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En application de la loi du {| mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiel-
u jement le présent ouvrage, sur quelque support que се soit, sans autorisation de l'auteur, de
PHOTOCOPILLAGE son éditeur ou du Centre français d'exploitation du droit de copie (CFC, 3, rue Hautefeuille,
TUE LE LIVRE 75006 Paris).
© 1996 | | ISBN 2-85978-265-6
TESSES de técce natimala des | - 49, rue de |'Université
Е 75007 Paris
PE кон = асан me анна Le 2 me mad a — me ee wae ma
Introduction ...........e eee o ener rerarrerearrereaoeron ies e icenornaro e enocarearelcenicacenaaoraree eno reamero
1. Rappels de Résistance des Matériaux. Etude des poutres soumises a Ia flexion
1. Calcul des contraintes dans une section ..................=.1ereer e ee DD ID ÉRRÉTTOEÉEÉ ITA ED DA
2. Calcul de l' effort tranchant Y, du moment M, de la rotation a, de la déformée —
ou flèche y pour une charge p = p(x) .. crasassasana ces reteset
3. Rotation à l'appui gauche pour une travée isostatique de portée L. LEHE KGB ano.
4, Rotations dues a un moment C sur appui d'une travée 2 inertie constante I ,..........
5. Calcul des moments sur appuis des poutres continues.
Théorème des trois moments ............. énscnneps anne nenenstnsserap a an CANEn she cna bran RR beret ens vores
6. Poutre continue. Calcul des moments sur appuis. Méthode de Caquot ...................
7. Redistribution des moments en DÉtON arme are EEE EEE
8. Règles forfaitaires en béton armé .......... pennconeenos poncootoneornecenenenrenD nene. pereonernaono эн
9. Portée de calcul eee posa Verte esate aes artes seen tease reasons
10. Quelques résultats intéressants ….…………ersersesensersensencenscserseira rave ee ванне.
11, Effort tranchant et cisaillement des pièces fléchies préssse carreau se
12. Poutres continues. Sollicitations en travées ......... penoveneonenecerenerTrevedecaconreaenararetececee
13. Calcul des moments de travées isostatiques. Méthode générale crrscrecerannes con cnesenen se
14. Exercices ................icceciiceorezcati ceo n een cerco atea primnorioceciiacioroneoee res renacer ao
Tableaux de calcul de béton armé norononrnacenereconenoncanionoeneDrcecercocarocrinoriorosroneecentoectececterae
2. Formulaire de calcul dés poutres ................. 6... ree eee ee e ete Die Deere
|. Travée isostatíque sur deux appuis .................+...... e. eee e e e RD
2. Console encastrée A gauche .......e...iecreerce eee e De DD DR O O RR DD e e ee re ee Cee ies
3. Travée sur deux appuis, encastrée a gauche .......... bearer ree nenopreneanenas
4, Travée encastrée aux deux extrémités TREFF
5. Poutre continue de deux LraVEeS ae enteros onicorenienentrcior ee oreoecceore aerea Da ee
6. Poutre continue de trois travées égales онооцизавиац два но уро ориубифойна у DANA AD NANO DO CASADO ANNO ÓA
7. Poutre continue de n travées égales ............0.i.rci000mmiie ie IN III O RIDIRRI ones,
3. Actions et descente de charges ................i.esie0i00rer00ren ic De E IA TEE EEE EEE
1. Charges permanentes ...,...........ememice e Zo preaceoronearenres peceortorecennereecenero cars
2. Cliarges d'exploitation ...................es00 000. eee DDR ATA ésrrevensre races sreemate
3, Action de lA neige ………….………crcreersesenenensanrensenrascerenersenssesemerersecentanaascenea con vensnenvnes
4. Action du- vent ............ 2.060. ee ere RR A ee prrocienencarces bereniaronnenras
5. Áctions sisSmiques .................erreseerricerer e e De peierenvenoronenecancenrañermeo peeinocenaroe reas
6. Prise en compte des actions ..............e....esecieeree e De rareniecimeneorera srovssrenaece ‘
7. Descente de charges vo. Kae WEDER KLEINER TEEN
8. Combinaisons d’actionS ask penacoicoseereneneeeneros Cnnooionrenraneeo cen ves
III
4. Fondations superficielles ..................ceerrocoricarie ie De Den O DR RI O II ED O e
!. Contrainte du sol .. ..
2. Semelles filantes sous 5 voile. Méthode des bielles, Charge centrée … eK AREA
3. Semelles rectangulaires sous poteau. Méthode des bielles. Charge centrée erin
‚4, Semelles filantes avec fleXiION are... 0 irene senses senses sens
5. Semelles rectangulaires avec flexion iur rime iaconearenentervertenees
6. Semelies excentrées MN . '
7, Semelles nervurées ................. mec. ce eee Dee O ee e ce cetro arenero.
8. Semelles circulaires ...................- ie. e e O eee ee eee errar een re cercece.
9. Poutre sur sol élastique ............. e... e ee e e REEL .
10. Semelles fllantes sous poteaux ........... e. seems ER II O II TER e
11. Dallages ..............esrareaiecinieeane antes eeacaneorao ore onecneo ceo ca conce ero cero enórcoronearee Derraco ae reamermes
12. Radiers généraUx ........ee.ercecrareenesreceno sacaron e oe, ee PTR TPP
13. Charges concentrées sur dallage. Formules ........ pevoonacorenconentencueinaroneoene 20000000 000000000
14. Dallage en béton de fibre ..............eciecciiereee een Dee DOI ÉOZRÉÉEÉ RN II ROA eorieniearoDes
15, Pathologie .. eoceornoroerrenerea
16. Résumé, Semelle : sous poteau © ou u voile centré. Contrainte constante . ssaosaniseusesvasen ses
17, Choix du type de fondation .....................eíecersinme e e e RD De DOI ee eN e eee.
Bibliographie ................. 10m. DD ÉOÉEÍETÉTÉTEÉTEDTDATDD debe, TE
5, Fondations profondes ............onin animism
|, Définition .............. .eecosvercsiceo een rie Dee inner core cerrar eee nto cero ree sos saionbnnenesesssssoinn
2. Actions ........ В оважтоо сво лопавуяо оной ан уонаеною NecoacnorenencantonemererenrorocaracenenapoceDercontnrenoonDerenTerraóeDO
3, CombinaisoNS a pearaorocuninernecoo calor eneonehartaceracion re rar DEDe errata CITE
4. Force portante des pieux ........... 6.2. eric DD OÍ OTÉTOO BEI DO RT O eee eee O IDR RDA
3. Capacité du sol .............ee.=...=.. eee recreos recono rene ver entrorrrON Tere ecacanone cercare.
6. Capacité du pieu .....,........... 20... ie... einen en Deere one rer e onec eco een ee eee
7. Semelles sur pieux - Généralités ................2.....0+06000000 00 ne ee ee e ee e ee
8. Pieux soumis 4 un effort horizontal en téte ................e...ee.ereecercerioo nero DI DEZA
9, Semelies sur pieux en enenrenieaconenirereDceoconrer oe reaceticOrorceroeranionetos pcoremcoconeres
10. Longrines ...i.e.eeeioeacerioeenen cecencenterrarenrecioaao or rnorcacorrero mer orear roces oocanece rta terca orerceenas
|!, Parois moulées ............e.eenrnerizeio e ee en Dee e core reneeres ec on corerreocenrectecarocarer ree
P231 6) F Le) 45715163 ROSE EE ES EEE ES ee areas
(+20 97.1 [NO oo
|. Les planchersS (oer reese teste res eras str srr en asst nese rae era res
PA BT Fa] | TS SEPT
3. Dalle rectangulaire articulée sur ses quatre CÔÉS L....…..…....…0se<cossrnccesecsescemeunes eerie
4. Dallc rectangulaire. Deux cótés articulés et chacun des deux autres étant encastré,
articulé ou libre .............eseeceneeriere eee ee eee ere UNC re eo enocio e ocio core tsa samen ons
199
224
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351
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353
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- PON -
6. Calcul des dalles à la rupture - Méthodes des lignes de rupture ai 510
7. Dalle précontrainte à cables non-adhérents ….…………seereermsenensenneanenmneünnnnnnnnnnnn 531
8. Plancher-dalle .................. 2.00 Re eee Dericernenertermeness ranorensseserise users 549
9. Dalles précontraintes alvÉOIÉES L.n…nrsaeasennennnnnsnennnnnnnnnnnnnnnnnnennnnnns 570
10. Dalles mixtes béton à bacs COÏLADOFAN(S aa 589
1{. Dalles de forme quelconque ............e. eme Re A erat encerrona Taca ° 595
12. Dispositions constructives ,...........men e briloceocineoinerocerrecirerna reo renaecene.a 601
13. Charges sur planchers en cours de travaux ......... e... 01600 RA DITA 605
BiDlIOgraphie ….…….…serrerenrnenennnnnnnnnnnnnnnnn Cetera erat baton be tara aban 609
7. Poutres et planchers ................ eines DRA necenenvericarocanreoranronrnbene na recenime 613
1. Calcul des plAnChHEFS L.…uscosciarsersnesrancossercensenranenroncarenstrenentsressascacrnerean ren cencaraneencen seen . 613
2. Calcul des poutres continues ............ eme EN 615
3, Planchers À EntreVOUS ...………useceeseserserrrurirentertarersessasansasnrransalenaser es EEE ere eee 616
À. PlANChErSs NETVUTÉS ..uusssriissonsroceusenencastarsarensrcrsasapenresraesenensraren cancer NADO EEE 633.
5. Planchers à poutres croisées et planchers-caissons TUTOR PROTO 653
6. Planchers MEalliQUES ein saens 670
7. Liaisons éléments préfabriqués - Béton coulé sur place .............eemer incre es 686
8. Dalles avec prédalles ........ neunenonenDanenoeecoeeretaoca roo ocenortnaoreccarinerezorrareeeciatnobeccontanene 687
9. Plancher mixte - Poutre en acier et béton sur place ............ EEE 695
10, Planchers en bois ..............reerenserer ise e De e ee e ee ee eenonenarecco rent encea cae tas 736
1 |. Calcul de la fieche d'un plancher ............. eee eee ee ee eres 745
12. Actions des charges dynamiques sur les planchers .............eeromiene e seo 751
13. Points particuliers ................... er ie ere ener resensan ren onsrsnnrec ren ean en cecantae 758
Bibliographié ..............e.... UOTE OTOP PUTO 763
INDEX ooo esses ene TD 771
Tome 3
8. Poteaux ....................e een e e e ne ieDe ere rente ere ecrr areereererareeiareecoreoae erre Ter 779
|, Généralités ....... ie... mio cc ec o neo ere e eee orion or enero o recen eat ie oe retarre. 779
2. Flambement ,.....ee.r.eiecicrere DD FTP UTP corre rDes 782
3. Le flambement en béton armé ..............es.eí0eeer ere De DD DR NIDO DDR e DDD 804
4. Poteaux de bátiments en béton armé sous charges centrées
el d'élancement inférieur 4 70 ...........re..emocrcenie iD DI IN E LO Eee eee assas scene even 818
5. Poteau en béton armé avec moment (ou excentricité),............-..e. eee 820
6. Dispositions CONStructives ................. EEE EEE EEE EEE EEE EEE EEE EEE 824
7, Exemple de poteau en DÉLON arME esse EEE EEE EEE 827
8. Programme « POTO » de calcul et ferraillage de poteau en béton armé ................. 830
9. Poteau en béton armé suivant I'Eurocode 2 .................e0reiiene vire hearer arr an, 835
10, Poteau en acier suivant les CM 66 ............emnos pénonecasvaran asie sanesancen ces ANSO EDEN Era 840
! 1. Poteau en acier suivant l'Eurocode 3 …uuissesrerenenss eases senses 847
12. Poteau mixte acier-báton suivant i'Eurocode 4 ........... 0... DD 852
13: Poteau en bois suivant I'Eurocode $ .......... e... e e Dre e Tree ee ee 858
Vv
14. Déversement des poutres en DÉtON ATMÉ .vicrcecrecemineeemencennsnnnnMensnnnnnnnmnnnmnnnnnnnn 860
15. Flexion déviéé .....e.....ocoozrrerreranien ee ncacarIDereUeacereeeetrneconarcar rector e ccacancrceea „несе В62
Tableaux de calcul (flambement, déversement, poteaux en béton armé) ..................... 866
Bibliographié ......em-. merecer ec eee nene 874
9, Portiques et ossatures ...........—...—.... eseorteprereocecinecortoraecrenraFInerooconearrerteooerocirocrrere . 877
1. Définitions ..….….….……esrerrescensenserceransens pereuceroroniceloreonnareeoaaoeNeraioacar tercer Tirertenaceocrenneres 877
2. Portiques simples ........memesmmienmien RE SES SEE 878
3, Portiques multiples en béton armé °…uisarereerresmenmeneanennmenennentenseneencenmennnen mee... 882
4. Ossature en acier .......c.eeecerrericacorrecceron coreo nee inernrren re eto iadaneritIconenoreaorenenereiaera 912
5. Programme de calcul des portiques .………..…..…s-ssemeenceenççançnennenmnnennennnmnnnnnn 921
6, Poutres treillis ...............ercecrne eee DR DDR D NO TIC tDererocenoeeie percent usseenreus 954
7, De la validité des résultats .................errirreienerree cre De e ee een 978
BiDHOgraphie …uresemencenmenensennmennnçennnnnnnnnennnnnnnnennnnînnnnnnntnnennnnnntn ‚ 981
10, Voiles et MUS ......... cesen eee teases risen BEE 983
|, Сёпёта 6$ susanne EEE SEI LERLEKLERRETERKEEKTRERDELFERLRKKKBBRENKKUKUCHOUDEKEKEENKKUUKTEKTENEODENFONG 983
2. Choix du type de voile en fonction du Site ……uueimenesnenenennnnennnnnnnnnnnnnn 984
3, Dispositions constructives des voiles en béton armé où non armé povrartrs ren es ren consances 987
4, Résistance des voiles ......w......._...tiricerneree retener eee DDD acerco 991
5. Exemples ...........esnemererinree ene eee Dee Se 999
6. Murs en magonnerie non armée L….ucoveersuseniercenenennennçennençnnennnnnnnnnnnennenn 1014
7. Voútes de décharges ........e.1i:.000rnenececenie Dee Ie ete eee Dee ene 1032
8. Linteaux .... me. een De er D eee ener eee e eee e recreo eretecncenoernerecrorapececeoecrranes 1045
9, Poutres-Cloisons ......... we... ee. nee reee DD een e tere 1048
10, Maçonnerie armée .…….….……-vsiesiseicenennesnnentçsnnnnnnn prranonresssuse penncacacenrenenecenccociorenes 1073
[], Ouvertures dans les voiles et MUIs L…-euuvsescrersenrienmensenennerensenencnneeserneence enseneneenenn 1085
12. Panneaux de maconnerie sous charge horizontale dans leur plan nn. 1093
13. Raccourcissement différentiel ses Aeeoraccanaortosorcoricerarcortccs ecneaneno 1095
14, Calcul des voiles en béton - Méthode Pratigu® ‚4.0.4.0. EEE 1124
Bibliographie ar EHE arm sess en 1140
Liste des programmes ....e...e.eoreeniecenen ene DD DD Dee ear ns tete 1143
Annexe : Mode d'emploi des programmes de calcul de роштев « РОСО » + ............. 1147
Index BAEL 91 orion isan ass csssnsssasasianssssnsss TS 1277
Index général ….…….…eesverenionnramennentenenenençennnntennnnnnnennÛennnnnnnennnennnnÊenenn [285
.
Tome 4
11, Contreventement ...........——...e..e. een Deere DDR possrasen ten eansesre casser anses 1291
|. Types de COntreventement ..…semenenenmennmentnnenenn eres EEG 1291
2. Caractéristiques des VOIIES Loire iiss ane ascanteraeansess 1293
3, Centre de LOFSION ovina snares eruconrioaccareccotericocarmarmarcacortnreara 1300
4, Inertie équivalente …….rrerisenenenenn EEE ETES EEE 1315
VI
5. Répartition de l'effort extérieur suivant les différents éléments
de contreventement ...............ecercenreo mer DO e IR DO ICI Re TENOR eine Der ercerree er eee. 1327
6. Voiles avec files d'OUverture ................eí0eren ie DD ID RI DD OO II RR ter ee 1388
7. Changements d'inertie ............e...+.ecorormerecenee re eee ee en eee cer eee 1411
8. Comment limiter les déformations en téte de bátiments |
dues au vent et au séisme ........ nronenetereDenecea cocoa renenarereetaoeeeonenararenesaararDenecieo oocssverees 1416
9. Conception des CONtrEVENtEMEentS ..……esieremenmeesensennentenenenMnnnnnnMnnnnnnnnn£ennB 1423
Bibliographie ............. EEE 1430
12. Bielles et tirants .................. merece eee 1431
1. Définitions ...........m.emm00 EEE EEE A 1431
2. Étude d'une poutre courte sous charge concentrée ........ 2... cien 1441
3. Etude d'une poutre avec charge concentrée 3 mi-travée ........... imei nee 1443
4. Étude d'une poutre en Té avec charge répartie .............06.e0ime nine 1445
5, Étude d'un angle de portique avec moment négatif .............—.0. 10000000000 1460
6. Etude d'un angle de portique avec moment positif .............e-.e.ee0es ee. 1462
7, Poutre échancrée en extrémité ..............eurerincenrer e eee nenocenrereenoaroctenecIorEnecanres 1466
8. Changement de section .........i..e.e...020s ceo De ID NU CeN Rei Nereo recorre 1471
9, Consoles ars EEE ecerontcuannobecercevenencanenorantanoorioroncaronrenorernatacerorares: 1472
10, Ouvertures dans les dalles ............emesices rene ee A RR O RI RD ene … 1480
11. Grande ouverture dans une poutre-Cloison ..........—....eee eee eee Ds 1481
12. Poutre baionnette ............. remera Dee CR IR enter tee asa bt bese bar tener 1486
13. Exemple-Étude d'une façade sans poteau par la méthode des bielles ............. „ее 1487
Bibliographiée ...........ee0c0eireie e ee CR II IR IR DIR DDR ere DR ener ae iones 1493
13. Consoles-Escaliers ...................i2c.encacecciacecien: artes ce reee ero tene ra Dee anne sass asses 1494
1. Généralités ..............e..emieccereno e e ere e caren neorccoooieneseneniancareeren tente Essa Es Res 1494
2. Consoles courantes .................-esiee.e000 enn een e e e eee es 1494
3. Consoles courtes (corbeaux) ……orecorrorearsens perennes TEE poonsresenss 1504
4. Consoles lONgUES ..…vsererssesrersresrsossessarsnee uemaoopecececenoorceneenerreaveorencarmenserrevaoUOearoorarO 1514
5. Rampes .....e.-iesecreeeroceneeneorerieororonenroeractoracaneoccerectocicior e siasas seston totes tonsnssrsnssaensssssases 1521
6. Escaliers ........ ee. eneDe Dee eee De ete Ie TO ee Nc re De rereneroeereeTeneernererorenecar eaten: 1524
Bibliographie …...…..…..…cercnreresarinnmenmennnmennnnnnnnnbnnnnnnnnmnnnnnn EN 1538
14, Étude d’un bâtiment ee EEE EEE EEE 1539
1. Definition du projet ue RE EE PESTE EE RTE EEE 1539
2. Dimensionnement ......e. ee eee e e ee earn Cee Deer Deere enecoceororeno mentor rare 1547
3. Étude d'exécution-Plans de coffrage et de ferraillag® aa. 1565
Bibliographie .............=e.ie.e.0..e0 060000 eee eee ere Dee bere sere 1609
Annexe À : Programme « Escadre »-Espacement des cadres de poutres 1611
Annexe B : Calcul des planchers 4 dalies alvéolées sous charges concentrées ............. 1619
Liste des programmes ...........e.eseoeercertecon ene ec E OD IR RI RED eN Orea ee recorro conrenerre tere. 1651
INdex .....eme acer ransarasransraenasonra sas sonner en Career TaeroreareeNOnONrOroaceneceOeareNeUOceno terme oracemtanOr CONO s 1657
VII
11. CONTREVENTEMENT y
1. TYPES DE CONTREVENTEMENT
Le contreventement d'une construction est constitué de l'ensemble des éléments structuraux
qui concourent à sa résistance aux actions autres que gravitaires, en général horizontales
telles que le vent, les séismes, la poussée des terres.
Le contreventement des constructions est assuré généralement par un ou plusieurs des
dispositifs suivants :
— portiques constitués de poutres et poteaux (voir chapitre 9, §. 3 a 5:
— palées de contreventement (voir chapitre 9, $. 6.2) ;
- voiles rigides simples ou composés (voir chapitre 10).
Le contreventement peut être :
— interne : voiles de refends internes, cages d'escaliers, noyau central (Fig. |); ;
— ou externe : voiles de pignons, façades en X (Fig. 2).
^ |
Fig. 1 — Voiles intérieurs, cages d'ascenseur et d'escalier, noyau central,
1291
Par rapport aux nouvelles coordonnées (X,Y), les anciennes coordonnées valent :
x=Xcos Pp - Y sine (6)
у = Х яп ф + У со5 ф (7)
d'où les moments statiques :
в = [| › &5 = [| (Х яп ф + У сов (6) dS = Lx cos Y + ну sin Q (8)
My =| xdS = И (X cos Q - Y sin ©) 4S = Lx sin Q — hy cos Y (9)
et les moments d'inertie :
I, = fl у? 4$ = | (X? sin? y + Y? cos? ф = 2 Х У яп ф сов ф) а5
= Ix cos? y + ly sin? @~ 2 Ixy sin ¢ cos Y (10)
[= || 22 а$ = || (X? cos Q + Y? sin Q +2 X Y sin Y cos ¢) dS
= ly sin? @ + Iy cos? @ + 2 Ixy sin Q cos Y (11)
Ly = [| xy ds = [[ 1(X? - У?) sin e cos ¢ + X Y (cos? ; - sin? O) dS
= (Iy - 1) sin © cos + Ixy (cos? Y - sin? ©) (12)
Remarques
1. La somme des moments d'inertie par rapport aux deux axes est constante quel que soit
l'angle © :
Io +1, = Ix (cos? @ + sin? 4) + у (cos? © + sin? 6) = Ix + Iy
2. Il existe un angle q tel que 1, =0. Il correspond à :
sin $ COS Y _ Ixy _ ! sin 20 _ 1 1820 d'où 1820= 2Ixy
coso -sing Ix-Iy 20020 2
Iy ~Iy
Ces axes sont appelés axes principaux d'inertie. Les valeurs I, et I, représentent les valeurs
maximale et minimale des moments d'inertie en fonction de l'angle @. En effet, leurs
dérivées sont nulles :
dl,
do = ~2 Ix sin @ cos Q +2 ly sin Y cos 9 +2 Ixy (Cos? Y sin 6) =2 1, =0
de même — =D.
e mêm To
1294
2.2. EFFETS D'UNE TRANSLATION |
DE COMPOSANTES a PARALLELE AUX
ABSCISSES et b PARALLELE AUX ORDONNEES
Y A Y A ©
b 5 a
O a =
Fig. 5 — Translation (a,b).
Les anciennes coordonnées sont égales à (Fig. 5) :
x=X+a (13)
y=Y +b (14)
d'où :
pc=fjydS=[[Y+b)dS=ux+bS (15)
Hy=py+as (16)
L= f[2dS= || (У? +52 +2Y by dS =Ix+2bux +S (17)
l=1y +2ahy +25 (18)
ly = [[(X+a)(Y+b)dS=[[(XY+bX+aY +ab)dS
= uy + b py +apx+abS (19)
2.3. CARACTÉRISTIQUES D'UN VOILE COMPOSÉ
Considérons un voile composé de n rectangles ayant les caractéristiques suivantes :
— épaisseur 4; ;
- longueur h;;
- aire §;;
1295
DO a
- moments statiques par rapport à leur centre de gravité G; nuls par définition du centre de
gravité ;
— moments d'inertie principaux : Le =nhM12 et Iy=h "12:
— coordonnées du centre de gravité : a; et b; par rapport à un repère général d'axes Oxy ;
—inclinaison q =(Gy;, G;Y;) de leur axe principal de longueur h par rapport a Oy.
Nous pouvons calculer :
A n
= l'aire totale S= > S; = > t; hy (20)
i=l f=
- les coordonnées du centre de gravité G du voile composé dans le repère Oxy :
с = et yg=
*с = A
— les inerties individuelles par rapport au systéme d'axes Gy; passant par leur centre de
gravité G; et paralléle aux axes Ox et Oy avec une rotation d'angle e; (avec Ixy; = 0):
LG: = [xi cos? ф + Ly; sin? e
Lai = Ix; sin? @ + Iy; cos? ©
Ino: = (Ту; = Ix) sin Pp cos Pp
= puis par une translation (a;, 6;) par rapport au point O :
Leni = Ia; + bi Si (22)
car Uy =0 par définition du centre de gravité :
lui = Lai + a? Si (23)
Leyni = Iyai + a; bi Si (24)
Pour obtenir les caractéristiques du voile composé par rapport à son centre de gravité G, on
effectue une translation de composantes a;-xg; et bi-Yoi.
Ix = > Lroi (25)
1 = У’ Ти (26)
(27)
Ley = > Leyoi
2.4. EXEMPLE 1
Calculer les moments d'inertie du voile composé de la figure 6 par rapport aux axes
paralièles aux axes Ox et Oy et passant par le centre de gravité G de l'ensemble.
L'angle 4; représente l'angle (Oy, G;Y;).
1296
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Y
о” 2420
2,00 x
Fig. 6- Exemple de voile composé.
Notation Formule Unité | Voile 1 Voile 2 Volle 3 | Somme
Épaisseur 4 m 0,2 0,2 0.2
Longueur hy m 3,8 3 1,8
Angle ©) , 90 0 90
Absc. cdg a 2,1 0,1 1,1
Ord. edg bj 2,9 1,5 0,1
Alre $, thy m2 | 0,7600 | 0,6000 | 0,3600 | 1,7200
Inerties princip. Ix; thf 112 m* | 0,9145: | 0,4500 | 0,0972 | 1,4617
bys в В 712 m* | 0,0025 | 0,0020 | 0,0012 | 0,0057
S; à; m3 | 1,5960 | 0,0600 | 0,3960 ! 2,0520
Si by m* | 2,2040 | 0,9000 | 0,0380 | 3,1400
Inerties las lx; cos? ©, m* | 0,0025 | 0,4500 | 0,0012 | 0,4537
+ iy; sin? Ф,
par rapport à G; el Ix; Sin? @; m* | 0,9145 | 0,0020 | 0,0972 | 1,0137
+ ly; cos? Dr
yal (Iv/- ху) sing; | m* | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000
cosy -
Centre de gravité ха | Y (Sra)/ IE y | m 1,1930
"e | Y(s6)/3(s) | m | 1,8256
1297
On effectue une translation de a;-xg et b;-yg pour obtenir les caractéristiques par
rapport à G.
Volle 1 Volle 2 Voile 3 Somme
а) = Ха m | 6.9070 | -- 1,0930 | - 0,0930.
5, - Ув m [| 1,0744 | - 0,3256 | = 1,7256
(a; - xa)? ©, mi | 0,6252 | 0,7168 | 0,0031
(bi - ya)? Si m* | 0,8773 | 0,0636 | 1,0719
(a; - XaX(b; — Ya) Si m* | 0,7406 | 0,2135 | 0,0578
ha= ba | he Las + (bi = vo)? 8; m4 | 0,8799 | 0,5136 | 1,0731 | 2,4666
La = > м | 1@i+(ar-xa)?S; | m* | 1,5387 | 0,7188 | 0,1003 | 2,3588
ус! + (8) = Xa) 4 135 | 0,0578 | 1,0119
IyG = > yi | Te (bl - ya) Si m 0,7406 | 0,2 3 ,
Angle axes а 0,5 Arctg (2 Iya ° | 4348
principaux / (15а = yal)
4
Inertles я La cos à +1,gsinéo | M 3.4281
principales + 2 lya Sin cos |
la | Iacos?a+lasin?a | mi | 1,3994
-2 Ilya SIN cos X
L'angle o représente l'angle (axe d'inertie principale, Oy).
On trouve les inerties d'ensemble par rapport au repère Oxy :
lg 2,4666 m*
lo = 2,3588 m“
Levc = 1,01 19 m*
+
2.5. EXEMPLE 2
Détermination des caractéristiques mécaniques du voile de la figure 7 par rapport au repére
Oxy.
1298
- —]—]— .
‘
"
Y A у |
ф= 11°
ı 4
|
| .
{
Ld G д”
Б=3|-------- © №3 —- X
|
10 0,20
|
|
|
1
|
|
J >>
O a=2,5 x
Fig. 7 - Exemple de calcul des moments d'inerties d'un voile simple.
* Caractéristiques par rapport au repére GXY
Aite S = 0,2 x 2 = 0,4 т?
Inerties :
| Igx = 0,2x 212= 0,13333 m*
Igy = 2 x 0,2%12= 0,001333 m*
Ioxy = 0 car les axes GX et GY sont des axes de symétrie orthogonaux, donc
axes principaux d'inertie.
* Rotation d'angle © = 11°
las = lox cos? Ф+ Icy sin? e =0,12857 m*
lay = Ix sin? © + Igy cos? ¢ = 0,006 139 m*
IGzy = (Igy - Igx) sin cos @ = — 0,024 724 m°
* Translation : a = 2,5 et b=3,0
I = Io + 6? S =3,72853 m*
Ly = Lay + 42 S = 2,506 [4 m°
lux = leu +4bS =2,97528 m*
Remarque
Un élément entièrement situé dans le premier quadrant (ou le troisième) a un moment
d'inertie composé positif, Ici, on vérifie bien que Ig, est négatif et que Inxy est positif,
1299
3. CENTRE DE TORSION
3.1. ETUDE D'UN VOILE EN U SYMETRIQUE (Fig. 8)
Considérons une console d'axe vertical Oz soumise à un moment positif M (et à un effort
tranchant V) qui entraîne une compression de l'aile supérieure avec une contrainte que l'on
A | | Mv
peut supposée constante sur toute son épaisseur ¢ (voir en 3.4 ci-aprés) et qui vaut ¢ = T
où ! représente le moment d'inertie (ou inertie en abrégé) de l'ensemble du U par rapport 4
son centre de gravité G.
oh. |
YA.
| ha T
y t E
| A v
eel. + Im Av
у
—
T
Fig. 8 - Voile symétrique - Centre ds torsion.
L'équilibre du bloc hachuré (Fig. 8), délimité par deux plans parallèles espacés de dz est
assuré par:
- une compression F=0tE sur la face avant ;
— une compression F + dF=(0+do)rE surla face arrière ;
— un cisaillement le long de la face gauche de la partic hachurée tt dz
soit rEdo=trdr |
Or la contrainte s'exprime en fonction du moment par :
с = = et sa différentielle do = =
Edo vEdM VvE
Ис = 1142 @{( 1 = “= = —— = —.
dou t€do=ttdz e de ld: т
Ce cisaillement, sur une face perpendiculaire au plan Oxy, se retrouve dans le plan Oxy,
(théorème de Cauchy, voir chapitre 1, $. 11.2).
1300
FT
Il en résulte un effort horizontal, parallèle à Ox: T=- | T!d& qui varie linéairement de
0 à l'extrémité droite jusqu'à son maximum, en valeur absolue, à sa jonction avec l'âme :
h h
Vv
Taux = ~ [rede = = [eae
0 0
Vveh? |
Tax =~ > I (28)
Vhth
ou Trax = —
, puisque la section est symétrique avec v=v'=4,/2,
L'aile supérieure est donc soumise à un effort horizontal T. Il en est de même pour l'aile
inférieure, mais de signe opposé (traction au lieu de compression). Ces deux forces forment
Vhith?
un couple de torsion C, = qui fait tourner le voile, bien que l'effort appliqué V
soit appliqué au droit de l'âme, élément résistant à l'effort tranchant,
On peut éviter ce couple de torsion si l'on applique l'effort V non en O, mais en C à une
distance À de O telle que :
7 Vh th? hith”
8V= C=-—— dol 8=0C=-——
41 41 | @)
Le point C est appelé centre de torsion.
L isaill d ' - _ Vu(y) A: :
& cisaillement dans l'âme à la cote y vaut T(y)= (voir chapitre 1, $. 11.1,
a
~ formule 37) ой u(y) représente le moment statique par rapport au centre de gravité de
l'ensemble de ce qui est situé au-dessus de la cote y.
th
Posons €= — et v= 2 On obtient ainsi :
th, h,
2
ı (A 2 e |
= А — + = | — - = = + - —
HE) 2 |; 3 LAS 5)
1301
2 _ Y 12e +3-12v
+ th 12e +2
Remarque
Pour une seule section rectangulaire, sans aile, &=0 etavec v=0, le cisaillement maximal
y
vaut 1 = 3 Л valeur bien connue (chapitre 1, §. 11.2, éq. 40).
1
у
Pour une ime ultra-mince: €= et Vp = =
Hn
o V , 1,5
Le cisaillement varie de -— pour une áme ultra-mince a ——— pour une âme
HY 1
rectangulaire seule (sans alle).
Le cisaillement conventionnel de béton armé 1 =
у У
— = qui est valable pour une
t,d 09h
section rectangulaire, l'est a fortiori pour une section composée, car le cisaillement de cette
dernière est plus faible, ;
« Calcul de la part d'effort tranchant repris par l'âme
Äh 0.5
126 +3 - 12у° у
T(y)= tt, dys V | —m————— YN Te (12€ + 3) (0,5 — v) - 0,5 + 4 v*
0) (021, ©) | 126 +2 Gera ) (05 —v) |
Pour y=0: T,(0) = (6e +1) = y our une demi-áme et V pour l'âme entière
PE MS Toe +2 7? P |
Ainsi, l'âme reprend bien la totalité de l'effort tranchant.
EXEMPLE (Fig. 9) 2.00
Calcul de l'effort transversal dans les ailes :
; ‘ rss ¥0,15
— épaisseur des voiles : 0,15 m ;
— moment d'inertie de l'ensemble par différence de deux 2
rectangles : (or)
; 3 | |
[2 2 x3 1.85 x 2,7 = 1,466 m* 80,15
2 2 2,00
2 2
Tray = Vath = 2.85 > 15 x 1,925 V=0271V Fig. 9 — Exemple de voile en
ot 41 4 x 1,466 . Usymétrique.
1302
T ! hy
§=--22 = —-0,772m par rapport à l'axe de l'âme.
Remarque
Pour un voile composé constitué de voiles simples, tous concourant en A, le centre de
oro est situé au point A, car c'est par lui que passent les résultantes de chaque voile
simple. |
3.2. ETUDE D'UN VOILE COMPOSE D'UNE SUITE
D'ELEMENTS RECTANGULAIRES
Soit un voile composé d'éléments rectangulaires successifs : L, U et Z symétriques ou
dissymétriques, cages ouvertes, etc (Fig. 10b), |
a) b)
Fig. 10 — Types de voiles « unicursaux » (fléche = sens de description des rectangles).
Considérons un des éléments du voile composé (Fig. 11) :
—teth= dimensions de l'élément rectangulaire ;
- O = centre du rectangle, de coordonnées a et b dans un repère Gxy ;
- G = centre de gravité du voile composé ;
- ¢ =angle (Gy, Os);
1303
- LE no.
. + 1 TE
Da Eb y ло вод pe пу на Lee eee gprs e Y ще нени —— —— — 1 _—] es = “тан = my в еле кт
h A
— 5 = abscisse le long de I'axe longitudinal du rectangle (plus grande inertie) orienté vers le
rectangle suivant ;
~ I, et I, = inerties du voile composé par rapport aux axes Gx et Gy.
y A
T= (Gy.0s)
Ge = sens de description
on bor —— — — Вей ——
Y
Fig. 11 = Elément n° 2 du voile composé de la figure 10.
On suppose que l'épaisseur ? est faible par rapport à la longueur À.
3.2.1. Effort extérieur V parallèle à Gy
dM,
Pour une flexion autour de l'axe Gx, de moment M, et d'effort tranchant У, = pak on a
| M,y
une contrainte normale de flexion © = T pour une ordonnée y=b + 5 cos ©.
e
L'élément différentiel de surface dS = 1 ds reçoit un effort normal © dS, dont l'intégrale
entre s et h/2 vaut:
T у T M, ; , Ми ; $2 ha
с = ame — t I $ = — СОБ
) ) т ( s cosp) à ds Г | 5 0]
Mir rh h” 5) cos ©
T (5-0) -(7- =>
A
"о
||
4
L'effort de glissement g par unité de longueur dans le plan. Orz, perpendiculaire au plan de la
figure, vaut (c'est le méme raisonnement que pour l'étude de la jonction table-nervure des
tables en Té, voir chapitre |, $ 11.3) :
1304
2 x 2 4
V, tbh
En B, pour s=-h/2 : gp = =
Le cisaillement dû à ce glissement dans le plan Orz entre deux plans paraliéles à Os? et
espacés de dz esttel que ! t = — = = —g dou:
2
У, 2
te Eos) (Zr) =
! I, 2 4 2
D'après Cauchy (voir chapitre 1, $, 11.2), le cisaillement sur la facette Ost a la même valeur,
, d'où l'effort d'entraînement le long de l'axe Os :
A ve? A №
T= | ttds=- 2 PG-5)-(7-) a
| с] 24751718
GRR
I L2 2 L4 3/72 J
Vi 2 3
soit en B avec ==: Ty =~ [5-52
| 2 LL? —mD
* Succession de rectangies
Soient ga et Ta les valeurs des efforts de glissement et d'entrainement dus aux éléments
rectangulaires précédents. L'effort de glissement en À (Fig. 11) provoque un cisaillement
8
dans le plan Ozz égal à 1 = - = et un effort d'entraînement dans le plan Ost ;
hil haz
h
T= | си = = | да = - RE -5) qui vaut en B : T =- gÀ h d'où globalement
sous forme vectorielle :
_—_— Vtrbh" + _ -
Te [5 san
X
2 12
si { représente le vecteur unitaire de l'axe Os,
En projetant sur les deux axes généraux Gx et Gy, on peut déterminer les composantes T, et T,
de l'effort résultant des » rectangles et le moment C par rapport à G de ces mêmes efforts :
1305
= и y et y o e pl
я
x > (Ti - 8-1 hp) sin ©;
i=l
+
И
T
H
; - Y (T;-8;-1 h) cos e
C = - Y bT, - 8-1 h;) sin O; - axT = &; - 1 h;)cos Ф,
i=l
т Vel; bh? hicos ©;
avec ‚= - ra TTT
Ye 1977
8; = ET
jal X
ita C
La droite support de la résultante est définie par son ordonnée à l'origine - т et son
. £
abscisse à l'origine = d'où l'équation de la droite support sous la forme :
y
+
=
м
Ty
С С
их + уу = 1 = 0 avec ur
3.2.2. Effort extérieur V parallèle à Gx
De même pour la flexion autour de l'axe Gy avec un moment M,, un effort tranchant V, et
un moment d'inertie I, on trouve :
Vt, [ahi hisin ©;
То = - == | == +
' I 2 12
y
LV, hy
I
j=l y
Ei
On détermine,les composantes de T; suivant les axes Gx et Gy par :
T,= У, (Ti = 8i-1 hy) sin e;
Te== 3 (Tj = git hi) cos Qi
et le moment C par rapport à G :
=~ > by (Ti = gi hi) sin 9; — ay (Ti — gi hi) COS Qi
1306
— he
== налево meet вл вы аж новее NE en neen=
La droite support de la résultante est définie par son ordonnée A l'origine = et son
x
, зн С |
abscisse à l'origine T d'où l'équation de la droite support sous la forme :
| y
+
С
A]
UX +Yy-1=0 avec u= et v=-
Le point de concours de ces deux droites représente le centre de torsion Ç. Ses coordonnées
sont données dans le repère Gxy par :
xc = (v, - va) / (изу) = и1У2)
ус = (из = 441) / (1421 — 14172)
Ainsi, tout effort extérieur passant par C peut se décomposer en V, parallèle à G, et V,
paralièle à G,, chacune des deux composantes, passant par Ç, ne produit aucun moment de
torsion.
