activites de recherche

activites de recherche
Activités de recherche
J. Unterberger – Institut Elie Cartan de Nancy (IECN)
Page web: http://www.iecn.u-nancy.fr/˜ unterber
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Rayonnement scientifique
Collaborations scientifiques
Collaborations suivies avec Malte Henkel (Laboratoire de Physique des Matériaux, Nancy),
Claude Roger (Département de mathématiques, Université Lyon 1), Samy Tindel (IECN,
Nancy), Andreas Neuenkirch (département de mathématiques, Frankfurt), Albrecht Böttcher
(département de mathématiques, Chemnitz), Vincent Rivasseau (laboratoire de physique
théorique, Orsay), e Jacques Magnen (laboratoire de physique théorique, Ecole Polytechnique) et Fabien Vignes-Tourneret (CNRS, Université Lyon I).
Groupes de travail et rencontres régulières
• 2000–2005: co-organisation d’un groupe de travail physique/mathématiques à l’IECN
autour de sujets divers (théorie quantique des champs, systèmes intégrables, théorie
conforme des champs et équation de Löwner stochastique, fondements probabilistes de
la physique statistique hors-équilibre). Des archives détaillées se trouvent sur ma page
web (lien: groupe de travail phys/math).
• 2001-2004: participation annuelle aux Rencontres mathématiques de Glanon organisées
par l’université de Bourgogne, autour de la physique mathématique et de la géométrie
de Poisson.
• 2007-2008: participation au groupe de travail Aspects fractals du laboratoire de probabilités (LPMA) de Paris VI.
• 2008-2009 : co-organisation du groupe de travail Probabilités discrètes autour de
systèmes de particules en interaction, en collaboration avec le Laboratoire de Physique
des Matériaux (Nancy).
GDR et Projets ANR
• 2001-2004: membre du GDR Structures géométriques et méthodes algébrico-topologiques
(ex-Séminaire sud-rhodanien de géométrie).
• 2006-2009: membre de l’ANR Géométrie différentielle stochastique et autosimilarité
(coordinateur: Fabrice Baudoin, Université P. Sabatier de Toulouse) dont l’objectif
est l’étude des processus stochastiques en lien avec la géométrie différentielle.
• 2009- : membre de l’ANR Explorations des chemins rugueux (coordinateur: Massimiliano Gubinelli, université Paris Dauphine). Co-organisateur de la première conférence
tenue les 10-11 juin 2010 à l’Institut Henri Poincaré, intitulée: ”Rough paths in interaction”.
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• 2010- : membre du GDR Renormalisation: aspects algébriques, analytiques et géométriques
(coordinateurs: Sylvie Paycha, Dirk Kreimer, Frédéric Patras).
Mini-cours
• septembre 2011: mini-cours sur les chemins rugueux (rough paths) donné à l’Université
de Rouen (équipe de probabilités).
• novembre 2011: mini-cours sur les chemins rugueux donné à l’Université de Heidelberg,
Allemagne (laboratoire de physique théorique).
Séjours et invitations à l’étranger
• Invitation à la Conference on quantum probability and infinite-dimensional analysis,
Levico Terme, Trento (Italie, 2005).
• Ecole d’été de physique statistique au Luxembourg, Ageing and the glass transition
(automne 2005).
• Invitation en mars et juin 2006 au Newton Institute de Cambridge (Angleterre) pour
participer au semestre Principles of Stochastic Dynamics (physique statistique horséquilibre).
• 2008: invitations pour séminaire aux universités de Chemnitz et de Frankfurt (Allemagne).
• Avril 2010: invitation à parler à la conférence ”workshop” du trimestre Combinatorics
and Control (CSIC, Madrid).
• Novembre 2010: invitation à parler au séminaire de probabilités à l’Université d’Oxford
par T. Lyons.
• 13–19 mars 2011: invitation à parler au workshop Renormalization group à l’Institut
de recherches mathématiques d’Oberwolfach (organisateurs: M. Disertori, J. Feldman,
M. Salmhofer).
• décembre 2011: invitation par H. Spohn à l’université de Munich (Allemagne).
• janvier 2012: invitation par M. Hairer à l’université de Warwick (Royaume-Uni).
• Printemps 2012: invitation au Hausdorff Research Institute (Bonn, Allemagne) pour
le programme trimestriel Mathematical challenges of materials science and condensed
matter physics: from quantum mechanics through statistical mechanics to nonlinear
pde (organisateurs: S. Conti, R. James, S. Luckhaus, S. Müller, M. Salmhofer, B.
Schlein).
• 5–11 août 2012: conférencier invité au Congrès International de Physique Mathématique
(ICMP) se tenant à Aalborg (Danemark).
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Invitations et séjours en France
• 2005- : Invitations régulières à l’université Lyon I (collaboration avec C. Roger, invitation au séminaire de physique mathématique).
