application de la méthode des éléments finis à la - Infoterre

application de la méthode des éléments finis à la - Infoterre
application de la méthode
des éléments finis
à la simulation des transferts
dans les eaux souterraines
notice et m o d e d'emploi du programme MEFISTO-STEF
î. S / R * .
BRGM
application de la méthode
des éléments finis
à la simulation des transferts
dans les eaux souterraines
notice et mode d'emploi du programme MEFISTO-STEF
M. Récan
octobre 1986
86 SGN 194 EAU
BUREAU DE RECHERCHES GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
Département Eau
B.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - Tél.: 38.64.34.34
RESUME
Le présent rapport comprend la description, le mode d'emploi et un jeu
d'essai du programme M E F I S T O - S T E F (STEF = simulation des Transferts par Eléments
Finis) dans la version transfert hydrodispersif
(déplacement d'un soluté avec
dispersion, transfert de chaleur par convection forcée...).
L'utilisation de ce code de calcul nécessite un minimum de connaissances
sur les méthodes de calcul par éléments finis ; celles-ci pourront être acquises par
une lecture approfondie de l'ouvrage de Dhatt et Touzot, qui fournit un programme de
base à partir duquel M E F I S T O et M E F I S T O - S T E F ont été conçus. Tous les apports
nouveaux par rapport à ce programme sont détaillés dans le présent document.
Le choix de la discrétisation et l'élimination des problèmes de stabilité,
convergence... demande une expérience solide qui ne peut être acquise et conservée
que par l'utilisation régulière de ces techniques. La mise en oeuvre de ce logiciel
devra être réservée aux problèmes difficiles requiérant une précision élevée.
Le programme M E F I S T O a été mis au point à l'occasion d'études diverses
sur contrat ; des compléments, la généralisation du code de calcul, et la préparation
du mode d'emploi ont été réalisés sur fonds propres du Ministère de l'Industrie dans le
cadre du programme Informatique Hydrogéologique du Département E A U .
Les principales études réalisées à l'aide de M E F I S T O sont :
- différents problèmes de stockage d'eau chaude dont celui du pilote de
l'Ecole Normale Supérieure (Lyon Gerland),
- la simulation de la gazéification souterraine du charbon (rétrocombustion),
- les transferts de substance dissoute en aval d'un stockage souterrain de
gaz naturel,
- pompage par un puits incomplet.
SOMMAIRE
Page
INTRODUCTION
1
1 - LA BIBLIOTHEQUE D'ELEMENTS CV2D
2
1.1 - L'équation de diffusion-convection
1.2 - Notations et conditions aux limites
1.3 - Formulation variationnelle
1.3.1 - Formulation en flux total
1.3.2 - Formulation enfluxdiffusif
1.4 - Discrétisation spatiale et formulation matricielle
1.5 - Calcul effectif des matrices élémentaires
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.5.8
-
Transformation des dérivées premières
Transformation des intégrales
Intégration numérique
Organisation du calcul
Calcul de la matrice de rigidité
Calcul de la matrice de masse
Calcul des sollicitations réparties
Calcul des sollicitations sur les frontières
1.6 - Utilisation de la bibliothèque C V 2 D
2 -
2
4
6
7
8
10
12
12
13
13
13
15
18
19
19
21
NOTIONS SUR LES S C H E M A S UPWIND, L A STABILITE ET L A
DISPERSION DES S C H E M A S N U M E R I Q U E S
23
2.1 - Les schémas "upwind"
23
2.1.1 - C a s monodimensionnel
2.1.2 - Extension à 2 ou 3 dimensions
23
26
Page
2.2 - Notions de stabilité, dispersion et dissipation des schémas
numériques
27
2.2.1 - Stabilité (équation de la diffusion)
27
2.2.2 - Dissipation, dispersion
31
2.3 - Oscillations avec l'équation de la diffusion
35
2.4 - Le principe du m a x i m u m
38
2.4.1 - Définition
38
2.4.2 - Cas de l'équation de la diffusion
39
2.4.3 - Cas de l'équation de diffusion-convection monodimensionelle 43
2.5 - Choix du schéma de discrétisation
43
2.5.1 - Les causes des oscillations numériques
43
2.5.2 - L e nombre de Péelet numérique
44
2.5.3 - Les schémas upwind
44
2.5.4 - Diagonalisation de la matrice masse
45
2.5.5 - Choix des éléments
45
2.6 - Exemple
Références bibliographiques
46
48
INTRODUCTION
D e nombreux problèmes physiques sont modélisés par l'équation de
diffusion convection. Mis à part le domaine de la mécanique des fluides qui fait
intervenir l'équation de diffusion-convection avec des termes supplémentaires non
linéaires (inertie), cette équation est à la base des problèmes de pollution ou de
transferts thermiques dans les aquifères.
La méthode des éléments finis a connu un essor considérable ces vingt
dernières années. Elle est à la base des codes de calcul utilisés en mécanique des
solides et s'est avérée très efficace dans le traitement des problèmes basés sur
l'équation de la diffusion. Les avantages de la méthode des éléments finis résident
dans la possibilité de représenter facilement des domaines de forme géométrique
compliquée et de traiter de façon consistente les conditions aux limites. Sa mise en
oeuvre est cependant sensiblement plus compliquée que dans le cas des différences
finies et elle coûte en général plus chère.
Ce rapport présente la bibliothèque d'éléments CVZD basée sur la
formulation de Galerkine. Couplée au programme M E F T S T O (1), cette bibliothèque
permet de traiter un problème de diffusion convection. La formulation utilisée et le
m o d e d'emploi de la bibliothèque CVZD sont exposés dans le premier chapitre. Sa
lecture suppose un minimum de connaissances de la méthode.
L'application de la méthode de Galerkine au traitement de l'équation de
diffusion-convection fait apparaître des problèmes similaires à ceux rencontrés avec
la méthode des différences finies lorsque les transferts convectifs sont importants.
Le deuxième chapitre présente quelques notions de base sur la stabilité et la
dispersion des schémas à partir d'exemples simples et met en évidence les causes des
oscillations qu'on observe parfois dans les solutions numériques.
U n exemple d'utilisation de la bibliothèque CVZD
dernier chapitre.
est proposé dans le
1 - LA BIBLIOTHEQUE D'ELEMENTS CV2D
1.1 - L'EQUATION DE DIFFUSION-CONVECTION
En adoptant la terminologie associée au traitement des problèmes de
pollution, l'équation de diffusion-convection s'écrit :
dC
*
•••
••
(1.1)
w — + V({J.C) = V D VC
dt
avec C :
concentration
to :
porosité cinématique du milieu
U :
vitesse de Darcy de l'écoulement
Q :
terme source
D :
tenseur de diffusion/dispersion.
Ce tenseur est lui-même la s o m m e de deux tenseurs :
- D o = do.n, d 0 étant le coefficient de diffusion moléculaire et
II le tenseur identité
- D a : tenseur de dispersion supposé symétrique dont le premier vecteur
propre a la direction du vecteur vitesse de l'écoulement et le
second espace propre est constitué par le plan orthogonal au
vecteur vitesse. E n géométrie plane et dans un repère lié à
l'écoulement, D
a
s'écrit :
a
D
où
a
= I
L 0
0
a
L
\u\
a L est la dispersivité longitudinale (dans le sens de l'écoulement)
a-p
est
la
dispersivité
transversale
(dans le plan perpendiculaire
à
l'écoulement)
IUI
est le module d u vecteur vitesse.
Si U x et U y sont les composantes du vecteur vitesse, dans le repère du
problème, les composantes du tenseur de diffusion/dispersion
s'écrivent :
dans ce repère
D xx =
a, U2
yy
+aTU2
\u\
°
(1.2)
(a, -a_)î/ U
X
D = D = —
—^
*y
y*
\u\
It/I = ( t / 2 +
1
j
L'équation (1.1) permet, à condition de réinterpréter les coefficients, de
traiter les problèmes de transferts thermiques dans un aquifère. L'équation régissant
les transferts thermiques s'écrit :
E
Yf
avec T
dt
À
?¿/ T )
VT
VT
+
(1.3)
: température
Q-p
: terme source
U
: vitesse de Darcy de l'écoulement
Ya
: capacité calorifique du milieu (tenant compte de la présence de la
phase fluide)
Yf
: capacité calorifique de la phase fluide
X
: tenseur de conductivité équivalente qui regroupe la conductivité
isotrope du milieu poreux (solide + fluide) en l'absence d'écoulement et
un terme de dispersion lié à l'hétérogénéité de la vitesse, fonction
linéaire de cette vitesse. Dans les axes longitudinaux et transversaux
liés à la vitesse, les deux composantes diagonales du tenseur X sont :
(1.4)
où
B L et 6 T
sont
respectivement les dispersivités thermiques longitudinales et
transversales.
L'équation (1.3) est formellement identique à l'équation (1.1) à condition
d'identifier w et Y a /Yf> ¿o e t ^o/ïf» a L
et a
T> &L
et
BT> Q et
1.2 - NOTATIONS ET CONDITIONS AUX LIMITES
La bibliothèque d'éléments C V 2 D est destinée à traiter un problème de
diffusion-convection en géométrie plane ou axisymétrique. Dans le développement
qui suit, nous supposerons que le nombre de dimension de l'espace est n¿ ce qui
permet de donner un aspect tout à fait général à la formulation.
Soit V un domaine ouvert de R 1 1 ^ et S sa frontière. Soit x = {xj}, i = 1, 2,
..., n¿ un point de V et n = {nj} la normale unitaire extérieure à S. Nous supposons que
la frontière S peut être décomposée de la façon suivante :
S = S US
C
<J
(1.5)
cj) = s n s
où S c et Sq sont des sous-ensembles de S (dont l'intersection est vide et la réunion est
S). La barre superposée indique la fermeture de l'ensemble et 0est l'ensemble vide.
Nous utiliserons la convention de sommation implicite sur les indices
répétés (par exemple si n = Z, alors qjnj = q^n^ + q2n2)« Une virgule est utilisée pour
indiquer une dérivtion partielle (par exemple qi i = oqj/Sxj).
Considérons une triangulation du domaine V en éléments V e , e = 1, 2, ...,
rig où n e est le nombre d'éléments. La frontière de chaque élément est notée S e et
nous supposons
_ uU
V =
VV
e
(1.6)
SC
u
S
e
L'ensemble U
U V e représente les intérieurs des éléments (hors frontières)
et l'ensemble Sjnt = U S e - S représente les frontières intérieures de la triangulation.
Se
L'équation (1.1) fait apparaître 3 types de flux
- le flux convectif
qc = U . C
(1.7)
- le flux diffusif
9? = - DaC >j
Í1-8)
- le flux total
<?, = q* + q'f
(1.9)
I
I
L'équation (1.1) peut, compte tenu de ces notations, s'écrire sous la
forme :
q . = f= Q -
w
dC/dt
(1.10)
Les notations suivantes seront utiles dans la suite
V
=V..n.
q = q..n
qc = qc . n. qd = qd n.
(1.11)
Compte tenu de (1.10), nous ne distinguerons pas dans un premier temps le cas
stationnaire du cas instationnaire (le
cas instationnaire requiert
cependant
l'introduction de conditions initiales).
Le but du problème est de trouver la fonction C satisfaisant l'équation
(1.10) ainsi que certaines conditions aux limites.
Nous imposons
C = g sur S
c
(1.12)
où g est une fonction donnée définie sur S c . La portion S c de la frontière S est une
frontière à concentration imposée. Il reste à définir une condition sur Sq. Nous
envisagerons Z types de conditions
- qn = l sur S
(1.13)
-q^hsurS
(1-1*)
où f et h sont des fonction données définies sur Sq.
La première condition porte sur le flux total pénétrant dans le domaine
par la frontière Sq et la seconde sur le flux diffusif pénétrant dans V .
