T.P. Automatique Licence EEA

T.P. Automatique Licence EEA
Université de Metz
T.P. Automatique
Licence EEA
Année Universitaire 2003/2004
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
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Table des matières
1 Etude de la régulation en vitesse d’un moteur
1.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rappels Théoriques . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Etude en régime constant . . . . . . . .
1.3.2 Etude en régime harmonique . . . . . . .
1.3.3 Etude en régime indiciel . . . . . . . . .
1.3.4 Etude en boucle fermée . . . . . . . . . .
2 Etude de l’asservissement de position d’une
2.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Description théorique . . . . . . . . . . . . .
2.3 Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Etude qualitative . . . . . . . . . . .
2.3.2 Identification de la FTBF . . . . . .
2.3.3 Introduction d’un correcteur à avance
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5
5
5
6
6
6
7
8
charge
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de phase
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11
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13
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3 Etude et commande d’un processus thermique
3.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Etude de la réponde indicielle en boucle ouverte . . . . .
3.3.2 Interprétation de la réponse indicielle : identification par
Broı̈da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Correction du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Stabilité des systèmes asservis
4.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . .
4.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Étude préalable du système en boucle
4.4 Correction proportionnelle . . . . . .
4.5 Correction par avance de phase . . .
. . . .
. . . .
fermée
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. . .
sans
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correcteur
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5 Performances des systèmes asservis et calcul de correcteurs
5.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Asservissement d’un système d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Correcteur à action proportionnelle . . . . . . . . . . .
5.3.2 Correction à action intégrale . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Asservissement d’un système d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Correcteur à action proportionnelle . . . . . . . . . . .
3
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la méthode de
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P,
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PI
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et PID.
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15
15
15
15
15
17
17
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19
19
19
20
20
20
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25
25
25
25
26
26
26
26
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
5.4.2
5.4.3
5.4.4
TP Automatique Licence EEA
Correction à action intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correcteur à action proportionnelle et intégrale PI . . . . . . . . . . . . .
Correcteur à action proportionnelle, intégrale et dérivée (PID) . . . . . .
4
27
27
27
TP 1 : Etude de la régulation en
vitesse d’un moteur
1.1
Objectif du TP
Identifier un système réel du deuxième ordre par sa réponse indicielle et sa réponse harmonique.
1.2
Rappels Théoriques
Un moteur à courant, à commande d’induit et excitation constante, tel que celui schématisé
sur la figure 1.1 est caractérisé par les grandeurs suivantes :
– v : tension de commande,
– R : résistance d’induit,
– L : inductance d’induit,
– i : courant d’induit,
– J : moment d’inertie du rotor,
– ω : vitesse angulaire de l’arbre moteur,
– f : coefficient de frottement visqueux,
– k : constante de flux et de couple,
– e : force contre électromotrice,
– cm : couple moteur,
– cr : couple résistant.
R
L
i(t)
J
f
v
ω
Fig. 1.1 – Moteur à courant, commande d’induit et excitation constante
Les équations régissant le fonctionnement d’un tel moteur sont :




v(t)
cm (t) − cr (t)

e(t)


cm (t)
=
=
=
=
e(t) + Ri(t) + L di(t)
(
dt
dω(t)
I(p) =
J dt + f ω(t)
→
kω(t)
Ω(p) =
ki(t)
5
V (p)−kΩ(p)
R+Lp
Cm (p)−Cr (p)
f +Jp
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
d’où :
Ω(p) =
1.3
TP Automatique Licence EEA
kV (p) − (R + Lp)Cr (p)
(f + Jp)(R + Lp) + k 2
(1.1)
Manipulation
L’étude est faite sur un banc de régulation de vitesse Tergane 25. Ce banc est constitué d’un
moteur à courant continu et d’une électronique associée permettant une commande en boucle
ouverte ou une régulation en boucle fermée.
Les appareils de mesures nécessaires sont :
– un oscilloscope double trace à mémoire,
– un générateur de signaux basse fréquence.
1.3.1
Etude en régime constant
Cette première étude permet de se familiariser avec la maquette et de déterminer le domaine
de validité du modèle décrit ci-dessus. Pour cela :
– Relier tous les éléments de la chaı̂ne de commande en boucle ouverte du moteur, comme
le suggère le schéma synoptique imprimé sur la maquette.
– Positionner les deux potentiomètres gradués (atténuateur et ampli de puissance) à leur
valeur maximum, le seuil d’écrétage M à son maximum, et l’amplificateur écréteur sur un
gain de 1.
– En faisant varier la consigne v constater que la vitesse de rotation du moteur est du même
signe que v.
– La tension d’entrée étant constante v0 , l’équation 1.1 devient :
ω0 =
kv0 − Rc0
f R + k2
(1.2)
La vitesse est proportionnelle à la vitesse d’entrée v0
– Relever la mesure de la vitesse de rotation du moteur (à l’oscilloscope en utilisant la
mesure de la vitesse),pour des valeurs de v0 comprise entre +5V et −5V . Tracer la courbe
représentant gω0 en fonction de v0 . Conclure sur l’influance du couple résistant c0 et sur
le domaine de validité du modèle décrit par l’équation 1.1.