• Exposés (entre autres): Centre de physique théorique (CPT) de Marseille-Luminy (2005);
CEA Saclay, service de physique théorique (2007); laboratoire de probabilités de Paris VI
(2007); Journées de Probabilité (Lille, septembre 2008; Poitiers, juin 2009; Dijon, juin 2010);
séminaire d’ équations différentielles et séminaire de probabilités (Toulouse, 2008); séminaire
de probabilités et statistiques (Lille, 2009); atelier sur les symétries non relativistes (Tours,
2009); séminaire général (Mulhouse, 2009); conférence internationale sur la renormalisation
(Lyon, juin 2010); séminaire de probabilités (Strasbourg, janvier 2011); séminaire de systèmes
dynamiques et interactions et séminaire de probabilités et statistiques (Nice, janvier 2011);
séminaire de physique mathématique (Lyon, février 2011); séminaire d’équations différentielles
et séminaire de probabilités (Toulouse, 2011); séminaires d’équations aux dérivées partielles et
de physique mathématique (Cergy, Bordeaux, 2011); conférence sur les équations de SchwingerDyson (GDR Renormalisation, Strasbourg, juin 2011); groupe de travail de modélisation
stochastique (LPMA, Paris, février 2012); Séminaire lotharingien de combinatoire (Alsace,
mars 2012).
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Thèmes de recherche développés
A
Analyse harmonique sur les groupes de Lie semi-simples
Réf. A1–4
Mon travail de thèse et un certain nombre d’articles sur la période 1999-2002 portent sur
l’étude de l’analyse harmonique sur les groupes de Lie semi-simples, notamment la dualité
entre un espace symétrique pseudo-riemannien G/H (comme l’espace de de Sitter ou hyperboloı̈de à un feuillet) et son dual compact U/K (comme la sphère), ainsi que l’étude des
fonctions et distributions sphériques sur un espace symétrique pseudo-riemannien à l’aide
des opérateurs de shift introduits notamment par Cherednik et Opdam, avec des applications
à des formules de type Plancherel ou Paley-Wiener.
Suite à l’impulsion donnée par le groupe de travail physique/mathématiques organisé à
Nancy, je me suis alors graduellement réorienté vers d’autres thématiques, dans lesquelles
la théorie des groupes a souvent sa part.
B
Géométrie des groupes de symétries dynamiques de dimension infinie
et applications physiques
La période 2003–2007 a été essentiellement consacrée à l’étude d’une algèbre de Lie dite
de Schrödinger-Virasoro, d’un point de vue algébrique, géométrique et physique. Il s’agit
d’une algèbre de Lie de dimension infinie, sv, produit semi-direct de l’algèbre de Virasoro
de charge centrale nulle V ect(S 1 ) (autrement connue comme algèbre de champs de vecteurs
sur le tore) – cf. monographie récente de L. Guieu et C. Roger [GuiRog] – par une algèbre de
Lie nilpotente de rang 2 de dimension infinie. L’introduction de cette algèbre par M. Henkel
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(du laboratoire de physique des matériaux de Nancy) en 1994 était motivée par la recherche
d’une hypothétique invariance d’échelle locale en physique statistique hors-équilibre, calquée
sur l’invariance conforme responsable de l’intégrabilité de quantité de modèles à l’équilibre
au point critique, en dimension 2, dont les principaux paradigmes sont le modèle d’Ising et
la percolation, rendus célèbres récemment par les travaux de Lawler-Schramm-Werner et S.
Smirnov. Dans le cas d’un exposant dynamique z = 2 qui apparaı̂t dans un certain nombre
de modèles physiques, explorés notamment par M. Henkel et ses collaborateurs, la géométrie
sous-jacente est la géométrie non relativiste ou géométrie newtonienne, qui se formalise à
l’aide des variétés de Newton-Cartan (cf. travaux de C. Duval [Duv] et collaborateurs).
L’algèbre sv peut être introduite comme algèbre de symétries dans ce contexte.
1. Approche algébrique. Une analyse assez poussée des propriétés cohomologiques
de l’algèbre sv (déformations, extensions...), de ses extensions supersymétriques et de ses
représentations a été menée en collaboration avec C. Roger, du département de mathématiques
de l’université Lyon I, et M. Henkel (Réf. B2, 3, 5). On obtient des généralisations non
triviales de résultats obtenus antérieurement pour l’algèbre de Virasoro et ses extensions
semi-directes par modules de densité. L’algèbre de Schrödinger-Virasoro (ainsi que ses
supersymétrisations, qui sont des extensions par produit semi-direct de superalgèbres de
contact) apparaissent également comme quotients d’algèbres de Poisson sur le tore ou le
supertore. Un article, consacré à l’étude de représentations vertex, prolonge des travaux
classiques menés à partir des années 80 sur les représentations de l’algèbre de Lie de Virasoro dans le contexte de la théorie conforme des champs (cf. livre de P. Di Francesco et al.
[DiF]).
