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Table des matières
Sujet Pondichéry - Avril 2014
7
Exercice 1 : Les dragées au chocolat et aux amandes
PGCD
7
Exercice 2 : QCM numérique
Racine carrée, aire et périmètre, fonction affine et linéaire, probabilité, factorisation
7
Exercice 3 : Programme de calcul
Programme de calcul, triple, multiple
8
Exercice 4 : Les parcours de santé
Théorème de Thalès, théorème de Pythagore
8
Exercice 5 : La bouteille et son goulot
Volume du cylindre, volume du cône, agrandissement et réduction, fonction, lecture graphique
8
Exercice 6 : Les médailles d’or aux jeux olympiques
Tableur, lecture de tableau, moyenne, médiane et pourcentage
10
Correction Pondichéry - Avril 2014
11
Sujet Amérique du Nord - Juin 2014
14
Exercice 1 : QCM de calcul numérique
PGCD, inéquation, fraction, racine carrée et identité remarquable
14
Exercice 2 : Les péniches et les boudins
Volume de la boule et du cylindre
15
Exercice 3 : De Toulouse à l’étang de Thau
Vitesse et pourcentage
15
Exercice 4 : Le dénivelé du Canal du Midi
Tableur et lecture de tableau
15
Exercice 5 : Le siège de pêcheur
Théorème de Pythagore
15
Exercice 6 : Jouer au dés devant une écluse
Probabilités
16
Exercice 7 : Le remplissage de l’écluse
Utilisation d’une formule, équation et lecture graphique
16
Exercice 8 : La vantelle
Aire du disque, grandeurs composées et vitesses
17
Exercice 9 : Les portes de l’écluse
Tâche complexe, trigonométrie
17
Correction Amérique du Nord - Juin 2014
19
Sujet Centres étrangers - Juin 2014
22
Exercice 1 : Feuille de calcul
Tableur
22
Exercice 2 : Un problème de Fibonacci
Théorème de Pythagore
22
Exercice 3 : Vrai Faux de géométrie plane
Cercle circonscrit à un triangle rectangle, médiatrice, trigonométrie et quadrilatère
23
Exercice 4 : La lampe à huile en forme de pyramide du Louvre
Volume de la pyramide, agrandissement et réduction
23
Exercice 5 : Calcul malin d’un produit
Développement
23
Exercice 6 : Le voyage Lille Marseille
Tâche complexe, vitesses
24
Exercice 7 : Les degrés Celsius et Farenheit
Fonctions
24
Correction Centres étrangers - Juin 2014
25
Sujet Polynésie - Juin 2014
28
Exercice 1 : Les boules de couleur et les lettres
Probabilités
28
Exercice 2 : Le mur, coffrage et étayage
Théorème de Pythagore, théorème de Thalès
28
Exercice 3 : Trois fonctions et un tableur
Fonctions, image, antécédent, équation, fonction affine
28
Exercice 4 : Un vrai faux de calcul numérique
Arithmétique, racine carrée et puissance
29
Exercice 5 : Consomation des appareils en veille
Tableur, lecture de tableau, fractions
29
Exercice 6 : Le choix d’une piscine
Tâche complexe, calcul d’aire, volume du cylindre et du prisme, débit
30
Exercice 7 : La somme extérieure des angles du triangle
Construction, triangle isocèle, somme des angles dans un triangle
31
Correction Polynésie - Juin 2014
32
Sujet Métropole - Antilles - Guyane - Juin 2014
35
Exercice 1 : Un octogone régulier
Construction d’un octogone régulier, angle au centre, angle inscrit
35
Exercice 2 : Les cahiers de Léa
Pourcentages
35
Exercice 3 : Un programmes de calcul
Programme de calcul
36
Exercice 4 : 1000 tirages dans un sac de 20 jetons
Probabilités
36
Exercice 5 : QCM numérique
Vitesses, grandeurs composées et volume de la boule
37
Exercice 6 : Le réglage des phares de la voiture
Théorème de Thalès et trigonométrie
37
Exercice 7 : Tâche complexe : Les bottes de foin
Tâche complexe, volume du pavé et grandeurs composées
38
Correction Métropole - Antilles - Guyane - Juin 2014
39
Sujet Asie - Juin 2014
43
Exercice 1 : La balle qui rebondit
Fractions
43
Exercice 2 : Corde de guitare et fréquences musicales
Fonctions, lecture graphique
43
Exercice 3 : Les alvéoles des nids d’abeille
Polygônes réguliers
43
Exercice 4 : Un vrai faux numérique
Vrai Faux, pourcentages, PGCD, écriture littéral
43
Exercice 5 : Les droites sont-elles parallèles ?
Parallélogramme, triangle rectangle inscrit dans un cercle
44
Exercice 6 : La tombola
Lecture graphique et probabilités
44
Exercice 7 : Le trottoir roulant du centre commercial
Tâche complexe, théorème de Pythagore et trigonométrie
45
Correction Asie - Juin 2014
46
Sujet Polynésie - Septembre 2014
49
Exercice 1 : À la calculatrice
Fractions, racines carrées, puissances et calculatrice
49
Exercice 2 : L’écran 4/3
Fractions et théorème de Pythagore
49
Exercice 3 : La bouteille
Probabilités
49
Exercice 4 : Deux triangles et un cercle
50
Cercle circonscrit à un triangle rectangle, trigonométrie, réciproque du théorème de Thalès et aire du triangle
Exercice 5 : Le tir à l’arc
Lecture graphique et fonctions
50
Exercice 6 : Deux triangles et des périmètres
Construction de triangle, réciproque du théorème de Pythagore, fonctions et périmètres
50
Exercice 7 : Deux programmes de calcul
Programmes de calcul et tableur
51
Exercice 8 : La location de la maison avec piscine
Tâche complexe, lecture de graphique et pourcentages
51
Correction Polynésie - Septembre 2014
53
Sujet Métropole - Antilles - Guyane - Septembre 2014
56
Exercice 1 : Le triathlon
Lecture graphique et vitesse
56
Exercice 2 : Vrai Faux
56
Volume du prisme droit, réciproque du théorème de Thalès, théorème de Pythagore, racines carrées et fonctions
Exercice 3 : Qui porte des lunettes ?
Probabilités et pourcentages
57
Exercice 4 : Le lampadaire
Trigonométrie
57
Exercice 5 : Une conjecture sur le produit de nombres impairs
Arithmétique, tableur et développement
58
Exercice 6 : La croix du bucheron
Agrandissement et réduction, théorème de Thalès et périmètre du cercle
59
Exercice 7 : Le voyage en avion
Vitesses et lecture de tableau
60
Correction Métropole - Septembre 2014
61
Sujet Amérique du Sud - Novembre 2014
64
Exercice 1 : QCM
Calcul numérique, racine carrée, aire du rectangle et vitesses
64
Exercice 2 : La caractéristique d’Euler
Pavé droit, aire du triangle, volume de la pyramide et la pyramide
65
Exercice 3 : La lettre prioritaire
Tâche complexe et lecture de tableau
66
Exercice 3 : Le vaccin
Lecture graphique et fonctions
67
Exercice 5 : Pauline et la régate
Tableur, temps et fonctions
68
Exercice 6 : Le ryhme cardiaque
Calcul littéral, équations et pourcentages
68
Exercice 7 : La rivière
Tâche complexe et théorème de Thalès
69
Correction Amérique du Sud - Novembre 2014
70
Sujet Nouvelle Calédonie - Décembre 2014
73
Exercice 1 : QCM
Fractions, racines carrées, pourcentages et écritures scientifiques
73
Exercice 2 : Chifoumi : Pierre, feuille ciseaux
Probabilités
73
Exercice 3 : Construction et périmètre
Construction, théorème de Thalès et périmètre
73
Exercice 4 : La vitesse du navire
Tâche complexe et vitesses
74
Exercice 5 : Le changement climatique
Lecture de tableau, moyennes
74
Exercice 6 : Les éoliennes
Polygônes réguliers, construction et théorème de Pythagore
74
Exercice 7 : Deux fonctions et un tableur
Tableur, fonctions, fonctions affines, fonctions linéaires et équations
75
Exercice 8 : Les sphéres de stockage de butane
Volume de la boule, la boule, grandeurs et mesures et proportionnalité
75
Correction Nouvelle Calédonie - Décembre 2014
78
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
P ONDICHÉRY
Avril 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
E XERCICE 1
6 POINTS
Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées aux amandes.
1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Chaque corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées ?
2. Emma et Arthur changent d’avis et décident de proposer des petits ballotins* dont la composition est identique. Ils
souhaitent qu’il ne leur reste pas de dragées.
(a) Emma propose d’en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier.
(b) Ils se mettent d’accord pour faire un maximum de ballotins.
Combien en feront-ils et quelle sera leur composition ?
* Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple.
E XERCICE 2
5 POINTS
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais
une seule est exacte.
Toute réponse exacte vaut 1 point.
Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n’enlève pas de point.
Indiquez sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte (A ou B ou C).
A
B
C
n’existe pas
est égal à −5
est égal à 5
2. Si deux surfaces ont la même
aire alors
elles sont superposables
elles ont le même
périmètre
leurs périmètres ne sont
pas forcément égaux.
3. Soit f la fonction définie par :
f (x) = 3x − (2x + 7) + (3x + 5)
f est une fonction affine
f est une fonction linéaire
f n’est pas une fonction
affine.
Il vaut mieux qu’il joue
les numéros qui sont
souvent sortis
Il vaut mieux qu’il joue
les numéros qui ne sont
pas souvent sortis.
L’enquête ne peut pas
l’aider.
(x + 3)(x − 5)
(x − 4)(x + 4)
x2 − 2x − 15
1.
p
(−5)2
4. Hicham a récupéré les résultats d’une enquête sur les numéros qui sont sortis ces dernières
années au loto. Il souhaite jouer
lors du prochain tirage.
5. Une expression factorisée de
(x − 1)2 − 16 est ...
7
E XERCICE 3
3 POINTS
« Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J’ajoute le triple du nombre de départ au résultat
et j’enlève 21. J’obtiens toujours un multiple de 10. »
Est-ce vrai ? Justifier.
Si travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l’évaluation.
E XERCICE 4
7 POINTS
Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal,
schématisées ci-dessous :
• le parcours ACDA
• le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s’approche le plus possible de 4 km.
Peux-tu les aider à choisir le parcours ? Justifie.
Attention : la figure proposée au conseil municipal n’est pas à l’échelle, mais les codages et les dimensions données sont
correctes.
C
D
E
E′
A
Départ et arrivée.
(E′ F′ ) // (EF)
F′
F
b dans le triangle AEF vaut 30 ˚
L’angle A
AC = 1,4 km
CD = 1,05 km
AE′ = 0,5 km
AE = 1,3 km
AF = 1,6 km
E′ F′ = 0,4 km
E XERCICE 5
8 POINTS
Pense-bête : toutes les formules données ci-dessous correspondent bien à des formules d’aires ou de volumes. On ne sait
pas à quoi elles correspondent, mais elles peuvent quand même être utiles pour résoudre l’exercice ci-dessous.
1
× aire de la base × hauteur
3
4 3
πr
3
πr2
aire de la base × hauteur
Voici une bouteille constituée d’un cylindre et d’un tronc de cône surmonté par
un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu’elle est remplie jusqu’au
goulot.
Les dimensions sont notées sur le schéma.
1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner
un arrondi au cm3 .
15 cm
10 cm
8
+
O′
+
2. Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O′ . La hauteur SO du grand
cône est de 6 cm et la hauteur SO’ du petit est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm.
S
O
a. Calculer le volume V1 du grand cône de hauteur SO (donner la
valeur exacte).
1 300π
b. Montrer que le volume V2 du tronc de cône est égal à
27
cm3 . En donner une valeur arrondie au cm3 .
3. Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l’un d’entre eux représente le volume V (h) de la bouteille en fonction de la
hauteur h de remplissage du bidon.
Quel est ce graphique ? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables ?
V (h)
V (h)
2400
2400
2100
2100
1800
1800
1500
1500
1200
1200
900
900
600
600
300
h
0
0
3
6
V (h)
9 12 15 18 21
Graphique 1
300
0
2400
2100
2100
1800
1800
1500
1500
1200
1200
900
900
600
600
0 0
h
3
6
3
6
V (h)
2400
300
h
0
300
9 12 15 18 21
Graphique 2
h
0
9 12 15 18 21
Graphique 3
0
9
3
6
9 12 15 18 21
Graphique 4
E XERCICE 6
7 POINTS
Voici le classement des médailles d’or reçues par les pays participant aux jeux olympiques pour le cyclisme masculin
(Source : Wikipédia).
Bilan des médailles d’or de 1896 à 2008
Nation
Or
Nation
Or
France
40
Russie
4
Italie
32
Suisse
3
Royaume-Uni
18
Suède
3
Pays-Bas
15
Tchécoslovaquie
2
États-Unis
14
Norvège
2
Australie
13
Canada
1
Allemagne
13
Afrique du Sud
1
Union soviétique
11
Grèce
1
Belgique
6
Nouvelle-Zélande 1
Danemark
6
Autriche
1
Allemagne de l’Ouest 6
Estonie
1
Espagne
5
Lettonie
1
Allemagne de l’Est
4
Argentine
1
1. Voici un extrait du tableur :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
1
Nombre de
médailles
d’or
1
2
3
4
5
6
11
13
14
15
18
32
40
2
Effectif
8
2
2
2
1
3
1
2
1
1
1
1
1
O
26
Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d’or ?
2. (a) Calculer la moyenne de cette série (arrondir à l’unité).
(b) Déterminer la médiane de cette série.
(c) En observant les valeurs prises par la série, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne
et de la médiane sont différentes.
3. Pour le cyclisme masculin, 70 % des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d’or. Quel est le nombre de
pays qui n’ont obtenu que des médailles d’argent ou de bronze (arrondir le résultat à l’unité) ?
Si la travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche.
Elle sera prise en compte dans l’évaluation.
10
Correction
P ONDICHÉRY - Avril 2014
Exercice 1
1. 3 003 = 20 × 150 + 3 et 3 731 = 20 × 186 + 11
Il restera 3 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes soit 14 dragées
2.a 3 003 = 90 × 33 + 33 et 3 731 = 90 × 41 + 41
Dans ce cas il reste 33 dragées au chocolat et 41 dragée aux amandes soit 74 dragées, c’est pire que dans le premier cas !
2.b Calculons le PGCD(3 003; 3 731) par l’algorithme d’Euclide :
3 731 = 3 003 × 1 + 728
3 003 = 728 × 4 + 91
728 = 91 × 8
Donc PGCD(3 003; 3 731) = 91
3 003 = 91 × 33 et 3 731 = 91 × 41
Ils feront 91 ballotins contenant 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes
Exercice 2
1. (−5)2 = 25 donc
p
√
(−5)2 = 25 = 5 Réponse C
2. Deux surfaces de même aire ne sont pas superposables.
Par exemple un carré de 4 cm de côté et un rectangle de 8 cm de longueur par 2 cm de largeur ont la même aire 16 cm2 mais
ne sont pas superposables !
Deux surfaces de même aire n’ont par le même périmètre.
L’exemple précédent montre un carré dont le périmètre vaut 4 × 4 cm = 16 cm et un rectangle dont le périmètre est 2 ×
(8 cm + 2 cm) = 20 cm et qui pourtant ont la même aire.
Cela prouve que deux surfaces de même aire n’ont pas forcément le même périmètre.
Réponse C
3. f (x) = 3x − (2x + 7) + (3x + 5) = 3x − 2x − 7 + 3x + 5 = 4x − 2
f est une fonction affine. Réponse A
4. Le hasard n’a pas de mémoire ! Les numéros déjà sortis au Loto ont la même chance de ressortir que les autres.
Même si vous avez fait 10 fois piles à la suite en lançant une pièce de monnaie équilibrée, la probabilité de faire face la
onzième fois reste la même à savoir une chance sur deux !
Réponse C
5. (x − 1)2 − 16 = (x − 1)2 − 4x2 = [(x − 1) + 4] [(x − 1) − 4] = (x − 1 + 4)(x − 1 − 4) = (x + 3)(x − 5)
11
Réponse A
Exercice 3 Notons n l’entier choisi au départ.
Ce programme de calcul revient à faire : n + 3 , 7(n + 3) puis 3n + 7(n + 3) et enfin 3n + 7(n + 3) − 21.
Réduisons cette expression : 3n + 7(n + 3) − 21 = 3n + 7n + 21 − 21 = 10n
10n est toujours un multiple de 10. C’est donc vrai !
Exercice 4
Étude du parcours ACDA
ACD est un triangle rectangle en C
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en C :
CD2 +CA2 = AD2
1, 052 + 1, 42 = AD2
1, 1025 + 1, 96 = AD2
AD2 = 3, 0625
AD =
p
3, 0625
AD = 1, 75
1, 05 km + 1, 4 km + 1, 75 km = 4, 2 km. La parcours ACDA mesure 4, 2 km
Étude du parcours AEFA
Dans le triangle AEF, E ′ ∈ [AE] et F ′ ∈ [AF]
Comme (E ′ F ′ )//(EF) d’après le théorème de Thalès on a :
AE ′ AF ′ E ′ F ′
=
=
AE
AF
EF
0, 5 AF ′ 0, 4
=
=
1, 3
1, 6
EF
Donc EF =
0, 4 × 1, 3
= 1, 04
0, 5
1, 3 km + 1, 04 km + 1, 6 km = 3, 94 km. Le parcours AEFA mesure 3, 94 km
Le parcours AEFA est plus proche des 4 km attendus
b ne servait à rien. Pour utiliser la trigonométrie il aurait fallu que AEF soit rectangle.