1.3.2
Etude en régime harmonique
L’équation 1.1 et l’étude précédente montre que le système est assimilable à un deuxième
ordre du type :
K
gΩ(p)
F (p) =
=
(1.3)
(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)
V (p)
les constantes K, τ1 , τ2 ne sont pas connues.
τ1 et τ2 sont suffisament proches pour être considérées comme égales. L’équation 1.3 devient
alors :
K
F (p) =
(1.4)
(1 + τ p)2
Déterminer les valeurs de K et τ à partir de l’étude harmonique du système.
Pour cela envoyer sur l’entrée V des tensions sinusoı̈dales V (f ) de fréquences variant de 1 à 70
Hz. Visualiser sur l’oscilloscope à mémoire V (f ) et la mesure de la vitesse gΩ(f ), pour chaque
fréquence mesurer le gain |F (f )| et le déphasage φ(f ) = arg(F (f )) :
6
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
T =
TP Automatique Licence EEA
1
f
gΩ(f )
a
A
V (f )
x
Fig. 1.2 – Mesure du gain et du déphasage avec un oscilloscope
½
φ(f ) = arg(F (f )) = −360 Tx
|F (f )| = Aa
Tracer sur papier semi-logarithmique le diagramme de Bode de F en gain (20log|F (f )|) et
de phase (Arg(F (f ))). A partir des asymptotes du diagramme en gain donner les valeursde K
et τ (voir figure 1.3).
1.3.3
Etude en régime indiciel
A l’aide du générateur de signaux, injecter un signal carré basse fréquence de manière à
simuler un échelon sur l’entrée V du système en boucle ouverte. Observer la réponse en vitesse
sur l’oscilloscope, mesurer le temps demontée à 80% et à 90% (utiliser pour cela les lignes
pointillées de l’oscilloscope) et en déduire les valeur de K et τ (voir figure 1.4).
Indications théoriques :
K
(1 + τ p)2
K
p(1 + τ p)2
L−1
−→
L−1
−→
Kt −t/τ
e
u(t)
τ2
¶
·
µ
¸
t
−t/τ
K 1− 1+ 2 e
u(t)
τ
la seconde transformée de Laplace correspond à la réponse indicielle du système de la première
transformée. Donc, si V (t) = u(t) soit V (p) = p1 , alors :
lim gΩ(t) = K
t→∞
7
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
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20Log10 (K)
Gain (en dB)
−40 dB/dec
1
0
f=
1
2πτ
10
100
f en Hz
−90
Phase (en deg)
−180
Fig. 1.3 – Détermination de K et τ à partir du diagramme de gain.
– à t = 3τ , gΩ(t) = 0.8K
– à t = 4τ , gΩ(t) = 0.9K
1.3.4
Etude en boucle fermée
Le système est maintenant asservi par soustraction de la mesure de la vitesse à l’entrée en
tension.
– Observer la réponse indicielle.
– Mesurer le gain statique KBF , les dépassements D et le temps de montée à 100% : tm
(voir figure 1.5).
A partir des abaques, en déduire les valeurs de ξBF et ωnBF sachant que la FTBF peut s’écrire
sous la forme :
KBF
F T BT (p) =
2
BF
1 + 2p ωξnBF
+ ω2p
nBF
Comparer les valeurs de ξBF , ωnBF et KBF mesurées avec les valeurs théoriques obtenues en
F (p)
calculant la FTBF : F (p) = 1+F
.
(p)
Quel est l’apport sur les performances du systèmes, lors du passage de la boucle ouverte à la
boucle fermée ?
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O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
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K
0.91K
0.8K
Amplitude
1
3τ
4τ
temps en s
Fig. 1.4 – Détermination de K et τ à partir de la réponse indicielle.
D
Amplitude
KBF
1
temps en s
tm
Fig. 1.5 – Détermination de KBF , D et tm à partir de la réponse indicielle.
9
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TP 2 : Etude de l’asservissement de
position d’une charge
2.1
Objectif du TP
Mettre au point un asservissement de position par identification des paramètres du système
et introduction d’un correcteur à avance de phase.
2.2
Description théorique
L’objectif de l’asservissement de position est le déplacement d’une charge pour atteindre une
position déterminée, avec une précision et une rapidité maximale, ceci à partir d’une grandeur
d’entrée qui sera dans notre cas une tension électrique.
Le câblage des différents éléments du banc de travail, en l’absence de correcteur permet la
réalisation d’un système dont le schéma de principe est donné par la figure 2.1.
Entrée e(t)
+
g
V(t)
A
Atténuateur
Préamplificateur
Moteur
R, L, J, f, k
Réducteur de
vitesse 1/N
Poulie de renvoi
charge
0
Mesure de la position m(t)
Potentiomètre
de recopie
x(t)
Poulie Motrie (d)
-Vmax
+Vmax
Fig. 2.1 – Principe de l’asservissement de position sans correcteur.
