Simulation du procédé de nanoimpression thermique sur silicium

Simulation du procédé de nanoimpression thermique sur silicium
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École doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’Ingénieur
Doctorat ParisTech
THÈSE
pour obtenir le grade de docteur délivré par
l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Spécialité “ Mécanique-Matériaux ”
présentée et soutenue publiquement par
Hubert TEYSSÈDRE
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le 12 novembre 2013
Simulation du procédé de nanoimpression thermique
sur silicium revêtu d’un film polymère ultramince
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Jury
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Directeur de thèse : Pierre GILORMINI
Co-encadrement de la thèse : Stéfan LANDIS $
M. Laurent DAVOUST, Professeur, Grenoble INP/ENSE3
M. Elias CUETO, Professeur, Université de Saragosse, Espagne
M. Helmut SCHIFT, Chercheur senior, Paul Scherrer Institut, Suisse
M. Gilles RÉGNIER, Professeur, PIMM, Arts et Métiers ParisTech
M. Pierre GILORMINI, DR CNRS, PIMM, Arts et Métiers ParisTech
M. Stéfan LANDIS, Chercheur senior, MINATEC, CEA/LETI, Grenoble
Président
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Examinateur
T
H
È
S
E
Arts et Métiers ParisTech - Centre de Paris
Laboratoire de procédés et ingénierie en mécanique et matériaux (PIMM)
Remerciements
sé pa lo somin que lé malizé,
sé le malizé que lé lo somin 1 .
Sören Kierkegaard (1813-1855)
Si ce manuscrit présente les travaux scientifiques que j’ai réalisés durant ces trois années
passées dans la région grenobloise, il ne saurait rendre compte des contributions de chacun,
directes ou indirectes, sans quelques remerciements. Sans souci de chronologie, de préférence
ou d’importance, je tiens donc à remercier monsieur Daniel Turover et l’entreprise Silsef pour
avoir réuni des partenaires d’excellence, et avoir participé au montage et au financement de ce
projet de recherche. Assurément cette thèse n’aurait pu être finalisée dans des conditions très
favorables sans la participation du CEA de Grenoble, que je remercie également.
Gilles Régnier. Tu auras émis trop de regrets quant à l’accompagnement de la thèse pour
que je m’abstienne de te rappeler que tu es la personne qui m’aura mis sur la route de Grenoble.
Ne sois pas bête, va voir ce qu’ils font, tu verras, Grenoble c’est super... . J’y suis resté. Au
delà de cette anecdote, tes conseils de polymériste ont été très précieux et ils m’auront beaucoup
aidé pour la rédaction de ce mémoire. La thèse se termine mais je suis convaincu que l’on aura
d’autres bouts de route à faire ensemble.
Pierre Gilormini. J’espère t’avoir appris deux ou trois petits trucs pendant ces trois
années . Si l’on parlait de cheesecake, de flan nature ou d’autres pâtisseries je veux bien que
tu te poses la question, je n’avais pas beaucoup de retard sur toi sur ces sujets. Pour le reste, tu
as simplement été exemplaire. Toujours disponible, méticuleux, un zeste de convivialité et un
enrobage de modestie, what else ? Et si je te disais que tu as été le meilleur directeur de thèse
que je n’ai jamais eu ? Tu succèdes à une longue série de professeurs qui auront marqué mon
éducation scientifique, et j’ai une pensée particulière pour monsieur Poss, à la différence que tu
auras eu trois années pour me cuisiner. Je n’ai jamais autant été mis à l’épreuve et mon grade
de cachanais n’aura jamais été autant malaxé. J’ai dû maintes fois faire face à mes lacunes et
relever des défis personnels. Mes compliments pour ta recette, j’ai appris beaucoup de choses
autant sur le fond que sur la forme, et j’aurai, après trois ans, pris goût à la recherche. Pour
tout, merci beaucoup.
Je tiens également à remercier deux familles qui ont largement contribué à mon épanouissement personnel durant ces trois dernières années. Elles auront toutes les deux su m’accueillir à
bras ouverts et pallier la distance qui me sépare de ma famille. Deux adoptions avec des confitures pour le courage, des discutions, de la distraction, des échanges ponctuels mais intenses.
Merci donc à la famille Grange qui m’aura initié à la confection des chocolats. Merci à leur fille
1. Ce n’est pas le chemin qui est difficile, c’est le difficile qui est le chemin , citation traduite en créole
réunionnais.
cadette, Lucie, pour son chapelet de blagues et de devinettes qui m’auront permis de divertir
les proches. Merci à la famille Bauer pour leur hospitalité et leur générosité. Laurent, notre
coup de foudre amical aura suscité de nombreuses discutions sur la politique ou encore la
famille. J’ai beaucoup apprécié ta bienveillance et j’espère que nous aurons d’autres occasions
pour jouer aux philosophes. Avec la famille Bauer j’embrasse évidemment Philippe et sa femme.
Deux adoptions qui sont manifestement nées de deux rencontres singulières. Laura Grange,
une amitié qui s’est forgée à petit feu, du BDE à l’agrégation, autour des rocks palpitants, des
quizz et des gourmandises. Morgane Mélanie Bauer, de la colocation aux premières fêtes de
fin d’année passées ensemble, seulement trois petits mois se seront écoulés. Lo, Bichik, merci
pour votre accueil lors de mes nombreuses visites à Paris. Je suis content d’avoir pu partager
quelques moments sportifs avec vous à Grenoble et je vous souhaite à toutes les deux plein de
réussite pour la suite. De toute sa grosseur, Bijou vous embrasse.
Merci également à Patate, Soso, Aline, Marine, Zouzou, Mimi, Manu et Damien qui auront
animé mes soirées parisiennes et m’auront apporté de la bonne humeur. Petite pensée pour Stall
malgré nos difficultés à se retrouver. Je remercie JT, Sandra, Juliette et l’ensemble des membres
de la CJC pour les moments passés ensemble, amicaux et associatifs. Je remercie les membres
du PIMM pour les moments passés au laboratoire et au ski. Je remercie en particulier Lounès
pour m’avoir aidé dans les étapes de programmation et Odile pour sa réactivité à mes perpétuels
imprévus.
La vie grenobloise n’aurait su être si propice à mon épanouissement sans la participation
de Marjolaire, Lolita, Johann, Pauline, Anthony, Blandine, Florent, Camille, Estelle, Laurent,
Clark, Audrey B, Clément et Scarlett. La vie sur la presqu’ı̂le n’aurait pas eu la même saveur
sans Nico, Yann, Matteo, Giorgio, Karine, Emanuela, Guillaume, Marie Hélène, Audrey S,
Vince, Etienne, Alain G et la nouvelle recrue, Justin, à qui je souhaite une excellente continuation pour son doctorat. Je remercie enfin Gaëtan Fayolle de m’avoir accueilli au sein de l’IUT et
de m’avoir permis de m’essayer au métier d’enseignant. Mon doctorat aura été, manifestement,
parsemé de rencontres fort agréables. À tous, un grand merci.
Je ne pourrais conclure ces remerciements sans mentionner l’immense contribution de notre
très cher Stéfan Landis. Comment ne pas se prendre au sérieux et titiller l’excellence. Subtil
mélange d’un collégien et d’un esprit brillant. Je ne saurais mieux le dire que Tanguy, ton
humour potache fait vivre à sa façon l’équipe qui t’entoure, et malheureusement pour eux,
Sebastian si tu me lis, cet humour m’aura séduit. Sous tes airs d’adolescent épais se cache une
maturité singulière que j’ai beaucoup appréciée. Tu m’auras appris à coucher en salle blanche,
à gérer mes émotions, à respecter la hiérarchie et à prendre de l’envergure. Maurice ne change
rien et j’espère que nous aurons l’occasion de travailler à nouveau ensemble dans le futur.
Enfin, bien qu’éloignée, je remercie ma famille pour son soutien. Merci à ma mère pour
m’avoir aidé à sa façon à préparer la soutenance. Cette dernière année de thèse aura été accompagnée de la naissance de Thomas et je souhaite à mon frère et sa compagne beaucoup de
bonheur dans cette nouvelle aventure. Les fins d’études auront laissé place à des retrouvailles
et j’ai été touché de vous voir Vincent, Ramon et Julie à ma soutenance. À vous tous, je vous
embrasse.
Avant de laisser les plus courageux d’entre vous dévorer les chapitres suivants, je tiens à
remercier mes relecteurs qui, malgré les difficultés techniques, m’ont été d’une aide précieuse
pour rendre ce manuscrit dans les temps et sans trop de coquilles. Merci à Estelle, Florent,
Vincent, Stéfan et, avec un petit exposant, Pierre. . .
Table des matières
1 Introduction
1.1 Fabrication des substrats et des films de polymère .
1.1.1 Les plaques de silicium . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Les films minces de polymère . . . . . . . . .
1.2 Les procédés de lithographie . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Lithographies optique et électronique . . . . .
1.2.2 La nanoimpression . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La nanoimpression thermique et son industrialisation
1.3.1 Les enjeux industriels . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Les distributions d’épaisseur résiduelle . . . .
1.4 Problématique et démarche scientifique . . . . . . . .
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2 Caractérisation des matériaux
2.1 Caractérisation macroscopique et microscopique des polymères
2.2 Mesure de la viscosité en couche épaisse . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Viscosité et viscoélasticité . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Le principe de Cox-Merz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 La rhéofluidification en nanoimpression . . . . . . . . .
2.3 Caractérisation sur le rhéomètre à plateaux parallèles . . . . .
2.3.1 Montage et protocole expérimental . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Équilavence temps-température . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Caractéristiques mécaniques de nos matériaux . . . . .
2.4 Mesure de l’énergie de surface et angles de contact . . . . . . .
2.4.1 Expérience de la goutte pendante . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Mesure de l’angle de contact sur silicium . . . . . . . . .
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Modélisation des écoulements et résolution numérique
3.1 Les différents modèles pour la simulation de la nanoimpression . . . .
3.1.1 Approche par la mécanique du contact . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Application de la théorie de la lubrification aux couches minces
3.1.3 Approche par la dynamique moléculaire . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Approche retenue dans cette thèse . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Conventions d’orientation dans une section . . . . . . . . . . .
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3.2.2
3.2.3
3.3
3.4
3.5
Équations d’équilibre dans le volume . . . . . . . . . . . . . .
Conditions aux limites à l’échelle nanométrique . . . . . . . .
3.2.3.1 Conditions sur les axes de symétrie . . . . . . . . .
3.2.3.2 Conditions sur la surface libre . . . . . . . . . . . .
3.2.3.3 Conditions aux points triples . . . . . . . . . . . . .
3.2.3.4 Sur l’interface polymère-solide . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Formulation variationnelle faible . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.1 Intégration sur le volume . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.2 Intégration sur ΓA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.3 Intégration sur ΓS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.4 Intégration sur ΓF . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4.5 Formulation Variationnelle complète . . . . . . . . .
3.2.5 Les cas plan et axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discrétisation des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Méthode des éléments naturels contraints (C-NEM) . . . . .
3.3.2 Les intégrales de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Intégration au bord du domaine . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Sommation sur les points Ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assemblage et résolution du système matriciel . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Décomposition des matrices pour la résolution . . . . . . . .
3.4.2 Bases locales et équations indépendantes . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Condensation du système pour la simulation à effort constant
3.4.4 Résolutions linéaire et non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 NanoNem, un outil de simulation pour la nanoimpression
4.1 Motivation et cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Le code et son environnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Création des nœuds sous GMSH . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Interface homme-machine . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Post-traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Structure et fonctionnement de NanoNem . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Architecture du code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Modification du champ de vitesse pour la mise à jour de
4.3.3 Calcul de l’incrément de temps . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Validation du code de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Validation du calcul d’effort par Abaqus . . . . . . . .
4.4.2 Validation du glissement en couche mince . . . . . . . .
4.4.3 Effacement d’une onde superficielle . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Remplissage par capillarité . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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la géométrie
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5 Mesure de la viscosité et de la longueur de glissement de Navier pour des
films minces
87
5.1 Effacement de motifs et caractérisation des matériaux . . . . . . . . . . . . . .
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5.2 Modélisation de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Validation expérimentale de NanoNem
6.1 Impression de structures périodiques longiformes . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Protocole expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Caractérisation des impressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Simulations à 72˚C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Simulations à 80˚C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Impressions partielles et fabrication de formes axisymétriques . . . . . . .
6.2.1 Motivations de l’étude et géométrie des motifs . . . . . . . . . . .
6.2.2 Modes de remplissage d’une cavité axisymétrique . . . . . . . . . .
6.2.2.1 Épaisseur de transition du remplissage mécanique . . . .
6.2.2.2 Influence de la capillarité et de la longueur de glissement
6.2.2.3 Influence de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Protocole expérimental et caractérisations . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.1 Impression sur EVG520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.2 Caractérisation à l’échelle de la plaque . . . . . . . . . .
6.2.3.3 Comparaison des temps d’impression . . . . . . . . . . .
6.2.3.4 Mesure de l’angle de contact . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.5 Caractérisation de la courbure . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Conclusion et perspectives
7.1 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Équation de comportement du moule . . . . . . . . .
7.2.2 Équilibre d’un motif avec flexion du moule . . . . .
7.2.3 Les modèles d’écoulement simplifiés . . . . . . . . .
7.2.4 Utilisation de NanoNem dans le problème de flexion
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5.2.1 Solution analytique pour des amplitudes très petites
5.2.2 Influence de la longueur de glissement . . . . . . . .
Domaine de validité de la solution analytique . . . . . . . .
5.3.1 Vitesse de cisaillement maximale . . . . . . . . . . .
5.3.2 Amplitude maximale . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Extension à un profil en créneaux . . . . . . . . . . .
Effacement de micro-rainures fabriquées par nanoimpression
5.4.1 Les paramètres critiques . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Choix des paramètres géométriques . . . . . . . . . .
5.4.3 Fabrication des structures . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Protocole expérimental d’effacement . . . . . . . . .
5.4.5 Traitement des images AFM . . . . . . . . . . . . .
5.4.6 Application et résultats . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.7 Incertitudes sur w et h . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.8 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.3
7.2.5 Optimisation du procédé de nanoimpression
7.2.6 Les conditions aux limites . . . . . . . . . .
7.2.7 Le moule vu comme un filtre mécanique . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Manuel d’utilisation de NanoNem pour la résolution
Stokes (2D plan ou axisymétrique)
A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Installation de NanoNem . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Le compilateur C++ . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Compilation des routines C-NEM . . . . . . . .
A.3 Problème de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Solution à l’équilibre dans le cas plan . . . . .
A.3.2 Solution à l’équilibre dans le cas axisymétrique
A.4 Création des fichiers pour la simulation . . . . . . . .
A.4.1 Créer sa géométrie avec GMSH . . . . . . . . .
A.4.1.1 Les entités géométriques . . . . . . .
A.4.1.2 Les règles de base . . . . . . . . . . .
A.4.1.3 Les groupes de nœuds . . . . . . . . .
A.4.1.4 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Créer le fichier .cnm pour la simulation . . . .
A.4.2.1 Conditions aux limites . . . . . . . . .
A.4.2.2 Propriétés matériau . . . . . . . . . .
A.4.2.3 Paramètres de simulation . . . . . . .
A.4.2.4 Multi-étapes . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2.5 Bilan .cnm . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3 Le fichier .ant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1 Suivi de la simulation . . . . . . . . . . . . . .
A.5.2 Sauvegardes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3 Séquence de fichiers . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Post-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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135
136
137
139
d’un problème plan de
149
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. . . . . . . . . . . . . . 150
. . . . . . . . . . . . . . 150
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. . . . . . . . . . . . . . 171
Chapitre 1
Introduction
La nanoimpression est un procédé de fabrication inventé par Chou et al. en 1995 [1] permettant de structurer une surface à moindre coût. Dérivée du procédé d’embossage, la nanoimpression fait partie des procédés de lithographie par contact mécanique. Elle permet la reproduction
de géométries dont les dimensions varient de quelques centaines de micromètres à quelques nanomètres [2]. En pratique, ce procédé consiste à utiliser un solide sur lequel les structures sont
déjà présentes (le moule) et à le presser contre un matériau moins rigide pour reproduire la
forme complémentaire des motifs. La simplicité de ce procédé le rend attractif d’un point de
vue industriel. Les structures qui sont fabriquées peuvent avoir des formes aussi simples que
des rainures, des plots cylindriques, ou des formes plus complexes comme des pyramides ou des
roues dentées. Un des avantages de la nanoimpression est de pouvoir reproduire des structures
en grande quantité, organisées de manière périodique, et qui peuvent couvrir des surfaces allant
de plusieurs dizaines de centimètres carrés à quelques mètres carrés. Elles peuvent soit être utilisées individuellement et être intégrées à des mécanismes, soit être utilisées avec l’intégralité du
réseau périodique pour fonctionnaliser des surfaces, en modifiant par exemple leurs propriétés
optiques ou mécaniques.
Cette thèse s’intéresse donc à ce procédé de fabrication qui aujourd’hui soulève encore des
questions fondamentales sur son principe de fonctionnement. Elle s’intéresse en particulier à
l’écoulement des films de polymère d’une épaisseur inférieure à 500 nm déposés sur un substrat
de silicium, à la déformation de ces films et à la possibilité d’optimiser ce procédé pour des
applications industrielles. Nous aborderons dans cette thèse la modélisation et la simulation
du procédé, la caractérisation du comportement des matériaux à l’échelle nanométrique et
les interactions entre le film de polymère et le moule. Ces différents points sont développés au
cours de six chapitres. Le premier chapitre présente le contexte général dans lequel s’inscrit cette
thèse, ce qui a motivé cette étude et la problématique à laquelle nous avons tenté de répondre.
Le second chapitre présente d’une part la caractérisation des comportements mécaniques des
deux polymères utilisés dans cette thèse (caractérisation faite avec des films épais de quelques
millimètres d’épaisseur), et d’autre part la mesure des énergies de surface de ces polymères
dans l’air et sur silicium. Le troisième chapitre présente la modélisation retenue pour décrire
l’écoulement du film de polymère, les forces spécifiques qui s’appliquent aux petites échelles
et la résolution numérique des équations. Ces modèles et la résolution numérique ont permis
de développer un logiciel de simulation spécifique pour les micro-écoulements. Ce logiciel et sa
validation théorique à partir d’exemples de la littérature font l’objet du quatrième chapitre.
5
tirage du silicium
rectification
découpe
polissage
Figure 1.1 – Illustration des étapes principales de fabrication des plaques de silicium monocristallin.
Le cinquième chapitre présente une première application pratique de ce logiciel pour aider à
définir une méthode mesurant d’une part la viscosité des films minces de polymère déposés
sur un substrat, et d’autre part un paramètre spécifique aux écoulements à petites échelles,
la longueur de glissement. Le sixième chapitre est consacré à la validation expérimentale des
modèles et hypothèses faites dans les chapitres 2 et 3, ainsi qu’à l’ajustement des modèles. Une
conclusion dresse le bilan des avancées réalisées au cours de cette thèse, et met en lumière les
questions encore en suspens quant à la compréhension et à l’optimisation du procédé. Cette
conclusion est suivie de quelques perspectives et suggestions pour les travaux futurs.
1.1
1.1.1
Fabrication des substrats et des films de polymère
Les plaques de silicium
Les substrats utilisés dans cette thèse sont des plaques de silicium monocristallin ayant
des diamètres bien définis (de 50 à 300 mm) et une épaisseur inférieure au millimètre. Les
plaques sont obtenues en quatre étapes, illustrées sur la figure 1.1. La première étape consiste
à tirer le cristal de silicium grâce au procédé de Czochralski [3] découvert en 1918 qui permet
d’obtenir un monocristal géant de silicium. Celui-ci est rectifié au diamètre final des plaques
et l’orientation des plans cristallins est repérée au cours de la seconde étape. Le cylindre est
ensuite débité en tranches à l’aide d’une scie circulaire diamantée lors de la troisième étape.
Finalement les plaques sont polies mécaniquement et chimiquement. Le polissage n’est pas le
même des deux côtés de la plaque. On distingue la face arrière qui sera en contact avec les
différentes machines, et la face avant sur laquelle le film de polymère sera déposé. Cette face a
des tolérances de fabrication extrêmement faibles, avec une flèche inférieures à 20 µm pour une
plaque de 200 mm et une rugosité inférieure à l’Angström.
1.1.2
Les films minces de polymère
Les films minces de polymère sont fabriqués par étalement centrifuge grâce au procédé
de la tournette (spin-coating), et ils ont des épaisseurs comprises entre 10 nm et quelques
micromètres. Le polymère, dilué dans un solvant (anisole) à des concentrations variant entre
2 et 10 % en masse, est déposé au centre de la plaque de silicium à l’aide d’une seringue.
Cette plaque est mise en rotation avec des vitesses allant de 1000 à 5000 trs/min, forçant ainsi
la solution à s’étaler radialement et laissant une fine couche de polymère fixée au substrat.
6
L’épaisseur du film dépend ici de la viscosité de la dilution, c’est-à-dire de sa concentration en
polymère, et de la vitesse de rotation de la plaque. Après la phase de rotation d’environ une
minute, du solvant est déposé sur le bord de la plaque à une vitesse de rotation plus basse afin
de détourer le film et lui donner un diamètre légèrement inférieur à celui de la plaque. Enfin, le
film subit une étape de recuit thermique pour évaporer le solvant résiduel encore présent dans
le polymère. La mesure de l’épaisseur moyenne se fait par une méthode optique (ellipsométrie).
1.2
Les procédés de lithographie
La nanostructuration est intimement liée aux progrès réalisés dans le domaine de l’imprimerie, avec la volonté de pouvoir dessiner des objets de plus en plus petits sur des supports de
différentes natures. Elle utilise quatre principes de base pour obtenir un dessin sur une surface :
– le dépôt d’un matériau, liquide ou solide, sur cette surface,
– l’ablation d’une partie de la matière,
– la déformation de la surface,
– la modification des propriétés chimiques du matériau.
Ces différents principes peuvent se compléter et être utilisés en plusieurs étapes successives
pour obtenir des dessins ou des motifs à la surface d’un substrat.
La lithographie est une technique permettant de réaliser ces étapes sur des surfaces réglées.
Elle a connu des développements spécifiques dans le milieu de la microélectronique avec comme
objectif principal de réaliser des motifs de plus en plus petits, plus complexes et à moindre
coût. Cette technique se divise en deux grandes familles de procédés, ceux sans contact et ceux
avec contact. Dans cette thèse nous nous contentons de présenter les technologies principales,
dont celles que nous avons utilisées pour élaborer nos moules et nos structures.
1.2.1
Lithographies optique et électronique
Bien que les procédés sans contact soient les plus onéreux, ce sont les plus utilisés dans
l’industrie de la microélectronique. Ils permettent d’atteindre des cadences de production d’une
dizaine de plaques structurées à l’heure, avec des rendements très élevés ( 99 % de cellules
actives).
Leurs principes de fonctionnement sont très proches et sont présentés sur la figure 1.2.
Un film de polymère photosensible est déposé sur le substrat, puis est exposé soit à un flux
d’électrons (lithographie électronique, figure 1.2a), soit à un flux lumineux à travers un masque
(photolithographie, figure 1.2b). L’exposition à un ce ces flux modifie localement les propriétés
physiques du film. Un traitement chimique permet ensuite soit de retirer la partie exposée (figure 1.2c), soit de retirer la partie non exposée (figure 1.2d), laissant des structures en polymère
sur la plaque.
Pour la photolithographie la résolution dépend de la longueur d’onde du flux lumineux, de
l’ouverture numérique de l’optique et d’un facteur numérique lié au procédé. Par exemple, la
lumière ultra-violette avec une longueur d’onde de 193 nm permet d’avoir des résolutions de 22
à 17 nm. Une résolution de 14 nm voire moins peut être atteinte grâce à l’extrême ultra-violet
avec une longueur d’onde de 13,5 nm, mais ce procédé nécessite de travailler sous vide avec des
masques plus sophistiqués.
Pour la lithographie électronique, le faisceau d’électrons écrit les motifs point par point. Il
s’agit d’un procédé lent, défaut qui pourra être compensé par l’utilisation de plusieurs faisceaux
7
source électronique
a)
lentille collimatrice
déflecteur et
lentilles de projection
retrait des parties
exposées
polymère
substrat
c)
gravure des motifs
dans le substrat
résines à tonalité positive
source UV
b)
condenseur et
masque
polymère
film après exposition
substrat
exposition du polymère
retrait des parties
non exposées
d)
gravure des motifs
dans le substrat
résines à tonalité négative
Figure 1.2 – Principe de structuration d’une plaque par les procédés de lithographie
électronique et de photolithographie. Après exposition, une attaque chimique permet de retirer soit la partie exposée (c), soit la partie non exposée (d).
en parallèle. Cette écriture en parallèle est en cours de développement. Mais elle a l’avantage
de ne pas utiliser de masque, ce qui permet de réduire les coûts de productions supérieures à
10 000 plaques par semaine.
Les structures obtenues avec ces procédés peuvent ensuite être transférées dans le substrat
avec une étape de gravure physico-chimique, illustrée sur la figure 1.2. Le résultat est une plaque
de silicium possédant des nanostructures ayant toutes la même profondeur de gravure. Pour
obtenir plusieurs profondeurs avec ces méthodes, il est nécessaire de répéter l’opération à chaque
fois. Le coût final des plaques est donc essentiellement dû au nombre d’étapes nécessaires pour
obtenir la structuration finale, une étape pouvant être estimée à 500 euros environ, soit 10 fois
le prix d’une plaque vierge de 200 mm de diamètre.
1.2.2
La nanoimpression
Pour réduire considérablement le temps et le coût de fabrication d’une plaque structurée,
les méthodes d’impression avec contact ont été inventées par Chou et al. en 1995 [1], et Haisma
et al. en 1996 [4]. Ces techniques utilisent un support structuré par les méthodes précédentes,
qui sera embouti dans le film de polymère. Les structures sont donc transférées en une seule
étape et en parallèle dans le film de polymère. Ce dernier doit être mis en forme et la forme
finale figée. Pour cela on distingue deux types de procédé en fonction des polymères utilisés.
Le premier procédé, proposé par Chou et al. [1], est la nanoimpression thermique. Il permet
de structurer les films de polymère thermoplastique ou thermodurcissable. Pour les polymères
thermoplastiques, le procédé est illustré sur la figure 1.3, et consiste à chauffer le polymère audessus de sa température de transition vitreuse pour le rendre visqueux, presser le moule avec les
motifs dans le film et maintenir la pression jusqu’à ce que tous les motifs soient transférés. Une
fois le transfert terminé, l’empilement est refroidi en dessous de la température de transition
vitreuse et le moule est retiré. Pour les polymères thermodurcissables, le film est imprimé à
température ambiante puis chauffé pour être polymérisé. Cette méthode permet de faire des
impressions soit d’une plaque entière en une étape, soit, si le moule est plus petit que le substrat,
secteur après secteur en répétant l’opération assez de fois pour couvrir toute la surface.
Le deuxième procédé, inventé par Haisma et al. [4] est la nanoimpression assisté par ultra8
Moule avec motifs
Motifs transférés
Plaque vierge
Figure 1.3 – Principe de fonctionnement du procédé de nanoimpression thermique pour les
polymères thermoplastiques. Le polymère est déposé sur une plaque de silicium, chauffé audessus de sa température de transition vitreuse, embouti par un moule, puis refroidi avant
d’être démoulé.
Moule transparent
Motifs transférés
Plaque vierge
Figure 1.4 – Principe de fonctionnement du procédé de nanoimpression UV pour les polymères
réticulables. Le polymère est imprimé à température ambiante, puis photoréticulé.
violet. Dans le cas des polymères photoréticulables ou résines photosensibles, les matériaux
peuvent être déformés à température ambiante, donc imprimés à cette température. La forme
finale est figée grâce à une photoréticulation avec une lampe UV à travers le moule, comme
illustré sur la figure 1.4. Cette méthode à l’avantage d’utiliser des polymères très peu visqueux
sans avoir de cycle thermique, ce qui la rend plus rapide que la nanoimpression thermique.
Cependant le moule doit être transparent pour permettre la photoréticulation pendant le pressage. On utilise généralement le quartz pour les moules rigides, matériau plus délicat à graver
que le silicium, avec des tolérances géométriques plus grandes. De plus, les moules ne font ici
que quelques centimètres carrés et ne peuvent en général pas couvrir la totalité du substrat en
une étape. Cela présente un léger désavantage par rapport à la méthode précédente qui n’est
pas limitée par la surface du moule.
1.3
La nanoimpression thermique et son industrialisation
La nanoimpression thermique est une technologie simple à mettre en œuvre. Elle peut
potentiellement être plus rapide que les méthodes de lithographie sans contact, grâce à la
possibilité d’imprimer en parallèle des structures de plusieurs profondeurs sur des grandes
surfaces. L’utilisation de ce procédé dans un contexte industriel pour la production de surfaces
structurées, pour les moyennes et grandes séries, semble pertinente. Néanmoins la maı̂trise de
9
ce procédé n’est aujourd’hui pas suffisante pour espérer atteindre de telles cadences.
1.3.1
Les enjeux industriels
La nanostructuration par nanoimpression thermique couvre bien plus de domaines que celui
de la microélectronique. Une revue des domaines d’application est publiée par Guo en 2004 [5],
dont nous pouvons citer quelques exemples. En biologie, l’utilisation de micro-canaux permet
d’étirer les molécules d’ADN et d’étudier les séquences de protéines [6]. La nanoimpression
thermique a également permis de fabriquer des instruments biologiques fonctionnalisés [7].
En photonique elle a permis la fabrication de guides d’ondes [8]. En optique elle a permis la
fabrication de capteurs optiques à hauts facteurs de qualité [9, 10]. Intégrées aux vitres, les
nanostructures permettent de réorienter la lumière ou de créer un effet déperlant, fonctions
intéressantes dans les secteurs du bâtiment et de l’automobile. Ces domaines d’application
offrent donc tous des marchés potentiels, avec des contraintes de fabrication et des taux de
défectuosité moins sévères que ceux de la microélectronique.
Par ailleurs, la nanoimpression thermique n’est limitée en résolution que par les méthodes
de fabrication du moule et peut être utilisée sur des surfaces très rugueuses. En effet, Nielsen et
al. [11] montrent en 2005 qu’en structurant dans un premier temps un matériau souple, celuici peut être utilisé comme un moule souple, se conformant mieux aux défauts d’une surface
donnée. Ce principe est illustré sur la figure 1.5, où l’on voit que la présence d’une rugosité
non négligeable entraı̂ne une flexion du moule conséquente (a). Avec un moule en silicium qui
a un comportement fragile, des déformations trop importantes peuvent facilement entraı̂ner la
rupture du moule ou, dans le meilleur des cas, n’imprimer qu’une partie des motifs. Le moule
souple permet alors de contourner cette difficulté. Sur cette figure trois autres variantes de
la nanoimpression sont également présentées : le step-and-stamp (b), le roll-to-plate (c) et le
roll-to-roll (d). La variante (b) a déjà été évoquée et permet de structurer des surfaces plus
grandes que la taille du moule. Cependant elle nécessite d’appliquer un cycle thermique à chaque
impression et exige des méthodes d’alignement des motifs entre chaque impression. La variante
(c) présente le même avantage pour les grandes surfaces pour des vitesses d’impression plus
grandes. Enfin, pour structurer des films épais en continu, le roll-to-roll (d) est une alternative
pertinente, mais qui présente une difficulté commune au roll-to-plate, qui est la fabrication d’un
moule dur cylindrique. Ces trois variantes permettent de réduire considérablement la taille du
moule par rapport à la surface.
Ainsi, un des enjeux majeurs de la nanoimpression est de développer et de stabiliser ces
procédés, pour pouvoir à terme nanostructurer des grandes surfaces de matériaux, de l’ordre
du mètre carré, dans des délais et des coûts raisonnables. Dans cette thèse nous n’aborderons qu’un seul type de limitation, caractéristique de la nanoimpression thermique, limitation qui représente un réel verrou technologique pour l’utilisation de cette technique en microélectronique : la distribution non homogène d’épaisseur résiduelle.
1.3.2
Les distributions d’épaisseur résiduelle
L’épaisseur résiduelle est une des grandeurs qui permet d’évaluer la qualité des impressions.
C’est l’épaisseur de polymère encore présente sous les motifs après impression, illustrée sur la
figure 1.6. En considérant un profil simple de motifs à section carrée et espacés régulièrement,
dans le cas d’une impression parfaite (a), cette épaisseur est constante et elle peut facilement
10
a)
b)
c)
d)
moule
cylindirque
Moule souple
moule
cylindirque
polymère
polymère
substrat
substrat
substrat rugueux
cylindre
lisse
Figure 1.5 – Variantes de la nanoimpression, avec l’utilisation d’un moule souple pour des
substrats rugueux (a), d’un moule élémentaire reproduit étape par étape (b), d’un moule cylindrique et un substrat plat pour l’impression de grandes surfaces planes (c), et d’un moule et
d’un substrat cylindriques pour l’impression de films épais (d).
être calculée en exploitant la conservation du volume. Dans le cas d’un défaut d’impression, le
moule peut se mettre à fléchir (b), ce qui entraı̂ne une variation de l’épaisseur résiduelle. Ces
défauts sont mis en évidence lors du transfert des motifs dans le substrat. Un élargissement des
cavités (i) ou une variation des profondeurs imprimées (ii) peut être observée dans ce dernier
après la gravure. La maı̂trise des dimensions et des fonctions des motifs n’est alors plus assurée.
Le problème de flexion du moule est intimement lié à l’homogénéité de l’épaisseur résiduelle.
C’est lui qui conditionne en grande partie l’homogénéité de l’épaisseur résiduelle. Ce problème
n’est pas présent dans le procédé de nanoimpression UV puisque les polymères sont liquides,
et s’écoulent donc très facilement dans les cavités du moule. Lee et Jung [12] montrent en 2005
qu’il est même possible d’imprimer un polymère photosensible avec une épaisseur résiduelle
nulle.
Le lien entre le défaut d’épaisseur résiduelle et la flexion du moule a été mis en évidence
en 2002 par Gourgon et al. [13]. Ces auteurs expliquent qu’en fonction de la densité des motifs
le moule ne s’enfonce pas partout à la même vitesse : si une zone comportant des motifs est
juxtaposée à une zone sans motif sur le moule, un défaut d’épaisseur résiduelle apparaı̂tra lors
de l’impression à la jonction entre les deux zones. Ils montrent également qu’en maintenant
la pression et la température d’impression suffisamment longtemps, le moule peut s’équilibrer
et homogénéiser l’épaisseur résiduelle. Cet équilibrage n’est pas systématique et nécessite des
temps longs, incompatibles avec des cadences de production soutenues. Ce lien entre la densité
des motifs et la flexion du moule est confirmé expérimentalement en 2008 par Merino et al [14]
et numériquement par Kehagias et al. [15].
1.4
Problématique et démarche scientifique
Pour anticiper la flexion du moule et corriger les défauts d’épaisseur résiduelle, plusieurs
méthodes ont été proposées. Nielsen et al. [11] soumettent en 2005 l’utilisation d’un moule
ayant une épaisseur variable, pour en modifier la rigidité. Pedersen et al. [16] proposent en
2008 l’utilisation de structures d’équilibrage (dummy features) ajoutées aux motifs originaux.
Expérimentalement, on montre que ces méthodes ont localement un impact sur l’épaisseur
résiduelle, mais qu’il est très difficile de donner les règles permettant de dimensionner l’épaisseur
11
a)
e
b)
(i)
e(x)
Impression
démoulage
(ii)
gravure
Figure 1.6 – Illustration du défaut d’épaisseur résiduelle lors d’une impression. Dans le cas
parfait (a), le moule ne fléchit pas et l’épaisseur résiduelle est constante. Si le moule fléchit (b),
l’épaisseur résiduelle n’est plus homogène.
du moule, ou de dimensionner et de positionner les structures d’équilibrage. La raison principale est que la vitesse d’impression d’un motif dépend de ses dimensions, de l’épaisseur du
film de polymère sous le motif, de l’épaisseur initiale, de la densité des motifs adjacents, du
comportement du polymère, de la rigidité du moule, voire des effets capillaires.
