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Déclenchement d'activité ectopique et infidélité de la transmission
dans un axone endommagé : une modélisation fondée
sur le décalage cinétique des canaux sodiques
Mathieu Lachance
B. Sc. Université Laval 2003
thèse soumise à la
Faculté des Études supérieures et postdoctorales
dans le cadre des exigences
du programme de maîtrise en physique
Institut de physique Ottawa-Carleton
département de physique
Université d'Ottawa
© Mathieu Lachance, Ottawa, Canada, 2014
Sommaire
Les neurones endommagés développent de l'activité ectopique, c'est-à-dire qu'ils
déchargent en l'absence de stimulus, ce qui engendre ensuite des douleurs
neuropathiques. Des mesures expérimentales ont lié cette activité ectopique à un décalage
cinétique (coupled left-shift, CLS) des canaux sodiques tensiodépendants. Nous avons
donc construit un modèle numérique d'axone où une portion endommagée subit un tel
décalage. Deux résultats fondamentaux et nouveaux sont obtenus :
1) En présence d'activité ectopique, une stimulation à haute fréquence peut entraîner la
zone ectopique de l'axone à décharger à la même fréquence que le stimulus. La
propagation est alors presque normale.
2) Dans un axone faiblement endommagé, sans activité ectopique au départ, un stimulus
temporaire peut déclencher une activité ectopique qui perdure. Ceci amplifie le stimulus
et peut donc être lié aux symptômes de douleurs neuropathiques.
En plus de ces travaux de recherche, cette thèse propose une imposante section
pédagogique, adressé au physicien qui débute en neurosciences.
Sommaire
i
Summary
Injured neurons exhibit ectopic activity (ie. they fire without being stimulated), leading to
neuropathic pain. Experiments have linked this ectopic activity to a kinetic shift (coupled
left-shift, CLS) of the voltage-gated sodium channels. Therefore, we have designed a
computational model axon where a damaged zone is affected by such a left-shift. Two
important novel results were obtained :
1) In an ectopic axon, high-frequency stimulation can force the ectopic zone to phase-lock
to the stimulation frequency. Propagation is then almost normal.
2) In a weakly damaged axon, without initial ectopic activity, a short stimulus can trigger a
long lasting ectopic activity. This amplifies the stimulus and can thus be linked to
neuropathic pain-like symptoms.
In addition to this research work, this thesis encompasses a large educational section,
addressed to physicists just starting in neuroscience.
ii
Summary
Déclaration d'originalité
Les travaux présentés dans cette thèse sont, à ma connaissance, entièrement nouveaux
et originaux. En plus des deux chapitres et des trois appendices de mon cru, ils
comprennent un article à vocation pédagogique et un article de recherche.
Contribution à la rédaction des articles : J'ai rédigé seul l'article pédagogique présenté au
chapitre 2 et la première version de l'article de recherche présenté au chapitre 4. Ce
dernier a ensuite été retravaillé, surtout dans ses sections d'introduction et de discussion,
avec trois des autres coauteurs, André Longtin, Béla Joós et Catherine E. Morris, pour
donner la version finale présentée ici.
Contribution au contenu des articles : Dans le cas de l'article pédagogique présenté au
chapitre 2, ma contribution est totale puisque j'en suis le seul auteur. J'ai conçu seul les
deux projets, le premier se fondant sur un modèle déjà existant alors que le second est
fondé sur un modèle original de mon cru.
Dans le cas de l'article de recherche présenté au chapitre 4, ma contribution est
majoritaire. Notamment, tous les résultats présentés dans cet article ont été produits par
mon propre programme (codé en langage C). J'ai cependant bénéficié de plusieurs
contributions : d'abord, le modèle s'inscrit dans la lignée des travaux de Na Yu et de PierreAlexandre Boucher et une partie de mon code a été inspiré du leur ; ensuite, les étapes de
modélisation ont été guidées par mes codirecteurs de thèse André Longtin et Béla Joós,
de même que par des apports réguliers de Catherine E. Morris ; enfin, quelques
discussions-clé avec André Longtin et Richard Naud ont permis des déblocages à diverses
étapes des travaux de simulation.
Déclaration d'originalité
iii
Remerciements
Cette thèse ne saurait être abordée sans que je prenne d'abord le temps d'exprimer ma
gratitude à un bon nombre de personnes qui ont rendu ce projet possible.
Tout d'abord, j'aimerais remercier André Longtin d'avoir cru en moi dès la toute première
rencontre, au moment où j'ignorais tout du généreux financement que j'allais recevoir et
espérais poursuivre ma maîtrise à temps partiel. Malgré les nombreux écueils qu'aurait
probablement rencontré ce projet sans ma libération d'enseignement, il m'a recruté sans
hésitation. C'est aussi lui qui a proposé la codirection de Béla Joos, que j'ai grandement
appréciée. J'aimerais aussi remercier Konstantin Popov, Ivan L'Heureux, André Longtin et
Béla Joos pour les stimulants cours gradués qu'ils m'ont enseignés et dont chacun a été
pertinent à la poursuite de ma recherche ou à la rédaction de cette thèse.
Faire de la recherche n'est pas un acte solitaire : j'ai souvent bénéficié des discussions,
des conseils et des recommandations du dynamique Richard Naud et, malgré la barrière
de la langue, de sa prédécesseure Na Yu. De même, bien que moins fréquents, mes
échanges avec Pierre-Alexandre Boucher ont toujours été instructifs. Collaborer avec
Cathy Morris a aussi été un plaisir de chaque instant, la rencontre du théoricien et de
l'expérimentatrice, du physicien et de la biologiste, mais surtout de deux passions pour la
science. J'ai aussi apprécié les fascinants échanges et débats qu'ont suscité les autres
étudiants de mon groupe de recherche, notamment Alexandre Payeur, Charles Garfinkle
et Alexandre Melançon. Enfin, les partenaires de travail des nombreux cours gradués que
j'ai suivis, Jean Liu, Shem Lau-Chapdelaine, Benoît Lecavalier, Louis Jacques, Charles
Garfinkle et Julie Montgomery se sont avérés indispensables.
Faire une maîtrise nécessite aussi de garder l'équilibre et de s'aérer régulièrement l'esprit.
À ce chapitre, j'ai d'abord apprécié l'amitié et les nombreuses discussions hors-sujet des
autres locataires du MCD118. Des remerciements spéciaux vont à Alexandre Payeur, à
Dave Houtman, à Akio Yoshinawa et à Jessica Lemieux, pour m'avoir permis de décrocher
régulièrement. Côtoyer quotidiennement dans ce nouveau contexte mes propres anciens
étudiants, Laurent, Maude, Julie et Alexandre, a aussi été apprécié. Enfin, j'adresse un
merci spécial à des collègues, amis ou étudiants du cégep de l'Outaouais qui m'ont aidé
à traverser des moments moins faciles à l'hiver 2013, certains à leur insu : Claude
Desruisseaux, Simon Lespérance, Vicky, Jonathan, Mélodie, Jean-Maxime, votre joie a su
être contagieuse.
En terminant, j'aimerais saluer la patience et le dévouement de ma douce et vivifiante
Eliane, qui connaît bien ma soif pour les ambitieux projets et m'a soutenu tout au long de
cet exaltant périple. Tu es la meilleure d'entre toutes. Depuis la dernière fois que j'ai signé
les remerciements d'un projet de taille comparable, la vie m'a aussi fait cadeau de deux
merveilleux enfants, Aubert et Augustine, que je remercie aussi pour leur patience. Pour
les mois à venir, mon temps avec vous trois sera maintenant moins mesuré.
iv
Remerciements
Table des matières
Sommaire
Summary
Déclaration d'originalité
Remerciements
Table des matières
Liste complète des figures
Liste des équations principales
i
ii
iii
iv
v
viii
xi
Mode d'emploi pour le lecteur
xiii
Chapitre 1 : Guide du débutant
1
1.A) Concepts de biologie cellulaire
1.A.1 La cellule, unité de la vie
1.A.2 L'anatomie des neurones
1.A.3 La membrane plasmique est surtout une bicouche
1.A.4 La membrane plasmique n'est pas qu'une bicouche
1.A.5 Structure et fonction des protéines
1.A.6 Le modèle Michaelis-Menten pour la cinétique enzymatique
1
1
2
4
8
9
16
Guide de lecture 1.A
1.B) Électrophysiologie
1.B1) Potentiel de repos et potentiel d'action : les observations-clé
1.B1.1 Le potentiel de membrane
1.B1.2 Réactions du potentiel de membrane à une perturbation
1.B1.3 La membrane, un condensateur chargé
19
21
21
21
22
26
1.B2) Potentiel de repos dans les cellules non excitables
1.B2.1 L'équilibre de Nernst
1.B2.2 Le courant d'une espèce ionique
1.B2.3 Équilibre ou situation stationnaire ?
1.B2.4 L'équilibre de Donnan
1.B2.5 Les mesures montrent qu'une cellule réelle est hors d'équilibre
1.B2.6 Les pompes Na/K sont l'origine principale du potentiel de repos
1.B2.7 Les conductances de la membrane déterminent le potentiel de repos
27
28
30
32
33
35
36
37
1.B3) Potentiel de membrane dans les cellules excitables
1.B3.1 Survol des méthodes expérimentales
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
1.B3.3 Le modèle HH explique aussi la conduction le long de l'axone
1.B3.4 Réductions du modèle Hodgkin-Huxley
1.B3.5 Extension aux axones myélinisés des vertébrés
41
42
47
62
65
68
Guide de lecture 1.B
1.C) Biochimie des trois protéines fondamentales
1.C1) Les pompes Na/K
1.C1.1 La structure des pompes Na/K
1.C1.2 Fonctionnement de la pompe Na/K
1.C1.3 Les courants causés par la pompe Na/K
1.C1.4 La cinétique de la pompe Na/K
1.C1.5 Un peu de vocabulaire expérimental
1.C1.6 L'évolution et les rôles biologiques de la pompe Na/K
72
74
74
74
76
78
79
80
81
1.C2) Les canaux tensiodépendants
1.C2.1 La structure des canaux tensiodépendants
1.C2.2 Une interprétation moléculaire du modèle HH
1.C2.3 L'inactivation des NaV diffère des hypothèses du modèle HH
1.C2.4 Quelques techniques expérimentales
1.C2.5 L'évolution et les fonctions des canaux
Guide de lecture 1.C
82
83
85
88
90
91
91
Table des matières
v
1.D) Survol des notions d'encodage neuronal
1.D.1 L'encodage fréquentiel
1.D.2 L'encodage temporel
1.D.3 L'encodage de population
1.D.4 Application à nos travaux de recherche
92
92
93
94
94
Chapitre 2 : Article pédagogique
Présentation
97
97
«Two computational models disprove common misconceptions
about the physics of action potentials»
Abstract
I. INTRODUCTION
II. BIOPHYSICAL BACKGROUND
III. COMMON MISCONCEPTIONS
IV. COMPUTATIONAL PROJECT I
V. COMPUTATIONAL PROJECT II
VI. SUMMARY
APPENDIX
ACKNOWLEDGMENTS
References
99
99
99
99
101
103
105
107
107
107
107
Introduction à la thèse de recherche
109
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de
recherche et construction du modèle
113
3.A) Revue de littérature sur les cellules excitables endommagées
3.A.1 Membranes à cloques : normal ou pathologique ?
3.A.2 Cloques, neurotraumatismes et douleurs neuropathiques, des phénomènes reliés
3.A.3 Décalage cinétique couplé (CLS) des canaux NaV
3.A.4 Hypothèse de travail : tout dommage à une cellule excitable équivaut à un CLS
113
113
115
118
122
3.B) Questions de recherche et modélisation
3.B.1 Questions de recherche
3.B.2 Un modèle d'axone et non un modèle de membrane
3.B.3 Les concentrations ioniques : constantes ou non ?
3.B.4 La modélisation des pompes
3.B.5 Les fuites et les fuites spécifiques
3.B.6 Stimulation et propagation dans le modèle d'axone
129
129
130
131
132
133
135
Chapitre 4 : Article de recherche
Présentation
139
139
«Stimulation-induced ectopicity and propagation windows
in model damaged axons»
Abstract & introduction
Significance statement
141
141
141
Methods
Results
142
142
Ectopic activity can be triggered by stimulation
High frequency periodic stimulation can drive the ectopic node(s)
Sources of input-outpur disruption under phase locking conditions
A propagation window where output infidelity is minimal
Increased axoplasmic conductance counteracts ectopicity
Propagation window, affected oppositely by stimulation jitter and mild dynamic noise
Ionic gradient depletion gives propagation window a finite lifetime
142
142
143
144
144
144
145
Discussion
145
Acknowledgments
References
146
146
Supporting information
vi
147
Table des matières
Conclusion
153
Bibliographie
155
Index
165
Appendice A : Points-clé de dynamique non linéaire
AppA.1 Qu'est-ce que la dynamique non linéaire ?
AppA.2 Espace de phase
AppA.3 Point fixe, cycle limite ou autres
AppA.4 Un mot sur les bifurcations
AppA.5 Verrouillage de phase
167
167
168
168
172
173
Appendice B : Courants ioniques, potentiel de repos
AppB.1 Démonstration alternative de l'équation de Nernst
AppB.2 Le courant d'une espèce ionique
AppB.3 Le potentiel de repos
175
175
177
181
Appendice C : Considérations informatiques
AppC.1 Le principe de base et les méthodes
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
AppC.3 Quelques autres aspects techniques
Table des matières
172
172
176
184
vii
Liste complète des figures
Chapitre 1 : Guide du débutant
1.A.1
1.A.2
1.A.3
1.A.4
1.A.5
1.A.6
1.A.7
1.A.8
1.A.9
1.A.10
1.B1.1
1.B1.2
1.B1.3
1.B2.1
1.B2.2
1.B2.3
1.B2.4
1.B3.1
1.B3.2
1.B3.3
1.B3.4
1.B3.5
1.B3.6
1.B3.7
1.B3.8
1.B3.9
1.B3.10
1.B3.11
1.B3.12
1.B3.13
1.B3.14
1.B3.15
1.B3.16
1.B3.17
1.C1.1
1.C1.2
1.C2.1
1.C2.2
1.C2.3
1.C2.4
viii
cellule eucaryote
anatomie d'un neurone
phospholipides
bicouche pure
membrane biologique et protéines enchâssées
enzyme et site actif
polypeptide et lien peptidique
structure secondaire d'une protéine
hiérarchie des quatre niveaux de structure d'une protéine
modèle Michaelis-Menten
potentiel de membrane
réponse au stimulus, potentiel gradué et potentiel d'action
propagation le long d'un axone
équilibre de Nernst
courants ioniques
concentrations ioniques internes et externes dans diverses cellules
modèles de membranes au repos
instrumentation de Hodgkin-Huxley-Katz
séparation du courant de sodium et de potassium
technique du patch clamp (mode cellule attachée)
variantes de la technique du patch clamp
modèle électrique d'une membrane
courant potassium lors d'un saut de potentiel de membrane
effet de l'exposant sur les modèles du courant de potassium
activation et disponibilité
courbes expérimentales de disponibilité
récapitulation du modèle Hodgkin-Huxley
courant de fenêtre du sodium
réponse à l'excitation prédite par le modèle HH
phase réfractaire prédite par le modèle HH
déroulement d'un potentiel d'action analysé selon le modèle HH
conductances et courants ioniques pendant un potentiel d'action
modèle de la conduction dans un axone uniforme
modèle de la conduction dans un axone myélinisé
structure de la pompe Na/K
schème de Post-Albers (fonctionnement de la pompe Na/K)
structure du canal KV
structure du canal NaV
filtre de sélectivité
comportement stochastique des canaux tensiodépendants
Liste complète des figures
1
3
5
7
9
11
13
14
16
18
21
23
24
28
32
35
40
42
44
44
45
47
47
49
51
52
56
57
58
58
59
60
62
68
75
76
83
84
85
86
Chapitre 2 : Article pédagogique
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
phases d'un potentiel d'action
circuit du modèle HH
valeurs cibles et constants de temps des variables du modèle HH
potentiel de membrane et sa valeur cible pendant la phase réfractaire
courants ioniques pendant un potentiel d'action
effet de la réduction de la conductance de fuite
charge transférée par chaque espèce ionique
schéma du modèle de membrane
distribution au repos des concentrations ioniques et du champ électrique
100
101
104
104
104
104
105
105
107
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de
recherche et construction du modèle
3.A.1
3.A.2
3.A.3
3.A.4
3.A.5
3.A.6
3.A.7
3.A.8
3.A.9
3.A.10
3.A.11
3.A.12
3.A.13
3.A.14
3.B.1
exemples de cloques
cycle de vie d'une cloque
cloque à un noeud de Ranvier d'un axone traumatisé
activité ectopique enregistrée dans un axone traumatisé
parcours normal de la perception de la douleur
influx de sodium dû au CLS des canaux NaV situés dans les cloques
accélération de l'activation et de l'inactivation des canaux NaV
illustration du CLS affectant les canaux NaV situés dans les cloques
décalage du courant de fenêtre en raison du CLS
réaction d'une membrane au CLS (sans pompes)
réaction d'une membrane au CLS (avec pompes)
rafales de potentiels d'action dues au CLS
échec de propagation dans un axone avec CLS (fstim fixe)
verrouillage de phase dans un axone avec CLS (fstim fixe)
récapitulation du modèle Hodgkin-Huxley
114
114
115
116
117
118
119
119
120
124
124
125
126
126
130
Chapitre 4 : Article de recherche
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.S1
4.S2
4.S3
4.S4
4.S5
4.S6
4.S7
4.S8
déclenchement d'activité ectopique
verrouillage de phase dans un axone avec CLS (plusieurs fstim)
impact sur le train d'impulsions propagé
minimum dans l'infidélité de la transmission (concentrations fixes)
effet de l'enflure et du ratatinement (LS = 4 mV)
effet des fluctuations de fstim et du bruit
mise au point du modèle de contrôle
effet de ENa et EK sur l'activité ectopique
valeur seuil de ENa et EK
métrique de Victor & Purpura comme mesure de l'infidélité
effets des paramètres sur l'infidélité
effet de l'enflure et du ratatinement (plusieurs LS)
exemples de séries temporelles avec fluctuations de fstim ou avec bruit
minimum dans l'infidélité de la transmission (concentrations variables)
Liste complète des figures
142
143
143
144
144
145
149
149
149
150
150
151
151
151
ix
Appendice A : Points-clé de dynamique non linéaire
AppA.1
AppA.2
AppA.3
point fixe du modèle HH
cycle limite dans le modèle HH
verrouillage de phase et suite de Farey dans un oscillateur forcé
169
170
174
Appendice B : Courants ioniques, potentiel de repos
AppB.1
approximation ohmique vs courant GHK
181
Appendice C : Considérations informatiques
AppC.1
AppC.2
AppC.3
x
concept d'erreur accumulée
minimum dans l'erreur totale accumulée
sélection des points pour la mise en graphique
Liste complète des figures
192
193
198
Liste des équations principales
Cette liste exclut les équations qui sont des étapes intermédiaires.
Chapitre 1 : Guide du débutant
1.A.7
1.B2.1
1.B2.4
1.B2.5
1.B2.8
1.B2.11
1.B2.12
1.B2.13
1.B2.15
1.B2.16
1.B3.1
1.B3.2
1.B3.4
1.B3.5
1.B3.7
1.B3.8
1.B3.9
1.B3.10
1.B3.11
1.B3.12
1.B3.17
1.B3.20
1.B3.21
1.B3.22
1.C2.4
modèle Michaelis-Menten
18
potentiel d'inversion (potentiel de Nernst)
29
courant d'une espèce ionique (approximation quasi-ohmique)
31
potentiel de repos (équilibre de Donnan)
33
ratio de couplage des courants de pompes
36
potentiel de repos (cas linéaire quasi-stationnaire)
38
conductances d'une membrane de neurone de calmar
38
potentiel de repos (cas non ohmique quasi-stationnaire), équation GHK 39
potentiel de repos (cas linéaire stationnaire)
40
potentiel de repos (cas non ohmique stationnaire)
41
composantes ioniques du courant transmembranaire
43
équation différentielle pour V dans le modèle HH
47
courant de potassium dans le modèle HH
49
équation différentielle pour n dans le modèle HH
49-50
paramètres αn et βn
50
courant de sodium dans le modèle HH
53
équation différentielle pour m dans le modèle HH
53-54
équation différentielle pour h dans le modèle HH
53-54
paramètres αm et βm
54
paramètres αh et βh
54
équation du câble
64
équation du câble linéaire
65
modèles du bord d'attaque
66
modèle de FitzHugh-Nagumo
67
modèle énergétique de l'activation
87
Chapitre 2 : Article pédagogique
2.1
2.2
2.4
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.13
courant d'une espèce ionique (approximation quasi-ohmique)
potentiel d'inversion (potentiel de Nernst)
valeur cible pour V
estimation de l'épaisseur de la couche de Debye
équation différentielle pour V dans le modèle HH
équation différentielle pour m, h et n dans le modèle HH
flux des ions dans le modèle de membrane
champ électrique dans le modèle de membrane
équation différentielle pour c dans le modèle de membrane
Liste des équations principales
100
100
101
103
103
103
105
105
106
xi
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de
recherche et construction du modèle
3.B.1
3.B.2
3.B.3
3.B.4
modèle du courant de pompes
équation différentielle pour V dans le modèle HH modifié (avec pompes)
équation différentielle pour les concentrations ioniques
fuites spécifiques
133
133
134
134
Chapitre 4 : Article de recherche
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S10
équation différentielle pour V
courant de Na+
courant de K+
potentiel de Nernst
équation différentielle pour m, h et n
coefficients du modèle HH
courant des pompes Na/K
équation différentielle pour c
courant de fuites non spécifiées
courant de fuites spécifiées
133
140
140
140
140
134
140
140
140
140
Appendice A : Points-clé de dynamique non linéaire
AppA.1
AppA.2
AppA.4
équation différentielle linéaire
exemple de bifurcation de Hopf
exemple de verrouillage de phase
167
172
173
Appendice B : Courants ioniques, potentiel de repos
AppB.1
AppB.2
AppB.5
AppB.12
AppB.17
AppB.18
AppB.26
courant diffusif
courant de conduction
potentiel de Nernst
courant GHK
limite inférieure du courant GHK
limite supérieure du courant GHK
potentiel de repos GHK
175
176
176
178
180
180
183
Appendice C : Considérations informatiques
AppC.2
AppC.4
AppC.8
AppC.11
AppC.12
AppC.13
AppC.15
AppC.19
AppC.21
AppC.23
AppC.24
xii
système d'équations différentielle du premier ordre
méthode d'Euler
méthode de Taylor d'ordre 2
méthodes Runge-Kutta (définition générale)
méthode RK4
matrice jacobienne
analyse de stabilité
erreur accumulée
évaluation du terme d'ordre 5
projection du pas temporel
estimation numérique de la dérivée
Liste des équations principales
185
186
187
188
189
190
191
193
196
196
198
Mode d'emploi pour le lecteur
D'une façon peut-être peu conventionnelle, cette thèse se divise en deux parties, une thèse
«classique», minimaliste, formée des chapitres 3 et 4 (et de l'appendice C), précédée d'une
partie plus longue adressée au lecteur qui débute tout juste dans le domaine, formée des
chapitres 1 et 2 (et des appendices A et B). Ce «mode d'emploi» présente ce que
différentes catégories de lecteurs doivent savoir pour naviguer dans cet ouvrage
volumineux.
Les neurosciences sont un domaine multidisciplinaire où, comme physicien, nous avons
dû apprendre à interagir avec des biologistes dans leur langage. De plus, à notre arrivée
à la maîtrise, à l'automne 2011, nous avons immédiatement trouvé, probablement comme
bien des étudiants diplômés qui débutent, qu'il était difficile de rassembler de la
documentation d'un niveau introductif pour m'attaquer au problème que nous avions
choisi : la littérature suppose presque toujours que les bases sont connues du lecteur.
Après dix années de carrière en enseignement, nous ferions un bien piètre pédagogue si
nous laissions nos éventuels successeurs dans la même situation. C'est pourquoi les deux
premiers chapitres de cette thèse se veulent une introduction aussi complète que possible
adressée à quiconque poursuivrait un travail de recherche dans un domaine connexe au
nôtre, c'est-à-dire la modélisation d'axones (endommagés ou non). Le lecteur académique
jugera peut-être que ces deux chapitres divergent du format habituel d'une thèse, mais
nous avons insisté pour les y inclure ; le lecteur débutant nous en sera, nous l'espérons,
reconnaissant.
Le chapitre 1 est une introduction que nous avons intitulée «guide du débutant», composée
de quatre sections : nous y traitons, respectivement, de notions élémentaires de biologie,
du fonctionnement d'un potentiel d'action dans un neurone sain, de la structure des trois
plus importantes protéines qui expliquent ce fonctionnement et de concepts élémentaires
d'encodage neuronal. Nous y utilisons un ton informel, très explicatif, notamment en
introduisant des exemples et des commentaires éditoriaux. L'approche est détaillée plutôt
que concise, un très grand nombre de notions de base étant introduites avec soin. Les
sujets couverts ne se limitent pas au strict nécessaire requis pour aborder nos travaux de
recherche, mais visent à donner un aperçu un peu plus large du domaine. En somme, un
effort considérable a été déployé pour donner à ce chapitre la saveur d'un manuel
introductif plutôt que celle d'un article scientifique. Le nombre de préalables requis pour la
lecture de ce chapitre a été maintenue au minimum, de sorte qu'il soit envisageable qu'un
lecteur non physicien puisse aussi en suivre de larges pans. Les principaux termes
techniques de ce chapitre, de même que ceux du chapitre 3 et des appendices, font aussi
l'objet d'un index. De plus, à la fin de chaque section du premier chapitre, quelques
références sont commentées pour diriger une lecture introductive plus poussée, un ordre
de lecture étant aussi recommandé. Pour ce premier chapitre et en particulier pour ces
guides de lecture, plusieurs références ont été choisies d'abord en fonction de leur qualité
pédagogique plus que pour leur intérêt dans un contexte de recherche.
Le chapitre 2 est un article ayant été soumis à American Journal of Physics et qui a donc
une visée pédagogique. Il apporte des précisions conceptuelles au sujet du fonctionnement
Mode d'emploi pour le lecteur
xiii
d'un potentiel d'action. Il reprend l'essentiel du fonctionnement d'un neurone normal, mais
d'une façon nettement plus concise que dans le chapitre 1. Le lecteur débutant dont le
temps est compté pourra en tirer avantage.
Les appendices A et B complètent les chapitres 1 et 2, le premier en présentant des
éléments de dynamique non linéaire, et le second, plus de détails sur la théorie des
courants transmembranaires. Ces deux appendices ne contiennent aucun élément de
recherche.
Partie classique de la thèse. Le lecteur déjà expérimenté dans le domaine pourra sauter
sans perte de continuité les chapitres 1 et 2 et passer directement à la thèse «classique»,
qui débute avec l'introduction qui précède le chapitre 3. Cette introduction annonce le
contenu des deux derniers chapitres, soit la partie classique de cette thèse, qui cible plus
spécifiquement mes travaux de recherche et les résultats qu'ils ont produit.
Essentiellement, le chapitre 3 comporte la formulation du problème de recherche et du
modèle, de même qu'une revue de la littérature pertinente. Contrairement au chapitre 1,
qui «ratisse large», le chapitre 3 se veut succinct et centré sur le problème de recherche.
Le chapitre 4, lui, est un article, soumis à Proceedings of the National Academy of Science,
qui présente nos résultats de recherche.
Notons que l'appendice C porte sur les différents aspects informatiques utilisés pour
l'implantation numérique. Il contient certains compléments au chapitre 1, mais surtout des
aspects techniques de la modélisation, qui s'inscrivent clairement dans la suite du
chapitre 3.
Hiérarchie des titres. Comme le montre un bref coup d'oeil à la table des matières, les
chapitres 1 et 3 de cette thèse, de même que les appendices, utilisent une hiérarchie des
titres. Nous avons donné des noms à chaque niveau de titre et y référons à l'occasion dans
le texte pour guider le lecteur, qui a donc avantage à les distinguer.
À l'exception de courts paragraphes introductif, chaque mot de cette thèse appartient
d'abord à un bloc, qui, lui, appartient à une section, laquelle appartient à un chapitre.
Certaines sections très longues ont été subdivisées en sous-sections. Par exemple, le
premier chapitre comporte la section «1.A) Anatomie et physiologie cellulaires» ou la soussection «1.B2) Le potentiel de membrane dans les cellules non excitables». Cette dernière
sous-section débute avec le bloc «1.B2.1 L'équilibre de Nernst».
De plus, il peut arriver que nous guidions la lecture en utilisant un niveau de titre
supplémentaire, inscrits en italique à même la ligne qui débute le paragraphe, comme nous
l'avons d'ailleurs fait ci-dessus lorsque nous avons annoncé «Hiérarchie des titres.» Les
titres de ce dernier niveau ne sont pas numérotés et leur usage n'est pas systématique :
il peut arriver que certains blocs en contiennent, d'autres pas ; il peut aussi arriver, comme
c'est d'ailleurs le cas dans ce «mode d'emploi», que des parties du texte d'un bloc soit
coiffée de titres en italique alors que le reste du même bloc ne l'est pas. Il faut simplement
considérer les titres en italique comme des guides de lecture et non comme un moyen
systématique d'hiérarchiser le texte. Seules les sections et les blocs sont utilisés à cette
xiv
Mode d'emploi pour le lecteur
dernière fin.
Soulignons que cette présentation ne s'applique pas aux chapitres 2 et 4. En effet, ces
chapitres sont des manuscrits d'articles et leur reproduction dans la présente thèse est
fidèle à la version soumise.
Numérotation des figures et des équations. Pour identifier les figures et les équations, nous
procédons de la même façon que les blocs, c'est-à-dire avec le numéro du chapitre, la
lettre de la section et un numéro séquentiel. Par exemple, la première figure de la section
A du chapitre 3 est la «figure 3.A.1».
Encore ici, on note que cette présentation ne s'applique pas aux articles présentés aux
chapitres 2 et 4. Dans les rares éventualités où un autre chapitre réfère à une figure de ces
articles, nous écrivons, par exemple «la figure 2 du chapitre 4».
Mode d'emploi pour le lecteur
xv
Cette page est intentionnellement blanche.
xvi
Mode d'emploi pour le lecteur
Chapitre 1 : Guide du débutant
Dans ce chapitre, nous introduisons les notions de base nécessaires à aborder le domaine.
La section 1.A présente des notions anatomiques et biochimiques élémentaires s'adressant
au lecteur qui n'a jamais étudié la biologie. La section 1.B introduit les phénomènes
électriques qui sont à la base du fonctionnement de l'influx nerveux dans un axone sain et
se termine avec le modèle Hodgkin-Huxley, que nous utilisons dans nos travaux de
recherche. L'article pédagogique présenté au chapitre 2 vise à compléter cette section 1.B
en insistant sur les difficultés conceptuelles. La section 1.C présentera les trois protéines-clé
du mécanisme de l'influx nerveux. La section 1.D survolera les notions de base d'encodage
neuronal. Chaque section est indépendante des autres, de sorte que le lecteur débutant peut
puiser à la pièce ce qu'il lui manque pour entreprendre la lecture des chapitres 3 et 4.
1.A) Concepts de biologie cellulaire
Dans cette section, nous survolons des notions de base en biologie, en annonçant le
contexte dans lequel elles seront pertinentes dans nos travaux et en apportant autant que
possible une saveur biophysique. Sont au menu les parties de la cellule et particulièrement
des neurones, la structure des membranes cellulaires, le rôle et la structure des protéines
et la cinétique de réactions enzymatiques. La majorité du contenu de cette section est
normalement acquise dans le premier cours de biologie d'un DEC en sciences de la nature
ou d'un programme universitaire ontarien ; néanmoins, nous avons bonifié plusieurs
notions par des précisions physiques d'un niveau plus avancé, qui correspondraient au
niveau d'un cours de physique biologique de dernière année de baccalauréat.
1.A.1 La cellule, unité de la vie
La cellule est à la biologie ce que l'atome est à la physique ou à la chimie : un atome peut
être subdivisé, mais demeure la plus petite unité possible d'un élément ; de la même façon,
la cellule comporte des parties, mais est la plus petite unité qui puisse être considérée
comme vivante, les êtres vivants les plus simples étant faits d'une seule cellule. Comme
le montre le schéma présenté à la figure 1.A.1, la cellule est délimitée par une membrane
plasmique, dont nous représenterons toujours l'intérieur en jaune ocre sur nos schémas
et qui, comme nous le verrons, gère les échanges avec le milieu extérieur.
Parties pertinentes de la cellule. On
distingue deux types de cellules. Les
cellules procaryotes (étymologiquement :
«avant le noyau») ne comportent aucun
compartiment interne et seuls des êtres
vivants comme les bactéries, presque
tous unicellulaires, sont faits de telles
cellules. Dans le cadre de nos travaux,
ces cellules sont donc sans intérêt. En
revanche, tous les êtres vivants
multicellulaires comportant un système
nerveux, dont les humains, sont faits de
Figure 1.A.1 Quelques organites et autres éléments d'une
nombreuses cellules eucaryotes, c'est- cellule eucaryote.
1.A.1 La cellule, unité de la vie
1
à-dire de cellules comportant diverses subdivisions internes, dont le noyau cellulaire, qui
contient le matériel génétique sous forme de molécules d'ADN, et plusieurs autres
organites ayant diverses fonctions (la figure 1.A.1 illustre quelques-uns d'entre eux). Ces
organites sont délimités par une membrane, parfois double, ayant la même structure que
la membrane plasmique (Campbell 2007, chap. 6).
Machinerie moléculaire. Pour assurer la vie, c'est-à-dire notamment sa capacité à
s'organiser, à contrôler sa composition et à se dupliquer, la cellule doit gérer de
nombreuses réactions chimiques et processus mécaniques. Elle y parvient en synthétisant
diverses molécules dont chacune joue un rôle spécialisé. Ces dernières sont souvent des
polymères, c'est-à-dire des macromolécules formées de la jonction d'un grand nombre de
molécules élémentaires, un peu à la façon d'un collier de perles. La plupart de ces
macromolécules appartiennent à la catégorie des protéines, sur laquelle nous reviendrons
d'ici la fin de la section. L'information requise pour synthétiser chaque polymère qui
compose une macromolécule est portée par un gène, c'est-à-dire un segment d'ADN.
Quand une cellule synthétise un polymère, on dit qu'elle exprime le gène correspondant.
Taille des cellules. Les cellules eucaryotes mesurent typiquement une dizaine de
micromètres (dix fois plus que les cellules procaryotes), bien que certaines puissent
exceptionnellement atteindre une taille de l'ordre du millimètre. Ces ordres de grandeur
s'appliquent aussi au diamètre des prolongements de cellules qui transportent l'influx
nerveux. Fondamentalement, la largeur d'une cellule est limitée par le rythme auquel la
diffusion peut assurer l'entrée et la répartition volumique des molécules requises pour les
réactions chimiques effectuées par la cellule (Nelson 2008, chap. 4).
Fluides interne et externe. Les organites d'une cellule eucaryote baignent dans un liquide
interne à la cellule, le cytosol, un gel aqueux qui contient des centaines de variétés de
molécules organiques et de nombreux ions. De plus, toutes les cellules d'un animal
baignent dans un liquide externe à la cellule, le liquide interstitiel, irrigué par les
vaisseaux sanguins qui y diffusent des nutriments et de l'oxygène tout en l'en débarrassant
des déchets. Ce qui importera pour le fonctionnement des neurones est que ce milieu
extracellulaire comporte de nombreux ions en solution, dont la concentration est régulée
(Marieb 2010, chap. 26). Les ions Na+ et K+ nous intéresserons tout particulièrement.
Pour nos travaux, comprendre la structure de la membrane plasmique et la structure
générale et le rôle des protéines qui y sont enchâssées est, dans une large mesure, plus
important que de connaître le contenu de la cellule. Nous allons donc élaborer sur ces deux
derniers aspects, dès que nous nous serons penché sur la structure des neurones.
1.A.2 L'anatomie des neurones
La majorité des êtres vivants sont unicellulaires (bactéries, etc.) mais les animaux, entre
autres, sont faits de cellules qui sont différenciées, c'est-à-dire de cellules qui se
spécialisent dans une tâche particulière : bien qu'elles possèdent toutes le même bagage
génétique, divers stimuli imposent à une cellule donnée de n'utiliser qu'une partie de ce
bagage, celle pertinente à sa spécialisation. En somme, les cellules ayant des
spécialisations différentes expriment des gènes différents. Chaque type de cellule synthétise donc une combinaison de protéines propre au tissu biologique dont elle fait partie.
2
Chapitre 1 : Guide du débutant
Parmi les cellules différenciées, les neurones sont celles qui se spécialisent dans la
transmission de l'influx nerveux. À cette fin, les neurones font partie de la catégorie des
cellules excitables, une caractéristique qu'elles partagent avec les cellules musculaires et
quelques autres cellules (notamment des cellules glandulaires et ovules fécondés). Nous
reviendrons à la section 1.B sur les phénomènes électriques qui distinguent les cellules
excitables des autres cellules.
Prolongements d'un neurone. Contrairement aux autres cellules, qui demeurent localisées,
les neurones comportent de longs prolongements filamenteux, qui leur permettent de jouer
leur rôle de transmission. Il y a deux types de prolongements : ceux qui font entrer
l'information (un neurone peut en compter des milliers, formant une arborescence
complexe) et celui qui constitue la sortie (chaque neurone en compte un et un seul).
La figure 1.A.2 illustre les
parties d'un neurone. Les
nombreux prolongements
d'entrées sont appelés
dendrites et permettent au
neurone de percevoir des
stimuli. Le neurone dont
des dendrites sont
stimulés peut avoir deux
réactions possibles : selon Figure 1.A.2 Anatomie d'un neurone. Celui illustré est un neurone moteur.
le nombre de stimuli, leur (Figure adaptée de Campbell 2007)
synchronisation et la forme
du neurone stimulé, ce dernier peut produire, ou non, un influx nerveux. Quand c'est le cas,
ce dernier chemine par le prolongement de sortie, qui s'appelle l'axone et qui peut mesurer
jusqu'à plus d'un mètre de long. À l'extrémité finale de l'axone se trouvent un ou plusieurs
boutons terminaux dont chacun stimule une autre cellule quand il reçoit un influx nerveux.
Le lieu de l'interaction avec la cellule stimulée (et qui peut être un autre neurone) s'appelle
une synapse. Sauf exception, une synapse fonctionne par la libération, dans un mince
espace de liquide interstitiel qui sépare les deux cellules, de marqueurs chimiques détectés
par la cellule postsynaptique et appelés neurotransmetteurs.
Fonctions des neurones. On peut trier les neurones en trois grandes catégories (Campbell
2007, section 48.1 ; Marieb 2010, chap. 11). Les neurones sensitifs, dont les corps
cellulaires sont situés dans les ganglions spinaux situés de part et d'autre de la colonne
vertébral, permettent de percevoir les sensations et de les acheminer au système nerveux
central. Leurs dendrites sont donc stimulés par des détecteurs sensoriels spécialisés,
chacun sensible à un stimulus spécifique (chaleur, froid, pression, douleur, etc.) Le bouton
terminal d'un neurone sensitif est typiquement relié à un interneurone. Les interneurones
permettent d'intégrer l'information et d'entraîner, s'il y a lieu, une réaction appropriée. Selon
la nature du stimulus sensoriel, ce dernier sera acheminé à seulement quelques
interneurones (comme dans le cas d'un stimulus qui déclenche un réflexe) ou à des
centaines de milliers d'entre eux (comme dans le cas d'un stimulus complexe, comme le
langage, dont l'intégration requiert l'interaction de plusieurs aires du cortex cervical). Enfin,
les neurones moteurs, aussi appelés neurones effecteurs, sont ceux dont les boutons
1.A.2 L'anatomie des neurones
3
terminaux sont reliés à un organe ou encore à un muscle (dont ils causent la contraction).
Globalement, les interneurones forment le système nerveux central, formé du cerveau
et de la moelle épinière, alors que les neurones sensitifs ou moteurs forment le système
nerveux périphérique. Au chapitre 3, nous discuterons plus spécifiquement de la
perception de la douleur et des dysfonctions qui entraînent des douleurs neuropathiques.
Description de l'axone. Les travaux de recherche que nous introduirons au chapitre 3
portent exclusivement sur l'influx nerveux qui circule dans l'axone. Dans la section 1.B,
nous reviendrons largement sur la nature exacte de cet influx nerveux et verrons qu'il prend
la forme de potentiels d'action. Pour le moment, approfondissons notre description de
l'axone. Le long de ce prolongement, la membrane plasmique est souvent appelée
axolemme, alors que le contenu de l'axone, formé du cytosol et des organites, est souvent
appelé axoplasme. La conductance électrique de l'axoplasme est l'une des propriétés qui
détermine, entre autres, la vitesse de propagation de l'influx nerveux.
Chez les vertébrés (et quelques invertébrés), la plupart des neurones n'ont pas des axones
lisses et uniformes (Hartline 2008). Ces derniers sont plutôt, comme l'illustre la figure 1.A.2,
recouverts de gaines de myéline, des structures répétitives ayant presque toutes une
longueur comparable. Seuls les noeuds de Ranvier ne sont pas recouverts de myéline ;
ce sont de petites portions de la membrane plasmique de l'axone, espacées de façon
régulière, en contact direct avec le liquide extracellulaire. La gaine de myéline est produite
par des cellules de soutien, qui s'enroulent autour de l'axone et peuvent produire jusqu'à
300 strates (voir figure 1.A.2). Il s'agit des cellules de Schwann dans le système nerveux
périphérique et des oligodendrocytes dans le système nerveux central. Dans la section 1.B,
nous verrons que la myéline joue un rôle fondamental dans la vitesse de l'influx nerveux.
Taille des axones. Enfin, soulignons que les axones chez les mammifères ont typiquement
un diamètre d'un à quinze micromètres, exceptionnellement davantage. Ces diamètres
correspondent grossièrement à l'échelle de grandeur générale des cellules eucaryotes, que
nous avons préalablement énoncée. De plus, chez les espèces où la myélinisation n'existe
pas, quelques axones peuvent atteindre un diamètre nettement plus élevé afin de favoriser
une circulation plus rapide de l'influx nerveux. Les axones les plus larges sont observés
chez les céphlopodes, où ils peuvent atteindre un diamètre de l'ordre de mille
micromètres. Parmi ces derniers, les axones dorsaux du calmar ont joué un rôle
fondamental à l'aube de la recherche en neurosciences, puisqu'ils avaient une taille
suffisante pour y insérer aiguilles et électrodes.
Variabilité biologique. Comme nous l'avons laissé transparaître dans la discussion, les
axones ne sont pas identiques entre eux mais similaires : leurs propriétés présentent une
variabilité. Cet aspect distingue la biologie d'une science comme la physique, qui traitent
d'objets tous identiques entre eux (comme les électrons, les protons, les molécules d'eau).
Ayant complété notre description de la cellule, nous pouvons approfondir, tel qu'annoncé,
deux aspects centraux pour nos travaux : la membrane plasmique et les protéines.
1.A.3 La membrane plasmique est surtout une bicouche
La membrane qui compose la frontière entre l'intérieur et l'extérieur de la cellule est
4
Chapitre 1 : Guide du débutant
composée de molécules amphipathiques, c'est-à-dire de molécules comportant à la fois
une partie polaire, capable d'interagir avec les molécules d'eau en formant avec elles des
ponts hydrogène1, et d'une partie non polaire, incapable d'ainsi interagir avec l'eau (Nelson
2008, sections 8.4 - 8.6).
La grande majorité des molécules amphipathiques qui composent les membranes
cellulaires appartiennent à la catégorie des phospholipides, ce qui signifie qu'elles sont
formées d'une «tête» polaire comportant notamment un ion phosphate et de deux
«queues» non polaires, chacune faite à partir d'un acide gras (chaîne hydrocarbonée
terminée par un groupement COOH). Les phospholipides peuvent varier entre eux par la
composition de leurs queues (longueur,
nombre et position des liens doubles) et par
celle de leurs têtes (toujours composée d'un
glycérol et d'un ion phosphate, mais auxquels
peuvent s'ajouter d'autres groupements)
(Campbell 2007, section 7.1). La figure 1.A.3
illustre, en haut, un exemple particulier de
phospholipide (il s'agit d'une lécithine, très
présente dans les membranes plasmiques
des cellules du système nerveux) ainsi que, en
bas, une représentation symbolique qui est
régulièrement utilisée dans les manuels pour
représenter de façon générique tout Figure 1.A.3 Un symbole permet de représenter les
phospholipide.
phospholipide, dont un exemple est ici représenté.
Propriétés générales des molécules amphipathiques. En raison de leurs propriétés, les
molécules amphipathiques, phospholipides ou autres, sont omniprésentes dans l'industrie :
elles composent le savon, sont des émulsifiants stabilisant des solutions hétérogènes,
permettent de mettre en solution des molécules polaires et non polaires qu'on veut faire
réagir ensemble, etc. Au chapitre 3, nous allons aussi discuter d'inhibiteurs utilisés pour
agir sur des membranes endommagées, plusieurs desquels sont amphipathiques. Avant
de poursuivre notre exposé sur les membranes, présentons quelques propriétés de cette
catégorie de molécules qui composent les membranes cellulaires.
Si on place des molécules amphipathiques dans de l'eau pure, elles y sont solubles en
raison de leur partie polaire. Cependant, si elles ont accès à une interface entre l'eau et un
autre milieu, on les retrouvera majoritairement à cette interface, leur partie polaire en
contact avec l'eau et leur partie non polaire, hors de l'eau. Une telle interface se produit
dans tout mélange hétérogène (par exemple un mélange d'eau et de fine gouttelettes
d'huile) mais aussi dans l'eau pure, par exemple si on retrouve une surface libre (interface
eau-air). Puisqu'il est plus probable de trouver hors de l'eau la partie non polaire d'une
molécule amphipathique, on la dit souvent hydrophobe. Pour des raisons analogues, la
partie polaire est dite hydrophile.
1
Rappelons que le pont hydrogène est un type de liaison reliant un atome d'hydrogène et un atome assez électronégatif, comme
l'oxygène ou l'azote. C'est une liaison 20 fois plus faible qu'un lien covalent, mais 10 fois plus forte que les liaisons de Van der Walls.
1.A.3 La membrane plasmique est surtout une bicouche
5
Interaction hydrophobe. Contrairement à la partie hydrophile d'une molécule
amphipathique, qui est effectivement attirée par les molécules d'eau en raison des ponts
hydrogène, la partie hydrophobe n'est pas «attirée» par l'huile ou par l'air, bien que c'est
souvent ce que laissent entendre les manuels d'introduction. Néanmoins, les entités non
polaires (hydrophobes) placées en milieu aqueux se regroupent entre elles, minimisant
ainsi leur contact avec l'eau, par un effet entropique appelé interaction hydrophobe. Il y
a donc apparence d'attraction entre les entités hydrophobes. (Cet effet affecte autant les
parties non polaires des molécules amphipathiques que les molécules d'huile elles-mêmes,
qui forment donc des gouttelettes au lieu de se mélanger uniformément à l'eau.)
On peut expliquer cette interaction hydrophobe grâce à la mécanique statistique (Nelson
2008, chap. 7) : si on considère les molécules d'eau en contact avec une molécule (ou
partie de molécule) non polaire, chacune d'elles ne peut former de ponts hydrogène avec
l'entité non polaire située «devant» elle, et n'en forme donc qu'avec les autres molécules
d'eau situées «derrière» ou «à côté». Ainsi, pour maximiser le nombre de ponts hydrogène,
cette molécule d'eau pointe nécessairement ses deux liens O-H vers «derrière» ou vers
le «côté», mais jamais vers «devant». Par conséquent, le nombre de façons dont cette
molécule d'eau peut se placer est considérablement réduit. En d'autres termes, l'entropie2
des molécules d'eau en contact avec une entité non polaire est plus faible que celles des
molécules d'eau qui ne sont en contact qu'avec d'autres molécules polaires. Comme le
hasard des collisions dues à l'agitation thermique favorise statistiquement la croissance de
l'entropie du système, il est donc probable qu'elles aient tendance à regrouper tout ce qui
est non polaire, car cela réduit la surface de contact avec l'eau et réduit donc le nombre de
molécules d'eau dont l'entropie est faible3. Ainsi, l'interaction hydrophobe est due à des
forces exercées par les molécules d'eau et non une réelle interaction entre les entités
hydrophobes.
Organisation spontanée des phospholipides en bicouches. Quelle est l'importance des
propriétés amphipathiques des phospholipides composant les membranes cellulaires ? De
la même façon que l'interaction hydrophobe correspond à une attraction apparente des
parties hydrophobes de ces molécules par l'huile ou par l'air, elle correspond également
à une attraction des parties hydrophobes de phospholipides entre elles. Ainsi, si on place
suffisamment de molécules amphipathiques dans de l'eau pure, leurs parties non polaires
ont tendance à se regrouper spontanément entre elles et à s'isoler de l'eau. (Une fois que
l'interaction hydrophobe les a ainsi regroupées, les parties non polaires commencent à
interagir entre elles par des forces de Van der Walls. Une fois groupées, elles ont donc
tendance à le demeurer.) En parallèle, l'attraction entre l'eau et les parties hydrophiles des
molécules amphipathiques, due aux ponts hydrogènes, fait en sorte que ces parties
hydrophiles ont tendance à rester en contact avec l'eau. La combinaison de ces deux
2
Par définition, l'entropie est S = kB ln Ω, où Ω est le nombre de microétats accessibles compte tenu des contraintes
macroscopiques mesurables. Dans le cas présent, pour chaque position possible d'une molécule d'eau, il y a autant de microétats qu'il
y a d'orientations possibles pour cette molécule. Doubler le nombre d'orientations possibles pour une seule molécule d'eau a donc pour
effet de doubler le nombre total de microétats accessibles au système.
3
Plus précisément, il faut minimiser l'énergie libre du système E ! TS et non uniquement maximiser son entropie. En effet, créer
et détruire des ponts hydrogènes entraîne un coût énergétique qui, s'il est positif, ne sera compensé par un gain en entropie que si la
température est suffisante. (Formellement, on utilise l'énergie libre de Gibbs, E + pV ! TS, mais les variations de l'énergie libre de
Helmholtz, E ! TS, sont équivalentes vu la constance du volume en milieu aqueux.)
6
Chapitre 1 : Guide du débutant
phénomènes conduit donc un grand nombre de molécules amphipathiques à s'organiser
spontanément, adoptant une géométrie où leurs parties hydrophobes sont isolées de l'eau
alors que leur parties hydrophiles sont en contact avec l'eau (Nelson 2008, chap. 7).
Il existe plusieurs géométries qui permettent aux molécules amphipathiques en général
d'ainsi se regrouper pour ne présenter que leurs parties hydrophiles à l'eau ambiante. La
géométrie qui sera adoptée spontanément dépend à la fois de la concentration des
molécules amphipathiques et de leur géométrie individuelle. Par exemple, elles peuvent
former une sphère appelée micelle, dont la surface est constituée des parties hydrophiles
et dont le volume est formé des parties hydrophobes, mais à la condition que la taille des
parties hydrophobes leur permette de tenir dans le volume en question. Une telle géométrie
est donc adoptée de façon plus probable quand la partie hydrophobe est composée d'une
unique chaîne hydrocarbonée. En revanche, les phospholipides ont une partie hydrophobe
composée de deux queues hydrocarbonées, qui a donc à peu de choses près la même
largeur que la partie hydrophile (voir la figure
1.A.3). En conséquence, une des géométries les
plus probables pour de telles molécules est la
bicouche, illustrée à la figure 1.A.4, où les
phospholipides forment deux plans symétriques
dont le côté hydrophile est tourné vers l'extérieur,
là où l'eau se trouve, leur côté hydrophobe étant
tourné vers l'intérieur, où des molécules d'eau se Figure 1.A.4 Dans l'eau, les phospholipides
peuvent former spontanément une bicouche.
retrouvent rarement.
Localement, la bicouche a la forme d'un plan, mais à plus grande échelle, sa surface peut
se courber, moyennant un coût énergétique faible, lui permettant de se fermer sur ellemême et de devenir la structure de base d'une membrane cellulaire. Diverses expériences
ont pu confirmer qu'une membrane plasmique réelle est effectivement composée
majoritairement d'une bicouche, notamment la séparation des deux couches après
cryogénisation de l'eau située de chaque côté (Campbell 2007, section 7.1).
L'organisation géométrique de base d'une bicouche fermée sur elle-même se compare à
celle de la fine membrane qui compose une bulle d'eau savonneuse. La principale
différence est que, dans une telle bulle, l'eau est à l'intérieur plutôt qu'à l'extérieur ; les
molécules amphipathiques qui composent le savon ont donc leur parties hydrophiles à
l'intérieur, plutôt qu'à l'extérieur comme c'est le cas à la figure 1.A.4. Une seconde
différence est aussi l'épaisseur : la bulle d'eau savonneuse contient de l'eau, alors que la
bicouche n'est composée que des molécules de phospholipides. En conséquence, la bulle
a une épaisseur de quelques centaines de nanomètres (comme le montre d'ailleurs son
effet interférentiel sur la lumière visible) alors que la bicouche ne mesure que 4,5 nm
d'épaisseur en moyenne, une épaisseur qui ne peut que varier légèrement, selon les
phospholipides qui la composent et leur organisation subséquente par la cellule. En
somme, une image grossière serait d'assimiler la bicouche à une (mince) bulle faite surtout
de lipides et située dans l'eau, plutôt qu'à une bulle faite surtout d'eau et située dans l'air.
Les propriétés d'une bicouche pure. On peut concevoir une bicouche comme une mince
strate non polaire séparant deux milieux polaires. La strate non polaire étant composée des
1.A.3 La membrane plasmique est surtout une bicouche
7
queues hydrophobes de phospholipides, eux-mêmes des acides gras, plusieurs des
propriétés physiques d'une bicouche s'approchent beaucoup de celles de l'huile végétale,
elle aussi composée majoritairement d'acides gras. On s'attend donc à ce qu'elle soit un
isolant électrique, ce qui jouera un rôle dans l'influx nerveux (voir la prochaine section).
Par ailleurs, bien que nous l'ayons comparé à une bulle de savon, fragile face à des forces
macroscopiques, une bicouche pure dispose néanmoins d'une certaine élasticité malgré
sa fluidité. En particulier, elle peut résister à une tension de surface de quelques
millinewtons par mètre. Pour une cellule sphérique, une telle tension correspond par
exemple à un excès de pression interne de l'ordre de 300 Pa (Nelson 2008, pp. 250-251).
Sur le plan biologique, la propriété la plus importante d'une bicouche pure est sa
perméabilité sélective (Campbell 2007, section 7.2) : pour pouvoir la traverser, un
composé en solution dans l'eau doit pouvoir se solubiliser dans la strate non polaire,
diffuser au travers, puis se resolubiliser dans l'eau. En général, les petites molécules
hydrophobes (comme CO2, O2) traversent relativement facilement, les petites molécules
hydrophiles (notamment l'eau) traversent moins bien mais traversent tout de même
lentement, les ions même petits ne traversent que de façon extrêmement lente et les
macromolécules comportant des milliers d'atomes (comme l'ADN, les protéines, etc.) ne
traversent pas du tout une bicouche pure. Nous allons maintenant voir, notamment,
comment une membrane biologique réelle dispose toutefois de moyens pour contrôler cette
perméabilité.
1.A.4 La membrane plasmique n'est pas qu'une bicouche
Jusqu'à présent, nous avons décrit les propriétés de bicouches pures : en laboratoire, on
peut obtenir de telles bicouches pures à partir de phospholipides dans l'eau, les molécules
y sont (latéralement) très mobiles, elle est pratiquement imperméable à tout composé
chargé, etc. Une telle bicouche n'est toutefois que l'élément de base à partir desquelles les
membranes biologiques réelles sont composées. La membrane plasmique d'une cellule
n'a donc pas toutes les propriétés que nous venons d'énumérer.
Une membrane biologique est fluide mais structurée. Entre une bicouche artificielle et une
membrane biologique, on note tout d'abord une importante différence sur le plan de
l'organisation. Une bicouche pure est désorganisée : par exemple, si elle est composée de
deux types de molécules amphipathiques, la diffusion assure que ces dernières se
retrouvent en concentration égales et uniformes dans toute la surface de la bicouche et
dans ses deux feuillets. Au contraire, une membrane biologique est relativement organisée.
Tout d'abord, la composition des deux feuillets est différente, les nouveaux phospholipides
synthétisés par la cellule étant insérés dans le feuillet interne et ensuite sélectivement
échangés avec des molécules du feuillet externe (Lodish 2000, chap. 11). Ensuite, une
membrane plasmique contient aussi des radeaux lipidiques (lipid rafts) qui composent
jusqu'au tiers de sa surface. Ces radeaux sont des structures fluides mais plus compactes
et ordonnées que le reste de la membrane, riches en molécules de cholestérol et dont la
composition en phospholipides est différente (Simons 2002). Dans un radeau lipidique, les
phospholipides des deux feuillets demeurent solidaires entre eux et se déplacent comme
un tout (à la façon d'un radeau qui flotterait sur le reste de la membrane, d'où leur nom).
8
Chapitre 1 : Guide du débutant
La fluidité de la bicouche suggère aussi une certaine mobilité. Une membrane biologique
réelle, nous le verrons, est toutefois rigidifiée par une structure (cortex) faite de protéines
et qu'on appelle son cytosquelette.
La cellule maintient cette plus faible entropie de sa membrane au prix d'une dépense
d'énergie. Au chapitre 3, où nous introduirons notre modèle de recherche portant sur des
cellules endommagées, nous verrons que la désorganisation et la fluidification de la
membrane plasmique d'un neurone (par exemple, à un noeud de Ranvier) est au coeur des
phénomènes clés que nous modélisons.
Une membrane biologique contient des protéines. Une seconde caractéristique qui
distingue une membrane biologique d'une membrane artificielle est la présence de très
nombreuses molécules enchâssées.. Parmi ces nombreuses molécules, on retrouve des
protéines. Elles ont notamment pour effet de modifier les propriétés physiques de la
bicouche, sa perméabilité sélective, etc. La figure 1.A.5 montre une illustration
schématique qui représente une membrane biologique, où la bicouche est en jaune comme
dans nos propres schémas et où les protéines membranaires sont illustrées en bleu pâle.
Figure 1.A.5 Une membrane biologique est une bicouche de phospholipides où de nombreuses
molécules sont enchâssées, notamment des protéines. (Figure : Ruiz 2007)
Les protéines ne sont pas dispersées au hasard dans la membrane : certaines ne
fonctionnement correctement que si elles sont associées à des radeaux lipidiques avec
lesquelles elles se déplacent solidairement. Des protéines peuvent aussi être ancrées au
cytosquelette cellulaire, ce qui limite leur mobilité et régule leur fonctionnement. Ces deux
mécanismes affectent notamment des canaux tensiodépendants essentiels au fonctionnement de l'influx nerveux (Dart 2010 ; voir aussi le chapitre 3), dont il sera question cidessous. Nous verrons au chapitre 3 que la désorganisation des radeaux lipidiques a un
effet sur ces protéines. Penchons-nous pour le moment sur les protéines en général.
1.A.5 Structure et fonction des protéines
En général, les protéines sont des macromolécules énormes, qui comportent des milliers
d'atomes. Du fait de leur taille mais aussi de leur nombre, elles composent à elles seules
1.A.5 Structure et fonction des protéines
9
la majorité de la masse sèche d'une cellule, puisqu'on trouve des protéines aussi bien dans
les membranes qu'en solution dans le cytosol. Nous allons maintenant présenter quelques
propriétés des protéines et quelques classes de protéines qui seront pertinentes dans les
travaux présentés dans les chapitres 3 et 4. Suivra ensuite un aperçu de la façon dont elles
peuvent jouer leur rôle de machine moléculaire, un exposé sur leur structure et un passage
sur le rythme auquel certaines protéines catalysent des réactions chimiques.
Captivité des protéines. Si elles sont en solution dans le cytosol, les protéines sont, en
raison de leur imposante taille, nécessairement tenues captives par la membrane
plasmique. Quant aux protéines enchâssées dans une membrane, elles comportent deux
parties hydrophiles, qui «dépassent» dans l'eau de chaque côté de la bicouche, de même
qu'une partie hydrophobe, en contact avec les queues des phospholipides. Tant en raison
de l'interaction hydrophobe qui affecte leur partie non polaire qu'en raison des ponts
hydrogènes qui affectent leurs parties hydrophiles, elles sont incapables de quitter leur
membrane donc elles aussi incapables de quitter la cellule.
Fonctions des protéines. En général, la cellule utilise les protéines pour de nombreuses
fonctions. Trois catégories de fonctions en particulier sont pertinentes pour nos travaux :
la catalyse, le transport et la structure (Campbell 2007, chap. 7).
Ainsi, premièrement, certaines protéines servent à accélérer sélectivement certaines
réactions chimiques en se liant aux réactifs. On dit qu'elles les catalysent. Les protéines
qui jouent un rôle de catalyseur sont appelées des enzymes et leur nom se termine par
«ase». Les enzymes ne peuvent catalyser que des réactions qui sont déjà spontanées,
c'est-à-dire celles qui font décroître l'énergie libre des réactifs ; toutefois, une classe
d'enzymes, les ATPases, puisent de l'énergie libre en rompant une molécule d'adénosine
triphosphate (ATP)4, afin de catalyser des réactions qui ne sont pas spontanées. (Ce
couplage de réactions spontanées et non spontanées est ce qui permet notamment à la
cellule de synthétiser des molécules complexes à partir de molécules simples, d'ordonner
les molécules de sa membrane plasmique, etc.)
Deuxièmement, la membrane plasmique contient aussi des protéines de transport.
Certaines protéines de transport sont simplement des canaux ouverts en permanence, qui
augmentent sélectivement la perméabilité de la membrane plasmique à certaines molécules,
qui les traversent en diffusant. De tels canaux assurent notamment une petite perméabilité
de la membrane aux principaux types d'ions (Goldstein 2001, Tremblay 2011 ; voir aussi Hille
2001) ; on les appelle alors des canaux de fuite. Un tel canal est illustré à la figure 1.A.5.
D'autres canaux peuvent s'ouvrir ou se fermer en réaction à divers stimuli, notamment les
canaux tensiodépendants (ceux qui s'ouvrent en réponse à un changement de tension
électrique ; voir section 1.B) à Na+ et à K+ (respectivement, canaux NaV et canaux KV) jouent
un rôle clé dans la propagation de l'influx nerveux. Enfin, les pompes ioniques sont des
protéines de transport qui déplacent des ions en sens inverse de leur diffusion normale
4
L'ATP est la «monnaie énergétique» de la cellule ; son hydrolyse produit de l'ADP et un phosphate inorganique (Pi). Après la
digestion des aliments, la grande majorité des molécules que nous en tirons sont oxydées en CO2 afin de permettre de synthétiser
constamment des molécules d'ATP. Ces dernières fournissent ensuite l'énergie nécessaire à des procédés non spontanés (ici, le
pompage). La synthèse d'ATP à partir des produits de la digestion a lieu dans toutes les cellules et se nomme respiration cellulaire.
(Les autres molécules issues des aliments servent de matière première à la synthèse de nouveaux tissus, une fonction très minoritaire.)
10
Chapitre 1 : Guide du débutant
(ie. les concentrent) et consomment donc de l'énergie à cette fin. En particulier, la «pompe
Na/K» joue un rôle important dans l'influx nerveux (voir les sections 1.B et 1.C) et est à la fois
une protéine de transport et un enzyme, puisqu'elle se procure l'énergie nécessaire à son
action de pompage en catalysant l'hydrolyse de l'ATP.
Troisièmement, la cellule utilise des protéines de structure pour former son cytosquelette,
ce qui lui permet de conserver sa forme ou même, dans le cas des cellules mobiles comme
les globules blancs ou les organismes unicellulaires, de modifier cette forme. Les
microtubules (qui résistent à la compression), les filaments d'actine grossièrement
schématisés sur la figure 1.A.1 (qui résistent à la tension), de même que des filaments
intermédiaires de diverses natures, sont les principaux constituants du cytosquelette. Des
filaments d'actine sont aussi représentés, en gris, à la figure 1.A.5 (contrairement aux
autres protéines sur cette figure, ils ne sont pas colorés car il ne font pas partie de la
membrane plasmique). Cependant, il y a une composante du cytosquelette qui est plus
pertinente pour nos travaux : une bicouche étant fluide, une cellule peut accroître la rigidité
de sa membrane plasmique grâce à des fibres de spectrine, qui s'attachent aux filaments
d'actine de façon à tisser une véritable structure sous-membranaire ayant l'apparence d'un
filet, le cortex d'actine-spectrine. Plusieurs protéines enchâssés dans la membrane
plasmique sont pourvues d'un site actif leur permettant de s'attacher à ce cortex grâce à
une protéine intermédiaire, l'ankyrine, ce qui limite leur mobilité et rigidifie la membrane.
Nous verrons au chapitre 3 les dommages qui se produisent quand la membrane
plasmique est arrachée à son cortex d'actine-spectrine, ce qui jouera un rôle important
dans la base théorique de nos travaux.
Survol du fonctionnement d'une protéine. Pour pouvoir jouer son rôle de catalyse, de
transport ou même de structure, chaque protéine doit adopter au moins une forme
tridimensionnelle spécifique qu'on appelle une conformation. En général, cette
conformation permet aux protéines d'avoir un ou plusieurs sites actifs, dont la forme
géométrique épouse assez précisément celle d'une molécule pour pouvoir s'y lier sans se
lier aux autres. Par exemple, un enzyme doit se lier sélectivement aux molécules de
réactifs dont elle catalyse une réaction ; des protéines de structure comme l'actine doivent
avoir une forme leur permettant de se lier les unes aux autres pour former un filament, etc.
(Campbell 2007, chap. 5, 8 ; Nelson
2008, chap. 7). La figure 1.A.6
illustre la conformation et le site actif
d'un enzyme simple, l'hexokinase,
avec et sans substrat lié. (Notez que
la forme de la protéine, tout comme
celle du substrat, changent toutes les
deux légèrement quand la liaison a
lieu ; cette déformation du substrat en
modifie les niveaux d'énergie et rend
1.A.6 Le substrat se lie à l'enzyme à un site actif. Pour
plus facile de le faire réagir ; c'est un Figure
rendre cela possible, la protéine doit avoir une forme
des mécanismes de la catalyse.)
tridimensionnelle précise, sa conformation. (Campbell 2007)
De nombreuses protéines ne sauraient jouer leur rôle sans pouvoir adopter plusieurs
conformations fonctionnelles différentes. Par exemple, un canal tensiodépendant doit
1.A.5 Structure et fonction des protéines
11
posséder au moins une conformation «ouverte» et au moins une conformation «fermée».
En pratique, de telles protéines possèdent souvent des populations entières de
conformations «ouvertes» et «fermées» et il faut donc tenir compte, si on souhaite
construire un modèle décrivant leur probabilité d'ouverture, non seulement des niveaux
d'énergie mais aussi de l'entropie de chaque population (Nelson 2008, chap. 6).
La pompe Na/K, quant à elle, est une protéine qui possède à la fois plusieurs sites actifs et
plusieurs conformations. En effet, elle doit posséder un site lui permettant de lier l'ATP (et de
catalyser sa rupture), mais aussi des sites actifs permettant de lier les ions spécifiques qu'elle
pompe au travers de la membrane plasmique. De même, elle doit pouvoir changer de
conformation pour lier les ions d'un côté de la membrane mais les libérer de l'autre côté de
la membrane plasmique, ce qui correspond à sa fonction de transport. Nous verrons à la
section 1.B que c'est le fait même de lier une molécule à un site actif qui entraîne dans cette
protéine une séquence de changements de conformations (Läuger 1991, chap. 2, 8), un peu
à l'image de l'unique changement illustré à la figure 1.A.6.
Les conformations d'une protéine sont relativement stables dans une cellule mais sont
sensibles à des changements importants des propriétés de leur environnement. Par
exemple, des changements brutaux de température ou de pH peuvent déformer
complètement une protéine. On dit alors qu'elle est dénaturée. Ce processus peut être
réversible, à la condition que la protéine dénaturée demeure en solution et que les
conditions lui permettant de reprendre sa forme soient restaurées. Il est possible,
cependant, que la dénaturation soit irréversible. Par exemple, la cuisson d'un blanc d'oeuf
dénature l'albumine, qui compose la majorité de sa masse sèche, ce qui le fait coaguler ;
refroidir le blanc d'oeuf ne restaure évidemment pas sa forme initiale.
Une question qui demeure est donc de savoir comment une protéine peut adopter une
forme tridimensionnelle si précise, tout en lui permettant de pouvoir changer, dans certains
cas, au gré de stimuli externes. Nous allons donc terminer notre exposé sur les protéines
en survolant les quatre niveaux de structure d'une protéine (Campbell 2007, chap. 5), en
précisant chaque fois les mécanismes physiques qui lui permettent d'adopter sa
conformation (Nelson 2008, chap. 7, 9).
Structure primaire des protéines. Pour fabriquer une protéine, la cellule commence par
synthétiser un polypeptide (polymère d'acides aminés), c'est-à-dire un assemblage, sous
forme d'une longue chaîne linéaire, de petites molécules similaires (les acides aminés)
mises bout à bout. Chaque acide aminé comporte un atome central de carbone auquel est
fixé 1) un groupement acide !COOH ; 2) un groupement amine !NH2 ; 3) un atome
d'hydrogène !H ; 4) une chaîne latérale, symbolisée par !R et laquelle identifie l'acide
aminé. La formule générale d'un acide aminé est donc NH2!CHR!COOH (voir figure
1.A.7). Pour synthétiser leurs protéines, les animaux n'utilisent qu'une vingtaine d'acides
aminés différents (ils diffèrent par leur chaîne latérale) mais se servent évidemment de
plusieurs molécules de chacune d'entre elles.
La séquence avec laquelle les acides aminés sont agencés forme la structure primaire
de la future protéine. Soulignons que le terme «protéine» désigne habituellement un
polypeptide ayant adopté sa conformation, alors que le terme «polypeptide» désigne la
12
Chapitre 1 : Guide du débutant
seule structure primaire. L'information sur la séquence d'acides aminés à utiliser pour
constituer la structure primaire est contenue dans un gène du bagage génétique. En fait,
c'est le seul niveau de structure qui est directement codé dans l'ADN. Cette information est
utilisée par les ribosomes, des organites spécialisés dans la synthèse des protéines à
partir de l'information génétique5.
Pour joindre ensemble les acides aminés et former le polypeptide, un ribosome catalyse
une réaction chimique qui fusionne le groupement !COOH d'un acide aminé avec le
groupement NH2 de l'acide aminé suivant : cette réaction retire une molécule H2O et forme
un nouveau lien covalent, le lien peptidique, entre les atomes N et C de ces deux
groupements. La figure 1.A.7 illustre ce procédé dans le cas d'un (court) polypeptide qu'on
fait passer de deux à trois acides aminés. Selon les protéines, un polypeptide peut être
formé de la juxtaposition d'une centaine d'acides aminés ou de plusieurs milliers d'entre
eux. Le polypeptide a donc la forme répétitive !CHR1!CO!NH!CHR2!CO!NH!CHR3!,
où les Ri désignent des chaînes latérales qui sont, en général, différentes. Comme le
montre la figure 1.A.7, cette chaîne peut être vue comme un «squelette» formé d'une
succession, toujours identique, de trois paires d'atomes (NH, CH et CO), squelette auquel
se greffent les chaînes latérales, une à chaque «CH».
Figure 1.A.7 Quand des acides aminés sont regroupés pour former un polypeptide, ce dernier
comporte un squelette répétitif (en gris, à droite) auquel sont greffées des chaînes latérales (en vert).
(Figure adaptée de Campbell 2007)
Structure secondaire des protéines. Deux polypeptides diffèrent par la nature des chaînes
latérales des acides aminés qui les composent, mais comportent nécessairement le même
squelette. Or, deux des trois groupements qui composent ce squelette (NH et CO) sont
polaires et forment donc des ponts hydrogène avec les omniprésentes molécules d'eau.
Cependant, des groupements NH et CO situés à quelques acides aminés d'intervalle l'un
de l'autre peuvent former des ponts hydrogène entre eux plutôt qu'avec les molécules
d'eau. La croissance de l'entropie (surtout celle des molécules d'eau) favorisera
statistiquement une situation plutôt que l'autre (notamment selon la température ambiante).
5
Un gène est un segment d'une molécule d'ADN. Sauf quelques exceptions, il existe une correspondance «un gène, un
polypeptide». Quand la cellule reçoit le stimulus qui la pousse à synthétiser le polypeptide qui correspond un gène, c'est-à-dire à
exprimer ce gène, elle repère le début du gène, qui est toujours marqué par la même succession de trois monomères, en fait une copie,
puis dirige cette copie vers un ribosome, un organite spécialisé dans la synthèse de protéines. Dans le gène, chaque acide aminé est
codé par un bloc de trois monomères appelé codon. Le ribosome «lit» donc chaque codon et y fait correspondre un acide aminé qu'il
ajoute au polypeptide en cours de synthèse.
1.A.5 Structure et fonction des protéines
13
Il existe deux situations particulières, illustrées à la figure 1.A.8, qui permettent la
formation d'un grand nombre de ponts hydrogène entre des groupements NH et CO du
squelette du polypeptide plutôt qu'avec les molécules d'eau. Dans ces deux cas, il y a une
transition nette, à une température donnée, où tous les groupements d'une longue portion
du squelette remplacent presque simultanément leurs ponts hydrogène avec l'eau par des
ponts hydrogène entre eux. Sous la température critique, la statistique favorise de façon
écrasante les liens avec l'eau ; au
dessus, elle favorise de façon
écrasante les liens internes.
Quand la température croît audelà de la valeur critique, on
assiste à une cascade de
formation de ponts hydrogène Figure 1.A.8 La structure secondaire est un agencement répétitif
internes, à la façon d'une chaîne dû à des ponts hydrogène entre les atomes qui composent le
de dominos.
squelette du polypeptide. (Figure : banque ERPI)
Dans la première des deux configurations illustrées à la figure 1.A.8, qu'on appelle une
hélice , chaque groupement NH forme un pont hydrogène avec le groupement CO situé
à un intervalle de quatre acides aminés. Ces nombreux ponts hydrogène contraignent le
squelette du polypeptide à conserver une forme hélicoïdale qui donne son nom à la
structure obtenue. Dans une seconde configuration, qu'on appelle feuillet , ou feuillet
plissé , le squelette forme un coude à 180E plus ou moins serré (non illustré) de façon à
ce que deux tronçons antiparallèles en soient placés côte à côte. Dans cette configuration,
chaque groupement NH ou CO d'un tronçon forme un pont hydrogène avec les
groupements CO ou NH, respectivement, de l'autre tronçon. Certains polypeptides peuvent
se replier de façon à aligner plusieurs tronçons, antiparallèles deux à deux, tous côte à
côte, où chaque tronçon forme des ponts hydrogènes avec les tronçons situés de chaque
côté. Il y a trois tronçons dans le cas illustré à la figure 1.A.8. Les nombreux ponts
hydrogène contraignent les tronçons (deux ou davantage) à rester rectilignes, côte à côte
dans un même plan, formant un «feuillet» qui donne son nom à cette structure. Un feuillet 
peut aussi se former entre deux ou plusieurs tronçons parallèles du polypeptide, plutôt
qu'entre des tronçons antiparallèles.
Selon sa composition (certains acides aminés permettent plus facilement que d'autres au
squelette de faire un coude à 180E serré, par exemple) et selon l'environnement, en
particulier la température, un polypeptide donné peut adopter spontanément une
configuration où les groupements CO et NH de son squelette formeront des ponts
hydrogène entre eux. Les patterns réguliers dus à des ponts hydrogène dans le squelette
du polypeptide sont désignés comme sa structure secondaire. C'est le premier pas vers
la forme tridimensionnelle complète de la protéine.
Les trois protéines qui jouent un rôle central dans nos travaux, c'est-à-dire les pompes Na/K,
les canaux NaV et les canaux KV ont toutes trois une structure secondaire qui comporte de
nombreuses hélices α (voir la section 1.C). En particulier, la portion qui traverse la membrane
en est faite presque exclusivement, ce qui lui confère une grande stabilité : les ponts
hydrogène de ces hélices sont difficiles à briser, ne pouvant être remplacés, dans le milieu
hydrophobe de la membrane, par des liens avec l'eau. Plusieurs hélices α jouent aussi un
14
Chapitre 1 : Guide du débutant
rôle dans la fonction de la protéine, par exemple en fournissant des sites de liaison ou en
devenant des senseurs de tension, comme nous le verrons à la section 1.C.
Structure tertiaire des protéines. Les acides aminés utilisés pour synthétiser le polypeptide
ont des propriétés différentes, déterminées par leur chaîne latérale. Certains portent une
chaîne latérale basique ou acide qui se dissocie au pH ambiant et devient chargée.
D'autres, même s'ils restent électriquement neutres, portent une chaîne latérale polaire.
Ceux qui restent portent une chaîne latérale non polaire. Ces différentes propriétés font en
sorte que les acides aminés se placent géométriquement d'une certaine façon et même
que chacun des atomes qui les compose adopte une position précise dans l'espace.
Ajoutons que la structure secondaire joue un rôle déterminant : en fonction des chaînes
latérales qu'elles comportent, les hélices  et les feuillets  ont eux aussi tendance à
interagir entre eux comme des touts et à s'agglomérer selon certaines orientations.
On appelle structure tertiaire la structure tridimensionnelle d'un polypeptide, causée
surtout par les interactions entre les chaînes latérales et définie par la position de chacun
de ses atomes dans l'espace. Il y a plusieurs façons l'illustrer cette structure : les
représentations en ruban mettent l'accent sur les positions relatives des hélices , des
feuillets  et des autres portions du polypeptide en illustrant seulement la position dans
l'espace occupée par le squelette du polypeptide. On peut aussi utiliser la représentation
en boules et bâtons, comme à la figure 1.A.6, qui présente l'avantage d'illustrer chaque
atome. Un logiciel comme RasMol permet de visualiser une même protéine en utilisant une
diversité de représentations visuelles. Notons que, sur la figure 1.A.8, la représentation en
ruban, en bleu, est superposée à la représentation des atomes.
De nombreuses interactions entre acides aminés favorisent leur positionnement dans
l'espace, soit l'établissement de la structure tertiaire, et ces interactions peuvent impliquer
des chaînes latérales qui ne sont pas forcément voisines entre elles sur le polypeptide. Il
y a d'abord, évidemment, les interactions électrostatiques entre les chaînes latérales
chargées ou les ponts hydrogène entre les chaînes latérales polaires. Ensuite, la cellule
peut catalyser la formation d'un lien covalent entre deux chaînes latérales de cystéine, un
des 20 acides aminés. Un tel lien, appelé pont disulfure, stabilise significativement la
position relative des chaînes latérales. Enfin, soulignons que les chaînes non polaires ont
tendance à se regrouper en amas de façon à minimiser leur interaction avec les molécules
d'eau, avec lesquelles elles ne peuvent former de ponts hydrogène. Ainsi, bien qu'elles
n'exercent aucune force l'une sur l'autre, les chaînes latérales non polaires semblent
s'attirer grâce à l'interaction hydrophobe. Enfin, les chaînes latérales non polaires situées
à proximité l'une de l'autre peuvent interagir grâce aux forces de Van der Walls.
Il importe de rappeler que la plupart des polypeptides adoptent leurs conformations
secondaire et tertiaire de façon spontanée. Comme nous l'avons déjà souligné, si on
dénature la configuration d'une protéine en l'exposant à une température élevé ou à un pH
qui modifie les charges portées par ses chaîne latérales, on peut ensuite inverser le
processus en restituant les caractéristiques du milieu original, dans la mesure où le
polypeptide dénaturé n'a pas précipité ou ne s'est pas scindé. En milieu cellulaire, toutefois,
plusieurs polypeptides doivent interagir avec d'autres protéines pour adopter correctement
leur conformation tridimensionnelle.
1.A.5 Structure et fonction des protéines
15
Structure quaternaire des protéines. Bien que ce ne
soit pas toujours le cas, certains polypeptides ayant
acquis leur structure tertiaire doivent s'assembler entre
eux pour constituer une protéine. On dit qu'une telle
protéine est constituée de l'assemblage de quelques
sous-unités protéiques. Ces dernières peuvent être
identiques (par exemple, l'hémoglobine est une
protéine formée de quatre sous-unités identiques) ou
différentes (par exemple, l'insuline est formée de deux
sous-unités différentes). La figure 1.A.9 montre cette
structure quaternaire d'une protéine et la met en
relation avec ses trois autres niveaux de structure.
Certaines protéines, formées d'une ou plusieurs sousunités, comportent aussi un groupement non
polypeptidique, par exemple un glucide ou un ion, qui
leur est ajouté. C'est le cas de l'hémoglobine, qui doit
1.A.9 La structure quaternaire
comporter un groupement appelé «hème» pour être en Figure
complète les quatre niveaux de structure
mesure de jouer son rôle biologique, lier l'oxygène. d'une protéine. (Figure : banque ERPI)
C'est le cas aussi de la pompe Na/K, qui comporte de
très nombreux glucides sur sa face extracellulaire.
Les trois protéines qui jouent un rôle central dans nos travaux, c'est-à-dire les pompes
Na/K, les canaux NaV (tensiodépendants à Na+) et les canaux KV (tensiodépendants à K+)
ont toutes trois une structure quaternaire : les deux premières sont formées de deux sousunités différentes et la troisième est assemblées à partir de quatre sous-unités identiques.
1.A.6 Le modèle Michaelis-Menten pour la cinétique enzymatique
Maintenant que nous avons étudié en détail la structure d'une protéine, tous les outils de
base pertinents au sujet de la biologie cellulaire en général sont introduits. Avant de
terminer la section 1.A, il ne nous reste plus qu'à introduire un outil biochimique quantitatif,
un modèle permettant de décrire le taux auquel une protéine enzymatique catalyse une
réaction chimique. Au chapitre 3, ce modèle s'avérera important pour décrire le courant
électrique causé par l'action des pompes Na/K. Pour l'obtenir, nous suivons
essentiellement le raisonnement présenté dans Nelson 2008 (section 10.4.1). Il importe
toutefois de souligner que Nelson fonde le résultat obtenu sur plusieurs hypothèses dont
plusieurs ne sont pas formellement nécessaires, malgré leur intérêt pédagogique.
Pour le moment, considérons une réaction chimique simple, comme celle illustrée à la
figure 1.A.6, où un substrat S se lie à un enzyme, E. Il a ensuite une certaine probabilité
de se dissocier, mais s'il reste lié à l'enzyme jusqu'au moment où les collision thermiques
fournissent l'énergie requise, ce dernier en réorganise les atomes afin de le transformer en
un produit P, qui est ensuite libéré de l'enzyme, ce qui permet au processus de
recommencer :
E  S  ES  EP  E  P
16
Chapitre 1 : Guide du débutant
(équation 1.A.1)
Nous cherchons à prédire le taux auquel l'enzyme permet la synthèse du produit P. Pour
l'obtenir, il importe de distinguer les concentrations d'enzyme dans l'état libre ou lié, que
nous noterons respectivement cE et cES, de la concentration totale d'enzyme, [E] = cE + cES.
Nous allons maintenant faire la seule hypothèse qui est réellement requise pour obtenir le
modèle cinétique que nous recherchons : dans la plupart des réactions enzymatiques, la
dernière des trois étapes peut être considérée comme irréversible. En d'autres termes, la
réaction EP  E  P est extrêmement plus probable que la réaction EP  E  P , ce
qui permet d'ignorer complètement cette dernière. Cette hypothèse est valable, par
exemple, quand le produit P de la réaction est immédiatement consommé par la cellule.
Elle est clairement valable, aussi, dans le cas de l'enzyme qui nous intéresse, soit la
pompe Na/K : comme nous le verrons à la section 1.C, quand elle libère des ions d'un côté
de la membrane, la pompe change de conformation, ce qui fait que les sites actifs où se
lient ce type d'ion cessent rapidement d'être disponibles de ce côté de la membrane.
Dans tout enzyme, la dissociation EP  E  P est très rapide en comparaison du
passage ES  EP , qui requiert une certaine attente où les collisions thermiques doivent
fournir l'énergie permettant à la réaction d'avoir lieu. Par conséquent, il n'est pas
nécessaire de distinguer les états EP et E + P et on peut considérer qu'il y a un passage
direct entre l'état ES et l'état E + P. Ainsi, et en tenant compte aussi de l'hypothèse que
nous avons formulée, l'équation 1.A.1 devient :
k1
k2
E  S  ES  E  P
(équation 1.A.2)
k 1
où nous avons ajouté les constantes cinétiques k1, k!1 et k2 qui caractérisent le taux des
trois étapes élémentaires. En général, chacune de ces étapes a un taux proportionnel à
la concentration de ses réactifs, la constante de proportionnalité étant la constante ki
correspondante. Ce que nous recherchons est la vitesse de réaction, c'est-à-dire le taux
auquel le produit est créé, qui est donc k2cES, où cES est la concentration des molécules
d'enzymes qui sont dans l'état lié.
On peut exprimer cES en fonction des trois constantes cinétiques et de la concentration [S]
du substrat. Pour ce faire, il suffit de réaliser que cES croît au taux k1cE[S] quand la réaction
E  S  EP se produit, décroît au taux k!1cES quand la réaction inverse se produit et
décroît aussi, au taux k2cES, quand la réaction ES  E  P se produit. On a donc :
d
dt
cES  k1cE [S]  (k 1  k 2 )cES
(équation 1.A.3)
On peut simplifier le membre de droite en y substituant cE = [E] ! cES, d'où :
d
dt
cES  k1[E][S]  (k1[S]  k 1  k 2 )cES
1.A.6 Le modèle Michaelis-Menten pour la cinétique enzymatique
(équation 1.A.4)
17
Quand une concentration [E] d'enzyme est ajoutée à une solution qui contient le substrat,
cES est initialement nul, mais tend rapidement vers une valeur stationnaire. Le taux de
synthèse du produit devient donc lui aussi stationnaire. Puisque cES ne varie plus, le
membre de gauche de l'équation 1.A.4 devient alors nul. En isolant alors cES dans
l'équation 1.A.4, on obtient :
cES 
k1[E][S]
[S]
 [E] k1  k2
k1[S]  k 1  k2
 [S]
k1
(équation 1.A.5)
La vitesse de réaction v = k2cES est donc :
[S]
v  k 2 [E] k1  k2
 [S]
k1
(équation 1.A.6)
Selon cette équation, le rythme de la réaction augmente proportionnellement à la
concentration [E], ce qui est effectivement le comportement attendu quand l'enzyme est
suffisamment dilué.
En général, il est difficile de mesurer directement les constantes k1, k!1 et k2, puisque les
trois réactions qui figurent dans l'équation 1.A.2 se produisent simultanément. On définit
donc les constantes vmax = k2[E] et KM = (k!1 + k2)/k1. Ces constantes peuvent être
considérées comme des paramètres tirés directement (et facilement) de l'expérience. Avec
cette nouvelle notation, l'équation 1.A.6 devient enfin :
Modèle Michaelis-Menten
v  v max
[S]
KM  [S]
(équation 1.A.7)
V/Vmax
Selon cette équation, la vitesse de la réaction
modèle Michaelis-Menten
est nulle quand [S] = 0, ce qui est évidemment
1
logique, et tend vers vmax quand la
0,75
concentration de substrat est extrêmement
0,5
élevée. Dans ce dernier cas, on dit que
l'enzyme est saturé. Comme le montre la
0,25
figure 1.A.10, il faut une concentration
0
importante (en proportion de KM) pour saturer
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
[S]/KM
l'enzyme. La constante KM a aussi une
interprétation évidente : elle correspond à la
concentration de substrat pour laquelle Figure 1.A.10 La concentration du substrat influence
la vitesse d'une réaction enzymatique.
v = vmax/2, ce que montre aussi la figure.
Notons qu'en obtenant expérimentalement un graphique comme celui de la figure 1.A.10,
on peut déterminer facilement vmax et KM. Cette tâche est encore plus facile si on trace le
18
Chapitre 1 : Guide du débutant
graphique de 1/v en fonction de 1/[S], qui a la forme d'une droite dont l'ordonnée à l'origine
est 1/vmax et la pente, KM/vmax.
Guide de lecture 1.A
Nous terminons cette section avec quelques conseils de lecture. La majorité de cette
section ayant été d'un niveau extrêmement introductif, nous privilégions ici des sources qui
sont aussi d'un tel niveau. Les articles de recherche que nous avons cités n'en sont pas
moins pertinents, mais ils répondent moins à un besoin d'introduction.
En plus des sources écrites, le lecteur avec ou sans bases en biologie aurait avantage,
pour visualiser la structure de protéines, à installer le logiciel RasMol ou sa version
RasWin, qui sont tous deux gratuits.
Le lecteur dont le niveau en biologie dépasse déjà celui de cette section 1.A aurait intérêt
à consulter Hille 2001, l'une des références les plus reconnues au sujet des canaux
ioniques et Läuger 1991 qui, malgré son âge, contient une foule d'information sur les
pompes. De plus, nous traiterons plus spécifiquement des canaux et des pompes à la
section 1.C. Le reste de ce guide de lecture s'adresse au lecteur qui a jugé nécessaire de
lire cette section 1.A en raison de trop faibles bases en biologie.
Bien que le contenu biologique de la section qui se termine suffise à la lecture de la suite
de cette thèse, nous recommandons fortement au lecteur dont l'intention serait
d'entreprendre des travaux de recherche en biophysique de s'assurer au préalable une
maîtrise de bases élémentaires en biologie. C'est une première étape essentielle. Pour ce
faire, les premiers chapitres de Campbell 2007, un ouvrage introductif classique, sont un
excellent point de départ : ils se lisent rapidement, ne nécessitent absolument aucun
préalable et introduisent les fondements biochimiques de la biologie (chap. 2-5), les
composantes de la cellule (chap. 6) et les membranes cellulaires (chap. 7). Le chapitre 48
porte plus spécifiquement sur les systèmes nerveux.
Marieb 2010 survole les mêmes notions dans ses chapitres 2-4 et est lui aussi disponible
en français. Il a toutefois la saveur particulière d'être un ouvrage introductif axé sur la
physiologie de l'être humain et non sur l'étude de l'entièreté du monde vivant.
Le lecteur qui préfère la langue de Shakespeare peut plutôt consulter les éditions originales
de Campbell et Marieb, ou encore Lodish 2000 et y trouver un contenu équivalent.
Le physicien qui s'y connaît minimalement en biologie mais pas forcément en biophysique
aurait intérêt à consulter Nelson 2008, qui documente les aspects physiques de la biologie
moléculaire. Ce manuel introduit à partir d'un niveau intermédiaire toutes les notions de
physique, et en particulier de mécanique statistique, qui sont essentielles à son exposé.
Le lecteur aura donc droit à une révision de thermo-statistique, appliquée dans un contexte
de biologie moléculaire (chap. 6-7). On y traite notamment de thèmes que nous avons
abordés, comme l'assemblage spontané des membranes cellulaires ou l'apparition
spontanée de la structure secondaire des protéines (chap. 8-9).
En fait, tous les thèmes abordés par Nelson, même ceux que nous avons choisi de ne pas
1.A.6 Le modèle Michaelis-Menten pour la cinétique enzymatique
19
couvrir dans cette section 1.A, sont pertinents pour qui souhaite développer une intuition
générale au sujet des phénomènes physiques qui se déroulent à l'échelle moléculaire dans
la cellule. On y traite de diffusion (chap. 3-4), de l'imposante viscosité qui domine tout
mouvement à l'échelle cellulaire (chap. 5), de divers phénomènes osmotiques et des
interactions moléculaires qui en découlent (chap. 7), etc.
20
Chapitre 1 : Guide du débutant
1.B) Électrophysiologie
Dans cette seconde section, nous aborderons les phénomènes électriques qui se
produisent dans les cellules, en insistant sur ce qui est pertinent pour comprendre le
fonctionnement de l'influx nerveux. Pour faciliter la lecture, nous organisons le texte en trois
parties. Tout d'abord, la sous-section 1.B1 fera un survol expérimental général au sujet du
potentiel de membrane. Les deux autres sous-sections expliquent les mécanismes
physiologiques derrière ces phénomènes, en ayant recours à des cas de complexité
croissante, la sous-section 1.B2 s'attardant aux membranes non excitables et la suivante,
aux membranes excitables. Le texte est structuré de telle façon que chacun des concepts
introduits dans une des sous-sections demeure valide dans les sous-sections suivantes.
1.B1) Potentiel de repos et potentiel d'action : les observations-clé
Dans cette première sous-section, nous abordons surtout les observations élémentaires
au sujet des phénomènes électriques dans les cellules. Ce contexte nous permettra de
définir la distinction entre les cellules non excitables et les cellules excitables. Nous
introduirons d'abord le concept de potentiel de membrane, puis verrons ensuite que ce
dernier a un comportement plutôt simple dans les cellules non excitables, mais nettement
plus élaboré dans les cellules excitables. Il est notamment responsable de la propagation
de l'influx nerveux dans les neurones, qui appartiennent à cette dernière catégorie de
cellules. Nous conclurons en interprétant le potentiel de membrane en termes de champ
électrique et de charge électrique nette accumulée de part et d'autre de la membrane.
1.B1.1 Le potentiel de membrane
Comprendre le fonctionnement de l'influx nerveux requiert tout d'abord de maîtriser les
propriétés d'un neurone au repos, qui correspondent essentiellement aux propriétés d'une
cellule non excitable. La première de ces propriétés : dans toutes les cellules animales, on
mesure une différence de potentiel électrique ΔV = Vint ! Vext entre les côtés interne et
externe de la membrane plasmique. Dans les cellules non excitables, de même que dans
les cellules excitables au repos, cette tension électrique est typiquement entre !60 mV
et !80 mV. (Comme d'autres grandeurs cellulaires, elle manifeste une variabilité.)
L'existence de cette différence de potentiel a
historiquement été déduite par des méthodes
indirectes, mais nous pouvons aujourd'hui la
mesurer directement : l'enregistrement de
cette tension électrique se fait en insérant, au
travers de la membrane plasmique, une
électrode intracellulaire6, en mettant une
seconde électrode en contact avec le milieu Figure 1.B1.1 Dans toute cellule animale, on mesure
extracellulaire, puis en mesurant la différence une différence de potentiel entre les côtés interne et
de potentiel entre les deux (Weckström 2010). externe de la membrane plasmique.
La figure 1.B1.1 représente une telle démarche avec un équipement de mesure naïf, que
nous utilisons à des fins illustratives. En raison des étages d'amplification utilisés dans un
6
Tel qu'évoqué à la figure 1.B1.1, on utilise typiquement un tube capillaire pointu, rempli d'un électrolyte (ex : une solution concentrée
de KCl) et dans laquelle on insère une électrode. Une autre possibilité est d'utiliser la méthode du «cell attached patch clamp» (voir soussection 1.B3). Il existe aussi des méthodes alternatives comme les teintures sensibles au voltage (Läuger 1991, chap. 5)
1.B1.1 Le potentiel de membrane
21
équipement réel, le milieu extracellulaire est souvent considéré comme mis à la terre, donc
on choisit son potentiel comme Vext / 0. Ainsi, par convention, ΔV = Vint. Pour cette raison,
on peut référer à cette dernière grandeur en l'appelant indifféremment différence de
potentiel de membrane, ΔV, ou potentiel de membrane, V. Nous privilégierons la seconde
appellation. Notez qu'à des fins de simplicité de la notation, nous abandonnons l'indice
«int» et identifierons le potentiel de membrane par le symbole V.
1.B1.2 Réactions du potentiel de membrane à une perturbation
En utilisant diverses méthodes, on peut perturber localement le potentiel de membrane
d'une cellule. Par exemple, en se servant d'une électrode du même genre que celles
schématisées à la figure 1.B1.1, on peut injecter une petite quantité de charge électrique
à l'intérieur de la cellule, ce qui conduit à une augmentation locale de V, qui devient donc
moins négatif. On dit que la membrane est dépolarisée. Au lieu d'injecter une charge, on
peut aussi en retirer ; on assiste alors à une diminution locale de V, qui devient donc plus
négatif7. On dit que la membrane est hyperpolarisée. Quelle que soit la cellule, on mesure
alors que, en réaction à une dépolarisation ou à une hyperpolarisation, un courant
électrique net traverse localement la membrane. (La sous-section 1.B2 développera les
équations permettant de calculer ce courant, alors que la sous-section 1.B3 présentera les
méthodes de mesure pour les systèmes les plus complexes.)
Évidemment, un courant électrique traversant la membrane a nécessairement lui aussi un
effet sur V. Nous utiliserons le symbole V0 pour désigner le potentiel de repos, c'est-à-dire
le potentiel non perturbé, et le distinguer du potentiel de membrane V qui est, en général,
une fonction de la position et du temps. Dans le modèle numérique que nous présenterons
au chapitre 3, la valeur utilisée pour le potentiel de repos est de !65,5 mV. C'est d'ailleurs
la valeur que nous avons illustrée sur la figure 1.B1.1.
Cellules non excitables. Dans une cellule non excitable, la perturbation de V en un point
(celui où la mesure est effectuée) s'estompe asymptotiquement jusqu'à ce que V revienne
à sa valeur de repos (Nelson 2008, chap. 11-12). Une telle décroissance essentiellement
exponentielle est un comportement linéaire : en effet, le courant qui traverse la membrane
est proportionnel à l'écart δ = V ! V0. Si on désigne par k la constante de proportionnalité,
on a alors effectivement dδ/dt = !kδ donc δ = δ0e!kt. Une membrane qui est traversée par
un courant proportionnel à la perturbation δ de sa tension est aussi dite quasi-ohmique (par
analogie avec un véritable courant ohmique qui, lui, serait proportionnel à V).
Dans une membrane linéaire, on peut s'attendre à ce que la taille d'une perturbation soit
fonction du stimulus, c'est-à-dire que sa taille augmente quand celle du stimulus augmente.
Une telle réponse est dite un potentiel gradué.
Cellules excitables. Dans les cellules non excitables, les phénomènes électriques
demeurent donc locaux. Ainsi, le potentiel de membrane de ces cellules demeure
7
Quand il est question de nombres négatifs, les mots «augmenter» ou «diminuer» peuvent porter à confusion, selon qu'on désigne
la valeur absolue ou qu'on tient compte du signe. Dans l'entièreté de cette thèse, nous tenons compte du signe. En d'autres termes,
«augmenter» signifie «devenir moins négatif» et non «accroître la valeur absolue». Ce choix permet plus facilement de décrire un
graphique, où «augmenter» désignera toujours une pente positive, que la courbe soit au dessus ou en dessous de l'axe des abscisses.
22
Chapitre 1 : Guide du débutant
relativement uniforme dans l'espace et constant dans le temps8. Il en va autrement dans
les cellules excitables : ce qui définit ces dernières est leur capacité à répondre d'une
façon non linéaire à la perturbation de V (Nelson 2008, chap. 12).
Ainsi, la réponse d'un neurone est caractérisée par l'existence d'un seuil d'excitation, dont
la valeur est typiquement situé entre !50 mV et !35 mV. Quand on perturbe le potentiel
de membrane d'un neurone au repos, il existe deux catégories de réponses possibles, le
potentiel gradué et le potentiel d'action, respectivement produites selon que la perturbation
amène la valeur de V au dessus du seuil d'excitation du neurone ou non.
Figure 1.B1.2 Quand le stimulus fait monter le potentiel de membrane au dessus du seuil d'excitation, un
potentiel d'action est enclenché ; sinon, on obtient un potentiel gradué.
La figure 1.B1.2 compare ces deux types de réponses en présentant les courbes V(t)
mesurées en un unique endroit de la membrane. Ainsi, les stimulus hyperpolarisants ou
les stimulus dépolarisants trop faibles causent un potentiel gradué, exactement comme
dans les cellules non excitables. Sous le seuil d'excitation, la membrane conserve donc
approximativement son comportement linéaire. En outre, la réponse est fonction de
l'intensité du stimulus. En revanche, quand un stimulus dépolarisant est suffisamment
important pour que V dépasse le seuil d'excitation, sa valeur augmente ensuite
drastiquement, atteint un maximum typiquement situé aux environs de 40 mV
(l'augmentation a en effet été suffisante pour inverser la polarité), décroît ensuite
rapidement jusqu'à dépasser V0, puis remonte très lentement vers V0. Cette réaction est
stéréotypée, c'est-à-dire qu'elle prend toujours approximativement la même forme, atteint
toujours approximativement le même maximum et a toujours approximativement la même
durée et ce quelle que soit l'intensité, la forme ou la durée du stimulus l'ayant initiée. C'est
cette réaction stéréotypée du potentiel de membrane qu'on appelle un potentiel d'action.
(Le terme influx nerveux, plus vague, est aussi parfois utilisé pour désigner un potentiel
d'action ou une succession de potentiels d'action.)
Dans la sous-section 1.B3, nous verrons que cette réponse stéréotypée est rendue possible
par les canaux tensiodépendants qui réagissent à la valeur de V en s'ouvrant et en se
fermant, ce qui change la perméabilité de la membrane à certains ions, donc modifie la
8
On peut concevoir des exceptions : par exemple, les cellules épithéliales n'ont pas un milieu extracellulaire uniforme : elles
baignent dans le liquide interstitiel mais une de leurs faces donne sur un autre milieu (par exemple, la cavité intestinale) ; la composition
ionique de cet autre milieu étant différente de celle du liquide interstitiel, le potentiel de membrane sur cette face peut donc différer de
celui mesurable sur les faces en contact avec le liquide interstitiel. Il n'en demeure pas moins que toute perturbation de ce potentiel de
membrane cause une réponse linéaire et localisée.
1.B1.2 Réactions du potentiel de membrane à une perturbation
23
conductance électrique de cette dernière et lui donne donc son comportement non linéaire.
Notons sur la figure 1.B1.2 que le potentiel d'action débute par une phase souvent appelé
pic, impulsion ou décharge. Il se termine par un lent retour à V0 qu'on appelle la
récupération. Pendant la majorité de cette dernière, le neurone demeure incapable de
répondre à un nouveau stimulus ; c'est la phase réfractaire.
Sur le plan du vocabulaire, il est à noter que les stimulus hyperpolarisants et dépolarisants
sont souvent qualifiés respectivement de stimulus inhibiteurs et de stimulus
excitateurs. En effet, le premier a tendance à éloigner V du seuil d'excitation alors que le
second l'en approche. Ces termes prennent encore plus de sens dans une situation in vivo,
où l'excitation ou l'inhibition d'un interneurone ou d'un neurone moteur est causée par les
très nombreuses synapses que portent ses dendrites. La libération de neurotransmetteurs
par chacune de ces synapses cause, dans le neurone postsynaptique, un potentiel gradué
qui peut être soit inhibiteur ou excitateur. Typiquement, il faut une combinaison de plusieurs
de ces potentiels postsynaptiques excitateurs ou inhibiteurs (abrégés PPSE et PPSI) pour
que le neurone ainsi stimulé atteigne son seuil d'excitation (Hille 2001, chap. 6).
Toujours sur le plan du vocabulaire, soulignons que l'utilisation du mot «potentiel» dans
«potentiel gradué» ou «potentiel d'action» peut porter à confusion : contrairement au
potentiel de membrane, une grandeur instantanée, fonction du temps, un potentiel gradué
et un potentiel d'action sont des événements qui ont une durée dans le temps.
La propagation dans l'espace, le long de l'axolemme. Le fait que le potentiel d'action a une
forme et une durée indépendantes du stimulus n'est pas la seule caractéristique qui le
distingue des potentiels gradués. Maintenant que nous avons étudié leur dépendance
temporelle, nous allons nous pencher sur la dépendance spatiale de ces deux catégories
de réponses au stimulus.
Figure 1.B1.3 Les potentiels gradués s'estompent rapidement quand ils se propagent le long d'un axone,
alors que les potentiels d'action maintiennent leur amplitude et leur forme malgré l'inévitable dissipation
d'énergie due à la résistance électrique de l'axoplasme.
Pour étudier la dépendance spatiale des potentiels gradués et des potentiels d'action, nous
considérons l'axone illustré à la moitié gauche de la figure 1.B1.3, lequel est stimulé à son
24
Chapitre 1 : Guide du débutant
extrémité gauche et le long duquel nous pouvons mesurer V(t) en plusieurs points bien
séparés dans l'espace. Pour les fins de l'illustration, nous avons représenté trois de ces
points. La moitié droite de la figure illustre deux graphiques : celui du haut correspond aux
enregistrements respectifs des trois «voltmètres» quand le stimulus cause un potentiel
gradué ; celui du bas correspond aux mêmes enregistrements lors d'une seconde
expérience, où le stimulus serait plus important, suffisamment pour causer un potentiel
d'action. Sur chacun de ces trois graphiques, nous avons superposé les trois
enregistrements, mais les avons distingué par une couleur et une largeur de trait différents.
Comme le montre la figure 1.B1.3, le potentiel gradué ne fait pas que s'estomper avec le
temps, il s'estompe aussi dans l'espace : on constate que l'intensité de la perturbation est
d'autant plus faible que le potentiel de membrane est mesuré loin du point d'injection de
la charge-stimulus ; de même, on remarque que la largeur de cette perturbation augmente
à mesure que son amplitude est plus faible. Ceci correspond à ce qu'on attendrait d'une
simple diffusion des charges injectées : leur distribution le long de la longueur de l'axone
aurait alors la forme d'une gaussienne dont la largeur croîtrait avec le temps (Nelson 2008,
section 12.1).
En revanche, la propagation le long de l'axone d'un potentiel d'action diffère de celle du
potentiel gradué par une caractéristique essentielle : il se propage le long de la membrane
sans perdre de son intensité et sans altérer sa forme ou sa durée. En somme, il conserve
la même forme stéréotypée. Ce maintien d'amplitude nécessite l'injection constante
d'énergie ; en effet, la propagation du potentiel d'action le long de l'axone reposant
inévitablement sur des mouvements de charge, il y a forcément dissipation d'énergie dans
la résistance électrique de l'axoplasme ; en l'absence d'injection constante d'énergie, le
potentiel d'action perdrait donc de l'amplitude (Nelson 2008, chap. 12 ; voir aussi Scott
2002, où ce thème est récurrent). La sous-section 1.B2 éclaircira l'origine de cette énergie.
Cette capacité à maintenir sa forme est ce qui permet au potentiel d'action de se propager
sur de longues distances, c'est-à-dire toute la longueur des axones, alors que les potentiels
gradués ont rarement de l'influence au delà de quelques millimètres (Sterratt 2011, chap.
2, 4, 8). Le potentiel d'action est donc à la fois un événement qui se prolonge dans le
temps mais aussi qui se prolonge dans l'espace. Il a certaines des caractéristiques d'un
soliton (Scott 2002, chap. 4), comme par exemple un tsunami, et qu'on peut donc en parler
en employant le même vocabulaire : un même tsunami «progresse» sur une longue
distance et «dure» dans le temps. De la même façon, c'est le même potentiel d'action qui
circule d'un bout à l'autre d'un axone. En revanche, le potentiel d'action se distingue des
vagues ordinaires, qui sont linéaires, s'estompent à mesure que leur énergie se dissipe et
peuvent se croiser sans altérer leur forme. Ces dernières se comparent plutôt aux
potentiels gradués, alors que le potentiel d'action serait plutôt une vague régénératrice.
Ainsi, on s'attend à pouvoir décrire les potentiels d'action et les potentiels gradués grâce
à des solutions progressives d'une équation d'onde ou d'une équation différentielle
apparentée. On s'attend aussi à ce que l'équation en question soit non linéaire (bien qu'elle
puisse présenter une limite linéaire qui corresponde au cas des potentiels gradués). Nous
reviendrons à ces aspects mathématiques dans la sous-section 1.B3. L'appendice A
présente quelques outils mathématiques de base de la dynamique non linéaire.
1.B1.2 Réactions du potentiel de membrane à une perturbation
25
1.B1.3 La membrane, un condensateur chargé
Qu'une cellule soit excitable ou non, nous avons établi qu'on mesure une différence de
potentiel entre les parois de sa membrane plasmique. Or, la différence de potentiel, le
champ électrique et une séparation de charge sont trois concepts indissociables en
électrostatique9. En effet, une séparation de charge produit un champ électrique, auquel
est associée la différence de potentiel (dont le module du champ est le gradient).
Puisqu'une différence de potentiel est mesurée aux bornes de la membrane, il doit donc
exister un champ électrique dans la membrane et une charge nette accumulée localement
de part et d'autre de la membrane.
Le champ électrique dans la membrane est énorme. Les membranes biologiques ont une
épaisseur de seulement L = 4,5 nm. Un écart de potentiel *V* = 70 mV entre les parois
d'une membrane aussi mince correspond à un champ électrique dont le module est
E = *V*/L = 1,5×107 V/m, ce qui est énorme. (À titre comparatif, la tension de claquage de
l'air, où un arc électrique se produit, correspond à un champ de l'ordre de 3,6×106 V/m.)
Cet imposant champ électrique exerce une force significative sur les chaînes latérales
chargées qui font partie des protéines enchâssées dans la membrane plasmique10. Il est
évident qu'il participe donc à la détermination de leur conformation et que, si le champ
électrique venait à changer, on puisse s'attendre à ce que les protéines comportant des
chaînes latérales chargées dans la partie hydrophobe de la membrane changent
drastiquement de conformation (Nelson 2008, chap. 12). Comme nous le verrons, c'est le
mécanisme de base expliquant le fonctionnement des canaux tensiodépendants, que nous
avons évoqué plusieurs fois à la section 1.A et sur lesquels nous reviendrons à la soussection 1.B3. En fait, même les portions non chargées d'une protéine transmembranaire
peuvent être affectées directement par un changement de champ électrique : par exemple,
la disposition d'une hélice α fait en sorte que les dipôles électriques des liens polaires
répétitifs présents dans le squelette polypeptidique s'additionnent et produisent un dipôle
important, sur lequel le champ électrique exerce un moment de force (Läuger 1991,
chap. 3).
La charge nette accumulée de part et d'autre de la membrane est minuscule. Pour évaluer
la charge accumulée localement de part et d'autre de la membrane, on peut considérer
cette dernière comme un condensateur plan, dont l'épaisseur est 4,5 nm. Puisque la
portion hydrophobe de la membrane a des propriétés électriques similaires à celles de
l'huile végétale, on s'attend à ce qu'elle soit un isolant électrique présentant une permittivité
relative d'environ r  5. On peut donc évaluer sa capacité électrique A/d. Conformément
à l'usage, nous utiliserons le symbole C pour désigner la capacité par unité de surface,
c'est-à-dire C = /d. On obtient donc une capacité de l'ordre de :
C  1 F/cm2
9
Il n'est évidemment pas question, ici, de champ électrique induit mais exclusivement de champ électrique coulombien. D'ailleurs,
la notion de potentiel ne serait pas pertinente si un champ induit était présent.
10