Les équations de fonctionnement des différents éléments et le passage aux transformées de
Laplace permet d’établir le schéma bloc de la figure 2.2 :
La fonction de transfert en boucle ouverte (sans connection de M (p) au sommateur1 ) F (p)
est définie par :
gAkkx d
M (p)
N
=
F (p) =
E(p)
p(f R + k 2 + (JR + Lf )p + JLp2 )
1
Ne pas connecter le trait en pointillé.
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O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
E(p)
+ -
g
V(p)
A +
TP Automatique Licence EEA
1
R+Lp
-
1
f+Jp
k
k
M(p)
1
N
d
p
X(p)
Ω (p)
kx
Fig. 2.2 – Schéma Bloc du Principe de l’asservissement de position.
En posant : K =
gAkkx d
,
N (f R+k2 )
Te =
L
,
R
Tm =
F (p) =
J
2
f + kR
, on obtient :
K
p(1 + Te p)(1 + Tm p)
En constatant de plus que Te (constante de temps électrique) est très faible devant Tm
(constante de temps mécanique), on peut approcher la FTBO par :
F (p) =
K
p(1 + Tm p)
Cette approximation est admissible en automatique si Te < Tm /5.
En admettant ce modèle de l’asservissement en position, on se propose dans ce TP d’identifier
cette fonction de transfert, puis de la corriger afin d’en améliorer les performances.
2.3
2.3.1
Manipulation
Etude qualitative
Sur le banc de travail Tergane connecter tous les éléments de la chaı̂ne directe comme
l’indique le synoptique dessiné sur la maquette. Mettre le préamplificateur sur l’entrée 10.
Observer la réponse du système en regardant le déplacement de la charge :
– en envoyant un échelon d’entrée dont on fera varier l’amplitude et pour différentes valeurs
de l’atténuateur.
– en envoyant des sinusoı̈des à l’entrée (à l’aide d’un GBF) de différentes fréquences et de
différentes amplitudes.
Décrire qualitativement les résultats obtenus et les justifier.
2.3.2
Identification de la FTBF
On remarque que l’étude en boucle ouverte est difficilement réalisable ; on se place donc en
boucle fermée en soustrayant m(t) (la mesure de x(t)) à l’entrée e(t).
K
, on calcul :
Sachant que : F T BO(p) = p(1+T
m p)
F T BF (p) =
K
=
p(1 + Tm p) + K
1+
p
K
1
+
Tm 2
p
K
qui peut se mettre sous la forme :
F T BF (p) =
1
1+
2ξ
p
ωn
+
p2
2
ωn
Pour identifier la FTBF, il suffit donc de determiner ξ et ωn qui sont en relation avec le
temps de réponse et le dépassement.
12
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
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Etude du comportement du système pour différentes valeurs de g
Visualiser la réponse indicielle du système en BF en envoyant en entrée des créneaux d’amplitude ±2V et de fréquence inférieur à 1Hz (ceci afin de simuler un échelon d’entrée). Observer
la mesure de la position sur l’oscilloscope et donner les valeurs du temps de montée tm et du
dépassement D pour cinq valeurs de g. La figure 2.3 vous aide à déterminer ces paramètres.
M
Amplitude
d
tm
Temps (sec)
Fig. 2.3 – Détermination de D% et tm à partir de la réponse indicielle.
– Dépassement : D% = d/M
– Temps de montée : tm
Quel est l’effet de la variation de g sur le dépassement D%, et le temps de monté tm (donner
la valeur limite de g au delà de laquelle le système est instable2 .
Identification
Placer l’atténuateur sur 0.5 (milieu de l’echelle).
– à partir des mesure de D et tm identifier le système (valeur de ξ et ωn ) au moyens des
abaques.
– en déduire la fonction de transfert en boucle ouverte du système (K et Tm ).
2.3.3
Introduction d’un correcteur à avance de phase
L’attenuateur est mis à 1 (son maximum) et on interpose dans la chaı̂ne directe un correcteur
à avance de phase :
1 + aT p
C(p) =
1 + Tp
avec T = 2.5ms et a = 4
Il peut être réaliser par le circuit passif de la figure 2.4.
Avec pour valeur :
– condensateur C = 1µF
– resistance R1 = 10kΩ
– resistance R2 = 3.3kΩ
2
il faudra certainement passer le préamplificateur à 100.
13
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
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R1
Entrée
Correcteur
C
R2
Sortie
Correcteur
Fig. 2.4 – Montage du correcteur à avance de phase.
Réaliser le montage en utilisant le condensateur et les résistances se trouvant dans la maquette. Connecter le correcteur dans les points d’ancrage prévus. Observer la reponse indicielle
du système corrigé, mesurer le temps de montée et le déplassement.
Conclure sur l’apport d’un correcteur à avance de phase pour un tel système.
14
TP 3 : Etude et commande d’un
processus thermique
3.1
Objectif du TP
Étudier le fonctionnement d’une régulation en température et déterminer empiriquement
les paramètres d’un correcteur PID.