Remarque : Bien que ce ne soit pas toujours précisé, la plupart des formulations
développées pour l'équation de diffusion-convection satisfont la condition
(1.14) portant sur le flux diffusif.
1.3 - FORMULATION VARIATIONNELLE
La méthode des résidus pondérés consiste à rechercher des fonctions
d'interpolations C qui annulent la forme intégrale issue de (1.10).
iq
-f).
V
Les fonction d'interpolation sont supposées satisfaire
C = g sur S
et les fonctions de pondération
W = 0 sur S
(1.16)
(ce qui est en pratique réalisé en modifiant le système d'équation résultant de la
discrétisation en éléments finis).
L'étape suivante consiste à diminuer l'ordre maximal des dérivés qui
interviennent dans (1.15) (afin de diminuer les conditions de dérivabilité des fonctions
d'interpolation). Cette opération est réalisée par le théorème d'Ostrogradski qui
énonce :
= - f V^
Etant donné que seul le flux diffusif fait intervenir les dérivées à l'ordre 1
des fonctions de pondération, on peut, pour diminuer l'ordre maximal de dérivation,
appliquer le théorème d'Ostrogradski
- soit au terme en flux dif fusif seulement
- soit au terme en flux total.
Ces deux possibilités conduisent à des hypothèses de nature différentes
sur la continuité des flux à l'intérieur du domaine et sur les conditions aux limites qui
sont prise en compte de façon naturelle.
Avant d'expliciter les deux formulations, nous introduisons la notation
suivante :
Soit x un point de Smt, c'est-à-dire situé sur une frontière interne de la
triangulation. O n appelle (de façon arbitraire) un côté de S^ le côté positif et l'autre
le côté négatif. Soient n + et n~ les normales unitaires à S m t au point x qui sont
dirigées vers les directions positives et négatives. Il est évident que n + = - n~.
Soient qj + et qj~ les valeurs de qj obtenues en approchant du point x par
les côtés positifs et négatifs. L e saut de q n au point x est défini par :
- \q.+ — q.
n . = q. + n.+ + q.
n.
(1.18)
II est clair que le saut [qn] est invariant si l'on intervertit les côtés
positifs et négatifs.
1.3.1 - FORMULATION EN FLUX TOTAL
Pour définir l'équation variationnelle, nous supposons que toutes les
fonctions (et en particulier les fonctions C et W ) sont de classe C 0 0 (i.e. indéfiniment
continues et dérivables).
En appliquant le théorème d'Ostrogradski à l'équation (1.5), on obtient :
- I qiW,.dV=
fWdV-
q i t
(1.19)
Décomposons l'intégrale sur la frontière du domaine
S
qn
WdS=
l l
qn WdS +
¡S
qn WdS
¡S
c
q
Puisque W est nulle sur S c et compte tenu de (1.13), ce terme s'écrit
finalement
S
q.n.WdS
l
'
= -
W. l. dS
¡S
Q
et l'équation variationnelle équivalente à (1.15) est :
-
qW dV =
fWdV+ f W.ldS
*V
->l>
(
¡S
1
Dans la méthode des éléments finis, les intégrales portant sur le domaine
sont remplacées par la s o m m e des intégrales sur chaque élément de la triangulation.
Si les fonctions W et C sont de classe C 0 0 , l'équation variationnelle (1.20)
est équivalente à :
Comme
les fonctions de pondération sont arbitraires, les équations
d'Euler-Lagrange associées sont bien (1.10) et (1.13).
Si W et C sont seulement de classe C ° (et plus exactement telles que leurs
dérivées soient des continues sur les frontières internes de la triangulation, i.e. sur
Sint) l'équation variationnelle (1.20) est équivalente à
s.
• ~.
h
.
int
L'équation (1.22) montre que, dans la classe des fonctions C ° , les
équations d'Euler-Lagrange sont
- la restriction à l'intérieur des éléments de (1.10)
- l'équation (1.13)
- la condition de continuité du flux total à travers les frontières internes
de la triangulation, c'est-à-dire :
[qj - 0 sur
7.3.2 - FORMULATION
int
(U23)
EN FLUX DIFFUSIF
Dans cette formulation, le théorème d'Ostrogradski n'est appliqué qu'au
terme de flux diffusif. E n ré-écrivant (1.15) sous la forme :
*. +qc¡t - f)WdV = 0
et en tenant compte de :
WdV=-
d
1 ql ,WdV+
h
ql dWn dS
on obtient :
qd\V,idV+
qc. W d V =
qdn WdS
WfdV9
c
soit en tenant compte de (1.14) et puisque W est nulle sur S c :
qdW .dV +
V
c
q
q
W{dV + II
WdV=
' V
'
WhdS
(1.24)
' SS
' V
Q
00
Si les fonctions W et C sont de classe C , l'équation variationnelle (1.24)
est équivalente à
W(q
¡u
W(qd+h)dS = 0
-f)dV-\
l1
'
¡S,
(1.25)
n
n
et les équations d'Euler-Lagrange sont (1.10) et (1.14).
Si W et C ne sont que de classe C ° , l'équation (1.24) conduit à :
V
I
W(qd+h)dS-\
W(qt.-f)dV-\
e
W[qd] dS = 0
(1.26)
int
h
Les équations d'Euler-Lagrange sont alors
- la restriction de l'équation (1.10) à l'intérieur des éléments
- l'équation (1.14)
- la condition de continuité du flux diffusif à travers les frontières
internes de la triangulation, c'est-à-dire
= 0 sur S.
(1.27)
int
II apparaît finalement que le choix d'une formulation variationnelle ((1.20)
ou (1.24)) conduit, dans le cadre des fonctions de classe C ° (ce qui est le cas des
éléments usuels), à des conditions différentes.
La formulation en flux total permet de satisfaire naturellement les
conditions aux limites en flux total imposées sur la frontière S et implique la
continuité du flux total à travers les frontières des éléments. Dans la formulation en
flux diffusif, les conditions sont équivalentes mais s'appliquent au flux diffusif.
10
Le choix d'une formulation est largement guidé par le type de conditions
que l'on veut imposer sur la frontière du domaine d'étude. Dans le cadre des
problèmes susceptibles d'être traités au Département E A U , les conditions aux limites
porteront plutôt sur le flux diffusif. Par ailleurs, il est souvent nécessaire de simuler
une condition d'exhaure sur une portion de la frontière. Généralement, cette frontière
est placée, de façon un peu arbitraire, dans une région où les gradients sont faibles et
loin de la zone qui présente le plus d'intérêt. Sur le plan numérique, il est souhaitable
que la condition d'exhaure n'introduise pas un "bruit numérique" susceptible d'être
propagé vers la zone d'intérêt. Dans les problèmes dominés par la convection, il
apparaît que la condition en flux diffusif est plus satisfaisante à cet égard. En effet,
si le terme de diffusion est faible par rapport au terme de convection, la condition de
flux total nul sur une frontière correspondant à un exhaure donné :
0 = -q
= -U
C+ qd = -U C
ce qui tend à imposer C = 0. Ce type de condition tend à créer une couche limite au
voisinage de la frontière et génère donc souvent des difficultés numériques (cf. Z.l).
Par contre, une condition en flux diffusif nul à l'exhaure implique (si D est isotrope)
8 C / 9 n = 0 ; ce qui apparaît cohérent avec l'hypothèse que l'exhaure se trouve dans
une région où les gradients sont très faibles.
1.4 - DISCRETISATION SPATIALE ET FORMULATION MATRICIELLE
Nous utiliserons la formulation en flux diffusif associée à la méthode de la
Galerkine, c'est-à-dire que les fonctions de pondération sont égales aux fonctions
d'interpolation de la solution sur le domaine.
Dans la méthode des éléments finis, les intégrales sur le domaine sont
remplacées par la s o m m e des intégrales sur chaque élément. Par ailleurs, sur un
élément, les fonctions d'interpolation associées à un noeud n'appartenant pas à
l'élément sont identiquement nulles. C'est ce qui explique l'aspect répétitif de la
méthode qui a largement contribué à son succès. Il suffit alors de discrétiser
l'équation variationnelle (1.24) sur un élément général.
Afin d'éviter une surcharge en indices, nous utiliserons l'opérateur de
dérivation V et nous restreindrons l'espace à deux dimensions (qui constitue le champ
d'application de la bibliothèque C V 2 D ) .
1 ]
Soit e un élément de la triangulation possédant n noeuds. La solution
approchée sur cet élément s'écrit :
n
C=C
N. {= Y
j
C.N )
¿—
j
j
(
J
Les coefficients C ; sont les valeurs de la solution aux noeuds et sont
fonctions du temps pour un problème transitoire. Les fonctions d'interpolation N ; sur
l'élément ne dépendent que des coordonnées spatiales des noeuds de l'élément.
L'équation variâtionnelle (1.24) s'écrit sur cet élément :
-
|
qd V N l dV + \ e .Vqc .N.dV
= e (Q - W BCloí) N. dV +
l
¡Ve
¡V
¡v
'
¡s
N
l
.hdS
Q
C o m p t e tenu de la définition des flux ((1.7) et (1.8)) et de (1.28), l'équation
précédente donne :
dV C +
wN.N
VN.DVN.dV+\
i
e
N.V(UN.)dV C. =
QN dV +
(1.29)
h.N
dS
S
q
Cette équation peut s'écrire sous la forme matricielle suivante :
avec {Ci} :
=
{q}
[m]
[k]
valeurs nodales de la concentration
d{Cj}/dt
- \ e w^i^j
=
}
I
f
_
v N
,
e
matrice de masse
D v N
j
dV
) dV
{fv}
= r
{fs}
= j
matrice de convection
\
'
i
'
matrice de diffusion/dispersion
QN.dV
vecteur des sollicitations réparties
vecteur des flux diffusifs imposés sur
les frontières S n
Remarque : - E n géométrie plane (x, y)
dV = dx.dy.l
dS = ds.l
- E n géométrie axisymétrique (r, z)
dV = Et r dr dz
dS = 2f r ds
où s est l'abscisse curviligne le long de la frontière.
12
1.5 - CALCUL EFFECTIF DES MATRICES ELEMENTAIRES
La bibliothèque C V 2 D comporte à l'heure actuelle 5 types d'éléments
isoparamétriques dont les fonctions d'interpolation sont de classe C ° . Le calcul des
matrices et vecteurs élémentaires définis dans le paragraphe précédent est réalisé
par intégration numérique sur l'élément de référence. Nous noterons Ç et ri les
coordonnées spatiales sur l'élément de référence. Puisque les éléments sont
isoparamétriques, les fonctions d'interpolation géométriques sont identiques aux
fonctions d'interpolation de la variable sur l'élément. Si (Ç, n) est un point de
l'élément de référence, le point de l'élément réel qui lui correspond par la
transformation géométrique est (x, y) avec :
x — A M Ç , n)x.
(1.31)
y=
NA(.n)y.
où (XJ, yj) sont les coordonnées des n noeuds de l'élément réel.
Pour ramener le calcul des matrices sur l'élément de référence, il faut
transformer les dérivations qui interviennent dans la matrice de rigidité ainsi que les
intégrales.
Í.5.1 - TRANSFORMATION DES DERIVEES PREMIERES
A partir de la règle de dérivation en chaîne qui permet de calculer les
dérivées en Ç d'une fonction à partir de ses dérivées en x, on obtient :
a
3
a* îl.
n
dx
an
f—
a
i
[J]
ila J \±\dy
n
Sx
a
~y
(1.32)
où [J] est la matrice jacobienne de la transformation géométrique.
Les termes de [J] sont obtenus en dérivant par rapport à Ç et X] la relation
(1.31). O n obtient par exemple :
Bx
—
ai,
9N.
rr
••
Y
dt -xi
13
7.5.2 - TRANSFORMATION DES INTEGRALES
Le changement de variables défini par la relation (1.31) permet de passer
de l'intégration d'une fonction f sur l'élément réel V e à une intégration plus simple sur
l'élément de référence V1"
Ve
f(x).dx.dy=
\ Tf{x{t,,n)).det{J).dl.dr\
(1.33)
det (J) étant le déterminant de la matrice jacobienne [J].