Pour une force ne passant pas par le centre de torsion, la section subit un moment de torsion
égal au moment de cette force par rapport au centre de torsion.
3.2.3 - Application numérique
Fig. 12 — Exemple de recherche du centre de torsion.
1307
saoA sap sanbisugioeied
1970- w A+ A IA AXO 2 yodde: 1ed 3
6680 — u Эх + Эх Эх 7 sp sesuuop1007 —
v19'0 w (Cain — LA@n) ; (tn — En) DA Axe) 8 uoddei 1ed
$661 — w (nn — taza) / (24 — In) Эх D ep seguuop1009
90261 w ALL сууешбно, ® эаичорю
ELZH E — ui nb /uI610 | e asSIDSQE
00890 1-4 29/X1-— a .
£2620 | MW 2/1 en гу энозр зедешехей
“S69P'L 95000 — | 00770 ¿svo'L 'h soo (y 1-16 —!1)'e —'6 vis (14 1-16 —11)4q — 2 11 op yuowour
S6Zh'0- 00000 с62$'0 — 0000'0 'h sos (y 116 —! 1) —. - AL .
2666°'0— | 9200 — 00000 92260 — 'h us ('4 176 —11) XL !, op sojuesodtuoo
aswwos 00000 ££20°0 5682'0 957 '6 ginwuno juowassiô
6620'0 - | 2092°0— GEe82'0 A / ue of owe Jed juatwassió
10/0'0 eva O | 92260 — “1/21 /6 u1s ¿Y —2/-Ue) 1 - ". juewaja zed hoya
£ с L B[NWIO4
хо ® э{эцелей | = д под
6/5Y'S w ASL суэшбно, в ээииорю
esree- | WW n/t ©)jouluo,| € essiosqe
¿eso | ;-W 3/7. — LA | .
; estto- | Ww 91% In ‘у эногр sanjguresed
à levee 89Et‘0 Sz60‘L vELZO | WN | 6 soo (4176 —11)'8 —'6 us (4 176 —11)'g — 2 {| ap juausous
© b866‘O- | 00000 | #866'0- | 0000'0 | NY '® soo ('y 16 —' 1) — A .
60LY'0— LESTO 00000 | 0990-11 NM 'b vis (y 176 —1) XL !1 ap sajuesoduwos
! awwog 00000 79220 | sorE'O | NA 95% '6 ginwuno juawassy6
| $9920 — LPZO'O — sove'o № XI / ug °6 Juausate sed juawassy6
Lesc‘o | 6Pb0'0— | 0b9910-— | NY 1/ (21 /d s09 ¿4 —2/ UA — 4 Juaweje ed oye
€ ¿ L B Nuno
; ñO e ejajesed | = A nod
1
=
! 1S6E'L pu | DS0O DUIS "17" 2-0 so MT +0 us NZ | 3 AXO € hodder red
POPE pu | 0500 puis Hz IT Z +0 ¿UIS IZ + O ¿SOS PIT Ч sojediound saraur
[ 269 Eb o 0 ‚
| L6SZ'0 J (12 - TZ) / “17 7) Bray s'0 0 o'10) abue
| EHLOL | 6960'0 | 5661'0 | 2L42'0 | ,u 'S (94 —'a(9x —'e) + 19% xy a
В SvSe'e | cecl'o | 6279'0 | 6656'! pu 'S (0x —te) +194 hy AxQ © poddes sed
6 01952 | 82614 | 26290 | 0606'0 | ,U 'S г(РА -- 4) + ‘9% 94 ajqurssua; ap SAUL
+ | 5960'0 | 5661'0 | 2714'0 | WW 'S (9A —'a)(9x —'e)
+ SIELL | p6900 | PO06O | ,U 'S (9 —'q)
64000 | s0/9'O | E1zs'o | yw 'S 2(9x —'e)
952Z'1— | 9STE'O— | tbZ0's wi A —'q .
ectrl'O— |. er60L— | 8598'0 w IX —'e ©) 2 uoddes sed
tv/0‘L- | w ('s)z 7 ('a1s)z DA
27601 u CS)7 / (e 's)7 9x энлелб эр эдиед
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Lu £L00°0 | 65980 9200'0 yu us Af + ‘tb 7500 !X} sax r) B-uoddes лей sanigui
à 0878'1— | 0790'1 — | 0b82%0— | 0000'0 ul q's -
+ oze8'L | OL9E'O | 0000'0 | OLZS'I gu 'e 's sanbrejs sjuaurou
2500°0 | €£100'0 | 6100‘°0 | 920060 | ,u AE IM a
869991 | 65140 | 6996'0 | /886°0 ‚Ш cL 74h Xi sejediouid saniaur
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+ 06 — 081 06 o seuvop '4 иоцереио
! 61 87 6'E ui souvop y ¿nanBuo|
го zo 20 us aguuop } inessieds
€ z L auun junio 4 SUONEJON es
. en
Remarques
1. On notera qué T, dans le premier cas et T, dans le deuxièrné ne sont pas tout à fait égaux à
—V. Cela est dû au fait que l'on a modélisé le voile en une succession de rectangles liés au
milieu de leurs petites faces, car c'est en ce point que se transmet la résultante de
glissement g.
2. Pour V parallèle à Ox, on constate que l'effort repris par la plus grande des deux âmes est
de 0,9727 V contre 0,0265 V pour la petite, soit 3 % pour cette dernière, alors qu'elle
représente 33 % de l'aire totale des deux âmes. On peut dire que la quasi-totalité de l'effort
passe par la plus grande des âmes.
3. La demi-courbe supérieure représente le lieu du centre de torsion C lorsque, pour une
même hauteur de l'âme de 2,80 met une même longueur de l'aile supérieure de 3,90 m, la
longueur de l'aile inférieure varie de 3,90 m à gauche de l'âme à 3,90 m de longueur à
droite de l'âme. On reconnaît le point situé sur l'âme, à mi-hauteur, pour le voile en Z
(longueur 3,90 m à gauche de l'âme) et le point situé en O pour une aile inférieure de
longueur nulle, ainsi que le point correspondant au U symétrique situé le plus à gauche
(abscisse de - 1,74 m),
3.3. ÉTUDE D'UN VOILE COMPOSÉ OUVERT
QUELCONQUE
Un voile composé quelconque peut
A être décomposé en des rectangles. Pour
ec Co l'étude d'un rectangle donné, il suffit de
Ш 2 considérer les rectangles amont.
9. 80° 1 o X
4 | 180°
+
|
|
On calcule comme indiqué ci-dessus et
pour chacune des deux valeurs V,
(parallèle à Oy) et V, (parallèle à Ox)
dans un repère orthonormé quel-
conque, les valeurs g,, gi, T; Pour le
calcul de T,, T, et C, on prendra les
rectangles amont comme indiqué dans
le tableau suivant en partant des deux
extrémités.
x G
180°
On peut trouver une analogie avec un
— fleuve ayant une source (l'origine du
„90° premier rectangle), des affluents et une
embouchure (l’extrémité du dernier
rectangle).
Fig. 13 — Voile quelconque ouvert - Cotes hors tout sur le petit schéma,
1310
Rectangle étudié Rectangles amont
1 -
2 1
3 .
4 2+3
5 .
6 4+5
7 .
8 6+7
(Voir tableaux en pages 1312 at 1313).
3.4. LARGEUR EFFICACE DES AILES
Considérons un voile fléchi dont une aile est comprimée et l'autre tendue (Fig. 14).
| Largaur efflcace
pour H = 30 m
| 1,50 |
prete re =)
|
"La e À
1,50
Largeur efficace
pour H= 30m
Fig. 14 - Largeur efficace des ailes.
L'effort de compression de l'aile est transmis progressivement à partir du point de jonction
avec l'âme, puis se diffuse dans le reste de l'aile avec un certain décalage (« traînage de
cisaillement », [11]).
La largeur efficace de l'aile des poutres en Té est donnée par les règles BAEL : le débord à
prendre en compte est égal au 1/10 de la longueur de la travée (il en est de même pour
l'Eurocode 2). On peut admettre cette même règle pour les voiles de contreventement ; la
largeur efficace de chaque aile est égale au 1/20 de la hauteur totale H du voile, qui est
considéré comme une console encastrée à sa base.
1311
1220-= OLX (SEL'O + E£0'0) — ge0'0— = ,U (26 + €B) — "1
EL20= SELO + E£O'0 + pro'o = 26 + £6 + 6 = 16
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1313
a e E a O 1
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ш 6860'2 — = YA 19 U 267b'0 = IX : энлелб эр эдиэо пр SaUUOPINOD
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co 20 20 г'о 20 Zo го го w 1 1nassiede
9 L 9 5 v € z . L aun SUOIJEION =
On peut alors considérer que la contrainte de compression d'une aile comprimée (ou de
traction d'une aile tendue) est constante sur toute la largeur efficace. On satisfait ainsi
- l'hypothèse sur la contrainte de l'aile faite en 3,1 et 3,2 ci-dessus, Ce qui nous fait considérer
que lés efforts résistants d'un voile composé passent par son centre de torsion.
Il faudra naturellement vérifier les conditions. de non-flambement des ailes et des âmes
suivant les dispositions réglementaires (voir chapitre 10, $. 4).
3.5, EFFET D'UN DÉPLACEMENT IMPOSÉ DANS
UNE DIRECTION AUTRE QUE CELLES DES AXES
PRINCIPAUX D’INERTIE
Pour une déformation imposée suivant l'axe Oy (Fig. 15), on a une flexion avec contraintes
et déformations linéaires, car une section plane reste plane après déformation (hypothèse de
Navier-Bernoulli), et les contraintes sont proportionnelles aux déformations (loi de Hooke).
01
E - с
| Ry
x Déformat, RX
Fig. 15 — Déplacement imposé dans une direction autre que celles des axes principaux.
a , , y
La contrainte à l'ordonnée y s'écrit: © = =~ O.
|
L'effort normal vaut : В, = || o ds = | = y dS
| 5
et le moment par rapport à Ox: M, = у ав: = ffyoas = {| > y ds = я I,
1314
de méme pour My = || хав, = || “xy ds = Ly.
Ainsi, un déplacement imposé selon un axe Oy, autre qu'un axe principal d'inertie, entraîne
des moments résistants :
С, Cy
М, = — I, et M, = — Lay.
Vy VI
Or, comme l'on a proportionnalité entre l'effort extérieur appliqué au voile et le moment, on
obtient, pour un déplacement unité positif suivant Oy, une réaction proportionnelle à l'inertie
I, suivant l’axe Oy et à l'inertie Iyy suivant l'axe Ox.
De même pour un déplacement imposé unité suivant Ox, on obtient une réaction
proportionnelle à 1, suivant l'axe Ox et une réaction proportionnelle à I, suivant l'axe Oy.
4. INERTIE ÉQUIVALENTE
4.1. VOILE SIMPLE
Un voile de section rectangulaire se comporte comme une console verticale (Fig. 16), de
longueur H, encastrée.en pied dans ses fondations et soumise à des charges réparties ou
concentrées à chaque plancher.
Fig. 16 — Voile-console.
1315
Pour un grand nombre d'étages, on peut assimiler ces charges coricentrées a une charge
répartie. Si la pression du vent est uniforme et si la section du voile est constante sur toute la
hauteur, on a une déformée à la cote z qui vaut (chapitre 2, cas 26) :
= pl Ré ei
“ EIL6 4 24
Ainsi, les flèches aux cotes 0,5 H ; 0,8 H et H valent respectivement en valeur relative
0,354 ; 0,734 et | fois la fleche maximale Г, ;
(30)
4.2. PORTIQUE AVEC TRAVERSES INFINIMENT
RIGIDES (Fig. 17)
On peut admettre que les inerties des montants sont les mémes et que l'effort de vent est a
répartir au prorata des inerties des montants. On a ainsi, pour le premier poteau et au dernier
niveau, une articulation à mi-hauteur,
Fig. 17 — Portiques à traverses infiniment rigides.
x
La déformée 8, vaut (chapitre 2, cas 1 et 32) (Fig. 18) : $, = 2 5 er
1316
. ул “hp.
H/10
=
N
F
Fig. 18 — Dernier niveau.
4
Pour I'avant-dernier niveau (Fig. 19): §, = 2 ЗЕ (8/20)_ =
(Fig. 19): 8, = 2 ЗЕ! =3 6.
и 62 y
3F/12 .
— |
| H10
f
Fig. 19 — Avant-dernier niveau,
De méme pour les niveaux suivants ;
54 = 5 5 : 8a=7 0 , 6, = 9 5, 1 66 = 11 6, ; 6; = 13 5, ; Og = 15 §; ‚ 09 = 17 6, е{
510 = 19 Or.
La déformée totale vaut 8,=Y 6;= 100 8, pour 10 niveaux et 8, =n? 8, pour n niveaux.
L'allure de la déformée est indiquée sur la figure 20, soi 3
cote 0,8 H. 1 1gure 20, soit 0,75 a, ami hauteur et 0,96 6, à la
10 — 100
9 99
8 96
7 91
6 84
5 75
4 64
3 51
2 36
1 19
o
Fig. 20 — Déformée d'un portique à traverses infiniment rigides.
1317
Pour une même flèche au sommet ou pour une même flèche a la cote 0,8 H, nous pouvons
comparer l'allure des déformées pour le cas de la console et le cas du portique à traverses
infiniment rigides,
ZL.
Nim
Ц
x
lig]
ju
UT
0.8 H
>
Fig. 21 - Comparaison des déformées pour une même déformée en tête ou à la cote 0,8 H,
Sur la figure 21, on constate qu'admettre une même flèche à la cote z = 0,8 H réduit les
flèches différentielles pour deux éléments de contreventement d'un même bâtiment, l’un
étant un voile-console plein et l’autre un portique à traverse de très grandes inerties.
On sait calculer facilement la flèche d’un voile-console sans ouvertures, plus difficilement
celle d'un portique ou d'un voile-console avec ouvertures. Il est intéressant de définir une
inertie équivalente qui donne la même flèche à une cote donnée ou, mieux, qui minimise les
efforts dans les planchers, efforts dus au fait que les déformées des différents éléments de
contreventement n’ont pas la même allure.
Ce qui revient à rechercher la cote z telle que la somme des produits flèche-efforts soit
minimum.
Ainsi, pour une même flèche à la cote 0,7 H, on trouve les flèches relatives, différence de
flèche Af, effort cumulé de vent F et le produit F Af:
lèche relative fiort
Niveau portique voile tota F Af AfxF
10 1,099 1,658 0,050 ‚ = 0,559 0,028
9 1,088 1,438 0,150 — 0,350 0,052
8 1,055 1,217 0,250 - 0,162 0,041
7 1,000 1,000 0,350 0,000 0,000
6 0,923 0,788 0,450 0,135 0,061
5 ‚ 0,824 0,587 0,550 0,237 0,130
4 0,703 0,403 0,650 0,300 — 0,195
3 0,560 0,244 0,750 0,317 0,237
2 0,396 0,116 0,850 0,280 0,238
1 0,209 0,032 0,950 ‘0,177 “ 0,168
0 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000
| | | Total = 1,181
1318
Si on procède de même pour différentes -cotes, on trouve un minimum de la somme
YF; “M pour la cote 0,7 H :
Mêma flèche
à la cote : 10H | 09H | 08H | 07H | 08H | 05H
E Fix Af 1,504 1,343 1,217 1,151 1,192 | -1,450
Pour les portiques, on peut admettre que l’inertie- équivalente est celle d'un voile plein
donnant la même flèche à une cote comprise entre 0,7 H et 0,8 H : 0,7 H pour des grandes
inerties des traverses par rapport aux poteaux et 0,8 H pour le cas inverse.
Pour des voiles avec ouvertures, plus les ouvertures sont petites, plus on se rapproche de la
cote 1,0 H ; on pourra retenir la cote 0,8 H pour les voiles à grandes ouvertures, la cote 0,9 H
pour les voiles à ouvertures moyennes et la cote H pour les voiles à petites ouvertures (voir
en 6 ci-après).
Il est rappelé que la déformée d’un voile plein de section rectangulaire, à la cote г, est
donnée par :
(30)
d'où la valeur de l'inertie équivalente I si l’on connaît la déformée ГА la cote définie ci-
dessus (0,7 H à 0,9 H suivant les cas).
On verra ci-après (en 6.2.8), comment calculer la déformée d'un voile avec une ou plusieurs
files d'ouvertures.
Remarque
Pour des voiles à n files d'ouvertures, Y. Guillot recommande [3] de prendre !’ altitude 0,8 H
quel que soit le type d'ouvertures (grandes, moyennes ou petites).
EXEMPLE
Supposons qu’un élément de contreventement constitué d’un voile à grandes ouvertures
(voir en 6 ci-après) reprend une charge de vent horizontale p = 7,64 kN/m et que la
déformée à la cote 0,8 H, avec H = 39m, est f=0, 032 m. Le module d’ Young est pris égal a
30 000 MPa (charges de courte durée).
D'après (30), la fleche 2 la cote relative 0,8 H est telle que :
FELL 0,8)" (0,8)° *
— = | ) - (0,8) - (0.8) | =0,09173 d'où l’inertie équivalente :
pH 6 4 24
HA 0,00764 x 39*
1, =0,09173 222 = 0,00173 222227
y fE 0.032 x 30 000 1,689 m”
1319
4.3. CAS PARTICULIER - VOILE SUR POTEAUX
AU PREMIER NIVEAU
Au niveau des poteaux du premier niveau, si l'on néglige leur inertie par rapport aux voiles,
l'action du vent se traduit par (Fig. 22) :
- un effort horizontal en tête W ;
— deux efforts verticaux concentrés — F et + F formant un couple tel que Fd=My o
Mw représente le moment de renversement dû à la charge de vent p. L'effort W se répartit
en ‘W, et W, au prorata des inerties des poteaux.
1 2
LOIS III IRL IS
— и
Fig. 22 — Voile sur poteaux au premier niveau,
La déformée d’un poteau s'en déduit et a l'allure de la figure 23. Si l'on néglige la flèche due
à l'angle & (on montrera ci-après qu'elle est très faible), on peut écrire que la flèche 3, est le
double de la flèche d’une console de portée h/2 :
Wi(4/2)* Wh WA
0°“ 3EÑ MEL 12EL
1320
mme
7 7 -
=
wem mmm vue „и mem! aon
Inertie 11
Section Si
Z
==.
Fig. 23 - Déformée d'un poteau.
La rotation @ est faible mais a une incidence sur la déformée du voile ; elle est due au
raccourcissement du poteau 2 et à l'allongement du poteau 1 :
Fh + Fh
LBS Es, eo My
= a avec = a
EXEMPLE
Le vent supposé constant vaut p = 9,2 kN/m.
Données Unité . volle poteau 1 poteau 2
hauteur m 24,00 3,00 3,00
épaisseur m 0,15 0,50 0,55
longueur m 8,60 0,80 0,80
tésistance béton MPa 25 40 40
section m? 1,275 0,40 0,495
Inertie mi 7,676 0,0213 0,0334
module d'Young | MPa 32 160 37 620 37 620
— Effort dü au vent a mi-hauteur des poteaux :
W=pH =92(24+3/2)=234,6kN =0,235 MN :
1321
Coo -
ue a omer a - q
— Moment de renversement en pied :
My =pH?/2=9,2x27;/2 = 3353 kNm = 3,35 MNm ;
My
- Effort normal dans le poteau : F = —
avec d=850- 2% =765m d'où F=0438MN;
- Répartition de l'effort W au prorata des inerties des poteaux :
I, 0,0213
= W—— = 0,235 ————— = 0,0915 MN ;
Wi=W [+], 0,233 0,0213 + 0,0334
- Déformée maximale de flexion des poteaux :
Wi" 0,0915 x 3° x 10°
= = = ‚257 ,
o= TZEL * Tax37200x0,0213 © > mm
— Rotation en téte des poteaux :
Fh Fh
o = ES, ES, _ 0,438 x 3 [53 * 535] = 20,6 x 10 rd.
d 37620 х 7,65 10,4 0,495
Vérifions que la flèche 5x due à l'angle & est négligeable vis-à-vis de 5e :
-6
da = oh 20,6x10 x3 _ 3x 10”, ce qui correspond à
2 2 8 300
La déformée du voile à chaque niveau est la somme de :
— la déformée d'un voile encastré en pied sous une charge répartie p :
Hz Hz A
f,= = Е - — - A avec H, = 24 m et z = cote de calcul à partir du pied du
voile, EI = 7,676 x 32 160 = 246 860 ;
- la déformée due à la rotation d'angle œ en pied de voile: 02;
— la déformée 6, en pied.
Données Unité Valeur
p kN/m 9,2
El MPa.m2 246 860
Ho m 24
H m 27
1322
pater du 2 F 85 | az | f(z) | ftotale
niveau 0 (m) kN) | (mm) | (mm) | (mm) | (mm)
27 24 13,8 | 0,257 | 0,494 | 1,546 | 0,297
24 21 41,4 | 0,257 | 0,433 | 1,288 | 1,978
21 18 69,0 | 0,257 | 0,371 | 1,032 | 1,660
18 15 96,6 | 0,257 | 0,309 | 0,783 | 1,949
15 12 124,2 | 0,257 | 0,247 | 0,547 | 1,052
12 9 151,8 | 0,257 | 0,185 | 0,336 | 0,779
9 6 179,4 | 0,257 | 0,124 | 0,163 | 0,544
6 3 | 207,0 | 0,257 | 0,062 | 0,044 | 0,363
3 0 234,6 | 0,257 | 0,000 | 0,000 | 0257
0 0 248,4 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000
Comparons les flèches relatives aux cotes 1,0 H, 0,9 H et 0,8 H avec celle d’un voile plein
qui vaut :
(m) Mame déformée au sommet
Même déformée à 0,9 H
Même déformée à 0,8 H
flèche fl. rel. F x Af
relat. volle
plein
flèche fl, rel. F x Af
reiat. voile
plein
flèche | fl. rel. | F x Af
relat. voile
plein
24: | 1,000 | 1,000 | 0,00
21 | 0861 | 0852 | 0,38
18 | 0723 | 0705 | 1,28
15 | 0,588 | 0,580 | 271
| 12 0,458 0,420 4,70
9 | 0,939 |- 0,291 | 7,34
e | 0,237 | 0,177 | 10,74
a | 0,158 | 0,085 | 15,08
o | 0,111 | 0,028 | 20,60
о | 0,000 | 0,000 | 0,00
1,161 1,174 0,17
1,000 | 1,000 | 0,00
0,840 | 0827 | 087
0682 | 0657 | 2,46
0532 | 0493 | 4,80
0394 | 0342 | 7.96
0,275 | 0208 | 12,07
0,183 0,100 17,29.
0,129 0,027 23,86
0,000 0,000 0,00
1,383 | 1,419 0,50
1,191 | 1,209 0,75
1,000 | 1,000 | 0,00
0,813 | 0,784 | 1,77
0,634 | 0,597 | 4,60
0,489 | 0,413 | 854
0,327 | 0,251 | 13,69
0,218 | 0,121 | 20,21
0,153 | 0,033 | 28,30
0,000 | 0,000 | 0,00
Total = 62,82
Total = 69,48
Total = 78,37
On constate que l' optimum d’équivalence (minimisation des produits effort-déformation) est
obtenu pour la cote H, d'où l'inertie équivalente I, : .
1323
Pas
I
pH 6 4 24
_ pH4 _ 0,0092x27* _ 4
1 = 0125 TE = 0125 002297 x 32160 — **
au lieu de 7,676 pour le voile plein. L'inertie équivalente est supérieure de 7,8 % à celle du
voile plein. Ce résultat paradoxal s'explique par le fait :
- que le module d’ Young des poteaux est plus élevé que celui du voile. Si les poteaux avaient
le même module, on aurait au sommet une flèche de :
37 620
32 160
1,546 + (0,257 + 0,494) = 2,425 mm au lieu de 2,297 (+55 %) ;
— que le moment d'inertie des deux poteaux, dans leur ensemble, est voisin de
(S,+S2)(d/2)* = (0,4 + 0,495) x (7,65/2)2 = 13,09 m*, valeur supérieure à celle du voile
(7,676 т“),
4.4. VOILES COMPOSES
Comme on l'a vu en 3.4 ci-dessus, on peut considérer qu'un voile composé peut être pris
avec son inertie globale, sous réserve de limiter la largeur des ailes à la largeur efficace.
Ceci, d'autant plus qu'un voile composé est rarement le seul élément de contreventement,
Ainsi, tout déplacement du voile étudié perpendiculairement à l'effort est empêché, ou au
moins très limité, par les autres éléments de contreventement existant dans l'autre direction,
Ceci veut dire que les déformations d'un élément du voile perpendiculaire à l'effort (une aile)
résiste en tout point avec la même contrainte (car la même déformation), donc
conformément aux hypothèses formulées lors de l'étude du centre de torsion. Il suffit
d'introduire ce voile composé positionné en son centre de torsion avec son inertie globale,
4.5. PROGRAMME « INEQ » *
Détermination de l'inertie équivalente d'un voile à inerties variables par minimisation de la
somme des produits « Effort de vent cumulé x variation de flèche ».
* Disponible aux Presses des Ponts ët Chaussées.
1324
4.5.1. Données
Ligne 1 E, q0 , 91
E = module d'Young du béton du voile (MPa)
Pour un vent trapézoidal :
Go = action du vent au pied du voile (kN/m)
q) = action du vent en téte du voile (kN/m)
(voir en 6.1 comment approximer un vent quelconque en vent trapézoidal)
Ligne 2 i,j, hI
Du niveau i au niveau j, hauteur d'étage 4 (m) et moment d'inertie I (m*)
Retour ligne 2 ou Fin = 0,0,0,0
Les variables sont à séparer par une virgule.
Les moments d'inerties peuvent être calculés par le programme « INERTORS » ou par un
premier passage du programme « CONTREV »,
4.5.2. Exemple
12.5 kN 13
/m 12
12
11
11
10
9 10 | = 4,44 m4
9
8
8
7
7
6
6
5
5 |=6,42 m4
4
4
3
3
2 1=825m4
2 . - +
1
9,4 kN/m
1325
Données | | 5. RÉPARTITION DE L'EFFORT EXTÉRIEUR
10000 module d'Young SUIVANT LES DIFFERENTS ELEMENTS
9.4 vent en pied en kN/m DE CONTREVENTEMENT
12.5 vent en téte en kN/m
| Th =19 met] 4 |
9332823 сы niveau О а niveau 2 ; Ш 32 m € _ ея m Les résultats ci-après supposent que les inerties des voiles sont constantes sur toute leur
61232 4.44 du niveau 6 au niveau 12 he 3 met [ =4 44 mi hauteur ou bien qu'elles varient toutes aux mémes niveaux et de la méme quantité relative.
0,0,0,0 FIN |
Ecran des données et résultats
5.1. CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES
PLEINS PARALLELES (Fig. 24)
=== TE res
| , % da , da L
Voutez-Vous Entrer les Donneas au Clavier (®t), en DATA (=2)? 1: A 7 A A
Module d'Young (MPa) =? 10000
Action du Vent en Pied (kN/m) =? 9.4 |
Action du vent en Tete CkN/m) =? 12,5
Commencer la Numerotlation des Niveaux a O
de i a } : H (m> et Inertie (m4)? 0,3,3.2,8.25
de i aj : H (m) et Inertie (m4)? 4 5 2,6.42 he
de i a } : h (m) et Imertie (m4)? 6,12,3.2,4.44
de i a j : h (m) et Inertie (m4)? 0,0,0,0
Repetition des Donnees 2
Action du Vent en Tete = 12.500 kN/n L 2 4 L/2 L
Action du Vent en Pied = 9.400 kN/m A A
Мм. Hauteurs (m) Inertie Forces + | W
No Niv, Cumule . má KN
13 0.000 41.600 4.4400 20,00 , ,
12 3.200 38.400 4.4400 139.24 | Fig. 24 — Contreventement par deux voiles parallèles,
11 3.200 35.200 4,4400 38,47
10 3.200 32.000 4,4400 37.71
9 3.200 28.800 4.4400 36.95 | o ‚ ; ‘ ,
8 23.200 25.600 4.4400 36.18 — Le déplacement de l'ensemble est constitué d'une translation et d une rotation si la force
? 3.200 22.400 4,4400 35.42 | extérieure W n'est pas appliquée à mi-distance des deux voiles. On peut négliger la rigidité à
: 3.200 19.200 ¿4200 33 96 la torsion des voiles. On est alors en présence d'une poutre horizontale (le plancher) sur
4 3.200 12.800 6.4200 33.13 deux appuis élastiques (les deux voiles), soumise à une charge répartie uniforme de
3 ‘3.200 9.600 8.2500 32.37 résultante W (Fig. 25).
2 3.200 6.400 8,2500 31.61 i
1 3,200 3,200 8.2500 30.84 | wi
0 3.200 0.000 8.2500 0.00 . e &
. : 7 A
Inertie Equivalente = 7.8442 m4, Niveau 8 Cota = 25.600 m |
Fleche Maximum Reelle ou Sommet = 59.154 mm | P LENTE TNTOT TNT TEO YN NE O O OÓUUO GOTO C O TENO
$ — x
di L de L da
| fi
L
;
Fig. 25 ~ Poutre sur deux appuis.
1326 | 1327
Les réactions d'appui valent, avec W=pL:
а, + а, - а, 8,
= YY omnia + —
R, 7d, oubien W 7 (31)
9 = 2d, Ou Dien a, (32)
EXEMPLE (Fig. 26)
© ©)
8,00 or
14,00 W A 5,00 |, 7,00
y 1
L = 26,00
Fig. 26 — Exemple de contreventement par deux voiles parallèles.
- W 19-7
19+7
В; = № ото = 0,6842 W
On remarque que le plus petit voile reprend les deux tiers de l'effort total, Il eût mieux valu
avoir un voile de grande inertie à 5 m du milieu du bâtiment et de petite inertie en pignon.
On constate en général, que pour des raisons de distribution intérieure, les voiles de grande
inertie sont en pignon. Dans ce cas, il faut essayer d'équilibrer les deux pignons par des
voiles d'inerties comparables.
Le plancher travaille comme une poutre horizontale. Soient p = 0,9 kN/m? la pression du
vent au niveau j et H; = 3 m la hauteur d'étage. La force reprise par le plancher du niveau j
vaut :
H.+H 3
p HE = 0,9 = = 2,7 kN/m.
1328
L'effort tranchant sur la poutre horizontale à l'allure de la figure 27.
p LIL NT TT TEN TNT TO
22,17 > >
rN 29,13
Ya
‚ 19,00 70,
A A 1
Fig. 27 —~ Effort tranchant et moment dans le plancher.
La force totale vaut 2,7 x 26 m = 70,2 kN, soit 22,17 kN pour le voile de pignon et
48,03 kN pour le voile intérieur.
2
Le moment sur appui vaut : = 2,7 > = — 66,15 kNm
2
et en travée : 2,7 = — 66,15 / 2 = 88,76 kNm .
L’effort tranchant maximal vaut 29,13 kN et le moment maximal 88,76 kNm.
Ces sollicitations sont faibles, ainsi pour un moment de 88,76 kKNm et un plancher de 8,00 m
de « hauteur », 0,12 m d'épaisseur : ВВ = = = _— 08919 —_ = 0,0143 < 3 MPa, mais il
bd 0,1x(0,9x8)
ne faut pas oublier de disposer des armatures de flexion située prés des bords extérieurs et
dont la section vaut en ELU :
18M 1,8 х 0,08876 х 1,15
Zo, = (038) x 500 = 0,58 cm” (avec un coefficient 1,8 pour le vent en
A, =
ELU).
5.2. CONTREVENTEMENT PAR DEUX VOILES
DONT UN EN U SYMÉTRIQUE
On a vu en 3 ci-dessus qu’un voile en U se comporte comme un voile plein'de même inertie |
et sans torsion si l'effort est appliqué au centre de torsion C tel que (Fig. 28) :
hs hi ty
ds 7]
(33)
1329
©
. = — ff au a =
x
Fa
Fig. 28 - Deux voiles dont un en U symétrique.
On est alors ramené au cas précédent en remplaçant le voile en ÜU par un voile simple de
même inertie et axé au centre de torsion du voile en U. On peut négliger la résistance à la
lorsion qui réduit légèrement les efforts repris par les voiles (sauf pour le cas isostatique de
deux voiles comme ici).
Remarque
2,2
R, hy hit,
41
(fraction de W) reprise par ce voile: I] ne change pas la répartition de l'effort W sur les deux
voiles, mais diminue seulement la rotation d'ensemble (dans le cas de deux voiles
seulement).
Le moment résistant à la torsion du voile en U vaut : C, = pour une force Ri
EXEMPLE (Fig. 29)
3,00
3 3
OX ©
L 6% 4 300
T |
Fig. 29 — Exemple de deux voiles dont un en U symétrique.
Épaisseur des voiles : 0,20 m
Moment d'inertie du voile en U par différence de deux rectangles :
1330
3 3
_ 4 36 _ 4
1= 3х — 2,8 x 15° = 5,136 м
Centre de torsion du voile U :
5 = 4* x 3? x 0,2
7 4х 5,1 136
8
К! = 5651008
= 1,408 т
| D'oú: W=0,519 W et R,= W-R, = 0,481 W.
Remarque
En positionnant le U en son centre de gravité au lieu de son centre de torsion, on aurait :
К, = — W = 0,571 W valeur légèrement différente (10 %).
5.3. CONTREVENTEMENT PAR n VOILES D’AXES
PRINCIPAUX D’INERTIES PARALLELES
Soient n voiles paralléles d'inertie I; par rapport à leur axe principal d'inertie passant par leur —
centre de gravité et parallèle à Gx (Fig. 30). Chaque voile a son axe situé à l'abscisse x; par
rapport à un repère Gxy. Nous démontrerons ci-après que le point G représente le centre de
gravité des inerties.
Soit x, l'abscisse de la force extérieure W,
"A
ай
2
_—|- X= {7
x
|
|
{24
Fig. 30 — Contreventement par n voiles parallèles.
Pour un cffort W parallèle à Gy, le déplacement du plancher en un point donné peut se
décomposer en une translation À parallèle à Gy et une rotation œ autour du point G [1].
1331
5.3.1. Effort F; repris par chaque voile à la cote z dans le
cas d’une translation 6
Pour une console soumise à des charges concentrées (que l'on peut assimiler à une charge
répartie pour un grand nombre de niveaux), la flèche & à là cote z, pour une hauteur totale H, est
, Е,
proportionnelle (chapitre 2, cas 25 et 26) à т . On a donc pour une même flèche à un même
, | |
niveau: == = == = == = = п = do P=—-
5
La répartition de l’effort total se fait donc au prorata des inerties,
5.3.2. Recherche du point G
Soient :
- x; les abscisses des voiles par rapport au point G
: a 00
(Fig. 31); |
~ F’; les efforts repris par chacun des voiles sous !'effet
de la seule rotation. G Ts
F.
La flèche peut s'exprimer sous la forme : 6, = T k(2)
Í
où k(z) est une fonction permettant de déterminer la
flèche et ne dépendant que de la cote 2. La flèche d'une
console est proportionnelle à l'effort appliqué F’; et
inversement proportionnelle au moment d'inertie 1;.
M
n
a
=
Fig. 31 ~ Rotation,
On a la rotation flèche = o = Fik(z)
= distance à G x, Lx,
w
d'où !” ttirer Е? = == I.x.
où l'on peu | = rn N
La somme des forces Fy doit tre nulle pour ne provoquer qu'une rotation sans translation, cette
dernière ayant été étudiée ci-dessus.
La rotation étant la même pour tous les voiles, on a :
— — —
— os —— — —
-— = = — — E. — —
1332
INTO pere
de " '
Le point G cherché est le centre de gravité des inerties.
Remarque
Dans le cas d’un voile composé, il faut prendre comme centré du voile, son centre de torsion.
De plus, on négligera la résistance à la forsion due aux ailes, ce qui va dans le sens de la
sécurité pour la détermination des efforts dans les voiles parallèlement à Oy,
5.3.3. Efforts repris par chaque voile
Pour une abscisse x, de la force de vent extérieur W par rapport au repère choisi Gxy, le
2, о
moment extérieur vaut: M,= 2 Fx; = > К I; a
2)
— м ef F/= — 1] 15
— = — x. = M
O) Ури PT kz) 7 "Era
ii A
Pour l'ensemble translation + rotation, l'effort repris par chaque voile vaut alors :
d'où
XX,
Fy = | | ‚ (34)
ig Эх?
EXEMPLE (Fig. 32)
0.2 0,2 0, 15 oz
il
2,1
8,0
3,5
—
Fig. 32 — Exemple de voiles parallèles.
1333
* Inerties et centre de gravité G
Epaisseur t Longueur h inertle |; di hi dj
Volle
| (m) (m) (т“) (т) (mé)
1 0,2 8,0 | 8,5333 0,10 0,8533 -
2 0,2 35 0,7146 8,00 . 5,7168
3 0,15 4,0 - 0,8000 13,00 10,4000
4 0,2 4,5 2,7551 19,00 52,3469
Total > I = 12,8031 > |9 = 69,3170
Remarque
Le voile en Té a son centre de torsion au croisement des deux voiles simples le composant,
donc à la même abscisse que son centre de gravité (19,00 m à partir du bord gauche).
69,317
12,3031
Les abscisses de caleul sont à prendre par rapport à G, soit pour l'effort W :
x, = 14,00 - 5,414 = 8,586 т.
Le centre de gravité G des inerties est situé à dç = =5,414m du bord gauche.
vole | S| ee Ré 1 | E
> Ix F
1 0,10 8,533 = 5,314 240,99 = 0,7933 — 0,1268
2 8,00 0,715 2,586 4,78 10,0323 0,0881
3 13,00 0,800 7,586 46,03 0,1062 — 0,1686
4 19,00 2,7551 13,586 508,51 0,6548 0,8700
Total 12,8031 800,31 0,000 1,0000
Ainsi, le voile de pignon, du fait de sa grande excentricité, reprend un effort en sens inverse
de l'effort extérieur. On voit le peu d'intérêt d'avoir des voiles excentrés, aussi grande que
soit leur inertie, On remarque également que le voile en Té, avec 22 % des inerties, reprend
87 % de Fr effort.
