Mathémathiques 1ère S

Mathémathiques 1ère S
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CHAPITRE
8
Probabilités
Le mot hasard vient de l'arabe al zhar qui désigne un dé à jouer.
Les jeux de hasard sont connus depuis la plus
haute Antiquité. Déjà les romains et les grecs
jouaient aux osselets (des astragales).
C'est l’étude de ces jeux de hasard qui a conduit Pierre de Fermat(1601-1665) et Blaise Pascal (1623-1662) à s'intéresser au calcul des
probabilités.
Ainsi la personne qui joue au LOTO, qui choisit
6 numéros sur une grille qui en comporte 49,
attend avec impatience le jour du tirage pour
savoir s’il a gagné. On montre qu’il y a
13 983 816 manières différentes de choisir
6 numéros parmi les 49 proposés sur la grille.
Chacun des six numéros est choisi au hasard
par un appareil.
Ce joueur a donc une chance sur 13 983 816 de
gagner le gros lot s’il n’a rempli qu’une grille
On rencontre les probabilités dans la vie quotidienne mais aussi dans différents domaines tels
les sondages d’opinion, dans les calculs effectués par les compagnies d’assurance, en économie, en démographie, dans l'étude des réseaux
de communication, en météorologie, chaque
fois que l'on essaie de mesurer un risque.
Le calcul des probabilités introduit les mathématiques dans le hasard.
On l'utilise pour modéliser une situation dont
on a fait une analyse statistique.
Les notions étudiées dans ce chapitre
1. Expérience aléatoire
2. Loi de probabilité
3. Probabilité d'un événement
176
4. Espérance, variance et écart-type
5. Variable aléatoire
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Avant de commencer,
TESTEZ-VOUS !
Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. Savez-vous… utiliser des fréquences ?
On lance un dé à six faces, 100 fois. Le tableau fournit la fréquence de chacun des numéros.
N˚
1
2
3
4
5
6
fi
0,19
0,20
0,13
0,14
0,16
0,18
A
B
C
D
1. La fréquence de l’événement « obtenir un nombre
multiple de 3 » est
0,31
0,5
0,333
1
--3
2. La fréquence de l’événement « obtenir un nombre
strictement supérieur à 3 » est
0,48
0,5
0,61
0,13
3. La fréquence de l’événement « obtenir un nombre au
moins égal à 2 » est
0,81
0,19
0,61
0,20
4. La moyenne de la série est
3,5
3,42
0,176
0,57
5. La variance de la série est
14,88
1,782
3,1836
2,7714
B. Savez-vous… calculer des proportions ?
Un club sportif propose à ses 200 adhérents plusieurs activités dont la natation et le tennis.
110 pratiquent la natation, 70 le tennis et 36 les deux activités.
6. La proportion des adhérents pratiquant les deux activités est
0,25
0,18
0,75
0,36
7. La proportion des adhérents pratiquant au moins
l’une de ces deux activités est
0,75
0,90
0,72
0,54
8. La proportion des adhérents pratiquant un seul de
ces deux sports est
0,75
0,54
0,50
0,46
9. La proportion des adhérents ne pratiquant aucune de
ces deux activités
0,28
0,25
0,54
0,72
10. La proportion des adhérents qui ne pratiquent pas la
natation est
0,50
0,17
0,28
0,45
11. La proportion des adhérents qui ne pratiquent que le
tennis est
0,17
0,35
0,25
0,50
12. La proportion des adhérents qui ne pratiquent que la
natation est
0,55
0,18
0,37
0,5
13. La proportion des adhérents qui ne pratiquent pas le
tennis est
0,35
0,5
0,65
0,28
Réponses page 350
177
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Découvrir
Activité 1
Familles
On a relevé le nombre d’enfants de 300 familles. Voici les résultats obtenus :
Nombre d’enfants
0
1
2
3
4
5
Nombre de familles
54
141
60
18
12
15
1. Calculer la fréquence de chacune des catégories de famille.
Calculer la somme des fréquences obtenues.
2. Quelle est la fréquence de l’événement « La famille a plus de 2 enfants » ?
3. Calculer la fréquence de l’événement « La famille a moins de 3 enfants » ?
4. Donner deux façons de calculer la fréquence de l’événement « La famille a au moins
deux enfants ».
5. Calculer le nombre moyen d’enfants par famille.
Déterminer la variance et l’écart type de la série des fréquences précédentes.
Activité 2
Lancers de deux dés
On lance deux dés : on s’intéresse à la somme des deux nombres obtenus.
1. Quelles sont les valeurs que peut prendre cette somme ?
2. On se propose de simuler, à l’aide de la fonction « random » d’une calculatrice
l’expérience précédente. Le tableau ci-dessous rappelle le mode d’emploi de différents
modèles de calculatrices.
Pour obtenir la partie
entière d’un réel
Avec TI-82-83
Avec CASIO 25-35-65-100
Dans le menu MATH suivi de NUM
utiliser la commande Int
Dans le menu OPTN suivi de NUM
utiliser la commande Int
Pour générer un nombre de Dans le menu MATH suivi de PRB Dans le menu OPTN suivi de PRB
0àn
utiliser la commande Rand
utiliser la commande Ran #
Quelle séquence permet de simuler le calcul de la somme des nombres obtenus ?
Donner, sous forme d’un tableau, la distribution des fréquences correspondant à 50 lancers de deux dés obtenus par simulation.
3. Recommencer une nouvelle série de 50 lancers de deux dés, par simulation et donner
la distribution des fréquences de la série de 100 lancers obtenue en regroupant les deux
séries précédentes.
4. Calculer ces fréquences pour la série suivante de 1 000 lancers des deux dés.
Somme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nombre de fois
22
59
90
115
134
171
127
111
90
56
25
5. Recopier et compléter ce tableau de 36 cases qui indique
toutes les sommes possibles que l’on peut obtenir en lançant
deux dés. Les lancers (1 ; 5) ; (2 ; 4) donnent la somme 6.
Sur les 36 lancers possibles, la somme 6 apparaît 5 fois : la
fréquence correspondante est donc 5/36 soit environ 0,139 :
comparer aux fréquences obtenues ci-dessus. Au vu de ce
tableau, calculer pour chaque somme la fréquence d’apparition à laquelle on peut s’attendre.
178
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
5
6
6
6
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Chap. 8
Probabilités
Activité 3
Lancer des pièces
On lance une pièce de 1 euro trois fois de suite et à chaque lancer, on note P pour « pile »
et F pour « face ».
1. Au premier lancer, on a deux possibilités : P ou F. Au second, de même :
P ou F etc. À chaque issue correspond un chemin sur l’arbre. On note PFP
l’issue correspondant à la succession Pile, Face, Pile. En complétant
l’arbre ci-contre, donner l’ensemble Ω de toutes les issues possibles.
P
P
P
F
F
P
2. Soit A l’événement « obtenir exactement 2 fois Pile ». Écrire les issues qui réalisent
l’événement A. Si la pièce est bien équilibrée, combien a-t-on de « chances » d’obtenir
l’événement A ?
3. On simule, à l’aide d’un tableur, 100 fois l’expérience qui consiste à lancer trois fois
de suite une pièce de 1 euro.
Le tableau suivant donne les résultats obtenus pour quatre fois 100 lancers. On a aussi
indiqué le total pour les 400 lancers.
Échantillon
PPP
PPF
PFP
PFF
FPP
FPF
FFP
FFF
N˚ 1
5
8
11
16
17
13
17
13
N˚ 2
8
12
13
19
12
8
11
17
N˚ 3
14
8
11
12
10
8
27
10
N˚ 4
15
18
8
9
10
10
10
20
Total
42
46
43
56
49
39
65
60
Calculer la fréquence d’apparition de l’événement A dans chacun des échantillons puis
dans le total qui constitue un échantillon de 400 lancers.
4. Comparer les fréquences obtenues avec le résultat de la question 2.
5. On considère maintenant le jeu suivant : Le joueur lance une pièce trois fois de suite.
Il gagne 5 euros s’il obtient exactement deux fois Pile, et perd 2 euros dans les autres cas.
Pour chacun des quatre échantillons, calculer la somme gagnée ou perdue à la fin des
cents parties.
Et pour le total de 400 ?
Activité 4
Joindre les points
On considère les 5 points A, B, C, D et E dessinés ci-contre : ce sont A
les sommets d’un polygone convexe ABCDE.
1. Combien peut-on tracer de segments joignant A à l’un des autres
points ?
2. Combien peut-on tracer de segments joignant deux de ces points ?
(Ne pas oublier que [AB] et [BA] sont un seul et même segment.)
B
E
C
D
3. On écrit le nom de chacun des 10 segments sur un carton et on met ces cartons dans un sac.
On tire au hasard un carton du sac.
Combien a-t-on de « chances » de tirer une diagonale du polygone ABCDE ?
Et un côté ? Et un segment dont C est une extrémité ?
Et un segment dont D est une extrémité ?
179
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le Cours
1. Expérience aléatoire
Vocabulaire
Alea est un mot latin
signifiant « jeu de dé »,
« hasard ».
Technique
Pour simuler on peut
utiliser :
– une table de nombres
au hasard ;
– la touche RANDOM
d’une calculatrice ;
– un tableur avec la
fonction ALEA ;
– des urnes contenant
des boules de couleurs
différentes, etc.
■ Définition
Une expérience aléatoire est une expérience qui peut conduire à plusieurs issues,
e 1 , e 2 , … e r ; une seule issue se réalise sans que l’on puisse la prévoir à l’avance.
Simuler une expérience, c’est produire une liste de résultats que l’on pourra assimiler à un échantillon de cette expérience.
■ Distribution de fréquences
On répète n fois l’expérience dont les issues sont e1 , e2 , … er .
Pour chacune des issues possibles, on calcule ses fréquences : f1 , f2 , …, fr .
La distribution de fréquences est l’ensemble { f 1, f 2, …, f r }.
Chaque fréquence est comprise entre 0 et 1 : 0 f i 1.