En pratique, l'effet du champ électrique E est réduit par la polarisation du matériau dielectrique constituant la membrane, mais
demeure néanmoins imposant.
26
Chapitre 1 : Guide du débutant
Dans le modèle numérique que nous introduirons au chapitre 3, la valeur ci-dessus est
utilisée pour la capacité surfacique. En raison de cette capacité, la charge nette accumulée
de part et d'autre d'un centimètre carré de membrane est Q = CV = 65,5 nC. Elle
correspond à la charge de seulement 4×109 ions monovalents, soit moins de 10!12 mol
(pour un centimètre carré de membrane). Il s'agit d'une très faible proportion des ions
contenus par la cellule ou par le compartiment extracellulaire, soit environ le millionième11,
et ce, quelle que soit la géométrie de la cellule.
La charge nette est localisée dans une fine couche. Conclure qu'il existe une charge nette
accumulée de chaque côté de la membrane ne doit pas faire imaginer que la cellule est
chargée dans l'entièreté de son volume, ce qui serait une grave erreur conceptuelle.
Essentiellement en raison de leur attraction mutuelle, les charges nettes accumulées de
part et d'autre de la membrane demeurent à proximité de cette dernière, dans une fine
couche dont l'épaisseur est de moins d'un nanomètre. Les physiciens reconnaîtrons que
l'épaisseur de la fine couche en question est la longueur de Debye (Nelson 2008, chap. 7).
Au delà de cette distance, le cytosol et le liquide extracellulaire retrouvent leur neutralité
électrique. L'image du condensateur plan est donc tout à fait valide.
Notons que le champ électrique, s'il est maximum dans la membrane, a quand même une
valeur non nulle dans la fine couche de charge nette accumulée (c'est donc aussi le cas
du gradient de potentiel). À mesure qu'on s'éloigne de la membrane, le champ électrique
décroît et n'atteint une valeur nulle que lorsque le milieu électriquement neutre est atteint.
(Le théorème de Gauss permet de comprendre l'origine de ce résultat.) Notons que cette
légère extension du champ électrique hors de la membrane lui permet d'attirer ou de
repousser les ions qui se trouvent dans la fine couche chargée.
Comme nous le verrons à la sous-section 1.B3, les ordres de grandeur que nous venons
d'établir sont important pour comprendre le fonctionnement d'un potentiel d'action. En
particulier, un très petit transfert de charge modifie de façon significative le potentiel de
membrane sans modifier perceptiblement la concentration totale des ions de part et d'autre
de la membrane.
1.B2) Potentiel de repos dans les cellules non excitables
La sous-section 1.B1 nous a permis d'aborder l'existence du potentiel de membrane dans
toutes les cellules, de distinguer la façon dont il réagit aux stimulus dans les cellules non
excitables et dans les cellules excitables, puis de l'interpréter en terme de champ et de
charges électriques. Maintenant que nous avons présenté ces phénomènes de base, nous
débutons notre étude des mécanismes physiques qui les expliquent.
Dans cette seconde sous-section, nous nous intéresserons particulièrement aux courants
ioniques qui traversent la membrane sous l'effet combiné de la différence de potentiel V
et du gradient de concentration. Nous nous concentrerons d'abord sur une unique espèce
11
En effet, nous verrons plus loin que les principaux ions ont tous une concentration interne ou extracellulaire de l'ordre de 10 à
150 mmol/L. Sachant le rayon typique d'un axone, on peut calculer le volume d'un axone dont la surface mesure 1 cm2 (valeur pour
laquelle nous avons obtenu une charge nette de l'ordre 10!12 mol) et en déduire que son contenu est de l'ordre de 10!6 mol pour chaque
espèce ionique. Cet argument est généralisable aux autres géométries.
1.B1.3 La membrane, un condensateur chargé
27
ionique, distinguant le cas où elle est à l'équilibre de celle où elle ne l'est pas. Cela nous
conduira à introduire l'équation de Nernst. Ensuite, on considérera les cas où la membrane
est perméable à plusieurs espèces ioniques, et peut se trouver dans une situation
stationnaire (ou quasi-stationnaire) bien que des espèces ioniques soient hors d'équilibre.
Cela nous conduira à conclure qu'une cellule vivante est nécessairement fortement hors
d'équilibre, à introduire la cause de ce déséquilibre, soit la pompe Na/K, et à conclure
qu'une cellule au repos est dans une situation stationnaire.
Pour aborder ces nombreux concepts, nous utiliserons une séquence de situations
concrètes dont la complexité sera croissante. Il sera d'abord question d'une membrane non
biologique (artificielle), ayant un comportement linéaire (quasi-ohmique) et n'étant
perméable qu'à une espèce ionique. Dans un deuxième temps, nous considérerons une
membrane perméable à trois espèces ioniques. Enfin, nous considérerons un modèle
d'une membrane plasmique de cellule (non excitable) réelle. Le cas des cellules excitables,
le plus complexe, sera étudié à la sous-section suivante.
1.B2.1 L'équilibre de Nernst
Dans un premier temps, considérons une situation simple où
une membrane artificielle peut être considérée comme
perméable aux ions Na+ et imperméable à toutes les autres
espèces ioniques. Une telle membrane simple peut être
obtenue artificiellement en laboratoire en fabriquant une
bicouche et en y insérant des protéines choisies (Läuger 1991),
qui seraient dans ce cas-ci des protéines de transport formant
des canaux de fuites et ne laissant traverser sélectivement que
les ions Na+.
Dans la situation illustrée à la figure 1.B2.1, la membrane que
nous venons de décrire est utilisée pour séparer deux
réservoirs, dans lesquels on a mis en solution du NaCl. Ce
dernier est cependant en concentration trois fois plus élevée
dans le compartiment illustré à droite. Cette situation a un
certain lien avec une cellule réelle puisque, comme nous le
verrons, les ions Na+ et Cl! y ont des concentrations internes et
externes différentes. (Aux fins de la visualisation du potentiel de
membrane V = Vint ! Vext, nous avons arbitrairement identifié sur
la figure le coté gauche comme «extérieur» et le côté droit
comme «intérieur»).
Figure 1.B2.1 Peu d'ions Na+
traversent la membrane car un
équilibre est rapidement atteint.
De plus, la charge nette
demeure localisée.
En raison de leur concentration différente, les ions Na+ qui
bougent au hasard ont initialement une plus forte probabilité de
se déplacer du côté droit vers le côté gauche qu'en sens
inverse. Il apparaît donc un courant net de Na+ vers la gauche.
Rapidement, ce dernier fait apparaître une fine couche de charge nette accumulée de part
et d'autre de la membrane, donc une différence de potentiel V. Les ions Na+ suivants ne
peuvent donc traverser qu'en franchissant une barrière énergétique qV. Cette barrière
énergétique croît à mesure que la charge nette croît, donc la traversée nette d'ions Na+
28
Chapitre 1 : Guide du débutant
supplémentaires devient de plus en plus lente et on atteint rapidement un équilibre de cette
espèce ionique, appelé équilibre de Nernst.
Le lecteur s'attend certainement à ce que, une fois atteint l'équilibre en question, le ratio
de concentration soit relié à la valeur d'équilibre V = Veq par le facteur de Boltzmann, soit
cint/cext = exp(!qVeq/kBT). L'usage en électrophysiologie est d'utiliser le symbole ENa pour
désigner la valeur d'équilibre Veq pour l'espèce ionique Na+. De plus, il est aussi d'usage
d'inverser cette équation qui devient l'équation de Nernst :
Potentiel d'inversion
EX  
kBT c X,int
ln
q
c X,ext
(équation 1.B2.1)
où X est une espèce ionique quelconque et où EX est appelé potentiel de Nernst ou
potentiel d'inversion (si elles ne sont pas déjà claires, les raisons justifiant ce dernier terme
le deviendront davantage après que nous ayons introduit l'équation 1.B2.4).
L'équation 1.B2.1 mérite deux remarques importantes :
• Soulignons que le potentiel de Nernst a, en général, une valeur différente pour chaque
espèce ionique. Par exemple, ENa et ECl auraient des signes opposés dans la situation
illustrée à la figure 1.B2.1. De plus, remarquez que l'atteinte de l'équilibre par une
espèce ionique ne signifie pas que toutes les autres espèces sont elles aussi à
l'équilibre : à la figure 1.B2.1, seul le sodium est à l'équilibre.
• Quand l'équation 1.B2.1 est respectée, il n'y a aucun courant net de l'espèce ionique X,
mais cet équilibre ne signifie pas qu'aucun ion X ne traverse la membrane ; il signifie
plutôt qu'à chaque unité de temps et en chaque point de la membrane, des ions X y
voyagent en nombre égal dans les deux sens. En effet, la différence de concentration
continue de causer un courant de diffusion, alors que le champ électrique cause un
courant de conduction, ces deux courants étant égaux et en sens inverses. D'ailleurs,
une autre approche pour démontrer l'équation 1.B2.1, utilisée par Nelson 2008 (chap. 4),
consiste à concevoir l'équilibre de Nernst comme la situation où le courant de diffusion
contrecarre exactement le courant de conduction12 en chaque point de la membrane. Le
premier bloc de l'appendice B présente un condensé de cette démonstration.
Concluons maintenant avec deux remarques supplémentaires, qui portent sur la situation
expérimentale illustrée à la figure 1.B2.1. Premièrement, le champ électrique qui correspond
à la différence de potentiel V n'affecte pas que les ions Na+. Les ions Cl! ont eux aussi
tendance à initier un courant de conduction sous l'effet de V, ce qui signifie qu'ils sont attirés
12
Distinguer ces deux contributions au courant net n'est pas sans mérite et fournit de nombreuses intuitions précieuses. Par
exemple, on comprend que le courant de conduction dirigé vers la droite est ce qui explique que les ions Na+ excédentaires ayant diffusé
du côté gauche ne peuvent se répandre dans tout le volume du compartiment de gauche et y répartir leur charge : le champ électrique
les attire vers la droite. De la même façon, il empêche, en les repoussant vers la droite, les ions Na+ du compartiment de droite de
diffuser vers la membrane pour éliminer la baisse localisée de concentration qu'on y trouve. En somme, c'est le courant de conduction
qui fait en sorte que les charges nettes demeurent localisées dans une fine couche, dont l'épaisseur a l'ordre de grandeur de la longueur
de Debye, comme nous l'avons exposé à la sous-section 1.B1.
1.B2.1 L'équilibre de Nernst
29
vers la membrane dans le compartiment droit et repoussés de cette dernière dans le
compartiment gauche. Comme nous l'avons illustré, les Cl! participent donc eux aussi à la
charge accumulée, malgré l'imperméabilité de la membrane à leur égard. Comme le montre
Nelson 2008 (chap. 9), la distribution exacte des deux types d'ions peut être obtenue comme
solution de l'équation de Poisson-Boltzmann et donne essentiellement une exponentielle. Au
chapitre suivant, la figure 2.9 présentera une solution obtenue par une simulation.
Dernière remarque : procéder comme nous l'avons fait, en fixant expérimentalement cint/cext
et en attendant que l'équilibre se forme par l'ajustement de V, est très rapide. En effet,
comme nous l'avons soulevé dans la sous-section 1.B1, une très faible quantité de charge
est requise pour charger la capacité de la membrane. En revanche, on aurait pu aussi
tenter une expérience différente où on aurait fixé V au lieu de fixer cint/cext. (Pour ce faire,
on aurait plongé des électrodes dans chaque compartiment.) C'est alors les concentrations
qui auraient dû s'ajuster jusqu'à présenter le ratio cint/cext requis pour l'équilibre. Cela aurait
été très lent, puisqu'une proportion significative des ions Na+ aurait dû traverser la
membrane. Les physiciens sont habitués de penser au facteur de Boltzmann en terme
d'une différence d'énergie fixe à laquelle doit s'ajuster un ratio de population, un peu
comme dans cette seconde expérience. En revanche, c'est clairement l'inverse, soit
l'expérience présentée à la figure 1.B2.1 où les concentrations sont fixes et où la barrière
d'énergie s'adapte, qui correspond le mieux aux phénomènes dans les cellules excitables
que nous allons étudier à la prochaine sous-section.
1.B2.2 Le courant d'une espèce ionique
Maintenant que nous avons décrit la situation d'équilibre, nous allons nous attarder
davantage à la situation transitoire, entre le début de l'expérience et l'atteinte de l'équilibre.
Il s'agit d'un exemple de situation hors d'équilibre. Bien que la situation hors d'équilibre soit
ici très brève, elle revêt une grande importance pour les cellules vivantes, où des situations
hors d'équilibre durent, comme nous le verrons, toute la vie de la cellule.
Une espèce ionique est hors d'équilibre quand son potentiel de Nernst (déterminé par son
gradient de concentration) ne correspond pas à la valeur du potentiel de membrane V.
L'appendice B décrit cette situation en détail. Ici, nous privilégierons l'hypothèse quasiohmique, une version moins physiquement réaliste mais plus simple, où on peut imaginer
que les courants de conduction et de diffusion sont uniformes dans l'épaisseur de la
membrane, le premier ne dépendant que de V et le second ne dépendant que du gradient
de concentration. Dans cette optique simplifiée, quand V change, le courant de conduction
change, mais le courant de diffusion demeure essentiellement constant. Le courant net que
nous cherchons peut donc être conceptualisé comme un excédant ou un déficit de courant
de conduction sur le courant de diffusion. Pour l'obtenir, il suffit donc de soustraire ces
deux courants.
Le premier des deux courants est le courant de conduction : causé par la différence de
potentiel V, il est proportionnel à cette dernière (loi d'Ohm) et peut donc être exprimé :
Jcond 
30
V
 g XV
rX
(équation 1.B2.2)
Chapitre 1 : Guide du débutant
Puisque V est défini comme Vint ! Vext, une valeur positive de V cause un courant de
conduction vers l'extérieur de la cellule (puisque la charge électrique nette s'écoule en
suivant le champ électrique, qui est en sens inverse du gradient de potentiel). L'équation
1.B2.2 impose donc une convention selon laquelle les courants positifs sont ceux qui
s'écoulent du compartiment intérieur vers le compartiment extérieur.
Par définition du potentiel de Nernst donné par l'équation 1.B2.1, on sait que le courant net
de l'espèce ionique X est nul quand V = EX. Cela signifie que les courants de conduction
et de diffusion, considérés comme constants, sont alors égaux et en sens opposés. Le
courant de diffusion est donc l'inverse du courant de conduction à l'équilibre, soit :
J diff  g XE X
(équation 1.B2.3)
Pour des concentrations données, cette dernière équation représente une valeur constante
(en vertu de l'équation 1.B2.1).
Typiquement, on exprime ces courants en microampères par centimètre carré de
membrane (μA/cm2). La résistance rX est donc en microhms par centimètre carré (μΩ/cm2)
et la conductance gX, en microsiemens par centimètre carré (μS/cm2). Techniquement, J
est une densité de courant, mais pour alléger le texte on continuera d'utiliser le terme
«courant». Il est à noter que gX est la conductance de la membrane à l'espèce ionique X ;
en général, la membrane a une conductance qui diffère d'une espèce ionique à l'autre.
Soustraire les équations 1.B2.2 et 1.B2.3 donne le courant net d'une espèce ionique :
Courant ionique (approximation quasi-ohmique)
J X  g X (V  E X )
(équation 1.B2.4)
Tel qu'attendu, on obtient que JX = 0 quand V = EX. Notons encore ici que les courants
positifs sont ceux dirigés du compartiment intérieur vers le compartiment extérieur.
Encore une fois, soulignons que cette équation correspond à l'approximation quasiohmique, voulant que JX % (V ! EX). À la sous-section 1.B3, on considérera que cette
équation est toujours valide même si gX ne sera alors plus une constante. Cette
approximation est largement utilisée dans la littérature et le sera aussi dans notre modèle
numérique, présenté au chapitre 3. L'appendice B en présente les limites.
Il est à noter que la conductance gX a un effet sur le temps requis pour atteindre l'équilibre,
mais pas sur la valeur de l'équilibre, V = EX. En outre, si on pouvait, une fois l'équilibre
atteint, doubler le nombre de canaux ouverts permettant le passage des ions X, les
courants de diffusion et de conduction doubleraient tous les deux, mais demeureraient
opposés et d'égales grandeurs ; les ions X demeureraient donc à l'équilibre.
Selon l'équation 1.B2.4, le potentiel de Nernst est la valeur de V pour laquelle J change de
signe, donc de sens. C'est pourquoi il est souvent appelé potentiel d'inversion, comme
1.B2.2 Le courant d'une espèce ionique
31
nous l'avons relevé immédiatement sous l'équation 1.B2.1. Ainsi, quand V > EX, un courant
électrique net s'écoule vers l'extérieur de la cellule (ce qui correspond à des ions positifs
s'écoulant vers l'extérieur ou à des ions négatifs s'écoulant vers l'intérieur). Inversement,
quand V < EX, le courant électrique net est vers l'intérieur.
La figure 1.B2.2 illustre les proportions
relatives des courants de diffusion et de
conduction dans ces deux situations. Pour
faciliter l'illustration, on a représenté une
situation qui a peu à voir avec une cellule :
une paire de plaques (isolées électriquement) établissent un champ électrique
uniforme dans une portion d'un récipient où
se trouve une solution contenant l'ion X (en
bleu sur la figure).

Jcond

Jcond

Jcond

Jdiff

Jdiff
Maintenant que nous savons décrire
quantitativement une situation où une
espèce ionique est à l'équilibre ou hors
équilibre, nous pouvons nous attarder à des Figure 1.B2.2 Le courant net est un excès ou un
cas plus complexes, où la membrane est déficit de courant de conduction par rapport au courant
perméable à plus d'une espèce ionique, de diffusion ; il devient nul à l'équilibre, quand V = EX.
chacune avec une conductance en général
différente. Cela nous conduira à identifier la cause du potentiel de repos dans les cellules
animales vivantes. Débutons par préciser le vocabulaire qui sera utilisé.
1.B2.3 Équilibre ou situation stationnaire ?
Quand une membrane est perméable à plusieurs espèces ioniques, il est possible que ces
dernières soient toutes à l'équilibre, qu'aucune ne le soit ou encore que certaines le soient
alors que d'autres ne le sont pas. Les situations hors d'équilibre se distinguent aussi par
leur effet sur V ou sur les concentrations ioniques de chaque côté de la membrane.
En général, nous utiliserons le terme «équilibre» pour décrire une membrane seulement si
toutes les espèces ioniques sont simultanément à l'équilibre. Il s'agit de l'équilibre de Donnan
que nous allons étudier ci-dessous et qui est, nous le verrons, un cas purement théorique.
Soulignons que la situation de la figure 1.B2.1 ne correspond pas à cette définition puisque
le Cl! n'est pas à l'équilibre ; le courant de chlore est nul seulement parce que nous
supposons que la membrane est parfaitement imperméable à cette espèce ionique.
Quand une ou plusieurs espèces ionique sont hors d'équilibre et que la membrane leur est
perméable, il y a d'abord un effet rapide sur V : en un délai de l'ordre de la milliseconde,
les -10!12 mol/cm2 requises pour charger ou décharger la capacité électrique de la
membrane ont tôt fait de traverser. C'est ce qui s'est produit, dans le cas illustré à la figure
1.B2.1, pendant le court délai qui a séparé l'ajout des ions en solution et l'atteinte de
l'équilibre des ions sodium. Un effet rapide sur V est aussi ce qui se produit pendant le
passage d'un potentiel d'action dans un axone. De telles situations peuvent être qualifiées
de transitoires ou encore de non stationnaires.
32
Chapitre 1 : Guide du débutant
Quand la valeur de V s'est stabilisée, les courants nets de chaque espèce ionique se
stabilisent aussi, en vertu de l'équation 1.B2.4. Le fait que la valeur de V s'est stabilisée
signifie nécessairement que le courant total (de toutes les espèces ioniques combinées)
est devenu nul. Cela n'exclut pas, cependant, qu'à plus long terme les courants ioniques
individuels modifient les concentrations de chaque espèce ionique de part et d'autre de la
membrane. Une telle situation, où il n'y a aucun changement notable à court terme mais
où des changements se produisent à très long terme, est qualifiée de quasi-stationnaire.
Par exemple, si on modifiait la membrane de la figure 1.B2.1 pour la rendre perméable aux
ions Cl! en plus des ions Na+, on aboutirait rapidement à une situation quasi-stationnaire où
les deux courants sont égaux, donc où V est stable (=V0), mais où les ions du compartiment
droit se déversent lentement dans le compartiment gauche. On peut facilement vérifier qu'on
obtient V0 = 0 seulement si gCl = gNa, V0 > 0 si gCl < gNa et V0 < 0 si gCl > gNa. (En pratique, si
on réalisait l'expérience de la figure 1.B2.1, il serait impossible que gCl soit parfaitement nul :
quelle que soit la valeur négligeable de JCl, elle serait non nulle. Après la période transitoire,
la figure 1.B2.1 décrirait donc en réalité une situation quasi-stationnaire.)
Enfin, quand les concentrations ioniques sont constantes même à très long terme malgré
l'écoulement de courants nets de plusieurs espèces ioniques, la situation est stationnaire.
Puisqu'elle conserve à long terme le même potentiel de repos et les mêmes concentrations
ioniques internes et externes, une cellule non excitable réelle ne peut pas être dans une
situation quasi-stationnaire. Elle ne peut appartenir qu'à deux catégories : elle est soit à
l'équilibre de Donnan, soit dans une situation stationnaire. Dans le prochain bloc, nous
allons nous employer à éliminer la première possibilité. Dans les deux blocs suivants, nous
conclurons qu'elle est dans une situation stationnaire, causée par les pompes Na/K.
1.B2.4 L'équilibre de Donnan
Considérons encore une membrane artificielle comme celle de la figure 1.B2.1, mais où nous
apportons des changements qui la rendront plus proche d'une cellule vivante : 1) On insère
dans la bicouche les protéines requises pour la rendre perméable aux ions Na+, K+ et Cl!. 2)
Plutôt que la forme plane de la figure 1.B2.1, on utilise les techniques permettant de donner
à une membrane artificielle la forme d'une vésicule imitant une cellule (Läuger 1991). 3) On
enferme dans ces vésicules un liquide riche en protéines solubles (ex : de l'albumine), alors
que le milieu externe est une solution aqueuse contenant du NaCl et du KCl. On obtient ainsi
une imitation rudimentaire d'une cellule qui prend la forme d'un «sac plein d'albumine»
baignant dans une imitation de milieu extracellulaire contenant des ions Na+, K+ et Cl!.
À court terme, on obtient une situation quasi-stationnaire où V est non nul (voir la figure
2.6, au prochain chapitre, pour un cas semblable). Mais on s'intéresse ici à la valeur
d'équilibre que prend V à long terme si on laisse tous les ions atteindre leur équilibre de
Nernst, une situation appelée équilibre de Donnan :
Équilibre de Donnan
V0  ENa  EK  ECl
(équation 1.B2.5)
1.B2.4 L'équilibre de Donnan
33
La clé du raisonnement qui suit est qu'à toute valeur du pH qui est raisonnablement proche
d'un pH cellulaire, une proportion des chaînes latérales acides et basiques des protéines
se dissocie et donne typiquement aux protéines une charge globalement négative. Or,
même en l'absence de protéines de transport, les petits ions H+ et OH! finissent par diffuser
hors de la vésicule en traversant la bicouche pure qui ne peut avoir une conductance
parfaitement nulle. En revanche, cette dernière demeure parfaitement imperméable aux
protéines puisque ces dernières sont des macromolécules énormes.
De toute évidence, le volume interne de la cellule doit conserver sa neutralité électrique.
Puisque les protéines sont chargées négativement, il est donc nécessaire qu'un plus grand
nombre d'ions positifs (Na+ et K+) que d'ions négatifs (Cl!) pénètrent dans la cellule.
Pour évaluer la portée de ce constat, utilisons des valeurs numériques typiques, selon
lesquelles le milieu extracellulaire contient 140 mmol/L de NaCl et 10 mmol/L de KCl, alors
que les protéines dans la cellule portent 125 mmol/L de charges élémentaires négatives
(Nelson 2008, chap. 11 ; voir aussi la figure 1.B2.3).
La neutralité électrique impose que les concentrations internes soient reliées par
cNa  cK  cCl  125 mmol/L
(équation 1.B2.6)
Par ailleurs, à l'équilibre, l'équation 1.B2.1 doit être respectée simultanément pour chaque
ion. Comme il existe un seul potentiel de membrane V = V0, ce dernier doit être égal à tous
les potentiels de Nernst, comme l'affirme l'équation 1.B2.5. Ces derniers sont donc tous
égaux entre eux : ECl = EK = ENa. En substituant l'équation 1.B2.1, cela donne :
cNa cK 150


140 10 cCl
(équation 1.B2.7)
où les valeurs numériques sont en mmol/L et où le troisième membre est inversé par
rapport aux autres en raison du signe négatif de q dans l'équation 1.B2.1 pour les ions Cl!.
En utilisant l'équation 1.B2.7 pour exprimer toutes les concentrations en fonction d'une
seule, on peut substituer dans l'équation 1.B2.6 et ainsi obtenir qu'à l'équilibre de Donnan,
les concentrations internes d'ions Na+, K+ et Cl! sont respectivement de 210, 15 et
100 mmol/L et le potentiel de repos est V0 = !10 mV.
L'étude de cette situation a le mérite de nous faire réaliser qu'il ne saurait y avoir de
potentiel de membrane si la membrane n'avait pas une perméabilité sélective. De là à
conclure que nous venons d'élucider la cause du potentiel de membrane, il y a cependant
un pas qu'il ne faut surtout pas franchir.
En effet, nous allons maintenant voir pourquoi notre vésicule, et toute cellule réelle qui
aurait une membrane similaire, ne pourrait pas survivre à l'équilibre de Donnan que nous
venons de décrire : si on additionne les concentrations internes, il y a 325 mmol/L d'ions,
alors qu'il y a seulement 300 mmol/L d'ions à l'extérieur. Cette différence de concentration
34
Chapitre 1 : Guide du débutant
cause une pression osmotique p = NkBT/V = ckBT = 61,7 kPa, ce qui représente 200 fois
les quelques 300 Pa que peut supporter une membrane réelle sans éclater (voir la
section 1.A). En conséquence, aucune cellule vivante ne peut se trouver à l'équilibre de
Donnan. Pour éviter l'éclatement, la logique nous force à conclure qu'elle doit forcément
maintenir ses concentrations ioniques internes hors d'équilibre. Comment fait-elle ? Et dans
quelle mesure a-t-il un impact sur le potentiel de membrane ?
1.B2.5 Les mesures montrent qu'une cellule réelle est hors d'équilibre
Abandonnons nos membranes artificielles pour nous pencher sur une cellule réelle. On
peut facilement confirmer qu'une telle cellule est effectivement hors d'équilibre, en
comparant les concentrations internes et externes de chaque espèce ionique. Pour les
mesurer, il suffit d'utiliser un milieu externe où l'un des ions a été remplacé par un isotope
radioactif de demi-vie élevée, d'attendre assez longtemps pour que la diffusion recycle
complètement les ions internes à la cellule, puis d'ensuite mesurer le taux de radioactivité
provenant du volume cellulaire (Läuger 1991, chap. 5).
La figure 1.B2.3 illustre le résultat d'une telle expérience pour des cellules de mammifères
et pour l'axone dorsal géant du calmar, l'espèce animale sur laquelle porte les travaux
historiques que nous allons présenter à la sous-section 1.B3. D'une espèce animale à
l'autre, d'un individu à l'autre et même d'un tissu biologique à l'autre au sein d'un même
individu, les concentrations ont une certaine variabilité, comme presque toute mesure
biologique. Cependant, on constate une «anomalie» qui est qualitativement universelle
chez les animaux : le sodium est fortement hors d'équilibre, sa concentration externe étant
supérieure d'un ordre de grandeur à sa concentration interne. Le potassium est lui aussi
hors d'équilibre, étant trop concentré à l'intérieur, mais dans une moindre proportion.
Figure 1.B2.3 D'une espèce à l'autre, les concentrations ioniques internes et externes diffèrent, mais on note
toujours que le sodium et le potassium sont tous deux hors d'équilibre, le premier étant nettement plus
concentré hors de la cellule, le second, à l'intérieur. Notez que A! désigne les charges portées par les
macromolécules. (Tableau de gauche adapté de Lodish 2000, chap. 15, Marieb 2010, chap. 11 et de
Campbell 2007, chap. 48 ; tableau de droite : Lodish 2000, chap. 15 et Nelson 2008, chap. 11)
Pour les fins de la discussion et de la comparaison, il est souvent utile d'éliminer toute
variabilité en considérant le cas d'une cellule en particulier. C'est ce qu'on fait les premiers
électrophysiologistes en définissant un «axone standard» de calmar (Scott 2002, chap. 4).
Faisons de même en considérant une cellule particulière pour laquelle on aurait un
potentiel de repos V0 = !64 mV, des concentrations internes de 400, 50 et 52 mmol/L,
respectivement pour le potassium, le sodium et le chlore, ainsi que des concentrations
externes de 20, 440 et 560 mmol/L pour les mêmes espèces ioniques. Dans nos travaux
de recherche, nous utilisons un modèle où ces trois seuls ions sont suffisants pour décrire
l'excitabilité d'un neurone ; les autres ions sont donc ignorés (voir la sous-section 1.B3).
1.B2.5 Les mesures montrent qu'une cellule réelle est hors d'équilibre
35
Pour cette axone de calmar particulier, on constate en utilisant l'équation 1.B2.1 que
ENa= 56 mV, que EK = !77 mV et que ECl = !61 mV (à la température de la pièce). Or, le
potentiel de repos étant V0 = !64 mV, on en déduit que seul le chlore est
approximativement à l'équilibre, le sodium et le potassium étant fortement en déséquilibre.
Notons que ces deux déséquilibres ne sont pas équivalents : puisque V0 est nettement plus
éloigné de ENa que de EK, c'est le sodium qui est en plus fort déséquilibre. Cela correspond
à l'«anomalie» que nous avons soulevé plus haut.
Terminons en anticipant légèrement sur la sous-section 1.B3 : si la membrane était capable
d'augmenter subitement sa perméabilité au sodium, on assisterait à un soudain courant de
cette espèce ionique, ce qui modifierait rapidement le potentiel de membrane V de façon
à l'approcher de ENa. C'est une partie de ce qui se passe quand une cellule excitable
produit un potentiel d'action.
1.B2.6 Les pompes Na/K sont l'origine principale du potentiel de repos
Un peu comme à la figure 1.B2.1, les différences de concentrations présentées à la figure
1.B2.3 ont pour effet de charger la membrane et donc de causer le potentiel de repos. En
élucider l'origine équivaut donc à élucider celle du potentiel de repos. Attelons-nous à cette
tâche.
Un premier constat doit sauter aux yeux : l'accumulation de sodium hors de la cellule ou
de potassium dans la cellule peut être vue comme une organisation de ces ions, c'est-àdire une diminution de leur entropie. En d'autres termes, cette accumulation est
défavorisée par la tendance naturelle à la croissance de l'entropie du système. Elle ne peut
donc se faire spontanément et nécessite une dépense d'énergie libre pour se produire.
Inévitablement, on doit conclure que la cellule dispose d'un mécanisme moléculaire de
pompage permettant de faire traverser les ions Na+ et K+ au travers de la membrane en
sens inverse de leur écoulement spontané, c'est-à-dire dans le sens contraire du courant
donné par l'équation 1.B2.4. Après que le déséquilibre du Na+ et du K+ ait conduit à la
postulation d'un mécanisme moléculaire de pompage, ce dernier a été isolé et étudié,
comme nous le verrons à la section 1.C : il s'agit d'une protéine, appelée pompe Na/K,
dont nous avons déjà évoqué plusieurs fois l'existence dans la section 1.A, et qui utilise
l'énergie tirée de l'hydrolyse d'une molécule d'ATP pour alimenter son action de pompage.
En revanche, la pompe stocke de l'énergie sous forme de gradients de concentrations.
(Ces gradients sont d'ailleurs la source d'énergie nécessaire aux potentiels d'action.)
Nous discuterons plus amplement du fonctionnement et des effets de la pompe Na/K dans
la section 1.C. Pour le moment, il suffit de savoir qu'à chaque molécule d'ATP qu'elle
consomme, une pompe Na/K expulse normalement trois ions Na+ de la cellule et y fait
entrer deux ions K+ (voir la figure 1.C1.2). Des erreurs sont possibles mais très peu
fréquentes dans des conditions physiologiques normales. En conséquence, la population
de pompes située dans une membrane produit des courants dans le rapport suivant (le
signe négatif indiquant les sens opposés) :
JNa,pmp   32 JK,pmp
36
(équation 1.B2.8)
Chapitre 1 : Guide du débutant
Cela signifie que le courant net Jpmp produit par la population de pompes Na/K est positif,
c'est-à-dire qu'il est dirigé vers l'extérieur de la cellule. Il a donc un effet hyperpolarisant.
Soulignons que l'existence de cette pompe élucide maintenant complètement l'origine du
potentiel de repos : il est majoritairement attribuable aux déséquilibres causés par l'action
de pompage de la pompe Na/K. En effet, il serait nettement plus faible si la cellule pouvait
être à l'équilibre de Donnan (environ !10 mV, tel que calculé ci-dessus, au lieu des
quelques !70 mV que nous observons). Ceci peut être confirmé expérimentalement de
façon directe en utilisant un inhibiteur qui bloque l'action des pompes et en mesurant la
dépolarisation de la membrane qui s'en suit (Jacob 1987).
1.B2.7 Les conductances de la membrane déterminent le potentiel de repos
Maintenant que nous avons établi qu'il existe un lien entre le potentiel de repos, les pompes
et le déséquilibre des concentrations de Na+ et K+, nous allons terminer la sous-section 1.B2
en étudiant quantitativement ce lien. Plus précisément, nous souhaitons étudier divers
modèles qui permettent d'estimer la valeur du potentiel de repos si on connaît les
concentrations ioniques et la conductance de la membrane à chaque espèce ionique.
Si la cellule était à l'équilibre de Donnan, la solution serait simple V0 correspondrait à ENa
et à EK. Ce n'est toutefois pas le cas dans une cellule réelle.
En revanche, on sait qu'une cellule réelle a un potentiel de repos constant. Or, si un
courant total non nul traversait la membrane, ce dernier aurait pour effet de charger ou de
décharger sa capacité, donc de modifier V. En effet, comme nous l'avons soulevé dans la
sous-section 1.B1, seulement un transfert net de 10!12 mol/cm2 est requis pour produire
changement de potentiel de membrane de plusieurs dizaines de millivolts et cela est un
processus rapide. En conséquence, on en déduit que le courant total doit être parfaitement
nul quand la membrane est au repos.
Le courant total est composé de la somme des courants ioniques passifs donnés par
l'équation 1.B2.4 et du courant de pompe :
J total   g X (V  E X )  JNa,pmp  JK,pmp
(équation 1.B2.9)
X
Au repos, V = V0 et l'équation ci-dessus devient :
g
X
(V0  E X )  JNa,pmp  JK,pmp  0
(équation 1.B2.10)
X
Notre objectif étant d'identifier les variables qui ont le plus d'influence sur la valeur de V0, nous
utilisons deux approches de modélisation distinctes pour simplifier l'équation 1.B2.10 : la
première est un cas quasi-stationnaire et la seconde, un cas stationnaire (voir figure 1.B2.4).
Modèles de la membrane quasi-stationnaire. Une première approche consiste à tenir
compte du résultat expérimental voulant que le courant de pompes soit nettement plus
1.B2.7 Les conductances de la membrane déterminent le potentiel de repos
37
faible que les courants ioniques et donc à négliger les deux derniers termes du membre
de gauche de l'équation 1.B2.9. Cette dernière devient donc
g
X
(V0  E X )  0 . En
X
isolant V0, on obtient :
Potentiel de repos, cas linéaire quasi-stationnaire
g E