7.5.3 - INTEGRATION NUMERIQUE
Les intégrales qui apparaissent dans le calcul des matrices élémentaires
font intervenir des expressions compliquées. C'est pourquoi il est pratiquement exclu
sauf dans quelques cas particuliers de les calculer analytiquement. Ces intégrales
sont évaluées numériquement sous la forme
dtdn
= Y f{t,r).Pr
(K34)
n
où
E, r sont les coordonnées d'un ensemble de points d'intégration sur l'élément
réel (par exemple des points de Gauss)
Pr sont les coefficients d'intégration numérique (poids) associés à ces points.
O n notera que les tranformations effectuées et la technique d'intégration
utilisée nécessite le calcul des expressions du type Nj (Ç r ), 9Nj(Ç r )/3Ç, ... Ces
expressions ne dépendent pas de la géométrie de l'élément réel et peuvent donc être
calculées une fois pour toute pour chaque type d'élément.
7.5.4 - ORGANISATION DU CALCUL
Soit un élément isoparamétrique comportant n noeuds d'interpolation et q
points d'intégration numérique. La première étape consiste à calculer la valeur des
fonctions d'interpolation et de leurs dérivées aux q points d'intégration. Cette
opération est réalisée par les sous-programmes :
GAUSS :
stockage dans les tableaux V C P G et V K P G des poids et
des coordonnées des points d'intégration sur l'élément de
référence carré
GAUSST :
idem pour l'élément de référence triangulaire
14
FONC-NI-2D :
stockage dans le tableau VNI des valeurs
Le tableau V N I contient séquentiellement
<N¡>,<dNi/dí,>,<dNJdr\>
pour E, = E„
(1-341)
< N > , < dN /di>, < dN / d n > pour E, = £,
avec
< N . X U = < Ayç), A>2(£), - ,AMÇ) >
<ôiV ld£>(£) = O A T , (i,)\Bi,,...,dN
(^)/8^>
(soit n x 3 x q valeurs)
Ce calcul n'est effectué qu'une fois.
La seconde étape consiste à calculer les quantités qui dépendent de la
géométrie de l'élément réel. Ces opérations sont à effectuer pour chaque élément.
Dans le cas de la bibliothèque C V 2 D , les quantités à calculer sont : det (J(Çr)) (qui
apparaît lors de la transformation des intégrales) et 3Ni(Ç r )/3_ < L e caieui ¿es
dérivées des fonctions d'interpolation sur l'élément réel fait lui-même intervenir le
calcul du jacobien au point d'intégration. L'enchaînement des opérations est le
suivant :
Pour chaque point d'intégration :
- calcul de la matrice jacobienne (2 x 2) à partir du tableau V N I et du
tableau V C O R E (coordonnées des noeuds de l'élément) par la relation
(1.32)
- calcul du déterminant de [J] et de son inverse [J]~^. Ces opérations sont
réalisées par le sous-programme J A C O B
- calcul (si nécessaire) des quantités 3Nj/3x et 3Nj/3y au point
d'intégration. O n déduit de la relation (1.32)
ñN.
771
ñNi\-ÍJ]
Sy
ají.
_j r "«Ti
[SNJ
(1.34")
dn
Cette opération est réalisée par le sous-programme D N E D X à partir du
tableau V N I et de l'inverse de la matrice jacobienne qui vient d'être calculée. Le
résultat est stocké dans le tableau V N D C qui contient séquentiellement
15
< dN./dx
> , < 8 N /dy>
<dN./dx
> , <dN./dy>
i i
pourí,=
(1.34m)
í>
(soit n x Z x q valeurs)
Le calcul d'une matrice élémentaire procède d'une façon analogue en
bouclant sur les points d'intégration et en utilisant les tableau V N I et/ou V N I X ainsi
que les tableaux contenant les constantes de milieu et de force de l'élément.
Cette organisation a été retenue car les tableaux à stocker (du type V N I X )
ne sont pas très importants. Il est ainsi possible d'utiliser le fait que certaines
quantités telles que les jacobiens ont été calculées précédemment. C'est le cas
lorsqu'on calcule dans la m ê m e boucle sur les éléments la matrice de rigidité puis la
matrice
de masse.
C'est
pourquoi
les
10 premières variables
du
/ L M T R A V / s o n t des indicateurs qui sont mis à zéro par le programme
common
MEFISTO
lorsqu'on change d'élément. Il suffit alors de tester la valeur d'un indicateur pour
savoir si le calcul des déterminants ou des jacobiens aux points d'intégration a déjà
été réalisé précédemment.
7.5.5 - CALCUL DE LA MATRICE DE RIGIDITE
L'équation effectivement traitée dans la bibliothèque C V 2 D suppose que
la divergence de la vitesse est nulle sur le domaine soit V U = 0. Cette hypothèse est
vérifiée s'il n'y a pas de source de masse dans l'écoulement. Si les seules sources
proviennent de puits ponctuels, cette hypothèse est encore vérifiée sur le domaine
d'étude sauf aux noeuds qui représentent les puits (mais on sait que la vitesse n'est
pas
définie en ces points). Il s'avère donc que cette hypothèse n'est pas très
restrictive en pratique.
Nous supposerons par ailleurs que le coefficient de diffusion moléculaire
d o et les dispersivités a^ et QVJ; sont constantes sur l'élément mais que la vitesse est
variable. Suivant les conventions adoptées dans M E F I S T O et détaillées dans [1],
- d o , otL et d j sont des constantes de milieu
- la vitesse est une propriété nodale dont il faut spécifier l'interpolation
sur l'élément.
U n choix naturel consiste à adopter une interpolation de la vitesse
identique à celle de l'inconnue variationnelle (c'est-à-dire la température ou la
concentration). L a vitesse en un point de l'élément est alors calculée à partir de ses
16
valeurs aux noeuds de l'élément par :
U = U .N.
x
xj J
U =U .N
y
yj
j
Le c h a m p de vitesse ainsi défini est continu sur le domaine d'étude V . Il
n'est cependant qu'une approximation du champ de vitesse réel, ce qui est une des
raisons pour laquelle l'équation traitée suppose initialement que div U = O .
Pour fixer les idées, prenons le cas du champ de vitesse induit dans un
milieu homogène et isotrope par un ou plusieurs puits ponctuels. C e champ est à
divergence nulle (sauf sur les puits) mais son expression fait intervenir des fractions
rationnelles qu'il n'est pas possible de représenter exactement avec des fonctions
d'interpolation composées de polynômes. Il s'ensuit que la divergence calculée dans
l'élément est susceptible d'être non nulle bien que le champ de vitesse original soit à
divergence nulle.
Dans
le
cadre
des problèmes
susceptibles
d'être
traités
pour
l'aménagement, il est probable que le champ de vitesse ne sera pas connu de façon
analytique. Plus précisément, il résultera d'un calcul numérique portant sur l'équation
de la diffusivité auquel cas, c'est la valeur de la charge hydraulique (ou de la fonction
de courant) qui sera connue aux noeuds du maillage (dans la mesure où le maillage
hydraulique est identique au maillage utilisé pour résoudre l'équation de diffusion
convection). L a vitesse en un point de l'élément s'obtient alors à partir des dérivées
du potentiel hydraulique (et du tenseur de perméabilité dans l'élément). Si les
fonctions d'interpolation utilisées pour le calcul hydraulique sont de classe C ° (ce qui
est le cas des éléments de la bibliothèque D F 2 D cf [1]), le champ de vitesse calculé
est continu sur l'intérieur des éléments et discontinu à la traversée des frontières. O n
notera cependant que le calcul de la matrice de rigidité est réalisé e n évaluant la
fonction à intégrer aux points de Gauss et qu'il n'est donc nécessaire de connaître la
valeur de la vitesse qu'en ces points. Par ailleurs, on peut montrer que les points
optimaux pour calculer les vitesses à partir des dérivées des fonctions d'interpolation
sont justement les points de Gauss et de fait, les algorithmes permettant de calculer
un champ de vitesse continu sur le domaine s'appuient sur les valeurs calculées aux
points d'intégration. Il s'ensuit qu'il est préférable de ne pas essayer de lisser les
valeurs de la vitesse aux noeuds pour introduire un champ de vitesse continu mais
plutôt d'utiliser directement les valeurs nodales préalablement calculées du potentiel
hydraulique.
Le calcul de la matrice de rigidité élémentaire [r] = [k] + [z] (non
17
symétrique) s'effectue de la manière suivante :
- calcul préalable des det (J), < 8N¿/8x >, < 3Nj/3y > aux points de Gauss
si nécessaire (cf. 1.5.4)
- W = [0]
- Boucle sur les points d'intégration
* Calcul de la vitesse (Ux, Uy) au point d'intégration (de coordonnées (Ç,
ri)) ; 3options sont possibles :
a - on connaît la vitesse aux noeuds de l'élément, alors :
1
I
.
(1,34"")
y
J
-
N
J
i
^
)
b - o n connaît le potentiel hydraulique a u x noeuds et le tenseur d e
perméabilité (constant) sur l'élément. O n suppose q u e l'interpolation d u potentiel h
sur l'élément est identique à celle d e l'inconnue variationnelle soit*, h = y hN^
s
(ce qui est le cas si le calcul de h a été effectué avec la bibliothèque D F 2 D ) . O n a
alors, d'après la loi de Darcy :
U -K
X
U
-K
y
où
KJQJ,
y
XX ¿—
J
h. . dN ./dx + K
J
J
y h . dN ./dx + K
xy —
J
j
y
IV —
J
y
yy "—
J
J
h . dN I dy
J
J
h . dN ./dy
J
J
K X y et Kyy sont les composantes distinctes du tenseur de perméabilité sur
l'élément.
c - O n connaît la fonction de courant. O n suppose alors que
J
sur l'élément et que la vitesse est :
U x - - dy/dy = - y ipJ .dNJ ./dy
• ~~
U
y
- dui/dx=
;p = ^_ ip . iV
y w . d N ,/dx
•—
j
J
J
en plan
18
en radial où r est le rayon (r = x ou y selon la
r
Uy=
valeur de NAXIS dans le c o m m o n / P R O B / )
- -dylBx
(cf[l]).
* Calcul du tenseur D au point d'intégration à l'aide de (l.Z).
* Modification de [r]
pour i = 1... n et j = 1 ... n
r.. = r.. +
y
dN./dx + {D ôN./dx + D
y
XX
I
1
IV
dN./dy + f.U
J
í
+ dN Jdy + (D dN./dx + D dN.id +f.U
xy
j
yy
i
¡
>'
.N.)
X
y
l
.N)
. dci ( u u , n)). Pk
où P^ est le poids du point d'intégration.
Le
coefficient
f qui intervient dans l'expression précédente permet
d'annuler la vitesse sur un élément. Sa valeur normale (donnée dans les constantes de
milieu MTT.T/SURF) est 1. Il permet de juxtaposer une région avec écoulement et une
région sans écoulement tout en définissant la valeur de la vitesse aux noeuds. C e
facteur doit être positionné à 0 dans une zone de diffusion pure.
1.5.6 - CALCUL DE LA MATRICE DE MASSE
Le coefficient w est supposé constant sur l'élément, n est possible de
choisir entre deux formes de la matrice de masse :
- matrice de masse consistante ; c'est-à-dire celle qui est
issue de
l'application stricte de la méthode de Galerkine :
r
w N.N
m =
1
v
.dV = w Y
N.d, ,n ).N
(i, ,n. )det (J (i, , n )) . P
9=1
matrice de masse diagonalisée. Cette technique consiste à annuler les
termes qui ne sont pas sur la diagonale mais il faut modifier les termes
de la diagonale de manière à retrouver la masse totale de l'élément.