Seule une méthode numérique peut répondre à ce problème, comme celle proposée par
Taylor et al. [17] en 2011. L’algorithme de ces auteurs permet de connaı̂tre la relation entre
la vitesse d’impression et l’effort qu’exerce le polymère sur une partie du moule. Ces efforts
leur permettent de calculer la flexion du moule puis, de manière itérative, l’épaisseur du moule
est modifiée localement, modifiant ainsi sa rigidité pour minimiser cette flexion. Le cœur du
problème est d’évaluer la vitesse d’impression du moule qui est liée à l’écoulement du polymère
sous les motifs. Pour décrire cet écoulement un modèle inspiré de la théorie de la lubrification est
communément utilisé pour simuler l’impression de rainures. Ce modèle, qui sera détaillé dans
le chapitre 3, permet d’établir une formule analytique simple reliant la pression d’impression,
la viscosité du film, la vitesse d’impression V et seulement deux paramètres géométriques qui
sont la hauteur h du film et la largeur L de la rainure comme présenté sur la figure 1.7a. Ce
modèle a été utilisé par Schulz et al. [18] pour calculer des profondeurs d’impression, Sirotkin
et al. [19] pour le calcul de la flexion du moule ou encore Leveder et al. [20] pour la mesure
de la viscosité des films minces. Tous ces auteurs montrent une bonne correspondance entre
les prédictions du modèle et les résultats expérimentaux. Cependant les auteurs se limitent à
des faibles valeurs du rapport h L, c’est-à-dire à des rapports bien inférieurs à 0,1 qui, nous le
verrons, est un paramètre critique pour la modélisation. En considérant des films de quelques
centaines de nanomètres d’épaisseur, ces rapports correspondent à des largeurs de motifs de
plusieurs dizaines, voire centaines de micromètres, situation illustrée sur la figure 1.7b dans
un repère orthonormé. Des lacunes existent alors dans la modélisation et la simulation de
l’écoulement du polymère sous les motifs pendant l’impression pour des rapports h L 0,1. De
tels rapports permettent d’étudier des géométries ayant une dimension critique inférieure ou
égale au micromètre, toujours pour des films de quelques centaines de nanomètres d’épaisseur.
L’objectif de cette thèse est de tenter de combler ces lacunes.
La problématique que nous nous sommes fixée est donc de mettre en œuvre un modèle
d’écoulement pour le polymère dans le cadre de la nanoimpression thermique pour des rapports
12
a)
L
moule
V
profile des
vitesses
latérales
h(t)
polymère
substrat
moule
polymère
b)
substrat
Figure 1.7 – Illustration du paramétrage géométrique minimal (h et L) donné par la théorie
de la lubrification pour la modélisation de l’écoulement du polymère sous une rainure (a) et
représentation orthonormée d’un motif similaire à ceux étudiés par Schulz et al. [18] et Sirotkin
et al. [19].
de forme h L 0,1. Ce modèle doit prendre en compte les effets d’énergie de surface présents
à l’échelle nanométrique, intégrer un modèle de comportement pour le polymère et prendre
en compte les interactions entre le polymère, le substrat, et le moule. Dans le cadre de cette
thèse nous avons souhaité utiliser un comportement obtenu macroscopiquement pour décrire
l’écoulement, même dans les films minces. Notre démarche consiste donc à établir le modèle
d’écoulement, à utiliser une méthode numérique pour résoudre les équations, puis à comparer
des résultats expérimentaux aux résultats de la simulation pour valider les choix et hypothèses
associés à ce modèle.
13
14
Chapitre 2
Caractérisation des matériaux
Afin de valider l’ensemble des modèles théoriques développés dans cette thèse, nous avons
choisi deux polystyrènes de masses molaires différentes. Ce choix est justifié par l’utilisation
de matériaux modèles qui peuvent être utilisés en nanoimpression thermique. Les deux polystyrènes sont fournis par Sigma-Aldrich avec des masses molaires de 35 et 280 kg/mol et notés
respectivement PS35 et PS280 dans la suite. Ce chapitre est consacré aux propriétés mécaniques
et aux propriétés d’énergie de surface de ces matériaux et s’articule de la manière suivante : dans
une première partie, nous justifierons l’utilisation de mesures faites à l’échelle macroscopique
pour caractériser le comportement des films minces. Dans une seconde partie sont présentés
les paramètres mécaniques mesurés et la méthode de mesure du comportement. L’appareil de
caractérisation mécanique et les résultats expérimentaux font l’objet de la troisième partie. La
quatrième partie, qui est transverse pour tous les matériaux, présente les mesures d’énergie de
surface. Notre démarche est illustrée à partir des données du PS280.
2.1
Caractérisation macroscopique et microscopique des polymères
La caractérisation mécanique des matériaux permet d’établir les relations entre les déformations du matériau et les contraintes générées par ces déformations, c’est-à-dire le comportement
du matériau, en appliquant séparément des modes de déformation simples à un échantillon
(traction/compression, torsion, cisaillement, flexion).
À l’échelle macroscopique le comportement du matériau est supposé être indépendant de la
taille du système. Cette hypothèse n’est pas nécessairement vérifiée lorsque les dimensions de
l’objet étudié sont proches des éléments qui le composent. Dans ce cas on peut observer un effet
de confinement. Pour mettre en évidence ce phénomène de confinement sur des films minces,
deux expériences différentes peuvent être menées.
La première consiste à observer l’effet de la tension de surface et du mouillage sur la forme
de la surface libre, comme Masson et Green [21] qui suivent la vitesse de croissance de trous à la
surface de films minces, Bodiguel et Fretigny [22] qui mesurent la vitesse de démouillage de films
de polystyrène, ou encore Leveder [23] qui étudie la vitesse d’effacement de motifs nanoimprimés
dans des films minces. Tous constatent une dépendance de la viscosité à l’épaisseur du film
lorsque celle-ci est inférieure à une épaisseur critique qui correspond à 3 [22] ou 15 [23] fois le
rayon de giration des polymères étudiés.
15
La seconde expérience consiste à indenter un film plat avec une pointe dont la géométrie
est connue et à mesurer la vitesse, le déplacement et la force exercée pour en déduire le comportement. Cette expérience a été réalisée par Rowland et al. [24] sur du polystyrène pour
des températures comprises entre 20 et 125˚C. Les auteurs arrivent aux mêmes conclusions que
dans les expériences précédentes. Cette dépendance à l’épaisseur n’est pas un résultat bien établi
puisque la méthode de calcul de la viscosité suppose un comportement newtonien, c’est-à-dire
une viscosité constante. Cependant cette viscosité peut diminuer localement si les vitesses de
déformation sont trop importantes, vitesses de déformation qui peuvent être très différentes
au sein de l’échantillon. La viscosité mesurée serait alors une viscosité moyenne qui dépendrait
de l’écoulement et ainsi de la géométrie du problème. La dépendance peut donc ne pas être
directement liée à l’épaisseur du film mais plutôt à une propriété du matériau, résultat qui ne
peut être perçu dans le modèle newtonien.
Cette dépendance du comportement à l’épaisseur est aussi constatée pour la température
de transition vitreuse Tg . Keddie et al. [25] puis Forrest et Dalnoki-Veress [26] mesurent
la température de transition vitreuse par ellipsométrie et constatent qu’elle diminue avec
l’épaisseur du film. Néanmoins cette dépendance ne dépend pas de la masse molaire du polystyrène, contrairement aux résultats annoncés par [21], [22] et [23]. Keddie et al. [25] trouvent
une épaisseur critique inférieure à environ 40 nm pour trois polystyrènes de masses molaires
supérieures à 120 kg/mol. La diminution de la température de transition vitreuse équivaudrait
alors à une augmentation de la température de l’expérience, ce qui provoquerait cet effet apparent de fluidification ou d’assouplissement du matériau. Néanmoins Alcoutlabi et McKenna [27]
rappellent qu’il est difficile de montrer rigoureusement le parallèle entre les variations de la
température de transition vitreuse et le changement de comportement. Une raison étant que la
température de transition vitreuse dépend de la technique de mesure. Une deuxième raison est
celle évoquée plus haut qui est la pertinence de la méthode de calcul de la viscosité.
En premier lieu nous souhaitons comprendre comment interagissent le moule et le polymère
en vue de déterminer la vitesse d’impression d’un motif. Nous allons donc nous affranchir
des difficultés supplémentaires induites par ce changement de comportement. Nous supposons
que les résultats de Keddie et al. [25] peuvent être étendus au PS35 et nous n’étudions que
des films d’épaisseur supérieure à 40 nm. Cette limite nous permet de nous affranchir des
variations éventuelles de la température de transition vitreuse. Pour la dépendance à l’épaisseur
on évalue les épaisseurs critiques en fonction des rayons de giration. Les rayons de giration de
nos polymères sont de 5,4 et 13 nm d’après King et al. [28]. Ces rayons nous permettent de
calculer les épaisseurs critiques qui valent respectivement 16 et 46 nm pour les PS35 et le
PS280 en appliquant le facteur de Bodiguel et Fretigny [22], ou 81 et 195 nm en appliquant
le facteur 15 de Leveder [23]. Les différentes épaisseurs calculées ici seront utilisées à titre de
comparaison dans le chapitre 6 lors de la validation expérimentale de nos modèles. Au-dessus de
ces valeurs l’effet de confinement sera négligé. Nos matériaux seront donc caractérisés par des
moyens conventionnels, type rhéomètre à plateaux parallèles, pour obtenir des caractéristiques
macroscopiques. Les parties suivantes présentent le protocole et les mesures réalisées.
2.2
Mesure de la viscosité en couche épaisse
Le comportement des polymères peut dépendre de la température, de la déformation et
de la vitesse de déformation du matériau. On s’intéresse dans notre cas uniquement au com16
portement à des températures supérieures à la température de transition vitreuse Tg . À ces
températures le polymère se comporte rigoureusement comme un fluide viscoélastique, c’est-àdire que les contraintes dépendent des vitesses de déformation, comme pour un fluide visqueux,
mais également des déformations.
Dans le contexte de la nanoimpression ce comportement complexe à mettre en œuvre peut
être simplifié en un comportement de fluide visqueux linéaire ou non-linéaire en considérant les
conditions expérimentales et les propriétés des matériaux. Ces simplifications, qui vont de pair
avec des limitations, permettent de décrire l’écoulement de polymère en nanoimpression [19,
20]. Mais quelles sont ces limitations ? Le comportement visqueux linéaire est-il suffisant pour
décrire les écoulements pendant le procédé ou est-il nécessaire de complexifier les modèles en se
rapprochant d’un comportement viscoélastique ? Le passage d’un comportement viscoélastique
à un comportement visqueux est-il justifié ? Dans cette partie nous allons apporter des éléments
de réponse à ces questions en présentant tour à tour les différences fondamentales entre les deux
approches viscoélastique et visqueuse, le principe empirique de Cox-Merz qui permet de faire
une jonction entre ces deux approches, la limite du comportement newtonien, le comportement
retenu dans le cadre de cette thèse et le moyen de caractérisation utilisé.
2.2.1
Viscosité et viscoélasticité
La viscosité et la viscoélasticité sont deux comportements fondamentaux a priori distincts
et usuellement caractérisés par des méthodes bien différentes. La viscosité s’étudie en régime
stationnaire alors que la viscoélasticité fait l’objet d’études dynamiques. Dans cette partie qui
présente des résultats généraux, nous parlerons de fluide plutôt que de polymère pour avoir une
vision d’ensemble. Nous reviendrons au cas particulier des polymères dans la partie suivante.
Dans le cas des fluides visqueux la viscosité η, exprimée en Pa.s, est définie comme étant la
relation entre les contraintes en cisaillement, représentées par le déviateur des contraintes σ D ,
et les vitesses de déformations associées DD , et qui s’écrit :
σD
2ηDD .
(2.1)
Par exemple le miel à température ambiante peut être considéré comme un fluide visqueux,
avec une viscosité d’environ 10 Pa.s, soit 10 000 fois plus élevée que celle de l’eau. Sous l’action
de la gravité le miel qui a une viscosité plus importante s’écoulera alors moins vite que l’eau.
Dans le cas d’un fluide non-newtonien, cette viscosité peut dépendre du taux de cisaillement
du matériau, et l’on distingue :
– les fluides rhéofluidifiants où la viscosité diminue avec le taux de cisaillement qui sera le
cas de nos polymères,
– les fluides rhéoépaississants où la viscosité augmente avec le taux de cisaillement, et
– les fluides viscoplastiques de Bingham [29] qui deviennent visqueux uniquement à partir
d’une contrainte seuil comme le dentifrice ou la mayonnaise.
Cette viscosité se mesure en règle générale avec des essais quasi-statiques. Via un écoulement
Couette pour les faibles vitesses de déformation, où le polymère est placé entre un cylindre
plein et un tube comme illustré sur la figure 2.1. En rhéométrie capillaire pour des vitesses plus
importantes.
Le comportement viscoélastique se traduit par une relation entre les contraintes et l’histoire
des déformations. Dans le cadre de la nanoimpression, ce comportement a été pris en compte
par Kim et al. [30] pour déterminer les conditions d’impression d’un poly(methyl methacrylate),
17
Tube mobile
Fluide
Cylindre fixe
Rhéométrie capillaire
viscosité η
ω
Rhéométrie classique
vitesse de déformation γ
Figure 2.1 – Principe de mesure de la viscosité à faible vitesse de déformation d’un fluide
avec un chargement stationnaire (écoulement de type Couette). La vitesse de déformation est
imposée et le couple résistant est mesuré. En prenant en compte la géométrie des cylindres on
peut alors remonter à la viscosité η du matériau. Les valeurs à haute vitesse de déformation
sont généralement obtenue par rhéométrie capillaire.
ou par Schulz et al. [18] ou Scheer et al. [31] pour expliquer le gonflement observé sous les motifs
à fond plat après démoulage. La figure 2.2, extraite des travaux de [31], illustre ce phénomène
qui apparaı̂t pour les motifs les plus larges, ici des rainures de 40 µm de large, 2.2c, et des carrés
de 100 µm de côté, 2.2d. Ce phénomène est plus facilement observable pour des températures
proches de la température de transition vitreuse et à pression élevée (Tg 30˚ et 100 bar dans
cet exemple). L’auteur interprète le gonflement comme étant de la relaxation de contrainte dans
les zones où l’écoulement est faible, au centre des motifs.
Relaxation locale du matériau par écoulement latéral
Figure 2.2 – Extrait des travaux de Scheer et al. [31]. Effet de la géométrie des motifs sur les
impressions en remplissage partiel à basse température à 130˚C, 100 bar pendant 10 s dans un
film d’épaisseur 130 nm pour un polystyrène de masse molaire de 350 kg/mol. Les plus petites
rainures de 250 nm (a) et 5 µm (b) sont bien imprimées et les géométries plus larges comme les
rainures de 40 µm (c) et un carré de 100 µm de côté (d) provoquent des effets de gonflement.
Les illustrations du haut donnent une idée de la formation des profils observés : dans la phase
initiale de l’impression le polymère est déformé par l’enfoncement du moule (ii), et des zones de
fortes contraintes sont crées (zones sombres). Pendant l’impression les contraintes se relaxent
par l’écoulement de matière vers l’extérieur (iii, iv). Dans le cas où les contraintes ne sont pas
totalement relaxées, la relaxation aura lieu une fois le moule retiré avec un effet de gonflement.
18
En pratique les propriétés viscoélastiques sont déterminées à partir de sollicitations sinusoı̈dales (grâce à un essai de torsion par exemple) en déterminant les deux grandeurs G et
G qui constituent le module complexe :
Ĝ ω
G ω
(2.2)
iG ω
G est appelé le module de conservation et G le module de perte. Ils ne dépendent que de la
pulsation ω de la sollicitation dans le cas des petites perturbations. Ces modules sont déterminés
en mesurant le rapport des amplitudes et le déphasage entre les contraintes et les déformations
comme illustré sur la figure 2.3. G traduit la capacité du matériau à stocker temporairement
de l’énergie et G sa capacité à la dissiper. On note ici que nous mesurons deux grandeurs qui
se réfèrent à une unique fonction G t qui lie dans le domaine temporel les contraintes et les
déformations et qui dépend uniquement du temps. Théoriquement les modules de conservation
et de perte contiennent les mêmes informations, mais en pratique les mesures se faisant sur une
plage restreinte de pulsation, les deux courbes G et G sont nécessaires pour reconstruire G t .
Plateau rigide fixe
Fluide
déformation
couple résultant
déphasage
Plateau rigide mobile en rotation
temps
Figure 2.3 – Principe de mesure des propriétés viscoélastiques d’un fluide par un essai de
torsion avec une sollicitation sinusoı̈dale. L’histoire de la déformation (sinusoı̈dale) est imposée
et la contrainte est mesurée. Le rapport d’amplitude et le déphasage entre la contrainte et la
déformation donnent les modules de conservation G et de perte G .
En exploitant la linéarité des équations dans le cadre des petites déformations, une viscosité
complexe η̂ reliant les contraintes et les vitesses de déformation peut être définie :
η̂
Ĝ iω
η
iη , soit : η
G
ω
η
G
.
ω
(2.3)
Cette viscosité est déduite des mesures de Ĝ, dépend de la pulsation ω et appartient à la théorie
de la viscoélasticité linéaire.
Deux viscosités peuvent donc être définies, une pour les fluides visqueux en grandes déformations monotones et l’autre pour les fluides viscoélastiques en petites déformations cycliques.
Expérimentalement on remarque qu’il est possible de lier ces deux viscosités bien que fondamentalement différentes par les approches théoriques, par les méthodes de caractérisation et
par les mécanismes de déformation mis en jeu. Ce lien est naturellement fait lorsque le polymère est sollicité à très faible vitesse de déformation (inférieure à 0,08 s 1 pour le PS280 à
150˚C par exemple) car il se comporte comme un fluide visqueux newtonien avec une viscosité
η constante [19, 20] et une viscosité η négligeable devant η .
Pour des vitesses de déformation plus importantes ce lien, moins évident, existe. Il est basé
sur des observations expérimentales nous permettant de choisir un comportement intermédiaire
entre le comportement de fluide visqueux linéaire et le comportement de fluide viscoélastique.
La partie suivante présente cette passerelle entre les deux théories.
19
2.2.2
Le principe de Cox-Merz
Si les deux viscosités η et η̂ relèvent d’approches différentes, les résultats expérimentaux
montrent qu’il est possible dans certains cas de les déduire l’une de l’autre. Cox et Merz [32]
établissent en 1958 cette passerelle de façon empirique. Ce principe appelé “principe de CoxMerz”, lie la viscosité η en régime établi fonction du taux de cisaillement γ au module de la
viscosité complexe η̂ fonction de la pulsation ω, par la relation :
η̂ ω
η γ
γ ω
(2.4)
.
L’égalité γ
ω est surprenante, puisque la mesure de η se fait à vitesse de déformation γ
constante, alors que celle de η̂ se fait avec une vitesse de déformation cyclique, qui peut
dépendre de l’amplitude ε0 de la déformation cyclique imposée à l’échantillon en grandes
déformations, dépendance manifestement absente du principe de Cox-Merz. Ce principe, illustré
sur la figure 2.4 pour le PS280 à 150˚C, a été appliqué à du polystyrène [32, 33], du poly(alcool
vinylique) [34] et à une large variété de polyoléfines par Wang et Knox [35] avec différents
types d’équipements. Les auteurs montrent alors que la correspondance est bonne pour des
faibles taux de cisaillement et qu’une légère déviation [34] apparaı̂t pour les hautes fréquences
et forts taux de cisaillement, la viscosité η̂ chutant plus rapidement que la viscosité η pour des
polymères rhéofluidifiants, toujours en supposant la relation γ ω. Enfin cette règle reste restrictive et ne s’applique pas à tous les polymères comme certains copolymères [36] ou polymères
fondus à deux phases [37] où il n’est pas possible de faire une correspondance.
105
4
(Pa.s) 10
plateau de viscosité
zone terminale
η (Pa.s) 103
inverse du temps terminal
10
2
10-4
10-3
10-2
10-1
pulsation ω (rad/s)
1
10
102
103
vitesse de déformation γ (s-1)
Figure 2.4 – Mesure du module de la viscosité complexe pour le PS280 à 150˚C en fonction
de la pulsation et illustration du principe de Cox-Merz par le changement de variable. Les
asymptotes ainsi que la transition entre les deux régimes asymptotiques sont représentées en
pointillés.
Sur la figure 2.4, qui représente une mesure de la viscosité dynamique du PS280 à 150˚C,
on voit que pour des faibles pulsations la viscosité tend vers une valeur constante (le plateau de viscosité). Cette zone correspond au régime où les effets élastiques du matériau sont
négligeables (peu d’énergie est stockée dans le matériau) et l’existence du plateau permet de
justifier l’utilisation du comportement visqueux newtonien dans les modèles simples. On note
η0 cette viscosité. Cette viscosité, selon le principe de Cox-Merz, correspond à la viscosité statique mesurée à faible vitesse de déformation. Pour des pulsations supérieures à la transition
20
marquée par la ligne verticale en pointillés sur la figure 2.4, où le module de la viscosité complexe admet une asymptote oblique, l’égalité (2.4) s’applique encore. Dans cette zone, appelée
zone terminale, les effets élastiques ne sont plus négligeables et les mécanismes de mouvement
des macromolécules sont plus complexes. Ferry [38] explique que la transition entre ces deux
régimes est marquée par le temps terminal de relaxation tr qui correspond au temps nécessaire
pour faire disparaitre les contraintes dans le matériau pendant un recuit. Il explique également
qu’au delà de cette transition la correspondance n’est pas évidente d’un point de vue théorique
puisque les mécanismes mis en jeu en petites déformations (pour mesurer la viscoélasticité
linéaire) et en grandes transformations monotones (mesure de la viscosité en régime établi)
sont bien distincts. Il rajoute enfin que la justification théorique est d’autant plus difficile que
les pulsations sont élevées.
Le polystyrène fait partie des polymères pour lesquels le principe de Cox-Merz s’applique
d’après la littérature. Nous allons donc l’exploiter pour considérer nos polymères comme des
fluides visqueux non-linéaires et omettre l’influence des déformations. On sacrifie ici la prise
en compte de l’énergie stockée dans le matériau que l’on suppose faible. Les observations de
Schulz et al. [18] et Scheer et al. [31] montrent déjà que pour des températures proches de la
température de transition vitreuse, des pressions élevées et des géométries relativement larges
( 40 µm) cette hypothèse n’est pas vérifiée puisque l’on observe de la relaxation. Les géométries
et les pressions utilisées dans cette thèse étant plus petites et plus faibles que dans les travaux
de Schulz et al. [18], cette hypothèse n’est pas automatiquement invalidée et doit être vérifiée
à l’aide de comparaisons entre les simulations et les résultats expérimentaux (cf. chapitre 6).
Contrairement aux modèles visqueux linéaires pour lesquels cette hypothèse est également faite,
nous allons un peu plus loin avec la prise en compte de la non-linéarité de la viscosité. Pour
mesurer cette viscosité notre démarche consiste alors à caractériser le matériau comme un
fluide viscoélastique sur un rhéomètre à plateaux parallèles pour des petites déformations et à
appliquer le principe de Cox-Merz pour avoir une courbe de viscosité en fonction de la vitesse
de déformation.
2.2.3
La rhéofluidification en nanoimpression
On montre, dans notre article sur le domaine de validité des modèles linéaires [39], que
les conditions expérimentales usuellement rencontrées en nanoimpression thermique imposent
le plus souvent de prendre en compte la rhéofluidification. Ce résultat n’est pas trivial puisqu’il dépend de la géométrie, de la pression moyenne d’impression et du temps terminal tr du
polymère qui marque la transition entre les deux régimes linéaire et non-linéaire. Ce résultat
permet également de savoir si le comportement newtonien suffit à décrire le comportement de
nos matériaux, ce qui simplifie grandement le calcul des efforts et permet de ne pas traiter un
problème non-linéaire.
Pour montrer que la rhéofluidification peut avoir lieu lors d’une impression, un comportement newtonien est considéré, une impression avec une géométrie donnée est simulée et
une vérification est faite afin de savoir si la plus grande vitesse de déformation calculée reste
inférieure à l’inverse du temps terminal de relaxation tr . On note cet inverse γ0 qui sera la
vitesse de déformation critique, transition entre le plateau de viscosité et la partie terminale.
La géométrie étudiée est celle présentée sur la figure 2.5, où l’on considère uniquement la configuration initiale h0 du polymère pour présenter la méthode. Les motifs sont supposés être
périodiques de période W avec une largeur L pour un motif élémentaire initialement en contact
21
L
L
Moule
ε
moule
Polymère
polymère
h0
substrat
W
Figure 2.5 – Géométrie utilisée pour la détermination de la limite de validité du comportement
visqueux linéaire pour la nanoimpression thermique, avec W la période du motif, L sa largeur
et h0 l’épaisseur initiale de polymère. ε définit une zone critique au bord du motif où les nonlinéarités peuvent se manifester.
2D : D la vitesse de
avec le polymère et ayant une vitesse d’impression vd . On note γeq
déformation équivalente. Comme le problème est linéaire, on définit une longueur de référence,
par exemple L, et on montre que la vitesse de déformation maximale est proportionnelle à la
vitesse d’impression vd des motifs et à une fonction Λ qui dépend uniquement des rapports de
forme, et l’on a :
vd
h0 W
max
γeq
.
(2.5)
.Λ
,
L
L L
Cette relation montre que pour la même géométrie, mais à deux échelles différentes, et avec deux
vitesses d’impressions dont le rapport est égale au rapport d’échelle, la vitesse de déformation
est inchangées dans le matériau. La linéarité permet également de montrer que cette vitesse est
proportionnelle à la pression moyenne p̄ appliquée sur le motif et inversement proportionnelle
à la viscosité. Dans ce cas, toujours avec L comme longueur de référence, on peut écrire :
vd
L
p̄
.Φ
η0
h0 W
,
L L
(2.6)
.
Λ and Φ sont ainsi deux fonctions inconnues dépendant des rapports de forme du problème.
D’après les observations faites précédemment, le critère qui s’applique pour prétendre que le
comportement reste linéaire est :
max
γeq
γ0 .
(2.7)
max il est nécessaire de connaı̂tre la
Ce critère ne peut pas être utilisé puisque pour estimer γeq
vitesse d’impression, paramètre difficilement mesurable en pratique. On reformule donc cette
inégalité avec l’expression de la vitesse et l’on trouve :
max
γeq
γref . Λ
Φ
h0 W
,
L L
γ0
Λ
Φ
h0 W
,
L L
γ0
γref
(2.8)
où γref
p̄ η0 est une vitesse de déformation de référence définie uniquement à partir des
paramètres du matériau et des conditions d’impression.
Pour calculer la fonction Λ Φ on utilise un outil de simulation (présenté dans les chapitres
max et p̄ pour plusieurs épaisseurs initiales. Pour le
suivants) qui nous permet de calculer γeq
22
max on se donne une zone d’exclusion qui est un demi-disque de diamètre ε présenté
calcul de γeq
sur la figure 2.5. Il se situe sous le coin du motif où les effets non linéaires peuvent apparaı̂tre
et il permet de quantifier la proportion de polymère qui rhéofluidifie par rapport à la largeur
du motif.
max par la viscosité et en divisant par p̄, on obtient alors la courbe de la
En multipliant γeq
figure 2.6. Si la courbe est au-dessus de la ligne horizontale d’ordonnée γ0 η0 p̄ alors le polymère
rhéofluidifie, et inversement. Sur cet exemple on considère les propriétés du PS280 à 165˚C, avec
une viscosité égale à 1,2 104 Pa.s, la vitesse critique égale à 2,7 s 1 et la pression moyenne à
0,8 bar. On voit que pour un motif et un film tels que h0 L 2 (point A), 4 % du polymère juste
sous le motif rhéofluidifie. Si h0 L 2 alors le polymère ne rhéofluidifie pas et il a globalement
un comportement newtonien. Le même raisonnement peut être appliqué au point C, mais cette
fois-ci le comportement newtonien est obtenu pour h0 L 0,95. Entre ces deux points, plus la
courbe s’éloigne de la ligne horizontale, plus le polymère est susceptible de rhéofluidifier, avec
un maximum atteint au point B.
1
0.9
B
ε/L = 4%
0.8
0.7
0.6
C
A
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 −2
10
10
−1
10
0
h0/L
Figure 2.6 – Domaine de validité du comportement visqueux linéaire en fonction de l’épaisseur
initiale du film h0 normalisée par la largeur du motif L, pour une période de motif W 4L et
pour une taille de zone critique ε L 4 %. La ligne horizontale est déterminée par la pression
moyenne d’impression et les paramètres matériau.
Ce type de courbe nous permet d’avoir un critère simple pour justifier l’utilisation du
modèle newtonien. La difficulté est d’avoir les moyens de la construire. Le choix de la zone
critique reste arbitraire, mais cette dernière pourrait être choisie en fonction de l’influence de
la rhéofluidification sur la puissance dissipée entre le cas linéaire et le cas non-linéaire, ce qui
nécessite d’avoir la solution en non-linéaire.
En pratique, les pression d’impression sont beaucoup plus importantes que dans l’exemple
proposé (entre 5 et 50 bars), ce qui a pour effet d’abaisser la limite horizontale. Comme les
géométries étudiées se situent pour la plupart dans la zone entre le point A et le point C nous en
déduisons que la prise en compte du comportement non-linéaire s’impose et qu’il est nécessaire
de caractériser notre matériau au-delà du plateau de viscosité.
23
2.3
Caractérisation sur le rhéomètre à plateaux parallèles
La caractérisation de nos polystyrènes se fait sur un rhéomètre à plateaux parallèles qui nous
permettra d’obtenir le comportement viscoélastique de nos matériaux en petites déformations.
Dans un premier temps nous présenterons le dispositif de mesure, puis nous utiliserons les
notations de la viscoélasticité linéaire avec des grandeurs qui dépendent de ω et enfin nous
présenterons la construction des courbes maı̂tresses avec la loi WLF. Une fois ces courbes
obtenues, nous appliquerons le principe de Cox-Merz et utiliserons le modèle de Carreau-Yasuda
pour avoir la loi de dépendance de la viscosité en fonction de la vitesse de déformation.
2.3.1
Montage et protocole expérimental
Plateau supérieur
mobile en translation
Sortie du flux de gaz
Thermocouple
Chambre calorifugée
Billes de polymère
avant mise en forme
Entrée du flux de gaz
(air ou azote)
Thermocouple
Plateau inférieur
mobile en rotation
Moteur lié au plateau inférieur
Figure 2.7 – Montage expérimental sur rhéomètre à plateaux parallèles pour la caractérisation
des polymères en torsion.
Le dispositif expérimental, présenté sur la figure 2.7, est un rhéomètre à plateaux parallèles
utilisé ici pour caractériser les polymères en torsion. La température de la chambre est régulée
par un flux d’air et contrôlée grâce à trois thermocouples, deux situés sur l’entrée et la sortie du
flux d’air et un en contact avec le plateau inférieur. Le plateau inférieur est mobile en rotation
tandis que le plateau supérieur est mobile en translation. Les deux plateaux ont un diamètre de
25 mm. Le polymère se présente sous forme de pastilles d’environ 5 mm de diamètre, que l’on
dépose sur le plateau inférieur avant de les chauffer au-dessus de la température de transition
vitreuse et de les compacter en abaissant le plateau supérieur pour finalement former un disque
de polymère homogène, de même largeur que les plateaux et d’épaisseur 1 mm. Cette opération
est répétée jusqu’à ce que le film ne contienne plus de bulles d’air.
Le plateau supérieur est laissé fixe pendant les essais, tandis que l’on impose un mouvement
de rotation sinusoı̈dal au plateau inférieur, avec une amplitude et une pulsation qui seront
respectivement liées à la déformation et à la vitesse de déformation maximales imposées au
matériau. En mesurant le rapport des amplitudes et le déphasage entre le couple moteur appliqué à l’échantillon et la différence de position angulaire entre les deux plateaux, le rhéomètre
24
104
10
103
1
102
10-1
limite inférieure du couple
10
1
10-2
10-2
10-1
1
10
couple moteur (g.cm)
G’ (Pa)
G’’ (Pa)
nous donne la valeur des grandeurs présentées dans la partie précédente :
– G le module de conservation,
– G le module de perte, et
– η̂ la norme de la viscosité complexe.
10-3
déformation angulaire (%)
Figure 2.8 – Évolution du module de conservation G (ronds), du module de perte G (carrés)
et du couple moteur (croix) en fonction de la déformation ε (%) à ω 0,5 rad/s.
Lors des mesures nous devons régler quatre paramètres qui sont la distance inter-plateaux,
l’amplitude de la déformation angulaire, la fréquence de sollicitation et la température de mesure.
La distance inter-plateaux est nécessaire au dépouillement des mesures. Comme expliqué
dans le paragraphe précédent on souhaite avoir un film de 1 mm d’épaisseur. Cette distance doit
être maintenue quelle que soit la température de mesure. Pour ce faire la dilatation de l’outil
doit être prise en compte car elle peut faire varier la distance entre les plateaux d’une centaine
de micromètres. Pour évaluer le coefficient de dilatation des outils on mesure la variation de
distance entre les plateaux à deux températures différentes (ambiante et 100˚C par exemple).
Pour nos outils en acier on trouve un coefficient de 2,4 µm/˚C.
L’amplitude ε de la déformée est fixe lors des essais et est déterminée à l’aide de deux
critères :
– le couple moteur, qui augmente avec la déformée, doit être suffisamment élevé pour ne
pas être dans le bruit de mesure, et
– le comportement linéaire ne doit pas dépendre de la déformation.
On réalise alors un essai de torsion alternée sur notre film, à température et pulsation constantes,
et on s’intéresse à l’évolution des modules de conservation et de perte, et du couple moteur en
fonction de la déformation. La figure 2.8 présente les courbes obtenues pour le PS280, à 200˚C.
Le couple devant être proportionnel à la déformation imposée (torsion simple), on voit que pour
une déformation ε 0,3 %, cette propriété n’est pas vérifiée car la limite du capteur de couple
est atteinte. Au delà de 0,3 %, le couple se stabilise, et l’on voit que G et G sont constants, ce
qui montre qu’ils ne dépendent pas de la déformation ε. Dans le cas présenté, nous avons retenu
une déformation de 1 % pour effectuer les mesures. Cette procédure est appliquée lorsque la
température varie de façon importante ( 30˚C).
25
Les mesures ne dépendent plus que de deux paramètres, la température T et la pulsation
ω. Pour balayer les plages qui nous intéressent, nous fixons la température Tc de la chambre
et faisons varier ω de 0,1 à 10 s 1 . On répète cette opération pour plusieurs températures. On
obtient ainsi un ensemble de courbes comme présenté sur la figure 2.9 pour le PS280 qui sont
des mesures à des températures fixées et sur une plage restreinte de pulsation. Nous souhaitons
avoir ces courbes quelle que soit la température et sur une plage plus large, ce qui est possible
en exploitant le principe d’équivalence temps-température présenté ci-après.
2.3.2
Équilavence temps-température
module de conservation G’ (Pa)
106
105
Δa(T1)
104
103
102
Δa(T2)
Δa(T3)
130°C
150°C
170°C
190°C
210°C
Δa(T4)
10
0.1
1
pulsation ω (rad/s)
10
Figure 2.9 – PS280 - Évolution du module de conservation G en fonction de la pulsation
ω (rad/s) et illustration du principe de superposition des courbes par l’équivalence tempstempérature.
Le principe d’équivalence temps-température, illustré sur la figure 2.9, a été mis en évidence
par Bischoff et al. [40] en remarquant que les courbes d’évolution des modules de conservation
G et de perte G obtenues à différentes températures étaient toutes similaires et pouvaient être
regroupées en une seule et même courbe, dite courbe maı̂tresse, par un changement de variable
fonction de la température. En particulier, au dessus de la température de transition vitreuse
Tg , ce changement de variable est donné par une loi, notée a T , qui est une loi logarithmique
empirique, dont plusieurs expressions ont été proposées comme la loi Vogel-Fulcher-Tammann
et Hesse [41, 42, 43], puis la loi Fox-Flory [44], ou encore par Doolittle [45]. Toutes ces lois ont
été unifiées par Williams, Landel et Ferry [46] sous le nom de loi WLF, la fonction associée au
principe d’équivalence temps-température étant de la forme :
log a T
C1 .