2. Approche hamiltonienne. Il est bien connu (cf. livre classique d’Arnold-Khesin
[ArnKhe] ou livre plus récent de Khesin-Wendt [KheWen]) que nombre d’équations aux
dérivées partielles de la physique mathématique (KdV, Burgers, Euler...) s’obtiennent indifféremment comme géodésiques sur l’espace tangent à un groupe de difféomorphismes de
dimension infinie, ou à partir d’un flot hamiltonien sur le dual de l’algèbre de Lie. Un
des points de vue les plus prometteurs dans cette optique est celui des réalisations de sv
comme algèbre de symétries de familles d’équations physiques, en particulier d’opérateurs
de Schrödinger dépendant périodiquement du temps. Les orbites de cette action sur le sousespace des opérateurs de potentiel au plus quadratique en espace (du type oscillateurs harmoniques généralisés) sont de codimension finie; nous avons obtenu une classification à la
Kirillov [Kir] de ces orbites à l’aide de formes normales (Réf. B7). La résolution explicite
de ces opérateurs à l’aide des invariants d’Ermakov-Lewis introduits en physique quantique
peut se réinterpréter dans ce cadre; la combinaison des outils algébriques, géométriques et
analytiques permet en fin de compte de déterminer la monodromie de ces opérateurs . Dans
un travail en collaboration avec C. Roger (Réf. B6), nous montrons – en utilisant la réalisation
de sv comme quotient d’une algèbre de Poisson comme ci-dessus – que l’action de sv sur
l’espace général des opérateurs de Schrödinger est hamiltonienne pour une certaine structure
de Poisson obtenue comme projection d’une structure à la Kirillov-Kostant-Souriau.
Une monographie sur l’ensemble de ces résultats, en collaboration avec C. Roger, vient d’être
publiée chez Springer (Réf. B8).
L’algèbre de Schrödinger-Virasoro peut être vue comme un premier essai de formalisation
des symétries de systèmes variés, ayant pour point commun d’être l’objet d’une dynamique
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apparentée de près ou de loin à une équation de Schrödinger ou parabolique (cf. livre récent
de Henkel et Pleimling [HenPle]). La signature intuitivement la plus claire de la pertinence
de cette algèbre est l’invariance de la dynamique sous le groupe de Schrödinger, ou sous le
sous-groupe des transformations de vieillissement, dans lequel l’invariance par translation
en temps a disparu. Malgré le livre (Réf. B8) récemment publié, nous considérons que le
projet n’en est qu’à ses débuts. Pour le faire évoluer, il faut de toute évidence s’éloigner des
équations aux dérivées partielles linéaires considérées jusqu’à présent, pour se rapprocher
des problèmes physiques non linéaires qui l’ont motivé initialement. Parallèlement, l’étude
proprement mathématique, à la façon d’Arnold et Khesin (mécanique hamiltonienne en
dimension infinie associée à des groupes de difféomorphismes) de cette algèbre est loin d’être
achevée; les étapes suivantes devraient galement faire apparaı̂tre des équations aux dérivées
partielles non linéaires:
1. Dans les travaux de Lewis et Leach [LL], on trouve clairement la trace de nouvelles classes d’équations de Schrödinger non linéaires encore non identifiées, apparaissant
lorsqu’on cherche des invariants de degré ≥ 3.
2. L’article (Réf. B6), portant sur la nature hamiltonienne de l’action par reparamétrisation
sur les équations de Schrödinger, augure de l’existence de systèmes intégrables bi-hamiltoniens,
sur lesquels nous n’avons pas eu le temps de nous pencher encore.
3. Reste la question lancinante de comprendre si des modèles dynamiques critiques
satisfont une invariance sous un groupe de difféomorphismes de l’espace-temps de dimension
infinie, relié de près ou de loin à l’algèbre de Schrödinger-Virasoro. Les réponses, s’il y en a,
nécessiteront, on peut le parier, un long détour par les probabilités et la théorie des champs.
Bibliographie. [ArnKhe] V. Arnold, B. Khesin. Topological methods in hydrodynamics. [DiF] P.
Di Francesco, P. Mathieu, D. Sénéchal. Conformal field theory, Springer (1997). [Duv] C. Duval. On
Galilean isometries, Class. Quantum Grav. 10 (1993). [GuiRog] L. Guieu, C. Roger. L’algèbre et le
groupe de Virasoro: aspects géométriques et algébriques, CRM, Montreal (2007). [HenPle] M. Henkel,
M. Pleimling. Non-equilibrium phase transitions, Springer (2010). [KheWen] B. Khesin, R. Wendt,
The geometry of infinite-dimensional groups (2009). [Kir] A. A. Kirillov. Infinite-dimensional Lie
groups: their orbits, invariants and representations, LNM 970 (1982). [LL] H. Lewis, P. Leach. A
direct approach to finding exact invariants for 1d time-dependent classical Hamiltonians, J. Math.
