second cas, il représente un millier et vaut donc
1000.
Pour en savoir plus :
Gagnebin A., Guignard N., Jaquet F. (1998) Apprentissage et enseignement des mathématiques,
Commentaires didactiques sur les moyens d'enseignement pour les degrés 1 à 4 de l'école
primaire. COROME, chapitre 6.
91
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 05 « Boîtes noires »28
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Boîtes noires
Sous-titre
Découverte de la notion d’application
Degré(s) concerné(s)
5-6 EP
Durée estimée
1 ou 2 périodes
Résumé
Introduire des nombres et les comparer aux résultats
donnés par la machine pour découvrir l'opération ou les
opérations programmée(s).
Contexte d’usage de
la calculatrice
RECHERCHER
Contenus et
compétences
mathématiques visés
suites de nombres
applications
applications linéaires
Prérequis
Connaissance des opérations de base
Lien(s) avec les plans
d'études et moyens
d’enseignement
OA : Reconnaître, établir quelques suites de nombres
Cette activité peut être proposée avec toute calculatrice
permettant la mémorisation d'opérations.
PE : NEN : Reconnaître, établir des suites numériques et
exprimer leur loi de formation
OFL : Reconnaître et résoudre des situations de
linéarité.
Dans une suite de nombres, repérer une régularité…
ME : 5P
6P
thème 9
thème 7
Mots-clé
Opérations,
Applications
Source
D'après l'activité Boîtes noires du thème 9 des moyens
d'enseignement 5P et l'exercice 16 du thème 7 des moyens
d'enseignement 6P.
28
Énoncé n°II_37 de la liste complète des activités proposées en 7.4
92
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 05)
a) Écris un nombre sur ta calculatrice puis appuie sur la touche m ; la calculatrice affiche un
résultat.
Lorsque tu utilises la touche m , la calculatrice effectue toujours la ou les mêmes opérations
sur les nombres donnés.
Quelle est cette opération ou quelles sont ces opérations ?
b) Même question pour la touche o .
93
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 05)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Cette activité est une variante d'activités proposées dans
les moyens d'enseignement de 5P (Boîtes noires, thème 9.
Applications, fiches 3 et 4) et de 6P (thème 7.
Applications, exercice 16)
Les commentaires proposés dans les livres du maître (5P,
LM p. 177 et 178, 6P, LM p. 183) restent pertinents et leur
lecture est vivement conseillée.
Par rapport à la version papier, la variante avec calculatrice
permet à l'élève de :
-
choisir librement les nombres de départ
-
faire autant d'essais qu'il le désire
-
faire des hypothèses et les vérifier directement
De plus, comme l'application est définie par une fonction
"programmée" et non par une suite restreinte d'exemples, il
n'y a plus l'équivoque relevée dans la remarque importante
qui figure dans le livre du maître 5P p.177.
Le maître a un rôle important à jouer dans le choix des
applications qu'il propose à ses élèves. Il peut proposer les
mêmes applications à tous de manière à permettre une
mise en commun portant sur les mêmes objets. Il peut
également différencier les applications à rechercher en
fonction des compétences des élèves ; la mise en commun
portera alors plutôt sur les notations utilisées et sur le choix
des nombres introduits.
Si une application n'a pas été découverte par un élève ou
un groupe d'élèves, elle peut être proposée à l'ensemble de
la classe et donner lieu à une recherche collective.
Les applications ne sont pas toutes du même niveau de
difficulté. Voici quelques constats que l'enseignement
devrait avoir en tête lorsqu'il propose des applications :
-
il est plus facile de découvrir une fonction dans
laquelle n'intervient qu'une seule opération qu'une
fonction composée de deux opérations ;
-
il est plus facile de découvrir les fonctions lorsque les
opérateurs sont des nombres entiers que lorsque ce sont
des nombres non entiers ;
-
il est plus facile de découvrir les fonctions mettant en
94
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
jeu une addition qu'une soustraction, une multiplication
qu'une division ;
-
il est difficile de découvrir les fonctions qui élèvent les
données au carré ou au cube.
L'écriture des opérations peut revêtir différentes formes :
- multiplier un nombre par 1,5 équivaut :
soit à multiplier ce nombre par 3 puis le diviser le
produit par 2
soit à diviser ce nombre par 2 puis multiplier le quotient
par 3
- multiplier un nombre par 5 puis soustraire 15 au produit
équivaut à soustraire 3 à ce nombre puis multiplier la
différence par 5.
Mise en commun
L'enseignant anime une mise en commun qui peut porter
sur
la notation des résultats
la distinction entre nombre de départ - nombre
d'arrivée
l'organisation des essais
les nombres intéressants
la possibilité de représenter graphiquement les
applications
...
Proposition(s) de
déroulement
Nombre d'élèves
Toute la classe, travail individuel ou par groupes de deux
Matériel
Une calculatrice par élève ou pour deux élèves
Cahier de maths ou feuilles quadrillées
Avant de proposer cette activité, l'enseignant doit
emprunter les calculatrices de ses élèves pour les
"programmer" (cf. préparation des calculatrices cidessous). Il est conseillé de proposer des applications
différentes de manière à ce que les élèves puissent
s'échanger les machines et éviter que l'enseignant doive les
reprogrammer en cours d'activité. Il peut être pratique
également de numéroter les machines (petit autocollant) de
manière à les distinguer et les repérer aisément.
L'enseignant distribue les machines programmées et
l'énoncé de l'activité. Il demande instamment à ses élèves
95
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
de ne pas utiliser simultanément les touches & et (la réinitialisation de la machine efface les opérations en
mémoire).
Les élèves prennent connaissance individuellement de la
consigne.
La compréhension de la consigne et l'organisation de la
recherche doivent rester à la charge des élèves.
L'enseignant observe le travail de ses élèves, se garde de
toute validation et propose des relances à ceux qui
rencontrent de grosses difficultés ou qui se découragent
tout en se gardant de valider les réponses.
Prolongements
possibles
Proposer des applications mettant en jeu la division
euclidienne, par exemple :
% n - ! % Y 3 T 1 < - ou
%n-!%Y2V5<Attention, les applications avec division euclidienne,
comme ci-dessus, donnent parfois un message d'erreur. En
effet, la division euclidienne n'est possible qu'avec des
nombres naturels, c'est-à-dire des nombres entiers positifs.
De plus, la calculatrice ne retient que le quotient entier
pour la suite des calculs. Cela a pour conséquence que
deux nombres différents peuvent avoir la même image.
Proposer aux élèves de programmer eux-mêmes leur
calculatrice et demander à leurs camarades de découvrir les
applications.
Activités du thème 9 en 5P
Activités du thème 7 en 6P
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
96
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Préparation des machines (ici la TI-34 II)
Avant de proposer cette activité, l'enseignant doit préparer les calculatrices de ses élèves, c'està-dire introduire les opérations qu'il veut faire découvrir par ses élèves.
Exemples d'opérations possibles :
a) x a 2,5 x
% n - ! V 2.5 < -
Remarques :
1 Le premier - n'est utile que si une opération est déjà en mémoire.
2 Lorsque la touche mou o est utilisée, la calculatrice rappelle et affiche l'opération sur la
ligne et, sur la ligne du résultat, à droite le résultat et à gauche le compteur.
Pour éviter que l'opération ne s'affiche sur la ligne d'entrée, il faut appuyer sur ! de manière à
ce que le signe = soit en surbrillance (Ù).
b) x a 3 x + 2
%n-!V3T2<-
c) x a x 2 − 1
%n-!FU1<-
d) x a 2 x 3
%n-!G3V2<-
De la même manière, il est possible de "programmer" sur les machines :
des applications linéaires ( x a a x , a ∈ IR ou a ∈ IQ )
des applications affines ( x a a x + b , a et b ∈ IR ou IQ)
des applications de la forme x a a x n + b (a et b ∈ IR ou IQ, n ∈ IN)
97
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Propositions d'applications à faire découvrir
Applications
linéaires
Applications
affines
Autres
applications
Coefficients
dans IN
2x
3x
4x
5x
20 x
100 x
…
x+1
2x+3
10 x + 2
x–4
2x–1
3x–2
…
x2
x3
2 x2
10 x2
x2 + 2
x2 – 1
…
Coefficients
dans IQ
0,5 x (1/2 x ou x : 2)
0,2 x (1/5 x ou x : 5)
1,2 x (6/5 x ou 6x : 5)
2,5 x (5/2 x ou 5x : 2)
0,01 x (1/100 x ou x :
100)
…
2 x + 4,3
10 x + 0,5
3 x – 0,7
…
0,5 x + 4
0,1 x + 3
…
0,5 x2 (1/2 x2)
0,1 x2 (1/10 x2)
1,5 x2 (3/2 x2)
…
98
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (Activité 05)
Une application numérique, comme celles qui sont proposées ci-dessus, est une relation entre
deux ensembles de nombres telle que tout élément de l'ensemble de départ a une image unique
dans l'ensemble d'arrivée. Il s'agit donc en premier lieu de distinguer clairement ces deux
ensembles.
Il n'est évidemment pas question de formaliser l'écriture des fonctions, ni même d'introduire
l'utilisation du x ou l'initiale f pour désigner une application mais bien de découvrir la "machine"
qui "transforme" un nombre en un autre.
Il est important de relever et d'expliciter les constats faits par les élèves. Par exemple, pour les
applications proposées ci-dessus,
-
il y a des "machines" qui ne transforment pas le 0 (f(0) = 0), d'autres qui le transforment
(f(0) ≠ 0). Dans le deuxième cas, il y a addition ou soustraction, dans le premier cas non.
-
il y a des machines qui donnent toujours un nombre plus grand ou plus petit. Dans ce cas, il
n'y a qu'une addition ou une soustraction.
-
il y a des "machines" qui sont proportionnelles (Si je propose 6, j'obtiens le double de ce que
j'obtiens si je propose 3). Ce sont les applications qui se contentent de multiplier le nombre
de départ par un facteur.
-
même si on n'introduit que des nombres naturels, on obtient parfois des nombres négatifs,
parfois des nombres non entiers, …
L'introduction du thème 9 des moyens d'enseignement 5P (p. 161 à 166) et l'introduction du
thème 7 des moyens d'enseignement 5P (p. 173 à 182) contiennent des éléments mathématiques
et didactiques pour l'enseignement des applications. Leur lecture est donc vivement conseillée.
99
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 06 « Estimation »29
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Estimation
Sous-titre
Degrés concernés
5-6 EP - 7CO
Durée estimée
Une première période de 45 minutes, puis plusieurs
moments d'une quinzaine de minutes.
Résumé
Estimer le diviseur en fonction du dividende et du quotient
Contexte d’usage de
la calculatrice
VÉRIFIER
Contenus
mathématiques visées
Division
Estimation
Prérequis
Connaître le concept de division
Lien(s) avec les plans
d'études et moyens
d’enseignement
OA : Utiliser des propriétés des opérations et du système
de numération pour effectuer des calculs de façon
efficace
PE : OFL Utiliser des propriétés des opérations et du
système de numération pour effectuer des calculs de
façon efficace.
ME 5P :
ME 6P :
Thème 6
Thème 2
Mots-clé
Division, diviseur, dividende, quotient, estimation,
Source
Secteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire
29
Énoncé n°II_23 de la liste complète des activités proposées en 7.4
100
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 06)
Règle du jeu pour deux joueurs
Matériel : une calculatrice
papier crayons
Le premier joueur choisit :
1. un nombre entre 200 et 400 qu'il tape sur la calculatrice suivi de la touche
division W.
2. une des cibles suivantes :
- entre 10 et 15
- entre 11 et 16
- entre 12 et 17
- entre 13 et 18
- entre 14 et 19
- entre 15 et 20
Le second joueur doit introduire un nombre tel que le résultat de le quotient soit dans la
cible. Il a droit à plusieurs essais mais tous les résultats obtenus sont écrits.
Ensuite, les joueurs changent de rôle.
Le but est d'atteindre la cible avec le moins possibles d'essais.
Exemple :
327 ÷ …….. = ………
Cible :
entre 13 et 18
327 ÷ …….. = ………
327 ÷ …….. = ………
…
101
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (Activité 06)
Soit N un nombre donné, C1 la valeur inférieure de la cible et C2 la valeur supérieure de la cible.
L'ensemble des solutions est compris entre les valeurs N / C2 et N / C1
Si l'on se limite aux nombres entiers, les solutions sont comprises entre la valeur arrondie par excès
de N / C2 et la valeur arrondie par défaut de N / C1.
Par exemple, si le nombre de départ est 327 et la cible comprise entre 13 et 18, (N = 327, C1 = 13 et
C2 = 18), les solutions seront comprises entre 327/18 et 327/13, c'est-à-dire, en valeurs entières,
supérieures ou égales à 19 et inférieures ou égales à 25.
Commentaires pour le maître (Activité 06)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
Cette activité permet
de travailler l'estimation de multiplications ou de
divisions
de revoir le concept de division
de jouer avec l'ordre de grandeur des nombres
Démarches possibles
-
essayer des nombres au hasard
essayer des nombres en tenant compte des résultats
précédents
-
chercher un nombre qui, multiplié par un nombre
compris dans la cible donne le nombre de départ
-
diviser le nombre de départ par un nombre compris
dans la cible,
-
faire des opérations approchées
-
utiliser des procédures de calcul réfléchi
-
utiliser les algorithmes pour effectuer des
multiplications ou des divisions
-
…
Mise en commun
La mise en commun est l'occasion pour les élèves
-
de faire part de leur démarches,
-
d'établir le rapport de réciprocité entre multiplication
et division
-
de faire le lien entre dividende, diviseur et quotient,
-
de mettre à plat les démarches personnelles de calcul
réfléchi, d'en discuter et de les comparer
-
…
102
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Proposition(s) de
déroulement
Nombre d'élèves
Toute la classe, par groupes de 2
Matériel
Calculatrice personnelle
Cette activité peut faire l'objet d'un atelier, être à
disposition dans le coin mathématique ou faire l'objet d'un
concours.
Dans un premier temps cependant, il est nécessaire de
proposer l'activité de manière collective de manière à ce
que chaque élève puisse s'approprier les règles du jeu et
que les démarches des élèves puissent être mises en
commun.
Comme beaucoup de jeux dans lesquels des compétences
calculatoires sont visées, ce jeu doit être répété à de
nombreuses reprises.
Cette activité peut être différenciée en jouant sur l'ordre de
grandeur des nombres.
Il est évident que cette activité est plus intéressante si les
élèves sont appelés à utiliser des procédures de calcul
réfléchi. La calculatrice ne devrait donc être utilisées que
pour vérifier les opérations proposées. Elle peut cependant
permettre à certains élèves de mieux concevoir la tâche et
les inciter à faire des divisions plutôt que des
multiplications.
Prolongements
possibles
Cf. tableau des changements de variables ci-dessous
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
103
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Changements de variables.
Cette activité peut être proposée avec d'autres valeurs numériques.
Nombre de départ
Cibles possibles
entre 400 et 700
entre 15 et 20
entre 16 et 21
entre 17 et 22
entre 18 et 23
entre 19 et 24
entre 20 et 25
entre 600 et 1000
entre 20 et 25
entre 21 et 26
entre 22 et 27
entre 23 et 28
entre 24 et 29
entre 25 et 30
entre 850 et 1500
entre 25 et 30
entre 26 et 31
entre 27 et 32
entre 28 et 33
entre 29 et 34
entre 30 et 35
entre 1200 et 2000
entre 30 et 35
entre 31 et 36
entre 32 et 37
entre 33 et 38
entre 34 et 39
entre 35 et 40
entre 1500 et 2500
entre 35 et 40
entre 36 et 41
entre 37 et 42
entre 38 et 43
entre 39 et 44
entre 40 et 45
entre 1800 et 3000
entre 40 et 45
entre 41 et 46
entre 42 et 47
entre 43 et 48
entre 44 et 49
entre 45 et 50
entre 2500 et 4000
entre 45 et 50
entre 46 et 51
entre 47 et 52
entre 48 et 53
entre 49 et 54
entre 50 et 55
Éléments pour la synthèse (Activité 06)
Dans cette activité, la tâche consiste à déterminer approximativement un diviseur tel que le
quotient soit dans la cible. Pour ce faire, la démarche la plus efficace consiste à diviser le
nombre de départ par un des nombres compris dans la cible.
Pour éviter des calculs algorithmiques fastidieux, inutiles d'ailleurs puisque des calculs exacts
ne sont pas nécessaires vu la largeur de la cible, les élèves doivent déterminer une opération
voisine, à la fois plus simple de manière à être calculée par calcul réfléchi, mais aussi
suffisamment proche pour atteindre la cible.
Par exemple, si le nombre de départ est 327 et la cible entre 13 et 18.
On pourrait calculer exactement 327 : 15,5, ou 327: 16, 16 étant encore relativement au milieu
de la cible. Mais des opérations proches, comme 320 : 16 ou 330 : 15, voire même 300 : 15 que
l'on peut aisément calculer, suffisent pour déterminer un diviseur qui atteint la cible.
Si un nombre ne permet pas d'atteindre la cible, la question à se poser est de savoir s'il faut
proposer ensuite un autre plus petit ou plus grand.
Par exemple, si le nombre de départ est 2704 et la cible entre 40 et 45, on peut proposer 60
(2700 : 45 = 60 semble être une bonne approximation). Mais 2704 : 60 > 45. Faut-il alors
essayer 61 ou 59 ? Il est souhaitable qu'un débat puisse avoir lieu entre les élèves.
Il devrait en ressortir que plus le diviseur est grand, plus le quotient est petit et inversement.
104
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 07 « Problèmes divisifs »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Bouteilles de limonade à transporter et autres petits
problèmes
Sous-titre
Problèmes divisifs impliquant une division euclidienne
Degrés concernés
5-6 EP - 7CO
Durée estimée
10 – 90 minutes en fonction du nombre de problèmes
proposés et de l'insertion ou non d'autres problèmes dont la
résolution ne passe pas par une division.
Résumé
Résoudre des problèmes divisifs
Contexte d’usage de
la calculatrice
EXECUTER
APPROFFONDIR
CONCEPTUALISER
Contenus
mathématiques visées
Multiplication, division
Prérequis
Lien(s) avec les plans
d'études et moyens
d’enseignement
OA : Traduire les données d'un problème en opérations
arithmétiques
PE : OFL
Résoudre des problèmes multiplicatifs et
divisifs.
Interpréter un résultat.
Traduire des calculs en écriture divisive.
ME 5P :
ME 6P :
Thème 6
Thème 2
Mots-clé
Division, division euclidienne, interprétation d'un reste
Sources
- Moyens d'enseignement : Mathématiques sixième année,
Michel Chastellain, Corome - 2002, Livre de l'élève p. 24
- Épreuves cantonales de maths 6e primaire
- Secteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire
105
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (Activité 07)
Bouteilles à transporter
Patrick et Christiane ont 1000 bouteilles de limonade à transporter.
Combien leur faudra-t-il de voyages s'ils mettent 36 bouteilles dans leur caisse ?
Patrick prétend qu'il faudrait moins de voyages en mettant une bouteille de plus
par caisse.
Est-ce vrai ?
Multiples de 8
Entre 1 et 2004, combien y a-t-il de multiples de 8 ?
100e jour
Cette année-là, le premier jour fut un jeudi, le deuxième jour fut donc un vendredi et le troisième
jour un samedi.
Quel jour de la semaine fut le 100e jour ?
Carrelage
Un carreleur doit recouvrir le sol d'une pièce rectangulaire de 3,25 m sur 4,10 m avec des catelles
carrées de 12 cm de côté, vendues par paquets de 24.
Combien de paquets de catelles ce carreleur doit-il acheter ?
Anniversaire
Séraphine vient de fêter ses 10'000 jours.
Mais quel âge Séraphine aura-t-elle lors de son prochain anniversaire ?
119e décimale
Lorsque l'on divise 126 par 37, quel est le chiffre de la 119e décimale ?
106
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (Activité 07)
Bouteilles à transporter
1000 : 36 = 27 reste 28
Patrick et Christiane devront donc faire 28 voyages en transportant par exemple 36 bouteilles lors
des 27 premiers voyages et les 28 bouteilles restantes pour le dernier voyage.
Patrick a tort. S'ils suivaient son idée, Patrick et Christiane feraient 27 voyages avec 37 bouteilles
(27 × 37 = 999) et un 28e voyage pour transporter la dernière bouteille. En effet la division donne
1000 : 37 = 27 reste 1.
Multiples de 8
2004 : 8 = 250,5 ou 2004 : 8 = 250 reste 4. Le problème réside dans l'interprétation de la partie
décimale du quotient ou dans l'interprétation du reste. La réponse ne pouvant être qu'un nombre
entier, est-ce 250 ou 251 ?
Pour un nombre multiple de 8, par exemple 40, le nombre de multiples de 8 entre 1 et 40 est le
résultat de la division de 40 par 8, donc 5 multiples (8, 16, 24, 32, 40).
Pour les nombres suivants 41, 42, 43, 44, … 47, le nombre de multiples reste inchangé puisqu'il n'y
a pas de nouveau multiple de 8.
Entre 1 et 2004, il y donc le même nombre de multiples de 8 (ce sont d'ailleurs les mêmes) qu'entre
1 et 2000 (2000 est le plus grand multiple de 8 inférieur à 2004), c'est-à-dire 250.
100e jour
Jeudi
Vendredi
Samedi
Dimanche
Lundi
Mardi
Mercredi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
…
En observant ce tableau, on constate que dans la colonne mercredi il n'y a que des multiples de 7,
que tous les multiples de 7 plus 1 sont des jeudis, que tous les multiples de 7 plus 2 sont des
vendredis, …
100 est un multiple de 7 plus combien ? Répondre à cette question permet de déterminer la colonne
dans laquelle se trouve 100. Pour cela l'outil le plus approprié est la division euclidienne : 100 : 7 =
14 reste 2. 100 est un multiple de 7 plus 2, ce sera donc un vendredi.
Anniversaire
L'outil de résolution le plus approprié pour résoudre ce problème est à nouveau la division
euclidienne : 10000 : 365 = 27 reste 145 et 10000 : 366 = 27 reste 118. Que l'on compte avec des
années de 365 ou de 366 jours, Séraphine aura 28 ans lors de son prochain anniversaire.
On peut aussi considérer qu'une année moyenne comporte 365,25 jours. 10000 : 365,25 =
27,3785… et une bonne interprétation de la partie décimale permet de donner le résultat.
107
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Carrelage
Ce problème est un problème à tiroirs : pour déterminer le nombres de paquets, il s'agit d'abord de
trouver le nombres de catelles. Mais pour cela, il faut comparer les dimensions de la pièce avec
celles d'une catelle, ce qui implique un changement d'unités.
Ce problème comporte de plus deux implicites : les catelles sont posées parallèlement aux côtés de
la pièce et elles sont posées bord à bord (il n'y a pas de joint entre elles).
Exprimées en centimètres, la largeur et la longueur de la pièce sont respectivement de 325 cm et de
410 cm. Combien de catelles peut-on placer en largeur, combien en longueur ?
La division ou la division euclidienne permet de répondre à cette question. 325 : 12 = 27 reste 1 ou
325 : 12 = 27,08333…, 410 : 12 = 34 reste 2 ou 410 : 12 = 34,1666…
En supposant que pour chaque fraction de catelle, le carreleur doit prendre une nouvelle catelle, il
placera 28 catelles en largeur et 35 en longueur et aura donc besoin de 980 catelles.
En supposant que le carreleur parvienne à partager sans casse les catelles en 6 morceaux
rectangulaires de 2 cm de large ou en 12 morceaux de 1 cm de large, il lui faudra exactement 926
catelles (918 catelles entières, 34 morceaux de 1×12 cm découpés dans 3 catelles et 27 morceaux de
2×12 cm et un morceau de 2×1 cm découpés dans 5 catelles).
Pour 980 catelles, le carreleur doit acheter au moins 41 paquets de 24 (980 : 24 = 40 reste 20).
Pour 926 catelles, le carreleur doit acheter au moins 39 paquets de 24 (926 : 24 = 38 reste 14).
119e décimale
126 : 37 = 3,405405405… . Effectuer cette division à l'aide de l'algorithme par les échanges permet
de comprendre la périodicité de la partie décimale.
1 2 6
3 7
- 1 1 1
3, 4 0 5 4 0 5 …
1 5 0
- 1 4 8
2 0 0
- 1 8 5
1 5 0
- 1 4 8
2 0 0
- 1 8 5
1 5
…
On constate d’abord que les chiffres des décimales se répètent avec une périodicité de 3. On
observe que le chiffre des 1re, 4e, 7e, 10e, 13e … décimales est toujours 4, que le chiffre des 2e, 5e, 8e
11e 14e … décimales est toujours 0 et que le chiffre des 3e, 6e, 9e, 12e, 15e … décimales est toujours
5. Autrement dit, 5 est le chiffre de toutes les décimales dont la position est un multiple de 3, 4 est
le chiffre de toutes les décimales dont la position est un multiple de 3 plus 1 et 0 est le chiffre de
toutes les décimales dont la position est un multiple de 3 plus 2.
Comme 119 est un multiple de 3 plus 2 (119 : 3 = 39 reste 2 ou 3 × 39 + 2 = 119), le chiffre de la
119e décimale du quotient de 126 par 37 est un 0.
108
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (Activité 07)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Intentions
Cette activité permet aux élèves :
de consolider les concepts de multiplication et de
division et d'expliciter les liens entre les deux
opérations,
prendre conscience de la relation entre dividende,
diviseur, quotient et reste dans une division
euclidienne
d'effectuer des divisions à l'aide de différents outils
de calcul.
Démarches possibles
NB : on donne ici des indications pour le premier
problème, à transposer pour les autres.
-
-
-
-
répéter l'addition de 36 pour atteindre 1000 puis
compter le nombre de fois que 36 a été additionné :
36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 … pour atteindre
1000.
3 4 5
6 …
1 2
soustraire un certain nombre de fois 36 à 1000 pour
atteindre 0 puis compter le nombre de soustractions
1000 – 36 – 36 – 36 – 36 …
1 2 3 4 …
ou bien
1000 – 360 – 360 – 36 – 36 …
10 20 21 22 …
puis de la même manière avec 37.
faire plusieurs essais pour résoudre la multiplication
lacunaire
36 × ? = 1000
36 × 20 = 720
36 × 30 = 1080
36 × 27 = 972
36 × 28 = 1008
donc 27 voyages
puis de la même manière avec 37.
résoudre la division par algorithme, avec quotient et
reste :
1000 : 36 = 27 reste 28
résoudre la division par algorithme, avec partie
décimale
1000 : 36 = 27.777777…
résoudre la division avec la calculatrice, sans
utilisation de la division euclidienne
résoudre la division avec la calculatrice, en utilisant
la touche "division euclidienne"
interpréter correctement ou non le reste.