g
X
V0
X
X
(équation 1.B2.11)
X
X
Cette équation est particulièrement révélatrice : elle montre que le potentiel de repos est
une moyenne pondérée des potentiels d'inversion, dans laquelle les poids sont les
conductances de la membrane à chaque type d'ion.
Nous avons déjà souligné que l'«anomalie» du sodium, c'est-à-dire le fait que la différence
*V0 ! ENa* est très élevée, nettement supérieure à V0 ! EK. On en déduit maintenant que
la conductance du potassium est sans doute nettement supérieure à celle du sodium,
puisque V0 est nettement plus proche de EK que de ENa, ce qui implique que EK doit être
multipliée par un poids important dans la moyenne pondérée de l'équation 1.B2.11. Les
mesures confirment cette idée : dans leurs travaux pionniers, Hodgkin et Katz ont
déterminé que, dans un axone de calmar au repos (Hodgkin 1949, table 7 ; voir aussi
Nelson 2008, chap. 11) :
gK  25gNa  2g Cl
(équation 1.B2.12)
Ces valeurs sont valides quand V est au repos ou à proximité du repos13.
En utilisant l'équation 1.B2.12 ainsi que les concentrations expérimentales typiques
données à la figure 1.B2.3, on peut tester la validité de l'équation 1.B2.11 sur le plan
quantitatif : dans le neurone de calmar particulier identifié sous la figure 1.B2.3, on avait
ENa = 56 mV, EK = !77 mV et ECl = !61 mV. Par conséquent, l'équation 1.B2.11 donne
V0,prédit = !68 mV. On constate que cette valeur prédite s'approche de la valeur
expérimentale V0,exp = !64 mV mesurée dans ce neurone particulier.
On pourrait penser que l'écart entre les valeurs prédite et mesurée de V0 découle du fait
qu'on a négligé le courant des pompes, mais il n'en est rien : comme nous l'avons
annoncé, l'effet électrogène des pompes est hyperpolarisant ; il s'ensuit que son effet serait
de faire baisser V0,prédit davantage, l'éloignant encore plus de V0,exp. (On peut le vérifier
facilement : si on avait conservé le courant des pompes, le numérateur de l'équation
13
Pour obtenir cette mesure, Hodgkin et Katz ont isolé chaque rapport dans l'équation 1.B2.11, ce qui signifie que notre
raisonnement semble cyclique. Néanmoins, on peut mesurer les valeurs de gX en utilisant de nombreuses autres méthodes : par
exemple, on peut mesurer le taux d'écoulement d'une espèce ionique X en fonction de V ! EX, comme Hodgkin le fait dans un autre
article (Hodgkin 1952b). On peut aussi mesurer directement le courant grâce à la technique du «patch clamp» (voir sous-section 1.B3)
38
Chapitre 1 : Guide du débutant
1.B2.11 deviendrait
g
X
E X  Jpmp , où Jpmp = JNa,pmp + JK,pmp. > 0.) Par conséquent,
X
l'erreur de prédiction de l'équation 1.B2.11 est due à l'hypothèse voulant que les courants
ioniques soient quasi-ohmiques (équation 1.B2.4).
On peut vérifier cela en répétant le raisonnement ci-dessus en utilisant une équation non
ohmique à la place de l'équation 1.B2.4. On obtient alors, à la place de l'équation 1.B2.11,
l'équation suivante, appelée équation de Goldman-Hodgkin-Katz (voir l'appendice B) :
Potentiel de repos, cas non-ohmique quasi stationnaire

g Xcext,X 
ions
kBT positifs
V0 
ln
e
 g Xcint,X 
ions
positifs

g Xcint,X

g Xcext,X
ions
négatifs
(équation 1.B2.13)
ions
négatifs
Considérons à nouveau le cas du neurone de calmar particulier considéré sous la figure
1.B2.3, pour lequel on mesure des concentrations internes de 400, 50 et 52 mmol/L,
respectivement pour le potassium, le sodium et le chlore, ainsi que des concentrations
externes de 20, 440 et 560 mmol/L pour les mêmes espèces ioniques. Si gK  25gNa  2gCl,
l'équation 1.B2.13 prédit que cette membrane a un potentiel de repos V0,prédit = !61 mV.
Cette fois, le résultat est supérieur à la valeur expérimentale de !64 mV au lieu d'y être
inférieur, mais l'écart demeure comparable.
Notons que les équations 1.B2.9 et 1.B2.11 permettent aussi de décrire le cas simple où une
membrane artificielle n'est perméable à un seul type d'ion. Par exemple, c'était le cas à la
figure 1.B2.1 où seule la conductance gNa était non nulle. En posant gK = gCl = 0, l'équation
1.B2.9 se réduit de façon triviale à V0 = ENa. De même, le membre de droite de l'équation
1.B2.11 se réduit à celui de l'équation de Nernst (équation 1.B2.1), qui donne aussi ENa.
Les équations 1.B2.9 et 1.B2.11 ont toutes deux produit des prédictions qui s'écartent de
la valeur mesurée par le même écart absolu. Malgré les apparences, la prédiction de
l'équation 1.B2.11 est meilleure que celle de l'équation 1.B2.9. En effet, le courant des
pompes Na/K a un effet hyperpolarisant. Tenir compte de ce courant supplémentaire
devrait donc rendre chacune de nos deux prédictions plus négative, approchant celle de
l'équation 1.B2.11 de la valeur mesurée, mais éloignant celle de l'équation 1.B2.9.
Modèle de la membrane stationnaire à deux types d'ions. Les équations 1.B2.11 et 1.B2.13
sont des modèles quasi-stationnaires car la présence de courants ioniques, même si ces
derniers s'annulent entre eux de façon à former un courant total nul, cause quand même
un très lent transfert de chaque espèce ionique au travers de la membrane. Ce transfert
affecte surtout les ions Na+ et K+, qui ont les courants les plus élevés (le courant JCl  0 car
V  ECl). Dans les équations 1.B2.11 et 1.B2.13, ce lent transfert n'est compensé par aucun
mécanisme de pompage car on y a supposé que JNa,pmp JK,pmp  0.
1.B2.7 Les conductances de la membrane déterminent le potentiel de repos
39
On peut améliorer notre prédiction fondée sur l'équation 1.B2.11 en modifiant nos
hypothèses pour tenir compte aussi des effets à très long terme. Pour ce faire, on doit non
seulement respecter l'équation 1.B2.10, mais aussi s'assurer que les concentrations de Na+
et K+ sont stables de chaque côté de la membrane, ce qui requiert JNa + JNa,pmp = 0 et JK +
JK,pmp = 0, c'est-à-dire :
gNa (V0  ENa )  JNa,pmp  0

gK (V0  EK )  JK,pmp  0
(équation 1.B2.14)
Cette fois, notre hypothèse simplificatrice sera que tous les courants ioniques autres que
ceux de Na+ et de K+ sont négligeables (notamment, JCl  0).(Dans une cellule réelle, il y a
de nombreux mécanismes de transport qui régulent les concentrations de ces autres ions.)
Grâce à cette hypothèse, les équations 1.B2.14 sont les seules conditions à respecter pour
que la membrane soit stationnaire. La figure 1.B2.4 compare visuellement ces hypothèses
à celles que nous avons utilisées pour obtenir les équations 1.B2.11 et 1.B2.13.
Figure 1.B2.4 Dans tous les modèles de membrane au repos, le courant total est nul. Toutefois, seuls les
modèles stationnaires présentent un flux total nul pour chaque espèce ionique. Le fonctionnement moléculaire
des canaux et des pompes Na/K sera traité dans la section 1.C.
En substituant les équations 1.B2.14 dans l'équation 1.B2.8, on obtient directement que
gNa (V0  ENa )  32 gK (V0  EK ) , donc que :
Potentiel de repos, cas linéaire stationnaire à deux types d'ions
gNaENa  32 gK EK
V0 
gNa  32 gK
(équation 1.B2.15)
On peut tester la validité de l'équation 1.B2.15 sur le plan quantitatif : avec les valeurs
utilisées pour l'équation 1.B2.11, soit ENa = 56 mV, EK = !77 mV et gK  25gNa, l'équation
1.B2.15 donne V0,prédit = !73 mV.
40
Chapitre 1 : Guide du débutant
Comme dans le cas de l'équation 1.B2.11, l'écart entre cette prédiction et la valeur mesurée
de !64 mV est dû à l'utilisation de l'hypothèse quasi-ohmique, c'est-à-dire l'équation 1.B2.4,
pour décrire le courant de chaque espèce ionique. Si on utilise plutôt l'équation GoldmanHodgkin-Katz pour les courants (équation AppB.12), on obtient plutôt que :
Potentiel de repos, cas non ohmique stationnaire à deux types d'ions
kBT 32 gK cext,K  gNacext,Na
ln 3
V0 
e
2 gK cint,K  gNa cint,Na
(équation 1.B2.16)
Avec le neurone de calmar habituel où gK  25gNa, où les concentrations internes sont de
400 et 50 mmol/L, respectivement pour le potassium et le sodium, et les concentrations
externes, de 20 et 440 mmol/L pour les mêmes espèces ioniques, cette équation donne
V0,prédit = !64 mV, ce qui correspond de près à la valeur expérimentale. La petite différence
est due au fait que nous avons négligé les courants d'ions autres que Na+ et K+.
Conductance variables. De toute la discussion sur la détermination de V0, retenons surtout
l'équation 1.B2.11 car elle fournit une intuition précieuse : en général, V0 est plus proche
du potentiel d'inversion EX correspondant à l'ion X pour lequel la membrane a la
conductance la plus élevée.
En conséquence, si la membrane pouvait subitement augmenter gNa d'une façon
substantielle, son potentiel s'équilibrerait à une nouvelle valeur qui serait bien plus proche de
ENa. On assisterait donc à une montée rapide de V. Comme nous le verrons à la sous-section
1.B3 qui débute maintenant, une telle augmentation de gNa et la croissance rapide de V qui
s'en suit est ce qui initie un potentiel d'action. (Notons que gNa ne conserve pas sa «valeur
élevée» suffisamment longtemps pour que V puisse atteindre l'équilibre prédit par l'équation
1.B2.11. Néanmoins, on observe que la valeur instantanée V conserve toujours14 une valeur
intermédiaire entre ENa et EK, conformément à cette dernière équation.)
1.B3) Potentiel de membrane dans les cellules excitables
Dans la sous-section 1.B1, nous avons conceptualisé la différence entre les membranes
non excitables et les membranes qui, comme celles des neurones, sont excitables.
Ensuite, dans la sous-section 1.B2, nous avons décrit en détail les membranes non
excitables. Cet exercice a été pertinent puisque les neurones au repos possèdent bien des
caractéristiques d'une cellule non excitable. Par exemple, on y trouve des pompes Na/K
et des gradients de concentrations ioniques, ainsi qu'un potentiel de repos qui est
déterminé par les conductances de la membrane au repos de la même façon que celui des
cellules non excitables (équation 1.B2.11). De plus, l'équation 1.B2.4 qui permet de calculer
le courant d'une espèce ionique quand son potentiel d'inversion diffère du potentiel de
membrane demeure applicable dans les cellules excitables. Nous considérerons qu'elle est
valide tant au repos que pendant un potentiel d'action.
14
Ce «toujours» n'est valide que si les hypothèses qui fondent l'équation 1.B2.11 le sont aussi. En réalité, il existe des
circonstances exceptionnelles où le courant de pompes peut momentanément dominer les autres courants (ex : Florence 2009) ; son
effet hyperpolarisant peut donc conduire V à occuper temporairement une valeur inférieure à EK.
1.B2.7 Les conductances de la membrane déterminent le potentiel de repos
41
Dans cette sous-section 1.B3, nous allons compléter notre exposé des outils permettant
de comprendre le fonctionnement d'un axone intact et fonctionnel. Pour ce faire, nous
débuterons en présentant des mesures expérimentales ayant historiquement permis de
modéliser la façon dont les conductances au sodium et au potassium dépendent du
potentiel de membrane mais aussi du temps, à une époque où on ignorait tout de
l'existence de canaux tensiodépendants. Cela nous conduira à présenter le modèle
Hodgkin-Huxley («modèle HH») qui décrit le mécanisme du potentiel d'action et que nous
utilisons dans nos travaux de recherche. Après l'avoir comparé à quelques autres modèles,
nous conclurons en montrant comment le modèle HH, d'abord formulé à partir de mesures
réalisées chez le calmar, peut être assez simplement adapté pour décrire un potentiel
d'action chez un vertébré ; en particulier, nous présenterons l'effet de la myélinisation.
1.B3.1 Survol des méthodes expérimentales
À la figure 1.B1.2, nous avons esquissé un potentiel d'action tel qu'on pourrait le mesurer
grâce à une électrode intracellulaire. Avant l'invention de cette technique, on pensait qu'il
se produisait en raison d'une baisse temporaire de l'imperméabilité de la membrane. Si
c'était le cas, toutefois, toutes les conductances ioniques deviendraient de valeurs
comparables (et élevées). Or, dans un tel cas, l'équation 1.B2.10 indique que le potentiel
de membrane tendrait essentiellement vers zéro et non vers une valeur d'environ 40 mV.
C'est grâce à l'équipement électronique perfectionné par Hodgkin, Huxley et Katz (Hodgkin
1952a) à l'époque de la Seconde Guerre mondiale que l'amplitude du potentiel d'action a
pu être déterminée avec davantage de précision. C'est aussi cet équipement qui a permis
de confirmer que son mécanisme est attribué, comme nous le verrons, à une entrée d'ions
Na+ suivie d'une sortie d'ions K+ (Hodgkin 1952b). Nous allons d'abord présenter cet
équipement et la façon dont il a pu être utilisé pour mesurer et distinguer les courants dus
à chaque espèce ionique.
La conductance de la membrane
peut être déterminée en inversant
l'équation 1.B2.4, gX = JX / (V ! EX),
mais cela nécessite de connaître
simultanément le courant JX et le
potentiel de membrane V. L'innovation technologique de l'équipe de
Hodgkin a été d'insérer à cette fin
deux électrodes dans un axone
géant de calmar (dont la largeur est
suffisante pour le permettre).
Comme le montre la figure 1.B3.1,
la première électrode sert à injecter
le courant requis pour maintenir le Figure 1.B3.1 Électrodes utilisées par Hodgkin et Huxley pour
potentiel de membrane à une va- réaliser leur voltage clamp et leur space clamp ; illustration
conceptuelle de l'effet de l'amplificateur.
leur déterminée par l'expérimentateur. Cette technique où on impose la tension est dite voltage clamp dans la littérature.
On évite d'utiliser la même électrode aussi pour mesurer V, car l'injection de courant cause
une chute de tension dans la résistance de l'axoplasme. Il y a donc une seconde électrode
42
Chapitre 1 : Guide du débutant
qui sert à mesurer le potentiel de membrane. La longueur de cette électrode permet aussi
de maintenir V uniforme le long de l'axone. Quand la membrane est ainsi isopotentielle, on
dit qu'elle subit un space clamp. L'avantage de cette technique : les mesures prises sur
l'axone entier deviennent équivalentes à celles qu'on obtiendrait sur une portion
infinitésimale d'une membrane où V serait libre de dépendre de la position.
Isoler le courant de chaque espèce ionique. La technique de base utilisée dans
Hodgkin 1952b consiste à faire faire un saut brutal au potentiel de membrane V (en
modifiant la valeur cible de l'amplificateur effectuant le voltage clamp) et à mesurer le
courant de réponse qui s'en suit. Ce courant de réponse ressemble à celui qui s'écoulerait
pendant une étape donnée d'un potentiel gradué ou d'un potentiel d'action, selon l'intensité
du saut imposé à V. En outre, on observe qu'il est nettement plus important que les petits
courants de fuite de chaque espèce ionique qui s'écoulent quand le neurone est au repos.
En vertu d'expériences précédentes (Hodgkin 1949), Hodgkin et Huxley supposaient le
sodium et le potassium étaient les deux seules espèces ioniques responsables de ce
courant de réponse, du moins chez le calmar. Le courant total traversant15 la membrane
pouvait donc être modélisé comme la somme de trois composantes : celle du sodium, celle
du potassium et celle de toutes les autres espèces ioniques confondues (notamment Cl!),
les courants de pompes étant négligés. L'usage veut que ce courant des «autres espèces
ioniques» soit appelé courant de fuite, Jfuites, si bien qu'on écrit :
Courants dans le modèle Hodgkin-Huxley
J total  JNa  JK  J fuites
(équation 1.B3.1)
Considérant l'importante concentration d'ions Cl! (voir figure 1.B2.3), on peut considérer
que le courant de fuites est composé essentiellement de cette espèce ionique.
L'équipement de Hodgkin et Huxley ne leur permettait que de mesurer le courant total qui
traverse la membrane, c'est-à-dire le membre de gauche de l'équation 1.B3.1. Pour
identifier séparément le courant de sodium et le courant de potassium, ils ont d'abord
supposés que ces deux courants prennent, pendant la réponse à une excitation, une valeur
nettement plus élevée que celle du courant de fuites. Immédiatement après un saut brutal
de V, on peut donc estimer que Jtotal  JNa + JK (Hodgkin 1952b, p. 461).
Ensuite, ils ont répété l'expérience en modifiant la concentration en sodium de la solution
extracellulaire16, de façon à affecter la valeur de ENa. Il devint donc possible de séparer le
courant total en deux composantes, l'une qui dépend de la concentration externe de
sodium et l'autre qui n'est pas affectée par elle. En supposant que ces deux composantes
15
Lors d'un saut de voltage clamp, le courant total mesuré comporte aussi un bref pic dû au mouvement des ions qui doivent
charger la capacité électrique de la membrane à son nouveau potentiel V. Ce pic est ignoré et retiré dans la figure 1.B3.2, qui ne
concerne que les courants traversant la membrane.
16
Les ions sodium étaient remplacés par une autre espèce ionique, la choline, dont la taille est telle que la membrane y est
complètement imperméable. Ce remplacement permettait cependant de conserver la pression osmotique. Le potentiel de repos était
légèrement décalé avec la choline mais les valeurs utilisées pour les sauts du potentiel de membrane étaient ajustées en conséquence.
1.B3.1 Survol des méthodes expérimentales
43
sont indépendantes l'une de l'autre, on déduit donc que la première correspond
essentiellement à JNa et la seconde, à JK.
La figure 1.B3.2 présente un exemple de
résultat obtenu avec cette méthode. On y
constate déjà deux observations fondamentales, qui seront cruciales lorsque nous
modéliserons les deux courants dans les
prochains blocs.
Premièrement, on note une différence
importante entre le courant de potassium,
qui augmente lentement vers un plateau,
alors que le courant de sodium atteint un
sommet et redevient nul et ce même si V
ne change plus du tout.
Figure 1.B3.2 Exemple de courant de sodium et de
Deuxièmement, on constate d'importantes potassium en réaction à un saut de voltage clamp.
différence de délai de réponse : la crois- (Figure adaptée de Hodgkin 1952b, Fig. 5b)
sance initiale de JNa est environ 10 fois plus
rapide que celle de JK. En revanche, le retour à zéro de JNa se produit à un rythme
comparable à celui de la croissance de JK. Ces comparaisons entre les constantes de
temps permettront d'importantes simplifications, comme nous le verrons au bloc 1.B3.3.
Méthodes modernes. La méthode développée par Hodgkin et son équipe nécessite
d'insérer deux électrodes longues de plus de 30 mm à l'intérieur d'un axone. En pratique,
cette technique n'est inapplicable qu'aux axones énormes qu'on retrouve chez de rares
invertébrés (dont le calmar). La technique du patch clamp, qui met fin à cette limitation et
est d'usage aujourd'hui, a été inventée au début des années 1970 (Neher 1976) et
perfectionnée par la suite (Hamill 1981).
La technique du patch clamp est un raffinement
du voltage clamp où on utilise une micropipette
(dont l'ouverture est d'environ un micromètre)
non pas pour perforer la membrane mais pour
l'appuyer dessus en appliquant une faible
succion, comme le montre la figure 1.B3.3. En
adhérant étroitement à la micropipette, un peu
comme le ferait une bulle de savon, la
membrane forme un sceau dont la résistance
est de l'ordre du gigohm (GΩ). Le fragment de
membrane situé dans la pipette (la «patch» qui
donne son nom à la technique) est donc isolée
de l'extérieur. Cette variante de patch clamp est
dite le mode cellule attachée.
Figure 1.B3.3 Technique du patch clamp (version
cellule attachée) ; le sceau gigohm formé par
l'adhésion de la membrane à la pipette isole le
fragment interne de membrane et permet de
mesurer le courant qui le traverse.
En mode cellule attachée, la préparation du fragment de membrane est complète dès que
44
Chapitre 1 : Guide du débutant
le sceau gigohm s'est formé. On peut ensuite, en insérant une électrode dans la solution
que contient la pipette, faire des mesures du courant qui traverse ce seul fragment de
membrane.
L'avantage de cette technique est de pouvoir sélectionner une portion de membrane
suffisamment petite pour qu'il ne s'y trouve que quelques canaux ioniques, voire un seul
d'entre eux17. On peut alors mesurer directement le courant d'une seule espèce ionique en
réaction à un saut du potentiel de membrane, ce qui confirme les mesures présentées à
la figure 1.B3.2 (Patlak 1986, voir aussi Hille 2001). (Nous verrons à la section 1.C que les
canaux ont un comportement stochastique. En conséquence, pour obtenir une courbe
comme celle de la figure 1.B3.2 grâce à un patch clamp, il faut faire la moyenne d'un grand
nombre d'essais).
La technique du patch clamp en mode cellule attachée est aussi celle qui a été utilisée par
Wang 2009 pour mesurer le décalage cinétique de canaux NaV (tensiodépendants au
sodium) dans une membrane endommagée, résultat expérimental qui fonde l'hypothèse
générale des travaux de notre groupe de recherche (voir le chapitre 3).
Les variantes du patch clamp. Dans trois variantes de
la technique, on peut appliquer de la succion ou tirer
la micropipette après la formation du sceau, mais
avant de faire des mesures. Selon la séquence de ces
manipulations supplémentaires, on distingue les
modes cellule entière, intérieur exposé et extérieur
exposé, comme le montre la figure 1.B3.4.
En mode cellule entière, «whole-cell mode», on
commence par former le sceau gigohm et on applique
ensuite une forte saccade de succions de façon à
rompre la membrane. L'intérieur de la pipette est ainsi
en contact avec le cytosol, comme ce serait le cas si on
avait utilisé une microélectrode comme à la figure
1.B1.1. On profite toutefois d'une électrode de
beaucoup plus gros diamètre, donc de plus faible
résistance. (Une autre possibilité conduisant à une
configuration analogue est de perforer partiellement la
membrane par des moyens chimiques ; ce patch clamp
est dit en mode cellule perforée, «perforated patch»).
Figure 1.B3.4 Les différents modes de
Le mode intérieur exposé, «inside out», s'obtient à patch clamp permettent des mesures ou
partir du mode cellule attachée, en tirant d'un coup des manipulations différentes. (Figure
sec sur la micropipette, afin d'arracher de la cellule le inspirée de Hamill 1981)
17
Pour s'assurer d'obtenir le type de canal qu'on souhaite mesurer, une technique expérimentale consiste à introduire l'ADN codant
pour ce canal dans une cellule où il n'y a normalement pas de canaux tension dépendants, par exemple un oeuf de grenouille ou une
cellule embryonnaire de rein («HEK cell»). En le faisant s'exprimer massivement à cet endroit et en inhibant les autre s canaux, on est
certain que les courants mesurés en réponse à un saut du potentiel de membrane sont attribués au canal recherché.
1.B3.1 Survol des méthodes expérimentales
45
fragment de membrane lié à l'ouverture de la micropipette. L'avantage est que le côté
intracellulaire de la membrane devient exposé à la solution expérimentale, ce qui permet
d'y introduire des ligands, des inhibiteurs ou tout autre composé qui se lie du côté
cytosolique des protéines membranaires.
Enfin, le mode extérieur exposé, «outside out», s'obtient à partir du mode cellule entière,
encore une fois en tirant d'un coup sec sur la micropipette. Cette opération étire la
membrane, qui se referme spontanément sur la micropipette au moment où elle se rompt
(un peu comme un film d'eau savonneuse se referme spontanément après qu'on ait soufflé
dessus). Cette fois, le côté exposé est le côté extracellulaire.
Il est à noter que certains modes ont pour effet d'étirer et d'endommager la membrane qui
est soumise à la mesure, alors que d'autres non. Nous reviendrons au chapitre 3 sur l'effet
des membranes endommagées sur le comportement des canaux, mais soulignons dès à
présent qu'il faut prendre avec précaution certains résultats publiés, en envisageant la
possibilité que les dommages imposés aux membranes aient influencé les mesures, ce
dont les auteurs n'étaient pas toujours conscients (Boucher 2011, Figure 3.22).
Maintenant que nous avons présenté les méthodes expérimentales, nous revenons aux
mesures historiques de Hodgkin et Huxley faites sur les axones de calmar, mais gardons
en tête qu'il est aujourd'hui possible à la fois de les reproduire avec des techniques plus
modernes et de les interpréter en termes de canaux ioniques.
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
À partir de leurs mesures, Hodgkin et Huxley ont construit un modèle expliquant
quantitativement le mécanisme d'un potentiel d'action dans l'axone géant du calmar
(Hodgkin 1952a,b,c,d,e). Dans ce bloc, nous présentons succinctement ce modèle qui
porte aujourd'hui leur nom, une présentation plus détaillée pouvant être trouvée dans une
multitude de manuels, notamment Scott 2002, Sterratt 2011 (chap. 3) ou Hille 2001
(chap. 2), de même que dans les cinq articles originaux, surtout le dernier18.
Plus rigoureusement, nous devrions spécifier que le modèle Hodgkin-Huxley
(«modèle HH») a été construit pour expliquer un potentiel d'action dans une situation
isopotentielle («space clamped»), où tout effet dû au délai de propagation le long de
l'axone est éliminé. Nous allons toutefois constater, au bloc 1.B3.3, que le modèle HH peut
quand même être utilisé pour comprendre la propagation le long de l'axone. Ce que nous
présenterons dans ce bloc-ci peut donc être considéré comme un modèle de V(t), le
potentiel de membrane tel qu'il serait mesuré en un point d'un axone pendant le passage
d'un potentiel d'action.
Indépendance des courants. La première étape du modèle HH est de supposer que le
courant qui traverse la membrane est une superposition de trois composantes
indépendantes, ce qu'exprime l'équation 1.B3.1. L'étape suivante est donc d'élucider la
fonction décrivant chaque courant.
18
46
Attention : dans ces articles, les potentiels de membrane sont exprimés par rapport au repos V0 / 0 et leur signe est inversé.
Chapitre 1 : Guide du débutant
D'abord, comme les ratios cext/cint sont faibles, on postule
que chaque courant est donné par l'équation 1.B2.4. (Cela
équivaut à négliger la rectification et à faire l'approximation
linéaire décrite à la figure AppB.1.) Grâce à cette
approximation, on peut représenter la membrane
isopotentielle par le circuit de la figure 1.B3.5 (où toute
pompe est négligée et où les gX ne sont pas constantes).
Dans ce circuit, chacune des trois branches de gauche
dépeint un courant ionique traversant la membrane sous
l'effet de la «force motrice» V ! EX. Le circuit montre que Figure 1.B3.5 Modèle électrique
d'une membrane. (Figure adaptée de
ces courants ont pour effet de charger la capacité électri- Hodgkin 1952e)
que C de la membrane. Notez que, ENa étant négatif, sa
polarité est l'inverse de celle illustrée ; de même, JNa s'écoule en sens inverse de la flèche.
Évidemment, cette analogie en circuit a ses limites. Par exemple, il est impossible de
brancher une électrode «entre la résistance et la pile». Sa fonction est exclusivement
d'illustrer l'indépendance des courants ioniques et d'illustrer l'équation suivante :
C ddt V  JNa  JK  J fuites  gNa (V  ENa )  gK (V  EK )  g fuites (V  Efuites )
(équation 1.B3.2)
où nous avons simplement dérivé q = CV et substitué le courant total à la place de dq/dt.
Le signe négatif découle d'une incohérence de conventions de signes, malheureusement
répandue en électophysiologie : V est positif quand le potentiel interne est plus élevé que
le potentiel externe, alors que les courants positifs sont ceux dirigés de l'intérieur vers
l'extérieur. Ainsi, un courant positif retire de la charge du côté interne et fait décroître V.
Pour compléter le modèle HH, il ne reste donc plus qu'à déterminer la façon dont chaque
conductance gX dans l'équation 1.B3.2 dépend du potentiel de membrane (et, nous le
verrons, du temps). Nous les considérons maintenant une par une.
Observations détaillées sur le potassium. Pour déterminer la façon dont la conductance gK
réagit à un saut de la valeur du potentiel de membrane, la méthode suivie dans Hodgkin
1952b,e consiste à répéter la mesure
de JK(t) présentée à la figure 1.B3.2,
c'est-à-dire de déduire le courant de
potassium qui s'écoule suite à un saut
du potentiel de membrane, qui passe
de V0 à Vfixé, mais en utilisant chaque
fois une différente valeur pour Vfixé. On
déduit ensuite gK à partir de l'équation
1.B2.4, donc en calculant
gK = JK / (V ! EK) pour la courbe Figure 1.B3.6 Croquis d'une famille de courbes gK qui seraient
entière. La figure 1.B3.6 présente le obtenues lors de différents sauts de voltage clamp. Les
courbes sont tracées sur la base des mesures récapitulées
résultat d'une telle opération.
dans Hodgkin 1952e (Fig. 3).
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
47
On constate sur la figure 1.B3.6 que la conductance gK augmente quand V saute de V0 à
Vfixé, une caractéristique qu'on appelle son activation et qui n'est pas instantanée : un
changement brutal de V ne produit pas un changement brutal de gK ; il y a un délai de
réponse. Cela impose de modéliser gK à la fois comme une fonction du potentiel de
membrane et du temps. Toutefois, on note que ce délai de réponse est une fonction de V :
sur les courbes illustrées, plus Vfixé est élevé et plus le délai de réponse est court.
Deuxièmement, on note qu'une fois le délai de réponse tout écoulé, chaque courbe de gK
atteint une valeur cible gK4, c'est-à-dire le plateau dont nous avons déjà signalé la présence
à la figure 1.B3.2. Ce plateau demeure tant que V = Vfixé. Si on restaure V = V0, on assiste
à une décroissance exponentielle où gK tend à nouveau vers zéro, c'est la désactivation,
non illustrée. De plus, on note que la valeur cible de l'activation, gK4, est elle aussi une
fonction de V : sur les courbes illustrées, plus Vfixé est élevé et plus gK4 est grand.
Précisons que gK4 ne croît pas indéfiniment quand Vfixé augmente : il s'approche
asymptotiquement d'une valeur maximale. Dans Hodgkin 1952e, cette valeur maximale de
gK4 est estimée, pour un axone de calmar moyen (suivant les unités définies au bloc 1.B2.2), à
gKmax  36 mS/cm2
Par exemple, si on utilisait Vfixé = 100 mV ou Vfixé = 200 mV au lieu des valeurs plus faibles
ayant produit les résultats illustrés à la figure 1.B3.6, on obtiendrait essentiellement dans
les deux cas une courbe de gK(t) qui tend vers une valeur cible de gK4  36 mS/cm2 :
augmenter davantage Vfixé ne permet plus de faire croître gK4 perceptiblement.
Modéliser le courant de potassium. Hodgkin et Huxley n'avaient aucune idée de la
composition d'une membrane et ne pouvait donc pas relier leurs mesures à un mécanisme
moléculaire autre que spéculatif. Leur approche a donc été d'obtenir un modèle
mathématique permettant de prédire gK (et les autres courants).
Les mesures que nous venons de présenter indiquent que la proportion p  gK / gK
max
tend vers une valeur cible p4 avec une constante de temps . Un modèle mathématique
séduisant et simple (mais malheureusement faux) consisterait à faire obéir p à une
équation différentielle du premier ordre ayant la forme :
dp p  p
?


dt
(équation 1.B3.3)
et où p4 et  dépendent seulement du potentiel de membrane V. En effet, cette équation
prédit que p croît quand il est inférieur à p4 et vice versa. Quand V = Vfixé, p4 et  sont alors
des constantes et l'équation 1.B3.3 prédit donc que p tend exponentiellement de 0 à p4
selon la fonction p = p4(1 ! e!t/).
Malheureusement, les courbes de la figure 1.B3.6 ne sont pas des exponentielles : on
48
Chapitre 1 : Guide du débutant
constate que leur phase de croissance contient un point d'inflexion. Ce qui est encore plus
surprenant est que la désactivation, elle, est pourtant une décroissance exponentielle vers
p4  0 (obtenue si on fait faire au potentiel de membrane le saut en sens inverse de Vfixé à
V0). L'équation 1.B3.3, qui donne p = p0e!t/ dans l'éventualité où p4 = 0, semble donc
fonctionner seulement pour la désactivation et non pour l'activation.
p
Au lieu de remplacer l'équation 1.B3.3 par une
effet de l'exposant x sur le modèle de gK
équation d'un ordre plus élevé, inutilement plus
1
complexe, Hodgkin et Huxley ont réalisé qu'une
0,8
simplification importante pouvait être obtenue si
0,6
la proportion p était exprimée comme p = nx, où la
quantité n, elle, obéit à l'équation 1.B3.3 (au lieu
0,4
de p) et où l'exposant x demeure à déterminer.
02
0,2
En effet, une telle hypothèse donnerait une
!t/ x
courbe d'activation de la forme p = p4(1 ! e ) ,
0
0
1
2
3
4
5
ce qui a la forme d'une sigmoïde donc présente
t/
le point d'inflexion voulu (figure 1.B3.7), tout en
donnant une courbe d'inactivation de la forme p = Figure 1.B3.7 Effet de l'exposant x sur la forme de
la courbe de courant du potassium.
p0(e!t/)x = p0e!xt/, qui est toujours la forme
exponentielle souhaitée (Hodgkin 1952e).
Par essais et erreurs, ils ont déterminé que la puissance x = 4 était celle qui donnait une
courbe dont les proportions correspondait le mieux à celle de leurs données (voir la
figure 1.B3.7), si bien qu'ils ont postulé que le courant du potassium est donné par :
Courant de potassium
JK  gKmax n 4 (V  EK )

(équation 1.B3.4)
gK
et
dn n  n

n
dt
(équation 1.B3.5a)
où, à une température fixe, n4 et n dépendent seulement du potentiel de membrane :
contrairement à n, ils changent instantanément de valeur quand V change. Comme le
modèle HH néglige le courant de pompes, EK est considéré comme constant et prend la
valeur typique suivante (voir la figure 1.B2.3) :
EK  77 mV
Interprétation physique. Bien qu'ils n'avaient aucune idée de la composition moléculaire
d'une membrane, les auteurs de Hodgkin 1952e soulèvent que les deux équations cidessus gagnent une interprétation physique si on suppose que la traversée du potassium
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
49
au travers de la membrane ne peut s'effectuer que si des groupes de quatre «particules
d'activation» similaires agissent comme des interrupteurs ou des portes indépendants qui
doivent être tous dans la position «activée» pour que les ions puissent traverser. La
variable n représente alors la proportion des particules d'activation qui est dans la position
«activée».
Avec cette interprétation physique, il est utile de réécrire l'équation 1.B3.5a sous la forme :
dn
  n (1  n )   n n
dt
(équation 1.B3.5b)
où on peut facilement vérifier que αn = n4/n et βn = (1 ! n4)/n deviennent les deux variables
qui dépendent instantanément de V (au lieu de n4 et n). L'avantage de cette forme
alternative de l'équation 1.B3.5a est d'évoquer la cinétique des transitions ayant lieu dans
la réaction suivante, où αn et βn indiquent les taux de transition :
particule dans l'état activé
n

 particule dans l'état désactivé

n 
(équation 1.B3.6)
Le premier terme dans le membre de droite de l'équation 1.B3.5b exprime donc le rythme
auquel les «particules d'activation» quittent l'état désactivé dont la population est 1 ! n,
alors que le second terme exprime le rythme auquel elles quittent l'état activé, dont la
population est n.
Comme nous le verrons à la section 1.C, cette interprétation physique historiquement
formulée par Hodgkin et Huxley correspond assez bien au fonctionnement moléculaire des
canaux tensiodépendants à K+ dont ils ne connaissaient pourtant pas l'existence. On peut
aujourd'hui considérer que n4 est la proportion des canaux KV qui sont activés, c'est-à-dire
dans leur conformation ouverte au passage des ions, et que 1 ! n4 est la proportion de
ceux qui sont désactivés, c'est-à-dire dans leur conformation fermée.
Pour compléter l'équation 1.B3.5b, il ne manque que la dépendance en V des paramètres
αn et βn. Les fonctions suivantes (dont la forme est arbitraire) forment une courbe de
tendance qui représente bien les données expérimentales (voir, dans Hodgkin 1952e, la
Fig. 4 et le texte s'y rapportant) :
 n  0,01
V  55
1 e
 n  0,125 e
1 (V  55)
 10
(équation 1.B3.7)
1 (V  65)
 80
où V est en millivolts. On note que les mesures expérimentales donnent n4 et n et qu'on
doit ensuite les convertir en αn et βn. Néanmoins, l'équivalent des équations 1.B3.7 pour
n4 et n serait plus lourd, ce qui n'est sans doute pas étranger au fait que Hodgkin et Huxley
ait préféré la forme de l'équation 1.B3.5b à celle de l'équation 1.B3.5a.
50
Chapitre 1 : Guide du débutant
Soulignons aussi que les équations 1.B3.7 pourraient être substituées directement dans
l'équation 1.B3.5b, ce qui montre bien que n ne dépend que du potentiel V et du temps t.
Observations détaillées sur le sodium. Maintenant que nous avons complété la
modélisation de la conductance au potassium, nous entamons celle du sodium, qui suivra
des étapes analogues. On détermine cette conductance de la même façon que
précédemment : on isole le courant de sodium comme à la figue B9 et on déduit ensuite
gNa(t) en calculant gNa = JNa / (V ! ENa) pour la courbe entière.
Ces courbes révèlent une différence fondamentale entre les comportements manifestés
par les conductances au sodium et au potassium suite à un saut de V = V0 à V = Vfixé.
D'une part, l'activation de gK la fait croître vers un plateau gK4, dont la valeur ne dépend que
de Vfixé ; gK demeure ensuite à ce plateau jusqu'à ce que V change à nouveau. D'autre part,
gNa n'atteint pas un plateau : après une rapide phase de croissance (activation), elle revient
spontanément vers zéro. Cette décroissance rapide doit être distinguée de la désactivation
de gK, puisqu'elle survient même si le potentiel demeure V = Vfixé ; on l'appelle donc plutôt
l'inactivation.
Des observations supplémentaires semblent indiquer que l'activation et l'inactivation sont
des processus indépendants. Par exemple, on observe qu'une fois pleinement inactivée,
la conductance gNa n'est plus «disponible» : en d'autres termes, une fois que V a été
maintenu constant suffisamment longtemps à la valeur Vfixé, tout saut supplémentaire vers
une nouvelle valeur VNfixé produit un courant de sodium plus faible que celui qu'on aurait
obtenu en sautant directement de V0 à VNfixé. En fait, si Vfixé excède environ !25 mV, le saut
de Vfixé à VNfixé ne produit pratiquement aucun courant de sodium.
En revanche, après avoir ainsi maintenu V = Vfixé pendant une période prolongée, si on
restitue V = V0, il s'effectue, en plus de la désactivation, une récupération de
l'inactivation. En d'autres termes, la conductance gNa retrouve graduellement sa
disponibilité. Si on effectue ensuite le saut de V0 à VNfixé, on obtient le même résultat que
si on avait débuté avec cette manipulation dès le départ.
Conformément à ces dernières observations,
Hodgkin et Huxley ont choisi de modéliser la
proportion
max
comme le produit de
p  gNa / gNa
Combinaison de l'activation et de la disponibilité
1
0 75
0,75
p
On constate à nouveau l'apparente indépendance de l'activation et de l'inactivation simplement en comparant les courbes gNa(t) obtenues
pour diverses valeurs de Vfixé : on y voit que les
phases d'activation et d'inactivation ont des
constantes de temps différentes.
0,5
0,25
0
0
1
2
3
t (ms)
deux fonctions qui dépendent de V et du temps Figure 1.B3.8 Activation et disponibilité pour un
mais seraient parfaitement indépendantes l'une saut de 60 mV à partir de V0 (courbes théoriques) ;
de l'autre, soit p = (activation)(disponibilité), leur produit p est proportionnel à la conductance.
comme le montre la figure 1.B3.8. Nous verrons à la section 1.C que l'étude moléculaire
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
51
du canal à sodium révèle que l'activation correspond à l'ouverture du canal et l'inactivation,
à son obstruction subséquente par un segment lâche de la protéine, qui bloque le passage
des ions bien que le canal demeure dans sa conformation ouverte. Nous verrons aussi
qu'en fait, ces deux processus ne sont pas complètement indépendants ; malgré cette
inexactitude, le modèle HH décrit bien le cours d'un potentiel d'action et nous en
poursuivons l'exposé.
Avant de poursuivre, récapitulons les subtilités du vocabulaire qui est utilisé dans la
littérature : contrairement aux canaux à potassium, qui ne pouvaient que s'activer (s'ouvrir,
faire croître gK) ou se désactiver (se fermer, faire décroître gK), chaque canal à sodium peut
se trouver dans quatre états distincts, selon qu'il est activé ou désactivé et qu'il est inactivé
ou non inactivé (disponible). Le passage entre l'état inactivé et l'état non inactivé est appelé
la récupération de l'inactivation, alors que les trois autres transitions portent le nom de l'état
final (par exemple, l'activation est le passage de l'état désactivé à l'état activé). On peut
grossièrement affirmer qu'un courant de Na+ ne peut s'écouler que pendant la phase où
gNa est déjà activée mais demeure encore disponible (en pratique, nous verrons que
l'activation et l'inactivation sont toujours partielles).
Pour obtenir des courbes expérimentales de la disponibilité et de l'activation à partir de
mesures de JNa(t), des protocoles expérimentaux supplémentaires ont été nécessaires,
auxquels les auteurs du modèle consacrent deux articles entiers (Hodgkin 1952c,d). La
nouveauté de ces protocoles est d'utiliser deux sauts du potentiel de membrane : avant le
saut vers Vfixé, l'axone est d'abord «conditionné» à un potentiel de membrane Vcond
maintenu pendant une période donnée Δtcond. L'interprétation de ces expérience repose
invariablement sur l'hypothèse que la réponse à un saut du potentiel de membrane est
beaucoup plus rapide dans le cas de l'activation que dans celui de la disponibilité.
Dans une expérience, Vcond et Vfixé demeuraient les mêmes mais Δtcond variait dans une
plage de valeurs pour lesquelles on pouvait considérer que l'activation avait atteint sa
valeur cible (le plateau de la courbe rouge à la
figure 1.B3.8), mais pas la disponibilité. Ainsi,
plus Δtcond est élevé, plus la disponibilité de gNa
a eu le temps de s'approcher de sa valeur cible
à V = Vcond. Quand Vfixé est ensuite appliqué, on
mesure JNa(t) et on suppose que la disponibilité
n'a pas vraiment le temps de changer avant que
le courant devienne maximal. Le maximum de
JNa(t) est donc considéré comme proportionnel
à la valeur atteinte par la disponibilité
immédiatement avant le saut vers Vfixé. Cette
expérience permet de déduire que l'inactivation
est une exponentielle (pas de point d'inflexion) Figure 1.B3.9 Courbes expérimentales de
et de déterminer sa constante de temps disponibilité ; notez l'absence de point d'inflexion.
(Figure : Hodgkin 1952d, Fig. 3 ; rappelons que
(figure 1.B3.9). Une variante de cette dans cet article, V est exprimé par rapport à V et
0
expérience a permis de montrer que la avec une convention de signe inverse à la nôtre)
récupération de l'inactivation suit elle aussi une
exponentielle.
52
Chapitre 1 : Guide du débutant
Une fois que la courbe de disponibilité est connue, on peut diviser la conductance par cette
dernière afin d'obtenir la courbe d'activation. On constate que cette dernière présente un
point d'inflexion comme c'était le cas pour l'activation de gK. Ce point d'inflexion se
répercute d'ailleurs sur la courbe de JNa(t), qui présente donc elle aussi un point d'inflexion
(voir par exemple la figure 1.B3.2).
Modéliser le courant de sodium. Puisque l'activation de gNa présente un point d'inflexion
alors que son inactivation n'en présente pas, Hodgkin et Huxley ont modélisé la
proportion
max
p  gNa / gNa
comme le produit p = myh, où my est l'activation et où h est la
disponibilité. Comme ils l'ont fait dans le cas du potassium, ils ont déterminé par essais et
erreurs quel exposant y donnait la courbe d'activation dont les proportions représentaient
le mieux les données et déterminé qu'il s'agissait de y = 3. En conséquence, ils ont postulé
que le courant du sodium est donné par :
Courant de sodium
max
JNa  gNa
m3 h (V  ENa )



(équation 1.B3.8)
gNa
où
dm m  m

m
dt
(équation 1.B3.9a)
et
dh h  h

h
dt
(équation 1.B3.10a)
où, à une température fixe, m4, h4, m et h ne dépendent que de V : contrairement à m et
à h, ils adaptent immédiatement leur valeur si V change. Comme le modèle HH néglige le
courant de pompes, ENa est considéré comme constant et prend une valeur typique (voir
la figure 1.B2.3). De plus, à partir de toutes les courbes de tendance des données
expérimentales, la conductance maximale a été estimée. Ces deux constantes sont :
ENa  50 mV
max
gNa
 120 mS/cm2
Interprétation physique. Dans Hodgkin 1952e, on donne à nouveau une interprétation
physique de la conductance en termes de «particules d'activation» et de «particules
d'inactivation» : la conductance au sodium est vue comme étant proportionnelle au nombre
de «sites», dans la membrane, où trois particules d'activation sont liées, sans qu'une
particule d'inactivation ne le soit. La variable m représente alors la proportion des particules
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
53
d'activation qui sont «liées» alors que la variable h représente la proportion des particules
d'inactivation qui ne le sont pas.
Avec cette interprétation physique, il est utile comme nous l'avons fait pour la variable n de
réécrire l'équation 1.B3.9a et l'équation 1.B3.10a sous une forme qui évoque la cinétique
d'une réaction de conversion entre les deux états possibles de chaque «particule» :
dm
  m (1  m )   m m
dt
(équation 1.B3.9b)
et
dh
  h (1  h )   h h
dt
(équation 1.B3.10b)
Comme nous le verrons à la section 1.C, on peut faire correspondre assez bien cette
interprétation physique initiale avec celle d'aujourd'hui, qui repose sur l'existence de canaux
tensiodépendants à Na+ : d'une part, m3 représente la proportion des canaux NaV qui sont
activés, c'est-à-dire dans leur conformation ouverte au passage des ions, et 1 ! m3, la
proportion de ceux qui sont fermés ; d'autre part, 1 ! h représente la proportion des canaux
NaV qui sont inactivés et h, celle des canaux qui sont disponibles (non inactivés). Nous
verrons toutefois que cette correspondance du modèle avec le fonctionnement d'un canal
n'est pas aussi bonne que dans le cas du potassium : d'abord, l'exposant 3 ne trouve pas
de sens physique immédiat ; ensuite, l'inactivation n'est pas le processus parfaitement
indépendant de l'activation que Hodgkin et Huxley ont modélisé.
Pour compléter la description du courant de sodium, il ne manque que la dépendance en V
des paramètres αm, βm, αh et βh. Les fonctions suivantes (dont la forme est arbitraire)
forment une courbe de tendance qui représente bien les données expérimentales (voir,
dans Hodgkin 1952e, les Fig. 7 et 9 de même que le texte s'y rapportant) :
 m  0,1
V  40
1 e
m  4 e
1 (V  40)
 10
(équation 1.B3.11)
1 (V  65)
 18
et
 h  0,07 e
h 
1 (V  65)
 20
1
1 e
(équation 1.B3.12)
1 (V  35)
 10
où V est en millivolts. Encore une fois, soulignons que les équations 1.B3.11 et 1.B3.12
54
Chapitre 1 : Guide du débutant
pourraient être substituées directement dans les équations 1.B3.9b et 1.B3.10b,
respectivement, ce qui montre bien que m et h ne dépendent que du potentiel V et du
temps t dans le modèle Hodgkin-Huxley.
Modéliser le courant de fuites. Pour compléter le modèle HH, il ne manque plus que le
troisième et dernier courant de l'équation 1.B3.12, c'est-à-dire le courant de fuites, un
terme qui regroupe tous les courants autres que ceux décrits par les deux premiers termes.
Il est clairement entendu que ce courant de fuites est très faible ; son existence a d'ailleurs
été entièrement négligée dans la procédure expérimentale permettant de séparer Jtotal en ses
composantes JNa et JK (voir figure 1.B3.2). Toutefois, quand V est proche de V0, JNa et JK sont
tous les deux assez faibles et le courant de fuites prend alors de l'importance relative : non
seulement il a un impact sur la valeur du potentiel de repos, mais en plus nous verrons sous
peu qu'il contribue fortement à la phase de récupération du potentiel d'action.
Comme l'indique l'équation 1.B3.12, Hodgkin et Huxley ont choisi d'approcher ce courant de
fuites par un courant quasi-ohmique (équation 1.B2.4) où la conductance gfuites est constante.
Ce modèle reflète toutefois peu de réalité physique : le potentiel d'inversion Efuites ne peut pas
être déduit par l'équation 1.B2.1, notamment. En effet, comme le schématise la figure 1.B1.7,
le courant de fuites regroupe de nombreux mécanismes (Hodgkin 1952c, p. 494) : la
membrane est faiblement perméable aux ions Cl!, elle comporte des pompes, les ions Na+
et K+ peuvent sans doute la traverser faiblement par des moyens autres que ceux décrits par
les deux premiers termes de l'équation 1.B3.2, etc. Il faut donc déterminer gfuites et Efuites sans
avoir en tête que le courant de fuites est transporté par une espèce ionique en particulier,
bien que le chlore en compose la plus grande partie.
Pour évaluer ces paramètres, on a besoin de deux mesures de Jfuites à des potentiels de
membrane différents. En substituant dans l'équation 1.B2.4, on obtiendra ainsi deux
équations où gfuites et Efuites seront les inconnues.
On réalise donc deux expériences. Dans la première, on utilise un milieu extracellulaire
sans sodium (de sorte que JNa  0), on fixe V = EK (de sorte que JK = 0) et on mesure le
courant Jtotal = J1 qui est alors uniquement composé de Jfuites. Cela donne une première
équation J1 = gfuites(EK ! Efuites).
Dans la seconde expérience, on fixe V = V2, où V2 est une valeur très négative (par
exemple, !150 mV). À une telle valeur, m et n deviennent extrêmement proches de zéro,
de sorte que JNa  0 et que JK  0. On mesure donc un courant Jtotal = J2 qui est à nouveau
uniquement composé de Jfuites. Cela donne la seconde équation J2 = gfuites(V2 ! Efuites).
Avec cette méthode, Hodgkin et Huxley ont obtenu en moyenne les valeurs suivantes :
g fuites  0,3 mS/cm2
Efuites  54,4 mV
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
55
Le modèle isopotentiel complet. Maintenant que nous avons modélisé chaque courant,
nous pouvons récapituler le modèle HH. Rappelons d'abord que ce modèle décrit pour le
moment un axone isopotentiel. Nous allons revenir au bloc 1.B3.3 sur la propagation le
long d'un axone dans une situation physiologique. Ensuite, rappelons aussi que le modèle
est quasi-stationnaire, au sens défini dans la sous-section 1.B2, puisque nous avons
négligé l'existence des pompes. Cela signifie aussi que les concentrations interne et
externe de chaque espèce ionique sont considérées comme stable dans le temps, ce que
reflète les valeurs fixes des potentiels d'inversion ENa = +50 mV et EK = !77 mV.
Nous allons maintenant voir en quoi le modèle HH permet de reconstruire le déroulement
d'un potentiel d'action. Pour se préparer à cette tâche, débutons en récapitulant les
principales équations et en mettant en graphique les paramètres, ce qui est présenté à la
figure 1.B3.10.
dV
1 max 3
   gNa
m h(V  ENa )  gKmax n 4 (V  EK )  g fuites (V  E fuites )
dt
C
dn n  n

n
dt
dh h  h

h
dt
dm m  m

m
dt
max
gNa
 120 mS/cm2
g
C  1 F/cm2
max
K
 36 mS/cm
2
g fuites  0,3 mS/cm
ENa  50 mV
EK  77 mV
2
E fuites  54,4 mV
Figure 1.B3.10 Récapitulation du modèle Hodgkin-Huxley pour un potentiel d'action «spaced clamped», tel
que présenté dans Hodgkin 1952e (partie II). La première équation est une fusion des équations 1.B3.2, 1.B3.4
et 1.B3.8. Les graphiques B et C représentent les équations 1.B3.7, 1.B3.11 et 1.B3.12 en vert, bleu et rouge,
respectivement. Les paramètres constants (D) sont tirés du texte. Une formulation équivalente aurait été
obtenue en formulant les taux de variation de m, h et n en fonction des trois paires constantes cinétiques (α
et β), qui auraient alors fait l'objet des deux graphiques au lieu des trois paires (valeur cible, ).
56
Chapitre 1 : Guide du débutant
Potentiel de repos selon le modèle. L'intégration numérique des équations de la figure
1.B3.10 conduit spontanément la membrane simulée à un potentiel de repos. On peut
calculer ce dernier en utilisant l'équation 1.B3.11, où les conductances gNa et gK dépendent
de V0. En substituant les valeurs numériques de la figure 1.B3.10, l'équation 1.B3.11 devient :
6000m3 (V0 )h (V0 )  2772n4 (V0 )  16,32
V0 
0
120m3 (V0 )h (V0 )  36n4 (V0 )  0,3
(équation 1.B3.13)
En solutionnant numériquement cette équation, on obtient V0 = !65,0 mV. Si on utilisait
plutôt gfuites = 0,25 mS/cm2 (valeur utilisée dans notre modèle numérique), on obtiendrait
alors V0 = !65,5 mV, ce qui montre que les fuites ont effectivement une petite influence.
Notons qu'au lieu de considérer que V0 dépend des paramètres illustrées à la figure
1.B3.10, on peut plutôt considérer que c'est Efuites qui est un paramètre ajustable permettant
de choisir le potentiel de repos souhaité dans un modèle numérique.
Courant de fenêtre. L'équation 1.B3.13 montre indirectement qu'à V = V0, le courant de
potassium et le courant de sodium sont tous deux non nuls. Cela découle simplement du
fait que m3h(V0) et n4(V0) ont une valeur cible non nulle (voir la figure 1.B3.10C).
Dans le cas du potassium, la courbe n4(V) est strictement croissante. En conséquence, tout
phénomène qui aurait pour effet d'augmenter V0 ferait croître le courant de potassium qui
circule quand le neurone est au repos, et vice versa.
valeur cible
valeur cible de m3h
Dans le cas du sodium, la situation est plus
subtile : ni les valeurs très élevées ni les valeurs
0,01
très faibles de V0 ne permettent à ce courant de
0,008
s'écouler significativement, en raison de la
0,006
006
combinaison de la désactivation et de l'inacti0,004
vation. Comme l'illustre la figure 1.B3.11, il
0,002
existe toutefois un intervalle de valeurs de V où
0
la valeur cible de m3h possède un maximum
-100 -75
-50
-25
75
0
25
50
relatif. Cet intervalle de valeurs de V est une
V (mV)
«fenêtre» qui permet au courant de sodium de
s'écouler même quand le neurone est au repos. Figure 1.B3.11 Le sodium peut s'écouler même
Un tel courant est dit courant de fenêtre au repos grâce à un courant de fenêtre.
(«window current»).
Heureusement, dans un neurone normal, V0 est en périphérie de la «fenêtre», comme
l'indique le point rouge sur la figure 1.B3.11. Ce n'est plus forcément le cas si le neurone
est endommagé : si les canaux NaV subissent un décalage cinétique, comme le voudra
l'hypothèse sur laquelle se fondera le modèle numérique de nos travaux de recherche,
introduits au chapitre 3, le point rouge de la figure 1.B3.11 peut alors être décalé vers la
droite, donc vers la fenêtre, même si V0 ne change pas significativement. L'influx de sodium
est alors plus élevé, même au repos, ce qui entraîne une pléthore de phénomènes.
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
57
Prédictions du modèle grâce à l'intégration numérique. Nous allons maintenant voir comment
le modèle HH prédit le déroulement d'un potentiel d'action. La figure 1.B3.10 montre que le
modèle HH comprend quatre variables, V, m, h et n, et une équation différentielle de premier
ordre qui permet de décrire l'évolution de chacune d'elle dans le temps, à partir d'une valeur
initiale donnée. Pour prédire le déroulement d'un potentiel d'action, on peut intégrer
numériquement ces équations (l'appendice C porte notamment sur les méthodes
informatiques utilisées pour ce faire). Notez qu'on cesse pour la première fois, ici, de parler
d'une situation avec voltage clamp pour laisser plutôt V évoluer librement dans le temps.
L'intégration numérique débute toujours avec des conditions initiales qui correspondent au
repos (V = V0 = !65,0 mV ; m = m4(V0) = 0,05293 ; h = h4(V0) = 0,5961 et n = n4(V0) =
0,3177). Évidemment, si on ne perturbe pas la membrane, la valeur de ces quatre
variables demeure constante. Pour stimuler la membrane, on peut modifier V de façon
discontinue en lui appliquant un gain Vstim, ce qui modélise assez bien à l'augmentation
brutale de V qui survient expérimentalement quand on injecte de la charge dans l'axone.
V (mV)
La figure 1.B3.12 illustre le résultat d'intégrations numériques pour Vstim = {6,7,50} mV, la
stimulation étant appliquée à t = 10 ms. On y constate deux comportements. D'une part,
quand Vstim < 7 mV, l'intégration prédit un retour
immédiat vers V0 (avec une oscillation très
réponses (calculées) à trois excitations
amortie). C'est un potentiel gradué : pas assez
50
de canaux NaV se sont ouverts pour initier un
potentiel d'action.
D'autre part, quand
15
50 mV
7 mV
Vstim $ 7 mV, l'intégration numérique prédit un
6 mV
-20
potentiel d'action. Ces résultats montrent que le
-55
modèle HH reproduit une caractéristique
fondamentale des membranes excitables : l'exi-90
stence d'un seuil de stimulation (voir sous5
15
25
35
temps (ms)
section 1.B1). Il prédit aussi une seconde
caractéristique fondamentale : l'aspect stéréo- Figure 1.B3.12 Le modèle Hodgkin-Huxley prédit
typé d'un potentiel d'action. En effet, bien que le l'existence d'un seuil d'excitation (courbes
saut de tension utilisé comme stimulation varie calculées en intégrant numériquement les
1.B3.10, méthode : RK4,
par un facteur 7, l'amplitude, la forme et la durée équations de la figure
!3
ms)
pas
d'intégration
:
10
des deux potentiels d'action de la figure 1.B3.12
sont quasi-identiques.
V (mV)
effet de la phase réfractaire
On peut observer une troisième prédiction
50
importante du modèle HH si on stimule à deux
reprises le neurone et qu'on observe sa réaction
15
en fonction de l'intervalle de temps qui sépare les
-20
deux stimulations. Sur la figure 1.B3.13, le
neurone a été stimulé à t = 10 ms et a reçu par la
-55
suite une stimulation identique une seconde fois.
-90
Comme le montrent respectivement la trace
15
15
35
35
5
25
45
bleue et la trace rouge sur la figure, stimuler le
temps (ms)
neurone à t = 22 ms ou 27 ms n'a pas pour effet Figure 1.B3.13 Le modèle HH prédit l'existence d'une
de provoquer un second potentiel d'action ; il faut phase réfractaire (méthodes : voir figure 1.B3.12).
58
Chapitre 1 : Guide du débutant
attendre t = 28 ms (trace verte) pour ce soit à nouveau possible (avec ce stimulus). En
somme, le modèle HH prédit l'existence d'une phase réfractaire (voir sous-section 1.B1).
Déroulement d'un potentiel d'action. Nous allons maintenant nous pencher sur les détails
du mécanisme d'un potentiel d'action sous l'effet d'un space clamp, dont chaque phase
sera interprétée à la lumière du modèle HH. Pour ce faire, la figure 1.B3.14 se penche sur
l'un des potentiels d'action de la figure 1.B3.12 (celui pour Vstim = 50 mV) et identifie, à cinq
instants de son déroulement, les points pertinents sur les courbes des valeurs cibles et des
constantes de temps (figure 1.B3.10b,c). Nous décrivons maintenant ces cinq étapes.
Figure 1.B3.14 Les phases d'un potentiel d'action sont déterminées par les valeurs cibles et les constantes
de temps des variables m, h et n. Voir la description dans le texte.
Point A : La situation débute au repos, où V = V0 = !65 mV. On a alors m3h = 8,8×10!5 et
n4 = 0,010 : peu de courant circule (en particulier, le courant de fenêtre du sodium est
négligeable). L'un des principaux points-clé est qu'à ce potentiel de membrane, le délai de
réaction de la variable m est m = 0,24 ms, un ordre de grandeur de moins que n = 5,5 ms
et que h = 8,4 ms. À mesure que V augmente, cet écart se rétrécit mais la variable
d'activation m demeure toujours nettement plus rapide.
Point B : Quand le potentiel de membrane augmente jusqu'à ce niveau, m passe rapidement de sa valeur de repos à sa nouvelle valeur cible >0,9, alors que n et h ont peu le
temps de changer. Ainsi, m3h  0,3 mais n4 demeure de l'ordre de 0,01 : le courant de
sodium domine largement. La conductance gNa dominant largement les autres, V tend vers
ENa (voir l'équation 1.B2.11). En d'autres termes, le courant de Na+ étant un courant entrant
(négatif), il fait croître V spontanément. (Soulignons que cela fait croître m encore
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
59
davantage : cette rétroaction positive signifie que le seuil de non retour est franchi ; à cette
étape, retirer tout stimulus n'empêcherait pas le potentiel d'action de se produire.)
Au point C, les valeurs cibles et les constantes de temps ne sont pas très différentes de
ce qu'elles étaient au point B. Par contre, entre ces deux points, du temps s'est écoulé, ce
qui a permis à h et à n de s'approcher de leurs valeurs cibles. Le courant de potassium
commençant à circuler et la conductance du sodium commençant à être inactivée, gNa ne
domine plus, donc, la croissance de V s'interrompt avant que ENa n'ait pu être rejoint. À
partir du point C, gNa est décroissant alors que gK est croissant.
Entre C et D, le courant de sodium continue sans cesse de décroître en raison de
l'inactivation. Tant que cette inactivation demeure, la membrane est incapable de répondre
à un nouveau stimulus : c'est le début de la phase réfractaire. À l'inverse de gNa, pendant
la majorité du trajet entre C et D, gK continue de croître. Ainsi, gK domine et le potentiel de
membrane tend donc de plus en plus vers EK (voir l'équation 1.B2.11). En d'autres termes,
le courant de K+ étant un courant sortant (positif), il fait décroître V. Le courant de fuite
participe faiblement à cette décroissance de V.
Au point D, le potentiel de membrane a retrouvé sa valeur de repos. Par contre, ce n'est
pas le cas des variables m, h et n. Au contraire, la phase de descente de V ayant duré
environ 2 ms, seule m a eu le temps de réagir, h et n conservant environ les valeurs
qu'elles avaient au point C. Pour cette raison, JK conserve une valeur plus élevée que celle
de repos et V continue de décroître. Le potentiel de repos est dépassé par le bas.
Au point E, le potentiel de membrane devient presque égal à EK et le courant de potassium
devient donc très faible. Le potentiel de membrane peut donc amorcer sa phase de
récupération, c'est-à-dire sa lente remontée vers V0 (la lente récupération de l'inactivation
a débuté environ au point D). Notez sur l'échelle verticale qu'en tout temps, EK < V < ENa,
conformément à l'équation 1.B2.11.
conductances et courants pendant un potentiel d'action
Le retour de V vers V0 est entraîné par le lent
g
100
retour de gK à sa valeur de repos, ce qui modifie
g
10
g
la valeur cible donnée par l'équation 1.B2.11.
1
Toutefois, il reste à élucider quel courant circule
10
15
20
30
5
25
35
10
15
20
30
0,1
pour faire tendre V vers cette valeur cible : ce
0,01
0,001
ne peut être JK puisque sa polarité est l'inverse
0,0001
de celle requise ; ce ne peut être JNa puisque sa
0,00001
valeur est négligeable (car m  0,01 donc m3h 
30
J
!7
J
20
10 ). C'est donc le courant de fuites qui est le
J
10
principal responsable de l'ajustement de V
0
pendant la phase de récupération. Pour le
5
10
15
20
30
1
5
2
0
25
3
0
35
-10
montrer, nous avons calculé les conductances
-20
et les courants à chacun des points du
temps (ms)
-30
graphique V(t) de la figure 1.B3.12, le résultat
Figure 1.B3.15 L'étude des conductances et des
apparaissant à la figure 1.B3.15.
Na
(mS
S/c
/cm
m2)
K
fuites
Na
K
(A/c
/cm
m2)
fuites
Sur cette figure, on constate d'abord qu'au
60
courants pendant un potentiel d'action permet de
découper le mécanisme de ce dernier en trois
phases. Notez l'échelle logarithmique.
Chapitre 1 : Guide du débutant
repos, avant la stimulation qui survient à t = 10 ms, les conductances gK et gfuites sont
comparables, alors que gNa leur est nettement inférieure. Pendant la phase de
récupération, le courant de sodium est encore plus faible, et le courant de fuites parvient
à peine à contrecarrer le courant de potassium. On pourrait être tenté d'en conclure que
cette compétition explique que la remontée de V est très longue, mais c'est plutôt le délai
de réaction de gK qui l'explique.
Au chapitre 3, nous verrons que le décalage cinétique des canaux sodiques fait en sorte
que la phase réfractaire est raccourcie et que la remontée de V vers V0 est plus rapide.
Quelques idées fausses à éviter. Enfin, l'enseignant que nous sommes ne saurait terminer
ce bloc sans souligner les erreurs conceptuelles fréquentes rencontrées au sujet du
mécanisme d'un potentiel d'action. Certaines de ces erreurs ne sont faites que par les
étudiants qui débutent mais d'autres sont répandues même parmi des enseignants. Elles
sont de trois ordres :
•
La plupart des manuels introductifs en biologie, notamment Campbell 2007 et Marieb
2010, expliquent malheureusement le fonctionnement du potentiel d'action en ayant
recours seulement aux ions Na+ et K+, ce qui les force à rester muets sur le mécanisme
de récupération. Il y a pire : beaucoup de matériel didactique, notamment des
animations web et des cours web (même une qui est une production de l'université
Harvard !), attribuent la récupération à des faux mécanismes comme les pompes Na/K,
dont le courant est pourtant hyperpolarisant (Bohan 2005, Proulx 2011, Graven 2013,
Okur 2013, etc.), le courant de potassium, qui a lui aussi la polarité inverse de celle qui
lui permettrait de jouer ce rôle, ou le courant de sodium, pourtant quasi-nul (GeneEd
Inc 2008 ; Campbell 2007, figure 48.11), voire la dispersion des ions qui viennent de
traverser, qui s'effectue pourtant excessivement plus vite que la récupération.
•
Les manuels introductifs en biologie réfèrent souvent à l'influx de sodium qui initie le
potentiel d'action comme étant «massif» ou «rapide», ce qui laisse entendre que
l'entièreté des ions sodium (ou une proportion significative) pénètre dans l'axone
pendant le passage d'un potentiel d'action (par exemple : Campbell 2007, section 48.3).
Le même problème s'applique en sens inverse pour le potassium. Or, il n'en est rien
: comme nous l'avons calculé à la sous-section 1.B2, seul un transfert de 10!12 mol/cm2
de sodium est suffisant pour effectuer toute la phase de montée de V. Cette quantité
représente une fraction infime (10!6) des ions disponibles. Il en va de même pour le
potassium. Cette erreur conceptuelle est sous doute encouragée davantage par les
illustrations de manuels, même avancés, de même que la plupart des animations web,
qui représentent toujours un petit nombre d'ions de chaque espèce et sur-représentent
donc grandement la proportion de ceux qui traversent la membrane.
•
Enfin, sous l'effet encore une fois des illustrations, de nombreux étudiants ne réalisent
pas que la charge nette accumulée de part et d'autre de la membrane est située dans
une très fine couche. Pourtant, sans même avoir à solutionner l'équation de PoissonBoltzmann, il devrait sembler claire que des charges nettes de signes opposés
devraient s'attirer et donc se coller sur la membrane. Les éloigner l'une de l'autre
requiert de faire un travail que seules les collisions thermiques peuvent faire.
1.B3.2 Le modèle Hodgkin-Huxley
61
L'épaisseur des fines couches de charge de part et d'autre de la membrane ne saurait
donc dépasser celle permise par les fluctuations thermiques.
L'article pédagogique que nous présentons au chapitre 2 a pour objectif d'outiller les
enseignants afin de leur permettre de contrecarrer les erreurs conceptuelles que nous
venons de présenter. En plus d'utiliser des arguments théoriques pour falsifier ces
conceptions erronées, il utilise aussi des simulations numériques qui permettent de
remplacer ces conceptions erronées par une représentation adéquate.
1.B3.3 Le modèle HH explique aussi la conduction le long de l'axone
Le modèle HH que nous venons de présenter a été développé avec un axone isopotentiel
et décrit le déroulement V(t) d'un potentiel d'action qui y survient. Par contre, on peut
supposer qu'il s'applique aussi à une longueur infinitésimale de l'axone. Cette idée est celle
qui permettra d'étendre le modèle HH à la description de potentiels d'action qui se
propagent le long de l'axone, c'est-à-dire à l'obtention de V(x,t).
On commence par discrétiser l'axone en le subdivisant en compartiments. Pour le moment,
nous continuons de décrire un axone de calmar, tel que ceux utilisés expérimentalement
par Hodgkin et Huxley ; de tels axones étant uniformes (non myélinisés), tous les
compartiments seront identiques. Évidemment, dans un axone réel, les compartiments
communiquent entre eux, ce qui signifie qu'ils peuvent s'échanger des ions par diffusion
simple et par conduction. Contrairement à la membrane, le cytosol a une conductance
constante alors on peut modéliser le lien entre les compartiments par une résistance
électrique simple  comme l'illustre la figure 1.B3.16 (comme dans le cas des courants
traversant la membrane, les effets de rectification sont ignorés, voir l'appendice B). Les
volumes extracellulaires sont eux aussi reliés entre eux dans un axone réel, mais nous
continuerons de supposer que l'ensemble du volume extracellulaire est mis à la terre (les
résistances entre les volumes extracellulaires des compartiments étant donc considérées
comme nulles, nous les omettons sur la figure).
Figure 1.B3.16 Pour étudier la propagation, un axone peut être subdivisé en un grand nombre de
compartiments reliés par une résistance, le courant Ji traversant la membrane du compartiment i en raison
de son potentiel de membrane Vi étant décrit par le modèle HH.
Quand deux compartiments adjacents ont un potentiel de membrane différent, ils ont donc
un potentiel intracellulaire différent, comme l'indique la figure. Par conséquent, un courant
62
Chapitre 1 : Guide du débutant
ohmique s'écoulera entre les deux compartiments. L'évolution du potentiel de membrane
Vi est donc donnée par une version modifiée de l'équation 1.B3.2 :
max
3
max 4

dVi
1 gNa m h(Vi  ENa )  gK n (Vi  EK ) 
 

C
dt
g fuites (Vi  Efuites )   (2Vi  Vi 1  Vi 1 )
(équation 1.B3.14)
Notons que le courant qui circule dans l'axoplasme ne doit pas être confondu avec le
courant qui traverse la membrane. En cas de risque de confusion, nous utiliserons l'indice
R pour désigner les grandeurs axoplasmiques et l'indice m pour les grandeurs
membranaires (axolemmales).
D'après la figure 1.B3.16, on pourrait penser que la conductance axoplasmique  est
mesurée en siemens et qu'elle équivaut à A/ρΔx, où A est la section de l'axone et Δx, la
longueur du compartiment. L'équation 1.B3.14 contredit cette idée. En effet, les premiers
termes de cette équation, tirés de l'équation 1.B3.2, sont des courants par unité de surface
de membrane. Comme le nouveau terme est lui aussi divisé par C, la capacité par unité
de surface de membrane,  a donc fait l'objet d'une conversion appropriée pour s'exprimer
elle aussi en mS/cm2 de membrane : elle équivaut donc à  = Asection/ρΔx Alatérale = r/2ρΔx2,
où r et Δx sont respectivement le rayon et la longueur du compartiment.
Limite analytique. Dans une étude numérique comme la nôtre, l'équation 1.B3.14 a déjà
la forme appropriée pour être intégrée numériquement par un ordinateur (l'appendice C
débute avec les méthodes utilisées à cette fin). Il ne reste qu'à choisir la longueur des
compartiments et à ajuster  en conséquence. Par contre, si on souhaite faire une étude
analytique, on doit trouver une façon de faire tendre Δx vers zéro. On reconnaît que le
dernier terme de l'équation 1.B3.14 a la forme d'un schème discret correspondant à une
dérivée seconde, seule la division par Δx2 étant manquante19. Or,  = r/2ρΔx2. En faisant
tendre Δx vers zéro, l'équation 1.B3.14 devient donc (voir Hodgkin 1952e, équation 29) :
max
gNa

m 3 h(V  ENa ) 
2


V
r V
1
max 4





g
n
(
V
E
)


K
K
t 2 C x 2
C
g fuites (V  Efuites ) 