La somme de ces fréquences est 1 : f 1 + f 2 + … + f r = 1.
Si l’événement A est réalisé pour les issues e1 , e2 et e3 , la fréquence de l’événement A est égale à f 1 + f 2 + f 3 .
2. Loi de probabilité
On envisage des expériences ne comportant qu’un nombre fini d’issues possibles. Pour une expérience donnée, désignons par Ω l’ensemble de toutes les issues
possibles : Ω = { e 1 ; e 2 ; …; e r }.
■ Définition
On définit une loi de probabilité sur Ω si à chacune des issues e 1 , e 2 , …, e r d’une
expérience aléatoire on associe un réel p 1 , p 2 , …, p r , avec les propriétés suivantes :
pour tout i : 0 p i 1 et ∑ p i = 1.
Modéliser une expérience aléatoire, c’est lui associer une loi de probabilité.
Pour une même expérience, plusieurs modèles sont possibles.
Ainsi lorsqu’on lance une pièce, on peut envisager les modèles :
– obtenir Pile avec la probabilité 0,5 et Face avec la probabilité 0,5,
– ou Pile avec la probabilité 0,25 et Face avec la probabilité 0,75
On a vu en Seconde que, si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, les
fréquences tendent à se stabiliser. La simulation de l’expérience précédente va
donc permettre de valider le premier modèle.
Histoire
C’est Jacques Bernoulli
(1654-1705) qui énonça
le premier, cette propriété importante qui
établit un lien entre les
statistiques et le calcul
des probabilités.
180
■ Loi des grands nombres
Si l’on répète n fois la même expérience de manière indépendante, dans les
mêmes conditions, une loi de probabilité étant définie, si n tend vers l’infini, la fréquence d’une issue tend vers la probabilité de cette issue.
La distribution des fréquences { f 1 , f 2 , …, f r } tend vers la loi de probabilité
{ p 1 , p 2 , …, p r }.
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Chap. 8
des
des Méthodes
Probabilités
䊳 Simuler une expérience
Énoncé
Un sac opaque contient 20 boules bleues, 20 rouges et 60 vertes On tire une boule au
hasard, on note sa couleur et on la remet dans le sac.
1. Simuler cette expérience, à l’aide d’une calculatrice.
2. Fournir un échantillon de taille 50 de cette expérience puis déterminer la distribution
des fréquences associée à cet échantillon.
3. Produire quatre autres échantillons de même taille. Donner la distribution des fréquences pour les 250 tirages précédents.
4. Quelle loi de probabilité est associée à cette expérience ?
Solution
Méthode
Pour simuler avec une
calculatrice, utiliser
la fonction RANDOM
attachée à votre
modèle.
1. Il faut trouver une façon de tirer les nombres aléatoires donnés par la fonction
RANDOM de la calculatrice pour que la répartition (20-20-60) ou encore (1-1-3) soit respectée. On obtient un nombre de 1 à 5 en procédant ainsi :
– Avec TI 82-83, taper la séquence : Int(Rand x 5+1).
– Avec CASIO 25-35-65-100, taper la séquence Int(Rand # x 5+1).
On décide que si le nombre obtenu est 1, la boule est bleue ; s’il est 2 la boule est
rouge ; s’il est 3, 4 ou 5, la boule est verte.
On dénombre ensuite les apparitions du chiffre 1, puis du chiffre 2 et on additionne celles de 3, 4 et 5.
La simulation peut être effectuée à l’aide d’un tableur. Voir page 198.
2. Voici un échantillon de taille 50 et la distribution associée pour cette expérience.
Effectif
Fréquence
Bleue
Rouge
Verte
6
14
30
0,12
0,28
0,60
3. Le tableau ci-contre indique les fréquences pour
quatre nouveaux échantillons de taille 50.
Sur cinq échantillons concernant la même expérience,
on remarque une fluctuation de la distribution des fréquences.
B
R
V
0,18
0,16
0,28
0,20
0,22
0,18
0,16
0,22
0,60
0,66
0,56
0,58
En rassemblant les cinq échantillons, la fréquence d’apparition d’une boule bleue est
0,188. En effet le nombre total de boules bleues obtenues est égal à :
50 × (0,12 + 0,18 + 0,16 + 0,28 + 0,20) soit 47.
47
La fréquence correspondante est donc égale à --------- , soit 0,188.
250
De même la fréquence d’apparition d’une boule rouge est 0,212 et celle d’une boule
verte est 0,60.
4. Les proportions des couleurs dans le sac sont respectivement : 0,2, 0,2 et 0,6. Il n’est
pas étonnant – c’est la loi des grands nombres – que la distribution des fréquences se
« rapproche » de cette répartition.
La loi de probabilité associée à cette expérience est
B
R
V
donnée dans le tableau ci-contre.
Probabilité
0,2
0,2
0,6
181
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le Cours
3. Probabilité d’un événement
Soit Ω l’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.
Vocabulaire
A ⊂ Ω se lit « A inclus
dans Ω »
A se lit « A barre ».
Vocabulaire
∅ est l’événement
impossible.
Ω est l’événement certain.
Si A 傽 B = ∅, on dit
que A et B sont incompatibles.
■ Définitions
• Un événement A est une partie de Ω : on écrit A ⊂ Ω .
Si A = {e 2 ; e 5 }, on dit que e 2 et e 5 réalisent A, ou sont favorables à A.
L’événement contraire de A, est constitué des issues qui ne sont pas dans A : on
l’écrit A .
Un événement élémentaire ne comporte qu’une issue : exemple : { e 2 } ; { e 7 }.
Si A et B sont deux événements :
– l’événement (A ou B) noté A 傼 B est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé ;
– l’événement (A et B) noté A 傽 B est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux.
• Soit P une loi de probabilité définie sur Ω. La probabilité d’un événement A est
la somme des probabilités des événements élémentaires réalisant A.
■ Propriétés
1. P ( Ω ) = 1, P ( ∅ ) = 0 et, pour tout événement A, 0 P ( A ) 1.
2. Si A et B sont incompatibles alors P ( A 傼 B ) = P ( A ) + P ( B ).
3. Si A et B sont quelconques P ( A 傼 B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A 傽 B ).
4. Pour deux événements contraires A et A on a P ( A ) + P ( A ) = 1.
■ Démonstrations
La propriété 1. résulte des définitions. Pour la propriété 3, voir exercice 60.
2. Soit A = { a 1, …, a s } et B = { b 1, …, b r }. On a P ( A ) = p 1 + … + p s et
P ( B ) = p 1′ + … + p r′ .
A 傼 B = { a 1, …, a s, b 1, …, b r } puisque A et B sont sans éléments communs.
D’où P ( A 傼 B ) = p 1 + … + p s + p 1′ + … + p r′ = P ( A ) + P ( B ).
Technique
Si l’on connaît P(A), on
peut calculer P ( A ) :
P ( A ) = 1 – P ( A ).
Vocabulaire
Une issue qui réalise A
est souvent appelée
« cas favorable à A »
L’ensemble de toutes
les issues est l’ensemble
des cas possibles
4. A et A sont incompatibles avec A 傼 A = Ω.
D’où P ( A ) + P ( A ) = P ( Ω ) = 1.
■ Définitionde la loi équirépartie
Faire l’hypothèse d’équiprobabilité, c’est dire que les n événements élémentaires
ont tous la même probabilité : P ( e 1 ) = P ( e 2 ) = … = P ( e n ).
■ Propriété
1
Dans une situation d’équiprobabilité, pour tout i, P ( e i ) = --- . Si l’événement A
n
k.
comporte k issues favorables on a : P ( A ) = --n
nombre d’éléments de A
nombre de cas favorables à A
On énonce P ( A ) = ----------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------------------- .
nombre d’éléments de Ω
nombre de cas possibles
■ Démonstration
Soit p la probabilité de chacun des événements e i .
1
1
k
p = --- . On a P ( A ) = kp = k × --- = --- .
n
n
n
182
i=n
∑ pi = np ; d’où np
i=1
= 1 et
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Chap. 8
des
des Méthodes
Probabilités
䊳 Calculer une probabilité
Énoncé 1
À la suite d’une étude statistique dans un grand magasin, on a noté les résultats suivants
concernant la demande quotidienne de téléviseurs :
Demande
0
1
2
3
4
5
6
Probabilité
0,05
0,10
0,20
0,25
0,20
0,15
0,05
1. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « un jour donné, la demande est strictement inférieure à 4 » ;
B : « un jour donné la demande est au moins égale à 2 ».
2. Quelle est la probabilité de l’événement A 傽 B ?
Méthode
La probabilité de A est
obtenue en ajoutant les
probabilités des événements élémentaires qui
réalisent A.
Solution
1. A = {0, 1, 2, 3}.
Donc P ( A ) = 0,05 + 0,10 + 0,20 + 0,25, soit P ( A ) = 0,60.
L’événement B est réalisé si la demande est strictement inférieure à 2.
D’où P ( B ) = 0,05 + 0,10 = 0,15.
Par suite P ( B ) = 1 – P ( B ) = 1 – 0,15 = 0,85.
2. A 傽 B est réalisé si la demande est 2 ou 3 : P ( A 傽 B ) = 0,45.
䊳 Utiliser la loi équirépartie
Énoncé
Méthode
L’expression « choisir au
hasard » conduit à utiliser la loi équirépartie.
2
Dans un lot de 5 000 vis, on a constaté que 500 présentent le défaut (a), 400 le défaut
(b) et 200 les deux défauts. On choisit au hasard une vis dans ce lot.
Soit A l’événement « la vis présente le défaut (a) » et B l’événement « la vis présente le
défaut (b) ».
1. Quelle est la probabilité que la vis présente au moins l’un des deux défauts ?
2. Quelle est la probabilité que la vis ne présente aucun des deux défauts ?
Solution
1. Le tableau ci-contre fournit la répartition des vis suivant
A
A
qu’elles présentent ou non les défauts (a) et (b).