PS : Attention la donnée de l’angle A
Or on ne le sait pas !
A posteriori en utilisant rapidement la réciproque de Pythagore on constate que ce triangle n’est en effet pas rectangle :
1, 32 + 1, 042 = 2, 7716 et 1, 62 = 2, 56
Exercice 5
1. La partie cylindrique a pour volume :
π × (5 cm)2 × 15 cm = 375π cm3 ≈ 1178 cm3
12
2.a V1 =
π × (5 cm)2 × 6 cm
= 50π cm3
3
2 cm 1
2.b Le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient
=
6 cm 3
3
1
1
fois celui du grand, c’est à dire 27 fois plus petit.
=
Son volume est donc
3
27
Le volume du petit cône est donc
Ainsi V2 = V1 −
V1
50π
=
cm3 .
27
27
50π 1350π 50π
1300π
50π
= 50π −
=
−
=
27
27
27
27
27
3. Le graphique 4 ne convient pas car pour h = 0 il indique V (0) ≈ 150 cm3 . Or quand il n’y a pas d’eau le volume est égal
à 0.
Le graphique 2 ne convient pas car pour h > 15 le volume diminue. C’est impossible ! Le volume d’eau augmente toujours
quand la hauteur augmente.
Jusqu’à h = 15 cm, on remplit le cylindre jusqu’à 1 178 cm3 . Ensuite on remplit le tronc de cône dont le volume vaut
1 300π
≈ 151 cm3 . Le volume total du bidon est donc d’environ 1 178 cm3 + 151 cm3 = 1 328 m3
approximativement
27
Le graphique 3 ne convient pas car le volume maximale est d’environ 2 500 cm3
La graphique 1 correspond à la situation de l’exercice !
Exercice 6
1. La formule la plus simple est =SOMME(B2 :N2)
On pouvait aussi écrire B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2+I2+J2+K2+L2+M2+N2
2.a La moyenne pondérée de cette série est :
205
1 × 8 + 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 + 5 × 1 + 6 × 3 + 11 × 1 + 13 × 2 + 14 × 1 + 15 × 1 + 18 × 1 + 32 × 1 + 40 × 1
=
≈
26
26
8
2.b L’effectif total est 26, il faut chercher le 13eet le 14e.
Le 13eet le 14eont 4 médailles.
La médiane de la série est 4 médailles
2.c La médiane et la moyenne sont très différentes car 2 pays, la France et l’Italie ont a eux seuls 32 et 40 médailles tandis
que 8 pays n’ont eu qu’une médaille : c’est ce qui déséquilibre cette série.
Cet écart illustre l’hétérogénéité de cette série !
3. Il y a 26 pays ce qui représente 70% de l’ensemble de pays médaillés.
Si on note x le nombre total de pays médaillés, on a donc :
26
≈ 37
0, 70x = 26 d’où x =
0, 70
37 − 26 = 11
Il y a environ 11 pays qui n’ont obtenus qu’une médaille d’argent ou de bronze !
13
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
A MÉRIQUE DU N ORD
Juin 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
E XERCICE 1
4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune
justification n’est demandée.
Pour chacune des quatre questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre A, B, ou C correspondant à la
réponse choisie.
1.
2 3
+
7 7
:
1
5
2. Le PGCD des nombres 84 et 133 est
3. Les solutions de l’inéquation −3x + 5 > 9 sont
les nombres x tels que . . .
4.
A
B
C
1
7
25
7
17
7
1
7
3
x6
√ 2
1 + 2 est égal à . . .
−4
3
3
x=
−4
3
√
3− 2
x>
−4
3
√
3+2 2
Les 8 exercices qui suivent traitent du même thème « le canal du midi* » mais sont indépendants. Le vocabulaire
spécifique est donné sur le schéma de l’exercice 7
* Le canal du midi est un canal qui rejoint l’Atlantique à la Méditerranée.
14
E XERCICE 2
3 points
Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de « boudins » de protection.
Calculer le volume exact en cm3 du « boudin »de protection ci-dessous, puis arrondir au centième :
AC = 16 cm
Rappel
Volume d’un cylindre de révolution
V = πR2 h
où h désigne la hauteur du cylindre et R le rayon de la base.
Volume d’une boule
4
V = πR3
3
où R désigne le rayon de la boule.
+
+
C
+
50
cm
A
E XERCICE 3
3 points
1. La longueur du Canal du Midi est de 240 km de Toulouse à l’étang de Thau et la vitesse des embarcations y est
limitée à 8 km/h.
Combien de temps, au moins, faut-il pour effectuer ce trajet en péniche sans faire de pause ?
2. On assimilera une écluse à un pavé droit de 8, 4 m de large, de 30 m de long et de 3 m de hauteur.
Calculer le volume de cette écluse.
3. Le prix hebdomadaire de la location d’un bateau à moteur dépend de la période.
Il est de 882 e du 01/01/2014 au 28/04/2014.
Il augmente de 27 % pour la période du 29/04/2014 au 12/05/2014.
Calculer le prix de la location pour cette période.
E XERCICE 4
3 points
Durant un parcours sur le Canal du Midi partant de l’écluse de Renneville jusqu’à l’écluse de Gay, on a relevé les hauteurs
de chaque écluse franchie depuis le départ dans la feuille de calcul donnée en annexe 1.
Les hauteurs franchies de manière ascendante sont notées positivement, celles de manière descendante négativement.
1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M5 pour obtenir la valeur du dénivelé* du parcours ?
2. Quelle est la valeur du dénivelé* du parcours ?
3. Le parcours est-il, globalement, ascendant ou descendant ?
* Le dénivelé du parcours représente la différence de niveau (hauteur) entre les écluses.
E XERCICE 5
3 points
Pour une bonne partie de pêche au bord du canal, il faut un siège pliant adapté !
Nicolas est de taille moyenne et pour être bien assis, il est nécessaire que la hauteur de l’assise du siège soit comprise entre
44 cm et 46 cm.
B
34 cm
31 cm
Voici les dimensions d’un siège pliable qu’il a
trouvé en vente sur internet :
longueur des pieds : 56 cm
largeur de l’assise : 34 cm
profondeur de l’assise : 31 cm
A
56 cm
D
C
H ??
F
d est droit et ABDC est un rectangle.
L’angle ACE
La hauteur de ce siège lui est-elle adaptée ?
E
15
G
E XERCICE 6
6 points
Pendant le remplissage d’une écluse, Jules et Paul, à bord de leur péniche, patientent en jouant aux dés. Ces dès sont
équilibrés.
1. Est-ce que, lors du jet d’un dé, la probabilité d’obtenir un « 1 » est la même que celle d’obtenir un « 5 » ? Expliquer.
2. Jules lance en même temps un dé rouge et un dé jaune. Par exemple il peut obtenir 3 au dé rouge et 4 au dé jaune,
c’est l’une des issues possibles. Expliquer pourquoi le nombre d’issues possibles quand il lance ses deux dés est de
36.
Jules propose à Paul de jouer avec ces deux dés (un jaune et un rouge), Il lui explique la règle :
— Le gagnant est le premier à remporter un total de 1000 points.
— Si, lors d’un lancer, un joueur fait deux « 1 », c’est-à-dire une paire* de « 1 », il remporte 1 000 points (et donc
la partie).
— Si un joueur obtient une paire de 2, il obtient 100 fois la valeur du 2, soit 2 × 100 = 200 points.
— De même, si un joueur obtient une paire de 3 ou de 4 ou de 5 ou 6, il obtient 100 fois la valeur du dé soit
3 × 100 = 300, ou . . .
— Si un joueur obtient un résultat autre qu’une paire (exemple 3 sur le dé jaune et 5 sur le dé rouge), il obtient
50 points.
* On appelle une paire de 1 quand on obtient deux 1, une paire de 2 quand on obtient deux 2 . . .
3. Paul a déjà fait 2 lancers et a obtenu 650 points.
Quelle est la probabilité qu’il gagne la partie à son troisième lancer ?
Dans cette question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même sur la copie une trace de la recherche.
Elle sera prise en compte dans la notation.
E XERCICE 7
5 points
On étudie plus précisément le remplissage d’une écluse pour faire passer une péniche de l’amont vers l’aval.
Principe : Il s’agit de faire monter le niveau de l’eau dans l’écluse jusqu’au niveau du canal en amont afin que l’on puisse
ensuite faire passer la péniche dans l’écluse.
Ensuite, l’écluse se vide et le niveau descend à celui du canal en aval. La péniche peut sortir de l’écluse et poursuivre dans
le canal en aval.
Amont
Aval
Écluse
Portes
vantelles
h
x
radier
Toutes les mesures de longueur sont exprimées en mètres.
On notera h la hauteur du niveau de l’eau en amont et x la hauteur du niveau de l’eau dans l’écluse.
Ces hauteurs sont mesurées à partir du radier (fond) de l’écluse. (voir schéma ci-dessus). Lorsque la péniche se présente à
l’écluse, on a : h = 4, 3 m et x = 1, 8 m.
La vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle (vanne) est donnée par la formule suivante :
v=
p
2g(h − x)
où g = 9, 81 (accélération en mètre par seconde au carré noté m.s−2 ) et v est la vitesse (en mètre par seconde noté m.s−1 )
16
1. Calculer l’arrondi à l’unité de la vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle à l’instant de son ouverture. (On considère
l’ouverture comme étant instantanée).
2. Pour quelle valeur de x, la vitesse d’écoulement de l’eau sera-t-elle nulle ? Qu’en déduit-on pour le niveau de l’eau
dans l’écluse dans ce cas ?
3. Le graphique donné en annexe 2 représente la vitesse d’écoulement de l’eau par la vantelle en fonction du niveau x
de l’eau dans l’écluse.
Déterminer, par lecture graphique, la vitesse d’écoulement lorsque la hauteur de l’eau dans l’écluse est de 3, 4 m.
E XERCICE 8
4 points
Le débit moyen q d’un fluide dépend de la vitesse moyenne v du fluide et de l’aire de la section d’écoulement d’aire S. Il est
donné par la formule suivante :
q = S×v
où q est exprimé en m3 .s−1 ; S est exprimé en m2 ; v est exprimé en m.s−1 .
Pour cette partie, on considérera que la vitesse moyenne d’écoulement de l’eau à travers la vantelle durant le remplissage est
v = 2, 8 m.s−1 .
La vantelle a la forme d’un disque de rayon R = 30cm.
1. Quelle est l’aire exacte, en m2 , de la vantelle ?
2. Déterminer le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le remplissage.
3. Pendant combien de secondes, faudra-t-il patienter pour le remplissage d’une écluse de capacité 756 m3 ? Est-ce
qu’on attendra plus de 15 minutes ?
E XERCICE 9
5 points
Certaines écluses ont des portes dites « busquées » qui forment un angle pointé vers l’amont de manière à résister à la
pression de l’eau,
Amont
Sens du courant
Portes
« busquées »
de même
longueur
P
55 ˚
B
A
5,8 m
Aval
En vous appuyant sur le schéma ci-dessus, déterminer la longueur des portes au cm près.
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la
notation.
17
Annexe 1
1
2
3
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Écluse
de Renneville
d’Encassan
d’Emborrel
de
l’Océan
de la
Méditerranée
du Roc
de
Laurens
de la
Domergue
de la
Planque
de
SaintRoch
de Gay
hauteur
(m)
2,44
4,85
3,08
2,62
−2, 58
−5, 58
−6, 78
−2, 24
−2, 63
−9, 42
−5, 23
4
5
Annexe 2
vitesse m/s v
8
7
6
5
4
3
2
1
hauteur (m)
0
1
2
18
3
4
5
M
Correction
A MÉRIQUE DU N ORD - Juin 2014
Exercice 1
2 3
1 5 5
25
1.
÷ = × =
+
7 7
5 7 1
7
Réponse B
2. Calculons ce pgcd par l’algorithme d’Euclide
133 = 84 × 1 + 49
84 = 49 × 1 + 35
49 = 35 × 1 + 14
35 = 14 × 2 + 7
28 = 7 × 4
Donc le PGCD(133; 84) = 7
Réponse B
3.
−3x + 5 > 9
−3x > 9 − 5
Attention à la division par un négatif !
−3x > 4
x6−
4
3
Réponse A
√
√
√
4. (1 + 2)2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2
Réponse C
Exercice 2
Le boudin est constitué d’une sphère de diamètre 16 cm donc de rayon 8 cm et d’un cylindre de révolution de même rayon
et de hauteur 50 cm
Le volume de ce boudin est donc
4
4
V = × π × (8 cm)3 + π × (8 cm)2 × 50 cm = π × 512 cm3 + π × 64 cm2 × 50 cm
3
3
3
2 048π cm3
2
048π
cm
9 600π cm3
11 648π cm3
V=
+ 3 200π cm3 =
+
=
3
3
3
3
V = 11 197, 76 cm3
Exercice 3
1.
240 km
= 30 h
8 km h−1
19
Il faut au minimum 30 h
2. V = 8, 4 m × 30 m × 3 m = 756 m3
3. 882 × 1, 27 = 1 120, 14
Exercice 4
1. Il faut saisir B3 +C3 + D3 + E3 + F3 + G3 + H3 + I3 + J3 + K3 + L3 ou SOMME(B3 : L3)
2. Quand on ajoute les valeurs du tableau on obtient −21, 47
3.
Le parcours est donc descendant .
Exercice 5
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ACE rectangle en C
CA2 +CE 2 = AE 2
342 +CE 2 = 562
CE 2 = 562 − 342
CE 2 = 3 136 − 1 156
CE 2 = 1 980
CE =
√
1 980 ≈ 44, 5 cm
Ce siège est donc parfaitement adapté.
Exercice 6
1. Avec un dé équilibré, chaque face à la même chance de sortir. On dit que nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.
2. Pour chaque face du dé jaune il y a 6 possibilités sur le dé rouge. Il y a donc 6 × 6 = 36 cas possibles.
3. Paul a déjà 650points. Il lui en manque 350.
Il gagne en faisant une paire de 1, ou une paire supérieure ou égale à 4.
En construisant un arbre ou avec un tableau à double entrée on constate qu’il y a 6 paires sur 36 lancers possibles. Sur ces
12 paires seules les paires 1, 4, 5, 6 font gagner Paul.
1
2
3
4
5
6
1
1-1
2-1
3-1
4-1
5-1
6-1
2
1-2
2-2
3-2
4-2
5-2
6-2
3
1-3
2-3
3-3
4-3
5-3
6-3
20
4
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
5
1-5
2-5
3-5
4-5
5-5
6-5
6
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
Paul peut donc gagner dans 4 cas sur 36. La probabilité de gain de Paul est
Exercice 7
4
1
=
36 9
p
1. Il faut calculer v = 2g(h − x) pour h = 4, 3 m et x = 1, 8 m
p
v = 2 × 9, 81(4, 3 m − 1, 8 m)) = 7 ms−1
2. L’écoulement est nul quand h = x
Dans ce cas l’eau dans l’écluse est au niveau de l’eau en amont.
3. Pour x = 3, 4 m l’écoulement est 4, 2 ms−1
Exercice 8
1. La vantelle à une aire de π × (30 cm)2 = 900π cm2
2. 900π cm2 = 9π dm2 = 0, 09π m2
Le débit moyen est 2, 8 ms−1 × 0, 09π cm2 = 0, 252π m3 s−1 ≈ 0, 792 m3 s−1
3. Le résultat précédent indique que chaque seconde la vantelle laisse passer 0, 792 m3 d’eau.
756 m3 ÷ 0, 792 ≈ 954, 5 s
954, 5 = 15 × 60 + 54, 5
Il faudra attendre 15 min 55s c’est un peu plus de 15 min.
Exercice 9
APB est un triangle isocèle car les portes ont la même longueur.
La hauteur [PH] coupe donc le segment [AB] en son milieu H, ainsi AH = 5, 8 m ÷ 2 = 2, 9 m
d = 90◦ − 55◦ = 35◦
Dans le triangle AHP rectangle en H, comme [AB] est perpendiculaire aux murs de l’écluse, l’angle PAH
On peut donc utiliser la trigonométrie dans ce triangle.
2, 9 m
AH
=
cos(35◦ ) =
AP
AP
2, 9 m
≈ 3, 54 m
Ainsi AP =
cos(35◦ )
Les portes mesurent 3, 54 m
21
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
C ENTRES ÉTRANGERS
Juin 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
E XERCICE 1
6 points
Voici une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur.
Dans cet exercice, on cherche à comprendre comment cette feuille a été remplie.