109
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Difficultés potentielles
Proposition(s) de
déroulement
-
ne pas comprendre ce qui est demandé, ce que l'on
doit chercher,
-
effectuer des opérations avec les données numériques
du problème mais sans leur donner de sens.
-
ne pas parvenir interpréter le résultat d'un calcul
-
oublier le sens d'une opération après en avoir fait le
calcul
-
réaliser que le résultat ne peut pas être non entier
sans savoir qu'en faire,
-
…
Proposer ces problèmes divisifs avec des problèmes
multiplicatifs ou additifs pour mettre en évidence les
différentes opérations.
L'emploi de la calculatrice doit être proposée aux élèves
qui résolvent ces problèmes sans passer par la division
avec comme relance :
Est-il possible de résoudre ce problème en faisant
moins d'opérations ? ou
Comment trouver le résultat en ne faisant qu'une
seule opération sur la calculatrice ?
Inciter les élèves qui utilisent la calculatrice pour faire une
division à se poser des questions sur le résultat, notamment
sur la partie décimale. Monter également comment
effectuer une division euclidienne sur la calculatrice et
faire le lien avec l'algorithme.
Prolongements
possibles
Tout autre problème divisif.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
110
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (Activité 07)
Parmi les diverses démarches pour résoudre ces problèmes, la division euclidienne est la plus
efficace.
L'emploi de la calculatrice permet de découvrir et/ou donner du sens à une opération (la
division) qui peut remplacer une suite d'opérations plus ou moins longues (additions ou
soustractions répétées) ou aléatoires (multiplication lacunaire).
Ces problèmes sont aussi l'occasion montrer comment réaliser une division euclidienne sur la
calculatrice TI-34II que les élèves ont à disposition (touches % Y).
Division euclidienne
Si l'on prend deux entiers naturels non nuls a et b, il existe deux uniques entiers naturels q et r
tels que a = b⋅q + r avec 0 ≤ r < b.
On dit alors qu'on a réalisé la division euclidienne de a par b ; q est le quotient, et r le reste de
cette opération.
Par exemple, dans la division euclidienne de 23 par 4 : le quotient est 5 et le reste est 3.
En effet, 23 = 4 × 5 + 3.
111
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 08 « Valeur exacte et approchée »30
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Valeur exacte et approchée
Sous-titre
Racine carrée
Degrés concernés
9CO
Durée estimée
30 minutes
Résumé
Comparer une valeur exacte (racine) et une fraction
Contexte d’usage
de la calculatrice
APPROFONDIR
Le quotient est égal à la valeur affichée par la calculatrice
pour la racine carrée : il faut expliquer cette erreur !.
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Existence de nombres irrationnels.
Prérequis
Définition de la racine carrée
NO 9 : « Sensibiliser les élèves au fait qu’il existe d’autres
nombres que les rationnels »
Extrait(s) du
plan d'études
NO 9 :« Outils de vérification : retour au sens de la
puissance comme multiplication répétée ».
NO 9 : « Obstacles et erreurs : accepter qu’une écriture
sous forme d’opérations non effectuées représente un
nombre. »
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
MERM « Nombres et opérations » n° 214 : Dépit
Mots-clé
rationnel, irrationnel, racine, valeur exacte, valeur
approchée
Source
IUFM Créteil
30
Énoncé n°II_11 de la liste complète des activités proposées en 7.4
112
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 08)
A l’aide de la calculatrice, comparer les deux nombres suivants:
Ces deux nombres sont-ils égaux ? Pourquoi ?
113
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 08)
Avec la calculatrice on obtient les valeurs approchées :
665857
≈ 1.414213562
470832
2 ≈ 1.414213562
Ces deux nombres semblent égaux.
La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel (il ne pourra jamais s’écrire comme le rapport
de nombres entiers). Les deux nombres ne sont donc pas égaux, mais leur différence est très
petite. Comment expliquer cela ?
Revenons à la définition de la racine et calculons, avec la calculatrice le carré de la fraction
2
⎛ 665857 ⎞
⎜
⎟ ≈2
⎝ 470832 ⎠
1, 4142135622 ≈ 1.999999999
On a aussi :
2
⎛ 665857 ⎞
−12
⎜
⎟ − 2 = 4,5 • 10
470832
⎝
⎠
mais :
665857
− 1, 4142133562 = 3, 747 • 10−10
470832
2 − 1, 414213562 = 3, 731 • 10−10
Conclusion : La fraction est une valeur approchée de la racine carrée ; les onze premières
décimales sont identiques et la douzième est différente. L’affichage de neuf décimales ne
permet pas de les distinguer à l’affichage sur la calculatrice. Mais les calculs ne sont pas
effectués seulement avec les décimales affichées ; la calculatrice utilise des valeurs approchées
plus précises, ce qui permet de montrer, avec la calculatrice que ces deux nombres ne sont pas
égaux.
665857 665857 665857 • 665857
•
=
est le quotient d’un nombre impair par un
470832 470832 470832 • 470832
nombre pair et ne peut donc pas être un nombre entier.
Preuve :
114
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 08)
Voir « Une activité en Or » à l’adresse ci-dessous
http://www.acgrenoble.fr/irem/new2006/Debat_scientifique
pour une analyse à priori, un compte-rendu de devoir à la
maison, et une proposition de gestion de la classe.
Analyse à priori
de l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Cette activité devrait se dérouler après l’introduction aux
nombres irrationnels et devrait avoir pour objectif l’étude
du fonctionnement de la calculatrice en lien avec la
différence entre une valeur exacte et une valeur approchée.
Relancer les élèves qui ne voient pas l’erreur, en leur
demandant de chercher pourquoi le carré de la fraction
n’est pas un nombre entier.
La correction collective permettra de faire émerger les
décimales « de réserve ».
Proposition(s) de
déroulement
Prolongements
possibles
Brève recherche individuelle. Vote.
Débat avec correction collective et prolongement.
Faire afficher 1/ 3, et calculer le triple du nombre affiché.
Puis calculer 1 / 3 * 3 pour montrer qu’ici aussi la
calculatrice ne calcule pas seulement avec les chiffres
affichés à l’écran.
Calculer 777 777 777 777 – 777 777 777 776 puis
77 777 777 777 777 – 77 777 777 777 776.
Le premier résultat sera 1, mais le deuxième 0.
Calculer 123456789123456-123456789000000
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
115
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 08)
La représentation des nombres, dans une calculatrice, est basée sur le principe de codage appelé
DCB (Décimal Codé Binaire) et ce n’est pas le même que celui effectué dans les logiciels de
mathématiques professionnels.
Le principe en est le suivant : tout nombre est mis sous forme scientifique :
signe / mantisse appartenant à [1,10[ / exposant de 10
Les chiffres de la mantisse sont codés en binaire (mais un nombre limité de bits étant réservé au
codage de la mantisse, tous les chiffres ne peuvent pas nécessairement être pris en compte dans
ce codage et donc dans les calculs, voir ci-après). Les exposants vont de -99 à 99 et sont aussi
codés en binaire, tout comme le signe.
Il faut bien sûr distinguer le nombre saisi au clavier, la représentation du nombre en mémoire et
l’affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice.
Les calculatrices affichent aujourd’hui un maximum de 10 à 12 chiffres significatifs mais
calculent avec 12, 13 et le plus souvent 14 chiffres, ce qui permet de limiter les effets des
erreurs d’arrondi dans les successions de calculs.
Exercices de consolidation (activité 08)
116
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 09 « Retour case départ »31
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Retour case départ
Sous-titre
Prouver à l’aide du calcul littéral
Degrés concernés
9CO
Durée estimée
45 minutes
Résumé
L’élève utilise une boîte noire (fonctionnelle), doit faire
une conjecture et la résoudre.
Contexte d’usage
de la calculatrice
EXÉCUTER
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Utiliser un algorithme de calcul pour assimiler le passage
du langage parlé aux conventions d’écriture.
Prérequis
Calcul algébrique (distributivité, réduction)
Extrait(s) du
plan d'études
Algèbre 9 : « Ce domaine doit permettre d’utiliser
l’algèbre dans des démonstrations simples … d’utiliser
l’algèbre dans sa fonction génératrice pour produire des
formules. »
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
Exercice 44 livre «Calcul Littéral » des MERM. (énoncé
similaire)
Mots-clés
algèbre, formule, réduire, preuve
Source
IUFM Créteil
31
Prouver en utilisant le calcul littéral
Énoncé n°II_14 de la liste complète des activités proposées en 7.4
117
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 09)
Choisir un entier relatif, lui ajouter son successeur immédiat,
multiplier le résultat obtenu par 3 puis retrancher 3,
diviser le résultat par 6
a) Comparer votre résultat à celui de vos camarades. Bizarre, non ?
b) Pourrait on être certain de la propriété mise en évidence ?
Prolongement :
Choisir un nombre (non entier), lui ajouter 1,
ajouter les deux nombres,
multiplier le résultat obtenu par 3 puis retrancher 3,
diviser le résultat par 6.
Obtient-on toujours la même propriété ?
118
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 09)
Présenter les essais à l’aide d’un tableau pour mettre en évidence le passage du langage parlé
aux conventions d’écriture, ainsi que la fonction génératrice de l’algèbre :
prolongement
un nombre relatif
0
1
-1
2
-2
3
-3
n
-0,7
son suivant
1
2
0
3
-1
4
-2
n+1
0,3
la somme des deux 1
nombres successifs
3
-1
5
-3
7
-5
2n+1
-0,4
le produit du résultat par 3
3
9
-3
15
-9
21
-15
6n+3
-1,2
la différence de 3
0
6
-6
12
-12
18
-18
6n
-4,2
Le quotient par 6
0
1
-1
2
-2
3
-3
n
-0,7
o Pour programmer cette boîte noire avec la touche OP1 de la calculatrice : voir activité n° 05
« Boîtes noires » en utilisant la formule ((ANS+ANS+1)x3-3)/6
o Pour utiliser le « programme » :
taper un nombre
puis ENTER
puis OP1
répéter avec d’autres nombres.
119
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 09)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
En programmant cette boîte noire avec la calculatrice, c’est
l’occasion de mettre en évidence la priorité des opérations,
et l’utilisation des parenthèses. Ainsi on peut compléter
rapidement le tableau et mieux mettre en évidence la
propriété cherchée.
Après que les élèves se soient convaincus que cette
séquence d’opérations restitue toujours le nombre initial,
on peut leur faire écrire la formule avec une variable et
leur montrer pourquoi cela se passe toujours ainsi.
Proposition(s) de
déroulement
Prolongements
possibles
Les élèves travaillent par deux : chacun invente un énoncé
et le fait chercher à l’autre.
Exercice 44 livre «Calcul Littéral » des MERM. (énoncé
similaire)
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
120
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 09)
Exercices de consolidation (activité 09)
Exercice 141 du livre “Calcul Littéral” MERM pour exercer la traduction
Exercice 11 “Droit au but” du livre “Calcul Littéral” MERM pour des démonstrations à l’aide
de l’algèbre. (Énoncé ci-dessous)
121
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 10 « Afficher 10 »32
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Afficher 10
Sous-titre
Degrés concernés
7CO
Durée estimée
15 minutes + recherche à la maison + 45 minutes
Résumé
Le défi est de faire (au plus) 4 opérations (avec des
nombres entiers à 1 chiffre) pour obtenir 10 à partir d’un
nombre quelconque inférieur à 1000.
À jouer à 2, en changeant les rôles.
Contexte d’usage
de la calculatrice
RECHERCHER
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Découvrir – Justifier une stratégie
Comprendre et comparer les effets des quatre opérations
avec des entiers
Prérequis
Extrait(s) du
plan d'études
Initiation à la recherche 7, 8, 9 : « les cadres de
prédilection des problèmes de recherche sont, au niveau du
CO, la numération, la géométrie et les jeux de stratégie. »
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
MERM « Logique et Raisonnement » n° 125 : Le
maximum
Mots-clés
chiffre, jeux, stratégie, opérations
Source
Moyen d’enseignement canadien « Carrousel » 1ère année
tome 1 p 95)
32
Énoncé n°II_58 de la liste complète des activités proposées en 7.4
122
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 10)
A partir d’un nombre entier compris entre 100 et 1000, faire afficher 10 sur la
calculatrice comme résultat de 4 opérations au maximum en n’opérant qu’avec des
nombre sentiers compris entre 1 et 9..
Exemple : 456 + 3 = 459
459 : 9 = 51 51 + 9 = 60
Joue une partie de « Afficher 10 » avec un(e) camarade.
A tour de rôle, chacun donne un nombre à l’autre.
Découvrez une stratégie efficace pour gagner.
Peut-on gagner avec n’importe quel nombre ?
123
60 : 6 = 10
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 10)
Méthode experte : le problème peut être pris à l’envers et l’énoncé devient :
« En partant de 10, quels nombres peut-on obtenir en un maximum de 4 opérations, en
n’utilisant que des nombres compris entre 1 et 9? »
Voici la construction d’une solution pour tous les nombres entiers (de 10 à 1000).
10 … 99
2 opérations suffisent : multiplier par le chiffre des dizaines puis ajouter le chiffre des unités.
Exemple 74 = 10×7+4. Pour afficher 10, on va donc soustraire le chiffre des unités, puis diviser
par le chiffre des dizaines.
90…899
Commencer par obtenir les nombres de 10 à 99 en deux opérations (item précédent), puis
(troisième opération) multiplier par 9 pour obtenir les multiples de 9 suivants : 90, 99, 108, …
882, 891. Ajouter (quatrième opération) 1,2, … ou 8 pour obtenir n’importe quel nombre entier
compris entre ces multiples de 9.
Lors du jeu, la tactique consiste à soustraire pour obtenir un multiple de neuf, puis diviser par 9
puis reprendre la tactique pour les nombres entre 10 et 99.
899 …1000 sauf 955 à 962 et 982 à 998
L’idée suivante consiste à obtenir les multiples de 9 compris entre 899 et mille ; pour cela on
cherche à obtenir des nombres entre 100 et 111 en deux opérations, d’abord par une addition
puis avec une multiplication.
(10+5) × 7 =105
On obtient :
(10+7) × 6 = 102 (10+3) × 8=104
(10+2) × 9=108
(10+ 4) × 8 = 112
La multiplication par 9 de ces cinq nombres donne 918, 936, 945, 972, 1008.
La quatrième opération sera l’addition ou la soustraction des chiffres 1 à 9 :
On atteindra … 909…927
depuis …
918
927…945
936…954
963…981
999 et 1000.
936
945
972
1008
901 à 908 ; 955 à 962 ; 982 à 998
Il reste à atteindre 901 à 908 ; 955 à 962 et 982 à 998 pour terminer. On peut obtenir un
multiple de 10 compris dans les zones encore non atteintes en trois opérations.
901…908
10×2×5×9 = 900. La quatrième opération (ajouter 1, 2, … ou 9) donne les nombres manquants.
955…962
10×3×4×8 = 960. Terminer en ajoutant ou soustrayant les nombres de 1 à 9.
981…989
10×2×7×7 = 980. Terminer par l’addition.
991…9
10×4×5×5 = 1000. Soustraire.
990
10+1 puis 11×2×5×9 = 990.
Il y a en général plusieurs façons d’obtenir un nombre.
124
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 10)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Proposition(s) de
déroulement
Le travail à rebours ne doit pas être suggéré trop vite.
Pour des élèves ayant des difficultés, et pour favoriser la
théorisation, on peut proposer d’atteindre des nombres
autour de 100 en deux, puis trois étapes.
Commencer l’exercice en fin de séance (15 minutes) afin
de s’assurer que chaque élève ait compris la consigne et le
but du jeu.
Le jeu continue le lendemain, après une recherche à la
maison de la stratégie.
Prolongements
possibles
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 10)
Une des stratégies pour résoudre un problème est de travailler à rebours : ici il s’agit de partir de
10 et non du nombre qui a été choisi.
Cette activité est à mettre en lien avec la décomposition d’un nombre en produit de facteurs et
avec la division euclidienne.
Exercices de consolidation (activité 10)
Voici différents exemples où on travaille à rebours:
MERM « Logique et Raisonnement » n° 125 : Le maximum
125
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 11 « Une aire et beaucoup de périmètres »33
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Une aire et beaucoup de périmètres
Sous-titre
Interdépendance de l’aire et du périmètre
Degrés concernés
7CO
Durée estimée
30 minutes
Résumé
Il s’agit de maximiser le périmètre avec une contrainte sur
l’aire d’un rectangle.
Contexte d’usage
de la calculatrice
EXERCER.
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Distinguer les notions d’aire et de périmètre.
Prérequis
Formule pour le calcul de l’aire et du périmètre d’un
rectangle.
Extrait(s) du
plan d'études
GM 7 : « établir la distinction et l’interdépendance des
notions de longueur, de périmètre et d’aire : l’aire du
rectangle, par exemple, dépend de ses dimensions, mais
pas de son périmètre. »
Non indispensable au début, la calculatrice permet de faire
des essais avec des nombres inférieurs à 1.
Dans l’ensemble des nombres positifs, on obtient un
nombre supérieur quand on divise par un nombre inférieur
à 1.
GM 8 : Obstacles et erreurs caractéristiques :
« Multiplication et division par un nombre compris entre 0
et 1 »
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
Mots-clés
rectangle, périmètre, aire, maximum
Source
Problème classique.
33
Énoncé n°II_60 de la liste complète des activités proposées en 7.4
126
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 11)
Parmi tous les rectangles d’aire 24 cm2, lequel a le plus grand périmètre ?
Utiliser un tableau pour présenter les résultats.
Question facultative :
Trouver deux rectangles d’aire 24 cm2, et de périmètre supérieur à 10 000 cm.
largeur (cm)
longueur (cm)
périmètre (cm)
Autre formulation : Stéphane affirme qu’il peut dessiner un rectangle d’aire 24 cm2 et de périmètre
10'000 cm. Térence prétend qu’il bluffe. Qu’en pensez-vous ?
127
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 11)
Choisir une largeur, diviser l’aire par cette largeur pour trouver la longueur du rectangle ; puis
additionner la largeur et la longueur pour trouver le demi périmètre et terminer en multipliant par
deux.
Utiliser un tableau pour présenter les résultats :
1
2
3
4
6
0,5
0,1
0,01
longueur (cm)
24
12
8
6
4
48
240
2400
périmètre (cm)
50
28
22
20
20
97
480,02
4800.002
largeur (cm)
Il est ainsi possible de remplir le tableau avec des périmètres aussi grands que l’on veut !
Par exemple : choisir 1 / 10 000 pour largeur donne une longueur de 240 000 et un périmètre
supérieur à 2 x 240 000 soit 480 000. Il est à noter que dans ce calcul du périmètre, on peut
négliger les deux largeurs.
Commentaires pour le maître (activité 11)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches
possibles, difficultés,
relances, mise en
commun)
Proposition(s) de
déroulement
Prolongements
possibles
Les élèves cherchent les décompositions de 24 en nombres
entiers et trouvent que 1x24 donne le plus grand périmètre.
Certains élèves ne pensent à utiliser que des nombres
entiers
Lorsqu’un élève utilise un nombre décimal inférieur à 1
(0,5 par exemple) certains élèves ne trouvent pas la
longueur correspondante : ici la calculatrice permet
d’exécuter les calculs.
Recherche individuelle, ou en binôme avec affichage au
tableau du plus grand périmètre trouvé.
Représenter dans un repère les points correspondants au
tableau donnant le périmètre en fonction de la largeur.
Parmi tous les rectangles d’aire 24 cm2, lequel a le plus
petit périmètre ?
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves,
…)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 11)
128
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Exercices de consolidation (activité 11)
Exercices tirés du site Mathenpoche
La calculatrice ne sera utilisée que pour vérifier les réponses!
Calcule mentalement les multiplications et les divisions suivantes et note le résultat dans ton
cahier :
a) 1 000 × 0,05
b) 10 000 × 0,05
c) 5,3 × 0,1
d) 3,42 × 0,001
e) 34 000 × 0,1
f)
3 000 × 0,00001
g) 3,35
× 0,001
h) 8,4
÷ 1 000
i)
0,045 ÷ 10
j)
25 000 ÷ 100
k) 5 600 ÷ 10 000
Complète les pointillés par +, ×, – ou ÷ :
l)
56 … 100 = 0,56
m) 0,4 … 0,001= 400
n) 0,045 … 10 = 0,0045
o) 450 … 0,1 = 4 500
p) 25 000 … 100 = 250
q) 5 … 0,01 = 500
r)
1 000 … 10 = 1 010
s)
3 100 … 100 = 3 000
t)
2 500 100 = 2 600
u) 10 … 100 = 1 000
Pour chaque produit, calcule le facteur manquant, en indiquant au préalable l'opération à
effectuer pour le trouver :
« ? × 4,5 = 5,4 »
5,4 ...... 4,5
« ? × 1,13 = 0,904 »
= .........
donc
...... × 4,5 = 5,4
........ ..... ........= .........
donc
................ = ........
« 25,2 × ? = 7,56 »
....... ....... ........=.............
donc
.............................
« 8,7 × ? = 75,69 »
...................................
donc
.............................
129
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Recopie et effectue les opérations suivantes :
v) 0,1 × 7 × 1 000
w) 5,6 × 0,01 × 0,1
x) 3,5 × 0,01 × 10
y) 1,5 ÷ 0,1 × 0,1
z) 4 × 0,01 ÷ 10
aa) 1 000 ÷ 0,01 × 4,56
bb) 34 ÷ 0,01
cc) 0,64 ÷ 10
dd) 9,4 ÷ 0,0001
ee) 0,945 ÷ 0,0001
ff) 12,7 ÷ 0,1
gg) 5,9458 ÷ 0,00001
Complète les pointillés par le nombre qui convient
hh) …. × 5,45
= 5 450
ii)
298 × …
= 0,0298
jj)
3,45 × …
= 0,345
kk)
10 000
×…
ll)
2,345 × …
= 234,5
mm)
10 × …
nn)
34 ÷ …
oo)
…÷ 100 = 0,00034
pp)
…÷ 1 000= 56
= 0,3
= 0,01423
= 3,4
qq) 0,045÷ …
= 0,00045
rr)
400 ÷ …
= 0,04
ss)
250 000÷ …= 25
Complète les pointillés par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... :
a) 3,4 × … = 0,034
b) 12 × …
= 0,12
c) 345 × … = 0,0345
d) 34 × …
= 0,034
e) …× 0,1 = 0,01
f)
…× 9 800= 0,98
130
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Activité 12 « Tant que ça »34
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Tant que ça
Sous-titre
Valeur approchée de pourcentage
Degrés concernés
8CO
Durée estimée
30 minutes
Résumé
Connaissant une valeur approchée d’un pourcentage, il
s’agit de retrouver le pourcentage.
Contexte d’usage
de la calculatrice
APPROFONDIR la notion de pourcentage
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Estimation d’un pourcentage
Prérequis
Définition d’un pourcentage
Extrait(s) du
plan d'études
NO 8 : « à partir d’un pourcentage et d’une grandeur,
calculer l’autre grandeur »
NO 8 : « Dans les problèmes d’estimation, il s’agit
d’arrondir des décimaux,...
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
Mots-clés
pourcentage, arrondir, valeur approchée
Source
Laura Weiss
Énoncé élève (activité 12)
Dans une classe, le pourcentage de filles, arrondi à un chiffre après la virgule est de
65,2%. Peut-on déterminer le nombre de filles et de garçons de la classe ?
Utiliser un tableau pour présenter les différents essais numériques effectués.
34
Énoncé n°II_61 de la liste complète des activités proposées en 7.4
131
Usages d’une calculatrice dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 12)
Filles\classe
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
0,067
0,063
0,059
0,056
0,053
0,05
0,048
0,045
0,043
0,042
0,04
0,038
0,037
0,036
0,034
0,033
2
0,133
0,125
0,118
0,111
0,105
0,1
0,095
0,091
0,087
0,083
0,08
0,077
0,074
0,071
0,069
0,067
3
0,2
0,188
0,176
0,167
0,158
0,15
0,143
0,136
0,13
0,125
0,12
0,115
0,111
0,107
0,103
0,1
4
0,267
0,25
0,235
0,222
0,211
0,2
0,19
0,182
0,174
0,167
0,16
0,154
0,148
0,143
0,138
0,133
5
0,333
0,313
0,294
0,278
0,263
0,25
0,238
0,227
0,217
0,208
0,2
0,192
0,185
0,179
0,172
0,167
6
0,4
0,375
0,353
0,333
0,316
0,3
0,286
0,273
0,261
0,25
0,24
0,231
0,222
0,214
0,207
0,2
7
0,467
0,438
0,412
0,389
0,368
0,35
0,333
0,318
0,304
0,292
0,28
0,269
0,259
0,25
0,241
0,233
8
0,533
0,5
0,471
0,444
0,421
0,4
0,381
0,364
0,348
0,333
0,32
0,308
0,296
0,286
0,276
0,267
9
0,6
0,563
0,529
0,5
0,474
0,45
0,429
0,409
0,391
0,375
0,36
0,346
0,333
0,321
0,31
0,3
10
0,667
0,625
0,588
0,556
0,526
0,5
0,476
0,455
0,435
0,417
0,4
0,385
0,37
0,357
0,345
0,333
11
0,733
0,688
0,647
0,611
0,579
0,55
0,524
0,5
0,478
0,458
0,44
0,423
0,407
0,393
0,379
0,367
12
0,8
0,75
0,706
0,667
0,632
0,6
0,571
0,545
0,522
0,5
0,48
0,462
0,444
0,429
0,414
0,4
13
0,867
0,813
0,765
0,722
0,684
0,65
0,619
0,591
0,565
0,542
0,52
0,5
0,481
0,464
0,448
0,433
14
0,933
0,875
0,824
0,778
0,737
0,7
0,667
0,636
0,609
0,583
0,56
0,538
0,519
0,5
0,483
0,467
15
1
0,938
0,882
0,833
0,789
0,75
0,714
0,682
0,652
0,625
0,6
0,577
0,556
0,536
0,517
0,5
16
1,067
1
0,941
0,889
0,842
0,8
0,762
0,727
0,696
0,667
0,64
0,615
0,593
0,571
0,552
0,533
17
1,133
1,063
1
0,944
0,895
0,85
0,81
0,773
0,739
0,708
0,68
0,654
0,63
0,607
0,586
0,567
18
1,2
1,125
1,059
1
0,947
0,9
0,857
0,818
0,783
0,75
0,72
0,692
0,667
0,643
0,621
0,6
19
1,267
1,188
1,118
1,056
1
0,95
0,905
0,864
0,826
0,792
0,76
0,731
0,704
0,679
0,655
0,633
20
1,333
1,25
1,176
1,111
1,053
1
0,952
0,909
0,87
0,833
0,8
0,769
0,741
0,714
0,69
0,667
21
1,4
1,313
1,235
1,167
1,105
1,05
1
0,955
0,913
0,875
0,84
0,808
0,778
0,75
0,724
0,7
22
1,467
1,375
1,294
1,222
1,158
1,1
1,048
1
0,957
0,917
0,88
0,846
0,815
0,786
0,759
0,733
23
1,533
1,438
1,353
1,278
1,211
1,15
1,095
1,045
1
0,958
0,92
0,885
0,852
0,821
0,793
0,767
24
1,6
1,5
1,412
1,333
1,263
1,2
1,143
1,091
1,043
1
0,96
0,923
0,889
0,857
0,828
0,8
25
1,667
1,563
1,471
1,389
1,316
1,25
1,19
1,136
1,087
1,042
1
0,962
0,926
0,893
0,862
0,833
26
1,733
1,625
1,529
1,444
1,368
1,3
1,238
1,182
1,13
1,083
1,04
1
0,963
0,929
0,897
0,867
27
1,8
1,688
1,588
1,5
1,421
1,35
1,286
1,227
1,174
1,125
1,08
1,038
1
0,964
0,931
0,9
28
1,867
1,75
1,647
1,556
1,474
1,4
1,333
1,273
1,217
1,167
1,12
1,077
1,037
1
0,966
0,933
29
1,933
1,813
1,706
1,611
1,526
1,45
1,381
1,318
1,261
1,208
1,16
1,115
1,074
1,036
1
0,967
30
2
1,875
1,765
1,667
1,579
1,5
1,429
1,364
1,304
1,25
1,2
1,154
1,111
1,071
1,034
1
132
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé de l’activité 12 (suite)
Si on ne peut pas utiliser un tableur, on peut commencer par écrire 65,2% sous la forme
d’une fraction simplifiée :
652 326 163 16
=
=
≈
1000 500 250 25
25 est un nombre raisonnable pour une classe !