T
T
Ts
T
(2.9)
où Ts est une température de référence choisie parmi les températures de mesure, C1 un facteur
26
multiplicatif sans dimension dépendant de Ts et T une température ne dépendant que du
matériau. À T T , a T tend vers l’infini et la viscosité est théoriquement infinie. En mesurant
les distances entre les courbes expérimentales on est capable d’identifier les paramètres C1 et
T sachant que a Ts
1 et ainsi d’obtenir obtenir la loi WLF pour chacun des matériaux.
Ce principe traduit le fait qu’augmenter la température lors d’un essai est équivalent à
effectuer le même essai sans changer la température mais à une pulsation de sollicitation plus
faible. D’un point de vue formel cela revient à dire que Ĝ à une température quelconque T se
déduit de la courbe maı̂tresse Ĝs par le changement de variable suivant :
Ĝ ω, T
(2.10)
Ĝs a T .ω, Ts .
Il vient alors un changement similaire pour η̂ :
η̂ ω, T
Ĝ ω, T
iω
aT .
Ĝs a T .ω, Ts
i.a T .ω
(2.11)
a T .η̂s a T .ω, Ts
module de la viscosité complexe
(Pa.s)
où l’on voit que la variation de la température influence également le module de η̂, ce qui est
illustré par les flèches obliques de la figure 2.10.
105
Δa(T1)
130°C
150°C
170°C
190°C
210°C
104
103
102
0.1
1
pulsation ω (rad/s)
10
Figure 2.10 – PS280 - Évolution du module de la viscosité complexe en fonction de la pulsation
ω (rad/s).
Pour déterminer les coefficients de la loi WLF on utilise les courbes de G ou G puisqu’elles
ne subissent qu’une translation par rapport à l’axe des abscisses. On choisit dans un premier
temps une température de référence égale à Tg 50, ce qui dans le cas général donne une
formule valable pour -50˚ T Ts 50˚d’après Williams et al. [46]. Pour simplifier on s’assure
d’avoir une courbe de mesure à cette température. On mesure ensuite la distance moyenne entre
chacune des autres courbes et cette dernière, ce qui nous donne la valeur de a T à différentes
températures. Comme la température de référence est fixée, le couple de paramètres (C1 , T )
qui interpole au mieux les courbes est unique [46]. Ce couple est déterminé pour chacun des
matériaux.
27
La courbe maı̂tresse η̂s de chaque matériau est alors construite en translatant toutes les
courbes sur la courbe de référence. Pour obtenir le comportement à une autre température Ti il
suffit de translater la courbe maı̂tresse de viscosité dans une représentation logarithmique d’une
quantité a Ti dans les deux directions avec une diminution du module et une augmentation
de la transition pour une augmentation de la température. Il reste maintenant à établir la
dépendance de la viscosité à la vitesse de déformation.
2.3.3
Caractéristiques mécaniques de nos matériaux
On applique la démarche présentée dans la partie 2.3.2 à l’ensemble des mesures faites sur
nos deux polymères. La température de référence est prise égale à Tg 50˚C, soit 150˚C pour le
PS280. Pour le PS35 des mesures de DSC ont montré que la Tg du polymère était sensiblement
différente et située aux alentours de 60˚C à cause de plastifiants présents dans le matériau. Nous
avons quand même conservé le PS35 même s’il ne remplissait plus les conditions de polymère
modèle puisque son comportement restait proche du comportement des autres polystyrènes. La
courbe maı̂tresse du PS35 est donc construite avec la température de référence de 110˚C. Les
deux courbes sont présentées sur la figure 2.11.
105
(Pa.s)
104
103
102
10-3
PS280 (150°C)
PS35 (110°C)
10-2
10-1
1
10
102
pulsation ω (rad/s)
Figure 2.11 – Courbes maı̂tresse du PS280 à 150˚C et du PS35 à 110˚C en fonction de la
pulsation ω (rad/s).
En appliquant le principe de Cox-Merz on peut considérer que ces courbes représentent
l’évolution de la viscosité en régime établi en fonction de la vitesse de déformation. De plus,
toutes ces courbes présentent la même allure. Un plateau de viscosité visible pour les faibles
vitesses de déformation, une zone terminale représentée par une asymptote oblique pour les
vitesses de déformation élevées et une zone de transition régulière entre ces deux zones. Nous
ajustons ces courbes à l’aide du modèle de Carreau-Yasuda [47] qui permet de prendre en
compte simultanément le plateau, la transition et la partie terminale. Cette loi s’exprime en
28
105
η (Pa.s)
104
103
Mesures expérimentales
Carreau-Yasuda
102
10-3
10-2
10-1
1
10
102
vitesse de déformation γ (s-1)
Figure 2.12 – Interpolation de la viscosité du PS280 à 150˚C fonction de la vitesse de
déformation avec le modèle de Carreau-Yasuda.
fonction de la vitesse de déformation :
η γ
η0
1
γ γ0
k
(2.12)
1 n
k
où k est un paramètre d’ajustement pour la transition et n une constante qui détermine la pente
de la courbe dans la zone terminale. Ces paramètres sont indépendants de la température. η0
caractérise le plateau de viscosité et γ0 représente la vitesse de déformation critique où a lieu
la transition. Ces deux derniers paramètres dépendent de la température à travers la loi WLF
et s’expriment en fonction des paramètres ηs et γs à la température de référence :
η0
a T ηs
γ0
(2.13)
γs a T
En regroupant la loi WLF et le modèle de Carreau-Yasuda, nous sommes en mesure d’exprimer la viscosité en fonction de la vitesse de déformation, de la température et des constantes
d’interpolation C1 , T , ηs , γs , k, n, calculées à la température de référence Ts Tg 50˚C. On
obtient :
η γ, T
a T ηs
1
aT
γ k
γs
1 n
k
.
(2.14)
Les valeurs des différents paramètres pour chaque matériau sont présentées dans le tableau 2.1 et l’interpolation de la viscosité du PS280 à 150˚C est présentée sur la figure 2.12.
2.4
Mesure de l’énergie de surface et angles de contact
Les mesures de la tension de surface dans l’air et de l’angle de contact statique du matériau
posé sur un substrat sont présentées dans cette partie. Plusieurs méthodes existent pour mesurer
29
PS35
PS280
Ts (˚C)
110
150
C1
7.82
5.23
T
(˚C)
3.40
58.9
ηs (kPa.s)
12.8
53.9
γs s 1
0.061
0.23
k
1.01
0.42
n
0.55
0.25
Table 2.1 – Tableau des valeurs des coefficients pour l’interpolation des courbes de viscosité
la tension de surface comme la méthode de Wilhelmy. Cette méthode consiste à mesurer la force
capillaire exercée par un fluide sur une lame ou un anneau partiellement plongé(e) dans le fluide.
D’autres méthodes existent comme celle de la montée d’un fluide dans un tube capillaire (voir
Adamson et Gast [48] pour une revue exhaustive). La méthode utilisée dans notre cas est celle
de la goutte, posée et pendante, qui permet de déterminer la tension de surface et l’angle de
mouillage de nos polymères.
Pour nos matériaux nous supposons ces paramètres indépendants de la température (Dee et
Sauer [49] nous permettent de calculer une variation de 8 % seulement entre Tg et Tg 100˚C).
La caractérisation se fait sur le Digidrop du PIMM, présenté sur la figure 2.13. Il est équipé
d’une seringue dans laquelle le polymère à l’état solide est déposé et porté à température,
d’une chambre dans laquelle se déroulent les mesures et d’une caméra permettant d’étudier la
géométrie du polymère. Les différentes parties sont asservies en température à l’aide de trois
thermocouples. Les mesures sont présentées ci-dessous.
Seringue
Support seringue
Chambre
R(γ)
Goutte
θ
Camera
Table mobile
mesure de
la température
asservissement
de la température
Figure 2.13 – Dispositif de mesure de l’énergie de surface par la méthode de la goutte pendante
et de mesure de l’angle de contact sur un substrat.
2.4.1
Expérience de la goutte pendante
L’expérience de la goutte pendante consiste à suspendre une goutte de polymère dans l’air
à une température donnée. À l’équilibre cette goutte n’est alors soumise qu’à son propre poids
et à la tension de surface. En corrélant la géométrie de la goutte avec une forme analytique
et connaissant la masse volumique et la densité du matériau, on peut évaluer le poids de la
goutte et en déduire la valeur de la tension de surface. La géométrie visée dans notre cas est
une goutte avec une partie basse sphérique rattachée à son support par un cou présentant un
30
point d’inflexion comme présenté sur la figure 2.14.
Dans le cas de notre dispositif, on introduit les pastilles de polymère dans la seringue dont
la température est régulée au-dessus de la température de transition vitreuse. Puis on injecte
progressivement du polymère dans la chambre pour former la goutte (figure 2.15). L’expérience
consiste à injecter suffisamment de matériau pour avoir le point d’inflexion sans provoquer
l’effondrement de la goutte.
Avec la seringue dont nous disposions, les gouttes formées avaient un diamètre d’environ
2,5 mm pour une longueur capillaire de 2 mm. Le poids était donc sensiblement prédominant
ce qui rendait la stabilisation difficile. Explications : lorsque le polymère s’écoule même très
lentement, les forces visqueuses s’ajoutent aux forces capillaires pour maintenir la goutte, ce
qui fausse le calcul de la tension de surface. Pour des températures supérieures à Tg 80˚C la
stabilisation se voit facilement puisque la goutte s’effondre vite. Pour des températures comprises entre Tg 10 et Tg 40˚C la viscosité élevée ne permet pas de distinguer facilement une
goutte stable d’une goutte qui s’écoule.
z
support
point d’inflexion
r(z)
Fluide
partie basse
Figure 2.14 – Schéma de la goutte pendante et point d’inflexion pour la mesure de la tension
de surface.
Dans la gamme de température restante, les mesures ont permis de calculer la tension de
surface du PS35 avec une valeur moyenne γ 40 2 mN/m. Le PS280 quant à lui était trop
visqueux pour être injecté. Compte tenu de la faible dépendance de γ à la masse molaire nous
extrapolons la valeur moyenne mesurée au PS280.
2.4.2
Mesure de l’angle de contact sur silicium
La mesure de l’angle de contact est effectuée avec la méthode de la goutte posée. Nous
mesurons une valeur d’angle statique, qui nous le verrons dans le prochain chapitre sera suffisante pour décrire les effets de mouillage du polymère sur le substrat. L’angle est mesuré sur
un substrat de silicium qui n’est pas traité par l’anti-adhésif et qui présente une couche d’oxyde
natif et sur une plaque de silicium traitée par l’anti-adhésif des moules. Dans le premier cas on
55˚ et dans l’autre cas un angle θmoule
87˚ comme le montre la
trouve un angle θsubstrat
figure 2.16. La mesure de ces angles de contact a été effectuée à différentes températures à titre
de vérification, et aucune différence notable n’a été remarquée.
31
stable
instable
2,6 mm
augmentation du volume de polymère
Figure 2.15 – Images de la goutte de polystyrène (PS35) formée pour un volume croissant
de matériau, depuis l’état stable jusqu’à un état instable. La taille des gouttes formées est
comparable à la longueur capillaire de notre matériau (lc 2 mm).
a
b
Figure 2.16 – Gouttes de polystyrène PS35 posées sur un substrat de silicium non traité (a)
et traité (b) par un anti-adhésif à 140˚C.
2.5
Conclusion
Deux polystyrènes de masses molaires différentes ont été caractérisés pour nous permettre
de réaliser nos expériences. Nous avons montré qu’en fonction des conditions d’impression, ces
polymères pouvaient être soit considérés comme des fluides visqueux newtonien, soit comme
des fluides rhéofluidifiants. Le comportement newtonien facilite grandement la modélisation
du procédé mais ne permet pas de rendre compte des effets de relaxation observés dans les
impressions réalisées par Schulz et al. [18] et Scheer et al. [31]. Le comportement viscoélastique
en grandes transformations étant compliqué à mettre en œuvre, nous avons choisi d’utiliser un
comportement intermédiaire, négligeant l’élasticité du matériau, qui est purement visqueux mais
avec une loi non-linéaire. Pour expliquer les différentes connexions entre ces comportements,
la définition du comportement purement visqueux, celle de la viscoélasticité linéaire en petites
déformations, et le principe de Cox-Merz ont été présentés.
Un rhéomètre à plateaux parallèles a permis de mesurer la viscosité des matériaux à
différentes températures. Nous avons appliqué le principe d’équivalence temps-température pour
construire des courbes maı̂tresses en fonction de la température. L’application du principe de
Cox-Merz et l’ajustement des mesures avec le modèle de Carreau-Yasuda ont alors permis
d’établir la loi de dépendance de la viscosité en fonction de la température et de la vitesse de
déformation.
La mesure des énergies de surface grâce au dispositif de la goutte pendante a été effectuée,
mais uniquement pour les polystyrènes de faible masse molaire à cause des limitations de
l’appareil. La mesure de la tension de surface n’a pu être effectuée que sur une plage restreinte
32
de température, faute de pouvoir stabiliser correctement la goutte avec la seringue disponible.
Les mesures étant peu sensibles à la température, nous avons extrapolé les résultats à l’ensemble
des matériaux et considéré l’énergie de surface constante et égale à 40 mN/m. Enfin nous avons
montré que l’angle de contact statique du polymère sur un substrat vierge était différent de
celui montré sur substrat traité avec un anti-adhésif et que ces angles ne dépendaient pas de la
température.
33
34
Chapitre 3
Modélisation des écoulements et
résolution numérique
La modélisation de l’écoulements du polymère par la mécanique des milieux continus est
une approche qui a été utilisée par de nombreux auteurs, comme par exemple Sirotkin et
al. [19] en 2006 ou Taylor et al. [50] en 2009 pour simuler le procédé de nanoimpression,
bien que les échelles considérées remettent naturellement cette hypothèse en question. Cette
approche permet d’établir dans des cas simples des formules analytiques pour déterminer par
exemple des paramètres d’impression (temps, pression), ou encore mesurer la viscosité des
matériaux en couche mince par des méthodes inverses. En validant expérimentalement ces
formules, Sirotkin et al. [19] et Taylor et al. [50] ont alors montré que la mécanique des milieux
continus peut s’appliquer pour ce procédé, au moins pour des géométries simples type créneaux
et des épaisseurs de films supérieures à la taille moyenne des macromolécules qui les composent.
Néanmoins, les modèles issus de la mécanique des milieux continus que l’on trouve dans la
littérature pour la nanoimpression permettent d’étudier uniquement des situations particulières
telles que le cas des films épais (pas d’influence du substrat), ou des motifs ayant une largeur L
bien plus importante que l’épaisseur h du film à imprimer, et plus généralement des rapports
h L bien inférieurs à 0,1. En dehors de ces hypothèses les formules analytiques ne s’appliquent
pas et d’autres méthodes de résolution doivent être envisagées. Pour aller plus loin et étudier des
écoulements plus complexes nous devons résoudre numériquement les équations d’écoulement
du polymère et ne pas faire d’hypothèse particulière sur la forme des champs de vitesse et de
pression comme pour les solutions analytiques. Nous devons également prendre en compte les
différentes forces qui s’appliquent au matériau (forces capillaires et solides extérieurs). C’est
l’objet de ce chapitre qui représente la partie la plus technique de cette thèse et qui s’organise
de la manière suivante : les principaux travaux utilisant les modèles discrets et continus pour
modéliser le procédé de nanoimpression sont présentés dans une première partie. Les équations
d’équilibre de la mécanique des milieux continus dans le contexte de la nanoimpression et la
formulation variationnelle associée à cet équilibre sont présentées dans une deuxième partie,
puis la méthode de discrétisation numérique que nous utilisons pour résoudre ces équations est
présentée dans une troisième partie. Enfin le processus d’assemblage du système d’équations à
résoudre pour la simulation du procédé est présenté dans une quatrième partie.
35
3.1
Les différents modèles pour la simulation de la nanoimpression
Le choix du modèle pour décrire l’écoulement est usuellement guidé par l’épaisseur des
films à imprimer, par le rapport entre cette épaisseur h et la largeur des motifs L, et par la
taille des macromolécules qui composent le matériau. Dans cette partie on se propose de faire
un tour d’horizon des différentes approches qui ont été employées pour décrire le procédé de
nanoimpression, pour des épaisseurs de plus en plus fines. Pour des raisons de simplicité, les
résultats sont présentés suivant un plan de coupe et toutes les dimensions mentionnées sont
dans ce plan.
3.1.1
Approche par la mécanique du contact
force ponctuelle
a)
b)
c)
h0
polymère
h0
polymère
polymère
substrat
substrat
Figure 3.1 – Déformation très amplifiée de la surface libre d’un massif semi-infini élastique
prévue par la théorie de la mécanique du contact dans le cadre des petites perturbations pour
une épaisseur infinie (a) et une épaisseur finie h0 (b) pour une charge ponctuelle, et pour une
distribution continue (c).
Les motifs qui sont imprimés ont généralement une largeur de quelques micromètres, taille
négligeable comparée à celle de la plaque de silicium (200 mm de diamètre). Cela permet
ainsi de considérer la zone de contact entre le motif et le film comme réduite à un point, de
voir le procédé d’impression comme un problème d’indentation, et d’utiliser les résultats de
la mécanique du contact pour calculer la déformée de la surface libre. Cette approche permet
d’étudier soit un film très épais sans influence du substrat (figure 3.1a), soit un film mince
dont l’influence du substrat qui supporte le film se manifeste par un ressaut de part et d’autre
de l’indenteur (figure 3.1b). L’équation de la déformée de la surface libre est obtenue dans le
cadre des petites déformations soit avec la solution de Boussinesq [51, 52] pour un film épais,
soit avec le potentiel de Papkovich-Neuber [53] pour un film d’épaisseur finie comme cela a
été fait par par O’Sullivan et King [54]. Cette approche largement exploitée par Taylor et
Boning [55] est même étendue aux motifs ayant une largeur non négligeable devant l’épaisseur
du film en considérant une distribution continue d’efforts (figure 3.1c). Taylor et Boning [55]
valident expérimentalement ce modèle pour des profondeurs imprimées négligeables devant
l’épaisseur du film, condition associée à l’hypothèse des petites déformations du matériau. Cette
méthode a l’avantage d’utiliser des fonctions noyau (issues des potentiels cités ci-dessus) qui
permettent de prendre en compte un très grand nombre de motifs et de calculer la déformée très
rapidement, aussi bien pour un comportement élastique que pour un comportement visqueux
ou viscoélastique, ne laissant comme difficulté majeure que le calcul de la répartition de pression
36
entre moule et polymère.
Cependant cette méthode reste limitée puisqu’elle suppose que les déformations du matériau
restent petites. Or, dans le cas d’un film de 200 nm devant être mis en forme par des motifs
iso-denses de 150 nm de haut, cette hypothèse n’est plus vérifiée et Taylor [56] montre en effet
qu’il n’est plus possible de corréler simplement les résultats théoriques et expérimentaux. Ainsi
pour des déformations plus importantes d’autres approches doivent être considérées.
3.1.2
Application de la théorie de la lubrification aux couches minces
Pression face arrière
Moule
écoulement
parallèle
Polymère
Substrat
Figure 3.2 – Illustration des hypothèses de la théorie de la lubrification appliquée à la nanoimpression. Le champ de vitesse est supposé parallèle à la direction de l’écoulement.
Lorsque le polymère est confiné entre le substrat et le moule, et que son épaisseur h est très
inférieure à la largeur du motif L que l’on cherche à imprimer comme illustré sur la figure 3.2, on
peut supposer que le polymère s’écoule surtout parallèlement au substrat lors de l’impression,
ce qui correspond alors au régime de lubrification. Cette hypothèse sur le champ de vitesse
permet d’établir la relation entre la variation de pression dans la direction de l’écoulement,
l’épaisseur du film, la vitesse de déplacement du moule et la viscosité du polymère. En 1874,
les travaux de Stefan [57] qui consistaient à déterminer la relation entre la force et la vitesse de
séparation de deux plaques liées par un fluide visqueux aboutissent à une première formulation,
qui correspond à la solution du problème de lubrification axisymétrique. Cette relation sera
formalisée plus tard par Stokes [58] puis Rayleigh [59] en 1884 et 1885, avant de faire son
apparition dans les étapes de dimensionnement des paliers lisses par Reynolds en 1886 [60].
Contrairement à l’approche précédente, cette relation pression-vitesse ne permet pas de
déterminer la forme de la surface libre lors d’une impression, mais simplement la relation entre
la vitesse d’impression, la force appliquée sur le moule et les dimensions du film compressé,
dont on peut par exemple déduire le temps d’impression. Elle a l’avantage d’être plus simple
à résoudre que les équations générales de la mécanique des fluides, et permet d’établir des
modèles simplifiés à partir de solutions polynomiales, souvent similaires à la loi de Stefan [57],
que les auteurs adaptent en fonction des cas étudiés sur la base d’observations expérimentales.
La relation la plus simple s’écrit :
FL
ηV
L
h
3
(3.1)
où FL est l’effort appliqué au motif, η la viscosité supposée constante et V la vitesse d’impression. Schulz et al. [18] en 2006 proposent une variante pour l’impression des motifs dont la
largeur et la période sont grandes devant l’épaisseur du film, comme illustré sur la figure 3.3a,
où le polymère déplacé de la région A est supposé monter très rapidement le long du flanc du
37
motif et remplir le moule de gauche à droite sur le schéma. La relation s’écrit alors :
FS
L
h
ηV
3
ηV
L
h
3
D
D
h0
3
(3.2)
h
où h0 est l’épaisseur initiale du film et D la profondeur du moule, deux paramètres supplémentaires par rapport à l’expression (3.1). Hsin and Young identifient en 2008 [61] un autre mode
de remplissage pour les rapports de forme plus petits, où le polymère monte horizontalement
dans la cavité comme illustré sur la figure 3.3b dans la zone B. La relation, non développée ici,
prend ne prend plus en compte la profondeur du moule D mais la période des motifs w.
Ces modèles de description des configurations dites confinées permettent de rendre compte
de l’évolution de certains paramètres tels que la vitesse d’impression, particulièrement intéressante pour nous, avec par exemple la prise en compte d’un ralentissement plus important
pendant l’impression dans le cas 3.3a que dans le cas 3.3b où la longueur de contact L entre
le polymère et la surface du moule tend à augmenter. Cependant ils se limitent à des rapports
de forme h L très petits devant 0,1.
b)
a)
c)
L/2
L'/2
D
h
B
ho
A
2a
A
W/2
W/2
W/2
Figure 3.3 – Illustration des modes de remplissage du moule identifiés par Schulz et al. en
2006 (a) et par Hsin et Young en 2008 (b) en fonction des rapports de forme du moule, et
schématisation d’un film structuré par un créneau puis effacé par la tension de surface du
polymère (c).
La relation pression-vitesse a été généralisée et elle permet de traiter des problèmes tridimensionnels avec éventuellement des surface rugueuses. Dans le cas d’un contact collant elle
s’écrit :
h3 &
∇p
∆vz
(3.3)
div
12η
où h est l’épaisseur du film de fluide, ∆vz la vitesse normale relative entre les deux solides et η la
viscosité. Cette équation a servi de point de départ à deux études. La première est la simulation
de l’impression de MEMS effectuée par Sirotkin et al. en 2006 [19], permettant d’obtenir les
taux de remplissage locaux du moule ainsi que le temps d’impression. La deuxième est une
version améliorée de la première, permettant en plus de prendre en compte les déformations du
moule [62].
Cette équation a également été utilisée pour la simulation de l’effacement de motifs imprimés, pour une configuration dite supportée, où le polymère n’est plus en contact avec un
moule comme illustré sur la figure 3.3c. Le polymère est soumis à de la tension de surface qui
prédomine sur la pesanteur à l’échelle micro- ou nanométrique, et tend vers une configuration
38
d’équilibre, où la surface libre est nécessairement un arc de cercle ou une droite (une droite dans
le cas des films continus). Modéliser cet écoulement a permis à Orchard dès 1962 [63] de calculer
le temps nécessaire à des marques de pinceaux laissées sur une couche de peinture de s’effacer.
Cette solution a été reprise et adaptée par Leveder et al. [20] et Rognin et al. [64] dans le cas de
la nanoimpression pour mesurer la viscosité de films ultra-minces. Ces mesures réalisées pour
des films supportés et confinés ont montré que la viscosité dépendait de l’épaisseur dudit film
en dessous d’une épaisseur de l’ordre de 20 fois le rayon de giration REE des macromolécules
[23]. Ces observations faites par Masson et Green [21] en 2002 et Bodiguel et Fretigny [22]
en 2007 montrent ainsi une dépendance du comportement à la géométrie de l’échantillon et
une limite des modèles simplifiés à très petite échelle. Même si les auteurs proposent des lois
qui dépendent de l’épaisseur, les paramètres matériau déduits de ces modèles sont des valeurs
moyennées qui ne rendent plus compte des mécanismes locaux. Cette limite d’exploitation est
liée aux hypothèses de la mécanique des milieux continus, où le comportement du matériau est
supposé indépendant de la géométrie. Pour traiter plus finement de telles configurations une
approche moléculaire doit être envisagée.
3.1.3
Approche par la dynamique moléculaire
Lorsque les dimensions du film polymère deviennent comparables à la taille des macromolécules, il est plus pertinent d’utiliser des modèles moléculaires pour simuler le procédé, où
le comportement du matériau n’est pas explicite mais résulte de l’interaction entre les macromolécules. La dynamique moléculaire permet de mettre en œuvre ce type de simulation et
a été employée par Kang et al. en 2007 [65] pour simuler l’impression d’un motif de 5 nm
de large et de haut dans un film de PMMA de 10 nm d’épaisseur. Les simulations peuvent
traiter un cycle complet d’impression-refroidissement-démoulage avec des temps d’impression
extrêmement courts (quelques nanosecondes), et permettent aux auteurs de calculer la force
nécessaire à l’impression du motif, la force de séparation, et d’en déduire un comportement global. Woo et al. [66] effectuent le même type de simulation avec des dimensions équivalentes sur
un polyéthylène pour déterminer également une loi de comportement du polymère. L’utilisation
de ces lois de comportement et les vérifications expérimentales sont très rares du fait des difficultés techniques pour suivre l’impression aux échelles et vitesses choisies pour les simulations,
et pour réaliser des moules avec des géométries aussi petites. Ainsi si cette méthode permet
de répondre aux lacunes des modèles continus, son utilisation dans un contexte industriel reste
limitée.
3.1.4
Approche retenue dans cette thèse
On comprend donc que le rapport des dimensions des motifs relativement à l’épaisseur de
polymère et l’épaisseur de polymère elle-même sont les critères principaux pour choisir un type
d’approche. Dans notre cas, on souhaite étendre les résultats obtenus avec les équations de la
théorie de la lubrification, où les motifs sont relativement larges par rapport à l’épaisseur du
polymère, à des impressions de motifs de plusieurs centaines de nanomètres de large sur un
film d’épaisseur équivalente, et donc un rapport supérieur à 0,1, sans considérer des films trop
minces ( 40 nm) où le comportement serait dépendant de la géométrie.
Pour cela nous avons mené une première étude [67] en comparant les résultats des différents
modèles simplifiés de la littérature à un calcul numérique utilisant la méthode des éléments
39
L/2
moule peu profond
modèle de la
théorie de la
lubrification
D
limite d'étude
ho
(b)
(a)
W/2
Figure 3.4 – Vue en coupe d’une demi-période d’un réseau de lignes simples à section rectangulaire pour la nanoimpression (a) et de la géométrie (zone minimale) à considérer pour le
modèle de la théorie de la lubrification (b).
200
si
es
h0 /L
100
80
60
on
0,8
impr
si
es
1,6
40
F/FL
impr
remplissage complet
on
2,4
20
1
impr
3
Modèle de Schulz
si
es
10
8
6
on
4
guide visuel
pre
im
2
ion
ss
2
1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
h/L
Figure 3.5 – Force appliquée sur le motif calculée par la méthode des éléments finis (symboles),
et normalisée par le résultat de la théorie de la lubrification pour la nanoimpression avec un
rapport période sur largeur de motif de 4 et différents rapports initiaux h0 L. Le moule a une
profondeur D telle que D L 2 3. Comparaison avec le modèle de Schulz et al. (2006) pour les
moules peu profonds (traits continus). Les lignes discontinues verticales définissent les valeurs
de h pour un remplissage complet des cavités. La ligne courbe discontinue n’est qu’un guide
visuel.
40
finis sous Abaqus [68], pour un fluide visqueux en déformation plane. Cette dernière solution
est prise comme solution de référence puisqu’elle ne fait pas d’hypothèse particulière sur la
direction de l’écoulement comme le font les modèles simplifiés et résout le problème général.
Dans cette étude on cherche la valeur de l’effort du moule sur le polymère en fonction de la
hauteur du film restant sous le motif. Cet effort peut être calculé dans plusieurs configurations,
dont deux sont présentées sur la figure 3.4. La simulation numérique permet de traiter le cas
général de la figure 3.4a, avec un effort qui dépend de la période w et de la largeur L des motifs,
de l’épaisseur initiale h0 et l’épaisseur courante h du film de polymère sous le motifs, et enfin
de la profondeur du moule D. D’un autre côté, le modèle le plus simple pour évaluer cet effort
est celui présenté sur la figure 3.4b, appelé modèle de la théorie de la lubrification et adapté
du modèle de Stefan [57] pour les écoulement plans, où l’on considère que l’effort de réaction
est essentiellement dû à la compression du polymère situé juste en dessous du motif. Cet effort
très simple ne dépend que de la largeur L et de l’épaisseur courante h et s’écrit :
FL
ηV
L
h
3
(3.4)
.
Entre ces deux modèles plusieurs solutions ont été envisagées, comme celle de Schulz et al. [18]
qui suppose le mode de remplissage présenté sur la figure 3.3a. En exploitant la conservation
du volume de polymère, l’auteur utilise la longueur effective L , qui dépend de la profondeur
du moule D, à la place de la longueur L, et trouve un effort qui n’est pas issu d’un champ de
vitesse vérifiant les équations comme FL et qui s’écrit :
FS
ηV
L
h
3
ηV
L
h
3
D
D
h0
3
h
(3.5)
Ces deux modèles analytiques ont été établis dans le cadre de la théorie de la lubrification,
c’est-à-dire pour h L négligeable devant 0,1, et nous avons cherché à savoir si ces modèles pou0,1. La figure 3.5
vaient être utilisés pour des rapports de forme plus grands tel que h L
présente les résultats pour l’analyse éléments finis (symboles) et le modèle de Schulz (traits
continus) pour une profondeur de moule D telle que D L 2 3. Les deux efforts F sont normalisés par l’effort FL . Prenons le cas où h0 L vaut 0,8 et étudions la solution numérique (symboles). À l’instant initial, repéré par la zone 1 sur la figure 3.5, l’effort calculé numériquement
est environ 7 fois supérieur à l’effort FL donné par la théorie de la lubrification. Puis, au fur et
à mesure de l’impression, la hauteur h diminue, on progresse vers la zone 2, et l’effort F se rapproche de FL puisque le quotient F FL tend vers 1. Cette convergence est naturelle et montre
bien que la théorie de la lubrification s’applique lorsque l’épaisseur du film est négligeable devant la largeur du motif. Ce résultat est vrai jusqu’à ce que le polymère vienne en contact avec
la partie haute du moule, situation qui définit la zone 2. L’effort F augmente alors brusquement
passant d’une valeur de 3 à 12 fois supérieure à FL . L’impression s’arrête lorsque la cavité du
moule est complètement remplie, zone 3, matérialisée par la ligne discontinue verticale située
à h L
0,3. Le même scénario s’applique pour les valeurs initiales h0 L
1,6 et 2,4, avec
un écart de plus en plus grand quand ce rapport augmente. En somme cette figure montre
que la solution des éléments finis donne un effort qui peut être entre 2 et 80 fois plus élevé
que la solution donnée par la théorie de la lubrification dans la gamme des rapports de forme
étudiés et que ce modèle n’est pas un bon candidat pour décrire notre écoulement. Le modèle
de Schulz est également représenté, et l’on voit qu’il correspond au modèle de la lubrification à
41
l’instant initial (h L h0 L), puis qu’il augmente par rapport à l’effort FL puisque la longueur
de contact avec le moule augmente. Cependant cet effort sous-estime ou sur-estime l’effort calculé par éléments finis en fonction du point de départ, avec peu ou pas de recouvrement des
courbes. Ce constat est fait pour tous les modèles qui ont été testés par Teyssèdre et al. [67],
dont celui de Hsin and Young [61] évoqué dans la partie 3.1.2. La conclusion de cette étude
est que l’on ne peut pas utiliser des modèles d’écoulement simplifiés pour étudier les rapports
de forme h L
0,1. Cela nous a naturellement amenés à utiliser un modèle numérique de
type éléments finis pour déterminer les efforts. Le code Abaqus n’a cependant pas été retenu,
puisqu’il ne permettait pas de prendre en compte les effets capillaires, qui à cette échelle ne
sont pas négligeables, et nous avons donc décidé de réaliser notre propre code pour répondre
au problème posé.
3.2
Formulation variationnelle
L’objectif de cette partie est de détailler la formulation variationnelle qui intègre tous les
modèles physiques retenus pour notre étude et qui sera utilisée pour simuler l’enfoncement
d’un motif dans un film polymère. Les géométries étudiées dans cette thèse sont nécessairement
longiformes ou axisymétriques pour n’avoir à étudier qu’une section. On présente donc les
conventions d’orientation dans cette section, les équations d’équilibre dans le fluide, les conditions aux limites sur la frontière du domaine et la mise en œuvre des équations dans les cas
plan et axisymétrique.
Conventions d’orientation dans une section
VS2
solide
rigide
ΓS2
C3
t
C2
n
ΓF1
solide
rigide
3.2.1
ΓF2
t
J1
n
C1
polymère
VS1
Ω
ΓA2 z
ΓS1
n
t
x
O
ΓA1
S1
Figure 3.6 – Notations et conventions utilisées. Les flèches blanches montrent l’orientation antihoraire de la frontière du domaine, ce qui définit les vecteurs tangents et normaux unitaires.
Les axes de symétrie sont représentés par des lignes discontinues.
Les notations et conventions utilisées sont présentées sur la figure 3.6. La frontière Γ du
volume de polymère Ω est composée de plusieurs sous-domaines, qui peuvent être des surfaces
libres (l’ensemble ΓF , découpée éventuellement en ΓF 1 , ΓF 2 , . . . ), ou bien un axe de symétrie
(l’ensemble ΓA ), ou en contact avec des solides (l’ensemble ΓS ). Comme le montre la figure,
42
la ligne Γ est orientée dans le sens anti-horaire, ce qui définit naturellement le vecteur tangent
unitaire &t, et le vecteur normal unitaire &n orienté vers l’intérieur du domaine. Cette frontière est
discontinue aux points Ci et Ji sur la surface libre où pourront s’appliquer des forces concentrées.
Les tenseurs sont notés en gras (σ, S), les vecteurs avec une flèche (&v , &n), et les projections
et scalaires en lettres normales (vn , γ) avec en indice la direction de projection.
3.2.2
Équations d’équilibre dans le volume
Les effets inertiels et la gravité peuvent être négligés pour les écoulements d’un fluide visqueux à l’échelle micro ou nanométrique, puisque les nombres de Reynolds mis en jeu sont très
faibles et les dimensions caractéristiques faibles devant les longueurs capillaires. Typiquement,
dans les applications que nous sommes susceptibles d’étudier, les longueurs caractéristiques
sont de l’ordre de 1 µm voire moins, les vitesses inférieures à 1 µm/s, la viscosité de l’ordre de
104 Pa.s, soit 1000 fois plus visqueux que le miel à température ambiante, et la tension de surface d’environ 40 mN/m, ce qui donne Re 10 13 et lc 2 mm. Ainsi, dans les écoulements de
polymère, considérés ici comme incompressibles, où toutes les forces volumiques sont négligées,
les équations devant être satisfaites par le champ de vitesse &v et par le tenseur des contraintes
de Cauchy σ dans le domaine Ω sont:
div &v
0
& σ
div
a
&0
b
dans Ω
(3.6)
Ces deux champs sont reliés par la loi de comportement :
σ
pI
2ηD &v
avec
1
grad&v
2
D &v
grad&v
T
(3.7)
où D est le tenseur des taux de déformation, I le tenseur identité d’ordre 2, p la pression
2D : D dans
hydrostatique et η la viscosité fonction du taux de déformation équivalent γeq
le cas d’un comportement non linéaire.