Cette simplification conduit à de meilleurs résultats pour certains types
d'équations (équation de la diffusivité par exemple) mais n'est pas
recommendée pour l'équation de diffusion-convection. Si on désire
utiliser une matrice de masse diagonalisée, il faut positionner à 1 le
paramètre N M D I A G du c o m m o n / P R O B / en appelant le bloc P R O B du
i
19
programme M E F I S T O . La matrice de masse calculée est alors :
wN dV
m.. =
il
!
e
m = 0
i
y
ce qui revient à affecter au coefficient m y la s o m m e des termes de la ligne i puisque
^T A 7 . = 1
pour les fonctions d'interpolation utilisées.
j
1.5.7- CALCUL DES SOLLICITATIONS REPARTIES
Le terme de sollicitations réparties est supposé constant sur l'élément et
son calcul est analogue à celui des coefficients diagonaux de la matrice de masse
diagonalisée.
g q
%
q
q
9=1
1.5.8- CALCUL DES SOLLICITATIONS SUR LES FRONTIERES
Le flux h = DjjC,j.n^ est supposé variable sur la frontière. Les n^ étant les
composantes de la normale extérieure au domaine, h est positif lorsque le flux
diffusif est dirigé vers l'intérieur du domaine. Pour évaluer la contribution du flux sur
la frontière, nous transformons d'abord l'intégrale qui est ensuite évaluée directement
ou numériquement selon le cas.
- Transformation de l'intégrale
L'intégrale
h.N..dS
s'écrit, en fonction de l'abscisse curviligne
sur l'arête de référence :
h.N
(Ç)JC(U<U
Js (U = Vidx/di,)2 +
avec
Nous considérerons ici le cas d'une arête linéaire ou quadratique.
2
arête de référence
il
g,
i
.
-1
0
20
La géométrie de l'arête est décrite par les fonctions d'interpolation de
l'élément monodimensionnel linéaire ou quadratique selon le cas. Si l'arête est droite,
le jacobien de la transformation géométrique est constant et vaut L / 2 , L étant la
longueur de l'arête. Il est alors possible d'intégrer exactement la contribution du flux.
Si l'arête est courbe, le jacobien n'est plus constant sur l'arête et il faut intégrer
numériquement (cf. sous-programme C V 2 D 7 Q de la bibliothèque C V 2 D dans lequel
l'intégration est réalisée avec 3 points).
Dans le cas axisymétrique, on a dS = 21ir.dr.dz et l'intégrale à évaluer est
2n
h .N (i,) . r (Ç) J c (£,) di
Nous donnons ci-dessous l'expression du vecteur fs aux noeuds d'une arête
droite.
- Arête linéaire
M
f
«
L
(le flux varie linéairement)
2
6
l
(en plan)
1 2
f = 2n —
(cas axisymétrique)
12
où rj est la valeur du rayon aux noeuds.
- Arête quadratique droite
h3
attention : h¿ est la valeur du flux
3
au noeud 3 de l'arête
le flux varie de façon quadratique h
où
les
N'k
d'interpolation
L
fs ~
30
n
30
'7 V
-
•r2
(Tj + r2>
de
les
- 1
4
2
4
1
2
2
2
16
h
h
L
z
(en plan)
- 2.
-
"V
J
h
r
v
2
2r
l
2r
16 (r
2
+
fonctions
l'élément
dimensionnel quadratique
ri
L.
sont
(en géométrie axisymétrique)
==
mono-
*
*
21
1.6 - UTILISATION DE LA BIBLIOTHEQUE CV2D
La structure de la bibliothèsque C V Z D est conforme à la description
donnée dans [1], Elle comporte à l'heure actuelle 5 types d'éléments. Elle est
composée des sous-programmes suivants :
ELEMLB
(appel des différents types d'élément)
E L E M 0 1 - C V 2 D (exécution des fonctions élémentaires pour l'élément de type 1 :
triangle linéaire 3 noeuds)
E L E M 0 2 - CVZD (exécution des fonctions élémentaires pour l'élément de type 2 :
quadrangle linéaire 4 noeuds)
E L E M 0 3 - CVZD (exécution des fonctions élémentaires pour l'élément de type 3 :
triangle quadratique 6 noeuds)
E L E M 0 4 - CVZD (exécution des fonctions élémentaires pour l'élément de type 4 :
quadrangle quadratique incomplet 8 noeuds)
E L E M 0 5 - CVZD (exécution des fonctions élémentaires pour l'élément de type 5 :
quadrangle quadratique Lagrange 9 noeuds)
CV2D3
(calcul de la matrice de rigidité pour un des éléments de la
bibliothèque)
CV2D5
(calcul de la matrice de masse)
CV2D6
(calcul du résidu [r] {C})
CV2D7
(calcul du second membre
Q . N . dV
¡v
r
l
s u r u n e ar
CV2D7L
CV2D7Q
CV2D8
(calcul de
h.N .dS
®te linéaire)
•'S
î
(calcul de
sur une arête quadratique)
(calcul et impression les gradients aux points d'intégration)
CV2D9
(calcule les vitesses aux points de Gauss et les stocks dans le tableau
des propriétés élémentaires pour utilisation future par C V 2 D 3 et
CV2D6.
CV2DKX
(calcul du déterminant du jacobien et des dérivées des fonctions
d'interpolation aux points d'intégration).
Ces sous-programmes se trouvent dans la bibliothèque L M C V 2 D . O L B .
Les
sous-programmes généraux
de MEFISTO se trouvent
dans la
bibliothèque M E F . O L B .
Le
programme
principal (qui réalise l'appel
fonctionnels de MEFISTO) est P P M E F . O B J .
des différents blocs
22
La création du module exécutable M E F . C V 2 D est réalisée par l'instruction
LDJK/EXE = M E F C V 2 D P P M E F , L M C V Z D / I N C = E L E M L B / L , M E F / L , L I B C O M / L .
On
trouvera ci-dessous l'entête du sous-programme E L E M L B de la
bibliothèque C V 2 D qui précise la façon de définir les paramètres de l'équation à l'aide
des blocs M U I , F O R C , P R N D .
23
2 - NOTIONS SUR LES SCHEMAS UPWIND, LA STABILITE ET LA DISPERSION
DES SCHEMAS NUMERIQUES
Les solutions numériques de l'équation de diffusion-convection présentent
souvent des oscillations lorsqu'elles sont calculées par la méthode des éléments finis
avec la formulation de Galerkine (que nous appellerons M E F G dans la suite). Des
problèmes identiques apparaissent avec la méthode des différences finies centrées
( M D F C ) . Les causes de ces oscillations sont diverses et nous nous proposons d'indiquer
brièvement les moyens d'y remédier.
2.1 - LES SCHEMAS "UPWIND"
2.1.1- CAS MONODIMENSIONNEL
Pour fixer les idées, nous étudierons rapidement la discrétisation de
l'équation de diffusion-convection stationnaire monodimensionnelle à coefficients
constants, soit :
d2T
dT
U
=D
dx
0<x<L
(U>0)
dx~
(2.1)
avec les conditions aux limites suivantes
Ti0)
= T
T(x = L) = TL et
°
TL*To
(2.2)
(2>3)
La solution exacte de l'équation précédente est :
p
x
-
i - e *L
T* =
°- = p—
TL - T
»
1-e e
T (x)-T
où
P e = U . L / D est le nombre de Péclet qui mesure l'importance du transport
convectif par rapport au transport diffusif.
Tant que P e est faible, la solution varie "doucement" sur le domaine mais
lorsque P e croit, la solution devient du type couche limite, c'est-à-dire T(x) = T o sauf
au voisinage de l'extrémité x = L où elle s'adapte brutalement à la condition d'exhaure
T (L) = T L (fig. 2.1)*. L'épaisseur de cette couche limite peut-être estimée en égalant
les termes convectif s et diffusif s de l'équation sur une faible distance 6, soit :
U.àT
DAT
* En fin de texte
(2.4)
24
ce qui conduit à 5/L = 1 / P e qui indique que l'épaisseur ô de la couche limite est
approximativement inversement proportionnelle au nombre de Péclet.
La difficulté de ce problème réside dans le fait que toute la physique de la
solution est contenue à l'intérieur de cette mince couche limite lorsque P e >> 1.
• La discrétisation de l'équation (2.1) par la M D F C ou la M E F G linéaire (i.e.
avec des éléments linéaires) sur une grille uniforme de pas h donne au noeud i :
soit:
2h
P
— (T.
- T.
i + i
2
,)= T
i - i
, - 2 T + T.
i - i
P
U.h (h
i
,
(2.5)
i + i
est le nombre de Péclet de maille et N le nombre d'éléments de la grille.
La solution exacte de l'équation discrétisée (2.5) avec les conditions aux
limites associées (2.2) et (2.3) est :
T - T
0
i
I
- T
0
1 -1(- + Pn y
\"I2
!1 ( +_Pn_yv
\- 9, -Pn )
La forme de cette équation montre clairement que pour P n > 2, des
oscillations qui n'existent pas dans la solution réelle (2.4) vont apparaître. L'aspect de
ces oscillations dépend de la parité de N et leur amplitude de la valeur P n .
Il existe de nombreux schémas de discrétisation appelés "upwind"
permettant de supprimer les oscillations lorsque P n est > 2. C e s schémas partent du
principe que c'est la valeur de la variable en amont qui va conditionner la valeur au
noeud de calcul (et ceci d'autant plus que la convection sera importante) et consistent
à décentrer vers l'amont le terme convectif. Ainsi, le schéma "upwind" pur s'écrit
(pour u > 0) :
Pn(T.-T
I
Les
-) = T.
I -
1
l
- 2 T + T
-
1
1
(2.8)
i + 1
meilleurs schémas upwind sont basés sur des équations discrétisées
dont la solution satisfait toujours l'équation (2.4) aux noeuds. Ils sont obtenus, dans le
25
cas
d'une discrétisation en éléments finis linéaires, en utilisant des fonctions de
pondération quadratiques asymétriques ou en déplaçant la position des points
d'intégration numériques sur l'élément de référence. Quelle que soit la technique
utilisée, ces schémas optima se présentent sous la forme (identique pour la M D F C et
la M E F G linéaire).
Pn \
tanh —
)(T_,-T:
2 / 1 + 1
, ) = T. 1 - ,1 - 2 T . !. +
l- T
1 + 1
(2.9)
Cette équation est identique à (2.5) si ce n'est que le nombre de Péclet de
maille effectif P ^ est :
K=2.tanh{PrU2)
(2>1Q)
Si P n est remplacé par P n dans l'équation (2.5), la solution obtenue aux
noeuds sera identique à la solution exacte (2.4). Le schéma (2.9) exact (dans ce cas
simple) s'applique aussi au cas d'une grille à pas variable sous la forme :
T
i + i
- T =coth(Pn
i
i+ i
/2) (T , , - T
i + i
i
) + cothiPn
i
12) (T
i - i
.-T.)
i
,„
.
(2.11)
où P n i = U.hj/D est le nombre de Péclet de maille sur l'élément i.
L'examen de la relation (2.10) montre que P n = P n lorsque P n << 1 et P n =
2 lorsque P n >> 1. Par ailleurs, la diffusivité originelle D de l'équation (2.1) est
remplacée par la diffusivité effective
_
Pn
Pn
D = D . — coth —
2
2
(2.12)
qui donne D -> D lorsque P n << 1 et D -> 1/2 U.h lorsque P n >> 1. O n voit que lorsque
P n est grand (P n > 5 environ) la diffusivité effective devient indépendante du nombre
de Péclet.
Le gros inconvénient de ces schémas upwind est d'introduire une
diffusion
artificielle (diffusion numérique) qui devient largement supérieure à la diffusion
physique lorsque l'écoulement est dominé par la convection.