65,2% =
Voici un tableau d’essais, pour une recherche organisée, à partir de la fraction 16 / 25 :
nombre de filles
16
16
17
17
17
15
15
nombre d’élèves
25
24
25
26
27
24
23
0,640
0,667
0,680
0,654
0,630
0,625
0,652
pourcentage de filles
dans la classe (au 1/1000)
Cette réponse est-elle unique ?
En toute généralité NON, mais on doit prendre en compte des conditions réalistes avec le
nombre d’élèves d’une classe compris entre 14 et 31. Dans ce cas, la page précédente
donne la réponse : pour un nombre d’élèves compris entre 14 et 31, il y a une seule
réponse.
Autre voie : on peut aussi partir de la fraction 60 / 100 soit 6 / 10 ou 3 / 5 .
Réponse : en prenant en compte des conditions réalistes pour le nombre d’élèves d’une
classe, il n’y a qu’une réponse possible : 15 filles et 8 garçons.
133
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 12)
Autre énoncé possible.
« Dans l’Essai philosophique sur les probabilités du grand
mathématicien Laplace (1749-1827) apparaît le rapport du
nombre de garçons au nombre de filles à la naissance égal
à 1,047. Exprimez ce rapport d’une façon plus parlante. »
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Il est habituel lors d’une recherche de solution de
commencer par une phase d’essais « en tous sens », puis
d’affiner sa démarche : ici, la calculatrice permet de faire
des essais, même inutiles pour se représenter la situation et
voir comment le pourcentage change avec des nombres
différents. Puis l’élève parviendra à augmenter ou
diminuer soit le nombre de filles, soit le nombre total
d’élèves pour approcher la valeur désirée.
Une présentation soignée des essais permet une meilleure
interprétation.
Proposition(s) de
déroulement
Prolongements
possibles
Recherche en binôme ou individuelle.
Cette activité pourrait être donné comme sujet de
narration de recherche à faire à la maison.
A partir du tableau (voir correction) remplacer 65,2 par
une autre valeur.
Comparer les fractions a / b et (a+1)/(b+1) …
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 12)
Exercices de consolidation (activité 12)
134
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 13 « Un produit à 19 chiffres»35
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Un produit à 19 chiffres
Sous-titre
Application et compréhension de l’algorithme de la
multiplication
Degrés concernés
8CO
Durée estimée
Devoir à la maison – 30 minutes pour corriger
Résumé
Dans une calculatrice on peut introduire deux nombres
ayant beaucoup de chiffres, mais le produit de ces
nombres ne sera pas exact, si le nombre de ses chiffres est
trop grand. Cet exercice utilise la distributivité pour
calculer la valeur exacte ; la calculatrice peut exécuter des
produits de nombres jusqu’à 5 chiffres, ici on lui fera
exécuter des produits de nombres à 3 chiffres !
Contexte d’usage
de la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Distributivité
Calcul avec des puissances de dix
Algorithme de la multiplication
(Minutie et persévérance lors d’un travail mathématique)
Prérequis
Extrait(s) du
plan d'études
NO 8 : « Multiplier des nombres en écriture scientifique »
NO 8 : « Appliquer la distributivité pour développer … »
Lien(s) avec les
moyens
d’enseignement
Mots-clés
distributivité, multiplication, puissance, algorithme,
Source
APMEP
35
Énoncé n°II_66 de la liste complète des activités proposées en 7.4
135
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé du devoir élève (activité 13)
Dans le livre Le pays d’esprit de Robert F. Young, auteur américain de science
fiction, on peut lire le passage suivant :
Mercy se pencha en avant et l'observa avec attention.
"Si cela peut vous faciliter les choses, Mr. Carpenter", dit-elle, "je peux faire des
calculs simples comme ceux que vous faites en ce moment. Par exemple :
828 464 280 multipliés par 4 692 438 921 donnent 3 887 518 032 130 241 880."
L'objet de ce devoir est de vérifier ce calcul, en utilisant vos connaissances de
mathématiques et votre calculatrice.
1)
On peut bien sûr poser l'opération, tailler son crayon et se retrousser les manches. Qui
est-ce qui se lance ?
2)
Tout d'abord, constatez qu'il est naïf de tenter le calcul directement avec une
calculatrice. Pourquoi ?
3)
Il faut donc travailler avec des nombres plus petits pour que l'affichage de la calculatrice
soit exact. Nous allons pour cela décomposer les nombres et utiliser la distributivité de
la multiplication sur l'addition.
4)
En décomposant le premier facteur en unités, milliers et millions, (sous la forme a ×106
+ b×103 + c ), on obtient 828 464 280 = (828×106) + (464×103) + (280).
Ce nombre, multiplié par 4 692 438 921, donne en développant une somme de 3 termes.
Écrivez-la.
5)
Décomposez de même le deuxième facteur (cette fois, il faut aller jusqu'aux milliards
(109), et il y a donc 4 termes).
6)
Quand on développe finalement l'expression obtenue au 4, on obtient une somme de
douze termes, tous calculables à la calculatrice puisqu'il s'agit de produits d'entiers de 3
chiffres maximum. Pour faciliter le travail, on écrit les calculs dans un tableau où on a
placé les chiffres par groupes de 6. A vous de le compléter!
7) Ensuite, il n'y a plus qu'à faire la somme de tous ces termes, ce qui est assez facile car il y a
beaucoup de zéros. C'est ce qu'on fait dans la suite du tableau.
8)
Attention! Chaque colonne ne peut contenir que 6 chiffres maximum. Si on dépasse 6
chiffres, (ce qui peut arriver quand on fait la somme des colonnes A, B, C et D), les
chiffres supplémentaires doivent être écrits dans la colonne immédiatement à gauche :
c'est ce qu'on appelle une retenue.
9)
Pour conclure, on vous demande de recommencer ce travail avec 2 autres nombres,
choisis par vous. Le premier nombre aura 9 chiffres et le deuxième 11 chiffres.
10)
Décomposez chacun des deux nombres en unités, milliers, millions, etc…
11)
Tracez un tableau comme précédemment pour calculer les produits nécessaires.
12)
Complétez le tableau à l'aide de votre calculatrice (il pourra être judicieux de travailler
au crayon…)
13)
Calculez (toujours à la calculatrice) la somme de chaque colonne (attention aux
retenues!) pour obtenir le résultat final.
14)
Nous vérifierons votre résultat en salle informatique quand vous rendrez le devoir.
136
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
828 · 4 · 1015
A
B
C
D
Trillions
Billions
Millions
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
828 · 692 · 1012
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
828 · 438 · 10
9
0 0 0 0 0 0 0 0 0
828 · 921 · 10
6
0 0 0 0 0 0
464 · 4 · 10
12
464 · 692 · 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9
0 0 0 0 0 0 0 0 0
…
…
somme de D
somme de C
somme de B
somme de A
somme totale
137
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 13)
828 · 4 · 1015
A
B
C
D
Trillions
Billions
Millions
3 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
828 · 692 · 1012
5 7 2 9 7 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
828 · 438 · 109
3 6 2 6 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6
7 6 2 5 8 8 0 0 0 0 0 0
828 · 921 · 10
464 · 4 · 10
12
1 8 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
464 · 692 · 10
464 · 438· 10
3 2 1 0 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6
464 · 921 · 10
280 · 4 · 10
9
2 0 3 2 3 2 0 0 0 0 0 0
3
4 2 7 3 4 4 0 0 0
9
1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6
1 9 3 7 6 0 0 0 0 0 0 0
280 · 438 · 103
1 2 2 6 4 0 0 0 0
280 · 692 · 10
280 · 921
2 5 7 8 8 0
somme de D
1 2 4 1 8 8 0
somme de C
2 0 3 2 1 2 9
somme de B
8 8 7 5 1 6
somme de A
3
somme totale
3 8 8 7 5 1 8 0 3 2 1 3 0 2 4 1 8 8 0
138
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires (activité 13)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Sous la forme proposée l’exercice est un devoir à la
maison ; devant inventer un exemple l’élève devra fournir
un travail personnel !
Il pourrait être demandé en classe (les élèves travaillant par
groupe).
Poser l’opération ne doit pas être dévalorisé : il serait
amusant de savoir si la méthode recommandée par
l’énoncé est plus rapide que la pose de l’opération. Les
deux demandent ordre et rigueur dans l’exécution.
L’intérêt de la distributivité est sa généralisation sous la
forme d’un programme.
Proposition(s) de
déroulement
Prolongements
possibles
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 13)
Exercices de consolidation (activité 13)
139
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 14 «Connaissance « de base » de la calculatrice»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Connaissances « de base » de la calculatrice
Sous-titre
Apprendre à utiliser la calculatrice plus en profondeur
Degré(s) concerné(s)
10PO/11PO – toutes filières
Durée estimée
2 périodes de 45 minutes
Résumé
De nombreux élèves ne savent pas bien utiliser leur
calculatrice. Cette activité leur permettra de la prendre en
main de façon beaucoup plus approfondie afin d’un faire
un outil de calcul réellement efficace.
Contexte d’usage de
la calculatrice
DECOUVRIR/ EXERCER
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Prérequis
Connaissance de manipulations élémentaires avec la
calculatrice.
Mots-clé
Calculatrice
Source
140
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 14)
Avec la calculatrice, tous les calculs demandés doivent être effectuées "d'un seul coup"
(en utilisant si besoin est des parenthèses ou les mémoires …).
Pour chaque calcul, il faudra savoir décrire la façon dont la calculatrice a été utilisée.
1. Calculer à l'aide de la calculatrice la valeur arrondie au millième de :
a. 4 ⋅ (2 + 3 )
2
b. 2 ⋅ 5
c. 5⋅ 4
d. le quart de la réponse précédente
e. 3 · À
f. 2·sin(30°)
g. 0,25 · 0,5
h.
−325,201569−2,82589
42,52
i.
4,7×
6,76−0,952
.
5,001
2. Effectuer les calculs suivants en utilisant l’écriture scientifique :
a.
(7,28 ⋅ 10 )⋅ (3 ⋅ 10 )
b.
- 7,28 ⋅ 10 -5 ⋅ 3 ⋅ 10 8
5
(
8
)(
)
3. Simplifier 135 à l’aide de la calculatrice.
60
4. Calculer 7 + 2⋅ 5 à l’aide de la calculatrice.
2 34
5. Convertir 135 en nombre décimal, puis exprimer le résultat sous forme de fraction
60
irréductible.
6. Utiliser la machine pour obtenir directement une estimation de 2ּÀ arrondie au
millième.
7. Trouver le ppcm de 3644 et 4568 et le pgcd de 23456656 et 2234544
141
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
8. Un chocolatier vient de confectionner 28313 pralinés identiques.
Il a prévu de placer ces pralinés dans des boites contenant chacune 29 pralinés.
Combien de boites parviendra-t-il à remplir au maximum et combien de pralinés non
emballés restera-t-il ?
On aimerait utiliser la calculatrice de façon optimale pour résoudre ce problème.
Comment faire ?
9. Comment la calculatrice traite-t-elle l’ordre des opérations ? Effectuer des calculs
pour vérifier si l’ordre des opérations est le même que celui convenu par les
mathématiciens.
10. Pourquoi y a-t-il deux symboles « - » à disposition ? Dire à quoi correspond chacun
d’entre eux.
11. Comment effectuer cette suite de trois calculs le plus efficacement possible avec la
calculatrice ?
3⋅3
3⋅3⋅9
3⋅3⋅9
12. Peut-on retrouver, réutiliser, modifier un calcul effectué précédemment ?
13. Comment fait-on pour récupérer le résultat du dernier calcul, par exemple pour le
réutiliser dans un nouveau calcul ?
14. Comment effectuer la répétition successive de la même opération, par exemple
calculer les puissances successives de 2 ?
15. Comment efface-t-on un message d'erreur ou la ligne en cours d'édition ?
16. Quelle différence y a-t-il entre les touches f , J et -?
17. Mettre 15 dans la première mémoire, puis utiliser cette mémoire pour calculer
7⋅152
7 × 15 2 puis
.
4
18. Comment réinitialiser la calculatrice ?
Pour les élèves qui travaillent déjà les fonctions du deuxième degré :
19. On cherche à calculer des images de la fonction f : x a 4x + 5x − 6 .
Programmer les opérateurs constants m et o pour permettre de faciliter ces
calculs.
2
Pour les élèves qui travaillent déjà avec la formule de Viète :
20. Pour ceux qui connaissent la formule de Viète pour résoudre les équations du
deuxième degré : programmer les opérateurs constants m et o pour obtenir
directement les solutions avec la calculatrice.
142
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillée (activité 14)
1.
a. 4 D 2 T 3 <
f.
réponse : 20
2 % B < 30 <
réponse : 1
b. 2 F 5 <
g.
réponse : 20
.25 V .5 <
réponse : 0.125
c. 5 % b 4 <
h.
réponse : 10
D M 325.201569 U 2.82589
E W 42.52 <
réponse : -7.715
d. 1 W 4 % i <
i.
réponse : 2.5
e. 3 g <
4.7 D 6.76 U .95 F E W
5.001 <
réponse : 5.505
réponse : 9.424
2.
a. 7.28 C M 5 V 3 C 8 <
réponse : 2.184•1014
b. M D 7.28 C M 5 V 3 C 8 <
réponse : -21840
3. % ~
régler sur : d/e Auto
135 > 60 <
réponse : 9
4
4. % ~
régler sur : d/e Auto
5>6T2>3V5>4<
réponse : 5
3
5. % ~
régler sur : d/e Auto
135 > 60 Q <
réponse : 2.25
143
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
135 > 60 R <
réponse : 9
4
6. % ‚ """" <
choisir : 3
2g<
réponse : 6.283
autre possibilité :
%d"<
choisir : round
2g%`3E
réponse : 6.283
<
7. Remarque : si on a utilisé la fonction ‚, on peut remettre l’affichage habituel en
faisant % ‚ < (c-à-d. choisir F).
% d " " " " " " < 3644 % ` 4568 <
réponse : ppcm(3644, 4568) = 4161448
% d " " " " " " " < 23456656 % ` 2234544<
réponse : pgcd(23456656, 2234544) = 16
8. 28313 % Y 29 <
réponse : 976 boîtes, 9 restent
Remarque : une autre fonction ne donne que le reste de la division euclidienne :
% d """""""""" < (càd choisir REMAINDER)
28313 % ` 29 <
réponse : 9
9. Ordre des opérations :
1) Expressions entre parenthèses
2) Fonctions qui ont besoin d'une ) et précèdent l'argument telles que les
fonctions trigonométriques ou logarithmiques
3) Fractions
4) Fonctions qui sont entrées après l'argument telles que x2 et les
convertisseurs d'unité d'angle (° ′ ″ r g)
5) Puissances (∧) et racines (Ñ )
144
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
6) Signe du nombre relatif (-)
7) Arrangements (nPr) et combinaisons (nCr)
8) Multiplications, multiplications implicites, divisions
9) Additions et soustractions
10) Conversions (Ab/c↔d/e, `F, `D, `%, `DMS)
11) < termine toutes les opérations et ferme toutes les parenthèses
ouvertes.
Remarque : attention seulement aux pyramides de puissances, dont l’interprétation
3
⎛⎜ 3 2 ⎞⎟
⎝ ⎠
2
n’est pas toujours commune à tous les mathématiciens : 2 est il égal à 2
(2 )
3 2
? Pour la machine, c’est (2
)
3 2
ou à
!
10. Le symbole U représente l’opération soustraction alors que le symbole M permet de
représenter l’opposé d’un nombre.
11. 3 V 3 <
réponse : 9
V9<
réponse : 81
2%b%i
réponse : 9
<
12. Après l'évaluation d'une expression, les touches # et $ permettent de faire défiler
les entrées précédentes qui sont stockées dans la mémoire de la calculatrice (EP).
13. % i
14. 1 <
V2<
<
<
…
15. % 16.
-
Efface un message d'erreur
Efface la ligne en cours d'édition
Déplace le curseur vers la dernière entrée de
l'historique quand l'affichage est vide
J
Supprime le caractère à l'emplacement du
curseur.
Supprime tous les caractères à droite quand la
touche J est maintenue enfoncée ; supprime
ensuite 1 caractère à gauche du curseur chaque
fois que la touche J est enfoncée.
%f
Insère un caractère à l'emplacement du curseur
145
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
17.
%{<
15 L
<
7V
%h
<F<
L
"<
z
"<W4<
18. %  Y ou
& et -
19. Programmation :
%n L<
OP1= ¹A
%p4z<FT5z<U6<
OP2= ¹4A 2 + 5A-6
Utilisation :
0mo
0.8 m o
2
4A + 5A-6
1
Ô
-6.
1mo
M3mo
2
4A + 5A-6
1
Ô
0.56
0.7 m o
M1mo
2
4A + 5A-6
1
0.5 m o
4A 2 + 5A-6
1
Ô
-0.54
0.75 m o
Ô
-2.5
4A 2 + 5A-6
1
Ô
-7.
M2mo
Ô
0.
146
4A 2 + 5A-6
1
4A 2 + 5A-6
1
Ô
0.
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
20.
Programmation :
%nDMz"<T%bz"<FU4z<
z""<EEWD2z<E<
%pDMz"<U%bz"<FU4z<
z""<EEWD2z<E<
Utilisation :
4L<
5L"<
4¹A
Ô
5¹B
Ô
4.
5.
m
-
M6L""<
(( B)+ Ñ ( B 1
Ô
0.75
(( - B)-Ñ ( B 2 - ¹
1
147
Ô
-2.
6¹C
Ô
-6.
o
2 ¹
-
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 14)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
De nombreux élèves ne savent pas bien utiliser leur
calculatrice. Cette activité leur permettra de la prendre en
main de façon beaucoup plus approfondie afin d’un faire
un outil de calcul réellement efficace.
Travail individuel, ou en binôme.
Pour le premier exercice, on peut demander à chaque élève
de calculer puis noter toutes les solutions au tableau ; il y
en aura probablement de nombreuses différentes, ce qui
permettra une discussion et clarification intéressantes.
Peut également se travailler par groupes :
Proposition(s) de
déroulement
Énoncé-élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Prolongements
possibles
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
148
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 14)
Ce que l’élève devrait savoir faire avec sa calculatrice
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Opérations de base
Multiplication implicite, économie de touches
Parenthèses
Ordre des opérations
Réponse précédente
Entrées précédentes
Répétition des opérations
Division euclidienne
Réponse précédente (EP)
Effacement Correction
Réinitialisation de la calculatrice
Mémoires
Opérateurs mémorisés
Plus petit multiple commun
ppcm / pgcd
Simplification de fractions
Opérations avec des fractions
Conversion d'une fraction en écriture décimale et réciproquement
Puissances-Racines
Notation scientifique
Nombre de décimales -valeur arrondie
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
149
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 15 « Limites-machine»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Limites-machine
Sous-titre
Quelques exemples pour montrer certaines limites du
calcul avec la machine.
Degré(s) concerné(s)
10PO/11PO – toutes filières
Durée estimée
2 périodes de 45 minutes
Résumé
Les élèves découvrent au travers de quelques exemples que
la calculatrice peut fournir des résultats faux. On
s’interroge sur la raison de ces problèmes.
Contexte d’usage de
la calculatrice
DECOUVRIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Manipulations numériques et algébriques de base
Connaissance de la façon dont un nombre est représenté
dans une machine
Prendre conscience des limites de calcul de toute machine
Développer le regard critique à porter sur ses résultats
(fournis par une machine, mais aussi en général)
Distinguer une valeur exacte d'une valeur approchée
Prérequis
Manipulation de puissances entières positives et négatives
Connaissances des manipulations algébriques de base
(niveau identités remarquables)
Mots-clé
Calculatrice – nombre machine – représentation d’un
nombre – regard critique
Source
Y. Monka - Collège Albert Camus de Soufflenheim
www.col-camus-soufflenheim.acstrasbourg.fr/Page.php?IDD=45
Adaptation : JM Delley
150
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 15)
Avec la calculatrice, toutes les opérations demandées doivent être effectuées "d'un seul
coup", en utilisant si besoin est des parenthèses.
Pour chaque exercice, il faudra pouvoir décrire ce qui a été tapé sur la calculatrice.
Exercice 1.
Calculer à l'aide de la calculatrice l’expression :
C=
x+y−x
y
pour x = 104 et y = 10-4 , puis pour x = 106 et y = 10-6
b. Réduire algébriquement le plus possible l'écriture du nombre C (pour x et y
quelconques).
Que peut-on conclure des calculs précédents ?
Exercice 2.
Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre :
D = 12345678992 – 12345678982.
Que pensez-vous du résultat ?
Sans calculatrice, calculer le nombre D à l'aide de l’identité remarquable
« différence de deux carrés » a2 – b2.
Que peut-on déduire des calculs précédents ?
Exercice 3.
Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre :
E= 123456789 2 − 123456787 × 123456791
Poser x = 123456789 et exprimer E en fonction de x .
Développer et réduire l'expression trouvée en b.
Comparer avec le résultat du a. et conclure.
Exercice 4.
Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre : F= 1016 + 4×10−16 −(108 − 2×10−8) 2
8
−8 2
Développer à l’aide d’une identité remarquable le nombre (10 − 2 × 10 ) .
En utilisant le résultat du b. et sans utiliser la calculatrice, calculer F. Comparer
avec le résultat du a. et conclure.
151
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 15)
Remarque :
Pour tous ces exercices, les problèmes proviennent de la représentation des nombres dans
la calculatrice. Le principe en est le suivant : le nombre est mis sous forme scientifique:
signe / mantisse appartenant à [1,10[ / exposant de 10
Les chiffres de la mantisse sont codés en binaire (mais un nombre limité de bits étant
réservé au codage de la mantisse, tous les chiffres ne peuvent pas nécessairement être pris
en compte dans ce codage et donc dans les calculs, voir ci-après). Les exposants vont de 99 à 99 et sont aussi codés en binaire, tout comme le signe.
Il faut distinguer le nombre saisi au clavier, la représentation du nombre en mémoire et
l’affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice.
La calculatrice affiche un maximum de 10 chiffres significatifs (en 2006 !) mais calcule
avec 12, 13 et le plus souvent 14 chiffres, ce qui permet de limiter les effets des erreurs
d’arrondi dans les successions de calculs. Quel que soit le nombre – fini ! – de chiffres
avec lequel elle calcule, on pourra donc toujours acculer une calculatrice à ses limites et
la prendre en défaut avec ce type de calcul.
Il est fondamental que les élèves prennent conscience de ces limites pour qu’ils soient
toujours capables d’avoir un esprit suffisamment critique quant aux résultats produits par
une machine (et par eux-mêmes également !).
Pour les manipulations des puissances et l’écriture scientifique avec la calculatrice,
voir l’activité 14.
Exercice 1.
Pour x = 104 et y = 10-4 , on trouve C = 1, ce qui est correct.
Par contre, pour x = 106 et y = 10-6, on trouve C = 0, erreur due aux limites de
précision de la machine.
C = 1 pour tout y non nul
Exercice 2.
Avec la calculatrice, on trouve : D = 2469000000
Le résultat est forcément faux, puisque 12345678992 se terminera par 1 et
12345678982 par 4, donc la différence se terminera par 7 et non par 0
a2 – b2
= (a+b)(a-b)
= (1234567899+1234567898)(1234567899-123456789
= (2469135797)(1)
= 2469135797
Peut-on pour autant être certain du résultat ? Il faut savoir quand on est aux
limites de la calculatrice et quand on peut avoir confiance, tout en gardant
toujours un esprit suffisamment critique.
Cf. la remarque initiale.
152
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice 3.
Avec la calculatrice, on trouve : E = 0
E = x2 – (x – 2)(x + 2)
E = x2 – (x2 – 4) = 4
Cf. la remarque initiale
Exercice 4.
Avec la calculatrice, on trouve : H = 0
1016 + 4×10−16 −(108 − 2⋅10−8) 2
= 1016 + 4×10−16 −(1016 − 4⋅100 + 4⋅10−16)
= 1016 + 4×10−16 −1016 + 4⋅100 − 4⋅10−16
=4
Cf. la remarque initiale
153
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 15)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Il y a de grandes « chances » pour que les élèves
obtiennent des résultats différents, à cause d’erreurs
d’utilisation de la calculatrice. Cela donnera l’occasion de
rappeler comment l’utiliser de façon adéquate (cf.
l’activité 14 Connaissances de base)
Comprendre la différence entre nombre saisi au clavier,
représentation du nombre en mémoire et affichage du
nombre sur l’écran de la calculatrice représente un
difficulté certaine. Selon le niveau des élèves, il faudra
bien réfléchir à ce qu’on veut exactement leur transmettre.