J
1
  g eq (V  V0 )   m
C
C
(équation 1.B3.15)
où r est le rayon de l'axone et où Jm = geq(V ! V0) est le courant ionique total qui traverse
la membrane (où geq est la somme des trois conductances et où V0 est donné par l'équation
1.B2.11).
19
En effet, estimer numériquement dV/dx peut se faire en calculant (Vi+1 ! Vi)/Δx, en vertu de la définition fondamentale de la
dérivée. Si on fait un tel calcul en deux points et qu'on divise par Δx la différence des deux résultats, on obtient cette fois un estimé de
la dérivée seconde, (Vi+1 ! 2Vi + Vi!1)/Δx2.
1.B3.3 Le modèle HH explique aussi la conduction le long de l'axone
63
Pour simplifier l'équation 1.B3.15 davantage, on peut aussi poser v = V ! V0 et elle devient :
Jm
v
r  2v
1



g
v


eq
t 2 C x 2
C
C
(équation 1.B3.16)
L'analyse dimensionnelle de cette équation révèle que le facteur r/2ρC doit avoir des unités
de [longueur2/temps]. Or, on remarque qu'il correspond à l'inverse du produit de la capacité
axolemmale par unité de longueur de l'axone cm et de la résistance axoplasmique par unité
de longueur de l'axone rR. (Soulignons que ce produit est la constante de temps nécessaire
pour charger une unité de longueur d'axone à l'aide du courant axoplasmique). On peut
donc réécrire l'équation 1.B3.16 comme
Équation du câble
v
1  2v g eq


v
t rcm x 2 C
(équation 1.B3.17)
On signale que cette équation n'a pas la forme d'une équation d'onde mais plutôt celle
d'une équation de diffusion, où le facteur 1/rRcm joue le rôle du coefficient de diffusion
(habituellement noté D), et où est ajouté un terme source non linéaire, !Jm/C = !geqv/C. Ce
terme source correspond au courant qui sort (Jm > 0) ou qui entre (Jm < 0) dans l'axone.
On s'attend à ce que cette équation différentielle soit celle anticipée à la sous-section 1.B1,
pour laquelle une famille de solutions correspondent au potentiel d'action. Pour le vérifier,
on suit un raisonnement présenté dans Scott 2002 (chap. 4) et on cherche des solutions
qui ont la forme d'une onde progressive v(x,t) = f(x ! ct) : il suffit de substituer ξ = x ! ct et
l'équation 1.B3.17 devient :
dv
1 d2v g eq
v
v


d rcm d 2 C
(équation 1.B3.18)
qu'on peut réécrire comme deux équations différentielles de premier ordre :
g

dw
 rcm  eq  w  v
d
C

(équation 1.B3.19)
dv
w
d
Ces deux équations, combinées aux équations 1.B3.5, 1.B3.9 et 1.B3.10 qui décrivent
l'évolution de m, h et n et déterminent donc geq, représentent un système de cinq équations
différentielles du premier ordre, où la variable indépendante est ξ.
64
Chapitre 1 : Guide du débutant
D'un point de vue dynamique (voir appendice A), ce système d'équations présente un seul
point fixe qui correspond au neurone au repos. Puisqu'un potentiel d'action débute au
repos et revient au repos, on s'attend à ce qu'il existe des trajectoires homocliniques ayant
ce comportement : elles quitteraient le point fixe à ξ = !4 et y reviendraient à ξ = +4.
Il existe effectivement deux trajectoires homocliniques qui solutionnent ce système de cinq
équations : l'une est stable, correspond à une fluctuation de v ayant une grande amplitude,
alors que l'autre est instable et a une plus faible amplitude (Scott 2002, chap. 4). La
trajectoire instable agit comme une frontière entre les trajectoires qui retournent
directement au point fixe (potentiel gradués) et celles qui tendent vers l'autre trajectoire
homoclinique (potentiels d'action). Cette trajectoire instable détermine donc le seuil
d'excitation.
Malheureusement, il est impossible de visualiser ces trajectoires dans l'espace de phase
puisque ce dernier a cinq dimensions. Au bloc suivant, nous évoquerons rapidement
quelques simplifications du modèle HH qui permettent de réduire le nombre de dimensions
sans perdre les caractéristiques essentielles du modèle.
Limite linéaire. L'équation du câble est non linéaire pour la seule raison que geq est une
fonction de v et de t. Par contre, il existe deux circonstances où geq est essentiellement une
constante. La première est le cas d'une membrane non excitable ; la seconde est le cas
d'une membrane excitable peu perturbée, c'est-à-dire où V  V0 donc v  0 (en effet, quand
la membrane excitable est peu perturbée, les canaux tensiodépendants demeurent tous
essentiellement dans leur état de repos). Dans ces deux cas, geq demeure donc
approximativement une constante qu'on écrira g0. L'équation 1.B3.17 devient donc linéaire :
Équation du câble linéaire
v
1  2v g 0

 v
t rcm x 2 C
(équation 1.B3.20)
Contrairement à l'équation 1.B3.17, cette équation ne présente aucune solution ayant la
forme d'une onde progressive. Ses solutions ont plutôt une amplitude qui décroît et une
forme qui s'estompe avec le temps. Ce sont les potentiels gradués. Notons que ces
derniers apparaissaient déjà comme solution à l'équation 1.B3.17. (On peut les obtenir
analytiquement en posant u = v exp(!g0t/C) ; l'équation 1.B3.20 devient alors une équation
de diffusion facilement soluble ; voir Nelson 2008, section 12.1).
1.B3.4 Réductions du modèle Hodgkin-Huxley
Le modèle HH récapitulé à la figure 1.B3.10 est un système de quatre équations différentielles du premier ordre. Quand on tient compte de la propagation le long de l'axone, on
a même un système de cinq équations du premier ordre, comme nous l'avons montré au bloc
précédent. Le niveau de détail de ce modèle le rend donc difficile à aborder d'un point de vue
mathématique ; en particulier, la visualisation dans un espace de phase est impossible.
Pour contrecarrer ces problèmes et permettre une analyse mathématique poussée,
1.B3.4 Réductions du modèle Hodgkin-Huxley
65
plusieurs modèles simplifiés ont été imaginés. Ces modèles possèdent au maximum deux
dimensions, trois si on tient compte de la propagation le long de l'axone. La présente thèse
ne visant pas une étude analytique, nous allons nous contenter d'évoquer brièvement
l'existence de deux de ces modèles, ceux du bord d'attaque («leading edge models») et
celui de FitzHugh et Nagumo. Une présentation plus complète peut être trouvée dans Scott
2002 (chap 5-6).
Un des points-clé de la réduction dimensionnelle est d'observer que les quatre variables
du modèle HH ont des constantes de temps très différentes : V et m sont des variables
«rapides», qui changent complètement de moins d'une milliseconde, alors que h et n sont
des variables 10 fois plus «lentes». Le modèle FitzHugh-Nagumo et les modèles du bord
d'attaque sont tous deux construits sur cette observation.
Modèle du bord d'attaque. Une première méthode permettant de réduire le modèle HH est
d'estimer que m a un temps de réponse nul (plus rapide que V) alors que n et h ont un
temps de réponse infini, c'est-à-dire qu'il ne répondent pas du tout. Ainsi, on exprime n et
h comme des constantes (prenant leur valeur au repos) et m comme une fonction de V
seulement (c'est-à-dire m4(V), sa valeur cible qui est atteinte instantanément quand le
temps de réponse est nul).
Un tel modèle ne permet évidemment pas de décrire le potentiel d'action complet avec son
retour à V = V0, puisque le courant de potassium est considéré comme constant. Toutefois,
on s'attend à ce qu'il permette de décrire adéquatement le bord d'attaque, c'est-à-dire le
début du potentiel d'action, la phase où V croît. Si l'inconvénient de ce modèle est qu'il ne
représente que le bord d'attaque, son avantage est indéniablement sa faible
dimensionnalité : notez en effet que nous avons éliminé trois variables (et leurs équations
différentielles associées).
Avec les hypothèses que nous venons de formuler, l'équation du câble devient celle des
modèles du bord d'attaque :
1  2V V
3

 A  m (V ) (V  ENa )  B(V  EK,fuites )
2
r cm x
t
(équation 1.B3.21)
où A, B et EK,fuites peuvent être obtenus simplement à partir des paramètres habituels et où
m4(V) est la fonction illustrée aux figures 1.B3.10 et 1.B3.14.
L'équation 1.B3.21 peut être simplifiée davantage si on remplace A[m4(V)]3 par une fonction plus
simple, par exemple α + β(V ! V0)2 (Nelson 2008, chap. 12). Le membre de droite de l'équation
1.B3.21 devient donc une simple fonction cubique f(V). Une autre option consiste à remplacer
le membre de droite de l'équation 1.B3.21 par une fonction linéaire par morceaux.
Dans les deux cas, cette équation du câble simplifiée permet la visualisation dans un plan
de phase, l'analyse avec tous les outils de la dynamique non linéaire (voir appendice A) et
même l'obtention de quelques résultats analytiques. Parmi ces résultats analytiques,
soulignons celui voulant que la vitesse de propagation dans un axone uniforme (non
66
Chapitre 1 : Guide du débutant
myélinisé) soit proportionnelle à la racine carrée du rayon de l'axone. C'est ce qui explique
que les invertébrés capables de réactions rapides aient des axones aussi énormes (comme
l'axone géant du calmar sur lequel Hodgkin et Huxley ont réalisé leurs mesures
historiques).
Modèle FitzHugh-Nagumo. Si les modèles du bord d'attaque sont intéressants en raison
de leur simplicité mathématique, il n'en demeure pas moins qu'il ne permettent pas de
décrire un potentiel d'action complet. Pour conserver toutes les caractéristiques qualitatives
du modèle HH, il faut au moins intégrer au modèle réduit un mécanisme lent permettant
le retour à zéro du courant de sodium et l'augmentation du courant de potassium.
Dans le modèle FitzHugh-Nagumo (FitzHugh 1961, Nagumo 1962), on considère que n4
et 1 ! h4 sont des fonctions comparables (voir la figure 1.B3.10c). De même, n et h ont des
temps de réponse comparables (voir la figure 1.B3.10b). On peut donc les remplacer par
une seule variable w. On obtient ainsi un système à deux variables et à deux équations
différentielles de premier ordre (trois si on tient compte de la propagation le long de
l'axone). Habituellement ces deux équations sont présentées sous la forme adimensionnée
suivante :
dv
 v  31 v 3  w
dt
dw
  (v  a  bw )
dt
(équation 1.B3.22)
où le temps est mesuré en unités de C/g0. On remarque que, dans le cas particulier où a
et b sont nuls, les équations du modèle FitzHugh-Nagumo se réduisent à celles de
l'oscillateur de Van der Pol, où le système possède un unique cycle limite stable, où la
trajectoire «saute» entre les deux branches d'un nullcline (voir l'appendice A) de forme
cubique, qu'elle longe lentement entre chaque saut, produisant ainsi une fonction v(t) à
deux échelles de temps, qualitativement très similaire à une série périodique de potentiels
d'action (Strogatz 1994, chap. 7).
Le modèle de FitzHugh-Nagumo reproduit de nombreuses propriétés typiques d'une
membrane excitable. Par exemple, si v est faiblement perturbé, la trajectoire reste dans le
bassin d'attraction d'un point fixe et on obtient donc un potentiel gradué. En revanche, il
existe un seuil d'excitation qui, s'il est excédé, fait bondir la trajectoire jusqu'à la branche
éloignée du nullcline v  0 . On obtient alors une trajectoire dans le plan de phase dont
la forme a peu à voir avec le stimulus initial.
En terminant, soulignons qu'il existe d'autres modèles permettant de représenter
qualitativement le fonctionnement d'un potentiel d'action avec seulement deux variables.
C'est le cas, notamment, du modèle Morris-Lecar (Morris 1981) qui est mathématiquement
un hybride entre le modèle HH (on y trouve trois termes correspondant à deux courants
ioniques et à un courant de fuite) et le modèle FitzHugh-Nagumo (on y trouve un nullcline
cubique, notamment).
1.B3.4 Réductions du modèle Hodgkin-Huxley
67
1.B3.5 Extension aux axones myélinisés des vertébrés
Jusqu'à présent, il a été question du modèle Hodgkin-Huxley qui a été développé à partir
de mesures réalisées sur des nerfs de calmar. Contrairement à ceux du calmar, nous
avons dit à la section 1.A que presque tous les axones de vertébrés sont majoritairement
recouverts d'intervalles de myéline, des structures semblables se retrouvant aussi chez
quelques invertébrés (Hartline 2008). De plus, contrairement aux axones géants de
calmars, la distribution des canaux NaV et KV dans un axone myélinisé n'est pas uniforme,
puisqu'ils sont presque absents hors des noeuds de Ranvier ; en fait, elle n'est même pas
uniforme dans un noeud de Ranvier, les canaux NaV étant concentrés au centre du noeud
et les KV, loin de part et d'autre (Rasband 2000 ; voir aussi Hille 2001, chap. 3). Enfin, rien
n'assure que ces canaux soient présents dans les mêmes proportions que chez le calmar
ou qu'il n'existe pas des canaux additionnels déterminants. Pour ces trois raisons, il est tout
à fait légitime de se demander si le modèle HH peut bel et bien être adapté à la description
de ces axones non uniformes et de quelle façon.
Tout d'abord, quelles que soient les propriétés de la membrane d'un axone myélinisé et sa
composition en canaux ioniques, on peut quand même appliquer l'approche de la figure
1.B3.16, où l'axone a été subdivisé en courts segments. La différence, cette fois-ci, est que
les segments ne peuvent pas être tous identiques, puisqu'ils se distinguent par leur
membrane et selon qu'il font partie du noeud de Ranvier, sans myéline, ou de l'internoeud,
recouvert de myéline. Le modèle géométrique obtenu est présenté à la figure 1.B3.17.
Figure 1.B3.17 Suivant la même approche que dans un axone non myélinisé, chaque portion myélinisée et
chaque noeud de Ranvier peuvent séparément être subdivisés en un nombre arbitraire de compartiments.
En général, la membrane de chaque compartiment peut contenir une distribution de canaux différente.
En nous guidant sur le modèle illustré à la figure 1.B3.17, nous allons maintenant nous
pencher sur les trois différences (la présence de myéline, la non uniformité de la
distribution des canaux et la possibilité de conductances potentiellement différentes) qui
pourraient remettre en question l'utilisation du modèle HH pour représenter un axone
myélinisé.
68
Chapitre 1 : Guide du débutant
L'effet de la myéline. Avec le modèle de la figure 1.B3.17, la question de l'applicabilité du
modèle HH ne dépend plus que de la composition des membranes de chaque
compartiment et devient entièrement indépendante de la présence ou non de myéline. En
effet, le modèle HH sert à décrire les courants traversant une membrane ; il ne suppose
aucune hypothèse sur la nature, la taille ou la forme des compartiments dont cette
membrane fait partie.
Quel est donc l'effet de la myéline ? Cette dernière a une épaisseur considérable pouvant
atteindre 2500 nm (Sanders 1948) et elle est faite d'un corps gras semblable à de l'huile
(voir section 1.A). Par conséquent, on peut la considérer comme un très bon isolant
électrique, ce qui a deux effets. Premièrement, le courant net qui traverse la membrane
vers le milieu extracellulaire dans les compartiments myélinisés est négligeable
comparativement à celui qui traverse dans les compartiments non myélinisés. Dans le
modèle HH, ceci équivaut à réduire toutes les conductances des compartiments myélinisés
par un facteur commun, qui n'affecte pas la validité du modèle et peut être aussi élevé que
souhaité ; en première approximation, nous supposons que ce facteur est infini et qu'aucun
courant ne traverse. (Ainsi, la composition des membranes dans les compartiments
myélinisés n'a plus aucune importance.)
Deuxième effet : considérant l'épaisseur de la myéline qui est 20 à 500 fois celle d'une
membrane, on s'attend aussi à ce que la couche de myéline diminue substantiellement la
capacité par unité de surface du compartiment (qui est donnée par C = A/L, donc est
inversement proportionnelle à l'épaisseur).
Les avantages de la myéline. Avant même de nous pencher sur la nature des courants qui
traversent la membrane aux noeuds de Ranvier, on peut souligner une première prédiction
importante : pour un même courant circulant entre deux compartiments adjacents, les
compartiments myélinisés vont se charger des centaines de fois plus vite que ceux sans
myéline. En effet, leur capacité est nettement plus faible, alors que la conductance  qui
les relie est la même, le diamètre interne de l'axone étant constant. Leur constante de
temps «RC» est donc d'autant plus faible que la myéline a diminué la capacité. Ainsi, un
des principaux effets de la myéline est de permettre à l'influx nerveux de voyager bien plus
vite. Dans un axone myélinisé, il faut faire croître le rayon pour obtenir le même résultat.
Mais un vertébré peut stocker des centaines d'axones côte à côte dans le même espace
que celui occupé par un seul axone de calmar. L'avantage évolutif de la myélinisation est
donc indéniable.
Plus précisément, la propagation de l'influx nerveux se fait à vitesse élevée seulement dans
les portions myélinisées, alors qu'elle conserve dans les noeuds de Ranvier la même
vitesse que dans un axone lisse du même rayon. En apparence, l'influx nerveux semble
donc bondir d'un noeud de Ranvier au suivant. Ce phénomène a conséquemment été
baptisé conduction saltatoire («par saut»).
Un autre avantage de la myéline, en plus de la vitesse de conduction et de l'économie
d'espace, est qu'elle empêche le courant transmembranaire de traverser là où elle est
présente. Cela signifie que les pompes Na/K n'ont besoin de retransporter les ions qu'aux
noeuds de Ranvier, ce qui représente une économie d'énergie considérable. Le rôle des
1.B3.5 Extension aux axones myélinisés des vertébrés
69
noeuds de Ranvier est donc d'injecter de la nouvelle énergie pour remplacer celle disparue
en pertes ohmiques entre deux noeuds de Ranvier (dans la puissance dissipée par ) afin
de soutenir le potentiel d'action.
Plus précisément, quand un noeud de Ranvier déclenche un potentiel d'action, le courant
initié dans la zone myélinisé doit être suffisant pour, malgré les pertes ohmiques, charger
la capacité de cette dernière, charger la capacité du noeud suivant et faire atteindre à ce
dernier la tension qui correspond au seuil d'excitation. Des noeuds de Ranvier trop distants
rendraient cela impossible, ce qui produirait un échec de propagation.
En somme, la conduction saltatoire ressemble qualitativement à la chute d'une file de
dominos : la chute de chaque domino convertit une quantité finie de l'énergie potentielle
en énergie cinétique ; si la distance entre ce domino et le suivant est suffisamment courte,
la collision transférera de l'énergie vers le domino suivant. S'ils sont trop distants, cela ne
suffira pas à causer la chute du domino suivant.
En pratique, l'évolution a favorisé des distances optimales entre les noeuds de Ranvier ;
l'échec de propagation est donc rare dans un neurone sain, ne pouvant se produire qu'à
des embranchements par exemple. Toutefois, nous verrons dans nos travaux de recherche
qu'il peut devenir chose courante dans un axone endommagé.
La distribution des canaux. Nous revenons maintenant à la question de l'applicabilité du
modèle HH en nous penchant sur la seconde question que nous avons soulevée : les
canaux ne sont pas distribués de façon uniforme dans un noeud de Ranvier. Dans un cas
où il s'agirait de la seule différence entre la membrane d'un axone myélinisé et celle d'un
axone géant de calmar, on peut facilement déduire que le modèle HH demeurerait
applicable. En effet, en supposant qu'on veuille utiliser plusieurs compartiments par noeud
max
de Ranvier, il suffirait d'augmenter la valeur maximale gNa au compartiment central et de
faire de même pour le potassium dans les compartiments périphériques du noeud de
Ranvier. Une autre possibilité serait d'utiliser un seul compartiment par noeud de Ranvier
et de supposer que le potentiel de membrane est relativement uniforme dans l'entièreté du
noeud malgré la non uniformité de la composition de son axolemme. C'est cette dernière
option que nous retiendrons au chapitre 3, où nous présentons la conception du modèle
numérique utilisé pour nos travaux de recherche.
Comparaison des conductances. Ce qui pourrait rendre l'application du modèle HH difficile,
cependant, serait l'ajout de conductances tensiodépendantes supplémentaires ou encore
des différences importantes dans la cinétique des conductances. Nous nous penchons
maintenant sur cette dernière question.
Diverses expériences ont permis de comparer, chez plusieurs espèces de vertébrés, les
conductances des membranes avec celles mesurées par Hodgkin et Huxley dans l'axone
géant de calmar. Frankenhaeuser, a réussi dans une série d'expériences à utiliser la
technique du voltage clamp sur des noeuds de Ranvier de neurones de grenouilles
(Frankenhaeuser 1958). Sa conclusion principale est que les courants de sodium et de
potassium dominent le phénomène du potentiel d'action dans ces axones myélinisés, tout
70
Chapitre 1 : Guide du débutant
comme ils le font dans les axones non myélinisés du calmar. Ces courants demeurent
similaires à ceux prédits par le modèle HH, bien qu'il existe des différences quantitatives.
Ensuite, Moore 1978 a utilisé un modèle similaire à celui illustré à la figure 1.B3.17, où
chaque intervalle de myéline était modélisé grâce à 10 compartiments et où les noeuds de
Ranvier étaient modélisés grâce aux équations du modèle HH, pour produire une
simulation numérique complète. Or, ce modèle a prédit à moins de 5% d'écart les vitesses
de propagation observées pour plusieurs ensembles de paramètres mesurés expérimentalement. Pour obtenir ce résultat, Moore a augmenté toutes les conductances du modèle
HH par un facteur 10 pour tenir compte de la forte concentration des canaux au noeud de
Ranvier.
Malgré ces succès chez certaines espèces, plusieurs expériences ont montré chez d'autres
vertébrés que le courant de potassium tensiodépendant était très faible. (Ceci pourrait
notamment être dû au fait que les canaux KV sont situés en périphérie du noeud de
Ranvier, là où la myéline commence déjà à recouvrir la membrane.) Chez le lapin, il a été
mesuré que la principale cause de la phase de repolarisation du potentiel d'action n'est pas
le potassium qui traverse des canaux KV mais plutôt une forte composante de potassium
dans les courants de fuites non tensiodépendants (Chiu 1979). Un résultat identique a par
la suite été obtenu dans une expérience portant sur des nerfs humains (Schwarz 1995).
Notons que ces articles ne reportent une différence notable qu'à propos du courant de
potassium ; le courant de sodium, lui, conserve un comportement analogue à celui observé
chez le calmar. Cette analogie découle sans doute du fait que les différents variantes
génétiques de canaux NaV, sur lesquelles nous reviendrons dans la section 1.C, ont toutes
des cinétiques et des courbes d'activation et d'inactivation relativement comparables (Hille
2001, chap. 3).
Quelles conséquences ont ces différences du point de vue de l'utilisation du modèle HH ?
Clairement, on peut s'attendre à ce que les similitudes des courants sodiques fassent en
sorte que la dynamique du bord d'attaque du potentiel d'action, dominée par le courant de
Na+, demeure essentiellement la même. Les différences de courant de potassium, elles,
peuvent entraîner des différences dans la durée du potentiel d'action ou dans la durée de
la phase réfractaire, mais ne changent pas de façon fondamentale le comportement de la
membrane.
En somme, les équations de Hodgkin et Huxley demeurent un excellent modèle pour
représenter la membrane des noeuds de Ranvier, dans la mesure où on ne s'attarde pas
aux détails quantitatifs de chaque potentiel d'action.
La littérature confirme cette conclusion. En effet, le modèle HH est largement utilisé pour
représenter des axones myélinisés, bien qu'on le trouve parfois sous une forme
modifiée. Par exemple, Schwarz (1995) a modélisé ses résultats sur des nerfs humains en
utilisant des paramètres différents et en ajoutant un second courant de potassium, dit
«lent». Il n'en demeure pas moins que la structure de son modèle est fondamentalement
celle du modèle HH et non celle d'un modèle original. En général, la littérature montre que
le modèle HH continue d'être utilisé avec succès pour représenter la propagation dans un
1.B3.5 Extension aux axones myélinisés des vertébrés
71
axone myélinisé (Ochab-Marcinek 2009, Li 2010, Boucher 2012, Hallermann 2012, Young
2013, etc. ; voir aussi Scott 2002, chap. 7).
Notons enfin une dernière nuance : chez les vertébrés, les mesures montrent que la
rectification est plus importante que celle des courants dans une membrane d'axone géant
de calmar. Plusieurs auteurs, dont Schwarz (1995), ont donc jugé bon de remplacer les
courant quasi-ohmiques par des courants GHK (voir l'appendice B) quand ils utilisaient le
modèle HH pour décrire un axone myélinisé (voir Hille 2001, chap. 14, pour de nombreuses
références à ce sujet). Néanmoins, la rectification mesurée demeure petite, de sorte que
l'équation 1.B2.4 demeure utilisable en première approximation, ce que nous ferons dans
nos travaux de recherche.
Guide de lecture 1.B
Nous terminons cette section avec quelques conseils de lecture pour le néophyte. Le
lecteur qui n'a aucune base en biologie bénéficierait de la base conceptuelle pouvant
d'abord être acquise dans un manuel introductif en biologie. Par exemple, dans Campbell
2007, il pourra lire sur les propriétés électriques des membranes (chap. 7) et rencontrer
une description qualitative mais succincte du mécanisme d'un potentiel d'action (chap. 48).
Une fois cette étape franchie, une lecture introductive plus axée sur les aspects physiques
ou mathématiques s'impose. De nombreux choix s'offrent alors au lecteur et la plupart
d'entre eux présenteront l'essentiel du contenu de notre section 1.B : Sterratt 2011 propose
une bonne présentation des propriétés des membranes, suivie de la meilleure introduction
expérimentale au modèle HH (laquelle a d'ailleurs inspiré la séquence du bloc 2 de notre
troisième sous-section) ; c'est aussi un ouvrage axé sur la modélisation visant des travaux
numériques comme les nôtres. Nelson 2008 est simple à lire et insiste sur la mécanique
moléculaire, mais est incomplet : s'il est le seul à aborder l'équilibre de Donnan, il est aussi
le seul à ne pas présenter entièrement les équations du modèle HH. Hille 2001, une source
axée surtout sur les canaux ioniques, est aussi très abordable, du moins dans sa première
partie.
Le lecteur plus avancé devrait aborder Scott 2002, où les modèles sont systématiquement
abordés avec les outils de la dynamique non linéaire. Il est recommandé d'être déjà familier
avec ces outils, à un niveau qui dépasse notre appendice A, avant d'aborder l'ouvrage de
Scott. (Sinon, Strogatz 1994 présente une excellente introduction à la dynamique non
linéaire).
Scott 2002 et Sterratt 2001 abordent tous deux des réductions du modèle HH, le premier
d'un point de vue dynamique et le second, d'un point de vue numérique.
La plupart des articles qui ont été cités dans cette section 1.B concernent un point de détail
ou ont été cités à des fins historiques ou dans le but d'accorder le mérite du travail à ses
auteurs. Par contre, certains d'entre eux méritent davantage une lecture. Le processus de
construction d'un modèle peut être abordé par la lecture de Hodgkin 1952e, Morris 1981
ou Schwarz 1995. De même, le lecteur intéressé par les techniques expérimentales peut
consulter Hamill 1981 qui présente les diverses variantes de la technique du patch clamp
72
Chapitre 1 : Guide du débutant
ou Laüger 1991, qui consacre un chapitre entier aux méthodes expérimentales permettant
d'étudier les pompes ioniques (dont plusieurs sont des méthodes polyvalentes permettant
aussi d'étudier des canaux ioniques). Les techniques expérimentales présentées dans
Hodgkin 1952a peuvent être consultées pour leur intérêt historique.
1.B3.5 Extension aux axones myélinisés des vertébrés
73
1.C) Biochimie des trois protéines fondamentales
Dans cette troisième section, nous profitons de ce qui a été présenté dans la section 1.B
pour approfondir la description des trois principales protéines qui jouent un rôle dans notre
modèle numérique, c'est-à-dire les pompes Na/K, les canaux tensiodépendants à K+ et les
canaux tensiodépendants à Na+. La pompe et les canaux font l'objet de deux sous-sections
séparées.
1.C1) Les pompes Na/K
Cette première sous-section porte sur les Na+,K+-ATPases, que nous rebaptisons plus
simplement «pompes Na/K». À la section 1.B, nous avons déjà présenté le rôle immédiat
de ces pompes, présentes dans la membrane plasmique de toute cellule animale, c'est-àdire de réguler le gradient de concentration des ions Na+ et K+. Ici, nous présentons son
fonctionnement moléculaire et élaborons ensuite sur ses effets (électriques) indirects.
1.C1.1 La structure des pompes Na/K
Dans la section 1.B, nous avons montré comment la simple mesure des concentrations
internes et externes de diverses espèces ioniques et l'observation que leur potentiel de
Nernst était très éloigné du potentiel de repos de la membrane cellulaire avait suffit à
conclure que toute cellule animale devait disposer d'un mécanisme lui permettant de se
maintenir ainsi très loin de l'équilibre. Plus particulièrement, c'est l'«anomalie du sodium»
et le déséquilibre du potassium qui sont les plus importants. Ils ont donc conduit à
l'hypothèse qu'il existait une pompe Na/K.
Peu de temps après qu'on ait ainsi postulé son existence, cet enzyme a été isolé dans les
années 1950 à partir de membranes de nerfs de pattes de crabe, homogénéisées et
centrifugées (Skou 1957). Ces travaux initiaux n'ont permis que de montrer que la pompe
Na/K est une ATPase (ie. elle hydrolyse de l'ATP) et que son activité enzymatique
augmentait sous l'effet de concentrations conjointes de Na+ et de K+. Toutefois, cet enzyme
a fait l'objet de très nombreuses expériences présentées dans une imposante monographie
sur les pompes ioniques (Läuger 1991) et dans plusieurs revues plus récentes (notamment
Scheiner-Bobis 2002, Rigoard 2009 et Toyoshima 2011, la seconde étant en français).
Nous allons maintenant donner un aperçu de ces travaux en esquissant la structure de la
pompe Na/K. Nous poursuivrons ensuite en abordant son fonctionnement. Évidemment,
notre intention n'est pas d'être exhaustif : l'objectif est d'introduire les aspects qui permettront ensuite de modéliser l'effet électrique des pompes dans un neurone.
Sous-unités. Comme nous l'avons évoqué dans la section 1.A, la pompe Na/K est une protéine ayant une structure quaternaire : faite de deux sous-unités protéiques essentielles
à son fonctionnement, α et β, elle comporte dans certains tissus biologiques une troisième
sous-unité non essentielle (appelée protéine FXYD) jouant un rôle de régulation. Les sites
actifs de la pompe sont tous localisés sur la sous-unité α, mais la sous-unité β est requise
pour que la protéine adopte correctement sa conformation et s'insère dans la membrane.
Chez l'humain, il existe quatre isoformes (ie. «variantes génétiques») de la sous-unité α,
trois de la sous-unité β et sept de la protéine FXYD ; de plus, la sous-unité β comporte de
nombreux groupements glucidiques. Ceci conduit à de nombreuses variantes de la pompe
74
Chapitre 1 : Guide du débutant
Na/K, qui diffèrent notamment par leurs affinités pour l'ATP ou pour les ions transportés.
La figure 1.C1.1 illustre, de trois façons, la structure des deux sous-unités principales.
Figure 1.C1.1 A) structure primaire des sous-unités α et β, respectivement à gauche et à droite ; la première,
surtout située dans le cytosol, a 8 portions transmembranaires alors que la seconde, surtout située hors de
la cellule, en a une seule. Le cercle rouge identifie le site de phosphorylation, alors que les deux rectangles
gris à sa droite identifient une partie des segments qui forment le site de liaison de l'ATP. B) structure tertiaire
des deux mêmes sous-unités, obtenues en faisant cristalliser les protéines figées dans leur conformation E2
par la liaison d'un inhibiteur (la ouabaine, identifiée OBN sur la figure) ; les ions K+ liés sont identifiés I et II
sur la figure et leur liaison est attribuée à un léger coude dans les hélices α, lequel expose des groupements
polaires du squelette polypeptidique. C) schéma montrant l'assemblage des sous-unités. Notez que les côtés
interne et externe sont inversés sur le panneau B) par rapport aux deux autres. (Figures adaptées
respectivement de Läuger 1991, Toyoshima 2011 et Rigoard 2009)
Caractéristiques structurales. Comme nous l'avons aussi évoqué dans la section 1.A, la
pompe Na/K possède plusieurs sites actifs :
• Site de liaison de l'ATP : on trouve, du côté cytosolique de la pompe, une poche
hydrophobe qui lui permet d'interagir avec les groupements adénine et ribose de l'ATP.
Ce site de liaison est formé d'acides aminés hydrophobes trouvées dans plusieurs
portions non consécutives du polypeptide, dont deux sont identifiées par des rectangles
gris sur le panneau A) de la figure ci-dessus.
• Site de phosphorylation : la pompe Na/K est une pompe de type P, ce qui signifie qu'un
des états intermédiaires de son cycle de fonctionnement est phosphorylé. On dit qu'une
protéine est phosphorylée quand le groupement phosphate libéré par l'hydrolyse de
l'ATP lui demeure liée de façon covalente au lieu d'être libéré dans le cytosol sous
forme d'ion. Ici, le site de phosphorylation est un acide aminé (aspartate), identifié P sur
le premier panneau de la figure et qui appartient à une séquence fortement conservée20
du polypeptide α.
• Sites de liaison ionique : la protéine comporte trois sites de liaison capables de lier et
d'ensuite piéger les ions Na+ ou K+ afin de les transporter d'un côté de la membrane à
l'autre. Les sites de liaison I et II, identifiés sur le panneau B) de la figure, peuvent lier
20
Ce terme signifie que cette séquence du polypeptide est présente chez toutes les pompes de type P malgré les nombreuses
variations introduites par l'évolution ailleurs dans le polypeptide.
1.C1.1 La structure des pompes Na/K
75
ces deux espèces ioniques, mais le site III ne peut lier que Na+. Cet aspect est le plus
important : la pompe peut lier trois ions sodium mais seulement deux ions potassium.
Les sites de liaison sont localisés à un endroit où des hélices α forment un léger coude.
Comme toutes les pompes de type P, la pompe Na/K possède deux conformations
principales, baptisées E1 et E2, pour lesquelles les sites de liaison ionique sont accessibles
respectivement depuis le cytosol et depuis le milieu extracellulaire. Les sites de liaison I et
II ont une meilleure affinité pour le Na+ dans la conformation E1 mais une meilleure affinité
pour le K+ dans la conformation E2. On peut représenter cette situation par une image
mentale simple (Gadsby 2009) où la pompe comporte une unique «cavité de liaison»,
localisée dans sa partie transmembranaire, à laquelle deux «portes», situées de part et
d'autre, donnent accès en alternance. Pendant le changement entre la conformation E1 et
la conformation E2, la protéine passe par un état intermédiaire où les ions sont piégés dans
la cavité (ie. les deux portes sont simultanément fermées).
La «cavité de liaison» n'occupe pas toute l'épaisseur de la membrane : du côté
extracellulaire, la protéine comporte un profond vestibule permettant aux ions d'accéder
à la cavité et au fond duquel se trouvent des chaînes latérales acides ne laissant passer
que les ions positifs. Ce profond vestibule a de l'importance pour la cinétique de la pompe :
en son absence, chaque ion de charge q transporté au travers de la membrane devrait
franchir une barrière d'énergie qV, où V est le potentiel de membrane. La largeur du
vestibule fait en sorte que le champ électrique qui y règne est plus faible que dans la
membrane, donc que la barrière qV est réduite (Reves 2006).
1.C1.2 Fonctionnement de la pompe Na/K
Pour pomper les ions Na+ vers l'extérieur de la cellule et K+ en sens inverse, la pompe Na/K
passe par une séquence cyclique de
changements de conformations dont
chacune est induite par la liaison des
ions, la liaison de l'ATP, la phosphorylation de la protéine ou les fluctuations thermiques. De nombreuses
expériences ont permis d'identifier
des états intermédiaires dans lesquels la pompe se trouve à un
moment ou un autre de son cycle
ainsi que de caractériser des transitions entre ces états. Assembler ces
«pièces de casse-tête» a permis de
construire un modèle du cycle, qui
porte le nom de schème de PostAlbers et selon lequel le cycle de
pompage comporte six étapes
(initialement Albers 1967, Post Figure 1.C1.2 La pompe Na/K expulse le Na+ et importe le K+
1972). Ces dernières sont sché- en un cycle de six étapes décrites dans le texte. Les sites de
liaison ionique I et II, situés dans la portion transmembranaire,
matisées à la figure 1.C1.2, où le sont illustrés en rouge. Les conformations E et E peuvent être
1
2
dessin de la pompe, bien que naïf, reconnues grâce à la couleur du milieu qui baigne ces sites.
76
Chapitre 1 : Guide du débutant
évoque relativement bien les caractéristiques géométriques de cette dernière.
Voici les six étapes de transition illustrées sur la figure :
• Au cours de l'étape 1, la présence d'ATP liée à la protéine stabilise la conformation de
cette dernière pendant que trois Na+ en provenance du cytosol rejoignent les trois sites
de liaison qui ont une forte affinité pour le Na+.
• La seconde étape est l'hydrolyse de l'ATP, qui phosphoryle la protéine. La phosphorylation cause un léger changement de conformation qui piège les ions (ie. les deux
portes de la cavité sont fermées). On spécifie cette occlusion des ions en utilisant les
parenthèses pour décrire l'état, soit (Na3)E1!P.
• À la troisième étape, les fluctuations thermiques provoquent le passage de la
conformation E1 à la conformation E2. Ce changement met les sites de liaison en
contact avec le milieu extracellulaire (ie. la porte extérieure de la cavité est ouverte) et
en modifie subtilement la géométrie21, de sorte qu'ils ont désormais beaucoup plus
d'affinité pour le K+ que pour le Na+. En conséquence, les Na+ sont libérés hors de la
cellule. (Cette libération suit une séquence, le site III étant libéré en premier, comme
le laisse entendre notre dessin sur la figure.)
• Ensuite, deux ions K+ en provenance du milieu extracellulaire se lient aux sites qui
viennent d'être libérés.
• On observe que la liaison du K+ provoque ou permet la déphosphorylation de la pompe,
ce qui constitue la cinquième étape. Cette libération du phosphate cause un léger
changement de conformation qui piège les ions (ie. les deux portes sont à nouveau
fermées).
• Enfin, la liaison d'ATP du côté cytosolique provoque le passage de la conformation E2
vers la conformation E1, ce qui met les sites de liaison en contact avec le cytosol (ie. la
porte interne est ouverte) et restitue leur affinité pour Na+. En conséquence, les deux
K+ sont libérés dans le cytosol.
Sur le plan énergétique, il est intéressant de souligner que l'apport d'énergie (par
l'hydrolyse de l'ATP) ne survient qu'à une seule des étapes du cycle, l'étape 2. Cela signifie
que le système dans l'état (Na3)E1!P doit contenir nettement plus d'énergie libre que dans
les autres états ; cette énergie stockée est ensuite libérée graduellement dans les autres
étapes du cycle, la majeure partie étant transférée aux ions qui sont pompés contre leur
gradient électrochimique.
Limites du schème de Post-Albers. Le schème de Post-Albers illustré à la figure 1.C1.2 est
corroboré par la grande majorité des observations expérimentales et explique le
fonctionnement normal de la pompe. Toutefois, il existe des situations non physiologiques
(par exemple, l'absence totale de Na+ ou de K+) où la pompe effectue des transitions qui
n'apparaissent pas sur cette figure (Plesner 1985a,b ; Sachs 1991 ; Glynn 2002 ;
Monti 2013 ; voir aussi Läuger 1991, chap. 8).
21
Läuger 1991 (chap. 2) suggère un mécanisme géométrique permettant d'expliquer le changement d'affinité des sites de liaison :
chaque site étant situé entre deux hélices α (voir le panneau B de la figure 1.C1.1), on attribue la liaison à des charges ou des
groupements polaires que portent ces deux hélices et qui ceinturent les ions liés ; lors du changement entre les conformations E1 et E2,
la rotation ou l'éloignement mutuel des deux hélices change la grosseur optimale de l'ion pouvant interagir avec ces groupements.
1.C1.2 Fonctionnement de la pompe Na/K
77
De plus, la pompe peut déroger de son fonctionnement normal en effectuant divers
gaspillages : laisser passer un ion dans le sens de son gradient électrochimique, permettre
la libération du phosphate lié sans jamais passer par la configuration E2 permettant le
pompage (ie. gaspillage d'un ATP), etc. Plusieurs de ces gaspillages impliquent des
conformations intermédiaires qui n'apparaissent pas sur la figure 1.C1.2 (Läuger 1991,
chap. 8).
Enfin, des études récentes indiquent que la liaison successive de chaque ion transporté
suit une séquence précise, chaque liaison introduisant un léger changement de
conformation ; ces conformations sont des intermédiaires entre celles illustrées
(Yaragatupalli 2009, Poulsen 2010, Gadsby 2012, Holmgren 2000).
1.C1.3 Les courants causés par la pompe Na/K
Maintenant que nous avons présenté la structure et le fonctionnement de la pompe Na/K,
nous pouvons nous attarder aux courants qu'elle produit. Trois aspects sont pertinents pour
nos travaux : 1) la pompe produit un courant de Na+ environ 1,5 fois plus grand que son
courant de K+. 2) ces courants ont un effet sur les propriétés de la membrane 3) ces
courants fluctuent dans le temps.
Ratio de couplage. Dans les conditions physiologiques normales, les sites de liaison dans
la conformation E1 doivent sélectionner les ions Na+ malgré la présence de nombreux
autres ions dans le cytosol, dont une concentration élevée de K+. De même, dans la
conformation E2, ils doivent sélectionner les ions K+ malgré la présence d'une forte
concentration de Na+. Il appert que la liaison du Na+ est nettement plus sélective que celle
des K+, auxquels peuvent se substituer avec une affinité comparable Rb+, Cs+, Li+, NH4+ et
même des ions organiques (Ratheal 2010).
Notre présentation de la structure de la pompe et de ses sites de liaison a montré qu'elle
a un rapport stoechiométrique de 3Na+/2K+ (voir notamment la figure 1.C1.2, où ces sites
sont illustrés). Toutefois, puisque la pompe peut «se tromper d'ions» ou effectuer des
transitions anormales entre deux états, il faut distinguer ce rapport stoechiométrique
(rapport du nombre de sites de liaison) et le ratio de couplage (rapport des courants de
Na+ et de K+ réellement mesurés).
Or, dans des conditions physiologiques, plusieurs expériences ont mesuré que le ratio de
couplage s'éloigne très peu du rapport 3/2 (Sen 1964 ; Cornelius 1990 ; voir aussi Läuger
1991, section 8.7), ce qui s'explique notamment par la quasi-absence des substituts du K+
dans le milieu extracellulaire. En somme, pour les fins de notre modélisation au chapitre 3,
on pourra considérer que, sous des conditions normales, pour chaque ATP consommé, la
pompe transporte trois ions Na+ de l'intérieur vers l'extérieur de la cellule alors que
seulement deux ions K+ sont transportés vers l'intérieur. C'est d'ailleurs ce que nous avons
fait en formulant l'équation 1.B2.8, c'est-à-dire JNa,pmp   32 JK,pmp .
Propriétés électrogènes de la pompe. Puisque qu'elle transporte un nombre inégal d'ions
dans les deux sens (qu'elle se trompe d'ions ou non), la pompe Na/K est électrogène,
c'est-à-dire qu'elle produit un courant électrique net au travers de la membrane. Ce courant
78
Chapitre 1 : Guide du débutant
a trois effets :
• Premièrement, il a un effet hyperpolarisant qui réduit (légèrement) le potentiel de repos
V0 du neurone.
• Deuxièmement, ce même effet hyperpolarisant augmente indirectement l'intensité
requise du stimulus permettant d'atteindre le seuil d'excitation.
• Troisièmement, les propriétés électrogènes de la pompe causent un effet sur la
cinétique de cette dernière : en effet, la charge qnette qui traverse la membrane à chaque
cycle doit pour ce faire franchir une barrière énergétique qnetteV (qui s'ajoute à la barrière
d'énergie libre due à la baisse d'entropie). Si cette barrière qnetteV croît, le cycle de la
figure 1.C1.2 (vu comme un tout) est défavorisé, ralentit et peut même s'inverser. On
s'attend donc à ce que le courant net (donc les deux composantes du courant
présentes dans l'équation 1.B2.8) dépendent de V. On mesure d'ailleurs qu'une tension
V  !200 mV inverse le courant le pompage. Une description détaillée de la cinétique
de la pompe doit donc tenir compte de V. Nous verrons toutefois que cet effet est
négligé dans notre modèle.
La pompe est une machine stochastique. Deux phénomènes peuvent conduire à des
fluctuations des courants de Na+ et de K+ dans le temps, malgré des conditions identiques.
La première correspond aux erreurs de sélectivité des sites de liaison, que nous venons
de décrire. Une autre source de fluctuations découle du fait que chaque étape de transition
illustrée à la figure 1.C1.2 peut aussi se produire en sens inverse, bien qu'avec une
probabilité plus faible. (En fait, dans des conditions non physiologiques où les gradients de
concentration sont tous inversés, la pompe peut effectuer le cycle complet à l'envers,
synthétisant de l'ATP grâce au passage de Na+ et de K+ qui suivent leurs sens normal de
diffusion22.)
Un cycle normal de la pompe n'est donc pas fait d'exactement six transitions mais a plutôt
l'allure d'une marche aléatoire biaisée dans le sens indiqué par les flèches sur la figure.
Ainsi, par exemple, la pompe peut osciller plusieurs fois entre les états (Na3)E1!P et E2!P
avant de finalement lier les deux ions K+ qui stabilisent la conformation E2. Il s'ensuit que
chaque cycle est différent des cycles précédents et a notamment une durée différente. En
d'autres termes, le courant électrique net produit par la pompe n'est pas constant dans le
temps.
Dans notre article de recherche présenté au chapitre 4, nous verrons que certaines de nos
simulations tiendront compte des fluctuations statistiques en introduisant une composante
de bruit.
1.C1.4 La cinétique de la pompe Na/K
Dans une perspective de modélisation, une question que nous devrons nous poser au
chapitre 3 est de savoir comment les courants JNa,pmp ou JK,pmp peuvent être calculés.
Jusqu'à présent, nous savons seulement avec quel ratio ces deux courants sont reliés. La
question qui demeure est donc de savoir combien de cycles complets par seconde une
22
Il ne faut pas confondre ce fonctionnement à rebours, dû à l'inversion des gradients de concentration, avec celui qui se produit
sous des concentrations normales quand V < !200 mV.
1.C1.4 La cinétique de la pompe Na/K
79
population de pompes Na/K effectue.
D'abord, présentons un ordre de grandeur : dans des conditions physiologiques, chaque
pompe Na/K transporte à peine quelques dizaines d'ions par seconde. Même dans des
conditions idéales (saturation d'ATP et d'ions transportés), une pompe Na/K n'excède pas
un taux de 200 ions/s. Comme nous le verrons à la sous-section 1.C2, ce taux est
extrêmement faible comparativement au débit des ions qui traverse un canal ionique
(106-107 ions/s). D'ailleurs, après le passage de quelques potentiels d'action, les pompes
mettent plusieurs secondes, bien plus longtemps que la durée des potentiels d'action, à
rétablir les concentrations initiales d'ions Na+ et K+.
Entre «quelques dizaines» et «200» ions/s en moyenne pour chaque pompe, quelle est
l'activité de la population de pompes dans des conditions données ? En général, elle
dépend à la fois des concentrations des substrats, du potentiel de membrane et des taux
de transition entre les états possibles de la pompe. Calculer le nombre moyen de cycles
par seconde effectués par les pompes implique donc de nous pencher sur la cinétique de
toutes les transitions illustrées à la figure 1.C1.2.
Läuger 1991 (section 8.5) présente avec soin une telle modélisation détaillée : il débute en
identifiant par une variable différente la proportion des pompes qui se trouvent à un temps
t dans chaque état. Ensuite, il établit les équations décrivant le taux de transition entre ces
états, un peu comme nous l'avons fait aux équations 1.A.2 à 1.A.4 : chaque taux de
transition est proportionnel à la proportion des pompes dans l'état de départ, de même qu'à
la concentration de la molécule liée au cours de la transition, s'il y a lieu (ATP, ADP,
groupement phosphate, ion transporté). Ensuite, Läuger établit que ces taux de transition
sont reliés entre eux puisque le processus est cyclique et que certaines étapes peuvent
être considérées comme à l'équilibre. Enfin, il présente des mesures permettant d'évaluer
les constantes de proportionnalité (constantes cinétiques) de chaque transition. Rappelons
aussi que nous avons établi plus haut que les transitions qui ont pour effet de déplacer de
la charge perpendiculairement à la membrane ont un taux qui doit dépendre du potentiel
de membrane V.
Une telle approche détaillée n'est pas viable dans une perspective de simulation numérique
comme celle de nos travaux de recherche : si on suppose qu'on intègre numériquement
les équations pendant 105 pas temporels, il ne faut pas que chacune de ces itérations
nécessite d'évaluer toutes ces transitions. Clairement, nous devons identifier les étapes les
plus déterminantes pour simplifier le modèle cinétique de la pompe. Heureusement, une
observation-clé nous permettra de faire cela au chapitre 3 : les mesures de constantes
cinétiques présentées par Läuger lui font conclure qu'en présence de conditions normales,
c'est-à-dire d'une abondance d'ATP et de gradients de concentration normaux pour Na+ et
K+, l'interaction des ions Na+ et K+ avec les sites de liaison sont les deux étapes les plus
limitantes pour la vitesse de la pompe (Läuger 1991, section 8.5.4)
1.C1.5 Un peu de vocabulaire expérimental
La construction du schème de Post-Albers ou l'étude structurale de la pompe Na/K
reposent sur des dizaines d'expériences distinctes que nous n'allons pas revoir ici. Par
contre, du vocabulaire de base sur ces techniques peut être requis au lecteur qui aborde
80
Chapitre 1 : Guide du débutant
la littérature correspondante pour la première fois. Voici quelques termes pertinents,
formant une liste qui est loin d'être exhaustive :
•
Une façon d'étudier la cinétique d'une transition consiste à mesurer son activité
transitoire en réponse à un changement brutal dans la concentration d'un réactif. Pour
effectuer de tels changements brutaux, on utilise des réactifs mis en cage «caged
reactives». Mettre en cage une molécule signifie lui ajouter un lourd groupement qui la
rend incapable de se lier aux sites actifs de la molécule étudiée. On utilise ensuite un
flash lumineux pour dissocier ces groupements, ce qui libère simultanément toutes les
molécules qui étaient mises en cage et provoque l'effet recherché, soit un gain très
rapide de concentration.
•
Comme le souligne la légende de la figure 1.C1.1, la ouabaine est un inhibiteur qui
permet de figer la pompe dans une de ses conformations. Ainsi, quand un article
rapporte qu'un courant ou une conductance est «oubain-sensitive», cela révèle que les
pompes Na/K sont impliquées d'une façon ou d'une autre. Plusieurs autres inhibiteurs,
moins fréquemment utilisés, entraînent l'utilisation d'un vocabulaire similaire.
•
Pour identifier au microscope des protéines comme la pompe Na/K, on utilise la
technique du marquage fluorescent (fluorescent labelling). Cette dernière consiste à
utiliser un pigment fluorescent, appelé fluorochrome, qui réagit en se liant de façon
covalente à un groupe fonctionnel de la protéine étudiée.
•
La comparaison de différents isoformes d'une protéine permet parfois d'identifier une
séquence d'acides aminés qui est toujours parfaitement la même. Une telle séquence
est dite hautement conservée par l'évolution. Il s'agit d'un indice révélant que cette
séquence est essentielle au bon fonctionnement de la protéine.
•
L'étude de la structure peut bénéficier de l'utilisation d'enzymes digestifs comme la
trypsine, qui clivent les polypeptides seulement à un faible nombre d'endroits.
1.C1.6 L'évolution et les rôles biologiques de la pompe Na/K
Nous terminons cette sous-section avec une ouverture sur l'origine des pompes Na/K dans
l'évolution et sur les nombreux rôles qu'elles jouent aujourd'hui.
Les pompes Na/K sont présentes dans toutes les cellules animales et non les seuls
neurones. Clairement, elles sont donc apparues au cours de l'évolution bien avant que ce
ne soit le cas des phénomènes nerveux. Pourquoi ?
En l'absence de pompes, les gradients de concentration s'estomperaient en bonne partie
et la membrane des cellules s'approcherait de l'équilibre de Donnan. Or, comme nous
l'avons calculé dans la section 1.B, toute cellule animale mourrait bien avant d'atteindre cet
équilibre, puisque la concentration ionique interne totale serait bien plus élevée que la
concentration ionique externe totale, causant un déséquilibre de pression osmotique qui
ferait éclater toute cellule.
Il est donc fort probable que les pompes ont initialement été favorisées par l'évolution afin
1.C1.6 L'évolution et les rôles biologiques de la pompe Na/K
81
de régler ce problème de déséquilibre de pression. Cela explique leur ubiquité dans les
cellules animales. (Les cellules végétales, elles, ont trouvé une autre solution au
déséquilibre de pression : s'entourer d'une paroi cellulosique rigide.) Selon cette
interprétation, le potentiel de repos que génèrent les pompes a donc la saveur d'un
accident ; il n'est pas leur raison-d'être.
Des rôles multiples. Même si la pompe Na/K ne servait initialement qu'à ce seul rôle,
l'évolution a graduellement fait émerger des fonctions de plus en plus nombreuses qui
dépendent des déséquilibres de concentrations que cette pompe produit. Le
fonctionnement de l'influx nerveux est évidemment l'un de ces rôles, mais l'alimentation de
processus de transport en est un autre : contrairement à la pompe Na/K, qui est alimentée
directement par de l'ATP, bien d'autres pompes tirent leur énergie à même le gradient de
concentration de Na+.
Pour comprendre physiquement en quoi un gradient de concentration peut alimenter
énergétiquement un processus quelconque, il faut faire appel à la mécanique statistique.
Puisque l'accumulation de potassium dans la cellule ou de sodium hors de la cellule
correspond à une diminution d'entropie S, comme nous l'avons dit à la section 1.B, alors
elle correspond aussi à une accumulation d'énergie libre. Cette accumulation d'énergie
libre peut théoriquement être utilisée pour alimenter n'importe quel procédé, pourvu qu'un
dispositif permette de l'utiliser. On peut donc dire que la membrane joue le rôle d'un
accumulateur ou d'une pile, que la pompe Na/K permet de maintenir constamment
chargée. Et comme les piles de notre quotidien, celle-ci peut être utilisée à bien des fins,
notamment le pompage d'autres ions.
Un exemple d'une pompe s'alimentant de cette façon est l'échangeur Na/Ca, dont le rôle
est de pomper les ions Ca++ vers l'extérieur de la cellule. Chaque fois qu'un ion Na+
traverse du côté où il est concentré vers celui où il l'est moins, de l'énergie libre est libérée.
Chaque fois qu'un Ca++ traverse vers le côté où il est le plus concentré, de l'énergie libre
est utilisée. L'échangeur Na/Ca effectue un cycle qui couple les deux procédés.
Comme nous le verrons au chapitre 3, un échec du pompage des ions Ca++ dans un
neurone est un problème grave qui active des enzymes catalytiques et aboutit à la mort
rapide de la cellule. Ainsi, les pompes Na/K sont désormais essentielles à la survie de
toutes les cellules animales et ce pour une multitude de raisons.
1.C2) Les canaux tensiodépendants
À la section 1.B, nous avons évoqué le rôle primordial des canaux NaV et des canaux KV
dans le mécanisme d'un potentiel d'action. Contrairement aux pompes, la découverte de
ce rôle des canaux a été laborieuse, plusieurs modèles concurrents ayant été proposés
pour expliquer l'origine des courants du modèle HH (Hille 2001, chap. 1-3), les canaux NaV
n'ayant été isolés qu'en 1981 (Hartshorne 1981). Dans cette sous-section, nous allons
d'abord présenter les éléments de structure qui permettent de qualifier une protéine de
«canal». Nous insisterons sur la structure des canaux NaV et KV. Ensuite, nous allons faire
le lien entre le fonctionnement des canaux et les caractéristiques du modèle HH. Enfin,
nous soulèverons quelques contradictions entre ce nouveau portrait moléculaire et le
modèle HH, qui concernent l'inactivation des canaux NaV. Comme toujours, nous
82
Chapitre 1 : Guide du débutant
soulignerons les aspects qui seront pertinents pour la lecture des chapitres 3 et 4. De plus,
à partir de cette section, nous respecterons l'usage moderne des termes «activation» et
«inactivation», en les utilisant pour décrire le comportement de canaux individuels et non,
comme à la section 1.B, celui des conductances globales.
1.C2.1 La structure des canaux tensiodépendants
Fondamentalement, un canal tensiodépendant doit comporter au moins trois parties
fonctionnelles : 1) un pore aqueux qui traverse la membrane et que les ions pourront
emprunter en diffusant de façon passive ; 2) un filtre de sélectivité qui favorise le passage
de certains ions seulement ; 3) au moins une porte, dont l'ouverture est contrôlée par un
«senseur de tension». Ces caractéristiques distinguent un canal d'une pompe, laquelle doit
comporter au moins deux portes qui ne sont jamais ouvertes simultanément (Gadsby
2009). De plus, le débit d'un canal ouvert n'est limité que par la capacité des ions de
diffuser dans l'étroit filtre de sélectivité, alors que le débit d'une pompe est limité par les
délais d'ouverture et de fermeture des portes en alternance.
Sous-unités. Les canaux KV sont des tétramères, c'est-à-dire que leur structure
quaternaire est formée de quatre sous-unités α identiques et de quatre sous-unités β, aussi
identiques. Il existe des dizaines d'isoformes de la sous-unité α, numérotés de KV1.1 à
KV13.3 (Ranjan 2013). Dans cette nomenclature introduite dans Chandy 1991, le premier
nombre indique la famille génétique et le second, l'ordre de la découverte. Ces isoformes
varient notamment par la cinétique de leur activation mais aussi par leur réponse à divers
traitements expérimentaux.
Les quatre sous-unités α identiques contiennent tout le nécessaire pour former un canal KV
fonctionnel (pore, filtre de sélectivité et senseur de tension) comme l'illustre la figure
1.C2.1 mais les sous-unités β, entièrement localisées du côté du cytosol, ont un effet
supplémentaire sur la cinétique du canal.
Figure 1.C2.1 Un canal KV est formé de quatre sous-unités α identiques, comportant six hélices α
transmembranaires numérotées de S1 à S6, illustrées ici de deux façons. Elles suffisent pour expliquer les
trois caractéristiques d'un canal : 1) Chacune emboîtée avec leur voisine, elles s'assemblent pour former un
pore entouré d'une large structure en forme de croix (panneau de gauche). 2) Elles comprennent chacune
un segment qui ferme partiellement ce pore et forme le filtre de sélectivité du côté extracellulaire (segment
en rouge). 3) Elles forment un senseur de tension grâce à leurs hélices S4, chargées positivement, qui
montent dans la membrane quand elle se dépolarise et déclenchent ainsi un changement de conformation
qui ouvre le pore ; la porte, située du côté cytosolique, a la forme d'un iris qui s'ouvre ou se ferme sous l'effet
du mouvement simultané des hélices α qui le compose. Quand il est ouvert, les ions s'écoulent en suivant
leur gradient électrochimique. Notez que les segments terminaux à chaque extrémité ont été raccourcis pour
ne pas surcharger la figure. (Figure d'après Long 2005 ; voir aussi Hille 2001, chap. 3)
1.C2.1 La structure des canaux tensiodépendants
83
Les canaux NaV, eux, sont formés chacun d'une seule sous-unité α, qui contient encore
une fois toute la fonctionnalité, et de deux sous-unités supplémentaires, β1 et β2.
Contrairement aux canaux KV, la variété des canaux NaV est nettement moins manifeste :
la sous-unité α présente seulement une douzaine d'isoformes, numérotés de NaV1.1 à
NaV3.1 (Ranjan 2013). De plus, les variations cinétiques entre ces isoformes sont
nettement moins importantes : alors que la constante de temps de l'activation d'un canal KV
peut varier d'un facteur 1000 selon l'isoforme, elle ne varie que d'un facteur 2 pour les NaV
(Hille 2001, chap. 3). Dans les noeuds de Ranvier des mammifères, on trouve
exclusivement l'isoforme NaV1.6.
Puisqu'ils ne sont pas des tétramères, on pourrait s'attendre à ce que la structure
tridimensionnelle des canaux NaV diffère fortement de celles des canaux KV, mais il n'en
est rien. En effet, comme le montre la figure 1.C2.2, l'unique sous-unité α des canaux NaV
comporte quatre répétitions internes dont chacune est fortement homologue à la sous-unité
α d'un canal KV. Le canal comporte donc quatre senseurs de tension, notamment. Une telle
structure a pu évoluer par l'insertion accidentelle, dans un même gène, de quatre copies
initialement identiques d'un même segment d'ADN. Un canal NaV est donc un pseudotétramère, qui comporte des segments fonctionnels analogues à ceux déjà décrits à la
figure 1.C2.1. Une fonctionnalité supplémentaire, l'inactivation, est assurée par un segment
situé entre deux des quatre répétitions. Ce segment comporte la séquence de trois acides
aminés IFM qui peut entrer dans le pore ouvert et s'y lier, le bloquant par le fait même.
Figure 1.C2.2 La sous-unité α d'un canal NaV comporte quatre répétitions internes, numérotés de I à IV, de
segments homologues à une des sous-unités α d'un canal KV. Entre les domaines III et IV se trouve un court
segment qui est capable de s'insérer dans le pore ouvert et de s'y lier de façon réversible, bloquant ainsi le
passage des ions Na+. Ce segment est donc la porte d'inactivation. Comme à la figure 1.C2.1, les quatre
segments en rouge forment le filtre de sélectivité et les quatre hélices identifiées avec ++++ sont les senseurs
de tension. (Figure d'après Yu 2003)
Précisions sur le filtre de sélectivité. Au minimum, un filtre de sélectivité agit en rétrécissant
l'ouverture du pore du canal, ce qui évite aux grosses molécules de passer et ne donne
accès qu'aux petits ions. De plus, le filtre est typiquement fait d'une portion de polypeptide
chargée ou polaire, ce qui repousse les ions dont la charge a le signe opposé à celle des
ions pouvant traverser. Toutefois, ces deux mécanismes ne sont pas suffisants pour
expliquer la grande qualité de la sélection. En particulier, dans des conditions comparables,
84
Chapitre 1 : Guide du débutant
les canaux KV ont une conductance aux 50 fois plus élevée aux ions K+ qu'aux ions Na+,
bien que l'ion Na+ soit de même signe et de plus petite taille.
Pour mieux comprendre le fonctionnement du
filtre de sélectivité, on peut examiner un canal à
potassium plus simple, qui n'est pas tensiodépendant. Ce canal, appelé KcsA, est tiré d'une
bactérie et comporte seulement deux hélices
transmembranaires, homologues aux hélices S5
et S6 des canaux KV. C'est le premier canal qui a
été cristallisé et dont la structure tertiaire a donc
pu être élucidée par cristallographie aux rayons X
(Doyle 1998). Comme le montre la figure 1.C2.3, Figure 1.C2.3 Les atomes d'oxygène (en rouge)
le filtre de sélectivité (en jaune) est tellement du filtre de sélectivité (en jaune) sont situés à une
étroit que les ions K+ (illustrés en vert) doivent se distance approprié pour interagir préférentieldébarrasser des molécules d'eau qui les lement avec un ion d'une taille précise. Les ions
plus petits ne peuvent donc traverser que
hydratent afin de pouvoir passer. Cela suppose moyennant un coût énergétique élevé entraîné par
un coût énergétique, que le filtre de sélectivité la perte des molécules d'eau qui les hydratent.
compense en présentant des atomes d'oxygène (Figure : Morais-Cabral 2001)
qui jouent le même rôle que ceux contenus dans
les molécules d'eau. Un ion plus petit que K+ ne peut traverser efficacement car il n'est pas
assez large pour interagir simultanément avec les atomes d'oxygène situés de part et d'autre.
Son coût énergétique pour traverser est donc plus grand.
Quant aux canaux NaV, ils peuvent eux aussi laisser passer une faible proportion d'ions K+.
La taille de leur pore n'est donc pas suffisante pour expliquer que les ions K+ les traversent
relativement peu comparativement aux Na+. Une étude récente (Xia 2013) a élucidé le rôle
de trois acides aminés particuliers dont les chaînes latérales favorisent énergétiquement
le passage des Na+ ; ils jouent donc un rôle analogue aux atomes d'oxygène de la
figure 1.C1.5.
1.C2.2 Une interprétation moléculaire du modèle HH
Lors de la formulation du modèle qui porte leur nom, Hodgkin et Huxley ignoraient tout de
l'existence de canaux tensiodépendants. Leur hypothèse de travail était que les ions
traversaient grâce à une sorte de navette ou de pompe (Hodgkin 1949). Le débit ionique
élevé, le fait que les ions traversent toujours passivement et enfin les structures
cristallographiques ont permis d'établir que les ions traversent la membrane en empruntant
des canaux qui comportent des pores transmembranaires gardés par une porte (Hille 2001,
chap 1-3). Cette séquence historique soulève une question évidente : quels liens peut-on
faire entre les équations du modèle HH et le fonctionnement des canaux tensiodépendants ? Nous allons répondre à cette question en discutant quelques aspects.
Tout d'abord, rappelons que le modèle HH prévoit que la conductance du potassium est
proportionnelle à n4 et celle du sodium, à m3h. Ces deux expressions peuvent être
interprétées comme un simple ajustement de courbe à une séries de données ; en ce sens,
le modèle HH serait un système d'équations empiriques qui permet de prédire les mesures
sans faire d'hypothèse sur les mécanismes moléculaires. Mais Hodgkin et Huxley, qui
1.C2.2 Une interprétation moléculaire du modèle HH
85
avaient en tête un faux mécanisme, baptisaient «particules d'activation» les variables m
et n. Peut-on aujourd'hui formuler une interprétation physique correcte de ces variables ?
Dans le cas du canal KV, le lien est évident : il y a quatre sous-unités α qui comportent chacune
un senseur de tension. Or, les quatre senseur de tension doivent être dans leur position
favorable pour que les ions K+ puissent traverser. En conséquence, si on considère que chaque
senseur de tension a une probabilité n de se trouver dans la position favorable, la probabilité
d'ouverture d'un canal individuel est donc n4. Selon cette interprétation, chaque «particule
d'activation» du modèle HH correspond au senseur de tension d'une des quatre sous-unités du
canal KV. Évidemment, cette correspondance a plus l'allure d'une coïncidence que celle d'une
prémonition ; d'ailleurs, Hodgkin et Huxley affirmaient eux-mêmes que l'ajustement des courbes
aux données expérimentales pouvait être encore meilleur si on utilisait un exposant plus élevé
que 4 (Hodgkin 1952e). De plus, l'interprétation que nous venons de faire suppose que les
quatre sous-unités du tétramère sont parfaitement indépendantes les unes des autres, ce qui
n'est pas le cas en réalité (voir par exemple Banerjee 2013).
La correspondance entre le facteur m3 et le fonctionnement d'un canal NaV est beaucoup
moins évidente, puisqu'il y a encore quatre senseurs de tension (voir notamment la figure
1.C2.2). La différence d'exposant peut être une conséquence d'une coopérativité
(interaction allostérique) plus grande que dans les canaux KV. Néanmoins, la présence d'un
exposant, quel qu'il soit, révèle quand même que
plusieurs étapes doivent se produire pour que le canal
s'ouvre. Rappelons que Hodgkin et Huxley avaient
prédit cette séquence en raison de la présence d'un
point d'inflexion dans les courbes de JNa(t) et de JK(t).
La question suivante qui se pose à propos de
l'interprétation moléculaire du modèle HH concerne les
courbes de conductance comme celles de la figure
1.B3.2 : si on suppose que m3h = 0,5 ou que n4 = 0,5,
cela signifie-t-il que les canaux sont à moitié ouverts ou
que la moitié des canaux sont ouverts ? La technique
du patch clamp permet de mesurer le courant qui
traverse un canal individuel (ou un petit nombre de
canaux) et favorise clairement le comportement «tout
ou rien» caractéristique de la seconde option. En
d'autres termes, un canal individuel est toujours soit
entièrement ouvert, soit entièrement fermé.
Nécessairement, la signification de m3h ou de n4 est
donc une moyenne sur une population de canaux.
La population de canaux étant soumise au même
stimulus (potentiel de membrane), il peut paraître
surprenant que certains canaux soient ouverts alors
que d'autres soient fermés : pourquoi le même stimulus
produit-il des résultats différents ? La figure 1.C2.4
répond à cette question en révélant que le
86
Figure 1.C2.4 Le comportement d'un
canal est stochastique : répéter un même
voltage clamp (haut) produit chaque fois
une réaction différente, mesurée grâce à
un patch clamp (centre). La moyenne sur
des dizaines de répétitions (bas) donne la
courbe continue de la figure 1.B3.2. Le
cas illustré est un canal KV. (Figure : Hille
2001, chap. 3)
Chapitre 1 : Guide du débutant
comportement d'un canal est stochastique. En effet, neuf répétitions du même stimulus
produisent neuf réponses différentes chez un même canal, qui fluctue entre les états ouvert
et fermé. Ce comportement stochastique s'explique par le fait que l'énergie requise pour
déplacer les senseurs de tension est du même ordre de grandeur que l'énergie thermique
des molécules environnantes. Malgré tout, la moyenne de 40 courbes (bas de la figure
1.C2.4) donne la courbe continue mesurée expérimentalement sur la population de canaux
(voir la figure 1.B3.2), ce qui montre bien que le changement de potentiel de membrane
agit sur la probabilité d'ouverture.
Dans certaines des simulations numériques dont les résultats font l'objet de l'article
présenté au chapitre 4, nous avons tenu compte des fluctuations causées par le
comportement stochastique des canaux en ajoutant un courant de bruit.
Charge du senseur de tension. Enfin, on peut relier la probabilité d'ouverture d'un canal
avec des éléments de sa structure. Il suffit d'appliquer la mécanique statistique à une
population de canaux KV ou NaV, suivant un raisonnement initialement présenté dans
Hodgkin 1952e, pour lequel nous donnons une version plus moderne (voir aussi Nelson
2008, chap. 12).
Tout d'abord, le ratio de canaux ouverts et fermés, à l'équilibre, est donné par :
Pouvert
 e G / kBT
Pfermé
(équation 1.C2.1)
où ΔG  ΔF est la différence d'énergie libre du système entre la population d'états ouverts
et celle d'états fermés. Puisque Pouvert + Pfermé = 1, on obtient de façon équivalente que :
Pouvert 
1
1 e
 G / kBT
(équation 1.C2.2)
Une connaissance précise de ΔG impliquerait de faire des hypothèses détaillées sur la
structure du canal. Ici, il nous suffit de faire l'hypothèse qu'une partie de ΔG est due au
mouvement de la charge q portée par le senseur de tension dans le champ électrique
E = V/d de la membrane (d'épaisseur d) et que le reste de ΔG est indépendant de ce champ.
On fait donc l'hypothèse que l'ouverture s'accompagne d'un changement d'énergie libre
G  G0  q
V
L
d
(équation 1.C2.3)
où ΔG0 où L est la distance parcourue perpendiculairement à la membrane par la charge q.
En substituant l'équation 1.C2.3 dans l'équation 1.C2.2, on obtient :
Pouvert 
1
1  Ae qVL / dkBT
1.C2.2 Une interprétation moléculaire du modèle HH
(équation 1.C2.4)
87
où A = exp(ΔG0). Évidemment, le modèle que nous venons de présenter est simpliste, en
particulier car il néglige le fait que la charge q se déplace en plusieurs étapes. Néanmoins,
on remarque que l'équation 1.C2.4 a une forme sigmoïde et que la valeur de q(L/d) peut
être extraite de la pente maximale de cette dernière, permettant de fixer une borne
inférieure à la valeur de q. Ce qui nous intéresse encore davantage est qu'une modification
de ΔG0 équivaut à une translation horizontale de V, sans modification de la forme de la
courbe Pouvert(V). Une telle translation correspond au décalage cinétique que nous allons
introduire au chapitre 3 et qui est le mécanisme au coeur de l'hypothèse générale guidant
les travaux de notre groupe de recherche.
1.C2.3 L'inactivation des NaV diffère des hypothèses du modèle HH
En un demi-siècle de mesures cinétiques, quelques résultats ont contredit les hypothèses
du modèle HH, sans affecter sa validité descriptive. Par exemple, plusieurs isoformes des
canaux KV sont capables eux aussi de s'inactiver, mais le délai d'inactivation est tellement
long qu'il n'a pas été observé par Hodgkin et Huxley. Nous allons ici insister sur deux
aspects qui sont pertinents pour aborder le chapitre 3 : d'abord, nous discuterons la
présence d'un couplage cinétique entre l'activation et l'inactivation des canaux NaV (alors
que le modèle HH considère ces deux processus comme indépendants et
tensiodépendants). Ensuite, nous exposerons que les canaux NaV sont capables d'occuper
une configuration où ils deviennent des canaux persistants, c'est-à-dire d'augmenter de
beaucoup le délai de leur inactivation.
L'inactivation est étroitement couplée à l'activation. Nous débutons d'abord par une critique
de l'hypothèse HH voulant que l'inactivation soit indépendante de l'activation. Notre
présentation suivra la séquence de celle faite par Hille 2001 (chap. 19).
La figure 1.C2.2 montre que l'activation des canaux NaV procède par un mécanisme
analogue à celle des canaux KV, le mouvement des hélices S4. Par contre, leur inactivation
dépend d'une portion de polypeptide que les NaV n'ont pas en commun avec les canaux
KV et qui peut boucher le pore. Les portes d'activation et d'inactivation des canaux NaV sont
donc bel et bien distinguables, comme le suppose le modèle HH. Cependant, ce modèle
fait aussi l'hypothèse que ces deux portes n'ont aucun lien entre elles et dépendent
chacune directement de V. C'est là que le bât blesse.
Aujourd'hui, on considère que l'inactivation doit attendre l'activation pour se produire et que
la désactivation doit largement attendre la récupération de l'inactivation pour se produire.
Selon l'isoforme, l'inactivation d'un canal ouvert peut être un processus entièrement
indépendant de V ; il ne semble alors dépendre de V que parce qu'il attend l'ouverture du
canal pour se produire et que cette dernière, elle, dépend de V. Dans d'autres cas,
l'inactivation dépend aussi de V, bien qu'elle soit surtout couplée à l'activation.
Un premier signe de ce lien entre l'activation et l'inactivation a été obtenu en mesurant le
courant dû au mouvement de la charge des senseurs de tension (Armstrong 1977). Pour
faire une telle mesure, on effectue un premier voltage clamp qui fait passer le potentiel de
membrane de V0 à une valeur dépolarisée, suivi d'un second saut provoquant un retour à
V0. Quand l'activation et la désactivation se suivent dans un très faible intervalle de temps,
on mesure que la charge déplacée vers l'extérieur de la membrane pendant l'activation est
88
Chapitre 1 : Guide du débutant
égale à la charge déplacée vers l'intérieur pendant la désactivation. Par contre, quand
l'activation dure suffisamment longtemps pour que de l'inactivation puisse se produire,
moins de charge se déplace lors de la désactivation ; en d'autres termes, cette dernière
semble partiellement empêchée. La proportion de charge immobilisée croît avec la durée
d'activation et le fait avec une constante de temps identique à la variable h du modèle HH.
En somme, l'inactivation immobilise une partie de la charge des senseurs de tension
responsables de l'activation et de la désactivation.
Cette découverte de Armstrong et Bezanilla montre que la désactivation ne peut pas (ou
difficilement) se produire normalement sans que la récupération de l'inactivation ait d'abord
eu lieu. En conclusion de leur article, ces auteurs construisent un modèle montrant que la
dépendance h4(V) présentée dans le modèle HH n'est qu'apparence, les mesures de
Hodgkin et Huxley pouvant être expliquées par une inactivation rapide et indépendante
de V, seule l'activation étant réellement dépendante de V d'une façon intrinsèque. Ce
modèle semble fonctionner parfaitement pour certains isoformes NaV, alors que d'autres
ont une inactivation qui, bien que fortement dépendante de l'activation, dépend aussi de V.
Plusieurs variantes du modèle de Armstrong et Bezanilla sont aujourd'hui en usage (Hille
2001). Certaines permettent, ou non, à l'inactivation de se produire sur un canal qui n'est
pas préalablement activé. Tous favorisent l'inactivation des canaux qui sont d'abord
activés ; on dit alors qu'ils sont des modèles couplés.
Ces idées sont aussi corroborées par notre connaissance actuelle de la structure des
canaux NaV : comme le montre la figure 1.C2.2, les charges portées par les hélices S4
expliquent facilement que leur mouvement, qui entraîne l'activation, dépende de V. Par
contre, la boucle du polypeptide située entre les domaines III et IV, qui est responsable de
l'inactivation, ne porte aucune charge nette et ne peut donc pas dépendre directement de V
comme le supposait le modèle HH.
Les courants persistants. Qu'il soit activé, désactivé ou inactivé, tout canal tensiodépendant
peut en tout temps commuter entre un mode «actif», où l'activation et l'inactivation sont
rapides, et un mode «relaxé», où ces mêmes procédés deviennent très lents (Taddese
2002, Villalba-Galea 2008 ; voir aussi Morris 2012a). Cette commutation est indépendante
du potentiel de membrane. En raison de la plus grande stabilité du mode relaxé, c'est
probablement ce dernier qui est observé dans les structures cristallines que nous avons
présentées.
Lors d'un saut de voltage clamp, les canaux en mode relaxé ne s'activent pas comme ceux
en mode rapide, ce qui ne change rien sur les courbes JNa(t). En revanche, les canaux
activés (ouverts) qui sont en mode relaxés ne s'inactivent que très lentement, ce qui laisse
cette fois une trace sur les courbes JNa(t) obtenues par voltage clamp. Ces dernières ne
retournent pas parfaitement à zéro, mais tendent plutôt vers une valeur non nulle de JNa
qu'on appelle courant persistant. (On rencontre aussi les termes non-inactivating ou slowinactivating dans la littérature.)
Il faut soulever que ce courant persistant ne doit pas être confondu avec le courant de
fenêtre, qui est une autre composante de JNa qui ne relaxe pas vers zéro (bien que le
courant de fenêtre à V = V0 soit infime dans des conditions normales, voir la figure
1.C2.3 L'inactivation des NaV diffère des hypothèses du modèle HH
89
1.B3.11). En particulier, nous verrons au chapitre 3 que les dommages apportés à une
membrane cellulaire qui contient des canaux NaV a pour effet d'augmenter
significativement le courant de fenêtre et de produire un influx durable de sodium. Pour
éviter toute confusion, nous ne qualifierons jamais ce dernier de «persistant».
Ironiquement, Hodgkin et Huxley ont ignoré le phénomène du courant sodique persistant
alors qu'il est particulièrement présent dans les membranes d'axones géants de calmar. En
conséquence, leur modèle de JNa, illustré à la figure 1.B3.8, où l'inactivation fait décroître le
courant JNa vers zéro, n'est pas adéquat si on veut tenir compte des courants persistants. Or,
il a été démontré qu'en tenir compte est nécessaire pour comprendre certains phénomènes,
notamment les neurones «pace-maker» qui déchargent à une fréquence de résonance fixe
(Taddese & Bean 2002). Certains modèles numériques choisissent donc d'ajouter un «terme
persistant» au modèle HH (notamment Volman 2013, dont les travaux ont des points
communs avec les nôtres), ce que nous ne ferons cependant pas dans nos travaux, puisque
nous modélisons des neurones qui, s'ils sont sains, demeurent au repos en l'absence de
stimulus. De plus, Morris 2012a démontre que le courant dû aux canaux en mode rapide
domine largement en présence de dommage aux membranes.
En terminant, apportons une précision essentielle : bien que les hypothèses du modèle HH
aient été partiellement contredites par les expériences que nous venons de revoir, ce
modèle représente quand même correctement les données dans un neurone normal qui
demeure au repos en l'absence de stimulus. Il peut donc être utilisé pour des simulations,
ce que nous ferons d'ailleurs dans notre article de recherche (chapitre 4). La seule
conséquence réelle des discordances avec le modèle HH que nous venons de présenter
est que la courbe h4(V) tirée du modèle HH ne doit pas être interprétée comme un
mécanisme physique réel.
1.C2.4 Quelques techniques expérimentales
Comme dans le cas des pompes Na/K, l'étude de la cinétique des canaux repose sur des
dizaines d'expériences distinctes que nous n'allons pas revoir ici. Par contre, du
vocabulaire de base sur ces techniques peut être requis au lecteur qui prévoit entreprendre
une revue de littérature pour la première fois. Nous présentons donc à nouveau une liste
de quelques termes pertinents, en plus de ceux déjà utilisés ci-dessus, qui ne prétend pas
être exhaustive :
•
Comme dans le cas des pompes Na/K, on peut étudier les canaux à l'aide d'inhibiteurs
qui les bloquent de façon réversibles. Le tétraéthylammonium (TEA) inhibe bien des
isoformes des canaux KV alors que la tétrodotoxine (TTX) fait de même pour les NaV.
Ainsi, quand un article rapporte qu'un courant ou une conductance est «TTX-sensitive»,
cela révèle que les canaux NaV sont impliqués d'une façon ou d'une autre.
•
Les techniques de marquage présentées dans le contexte des pompes Na/K s'appliquent
aussi dans le cas des canaux. Il en va de même du clivage dû à un enzyme.
•
La nomenclature des canaux a évolué et certains utilisent encore des noms historiques.
Par exemple, les canaux de la famille KV1 sont encore appelés shaker channels (une
référence aux tremblements des drosophiles où elles ont été identifiées).
90
Chapitre 1 : Guide du débutant
1.C2.5 L'évolution et les fonctions des canaux
Comme dans le cas des pompes Na/K, l'origine des canaux peut raisonnablement être
attribuée à des procédés d'ajustements osmotiques destinés à éviter l'éclatement des
cellules. Bien que tous les canaux font partie de familles génétiques dont l'origine peut être
retracée jusqu'aux bactéries, l'évolution a accordé des rôles à ces canaux surtout dans le
règne animal. Ces rôles ne se limitent pas au fonctionnement de l'influx nerveux.
Un rôle fondamental joué par les canaux est la gestion des ions Ca++, un ion qui sert
souvent de messager. Dans les cellules musculaires, la libération de calcium dans le
cytoplasme déclenche le mécanisme de contraction ; dans les boutons terminaux des
neurones, cette même libération déclenche la libération de neurotransmetteurs hors de la
cellule ; sous la membrane plasmique, la présence localisée de ces mêmes ions signale
à des enzymes qu'il faut détruire le cytosquelette afin de permettre un remodelage de la
forme de la cellule. Et ce ne sont que quelques exemples. Dans tous les cas, la libération
de calcium dans le cytoplasme est permise par l'ouverture de canaux CaV. Apparemment,
l'évolution de tous les canaux s'est produite en coordination avec celle des mécanismes
activés par la présence d'ions Ca++. Ils jouent donc aujourd'hui un rôle clé dans de très
nombreux processus cellulaires.
Guide de lecture 1.C
Comme dans le cas des deux sections précédentes, nous terminons avec quelques
conseils de lecture pour le néophyte. Cette fois, nous nous limiterons à deux manuels : tout
d'abord, Hille 2001 est une référence incontournable et mondialement reconnue au sujet
des canaux ioniques. Il couvre autant les aspects historiques qu'il survole les techniques
expérimentales. De même, Laüger 1991 est une référence de grande qualité, bien que
vieillissante, au sujet des pompes. Chacun de ces deux manuels est écrit par un
biophysicien et vise un public multidisciplinaire.
Certes, de nombreux articles ont été cités dans cette section 1.C et ils ne sont pas
dépourvus de mérite. Par contre, leur lecture ne saurait être entreprise sans le portrait plus
large obtenu en lisant Hille ou Laüger. Malheureusement, l'âge de ces deux manuels
requiert à l'occasion de vérifier l'état plus récent des connaissances. À cette fin, nous
recommandons notamment les articles issus du groupe de David C. Gadsby pour les
pompes et ceux issus du groupe de William A. Catterall pour les canaux tensiodépendants
(ceux que nous avons cité, tout comme les autres). Tous deux sont des chefs de file dans
leurs sujets respectifs.
1.C2.5 L'évolution et les fonctions des canaux
91
1.D) Survol des notions d'encodage neuronal
Les méthodes expérimentales présentées à la figure 1.B1.3 peuvent être adaptées pour
enregistrer in vivo la réaction d'un neurone à un stimulus réel : on n'utilise alors pas
d'électrode intracellulaires, mais une électrode extracellulaire qui ne détecte que les
échanges ioniques correspondant à un potentiel d'action dans un axone situé à proximité.
Avec de telles techniques, on s'aperçoit que tous les neurones, qu'ils fassent partie du
système nerveux périphérique ou du système nerveux central, encodent de l'information
sous la forme d'un train de potentiels d'actions, souvent indifféremment appelé train
d'impulsions. Chaque potentiel d'action étant considéré comme identique aux autres, un
train d'impulsion peut se réduire à une liste de temps, ceux où surviennent les maximums
de chacun des potentiels d'action.
Pour «traduire» un stimulus, qui dépend ou non du temps, en un train d'impulsions, le
neurone utilise un schème d'encodage. Selon qu'il s'agit d'un neurone sensitif, moteur ou
selon la partie du système nerveux central à laquelle il appartient, le schème d'encodage
utilisé n'est pas le même et plusieurs schèmes peuvent être utilisés simultanément (Dayan
2001, chap. 1-2).
Bien que l'encodage neuronal ne soit pas un des sujets centraux de nos travaux de
recherche, il en occupe la périphérie : les travaux que nous présenterons dans l'article du
chapitre 4 montrerons que la présence d'une zone endommagée le long d'un axone a pour
effet de modifier le train d'impulsion qui atteint la fin de l'axone, par exemple en retardant
des potentiels d'action ou en insérant des potentiels d'action supplémentaires. Nos travaux
ne sauraient décrire de telles modifications sans mettre en relief leurs conséquences, ce
qui nécessite d'interpréter ces modifications à la lumière de différents schèmes
d'encodage. Nous allons donc aborder brièvement les principaux schèmes en question. Il
faut aussi souligner que la question de l'importance relative des différents schèmes est
toujours un sujet de rude controverse en neuroscience.
1.D.1 L'encodage fréquentiel
L'expérience montre que les fibres musculaires se contractent d'autant plus fortement que
le neurone moteur qui les stimule transmet un grand nombre de potentiels d'action par
unité de temps. De façon similaire, on sait depuis longtemps (Adrian 1926) que la majorité
des systèmes sensitifs ont une fréquence de décharge d'autant plus élevée que le stimulus
perçu est intense (la relation exacte étant non linéaire). Dans les deux cas, les cellules
postsynaptiques ne sont pas sensibles aux temps exacts auxquels surviennent les
potentiels d'action, mais seulement au nombre total reçu pendant la durée de l'expérience.
Des résultats similaires sont aussi obtenus pour des interneurones qui font partie du cortex
cervical : dans le cortex auditif, certains neurones émettent des potentiels d'action à une
fréquence qui est maximale quand on utilise un stimulus auditif qui contient un ton pur
d'une certaine hauteur ; leur activité décroît quand la hauteur du son change. De même,
certains neurones du cortex visuel répondent en déchargeant à une fréquence maximale
quand un stimulus visuel particulier est utilisé, par exemple des bandes lumineuses
parallèles d'une certaine largeur ou d'une certaine orientation ; leur activité décroît quand
92
Chapitre 1 : Guide du débutant
la largeur ou l'orientation du stimulus visuel change (Dayan 2001, chap. 1).
Dans de telles expériences, on évalue typiquement un taux de décharge moyen rmoy en
comptant le nombre total d'impulsions et en divisant par la durée de l'exposition au
stimulus, typiquement de l'ordre de 100 à 500 ms. Il va de soi que le stimulus doit
demeurer constant pour toute cette période. Malgré tout, on observe que chaque neurone
présente une variabilité : sa réponse à un même stimulus n'est pas la même à chaque fois.
On répète donc l'expérience un grand nombre de fois et on considère la moyenne des
résultats.
Quand le stimulus varie en fonction du temps, le taux de décharge des neurones stimulés
varie aussi en fonction du temps. Par conséquent, utiliser le taux de décharge moyen n'est
pas pertinent et on utilise plutôt un taux de décharge dépendant du temps, r(t). Il existe
plusieurs façons de mesurer ce taux, la plus simple étant de séparer la durée de
l'expérience en intervalles de temps Δt puis de diviser, dans chaque intervalle, le nombre
d'impulsions par Δt (Dayan 2001, chap. 1).
Les résultats de ces expériences suggèrent que les neurones encodent la majorité de
l'information dans un encodage fréquentiel et ignorent complètement ou presque
complètement le temps exact où survient chaque impulsion. L'approche classique est de
considérer que c'est le cas de tous les neurones, une hypothèse qui a permis d'obtenir de
nombreux résultats en théorie des réseaux neuronaux, ce qui montre sa relativement
bonne validité. Dans la perspective de l'encodage fréquentiel, les conséquences les plus
fâcheuses des modifications introduites par la zone endommagée d'un axone seraient les
impulsions supplémentaires.
Notons que les neurones qui utilisent exclusivement l'encodage fréquentiel peuvent être
considérées comme inefficaces : ils gaspillent une partie importante de l'information que
peut potentiellement contenir un train d'impulsion. Par contre, cette perte n'est pas sans
un avantage : en ignorant toutes les informations autres que le nombre d'impulsions, ces
neurones ignorent aussi l'effet de la variabilité des neurones.
1.D.2 L'encodage temporel
Malgré l'importance indubitable de l'encodage fréquentiel, plusieurs expériences montrent
que des neurones interprètent aussi certaines des informations ignorées par l'approche de
l'encodage fréquentiel (Stein 2005 ; Butts 2007). En outre, les neurones peuvent détecter
avec une résolution de l'ordre du milliseconde des événements comme la synchronisation
de potentiels d'action arrivant de deux neurones présynaptiques, le délai qui sépare le
début du stimulus de l'émission du premier potentiel d'action ou l'intervalle entre des
impulsions consécutives, voire reconnaître un pattern spécifique de potentiels d'action. On
dit que ces neurones capables d'interpréter des informations ignorées dans le code
fréquentiel utilisent des encodages temporels. Dans un tel encodage, un axone
endommagé qui n'ajouterait aucun potentiel d'action supplémentaire mais décalerait dans
le temps ceux qui sont propagés aurait des conséquences non moins fâcheuses que si des
impulsions avaient été ajoutées. Notons que le décalage intégral d'un train d'impulsion par
un délai constant, même s'il ne change pas du tout le taux de décharge, peut avoir un effet
sur la détection de synchronisations entre le neurone endommagé et un autre neurone.
1.D.2 L'encodage temporel
93
1.D.3 L'encodage de population
On pourrait argumenter que l'obtention de r(t) représente mal la réaction d'un neurone,
notamment parce que faire la moyenne sur un grand nombre d'essais peut introduire des
variations temporelles plus rapides que celles que peut produire un neurone individuel. Par
contre, la détermination de r(t) gagne un sens physique si on change d'interprétation : au
lieu de la réponse d'un même neurone à plusieurs essais, on suppose qu'un grand nombre
de neurones sont simultanément exposés au même stimulus et que chacun produit
indépendamment23 des autres une réponse qui ne diffère qu'en raison du bruit introduit par
la variabilité des neurones. La fonction r(t) représente alors la réponse moyenne de la
population neuronale et on dit que le groupe de neurones en question encode l'information
en utilisant un encodage de population.
Le point faible de cet encodage est que l'information ne peut être retrouvée qu'en
interprétant l'activité de toute une population de neurones. En revanche, cet encodage
présente deux avantages importants : premièrement, tous les effets de la variabilité des
neurones individuels sont éliminés quand on considère la moyenne dans une population.
C'est sans doute pourquoi un encodage de population est utilisé pour enregistrer des
informations continues, comme la fréquence sonore, avec une précision qui est nettement
supérieure à ce que permettrait un neurone individuel, considérant la variabilité de ce
dernier. Deuxième avantage : l'encodage de population présente la possibilité d'une
réponse rapide, alors que la réponse d'un neurone individuel est limitée par la durée de
l'intervalle entre ses impulsions consécutives.
Dans le contexte de nos travaux, l'effet que le dommage neuronal aurait sur un code de
population dépendrait de la quantité de neurones qui sont endommagés dans la population
et de la gravité des dommages. Si une minorité de la population est touchée, l'usage d'un
code de population aurait pour effet d'atténuer les effets du dommage. En revanche, si tous
les neurones sont endommagés en des endroits comparables le long de leur axone,
comme ça serait le cas si un nerf était touché (tous les axones qu'il contient seraient
endommagés presque au même point le long du nerf), alors les modifications affectant le
code de population seraient sans doute comparables à celles que subiraient les trains
d'impulsions transmis par les neurones individuels.
En terminant, soulignons que, dans une population de neurones, on rencontre
fréquemment des individus qui déchargent de façon synchronisées ou encore des
oscillations dans les taux de décharge des neurones de la population. Si l'interprétation du
code repose sur la détection de coïncidences, il est donc possible que l'impact des
modifications causées par un axone endommagé soit plus important.
1.D.4 Application à nos travaux de recherche
Le neurone qui est représenté dans notre modèle numérique est générique : moyennant
des modifications d'échelle, les résultats qu'il a produit pourraient s'appliquer tant aux
neurones sensitifs qu'aux neurones moteurs ou aux interneurones. Il n'y a donc pas une
combinaison unique de schèmes d'encodage qui soit appropriée. Pour cette raison, nous
23
94
Selon Dayan 2001, cette indépendance de la réaction des neurones d'une population demeure cependant controversée.
Chapitre 1 : Guide du débutant
avons choisi de caractériser les modifications induites par la zone endommagée d'un axone
en tenant compte à la fois des ajouts et des décalages temporels d'impulsions : comme
nous le verrons lors de la présentation de nos résultats, l'altération des trains d'impulsions
a été mesurée avec une métrique, celle de Victor et Purpura (1996), qui tient compte à la
fois de l'ajout d'impulsions supplémentaires et des différences de chronométrage de
chaque impulsion.
Ce survol de l'encodage neuronal met maintenant fin à notre chapitre adressé au débutant
dans ce domaine de recherche. Le lecteur dispose maintenant de tout le bagage requis
pour comprendre la construction de notre modèle numérique, présentée au chapitre 3 avec
notre revue de littérature, ou pour passer directement à l'article de recherche, présenté au
chapitre 4. S'il en ressent le besoin, le lecteur débutant peut aussi lire le chapitre 2, un
article pédagogique portant spécifiquement sur les erreurs conceptuelles fréquentes que
rencontrent ceux qui abordent pour la première fois le modèle Hodgkin-Huxley.
1.D.4 Application à nos travaux de recherche
95
Cette page est intentionnellement blanche.
96
Chapitre 1 : Guide du débutant
Chapitre 2 : Article pédagogique
Présentation
Ce second chapitre fait suite au chapitre 1 en ce sens qu'il intéressera davantage le lecteur
qui débute tout juste dans le domaine. Il est composé d'un article, rédigé en anglais, qui
a été soumis en juillet 2013 (et resoumis avec révisions mineures en octobre 2013) à
American Journal of Physics pour un numéro spécial prévu au printemps 2014 portant sur
«l'intersection entre la physique et la biologie». Bien qu'il s'agisse d'une revue avec comité
de lecture, American Journal of Physics a avant tout une vocation pédagogique.
L'objet de l'article est de confronter six conceptions erronées fréquemment développées
par les étudiants qui apprennent le fonctionnement du potentiel d'action. Comme de ces
erreurs conceptuelles peuvent aussi se manifester chez le lecteur qui aborde le modèle
Hodgkin-Huxley pour la première fois, en faire une lecture est donc approprié pour celui-là.
De plus, l'article entend remplacer les conceptions erronées par une vision plus
physiquement réaliste à l'aide de deux projets numériques qui sont présentés. Bien qu'ils
soient rudimentaires, il ne manqueront pas d'intéresser le lecteur qui débute dans le
domaine et prévoit entreprendre de la modélisation numérique.
Notons que la première partie de l'article reprend d'une façon succincte une partie du
contenu de la section 1.B du chapitre précédent.
Simulations disproving misconceptions about action potentials
97
Cette page est intentionnellement blanche.
98
Chapitre 2 : Article pédagogique
Two computational models disprove common misconceptions about the
physics of action potentials
Mathieu Lachance
Département de physique, Cégep de l'Outaouais, Gatineau J8T 7J4, Québec
and Institut de physique Ottawa-Carleton, Université d'Ottawa, Ottawa K1N 6N5, Canada
Action potentials (APs) are nonlinear electrical phenomena involving the propagation of a
wave of excitation along axons, followed by a refractory tail. Introductory biology material
induces, often explicitly, three conceptual mistakes about the physics of APs: A) recovery of
the membrane potential from the refractory phase of the AP is misattributed to Na/K pumps,
potassium currents or other inaccurate causes; B) currents involved during an AP are seen
as massive, all or most of Na+ ions rushing in the cell during the rising phase of each AP;
C) intracellular and extracellular compartments are seen as charged in most of their volume.
This article serves two purposes: 1) provide a corrected view of the mechanism using both
theory and numerical simulations and 2) suggest two computational projects, of
undergraduate difficulty level, that could be used as pedagogical tools in computational
physics or biophysics courses.
Keys words: common misconceptions, action potential, Hodgkin-Huxley model, advection-diffusion equations.
I. INTRODUCTION
An important component of cégep or freshman year
undergraduate training in biology is the description
of action potentials (APs, also called nerve
impulses) that propagate along axons (the output
projections of neurons). Yet, computational models
giving a quantitatively accurate description of APs or
of electrochemical diffusion through the cell
membrane are deemed too mathematical to be
taught in introductory biology textbooks or in physics
for life sciences textbooks. Rather, the simplified,
qualitative, presentation found in those textbooks
induces important misconceptions (MCs), both by
explicitly teaching mistakes or by being silent about
some key aspects of the phenomena.
This article lists three common MCs (labeled A, B
and C), the first one in multiple forms, and gives
theoretical arguments ruling them out (part III). It
also suggests two computational projects designed
to provide a comprehension of APs free of those
MCs (parts IV, V). The first project uses the
Hodgkin-Huxley (HH) model1 to explore the time
course and relative importance of several dynamic
variables during an AP, while the second project is
a novel version of existing models, designed to be
as simple as possible, used to visualize the
composition and size of the Debye screening sheets
that appear on both sides of an axon membrane.
Projects consider unmyelinated (squid) axons and
space-clamped APs but the codes, made available
as online supplements, could be easily extended.
Results from these projects were presented to 18year old students taking mandatory introductory
biology and physics at the Cégep de l'Outaouais
(equivalent to first year undergraduate) and produced
a noticeable reduction of the incidence of the three
MCs. These projects could be given as homework
problems to undergraduate students, either in a
course about ordinary differential equations,
numerical methods in physics, physics for life
sciences, or other. They could also serve the same
purpose in an more advanced biophysics course,
although students already familiar with mathematical
modeling of APs are more likely not to show all MCs.
II. BIOPHYSICAL BACKGROUND
We begin by introducing important biophysical
concepts, covered in many classical textbooks2.
Readers already familiar with the HH model and with
membrane proteins can browse through this section
quickly.
Rest potential. As in all animal cells, a potential
difference is maintained across the membrane of
neurons. Let V denote the inside potential relative to
the extracellular medium's (ie. V / Vint ! Vext). In
unstimulated neurons, V remains at the rest
potential Vrest !65 mV, a voltage mostly maintained
by the action of the ?Na/K pump”, a protein
disseminated in cell membranes, that spends energy
to export 3 Na+ ions and import 2 K+ ions per cycle.
To a physicist, the resting membrane can therefore
Simulations disproving misconceptions about action potentials
99
Voltage-gated channels. Axons don't always stay in
their rest state. What renders their membrane
capable of firing APs are two proteins, the Na+ and
K+ voltage-gated channels (VGCs), that selectively
allow Na+ and K+ ions, respectively, to cross the
membrane, thus charging or discharging its
capacitance. These VGCs are strongly influenced by
the membrane electric field: when V is increased by
just a few millivolts, their 3D conformation (shape)
can switch from an deactivated (closed) to an
activated (open) state. When in the later, each VGC
forms a transmembrane aqueous pore which's
radius and affinity allow a single ion species to
permeate. Although both VGCs activate when V is
increased, the Na+ VGCs react 5-20 times faster
than the K+ VGCs, a key point in AP dynamics.
In addition to their activated and deactivated states,
Na+ VGCs can also be inactivated or not: when they
activate, the opening of the pore exposes a binding
site, to which another part of the macromolecule
quickly attaches, inactivating (blocking) the pore.
This obstacle remains attached until the channel
deactivates again. In other words, K+ VGCs only
have one ?door”, while Na+ VGCs have two, both
needing to be open for ions to flow.
Stimulation to elicit APs. When the membrane
potential V is perturbed by a stimulus, the reaction of
the neuron is characterized by a threshold: when V
stays below that threshold, it then relaxes to Vrest by
showing a very overdamped oscillation that stays
spatially localized in the cell; when V gets above the
threshold, VGCs open and a nonlinear wave (AP) is
fired; it propagates along the entire axon without
amplitude loss. Fig. 1 shows that an AP consists of
distinct phases, labeled 1-3: 1) V rises quickly;
2) V quickly drops and undershoots Vrest; 3) the axon
recovers from the AP, with V slowing reaching Vrest.
In introductory biology material, phase 1 is
associated with the fast activation of Na+ VGCs
causing Na+ ions to ?rush in”, while phase 2 is
associated with two slower reactions: the
inactivation of Na+ VGCs and the opening of K+
VGCs, causing K+ ions to ?rush out”. We call phase
3 the recovery period and define recovery as the
mechanism causing V to return to Vrest, as
introductory material often only discuss the
100
phase 3
phase 2
phase 1
40
0
V (mV)
be seen as a charged parallel-plate capacitor,
showing a local accumulation of net charge within a
Debye screening length on both sides of the
membrane. Since the membrane is L 4.5 nm thick,
a strong electric field Vrest/L exists inside it and
exerts forces on embedded proteins.
‐40
‐80
0
10
20
Time since stimulus (ms)
30
Fig. 1. Three phases of an AP. Dashed line indicates Vrest.
Stimulus is a sudden voltage step occurring at t = 0.
refractory period, a short part of the recovery period
during which the axon cannot respond to stimulation
because Na+ VGCs are still inactivated. The
recovery mechanism is often unmentioned.
A simple yet quantitatively accurate description of an
AP is given by the HH model, based on experiments
published by Hodgkin and Huxley in 1952, that is still
widely used in computational studies. This model, to
be discussed here and in part IV, describes the
states of the Na+ and K+ VGCs using time- and Vdependant transmembrane conductances gNa and gK.
Ohmic currents. Hodgkin and Huxley experiments
have shown that three currents are required to
predict the time course of V during an AP. The first
two, JNa and JK, are current densities flowing respectively through Na+ and K+ VGCs. The third is Jleak, a
small current including the flow of all ions crossing
the membrane by means other than Na+ and K+
VGCs. According to HH, Jleak is mostly due to Cl!
ions, never discussed in introductory biology
material.
Each of these three currents can be modeled with
the quasi-ohmic approximation:
J X  g X (V  E X )
X = {Na,K,leak}
(1)
where JX > 0 when the current flows outside the cell
and where ENa and EK are the reversal (Nernst)
potential for Na+ and K+ ions given by:
EX 
kBT cext
ln
q
cint
X = {Na,K}
(2)
and where Eleak is an empirical constant close to ECl,
chosen so that JNa + JK + Jleak = 0 when V = Vrest and
where c denotes concentrations.
Chapitre 2 : Article pédagogique
Fig. 2. Circuit model of an axon membrane patch. Note
that polarities and directions illustrated are positive.
In a real unmyelinated axon, ENa  50 mV, EK 
!77 mV and ECl  !60 mV, while the HH model uses
Eleak = !54.4 mV. The Nernst potential of an ion
species is the membrane potential at which this
species' current becomes zero. Note that EX is non
zero because a conduction current, caused by V, is
required to cancel the diffusion current, due to the
concentration gradient. Note also that if the
membrane were permeable to a single ion species X,
the current would flow until V reached EX. Therefore,
one can assert that ?each JX tends to drive V towards
its EX”. As we will see shortly, the combined effect of
the three currents is to drive V towards the ?target
value” V0, in general different from Vrest.
Thanks to Eq. 1, a patch of membrane can be seen
as a circuit where JNa, JK and Jleak flow in parallel
branches (Fig. 2) that each contribute to a total
current increasing or decreasing the charge held by
the membrane capacitance C. Since this charge is
given by q = CV, the derivative of V is determined by
the total transmembrane current:
dV
1
   JNa  JK  Jleak 
dt
C
(3)
In this picture, the small current caused by Na/K
pumps is neglected and ENa and EK are considered
constant. This last point should be stressed as it is a
source of MCs: charges transferred during a single
AP have a large effect of V but a negligible effect on
the concentration gradients, simply because the
concentration is distributed in the entire cell volume
while the charge q = CV is confined to the nanometerthick Debye layer adjacent to the membrane.
When the RHS of Eq. 3 is positive, V increases, and
vice versa. This RHS is zero for a single voltage that
constitutes the ?target value” V0, given by:
V0 
gNaENa  gK EK  gleak Eleak
gNa  gK  gleak
(4)
If gNa and gK are at their steady-state value, then V0
= Vrest. But during an AP, V0 transiently changes,
followed by V. Quantitative description of the time
course of gNa and gK will be given in part IV, where
the HH model is implemented, but we give here
what is required to understand material presented in
part III:
• During phase 1, when Na+ VGCs open, gNa
increases massively. According to Eq. 4, this
increases V to ENa, a large positive value (50
mV). According to Eq. 1, it also supplies an
inward JNa current that allows V to quickly follow
this increase. (Na+ VGCs start to inactivate
before V can reach ENa.)
• During phase 2, gNa drops quickly as Na+ VGCs
are inactivated and gK increases quickly as K+
VGCs open. According to Eq. 4, this decreases V
to EK, a large negative value (!77 mV). According to Eq. 1, it also supplies an outward JK current
that quickly decreases V toward this new V0.
• Phase 3 is more complicated (hence the MCs):
as the K+ VGCs slowly close, the reduction of gK
contributes a gradual increase of V0. However,
V needs an inward current to be able to follow
V0 and that cannot be JK, an outward current.
Both JNa and Jleak are inward during the recovery
phase, but Jleak is orders of magnitude larger,
making Cl! ions the key mechanism of V
recovery.
• Only at the end of phase 3 does V0 remain
constant (at V0 = Vrest), allowing V to finally
reach it.
III. COMMON MISCONCEPTIONS
Students who first encounter APs find their
mechanism complicated and often develop
important MCs.3 We will focus on three of such MCs,
labeled A, B and C, which are propagated by
pedagogical material itself, including textbooks, web
courses or web based animations often used in the
classroom. We will present each of them and show
how they can be ruled out using physical arguments
accessible to an undergraduate.
A) The recovery mechanism
Most introductory biology or physiology textbooks4
introduce AP dynamics using only Na+ and K+ ions,
as we summarized in part II. Even more advanced
textbooks, despite presenting the HH model, often
don't discuss the role of Jleak.5 While this allows for a
correct description of phases 1 and 2 of APs (see
Fig. 1), it forces the authors to remain vague or
silent6 about the recovery phase.
Often, V recovery is even attributed to an incorrect
Simulations disproving misconceptions about action potentials
101
cause. Among these, many webcourses or animated
films and some textbooks explicitly pretend that the
increase of V is due to current transported across
the membrane by the Na/K pumps.7 We'll refer to
this as «MC A1». Others attribute it incorrectly to
Na+ (A2) or K+ (A3) currents through the membrane8
or to recently crossed ions diffusing away from the
membrane (A4).
It is expected that some advanced biophysics
students, even those familiar with the HH model, will
show a form or another of MC A. As a proof, it
should be emphasized that MC A1 is very common
and can be found in lots of reputable material (we
even found it in an animated film produced by a
Harvard outreach program9).
All of these incorrect causes can be ruled out using
simple theoretical arguments. First consider MC A1.
As said in part II, stoichiometric studies10 show that
Na/K pumps export 50 % more Na+ ions than they
import K+ ions, thus causing an outward current. Not
only this cannot cause a V increase, but it hinders it,
since an inward current is required. Of course, Na+
and K+ ions that crossed during an AP eventually
need to be pumped back, but given the relative
intensity of pump currents, this process is extremely
slow (orders of magnitude longer than the duration
of an AP) and therefore has little effect on V.
Identical arguments rule out MC A3: as mentioned
in part II, the slow decrease in gK during phase 3
contributes to a slow increase of V0, but in no way
can an outward flow of K+ ions help V follow that
increasing V0: an inward current is needed.
Sodium currents involved in MC A2 have the correct
direction through the membrane. Thus, MC A2 can
only be ruled out once quantitative simulations in
project I will have shown that JNa << Jleak during
phase 3 (see part IV).
Finally, consider MC A4, in which sodium ions
entered during phase 1 and potassium ions leaving
the cell during phase 2 are seen as taking much
time to equilibrate with the volume they just entered,
which somehow would discharge the membrane
capacitance. Even though the sodium entering the
cell during phase 1 will indeed spread in the cell
volume, this occurs on a time scale much shorter
than the duration of the recovery: random walks of
sodium ions follows the diffusion law, where their
diffusion coefficient11 is DX  10!9 m2/s:
r 2  2DXt
102
(5)
Therefore, to spread past the Debye screening
length that is on a nanometer scale, they need less
than a nanosecond. To spread to the entire cell, they
would still need less than a millisecond, much less
than the duration of the recovery from an AP.
B) Amount of charge crossing the membrane
Because the rate of change of V during phase 1 of
an AP is very high, qualitative descriptions often
refer to «massive», «large» or «quick» sodium
influx. Similar wording is also used about phase 2,
where it applies to the potassium current.12
As a result, many introductory students develop MC
B, according to which all Na+ ions (or a large portion
of them) rush inside the axon each time an AP is
propagated. This MC is also encouraged by
schematic illustrations where only a few ions of each
species are drawn on each side of the membrane
and therefore the proportion being shown to cross is
always exaggerated by many orders of magnitude.
Advanced students familiar with the HH model are
less likely to show MC B, since the use of constant
ENa and EK reveals that ion gradients are not
significantly affected by charge transfers occurring
during a single AP (see Eq. 2).
Ruling out MC B involves giving a theoretical estimate
of the amount of charge crossing the membrane
during phase 1 or phase 2. To do this, we start by
estimating the capacitance of the membrane. Since it
is very thin (L = 4.5 nm) compared with the cell radius
(104 nm), it can be considered a parallel plate
capacitor. The bulk of a membrane is composed of
fatty acid moieties, therefore its dielectric constant
should be close to that of oil, r  5. Using C = A/L =
0rA/L, we find that
C  1 μF/cm2
(6)
Since phase 1 of an AP corresponds to a raise of V
from !65 mV to about 40 mV (see Fig. 1), the
capacitor charge per unit area q = CV must change
by about 102 nC/cm2 during phase 1. This amount
represents 6×1011 ions/cm2 or 10!12 mol/cm2 of Na+
ions. The same figure applies to the transfer of K+
ions during phase 2.
This is small, but how does it compare to the total
stock of ions available ? The volume to surface ratio
of a cylindrical axon is r/2. Considering that the
radius r can be as low as 1 μm, the inside volume of
an axon having 1 cm2 of membrane surface could
be as low as 10!4 cm3. The extracellular com-
Chapitre 2 : Article pédagogique
partment is of comparable volume. The measured
outer concentration of Na+ and inner concentration
of K+ are both 102 mmol/L. Therefore, the available
stock consists of a minimum of 10!8 mol, ten
thousand times what crosses the membrane during
phase 1 or 2 of an AP, even more for larger cells.
The bottom line is: the amount of charge crossing
the membrane during one AP is sufficient to change
V suddenly, but has negligible impact on the inner
and outer concentrations of each ion species.
C) Distribution of net charge
Finally, the common textbook description involving
only positive ions (Na+ and K+) doesn't allow to
compare total positive and negative charges and to
see that net charged volumes are only located in
fine layers on both sides of the membrane. Many
students think that the region holding a net charge
occupies a large portion of the cell volume. This MC
is again encouraged by schematic illustrations
where subtle changes in concentration cannot be
illustrated.
Theoretically ruling out MC C would involve
understanding how a Debye screening length is
evaluated and/or solving the Poisson-Boltzman
equation. Fortunately, it can still be ruled out,
although less rigorously, in a way accessible to a
freshman undergrad: one can argue that oppositely
charged layers located on both sides of the
membrane attract each other because of the σ/2
electric field each of them produces. (The charges
are not located in the membrane, where r  5, but
in aqueous media located on both sides; therefore,
r  80 for water is used.) Increasing the distance
between them by a distance ΔL requires doing the
work (per unit area) σ2ΔL/2 against that field. This
work has to be supplied by the thermal energy (per
unit area) of the ions forming the charged layer,
(σ/e)kBT. This gives:
L 
2
kT
e B
(7)
Now since we have shown that σ  102 nC/cm2, we
get ΔL  0.4 nm. This is indeed the scale of the
Debye screening length and is of course very small
compared to the micrometer range of the axon
diameter.
IV. COMPUTATIONAL PROJECT I
We now present computational models allowing
students to explore and visualize a correct picture of
AP dynamics. Project I, a straightforward
implementation of the HH model, will address MCs
A1, A2, A3 and B by focusing on the time course
and relative importance of V, V0, JNa, JK, Jleak and IJX
dt during an AP, while project II will address the
remaining MCs. This project allows students to
explore the effect of parameters, and can either be
given as homework or used in classroom
demonstration. Introductory students could be
supplied the code, which is just a few lines long.
In this first model, we consider a patch of
membrane, small enough to have a uniform V. This
patch is modeled as a capacitor charged by three
independent ionic currents (Na+, K+ and leaks; see
Fig. 2). Those currents are given by Eq. 1, where
ENa, EK, Eleak and gleak take constant values, while gNa
and gK are time- and V-dependant but constrained
by maximum values gNamax and gKmax, which
correspond to a situation where all VGCs would be
open (Table 1).
conductances (mS/cm2)
reversal potentials (mV)
gNamax = 120
gKmax = 36.0
gleak = 0.3
ENa = 50
EK = !77
Eleak = !54.4
Table 1: constant parameters for project I
To describe gNa and gK, the HH model uses three
?gating variables” m, h and n, each taking values
between 0 and 1, such that m3 and n4 represent the
proportion13 of activated Na+ and K+ VGCs,
respectively, while h represents the proportion of
Na+ VGCs that are not inactivated (ie. unblocked).
With these definitions, Eq. 3 becomes:
max
 gNa
m3 h(V  ENa )  