B 200 200
400
Il s’agit de calculer la probabilité de l’événement A 傼 B.
P( A 傼 B) = P( A) + P( B) – P( A 傽 B)
B 300 4 300 4 600
500
400
200
7
500 4 500 5 000
= ------------- + ------------- – ------------- = ------ = 0,14.
5 000 5 000 5 000
50
2. L’événement « la vis ne présente aucun des deux défauts » est l’événement contraire
de l’événement « la vis présente au moins l’un des deux défauts ».
Sa probabilité est donc égale à 1 – 0,14 = 0,86.
183
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le Cours
4. Espérance, variance et écart type
■ Définition
Technique
Ces formules sont semblables à celles de la
moyenne, de la variance et de l’écart type
d’une série statistique
obtenues à partir des
fréquences.
Lorsqu’une loi de probabilité P est définie sur un ensemble Ω d’issues constituées
de nombres réels e i , on définit l’espérance µ, la variance V et l’écart type σ de
la loi de probabilité par :
µ = e1 p1 + e2 p2 + … + en pn =
i=n
∑ ei pi ,
i=1
V = (e 1 – µ) 2 p 1 + (e 2 – µ) 2 + … + (e n – µ) 2 =
i=n
∑ (ei – µ) 2 pi
et σ =
V.
i=1
5. Variable aléatoire
Ω est un ensemble sur lequel on a défini une loi de probabilité P.
■ Définition
Lorsqu’à chaque événement élémentaire de Ω on associe un nombre réel on dit
que l’on définit une variable aléatoire sur Ω.
Notation
Une variable aléatoire
se note en général X, Y
ou Z.
La variable aléatoire X prend un nombre fini de valeurs x 1 , x 2 , …, x n , l’événement « X prend la valeur x i » se note ( X = x i ).
Si cet événement est réalisé pour les seuls éléments d’une partie A de Ω, la probabilité de l’événement ( X = x i ) est la probabilité de A.
On écrit p ( X = x i ) = P ( A ) = p i .
■ Définition
Technique
Dans le tableau, les
valeurs de X sont écrites dans l’ordre croissant.
La loi de probabilité de la variable X est la fonction qui à toute valeur x i de X
associe P ( X = x i ) ou p i .
Cette loi est en général donnée dans un tableau.
i=n
La somme des probabilités p i est égale à 1 :
∑ pi = 1.
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
i=1
À partir d’une même expérience, on peut définir plusieurs variables aléatoires.
Vocabulaire
Dans un jeu de hasard,
le mot « espérance »
fait penser à « espoir
de gain ». Un jeu est
équitable si l’éspérance
est nulle.
■ Définition
L’espérance mathématique, notée E ( X ) , la variance, notée V ( X ) , et l’écart
type noté s ( X ) de X sont respectivement l’espérance, la variance et l’écart type
de la loi de probabilité de X, c’est-à-dire :
i=n
E(X) =
∑ xi pi ;
i=1
V(X) =
i=n
i=n
i=1
i=1
∑ pi ( xi – E ( X ) )2 =
∑ xi pi – ( E ( X ) ) 2
2
et σ ( X ) = V ( X ).
On remarque que la variance et l’écart-type sont toujours positifs.
184
OV.book Page 185 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Chap. 8
des
des Méthodes
Probabilités
䊳 Définir et étudier une variable aléatoire
Énoncé 1
L’expérience aléatoire consiste à lancer une pièce de monnaie trois fois de suite : on note
P ou F selon qu’apparaît pile ou face.
a. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de fois où « pile »
apparaît : déterminer les valeurs possibles pour X.
b. Au cours du jeu, le joueur gagne 4 euros s’il obtient deux fois « pile » et perd 2 euros
dans les autres cas : définir une nouvelle variable aléatoire Y.
Méthode
Bien comprendre quelles sont toutes les issues possibles de
l’expérience et les valeurs de la variable
aléatoire.
Pour chaque événement (X = xi ), déterminer les issues qui lui
sont « favorables ».
Solution
a. L’événement (X = 0) est réalisé si l’on obtient FFF.
L’événement (X = 1) est réalisé pour PFF ou FPF ou FFP.
L’événement (X = 2) l’est pour PPF ou PFP ou FPP.
Et l’événement (X = 3) est réalisé pour PPP.
b. Pour cette variable Y, les seules valeurs possibles sont –2
et 4.
L’événement (Y = 4) est réalisé pour PPF ou PFP ou FPP.
L’événement (Y = – 2) est réalisé pour les cinq autres éventualités.
Énoncé
P
P
P
F
P
F
F
F
P
F
P
F
P
F
PPP
PPF
PFP
PFF
FPP
FPF
FFP
FFF
2
Dans les lancers de pièces trois fois de suite de l’exercice précédent, on suppose que les
huit événements élémentaires sont équiprobables.
a. Trouver la loi de probabilité des deux variables aléatoires X et Y.
b. Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de la variable Y.
Solution
Méthode
Pour vérifier la loi de
probabilité on peut
contrôler que la somme
des probabilités fait 1.
a. Pour la variable X
1
La probabilité de chacun des huit événements élémentaires est --- .
8
1
L’événement (X = 0) est l’événement {FFF} donc p 0 = p ( X = 0 ) = --- .
8
3
L’événement (X = 1) est l’événement {PFF ; FPF ; FFP} : p 1 = --- . De même :
8
1
3
p 2 = p ( X = 2 ) = --- et p 3 = p ( X = 3 ) = --- .
8
8
X
0
1
2
3
pi
1
--8
3
--8
3
--8
1
--8
Y
–2
4
p i′
5
--8
3
--8
Pour la variable Y : L’événement (Y = 4 ) est l’événement
3
{PPF ; PFP ; FPP} donc p ( Y = 4 ) = p 1′ = --- .
8
L’événement (Y = –2), qui est l’événement contraire, a pour pro5
babilité p 2′ = --- .
8
3
5
1
b. E ( Y ) = ( – 2 ) × --- + 4 × --- = --- ;
8
8
4
2
2
5
3
1
1
1 080
V ( Y ) = ---  – 2 – --- + ---  4 – --- = ------------- = 8,4375 ; σ ( Y ) =
8
8
4
4
128
8,4375 ≈ 2,905.
185
OV.book Page 186 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
Pour s’entraîner
Distributions de fréquences
1 On rencontre quatre groupes sanguins : O ; A ; B
et AB. Pour chacun de ces groupes, on trouve soit un
rhésus positif (+) soit un rhésus négatif (–).
1. Dresser l’inventaire de tous les cas possibles.
2. En Europe, 45 % des individus sont du groupe O et
85 % de ces derniers sont de rhésus (+). Dans une population de 3 000 personnes, combien rencontre-t-on de
personnes du groupe O+ ? Quel est le pourcentage de
ces personnes par rapport à l’effectif total ?
2 On considère deux roulettes A et B ; chacune d’elles est partagée en 3 secteurs égaux marqués 1, 2, 3. On
fait tourner les deux roulettes l’une après l’autre et on
note les deux numéros obtenus ( a ; b ) : le joueur note
alors X le plus grand des deux nombres a ou b ; s’il obtient ( a ; a ) , il note X = a.
A
B
1
2
2
3
1
RB
BB
E1
4
13
3
E2
5
10
5
E3
4
8
8
E4
6
10
4
E5
3
12
5
1. Pour chacun de ces 5 échantillons, calculer la fréquence de chacun des trois événements RR, RB, BB puis
la fréquence pour les 100 lancers.
2. Le joueur gagne 5 euros si les deux couleurs sont
identiques et il en perd 4 si elles sont différentes. Pour
le premier échantillon de 20 lancers, calculer la fréquence de l’événement « le joueur gagne 5 » et celle de
l’événement « le joueur perd 4 ».
3. Calculer la moyenne des gains : une perte de 4 est un
« gain négatif –4 ».
4. Répondre aux mêmes questions pour les autres
échantillons.
Événements
3
1. Voici les résultats pour 10 jeux successifs :
(1 ; 2) (3 ; 1) (3 ; 3) (1 ; 3) (2 ; 1) (3 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 2)
(1 ; 1) (1 ; 3).
Trouver la fréquence des différentes valeurs prises par X.
Calculer la moyenne.
2. Par simulation, on a obtenu les résultats suivants pour
des échantillons E1 (100 jeux), E2 (100 jeux), E3 (500 jeux)
et E4 (1 000 jeux).
X=1
X=2
X=3
E1
12
34
54
E2
10
27
63
E3
51
144
305
E4
101
313
586
Pour chacun de ces échantillons, calculer la fréquence
de chacune des trois valeurs de X, puis la moyenne, et
enfin pour les 1700 jeux.
4 On considère 15 jetons numérotés de 1 à 15. Les
jetons portant un numéro pair sont rouges, les autres
sont bleus.
1. Combien y a-t-il de jetons de chaque couleur ?
2. Combien y a-t-il de jetons dont le numéro est multiple de 3 ? Combien de rouges ? Combien de bleus ?
5 1. Combien peut-on écrire de nombres de trois
chiffres différents au moyen des seuls chiffres 1 ; 2 et 3 ?
2. Combien peut-on écrire de nombres de quatre chiffres
au moyen de deux chiffres 1, un chiffre 2 et un chiffre 3 ?
6 On jette un dé rouge et un dé bleu. On écrit dans
le tableau ci-dessous la différence entre le nombre écrit
sur le dé rouge et celui sur le dé bleu.
B
1
2
1
0
–1
2
1
R
3
3 On dispose de deux jetons dont chacun a une face
peinte en rouge et une face peinte en bleu. On jette les
jetons et on note les couleurs obtenues : RR ; RB ou BB.
On répète 20 fois ce lancer de deux jetons. Voici les
résultats pour 5 échantillons de 20 lancers :
186
RR
4
5
6
3
4
5
6
OV.book Page 187 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Chap. 8
Probabilités
1. Recopier et compléter ce tableau.
2. Dresser la liste de toutes les éventualités possibles.
7 Un jeu de 32 cartes comporte quatre « couleurs » :
cœur, carreau, pique et trèfle. Les cœurs et les carreaux
sont rouges et les autres sont noirs.