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élèves à travailler en groupes de 3-4, leur
demander de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Prolongements
possibles
Trouver d’autres exemples dans lesquels la machine est
prise en défaut.
Et les ordinateurs ? Même problème ?
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
154
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 15)
Ce que l’élève devrait avoir retenu
différence entre nombre saisi au clavier, représentation du nombre en
mémoire et affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice
toute calculatrice (et tout ordinateur) a des limites quant à la précision des
calculs qu’elle peut effectuer
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
155
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 16 « Dernier chiffre»
Fiche de présentation
Titre de ’activité
Dernier chiffre
Sous-titre
Trouver un moyen pour déterminer le dernier chiffre de
712.
Degré(s) concerné(s)
10PO – toutes filières (aussi possible plus tôt, dès la 8CO,
voir encore plus tôt)
Durée estimée
1 ou 2 périodes de 45 minutes
Résumé
Trouver un moyen pour déterminer le dernier chiffre de
712.
Contexte d’usage de
la calculatrice
DECOUVRIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Différence entre chiffre et nombre
Écriture en base 10
Puissances entières positives
Observation et conjecture
Démontrer selon le niveau des élèves
Prérequis
Calcul de puissances entières positives
Mots-clé
chiffre
Source
156
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 16)
Déterminer le dernier chiffre de 712.
157
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 16)
•
Méthode 1
711 = 1977326743 est la dernière puissance de 10 pour laquelle on est sûr du résultat
donné par la machine.
On écrit ensuite : 712 = 711 • 7 = 1977326743 • 7 = (1977326740 + 3) • 7 = (197732674 •
10 + 3) • 7
= 197732674 • 10• 7 + 3 • 7 = 197732674 7 • 10 + 21
197732674 • 7 • 10 se termine par 0, donc 197732674 • 7 • 10 + 21 par 1
•
Méthode 2
(plutôt pour les enseignant-e-s si on veut formaliser avec le calcul modulo ; faisable avec
les élèves si on reste sur des observations non démontrées)
On peut aussi lister les puissances successives de 7 pour observer la régularité des
derniers chiffres :
7 – 49 – 343 – 2401 – 16807 – 117649 – 823543 – 5764801 - …
on conjecture un cycle de longueur 4 pour les derniers chiffres : 7 – 9 – 3 – 1
par exemple :
Conjecture : 74n ≡ 1 (mod 10)
Démonstration :
74n
≡ (74) n (mod 10)
≡ (2401) n (mod 10)
≡ (1) n (mod 10)
≡ 1 (mod 10)
et aussi :
Conjecture : 74n+3 ≡ 3 (mod 10)
Démonstration :
74n+3
≡ (74)n 73 (mod 10)
≡ (2401)n 343 (mod 10)
≡ (1) n 3 (mod 10)
≡ 3 (mod 10)
Comme 12 = 4• 3 est de la forme 74n , le dernier chiffre de712 est bien 1
Remarque : on peut aussi démontrer ce genre de conjecture par récurrence.
158
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
•
Méthode 3
712 = 74.74.74 = 24013.
Le produit de nombres qui se terminent par 1 est un nombre qui se termine par 1 (thm qui
se démontre) puis exploiter l’algorithme de la multiplication ou la distributivité comme
fait ci-dessus : on n’a ainsi pas besoin du calcul modulo !
Commentaires pour le maître (activité 16)
Comme il y a de nombreuses façons de démontrer le
résultat, il faut anticiper le niveau des élèves pour savoir à
quoi on veut arriver.
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Pour certains élèves, la différence entre un chiffre et un
nombre n’est pas très claire
Beaucoup d’élèves risquent de se trouver bloqués après
avoir calculé les premières puissances de 7, ne mobilisant
pas dans cette situation numérique leurs connaissances sur
les règles des puissances
Beaucoup d’élèves n’ont jamais constaté la périodicité du
chiffre des unités des puissances d’un nombre et risquent
de ne pas le voir dans les calculs qu’ils feront
De même, ce qui est sous-jacent, à savoir l’écriture en base
10, peut également poser des difficultés
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
72006
Prolongements
possibles
cas plus simple où la périodicité apparaît mieux : 912 ,
mais aussi tous les nombres se terminant par 9 ou 4
(périodicité 2)
159
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 16)
Ce que l’élève devrait avoir retenu
Différence entre chiffre et nombre
Écriture en base 10
Puissances entières positives : définition, propriétés
Conjecture
(Démontrer) selon le niveau des élèves
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
160
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 17 « Grands nombres »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Grands nombres
Sous-titre
Calculs avec des grands nombres à l’aide de la calculatrice
Degré(s) concerné(s)
10PO – toutes filières
Durée estimée
1 ou 2 périodes de 45 minutes
Résumé
Manipuler des grands nombres issus de différentes
situations réelles à l’aide de la calculatrice.
Contexte d’usage de
la calculatrice
EXECUTER
Contenus et
compétences
mathématiques
visés
Puissances positives de 10 – consolidation et/ou
approfondissement
Écriture scientifique
Valeur exacte – valeur approchée
Modélisation
Utilisation correcte de la calculatrice pour minimiser la
propagation d’erreurs
Utilisation d’une notation appropriée
Prérequis
Puissances positives de 10
Utilisation de l’écriture scientifique
Savoir calculer une racine carrée et une racine cubique
(seul. pour ex 5b et c)
Mots-clés
puissance, approximation, modélisation
Source
Source : rapport Kahane, annexe rapport calcul, adapté par
Laura Weiss
161
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 17)
1) Le volume de la lune
Calculer le volume de la Lune en sachant que son rayon est de 1800 km.
Rappel : le volume de la sphère est donné par V = 4/3• π • r3
2) L’étoile la plus proche
Calculer la distance du soleil à Proxima du Centaure – l’étoile la plus proche - en sachant
qu'un rayon lumineux met environ 4 ans pour nous parvenir de cette étoile et que la
vitesse de la lumière vaut approximativement 300'000 km/s.
3) Ça grouille !
Calculer le nombre de bactéries qu'on aura dans un bouillon de culture à partir d’une seule
bactérie après un jour de travail du laboratoire (12 heures), en sachant que les bactéries se
reproduisent par mitose toutes les 20 minutes approximativement.
4) Que de secondes !
Combien s’est-il écoulé de secondes depuis le Big Bang, sachant que celui-ci se serait
produit il y a environ 15 milliards d’années ?
5) L’humanité en boîte
a) Calculer la superficie totale de la Terre, sachant que son diamètre (moyen) est de
12756 km. Rappel : la surface d’une sphère est donnée par A = 4 • π • r2
b) Si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque terrain carré à raison de 1m2
par individu, quelle serait la taille en kilomètres de ce carré ?
Indication : on estime la population terrestre à environ 6,5 milliards d’individus.
c) Si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque cube en supposant qu’une
personne occupe 0,5 m3, quelle devrait être l’arête de ce cube, en kilomètres ?
d) Si on répartissait également toute l’humanité sur l’espace des terres émergées, soit
environ 510 millions de km2, de quel espace disposerait chaque individu ?
•
•
•
On peut préciser l’énoncé ainsi :
«Donner un résultat exact* et arrondi au centième. »
«Donner un résultat dans telle ou telle unité. »
On peut supprimer l’exercice 5c) si on ne veut pas travailler avec une racine cubique.
On peut modifier l’énoncé en ne donnant aucune constante et en demandant aux
élèves de les trouver eux-mêmes, soit dans des livres, soit sur Internet.
*On peut demander aux élèves d’évaluer l’effet des approximations dans les données par
exemple vitesse de la lumière ou le rayon de la Lune (« initiation au calcul d’erreur »)
162
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 17)
Remarques
-
on prendra soin de différencier les notations pour les valeurs exactes lorsque cela est
possible et les valeurs approchées.
-
on utilisera la touche g sur la calculatrice et non 3,14.
-
on prendra garde de trouver le résultat avec la calculatrice sans étape intermédiaire
afin de minimiser la propagation des erreurs.
1) Le volume de la lune
V = 4/3• π • (1800)3
≅ 2,44 •1010 km
2) L’étoile la plus proche
d = 300000 • 60 • 60 • 24 • 365 • 4
≅ 3,78 •1013 km
3) Ça grouille !
n = 1 • 2 • 2 • … • 2 (autant de fois 2 qu’il y a de périodes de 20 minutes dans 12 h)
= 1 • 2 12 • 3
≅ 6,87 •1010 bactéries
4) Que de secondes !
t
= 15• 109 • 365 • 24 • 60 • 60
≅ 4,73 •1017 secondes
5) L’humanité en boîte
a) A = 4 • π • 127562
≅ 2,04 •109 m2
b) Si on compte 6.5 milliards d’humains (2006) et 1 m2 par personne :
A = 6,5 • 109 m2
6,5 ⋅109 ≅ 8,06 •105 m2
donc un carré d’environ 8,06 •105 mètres de côté, ou encore d’environ 806 km de
côté.
163
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
c) V = 6,5 • 109 • 0,5
= 3,25 • 109 m3
3
3,25⋅109 ≅ 1,48 •103 m3
donc un cube d’environ 1,48 •103 mètres de côté, ou encore d’environ 1,48 km de
côté.
d) A = 510 • 106 / 6,5 • 109
≅ 0,078 km2
donc chaque individu disposerait d’environ 0,078 km2, soit environ 78000 m2, ce
qui met à disposition de chacun un carré de 280 m de côté.
164
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 17)
Selon le niveau des élèves de 10PO, il peut s’agit d’une
activité de révision, de consolidation ou de (re)découverte
Il s’agit de discuter les différentes écritures possibles avec
la calculatrice et de leurs sens respectifs : 10 ^ 9 ou 10 EE
9 (écriture scientifique)
Certains élèves vont utiliser 3,14 pour Pi, d’autres la
touche Pi de la calculatrice -> discussion possible sur
valeur exacte/valeur approchée
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Pour « L’humanité en boîte », il faut savoir calculer une
racine carrée, puis cubique (si c’est trop difficile, on peut
supprimer cet exercice)
Il y a un travail possible autour des différents arrondis
possibles et des notations appropriées pour différencier
valeur exacte et approchée
Il y a un travail nécessaire autour des changements
d’unités
On peut discuter de la façon d’effectuer les calculs « en
cascade », soit en arrondissant à chaque étape (avec une
propagation des erreurs), soit en essayant d’obtenir le
résultat le plus proche possible de la valeur exacte
Discussions recommandées aussi autour des données
choisies, des résultats trouvés et des situations explorées …
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Proposition(s) de
déroulement
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
On peut donner les constantes ou demander aux élèves de
les chercher (tables, libres, Internet, …).
165
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Prolongements
possibles
Ajouter des exercices similaires avec des très petits
nombres -> travail sur les puissances négatives ; selon le
niveau des élèves, cela pourrait alors devenir une activité
de découverte.
Possible également de continuer avec d’autres bases, ou
avec des puissances fractionnaires.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 17)
Ce que l’élève doit avoir retenu
puissances entières positives : définition, manipulations, propriétés
les différentes écritures possibles pour les puissances avec la calculatrice
et leur sens : 10 ^ 9 ou 1 EE 9 (écriture scientifique)
différence entre valeur exacte et valeur approchée ; notations appropriées
différents arrondis pour les valeurs approchées
modélisation
changements d’unités : de temps, de longueur, d’aire, de volume, …
la façon d’effectuer les calculs si possible sans étape intermédiaire pour
minimiser la propagation d’erreurs
racines carrées et cubiques : définitions, propriétés
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
166
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 18 « Quelle période ! »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Quelle période !
Sous-titre
Déterminer la période – parfois très longue ! - de nombres
rationnels simples
Degré(s) concerné(s)
10PO/11PO – toutes filières
Durée estimée
1 ou 2 périodes de 45 minutes
Résumé
Il s’agit de trouver la période de nombres rationnels.
Parfois, elle est évidente, d’autres fois, elle est un peu plus
compliquée mais la calculatrice la donne sans difficultés.
Par contre, dans d’autres cas encore, correspondant à des
fractions qui peuvent être simples - par exemple 3 - la
17
période est très longue, et même la machine ne permet pas
de l’obtenir immédiatement. Comment faire alors ?
Contexte d’usage de
la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Fractions - Nombres rationnels – Lien entre les deux
Prérequis
Calcul de fraction
Période
Division euclidienne avec reste
Algorithme de la division de deux entiers
Mots-clés
fractions - nombre rationnel – période - division
euclidienne avec reste
Source
Jean-Marie Delley
167
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 18)
1. Quelle est la période de 2 ?
3
2. Que répond la machine lorsqu’on lui demande de calculer 2 ? Interpréter le résultat.
3
3. Quelle est la période de 4 ?
7
4. On s’intéresse maintenant à la période de 3
17
a. Quelle est la réponse de la machine ?
b. Comment expliquer que l’on trouve une deuxième fois le chiffre 7 sans que
cela signifie la fin de la période ?
c. Comment trouver la période de 3 ?
17
168
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 18)
1. 2 = 0,666…= 0, 6 ; sa période est donc « 6 »
3
Discussion possible sur le sens du symbole « = » dans ce contexte … (voir annexe)
2. 2 = 0,666666667
3
La calculatrice affiche les résultats avec dix chiffres et arrondit.
3. 4 = 0,571428571…= 0,571428 ; sa période est donc « 571428 »
7
4.
a.
3 = 0,176470588…= ???
17
b. On est ici confronté à une fausse idée classique : dès qu’on a trouvé une
répétition d’un chiffre dans le quotient, on peut s’arrêter car la période est
forcément trouvée. C’est vrai si le dénominateur de la fraction est un entier
<10 (voir plus bas), mais faux dans en général. Dans notre cas, il s’agit
d’effectuer la division euclidienne avec reste de 3 par 17, puis les divisions des
restes successifs par 17 jusqu’à arriver à la répétition d’un reste déjà
rencontré ; c’est seulement ainsi qu’on aura déterminé la période. Tous les
restes étant compris entre 0 et 16 (cf. la définition de la division euclidienne
avec reste – voir annexe), il y a 17 possibilités, la longueur maximale de la
période sera donc de 17.
On peut trouver deux fois le chiffre 7 dans la période car on divise par un
nombre supérieur à 9 : deux numérateurs différents peuvent donner le même
quotient (mais bien sûr pas le même reste !) lors de la division par 17 ; par
exemple, 130 : 17 donne un quotient de 7 et un reste de 13 et 120 : 17 donne
un quotient de 7 et un reste de 1 !
Cela n’est pas possible si le dénominateur est <10. Dans ce cas, les restes
seront forcément tous <10, et on ne pourra pas avoir deux dizaines différentes
(10 fois le reste précédent) qui donnent deux quotients égaux mais pas le
même reste lors de la division par ce dénominateur.
Illustration dans le cas d’un dénominateur égal à 7 :
on aurait : 10 • n = q •7 + r1 et 10 • m = q •7 + r2
c. à d. : 10• n – r1 = 10• m – r2
donc : 10• (n – m) = r2 - r1
D’où : 10 diviserait r2 - r1, avec r1 et r2 deux entiers positifs inférieurs à 10 ; ce
qui est impossible, sauf si r2 - r1 = 0, c. à d. r2 = r1
169
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
c. 3 = 0 • 17 + 3 (quotient : 0 / reste : 3)
30 = 1 • 17 + 13 (quotient : 1 / reste : 13)
130 = 7 • 17 + 11 (quotient : 7 / reste : 11)
110 = 6 • 17 + 8 (quotient : 6 / reste : 8)
80 = 4 • 17 + 12 (quotient : 4 / reste : 12)
120 = 7 • 17 + 1 (quotient : 7 / reste : 1)
10 = 0 • 17 + 10 (quotient : 0 / reste : 10)
100 = 5 • 17 + 15 (quotient : 5 / reste : 15)
150 = 8 • 17 + 14 (quotient : 8 / reste : 14)
140 = 8 • 17 + 4 (quotient : 8 / reste : 4)
40 = 2 • 17 + 6 (quotient : 2 / reste : 6)
60 = 3 • 17 + 9 (quotient : 3 / reste : 9)
90 = 5 • 17 + 5 (quotient : 5 / reste : 5)
50 = 2 • 17 + 16 (quotient : 2 / reste : 16)
160 = 9 • 17 + 7 (quotient : 9 / reste : 7)
70 = 4 • 17 + 2 (quotient : 4 / reste : 2)
20 = 1 • 17 + 3 (quotient : 1 / reste : 3) -> reste déjà trouvé -> on recommence
3 = 0 • 17 + 3 (quotient : 0 / reste : 3)
30 = 1 • 17 + 13 (quotient : 1 / reste : 13)
…
donc 3 = 0,176470588235294
17
Avec la machine, on peut accélérer un peu ce processus :
% d ! < (c.-à-d. choisir REMAINDER)
3 % ` 17 < (c.-à-d. le reste de la division de 3 par 17)
V 10
%d!<
% i % ` 17 <
V 10
etc. …
peut encore être amélioré via la programmation des touches n et o
170
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 18)
Certains élèves auront peut-être paramétré leur machine en
mode calcul de fraction !
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Il faut être attentif à ce qui ce passe en fin d’affichage de la
machine, car c’est là qu’elle arrondit
Pour effectuer une division euclidienne avec reste, on peut
procéder totalement à la main, sous-traiter la liste des
calculs à la machine, ou utiliser la touche division
euclidienne de la machine
On peut aborder ce type de problème de façon assez
théorique (voir la correction); selon le niveau des élèves et
les objectifs, on développera cet aspect ou on restera plus
« calculatoire »
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Travailler de façon semblable avec d'autres fractions.
Prolongements
possibles
Quantité de développements possibles avec des exercices
de théorie des nombres.
Parler de nombres irrationnels – démontrer l’irrationalité
de racine de 2.
Possibilité de faire le lien avec la division polynomiale.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
171
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 18)
Ce que l’élève doit avoir retenu
Fraction : définition
Nombre rationnel : définition
Lien entre fraction et nombre rationnel
Division euclidienne avec reste
Algorithme de division de deux entiers
Recherche de périodes
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
172
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 19 « A la recherche de
8
»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
A la recherche de 8
Sous-titre
Approximations de 8 avec une calculatrice
Degré(s) concerné(s)
10PO-11PO / toutes filières
Durée estimée
1 à 3 périodes de 45 minutes
Résumé
Travail autour de 8 pour faire prendre conscience de
l’existence d’un développement décimal complexe ni fini
ni périodique, d’où la difficulté de représenter ce type de
nombre avec la calculatrice, mais aussi de le concevoir.
Cette activité peut « naturellement » être suivie de
l’activité « De simples racines »
Contexte d’usage de
la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Racines carrées : définition, manipulation avec une
machine
Développement décimal fini, infini périodique ou pas
Distinguer une valeur exacte d'une valeur approchée
Développer le regard critique à porter sur ses résultats
(fournis par une machine mais aussi en général)
Prérequis
Racines carrées
Développements décimaux
Approximations
Mots-clés
racine carrée, développement décimal, approximation
Source
Base : IUFM Paris (
http://maths.creteil.iufm.fr/second_degre/
module_info/calculatrice_college.htm#_Toc21856478)
Adaptation Jean-Marie Delley
173
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 19)
1. Calculer 8 avec votre machine et noter le résultat sur une feuille.
Appelons x ce nombre.
2. Introduire ce nombre x à la calculatrice et calculer x2.
Que peut-on déduire de ce résultat sur la fiabilité du résultat obtenu en a) ?
3.
8 est-il égal à 2 ? Justifier.
4.
8 est-il égal à 3 ? Justifier.
5. Trouver un encadrement de 8 au millième près (c’est-à-dire deux nombres a et b tels
que a < 8 < b et b – a ≤ 10–3.
6. Quel est l'encadrement le plus précis possible que fournit votre machine ?
7. Effectuer les opérations suivantes avec la machine :
calculer la racine carré de 8, puis directement mettre le résultat au carré.
Que conclure du résultat fourni par la machine ?
8. Finalement, quelle est la valeur exacte de 8 ?
174
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé
1. On obtient x = 2,828427125
2. Calculer x2 = (2,828427125)2 = 8,0000000001
On peut en déduire que 8 ≠ 2,828427125
3. La définition de 8 est : 8 est un nombre positif dont le carré est égal à 8
Argument : 22 = 4, donc 22 ≠ 8, donc 8 ≠ 2.
4. La définition de 8 est : 8 est un nombre positif dont le carré est égal à 8
Argument : 32 = 9, donc 32 ≠ 8, donc 8 ≠ 3.
5. La machine donne 8 ≅ 2,828427125.
On en déduit que : 2,828 < 8 < 2,829.
Remarque : on utilise bien sûr ici le fait que la fonction racine carrée est continue et
strictement croissante, mais il n’est probablement pas nécessaire d’en parler aux
élèves pour qui cette déduction devrait être « naturelle ».
6. La machine donne 8 ≅ 2,828427125.
On en déduit que : 2,82842712 < 8 < 2,82842713.
Même remarque que ci-dessus.
7. On obtient 8 !
La machine conserve pour ses calculs plus de décimales que pour l’affichage. Elle ne
tombe donc pas dans le piège qu’on lui a tendu et peut proposer : ( 8 )2 = 8
8. Pour un nombre de cette nature, un irrationnel, toute écriture sous forme décimale
finie est forcément une approximation de la valeur exacte, puisque celle-ci est infinie
non périodique.
Si veut manipuler 8 en conservant la valeur exacte, on est donc contraint de
travailler avec la représentation symbolique 8 ; ceci est impossible avec des
calculatrices simples, mais peut se faire avec d’autres types de machines ou
d’ordinateurs !
175
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 19)
Des élèves auront probablement de la peine à manipuler
les racines carrées avec la machine -> prévoir une révision
de cette fonction de base si nécessaire
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Il n’est pas évident de bien comprendre la différence entre
les exercices a)-b) et l’exercice g). Être attentif que les
élèves comprennent les énoncés
La définition mathématique de la racine carrée est souvent
mal connue -> à retravailler, en particulier en insistant sur
le fait qu’une racine carrée de a est le nombre réel positif b
tel que b2 = a.
Tout un travail possible autour des différentes
approximations possibles
Lien possible avec la démonstration de l’irrationalité
de 8 (ou de 2 )
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Cette activité peut « naturellement » être directement
suivie de l’activité « De simples racines »
Prolongements
possibles
Travailler de façon semblable avec d'autres nombres
irrationnels (autres racines carrées ou cubiques, Pi, …)
Poursuivre la découverte des irrationnels
Poursuivre la réflexion sur les limites du calcul avec une
machine (quelle qu’elle soit !) -> voir l’activité « Limitesmachine »
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
176
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 19)
Ce que l’élève doit avoir retenu
racine carrée : définition
nombres rationnels vs irrationnels
développements décimaux finis, infinis périodiques ou infinis non
périodiques
irrationalité des racines carrées (sauf pour les racines de carrés parfaits)
approximation, estimation, encadrement, arrondis
statut d’un nombre irrationnel dans une machine
selon le niveau des élèves : démonstration de l’irrationalité de 8 (ou
de 2 )
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
177
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 20 « De simples racines»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
De simples racines
Sous-titre
Manipulations de racines carrées avec et sans calculatrice
Degré(s) concerné(s)
10PO-11PO / toutes filières
Durée estimée
2 à 3 périodes de 45 minutes
Résumé
On utilise la calculatrice pour conjecturer un résultat
autour de racines carrées, puis on manipule ces nombres
algébriquement pour démontrer la conjecture.
Cette activité suit « naturellement » l’activité « A la
recherche de 8 ».
Contexte d’usage de
la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques
visés
Racines carrées : définition, manipulation avec une
machine, manipulation algébrique
Nombres irrationnels, développement décimal fini, infini
périodique ou pas
Distinguer une valeur exacte d'une valeur approchée
Conjecturer d'après des observations calculatoires
Démontrer une conjecture simple
Développer le regard critique à porter sur ses résultats
(fournis par une machine mais aussi en général)
Prérequis
Racines carrées
Développements décimaux, approximations
Connaître et avoir pratiqué les concepts de conjecture et de
démonstration (si ce n’est pas le cas, on peut utiliser cette
activité pour introduire ces concepts)
Mots-clés
racine carrée, nombre irrationnel, approximation, calcul
algébrique, conjecture, démonstration
Source
Base : IUFM Paris (
http://maths.creteil.iufm.fr/second_degre/
module_info/calculatrice_college.htm#_Toc21856478)
Adaptation Jean-Marie Delley
178
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 20)
1. Calculer avec votre machine 8 - 7 , puis
1 .
8+ 7
•
Quelle fiabilité ont ces résultats ?
•
Que peut-on conjecturer quant à la comparaison de ces deux nombres ?
•
Peut-on démontrer cette conjecture ?
2. Peut-on généraliser la conjecture établie en 1. et la démontrer.
179
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 20)
8 - 7 ≅ 0.182675813 et
1.
•
1
8+ 7
≅ 0.182675813
Comme le calcul effectué par la machine est approché, on ne peut être sûr que
ces deux nombres soient égaux, il ne s’agit donc que d’une conjecture
•
Conjecture :
•
Démonstration :
8- 7=
1
8+ 7
o
u
= ( 8 - 7 ) 8+ 7
8+ 7
8- 7
( 8 − 7)( 8 + 7)
1⋅( 8 + 7)
=
2
8 − 7
=
1
8+ 7
⇔ ( 8 - 7 )( 8 + 7 )= 1
1
( 8+ 7)
?
8+ 7
8+ 7
8+ 7
8− 7
1
=
8- 7=
⇔ ( 8 - 7 )( 8 + 7 ) = 1
( ) ( )
2
2
2
⇔( 8 − 7 =1
8+ 7
⇔8–7=1
= 8− 7
8+ 7
⇔1=1
1
=
8+ 7
2. Conjecture : Soit n un entier positif. Alors on a : n +1 - n =
1
n +1+ n
3. Démonstration
n +1 - n
=
=
:
= ( n +1 - n ) n +1+ n
n +1+ n
( n +1− n)( n +1+ n)
1⋅( n +1+ n)
2
=
=
n +1+ n
n +1+ n
n +1− n
1
n +1 − n
2
n +1 + n
(n +1)− n
1
=
n +1+ n
n +1+ n
Remarque : la démonstration est aussi valable pour des valeurs de n non entières ( n∈R*+ )
180
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 20)
La définition mathématique de la racine carrée est souvent
mal connue -> à retravailler, en particulier en insistant sur
le fait qu’une racine carrée de a est le nombre réel positif b
tel que b2 = a.
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Les concepts de conjecture et de démonstration ne sont pas
anodins ; soit ils ont déjà été travaillés et les élèves
peuvent comprendre l’énoncé, soit on peut utiliser cette
activité pour introduire ces concepts auprès des élèves en
discutant l’activité directement avec tous les élèves en
classe.