Pour conclure cet exemple, les oscillations introduites par un schéma
centré lorsque P n > 2 peuvent être interprétées c o m m e un avertissement. La solution
devient difficile dans la zone près de l'exhaure parce qu'il s'y développe une couche
limite dont l'épaisseur est faible par rapport au pas de la grille utilisée. Cet
avertissement n'est pas donné par un schéma upwind et l'utilisateur non averti peut
26
être amené à croire à la validité de la solution pour n'importe quelle valeur du
nombre de Pédet. Le remède aux oscillations consiste à suivre correctement la
couche limite lorsque P e est grand. Ceci peut être facilement réalisé en affinant (au
moins grossièrement pour limiter l'amplitude des oscillations) le maillage au voisinage
de l'exhaure. D e fait, dans le cas considéré, toute la solution "réside" dans la couche
limite et elle est pratiquement triviale à l'extérieur de la couche limite. Il est alors
logique de positionner des noeuds de calcul dans la région contenant la couche limite.
2.1.2 - EXTENSION A 2 OU 3 DIMENSIONS
II est clair que la comparaison des schémas pour résoudre un problème
monodimensionnel est quelque peu stérile si ces schémas et leurs résultats ne sont pas
généralisable à 2 ou 3 dimensions. Dans le cas de la diffusion-convection stationnaire,
il apparaît que des généralisations sont souvent possibles bien que la mise au point de
schémas upwind multidimensionnels vraiment efficaces soit plus difficile.
La difficulté rencontrée dans l'exemple monodimensionnel (condition de
Dirichlet sur un exhaure associée à un nombre de Pédet élevé) apparaît aussi dans les
cas Z D ou 3D. Heureusement, il est rarement nécessaire en pratique d'imposer ce
type de condition sur une limite aval. En effet, l'exhaure est souvent une limite
fictive qui est introduite parce qu'il n'est pas possible de mailler le domaine d'étude
qui est infini. L a véritable condition à la limite est alors inconnue. L'expérience
montre que la "meilleure" condition à imposer sur ce type de frontière est celle qui
est naturellement introduite dans la formulation variationnelle (i.e. flux diffusif
normal nul). Cette condition de flux nul, dont l'efficacité sera montrée plus tard sur
un exemple, ne génère pas de couche limite au voisinage de l'exhaure et apparaît plus
réaliste qu'une condition de Dirichlet. Dans les quelques cas où il serait plus réaliste
d'imposer la valeur de la concentration ou de la température sur l'exhaure,
l'utilisateur doit savoir qu'une couche limite importante risque d'apparaître et qu'il
devra donc discrétiser cette zone en conséquence.
Les schémas upwind bidimensionnels introduisent souvent une diffusion
numérique très importante (qui rend de fait les résultats indépendants du nombre de
Pédet dès que la convection domine). L'effet
est généralement encore plus
catastrophique lorsque la vitesse n'est pas parallèle aux lignes du maillage avec
l'apparition d'une diffusion numérique transversale à l'écoulement. O n notera
cependant qu'il existe certains schémas (utilisant notamment la méthode des
caractéristiques ou une approximation spatiale plus précise du terme convectif) qui
27
sont très efficaces dans certaines situations.
2.2 - NOTIONS D E STABILITE, DISPERSION ET DISSIPATION DES S C H E M A S
NUMERIQUES
Les schémas upwind brièvement présentés dans le paragraphe précédent
ont
généralement été développés pour résoudre l'équation de diffusion-convection
stationnaire avec des nombres de Péclet élevés. L'intégration temporelle des
équations discrétisées dans l'espace
introduit de nouvelles approximations. D e
nombreux travaux sont actuellement consacrés à l'étude de la stabilité, de la
dispersion
et
de la dissipation des schémas numériques. Nous nous proposons
d'examiner ici deux exemples très simples pour introduire ces caractéristiques des
schémas numériques.
2.2.1 • STABILITE (EQUATION DE LA DIFFUSION)
L'analyse des caractéristiques d'un schéma considère généralement que les
discrétisations spatiales et temporelles sont effectuées indépendamment l'une de
l'autre. En règle générale, on réalise d'abord la discrétisation spatiale ce qui conduit à
un système d'équations différentielles ordinaires qu'il faut intégrer. Bien que le but
soit de résoudre le système d'équations aux dérivées partielles originel, la majorité
des
analyses s'intéresse aux propriétés de l'opérateur d'intégration temporelle,
certaines caractéristiques du système discrétisé dans l'espace étant connues et donc à
la solution de types particuliers de systèmes d'équations différentielles. H importe
cependant de garder à l'esprit que toutes les caractéristiques de la discrétisation
(spatiale et temporelle) doivent normalement être considérées simultanément.
Pour illustrer le concept de stabilité, nous nous basons sur le système
d'équations différentielles ordinaires suivant :
KT=F
(2.13)
dans lequel la matrice M (matrice de masse) est symétrique définie positive et la
matrice K (matrice de rigidité) est semi-définie positive. La discrétisation spatiale de
l'équation
de la
caractéristiques.
diffusion
conduit
à un système
d'équations présentant
ces
28
Le schéma d'intégration temporelle utilisé dans les blocs T R L C et T R L V
du programme M E F I S T O est le suivant :
(M+BAtK)
où
AT= -KTl
+ F(ti + 9 Ai)
At
est le pas de temps
6
est la pondération implicite-explicite du schéma d'Euler.
{Z 14)
'
Quelques valeurs particulières de 6 sont données ci-dessous :
9 =0
schéma explicite
6 =1
schéma implicite pur
9 = 1/2
schéma de Crank-Nicholson
9 = 2/3
schéma de Galerkine (qu'on obtient en discrétisant le système (2.13) avec
des éléments finis linéaires)
L'influence de 8 peut-être étudiée en transformant le système (2.13) en un
système découplé grâce à la transformation
T = X V
(2.15)
où la matrice de transformation X est constituée par les n vecteurs propres (n :
nombre d'équations du système (2.13)) Xj définis par :
(K-\.M)X.
=0
¿=l,...,n
(2-16)
La matrice X est orthonormée et vérifie
X( M X =8
i
j
ij
X '. K Xj - \x 5..
(pas de sommation)
(2.17)
Dans la base des vecteurs propres, le système (2.13) s'explicite sous la
forme des n équations découplées :
Vk
+
hVk
= *k
On peut alors examiner l'influence de 6 en étudiant l'équation simple
< 2 - 18 >
29
(2.19)
ce qui permet de comprendre le comportement des différents modes qui forment la
solution du problème initial.
La solution analytique de (2.19) est :
L'équation (2.19) discrétisée par le s c h é m a d'Euler donne
(i+eAA¿)vI
Vl
soit
où
A =
+ l
+ 1
= (i-(i_e)AAOv'
=A.Vl
(2.21)
i _ ( i _ e ) A At
(2.22)
i + e A At
est appelé facteur d'amplification.
D a n s le cas où le schéma d'intégration temporelle fait intervenir la valeur
de la variable à plus de deux instants, A est une matrice (matrice
d'amplification).
L'étude de la stabilité, de la dispersion... du s c h é m a est alors basée sur les valeurs
propres de la matrice d'amplification.
L a solution exacte (2.20) indique que
\Vl
+ l
\ <\Vl\
y i+i_ y '
si
SL
A > 0
x=o
(2.23)
(compte tenu des caractéristiques du système (2.13), les modes X sont réels et > 0).
Le
schéma sera donc stable si IA | < 1 (la deuxième condition est
satisfaite si X = 0) soit
- 1<
i _ d _ e i A A<
1+6X41
< 1
UM)
L'inégalité de droite est toujours satisfaite pour toutes les valeurs possibles des
paramètres (X At > 0 et 0 s 6 < 1) et l'inégalité d e gauche est vérifiée si 6 > 0.5. Si 6
< 0.5, l'inégalité de gauche impose
30
Xàt
< 2/(1 - 2 6)
(8 < 1/2)
(2.25)
ce qui, pour X donné, fixe une valeur maximale du pas de temps.
Le schéma d'Euler est dit conditionnellement stable pour 6 < 1/2 et
inconditionnellement stable pour 6 > 1/2.
Remarque : II est impératif de vérifier la condition | Al < 1. En effet, la solution de
(2.21) peut s'écrire V* = A * V o et si I A | est > 1, toute erreur (résultant
ne serait ce que de la précision limitée d'un ordinateur) va croitre
indéfiniment.
Dans le cas conditionnellement stable, la condition de stabilité At < 2/((l29)X) doit être vérifiée pour tous les modes (i.e., tous les Xjç, k = 1, ..., n) du système
(2.13). L e plus grand m o d e ( X m a x ) impose la restriction la plus sévère sur le pas de
temps maximal. E n fait, dans le cas de l'équation de la diffusion, on peut montrer que
X
m a x
= 0(h~2) (i.e. est de l'ordre de h~¿) où h mesure le pas de la discrétisation
spatiale. L e pas de temps m a x i m u m doit donc vérifier At < constante, h ^ . Si le
système comporte beaucoup d'équations, cette restriction est sévère et c'est pourquoi
les algorithmes inconditionnellement stables sont généralement utilisés.
Remarque : Si le système (2.13) est issu d'une discrétisation par élément finis, alors
X m a x est inférieur à la valeur propre maximale des éléments pris
individuellement.
Le comportement de A en fonction de XAt est représenté sur la figure 2.2
pour différentes valeurs de 6. La valeur de XAt pour laquelle A = 0 est appelée la
limite d'oscillation parce que pour des valeurs supérieures, le signe de A 1 change à
chaque pas. Pour les algorithmes inconditionnellement stables (6 ¿ 1/2) la valeur
asymptotique du facteur d'amplification, A « , vérifie I A I » s 1. Si 8 > 1/2, alors quel
que soit XAt, IA | < 1 et les composantes modales élevées (qui sont généralement
erronées et donc indésirables dans les schémas numériques) décroissent. Cependant si
6 = 1/2 (ou est très près de 1/2) et XAt >> 1, alors A = -1 et les composantes modales
élevées se comportent c o m m e (-1)1. C e s oscillations dans le temps se manifestent
souvent dans les calculs. O n peut dans ce cas filtrer ces composantes élevées en
utilisant la moyenne de deux instants ( V i + 1 + V^/Z puisque (-1) + (-l)i+1 = 0.
Remarque : Si a = 1 et At -> °°, on obtient la solution stationnaire (i.e. celle pour
laquelle V = 0).
31
Le schéma d'Euler est consistant, c'est-à-dire que l'erreur de troncature
locale (qu'on obtient en remplaçant V* et V* + l par leur valeur exacte dans l'équation
discrétisée) vérifie I e(t) I < C . At^ + ^ pour tout t. C est une constante indépendante
de At et k > 0 est l'ordre de précision (ou taux de convergence). O n montre par
ailleurs facilement que le schéma d'Euler vérifie k = 1 pour tout 8 e [0,1] sauf pour
6 = 1/2 auquel cas k = 2. Cette propriété associée à la stabilité est une condition
nécessaire et suffisante qui assure la convergence du schéma (i.e. l'erreur tend vers
zéro lorsque At tend vers zéro) (théorème de Lax).
2.2.2 - DISSIPATION, DISPERSION
Cette section se propose d'introduire les concepts de base associés à la
dispersion et à la dissipation des schémas numériques sur un exemple simple. En fait,
la dispersion est liée à un type de solution plutôt qu'à un type d'équation. Plus
précisément, un système dispersif est un système qui admet des solutions du type
T=Aeilk*-wn
(2.26)
La fréquence U) est une fonction réelle du nombre d'onde k, A est
l'amplitude de l'onde et : = rM
f
£a vitesse de phase (qui est différente de la vitesse
d'onde en général) est
c= 7
(2.27)
et les ondes sont dites dispersives si c dépend de k.
La solution résulte en général de la superposition de plusieurs modes du
type (2.26), ou, dans le cas le plus général, d'une intégrale de Fourier. Si la vitesse de
phase c n'est pas la m ê m e pour tous les nombres d'onde k, les modes seront propagés à
des vitesses différentes, d'où le phénomène de dispersion. La quantité kx-u)t est la
phase, 2 H / k la longueur d'onde et 21i/u) la période.