5.4. MÉTHODE DU CENTRE DE TORSION
II n'est pas rare d'avoir des voiles de contreventement irréguliers : voiles composés de forme
complexe, orientations non perpendiculaires aux façades, elles-mêmes non orthogonales, …
Il est proposé deux méthodes :
— la méthode du centre de torsion ;
~ la méthode de la rigidité,
1334
La méthode du centre de torsion [9] [2] consiste à décomposér l’action extérieure en :
| = чп effort H passant par le centre de torsion C de l’ensemble des. éléments de
contreventement et provoquant une translation sans rotation ;
-unmoment M=H.e del'effortextérieur H parrapport au centre de torsion et provoquant
une rotation sans translation.
5.4.1. Détermination du centre de torsion C d’un voile ou
d’un ensemble de voiles de contreventement
Pour un voile ou un ensemble de voiles (au sens du paragraphe ! ci-dessus et du chapitre 10)
assurant le contreventement d'une structure et liés par des planchers rigides, le centre de
torsion C est un point tel que :
— toute force passant par ce point provoque une translation du plancher et donc de
l'ensemble des éléments de contreventement parallèlement à la force et sans rotation ;
— tout moment autour'de ce point provoque une rotation du plancher dans le même sens que
le moment et sans translation. |
5.4.2. Eléments de définition d'un voile (Fig. 33)
A
y
Fig. 33 — Eléments de définition d'un voile,
1335
mma m! Tr
Fig. 34 — Convention vectorielle des Inerties.
Chaque voile i est défini par :
— son centre de torsion OQ; ;
- ses axes principaux d'inertie par rapport à son centre de gravité G; : O;x; et O; y”; ;
— ses moments d'inertie principaux : Ty=|y"dS et Ty, = | x"? dS - par rapport à G;;
- l'orientation 0; avec le repère général : 0; = angle de l'axe principal de l'inertie la plus
grande avec l'axe О.
Il est rappelé que :
- le centre de torsion d'un voile simple (rectangulaire) est confondu avec son centre
géométrique ou son centre de gravité ;
- pour un voile composé possédant un centre de symétrie, le centre de torsion est confondu
avec ce centre dé symétrie ;
— pour un voile composé de plusieurs voiles simples concourant au même point, ce point est
le centre de torsion ;
— pour un voile en U symétrique, le centre de torsion est situé à l'extérieur de l'âme à une
distance de celle-ci donnée par l’équation (29).
Par simplification, pour des voiles composés ne jouant pas un rôle prépondérant dans le
contreventement, on-pourra prendre leur centre de gravité comme centre de torsion.
5.4.3. Étude de la translation due à l’effort extérieur H
5.4.3.1. Hypothèses
Nous supposerons que :
- les voiles sont de sections constantes sur toute la hauteur du bâtiment, ou au moins que les
inerties varient toutes dans les mêmes proportions et aux mêmes niveaux ;
- pour des voiles avec ouvertures, on prendra leur inertie équivalente (voir en 4 ci-dessus et
6.2.8 ci-après) ;
1336
- les planchers sont infiniment rigides dans leur plan :
— les voiles ont les mêmes conditions d'encastrement en pied et même module d'élasticité ;
— la répartition de Гей ог! Н sera faite au prorata des rigidités, donc des inerties des voiles,
car le rapport rigidité/inertie est le même pour une même déformation à une même altitude
k f(z) F
El
et que les déformées sont de la forme pour une force F appliquée à la cote z
(voir éq. 30).
- , *
Dans ce qui suit, nous utiliserons la notation des inerties au lieu de celle des rigidités.
5.4.3.2. Action d’une translation sur un voile
Pour toute transiation unitaire du voile n°; parallèlement à Ox, on obtient (voir en 3.5 ci-
dessus) deux forces de rappel :
- l’une parallèle à Ox et proportionnelle à l'inertie 1, par rapport à O; y; ;
- l’autre perpendiculaire à Ox et proportionnelle à l'inertie composée Ly/-
De même, pour toute translation du voile n°i parallèlement à Oy, on obtient deux forces de
rappel :
— l’une parallèle à Oy et proportionnelle à l'inertie Lyy par. rapport à O;x; ;
- l’autre perpendiculaire à Oy et proportionnelle à l'inertie composée Luyi.
Les inerties I, y et Lyy; sont obtenues à partir des inerties principales l'ai, l’y d'après les
équations (10), (11) et (12) avec 0;=(0;x";;O;x); les inerties principales sont calculées
à partir des équations (20) à (25). J
On obtient ainsi :
Ii=1'; cos? 6; + I'y; sin? §; | (35)
1 = 14; sin? 0; + I'y; cos? 6; - (36)
Lyi = (Tri — Ty; ) cos 6; sin O; (37)
car [ey =0 puisque et 7,; sont les moments principaux d'inerties.
Comme toutes les forces de rappel sont proportionnelles aux rigidités, donc aux inerties,
avec le même facteur de proportionnalité, nous pouvons remplacer ces forces de rappel par
les vecteurs-inerties,
Si 7 el 7 représentent les vecteurs unitaires du repère Oxy, on obtient les résultantes P et
Q des forces (donc des inerties) (Fig, 35) :
1337
my,
P = > ly; ‘+ > Lei 7 pour une translation imposée parallèle à Ox,
Q
> Levi + > Les 7 pour une translation imposée parallèle à Oy,
Fig. 35 — Résultantes P et Q.
Le point d'intersection C de ces résultantes définit le centre de torsion, car tout effort
extérieur H (décomposable en deux forces suivant Ox et Oy), passant par C, provoque une
translation ayant deux composantes parallèle à Ox et à Oy et entraînant des réactions de la
structure passant également par ce point, donc sans moment de rotation.
Soient CX et СУ les axes principaux de l’ensemble des voiles, Ô l'angle (O,x;, CX) =
(O; x; O;X;). La somme des inerties composées des voiles est nulle, (par définition des
axes principaux).
» Calcul de l'angle & (Fig. 36)
Fig. 36 - Angle 6.
D'après l'équation (12), on doit avoir : > Ixy; = 0 où Ixy, est l'inertie composée du voile
par rapport aux axes O/X;Ÿ;, parallèlé au nouveau repère,
1338
Pr A
Repére | Inerties
ох, р д = Inertie principale = {I y? dS par rapport a GX _°
Ру = inertie principale = ff x? dS par rapport à Gy"
l'y = 0 |
Opty, — | hu= cos? 6) + y sin? Bi
(rotation : 6 = = ©) lyi = 1. sin? 6; + Ty cos? Ol
кул = ("а = 171) sin O) cos Ol
OXY) Ix = ly COS? 8 +1; sin? 8-2 ty sin 6 cos ó
(rotatlon : - 8) vi = la sin? 6 + ly cos? 6 +2 ly sin 6 cos 6
xvi =(x - y) sinó cos 6 + ty (cos® À - sin 6)
L'égalité > Ixyi = 0 entraîne :
> (Ii = Lyi) sin20__ > ly; COS 28
2
2, Dr; — [.;) sin 6; cosB,
1926 = -2 =————— = -2 ` а
Zu, - 1) Dr; - 1] [cos” 6, — sin 0;]
Ya, - I.) sin 26,
tg25 = - (38)
Pour un effort Hy parallèle à CY, on obtient une répartition :
Is
21,
Ixy:
>»
Si l’on ramène cet effort suivant le repère de base de chaque voile (c'est-à-dire ses axes
principaux) O; x; ÿ;, On trouve pour chaque voile i des efforts Fy et F,; :
Hy parallèlement à CY et
Hy
parallelement a CX.
. — suivant O; x"; :
Hy Hy
Ри = [vi cos Qu — Ixy; Sin Qu) + (Ixy; cos @; = Ix; sing] (39)
y; 1
1339
— suivant O; y"; :
`Н
Fyi = -
1х;
(Ix: cos @; + Ixy; sin ¢;] +
Hy
ly;
[Ixy: cos ©; + Iy; sin 4] (40)
5.4.3.3. Détermination des résultantes P et Q
La distance de la droite support de P au point O est déterminée en écrivant l'équilibre des
moments des forces (Fig. 37) où x,; et Yn; sont les coordonnées du centre de rotation O; du
voile i.
XP
YA
2
O
Fig. 37 - Résultante P
|
hy
Vecteur
p
Composantes sulvant :
Ox
Oy
| Py= > м (41)
Py = > ку! (43)
x= Y by (42)
Qy = > ly | (44)
Moment par rapport 4 ©
(positif sens trigo)
Mp > (Leyt Xel = lyi Yoi )
Ma =, (ha Xoi = boi Yai)
(45) (46)
Abscisse à l'origine xp = Mp / Py (47) | xa=Ma/Q, (49)
de la droite support yp =~ Mp / Py (48) | уа = - Мо / ©, (50)
Coordonnées de C :
yp = Yq Xp = XQ
= 22 70 (51) el = 52
Ye Yo A ха 32
Xp X9 УР Yq
1340
oe La - ray
I
, . 1
ere 1 to . Wr - -
+ mes , erm ae oa Bd = 4 "a — ue Tor TE
5.4.3.4. Etude de la rotation due au moment M=He
Les efforts Ry; et Ry dus à la rotation et repris dans chaque voile sont proportionnels à
(Fig. 38) :
~ leurs inerties principales I'y et T,;;
- leur distance aù centre de torsion C pour une même rotation d'angle œ.
Rei = KO; Г
Ro; = К a Гу Г. «
avec r,= distance de C à l’axe O;x"; et ry = distance de C à l’axe O,y",
4
Fig. 38 — Distances ry et ry.
Le coefficient de proportionnalité K est obtenu en écrivant l'équilibre des moments des
forces par rapport au centre de torsion C : ;
2 ye ,
M=H.e= > Ruri + Ryn = К >) Cri Li + ry Les)
d’où : Ko== avec J=}{ A 1+ ги La)
эл ` Tal Г
d’où : Re; = —T (53)
Mr; I;
Ry; = 7 (54)
5.4.3.5. Efforts finals dans les voiles
Les efforts dans chaque voile i, dirigés suivant ses axes principaux d'inertie O;x’;y‘;, valent :
H' =F; + Ry (55)
H, = Fu + Ry (56)
1341
5.4.4. Exemple
Soit un contreventement assuré par trois voiles (Fig. 39) ayant la méme épaisseur de 0,15 m.
Les dimensions sont prises entre l'extrémité des rectangles et les axes (voir grossissement en
pied de figure). L'effort global dû au vent vaut H = 1,00 MN parallèlement à Oy, La hauteur
totale des voiles est de 40 m.
Nous limiterons la largeur des voiles à leur largeur efficace (voir en. 2,3.4 ci-dessus), soit ici
le 1/20 de 40 m = 2,00 m. Ainsi, pour le premier voile en forme de Té, nous retiendrons un
débord de 2,00 m (soit une longueur de 2 + 2 + 0,15 = 4,15 m au lieu de 4,50 m).
Remarque
On pourrait, en compliquant les calculs, calculer l'inertie I, par rapport à l'axe Ox en prenant
la largeur réduite de 4,15 m pour un vent parallèle à Oy et l'inertie I, par rapport à l'axe Oy en
prenant la largeur totale de l'aile, soit 4,50 m pour un vent parallèle à Ox. Ce serait possible
ici, car l'inertie composée I,y (qui n'est pas calculable avec une largeur d'aile différente) est
nulle.
1342
Fig. 39 - Exemple.
4,50
Horry ,
ee re теч 157 0
Ci ln aq Bin
e ul
= . A
75 8
8 TE
= à
$ 8
~ o
= - =—.
O 4,00 8,00 9,00 L 500 | x
13,00 A ! -
0175 2000
2075 | —
0.150 £ © 2 г |
a + £000 ’ | и
|! |
| o | [3,800
| |
| "VO fi
|
ER
5.4.4.1. Caractéristiques des voiles : inerties et centres
de torsion individuels
* Voile 1 :
Rectangles t h e a D
1 0,15 4,15 90° 4,0 11,00
2 0,15 5,20 180° 4,0 8,40
Га == 4,0991 т
4,15° 0,15" a
Гл = 0,15 17 + 5,2 x EVE = 0,8949 m
On applique la méthode utilisée en 2.4 pour les moments d'inertie et en 3.2,3 pour le centre
de torsion (lorsqu'on à des voiles composés) et l'on trouve :
Comme on à trois éléments de voile rectangulaires concourants, le centre de torsion est au
pointcommun xc; =4,00m et эс: = 11,00.
* Voile 2 :
3
Го = 0,15 х > = 2,4389 m“
, 0,15" 4
Гра = 5,8 x 7 = 0,0016 m
L'angle ¢ vaut 165°.
Le centre de torsion est au centre du rectangle: xc = 12,00 et уса = 7,00.
* Voile 3:
Rectangles t h o a b
я 0,15 2,00 — 90° 20,0 10,40
0,15 3,80 0 21,0 8,50
0,15 2,00 so 20,0 6,60
3 3
Га = 2х 35. ~ 185 x 22 = 2,8530 m*
Pour un voile en U symétrique (éq. 29), on a :
Га = 0,4934 m*
1343
- т ОНО - ee LN он
в. нло)” — 015 х (2х 3,8)? = 07592 m
41, 4 x 2,8530 '
d'o les coordonnées du centre de torsion :
Хсз = 21 + 0,7592 = 21,7592 е{ усз = 8,50.
5.4.4.2. Centre de torsion de l'ensemble
Notation | Formule Unité | 1. 2 3 | Total
Inertles principales l'ai donnée m* | 4099 ! 0 2,8530
li | donnée m‘ | 08948 O | 0,4934
ou bien dimensions f donnée 0 0,15 0
hr | donnde 0 5,8 0
Inertles principales a Par OU 4 h9%12 mé | 4,0991 | 2,4389 | 2,8530
м | гу сы 12 пул m' | 0,8949 | 0,0016 | 0,4934
| angle 6, donnée o 0 165 0
9 rd | 0,0000 | 0,2618 | 0,0000
Inerties / Oxy: la 'a cos? Oj + y sin2a; | т | 4,0991 | 2,2756 | 2,8530 | 9,2277
ly Ра 510% ©) + Ру сос? @ | m“ | 0,8949 | 0,1649 | 0,4934 | 1,5532
I | (ful) cos 6jsin e; | m* | 0,0000 [-0,6093| 0,0000 | 0 5093
centres de torsion Ха! donnée m | 4,0000 | 12,0000 | 21,7592
о, Ya | donnée m |11,0000| 7,0000 | 8,5000
м Хо! m5 16,40 | 27,31 | 62,08 | 105,78
ly; Vol mé | 9,8439 | 1,1543 | 4,1939 | 15,1921
la Xo ms | 0,0000 |-7.3118| 0,0000.(_7 3118
ea ms | 0,0000 |-4,2652| 0,0000 |_4 2852
| (x = pi) sin (2 0) mé | 6,0000 |--1,2186 | 0,0000 |_4 2486
("=") cos (28) | m“ | 9,2042 | 2,1107 | 2,8596 | 7,6745
1344
Composantes de P PTE 1,5592
Py | Ett) má 0,8093
Composantes de Q Q | Elli) má -0,6093
@, | 20h) m4 9,2277
Moment par rapport à O des Mp | Elxyr Xo — ly Ус) ms =22,5039
inerties de l'ensemble Ma | Ella Xa = ly Yol mS | 110,0482
Absclsse a l'origine xp | Mp/P, m 36,9330
| Ordonnée à l'origine ye - Mp / Pa m 14,4887
Abscisse a l'origine xa | Ma/Qy m 11,9258
Ordonnée à l'origine ya - Ма/ ©, т 181,61
Centre de torsion xc | yP-yQ)/ (yP / xP -yQ/x0) m | 11,2608
ye | (XP ~xQ)/(xP/yP «xQ/yQ) m 10,0712
Angle 6 tg258 | =-(-1,2186/7,6745) 0,1588
6 = Arctg (tg 26) / 2 rd 0,0787
8 4,5113
force exl./repére Oxy Hy donnés kN 0
Hy | donnée kN | 1000
Xy | donnée m 13
Унх | donnée m 0
M (хну ~ Xo) Ну + (Унх > Ус) Hx kNm 1739,2
Hx | Hxcos 8+H,siná kN | 78,66
Hy | =Hysin 8+H,cos6 kN | 996,90
Les variables en italique sont des donnés,
Notations Formule Unité 1 2 3 Total
Angle a 6+5 ° | 4,5113 | 169,611 | 45118
Pi rd | 0,0787 | 2,9585 | 0,0787
inertles/repère xi la coS* e + My sing | т“ | 4,0793 | 2,3581 | 2,8384 | 9,2758
CXY Ivi a sin? ф + "Y cos? q m* | 0,9147 | 0,0824 | 0,5080 | 1,5051
levi (la=ly)singycosq | т“ | 0,2512 |-0,4363 | 0,1850 | 0,0000
by; Sin Qi m* | 0,3209 | 0,4293 | 0,2233 | 0,9734
lx; COS Qi m* | 4,0966 | -2;3187 | 2,8296 | 4,5775
ly; SIN Qi m* | 0,0719 | 0,0150 | 0,0400 | 0,1269
Iy; COS y m* | 0,9119 | =0,0810 | 0,5064 | 1,3373
Ixvi SiN q m* 0,0198 | -0,0794 | 0,0146 | -0,0451
Ixy1 COS ф| m* | 0,2505 | 0,4290 | 0,1844 | 0,8639
Efforts dus 4 la Fu équ. 43 kN | 39,057. | =0,116 | 21,534
translation Ру équ. 44 kN | 456,028 | -234,53 | 317,399
1345
Formule
2
Notations Unité 1 3 Total
Coord, de C X'Ic (кс — Xa) 005 @ —(Ys — ya) | M 7,261 -0,081 | —10,498
dans Oxy! sin 6, ;
Vic | Xc-xa)sin 8+(vc-ya) | Mm | -0,929 | -3,168 | 1,571
cos a |
Dist. de C á Ox Га Ус т | -0,929 | -3,158 | 1,571
Dist. de C a Oy: Гу! -х'с m | -7,261 0,081 10,498
Rigidité à la tors. J сё Ру + у? тё | 216,874 | 0,032 | 315,665 | 532,57
Efforts dus a Rx Maty /d kN =2,71 0,02 2,53
la torsion Ay М ги Par / 3 kN | -97,20 0,64 97,81
Efforts dans HN Ра + Axi kN 36,34 =0,13 24,07
les voiles Hyi Fy + Ryi kN | 358,83 | -233,89 | 415,21
Hxi H'y cos 6) + Hy sin 6) | kN | -36,34 | —60,41 24,07 0,00
Ни ~H'y sin 6; + H'y cos 6 | kN | 358,83 | 225,96 | 415,21 | 1000,00
On vérifie bien que la somme des composantes. des efforts des voiles suivant les axes
d'origine sont égaux aux efforts extérieurs : 1 000 kN suivant Oy et 0 kN suivant Ox,
5.5. MÉTHODE DE LA RIGIDITÉ
5.5.1. Exposé de la méthode
Cette méthode {2] [10] est d’ utilisation pratique sous forme matricielle. Elle suppose que les
voiles ont des iñerties transversales et des inerties composées négligeables devant l'inertie
principale I; =
On définit :
y? dS dans le repere local O; x;y’;
- le vecteur solicitation, composé, dans un repére général Oxyz (z vertical) :
- d'une force H, parallèle à Ox,
- d'une force H, parallèle à Oy,
- d'un moment M d'axe Oz,
Hr
S =|H, | - о (57)
M '
~ le vecteur déplacement représenté par :
— un déplacement A; parallèle à Oz,
1346
— un déplacement À, parallèle à Oy,
— Une rotation Ag d'axe Oz
А,
A = | A; (58)
Ag
Pour des voiles d'inertie constante sur toute la hauteur (ou du moins dont les inerties varient
toutes dans les mêmes proportions et aux mêmes niveaux), de mêmes conditions
d'encastrement en pied, on a proportionnalité entre la sollicitation et la rigidité pour une même
déformation unitaire, Cette proportionnalité nous permet de remplacer la rigidité par l'inertie I.
SIT représente la matrice de rigidité, on a la relation matricielle :
sollicitation = rigidité x déplacement :
S=IxA (59)
Considérons des voiles simples ou des éléments rectangulaires de voiles composés (voir en !
ci-dessus) dont l’inertie transversale Г); = x* dS est très faible, devant l'inertie
longitudinale l’i = | | y? dS. Le seul effort que ces voiles peuvent reprendre est un effort H;
paralléle O; y; (Fig. 40),
Le déplacement suivant O; y; vaut:
A;= A, sin 0; + Aycos 0; + ri Ay (60)
avec : r;= X,; COS 8; - y; SIN 6; (61)
qui représente la distance de l'origine des coordonnées O à l'axe supportant l'effort H;.
y A
yo! Las. ew Ee Sel eh al wh PEE ee Eo al ls e a
Ay NN Hy NY
Ax Hx
Convention de signes
Fig. 40 - Définitions.
1347
Pour l'effort H; dans le voile et suivant fa plus grande inertie I, I'équation (59) s"écrit :
H; = I; Ay = 1; (À, sin 0; + Ay cos 6; + 7; Ay) (62)
L'équilibre général des sollicitations agissantes (H,, H,, M) et des sollicitations résistantes
s'écrit : | |
He=Y Hsing | (63)
H,= } H;cos 6, (64)
м= У Hiri (65)
Or, d'après (62) : |
H,= > Li [Ay sin 8; + Ay cos ©; + 7; Au) sin 6;
H, = > sin? 0; A, + > I; sin 6; cos 6; А, + > I; ri sin 8; Ay,
de méme :
H, =} H; cos 6; = X 1; sin 0; cos 0; A; + > I; cos? 6; A, + > 1; 7; cos O; Ay
M= > Hn= X I; ; sin Bidet), 1, r; cos 0;4,+ Y Ir? A,
Posons :
> I, = > I; sin? 9; | (66)
2 I=) Il cos? 6; (67)
DITA (68)
> Ly = YI cos 6; sin 6; (69)
Y L=Y Lrisin 6, (70)
> ly = > I; r; cos @; (71)
La matrice 1 de l'équation (59) devient :
21, 2, 2,
T= | Zn, Zu, Zu, (72)
SED
En inversant cette matrice, l'équation (59) devient :
A=T1'xS | (73)
1348
Ce qui permet de connaître les déplacements (Â,, Ây» Âg) et donc les efforts H; sollicitant
chaque voile par l'équâtion (62).
55.2 EXEMPLE
Nous prendrons le même exemple que précédemment (Fig. 39).
‘ “
Calculons les inerties d'après les équations (66) à (71) pour les 6 voiles élémentaires :
- a et b pour le premier voile ;
- c pour le deuxième voile ;
— d el e pour le troisième voile.
Pour des voiles composés, on a supposé que l’inertie transversale 1,; et l'inertie composée I
étaient négligeables par rapport à l’inertie Iy. Cependant, comme nous le verrons dans la
comparaison des deux méthodes en 5.6 ci-après, nous avons intérêt à prendre l’inertie
d'ensemble dans la direction considérée.
Par exemple, pour le voile 1, composé de deux voiles simples (rectangulaires) perpen-
3
Cy . o: o th Co
diculaires a et b, ona le choix entre prendre les seules inerties principales 73 OU l’inertie de
l’ensemble :
th’ 0,15 x 5,2°
—] 4,
3 E = 1,7576m ;
~ dans la direction O; y, on introduit 4,099 | m* au lieu de
0,15 x 4,15°
12
- dans la direction O; x; : 0,8949 m* au lieu de . = 0,8934 m*.
Pour le voile 3, composé des trois rectangles 4, e et f, ona:
3
и = = че = 0,246 7 т aulieude 0,15 = = 0,100 m*
a ae 3,8 4
1. = 2,853 Om au lieude 0,15 7 = 0,685 9 т
(Voir tableaux en pages 1350 et 1351).
5.6. COMPARAISON DES DEUX METHODES ,
DU CENTRE DE TORSION ET DE LA RIGIDITÉ
La méthode de la rigidité néglige l’effet d'inertie d'ensemble des voiles composés ainsi que
l'inertie transversale T',; et l’inertie composée l’ayi ‘
- Le voile simple oblique (n° 2 dans la méthode du centre de torsion ou voile c dans la méthode
de la rigidité) reprend un effort beaucoup plus important avec la méthode de la rigidité si l’on —
ne prend que son inertie l’,; (526,3 kN au lieu de 233,9, voir tableau p.1352).
1349
= о
rente 8
mea EAR
. '
EA а! Te a TAO
amer!
AO 1U8AINS NY 000 L 18 XO JUEAITS NY o: smneuare sHOyo xNe sareDo JUOS SAJIOA sajJed sides suOye sap sajuejinsa.: saj anb valq ajejsuoo LO
00'0001 | ooo leezzy | 00°0 |ezeve | s'07€e | 00% Ni 'g S09 'H foe
0000'0 | ee'vt |00%0 99's |et‘ss- [ooo | вез! | NA QusH xo e
В sejenesed sajuesaduro9
9L‘Z96- vol | 6'Z2b-| Z6- | 8'1SZ- | B'BZE- L'ir | NN H |. sejos suep 11043
90'262- | ©6'85 | 9'891— | EZ'6E- | E'EOL— | 1208- 609€ | NAW "Y + 19 50517 + 19 uis*y y |
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00'000€L | WN HA - AY w
00'0001 NY aguuop | “H
000 AI eguuop | *H 7Xa SUONEJINOS
0000 us a9uuop XHÄ “1 ap PIO
000‘E1 w aguuop | x *H ap say
172000 9v£70'0- 887700 $80871 — PZO ION 860°CZ—
9p£20°0- TIYIE'G LIVOZO | — PZO TOI 016'8 019°0—
887700 LIFOZO- 6Z208°0 | I29UEW 860'S7- 019'0- 9611 y INE
saguuop sap 1uos sanbijei us sIMSpta SI]
ovzo'iol | 0000'0 | zeso'es | 0000°0 | YbZS'LE | v9GE'O1 | 00000 su 19 8094 Y Mi
S860'SZ— | Z9P9'1— | 00000 | 22PS'2- | EO9Y'E- | 00000 [erbr'ar-| ow '8 US '1 Mi
4609'0- | 00000 | 00000 | 0000%0 | zeog'o- | o0vo*0 | 00000 y W № s09 19 urs 1 A
¥80'2821L | 6L66'0L [6£L°0LLL| 9662‘9Z |ZpLLBEF | 9S8S'SY |SESEGEL | QU 24" 4
0016'89 | 00000 | +ses'Z | 0000'0 | sSZZ'2 | l660% | 00000 UI '8 7509 4
8664'1 | 29970 | 00000 | z9tz'0 | +6910 | 00000 | 166171 yl Busy) x sanraul
0s29'9- | os26%07-| osze'oL | ezor'e1—| 0000't- |0SZ6'0L- w ‘a uis А — % 502 x Ч O y a4jua np auersig
0529'9 | 0005'8 | osze'or | 00004 | Osze‘g | 082601 w эрииор д
0000°0Z |} 0526°02 | 0000°0Z | 0000°CL 0000 | 0000‘ w веииор sOy 8ajueo saguuop1009
804651 | 91b1'€ | B0/S'1- | 867872 | g1P1E | 80457 | pe: ‘8 |
06 081 06- 591 081 06 o eauuop 19 эбиу
49920 | vses'z | 29920 | бВБР'? | 1660 | 166171 „и fet 7 Ч Ч ° 1] херу у esedrauud enJeus
2 BC с | 8's 25 st w aguuop ‘и
sio sio sio 510 510 S10 ur эдииор q suorsuawip vaq no
49720 | rses'z | Zarz'o 0 1660'y | 69680 „и! ‚ эрииор 1 . 5эцло0
12101 } a p ‘ 2 q e suun эн UONEJON
(6€ 31) arduraxg - 2npi91 ef ap apoYII +
1351
1350
| rer nara de en Ce cL e LEARN ama a
Par contre, si l'on introduit, pour chaque élément, l'inertie d'ensemble dans la direction
considérée, les résultats sont beaucoup plus proches (251,8 à comparer à 233,9 kN).
Méthode du centre de torsion ee rigidité eiii simple Comparalson
Volle Inerties Efforts | Voile | Inerties | Eftorts | Inertles | Efforts
d'ensemble _ | simples corrigées
n° mé | KN | n° | mt | KN mé kN
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (9) / (4) °
1 Nx: 4,0991 | 358,8 a 1,7576 | 173,6 4,0991 328,8 | 0,92
tyr [08949 | 363 | b | 0,8934 | 107,0 | 0,8949 | 444 | 1%3
2 lX | 2,4389 | 233,9 с 2,4389 | 526,3 2,4389 | 251,8 1,08
ly | 0,0016 | 0,13 | - . . .
3 ха | 0,4934 | 24,1 d 0,1000 | 10,7 | 0,2467 97 | 080
| | (*) (7)
"ya | 2,8530 | 415,2 e 0,6859 | 318,0 | 2,8530 | 4279 1,03
f 0,1000 18,6 0,2467 14,4 1,19
(*) 0,2467 = 0,4934 / 2
(**) 97/(24,1/2)=0,80 et 14,4/(24,1/2)=0,85
* Application de la méthode des voiles parallèles (voir en 5.3 ci- -dessus)
Pour des raisons de simplification, il arrive que l'on applique la méthode des voiles s parallèles à
un système de voiles ne remplissant pas exactement les conditions.
Pour le même exemple (Fig. 39), on peut dresser le tableau de calcul, en remarquant que l'on
prendra les moments d'inertie par rapport aux axes O; x; perpendiculaires au vent.
Formule 1 2 3 Total
i | 4,0991 "2,2756 2,8530 1 9,2277
di | a 12 21,7592
hd 16,396 | 27,807 62,079 1 105,783
de > (9) / У) (№) | 11,864
Xt 14,00 — de 2,536
x di = de ~ 7,464 0,536 10,296
I; x2 | 228,341 0,655 - | 302,417 531,413
Xi XH - 18,931 1,361 26,114
A | WY, (i) | 0,444 0,247 0,309 1,00
8 их жн / У) (и хё) | ~ 0.1460 0,0058 0,1402 0,00
Hi H(A+B) ‘| 298,19 252,43 449,38 | 1000,00
1332
* Résultats comparés des trois méthodes
«Centre «Rigidité» «Rigidité» avec «Voiles paralièles»
Volle de avec l'inertie du seul | l'inertie du voile | avec l'inertie du voile
torsion» | voile parallèle au vent composé . composé
Е 359 174 329 298
2 — 234 526 | 252 — 252
3 415 318 428 449
. - "
En conclusion, on peut considérer que la méthode du centre de torsion donne les résultats les
plus proches de la réalité. On note :
- que la méthode des voiles parallèles est à appliquer avec précaution pour des voiles
composés, car elle sous-estime fortement les sollicitations reprises par les voiles composés en
torsion ;
— que la méthode de la rigidité donne des résultats satisfaisants à condition d'introduire l'inertie
d'ensemble dans la direction de l’élément de voile.
5.6 - CAS PARTICULIERS
5.6.1 - Trois voiles simples non parallèles
et non concourants
Soient (Fig. 41) :
~ A, B et C les points de rencontre des axes des trois voiles deux à deux :
— AD la distance du point À à la droite ! :
- BE la distance du point B à la droite 2 :
= CF la distance du point C à la droite 3 :
— Fi, F2 et F4 les forces reprises par chacun des trois voiles.
Le moment des forces par rapport au point A vaut [1] :
Ma=5,W=F;. AD d'où F,= A2, D Re No pl 206
A= YA W =p. ou IP AD e même : 27 ED el = oF
To
Fig. 41 — Trois voiles simples non parallèles et non concourants.
1353
5.6.2. Voile composé en U symétrique seul
Epalsseur t
HL
Aw
Fig. 42 - Voile en U symétrique seul.
Le moment d'inertie peut être calculé par différence de deux rectangles, extérieur et intérieur.
Le centre de torsion est en C tel que (voir en 3.1 ci-dessus) :
во НЙ
41
En I'absence de tout autre contreventement, le moment des forces par rapport au point C
s'écrit :
Mc=(d+5)W=Th, d'où l'effort dans les deux ailes dû à W :
(d+5)W
h
T= et l'effort dans l'âme T, = W
!
5.6.3. Voile de pignon et petits voiles
Supposons que les inerties des petits voiles sont infiniment petites par rapport à celle du pignon
[1]. Le centre dc torsion est situé au milieu du pignon et l'ensemble pivote autour de ce point
sous l'action de l'effort W (Fig. 43).
1354
pour i>0: F, =
lo
C H k la 4
|
p Xv A
1 |“
Fig. 43 — Voile pignon important.
, 1 XX, .
La méthode développée en 5.3 s'applique. La formule F,= WI, | = + = ; devient
I; 1%
avec x,=0 pour le voile pignon et > I; = [, . En négligeant le premier terme entre crochets
très petit devant le deuxième :
WIixx n
_ y F, = W(1- SF)
va i=l
im!
EXEMPLE
Pour un pignon et quatre petits voiles régulitrement espacés et de méme inertie totale I; (Fig.
43), on trouve :
x =05x; m=x; n=l5x; 2х,
D 1x2 =1; (0,25+1+225+4)x2 =7,51; x”
ALEA Whi aw. LS WI, x, 3 w
= — "= —, о = —— E e а = о ———— = ——=
asa 15 514 15 5
_2Wlh%, aw $p 100, 28
to 751, x2 5 jee] 05 3
Ea 2W_W
dou: E,=W T= 3
Ce dispositif de contreventement est peu économique car le voile le plus a droite reprend un
effort important (26,7 % de l'effort total) avec.une très faible inertie. En outre, il est vivement
déconseillé en cas de séisme.
1355
5.7. PROGRAMME « CONTREV » EXEMPLE
y}. | | | |
г
| 12,000
рн —
12,000
ha de
ОН: - 4200
1,600
Détall de la
cage
d'escalier — AAA.
NS
NN
RN
3
в
1.000 J sho J 1,000 y 500,
NN
ON
NY
CA
N
N
J
J_500 +
=
| 200
RR
LL
; _ , 4"
Fig. 44 — Plan d'étage. 200 2.000 hos
1356 E:
; “e Ce e, . on . .
Lo — ——[— a “= a ТЫ N 2 as A а "чить ль чел = ный
à 7
L ;
Зои
Soit un immeuble de bureaux R+11, de 24,2 m par 24,2 m de section en plan contreventé par
deux voiles. cornières en angle et une cage d'ascenseur. Les planchers sont constitués de
poutres croisées dans les deux directions (Fig. 44).
5.7.1. Données générales
5.7.1.1. Charges gravitaires
* En étage courant
Poids propre :
dalle d'épaisseur 0,18 m : 0,18 m x 24,5 kN/m’ = 4,410kN/m?
chape de 0,04 m d'épaisseur: .0,04mx 19,6 kN/m*= 0,784 kN/m*
cloison très légère (moins de ! kN/m suivant NF P 06 001),
on prend 0,5 kN/m° considéré comme charge d'exploitation : 0,500kN/m?
Charge d'exploitation (bureaux NF P 06 001) : 2,500 kN/m?
dob: g=4,41+0,784 = 5,194: arrondi a 5,2 kN/m? ;
g=2,5+0,5=3,0 kN/m?
* en terrasse
Poids propre :
dalle d'épaisseur 0,18 m : 0,18mx245kN/m*= 4,410kN/m?
protection d'étanchéité en gravillons de 0,04 m d'épaisseur :.
0,04 mx 19,6 kN/m’ = 0,784kN/m?
étanchéité multicouche :
0,120kN/m?
forme de pente, épaisseur comprise entre 0,04 et 0,1'4'm
(10 m maximum de pente à 1 %), d'où une épaisseur moyenne
= 0,04 + (0,14 — 0,04 )x 2/3 = 0,107 m
0,107 т х 19,6 kN/m*= 2,100kN/m?
Charge d'exploitation de service : 1,000 kN/m?
(valeur inférieure à la charge de neige) |
d'où : g = 4,410 + 0,784 + 0,120 + 2,100 = 7,414 arrondi à 7,42 kN/m?
g = 1,00 kN/m?
5.7.1.2. Vent
Région II, site normal
Dimensions en plan 24,2 x 24,2 m
12 niveaux de 3,150 m —
1357
5.7.2. Données préparatoires à l'utilisation
du programme « CONTREY »
5.7.2.1. Voile d'angle - Aires de planchers à prendre
en compte (Fig. 45) (voir chapitre 3, $. 6,3)
| 6,000 |
> 200x500 |
A
a
2
o
u
© 300х500
= 7 PE = сущ Din à EEE - - -
wn =
7
200 500x500 | |
|
rem Н@
| Q 3 Te
Fig. 45 - Aires de plancher des voiles d'angle.
Remarques
! « Lu longueur d'un rectangle est comprise entre intersection des axes ou d'une extrémité à
une intersection, d'où la valeur de 0,30 m ci-dessus et non 0,40 m (voir détail de la figure 45)
pour le poteau de 0,40 x 0,50 m constituant le rectangle 1 du voile |.
1358
2 - Une charge apportée par une poutre est considérée appliquée au nu de l’appui,
Le voile est constitué de 4 rectangles :
] : poteau 0,30 x 0,50
2 :rectangle 0,20 x 6,00
3:rectangle 0,20 x 6,00
à : poteau 0,30 x 0,50
Le rectangle ! reprend une aire de plancher égale à 2 fois le triangle 2,
soil 2(3x3)/2=9,0m? avec une charge excentrée de —0, 15 m (voir détail de la figure 45).
Poids propre de la poutre reprise par le rectangle ! (située sur l'axe vertical de la figure, car
dans l'axe du rectangle 1) :
8=03x(0,5-0,18)x245x3m=706kN excentré de -0,15 m.
Le rectangle 2 du voile reprend une aire de plancher de :
aire 3=4,50m? excentrée de -3,25m.
aire 1 =(6x3)/2=9m? centrée
aire totale = 13,5 m2.
Poids propre de la poutre reprise par le rectangle 2 (axe horizontal de la figure, с car dans l’axe
du rectangle 2) :
& = 0,2 х (0,5 - 0,18) х 24,5 х3 м = 4,70 К№ ехсепЫ6 йе —3,25 m.
Rectangle 1 2 3 Total 2
Aire 9 . 45 9 13,5.
excentricité —0,15 —3,25 0 ~1,083
Poutre 7,06 4,70 0 4,70
excentricité —0,15 -3,25 0 —3,25
5.7.2.2. Voile d'ascenseur - Aires de plancher (Fig. 46)
Suivant qu'il existe un linteau conséquent ou non, nous considérerons le voile comme
monolithe fermé avec l'inertic équivalente calculée pour deux files d'ouverture ou bien en
profil ouvert,
Le linteau ayant l'épaisseur du plancher (0,18 m), nous en négligerons l'incidence.
1359
>
Tr ]—]]] —
+ a
E pa di pe rt?
“a Pipe
o
hos LD» — ms
— 100
200
Et == т a ——
Fig. 46 — Affectation des aires de plancher aux différents rectangles du voile d'ascenseur.