Pour chaque « couleur » il y a 8 cartes : 7-8-9-10-valet
(V)-dame (D)-roi (R) et as (A).
1. Combien y a-t-il de cartes rouges ?
Combien d’as rouges ? Combien de rois ? De rois noirs ?
2. A est l’ensemble des rouges, B l’ensemble des rois.
On désigne par A 傽 B l’ensemble des cartes communes
à A et B : combien y a-t-il de cartes dans A 傽 B ?
On désigne par A 傼 B l’ensemble des cartes qui appartiennent au moins à l’un des deux, c’est-à-dire soit à A,
soit à B soit aux deux ensembles.
Combien y a-t-il d’éléments dans A 傼 B ?
8 Dans une classe de 30 élèves, 20 étudient l’anglais et 15 l’espagnol, 8 élèves étudient les deux langues. Pour un élève donné, on note A l’événement
« l’élève étudie l’anglais » et E l’événement « l’élève
étudie l’espagnol ».
1. Que représente l’événement A 傽 E ?
2. Que représente l’événement A 傼 E ?
3. Combien d’élèves n’apprennent ni l’anglais,
ni l’espagnol ?
4. Quel est l’événement contraire de A ?
C : la carte est un Valet noir ;
D : la carte est une Dame ou un Roi ?
2. Préciser l’événement contraire de chacun de ces événements.
Simulation
11 On considère l’expérience aléatoire qui consiste à
lancer une pièce de monnaie bien équilibrée.
1. Comment utiliser une calculatrice pour simuler cette
expérience ?
2. Simuler 50 lancers de la pièce. Noter le nombre de
« Pile » obtenu.
3. Quelle est la fréquence des « Pile » ? quelle est la
fréquence des « Face » ?
12 On lance deux pièces de monnaie simultanément
et on s’intéresse au résultat obtenu : Pile-Pile (PP) Pile et
Face (PF), Face-Face (FF).
1. En utilisant une calculatrice, fournir un échantillon
de taille 100 de cette expérience.
2. Donner la distribution des fréquences associées à cet
échantillon.
3. Si les pièces sont bien équilibrées, autour de quelles
valeurs vont se stabiliser ces fréquences si l’on simule un
grand nombre de lancers ?
9 On écrit chacune des lettres du mot TAUX sur un
carton et on place ces quatre cartons dans un sac. On
tire un carton au hasard, puis un second sans remettre
le premier dans le sac. On forme ainsi un assemblage de
deux lettres sans répétition de lettre, appelé encore
« mot » : par exemple TA ; AT ; XT.
1. Utiliser un arbre, pour déterminer combien de tels
assemblages peuvent ainsi être formés.
2. Soit E l’événement : « le mot obtenu commence par
la lettre T » et F l’événement « le mot contient deux
voyelles ».
Écrire les issues qui réalisent E, puis celles qui réalisent
E ; même question pour F et F.
3. Y a-t-il des issues qui réalisent E 傼 F ?
Y a-t-il des issues qui réalisent E 傽 F ?
Probabilités
10 D’un jeu de cartes, on extrait 12 cartes : le Roi, la
Dame et le Valet de cœur, de même pour les carreaux,
les piques et les trèfles. On choisit au hasard une carte
dans ce paquet.
1. Combien d’issues sont favorables à chacun des événements suivants :
A : la carte est une Dame ;
B : la carte est un Valet ;
14 On lance une pièce bien équilibrée
deux fois de suite et on note P pour pile et
F pour face.
1. En complétant l’arbre ci-contre, montrer qu’il y a quatre issues possibles
2. Quelle est la probabilité d’avoir P en premier ? Celle
d’avoir F en dernier ? Celle d’avoir deux figures
différentes ?
13 Reprendre la situation de l’exercice 2.
1. Montrer qu’il y a 9 couples ( a ; b ) possibles et compléter le tableau suivant en marquant dans chaque case
la valeur de X.
Ex. : dans la case (1 ; 2) on marque
b 1 2 3
a
la valeur 2 pour X.
1
2
2. En supposant que les 9 événements ont la même probabilité de
2
se produire, calculer la probabilité
3
d’obtenir X = 1 ; puis X = 2 et X = 3.
Comparer aux fréquences du n° 2.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins 2 pour X ;
celle d’avoir au plus 2.
187
OV.book Page 188 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
15 E est l’ensemble des nombres entiers de 1 à 20
inclus. On choisit au hasard un de ces nombres. Quelle
est la probabilité de chacun des événements :
A : le nombre est multiple de 2 ;
B : il est multiple de 4 ;
C : il est multiple de 5 ;
D : il est multiple de 2 mais pas de 4 ;
E : il est multiple de 4 mais pas de 2.
Quelle est la probabilité de chacun des événements
A 傽 B, A 傼 B, A 傽 C et A 傼 C ?
16 Une urne contient 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule au hasard dans
cette urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements
suivants :
A : la boule est rouge ou bleue ;
B : la boule n’est pas verte ;
C : la boule n’est pas bleue.
17 Soit E = { e 1 ; e 2 ; e 3 ; e 4 ; e 5 ; e 6 ; e 7 } .
On considère les événements A = { e 2 ; e 3 ; e 4 } ,
B = { e 3 ; e 4 ; e 5 ; e 7 } et C = { e 1 ; e 5 } .
Les sept événements élémentaires sont équiprobables.
Calculer P ( A ) ; P ( B ) ; P ( C ) ; P ( A 傽 B ) ; P ( B 傼 C ) ;
P ( A ), P ( B ).
18 1. On donne P ( A ) = 0,8, P ( B ) = 0,4
et P ( A 傽 B ) = 0,3.
Calculer P ( A ), P ( B ), P ( A 傼 B ).
2. Peut-on avoir une probabilité P telle que
P ( A ) = 0,8, P ( B ) = 0,4 et P ( A 傽 B ) = 0,1 ?
19 D’un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard.
Quelle est la probabilité de chacun des événements
suivants :
A : la carte est un cœur ;
B : la carte est un roi ;
C : la carte est un roi rouge ;
D : la carte n’est ni un roi ni un cœur ?
20 Une enquête nous apprend que, sur cent ménages, 20 ont un chien, 25 ont un chat et 8 ont à la fois un
chien et un chat.
On choisit un ménage au hasard.
Calculer la probabilité de chacun des événements
suivants :
E : le ménage possède un chien et pas de chat ;
F : le ménage a un chat et pas de chien ;
G : le ménage ne possède ni chien ni chat ;
H : le ménage n’a qu’un seul de ces deux animaux ;
I : il possède au moins un de ces animaux.
188
21 Un dé à six faces parfaitement équilibré comporte trois faces marquées 6, une face marquée 5 et
deux faces marquées 4. Quelle est la probabilité de chacun des événements :
A : le nombre apparu est 6 ;
B : le nombre apparu est pair ;
C : le nombre apparu est supérieur ou égal à 5 ?
22 Sachant que pour les événements A et B on a
P ( A ) = 0,30 ; P ( A 傼 B ) = 0,8 et P ( A 傽 B ) = 0,1,
calculer P ( B ) et P ( B ).
23 On jette un dé deux fois de suite. Calculer la probabilité d’obtenir un double puis la probabilité d’obtenir
deux numéros différents.
24 On jette un dé deux fois de suite. Quelle est la
probabilité d’obtenir un total de 4 ; celle d’obtenir un
total supérieur ou égal à 11 ?
25 Un sac contient deux jetons rouges, trois jaunes
et cinq bleus. On tire un premier jeton puis un second
sans remettre le premier dans le sac.
Démontrer que la probabilité de tirer dans l’ordre un
1
jeton rouge puis un jaune est ------ .
15
26 On reprend le sac de l’exercice 25 : on tire cette
fois un premier jeton que l’on remet dans le sac, puis un
second jeton. Quelle est la probabilité de tirer dans l’ordre un rouge puis un jaune ?
27 Un sac contient cinq jetons marqués avec les lettres P, A, R, I, S. On tire un jeton, puis un second jeton,
sans remise. Quelle est la probabilité de tirer deux
voyelles ? Deux consonnes ? Une voyelle et une consonne dans un ordre indifférent ?
28 Un lycée compte 240 élèves en 1re S parmi lesquels 130 demi-pensionnaires. Ces élèves étudient trois
langues : 66 élèves étudient l’anglais. 30 % des élèves
l’allemand, dont 40 demi-pensionnaires. 25 % des élèves sont des demi-pensionnaires qui étudient l’espagnol.
1. Reproduire et compléter le tableau suivant.
anglais allemand espagnol Total
Demi-pensionnaires
130
Externes
Total
66
240
2. Un élève est choisi au hasard parmi les 240 élèves de
1re S. Calculer la probabilité de chacun des événements
suivants :
A : « l’élève étudie l’anglais » ;
OV.book Page 189 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Chap. 8
Probabilités
B : « l’élève est externe » ;
C : « l’élève est externe et étudie l’anglais » ;
D : « l’élève n’étudie pas l’espagnol » ;
E : « l’élève est demi-pensionnaire et n’étudie pas
l’espagnol. ».
29 Un sac contient six jetons numérotés de 1 à 6. On
tire au hasard deux jetons simultanément.
1. Décrire l’ensemble Ω des issues possibles.
2. Calculer la probabilité des événement A et B définis
par :
A : « obtenir deux numéros consécutifs » ;
B : « obtenir deux numéros dont la somme est 6 ».
Espérance – Variance – Écart-type
30 Les observations faites à propos du nombre de
clients se présentent à la caisse d’un supermarché pendant cinq minutes mènent à la loi de probabilité donnée
par le tableau ci-dessous.
Nombre
de clients
0
1
2
3
4
Probabilité
0,1
0,25
0,3
0,15
0,2
Calculer l’espérance de cette loi de probabilité.