Phys. 23 (1982).
C
Géométrie locale des chemins rugueux: approches algébriques et
physiques, applications au calcul stochastique
La résolution d’une équation différentielle classique dy(t) = V (y(t))dγ(t) contrôlée par un
chemin γ : R → Rd – comme des équations d’évolution de manière plus générale – repose sur
des méthodes de point fixe, les itérations faisant apparaı̂tre des intégrales itérées du chemin γ
contre lui-même, qui s’interprètent géométriquement comme les aires et volumes engendrés.
Lorsque γ est irrégulier, par exemple α-Hölder (α < 1), la théorie des perturbations associée
nécessite une définition indépendante des premières intégrales itérées jusqu’à l’ordre N =
b1/αc.
Il est surprenant de voir combien ce problème apparemment naı̈f est en fait profond, et fait
appel à des structures mathématiques et physiques extrêmement variées. Les travaux sur
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les chemins rugueux dûs à T. Lyons, N. Victoir, P. Friz, M. Gubinelli et al. montrent que
la donnée de telles intégrales itérées est équivalente à un relèvement des trajectoires comme
sections Hölder d’un fibré principal sur R de fibre GN , où GN est un groupe nilpotent libre.
De telles sections s’approchent à leur tour par des bouts de géodésiques sous-riemanniennes
pour la métrique de Carnot-Carathéodory associée, au lieu des approximations de Taylor
classiques. Malgré les applications de la théorie générale au calcul stochastique – les chemins
irréguliers étant souvent d’origine aléatoire, comme par exemple les trajectoires browniennes
(cf. livre récent de Friz-Victoir [FV]) –, l’approche purement géométrique est insuffisante
pour deux raisons principales: (i) de tels relèvements sont a priori extrêmement arbitraires,
sans que la géométrie déterministe permette a priori d’en choisir un meilleur ou plus explicite
qu’un autre; (ii) les géodésiques sous-riemanniennes sont elles-mêmes des objets très mal
connus, objet de recherches actuelles (cf. livre classique de Montgomery [Mon]).
Nous avons introduit à partir de 2007 de nouvelles approches algébriques et physiques permettant de construire des relèvements explicites provenant de motivations physico-géométriques
encore largement à élucider. Un rôle fondamental, comme nous l’avons montré, est tenu par
les intégrales squelette ou intégrales ordonnées en Fourier, obtenues par une analyse de
Fourier, et motivées en fin de compte par les résultats de l’analyse en ondelettes ou multiéchelles. De manière générale, les probabilités fournissent les exemples et les applications
les plus probants actuellement, et sous-tendent les démonstrations originelles; une partie
des résultats obtenus (Réf. C1, 3, 4, 5, 7) concerne plus spécifiquement le brownien fractionnaire, famille de processus gaussiens dépendant de α comprenant le brownien usuel, et pour
lesquels on ne savait pas construire les intégrales itérées en-dessous de la barrière α = 1/4 ou
N = 4. Il semble que les probabilités doivent jouer un rôle même dans l’étude des chemins
déterministes.
1. Algorithme de mise en ordre normal de Fourier. Les intégrales squelette se codent
comme des intégrales arborescentes d’un type particulier. Les relations classiques de compatibilité algébrique dites de Chen et de de shuffle, équivalentes à la notion géométrique
de relèvement, s’interprètent de manière naturelle en termes du produit et du coproduit
des algèbres de Hopf d’arbres de Connes et Kreimer (celle-ci rendue célèbre par les travaux
algébriques sur la renormalisation des intégrales de Feynman [CK]) et de shuffle. Nous
montrons en fait – à l’aide d’une construction combinatoire s’interprétant comme un isomorphisme explicite d’algèbres de Hopf (Réf. C8) – que tout chemin rugueux formel s’obtient
par l’algorithme de mise en ordre normal de Fourier à partir de données d’arbres ou données
ordonnées en Fourier arbitraires, indexées par des arbres à ≤ N sommets.
2. Schémas de régularisation, schéma de renormalisation. Les données d’arbres peuvent se construire par régularisation des intégrales squelette. La mise en ordre normal
de Fourier s’avère ici être cruciale pour des raisons d’ordre analytique. Les schémas de
régularisation, très arbitraires a priori (comme celui de domaine de Fourier développé initialement, cf. Réf. C4, 6), reposent sur des méthodes multi-échelles. La Réf. C9 introduit
un nouveau schéma plus intrinsèque, provenant du schéma de renormalisation classique
en théorie des champs, connu sous le nom de formule des forêts de Bogolioubov-ParasiukHepp-Zimmermann (BPHZ), à l’aide d’une réécriture des intégrales itérées en termes de
diagrammes de Feynman.