1
2
3
4
5
6
A
216
126
90
54
36
18
B
126
90
36
36
18
18
C
90
36
54
18
18
0
1. En observant les valeurs du tableau, proposer une formule à entrer dans la cellule C1, puis à recopier vers le bas.
2. Dans cette question, on laissera sur la copie toutes les traces de recherche. Elles seront valorisées.
Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN. À partir de deux nombres, MAX renvoie la valeur la plus grande et
MIN la plus petite. (exemple MAX(23 ; 12) = 23)
Quelle formule a été entrée dans la cellule A2, puis recopiée vers le bas ?
3. Que représente le nombre figurant dans la cellule C5, par rapport aux nombres 216 et 126 ?
216
est-elle irréductible ? Si ce n’est pas le cas, la rendre irréductible en détaillant les calculs.
4. La fraction
126
E XERCICE 2
3 points
À Pise vers 1200 après J. C. (problème attribué à Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien italien du moyen âge).
Tour
h
lance
Une lance, longue de 20 pieds, est posée verticalement le long d’une tour
considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne l’extrémité de la
lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour, de combien descend
l’autre extrémité de la lance le long du mur ?
* Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ 30 cm.
12 pieds
22
E XERCICE 3
6 points
Attention les figures tracées ne respectent ni les mesures de longueur, ni les mesures d’angle
Répondre par « vrai » ou « faux » ou « on ne peut pas savoir » à chacune des affirmations suivantes et expliquer votre choix.
1. Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle.
2. Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB] alors le triangle AMB est isocèle.
3.
C
8 cm
Dans le triangle ABC suivant,
AB = 4 cm.
60 ˚
B
A
4.
B
A
Le quadrilatère ABCD ci-contre est un carré.
D
C
E XERCICE 4
5 points
S
Paul en visite à Paris admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre de
la cour intérieure du Louvre. Cette pyramide régulière a :
• pour base un carré ABCD de côté 35 mètres ;
• pour hauteur le segment [SO] de longueur 22 mètres.
D
C
B
A
Paul a tellement apprécié cette pyramide qu’il achète comme souvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir en
1
verre est une réduction à l’échelle
de la vraie pyramide.
500
Le mode d’emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm3 d’huile par heure.
Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d’huile dans le réservoir ? Arrondir à l’unité d’heures.
Rappel : Volume d’une pyramide = un tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur
Faire apparaitre sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l’évaluation
même si le travail n’est pas complètement abouti.
E XERCICE 5
3 points
1. Développer et réduire l’expression : (2n + 5)(2n − 5) où n est un nombre quelconque.
2. En utilisant la question 1, calculer 205 × 195.
23
E XERCICE 6
6 points
Pour préparer son voyage à Marseille, Julien utilise un site Internet pour choisir le meilleur itinéraire. Voici le résultat de sa
recherche :
Calculez votre itinéraire
Départ
59 000 Lille France
Arrivée
13 000 Marseille France
59 000 Lille–13000 Marseille
Coût estimé Péage 73,90 e
Carburant 89,44 e
Temps
8 h 47 dont
8 h 31 sur autoroute
Distance
1 004 km dont
993 km sur autoroute
1. Quelle vitesse moyenne, arrondie au km/h, cet itinéraire prévoit-il pour la portion de trajet sur autoroute ?
2. Sachant que la sécurité routière préconise au moins une pause de 10 à 20 minutes toutes les deux heures de conduite,
quelle doit être la durée minimale que Julien doit prévoir pour son voyage ?
3. Pour cette question, faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en
compte lors de l’évaluation même si le travail n’est pas complètement abouti.
Sachant que le réservoir de sa voiture a une capacité de 60 L et qu’un litre d’essence coûte 1,42 e, peut-il faire le
trajet avec un seul plein d’essence en se fiant aux données du site internet ?
E XERCICE 7
7 points
Il existe différentes unités de mesure de la température : en France on utilise le degré Celsius (˚C), aux Etats-Unis on utilise
le degré Fahrenheit (˚ F).
Pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1, 8 et on ajoute 32 au résultat.
1. Qu’indiquerait un thermomètre en degrés Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d’eau qui gèle ? On rappelle
que l’eau gèle à 0 ˚C.
2. Qu’indiquerait un thermomètre en degrés Celsius si on le plonge dans une casserole d’eau portée à 212 ˚F ? Que se
passe t-il ?
3. (a) Si l’on note x la température en degré Celsius et f (x) la température en degré Fahrenheit, exprimer f (x) en
fonction de x.
(b) Comment nomme-t-on ce type de fonction ?
(c) Quelle est l’image de 5 par la fonction f ?
(d) Quel est l’antécédent de 5 par la fonction f ?
(e) Traduire en terme de conversion de température la relation f (10) = 50.
24
Correction
C ENTRES ÉTRANGERS - Juin 2014
Exercice 1
1. La colonne C correspond à la différence de la colonne A et de la colonne B
On va donc écrire la formule suivante dans C1 : A1-B1 ou =A1-B1
2. Dans la cellule A2 on trouve le plus grand des deux nombres A1 et B1
On va donc écrire la formule suivante dans A2 : MAX(A1 ;B1) ou MAX(A1 ;B1)
3. La colonne C contient la différence des colonnes A et B. En C6 cette différence est nulle.
Ce tableau permet donc de calculer le PGCD(216; 126) par la méthode des différences succésives.
Donc la case C5 correspond au PGCD(216; 126) = 18
216
n’est pas irréductible puisque PGCD(216; 126) = 18
126
12
216 18 × 12
=
=
Du coup
126
18 × 7
7
4. La fraction
Exercice 2
Om peut modéliser la situation ainsi :
ABC est un triangle rectangle en A car la tour est verticale.
D’après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A
AB2 + AC2 = BC2
122 + AC2 = 202
AC2 = 202 − 122
AC2 = 400 − 144
AC2 = 256
AC =
√
256
AC = 16
Ainsi h = 20 − 16 = 4
25
D
+
C
+
+
+
A
B
Exercice 3
1. Tout triangle est inscrit dans un cercle, par contre tout triangle dont l’un des côté est le diamètre du cercle dans lequel il
est inscrit est rectangle.
1. Faux
2. Si un point M appartient à la médiatrice d’un segment [AB] alors MA = MB
Donc le triangle MAB est isocèle en M.
2. Vrai
3. Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
AB
cos(60◦ ) =
8 cm
Donc AB = 8 cm × cos(60◦ ) = 4 cm
Mais comme il n’est pas précisé que le triangle est rectangle...
3. Faux
4. Le quadrilatère ABCD a quatre côtés égaux, donc c’est un losange. De plus il possède un angle droit. Un parallélogramme
ayant un angle droit est un rectangle. Donc ABCD est rectangle et losange : c’est un carré !
4. Vrai
Exercice 4
1
C’est une réduction à l’échelle
. Il faut donc diviser les dimensions de la pyramide du Louvre par 500
500
35 m ÷ 500 = 3 500 cm ÷ 500 = 7 cm
22 m ÷ 500 = 2 200 cm ÷ 500 = 4, 4 cm
Le volume de cette miniature est donc :
(7 cm)2 × 4, 4 cm
≈ 71, 9 cm3
3
71, 9 cm3 ÷ 4 cm3 ≈ 18
Il faut environ 18 h pour vider complétement le réservoir.
Exercice 5
+ 1. (2n + 5)(2n − 5) = (2n)2 − 52 = 4n2 − 25
2. Pour n = 100 on a 2n + 5 = 205 et 2n − 5 = 195
Donc 205 × 195 = 4 × 1002 − 25 = 40 000 − 25 = 39 975
Exercice 6
1. Cet itinéraire prévoit de parcourir 993 km en 8 h 31 min
C’est à dire 993 km en 511 min
993 km ∗ 60 min
En une heure, 60 min on va parcourir
≈ 117 km
511 min
La vitesse moyenne sur ce trajet est 117 km/h
2. Si on compte 10 min de pause toutes les 2 h, alors comme 4 × 2h = 8 h, il faut 4 pauses de 10 min soit 40 min de pause.
Il faut donc prévoir au minimum 8 h 47 min + 40 min = 9 h 27 min
3. 60 L d’essence à 1, 42ecoûte 60 × 1, 42 = 85, 2e.
Le site préconise 89, 44epour l’essence.
Donc un seul plein d’essence ne suffit pas !
26
( Cette question est ;.... ! ! ! ! ! )
Exercice 7
1. 1, 8 × +32 = 32.
Le thermomètre en degrés Farenheit indique 32◦ F pour O◦ C
2. 212 − 32 = 180 et 180 ÷ 1, 8 = 100
Le thermomètre en degré Celsius indique 100◦ C pour 212◦ F
3.a f (x) = 1, 8x + 32
3.b f est une fonction affine
3.c f (5) = 1, 8 × 5 + 32 = 9 + 32 = 41
L’image de 5 est 41
3.d Il faut résoudre f (x) = 5 pour trouver l’antécédent de 5 par f
1, 8x + 32 = 5
1, 8x = 5 − 32
1, 8x = −27
x=−
27
1, 8
x = −15
L’antécédent de 5 par f est −15
3.e f (10) = 50 signifie que :
10◦ C correspond à 50◦ F
27
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
P OLYNÉSIE
Juin 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte
dans la notation.
Exercice 1
4 points
On place des boules toutes indiscernables au toucher dans un sac. Sur chaque boule colorée est inscrite une lettre. Le tableau
suivant présente la répartition des boules :
Couleur
Lettre
A
B
Rouge
Vert
Bleu
3
2
5
2
2
6
1. Combien y a-t-il de boules dans le sac ?
2. On tire une boule au hasard, on note sa couleur et sa lettre.
(a) Vérifier qu’il y a une chance sur dix de tirer une boule bleue portant la lettre A.
(b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
(c) A-t-on autant de chance de tirer une boule portant la lettre A que de tirer une boule portant la lettre B ?
Exercice 2
4 points
Pour construire un mur vertical, il faut parfois utiliser un coffrage et un étayage qui maintiendra la structure verticale le
temps que le béton sèche. Cet étayage peut se représenter par le schéma suivant. Les poutres de fer sont coupées et fixées de
façon que :
B
•
•
•
•
Les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires ;
C est situé sur la barre [AB] ;
D est situé sur la barre [BE] ;
AB = 3,5 m ; AE = 2,625 m et CD = 1,5 m.
D
E
C
A
1. Calculer BE.
2. Les barres [CD] et [AE] doivent être parallèles.
À quelle distance de B faut-il placer le point C ?
Exercice 3
6 points
La copie d’écran ci-dessous montre le travail effectué par Léa pour étudier trois fonctions f , g et h telles que :
• f (x) = x2 + 3x − 7
• g(x) = 4x + 5
• h est une fonction affine dont Léa a oublié d’écrire l’expression dans la cellule A4.
28
Σ=
A
x
f (x) = x2 + 3x − 7
g(x) = 4x + 5
h(x)
1
2
3
4
=B1*B1+3*B1-7
B
−2
−9
−3
9
C
0
−7
5
5
D
2
3
13
1
E
4
21
21
−3
F
6
47
29
−7
1. Donner un nombre qui a pour image −7 par la fonction f .
2. Vérifier à l’aide d’un calcul détaillé que f (6) = 47.
3. Expliquer pourquoi le tableau permet de donner une solution de l’équation : x2 + 3x − 7 = 4x + 5.
Quelle est cette solution ?
4. À l’aide du tableau, retrouver l’expression algébrique h(x) de la fonction affine h.
Exercice 4
4 points
Deux affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle
que toutes les réponses doivent être justifiées.
Affirmation 1 : Les diviseurs communs à 12 et 18 sont les mêmes que les diviseurs de 6.
√ 50 √ 100
et
sont des nombres entiers.
Affirmation 2 :
2
2
Exercice 5
4 points
Les appareils de la maison consomment de l’énergie même quand ils sont en veille.
La feuille de calcul ci-dessous donne la consommation en kilowattheures (kwh) des appareils en veille d’une famille pour
une année et les dépenses correspondantes en euros :
A
B
C
D
E
1
Appareil
Nombre d’appareils
Consommation en veille
par an pour un appareil
(en kWh)
Prix du kilowattheure
(en e)
Dépenses (en e)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Téléviseur
Ordinateur
Parabole
Four
Démodulateur satellite
Lecteur DVD
Machine à laver
Console de jeu
Four à micro-ondes
Téléphone sans fil
Lave-vaisselle
Chargeur batterie
3
1
2
1
3
2
1
1
1
1
1
4
77
209
131
86
59
58
51
42
25
25
17
13
0,13
30,03
0,13
27,17
0,13
34,06
0,13
11,18
0,13
23,01
0,13
15,08
0,13
6,63
0,13
5,46
0,13
3,25
0,13
3,25
0,13
2,21
0,13
6,76
Dépense Totale
168,09
Données extraites du site de l’ADEME
1. (a) Quel calcul permet de vérifier le résultat 34, 06 affiché dans la cellule E4 ?
(b) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule E2 avant de la recopier vers le bas ?
(c) Une des quatre formules ci-dessous a été saisie dans la cellule E14 pour obtenir le montant total des dépenses
dues aux veilles. Recopier sur la copie cette formule.
= SOMME(E2 : E13)
= E2 : E13
= E2 + E13
= SOMME(E2 : E14)
2. Dans une pièce de cette maison, les appareils qui sont en veille sont :
• un téléviseur
• un ordinateur
• une console de jeu
• un lecteur DVD
La consommation de l’ordinateur représente-t-elle plus de la moitié de la consommation totale des appareils de cette
pièce ?
29
Exercice 6
8 points
Une famille de quatre personnes hésite entre deux modèles de piscine. Elle regroupe des informations afin de prendre sa
décision.
Information 1 :
La piscine « ronde »
les deux modèles de piscine :
La piscine « octogonale »
Hauteur intérieure : 1,20 m
Vue du dessus : un cercle de rayon 1,70 m
Hauteur intérieure : 1,20 m
Vue du dessus : un octogone régulier de diamètre extérieur
4,40 m
1,70 m
4,40 m
Information 2 :
La construction d’une piscine de surface au sol de moins de 10m2 ne nécessite aucune démarche administrative.
Information 3 :
Surface minimale conseillée par baigneur : 3,40 m2
Information 4 :
√
Aire d’un octogone régulier : Aoctogone = 2 2 × R2 .
où R est le rayon du disque extérieur à l’octogone.
Information 5 :
Débit du robinet de remplissage : 12 litres d’eau par minute.
1. Chacun des modèles proposés impose-t-il des démarches administratives ?
2. Les quatre membres de la famille veulent se baigner en même temps. Expliquer pourquoi la famille doit dans ce cas
choisir la piscine octogonale.
3. On commence le remplissage de cette piscine octogonale le vendredi à 14 h 00 et on laisse couler l’eau pendant la
nuit, jusqu’au samedi matin à 10 h 00. La piscine va-t-elle déborder ?
30
Exercice 7
6 points
[
Dans tout cet exercice, on travaille avec des triangles ABC isocèles en A tels que : BC = 5 cm. La mesure de l’angle ABC
peut varier.
On va alors s’intéresser aux angles extérieurs de ces triangles, c’est-à-dire, comme l’indique la figure ci-après, aux angles
qui sont supplémentaires et adjacents avec les angles de ce triangle.
x
Angle extérieur
A
Angle extérieur
y
B
C
Angle extérieur
z
[ = 40 ˚.
1. Dans cette question uniquement, on suppose que ABC
(a) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. Aucune justification n’est attendue pour cette construction.
(b) Calculer la mesure de chacun de ses 3 angles extérieurs.
(c) Vérifier que la somme des mesures de ces 3 angles extérieurs est égale à 360 ˚.
2. Est-il possible de construire un triangle ABC isocèle en A tel que la somme des mesures de ses trois angles extérieurs
soit différente de 360 ˚ ?
31
Correction
P OLYNÉSIE - Juin 2014
Exercice 1
1. 3 + 5 + 2 + 2 + 2 + 6 = 20
Il y a 20 boules dans le sac.
2.a Il y a 2 boules bleues portant la lettre A.
La probabilité d’obtenir une boule bleue portant la lettre A est donc
2
1
=
20 10
2.b Il y a 3 + 2 = 5 boules rouges.
La probabilité d’obtenir une boule rouge est donc
5
1
=
20 4
2.c Il y a 5 + 3 + 2 = 10 boules portant la lettre A et 2 + 2 + 6 = 10 boules portant la lettre B.
Ces deux probabilités sont donc égales.
Exercice 2
1. Dans le triangle ABE rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore on a :
AE 2 + AB2 = EB2
2, 6252 + 3, 52 = EB2
EB2 = 19, 140 625
EB =
p
19, 140 625
EB = 4, 375
La longueur EB = 4, 375 m
2. Supposons que les droites (CD) et (AE) sont parallèles
Dans le triangle ABE comme C ∈ [BE] et D ∈ [BD]
D’après le théorème de Thalès on a :
BC BD CD
=
=
BA BE
BE
BD
1, 5
BC
=
=
3, 5 4, 375 2, 625
Ainsi BC =
3, 5 × 1, 5
=2
2, 625
Le point C est placé à 2 m du point B
32
Exercice 3
1. On lit la colonne C
Le nombre 0 a pour image −7 par la fonction f
2. f (6) = 62 + 3 × 6 − 7 = 36 + 18 − 7 = 54 − 7 = 47
Donc f (6) = 47
3. On lit la colonne E et on constate que f (4) = g(4)
4 est une solution de l’équation x2 + 3x − 7 = 4x + 5
4. h est une fonction affine, elle est donc de la forme h(x) = ax + b où a et b sont les deux nombres que nous cherchons.