31 Un dé cubique bien équilibré a 2 faces marquées
1, 3 faces marquées 2 et une face marquée 6. On lance
le dé une fois.
1. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience.
2. Calculer son espérance mathématique et sa variance.
32 Lors d’une tombola les gains possibles sont 0 €,
10 €, 20 € et 100 € avec les probabilités respectives
0,4 ; 0,3 ; 0,25 et 0,05.
Calculer l’espérance mathématique du gain.
Variable aléatoire
Y
–2
–1
pi
0,1
0,2
0
1
2
3
0,25 0,25 0,05 0,15
1. La somme de ces probabilités est-elle bien égale à 1 ?
2. Calculer la probabilité de chacun des événements :
A = { Y 0 } ; B = { Y 2 }.
3. Calculer E ( Y ) et σ ( Y ).
36 Un sac contient 26 jetons marqués avec les
26 lettres A, B, …, Z. On tire un premier jeton puis un second sans remise du premier. On gagne 5 euros par
voyelle et on perd 1 euro par consonne.
1. Quelles sont les valeurs possibles du gain ?
2. Trouver la loi de probabilité du gain.
3. Calculer l’espérance du gain.
37 Un jeu comporte 8 cartes marquées :
7- 8 - 9 -10 - V - D - R et As.
On tire une carte au hasard : la variable X prend la valeur
10 si on tire 7, 8, 9 ou 10, la valeur 15 pour V-D-R et la
valeur 20 pour l’As.
Donner par un tableau la loi de probabilité de cette variable. Calculer l’espérance et l’écart-type de cette variable.
38 Un sac contient un jeton marqué 1 et deux jetons
marqués 2. On tire un jeton, on note son numéro, on le
remet dans le sac, on effectue de même un second tirage et on fait la somme des deux nombres obtenus.
1. Montrer qu’il y a 9 issues possibles en complétant le
tableau ci-dessous.
1
1
2
2
2
2
2
2. S est la variable aléatoire prenant les valeurs de cette
somme. Donner la loi de probabilité de S, calculer E ( S )
et σ ( S ).
39 VRAI ou FAUX ?
33 Une variable aléatoire X prend les valeurs 4 ; 5 ; et
6 avec des probabilités égales.
Calculer E ( X ) et V ( X ).
34 Voici la loi de X : la valeur a est inconnue. Trouver a sachant que E ( X ) = 4,7.
X
–4
5
a
pi
0,2
0,5
0,3
35 Voici un tableau donnant la loi de probabilité
d’une variable aléatoire Y.
A. Si l’on jette deux pièces, la probabilité d’obtenir
(FF) est la même que celle d’obtenir (FP ou PF).
B. La probabilité d’un événement A est supérieure à
celle de son événement complémentaire.
C. La probabilité de A 傼 B est égale à P ( A ) + P ( B )
D. Si P ( A ) = 0,5 et P ( B ) = 0,3, on peut avoir :
P ( A 傽 B ) = 0,2.
E. La variable aléatoire X prend les valeurs – 2 ; 3 et 4
avec les probabilités 0,5 ; 0,3 et 0,2 : E ( X ) = 0,7.
F. La variable Y prend les valeurs 5 et b avec la même
probabilité.
Si on a E ( Y ) = 3, alors b = 5.
189
OV.book Page 190 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
Pour approfondir
Simulations et distribution de fréquences
nombre de filles.
40 On lance 50 fois une pièce de monnaie bien équilibrée et on s’intéresse au nombre d’apparitions de Face
(F) ou Pile (P).
1. Indiquer des procédés de simulation de cette expérience aléatoire.
2. Donner des fréquences de F et de P pour des échantillons de 50 lancers.
3. Donner ces fréquences pour un échantillon de
200 lancers.
43 Un dé comporte une face marquée 1 ; trois faces
marquées 2 et deux faces marquées 3.
On jette ce dé deux fois de suite et on fait la somme des
deux numéros obtenus.
1. Montrer que les valeurs de cette somme sont : 2 ; 3 ;
4 ; 5 et 6
2. Voici les résultats obtenus pour trois séries de
300 lancers :
41 1. Comment simuler quatre lancers successifs
d’une pièce et compter les « face » (F) ?
2. Montrer que cette simulation donne aussi le nombre
de filles dans des familles de quatre enfants, si l’on
admet que les fréquences de naissance d’une fille et
d’un garçon sont égales.
3. À notre époque, en réalité, il naît environ
105 garçons pour 100 filles : calculer dans ces conditions, la fréquence de naissance d’un garçon et celle de
la naissance d’une fille.
42 Dans une lettre de Nicolas Bernoulli, du 23 janvier
1713, on trouve le « Catalogue des enfants de chaque
sexe » nés à Londres de 1629 à 1710.
En voici un extrait.
Année
Garçons
Filles
1659
3 209
2 781
1660
3 724
3 247
1661
4 748
4 107
1662
5 213
4 803
1663
5 411
4 881
1664
6 041
5 681
1665
5 114
4 858
1666
4 678
4 312
1667
5 616
5 322
1668
6 073
5 560
Pour chaque année :
1. Trouver l’écart entre le nombre de garçons et le
nombre de filles.
2. Calculer la fréquence du nombre de naissances de
filles et du nombre de naissance de garçons.
3. Calculer le rapport entre le nombre de garçons et le
190
Somme
2
3
4
5
6
1re série
9
45
120
96
30
2e série
6
54
114
102
24
3e série
8
49
128
84
31
Pour chaque série de lancers, calculer la fréquence pour
chaque valeur de cette somme puis la moyenne correspondante.
3. Mêmes questions pour l’échantillon obtenu en
regroupant ces trois séries.
4. Imaginer un mode de simulation de cette expérience
aléatoire.
Probabilité d’un événement
44 On forme un nombre de deux chiffres en lançant
un dé bien équilibré deux fois de suite : le nombre obtenu au premier lancer fournit le chiffre des dizaines et le
second le chiffre des unités. Calculer la probabilité de
chacun des événements suivants :
– le nombre formé est pair ;
– le nombre contient deux chiffres pairs ;
– le chiffre des dizaines est le double du chiffre des
unités ;
– le nombre est strictement supérieur à 44.
Piste : pour visualiser tous les cas, on peut dresser un tableau sur lequel apparaissent les 36 cas et colorier les
cases qui correspondent aux issues favorables à un événement.
45 Un nombre de cinq chiffres est composé uniquement des chiffres 1 et 2. Il peut ne contenir que des 1 ou
que des 2.
1. Combien y a-t-il de tels nombres ?
2. On choisit un de ces nombres au hasard A.
a) Quelle est la probabilité qu’il commence par 1 ?
b) Qu’il se termine par 2 ? qu’il commence par 2 et se
termine par 2 ?
OV.book Page 191 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Chap. 8
Probabilités
46 On jette trois fois de suite un dé. On note les trois
nombres obtenus.
A est l’événement : « un des trois nombres au moins est
multiple de 3 ».
1. Définir l’événement A.
2. Calculer P ( A ) et en déduire P ( A ).
47 On dispose d’un tiroir à trois cases comme indiqué sur le dessin.
1. Montrer qu’il y a six manières de placer les trois
nombres 1-2-3 dans ce tiroir, un par case.
2. On place au hasard ces trois nombres, et on lit le
nombre ainsi formé.
a) Quelle est la probabilité d’avoir formé 231 ?
b) Quelle est la probabilité d’avoir un nombre pair ?
c) Quelle est celle d’avoir un nombre impair ?
d) Quelle est la probabilité d’avoir un nombre ayant 2
comme chiffre des dizaines ?
e) Celle d’avoir 1 comme chiffre des unités ?
48 Dans un groupe de 120 personnes, il y a 60 %
d’hommes. On sait que 15 % des hommes et 20 % des
femmes parlent l’espagnol. On choisit une personne au
hasard dans ce groupe. Quelles sont les probabilités des
événements suivants :
K : c’est un homme qui parle l’espagnol ?
L : c’est une femme qui ne parle pas l’espagnol ?
M : c’est une personne parlant l’espagnol ?
PISTE
On peut utiliser un arbre.
49 D’un jeu de 32 cartes, on tire une première carte,
puis une seconde sans remettre l’autre dans le jeu.
1. Quelle est la probabilité de chacun des événements
suivants :
A : les deux cartes sont des cœurs ;
B : les deux cartes sont des rois ;
C : seule la première carte est un cœur.
2. Calculer P ( A 傽 B ) et P ( A 傼 B ).
50 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes : on
note cette carte et on la remet dans le jeu, puis on tire
une seconde carte.
Quelle est la probabilité de chacun des événements définis à l’exercice 49 ?
51 Une urne contient 7 boules rouges et 6 boules
bleues indiscernables entre elles au toucher.
1. On tire deux boules l’une après l’autre et sans remise.
Quelle est la probabilité de chacun des événements :
A : On tire une rouge puis une bleue ;
B : On tire une bleue puis une rouge ;
C : On tire deux boules de couleurs distinctes ;
D : On tire deux boules de même couleur ?
2. On tire une boule, on note sa couleur et on la remet
dans l’urne. On tire une seconde boule. Quelle est la
probabilité de chacun des événements précédents ?
52 Un sac contient 2 boules rouges, 2 noires et
10 vertes. On choisit une boule dans le sac, on note sa
couleur et on la replace dans le sac et on recommence
une seconde fois ce tirage.
Calculer les probabilités des événements suivants :
– on a tiré deux rouges ;
– on a tiré deux vertes ;
– on a tiré deux boules de même couleur ;
– on a tiré deux boules de couleurs différentes.
PISTE
Calculer le nombre d’issues possibles.
53 On dispose au hasard trois drapeaux : français,
italien et espagnol, l’un à côté de l’autre en ligne.
1. Quelle est la probabilité que le drapeau français soit
entre les deux autres ?
2. Quelle est la probabilité que le drapeau italien soit à
une extrémité ?