3. Les derniers travaux avec J. Magnen, du laboratoire de physique théorique de l’Ecole
Polytechnique (Réf. C10, 11), vont beaucoup plus loin, puisqu’ils montrent que le brownien
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fractionnaire et ses intégrales itérées définissent en vérité un nouveau modèle non local de
théorie des champs, dont le flot du groupe de renormalisation est très particulier. Le modèle
est bien défini à toutes les échelles, comme une analyse poussée suivant les lignes générales
de la théorie constructive des champs permet de le montrer. L’article de revue (Réf. C12)
résume les principes généraux de la théorie constructive (malheureusement peu connue endehors d’un petit cercle d’experts; cf. livre de V. Rivasseau [Riv]), et montre comment les
appliquer aux chemins rugueux. La compréhension géométrique et physique de ces modèles
non locaux, ainsi que l’application systématique des outils de la théorie des champs au calcul
stochastique et à la géométrie sous-riemannienne sous-jacente, sont en cours (cf. projet I
ci-dessous).
Bibliographie. [CK] A. Connes, D. Kreimer. Hopf algebras, renormalization and non-commutative
geometry, Comm. Math. Phys. 199 (1998). [FV] P. Friz, N. Victoir. Multidimensional dimensional
processes seen as rough paths, Cambridge Univ. Press (2010). [Mon] R. Montgomery. A tour of
subriemannian geometries, their geodesics and applications, AMS (2002). [Riv] V. Rivasseau. From
perturbative to constructive renormalization, Princeton series in physics (1991).
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Projets de recherche
I. Géométrie locale aléatoire des chemins
(ANR Exploration des chemins rugueux, et GDR Renormalisation)
Le projet – en collaboration avec Jacques Magnen, du laboratoire de physique théorique de
l’Ecole Polytechnique –, à l’intersection entre géométrie sous-riemannienne, calcul stochastique et théorie quantique des champs, est dans la continuation directe des travaux précédents
sur les chemins rugueux. Le fil conduit d’un problème probabiliste spécifique vers une approche générale inspirée par la physique et la combinatoire algébrique, à travers les dédales
de la théorie des champs. Notre modèle initial s’obtient à partir de la mesure gaussienne
dµ(φ) du brownien fractionnaire φ en rajoutant un lagrangien d’interaction L, quadratique
en l’aire de Lévy (intégrale itérée d’ordre deux). A toute échelle de coupure ultra-violette ρ
– coupant les fluctuations dont le logarithme
de la fréquence est supérieur à ρ –, on associe
R →ρ
→ρ
1
−λ
L
(φ)
la mesure de Gibbs Pλ := Z →ρ e
dµ(φ). On démontre à l’aide d’une renormalisation constructive (i.e. non perturbative, autrement dit mathématiquement rigoureuse)
que la mesure limite Pλ := limρ→∞ Pρλ définit un brownien fractionnaire (donc des trajectoires aléatoires indistinguables des trajectoires gaussiennes initiales) engendrant une aire
signée (ou aire de Lévy) finie si l’indice α de régularité (ou de Hurst) du processus est dans
l’intervalle α ∈ (1/8, 1/4). Des réinterprétations successives de ce modèle conduisent aux
résultats suivants (à confirmer):
1. A l’aide du formalisme de champ de réponse de Martin-Siggia-Rose (jouant ici le rôle
d’une transformation de Girsanov), le champ φ quasi-Gaussien modifié par l’interaction
peut se réécrire comme solution d’une équation différentielle stochastique singulière, limite d’une suite d’équations différentielles stochastiques tronquées dans l’ultra-violet. De
manière générale, ces équations différentielles sont en fait intégro-différentielles (elles font
intervenir tout le passé de la trajectoire). L’énorme différence avec le modèle initial est
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que ces équations différentielles sont trajectorielles. Elles existent donc aussi (au moins
formellement) pour des chemins déterministes quelconques.
2. Lorsque α = 1/4, un autre modèle conduit à une véritable équation différentielle et
non intégro-différentielle (bien que toujours singulière), ne dépendant que de la valeur du
chemin et de son aire à l’instant donné. Le terme de drift (dérive) fait intervenir un bruit
blanc indépendant de la trajectoire. Ce bruit blanc conduit à faire ”tourner” le chemin de
manière aléatoire. En renormalisant directement l’équation différentielle par des méthodes
constructives adaptées, on voit apparaı̂tre une viscosité de l’aire l’empêchant de diverger.
3. L’étude des singularités sur la diagonale de produits de données ordonnées en Fourier
(correspondant à ce qu’on appelle operator product expansions ou développements en produits
opératoriels en théorie quantique des champs) fait apparaı̂tre des coefficients qui semblent
jouer le rôle de coefficients de Christoffel sur les groupes de Carnot-Carathéodory. De là on
peut espérer tirer de nouvelles définitions de connexions sur ces variétés sous-riemanniennes,
problème de géométrie bien connu, objet de nombreux travaux récents (cf. travaux d’A.
Agrachev, L. Rifford, F. Baudoin, N. Juillet...) et sujet à des controverses.