Les élèves peuvent avoir de la difficulté à introduire
1
à la calculatrice.
7 et encore plus
8+ 7
8-
Lien possible avec la démonstration de l’irrationalité de 8
(de 2 , 7,...)
Le passage à la forme algébrique (généralisation) peut
également poser des difficultés spécifiques. Là encore, soit
les élèves y sont déjà habitués, soit on peut travailler avec
eux ce passage à partir de cette activité
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
181
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Cette activité peut « naturellement » être précédée par
l’activité « A la recherche de 8 »
Prolongements
possibles
Travailler de façon semblable avec d'autres calculs
apparemment complexes mais dont le résultat est
finalement très simple
Poursuivre le travail de manipulation algébrique de racines
Poursuivre le travail de conjecture et de démonstration
Montrer les limites du calcul avec une machine (quelle
qu’elle soit !)
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse (activité 20)
Ce que l’élève devrait avoir retenu
racine carrée : définition
propriétés des racines carrées
nombres rationnels vs irrationnels
développements décimaux finis, infinis périodiques ou infinis non
périodiques
irrationalité des racines carrées (sauf pour les racines de carrés parfaits)
multiplication par le conjugué
manipulations algébriques de racines
statut d’un nombre irrationnel dans une machine
selon le niveau des élèves : démonstration de l’irrationalité de 8 (ou
de 2 )
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
182
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 21 « Premier de cordée »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Premier de cordée
Sous-titre
Étude de la valeur de l’expression n2 + n + 41 pour des n
successifs.
Degré(s) concerné(s)
10PO/11PO – toutes filières
Durée estimée
1 ou 2 périodes de 45 minutes
Résumé
Étude de la valeur de l’expression n2 + n + 41 pour des n
successifs. Toutes les premières valeurs de n donnent des
résultats premiers, ce qui amène à conjecturer que n2 + n +
41 est premier pour toute valeur de n. Cela est faux ! Il ne
suffit pas d’exhiber des exemples pour démontrer une
conjecture !
Contexte d’usage de
la calculatrice
APPROFONDIR
Contenus et
compétences
mathématiques visés
Nombres premiers
Utilisation d’un tableau de valeurs pour organiser des
résultats
Conjecture
Statut du vrai et du faux en mathématique, contre-exemple,
démonstration
Conjecturer d'après des observations calculatoires
Démontrer une conjecture simple
Prérequis
Nombres premiers
Calcul algébrique
Mots-clé
nombre premier – conjecture – contre-exemple –
démonstration - théorème
Source
Classique
Adaptation : Jean-Marie Delley
183
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève(activité 21)
On considère l’expression n2 + n + 41, pour n un entier naturel.
1. Calculer la valeur de cette expression pour n = 1, 2, 3, 4 et 5.
Noter les résultats dans le tableau ci-dessous :
n
1
2
3
4
5
n2 + n + 41
2. Que pouvez-vous observer quant aux propriétés qu’ont ces nombres ?
3. Énoncer une conjecture à ce sujet.
4. Poursuivre l’exploration avec d’autres nombres pour infirmer ou conforter votre
conjecture.
5. Cette conjecture est-elle vraie ? Justifier.
Remarque : si on veut éviter de parler de la notion de nombre premier, ou qu’on trouve
difficile de demander aux élèves de conjecturer, on peut remplacer cet énoncé par
celui-ci :
Affirmation : Soit n un entier naturel. Alors tous les nombres de la forme n(n+1) sont
divisibles soit par 3, soit par 5, soit par 7.
184
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 21)
On considère l’expression n2 + n + 41, pour n un entier naturel.
1. Calculer la valeur de cette expression pour n = 1, 2, 3, 4 et 5.
Noter les résultats dans le tableau ci-dessous :
n
n2 + n + 41
1
43
2
3
47
53
4
61
5
71
Remarque : on peut remplir ce tableau en utilisant la calculatrice de façon « classique »,
mais aussi en étant plus performant dans cette utilisation : en la « programmant » avec les
opérateurs constants OP1 et OP2
2. Ces nombres sont tous premiers.
3. Conjecture : Soit n un entier naturel, alors n2 + n + 41 est un nombre premier.
4.
n
n2 + n + 41
6
83
7
8
97
113
9
131
10
151
5. Elle est fausse !
Contre-exemple : si n = 41, alors n2 + n + 41 = 412 + 41 + 41 = 41• (41+1+1) = 41• 43
est n’est donc pas premier.
Remarque : il y a aussi 40 comme contre-exemple qui précède! Et les contre-exemples
qui suivent ne sont pas seulement les multiples de 41. Cependant il peut être pertinent
de montrer aux élèves que si on trouve un nombre p pour lequel le nombre p2 + p + 41
est non premier, alors tous les multiples de p donnent aussi un nombre composé pour
cette expression.
185
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 21)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Il est difficile d’anticiper le fait que les élèves découvrent
ou non la propriété de primalité qu’on essaye de mettre en
évidence ; si personne ne le fait, donner quelques éléments
pour qu’ils pensent à cette caractéristique potentielle
fondamentale de nombres entiers
Les concepts de conjecture, contre-exemple et de
démonstration ne sont pas anodins ; soit ils ont déjà été
travaillés et les élèves peuvent comprendre l’énoncé, soit
on peut utiliser cette activité pour introduire ces concepts
auprès des élèves en discutant l’activité directement avec
tous les élèves en classe.
L’utilisation d’un tableau pour résumer des calculs est un
outil méthodologique souvent utile.
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Propriétés des nombres premiers
Prolongements
possibles
Algorithmes pour la recherche de primalité, pour la
factorisation
Lien possible avec la cryptographie
Autres conjectures, vraies ou fausses
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
186
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 21)
Ce que l’élève doit avoir retenu
• Nombre premier : définition
• Utilisation d’un tableau de valeurs pour organiser des résultats
• Statut du vrai et du faux en mathématique, contre-exemple, démonstration
• Conjecture – contre-exemple – démonstration - théorème
• Conjecturer d'après des observations calculatoires
• Démontrer une conjecture simple
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
187
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 22 « Où sont les lapins ?»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Où sont les lapins ?
Sous-titre
Étude de propriétés d’une suite de nombres (du type
Fibonacci).
Degré(s) concerné(s)
10PO-11PO – toutes filières
Durée estimée
90 minutes
Résumé
Étude de suites du type a , b , a+b , a+2b , 2a+3b , 3a+5b
pour des a et b différents. Pour quels n (n-1) est-il un
diviseur de la somme des n premiers termes de la suite ?
Suites possibles vers Fibonacci (d’où les lapins ! – voir
annexe), le nombre d’or, les liens avec la nature …
Type d’usage de la
calculatrice
EXECUTER
Contenus
mathématiques visées
Nombres entiers, diviseurs, multiples
Suite de nombres entiers
Abstraction mathématique
Généralisation algébrique
Démarche mathématique : conjecture, démonstration
Prérequis
Calcul numérique, diviseurs, multiples
Calcul algébrique
Mots-clé
Nombre entier – suite - Fibonacci – conjecture –
démonstration
Source
Classique
Adaptation : Jean-Marie Delley
188
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 22)
1. Choisir deux nombres entiers a et b quelconques. (Choisissez deux .. de votre choix)
2. Calculer leur somme.
On a une suite de trois nombres a, b et a+b.
3. Le quatrième nombre de cette suite est obtenu comme somme des deux précédents (le
troisième et le deuxième), puis le cinquième, comme somme du troisième et du
quatrième, et ainsi de suite jusqu’au dixième terme de la suite. Calculer-les tous.
4. Comparer la somme des six premiers nombres de la suite (termes) des nombres avec le
cinquième terme.
Comparer votre remarque à celle de vos voisins.
5. Énoncer une conjecture qui généraliserait ce qui a été observé en 4. pour la somme des
six premiers termes.
6. Peut-on démontrer cette conjecture ?
7. Comparer la somme des dix premiers nombres de la suite nombres avec le neuvième.
La propriété observée en 4. est-elle toujours valable ?
8. La somme des dix premiers nombres est-elle divisible par un autre des n premiers
termes de la suite ?
9. Pourquoi ce titre bizarre pour cet exercice ?
189
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 22)
1. Par exemple a = 4 et b = 7.
2. a+b = 11.
La suite est : 4, 7, 11.
3. 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322
4. La somme des six premiers nombres = 4+7+11+18+29+47 = 116
le cinquième terme = 29
On observe que 29 est un diviseur de 116 (116 = 4*29).
Quel que soit le choix de a et b initial, on observe la même propriété.
5. Conjecture : Dans une suite du type a , b , a+b , a+2b , 2a+3b , 3a+5b , 5a+8b , …, où
a et b sont des entiers, la somme des six premiers termes est toujours un multiple du le
cinquième terme.
6. La suite générale : a , b , a+b , a+2b , 2a+3b , 3a+5b , 5a+8b , …
La somme des six premiers termes = 8a +12b = 4(2a + 3b).
Il s’agit bien d’un multiple du cinquième terme 2a + 3b.
7. La série correspondante (le nième terme de la série est la somme des n premiers
termes de la suite) :
terme
n°
1
2
3
4
5
6
7
…
suite
a
b
a+b
a+2b
2a+3b
3a+5b
5a+8b
…
série
a
a+b
2a+2b
3a+4b
5a+7b
8a+12b
13a+20b
…
terme
n°
8
9
10
11
12
13
14
…
suite
8a+
13b
13a+
21b
21a+
34b
34a+
55b
55a+
89b
89a+
144b
144a+
233b
…
série
21a+
33b
34a+
54b
55a+
88b
89a +
143b
144a+
232b
233a+
377b
377a+
610b
…
Non !
8. On observe que somme des 10 premiers termes 55a+88b = 11(5a + 8b) non par le
9ème, mais par le 7ème !
On observe par exemple aussi que 2a + 2b = 2(a+b), donc que la somme des 3
premiers termes est toujours divisible par le 3ème.
9. Poursuivre par une présentation de Fibonacci (d’où les lapins !), le nombre d’or, les
liens avec la nature …(voir annexe)
190
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 22)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches possibles,
difficultés, relances,
mise en commun)
Bien faire comprendre que chaque élève ou groupe d’élève
va choisir des a et b différents pour commencer la suite, et
qu’on pourra alors comparer les résultats de chacun
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Prolongements
possibles
Étude des suites de Fibonacci et de leur propriétés, en
particulier il est possible de démontrer que dans le cas
particulier où a=b=1, alors Fkn est un multiple de Fn.
Liens avec le nombre d’or.
Voir le site de la Semaine des Mathématiques 2005 :
http://wwwedu.ge.ch/cem
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
191
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 22)
Ce que l’élève doit avoir retenu
Multiples, diviseurs, suite, série.
Conjecture – contre-exemple – démonstration - théorème
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
192
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 23 « Appliquons la trigo ! »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
Durée estimée
Résumé
Type d’usage de la
calculatrice
Contenus
mathématiques
visées
Prérequis
Mots-clé
Source
Appliquons la trigo !
Choix d’exercices d’application de la trigonométrie dans le
triangle rectangle liés à des situations « réelles »
10PO/11PO – toutes filières concernées par
l’enseignement de la trigonométrie dans le triangle
rectangle
2, 3 ou 4 périodes de 45 minutes
Choix d’exercices d’application de la trigonométrie dans le
triangle rectangle liés à des situations « réelles »
EXECUTER, APPROFONDIR
Modélisation
Trigonométrie dans le triangle rectangle : exercer,
approfondir
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Connaissance de l’utilisation des fonctions
trigonométriques avec la calculatrice
Trigonométrie - triangle rectangle - modélisation
Trigonométrie avec géométrie analytique, Swokowski et
Cole, Ed. LEP
Adaptation : Serge Picchione et Jean-Marie Delley
193
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 23)
Exercices préparatoires : Connaissance des touches trigonométrie de la calculatrice
1. Calculer le sinus de 63 degrés et donner un résultat arrondi au millième.
2. Calculer le cosinus de 25 degrés et donner un résultat arrondi au centième.
3. Calculer la tangente de 25 degrés et donner un résultat arrondi au centième.
4. Quel est l’angle compris entre 0 et 90 degrés, dont le cosinus vaut 0.2015 ?
5. Quel est l’angle compris entre 0 et 90 degrés, dont la tangente vaut 2.2015 ?
194
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice 1
Quand le sommet de la tour Eiffel est vu d’une distance de 60 m de sa base, l’angle
d’élévation est de 79,2°. Estimer la hauteur de la tour Eiffel au mètre près.
Exercice 2
On doit percer un tunnel pour une nouvelle autoroute à travers une montagne de 3225 m
de haut. A une distance de 2000 m de la base de la montagne, l’angle d’élévation est de
36°. Sur l’autre face, l’angle d’élévation à une distance de 1500 m de la base est de 60°.
Calculer la longueur du tunnel.
Exercice 3
La voûte d'un tunnel est un arc de cercle dont l'angle au centre vaut 230°. Le rayon du
cercle intérieur est de 5 m et la longueur du tunnel de 2800 m.
Calculer le volume de pierre en m3,
nécessaire au remblai du tunnel.
230°
•
r
Revêtement en béton
Chaussée en asphalte
Remblai en pierre
Coupe transversale du tunnel
Exercice 4
Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont 3 pyramides droites à base carrée.
a) Calculer en fonction (à l'aide) de a et θ :
α
a
y
a.1) l’aire A des quatre faces triangulaires.
a.2) le volume V de la pyramide
(rappel : volume = aire de la base × hauteur / 3).
x
b) Calculer l’aire des quatre faces triangulaires, et le volume de la pyramide de Khéops :
a = 187 m et θ = 40°.
195
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice 5
En considérant que la Lune met 15 jours pour passer du premier quartier PQ au dernier
quartier DQ, et qu’elle en met 14 pour passer du dernier au premier quartier, déterminer
la distance Terre-Soleil .(Distance Terre-Lune = 384'400 km.)
Lun
S
Lune
Exercice 6
Vous habitez au 2ème étage de l’immeuble dessiné ci-dessous. Actuellement, depuis la
fenêtre, vous voyez le lac dans son intégralité. La loi autorise votre voisin à faire pousser
sa haie de thuyas à une hauteur maximale de 2 [m] de haut.
Lorsque celle-ci aura atteint la hauteur maximale autorisée par la loi, risque-t-elle de
cacher une partie du lac ? Justifier votre raisonnement par un schéma et des calculs.
62°
7m
78°
haie
10 m
Lac
196
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 23)
1. % B <63<
Réponse : 0.891
Si on veut un arrondi par la machine :
%d"<
choisir : round
%i%`3<
réponse : 0.891
En un seul calcul :
%d"<% B < 63) % ` 3 <
2. %d"<% B "" < 25) % ` 2 <
Réponse : 0.91
3. %d"<% B """" < 25) % ` 2 <
Réponse : 0.47
4. % B """ < .2015
Réponse : environ 78,4 degrés
5. % B """"" < 2.2015
Réponse : environ 65,6
Correction exercice 1
tan(79, 2°) =
h
⇔ h = 60 ⋅ tan(79, 2°)
60
⇔ h ≅ 314,53 m
T
Correction exercice 2
Coupe latérale du tunnel
A
36°
2000 m
d1
R
197
d2
60°
1500 m
B
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
tan(36°) =
3225
2000 + d1
tan(60°) =
et
3225
d 2 + 1500
⇒ ( 2000 + d1 ) ⋅ tan(36°) = 3225
⇒ (1500 + d 2 ) ⋅ tan(60°) = 3225
⇒ d1 ⋅ tan(36°) + 2000 ⋅ tan(36°) = 3225
⇒ d 2 ⋅ tan(60°) + 1500 ⋅ tan(60°) = 3225
⇒ d1 =
3225 − 2000 ⋅ tan(36°)
tan(36°)
⇒ d1 ≅ 2438,8 m
⇒ d2 =
3225 − 1500 ⋅ tan(60°)
tan(60°)
⇒ d2 ≅
626.9
≅ 362 m
1.732
Finalement, la longueur du tunnel est d1 + d 2 ≅ 2800 m
Correction exercice 3
α= 230°
360° − 230°
2β + 230° = 360° ⇒ β =
= 65°
2
•
r = 5m
r = 5m
β + γ + 90° = 180° ⇒ γ = 90° − β = 25°
A
b
Trigo :
sin ( γ ) =
h1
⇒ h1 = r ⋅ sin ( γ ) = 5 ⋅ sin ( 25° ) ≅ 2,11 m
r
cos(γ) = b/r ⇒ b = r cos(γ) = 5 cos(25°) ≅ 4,53m
Aire du segment circulaire = aire du secteur de disque (rayon r et angle 2β) – aire du
triangle ABC :
=
2 ⋅ b ⋅ h1 130°
130°
2 ⋅ 4,53 ⋅ 2,11
≅ 18, 79 m 2
⋅ π ⋅ r2 −
=
⋅ π ⋅ 52 −
360°
2
360°
2
Volume du remblai : largeur du tunnel
aire du segment circulaire :
2800x18,79 ≅ 52601 m3
198
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice 4
a.1)
Aire d’une face (triangulaire) =
a⋅x
2
θ
x
Trigonométrie : sin(θ ) = 2
a
⇒
a
y
x
= a ⋅ sin(θ )
2
x
2
⇒ x = 2 ⋅ a ⋅ sin(θ )
Donc l’aire d’une face (triangulaire) =
a ⋅ 2 ⋅ a ⋅ sin(θ )
= a 2 ⋅ sin(θ )
2
Finalement : Aire totale (4 faces triangulaires) = 4 ⋅ a 2 ⋅ sin(θ )
a.2)
aire base ⋅ hauteur x ⋅ x ⋅ y x 2 ⋅ y
=
=
Volume de la pyramide =
3
3
3
Trigonométrie : cos(θ ) =
y
⇒ y = a ⋅ cos(θ )
a
( 2 ⋅ a ⋅ sin(θ ) )
=
Finalement : Volume de la pyramide :
⋅ a ⋅ cos(θ )
3
=
=
2
4 ⋅ a 2 ⋅ sin 2 (θ ) ⋅ a ⋅ cos(θ )
3
4 ⋅ a 3 ⋅ sin 2 (θ ) ⋅ cos(θ )
3
b) Si a = 187 m et
Volume ≅ 2′759′640 m3 .
θ = 40°
(Kheops) alors Aire totale ≅ 89′910, 6 m 2 ,
199
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice 5
• On cherche α :
180° + 2 ⋅ α ° 15
=
⇔
360°
29
(180° + 2 ⋅ α ) ⋅ 29 = 15 ⋅ 360°
⇔ 5220 + 58 ⋅ α ° = 5400
⇔ 58 ⋅ α ° = 180 ⇔ α =
180
≅ 3,103°
58
• On cherche TS :
sin(α ) =
TL
TS
⇔ TS =
TL
384′000
≅
sin(α ) sin(3,103°)
⇔ TS ≅ 7′101′ 278 km
Remarque :
Aristarque de Samos (310-230 av. J.-C.) fut le premier à proposer une méthode
rationnelle permettant de déterminer la distance Terre-Soleil. Il avait observé que la durée
séparant le premier et le dernier quartier était différente de la durée séparant le dernier et
le premier quartier.
La méthode d’Aristarque de Samos donne une idée de l’éloignement du Soleil (environ 7
millions de km) avec une erreur très importante puisque la distance réelle est de 149,6
millions de km. Son erreur vient de l’estimation des durées entre deux quartiers de Lune,
car cette mesure est particulièrement difficile, l’écart entre ces deux durées étant très
faible.
Toutefois, Aristarque a réussi à montrer que le Soleil est beaucoup plus éloigné de nous
que la Lune.
200
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice 6
x
7m
10 m
7-x = y
On cherche x :
tan(62o ) =
10
10
⇔x=
= 5,31 m
x
tan(62o )
On cherche y :
y =7-x = 7 - 5,31 = 1.68 m
y = 1,69 m est la hauteur maximum que
peut atteindre la haie avant de cacher une
partie du lac. Donc 2 m c'est trop !!
⇔
62°
β
⎛ 5 ⎞
= tan −1 ⎜
⎟
2
⎝ 12,53 ⎠
⎛ 5 ⎞
⇔ β = 2 ⋅ tan −1 ⎜
⎟ ≅ 43,5°
⎝ 12,53 ⎠
201
haie
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 23)
Attention : l’idée ici est de travailler uniquement avec la
trigonométrie dans le triangle rectangle ; les élèves ne
connaissent en principe que les sin cos et tan des angles
compris entre 0° et 90°, ni les radians.
On suppose aussi qu’ils savent utiliser les touches sin, cos
et tan ainsi que sin-1, cos–1 et tan–1 de leur machine.
Si cela n’est pas le cas, il faudrait faire précéder cette
activité d’exercices spécifiques préparatoires, par
exemple :
- calculer sin, cos et tan d’angles entre 0 et 90°
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches
possibles, difficultés,
relances, mise en
commun)
- explorer les théorèmes de trigonométrie de base avec la
calculatrice : calculer sin2(x)+ cos2(x) et contrôler que tout
le monde trouve bien 1 pour plusieurs valeurs de x, idem
pour sin(x) / cos(x) = tan(x))
- calculer sin-1, cos–1 et tan–1 pour des valeurs entre 0 et 1;
essayer pour des valeurs supérieures à 1
Attention : certains élèves pourraient avoir paramétré leur
machine avec les radians comme mesure d’angle …
On peut également travailler sur la différence entre un
calcul effectué en une seule opération, avec les mémoires,
ou en arrondissant à chaque étape ce qui provoque une
propagation des erreurs.
Travailler des exercices de modélisation amène un niveau
de complexité supplémentaire pour les élèves, mais peut en
revanche donner du sens.
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
202
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Prolongements
possibles
Comment la calculatrice fait-elle pour calculer des sin-costg ? On peut poser la question pour relever que ce n’est pas
trivial … Pour ce qui est des réponses à donner, on laissera
au maître le choix d’en parler de façon informative ou pas
selon le niveau et le degré d’intérêt de ses élèves.
Contrairement à ce qui est souvent dit, ce n’est pas qu’une
question de développements en série, voir par exemple
http://www.trigofacile.com/maths/trigo/calcul/cordic/cordi
c.htm pour des explications détaillées.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
203
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercices supplémentaires (activité 23)
Appliquons la trigo ! – Exercices de développement
Exercice D1: Coordonnées géographiques
Pour repérer un point sur le globe terrestre, on utilise des coordonnées (nombres)
définies par deux mesures d’angle : (voir un atlas géographique mondial)
o la longitude Est (noté E) ou Ouest (noté W) est repérée par rapport au méridien
de Greenwich.
o la latitude Nord (noté N) ou Sud (noté S) est repérée par rapport à l’Équateur.
Exemple : Le point P du dessin ci-contre a pour longitude 40°E et pour latitude 80°N.
a) Un point M à la surface de la Terre, assimilée à une
sphère de 6370 km de rayon, est sur un parallèle
correspondant à la latitude 50°N.
H est le centre du cercle correspondant à ce parallèle.
Quelle est la longueur du rayon [HM] de ce parallèle ?
Quelle est la longueur de ce parallèle ?
b) Un point A a pour latitude 60°N.
Quel est le rayon r du parallèle passant par A et quelle est
la longueur de ce parallèle ?
(On prendra 6370 km pour rayon de la Terre)
204
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
c) Oslo (en Suède) et Saint-Pétersbourg (en Russie) ont pour coordonnées géographiques
respectivement 11°E, 60°N et 20°E, 60°N. Quelle est la distance à la surface de la Terre
entre ces deux villes le long du 60ème parallèle Nord ?
Exercice D2
La première figure représente un satellite de communication sur une orbite équatoriale,
c’est-à-dire sur une orbite à peu près circulaire dans le plan déterminé par l’équateur
terrestre.
Si le satellite tourne autour de la terre à une altitude
a = 35’700 km, sa vitesse angulaire est identique à la
vitesse de rotation de la terre ; pour un observateur
situé sur l’équateur, le satellite paraît stationnaire ;
on dit alors que son orbite est synchrone.
a) En posant R = 6’400 km pour le rayon de la terre,
déterminer quel pourcentage de la longueur de l’équateur est accessible au signal de ce
satellite.
b) La deuxième figure montre trois satellites
disposés à distances égales sur des orbites
équatoriales synchrones.
Déterminer θ pour
expliquer pourquoi tout point de l’équateur
est à portée de signal d’au moins un des trois satellites.
La figure ci-dessous montre la zone desservie par un satellite de communication en orbite
autour d’une planète de rayon R à une altitude a. La portion de la surface de la planète
couverte par le satellite est une calotte sphérique de hauteur d dont l’aire est A = 2πRd.
c) Exprimer d en fonction de R et θ .
d) Estimer le pourcentage de la surface de la Terre qu’un seul satellite peut couvrir,
s’il est sur une orbite équatoriale synchrone.
205
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice D3
a) Un polygone à n côtés est inscrit dans un cercle de rayon r. Trouver le périmètre et
l'aire du polygone.
b) La compagnie qui vous emploie fabrique des colonnes en béton. Ces colonnes sont
creuses pour en diminuer la masse. Trois modèles sont offerts : régulier, fort et extra-fort.
Ces piliers sont produits en longueurs de 10 m. Calculer le volume de béton pour couler
une colonne de chaque modèle.
Exercice D4
En observant le sommet d’un gratte-ciel depuis le sommet d’un bâtiment haut de 15 m,
l’angle d’élévation est de 59°.
Si on observe ce même sommet au niveau de la route, l’angle d’élévation est de 62°.
a) Faire un schéma puis calculer la hauteur du gratte-ciel.
b) Calculer la distance la plus courte qui sépare les sommets des deux bâtiments.
c) Y a-t-il d'autres moyens plus simples pour calculer la hauteur du gratte-ciel ?