3.2
Présentation
Il s’agit d’étudier un système comprenant un processus thermique et son matériel de commande (correcteur PID). Principe de l’appareil : l’air est aspirée dans l’atmosphère par une
pompe centrifuge qui le souffle sur une source de chaleur, traverse l’enceinte cylindrique puis
est rejeté dans l’atmosphère.
Le processus (figure 3.1) consiste à élever la température soufflée dans l’enceinte à la valeur
désirée (set value) comprise entre la température ambiante et 60˚C, et le rôle de la régulation
est de mesurer la température de l’air dans le cylindre, de la comparer avec la température
désirée et d’engendrer un signal de commande qui module la puissance fournie à la résistance
chauffante.
L’étude du système sera faite autour d’une position d’équilibre fixée à 40˚C. Les échelons de
température que l’on appliquera seront de ±5˚C qui correspond à ±2V injecté sur l’entrée D
du schéma. Le système est en boucle ouverte si les points x et y ne sont pas reliés. Si les points
x et y sont connectés, on peut établir une commande proportionnelle (bande proportionnelle)
ou introduire un circuit correcteur entre les point A et B.
3.3
Manipulation
Tout d’abord brancher le système et le laisser chauffer pour atteindre 40˚C (la températures
mesurée doit être égale à la température affichée).
Par la suite, toutes les mesures de transitoires se feront dans le sens “froid → chaud ”.
Attention : Un échelon de tension négatif provoque une variation de température positive
3.3.1
Etude de la réponde indicielle en boucle ouverte
Avec un GBF envoyer des créneaux de ±2V autour de 0V à très basse fréquence (< 0.1Hz)
sur l’entrée externe du système (point D sur le schéma). Ces créneaux sont envoyés pour observer
la réponse à un échelon, l’état de repos correspond donc à l’état permanent issu du créneau
précédent et le système reçoit un échelon de consigne à partir de cet état permanent. Vérifier
que la température de sortie suit les variations de la consigne en entrée (un échelon de tension
15
filament
de chauffe
Ventilateur
C
Alimentation
Fig. 3.1 – Schéma Bloc du Principe de l’asservissement de température.
16
Dépassement
Commande
Tout ou Rien
Commande
Continue
Commande
Chauffage
W
Processus
A
B
Commande
Externe
TS
x y
Pont
Mesure
Valeur
affichée
Valeur affichée
Valeur mesurée
Signal de Sortie
L
D
INT
EXT
Niveau de
Perturbation
Signal d'entrée
Bande
Proportionnelle
en %
Sonde de
Température
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TP Automatique Licence EEA
négatif en entrée génère une variation positive de la température).
Avec l’oscilloscope à mémoire, relever la réponse indicielle en mettant sur la voie 2 le signal
d’entrée issu du GBF et sur la voie 1 le signal de sortie (point y sur le schéma) ; ce signal est
une tension proportionnelle à la température de sortie. L’oscilloscope sera synchronisé sur la
voie 2.
Une fois la réponse stabilisée sur l’oscilloscope l’enregistrer sur l’imprimante HD148 qui lui est
associée (cet enregistrement devra être joint au compte rendu).
Voir le mode d’emploi de l’imprimante en annexe à la fin du TP.
3.3.2
Interprétation de la réponse indicielle : identification par la
méthode de Broı̈da
Cette méthode suppose que le système a une fonction de transfert du type
F (p) = K
e−τ p
1 + Tp
L’identification de la fonction de transfert est faite par évaluation
des paramètres
K, T et τ .
¡
¢
La réponse indicielle d’un tel système est alors s(t) = K 1 − e−(t−τ )/T si t > τ et s(t) = 0
s(t)
.
sinon, donc quand t → ∞, s(t) = K (avec e(t) = 1) ; et K = limt→∞ e(t)
Méthode de Broı̈da :
– On mesure t1 tel que s(t1) = 0.28K et t2 tel que s(t2) = 0.4K,
– On en déduit les valeurs de T et τ par T = 5.5(t2 − t1) et τ = 2.8t1 − 1.8t2
Déterminer les valeurs de K, T et τ correspondant au système étudié.
Déterminer aussi le gain (K(dB)) de ce système et son temps de montée à 90%.
3.3.3
Correction du système
Mettre le système en boucle fermée (connecter x et y), avec un gain proportionnel de 1
(P B = 100%). Relever la réponse indicielle à l’oscilloscope, évaluer le gain et le temps de
montée à 90%.
L’établissement empirique des paramètres du correcteur nécessite que l’on recherche la valeur
du gain proportionnel qui fait entrer le système en oscillation : Kosc (K = 1/P B, par exemple
si P B = 10%, K = 1/0.1 = 10) et la période de ces oscillations : Tosc .
Introduire le correcteur PID entre les points A et B (ne pas oublier d’alimenter en +15V et
−15V et de relier la masse du système à celle du correcteur et de basculer l’interrupteur sur
A-B) :
1. Ne mettre que la composante proportionnelle avec K = Kosc /2 (mettre les deux autres
voies sur ’out’), relever la réponse indicielle et mesurer le gain, le temps de montée à 90%
et le dépassement.