4. Le modèle initial se généralise au brownien fractionnaire de régularité quelconque, en
faisant intervenir dans l’interaction L les données d’arbres (morceaux en Fourier d’intégrales
itérées arborescentes), définies antérieurement dans l’étude algébrique générale des chemins
rugueux.
A côté de ces questions d’essence géométrique, subsistent des questions fondamentales
spécifiquement probabilistes. Des travaux en cours semblent montrer: (1) qu’on peut démontrer
un théorème d’existence globale des solutions d’équations différentielles stochastiques dirigées
par un processus gaussien α-Hölder, sous des conditions de type Lipschitz; (2) que l’extension
naturelle du calcul de Malliavin aux chemins rugueux est un calcul de Malliavin ordonné
en Fourier, pour lequel les dérivées sont relatives non seulement au champ φ, mais à toutes
les données d’arbres associées. Les opérateurs de dérivation se comprennent en termes de
développements en produits opératoriels. Ce calcul de Malliavin devrait sans doute permettre de résoudre des équations différentielles stochastiques avec une condition d’hypoellipticité
de type Hörmander ou ”bracket-generating”.
II. Explorations constructives: physique quantique
Le projet précédent m’a permis de m’approprier les techniques constructives en théorie
des champs (cf. mon article de revue sur le sujet [C12]). C’est bien entendu l’occasion
d’appliquer ces techniques dans des contextes tout à fait différents. Deux projets sont en
cours, le premier avec Jacques Magnen, le deuxième avec Jacques Magnen et Fabien VignesTourneret, de l’université de Lyon I.
1. Etude constructive de la transition de phase supraconductrice. Les travaux de MagnenRivasseau-Feldman-Trubowitz et al. [FMRT] sur le modèle BCS (supraconducteurs basse
température) ont montré dans les années 90 comment comprendre l’apparition du gap
d’énergie ∆ caractéristique de la supraconductivité, en partant du modèle du jellium. Seules
les premières étapes d’une renormalisation constructive de ce modèle ont été réalisées. Un
développement en 1/N , N =nombre de secteurs sur la sphère de Fermi (divergeant exponentiellement dans l’infra-rouge) devrait permettre de faire apparaı̂tre la transition de phase
et de construire le modèle à toute température. Les idées sont présentes en germe dans ces
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articles, mais n’ont jamais été poussées jusqu’au bout. Il s’agirait du premier modèle non
intégrable avec transition de phase étudié intégralement par des méthodes rigoureuses de
théorie des champs.
2. Etude constructive de la théorie des particules élémentaires sur des espaces lorentziens. La
théorie constructive est depuis toujours écrite en euclidien, c’est-à-dire en temps imaginaire;
les propagateurs sont alors singuliers dans la limite infra-rouge ou ultra-violette (pour les
particules élémentaires), ou sur une surface ou sphère de Fermi (en physique du solide);
le support de la singularité est donc ”ponctuel” ou compact. Au contraire, en lorentzien,
l’opérateur modèle (opérateur de Klein-Gordon ou opérateur des ondes) est hyperbolique, et
les propagateurs sont singuliers sur les hyperboloı̈des de masse, qui sont des hypersurfaces
non compactes. L’analyse multi-échelles de ce genre d’opérateurs a été étudiée par CandèsDonoho-Demanet (cf. [CD]) à l’aide d’objets directionnels appelés curvelets généralisant les
ondelettes; le découpage de l’espace des phases doit reposer ici sur des Minkowski curvelets
définies sur l’espace-temps. Une étude d’un ”toy model” bosonique (connu sous le nom de
modèle φ4 infra-rouge) en dimension 4 (cf. [FMRS] pour la version euclidienne) est en cours;
elle est représentative des difficultés du problème (et relevante pour l’étude du fameux boson
de Higgs recherché dans le nouvel accélérateur du CERN!). Elle repose en particulier sur la
construction de ces Minkowski curvelets, intéressantes également pour la représentation des
solutions d’équations d’onde générales (étude également en cours). La question de savoir si
ce genre d’analyse multi-échelle est faisable sur des variétés lorentziennes plus générales est
ouverte. On peut prédire que la réponse dépend de la structure géométrique à l’infini de la
variété, et du comportement des solutions de l’équation de Klein-Gordon. Une interaction
avec des spécialistes de la relativité générale serait très profitable.
Références. [CD] E. Candès, L. Demanet. The curvelet representation of wave propagators
is optimally sparse, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2004). [FMRS] J. Feldman, J. Magnen, V.
Rivasseau, R. Sénéor. Construction of infrared φ44 by a phase space expansion, Comm. Math. Phys.
109 (1987). [FMRT] J. Feldman, J. Magnen, V. Rivasseau, E. Trubowitz. Constructive many-body
theory, Reviews in Math. Phys. 6 (1994).