En lisant la ligne 4 on constate que h(0) = 5 donc l’ordonnée à l’origine b = 5.
De plus h(2) = 1 ce qui signifie que 2 × a + 5 = 1
2a + 5 = 1
2a = 1 − 5
2a = −4
a = −2
La fonction affine cherchée est h(x) = −2x + 5
Exercice 4
Affirmation 1 Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18
Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6
Or les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6
L’affirmation 1 est vraie
√
Affirmation
sait que ( 2)2 = 2
√ 50
√2 On
( 2) = ((√ 2)2 )25 = √
225
100
De même ( 2) = (( 2)2 )50 = 250
225 et 250 sont deux nombres entiers.
L’affirmation 2 est vraie
Exercice 5
1.a Il faut effectuer 2 × 131 × 0, 13 = 34, 06
1.b Il faut saisir = B2 ∗C2 ∗ D2
1.c = SOMME(E2 : E13)
2. Un téléviseur en veille consomme 77 kW h, un ordinateur 209 kW h, une console de jeu 42 kW h et un lecteur DVD 58 kW h.
77 kW h + 209 kW h + 42 kW h + 58 kW h = 386 kW h
209 193 1
>
=
386 386 2
33
La consomation en veille de l’ordinateur représente plus de la moitié de la consomation totale de la pièce.
Exercice 6
1. Il faut calculer la mesure de la surface au sol des deux piscines.
Piscine cylindrique : π × (1, √
70 m)2 ≈ 9, 07 m2
Piscine prisme octogonal : 2 2 × (2, 20 m)2 ≈ 13, 69 m2
La piscine en forme de prisme octogonal demande une autorisation administrative.
2. Il faut 3, 40 m2 par baigneur.
9, 07 m2 ÷ 4 ≈ 2, 27 m2
13, 69 m2 ÷ 4 ≈ 3, 42 m2
La piscine en forme de prisme octogonal permet à 4 personnes de se baigner.
3. Calculons le volume de cette piscine.
Volume ≈ 13, 69 m2 × 1, 20 m ≈ 16, 43 m3
Or on sait que 1 m3 = 1 000 L
La piscine contient donc 16 430 L
16 430 L ÷ 12 ≈ 1 369 min
1 369 = 22 × 60 + 49 donc 1 369 min = 22 h 49 min
Du vendredi 12h00 au samedi 12h00, il y a 24h donc il y a 22h jusque samedi 10h00.
La piscine ne va pas déborder car il reste encore 49 min de remplissage.
Exercice 7
1.a
A
+
+
+
B
C
1.b On sait que dans un triangle la somme des angles vaut 180o .
Comme les deux angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, ils mesurent chacun 40o , il reste donc 100o pour l’angle
au sommet A.
Les angles extérieurs sont supplémentaires à chacun des angles intérieurs, leur somme avec les angles intérieurs vaut 180o
Ils mesurent respectivement 140o , 140o et 80o
1.c 140o + 140o + 80o = 360o
2. Remplaçons la valeur 40o de la question précédente par x.
Les trois angles du triangles mesurent donc x, x et 180o − 2x
Comme les angles extérieurs sont supplémentaires des angles du triangle, ils mesurent 180o − x, 180o − x et 180o − (180o −
2x) = 2x
Au final (180o − x) + (180o − x) + 2x = 360o − 2x + 2x = 360o
La somme des angles extérieurs vaut donc toujours 360o , on ne peut pas construire le triangle demandé !
34
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
M ÉTROPOLE - A NTILLES - G UYANE
Juin 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Indication portant sur l’ensemble du sujet
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace
de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
E XERCICE 1
5 points
B
Voici un octogone régulier ABCDEFGH.
C
2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle.
d
3. Calculer la mesure de l’angle BEH.
D
H
+
1. Représenter un agrandissement de cet octogone en l’inscrivant dans un
cercle de rayon 3 cm. Aucune justification n’est attendue pour cette
construction.
A
O
G
E
E XERCICE 2
F
6 points
Léa a besoin de nouveaux cahiers. Pour les acheter au meilleur prix, elle étudie les offres promotionnelles de trois magasins.
Dans ces trois magasins, le modèle de cahier dont elle a besoin a le même prix avant promotion.
Magasin A
Cahier à l’unité ou lot de 3 cahiers
pour le prix de 2.
Magasin B
Pour un cahier acheté, le deuxième
à moitié prix.
Magasin C
30 % de réduction sur chaque
cahier acheté.
1. Expliquer pourquoi le magasin C est plus intéressant si elle n’achète qu’un cahier.
2. Quel magasin doit-elle choisir si elle veut acheter :
(a) deux cahiers ?
(b) trois cahiers ?
3. La carte de fidélité du magasin C permet d’obtenir 10 % de réduction sur le ticket de caisse, y compris sur les articles
ayant déjà bénéficié d’une première réduction.
Léa possède cette carte de fidélité, elle l’utilise pour acheter un cahier. Quel pourcentage de réduction totale va-t-elle
obtenir ?
35
E XERCICE 3
5 points
Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre
Soustraire 6
Soustraire 2
Multiplier les deux
nombres obtenus
Résultat
1. Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme résultat.
2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent
être justifiées.
Proposition 1 : Le programme peut donner un résultat négatif.
33
1
comme résultat.
Proposition 2 : Si on choisit comme nombre de départ, le programme donne
2
4
Proposition 3 : Le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres.
Proposition 4 : La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme est une fonction
linéaire.
E XERCICE 4
3 points
Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l’expérience suivante : tirer au
hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.
1. Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l’expérience avec un tableur. Il a
représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs après 1 000 tirages.
(a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac ? Aucune justification n’est attendue.
(b) Le professeur a construit la feuille de calcul suivante :
36
1
A
Nombre de tirages
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
Nombre de fois où un jeton
rouge est apparu
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
C
Fréquence d’apparition de la
couleur rouge
0
0
0
0
0
0,166 666 667
0,142 857 143
0,125
0,111 111 111
0,1
Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas ?
1
2. On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de .
5
Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
E XERCICE 5
4 points
Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour
chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse. Aucune justification n’est attendue.
Questions
Question 1
Quand on double le rayon d’une boule, son volume est par :
multiplié
Question 2
Une vitesse égale à 36 km.h−1 correspond à :
Question 3
√
Quand on divise 525 par 5, on obtient :
Question 4
On donne : 1To (téraoctet) = 1 012 octets et 1 Go (gigaoctet) = 109
octets.
On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun.
Le nombre de dossiers obtenus est égal à :
Propositions
a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
a. 10 m.s−1
b. 60 m.s−1
c. 100 m.s−1
−1
d. 360
√m.s
a. 21√ 5
b. √
5 21
c. √21
d.
105
a. 25
b. 1 000
c. 4 × 1022
d. 2, 5 × 1019
E XERCICE 6
6 points
Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l’illustre
le dessin suivant :
Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) et relève les mesures suivantes :
PA = 0,65 m, AC = QP = 5 m et CK = 0,58 m.
P désigne le phare, assimilé à un point.
37
P
Q
K
A
BC
S
Pour que l’éclairage d’une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l’inclinaison du faisceau. Cette inclinaison
QK
correspond au rapport
. Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015.
QP
1. Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0, 014.
d correspondant à l’inclinaison. On arrondira au dixième de degré.
2. Donner une mesure de l’angle QPK
3. Quelle est la distance AS d’éclairage de ses feux ? Arrondir le résultat au mètre près.
E XERCICE 7
7 points
Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques.
Information 1 : Dimensions des bottes de paille : 90 cm × 45 cm × 35 cm.
Information 2 : Le prix de la paille est de 40 e par tonne.
Information 3 : 1 m3 de paille a une masse de 90 kg.
1. Justifier que le prix d’une botte de paille est 0,51 e (arrondi au centime).
2. Marc veut refaire l’isolation de la toiture d’un bâtiment avec des bottes de paille parallélépipédiques.
Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.
K
7,7 m
J
G
I
F
5m
C
15,3 m
A
3,6 m
B
Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm
d’épaisseur.
Pour calculer le nombre de bottes de paille qu’il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes
contre les autres. Il ne tient pas compte de l’épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes.
(a) Combien de bottes devra-t-il commander ?
(b) Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit ?
38
Correction
M ÉTROPOLE - A NTILLES - G UYANE
- Juin 2014
Exercice 1
1.
G
F
H
O
E
A
B
D
C
d dans l’octogone régulier ABCDEFGH.
2. Calculons l’angle au centre AOB
◦
d = 360 = 45◦
AOB
8
d + BOA
d + AOH
[ = DOC
[ + COB
[
Ainsi DOH
◦
◦
◦
◦
◦
[
DOH = 45 + 45 + 45 + 45 = 180
Ainsi les points D, O et H sont alignés et [DH] est donc un diamètre du cercle.
Si le cercle circonscrit à un triangle admet pour diamètre l’un des côtés de ce triangle alors ce triangle est rectangle.
Le triangle DAH est inscrit dans le cercle de diamètre [DH] donc DAH est rectangle en A
[
[
3. L’angle B
EH est un angle inscrit dans le cercle qui intercepte le même arc que l’angle au centre BOH.
◦
◦
◦
[
Or pour les raisons évoqués dans la question 2. BOH = 45 + 45 = 90
Si dans un cercle un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre alors cet angle inscrit vaut la moitié
de cet angle au centre.
[
Donc B
EH = 45◦
Exercice 2
1. Si on achète un seul cahier alors dans les magasins A et B on paye le prix normal. Dans le magasin C on paye 30% de
moins.
Le magasin C est donc le plus intéressant pour l’achat d’un seul cahier.
2.a Si on achète deux cahiers dans le magasin A alors on paye le prix de deux cahiers même si on a le troisième pour ce prix.
Si on achète deux achète deux cahiers dans le magasin B alors on paye une fois et demi le prix. Si le prix est x alors on paye
1, 5x
Dans le magasin C on paye x − 0, 30x = 0, 70x par cahier soit 2 × 0, 70x = 1, 40x
Comme 1, 40x < 1, 5x le magasin C est le plus intéressant pour l’achat de deux cahiers.
2.b Pour trois cahiers on paye 2x dans le magasin A.
39
On paye 1, 5x + x = 2, 5x dans le magasin B c’est à dire un cahier et demi plus un cahier.
On paye 3 × 0, 70x = 2, 1x
Pour l’achat de 3 cahiers le magasin A est le moins cher.
3. Il faut calculer 10% des 30% de x.
Soit (1 − 0, 10)(1 − 0, 30)x = 0, 90 × 0, 70x = 0, 63x
Or 0, 63 = 1 − 0, 37
Le pourcentage de réduction est 37%
Exercice 3
1. Avec 8 comme nombre de départ, on a : 8 − 6 = 2 et 8 − 2 = 6 puis 2 × 6 = 12
Le résultat avec 8 est 12
2.
Proposition 1 : Oui le programme peut donner un nombre négatif, il suffit de multiplier un négatif par un positif.
Par exemple pour 5 : 5 − 6 = −1 et 5 − 2 = 3 puis −1 × 3 = −3
Proposition 1 : Vraie
1 1
1 12
11
Proposition 2 : Avec : − 6 = −
=−
2 2
2
2
2
1
1 4
3
Et − 2 = − = −
2
2 2
2
11
3 33
Enfin − × − =
2
2
4
Proposition 2 : Vraie
Proposition 3 : Si on pose x le nombre de départ le programme revient à faire (x − 6)(x − 2)
Il faut résoudre (x − 6)(x − 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul
Donc il y a exactement deux solutions : x = 6 et x = 2
Proposition 3 ; Vraie
Proposition 4 : (x − 6)(x − 2) = x2 − 6x − 2x + 12 = x2 − 8x + 12
La fonction qui au nombre choisi au départ associe le résultat du programme n’est donc pas une fonction linéaire.
Proposition 4 : Fausse
Exercice 4
1.a Le jaune est la couleur la plus présente dans le sac
C’est la fréquence d’apparition la plus élevée avec environ 0, 5.
1.b Cette feuille permet de calculer la fréquence d’apparition d’un jeton.
La cellule C2 contient la formule =B2/A2
1
5
x
Si on note x le nombre de jetons rouges dans le sac cette probabilité vaut aussi
20
x
1
Il faut donc que
= c’est à dire x = 4.
20 5
2. La probabilité de tirer un jeton rouge est
40
Il y a 4 jetons rouges dans ce sac.
Exercice 5
Question 1 : On sait que Si les longueurs d’une figure sont multipliées par k alors son volume est multiplié par k3
Comme 23 = 8
Question 1 : 8 réponse d
Question 2 : 36 kmh−1 = 36 000mh−1 soit 36 000 m en 1 h = 60 min = 3 600 s
36 000
Or
= 10
3 600
Question 2 : 10 ms−1 réponse a
Question 3 :
Question 3 :
√
525
=
5
√
√
√
25 × 21 5 21 √
=
= 21
5
5
21 réponse c
Question 4 : 1, 5 To = 1, 5 × 1012 o = 1 500 × 109 o = 1 1500 Go
1 500
= 25
60
Question 4 : 25 dossiers réponse a
Exercice 6
1. D’après le schéma, PQCA est un quadrilatère ayant trois angles droits donc c’est un rectangle.
QK = 0, 65 m − 0, 58 m = 0, 07 m
QK 0, 07 m
=
= 0, 014
Ainsi
QP
5m
L’inclinaison des feux de croisement de Pauline est égale à 0,014
2. Le triangle QPK est rectangle en Q
[ = QK = 0, 014
Ainsi tan(QPK)
QP
[ ≈ 0, 8◦ à 0, 1◦ près
À la calculatrice on obtient QPK
3. Les droites (PQ) et (AS) sont parallèles car PQCA est un rectangle.
On sait que Si deux droites sont parallèles alors les angles alterne-interne sont égaux.
d sont alterne-interne et égaux.
[ et PSA
Les angles QPK
Dans le triangle PAS rectangle en A on a :
d = tan(QPK)
d = PA et tan(PSA)
[ = 0, 014
tan(PSA
AS
Ainsi
PA
0, 65 m
PA
= 0, 014 d’où AS =
=
≈ 46 m à 1 m près.
AS
0, 014
0, 014
Exercice 7
1. Le volume d’une botte de paille est 90 cm × 45 cm × 35 cm = 141 750 cm3 = 0, 141 75 m3
Comme 1 m3 de paille a une masse de 90 kg, une botte de paille a une masse de 0, 141 75 × 90 kg = 12, 757 7 kg
40
× 12, 757 7 kg ≈ 0, 51e
Or 1 t = 1 000 kg de paille coûte 40e, donc une botte de paille coûte
1000
41
2.a Il faut d’abord calculer les dimensions du rectangle qui correspond au toit.
Dans le triangle JIF rectangle en F, d’après le théorème de Pythagore on a :
IJ 2 + IF 2 = JF 2
2, 72 + 3, 62 = JF 2
7, 29 + 12, 96 = JF 2
JF 2 = 20, 25
JF = 4, 5
Il faut donc couvrir un rectangle de 4, 5 m = 450 cm sur 15, 3 m = 1 530 cm par des bottes de pailles de 90 cm sur 45 cm
posé dans le sens de la hauteur 35 cm.
450 cm
1 530 cm
= 10 et
= 17
45 cm
90 cm
Il faudra donc 10 × 17 = 170 bottes de pailles.
2.b 170 × 0, 51e= 86, 70e
L’isolation du toit va coûter 86, 70e
42
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
A SIE
Juin 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Exercice 1
3 points
On laisse tomber une balle d’une hauteur de 1 mètre.
A chaque rebond elle rebondit des
3
de la hauteur d’où elle est tombée.
4
Quelle hauteur atteint la balle au cinquième rebond ? Arrondir au cm près.
Exercice 2
5 points
Une corde de guitare est soumise à une tension T , exprimée en Newton (N), qui permet d’obtenir un son quand la corde est
pincée.
Ce son plus ou moins aigu est caractérisé par une fréquence f exprimée en Hertz (Hz).
La fonction qui à une tension T associe
sa fréquence
√ est définie par la relation :
f (T ) = 20 T .
On donne ci-contre la représentation graphique de cette fonction.
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
Fréquence f en Hz
Tension T en N
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000110012001300140015001600
Tableau des fréquences (en Hertz) de différentes notes de musique
Notes
Fréquences
(en Hz)
Do2
Ré2
Mi2
Fa2
Sol2
La2
Si2
Do3
Ré3
Mi3
Fa3
Sol3
La3
Si3
132
148,5
165
176
198
220
247,5
264
297
330
352
396
440
495
Déterminer graphiquement une valeur approchée de la tension à appliquer sur la corde pour obtenir un « La3 ».