Dans notre modèle nous prenons également en compte les variations de température. En
pratique, comme le polymère a une épaisseur très faible ( 200 nm), et que le silicium est très
bon conducteur (3 fois plus que l’acier environ), nous pouvons supposer que les effets d’inertie
thermiques sont négligeables. La viscosité du polymère se trouve alors être le seul paramètre
modifié par un changement de température, ce qui en fait une fonction de deux variables, γeq
et T .
3.2.3
Conditions aux limites à l’échelle nanométrique
Le long de la frontière Γ du fluide, différentes conditions aux limites s’appliquent sur les
ensembles ΓA , ΓF , ΓS , mais également à leurs intersections Ci , Ji . On présente les conditions
cinématiques et statiques sur les axes de symétrie, puis sur les surfaces libres et aux points
triples, et enfin à l’interface polymère-solide.
3.2.3.1
Conditions sur les axes de symétrie
Sur les axes de symétrie on rencontre deux conditions aux limites. La première impose la
non pénétration du fluide à travers l’axe et est une condition sur les vitesses :
&n. &v
&vA
43
0
(3.8)
où &vA est la vitesse de déplacement de l’axe de symétrie, très souvent égale à &0. La deuxième
est une condition en effort, qui traduit l’absence d’efforts de cisaillement le long de l’axe (le
polymère peut y glisser librement) et elle s’écrit :
&t.σ.&n
3.2.3.2
0
(3.9)
Conditions sur la surface libre
La surface libre est soumise à la tension superficielle, ce qui en fait une surface singulière,
i.e, où il existe des discontinuités. Très près de la surface libre, on peut avoir des pressions
différentes de part et d’autre de l’interface, différence compensée par l’énergie de surface. Ce
saut de contrainte à l’interface que l’on rencontre dans tous les problèmes à plusieurs phases a
été étudié par Gibbs [69] et peut être pris en compte dans des modèles continus en utilisant des
conditions d’équilibre aux limites appropriées. Dans notre cas on utilise l’équation de Laplace
qui donne une relation entre le vecteur contrainte σ.&n, la pression extérieure p0 , l’énergie de
surface γ et la courbure de l’interface κ :
γκ
σ.&n
a)
(3.10)
p0 .&n
b)
en équilibre
Polymère
tF
tF
θS
hors équilibre
Polymère
θS
θ
tS
C
C
solide
fc
tS
fc
solide
Figure 3.7 – Schéma de la force concentrée f&c qui s’applique au point triple C. Cette force,
représentée à l’équilibre (a) et hors équilibre (b), résulte des énergies de surface du solide et de
l’air sur le polymère et ne dépend que des l’angles θ et θS . l’angle statique est déterminé par la
position d’équilibre du polymère en l’absence d’écoulement forcé.
3.2.3.3
Conditions aux points triples
Aux points Ci sur la figure 3.6, ou au point C sur la figure 3.7, la surface libre du polymère
entre en contact avec un solide. En ces points, le vecteur tangent étant discontinu, on définit
un angle de contact θ et une force concentrée qui correspond à la somme des forces capillaires
s’appliquant sur le point triple :
f&c
ε γ&tF
γSO
γSL &tS
en Ci
(3.11)
En supposant les énergies de surface solide-air (γSO ) et solide-liquide (γSL ) constantes, on peut
utiliser la formule de Young [70], et se ramener à l’expression suivante :
f&c
εγ &tF
cos θS &tS
44
en Ci
(3.12)
où θS représente l’angle de contact statique, qui est obtenu lorsque le polymère est à l’équilibre.
Dans la définition précédente, ε vaut 1 si &tF est dirigé à l’intérieur de ΓF (points C1 , C3 sur la
figure 3.6 et points C sur la figure 3.7), et 1 sinon. Habituellement cette force est réduite à
cos θS . Cela laisse l’angle
sa composante tangente au solide qui vaut zéro lorsque &tF .&tS
de contact stable en absence d’écoulement forcé (figure 3.7a), sinon f&c tend à mouvoir le point
triple de façon à ce que cet angle se rapproche de l’angle de mouillage statique (figure 3.7b).
Dans notre expression on introduit implicitement une composante normale au solide, qui vaut
γ sin θ , et qui est visible sur les figures 3.7a et b. Cette composante, qui n’a pas besoin d’être
prise en compte si les conditions aux limites sur le solide est une vitesse imposée, est essentielle
si un effort est imposé sur le solide, cas qui nous intéresse. Habituellement on omet cette
composante normale qui fait pourtant qu’une goutte peut tenir sur une surface tête en bas.
Cette approche est similaire à celle développée par Deganello et al. [71], à la différence que
notre force concentrée ne dépend que de θ et non de la vitesse du point triple, des paramètres
d’angles dynamiques d’avance ou de recul, ou encore d’une tension de surface fonction de la
position sur la surface libre. Cette façon simple d’introduire le mouillage permet de ne pas
utiliser le modèle élaboré de Shikhmurzaev [72] avec une tension de surface dynamique ou une
expression complexe de la force concentrée proposée par [71]. Dans notre cas, l’angle obtenu
résultera simplement de la compétition entre la force de mouillage f&c et les forces de frottement
sur le solide (présentées ci-après). Avec cette formulation, comme cela était prévu, il n’y a pas
de singularité dans les configurations d’équilibre, mais il y en a une dans les configurations hors
équilibre (où l’angle dynamique est différent de l’angle statique) induite par la force concentrée,
et se manifeste par une pression élevée au point triple.
Cette même force s’applique aux points Ji (intersection d’un axe de symétrie et de la surface
εγ&tF qui est la simple manifestation
libre), mais avec nécessairement θS π 2. On a donc f&c
de la tension de surface (force capillaire γ de part et d’autre de la coupure). Cette force tend
ainsi à maintenir un angle de 90˚ entre la surface libre et les axes de symétrie.
3.2.3.4
Sur l’interface polymère-solide
air
Vfluide
tF
fluide
θ
tS
solide
b
Figure 3.8 – Illustration de la longueur de glissement de Navier b, définie par la tangente au
profil des vitesses à l’interface fluide-solide.
Le déplacement de la ligne triple soulève un problème de condition aux limites à l’interface
polymère-solide. La formulation proposée ci-dessus impose un effort au point triple. Pour que
le problème soit bien posé, la vitesse de ce point ne peut pas être imposée, et cela suppose que
le point triple glisse, au moins partiellement, sur le solide. On est confronté ici aux problèmes
de déplacement d’une ligne de contact, bien connus dans la littérature (voir Shikhmurzaev [72]
pour une étude exhaustive), où la condition usuelle de contact collant à l’interface fluide-solide
implique une singularité non-intégrable en pression aux points de contact comme le montrent
45
Huh et Scriven [73]. La procédure standard permettant de la rendre intégrable consiste à utiliser
une condition de glissement comme Hocking [74]. Sur tous les points du fluide en contact avec
un solide rigide, on utilise une condition de Robin (relation linéaire entre la vitesse et sa dérivée
sur la frontière, aussi appelée condition de Fourier), et plus particulièrement ici la condition de
glissement de Navier, qui s’écrit :
&n. &v
&vS
0
a
et
&t. &v
&vS
β &t.σ.&n
b
sur ΓS
(3.13)
où &vS représente la vitesse du solide, et β un coefficient de glissement. a traduit la condition
de non pénétration du fluide dans le solide comme pour les axes de symétrie, et b introduit
un coefficient de glissement β entre les contraintes de cisaillement et le différentiel de vitesse
polymère-solide. Si le comportement est newtonien, avec une viscosité constante η, choisir β
est équivalent à choisir une longueur de glissement b β.η illustrée sur la figure 3.8. Cela n’est
plus nécessairement vrai lorsque la viscosité varie, pour un comportement rhéofluidifiant par
exemple où l’on a le choix de laisser b ou β constant. De façon évidente, on retrouve la condition
de contact collant quand β 0 et une condition de glissement parfait quand β
.
Pour résumer, on cherche un champ de vitesse &v qui vérifie l’ensemble des conditions
cinématiques précédentes (le champ est alors dit cinématiquement admissible), un champ de
contraintes σ vérifiant les conditions statiques (il est alors dit statiquement admissible), tels
que ces deux champs vérifient la relation de comportement (3.7).
3.2.4
Formulation variationnelle faible
Les équations locales (3.6), (3.7), (3.8), (3.9), (3.10) et (3.13) présentent deux difficultés.
La première étant les discontinuités du vecteur normal, aux points triples par exemple, qui
n’apparaissent pas dans ces équations. Nous avons ici été capable de présenter l’effort f&c qui
s’applique en ces points, mais sans donner la relation entre les contraintes à l’interface et f&c .
Cette relation est difficile à établir et nécessite de définir des tenseurs de contraintes superficielles
comme proposé par Gurtin et al. [75], et elle aurait eu un intérêt à être présentée uniquement si
nous devions utiliser la formulation forte du problème (avec uniquement des équations locales).
La seconde difficulté est l’ordre 2 de dérivation du champ de vitesse pour satisfaire les équations
(3.6b) et (3.7). Pour contourner cette difficulté la méthode consiste à se placer dans l’espace
de Sobolev [76] pour établir la formulation faible et de considérer l’équation de conservation de
l’énergie, appelée dans cet espace le principe des puissances virtuelles qui s’écrit :
&v , Pint σ, &v
Pext σ, &v
0
(3.14)
où &v est une fonction de carré intégrable aussi appelée champ test ou vitesse virtuelle qui a les
mêmes propriétés de continuité et d’admissibilité que le champ de vitesse &v que l’on cherche à
déterminer, hormis l’incompressibilité. Pint est la puissance virtuelle intérieure générée par les
contraintes visqueuses calculée sur le champ test et Pext la puissance virtuelle des efforts qui
s’appliquent sur la frontière du domaine. La démonstration de l’équivalence entre l’équation
(3.14) et l’équation locale (3.6b) est admise et nous l’utilisons au même titre que Buscaglia et
Ausas [77] pour mettre en œuvre nos équations.
A : B la puissance virtuelle intérieure s’exprime de la
En utilisant la notation Tr A.B
manière suivante :
Pint σ, &v
(3.15)
σ : D &v dΩ
Ω
46
et la puissance virtuelle des forces extérieures de la façon suivante (en l’absence de forces
volumiques) :
g &v .f&c
&v .σ.&n dΓ
Pext σ, &v
Γ
(3.16)
Ci ,Ji
où g vaut 1 dans le cas plan et r dans le cas axisymétrique, et Γ
Ω pour alléger les notations.
Déterminer l’équilibre quasi-statique du domaine d’étude se résume alors à résoudre l’équation :
σ : D &v dΩ
g &v .f&c
&v .σ.&n dΓ
Ω
Γ
0
(3.17)
Ci ,Ji
L’intégrale sur le bord Γ est décomposée sur les différents sous-ensembles :
&v .σ.&n dΓ
&v .σ.&n dΓ
Γ
&v .σ.&n dΓ
ΓA
ΓS
&v .σ.&n dΓ
(3.18)
ΓF
et chaque terme peut alors être intégré indépendamment avec les conditions aux limites.
3.2.4.1
Intégration sur le volume
L’intégrale sur le volume se développe avec la relation de comportement (3.7) :
σ : D &v
dΩ
2η γeq , T D &v : D &v
Ω
p div &v
dΩ
(3.19)
Ω
Le premier terme du second membre est lié aux dissipations visqueuses dues au cisaillement
et le second terme au changement de volume et à la pression hydrostatique du fluide.
3.2.4.2
Intégration sur ΓA
On décompose la vitesse virtuelle sur la base locale &t, &n pour appliquer la condition statique
(3.9) :
&v .σ.&n dΓ
ΓA
ΓA
v n .&n
v t .&t .σ.&n dΓ
ΓA
v n .σ nn dΓ
(3.20)
Comme &v est cinématiquement admissible, v n est constant sur ΓA (pas de rotation de l’axe),
&A l’effort résultant de l’axe de symétrie sur le
on peut donc le sortir de l’intégrale. On définit F
fluide. L’équilibre des forces sur cet axe en projection suivant sa normale &n qui est constante
s’écrit :
σ.&n dΓ .&n
σ nn dΓ .
(3.21)
F&A .&n
ΓA
ΓA
Les actions du fluide sont illustrée sur l’axe de gauche de la figure 3.9, avec σ.&n la contrainte
appliquée au fluide. On peut donc conclure que :
&v .σ.&n dΓ
ΓA
47
v n .FAn
(3.22)
Fext
vSz
vSx
σnt
σnn
σnn
Figure 3.9 – Illustration des contraintes normales et tangentielles qui engendrent un effort
vertical de réaction sur le solide (à gauche) et des contraintes normales qui engendrent un effort
horizontal sur un axe de symétrie (à droite).
3.2.4.3
Intégration sur ΓS
On applique la même démarche pour l’interface fluide-solide :
&v .σ.&n dΓ
ΓS
ΓS
ΓS
v n .&n
v t .&t .σ.&n dΓ
v Sn .σ nn dΓ
(3.23)
1
v t . vt
β
ΓS
vSt dΓ
en appliquant les conditions (3.13). Contrairement à l’axe de symétrie, la normale à l’interface
n’est pas constante et les efforts tangentiels dus aux frottements contribuent à l’effort de réaction
du polymère sur le moule comme illustré sur la figure 3.9. Cela impose de revenir au repère
global pour l’intégration. On exprime les vitesses normales et tangentielles en fonction du
vecteur vitesse &vS du solide, qui a l’avantage d’être constant sur toute la frontière à un instant
donné. On a alors v Sn &v S .&n et vSt &vS .&t. Comme pour l’axe de symétrie, on définit l’effort
de l’extérieur sur le solide (autre que le polymère) et on écrit l’équilibre du solide avec &n la
normale entrante au fluide :
F&ext
σ.&n dΓ
F&ext
ΓS
σ nn .&n
σnt .&t dΓ
σ nt .&t dΓ
F&ext
0
ΓS
σ nn .&n dΓ
F&ext
ΓS
ΓS
ΓS
1
vt
β
(3.24)
vSt .&t dΓ
En utilisant cette relation dans l’équation (3.23) il vient alors :
&v .σ.&n dΓ
ΓS
&ext
&v S . F
&v S .F&ext
&v S .F&ext
ΓS
ΓS
ΓS
1
vt
β
vSt &t dΓ
ΓS
1
&v &v S .&t &v
β
1
&v &v S .&t &t. &v
β
1
v vt
β t
vSt dΓ
(3.25)
&vS .&t dΓ
(3.26)
&vS dΓ
(3.27)
où &t &t ti tj . Le premier terme correspond à la puissance fournie au solide par l’extérieur et
le second à la puissance dissipée par frottement à l’interface. On retrouve ici le cas du contact
parfaitement glissant lorsque β tend vers l’infini avec la puissance dissipée par frottement qui
tend vers 0. Lorsque β tend vers 0, le résultat est moins évident sous cette forme, mais comme
v tend vers &vS , le quotient tend vers une valeur finie, qui est la puissance dissipée par un
contact collant.
48
3.2.4.4
Intégration sur ΓF
La dernière intégrale se décompose suivant les efforts dus à la tension de surface et ceux
dus à la pression extérieure supposée constante avec l’équation (3.10) :
&v .σ.&n dΓ
γ κ &v .&n dΓ
ΓF
p0 &v .&n dΓ
ΓF
(3.28)
ΓF
Comme notre étude est limitée à celle d’une section, nous décomposons la courbure totale en
une courbure dans le plan κp et une courbure hors plan κhp qui vaut 0 dans le cas plan et 1 r
dans le cas axisymétrique. κp est développée en utilisant la formule de Ruschak [78], ce qui
évite d’avoir à calculer explicitement la courbure de l’interface :
g d&t
κp &n dΓ
(3.29)
où g vaut toujours 1 dans le cas plan et r dans le cas axisymétrique. On obtient alors :
γ κ &v .&n dΓ
g &v . d&t dΓ
γ
ΓF
γ g &v .&t
ε γ g &v .&tF
&t. grad&v .&t dΓ
γ
ΓF
ΓF
&t. grad&v .&t dΓ
γ
(3.30)
ΓF
(3.31)
ΓF
Ci ,Ji
Ptens/loc
Toutes les intégrales ont été développées à l’aide des conditions aux limites introduites dans
la partie 3.2.3. Avant de présenter la formulation finale, on effectue un regroupement pour
éliminer les termes qui s’annulent. La somme Ptens/loc de la relation précédente et la somme de
la relation (3.17) se simplifient en remarquant que &v &v S aux points triples et en utilisant la
formule (3.12) :
g &v .f&c
ε γ g &v .&tF
Ci ,Ji
f&c
g&v . ε γ &tF
Ci ,Ji
(3.32)
Ci ,Ji
3.12
(3.33)
ε γ cos θS v St
Ci ,Ji
(3.34)
ε γ cos θS v St
Ci
3.2.4.5
Formulation Variationnelle complète
En regroupant les développements (3.19),(3.22),(3.27),(3.28),(3.31) et (3.34) on obtient la
formulation variationnelle faible de notre problème définie par la fonction L :
v, L &v , p, &v
2η γeq , T D &v : D &v
p div &v
&v n .FAn
dΩ
Ω
ΓS
1
&v
β
&v S .&t
&t. &v
&vS dΓ
&t. grad&v .&t dΓ
γ
ΓF
p0&v .&n dΓ
ΓF
εγcos θS v St
Ci
49
0
&v S .F&ext
(3.35)
Cette formulation, similaire à celle trouvée par Buscaglia et Ausas [77] pour traiter le
même genre de problème, ne prend pas en compte l’incompressibilité de l’écoulement donnée
par l’équation (3.7a). Pour l’intégrer dans notre problème, on applique la même démarche
que précédemment avec le champ des vitesses virtuelles mais pour un champ de pression, en
définissant la forme linéaire Q :
p, Q &v , p
p div &v dΩ
0
Ω
Le problème initial est donc ramené à la recherche d’un couple v, p tel que, quel que soit
le couple des champs virtuels v, p admissible on ait :
A &v , p, &v , p
L &v , p, &v
Q &v , p
0
(3.36)
où A est définie à partir des fonctions L et Q.
3.2.5
Les cas plan et axisymétrique
La formulation précédente a été présentée de façon à s’appliquer aussi bien aux écoulements
plans qu’axisymétriques. Dans cette partie on développe les opérateurs et les variables qui se
différencient dans les deux cas. Ainsi dans le cas plan défini par les variables x, z nous avons :
grad &v
vx,x 0 vx,z
0 0 0
vz,x 0 vz,z
,
div &v
vx,x
vz,z ,
1,
g
κhp
0
et dans le cas axisymétrique défini par les variables r, z on a :
grad &v
3.3
vr,r
0
vr,z
0 vr r 0
vz,r
0
vz,z
div &v
,
vr,r
vr
r
vz,z ,
g
r,
κhp
1 r
Discrétisation des équations
La formulation variationnelle (3.36) est résolue à l’aide d’une méthode de Galerkin des
voisins naturels, appelée méthode des éléments naturels (NEM). On cherche alors à approcher
les champs de vitesse et de pression par une somme discrète de fonctions élémentaires ϕi i 1,n
et ψi i 1,n telles que :
n
&v
n
ϕi&vi
et
i 1
p
ψi pi
(3.37)
i 1
où les &vi et pi sont les valeurs nodales des vitesses et pression et n le nombre de nœuds. En
utilisant la même décomposition pour les champs virtuels, on est ramené à résoudre le problème
suivant :
A &vi , pj , &v k , pl
&v k , pl ,
0
(3.38)
i,j,k,l
Les parties qui suivent présentent la méthode, ses variantes et les applications en mécanique,
ainsi que sa mise en œuvre pour la résolution de notre problème par le calcul des intégrales
dans le volume et sur le bord.
50
3.3.1
Méthode des éléments naturels contraints (C-NEM)
La NEM est une méthode de résolution des équations différentielles qui, contrairement
à la méthode des éléments finis (FEM), utilise une interpolation du champ des vitesses qui
prend en compte une influence relative des plus proches voisins, ce qui lui permet d’être peu
sensible à la répartition des nœuds dans le domaine, ou à la distorsion du maillage pour faire
le parallèle avec la FEM. Dans cette méthode chaque nœud est associé de manière unique à
une cellule, appelée cellule de Voronoı̈, comme illustré sur la figure 3.10, définie par les plus
proches voisins. Elle se distingue également des méthodes sans maillage comme la SPM (smooth
particles hydrodynamics) par la possibilité d’imposer rigoureusement des conditions aux limites
essentielles (vitesses) ou naturelles (forces). La NEM fut introduite par Traversoni en 1994
[79], mais les premières applications de cette méthode à mi-chemin entre les méthodes avec
maillage et sans maillage ont été faites par Braun et Sambridge en 1995 [80], qui étudiaient des
écoulements de Stokes bidimensionnels. Elle a ensuite été appliquée à la mécanique des solides
par Sukumar et al. en 1998 [81] pour des applications diverses.
Frontière du domaine convexe
Frontière du domaine concave
1
c)
0.8
0.6
b)
0.4
0.2
a)
∞
0
d)
5
2.5
4.5
2
4
3.5
1.5
3
Noeuds
2.5
1
2
1.5
0.5
1
0
Cellules de Voronoï
(polymère)
0.5
0
Supports des fonctions
de forme
Figure 3.10 – Exemple de discrétisation du domaine par les cellules de Voronoı̈ et des nœuds
associés (points noirs). Les fonctions de Sibson sont présentées sur le bord non-convexe sans
support contraint (a), avec support contraint (b), dans le domaine loin du bord (c) et proche du
bord (d). Les cellules de Voronoı̈ où sont construites les fonctions de forme sont représentées en
traits gras discontinus et les supports des fonctions des cas (a) et (b) sont tracées en pointillé.
Plusieurs variantes de cette méthode existent pour tenir compte des frontières non convexes,
comme la α-NEM de Cueto et al. [82] qui a été appliquée à la dynamique des fluides par González
et al. [83], ou la C-NEM d’Yvonnet et al. [84] utilisée dans notre cas. Cette dernière applique
un critère de visibilité pour sélectionner les voisins naturels, ce que ne fait pas la NEM, afin
de traiter des domaines non convexes comme rencontrés en nanoimpression. La figure 3.10
51
présente cette différence, où l’on voit le domaine découpé en cellules et dont la frontière est
mise en évidence en trait gras pour le domaine concave, et le plan vert qui matérialise la zone
où les frontières concave et convexe (construite sur le même domaine) se distinguent. Avec la
NEM, c’est cette deuxième frontière qui est vue par les supports des fonctions de forme dont la
géométrie est complexe et qui sont représentés par des pointillés sur les cas (a) et (b), et donne
des fonctions qui sortent du domaine d’étude comme on le voit entre la frontière concave (traits
gras) et le plan vert pour le cas (a). Avec la C-NEM ces supports sont tronqués avec la frontière
concave comme illustré en (b), et les fonctions de forme ont la particularité d’être linéaires sur
le bord. La C-NEM a été utilisée par Ata et al. [85] et Darbani et al. [86] pour simuler des
écoulements en eau peu profonde, puis par Defauchy et al. [87] pour la simulation du procédé
de frittage de poudre de polymère avec la prise en compte de la tension de surface, mais sans
contact avec un solide. Ce dernier exemple et ceux traités par González et al. [83] ou Cueto et
al. [88], démontrent la capacité naturelle de la NEM à pouvoir gérer des écoulements avec une
surface libre, en particulier avec une approche de type lagrangienne. Tous ces avantages font de
la NEM un bon candidat pour la simulation des écoulements de fluide, et plus particulièrement
pour son implémentation dans un code pour la nanoimpression.
L’implémentation de la C-NEM que l’on propose ici utilise une formulation mixte définie par
la formulation faible (3.36), où les trois variables (vx , vy , p) sont introduites en chaque nœud.
Les nœuds sont répartis sur le domaine et sur la frontière, et les cellules de Voronoı̈ résultent
de cette répartition. Le calcul explicite des différentes intégrales de volume et de bord sur ces
cellules, ou frontières de cellule, les approximations et interpolations faites pour résoudre nos
équations sont présentées ci-dessous. Pour alléger la présentation, les intégrales sont calculées
uniquement dans le cas de la déformation plane.
3.3.2
Les intégrales de volume
Dans la formulation faible, deux intégrales de volume sont présentes :
2η γeq , T D &v : D &v
p div &v
dΩ
(3.39)
Ω
qui correspond à la puissance virtuelle des efforts intérieurs, et :
p div &v dΩ
(3.40)
Ω
qui traduit la condition d’incompressibilité.
L’intégration sur le domaine s’obtient par la sommation des intégrales sur toutes les cellules
de Voronoı̈. Le champ des vitesses est interpolé avec les fonctions de Sibson [89] qui sont
continues, et leur intégration est effectuée avec le schéma d’intégration nodal stabilisé défini
par Chen et al. [90]. Ce schéma d’intégration revient à supposer que les vitesses de déformations
sont constantes par cellules. Par conséquent la viscosité η γeq est constante par cellule pour le
problème non-linéaire. En se ramenant à une cellule, ce schéma approché consiste en pratique
à supposer que la moyenne d’un produit est égale au produit des moyennes, de façon à ce que
l’on ait sur la i ème cellule de Voronoı̈ d’aire Si :
1
Si
D &v : D &v
Si
dΩ
1
Si
D &v dΩ
Si
52
:
1
Si
D &v dΩ
Si
(3.41)
On utilise ensuite le théorème de la divergence pour se ramener au calcul des déformations
moyennes par une intégration sur le bord des cellules, ce qui revient à déterminer la valeur
moyenne du gradient des fonctions de forme ∇ϕ̃ sur chaque cellule i. En utilisant les notations
en colonnes et en notant f˜ la valeur moyenne d’une grandeur f , on a :
D̃ &v
...
...
...
ε̃xx
ε̃yy
2 ε̃xy
0
...
ϕ̃i,y
...
1
ϕ̃
...
2 i,x
ϕ̃i,x
0
1
ϕ̃
2 i,y
..
.
Vix
Viy
..
.
.
BgT .V
(3.42)
où BgT est la transposée de la matrice Bg contenant le gradient moyen des fonctions de forme,
et V le vecteur des vitesses nodales. De même la divergence est calculée à l’aide des valeurs
moyennes du gradient des fonctions de forme et l’on obtient :
˜ &v
div
ε̃xx
ε̃yy
. . . ϕ̃i,x ϕ̃i,y . . .
.
..
.
Vix
Viy
..
.
BdT .V
(3.43)
avec Bd matrice de calcul de la divergence. Les routines fournies par Illoul [91] permettent de
calculer les gradients des fonctions de forme de Sibson pour un maillage donné.
Parallèlement, la pression est prise constante par cellule. González et al. [83] ont montré
que cette combinaison de différents schémas d’intégration ne satisfait pas rigoureusement la
condition de stabilité de Ladyshenskaya-Babuska-Brezzi [92, 93, 94], mais que néanmoins aucun mode parasite n’a été détecté dans plusieurs applications à des problèmes d’écoulements
incompressibles plans, ce que nous constatons aussi dans nos travaux. Ainsi on écrit :
ψi Pi
p
N T .P
ψi x
1 si x
0 sinon.
avec
i
Si ,
(3.44)
avec N la matrice des fonctions de forme pour la pression et P le vecteur des pressions nodales.
On en déduit l’expression suivante des deux intégrales de volume :
2ηD &v : D &v
p div &v
dΩ
2ηBg .BgT Si V
V T.
Ω
i
T
V . Kvisq V
Bd .N T Si P
V T.
i
Cdiv P
et :
p div &v dΩ
Ω
N.BdT Si V
PT.
P T Cdiv
T
V
(3.45)
i
Ici la matrice Kvisq correspond à la matrice de rigidité due aux forces visqueuses et Cdiv la
matrice de calcul de la divergence moyenne. Dans le cas d’un comportement rhéofluidifiant, la
matrice Kvisq dépend de la vitesse V à travers la viscosité η γeq .
53
3.3.3
Intégration au bord du domaine
Sukumar et al. [81] ont montré que les fonctions de forme de Sibson donnaient lieu à une
interpolation linéaire sur la frontière des domaines convexes pour la NEM. Cette propriété est
également vérifiée par Yvonnet et al. [84] dans le cas des domaines non-convexes pour la CNEM. Ainsi les fonctions ϕj sont linéaires sur Γ et nous permettent d’intégrer exactement les
conditions aux limites, segment par segment.
Dans ce qui suit, on établit les matrices élémentaires pour chacune des conditions aux
limites. L’indice i désigne un nœud de la frontière qui est toujours orientée dans le sens antihoraire. L’indice i désigne également l’élément compris entre les nœuds i et i 1. Comme il n’y
a pas d’auto-intersection de la surface libre cette notation est sans ambiguı̈té. Pour la pression
extérieure, supposée constante, nous avons :
i 1
..
..
.
.
ϕi
0
0
ϕi
0
ϕi 1
0
ϕi 1
..
..
.
.
i 1
p0&v .&n dΓ
p0 .
V
i
i
&n dΓ
(3.46)
Sur un segment de la frontière, la normale est supposée constante et l’on a
i 1
i 1
ϕi dΓ
ϕi
i
1 dΓ
Li 2
(3.47)
i
avec Li la longueur du segment, ce qui donne :
i 1
p0&v .&n dΓ
V T.
i
p 0 Li
.
2
..
.
nix
niy
nix
niy
..
.
i
.
V T .Fpress
(3.48)
i
Fpress
est le vecteur des efforts généralisés de la pression extérieure entre les nœuds i et i 1,
i
et le vecteur global est donné par : Fpress
i Fpress . Le terme associé à la tension de surface
quant à lui devient :
i 1
γ
&t. grad&v .&t dΓ
i 1
i
i 1
v t,t dΓ
γ
i
γ
&v .&t
,t dΓ
(3.49)
i
où f,t désigne la dérivée de la fonction f par rapport à l’abscisse curviligne t le long du bord
qui se confond avec la coordonnée tangente. Toujours en supposant que le vecteur tangent est
constant sur l’élément de longueur Li on trouve :
ϕi,t
ϕi
1,t
1
Li
i 1
et
i 1
ϕi,t dΓ
i
ϕi
i
54
1,t dΓ
1
(3.50)
dans le sens de parcours i
i
γ
i
1. On en déduit alors :
..
.
tix
1
tiy
&t. grad&v .&t dΓ V T γ
tix
tiy
..
.
i
i
.
V T .Ftens
(3.51)
i
Ftens
est le vecteur des efforts généralisés de la tension de surface entre les nœuds i et i 1, et
i
on définit le vecteur des efforts généralisés de la tension de surface : Ftens
i Ftens .
Enfin, il reste le terme de Navier qui, lui, ne s’intègre pas nécessairement dans le vecteur
force puisqu’il fait intervenir à gauche les vitesses virtuelles et à droite les vitesses réelles des
points du fluide :
1
&v &v S .&t &t. &v &vS dΓ
(3.52)
ΓS β
où
désigne le produit tensoriel. Il y aura nécessairement un terme qui s’intègrera dans la
matrice de rigidité. De plus, pour un point M du fluide à l’interface fluide-solide, on interprète
&v S et &vS comme les vitesses d’un point coı̈ncidant avec M mais appartenant au solide. En
pratique ces points n’existent pas, mais permettent de décomposer ces vitesses de la même
manière que les champs &v et &v . On est donc ramené au calcul de quatre intégrales similaires à
celle-ci :
1 & &
&v .t t.&v dΓ
(3.53)
β
ΓS
Contrairement aux intégrales précédentes, la tangente en un nœud est définie comme la tangente
à l’élément du solide auquel il appartient. On connaı̂t donc la valeur nodale des tangentes, et
on supposera ici que la tangente évolue linéairement sur un segment. Ainsi, entre les nœuds i
et i 1 sur l’interface, en supposant β constant et en posant :
..
...
...
.
tix
ϕi
0
tiy
0
ϕi
P
, TS
&v P T .V, &t P T .TS
(3.54)
txi 1
0
ϕi 1
0
ϕi 1
tiy 1
..
..
..
.
.
.
on a :
On pose Q
i 1
i
P.P T ,
1 &
&v .t
β
&t.&v dΓ
V T.
1
β
i 1
i
on note Qk les lignes de Q. En
.
..
..
..
..
. ..
.
.
.
T
. . . TS
0
0
0
T
.
.
.
0
T
0
0
S
P.P T .TS
... 0
0 TST 0
... 0
0
0 TST
..
..
..
..
.
.
.
.
55
P.P T .TS .TST .P.P T dΓ V
(3.55)
remarquant que :
...
...
...
...
..
.
.
QT1
..
.
QTn
T.
QT1
..
.
QTn
(3.56)
il vient :
i 1
i
1 &
&v .t
β
1
V T. T .
β
&t.&v dΓ
QT1
..
.
i 1
i
QTn
.
QT1
..
.
T
dΓ .T T .V
(3.57)
QTn
i
V T .Knav
.V
(3.58)
i
Le calcul de Knav
nécessite alors celui de trois intégrales qui sont :
i 1
i
i 1
i
i 1
i
ϕ4i dΓ
ϕi ϕ3i
1 dΓ
ϕ2i ϕ2i
1 dΓ
i 1
i
i
i
12
Li
60
1
3
ϕ3i ϕi 1 dΓ
Li
60
ϕ4i
1 dΓ
2
Li
60
i
et la matrice globale s’obtient encore par sommation : Knav
i Knav . Cette matrice doit être
intégrée quatre fois au système global d’après le développement de l’expression (3.52), ce qui
sera détaillé dans la partie suivante dédiée à l’assemblage. Lorsque β n’est plus constant (dans
le cas rhéofluidifiant par exemple), on le suppose constant par cellule et le calcul précédent est
encore valide. Lors de la résolution itérative, cette matrice est également actualisée.
Au final, les intégrales sur la frontière du domaine donnent deux vecteurs colonnes Fpress
et Ftens et une matrice de rigidité carrée Knav tous de hauteur 2 nombre de nœuds.
3.3.4
Sommation sur les points Ci
L’application des forces nodales est beaucoup plus simple, puisqu’elle ne nécessite pas de
calcul. Au point i, seul ϕ est non nul et vaut 1. Ainsi pour les efforts sur un nœud triple Ci on
a:
..
.
tSx
i
εγcos θS v St Ci V T .εγcos θS
V T .Fwet
.
(3.59)
tSy
..
.
i
Fwet
est le vecteur des efforts généralisés des forces de mouillage sur le nœud i, et le vecteur des
i
efforts généralisé global des efforts de mouillage est obtenu par sommation : Fwet
i Fwet .
3.4
Assemblage et résolution du système matriciel
L’assemblage, en partie traité dans la partie précédente pour le vecteur force, a pour
objectif de rassembler les différentes matrices (Kvisq , Knav , Cdiv , Fpress , Ftens , Fwet ) calculées
précédemment pour construire un système matriciel du type K.U
F , où K est appelée matrice de rigidité, F vecteur force généralisé et U vecteur des composantes nodales qui regroupe
naturellement les vitesses et les pressions, et qui n’est pas inversible tant que les conditions aux
limites en vitesse n’ont pas été prises en compte. La prise en compte de ces conditions passe
56
par la décomposition du système global et la recherche d’un champ des inconnues virtuelles
admissibles à 0. Elle est suivie par deux étapes d’assemblage, la première servant à obtenir
les équations indépendantes du système, la seconde permettant de résoudre le problème avec
un effort résultant donné sur le moule. Cette partie présente le principe de décomposition du
système global, les deux étapes d’assemblage manquantes et la méthode de résolution.