III. Explorations probabilistes et constructives
Physique statistique et EDP stochastiques
Le formalisme dit de réponse ou Martin-Siggia-Rose est un formalisme bien connu par
les experts de la théorie des champs (perturbative), permettant de réécrire des équations
aux dérivées partielles stochastiques dirigées par un bruit gaussien sous forme lagrangienne. Un des enjeux consiste à rendre ce formalisme rigoureux. Lorsque le processus de
Markov sous-jacent n’est pas dans sa mesure d’équilibre à l’instant initial, une difficulté
supplémentaire consiste à tenir compte de la condition initiale. On peut espérer pouvoir
utiliser le formalisme de réponse au moins lorsque la condition initiale est suffisamment
proche de la mesure d’équilibre, supposée connue. Un cas d’étude possible est celui de
l’équation de croissance de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) – illustrée ces dernières années par
de nombreux travaux en dimension 1 de Spohn, Quastel, Corwin, Hairer... –, mais en trois
dimensions d’espace ou plus, avec un cut-off ultra-violet (ou en d’autre termes, en utilisant
une régularisation locale du bruit blanc). L’étude perturbative du groupe de renormalisation prédit que le terme non-linéaire est non pertinent dans la limite grande distance/grand
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temps (avec scaling parabolique), et donc que la solution se comporte asymptotiquement
comme une équation de la chaleur stochastique. Un autre problème bien connu est celui de
l’équation d’Allen-Cahn, censée représenter le comportement d’un système de spins unidimensionnels trempés brutalement à basse température à partir d’une température supérieure
à la température critique. Le bruit essentiel est alors dans les conditions initiales, qu’on peut
supposer aléatoires, avec une corrélation à faible distance. Le régime de croissance des interfaces entre les domaines où le spin est positif et ceux où il est négatif a été étudié par de
très nombreux auteurs, physiciens ou mathématiciens (De Masi, Presutti, Giacomin, EvansSoner-Souganidis, Caputo-Martinelli-Simenhaus-Toninelli, Bray, Mazenko, Cugliandolo...),
en lien avec le flot de courbure moyenne. La difficulté supplémentaire, de taille, est ici dans
la condition initiale désordonnée, qu’on peut espérer traiter avec un mélange de techniques
probabilistes et de théorie des champs. Les mêmes questions se posent pour des spins à
valeurs complexes: on obtient alors une équation de Ginzburg-Landau dépendant du temps
avec condition initiale désordonnée (cf. travaux de Bethuel-Orlandi-Smets). La question
de l’établissement du régime initial de séparation de phases doit pouvoir se traiter par des
techniques de limites hydrodynamiques (cf. travaux de Varadhan-Kipnis-Landim...), ce qui
pourrait constituer un sujet de thèse pour un étudiant.
Signalons enfin que les outils d’analyse réelle (curvelets) présentés dans le paragraphe
précédent, appliqués au modèle φ4 à température finie - réécrit en termes d’une théorie
lagrangienne grce au formalisme dit de Keldysh - pourrait permettre à terme d’établir la
loi de Fourier de conduction de la chaleur, sujet de nombreuses investigations récentes (cf.
articles de Bernardin-Olla, Eckmann, Hairer, Spohn, Bricmont-Kupiainen...).
Références. [BOS] F. Bethuel, G. Orlandi, D. Smets. Convergence of the parabolic GinzburgLandau equation to motion by mean curvature, Ann. Math. 163 (2006). [CMST] P. Caputo, F.
Martinelli, F. Simenhaus, F. Toninelli. ”Zero” temperature stochastic 3d Ising model: a first step
towards interface mean curvature motion, arXiv:1007.3599.
4
Liste de publications
L’essentiel des publications se trouve sur arXiv et peut également être téléchargé à partir
de ma page http://www.iecn.u-nancy.fr/˜unterber/articles.html.
Les travaux concernant la physique mathématique (partie B) ont été réunis dans l’ouvrage
suivant:
(pièce jointe) en collaboration avec C. Roger. The Schrödinger-Virasoro algebra.
Mathematical structure and dynamical Schrödinger symmetries. Monographie parue chez
Springer (Theoretical and mathematical physics, 2012).
Les travaux concernant les chemins rugueux (partie C) ont fait l’objet d’un article de
synthèse paru dans la gazette de la SMF (janvier 2012), dont une copie est disponible sur
ma page web.
Les techniques de théorie constructive des champs ont fait l’objet d’un article de revue:
10
(pièce jointe) Mode d’emploi de la théorie constructive des champs bosoniques. Avec
une application aux chemins rugueux. A paraı̂tre à: Confluentes Mathematicae.
A. Analyse harmonique sur les groupes de Lie semi-simples
1. en collaboration avec N. B. Andersen. Harmonic analysis on SU (n, n)/ SL(n, C) × R∗+ , J.
Lie Theory 10, 311–322 (2000).