Déterminer par le calcul la note obtenue si on pince la corde avec une tension de 220 N environ.
La corde casse lorsque la tension est supérieure à 900 N.
Quelle fréquence maximale peut-elle émettre avant de casser ? Page 2 sur 6
Exercice 3
3 points
Les alvéoles des nids d’abeilles présentent une ouverture
ayant la forme d’un hexagone régulier de côté 3 mm environ. Construire un agrandissement de cet
hexagone de rapport 10. (aucune justification de la construction n’est attendue)
Exercice 4
6 points
Dans chaque cas, dire si l’affirmation est vraie ou fausse.
Justifier vos réponses.
Cas 1 : À l’entrée d’un cinéma, on peut lire les tarifs ci-dessous pour une place de cinéma.
43
Tarif d’une place de cinéma :
Plein tarif :
9,50 e
Enfants (−12 ans) : 5,20 e
Étudiants :
6,65 e
Séniors :
7,40 e
Affirmation 1 : Les étudiants bénéficient d’une réduction de 30 % sur le plein tarif.
Cas 2 : a et b désignent des entiers positifs avec a > b
Affirmation 2 : PGCD(a ; b) = a − b.
Cas 3 : A est égale au produit de la somme de x et de 5 par la différence entre 2x et 1. x désigne un nombre relatif.
Affirmation 3 : A = 2x2 + 9x − 5.
Exercice 5
6 points
En utilisant le codage et les données, dans chacune des figures, est-il vrai que les droites (AB) et (CD) sont parallèles ?
Justifier vos affirmations.
Figure 1
B
+
+
A
+
+
O
D
C
O, A, C sont alignés et O, B, D sont alignés
Figure 2
D
B
+
E
O
C
A
A, B, E appartiennent au cercle de centre O
B, E et C sont alignés ; A, O, E et D sont alignés
Exercice 6
6 points
Une association décide d’organiser une tombola pour financer entièrement une sortie pour ses adhérents d’un montant de
2 660 e.
Le 1er ticket tiré au sort fera remporter le gros lot d’une valeur de 300 e,
Les 10 tickets suivants tirés au sort feront remporter un lot d’une valeur de 25 echacun.
Les 20 tickets suivants tirés au sort feront remporter un lot d’une valeur de 5 echacun.
L’association finance entièrement les lots.
Chaque ticket de tombola est vendu 2 eet les tickets sont vendus durant 6 jours.
On a représenté ci-dessous le diagramme des ventes des tickets durant ces 6 jours.
44
Nombre de tickets vendus
500
475
450
425
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
Lundi Mardi Mercredi Jeudi VendrediSamedi
1. L’association pourra-t-elle financer entièrement cette sortie ?
2. Pour le même nombre de tickets vendus, proposer un prix de ticket de tombola permettant de financer un voyage
d’une valeur de 10 000 e ?
Quel serait le prix minimal ?
3. Le gros lot a été déjà tiré. Quelle est la probabilité de tirer un autre ticket gagnant ? (donner le résultat sous la forme
fractionnaire)
4.
Exercice 7
7 points
Dans cet exercice, toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans l’évaluation.
Les gérants d’un centre commercial ont construit un parking souterrain et souhaitent installer un trottoir roulant pour accéder
de ce parking au centre commercial.
Les personnes empruntant ce trottoir roulant ne doivent pas mettre plus de 1 minute pour accéder au centre commercial.
La situation est présentée par le schéma ci-dessous.
Trottoir roulant
C Sol du centre commercial
Sol du parkingP
25 m
Caractéristiques du trottoir roulant :
Modèle 1
• Angle d’inclinaison maximum avec l’horizontale :
12 ˚
• Vitesse : 0,5 m/s
4m
H
Caractéristiques du trottoir roulant :
Modèle 2
• Angle d’inclinaison maximum avec l’horizontale :
6 ˚.
• Vitesse : 0,75 m/s.
Est-ce que l’un de ces deux modèles peut convenir pour équiper ce centre commercial ?
Justifier.
45
Correction
A SIE - Juin 2014
Exercice 1
3
= 0, 75 m
4
3
Au second rebond elle monte de 0, 75 m × = 0, 5625 m
4
3 3
C’est à dire ×
4 4
Au premier rebond elle monte de 1 m ×
3 3 3 3 3
Donc au cinquième rebond la balle remontera × × × × =
4 4 4 4 4
La balle remontera d’environ 24 cm au cinquième rebond.
Exercice 2
D’après le tableau, le La3 correspond à une fréquence de 440 Hz.
On lit sur le graphique que la tension correspondante est 500 N
√
f (220) = 20 220 ≈ 296, 64 Hz
Cela correspond à la note Ré3
√
f (900)20 900 = 600 Hz
La corde va casser au dela de 600 Hz
46
5
243
3
35
≈ 0, 24 cm
= 5=
4
4
1 024
Exercice 3
Il faut construire un hexagone régulier de côté 3 mm × 10 = 3 cm
On sait qu’un hexagone régulier de côté 3 cm est inscrit dans un cercle de rayon 3 cm. Il suffit de tracer ce cercle de rayon
3 cm puis de reporter six fois le rayons sur le cercle.
Exercice 4
Affirmation 1. 9, 50 × 0, 70 = 6, 65
Le tarif étudiant correspond bien à 30% du tarif adulte.
Affirmation 2. Non c’est faux car par exemple pour a = 16 et b = 4, le PGCD(16; 4) = 4 car 4 divise 16 alors que 16−4 = 12
Affirmation 3. La somme de x et de 5 c’est x + 5. La différrence de 2x et 1 c’est 2x − 1
Le produit des 2 : (x + 5)(2x − 1)
On développe : (x + 5)(2x − 1) = 2x2 − x + 10x − 5 = 2x2 + 9x − 5
C’est donc la bonne expression !
47
Exercice 5
Figure 1. Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu 0 donc ABCD est un parallélogramme.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Figure 2. ABE est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [AE].
On sait que si un triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est l’un des côtés du triangle alors ce triangle est
rectangle.
Donc ABE est rectangle en B et du coup (AB) ⊥ (BE)
Or (DC) ⊥ (BE)
On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces droites sont parallèles.
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Exercice 6
1. D’après le graphique le nombre de tickets vendus est : 350 + 225 + 400 + 125 + 325 + 475 = 1 900
Chaque ticket est vendu 2 euros. 1 900 × 2 = 3 800
La vente des tickets va rapporter 3 800 euros
Il faut compter le coût des lots : 300 + 10 × 25 + 20 × 5 = 300 + 250 + 100 = 650
3 800 − 650 = 3 150 euros
La tombola va rapporter 3 150 euros, elle pourra donc financer la sortie à 2 660 euros.
2. Pour financer 10 000 euros, en ajoutant le prix des lots il faut que la vente des tickets rapportent 10 000 + 650 = 10 650
euros.
On considère que l’on vend à nouveau 1 900 tickets.
10 650 ÷ 1 900 ≈ 5, 60
Il faudra vendre les tickets au moins 5, 60 euros
3. Il y a 1 + 10 + 20 = 31 lots pour 1 900 tickets.
Il reste donc 30.
La probabilité de tirer un second lot est
30
3
=
1900 190
Exercice 7
Nous allons calculer l’angle d’inclinaison et la longueur du tapis roulant.
Dans le triangle CHP rectangle en P.
[ ≈ 9o
[ = 4 donc HPC
tanHPC
25
Seul le modèle 1 peut convenir, mais il faut vérifier le temps de montée.
Calculons PC
Dans le triangle CHP rectangle en P
D’après le théorème de Pythagore :
PC2 + PH 2 = CH 2
Donc CH =
√
42 + 252 = 16 + 625 = 641
641 ≈ 25, 32 m
Le modèle 1 parcoure 0, 5 m en 1 s donc comme 25, 32 ÷ 0, 5 ≈ 51
Le modèle 1 à la bonne inclinaison et permet de faire monter les clients en 51 s.
Il convient pour équiper le centre commercial.
48
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
P OLYNÉSIE
Septembre 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Indication portant sur l’ensemble du sujet.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte
dans la notation.
Exercice 1
3 points
Voici trois calculs effectués à la calculatrice. Détailler ces calculs afin de comprendre les résultats donnés par la calculatrice :
5 3
1
Calcul no 1 : − =
6 4 √
12
√
o
Calcul n 2 : 18 = 3 2
Calcul no 3 : 8 × 1015 + 2 × 1015 = 1 × 1016
Exercice 2
4 points
Pour choisir un écran de télévision, d’ordinateur ou une tablette tactile, on peut s’intéresser :
• à son format qui est le rapport longueur de l’écran largeur de l’écran
• à sa diagonale qui se mesure en pouces. Un pouce est égal à 2,54 cm.
1. Un écran de télévision a une longueur de 80 cm et une largeur de 45 cm.
4
16
S’agit-il d’un écran de format ou
?
3
9
2. Un écran est vendu avec la mention « 15 pouces ». On prend les mesures suivantes : la longueur est 30,5 cm et la
largeur est 22,9 cm.
La mention « 15 pouces » est-elle bien adaptée à cet écran ?
4
3. Une tablette tactile a un écran de diagonale 7 pouces et de format Sa longueur étant égale à 14,3 cm, calculer sa
3
largeur, arrondie au mm près.
Exercice 3
3 points
1. Une bouteille opaque contient 20 billes dont les couleurs peuvent être différentes. Chaque bille a une seule couleur.
En retournant la bouteille, on fait apparaître au goulot une seule bille à la fois. La bille ne peut pas sortir de la
bouteille.
Des élèves de troisième cherchent à déterminer les couleurs des billes contenues dans la bouteille et leur effectif. Ils
retournent la bouteille 40 fois et obtiennent le tableau suivant :
Couleur apparue
Nombre d’apparitions de la couleur
rouge
bleue
verte
18
8
14
Ces résultats permettent-ils d’affirmer que la bouteille contient exactement 9 billes rouges, 4 billes bleues et 7 billes
vertes ?
2. Une seconde bouteille opaque contient 24 billes qui sont soit bleues, soit rouges, soit vertes.
3
On sait que la probabilité de faire apparaître une bille verte en retournant la bouteille est égale à et la probabilité
8
1
de faire apparaitre une bille bleue est égale à . Combien de billes rouges contient la bouteille ?
2
49
Exercice 4
4 points
+
La figure ci-dessous, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et plusieurs segments. On dispose
des informations suivantes :
• [AB] est un diamètre du cercle (C) de centre O et de
rayon 7,5 cm.
• K et F sont deux points extérieurs au cercle (C).
K
• Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T
A
situé sur le cercle (C).
(C)
• AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK = 3 cm.
T
1. Démontrer que le triangle ATB est rectangle.
F
O
d arrondie au degré
2. Calculer la mesure de l’angle BAT
près.
3. Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles ?
B
4. Calculer l’aire du triangle TKF.
Exercice 5
4 points
Pour son anniversaire, Julien a reçu un coffret de tir à l’arc.
Il tire une flèche. La trajectoire de la pointe de cette flèche est représentée ci-dessous.
La courbe donne la hauteur en mètres (m) en fonction de la distance horizontale en mètres (m) parcourue par la flèche.
y Hauteur (m)
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
x
7
8
9
10
Distance horizontale (m)
1. Dans cette partie, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n’est attendue
sur la copie.
(a) De quelle hauteur la flèche est-elle tirée ?
(b) À quelle distance de Julien la flèche retombe-t-elle au sol ?
(c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la flèche ?
2. Dans cette partie, les réponses seront justifiées par des calculs :
La courbe ci-dessus représente la fonction f définie par
f (x) = −0, 1x2 + 0, 9x + 1.
(a) Calculer f (5).
(b) La flèche s’ élève-t-elle à plus de 3 m de hauteur ?
Exercice 6
6 points
ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, BC = 7,6 cm et AC = 9,2 cm.
1. Tracer ce triangle en vraie grandeur.
2. ABC est-il un triangle rectangle ?
50
3.
Avec un logiciel, on a construit ce triangle,
puis :
- on a placé un point P mobile sur le côté [AC] ;
- on a tracé les triangles ABP et BPC ;
- on a affiché le périmètre de ces deux triangles.
B
Périmètre de ABP = 13,29
Périmètre de BPC = 17,09
A
P
C
(a) On déplace le point P sur le segment [AC].
Où faut-il le placer pour que la distance BP soit la plus petite possible ?
(b) On place maintenant le point P à 5 cm de A.
Lequel des triangles ABP et BPC a le plus grand périmètre ?
(c) On déplace à nouveau le point P sur le segment [AC].
Où faut-il le placer pour que les deux triangles ABP et BPC aient le même périmètre ?
Exercice 7
5 points
On considère ces deux programmes de calcul :
Programme A :
Choisir un nombre
Soustraire 0,5
Multiplier le résultat par le
double
du nombre choisi au départ
Programme B :
Choisir un nombre
Calculer son carré
Multiplier le résultat par 2
Soustraire à ce nouveau résultat
le nombre choisi au départ
1. (a) Montrer que si on applique le programme A au nombre 10, le résultat est 190.
(b) Appliquer le programme B au nombre 10.
2. On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu’on a obtenu :
1
2
3
4
5
6
7
A
Nombre choisi
1
2
3
4
5
6
B
Programme A
1
6
15
28
45
66
C
Programme B
1
6
15
28
45
66
(a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas ?
(b) Quelle conjecture peut-on faire à la lecture de ce tableau ?
(c) Prouver cette conjecture.
3. Quels sont les deux nombres à choisir au départ pour obtenir 0 à l’issue de ces programmes ?
Exercice 8
6 points
Un couple a acheté une maison avec piscine en vue de la louer. Pour cet achat, le couple a effectué un prêt auprès de
sa banque. Ils louent la maison de juin à septembre et la maison reste inoccupée le reste de l’année.
Information 1 : Dépenses liées à cette maison pour l’année 2013
Le diagramme ci-dessous présente, pour chaque mois, le total des dépenses dues aux différentes taxes, aux abonnements (électricité, chauffage, eau, internet), au remplissage et au chauffage de la piscine.
51
Dépenses (en e)
600
500
400
300
200
0
ja
nv
ie
fé r
vr
ie
m r
ar
s
av
ril
m
ai
ju
in
ju
ill
et
ao
se ût
pt
em
oc bre
to
no bre
ve
m
dé br
ce e
m
br
e
100
Information 2 : Remboursement mensuel du prêt
Chaque mois, le couple doit verser 700 euros à sa banque pour rembourser le prêt.
Information 3 : Tarif de location de la maison
• Les locations se font du samedi au samedi.
• Le couple loue sa maison du samedi 7 juin au samedi 27 septembre 2014.
• Les tarifs pour la location de cette maison sont les suivants :
Début
Fin
07/06/2014
05/07/2014
23/08/2014
05/07/2014
23/08/2014
27/09/2014
Nombre de
semaines
4
7
5
Prix de la location
750 euros par semaine
. . . euros par semaine
750 euros par semaine
Pour l’année 2014, avec l’augmentation des différents tarifs et taxes, le couple prévoit que le montant des dépenses
liées à la maison sera 6 % plus élevé que celui pour 2013.
Expliquer pourquoi le total des dépenses liées à la maison s’élèvera à 4 505 e en 2014.
On suppose que le couple arrive à louer sa maison durant toutes les semaines de la période de location. À quel tarif
minimal (arrondi à la dizaine d’euros) doit-il louer sa maison entre le 5/07 et 23/08 pour couvrir les frais engendrés
par la maison sur toute l’année 2014 ?
Maîtrise de la langue
4 points
52
Correction
P OLYNÉSIE - Septembre 2014
Exercice 1
Calcul 1.
5 3 10
9
1
− =
−
=
6 4 12 12
12
Calcul 2.
√
18 =
√
√
9×2 = 3 2
Calcul 3. 8 × 1015 + 2 × 1015 = 10 × 1015 = 1 × 1016
Exercice 2
1.
80 cm 80
16
=
=
45 cm 45
9
2. Il faut calculer la longueur de la diagonale d’un rectangle qui a une longueur de 30, 5 cm et une largeur de 22, 9 cm
D’après le théorème de Pythagore
30, 52 + 22, 92 = 930, 25 + 524, 41 = 1 454, 66
√
La diagonale mesure donc 1 454, 66 ≈ 38, 14 cm
Comme 1 pouce mesure 2, 54 cm, 38, 14 cm ÷ 2, 54 cm ≈ 15, 02
La mention 15 pouces est donc bien adaptée à cet écran.
14, 3 cm 4
=
3. Si on note l sa largeur on a
l
3
On utilise l’égalité des produits en croix : 14, 3 cm × 3 = 4l
Donc l =
42, 9 cm
≈ 10, 7 cm
4
Exercice 3
1. Non car ce sont des statistiques observées sur 40 tirages. Même si on sait qu’en répétant l’expérience un très grand nombre
de fois on approche de la véritable répartition, ces 40 tirages ne suffisent pas à déterminer de manière sûre la répartition des
billes dans la bouteille.
3 1 3 4 7
+ = + =
8 2 8 8 8
1
La probabilité de faire apparaître une bille rouge est de
8
3
1
Comme il y a 24 billes en tout dans la bouteille : =
8 24
2.