3.4.1
Décomposition des matrices pour la résolution
Avec les notations précédentes, la formulation variationelle discrétisée peut être reformulée
de la manière suivante :
U , U T . K.U F
0
(3.60)
Pour résoudre ce système, on cherche U cinématiquement admissible, c’est-à-dire, qui vérifie
les conditions aux limites en vitesse, à savoir les équations de non pénétration dans le solide ou
dans un axe de symétrie. U peut donc être séparé en deux parties telles que :
Ui
Uc
U
(3.61)
où Ui est l’ensemble des valeurs nodales inconnues et Uc celles connues. La matrice K est alors
décomposée suivant la même méthode :
K
Kii Kic
Kci Kcc
(3.62)
Pour que le problème soit bien posé, il faut qu’en un nœud donné soit la vitesse, soit la force
soit imposée, ce qui impose au vecteur force généralisé d’avoir une structure inverse de celle de
U:
Fc
(3.63)
F
Fi
Cette décomposition permet d’obtenir deux systèmes d’équations, celui de la première ligne
où seul Ui est inconnu, et le second où Ui et Fi sont inconnus. Si l’on souhaite résoudre
complètement le système, on doit dans un premier temps résoudre la première ligne, puis la
seconde par substitution des vitesses calculées. Dans notre cas, seule la première équation nous
intéresse, et on l’obtient en retirant la ligne inférieure du système. Du point de vue du formalisme, cela revient à chercher le champ test U cinématiquement admissible à 0, c’est-à-dire,
U c 0, ce qui supprime la seconde équation de notre système.
Nous sommes finalement amenés à résoudre le système suivant :
U i , U Ti . Kii .Ui
Fc
Kic .Uc
0
(3.64)
Si le problème est bien posé (pas de mouvement de corps rigide possible), Kii est inversible et
l’équation précédente admet une unique solution :
Ui
Kii 1 . Fc
Kic .Uc
(3.65)
Toute cette démarche nécessite d’avoir des équations indépendantes et de pouvoir identifier
une variable nodale comme connue ou inconnue. Comme nous avons construit notre système
dans le repère global et que sur la frontière d’un solide par exemple ce sont les vitesses normales
que l’on doit imposer (vn f luide
vn solide ), ces résultats ne peuvent pas être appliqués
directement et une première étape d’assemblage est donc effectuée pour obtenir des équations
indépendantes, qui est présentée ci-après.
57
3.4.2
Bases locales et équations indépendantes
Pour obtenir un système d’équations indépendantes on modifie le repère d’étude des nœuds
en contact avec un solide, pour le champ des vitesses et le champ virtuel. On note R θi la
matrice de passage de la base globale à la base locale (&t, &n) au nœud i. La matrice de rigidité
dans le nouveau repère est donnée par :
loc
Kvisq
R T θi
R θi
Kvisq
i
(3.66)
i
La même opération est effectuée pour Knav , sur le vecteur force :
F loc
R T θi
Fpress
Ftens
Fwet
(3.67)
i
et sur la matrice de calcul de la divergence :
loc
Cdiv
R T θi
Cdiv .
(3.68)
i
De façon implicite, le vecteur des inconnues de vitesse comprendra les vitesses :
– des nœuds du domaine n’appartenant pas à la frontière, vint ,
– des nœuds de la surface libre, vlib ,
– normales sur les axes de symétrie, vAn ,
– normales sur les solides, vSn ,
– tangentielles sur les axes de symétrie, vAt , et
– tangentielles sur les solides, vSt .
On adopte alors la notation suivante pour le vecteur vitesse :
V loc
T
vint vlib vAn vSn vAt vSt
(3.69)
et la forme équivalente pour le champ test. Cette notation nous permet d’expliciter les vitesses
coı̈ncidentes des nœuds fictifs appartenant au fluide mais ayant la vitesse du solide, mentionnées
dans la partie 3.3.3 page 54 :
loc
Vsol
T
sol v
sol
vint vlib vAn vSn
At vSt
(3.70)
et nous permet de calculer la puissance dissipée par les glissements de Navier :
V loc
T
V loc
sol
T
loc
.Knav
. V loc
loc
Vsol
(3.71)
Nous avons maintenant un système dont toutes les composantes peuvent être identifiées
comme connues ou inconnues, et pouvons appliquer la méthode de décomposition. Ce système
conviendrait si nous devions uniquement imposer des conditions aux limites nodales (effort et
vitesse), mais ne suffit pas pour des conditions aux limites globales, comme par exemple un
effort d’impression constant, qui doit prendre en compte les efforts normaux sur les solides, les
forces de frottement tangentielles, et des surfaces de contact qui peuvent évoluer au cours du
temps. Pour répondre à ce problème, nous effectuons une dernière modification de l’assemblage,
présentée ci-dessous.
58
3.4.3
Condensation du système pour la simulation à effort constant
La simulation à effort constant est une nécessité dans notre cas, puisque ce sont les conditions rencontrées d’un point de vue expérimental. Cette condition aux limites se différencie des
conditions en vitesse qui s’appliquent directement aux nœuds. Elle ne suppose pas la répartition
des efforts de réaction, elle doit prendre en compte des efforts qui s’appliquent sur une surface
non plane éventuellement en des endroits distincts, et elle ne connaı̂t que la force de réaction
globale qui doit être satisfaite. Ce problème complexe peut être traité en exploitant le fait que
tous les nœuds en contact avec le solide ont des vitesses liées à la vitesse d’un nœud du solide
(directement ou par la loi de Navier), qui représente une seule donnée. En prenant la vitesse du
nœud où s’applique l’effort résultant et en connectant tous les nœuds de l’interface à ce nœud,
l’effort résultant devient un effort nodal pour le nœud d’application de la force, et l’on est
ramené à imposer des conditions nodales que l’on sait traiter. Dans notre cas, où les rotations
sont bloquées et le solide est en translation, le nœud choisi n’a pas d’importance et le calcul
de sa position n’est pas nécessaire. Il suffit simplement d’établir les relations cinématiques,
présentées ci-après, entre la vitesse des nœuds de la frontière et celle du solide, les relations de
comportement découleront immédiatement de ces relations cinématiques et de la loi de Navier.
Cette démarche s’applique également aux axes de symétrie, où toutes les vitesses normales sont
égales.
On procède donc à une condensation du système en termes de nombre d’inconnues. Pour
sol , v sol peuvent être exprimés en fonction uniquement des comcela on remarque que vAn , vSn , vSn
St
posantes globales des vitesses des ensembles auxquels ils sont rattachés, soit : vAx , vAy , vSx , vSy ,
laissant vint , vlib , vAt , vSt comme seules inconnues indépendantes du problème. On définit alors
le nouveau vecteur des vitesses du fluide, dit vecteur réduit :
T
Vred
(3.72)
vint vlib vAt vSt vAx vAy vSx vSy
sol telles que :
et les matrices de passage Pred et Pred
V loc
loc
Vsol
Pred .Vred
sol
Pred
.Vred
(3.73)
Ces matrices contiennent les mêmes informations que les matrices de rotation mais ne sont
pas carrées. En injectant ces deux dernières relations dans nos équations, on peut définir les
matrices suivantes :
C
F
Krig
T
loc
Pred
.Cdiv
T
Pred
.F loc
Fext
T
loc
Pred
.Kvisq
.Pred
(3.74)
T
Pred
sol
Pred
T
loc
.Knav
.
T
Pred
sol
Pred
&ext des efforts
avec Fext le vecteur généralisé associé à FAn et aux composantes des résultantes F
extérieurs appliqués sur les ensembles correspondants (solide ou axe de symétrie). On obtient
enfin le système à résoudre suivant :
V red , P ,
V Tred P T
.
Krig C
CT 0
.
Vred
P
F
0
0
(3.75)
où l’on reconnaı̂t immédiatement les matrices K,F et U que l’on cherchait à obtenir. La forme
de ce système est typique des formulations mixtes, avec une matrice nulle en bas à droite, qui
ne l’est plus si l’on introduit un peu de compressibilité dans le comportement du matériau.
59
On peut maintenant appliquer la méthode de décomposition à ce système et obtenir un
système dont la résolution est présentée ci-dessous.
3.4.4
Résolutions linéaire et non-linéaire
La résolution du système précédent se fait soit par inversion directe du système si le
problème est linéaire (viscosité constante), soit par la méthode du point fixe pour un problème
non linéaire. Une première résolution permet d’avoir un vecteur vitesse initial, qui permet de
mettre à jour la viscosité puis la matrice de rigidité Krig afin de commencer la boucle jusqu’à
convergence. Cette méthode converge moins vite que des méthodes de type Newton ou quasiNewton en termes de nombre d’itérations, mais comme le calcul de la matrice tangente n’est
pas nécessaire, le temps de calcul d’une itération est moins coûteux. Ainsi, la méthode du point
fixe est globalement plus rapide, avec un bon taux de convergence sur l’ensemble des cas qui
ont été traités.
La résolution du système nous donne le vecteur Vred , que l’on multiplie par la matrice de
passage Pred , puis par les matrices de rotation R θi pour récupérer le vecteur des vitesses
nodales dans le repère global. Ces vitesses, avec les pressions nodales calculées, permettent de
calculer un certain nombre de grandeurs, comme les vitesses de déformations, les contraintes,
les efforts résultants, la divergence du champ de vitesse, la puissance des efforts extérieurs, la
puissance dissipée et la viscosité dans le cas non-linéaire. Le champ de vitesse permet également
de mettre à jour la géométrie pour avoir par exemple l’évolution de la surface libre et des angles
de contact en fonction du temps, mise à jour qui est présentée dans le chapitre suivant.
3.5
Conclusion
Ce chapitre a présenté les différents points de vue qui ont été envisagés dans la littérature
pour modéliser le procédé de nanoimpression. Une comparaison détaillée, qui a fait l’objet d’une
publication [67], a permis de comparer les modèles analytiques aux simulations numériques. Les
résultats principaux de cette étude ont été présentés et ont montré que les modèles analytiques
ne pouvaient pas être utilisés pour les géométries que nous envisageons. Les limitations portaient en particulier sur le calcul de la relation entre l’effort appliqué sur un motif et la vitesse
d’impression, et nous avons conclu qu’il était nécessaire d’utiliser des modèles plus complexes,
ou des simulations numériques, pour simuler le procédé dans des conditions moins restrictives
que ce qui se fait actuellement.
Le modèle retenu est celui de la mécanique des milieux continus, en déformation plane
ou axisymétrique, avec prise en compte des effets capillaires que sont la tension de surface
et le mouillage du polymères sur le solide. Notre modèle pour la force appliquée au point
triple rejoint sur les travaux de Deganello [71] mais comporte une composante non nulle dans la
direction normale au solide, ce qui n’avait pas été fait par [71], et nous avons montré qu’elle était
indispensable puisqu’elle contribuait à l’effort résultant appliqué sur le solide dans l’exemple de
la goutte qui peut tenir sur une surface tête en bas. On introduit également le glissement de
Navier pour éliminer la singularité qui pourrait exister dans le cas d’un contact collant et du
déplacement de la ligne de contact.
La méthode des éléments naturels (C-NEM), qui permet la résolution numérique des équations d’équilibre, regroupées dans une formulation variationnelle mixte, a été présentée. Son
utilisation pour résoudre un problème de Stokes avec tension de surface avait déjà été faite par
60
Defauchy et al. [87]. Notre approche est similaire à celle de cet auteur, mais utilise l’astuce de
Ruschak [78] pour ne pas calculer la courbure de l’interface au moment de l’intégration de la
tension de surface, et permet d’intégrer naturellement les forces de mouillage aux points triples.
À cette nouveauté sont rajoutées les forces de frottement dues au glissement de Navier, la prise
en compte d’un comportement faiblement non-linéaire avec une méthode de résolution itérative
simple et l’étude des problèmes axisymétriques.
Enfin nous avons montré qu’un assemblage particulier des matrices était nécessaire, avec la
projection des équations dans les repères locaux des interfaces solide-fluide pour permettre la
résolution du système, et la condensation du système matriciel pour effectuer des simulations
à effort résultant imposé, contribution non négligeable pour pouvoir simuler le procédé de
nanoimpression dans des conditions proches des conditions expérimentales.
61
62
Chapitre 4
NanoNem, un outil de simulation
pour la nanoimpression
Les travaux présentés dans le chapitre précédent nous permettent de calculer les champs
de vitesse et de pression pour une géométrie à un instant donné, et pour des conditions aux
limites bien définies. On souhaite alors utiliser le champ de vitesse calculé pour mettre à jour la
géométrie et simuler pas à pas une impression. Nous avons donc mis en place un code de calcul,
appelé NanoNem, nous permettant de répondre à ce besoin, mais nous avons également souhaité
que ce code puisse servir en dehors du contexte de cette thèse, et être par exemple utilisé par des
chercheurs et ingénieurs pour optimiser le procédé. Nous avons donc mis en place un cahier des
charges regroupant les besoins des utilisateurs potentiels, rédigé une notice d’utilisation du code
et proposé des exemples de validation. Ces différents documents nous ont permis de traiter deux
composantes essentielles pour un logiciel, à savoir la fiabilité (la solution calculée est bonne)
et la robustesse (le calcul aboutit toujours). La troisième composante qui n’a pas été abordée
est la performance (la rapidité du calcul), faute de temps et de compétences, mais les temps de
calculs restent raisonnables avec des calculs de 1 heure à quelques jours en fonction du problème
traité. Ce chapitre présente donc dans une première partie le cahier des charges qui a motivé la
création de NanoNem. Une seconde partie présente le code et son environnement avec le logiciel
de maillage et les interfaces homme-machine. Une troisième partie présente l’architecture de
NanoNem. Enfin une quatrième partie présente quatre exemples de validation du code.
4.1
Motivation et cahier des charges
Cette thèse s’inscrivant dans un projet industriel, il nous semblait essentiel que les outils de
simulation développés pendant ces trois années soient rendus accessibles aux autres chercheurs
et ingénieurs de l’entreprise. Nous avons donc établi une liste de critères techniques auxquels
devait répondre NanoNem pour résoudre pas à pas un problème d’impression, mais également
une liste de critères ergonomiques permettant d’avoir un code de calcul le plus accessible et le
plus robuste possible. D’un point de vue technique les critères étaient de répondre au problème
posé dans le chapitre précédent, à savoir
– résoudre un problème de Stokes en déformation plane ou en axisymétrique avec une
formulation mixte,
– prendre en compte la tension de surface,
63
– prendre en compte des axes de symétrie et solides avec contact collant ou condition de
glissement de Navier,
– prendre en compte un comportement rhéofluidifiant avec la loi de Carreau, et
– prendre en compte la variation de la viscosité avec la température.
Enfin on se limite à un seul matériau fluide éventuellement en contact avec de l’air à pression
constante. On se limite également au cas où le polymère, une fois en contact avec un solide, ne
peut plus se décoller.
La partie que nous souhaitons mettre en valeur ici sont les critères ergonomiques présentés
dans le tableau ci-dessous. Tous ces critères ont été pris en compte pour la conception du code
de calcul et quelques-uns sont explicités dans les parties suivantes.
Critère
Permettre d’étudier une
géométrie quelconque qui soit
plane ou axisymétrique
Permettre de prendre en
compte plusieurs solides
Avoir une procédure
d’installation simple et
multiplateforme
Permettre le lancement de
plusieurs simulations en série
Avoir un fichier interface qui
permette d’interpréter le
maillage pour NanoNem
Pouvoir simuler plusieurs
étapes qui se succèdent avec
différentes conditions aux
limites en vitesse et en effort
Pouvoir choisir un critère
d’arrêt de la simulation en
temps ou en espace
Description
Pas de limitation sur la
complexité de la section du
motif
Les solides peuvent
uniquement se translater
La compilation et
l’installation des fonctions
utiles au code de calcul
doivent se faire en une étape
Pouvoir charger plusieurs
maillages à l’exécution de
NanoNem
Fichier texte .cnm comme
interface homme-machine
Spécification
La frontière ne doit pas
présenter d’angle
supérieur à 90˚
99 solides pris en compte
au maximum
Installation avec une
commande unique sous
Windows ou Unix
On doit pouvoir simuler une
impression avec par exemple
un changement d’effort
presseur
Si on ne connaı̂t pas la durée
de l’impression mais que l’on
sait quelle épaisseur
résiduelle on veut atteindre,
on doit pouvoir arrêter la
simulation en surveillant la
position d’un nœud
Pas de limitation du
nombre d’étapes
Pas de limite du nombre
de simulations
Modifiable avec un
éditeur de texte
Critère de temps, de
translation d’un nœud
suivant &x ou suivant &y
allez à la page suivante
64
Critère
Pouvoir gérer le nombre de
sauvegardes par étape
Pourvoir modifier simplement
l’échelle de la simulation
Contrôler les densités de
nœuds lors de l’écoulement
Avoir deux fichiers journaux
Pouvoir extraire les résultats
de calcul
Pouvoir faire un film des
résultats
Description
Un même maillage doit
pouvoir servir à simuler le
même problème à plusieurs
échelles
Les zones finement maillées
dans la configuration initiale
doivent le rester au cours de
la simulation
Suivre l’avancement du
calcul, la date des
sauvegardes et les messages
d’erreur de la simulation
Extraire l’historique d’une
grandeur ou un champ à un
instant donné
Film à cadrage fixe ou mobile
autour d’un nœud avec une
échelle de couleur fixe
Pouvoir tracer un champ
scalaire à un instant donné
Enregistrer le chemin du
maillage ou de la sauvegarde
étudié(e)
Pouvoir récupérer et
exploiter les sauvegardes si la
simulation est interrompue
Avoir une notice et des
exemples de base
Calcul automatique de
l’incrément de temps
4.2
Faciliter la navigation de
l’utilisateur
Spécification
2 sauvegardes minimum
par étapes
Modification du fichier
interprétation
Correction du champ des
vitesses sur la frontière et
dans le domaine
Un fichier progression et
un fichier simulation
Interface graphique et
extraction sous forme de
fichier .txt
Fichier .avi non
compressé
Interface graphique avec
sélection des résultats,
du champ scalaire et de
l’incrément de temps
Enregistrement centralisé
pour toute les fonctions
Fonction de récupération
des données
Dossiers contenant des
exemples prêts à être simulés
La stabilité de la simulation
ne doit pas être réglée par
l’utilisateur
Exemples liés à la notice
L’utilisateur doit pouvoir
accélérer ou ralentir
globalement le calcul
Le code et son environnement
L’environnement de NanoNem est constitué du logiciel GMSH proposé par Geuzaine et
Remacle [95] permettant de construire la géométrie et le maillage associé, du logiciel Matlab [96]
pour exécuter NanoNem et ses fonctions de post-traitement, et d’un fichier d’interprétation du
maillage faisant la liaison entre GMSH et NanoNem. Cette partie présente les fichiers qui
doivent être créés pour lancer une simulation et les résultats que l’on peut extraire. Pour une
65
présentation exhaustive de la construction de ces fichiers, se référer au guide d’utilisation mis
en annexe.
4.2.1
Création des nœuds sous GMSH
GMSH permet de créer assez facilement des surfaces (géométries planes même de formes
complexes), de les mailler et de créer des ensembles de nœuds. La création de la géométrie peut
se faire à partir de l’interface graphique ou en définissant à la main les différentes entités dans
le fichier .geo (à ouvrir à l’aide d’un éditeur de texte). La première méthode a l’avantage d’être
interactive et efficace pour des géométries simples, mais trouve vite ses limites dès lors que l’on a
des nœuds de deux géométries qui se superposent (dans le cas d’un solide initialement en contact
avec le polymère par exemple). La deuxième méthode est donc celle exploitée dans nos exemples
et dans le guide d’utilisation. Le fichier .geo contient la définition analytique des courbes et
surfaces (lignes, arcs de cercles, courbes splines), les groupes d’éléments qui décrivent un même
ensemble physique (matériau, surface libre, solide) et les paramètres de taille des éléments sur
les contours. GMSH permet de générer un maillage à partir de la géométrie créée qui sera
enregistré dans un fichier .msh.
4.2.2
Interface homme-machine
Set
Set
Set
Set
9
4
5
6
**CL_CINEMATIQUE
*set=6,type=sym,u=0
*set=5,type=sym,v=0
**END_CL_CINEMATIQUE
**CL_EFFORT
*set=4,p=0
**END_CL_EFFORT
Figure 4.1 – Figure obtenue avec la fonction Read geometry.m pour la visualisation
des ensembles de nœuds et de l’orientation du
contour.
**MATERIAU
*set=9
*Eta=1e4
*Gamma=40e-3
**END_MATERIAU
pression (kPa)
40.4
40.2
4
**PARAM_SIMULATION
*Cond=time=1
*Save=2
*Echelle=1e-6
**END_PARAM_SIMULATION
Figure 4.2 – Figure obtenue avec la fonction Plot cnem.m pour la visualisation d’un
champ (ici la pression) sur le domaine.
66
Le fichier .msh sera interprété par un fichier .cnm regroupant une liste d’instructions permettant de décrire les conditions aux limites en vitesse et en effort, les propriétés du matériau,
les paramètres de sauvegarde, le critère d’arrêt de la simulation et le cas d’étude (plan ou
axisymétrique). Pour construire ce fichier la fonction Read_geometry.m a été créée permettant
d’afficher les différents groupes de nœuds produits dans GMSH comme présenté sur la figure
4.1 avec son fichier interprétation. Dans cet exemple nous voyons que l’ensemble 6 est défini
comme un axe de symétrie avec une vitesse horizontale nulle (u=0), l’ensemble 5 également
mais avec une vitesse verticale nulle (v=0) et qu’une pression extérieure nulle est appliquée
sur l’ensemble 4 (qui sera détecté comme une surface libre par NanoNem). L’ensemble 9 (qui
contient aussi les nœuds du bord) définit le matériau avec un comportement visqueux linéaire
40 mN/m. La dernière partie
(seul η est renseigné) et possédant une énergie de surface γ
définit les conditions de simulation avec une durée de 1 seconde et 2 sauvegardes. L’instruction
Echelle indique que toutes les dimensions du maillage sont exprimées en micromètres.
4.2.3
Post-traitement des données
Historique des résultats
Video
Champs locaux calculés
Champ locaux
Historique
Puissance dissicpée
T fluide
Puissance des efforts ext.
Taux Def max
Temps\incrément
2nd moment de la divergence
Vx
Angles de contact
Pression
Vy
pression
Ensemble(s)
Fy
Fx
Sxx
Syy
Sxy
Dxx
Dyy
Dxy
Div(V)
Gameq
Viscosite
Zomm, unité :
Ensemble(s)
Position
Entrer la liste des noeuds
Ensemble(s)
Vx
Vy
Entrer la liste des noeuds
Noeud
Taille
Ensemble(s)
Pression
Générer le film
Entrer la liste des noeuds
Charger résultats
Sauver données
Quitter
Figure 4.3 – Interface de post-traitement pour NanoNem permettant d’extraire l’historique
d’une grandeur ou la valeur d’un champ sur tout le domaine sous forme de fichier texte, ou de
créer une vidéo.
Les outils de post-traitement de NanoNem sont constitués de la fonction Plot_cnem.m pour
visualiser un champ scalaire sur l’ensemble du domaine à un instant donné comme présenté
sur la figure 4.2, et d’une interface de post-traitement présentée sur la figure 4.3 qui se veut
intuitive et permettant d’avoir l’historique d’une grandeur (position, vitesse, pression, angle de
contact, etc.) en un ou plusieurs nœuds, ou le champ de pression, vitesse, vitesse de déformation,
contrainte à un instant donné sur le domaine d’étude. Ces résultats sont imprimés dans un fichier
texte du même nom que la sauvegarde. Différents boutons permettent de charger le fichier de
sauvegarde, sauver les données, ou encore faire une vidéo des résultats avec des options de
cadrage.
67
4.3
Structure et fonctionnement de NanoNem
NanoNem fonctionne de façon relativement linéaire en répétant à chaque pas de calcul les
mêmes opérations qui, en dehors de l’étape de résolution du problème de mécanique, consistent
à gérer des listes de nœuds, les conditions qui s’y rattachent et les sauvegardes. Par exemple
les opérations de gestion lui permettent de connaı̂tre quels sont les points en contact avec un
solide, quels points vont entrer en contact avec un solide, quels sont les points triples ou encore
à quel moment on doit effectuer une sauvegarde. Cette partie présente une vue d’ensemble de
l’architecture du code et les opérations principales qui sont faites en dehors de la résolution du
système.
4.3.1
Architecture du code
L’organisation globale du code est présenté sur la figure 4.4. Dans la phase d’initialisation
(a) on lit le fichier maillage et le fichier interprétation, et l’on met en place les listes de nœuds
rattachées à chaque condition aux limites. Des ensembles supplémentaires dits “interfaces” sont
créés pour les nœuds de la surface libre qui seront en contact avec le moule. Ces sous-ensembles
sont transparents pour l’utilisateur et sont gérés par le code.
Les cases “Calcul des matrices” et “Résolution” de l’organigramme (b) correspondent aux
travaux présentés dans la partie précédente. Les cases “Calcul du champ de vitesse corrigé” et
“Calcul de l’incrément de temps” sont présentées ci-après. Les cases vertes correspondent aux
fonctions déjà existantes fournies par Illoul [91].
4.3.2
Modification du champ de vitesse pour la mise à jour de la géométrie
Le champ de vitesse calculé à la suite de la résolution du système peut ne pas être celui
utilisé pour mettre à jour la position des nœuds. En effet, les nœuds à l’intérieur du domaine
peuvent être placés arbitrairement, ce qui s’apparente à un remaillage, la seule exigence étant
que la surface libre soit mise à jour conformément au champ de vitesse solution. On devra donc
obéir à celui-ci pour le déplacement des nœuds de cette surface normalement à celle-ci, mais on
pourra les déplacer arbitrairement le long de celle-ci. Le champ de vitesse va donc être modifié,
sur le bord puis dans le domaine, afin que les nœuds gardent globalement la même répartition
tout au long de la simulation. En effet, avec le champ de vitesse brut, si l’on utilise un maillage
fin près d’un point triple par exemple, les nœuds du domaine ont tendance à ne pas suivre le
point triple dès lors qu’il se déplace de façon importante, ce qui appauvrit la zone en nœuds et
dégrade la solution autour du point considéré. Pour résoudre ce problème, nous corrigeons le
champ de vitesse pour la mise à jour du domaine, en conservant le champ solution uniquement
pour le calcul des vitesses de déformation, des efforts résultants, etc. Dans un premier temps on
corrige la vitesse sur la frontière en conservant la composante normale de celle-ci sur la frontière
et en modifiant la vitesse tangentielle, cette composante pouvant être modifiée comme on le
souhaite sans pour autant changer la géométrie de notre domaine. Dans un second temps on
calcule un nouveau champ de vitesse dans le domaine avec la vitesse sur la frontière modifiée,
lequel sera utilisé seulement pour déplacer les nœuds intérieurs.
Sur les axes de symétrie et les interfaces : chaque portion de frontière continue est identifiée et les vitesses tangentielles sont interpolées linéairement en fonction des vitesses tangentielles des points extrémités. Pour les interfaces on considère la vitesse de glissement
68
a)
b)
Initialisation des variables
de simulation
Initialisation de
la simulation
Boucle sur les étapes
de simulation
Sélection du fichier
maillage
Boucle sur les points
de sauvegarde
Lecture de la géométrie
Boucle sur les incréments
Identification des sous-ensembles
de noeuds
Calcul du gradient stabilisé
Extraction de la frontière
du domaine
Calcul des matrices de rigidité
et des vecteurs force
Lecture du fichier interprétation
Résolution du
système
Mise à l’échelle du maillage
Calcul du champ de
vitesse corrigé
Lecture du fichier température
Création des sous-ensembles``interfaces’’
entre surfaces libres et solides
Calcul de l’incrément
de temps
Mise à jour de
la géométrie
Calcul de la normale intérieure au solide
non
Détection des noeuds initialement
en contact avec un solide
sauvegarde
oui
Sauvegarde des
données
Détection des noeuds initialement
sur la surface libre
non
Détection des noeuds à l’intersection
des axes de symétrie et des solides
Fin
étape
oui
non
Détection des noeuds à l’intersection
des axes de symétrie et de la surface libre
Fin
simulation
oui
Compilation des
sauvegardes
Figure 4.4 – Étapes d’initialisation (a) et de simulation (b) effectuées par NanoNem. Les cases
vertes correspondent aux fonctions fournies par Illoul [91].
par rapport au solide avec une abscisse curviligne. Ainsi seule la vitesse des points situés
à l’intersection des groupes de nœuds (qui sont généralement les points de discontinuité
de la normale à la frontière du domaine) n’est pas corrigée.
Sur la surface libre : on conserve également les vitesses tangentielles des nœuds extrémités,
mais une simple interpolation linéaire ne convient pas pour les nœuds intermédiaires. En
69
(a)
Simulation sans correction dans le volume
(b)
Configuration initiale
Simulation avec correction dans le volume
Figure 4.5 – Simulations d’une goutte qui mouille un substrat sans correction du champ de
vitesse dans le domaine (a) et avec correction qui permet aux nœuds de garder leur répartition
initiale (b).
effet, contrairement au cas précédent, les points ne sont pas liés à une interface rigide et
la surface libre peut se déformer de façon quelconque. Pour calculer le champ de vitesse
tangentielle corrigé on décide d’avoir un champ de vitesse tel que la déformation de chacun
des segments de la surface libre soit égale à la déformation globale. En supposant les
déplacements très petits, ce critère nous amène à résoudre un système linéaire dépendant
des vitesses tangentielles des extrémités et des vitesses normales en chacun des points.
Dans le domaine : on calcule à nouveau une solution, mais avec cette fois-ci un comportement très compressible et en utilisant comme condition aux limites le champ de vitesse
corrigé sur toute la frontière, afin de redistribuer les nœuds à l’intérieur du domaine.
Cette résolution double quasiment le temps de calcul d’une itération. Cependant avec
cette méthode l’incrément de temps peut être 2 à 5 fois plus grand qu’avec une simple
correction sur la frontière. Cela est dû au fait que les zones autour des points triples
ne sont pas vidées de nœuds et le champ de vitesse présente moins d’oscillations sur la
surface libre dans ces régions, oscillations qui sont normalement limitées en diminuant
l’incrément de temps. La figure 4.5 permet de visualiser le résultat obtenu avec l’exemple
d’une goutte qui mouille un substrat. La simulation sans correction dans le domaine (4.5a)
dure 7 minutes et les nœuds initialement proches du point triple sont restés proches de
leurs positions initiales, ce qui n’est pas le cas de la simulation avec correction (4.5b) qui
a duré 6 minutes.
4.3.3
Calcul de l’incrément de temps
La mise à jour de la géométrie se fait suivant un schéma explicite tel que :
&t
M
dt
&t
M
& . dt
V
(4.1)
où Mt est la position d’un nœud à l’instant t. Ici c’est l’incrément de temps qui pose problème
puisqu’il conditionne la stabilité de la simulation. Il est calculé suivant quatre conditions :
1. la rotation des éléments de la surface libre doit être limitée,
2. les déplacements de la surface libre doivent rester petits devant la longueur des éléments,
3. un point de la surface libre ne doit pas traverser le solide avec lequel il vient entrer en
contact,
70
solide
δA
VA
A
dB
surface libre
B
VB
θ
dC
noeud
trajectoire
VC
polymère
C
Figure 4.6 – Détermination de l’incrément de temps minimal par le calcul des distances
δA , dB , dC entre les nœuds et les éléments de la frontière du solide dans le sens des vecteurs
vitesse correspondants et par le calcul de la vitesse de rotation θ des éléments de la surface
libre.
4. l’incrément de temps doit au plus s’arrêter sur un point de sauvegarde.
Le choix de l’angle maximal de la condition (1) relève d’essais sur plusieurs géométries pour
que les oscillations n’apparaissent pas sur la surface libre. Ce choix ne relève pas d’une formule
et la question de l’optimisation de cet angle reste ouverte. Les trois premières conditions sont
géométriques et sont illustrées sur la figure 4.6. La vitesse de déplacement des nœuds, la longueur des éléments de la surface libre et la distance entre les nœuds et le solide permettent
de calculer les incréments de temps nécessaires pour atteindre l’angle de rotation maximal sur
la surface libre, ou pour atteindre un solide. L’incrément de temps minimal est ensuite comparé à l’incrément de temps nécessaire pour arriver au prochain point de sauvegarde. La valeur
minimale de ces incréments est alors retenue pour la mise à jour de la géométrie.
4.4
Validation du code de calcul
On propose ici quatre exemples de validation qui incluent progressivement les différentes
spécificités de NanoNem :
1. Le premier exemple établit la continuité avec un autre moyen de calcul, le code aux
éléments finis Abaqus, dont une limitation est de ne pas inclure la tension superficielle.
2. Le deuxième exemple concerne l’introduction du glissement à l’interface entre le fluide et
un solide, mais sans tension superficielle, et NanoNem est comparé à la solution analytique
du problème de l’écoulement.
3. Le troisième exemple introduit la tension superficielle en simulant l’effacement d’un motif
rainuré périodique de forme carrée et l’on compare le temps caractéristique d’effacement
calculé par NanoNem à la solution analytique d’Orchard [63].
4. Le quatrième et dernier exemple combine la tension superficielle et le contact entre fluide
et solide, avec à la fois glissement et angle de contact. Ici l’on simule l’ascension du fluide
le long d’un moule immobile.
D’autres exemples pourront être trouvés dans Teyssèdre et Gilormini [97]. Ici le fluide
considéré est un polystyrène de masse molaire 35 kg/mol, à environ 110˚C, soit Tg 50˚C.
Lorsqu’il est supposé newtonien, c’est-à-dire en particulier à basse vitesse de déformation, sa
viscosité est égale à 1,3 104 Pa.s. Sur une plus large gamme de vitesse de déformation, le comportement de ce polymère est en fait non linéaire et suit une loi de Carreau avec une viscosité
71
s
V
V
e
Sh
Sb
h
w
Figure 4.7 – Enfoncement d’un motif rainuré périodique dans un fluide sans effets de surface.
Par raison de périodicité et de symétrie, seule la partie à droite est modélisée. Sb et Sh désignent
respectivement la surface en bas et en haut du motif.
qui s’écrit sous la forme (cf. page 29)
η γ eq
1,3
4
10
1
γ eq
0,061
1,01
0,55
(4.2)
à la température considérée, avec η en Pa.s et γ eq en s 1 . Dans cette expression, γ eq
2 D : D (où D désigne le tenseur des taux de déformation) représente la vitesse de cisaillement
équivalente déjà présentée dans le chapitre précédent.
4.4.1
Validation du calcul d’effort par Abaqus
Le but de NanoNem est donc d’étendre les possibilités de simulation tout en étant en accord
avec Abaqus, pris ici comme référence, dans le cas où la tension superficielle est négligée et dans
le cas schématisé sur la figure 4.7. Les deux simulations sont comparées sur un même exemple
d’enfoncement d’un moule rainuré périodique, avec contact collant, dans le cas d’un fluide soit
newtonien soit visqueux qui suit une loi de Carreau. La géométrie du moule est définie par
5 µm, s
3 µm, e
0,55 µm et le polymère a une épaisseur initiale de h
0,45 µm.
w
Le moule descend à une vitesse de V
10 nm/s pendant 35 secondes, ce qui laisse en fin de
procédé un film de polymère de 0,1 µm d’épaisseur sous le poinçon et permet de n’avoir qu’un
remplissage partiel de la cavité, avec un contact déjà établi entre le polymère et la surface
Sh . Les maillages utilisés par les deux méthodes diffèrent comme le montre la figure 4.8. Pour
Abaqus, qui utilise ici une approche de type volume de fluide, le fluide et le volume qu’il pourra
être amené à occuper sont initialement décrits par une couche de 3280 cubes (le calcul étant
nécessairement tridimensionnel) identiques de 25 nm de côté, avec donc 6642 noeuds. Pour
NanoNem seul le fluide est représenté (hormis la frontière du motif bien sûr) avec ici 1113
noeuds mobiles distribués de façon irrégulière.
On considère d’abord que le polymère est newtonien. On s’assure d’abord que NanoNem
respecte bien la condition d’incompressibilité puisque le second moment de la divergence (racine carrée de la moyenne du carré de la divergence) du champ de vitesse reste, au cours des
incréments, entre 10 14 et 10 15 s 1 , soit de l’ordre de la précision de la machine de calcul.