Remarque
Les aires 1.3 à 1.6 reprises par la poutre sont affectées au rectangle 1 et non au rectangle 2,
car l'excentricité de la charge doit s'exprimer dans l'axe d’un rectangle.
* Rectangle 1: charges
clement base | haut. 1 | haut. 2 | aire excentricité / centre de produit
plancher m m m en m? gravité du rectangle
1,1 0,50 1,50 1,00 0,625 -0,2000 (*) -0,1250
1.2 0,50 1,40 1,40 0,700 0,0000 0,0000
0,50 0,50 0,00 0,125 0,1333 0,0167
1,3 1,10 3,00 1,20 2,095 0,3000 0,8085
1.4 0,95 3,00 2,05 | 2,399 0,3000 0,7197
1.5 0,95 1,10 1,10 1,045 0,3000 0,3135
1.6 1,10 1,10 0,00 0,605 0,3000 0,1815
Total 8,194 1,9149
(*) Voir détail de la figure 46.
1360
1,914 9
3.194 = 0,233 7 т,
d'oll I'excentricité =
Poids propre de la poutre :
2,05 m x 0,2 тх (0,5 т - 0,18 т) х 24,5 kKN/m°* = 3,21 kN excentré de 0,30 m.
* Rectangle 2 : Aire 2.1 centrée = 2,2 x 1,1/2= 1,21 m?
* Rectangle 3 : charges *
- élément | . |
de base | haut. 1 | haut, 2 aire, excentricité / centre de produit
plancher m m m enm gravité du rectangle
3.1 1,10 2,05 0,95 1,650 - —1,000 —1,650
3.2 1,90 2,05 2,05 3,895 —1,000 —3,895
3.3 1,90 | 1,90 | 1,90 | 3,610 0 | ©
Total | 9,185 —5,545
-5,545
d'où l' tricité : —— =0, .
où l'excentrici 5.155 0,6057 m
Poids propre de la poutre :
2,05 m x 0,2 m x (0,5 m — 0,18 m) x 24,5 kN/m} = 3,21 kN excentré de ~1,00 m,
* Rectangle 4 et 5 : charges
clement base | haut. 1 | haut. 2 | aire | excentricité / centre de roduit
m m m en m? gravité du rectangle Р
plancher
5.1 0,50 1,00 0,50 0,375 -2,0000 0,0750
5.2 0,40 0,40 0,00 0,080 0,0667 0,0053
Total | 0,455 —0,0697 |
d'où l'excentricité = 0,065 7 = -0,153 2 т.
0,455
* Rectangle 6 : Deux fois "aire 6.1 =2% 3x 3/2=9,00 m? excentrée de —1,20 m
Poids propre poutre : |
0,30 x (0,5 - 0,3) х 24,5 х 3 т = 4,41 КМ excentré de «1,20 m.
1361
fmt ea vet “ei yt de a a! e
* Rectangles 7, 8 et 9 : symétriques des rectangles 3, 2 et 1 respectivement.
5.7.2.3. Niveau terrasse . Voile 1
Charges permanentes : g = 7,42 kN/m?
Charges d'exploitation : 9 = 1,00 kN/m?
Voile 1 Rect. Rect.
dimension t 0,50 0,20
dimension h 0,30 6,00
centre a 6,00 3,00
centre b 11,85 12,00
angle © 0 90
aire reprise m? 9,00 13,50
G plancher 66,78 100,17
{ exc. plancher -0,1500 —1,0833
-G poutres 7,06 4,70
exc, poutres —0,1500 —3,250
| 6 73,84 104,87
exc. de G —0,1500 —1,1804
(*)
Q 9,00 13,50
exc. de Q -0,1500 ~1,083
Nombre de |
planchers repris 2
(a) DT AC 0) + 47325 = —1.1804 m
»
* Rectangle 3
Dito rectangle 2 sauf: -a=0; b=9,00; angle= 180",
* Rectangle 4
Dito rectangle | sauf: a=0,15; b=6,00; angle =-00°.
1362
© 5.7.2.4. Niveau terrasse . Voile 2 (avec 9 =7,42 et q=1 kN/m?)
Rect.
Rect.
Rect.
Rect,
Rect, Rect. Rect. | Rect. | Rect,
1 2 3 | 4 5 6 7 8 | e
[dimension t 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20 | 0,20
dimension h - 0,40 | 2,20 | 1,80 | 0,40 | 0,40 | 2,20 | 1,80 | 2,20 | 0,40
centre a 18,00 | 19,10 | 20,20 | 18,00 | 18,00 | 19,10 | 20,20 | 19,10 | 18,00
centre b 1,60 | 1,80 | 0,90 |-0,20 | 020 | 0 | -0,90 | -1,80 | -1,60
angle ¢ о | -90 | 180 | 0 | 180 | -90 | 180 | 90 | ©
aire reprise m? 8,194 | 1,210 | 9,155 | 0,455 | 0,455 9 9,155 | 1,210 | 8,194
G plancher 60,80 | 8,98 | 67,93 | 3,376 | 3,376 | 66,78 | 67,93 | 8,98 | 60,80
exc. plancher 0,2337) 0 e | = |-1,200 - O 10,2337
G poutres 3,21 0 10,605710,153210,1532| 4,41 |0,6057| O 3,21
exc. poutres 0,300 | 0 |321| 0 Oo |-1,200( 321 | © | 0,300
G 64,01 | 8,98 |-1,000| 0 O {71,19 |-1,000| 8,98 | 64,01
exc. de G 0,2370| © | 71,14 | 3,376 | 3,376 |-1,200| 71,14 | © |0,2370
0,6235 |0,1532|0,1532 0,6235
Q 8,194 | 1,210 | 9,155 | 0,455 | 0,455 | 9,000 | 9,155 | 1,210 | 8,194
exc. de Q 0,2337| 0 в | + | - |=1200| - | 0 10,2337
0,6057 |0,1532|0,1532 0,8057| |
EE EEE EEE
5.7.2.5. Niveau courant
Si une grande précision n'est pas recherchée, on peut éviter de décrire la géométrie des
voiles et leurs charges en appliquant un coefficient multiplicateur sur les charges
permanentes et sur les charges variables :
5,2
3,0
5.7.3. Règles PS 92 (version disponible en octobre 1994).
Rappels, compléments ou modifications par rapport à ce qui est exposé ci-dessus au chapitre
3, articles 5.1 à 5.13 pour la méthode de la force statique équivalente pour bâtiments
réguliers (voir en 13 ci-après).
1363
1) Période de vibration propre T en secondes
On pourra utiliser les programme « RAYLEIGH » ou « STODOLA » ou encore la formule
forfaitaire, avec Lx = dimension du bâtiment parallèlement à l'action du séisme (en m) :
bâtiments contreventés par
bâtiments contreventés par voiles. .
SP ossatures avec remplissage en
en béton armé
maçonnerie
T= 0,08 — + T = 0,06 — —
Joe Abe Joc dbs
2) Accélération nominale ay : (voir chapitre 3, $. 5,6)
Elle est fonction de la zone géographique (chap.3, Fig. 63) et de la classe de risque de
l'ouvrage (chapitre 3, 8. 5.3).
3) Coefficient d’amortissement relatif & et coefficient topographique t (chapitre 3, $.
5.9.2 et 5.7) .
Pour un contreventement assuré par des voiles:
- en béton armé : E=4%
-en béton non armé: E=3%
D'où: p= В о,
Pour un terrain horizontal : T= 1, sinon se reporter a l'article 5.24 des Régles PS 92.
4) Coefficient de comportement q (chapitre 3, $. 5.9.4)
On pourra retenir q = 3,5 pour un contreventement par voiles.
Pour T<0,05 5, remplacer q par q =1+20(4-1)T
5) Accélération spectrale R(T) (chapitre 3, $. 5.9.5)
R(T) =an tp Rp(T) |
avec Rp(T) = accélération normalisée (chapitre 3, fig. 65)
6) Force statique équivalente f,
Zing; R(T)
x
fr = Pu т, Zr
1364
avec :
r = rang du niveau étudié
Z; et 2, = cotes des niveaux de rangs i et r
m; et m, = masses des niveaux de rangs Pet Y
а = 1,5
2 | |
p, = ! +0,10 7) = 1,10 pour un contreventement par voiles
Te = période de base lue dans le tableau du chapitre 3, $. 5.9.5 en fonction du site,
e
T) Masses à prendre en compte
Y = coefficient de prise en compte :
— charges permanentes : Q = |
— charges d'exploitation :
— bátiment d'habitatlon ou d'hébergement, bureaux ou 2 = 0,20
assimilés
— halles diverses, salles d'exposition ou autres locaux @ = 0,25
destinés principalement au transit des personnes,
salles de réunion, lieux de cultes, salles et tribunes
de sport, salles de danse et tout autre lieu avec place
debout et utilisation périodique
‚= salles de classe, restaurants, dortoirs, salles В = 0,40
de réunion avec places assises
— archives, entrepôts. @ = 0,80
— autres locaux (sauf industriels) © = 0,65
charges de neige :
.pour une altitude =< 500m : @=0,00
pour une altitude > 500 т; @ = 0,30
8) Combinaisons des sollicitations de méme direction
Pour le cas où, en plus de l’action du séisme E, il n’y a que des charges permanentes G,
d'exploitation Q et de neige-N, on a :
S=G+E+08Q+0,1N
S=G+E+03N
S=G+E+Y N+04Q
avec Y, =0,15 sialtitude = 50m et Y =030 sialtitude > 500 m.
9) Combinaisons de sollicitations de directions différentes
S=£S,+AS,£ HS,
S=1£A58,£S8,+£1S,
S=£AS,+45S,+5,
1365
Cependant :
- la composante verticale peut être généralement négligée (u = O et 3% équation négligée)
sauf dans des cas particulters tels que transparence à un niveau (par exemple le voile
s'arrête au plancher haut du rez-de-chaussée) ou pendule inversé (étages supérieurs plus
larges que les étages inférieurs) ;
- les composantes horizontales peuvent être considérées séparément (À = O et u = O, 3°
équation négligée) pour les constructions régulières (ce qui est le cas pour les limites
d'emploi du programme « CONTREV »).
10 ) Hauteur de calcul H à prendre en compte pour la console
Compte tenu de l'encastrement du bâtiment
dans le sol H, et de la hauteur libre au-dessus
du sol Ho:
H = Ho pour bátiment fondé sur rocher ou sol
de catégorie a (chapitre 3, §. 5.8.2)
H=Ho+ 05 Hy = 1,5 Ho pour sol de
catégorie b |
H=H;+H; <2H, pour sol de catégorie c
Hs
Fig. 47 — Encastrement dans le sol.
11) Déformations admissibles
~ déformation totale sur la hauteur H :<H/250;
~ déformation locale entre 2 niveaux consécutifs distants de 4: <h/ 100.
12 ) Déformation a prendre en compte
а y T 12
Auniveaur: d, =p 7, —— (55) R(T).
20
2;
2m ; 2
13) Conditions pour qu’un bâtiment soit considéré comme régulier
à - Rapport des côtés L, / L, compris entre 0,2 et 5
b - Excengricité e, & 0,15 7
avec 7 7 0,2 L; (ou L,)
0 21, x; + 2, Y;
2,
x; = ubscisse du centre de torsion du voile { par rapport au centre de torsion général, pour un
séisme parallèle à Oy. '
2
r
1366
14) Matériaux |
— Acier : y, = 1,
— Béton : y, = 1,3.
0,85%.)
— Résistance de calcul : f,, = Tisy'
42
15) Actions verticales
- Remplacer д par Max [1 ; 4/2].
~ Pour Rp(T) de sites Sy, S; ou Sa, prendre le spectre du site Sy.
— Dans tous les cas, multiplier Rp(T) par 0,7.
5.7.4. Mode d'emploi du programme « CONTREV » *
Ce programme calcule le contreventement de bátiments dont la résistance au vent ou au
séisme est assurée par des voiles composés de rectangles formant un ensemble monolithe.
La méthode utilisée est celle du centre de torsion.
La géométrie en plan est décrite à partir d'une origine quelconque (de préférence le coin
inférieur gauche du bâtiment pour la clarté du dessin sur écran) et de deux axes
perpendiculaires correspondant aux deux directions du vent.
Le calcul dans les deux directions est effectué automatiquement au moyen des combinaisons
de cas de charge. La première moitié de ces combinaisons correspond à une action (vent ou
séisme) parallèle à Oy, la deuxième moitié à une action parallèle à Ox,
La méthode suppose que les inerties sont constantes sur toute la hauteur ou bien qu'elles
varient toutes de la même proportion aux mêmes niveaux,
Le programme effectue successivement un calcul au vent puis au séisme, s'il existe, suivant
les Règles NV 65 pour le vent et les Règles PS 69 ou PS 92 au choix pour le séisme,
Ligne | Titre
Ligne 2 Ly, Г, , Ly, H, T, , Ty, x, » Vo
ly =0 pour vent NV 65 seul
= | pour vent NV 65 + séismé PS 92
= 2 pour vent NV 65 + séisme PS 69
х = largeur du bâtiment parallèlement à Ox (m)
y = largeur du bâtiment parallèlement à Oy (m)
oi
H = hauteur totale du bâtiment (т) В
T, = période de vibration (1¥ mode) pour un vent parallèle à Oy (s)
T; = période de vibration (1% mode) pour un vent paralléle a Ox (s)
* Disponible aux Presses des Ponts et Chauesées,
1367
. Ligne 3
Ligne 4
Si la period introduite est nulle, le programme prend la valeur forfaitaire ;
T = 0, 08 + FAL = pour des contreventements par voiles en béton armé
xn El Y, | eA en m du coin inférieur gauche de la vue en plan du
batiment (pour le dessin)
Région, Site , C,, Cy, xy, yv
Région :
1 = 50 kN/m?
2 = 70 kN/m?
3 = 90 kN/m?
— Site:
J = site normal
< | = site protégé (voir NV 65)
> | = site exposé (voir NY 65)
Pour un calcul sans vent, faire Site = 0
C = coefficient de forme des Règles NV 65 pour un vent parallèle à Oy
C, = coefficient de forme des Règles NV 65 pour un vent parallèle à Ox
Remarque
Pour un bâtiment rectangulaire et si H/L, = 0,5, H/L, = 0,5 et 1/3< L/L, <3,
onaC=1,3
xy = abscisse du centre de poussée du vent parallèle à Oy et agissant sur la face
parallèle à Ox (m)
yv = ordonnée du centre de poussée du vent, parallèle à Ox et agissant sur la face
parallèle à Oy (m)
Site, an , E, T, q
(si Isv=1) Pour les PS 92 :
Ligne 5
Site :
= 0 pour le site So
= | pour le site Si
= 2 pour le site 5,
= 3 pour le site Sa
an = accélération nominale en m/s?
E = coefficient d'amortissement en % ; on peut prendre E =4 pour le béton armé
et E=3 pour le béton non armé
1 = coefficient topographique qui vaut ! en général sauf pour les ouvrages en bord
de crête (voir PS 92, $. 5.24)
д = coefficient de comportement
= 3,5 pour les bâtiments contreventés par voiles.
Sol, e, 8, Amort
(si Isv=2) Pour les PS 69
1368
Sol
= 0 si la construction n'est pas sur une importante formation de sols meubles
= | si la construction est sur une importante formation de sois meubles
Ligne 6
Ligne 7
Ligne 8
à = coefficient d'intensité (voir chapitre 3, $.5.14.3 ci-dessus)
d = coefficient de fondation (voir chapitre 3, §.5.14.7 ci-dessus)
Amort :
= 0 pour un amortissement faible
= | pour un amortissement moyen
= 2 pour un amortissement normal
Jer Je | a
Je = fı28 du beton (MPa) | °
fe = limite élastique de Pacier (MPa)
1, jy By Lys, Ly з *0› У0› (С, prs gy Q, e404 gy, 7)
Du niveau ¿ au niveau j, k = hauteur de l'étage (m) à décrire à partir du bas.
Les numéros négatifs de niveaux sont ceux qui sont à l’abri du vent (sous-sol par
exemple).
L,; = largeur (m) parallèlement à Ox, si elle est différente de la valeur générale L,
de la ligne 2, sinon Ly) = 0 (pour un édicule en terrasse ou un amincissement par
exemple).
L,; = largeur (m) parallèlement à à Oy, si elle est différente de la valeur générale L,
de la ligne 2, sinon L,; =0.
Il est supposé que le centre de poussée du vent reste sur la même verticale.
Xp €t yo : coordonnées en m du coin inférieur gauche de la vue en plan du bâtiment
(pour le dessin) si elles sont différentes de la valeur commune de la la ligne 2,
sinon écrire 0,0.
Ce qui suit n'est à écrire que s'il y a séisme (Isv = 1 ou 2),
G = masse totale (t) correspondant aux charges permanentes du plancher
Epx Et e,, = coordonnées (m) du centre de gravité de la masse G suivant Ox et Oy.
Q = masse totale (t) correspondant aux charges d'exploitation du plancher.
€yx Et €, = coordonnées (m) du centre de gravité de la masse Q suivant Ox et Oy,
@ = coefficient de prise en compte des charges d'exploitation Q (Pour les
bâtiments d'habitation et de bureaux, on prendra @ = 0,2),
Fin = 0,0,0
ir] Ny, kg ? kq Ja
Du niveau ¿ au niveau j, Ny = nombre de voile par niveaux. A décrire en
descendant à partir du sommet (i <j).
Si les charges permanentes des niveaux i à j sont proportionnelles à celles du
niveau au-dessus, décrites antérieurement, le coefficient de proportionnalité est
égal à ko.
De même, pour les charges variables,
fe = résistance caractéristique du béton si différent de f. de la ligne 6.
EXEMPLES
l. si pour l’ensemble du niveau 13 (terrasse), premier niveau décrit, la charge
permanente vaut 6.62 KN/m°, et si la charge permanente du niveau 12 vaut
1369
6.31 kKN/m”, on indiquera kg =6.31/6.62'= 0.953 pour le niveau 12.
2. Pour une dégression des charges d’exploitation, avec un coefficient | pour le
niveau 12 ; 0,9 pour le niveau 11 ; 0,8 pour le niveau 10: 0,7 pour le niveau 9 ; 0,6
pour le niveau 8 etc., on aura (pour 3 voiles).
13,13,3,0,0, | pourla terrasse (Niveau 13) èt dont on décrira la géométrie des
0 voiles et les charges en lignes 9 4 12 |
(q=1 kN/m?)
12,12,3,0.953, | niveau 12 : avec 4 kN/m? au lieu de 1 kN/m? de charges
4,0 d'exploitation, coefficient 4 pour la charge d'exploitation qui est
4 fois plus grande que la charge décrite en clair (celle du niveau
13). On omettra de décrire les lignes 9 à 12 et on reviendra à
une nouvelle ligne 8
11, 11,3, 1, | niveau 11: avec mames charges permanentes et une charge
36,0 d'exploitation multipliée par 0,9
0,9х 4 = 3,6
10,10,8,1,3.2, | niveau 10 : aveé mêmes charges permanentes et une charge
0 d'exploitation multipliée par 0,8
08x4=32
9,9,3,1,2.8,0 | niveau 9 : avec mêmes charges permanentes et une charge
: d'exploitation multipliée par 0,7
0,7 х4 = 2,8
8,8,3,1,2.4,0 | niveau 8 : avec mêmes charges permanentes et une charge
d'exploitation multipliée par
0,6X4=2,4 etc.
Le coefficient s'appliqué à la dernière charge décrite, celle de la ligne 10.
Fin = 0,0,0
Ligne 9 K,N,, Type, leg › Legy
(Ny fois) X= numéro du voile (de ! à N,)
y = nombre de rectangles constituant le voile
Type (Fig. 48) : :
| = si le voile est constitué d'une suite unicursale de rectangles
2 = si le voile comporte des affluents. À décrire en ligne 11
3 = si le voile est constitué de rectangles tous concourants. On introduira alors les
coordonnées du point de concours en ligne 12.
Remarque
Pour un voile en T, on pourrait aussi utiliser le type 2, mais il faudrait décrire 3
rectangles au lieu de 2,
Iggy = Inertie équivalente (m*) par rapport à l'axe parallèle à Ox passant par le
1370
centre de gravité du voile, si différente de l'inertie calculée,
Isyy = inertie équivalente (m*) par rapport à l'axé parallèle à Oy passant par le
centre de gravité du voile, si différente de l'inertie calculée,
Type = 3
' (С est donné)
Type = 2
(avec affluents“)
Type = 1
(unicursal)
Fig. 48 — Types de voiles.
Ligne 10 ji, t, h, à, b, P, G, ec, Q, eq, Tr
(N, fois) {= numéro du.rectangle (à = ! à N,)
! = épaisseur du rectangle (m)
h = longueur du rectangle (m)
a = abscisse du centre du rectangle (m)
b = ordonnée du centre du rectangle (m)
E ¢ = angle (degrés) de l'axe principal du rectangle avec l'axe Oy (Fig. 49) :
= (Oy, axe du rectangle)
L'axe du rectangle est orienté dans le sens de la description, c’est-à-dire du
rectangle précédent vers le rectangle suivant.
В С = charges permanentes (kN), autres que le poids propre du voile (qui est calculé
+ automatiquement).
3 N eg = excentricité (m) de la charge permanente ci-dessus par rapport au centre du
E rectangle, comptée positivement dans le sens de la flèche.de description.
Q = charges variables (kN).
4 a | eq = excentricité (m) de la charge variable ci-dessus par rapport au centre du
rectangle, comptée positivement dans le sens de la fléche de description,
I, = | pour un voile ne supportant de plancher que d'un seul cóté, = 2 pour deux
planchers.
€: À écrire N, fois; puis retour vers une autre ligne 9.
py ry)
Fy SER
Cr
E EE
a
1371
angles ¢
Fig. 49 — Angles de rectangles successifs.
Ligne! 4, f1,J20J35 00,0
(si Type = 2) i= numéro du rectangle décrit
(N, lignes) ji, ja, js, .. liste des rectangles repris par le rectangle ¿.
Pour chaque rectangle, indiquer sur la même ligne les numéros des rectangies
amont reçus directement par ce rectangle. Terminer la ligne par un 0.
Par exemple, pour le type 2 de la figure 48 ci-dessus, on aura 4 lignes :
1,0 ‘le rectangle n’en reçoit aucun autre
2,0 ‘ dito pour le rectangle 2
3,1,2,0 ° № rectangle 3 reçoit les rectangles 1 et 2
4,3,0 ‘le rectangle 4 reçoit le rectangle 3
Ligne 12 Xe » Ye
(si Type = 3) x, = abscisse du centre de torsion, point de concours des rectangles (m)
Ye = ordonnée du centre de torsion, point de concours des rectangles (m)
Si les deux valeurs x, et y, sont nulles, le programme placera le centre de
torsion du voile en son centre de gravité. Ce peut étre le cas pour un voile ne
correspondant ni au type 1, ni au type 2 et dont on ignore la position du centre
de torsion.
Retour en ligne 9.
Résultats
Pour chaque direction, le programme donne : |
~ le tableau du vent global et de l'action horizontale du séisme à chaque niveau : force, effort
tranchant, moment ; | - ‚
- pour chaque groupe de niveaux, le rappel des données des dimensions et charges de
chaque rectangle de chaque voile ; |
- pour chaque niveau et chaque voile, les sollicitations (effort normal, effort tranchant et
moment) dans chaque direction dues aux charges permanentes, charges d'exploitation et
au vent ;
— pour chaque niveau et pour cinq points de chaque rectangle de chaque voile :
- les coordonnées du point,
— la contrainte fnaximale du béton en compression pour toutes les combinaisons
de cas de charges,
~ le rapport maximal de la contrainte réelle sur la contrainte limite,
- la contrainte minimale du béton,
1372
— le cisaillement maximal,
— la section, le diamétre et l’espacement des aciers verticaux nécessaires par
metre linéaire de voile,
~ la section, le diamétre et l'espacement des aciers horizontaux nécessaires par
mètre linéaire de voile,
— en fin de calcul, le maximum de :
- la contrainte de compression du béton,
— du rapport contrainte réelle/contrainte limite, : Ce
— du pourcentage d'acier vertical,
~ le ferraillage vertical, horizontal et transversal tenant compte du décalage vers
le haut des aciers tendus de 0,8 fois la longueur du voile,
— les quantités de béton, de coffrage et d'acier,
Remarques
1. Pour des voiles avec files d'ouvertures, on déterminera les coefficients & el l'inertie
équivalente par le programme « LINTEAUX ». Si un coefficient Œ& est inférieur à !, on
considérera que l'ouverture est de grande dimension et que les deux ensembles de rectangles
situés de part et d'autre sont indépendants et forment deux voiles distincts. Si tous les
coefficients Œ sont tous supérieurs à 10, on pourra considérer le voile comme monolithe en
ne décrivant que les rectangles pleins (à l’exception des ouvertures).
En cas d'introduction d'inertie équivalente, on procédera à un nouveau passage avec le
programme « LINTEAUX » pour déterminer les contraintes et aciers de chacun des
éléments composant le voile. On introduira comme valeur de l'effort en pied, les deux -
valeurs Vy et V, (effort horizontal cumulé dus à la partie constante du vent et à la partie
triangulaire du vent qui est supposé être trapézoidal). Ces valeurs Vg et V, sont données par
les formules (voir en 6.1 ci-après) :
Vo =4 V- = et У, = = -3v en fonction des moment M et
effort tranchant V dus au vent au niveau le plus bas.
2. La numérotation des voiles doit être faite en tenant compte de ce qu'un numéro est réservé
au même voile de haut en bas.
S'il apparaît un ou plusieurs voiles, les numéros de ces voiles doivent être les derniers.
3. Lorsque les dimensions d’un voile changent d’un niveau à l’autre, et que le centre de
gravité change de position, le programme calcule les moments dus à ces excentrements de
charge, '
4. Quand les ouvertures varient de façon importante d’un niveau à l’autre, il convient de
regarder avec attention le cheminement des efforts (verticaux et moments) par des
corrections manuelles. Le programme donnant les efforts globaux de vent et de charges
verticales pour le voile, on peut déterminer la répartition en fonction des ouvertures, puis lès
contraintes et les aciers nécessaires,
5. On peut modifier l'action du vent pour des pressions de base différentes des trois régions
NV 65 en jouant sur le coefficient « Site » de la ligne 2.
1373
LP
6. Les contraintes du béton sont calculées par la formule :
с = + +
nz
Mv, M Vx
I, Г,
En cas de traction les aciers verticaux sont déterminés comme reprenant l’effort que
reprendrait le béton tendu s’il résistait à la traction et correspondant à la valeur de la
contrainte de traction la plus élevée de chaque quart de rectangle (DTU).
7, Que l’on utilise ou non l’inertie équivalente, les sollicitations, contraintes et aciers dans
les voiles sont calculés en supposant ces derniers comme des consoles encastrées dans leurs
bases,
8. On limitera la largeur des ailes au 1/10 de la hauteur totale du voile.
9. Les sorties de ferrailllage du tableau final tiennent compte du décalage de 0,8 L vers le
haut des aciers tendus. Les aciers transversaux (épingles) sont calculés à partir des seuls
aciers comprimés,
10. Pour le séisme, les résultats ne sont valables que pour des bâtiments réguliers tels que
définis à l'article 6.612 des Règles PS 92 :
— les effets de la composante verticale sont négligés ;
- cn général, les composantes horizontales sont considérées séparément l'une de l'autre ;
cependant, on peut, si nécessaire, les prendre en compte de façon simultanée en modifiant
les coefficients de combinaisons (voir sous-programme aux 3/4 du listing) ;
— les conditions du 6.612 sont vérifiées automatiquement par le programme, à savoir :
e, « 0,20r (pour les deux sens x et y)
r=02L (pour les deux sens x et y)
L? + L?
r= т (pour les deux sens x et y)
Le
0,25 = я <4 (pour les deux sens x et y)
y
в
~ les autres conditions sont a vérifier manuellement.
11. On peut sauvegarder les résultats du calcul dans un fichier appelé « BIDOUT » lisible
sous Word, Il suffit pour cela de remplacer tous les PRINT du programme par PRINT #1, (ne
pus oublier la virgule à la fin). Après exécution de « CONTREV », on ouvre « BIDOUT »
sous Word que l'on peut lire en modifiant la police en Monaco taille 9 (ou Courrier taille 9).
Pour obtenir une sortie sur imprimante, procéder au remplacement de tous les PRINT par
LPRINT, |
1374
5.7.5. Données du programme pour l'exemple étudié
= = rer PT RE
NA
Titre
[Immeuble A |
ley Ly Ly H Ty т, Xo Yo
о | 242 | 242 | 4725 | 0 0 | 0.1 | 121
Région | Site | С, C, Xy Yo |
3 1 1,3 | 1,3 | 121 0
fo fo
25 | 500
| j hot La Lys Xo Yo
0 11 | 3,15 | 0 0 0 0
0 0 0
j j Ny ka | ka Eos
11 11 3 0 0 0
k № | Туре | log léqv
1 4 1 | 0 o | |
Ne t h a b © G ea Q ea |
1 05 | 0,3 6 |1185| 0 | 73,84 | -0,15 || 9 | -015 | 2
2 02 | 6 3 12 90 | 104,9 | -1,18 | 135 | -1,08 | 1
3 02 | 6 0 9 180 | 104,9 | 1,18 | 18,5 | 1,08 | 1
4 05 | 0,3 | 0,15 | 6 | -90 | 73,84 | 0,15 9 015 | 2
k N; | Туре | ‘вах | leg |
2 9 2 0 0
N° t h a b ¢ | G | ea Q ea | Ir
1 02 | 04 | 18 | 16 0 | 6401 | 0,237 | 8,194 | 0,234 | 1
2 02 | 22 | 191 | 1,8 | -90 | 8,88 o | 121 |. 0 1
3 02 | 1,8 | 202 | 09 | 180 | 71,14 | -0,62 | 9,155 | -0,61 | 1
4 02 | 0,4 | 18 | 02 | 0 || 3,091 | —0,15 | 0,455 | -0,15 | 1
5 | 02 | 04 | 18 | 02 | 180 | 3,091 | -0,15 | 0,455 | -0,15 | 1
6 02 | 22 | 19,1 0 -90 | 71,19 | —1,2 9 | —12 | 1
7 02 | 18 | 20,2 | —0,9 | 180 | 71,14 | 0,62 | 9,155 | 0,61 | 1
8 02 | 22 | 19,1 | -18 | 90 | 8,98 0 121 | 0 1
9 02 | 04 | 18 | -16 | 0 | 6401 | 0,237 | 8,194 | 0,284 1
1375
A
o
я TE JE Cp
ji j2 js ja
1 0
2 1
3 2
4 0
5 0
6 4 5
7 3 6
8 7 0
9 8 0
3 4 1 0 0
№ t h a b © a ea Q eq I;
1 05 | 03 6 |-11,85 | 180 | 7384 | -015| 9 | -0,15 | 2
2 02 | 6 3 -12 | 90 | 104,9 | -1,18 | 13,5 | —1,08 | 1
3 02 | 6 0 -9 O .| 1049 | 1,48 | 135 | 1,08 | 1
4 | 05 | 0,3 | 015 | € | -99 |-7384 | 015 | 9 | 015 | 2
i Jj Ny Ke Ka fes -
10 0 0701 | 3 0
0
5.7.6. Résultats du programme « CONTREYV »
Les sorties sont composées de :
- la répétition des données ;
~ le calcul des efforts globaux de vent ;
- le dessin des voiles (sur option) avec leurs centres de gravité (croix) et centres de torsion
(rond creux), le centre de torsion global (cercle plein), le contour du bâtiment (pointillé),
les axes de coordonnées (tireté) ;
- le détail (sur option) des contraintes de compression, träction et cisaillement, des aciers
(sections en cm“, diamètres et espacéments) des quatre quarts de chaque rectangle de
chaque voile à chaque niveau ;
- les maxima des contraintes et pourcentages d'acier et indication du rectangle, voile et
niveau ; | | -
1376
E E E a D E. ааа
- les maxima des contraintes et pourcentages d'acier et indication du rectangle, voile et niveau ;
- le ferraillage enveloppe (sür option) des 6 cas de charges avec positions, diamètres,
espacements et longueurs ;
— le quantitatif béton, coffrage et aciers fongitudinaux, horizontaux et transversaux éventuels
(épingles):
5.7.6.1. Répétition des données
==
]
2
OUI tous les Niveaux
7 2
Voulez-Ucus les Resultats Detallles :
0
Voulez-Vous les Dessins des Voiles (=
QUI, le Niveau le plus bas Seulement
19, Sinon ¢=0>? 1
Voulez-Vous le Ferraillage Detaille ¢(=t), Sinon (=0)? |
a - Données générales et de vent
Immeuble A
Repetitions des Donnees
Dimensions du Batiment :
Parallelement a Ox = 24.200
Parallelement a Oy = 24.200
Abs Coin Inf.Gauche = -0, 100
Ord,Coin Inf.Droit =-12.100
Hauteur Totale = 37.800
33333
VENT selon NVES
Region : 3
Coefficient de Forme C (NV65)
Coefficient de Forme C (NV65)
Coordonnees de la Resultante de Vent :
Pericde de Vibration Propre :
Vent ou Seisme parallele a Oy
Vent ou Seisme parallele a Ox
Site
1,000
1.300
1.300
Abscisse pour le Vent Parallele
0.625 s
0.625 5
{Vent parallele a Оу)
{Vent parallele a Ox)
à Oy = 12.100 m
1377
SE e de de BE Sp de de ye de SY er чл в Ч ен лв US A EEE AE ES dS EY dE $ A EE O
O + Nou An hy») Do
Action globale du Vent
am == wm mm шт == ER EE ча BE mA EE AE dl we EER A ER SE EE ER dm wl Sw de em fe ME EE EE EE ER A WE ER
LW) Wd La] La Ld bat LT Lal LY LL)
La tad Lab Lal Lab LP 153 WI Ка) La td LW)
Ordonnee pour le Vent Parallele a Ox
+
wy
VU LAS w= NU
17.8
34.7
31.5
28.4
25,2 -
22.1
18.9
15.8
12.6
9.5
6.3
3.2
24.200
— ma
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
24.200
1.426 0,
1.391 0.
1.352 0.
1.312 0.
1.268
1.220 0.
1.169 0.
1.114 0,
1.054 0.
0.988
0,916
0.837 0.
сз © « © © «< © © ©
1.426 0.808
1.391 0,797
1.352 0
1.312
1,268
1.220
1.169
1.114
1.054
0.988
0.916
0.837
.785
.780
‚780
‚780
‚780
‚780
.780
‚780
‚780
‚780
rau
0.320
0.325
0.330
0.335
0.340
0,344
0.347
0.350
0.351
0.360
0.360
0.360
tau
.320
‚325
‚335
‚340
‚344
‚347
‚ 359
‚360
‚360
‚360
<> © © © © © © © © © © ©
.
.351 >
beta
1.000
1,000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
beta
1.000
1.000
1,000
1.000
1.000
1.000
. 000
‚ 9000
, 000
, 900
‚ 9000
‚ 000
bo a Ньоне ое
0.000 m
qv
kN/m2
1.349
1.296
1.242
1.196
1.156
1.113
1.066
1.016
0.961
0.901
0.836
0.764
— kN/m2
1.349
1.296
1.242
1,196
1.156
1.113
1.066
1,016
0.961
0.901
0,836
0.764
ER EE O EE ER fey AP O NO ADO ME NR ER AD PE O O НЫ OSOS a EN de wl NC dl р В М оф ei Am o de a
Coefficients des Combinaisons de Cas de Charges
Vent//Qy Vent //0x
Cas
dd vm окт EM но mk Se wm wm нон к ны de der de we A mk mE der de fer de deh de mle fe mb mp der ml ye be ew EE WE WE Ee wk че чо ee wm wr we
Perm. Exploit,
1.35 1.00 1.80
1.35 1.00 -1.80
1.35 1:50 1.20
1.35 1.50 -1.20
1.00 0.00 1.80
1,00 0,00 -1,80
1.35 1.00 0.00
1.35 1.00 0.00
1.35 1.50 0.00
1.35 1.50 0.00
1,00 0.00 0,00
1.00 0.00 0.00
LA OS wR a dr ale Am Bl BP Gn mn am al bl my my AN wy Ey вн Em
1378
N 3 J U WOM ED
102,8
201.6
296.3
387.5
475.7
560.5
641.8
719.2
792.5
861.2
924.9
983.1
vi
kN
102.8
201.6
296.3
387.5
475.7
560.5
641.8
719.2
792.5
861.2
924.9
983.1
Mi
kNm
162
641
1426
2503
3862
5494
7388
9532
11913
14517
17330
20336
Mi
kNm
162
641
1426
2503
3862
5494
7388
9532
11913
14517
17330
20336
В
М
El
Fa
PE
0
*
b - Données de chaque niveau ou groupe de niveau (exemple pour les niveaux 10 2 0)
Caracteristiques des Voilles (donnees)
Les Niveaux 10 а 0 comportent 3 Voiles
Voile N° t h a b phi Ng eg Ng eq Plancher
1 1 0.500 0.300 6.000 11.850 0.00 73.84 «0.150 39.00 -0.150 2 Cotes
2 0.200 6.000 3.000 12.000 90.00 104.90 -1.180 13,50 -1.080 1 Cote
3 0.200 6.000 0.000 9.000 180.00 104.90 1.180 13.50 1.080 1 Cote
à 0.500 0.300 0.150 6.000 -90,00 73.84 0.150 9.00 0.150 2 Cotes
Voile N° ¢t h a b phi Ng eg Ng eq Plancher
2 1 0.200 0.400 18.000 1.600 0.00 64.01 0.237 8.19 0.234 1 Cote
2 0.200 2.200 19.100 1.800 -90.00 8.98 0.000 1.21 0.000 1 Cote
3 0.200 1.800 20.200 0.900 180.00 71.14 -0.620 9.15 «0.610 1 Cote
4 0.200 0.400 18.000 -0.200 0.00 3.09 -0.150 0.46 -0.150 1 Cote
5 0.200 0.400 18.000 0.200 180.00 3,09 -0.150 0.46 -0.150 1 Cote
6 0.200 2.20019.100 0.000 -90.00 71.19 -1.200 9.00 -1.200 1 Cote
7 0.200 1.800 20.200 -0.900 180.00 71.14 0.620 9.15 0.610 1 Cote
8 0.200 2.200 28.100 -1.800 390.00 8.98 0.000 1.21 0.000 1 Cote
9 0.200 0.400 18.000 -1.600 0.00 64,01 -0.237 8.19 -0.234 1 Cote
Le Rectangle reprend les No
1 1
2 2 1
3 3
4 4
5 5
6 6 4 5
7 7 3 6
8 8 7
9 9 8
Voile N° t h ab phi Ng eg Na eq Plancher
3 1 0.500 0.300 6.000-11.850 180.00 73.84 -0.150 9.00 -0.150 2 Cotes
2 0.200 6.000 3.000-12,000 90.00 104.930 -1.180 13.50 -1.080 1 Cote
3 0.200 €.00C 0.000 -9.000 0.00 104,90 1.180 13.50 1.080 1 Cote
4 0.500 0.300 0.150 -6,000 -90.00 73.84 0.150 9.00 0,150 2 Cotes
Voile C.de Gravite(m) C. de Torsion (m) Aire Inerties (m4)
No xG ус xC YC (m2) / Ох /0y
1 1.675 10.32% -0,040 12.040 2.7000 12.2364 12.2364
2 19.286 -0.090 21.247 -0.000 2.3600 4.0535 1,7122
3 1.675 -10.325 -0.040 -12.040 2.7000 12.2364 12.2364
Centre de Torsion : x = -3.182 m y = “0.000 m
Centre de Poussee : x = 12.100 m y = 0.000 m
Excentricite : ex =15.282mey = 0.000 m (ex/Lx = 0.631 ey/Ly = 0.000)
Remarque
Le centre de torsion est fortement excentré, et même en dehors du bâtiment. Ce qui entraîne
d'importants moments de torsion. Cette solution est vivement déconseillée pour un calcul
1379
parasismique. Dans ce cas, on ajoutera deux voiles cornières dans les deux autres angles pour
rapprocher le centre de torsion du centre de poussée.
c - Dessin des voiles
5.7.6.2. Résultats détaillés (exemple pour le niveau le plus bas)
Pour le Niveau 0
Sollicitations Elementaires
Voile Eff .Tr.Vent Moments Vent Ch,Per. dont pp Mom.Ch,Per, Ch.Var. Mom.Ch.Var,
No //0y //0x /Ox /0y Voile /0x — /Qy - /0x /0y
kN kN kNm kNm kN kN KNm kNm kN kNm kNm
(lereligne:Vent//0y)
(2emeligne : Vent/ /Ox)
1 275.9 -114.4 5707.8 -2366.9 5616.1 2500.5 1130.8 1894.2 1530.0 515.6 863.6
274.3 . 459.4 5673.3 9502.9
2 431.2 0.0 8920.0 0.0 5372.2 2185.6 0.0 265.0 1599.0 0.0 120.8
0.0 64.3 0.0 1323.7
3 275.9 114.4 5707.8 2366.9 5616.1 2500.5 -1130.8 1894.2 1530.0 -S15.6 863.6
-274.3 459.4 -5673.3 9502.9
1380
PEL
Niv. Voil E£f£.Tr//Oy Mt/Ox No Extre
No No Eff.Tr//Ox Mt/Oy Epai.(m) mite
Eff.N. (kN} (kNm) Long. (п) 0
Cig. (MPa) Angle (degre) ,
0 1 497 12316 1 x (м) = 6,00
827 20526 0.500 y (m) = 11.70
9877 0.300 smax (MPa) = 12,007
0.92 0.00 % = 87.4%
smin (MPa) = -4.32
Cote = 3.150m, h.etag. = 3.150 m Ave {em2/m)= 13.41.