Pour un système non dispersif, la vitesse de phase est une constante C o et
w
= c o k (la
solution (2.26) est
alors celle de l'équation monodimensionnelle
hyperbolique). O n peut alors adopter la définition classique : la fonction (2.26) est
dispersive si d^u/dk^ ^ 0.
Dans la plupart des cas, l'équation à traiter est discrétisée par rapport aux
variables spatiales et
temporelles.
Chacune des discrétisations introduit de la
dispersion et dans l'étude de la qualité de la solution numérique, c'est la dispersion
32
totale qui doit être considérée. Pour fixer les idées, nous considérons l'équation de
diffusion-convection monodimensionnelle homogène (sans terme source)
dT
dT
â2T
— +U— - D
=0
dt
dx Ô X 2
.
Z.22,)
où U et D sont constants.
Ce système est non dispersif. Pour une solution initiale de la forme :
U 0)
= Te
'
(2.29)
la fréquence associée est u) = k U et le paramètre d'amortissement est £ = Dk¿.
Nous considérons deux discrétisations spatiales de l'équation sur une grille
à pas constant h avec des éléments finis linéaires et la formulation de Galerkine
est l'équation au noeud j qu'on obtient en appliquant directement la méthode. Si on
diagonalise la matrice de masse (en affectant à un terme diagonal la s o m m e des
termes de son rang)
^-,
^— f
f
f
m . = > m! . = > \ N. NJ . dV = \ N Z N dV = N dV
l'équation précédente s'l ' ' y
-> ^ I '
\ > ¿- J
J »
l'équation précédente s'écrit :
T.+ — ( T
2h
J
,-T.
,)-—(T.
J ~l
J+l
h2
-IT
J - i
+T
J
,) = 0
j +l
Cette équation est identique à celle obtenue par les différences finies
centrées. Les deux équations précédentes peuvent se mettre sous la forme :
( 1 + r L )
^
+
^
( r
,
+1
-
r
,-
)
1
-^
L r
,
= 0
(2.30)
où L est l'opérateur défini par LT; = T;_i - ZTj + Tj+i, r = 0 pour la cas M D (matrice
masse diagonale) et r = 1/6 pour le cas M C (matrice masse consistente, c'est-à-dire
issue de l'application consistente de la formulation de Galerkine).
O n suppose que la solution de (2.30) peut se mettre sous la forme
W *
( t )
(2.31)
33
En injectant (2.31) dans (Z.30) on obtient
rL)S..$(i)+-(S.
soit :
-S
— (S.
2/1
;+
1
+
1
- S
j
_
) $ - -
1
.)- —L S
J-1
h
2
J
(1 + rL) S
puisque le terme de gauche ne dépend pas de t, ce qui donne les deux expressions
suivantes :
U
ß(l + rL) S + — (T.
J
2h
J
D
. ) - —L S =0
-T
1
J
(2.32)
J
2
(2.33)
=0
Injectons la condition initiale (2.29) dans (2.32) pour calculer
ikx .
A-
On a :
J
L S =T Le
>•»
,k( x . - h)
J
= T
i kx .
J
- 2e
i k{ x
+e
+ h )
J
= Te
= Te
2 cos k h - 2
ikx.
S
x l
- S
e
J
ik h
-
— e
ikh
s* ikx -
= 2 ¿Te
J
sin k h
O n en déduit que ß est donné par l'expression
lUsinkhlh + 2D (1 -
ß=ß= -
coskh)/h2
1 + 2r (coskh - 1 )
soit
iwsinkh/kh + 21, (1 - coskh)l(kh'
1 + 2 r (cosfc/i - 1 )
(2.34)
où u = ku et Ç = D k ^ sont la fréquence et le paramètre d'amortissement exacts vus
précédemment.
La solution exacte de l'équation (2.33) est
(2.35)
34
et par analogie avec la solution de l'équation initiale (2.28) où
(2.36)
nous récrivons l'équation (2.35) sous la forme :
<î>U) = e
lW
'
(2.37)
II résulte de l'équation (2.34) que le rapport de la fréquence semidiscrétisée UJ à la fréquence exacte w est :
w
sin khi kh
w ~ 1 +2r(cos
kh- 1 )
(2.38)
et que le rapport du paramètre d'amortissement semi-discrétisé ç au paramètre
d'amortissement exact ç est
l
l~
2 ( 1 - cos k h ) / (kh ) 2
1 + 2 r(cos kh - 1 )
(2.39)
Le rapport des fréquences (2.38) et le rapport d'amortissement (2.39) sont
fonctions du nombre d'onde adimensionnel kh. L e résultat important qui apparaît sur
la figure 2.3 est que les deux discrétisations ( M D et M C ) réduisent les fréquences.
Le
schéma
M D exhibe
une réponse en fréquence
particulièrement
mauvaise et on doit donc s'attendre à obtenir une mauvaise solution numérique. Pour
ce qui concerne le paramètre d'amortissement, le schéma M C l'augmente alors que le
s c h é m a M D le réduit (fig. 2.4).
L'application
d'un opérateur de discrétisation temporelle
conduit
à
discrétiser les équations semi-discrétisées (2.32 et 2.33). Nous appliquons le schéma
d'Euler à l'équation (2.33) où ß = - (i u) + ç) ce qui donne
4> ( t + dt )
=
4>(i)
1 - ( 1 - 6 ) Ai ( i w + Û
=
1 +Bàt (i w + l)
(2 40)
Par analogie avec la solution exacte de (2.33) qui est donnée par (2.37),
nous réécrivons 4>(t + dt) = e~^w
+
^<J)(t) ce qui donne, compte tenu de (2.40)
e
1 + 9 Ai (i w + Q
dont on déduit que
tg w Ht - b I a
(2.41)
35
e - c, Ai = Va2 + b21 c
et
(2.42)
avec
a = [l -(l -Q)Càt][l
+ QlAt]-e(l
-d) (Z M )
b = w AT
c = ( i + e < Ai) 2 + e 2 ( w A o 2
2
(2.43)
(2.44)
(2#45)
Le rapport u / œ dans le cas de la convection pure (ç = 0) est représenté sur
la figure 2.5 en fonction de coAt pour différentes valeur de 6. O n remarque qu'un
schéma implicite avec 6 > 0.5 réduit toujours la fréquence semi-discrétisée w .
C o m m e la discrétisation spatiale réduit aussi les fréquences (fig. 2.3), il faut utiliser
le schéma avec la matrice masse consistente (MC) pour limiter la dispersion lorsqu'on
utilise le schéma d'Euler avec 9 > 0.5.
Remarque : l'expression (2.42) montre que l'intégration explicite (9 = O ) dans le cas
de la convection pure (D = 0) conduit à un schéma inconditionnellement
instable. O n trouve en effet que dans ce cas :
alors que le schéma ne peut être stable que si D > 0.
Une mesure de la dissipation numérique introduite par la discrétisation
temporelle est donnée par le rapport Ç/UJ. O n remarquera sur la figure 2.6 que le
schéma de Crank-Nicholson n'amortit pas les fréquences semi-discrétisées dans le cas
de la convection pure.
Les résultats concernant la dispersion introduite par la discrétisation
spatiale (mesurée par les variations du rapport û / w en fonction de kh) s'étendent
qualitativement au cas bidimensionnel. La dispersion introduite par un schéma dans
lequel la matrice masse est diagonalisée est toujours beaucoup plus sévère que dans le
cas où la matrice de masse consistante est utilisée. Cet effet est particulièrement
désastreux dans le cas des quadrilatères bilinéaires (4 noeuds) et biquadratiques
incomplets (8 noeuds) (cf. [2]).
2.3 - OSCILLATIONS A V E C L ' E Q U A T I O N D E LA DIFFUSION
Nous reprenons ici un exemple donné dans [3] qui montre que la méthode
de Galerkine "consistante" peut produire des oscillations dans le cas de l'équation de
la diffusion.
L'exemple présenté montrera
interprétés c o m m e un avertissement.
que ces oscillations peuvent être
36
Considérons le domaine (0 < x < 1) discrétisé sur une grille à pas constant
h formée d'élément linéaires et le problème :
a2T
(2.46)
dt
T = 0 àt = O
T = 1 àx = O
T = 0 àx = 1
c'est-à-dire que les conditions aux limites se traduisent par une variation brutale de
la température à x = 0 à l'instant t = 0 + . Pour l'équation de la diffusion et un élément
linéaire, les matrices de masse et de rigidité élémentaires sont :
me}=
~
\me]=
-
2 1
1 2
dans le cas M C (matrice masse consistante)
(2.47)
dans le cas M D (matrice masse diagonale)
(2.48)
(2.49)
1 0
0 1
1
- 1
où D est le coefficient de diffusion
-1
- 1
(D = 1 dans le problème traité)
Si la grille de calcul comporte N + 1 éléments (de taille h = 1/N + 1 ) ,
l'assemblage des matrices élémentaires conduit, après élimination des équations
correspondant aux degrés de libertés bloqués en x = 0 et x = 1, au système de N
équations différentielles
MT= -KT + F
/•
(2.50)
dans le cas d'un schéma M C (où T } est la température du 1er d.i. libre, i.e. à x = 1/h.
Dans le cas du schéma M D , on a M = hi ou I est la matrice identité (la
discrétisation M D est dans ce cas strictmeent identique au schéma différences finies
pusique les seules conditions aux limites sont du type Dirichlet).
O n peut montrer (cf. [3] pour les références) que l'inverse de la matrice
masse consistante possède les propriétés suivantes :
37
-
ses éléments diagonaux sont positifs
-
les
éléments non diagonaux décroissent
en valeur
absolue (dans le
rapport ^.268) en fonction de leur distance à la diagonale et surtout,
leurs signes oscillent.
La
valeur de T (t = 0) est
donnée par M ~ " .
Comme
seul le
premier
élément de f est non nul, T(t = 0) est égal à 1/h fois la première colonne de M ~ l , soit
"I; (t = 0) = M j ^ / h . C o m p t e tenu des propriétés de M ~ l rappelés ci-dessus, TÎ (0) est > 0
si j est impair et < 0 si j est pair, l'amplitude de Tj (0) décroissant avec j croissant. Il
s'ensuit que la température à tous les noeuds pairs "démarre" dans la
direction puisque la
mauvaise
solution exacte de (2.46) ne fait pas apparaître de valeurs
négatives de T (x, t).
D a n s le cas du schéma M D (matrice masse diagonalisée, on a Tj (O) =
et ij (0) = 0, j = 2 , . . . , N c'est-à-dire qu'aucune des températures nodales ne démarre
dans la
mauvaise direction. Il semble donc à première vue que la m é t h o d e de
Galerkine consistante prête à caution.
C o m p a r o n s la solution exacte de (2.46) aux solutions numériques obtenues
en résolvant de façon exacte le système (2.50) dans les cas M D et M C .
La solution exacte de (2.46) est
r>
T
ix t) = ( 1 -
œ
) - - y
•
2
Sm nnX
9
- " n~ f
La solution exacte du système (2.50) est
.
T
J
(t) = ( 1 —
N+l
)—
N+ 1
N
>
sin j na e
^ - , 1 - cosna
¡-y ro\
(2.5ZJ
n =1
où
a = n / (N + 1 )
MC
Xn
=6(N+l)
et les valeurs propres de K ~ * M sont
9 1 - cos n a
£
pour le schéma M C
(2.53)
r cos n Q
XMD = 2 ( N + 1 ) 2 1 - cos n a
p o u r
ie
schéma
MD
(2.54)
R e m a r q u e : o n peut retrouver les valeurs propres d u système semi-discrétisé à partir
du rapport ç/Ç calculé p r é c é d e m m e n t (cf. 2.2.2). O n a en effet trouvé :
l
l ~
2(1 -
coskh)/(kh)2
1 + 2r(coskh - 1)
qui ne dépend pas de la vitesse de convection U .