dV
1
   gKmax n 4 (V  EK )  
dt
C

g (V  Eleak )
 leak

(8)
where the negative sign arises from a contradiction
in the commonly used sign conventions according to
which V > 0 means Vint > Vext while J > 0 means an
outward current.
The gating variables are modeled using:
dx x (V )  x

dt
 x (V )
x = {m,h,n}
(9)
That is, each of them relaxes to a time-dependent
steady-state value (?target value”) x4 with a time
constant x. However, x4 andx are both V-
Simulations disproving misconceptions about action potentials
103
1
target value
e
15
m
n
0
b))
 (ms)
ms)
9
K+
0
leak
‐30
6
0
n
3
‐50
0
V (mV)
10
20
Time since stimulus (ms)
30
Fig. 5. Relative size of ionic currents during an AP show
that the Jleak is the only significant inward current during V
recovery. Note that truncated JNa and JK both reach an
amplitude >800 A/cm2.
m
‐100
50
Fig. 3. Target values (a) and time constants (b) of the
gating variables m, h and n. (See appendix for
corresponding equations.)
dependant (Fig. 3). In other words, the target x4 is a
moving one.
In a similar way, V can be seen as following the
target value V0 (see Eq. 4), although its time-course
is given by Eq. 8, not Eq. 9.
In summary, the HH system is entirely described by
four variables, V, m, h and n, whose evolution is
given by four first order differential equations (Eqs.
8 and 9). These equations can be numerically
integrated using the standard 4th order Runge-Kutta
method with a 10!3 ms fixed timestep. Initial
conditions corresponding to the rest state are V =
!65.0 mV and the target values of m, h and n for this
voltage. A single AP can be illicited by using a
sufficiently higher initial value for V. The interested
reader can find an abundant literature discussing the
HH model in further detail.14
To replace MCs A1 through A3 by a correct picture,
students should monitor the time course of V, V0, gX
and JX, for a given set of parameters. Typical results
are shown in Figs. 4-6. V0 increases, followed by V,
during the recovery period (Fig. 4). The time scale of
this V0 increase is comparable to h and n (both 6-7
ms when V  !70 mV, see Fig. 3), which is
consistent with the fact that V0 increases both
because K+ VGCs close and Na+ VGCs recover from
inactivation (see Eq. 4). The fact that V can actually
follow V0, however, requires an inward current.
Fig. 5 shows the time course of currents and clearly
demonstrates that 1) JNa is negligible during phase
3, especially at its beginning, when m3h  10!7; this
rules out MC A2; 2) K+ ions indeed flow during the
recovery phase and their current is significant;
however, they can't cause a rise of V because they
have the inappropriate sign; 3) the leaks form the
only significant current with the correct sign.
The dominant role of the leak current can be further
illustrated by simulating non physiological situations
where gleak is gradually decreased to zero. Since
removing gleak from Eq. 4 changes V0 and Vrest, the
time course of V relative to Vrest is compared (Fig. 6).
As leaks are removed, the delay for full V recovery
2
‐63
0
‐67
‐2
‐69
V0
V ‐ Vrest (mV)
‐65
V
‐71
‐73
‐6
0.1 mS/cm2
‐8
gleak = 0.3 mS/cm2
‐12
‐77
0
5
10
15
20
25
0
20
40
60
Time since stimulus (ms)
Time since stimulus (ms)
Fig. 4. Time course of the membrane potential and its
target value during the recovery phase. Stimulus at t = 0.
0 mS/cm
mS/cm2
0 03 mS/cm
0.03
S/ 2
‐4
‐10
‐75
104
Na+
‐15
15
h
0
V (mV) and V0 (mV)
Currents during an AP
30
h
A/cm2
a)
Fig. 6. As gleak is reduced, V recovery takes more time
despite the fact that the undershoot is diminished.
Chapitre 2 : Article pédagogique
This same approach could also oppose MC A4, but
we will focus on the steady state situation here.
cumulative charge transfered
10
0‐12 mol/cm2
1
K+
0,5
0
‐0,5
Na+
‐1
0
10
20
Time since stimulus (ms)
30
Fig. 7. Total ions transferred through the membrane
during an AP amounts to less than 10!12 mol/cm2.
increases by an order of magnitude, despite the fact
that the undershoot is significantly reduced. Further,
the student can examine the rate of subthreshold
relaxation to Vrest, which is far slower if V < Vrest than
if V > Vrest (not shown), since JK is far greater in
magnitude than Jna.
Now lets consider MC B, according to which most
ions permeate during an AP. Computing the total
transferred charge
t
J
0
X
(t ) dt  for each ion species
and following its time course shows how few ions
cross the membrane during each phase of the AP.
Although theoretical calculations already gave the
total amount of charge, simulations allow to see the
time course (Fig. 7).
Improvements to project I. This project can be
modified in several ways, which means that physics
educators could present a basic version and assign
advanced students with the task to code
modifications. A possible improvement involves
replacing the Eq. 1 by the Goldman-Hodgkin-Katz
current equation15, allowing students to investigate
the effect of rectification. Project I can also be
modified to let Na+ and K+ concentrations change
and implement Na/K pumps, thus allowing them to
verify the experimental fact that hundreds of APs
can be fired before the concentration gradients run
out. An efficient way to model pumps can be found
in the literature.16
V. COMPUTATIONAL PROJECT II
While project I could address MCs A1, A2, A3 and
B, project II will focus on MC C, according to which
the cells are charged in most of their volume. To
counter this MC, one needs to investigate how
charged ions distribute when they diffuse under the
influence of the mean electric field that they create.
There is an abundant literature concerning the
diffusion of charges through a membrane, where this
phenomenon has both been studied theoretically
and numerically, using tools such as the PoissonBoltzmann equation or advection-diffusion
equations.17 However, these approaches are rarely
accessible to the physics introductory student,
moreover the biology introductory student. Hence,
we designed a novel model of this phenomenon,
having simplicity in mind: only four equations will be
needed.
x
open VGCs
inside
L/2
0
membrane
!L/2
outside
Fig. 8. A small patch of membrane, pierced with open
VGCs (pores) is considered. To make the model 1D, a
uniform diffusion constant trough the membrane is
computed using a weighted average of the blue and
yellow parts. See weight αX in the text.
The patch of membrane considered, of uniform
thickness L, is small enough to reduce the problem
to 1D (Fig. 8). This membrane is surrounded only by
Na+, K+ and Cl! ions, for which the diffusion
coefficient is DX =10!9 m2/s, and by negatively
charged macromolecules, mostly captive in the cell
(Dmacro = 10!11 m2/s). DX is the same outside the
membrane on both sides, as well as in the VGC
pores, a reasonable assumption because these
pores are aqueous.18 Since there are no pores for
macromolecules, cmacro = 0 inside the membrane, but
Dmacro is the same on both sides of it.19
Ions are subjected to a diffusion current
as well as
 
a conduction current. Thus, the flux   J / q of ion
species X having concentration cX(x) is given by:
Xx  DX
c X
z eE
 DX X x c X
x
kBT
(10)
where zX = ±1 is the sign of the charge of ion
species X and Ex is the mean electric field produced
by all ionic species at position x. A plane element of
volume located in the interval [xN, xN+dxN] and
containing net charge density σ = FQdxN contributes
σ/2 to that field. Ex(x) is therefore given by:
Ex ( x ) 
F
2

x

Q dx   2F
Simulations disproving misconceptions about action potentials


x
Q dx 
(11)
105
where r  80 (for water) has been used and where
Q = cNa + cK ! cCl ! cmacro on both sides of the
membrane and NacNa + KcK ! ClcCl inside it. Note
that F is Faraday constant (charge of a mole of
elementary charges).
Eq. 10 is valid everywhere except at the membrane
boundaries, where ions have access to only a
fraction X of the membrane area A (ie. the density
of opened VGCs permeable to ion species X).
Therefore, a fraction of the ionic flux given by Eq. 10
permeates, while the rest accumulates outside. For
example, the rate of change of cX in infinitesimal
volumes located at [L/2, L/2+dx] and[!L/2!dx, !L/2]
would be, respectively,
where all quantities are now dimensionless and
where we replaced «Ex» by «E», the x axis being
chosen in the direction of the field.
In summary, the system is entirely described by four
concentration fields, each determined by Eqs. 12-13.
To integrate these equations, both space and time
need to be discretized. At each time step, the four
fluxes were evaluated at the x mid-intervals, using
an upwind-downwind scheme20 for the conduction
term and centered differentiation for the diffusion
term of Eq. 14. Then the concentrations were
calculated by evaluating Eqs. 12-13 at the space
interval boundaries, again using centered
differentiation.
Additionally, the potential field can be evaluated
from E(x):
dc X  XX,x (L / 2)  X,x (L / 2  dx )

dt
dx
x
V ( x, t )    E ( x , t ) dx 
and
(16)

dc X X,x ( L / 2  dx )   XX,x ( L / 2)

dt
dx
(12)
where V is non dimensional (the voltage scale being
kBT/e = 25.65 mV).
Outside the membrane, however, there is no α
factor and Eq. 10 becomes:
To replace MC C by a correct picture, the student
should set non equilibrium initial concentration
fields, with Dirichlet boundary conditions, and watch
them settle to a steady-state. We set boundaries at
x = ±10.0 and used initial uniform concentrations on
each side of the membrane. Biological parameters
are given in Table 2. Note that K/Na and K/Cl =
1.22 were calculated from Fig. 3a, while Cl was
chosen arbitrarily.21 Students are also encouraged to
simulate other parameters, notably a thicker L that
could represent the effect of myelination.
dc X X,x ( x )  X,x ( x  dx )

dt
dx
(13)
Also, since cX is a point function (it is the number of
particles per volume Adx outside the membrane and
per volume Aαdx in the pores), Eq. 13 is also valid
for [!L/2, !L/2]. Note that Eq. 13 is the continuity
equation and Eqs 10,12,13 are equivalent to an
advection-diffusion equation where the diffusion
coefficient is αD inside the membrane and D
outside.
Before numerical integration, Eqs. 10-13 are first
converted to dimensionless form: using L = 4.5 nm,
M = 1 mmol/L = 1 mol/m3, D = 10!9 m2/s, L2/D =
20.25 ns, kBT/eL = 5.7 mV/nm, eML2F/kBT =
7.63×10!11 F/m and DM/L = 0.2222 mol/m2s
respectively for distance, concentration, diffusion
coefficient, time, electric field, electric permittivity
and ionic flux scales, Eqs. 12-13 remain identical but
Eq. 10 becomes
X  DX
c X
 zXDXEc X
x
106
1
2
 x Q dx    Q dx  
x