Decalage vers le Haut de 5,040 m Avt (cm2/m)= 49.64
% = 0.99%
Diametre = HA25
Espacement = 197
Ah (cm2/m) e 33.10
% = 0.66%
Diametre = HA20
Espacement= 189
2 x tm) = 6.00
0,200 Y im) = 12.00
6.000 stax (MPa) = 12,307
90.00 % = 98.2%
smin (MPa) = -à4,54
Ave (em2/m)= 6,54'
Decalage vers le Haut de 5.040 m AvE (cm2/m)= 20.88
% = 1,04%
Diametre = HM6
Espacement = 192
Ah(em2/m) = 13.92
% = 0.70%
Diametre = HAl4
Espacement = 221
3 x (m) = 0.00
0.200 У (m} = 12.00
6.000 smax (MPa) = 5,176
180,00 3 66.8%
smin (MPa) = -0.01
Avec (em2/m)=. 0.00
Decalage vers le Haut de 5.040 m Avt {cm2/m)= 0.00
% = 0.00%
Diametre = HAG
Espacement = 333
Ah (em2/m) = 0.00
% = 0.00%
Diametre = HAS
Espacement = 333
4 x (m) = 0.00
0.500: y (м) = - 6.00
0.300 smax (MPa) = 8.136
- 90.00 % = 70.4%
1/4
6.00
11.78
12.082
88.0%
«4.37
13,54
50.28
1.01%
HA25
195
33,52
0.67%
HA20
187
4.50
12.00
9.791
79.9%
-2.67
4.70
12.30
0.62%
HA12
183
8.20
0.41%
HALO
191
-0.00
10.50
5.131
66.2%
-0.36
0.00
1.65
0.08%
HA10
195
1.10
0.05%
HAS
187
0.08
6.00
8.052
69.7%
Centre
1/2
6.00
11.85
12.157
88. 6%
-4.43
13.68
50.92
1,02%
HA25
192
33.95
0.68%
HA20
185
3.00
12.00
7.275
93.9%
-0.81
0.00
3.73
0.19%
HAS
269
2.48
0.12%
HAS
227
0.00
9.00
6.133
79.2%
-1.75
0.00
8.05
0.40%
213
5.36
0.27%
HA12
234
0.15
- 6.00
7.968
69.0%
3/4
6.00
11.93
12.232
89.2%
-4,48
13,81
51,56
1.03%
HA25
190
34.38
0.69%
HA20
182
1.50
12.00
5.073
° 65,5%
0.74
0.00
0.00
0.00%
0.00
0.00%
0.00
7.50
7.134
92.1%
-3.14
0.00
14.44
0.72%
192
9.63
0.48%
HAl4
221
0.23
6.00
7.884
68,3%
Extre
mite
1
6.00
12.00
12.307
89.8%
«4.54
18.95
52.20
1,04%
HA25
188
34.80
0.70%
HA2Q
180
0.00
12,00
5.176
65.8%
-0.01
0.0¢
0.00
0.00%
0.00
0.00%
0.00
6.00
8.136
95.2%
-4,53
3.44
20.84
1.04%
13.89
0.69%
0.30
6.00
7.800
67.5%
1381
Decalage vers le Haut de 5.040 m
0 2 776 16056 1
116 2872 0.200
9651 0.400
1.12 0.00%
Decalage vers le Haut de 5.280 m
0.200
2.200
-90.00
Decalage vers le Haut de 5,280 m
3
0.200
1.800
. 180.00"
Decalage vers le Haut de 5.280 m
1382
smin (MPa) =
Avci{cm2/m)=
Avt (cm2/m) =
% =
Diametre
Espacement
Ah{cm2/m)
%
Diametre
Espacement
X (m}
y {m)
smax (MPa)
smin (MPa) =
~-4.53
0.00
52.09
1.04%
HA25
188
34.73
0.69%
HA20
180
18.00
1.40
8.936
84,9%
-3.47
ео
-4.41
0.00
50.75
1.02%
НА25
193
33. 84
0.68%
HA20
185
18,00
1.50
3,333
88.7%
-3.86
Ave (em2/m)=0.000.00 0.00
Avt (cm2/m) =
%
Diametre
Espacement
Ah(cm2/m)
%
в
Diametre
Espacement
tr DD N NM
x (m)
y tm)
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Avc (cm2/m)
Avt (em2/m)
%
Diametre
Espacement
Ah (cm2 /m)
%
Diametre
Espacement =
Bn rn nag Bn NB WH
x (m) =
У {m} =
15.95
0.80%
HA14.
192
10.64
0.53%
HA12
212
18,00
1.80
17.78
HAl4
173
11,85
0.59%
HA12
190
18.55
1.80
-4.30
0.00
49.41
0.99%
HA25
198
32.94
0.66%
HA20
‚190
18,00
1.60
=4.18 -4.06
0.00 0,00
48.08 46.74
0.96% 0.92%
HA25 HA25
204 210
32.05 31.16
0.64% 0.62%
HA20 HA20
196 201
18.00
1.70
18.00
1.80
9.729 10.12510.521
92.5%
-4.26
0.00
19.60
0.98%
HA16
205
13.07
0.65%
HA12
173
19.10
1.80
96.2%100.0%
-4.66 -5.05
0.00
21.42 23,24
1.07% 1.16%
HA16 HAL6
187 173
14.28 15,49
0,71% 0.77%
HAÍ4 HAl4
215 198
19.65 20.20
1.80 1.80
10,52110.675 10,828 10.98211.136
97,2%
-5.05
4.16
23.24
1.16%
HA16
173
15.49
0.77%
HAi4
198
20.20
1.80
smax (MPa) = 11.136
% =
smin (MPa) =
Avc(cm2/m) =
Avt (cm2/m) =
$ =
Diametre =
Espacement =
Ah (em2/m)=
% =
Diametre =
96.6%
-4,71
4.43
21.68
1.08%
HA16
185
14.45
0.72%
HAl4
98.1%
-4.97
4.26
22,85
1.14%
HA16
175
15,23
0,76%
НА14
202
20.20
1.35
9.353
94.6%
-2.93
0.00
13.48
0.67%
HA12
167
8.98
0.45%
HALO
99.0%
-4. 88
4,36
22.46
1.12%
НАЗ, 6
179
14.37
0.75%
HAl4
205
20.20
0.90
7.571
76.6%
=1.15
0.00
5.28
0,26%
HABS
-190
3.52
0.18%
HAS
0,74%
99.9%
-4.80
4.46
22.07
96,4%
-4.71
4,56
21.68
1.10% 1.08%
HA16 HAL6
182 185
14.71 14,45
0,72%
HA14 HAld
209 213
20.20 20.20
0.45 0.00
5.788 5.283
58.6% 53.4%
0.64 1.14
0.00 0.00
0.00 0.00
0.00% 0.00%
0.00
0.00%
0.00
0.00%
0.200
0.400
0.00
0.200
0.400
180.00
0.200
2,200
-90.00
7
0.200
1.800
180.00
Decalage vers le Haut de 5,280 m
8
0.200
2.200
90.00
Decalage vers le Haut de 5.280 m
E
Espacement =
x (mn) =
Y (m) =
smax (MPa) =
% =
smin (MPa) =
Ave (em2/m)=
Avt (cm2 /m) =
Ali (cm2/m) =
X (m)
У (m)
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Ave (em2/m)=
Avt (cm2/m)=
Ah(cm2/m) =
X (m)
У (m)
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Avc(cm2/m)
Avt (cm2/m)
Ah (cm /m)
HH HAM
X (m)
Y (ma)
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Ave (cm2 /m)
Avt (eme /m)
%
Diametre
Espacement
Ah (cm2/m)
%
Diametre
Espacement =
na vu Hn RM un nou
x tm)
Y tm)
smax (MPa)
HM WA
smin (MPa)
Avc (em2/m)
Avt (cm2/m)
% .
Diametre
Espacement
213 174
18.00 18.00
-0.40 -0.30
5.189 5,189
48.1% 48.1%
0.28 0.28
0.00
0.00
0.00
18.00 18.00
0.30
5.189
48,1% 48.1%
18.00 18.55
0.00
5.189 4.574
54.8% 48.3%
0.28 1
0.00 0
0.00 0.00
0.00 0
20.20
0,00
5,283
53.4%
1.14
0.00
0.00
0.00%
HAB HAl2
190 167
0.00
0,00%
HAB Hall
285 174
20.20 19.65
-1.80 -1.80
11.136 10.982
96.4% 99,9%
“4,71 -4,80
4.56 4.46
21.68 22.07
1,08% 1.10%
НА16 — НАД 6
185 182
20.20
-0.90
7.571
76.6%
-1,15
0.00
5.28
0.26%
HA16
185
3.52
0.18%
HA1 4
213
19.10
-1.80
10.828
99.0%
‚ =4. 68
4.36
22.46
1.12%
HA16
179
18.00
-0.10
5.189
48.1%
0.28
0.00
0.00
0.00
18.00
0.10
5.189
48.1%
0.28
0,00
0.00
0,00
19.65
~0.00
4.543
47.9%
1.82
0.00
0.00
0.00
20.20
-1.35
9.353
94.6%
-2.93,
0.00
13.48
0.67%
8.98
0.45%
18.55
-1.80
10.675
98.1%
-4, 97°
4.26
22.85
1.14%
HA16
175
20.20
11.136
96.6%
-4,71
4.43
21.68
1.08%
14.45
0.72%
18.00
-1.80
10.521
97,2%
-5.05
4.16
23.24
1.16%
HA16
173
1383
= “а
0.200
0.400
0.00
Decalage vers le Haut de 5.280 m
497
0 3 ~12316 1
827 20526 0.500
9877 0.300
0.92 180.00
Decalage vers le Haut de 5.040 m
2
0.200
5.000
90.00
Decalage vers le Haut de 5.040 m
1384
Ah [em2/m)
%
Diametre
Espacement
Ont HOW
x (m)
У (т)
smax (MPa).
+ |
smin (MPa)
Ave (em2/m)
Avt (cm2 /m)
%
Diametre
Espacement =
Ah(em2/m) =
% =
Diametre =
Espacement =
x (m)
Y {m}
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Ave (em2/m)
AvE (om2/m)
%
Diametre
Espacement
Ah (em2/m)
%
NN NON AE
smin (MPa)
Ave (em2/m)
Avt (em2/m)
%
Diametre
Espacement
Ah(em2/m)
%
Diametre
Espacement =
UH HON OA MA ONO OA mM ao
X {m)
У {m)
14.45
0.72%
HAl4
213
18.00
-1.80
10.521
97.6%
-5,05
0.00
23.24
1,16%
НАЗ 6
173
15,49
0,77%
HA14
198
6.00
-11.70
12.007
87.4%
-4.32
13.41
49.64
0.99%
HA25
197
33.10
0,66%
HA20
189
6.00
-12.00
12,307
98,2%
-4.54
6.54
20.88
1.04%
HA16
192
13.92
0.70%
HA14
221
0.00
«12.00
e e STE
mma >
14.71
0.74%
HAl4
209
14.97
0.75%
HA14
205
18.00
-1.70
10.125
93.9%
=4.56
0.06
21.42
1.07%
HAL6
187
14,28
0.71%
HAl4
21%
18.00
-1,60
9.729
90,2%
-4,26
0.00
19,60
0.98%
НА1 6
205
13.07
0.65%
HA12
173
6.00
11,78
12.082
89.0%
~4.37
13.54
50.28
1.01%
НА25
195
33.52
0.67%
НА2О
187
6.00
-11.85
12.157
88. 6%
-4.43
13.68
50.92
1,02%
HA25
192
33.95
0.68%
HAZO
185
4.50
-12,00
9.791
73.9%
-2.67
4.70
12.30
0.62%
HA12
183
8,20
0.41%
HALO
191
3.00
-12.00
7.275
93,9%
-0,81
0.00
3.73
0.19%
269
2.48
0.12%
0.00
-10,50
0.00
-9,00
227
"= =
15.23
0,76%
202
18.00
-1.50
9.333
86.6%
-3,86
0.00
17.78
0:89%
НА1 4
173
11.85
0.59%
HA12
190
6.00
-11.93
12.232
89.2%
-4.48
13.81
51.56
1.03%
-HA25
190
34.38
0.69%
182
1.50
-12.00
5,073
65,5%
0.74
0.00
0.00
0.00%
0.00
0.00%
0.00
-7.50
15.49
0.77%
198
18.00
-1.40
8.936
82.9%
-3.47
0,00
15.95
0.80%
HA14
192
10.64
0.53%
212
6.00
-12.00
12.307
89.8%
-4.54
13.95
52.20
1,04%
HA25
188
34.80
0.70%
HA20
180
0.00
-12.00
5.178
€6.8%
-0.01
0.00
0.00
0.00%
0.00
0.00%
0.00
-6.00
6.00
0.0
Decalage vers le Haut de 5.040 m
0.500
0.30
«50.00
Decalage vers le Haut de 5,040 m
0
0
0
Espacement =
smax (MPa)
%
smin (MPa)
Ave (em2/m)
Avt (em2/m)
%
Diametre
Espacement
Ah (cm2 /m)
E
MONO MOE HOR NEO A
Diametre
x tm)
y (m)
smax (MPa)
% -
smin (MPa)
Avc (em2/m)
Avt (em2/m)
% -—
Diametre
Espacement
Ah (cm2/m)
%
Diametre
Espacement =
5.176
66, 8%
-0.01
0.00
0.00
0.00%
HAG
333
0.00
0.00%
`НАб
333
0.00
-6.00
8.136
70,4%
«4,53
0.00
52.09
1.04%
HA25
188
34.73
0.69%
HA20
180
9.131
66.2%
-0.36
0.00
1.65
0.08%
HALO
195
1.10
0.05%
HAB
187
0.08
~6.00
8.052
69.7%
-4.41
0.00
50.75
1.02%
HA25
153
33.84
- 0.68%
HA20
185
6.133
79.2%
=1.75
0.00
8.05
„0.40%
HA14
213
5.36
0,27%
HA12
234
0.15
=6.00
7.968
59.0%
=4.30
0.00
49.41
0.99%
HA25
198
32.94
0.66%
HA20
190
7.134
92.1%
-3.14
0.00
14.44
0.72%
192
9.63
0.48%
HA14
221
0.23
-6,00
7.884
68.3%
-4.18
0.00
48.08
8.136
° 95.2%
0.96%
204
32.05.
0.64%
- HA20
196
5.7.6.3. Enveloppes des contraintes et pourcentages
d'acier maximal
Pour le Vent
Maximum de Niveau
No
Pourc.Acier 1.16% 0
Contr.Beton : 12.31 MPa O
Cont, Relat.Bet. : 99,99% 0
Cisail. (<1.25) 1.12 MPa ©
ATTENTION:
Voile Rect Cas de Ch
No No No
2 9 5
3 1 7
2 1 1
2 1 1
Les Aciers Verticaux tendus doivent etre prolonges
vers le haut de 0.80 fois la Longueur du Voile
x
m
18.000
6.000
18.000
18.000
5.7.6.4. Ferraillage (exemple pour le niveau le plus bas)
TABLEAU DE FERRAILLAGE
A AE ED NY EL Am eo En AR RE Am oan A Wr Gr окно обыч
Le Ferraillage ci-apres tient Compte du Decalage de 0.80 L vers le Haut
y
m
-4. 53
3.44
20,84
1.04%
13.89
0,69%
0.30
«6.00
7.800
67.5%
«4,06
0.00
46.74
0.93%
HA25
210
31.16
0.62%
HA20
201
-1.800
=12.000
1.800
1.600
1385
асе и
Niv de la Cote Voile Rect sur
No a la Cote
0 de 0.00 m
0 de 0.00
0 de 0.00
0
<
<>
<>
>
>
<
<
<
<>
de 0.00
de 0.00
de 0,00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0,00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.1%
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.80
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
a 3.15
de 0.00
а 3.15
de 0,00 m
a 3.215 м
а 3,15
a 3.15
a 3.15
a 3.15
1386
3 33 333 333 3333333333333 3333 33333 3333333 3333333333
No
1
No Longueur
1 0.080 x=
y=
1 0.070 x=
Y=
1 0.080 x=
Y=
1 0,070 x=
. y=
2 1.500 x=
ye
2 1,500 x=
y=
2 1,500 x=
y=
3 1.500 x=
y=
3 1.500 x=
y=
3 1.500 x=
y=
3 1.500 x=
ye
4 0,080 x=
y=
4 0.070 x=
Ys
4 0.080 x=
y=
4 0.070 x=
у=
1 0,100 х=
y=
1 0.100 x=
y=
1 0.100 x=
1 0.100 x=
y=
2 0.550 x=
y=
2 0.550 x=
y=
2 0.550 x=
. y=
2 0.550 x=
Y=
3 0.450 x=
y=
3 0.450 x=
y=
3 0.450 x=
de
6.00
11.70
6.00
11.78
6.00
11.85
6.00
11.93
6.00
12.00
4.50
12.00
3.00
12.00
0.00
12,00
0.00
10.50
0.00
9.00
0.00
7.50
0.00
6.00
0.08
6.00
0.15
6.00
0.23
6.00
18.00
1.40
18.00
1.50
18,00
1.60
18.00
1.70
= 18.00
1.80
18.55
1.80
19.10
1.80
= 19.65
1.80
20.20
1.80
20.20
1.35
: 20.20
933933 5353353999 919353335393397979393933g99399s535333g9g9s3a5g97S9779375Sg9g9gssS
a
x= 6.00
y= 11.78
x= 6.00
y= 11.85
x= 6.00
y= 11.93
x= 6.00
y= 12.00
x= 4.50
y= 12.00
x= 3,00
y= 12,00
x= 1.50
y= 12.00
= 0.00
y= 10.50
x= 0.00
y= 9,00
= 0.00
y= 17,50
x= 0.00
y=- 6,00
x= 0,08
y= 6.00
x= 0.15
y= 6,00
x= 0.23
y= 6.00
x= 0.30
= 6.00
= 18.00
y= 1.50
= 18.00
y= 1.60
= 18,00
= 1.70
x=18,00
= 1.80
= 18.55
y= 1.80
t= 19.10
y= 1,80
x= 13.65
y= 1,80
x= 20.20
y= 1.80
x= 20,20
y= 1.35
x= 20,20
y= 0.90
x= 20,20
5333333333323 33333333833 385335 3333333333333 3353533393239 373¢y
* Avert
L/esp.
НА25
4.40/195
HA25
4.40/192
HA25
4.40/190
HA25
4.40/188
HA16
3.95/192
HA12
3.757183
HAB
3,55/269
HA6
3.45/333
HALO
3.65/195
HAl4
3, 85/213
HAL6
3.95/192
HA25
4.40/188
HA2S
4,40/193
HA25
4..40/198
HA25
4.40/204
НА14
385/7173
HA16
3,95/205
HAL6
3,95/187
HAL 6
3.95/173
HA16
3.95/173
HA16
3.95/175
НА) 6
3,95/179
HAl6
3.957182
HA16
3.95/185
HA12
3.75/167
HAS *
Ahor
L/esp.
HAZ0
0.28/187
° HAZO
0.27/185
HA20
0.28/182
HA20
0,27/180
HA14
1.64/221
HALO
1,60/191
HAS
1,56/228
HAS
1,56/333
HAS
1.58/187
HA12
1.62/234
HAl4
1.647221
HA20
0.287180
HA20
0.27/185
HA20
0.28/190
HA20
Eping./m2
Lt (Ldr)
4HA 6
582 (450)
25HA 8
626 (450)
25HA 8
626 (450)
26HA 8
626 (450)
4HA 6
282 (150)
"4HA 6
282(150)
4HA 6
282(150)
0.27/196 .
HA12
0.22/190
HA1 2
0.22/173
HAL à
0.24/215
HAL4
0.24/198
HAL à
0.69/198
HA14
0.69/202
HAl4
0.69/205
HAl4
0,65/209
HAL à
0.59/213
HALO
0,55/174
HAS
4НА 6
282(150)
4HA 6
282(150)
4HA 6
282 (150)
«НА 6
282 (150)
4НА 6
282 (150)
LA a
era time ны
ÿ
В
Ч
7
5
wi]
e Pio a Apr
т EA
A NE
La,
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3,15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
0.00
3.15
9335333333333 339333333389338383333333383393183333373 33 5332333383833
450
450
‚ 450
‚ 9550
‚ 550:
250
‚550
‚100
‚100
‚100
‚ 100
‚ 080
‚ 070
080
‚070
‚ 590
‚ 500
‚500
‚ 590
‚ 500
‚ 500
‚500
‚080
070
080
0.070
v= 0,90
x= 20.20
y= -0.45
x= 20.20
y= -0.90
x= 20.20
y= =1.35
x= 20.20
-1.80
19.65
-1.80
19.10
-1.80
x= 18.55
y= -1.800
x= 18.00
y= =1.80
x= 18.00
y= -1,70
x= 18.00
y= =1.60
x= 18.00
y= «1.50
x= 6.00
y=-11.70
x= 6.00
y=-11,78
x= 6,00
у=-11,85
х= 6,00
y=-11.93
x= 6,00
Y=-12.00
x= 4,50
y=-12.00
x= 3,00
y==-12.00
x= 0.00
y=-12.00
x= 0.00
Y=-10.50
x= 0.00
ye -9.00
x= 0.00
= -7.50
= 0.00
y= -6.00
x= 0.08
y= =6.00
x= 0.15
y= -6.00
x= 0.23
Y= -6.00
x <
»
<
Bn won»
we
3383333333383 33333333338393339333333833:331333333313533 33333535
y= 0.45
x= 20,20
y= -0.90
= 20,20
y= «1.35
x= 20.20
y= =1.80
x= 19.65
y= -1.80
x= 19.10
y= «1.80
x= 18.55
yn ~1.80
x= 18,00
уе -1,80
х= 18.00
у= -1.70
x= 18,00
y= «1.60
x= 18.00
Y= «1.50
x= 18,00
y= ~1.40
x= 6.00
y=-11.78
ха 6.00
y=-11.85
x= 6,00
у=-11.93
х= 6.00
Yy==12.00
x= 4.50
ys-12,00
x= 3.00
y=-12.00
x= 1.50
y=-12.00
x= 0,00
y2=10,50
x= 0.00
y= -9.00
x= 0.00
= -7,50
x= 0.00
y= -6.00
x= =0,08
y= -6,00
= 0,15
= -6,00
x= 0,23
= -6,00
= 0.30
y= -6.00
333993929999 933 3393353 99353939353993253992 999959370999 29897359733999373-8
3.55/190
HAS
3.55/190
HA12
3.75/167
HALE
3.95/185
HAL6
3.95/182
HA16
:3,95/179
HA16
3.95/175
HA16
3,95/173
HA16
3,95/173
HAL6
3.95/187
HAL6
3,95/205
HA14
3,85/173
НА25
4,40/195
HA25
4,40/192
HA25
4.40/190
HA25
4,40/188
HAL 6
3.95/192
HA12
3,75/183
— HAS
3.55/269
HAG
3.457333
HALO
3,65/195
HA1 4
3.85/213
HAL6
3.95/192
HA25
4:40/188
HA25
4.40/193
HA25
4.40/198
HA25
4,40/204
0.53/285
HAS
0.53/285
HALO
0.55/174
HA14
0.59/213
HAL4
0.69/209
HAL4
0.69/205
HAL4
0.69/202
HA14
0.69/198
HA14
0,24/198
HAL4
0,24/215
HA12
0.22/173
HA12
0.22/190
- . HA20
0.28/187
HA20
0.27/185
HA20
0,28/182
HAZ0
0.27/180
HA14
1.64/221
HA10
1.60/191
HAS
1.56/228
HAS
1.56/333
HAS
1.58/187
HAl2
4HA 6
282 (150)
АНА 6
282{150)
AHA 6
282 (150)
4НА 6
282 (150)
4HA 6
282 (150)
АНА 6
582 (450)
25НА. 8
626 (450)
25HA 8
626 (450)
26HA 8
626 (450)
AHA 6
282 (150)
АНА 6
282 (150)
1.62/234
HA14
1.64/221
HA20
0.28/180
HA20
0,27/185
HA20
0.28/190
HA20
0.27/196
4HA ©
282 (150)
1387
- aa em maa
5.7.6.3. Quantitatif
Quantites:
Beton = 293.33 m3
Coffrage = 2797.20 m2
Epaiss.Moy. = 0,210 m
Acier Vert. = 6639.5 kg
Acier Horiz. = 5366.3 kg
Epingles = 31.4 kg
Acier Total = 12037.2 kg
Densite = 41.04 kg/m3
Pour le Niveau 0:
Voile Beton Aciers Densite
No m3 kg kg/m3
1 8.51 891.0 104.76
2 7.43 819.5 110.24
3 8.51 891.0 104.76
Total: 24.44 2601.5 106.43
Remarque
Le ferraillage ci-dessus est à aménager pour :
- les rectangles de faible longueur où les quatre quarts peuvent être regroupés en deux moitiés,
voire en un seul élément de même ferraillage pour éviter des variations de ferraillage trop
rapprochées et des armatures horizontales trop courtes ;
- les poteaux qui ont été armés en voile et dont il faut-déterminer les armatures horizontales
(cadres et épingles) en fonction des dispositions constructives « poteaux ».
6. VOILES AVEC FILES D'OUVERTURES
6.1. RELATION VENT RÉEL - VENT TRAPÉZOÏDAL
Un certain nombre de méthodes de calcul de contreventement sont démontrées pour des vents
trapézoïdaux. Nous nous proposons dé trouver une schématisation trapézoïdale de vent qui
donne la même résultante et le même moment en pied (Fig. 50) :
1388
Da FT E DA
LY Fe ING J gr CATA
-
[Pr a ln
TAC
E
ra
=.
ЕЙ
к
bi +
pe
uu
я,
Q @®
„т
Qr
H
2
“
7
Ca
Fig. 50 — Vent trapézoidal.
Pour une pression par unité de hauteur g, en pied et q, + q, en tête, la résultante (ou effort
tranchant) et le moment en pied valent :
2 2
У = 4, Н + > et M=g, = + gp = (chapitre 2, cas 26 et 28).
De ces deux équations, on peut tirer q, et g, en fonction de V et M :
Qu = — 2VH-3M) et q= = CM-VH)
H”
Ainsi, st l’on connaît les valeurs des effort tranchant et moment en pied, on peut assimiler le
vent réel à un vent trapézoïdal de pression q, én pied et д, + q, en tête.
En particulier, si la pression du vent est définie par trois valeurs en pied go, à mi-hauteur qy et
en tête 2, l’effort tranchant et le moment valent :
_ 90 + 49; + 92
1?
ve 6
20, +
He Ms ZZ
D'où les parts reprises par :
6
— le vent constant : V,=4V- =
— le vent triangulaire : V, = = - ЗУ.
1389
Remarques
1. On peut caractériser un vent trapézoidal par sa valeur en pied V=V,+V, somme des
résultantes dues à la partie rectangulaire (V,) et à la partie triangulaire (V,).
À la cote x la valeur de l'effort tranchant dû au vent vaut :
V(x) = v. (1-5) 1-5)
2. L'action du séisme, suivant les Règles PS 69, peut être traitée comme un vent triangulaire,
car la force statique équivalente est peu différente d'une distribution triangulaire (nulle en
pied, maximale en tête).
EXEMPLE
Nous prendrons les valeurs de a, calculées dans I'exemple du chapitre 3, $. 4.9, Pour une
hauteur H = 38,4 m (12 niveaux de h = 3,2 m), l'effort tranchant et le moment en pied valent
38,806 kN et 861,24 kNm pour un mètre de largeur de vent (voir tableau ci-dessous).
Les valeurs de la pression sont prise égales à la demi-somme des valeurs en haut et en bas,
centrée à mi-hauteur d'étage. Ainsi, au niveau 12 :
ha, = PSS 32 5 38S3KN el zhq,= LEHI, 3,853 = 141,81 kNm.
* Vent réel
| z dv hay у zha, M
m kN/m kN kN kNm КМ
12 38,4 1,231 3,853 3,85 | 141,81 141,81
11 35,2 1,177 3,699 7.55 124,29 266,10
10 32,0 1,135 3,571 11,12 108,54 374,64
9 28,8 1,097 3,443. 14,57 93,68 468,32
8 25,6 1,055 3,315 17,88 79,56 547,88
7 22,4 1,017 3,211 21,09 86,77 614,66
6° 19,2 0,990 3,118 24,21 54,90 669,56
5 16,0 0.959 3,014 27,23 43,41. 712,97
4 12,8 0,925 2,904 30,13 32,51 745,47
3 9,6 0,890 2,781 32,91 22,26 767,74
2 6,4 0,848 2,642 35,55 12,68 780,42
1 3,2 0,803 2,486 38,04 3,96 784,38
0 0,0 0,751
1390
AE ia a lg
A ENE Te
"LE
e
UN
3 14
LUZ
a
EL
Я
a
=
7
On calcule les valeurs de q, et 4, du vent trapézoidal équivalent :
а, = 5 СУН-ЗМ) =
H |
—_ (2x 38,04 x 38,4 — 3 x 784,38) = 0,7708 kN/m
38,4 |
gp = > (2M-VH)= — (2x 784,38 - 38,04 x 38,4) = 0,4396 kN/m
H 38 |
* Vent trapézoidal
El ZA | 8 he a om ¿Nm >
12 | 1,000 | 1210 | 3,82 3,82 | 141,42 | 140,42 | -1,39 | -098%
11 | 0,917 | 1,174 | 3,70 7,51 | 124,24 | 264,66 | -1,44 | -054%
10 | 0,833 | 1,137 | 3,58 11,09 | 108,81 | 373,47 | -1,17 | -0,31%
9 | 0,750 | 1,100 | 3,46 1456 | 94,22 | 467,70 | -0,62 | —0,13 %
8 | 0,667 | 1,064 | 3,35 | 17,90 | 80,30 | 548,00 | 0,11 0,02 %
7 | 0,583 | 1,027 | 323 | 21,13 | 67,13 | 615,13 | 0,47 0,08 %
6 | 0,500 | 0,991 3,11 24,24 | 54,78 | 669,91 | 0,35 0,05 %
5 | 0,417 | 0954 | 2,99 | 27,24 | 4311 | 713,02 | 0,05 0,01%
4 | 0,333 | 0,917 | 2,88 | 30,11 | 32,20 | 74522 | . -0,26 | .-0,03%
3 | 0250 | 0,890 | 2,76 | 3287 | 22,09 | 767,31 | -0,43 | -0,06%
2 | 0,167 | 0,844 | 2,64 | 35,51.| 12,68 | 779,99 | -0,42 | -0,05 %
1 | 0,083 | 0,807 | 252 | 3804 | 402 | 784,02 | —0,36 | -0,05%
0 | 0,000 | 0,771
On remarque que la différénce est tout A fait négligeable, surtout pour les étages inférieurs
les plus sollicités. On pourra très bien utilisér un vent trapézoidal en remplacement du vent
réel,
6.2. VOILES À UNE FILE D'OUVERTURES DE MÊMES
CARACTÉRISTIQUES
Pour des bâtiments de grande hauteur, de plus de 10 niveaux, on peut remplacer les actions
concentrées de chaque linteau sur les deux refends par des actions réparties que l'on pourra
intégrer sur toute la hauteur du voile.
La méthode [1] suppose les hypothèses suivantes :
| - les efforts dus au vent ont une répartition trapézoïdale sur la hauteur ;
2 - les efforts localisés des linteaux sur les refends sont supposés répartis ; cela suppose que
les refends ont une largeur suffisante par rapport à la hauteur d'étage ;
3 - on néglige les déformations des linteaux sous effort normal ;
1391
4 - les deux refends sont supposés encastrés dans leur base :
> « les caractéristiques géométriques et Mécaniques des linteaux et refends sont identiques
sur toute la hauteur.
Mi vy Mz
J
=
N
Fig. 51 — Voile a une file d'ouverture et deux refends.
6.2.1. Notations (Fig. 51)
H = hauteur totale du voile
h = hauteur-d'étage :
c = distance entre les centres de gravité des deux refends
L = largeur de l'ouverture
Gy et Gz : centres de gravité des deux refends
Sy et S; = aires des deux refends
m = moment statique de la partie située d'un côté du centre de gravité du voile par rapport à
ce centre, m=
С
À + ]
I) et I> = moments d'inertie des deux refends
1, = moment d'inertie du voile entier : I, = 1, + L + mc
Set! = aire et inertie du liriteau
Ny et Nj = efforts normaux verticaux dans les deux refends en leur centre de gravité
My ct M3 = moments fléchissants dans les deux refends
Vi et V2 = efforts tranchants horizontaux dans les deux refends
V et N = effort tranchant vertical et effort normal horizontal dans chaque linteau
V, = effort tranchant total dû au vent à la cote x '
1392
QE
LE
NE tel: UN PEC A
AB NS
ne
fe
Al
=
И,
a q
oF] a
В
a.
ETA
y = f= déformée horizontale des refends
У’ = w = rotation des refends par rapport à la verticale |
Бе! Е’ = modules d' Young des deux refends (le module E” peut être réduit à la moitié ou au
tiers de sa valeur pour tenir compte de l'état de fissuration du linteau fléchi et fissuré qui est
plus déformable).
6.2.2. Calcul de l’effort tranchant dans les linteaux
Nous avons vu au chapitre 10, 8. 14.3.2 la relation suivante entre aires, moment statique et
inerties :
1 + l + c* _ cl,
Les éléments de réduction des sollicitations dans les deux refends sont :
Ni, Mj et V, pour le refend 1 |
No, My et Yo pour le refend 2
En l'absence d'effort normal extérieur, on a la relation d'équilibre : № = - №,
Sous l’action des efforts normaux verticaux N, et Na entraînant des contraintes de
compression différentes et de l'action du vent, les refends se déforment verticalement et
horizontalement. Comme on a supposé aucun raccourcissement ni allongement des linteaux
(hypothèse 3), les linteaux ont même déformée horizontale f= y et donc même rotation en
extrémités © = y° (Fig. 52).
Fig. 52 - Déformée des linteaux.
Pour un linteau de longueur L, de moment d'inertie I et de module d' Young E', le point de
moment nul est situé au milieu, puisque l'angle de rotation est le même à ses deux
extrémités. La Fêche 8, est celle d'une console de portée L/2 soumise à une charge
1393
concentrée V en son extrémité (voir chapitre 2, cas 24) :
5 - YY VL}
“321 24E1
La longueur 6 est égale (Fig. 52) à :
VL} Г
6 = 0 (a, +L+a,)-2 à, = cY-Tei- cy-VK en posant К = Ten
Cette longueur Ô représente la différence de déformée entre les deux refends sous l'action
des efforts normaux М, е! № ; ; |
5 « N,dx j Ms kv
ES) ESTOY
On en tite
1 ç
cy'= KV *E (= +5) [ac puisque №, = = № (74)
En dérivant deux fois, on obtient :
Nari 1N
” = Vv’ = | а 75
с) К "Е ств) | (75)
” | dN, | 1
1. у A LL 4 76
с} К +5 5 * 5) (76)
Or, pour un élément de refend de hauteur dx, compris entre deux plans horizontaux (Fig. 53),
l'équilibre des sollicitations agissant sur cet élément se traduit par les équations suivantes :
Refend 1 Refand 2
Moments J
dM, = = V, dx +72 3 dM, = — V2 dx + 22 (a, +)
(77) (78)
Efforts Vdx Vdx
verticaux dN, = h dN, = — +
(79) (80)
Efforts Ndx Ndx
horizontaux dv, = TT dV, = — +
(81) Ш (82)
1394
Ахе саб Centre -
refend Невы
№
Mi
Vi ‘|
x
dv | |
'
“= | A
! 4
V1+dV1
| |
= ие
\ A M1 +dM1
|, bi at | Le
4 A
ho +dN1
Fig. 53 — Élément du refend 1 de hauteur dx.
`
La variation d'effort normal par unité de hauteur de refend est due à l'effort tranchant du
| dN, Y
linteau à répartir sur la hauteur de l'étage : 7%
d'où :
y (DY
E55) (83)
La relation moment-courbure des refends (chapitre 1, 8. 2, éq. 9) s'écrit: M = E ! y” eten
dérivant pour chaque refend :
ам, dM,
—— = El, y” et
dx dx
Les équations (77) et (78) s’écrivent alors :
— El, y”
My, Vie +L) a
A El ya = |+ (84)
dM, го У(а» + 1/2)
de = EL) =-Nt— (85)
Soit Y, l'effort tranchant de I'ensemble (effort cumulé de vent depuis le sommet jusqu'a la
cote x du niveau étudió), ona: Y; + У; = У,
En additionnant les deux équations (84) et (85), on obtient :
1395
E y°"(1, +13) = = -V, | — (86)
En éliminant y” entre cette derniére équation et I’équation (83), oii trouve :
Kv” yv (2+ +2) = су - АУ,
“¢ EBhe $, S2/ ВА (1, +1,)
et en ordonnant en V, on trouve une équation différentielle du deuxième ordre :
Lal: Jy о (87)
EAK|S, S, L+1L) EK(I,+L)
| 2
Pour un vent trapézoidal V,= У, (1 - ЭР [ 5 oll V, représente la valeur
h'
cumulée de vent en pied de voile correspondant à la partie rectangulaire du vent trapézoïdal
et V, la valeur correspondant à la partie triangulaire. Pour x=0, l'effort tranchant total vaut
Van = — Va + Vp.