38
L'expression (2.51) montre que les nombres d'onde de la solution exacte
sont niT (n = 1, ..., <») soit k = n1i dans l'expression (Z.55). Le paramètre
d'amortissement exact est ç = D k 2 (soit n^ 112 ¿ a n s \e c a s présent). En tenant compte
du fait que kh = n1l/N + 1 = n o et h = 1/N + 1, on trouve
1=2 (2V+ 1)2(1 - cosnaVa + 2 r(cosna - 1))
qui est identique à (2.53) et (2.54) avec r = 1/6 et r = 0 respectivement.
Il s'avère donc que le schéma M C amplifie le paramètre d'amortissement
exact (n~ f ¿) et que le schéma M D le réduit (dans un rapport sensiblement identique).
De fait, la valeur moyenne de X n et X n est une bien meilleure approximation de
n2
Les résultats pour N = 4 (5 éléments de dimension 0.2) sont présentés sur
les figures 2.7 et 2.8 qui sont extraites de [3]. O n observe ce qui a été prévu
précédemment, à savoir que dans le schéma M C , les températures aux noeuds 2 et 4
sont négatives dans un premier temps. La figure 2.7 montre qu'au temps t = 0.004, la
solution M C présente encore des oscillations alors que la solution M D paraît
"raisonnable". A partir de t - 0.02 (d'après la figure 2.7), toutes les températures de
la solution M C sont positives et le restent (bien que la solution M D paraisse un peu
plus précise).
Nous suivrons l'opinion de Gresho et al. [3] en disant que les oscillations du
schéma M C pour les temps faibles indiquent que pour ce problème et ce maillage, il
existe un laps de temps minimum (= 0.02 dans ce cas) pendant lequel la solution
discrétisée est trop imprécise pour être utile. O n observera en effet sur la figure 2.8
que la solution M D est très mauvaise à t = 0.004 bien qu'elle ne présente pas
d'oscillations et puisse donc sembler raisonnable.
2.4 - LE PRINCIPE DU MAXIMUM
2.4.1 - DEFINITION
Les valeurs négatives des températures nodales obtenues par le schéma
M C indiquent que ce schéma ne vérifie pas le principe du m a x i m u m que vérifie la
solution exacte. Supposons par exemple que la variable soit la concentration d'une
substance dans le domaine d'étude et qu'il n'y ait pas de source (ou de puits) de cette
substance. Le principe du m a x i m u m énonce alors que la concentration m a x i m u m
apparaît sur la frontière ou à l'instant initial et que la densité ne devient jamais
39
négative. Si le schéma de discrétisation ne vérifie pas le principe du m a x i m u m
discret, alors la solution calculée peut prendre des valeurs négatives et osciller dans
le temps et dans l'espace.
Les solutions de l'équation de la diffusion-convection
dT
ôt
— + UVT-DAT=
Q surV
dT/dn = 0
sur S
Q
T =g
(2.56)
sur Sc
T(x,0)-T
surV
o
vérifient aussi le principe du m a x i m u m qui s'écrit :
max max-T.max-g
V
o
min \ min— T ,min„g
V
avec E = Sq x [0, T].
+ t max 0 , max Q
t miniO, min
o
(2.57)
Q)sT(x,0)
2.4.2 - CAS DE L'EQUATION DE LA DIFFUSION
O n peut montrer facilement que l'élément linéaire monodimensionnel
vérifie le principe du m a x i m u m discret pour l'équation de diffusion stationnaire. Il
faut pour cela utiliser le théorème suivant : ([4]) :
Si la matrice réelle inversible d'ordre n A = (a^;) est à diagonale dominante
avec ay < 0 si i f- j et &a > 0 si i e [1, n] alors A ~ * > 0 (une matrice n x n est dite à
diagonale dominante si
La
matrice
a
s 0
de
Vi ).
rigidité
élémentaire
de
l'élément
linéaire
monodimensionnel pour l'équation de la diffusion s'écrit :
D
1
-1
-1
1
(2.58)
ou h est la longueur de l'élément et D le coefficient de diffusion.
Il est clair que la matrice de rigidité globale (k) résultant de l'assemblage
des matrices élémentaires vérifie le théorème précédent et donc que T = K " ^ . F > 0 si
F > 0.
40
Les éléments d'ordre supérieur ne vérifient pas le principe du m a x i m u m
discret. E n effet, les matrices de rigidité élémentaires de ces éléments sont :
*• =-2-
1
7
- 8
- 8
- 8
16
pour l'élément quadratique
/
3
2
(2.59)
pour l'élément cubique
et
AAA
- 39
- 5fi7
162
1296
120/1
ym
(2.60)
162
- 567
- 891
1296
La présence de termes non diagonaux > 0 dans ces matrices élémentaires
va entraîner la présence de termes non diagonaux > 0 dans la matrice globale.
Dans le cas transitoire, le principe du m a x i m u m discret sera vérifié si la
matrice M + a A t K vérifie le théorème précédemment énoncé. Les matrices de masse
élémentaires consistantes et diagonalisées des éléments linéaires, quadratiques et
cubiques sont :
1 O
h
/TI .
h_
m.
128
1680
élément linéaire
(2.61)
élément quadratique
(2.62)
1
élément cubique
(2.63)
O 1
h
- 1 -2
4
2
16
4
30
h
'C
1 *?
6
19
99
128 - 36
sym
648
6
- 36
99
h
m D
8
i
i
- 81
648
maximum
Voyons
quels
éléments sont
discret
et sous quelles
susceptibles
conditions.
de vérifier
Remarquons
matrices de rigidité élémentaires vérifient toutes
k.. = 0
tout
le principe d u
d'abord
q u e les
ce qui est évident
puisque
^
k
= zL
n dN./dx
dN Idx dx =
D . dN./dx.
d/dx ( Y N. ) dx
or
Comme
les matrices de m a s s e élémentaires sont à diagonale d o m i n a n t e
stricte, la matrice globale M + a A t K sera à diagonale dominante stricte.
41
Enfin, puisque l'assemblage des matrices élémentaires n'entraînera que le
recouvrement des termes a ^ et a^2 des matrices élémentaires, le principe du
m a x i m u m discret sera vérifié si les termes non diagonaux de [ke] + 9At [ m e ] sont < 0 .
(Nous ne nous intéressons ici qu'aux schémas implcites car M E F I S T O ne prend pas en
compte à l'heure actuelle les avantages possibles d'une résolution explicite).
Il est évident que cette condition est toujours vérifiée pour l'élément
linéaire avec la matrice [ m ^ ] (et c'est pourquoi l'exemple 2.3 ne présente pas
d'oscillations) et qu'elle n'est jamais remplie avec les éléments d'ordre supérieur
combinés avec la matrice masse diagonalisée.
Envisageons maintenant le cas où on utilise la matrice masse consistante.
La (les) condition(s) sont :
Elément linéaire
h
sou
—
Elément quadratique
I _L_
4
10 9
D At
/j2
_L_
10 9
<0
19
39£>9Ai
h < 0
1680
120 h
99
5 6 7 D e At
120 h
- 36
1680
~
162J>6A¿
120 h
En conclusion, le principe du m a x i m u m discret est vérifié, pour l'équation
de la diffusion monodimensionnelle par les éléments suivants :
- élément linéaire et matrice masse diagonale
VAí
42
- élément linéaire et matrice masse consistante si
D A i / A " > 1/66
- élément quadratique et matrice masse consistante si
1/40 6 <
DM
h2
< 1/10
Remarque : le fait de ne pas vérifier le principe du m a x i m u m discret ne signifie pas
que la solution oscillera systématiquement. Tout dépend en effet du
second m e m b r e qui dépend lui-même des conditions initiales et aux
limites.
Le traitement du problème de diffusion du § 2.3
avec des éléments
quadratiques ou cubiques revient à imposer une solution initiale de la forme
T
II est donc raisonnable d'initialiser une solution correcte sur de tels
éléments si on veut limiter les risques d'oscillations. Pour l'élément quadratique, on
peut par exemple démarrer avec la forme suivante :
1/4
Dans le cas bidimensionnel, on peut facilement montrer que seul le
triangle linéaire vérifie toujours le principe du m a x i m u m discret à condition que tous
les angles du maillage soient aigus. Il en résulte que ce principe sera toujours vérifié
dans le cas non stationnaire à condition d'utiliser la matrice masse diagonale.
Remarque : le fait pour un élément de vérifier le principe du m a x i m u m discret ne
saurait être considéré c o m m e une assurance sur la qualité de la solution,
ainsi que le montre l'exemple 2.3 pour les temps courts et le schéma M D .
43
2.4.3 - CAS DE L'EQUATION DE DIFFUSION-CONFECTION
MONODIMENSIONNELLE
La matrice de convection élémentaire s'écrit (si U et D sont constants)
—1 1
- 1 1
- 3
- 1
1
3
- 4
- 4
pour un élément linéaire
4"
4
0
pour un élément quadratique
(on notera que la matrice de convection globale est antisymétrique).
O n montre alors facilement, à partir du théorème énonce en 2.4.2 que le
principe du m a x i m u m discret est vérifié par l'élément linéaire si p - zJL <
2
et
ne l'est pas par l'élément quadratique dans le cas stationnaire.
En suivant la m ê m e démarche, on trouvera des conditions reliant le
nombre de Péclet numérique P n et le nombre de courant U.At/h pour véfifier le
principe du m a x i m u m discret dans le cas transitoire.
2.5 - C H O I X D U S C H E M A D E DISCRETISATION
2.S.1- LES CAUSES DES OSCILLATIONS NUMERIQUES
II existe trois causes principales des oscillations qu'on peut observer dans
les solutions numériques de l'équation de diffusion-convection par la M E F G .
- U n e condition de Dirichlet sur un exhaure. Le remède consiste à
changer cette condition en une condition de flux diffusif nul, ce qui est
généralement plus réaliste. Dans le cas où une telle condition doit être
imposée, l'utilisateur doit être conscient du fait qu'une couche limite
est susceptible de se développer et prévoir en conséquence un maillage
suffisamment fin pour "suivre" cette couche limite.
- U n nombre de Péclet numérique (Pn) trop élevé.
- Des conditions initiales ou sur les limites amont très "raides" (par
exemple du type échelon de température). La solution comporte alors
trop de composantes spectrales dans le domaine des courtes longueur
d'ondes qui ne peuvent être correctement suivies par un maillage trop
grossier.
nu'n
44
Dans les deux dernier cas, les oscillations sont produites par la dispersion
numérique des schémas (i.e. les composantes spectrales de courte longueur d'onde ne
sont pas propagées à la bonne vitesse). Le remède consiste alors à affiner la
discrétisation spatiale. L'utilisation de schémas upwind supprimera ces oscillations
mais au prix d'une diffusion numérique souvent très élevée et il n'y aura aucun
avertissement (i.e. aucune oscillation) pour indiquer que la solution numérique est
mauvaise.
Faut-il éliminer à tout prix les oscillations ? Il est certain qu'une solution
numérique lisse est a priori plus satisfaisante mais elle est susceptible de coûter très
cher dans le cas où les termes convectifs sont prépondérants si l'on veut éviter
d'utiliser des schémas upwind. Si les oscillations apparaissent et persistent dans une
zone considérée c o m m e importante du domaine d'étude, il est évident qu'il faut
mailler plus finement cette zone. Si des oscillations dont l'amplitude reste faible
n'apparaissent que dans des zones considérées c o m m e moins importantes, alors la
solution qui n'oscille pas dans le reste du maillage présente probablement une bonne
précision.
Enfin on notera que le schéma d'intégration temporelle est lui aussi
susceptible d'introduire des oscillations (cf. 2.2 et 2.3).