54 On lance un dé équilibré deux fois de suite Quelle
est la probabilité de chacun des événements :
A : la somme des résultats est supérieure ou égale à 5 ;
B : le nombre obtenu au second lancer est strictement
supérieur au nombre obtenu au premier lancer ;
C : la valeur absolue de la différence des deux nombres
est inférieure ou égale à 2 ?
55 On jette une pièce 10 fois de suite.
On s’intéresse à l’événement B :
« obtenir au moins une fois PILE »
Calculer P ( B ) et en déduire P ( B ).
56 Cinq élèves A-B-C-D-E prennent le départ d’une
course. On suppose qu’il n’y a pas d’ex aequo à l’arrivée.
1. Combien y a-t-il d’arrivées possibles ?
2. On s’intéresse aux trois premiers : quelle est la probabilité pour que les trois premiers soient A-B-C dans
cet ordre ? Et pour C-E-D ?
3. Quelle est la probabilité pour que B soit en tête ?
4. Quelle est la probabilité pour que B figure dans les
trois premiers ?
57 Un sac contient 5 jetons marqués :
(–5) ; (–3) ; (1) ; (2) et (6).
1. On tire un premier jeton sans remise, on note sa
valeur a, on en tire un second, on note sa valeur b.
L’événement E est réalisé si a + b est positif. L’événement F est réalisé si ab est positif.
Calculer P ( E ) ; P ( F ) ; P ( E 傼 F ) ; P ( E 傽 F ).
191
OV.book Page 192 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
2. Reprendre ces questions en supposant que, après le
premier tirage, on remet le jeton tiré dans le sac.
variable aléatoire Y : une perte est une valeur négative.
2. Calculer E ( Y ) et l’écart type de Y.
58 On forme un numéro de téléphone à dix chiffres,
les deux premiers étant [0 1], les huit autres choisis parmi les dix chiffres possibles, dans un ordre quelconque.
1. Combien peut-on former de numéros ?
2. Combien de temps faut-il pour les former tous, si
l’on estime qu’il faut 15 secondes pour en former un ?
3. Si Karim forme un tel numéro au hasard, quelle est la
probabilité qu’il forme 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?
63 Un jeu consiste à lancer deux dés parfaits. Un
joueur mise 1 euro sur le numéro 5.
Si ce numéro est obtenu sur chacun des deux dés, le
joueur reçoit 4 euros. S’il apparaît sur un seul des deux
dés, il reçoit 3 euros. Dans tous les autres cas, il perd sa
mise. Le gain du joueur est la somme reçue diminuée de
la mise : c’est une variable aléatoire X.
1. Quelles sont les valeurs prises par X ?
2. Donner la loi de probabilité de X.
3. Calculer E ( X ) et σ ( X ).
59 Un immeuble comporte quatre étages.
Deux personnes A et B prennent l’ascenseur au
rez-de-chaussée marqué en gris. Chacune peut
choisir l’un des quatre étages.
1. Combien y a-t-il de choix possibles ?
2. Quelle est la probabilité que les deux personnes descendent au même étage ?
3. Reprendre les questions a) et b) si cinq personnes
prennent l’ascenseur.
PISTE
Utiliser un arbre en précisant les choix pour A puis
pour B.
60 Soit A et B deux événements quelconques d’un
univers Ω.
On appelle B1 , l’ensemble des éléments de B qui ne sont
pas éléments de A.
1. Montrer que A 傼 B = A 傼 B 1 et que A et B1 sont
disjoints. En déduire P ( A 傼 B 1 ).
2. Exprimer P ( B ) à l’aide de P ( B 1 ).
En déduire que P ( A 傼 B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A 傽 B ).
Variable aléatoire – Espérance
et variance
61 Dans le sac n° 1 on place les
trois jetons marqués (2) (3) (4). Dans n° 1
n° 2
le sac n° 2 on place les jetons marqués
(3) (4) et (5).
L’expérience consiste à tirer au hasard un jeton dans chaque sac. On désigne par X la variable aléatoire qui prend
les valeurs de la somme des deux nombres obtenus.
1. Déterminer la loi de probabilité de cette variable.
2. Calculer E ( X ) et σ ( X ).
PISTE
Utiliser un tableau pour trouver les valeurs possibles pour X.
62 Reprendre l’expérience aléatoire du 61 .
Le joueur gagne 3 euros si la somme S obtenue est paire
et il perd 3 euros dans le cas contraire.
1. Déterminer la loi de probabilité de cette nouvelle
192
64 Un dé comporte une face marquée 1 ; trois faces
marquées 2 et deux faces marquées 3.
On jette ce dé deux fois de suite et on fait la somme S
des deux numéros obtenus.
1. Quelles sont les valeurs prises par S ?
2. Quelles sont les six issues favorables à l’événement
(S = 3) ?
Calculer la probabilité de ( S = 3 ).
3. Pour trouver la loi de probabilité de S, dresser un
tableau carré : sur la première ligne marquer les six
nombres 1-2-2-2-3-3, de même pour la première
colonne. Donner la loi de S sous forme de tableau.
4. Calculer E ( S ) et σ ( S ).
65 Dix chevaux participent à une course. On s’intéresse aux trois premiers.
1. Pour le cheval qui arrive premier, il y a 10 possibilités.
Combien y en a-t-il pour le cheval qui est second ? Combien y a-t-il d’arrivées possibles pour les trois premiers ?
2. Le joueur paie 5 euros pour jouer : il propose trois
chevaux dans l’ordre.
Si son « tiercé » est le bon, il gagne 2 000 euros si non
il perd sa mise.
Quelle est l’espérance de son gain ?
66 Reprendre l’exercice précédent avec 20 chevaux
et un gain possible de 20 000 euros.
67 1. Un sac E contient trois jetons marqués 1, 2, 3
et un sac F contient les jetons marqués 2, 3, 4.
On tire un jetons dans E et un jeton dans F.
Soit X la variable aléatoire égale à la somme des nombres marqués sur ces jetons.
Déterminer la loi de cette variable, son espérance, sa
variance et son écart-type.
2. Les nombres écrits sur les jetons sont multipliés
par 10 et on opère de la même façon. Y est la somme
des nombres marqués sur les deux jetons. Calculer
l’espérance et l’écart-type de Y.
3. Montrer que E ( Y ) = 10E ( X ) et σ ( Y ) = 10σ ( X ).
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Chap. 8
Probabilités
Pour aller plus loin
68 Les anniversaires
Un sac contient 365 jetons, numérotés de 1 à 365,
autant que de jours de l’année.
Pierre tire un jeton, note le numéro et le replace dans le
sac, puis Jean tire à son tour un jeton.
1. Quelle est la probabilité qu’ils tirent deux numéros
pairs ? Deux numéros impairs ?
2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient nés
tous les deux le premier mai ?
3. Quelle est la probabilité qu’ils aient le même jour anniversaire (on ne tient pas compte de l’année de naissance) ?
72 Reprendre le problème de l’exercice précédent
avec quatre personnes A, B, C et D et quatre casquettes
a, b, c et d.
73 Jeux de roulettes
Une roulette comporte deux secteurs égaux, marqués 0
et 1.
Au début du jeu, on dispose de 9 euros.
0
1
69 Un système joué aux dés
On considère le système d’équations d’inconnues x et y :
 2x – 4y = 6

 mx – ny = q
Les coefficients m, n et q sont choisis au hasard dans
l’ensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} de la façon suivante : On
lance un dé : le numéro sorti donne m. On le lance une
seconde fois : le numéro obtenu donne n. Et une troisième fois : le numéro donne q.
1. Quelle est la probabilité que le système admette
pour solution le couple (3 ; 0) ?
2. Quelle est la probabilité que le système admette une
solution unique ?
3. Celle que le système n’ait pas de solution ?
4. Celle qu’il ait une infinité de solutions ?
70 On considère l’équation x 2 + px + q = 0.
On lance un dé, le numéro sorti donne la valeur du coefficient p.
On lance le dé une seconde fois, le numéro donne alors q.
1. Quelle est la probabilité que l’équation donnée
admette deux racines distinctes ?
2. Quelle est la probabilité que l’équation admette une
racine double.
3. Quelle est la probabilité que l’équation n’admette
pas de racine réelle ?
71 Les chapeaux
Trois personnes A, B et C ont posé leurs chapeaux a, b, c au
vestiaire. À la sortie du restaurant, A prend un chapeau au
hasard, B fait de même et C prend le chapeau qui reste.
1. Dessiner un arbre pour rendre compte de toutes les
issues possibles.
2. Quelle est la probabilité de chacun des événements
suivants :
M : chaque personne retrouve son chapeau ;
N : une seule retrouve son chapeau ;
P : personne ne retrouve son chapeau ?
On actionne la roulette : si le 1 sort, on triple son avoir ;
si le 0 sort, on le divise par 3.
1. On actionne la roulette une fois. X est la variable
aléatoire égale à ce que l’on possède après ce jeu.
Préciser la loi de X et calculer E ( X ).
2. On actionne la roulette deux fois de suite. Y est la
variable aléatoire égal à ce que l’on possède après ces
deux actions. Préciser la loi de Y et calculer E(Y).
74 Jeux de roulettes
Une roulette est divisée en trois secteurs
égaux. Ces secteurs portent les numéros
0 ; 2 ; 4.
1. On fait tourner la roulette : on gagne la
somme X marquée sur le secteur.
Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer E ( X ).
2. On fait tourner la roulette deux fois de suite. Le gain
Y est alors égal au produit des nombres marqués. Quelle
est la loi de Y ? Calculer E ( Y ).
3. On fait tourner la roulette trois fois de suite. On
désigne par Z le nombre égal au produit des trois nombres obtenus. Pour obtenir la loi de Z, dresser un
tableau :
La première ligne comporte les issues possibles pour les
deux premiers lancers : 0-0-0-0-0-4-8-8-16 ;
La première colonne comporte les issues possibles pour
le troisième lancer : 0-2-4.
Marquer dans les 27 cases du tableau tous les produits
possibles après trois lancers.
Calculer E ( Z ).