2. Introduire la composante intégrale en initialisant Ti à Tosc , diminuer Ti jusqu’à avoir une
erreur statique nulle donner cette valeur de Ti , relever la réponse indicielle et mesurer le
gain, le temps de montée à 90% et le dépassement.
3. Introduire la composante dérivée en initialisant Td à Tosc /5, (mettre un fil entre l’entrée
du correcteur et l’entrée du terme dérivé), augmenter Td jusqu’à ne plus avoir d’oscillation éventuellement en réajustant K et Ti . Donner les valeurs finales des paramètres du
correcteur, relever la réponse indicielle à l’oscilloscope puis sur l’imprimante (joindre les
courbes au compte-rendu). Mesurer le gain, le temps de montée à 90% et le dépassement.
Conclure sur l’apport des différents éléments du correcteur.
17
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
ANNEXE : Utilisation de l’imprimante HD148
Cette imprimante se branche directement sur l’oscilloscope et permet de réaliser des copies
d’écran.
La touche select permet de sélectionner les menus :
– printer mode ,
– printer set ou
– scope set .
La touche mode permet de sélectionner les fonctions au sein des menus.
Les touches set up permettent de choisir les valeurs des fonctions.
Réglages nécessaires :
– printer mode : choisir ON LINE MANUAL, l’impression sera déclenchée lorsque
vous appuierez sur la touche print .
– scope set :
– dans Time/div ajuster la valeur à la base de temps de l’oscilloscope.
– dans Volt/div CH1 et CH2, ajuster les valeurs aux sensibilités utilisées sur l’oscilloscope.
Attention, ces réglages ne se font pas automatiquement, vous pouvez enregistrer des valeurs fausses pour les échelles.
Les autres paramètres n’ont pas besoin d’être changés.
Pour imprimer bloquer les traces de l’oscilloscope par la touche hold , puis envoyer l’impression
par print .
18
TP 4 :
4.1
Stabilité des systèmes asservis
Objectif du TP
Simuler la réponse d’un système asservi afin de déterminer ses performances, puis calculer
un correcteur en fonction de critères de stabilité et vérification de la correction.
4.2
Introduction
Soit le système asservi suivant :
Entree
C(p)
G(p)
Sortie
Fig. 4.1 – Schéma bloc général d’un S.A..
G(p) représente la fonction de transfert du système donnée par l’équation 4.1
G(p) = ¡
10
1+
¢
p 3
5
(4.1)
C(p) représente la fonction de transfert du correcteur.
Le correcteur aura ici pour fonction de rendre le système bouclé stable. En effet, on se rendra
compte, grâce à une étude préalable, que sans correcteur le signal de sortie n’arrive pas à se
stabiliser lorsqu’on applique un échelon en entrée.
Le programme auto1 réalisé sous MatlabTM va nous permettre de faire l’étude du système
en boucle ouverte et en boucle fermé en donnant :
– les représentations fréquentielles :
– diagramme de Bode,
– diagramme de Nyquist,
– diagramme de Black-Nichols.
– les représentations temporelles :
– réponse à une Impulsion,
– réponse à un Échelon.
– le lieu d’Évans,
– le calcul du correcteur.
Vous trouverez en annexe à la fin du cahier de TP une notice d’utilisation de ce programme.
19
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
4.3
TP Automatique Licence EEA
Étude préalable du système en boucle fermée sans
correcteur
1. Tracer le diagramme de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte ( fixer le
numérateur et le dénominateur du correcteur à 1 ). Commenter ce graphe et expliquer
pourquoi le système en boucle fermée sera instable.
2. Tracer le réponse indicielle du système en boucle fermée, quelle constatation faites vous ?
4.4
Correction proportionnelle
On fixe C(p) = k une constante.
1. Appliquer le critère de Routh pour trouver le valeur de k pour que le système soit en
limite de stabilité. On notera cette valeur de k : klimite .
2. Relever pour trois valeur de k : k < klimite , k = klimite et k > klimite , le lieu des racines
ou lieu d’Evans qui permet de situer les pôles et les zéros de la fonction de transfert en
boucle fermée. Quelles constatations faites vous après observation de ces trois graphes,
quelles conditions doivent respecter les pôles pour satisfaire aux conditions de stabilité.
3. En observant les réponses indicielles du système en boucle fermée pour les trois valeurs
précédentes, on s’aperçoit qu’il faut que k reste inférieur à klimite pour que le système
soit stable. Pour éviter tout risque d’instabilité, on définit des marges (marge de gain et
marge de phase) qu’il s’agit de respecter. En milieu industriel, on fixe généralement une
marge de phase de l’ordre de 45 deg. Quelle est le valeur que l’on doit donner à k pour
respecter ce critère ?
4. Relever le diagramme de Bode du système en boucle ouverte pour la valeur de k calculée
précédemment. Vérifier que la marge de phase est bien de 45 deg. Quelle est la marge de
gain ?
5. Relever également la réponse indicielle du système asservi afin d’en déduire le temps de
montée et le dépassement.