Il y a 3 billes rouges dans la bouteille.
Exercice 4
1. On sait que si le triangle circonscrit à un triangle a pour diamètre un des côtés du triangle alors ce triangle est
rectangle.
Le triangle AT B est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc le triangle AT B est rectangle en B.
2. Dans le triangle AT B rectangle en T .
d = AT = 12 = 0, 6
cosBAT
AB 15
53
d ≈ 53o
À la calculatrice on trouve BAT
TB
TA
et
3. Comparons
TF
TK
TA
12
TB 9
=
= 3 et
= =3
TF
4
TK 3
TA
TB
Comme
=
et que les points T , A et F sont alignés et dans le même ordre que les points alignés T , B et K, d’après
TF
TK
la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (FK) sont parallèles.
dB et FT
[
4. Comme ABT est rectangle en T , les angles AT
K étant opposé par le sommet, il sont égaux.
FT K est donc rectangle en T
4 cm × 3 cm
FT × KT
=
= 6 cm2
L’aire de FT K est donc
2
2
Exercice 5
1.a La flèche est tirée d’une hauteur de 1 m
1.b La flèche retombe à 10 m de Julien
1.c La flèche atteint une hauteur maximale de 3 m
2.a f (5) = −0, 1 × 52 + 0, 9 × 5 + 1 = −2, 5 + 4, 5 + 1 = 3
2.b f (4, 5) = −0, 1 × 4, 52 + 0, 9 × 4, 5 + 1 = 3, 025
Oui la flèche dépasse les 3 m de hauteur quand elle est située à 4, 5 m de Julien
Exercice 6
1.
2. Comparons BA2 + BC2 et AC2
BA2 + BC2 = 52 + 7, 62 = 82, 76 et AC2 = 9, 22 = 84, 64
Comme BA2 + BC2 6= AC2 d’après la contraposée du théorème de Pythagore le triangle ABC n’est pas rectangle.
3.a Il faut placer P de telle manière que (BP) soit perpendiculaire à (AC), c’est à dire que (BP) doit être une hauteur du
triangle.
3.b On ne connaît pas la mesure BP mais comme cette mesure est partagée entre les deux triangles, il n’est pas utile de la
calculer.
BA + AP = 5 cm + 5 cm = 10 cm et BC +CP = 7, 6 cm + 4, 2 cm = 11, 8 cm
Le triangle BPC a un périmètre supérieur à celui de ABP dans ce cas.
3.c Notons x la mesure de AP telle que les deux périmètres soient égaux.
BA + AP = 5 + x et BC +CP = 7, 6 + (9, 2 − x) = 16, 8 − x
Résolvons 5 + x = 16, 8 − x
5 + x = 16, 8 − x
54
2x = 16, 8 − 5
2x = 11, 8
x = 5, 9
Vérifions si AP = 5, 9 cm alors CP = 3, 3 cm et BA+AP = 5 cm+5, 9 cm = 10, 9 cm et BC +CP = 7, 6 cm+3, 3 cm = 10, 9 cm
En plaçant P à 5, 9 cm de A les deux périmètres sont égaux.
Exercice 7
1.a 10 − 0, 5 = 9, 5 et 9, 5 × 2 × 10 = 190
1.b 102 = 100, 2 × 100 = 200 et 200 − 10 = 190
2.a On a tapé dans C2 = 2 ∗ A22 − A2
2.b On peut faire la conjecture que ces deux programmes donnent les mêmes résultats pour tous les nombres de départ choisi.
2.c Notons x le nombre de départ.
Pour le programme A on obtient : (x − 0, 5) × 2 × x = 2x(x − 0, 5) = 2x2 − x
Pour le programme B on obtient : 2x2 − x
La conjecture précédente est donc vraie pour tous les nombres de départ.
3. Il faut résoudre 2x2 − x = 0 ou encore 2x(x − 0, 5) = 0
La forme factorisée est la plus adaptée à ce probléme.
En effet on sait que un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul
Il y a donc deux possibilités : 2x = 0 c’est à dire x = 0 ou x − 0, 5 = 0 c’est à dire x = 0, 5.
Pour 0 et 0, 5 ces deux programmes donnent 0
Exercice 8
Calculons le total des charges pour 2013
4 × 250 + 450 + 4 × 550 + 300 + 2 × 150 = 4 250
Si on tient compte de l’augmentation de 6% on obtient :
4 250 × 1, 06 = 4 505
Les charges pour 2014 sont bien de 4 505 euros.
Il y a 7 semaines de location.
4 505 ÷ 7 ≈ 643, 57
Il faudra louer au minimum 643, 57 euros par semaine.
55
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
M ÉTROPOLE - A NTILLES - G UYANE
Septembre 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Exercice 1
4 points
Cédric s’entraîne pour l’épreuve de vélo d’un triathlon.
La courbe ci-dessous représente la distance en kilomètres en fonction du temps écoulé en minutes.
Distance (km)
40
30
20
10
Durée (min)
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Pour les trois premières questions, les réponses seront données grâce à des lectures graphiques. Aucune justification n’est
attendue sur la copie.
1. Quelle distance Cédric a-t-il parcourue au bout de 20 minutes ?
2. Combien de temps a mis Cédric pour faire les 30 premiers kilomètres ?
3. Le circuit de Cédric comprend une montée, une descente et deux portions plates. Reconstituer dans l’ordre le trajet
parcouru par Cédric.
4. Calculer la vitesse moyenne de Cédric (exprimée en km/h) sur la première des quatre parties du trajet.
Exercice 2
5 points
Dans cet exercice, les figures codées ne sont pas en vraie grandeur.
Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
56
Affirmation 1 :
Le volume de ce solide est 56 cm3 .
2 cm
m
7c
4 cm
O
Dans ce dessin, les points sont placés sur les
sommets d’un quadrillage à maille carrée.
Affirmation 2 : Les droites (ML) et (NO) sont
parallèles.
M
N
L
K
√
Affirmation 3 : La diagonale d’un carré d’aire 36 cm2 a pour longueur 6 2 cm.
Affirmation 4 : 0 a un seul antécédent par la fonction qui à tout nombre x associe 3x + 5.
Exercice 3
3 points
Dans une classe de collège, après la visite médicale, on a dressé le tableau suivant :
Porte des lunettes
3
7
Fille
Garçon
Ne porte pas de lunettes
15
5
Les fiches individuelles de renseignements tombent par terre et s’éparpillent.
1. Si l’infirmière en ramasse une au hasard, quelle est la probabilité que cette fiche soit :
(a) celle d’une fille qui porte des lunettes ?
(b) celle d’un garçon ?
2. Les élèves qui portent des lunettes dans cette classe représentent 12,5 % de ceux qui en portent dans tout le collège.
Combien y a-t-il d’élèves qui portent des lunettes dans le collège ?
Exercice 4
5 points
F
Immeuble
P
M
L
57
C
On s’intéresse à la zone au sol qui est éclairée la nuit par deux sources de lumière : le lampadaire de la rue et le spot fixé en
F sur la façade de l’immeuble.
F
H
On réalise le croquis ci-contre qui n’est pas à l’échelle, pour
modéliser la situation :
On dispose des données suivantes :
PC = 5,5 m ; CF = 5 m ; HP = 4 m ;
d = 40 ˚
[ = 33 ˚ ; PHL
MFC
P
M
L
C
1. Justifier que l’arrondi au décimètre de la longueur PL est égal à 3,4 m.
2. Calculer la longueur LM correspondant à la zone éclairée par les deux sources de lumière. On arrondira la réponse
au décimètre.
3. On effectue des réglages du spot situé en F afin que M et L soient confondus.
[ On arrondira la réponse au degré.
Déterminer la mesure de l’angle CFM.
Exercice 5
6 points
Léa pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu
est toujours un multiple de 4.
1. Étude d’un exemple :
5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
(a) Calculer 5 × 7 + 1.
(b) Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?
2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul.
A
B
Nombre impair
C
Nombre impair suivant
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2x + 1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
2x + 3
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
Produit de ces nombres
impairs consécutifs
(2x + 1)(2x + 3)
3
15
35
63
99
143
195
255
323
399
E
Résultat obtenu
(2x + 1)(2x + 3) + 1
4
16
36
64
100
144
196
256
324
400
(a) D’après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
(b) Montrer que cet entier est un multiple de 4.
(c) Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3.
Lesquelles ? Aucune justification n’est attendue.
Formule 1 : =(2*A3+1)*(2*A3+3)
Formule 2 : = (2*B3 + 1)*(2*C3 + 3)
Formule 3 : = B3*C3
58
Formule 4 : = (2*D3+1)*(2*D3+3)
3. Étude algébrique :
(a) Développer et réduire l’expression (2x + 1)(2x + 3) + 1.
(b) Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
Exercice 6
5 points
Julien veut mesurer un jeune chêne avec une croix de bûcheron comme le montre le schéma ci-dessous. croix du bûcheron
A
croix du bûcheron
D
œil de l’obervateur
O
F
E
C
B
Il place la croix de sorte que 0, D et A d’une part et 0, E et B d’autre part soient alignés.
Il sait que DE = 20 cm et OF = 35 cm. Il place [DE] verticalement et [OF] horizontalement.
Il mesure au sol BC = 7,7 m.
1. Le triangle ABO est un agrandissement du triangle ODE. Justifier que le coefficient d’agrandissement est 22.
2. Calculer la hauteur de l’arbre en mètres.
3. Certaines croix du bûcheron sont telles que DE = OF. Quel avantage apporte ce type de croix ?
4. Julien enroule une corde autour du tronc de l’arbre à 1,5 m du sol. Il mesure ainsi une circonférence de 138 cm.
Quel est le diamètre de cet arbre à cette hauteur ? Donner un arrondi au centimètre près.
59
Exercice 7
8 points
Pour préparer un séjour d’une semaine à Naples, un couple habitant Nantes a constaté que le tarif des billets d’avion allerretour Nantes-Naples était beaucoup plus élevé que celui des billets Paris-Naples. Il étudie donc quel serait le coût d’un
trajet aller-retour Nantes-Paris pour savoir s’il doit effectuer son voyage en avion à partir de Nantes ou à partir de Paris.
Voici les informations que ce couple a relevées :
Information 1 : Prix et horaires des billets d’avion.
Vol aller-retour au départ de Nantes
Départ de Nantes le 23/11/2014 : 06 h 35
Arrivée à Naples le 23/11/2014 :
09 h 50
Vol aller-retour au départ de Paris
Départ de Paris le 23/11/2014 :
11 h 55
Arrivée à Naples le 23/11/2014 : 14 h 10
Départ de Naples le 30/1112014 :
Arrivée à Nantes le 30/1112014 :
Départ de Naples le 30/11/2014 :
Arrivée à Paris le 30/11/2014 :
12 h 50
16 h 25
Prix par personne du vol aller-retour : 530 e
13 h 10
15 h 30
Prix par personne du vol aller-retour : 350 e
Les passagers doivent être présents 2 heures avant le décollage pour procéder à l’embarquement.
Information 2 : Prix et horaires des trains pour un passager
Trajet Nantes - Paris (Aéroport)
Départ
Prix
Durée
Voyagez avec
Trajet Paris (Aéroport) - Nantes
23 novembre
06 h22
51,00 e
03 h 16 direct
TGV
Départ
Prix
Durée
Voyagez avec
Information 3 : Trajet en voiture
Consommation moyenne : 6 litres aux 100 km
Péage Nantes-Paris : 35,90 e
Distance domicile-aéroport de Paris : 409 km
Carburant : 1,30 e par litre
Temps estimé : 4 h 24 min
30 novembre
18 h 20
42,00 e
03 h 19 direct
TGV
Information 4 : Parking de l’aéroport de Paris
Tarif : 58 e pour une semaine
1. Expliquer pourquoi la différence entre les prix des 2 billets d’avion s’élève à 360 e pour ce couple.
2. Si le couple prend la voiture pour aller à l’aéroport de Paris :
(a) Déterminer l’heure avant laquelle il doit partir de Nantes.
(b) Montrer que le coût du carburant pour cet aller est de 31,90 e.
3. Quelle est l’organisation de voyage la plus économique ?
60
Correction
M ÉTROPOLE - Septembre 2014
Exercice 1
1. Au bout de 20 minutes il a parcouru 10 km
2. Il met 50 min pour faire les 30 premiers kilomètres
3. Vu l’allure de la courbe, il commence par une portion plate, puis il y a une descente, à nouveau une portion plate et enfin
une montée.
4. Sur la première partie il parcoure 10 km en 20 min.
Comme 20 min × 3 = 60 min = 1 h.
Sa vitesse moyenne sur la première portion du trajet est 30 km h−1
Exercice 2
Affirmation 1. Ce solide est un prisme droit à base triangulaire, un triangle rectangle.
4 cm × 2 cm
L’aire de la base est donc :
= 4 cm2 .
2
La hauteur mesure 7 cm.
Le volume est donc 4 cm2 × 7 cm = 28 cm3
L’affirmation 1 est donc fausse.
KL
KM
et
Affirmation 2. Prenons comme unité le carreau. Comparons
KO
KN
KM 1
KL
2
= et
=
KO
4 KN
7
KM
KL
1 2
6=
Comme = on constate que
4 8
KO
KN
D’après la contraposée du théorème de Thalès
les droites (ML) et (NO) ne sont pas parallèles.
L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3. Un carré dont l’aire est de 36 cm2 a un côté de 6 cm
Il faut donc calculer la mesure de la diagonale d’un carré de 6 cm de côté.
D’après
théorème de √
Pythagore, le carré de la diagonale est 62 + 62 = 36 + 36 = 72
√ le √
Or 72 = 2 × 36 = 6 2
L’affirmation 3 est donc vraie.
Affirmation 4. Chercher l’antécédent de 0 par la fonction x :→ 3x + 5 revient à résoudre 3x + 5 = 0
5
Cette équation se résoud ainsi : 3X = −5 puis x = −
3
Il y a un seul antécédent, l’affirmation 4 est vraie.
Exercice 3
1.a 3 + 15 + 7 + 5 = 30. Il y a 30 fiches.
On considère que nous sommes dans une situation d’équiprobabilité.
1
3
=
= 0, 1
La probabilité que ce soit une fille à lunette est :
30 10
61
1.b La probabilité que ce soit un garçons est :
12 2
= = 0, 4
30 5
2. Il y a 10 élèves qui portent des lunettes dans cette classe ce qui représentent 12, 5% du collège.
Donc comme 100 × (10 ÷ 12, 5) = 80
Il y a 80 élèves dans ce collège.
Exercice 4
1. Dans le triangle PHL rectangle en P.
d = PL
On a tan PHL
PH
PL
o
Donc tan 40 =
d’où PL = 4 m × tan 40o ≈ 3, 4 m
4m
2. On recommence l’étape précédente dans MCF.
Dans le triangle MCF rectangle en C.
[ = CM
On a tan MFC
CF
CM
o
Donc tan 33 =
d’où CM = 5 m × tan 33o ≈ 3, 2 m
5m
PL ≈ 3, 4 m donc LC ≈ 5, 5 m − 3, 4 m ≈ 2, 1 m
Comme CM ≈ 3, 2 m on a LM ≈ 3, 2 m − 2, 1 m ≈ 1, 1 m
3. On se place dans le triangle FLC rectangle en C.
[ = CL = 2, 1 = 0, 42
tan CFM
CF
5
[
On obtient CFM ≈ 22
Exercice 5
1.a 5 × 7 + 1 = 35 + 1 = 36
1.b 36 = 9 × 4 donc 36 est un multiple de 4. Léa a raison !
2.a En prenant 17 comme nombre de départ on trouve 324
2.b 324 = 4 × 81 324 est donc un multiple de 4
2.c Il s’agit de la Formule 2 : = (2 ∗ A3 + 1) ∗ (2 ∗ A3 + 3)
3.a (2x + 1)(2x + 3) + 1 = 4x2 + 6x + 2x + 3 + 1 = 4x2 + 8x + 4
3.b Dans l’expression 4x2 + 8x + 4 on peut factoriser 4.
4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1)
On obtient donc toujours un multiple de 4
Exercice 6
1. Comme le triangle OAB est un agrandissement du triangle ODE
7, 7 m 770 m
BC
=
=
= 22
calculons
OF
35 cm 35 cm
Le coefficient d’agrandissement est bien 22
2. DE est une réduction de la hauteur de l’arbre.
Donc l’arbre mesure 22 × 20 cm = 440 cm = 4, 4 m
62
3. Dans le cas où DE = OF la distance horizontale correspond à la hauteur de l’arbre.
Il suffit de mesurer la distance horizontale pour trouver la hauteur de l’arbre.
4. Il faut faire l’hypothèse que la corde forme un cercle parfait à cette hauteur là.
138 cm
≈ 44 cm
On sait que πD = 138 cm donc D =
π
Exercice 7
1. Au départ de Nantes, deux billets reviennent 2 × 530e= 1 060e.
Au départ de Paris, deux billets reviennet à 2 × 350e= 700e.
1 060e−700e= 360e
Il y a bien une différence de 360eentre les deux possibilités.