75 Promenade aléatoire
Un enfant se déplace en ligne droite de manière aléatoire de la façon suivante :
Il effectue quatre déplacements, soit de 1 pas soit de 2
pas, par exemple le trajet 1-1-2-1, ce qui fait un total de
5 pas. Il revient au point de départ et recommence
100 fois !
193
OV.book Page 194 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
1. S est la variable aléatoire égale au nombre des pas
effectués au cours de chaque trajet.
Quelles valeurs peut prendre S ?
2. Simulation
Pour simuler ces trajets, on place 100 jetons marqués 1
et 100 jetons marqués 2 dans un sac : on tire un jeton,
on note le numéro, on le remet dans le sac et on effectue
quatre tirages identiques et on fait la somme des quatre
numéros obtenus. On peut aussi utiliser un tableur.
a) Voici les résultats obtenus pour S dans trois échantillons E 1, E 2 , E 3 de 100 trajets chacun :
S
2
3
4
5
6
7
8
E1
7
8
20
26
24
12
3
S
4
5
6
7
8
E2
33
59
97
123
90
64
34
E1
5
22
41
22
10
E3
64
111
206
260
182
114
63
E2
7
25
44
24
0
E3
4
20
39
28
9
Pour chacun de ces échantillons, calculer la fréquence
de chaque événement ( S = 4 ), ( S = 5 ), etc. et calculer la moyenne.
b) Voici les résultats pour un échantillon E4 de 500 trajets, puis un échantillon E5 de 1 000 trajets et enfin E6 de
1 500 trajets :
S
4
5
6
7
8
E4
35
118
196
118
33
E5
62
267
364
234
73
E6
103
392
559
336
110
Pour chacun de ces trois échantillons, calculer la fréquence des valeurs de S puis la valeur moyenne de S.
3. Probabilités
a) À l’aide d’un arbre, montrer qu’il y a 16 possibilités
pour un trajet.
b) Dénombrer les trajets pour lesquels on a S = 4,
ceux pour lesquels on a S = 5 et ainsi de suite jusqu’à
S = 8.
c) Quelle est la probabilité de chacun de ces
événements ? Comparer aux fréquences obtenues pour
les échantillons E 4 , E 5 , E 6 .
d) Calculer l’espérance puis la variance de cette
variable S.
76 Dé tétraédrique
On dispose d’un dé tétraédrique,
c’est-à-dire à quatre faces (qui
sont des triangles équilatéraux),
marquées :
1-2-3- 4.
Lorsque l’on lance ce dé, on note
le numéro marqué sur la face qui
est posée sur la table.
194
Il y a équiprobabilité d’obtention de chaque face.
L’expérience consiste à jeter ce dé deux fois de suite : on
fait la somme S des deux nombres obtenus.
1. Simulation
a) Quelles sont les valeurs possibles pour cette somme S ?
b) Pour un échantillon E 1 de 100 expériences, puis un
échantillon E 2 de 500, puis E 3 de 1 000, voici les résultats obtenus pour chaque somme possible :
Pour chacun de ces trois échantillons, calculer la fréquence de chaque valeur de S.
Cumuler ces trois échantillons et calculer les nouvelle
fréquences.
c) Comment faire ces simulations à l’aide d’un tableur ?
2. Probabilités
a) Pour cette expérience, précisez les 16 cas possibles en
dressant un tableau à double entrée.
Démontrer les issues favorables à chacun des événements :
S = 2 ; S = 3 ; … ; S = 8.
b) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire S
et comparer aux fréquences obtenues.
c) Calculer E ( S ) et V ( S ).
d) Si S est paire, le joueur gagne S jetons ; si S est
impaire, il perd S jetons.
Donner la loi de probabilité de cette nouvelle variable G
correspondant au gain du joueur.
Calculer E ( G ).
77 Lancers de trois dés
On lance trois dés : un blanc, un bleu et un noir.
on fait la somme des numéros qui apparaissent.
1. Montrer que cette variable aléatoire S peut prendre
toutes les valeurs entières de 3 à 18.
2. Simulation
Par simulation de 1 000 lancers de ces trois dés, on a
obtenu :
S
3
4
5
6
7
8
9
10
Ef.
6
10
18
52
79
90
128
129
S
11
12
13
14
15
16
17
18
Ef.
123
110
86
69
53
29
12
6
Calculer les fréquences pour chaque somme de la valeur
moyenne.
3. Probabilités
a) Montrer qu’il y a 216 issues possibles pour un lancer
de 3 dés.
OV.book Page 195 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Chap. 8
Probabilités
b) La somme S = 3 est obtenues d’une seule façon ;
quelle est la probabilité de l’événement ( S = 3 ) ?
Quelle est celle de l’événement ( S = 18 ) ?
c) Combien y a-t-il de façon d’obtenir le total S = 4 ?
Quelle est la probabilité de cet événement ?
Même question pour S = 17.
d) Dans une réponse au Prince de Toscane, Galilée a
montré qu’il y a 25 façons d’obtenir un total 9 et
27 façons d’obtenir un total 10. Retrouver ces résultats.
Quelles sont les probabilités des événements ( S = 9 )
et ( S = 10 ) ?
78 Dès pipés
On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On lance ce dé. Quand il s’est immobilisé, on lit le chiffre marqué sur la face supérieure. On a
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
déterminer la probabilité de chaque événement élémentaire dans chacun des cas suivants :
1. Le dé n’est pas « pipé » ; les six événements sont
équiprobables.
2. Le dé est « pipé » de façon que la probabilité d’apparition de l’événement {i} soit proportionnelle à i.
3. Le dé est « pipé » de façon que la probabilité d’obtenir un nombre pair est le quart de celle d’obtenir un
nombre impair.
Chaque nombre pair a la même probabilité de sortie.
Chaque nombre impair aussi.
79 Une boule blanche
Une urne contient une boule blanche et n boules rouges
( n 2 ).
On suppose les tirages équiprobables.
1. Calculer la probabilité P 1 ( n ) de tirer une boule
rouge dans un tirage d’une boule au hasard. La suite
définie par P 1 ( n ) est-eIle monotone ? Quelle est Ia
limite de P 1 ( n ) ?
2. On admet que la probabilité P 2 ( n ) de tirer deux
boules rouges dans un tirage simultané de deux boules
n–1
au hasard est égale à ------------ . Étudier la suite définie par
n+1
P 2 ( n ) (sens de variation et limite).
3. Comparer P 1 ( n ) et P 2 ( n ), déterminer l’ensemble
1
des valeurs de n pour lesquelles on a P 1 ( n ) – P 2 ( n ) --- .
8
80 Tournoi de bridge
5 personnes A, B, C, D, E participent à un tournoi de
bridge. A et B ont des chances égales de gagner, C, D, E
ont aussi la même chance, mais A et B ont deux fois plus
de chances de gagner que C, D ou E.
1. Calculer la probabilité de gagner pour chacune des
5 personnes.
2. Calculer la probabilité pour que ce soit A ou B qui
gagne ? C ou D ou F ? A ou D ?
81 Tirage de jetons
1. Un sac E contient trois jetons marqués 1, 2, 3 et un
sac F contient les jetons marqués 2, 3, 4.
On tire un jeton dans E et un jeton dans F.
Soit X la variable aléatoire égale à la somme des nombres marqués sur ces jetons.
Déterminer la loi de cette variable, son espérance, sa
variance et son écart-type.
2. Les nombres écrits sur les jetons son multipliés
par 10 et on opère de la même façon. Y est la somme
des nombres marqués sur les deux jetons. Calculer
l’espérance et l’écart-type de Y.
3. Montrer que E ( Y ) = 10E ( X ) et σ ( Y ) = 10σ ( X ).
82 Des points et des jetons
1. On considère 9 points : A – B – C – D… I, tels que trois
quelconques ne sont pas alignés. On trace tous les segments joignant les points deux à deux. Montrer que le
nombre de ces segments est 36.
2. Sur le carré ci-contre, on place au
hasard deux jetons identiques, un jeton
par case.
a) combien y a-t-il de façons de les
disposer ?
b) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de cases
rouges recouvertes par ces deux jetons.
Calculer p ( X = 2 ) et p ( X = 0 ) et en déduire la loi de
probabilité de X. Calculer l’espérance et l’écart-type de X.
c) Reprendre ces mêmes questions pour la variable Y
égale au nombre de cases blanches recouvertes par ces
2 jetons.
83 Pour prendre des initiatives
Problème de Galilée
Le prince de Toscane demanda un jour au physicien
Galilée : « Pourquoi, lorsque l’on lance 3 dès,
obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme
9, bien que ces sommes soient obtenues chacune de
6 façons différentes ».
195
OV.book Page 196 Jeudi, 17. mars 2005 11:01 23
Exercices et Problèmes
Un peu d’histoire
D’ALEMBERT et les probabilités
À l’époque de d’Alembert et de Pascal lorsqu’on lance
une pièce on n’obtient pas PILE ou FACE, mais CROIX
« … On demande combien il y a à parier qu’on
amènera CROIX en jouant deux coups consécutifs. La réponse qu’on trouvera dans tous les
auteurs & suivant les principes ordinaires, est
5 celle-ci. Il y a quatre combinaisons :
Premier coup
Second coup
Croix
Croix
Pile
Croix
Croix
Pile
10
Pile
Pile
De ces quatre combinaisons, une seule fait perdre
& trois font gagner ; il y a donc 3 contre 1 à parier
en faveur du joueur qui jette la pièce… Cependant
cela est-il bien exact ?
15 Car ne faut-il pas réduire à une les deux combinaisons
qui donnent CROIX au premier coup ? Car, dès
qu’une fois CROIX est venu, le jeu est fini, & le second
1
ou PILE. L’auteur conteste ici une certaine démarche
pour un jeu de hasard.
coup est compté pour rien. Ainsi il n’y a proprement que
trois combinaisons de possibles :
20
Croix, premier coup
Pile, Croix, premier & second coup
Pile, Pile, premier et second coup
Donc il n’y a que 2 contre 1 à parier…
S’il jouait en trois coups, on trouverait huit combinaisons, dont une seule fait perdre et sept font 25
gagner ; ainsi il y aurait 7 contre 1 à parier….