4.5
Correction par avance de phase
La fonction de transfert d’un correcteur par avance de phase est donnée par l’équation 4.2
1 1 + aT p
C(p) = √
,
a 1 + Tp
avec :
a>1
(4.2)
Le calcul des paramètres a et T du correcteur se fait en ajustant l’avance de phase maximale
au voisinage de la résonance afin d’améliorer la stabilité.
1. Déterminer la pulsation de résonance ωcp obtenue lorsque |G(p)| = 1. Quelle sera alors la
valeur de l’avance de phase maximale Φm du correcteur pour fixer une marge de phase de
45 deg sachant que le gain du correcteur correspondant à une avance de phase maximale
est de 1.
2. La pulsation de résonance et l’avance de phase maximale du correcteur sont données par
les équations 4.3 et 4.4 :
1
ωcp = √
(4.3)
T a
20
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
µ
Φm = arcsin
a−1
a+1
¶
(4.4)
En déduire les valeurs de a et T du correcteur.
3. Relever le diagramme de Bode du système corrigé en boucle ouverte et en déduire la
marge de phase et la marge de gain.
4. Relever également la réponse indicielle du système asservi afin d’en déduire le temps de
montée et le dépassement.
5. En déduire l’amélioration apportée par le correcteur par avance de phase.
ANNEXE : Méthode de calcul des paramètres du correcteur à avance de phase
Diagramme de Bode de
1+aT p
1+T p
Diagrammes de Bode
Gain (dB)
+2
0d
B/
de
c
20log(a)
20log( a )
0
φm
0
Phase (deg)
1
aT
1
aT
1
T
Fig. 4.2 – Diagramme de Bode de
21
1+aT p
.
1+T p
pulsation (rad/sec)
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
1 1 + aT p
C(p) = √
a 1 + Tp
µ
¶
a−1
φm = arcsin
a+1
1 + sin φm
a =
1 − sin φm
1
ωcp = √
aT
1
√
T =
ωcp a
Diagramme de Bode du système corrigé
20log|G(j ω)|
20log
1
a
20log|CG(j ω)|
ωcp
Fig. 4.3 – Diagramme de Bode : Gain.
– M φG : marge de phase de G,
– M φCG : marge de phase de CG (système corrigé),
– M φCG = M φG + φm .
22
ω
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
ωcp
ΜφCG
Arg(G(j ω))
Arg(CG(j ω))
ΜφG
−π
Fig. 4.4 – Diagramme de Bode : Phase.
23
Cette page est laissée blanche intentionnellement
TP 5 : Performances des systèmes
asservis et calcul de correcteurs P, PI
et PID.
5.1
Objectif du TP
Visualiser l’action des correcteurs à action proportionnelle et à action intégrale en se basant
sur des critères de précision, de rapidité ou encore de stabilité, puis faire le calcul de correcteurs
PI et PID à l’aide du tracé du lieu d’Evans du système régulé.
5.2
Introduction
Soit le système asservi de la figure 5.1 :
Entrée
C(p)
G(p)
Sortie
Fig. 5.1 – Système asservis corrigé par P, PI et PID.
G(p) représente la fonction de transfert du système. Nous étudierons l’asservissement de
deux systèmes :
G1 (p) =
1
1+p
G2 (p) =
1
(1 + p)(1 + p2 )(1 + p3 )
C(p) représente la fonction de transfert du correcteur.
Le travail consistera à établir différents correcteurs en fonction de critères tels que la précision, le temps de montée et le dépassement observés. Le programme auto1 écrit sous MATLAB
va permettre de faire l’étude du système en boucle ouverte ou en boucle fermée.
5.3
Asservissement d’un système d’ordre 1
G1 (p) =
25
1
1+p
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
5.3.1
TP Automatique Licence EEA
Correcteur à action proportionnelle
Le correcteur à action proportionnelle est défini par : C(p) = k : constante.
– Donner l’expression générale de l’erreur de position en fonction de k, et la valeur de k
pour laquelle l’erreur de position est 10%. Vérifier par simulation de la réponse indicielle
du système en boucle fermée que pour cette valeur de k le signal de sortie atteint 90% de
la valeur de la consigne. Relever également le temps de maintien à 2% (settling time).
– Comment évoluent ce temps de maintien et l’erreur de position lorsqu’on augmente ou
lorsqu’on diminue la valeur de k ?
– Est-il possible d’observer un dépassement sur la réponse indicielle du système en boucle
fermée ? Y a-t-il des risques d’instabilité ?
5.3.2
Correction à action intégrale
Le correcteur à action intégrale est défini par :
1
ki
=
Ti p
p
C(p) =
la fonction de transfert du système corrigé en boucle fermée s’identifie sous la forme :
F T BF (p) =
K
1+
2ξ
p
ωn
+
p2
2
ωn
√
avec ωn = ki et ξ = 2√1ki .
– Pour quelles valeurs de ξ et donc de ki , est-il possible d’observer un dépassement sur la
réponse indicielle du système corrigé en boucle fermée.
Le premier dépassement observé sur la réponse indicielle est donné par la formule :
Ã
!