2. en collaboration avec F. Ricci. Solvability of invariant sublaplacians on spheres and group
contractions, Rend. Mat. Acc. Lincei 9 (12), 27–42 (2001).
3. Hypergeometric functions of second kind and spherical functions on an ordered symmetric
space, Journal Functional Analysis 188, 137–155 (2002).
4. en collaboration avec N. B. Andersen. An application of shift operators to ordered symmetric
spaces, Annales Institut Fourier 52 (1), 275–288 (2002).
B. Géométrie des groupes de symétries dynamiques et applications physiques
1. en collaboration avec M. Henkel. Schrödinger invariance and space-time symmetries, Nuclear
Physics B660, 407–435 (2003).
2. (pièce jointe) en collaboration avec C. Roger. The Schrödinger-Virasoro Lie group and
algebra: representation theory and cohomological study, Annales Henri Poincaré 7, 1477–1529
(2006).
3. en collaboration avec M. Henkel. Supersymmetric extensions of Schrödinger-invariance, Nuclear Physics B746, 155–201 (2006).
4. en collaboration avec M. Henkel, R. Schott et S. Stoimenov. On the dynamical symmetric
algebra of ageing: Lie structure, representations and Appell systems, Quantum Probab. White
Noise Anal. 20, 233–240 (2007).
5. On vertex algebra representations of the Schrödinger-Virasoro algebra, Nuclear Physics B823
(3), 320–371 (2009).
6. (pièce jointe) en collaboration avec C. Roger. A Hamiltonian action of the SchrödingerVirasoro algebra on a space of periodic time-dependent Schrödinger operators in (1 + 1)dimensions, Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17 (3), 257–279 (2010).
7. (pièce jointe) A classification of periodic time-dependent generalized harmonic oscillators
using a Hamiltonian action of the Schrödinger-Virasoro group, Confluentes Mathematicae 2
(2), 217–263 (2010).
C. Géométrie locale des chemins rugueux
1. Stochastic calculus for fractional Brownian motion with Hurst exponent H > 1/4 : a rough
path method by analytic extension, Annals Probability 37 (2), 565–614 (2009).
2. en collaboration avec S. Tindel. The rough path associated to the multidimensional analytic
fractional Brownian motion with any Hurst parameter. Collectanea Mathematica 62 (2), 197–
(2011).
3. A central limit theorem for the rescaled Lévy area of two-dimensional Brownian motion with
Hurst index H < 1/4. Preprint arXiv:0808.3458. Non publié.
11
4. A stochastic calculus for multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst
index, Stochastic Processes and Applications 120 (8), 1444-1472 (2010).
5. en collaboration avec A. Neuenkirch et S. Tindel. Discretizing the fractional Lévy area,
Stochastic Processes and Applications 120 (2), 223–254 (2010).
6. Hölder-continuous rough paths by Fourier normal ordering, Communications in Mathematical
Physics 298 (1), 1–36 (2010).
7. Moment estimates for solutions of linear stochastic differential equations driven by analytic
fractional Brownian motion, Electronic Communications in Probability 15, 411–417 (2010).
8. (pièce jointe) en collaboration avec Loı̈c Foissy (probabilités et combinatoire algébrique).
Ordered forests, permutations and iterated integrals, International Mathematics Research Notices (2012).
9. A renormalized rough path over fractional Brownian motion. Preprint arXiv:1006.5604.
10. (pièce jointe) en collaboration avec J. Magnen. From constructive field theory to fractional
stochastic calculus. (I) An introduction: rough path theory and perturbative heuristics, Annales
Henri Poincaré 12, 1199-1226 (2011).
11. en collaboration avec J. Magnen. From constructive field theory to fractional stochastic calculus. (II) Constructive proof of convergence for the Lévy area of fractional Brownian motion
with Hurst index α ∈ (1/8, 1/4), Annales Henri Poincaré 13 (2), 209–270 (2011).
Articles sur les matrices de Toeplitz
1. en collaboration avec A. Böttcher et S. Grudsky. Asymptotic pseudomodes of Toeplitz matrices,
Operators and Matrices 2, 525–541 (2008).
2. en collaboration avec A. Böttcher, S. Grudsky et E. A. Maksimenko. The first order asymptotics of the extreme eigenvectors of certain Hermitian Toeplitz matrices, Integr. Equ. oper.
theory 63, 165–180 (2009).
Comptes-rendus de conférences et de l’Académie des Sciences
Divers
• Prolongement analytique des séries de Fourier sur un groupe compact, C. R. A. S. Paris 324
(I), 1089–1092 (1997).
• en collaboration avec M. Henkel, A. Picone et M. Pleimling. Local scale invariance and its
applications to strongly anisotropic critical phenomena, Mathematical Physics Frontiers, Nova
Science, New York (2004).
• The Schrödinger-Virasoro Lie algebra: a mathematical structure between conformal field theory
and non-equilibrium dynamics, Journal of Physics, Conference Series 40, 156 (2006).
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