 
outside
concentrations
(dimensionless)
channel
densities
(× 10!3)
cNa = 50
cK = 400
cCl = 45
cmacro = 405
cNa = 440
cK = 20
cCl = 455
cmacro = 5
Na = 0.0289
K = 1.22
Cl = 1
macro = 0
Table 2: initial values and parameters for project II.
(14)
Steady state results are shown in Fig. 9. A significant net charge is only found in a nanometer scale
region on each side of the membrane. This
corresponds to the Debye length and sets a picture
much different from MC C. Validity of the model is
confirmed by the fact that V(4)  Vrest.
(15)
Although the thickness of the Debye layer could be
approximated by theoretical calculations, project II
and Eq. 11 becomes:
E(x ) 
inside
concentrations
(dimensionless)
Chapitre 2 : Article pédagogique
concentrations (mmol/L)
a)
600
400
Na+
K+
Cl‐
macro
Q
200
0
‐200
E(x) (mV/nm
m) and V(x) (mV)
b)
10,12,13 into an advection-diffusion equation calls
for the use of a semi-implicit method (CrankNicolson). The advection term could be coded using
an upwind-downwind scheme or perhaps a FiadeiroVeronis interpolation.22 More biophysically-focused
improvements are also possible: instead of having
constant or stepwize values, Na and K could be
time-dependent and modeled using the HodgkinHuxley model.
VI. SUMMARY
10
‐10
E(x)
V(x)
E(x)
V(x)
‐30
‐50
‐70
‐8
‐4
0
position (nm)
4
8
We have shown how biophysically relevant
quantitative information can be obtained with two
simple undergraduate level numerical simulations.
These simulations help students at getting a correct
picture about APs, three MCs having been
disproved by theoretical arguments. In one of the
subcases, namely the absence of contribution of Na+
VGCs to the recovery phase of the AP (A2), the
simulations were the only way to disprove the Mcs.
Both numerical projects were also designed to allow
students to explore the effect of parameters.
Fig. 9. Concentration profiles (a) and field profiles (b) in
membrane at rest show a thin charged layer.
reveals its composition. It should be noted that, due
to the thickness of the charged layer, the electric
field extends somewhat outside the membrane.
Thus, negatively charged macromolecules
contribute to the layer of net accumulated charge:
even though they cannot cross the membrane, they
experience the electric field. Fig. 9 also shows that
the concentration profiles inside the pores of the
VGCs are exponential, as should be expected from
the Boltzmann factor and the fact that the electric
field is constant.
The same model can be used to counter MC A4,
using time-dependent Na and K. The simplest
approach is for Na to undergo a discontinuous
increase by a factor 2000, mimicking phase 1 of the
AP. If MC A4 were right, the Na+ ions entered after
this discontinuity would have to stick around the
internal side of the membrane for a delay longer
than phase 1 and 2 combined, and only then diffuse
away. What happens is far from that: using αX
values from Table 2, JNa(x) settles to a quasistationary situation on a nanosecond scale (not
shown).
Improvements to project II. This project can be
modified in several ways. In a course about
numerical methods, it would be interesting to
improve the numerical scheme: merging Eqs.
APPENDIX
Fig. 3 shows target values and time constants to be
used in Eq. 9. To compute these two figures, it's
simpler to rewrite Eq. 9 in the form:
dx
  (1  x )   x
dt
x = {m,h,n}
where
0.1(V  40)
 m  1exp(
4 0.1V )
 m  4 exp( V1865 )
1
 h  0.07 exp( V2065 )  h  1exp( 3.5
0.1V )
n 
0.01(V  55)
1 exp( 5.5  0.1V )
 n  0.125 exp(
V  65
80
(17)
)
These functions are fits to experimental data found
in Hodgkin & Huxley (1952).
ACKNOWLEDGMENTS
The author wishes to thank I. L'Heureux and A.
Payeur (Université d'Ottawa) for fruitful discussions
and J. Laplante (Cégep de l'Outaouais) for
inspiration. This work was supported in part by a
NSERC CREATE grant.
1
2
Hodgkin and Huxley (1952), "A quantitative description of
membrane currents and its application to conduction and
excitation in nerve", Journal of physiology, 117, 500-544.
Qualitative introductions to APs can be found in
Simulations disproving misconceptions about action potentials
107
3
4
5
6
7
8
9
10
• Zinke-Allmang et al (2013), Physics for the Life Sciences,
chap. 19;
• Guyton & Hall (2011), Textbook of Medical Physiology,
chap. 5;
• Lodish (2012), Molecular Cell Biology, chap. 22;
• Marieb & Hoehn (2010), Human Anatomy and Physiology,
chap. 11 (the French translation was consulted);
• Campbell & Reece (2011), Biology, Benjamin Cummings,
chap. 48 (the French translation was consulted);
Quantitative introductions to the HH model can be found in:
• Nelson (2008), Biological Physics, chap. 11-12;
• Dayan & Abott (2001), Theoretical Neuroscience, chap. 5;
• Hille (2001), Ion Channels of Excitable Membranes, chap. 2;
• Sterratt et al (2011), Principles of Computational Modeling
in Neurosciences, chap. 1-8.
For an overview of common MCs found in high school biology
textbooks, see Odom (1993), "Action potentials and biology
textbooks: accurate, MCs or avoidance ?", The American
Biology Teacher, 55(8), 468-472. Despite our efforts, we
haven't found an equally systematic work concerning
undergraduate material. However, several assertions about
common problems can be found in biophysics textbooks; see
for example Nelson (2008), chap. 11-12.
This is the case of all textbooks listed under "qualitative
introductions" in note 2. Guyton & Hall does mention that
other ions may be relevant to AP dynamics, but doesn't even
mention the existence of an undershoot.
This is the case of all textbooks listed under "quantitative
introductions" in note 2.
Among the sources listed in note 2, Marieb & Hoehn,
Guyton & Hall and even Dayan & Abott remain vague or silent
about the mechanism causing V recovery, describing only
what happens to Na+ and K+ VGCs during phase 3. Carefully
chosen words are used not to say that JNa or JK causes V
recovery, while not presenting what causes it either.
Among the "qualitative" sources listed in note 2, this mistake
can be found explicitly in Zinke-Allmang et al. It is also found
abondantly in yet carefully designed web animations. See for
example (Web pages were consulted on June 26th, 2013):
• <http://outreach.mcb.harvard.edu/animation
s/actionpotential_short.swf>;
• <http://www.youtube.com/watch?v=-b32g7GG_A
M>;
• <http://dnatube.com/video/1105/Understandi
ng-Action-Potential-and-Nerve-Impulses>;
• <http://youtube.com/watch?v=WjYiwVZBN8E> or
<http://fr.wikipedia.org/wiki/Potentiel_d'
action>.
See for example Campbell & Reece, Fig. 48.11 or
<http://youtube.com/watch?v=nrTDY-SzQ7E>
(consulted on June 26th, 2013).
<http://outreach.mcb.harvard.edu/animations/
actionpotential_short.swf>
For an exhaustive review, see Läuger, Electrogenic Ion
Pumps, Sinauer Ass., Sunderland, 313 p. (1991). For more
recent reviews, see Scheiner-Bobis 2002. "The sodium pump,
it's molecular properties and mechanics of ion transport",
108
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
European Journal of Biochemistry, 269, 2424-2433 or
Toyoshima et al, "First crystal structures of Na,K-ATPase :
New light on the oldest ion pump", Structure, 19, 1732-1838
(2011).
Nelson (2008), chap. 4.
This is the case of all textbooks listed under "qualitative
introductions" in note 2. Even Dayan & Abott refer to a "large
influx".
The exponents in m3 and n4 were chosen empirically but allow
the time course of m and n to be determined by a first order
differential equation.
In addition to the "quantitative introductions" listed in note 2,
the mathematically inclined reader should see Scott (2002),
Neuroscience: a Mathematical Primer.
Hodgkin & Katz (1949) "The effect of sodium ions on the
electrical activity of the giant axon of the squid", Journal of
Physiology, 108(1), pp. 37-77; see also Hille (2001).
See for example:
• Kager et al (2000), "Simulated seizures and spreading
depression in a neuron model incorporating interstitial
space and ion concentrations", Journal of Neurophysiology,
84(1), 495-512.
• Boucher et al (2012), "Coupled left-shift of NaV channels:
modeling the Na+-loading and dysfunctional excitability of
damaged axons", Journal of Computational Neuroscience,
33(2), 301-319
• Volman and Ng (2013), "Computer modeling of mild axonal
injury: Implications for axonal signal transmission", Neural
Computation, 25(10), pp. 2646-2681.
See for example:
• Offner (1970), "Kinetics of Excitable Membranes Voltage
amplification in a diffusion regime ", Journal of General
Physiology, 56(2), 272-296;
• French (1974), " Finite Difference Methods for the
Numerical Solution of the Nernst-Planck-Poisson
Equations" in Mathematical Problems in Biology;
• Basu & Sharma (1997), "An improved space-charge model
for flow through charged microporous membranes", Journal
of membrane science, 124(1), 77-91;
• Cruz, Vilhena & Cortez (2000), "Solution of non-linear
Poisson-Boltzmann equation for erythrocyte membrane ",
Brazilian Journal of Physics, 30(2), 403-409;
See also Nelson (2008) or Stein (1986), Transport and
diffusion across cell membranes.
Hille (2001).
One could also repeat the simulation using different diffusion
coefficient for macromolecules inside and outside the cell, to
take into account that some are attached and cannot diffuse.
Hirsch (1990), Numerical Computation of Internal and
External Flows.
The steady state being only determined by the ratio of αX
values, this choice has no effect on results; it only changes
the delay required to reach the steady state.
Fiadeiro and Veronis, "On weighted mean schemes for the
finite difference approximation to the advection diffusion
equation", Tellus, 29(6), 512-522 (1977).
Chapitre 2 : Article pédagogique
Introduction à la thèse de recherche
Les deux précédents chapitres ont présenté, à l'attention de quelqu'un qui en ignore tout,
le fonctionnement de neurones intacts. Ici débute la partie «classique» de la présente
thèse, qui concerne nos travaux de recherche. Cette partie comporte les chapitres 3 et 4,
de même qu'une large partie de l'appendice C. Cette partie de la thèse est autosuffisante,
toute référence aux chapitres 1 et 2 ayant été évitée. Notamment, un résumé du modèle
Hodgkin-Huxley (HH), abondamment introduit au chapitre 1, est présenté dans le
chapitre 3. Ainsi, le lecteur déjà expérimenté en neurosciences peut débuter ici sa lecture,
sans perte de continuité, en ignorant les deux premiers chapitres et les deux premiers
appendices.
On estime que 2 % à 3 % de la population canadienne souffre de douleurs neuropathiques,
une prévalence qui croît chez les personnes âgées. Ces douleurs découlent de dommages
axonaux pouvant être causés notamment par un accident traumatique, une maladie
dégénérative du système nerveux, le diabète, l'épilepsie ou même, trop souvent, par la
chimiothérapie ou la chirurgie. Chaque fois, elles sont causées par une réponse
maladaptative des systèmes nerveux périphérique et central à ces dommages axonaux,
laquelle nécessite un délai pour s'établir et perdure ensuite durablement, même après la
mort des neurones endommagés l'ayant initialement causée. La prévalence de ces
douleurs et leur persistance cause une pression évidente sur le système de santé.
Pourtant, leur mécanisme moléculaire demeure méconnu, ce qui stimula notre intérêt et
motiva les travaux qui suivent.
Le chapitre 3 établira le contexte de recherche. Nous y présenterons la littérature, les
questions de recherche et le design de notre modèle numérique, les aspects plus
techniques étant relégués à l'appendice C. Le chapitre 4, lui, reproduit un article qui
présente nos principaux résultats.
Plus précisément, le premier objectif du chapitre 3 sera de décrire ce qui est déjà connu
au sujet des douleurs neuropathiques et des dommages axonaux. En particulier, notre
objectif sera de montrer les liens qui existent entre trois choses :
•
les symptômes de douleurs neuropathiques, tels qu'ils sont rapportés par des patients
ou observés dans des modèles animaux ;
•
l'activité ectopique qu'on observe dans les neurones qui ont été sectionnés,
mécaniquement étirés ou encore compressés de façon chroniques, c'est-à-dire leur
capacité à initier des potentiels d'action en l'absence totale de stimulus ;
•
les cloques que forment les membranes de neurones qui ont été étirés mécaniquement,
en particulier celles observées à des noeuds de Ranvier.
En particulier, nous présenterons une revue complète d'un article par Wang et al (2009),
où les auteurs ont provoqué des cloques membranaires par succion avec une pipette et
comparé, avant et après cette opération, le courant transmembranaire obtenu lors d'un
Introduction à la thèse de recherche
109
voltage clamp. Ils ont montré de façon très convaincante que les canaux NaV situés dans
des cloques membranaires subissaient un décalage cinétique irréversible de leurs
processus d'activation et d'inactivation. En d'autres termes, tous les processus qui se
déroulent normalement à un potentiel de membrane V se déroulent désormais à un
potentiel «V + décalage».
Ce décalage cinétique est une hypothèse très crédible de mécanisme expliquant l'activité
ectopique des axones endommagés : comme nous le verrons au chapitre 3, ce décalage
augmente la probabilité d'ouverture des canaux NaV quand le neurone est au repos. Ainsi,
du courant sodique fuit vers l'intérieur de la cellule, dépolarisant la membrane et
l'approchant du seuil d'excitation. Un décallage suffisant peut donc bel et bien rendre le
comportement de l'axone ectopique. Dans nos travaux, ce décalage cinétique est donc
l'hypothèse de base que nous utilisons pour représenter un dommage affectant un axone.
Le chapitre 3 présentera ensuite une revue des résultats obtenus lors d'autres travaux de
simulations fondés sur la même hypothèse : trois articles ont représenté un dommage
axonal par un décalage cinétique des canaux NaV, soit Boucher 2012, Yu 2012 et Volman
2013. La majorité de ces travaux portent sur un noeud de Ranvier isolé, mais les auteurs
de Boucher et al obtiennent un résultat qui nous inspire, à savoir que des noeuds de
Ranvier couplés entre eux peuvent présenter un verrouillage de phase24.
Deux questions de recherche seront abondamment décrites au chapitre 3, mais peuvent
être synthétisées comme suit :
•
Les axones trop faiblement endommagés pour adopter d'emblée un comportement
ectopique sont-ils parfaitement fonctionnels ? Sinon, comment réagissent-ils à un
stimulus prolongé ?
•
La propagation d'un train de potentiel d'action complexe (non périodique) le long d'un
axone endommagé n'a jamais été étudiée. Comment l'ectopicité affecte-t-elle la
«sortie» de l'axone ? Comment la fréquence de stimulation et sa variabilité influencentelle l'infidélité de cette sortie, quand on la compare à un neurone intact subissant le
même stimulus ?
Le chapitre 3 se terminera en présentant, avec plus de détails que dans l'article, la façon
dont nous avons conçu un modèle numérique permettant de répondre à ces questions.
Nous y verrons notamment que l'axone y est représenté par des compartiments couplés,
chaque compartiment correspondant à un noeud de Ranvier et étant décrit par le modèle
HH. Nous verrons aussi que nous avons permis aux concentrations [Na+] et [K+] d'être
graduellement épuisés après la propagation d'un grand nombre de potentiels d'action. Les
pompes Na/K, qui tentent de restaurer ces gradients de concentration, sont aussi ajoutées
au modèle, d'une façon que nous décrirons. Enfin, la façon dont le modèle d'axone est
stimulé devait être conçue de toutes pièces et sera décrite. La simplicité du modèle, qui
24
Un verrouillage de phase survient quand deux oscillateurs non linéaires, en raison d'un couplage entre eux, ajustent leurs
fréquences pour qu'elles forment un rapport de petits entiers. Par exemple, nous verrons au chapitre 4 qu'un verrouillage 1:1 fait en sorte
que la zone endommagée de l'axone décharge à la même fréquence que les potentiels d'action incidents.
110
Introduction à la thèse de recherche
résume la machinerie des membranes cellulaires à deux types de canaux
tensiodépendants et à un type de pompes, permet de mettre l'accent sur les mécanismes
qui sous-tendent les phénomènes observés. Les aspects purement algorithmiques qui
correspondent à ce modèle numérique sont présentés à l'appendice C.
Résultats. Comme nous le verrons ensuite au chapitre 4, ce modèle a permis d'obtenir
deux résultats entièrement nouveaux, qui correspondent respectivement aux deux
questions de recherche que nous venons d'évoquer :
•
Premièrement, dans un axone très faiblement endommagé, qui ne présente initialement
aucune activité ectopique, la propagation de potentiels d'action est au départ normale
mais, si elle est soutenue suffisamment longtemps, peut déclencher l'activité ectopique.
Cette trouvaille suggère un mécanisme par lequel des douleurs neuropathiques
peuvent apparaître avant la sensibilisation des systèmes nerveux, et pourrait avoir des
conséquences thérapeutiques.
•
Deuxièmement, nous montrons qu'un axone plus endommagé, qui présente d'emblée
une activité ectopique, n'est pas entièrement dysfonctionnel pour autant. Au contraire,
quand la partie saine de l'axone achemine des potentiels d'action dans une certaine
bande de haute fréquence, que nous appellerons «fenêtre de propagation», la fidélité
de la transmission est alors maximale. En effet, nous montrerons qu'il se produit alors
un verrouillage de phase 1:1 entre les stimuli et la zone ectopique de l'axone, qui est
donc entraînée à la fréquence fixée par le traffic de potentiels d'action incident sur elle.
En outre, nous montrerons que ce résultat est suffisamment robuste pour être attendu
dans des axones réels : il résiste à du bruit, à des fluctuations dans la périodicité de la
stimulation, de même qu'à des changements de couplage entre les noeuds de Ranvier.
Comme le lecteur le découvrira, ces résultats accréditent davantage l'hypothèse que le
dommage cellulaire responsable de l'ectopicité des axones et de l'apparition de douleurs
neuropathiques est dû à un décalage cinétique couplé des canaux NaV. L'acceptation de
ce modèle permettra ultimement de mieux cibler la recherche visant le développement de
thérapies adéquates visant à prévenir les douleurs neuropathiques et leurs complications.
Introduction à la thèse de recherche
111
Cette page est intentionnellement blanche.
112
Introduction à la thèse de recherche
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de
recherche et construction du modèle
Avec ce chapitre débute l'étude de neurones endommagés, qui est le sujet de nos travaux
de recherche. L'objectif de ce troisième chapitre est d'introduire tous les éléments
pertinents pour comprendre le contexte de l'article de recherche présenté au chapitre 4 et
qui contient nos principaux résultats. La section 3.A présente une revue de littérature et,
notamment, justifie notre choix de modéliser le dommage subi par un axone exclusivement
par un décalage cinétique couplé des canaux NaV. La section 3.B énonce les questions de
recherche qui ont guidé la production de l'article du chapitre 4 ainsi que les choix de
modélisation conséquents.
3.A) Revue de littérature sur les cellules excitables endommagées
Cette première section sert à situer le cadre de nos travaux en présentant ce qui a été fait
avant nous. Nous aborderons tant les échelles moléculaire, cellulaire (histologique) et
clinique. Les deux premiers blocs définirons les circonstances où une membrane cellulaire
forme une cloque et le lien entre cloques, traumatisme physique et douleurs
neuropathiques. Le troisième bloc montrera que les canaux NaV situés dans une cloque
présentent un décalage cinétique couplé de leur activation et de leur inactivation (coupled
left shift, CLS) et que ce phénomène est relié à de nombreuses pathologies. Enfin, nous
terminerons au dernier bloc en présentant l'hypothèse de modélisation des cellules
excitables endommagées formulée par notre groupe de recherche (le «Nav-CLS») et les
résultats déjà obtenus grâce à cette hypothèse.
3.A.1 Membranes à cloques : normal ou pathologique ?
On définit une cloque (bleb) comme une excroissance de la membrane qui se produit
lorsque cette dernière est découplée du cytosquelette et croît sous l'effet de la pression
interne de la cellule (Charras 2008a, Tinevez 2009). La membrane peut cesser d'être
soutenue par le cytosquelette (plus précisément, le cortex d'actine-spectrine) soit en raison
d'une déstabilisation ou d'une dépolymérisation de ce dernier, d'un gain de pression interne
ou d'un détachement mécanique. Les cloques apparaissent à la fois dans des conditions
physiologiques normales et dans des conditions pathologiques.
Conditions physiologiques normales. Les situations normales où on rencontre des cloques
incluent la division cellulaire (Tokumitsu 1967, Hickson 2006) et la migration d'une cellule,
notamment pendant l'embryogénèse (Charras 2008b, Fackler 2008, Ridley 2011, Paluch
2013). Dans le cadre du phénomène de la migration cellulaire, les cloques se distinguent
des pseudopodes et des lamellipodes qui, eux, croissent en raison de filaments du
cytosquelette qui poussent sur la membrane. (Notons que ce mode de déplacement
impliquant des cloques ne se limite pas à des cellules saines mais est aussi employé par
des cellules cancéreuses.)
3.A.1 Membranes à cloques : normal ou pathologique ?
113
Figure 3.A.1 Dans des conditions non apoptotiques, les cloques apparaissent et se résorbent : A) une cellule
dont le cytosquelette est déficient (en vert) est recouverte de cloques, ce que révèle l'observation de la
membrane (en rouge) ; B) une cellule souche utilise une cloque pour se mouvoir ; C) un virus induit une
cloque au moment où il pénètre dans la cellule. (Figures tirées respectivement de Charras 2008a, Paluch
2013 et Mercer 2008)
La figure 3.A.1 illustre des cloques qui correspondent aux conditions normales que nous
venons d'énumérer. Dans ces situations, l'apparition d'une cloque est toujours suivie de sa
résorption, la durée de vie de la cloque étant de l'ordre d'une minute (Charras 2008a). La
croissance initiale d'une cloque survient dès que la membrane est détachée du cortex
d'actine-spectrine par quelque 100 nm (Sheetz 2006). La résorption, elle, survient après
que l'intérieur de la cloque
ait été, par un mécanisme
toujours inconnu, tapissé
de filaments d'actine
(Hagmann 1999, Fackler
2008). La figure 3.A.2
illustre les étapes de la vie
d'une cloque. Notons que
l'apparition de cloques qui
se résorbent a aussi été
observée pendant l'infection d'une cellule par un Figure 3.A.2 Dans un contexte de motilité cellulaire ou de mitose, les
virus, illustrée à la figu- cloques se résorbent après que leur intérieur ait été tapissé de filaments
d'actine. (Figure adaptée de Fackler 2008)
re 3.A.1 (Mercer 2008).
Les cloques et l'apoptose. En plus des cas où les cloques apparaissent spontanément,
jouent un rôle et se résorbent ensuite, des cloques se produisent aussi dans le contexte
de l'apoptose, c'est-à-dire la mort cellulaire programmée (Robertson 1978, Mills 1998,
Coleman 2001, Sebbagh 2001). Dans une telle situation, elles ne se résorbent pas après
leur apparition et servent plutôt à fractionner le cytoplasme en petites bulles qui seront
ensuite phagocytées. En raison de leur lien avec l'apoptose, les cloques ont longtemps été
vues comme des manifestations de situations pathologiques.
Cloques artificielles. En laboratoire, on peut aussi reproduire des cloques, notamment par
un choc osmotique, par la destruction au laser du cytosquelette, etc. Des cloques peuvent
aussi se produire par inadvertance lorsqu'une succion excessive est utilisée lors de la
formation du seau gigohm d'un patch clamp, ce qui n'est pas sans conséquence pour la
validité des mesures (Milton 1990 ; voir aussi Boucher 2011, section 3.7). Comme nous le
verrons au bloc 3.A.3, c'est cette méthode qui a été utilisée dans Wang 2009 pour produire
114
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
volontairement des cloques et évaluer leur effet sur la cinétique des canaux NaV qui y sont
localisés.
3.A.2 Cloques, neurotraumatismes et douleurs neuropathiques, des phénomènes reliés
Bien que la membrane d'un axone soit exposée au milieu extracellulaire aux noeuds de
Ranvier, il ne s'y forme jamais de cloques dans des conditions normales. Toutefois, en cas
de traumatisme crânien, des ondes de tension et de cisaillement parcourent les
membranes cellulaires alors que les tissus se frottent les uns sur les autres (Crippen 2012).
En périphérie de la zone d'impact, ces contraintes mécaniques ne sectionnent pas les
axones, mais peuvent néanmoins avoir causé des dommages à l'échelle moléculaire (Vik
2006). L'équivalent peut se produire partout en cas de traumatisme léger. Alors, tout ce qui
repose sur des interactions moléculaires faibles est à risque, notamment l'association des
sous-unités d'une protéine, l'association entre la membrane et le cortex d'actine-spectrine,
etc. L'apparition de cloques est donc attendue.
Une confirmation directe que des cloques
peuvent être causées par des forces mécaniques externes à l'organisme a été apportée
expérimentalement (Maxwell 1996 ; voir aussi
Wang 2009). Pour ce faire, des traumatismes
physiques ont été simulés en étirant mécaniquement des neurones, sans pour autant
atteindre le point de rupture. La figure 3.A.3
illustre une cloque qui est alors apparue à un
noeud de Ranvier. Notons que la cloque affecte
une proportion seulement de la surface
axolemmale du noeud de Ranvier.
aucun cortex
milieu
extracellulaire
région
paranodale
noeud
Conséquences. L'apparition de dommages aux
membranes de neurones qui ne sont pourtant région
pas sectionnés est reliée à une condition paranodale
cortex d'actine-spectrine
clinique appelé lésion axonale diffuse (diffuse
Figure
3.A.3
Cloque
apparue à un noeud de
axonal injury) au cours de laquelle on observe
Ranvier
d'un
axone
étiré
mécaniquement en
une dysfonction de l'influx nerveux, l'apparition
laboratoire. La légende colorée que nous avons
de douleurs neuropathiques, en plus d'une tracée souligne que la membrane de la cloque se
augmentation rapide de la concentration distingue par l'absence de cortex d'actineinterne d'ions Na+, laquelle déclenche une spectrine. (Photo : Maxwell 1996)
dégénérescence secondaire des neurones.
Nous allons maintenant détailler ces trois conséquences puis, au bloc 3.A.3, nous
présenterons un mécanisme qui relie ces dommages à la présence de cloques et plus
précisément à l'effet des cloques sur la fonction des canaux NaV y étant situés.
Dégénérescence secondaire. L'influx d'ions Na+ dans l'axoplasme entraîne le ralentissement puis l'inversion des échangeurs Na/Ca, ce qui cause une augmentation rapide de
la concentration interne d'ions Ca++ (Wolf 2001). Or, la fonction normale de ces derniers
ions est d'agir comme messagers, un de leur rôle étant d'activer des enzymes
protéolytiques. Puisque ces enzymes clivent notamment la spectrine, il s'ensuit une
3.A.2 Cloques, neurotraumatismes et douleurs neuropathiques, des phénomènes reliés
115
désorganisation du cytosquelette qui cause davantage de cloques et donc une
rétroactivation du phénomène. Une cascade de réactions biochimiques aboutit à la
dégradation des canaux NaV (Iwata 2004), au détachement de l'axone et à sa mort,
quelques heures ou jours après le traumatisme initial (Wolf 2001, Arundine 2004).
Dysfonction de l'influx nerveux et activité ectopique. Avant la mort cellulaire entraînée par
une lésion axonale diffuse, on observe de nombreux phénomènes qui perturbent la
transmission de l'influx nerveux dans les axones dont la membrane a été endommagée.
Ici, nous considérerons les observations expérimentales, mais nous verrons plus loin (tant
au bloc 3.B.4 qu'au prochain chapitre) que l'équivalent peut être obtenu lors de simulations
numériques fondées sur le mécanisme que nous présenterons au bloc 3.A.3.
La plupart de la littérature réfère à des mesures effectuées sur des neurones du système
nerveux périphérique de souris ou de rats. On y mesure que les neurones endommagés
physiquement ont une excitabilité plus élevée quand on les stimule (Greer 2012, Kocsis
2000, Liu 2000c). De plus, quand on ne les stimule pas, on observe fréquemment de
l'activité spontanée, c'est-à-dire que le
neurone émet des potentiels d'action
comme il le ferait en présence de stimuli,
bien qu'aucun stimulus ne soit présent.
L'activité spontanée provient en partie
des soma des neurones, situés dans les
ganglions spinaux mais est plus souvent
ectopique, c'est-à-dire qu'elle débute à
un endroit anormal. Le foyer ectopique
est typiquement la zone endommagée
de l'axone et les potentiels d'action qui y
prennent naissance s'en éloignent dans
les deux sens le long de l'axone. De
l'activité ectopique a été observée dans
des axones ayant subi une compression
chronique, ayant été sectionnés ou ayant
subi une ligature (Kajander 1992, Sheen
1993, Tal 1999, Liu 2000a,b, Han 2000,
Liu 2002, Amir 2002, Ma 2007, Greer
2012). Dans une partie de ces cas,
l'activité ectopique prend la forme de
rafales (bursts) périodiques de potentiels
d'action, entrecoupées par des épisodes Figure 3.A.4 A) L'activité ectopique d'un neurone endomoù le potentiel de membrane décrit des magé peut être tonique (trace 3) ou prendre la forme de
oscillations inférieures au seuil rafales (traces 1 et 2). B) Agrandissements montrant que
rafales sont entrecoupées d'oscillations inférieures au
(subthreshold oscillations, STOs). La les
seuil. (Figure : Liu 2002)
figure 3.A.4 illustre un de ces cas.
Douleurs neuropathiques. La présence d'activité ectopique est fortement corrélée aux
phénomènes de douleur neuropathique, un nom générique qu'on donne à toute
sensation douloureuse anormale (brûlures, démangeaisons, sensations de «décharges
116
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
électriques» ou d'«aiguilles», etc.) causée par une lésion affectant le système nerveux
périphérique ou central (par exemple une lésion axonale diffuse). Ces sensations
s'accompagnent souvent d'allodynie, c'est-à-dire d'une réaction douloureuse causée par
un stimulus normalement indolore (ex : contact des vêtements), d'hyperalgésie, c'est-àdire d'une réaction excessivement douloureuse à un stimulus normalement peu douloureux
ou de diverses composantes de sensations anormales (Loeser 2011).
Les sujets qui expérimentent des douleurs neuropathiques souffrent d'un dérèglement du
système de perception du toucher (normalement douloureux ou non). Les neurones sensitifs
spécialisés dans la perception de la douleur, appelés nocicepteurs, perçoivent les déformations
mécaniques, les températures excessives ou
certains stimuli chimiques. Ils sont distincts des
autres neurones sensitifs (mécanosensibles ou
thermosensibles) impliqués dans la sensation du
toucher non douloureux. Normalement, les
nocicepteurs ne produisent des potentiels d'action
qu'en présence de stimulus importants, ce qui
excite ensuite des interneurones de la moelle
épinière. Ces derniers, lorsqu'ils déchargent à leur
tour, ont deux effets : certains provoquent un
réflexe de protection contre la douleur (ils activent
donc directement des neurones moteurs) ;
d'autres acheminent les signaux à l'encéphale
(figure 3.A.5), le plus souvent en empruntant un
faisceau d'axones appelé tractus spinothalamique, ce qui aboutit entre autres à la
sensation de douleur, à sa composante
émotionnelle, etc. Chez un sujet normal, les
neurones sensitifs responsables du toucher non
douloureux n'activent donc pas les neurones de ce Figure 3.A.5 Parcours normal de la perception de
la douleur. (Figure adaptée de Costigan 2009)
tractus.
Mécanismes de la douleur neuropathique. Il a été démontré directement (Shankarappa
2012) qu'une dysfonction des canaux NaV est une condition suffisante pour faire apparaître
des douleurs neuropathiques. En général, ce qui déclenche leur apparition chez un sujet
est toujours une lésion le long du parcours de la nociception ou du parcours des
perceptions non douloureuses. Coutaux 2005, Truini 2006, Fazen 2007, Costigan 2009 et
Nickel 2012 proposent d'excellentes revues des mécanismes par lesquels cette lésion se
transforme en sensation anormale de douleur, mécanismes que nous allons nous contenter
de résumer ici.
Tout d'abord, la lésion à des neurones sensitifs déclenche dans les neurones lésés une
intense activité ectopique, laquelle peut durer tant que le neurone atteint n'est pas encore
mort. Bien sûr, cette activité ectopique active tout le reste du parcours sensitif et cause une
douleur immédiate, comme si un stimulus particulièrement intense avait réellement été
présent. Cependant, cette phase aigüe n'est que le début du phénomène : quelques jours
après la lésion, cette activité inhabituelle et persistante provoque des changements en
3.A.2 Cloques, neurotraumatismes et douleurs neuropathiques, des phénomènes reliés
117
aval, dans le reste du parcours sensitif, lesquels demeurent même si on enlève les
neurones initialement atteints :
• Les neurones périphériques tentent de se régénérer, de nouvelles fibres non
myélinisées croissant à partir des neurones sectionnés ou endommagés. Elles ont
cependant un comportement anormal : elles sont associées à davantage d'activité
ectopique, à un fort niveau d'oscillations inférieures au seuil, à une sensibilité accrue
aux stimulus mécaniques ou thermiques et à une augmentation de l'expression de
canaux NaV dans les nocicepteurs qui n'étaient pas initialement affectés. Cette
séquence de phénomènes est un cas de sensibilisation périphérique.
• Que ce soit sous l'effet d'une lésion directe ou en conséquence d'une sensibilisation
périphérique, les neurones du tractus spino-thalamique peuvent augmenter leur activité
d'arrière-plan (background activity) et augmenter leur taux de réponse aux stimulus. En
particulier, ils peuvent se mettre à répondre à des stimulus normalement indolores.
Cette séquence de phénomènes s'appelle la sensibilisation centrale. Encore ici,
l'expression des canaux NaV est impliquée.
• Ensuite, quand les neurones sensitifs initialement lésés finissent par mourir, d'autres
changements à l'excitabilité du système nerveux central peuvent survenir. Ces
changements peuvent être très intriqués. Par exemple, un neurone mécanosensible,
responsable d'une sensation non douloureuse, peut avoir pour effet d'activer un
interneurone qui inhibe les parcours de nociception. En son absence, ce dernier
parcours devient plus sensible.
En somme, nous avons montré que les cloques affectant la membrane d'un axone, l'activité
ectopique, la dégénérescence secondaire et les douleurs neuropathiques sont des
phénomènes qui, bien que n'étant pas toujours tous présents simultanément, présentent
des liens évidents. Au prochain bloc, nous présenterons un mécanisme qui relie causalement l'activité ectopique et la dégénérescence secondaire à la présence de cloques.
3.A.3 Décalage cinétique couplé (CLS) des canaux NaV
Avant 2009, plusieurs indices semblaient impliquer les canaux NaV dans le mécanisme qui
causait les diverses conséquences d'une lésion axonale diffuse, notamment l'afflux interne
d'ions Na+, la dégénérescence secondaire et l'activité ectopique. En particulier, on
observait qu'en présence de tétrodotoxine (TTX), l'inhibiteur classique des canaux NaV, les
dégâts étaient limités (Wolf 2001 ; voir aussi Shankappara 2012 où on utilise un autre
inhibiteur). En 2009, l'équipe du laboratoire de
Catherine E. Morris a mesuré pour la première les
conséquences directes sur les canaux NaV d'un
traumatisme mécanique subi par les membranes
cellulaires (Wang 2009).
L'une des méthodes utilisées dans cet article
nécessitait de préparer des cellules en les faisant exprimer des canaux NaV1.6 (l'isoforme présent dans les
noeuds de Ranvier), d'y injecter un pigment qui réagit
en présence de sodium, de les étirer mécaniquement
3.A.6 Traumatiser les cellules fait
et de mesurer le changement de fluorescence Figure
entrer du Na+ par les canaux NaV. (Figure
subséquent. Comme le montre la figure 3.A.6, moins adaptée de Wang 2009)
118
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
de deux minutes après l'étirement mécanique, un gain important de la fluorescence due
au pigment était observé, ce qui signifie que les ions Na+ affluaient dans les cellules en
conséquence directe de l'étirement. De plus, en répétant l'expérience en présence de TTX,
on mesurait que l'afflux était nettement moins important (bien que non nul), ce qui signifie
que les ions sodium traversaient bel et bien par les canaux NaV qui désormais «avaient des
fuites» en raison de l'étirement mécanique.
Dans Wang 2009, une seconde méthode expérimentale a aussi été employée pour
traumatiser mécaniquement les membranes cellulaires : une succion excessive était
appliquée avec une pipette de patch clamp afin de produire une cloque. Plus précisément,
le protocole consistait d'abord à appliquer une succion minimale pour former le sceau
gigohm et à mesurer la réponse des canaux NaV à une famille de voltage clamp utilisant
des sauts de tension différents, puis ensuite à appliquer la succion nécessaire à
endommager la membrane et à recommencer les mêmes mesures de voltage clamp, à
toutes les secondes suivant le début de l'application de la succion. L'intérêt de ce protocole
est de permettre de comparer les mêmes canaux avant et après le dommage.
La figure 3.A.7 montre, superposés, les traces
JNa(t) enregistrées suite à des sauts identiques
(de V = !110 mV à V = !10 mV) répétés à
toutes les secondes à partir du début de la
succion. Les 17 premières traces sont différentes, ce qui montre que la membrane met
environ 17 secondes, après la formation de la
cloque, pour changer de nature d'une façon qui
affecte les canaux NaV qu'elle contient. Par la
suite, les traces sont superposées (si on ignore
le bruit). De plus, les changements enregistrés
sont irréversibles : une minute plus tard, la trace
enregistrée (non illustrée) est identique à la
trace #20 de la figure 3.A.7, non à la trace #1. Figure 3.A.7 En moins de 20 secondes de
La figure 3.A.7 montre de premières conséquences des dommages affectant la membrane : JNa atteint son maximum plus tôt et son
amplitude décroît plus tôt aussi. En d'autres
termes, l'activation et l'inactivation sont toutes
deux devenues plus rapides. À l'extrémité droite
des traces JNa(t), on constate aussi un
changement dans la quantité de courant
persistent, celui qui correspond au mode
d'inactivation lent des canaux NaV1.6.
Pour caractériser les changements subis par les
canaux, les valeurs limites de l'activation et de
l'inactivation, respectivement analogue à m43 et
h4 dans le modèle HH, de même que la
succion, le courant JNa enregistré pendant un
même saut de tension est modifié : l'activation et
l'inactivation sont devenus toutes deux plus
rapides. (Figure adaptée de Wang 2009)
Figure 3.A.8 Traumatiser la membrane décale vers
la gauche la valeur limite et la constante de temps de
l'activation et de l'inactivation (tous de la même
valeur, ici 18 mV). (Figure adaptée de Wang 2009)
3.A.3 Décalage cinétique couplé (CLS) des canaux NaV
119
constante de temps h, ont été obtenues à partir des mesures effectuées avant l'application
de la succion (à des fins de référence, un résumé du modèle HH est présenté à la
section 3.B). La procédure a ensuite été répétée pour les données après la succion.
Comme le montre la figure 3.A.8, ces données révèlent que toutes les courbes ont subi
un décalage cinétique vers les potentiels plus hyperpolarisés, c'est-à-dire un décalage vers
la gauche sur la figure. On note que la translation a la même valeur pour l'activation et
l'inactivation. Les mesures sur une «patch» où la proportion de canaux en mode
d'inactivation lent était importante a aussi montré que le décalage vers la gauche affectait
également les courants persistants.
valeur cible
Soulignons que le décalage vers la gauche
effet du CLS sur le courant de fenêtre
s'applique aussi au courant de fenêtre des
0,01
0,
01
canaux NaV. En conséquence, quand V = V0, les
0,008
008
canaux NaV laissent passer un courant de repos
sans CLS
0,006
avec CLS
bien plus important. Comme le montre la figure
0,004
3.A.9, un CLS modéré (10 mV sur la figure)
0,002
cause un gain considérable (près de 1200%
0
dans le cas illustré !) de ce courant sodique de
0
-100
100 -75
75
-50
50
-25
25
25
50
75
repos. En d'autres termes, les canaux NaV «ont
V (mV)
des fuites», ce qui explique l'afflux interne d'ions
Na+ dont nous avons déjà discuté. Notons Figure 3.A.9 Un CLS, même modéré, augmente
qu'une entrée aussi importante d'ions Na+ est massivement le courant de fenêtre pour V  V0.
interprété par les canaux voisins de la cloque
comme l'arrivée d'un potentiel d'action. On peut donc s'attendre à une dysfonction de
l'influx nerveux dans les cellules affectées.
Indirectement, ces résultats de Wang 2009 ont été confirmés par de nombreux auteurs. En
effet, Boucher 2011 a comparé les mesures des propriétés cinétiques des canaux NaV1.6
publiées par de nombreuses sources et montré que les auteurs ayant réalisé leur patch
clamp en mode cellule attachée ou sur des neurones traumatisés rapportaient typiquement
des courbes d'activation et d'inactivation décalées vers la gauche comparativement à celles
publiées par les auteurs qui avaient utilisé le mode cellule entière. Comme il est probable
de traumatiser la membrane par inadvertance en utilisant le mode cellule attachée, ces
nombreuses mesures confirment qu'un décalage cinétique se produit dans ce dernier cas.
Plusieurs possibilités explicatives viennent en tête pour interpréter les résultats ci-dessus.
D'abord, la création de la cloque pourrait avoir séparé les sous-unités protéiques qui
composent le canal NaV1.6 ; les auteurs de Wang 2009 ont écarté cette possibilité en
répétant les mesures sur les canaux composés uniquement de la sous-unité α et en
montrant que l'absence des autres sous-unités ne change rien au résultat obtenu. Il est
clair aussi que les dommages dus aux protéases activées par les ions Ca++ n'ont pas
encore pu endommager les canaux NaV, qui manifestent des changements cinétiques en
quelque 17 secondes, alors que l'influx de calcium prend quelque deux minutes à se
produire (Wolf 2001) : les changements cinétiques sont donc manifestés par des canaux
120
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
NaV intacts25. Ensuite, la vue d'un plus grand courant maximal sur la figure 3.A.7 aurait pu
faire penser que la création de la cloque augmentait le nombre de canaux dans la «patch»
mesurée (interprétation utilisée dans Milton 1990 pour expliquer l'effet d'une cloque
obtenue par inadvertance lors d'un patch clamp) ou qu'elle augmentait uniformément leur
probabilité d'ouverture. Toutefois, un tel scénario aurait produit, pour un même saut de
tension, une trace JNa(t) de maximum plus grand mais non d'activation et d'inactivation plus
rapide. En somme, le seul scénario fonctionnel est celui retenu par les auteurs : un
décalage cinétique vers la gauche.
Mécanisme. Pour expliquer le phénomène du décalage, on procède en deux temps. Tout
d'abord, une observation frappante est l'égalité du décalage vers la gauche applicable à
l'activation et de celui applicable à l'inactivation. Le modèle le plus simple pour expliquer
qu'ils soient identiques est de faire appel au couplage cinétique que nous avons défini à
la section 1.C : en d'autres termes, le plus probable est que le mécanisme induit par le
dommage ne décale directement que l'activation, mais que le couplage étroit de
l'inactivation fasse en sorte qu'elle «suive» l'activation. C'est d'ailleurs pourquoi le
phénomène a été baptisé coupled left shift par les auteurs de Wang 2009. (Nous traduirons
cette appellation par «décalage cinétique couplé», mais utiliserons l'acronyme anglais
CLS.)
Il ne reste donc qu'à expliquer comment l'apparition d'une cloque peut affecter l'activation.
Pour ce faire, les auteurs de Wang 2009 postulent que les canaux NaV1.6 sont
normalement insérés dans un radeau lipidique, que la création d'une cloque désorganise
ce radeau et que, dans un environnement lipidique différent, les senseurs de tension du
canal se déplacent avec plus de facilité vers la position correspondant à l'ouverture. Pour
soutenir cette explication, ils citent les travaux de simulation de Patra 2005, montrant que
le profil des forces moyennes (parallèles à la membrane) exercées sur une protéine
transmembranaire est complètement différent selon que la membrane est composée
seulement de phospholipides ou d'une quantité égale de phospholipides et de cholestérol,
comme dans un radeau lipidique. Toujours pour soutenir cette explication, le même
laboratoire a effectué des mesures (sur des canaux NaV1.4) comparant le comportement
des canaux d'une même «patch» à des dommages de plus en plus importants (Morris
2012b, pp. 25-28) : les mesures obtenues montrent un CLS croissant graduellement à
chaque canal (conformément au scénario voulant que la dégradation de la membrane soit
graduelle. Si le CLS était causé par la dissociation du canal et d'un partenaire lipidique, par
exemple, la réponse ne serait pas graduelle.
Il vaut aussi la peine de souligner que cette explication du décalage cinétique couplée est
cohérente avec le modèle énergétique de l'activation présenté dans Hodgkin 1952e, selon
lequel l'ouverture d'un canal (causée par le mouvement d'une large q par une distance R
dans une membrane d'épaisseur d) entraîne une changement d'énergie libre
ΔG = ΔG0 ! qVR/d : si le changement d'environnement est en cause, seul ΔG0 serait
affecté : la membrane désorganisée étant plus mince et plus fluide, il paraît raisonnable
que ΔG0 diminue. Or, cette diminution est équivalente mathématiquement à remplacer V
25
Cette situation est à distinguer des canaux dysfonctionnels (channelopathies) dus à des malformations génétiques, par exemple.
3.A.3 Décalage cinétique couplé (CLS) des canaux NaV
121
par V + CLS, comme l'a lui aussi signalé Boucher 2011.
Autres confirmations. Depuis 2009, de nombreux résultats expérimentaux ont été publiés
et vont dans le sens du modèle expliquant le décalage cinétique couplé par l'interaction
entre les canaux NaV et leur environnement lipidique dégradé. D'abord, nous savons maintenant que la structure des canaux est cruciforme et non cylindrique (voir figure 1.C2.1),
favorisant une forte interaction avec la bicouche. Ensuite, l'effet qu'ont les lipides adjacents
a davantage été étudié (notamment Zheng 2011 ; voir aussi Phillips 2009, Dart 2010 et
Jiang 2012 pour des revues, Morris 2011 pour une discussion), ce qui confirme que des
canaux NaV, ainsi que de nombreux autres canaux, sont insérés dans des radeaux
lipidiques et que leur interaction avec ces radeaux a un effet sur leur cinétique d'activation.
(Cependant, aucun résultat n'est encore disponible pour l'isoforme NaV1.6 précisément.)
Enfin, Dinic 2013 a montré que la formation et le maintien de radeaux lipidiques n'est
possible qu'en présence de filaments d'actine et, notamment, que ces radeaux se
désorganisent bel et bien dans les cloques, où les filaments d'actine sont absents.
En somme, les résultats présentés dans ce bloc ont montré que l'apparition de cloques
cause un décalage des canaux NaV, ce qui cause un influx d'ions Na+ déclenchant la
dégénérescence secondaire des axones. Comme le montreront les données de simulation
que nous présenterons au bloc suivant, ainsi que nos propres travaux présentés au
chapitre 4, le décalage cinétique des canaux NaV cause aussi de l'activité ectopique liée
aux douleurs neuropathiques. En somme, cloques, dégénérescence secondaire et
douleurs neuropathiques ne sont plus seulement corrélés, il existe désormais un lien de
cause à effet entre eux.
3.A.4 Hypothèse de travail : tout dommage à une cellule excitable équivaut à un CLS
Jusqu'à présent, il a surtout été question de lésion axonale diffuse, d'étirement de cellules
et de succion arrachant des membranes à leur cytosquelette, c'est-à-dire de dommages
mécaniques. Toutefois, nous devons souligner que des cloques (ou une désorganisation
similaire de la membrane) apparaissent aussi en cas d'ischémie, d'inflammation, de
chimiothérapie, de maladies dégénératives du système nerveux, etc. (voir Morris 2012a
pour une revue). Tous ces phénomènes sont aussi liés à de potentielles douleurs
neuropathiques. En somme, le CLS n'est pas un mécanisme qui peut décrire seulement
le comportement de cellules traumatisées physiquement, mais celui de toute cellule
excitable malade.
Nos travaux de recherche présentés au chapitre 4, comme les autres travaux numériques
ayant été réalisés depuis 2009 dans notre groupe de recherche (Boucher 2012, Yu 2012),
s'inscrivent donc dans ce cadre général où tout dommage subi par une cellule excitable
peut être modélisé par un CLS. Ce postulat est tout à fait raisonnable puisque, quels que
soient les autres dommages que la cellule ait pu subir et notamment les changements
similaires qui affecteraient d'autres protéines situées dans les cloques, il est clair que
l'excitabilité de la cellule dépend au premier chef des canaux NaV, responsables de
l'initiation des potentiels d'action. Il est clair aussi que la rétroactivation qui caractérise leur
action (plus de Na+ entrant favorise l'ouverture de canaux supplémentaires qui favorise
encore plus de Na+ entrant, etc.) amplifie l'effet des changements qu'ils ont subi et rend
comparativement négligeables les changements affectant d'autres protéines.
122
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
Depuis 2009, plusieurs études semblent d'ailleurs soutenir notre postulat de base. Par
exemple, Xie 2013 a montré que l'inhibition des canaux NaV fait cesser les rafales de
potentiels d'action de même que la douleur neuropathique, Bae 2011 a conclut qu'une
neuropathie liée au diabète est due à l'ischémie (qui peut détériorer les membranes et
causer un CLS) et non a une hyperglycémie, etc.
Il importe de souligner que nous postulons que les canaux KV, eux, ne sont pas affectés.
En effet, ils sont situés en périphérie des noeuds de Ranvier, là où la membrane peut
difficilement former une cloque en raison de la présence de myéline. Soulignons aussi que,
la cloque ne recouvrant que rarement l'entièreté de la surface d'un noeud de Ranvier, il faut
s'attendre à trouver, à un même noeud de Ranvier, à la fois des canaux NaV au
comportement normal et des canaux NaV ayant subi des CLS dont l'amplitude présente une
distribution continue.
Effets attendus. Le CLS ayant pour effet de décaler l'entièreté du courant de fenêtre des
canaux NaV, on peut s'attendre à une variété d'effets. Le premier d'entre eux est l'afflux
interne de sodium dans les cellules au repos, ce qui a déjà été démontré par les études
expérimentales de Wang 2009. Mais on s'attend aussi à des changements d'excitabilité :
puisque toute la cinétique des canaux NaV subie un CLS, le seuil d'excitabilité de la
membrane-cloque subi lui aussi un décalage vers la gauche. En somme, la différence entre
le potentiel de repos et le seuil d'excitabilité étant amoindrie, un stimulus plus faible devrait
être requis pour exciter la cellule, voire une absence de stimulus tout court. C'est pourquoi
il est raisonnable de s'attendre à ce que le CLS cause des comportements ectopiques.
Un autre effet attendu concerne la durée de la phase réfractaire : dans un axone sain,
immédiatement après la phase décroissante d'un potentiel d'action, quelque 90% des
canaux NaV sont inactivés. Si la courbe d'inactivation est décalée vers la gauche, alors
moins de canaux NaV seront inactivés à l'instant ou débute la phase de récupération du
potentiel d'action. De même, dans un neurone sain, le courant JNa est pratiquement nul
pendant cette dernière phase (voir la figure 1.B3.15, au chapitre 1), alors que, dans un
neurone endommagé, il devient d'autant plus grand que le CLS est important. En plus
d'une faible inactivation, ce courant entrant plus important favorise un retour plus rapide
de V à V0. Pour ces deux raisons, on s'attend à une phase réfractaire d'autant plus courte
que le CLS est important. En particulier, dans le cas d'un neurone ayant subi un CLS
suffisamment grand pour décharger de façon ectopique, la fréquence de résonance
(fréquence d'émission des potentiels d'action) devrait être d'autant plus importante que le
CLS est important.
En fait, si le CLS des canaux NaV est réellement l'explication fondamentale du comportement anormal des neurones malades, nous devrions être en mesure de prédire toutes
les catégories d'observations découlant de dommages comme une lésion axonale diffuse :
des activités ectopiques, des oscillations inférieures au seuil, des rafales (bursts) de
potentiels d'action, des phénomène qui évoquent la douleur neuropathique, etc. C'est pour
cette raison que le groupe de recherche auquel nous appartenons a entrepris des travaux
de simulations numériques visant à étudier le comportement obtenu en cas de CLS des
canaux NaV. Nous allons maintenant revoir ces travaux numériques, ainsi que les suites
qu'ils ont eu dans d'autres groupes de recherche.
3.A.4 Hypothèse de travail : tout dommage à une cellule excitable équivaut à un CLS
123
Principaux résultats numériques (noeuds de Ranvier uniques). Dans un premier article
portant sur des simulations numériques avec CLS des canaux NaV (Boucher 2012), les
auteurs ont d'abord modifié le modèle HH pour introduire le CLS et simulé un unique noeud
de Ranvier. Les résultats obtenus confirment qu'un neurone endommagé non stimulé peut
rester au repos ou, s'il est affecté par un CLS d'amplitude intermédiaire, devenir ectopique.
De plus, le neurone stimulé (avec ou sans comportement ectopique) peut être
hyperexcitable (décharger à une fréquence plus élevée qu'un neurone intact, en présence
de l'injection d'un courant constant «de biais» utilisé comme stimulus) ou, quand le CLS
est trop important, inexcitable. Ces deux paires de comportements définissent quatre états
possibles, comme le montre le diagramme à droite de la figure 3.A.10. De plus, comme
le montre la moitié gauche de la même figure, les auteurs de Boucher 2012 obtiennent que
la fréquence de décharge, avec ou sans stimulation, croît de façon monotone quand
l'amplitude du CLS croît, et ce pour toute la plage ce telles valeurs pour laquelle elle est
non nulle. Cette observation est conforme à nos attentes au sujet de la durée de la phase
réfractaire.
Figure 3.A.10 Régime a = pas
d'activité spontanée, hypersensibilité au stimulus ; b = activité
spontanée, hypersensibilité au
stimulus ; c = activité spontanée,
inexcitable ; d = pas d'activité
spontanée, inexcitable. (Figure adaptée de Boucher 2012)
Plus loin dans Boucher 2012, le modèle est modifié de façon
à permettre aux concentrations ioniques de fluctuer, des
pompes Na/K étant ajoutées. Cependant, seule l'activité en
l'absence de stimulation a été étudiée dans ce modèle. La
présence des pompes et leur action très lente sur les
concentrations ioniques (et, donc, sur ENa et EK) permet au
système de modifier lentement son comportement. Selon
l'amplitude du CLS, on observe donc cinq comportements
(figure 3.A.11). Dans l'ordre du CLS croissant :
• pour les plus faibles CLS, le système décharge de façon
transitoire et revient au repos ;
• ensuite, on obtient des rafales (bursts) périodiques ;
• ensuite, on obtient une période transitoire suivie d'une
décharge tonique, c'est-à-dire périodique, sans rafales ;
• enfin, pour les CLS les plus élevés, les fuites sont
tellement importantes que le système ne décharge même
pas (les pompes sont alors hyperactives).
• une toute petite plage de l'espace des paramètres (en haut
à droite sur la figure 3.A.11) correspond à des rafales de
124
Figure 3.A.11 Cinq comportements sont obtenus, en l'absence
de stimulus, selon l'amplitude du
CLS qui affecte un système où
les concentrations ioniques peuvent fluctuer. (Figure adaptée de
Boucher 2012)
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
potentiels d'action de particulièrement petite amplitude.
Yu 2012 a repris le modèle avec pompes tiré de Boucher 2012, utilisé une distribution plus
complexe d'amplitudes de CLS et montré que cela permet de produire des rafales
périodique comme celles de Boucher 2012, mais intercalées de plus évidentes oscillations
inférieures au seuil (STOs), exactement comme celles observées dans les modèles
animaux de douleurs neuropathiques, dont nous avons parlé plus haut. Encore une fois,
le modèle avec pompes n'a pas été étudié sous l'effet d'une stimulation.
Yu 2012 présente aussi un diagramme de phase similaire à celui de la figure 3.A.11, mais
où deux amplitudes de CLS sont utilisées au sein du même noeud de Ranvier. Ce
diagramme permet d'identifier essentiellement les mêmes zones que celles de la figure
3.A.11, mais intercalées de zones de bistabilité (voir appendice A). Dans ces zones, le
système peut manifester deux comportements distincts, selon les valeurs initiales utilisées.
Par exemple, la zone de décharge tonique et celle de repos se superposent pour former
une zone où les deux comportements sont possibles. Une simulation utilisant un courant
de bruit pour simuler les fluctuations des pompes et des canaux introduit juste assez de
comportement stochastique pour faire «sauter» le système entre les deux comportements.
Par exemple, dans la zone où décharge tonique et repos cohabitent, la présence de bruit
permet d'obtenir des rafales induites par le bruit, c'est-à-dire un passage apériodique entre
le repos et des rafales de potentiels d'action (figure 3.A.12).
Figure 3.A.12 Quand les valeurs
des paramètres placent le système dans une zone de bistabilité,
du bruit permet de le faire passer
d'un attracteur à l'autre. (Figure
adaptée de Yu 2012)
La majorité de Yu 2012 porte sur une interprétation mathématique, utilisant les outils de
la dynamique non linéaire (voir appendice A), du mécanisme permettant les allers et
retours entre les épisodes de STOs et ceux de rafales : en traitant ENa et EK comme des
paramètres, les auteurs identifient une partie de l'espace des paramètres (zone de
bistabilité) où un cycle limite stable cohabite avec un point fixe stable. Pendant le système
oscille à proximité du point fixe (STOs), les pompes font graduellement croître ENa et le
système quitte la zone de bistabilité : le point fixe perd sa stabilité dans une bifurcation de
Hopf. Le seul attracteur devient donc le cycle limite : l'amplitude des STOs croît jusqu'à ce
que le cycle limite soit rejoint et une rafale débute. Pendant la rafale, ENa diminue et le
système revient dans la zone de bistabilité. Au départ, il demeure sur le cycle limite, mais
il rejoint éventuellement une zone de doublement de période (voir l'appendice A) et finit
donc par entrer, plus ou moins au hasard, dans le bassin d'attraction du point fixe stable.
Les rafales cessent et des STOs d'amplitude décroissantes apparaissent. Le scénario se
répète ensuite.
Principaux résultats numériques (propagation le long de l'axone). Dans notre groupe de
recherche, relativement peu de travaux ont été réalisés jusqu'à présent pour étudier l'effet
du CLS sur la propagation le long d'un axone comportant ou non un mélange de noeuds
3.A.4 Hypothèse de travail : tout dommage à une cellule excitable équivaut à un CLS
125
de Ranvier intacts et de noeuds de Ranvier endommagés. Yu 2012 n'aborde pas la
question et Boucher 2012 y consacre environ 5 % de son article.
Dans cette partie, Boucher 2012 utilise comme nous un axone fait de dix compartiments
successifs représentant chacun un noeud de Ranvier, le sixième d'entre eux manifestant
un CLS et les concentrations étant fixes (aucune pompe présente non plus). Les résultats
sont peu nombreux alors nous pourrons en fait une liste complète.
Premièrement, quand le CLS rend ectopique le
noeud endommagé (zone b de la figure 3.A.10),
il initie en l'absence de stimulus des potentiels
d'action anormaux qui parcourent l'axone en
sens inverse du noeud #6 au noeud #1. À
mesure que l'amplitude du CLS croît, la
fréquence de décharge du noeud ectopique
augmente et les noeuds sains cessent
éventuellement de pouvoir suivre, puisque leur
période réfractaire est plus longue. On assiste
alors à la transmission d'une proportion
seulement des potentiels d'action émis par le Figure 3.A.13 Quand l'amplitude du CLS croît, la
noeud #6. De façon intéressante, à mesure que fréquence du noeud endommagé («avec CLS») ne
de croître mais les noeuds sains («intacts»)
l'amplitude du CLS croît, la figure 3.A.13 cesse
du même axone ne sont plus en mesure de suivre.
montre que la proportion en question présente Seule une proportion des potentiels d'action sont
des plateaux de verrouillage de phase qui alors transmis, dans les deux sens en s'éloignant
suivent une suite de Farey (voir Feingold 1988 du noeud endommagé. (Figure adaptée de
où ce phénomène de l'entraînement d'un Boucher 2012)
système excitable par un forçage externe est étudié grâce à des oscillateurs Van der Pol ;
voir aussi l'appendice A). Sur la figure, les
plateaux de verrouillage de phase 1:1, 3:2 et 2:1
sont visibles et sont intercallés de légers
intervalles de comportement apériodique.
Deuxièmement, Boucher 2012 a étudié l'effet
d'un stimulus sur l'axone comportant un noeud
de Ranvier endommagé (noeud #6). On note
qu'un verrouillage de phase 1:1 se produit pour
une large plage d'amplitudes de CLS : comme
le montre la figure 3.A.14, quand la fréquence
de décharge du noeud #1 excède celle qu'aurait
le noeud endommagé non stimulé, la fréquence
de ce dernier épouse alors celle du noeud #1 (la
phase n'a pas été étudiée, seule la fréquence).
En revanche, si la fréquence du noeud #1 est
inférieure à celle du noeud endommagé non
stimulé, ce dernier ne change pas sa fréquence
et domine le comportement de l'axone : en aval,
les fréquences de décharge sont identiques à
126
Figure 3.A.14 À gauche, le noeud #1 impose sa
fréquence au noeud #6, car ce dernier
déchargerait à une fréquence plus faible en
l'absence de stimulus. Par contre, quand
l'amplitude du CLS croît au-delà de 7 mV environ,
c'est le noeud endommagé qui domine l'axone.
(Figure adaptée de Boucher 2012)
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
celles illustrées à la figure 3.A.13 où aucune stimulation n'était présente. Ces résultats
nous semblent prometteurs, mais incomplets : ils tiennent en un seul panneau de figure,
aucune trace temporelle n'est illustrée dans l'article, le seul stimulus utilisé est un courant
constant injecté au noeud #1 et ni pompes ni bruit n'étaient présents. Néanmoins, ce
panneau de figure de Boucher 2012 a inspiré nos propres travaux, présentés au chapitre
4, qui visent notamment à combler les lacunes que nous venons d'énoncer.
Notons aussi qu'un CLS très important (zone d de la figure 3.A.10) a pour effet de bloquer
complètement la propagation, comme le montre la portion droite du graphique de la
figure 3.A.14 : même si un stimulus est appliqué au noeud #1, le noeud #10 ne décharge
pas du tout.
De façon indépendante de nos travaux, les auteurs de Volman 2013 ont étudié l'effet du
CLS sur la propagation le long d'un axone. Leur modèle comporte, comme le nôtre, des
concentrations fluctuantes et des pompes. Cependant, au chapitre des résultats, ils ont
étudié des aspects complètement différents de nous : ils se sont surtout attardés aux
potentiels d'action individuels, soulignant que la présence d'un faible CLS à chaque noeud
de Ranvier accélérait leur propagation, diminuait leur amplitude et altérait leur forme. En
revanche, un CLS trop important ralentissait ou bloquait la propagation. Ils ont aussi le
mérite d'être les premiers à avoir varié l'amplitude de la stimulation, mais utilisaient des
impulsions carrées, de sorte que leur fréquence était toujours la même. Ils n'ont donc pas
étudié l'effet de la fréquence de stimulation et pas pu remarquer le phénomène de
verrouillage de phase qui est le point de départ de nos propres travaux. Soulignons
cependant que l'existence d'un article, hors de notre groupe de recherche, utilisant le
modèle du CLS accrédite la validité de ce dernier.
Retombées thérapeutiques. Soulignons que l'intérêt des travaux numériques que nous
venons de revoir, s'ils permettent d'accréditer notre postulat fondamental voulant que le
CLS soit l'explication fondamentale du comportement anormal de toute cellule excitable
endommagée, est d'ensuite pouvoir guider la recherche thérapeutique, tel que décrit dans
Morris 2012a : on pourrait chercher à concevoir un inhibiteur des canaux NaV qui
s'accumulerait préférentiellement dans la membrane fluide des cloques et inhiberait
sélectivement les canaux NaV situés dans les zones endommagées, le temps que ces
dernières se réparent. Ainsi, en plus de sauver les neurones endommager, un tel inhibiteur
minimiserait l'effet de la médication sur les neurones intacts. Une telle approche serait plus
praticable que les injections localisées présentement préconisées (voir par exemple
Shankarappa 2012, où on montre que la sensibilisation centrale est prévenue par
l'utilisation locale de saxitoxine injectée sous forme encapsulée dans des liposomes).
À ce chapitre, un aspect devrait être mentionné : nous avons soulevé au premier bloc que
la durée de vie d'une cloque émergeant dans un contexte normal est de l'ordre d'une
minute. Or, les effets (CLS) mesurés par Wang 2009 étaient irréversibles même après une
minute (ou, du moins, leur durée était nettement plus longue que celle de l'expérience).
Nous ignorons cependant si cela signifie que les cloques causées par un traumatisme sont
incapables de se résorber (comme celles observées pendant l'apoptose) ou si c'est plutôt
la réorganisation des radeaux lipidiques qui prend un temps considérable après la
résorption de la cloque. Néanmoins, ces aspects dépassent la portée de nos travaux.
3.A.4 Hypothèse de travail : tout dommage à une cellule excitable équivaut à un CLS
127
Maintenant que nous avons fini de revoir les résultats numériques fondés sur le modèle du
CLS des canaux NaV, le lien de cause à effet entre ce décalage cinétique et l'apparition
d'activité ectopique est évident. La conclusion principale de cette revue de littérature est
que les cloques causés par un dommage aux cellules excitables et le décallage cinétique
des canaux NaV qui s'y trouvent peuvent causer des phénomènes comme l'afflux interne
de Na+, la dégénérescence secondaire et l'activité ectopique. Faire une équation entre
cellule excitable endommagée et CLS des canaux NaV est donc un modèle fonctionnel.
128
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
3.B) Questions de recherche et modélisation
Maintenant que nous avons revu la littérature expérimentale et clinique pertinente au sujet
des cloques, de la douleur neuropathique et du CLS des canaux NaV, montré les liens de
cause à effet entre ces phénomènes et revu les résultats numériques fondés sur le modèle
du CLS, nous sommes désormais en mesure d'aborder nos propres questions de
recherche et le modèle numérique que nous utiliserons pour y répondre, ce qui est l'objet
de cette section 3.B.
3.B.1 Questions de recherche
Les travaux publiés dans Boucher 2012 et Yu 2012 ont fait beaucoup pour accréditer la
thèse du CLS comme mécanisme expliquant le comportement des cellules excitables
endommagées, mais ils ont laissé plusieurs questions en suspend. En particulier, nous
ciblons notre intérêt sur les neurones faiblement endommagés, ceux que la médecine a
espoir de sauvegarder chez les patients souffrant de diverses neuropathies.
Les questions de recherche qui nous guident peuvent être groupées en deux thèmes que
nous abordons dans l'article présenté au chapitre suivant :
• l'effet du CLS sur la propagation ;
• la prédiction d'une amplification douloureuse des stimuli.
Le premier thème est stimulé par le verrouillage de phase qui, bien qu'il n'y était pas
discuté, pouvait être déduit d'une des figures de Boucher 2012. Supposons que des
potentiels d'action «normaux» arrivent au noeud endommagé, avec une fréquence fixe, en
provenance du début de l'axone : on peut se demander dans quelle mesure le verrouillage
de phase permettra de transmettre ces potentiels d'action. Quelle importance relative a la
période transitoire, entre la début de la stimulation et l'obtention du verrouillage ? Et une
fois le verrouillage obtenu, quelle importance a la différence de phase qui subsiste s'il y a
lieu ? Dans l'article du chapitre 4, nous caractérisons l'effet de l'amplitude du CLS et de la
fréquence des potentiels d'action incidents sur ces deux questions. Nous testons aussi la
transmission de trains complexes de potentiels d'action où la fréquence n'est pas constante
et l'effet du bruit provenant des pompes et des canaux.
Le second thème est plus exploratoire. Boucher 2012 liait ses résultats à la perte de
conscience immédiate qu'on observe en cas de traumatisme crânien, alors que nous
souhaiterions lier les nôtres plus spécifiquement aux douleurs neuropathiques. Ces
dernières sont-elles nécessairement dues aux effets de réseau que nous avons revus à
la section 3.A ou peut-on obtenir dans un axone unique un effet qui évoque, par exemple,
une amplification douloureuse d'un stimulus normalement bénin ? En cas de dommage très
léger, comme on en trouve certainement dans les lésions axonales diffuses ou en
périphérie d'un traumatisme localisé, quel effet un noeud de Ranvier hyperexcitable mais
non ectopique a-t-il sur le comportement de l'axone ? Peut-il initier des phénomènes
associés aux douleurs neuropathiques même si aucune ectopicité n'est initialement
présente ?
Pour répondre à ces questions, nous construisons sur la base du modèle HH tel que l'ont
aussi fait Boucher 2012 et Yu 2012. (À titre de référence, un résumé des principales
3.B.1 Questions de recherche
129
équations de ce modèle, tiré du chapitre 1, est présenté à nouveau à la figure 3.B.1.) D'ici
la fin de cette section, nous apportons plusieurs précisions techniques et présentons des
décisions de modélisation qui ne sont pas (ou peu) explicitées dans l'article mais ont été
prises en vue de répondre aux questions de recherche ci-dessus. Les aspects traités sont
la forme général du modèle, l'utilisation de concentrations non constantes, la modélisation
des pompes, l'ajustement des paramètres et, enfin, la mise au point de la méthode de
stimulation. Bien qu'importants, des aspects qui ne touchent pas la modélisation et sont
strictement liés aux méthodes numériques (méthode d'intégration, pas temporel adaptatif,
stabilité et convergence de l'algorithme, méthodes de prises de mesure, etc.) sont traités
dans l'appendice C.
dV
1 max 3
   gNa
m h(V  ENa )  gKmax n 4 (V  EK )  g fuites (V  E fuites )
dt
C
dn n  n

n
dt
dh h  h

h
dt
max
gNa
 120 mS/cm2
g
C  1 F/cm2
max
K
 36 mS/cm
2
g fuites  0,3 mS/cm 2
dm m  m

m
dt
ENa  50 mV
EK  77 mV
E fuites  54,4 mV
Figure 3.B.1 Récapitulation du modèle Hodgkin-Huxley pour un potentiel d'action «spaced clamped», tel que
présenté dans Hodgkin 1952e (partie II).
3.B.2 Un modèle d'axone et non un modèle de membrane
Pour étudier la propagation comme nous entendons le faire, il est inutile de modéliser un
neurone complet et nous nous sommes limité à concevoir un modèle d'une portion
d'axone. Ce modèle numérique est fait, comme celui de Boucher 2012, de dix
compartiments représentant dix noeuds de Ranvier. (Ce choix est justifié par un
130
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
comportement aux limites, comme nous le verrons au bloc 3.B.6.) La capacité électrique
de l'internoeud myélinisé est considérée comme suffisamment faible pour qu'on puisse
la négliger et relier les dix noeuds de Ranvier directement par une résistance électrique,
de sorte que le modèle comporte dix compartiments en tout, couplés entre eux de façon
linéaire. Chaque compartiment (ie. chaque noeud de Ranvier) est un système de six
variables, V, m, h, n, [Na]int et [K]ext. Les quatre premières de ces variables sont
déterminées tel que décrit à la figure 3.B.1, à l'exception du fait que la première équation
est remplacée par l'équation 3.B.2 que nous introduirons au bloc 3.B.4 ci-dessous et que
Efuites prend une valeur différente ; les deux autres sont déterminées par l'équation 3.B.3,
qui suivra elle aussi sous peu. De même, la valeur au repos des quatre premières
variables est choisie comme dans le modèle HH, V0 étant fixé à !65,5 mV (comme dans
Ochab-Marcinek 2009 qui utilise un modèle semblable au nôtre) et déterminant
m0 = m4(V0), h0 = h4(V0) et n0 = n4(V0). Les deux autres variables sont fixées à [Na]int0 =
20 mM et [K]ext0 = 6 mM. (Notons que [Na]int + [Na]ext est fixé à la valeur constante de
174 mM et [K]int + [K]ext, à 156 mM.)
Le premier des dix compartiments sera stimulé par une méthode que nous allons détailler
au bloc 3.B.6 et qui produira un effet similaire à celui qu'auraient des potentiels d'action qui
proviendrait de l'aval de l'axone. Dans le système de contrôle (le système intact utilisé
comme point de comparaison), les neuf autres noeuds de Ranvier doivent propager
fidèlement chaque potentiel d'action déchargé dans le premier noeud.
Dans le système endommagé, la seule différence est qu'un CLS est appliqué à un ou
plusieurs des neuf noeuds de Ranvier sur lesquels aucune intervention externe n'est
appliquée. Dans la plupart de nos simulations, ce sera le noeud #6, qui est au centre de
cette portion de neuf noeuds. Exceptionnellement, ce sera les noeuds consécutives #5,6,7.
Pour appliquer le CLS, on remplace tout simplement, au(x) noeud(s) endommagé(s), V par
V + CLS dans les équations pour m, h et n de la figure 1.B3.10.
3.B.3 Les concentrations ioniques : constantes ou non ?
Les travaux précédents ont démontré l'importance de tenir compte des changements de
concentrations ioniques : en particulier, sans elles, aucune rafale n'est prédite. Un de nos
résultats de recherche (voir la figure 4.2 au prochain chapitre) ne l'aurait pas été non plus.
Par contre, utiliser des concentrations non constantes implique aussi d'insérer des pompes
Na/K, ce qui complexifie le modèle.
Un bon compromis est l'idée utilisée dans Boucher 2012 : cet article compare les résultats
obtenus avec ou sans la présence de pompes et de concentrations dépendantes du temps.
Tel quel, ce choix nous paraît cependant peu judicieux : retirer les pompes du modèle
équivaut à faire disparaître leur effet hyperpolarisant, donc à modifier l'excitabilité de la
membrane. Nous procéderons plutôt en conservant toujours les pompes et les
concentrations dépendantes du temps, mais en fixant le volume contenant les ions à une
valeur infinie, rendant de ce fait les concentrations ioniques constantes. En d'autres
termes, au lieu de comparer les résultats obtenus avec et sans pompes, nous les
comparerons avec une réserve finie ou infinie d'ions. Cette approche permettra d'identifier
les observations qui découlent directement de la fluctuation des concentrations, sans avoir
à comparer deux systèmes dont l'excitabilité est différente.
3.B.3 Les concentrations ioniques : constantes ou non ?
131
Une approche de modélisation que nous avons écartée aurait consisté à tenir compte des
concentrations dépendantes du temps seulement aux noeuds de Ranvier endommagés,
un choix qui aurait été peu judicieux : implanter des concentrations non constantes
nécessitant d'implanter aussi des pompes qui ont un effet hyperpolarisant dont nous avons
déjà discuté, les noeuds de Ranvier sans pompes auraient donc eu une excitabilité
différente des autres, ce qui aurait pu conduire à des artefacts.
3.B.4 La modélisation des pompes
Calculer le nombre d'ions par seconde échangés par la population de pompes Na/K est
un sujet complexe : d'une part, les taux des liaisons et des libérations d'ions dépendent
du potentiel de membrane puisque les ions doivent pénétrer jusqu'aux sites de liaison en
suivant un parcours où le champ électrique transmembranaire exerce son effet. Ces
processus dépendent aussi, évidemment, des concentrations ioniques. De plus, le taux
d'activité de la pompe dépend de la température, notamment en raison de son effet sur
les changements de conformation. Enfin, l'action de la pompe dépend de la disponibilité
d'ATP. En plus de ces nombreuses dépendances, Huang 2009 met en évidence que
chacune d'elles connaît d'importantes fluctuations locales : par exemple, l'ouverture d'un
canal NaV à proximité d'une pompe provoque un changement local de concentration, une
hausse locale du potentiel de membrane et un gain local de température. Les courants
générés par des pompes individuelles présentent donc des différences d'une pompe à
l'autre dans une même membrane. Devant autant de paramètres, une modélisation
numérique efficace requiert donc nécessairement de faire des approximations
simplificatrices.
À la section 1.C, nous avons souligné que l'interaction des ions Na+ et K+ avec les sites de
liaison sont, dans des conditions d'abondance d'ATP, les deux étapes les plus limitantes
pour la vitesse de la pompe (Läuger 1991, section 8.5.4). Nous allons donc négliger l'effet
de la température, un choix raisonnable puisqu'elle demeure raisonnablement constante26,
négliger l'effet du potentiel de membrane, chaque noeud de Ranvier (intact ou non)
passant la grande majorité de son temps à V  V0 même pendant une rafale de potentiels
d'action, et négliger l'effet de la concentration d'ATP, typiquement abondante dans des
conditions normales27.
Quant aux concentrations ioniques, nous choisissons de ne tenir compte que des Na+
internes et des K+ externes. Bien que l'activité de la population des pompes dépende aussi
fortement des concentrations des Na+ externes et des K+ internes, ces derniers ont une
concentration beaucoup plus importante et donc plus constante (par exemple, le transfert
de 1 mM de Na+ change de 5 % la concentration interne, ce qui risque de produire un effet
cinétique, mais n'affecte que de 0,6 % la concentration externe).
Enfin, l'effet des ions Na+ internes et des ions K+ externes est représenté grâce au modèle
Michaelis-Menten que nous avons présenté à la section 1.A, ce qui équivaut à traiter
l'action de pompage comme une réaction chimique. Le courant produit par la population
26
Notons que nous avons aussi négligé l'effet de la température sur les constantes de temps du modèle HH.
27
Nos travaux portent sur des axones endommagés, bien sûr, mais peu après l'application du dommage, l'ATP demeure abondante.
132
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
de pompes est donc :
Jpmp