−ξπ
d% = exp p
1 − ξ2
On peut vérifier grâce à cette équation qu’une valeur de ξ = 0.45 permet d’obtenir un
dépassement d’environ 20%.
– Calculer la valeur de ki pour laquelle le dépassement est de 20%. Observer la réponse
indicielle obtenue pour cette valeur de ki vérifier la valeur du dépassement et relever
l’erreur de position, le temps de montée et le temps de maintien à 2%.
– Observer l’évolution du dépassement, du temps de montée et du temps de maintien en
fonction de la valeur de ki .
– Quels sont les avantages et les inconvénients du correcteur à action intégrale ?
5.4
Asservissement d’un système d’ordre 3
G2 (p) =
5.4.1
1
(1 + p)(1 + p2 )(1 + p3 )
Correcteur à action proportionnelle
Le correcteur à action proportionnelle est défini par : C(p) = k : constante.
– Donner l’expression générale de l’erreur de position en fonction de k.
26
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
– A partir du diagramme de Nyquist (du système en boucle ouverte) donner la valeur de k
limite de stabilité.
– En déduire pourquoi il est impossible de réduire l’erreur de position à moins de 10% ?
– Calculer la valeur de k permettant d’obtenir un dépassement de 10% et de 53% en utilisant
l’option calcul du correcteur. Tracer la réponse indicielle, et relever le dépassement,
l’erreur de position ainsi que le temps de maintien à 2% (settling time).
5.4.2
Correction à action intégrale
Le correcteur à action intégrale est défini par :
C(p) =
1
ki
=
Ti p
p
– Calculer la valeur de ki permettant d’obtenir un dépassement de 10%. Utiliser pour cela
l’option calcul du correcteur. Vérifier par simulation que pour la valeur de ki calculée
le dépassement est de 10% et relever l’erreur de position et le temps de maintien à 2%.
– Observer l’évolution du dépassement, du temps de montée et du temps de maintien en
fonction de la valeur de ki .
5.4.3
Correcteur à action proportionnelle et intégrale PI
Le correcteur PI est défini par :
µ
ki
C(p) = k 1 +
p
¶
µ
=k
p + ki
p
¶
– Si on fixe ki à 0.75s−1 ,déterminer la valeur du gain k du correcteur pour avoir un temps
de maintien de 6s (utiliser l’option calcul du correcteur du programme de simulation
pour fixer ces critères et relever le gain du correcteur).
– Rechercher la valeur de k permettant d’obtenir un temps de maintien le plus petit possible
avec un dépassement inférieur à 5%. Relever les performances obtenues.
– Est-il possible en jouant sur les valeurs de ki d’obtenir de meilleures performances? (on
testera pour deux valeurs ki autour de 0.75 et on ajustera k ensuite).
– Calculer les valeurs de k et ki par la méthode de Ziegler-Nichols, et relever les caractéristiques de la réponse indicielle du système corrigé (en pratique ces valeurs constituent un
point de départ pour ajuster les paramètres du correcteur).
5.4.4
Correcteur à action proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)
Le correcteur PID est défini par :
µ
C(p) = k
Td p2 + p + ki
p
¶
– Partant des paramètres obtenus à la question précédente ajouter le terme dérivé avec
T d = 0.4 puis ajuster k pour obtenir un dépassement minimal. Relever les valeurs des
paramètres et les performances obtenues.
– Recommencer cette opération pour plusieurs valeur de ki et essayer de trouver les paramètres du correcteur qui vont donner la plus grande rapidité du système en boucle fermée,
en maintenant le dépassement inférieur à 5%.
– En guise de conclusion, décrivez les apports relatifs des contributions des actions proportionnelle, intégrale et dérivée.
27
Cette page est laissée blanche intentionnellement
Notice d’utilisation du programme
auto1
Ce programme permet de faire l’étude avec ou sans correcteur et en boucle ouverte
ou en boucle fermée d’un système donné par sa fonction de transfert.
Les fonctions de transfert du correcteur et du système sont définies à partir des coefficients
en p du numérateur et du dénominateur. Par exemple si G(p) = p+2
il faudra donner les
p
coefficients : [ 1 2 ] pour le numérateur et[ 1 0 ] pour le dénominateur. Les coefficients seront
donnés par ordre de puissance décroissante.
Après avoir défini les fonctions de transfert du système G et du correcteur C et choisi le type
d’étude : en boucle ouverte ou en boucle fermée (menu défini en haut à gauche de la fenêtre),
on pourra tracer différents diagrammes de représentation temporelle ou en fréquence.
NB : si l’on ne veut pas introduire de correcteur, il faut donner 1 pour le
numérateur et pour le dénominateur, si vous oubliez de définir ces coefficients
aucun diagramme ne pourra être tracé.