Comme le montre la figure 4.9, les deux simulations mènent à des déformées très semblables,
que ce soit pour la zone de contact entre fluide et le motif sur la surface Sh , ou pour la forme
72
des deux parties de la surface libre. Ce bon accord entre les deux approches est confirmé de
façon plus précise par la comparaison entre évolutions de l’effort subi par le motif au cours du
temps que présente la figure 4.10. À titre de comparaison le calcul sous Abaqus dure environ
1 heure et 35 minutes pour environ 1 million d’incréments dans le cas linéaire contre 36 minutes
et 1573 incréments pour NanoNem.
Figure 4.8 – Maillages utilisés dans la simulation de l’enfoncement d’un motif rainuré
périodique avec Abaqus (en haut) et avec NanoNem (en bas).
Figure 4.9 – Comparaison entre les déformées finales dans la simulation de l’enfoncement
d’un motif rainuré périodique obtenues avec Abaqus (en haut) et avec Nanonem (en bas). Un
quadrillage a été superposé afin de faciliter une comparaison précise.
On reprend ensuite le calcul en considérant cette fois-ci la loi de Carreau (4.2) du polymère.
En effet, la carte du taux de cisaillement équivalent calculée en supposant le polymère newtonien
montre que des valeurs de 2 s 1 peuvent être atteintes au coin du motif vers la fin du processus.
Cela correspond à des valeurs qui sont au-delà du plateau newtonien et qui suggèrent donc que
73
10
9
Abaqus
NanoNem
8
force (MN/m)
7
Newton
6
5
4
3
Carreau
2
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
temps (s)
Figure 4.10 – Comparaison entre les efforts subis par le motif dans la simulation de l’enfoncement d’un motif rainuré périodique obtenus avec Abaqus et avec NanoNem, avec un comportement newtonien et avec la loi de Carreau.
des résultats différents, et davantage conformes à la réalité du matériau, seront obtenus en
considérant sa loi de Carreau. Cette modification du comportement a toutefois très peu d’effet
sur les déformées, qui sont très semblables à celles de la figure 4.9, alors que les conséquences
sur l’effort appliqué au motif sont nettement perceptibles sur la figure 4.10 : l’effort est plus
faible avec une loi de Carreau et à nouveau un bon accord est obtenu entre les deux méthodes
de calcul. On note que la solution calculée par Abaqus avec la loi de Carreau présente plus
d’irrégularités que dans le cas newtonien, non visible sur la figure 4.10 car les données ont été
filtrées pour améliorer la visibilité. Dans le cas de NanoNem la courbe de l’effort reste lisse dans
les deux cas. Ces irrégularités sont liées au fait que l’on traite un problème quasi-statique (faible
nombre de Reynolds) avec Abaqus, qui en fait résout le problème en dynamique. Ici Abaqus
utilise un tout petit peu moins d’incréments que dans le cas linéaire, mais toujours autour
du million pour un temps de calcul global de 1 heure et 28 minutes contre 1674 incréments
et 1 heure et 26 minutes de calcul avec NanoNem. Le temps de calcul pour Abaqus n’a donc
presque pas changé, cela étant dû à la méthode de calcul de l’incrément de temps qui compense
l’augmentation du nombre d’itérations pour résoudre le problème non linéaure. Le temps de
calcul de NanoNem a été multiplié par 3 environ, ce qui correspond au nombre moyen d’itération
nécessaire pour trouver la solution du problème non linéaire. Cette première confrontation avec
un code de référence confirme la capacité de NanoNem à simuler des écoulements de fluides
incompressibles newtoniens ou suivant une loi non linéaire de Carreau, et à gérer le contact
entre fluide et solide. Cette confrontation n’exploitait pas les spécificités de NanoNem, qui sont
présentées et validées dans les exemples suivants.
4.4.2
Validation du glissement en couche mince
L’introduction du glissement de Navier dans NanoNem est validé avec l’écrasement d’un
film en axisymétrique. Le cas du début de l’écrasement, présenté sur la figure 4.11, sans tension
de surface, d’un cylindre de polymère de hauteur h et de rayon R entre deux disques qui se
74
z
V/2
V/2
t
n
x
O
h
V/2
V/2
L
Figure 4.11 – Compression d’un cylindre mince de polymère. Par raison de symétrie, seule la
partie en gris foncé est modélisée.
rapprochent à la vitesse V peut être traité de façon assez précise et de façon analytique. Il s’agit
là d’une extension au cas avec glissement de la solution habituelle considérée en lubrification
hydrodynamique. Pour des raisons de symétrie, on ne considère que la partie du fluide en gris
foncé sur la figure 4.11.
Nous traiterons ici deux situations avec une longueur de glissement b de l’ordre de 10 à
100 nanomètres : pour de telles valeurs, le contact sera partiellement glissant à l’échelle microscopique qui nous intéresse mais un écoulement à l’échelle macroscopique sera perçu comme
s’effectuant avec un contact collant, la différence avec une longueur de glissement nulle étant
seront également
alors imperceptible. À titre de comparaison les résultats pour b 0 et b
présentés.
La solution calculée par NanoNem est comparée à une solution approchée de ce problème
d’écrasement. En supposant que le champ de vitesse varie peu suivant l’épaisseur, on détermine
le champ de vitesse et le champ de pression en fonction des coordonnées cylindrique r et z
3r V
vr r, z
vz r, z
zV
et
p x, y
ηV
6 r2
h2 4 b h
4 h2 6 b
4 z2
h
(4.3)
3 h2 12 b h 4 z 2
2 h2 6 b h
R2
12 z 2 b h
2 h2 6 b h
(4.4)
h2
(4.5)
.
Dans le domaine ces champs vérifient les équations d’équilibre quasi-statique dans le volume
div &v
Sur le bord supérieur en z
dans le solide
&v r, z
0
et
& &v
∆
& p.
∇
(4.6)
h 2 le champ &v vérifie la condition de Navier et de non pénétration
h 2 .&t
Sur les axes de symétrie en r
du fluide
vr r
vr
z
b
vz
r
0 et z
0, z
et
vz r, z
h 2
V
.
2
(4.7)
0 le champ vérifie les conditions de non pénétration
0
et
75
vr r, z
0
0.
(4.8)
Sur le bord libre en r R c’est normalement une condition de contrainte normale nulle en tout
point qui s’applique. Cette condition ne peut pas être rigoureusement vérifiée avec une solution
polynomiale et on se contente de la vérifier en moyenne :
h 2
σnn r
0
r R
dz
0.
(4.9)
Avec cette condition la solution trouvée sera une solution très bien approchée loin du bord
libre.
Dans un premier temps on considère un cylindre de polymère de rayon R 2,5 µm et de
hauteur h 250 nm, et on étudie l’influence de la longueur de glissement sur les contraintes le
long du solide pour b valant respectivement 0, 10, 50, 100 nm, et pour un contact parfaitement
). La vitesse V est prise égale à 200 nm/s. À partir de la solution analytique et
glissant (b
de la relation de comportement on calcule la contrainte normale au solide (σzz ) et la contrainte
de cisaillement (σrz ) dans le domaine
σzz r, z
ηV
18 b h 3 R2
h2 6 b h
2 h2
r2
(4.10)
3r
(4.11)
6bh
Les résultats sont présentés sur les figures 4.12 et 4.13 et l’on observe que les contraintes
augmentent en valeur absolue quand la longueur de glissement diminue, avec une valeur limite
atteinte dans le cas du contact collant (b 0). La composante σzz (figure 4.12) montre que le
matériau est en compression avec un profil en cloche et des contraintes négatives, et maximales
min
en valeur absolue au centre avec σzz
3,1 MPa. Loin du centre, une bonne correspondance
est obtenue entre les deux méthodes. On note ici que la solution analytique est légèrement
supérieure en valeur absolue à la solution de NanoNem, avec un décalage qui s’accentue quand
la longueur de glissement diminue. Néanmoins cette différence reste très faible avec moins de
0,2 % d’erreur relative. Les mêmes remarques valent pour la composante σrz (figure 4.13)
toujours loin du centre, sauf près de la surface libre en r R où une légère déviation apparaı̂t,
bien marquée pour le cas b 10 nm. Cette déviation est en fait un début de fluctuation des
contraintes dans la solution calculée par NanoNem. On retrouve ce type de fluctuation dans
les problèmes de contact pour un solide rigide appuyant sur un solide élastique où il existe une
singularité sous le coin du solide (qui serait située au point r R, z h 2 sur notre géométrie).
Ces fluctuations n’apparaissent pas dans la solution analytique qui est trop simple pour décrire
ce phénomène et ne sont donc pas liées à une erreur de code.
0) des fluctuations sont aussi présentes, plus visible pour les faibles
Près du centre (r
longueurs de glissement, et plus marquées pour la composante σrz de la figure 4.13. À la
différence des précédentes, ces fluctuations sont dues à la méthode d’intégration des fonctions
de forme. Elles sont systématiquement présentes dans tous les cas étudiés en axisymétrique
(et pas dans le cas plan), et elles sont liées à la formulation utilisée pour résoudre ce type de
problème. Cependant elles ne concernent que les nœuds qui sont sur l’axe et quelques nœuds
près de l’axe, et l’on peut considérer qu’elles n’influencent que très peu la solution ailleurs dans
le domaine comme on peut le voir sur les figures 4.12 et 4.13.
On traite ensuite le problème en considérant la loi de Carreau (4.2) mais uniquement pour
50 nm. Dans le cas précédent NanoNem donne une vitesse de déformation maximale
b
σrz r, z
ηV
76
h2
supérieure à 10 s 1 , qui est bien supérieure à la vitesse de déformation critique de notre matériau
γ0 0,061 s 1 , donc la loi de Carreau aura une influence non négligeable sur les contraintes et
aura pour effet de les diminuer. Ce résultat est observé sur les figures 4.12 et 4.13 où la solution
en non linéaire est représentée avec des symboles noirs. L’utilisation de la loi de Carreau annule
la contrainte σrz sur la surface libre mais n’atténue pas les fluctuations près du centre. Sur
la figure 4.13 on voit que la contrainte calculée avec la loi de Carreau augmente linéairement
comme dans le cas newtonien mais avec une pente plus faible du fait d’une viscosité moyenne
plus faible, puis qu’elle chute brusquement au voisinage du bord, la singularité au bord libre
n’existant plus.
b
∞
0
b=50 nm (Carreau, NanoNem)
-0.5
b=100 nm
σzz (MPa)
-1
b=50 nm
-1.5
-2
b=10 nm
-2.5
b=0 nm
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
position (µm)
Figure 4.12 – σzz le long du solide pour différentes longueurs de glissement, calculé avec le
modèle analytique approché (traits continus) et avec NanoNem axisymétrique (symboles blancs
dans le cas Newtonien et symboles noirs avec la loi de Carreau).
On compare ensuite les efforts résultants sur les solides qui dépendent de la longueur de
glissement, ou du coefficient de frottement si le comportement n’est pas linéaire. À partir de la
solution analytique on calcule l’effort exercé par le solide
R
F h, b
σnn
0
y h
r dr
2
ηV
R2 4 h2 36 b h 3 R2
,
4 h2 6 b h
(4.12)
50 nm fixée et une hauteur h variant entre h0
500 et hf
on considère une longueur b
100 nm, toujours avec R 2,5 µm et V
200 nm/s. Les simulations sont effectuées sans mettre
à jour la position horizontale des nœuds pour conserver un domaine rectangulaire quelle que soit
l’épaisseur. Les résultats sont présentés sur la figure 4.14 où l’on observe un bon accord entre
les deux méthodes pour le comportement newtonien. À titre de comparaison l’effort calculé
avec la loi de Carreau est présenté sur la même figure dans le cas d’une longueur de glissement
b 50 nm constante et dans le cas d’un coefficient de frottement β constant tel que b soit égal
77
b
∞
0
b=50 nm (Carreau, NanoNem)
-0.05
b=100 nm
σrz (MPa)
-0.1
b=50 nm
-0.15
b=10 nm
-0.2
b=0 nm
-0.25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
position (µm)
Figure 4.13 – σrz le long du solide pour différentes longueurs de glissement, calculé avec le
modèle analytique approché (traits continus) et avec NanoNem axisymétrique (symboles blancs
dans le cas Newtonien et symboles noirs avec la loi de Carreau).
à 50 nm à très faible vitesse de cisaillement. On rappelle ici que la relation b ηβ est toujours
vérifiée dans l’un ou l’autre cas. On constate que la différence entre ces deux derniers efforts
augmente quand l’épaisseur du film diminue, l’effort avec un coefficient de frottement constant
étant plus important que celui avec une longueur de glissement constante.
Les deux cas présentés ici nous ont permis de valider l’introduction du glissement avec la
loi de Navier dans NanoNem. Les calculs avec la loi de Carreau et l’influence du comportement
et de la condition de Navier avec un coefficient de frottement constant ou une longueur de
glissement constante ont été présentés à titre d’exemple.
4.4.3
Effacement d’une onde superficielle
On considère un film mince de fluide couché sur un substrat et dont la surface libre présente
initialement une ondulation sinusoı̈dale, comme schématisé sur la figure 4.15, c’est-à-dire définie
par
sx
h e cos 2π x w .
(4.13)
Sous la seule action de la tension superficielle, la surface libre va s’aplanir (sans rapport avec
la gravité, ici négligée) et la dynamique de ce processus a été abordée par de Gennes et al.
dans leur livre sur la capillarité [98], mais également par Orchard [63] dès 1962, avec un modèle
plus élaboré, qui s’intéressait en particulier au lissage des traces de pinceau lors du séchage
78
6
force (MN/m)
5
b=50 nm
4
3
β constant
2
1
0
0
100
200
300
b constant
400
enfoncement h0-h (nm)
Figure 4.14 – Force exercée par le solide sur le polymère pour différentes hauteurs h, calculée
par le modèle analytique (trait continu) et par NanoNem (symboles) en axisymétrique. L’effort
calculé avec un comportement de Carreau dans les cas b constant et β constant est aussi
présenté.
des peintures. En comparant les modèles proposés par ces auteurs et les résultats de NanoNem
nous validerons ainsi la prise en compte de la tension de surface dans notre code de calcul pour
les surfaces libres. De Gennes et al. proposent en fait une solution analytique approchée de ce
problème dans le cas où la profondeur moyenne h est petite devant la période w de l’ondulation
et grande devant son amplitude 2e. Orchard quant à lui ne se limite pas aux faibles épaisseurs
mais se limite seulement aux petites amplitudes. Cette solution suppose un contact collant entre
le polymère et le substrat et la formule la plus générale est celle proposée par Orchard [63].
L’auteur montre que l’amplitude de l’onde suit une loi exponentielle décroissante caractérisée
par le temps τ qui dépend de la période w, de l’épaisseur moyenne h et du rapport η γ entre
la viscosité et la tension de surface, et qui s’écrit :
τ
w
1η
π γ f 2πh w
avec
f x
e2x
e2x
e
e
2x
2x
4x
4x2
2
(4.14)
Ce temps caractéristique présente deux asymptotes pour x 1 et x 1 qui correspondent à
deux cas particuliers, celui des films très minces et celui des films épais ou en champ profond.
Dans le premier cas la fonction f est équivalente à 32 x3 et le temps caractéristique devient :
τ
3
2π
η w4
4 γ h3
(4.15)
et dans le second cas la fonction f tend vers 1 et le temps caractéristique devient τ
ηw πγ
qui est linéaire en w.
La simulation avec NanoNem reprend l’exemple de de Gennes et al. [98], pour une couche
d’huile ayant une période de 1 mm, une profondeur de 0,1 mm, un contact collant, η 0,2 Pa.s
79
w/2
2e
h
forme initiale
(hors équilibre)
forme équilibrée
Figure 4.15 – Géométries initiale et finale dans l’exemple de l’effacement d’une ondulation
sinusoı̈dale à la surface d’une couche de fluide. Par raison de périodicité et de symétrie, seule
la partie en gris foncé est modélisée.
et γ 20 mN/m. La figure 4.16 illustre quelques étapes et confirme tout à fait la décroissance
exponentielle de l’amplitude. Cependant, Gennes et al. [98] omettent le facteur 3 2π 4 de
(4.15), et trouvent un temps caractéristique d’effacement τ de 10 s. Ici les conditions de couche
mince ne sont pas satisfaites, la formule approchée (4.15) donne un temps de 19 ms, alors qu’il
est de 33 ms, comme calculé par NanoNem et par la formule d’Orchard (4.14).
Afin de comparer le modèle d’Orchard (4.14) et la solution numérique donnée par NanoNem, nous avons simulé l’effacement de différentes ondes et comparé les temps d’effacement.
Pour une onde de période 1 µm, de profondeur moyenne 0,1 µm et d’amplitude 10 nm, avec
contact collant sur le fond, on obtient effectivement une décroissance exponentielle de l’amplitude, comme le prévoit le modèle analytique, avec un temps τ de 0,820 s encore une fois
conforme à la loi d’Orchard (4.14). Comme le prévoit le modèle, les résultats de NanoNem
montrent que ce temps apparaı̂t très peu affecté par le rapport 2e h entre l’amplitude initiale
et la profondeur moyenne du fluide, le calcul ayant été répété pour une valeur de de 2e h 50 %
au lieu de 10 %. La dépendance du temps d’effacement τ vis-à-vis des paramètres géométriques
est analysée au moyen d’une série de simulations avec NanoNem, ce qui conduit aux temps caractéristiques d’effacement (une décroissance exponentielle ayant toujours été obtenue) reportés
sur la figure 4.17. Ces résultats sont en complet accord avec la loi d’Orchard (4.14), rejoignent
la loi puissance d’exposant 4 prévue par (4.15) lorsque le rapport w h est grand (donc h petit)
η w π γ donnée lorsque ce rapport est petit (cas du champ
ainsi que la loi linéaire τ
profond).
Les résultats obtenus ci-dessus permettent donc de valider la prise en compte de la tension
de surface avec NanoNem. Notons que ce type d’approche a déjà été utilisé expérimentalement
pour déterminer la viscosité des polymères en couche minces par Leveder et al. [20] ou avec
des géométries plus élaborées par Rognin et al. [64]. Cette méthode d’effacement d’une onde
superficielle a été étendue au cas d’un contact partiellement glissant entre le polymère et le
substrat. Cette extension fait l’objet du prochain chapitre et les résultats obtenus suggèrent
cette fois-ci un moyen de mesurer la longueur de glissement b, paramètre considéré comme
difficilement accessible.
80
Figure 4.16 – Géométrie initiale (en haut) et exemples de déformées obtenues pour l’effacement
d’une ondulation sinusoı̈dale sur un film d’huile dans les conditions définies par de Gennes et
al. [98], après 25, 50 et 75 ms. La largeur de la figure représente 0,5 mm. La couleur représente
la pression.
τ (en centièmes de seconde)
1000
100
10
1
0.1
1
10
w/h
Figure 4.17 – Temps caractéristique pour l’effacement exponentiel d’une ondulation sinusoı̈dale
à la surface d’une couche de polymère de h 100 nm d’épaisseur, pour différentes longueurs
d’onde w, avec un contact collant sur le fond. Comparaison entre NanoNem (symboles), la loi
d’Orchard (trait continu), sa limite pour de faibles valeurs de w h (trait interrompu) et celle
prévue par le modèle pour des films minces (trait mixte).
81
s
A
A
B
θ
e
R
B
h
w
forme initiale
(hors équilibre)
forme équilibrée
Figure 4.18 – Ascension d’un fluide mouillant sur les parois d’un moule rainuré périodique
fixe. Par raison de périodicité et de symétrie, seule la partie de droite est modélisée.
4.4.4
Remplissage par capillarité
Le dernier exemple, proche d’une situation rencontrée en nanoimpression, est celui du remplissage d’un moule par capillarité. Nous revenons donc à la première géométrie utilisée dans
la partie 4.4.1, celle d’un motif rainuré périodique, initialement en contact avec le polymère
comme présenté sur la figure 4.18. Cet exemple nous permet de valider la prise en compte d’un
point triple dans les simulations. L’angle de mouillage statique est ici imposé égal à 45˚, la
longueur de contact toujours égale à 50 nm et le motif est supposé fixe. Pour des raisons de
symétrie seule une demi-période est étudiée (représentée en gris foncé sur la même figure).
L’angle initial entre le polymère et la paroi verticale du motif n’est pas l’angle d’équilibre.
Le polymère va donc mouiller la surface du motif jusqu’à ce que l’angle d’équilibre soit atteint.
Dans le même temps la surface libre va se déformer et la tension de surface agira jusqu’à ce
que la surface libre forme un arc de cercle parfait de rayon R comme présenté sur la figure 4.18
pour que le polymère soit à l’équilibre. Une fois l’équilibre atteint la pression dans le fluide sera
homogène et égale à γ R. La pression sera donc négative et le polymère aura tendance à tirer
le moule vers le bas.
Figure 4.19 – Simulation de l’ascension d’un fluide mouillant sur les parois d’un moule rainuré
périodique fixe en régime transitoire à t
0,55 s (gauche) et proche de l’équilibre à t
3 s
(droite). La couleur représente la pression.
Le rayon de courbure de la surface libre peut être précisé avec la conservation de volume
sur une demi-période. Ici le problème est plan et le volume est réduit à la surface du domaine.
h w 2 et le
Avec les notations de la figure 4.18 le volume initial de polymère est égal à Vi
82
volume dans la configuration d’équilibre
Vf
L’égalité Vi
1
w h
2
e
se
R2
π
sin θ cos θ
θ
(4.16)
.
Vf permet alors de calculer le rayon à l’équilibre
R
π
e w s
.
θ
sin θ cos θ
(4.17)
Pour obtenir une configuration finale comme celle représentée sur la figure 4.18 les paramètres
géométriques h, e et s doivent vérifier certaines relations. En effet si l’épaisseur de polymère
n’est pas suffisante alors le point B à l’intersection de la surface libre et de l’axe de symétrie de
droite peut atteindre le substrat. Dans un cas réel on pourrait alors avoir un démouillage du
substrat. Si la largeur w s 2 de la cavité n’est pas assez grande alors la surface libre peut
venir toucher le flanc vertical du motif, et dans un cas réel le polymère se séparerait en deux
avec une partie du fluide collée sur la partie haute du motif. Ces deux situations ne peuvent
pas être simulées par NanoNem. De plus ce ne sont que des conditions nécessaires mais pas
suffisantes, et il convient également de ne pas se retrouver dans la configuration où le polymère
s’arrêterait sur le flanc vertical du motif et le point A n’atteindrait pas le plafond, condition
que l’on ne détaille pas ici pour des raisons de simplicité. Dans notre exemple nous utiliserons
une épaisseur de 300 nm avec un motif d’une période de 800 nm, une largeur de 200 nm et
une profondeur de 150 nm, ce qui garantit que la configuration d’équilibre présentée sur la
250 nm et la
figure 4.18 sera atteinte. Avec ces dimensions le rayon à l’équilibre vaut R
pression p
0,16 MPa. La figure 4.19 montre la géométrie obtenue au bout de t
0,55 s
juste après que le point triple ait touché le plafond où il existe encore un gradient de pression, et
pour t 3 s près de l’équilibre où la pression est beaucoup plus homogène dans le domaine avec
une valeur moyenne de 0,16 MPa. Cependant l’équilibre n’est pas complètement atteint à cet
instant comme le montrent les valeurs asymptotiques de l’abscisse du point A et de l’ordonnée
du point B qui valent :
xA
w 2
R sin π
θ
et
yB
h
e
R 1
cos π
θ .
(4.18)
L’histoire de ces deux coordonnées respectivement normalisées par les valeurs asymptotiques
calculées ci-dessus est présentée sur la figure 4.20. On voit que le point A commence à se déplacer
seulement à partir de 0,5 s après son ascension du flanc du motif et qu’il atteint sa valeur finale
au bout de 2,5 s. L’ordonnée du point B quand à elle tend beaucoup plus lentement vers sa
valeur finale qui n’est pas atteinte au bout de 3 s comme le montre la figure 4.20. L’histoire
de l’angle au point triple normalisé par la valeur statique est également représentée sur cette
figure, et c’est la grandeur qui converge le plus vite vers la valeur finale. On note que cet angle
est perturbé à deux instants qui correspondent au tout début de l’écoulement et au passage du
coin supérieur du motif entre le flanc vertical et le plafond, et qu’il est stabilisé en moins d’un
dixième de seconde dans les deux cas.
4.5
Conclusion
NanoNem, outil de simulation numérique mis en place pour simuler le procédé de nanoimpression, semble donc répondre à toutes les exigences présentées dans la première partie de
83
paramètres normalisés par la valeur asymptotique
10
yB/yB(∞)
θA/θA(∞)
1
xA/xA(∞)
0.3
0
0.5
1.5
1
2
2.5
3
temps (s)
Figure 4.20 – Histoire de l’abscisse et de l’angle de contact au point A, et de l’ordonnée du
point B. Les grandeurs sont normalisées par les valeurs asymptotiques.
ce chapitre, notamment en termes de fiabilité et de robustesse. Ce logiciel est basé sur deux
routines fournies par Illoul [91] pour calculer le gradient des fonctions de forme CNEM et pour
extraire les nœuds de la surface libre. Une centaine de fonctions ont été ajoutées pour réaliser
les différentes opérations de simulation et de post traitement, dont le programme principal qui
compte environ 2000 lignes de code.
Un effort particulier a permis de rendre ce logiciel accessible à des utilisateurs tiers, avec
la définition d’un fichier interprétation .cnm simple permettant de lier le code de calcul et le
maillage, fichier regroupant les conditions aux limites en effort et en vitesse, les propriétés du
matériau et enfin les paramètres de simulation. Parmi les paramètres de simulation, l’incrément
de temps est celui qui a été le plus difficile à gérer, puisqu’il détermine la stabilité de la simulation
dans le temps et que l’on a souhaité le retirer de la liste des paramètres que l’utilisateur
doit définir. On a alors fait le choix de le déterminer essentiellement à partir de la vitesse de
déformation de la surface libre (critère le plus contraignant), ce qui donne un pas variable
au cours de la simulation, permettant d’accélérer ou ralentir l’incrémentation quand cela est
nécessaire. Ce calcul fait intervenir un angle de rotation limite, défini arbitrairement, qui a
suffi pour l’ensemble des tests effectués, mais la question d’un choix optimal pour cet angle n’a
pas été approfondie. La question de la performance de NanoNem en termes de temps de calcul
reste donc ouverte car le nombre d’incréments, découlant d’un incrément de temps qui doit
rester petit du fait de la rusticité du schéma numérique explicite en temps, est grand et chacun
peut être relativement long avec la méthode des éléments naturels. L’optimisation du temps de
calcul de NanoNem est toutefois repoussée à une étape ultérieure de son développement puisque
ce temps reste acceptable pour les applications envisagées. Des outils de post-traitement ont
également été mis en place pour permettre l’extraction de données des simulations, faire des
figures ou encore des vidéos. Un manuel plus complet (voir annexe) a été rédigé détaillant les
différentes étapes à suivre pour installer les routines, construire les fichiers, lancer une simulation
84
et exploiter les résultats.
Quatre exemples de validation du code ont été présentés à travers lesquels il apparaı̂t que
l’incrémentation en temps, la prise en compte d’un comportement aussi bien linéaire que non
linéaire en loi de Carreau et de l’incompressibilité, le calcul de la pression, le traitement du
contact, du glissement de Navier, de l’angle de mouillage et de la tension de surface implantés
dans NanoNem ont été validés, en déformation plane et en axisymétrique. Ces tests étaient
soit des comparaisons à des solutions de référence soit des illustrations de diverses possibilités.
Des solutions de référence ont été proposées dont celle de l’écrasement d’un film mince avec
glissement de Navier. Une solution de l’effacement des motifs avec glissement de Navier sera
proposée au chapitre 5 pour suggérer une méthode de mesure de b. Ces nombreux exemples ont
aussi été l’occasion de se familiariser avec les effets d’échelle spécifiques aux nanoécoulements.
NanoNem ayant ainsi fait la preuve de sa fiabilité et sa robustesse ayant été éprouvée par sa
capacité à traiter avec succès de nombreux cas, il est donc maintenant prêt à être exploité de
façon systématique pour simuler des exemples concrets de nanoimpression.
85
86
Chapitre 5
Mesure de la viscosité et de la
longueur de glissement de Navier
pour des films minces
La longueur de glissement introduite au chapitre 3 est un paramètre issu de la loi de Navier
qui nous a permis de supprimer la singularité en pression aux points triples et de pouvoir simuler
leur déplacement sur un solide. Sa prise en compte pour modéliser l’écoulement ne relève donc
pas d’observations expérimentales directes, observations rendues difficiles à cause des échelles
mises en jeu et des moyens d’observation dont nous disposons. Néanmoins son influence a pu
être appréciée à travers les simulations, et le calcul de l’effort du solide sur le fluide dans le cas
de l’écrasement d’un bloc rectangulaire de polymère étudié dans la partie 4.4.2 montre que la
longueur de glissement peut avoir un impact significatif sur cet effort. Ainsi avant de pouvoir
valider expérimentalement notre logiciel de calcul nous avons souhaité mesurer cette longueur
de glissement b avec les moyens disponibles en salle blanche et le savoir-faire du laboratoire de
nanoimpression du CEA. Dans ce chapitre nous présentons la méthode de mesure qui consiste à
suivre l’effacement de motifs imprimés à la surface d’un film sous la seule action de la tension de
surface, et à utiliser une méthode inverse pour en extraire des paramètres de l’écoulement. Nous
présentons également les avantages et les limites de cette méthode, la procédure de traitement
des données expérimentales et les résultats les plus aboutis.
Ce chapitre s’articule de la manière suivante : dans une première partie sont présentés les
travaux de la littérature utilisant l’effacement de structures nanoimprimées pour la mesure de la
viscosité en couche mince. Dans une deuxième partie nous étendons les résultats analytiques de
la méthode de mesure de la viscosité à la mesure de la longueur de glissement. Dans une troisième
partie nous comparons les résultats analytiques aux résultats de la simulation numérique pour
déterminer le domaine d’application des formules. Dans une quatrième partie nous présentons le
protocole expérimental, le traitement des données et les résultats expérimentaux. Une conclusion
termine ce chapitre.
5.1
Effacement de motifs et caractérisation des matériaux
L’effacement de motifs à la surface d’un film fluide sous la seule action de la tension de
surface, partiellement abordé lors de la validation de NanoNem dans la partie 4.4.3, est une
87
question qui a été finement étudiée il y a 50 ans par Orchard [63] qui s’intéressait à l’effacement
des traces de pinceau, assimilées à une sinusoı̈de dans une coupe transverse, laissées sur des
couches de peinture. La surface initialement ondulée va, sous l’effet de la tension de surface
uniquement, s’aplanir pour retrouver une configuration stable pour la tension de surface. La
vitesse d’effacement dépend dans ce cas de l’énergie de surface, de la viscosité, de la géométrie
initiale de la surface libre, de l’épaisseur du film mais également de la longueur de glissement.
Dans son article de 1962 l’auteur donne la solution analytique de l’effacement d’une onde sinusoı̈dale ayant une amplitude infinitésimale pour un fluide newtonien incompressible, pour des
films d’une épaisseur quelconque et en prenant en compte les effets de la gravité sur des supports
plats et horizontaux, et plus tard sur des supports inclinés [99]. Des travaux similaires, mais ne
mentionnant pas ceux de Orchard, ont permis d’étudier l’effacement des motifs avec d’autres
comportements, comme Jäckle [100] pour des matériaux viscoélastiques, mais toujours dans le
cadre des amplitudes infinitésimales et en connaissant a priori les propriétés du matériau. Ces
analyses permettent, si le comportement est connu, d’évaluer le temps nécessaire à effacer une
onde sur la surface libre. À l’inverse, si le temps caractéristique de décroissance est mesurable,
une méthode inverse peut être employée pour déterminer les paramètres du matériau. Cette
dernière méthode a déjà été utilisée par Rognin et al. [64], Kim et al. [101], Leveder et al. [102],
et Teisseire et al. [103] par exemple pour déterminer la viscosité des films minces. Le cas des
grandes amplitudes a été étudié par Degani et Gutfinger [104] et par Kheshgi et Scriven [105] à
l’aide de simulations numériques en appliquant respectivement la méthode des différences finies
et la méthode des éléments finis pour un fluide newtonien, et par Keunings and Bousfield [106]
pour un fluide viscoélastique.
Tous ces travaux supposaient un contact collant entre le fluide et le solide, mais Henle et
Levine [107] ont étendu la solution analytique de Orchard au cas du glissement de Navier pour
des fluides de Newton et de Maxwell, et pour des empilements à deux couches. La solution
proposée par [107] permet alors de prendre en compte la longueur de glissement dans le temps
caractéristique d’effacement des motifs, mais toujours dans le cas des amplitudes infinitésimales.
Ainsi les méthodes inverses utilisées par [64, 101, 102] pour la mesure de la viscosité dans le cas
du contact collant peuvent être étendues à la mesure de la longueur de glissement. La solution
de [107] présuppose néanmoins une forme particulière du champ de vitesse et de pression.
Cette solution a été comparée aux résultats de NanoNem par Gilormini et Teyssèdre [108] qui
résout le problème sans champ particulier en déformations planes pour déterminer les limites
d’applicabilité des formules analytiques.
5.2
Modélisation de l’écoulement
On présente dans cette partie la solution analytique du problème d’effacement de motifs
ainsi que l’influence de la longueur de glissement sur cet écoulement en fonction des paramètres
géométriques.
5.2.1
Solution analytique pour des amplitudes très petites
En s’inspirant de [63] et de [107], la solution analytique générale du problème d’effacement
en déformation plane d’une onde sinusoı̈dale d’amplitude infinitésimale, sous la seule action de
la tension de surface et pour une condition de glissement de Navier à l’interface fluide-solide,
peut être établie pour un fluide newtonien. Les notations utilisées sont précisées sur la figure 5.1,
88
w/2
2a
h
forme initiale
(hors équilibre)
forme équilibrée
Figure 5.1 – Géométries initiale et finale dans l’exemple de l’effacement d’une ondulation
sinusoı̈dale à la surface d’une couche de fluide. Par raison de périodicité et de symétrie, seule
la partie en gris foncé est modélisée.
γ et η représentant toujours la tension de surface et la viscosité du fluide. En utilisant le champ
de vitesse suivant dans le plan (x, y) :
vx
γak
2η
f˜ky
1
γak
2η
vy
g̃ cosh ky
1
g̃ky sinh ky sin kx
f˜ky sinh ky
f˜
g̃ky cosh ky cos kx
(5.1)
l’équation de conservation du volume est satisfaite, avec a et w l’amplitude et la longueur d’onde
du profil, k 2π w, et f˜ et g̃ deux contantes sans dimension qui seront déduites des conditions
aux limites. Ce champ de vitesse permet de calculer le tenseur des vitesses de déformation, et
en utilisant le champ de pression
γak2 f˜ sinh ky
p
g̃ cosh ky cos kx
p0
(5.2)
où p0 est une constante à déterminer avec les conditions aux limites, les équations d’équilibre
de Stokes
p
Dxx
Dxy
p
Dyy
Dyx
2η
et
2η
(5.3)
x
x
y
y
y
x
sont satisfaites. Les conditions aux limites sont les conditions de non pénétration du fluide en
h sur le solide où l’on a
x 0 et x w 2 sur les axes de symétrie où l’on a vx 0, en y
h où l’on a :
vy 0, et enfin la condition de glissement de Navier en y
vx
b
vx
.
y
(5.4)
Tous calculs faits on trouve que toutes les conditions aux limites sont satisfaites en prenant :
f˜
1
2k h b
2kb cosh 2kh sinh 2kh
2
2k h h 2b
cosh 2kh 2kb sinh 2kh
(5.5)
1
1 cosh 2kh 2kb sinh 2kh
.
2k2 h h 2b
cosh 2kh 2kb sinh 2kh
(5.6)
et
g̃
89
Sur la surface libre la condition de Young-Laplace
σxx nx
σxy ny
et
γκnx
σyy ny
σyx nx
γκny
(5.7)
est également satisfaite après linéarisation de la courbure κ
ak 2 cos kx et des composantes
de la normale à la surface libre ny 1 et nx ak sin kx si l’amplitude est suffisamment faible.