2.a Il faut 4 h 24 min pour aller de Nantes à Paris.
L’avion décolle de Paris à 11 h 55 min et il faut être présent 2 h avant c’est à dire à 9 h 55 min
9 h 55 min − 4 h 24 min = 5 h 31 min
Il faut partir avant 5 h 31 min
2.b
La voiture consomme 6 L au 100 km et il y a 409 km à parcourir.
409 ÷ 100 = 4, 09 et 6 L × 4, 09 = 24, 54 L.
Il vont consommer 24, 54 L pour se trajet.
Un litre de carburant coûte 1, 30e. Comme 1, 30e×24, 54 ≈ 31, 90e.
Le coût du trajet est d’environ 31, 90e.
3. En voiture :
Il faut compter le coût du trajet aller-retour soit 31, 90e×2 = 63, 80e.
IL faut ajouter le péage aller-retour soit 35, 90e×2 = 71, 80e.
Et enfin le parking pour une semaine soit 58e.
L’usage de la voiture va donc coûter : 63, 80e+71, 80e+58e= 193, 60e.
En train :
Il faut compter 51e×2 = 102eà l’aller et 42e×2 = 84eau retour.
L’usage du train va donc coûter : 102e+84e= 186e.
Il y avait 360ed’écart entre les deux solutions d’avions.
La solution la plus économique est donc le train pour prendre l’avion à Paris.
63
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
A MÉRIQUE DU S UD
Novembre 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
E XERCICE 1
4 points
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte.
Aucune justification n’est attendue.
Une bonne réponse rapporte 1 ou 2 points. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point.
Reporter sur votre copie le numéro de la question et donner la bonne réponse.
1. Une école de musique organise un concert de fin d’année. Lors de cette manifestation la recette s’élève à 1 300 e.
Dans le public il y a 100 adultes et 50 enfants. Le tarif enfant coûte 4 e de moins que le tarif adulte.
Le tarif enfant est :
a. 10 e
b. 8 e
c. 6 e
2. On considère la figure ci-dessous où AEFD est un rectangle avec AB =
B
A
D
L’aire du rectangle AEFD est :
√
a. 2 15 − 2
C
b. 29
√
15 − 1 et BE = 2.
E
F
c. 14
3. Le 27 janvier 2012, peu avant 16 h, un séisme de magnitude 5,4 s’est produit dans la province de Parme dans le nord
de l’Italie. La secousse a été ressentie fortement à Gênes, Milan, Turin mais également dans une moindre mesure à
Cannes dans les Alpes Maritimes.
Les ondes sismiques ont mis 59 secondes pour parvenir à Cannes, située à 320 km de l’épicentre.
d
On rappelle que la relation qui relie le temps t, la distance d et la vitesse v est : v = .
t
La vitesse de propagation des ondes sismiques, exprimée en kilomètres par seconde, arrondie au dixième, est :
a. 5,4 km/s
b. 10,8 km/s
64
c. 59,3 km/s
E XERCICE 2
6 points
D
A
C
H
B
G
E
M
N
F
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
M est un point de [FG] et N un point de [EF].
On donne : FE = 15 cm ; FG = 10 cm ; FB = 5 cm ; FN = 4 cm ; FM = 3 cm.
1. Démontrer que l’aire du triangle FNM est égal à 6 cm2 .
2. Calculer le volume de la pyramide de sommet B et de base le triangle FNM.
(B × h)
On rappelle que le volume d’une pyramide : V =
où B est l’aire de la base et h la hauteur de la pyramide.
3
3. On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide précédente au parallélépipède rectangle.
(a) Calculer son volume.
(b) On appelle caractéristique d’Euler d’un solide le nombre x tel que :
x = nombre de faces − nombre d’arêtes + nombre de sommets
Recopier et compléter le tableau suivant :
Parallélépipède ABCDEFGH
Nombre de faces
Nombre d’arêtes
Nombre de sommets
Caractéristique x
65
Solide ABCDENMGH
E XERCICE 3
5 points
Le document ci-dessous indique les tarifs postaux pour un envoi depuis la France métropolitaine d’une lettre ou d’un paquet
en mode « lettre prioritaire ».
Ces tarifs sont fonction du poids de la lettre.
LETTRE PRIORITAIRE
service urgent d’envoi de courrier
• Pour les envois vers : La France, Monaco, Andorre et secteurs postaux (armée). Complément d’affranchissement
aérien vers l’Outre-mer pour les envois de plus de 20 g
• Service universel : Jusqu’à 2 kg
• Délai : J + 1, indicatif
• Dimensions : Minimales : 14 × 9 cm, maximales : L + l + H = 100 cm, avec L < 60 cm
• Complément aérien :
— Vers zone OM1 : Guyane, Guadeloupe, Martinique, La Réunion, St Pierre et Miquelon, St-Barthélémy, St-Martin
et Mayotte : 0,05 e par tranche de 10 g.
— Vers zone OM2 : Nouvelle-Calédonie, Polynésie française, Wallis-et Futuna, TAAF. : 0,11 e par tranche de 10 g
• Exemple de complément : Pour un envoi de 32 g vers la Guadeloupe : 1,10e + 4 × 0, 05e = 1,3e.
POIDS JUSQU’À
TARIFS NETS
0,66e
1,10e
1,65e
2,65e
3,55e
4,65e
6,00e
7,00Oe
20 g
50 g
100 g
250 g
500 g
1 kg
2 kg
3 kg
1. Expliquer pourquoi le coût d’un envoi vers la France Métropolitaine, en « lettre prioritaire », d’une lettre de 75 g est
de 1,65e.
2. Montrer que le coût d’un envoi à Mayotte, en « lettre prioritaire », d’une lettre de 109 g est de 3,20 e.
Dans cette question ci-dessous, il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l’évaluation.
3. Au moment de poster son courrier à destination de Wallis-et-Futuna, Loïc s’aperçoit qu’il a oublié sa carte de crédit
et qu’il ne lui reste que 6,76 e dans son porte-monnaie.
Il avait l’intention d’envoyer un paquet de 272 g, en « lettre prioritaire ».
Peut-il payer le montant correspondant ?
4. Le paquet a les dimensions suivantes : L = 55 cm l = 30 cm et h = 20 cm. Le guichetier de l’agence postale le refuse.
Pourquoi ?
66
E XERCICE 4
6 points
Le principe d’un vaccin est d’inoculer (introduire dans l’organisme) à une personne saine, en très faible quantité, une bactérie, ce qui permet à l’organisme de fabriquer des anticorps. Ces anticorps permettront de combattre la maladie par la suite si
la personne souffre de cette maladie.
Lors de la visite médicale de Pablo le jeudi 16 octobre, le médecin s’aperçoit qu’il n’est pas à jour de ses vaccinations contre
le tétanos. Il réalise alors une première injection d’anatoxine tétanique et lui indique qu’un rappel sera nécessaire.
On réalise des prises de sang quotidiennes pour suivre la réaction de l’organisme aux injections.
Évolution du taux d’anticorps en fonction du temps lors de deux injections anatoxine tétanique*
1000
900
800
taux d’anticorps (unité arbitraire)
700
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
temps (jours)
30
35
40
*anatoxine tétanique (AT) : substance inactivée provenant de la bactérie responsable du tétanos et servant à la fabrication du
vaccin.
1. Combien de jours faut-il attendre, après la première injection, pour constater une présence d’anticorps ?
2. Quelle est la valeur maximale du taux d’anticorps atteinte après la première injection ?
A quel jour de la semaine correspond cette valeur ?
3. Au bout de combien de jours approximativement, après la première injection, Pablo n’a t-il plus d’anticorps dans son
organisme ?
4. Durant combien de jours environ le taux d’anticorps est supérieur à 800 ?
67
E XERCICE 5
7 points
L’oncle de Pauline participe régulièrement à une régate* organisée tous les ans sur le même plan d’eau.
* régate : course de voiliers
En 2012, il a réalisé le parcours constitué de deux boucles courtes et de trois boucles longues en 8 heures et 40 minutes.
Lors de sa participation en 2013, il lui a fallu 8 heures et 25 minutes pour achever le parcours constitué, cette année-là, de
trois boucles courtes et de deux boucles longues.
Il se souvient qu’il n’a parcouru aucune boucle en moins de 75 minutes. Il sait aussi qu’il lui a fallu, pour parcourir la boucle
longue, 15 minutes de plus que pour la boucle courte.
Cependant il souhaite connaître la durée nécessaire pour parcourir sur son voilier la boucle courte et la boucle longue.
1. Convertir en minutes les temps réalisés pour ces parcours de 2012 et 2013.
2. Pauline a décidé, en utilisant un tableur, d’aider son oncle à déterminer les durées pour la boucle courte ainsi que
pour la boucle longue. Une copie de l’écran obtenu est donnée ci-dessous.
1
2
3
4
5
A
x
f (x)
f (x)
f (x)
B
75
C
80
D
85
E
90
F
95
G
100
Elle a noté x la durée en minutes pour la boucle courte.
(a) Quelle formule permettant d’obtenir la durée en minutes nécessaire au parcours de la boucle longue va-t-elle
saisir dans la cellule B2 ?
(b) Elle va saisir dans la cellule B3 la formule « =2*B1+3*B2 ». Que permet de calculer cette formule ?
(c) Quelle formule va-t-elle saisir dans la cellule B4 pour calculer le temps de parcours lors de sa participation en
2013 ? Elle a ensuite recopié vers la droite les formules saisies en B2, B3 et B4 et obtenu l’écran suivant :
1
2
3
4
5
A
x
f (x)
f (x)
f (x)
B
75
90
420
405
C
80
95
445
430
D
85
100
470
455
E
90
105
495
480
F
95
110
520
505
G
100
115
545
530
3. Si elle saisit le nombre 105 dans la cellule H1, quelles valeurs obtiendra-t-elle dans les cellules H2, H3 et H4 ?
4. À l’aide de la copie de l’écran obtenu avec le tableur préciser les durées nécessaires à son oncle pour parcourir la
boucle courte ainsi que pour parcourir la boucle longue.
E XERCICE 6
6 points
Lors d’une activité sportive, il est recommandé de surveiller son rythme cardiaque.
Les médecins calculaient autrefois, la fréquence cardiaque maximale recommandée fm exprimée en battements par minute,
en soustrayant à 220 l’âge a de la personne exprimé en années.
1. Traduire cette dernière phrase par une relation mathématique.
2. Des recherches récentes ont montré que cette relation devait être légèrement modifiée.
La nouvelle relation utilisée par les médecins est :
Fréquence cardiaque maximale recommandée = 208 − (0, 75 × a)
(a) Calculer la fréquence cardiaque maximale à 60 ans recommandée aujourd’hui par les médecins.
(b) Déterminer l’âge pour lequel la fréquence cardiaque maximale est de 184 battements par minute.
(c) Sarah qui a vingt ans court régulièrement.
Au cours de ses entraînements, elle surveille son rythme cardiaque.
Elle a ainsi déterminé sa fréquence cardiaque maximale recommandée et a obtenu 193 battements par minute.
Quand elle aura quarante ans, sa fréquence cardiaque maximale sera de 178 battements par minute.
Est-il vrai que sur cette durée de vingt ans sa fréquence cardiaque maximale aura diminué d’environ 8 % ?
68
E XERCICE 7
3 points
Il sera tenu compte de toute trace de réponse même incomplète dans l’évaluation
Joachim doit traverser une rivière avec un groupe d’amis.
Il souhaite installer une corde afin que les personnes peu rassurées puissent se tenir.
Il veut connaître la largeur de la rivière à cet endroit (nommé D) pour déterminer si la corde dont il dispose est assez longue.
Pour cela il a repéré un arbre (nommé A) sur l’autre rive.
Il parcourt 20 mètres sur la rive rectiligne où il se situe et trouve un nouveau repère : un rocher (nommé R).
Ensuite il poursuit sur 12 mètres et s’éloigne alors de la rivière, à angle droit, jusqu’à ce que le rocher soit aligné avec l’arbre
depuis son point d’observation (nommé B). Il parcourt pour cela 15 mètres.
Il est alors satisfait : sa corde d’une longueur de 30 mètres est assez longue pour qu’il puisse l’installer entre les points D et
A.
A l’aide de la figure, confirmer sa décision.
A
Rivière
R
D
12 m
V
20 m
15 m
La figure n’est pas à l’échelle
B
69
Correction
A MÉRIQUE DU S UD - Novembre 2014
Exercice 1
1. On peut raisonner en testant les valeurs proposées.
Si le tarif enfant est 10 e, le tarif adulte est 14 e.
La recette serait : 100 × 14 e+50 × 10 e= 1 900e
Si le tarif enfant est 8 e, le tarif adulte est 12 e.
La recette serait : 100 × 12 e+50 × 8 e= 1 600e
Si le tarif enfant est 6 e, le tarif adulte est 10 e.
La recette serait : 100 × 10 e+50 × 6 e= 1 300e
1.c
On pouvait aussi se dire que les 50 enfants font baisser le prix des adultes de 50 × 4 euro= 200 e.
Donc s’il y avait eu 150 adultes plutôt que 100 adultes et 50 enfants la recette aurait été 200 esupérieure soit 1 500 e.
On en déduit que le prix adulte est donc 1 500 ÷ 150 = 10 eet le prix enfant 6 e.
√
√
2. La longueur du rectangle
AEFD est AB + BE = 15 − 1 + 2 = 15 + 1
√
La largeur est AD
√= 15−1√
√ 2
L’aire est donc
15 + 1
15 − 1 = 15 − 12 = 15 − 1 = 14
2.c
3. Les ondes sismiques ont parcouru 320 km en 59 s.
320 km ÷ 59 s ≈ 5, 4 km/s
3.a
Exercice 2
1. FNM est un triangle rectangle en F.
Son aire est
FN × FM 4 cm × 3 cm
=
= 6 cm2
2
2
2. FNMB est une pyramide dont la base FNM correspond à la hauteur FB
Son volume est
6 cm2 × 5 cm
= 10 cm3
3
3.a Le volume du pavé droit est FE × FG × FB = 15 cm × 10 cm × 5 cm = 750 cm3
Le volume du solide restant est 750 cm3 − 10 cm3 = 740 cm3
3.b
Nombre de faces
Nombre d’arêtes
Nombre de sommets
Caractéristique x
Parallélépipède ABCDEFGH
6
12
8
2
Exercice 3
70
Solide ABCDENMGH
7
14
9
2
1. Une lettre de 75 g pèse moins de 100 g donc d’après la troisième ligne du tableau le coût de l’envoi est 1, 65 e
2. Mayotte est en zone OM1. 109 g correspond à 11 tranche de 10 g. 109 g est inférieur à 250 g
Le coût d’envoi est : 2, 65 e+11 × 0, 05 e= 2, 65 e+0, 55 e= 3, 20 e
3. 272 g est inférieur à 500 g donc le tarif net est 3, 55 e.
Wallis et Futuna est en zone OM2. 272 g correspond à 28 tranches de 10 g.
Le coût d’envoi est : 3, 55 e+28 × 0, 11 e= 3, 55 e+3, 08 e= 6, 63 e
Loïc a donc assez d’argent liquide pour faire son envoi !
4. La somme des trois dimensions ne doit pas dépasser 100 cm
Or 55 cm + 30 cm + 20 cm = 105 cm
Le guichetier refuse donc le colis car la règle de dimensions n’est pas respectée !
Exercice 4
1. Au bout de 2 jours la taux d’anticorps est supérieur à 0
2. La taux maximal est atteint le 5ejour et la valeur est 100
Pablo a été vacciné un jeudi.
Ce sera un mardi.
3. Au bout de 12 ou 13 jours le taux d’anticorps est quasi nul
4. Le taux d’anticorps est supérieur à 800 pendant 2 jours.
Exercice 5
1. En 2012 le temps de parcours était 8 h 40 min = 8 × 60 min + 40 min = 480 min + 40 min = 520 min
En 2013 le temps de parcours était 8 h 25 min = 8 × 60 + 25 min = 480 min + 25 min = 505 min = 505 min
2.a Dans la cellule B2 il faut écrire =B1+15
2.b Cette formule permet de calculer le temps de parcours total de la régate
2.c Il faut saisir dans B4 =3*B1+2*B2
3. On sait que H2=H1+15, H3=2*H1+3*H2 et H4=3*H1+2*H2
Si H1=105 alors H2 = 120 , H3 = 2 × 105 + 3 × 120 = 570
et H4 = 3 × 105 + 2 × 120 = 535
4. En 2012, il a mit 520 min ce qui correspond à 95 min pour la boucle courte et 110 min pour la longue
En 2013, il a mit 505 min ce qui correspond à la même chose.
Il met donc 95 min pour la boucle courte et 110 min pour la boucle longue.
Exercice 6
1. fm = 220 − a
2.a Pour a = 60 on obtient fm = 208 − (0, 75 × 60) = 208 − 45 = 163
71
2.b Il faut résoudre l’équation :
208 − (0, 75 × a) = 184
208 − 184 = 0, 75a
24 = 0, 75a
0, 75a = 24
a=
24
0, 75
a = 32
Vérifions : 208 − (0, 75 × 32) = 208 − 24 = 184
À l’âge de 32 ans la fréquence cardiaque maximale est de 184 battements par minute.