206
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice D1
a) Rayon R = 6370 km
sin(40°) =
HM
R
⇒ HM = R ⋅ sin(40°) = 6370 ⋅ sin(40°)
⇒ HM = 4094,56 km
Périmètre (longueur du parallèle) = 2 ⋅ π ⋅ HM = 2 ⋅ π ⋅ 4094,56 ≅ 25′713,84 km
b) Rayon R = 6370 km
sin(30°) =
r
R
⇒ r = R ⋅ sin(30°) = 6370 ⋅ sin(30°)
⇒ r = 3185 km
Longueur du parallèle = Périmètre = 2π ⋅r = 2π ⋅3185≅ 20011,95km
c) 20° − 11° = 9°
Formule de la longueur d’arc :
d=
2 ⋅π
⋅ α °⋅ r
360°
d=
2 ⋅π
⋅ 9°⋅ 3185 ≅ 500,3 km
360°
207
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice D2
a) a = 35'700 km
R = 6'400 km
R
⎛θ ⎞
Trigo : cos ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠ R+a
⇔
θ
⎛ R ⎞
= cos −1 ⎜
⎟
2
⎝R+a ⎠
⎛ R ⎞
−1
⇔ θ = 2 ⋅ cos −1 ⎜
⎟ = 2 ⋅ cos ( 0,152 ) ≅ 162,51°
⎝R+a ⎠
Donc si
100%
x%
=
360° 162,51°
⇒ x % = 162,51⋅100% ≅ 45%
350
b) Tout point de l’équateur est à portée du signal
d’un moins un des trois satellites, car
θ = 162,51° > 120°
⎛θ ⎞ R −d
⎛θ ⎞
⇔ R ⋅ cos ⎜ ⎟ = R ⋅ d
c) Trigo : cos ⎜ ⎟ =
R
⎝2⎠
⎝2⎠
⎛
⎛θ ⎞
⎛θ ⎞⎞
⇔ d = R − R ⋅ cos ⎜ ⎟ = R ⋅ ⎜ 1 − cos ⎜ ⎟ ⎟
⎝2⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
d) Si le satellite est sur une orbite synchrone,
alors θ = 162,51° (voir point b), donc :
Surface totale de la Terre :
A = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ ( 2 ⋅ R ) = 4 ⋅ π ⋅ R 2 car d = 2 ⋅ R
Avec R = 6'400 km ⇒ A = 514′718′540, 4 km 2
208
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Surface de la terre qu’un seul satellite peut couvrir :
⎛
⎛θ ⎞⎞
A = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ d = 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ R ⋅ ⎜1 − cos ⎜ ⎟ ⎟ (voir point c)
⎝ 2 ⎠⎠
⎝
Avec R = 6'400 km et θ = 162,51° ⇒ A = 218240661,1 km2
Pourcentage :
218′231′ 104
x
=
⇒ x ≅ 42, 4%
514′718′540 100
Correction exercice D3
a) Trigo :
⎛ 360° ⎞ a
⎛ 360° ⎞
⇒ a = r ⋅ cos ⎜
cos ⎜
⎟=
⎟
⎝ 2n ⎠ r
⎝ 2n ⎠
c
360
°
⎛
⎞ 2
⎛ 360° ⎞
⇒ c = 2r ⋅ sin ⎜
sin ⎜
⎟=
⎟
⎝ 2n ⎠ r
⎝ 2n ⎠
Donc :
Périmètre
d’un
polygone
de
rayon
r
à
n
côtés :
⎛ 360° ⎞
n ⋅ c = n ⋅ 2 ⋅ r ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 2n ⎠
Aire d’un polygone de rayon r à n côtés :
a ⋅c
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
⋅ n = n ⋅ r 2 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
2
⎝ 2n ⎠
⎝ 2n ⎠
Quand n → ∞ (le nombre de côtés tend vers l’infini) alors :
⎛ 360° ⎞
n ⋅ 2 ⋅ sin ⎜
⎟ ⋅ r → 2 ⋅ π ⋅ r (périmètre d’un cercle de rayon r)
⎝ 2n ⎠
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞ 2
2
et : n ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟ ⋅ r → π ⋅ r (aire d’un cercle de rayon r)
⎝ 2n ⎠
⎝ 2n ⎠
b) Pilier régulier :
Aire de la section = aire du disque de rayon R – aire de l’hexagone
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
= πR 2 − n ⋅ r 2 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 2n ⎠
⎝ 2n ⎠
209
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
= π ⋅ 442 − 6 ⋅ 282 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 12 ⎠
⎝ 12 ⎠
= π ⋅ 442 − 6 ⋅ 282 ⋅
3 1
3
⋅ = 442 ⋅ π − ⋅ 3 ⋅ 282 ≅ 4045.23 cm2
2 2
2
Pilier fort :
Aire de la section = aire du disque de rayon – aire du carré (poly. régulier)
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
= πR 2 − n ⋅ r 2 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 2n ⎠
⎝ 2n ⎠
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
= π ⋅ 442 − 4 ⋅ 282 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 8 ⎠
⎝ 8 ⎠
= π ⋅ 442 − 4 ⋅ 282 ⋅
2 2
⋅
2 2
≅ 4514, 12 cm2
Extra-fort :
⎛ 360° ⎞
⎛ 360° ⎞
A = πR 2 − n ⋅ r 2 ⋅ cos ⎜
⎟ ⋅ sin ⎜
⎟
⎝ 2n ⎠
⎝ 2n ⎠
1 3
A = π ⋅ 442 − 3 ⋅ 282 ⋅ ⋅
2 2
3
= π ⋅ 442 − ⋅ 3 ⋅ 282
4
≅ 5063,68 cm2
210
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Correction exercice D4
a) et b) Inconnues : x et h
h − 15
⎧
⎪⎪ tan ( 59° ) = x
Trigo : ⎨
(système de 2 équations à 2 inconnues)
⎪ tan ( 62° ) = h
⎪⎩
x
⎧⎪h = x ⋅ tan ( 59° ) + 15
⇔ ⎨
⎪⎩h = x ⋅ tan ( 62° )
⇒ x ⋅ tan ( 62° ) = x ⋅ tan ( 59° ) + 15
⇒ x ⋅ ( tan ( 62° ) − tan ( 59° ) ) = 15 ⇒
x=
15
tan ( 62° ) − tan ( 59° )
69,3 m
Ensuite : h ≅ 69,3 ⋅ tan ( 62° ) 130,3 m
c) Par exemple : calculer le nombre d’étages et multiplier par la hauteur d’un étage !!! ☺
211
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 24 « Vacherie !»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
Durée estimée
Résumé
Type d’usage de la
calculatrice
Contenus
mathématiques
visées
Prérequis
Vacherie !
Exercices de résolution de triangles en trigonométrie avec
la calculatrice.
11PO – toutes filières concernées
1 ou plusieurs périodes de 45 minutes
Exercices de résolution de triangles en trigonométrie avec
la calculatrice.
Dans certains cas, il peut y avoir deux solutions, mais la
machine n’en fournit qu’une seule !
EXECUTER
Résolution de triangles avec la trigonométrie
Lien avec les cas d’isométrie des triangles
Trigonométrie dans le triangle quelconque
Théorèmes du sinus et du cosinus
Connaissance de l’utilisation des touches trigonométriques
avec la calculatrice
Mots-clé
Source
Trigonométrie - triangle – cas d’isométrie
Classique
Adaptation : Jean-Marie Delley
212
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 24)
Pour tout cet exercice, on donnera les résultats arrondis au centième.
Par ailleurs, on prendra garde d’utiliser la machine au mieux pour minimiser les erreurs et
leur propagation.
On considère le triangle ∆ABC ci-dessous :
C
γ
b
a
β
α
A
c
tel que a = 10,64, b = 6,30 et c = 7,10
1. Utiliser le théorème du cosinus pour déterminer γ .
2. Utiliser le théorème du sinus pour déterminer α.
3. Déterminer β grâce au théorème sur la somme des angles dans un triangle.
4. Appliquer le théorème du cosinus à a,b,c et pour vérification.
Que constate-t-on ? Expliquer.
213
B
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 24)
1. Thm cosinus : c 2 = a 2 +b 2 − 2abcos(γ) , donc
cos(γ) =
=
a 2 +b 2 −c 2
2ab
10,64 2 + 6,32 −7,12
2⋅10,64⋅6,3
(≅ 0.76448)
γ =
donc
⎛ 10,642 +6,32 −7,12 ⎞
⎟
cos −1⎜⎜
2⋅10,64⋅6,3 ⎟⎠
⎝
≅ 40,14°
2. Thm sinus :
sin(α) sin(β ) sin(γ)
=
=
, donc
a
b
c
sin(α) sin(γ)
=
a
c
⇔
sin(α) sin(40,14)
=
10,64
7,1
⇔
sin(α)=
≅ 0,96608)
(⇔
donc
sin(40,14)⋅10,64
7,1
α
⎛ sin(40.14)⋅10,64 ⎞
= sin −1⎜
⎟
7,1
⎝
⎠
≅ 75,03°
3. α + β +γ =180 ⇔
β =180−α −γ
⇔
β ≅180−75,03− 40,14
⇔
β ≅ 69,83 °
4. Thm cosinus :
b 2 = a 2 + c 2 − 2accos(β )
⇔
6,32 =10,642 + 7,12 − 2⋅10,64⋅7,1⋅cos(69,83)
214
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
⇔
39,69=111.52
c’est faux !
Explication : dans le calcul de α en 2., on utilise la fonction sin-1 de la calculatrice, qui,
pour rester bijective, ne s’applique qu’à des angles de l’intervalle [-90°; 90°] (la
fonction cos-1 s’applique à des angles de , elle, l’intervalle [0°; 180°]). Chaque fois
qu’on utilise les touches sin-1 et cos-1, il faut donc être très attentif à se poser la
question de savoir si il n’y aurait pas d’autres solutions au problème considéré,
autrement dit si les angles qu’on cherche sont bien dans l’intervalle de définition de la
calculatrice pour les fonctions sin-1 et cos-1 .
Dans ce cas, lorsqu’on résout un triangle quelconque, l’utilisation du thm du cosinus
pour rechercher un angle ne cause pas de problème, puisque la machine donnera
l’unique solution comprise dans l’intervalle [0 ;180], ce qui correspond toujours à ce
qu’on cherche. Si on cherche un côté, toujours avec le thm du cosinus, on aura à
résoudre une équation du deuxième degré, qui aura zéro, une ou deux solutions (selon
les informations connues sur le triangle, il peut n’y avoir aucune solution, si la
longueur du plus grand côté est supérieure à la somme des deux autres côtés, une seule
solution, si on est dans l’un des trois cas d’isométrie des triangles CCC/CAC/ACA, ou
deux solutions dans les autres cas.
Par contre, lorsqu’on utilise le thm du sinus, on risque de faire des erreurs ; c’est le cas
sin(40,14)⋅10,64
, il y a en fait deux
dans cet exercice. Quand on doit résoudre sin(α)=
7,1
solutions possibles, et la machine n’en donne qu’une, celle qui est dans [-90 ;90] ! Il
faut penser à trouver la seconde – égale à l’angle supplémentaire à la première
solution (complémentaire à 180° de la première – puis voir laquelle sera celle qui est
solution du problème :
Résolution correcte avec le thm du sinus :
Thm sinus :
sin(α) sin(β ) sin(γ)
=
=
, donc
a
b
c
sin(α) sin(γ)
=
a
c
⇔
sin(α) sin(40,14)
=
10,64
7,1
⇔
sin(α)=
≅ 0,96608)
(⇔
donc
sin(40,14)⋅10,64
7,1
α
⎛ sin(40.14)⋅10,64 ⎞
= sin −1⎜
⎟
7,1
⎝
⎠
≅ 75,03°
ou
α
≅ 180 – 75,03
≅ 104,97°
215
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Il y a deux candidats solutions, alors qu’on sait qu’il n’y a qu’une unique solution au
problème car
-
la longueur du plus grand côté est bien inférieure à la somme des deux autres côtés
-
on connaît 3 côtés, donc par cas d’isométrie CCC, la solution est unique
Cas 1 : β ≅180−75,03− 40,14 ≅ 69,83°
Cas 2 : β ≅180−104,97 − 40,14 ≅ 34,89°
On vérifie en utilisant le théorème du cosinus ou du sinus dans les deux cas et on voit
que la solution correcte est celle du cas 2.
Remarque : pour cet exercice, si on en a le choix, il serait plus prudent de continuer à
utiliser le thm du cosinus pour déterminer α , on se serait épargné tous ces
problèmes !
216
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 24)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches
possibles, difficultés,
relances, mise en
commun)
Ce type de « vacherie » risque de laisser perplexe plus
d’un élève … Attention de bien expliquer et faire
comprendre les enjeux de cette activité après coup.
Recherche individuelle, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes, par exemple en
distribuant des énoncés différents aux groupes et en faisant
présenter les résultats obtenus devant la classe par un
membre du groupe tiré au sort.
Proposition(s) de
déroulement
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux
élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Organiser un débat avec la classe
Reprendre les résultats obtenus, les hiérarchiser, les
organiser et proposer des activités de consolidation
Prolongements
possibles
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
217
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 24)
Ce que l’élève devrait avoir retenu
La calculatrice ne donne pas toutes les solutions des équations
trigonométriques.
Importance de savoir utiliser judicieusement le cercle trigonométrique
pour représenter les situations étudiées.
Importance de garder un sens critique face à toute solution obtenue par
calcul
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
218
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 25 « Ouah la trigo !»
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
Durée estimée
Résumé
Ouah la trigo !
Utiliser la trigonométrie dans des situations « réelles »
11PO – toutes filières concernées par l’enseignement de la
trigonométrie dans un triangle quelconque
90 minutes pour un choix d’exercices
Choix d’exercices tirés de situations « réelles »nécessitant
l’utilisation de la trigonométrie
Type d’usage de la
calculatrice
EXECUTER
Contenus
mathématiques
visées
Modélisation
Prérequis
Mots-clé
Source
Exercer la trigonométrie dans un triangle quelconque
Trigonométrie dans un triangle quelconque
Connaissance de l’utilisation des touches des fonctions
trigonométriques avec la calculatrice
Trigonométrie - modélisation
Trigonométrie avec géométrie analytique, Swokowski et
Cole, Ed. LEP
Adaptation : Serge Picchione et Jean-Marie Delley
219
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 25)
Exercices préparatoires : connaissance de la calculatrice en trigonométrie dans le
triangle quelconque
1. Comment convertir un angle d’une mesure à l’autre (degré en radian ou radian en
degré) ?
1. Convertir 45° en radians
2. Convertir π/12 en degrés
2. Calculer le sinus de 112 degrés et donner un résultat arrondi au millième
3. Calculer la tangente de 4π/3 radians et donner un résultat arrondi au millième
4. Calculer l’angle compris entre 0 et 180 degrés dont le cosinus vaut 0.2015 et donner
un résultat en degrés arrondi au dixième.
5. Calculer les angles compris entre 0 et 180 degrés dont le sinus vaut 0.54785. Donner
un résultat en degrés arrondi au centième.
220
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé 1
Un bateau de pêche industriel utilise un sonar pour détecter un banc de poissons à 4 km à
l’est du bateau, qui se déplace en direction N51°W à la vitesse de 16 km/h .
Nord
51°
Bateau
Banc de
poissons
4km
a) Si le bateau avance à une vitesse de 40 km/h, calculer à 0,1° près la direction à suivre
pour intercepter le banc de poissons.
b) Calculer le temps, à la minute près, qu’il faudra au bateau pour atteindre le banc de
poissons.
Exercice 2
A l’origine, la Tour de Pise était perpendiculaire à la surface du sol et mesurait 54 m de
haut. Comme elle s’enfonce dans le sol, elle penche maintenant d’un angle θ par rapport
à la perpendiculaire. Lorsque le sommet de la tour est observé à partir d’un point distant à
45 m du centre de sa base, l’angle d’élévation est de 53,3°.
a) Faire un schéma, puis calculer l’angleθ .
b) Calculer la distance d qui exprime de combien le centre du sommet de la tour s’est
éloigné de la perpendiculaire.
Exercice 3
Un enfant est prisonnier au fond du puits d’une mine, dont le couloir rectiligne mesure 13
m et forme un angle de 78° avec l’horizontale. Un tunnel de sauvetage rectiligne est
creusé à 15 m de l’ouverture de la mine sur le sol.
a) Faire un schéma, puis déterminer à quel angle θ le tunnel de sauvetage doit être
creusé.
b) Si on peut creuser le tunnel de sauvetage à la vitesse de 10 m/h, combien d’heures
seront nécessaires pour atteindre l’enfant ?
221
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice 4
Un avion radar de reconnaissance P, volant à 3000 m au-dessus d’un point R à la surface
de l’eau, détecte un sous-marin S (à la surface de l'eau) avec un angle de dépression de
37° et un bateau de ravitaillement T avec un angle de dépression de 21°. De plus, l’angle
entre le sous-marin, l’avion et le bateau est mesuré à 110°.
Faire un schéma, puis calculer la distance entre le sous-marin et le bateau de
ravitaillement.
Exercice 5
Les pavés de Penrose ont la forme de losanges ABCD, dont la longueur des côtés est 1 et
dont un angle intérieur, BAD, mesure 72°. On situe un point P sur la diagonale [AC], à
une distance l du sommet C.
De ce point partent les deux segments de droite [PB] et [PD] rejoignant les deux autres
sommets du losange. Les deux pavés ainsi formés sont appelés « fer de lance » (le plus
petit) et « cerf-volant » (le plus grand). On utilise des composés analogues, mais en trois
dimensions, en chimie moléculaire.
a) Calculer les mesures en degrés des angles <BPC, <APB et <ABP.
b) Calculer la longueur du segment [BP] .
c) Calculer l’aire d’un fer de lance et d’un cerf-volant.
222
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 25)
1. Pour convertir un angle d'une unité dans une autre :
o choisir dans le menu % I l'unité d'arrivée
o introduire la valeur de l'angle et l'unité de départ à l'aide de la touche =.
a) % I " <
choisir l’unité RADIAN
45 =< <
Réponse : Pi/4
b) % I <
choisir l’unité DEGRE
g >12 ="""< <
Réponse : 15
2. Être sûr qu’on est bien en unité DEGRE (si on est en radian, un petit rad est affiché en
bas à droite de l’écran)
%I<
% B <112 <
Réponse : 0.927
Si on veut un arrondi par la machine :
%d"<
choisir : round
%i%`3<
réponse : 0.927
En un seul calcul avec l’arrondi :
%d"<% B < 112) % ` 3 <
3. Être sûr qu’on est bien en unité RADIAN (si on est en radian, un petit rad est affiché
en bas à droite de l’écran)
%I"<
En un seul calcul :
% B """" < 4 g >3 <
Réponse : 1,732
Possible en un seul calcul avec l’arrondi comme précédemment.
4. Être sûr qu’on est bien en unité DEGRE (si on est en radian, un petit rad est affiché en
bas à droite de l’écran)
%I<
% B """ < .2015 <
223
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Réponse : 78,4 degrés
Possible en un seul calcul avec l’arrondi comme précédemment.
5. Être sûr qu’on est bien en unité DEGRE (si on est en radian, un petit rad est affiché en
bas à droite de l’écran)
%I<
% B " < . 54785 <
Réponse : 33,220 degrés
La calculatrice ne donne qu’une réponse ; il faut utiliser le cercle trigonométrique pour
représenter la situation et donner l’autre solution :
180 - 33,220 = 146,780
Possible en un seul calcul avec l’arrondi comme précédemment.
224
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé exercice 1
C
b
γ
a
α
A
β
c
B
a) β = 90 – 51 = 39° et c = 4 km
Thm sinus :
sin(α) sin(β ) sin(γ)
=
=
,
a
b
c
donc
sin(α) sin(β )
=
a
b
⇔
sin(α) sin(39)
=
a
b
⇔
sin(α)= a sin(39) équation (I)
b
Soit t le temps (en heures) nécessaires au banc de poissons et au bateau pour atteindre le
point C :
b = 40t et a = 16t, donc
a = 16t = 2
b 40t 5
dans l’équation (I) : sin(α)= a sin(39)= 2 sin(39) , donc α = sin −1( 2 sin(39)) ≅ 14,6°
5
5
b
Comme 90 – 14.6 = 75,4, la direction à prendre est N75,4°E
b) γ = 180 – 39 – 14,4 = 126,4°
Thm sinus :
sin(β) sin(γ)
=
b
c
⇔
sin(39) sin(126,4)
4sin(39)
=
⇔ b=
≅ 3,12 km
b
4
sin(126,4)
t = b = 3.12 ≅ 0,08h ≅ 5 min
40 40
Corrigé exercice 2
d
θ
54 m
β
x
y
α
53,3
45 m
a)
y = 54m
225
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Thm sinus :
sin(53,3) sin(β)
=
45
c
⇔
sin(53,3) sin(β)
=
54
45
⇔
sin(β )= 45 sin(53,3)
54
donc β = sin −1( 45 sin(53,3)) ≅ 41,92°
54
α = 180 – 53,3 – 41,92 ≅ 84,78°
θ = 90 - α = 90 - 84,78 = 5,22°
b)
sin(θ)= d = d ⇔ d = 54sin(θ) = 54sin(5,22) ≅ 4,91m
y 54
Corrigé exercice 3
B entrée de la mine
c = 15m
A début du tunnel
α
β=78°
a = 13m
b
γ
C enfant
Thm cosinus : b2 =a 2 +c 2 −2accos(β) = 132 +152 −2⋅13⋅15⋅cos(78) ≅ 312,91,
donc b ≅ 17,69 m
La distance à creuser est d’environ 17,69 m.
sin(β) sin(α)
=
b
a
Thm sinus :
⇔
sin(78) sin(α)
=
17,69
13
⇔
sin(α)= 13 sin(78)
17,69
donc α =sin −1( 13 sin(78)) ≅ 45,96°
17,69
Si on creuse à 10km/h : 10 km/h = 10 m/s
3,6
d = vt ⇔ 17,69 = 10 t ⇔ t = 17,69⋅3,6 ≅ 6,37 secondes
3,6
10
Il faut creuser pendant environ 6,37 secondes.
226
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
P
Corrigé exercice 4
37°
On cherche ST.
110°
RP = 3000m, α = 37° et β = 21°
21°
R
α
β
S
T
RP = 3000 ≅ 4984,92 m
sin(α) = RP ⇔ SP = sin(
α) sin(37)
SP
RP = 3000 ≅ 8371,84 m
sin(β) = RP ⇔ TP = sin(
β) sin(21)
TP
Thm cosinus : ST 2 = SP 2 +TP 2 −2⋅ST ⋅TP⋅cos(110) ≅ 123484153,3 m, donc b ≅ 11112,3 m
La distance entre le bateau et le sous-marin est d’environ 11112,3 m.
1
B
Corrigé exercice 5
C
Cerf-volant
1
O
1
1
P
72°
A
Fer de lance
D
1
a) <BAP = <PAD = <DCP = <PCB = 36°
Le triangle PCB est isocèle, donc les angles <CBP et <BPC sont égaux.
Par ailleurs : <CBP + <BPC = 180 - <PCB = 180 – 36 = 144, donc <CBP = <BPC = 72°
<APB = 180 - <BPC = 180 –72 = 108°
Enfin : <PBA = 180 - <APB - <BAP = 180 – 108 – 36 = 36°
b) Thm cos : BP 2 = CP 2 + CB2 − 2 ⋅ CP ⋅ CB ⋅ cos(36) = 12 +12 −2⋅1⋅1⋅cos(36) ≅ 0.38,donc BP ≅ 0,62
c) <BOC = 180 - <OCB - <CBO = 180 - <PCB - <CBD = 180 – 36 – 72 = 90°
sin(36) = BO ⇔ BO ≅ 0,59, donc BD = 2BO ≅ 1,18
1
Aire du cerf-volant : A = BD⋅PC =1,18⋅1 ≅ 0,59
2
2
227
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 25)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches
possibles, difficultés,
relances, mise en
commun)
Travailler des exercices de modélisation amène un niveau
de complexité supplémentaire pour les élèves, mais peut
donner du sens au travail et permettre une meilleure
représentation des outils mathématiques.
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élèves à travailler en groupes de 3-4, leur
demander de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Prolongements
possibles
Comment la calculatrice fait-elle pour calculer des sin-costg ? On peut poser la question pour relever que ce n’est pas
trivial … Pour ce qui est des réponses à donner, on laissera
au maître le choix d’en parler de façon informative ou pas
selon le niveau et le degré d’intérêt de ses élèves.
Contrairement à ce qui est souvent dit, ce n’est pas qu’une
question de développements en série, voir
http://www.trigofacile.com/maths/trigo/calcul/cordic/cordi
c.htm pour des explications détaillées.
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
228
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Activité 26 « Radiobiolopopulo »
Fiche de présentation
Titre de l’activité
Sous-titre
Degré(s) concerné(s)
Durée estimée
Résumé
Radiobiolopopulo
Utiliser les log/exp dans des situations « réelles »
11PO – toutes filières concernées par l’enseignement des
log/exp
90 minutes
Choix d’exercices (radioactivité, croissance de population,
…) nécessitant l’utilisation des log/exp.
Type d’usage de la
calculatrice
EXECUTER
Contenus
mathématiques visés
Modélisation
Prérequis
Mots-clé
Source
Exercer logarithmes et exponentielles
Logarithmes et exponentielles : définitions, propriétés
Connaissance de l’utilisation des touches log/exp avec la
calculatrice
Logarithmes - exponentielles - modélisation
Classique
Adaptation : Alain Klopfenstein
229
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Énoncé élève (activité 26)
1. Sur l'échelle de Richter, la magnitude R d'un tremblement de terre d'intensité I est
I
donnée par R = log( ) , où Io est une intensité minimale donnée.
Io
a. Si l'intensité d'un tremblement de terre est de 100 fois l'intensité minimale
donnée, déterminer sa magnitude.
b. Même question pour un tremblement de terre d'intensité 1000 fois Io , 100000
fois Io.
2. La masse m (en kg) d'une éléphante d'Afrique à l'âge t (en années), est
approximativement donnée par m(t) = 2600(1-0,51e-0,075t)3.
a. Donner approximativement sa masse à la naissance.
b. Donner approximativement sa masse à 20 ans.
c. Évaluer l'âge d'une éléphante d'Afrique ayant une masse de 1800 kg.
d. Peut-on considérer cette formule toujours valable ?
3. La technique de datation au carbone 14 est utilisée pour déterminer l'âge de spécimens
archéologiques et géologiques. La formule T = -8310ln(x) est parfois utilisée pour
donner l'âge T (en années) d'un os fossile, x étant le pourcentage (exprimé sous forme
décimale) de carbone 14 présent dans le fossile.
a. Donner approximativement l'âge d'un os fossile qui contient 4% de carbone 14
trouvé dans une quantité égale de carbone d'un os humain.
b. Évaluer le pourcentage de carbone 14 présent dans un fossile de 10000 ans.
230
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
4. La décroissance de l’activité radioactive d'une matière radioactive peut être calculée à
l'aide de la formule suivante :
A = A0•e(-0,693t/T)
A0 étant l'activité initiale (en désintégrations par seconde), A l'activité au temps t, t
le temps et T la période (t et T étant exprimés dans la même unité de temps).
On sait que la période de l'iode I131 est de 8,08 jours.
Si l'activité initiale d'un échantillon d'iode radioactif est de 1000 désintégrations par
seconde, quelle sera son activité :
a. au bout de 3 jours ?
b. au bout de 20 jours ?
c. au bout de 8,08 jours.