[K  ]ext
 Jmax  
 [K ]  K
ext
M ,K




2

[Na  ]int


 [Na ]int  K M ,Na



3
(équation 3.B.1)
où Jpmp est le courant net de la population de pompes. On a donc, conformément au ratio
de couplage des pompes, JNa,pmp = 3Jpmp et JK,pmp = !2Jpmp. Les deux derniers facteurs du
membre de droite (entre parenthèses) s'évaluent chacun entre 0 et 1. Leurs exposants
apparaissent en raison du nombre de sites de liaison, qu'on considère ici comme
identiques entre eux ; utiliser ces exposants plutôt que des coefficients de Hill est une
approximation qui semble provenir initialement de Kager 2000 et est devenu un modèle
standard : elle a été reprise maintes fois depuis, notamment dans Boucher 2012 et Yu
2012 mais aussi ailleurs que dans notre groupe de recherche (voir notamment Borys 2013,
Chander 2013 et Volman 2013 pour les utilisations les plus récentes).
Enfin, Jmax, KM,K et KM,Na sont des paramètres. Ces trois constantes ont des valeurs qui
varient largement d'une source expérimentale à l'autre (donc aussi d'un article de
modélisation à l'autre). L'importance de ce choix est toutefois limitée dans le cadre de nos
travaux, puisque la majorité des figures du chapitre 4 sont réalisées avec un courant de
pompes constant, seule la figure 4.2 présentant des changements temporels. Et même
dans ce dernier cas, le courant de pompes demeure du même ordre de grandeur que le
courant de fuites, nettement inférieur à celui de JNa et JK ; sa valeur exacte a donc une
importante toute relative, pourvu qu'elle soit non nulle et augmente vers un plateau de
saturation quand les gradients de concentrations ioniques diminuent.
Nous utiliserons donc KM,K = 3,5 mM et KM,Na = 10 mM comme l'ont fait avant nous Kager
2000, Boucher 2012 et Yu 2012, notamment. Ces choix permettent de reproduire avec un
accord qualitatif raisonnable des résultats expérimentaux (voir notamment Skou 1974,
figure 1 ; Nakao 1989, figures 8 et 11).
Il reste donc à fixer Jmax, qui représente la densité de pompes dans la membrane
modélisée. Dans Yu 2012, ce paramètre a aussi été vu comme un facteur pouvant être
ajusté à la baisse pour tenter d'illustrer les effets d'un manque d'ATP. Ce dernier choix
nous semble cependant peu judicieux : si l'ATP manque, les concentrations ioniques ne
dominent plus la cinétique des pompes (Laüger 1991) et l'équation 3.B.1 perd beaucoup
de sa validité. Dans notre modèle, le paramètre Jmax sera donc constant ; nous reviendrons
sur sa valeur dans le bloc suivant.
3.B.5 Les fuites et les fuites spécifiques
En ajoutant le courant de pompes, l'équation du modèle HH pour V (voir figure 1.B3.10)
devient :
d
dt
V   C1 JNa  JK  J fuites  Jpmp  JNa,fuites  JK,fuites 
3.B.5 Les fuites et les fuites spécifiques
(équation 3.B.2)
133
alors que les variations des concentrations sont déterminées par
d
dt
[X]ext   ddt [X]int 
J X  J X,pmp  J X,fuites
F
surface
volume
X = {Na,K}
(équation 3.B.3)
où nous supposons par simplicité que les volumes interne et externe sont égaux, ce qui
signifie que [X]int + [X]ext = constante. Dans l'équation 3.B.2, les trois premiers termes du
membre de droite sont les termes habituels du modèle HH, déjà présentés à la figure
3.B.1, alors que le quatrième terme est tout simplement l'équation 3.B.1. Les termes JNa,fuites
et JK,fuites, aussi présents dans l'équation 3.B.3, sont définis par :
J X,fuites  g X,fuites (V  E X )
X = {Na,K}
(équation 3.B.4)
où gNa,fuites et gK,fuites sont des paramètres ajustables.
Ces deux termes, appelés fuites spécifiques, apparaissent dans les équations 3.B.2 et
3.B.3 pour une raison technique que nous avons déjà signalée au chapitre 2 : quand V =
V0, les six variables du système (les V, m, h et n du modèle HH en plus de [Na] et [K] d'un
côté ou de l'autre de la membrane) doivent être constantes. En d'autres termes, les
équations différentielles qui les déterminent doivent alors être ajustées pour que la dérivée
de chacune des six variables soit nulle. Or, la stoechiométrie des pompes impose que
JNa,pmp/JK,pmp = !3/2 donc en l'absence des fuites spécifiques JNa,fuites et JK,fuites, il serait
impossible que l'équation 3.B.3 donne zéro à la fois pour X = Na et pour X = K, puisque JNa
et JK, déterminés par l'ouverture des canaux NaV et KV, ne sont pas dans un rapport 1,5 et
que Jfuites est proportionnel à V ! Efuites.
Les fuites spécifiques ne correspondent pas directement à un mécanisme physiologique
réel ; dans une cellule vivante, la stabilité des concentrations de Na+ et de K+ au repos n'est
pas due à un simple équilibre entre le courant des pompes et le courant traversant les
quelques canaux tensiodépendants qui sont ouverts au repos. Ce rôle est joué aussi par
de nombreux autres mécanismes : d'autres types de pompes, par exemple les échangeurs
Na/Ca, les cellules gliales voisines qui absorbent l'excès de K+, etc. Tenir compte de tous
ces effets dans notre modèle serait inutilement complexe : nous souhaitons un modèle
simple qui permet de mettre l'accent sur les mécanismes fondamentaux derrière les
phénomènes que nous observerons.
Dans le modèle HH de base, présenté à la figure 3.B.1, il y a un seul degré de liberté : le
choix de V0 détermine le choix de Efuites. Ici, Jmax, gNa,fuites et gK,fuites forment un groupe de trois
paramètres ajustables supplémentaires alors que l'équation 3.B.3 égalée à zéro (quand
V = V0) tant pour X = Na que pour X = K forme deux contraintes supplémentaires. En
somme, un degré de liberté additionnel demeure.
134
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
Pour simplifier la modélisation, on fixe Efuites = V0 une valeur28 légèrement différente de celle
du modèle HH de base (voir la figure 1.B3.10). Les trois nouveaux paramètres deviennent
donc indépendants de ceux du modèle de base. On peut considérer arbitrairement que le
nouveau paramètre libre est Jmax. Pour fixer ce dernier, il nous faut déterminer un critère
ou une contrainte supplémentaire.
Or, une telle contrainte supplémentaire, qui n'était pas respectée chez Boucher 2012, est
d'obtenir des noeuds de Ranvier dont l'excitabilité est raisonnablement comparable à
l'expérience ; en particulier, le courant de biais (stimulus injecté) requis pour obtenir une
réponse immédiate devrait être une fort petite proportion (de l'ordre de 1 %) du courant
maximal pouvant traverser les canaux NaV lors d'un saut de voltage clamp très dépolarisant
(CE Morris, comm. pers.). Nous avons donc soumis notre modèle numérique à un saut de
voltage clamp (de V = V0 à V = +10 mV) et mesuré que la réponse JNa(t) obtenue avait un
maximum d'environ 1500 μA/cm2. Un stimulus «expérimentalement raisonnable» pour un
tel système devrait donc être de l'ordre de 15 μA/cm2. Ensuite, nous avons testé un
intervalle de valeurs de Jmax et choisi arbitrairement la valeur Jmax = 23,65 μA/cm2
puisqu'elle permettait d'obtenir une réponse immédiate avec un stimulus >15 μA/cm2. (Des
valeurs plus élevées de Jmax, en raison de l'effet hyperpolarisant des pompes, rendaient
nécessaire l'utilisation d'un stimulus démesuré.) Les conductances correspondantes pour
les fuites spécifiques sont donc gNa,fuites = 0,0625 mΩ/cm2 et gK,fuites = 0,0205 mΩ/cm2. Ces
valeurs sont plus proches de celles utilisées par Kager 2000 que celles trouvées dans
Boucher 2012 et Yu 2012.
3.B.6 Stimulation et propagation dans le modèle d'axone
Quand une stimulation était utilisée dans les travaux précédents, il s'agissait toujours de
l'injection d'un courant «de biais» constant (Boucher 2012) ou intermittent (Volman 2013).
Or, un courant d'amplitude constante permettrait dans notre modèle de générer un seul
type de réponse, soit une production périodique de potentiels d'action. Pour une même
amplitude de courant injecté, la fréquence des potentiels d'action dans un axone intact est
toujours la même.
Expérimentalement, un courant d'injection constant est la méthode de stimulation utilisée,
mais ce courant est injecté dans le corps cellulaire et non dans l'axone. Or, notre modèle
représente un segment d'axone et non un neurone complet. De plus, comme l'énoncent
les questions de recherche énoncées au bloc 3.B.1, nous voulons caractériser globalement
l'effet sur la propagation d'une zone endommagée de l'axone. Pour ce faire, il nous faut y
propager des potentiels d'action périodiques à différentes fréquences et aussi y propager
des trains apériodiques de potentiels d'action. Utiliser un courant constant comme stimulus
est donc hors de question.
Pour produire un train de potentiels d'action se succédant à des intervalles de temps
prédéfinis, il nous faut un train de stimulus appliquées aux mêmes intervalles prédéfinis et
28
Cette valeur présente aussi un avantage pour la stabilité du modèle : quand l'un des compartiments est stimulé (par exemple,
en injectant un courant ou autrement), le potentiel de membrane V change sans que les concentrations [Na] et [K] ne soient modifiées
d'un côté ou de l'autre de la membrane. Il en résulte une perturbation de l'état de repos qui doit pouvoir se résorber, si la stimulation
cesse, pour que le système de contrôle revienne à son point de départ. C'est ce que permet de façon efficace le choix Efuites = V0.
3.B.6 Stimulation et propagation dans le modèle d'axone
135
dont chacun produit une réponse immédiate. En d'autres termes, il nous faut imiter l'influx
rapide et transitoire de charge qui arrive dans un noeud de Ranvier sous l'effet d'un
potentiel d'action incident. Le meilleur modèle pour cela ne consiste pas à ajouter un
courant constant au membre de droite de l'équation 3.B.2, mais plutôt une somme de
fonctions delta de Dirac ΔVstimδ(t ! tstim), chacune correspondant à l'instant où la décharge
d'un potentiel d'action est souhaitée. L'effet d'une telle stimulation est de faire augmenter
V d'une façon discontinue par un incrément ΔVstim, lequel est un paramètre ajustable. En
pratique, l'augmentation se fait pendant la durée d'un pas temporel du schème d'intégration
(voir l'appendice C).
Il reste donc à ajuster le paramètre ΔVstim, qui est proportionnel à la quantité de charge
incidente à un noeud de Ranvier quand un potentiel d'action arrive. Une valeur trop faible
ne serait pas suffisante pour exciter le noeud de Ranvier, alors qu'une valeur trop élevée
aurait un effet démesuré, par exemple un impact sur plusieurs noeuds de Ranvier
consécutifs.
Nous avons testé, pour un intervalle de fréquences, l'effet d'un intervalle de valeurs ΔVstim
sur un noeud de Ranvier isolé. Cela nous a permis de produire un diagramme de phase
similaire à celui obtenu par Feingold 1988 dans le cas d'oscillateurs de Van der Pol et dont
la phase 1:1 sera explicitée à la figure 4.1A au prochain chapitre. La notation 1:1 signifie
ici qu'un potentiel d'action est déchargé pour un stimulus appliqué ; le diagramme complet
présenterait une suite de Farey complète, dont les phases les plus apparentes seraient,
dans l'ordre, 0:1 (à égalité avec 1:1), suivie de 1:2, suivie de 1:3 et 2:3, suivies des autres
phases de dénominateurs croissants (voir l'appendice A).
De toutes ces phases, celle qui nous intéresse physiologiquement est évidemment 1:1 car
elle correspond à une réponse au stimulus qui est fidèle. La valeur ΔVstim = 25 mV, qui a
ce comportement jusqu'à au moins 97,5 Hz, a été sélectionnée. Cette dernière fréquence
devient donc la fréquence maximale de stimulation du modèle.
Pour s'assurer que la méthode de stimulation est valide, il faut aussi s'assurer qu'en reliant
le noeud de Ranvier #1 à ses voisins grâce à une conductance , les potentiels d'action
qu'il décharge sont tous transmis du début à la fin du reste de l'axone. Pour un stimulus
d'amplitude ΔVstim = 25 mV, nous avons donc comparé le nombre de potentiels d'action
déchargés par le noeud #1 avec le nombre de potentiels d'action déchargés par le dernier
noeud de l'axone. On obtient encore une fois une suite de Farey, dont la figure 4.1C
(prochain chapitre) illustre les plages de fréquence et de conductances pour lesquelles ces
fréquences correspondent. Quand on augmente le nombre de noeuds de Ranvier que
contient l'axone, la frontière de cette plage tend asymptotiquement vers une limite ; comme
elle devient relativement immobile pour >10 noeuds, nous avons choisi ce nombre de
noeuds de Ranvier dans notre modèle. Pour un axone à dix noeuds, on observe deux
phénomènes :
•
Au fur et à mesure que la conductance  augmente, la fréquence maximale produite
par le noeud #1 non isolé diminue par rapport à celle produite par le même stimulus
quand il était isolé. C'est normal puisqu'une partie de la charge injectée dans le noeud
#1 peut désormais fuire vers les noeuds adjacents. En d'autres termes, la fréquence
136
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
maximale de stimulation du modèle est une fonction décroissante de .
•
Quand la conductance augmente, les potentiels d'action produits dans le noeud #1 sont
de plus en plus transmis : alors qu'il n'y a aucune transmission avec  < 0,13 mS/cm2,
la fréquence maximale où les potentiels d'action sont tous transmis croît quand 
augmente et pour  > 0,33 mS/cm2, rejoint la fréquence maximale permettant une
réponse 1:1 dans le noeud #1. En d'autres termes, la fréquence maximale de
propagation du modèle est une fonction croissante de  et cette fonction se confond
avec la fréquence maximale de stimulation pour  > 0,33 mS/cm2.
La conséquence de ces observations est claire : il faut choisir 0,13 <  < 0,33 mS/cm2. En
effet, une conductance >0,33 mS/cm2 fait en sorte que le stimulus appliqué au noeud #1
influence directement les noeuds voisins, puisqu'on ne peut plus distinguer la fréquence
maximale de stimulation et la fréquence maximale de propagation. Par ailleurs, distinguer
ces deux fréquences deviendra important quand on ajoutera du CLS au modèle d'axone :
sous l'effet du dommage, on s'attend à ce que l'axone endommagé manifeste des échecs
de propagation (propagation failure), un phénomène anormal dans un axone sain et
uniforme (Scott 2002). Or, pour assurer qu'on a affaire à un échec de propagation, il faut
pouvoir le distinguer d'un échec de stimulation.
Nous avons donc arrêté notre choix sur  = 0,33 mS/cm2, ce qui permet de maximiser la
fréquence maximale transmissible (85,1 Hz) tout en permettant de distinguer facilement
les limites de stimulation et de propagation.
Ceci complète notre revue de littérature et la présentation des étapes de conception de
notre modèle qui n'ont pas (ou peu) pu être explicitées dans l'article présenté au chapitre 4.
Nous allons maintenant voir comment ce modèle a permis de répondre de façon
satisfaisante à nos deux thèmes de questions de recherche.
3.B.6 Stimulation et propagation dans le modèle d'axone
137
Cette page est intentionnellement blanche.
138
Chapitre 3 : Membranes endommagées, questions de recherche et construction du modèle
Chapitre 4 : Article de recherche
Présentation
Ce quatrième chapitre fait suite au chapitre 3 en ce sens qu'il intéressera au premier chef
le lecteur averti. Il est composé d'un article, rédigé en anglais, qui sera soumis en
septembre 2013 à Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). La longueur
des articles soumis à cette revue étant limitée, une partie du contenu est présenté, à la
suite de l'article, dans la section Supporting information.
L'objet de l'article est de répondre aux questions de recherche que nous avons présentées
au début de la section 3.B. Notons que le début de l'article reprend d'une façon succincte
une partie du contenu de cette section, soit la fin du chapitre précédent.
Output infidelities modeled in mildly damaged axons
139
Cette page est intentionnellement blanche.
140
Chapitre 4 : Article de recherche
Stimulation-induced ectopicity and propagation
windows in model damaged axons
Mathieu Lachancea,b, Catherine E. Morrisc, Na Yub, André Longtinb,1, Béla Joósb
a. Département de physique, Cégep de l'Outaouais, 820 de la Gappe, Gatineau, Québec J8T 7T7 b. Ottawa-Carleton Physics Institute, 150 Louis Pasteur,
Ottawa, Ontario K1N 6N5 c. Ottawa Hospital Research Institute, Ottawa, Ontario K1H 8M5.
Submitted to Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
Neural tissue injuries render voltage-gated Na+ channels (Nav) leaky,
thereby altering excitability, disrupting propagation and causing
neuropathic pain related ectopic activity. In both recombinant systems
and native excitable membranes, membrane damage causes the
kinetically-coupled activation and inactivation processes of Nav
channels to undergo hyperpolarizing shifts. This damage-intensity
dependent change, called coupled left-shift (CLS), yields a persistent or
“subthreshold” Nav window conductance. Nodes of Ranvier simulations
involving various degrees of mild CLS showed that, as the system’s
channel/pump fluxes attempt to re-establish ion homeostasis, the CLS
elicits hyperexcitability, subthreshold oscillations and neuropathic type
action potential (AP) bursts. CLS-induced intermittent propagation failure
was studied in simulations of stimulated axons, but pump contributions
were ignored, leaving open an important question: does mild-injury
(small CLS values, pumps functioning well) render
propagation-competent but still quiescent axons vulnerable to further
impairments as the system attempts to cope with its normal excitatory
inputs? We probe this incipient diffuse axonal injury scenario using a
10-node myelinated axon model. Fully restabilized nodes with mild
damage can, we show, become ectopic signal generators (“ectopic
nodes”) because incoming APs stress Na+/K+ gradients, thereby altering
spike thresholds. Comparable changes could contribute to acquired
sodium channelopathies as diverse as epileptic phenomena and to the
neuropathic amplification of normally benign sensory inputs. Input spike
patterns, we found, propagate with good fidelity through an ectopically
firing site only when their frequencies exceed the ectopic frequency. This
“propagation window” is a robust phenomenon, occurring despite noise,
large jitter and the presence of several consecutive ectopic nodes.
shift” (27). With bleb damage, Nav channel activation and inactivation
(availability) undergo irreversible shifts in the hyperpolarizing
direction (left-shift). Given the tight kinetic coupling between fast
activation and fast inactivation in Nav channels (28,29), their damageinduced shifts will have the same magnitude LS (24). Because the
steady-state gNa(V) left-shifts, this corresponds to a “Nav-leak”. Thus,
for mild CLS, which is what interests us here, the steady-state gNa(V)
in the healthy Vrest range will increase, putting ion homeostasis under
stress, with the pumps continually overworked.
Previous node of Ranvier modeling established that when pumps
are included in the system, mild CLS alone induces action potential
(AP) bursting (27) in conjunction with subthreshold oscillations
(STOs) (30). Such ectopic activity is a feature of neuropathic pain and
is also seen in epileptic discharge (2,31). With ion gradients held
fixed, a large CLS applied to a single node will trigger ectopic activity
or block propagation (27). In those computations, LS was tested from
zero to 30 mV; as it increased, the damaged node first became
hypersensitive, then spontaneously active (ectopic) at increasing
frequencies until, above a certain LS, the adjacent healthy nodes were
unable to follow. Thereafter, only a fraction of the APs was
transmitted, and plotted against LS, this fraction showed a sequence of
plateaus (ie. phase-lockings), interlaced with narrow ranges of
aperiodic behavior. When stimulated, the damaged axon achieved
faithful transmission for small CLS but showed phase-locked
propagation pattern with failures at higher LS values (27). These
studies of saltatory conduction explored a wide range of LS values (0-
ectopicity onset | phase locking | neuropathic pain | coupled left-shift (CLS) |
Nav1.6 acquired channelopathies
Propagating nerve impulses rely on Na+/K+ fluxes through axonal membranes.
The fluxes are mediated by voltage-gated channels and restored by “Na/K
pumps”. With Na+ channel leakiness typical of damaged membranes
overstressing the pumps, our model axons become vulnerable to further usedependent impairments. This could explain baffling excitability dysfunctions
of mildly injured excitable cells. First, mildly damaged but quiescent axons
receiving normal impulse traffic from upstream neurons can abruptly switch
to generating ectopic neuropathic pain-like (or epileptiform) barrages of
impulses. Second, and perhaps counter-intuitively, more intensely damaged
sites firing ectopically can be dominated by incoming high-frequency impulse
traffic, enabling a “propagation window” of finite lifetime; the faithful
propagation of such impulse trains through a damaged zone is likely to
complicate diagnosis.
Significance
W
hether it originates from trauma, ischemia, degenerative disease,
sepsis, chemical insults or other causes, neuronal injuries lead to
assorted “acquired sodium channelopathies” (e.g., 1-2). The resulting
sick excitable cells manifest diverse abnormalities such as
hypersensitivity (3-5), ectopicity, propagation anomalies (3,6-14) and
neuropathic pain (15-19). Recently, it has been emphasized (20) that
a pathological feature of sick excitable cells with acquired sodium
channelopathies is bleb-type damage of the excitable (Nav-bearing)
membranes. Vicious cycles involving Nav-leak (21), Na/K pump
insufficiency and secondary Ca-excitotoxicity (22) are a known
pathological syndrome, and bleb-type (23) damage can be seen as part
of that syndrome (20), providing a plausible mechanistic explanation
for Nav-leak in sick excitable cells (24-26).
Using recombinant Nav1.6 (node of Ranvier Nav isoform), Wang
et al (24) showed, via Na+-dye and voltage clamp experiments, that
cellular trauma directly elicits TTX-sensitive Na+-loading and that
membrane aspiration (which produces bleb-damage) progressively and
irreversibly causes what now is termed Nav-CLS, or “coupled left-
Author contributions : ML, AL, CEM, NY and BJ designed research, ML performed research, ML analysed data, ML,
AL, CEM and BJ wrote the paper.
The authors declare no conflits of interest.
This article is a direct PNAS submission.
1
To whom correspondance should be addressed. E-mail : alongtin@uottawa.ca
This article contains supporting information online.
Output infidelities modeled in mildly damaged axons
141
Methods
A myelinated axon is modeled as N = 10 Hodgkin-Huxley-type (33) nodes of Ranvier, each
an isopotential compartment with membrane voltage Vi (where i = node number), with
adjacent nodes coupled by an internodal conductance  (see Table S1). In all simulations,
nodes reach an individual steady state before being connected together at t = t and
stimulation at node 1, if present, begins at t = tstim (see Table S1). Stimulation is applied at
precise times, periodically or not, in the form of delta functions, each causing a
discontinuous Vstim change of V1. In the intact (control) model, each delta function stimulus
causes the first node to fire an action potential (AP) and each AP fired by that node
propagates faithfully (1:1) to all other nodes, up to a “maximum 1:1 propagation frequency”
fmax. In the damaged model, node 6 (or nodes 5,6,7) is traumatized by applying CLS.
Additional details on model design are given in the Supporting Information (SI), including
explanations for choices of N, Vstim and  values.
Results
Ectopic activity can be triggered by stimulation. Consider an axon,
unstimulated at first, including a single mildly-damaged node 6
(0 < LS < 3.5 mV), all simulations beginning with ENa, EK, V, m, h and
n at their LS = 0 rest state. For this LS range, no ectopic activity
occurs, the CLS-induced Nav channels leaks being small enough that
pumps are able to keep up and the system simply settles to a new rest
state (slightly depolarized compared to the healthy axon’s). However,
stimulation can trigger ectopic behavior, as seen in Fig. 1a for LS = 3
mV: apart from a small increase in speed through node 6, the six first
APs propagate normally. If stimulation stopped after the fifth AP, the
system would return to quiescence, but the sixth AP triggers ectopic
behavior (asterisks, Fig. 1a). After this onset, retropropagated APs
initiated in node 6 collide with “normal” incoming APs and cancel
them, resulting in complex wave fronts in the first half of the axon and
complete domination of the damaged node over the second half. When
stimulation ends, ectopic activity persists until dozens of APs have
fired and gradient rundown renders the system unexcitable (t  2000
ms). Na/K pumps then slowly bring it back to its initial quiescent state.
This onset of ectopicity can be understood from the fact that, at
a sufficiently high propagation frequency, APs deplete ionic gradients
faster than Na/K pumps can restore them, so all nodes run down at
similar rates (see ENa and EK on Fig. S1). Further, with a diminished
142
triggering of ectopicity
a)
LS = 3 mV
r = 0.05 cm2/L
stim
voltages
V1
V6
*
wave
fro
fronts
V10
200
200
b)
# spikes required to
trigger ectopicity
30 mV) for fixed Nernst potentials, with constant current for
stimulation. Additionally, modeling excitability in the context of white
matter trauma, Volman et al (32) incorporated Nav-CLS and found
alterations in AP amplitude and propagation speed.
Here we model mildly damaged axons (mild Nav-CLS), the
situation for incipient diffuse axonal injury. With Na/K pumps
operational in all nodes, Nernst potentials are dynamic during saltatory
AP propagation. We find that concentration changes too small to be of
consequence in healthy neurons can have qualitatively important
effects in damaged nodes.
Additionally, by applying periodic or variously timed AP-like
(spike) input stimuli, we examine effects of Nav-CLS on AP
propagation fidelity. In the case of peripheral neuropathies, these
findings would apply to the early, acute phase of injury and
neuropathic pain, before central and peripheral sensitization have time
to occur. What abnormalities in spike count and timing are to be
expected? What propagated patterns will result, and can they explain
the painful amplification of normally benign stimuli? These are the
research questions considered here.
Two main findings are reported: 1) mildly damaged yet quiescent
axons, upon receiving normal AP traffic, are triggered into an ectopic
mode; 2) although an ectopically firing site dominates axon behavior,
normal AP trains of sufficiently high frequency can propagate through
this site with minimal alteration. The first finding could explain some
neuropathic pain phenomena. The model is presented in Methods. The
Results begin with ectopicity triggering then show how high frequency
spike trains propagate under various conditions.
400
400
*
time (ms)
600
600
800
800
60
71.4 Hz
20.0 Hz
13.3 Hz
10.0 Hz
40
20
ectopic
r = 0.05 cm2/L
node 6 damaged
non ectopic
0
0
1
LS (mV)
2
3
4
Fig. 1. Triggering of ectopic activity. (a) Mildly damaged (LS = 3 mV) node 6 remains non ectopic
if 5 APs or less are propagated, but becomes subtly but distinctly ectopic otherwise (asterisks); note
the wave fronts shape change. Stimulation is applied 10 times, every 30 ms, starting at tstim = 300 ms.
Wave fronts are drawn by connecting maxima of corresponding APs in adjacent nodes. (b) Minimal
number of APs required to trigger ectopicity. Curves are notably fstim-dependent only for low fstim and
large number of APs (because Na/K pump action between spikes is then consequential). Note that
our model, with r = 0.05 cm2/liter, becomes ectopic even in the healthy (control) system, if fstim is
sufficiently high. See also Fig. S2 and Fig. S3.
initial EK (Fig. S2), the system shows periodic ectopic firing with no
stimulation (30).
For an intact postsynaptic neuron, the consequence of
stimulation-triggered ectopicity in the pre-synaptic neuron would be
the arrival of 90 additional APs, beyond the 6 delivered by an intact
pre-synaptic neuron in the illustrated case. This induced ectopic
behavior could thus “amplify” a stimulus; occuring in an algoneuron,
the brain could interpret a minor stimulus as pain (34).
The onset of ectopic activity due to normal AP traffic would take
a long time for mildly damaged axons, because the ectopicitytriggering number of spikes (only six in Fig. 1a) would then be high.
Fig. 1b shows this number as a function of LS for a few stimulation
frequencies. The same occurs when three consecutive nodes (5-7) are
damaged; the graph is then qualitatively identical to Fig. 1b, apart
from a small horizontal compression towards smaller LS values
(Fig. S3). Ectopicity was detected when the total number of APs
reaching node 10 at all t > tstim was different in the control and
damaged systems. The number of spikes propagated is the main
determinant for the onset of ectopicity: for all LS > 2.5 mV and all
fstim > 20 Hz, this ectopicity-triggering number of spikes depends on
LS alone. It appears to also depend on frequency, but only when fstim
< 20 Hz and LS is low, because Na/K pumps then have some time to
partially replenish gradients between successive APs.
High frequency periodic stimulation can drive the ectopic node(s). We
now consider axons where the damaged node(s) exhibits spontaneous
ectopic firing (3.75 mV < LS < 10.75 mV). We will show that
propagation can still be achieved by overriding the ectopic site.
Stimulation is periodic unless otherwise specified. Below, fQ denotes
the ectopic firing frequency or “resonant frequency” of damaged
Chapitre 4 : Article de recherche
resonant freq fQ or firing
freq f6 of node Q (Hz)
max 1:1 propagation freq (fmax)
80
60
phase
locking
40
no phase
locking
stim @80.0 Hz
stim @62.5 Hz
without stim
20
0
0
4 LS (mV)
8
12
with phase locking (fstim = 83.3 Hz > fQ)
100 0
V1
V2
V3
400
time (ms)
500
600
stim begins
400
75
600
LS = 6.0 mV
r = 0
800
1000
node 1
node 6
after a settling time,
node 6 is driven
50
0
c)
200
400
time (ms) 600
800
1000
LS = 6.0 mV
r = 0
no phase locking (fstim = 57.1 Hz < fQ)
100 0
stim
300
wave
frequencies (Hz) fronts
b)
phase locking of damaged node
wave
frequencies (Hz) fronts
a)
no change in node 6
freq after stim begins
400
600
800
1000
200
400
time (ms) 600
800
1000
75
50
0
Fig. 2. Phase locking of damaged node. (a) Steady-state damaged node frequency as function of LS. Blue: ectopic frequency fQ (without stim); dark red and green: frequency f6 (with stim). Note that f6 = fstim
when fQ < fstim but that f6 = fQ when fQ > fstim; for f6 = fstim, all retropropagation has stopped. Phase locking occurs above the blue curve only. Thus, high frequency AP trains propagate despite the ectopic site.
Purple / green stars correspond to (b) and (c). (b) Wave front and time-dependent frequencies f1 and f6 when LS = 6 mV (fQ = 66.2 Hz) and fstim > fQ. Note the settling time required for f6 to become equal to
fstim. (c) Same as (b), with fstim < fQ. Note that f6 never changes after tstim. Inset : nodes 1-3 show the interplay of input APs with retropropagated APs. Note how some of the latter reach node 1 and cause a
stimulation failure (absence of AP fired in node 1 at the time of some stimulations), as in Fig. 1a.
node 6 in the unstimulated axon, and f6 its frequency when stimulated.
When LS > 3.75 mV (Fig. 2a, blue curve), ectopic firing occurs
spontaneously and frequency fQ increases monotonically as a function
of LS.
With no stimulation, the ectopic APs originating in damaged node
6 propagate forward and backward (see both Fig. 2b and Fig. 2c before
stimulation begins). With stimulation, f6 can differ from its
unstimulated value fQ, as the two sources of APs (nodes 1 and 6),
compete to stimulate the other nodes. When fstim > fQ, complex
interplays take place in nodes 1-6. Eventually, however,
retropropagation stops and 1:1 phase locking occurs with f6 = fstim
(Fig. 2a, right part of green and dark red curves; see also Fig. 2b).
settling time (ms)
a)
pattern settling time
500
max 1:1 propagation
freq (fmax)
85.1 Hz
83.3 Hz
76.9 Hz
71.4 Hz
66.7 Hz
57.1 Hz
50.0 Hz
44.4 Hz
40.0 Hz
400
300
200
100
0
0
b)
4
LS (mV)
8
12
steady‐state phase shift
voltages
V1
LS=0
LS=9.5 mV
V6
fstim = 85.1 Hz
r = 0
V10
1050
1100
time (ms)
1150
1200
Fig. 3. The two effects contributing to output infidelity when fstim > fQ. (a) Settling time increases with
LS and decreases with fstim. Note also that for fstim < fQ, settling time tends to infinity. Procedures used
to generate (a) are detailed in the SI. (b) Voltage traces (after settling time) of intact and damaged
(LS = 9.5 mV, for which fQ = 80.4 Hz) axons with same stimulation. Note the phase shift.
When fstim < fQ, retropropagation never stops and the damaged node
dominates the axon’s output. This output, at frequency fQ, shows no
fstim-dependence. Furthermore, no anterograde AP originating in
node 1 can reach node 10, since these collide and annihilate with
retrograde APs from node 6 (Fig. 2a, left part of green and dark red
curves; see also Fig. 2c). Note that 1:1 phase locking becomes
unachievable if fQ exceeds the maximum propagation frequency fmax
of the axon (LS > 10.75 mV on Fig. 2a).
When stimulating with fstim > fQ, f6 does not instantaneously
switch from fQ to fstim. Rather, a long “settling time” is required, during
which APs from node 1 still collide with the retropropagating APs
from node 6. Successive collisions occur further down the axon until
the collision point reaches the damaged node, which is thenceforth
driven at fstim (Fig. 2b). Under those conditions, the output frequency
at node 10 is determined by the stimulus at node 1, as if it were an
intact axon, but with a phase shift.
The situation is entirely different when fstim < fQ: the ectopic node
fully dominates the output of the axon (Fig. 2c). The firing frequency
of node 6 does not change after stimulation begins, while node 1 fires
erratically. This means that APs in nodes 7 to 10 originated in the
damaged node and are completely independent from the stimulus at
node 1.
Sources of input-output disruption under phase locking conditions.
When fstim > fQ, the steady-state frequency is identical to the control
system’s but there are, nevertheless, differences between output spike
trains in the control and damaged cases. As seen in Fig. 3a, there is a
non zero settling time, during which output APs in the control and
damaged systems differ. Further, there is a phase shift (Fig. 3b). The
combined effect of these two phenomena causes output infidelity
which we define below.
Fig. 3a shows that with increased LS and with reduced fstim,
settling times become longer (recall that increasing LS elevates fQ).
The long settling times are linked to the more robust ectopic firing at
such increased fQ. The ectopic node thus generates more
retropropagated APs that need to be annihilated by input APs before
steady-state 1:1 phase locking is achieved. Further, for a given LS, the
Output infidelities modeled in mildly damaged axons
143
1 damaged node
40
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0
30
20
10
0
output infidelity
b)
25
50
75
fmax
0
100
3 damaged nodes
40
LS = 3 mV
LS = 4 mV
LS = 7 mV
LS = 10 mV
LS = 17.5 mV
30
20
10
0
0
25
50
stim frequency (Hz)
75
100
Fig. 4. Propagation window. (a) Output infidelity as a function of fstim, evaluated with q = 0.2 ms-1 for
t Î [310.8, 810.8] ms, i.e. interval between first and last spikes in the control system’s output. Note the
wide minimum occurring in a band of large frequencies. This “propagation window” corresponds to
fstim > fQ cases. (b) Same with CLS affecting nodes 5-7 instead of only node 6. Note that the
propagation window still occurs, even though it’s less contrasted. Both panels include non
physiologically relevant points (fstim > 85.1 Hz) to show that ectopic node(s) dominates the axon again
when propagation failure starts occurring.
settling time decreases with increasing fstim, reaching its minimal value
for fstim = fmax, the maximum 1:1 propagation frequency (see Fig. 2 and
Fig. S1c). Thus, the settling time can never be zero. During settling
time, output spike trains from control and damaged systems can differ
significantly.
The phase difference between the outputs of the control and
damaged systems (also an increasing function of LS) is mostly due to
the altered excitability of node 6, resulting in locally accelerated
propagation; but it also results from the interplay occurring between
nodes 1 and 6. Close inspection reveals that, for the illustrated LS
value, the damaged node fires before the incoming AP reaches it
(Fig. 3b). This shows that the phase locking is not a local
phenomenon; it involves the interplay of all nodes up to the damaged
one.
144
Increased axoplasmic conductance counteracts ectopicity. An axon
traumatized in vivo is expected to swell in reaction to trauma and to
shrink due to its secondary degeneration (36-38). We modeled
swelling (shrinking) as a local  increase (decrease), affecting the
internodes located each side of the damaged node. Fig. 5 shows results
for LS = 4 mV (see Fig. S6 for other LS values): local swelling widens
the propagation window, at least for the mildest damages, while local
shrinking leads to opposite results.
These results follow from two mechanisms: 1) the local 
increase corresponds to an increased coupling between nodes 5 and 6,
which reduces the phase shift described in Fig. 3b; 2) the settling time
is also reduced. The latter results from a new ectopic frequency fQ
which is reduced from fQ, due to the local  increase (see red star on
150% curve in Fig. 5 with propagation window fstim  50 Hz  fQ,
while Fig. 2a shows fQ  53 Hz for the same LS). This change in fQ
occurs because a larger part of the charge leaking through Nav
channels flows to neighboring nodes, making it harder to reach
threshold in the damaged node.
Propagation window affected oppositely by stimulation jitter and weak
dynamic noise. So far, we used deterministic, periodic stimulation. We
will now investigate two stochastic effects likely to appear in vivo:
jitter in the stimulation timing (e.g., due to variability in AP generation
upstream of the system’s first node) and noise in the transmembrane
currents (e.g., caused by stochastic behavior of the voltage-gated
channels). The procedures used to simulate jitter and noise are
local internodal conductance 
40
LS = 4 mV
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0
30
20
150%
150%
150
%
125%
%
125%
125
normal
value
no
rmal  κval
ue
normal
value
80%
80%
80%
10
0
0
25
fmax
A “propagation window” where output infidelity is minimal. A
quantitative evaluation of output infidelity requires taking both settling
time and phase shift into account. To do so, we generated “output
spike trains” (i.e. list of times when maxima of APs occur at node 10)
for the damaged and control system fed the same input, and we
compared them using the “VP distance” (i.e. the cost-based metric
introduced in (35)). The VP distance is the minimal “cost” of
transforming a spike train into another; if adding or removing a spike
is assigned an arbitrary unitary cost while shifting a spike by t costs
qt. Details and an example are given in SI (see Fig. S4). Note how q,
an arbitrary parameter with units of cost per ms, weighs the
importance given to shifts in spike timings relative to changes in spike
count. Physiologically, this q parameter could therefore indicate the
resolution of a postsynaptic neuron acting as a coincidence detector:
when qt is very low, a spike shifted by t could still be detected as
coincident with a spike received from another neuron; otherwise, the
two spikes would be considered independent. In extreme cases, when
q = 0, the VP distance equals the difference in spike count, while for
large q, it equals the sum of both spike counts. This VP distance will
hereafter be called “output infidelity”: the higher it is, the more
different the two compared spike trains. Note that its use is not
restricted to periodic patterns.
The effect of LS and fstim on output infidelity was investigated.
Periodic stimulation was applied for t  [300, 800] ms. Since 1.2 ms
per internode was allowed for propagation, and there are 9 internodes,
output trains were compared for t  [310.8, 810.8] ms. Thus, the
calculation of output infidelity includes the settling time but not
ectopic spikes fired before/after the stimulation period. Figs. 4-6 used
500 ms of stimulation and q = 0.2 ms–1 (see Table S1), and results are
independent of these choices (Fig. S5). Fig. 4a plots output infidelity
as a function of fstim. When LS = 3 mV (for which no ectopic firing
occurs, see Fig. 2a), output infidelity is nearly zero; spike trains
propagate faithfully regardless of their frequency. Then over a range
of LS values (3.75 mV < LS <10.75 mV) and fstim > fQ there is still 1:1
phase locking after a settling time (see Fig. 2 and Fig. 3). One
therefore expects faithful propagation in a “propagation window”
fQ < fstim < fmax (Fig. 4a). At the lowest end of the above LS interval,
this window is at its widest (because fQ is the smallest) and its deepest
(because the settling time is at its shortest).
In vivo stretched axons would incur damage over several nodes.
Fig. 4b, drawn with nodes 5-7 damaged, shows that a propagation
window should still be expected in such situations. Note that
replicating the damage over three nodes does not triple the infidelity
in the propagation window, but barely increases it.
output infidelity
output infidelity
a)
*
50
stim frequency (Hz)
75
100
Fig. 5. Local increase of internodal conductance reduces infidelity. The LS = 4 mV curve from Fig.
4a is called “normal” here; other curves use the same parameters, except ' (respectively 0.24, 0.375
and 0.45 mS/cm2 for the 3 new curves) is used instead of  between nodes 5-6 and 6-7;  remains
at 0.3 mS/cm2 for all other internodes. See also Fig. S6.
Chapitre 4 : Article de recherche
Discussion
output infidelity
a)
40
effect of jitter
no jitter
1 ms stdev
2 ms stdev
3 ms stdev
4 ms stdev
5 ms stdev
20
10
0
output infidelity
40
0
25
effect of noise
50
75
20
no noise
A=0.00125
A=0.0025
A=0.03
0
0
25
100
LS = 4 mV
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0
30
10
fmax
b)
LS = 4 mV
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0
30
50
stim frequency (Hz)
75
100
Fig. 6. Effects of stochasticity. (a) Indidelity as a function of fstim for increasing stimulation jitter at
node 1. The Gaussian jitter has zero mean and standard deviations as listed. (b) Infidelity as a
function of fstim with dynamic current noise modeled as Gaussian white noises added independently
in Eq. S1 for all nodes (see SI).
described in the SI. Here, LS = 4 mV so that curves can be compared
with the deterministic result (green curve in Fig. 4a, reproduced here).
Examples of jittered and noisy time series are shown in Fig. S7.
As shown on Fig. 6a, the mildest jitter (standard deviation = 1
ms) has a negligible effect on infidelity. However, increasing the jitter
further increases infidelity in the propagation window, eventually
destroying the window completely. Dynamic noise has richer effects:
while strong noise obliterates the propagation window, weak noise
(A < 0.015; two curves on Fig. 6b) does the opposite: it improves the
propagation band. This is a novel instance of “noise-assisted
propagation” based on stochastic resonance (39,40), here in a
pathological context.
Ionic gradient depletion gives propagation window a finite lifetime.
Simulations in the ectopic regime reported in Figs. 2-6 were run with
ENa and EK fixed at healthy values (implemented by using a zero
surface to volume ratio, r). This simplification allowed for a steady
state with a fixed fQ after a settling time, letting us examine
propagation fidelity as a function of parameters characterizing
damaged axons. However in reality the surface to volume ratio is non
zero. In Fig. S8, the curves shown in Fig. 4a for the output infidelity
as a function of fstim are redrawn with r =0.05 cm2/liter, a high value
chosen specifically to illustrate, in a reasonable simulation time, the
importance of finite volumes. With this value, the propagation window
disappears within a few hundred ms. This indicates that 1:1 phase
locking has been lost. This lost results from the gradual increase of fQ
associated with the diminishing EK values (see Fig. S2), with 1:1 phase
locking being lost once the condition, fstim > fQ, is no longer respected.
Since nothing stops fQ from increasing beyond fmax, recurrent transitory
propagation windows can be expected in real axons for the duration of
time when the Na/K pumps are unable to maintain EK.
Thus the propagation window found under constant reversal
potentials has a finite r-dependent lifetime. In other words only a
stimulus of finite duration can be transmitted; for ongoing stimulation,
the propagation window will appear and disappear via an interplay of
stimulus and gradient depletion/recovery time scales.
Nerve damage and its connection to neuropathic pain and its
complications are under intense scrutiny. A model of incipient mild
nerve injury provides fertile ground to study a host of pain-related
phenomena, including allodynia-like amplification of normally benign
stimuli. Here, we have studied the interaction of a stimulated node and
a one- or three-node damaged zone in a mildly-damaged axon.
Damage was modeled as an irreversible coupled left-shift (CLS)
of activation and inactivation processes in the Nav channels, a form of
Nav-leak that a growing body of evidence links to mechanical or
chemical injuries in various types of excitable cells (24,41,42; see also
43). Depending on the magnitude of LS, two behaviors were observed:
either the unstimulated system settled to a fixed point or its damaged
node immediately exhibited periodic ectopic firing. There were no
situations where it started firing ectopically only after a delay.
These two dynamical behaviors underlie our two main findings
observed in the presence of pulsatile (AP-like) stimulation. Firstly, we
showed that a mildly-damaged node of Ranvier, below the range of LS
values that lead to ectopic firing in the absence of stimulation, can
switch behavior and become an ectopic site once the K+ concentration
gradient is sufficiently depleted (Fig. 1). This resembles an
afterdischarge (44) but occurs before the end of the stimulus. This
result provides a mechanism by which a small stimulus (normally
causing 6 APs in the case illustrated on Fig. 1a) triggers ectopicity and
causes the axon to fire dozens of APs. The postsynaptic neuron would
respond as if the stimulus was much greater than it is in reality. If such
a phenomenon occurs in a sensory neuron, it could be responsible for
painful amplification of normally benign stimuli, typical of clinically
observed conditions like allodynia or hyperalgesia (18).
This result is consistent with observations showing that changes
in gene expression are insufficient to cause neuropathic pain, that
abberrant Nav activity alone can lead to allodynia, and that blocking
Nav channels in animal models is neuroprotective and delays the onset
of neuropathic pain (45). Our model predicts that the onset of
ectopicity can occur not long after the damage, and still occur as long
as the neuron lives. Therefore, it can be compared with observations
done both before and after central sensitization takes place. In the
latter case, it could explain why some patients’ tactile allodynia needs
to be set off by scratching or some other stimuli (46)
Extending the damage to three adjacent nodes shifts the onset of
ectopicity towards lower LS values (see Fig. S3, an extension of
Fig. 1b). It has no other noticeable effect on the phenomenon reported
here, which should therefore be expected in experiments despite the
method used to damage the axon and the physical extent of the trauma
produced (as long as it remains mild enough). We should also note
that, according to Fig. 1b, a large decline of EK should trigger
ectopicity even in an intact axon, as Vrest depolarizes towards threshold
(see also 47,48). This occurs sooner in damaged nodes because
threshold is hyperpolarized by the CLS-induced window conductance
shift. Thus, even though we are dealing with a “sodium leak”, EK plays
a fundamental role in the excitability dysfunction.
Our second finding concerns the possibility of spike train
propagation despite the presence of an ectopic site: while the ectopic
node of Ranvier sends APs in both directions in a non-stimulated
axon, high frequency stimulation (i.e., higher than the ectopic rate) can
enslave the ectopic site by causing it to become phase locked to the
incoming signal, a phenomenon similar to behaviors seen in damaged
sciatic nerve (49). Once the short transient period necessary to
overcome retropropagating APs passes, the incoming spike train is
transmitted with minimal alteration. Note that this occurs in the same
way regardless of whether the ectopicity was spontaneous or triggered
by stimulation. Interestingly, these results imply that neurons that
typically fire at high frequency should be less affected by CLS-type
Output infidelities modeled in mildly damaged axons
145
damage. Additionally, this faithful high frequency propagation could
mask unhealthy dynamics, emphasising the need to test the frequency
dependence of excitability in neurodiagnostic techniques such as
threshold tracking (50).
It is important to note that our model as constructed (notably with
r = 0.05 cm2/L) will see its gradients depleted when firing occurs over
an extended period of time, whether in the healthy (Fig. S1d) or
damaged state (Fig. S9b): as Fig. 1b shows for LS = 0, the healthy
system becomes ectopic if fstim  20 Hz, revealing sufficient EK
depletion, but keeps firing continuously with a steady state reversal
potentials if fstim  13.3 Hz. Our results indicate that the propagation
window will eventually disappear because of the depletion of the
gradients (this was done here in an exaggerated manner by choosing
a large ratio r). Nevertheless a stream of temporally segregated stimuli
such as bursts generated at the soma would have a higher likelihood
of propagation due the recovery of the gradients during the pauses.
One wonders whether there may be a link between these depletion
recovery dynamics and the “shooting pain”-type perception of
neuropathic stimuli coming in waves (eg. 51).
This “frequency window” of reliable propagation, where
ectopicity is overridden, is a robust phenomenon that should be
expected in experiments. Indeed, it still occurs when there are a few
consecutive ectopic nodes (Fig. 4b), it resists high levels of jitter in the
incoming train (Fig. 6a) and it is even fortified by mild levels of noise
in the channel currents (Fig. 6b) through a stochastic resonance effect.
In the presence of sustained high frequency input, the 1:1 phase
locking of the ectopic site can only be lost if EK becomes strongly
diminished (Fig. S9). This robust prediction can also lead to a
reinterpretation of clinical observations that might have been
overlooked. One might conjecture that some behaviors (eg. frenetic
scratching or other intense stimulus) practiced by people with tactile
allodynia elicit high frequency firing in affected neurons; this firing
phase locks 1:1 and produces an expected, and thus normal-feeling,
sensation.
We should finally stress that our results are expected to be
generally applicable to all neurons. All frequencies and results covered
in this article are “scalable” if the model parameters are adjusted. In
other words, onset of ectopicity or a propagation window should both
be expected in all axons whatever their maximum frequencies are.
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146
Acknowledgments
ML thanks PA Boucher for useful discussions. BJ and AL
acknowledge NSERC (Canada) support, and CEM from OHRI.
Chapitre 4 : Article de recherche
Supporting information
Lachance et al
SI Methods
Intact nodes of Ranvier. Each of the N = 10 nodes of Ranvier was
modeled as an isopotential compartment with membrane voltage Vi
given by:
C
dVi
  Na,i   K,i   pump,i   Na,leak,i
dt
 K,leak,i   leak,i   (Vi 1  Vi 1  2Vi )
[S1]
VGC currents. The voltage-gated sodium and potassium currents were
modeled using the equations of the Hodgkin-Huxley (HH) model (1),
with the usual kinetics for the Na- and K-gating:
 Na,i  g Na mi2 hi (Vi  ENa,i )
[S2]
 K,i  g K ni4 (Vi  EK,i )
[S3]
where mi and hi model the activation and inactivation (availability) of
the Nav channels while ni is the Kv channel gating variable. However,
in this work, the HH model is augmented with time-varying
concentration-dependent Nernst potentials ENa and EK given by
kT  X o,i
ln
e
 X i,i
X   Na, K
[S4]
where the indexes o and i denote outer and inner concentrations
respectively. Time-dependence of the concentrations is described
below. In the HH model, the three gating variables evolve in time
according to
dxi
  x ,i (1 xi )   x ,i xi
dt
x  m, h, n
 h  0.07 exp(
n 
V  65
20
0.01(V  55)
1 exp( 5.5  0.1V )
1
 h  1 exp( 3.5
 0.1V )
 n  0.125exp(
[S6]
V  65
80



2

[ Na  ]i


 [ Na ]i  K M,Na



3
[S7]
where the exponents show up because the pump exchanges three inner
Na+ ions for each two outer K+ ions.
The point of introducing pump currents is to investigate timedependent ionic concentration changes. Na+ and K+ concentrations at
each node evolve according to
d[X]o
r
d[X]i

  X   X,pump   X,leak 
dt
dt
F
X   Na, K
[S8]
where INa,pump = 3Ipump, IK,pump = –2Ipump, IX is the VGC current given by
Eq. S2 or S3, F = NAe = 96472 C/mol is the Faraday constant, r =
0.05 cm2/L is the surface to volume ratio of the node of Ranvier and
the inner and outer volumes are considered equal for simplicity. Note
that 0.05 is a rather high value for r, chosen to shorten computation
time without affecting phenomena qualitatively.
Concentration changes given by Eq. S8, in turn, affect the Nernst
potential that appear in Eq. S2 and S3. Since these concentration
changes are orders of magnitude slower than HH kinetics, they are
neglected in some simulations. We did so by setting r = 0 in Eq. S8,
not by returning to a standard HH model with Ipump = 0 and IX,leak = 0.
This ensures that constant concentrations are a limiting behavior of
our model, not a feature of an entirely different model; it also
promotes comparability of the results.
Leak currents. The sixth term in Eq. S1 is the regular HH unspecified
leak current of the HH model, given by:
 leak  g leak (V  Eleak )
 m  4 exp( V1865 )
)
[ K  ]o

 [ K ]o  K M,K
[S9]
[S5]
The forward (a) and backward (b) rate functions are considered to be
functions of the voltage Vi only that can be found in (1):
0.1(V  40)
 m  1exp(
4  0.1V )

 pump   max 
where i = 1, …, N is the node number. The last term on the RHS is the
inter-compartment current and uses V0 = V1 and VN+1 = VN boundary
conditions. The six first terms are transmembrane currents: the two
currents (Na+ and K+) controlled by voltage-gated channels (VGC), the
currents mediated by the population of Na/K pumps, and three ohmic
leak currents (sodium, potassium and unspecified).
EX,i 
Pump currents and concentration time dependence. Even though the
activity of Na/K pumps shows a small dependence on voltage, in
normal conditions it depends mostly on the concentration of the
substrate (4). Therefore, we model the pump current at each node
using the Michaelis-Menten enzyme kinetics model, as was also done
in (5):
)
where the indexes i = node number were dropped, here and in all
following equations, to ease notation and to avoid confusion with
i = inner. Previous work (2) argued that HH kinetics approximates
results obtained with more evolved models (eg, (3)) in which the kinetic
coupling of activation and inactivation (availability) in Nav channels is
represented using a many-state allosteric Markov model. The HH model,
however, presents the advantage of using much less computational time.
However, when pumps are added in the model, specified leak currents
IX,leak are also required: indeed, the total Na+ and K+ currents, found
between square brackets in Eq. S8, need to both be zero when the node
is at rest. Since the pump current is never zero and since there is a
window current involving INa and IK even at rest potential, specified
leak currents are needed to balance total Na+ and total K+ currents
separately (2). They are given by
 X,leak  g X,leak (V  EX )
X   Na, K
[S10]
All equations were solved with RK4 method with variable timestep,
implemented on a PC using code in C language. The variable timestep
was adjusted as suggested in (6): the 5th order term was monitored and
kept just below a 410–12 target. This term was then added to the 4th
order (RK4) result.
Chapitre 4 : Supporting information
147
Damaged node(s) of Ranvier. In our computational model, irreversible
CLS of activation and inactivation of the Nav channels is readily
modeled by shifting the voltage dependence of m, h, m and h by an
amount LS (i.e. replacing V by V + LS in Eq. S6, in the damaged
node(s) only).
Individual channels are not modeled explicitly; rather, we assume
all channels in the damaged (i = 6  Q) node of Ranvier are leftshifted by the same LS value. In some figures, nodes Q±1 were also
damaged, with the same LS value as for node Q. We do not consider
situations where a distribution of LS values occurs at a same node,
even though we expect our results to be easily extended to those
situations.
Parameter selection. Unless stated otherwise, all parameters in the
above equations take the values listed in Table S1. Of those, the
classical parameters (C, gNa, gK) were chosen identical to the ones in
(7). The three parameters gNa,leak, gK,leak and Imax needed to be chosen to
cancel the total Na+ current and the total K+ currents in the resting
state. These two constraints for three unknowns left one degree of
freedom. The last constraint that we considered is qualitative: the node
should respond readily to a stimulation current which is a small
fraction of the total Na+ current observed during an AP. This
consideration led us to select a reasonably small Imax. Finally, three
remaining parameters (, N and the stimulation amplitude Vstim, to be
defined) will now be discussed in greater detail.
Simulations with a damaged axon will be compared with
identical simulations on an intact (control) axon. This intact axon
should behave normally: each time it is stimulated, it should fire an
AP and each AP fired should be propagated faithfully in all nodes.
Also, behavior should be independent of N, the total number of nodes.
The last three parameters, , N and Vstim, were chosen to ensure this
expected behavior (Fig. S1).
Stimulation at the initial node of the axon. To allow for the study of
both periodic and aperiodic spike trains, node 1 has to be stimulated
with timed delta functions, each causing an instantaneous Vstim
discontinuity in V1. To select an appropriate value for Vstim, we fed
periodic stimulation of various heights Vstim and frequencies fstim,
using r = 0 and  = 0, and kept track of the ratio of firing frequency to
fstim. Fig. S1a shows (in green) the range where this ratio is 1:1 and
shows the value selected, Vstim = 25 mV. When r > 0 is restored, the
system behaves normally for a prolonged stimulation period
(Fig. S1b). When propagation is restored ( > 0), the limit of the 1:1
zone slightly shifts towards lower frequencies (see “stim failure” limit
on Fig. S1c).
Outside the green range on Fig. S1a, too large Vstim caused
period doubling while too large stimulation frequencies caused partial
response, with or without phase locking (other than 1:1). Interestingly,
partial responses involved a Farey sequence of phase locked zones,
surrounded by zones of aperiodic behavior, much like what Feingold
et al (8) obtained in an externally driven van der Pol oscillator. Also,
the green zone boundaries were slightly dependent on ENa and EK, as
shown by the curves in Fig. S1a. The tested values of ENa and EK are
typical of the depletion that occurs during a prolonged (300 ms)
stimulation (red and green curves on Fig. S1b).
Propagation along the axon and length of the axon. In Eq. S1, the
saltatory propagation along the computational axon was modeled by
considering each internode as a single ohmic conductance  linking
two consecutive nodes of Ranvier. This is equivalent to assuming that
the myelinated internodes have negligible capacitance. Consequently,
their RC charging time constant is so small compared to the node of
148
Table S1. Constant parameters
Symbol
Signification
Normal value
Other value
Membrane properties
C
Nodal capacity
1 :F/cm2
gNa
Nav channel max
conductance
120 mS/cm2
gK
Kv channel max conductance
36 mS/cm2
gleak
Unspecified leak
conductance
0.5 mS/cm2
gNa,leak
Na-specific leak conductance
0.0625 mS/cm2
gK,leak
K-specific leak conductance
0.0205 mS/cm2
Eleak
Unspecified leak reversal
potential
!65,4946 mV
Vrest
Rest potential
!65,4946 mV
Imax
Na/K pumps max current
23.6505
:A/cm2
KM,Na
Na/K pump Na+ MichaelisMenten constant
10 mM
KM,K
Na/K pump K+ MichaelisMenten constant
3.5 mM
T
Temperature
20 EC
Eq. S5 given in (1) for
squid axons at 6.3 EC
r
Nodal surface to inner
volume ratio
0.05 cm2/L
0 cm2/L used in Figs 26 and Figs. S5-S7.
-
Nodal inner to outer volume
ratio
1
Axon properties

Scaled internodal
conductance
0,30 mS/cm2
Fig. S1a uses 0. Fig. 5
and Fig. S6 both use
4/5, 5/4 and 6/4 of this
value, for internodes 56 and 6-7 only.
Q
Damaged node number
6
Fig. 4b and Fig S3b
also have nodes Q±1
damaged
N
Number of nodes in model
axon
10
1 in Fig. S1a, various
in Fig 1c.
Average over several
equidistant values in
Fig. 3a.
Simulation parameters
tLS
Instant at which CLS is
applied to damaged node(s)
0 ms
tk
Instant at which nodes are
connected togheter
100 ms
tstim
Instant at which stimulation
starts
300 ms
ΔVstim
Amplitude of each stimulation
applied to node 1
25 mV
fmax
Maximum 1:1 propagation
frequency
85,1 Hz
fstim
Stimulation frequency
-
0 < fstim < fmax
0.2 ms!1
various in Fig. S5a.
Various in Fig. S1a
VP metric parameters
q
weight parameter
Chapitre 4 : Article de recherche
Vstim effect on isolated node response
a)
60
fQ < 42 Hz
fQ > 48 Hz
stim heigth Vstim (mV)
45.5‐48 Hz
zone of 1:1 firing response to stimulation
40
ENa = 51.9
EK = 81.3
ENa = 47.4
EK = 69.1
ENa = 44.3
EEEKK == 61.99
‐61.9
61.
EK
K = 61.9
(mV)
selected value for Vstim
20
zone of partial response (with or without phase locking)
0
V1 (mV)
b)
50
100
150
stim frequency (Hz)
V
ENa
EK
20
‐20
‐60
stim (at 75 Hz)
‐100
0
300
600
900
1200
time (ms)
1500
 and N effect on AP transmission
c)
internodal conductance κ
0,45
2 nodes
3 nodes
5,7 nodes
10,15 nodes
fmax = 85.1 Hz
selected value for 
0,3
zone of node 1 stim failure
zone of 1:1 propagation
0,15
zone of
propagation failure
stim failure limit
0
0
40
stim frequency (Hz)
d) with selected 
= 0.30 mS/cm2, N
80
120
= 10 values
V1
V10
stim (at 75 Hz)
0
300
600
900
time (ms)
EK (mV)
depletion of
Na+ gradients
51.65
ENa (mV)
with selected Vstim = 25 mV value
60
42‐45.5 Hz
‐75.85
46.55
0
voltages (mV)
ectopic frequency
‐71.45
1200
1500
Fig. S1. Parameter tuning of the intact (control) system. (a) In green : range of stimulation strengths
(DVstim) and stimulation (stim) frequencies for which the isolated first node fires each time it is
stimulated. The limit of the green zone (bounded by the curves) is recomputed for three fixed ENa
and EK values (r = 0), with k = 0. Value selected and used throughout this article : DVstim = 25 mV.
(b) Typical response of isolated node (k = 0) to prolonged periodic stimulation (denoted by black bar),
once r = 0.05 cm2/L is restored (DVstim = 25 mV). Note that this r value is chosen large to promote
rapid depletion of the Nernst potentials. (c) In green : range of internode conductances (k) and stim
frequencies for which APs fired in node 1 are faithfully propagated to all N nodes. Limit of green zone
is recomputed for various axon lengths (N), with r = 0. Values selected and used throughout this
article: N = 10 nodes and k = 0.30 mS/cm2. Note that the control system behaves normally for all stim
frequencies <85.1 Hz. (d) Typical response to stimulation of the 10-node intact axon, once
r = 0.05 cm2/L is restored (stim as in (b), k = 0.30 mS/cm2). The top node (i = 1) is the one being
stimulated.
Ranvier’s that the nodes can be assumed to directly charge one
another. This approach was previously used in (7) and in a small
portion of (2), although only constant current stimulation was used.
To select an appropriate value for , we fed periodic stimulation
(Vstim = 25 mV) of various fstim, using r = 0, to axons having a range
(normal ENa)
Fig. S2. Ectopic frequency as a function of ENa and EK, drawn for LS = 3 mV, r = 0, tLS = tk = 0 and no
stimulation. White zone = not ectopic. Note that diminishing EK brings the system into ectopicity, while
diminishing ENa does the opposite.
of  values, and kept track of the ratio fN/f1 of the firing frequencies of
node N and node 1. Fig. S1c shows (in green) the range where this
ratio is 1:1 and the value selected,  = 0.3 mS/cm2. (We separately
tested that  was still low enough to prevent subthreshold oscillations
to be propagated.) For short axons, the limit of the green zone on
Fig. S1c was found to be N-dependent, but not above N  10, the value
we have thus chosen. At the right of the “stim failure” line, f1 < fstim
(zone of “stim failure”) while at its left, despite the fact that f1 = fstim,
there is a zone where f10 = f1 (green zone) and another where f10 < f1
(zone of “propagation failure”). Therefore, at  = 0.3 mS/cm2,
propagation failure can be distinguished from stimulation failure. As
for stim failure, propagation failure involves a Farey sequence of
phase locking zones. When r > 0 is restored, the system behaves
normally for a prolonged stimulation period (Fig. S1d). It does so for
all firing frequencies  85.1 Hz.
SI Results
Onset of ectopic activity. Fig. S2 shows the limit between quiescent
and ectopic behaviors as a function of ENa and EK. Diminishing EK
reduces the K+ driving force and increases the rest potential, bringing
it closer to firing threshold. Diminishing ENa partially inverts that
effect, but occurs too slowly to prevent the onset of ectopicity. Note
that once ectopicity is triggered, further decline of EK increases fQ (see
also Fig. S8).
Fig. S3 shows how the propagation of normal APs (i.e. those
caused by a stimulation in node 1) can gradually diminish ENa and EK
until the boundary shown in Fig. S2 is crossed. The top panel of
Fig. S3a is a repetition of Fig. 1b for comparison and the top panel of
Fig. S3b is the same obtained with nodes 5-7 damaged, while the
middle and lower panels are, respectively, the values of EK and ENa at
the time of the next stimulation following the onset of ectopic activity.
Note how ectopic activity is triggered when a limit value of EK is
reached, whatever the value ENa reached at the same time (this is
mostly obvious on low fstim curves).
Evaluation of the settling time in Fig. 3a. To draw Fig. 3a, the following
procedure was followed:
1) Delays between the nth output spike in control and damaged axons
were computed.
2) We tested if those delays converged towards a constant (potentially
non zero) value (a small fluctuation was tolerated). If not, the settling
time is infinite (longer than the simulation duration) and procedure
stops. Otherwise, 1:1 phase locking is considered detected.
3) If phase locking is detected, we found the instant tlock when
consecutive delays started differing by less than 0.5 ms (we ensured
that this difference didn’t re-increase later by conducting the search
Chapitre 4 : Supporting information
149
1 damaged node
EK at onset
# spikes required to
trigger ectopicity
a)
3 damaged nodes
b)
60
60
40
40
20
ectopic
r = 0.05 cm2/L
node 6 damaged
0
‐59 0
20
non ectopic
0,5
5
1
,5
2
2,5
5
ectopic
r = 0.05 cm2/L
nodes 5‐6‐7 damaged
non ectopic
0
3
,5
4
0
1
2
‐65
ectopic
ectopic
‐69
‐72
non ectopic
‐79
non ectopic
‐79
50 0
1
50 0
2
1
non ectopic
ENa at onset
71.4 Hz
20.0 Hz
13.3 Hz
10.0 Hz
non ectopic
43
43
ectopic
ectopic
36
36
0
1
2
3
4
0
2
1
LS (mV)
3
LS (mV)
Fig. S3. Triggered ectopicity. (a) First panel: repetition of Fig 1b. Middle and lower panels: corresponding EK and ENa at the time of the next stimulation following the onset of ectopic activity. (b) Same as
(a), with nodes 5-7 damaged. Note the change in horizontal scale.
VP metric (output infidelity). The Victor-Purpura (VP) metric (9) allows
to compare two spike trains (Sa and Sb on Fig. S4) by evaluating the
a) Sa
minimal series of elementary steps required to transform one of these
trains into the other. Two elementary steps are possible, a “cost” being
associated to each: adding/removing a spike (cost = 1) or shifting a
spike by Δt (cost = qΔt, where q is an arbitrary parameter). All
a)
output infidelity
with decreasing t). Once this instant was located between two
consecutive spikes, we linearly interpolated the precise tlock.
4) The settling time was then equal to tlock ! tfirst, where tfirst is the
instant when the first AP reaches node 10 in the control system.
5) Finally, the result of step 4 was found to be dependent on the phase
of the ectopic node at the instant when stimulation begins (remember:
since node 6 is ectopic, it already fires at frequency fQ before
stimulation begins). To eliminate the influence of this factor, steps 1-4
were repeated 5 times, using equidistant phases obtained by changing
tLS. The five results were then averaged to yield a point of Fig. 3a.
90
60
LS = 4.0 mV
500 ms stim
r = 0
30
0
Sb
0
b)
b) Sa
30
60
effect sof tim duration
tims frequency
(Hz)
30
output infidelity
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
Sb
20
100ms stim
200ms stim
300ms stim
400ms stim
500ms stim
600ms stim
LS = 4.0 mV
q = 0.2 /ms
r = 0
10
0
0
Fig. S4. VP metric. (a) Two spike trains to be compared. (b) An example series of steps transforming
Sa into Sb, as involved in the VP metric that we use to measure infidelity. Modified from (9).
150
effect of q parameter
q = 0.00 /ms
q = 0.05 /ms
q = 0.20 /ms
q = 0.50 /ms
q = 2.00 /ms
q = 3.00 /ms
q = 5.00 /ms
30
60
stim frequency (Hz)
fmax 90
Fig. S5. Infidelity parameters (q and total stimulus duration) have no qualitative effect on results. (a)
LS = 4 mV curve from Fig. 4a recomputed for various q values. Note that all curves q < 5 ms-1 show
the propagation window. (b) LS = 4 mV curve from Fig. 4a recomputed for a range of stimulus
intervals. Note that, as the stim duration is increased, settling time represents a smaller proportion
of the comparison interval.
Chapitre 4 : Article de recherche
effect of local internodal conductance 
output infidelity
45
45
 X 0.80
45
 X 1.25
30
30
30
15
15
15
0
0
30
0
90 0
60
30
 X 1.50
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0
0
90 0
60
LS = 3 mV
LS = 4 mV
LS = 7 mV
LS = 10 mV
30
60
90
stim frequency (Hz)
Fig. S6. Local increase/decrease of internodal conductance, as expected if the axon swells/shrinks in reaction to injury, reduces/increases infidelity. Figure is the same as Fig. 5, except that LS takes different
values.
compared), simply reduces the relative importance of the settling time,
thus deepening the minimum band corresponding to the propagation
window (Fig. S5b).
Note that the q = 0 curve on Fig. S5a shows zero output infidelity
in the propagation window, meaning identical spike count. The non
zero infidelity seen for identical fstim on Fig. 4a (where q > 0) is
therefore due only to timing differences, which are in turn due to the
settling time and to the phase shift that we described in Fig. 3.
possible ways to convert Sa into Sb using these steps are computed
(Fig. S4 shows a single one of them) and the minimal cost is
considered a measure of the difference between Sa and Sb, their “VP
distance”.
Using the VP metric to evaluate output infidelity takes into
account both settling time (during which a number of spikes are
added) and phase shifts, thus producing a reasonable measure of
output infidelity. In Fig. S5a, we show results for a range of q values.
As shown in (9), this “VP distance” matches all the mathematical
conditions to qualify as a metric. Therefore, if one imagines an
abstract space where each possible spike train is a point, the cost
obtained can be seen as a distance between these two points.
Effect of local conductance. While Fig. 5 shows the effect of local
swelling or shrinking when LS = 4 mV, Fig. S6 shows the same for
other values of LS.
Effect of parameters on output infidelity. Fig. 4 used q = 0.2 ms!1 and
500 ms of stimulation / comparison time. Fig. S5 shows that one of
our main results, namely the existence of a “propagation window”, is
independent of these two choices: except for very large q values, a
propagation window is always observed (Fig. S5a). Also, increasing
the duration of the stimulation (during which the output trains are
Generation of jitter and noise. To produce each of the jittered inputs,
we first generated a deterministic periodic spike train. Then, for each
of the spikes in this input train, we used a random number generator
to select a “displacement” from a Gaussian distribution of fixed
standard deviation “stdev” (see legend on Fig. 6a). A total of 50 spike
trains were thus obtained and saved, each with random displacements
a)
LS = 3 mV
stdev = 4 ms
fstim = 83.3 Hz
r = 0
sample with jitter
stim
voltages
V10
300
b)
40
30
20
500 ms stim
q = 0.2 /ms
r = 0.05 cm2/L
10
0
0
400
500
600
time (ms)
sample with noise
700
no noise
with noise
25
800
LS = 0 mV
A = 0.02
fstim = 66.7 Hz
LS = 3 mV
LS = 4 mV
LS = 7 mV
LS = 10 mV
LS = 17.5 mV
free running concentrations
output infidelity
V1
a)
b)
50
75
stim frequency (Hz)
fmax
100
sample time series
fstim = 76.9 Hz
r = 0.05 cm2/L
LS = 4 mV
intact
V1
voltages
voltages
V1
V10
300
V10
325
350
time (ms)
375
400
300
400
500
600
700
800
time (ms)
Fig. S7. Sample time series, with jitter or noise. (a) This relatively important jitter (stdev = 33% of
stimulation period) is sufficient to cause stimulation failure (compare times of stimulation, indicated
above node 1, with actual firing times of node 1 firings). (b) This noise (A = 0.02) is sufficient to cause
propagation failure, as can be seen by comparing curves with/without noise (second spike from the
left fails between nodes 8 and 9).
Fig. S8. Gradient depletion renders the propagation window transient. (a) Same as Fig. 4a, but with
r = 0.05 cm2/L. Note the high infidelity for LS = 3 mV, due to triggered ectopicity (see Fig. 1 and Fig.
S3). (b) Sample time series showing a settling time of 60-70 ms, followed by about 300 ms of phase
locking and then by a loss of phase locking. If infidelity were evaluated for 350 ms of stimulus instead
of 500 ms, it would be smaller here.
Chapitre 4 : Supporting information
151
selected from the same Gaussian distribution. Each of those 50 input
trains was then fed both to the control and damaged axons, producing
each time two outputs that were compared using the usual VP metric
to measure output infidelity. (This way, compared outputs are always
affected by the same random effects.) Finally, the 50 infidelity values
were averaged to produce one point on Fig. 6a.
A similar procedure was used to produce Fig. 6b: for each node,
50 lists of random numbers were selected from a Gaussian distribution
with unit standard deviation (i.e. they are the increments of a Wiener
process, Wn). At each time step n, we added A h Wn to the voltage
of the node, where Wn is the nth number from that node’s list, A is the
noise amplitude (see legend on Fig. 6b) and h is the integration time
step. Note that when noise was present, we turned off the adaptative
time step and used h = 0.001 ms. As in Fig. 6a, the same lists were
used both for the intact and damaged system. The outputs were
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152
compared using the VP metric and the 50 output infidelities were
averaged to produce a point on Fig. 6b.
To help visualize the relative importance of jitter with respect to
quasiperiod or the importance of noise relative to voltage excursions,
Fig. S7 shows an example time series of each.
Output infidelity with free running ionic concentrations. When
r = 0.05 cm2/L, pumps cannot speed up enough to prevent ENa and EK
from declining. At first, the Nernst potentials are nearly unchanged.
Therefore, mildy damaged axons, for which the “settling time” is the
shortest, have no trouble phase locking 1:1. However, their ion
gradients eventually deplete, fQ increases, the 1:1 phase locking
condition is lost. Therefore, for the total stimulus duration (500 ms),
the propagation window is shallower. Fig. S8 shows this, both with a
time series and with an output infidelity diagram.
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Chapitre 4 : Article de recherche
Conclusion
Après avoir rendu accessible, dans les chapitres 1 et 2, une solide base pour les lecteurs
qui débutent dans le domaine, nous avons présenté, au chapitre 3, la littérature sur les
cloques qui se forment dans des membranes endommagées, le décalage cinétique vers
la gauche (CLS) qu'elles causent dans les canaux NaV et les conséquences de ce dernier,
notamment la dégénérescence secondaire et l'activité ectopique. Le chapitre 4 a permis
l'obtention, grâce à notre modèle numérique d'axone, de deux prédictions-clé de
phénomènes se produisant dans des axones très faiblement endommagés : la propagation
de quelques potentiels d'action peut rendre le comportement du système ectopique, un peu
comme le ferait une augmentation du niveau de dommage ; quand l'axone comporte une
portion au comportement ectopique, toute incidence de potentiels d'action à une fréquence
plus élevée que la fréquence d'émission des influx ectopiques permet de «dompter» le
noeud de Ranvier endommager et de propager le train d'impulsions avec une altération
minimale.
Des modifications pourraient être apportées au modèle, dans d'éventuelles travaux
supplémentaires sur l'effet du CLS, afin d'améliorer sa capacité prédictive. En particulier,
le compléter afin qu'il représente deux neurones complets et non un seul segment d'axone
serait une avenue prometteuse. Ainsi, le modèle inclurait au moins une synpase et on
pourrait notamment étudier les effets à court terme que produisent les trains d'impulsions
altérés sur la stimulation du neurone postsynaptique (surtout en tenant compte des effets
de persistance et d'accommodation) ou encore les effets de plasticité synaptique qu'ils
produisent à plus long terme.
L'objectif ultime de travaux de recherche comme les nôtres est de contribuer à guider la
recherche thérapeutique afin qu'elle puisse un jour prévenir l'apparition de douleurs
neuropathiques ou la dégénérescence secondaire des axones légèrement touchés. Déjà,
notre résultat montrant que la stimulation peut faire bifurquer le comportement d'un axone
pourrait entraîner des recommandations faisant en sorte que tout stimulus de la zone
endommagée soit évité. De même, au plan pharmaceutique, en contribuant à lier les
cloques, le CLS qu'elles entraînent dans les canaux NaV et l'effet de ce CLS sur l'influx de
calcium et sur l'activité ectopique, nous espérons avoir contribué à la reconnaissance d'un
besoin, celui de cibler les canaux NaV situés dans des cloques plutôt que les canaux NaV
en général.
Conclusion
153
Cette page est intentionnellement blanche.
154
Conclusion
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Index
Cet index répertorie les termes importants du chapitre 1, du chapitre 3 et des trois
appendices. Au moment où ils sont introduits ou définis dans le texte, tous les termes
techniques y apparaissent en gras (ou servent de titre à une équation). Les numéros de
page présentés ici sont seulement ceux correspondant à ces endroits où le terme est
introduit ou défini. Exceptionnellement, quand un terme est défini à la fois dans un chapitre
et dans un appendice, deux numéros de page apparaissent.
Acide aminé
Activation
Activité ectopique
Activité spontanée
Adénosine triphosphate (ATP)
Allodynie
Amphipathique (adj.)
Ankyrine
Attracteur
Axolemme
Axone
Axoplasme
Bassin d'attraction
Bicouche
Bifurcation
Bifurcation de Hopf
Bistabilité
Bouton terminal
Canaux de fuites
Canaux KV
Canaux NaV
Canaux persistants
Canaux tensiodépendants
Catalyseur
Cellule
Cellule eucaryote
Cellule excitable
Chaos
Cloque (bleb)
Codon
Conduction saltatoire
Conformation
Cortex d'actine-spectrine
Couplage cinétique
Courant de conduction
Courant de diffusion
Courant de fenêtre
Courant de Goldman-Hodgkin-Katz
Courant persistant
Cycle limite
Cytosol
Cytosquelette
Décalage cinétique couplé (CLS)
Dégénérescence secondaire
Dendrite
Dépolarisation
Désactivation
Disponibilité
Doublement de période
Douleur neuropathique
Dynamique non linéaire
Échec de propagation
Électrogène (adj.)
Encodage de population
Encodage fréquentiel
Encodage temporel
Enzyme
Epsilon machine
Équation de Goldman-Hodgkin-Katz
Équation de Nernst
Équation du câble
Équation du câble linéaire
Équilibre de Donnan
Équilibre de Nernst
Erreur d'arrondi
Erreur de troncature
Espace de phase
Feuillet 
Fréquence maximale de stimulation
Fréquence maximale de propagation
Fuites spécifiques
Fluorochrome
Ganglion spinal
Gène
Hautement conservé (adj.)
Hélice 
Hyperalgésie
Hyperpolarisation
Inactivation
Instabilité dynamique
Interaction hydrophobe
Interneurone
Isoforme
Lésion axonale diffuse
Lien peptidique
Linéaire (adj.)
Linéarisation
Liquide interstitiel
Marquage fluorescent
Membrane plasmique
Méthode de Taylor
Méthode d'Euler
Méthode explicite à un pas
Méthode RK4
Méthodes Runge-Kutta
Mode cellule attachée
Mode cellule entière
Mode cellule perforée
Mode intérieur exposé
Mode extérieur exposé
Modèle couplé
Modèle de FitzHugh-Nagumo
Modèle Michaelis-Menten
Modèles du bord d'attaque
Myéline
NaN (not a number)
Neurone
Neurone sensitif
Neurone moteur
Neurotransmetteur
12
48
116
116
10
117
5
11
169
4
3
4
172
7
172
172
172
3
10
10
10
88
10
10
1
1
23
171
113
13
69
11
11
88
29, 176
29, 175
57
178
89
170
2
9
121
115
3
22
48
51
172
116
167
70
78
94
93
Index
93
10
190
183
29
64
65
33
29
189
187
168
14
136
137
134
81
3
2
81
14
117
22
51
169
6
3
74
115
13
22, 167
170
2
81
1
187
186
186
189
188
44
45
45
45
46
89
67
18
66
4
197
3
3
3
3
165
Nocicepteur
Noeud de Ranvier
Non linéaire (adj.)
Non stationnaire (adj.)
Noyau cellulaire
Nullcline
Oscillations inférieures au seuil (STOs)
Ouabaine
Patch clamp
Pas adaptatif
Perméabilité sélective
Phase aigüe
Phase réfractaire
Phospholipide
Phosphorylé (adj.)
Point fixe
Point-selle
Polymère
Polypeptide
Pompe ionique
Pompe Na/K
Pont disulfure
Pont hydrogène
Potentiel de membrane
Potentiel d'action
Potentiel d'inversion
Potentiel de Goldman-Hodgkin-Katz
Potentiel de Nernst
Potentiel de repos
Potentiel gradué
Protéine
Protéine de structure
Protéine de transport
Pseudo-tétramère
Quasi-ohmique (adj.)
Quasi-stationnaire (adj.)
Radeau lipidique
Rafale (burst)
RasMol
Ratio de couplage
Réactif mis en cage
Rectification
Récupération de l'inactivation
Représentation en ruban
Représentation en boules et bâtons
166
Respiration cellulaire
Ribosome
Schème d'encodage
Schème de Post-Albers
Sensibilisation centrale
Sensibilisation périphérique
Seuil d'excitation
Shaker
Site actif
Sous-unité protéique
Space clamp
Spectrine
Stabilité numérique
Stabilité dynamique
Stationnaire (adj.)
Stimulus excitateur
Stimulus inhibiteur
Structure primaire
Structure secondaire
Structure tertiaire
Structure quaternaire
Suite de Farey
Superposable (adj.)
Synapse
Système de contrôle
Système endommagé
Système nerveux central
Système nerveux périphérique
Test de convergence
Tétraéthylammonium (TEA)
Tétramère
Tétrodotoxine (TTX)
Tractus spino-thalamique
Train d'impulsions
Trajectoire homoclinique
Transitoire (adj.)
Traumatisme crânien
Trypsine
Variabilité biologique
Variété stable
Variété instable
Verrouillage de phase
Vitesse de réaction
Voltage clamp
117
4
167
32
2
168
116
81
44
195
8
117
24
5
75
168
171
2
12
10
36
15
5
22
23
31
183
29
22
22
2
11
10
84
31
33
8
116
15
78
81
180
51
15
15
Index
10
13
92
76
118
118
23
90
11
16
43
11
190
169
33
24
24
12
14
15
16
173
167
3
131
131
4
4
194
90
83
90
117
92
171
32
115
81
4
171
171
126,173
17
42
Appendice A : points-clé de dynamique non linéaire
Dans cet appendice, qui complète le chapitre 1, nous définissons quelques termes et
quelques concepts de la dynamique non linéaire. Notre objectif n'est pas de fournir une
introduction complète à ce très vaste sujet, mais plutôt un rappel concis, assorti d'exemples
tirés des neurosciences. Le lecteur qui souhaite une introduction à la dynamique non
linéaire pourra consulter Strogatz 1994, où il trouvera tous les concepts présentés dans cet
appendice, mais sans la saveur de neurosciences.
AppA.1 Qu'est-ce que la dynamique non linéaire ?
Les bacheliers en physique ont tous reçu une formation de base pour solutionner des
équations différentielles linéaires. Une telle équation est dite linéaire quand elle a la forme :
d
d2
F ( x )  a0 ( x )y ( x )  a1( x ) y ( x )  a2 ( x ) 2 y ( x )  ...
dt
dt
(équation AppA.1)
Ses solutions y(x) ont alors la propriété remarquable d'être superposables : si y1(x) et y2(x)
sont toutes deux solutions de l'équation AppA.1, alors k1y1(x) + k2y2(x) est aussi une
solution. Cette propriété permet de fractionner des problèmes imposants en problèmes plus
petits. Par exemple, une technique standard consiste d'abord trouver une solution générale
à l'équation AppA.1 quand F(x) = 0, ensuite rechercher une solution particulière qui tient
compte de F(x), puis à additionner les deux.
Une autre propriété des équations différentielles linéaires est qu'une petite perturbation
(par exemple à l'une des fonction ai(x), à la fonction F(x) ou encore à la valeur initiale de y)
a pour effet de produire un petit changement dans la solution y(x).
Toute équation qui n'a pas la forme de l'équation AppA.1 est dite non linéaire. Ces
équations sont souvent impossibles à solutionner analytiquement et leur solution est
difficile à obtenir quand elle peut l'être. Leur comportement est cependant plus riche. Nous
avons déjà dit, au chapitre 1, qu'une membrane non excitable a un potentiel de membrane
V(t) décrit par une équation linéaire alors qu'une membrane excitable a un comportement
non linéaire. C'est un bel exemple de la richesse des équations non linéaires. En outre, une
petite perturbation de V produit une réponse proportionnée dans le cas d'une membrane
linéaire, mais peut produire des variations nettement plus grandes que la perturbation dans
le cas d'une membrane non linéaire.
La dynamique non linéaire est simplement la branche des mathématiques qui étudie les
équations non linéaires. Puisque ces dernières sont difficiles à attaquer analytiquement,
la dynamique non linéaire s'intéresse davantage au comportement qualitatif des solutions
(tendre vers une limite, osciller périodiquement, varier de façon chaotique, etc.) qu'à leur
expression analytique. Elle s'intéresse aussi à l'effet des paramètres (comme les fonctions
ai(x) dans l'équation AppA.1), qui peuvent faire bifurquer le comportement de la solution
entre plusieurs de ces possibilités qualitatives.
AppA.1 Qu'est-ce que la dynamique non linéaire ?
167
AppA.2 Espace de phase
Pour étudier les solutions de façon qualitative, la dynamique non linéaire a beaucoup
recours à la représentation dans l'espace de phase (aussi appelé plan de phase s'il y a
seulement deux variables dynamiques). D'ailleurs, cette représentation convient aussi pour
les équations linéaires.
Pour représenter une équation différentielle d'ordre N dans un espace de phase, on doit
d'abord appliquer une réduction d'ordre. En général, toute équation d'ordre N peut être
convertie en N équations d'ordre 1 de la forme y  f ( y ) , collectivement décrite par


y  f ( y ) . Par exemple, l'oscillateur harmonique simple x  mk x  0
peut être converti en v  mk x  0 et x  v . Au terme de cette opération, chaque axe de
l'équation vectorielle
l'espace de phase correspond à une variable dynamique (ici, x et v) dont l'évolution est
décrite par une équation différentielle d'ordre 1.
Pour obtenir des trajectoires immobiles dans l'espace de phase, on s'assure aussi que les
membres de droite de ces équations différentielles ne contiennent aucune dépendance
temporelle. Si c'est le cas, on peut ajouter une équation additionnelle t  1 et considérer
le temps comme une variable dynamique identique aux autres. Cela a pour conséquence
qu'une nomenclature légèrement différente est utilisée en dynamique non linéaire : par
exemple, une équation différentielle non homogène d'ordre 2 (comme un oscillateur
harmonique forcé par une fonction dépendante du temps) sera convertie en un système
dynamique d'ordre 3 (où les trois variables dynamiques seraient x, v et t).