Ce champ de vitesse est donc bien solution de notre problème pour des profils peu prononcés,
et permet en prenant x 0 d’obtenir le taux d’évolution de la hauteur maximale a du profil
sinusoı̈dal :
a
vy
γak ˜
f
2η
a
τ
avec
ka
1
et
τ
2η
γhf˜
(5.8)
En supposant que le profil sinusoı̈dal est maintenu pendant l’effacement, cette équation différentielle montre que a suit une loi de décroissance exponentielle de temps caractéristique τ . Ce
temps caractéristique dépend du rapport de forme h w et du rapport b w à travers le coefficient
f˜ et la formule (5.5). Cette formule peut être simplifiée si la couche est très mince pour donner :
τ
3
2π
ηw4
4 γh3 1
1
3b h
(5.9)
On voit ici comment la longueur de glissement joue un rôle sur le temps caractéristique τ , ce qui
suggère, en mesurant τ pour différentes épaisseurs, une méthode de mesure de b si la longueur
de glissement a une influence significative sur le temps caractéristique et si les approximations
faites pour obtenir la solution sont toujours valables.
5.2.2
Influence de la longueur de glissement
La longueur de glissement intervient uniquement sur les coefficients f˜ et g̃ de la solution
analytique précédente. Comme le problème est linéaire on peut ici encore se contenter d’étudier
un problème adimensionné, et choisir la période w comme longueur de référence. On définit
ηw πγ de façon à avoir un temps
également un temps caractéristique de référence τref
caractéristique normalisé
τ
1
.
(5.10)
τref
f˜
L’influence de la longueur de glissement se résume alors à l’étude du coefficient 1 f˜ en fonction
des rapports h w et b w. Intuitivement la longueur de glissement ne devrait pas avoir d’influence
sur le temps caractéristique pour des films épais, c’est-à-dire pour h w, puisque l’écoulement
a lieu essentiellement au voisinage de la surface et n’est donc pas influencé par le substrat, et la
longueur de glissement aura une influence sur l’écoulement pour des films minces, cas qui sera
donc intéressant pour nous. Cette hypothèse est vérifiée sur la figure 5.2 où 1 f˜ est représenté en
fonction du rapport h w et pour différentes valeurs de b w, où l’on voit clairement une transition
pour h w 1 entre le régime des films minces et celui des films épais. Au-delà de cette transition
l’histoire de l’amplitude a ne dépend plus de h ni de b, et dépend uniquement de la période w du
profil et du rapport η γ entre la tension de surface et la viscosité. Ce régime permettrait donc
de mesurer uniquement le rapport η γ, mais nécessite de coucher des films ayant une épaisseur
supérieure à la période du profil. Cette situation n’est envisageable que pour des périodes
inférieures au micromètres en nanoimpression. En dessous de cette transition l’influence de
90
~
temps caractéristique normalisé (1/ f )
100
w/2
50
b/w=0
30
0.01
0.05
polymère
0.1
b
10
0.5
h
substrat
1
5 ∞
3
1
0.05
0.3
0.1
0.5
1
h/w
Figure 5.2 – Temps caractéristique normalisé par ηw πγ pour l’effacement d’un profil
sinusoı̈dal d’amplitude infinitésimale à la surface d’un fluide newtonien, pour différentes conditions de glissement définies par le rapport b w. Les lignes en trait interrompu correspondent aux
cas du contact collant (b w 0) et parfaitement glissant (b w
) pour des films très minces.
0,05)
Les résultats des simulations numériques (symboles) avec une faible amplitude (a h
sont également représentés.
la longueur de glissement augmente quand l’épaisseur du film diminue. Par exemple pour un
rapport h w 0,1, le temps caractéristique dans le cas d’un contact parfaitement glissant est
0,05. Ainsi,
3 fois plus petit que pour un contact collant, voire 10 fois plus petit pour h w
comme nous l’avions suggéré, c’est en étudiant des films minces tels que h w 0,05, que nous
aurons des chances d’accéder à la longueur de glissement par l’étude du temps caractéristique.
De plus cette étude montre que la meilleure sensibilité à la longueur de glissement est obtenue
pour des périodes qui vérifient :
b
100 b .
w
(5.11)
À titre de comparaison, des simulations avec NanoNem ont été faites et reportées sur la
figure 5.2 (symboles) pour une très faible amplitude devant l’épaisseur du film (a h
0,05)
pour satisfaire à la condition d’amplitude infinitésimale. La parfaite correspondance montre que
la solution analytique est alors une très bonne approximation de la solution exacte. D’autres
simulations, non présentées ici, montrent que cette correspondance n’est obtenue que pour les
faibles amplitudes a. Cependant nous avons besoin de savoir dans quelle mesure cette approximation reste valide, puisqu’en pratique on peut difficilement suivre l’évolution d’un profil avec
une amplitude extrêmement petite, et que les profils imprimés le plus facilement ne sont pas
des sinusoı̈des, mais des créneaux. C’est en comparant le modèle analytique aux simulations de
NanoNem que nous avons pu répondre à ces questions.
91
5.3
Domaine de validité de la solution analytique
On s’intéresse dans cette partie à la vitesse de cisaillement maximale dans le fluide et à
l’histoire de l’épaisseur maximale (crête de l’onde) et de l’épaisseur minimale (creux de l’onde)
pour déterminer le domaine de validité de la solution analytique.
5.3.1
Vitesse de cisaillement maximale
La solution analytique établie dans la partie précédente suppose que le fluide se comporte
comme un fluide newtonien, hypothèse qui peut ne plus être vérifiée si les vitesses de cisaillement dans le domaine deviennent trop importantes. Dans cette situation le polymère aurait
localement un comportement rhéofluidifiant, avec une transition marquée par la vitesse de cisaillement critique γ0 présentée dans le chapitre 2. On se propose donc ici d’évaluer la vitesse
de cisaillement maximale dans cette solution analytique et de s’assurer qu’elle reste inférieure
à γ0 pour valider des formules limitées à un comportement newtonien.
Notre démarche est similaire à celle de [63] à la différence que la vitesse de cisaillement
dépend en plus de la longueur de glissement b. La vitesse de cisaillement généralisée γeq
2D : D peut être calculée à partir de (5.1) et l’on trouve :
γeq
γref
2
αy
2
sin2 kx
β y
2
cos2 kx
(5.12)
avec la vitesse de cisaillement de référence définie par
4π 2
γref
γa
ηw2
(5.13)
et avec
αy
1
f˜ky
g̃ sinhky
β y
g̃ky cosh ky
et
1 f˜ky g̃ cosh ky
g̃ky sinh ky .
(5.14)
Ainsi, un extremum de la vitesse de cisaillement généralisée est obtenu si
αy
2
β y
2
sin 2kx
0.
(5.15)
La résolution de cette équation donne deux solutions qui sont sin 2kx 0 ou α y
β y .
Cette résolution n’est pas détaillée ici (voir [108]), mais elle nous permet, analytiquement ou
numériquement, de déterminer la position du point du fluide où la vitesse est maximale et
par conséquent la valeur du maximum. L’évolution de ce maximum dépend fortement de la
longueur de glissement b et les résultats sont présentés sur la figure 5.3. Comme nous l’avions
déjà remarqué, l’effet du glissement disparaı̂t pour des films épais avec de nouveau la condition
1. Sous cette condition, la valeur maximale γeq γref
1 e
0,368 est atteinte. On
h w
observe également le point remarquable h w 0,388 où le glissement n’a pas d’influence avec
une valeur maximale γeq γref 0,431, ce qui définit un point fixe pour toutes les courbes comme
le montre la figure 5.3. Pour des rapports h w
0,388 l’influence du glissement est moindre
0,552 est obtenue pour
relativement au cas h w 0,388 où la valeur maximale de γeq γref
un glissement parfait avec h w 0,191. Ces courbes permettent donc d’obtenir une majoration
de la vitesse de cisaillement maximale dans le fluide. Pour que le modèle newtonien s’applique,
92
0.5
O
O
vitesse de déformation max. normalisée
0.6
10
b/w=0
1
0.4
0.01
0.1
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h/w
Figure 5.3 – Maximum de la vitesse de cisaillement généralisée, normalisée par 4π 2 γa ηw2 ,
atteint en dessous de la surface libre pour différentes conditions de glissement définies par le
rapport b w.
il suffit donc que le majorant soit inférieur à la vitesse de cisaillement critique du matériau γ0
et donc que la relation
ηw2
a 0,046
γ0
(5.16)
γ
soit respectée. Cette relation nous suggère donc d’avoir une amplitude assez faible, avec une
valeur limite déterminée par la période w de l’onde, par le rapport entre la viscosité et la tension
de surface, et enfin par γ0 . Toute l’analyse, notamment développée dans la partie 5.2.1, suppose
que le profil de la surface libre est une sinusoı̈de tout au long de l’effacement, ce qui est vérifié
par des simulations numériques dans la partie suivante.
5.3.2
Amplitude maximale
0,05 défini en 5.2.2 pour que la longueur de glisseOn se place dans le cas limite h w
ment ait une influence non négligeable sur l’écoulement, et on compare la solution analytique
aux simulations avec NanoNem pour différentes valeurs de l’amplitude en faisant varier le rapport a h, afin de déterminer dans quelle mesure le modèle de décroissance exponentielle est
applicable. Seuls les cas extrêmes avec un contact collant et un contact parfaitement glissant
entre le fluide et le substrat sont présentés, le cas d’un contact partiellement glissant étant
nécessairement entre ces deux limites.
Une étude menée pour les rapports a h 0,5 et 0,8 montre dans un premier temps que les
courbes obtenues avec NanoNem dans le cas d’un contact collant sont en parfait accord avec les
résultats de Keunings et Bousfield [106], et de Kheshgi et Scriven [105], où l’on observe que les
crêtes s’effacent systématiquement plus rapidement que les creux, ce qui montre que le profil
sinusoı̈dal n’est pas maintenu tout au long de l’écoulement.
La comparaison avec la solution analytique est présentée sur la figure 5.4 pour a h 0,5 avec
93
1.1
1
contact
glissant
0.9
1.2
0.8
contact collant
1.3
0.7
1.4
0.6
1.5
0
0.5
1
1.5
2
épaisseur minimale (creux)
épaisseur maximale (crête)
1
0.5
2.5
temps normalisé
Figure 5.4 – Histoire de l’épaisseur maximale et minimale du film avec a h 0,5 et h w 0,05.
Les épaisseurs sont normalisées par h et le temps est normalisé par le temps caractéristique (5.9)
obtenu pour un contact collant. La ligne en trait discontinu représente la solution analytique
pour des amplitudes infinitésimales. La ligne horizontale en pointillé représente l’amplitude
initiale diminuée d’un facteur e 1 .
les histoires des épaisseurs maximale (crêtes) et minimale (creux), normalisées par l’épaisseur
moyenne h, en fonction du temps, normalisé par le temps caractéristique (5.9) obtenu pour un
contact collant (b=0). Sur cette figure on voit que l’évolution des crêtes et des creux calculée
numériquement (trait continu) n’obéit par à la loi exponentielle du modèle analytique (trait
interrompu), ce qui est particulièrement évident pour l’évolution sigmoı̈dale du creux dans le
cas collant. Cependant un temps caractéristique de décroissance exponentielle peut être défini
à partir de l’amplitude initiale diminuée d’un facteur e 1 , représentée par une ligne horizontale
en pointillé sur la figure 5.4. À partir de cette amplitude la solution analytique donnera une
meilleure approximation pour les crêtes que pour les creux avec cette définition, en particulier
lorsque l’on aura du glissement à l’interface. Enfin la solution analytique donne des résultats
plus fiables pour des temps très long, mais cela représente peu d’intérêt d’un point de vue
pratique si l’on doit mesurer un profil quasiment plat.
Pour des amplitudes plus faibles les deux solutions se rapprochent et le cas le plus défavorable
est obtenu dans le cas d’un contact collant à l’interface fluide-solide. Ces solutions sont présentées
sur la figure 5.5 avec l’histoire des crêtes et des creux en fonction du temps. Lorsque les solutions sont proches les histoires des crêtes et des creux sont confondues. La figure 5.5 montre
0,3 la solution numérique reste très proche de la solution
alors que pour un rapport a h
analytique (rectiligne) pour une amplitude infinitésimale, et un début d’éloignement des deux
solutions pour un rapport a h
0,5. Des simulations supplémentaires ont permis de définir
une transition pour le rapport a h 0,37 pour que les temps caractéristiques de d’effacement
des crêtes et des creux ne diffèrent que de 10 % entre la solution analytique et la solution
numérique. Ainsi pour les films minces la mesure de b avec la méthode analytique sera possible
en considérant des amplitudes telles que l’on ait le rapport a h 0,37.
94
1
0.5
0.5
0.3
0.3
0.3
a/h=0.05
0.5
0.1
0
0.1
0.5
1
1.5
2
2.5
hauteur normalisée des creux
hauteur normalisée des crêtes
1
0.05
3
temps normalisé
Figure 5.5 – Histoires de la hauteur des crêtes et des creux du profil sinusoı̈dal pour h w 0,05
et a h 0,05, 0,3 (en trait discontinu pour la lisibilité) et 0,5 pour un contact collant à l’interface
fluide-solide. Les hauteurs sont normalisées par l’épaisseur moyenne h et le temps est normalisé
par le temps caractéristique (5.9) obtenu pour un contact collant.
5.3.3
Extension à un profil en créneaux
En pratique les motifs dont on dispose pour structurer les films sont des créneaux, comme
présenté sur la figure 5.6, et non des sinusoı̈des, ces dernières étant relativement difficiles à
fabriquer avec des moyens conventionnels de microélectronique. Cependant, en utilisant les
séries de Fourier, un créneau peut être décomposé comme une somme (infinie) de sinusoı̈des
y x
a
4
π
1
j 0
2j
j
1
cos 2π 2j
1
x
w
(5.17)
et ici se pose naturellement la question de savoir si les résultats obtenus précédemment peuvent
être étendus au cas du créneau en sommant les réponses pour chaque mode j de (5.17) de
période wj w 2j 1 et d’amplitude aj 4a 2j 1 π . Cette extension est possible avec
la propriété de décroissance des amplitudes aj quand j augmente et l’indépendance du rapport
aj wj
4a πw entre les modes. Si le créneau a une amplitude infinitésimale, la première
propriété nous garantit que tous les modes auront aussi une amplitude infinitésimale, et la
règle établie à la partie 5.3.2 ne devra être vérifiée que pour le mode fondamental. La seconde
propriété nous permet de montrer que la linéarisation de la courbure faite à la partie 5.2.1 reste
valide pour tous les modes j. Ainsi chaque mode vérifie indépendamment les conditions aux
limites et équations du problème. Pour la condition établie dans la partie 5.3.1, qui s’assure
que les vitesses de cisaillement restent inférieures à la vitesse de cisaillement critique, l’inégalité
fait intervenir l’amplitude aj et le carré de la période wj pour un mode j donné. Compte tenu
95
w
w/2
y
x
O
2a
h
Configuration initiale
Configuration à l’équilibre
Figure 5.6 – Notations utilisées pour un profil initial de la surface libre en créneau. Pour des
raisons de symétrie (les lignes interrompues définissent les axes de symétrie), le domaine d’étude
est limité à la surface en gris foncé.
de l’égalité aj wj
4a πw cette condition peut s’écrire :
aj
ηwj2
0,046
γ0
γ
wj
w
2j 1
a
w2
0,036
η γ0
.
γ 2j 1
(5.18)
Cette condition dépend de l’indice j et n’est donc pas la même pour tous les modes. Elle est
plus contraignante pour les modes élevés. Enfin, pour un rapport a w2 non nul elle ne peut
plus être satisfaite à partir d’un certain mode j0 . Cependant ces modes de très faible longueur
d’onde vont disparaı̂tre très vite lors de l’effacement (le temps caractéristique d’effacement
étant proportionnel à wj4 ). Ainsi, l’évolution du profil initial en créneau de période w combine
l’évolution simultanée de profils sinusoı̈daux de période w 3 et d’amplitude 4a 3π , de période
w 5 et d’amplitude 4a 5π , et ainsi de suite selon l’incrémentation définie par la formule (5.17).
Le temps caractéristique d’effacement du créneau ne peut pas être défini dès les premiers
instants où l’effacement combiné des sinusoı̈des ne se traduit pas par une simple décroissance
exponentielle de la hauteur maximale du créneau. Ce résultat est visible sur la figure 5.7 où
0,05 et a h
0,3, et pour
l’on simule l’effacement d’un profil initial en créneau pour h w
trois conditions de glissement différentes. Sur cette figure la hauteur du point situé initialement
au milieu du plateau supérieur est représentée en fonction du temps. La hauteur est normalisée
par l’épaisseur moyenne h et le temps est normalisé par le temps caractéristique (5.9) obtenu
pour un contact collant. On voit ici qu’aux temps courts la hauteur commence par augmenter,
atteint un maximum, puis diminue jusque tendre vers 0. La solution analytique avec les six
premiers modes de la série de Fourier est représentée en trait discontinu. Aux temps courts la
différence entre la solution numérique et la solution analytique est importante puisque peu de
modes sont représentés dans la série de Fourier. En revanche une très bonne correspondance est
observée aux temps longs, et une décroissance exponentielle peut être définie pour une hauteur
diminuée d’un facteur e 1 par rapport à la hauteur initiale, matérialisée par la ligne horizontale
en pointillé. Sous cette condition le temps caractéristique de décroissance correspond à celui
de l’onde de plus grande période dans la série de Fourier et les résultats établis sur les ondes
s’appliquent à nouveau.
Ainsi, cette étude montre qu’à partir d’un film d’épaisseur moyenne h structuré avec des
créneaux de profondeur 2a et de période w il est possible d’utiliser les résultats analytiques
96
1.2
hauteur normalisée
1
contact collant
0.8
0.6
b/w=0.05
0.4
contact glissant
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps normalisé
Figure 5.7 – Évolution de la hauteur maximale d’un profil initial en créneau pour h w 0,05
et a h 0,3 pour différentes conditions de glissement à l’interface fluide-solide. La comparaison
de la solution numérique (trait continu) est faite avec celle établie analytiquement à partir des
6 premiers modes de la série de Fourier (trait discontinu). La normalisation est la même que
dans la figure 5.5
pour mesurer la viscosité du film et la longueur de glissement si l’on respecte les trois relations
a h
0,3
h w
0,05
a
0,036
ηw2
γ0 .
γ
(5.19)
Une décroissance exponentielle de la hauteur maximale sera alors observée pour des amplitudes
inférieures à a e, dont le temps caractéristique τ est celui donné par la formule (5.9), qui
fait intervenir la longueur de glissement, avec une bonne sensibilité si l’on satisfait la relation
b w 100 b. Cette dernière relation ne peut pas être vérifiée a priori mais nous donne un ordre
d’idée de la longueur de glissement que l’on pourra mesurer. La démarche consisterait alors à
mesurer le temps τ pour différentes épaisseurs et différentes périodes afin de déterminer les
deux inconnues que sont la viscosité du matériau à la température d’effacement et la longueur
de glissement.
5.4
Effacement de micro-rainures fabriquées par nanoimpression
On a souhaité mettre en application les résultats établis dans la partie précédente pour
mesurer la longueur de glissement entre un polystyrène et le substrat en silicium dont la surface
n’est pas traitée. À ce stade des difficultés expérimentales, principalement liées aux incertitudes
sur la température du film, n’ont pu être totalement résolues pour calculer cette longueur.
97
90
amplitude (nm)
60
a)
30
0
-30
-60
-90
-20
b)
-15
-10
-5
0
position x (µm)
5
10
15
20
ondes sur film de PS35
Figure 5.8 – Mesure du profil de la surface libre au microscope à force atomique (a) et image
obtenue au microscope à balayage électronique d’un film partiellement flué pour des motifs
d’une période de 4 µm (b). L’épaisseur moyenne est de 126 nm et l’amplitude de 130 nm.
Ces incertitudes ont été mises en évidence grâce à la mesure des temps caractéristiques de
décroissance sous différentes conditions. Nous souhaitons ainsi présenter dans cette partie les
difficultés rencontrées et les avancées qui ont été réalisées, et montrer des premiers éléments de
comparaison entre les mesures microscopiques et macroscopiques de la viscosité. Les résultats
obtenus ici ne concernent que le PS35.
5.4.1
Les paramètres critiques
Les grandeurs qui vont influencer nos résultats sont la période w des motifs, l’épaisseur
moyenne h, l’amplitude a des structures et la température T de l’effacement.
Les deux premiers paramètres vont déterminer l’erreur commise sur l’ajustement des données
au modèle analytique. Ils dépendent des moyens de fabrication des moules et du dépôt des films.
Avec le savoir faire du CEA/LETI pour la fabrication de composants pour la microélectronique,
les tolérances de fabrication sont très faibles et on a pu mesurer des écarts-types inférieurs
à 10 nm pour des périodes de 2 micromètres. Pour les films, la variation d’épaisseur est
généralement de l’ordre de 1 nm à l’échelle d’une plaque de 200 mm pour des épaisseurs
de l’ordre de 100 nm. Localement, l’épaisseur du film de polymère peut être obtenue par ellipsométrie avec une incertitude inférieure à 0,1 %.
Les deux derniers paramètres vont déterminer l’erreur commise sur la mesure du temps
caractéristique. Les mesures des amplitudes a au microscope à force atomique présentaient des
dérives de mesure, illustrées sur la figure 5.8a. Nous avons souhaité soustraire ces dérives des
mesures pour obtenir un profil de moyenne nulle dont toutes crêtes avaient la même hauteur.
Pour s’assurer que le profil réel était effectivement proche de ce cas idéal nous avons réalisé
une étude des surfaces au microscope à balayage électronique, présentée figure 5.8b. Ces images
montrent d’une part que la surface est très régulière et que ce sont bien des dérives de mesure que
l’on observe sur la figure 5.8a. D’autre part on voit que la caractérisation de ces échantillons est
délicate même avec des moyens sophistiqués. Sur la figure 5.8a l’épaisseur minimale est à peine
visible. En utilisant le microscope à force atomique, l’erreur commise sur a est de l’ordre du
nanomètre. Pour déterminer les valeurs maximales et minimales du profil, plusieurs méthodes
98
sont possibles. Notre approche est présentée ci-après dans la partie 5.4.5, où l’on montre qu’une
incertitude de 1 nm peut être obtenue à partir des mesures.
Enfin la température est le paramètre qui sera critique dans notre cas. Dans nos essais
la température sera fixée grâce à des plaques chauffantes pouvant être contrôlées à 0,1˚ en
moyenne pour une plaque de 200 mm. Le contrôle de la température nous permet d’avoir une
viscosité relativement constante lors de l’effacement. En utilisant les mesures expérimentales
on obtient une erreur de 2,5 % sur la viscosité à 90˚, qui descend à 1,5 % à 110˚ pour le PS35.
Cette erreur reste relativement faible et comparable aux erreurs calculées pour les paramètres
précédents, mais cela suppose que le polymère est à la température du substrat. Nous verrons
dans la partie 5.4.6 que cette hypothèse n’est pas toujours vérifiée et que les erreurs sur la
mesure de la viscosité peuvent être jusque 5 fois plus grandes.
5.4.2
Choix des paramètres géométriques
Les règles mentionnées à la fin de la partie 5.3.3 sont utilisées pour déterminer les valeurs
maximales ou minimales que peuvent prendre les paramètres h, a et w, et fixer un domaine
d’étude. Connaı̂tre l’ordre de grandeur de la longueur de glissement est un bon point de départ
pour choisir w grâce à la relation b w 100 b. Par exemple, si b est de l’ordre de la dizaine
de nanomètres, des motifs avec une période comprise entre 10 nm et 1 µm seront les plus
appropriés. Cette relation donne la première limitation de la méthode, puisque les périodes
mises en jeu doivent être comparables la longueur de glissement. Dans notre cas la période w
était imposée et de l’ordre du micromètre. Une fois les valeurs de w fixées, la hauteur maximale
0,05 w est définie pour avoir une influence de b. L’amplitude maximale garantissant
hmax
2
0,036 ηwγ γ0 est estimée en première approche avec les
un comportement newtonien amat
paramètres macroscopiques du matériau. Cette amplitude devra être comparée à ageom 0,3 h
qui garantit que la solution analytique s’applique. La valeur minimale est retenue. Les valeurs
minimales de h et a sont déterminées en fonction des moyens de fabrication et de caractérisation.
Dans notre cas prendre les valeurs hmin 50 nm et amin 5 nm nous semblait être raisonnable.
Pour des épaisseurs plus petites les hypothèses de la mécanique des milieux continus sont remises
en question pour le PS35 (hmin correspondrait alors à dix fois le rayon de giration). En dessous
de 5 nm d’amplitude les profils sont difficilement exploitables. En suivant cette démarche pour
une structure de période 6 µm, l’épaisseur maximale vaut hmax
300 nm et l’amplitude
300 nm, l’amplitude limitante est amat puisque ageom vaut 90 nm. Le
amat 25 nm. Si h
même cas est observé pour h 100 nm avec ageom qui vaut 30 nm, supérieur à la limite amat .
5.4.3
Fabrication des structures
Pour fabriquer nos structures nous n’avons pas pu concevoir de moule spécifique pour notre
application et avons dû choisir parmi les moules mis à disposition par le CEA. Cela nous a laissé
un peu moins de flexibilité pour définir nos géométries. Néanmoins un moule comportant quatre
réseaux de lignes a pu être identifié. Les deux réseaux que nous avons utilisés sont présentés sur
la figure 5.9. Ces lignes ont un rapport largeur de motif sur période constant égale à 0,5 pour
des périodes d’environ 2, 4, 6 et 8 µm. Le moule a été fabriqué par des moyens conventionnels
de lithographie optique, et nous l’avons utilisé en nanoimpression thermique pour fabriquer nos
structures dans les films de polystyrène. Les réseaux ayant une surface de 5 5 mm on peut
supposer qu’en leur milieu les hypothèses de symétrie et périodicité sont satisfaites.
99
période 6 μm
période 2 μm
Figure 5.9 – Réseaux de lignes utilisés pour mesurer les temps caractéristiques de décroissance.
Images optiques avec les agrandissements de chacun des réseaux.
Les principaux résultats sont présentés pour l’effacement de motifs avec les réseaux de
période 2 et 6 µm. Les dimensions maximales amat et hmax établies dans la partie 5.4.2 valent
respectivement 2,8 nm et 100 nm pour les lignes de période w
2 µm, et 25 nm et 300 nm
pour celles de période w
6 µm. Le cas w 2 µm est un cas limite puisque l’amplitude
est inférieure à notre limite de 5 nm. Ce cas sera quand même étudié puisqu’il apportera des
éléments intéressants pour la comparaison entre des mesures de viscosité en couche mince et
sur des films épais.
L’impression de ce moule se fait sur la presse à piston rigide EVG520 à une température
élevée (Tg 70˚C) pendant des temps longs (2 heures). Ce temps d’impression permet au polymère de se relaxer. Pour des temps plus courts l’on peut observer dès le début de l’effacement
des déformations de la surface libre qui ne correspondent pas à celles des modèles établis dans
la partie 5.2.1. Ces déformations sont présentées sur la figure 5.10 où l’on a réalisé plusieurs
impressions dans des films de PS280 d’épaisseur 226 nm à Tg 35 135˚C. La pression était
d’environ 12 bars pour toutes les impressions. Les durées d’impression étaient de 16, 20 et 56
minutes permettant d’avoir un remplissage total du moule. Les structures sont de période 8 µm.
La hauteur des profils est de 130 nm à l’état initial. L’effacement se fait à 140˚C pendant 1
minute pour les impressions de 16 et 20 minutes, et pendant 2 minutes pour celle de 56 minutes.
Si le matériau était relaxé les profils auraient dû être très similaires comme c’est le cas sur les
flancs de gauche des créneaux. Ce n’est pas le cas sur la totalité de la surface libre. Ce que
l’on observe est un affaissement de la partie centrale (où le polymère a été étiré) et une reprise
d’épaisseur des parties basses (où le polymère a été comprimé) qui sont plus importants pour les
temps d’impression courts. À titre de comparaison le profil initial et le profil flué, calculés avec
le modèle de Fourier et les paramètres macroscopique du matériau, sont également présentés
sur la figure 5.10 en trait continu.
Définir un temps d’impression minimal pour ne pas avoir ce phénomène est très délicat car
il faudrait pouvoir estimer le temps d’impression pour avoir un remplissage complet, auquel
il faut rajouter le temps de relaxation du polymère en couche mince. Une première approximation du temps d’impression peut être faite en exploitant le comportement macroscopique
du polymère, point abordé dans le chapitre suivant. Pour lever temporairement ces verrous on
peut simplement imprimer à haute température (Tg +70˚) pendant des temps longs (environ
2 heures).
Après l’impression, la plaque de silicium recouverte de sa couche de polymère structurée est
découpée en plusieurs échantillons.
100
300
initial
16 min
20 min
56 min
Fourier
hauteur (nm)
250
(226 nm)
200
150
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
position x (µm)
Figure 5.10 – Evolution de la surface libre de créneaux obtenus pour différents temps d’impression et après 1 minute (symboles blancs) et 2 minutes (symboles noirs) de fluage à 140˚C.
Le profil initial est représenté ainsi que le profil théorique nivelé à t 136 s. La ligne horizontale
représente la hauteur moyenne du film.
5.4.4
Protocole expérimental d’effacement
Le suivi du profil de la surface libre en temps réel n’était pas possible avec les moyens
dont nous disposions. En effet cela supposerait que l’on puisse maintenir l’échantillon à une
température donnée et scanner la surface en même temps. Le polymère, chauffé au-dessus de
sa température de transition vitreuse, se comporte alors comme un fluide, ce qui rend l’utilisation de moyen de mesure par contact mécanique inappropriée. La caractérisation par méthode
optique comme l’ellipsométrie n’est quant à elle pas envisageable à cause de la dimension
des motifs, et donnerait une valeur de l’épaisseur moyenne et non pas la hauteur des crêtes
et des creux de la surface libre. La méthode utilisée dans notre cas consiste alors à chauffer
l’échantillon à une température fixée pendant une durée donnée, puis à faire une trempe pour
figer la géométrie comme illustré sur la figure 5.11. L’échantillon étant alors solide on peut
effectuer une mesure par contact mécanique. Dans notre cas nous avons utilisé un microscope
à force atomique (AFM). Avant de réaliser les mesures on dépose une petite goutte d’encre sur
l’échantillon afin d’avoir un point de repère. On localise ensuite les centres des réseaux que l’on
souhaite étudier par rapport à ce point, coordonnées que l’on enregistre et que l’on réutilise
pour les autres mesures faites aux différents instants. Une caméra optique permet de positionner l’origine du microscope sur le repère sur l’échantillon avec une précision de 100 µm, puis
le déplacement est effectué grâce à un support motorisé avec une précision de 100 nm. On
peut ainsi supposer que les mesures effectuées à des temps différents sont faites sur les mêmes
structures.
Avec cette méthode de trempes successives, on utilise le fait que le silicium est un bon
conducteur et que le film ne fait qu’une centaine de nanomètres d’épaisseur pour ne chauffer
que le silicium par la face arrière à l’aide d’une plaque chauffante. Comme évoqué dans la
partie 5.4.1, nous verrons dans la partie 5.4.6 que cela n’est pas suffisant pour maintenir la
température du film à la température de la plaque chauffante.
101
Configuration initiale
t
Figure 5.11 – Protocole expérimental utilisé pour mesurer le profil de la surface libre à différents
instants de l’effacement. La caractérisation est faite à l’aide d’un profilomètre ou d’un microscope à force atomique après avoir fait une trempe pour arrêter l’écoulement.
Dans notre cas la température de la plaque chauffante est contrôlée à 0,1˚, et l’on suppose
que le temps de chauffe est de l’ordre de la seconde. Pour le refroidissement l’échantillon est
posé sur un support métallique qui est à température ambiante et un temps de refroidissement
de l’ordre de la seconde peut aussi être supposé. La température n’influence que le temps
d’effacement, et elle est déterminée de façon itérative avec un premier échantillon de manière
à avoir un effacement complet des structures en moins d’une heure quand cela est possible.
Comme ce temps dépend de la période des structures considérées, un compromis doit être fait
si l’on veut pouvoir comparer les mesures de la viscosité avec différentes périodes, en sachant
que si la période est multipliée par un facteur 2, le temps de décroissance est multiplié par un
facteur 16, ce qui serait le cas pour w 4 et w 8 µm. Avec un temps caractéristique minimal
de 5 minutes pour limiter le bruit de mesure, le temps caractéristique de la plus grande période
est de l’ordre de l’heure, donc des expériences de plusieurs heures. Pour améliorer ce point, des
structures avec des périodes plus rapprochées faciliteraient la comparaison, avec par exemple
un incrément de 5 % de la période entre chaque motif afin de ne modifier que de 20 % le temps
caractéristique de décroissance.
5.4.5
Traitement des images AFM
La mesure du profil de la surface libre se fait à l’aide d’un microscope à force atomique Veeco.
Le microscope ne disposant pas de système d’alignement, ce qui nous permettrait de ne mesurer
qu’une seule ligne perpendiculaire aux motifs, celui-ci est effectué manuellement à quelques
degrés près. Une image rectangulaire en deux dimensions est enregistrée, et l’alignement est
corrigé plus finement lors du traitement des images. La longueur de l’image, qui correspond à la
direction perpendiculaire aux motifs, est égale à 5 périodes des motifs et la largeur égale à 1/16
de la longueur. De ces images on souhaite extraire la période w et l’histoire de la hauteur des
crêtes sur une courbe obtenue en faisant la moyenne des profils dans la direction des rainures.
Comme on peut le voir pour une coupe de l’image originale sur la figure 5.12a en trait continu, les
images contiennent des dérives de mesure (plan et arc moyen), qu’il est nécessaire de supprimer
par un traitement d’image. Ce traitement est fait dans Matlab à partir des images brutes en
cinq étapes, dont certaines sont illustrées sur la figure 5.12. Dans un premier temps on élimine
la surface moyenne de l’image Z en minimisant la fonctionnelle
Φ1
Z xi , y j
i,j
102
P xi , y i
2
(5.20)
où P est un polynôme d’ordre 2 en x et en y et dont les constantes sont les inconnues. La
minimisation donne un système matriciel linéaire, et la solution nous permet de soustraire le
polynôme P à l’image entière Z. Dans un second temps on cherche la direction des rainures
en utilisant le gradient de l’image. On sait que dans la direction cherchée le gradient est nul
(hauteur constante), et que donc il existe un angle θ tel que le vecteur &v θ
cos θ.&x sin θ.&y
soit orthogonal au gradient ∇Z. Un tel angle peut être trouvé en minimisant la fonctionnelle
Φ2
a)
∇Z.&v θ
2
(5.21)
.
60
amplitude (nm)
40
20
0
−20
−40
−60
−80
-20
direction y (µm)
b)
-15
-10
-5
0
5
10
5
10
15
20
Image originale
−1.25
1.25
Image tournée
−1.25
1.25
−10
−5
0
direction x (µm)
Figure 5.12 – Rotation et correction des images AFM pour le calcul de la position moyenne
de la surface libre dans la direction y. L’angle calculé pour l’image présentée est de 1,023˚.
La minimisation de paramètre θ aboutit à la résolution d’un système non linéaire que l’on
résout par la méthode de Newton-Raphson. Sur l’ensemble de nos images les angles calculés
étaient compris entre 5 et 5˚, et ils ont permis de pivoter les images comme illustré sur la
figure 5.12b. Sur cet exemple l’angle vaut 1,023˚et est amplifié avec un facteur 10 sur la figure.
Dans un troisième temps on effectue une moyenne sur la largeur de l’image, et on obtient
le profil en trait interrompu de la figure 5.12a. On voit alors que la période des motifs est
légèrement plus grande que celle du profil initial comme on pouvait s’y attendre. Dans un
quatrième temps on identifie le nombre de périodes contenues dans la mesure en calculant les
points d’intersection de la courbe et de la droite d’équation y 0. En ne retenant qu’un point
sur deux comme illustré sur la figure 5.12a on peut alors mesurer la période moyenne wm des
motifs. On réduit ensuite la longueur du signal à un nombre entier de périodes et on ajuste la
hauteur de la courbe pour avoir une valeur moyenne nulle.