8
2.c 193 ×
= 15.44
100
193 − 15 = 178
Il est vrai qu’en vingt ans sa fréquence cardiaque aura diminué de 8%.
Exercice 7
On peut faire l’hypothèse que les droites (AD) et (V B) sont perpendiculaires à la rive.
On sait que Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles donc les
droites (AD) et (V B) sont parallèles.
Les droites (AB) et (DV ) sont sécantes en R, les droites (AD) et (V B) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a :
RD RA AD
=
=
RV
RB V B
AD
20 m RA
=
=
12 m RB 15 m
Ainsi AD =
15 m × 20 m
= 25 m
12 m
Comme la corde mesure 30 m elle est assez longue pour faire la traversée.
72
Sujet de mathématiques du brevet des collèges
N OUVELLE -C ALÉDONIE
Décembre 2014
Durée : 2h00
Calculatrice autorisée
Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples
4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées
est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Aucun point ne sera
enlevé en cas de mauvaise réponse :
1
2
3
4
Question
4 1 2
+ ×
5 5 3
√
√ 2
25 × 3 = ?
Combien font 5 % de
650 ?
Quelle est approximativement la masse de la terre ?
Réponse A
14
15
Réponse B
2
3
Réponse C
6
20
75
45
15
32,5
645
13 000
32 tonnes
6 × 1024 kg
7 × 10−15 g
Exercice 2 : Pierre, feuille, ciseaux
5 points
Dans le jeu pierre–feuille–ciseaux deux joueurs choisissent en même temps l’un des trois « coups » suivants :
pierre en fermant la main
feuille en tendant la main
ciseaux en écartant deux doigts
—
—
—
—
La pierre bat les ciseaux (en les cassant).
Les ciseaux battent la feuille (en la coupant).
La feuille bat la pierre (en l’enveloppant).
Il y a match nul si les deux joueurs choisissent le même coup (par exemple si chaque joueur choisit « feuille »).
1. Je joue une partie face à un adversaire qui joue au hasard et je choisis de jouer « pierre ».
(a) Quelle est la probabilité que je perde la partie ?
(b) Quelle est la probabilité que je ne perde pas la partie ?
2. Je joue deux parties de suite et je choisis de jouer « pierre » à chaque partie. Mon adversaire joue au hasard.
Construire l’arbre des possibles de l’adversaire pour ces deux parties. On notera P, F, C, pour pierre, feuille, ciseaux.
3. En déduire :
(a) La probabilité que je gagne les deux parties.
(b) La probabilité que je ne perde aucune des deux parties.
Exercice 3 :
6 points
1. (a) Construire un triangle ABC isocèle en A tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm.
(b) Placer le point M de [AB] tel que BM = 2 cm.
(c) Tracer la parallèle à [BC] passant par M. Elle coupe [AC] en N.
2. Calculer les longueurs MN et AN en justifiant.
3. Montrer que les périmètres du triangle AMN et du quadrilatère BMNC sont égaux.
73
Exercice 4 : Vitesse du navire
4,5 points
Mathilde et Eva se trouvent à la Baie des Citrons.
Elles observent un bateau de croisière quitter le port de Nouméa. Mathilde pense qu’il navigue à une vitesse de 20 noeuds.
Eva estime qu’il navigue plutôt à 10 noeuds.
Elles décident alors de déterminer cette vitesse mathématiquement.
Sur son téléphone, Mathilde utilise d’abord la fonction chronomètre.
Elle déclenche le chronomètre quand l’avant du navire passe au niveau d’un cocotier et l’arrête quand l’arrière du navire
passe au niveau du même cocotier ; il s’écoule 40 secondes.
Ensuite, Eva recherche sur Internet les caractéristiques du bateau. Voici ce qu’elle a trouvé :
Caractéristiques techniques :
Longueur : 246 m
Largeur : 32 m
Calaison : 6 m
Mise en service : 1990
Nombre maximum de passagers : 1 596
Membres d’équipage : 677
Questions :
1. Quelle distance a parcouru le navire en 40 secondes ?
2. Qui est la plus proche de la vérité, Mathilde ou Eva ? Justifier la réponse.
Rappel : Le « nœud » est une unité de vitesse.
Naviguer à 1 nœud signifie parcourir 0, 5 mètre en 1 seconde.
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Exercice 5 : Changement climatique
3,5 points
Le tableau ci-dessous présente l’évolution des températures minimales (Tmin ) et des températures maximales (Tmax ) observées en différents endroits de la Nouvelle-Calédonie au cours des quarante dernières années :
(Tmin )˚ C
(Tmax )˚ C
Nouméa
Vaté
Thio
Nessadiou
Houailou
Poindimié
Koné
Koumac
La Roche
Ouanaham
+1,3
+1,3
+1,3
+1,3
+1,2
+1,0
+1,2
+0,9
+1,2
+1,0
+1,3
+1,0
+1,2
+0,8
+1,2
+0,9
+1,5
+1,0
+1,3
+0,9
1. Les informations de ce tableau traduisent-elles une augmentation des températures en NouvelleCalédonie ? Justifier.
2. En quel endroit la température minimale a-t-elle le plus augmenté ?
3. Calculer l’augmentation moyenne des températures minimales et celle des températures maximales.
Exercice 6 : Eolienne
4 points
Les éoliennes sont construites de manière à avoir la même mesure d’angle entre chacune de leurs pales.
1. Une éolienne a trois pales. Quelle est la mesure de l’angle entre deux de ses pales ?
2. Pour réduire le bruit provoqué par les éoliennes, il faut augmenter le nombre de pales.
Sur l’annexe 1, on a représenté le mât d’une éolienne à six pales par le segment [AB]. En prenant le point A pour
centre des pales, compléter la construction avec des pales de 5 cm.
3. On estime qu’à 80 m du centre des pales d’une éolienne le niveau sonore est juste suffisant pour que l’on puisse
entendre le bruit qu’elle produit.
Un randonneur dont les oreilles sont à 1,80 m du sol se déplace vers une éolienne dont le mât mesure 35 m de haut. Il s’arrête
dès qu’il entend le bruit qu’elle produit (voir le schéma ci-dessous).
À quelle distance du mât de l’éolienne (distance BC) se trouve-t-il ? Arrondir le résultat à l’unité.
74
Une pale
Centre des pales
A
35 m
80 m
Mât
b
B
b
Sol
La figure n’est pas à l’échelle
C
1,80 m
oreilles
Exercice 7 :
5 points
À l’aide d’un tableur, on a réalisé les tableaux de valeurs de deux fonctions dont les expressions sont :
f (x) = 2x et g(x) = −2x + 8
B2
=2*B1
A
B
C
D
E
1 Valeur de x
0
1
2
3
2 Image de x
0
2
4
6
3
4 Valeur de x
0
0,5
1
2
5 Image de x
8
7
6
4
F
4
8
4
0
1. Quelle est la fonction ( f ou g) qui correspond à la formule saisie dans la cellule B2 ?
2. Quelle formule a été saisie en cellule B5 ?
3. Laquelle des fonctions f ou g est représenté dans le repère de l’annexe 2 ?
4. Tracer la représentation graphique de la deuxième fonction dans le repère de l’annexe 2.
5. Donner, en justifiant, la solution de l’équation : 2x = −2x + 8.
Exercice 8 : Sphères de stockage
4 points
Le dépit de carburant de Koumourou, à Ducos, dispose de trois sphères de stockage de butane.
1. La plus grande sphère du dépôt a un diamètre de 19,7 m. Montrer que son volume de stockage est d’environ 4 000 m3 .
4
On rappelle que le volume d’une boule est donné par : V = × π × R3 , où R est le rayon de la boule.
3
2. Tous les deux mois, 1 200 tonnes de butane sont importées sur le territoire.
1 m3 de butane pèse 580 kg. Quel est le volume, en m3 , correspondant aux 1 200 tonnes ?
Arrondir le résultat à l’unité.
3. Les deux plus petites sphères ont des volumes de 1 000 m3 et 600 m3. Seront-elles suffisantes pour stocker les
1 200 tonnes de butane, ou bien aura-t-on besoin de la grande sphère ?
Justifier la réponse.
75
ANNEXE 1 - Exercice 6
A
b
B
b
76
ANNEXE 2 - Exercice 7
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
77
7
8
9
10
11
12
Correction
N OUVELLE C ALÉDONIE - Décembre 2014
Exercice 1
2
12
2
14
4 1 2 4
+ × = +
=
+
=
Réponse A
5 5 3 5 15 15 15 15
√
√ 2
2. 25 × 3 = 5 × 3 = 15 Réponse C
1.
3. 650 ×
5
3 250
=
= 32, 5 Réponse A
100
100
4. 32 tonnes correspond à deux gros camions ! !
7 × 10−15 g = 0, 000 000 000 000 007 g soit la masse d’un atome ! ! !
6 × 1024 kg = 600 000 000 000 000 000 000 000 kg
4. Réponse B
Exercice 2
1. C’est une expérience aléatoire à une épreuve constituée de 3 issues équiprobables.
1.a Je perds dans le cas où l’adversaire joue la feuille.
1
: une chance sur trois
3
1.b Ne pas perdre la partie est l’événement contraire de l’événement perdre la partie.
Donc la probabilité de ne pas perdre la partie est 1 −
2. Voici l’arbre des possibles :
2
1
=
3
3
P
F
C
P
F
C
P
F
C
P
F
C
3.a En observant l’arbre des 9 cas possibles on constate que je gagne que dans le cas où l’adversaire joue C puis C.
La probabilité que je gagne les deux parties est
1
9
3.b Je ne perds que contre F. Il y a 4 branches qui ne contiennent pas F.
La probabilité que je ne perde aucune des deux parties est
4
9
Exercice 3
1.abc
78
A
+
M
+
+
N
+
C
+
B
2. Dans le triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC].
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
D’après le thérème de Thalès on a :
MN
AM AN
=
=
AB
AC
BC
MN
3 AN
=
=
5
5
2
MN =
2×3 6
= = 1, 2
5
5
AN =
3×5
=3
5
3. Le périmètre de AMN est AM + MN + NA = 3 cm + 1, 2 cm + 3 cm = 7, 2 cm
Le périmètre de BMNC est BM + MN + NC +CB = 2 cm + 1, 2 cm + 2 cm + 2 cm = 7, 2 cm
Les périmètres de AMN et BMNC sont donc égaux
Exercice 4
1. Le navire a parcouru 246 m en 40 s
2. 246 m ÷ 40 s = 6, 15 m/s
6, 15 m/s ÷ 0, 5 m/s = 12, 3
Cela correspond donc à environ 12 noeuds.
Èva est donc la plus proche de la réalité
Exercice 5
1. On constate que toutes ces valeurs sont positives. Or ce tableau montre l’évolution des températures minimales et maximales.
Les températures ont donc bien augmenté en Nouvelle-Calédonie.
2. La température a le plus évolué à La Roche.
3.
1, 3 + 1, 3 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 5 + 1, 3 12, 7
=
= 1, 27
10
10
1, 3 + 1, 3 + 1 + 0, 9 + 1 + 1 + 0, 8 + 0, 9 + 1 + 0, 9 10, 1
=
= 1, 01
10
10
L’augmentation moyenne des températures minimales est +1, 27
79
L’augmentation moyenne des températures maximales est +1, 01
Exercice 6
1. L’éolienne à trois pales peut se modéliser comme un polygône régulier à trois côtés : un triangle équilatéral inscrit dans
o
un cercle. L’angle total au centre du cercle mesure 360
o
o
Donc comme 360 ÷ 3 = 120
o
L’angle entre deux pales est 120 .
2. En reprenant le raisonnement précédent, une éolienne à cinq pales peut se modéliser comme un pentagone régulier. L’angle
o
o
au centre d’un pentagone régulier est 360 ÷ 5 = 72
E
D
+
+
A
o
72
+
+
+
F
C
+
B
3. Traçons une parallèle à la droite (BC) à 1, 80 m au dessus du sol, notons B′ et C′ les points correspondants à B et C.
Le triangle AB′C′ est rectangle en B′ puisque le mat de l’éolienne est perpendiculaire au sol.
D’après le théorème de Pythagore on a :
B′ A2 + B′C′2 = AC′2
(35 − 1, 80)2 + B′C′2 = 802
33, 202 + B′C′2 = 6 400
1 102, 24 + B′C′2 = 6 400
B′C′2 = 6 400 − 1 102, 24
B′C′2 = 5 297, 76
p
B′C′ = 5 297, 76
B′C′ ≈ 73
Le randoneur entendra le bruit de l’éolienne à environ 73 m du pied du mat.
Exercice 7
1. B2 correspond à la fonction f
80
2. Dans la cellule B5 se trouve = −2 ∗ B1 + 8
3. Sur l’annexe 2 est représentée une droite qui passe par l’origine du repère. Il s’agit donc d’une fonction linéaire. De plus
l’image de 1 est 2.
Il s’agit de la représentation graphique de la fonction f (x) = 2x
4. g est une fonction affine. Sa représentation graphique est donc une droite qui passe par les points de coordonnées (0, 8) et
(4, 0)
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. On voit graphiquement que le point (2, 4) est le point d’intersection des deux droites. x = 2 doit être la solution de
l’équation f (x) = g(x)
Vérifions :
2x = −2x + 8
4x = 8
x=2
x = 2 est bien la solution de cette équation.
Exercice 8
4
1. Le volume d’une boule de 19, 7 m de diamètre est : π × 9, 85 m3 ≈ 4 003 m3
3
Le volume de la plus grande boule est bien d’environ 4 000 m3
2. 1 200 tonnes = 1 200 000 kg et 1 200 000 kg ÷ 580 kg ≈ 2 069
Le volume de butane importés est d’environ 2 069 m3
3. La somme des volumes des deux petites boules est 1 600 m3 .
Il faudra donc bien utiliser la grande boule pour stocker les 1 200 tonnes de butane.
81
82
Index
Géométrie
Agrandissement et réduction, 8, 23, 59
Aire, 30
Aire du disque, 17
Aire du rectangle, 64
Aire du triangle, 50, 65
Angle au centre, 35
Angle inscrit, 35
Cercle circonscrit à un triangle rectangle, 23, 50
Construction, 31, 50, 73, 74
La boule, 75
Médiatrice, 23
Périmètre du cercle, 59
Périmètres, 50, 73
Parallélogramme, 44
Pavé droit, 65
Polygônes réguliers, 35, 43, 74
Pyramide, 65
Quadrilatère, 23
Réciproque du théorème de Pythagore, 50
Réciproque du théorème de Thalès, 50, 56
Somme des angles dans un triangle, 31
Théorème de Pythagore, 8, 15, 22, 28, 45, 49, 56, 74
Théorème de Thalès, 8, 28, 37, 59, 69, 73
Triangle isocèle, 31
Triangle rectangle inscrit dans un cercle, 44
Trigonométrie, 17, 23, 37, 45, 50, 57
Volume de la boule, 15, 37, 75
Volume de la pyramide, 23, 65
Volume du cône, 8
Volume du cylindre, 8, 15, 30
Volume du pavé, 38
Volume du prisme droit, 30, 56
Fonctions affines, 75
Fonctions linéaires, 75
Grandeurs et mesures, 75
Lecture de tableau, 10, 15, 29, 60, 66, 74
Lecture graphique, 8, 16, 43, 44, 50, 51, 56, 67
Médianes, 10
Moyennes, 10, 74
Probabilités, 16, 28, 36, 44, 49, 57, 73
Proportionnalité, 75
Tableur, 10, 15, 22, 29, 51, 58, 68, 75
Temps, 68
QCM, 7, 14, 64, 73
Session
Amérique du Nord - Juin 2014, 14
Amérique du Sud - Novembre 2014, 64
Asie - Juin 2014, 43
Centres étrangers - Juin 2014, 22
Métropole - Antilles - Guyane - Septembre 2014, 56
Métropole Antilles Guyane - Juin 2014, 35
Nouvelle Calédonie - Décembre 2014, 73
Polynésie - Juin 2014, 28
Polynésie - Septembre 2014, 49
Pondichéry - Avril 2014, 7
Tâche complexe, 17, 24, 30, 38, 45, 51, 60, 66, 69, 74
Vrai Faux, 23, 43, 56
Nombres et calcul
Écritures scientifiques, 73
Équations, 16, 68, 75
Arithmétique, 7, 29, 58
Calcul littéral, 16, 43, 68
Calcul numérique, 64
Calculatrice, 49
Développement, 23, 58
Fractions, 14, 29, 43, 49, 73
Grandeurs composées, 17, 30, 37, 38
Identité remarquable, 14
Inéquations, 14
PGCD, 7, 14, 43
Pourcentages, 10, 15, 35, 43, 51, 57, 68, 73
Programme de calcul, 8, 36, 51
Puissances, 29, 49
Racines carrées, 14, 29, 49, 56, 64, 73
Vitesses, 15, 17, 24, 37, 56, 60, 64, 74
Organisation et gestion de données
Fonction affine, 28
Fonctions, 8, 24, 28, 43, 50, 56, 67, 68, 75
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