Une solution y (t ) décrit une trajectoire dans l'espace de phase et sa valeur à un instant
donné, un point dans l'espace de phase, est dite point de phase. En représentant plusieurs
trajectoires côte à côte, on peut examiner visuellement et rapidement un grand nombre de
solutions, en accordant notre attention à leur comportement qualitatif plutôt qu'aux valeurs
exactes des points par lesquelles les trajectoires passent.
En terminant, soulignons qu'un outil utile, particulièrement dans le plan de phase, consiste
à tracer les nullclines, c'est-à-dire les courbes qui réunissent les points où l'une des
dérivées du système d'équation est nulle. Par exemple, dans le cas d'un oscillateur
harmonique, il y a deux nullclines : la première le long de laquelle x  0 et la seconde le
long de laquelle v  0 . L'utilité des nullclines est de subdiviser le plan de phase en zones
à l'intérieur desquelles la dérivée de chaque variable a partout le même signe.
AppA.3 Point fixe, cycle limite ou autres
Nous allons maintenant présenter les comportements qualitatifs les plus fréquents que peut
rencontrer un système d'équations linéaires.
Point fixe. Considérons une équation y
 f ( y ) ou, de façon plus générale, un système



d'équations y  f ( y ) . On appelle point fixe y * une valeur de la solution telle que
168
Appendice A : points-clé de dynamique non linéaire

f ( y *)  0 . Cela signifie que, dans l'espace de phase, une trajectoire qui débute en ce
point demeure en ce point à tout jamais. Tous les systèmes dynamiques d'ordre 1 ou plus
peuvent comporter des points fixes. Par définition, les points fixes sont des points où tous
les nullclines se rencontrent.
Un oscillateur amorti possède un unique point fixe, c'est-à-dire l'immobilité à la position
d'équilibre. Un pendule amorti formé d'une bille soudée à une tige rigide possède deux
points fixes : la tige est en effet à l'équilibre quand elle est verticale, que la bille soit au
point le plus bas ou qu'elle soit au point le plus haut.
Point fixe dans le modèle HH
80
80
60
20
V (mV)
V (m
(mV)
V
40
0
-2
20
0
-40
Vrest
-60
-80
0
10
20
30
40
50
0,2
-80
0,4
0,6
0,8
n
temps (ms)
Figure AppA.1 Avec les paramètres habituels, le modèle HH comporte un unique point fixe attractif, l'état de
repos. Quelle que soit la condition initiale, il y retourne. La série temporelle (gauche) montre que le point fixe
correspond à V = !65,5 mV alors que le plan de phase correspondant (droite) montre aussi la valeur de repos
pour n, soit 0,3177.
Dans le modèle HH, les valeurs de repos de V, m, h et n constituent un point fixe du
modèle. En effet, en l'absence de stimulation, de dommage (CLS) ou de diminution des
ratios de concentrations ioniques, le système retourne vers sa valeur de repos quelles que
soient les conditions initiales. La figure AppA.1 illustre ce point fixe grâce à une série
temporelle de l'une des quatre variables du modèle, soit V, ainsi qu'avec un plan de phase
illustrant deux des variables, V et n. Dans la série temporelle, le point fixe est une
asymptote horizontale ; dans le plan de phase, il est un point.
Stabilité dynamique. Quand la trajectoire est sur le point fixe, elle y demeure, mais on peut
se demander ce qui arrive si elle s'en éloigne légèrement. On distingue alors deux cas :
dans celui d'un point fixe qui est stable dynamiquement, la trajectoire est à nouveau attirée
au point fixe ; en revanche, dans le cas d'un point fixe instable, l'écart entre la trajectoire
et le point fixe est amplifié. Le cas du modèle HH ou de l'oscillateur amorti comprennent
des points fixes stables, alors que l'exemple du pendule comporte à la fois un point fixe
stable (l'équilibre où la bille est en bas) et un point fixe instable (l'équilibre où la bille est
en haut). Soulignons qu'un point fixe stable est un exemple d'attracteur.
Pour déterminer la stabilité d'un point fixe, une méthode indicative est de procéder à
l'intégration numérique des équations (voir l'appendice C). Cependant, une intégration
numérique n'est pas une preuve. Pour démontrer hors de tout doute qu'un point fixe est
AppA.3 Point fixe, cycle limite ou autres
169
stable, on peut linéariser le système d'équations à proximité du point fixe. Pour ce faire,
  
on pose   y  y * , on substitue dans le système d'équations et, en tenant compte du

fait que l'écart au point fixe est faible, on néglige tous les termes où  est affecté d'un
exposant supérieur à 1. On obtient ainsi un système d'équations linéaires dont les valeurs
propres indiquent le comportement à long terme : si les valeurs propres sont toutes

négatives (ou que leurs parties réelles sont toutes négatives), alors  tend vers zéro et
le point fixe est stable. Dès qu'une des valeurs propres est positives (a une partie réelle
positive), le point fixe est instable. (La présence éventuelle d'une partie imaginaire signifie
seulement que la solution oscille en tournant autour du point fixe, tout en s'en approchant
ou en s'en éloignant.)
Cycle limite. Les systèmes dynamiques d'ordre 1 se distinguent essentiellement par la
présence ou l'absence de points fixes. Considérons maintenant un système


dynamique y  f ( y ) qui est au moins d'ordre 2. Un comportement supplémentaire qui
devient alors disponible est celui du cycle limite.
Un cycle limite est une trajectoire fermée, sur laquelle le point de phase se déplace de
façon périodique. Par contre, toute trajectoire périodique ne constitue pas forcément un
cycle limite, puisque ce dernier doit absolument être attractif (c'est-à-dire que toutes les
trajectoires voisines y tendent quand t 6 4, donc qu'il est dynamiquement stable) ou répulsif
(c'est-à-dire que toutes les trajectoires voisines y tendent quand t 6 !4). Ainsi, toute
perturbation d'une trajectoire située sur un cycle limite est soit amplifiée, soit amortie.
Un cycle limite peut correspondre à un système autonome mais aussi à un système qui
subi un forçage externe périodique. Le modèle HH présente plusieurs exemples du premier
cas. D'abord, il comporte un cycle limite quand on lui ajoute un courant de biais constant.
C'est aussi le cas, en l'absence de stimulation, si on diminue significativement le gradient
de concentration d'ions K+ en approchant EK de zéro (voir la figure 4.S1, au chapitre 4).
C'est aussi le cas, évidemment, si on applique un CLS, ce qui est l'objet d'une bonne partie
de nos travaux de recherche. La figure AppA.2 illustre un cycle limite dans le modèle HH,
obtenu en injectant un courant de biais.
Cycle limite dans le modèle HH
80
80
60
20
V (mV)
V (m
(mV)
V
40
0
-2
20
0
-40
Vrest
-60
-80
0
10
20
30
40
50
0,2
-80
0,4
temps (ms)
0,6
0,8
n
Figure AppA.2 Le modèle HH présente un cycle limite notamment quand on y ajoute un courant de biais (ici
15 μA/cm2). Notez qu'il est très attractif : la trajectoire l'atteint avant même d'avoir fait un tour complet autour.
170
Appendice A : points-clé de dynamique non linéaire
Un exemple de cycle limite stable dans un système forcé est la trajectoire décrite par un
pendule comme celui d'une horloge grand-père : en effet, ce pendule est à la fois amorti
et forcé périodiquement, de sorte que son mouvement est périodique et reprend même si
on le perturbe. En revanche, un oscillateur harmonique simple ne décrit pas un cycle limite,
car une perturbation ne serait ni amortie ni amplifiée : elle fixerait plutôt une nouvelle
amplitude au mouvement, qui se maintiendrait par la suite. Soulignons, en terminant, qu'un
cycle limite stable est un autre exemple d'un attracteur.
Trajectoire homoclinique. En plus du point fixe et du cycle limite, un système dynamique
à au moins deux dimensions peut présenter une trajectoire homoclinique, c'est-à-dire
une trajectoire fermée mais non périodique, qui débute et se termine à un même point fixe.
Au chapitre 1, nous avons mentionné que les solutions de l'équation du câble qui
correspondent à des potentiels d'action doivent être des trajectoires homocliniques. En
effet, elles débutent et se terminent au même point fixe, l'axone au repos.
Pour qu'une trajectoire homoclinique puisse débuter et se terminer à un point fixe, ce
dernier doit respecter une condition : il doit comporter une variété instable et une variété
stable. On nomme ainsi les trajectoires 1D qui conduisent au point fixe respectivement
quand t 6 4 et quand t 6 !4 ; par opposition aux autres trajectoires, tout point de phase qui
débute sur une des deux variétés demeure sur la variété. Un point fixe qui comporte à la
fois une variété stable et une variété instable est dit point-selle.
Pour vérifier si un point fixe est bel et bien un point-selle, on peut linéariser le système
dynamique à proximité de lui. Le système ainsi linéarisé doit comporter un vecteur propre
instable (que la trajectoire homoclinique emprunte quand elle quitte et qui forme le début
de la variété instable) et un vecteur propre stable (vers lequel la trajectoire homoclinique
tend quand elle revient et qui forme la fin de la variété stable).
L'existence d'un point-selle est une condition nécessaire, mais n'est malheureusement pas
une condition suffisante pour qu'une trajectoire homoclinique existe. L'intégration
numérique, par exemple en utilisant la méthode du tir, s'avère alors un outil précieux, qui
n'est cependant pas pertinent pour nos travaux.
Chaos. Si le système dynamique comporte au moins trois dimensions, un autre
comportement devient disponible, celui du chaos. On appelle ainsi tout comportement
apériodique dont l'évolution est très sensible aux conditions initiales. Quand on applique
à une membrane décrite par le modèle HH une stimulation périodique à une fréquence
excessive, cette membrane ne peut décharger à chaque stimulation. Augmenter la
fréquence ou l'amplitude de la stimulation peut produit un doublement de période, c'est-àdire que le système continue d'avoir un comportement périodique, mais que ce dernier est
composé de la répétition d'une séquence de deux potentiels d'action successifs qui sont
quantitativement différents. Continuer d'augmenter la fréquence et l'amplitude de la
stimulation produit une succession de tels doublements de période, où un pattern de quatre
potentiels d'action différents est répété, puis huit, puis seize, jusqu'à ce que la période
tende vers l'infini et que le comportement du système devienne complètement apériodique.
C'est ce qu'on appelle la route du doublement de période vers le chaos.
AppA.3 Point fixe, cycle limite ou autres
171
Il faut noter que le chaos n'exclut pas l'existence d'un attracteur, au contraire : l'évolution
d'un système chaotique n'est pas purement aléatoire. En effet, à partir de conditions
initiales quelconques, on observe que les trajectoires tendent vers un attracteur dit étrange,
c'est-à-dire un objet qui a une dimension fractale. En raison de la dimension fractale de cet
attracteur, une trajectoire peut demeurer indéfiniment sur lui sans jamais devenir
périodique.
Bistabilité. Enfin, il faut noter que l'espace de phase d'un système dynamique peut contenir
simultanément plus d'un attracteur. C'est le cas, par exemple, quand un cycle limite
cohabite avec un point fixe et que tous deux sont dynamiquement stables. Selon les
conditions initiales, une trajectoire va donc évoluer vers l'un ou vers l'autres des deux
attracteurs. On est alors en présence de bistabilité (ou de multistabilité).
Toutes les conditions initiales où débutent les trajectoires qui tendent vers un même
attracteur forment, dans l'espace de phase, une zone bien délimitée qu'on appelle un
bassin d'attraction. La limite entre deux bassins d'attraction peut être, par exemple, la
variété stable d'un point-selle.
En présence de CLS d'une amplitude bien choisie, il a été montré dans Yu 2012 que le
modèle HH à six dimensions que nous utilisons au chapitre 4 présente une bistabilité :
l'espace de phase est séparé en deux bassins d'attraction : l'un qui conduit le système vers
son point fixe, l'autre qui le conduit vers un cycle limite.
AppA.4 Un mot sur les bifurcations
Un large pan de la dynamique non linéaire est l'étude de l'effet des paramètres sur la
nature du comportement obtenu. Quand la variation d'un ou de plusieurs paramètres fait
apparaître ou disparaître des points fixes ou des cycles limites, ou encore qu'elle en
modifie la stabilité dynamique, on dit qu'il se produit une bifurcation.
Il existe un grand nombre de bifurcations, dont nous allons citer un seul exemple pertinent
pour nos travaux. Il s'agit de la bifurcation de Hopf, au cours de laquelle un point fixe se
transforme en cycle limite. Un des cas les plus simples de systèmes qui présentent ce type
de bifurcation est, en coordonnées polaires :
r   r  r 3  r (   r 2 )

  1
(équation AppA.2)
où μ est un paramètre. On voit facilement que, pour μ < 0, dr/dt est toujours négatif, donc
que toute trajectoire tend vers l'origine, qui est alors un point fixe. En revanche, pour μ > 0,
dr/dt demeure négatif si r est grand, mais devient positif pour toute valeur de r < μ1/2. En
somme toutes les trajectoires tendent vers une trajectoire circulaire de rayon μ 1/2, c'est-àdire un cycle limite. On dit qu'une bifurcation de Hopf se produit quand μ = 0.
Le modèle HH comporte de nombreux paramètres qui peuvent ainsi modifier son
comportement. Par exemple, un faible courant de biais ne fait que déplacer le point fixe,
172
Appendice A : points-clé de dynamique non linéaire
mais l'augmentation de ce courant de biais au delà d'un certain seuil provoque
une bifurcation de Hopf : le point fixe stable devient un cycle limite stable. En d'autres
termes, la situation de la figure AppA.1 devient celle de la figure AppA.2. Un résultat
similaire est obtenu, en l'absence de stimulation, si le paramètre EK s'approche de zéro
(voir la figure 4.S1, au chapitre 4). Dans la figure 4.2, c'est un forçage externe qui
réduit EK jusqu'à ce que cette bifurcation se produise.
AppA.5 Verrouillage de phase
Enfin, un concept de la dynamique non linéaire qui joue un rôle central dans nos travaux
est celui de verrouillage de phase. Ce phénomène peut survenir quand deux oscillateurs
sont reliés par un couplage non linéaire. Sans ce couplage, ils oscilleraient à leurs
fréquences respectives f1 et f2 mais, en raison du couplage l'une des fréquences ou les
deux fréquences s'ajustent de façon à former un ratio de petits nombres entiers.
Strogatz donne un exemple simple de verrouillage de phase, où deux coureurs parcourent
une piste circulaire en tentant d'ajuster leur rythme l'un à l'autre. Leur position augulaire
évolue selon :
1  1  K1 sin( 2  1 )

 2  2  K 2 sin(1   2 )
(équation AppA.3)
Clairement, si les couplage est nul (K1 = K2 = 0), les deux coureurs ont des fréquences de
révolution, 1 et 2, indépendante l'une de l'autre. En revanche, si K1,2 > 0, le verrouillage
de phase devient possible. Pour le voir facilement, on définit la différence de phase  = 1 !
2 et on substitue l'équation AppA.3, ce qui donne :
  (1  2 )  (K1  K 2 )sin( )
Le membre de droite de l'équation présente deux zéros si la condition
(équation AppA.4)
1  2  K1  K 2
est respectée. L'un de ces deux zéros est un point fixe stable, vers lequel le système
évolue. Quand il l'a atteint, les deux fréquences sont égales et la différence de phase, non
nulle, est constante.
La seule possibilité de verrouillage de phase admise par l'équation AppA.3 est cependant
celle où les fréquences de révolution sont dans un ratio 1:1. Un cas plus riche présente au
moins une portion d'une suite de Farey. Cette séquence est une suite de rapports de
petits nombres entiers, formée en insérant un par un des termes de dénominateur plus
élevé, tel que leur numérateur et leur dénominateur sont formés respectivement des
sommes des numérateurs et des dénominateurs des voisins immédiats entre lesquels ils
sont insérés. À titre illustratif, voici les suites de Farey d'ordre 1 à 3 :
F1 : 0:1 et 1:1
F2 : 0:1, 1:2 et 1:1
F3 : 0:1, 1:3, 1:2, 2:3 et 1:1
AppA.5 Verrouillage de phase
173
En pratique, plus les termes ont un dénominateur élevé, plus la portion de l'espace des
paramètres où leur observation est possible est restreinte.
On note que le phénomène de
verrouillage de phase peut aussi se
produire entre un oscillateur et un
système excitable qui, bien qu'il n'oscillerait pas en l'absence de couplage, est
forcé (par l'oscillateur auquel il est
couplé) d'aquérir un comportement
périodique. Feingold 1988 a étudié ce
phénomène dans le cas d'oscillateurs de
Van der Pol. Les ratios de fréquence des
deux oscillations présentent alors des
points communs importants avec ceux
de deux oscillateurs couplés (figure Figure AppA.3 Un oscillateur de Van der Pol stimulé avec
la période TE par une discontinuité d'amplitude VE présente
AppA.3).
des verrouillages de phase suivant une suite de Farey.
Puisque le modèle HH est lui aussi un système excitable, on obtient un diagramme très
similaire à celui de la figure AppA.3 quand on le stimule avec le même mode de
stimulation.
Les exemples biologiques de verrouillage de phase abondent, qu'on pense aux lucioles de
l'Asie du sud-est qui s'illuminent de façon synchronisée et aux criquets qui chantent à
l'unisson (Mirollo 1990), à la coordination des battements cardiaques, de la pression
sanguine et du rythme respiratoire (Censi 2000) ou aux fluctuations de populations dans
des systèmes proie-prédateur (Vasseur 2009).
Dans le cas de nos travaux, le phénomène ne s'arrête pas à la réponse du noeud #1 à la
stimulation, dont nous avons déjà parlé : il touche aussi le couplage entre les noeuds de
notre modèle d'axone (un verrouillage 1:1 doit être obtenu dans le système de contrôle,
puisque ce dernier propage normalement aux autres noeuds tous les potentiels d'action
produits au noeud #1), de même que le verrouillage entre le noeud #1 et le noeud
produisant de l'activité ectopique, quand il est présent (un verrouillage 1:1 entre ces deux
oscillateurs permet de minimiser l'infidélité de la transmission ; voir chapitre 4).
174
Appendice A : points-clé de dynamique non linéaire
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
Dans cet appendice, nous utilisons un modèle physique plus évolué pour obtenir des
versions alternatives des équations 1.B2.4 et 1.B2.10, présentées au chapitre 1, soit le
courant d'une espèce ionique et la prédiction du potentiel de repos. Nous débutons en
utilisant ces outils différents pour démontrer l'équation de Nernst, qui donne le potentiel
d'inversion d'une espèce ionique. Ces résultats ne sont pas nouveaux, mais présentés en
complément de la mission introductive du chapitre 1.
AppB.1 Démonstration alternative de l'équation de Nernst
L'équation de Nernst (équation 1.B2.1) a été démontrée en employant le facteur de
Boltzmann. Nous débutons cet appendice en fournissant une démonstration alternative de
cette équation. Les équations sont tirées de Nelson 2008 (chap. 4).
Considérons une espèce ionique X en particulier, parmi celles qui sont présentes de part et
d'autre d'une membrane. La traversée de la membrane par un ion dépend de la nature de cette
dernière. Si la membrane est une bicouche pure, l'ion doit s'y solubiliser pour traverser ; on peut
donc considérer cette bicouche comme un milieu homogène dans lequel règne un champ
électrique uniforme dû au potentiel de membrane V. Si la membrane comporte des protéines
de transport créant des «passages» hydrophiles permanents pour l'espèce ionique X, alors on
peut quand même considérer que la traversée se fait en empruntant un milieu homogène,
l'intérieur des «passages», dans lequel règne un champ électrique uniforme dû au potentiel de
membrane. Dans ce qui suit, on considère donc un «milieu homogène» pouvant être l'un ou
l'autre de ces deux cas. De plus, on choisit un axe des x parallèle au champ électrique.
Composante de diffusion. Quelle que soit la distribution spatiale de l'espèce ionique
considérée, son courant de diffusion en chaque point x du milieu homogène est
proportionnel au gradient de concentration en ce point et est dirigé en sens inverse de ce
gradient. Selon la loi de Fick, la constante de proportionnalité est le coefficient de
diffusion D, donc le «courant» de diffusion est donné par

Dc .
Cependant, la loi de Fick n'exprime pas une densité de courant électrique, en unités de
charge par unité de surface et par seconde, mais bien d'une densité de courant de
particules, en nombre de particules par unité de surface et par seconde. Pour obtenir le
courant électrique de diffusion, il suffit de multiplier l'équation par la charge q portée par
l'ion considéré. On obtient alors :


jdiff  Dqc
(équation AppB.1)
Composante de conduction. D'autre part, le champ électrique exerce une force constante
sur chaque ion. Du point de vue (microscopique) d'un ion, une solution aqueuse est
extrêmement visqueuse. (Les physiciens comprendront que le nombre de Reynolds est
infime.) Cela a deux conséquences : premièrement, on peut considérer que la force de
frottement visqueux (traînée) subie par un nuage d'ions est proportionnelle à la vitesse de
dérive de ce dernier, frottement = vd/. Deuxièmement, on peut considérer qu'un nuage
AppB.1 Démonstration alternative de l'équation de Nernst
175
d'ions a une inertie négligeable (ma = 0 dans la seconde loi de Newton). Ainsi, un champ
électrique constant cause une dérive à vitesse constante. La seconde loi de Newton
impose donc que la force de frottement soit égale à la force externe exercée par le champ,
d'où : vd = (frottement) = (qE). En somme le courant de conduction est


jcond  cqv d 
cq 2


E
(équation AppB.2)
Équation de Nernst. À l'équilibre, la somme de ces deux courants est nulle en chaque x, d'où


E

D

c . Cette équation peut se simplifier davantage si on tient compte de la relation



d'Einstein, D = kBT ; elle devient k 1T qE  c1 c . En utilisant l'axe des x parallèle au champ
B
cq
électrique, la situation est unidimensionnelle et on obtient l'équation différentielle :
1
kBT
qE x 
1 dc
c dx
(équation AppB.3)
Il s'agit d'une équation différentielle séparable, qu'on solutionne en multipliant par dx et en
intégrant, ce qui donne
1
kBT
int
q  E x dx  
ext
int
dc
ext c
(équation AppB.4)
Ici, les bornes «int» et «ext» correspondent à l'intérieur et à l'extérieur de la cellule,
respectivement, mais pourraient techniquement représenter n'importe quel plan
perpendiculaire au champ électrique.
Dans le membre de gauche de l'équation AppB.4, on reconnaît l'intégrale de ligne du
champ électrique, qui correspond à l'inverse de la différence de potentiel, !(Vint ! Vext). On
obtient donc l'équation de Nernst :
Vint  Vext  
kBT cint
ln
 EX
q
cext
(équation AppB.5)
(Si on inverse cette équation, elle devient cint = cextexp[!qEX/kBT], où le lecteur reconnaîtra
le facteur de Boltzman que nous avons utilisé au chapitre 1 comme point de départ ;
attention de ne pas confondre le potentiel de Nersnt, EX, et la composante x du champ
électrique dans le milieu homogène, Ex)
Rappelons que l'équation AppB.5 décrit la situation seulement une fois que l'équilibre est
atteint. Si le milieu homogène décrit est une bicouche pure, l'atteinte de l'équilibre peut être
excessivement long puisque très peu d'ions parviennent à se solubiliser dans un tel milieu.
Interprétation. L'équation AppB.5 décrit la situation à l'équilibre. Le courant de diffusion ne
dépend que du gradient de concentration (membre de droite de l'équation), alors que le
176
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
courant électrique ne dépend que de la différence de potentiel (membre de gauche de
l'équation). Qualitativement, l'équation AppB.5 peut donc être interprétée comme exprimant
la différence de potentiel requise pour contrecarrer le courant de diffusion ou encore
comme le rapport de concentrations requis pour contrecarrer le courant de conduction.
On peut aussi interpréter l'équation AppB.5 d'un point de vue énergétique : quand le
potentiel de membrane V est égal au potentiel de Nernst donné par l'équation AppB.5, les
ions traversent le milieu homogène avec des flux égaux dans les deux sens car ils
n'expérimentent aucune variation d'énergie libre en traversant la membrane : par exemple,
si un ion positif traverse dans le sens de la diminution de V et de l'augmentation de sa
concentration, la baisse d'énergie potentielle électrique due à V est contrebalancée par un
gain d'énergie libre dû à la diminution d'entropie.
Dépendance en x. Pour ce qui suivra, il est utile de décrire plus en détails la situation
d'équilibre décrite par l'équation AppB.5. Si on change les bornes de l'équation AppB.4
pour que l'une d'elle soit une position x quelconque située dans le milieu homogène, on
obtient que la concentration dépend de x et est donnée par :
c ( x )  cint exp

qV
LkBT
x

(équation AppB.6)
Par conséquent, le courant de diffusion donné par l'équation AppB.1 et le courant de
conduction donné par l'équation AppB.2 dépendent eux aussi de x et sont, à l'équilibre,
égaux à ±(DqV/kBT)c(x). C'est leur somme, JX = 0, qui est bel et bien une constante qui ne
dépend pas de x.
AppB.2 Le courant d'une espèce ionique
Au chapitre 1, nous avons fourni l'équation J X  g X (V  E X ) , c'est-à-dire l'équation
1.B2.4, qui permet de calculer le courant d'une espèce ionique lorsque cette dernière n'est
pas à l'équilibre de Nernst. Par contre, nous avons alors fondé cette équation sur
l'hypothèse grossière voulant que jdiff et jcond étaient uniformes dans le milieu homogène,
alors que nous venons de montrer qu'ils dépendent en fait de x. Nous allons maintenant
utiliser le formalisme introduit ci-dessus pour revisiter cette équation et montrer qu'elle n'est
valide qu'au premier ordre.
Tout d'abord, nous considérons que les équations AppB.1 et AppB.2 sont valides en
général. On peut donc les additionner pour obtenir le courant électrique net au point x du
milieu homogène :

JX 
cq 2



E  Dqc
(équation AppB.7)
En utilisant la relation d'Einstein, D = kBT, cette équation devient :

JX  D

cq 2
kBT


E  q c

(équation AppB.8)
AppB.2 Le courant d'une espèce ionique
177
Puisque aucune charge ne peut s'accumuler durablement en un point x du milieu
homogène, il est clair que le courant net traversant la membrane devient rapidement le
même en chaque point x. Il s'en suit aussi que la concentration c(x) cesse rapidement
d'être une fonction du temps.
Si on projette l'équation AppB.8 sur l'axe des x perpendiculaire à la membrane, elle
devient :
dc 
 2
J X  D  kcqBT E x  q
dx 

(équation AppB.9)
où nous laissons tomber l'indice x désignant la composante vectorielle du membre de
gauche.
On peut utiliser la technique de séparation des variables et intégrer :

ext
int
ext
dc
dx

JX

cq
int
E

x
kBT
qD
(équation AppB.10)
d'où :
kBT
qE x
ln
qE x
kBT
qE x
kBT
JX
cext  qD
JX
cint  qD
L
(équation AppB.11)
où on a supposé, dans le membre de droite, que l'axe des x était orienté de l'intérieur vers
l'extérieur (sinon, on obtiendrait !L).
Si on suppose que la membrane contient peu de charges, alors Ex est une constante
indépendante de x et on peut le relier au potentiel de membrane V en écrivant Ex = V/L
(avec notre choix pour le sens de l'axe x, V et Ex sont effectivement de même signe). Or,
la membrane contient effectivement peu de charge quel que soit le cas de «milieu
homogène» considéré : une bicouche pure contient fort peu d'ions en solution ; les
«passages» hydrophiles occupent fort peu de volume dans la membrane.
En substituant Ex = V/L et en isolant le courant (constant) JX dans l'équation AppB.11, on
trouve un résultat initialement démontré dans Goldman 1943 en utilisant essentiellement
la même méthode que nous avons utilisé ci-dessus (voir aussi Hille 2001, chap. 14) :
Courant de Goldman-Hodgkin-Katz
qV
JX 
178
2
q DV
LkBT
cext  cint e kBT
1 e
qV
kBT
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
(équation AppB.12)
Avant de poursuivre, soulignons que cette équation est plus générale que l'équation
J X  g X (V  E X ) car elle est fondée sur moins d'hypothèses, la plus importante étant que
le milieu traversé par les ions est homogène et que le champ électrique est uniforme dans
la membrane.
L'équation AppB.12 s'applique raisonnablement bien aux membranes non excitables ou
encore aux membranes excitables au repos. Une discussion des déviations entre la réalité
et cette équation peut être trouvée dans Hille 2001 (chap. 15) ; elles découlent pour la
plupart du fait que les canaux ioniques ne sont pas un simple «milieu homogène» et que
les ions ne sont pas dépourvus d'interactions entre eux.
Dépendance en x. Comme nous l'avons fait pour le cas JX = 0 décrit par l'équation AppB.5,
nous pouvons obtenir c(x) dans le cas décrit par l'équation AppB.12. Si on change les
bornes de l'équation AppB.10 pour que l'une d'elle soit une position x quelconque située
dans le milieu homogène, on obtient que la concentration est donnée par :
c ( x )  cint e
qV
LkBT
x

LkBT J X
qV qD
(1  e
qV
LkBT
x
)
(équation AppB.13)
Si on substitue l'équation AppB.12, cette équation devient :
qV
c ( x )  cint e
qV
LkBT
x

cext  cint e kBT
1 e
qV
kBT
(1  e
qV
LkBT
x
)
(équation AppB.14)
Par conséquent, le courant de diffusion donné par l'équation AppB.1 et le courant de
conduction donné par l'équation AppB.2 dépendent aussi de x. Ils sont respectivement
égaux à
j diff  D
q 2V
LkBT
e
qV
LkBT
x
 cext  cint 


qV
 1  e kBT 
(équation AppB.15)
et


qV
qV
x
cext  cint e kBT
x
LkBT
LkBT
cint e

(1  e
)
qV
kBT


1 e


qV
2
j cond  D Lkq BVT
(équation AppB.16)
C'est la somme de ces deux courants, JX, qui est bel et bien une constante qui ne dépend
pas de x. On note que le courant de diffusion donné par l'équation AppB.15 dépend bel et
bien de V, contrairement à l'hypothèse que nous avions faite au chapitre 1 pour obtenir
l'équation approximative J X  g X (V  E X ) .
AppB.2 Le courant d'une espèce ionique
179
Cas limites. Nous allons maintenant étudier l'équation AppB.12 dans trois limites : quand
V est très grand, quand il est très faible et quand il est proche de EX.
Dans le cas où V tend vers l'infini négatif, les facteurs exponentiels dans l'équation
AppB.12 deviennent nuls et on obtient alors :
q 2Dcext
LkBT
lim J X 
V 
V
(équation AppB.17)
Par contre, quand V tend vers l'infini positif, c'est plutôt e
 kqVT
B
qui devient nul, donc
l'équation AppB.12 devient :
lim J X 
V 
2
q DV
LkBT
cext e
e
 kqVT
 cint
B
 kqVT
B
1

q 2Dcint
LkBT
V
(équation AppB.18)
où le numérateur et le dénominateur de l'équation AppB.12 ont tous deux été multipliés
par e
 kqVT
B
.
On note que ces deux premiers cas limites ont une forme linéaire en V, mais avec une
pente différente. Ceci signifie que la conductance d'une espèce ionique est meilleure dans
un sens que dans l'autre. Ce comportement n'est pas sans rappeler celui d'une diode e
semi-conductrice, puisqu'il révèle une rectification : le courant s'écoule plus facilement
dans un sens que l'autre. De plus, entre ces deux situations extrêmes, il y a
nécessairement une transition où la courbe J-V n'est pas rectiligne.
Considérons donc, comme troisième cas limite, la situation intermédiaire où
δ / V ! EX << 1. On vérifie par substitution directe au numérateur que l'équation AppB.12
donne effectivement JX = 0 si δ = 0, c'est-à-dire si V a exactement pour valeur le potentiel
d'inversion EX (donné par l'équation 1.B2.1 ou l'équation AppB.5). Toutefois, nous nous
intéressons au cas où V est légèrement supérieur ou inférieur à EX, sans y être nécessaire
égal.
Avec la notation δ / V ! EX, le facteur e
l'équation AppB.5, e
q
kBT
cext
cint
 kqVT
B
devient e
q
kBT
e
qE X
kBT
ou encore, d'après
. En substituant ceci dans l'équation AppB.12, cette dernière
équation devient :
JX 
q 2DV
LkBT
cext
qV
q
(1  e kBT )
(équation AppB.19)
1e kBT
Jusqu'ici, nous n'avons fait aucune hypothèse supplémentaire alors l'équation AppB.19 est
simplement une reformulation de l'équation AppB.12.
180
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
Toutefois, nous supposons maintenant que δ est petit, ce qui signifie que e
q
kBT
 1  kqBT
et que V  EX. En substituant ces deux idées dans l'équation AppB.19, on trouve notre
troisième cas limite :
lim J X 
V E X
Dq
L
e
qE X
kBT
qE X
kBT
cext
1
q
kBT

(équation AppB.20)
On note que ce résultat est proportionnel à δ = V ! EX, comme c'était le cas dans l'équation
1.B2.4, J X  g X (V  E X ) . Cette dernière est donc valide au premier ordre, sur une plage
limitée de valeurs.
choisir pour valeur de gX la pente de l'équation
AppB.20 et à opter plutôt pour une pente
moyenne qui représente bien le comportement
de l'équation AppB.12 sur la plage de valeurs
de V typiquement rencontrées dans une
situation biologique réelle donnée, tout en
conservant un zéro à V = EX (Sterratt 2011,
section 2.4). Cette approximation linéaire est en
bleu sur la figure.
Modèles de courant JNa
1
plagee cib
plag
ciblle
JNa (mA/cm2)
La figure AppB.1 compare ces trois limites (en
noir) à la courbe de l'équation AppB.12 (en
rouge) et illustre une méthode supplémentaire
permettant d'étendre la validité de l'équation
J X  g X (V  E X ) : elle consiste à éviter de
0
-100
-50
0
50
100
150
200
-1
-2
V (mV)
Figure AppB.1 L'approximation linéaire en bleu
approche bien le courant GHK (en rouge), pour la
plage de valeurs pertinentes pour une cellule
excitables, indiquée par la double flèche. En noir :
les limites données par les équations AppB.17,
AppB.18 et AppB.20.
On peut déduire de leurs articles que c'est cette
dernière approche que Hodgkin et Huxley ont utilisé pour modéliser chacun des courants
dans le modèle qui porte leur nom. Puisque les pentes des cas limites (équations AppB.17
et AppB.18) ne sont pas excessivement éloignées l'une de l'autre dans le cas du sodium
et du potassium, il a été supposé que l'équation J X  g X (V  E X ) pouvait leur être
appliquée. Ensuite, les gX ont été déterminés expérimentalement pour une large plage de
valeurs de V (Hodgkin 1952e). Il s'agit donc bel et bien d'une «conductance moyenne» et
non de celle de l'équation AppB.20 qui est valide quand V  EX.
AppB.3 Le potentiel de repos
Au chapitre 1, nous avons fourni l'équation 1.B2.11 qui permet d'évaluer le potentiel de
repos quasi-stationnaire (ie. en négligeant la présence des pompes). Pour obtenir cette
équation, nous avions additionné les courants de chaque espèce ionique, décrits avec
l'équation J X  g X (V  E X ) , et supposé que le total est nul. Nous allons revisiter ce
résultat en utilisant plutôt l'équation AppB.12 ci-dessus pour décrire chaque courant
ionique.
AppB.3 Le potentiel de repos
181
Afin de pouvoir comparer entre eux les courants de différentes espèces ioniques, on
débute en définissant la perméabilité PX de la membrane à l'espèce ionique X. Si la
membrane est une bicouche pure, alors PX = DX/L. Si le milieu homogène se limite aux
passages hydrophiles formé par les canaux ouverts, alors l'équation AppB.12 ne s'applique
qu'à la surface occupée par les canaux. Pour que J devienne le courant par unité de
surface de membrane, il faut alors multiplier par la proportion α de la surface de la
membrane qui est occupée par ces canaux. L'avantage de cette nouvelle définition est que
l'équation AppB.12 est maintenant identique pour les deux cas et devient :
J X  PX
cext  cint e
2
qV
kBT
1 e
qV
kBT
(équation AppB.21)
qV
kBT
On peut donc maintenant débuter la démonstration en supposant que la somme de tous
les courants ioniques passifs est nulle, donc que V = V0 :
q XV0
J
X
X

V0
kBT
q P
2
X
cext,X  cint,Xe kBT
X
1 e
X
q XV0
kBT
0
(équation AppB.22)
Si on considère seulement les ions monovalents comme Na+, K+ et Cl!, alors qX = ±e dans
chacun des cas. On peut donc premièrement éliminer qX2 qui correspond à e2 pour chaque
terme.
Deuxièmement, on peut aussi écrire :
0
c
kBT

c
e
int,X
 ext,X
eV0

1  e kBT

eV0
 cext,Xe kBT  cint,X

eV0

e kBT  1
eV
cext,X  cint,Xe
1 e
q XV0
kBT
q XV0
kBT
qX  e
(équation AppB.23)
q X  e
eV0
kBT
ce qui permet d'éliminer le dénominateur 1  e
qui devient commun à tous les termes
si on inverse le signe du numérateur et du dénominateur dans le cas qX = !e. Avec ces
deux simplifications, l'équation AppB.22 devient :

ions
positifs
0
PX  cext,X  cint,Xe kBT  


eV

ions
négatifs
0
PX  cint,X  cext,Xe kBT   0


eV
(équation AppB.24)
182
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
En regroupant les termes qui sont multipliés ou non par le facteur exponentiel, cette
équation peut s'écrire :

PXcext,X 
ions
positifs

PXcint,X  e
eV0
kBT
ions
négatifs



 PXcint,X  ions
 PXcext,X   0
 ions

négatifs
 positifs

(équation AppB.25)
Il ne reste donc plus qu'à isoler V0. Pour ce faire, on note que l'équation AppB.25 a la forme
A ! Bexp(βeV0) = 0 et a donc pour solution V0 = (1/βe)ln(A/B). On obtient donc (voir Sterratt
2011, section 2.4 ; Hille 2001, chap. 14) :
Potentiel de repos de Goldman-Hodgkin-Katz
V0 
kBT
ln
e

PXcext,X 

PXcint,X 
ions
positifs
ions
positifs

PXcint,X

PXcext,X
ions
négatifs
(équation AppB.26)
ions
négatifs
On note que l'équation AppB.26 ne nécessite pas de connaître chacune des perméabilités
PX mais seulement leurs rapports. On peut donc tout aussi bien utiliser cette équation avec
les conductances électriques gX, proportionnelles aux perméabilités correspondantes. C'est
ce que nous avons fait dans le chapitre 1, où l'équation AppB.26 devient l'équation 1.B2.13.
Notons aussi que la démonstration supposait à quelques étapes que les concentrations
étaient exprimées en ions par mètre cube (et non en moles d'ions par mètre cube) mais
cela n'a aucune importance dans l'équation AppB.26, seuls les rapports étant importants.
AppB.3 Le potentiel de repos
183
Cette page est intentionnellement blanche.
184
Appendice B : courants ioniques, potentiel de repos
Appendice C : Considérations informatiques
Nos travaux de recherche ont supposé de construire un modèle numérique, c'est-à-dire un
modèle théorique qui représente l'évolution d'un axone par un système d'équations
différentielles dont la solution est ensuite obtenue numériquement. Dans cet appendice, nous
introduisons les méthodes qui sont utilisées pour obtenir de cette façon la solution d'une
équation différentielle de premier ordre ou d'un système de telles équations. Nous présentons
ensuite les divers types d'erreurs qui découlent de telles méthodes et les façons dont ces
erreurs peuvent être évaluées et minimisées. Enfin, nous terminerons en présentant quelques
aspects techniques supplémentaires qui méritent une brève discussion. Si le début de cet
appendice est introductif et fait suite au chapitre 1, la fin présente des étapes importantes de
notre modèle de recherche et fait donc suite au chapitre 3.
Puisque nos travaux de recherche (chapitre 4) et le projet I de notre article pédagogique
(chapitre 2) impliquent exclusivement des équations différentielles ordinaires de premier
ordre, nous nous concentrons ici sur les méthodes numériques permettant de solutionner
ces dernières. Le lecteur qui veut en savoir davantage sur les méthodes numériques aurait
avantage à consulter Landau 2007. Des codes clé-en-main sont disponibles dans
l'excellent Numerical Recipies in C (Press 1992) ou dans les autres éditions du même
ouvrage qui ont été produites pour d'autres langages de programmation. Les étudiants de
l'Université d'Ottawa ont aussi accès au matériel du cours Physique numérique I
(L'Heureux 2012) qui constitue un excellent résumé introductif.
AppC.1 Le principe de base et les méthodes
Le problème que nous souhaitons résoudre est une équation différentielle de la forme
dy
 f (y )
dt
(équation AppC.1)
assortie d'une condition initiale y(0) = y0. Solutionner l'équation AppC.1 numériquement
consiste à obtenir un estimé de la solution y(t) qui débute à la condition initiale. Cet estimé
prend la forme d'un tableau de valeurs à différents temps discrets.
Le problème peut aussi être un système de N équations ayant la forme de l'équation AppC.1,
soit dy1/dt = f(y1,y2, ...), dy2/dt = g(y1,y2, ...), etc., déterminant N variables y1, y2, ..., yN à partir
de N conditions initiales. Afin de simplifier la notation, on note un tel système :


dy
 f (y )
dt
(équation AppC.2)
Notez que, dans l'équation AppC.2, le membre de droite de chacune des N équations peut
dépendre simultanément de chacune des N variables. Notez aussi que le membre de droite
ne doit jamais dépendre explicitement du temps, exactement comme à l'appendice A.
(Dans l'éventualité où ce serait le cas, on peut se débarasser de cette dépendance en
considérant le temps comme une variable supplémentaire. Par exemple, dy/dt = 2yt peut
AppC.1 Le principe de base et les méthodes
185
devenir, si on pose y2 / t, le système dy1/dt = 2y1y2 et dy2/dt = 1.) Nous poursuivrons la
discussion en présentant des méthodes solutionnant l'équation AppC.1, mais le lecteur
peut garder en tête qu'elles sont toutes généralisables à l'équation AppC.2.
Obtenir la solution numérique de l'équation AppC.1 ou AppC.2 commence par une
discrétisation du temps. La méthode la plus simple consiste à évaluer y(t) à des points qui sont
séparés par un (petit) intervalle de temps constant h. Les temps en question sont donc t0 = 0,
t1 = h, t2 = 2h, etc. On appelle méthodes explicites à un pas les algorithmes qui solutionnent
numériquement l'équation AppC.1 en évaluant y(h) à partir de y(0), puis y(2h) à partir de
l'estimé de y(h), puis y(3h) à partir de l'estimé de y(2h), et ainsi de suite. Pour simplifier la
notation, on écrira yn pour désigner l'estimé de y(t = tn = nh). (Il existe aussi des méthodes à
plusieurs pas, qui nécessitent de connaître deux ou plusieurs points précédents pour calculer
le point suivant; de même, il y a des méthodes implicites, où la fonction exprimant le point
suivant dépend de ce dernier. Nous ne discuterons pas de telles méthodes ici.)
Méthode d'Euler. Pour comprendre le principe des méthodes à un pas, nous présentons
d'abord la plus simple, c'est-à-dire la méthode d'Euler. Cette dernière consiste à utiliser
la définition fondamentale de la dérivée pour remplacer l'équation AppC.1 par :
y n 1  y n
 f (yn )
h
(équation AppC.3)
En isolant l'inconnue, on obtient :
y n 1  y n  hf ( y n )
(équation AppC.4)
La programmation de l'équation AppC.4 correspond au code C suivant, très court :
#define NB_PTS
10000
double h, y[NB_PTS];
y[0] = // insérer la condition initiale ici
h = 0.001;
for(n = 0; n < NB_PTS‐1; n++)
y[n+1] = y[n] + f(y[n]);
Erreur de troncature. Nous venons de montrer que l'avantage de la méthode d'Euler est
d'être rapide à programmer. Par contre, même dans le cas où yn est exact, cette méthode
fournit un estimé peu précis de yn+1. Pour le comprendre, on peut exprimer théoriquement
yn+1 en utilisant sa série de Taylor développée aux environs de tn :
dy
y n 1  y n  h
dt

y yn
1
2!
d2 y
h
dt 2
2
d3 y
 h
dt 3
1
3!
y yn

3
y yn
1
4!
d4 y
h
dt 4
 ...
4
y yn
(équation AppC.5)
Or, l'équation AppC.4 peut être obtenue en ne conservant que les deux premiers membres
de droite de l'équation AppC.5 (et en substituant l'équation AppC.1), ce qui signifie que
cette méthode ignore tous les autres termes. Voilà pourquoi l'estimé yn+1 est peu précis.
186
Appendice C : Considérations informatiques
Ce type d'erreur, faite en tronquant l'équation AppC.5, est dite erreur de troncature.
On peut indiquer explicitement l'existence de l'erreur de troncature en réécrivant
l'équation AppC.4 comme :
y n 1  y n  hf ( y n )  O(h 2 )
(équation AppC.6)
Cette notation signifie que les termes proportionnels à h2 et aux puissances plus élevées
de h sont ignorés. On dit que la méthode d'Euler est une méthode d'ordre 1, puisque le
dernier terme de l'équation AppC.5 dont elle tient compte est le terme d'ordre 1.
Connaître l'ordre de la méthode permet d'évaluer le gain obtenu en réduisant h. Dans le
cas de la méthode d'Euler, si h est réduit de moitié, l'erreur de troncature est réduite au
quart puisqu'elle est proportionnelle à h2. Il faut donc utiliser un pas h extrêmement petit,
donc faire un très grand nombre de pas, pour espérer produire un résultat correct. (Nous
verrons au prochain bloc que cela peut s'avérer impossible même si h 6 0.) Puisqu'un
grand nombre de pas nécessite plus de temps d'exécution sur un ordinateur, la méthode
d'Euler n'est pas utilisée en recherche, sauf peut-être pour obtenir rapidement des estimés
grossiers.
Autres méthodes à un pas d'ordre 2. Pour réduire l'erreur de troncature, on peut obtenir
une méthode d'ordre 2 en évaluant un terme supplémentaire de l'équation AppC.5. La
première méthode consiste à remplacer directement l'équation AppC.1 dans ce terme
supplémentaire, qui devient :
1
2!
d2 y
h
dt 2

2
y yn
1
2!
h2
df ( y n )

dt
1
2!
h 2f ( y n )
df ( y n )
dy
(équation AppC.7)
où nous avons utilisé la dérivée en chaîne df/dt = (df/dy)(dy/dt) et substitué l'équation AppC.1.
En ajoutant ce terme à l'équation AppC.4, nous obtenons la méthode de Taylor d'ordre 2 :
y n 1  y n  hf ( y n )  2!1 h 2f ( y n )
df ( y n )
 O( h 3 )
dy
(équation AppC.8)
L'inconvénient de la méthode de Taylor est qu'elle requiert d'évaluer analytiquement la
dérivée df/dy et d'en faire une fonction du programme. Il existe cependant une alternative,
puisqu'on peut concevoir une méthode qui estime l'équation AppC.8 par le polynôme
suivant, qui n'utilise que la fonction f(y) et non ses dérivées :
y n 1  y n  b1hf ( y n )  b2hf ( y n  a21hf ( y n ))
(équation AppC.9)
Pour fixer les coefficients b1, b2 et a21 on développe f(yn + a21k1) en série de Taylor à deux
variables, on substitue dans l'équation AppC.9 et on regroupe les termes obtenus afin de
AppC.1 Le principe de base et les méthodes
187
pouvoir les comparer avec ceux de l'équation AppC.8. On choisit alors les coefficients afin
que ces deux équations soient égales (à l'exception des termes négligés, O(h3), qui peuvent
être différents). Il s'avère qu'il demeure un degré de liberté dans le choix des paramètres,
l'égalité des équations AppC.8 et AppC.9 pouvant être obtenue pour toute valeur de a21, avec
b2 = 1/2a21 et b1 = 1 ! b2. Le choix le plus populaire est a21 = 1, ce qui fixe b1 = b2 = ½. On
obtient donc une des méthodes Runge-Kutta d'ordre 2, habituellement présentée sous la
forme suivante, qui simplifie à la fois la lecture et les calculs :
y n 1  y n  b1k1  b2 k 2  O(h3 )  y n  21 k1  21 k 2  O(h3 )
où
(équation AppC.10)
k1  hf ( y n )
k 2  hf ( y n  a21k1 )  hf ( y n  k1 )
Méthodes à un pas d'ordre supérieur. On peut généraliser la méthode de Taylor et les
méthodes Runge-Kutta à un ordre quelconque, selon l'erreur de troncature qu'on souhaite
vouloir faire.
Dans le cas de la méthode de Taylor, cela requiert d'évaluer analytiquement les autres
termes de l'équation AppC.5 et de convertir toutes les dérivées par rapport à t en dérivées
par rapport à y.
Quant aux méthodes Runge-Kutta,sur lesquelles nous nous attarderons davantage, pour
un ordre N donné, elles ont la forme :
N
y n 1  y n   bi k i  O(hN 1 )
i 1
où
i 1
k i  hf ( y n   aij k i )
(équation AppC.11)
j 1
Dans l'équation AppC.11, les coefficients doivent respecter diverses contraintes,
notamment
b
i
 1 (facilement obtenue si y = t) et les contraintes permettant l'égalité
terme par terme des équations AppC.11 et de l'équation AppC.5 (Zingg 1999). Il faut aussi
noter que, d'après l'équation AppC.11, la méthode d'Euler correspond à une méthode
Runge-Kutta d'ordre 1.
Le choix pour une rapidité optimale : la méthode RK4. Si le temps d'exécution sur un
ordinateur est un critère important, choisir une méthode d'un ordre donné nécessitent de
faire un compromis entre deux effets qui s'opposent.
Premièrement, on note que plus l'ordre de la méthode est élevé, plus l'erreur de troncature
est petite. Par exemple, réduire h de moitié dans le cas de la méthode d'Euler réduit à
25 % de sa valeur l'erreur de troncature O(h2). En revanche, réduire h de moitié dans le cas
188
Appendice C : Considérations informatiques
d'une méthode d'ordre 4 réduit O(h5) de 96,9%. Pour une même erreur de troncature,
utiliser une méthode d'ordre plus élevé permet donc d'augmenter h, ce qui réduit le nombre
total de répétitions de l'algorithme par l'ordinateur. Ce premier effet favorise donc les
méthodes d'ordre élevé.
Cependant, quand on augmente l'ordre, le nombre d'opérations arithmétiques requises
pour chaque itération de l'algorithme augmente. En particulier, l'équation AppC.11 montre
que chaque pas temporel d'une méthode d'ordre N requiert d'évaluer N fois la fonction f(yn).
Ce second effet favorise les méthodes d'ordre faible.
Pour identifier la méthode qui minimise le temps d'exécution, il faut donc évaluer le nombre
total d'opérations arithmétiques. Une des méthodes Runge-Kutta d'ordre 4 offre un choix
optimal ; elle est tellement utilisée qu'on l'appelle souvent la méthode Runge-Kutta
classique, la méthode RK4 ou encore «la» méthode Runge-Kutta :
y n 1  y n  61 (k1  2k 2  2k3  k 4 )
où
k1  hf ( y n )
k 2  hf ( y n  21 k1 )
(équation AppC.12)
k3  hf ( y n  21 k 2 )
k 4  hf ( y n  k3 )
La méthode RK4 est celle que nous avons utilisée dans le projet I de l'article du chapitre 2
et qui, comme nous le verrons ci-dessous, forme la méthode de base de nos calculs de
l'article du chapitre 4. Évidemment, le temps d'exécution n'est pas le seul critère qui a
guidé ce choix, comme nous le verrons maintenant.
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
Jusqu'à présent, nous avons discuté de la méthode RK4 qui optimise le temps d'exécution
et avons introduit l'erreur de troncature qui, dans le cas de la méthode RK4, est O(h5).
Après avoir présenter une autre source d'erreur, présente dans toute méthode numérique,
nous montrerons comment ces deux types d'erreurs s'accumulent d'itération en itération
et ce qu'on peut faire pour les contrôler.
L'erreur d'arrondi. Toute solution numérique implique un grand nombre de calculs
arithmétiques. Or, le résultat de chacune de ces opérations est stocké par l'ordinateur dans
un espace mémoire de taille finie. Inévitablement, le dernier chiffre (en binaire ou en
décimal) est arrondi. Même une méthode numérique sans erreur de troncature est donc
affectée au moins par cette erreur d'arrondi.
En programmant, on peut diminuer l'erreur d'arrondi en stockant chaque nombre réel dans
un espace mémoire de 64 bits plutôt que 32 bits. (Ces deux formats sont respectivement
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
189
appelés réels en double précision et en simple précision; en langage C, ils correspondent
respectivement aux formats double et float.)
Pour un unique calcul arithmétique, l'erreur relative causée par l'arrondissement est au
maximum de l'ordre de l'epsilon machine, m, c'est-à-dire la plus petite valeur non nulle
que peut contenir un nombre réel en double précision, soit 2!53 . 10!16.
Stabilité numérique. Si on examine les différentes méthodes à un pas qui ont été
présentées au bloc précédent, on se rend compte que chaque itération a pour point de
départ un estimé d'un point de la courbe y(t). À exception de la condition initiale y0, on n'a
aucune certitude que l'estimé se trouve effectivement sur la courbe y(t). Or, le membre de
droite de l'équation AppC.1, f(yn), n'a en général pas la même valeur si l'estimé yn diffère
de la valeur exacte y(tn). Ainsi, même dans la situation hypothétique où l'algorithme ne
produirait aucune erreur de troncature et où les erreurs d'arrondis seraient négligeables,
il existe une possibilité qu'une erreur présente à un seul point soit amplifiée d'itération en
itération, une situation qui doit absolument être évitée.
Le choix de la méthode d'intégration numérique joue un rôle important dans le fait qu'une
petite erreur est amortie par les itérations suivantes ou, au contraire, amplifiée. Il faut donc,
avant de choisir un algorithme donné, étudier sa stabilité numérique pour l'équation
différentielle qu'on souhaite intégrer. L'algorithme est dit stable si une erreur présente à une
itération donnée est amortie par les itérations suivantes. (Un algorithme instable doit être
purement et simplement remplacé par un autre.) Précisons que la stabilité d'un algorithme
s'évalue pour une équation différentielle donnée.
Pour étudier la stabilité d'un algorithme, on utilise une méthode similaire à celle présentée
à l'appendice A pour étudier la stabilité d'un point fixe. Supposons qu'on dispose d'un
algorithme donné qui discrétise un système de N équations différentielles dya/dt =



f(ya,yb, ...), dyb/dt = g(ya,yb, ...), etc. sous la forme y n 1  y n  ...  T ( y n ) . On considère


d'abord que la valeur de y n à un temps tn = nh quelconque est entachée d'une erreur en .

Pour évaluer l'évolution de en d'itération en itération, il suffit d'évaluer la matrice
jacobienne N×N donnée par :
 Ty a
 a
T
J   yab

 

Ta
y b
Tb
y b






t nh
(équation AppC.13)
Pour que l'algorithme soit stable, on doit simplement vérifier que les valeurs propres de
cette matrice jacobienne, qu'elles soient réelles ou complexes, ont toutes une norme
inférieure à l'unité. Dès qu'une seule des valeurs propres ne respecte pas cette condition,
le système est instable. Quand le système est stable, la présence d'une éventuelle partie
190
Appendice C : Considérations informatiques

imaginaire aux valeurs propres indique que y n tend vers la solution exacte en oscillant,

son absence indiquant plutôt que y n tend vers la solution exacte de façon monotone.
Pour illustrer cette démarche, prenons l'exemple d'un cas N = 1 où on discrétise l'équation
différentielle dy/dt = !Ay par la méthode d'Euler, d'où yn+1 = yn + hf(yn) = yn(1 ! Ah). On a
donc T(yn) = yn(1 ! Ah). De toute évidence, le jacobien J est une matrice 1×1 dont l'unique
élément est (1 ! Ah). Pour cette équation différentielle, l'algorithme est donc stable quelle
que soit la valeur de h, pourvu que A soit positif.
Le fondement théorique de cette méthode est simple. Nous l'illustrons avec l'exemple d'un
cas N = 1 générique dy/dt = f(y), discrétisé par la fonction yn+1 = T(yn). Si la solution exacte
aux temps t et t + h est respectivement notée par y(t) et y(t + h), alors les valeurs
numériques utilisées par l'ordinateur à ces deux temps sont respectivement yn = y(t) + en
et yn+1 = y(t + h) + en+1. Si on applique la fonction T à yn et qu'on utilise un développement
de Taylor, on obtient :
T ( y n )  T  y (t ) en   T  y (t )  en
dT
dy y ( t  nh )
 y (t  h )  e
dT
n dy y ( t  nh )
 O(en2 )
 O( e )
2
n
(équation AppC.14)
où on a utilisé, à la seconde ligne, le fait que la fonction T appliquée à la solution exacte
y(t) donne la solution exacte au temps suivant, y(t + h).
De même, le même de gauche T(yn) de l'équation ci-dessus donne, par définition, yn+1,
c'est-à-dire yn+1 = y(t + h) + en+1. Après élimination des termes y(t + h) de part et d'autre, on
obtient donc :
en 1  en
dT
dy y  y
n
 O(en2 )
(équation AppC.15)
Puisque les erreurs sont normalement petites, on peut sans gêne négliger les termes
2
proportionnels à en . On voit alors que en+1 < en à la seule condition que la dérivée dT/dy,
évaluée au temps présent, soit inférieure à 1. Cette dérivée est évidemment le jacobien
dans le cas N = 1.
Notons que, dans l'éventualité où T(yn) est une fonction linéaire, donc proportionnelle à yn,
l'équation AppC.15 se réduit toujours à en+1 = T(en). (Par exemple, c'était le cas pour la
fonction dy/dt = !Ay ci-dessus.)
Le raisonnement ayant conduit à l'équation AppC.15 se généralise facilement au cas

N > 1 : la fonction T devient alors un vecteur de fonctions de y et la dérivée dT/dy devient
la matrice
 
T / y , c'est-à-dire la matrice jacobienne.
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
191
L'accumulation d'erreur. La stabilité d'un
algorithme permet d'assurer que l'erreur
présente à une seule itération n'est pas
amplifiée par les itérations suivantes. Cependant, une nouvelle erreur est créée à chaque
itération et s'accumule. La figure AppC.1
illustre cela, dans le cas de l'erreur de
troncature associée à la méthode d'Euler.
Dans un cas de stabilité marginale, on
considère que l'erreur de troncature
s'accumulée d'une itération à l'autre forme
l'erreur accumulée t. De même, l'erreur
d'arrondi accumulée est notée a. L'erreur
totale accumulée est donc  = t + a.
Figure AppC.1 Chaque itération produit une erreur de
troncature (gauche). Cependant, chacune débute non
pas avec un point sans erreur, mais avec l'estimé
produit par l'itération précédente. Il y a donc
accumulation d'erreur.
Une fois que nous avons choisi une méthode dont la stabilité a été vérifiée, encore faut-il
choisir un pas d'intégration h qui minimise l'erreur totale accumulée. Il faut donc évaluer
 = ta, ce que nous ferons en commençant par a.
Si chaque arrondissement cause une erreur d'arrondi relative m, on pourrait penser que
Na arrondissements causent une erreur relative d'arrondi a = Nam. Ce n'est toutefois pas
le cas, sauf si on a la certitude que tous les arrondissements se font dans le même sens.
En général, on obtient un mélange aléatoire d'arrondissements vers le haut et
d'arrondissements vers le bas. Après Na arrondissements, l'erreur d'arrondis accumulée
est donc dans l'intervalle [!Nεm, Nεm], avec une espérance nulle. Si on répète cette
opération un grand nombre de fois, chaque fois avec Na opérations arithmétiques
différentes, la moyenne quadratique de l'erreur accumulée après Na opérations est :
 a  Na  m
(équation AppC.16)
Nous prendrons donc ce dernier résultat comme une estimation de l'erreur d'arrondi
accumulée. (Notons que cela n'est pas sans rappeler une marche aléatoire à une
dimension, où un marcheur quitterait l'origine et, après N pas de longueur b, se situerait
forcément entre !Nb et +Nb, mais où la distance moyenne parcourue après un grand
nombre d'essais de N pas serait
Nb .)
D'une façon similaire, les erreurs de troncature s'accumulent d'une itération à l'autre (voir
figure AppC.1). Après Nb itérations d'une méthode comme RK4, l'erreur accumulée suit
souvent la règle suivante, où  et  sont des paramètres à déterminer empiriquement :
 t   Nt 
192
(équation AppC.17)
Appendice C : Considérations informatiques
Notez que l'erreur diminue lorsque Nt augmente car on suppose ici que la durée totale T
de la simulation est la même. Puisque le nombre de pas, qui correspond à Nt, est T/h, une
augmentation de Nt correspond nécessairement à une diminution du pas d'intégration h,
donc une plus faible erreur de troncature.
En additionnant les équations AppC.16 et AppC.17, on obtient que l'erreur totale
accumulée (sans tenir compte de son éventuelle atténuation par la propriété de stabilité
de l'algorithme) est :
  Na  m   Nt 
(équation AppC.18)
où Na/Nt est un ratio constant et supérieur à 1 qui correspond au nombre d'opérations
arithmétiques par itération de l'algorithme. Par exemple, l'utilisation de la méthode RK4
requiert d'évaluer quatre fois f(yn) par itération, puis d'effectuer six multiplications et sept
additions. Même si f(yn) contient une seule opération arithmétique, on arrive donc à Na/Nt = 17.
Dans le cas des équations du modèle HH, on a Na/Nt  100. Si on considère que ce ratio est
intégré dans la constante empirique , on peut convertir l'équation AppC.18 sous la forme :
  N m   N 
(équation AppC.19)
où N peut représenter aussi bien Na que Nt. L'avantage l'équation AppC.19 est de révéler
clairement que  présente un minimum pour une valeur donnée de N. Or, N croît de façon
monotone quand h diminue ; il y a donc une valeur de h pour laquelle l'erreur  est
minimale. En général, cette valeur n'est cependant pas la même pour chaque estimé yn.
erreur absolue (adim)
réels à simple précision
10+1
10−1
10−3
10−5
10−7
10−9
10−11
10−13
10−9
x(t=1)
x(t=100)
x(t=10000)
x(t=1000000)
10−6
10−3
100
pas d'intégration h (adim)
réels à double précision
erreur ab
absolue (adim)
Pour illustrer ce concept, nous avons simulé un
oscillateur harmonique simple, qui présente
l'avantage d'avoir une solution analytique connue
(avec les conditions initiales que nous avons
utilisées : x = cos t). La figure AppC.2 présente, en
fonction de h, l'erreur absolue qui affecte quatre
résultats, soit x(t = 1), x(t = 102), x(t = 104) et
x(t = 106). (Attention : chaque courbe compare x au
même temps t = nh et non à la même itération n.)
x(t=1)
10−1
x(t=100)
On note tout d'abord que l'erreur totale décroît de
10
x(t=10000)
façon linéaire (sur un graphique log-log) quand h
x(t=1000000)
10
décroît à partir de valeurs élevées. Cette portion
10
des graphiques correspond au second terme de
10
10
l'équation AppC.19. Pour des valeurs encore plus
10
10
10
10
faibles de h, l'erreur atteint éventuellement un
pas d'intégration h (adim)
minimum et se met à fluctuer, avec ou sans
tendance à remonter : cette portion des graphiques Figure AppC.2 Erreur absolue en fonction de
se produit quand c'est le premier terme de h. L'utilisation de réels à double précision
diminue les erreurs d'arrondis. Notez les axes
l'équation AppC.19 qui est dominant.
−4
−7
−10
−13
−16
−9
−6
−3
0
logarithmiques.
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
193
La forme de l'équation AppC.19 ne prévoit pas explicitement ces fluctuations, mais il faut
rappeler deux aspects. Premièrement, la premier terme de l'équation AppC.19 est valide dans
un cas de stabilité marginale, alors que notre algorithme est stable : toute nouvelle erreur
d'arrondi qui est créée s'ajoute au total mais s'estompe avec le temps. Ensuite, le premier
terme de l'équation AppC.19 est probabiliste : même dans un cas de stabilité marginale, un
unique essai comme celui de notre figure AppC.2 présenterait des fluctuations. Il faudrait
répéter le graphique avec des points voisins ou des conditions initiales différentes et faire la
moyenne erreurs obtenues pour obtenir la forme N1/2 - h!1/2 prévue à l'équation AppC.19.
Enfin, précisons que la figure AppC.2 montre bien que le minimum atteint par l'erreur totale
est nettement plus faible si on utilise des réels à double précision plutôt qu'à simple
précision, ce qui découle de la différence de m.
Stratégie pour choisir h. Une fois que la stabilité de notre algorithme est assurée, on veut
généralement choisir la valeur la plus élevée possible de h (qui conserve l'erreur sous un
seuil de tolérance choisi) pour éviter que le temps d'exécution ne soit prohibitif. Quand on
doit faire ce choix de h, il faut distinguer deux possibilités, selon que l'erreur minimale
apparaissant sur un graphique comme celui de la figure AppC.2 est plus faible ou plus
élevée que le seuil d'erreur que nous sommes prêt à tolérer.
Dans le premier cas, il sera possible de choisir une valeur de h qui permet à tous les points
de notre simulation d'être affectée par une erreur inférieure au seuil voulu. (En pratique,
il suffit de tester pour quelques temps t* bien choisis, un peu comme les quatre temps que
nous avons illustrés à la figure AppC.2.) Il faut d'abord réaliser un graphique comme celui
de la figure AppC.2. Pour ce faire, on doit estimer la solution analytique (dont on ne
dispose pas habituellement) en effectuant un test de convergence. Une valeur analytique
à laquelle on additionnerait les erreurs de la figure AppC.2 présenterait des valeurs très
différentes pour les h très élevés tout comme pour les h très faibles, mais les valeurs
seraient similaires entre elles quand l'erreur est minimale. En d'autres termes, quand on
réduit h à partir d'une valeur élevée, le résultat obtenue pour un temps t* semble converger
vers une valeur limite qu'on prend comme un estimé de la valeur analytique. Une fois cette
valeur limite établie, on choisit la plus grande valeur de h qui ne fait en sorte que le résultat
ne s'en éloigne pas au delà du seuil d'erreur toléré.
Le test de convergence peut fonctionner uniquement si le premier terme de l'équation
AppC.19 demeure de taille négligeable, comparativement au second terme, pour les temps
t* étudiés. Cela est le cas pour les simulations du projet I de l'article du chapitre 2, mais pas
si on simule un axone comme au chapitre 4 en utilisant un pas h fixe pendant plusieurs
milliards de pas. Quand le test de convergence échoue, il devient alors impossible de
minimiser l'erreur pour chaque point yn. On dispose alors de deux options.
La première option est de viser un compromis où le seuil de tolérance est respecté pour
certaines valeurs de t* (souvent les plus faibles, qui ont moins d'erreur d'arrondi
accumulée) mais pas les autres. On trouve alors la valeur de t* la plus élevée possible qui
permet d'effectuer le test de convergence et on fixe h sur la base de ce t*. Par contre, on
doit accepter que les points pour t > t* sont affectés par davantage d'erreur. S'ils
représentent une minorité du temps de simulation, cette option peut devenir acceptable.
194
Appendice C : Considérations informatiques
La seconde option, quand le premier terme de l'équation AppC.19 devient non négligeable,
est de modifier l'algorithme afin de diminuer le nombre d'itérations. Par exemple, on peut
alors remplacer la méthode Runge-Kutta par une des nombreuses autres méthodes de
solution d'une équation différentielle. On peut aussi utiliser une valeur non constante pour
le pas temporel h, afin de minimiser le nombre d'itérations sans augmenter l'erreur de
troncature produite à chacune d'elles. C'est cette dernière option que nous avons privilégiée
dans l'article du chapitre 4 et que nous allons maintenant présenter plus en détails.
Pas temporel adaptatif. En général, utiliser un pas adaptatif consiste a réduire h quand
le membre de droite de l'équation AppC.1 est grand et à l'augmenter sinon. Les équations
du modèle HH sont particulièrement appropriée pour une telle approche puisque le modèle
HH a deux constantes de temps : V évolue rapidement pendant un potentiel d'action,
lentement pendant la phase réfractaire.
Les méthodes pour ajuster h sont nombreuses. Par exemple, le code utilisé pour produire
les résultats de Boucher 2012 détectait les incréments à yn et augmentait et diminuait h
seulement par un facteur 10.
Une approche plus optimale consiste à évaluer l'erreur de troncature et à ajuster
précisément h pour qu'elle demeure toujours immédiatement sous un seuil préalablement
établi. Le nombre total d'itérations est ainsi minimisé, au prix de légèrement plus de calcul.
Encore ici, de nombreuses méthodes sont possibles. Par exemple, on peut réaliser chaque
itération parallèlement avec une méthode d'ordre 3 et une méthode d'ordre 4 puis
soustraire les deux résultats obtenus. On obtient ainsi un estimé du terme d'ordre 4 (c'està-dire le terme d'ordre 4 additionné des termes d'ordre supérieurs).
Cette approche double approximativement le nombre d'opérations arithmétiques réalisées
à chaque itération, mais elle diminue le nombre total de pas de bien plus qu'un facteur
deux. Dans le but de réduire les erreurs d'arrondis en minimisant le nombre de pas, c'est
une approche de ce genre que nous avons retenue pour intégrer les équations du
chapitre 4. Notre méthode, qui estime plutôt O(h5) et garde ce terme sous un seuil choisi,
est évoquée dans Press 1992 (mais malheureusement aucun code n'y est fourni).
L'idée de base qui la sous-tend est de réaliser chaque itération parallèlement avec une
méthode RK4 utilisant deux pas h successifs et une méthode RK4 utilisant d'un seul coup
un pas 2h. La différence entre les deux estimés obtenus permet de calculer les termes
tronqués d'ordre cinq et plus.
En effet, les deux calculs RK4 doivent théoriquement donner le même résultat analytique
y(t + 2h) mais donnent y1n dans le cas utilisant deux pas h successifs et y2n dans le cas
d'un seul pas 2h. (Notez que l'indice n ne permet plus de déterminer le temps puisque ce
dernier n'est plus t = nh ; il indique seulement le numéro de l'itération.) On estime donc :
y (t  2h )  y1n  2h5  O(h 6 )
y (t  2h )  y 2n  (2h )5   O(h 6 )
AppC.2 L'accumulation et la gestion d'erreurs
(équation AppC.20)
195
Si on soustrait ces deux équations en y négligeant29 les termes d'ordre 6 et plus, on obtient
facilement que y1n ! y2n = !2h5 + 32h5. On considère cette différence comme un estimé
de l'erreur de troncature d'ordre 5 :
  y1n  y 2n  30h5  O(h 5 )
(équation AppC.21)
L'objectif de l'algorithme est d'ajuster h afin que Δ demeure immédiatement sous un certain
seuil. Si Δ est plus élevé que le seuil, on rejette le résultat, on réduit h et on recommence
l'itération ; s'il est plus faible, on conserve le pas mais on augmente h pour le pas suivant.
Parmi les différents algorithmes de pas adaptatif, l'approche que nous venons de décrire
présente deux avantages. Tout d'abord, si on avait utilisé la méthode RK4 et une méthode
d'ordre 5 à chaque itération, on aurait plus que doublé la quantité d'opérations à réaliser
par itération. En revanche, notre algorithme n'augmente cette quantité que de 50 % :
calculer y(t + 2h) en utilisant un pas fixe requiert deux exécutions de la méthode RK4 alors
que notre algorithme en demande une seule de plus, avec un unique pas 2h.
Deuxièmement, l'équation AppC.21 permet d'isoler  et d'écrire :
y (t  2h )  y1n 
y1n  y 2 n
15
 O( h 6 )
(équation AppC.22)
En plus de contrôler la taille du dernier terme de la série, notre algorithme permet donc de
porter le résultat à l'ordre 5 et donc de réduire l'erreur de troncature à O(h6). Si on se
rapporte à l'équation AppC.18, notre algorithme a donc pour conséquence de réduire au
maximum le premier terme (moins d'itérations au total) mais aussi le second terme (erreur
par itération d'ordre 6 plutôt que d'ordre 5).
À chaque itération, notre algorithme doit ajuster h afin de maintenir Δ immédiatement sous
sa valeur cible. La procédure suivie pour ce faire est la même que l'itération précédente ait
été conservée (h doit augmenter) ou rejetée (h doit diminuer) et se sert du fait que Δ % h5 :
 obtenu  hutilisé 


voulu  hvoulu 
5
(équation AppC.23)
Dans le cas où l'équation AppC.1 est remplacée par l'équation AppC.2 (système
d'équations), l'équation AppC.23 doit être appliquée à chaque équation et le plus gros
rapport est celui qui doit être considéré pour l'ensemble des équations.
29
Le terme d'ordre 6 est le plus souvent inférieur au terme d'ordre 5, mais il y a toutefois des exceptions. Par exemple, les fonctions
paires ont des termes d'ordre 5 rigoureusement nuls, donc inférieurs à ceux d'ordre 6. Le cas qui nous occupe n'étant toutefois pas une
exception de ce genre, on peut négliger les termes d'ordre 6 devant ceux d'ordre 5 sans difficulté. C'est d'ailleurs ce que les auteurs
de Numerical Recipies in C recommandent de faire pour le cas général (Press 1992).
196
Appendice C : Considérations informatiques
En pratique, et tel que recommandé par Press 1992 pour un autre algorithme de pas
adaptatif, nous avons jugé que réduire de 10 % la valeur de h projetée par l'équation
AppC.23 permettait de réduire pratiquement à zéro le nombre d'itérations rejetées et, donc,
d'optimiser le temps d'exécution.
Enfin, soulignons que le seuil Δvoulu doit être fixé de la même façon que h serait choisi dans
le cas d'un algorithme à pas fixe.
AppC.3 Quelques autres aspects techniques
Nous terminons cet appendice en citant des détails techniques qui méritent d'être
mentionnés ou en précisant les algorithmes qui ont été utilisés dans le cas de quelques
tâches simples ou moins simples et qui n'ont pas été discutées ailleurs.
Forcer la valeur du pas. Au chapitre 4, notre modèle requiert parfois d'apporter un
changement de paramètre ou une stimulation à un temps précis. Dans ces circonstances,
il ne faut pas laisser l'équation AppC.23 fixer h de façon aléatoire et plutôt s'assurer qu'il
«arrive pile». Une liste des temps qui doivent précisément terminer une itération et débuter
la suivante est donc établie en début d'exécution et, à chaque itération, on s'assure que
la valeur de h calculée pour la prochaine itération ne dépasse pas le temps suivant dans
la liste ; le cas échéant, h est réduit pour aboutir précisément au temps de la liste.
De façon similaire, notre code permet de désactiver le pas adaptatif, forçant ainsi
l'utilisation d'un pas fixe, ce que nous avons fait quand la simulation comportait du bruit.
Détection d'un NaN. L'utilisation de l'équation AppC.23 pose problème si la solution
numérique présente des discontinuités, ce qui est justement le cas, au chapitre 4, quand
nous stimulons le noeud de Ranvier #1 ou modifions un paramètre en cours de route. Il
peut alors se produire que Δobtenu est très important et, donc, que le ratio Δobtenu/Δvoulu est
immense. S'il excède la valeur maximale pouvant être stockée dans un réel de double
précision, ce dernier sera encodé comme INF (infini) ou NaN (not a number).
Toute opération impliquant un NaN et d'autres réels donne elle-même un NaN, si bien que
le prochain pas h recommandé sera lui-même un NaN et que le reste de l'intégration
numérique échouera. Pour éviter cette éventualité, il faut explicitement détecter les NaN.
Or, il est impossible de coder quelque chose comme
if(variable == NaN)
puisque toute opération de comparaison avec un NaN donne faux, y compris la
comparaison entre deux NaN... La solution que nous avons imaginé est de tirer profit de
cette particularité en codant :
if(variable != variable)
En effet, la seule éventualité où cette opération sera évaluée comme vraie est celle où la
variable est un NaN.
AppC.3 Quelques autres aspects techniques
197
Choix des points pertinents pour la mise en graphique. Un autre aspect technique qui
nécessite mention est celui de l'exportation des données qui, en langage C, doit être codée
comme le reste. Certaines simulations comprennent des milliards d'itérations et il va sans
dire que peu de logiciels de mise en graphique pourraient gérer un tableau qui les
comporterait toutes, sans parler de l'espace disque qui serait utilisé.
La première option qui vient en tête est de faire
un échantillonnage équidistant, par exemple en
conservant un point sur 10000. Ceci remplit
certes l'objectif de réduire le nombre de points
totaux à quelques dizaine de milliers, mais ne
convient pas : puisque le modèle HH a deux
échelles de temps, conserver des points
équidistants peut tronquer sérieusement des
potentiels d'action. Une telle approche aboutirait
à des graphiques peu représentatifs du
phénomène. De plus, le point maximum de
chaque potentiel d'action doit être conservé
puisque le temps des maximums est utilisé pour
comparer les trains d'impulsions au chapitre 4.
Tous les pts
1 pt
pt par
par ms
1 pt
pt par
par 3 ms
Tous les pts
extr et zéros de V et V'
420
Après de nombreux essais, il nous a paru que la
meilleure méthode consistait à conserver au
moins les points auxquels la fonction V(t) ou sa
dérivée présentent un zéro ou un extremum,
comme l'illustre la figure AppC.3. Par sûreté,
nous avons aussi ajouté au filtre la possibilité de
détecter un écart trop important entre deux
points et d'ajouter des points additionnels
équidistants.
425
430
435
440
445
450
temps (ms)
Figure AppC.3 La sélection de 10 ou 30 points
équidistants représente mal la fonction et surtout
ses maximums (haut), alors que la sélection des
zéros et des extremums de V et VN produit un très
bon résultat avec seulement 18 points (bas). La
courbe en rouge comporte tous les points, soit
plus de 31000 pour l'intervalle de 30 ms choisi.
Notons que ce filtre doit évaluer la dérivée. Pour ce faire, nous utilisons le schème centré
V V
Vn  n 1 n 1
t n 1  t n 1
(équation AppC.24)
et le comparons aux dérivées aux points voisins pour établir s'il est localement extrêmal
ou quasi-nul. Quand la valeur obtenue est plus élevée que celle obtenue aux deux points
voisins (ou plus faible que ces deux valeurs) le point est conservé par le filtre.
Si le pas temporel h est fixe, alors tn+1 ! tn!1 = 2h et on peut montrer que l'équation AppC.24
est valide au deuxième ordre. Nous avons toutefois utilisé cette équation pour estimer la
dérivée seconde aussi dans l'éventualité où h n'était un pas adaptatif, une approximation
rendue valable par le fait que h change relativement lentement. La seule conséquence
observée a été que plus de points sont sélectionnés par le filtre quand le pas est variable.
La figure AppC.3 montre que le résultat obtenu est néanmoins satisfaisant.
198
Appendice C : Considérations informatiques
Évaluation de la fréquence. Pour réaliser plusieurs figures du chapitre 4, il a fallu être en
mesure de détecter la fréquence d'un train d'impulsions (où chaque potentiel d'action était
représenté par le temps où son maximum survient). Notre algorithme peut réaliser cette
tâche de plusieurs façons différentes :
• D'abord, il est possible d'obtenir une «fréquence globale» en divisant le nombre total de
potentiels d'action par la durée totale de la simulation (ou un intervalle différent, par
exemple destiné à exclure une période transitoire). Cette approche n'est toutefois utilisée
qu'à des fins essentiellement indicatives car elle ne dit rien des fluctuations de fréquence
et ne permettrait pas, par exemple, de détecter qu'un verrouillage de phase a eu lieu.
• Ensuite, on peut détecter la fréquence en utilisant la réciproque de l'intervalle de temps
entre chaque paire de potentiels d'action. L'avantage de cette approche est de
permettre de voir la façon dont la fréquence varie avec le temps, mais elle est
extrêmement sensible aux fluctuations. En conséquence, nous l'avons utilisé seulement
dans tous les noeuds de Ranvier déchargeaient à une fréquence constante, ce qui
exclut les cas où des fluctuations ou du bruit étaient présents.
• Enfin, on peut utiliser un kernel tel que décrit dans Dayan 2001, c'est-à-dire évaluer la
fréquence en un temps t comme la fréquence moyenne dans une «fenêtre» qui contient
ce temps t. Nous avons réalisé cette approche de deux façons, d'abord avec un kernel
rectangulaire, où tous les potentiels d'action avaient la même importance dans le calcul
de la fréquence, ensuite avec un kernel gaussien centré sur le temps t, où l'importance
des potentiels d'action diminue quand ils sont plus loins du temps t. Bien qu'elles n'aient
finalement pas été utilisées pour produire des figures au chapitre 4, ces deux approches
ont été fort utile à la phase d'exploration de notre projet de recherche.
Évaluation de la métrique VP. Pour mesurer l'infidélité de la transmission, au chapitre 4,
nous avons utilisé la métrique de Victor & Purpura (1996). Théoriquement, cette dernière
nécessite d'évaluer toutes les façons de transformer un potentiel d'action en un autre (voir
la figure 4.S3, au chapitre 4, pour un exemple d'une telle transformation).
Pour réaliser cette comparaison, le code que nous avons adapté de celui des auteurs de
la métrique utilise une méthode itérative qui réduit graduellement la taille des trains
d'impulsions à comparer. L'idée maîtresse est que la première étape de la comparaison
visant à transformer Sa en Sb ne peut qu'être l'une des trois suivantes :
• effacer la première impulsion du train Sa pour obtenir SaN ;
• déplacer la première impulsion du train Sa au temps de la première impulsion de Sb, ce
qui produit SaO ;
• ajouter une impulsion au train Sa au temps de la première impulsion de Sb (ceci
équivaut à appliquer la première des trois possibilités quand on transforme Sb en Sa).
On stocke donc le coût de chacune de ces trois opérations dans une matrice M,
respectivement dans éléments M10, M11 et M01. De façon similaire, on remplit le reste de la
matrice par itération. Chaque élément Mij est le coût minimal pour faire correspondre les
i premières impulsions de Sa avec les j premières de Sb, les autres étant ignorés. Par
exemple, les éléments diagonaux ne compare que des nombres égaux d'impulsions, alors
que les éléments non diagonaux incluent nécessairement des coûts dus à des ajouts ou
des retraits d'impulsions. Au terme du processus, le coin inférieur droite de la matrice
contient donc le coût recherché.
AppC.3 Quelques autres aspects techniques
199
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