Mais dans ce cas de trois coups, il n’y a que 4 combinaisons gagnantes :
Croix – Pile Croix – Pile Pile Croix – Pile Pile Pile
30
Donc il n’y a que 3 contre 1 à parier…
Ceci est digne ce me semble de l’attention des
calculateurs ».
Extrait de l’Encyclopédie (1751-1772)
Article CROIX ou PILE (analyse des hasards)
Rédigé par Jean le Rond d’Alembert (1717-1783)
Questions
Ligne 4 : décrire ces quatre combinaisons avec un arbrePile.
Ligne 11 : expliquer ce que signifie « 3 contre 1 ». Où
retrouve-t-on cette expression à notre époque ?
Ligne 21 : représenter par un arbre les cas possibles en
jouant en trois coups et trouver la probabilité de gagner.
Une réponse de Laplace
Laplace (1749-1827) commence par démontrer que la probabilité d’amener CROIX au moins une fois en deux coups
est de 3/4. Puis il conteste le raisonnement de d’Alembert.
1
5
10
« On peut ne compter à ce jeu que trois cas différents, savoir : croix au premier coup, ce qui dispense d’en jouer un second ; pile au premier coup
et croix au second ; enfin pile au premier et au
second coup. Cela réduirait la probabilité à 2/3 si
l’on considérait avec d’Alembert ces trois cas
comme également possibles. Mais il est visible que
la probabilité d’amener croix au premier coup est
1/2, tandis que celle des deux autres cas est 1/4 ….
Maintenant, si on ajoute la possibilité 1/2 d’amener
croix au premier coup à la possibilité 1/4 de pile
arrivant au premier coup et croix au second, on aura
3/4 pour la probabilité cherchée. »
Leçon donnée à l’École Normale en 1795
Questions
Plusieurs auteurs, dont Diderot et Laplace, contestent la
démarche erronée de d’Alembert.
196
Aux lignes 10 et 11 de son texte, il considère l’événement :
« amener croix une fois au moins en deux coups »
comme la réunion de deux événements. Lesquels ?
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Chap. 8
Travaux Pratiques
Probabilités
Jeu de fléchettes et simulation
On lance des fléchettes sur une cible carrée. Cette cible comporte également un quart de cercle, de rayon égal au côté du carré. On effectue
plusieurs tirs et on dénombre les impacts se trouvant dans le quart de
cercle.
y
1
1. On simule cette expérience à l’aide d’une calculatrice. Pour cela, on
choisit au hasard un couple de coordonnées (x ; y) avec x et y compris
entre 0 et 1. À chaque lancer on fait le test suivant « x 2 + y 2 est-il inférieur à 1 ? » et on compte les coups pour lesquels c’est réalisé.
Voici des programmes permettant de réaliser cette simulation :
0,5
0
0,5
1 x
Ti 82-83
Input N
0→A
For(I,1,N)
Rand → X
Rand → Y
If X2 + Y2 < 1
Then
A+1 → A
End
A/N → F
Disp F
End
Commentaires
Entrer le nombre de lancers
Début de la boucle
Choisir au hasard un couple (X ; Y)
Tester si l’impact est à l’intérieur du quart
de cercle
Calculer le nombre d’impacts à l’intérieur
Calculer la fréquence des impacts
x2 + y2 1
x2 + y2 1
x2 + y2 = 1
Casio 25-35-65-100
?→N↵
0→A↵
For 1 → I To N ↵
Ran # → X ↵
Ran # → Y ↵
If X2+ Y2 < 1 ↵
Then ↵
A+1 → A ↵
Next ↵
Next ↵
A/N → F ↵
Disp F ↵
a. Simuler une série de 100 lancers.
Quelle est la fréquence observée ?
b. Recommencer une simulation de quatre séries de lancers. Noter les
fréquences obtenues.
Quelle est la fréquence observée pour les 500 lancers ?
aire du quart de cercle
2. Calculer le rapport -------------------------------------------------------- .
aire du carré
Comparer ce rapport à la fréquence observée.
On observe que lorsque le nombre de lancers devient très grand la fréπ
quence devient » très proche » de --- . Cette méthode, appelée Méthode
4
de Monte Carlo permet d’obtenir une approximation de l’aire du quart
de disque.
3. On se propose d’appliquer cette méthode à l’estimation de l’aire de
la partie du plan coloriée située sous la parabole d’équation y = x 2 et
dans le carré de côté 1.
y
a. Comment modifier le programme précédent pour réaliser une simulation de lancers de fléchettes avec cette nouvelle cible ?
b. Simuler une série de 500 lancers. En déduire une approximation de
l’aire sous la parabole.
x
197
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Travaux Pratiques
Les anniversaires
On se propose de déterminer la probabilité pour que deux élèves au moins, d’une classe de 28 élèves, fêtent
leur anniversaire le même jour (aucun n’étant né un 29 février !).
On suppose que quelque soit le jour de l’année, la probabilité qu’un élève, choisi au hasard, fête son anniver1
28
saire ce jour-là est égale à --------- . On peut penser que la probabilité cherchée est égale à --------- soit 0,077 environ.
365
365
Pour vérifier cette hypothèse, on va réaliser une simulation à l’aide d’un tableur.
1
Simulation
Chaque élève est numéroté de 1 à 28 et chaque jour de l’année de 1 à 365.
Il s’agit donc de choisir 28 nombres au hasard parmi les entiers de 1 à 365 et de déterminer les coïncidences des résultats obtenus. Ouvrir une feuille de calcul.
Dans les colonnes A et C, écrire respectivement les entiers de 1 à 28 et les entiers de 1 à 365.
La colonne B associe à chaque élève son jour anniversaire obtenu par tirage au hasard d’un entier de 1
à 365. Écrire dans B3 la formule = ENT (ALEA ()*365+1). Recopier cette formule, vers le bas,
jusqu’en B30.
Dans la colonne D, on compte pour chaque jour de l’année, le nombre de fois où ce jour est une date
anniversaire d’un élève de la classe.
On écrit dans la cellule D3 la formule = NB.SI($B$3 :$B$30 ; C3), puis recopier en bas.
Il y a coïncidence, un jour donné, si le nombre d’élèves fêtant leur anniversaire ce jour-là est supérieur
strictement à 1. Pour chaque jour, le test est effectué au moyen de la formule = SI(D3 > 1 ; 1 ; 0), qui
est écrite dans la cellule E3 puis recopiée en bas.
La somme des entiers de la colonne E fournit le nombre de coïncidences qui est écrit dans la cellule F3
au moyen de la formule = SOMME (E3 :E367).
Expliquer pourquoi la formule = SI ($F$3=0 ; « NON » ; « OUI »), écrite dans la cellule G3, fournit la
réponse pour l’échantillon observé :
Effectuer 100 simulations. Quelle est la fréquence des « OUI » ? Le résultat obtenu est-il en accord
avec l’hypothèse faite d’une probabilité de 0,077 environ ?
2
198
Calcul de probabilités
On considère maintenant des groupes de n personnes. On note pn la probabilité pour que, ces n personnes aient des dates anniversaires différentes.
a. On choisit n = 3. Quelle est la probabilité pour que deux personnes parmi ces trois fêtent leur anniversaire le même jour ?
365 – n
b. Justifier l’égalité p n + 1 = p n × ------------------ . On pose p 1 = 1.
365
Exprimer en fonction de pn , la probabilité qn , pour que parmi ces n personnes, d’eux d’entre elles au
moins fêtent leur anniversaire le même jour.
c. Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer q 28 .
Comparer avec l’étude faite dans la question 1. b. Conclure.
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QCM
Et maintenant,
chapitre 8
TESTEZ-VOUS !
Choisissez la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A. Savez-vous calculer une probabilité ?
On lance deux dés bien équilibrés et on note les résultats obtenus.
A
B
C
D
1. La probabilité d’obtenir
deux nombres identiques est
1
--6
1
-----36
1
--2
1
--8
2. La probabilité d’obtenir
une somme égale à 10
est
1
-----11
égale à la probabilité
d’obtenir une somme
égale à 4
1
-----12
supérieure à la probabilité
d’obtenir une somme
égale à 7
3. La probabilité d’obtenir
un produit égal à un
nombre pair est
1
--4
3
--4
1
--2
2
--3
4. La probabilité d’obtenir
une somme égale à un
nombre premier est
5
-----11
1
--3
1
--2
5
-----12
5. La probabilité d’obtenir
un double six est
1
--6
1
--2
1
-----18
1
-----36
B. Savez-vous utiliser des probabilités ?
A, B et C sont trois événements de l’ensemble Ω muni de la loi de probabilité P.
On sait que P ( A ) = 0,35 ; P ( B ) = 0,55 ; P ( A 艚 C ) = 0 et P ( A 艚 B ) = 0,15.
6. P ( A ) =
0,65
0,5
0,25
0,55
7. P ( A 艛 B ) =
0,75
0,80
0,65
0,90
8. On a P ( C )
égale à 0,65
inférieure à 0,65
supérieure
à 0,65
On ne peut rien affirmer
pour P ( C )
0,3575
0,35
0,15
0,85
9. P ( A 艛 B ) =
C. Savez-vous utiliser la loi de probabilité d’une variable aléatoire ?
Un sac contient trois boules rouges et deux boules vertes. On tire au hasard une boule du sac. On note sa
couleur et on la remet dans le sac. On tire une deuxième boule et on note sa couleur.
Chaque boule rouge tirée rapporte 2 euros. Chaque boule verte fait perdre 1 euro. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur à l’issue de deux tirages
1
--3
6
-----25
12
-----25
1
--2
11. E ( X ) =
1,6
1
0
1,8
12. V ( X ) =
6,88
4,32
0,3088
2,08
10. P ( X = 1 ) =
Réponses page 351
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