Posons :
_ -c
о? = J + + e coefficient * de V dans l'équation (87)
> EnK (8) 8, L+h 8
| ] I с? cl, 2 cl,
еб сотте — + — + =
O ————
S, S, 1,+L m1 +1) EhKm(i, + L,)
L'équation différentielle (87) devient :
2
у"-@? У = ov, (1- Jeon 1-5) (88)
H x
dont la solution générale est :
V = A ch{wx) + Aj sh(wx) + P(x) . (89)
P(x) étant un polynôme à déterminer.
Dérivons l'équation (89) deux fois :
V" = A, 0? ch(ox) + Ay w? sh(ax) + P”(x)
que nous reportons dans (88) :
2
М” - @* М = Р”(х) - о? P(x) = см, ( -A)-0u [1-5]
H nt)
Le polynôme P(x) est du deuxième degré, soit de la forme P(x)=Bx?+yx+65
d'où, en dérivant deux fois, on obtient : P”(x) - Pu)=2f- o Br? -a?2yx-0?8 que
nous égalisons terme a-terme avec le deuxième membre de (88)
* Cet o n'est pas l'angle © utilisé à la figure 52.
1396
ye Ш
x? :-B 0x = GV x — B= Vs (50)
E 07H? |
2 X GV,
x:-Y0 X=-GV, — + Yy= — | (91)
H w'H | |
2
constante: 2B-0285=GV,+GV, => 8= lr Ou + Vi) (92)
ow H o? «
La solution de l'équation différentielle (89) s'écrit :
V= A; ch(ox) + Ag sh(ox) +B x2+yx+5 (93)
Les constantes A; et A, sont déterminées par les conditions aux limites.
0
* En pied: x=0 ; y =0 (pas de rotation) ; [Мах = 0 — V=0 d'après (74),
0
soit V=A;+5=0 et A; =-J, (94)
* En tête :x=H et y” = 0 (moment et effort norma! nuls), donc У’ = 0 d'après (75). La déri-
vée de V est égale à: V°= A, © sh(aix) + A2 © ch(aix) + 2 B x + y
soil pour x=H: V= Aj Y sh(0H) + А, © ch(0H) +2 BH+y=0
d'où :
_ 5 ShOH) 2BH+y _ sh(oH) G(V,+2V,)
(7 eh(oH) @ch(@H) choH) 0'Heh(oH)
(95)
6.2.3. Calcul des moments M, et M; dans les refends
Pour obtenir le moment, calculons l'intégrale 1(x) de l'effort trañchant depuis le sommet du
voile (où le moment est nul) jusqu'à la cote x :
1x) = [Vds = [(A, ch(ws) + A2 sh(wx) + Ba" + yx + S)de
H H
А, А, Br x“ 1" (96)
x) = = sh{wx) + pe ch(wx) + 5 + y 7 + 8),
А А
(x) = —[sh(wx) ~ sh(wH)] + —[ch(wx) — ch(@®H)] + Sor)
+ ЗН?) + 8(x ~H)
1397
L'intégration de l'équation (86) entre les bornes H et x (puisque le moment en tête est nul)
a x
x
donne: Ey”(, +1,)= ; [Vdx- fv, ax.
H H
La relation moment-courbure s'écrit :
|
x A `
ne AC _ , , ;
M, = El, y LIA [Vx fv, ax d'après l'équation précédente.
H
Or V, est l'effort tranchant total dû au vent trapézoïdal, Il s'écrit, comme on l'a vu >
2
У, = У, (' - 3 + V, | ~ 5 dont l'intégrale vaut entre les cotes H (où le moment dû
H | |
au vent est nul) et x;
X
' - x? - H? x-H
(x) = [Vi dr= (V,+V,) E-H)-VI V4 O7)
; 3H
et M, = —L Lumen] (98)
PTL +L La !
de même: M, = —- [E ur) - (x) о М, = м, (99)
25 + Ё p Hi 25
6.2.4. Calcul des efforts normaux N; et N; dans les refends
Par intégration de l'équations (80) entre les bornes H et x (puisque N est nul pour x = H), on
trouve ;
V | |
№ = = fz dx = <= [Var= - 2 0)
H H
№ = - №
6.2.5. Efforts tranchants V; et V, dans les refends
Dérivons l'équation donnant M; ;
dM, I, Е du(x) Fo I, Ё |
r—— | == - pu =. !
= ‘ -V-V
dx 1+, Lh dx dx 1, + I, LA
1398
valeur que l'on reporte dans l'équation (77)
I cv V L
[Ai] -Vi+ (a +7)
dontontire М) = у [- 5 +27, Vil 100
е = У |- -
ontire 0 Cima h | I+, (100)
С I, as + L/2 У, 1,
V,= V|--- =V -
et V, | FA | rr = Vim (101)
6.2.6. Efforts normaux N dans les linteaux
De l'équation (81) = Non ti
e l'équation (81) =o on tire :
TPM: I, HA) dv, I,
dx dx { hl, +1, h dx 1, +1,
c 1 a+L?
N = A[wA, sh(wx) + DA, ch(ox) + 28x + M7 Tu т |
1 +22
| 102
Y, 2Y A I, (102)
(a+ CE) ma
6.2.7. Fléche
La fléche se calcule par intégrations successives de I’équation (86) : |
i" Ve
Ву (1, +1,) = У, (86)
en remplaçant la valeur de V trouvée dans l'équation (88): —
у”- а! У = СУ, (88)
у”- СУ,
d'où l'on tire V = — at
ne
1 С ” cV” cG
By +1) = 5 (V”-GV)-Vi= SV (1 +)
qui.est une équation différentielle du troisième ordre. Si l'on remplace G et @? par leurs
1399
cG [+ I
valeurs vues plus haut, on trouve : ( + = | = —
wh I
Nous calculerons successivement :
— le moment dû au vent par intégration entre les bornes H et x (puisque le moment dû au
vent est nul en tête)
* | ZH Soy
W(x) = [V,de= (V,+V,) (4-H) - Y -Y, —— (9
| 2H 3H”
H
2 3
H x 2H
M(x) = У, (x- A) Va 5-5 (103)
- la rotation due au vent entre les bornes 0 et x (puisque la rotation est nulle en pied) :
* 2 3 2 4
x x Hx X X 2Hx |
х) = = У, |= - = - == = = === = т
~ la fleche due au vent entre les bornes 0 et x (puisque la flèche est nulle en pied) :
3 4 2 3 5
X X Hx x X Hx
Hi(4) = [ru Va Ea) 5 == (105)
Intégrons deux fois l'équation différentielle (86) :
Lo
E y (1, +1)=
cV
+ Ky(x)
wh
I,
Puis une troisième fois entre les bornes x= 0 (flèche nulle) et x
iy (1, +1 J= —= У уд - ut) =
. oh 0
c{u(x) -u(0)} Has)
E(1,+1,) oh El,
с +1
= — (10x) = 1(0)] - pate) —
Oh |
Enfin: y= (106)
6.2.8 - Nature des ouvertures et inertie équivalente
En fonction de Ja valeur du coefficient * a = © H, on distingue [!] :
— (es ouvertures de petite dimension pour & > 10 pour lesquelies on peut considérer que les
deux refends se comportent de façon indépendante et que l'inertie équivalente est égale à
la somme des inerties : lg = [} + La.
* Cu coefficient « n'est pas un angle.
1400
a
15
ны
р
a
ue
и.
fag
“ur
= к!
НТ
A
Ji
a
we
+
— les ouvertures de grande dimension pour à < | pour lesquelles on peut considérer que les
deux refends se comportent de façon monolithe et que l'inertie équivalente est égale à :
2
Cc
leg =1=h+h+5—
== —
Si Sa
— les ouvertures de moyenne dimension pour ! < à < 10 pour lesquelles le comportement est
intermédiaire entre les deux cas précédents et où il faut déterminer l'inertie équivalente
comme indiqué en 4 ci-dessus,
| ,
Pour un vent trapézoidal à la cote x, Y, = У, ( - EV, ( - 3 où V, et V,
représentent respectivement les efforts tranchants à [a base dus aux parties rectangulaire et
trapézoïdale, la flèche d'une console encastrée à la base, aux cotes x = 0,8 H, 09 Het H
“valent (voir chapitre 2, cas 22 et 28) :
Partie du vent: X= 0,8 H 09H H
rectangulaire | ну
а 0,0917 0,1083 0,1250
3m
{ =
triangulaire a
H Vy x
f= — X 0,1335 0,1583 0,1833
El gg
6.2.9. Exemple
Soit le voile de 10 étages de 2,86 m (Fig. 54), composé de deux refends dont les
caractéristiques géométriques Sy, S;, I; et I sont calculées comme indiqué en 2.4 ci-dessus.
Le linteau a 0,76 m de hauteur et 0,20 m d'épaisseur. Son moment d'inertie vaut :
| 3
| = 257 = 0,00732 m*
Le vent est supposé trapézoidal avec une pression de calcul de 25,94 kN/m en pied et
36,89 kN/m en tête.
Les efforts de vent en pied valent :
— pour la partie rectangulaire : М, = 28,6 x 25,94 = 742 kN ;
pour la partie triangulaire : М, = ( 36,89 - 25,94 ) x 28,6 / 2 = = 156,5 kN.
1401
„Анне и
02890
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0001
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его | 1'zb- | s020%0 | 12920 | 8195'0 | 19511-16220 | 2127'0 | Z80L‘O | 289'6- | 505'6-| 4511 | 2850 |96/'01 987 | |
160 |1'1S1-] 82v0%0 | 2210 | 9spt'o | vaL0'1—|or£0'o-|0oLt'o-| Zest‘o | sss‘£— | 616'2- | 6291 | ве: [#690 | 279 | &
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997 |e'00s-| 9s20%0 | 0s02'0 | 9962'0 196/9'0-16/22'0-|996/'0-| 6021°0 | 2b1'— | Zes'1- | se9 | 975 |Z050| PTI | +
ese |p'zL2- | 9070°0 | 25210 | rezo |PLIS'O—| Z2b2'0- | evaL'O—| esSIO | 666'2- | E9P'IL- | 100'8 | 8E6°L joLYO|OEDI | S
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69% | 4661- { 6910'0 | 21890°0 | sEZO'O |SEPL'O-— | EESIO- | 2569'0— | 20800 | SEb‘O- | oPi'O— | 2Z6‘Lt | 096‘Lb | SSIO' | 8972 | 8
929 | SE9I- | 96100 | EESO'O | vZ20'0 |0s90'0—| 9060‘0-|8262‘0-| Loz0'0 | 80L‘0- | 98t‘0- | tio'EZ | 200'84 | 9/0'0 | 5/92 | 6
529 | 9881- | 6520'0 | SLEOO |SLEO'O— | 0000°0 | 00000 | 0000‘°0 | ZZ90°0 | 000%0 | 000%0 | 20'ZZ1 | 20'721 | 000%0 | 09'87 | OL
(ze) | (1£) | (82) | Ga | (ea) | (se) | (re) | (ez) | 02) | (ed) | (12) | NESAN
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36,89 kN/m
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KK
A
20
+ Of -
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N
P
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022 |
©
<
a
«+
=
-
3,08
9,78
3,96
25,94 kN/m
Fig. 54 - Exemple de voile à une file d'ouverture sous vent trapézoïdal,
Nu со m . . Wr © o m ©
= со — oo o © © O (n чэ © Wn o +
Soodo=n89500 © Poo Jago 2 N о п О 3950798565
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1m una m N 1 они бой с. пи бони =
т со 3 0 Е — = “о = x 3 3 © е© са. > © < < © ©
1403
1402
Flèche équivalente
Pour un voile d'ouvertures de taille moyenne (a compris entre | et 10), on peut calculer l'inertie
équivalente en égalisant les flèches à Та cote 0,9 H. On a trouvé 0,9) = 6,24 mm
D'où l'inertie équivalente par (voir en 6.2.8 ci-dessus) :
3
£09) = = (0,1083 V, + 0,1583 V,) = 0,00624
eq
‘avec :
V, = 0,742 MN
V, = 0,1565 MN
E = 30 000 MPa
Н = 28,6 т
On obtient 14, = 13,138 m* au lieu de 33,023 m? si les linteaux étaient tres rigides.
6.3. VOILES A N FILES D'OUVERTURES .
PROGRAMME « LINTEAUX » *
Le calcul des voiles a n files d'ouvertures (n > 1) est développé dans l'article de V. Guillot (3).
La méthode est trop longue pour être décrite ici. Une application en est faite dans le programme
« LINTEAUX » ci-dessous.
Le programme « LINTEAUX » est une application de la méthode Despeyroux-Guiliot, parue
dans les Annales ITBTP de février 1972 pour le calcul de voiles de contreventement comportant
plusieurs files d'ouvertures .
l| permet de calculer :
- le degré de monolithisme des voiles - coefficients a ;
- la flèche au sommet dues aux charges verticales et au vent :
- la flèche aux 8/10 de la hauteur ; ‘
- l'inertie équivalente à prendre en compte pour le calcul du contreventent d'un bâtiment
(programme « CONTREY » ;
- les sollicitations et contraintes :
— les aciers nécessaires.
* Disponible aux Presses des Ponts et Chaussées.
1404
6.3.1. Mode d’emploi
Li La La La Ls “Ls
be de k Se ; Y le |
A Pi — % A я
Vent — Es
— bi 62 rr mg *be
. + .
excentricité
Fig. 55 — Voile à n files d'ouvertures.
Ligne I Titre
Ligne2 b,L,(Chg» Char ©2227)
b = largeur du rectangle composant du voile (m) prise dans le sens perpendiculaire
au votle (mettre la valeur zéro pour une ouverture)
= longueur du rectangle (m) parallèlement au vent (ou longueur de l'ouverture)
с = charge permanente (kN) appliquée sur ce rectangle et par étage |
Chy = charge d'exploitation ou neige (KN) appliquée sur ce rectangle et par étage
e, = excentricité (m) de la charge permanente par rapport au centre de gravité du
rectangle (pour le signe, voir figure ci-dessus)
e, = excentricité (m) de la charge d’exploitation par rapport au centre de gravité du
rectangle
Prévoir une ligne par rectangle et par ouverture,
Les charges et excentricités ne sont pas a écrire pour les linteaux.
Ecrire O pour passer à la ligne 3
Ligne 3 e,h
e, = épaisseur du linteau (m)
h, = hauteur du linteau (т)
Prévoir une ligne par linteau, puis passer à la ligne 4.
Ligne 4 Na, hu » Pvo » Pv1 » Pv2 à Fer Jer » Je , Cóté
Ne, = nombre d'étages (< 100)
hg = hauteur d'étages (т)
Peo = pression du vent (kN/m) en pied du voile
pv = pression du vent (kN) 2 mi-hauteur (si p,; = 0, le programme supposera le vent
trapézoidal). Le vent est supposé être parabolique.
Py2 = pression du vent (kKN) en tête
fer = résistance caractéristique du béton des rectangles (MPa)
Jeu = résistance caractéristique du béton des linteaux (MPa)
fe = limite élastique de l'acier (MPa)
Côté = | pour un plancher d'un seul côté-du voile,
= 2 pour un plancher de chaque côté du voile.
1405
Conditions d'emploi г
— les éléments de voile sont supposés encastrés dans leurs fondations ;
— les caractéristiques géométriques des linteaux et des éléments de voile sont constantes sur
toute la hauteur du bâtiment ; elles varient d’une file de linteaux à l'autre et d’un élément à
l’autre ; :
~ le poids propre des éléments de voile est pris en compte automatiquement dans les calculs.
6.3.2. Exemple . Données
Voile composé de 3 refends et 2 linteaux par niveau (Fig. 56), le vent est supposé parabolique
avec 1,82 kN/m en bas, 2,56 kN/m en haut et 2,27 kN/m a mi-hauteur,
Le voile est situé à l'intérieur du bâtiment et possède un plancher des deux côtés.
0,2 2,00 1,00 2,50 1,40 1,50
Kk E o +
G=130 | G=80 G=52
Vent y Q=37 в Q=22 Q=17
= 1%0,2 X02
N, G=40 0,20
0,65 0,30
Fig. 56 — Voile avec deux files d'ouvertures.
6.3.3. Données en DATA
6470 DATA Voile axe D Titre
6480 DATA 2,0.2,40,10,0,0
6490 DATA 0.2,2,130,37,0.3,0.3
6500 DATA 0,1
6510 DATA 0.2,2.5,80,22,0.2,0.2
6520 DATA 0,14
6530 DATA 0.2,1.5,52,17,0,0
6540 DATA 0,0
6550 DATA 0.2,0.5
6560 DATA 0.2,0.4
6570 DATA 20,2.75,1.82,3.15,3.85,
25,25,500,2
2 m x 0,2 m, G = 40, Q = 10 kN centrés
0,2 тх 2 т, С = 130, © = 37 КМ, ехс. = 0,30 т
linteau de 1 m de longueur
0,2 m x 2,5 т, С = 80, Q = 22 kN, exc. = 0,20 m
linteau de 1,4 m de longueur
0,2 т х 1,5 т, С = 140, О = 17 kN centrés
fin de description des refends
linteau 1 : 0,2 m x 0,5 т
linteau 2 : 0,2 m x 0,4 m
20 étages de 2,75 m
1406
Le 20/11/1994
Repetition des
Aire =
Rect. 1 0.
Aire
de mg e de
Rect. 1 0.
Aire
Inertie
Linteaux b
E" ds o m
1 0,200
2 0.200
Poids Propre Voile 1
Poids Propre Voile 2
Poids Propre Voile 3
6.3.4. Résultats
Donnees
b L G
m m kN
.000 0.200 40.00
.200 2.000 130.00
0.650 m v'
0.8000 m2 G
0.3767 md eg
НН
200 2.500 890,00
1.250 m v
0.5000 m2 G
0.2604 m4 eg
200 1.500 52,00
o
‚750 m yv
.3000 m2 G
.0563 má eg
o
<
h L
m m
0.500 1.000 ©.
0.400 1.400 D
Pression du Vent en Tete du Voile
Pression du Vent a Mi-hauteur
Pression du vent en Pied du Voile
Q eg
kN m
10.00: 0.000
37.00 0,300
1.550 m L
170.00 kN Q
0.521 m ed
Q eg
kN m
22.00 0,200
1.250 m L
80.00 kN Q
0.200 m eq
Q eg
kN m
17.00 0.000
0.750m L
52.00 kN ©
0.000 m eq
5 I
me má
1000 0.00208
.0800 0.00107
53.955 kN/etage
33.722 kN/etage
20.233 kN/etage
3,85 kN/m
3,15 kN/m
1.82 kN/m
Bfforts Cumules en Pied dus au vent :
111.65 kN pour le Vent Rectangulaire seul
55.82 kN pour le Vent Triangulaire seul
167.47 kN pour le Vent Total
Somme des Inerties Individuelles
— Inertie Totale (si Linteaux infiniment rigides)
eq
m ,
.000
„300
2.200 m
47.00 kN
0.552 m
eq
m
.200
2.500 m
22.00 kN
0.200 m
1.500 m
17,00 kN
0.000 m
13.1631 m4
0.6933 m4
1407
. . oe - + ‘ "das
Te. a = —] ha "e q ud Pl e Lil волен a = | Te = salas
Nombre d'Etages = 120
Hauteur d'Etage = 2.750 m
Modules d'Young = 32164 MPa pour les Refends et 32164 MPa pour les Linteaux
Plancher des Deux Cotes du Voile
Alpha = 26.941 7,015
moet ah A Mn En En A Be nh AE sy a a о = =
Coeff.des Combi.de Cas de Charges
| 16 2 33.4 66.8 0.74 1.75 3.79 8,7 871.1 72.1 1.71 1.78
| 0.13 0.00 -0,03
16 3 23.7 33.8 0.47 1.55 2.40 1.9 578,3 37,6 1.93 1.93
0.06 0.00 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxl = 76.3686 kN
15 1 8.0 1727.9 17.7 2.15 2.19
0.04 -0,06 =0.07
Cas Perm. Exploit. Vent 15 2 37,5 75.0 0.83 1.97 4.26 5.51081.0 71.4 2.14 2.19
a EEE EEE ES 0.14 -0.00 -0.01
1 1.35 1.00 1.80 15 3 26,6 38,1 0.53 1.75 2.70 1.2 729.0 37.4 2.42 2.44
2 1.35 1.00 -1,80 0.07 0.00 0.00
3 1.35 1.50 1.20 Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 94.2047 kN
4 1.35 1.50 -1.20 14 1 14.0 2090.2 21.3 2.61 12.63
5 1.00 0.00 1.80 0.05 «0.10 -0,0B
6 1.00 0.00 -1.80 14 2 41.5 83.0 0.92 2.18 4.71 9.7 1299.5 70.8 2.56 2,64
7 1.00- 0.00 0.00 0.14 -0.00 6.00
8 0.00 1.00 0.00 14 3 29.6 42.4 0.59 1.96 3.01 2.1 882,5 136.8 2.92 2,97
9 0.00 0.00 1.00 0.08 0.00 0,00
il mh Em am Ae A del el de ds EE O ds ol PE OER me gm AL Eh we mm den Ee шв та dem ey pe vw re mw Em
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 111.5283 kN
13 1 25.1 2457.6 24.8 3.07 3.07
‚No No Efforts Lintx Contr. Sectim Acier = Efforts dans Refends Contr. Compres. 0.07 -0.14 -0,09
Et.Ref. Moment Tranc, -Cisail. Long. Trans. Moment Nomel Trancht Gauc. Droite
kNm kN MPa cm2 cm/m kNm kN KN MPa MPa
E 13 2 45.3 90.6 1.01 2.39 5.14 17.3 1525.9 70.3 2,99 3.12
X= 0.14 -0.00
0.00
MPa ~~ MPa MPa 3 13 3 32.6 46.6 0.65 2,16 3,31 3.7 1038.9 35.2 3.42 13.51
20 1 0.0 0.0 -4.6 0.00 0.00 Ra 0.08 0.00 0.00
0.00 0.00 0.00 > Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 128.3696 kN
20 2 19,7 39.4 0.44 1,02 2.24 0.0 0.0 88.93 0.00 0.00 Be 12 1 37.6 2830.0 28.1 3.55 13,51
0.14 0.00 0.00 un 0.08 -0.20 =0.10
20 3 15.4 22.0 0.31 1.00 1.56 0.0 0:0 29.7 0.00 0.00 12 2 49.0 97.9 1.09 2.59 5.56 26,01754.4 69.9 3.42 13.61
0.03 0.00 0.00 0.14 -0.00 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 0.0000 kN . 12 3 35.6 50.8 0.71 2.36 3.61 5.6 1198.2 33.6 3,93 4.05
19 1 13.9 334.8 0.9 0.43 0.46 0.09 .D.OO 0.00
0.00 0.00 -0,03 Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 144.6984 kN
19 2 21.3 42.6 0.47 1.10 2,42 9.6 222.9 77.2 0.44 0.48 x 11 1 51.6 3207.2 31.4 4.03 13,95
| 0.13 0.00 -0.04 = 0.09 -0,25 -0.12
19 3 16.3 23.3 0.32 1.06 1.65 2.1 141.7 32,9 0.49 0.46 ES 11 2 52.6 105.1 1,17 2.79 5.97 35.7 1985.1 69.5 13.84 4.10
| 0.04 0.00 0.00 = 0.14 -0.00 © 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 19.8458 kN x 11 3 38.4 54.8 0.76 2.56 1,83 7.7 1360.1 31.7 4.45 4, 63
18 1 | 17.1 674.4 © 5.6 0.84 0.90 3 0.10 0.00 0.00
0.01 0.00 -0.04 à Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 160.5247 kN
18 2 24.6 49.2 0.55 1,28 2.80 11.8 442.5 74.3 0.86 0.93 HE 10 1 67.0 358%.1 34.6 4.53 4.39
0.13 0.00 -0.05 Me 0.11 -0.32. -0.14
18 3 18.3 126.2 0.36 1.19 1.86 2.6 284.9 135.6 0.96 0,94 El 10 2 56.1 112.2 1,25 2.98 6.37 46.3 2217.9 69.2 4.27 4.61
| 0.05 0.00 0.00 xr 0.14 -0.00 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 39.1892 kN E 10 3 41.0 58.5 0,81 2.74 4.15 10.01530.8 29.7 4,98 5.24
17 1 | 16.1 1019.8 9.9 1.25 1,33 Eo 0.11 0.00 0.00
0.02 -0.01 -0,05 a Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 175,8487 kN
17 2 29.1 58.1 0.65 1.52 3.30 11.1 658.5 73.0 1.28 1.36 AL 9 1. 83.9 3975.7 37.7 5.02 4.84
| 0.13 0.00 -0.04 + 0.12 -0.39 -0.16
17 3 20.9 129,8 0.41 1.36 2.12 2.4 430.3 37.1 1.44 1,43 а 9 2 59.6 119.2 1.32 3.18 6.77 58.0 2453.1 68.8 4.70 5.12
0.05 0.00 0.00 x 0.14 0,00 0,00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 58.0301 kN À 9 3 43.3 61.9 0.86 2.91 4.39 12.51705,6 27.5 5.52 5.85
16 1. 12.5 1371.0 13.9 1.69 1.76 0.11 0.00 0.00
0.03 -0.03 -0.06 Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 190.6703 kN
1408 1409
de —— —_— Ta may ape mm SA ee
8 1
8 2 63.1 126.2 1.40 3.37
8 3 45.4 64.8 0.90 3.05
Effort Horizontal Cumule Pondere
7 1
7 2 66.7 133.4 1.48 3.58
7 3 47.0 67.1 0.93 3.16
Effort Horizontal Cumule Pondere
6 1
6 2 70.4 140.8 1,56 3.79
6 3 48.0 68.5 0.35 3.24
Effort Horizontal Cumule Pondere
5 1 |
5 2 74.3 148,6 1.65 4.01
9 3 48,1 68,8 0.96 3.25
Effort Horizontal Cumule Pondere
4 1
4 2 78.4 156,8 1.74 4.24
4 3 47.2 €7.4 0.94 3.18
Effort Horizontal Cumule Pondere
3 1 `
3 2 82.1
3 3 44.5
Effort Horizontal Cumule Pondere
2 1
2 2 82.8 165.6 1.84 4,50
2 3 38.8 55,5 0.77 2.59
Etfort Horizontal Cumule Pondere
1 1
1 2 69.7 139.4 1.55 3.75
1 3 27.2 38.9 0.54 1.79
1410
102.2 4366.8
7.17 70.7 2690.9
4.60 15,3 1883.5
Maxi = 204.9894 kN
122.2 4762.6
64,5 2931.7
18.2 2064.1
218.8060 kN
143,9 5163.0
Maxi =
99,5 3176.2
21.5 2246.5
232.1203 kN
167.7 5568.3
Maxi =
116.0 3425.3
25.0 2429,7
244.5322 kN
194.8 5979.3
Maxi =
134.7 3680.2
257.2415 kN
228.1 6416.4
Maxi =
157.7 3942.3
34.1 2792.7
265.0486 kN
278.6 €860.0
Maxi =
9.40 192.6 4211.6
3.94 41.6 2967.2
280.3531 kN
386.1 7301,7
Maxi =
7.92 267.0 4481.5
2.76 57.7 3129.9
29.1 2612,5.
Da aba a
40.9
0.13
68,5
0.14
25.2
0.12
44.2
0.14
68.1
0.14
22.9
0.12
47.6
0.16
67.7
0.14
20.5
0.12
51.3
0.17
67.3
0.14
18.2
0.13
55.4
0.19
66.8
0.15
16.0
0.12
60.2
0,21
66.1
0.15
13.9
0.12
66,2
0,24
67.3
0.15
12.0
0.11
75.0
0.28
70.3
0.18
10.4
Hs a]
5.53
-0.46
5.13
0.00
6.07
0.00
6.05
20.55
5.56
0.00
6.64
0.00
6.60
-0.64
6.00
0.00
7.20
0.00
7.16
-0.73
6.45
0.00
7,77
0.00
7.74
-0.84
6.89
0.00
8.32
0.00
8.34
-0.95
oO со Oo
o
un
0.00
3.34
0.00
9.65
"1.26
8,06
- 0.01
9.66
© ~~ On OW
GO < © о © с
© со © -anRn
© с © ло (п
oO 0 © лос Y
Ow oOo mo J
Eh
Li
‘м
Y
0
0
5
al
i]
fr
4
Cisaillem. Maximum =
0.10 0.00 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 291.1552 kN
0 1 701.8 7703.4 81.0 10.52 9.29
0.35 -1.56 0.00
0 2 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00 485.2 4716.7 0.0 8.73 11.62
0.25 -0.44 0.00
0 3 0.0 0.0 0.00 0.00 0.00 104.8 3266.9 0.0 9.59 12.29
0.10 0.00 0.00
Effort Horizontal Cumule Pondere Maxi = 301.4550 kN "
má soit 87.85% de l'Inertie Totale
Inertie Equivalente = 11.564
Fleche au Sommet en mm : fg = 1.24 mm (charges permanentes)
Fleche au Sommet en mn : fq = 0.97 mm (charges variables)
Fleche au Sommet en mm : fv = 10.79 mm (vent)
Refend Contraintes Extremes en MPa Aciers en cm2/m/Face
No Maxi Mini Non Arme Arme Cisail. Vert.Tendu Vert.Compr. Horiz,
1 10,52 -1,56 8.541 2,57 0.35 3.60 1.00 2.40
2 11.62 -0.44 8.191 2.01 0.25 1.00 1.00 1.00
3 12.23 0.00 8.191 2.43 0.13 2.36 1.57
0.35 OK < 1.00
Les Aciers Tendus doivent etre prolonges de z vers le Haut
Contraintes dans Linteaux en MPa
1.84 OK
2.04 OK
< 3.33
< 3,00
Cisaillem. Maximum =
M/ {bd2} Maximum =
Temps de Calcul = 149 secondes
On remarquera que la première ouverture est petite (€ > 10) et la seconde est moyenne (1 < à <
10).
7. CHANGEMENTS D'INERTIE
La plupart des méthodes de calcul de contreventement supposent que les voiles sont d'inerties
constantes sur toute leur hauteur, ou du'moins que les inerties varient toutes aux mémes niveaux
et dans les mémes proportions.
Examinons sur un cas simple une variation d'inertie,
Soit un bâtiment de 10 niveaux de 3 m de hauteur, contreventé par trois voiles équidistants et de
mêmes inerties. Le voile central s'arrête à la cote 12 m. On applique un effort en tête égal à 2
Во = 2 kN. On cherche à savoir comment se répartit cet effort lors de l'apparition du 3° voile.
- (Fig. 57)
1411
RE
Vi V3
6 Coupe horiz. de 12 A 30 m
V1
1 V1 V2 va
Coupe horiz. de 0 à 12 m
V2 УЗ
Elévation
Fig. 57 — Bâtiment de 10 niveaux de 3 m.
7.1, RAPPEL DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Flèches d'une console sous charge concentrée. D'après chapitre 2, formule 25 (Fig. 58).
|
P x3 ax?
‘ЗЕ (бт?)
1412
3 ax
nN
Fig. 58 — Flèche sous charge concentrée.
EE]
SER
HE
Ce qui se traduit par les valeurs suivantes (Fig. 59) pour une charge unité P=1 et un produit
El=1:
Y, P=1
/ 3 8 9 12 Y 30
Z| 1205 в |
7 $0 a ee |
-1872 ! 9000 .
NN
NN SN
3 225
36
-49,5
22 5 72 ,
126
«180
WS
ХХХ
Fig. 59 — Flèches sous charge concentrée unité,
7.2. CAS PARTICULIER SANS PLANCHERS ENTRE LES
COTES 3, 6 ET9 M |
Il n'y a qu'un seul plancher de répartition à la cote 12 m. Nous ferons l'hypothèse que la flèche
horizontale dans le plancher est petite devant les flèches des voiles.
Les planchers situés au-dessus de 12 m ne changent pas la répartition de l'effort 2 F9 dans les
deux voiles (système isostatique symétrique, donc chaque voile reprend F0 = 1). Soit F4 la
force exercée par le plancher du niveau 4 sur le voile V; (et V3 par symétrie). La flèche du voile
V1, a cette cote, vaut : — 1872 F;p + 576 Fa.
Elle est égale à celle du voile Vy qui reçoit une charge horizontale 2 F4 à la cote 12 m :
— 2 Pa x 876
- D'où l'équation d'égalité des flèches :
[ 1872
— 1872 Fig +576 F=-2F,X576 e В, = IX 57€ F,, = 1,083 F9
Ainsi le voile V2 reprend un effort double (voile V, et V3) égal à 2,167 F10, valeur supérieure à
l'effort total appliqué en tête à la cote 30 m. |
1413
-0,083
—
o
o
e
J
EE YER FEA FERIS
=
—
<
PI.
Г]
a)
Col
|
a —
Ш
Ш
Voiles V1 ot V3
я
кн == бое”
30 m
„2,167
EEE HA A ть о a 7 0 12m
== „эр АЕЕЕЕЕ
TAO 7 „
Vv M
Voile V2
Fig. 60 — Courbes des efforts tranchants et moments dans les voiles.
On constate (Fig. 60) que les voiles V; et V4 transmettent un peu plus que l'effort 2.Fr9 au
voile central V2 et non un tiers pour chacun.
7.3. CAS AVEC 10 PLANCHERS AVEC UN VOILE 2
ARRETE AU NIVEAU 4
Soient F, , F, , F4 et F4 les efforts exercés par chacun des planchers des niveaux 1, 2, 3 et 4
sur le voile V;. Le même raisonnement conduit à un système de 4 équations à 4 inconnues
obtenu en écrivant l'égalité des flèches des voiles V; et V2 à chaque niveau.
due à une due à une due à une due à une due à une
Flèche, charge F; charge F2 charge F3 charge F4, | charge F4ç à
a3m atm à 9m à 12m 30m
a12m | Эх 49,5 = 148,5 540 1 993,5 1728 1872
ag9m 108 378 729 ° 1 093,5 1 093,5
аб т 67,5 216 378 540 504
азт 27 67,5 108 148,5 130,5
Les racines de ce système d'équations sont :
1414
Te De 10 — a
e
i.
y 48
ЗЕ
РЁ, = 2,869 (à 12m)
РВ, = -3,216 (49m)
РЁ, = 0,866 (№ бт)
F, =-0,247 (А 3 т)
On constate que (Fig. 61):
- seuls les deux planchers de transition aux cotes 12 m et 9 m jouent un róle majeur pour la
répartition entre les voiles ;
- les efforts tranchants dans les planchers dépassent le triple de l'effort d'origine Fi0 = ! ;
— les moments dans les voiles diffèrent notablement de ceux qui proviendraient d'une
répartition au prorata des inerties. Par exemple, pour le voile V, le moment à 12 m vaut -
18 dans tous les cas, mais un effort tranchant de 0,667 sur 12 m donne un moment
complémentaire de -8 soit -26 au lieu de -20,1 par la méthode exacte ; :
- le voile V4 reprend un moment beaucoup plus important de ~19,9 au lieu de —8 ;
— les moments en pied sont sensiblement les mémes (20,1 et 19,9), que le voile V2 soit ou non
atrêté à 12 m.
стенания 1,00 0 - 30m
= A A
1,869 ЕЕ — == еее 0 mato 12M
= aa DEE _ TE | 9m
„== MT sae Ese 6m
BME 707 JW well Loa
= 0,720 {гол = 0,644 = | >
<
=
=
Voiles V1 et Va Voile V2
Fig. 61 — Courbes des efforts tranchants et moments dans les voiles avec 10 planchers.
7.4. Voile 2 à inertie non nulle au-dessus du niveau 4
On obtient un-système de 10 équations à 10 inconnues, On peut dresser un tableau indiquant les
valeurs des efforts supportés par les planchers suivant l'inertie relative du voile 2 au-dessus de la
cote 12 m.
1415
Short dans Jo plancher |= 1 1209 | 1=05 | 1=04 | 1=0
10 0,333 | 0310 | 0200 | 0,047 0
9 0 0,001 0,002 | 0,002 0
8 0 -0,002 | -0,009 | -0,007 0
7 0 0008 | 0035 | 0,025 0
6 0 -0,029 | -0,129 | -0,092 0
5 0 -0,107 | 0482 | 0,344 0
4 0 0,029 | 0,387 | 1,916 | 2,869
3 0 -0,115 | -0,804 | -2,412 | -3,216
2 0 0,031 0,216 | 0,649 | 0,866
1 0 -0,009 | -0,062 | -0,186 | —0,247
Total 0,333 | 0,331 0,318 | 0,287 | 0,272
En conclusion :
— on évitera les changements d'inertie importants tels que l'apparition d'un nouveau voile ;
— on se rappellera que les voiles dont l'inertie augmente fortement « appellent » des efforts
plus importants que ceux déduits de la simple répartition au prorata des inerties ;
- les trois planchers de transition (le plancher où a lieu le changement d'inertie et les deux
. planchers adjacents) subissent des efforts importants, d'autant plus que la variation
d'inertie est forte ;
~ tous les planchers situés en dessous du changement d'inertie sont affectés par le
changement d'inertie. |
8. COMMENT LIMITER LES DEFORMATIONS EN
TETE DE BATIMENTS DUES AU VENT ET AU
SEISME
Les déformations dans les étages supérieurs peuvent être génantes pour les occupants sous
l'action du vent et paniquantes sous l'action de séisme. Ainsi, les Règles PS 92 limitent à
H/250 la valeur maximale dé la déformation horizontale.
Pour en limiter les effets, on peut, par exemple, augmenter la rigidité des voiles, disposer des
retours pour en augmenter l'inertie, rapprocher le centre de torsion de la résultante du vent
ou du séisme, préférer un contreventement par la façade plutôt que par des voiles internes,
etc.
Un moyen efficace consiste à utiliser une poutre raidisseuse, de préférence au sommet du
bâtiment, qui s'appuiera sur les poteaux de façade et provoquera dans le voile un moment de
signe contraire à celui du vent (Fig. 62).
1416
Cette solution peut se présenter lorsqu'on a un étage technique au dernier niveau (climatisation,.
réserve d'eau pour l'incendie, machinerie d'ascenseur, pompes et surpresseurs pour
l'alimentation en eau, …).
poutre
raldisseuse
planchers
poteau de
fagade
voile de
contrevantement
Fig, 62 — Contreventement par voiles et poutre raidisseuse.
8.1. DÉTERMINATIONDE L'EFFORT DANS LE POTEAU
On suppose, a priori, que les deux poteaux de façade en extrémités de la poutre raidisseuse sont
comprimés sur toute leur hauteur.