Différentes représentations possibles
Représentations en fréquence
BODE
En appuyant sur ce bouton, on obtient le diagramme de Bode en amplitude et en phase du
système à étudier. En cliquant sur le bouton droit de la souris lorsque le curseur est situé dans
la fenêtre graphique (cadre blanc contenant un graphe) on voit apparaı̂tre le menu suivant :
– Plot type
– Systems
– Characteristics
– Zoom
– Grid
Si vous cliquez sur Characteristics vous voyez apparaı̂tre deux options :
– Peak Response
– Stability Margins
En cliquant sur Stability Margins des cercles pleins apparaissent sur les graphes pour indiquer les marges de gain et marges de phase, il suffit de cliquer avec le bouton gauche de
la souris sur ces cercles pour voir apparaı̂tre les valeurs des marges et les pulsations correspondantes.
NB : si le système est instable ou si les marges ne peuvent être définies, aucun
cercle plein n’apparaı̂t sur les graphes, des commentaires seront affichés dans la
fenêtre situé en dessous des graphes pour vous expliquez pourquoi aucun cercle
plein n’apparaı̂t.
29
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
NYQUIST
En appuyant sur ce bouton, on obtient la visualisation de la représentation de Nyquist du
système.
BLACK
En appuyant sur ce bouton, on obtient la visualisation de la représentation de Black du
système.
NB : pour ces deux derniers types de représentations en fréquence, les marges
peuvent également être visualisées tout comme dans le diagramme de Bode.
Représentations temporelles
REPONSE INDICIELLE
En appuyant sur ce bouton, on peut visualiser la réponse du système lorsqu’on lui soumet un
échelon en entrée. En cliquant sur le bouton droit de la souris lorsque le curseur est situé dans
la fenêtre graphique (cadre blanc contenant un graphe) on voit apparaı̂tre le menu suivant :
– Plot type
– Systems
– Characteristics
– Zoom
– Grid
Si vous cliquez sur Characteristics vous voyez apparaı̂tre quatre options :
– Peak Response
– Settling Time
– Rise Time
– Steady State
En cliquant avec le bouton gauche de la souris sur Peak Response, un cercle plein permet de
localiser la valeur maximale du signal sur la réponse. En cliquant sur ce cercle, vous pouvez
visualiser les coordonnées du point en question. En cliquant sur Settling Time, il est possible
d’obtenir le temps de maintien défini ici par le temps nécessaire pour que la réponse se stabilise
à plus ou moins 2% de la valeur finale.
Rise Time donnera le temps de montée défini ici par le temps écoulé lorsque le signal passe de
10% à 90% de sa valeur finale.
Les échelles de temps et de fréquence peuvent être modifiée en utilisant l’option Tools du menu,
puis Reponse preference.
REPONSE IMPULSIONNELLE
En appuyant sur ce bouton, on peut visualiser la réponse du système lorsqu’on lui soumet une impulsion de Dirac en entrée. Les mêmes paramètres que ceux définis précédemment
peuvent être obtenus sur cette représentation.
NB : il sera possible de visualiser les coordonnées de points sur les courbes en
cliquant à l’endroit souhaité avec le bouton gauche de la souris.
Représentation des pôles et zéros
LIEU DES RACINES
En appuyant sur ce bouton, on obtient le lieu d’Evans qui permet de visualiser les pôles et
les zéros du système en boucle fermée dans le plan complexe et donc de voir si le système est
30
O. Horn, E. Losson, M. Kreutner et Y. Morère
TP Automatique Licence EEA
stable ou non.
NB : si le système est instable les pôles ont nécessairement des valeurs réelles
positives.
CALCUL DU CORRECTEUR
En appuyant sur ce bouton, on peut déterminer la valeur du gain du correcteur en fonction
de critères de stabilité du système (cf. Remarque particulière concernant cette option à la fin
de la notice)
Remarque particulière concernant l’utilisation de l’option
CALCUL DU CORRECTEUR
Cette fenêtre est la plus interactive. Grâce à la souris, il est possible, en cliquant avec
le bouton gauche de la souris sur les carrés rouges qui représentent les pôles de la fonctions
de transfert en boucle fermée, de déplacer ces pôles le longs des courbes en trait continu en
déplaçant la souris tout en maintenant le bouton gauche de la souris enfoncé. Le déplacement
de ces pôles correspond à un changement de valeur du gain k du correcteur. Il est aussi possible
de :
– zoomer/dézoomer la zone souhaitée grâce aux différents zooms possibles en bas, à
droite de la zone graphique.
– afficher les différentes représentations du système corrigé en boucle fermée (Bode, Nyquist,...) en cliquant dans l’une des cases situées en bas à gauche (step, impulse, bode,
nyquist nichols)
– modifier, ajouter ou supprimer les valeurs de pôles ou de zéros du correcteur, en cliquant
en haut à droite sur la case bleue portant la lettre K
– spécifier les critères de rapidité et de stabilité du système (cliquer dans la barre de menu sur
TOOLS puis Add Grid/Boundary) en fixant les valeurs du coefficient d’amortissement ξ
(Damping Ratio) et le temps de maintien (Settling Time). Des axes seront alors tracés sur
le graphe, il suffira de placer les pôles (carrés rouges) sur ces axes pour que les conditions
souhaités soient respectées.
NB : Les critères souhaités ne pourront être strictement vérifiés sur les simulations des réponses indicielles que dans le cas d’un système d’ordre 2 en boucle
fermée.
31
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