5. Le nombre de bactéries double toutes les 8 heures à 20° C.
a. Si l'on a 100 bactéries au début d'une expérience, combien y en aura-t-il au
bout de 48 heures ? Et au bout de 5 jours (de 24 heures) ?
b. Si l'on dénombre plus de 10'000 bactéries au bout de 3 jours, combien y en
avait-il au minimum au début de l'expérience ?
231
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Corrigé détaillé (activité 26)
1.
a. R = log( 100I 0 ) = log(100) = 2
Io
Avec la machine : % A < 100 <
Réponse : 2
b. R = log( 1000I 0 ) = log(1000) = 3
Io
Avec la machine : % A < 1000 <
Réponse : 3.
R = log( 100000I 0 ) = log(100000) = 6
Io
Avec la machine : % A < 100000 <
Réponse : 5.
2.
a. m(0) = 2600(1-0,51e0)3 = 2600(1-0,51)3
Avec la machine : 2600 D 1 U .51 E G 3 <
Réponse : environ 305,9 kg
b. m(20) = 2600(1-0,51e-0,075•20)3
Avec la machine : 2600 D 1 U .51 V % A"""< M .075 V20 E
EG3<
Réponse : environ 1809,6 kg
c. m(x) =
2600(1-0,51e-0,075•x)3 = 1800
⇔
(1-0,51e-0,075•x)3 = 1800/2600
⇔
1-0,51e-0,075•x = 3 9
13
⇔
0,51e-0,075•x = 1 - 3 9
13
⇔
e-0,075•x = [1 - 3 9 ] 1
13 0.51
⇔
-0.075x = ln( [1 - 3 9 ] 1 )
13 0.51
ln( [1 - 3 9 ] 1 )
13 0.51
⇔
x=
-0.075
Avec la machine : % A""< D1 U 3 % c D9 W13 EE D 1
W .51 E E W M .075 <
Réponse : environ 19,8 années
Remarque : on peut bien sûr utiliser les mémoires pour simplifier le calcul,
mais cela peut être un défi lancé aux élèves de réaliser le calcul en une seule
étape !
On peut également demander de répondre en année/heure/minute …
232
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
3.
a. T = -8310ln(0.04)
Avec la machine : M 8310 % A""< .04 <
Réponse : environ 26749 années
10000 = -8310ln(x)
ln(x) = 10000/(-8310)
⇔ x = e10000/(-8310)
Avec la machine : % A"""< 10000 W M 8310 <
Réponse : environ 0.3%
⇔
4.
a.
(−0.693⋅8.308 )
A=1000⋅e
Avec la machine : 1000 % A"""< M .693 V 3 W 8.08 <
Réponse : environ 773 désintégrations par seconde
⎛⎜ − 0.693⋅ 20 ⎞⎟
8.08 ⎠
b. A=1000⋅e⎝
Avec la machine : 1000 % A"""< M .693 V 20 W 8.08 <
Réponse : environ 180 désintégrations par seconde
Remarque : il est bien plus indiqué de peut reprendre l’entrée précédente et
modifier uniquement le 3 en 20 (attention de bien maîtriser les touches J et
% f)
c.
⎛⎜ − 0.693⋅ 8.08 ⎞⎟
8.08 ⎠
A=1000⋅e⎝
Avec la machine : 1000 % A"""< M .693 <
Réponse : environ 500 désintégrations par seconde
Remarque : il est bien plus indiqué de reprendre l’entrée précédente et
supprimer la multiplication (inutile !) par 8.08 comme proposé ci-dessus
8.08
5.
a. Au bout de 48 heures : 48 = 6•8, donc 6 « doublements », c.-à-d. une
multiplication par 26.
100•26 = 6400
Avec la machine : 100 V2 G 6 <
Réponse : 6400 bactéries
au bout de 5 jours : 5•24 = 120 heures
120 = 15•8, donc 15 « doublements », c.-à-d. une multiplication par 215.
100•215 = 6400
Avec la machine : 100 V2 G 15 <
Réponse : 3276800 bactéries
b. 3•24 = 72 heures : 72 = 9•8, donc 9 « doublements », c.-à-d. une multiplication
par 29
x •29 = 10000 ⇔ x = 10000
⇔ x ≅ 19,53
9
2
Réponse : au moins 20
233
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Commentaires pour le maître (activité 26)
Analyse à priori de
l'activité
(enjeux de l’activité,
démarches
possibles, difficultés,
relances, mise en
commun)
Travailler des exercices de modélisation amène un niveau
de complexité supplémentaire pour les élèves, mais peut
donner du sens aux calculs et permettre une meilleure
représentation.
Travail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élèves à travailler en groupes de 3-4, leur
demander de réfléchir ensemble au problème posé et de
rédiger en commun une acétate.
Proposition(s) de
déroulement
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate
du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour
chaque groupe.
Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le
maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les
compléments théoriques et propose si nécessaire des
exercices de consolidation
Prolongements
possibles
Comment la calculatrice fait-elle pour calculer ces log/exp
? (on peut poser la question pour relever que ce n’est pas
trivial; pour ce qui est des réponses à donner (utilisation de
développements en série convergentes tronqués), on
laissera au maître le choix d’en parler de façon informative
ou pas, selon le niveau et le degré d’intérêt de ses élèves
Éventuels
commentaires après
les avoir testées (du
maître, des élèves, …)
Productions d'élèves
234
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Éléments pour la synthèse (activité 26)
Ce que l’élève devrait avoir retenu
Logarithmes et exponentielles : définitions et propriétés
Connaissance de l’utilisation des calculs avec log/exp avec la calculatrice
(touches et gestion de chaînes de calculs)
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
235
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercices de consolidation (activité 26)
Exercice 1:
La période de l'iode I121 est de 60 jours. Au bout de combien de temps l'activité d'un
échantillon d'iode radioactif I121 sera-t-elle égale :
a)
à la moitié de l'activité initiale ?
b)
au quart de l'activité initiale ?
c)
au huitième de l'activité initiale ?
d)
au 512ème de l'activité initiale ?
Note : Un peu de réflexion permet de répondre sans calcul.
Exercice 2:
L'intensité radioactive d'un rayon décroît, en traversant un matériau donné, selon la loi :
I = I0•10-kl
où
I0 est l'intensité initiale [en rad]
I est l'intensité après avoir traversé une épaisseur l [en rad]
l est l'épaisseur du matériau [en cm]
k est une constante qui dépend du matériau [en 1/cm].
a)
Si l'on sait qu'un rayon de radiation gamma est réduit de mille à cent [rad] après
avoir traversé une plaque de métal de coefficient k = 0,08 déterminer l'épaisseur
de cette plaque.
b)
Quelle serait l'intensité d'un rayon de mille [rad] après avoir traversé une plaque
de métal de 25 [cm] d'épaisseur?
Exercice 3:
Un satellite est alimenté par une pile radio-isotopique. La puissance de cette pile au
cours du temps est donnée par la loi :
P = Po•e(-t/259)
où
Po est la puissance initiale de la pile [en watt]
P est la puissance après t jours [en watt]
t est le temps [en jours].
236
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
a)
Quelle sera la puissance de cette pile au bout d'une année ?
b)
Représenter graphiquement l'évolution de la puissance de la pile au cours du
temps [Échelle : 1 cm = 20 jours]
c) En combien de temps cette pile ne donnera-t-elle plus que la moitié de sa
puissance ?
Exercice 4:
Dans des conditions ordinaires de température et de pression, si P0 est la pression
atmosphérique au niveau de la mer (altitude : 0 mètre), la relation :
P = P0•e-a.h
permet de calculer la pression P à une altitude de h mètres.
a est une constante.
a)
À 5500 m, la pression P est égale à la moitié de la pression Po. Que vaut la
constante a ?
b)
A quelle altitude se trouve-t-on si la pression P est égale au cinquième de la
pression au niveau de la mer ?
Exercice 5:
Une compagnie entreprend une campagne publicitaire pour mieux faire connaître son
produit. Le volume des ventes s'accroît selon le modèle suivant (le temps t est en
mois) :
V(t) = 800 - 650•e-0.22t
a)
Quel est le volume des ventes avant la campagne publicitaire ?
b)
Quel est le volume des ventes après deux mois de campagne ?
c)
Tracer le graphique de l'évolution des ventes au cours du temps.
d)
Sachant que le coût mensuel de la campagne est de 12'000 francs et que la vente
d'un article apporte un profit de 500 francs, déterminer à quel moment la
campagne n'est plus rentable.
237
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Exercice 6:
En 1978, le canton de Genève comptait une population de 339'273 habitants. En
1979, on en recensait 340'654.
a)
Quel a été, en pour mille, l'accroissement de la population entre 1978 et 1979 ?
b)
Si ce taux d'accroissement est resté stable, quelle était la population de Genève
en 1982 ?
c)
Dans ces mêmes conditions, combien y aura-t-il d’habitants à Genève en l'an
2000 ?
Exercice 7:
Si l'on place un grain de blé sur la première case d'un échiquier, deux grains sur la
deuxième case, quatre grains sur la troisième, huit grains sur la quatrième, et ainsi de
suite, combien y aura-t-il de grains sur la 64ème case ?
Exercice 8:
Le nombre de feuilles d'une plante aquatique triple chaque jour.
a) Si l'on place dans un étang une telle plante ayant 3 feuilles, combien de feuilles
aura-t-elle au bout de 10 jours ?
b) Si le tiers de l'étang est recouvert en 20 jours, combien de jours faudra-t-il pour
recouvrir tout l'étang ?
Exercice 9:
Selon les données recueillies par une compagnie de construction de maisons
unifamiliales, le nombre de personnes vivant dans une maison unifamiliale est
toujours égal au tiers de la population.
L'évolution de la population de la ville au cours du temps est décrite par la formule :
P(t) = 32'000•e0.017t
où t est le temps en années.
a) Quelle sera la population dans un an ?
238
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
b) Selon les données de la compagnie, combien de personnes décideront-elles d'acheter
une maison unifamiliale au cours de la prochaine année ?
c) Combien devrait-il y avoir de demandes de constructions de maisons unifamiliales
au cours des cinq prochaines années ?
Exercice 10:
À quelle puissance faut-il élever le nombre 13,28 pour obtenir 77,77 ?
Exercice 11:
Considérons une masse de polonium qui contient No atomes au temps t = 0 jours.
Au cours du temps, certains atomes se désintègrent en émettant une particule*, et, de
ce fait, se transforment en plomb. Le nombre N d'atomes de polonium subsistant au
temps t peut être calculé à l'aide de la formule suivante : N = No•a-t , où a est une
constante.
a) Calculer la valeur de la constante a du polonium, sachant que la période du
polonium est de 138 jours. (Arrondir le résultat à 5 chiffres après la virgule.)
b) Après 138 jours, on constate qu'il reste 105 atomes de polonium dans une masse.
Combien y avait-il d'atomes au temps 0 ?
Exercice 12:
a) Quel capital faut-il placer à 4,25 % pendant 15 ans pour avoir finalement 33'000
francs ?
b) A quel taux faut-il placer un capital pour qu'il triple en 24 ans ?
c) Que serait devenu le 1er janvier 1990 un capital de $ 100 placé au début du siècle
à 4,5 % ?
d) Combien de jours au minimum faut-il placer un million à un taux de 7 % pour
obtenir plus de 18'000 francs d'intérêts ?
239
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
Réponses
Ex 1: a) 60 jours b) 120 jours c) 180 jours d) 11/2 année
Ex 2: a) 12,5 cm b) 10 rad
Ex 3: a) 12,216 watt b) voir ci-dessous c) 179,56 jours
50
0
0
50
100
150
200
jours
Ex 4: a) a = 0,0001 |1/m] b) 12 770,60 m
Ex 5: a) 150 b) 381 c) voir ci-dessous d) au milieu du 33ème mois (voir ci-dessous)
Ex 6: a) 4,07 %∞ b) 344 831 habitants c) 370 990 habitants
Ex 7: 263 grains (9.22.1018)
2 c)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
mois
2 d)
600000
revenu ventes
500000
dépenses publicité
400000
300000
200000
100000
0
0
10
20
30
mois
Ex 8: a) 311 feuilles (117 147 feuilles) b) 21 jours
Ex 9: a) 35 549 habitants b) 183 c) 946
Ex 10: 1,6834
Ex 11: a) 1,00504 b) 210
Ex 12: a) 17 675,55 Fr. b) 4,68% c) 5027,45 $ d) 95 jours
240
40
50
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
7.4. Autres idées d’activités
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
IUFM Créteil
II_1
Ruhal Floris
II_2
degré
7
9
E
R
A
V36
Usage(s) de la calculatrice
V
TITRE
contenu ou objectif mathématique
Essayer le plus tôt possible de
différencier « associativité » et «
distributivité » car cette confusion
est tenace.
2ab
R
lien numérique / algébrique.
L'algèbre permet ici de mieux
étudier le numérique
b2-ac
Voir aussi « Une activité en Or »
[p16]
La touche «
Pratiquer une
expérimentale.
Conjecturer.
carré ».
démarche Calcul bouclé
II_3
IUFM Créteil
8
R
II_4
IUFM Créteil
8
A
Inverse
Associer le calcul d’un quotient et
la multiplication par l’inverse.
II_5
IUFM Créteil.
7
E
Mettre en parallèle le calcul Le
mental et le calcul machine. compte
bon Prendre conscience des règles de
priorité et de leur nécessité.
IUFM Créteil
II_6
36
8
E
Utiliser le facteur constant.
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
241
Autre
version :
Combien de fois faut-il plier une
Le
milletrès grande feuille de papier pour
feuilles
obtenir un cahier d’au moins 500
pages ?
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Vérifier que; 35*30=1050
Remplacer le point d’interrogation ? par un seul nombre pour calculer chacun de produits :
1. (sans machine) Choisir trois entiers consécutifs a, b et c; calculer b2-ac. Que constatez-vous? A partir de votre
observation, et après avoir éventuellement calculé la valeur de l'expression algébrique b2-ac pour d'autres valeurs
entières consécutives a, b et c, formulez une conjecture à propos de cette expression.
2. (avec ou sans machine) Votre conjecture est-elle vérifiée pour des nombres négatifs?
3. (avec machine) Votre conjecture est-elle vérifiée pour des nombres très grands ?
On a ensuite calculé (123456)^2 = (12345x10+6)^2 via une identité remarquable.
Cette activité a été testée avec des élèves qui avaient abordé le problème de l’approximation lors d’une autre
activité autour de la racine de 2.
Dans la suite de nombres :
, chaque nombre est la somme des carrés des chiffres du
nombre qui le précède. Quels sont les nombres suivants ?
Bizarre, non ?
Déterminer une valeur exacte ou approchée de chacun des calculs suivants :
sans utiliser la touche de division ni celle de fraction, mais la touche
souvent notée
.
– Compléter la séquence 5 ? 6 ? 7 ? 8 pour obtenir un résultat donné en remplaçant « ? » par une addition ou
une multiplication, sans employer de parenthèses.
– Combien obtient-on de résultats différents ?
– Quel est le plus grand nombre que l’on peut obtenir en remplaçant les pointillés de l’expression 5...6 - 7...8
avec une addition ou une multiplication sans parenthèses.
Les questions précédentes peuvent être reprises en autorisant les parenthèses.
Un long ruban, épais de 1 millimètre d’épaisseur est plié en deux. On plie de nouveau ce ruban en deux.
L’épaisseur est ainsi de 4 millimètres. Peut-on poursuivre les pliages assez longtemps pour que la hauteur totale
du ruban plié dépasse la hauteur de la tour Eiffel ?
(La hauteur de la Tour est de 320 mètres soit 320 000 millimètres !)
242
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
37
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_7
IUFM Créteil
degré
II_10 IUFM Créteil
TITRE
contenu ou objectif mathématique
8
E
8
R
Manipuler
la
fonction Somme
« carré » et la touche x ²
carrés
5
R
IUFM Créteil
II_9
Usage(s) de la calculatrice
Mettre en place l’utilisation
de l’outil calculatrice en
Registres
liaison
avec
l’écriture
d’affichages
d’expressions mathématiques
numériques.
IUFM Créteil
II_8
E
R
A
V
8
R
4
Pratiquer
une
démarche
expérimentale en organisant la
recherche.
système
de Prendre conscience du système de
numération
numération
Aborder le problème des
approximations
effectuées
par la calculatrice et de notre Racine
huit
devoir de vérification.
Prendre conscience de la définition
de la racine carrée d’un nombre.
de Développer
recherche.
un
algorithme
de
Voir le commentaire de l’exercice 2
II_11 IUFM Créteil
9
A
II_12 IUFM Créteil
10
V
37
Valeurs
Distinguer une valeur exacte
exactes
et Voir les exercices 2 et 10.
d’une valeur approchée.
approchées
Utiliser les règles formelles de
Comparer et
calcul (Hors programme de
racines
troisième France).
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
243
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
– Écrire la séquence de touches correspondantes à chacune des expressions suivantes :
– A quelle expression correspond chacune des séquences suivantes :
– Écrire l’expression conventionnelle correspondant à l’affichage écran suivant :
– Effectuer ce calcul sans calculatrice, puis avec calculatrice...
Montrer que 30 est la somme de quatre « carrés » d’entiers inférieurs à 10.
Montrer que 2001 est la somme de quatre « carrés » d’entiers.
On cherche un nombre positif, dont le carré soit 8, ou à défaut un encadrement de ce nombre.
a) 1 est il ce nombre, pourquoi ? Sinon 2 est-il ce nombre, pourquoi ? Sinon 3 est-il ce nombre ?
b) 2,1 est il ce nombre ? .....
c) Trouver un encadrement du nombre cherché, au millième près ?
d) Poursuivez votre recherche jusqu’à la précision maximale de votre machine.
e) Élever au carré le nombre trouvé ou les valeurs approchées les plus précises. Obtient-on 8 ?
f) Comparer les nombres de cet encadrement avec le résultat obtenu en utilisant la séquence
sur la
calculatrice. Que peut-on en conclure ?
g) Élever au carré le nombre trouvé, après avoir tapé la séquence
sur la calculatrice. Que pourriez-vous en
conclure si vous n’étiez pas vigilant ?
Comparer à l’aide de la calculatrice :
Ces deux nombres sont-ils égaux ? Pourquoi ?
Comparer à l’aide de la calculatrice.
Ces deux nombres sont ils égaux ?
244
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
38
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_13 IUFM Créteil
II_14 IUFM Créteil
degré
8
9
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
E
TITRE
contenu ou objectif mathématique
Fibonnaci
Conjecturer, provoquer le passage
d’un calcul numérique au calcul
littéral pour démontrer.
Retour
départ
E
Utiliser un algorithme de calcul
pour assimiler le passage du
case langage parlé aux conventions
d’écriture.
Motiver le besoin d’une preuve,…
littérale.
A manier avec précaution en
raison de la notation.
II_15 IUFM Créteil
8
A
Ne doit pas être dissocié des
règles d’écriture habituelles Écriture
qui
restent
l’objectif
rédactionnel, quoi que...
penser à la résolution d’un
système 2L1-3L2=
!
Utiliser la touche
« Opérateur »
II_16 Ruhal Floris
9
R
Modéliser
avec l’algèbre
ou bien
un tableur ! !
II_17
7
A
Sans x
II_18
7
R
330
38
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
245
Écriture algébrique sur écran pour
assurer la maîtrise des règles de
priorité.
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
– Choisir deux nombres entiers « a » et « b ».
Leur somme constitue le troisième nombre d’une série de nombres, le quatrième nombre de cette série est la
somme des deux précédents, le cinquième également ainsi que les suivants.
– Déterminer les 10 premiers nombres de la série.
– Comparer la somme des six premiers nombres au cinquième.
– Comparer votre remarque à celle de vos voisins.
Pourrait-on être certain de la propriété mise en évidence ?
Choisir un entier relatif, lui ajouter son suivant immédiat, multiplier le résultat obtenu par 3 puis retrancher 3,
diviser le résultat par 6.
a) Comparer votre résultat à celui de vos camarades.
Bizarre, non ?
b) Pourrait on être certain de la propriété mise en évidence ?
comme le pensent parfois des élèves. Le calcul formel permet aussi de résoudre
pas à pas des équations ou inéquations en utilisant les « bonnes » règles.
Trouver une formule qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs.
Trouver une formule qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs et telle qu’à 0 corresponde 5.
Trouver une formule qui ne fait afficher que des nombres impairs successifs et telle qu’à 0 corresponde -1.
Trouver deux autres formules qui ne font afficher que des nombres impairs successifs.
Trouver une formule qui ne fait afficher que des multiples de 3
Faire afficher des nombres pairs, puis leurs carrés dans la colonne à droite. Que peut-on conjecturer sur le carré
de nombres pairs ?
Trouver une formule qui affiche la somme de deux nombres impairs consécutifs et qui montre qu’il s’agit de
deux nombres impairs consécutifs. Trouver ensuite une formule plus simple (3ème colonne).
Montrer que le nombre 5x+2 est pair ou impair suivant les valeurs de x entier. Formuler une conjecture à propos
de la parité du nombre x lorsque n est pair; puis lorsque n est impair.
Montrer que la somme de deux nombres pairs consécutifs est un nombre pair qui n'est jamais divisible par 4.
Sans utiliser la touche [x] et un minimum d’opérations sur la calculatrice, calculer les produits suivants :
387 × 204 et 387 × 199.
Avec la calculatrice, on ne peut utiliser que les touches [+], [x], [=] et 2. On affiche au départ le nombre 18. Sans
effacer ni éteindre, comment peut-on atteindre le nombre 330, en utilisant le moins possible de calculs.
246
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
39
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_19
degré
10
E
R
A
V
A
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
Selon le modèle de la
calculatrice
on
pourra
Ordonner
l’utiliser
pour
trouver
grands
l’ordre ; ajouter des « 9 »
nombres
pour obliger le calcul
algébrique.
II_20
Ordre de grandeur.
Identités remarquables.
7 puissance
de Division
Diviseurs.
II_21
7
E
Diviseurs
72
II_22 [p8]
6
E
Il était
fois
II_23 [p8]
7
V
Estimation
II_24 [p8]
7
R
Division
euclidienne
[p8]
2P page 210
V
II_25 Calcul réfléchi et
calculette,
voir
livre du maître 2P
page 263 et 265
II_26 [p8]
4
Voir aussi commentaires
didactiques généraux page
zéro
115 ss.
V
Mettre à zéro
Le compte est
bon
(2P-5P)
II_27 [p8]
39
des
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
247
euclidienne.
Décomposition en produits.
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Ordonner les trois nombres suivants :
A = 999 999 999 999 × 999 999 999 999
B = 999 999 × 999 999 × 999 999 ×999 999
C = 999 999 999 999 999 999 × 999 999
On estime aisément l’ordre de grandeur des trois nombres à 1024. mais ensuite ? Il faut passer par une écriture
en utilisant les puissances, par exemple A = (1012-1)2 ou introduire une notation algébrique x = 999 999 et faire
le calcul algébriquement.
Calculer la plus grande puissance de 7 possible.
Déterminer tous les diviseurs de 72 en utilisant une calculatrice et en un minimum d’opérations.
Utiliser la division entière si possible.
En utilisant des signes « x » et une fois des nombres de la liste
2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,40,50 et 60, on peut former par exemple, l’égalité 30x2=4x3x5
En respectant cette règle, chercher d’autres égalités qui comportent le plus possible de signes « x ».
Deux joueurs, une calculatrice. Entrer à la calculatrice le nombre donné puis le signe ÷. Le premier joueur doit
entrer un nombre tel que le résultat de l’opération soit dans le domaine donné. Il a droit à deux essais. Ensuite, les
joueurs changent de rôle. Ecrire tous les résultats obtenus.
(i) 1250 ÷ …….. = ………
1250 ÷ …….. = ………
(ii) 999 ÷ …….. = ………
999 ÷ …….. = ………
Domaine :
Entre 26 et 29 (compris)
Domaine :
Entre 20 et 23 (compris)
Compléter la division 19372 ÷ ….. = 27 ;
Quelles sont les solutions possibles ?
6
14
24
26
56
Utilise deux nombres parmi les cinq proposés et les signes « + » ou « - » pour fabriquer des calculs dont la
réponse est un nombre qui se termine par 0.
Faire afficher le nombre 249861. Soustraire un nombre de telle sorte que le 4ème chiffre depuis la droite se
transforme en 0.
Variante :
Soustraire des nombres de façon à transformer tous les chiffres en zéro, du chiffre le plus petit au plus grand.
(En 2P)
J’affiche 5 , je n’utilise pas la touche 5
J’affiche 24 je n’utilise pas les touches 0 1 2 4
(En 5P)
Tu dois trouver 189 sans utiliser les chiffres de 2 à 9
Tu dois trouver 1000 sans utiliser les chiffres 1, 2, 3, 4 et0.
248
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
40
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
II_28 [p8]
5
E
Explorer
nombres
consécutifs
II_29
6
A
base 10
Activités pour mieux maîtriser les
propriétés du système en base 10.
[p9] ou A Deledicq
« la magie du
II_30
9
calcul »
éd.
Kangourou
A
Miracles
Activités pour faire sentir le besoin
de la preuve algébrique.
40
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
249
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Explorer les suites de 3 nombres consécutifs et leurs propriétés.
Idem pour 4, 5 nombres consécutifs.
Affiche le nombre 123,45 sur ta calculatrice.
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des unités du nombre augmente de 1 ? diminue de
1?
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des dizaines du nombre augmente (diminue) de 1 ?
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des centaines du nombre augmente (diminue) de 1 ?
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour que le chiffre des dixièmes du nombre augmente (diminue) de 1 ?
etc.
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour déplacer la virgule d’un cran vers la gauche ? vers la droite ?
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour déplacer la virgule de deux crans vers la gauche (droite) ?etc.
Quelle opération faire avec ta calculatrice pour augmenter de 1 tous les chiffres du nombre ? diminuer de 1 ?
Recommence toutes les étapes en affichant 199,99. Que se passe-t-il ?
Choisissez un entier s’écrivant avec 3 chiffres.
Écrivez-le deux fois côte à côte pour avoir un nombre de 6 chiffres (ou bien : écrivez un nombre de six chiffres
tels que le chiffres des unités soit le même que le chiffre de milliers, que le chiffre des dizaines soit le même que
le chiffre des dizaines de mille et que le chiffre des centaines soit le même que celui des centaines de mille)
Divisez successivement ce nombre par 7 puis par 11 puis par 13. Expliquez le résultat.