2.5.2 - LE NOMBRE
DE
PECLETNUMERIQUE
Bien qu'il soit parfois vrai que le nombre de Péclet numérique ne doit pas
dépasser 2 pour éviter les oscillations, c'est en général la combinaison d'un nombre de
Péclet élevé et de gradients importants dans la direction de l'écoulement qui produit
les oscillations. Il est en fait admissible d'avoir des nombre de Péclet élevés dans
certaines zones pourvu que les gradients y soient (ou y restent) faibles.
2.5.3 - LES SCHEMAS
UPWIND
Ainsi que nous l'avons précisé à plusieurs reprises, les schémas up wind qui
existent à l'heure actuelle doivent être maniés avec précaution. Les schémas up wind
classiques consistent à décentrer progressivement la discrétisation spatiale des
termes convectifs en fonction de l'importance du nombre de Péclet numérique, ce qui
se
traduit par l'introduction d'un terme de diffusion
artificielle (numérique)
permettant de limiter à 2 la valeur réelle de P n . Ces schémas, qui ont le plus souvent
été
développés pour traiter le cas stationnaire, s'avèrent donc trop diffusifs en
régime transitoire où la limite (simpliste) de 2 pour la valeur de P n est loin d'être
imperative dans tous les cas.
45
La forme de l'équation de diffusion-convection utilisée dans la
bibliothèque C V 2 D permet de générer un schéma upwind manuel en contrôlant la
diffusion artificielle introduite. En effet, le nombre de Péclet numérique dans la
direction de l'écoulement est :
P =
d o +Lr IVI
II suffit donc d'augmenter la dispersivité longitudinale pour diminuer P n et
réduire les oscillations. Cette technique simple permet de ne pas introduire de
diffusion transversale artificielle, ce qui est le cas de presque tous les schémas up
wind qui existent à l'heure actuelle lorsque l'écoulement n'est pas parallèle aux
frontières des éléments. Elle présente par ailleurs l'avantage de quantifier
exactement la diffusion numérique qui a été ajoutée.
2.5.4 - DIAGONALISATION DE LA MATRICE MASSE
Nous avons montré précédemment que la réponse spectrale des schémas
M E F G utilisant une matrice de masse constante est bien meilleure que celle des
m ê m e s schémas utilisant une matrice masse diagonalisée (ce qui explique que les
résultats obtenus par la M E F G sont souvent bien meilleurs que ceux obtenus par les
différences finies centrées pour un schéma d'intégration temporelle du type Exiler).
L'utilisation des schémas M D se justifie lorsque le schéma d'intégration temporelle
est explicite. Dans la mesure où les blocs T R L C et T R L V du programme M E F I S T O ne
sont pas conçus pour utiliser les avantages d'une résolution explicite, l'emploi de la
matrice de masse consistante s'impose.
2.5.5 - CHOIX DES ELEMENTS
II est souhaitable, dans la mesure du possible, d'utiliser un maillage tel que
les côtés des éléments sont parallèles ou perpendiculaires aux lignes de courant. C'est
pourquoi il est préférable d'utiliser des quadrilatères.
La référence [5] analyse la réponse spectrale pour un problème de
convection pure monodimensionnel des éléments linéaires et quadratiques et la
compare aux schémas différences finies d'ordre 1 (upwind), 2, 4 et 6 (les différences
finies centrées et upwind présentent la m ê m e réponse spectrale pour ce qui concerne
la vitesse de phase mais le schéma upwind introduit un amortissement très
important). Il apparaît que l'élément quadratique est le moins dispersif (il introduit
cependant une onde supplémentaire qui se propage en sens inverse de l'écoulement
46
mais dont l'amplitude est généralement si faible qu'elle est difficile à détecter). Pour
un
problème
bidimensionnel,
l'élément quadratique Lagrange
(type
5 de la
bibliothèque C V 2 D ) est probablement le meilleur mais il est aussi plus sensible aux
conditions initiales et aux limites.
2.6 - EXEMPLE
Nous nous proposons de visualiser sur un exemple simple les causes des
oscillations. Pour ce faire, considérons le problème défini sur les figures 2.9 et 2.10.
Les lignes de courant ont été calculées à l'aide de la bibliothèque de diffusion D F 2 D
(fig. 2.13 et 2.14).
Nous utiliserons c o m m e maillage de base la grille représentée sur la
figure 2.11. (On notera qua la vitesse n'est théoriquement pas définie sur les deux
coins supérieurs de l'obstacle qui constituent des angles rentrant dans le domaine où
prend place l'écoulement).
L'équation
à résoudre est
l'équation
(1.1).
La vitesse aux points
d'intégration d'un élément est calculée à partir de la valeur de la fonction de courant
aux noeuds. Le c h a m p de vitesse et le paramètre physique u) de l'équation (1.1) sont
identiques dans tous les calculs qui suivent (w = 1).
La figure 2.15 montre les isothermes obtenues en régime stationnaire pour
une condition aval de flux diffusif nul et pour les valeurs suivantes des paramètres
physiques de l'équation 1.1
Avec ces valeurs, le nombre de Péclet numérique et suffisamment faible
pour qu'il n'y ait aucune oscillation dans la solution calculée.
Diminuons maintenant, en gardant le m ê m e maillage, les dispersivités et
le coefficient de diffusion :
QL=0.1
a r = 0.02
d0 = 0.01
Le nombre de Péclet est maintenant largement supérieur à 2 sur la
majeure partie du domaine. O n observe alors des oscillations dans la zone située en
amont de l'obstacle. Par contre, la zone située en aval de l'obstacle ne présente pas
d'oscillations décelables (fig. 2.16).
47
Si nous modifions la condition sur la limite aval en imposant T = 0, des
oscillations sévères apparaissent dans la zone située en aval de l'obstacle et la
solution numérique est très mauvaise (fig. 2.17). En effet, le maillage est trop
grossier pour suivre correctement la couche limite qui se développe au voisinage de
l'exhaure.
Les figures 2.18 et 2.19 montrent les solutions obtenues dans les deux
derniers cas avec un maillage beaucoup plus fin qui est représenté sur la figure 2.12.
Le nombre de Pédet numérique est partout inférieur à 2 et on observe aucune
oscillation. En particulier, les couches limites sont parfaitement "suivies" par ce
maillage.
La comparaison des solutions numériques obtenues avec le maillage
grossier et le maillage fin dans le cas où la condition aval est 3 T / 9 n = 0 montre que
la solution grossière est bonne dans la zone située en aval de l'obstacle. Dans la
mesure où la solution en amont de l'obstacle nous intéresse peu dans le cas d'un
problème de pollution, le maillage grossier s'avère suffisant pour traiter le problème
(fig. 2.20).
Les figures 2.21 a, b, c présentent la solution du régime transitoire avec
les paramètres physiques utilisés dans le premier cas ((XL = 0.5, OLJ = 0.1, d o = 0.1).
Bien que la solution en régime permanent n'oscille pas, la solution transitoire
présente de légères oscillations pour les premiers pas de temps (non représentée sur
les figures). Ces oscillations sont dues à l'échelon de température imposé sur
l'obstacle qui fait intervenir trop de composantes spectrales dans le domaine des
courtes longueurs d'onde. La vitesse de phase numérique de ces composantes est très
différente de la vitesse réelle et la superposition des composantes de courtes
longueurs d'onde produit les oscillations. Ces oscillations disparaissent cependant
rapidement car le paramètre d'amortissement de ces composantes est élevé.
48
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[1] BRGM - Programme MEFISTO
[Z] Donea (J.), Giuliani (S.), Laval (H.) 1979.- "Accurate explicit finite element
schemes for convective-conductive heat transfer problem" in Finite
Element Methods for Convection dominated flows.- A S M E , A M D , vol. 34
[3] Gresho (P.), Lee (R.L.) 1979.- "Don't suppress the wiggles they're telling you
something". In Finite Element Methods for Convection Dominated Flows.A S M E , A M D , vol. 34
[4] Varga (R.S.) 1962.- "Matrix Iterative Analysis" .- Prentice Hall
[5] Gresho (P.M.), Lee (R.L.), Sani (R.L.) 1978.- "Advection-Aduction dominated
flows, with emphasis on the consequences of mass lumping".- In: Finite
Elements in Fluids, vol. 3, Wiley
6
è
Figure 2.1 - Solution de l'équation de diffusion-convection pour différentes valeurs de P E = U . L / D
o
o
L
\
O
«4-
Figure 2.2 - Facteur d'amplication (schéma d'Euler)
51
Figure 2.3 - Rapport de la fréquence semi-discrète w à la frequence réelle w
en fonction du nombre d'onde adimensionnel pour les éléments finis
linéaires ID
Figure 2.4 - Rapport du paramètre d'amortissement semi-discrétisé au
paramètre d'amortissement réel en fonction du nombre
d'onde aHîmongirmn«»! pour les éléments linéaires I D
52
vu
i.e
2.1
t.t
3.1
Figure 2.5 - Réponse fréquentielle des schémas d'Exiler implicites
convection pure)
H
1
1
i.e
1
1
h
1
2.1
1
1
1
1
l.t
1
1
S.t
Figure 2.6 - Amortissement introduit par les schémas d'Exiler implicites
(convection pure)
53
t-
0.4 r
1OU
Figure 2.7 - Evolution temporelle des températures nodales pour l'exemple 2.3
i
0.9 m
I«
M
1
0.8
\
\\
I'I
l\
\
1
1
0.7
-i
>(Vk¿««»
no
_
1
1
0.6
I
i
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0 . 5 rÍ
0.4
0.3
\
AV
i
i!
0.2
0.1
D.1
i\
\\*
\
0.004
—
x\
*\
^t
OS
1
1
0.2
0.4
Figure 2.8 - Profils de température
= 0.04
pour l'exemple 2.3
-
^ ^ t L »
1
0.6
,
0.B
1
,
1.0
Figure 2.9 - Conditions aux limites pour le problème hydraulique
eu.
TÏO
T: O
Tï.4
Tt -t
Til
•fcT/fcnïO
Figure 2.10 - Conditions aux limites pour le problème thermique
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
2.0-
Figure 2.11 - Maillage grossier
3.0
4.0
5.B
55
-3.0
-2.0
B.0
-1.0
2.0-
-
lTe
2.0
3.B
¿.0
5.0
7.0
—
—1 _
-
-
1-
1.0-
l.B
-0.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Figure 2.12 - Maillage fin
Figure 2.13 - Lignes de courant calculées avec le maillage fin
(de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1)
Figure 2.14 - Lignes de courant calculées avec le maillage grossier
de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1)
56
Figure 2.15 -
Solution stationnaire - maillage grossier
d o = 0.1, O L = 0.5, ctj = 0.1
isothermes de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1
^^—
i :
Figure 2.16 -
Solution stationnaire -maillage grossier
do = 0.01, CXL = 0.1, O T = 0.02
isothermes de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1
TrO
Figure 2.17 -
Solution stationnaire - maillage grossier
do = 0.01, a L = 0.1, ctT = 0.02
isothermes de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1
57
£3.«O
DP
Figure 2.18 -
Solution stationna ire - maillage fin
d o = 0.01, O L = 0.1, a-p = 0.02
isothermes de 0.1 á 0.9 par pas de 0.1
Figure 2.19 -
Solution stationnaire -maillage fin
do = 0.01, OIL = 0.1, <*T = 0.02
isothermes de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1
Figure 2.20 -
Comparaison des solutions stationnaires obtenues avec
le maillage grossier (
) et le maillage fin (
)
58
o.-i
Figure 2.2 l.a - Solution transitoire - maillage grossier
do = 0.1,
(XL
= 0.5, aj = 0.1 ; t = 0.05
isothermes de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1
Figure 2.21.b - t = 0.55
Figure 2.21.C - t = 3.05
59
•
là
Figure 2.2l.d - t = 8.05
Figure 2.21.e - t = 18.05
réalisation
service
reprographie
du B R G M
86 SGN 194 EA
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