* Action du vent seul sur le voile (Fig. 63)
Soient :
gq = charge de vent rectangulaire en kN/m
p= charge de vent triangulaire en kKN/m
H = hauteur totale du bâtiment -
1417
L, = demi-longueur du voile |
E, et I, = module d'Young et moment d'inertie du voile (que l'on suppose constants sur toute
la hauteur H)
L = longueur libre de la poutre raidisseuse
E, et I, = module d'Young el moment d'inertie de la poutre
Е, et S; = module d'Young et aire de la section droite du poteau (que l'on suppose constants
Sur toute la hauteur H)
Rotation en téte de voile : ©, = EL + ET (chapitre 2, cas 26 et 28)
Flèche horizontale en tête de voile : f, = Ян" 11pH® .
" Jal > TN" + 120E1, (chapitre 2, cas 26 et 28)
3
Flèche verticale en extrémité de poutre : f,, = & (L+L )= Ё + 4 H(L+L,)
42 4 OÖ 6 8 TEI
| a
poteau
Mm
-
_
mn
|,
1
q L Lo
k
Fi
Fig. 63 - Déformées dues au vent д,
1418
a
Kar ее т.
WIA Td ела” = тай
PRA eee
OTC En AO AU
E Ae ora
ET ЭН
,
Ra DR
у
CE -
po
TA ны
Mera Ad a A A nt SY
E GT E EA
pl a o
br
E
О
e
D
* Action de la force F exercée par le poteau sur la poutre et le voile (Fig. 64)
Nous supposerons, pour raison de symétrie, que les deux forces Fy et F, sont égales à F.
Moment en tête de voile : M = 2 F (L + Le)
MH 2F(L+L,)H
Rotation en tête de voile : Фу, = ET = ET (chapitre 2, cas 32)
vw yy
FL | |
Flèche verticale en extrémité de poutre : fr = Oy(L+L,)+ ET (chapitre 2, cas 24)
MH?
-Fléche horizontale en téte de voile : Ja = ET (chapitre 2, cas 32)
y Y
e--poeeeone——
poteau
Fig. 64 — Déformées sous l'action des forces F1 et Fa
1419
aa, Y
o TT
a OL. Pers
as - >
* Action de la force F exercée sur le poteau par la poutre
Déformation verticale du poteau : Jp; = FH
' S.E,
Déformation en extrémité de voile sous l'action de F et du vent g ;
fmsSfa fr
D'oll en égalant fp; et fp ;
(chapitre 1, éq. 1)
| 3 2
FH - (2+ 2) H (L+L,) _ 2F(L+ LOH FL?
ES, \6 8 EL EL ЗЕ
d'où l'on tire F ;
q PY аз
(2-5) ni (L+L,)
| —
E но 2) Н L?
"LES, EI 3E 1,
F=
8.2. APPLICATION NUMERIQUE
Données :
Vent trapézoïdal de 13,6 KN/m en tête et 8 kN/m en pied, soit q=8 et p=5,6
H = 75 m.(25 niveaux de 3 m)
L, = 4 m (voile de 8 m de longueur)
В, = В, = Е, = 30 000 MPa -
1, = 10,667 m* (inertie du voile)
L = 8 m (longueur de la poutre)
h, = 3,4 m (hauteur de la poutre)
ep = 0,2 m (épaisseur de la poutre)
I, = 0,6551 m* (inertie de la poutre)
S, = 0,81 m° (aire du poteau)
d'où :
(E+ + 75%(8 + 4)
F = — = 405,8 kN
L28+4) x 75 8
10,661( )
081 10667 * 0.6551
1420
В и
Flèche sans poutre raidisseuse :
4 4 4 4
qH* 11pH 8 x 75 11 x 5,6 x 75
= = = 149,63
JF BET * TEL, © 8 х 30000 ж 10,667 * 120» 30000 x 10,667 7 (707 MM
Moment en téte de voile :
M=2F(L+L,)=2x405;8 (8 +4) =9 739,2 kNm
Flèche avec poutre raidisseuse : *
2 9739,2 x 75?
MH
№ ЛВ ела ЕТ 2E 1, = 149,63 - 2 x 30000 x 10,667
= 149,63 — 85,60 = 64,03 mm
Soit une réduction de 57 % de la flèche horizontale en tête de voile, 1/1171 au lieu de 1/501.
De même, on constate une diminution des contraintes en pied de voile :
— sans poutre raidisseuse
M,L
С, = a avec
2 2 2 2
M, = mE = == + EXE = 33 000 kNm = 33 MNm
33 x 8
Gy = 2 x 10,667 = 12,38 MPa
— avec poutre raidisseuse, Муз = М, = М = 33 - 9,7392 = 23,261 MNm
0, = 8,72 MPa, soit une réduction de 30 %.
Contrainte dans le poteau due à F: 0 = = = A = 0,50 MPa valeur faible par
с
rapport à 10 MPa qui est une valeur courante pour un poteau et qui ne remet pas en cause sa
capacité portante des charges de plancher. ;
Moment réduit dans la poutre raidisseuse :
_M2_ 0,5x9,7392 _ ‘
ba” 02x(09x34)"
Remarques
1, On a supposé que le poteau le moins comprimé, à gauche sur la figure, était toujours
comprimé. Or, il peut arriver que dans les étages supérieurs, la force F soit supérieure aux
charges permanentes reprises par le poteau. Il faudra alors remplacer, pour ces étages
supérieurs, les valeurs E, S, par E, À; correspondant aux aciers du poteau.
On procède alors par approximations successives sur le numéro j de l'étage où apparaît une
1421
tracti lagant ——
raction en remplacan E, par DE 5 + Som А.
On doit aussi prendre les valeurs F; et F; dans les formules à la place de F.
2. Pour les immeubles de très grande hauteur, on peut disposer de plusieurs étages
techniques sur toute la hauteur et ainsi améliorer le confort des occupants par une diminution
des déformations horizontales.
Ainsi, les deux tours jumelles du Kuala Lumpur City Center, record du monde de hauteur
avec 449,32 m et 88 étages, possèdent deux étages raidisseurs, aux 38°-39° étages (8,43 m de
hauteur) et au 84° étage (7,65 т),
* Tour KLCC record du monde de hauteur
Lieu
Kuala Lumpur, Malaisie
Période de vibration, 12 mode
Vitesse de référence du vent
B
Coefficient d'amortissement de
la structure
Planchers
Poteaux de façade
Hauteur des 5 sous-sols 21m
Hauteur du pinacie 50 m
Hauteur des 88 étages 378,32 m
Hauteur totale 449,32 m, équivalent à 95 étages
(7 m de plus que la Sears Tower de Chicago)
Diamètre 462m
Surface de planchers 560000 m?
Nombre de personnes 60 000
Parkings | 7 000
Fondations Radier général (13 000 m* à 60 MPa) sur
parois moulées (45 MPa)
Contreventement Par noyau central (béton jusqu'à 80 MPa) de
23 m de côté a la base, 35 cm d'épaisseur
pour les voiles centraux, de 35 à 75 em
d'épaisseur pour les voiles de pourtour du
haut vers le bas
9 secondes
35,1 m/s pour un pie de 3 s à 10 M
(période de retour de 50 ans)
2%
Mixtes acier-béton, portée jusqu'à 12,8 m,
épaisseur 11 cm pour les bureaux, 20 cm
pour les étages techniques
16 poteaux de 2,40 m de diamètre et 80 MPa à
Ца base
x excentricités importantes et provoquent de ce
1422
9. CONCEPTION DES CONTREVENTEMENTS
9.1. FORMES DES BATIMENTS
On distingue (Fig, 65) [12] [13] :
- les formes simples si aucune droite joignant deux points quelconques du bâtiment ne
coupe pas le contour extérieur ;
- les formes complexes dans le cas contraire.
3 Lu .Formes convexes (formes simples)
5 '
E x
—
y 4 vue-an plan élévation
0 Formes concaves (formes complexes)
=
Fig. 65 - Formes simples et formes complexes:
Les formes complexes posent généralement
ne relèvent pas des règles applicables aux
+. bâtiments courants. Elles occasionnent des
iE sollicitations accrues et sont moins
y E des problemes de calcul importants, car elles A
t
1
x économiques que les formes simples. Elles |
xB seront à éviter, principalement en calcul \ >
.parasismique,
On appelle excentricité la distance du centre
de torsion (voir en 5.4 ci-dessus) à la
résultante de l'action extérieure (vent ou GC
séisme). |
Les formes complexes ont en général des >
fait des moments de torsion non négligeables Fig, 66 — Déformées dues à la translation
(voir déformées sur la figure 66). et 4 la torsion d'un bátiment en L.
1423
I] convient de transformer les formes complexes en formes simples en prévoyant des joints 1 9,2. CONTREVENTEMENTS
de rupture, |
Type Forme déconseillé = те 4 Rechercher une structure de contreventement dont l'excentricité (voir en 9.1 ci-dessus) soit
° orme conselllce la plus faible possible. Essayer de respecter les symétries.
longue | | 7 [ || = ] a Pour le calcul au séisme, on essaiera de rester dans le cadre des bátiments réguliers (voir
remarque 10 du 5.7.2 ci-dessus). .
En L ; Dans l'exemple du 5.7 ci-dessus, calculé au vent, le centre de torsion est en-dehors du
n : bátiment, ce qui est vivement déconseillé en calcul parasismique.
[| | ] 9.2.1. Exemple avec deux voiles paralléles
En U E Cas 1 Cas 2 | Cas 3
E. L > L L L у | L у
E я x » . я + :
En Y o „ме 4 L2 Ve 4
a F | F —1F
SE a X X
;
£ | | |
A A ;
a A a a fn fr
Tube ;
= =— L.._F L
creux fon Е В) = (1-5) Р<5 Ву = (1-5, ) Е < 0
17272 Lo F | L
— lei
| On constate l'influence de l'excentricité de la structure par rapport aux sollicitations du vent.
Dans le cas 3, le voile de droite reprend, à lui seul, un effort supérieur à la résultante de
vent !
1424
1425
9.2.2. Eviter les voiles tous concourants (Fig. 67) _
Dans ce cas, la résistance à la torsion est nulle. Même si le centre de torsion est situé au point
de concours des voiles, l'équilibre est instable.
+ | и |
Voir en 5.6.3
|
Fig. 67 — Exemple de voiles tous concourants,
9.2.3. Quelques exemples
On préférera les tubes fermés, cages d'escaliers ou d'ascenseurs avec linteaux de bonne
hauteur au droit des ouvertures ou bien un contreventement en façade (tour Fiat à Paris-La
Défense) (Fig. 68).
De même, on évitera de disposer des éléments rigides aux extrémités des bâtiments pour
limiter les contraintes de traction dues au retrait (voir [14], page 92).
1 |
| contraventement |
par les facades
| |
| |
déconseillé (retrait gâné) | Ca N.D ane
»
préférable préférable
Fig, 68 ~ Voiles en tubes creux ou façades contreventéss.
1426
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a
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Le
La
i
E
A
Г
N
Hi
9.3. EXEMPLE DE DIMENSIONNEMENT RAPIDE
9.3.1. Données (Fig. 69)
Région 2 de vent : gy, = 0,7 KN/m? (0,5 en région 1 et 0,9 en région 3)
Hauteur du bátiment : 12 étages de 3 métres H = 36 m
Dimensionnement en plan : À = 28 m et B = 14 m
Epaisseur des voiles : 0,20 m |
Linteaux supposés tels que l'on peut considérer les cages comme des tubes fermés.
10 8
— x {
|
|
| |
| ‚2,5 у 1 2,8
|
|
Ë
L 28 _+
1 |
Fig, 69 - Exemple de dimensionnement rapide d'un contreventement.
* Vent Nord-Sud
au = Gv Ke Ka ôC B
Ava = 0,7 kN/m?
k, = | (site normal en général)
H+18 36 + 18
b= 25 7607 2° 36+ 60
0,70 pour H = 30 m ; = 0,80 pour H = 40 m ; = 0,9 pour H = 50 m
0,76 |
1
l
= 1,406
3 (varie entre 1,04 et 1,69 ; vaut 1,3 en général)
,10 pris forfaitairement
1427
d'o q, = 1,07 kN/m?
F= 1,07 kN/m? x 28 m x 36 m= 1 078 kN = 1,08 MN
M = 1,08 MN x 36 m/2= 19,44 MNm
Inerties ;
25x5* 21x46 4 I 9 3
: I = -— 2 I = - = — ==
ascenseur : I, т D Om lx: 3,6 m
| 28x5* 24x46 4 I 97 q
l . I = — = = , - = — = , "
escalier: I, Dm 9,7 m 5523 3,88 m
Le contreventement est légèrement dissymétrique.
Efforts repris par les voiles (Fig, 70) :
10
A
+ |
1
° - Fig. 70 - Efforts repris par les deux voiles.
> — “
8 _ 10
Moments :
8 10
(M, = 73 M =8,64 MNm et M; = — M = 10,80 MNm
18
Contraintes : on vérifiera с < 5 MPa pour une structure symétrique et G < 2 ou 3 MPa
pour une structure dissymétrique (valeurs approchées).
M
| = —= 3.64 = 2,4 MPa < 4,5 MPa (structure légèrement dissymétrique)
(Uv), = 3,6
M; _ 108
с, = (vy, = 788 = 2,78 MPa< 4,5 MPa
1428
9.4. CONCEPTION ET CALCUL DES CONTREVENTE-
d'ouvertures, recommencer avec
l'effort ainsi calculé
MENTS . RECAPITULATION
Étapes Références Programmes
Définir la forme du bâtiment chapitre 11, $. 9,1
Dégrossissage des éléments de chapitre 11, $. 9.2 я
| contreventement
Calcul des sollicitations
— vent chapitre 3, $. 4 RAYLEIGH et STODOLA
— Séisme chapitre 3, §. 5 STODOLA
Pour chaque voile simple ou composé,
déterminer :
— les caractéristiques géométriques chapitre 11, §. 2.3 CARAMEC
~ les centres de torsion de.chaque voile | —-
* pour les profils ouverts en U chapitre 11, §. 3.1
* pour les voiles de forme quelconque | chapitre 11, 6, 3.2
* pour l'inertie équivalente
. des voiles à files d'ouverture chapitre11, 8.6 - LINTEAUX
. des voiles a inertie variable chapitre11, §. 4et7 INEQ
Déterminer la répartition des
sollicitations de vent ou séisme :
— 2 voiles parallèles chapitre 11, 8. 5.1
— n voiles parallèles chapitre 11, $. 5.3
— voiles quelconques | chapitre 11, $, 5,4
Calculer tes voiles en béton armé : chapitre 10
contraintes et aciers |
Pour les voiles a une ou n files chapitre 11, 5. 6 LINTEAUX
OU BIEN utiliser le programme CONTREV qui calcule les actions du vent, répartit les
sollicitations et ferraille les voiles.
1429
BIBLIOGRAPHIE
(1] M, ALBIGES, J. GOULET - Contreventement des bâtiments, Annales de l'ITBTP, mai 1960.
[2] M, DIVER - Calcul pratique des tours en béton armé, Dunod 1972, 260 p.
[3] V, GUILLOT - Influence des ouvertures dans la stabilité des bâtiments de grande hauteur
Refends à n files d'ouvertures, Annales de l'ITBTP, février 1972.
[4] M. ALBIGES, W. JALIL — Contreventement des bâtiments par façades et noyau. Analyse dynamique du
séisme et effets du vent, Annales de l'ITBTP, décembre 1982,
[5] M. HENIN = Calcul] statique des systèmes de contreventement tridimensionnels irréguliers par la
méthode des matrices-transferts, Annales de I'ITBTP, janvier 1978,
[6] A. COIN, A. DECAUCHY, J.P. COLLIGNON ~ Murs de contreventement à ouvértures multiples
Annales de I" ITBTP, février 1971.
{7] B: VLASSOV - Pièces longues en voiles minces, Eyrolles, 1962.
[8] S. TIMOSHENKO - Théorie de la stabilité élastique, Dunod, 1966,
[9] T. Y. LIN - Lateral force distribution in a concrete building storey, AC/-Journal, December 1951.
[10) S, MEDWADOWSKY - Lateral Force Distribution in a Random System of Shear Elements,
ACT-Journal, Jan, 1969.
[11] H. THONIER - Le Projet de béton armé. Compléments, Annales de l'ITBTP, novembre 1987.
[12} VE, DAVIDOVICI - La conception parasismique commence dès le choix de la forme des
bâtiments, Cahiers Techniques du Bâtiment, mars 1988.
[13] Ch. ARNOLD, R. REITHERMAN - Building configuration and seismic design, John Wiley
& sons, 1982,
[14] H, THONIER - Le Projet de béton armé, SEBTP, 1991.
1430
> EA Te
ROP FY a Ay
зол в,
FLL ara PLAN
ET RE
En
ha.
VAR
CE
NE
a
EN
3
12. BIELLES ET TIRANTS
1. DEFINITIONS
On appelle :
~ tirant, une barre tendue qui sera représentée par un trait épais plein ;
- bielle, un élément longiligne comprimé dans je sens de la longueur, représenté par un trait
épais tireté ;
— ligne de force, la trajectoire des contraintes sur des éléments de surface successifs, Dans le
cadre de l'analogie hydraulique dans un tuyau ([1)] page 98), les lignes de force
représentent les lignes de courant, les vitesses du courant représentent les contraintes,
Dans les structures en béton, un tirant est représenté par un ensemble d'armatures
longitudinales de même centre de gravité, une bielle, par une fraction de la structure en
‘béton, soumis à un effort de compression et dont la ligne des centres de gravité peut être
représentée par une droite. Ainsi, un poteau en compression simple peut être assimilé à une
bielle unique.
On peut, dans la plupart des cas, schématiser une structure par un ensemble de bielles
fictives à l'intérieur du béton et de tirants en acier. Pour certaines structures courantes, on a
vu :
- les semelles superficielles filantes ou rectangulaires (chapitre 4, $. 5,7) ;
— les semelles sur pieux (chapitre 5, $. 9.3 à 9.5) :
— les poutres-cloisons (chapitre 10, 8. 9.2) ;
- les voiles (chapitre 10, $. 11).
On déterminera les efforts de compression dans les bielles et l'on vérifiera que la contrainte,
0,8% 25
Yb
en ELU, ne dépasse pas (BAEL 91, art. A.5.1.3).
Certains auteurs {2] [10] et le Code-Modéle 90 {1} art. 6.2.2.2 préconisent de limiter la
0,60f, 3
b
contrainte de compression de la bielle à
dans le cas où la fissuration se développe
1431
| | 0,40f2 , | lira: |
en biais par rapport 4 la bielle et 5 de plus la largeur des fissures peut être très
importante, |
T
Pour les aciers, l'effort calculé T permettra de calculer là section par : À, = =
Cette schématisation de structures n'est pas nouvelle. Ritter introduisit le modèle dutreillis pour
l'étude de l'effort tranchant dès 1899 [1]. L'analogie dutreillis pourexpliquer le fonctionnement
d'une poutre a été généralisée par Mórsch en 1920 [2] (Treillis de Ritter-Mórsch).
En 1934, P. Lebelle [5] {6] publiait une méthode de calcul des semelles superficielles. De méme
pour les semelles sur pieux avec J, Blevot [7).
Nous allons d'abord démontrer que toute force qui change de direction entraîne l'apparition
d'une force radiale. |
1.1. CHANGEMENT DE DIRECTION D'UNE FORCE
* Changement angulaire de direction d'une force F
Fig. 1 - Changement de direction angulaire d'une force.
La résultante R des deux forces (Fig. 1) vaut: R=2F sin(3)
« Changement progressif de direction d'une force
ti 7
Fig. 2 - Changement de direction progressif d'une force.
1432
a
a
+,
$
ле!
ag
er a ASIE
ete)
PEE E A
La résultante R des deux forces (Fig. 2) vaut: R=pds=2F sin 5) = Рас
d'où la valeur de la force radiale par unité de longueur : p = F = = = car le rayon de
ds
tégal a —.
courbure est éga To
Cette formule est bien connue en hydraulique (traction dans les tuyaux pour une pressidh p)
et en béton précontraint (calcul de l'action exercée par un câble courbe sur le béton).
1.2. TYPES DE BIELLES
On distingue trois types de bielles : |
— les bielles prismatiques (Fig. 3-a), où les lignes de force sont parallèles ;
— les bielles en éventail (Fig. 3-b), dans lesquelles les lignes de force sont concourantes ;
— les bielles en col de bouteille (Fig. 3c), pour lesquelles les lignes de force sont des courbes
qui permettent de passer d'une petite largeur en haut à une grande largeur en bas,
hy wr тт
mi lignes lignes lignes
7 de force
de force de force
AL
Madd) À
prisme éventail col de forces
bouteille - radiales
a) b) ; ©) d) -
Fig. 3 — Types de bielles.
Chaque ligne de force courbe induit des forces radiales proportionnelles à sa courbure
(Fig. 3-d).
1.3. BIELLES EN COL DE BOUTEILLE
On montre, a partir de la formule de Boussinesq, ([1], p. 78), que sous l'action d'une charge
concentrée, il y a diffusion des contraintes et que celles-ci deviennent quasi-constantes (à
1433
quelques pour cents près) au bout d'une distance égale à la largeur b de la pièce. Cette longueur
est appelée longueur de diffusion.
Ce qui vient à considérer les éléments longs lorsque d > b et quatre types d'éléments courts en
fonction de la largeur d'appui a de la charge F (Fig. 4)
1.3.1 - Élément « carré » avec a < b = d
Fig. 4 - Bielles avec d = b,
On peut admettre que la charge q sur le grand côté est constante (Fig. 4-b).
Les lignes de force (Fig. 4-a) de chaque moitié peuvent être schématisée (Fig. 4-b) par trois
biclles consécutives avec changement de direction dans chaque moitié de l'élément, une
bielle horizontale d'équilibrage à la profondeur d/4 et un tirant horizontal d'équilibrage à la
profondeur 34/4, —
Chaque bielle verticale est située au quart de la largeur de la charge répartie.
“b.a
5
L'angle à est tel que = — = — do
Al
o
t
o
3
1 Ti
F
T=-180=
L'effort de de compression C de la bielle horizontale est égal à l'effort de traction T :
» Fb-a
==
En principe, les tractions n'apparaissent qu'à partir de la profondeur 0,5 d, où l'on trouve le
point d'inflexion (Fig. 3-d), donc où la force radiale devient nulle.
Cependant, il est prudent de disposer des armatures À partir de la profondeur 0,2 d jusqu'à la
. profondeur 0,8 d, soit sur une hauteur 0,6 d (Fig. 4-¢). Leur section totale est égale à = ‘
x
1434
lio ae)
BCI O
[TODA tly by Bros Ppa Loot Lrg fol En
FE AMET
TEL
1.3.2. Élément long avec a <b <d
On peut découper fictivement un élément « carré » de diffusion des contraintes ; au-delà, les
lignes de force peuvent être considérées comme parallèles (Fig. 5-a). Le ferraillage est à
disposer dans la partie comprise entre les profondeurs 0,2 b et 0,8 b (Fig. 5-c).
pm F F
TT b/a Ea 0,2b
Ft
b b/2 NOA 06b
d ab \ b b
| b/4 T 02b
- = 1 et an
A TT TT 2 q Ш TERS
a) b) e)
Fig. 5 — Elément long.
Comme précédemment, l'effort de traction vaut T =
11
b-a
zZ
1.3.3. Element court avec a<d<bsd+qa
On considère que les lignes de force ont encore une longueur suffisante pour s'épanouir, car le
débord b-a est inférieur à la hauteur d, ou encore le pan coupé a une pente supérieure à 2:
(Fig. 6). : :
02d
0,8 d
d'où T=
4 d ЕСТ
b b
On disposera le ferraillage dans les 0,8 d bt
inférieur, a) b)
Fig. 6-Casa=d<b<d+a.
1435
1.3.4. Elément courtavec a<d<d+a<b
Les lignes de force ne peuvent s'épanouir que dans la zone de béton délimitée par un pan coupé
de pente 2:1 (Fig. 7-b) dont la largeur à la base vaut à + d. Les contraintes en partie inférieure
ne-sont plus uniformes mais ont l'allure de la figure 7-a d'après Boussinesq.
On limite la largeur utile de b à a + d.
a+d a
4 1 T F F
в а = = = = == dot = = =
5 d 27m ÓN Тео це д,
2 ‚
+ e
О
d ‘
d $ 7 hb
d2 VU a т \ \ d
Lm ee od
a+d a+d
| | ——
Lo b ,
1 | . b ;
a) b)
0,2d
d
0,89
‚ 2+1,3 4 ‚
_ b_
1 TR
с)
Fig. 7-Casa<« а < а + а =
1436
САИ
м
1.3.5. Elément court avec d <a <b <d+a
La largeur a de la charge en téte est importante et l'on peut admettre une transmission directe
par des lignes de force verticales sous la largeur a — d dans la zone centrale hachurée
(Fig. 8-a). La bielle moyenne a un bord extérieur incliné à plus de 2:1. La demi-largeur de la
bielle en tête vaut d/2.
Soit F la fraction de la charge F transmise par une des deux bielles inclinées :
| di? Ed
Не Е о
(3-5)
2 \2 2) а
2 2 b-a T , Fb-a
tg a= Z "CFE d'où T= 7 —
2
da 0,2d
d
dz 0,8d
d —
b-a4d
2
* b
+ +
a) b)
Fig. 8-Cas d£ a<=b<d+a
1.3.6. Elément court avec d <a <d+a<b
On considere trois zones (Fig. 9).
— la zone hachurée oú la transmission des efforts est assurée par des lignes de force
verticales dans le région centrale ;
— la zone extérieure a la ligne-de pente 2:1 (zone pointillée), que l'on peut considérer comme
non comprimée ; |
1437
— la zone de transmission des lignes de force épanouies de largeur égale deux fois d/2 en
partie haute et 2 fois d en partie basse.
L'effort de traction est égal à :
d d
4 F ;
T = E = = 7 avec F, = fraction = deF dot T= т
2
АТОН
da 0,2d Ш
de 4 58d
dl |
| renee |
—a+d
>
À
b)
Fig. 9-Cas d£a<d+a=b.
1.3.7. En résumé
Pour une bielle du type col de bouteille de longueur d, de petit côté a et de grand côté b,
supportant une charge F, l'effort de traction T des aciers est déterminé par lecture du tableau
ci-dessous en fonction des rapports a/d et b/d, |
EXEMPLE
Soit unc élément intérieur d'une structure béton, de longueur d = 0,80 m, recevant une charge
F = 0,82 MN sur une surface a, x az=0,20m x 0,28 m à une extrémité et bi x ba= 0,56 m x
0,80 m a l'autre extrémité.
Béton /f-23 = 30 MPa et f = 500 MPa.
1438
0,82 MN.
an o a
— ИЕ - +
160
NN -
к.
| |
e
| -
140
80
. . . Les
TRL LIE i Tt IIa Rf IRS EFTTA IRIAN Ng
560 800
у
À a A
4
A
Fig. 10- Exemple.
a
Pour les aciers dans la première direction, on a : 7 = 0,25; т = 0,70.
Par lecture du tableau I ci-dessous, on trouve : T; = 0,161 x 0,82 = 0,132 MN
| T 4
d'où la section totale d'acier À, = 7 = 0,132 AL x 10
sur une hauteur (voir tableau II): 0,6d=0,6x0,8 = 0,48 т,
soit 4 HA 10 de longueur(voir tableau 3) : 0,7 d=0,7 x 0,80 = 0,56 m (cadres ou crochets
en extrémités), espacés de 0,48/4= 0,12 m.
a, b,
т 0,35: == 1,00 ; T, = 0,162 x 0,82 = 0,133 MN
T 4
d'où la section totale d'acier A, = — = 0,133 x 1,15 x 10
fe 500
sur une hauteur d=0,8 d=0,64 m,
soit 4 HA10 de longueur 1,0 d = 0,80 m (cadres ou crochets en extrémités), espacés de
0,64 / 4 = 0,16 т.
On disposera de 5 cadres HA1O (520 x 760), espacés de 140 mm à disposer à partir de la
distance 0,2 d= 0,16 m de la petite face.
= 3,06 cm?
Dans l'autre direction, on trouve :
= 3,06 cm“
La contrainte maximale de la bielle vaut :
1439
% = 520x038
0,82
Tableau |, Rapport T/F
Fe paa жа FO Ham ae
\
0,872
14,64 MM < US = 16,0 MPa.
,
Rapport a/d
b/d | 0,050 0,100 0,150 0,200 0250 0,350 0,500 0750 1,000 1,500 2,000 3,000
0.1 | 0125 0,000
0,2 | 0,188 0,125 0,062 0,000
03 | 0,208 0,167 0,125 0,083 0,042
05 | 0,225 0,200 0175 0150 0,125 0,075 0,000
0,7 | 0,232 0214 0,196 0,179 0,161 0,125 0,071
10 | 0,237 0225 0,213 0,200 0,188 0,162 0,125 0,063 0,000
1,1 10,250 0250 0238 0225 0,213 0,188 0,150 0,088 0,025
12 | 0,250 0,250 0,250 0,250 0,238 0213 0,175 0,113 0,050
13 | 0,250 0250 0250 0,250 0,250 0,237 0,200 0,137 0,075
14 | 0,250 0250 0250 0.250 0,250 0250 0225 0,162 0,100
16 | 0,250 0,250 0,250 0,250 0250 0250 0250 0,213 0,150 0.017
18 | 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0250 0,200 0,050
20 | 0250 0,250 0250 0250 0250 0250 0250 0,250 0250 0,083 0,000
2,5 | 0,250 0.250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,167 0,083
30 | 0250 0,250 0,250 0,250 0,250 0250 0250 0,250 0,250 0,167 0,125 0,000
4.0 | 0250 0250 0250 0,250 0,250 0250 0,250 0,250 025 0,167 0,125 0,083
Tableau Il. Hauteur armée au-dessous de 0,2 d en fonction de d
Rapport a/d
bid | 0,050 0,100 0,150 0200 0250 0,350 0,500 0,750 1,000 1,500 2,000 3,000
0,1 | 0,600
0,2 | 0,500 0,600 0,600
03 |.0,600 0,600 0,600 0,600 0,800
05.1 0600 0600 0600 0,600 0600 0,600
0.7 | 0600 0600 0600 0,600 0,600 0600 0,600
1.0 | 0.800 0800 0,800 0,800 0800 0800 0800 0,800
1,1 {0800 0800 0800 0800 0800 0800 0800 0800 0,800
1,2 | 0,800 0800 0,800 0,800 0,800 0800 0,800 0,800 0600
1,3 | 0,800 0,800 ©0800 0,800 0800 0800 0,800 0800 0800
14 | 0,800 0,800 0800 0800 0,800 . 0,800 0800 0800 0800
16 | 0,800 . 0,800 0800 0,800 0800 0800 0,800 0,800 0800 0,800
1.8 | 0800 0,800 0800 0800 0.800 0,800 0,800 0800 0800 0,800
2.0 | 0,800 0800 0800 0800 0800 0800 0,800 0800 0800 0.800
25 | 0,800 0,800 0800 0800 0800 0800 0800 0800 0800 0,800 0,800
3,0 | 0.800 0,800 0800 0,800 0,800 0800 0,800 0,800 0800 0,800 0,800
40 | 0,820 0,800 0800 0,800 0,800 0800 0800 0800 0,800 0800 0,800 0,800
1440
Tableau lil. Longueur des aciers/d
ramp Ayman aden
Rapport a/d
bid | 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,350 0,500 0750 1,000 1,500 2,000 3,000
0,1 | 0,100 |
02 | 0,200 0,200 0,200
03 | 0300 0,300 0,800 0300 0,300
05 | 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500
07 | 0700 0700 0,700 0700 0,700 0,700 0,700 .
1,0 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
1.1 | 1.100 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100 1,100
12 | 1,200 1200 1200 1200 1,200 1,200 1,200 1,200 1,200
13 | 1,300 1,300 1,300 1,300 1,300 1,300 1,300 1,900 1,300
14 | 1.350 1.400 1,400 . 1,400. 1,400 1,400 1400 1,400 1,400
16 | 1.350 1,400 1,460 1,500 1,550 1,800 1,600 1,600 1,600 1,600
18 | 1,35 1,400 1,450 1,500 1,550 1,850 1,800 1,800 1,800 1,800
20 | 135 1,400 1450 1,500 1,550 1,850 1,800 2,000 2,000 2,000
25 | 1,350 1,400 1,450 1500 1,550 1,650 1,800 2,050 2,300 2500 2500 .
30 | 1,350 1,400 1,450 1,500 1,550 1,650 1,800 2050 2,300 2800 3,000
40 | 1,350 1,400 1450 1,500 1,550 1,850 1,800 2,050 2300 2800 3,300 4,000
2. ÉTUDE D'UNE POUTRE COURTE SOUS CHARGE
CONCENTRÉE
Examinons d'abord une poutre de
portée LL voisine de deux fois sa
hauteur (L = 2 z) avec une charge
concentrée F sur une longueur a,
petite devant L (Fig. 11).
On admet que la transmission des
efforts concentrés s'effectue par des
bielles à 45°, L'effort de traction dans
la membrure inférieure vaut :
On retrouve bien cette valeur par la
formule classique de résistance des
matériaux, où le moment à mi-portée
vaut M = F L / 4 et le bras de levier z
permet de calculer l'effort de traction
de l'acier T = EL
47
a
AA
F 6x 15°
LEN
, Se ‘ E
” 7 | “a
„” „” 1 “N z
`` .
GES VOS
de” 'T 465 MN
Cr |
к "| y
1 A
bielle unique bielle unique
épanoule - simplifiée
Fig. 11 — Bielle unique.
144]
Une méthode plus raffinée consiste à considérer un épanouissement des lignes de force près des
points d'application des efforts concentrés, avec un angle d'ouverture voisin de 30° (0 = 15° de
la demi-figure 11-gauche, voir remarque 2).
F
2 sin a
L'effort de compression dans la bielle unique inclinée vaut: C=
L'effort de compression dans l'une des deux petites bielles inclinées de Ô vaut :
1
Ci = cos 8
WY
L'effort de traction T; dans les petits tirants d'équilibre des ces bielles vaut :
т, = С, яп д = Е 89.
4 sine
L'effort de traction dans le tirant inférieur est égalà: T= Ccoso= 5 tg œ.
Pour a = 45° et 6 = 15°, on trouve T=0,5F et T|, =0,092 F, soit 18 % de l'effort T de
traction du tirant principal, valeur non négligeable. Ce qui justifie la nécessité de disposer des
aciers répartis dans la hauteur de la poutre pour des sollicitations importantes (voir poutres-
cloisons, chapitre 10, $. 9.2).
Remarques
1. Pourquoi un angle de 45° pour les bielles ?
On démontre, en résistance des matériaux [3], que pour toute facette d'un point P d'une
structure soumise à des contraintes de compression G et de cisaillement 1, la courbe t = (с)
est représentée par un cercle, (cercle de Mohr) et que toute rotation d'un angle © de la
facette se traduit par une rotation —2 © du point sur le cercle, Ainsi, pour un point P soumis
à une contrainte de compression nulle sur deux facettes perpendiculaires, l'une verticale et
l'autre horizontale, par exemple un point de l'axe neutre d'une section fléchie, le cercle de
Mohr est centré sur l'origine. Le point représentatif de la plus grande contrainte de traction
està -2 © = -90° de la facette horizontale, ce qui veut dire que la facette est orientée de
@ = 45° sur l'horizontale. La fissure, si fissure il y a, sera inclinée a 45 °,
2. Pourquoi un angle d'épanouissement de 15° de part et d'autre de la bielle unique ?
La bielle unique (partie droite de la figure 1 1) couvre un angle d'épanouissement des lignes de
force de 90° d'ouverture, En éliminant les lignes de force sub-horizontales qui véhiculent de
faibles efforts-(l'angle supérieur de 15°) et les lignes de force sub-verticales qui descendent
directement vers le milieu bas de la poutre, loin de l'appui (angle de 15° près de la verticale), il
reste 90° -2 x 15° 60° à divisér en deux pour chacune des deux bielles (partie gauche de la
figure) soit 30° pour chacune, d'où 8 = 15°,
1442
3. ETUDE D'UNE POUTRE AVEC CHARGE
CONCENTREE A MI-TRAVEE
Pour une longueur de poutre supérieure à 2 z, la bielle à 45° partant de. la charge et se
dirigeant vers l'appui, ne peut atteindre ce dernier. Il faut donc relever la charge (qui est égale
à l'effort tranchant) par des aciers verticaux qui la replacent en tête d'une nouvelle bielle. Si
cette deuxième bielle ne peut atteindre l'appui, il faudra un deuxième acier de relevagé puis
une troisième bielle, ainsi de suite jusqu'à l'appui.
On peut imaginer différents systèmes de bielles et tirants pour les poutres. Par exemple, sur
la figure 12, un modèle simple dans la demi-poutre droite et un modèle double dans la demi-
poutre gauche des poutres situées côté gauche, On retrouve bien le modèle Ritter-Mürsch
dans la demi-poutre droite.
Y=
р
>
„”
— - = Ag — = = -
” « A
” x pd „” A “ ` + `\
|
|
|
|
|
|
-
|
|
Fig. 12 — Modèles simple et double de bielles et tirants dans les poutres.
* Théorie du treillis
La théorie du treillis de Ritter-Môrsch consiste à considérer un fonctionnement de la poutre
‘avec des bielles à 45° et des tirants verticaux. Ce modèle peut être généralisé avec des bielles
d'inclinaison variable et des aciers inclinés (Fig. 13).
1443
acier de relevage de bielle bielle fissure
/ | Z(cotga+cotg0) | z(cotaa+cotgo) + 2(cotga + cotgS) |
] 1
appui
Fig. 13 — Modèle de treillis à bielles et aciers d'inclinaisons variables.
La partie de béton comprise entre deux fissures parallèles constitue une bielle de largeur z
(cotg à + cotg 6). L'effort de compression dans la bielle vaut (Fig. 14) :
| 2(cotgx + coge) |
Fig. 14 - Bille.
Vv
C= L_ et l'effort de traction dans les aciers est égal à T= —— pour un effort
sin 0 sin &%
tranchant V. | _ |
La bielle a pour section droite : A, = b z (cotg & + cotg 6) sin © d'où la contrainte de
compression de la bielle :
Obielle = T= = y = ! 5 et l'effort tranchant repris par
А, 52 (cotg & + cotg B)sin’ ©
la bielle :
V =b2 0 het (cOtg A + cotg 0) sin? 0
Formule qui correspond bien à celle de l'effort tranchant résistant donné par l'Eurocode 2 :
1444
Vraz =b,,2 Y Fou (cOtg A + cotg 6) /(1 + cotg” 6) avec 1+ cotg” 0= —
sin 8
fe
et Ghielle = Y [y = У =.
Ye
A
L'effort de traction dans les aciers est repris par une section diacier par unité de longueur —
$
sur une longueur z (cotg Π+ cotg 0) et une contrainte Oy:
A,
= — tg & + cotg 0) o,
na” 7 z (cotg cotg 0) o
Formule qui correspond bien à celle de l'effort tranchant résistant des aciers de
IEurocode 2: Vera =2 Ay fywa (COtE @ + cotg 6) sin à / 5.