Idem avec un nombre de six chiffres dont le chiffre des unités, des centaines et des dizaines de mille est le même,
et le chiffre des dizaines, des milliers et des centaines de mille le même. Divisez-le par 3, puis par 7, puis par 13
puis par 37. Pourquoi obtenez vous ce que vous obtenez ?
Formez tous les nombres possibles avec trois chiffres et calculez leur somme S. Calculez aussi s la somme des
trois chiffres. Divisez S par s . Justifiez ce résultat.
Choisissez un nombre entier de 3 ou 4 chiffres. Faites-en un autre avec les mêmes chiffres. Pourquoi la différence
entre ces nombres est un multiple de 9 ?
Choisissez un nombre entier de 3 chiffres – Calculez S la somme de ses chiffres – Écrivez un autre nombre de 3
chiffres en renversant l’écriture du nombre initial, c’est-à-dire en échangeant le chiffre des unités avec celui de
centaines – Ajoutez les deux nombres – Retranchez le double de S – Divisez le résultat par 9 – Retranchez du
quotient le double de S – Divisez encore par 9 – Ajoutez au quotient le chiffre des dizaines.
Aviez-vous prévu le résultat ?
Choisissez un nombre entier de 3 chiffres – Renversez-le – Soustrayez le plus petit du plus grand – Renversez la
différence – Ajoutez la différence et son renversé –
Expliquez !
Choisissez un nombre de 1 chiffre. Multipliez-le par 9. Multipliez votre âge par 10. Soustrayez du décuple de
votre âge 9 fois le nombre. Donnez-moi le résultat et je peux trouver votre âge.
Comment ?
250
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
41
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
II_31 [p10]
8
A
un regard critique envers les Affichage non
résultats de la calculatrice.
contrôlé
II_32 [p10]
7
A
Vraisemblance des résultats
II_33 [p10]
8
A
Ainsi
sur
la
même
calculatrice on trouve 105 +
Qui a raison ?
10-5– 105 = 0 mais 105 +
10-4 – 105 = 0,0001
II_34 [p10]
8
A
II_35 [p10]
8
E
Les touches qui économisent. Itération
II_36 [p10]
10
E
Les touches qui économisent. Les suites
41
Vrais ?
Dans le
registre
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
251
contenu ou objectif mathématique
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
On peut ensuite leur demander d’inventer de tels exercices pour leurs camarades.
Voici des résultats obtenus lors d’opérations par plusieurs élèves qui ne calculent pas tous juste. Sans faire le
calcul, exclus les résultats qui te semblent impossibles et explique pourquoi tu les as exclus. Vérifie ensuite avec
la calculatrice si les valeurs que tu as exclues devaient l’être.
Calculez avec la machine
A = (106 + 10-6 - 106) : 10-6
B = (10-6 + 106 – 10-6) : 106 .
Quel est le résultat de la calculatrice ? Et quel votre résultat "à la main" ? Qui a raison ?
Pour savoir le nombre de chiffres avec lesquels travaille ta calculatrice tu peux effectuer une division,
par exemple effectue 10 : 7 = 1,428571429.
Essaie de savoir combien de chiffres sont stockés dans le registre de la calculatrice.
– Pour cela, tu soustrais la partie entière du quotient (le ou les chiffres avant la virgule, ici 1), puis tu multiplies
cette différence par 10 et tu recommences... On voit ainsi apparaître successivement 4,285714286 puis
2,857142857 puis 8,571428571 puis 5,71428571 puis 7,1428571.
– Ceci signifie que la calculatrice n'a pas d'autres chiffres en mémoire après le dernier 1.
Elle a donc un affichage de 10 chiffres et un registre contenant 13 chiffres.
Essaie avec un autre exemple comme 1/13 ou √2.
Une balle rebondit aux 17/24 de sa hauteur de chute.
Calcule les hauteurs des rebonds successifs :
Suite arithmétique
Une suite est constituée de termes numérotés de 1 à n. Dans une suite arithmétique on obtient le terme suivant en
ajoutant toujours le même nombre appelé raison et noté r au terme précédent : an = an-1 + r. Calcule en utilisant ta
calculatrice le 20e terme d'une suite arithmétique de terme initial a0 = 1,5 et de raison 0,505. Aurais-tu pu éviter
de calculer tous les termes intermédiaires et trouver directement le 20e terme ?
Suite géométrique
Une suite est constituée de termes numérotés de 1 à n. Dans une suite géométrique on obtient le terme suivant en
multipliant le terme précédent par un nombre r appelé raison : an = an-1 × r. Calcule en utilisant ta calculatrice le
20e terme d'une suite géométrique de terme initial a0 = 100 et de raison 0,999. Aurais-tu pu éviter de calculer tous
les termes intermédiaires et trouver directement le 20e terme ?
252
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
42
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
II_37 [p10]
9
R
Programmati
on et boîte
noire
II_38 [p10]
9
E
Programmation
[p10]
II_39 Autres
exemples 9
A
dans [j13]
II_40 [p10]
42
7
les
grands
nombres
apparaissent
sur
la Grands
calculatrice
en
écriture petits
scientifique
découverte
et la
scientifique.
de
l’écriture
Cet exercice est une préparation aux
Deux chemins
équations mais surtout comme le
pour le même
précédent permet de se promener
résultat
dans les familles de nombres.
R
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
253
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Tu « programmes » une opération avec la touche opérateur de ta calculatrice. Tu la passes ensuite à ton voisin qui
doit retrouver l’opération, que tu as programmée, par essais successifs ou en reconnaissant la fonction affichée
dans l’opérateur.
Introduis avec la touche opérateur constant x2π. Tu donnes ensuite à x la valeur du rayon et l’opérateur constant
te restitue directement l'aire du disque. Comment ferais-tu pour obtenir l’aire d’un carré ou le périmètre d’un
carré, d’un disque, ou d’un triangle équilatéral avec cette même touche ?
Le volume de la lune
Calcule le volume de la Lune en sachant que son rayon est de 1800 km
(le volume de la boule est donné par V = 4/3 π r3.)
L’étoile la plus proche
Calcule la distance du soleil à Proxima du Centaure à en sachant qu'un rayon lumineux met environ 4 ans pour
nous parvenir de cette étoile et que la vitesse de la lumière vaut approximativement 300'000 km/s.
Solution : Ce problème est plus facile pour les élèves que de calculer la distance correspondant à une année
lumière, ce qui reste plus abstrait. Avec une année arrondie à 365 jours, on trouve d = 3,78 1013 km.
Ca grouille
Calcule le nombre de bactéries qu'on aura dans un bouillon de culture à partir d’une seule bactérie après un jour
de travail du laboratoire (12 heures), en sachant que les bactéries se reproduisent par mitose toutes les 20 minutes
approximativement
Que de secondes
Combien s’est-il écoulé de secondes depuis le Big Bang (celui-ci se serait produit il y a 15 milliards d’années)
L’humanité en boîte
Si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque terrain carré à raison de 1 m2 par individu, quelle serait
la taille de ce carré ? Et si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque cube en supposant qu’une
personne occupe 0,5 m3, quelle devrait être son arête ? 100 m ? 1 km ? 10 km ? 100 km? 1000 km? Et si enfin on
répartissait également toute l’humanité sur l’espace des terres émergées, soit environ 510 millions de km2, de
quel espace disposerait chaque individu ?
Quelques calculs
Peux-tu comprendre ces résultats ?
3×103 + 5×104 = 530003×104 + 5×104 = 80000
3×103 + 5×105 = 503000
3×103 × 5×104 = 150000000 etc.
Explique comment on les trouve. Avec ton voisin, faites d’autres essais et contrôlez les résultats sur la
calculatrice.
Les exposants négatifs
Essaie avec ta calculatrice 5EE –6 = 12 EE –3 = 8EE7 = 5,3EE –2 =0,09EE-3 =Qu’en conclus-tu ? Essaie
avec d’autres exemples pour vérifier ta supposition.
On propose aux élèves de retrouver la règle correspondant à l'écriture a 10-n à partir de plusieurs exemples
numériques. Une discussion entre les élèves permet normalement de trouver comment comprendre cette notation.
On cherchera ensuite des exemples en physique (dimensions des atomes) ou biologie pour appliquer cette
notation. Enfin on en justifiera la cohérence en montrant ce qui se passe quand on divise successives par 10.
On a une calculatrice avec opérateur fixe ou avec itération automatique de la même opération. On affiche 0 et on
fait + 4 (ou on utilise l’opérateur constant) un certain nombre de fois. On recommence en affichant 13 et on itère
plusieurs fois + 5. On a trouvé le même nombre. Quel peut bien être le nombre trouvé?
Les élèves sont répartis en deux groupes qui se partagent le travail pour essayer de trouver les différents nombres
qui conviennent.
254
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
43
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
Problème simple dont on ne connaît
pas la solution.
II_41
7
E
Problème
ouvert
II_42 [p10]
8
E
Le dernier
II_43 [p10]
7
R
Carré
finissant par
3
II_44 [p10]
7
A
Des trois
II_45 [p10]
9
R
Des septièmes
II_46 [p10]
9
A
expressions
bizarres
Besoin de l’outil algébrique.
II_47 [p10]
8
A
Toujours
vraie ?
Le tiers-exclus et les règles du débat
mathématique.
II_48 [p10]
8
R
Carré
carré
43
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
255
dans
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
On choisit un nombre entier. S’il est pair, on le divise par deux, s’il est impair on le multiplie par 3 et on ajoute
deux. On recommence avec le nombre obtenu. Quel est le « parcours » des différents nombres ?
Écris les nombres de 1 à 9 sur une ligne. En dessous, écris leur carré, encore en dessous leur cube, puis les
puissances 4e et 5e. Observe les derniers chiffres des 45 nombres obtenus en colonne (pour chaque nombre n, n2,
n3, n4, n5) et en ligne (tous les carrés, tous les cubes, etc.). Écris 5 remarques à ce propos.
Quel est le dernier chiffre de 20022002 ?
Si on multiplie un nombre entier par lui-même, alors le résultat ne se terminera jamais par le chiffre 3 ».
Vrai ou Faux ?
Calcule par écrit puis à l'aide de la calculatrice
1: 3 et 2 : 3.
Comment expliques-tu la suite de 3 obtenus dans la division 1 : 3 ?
Comment expliques-tu la suite des chiffres que tu obtiens dans le quotient de 2 : 3 ?
Quel en est le dernier chiffre ?
Compare les deux quotients obtenus.
Les septièmes sont des fractions étonnantes :
leur écriture décimale est périodique et comporte les 6 chiffres 142857.
Calcule successivement les quotients 1 : 7 , 2 : 7 , 3 :7 etc.
ou transforme les fractions correspondantes en nombres décimaux avec la touche de ta calculatrice.
Qu’observes-tu ? Peux-tu expliquer cette régularité ?
Choisir deux nombres a et b tels que a + b = 1. Calculer a2 + b et a + b2. Que se passe-t-il ? Comment le
prouver ?
Le nombre n2 –n + 11 est-il toujours premier ?
Voici un exemple plus simple : « n(n+1) est toujours divisible par 3, 5 ou 7, quand « n » est plus grand que 2. »
Dans la cour, dessiner à la craie un carré de 6 mètres de côté. Calculer son aire. Relier les milieux des côtés et
pour former un nouveau carré. Quelle sera l’aire du nouveau carré ? Déterminer la mesure du côté du nouveau
carré.
Solution : Les élèves mesurent le côté du petit carré. On les encourage à vérifier leur résultat, s’ils n’y pensent
pas pour retrouver l’aire de 18 = 36 : 2. Avec les valeurs mesurées, ils n’obtiennent pas 18. On va donc passer à
une mesure plus précise, mais on est limité par la précision du double décamètre. On passe alors à des
encadrements du côté : de l’encadrement de l’aire à l’encadrement du côté 16<18<25 donc 4<c<5, on cherche
une longueur entre 4m et 5 m donc entre 40 dm et 50 dm. Quels sont les carrés qui encadrent 1800 dm2. On
cherche avec la calculatrice des carrés qui puissent convenir. Ici on a encore des indices liés au résultat de la
mesure.1764 < 1800 < 1849
42 < c < 43
A l’étape suivante on cherchera des carrés des nombres compris entre 420cm et 430cm. On continue de même en
passant au mm maison risque d’être limité par l’affichage. On a ainsi investigué des nombres et on s’est posé des
questions.
Peut-être est-il possible de faire déjà constater ici la vanité de la recherche de c. En effet on augmente de plus en
plus le nombre de ses décimales tout en voulant obtenir un carré qui se termine par des zéros, au fur et à mesure
on s’enfonce dans des unités plus petites…
256
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
44
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
[p10]
Voir aussi MERM
et 9
Opérations n° 100
« Déracinés ! »
II_49 Nombres
A
Le
même
nombre ?
II_50 [p10]
A
Les formes
44
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
257
contenu ou objectif mathématique
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent le même nombre?
Même exercice avec des racines carrées et des fractions plus difficiles
10 : 6
0,6
25
9
18
30
5× 1
3
1 1
⋅
3 5
4 × 1,5
9
5
0,5 ×1,2
6 : 10
0,2 + 2
5
Quand les nombres ont été regroupés, tu peux utiliser ta calculatrice pour vérifier tes résultats.
Parmi les écritures suivantes, lesquelles désignent le même nombre ?
Pour donner la réponse, tu peux utiliser ta calculatrice pour trouver si nécessaire des valeurs approchées et classer
tes résultats dans un tableau selon l'écriture "modèle" de l'expression, où a et b désignent des entiers positifs :
Écriture décimale exacte ou approchée;
√a; a√b ; √(a + b); √a + √b; √(a b); √a√b; √(a/b); √a/√b; autre
Trouve une écriture de 6 puis de 4,5 sous la forme d’
une somme de deux (respectivement trois) termes
une différence
un produit de deux (respectivement trois) facteurs
un quotient
une fraction de dénominateur 10
une fraction de dénominateur 2
une fraction de numérateur 300
Trouve si possible une écriture de 9/4 puis de –8 sous la forme d’
une somme de deux termes
une différence
un produit de deux facteurs
un quotient
un carré (respectivement) une racine carrée
une racine carrée
une fraction de dénominateur 100
une fraction de numérateur 720
Trouve si possible une écriture de –2/3 puis de √6 sous la forme de
une somme de deux termes (respectivement) une différence
un produit de deux facteurs
un quotient
un carré (respectivement) une racine carrée …
258
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
45
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
II_51 [p10]
7
R
Cette recherche est à mettre en
Le plus grand
parallèle avec celle du rectangle de
produit
de
périmètre donné et d’aire maximale
deux
qui est un classique
II_52 [p10]
8
R
Le plus grand
des produits
II_53 [p10]
7
E
Une
petite
fortune
MERM Nombres
8
et Opérations n°78
E
Quel échec
II_54
II_55 [p10]
9
E
Un
Impair
pardonnable
II_56 [p10]
7
A
Premiers
composés
et
preuve facilement accessible
II_57 [p10]
9
E
Sommer
tout va !
à
Observer sans démontrer
45
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
259
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
On décompose un nombre entier en somme de deux nombres entiers. Quand est-ce que le produit de deux termes
obtenus est le plus grand ?
Chercher parmi les décompositions additives d’un nombre entier en somme de nombres entiers, celle(s) qui
correspondent au plus grand produit.
Solutions : Même avec un nombre relativement petit, la combinatoire des possibilités est grande : pour 10, il y a
11 possibilités en excluant les décompositions comportant des 0 et des 1 que les élèves éliminent rapidement.
Cette recherche demande organisation et réflexion.
La solution générale est la maximalisation du nombre de termes égaux à 3.
Joëlle a 147 F dans sa tirelire en pièces de 2 F et de 5 F. Elle a en tout 39 pièces. Combien a-t-elle de pièces de
chaque sorte ?
proposer de présenter les calculs dans un tableau, où figurent le nombre de pièces de 2 F, de 5 F, et la somme d’argent
correspondante.
Le nombre de grains de riz sur l’échiquier
(un grain de blé pour la première case, deux grains pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième…on
double le nombre d’une case à l’autre ! On estime à 5g la masse de 100 grains.)
Quels sont tous les nombres entiers impairs qui peuvent s’écrire comme somme d’au moins 3 nombres entiers
non nuls consécutifs ?
Solution : Il faut faire suffisamment d’essais pour pouvoir poser une conjecture correcte.
Trouver la caractéristique des nombres pour lesquels ça marche : ce sont les nombres impairs composés. Établir
une preuve de la conjecture (si on peut montrer que ça marche avec les nombres composés, il est difficile de
prouver que ça ne marche pas avec les nombres premiers).
Relances Pour ceux qui auraient de la peine à démarrer,
on peut donner des exemples :
le nombre 9 convient car : 9 = 2 + 3 + 4
le nombre 15 convient car : 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Quel peut être le nombre de termes de la décomposition ? Pair ? Impair ?
Faire un lien avec les diviseurs d’un nombre impair donné.
2 , 3 , 5 , 7 , ... sont premiers, 4 , 6 , 8 , 9 , ... sont composés.
Quels sont les nombres premiers somme de deux nombres composés ?
Exemple : le nombre 31 convient car 31 = 6 + 25 .
L’un des intérêts de cette activité est que la preuve est facilement accessible aux élèves. Par exemple, tout nombre premier
supérieur ou égal à 13 peut s’écrire comme la somme du nombre composé 9 et d’un nombre pair plus grand que 2
Quels sont les nombres entiers qui sont la somme d’au moins deux nombres entiers consécutifs ?
Solution : La réponse est que tous les nombres entiers conviennent, excepté les puissances de 2. Si les élèves font
suffisamment d’essais, ils peuvent parvenir à ce résultat. Par contre, il nous semble difficile d’en établir une
preuve mathématique à leur niveau, mais ils peuvent voir comment cela semble fonctionner…
260
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
46
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
II_58
7
R
Retour à 10
II_59
10
E
Nombres
Fermat
II_60 [p10]
7
E
Une aire et
beaucoup de
périmètres
II_61 [p10]
8
de
A
Tant que ça ?
A
Fractions
continues
V
Un rapport à
évaluer
[j13]
voir aussi MERM
et 9
Opérations n° 215
« Les chasseurs de
PI »
II_62 Nombres
II_63 [p10]
46
7
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
261
Tout l’intérêt est d’approximer le
résultat avant de se lancer dans tous
les calculs possibles à partir d’un
choix raisonnable du nombre
d’élèves dans la classe (de 12 à 28).
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
A partir d’un nombre compris entre 100 et 1000, il faut afficher 10 comme résultat en un maximum de 4
opérations, mais en n’utilisant que des nombres compris entre 1 et 9 après l’opération.
Exemple : 456 + 3 = 459
459 : 9 = 51
51 + 9 = 60
60 : 6 = 10
Joue une partie de retour à 10 avec un(e) camarade.
A tour de rôle, chacun donne un nombre à l’autre. Découvre une stratégie efficace pour gagner. Peut-on gagner
avec n’importe quel nombre ?
n
Fermat pensait que les nombres de la forme Fn = 2(2 ) + 1 étaient premiers.
Estime le nombre de chiffres de F10 en sachant que 210 = 1024.
Calculez F0, F1, F2, F3 et F4.
Parmi tous les rectangles d’aire 24 cm2, lequel a le plus grand périmètre ?
Solution : Les élèves expérimentent les décompositions entières de 24 et réalisent que 1×24 donne le plus grand
périmètre… et puis il y a un saut conceptuel quand l’un dans la classe tente un nombre décimal comme 0,5 qui
permet de dépasser 24 pour la longueur. La calculatrice n’est pas indispensable au début, mais elle permet, si
les élèves sont encore peu à l’aise avec des multiplications de très petits nombres comme 0,0001 de retrouver la
longueur quand la largeur est un décimal très petit.
Dans une classe, le calcul du pourcentage de filles, arrondi à un chiffre après la virgule est de 65,2% Peut-on
déterminer le nombre de filles et de garçons de la classe ?
ou bien
Dans l’Essai philosophique sur les probabilités du grand mathématicien Laplace (1749-1827) apparaît le rapport
du nombre de garçons au nombre de filles à la naissance égal à 1,047. Exprimez ce rapport sous forme d’une
façon plus parlante.
Exprimer une approximation de π à l’aide d’une fraction.
(plus de détail dans l’Annexe au rapport de calcul [j13]
Calcule
3+5
à la main et puis avec ta calculatrice. As-tu le même résultat ?
6+4
Plusieurs élèves ont fait ce même calcul avec leur calculatrice et ont trouvé
7,833333333 0,8
3,5
5,333333333.
Explique comment ils ont procédé. Pour que les calculs mathématiques donnent les mêmes résultats pour tous,
les mathématiciens se sont mis d'accord sur des règles de procédure qui donnent un résultat unique. Quelles sont
ces règles ?
262
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
47
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_64
Ruhal
Gruner
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
Floris
TITRE
Mémoire
formule
Casio
Arrondir
affichés.
les
nombres
contenu ou objectif mathématique
et
Charrière 8
E
II_66
8
A
Un produit à
19 chiffres
II_67 IUFM Créteil
7
V
Sans poser
II_65 [PM
volu.pdf]
47
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
263
Même volume
Anticiper et contrôler
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
memoiretformule.pdf est une fiche élève indiquant comment utiliser la mémoire ainsi que l’opérateur constant: elle
se trouve dans le dossier numérique „bibliographie“.
Le dossier complet “Volu.pdf” dans “bibliographie”
Dans le livre Le pays d’esprit de Robert F. Young, auteur américain de science fiction, on peut lire le passage
suivant :
Mercy se pencha en avant et l'observa avec attention.
"Si cela peut vous faciliter les choses, Mr. Carpenter", dit-elle, "je peux faire des calculs simples comme ceux
que vous faites en ce moment. Par exemple :
828 464 280 multipliés par 4 692 438 921 donnent 3 887 518 032 130 241 880."
L'objet de ce devoir est de vérifier ce calcul, en utilisant vos connaissances de mathématiques et votre
calculatrice.
264
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
48
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Casio
E
utilisation des fonctions de la
calculatrice.
Statistiques
Avec fiche corrigée.
Casio
Marc
Ferrand 9
« 2operateurs.pdf »
E
Opérateurs
A
Écriture
C_STAT4ELEVE pdf
II_70 [j2]
48
TITRE
Ferrand 9
II_68 Marc
II_69
Usage(s) de la calculatrice
4
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
265
contenu ou objectif mathématique
moyenne pondérée
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
C_STAT4-ELEVE.pdf dans le dossier « bibliographie » : il est accompagné de la correction !
2operateurs.pdf dans le dossier “bibliographie”
266
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
49
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
II_71 [j2]
4
A
Opérer
II_72 [j3]
5
R
Trois pas à
zéro
II_73 [j4]
10
A
Grosse multiplication
II_74 [j4]
7
E
Pour diviser
II_75 [j24]
5
V
Calcul mental Les élèves interprètent ce type
d’exercices comme un défi à
ou
calculer mentalement.
calculatrice
49
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
267
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Il s’agit d’une adaptation pour le primaire d’une activité (fig. 6) proposée par Williams &Stephens (1992) et étudiée dans des
classes du secondaire I par Kieran & Guzman (2003).
Voir ex 66
268
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
50
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
II_76 [p15]
TITRE
contenu ou objectif mathématique
G
Epreuve cantonale
II_77 de maths 6P mai 6
E
Calcul d'Aire
E
10'000 jours
R
Pour
l’apprentissag
opérations dans Z
e de notions
nouvelle
2001, question 9
Epreuve cantonale
II_78 de maths 6P 2004,
question 8
MERM Nombres
II_79
7
et Opérations
50
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
269
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
fiches GRUNER
L'aire d'un rectangle est de 13,075 cm2.
Le grand côté de ce rectangle mesure 5,23 cm.
Auriane vient de fêter ses 10'000 jours.
Mais quel âge Auriane aura-t-elle lors de son prochain anniversaire ?
voir EX 74
Les exercices MERM du livre « Nombres et Opérations »
44 « Que trouves-tu ?» et 49 « Quoi de plus ? », pour l’étude de l’addition-soustraction dans Z.
270
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
51
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
MERM Nombres
II_80
8
et Opérations
R
Pour
l’apprentissag
opérations dans Z
e de notions
nouvelle
II_81
MERM Nombres
8
et Opérations n°8
A
Le plus grand Diviseurs
II_82
MERM Nombres
9
et Opérations n° 82
E
Une
commission
en or
E
La
division
écriture décimale et fraction
blindée
MERM
II_83 et
Nombres
Opérations 8
n°142
51
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
271
opérations et puissances
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Les exercices MERM du livre « Nombres et Opérations »
55 « Plus ou moins », et 57 « Diviser pour régner » pour l’étude de la multiplication-division dans Z
Choisis un nombre compris entre 30 et 60. Calcule le produit de tous ses diviseurs.
Compare le résultat avec ton voisin et cherche le nombre qui donne le plus grand résultat possible.
Cherche, à l’aide des nombres entiers naturels de 1 à 10, le quotient de toutes les divisions qu’il est possible de
faire.
Regroupe-les ensuite par familles.
272
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
52
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_84
degré
MERM
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
contenu ou objectif mathématique
V
Pour valider
des
opérations et
rendre l’élève
autonome
Nombres
Opérations 9
A
Signalements
Rationnel
Nombres
Opérations 10
A
Défi !
Pi, inverse, équation
MERM Nombres
et Opérations
II_85 et
E
R
A
V
n°143
MERM
II_86 et
n°220
52
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
273
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Les exercices MERM du livre « Nombres et Opérations »
67 « Parenthèses indispensables », 71 « Qui a raison ? », et 85 « Comment procéder ? »
On recherche désespérément des nombres rationnels qui correspondent aux signalements suivants :
- son écriture décimale est 4, 42857142857142…
- son écriture décimale est 4,571428571428…
- son écriture décimale est 5,090909…
- son écriture décimale est 4,8888…
Phi prétend avoir trouvé un nombre exactement supérieur de 1 à son inverse.
Phi a-t-il raison ?
274
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
53
origine :
(références : voir
bibliographie)
n°
II_87
53
MERM Nombres
et Opérations
degré
E
R
A
V
Usage(s) de la calculatrice
TITRE
Quelques
exercices
pour
un
apprentissage
intégré
du
fonctionneme
nt des touches
E
Exécuter – Rechercher/explorer – Approfondir/conceptualiser – Vérifier
275
contenu ou objectif mathématique
Usages d’une calculatrice de poche dans un cours de mathématiques
énoncé
Les exercices MERM du livre « Nombres et Opérations »
90 « Sur cette calculatrice », 101 « Comment s’y prendre ? », 102 « En panne ! », 88 « La bascule », 129
« Quelles touches ? », 213 « Petite frappe », 211 « Faire des bulles », 214, Dépit ».
(90)
(129)
(214)
276
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