L'Eurocode 2, ENV 1992-1 propose une méthode de calcul 2 l'effort tranchant avec des
bielles d'inclinaison variable. L'angle © peut être pris au choix entre 26,6° et 63,4° (la
tangente de l'angle est comprise entre 0,5 et 2),
Pour des aciers verticaux, on constate que la résistance maximale de la bielle est obtenue
(Fig. 15) pour un angle d'inclinaison des bielles sur l'horizontale 0 de 45° et la section
minimale d'acier pour un angle © de 26,6°. '
On a donc tout intérêt à prendre en compte des bielles inclinées à 26,6°, sauf cas assez rare
où la condition de contrainte de la bielle serait prépondérante.
A
“|
—_| VRa2
Be
266 35 45 55 634 6
A
Fig. 15 — Variation de la résistance de la bielle Vraz et-de la section d'acier — en fonction de
l'inclinaison de ces derniers. 5
4. ETUDE D'UNE POUTRE EN Té AVEC CHARGE
REPARTIE (Fig. 16)
.Nous supposons, dans ce qui suit, que la portée est un multiple de z cotg ©, où © représente
l'inclinaison des bielles (en général 45°) (Fig. 17).
1445
y
a 7
. ; +
| | | Tn
h
As
©
»*
Fig. 16 — Poutre en Té.
Nous considérons un treillis simple dont les bielles sont toutes inclinées de @ sur l'horizontale.
La charge répartie est supposée concentrée au droit de chaque nœud supérieur. C'est l'hypothèse
retenue pour les poutres treillis métalliques.
Ainsi chaque nœud reçoit une charge P= p zcotg 0 à l'exception du premier pour lequel on a
une charge 0,5P= pcg?
Elévatlon
Pepreoge : IN
ров ов ово Ц
7 a AR
1° „” „” ” r 7 “N
+, ’ e La # `
h 2 ‚” + ” Js ‚rt FA | “
, e Г + + A 4 `
‚” ” ‘ РА „” x“ `
# # ‘ A A | +
A ol el, ol, el, el, \
2 Cog U 260108 20098 2 cotg 6 teoigé 220194
L/2
1
|" |
1
|
y 1
1
1
I A в © o
a ! x > F
%
| a e A „” J “
po —— — p= # we x mtd E — der — — ef | не | ро кн я |.
b = NE Лао ee ее EC F 3
“ N N ` NN ' „”
NE Ny Noo “]. 2
A ce с” | E* ;
|
|
1
1
Fig. 17 — Poutre en Té - Méthode des bielles pour l'âme et la table.
1446
4.1. ETUDE DE L'AME
La réaction d'appui R est équilibrée par une bielle unique AA” et un tirant AB (Fig. 17). |
Chaque bielleinclinée AA’, BB’, ... s'épanouit dans la table par deux bielles horizontales biaises
AA et AA”, BB” e B'B” etc, Ces bielles biaises doivent étre équilibrées par des tirants
horizontaux transversaux AA", BB? .. qui asstrent la couture de la table sur la nervure.
4,1,1, Exemple numérique 1
Avec z=1m, 0=45", ©’ = 45°, L= 12 m et une charge unité p=1
On considère chaque nœud avec les efforts qui lui sont appliqués (compression si la force est
dirigée vers le nœud). :
o Equilibre du nœud À (Compression = signe + et traction = signe —) Е
(Fig. 18) 1 Fe
F; = 0,5 p z cotg 6 = 0,5 A o—
F,=R;/sin6 avec | F8
R,=05pL-0,5pzcotg6=6-05-=35,5 |
F4
F, = 5,52 |
F, =— F, cos 6 = -5,5 Fig. 18
° Equilibre du nceud A’ (Dans le plan vertical). (Fig. 19) F4
F,=pzcotg6= 1 F4
Е, = 5,52 (voir nœud A) | А в «<
Fa =F -FK sing=1- 5542 (2/2) = -4,5 |
F,=F,cos6=5,5
Fig. 19
« Équilibre du nœud B (Fig. 20)
F; = -5,5 ( voir nœud À) Fa
E, =-4,5 ( voir neud B) F ‚”
Fy=-F2/sin8= 4,52 | <.
> Fa=F + F4 cos 0 = -5,5 + 4,5 = 1 F1 B F4
| Fig. 20
1447
* Étude du nœud B' (Fig. 21) | 05
De même, on trouve les valeurs indiquées sur la figure.
* Schéma des efforts dans les barres (Fig. 22) — Fig. 21
Les efforts sont donnés en valeur absolue : les barres tendues sont
en trait plein et les barres comprimées en pointillé.
г" 7 7 ” cow En ta ll e
' er J ’ 2 ” 1° Na
| Ns” RA Ne Y 7 жи и `
051 57 as] 8 | ай; e 181 $7 os| 27 o “e 65
| ” A „” „” `
. ” 7 7
A B Nes cl” O |” 17 el 6 la
5,5 10 13,5 16 17,5 18 18
8
Fig. 22 — Schéma des efforts dans les barres de l'âme.
Remarques
!, On retrouve bien l'effort de traction à mi-travée :
2. On constate qu'il n'est pas nécessaire de disposer de cadres à mi-travée, puisque l'effort est
nul entre F' et G.
3. L'effort de traction dans le tirant inférieur sur appui est égal à l'effort tranchant à l'appui,
déduction faite de la transmission directe de la charge du premier nœud.
La partie de charge transmise directement dans l'appui vaut 0,5 p 2 cotg ©, c'est-à-dire qu'elle
correspond à une charge répartie de longueur 0,5 z cotg 0. Pour des aciers verticaux, on aura
0,5 2.
La plupart des règlements autorisent une transmission directe des charges dans l'appui en
prenant en compte dans les calculs l'effort tranchant à l'abscisse :
» d pour l'Eurocode 2, l'ACI-318-95 (USA), la BSI 8110 (UK),
* 0,5 d pour la DIN 1045 (D),
. = pour le BAEL 91 (valeur peu différente de d = 0,9 h)
1448
Le BAEL autorise de ne pas prendre en compte les charges situées à moins de 0,5 h de “appui et
pour les abscisses x comprises entre 0,5 h et 1,5 À de n'en prendre qu'une fraction —— % (l'aire
15% 3
. " * Sh
de la partie pointillée de la figure 23 est égale à + ).
5h/6
Me]
o
\-- pr > — PE
Fig. 23 — Transmission des charges directement à l'appui suivant le BAEL 91,
L'effort de traction dans la barre AB est égale à l'effort tranchant à l'appui, diminué de la part de
Y Y,
charge transmise directement. Ainsi, l'acier de glissement A, = —— est à calculer avec
Je
l'effort tranchant réduit.
4. L'effort de traction dans le tirant inférieur est à décaler de z vers l'appui le plus proche.
L'effort de compression dans la bielle horizontale supérieure est à calculer avec le moment non
décalé de z.
On retiendra qu'il est préférable de calcüler la section d'acier à une abscisse donnée, avec le
moment à cette même abscisse, de prolonger cette section d'acier de z=0,8A vers l'appui le
plus proche, plutôt que de décaler la courbe des moments de z, En effet dans ce dernier cas, on
calculerait la résistance du béton avec un moment plus élevé que celui qu'il doit supporter
réellement.
De plus, pour la vérification de la section du béton, on peut tenir compte du fait que la section
d'acier réellement mise en place sera plus élevée que celle nécessaire par le calcul à l'abscisse
étudice, car elle a été déterminée pour une abscisse décalée de z du côté du moment le plus
élevé, |
5. Au droit de l'appui, les cadres ne sont pas nécessaires, car la bielle verticale est comprimée,
1449
4.1.2. Exemple numérique 2
Appliquons les résultats précédents à une section 0,30 x 1,2 m et une charge p, = 120 kN/m
(Mie. 2 un béton de 25 MPa et un acier de 500 MPa, avec reprise de bétonnage entre l'âme
et la table,
Fig. 24 — Exemple numérique.
a) Méthode des bielles
Avec2=1m(=0,9d el d=0,9h= 1,11 m). On tire les valeurs des efforts de traction des
tirants verticaux de la figure 22 en multipliant les valeurs par 7, = 0,12 MN/m (Fig. 25).
я 1 Li “ " V
La section d'acier totale À, à disposer sur une longueur z est donnée par А, = — avec
20
500
o. —O o — 4, ‘
«> 17718 434,8 MPa
1
1
|
I
i
i
1
}
'
t
Fig. 25 — Méthode des bielles. Traction dans les tirants verticaux.
% (m) = (m) Vu (MM) Ax (em?) = (cm2/m)
1 4,5 0,54 12,42 12,42
2 3,5 0,42 9,66 9,66
‘ 3 2,5 0,30 6,90 6,90
4 15 0,18 4,14 4,14
5 0,5 0,06 1,38 1,38
6 0 0 0 0
1450
b) Méthode classique
Pour une charge répartie p,, l'effort tranchant vaut Vy= PD, (3 - x) = 0,12 (6 - х)
, . a У,
la contrainte de cisaillement : 17, = bi
A T., —0,3kf »2)b
la section d'acier nécessaire : = (Tu = 0,3kf124) 00
$ 0,9 f, avec reprise de bétonnage, k=0,
d'où :
0.97, 09х1,1х500 MMT
Ar Vay _ 012(6-x)x 1,15 x 10°
$
A
A l'abscisse d=1,11m, 7 = 16,577 - 2,7628 x 1,11 = 13,51 cm?/m que nous obtenons
A,
avec | cadre HAS + | épingle HAS, A,=3x05=15cm? et s= Tai =0,111 m.
A A
. 1 In ”
Pour une section nécessaire — , l'espacement est donné par s= А
$ - I
0,4b, 04x0,3x10'
Pourcentage minimal : — = = 2,4 em?m qui correspond à un
É 500
espacement =0,625m et à une abscisse x tirée de l'équation
A
~ = 16577-27628 x = 2,4 dod x=513m
Le pourcentage minimal sera déterminant À partir de l'abscisse 5,13 m.
Espacement maximal: s= 0,40 m, ce qui correspond à une section d'acier :
1. 3,75 cm*/m
04 х = 4,643 т.
et A une abscisse
L'espacement maximal sera déterminant à partir de l'abscisse 4,643 m.
Nous disposerons les cadres par groupes de n = entier (0,5 L) = 6.
A, Abscisse
x (m) == (cm?/m) s (m) cumulée avec 6 s
> (m)
d= 1,11 13,51 0,111 1,766
1,776 11,67 0,128 — ‚| 2,534
2,534 9,85 0,157 3,476
3,476 | 6,95 0,216 4,772 > 4,643
1451
TT,
ESPI
d’vz _ ,
nop 1=WUW 10$ &71'| = — === = И :UInua,;] op ainad snid Ina[EA sun suokessyg
„(9 —* rd)
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e juepuodse.109 WW ELY y ep 955195927]
: 8 UO ‘P INONZUOF E| INS WU [[] 2p syuousscedss gr 234Y
l'équation : 1,381 4 5, — 3,058 6 54 + 1,5 =0 dont la racine vaut 0,733 > 0,40 m.
On obtient la série d'espacements suivante :
ns absoisse cumulée Labscisse de 4 643 mm correspondant à
(mm) | (mm) Yespacement maximal de 0,40 m
50 50
(10+3)x 111 1 493
6 x 130 2273
6 x 166 3 269
5x 275 | 4 644 3 269 + 6 x 279 = 4 943 > 4 643
done n=5 el 4 643 — 3 269 5 3269 = 275
6 000 - 4 644
3 x 387 5 805 — a — = 339 23%
0,5 x 390 6 000 RA 84% _ 387
* Un entier donne un cadre à mi-travée, un demi donne un espacement à cheval sur l'axe de mi-travée.
Le nombre d'espacement est de : 2 x (13 + 6 + 6 + 5 + 3,5) = 67 soit 68 cadres au lieu de 75,
soit une économie de 10 % pour la travée entière.
AL, emz/m
‘в’
\ b} enveloppe
18,56 NY nécessaire
N
13,51 =
ROD
\ IN |
—
0.04 c) méthode proposés
hb
1 LI... _ v
| TES
a) méthode des bienbs “
| £50 ~~
;
a \
— _
° | 444 — N 8 = 0,40 m {3,75 em2/m)
}
В D % mini e 2,4 cm2/m
nl 1.38
hato.
$ J
—— + | | US ! ze
0 1 2 3 4 4,643 8 - 6=05L x
d=1,11
Flg. 27 - Aciers d'effort tranchant suivant la méthode des bielles, la méthode classique
et la méthode proposée.
1454
CES
4.2. ÉTUDE DE LA TABLE
Sur la vue en plan de la poutre (Fig. 17), on constate que :
— l'effort de compression dans les bielles inclinées de l'âme ne commence à se diffuser dans
la table qu'à partir de l'abscisse z cotg 6 + 0,5 b, cotg 8
- l'effort de traction dans le tirant A"A”” ne s'exerce globalement qu'à l'abscisse
z cotg © + 0,5b, cotg 6° + 0,25 (b - ba) cotg 0” et qu'il ne commence son action qu'à
partir de l'abscisse : :
z cotg À + 0,5b, cotg 6’ + 0,25 (b - b,) côtg 6° — 0,5 cotg ©
2 cotg 0 + b, cotg 6° + 0,5 (b - b,) corg 6
2
4,3. EXEMPLE NUMÉRIQUE
4.3.1. Pour une charge unité p=1
Pour une largeur efficace b = 1 m, une épaisseur d'âme b, = 0,30 m, une épaisseur de
table h, = 0,15 m, un bras de levier z = 1 т, une inclinaison des bielles 6 = 45°, on
obtient :
— Équilibre du nœud A” (Dans le plan horizontal) (Fig. 28)
La répartition des efforts, suivant la partie reprise par l'âme et celles
reprises par les débords de la table, est supposée s'effectuer au prorata F4
des largeurs b, et 0,5 (b - b,), à condition que b corresponde à la
largeur efficace de la table. A' 0 @— F2
bo /2
Fy = Fany cos 8 = 55/2 х 0,3 х 35 = 1,65 A
b-b, cos 6 0,35
ES Far à 5,5 /2 — = 1,925.2
0s 6 Fig. 28 - Noeud A".
Équilibre du nœud A” (Fig. 29)
F, = 1,925/2
Е, = - F, sin 6° = 1,925
F, = F, cos 6° = 1,925
Aya
7} F2
Fig. 29 - Nosud A”,
1455
¿Sy
x 1$
шо 6°] = 22.00% = (
= |—| jos ‘ "n= JAR
¿OT X ENT X POSO 5) 0° ONIA VOS O5 CA
"9150 _ ( s )
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2 —] == НН | ww wp wn
и” | NN `` ``
Ш —— — meaty —s ee Sean — E — u——— —
Se, o 1 Te Ca ENCON e — Te TT
BM | Po 5 Ba 8
21'9 009'9 527 y 005€
(0€ '31I) 5310]39 59р BUDS
On retrouve bien la moitié de la valeur précédente puisque la courbe d'effort tranchant a une
‚ Райиге triangulaire pour une charge répartie. Sa valeur moyenne est bien égale à la moitié de
sa valeur maximum.
| C'est pourquoi le BAEL 91, art. B6.7.2 propose, pour les bátiments pour lesquels les
cisaillements ne dépassent pas certaines valeurs, de prendre la valeur moyenne.
BAEL 91. Art. B.6.7.2
Bâtiments avec charges | | Avec reprise de Sans reprise de
d'exploitation modérées bétonnage vertical bétonnage vertical
‘ Pas de vérification de la - % = 0,025 fers 1 = 0,05 сов
contrainte des aciers si :
Répartition uniforme et moyenne T < 0,05 fers T< 0,10 fea
des aclers si : :
Nous avons :
, V b-b, 0,48 0,7
“ 0,9dh, 2b ” O9x09x0,15 2 ^ 198 <0,10/са = 2,5 MPa
mais > 0,05 fcza = 1,25 MPa
donc, en supposant qu'il ny a pas de reprise de bétonnage vertical, on peut prendre la valeur
moyenne des aciers, soit 1,93 cm?/m à répartir uniformément sur toute- la travée,
L'Eurocode 2 propose de prendre la valeur moyenne du glissement
Effort de glissement moyen par unité de longueur b; =D Msa 1
(vérification de la compression de la bielle) Уза = 2b, z a, < 0,2 eq hy
Acier total de liaison table-nervure par unité de |
on Р | Ag Ува = 2,5б вай;
gueur us =
Si fya
avec:
tr/= 0,035 fe; (0,30 MPa pour fi = 25 MPa)
fu == = == =434,8 MPa
fl
L
b, = largeur totale de table = b, + —
5
2=0,9d
1458
L, = distance entre points de moments nuls
a, = distance entre points de moment maximal et de moment nul (a, = 0,5 L, pour une charge
répartie uniforme).
On trouve ainsi: vs, = > 16 0,084 MN/m < 0,2 x 16,67 x 0,15 = 0,50 MN/m
4
Ay Vsu=25 Tra ly (0,084~25%030%0,15) x 15x10 - 066 cm7<0
Ji Syd 500
Al , em2/m
s A
méthode classique méthode des bielles
valeur moyenne (BAEL, art.B6.7.2)
3,86 a 3,54 |
— |
Si 2,90 ON
| > |
> 2,25 1,61 |
! | =~ [р
1 93 jas des mw mh eb an aE Es Se 4 Ink yn 4 Le ae las int im mm al Pen a de e kn а ee yen = ue ae en om ab
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1,48 | го | „ег
— 0,97 ı
| | ps
| I I I das
НЫНЕ: À |] — A >
0 1 2 3 4 5 6=05L «x
0,825 ı 1,0 L 1,0 L 1,0 в 1,0 | 1,0 L
f | | 1 1 |
Fig. 31 — Quantité d'aciers transversaux.
Remarque
Par la méthode des bielles, on trouve que la section d'acier de liaison table-nervure n'est pas
proportionnelle à la valeur de l'effort tranchant. En particulier, son maximum n'a pas lieu à
l'appui (point d'effort tranchant maximal), mais compte tenu de la longueur de la bielle d'appui
b, лы
(2= 1 m)et de la demi-largeur de l'áme ( > =0,15 m), les aciers ne sont nécessaires qua partir
de l'abscisse 1,15 m.
1459
5. ETUDE D'UN ANGLE DE PORTIQUE AVEC
MOMENT NÉGATIF |
5.1. ÉLÉMENTS DE MÊME HAUTEUR h (Fig, 32)
0,8f,
Ona: Cj=T; C,=T/2 avec о, <
T As
Le d A
Am
ft]
. Fig. 32 - Portiques avec éléments de même hauteur sous moment négatif
| , , Ш Cy — O8f
La largeur a de béton comprimé est déterminée par la condition : с = E = 5
condition de limiter a à 0,5 h.
Remarques
I. Les efforts indiqués ci-dessus ne tiennent compte que du moment, il convient de
considérer l'effort tranchant de la traverse comme une force normale dans le poteau et vice-
versa,
2, les armatures d'un tirant doivent étre ancrées totalement au-dela de son arrét, soil 45 @ en
scellement droit, où un crochet à 135° avec une partie droite en retournement de ! 1 @ au lieu
de 5 minimum, ou un U ou encore un cadre,
1460
J. Il faut s'assurer que chaque tirant est constitué d'un nombre suffisant de barres pour que la
ou les bielles prenant appui dessus aient une longueur de contact suffisante (voir exemple
figure 38 ci-après).
EXEMPLE
h=0,50m; épaisseur b=04m; moment ELU M, = 0,37 MNm
fers = 25 MPa; f.=500 MPa; distance du tirant au parement d' = 0,04 m
0,5728 _ 0,8 x 25
Contrainte de calcul du béton 9, = 5 = 13,33 MPa.
On a les relations :
C M, u ` а
С, = — = —= doll a= — et z=h-d--.
* ab” zab © zbO, ¢ 2
En partant d'une valeur a prioride z=08h=08x0,5=04m.
; M, 0,8728
L'effort de traction vaut T = = = 0,925 MN = ab 5
Par approximations successives, on obtient :
2 а
0,4000 0,1735
0,3733 0,1859
0,3670 0,1891
0,3655 0,1899
0,3651 0,1901
0,3650 0,1901
M, 037
Ts — = —— =0,993 MN
2 0,3724
et la section d'acier : A, = LIST _ 22,85 cm?.
&
5.2. ELEMENTS DE HAUTEUR DIFFERENTE
h 1>h 2
L'angle 6 est obtenu par construction à partir de l'angle supérieur gauche (Fig. 33).
On obtient :
1461
Ca =T,
Cs = T1 cote 0
Ca =T, J2
T,
= ng
Cs =Ti
То = Ty (1 + cotg 6).
Та = Т,
T1
y
та | PN Jas |
N Ya Ca fo La
N 4 Ce Ci hi | ; |
ce 47 £4 Cy
T2
7
©
aciers en U
Ee An
02
| h2 |
Fig. 33 — Portiques avec éléments de hauteurs différentes sous moment négatif.
6. ÉTUDE D'UN ANGLE DE PORTIQUE AVEC
MOMENT POSITIF
6.1. ÉLÉMENTS DE MÊME HAUTEUR h
ET PEU SOLLICITES (Fig. 34)
а, = 20, = 0,87... e 0.428
Yb
1462
C:=C42
N As
N,
N
C=T
9
h ,(
pe-————
Fig. 34 — Portique sous moment positif faible - Traverse et poteau de même hauteur.
6.2. ÉLÉMENTS DE MÊME HAUTEUR h ET
MOYENNEMENT SOLLICITÉS (Fig. 35)
J2
O
C=T; C=Ti=C—=.
As
Ста С 2/2 C=T
NN”
Y
Mo
FH —
Fig.35 - Portique sous moment positif moyen . Traverse et poteau de même hauteur.
1463
6.3. ELEMENTS DE MEME HAUTEUR h ET
FORTEMENT SOLLICITES (Fig. 36)
; ra
„==...
Za
Y
Fig. 36 — Portique sous moment positif Important . Traverse et poteau de même hauteur. a
A
Si a représente le côté de la ligne brisée de la bielle comprimée extérieure et 2 le bras de T
levier, on doit avoir : e
0,496 z € a < 0,917 z | wn:
La valeur 0,496 correspond à une position du point B 2 la verticale du point:A, c'est-a-dire 8 ;
que les trois bielles obliques de longueur a sont entièrement dans le nœud'et que l'angle 8 est
TL
nul: №
: pr.
1
0,496 = a
cos(7/8) + sin(7/8) + 2/2 . 8 E
FP
то: 0,917 = — В
‘sin(x/8) + /2/2 E
La valeur 0,917 correspond a une longueur nulle du tirant
1464 | i
т
С, = {5 T, = те 5)
С, = Т T2=Tto(z)
"'u(a)
Tio(5) sin (9)
С, = TR Ty = e -
Jecos(6 - cos[8 - Y
с, = Tig(5) 1+ O T,=T
cos(e - 7)
а/? 0 T/T | T/T | тут | сис | Сус | сис
0497 | 000 | 0,4142 | 0,4142 | 0,0000 | 1,0824 | 0,4142 | 0,4142
0500 | 1,43 | 0,4142 | 0,4142 | 0,0113 | 1,0824 | 0,4083 | 0,4255
0.550 | 20,91 | 0,4142 | 0,4142 | 0,1619 | 1,0824 | 0,3208 | 0,5762
0,600 | 43,94 | 0,4142 | 0,4142 | 0,2875 | 1,0824 | 0,2929 | 0,7017
0650 | 63,99 | 0,4142 | 0,4142 | 0,3937 | 1,0824 | 0,3097 | 0,8079
0,700 | 78,22 | 0,4142 | 0,4142 | 0,4847 | 1,0824 | 0,3501 | 0,8989
0750 | 87,75 | 0,4142 | 0,4142 | 0,5636 | 1,0824 | 0,3988 | 0,9778
0.800 | 942 | 0,4142 | 0,4142 | 0,6326 | 1,0824 | 0,4486 | 1,0469
0,850 | 988 | 0,4142 | 0,4142 | 0,6936 | 1,0824 | 0,4963 | 1,1078
0,900 | 1022 | 0,4142 | 0,4142 | 0,7477 | 1,0824 | 0,5410 | 1,1619
0.917 | 103,2 | 0,4142 | 0,4142 | 0,7648 | 1,0824 | 0,5554 | 1,1790
On vérifiera :
6.4, ÉLÉMENTS DE HAUTEURS DIFFÉRENTES
ha < h; (Fig. 37)
G1=20; <08fa8/ Yh donc 0; <04 f29/ %
027 = 0,8 28 Yo
1465
+ 4
№
= a
A 45° ht | } Atet=T 1 pie
„” sur 0,5 h1
ий т, inférleur
T2-T1 —
- Ld >|
T2
E o a EE X
=
9
>
y
N
|
Fig. 37 ~ Portique avec traverse plus grande que le poteau.
7 - POUTRE ECHANCREE EN EXTREMITE
La bielle unique d'appui, inclinée de 8, est reprise par un acier horizontal (effort T4), lui-même
tenu par deux bielles (efforts C; et Cz), descendante et montante, situées au-delà de la bielle
principale (effort C4) (Fig. 38).
L'angle © doit être supérieur à 45°, sinon on prévoira un relevage de la charge et une bielle
supplémentaire.
Remarque
L'Eurocode 2 autorise des bielles d'inclinaisons variables, telles que :
0,5 < tg6 < 2.
Les angles B et y doivent être inférieurs ou égaux à 45°. Par exemple, st z2— 7; <z2 ON
prendra B=45° et y= 45° dans le cas contraire.
Ona: Ty=Fceotg0, e C=F/sin0.
1466
Ta
| A de,
EXEMPLE NUMÉRIQUE
Sans reprise de bétonnage,
Données (Fig. 39)
hy m 0,62
ha m 0,42
b m 0,30
a, m 0,20
d m 0,04
m 0,58
m 0,20
Fig. 38 — Poutre échancrée en extrémité . Ferraillage.
zi ha
m 0,20
MN 0,30
MN 0,04
MN 0,05
MPa 25
MPa 13,33
MPa 500
1467
0,04 MN
0,05 MN
300
620
200
Fig: 39 — Exemple de poutre avec échancrure d'about.
Les valeurs suivantes sont fixées a priori, puis corrigées de façon à avoir :
анг; 022; ава’), valeurs calculées en fin de tableau.
zi donnée a priori 0,547
22 donnée a priori 0,347
al donnée a priori 0,305
* Calculs
Variable Formule Unité Valeur
tg B (Z1 — Za)/Za 0,5764
tg y 22/(21 — 22) 1,7350
tg 6 Zp/ay 1,1377 >1doncy=45"°
ß rd 0,5229
Y rd 0,7854
9 rd 0,8497
B ° 29,96
Y 9 45
6 > 48,69
C F/sin © MN 0,3994
Ta F cotg 6 MN 0,2637
1468
Variable Formule Unité Valeur
T4=T5 F-P, MN 0,2600
Cs Ta COSY MN | 0,1931
sin(B + y)
Te C, cos B MN 0,1673
Ca Ta cosh MN | 0.2366
sin(B +7)
T3 Т, - Р, MN 0,2100
C3 т, /2 MN 0,3677
Ca C cos 0 MN 0,2637
Cs С, - С, sin B MN 0,1673
Ts Ts + Co sin y MN 0,4273
Ce Cs + Ca /2 12 MN 0,4273
F
—— MPa 13,29
06 aa’ sin 6
C
A — m 0,068
boy,
24 hy = N2-d m 0,547
Za ho — Ma — d’ m 0,347
e Cae m 0,130
boy,
Cocos
No sar m 0,084
boy,
а’, а, + М2 +d’ m 0,305
Asa Ta/Os cm? 6,06
©, mm 16
Ly Ay + Ag/2 + 22 — 21 + La m 1,14
Ase Tg/Os cm? 8,83
Ast = Ags TO; cm? 5,98
Ao Т/С, cm? 3,85
< Cbu = 13,33 OK
= zy = 0,547 OK
=7,=0,347 OK
= ay = 0,305 OK
3 HA16 = 6,03
avec Lay = 45 2,
3 HA16 +3 HA14= 10,65
3 HA16
3 HA14
1469
Cisatllement dans la partie la moins haute :
F 0,30 0,2 ¢28 _ 0,2 X 25
T = т = = 2, =
"5 bn, -d)" Daxog” > MPa<—— 15
A, _ 1,15(Т, - 0,3 kbdf;2g)
5, 0,9 df,
Cadres verticaux :
avec :
k=1
7 гв = 0,06 зв + 0,6 = 2,1 MPa
Ь = 0,3 т
d=h;-d'= 0,58 т
А, _ 1,15 х (0,26 - 0,3 х 0,3 х 0,58 х 2,1) 10°
s, 0,9 x 0,58 x 500
soit | cad + 1 ép. НАб, s=128 mm
= 6,63 cm?/m
A
* a,
+ 4
q +
_ > a %
580
3HA10
x HAB IMA14
+
=3,33 MPa OK
850
%
N 2 (1 cad+1 ép. HAG) AC
A |
) Wr
Da
|
107 128 | 128 | 426 | 128
LN
1 -
| cade té
+ p. HAS
|
Li= 1130
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5
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a
IHA1I8
1450
1° >|
Fig. 40 — Poutre échancrée en extrémité . Ferraillage.
1470
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y
+
A
E
E
Remarque
Pour des efforts faibles, on peut disposer les deux aciers de relevage sur la même verticale et ne
À, + Ay
pas les décaler de 5
8. CHANGEMENT DE SECTION
Le changement de section d'une poutre peut être traité de la même façon qu'une échancrure,
étudiée ci-dessus en prenant un angle 8 de 45° (Fig. 41).
Les angles f et ‘y doivent être inférieurs ou égaux à 45°, l'un des deux étant égal à 45°.
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Ur 15 45° A 45°
Fig. 41 - Changement de section dans une poutre . Bielles et tirants.
Dans le cas de faible effort tranchant, on peut regrouper les deux aciers de relevage en un seul.
TN
|
Lar L1 |
i
Fig. 42 - Changement de section dans une poutre . Ferraillage.
1471
9. CONSOLES
9.1. SCHEMA SIMPLIFIE a =z (Fig. 43)
On appelle console courte, l'élément en porte-à-faux transmettant l'effort F supporté
directement à l'appui par une seule bielle inclinée d'au moins 45° sur l'horizontale.
Dans le cas contraire, nous aurons une console longue avec au moins deux bielles successives.
Remarque
L'Eurocode 2 autorise des inclinaisons de bielles comprises entre 26,57° et 63,43° (tg 6 compris
entre 0,5 et 2).
Les efforts sont les suivants:
F
sin 6
Ti _cotg8
cos 8” cos ©’
C = T, = C, cos @ = Fcotg ©
C2
Ca=Ci sin 8 + Casine'=F(1+E5
tg 6
tg 9
T,= C,sin0'=F Ta
-< а dr
Te
Ca |
Fig. 43 - Console courte avec a ~ z. Schéma simplifié.
1472
JE
9.2. SCHEMA AVEC BIELLE ÉPANOUIE a <z (Fig. 44)
Les valeurs des efforts sont :
ЕО с Я
2 sin 6 cos 6, 27 2sin 6
C, =
FtgO,
2 sin ©
+
li
T, = F cotg ©
= e Ta = Ts tg 45"
cos 45° 4702
T, cos(6,-45”)
Ca = сов 45° sin(8, + @,)
Ts = Ca sin(0, — 45%) + Ca cos(0, + 04)
sing,
>” “* sine,
T4 = T3 + Ts cos 0, + C5 cos 6»
С; = Ca sin 04 + Cs sin 04
Cy = C4 cos 04 + C4 cos 64
Les angles sont fonction des largeurs À, et À, des bielles comprimées C7 et F.
Les valeurs de À; et À, sont déterminées par les égalités :
r= Ban ©
Y
<
<
=
е28 ВЫ
Gy, = vb 7 À,
©
1473
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8 SC i \Ca 2 > #
Cs \ cy Ka
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mm
f
о
= A
=
Le _— Las” |
Fig. 44 — Console courte (a < z) avec blelle épanouie avec armatures
complémentaires inclinées
EXEMPLE NUMÉRIQUE
Données : h = 0,45; h =030; L=030 ; PF=1
tg 6 = То , soit 8=55°
6, = 15°
<
oo
180, = 03. soit By=6224°
1
o
<
tg 6, = от ‚ soit 6,=43,49°
0,045
8 04 = 5268
; soit By =9,64°
1474
On trouve :
С, = 0,632
С. = 0,610
С; = 0,990
Ca = 0,995
Cs = 0,775
Ti = 0,163
T, = 0,700
T3 = 0,700
Ta = 1,543
Ts = 0,603
x C/sin (8+8,)
E Cy = —
= C,sin (8-86
; са = ата
ЗЕ ` sin 0,
BO Ti=Feotg6:
Cs = 0,700
С; = 1,543
+ 9.3. SCHEMA AVEC ARMATURES HORIZONTALES
COMPLÉMENTAIRES a <z (Fig. 45)
= Le nombre de bielles inclinées d'angle 04, 04, … et d'aciers horizontaux, à gauche de la console,
dépend de la hauteur de la console et de la largeur du poteau.
Les angles 04, 64, … sont pris supérieurs ou égaux à 45°,
; L'angle 8; est déterminé par:
Ч (2d, + d,) cotg © ~ d,cotg (8 +8,) —d,cotg (6 - 6, )
e cotg 0, =
Le
Не. d,
3 8 Si d;=d, ontrouve: cotg 8; =3 cotg 8 - cotg (0 + 8;) —cotg (6-9)
1 4 Pour trois bielles (Fig, 24), les efforts valent :
E C = Са = T; / sin 45°
1 3 sin 0, sin 20, T,=T, cotg 45°
a Te=T,
1 E F sin (6,+0, —6)
sin 0, sin 20,
4 4 Cs =T; cotg 45°
С; = То / sin 64
Ts = Ta(cotg 45° + cotg 61)
Te = То
Св = Т (со! 45° + cotg 61)
; С; = T;/ sin 6
T; = C; cos (0 - 81) - Ca cos 6, Ty =Tz (cotg 45° + cotg 03 +cotg Ba)
C1o = Tz (cotg 45° + cotg 03 +cotg 04) = Ty
Co = С, 510 8, = T,
1475
a | №
—] F Во мн Рой ot SAO
78 Но й 4
отт + > a, + 2X0,216x1,15 x 10 = 9,94 cm? soit 3x 3 HA12
` „45° Та x A 500
E _ (1,741 - 0,602) x 1,15 x 10°
|
4 E
N fay 9 у x As 500
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= 26,20 cm? soit 6 HA25
т;
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Fig. 45 - Console (a < 2) avec armatures complémentaires horizontales. y
ha Hie
EXEMPLE NUMERIQUE
Données: h=0,58; h;=024; L=043; dy=dy2; F=l Fig. 46 — Console avéc a < z . Ferraillage.
gd =0,51/0,40 soit © =51,89°
9, = 20° . |
te 8; =0,19/0,18 soit 0; = 46,54% = 45° #
(94 =0,19/0,18 soit 8, =46,54° > 45° x
cotg 82 =2 cotg 6 ~ 0,5 cotg (0 + 6;) - 0,5 cotg (8 ~ 6,)= 0,602 soit 6,= 58,97" 1
MIT A ETES pe ANS
ANAL бас TALA
9.4. SCHÉMA AVEC ARMATURES VERTICALES
INTERMEDIAIRES (z <a <2z)
С, = 0,406 C”, = 0,826 T, = 0,216 Te = 0,602 | 3 : |
C2 =0917 С = 0,250. Та = 0,602 T7 = 1,741 L'inclinaison 0, est donnée par :
Са = 0,851
Се = 0,602
С, = 1,171
Со = 1,741
1476
С, = 0,829
С, = 0,829
С, = 0,602
T, = 0,602
T4 = 0,602
Ts = 1,171
Ta a, A
PAPA Aa aia e
ыы”, on
LP 3 a AA a =
(2d, + d,) tg@ - d,tg (6 +6,) - d,tg (6 - 6,)
а,
tg 6, =
Si d;=d, onaalors : tg 6; =3 tg 6 - tg (0 + 0;) — tg (0 - 81).
1477
Le a IF
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“Y Ts \ 83 Ta OPA
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Fig. 47 — Console (2 < а < 2 z) avec armatures complémentaires verticales.
Pour deux bielles en partie gauche (Fig. 47), les efforts valent :
F sin (9 +8, - 6,)
Ci = sin 9, sin 26,
- - Esin(62+6,-0)
'— sin 8, sin 20,
Ci cos (0+0)
С, = —
cos 0,
C, cos (6 — 6; )
1 cos 8,
Ty = Ca sin 0, - C, sin (0 - 81)
То = Е cotg 8,
Le schéma convient si C, > 0, c'est-à-dire si
1478
8,>8-0;,
soit :
dy 18 (0+0)+t8 (0-0,)-2t80
d, tg 6 -tg (6-6)
í -
Fig. 48 — Console (z < à < 2 z) avec armatures complémentaires verticales.
P A ce
osons A = —————_,
son tg д, + tg 45°
On a alors : T4 = À T2
T4 = A Te tg 45"
Ts = Ta
AT, tg 45°
$7 sine,
AT,
Ci —
57 cos 45°
Ce=AT,
С; = T2=F cotg ©,
EXEMPLE NUMERIQUE
Données: A=0,45, hi =0,76, L=047, d ¡=04d,,
0,415
t = ———- = 9,
go 0.46 soit 8 = 42°,05
1479
ET PRE EE
3 1 bi
у
o _ 0,41 . Pr
6, = 18°, (8075 73 Soit 6; = 58°,63
On trouve: tg 0, = 1,8 tg O — 0,4 tg(6 + 6,) — 0,4 tg(6 - 81), . soit: 8,=36°,90
А = 0,621
С, = 1,113 С’, = 0,630 T, = 0,310
С; = 0,393 T, = 1,332
C3 = 1,271 Та = 0,827
C4 = 0,969 T4 = 0,827
Cs= 1,170 Ts = 0,827
Ce = 0,827
С; = 1,332
Dans les trois exemples étudiés ci-dessus, on a un rapport des efforts dans les aciers
complémentaires sur l'effort de tirant égaux à :
2T, _ 2x0,163
a 0,466
2T; 2x0,216
To “0602 - 0,718
27, 2x031
T, 1,332
= 0,466
Ces.exemples montrent la nécessité de disposer d'aciers complémentaires relativement
importants par rapport aux aciers du tirant principal,
10. OUVERTURES DANS LES DALLES
Dans une portion de dalle où l’on peut supposer le moment constant, une ouverture de moyenne
ou grande dimension perturbe le cheminement des efforts de compression en fibre supérieure
(moments positifs) et de traction en fibre inférieure. Les bielles ou tirants longitudinaux
interrompus par l'ouverture doivent être repris par des bielles et tirants inclinés tels que
dessinés sur la figure 49 [11].
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1 A } 1 y Y Y y
Face comprimée Face tendue
Fig. 49 — Ouverture dans une dalle sous moment constant.
11. GRANDE OUVERTURE DANS UNE POU
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