À l’issue de ces quatre étapes on obtient un profil qui représente la position de la surface
libre par rapport à l’épaisseur moyenne h. La hauteur des crêtes cherchée correspond alors
directement aux maximums du profil mesuré. La cinquième et dernière étape consiste alors
103
à détecter les maximums de la courbe. Pour cela on identifie tous les points tels que la hauteur soit positive, puis on cherche les portions de courbes continues. Sur chaque portion de
courbe on cherche enfin le maximum, et la hauteur finale retenue correspond à la moyenne de
chaque maximum. En répétant ces opérations pour les images obtenues à différents instants
d’effacement on obtient l’évolution temporelle de la hauteur.
5.4.6
Application et résultats
Le premier résultat concerne un réseau contenant les motifs ayant une période de 6 µm. En
appliquant la démarche proposée dans la partie 5.4.2, on obtient l’épaisseur maximale du film
25 nm. Dans le cas présent
de polymère qui vaut 300 nm, et la valeur de l’amplitude amat
on utilise un film de 226 nm, ce qui nous donne une amplitude ageom 67 nm, bien supérieure
à amat qui reste l’amplitude limitante qu’il ne faudrait pas dépasser. L’amplitude initiale du
créneau était de 130 nm et la température d’effacement de 105˚C, soit Tg 45˚C. Toutes les
règles établies dans les parties 5.2 et 5.3 seront rigoureusement vérifiées au bout de 23 minutes
d’effacement environ, instant où l’amplitude maximale devient inférieure à amat 25 nm. Les
trempes sont réalisées au bout de 1, 3, 5, 12, 17, 25, 40 et 50 minutes. Les cinq premières
mesures ne vérifient pas pleinement nos conditions. Cependant nous verrons que les conditions
expérimentales imposent une incertitude importante sur les mesures de la viscosité. L’utilisation
des cinq derniers points de mesure change peu les résultats et nous permet d’avoir une meilleure
évaluation de la vitesse de décroissance des courbes. L’utilisation de ces cinq points de mesure
est équivalente à considérer une limite de amat 32 nm, limite utilisée dans toute la suite. Les
surfaces libres mesurées et traitées sont présentées sur la figure 5.13. Sur cette figure l’origine de
la hauteur est prise au niveau de la surface moyenne et les points noirs représentent les maxima
détectés par notre algorithme pour le calcul des amplitudes. On voit ici que le traitement des
données fonctionne très bien, hormis pour le creux situé entre 8 et 10 µm, où la surface libre
présente un artefact de mesure et le minimum est détecté à 70 nm au lieu de 67 nm, valeur
moyenne des trois autres creux avec un écart-type inférieur au nanomètre. Cette erreur ne
change rien aux résultats puisque c’est une amplitude aux premiers instants où la décroissance
exponentielle n’est pas encore établie, mais elle permet d’illustrer une limite de notre méthode
de traitement. En effet en cherchant le minimum d’un creux avec une mesure ayant un peu
de bruit ou un décrochement comme dans notre exemple, la valeur de ce minimum peut être
sensiblement affectée. La recherche de l’amplitude maximale avec une analyse de Fourier serait
moins sensible à ce type de défaut de mesure qui n’influence que les amplitudes des hautes
fréquences spatiales. On fait donc attention lors du traitement des données que ce type d’artefact
ne soit pas présent, sinon la période correspondante peut être retirée de l’analyse.
Les évolutions de la hauteur maximale et de la hauteur minimale en fonction du temps sont
1000 s la décroissance des crêtes est
présentées sur la figure 5.14, où l’on voit que pour t
plus rapide que celle des creux. Cette différence est presque entièrement compensée à partir
1500 s où l’on retrouve une évolution symétrique des courbes par rapport à l’axe des
de t
abscisses. Sur cette figure est représentée la hauteur de 32 nm à partir de laquelle les mesures
sont utilisées pour le calcul du taux de décroissance. L’interpolation d’une fonction exponentielle
est donc faite avec les cinq derniers points et elle donne le temps τ de décroissance exponentielle
aux temps longs. La valeur de τ vaut environ 29 minutes et les résultats de l’interpolation
sont présentés sur la figure 5.15. Sur cette figure en échelle semi-logarithmique, on voit que
l’interpolation est acceptable avec une erreur relative de 8 % environ, erreur un peu supérieure
104
60
hauteur (nm)
40
20
0
−20
−40
−60
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
position (µm)
Figure 5.13 – Superposition des surfaces libres mesurées et traitées au bout de 1, 3, 5, 12, 17,
25, 40 et 50 minutes pour des créneaux d’amplitude initiale 130 nm et de période 6 µm sur un
film de 226 nm d’épaisseur. Les maxima sont représentés par les points noirs.
à l’erreur attendue vu les incertitudes de mesure et les efforts faits pour avoir une mesure fine
de l’évolution de la surface libre.
60
50
crêtes
32
hauteur des crêtes (nm)
hauteur (nm)
40
60
20
0
−20
−40
-32
creux
40
32
30
20
−60
10
500
1000
1500
2000
2500
3000
500
temps (s)
1000
1500
2000
2500
3000
temps (s)
Figure 5.14 – Évolutions de la hauteur maximale et de la hauteur minimale de la surface
libre en fonction du temps pour des créneaux
d’amplitude initiale de 130 nm et de période
6 µm sur un film de 226 nm d’épaisseur. L’amplitude a
32 nm est représentée en trait
interrompu.
Figure 5.15 – Évolutions de la hauteur maximale de la surface libre en fonction du temps
et interpolation avec un modèle exponentiel
pour des créneaux d’amplitude initiale de
130 nm et de période 6 µm sur un film de
226 nm d’épaisseur. Le temps caractéristique
de décroissance est de 29 minutes.
105
5.4.7
Incertitudes sur w et h
Le temps τ permet d’avoir une première estimation de la viscosité. Une comparaison est
faite avec les valeurs macroscopiques. On suppose ici que la longueur de glissement est nulle.
Cette hypothèse minore nécessairement la valeur de la viscosité. En effet, s’il y a du glissement
l’écoulement est plus rapide, donc la viscosité paraı̂t moins importante. En utilisant cette hypothèse et la formule 5.9, on peut en déduire une viscosité si l’on connait la période des motifs
et l’épaisseur moyenne du film. La période moyenne des surfaces libres est calculée à partir
des courbes présentées sur la figure 5.13 et l’on trouve une période de 5,855 µm avec un écarttype de 6 nm. Cette incertitude est très faible comme cela a été évoqué dans la partie 5.4.1.
L’épaisseur moyenne du film n’a pas été mesurée localement. Une mesure par ellipsométrie après
avoir couché le polymère donne une épaisseur moyenne de film de 226 nm à 1 nm, soit une
incertitude inférieure à 1 %. Ces mesures ont été faites sur 9 points répartis sur deux diamètres
orthogonaux de la plaque. Étant donné la faible dispersion on suppose que cette valeur moyenne
est aussi valable dans notre réseau avec la même incertitude. La tension de surface est prise
égale à la valeur trouvée lors de l’expérience de la goutte pendante, c’est-à-dire γ 40 mN/m.
Le calcul donne alors une viscosité d’environ 3,5 105 Pa.s pour le PS35 à 105˚C. La valeur
obtenue sur le rhéomètre à plateaux parallèles était de 3,2 104 Pa.s à cette température,
soit une décade de moins. Cette décade d’écart avait également été remarquée par Teisseire et
al. [103] en 2011. Ces auteurs expliquent que cette différence est due à un effet de confinement
du matériau qui se traduit par une augmentation de la viscosité.
Cette décade de différence a attiré notre attention. Tout comme les films étudiés par Teisseire
et al. [103], l’épaisseur de 226 nm du film est bien supérieure que la limite de 40 nm définie par
Keddie et al. [25] au-dessous de laquelle un effet de confinement peut être observé. Il semblerait
en fait que la température de l’échantillon ne soit pas celle du substrat et qu’il existe un temps
de thermalisation.
5.4.8
Influence de la température
Nous avons mené une série de mesures pour vérifier la stabilité de l’expérience et évaluer
la sensibilité de l’effacement à la température. Ces mesures sont faites sur quatre réseaux de
période 2 µm, pour une amplitude initiale des motifs de 130 nm, une épaisseur moyenne de
film de 126 nm et une température d’effacement de 100˚C. Ces dimensions ne permettent pas
de satisfaire rigoureusement toutes les règles établies dans la première partie de ce chapitre. Le
rapport h w 0,06 est légèrement supérieur à la valeur limite de 0,05 et l’amplitude maximale
amat vaut 2,5 nm, trop petite pour être mesurée. La règle est ici contournée en remarquant que
l’amplitude amat est calculée dans un cas très défavorable qui correspond au cas h w 0,388
pour un contact parfaitement glissant à l’interface solide-fluide, établi à partir de la figure 5.3 de
la partie 5.3.1 à la page 92. Sur cette figure on remarque que la vitesse de cisaillement maximale
peut être beaucoup plus faible dans le cas où h w 0,06 si la longueur de glissement est petite
devant la période. Dans ce cas particulier, le calcul de la vitesse de cisaillement maximale donne
respectivement amat 31, 14 et 13 nm pour b 0, 1 et 10 nm. Ne connaissant ni la longueur
de glissement, ni la viscosité du film mince, amat reste finalement une inconnue. On se contente
alors de vérifier simplement que l’amplitude est inférieure à ageom 37,8 nm, limite que nous
utilisons pour l’interpolation.
L’expérience consiste à utiliser le même protocole que précédemment pour les deux premiers
106
échantillons. Les deux autres échantillons sont placés sous un couvercle lors de la chauffe. Ce
couvercle a pour objectif de limiter au maximum les échanges thermiques entre le polymère et
l’air ambiant et de chauffer l’air au voisinage de l’échantillon. En comparant les échantillons issus
du même protocole on peut évaluer la reproductibilité de l’expérience et en comparant les deux
séries d’expériences on peut évaluer l’influence de la température de l’air sur la décroissance.
Les résultats, présentés sur la figure 5.16, montrent qu’il existe un décalage des courbes au sein
d’une même série. Ce décalage peut être dû à une différence de hauteur initiale de quelques
nanomètres (ici entre 2 et 4 nanomètre), ou à un matériau incomplètement relaxé dans l’un
des deux cas, ce qui entraı̂ne une chute un peu plus rapide de l’amplitude dès les premiers
instants. Sur cette figure l’on représente également les interpolations des mesures avec une loi
exponentielle, et l’on trouve un bon ajustement avec des écarts entre les courbes théoriques
et les données expérimentales compris entre 3,4 et 4,9 %. Le temps caractéristique déduit des
interpolations, qui correspond à la décroissance aux temps longs, est moins sensible au décalage
en amplitude. On note une différence entre les deux temps de 1 % dans le cas sans couvercle,
contre 0,4 % dans le cas avec couvercle. Cela nous permet de conclure quant à une très bonne
reproductibilité des mesures.
45
40
38 nm
amplitude (nm)
35
30
sans couvercle
25
20
15
avec couvercle
10
5
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
temps (s)
Figure 5.16 – Évolutions de la hauteur maximale de la surface libre en fonction du temps
et ajustement avec une loi exponentielle pour des créneaux d’amplitude initiale de 130 nm et
de période 2 µm sur un film de 126 nm d’épaisseur. Le temps caractéristique de décroissance
moyen est de 197 s pour le film sans couvercle et de 129 s avec la couvercle.
Enfin, on compare les deux temps caractéristiques, qui sont de 197 s pour le cas sans
couvercle et de 129 s avec le couvercle. Étant donné le protocole expérimental, on suppose que
cette différence est due à un écart de température entre les deux essais, avec une température
moins élevée dans le cas sans couvercle. Cela influence directement la viscosité du polymère.
La procédure habituelle qui consiste à chauffer le film de polymère à travers le substrat ne
serait pas suffisante pour maintenir le film à la température de la plaque chauffante. Comme
le film ne fait que quelques centaines de nanomètres d’épaisseur il est difficile de savoir s’il
107
existe un gradient de température dans l’empilement ou s’il existe un saut de température à
l’interface polymère-silicium. Dans tous les cas, la température moyenne du film est donnée par
un équilibre entre la puissance thermique apportée par la plaque chauffante à travers le silicium,
et la puissance absorbée par l’air ambiant au niveau de la surface libre. De façon évidente, si
l’air immédiatement au-dessus du film atteint une température proche de la température de
la plaque chauffante alors la température dans l’empilement peut être supposée homogène. Ce
schéma montre qu’il existe peut être un temps de thermalisation du film, de l’ordre de la minute
selon nos expériences.
De nouveau on peut faire une première estimation de la viscosité en supposant un contact
collant à l’interface solide-fluide. Avec h 126 nm et w 2 µm, la définition (5.10) donne une
viscosité d’environ 4,0 105 Pa.s dans le cas sans couvercle et 2,6 105 Pa.s dans l’autre cas. Ces
valeurs sont à comparer avec les valeurs macroscopiques à 100˚C où l’on a η 8,3 104 Pa.s.
La viscosité calculée pour les essais avec un couvercle est donc 3 fois plus grande que la valeur
mesurée sur le rhéomètre, et celle calculée pour les essais sans couvercle est 5 fois plus grande.
Ces facteurs 3 et 5 peuvent être expliqués par un décalage de température. En prenant
comme référence la mesure faite sur le rhéomètre, la température effective de l’essai avec couvercle serait d’environ 95˚C et celle de l’essai sans couvercle de 93˚C en utilisant la loi WLF
identifiée au chapitre 2. Ces décalages sont importants par rapport à l’incertitude de 1˚ de
la plaque chauffante. Trois explications sont possibles. Soit le rhéomètre n’était pas très bien
calibré, mais aucun contrôle n’a pu être effectué. Soit la viscosité du film mince est simplement
supérieure à celle du film épais comme le supposent Teisseire et al. [103]. Cette hypothèse est en
contradiction avec un éventuel changement de la température de transition vitreuse. En effet,
Keddie et al. [25], par exemple, montrent que la température de transition vitreuse du polystyrène diminue avec l’épaisseur du film, ce qui devrait abaisser sa viscosité à température fixée.
De plus ces variations sont observées en dessous de 40 nm pour des polystyrènes de masses molaires 120 et 500 kg/mol, épaisseur limite indépendante de la masse molaire. En supposant que
ce résultat s’applique également pour notre polystyrène de masse molaire 35 kg/mol, aucune
variation ne devrait être observée. La dernière hypothèse est que le contact thermique entre les
échantillons et la plaque chauffante ne soit pas bien effectué. Plus de mesures sont nécessaires
pour comprendre cette différence de viscosités apparentes et valider l’une des hypothèses.
5.5
Conclusion
Les résultats développés dans ce chapitre ont permis d’établir les règles à respecter pour que
la solution analytique du problème d’effacement de motifs à la surface d’un fluide newtonien,
uniquement soumis à sa tension de surface, soit valide. Cette solution analytique permet de lier
le temps d’effacement aux dimensions des motifs, à la viscosité, et à la longueur de glissement.
De plus elle suggère un moyen de mesure de la viscosité, et dans le cas des films très minces la
mesure de la longueur de glissement. Le domaine de validité du comportement newtonien a pu
être établi à partir de la solution analytique en évaluant la vitesse de cisaillement généralisée
dans le matériau. L’utilisation du code de calcul NanoNem a ensuite permis de valider la solution
analytique sous l’hypothèse des petites amplitudes et l’extension des résultats aux profils en
créneau avec l’utilisation des séries de Fourier.
La mesure de la longueur de glissement n’a pas pu être effectuée à cause des bruits de
mesure. Néanmoins la mesure des temps caractéristiques d’effacement a été faite pour deux
108
géométries. Nous avons présenté le protocole permettant de suivre l’évolution des crêtes et des
creux et étudié les incertitudes sur chacun des paramètres utiles au calcul de la viscosité. De
plus nous avons montré que le protocole mis en place était stable et permettait d’estimer dans
une approche simplifiée la viscosité du polymère. Une comparaison des viscosités mesurées par
cette méthode et par le rhéomètre à plateaux parallèles a montré qu’il existait une différence
non négligeable entre les mesures, mais la cause n’a pas pu être identifiée : cela pourrait provenir
soit d’un mauvais contact thermique entre les échantillons et la plaque chauffante, soit d’une
erreur de mesure sur le rhéomètre.
Enfin les limites de cette méthode sont dans un premier temps données par ses propres
règles, où la mesure de la longueur de glissement nécessite d’étudier l’effacement de motifs
d’une période très petite, donc une épaisseur de film d’autant plus petite. Les calculs mènent
parfois à des épaisseurs de 5 nm, ce qui n’est pas envisageable, ou à des amplitudes bien trop
petites pour être mesurées. Dans un deuxième temps il faut que le film puisse être déposé sur
le substrat et qu’il puisse être structuré. Ainsi, avec un substrat traité chimiquement avec un
anti-adhésif comme c’est le cas pour les moules, la méthode n’est pas applicable.
109
110
Chapitre 6
Validation expérimentale de
NanoNem
La caractérisation des matériaux et la modélisation des écoulements, respectivement présentées dans les chapitres 2 et 3, supposaient que le comportement des films épais et que le modèle
de la mécanique des milieux continus s’appliquaient aux films minces. De plus le comportement
retenu était un modèle simplifié négligeant l’élasticité des polymères et utilisant une loi de viscosité non linéaire. L’utilisation d’une telle loi a été justifiée par l’étude numérique du domaine
de validité des modèles newtoniens de Teyssèdre et al. [39]. La validation de l’ensemble de ces
hypothèses est obtenue ici en comparant les résultats des simulations numériques faites avec NanoNem et les mesures expérimentales. La longueur de glissement, introduite au chapitre 3, reste
un paramètre inconnu qui sera utilisé pour ajuster les simulations. Ce chapitre présente deux
exemples de validation. Le premier traite l’impression de structures longiformes pour la comparaison en déformation plane et l’étude d’une impression avec un rapport de forme h0 L 0,09.
Ce rapport de forme nous permettra de valider l’utilisation du comportement visqueux nonlinéaire mais également d’en révéler les limites. Le second exemple étudie un cas axisymétrique
avec des épaisseurs plus importantes nous permettant d’étudier des rapports h L compris entre
0,7 et 4. L’objectif ici est de comparer la profondeur imprimée, les temps d’impression, ou
encore la forme de la surface libre, et de proposer des explications aux éventuelles différences
constatées. Pour que ces comparaisons soient pertinentes, on doit considérer des impressions
à remplissage partiel. Cela nécessite de considérer des films très minces, ou d’imprimer à des
températures proches de la température de transition vitreuse pour que les temps d’impression
soient au moins de l’ordre de quelques minutes. Ces conditions définissent donc un cadre très
restreint où les limites des modèles et les hypothèses faites dans cette thèse seront étudiées.
Nous verrons que dans certains cas un simple recalage de la température suffit à obtenir une
bonne correspondance, et que dans d’autres cas c’est le comportement qui est remis en question.
6.1
Impression de structures périodiques longiformes
Le premier exemple traite le cas d’impressions faites sur des films très minces de PS35, à des
températures très proches de la température de transition vitreuse. Il permet d’exploiter des
épaisseurs de films où aucune variation de la température de transition vitreuse n’est attendue.
Ici l’épaisseur critique est celle déterminée par Keddie et al. [25] qui vaut 40 nm pour le poly111
styrène. Lors des impressions les épaisseurs de polymère sous les motifs seront donc supérieures
à cette valeur. Dans cet exercice on étudie d’abord un cas de très faibles déformations de la
surface libre avec une impression peu profonde, puis un autre cas de déformations plus importantes. Une estimation de la longueur de glissement du polymère sur le moule (en polymère ici)
est proposée. Le comportement visqueux non linéaire est comparé au comportement newtonien.
La comparaison des profils imprimés permet de mettre également en évidence les limites du
comportement purement visqueux.
6.1.1
Protocole expérimental
Les impressions sont réalisées avec un moule souple sur la presse pneumatique Obducat
Eitre 8 du LETI. Le moule souple permet de limiter la propagation des défauts d’impression
comme cela a été montré par Nielsen et al. [11] et la presse pneumatique d’avoir une pression homogène en face arrière du moule. Cette combinaison nous assure d’avoir des conditions
expérimentales qui puissent être fidèlement retranscrites dans les simulations, comme les hypothèse de périodicité et de symétrie au moins localement. Nous étudions les profils de la surface
libre obtenus avec l’impression d’un motif à différentes températures. Ce motif a une largeur de
1 µm, une période de 2 µm et une profondeur de 130 nm. Le film considéré a une épaisseur de
89 nm et la durée de l’impression est d’une minute. Le rapport de forme initial h0 L est donc
de 0,09.
Les températures d’impression sont limitées par l’utilisation du moule souple qui n’est pas
stable au dessus de 85˚C. Les impressions sont donc faites en dessous de 85 Tg 25˚C pour le
polystyrène considéré. À ces températures, le comportement visqueux du matériau est obtenu
par extrapolation des mesures de rhéométrie avec la loi WLF. La pression imposée pendant
toute la durée de l’expérience est de 10,7 bar, contrôlée à 0,1 bar. Cette pression nous permet
d’avoir un régime de rhéofluidification important et mettre en évidence les limites d’application
du modèle newtonien. Les résultats, qui sont présentés ci-dessous, ont été obtenus pour des
températures de procédé de 72˚C et 80˚C.
6.1.2
Caractérisation des impressions
Les impressions sont caractérisées à l’aide d’un microscope à force atomique, et les profils
obtenus sont présentés sur la figure 6.1. La hauteur moyenne est nulle pour faciliter la comparaison avec l’état initial. À 72˚C la profondeur imprimée est en moyenne de 4,1 nm. L’impression
est très peu profonde et le polymère n’a pas encore atteint le fond de la cavité. La hauteur
maximale du profil est atteinte où était situé le coin du motif et vaut 36 nm. La surface libre
pour x 0,6 nm n’est pas perturbée. À 80˚C la profondeur imprimée est 10 fois plus importante
et vaut 42 nm et le remplissage de la cavité est de 60 %. Cette profondeur d’impression permet
de conserver une épaisseur de film de 47 nm, supérieure à la valeur critique de 40 nm. De plus
pour cette impression le polymère a atteint le fond de la cavité et l’a mouillé sur une largeur
d’environ 240 nm. La hauteur de la surface libre proche du centre de la cavité (x
1 µm)
a diminué d’environ 37 nm, passant initialement de la hauteur du point A à celle du point
B. Cette diminution s’explique par la tension de surface qui tend à former un arc de cercle
concave. La représentation non orthonormée de la figure 6.1 ne facilite pas la visualisation de
cet arc de cercle. Cependant on remarque que la hauteur entre les points C et D ( 122 nm)
et équivalente à la distance horizontale entre les points B et C ( 118 nm). Sans la tension de
112
surface le point B aurait été à la même hauteur que le point A.
La première grandeur que nous souhaitons comparer aux simulation est la profondeur imprimée. L’effort étant imposé, le comportement du matériau déterminera la vitesse d’impression.
Si le comportement visqueux non linéaire est une bonne approximation du comportement du
matériau, alors les profondeurs expérimentales et simulées devraient être équivalentes.
100
D
75
h (nm)
50
25
T = 72°C
A
0
−25
−50
B
T = 80°C
C
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (µm)
Figure 6.1 – Profils de la surface libre pour deux impressions à 72˚C et 80˚C de motifs de 1 µm
de large et espacés de 2 µm. Seule une demi période est représentée.
6.1.3
Simulations à 72˚C
Les simulations sont effectuées en utilisant les conditions aux limites présentées précédemment. On suppose la géométrie du motif parfaite. La longueur de glissement entre le polymère
et le substrat en silicium non traité est supposée nulle. La longueur de glissement entre le
polymère et le moule est le paramètre inconnu qui permet d’ajuster le résultat des simulations.
L’angle de mouillage statique du polymère sur le moule souple n’a pas pu être mesuré faute de
temps. Comme ce moule comporte également un anti-adhésif, la même valeur de 87˚ entre le
polymère et le silicium traité a été utilisée.
η0
200
h (nm)
160
η0 / 10
120
η0 / 100
80
40
0
η0 / 500
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x (nm)
Figure 6.2 – Évolution de la viscosité dans le matériau au début de l’impression. La viscosité
diminue d’une à deux décades avec le comportement non linéraire.
Les résultats montrent dans un premier temps que le comportement visqueux non linéaire
a une influence non négligeable sur l’écoulement. L’évolution de la viscosité au tout début de
l’impression est présentée sur la figure 6.2, où l’on voit que globalement la viscosité est au
moins dix fois plus faible que la viscosité du plateau newtonien η0 , voire cent fois plus petite
113
dans la région proche du coin du motif. Ainsi, dans le cas présent, un comportement newtonien
surestimerait beaucoup trop la viscosité du matériau, et, pour un temps d’impression fixé, la
profondeur imprimée serait sous-évaluée.
35
30
h (nm)
25
20
b = 1 µm
15
b = 1 nm
10
b = 10 nm
b = 1 nm
5
B
0
A
-5
-10
0
100
200
300
400
500
b = 0,1 µm
b = 1 µm
600
700
800
900
1000
x (nm)
Figure 6.3 – Comparaison du profil expérimental (symboles) et des simulations numériques
(trait continu) pour l’impression d’un motif de 1 µm de large pour une période de 2 µm dans un
film de 89 nm d’épaisseur. La température d’impression est de 72˚C et la durée de l’impression
est de 60 s. Plusieurs longueurs de glissement b sont étudiées.
Les profils de la surface libre calculés numériquement sont présentés sur la figure 6.3 en trait
continu, pour une demi période. La longueur de glissement b entre le polymère et le moule souple
varie entre 1 nm et 1 µm. La plus petite profondeur d’impression vaut 3,1 nm et est obtenue
pour b 1 nm. Cette profondeur passe respectivement à 3,7, 5,4 et 7 nm pour des longueurs de
glissement de 10, 100 et 1000 nm. Ces profondeurs donnent un bon encadrement de la valeur
expérimentale et le meilleur ajustement est obtenu pour b 31 nm. À titre de comparaison, en
utilisant un comportement newtonien la profondeur imprimée est de 0,1 nm. Le comportement
non linéaire implique une différence non négligeable sur la vitesse d’impression et on retrouve
globalement le facteur 100 identifié sur le changement de viscosité présenté sur la figure 6.2.
Cependant, on remarque que les formes des surfaces libres diffèrent fortement, notamment
près de la zone où était situé le coin du motif. Comme le temps de relaxation terminal du
PS35 est estimé à 26 jours à 72˚C et que l’expérience ne dure qu’une minute, le polymère n’a
pas le temps de se relaxer pendant l’impression. Néanmoins, dès que la pression est retirée,
une légère déformation élastique de la surface allant dans le sens contraire de l’écoulement a
lieu. Dans les régions A de la figure 6.3 le polymère était fortement comprimé dans le sens
de la hauteur, ce qui, après retrait du motif entraı̂nerait une reprise d’épaisseur. Ainsi on
peut supposer que la hauteur de la surface libre était plus petite (donc plus près du résultat
numérique) juste avant que la pression ne soit retirée. Dans la zone B le polymère était étiré,
ce qui résulterait en un affaissement de la surface libre. Ces zones où la relaxation semble se
manifester correspondent aux zones où les vitesses de cisaillement étaient les plus importantes
comme le montre la figure 6.4.
Ces interprétations nécessiteraient bien sûr d’être validées au delà de ce travail par des
simulations prenant en compte un comportement viscoélastique. Le comportement purement
114
10-3 s-1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
200
h (nm)
160
120
80
40
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x (nm)
Figure 6.4 – Évolution de la vitesse de cisaillement généralisée dans le matériau après une
minute d’impression. Les zones les plus vite cisaillées sont situées sous le coin du motif.
visqueux ne permet pas dans ce travail de rendre compte de la relaxation éventuelle du matériau.
De plus nous avons supposé dans les simulations que la géométrie du moule était parfaite. Cette
hypothèse est valable dans le cas des moules en silicium, mais elle n’a pas été vérifiée pour le
moule souple en polymère. Ainsi la caractérisation des motifs avant et après impression sur le
moule souple doit être effectuée pour étayer les interprétations.
6.1.4
Simulations à 80˚C
À 80˚C les simulations montrent encore une fois une bonne correspondance avec les résultats
expérimentaux. Les surfaces libres calculées numériquement sont présentées sur la figure 6.5. À
titre indicatif la solution obtenue avec une longueur de glissement entre le polymère et le moule
souple de 30 nm mais avec un comportement newtonien donne une profondeur d’impression
de 2,8 nm. Cette solution n’est pas représentée mais montre que le comportement newtonien
n’est pas représentatif du comportement du matériau. Pour une longueur de glissement variant
de 1 à 100 nm et un comportement non linéaire la profondeur imprimée varie entre 44 et
60 nm. Ces profondeurs surestiment la valeur de 42 nm trouvée expérimentalement. Ce premier
constat suggèrerait une longueur de glissement inférieure à 1 nm pour ajuster les simulations.
Cependant le remplissage partiel de la cavité montre qu’une telle longueur de glissement ne
serait pas représentative de la forme finale obtenue. Avec une longueur de 1 nm les forces de
frottement sont trop importantes pour que le polymère ait le temps d’atteindre le plafond. La
position de la partie verticale de la surface libre (x 800 nm) suggère plutôt une longueur de
glissement comprise entre 30 et 50 nm.
La différence de profondeur d’impression observée est justifiée par la reprise d’épaisseur due
à la viscoélasticité du matériau. En prenant b 30 nm on trouve une profondeur d’impression
de 49 nm, soit un écart de 10 % par rapport à la valeur expérimentale.
On note également une différence importante entre les différentes altitudes de la surface
libre. L’altitude la plus basse est obtenue pour une longueur de glissement de 50 nm, mais n’est
que de 7,5 nm contre 35 nm sur le profil expérimental. Cette altitude dépend également
de l’angle de mouillage statique et de la valeur de la tension de surface. Avec la relaxation du
matériau, cette différence reste difficile à expliquer. La reprise d’épaisseur au niveau de la zone
de contact entre le motif et le polymère nécessiterait ailleurs un affaissement de la géométrie
pour respecter la conservation du volume. Avec le modèle purement visqueux cet écoulement
de matière ne peut pas être étudié.
115
100
75
b = 100 nm
h (nm)
50
b = 1 nm
25
b = 10 nm
b = 30 nm
0
b = 50 nm
-7,5 nm
25
−
-35 nm
50
−
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
x (nm)
Figure 6.5 – Comparaison du profil expérimental (symboles) et des simulations numériques
(trait continu) pour l’impression d’un motif de 1 µm de large pour une période de 2 µm dans un
film de 89 nm d’épaisseur. La température d’impression est de 80˚C et la durée de l’impression
est de 60 s. Plusieurs longueurs de glissement b sont étudiées.
6.1.5
Conclusion
Cette première comparaison expérimentale nous permet de montrer que la prise en compte
d’un comportement visqueux non linéaire donne une bien meilleure estimation des profondeurs
imprimées que le comportement newtonien. Contrairement aux différences obtenues sur la viscosité pour l’expérience de nivellement présentée au chapitre 5 et expliquées par un problème
de température, cette étude montre que le comportement mesuré macroscopiquement est assez
similaire au comportement dans le film mince. Sans ajustement de la température les écarts
de profondeurs d’impression sont inférieures à 10 %. Ces profondeurs sont moins sensibles à la
longueur de glissement que la forme de la surface libre pour le remplissage de 60 % de la cavité.
Les comparaisons des résultats expérimentaux et des simulations nous permettent de dire
qu’avec le comportement macroscopique et une longueur de glissement proche des 30 nm, entre
le PS35 et un moule en polymère, une bonne correspondance des profondeurs d’impression est
obtenue. Comme les temps d’impression sont les mêmes dans les deux approches, cela permet
de dire que les vitesses d’impression sont bien évaluées avec le comportement visqueux non
linéaire. Ces vitesses sont de plus évaluées avec des épaisseurs ( 40 nm) où la température
de transition vitreuse est supposée inchangée. Ces épaisseurs sont néanmoins dans la plage des
épaisseurs critiques comprises entre 16 nm d’après Bodiguel et Fretigny [22] et 81 nm d’après
Leveder [23], plage dans laquelle ces auteurs suggèrent l’apparition d’effets de confinement. Si
un tel effet a lieu, alors il reste relativement négligeable au vu de la correspondance obtenue
dans cet exemple.
Cette conclusion nécessite cependant plus de caractérisations, avec d’autres épaisseurs de
film voire d’autres géométries pour généraliser le résultat. En effet si nos simulations et résultats
expérimentaux coı̈ncident sur quelques points de mesures, Hirai et al. [109] montrent en 2008
que la correspondance n’est pas obtenue pour des films de 300 nm avec un code de simulation
utilisant un comportement viscoélastique. Peu de détails sur la caractérisation des matériaux,
sur l’équipement d’impression et sur le code de calcul utilisé sont donnés dans leurs travaux,
ce qui rend la comparaison difficile.
Pour la description précise du profil de la surface libre le comportement visqueux n’est
116
pas suffisant. Des différences importantes sont observées et sont expliquées par la présence de
relaxation viscoélastique dans le polymère.
Dans cet exemple la validation a été facile car les paramètres d’impression sont très bien
contrôlés sur cette presse, que ce soit pour la pression, ou pour la température des plaques
et du film de polymère. Le problème soulevé au chapitre 5 sur le contrôle de la température
du film ne semblait pas se manifester. Cela s’explique peut-être par le fait que la plaque est
chauffée par une rampe en température et que l’impression commence lorsque la température
du substrat (et non celle de la plaque chauffante) est stabilisée.
6.2
Impressions partielles et fabrication de formes axisymétriques
Notre deuxième exemple de validation est une application pratique sur des motifs axisymétriques. Cette étude a fait l’objet d’un stage de master réalisé par J.-S. Montana [110]
dont j’ai été l’encadrant. Elle a permis de déterminer des conditions d’impression pour obtenir
des géométries de type “lentilles sphériques” sur le film de polymère à partir de motifs simplement axisymétriques gravés dans le moule. Les motifs sur le moule ne sont pas des lentilles. Les
films imprimés dans cette partie sont de l’ordre de plusieurs centaines de nanomètres. Cette
partie présente dans un premier temps les motivations de l’étude et le motif utilisé. Dans une
deuxième partie sont présentés les résultats théoriques obtenus à l’aide de NanoNem permettant
de définir les conditions d’impression. Dans une troisième partie nous présentons les résultats
expérimentaux obtenus par nanoimpression thermique.
6.2.1
Motivations de l’étude et géométrie des motifs
Les réseaux de micro-lentilles sont des éléments incontournables pour l’imagerie à haute
résolution pour des applications de micro-optique et d’optique intégrée comme par exemple
la photocopie, le stockage des données ou encore les réseaux d’échanges de données par voie
optique en parallèle et à haute vitesse. Elles peuvent également être utilisées pour l’intégration
de fonctions pour l’éclairage ou les dispositifs d’affichage. La réalisation de tels composants
reste de nos jours un réel challenge et peut s’appuyer soit sur des techniques de microfluidique,
soit par polymérisation par projection numérique, soit par découpe laser ou encore par polymérisation par interférence. La plupart des solutions existantes [111] sont des procédés en
série qui présentent une faible cadence. En utilisant les techniques de nanoimpression avec des
motifs répartis sur une plaque entière il a été montré que cette cadence de fabrication pouvait
être significativement améliorée [112]. Cependant la fabrication du moule reste un problème
de taille en fonction de la précision du profil souhaité et de l’état de surface attendu. D’une
manière générale les micro-lentilles hémisphériques sont les plus utilisées car elles présentent
un bon compromis entre leurs propriétés optiques et les facilités de production données par les
techniques de microélectronique.
Dans cette étude on se propose d’utiliser des impressions à remplissage partiel avec le
procédé de nanoimpression thermique pour générer des surfaces courbes proches des formes de
lentille. Les objets finalement fabriqués n’étant pas des lentilles, nous appellerons ces surfaces
des surfaces axisymétriques dans la suite. Le motif utilisé est présenté sur la figure 6.6. Ce
motif est répété sur l’ensemble du moule et il a, en creux, une forme de plot axisymétrique de
117
a)
b)
Image de la hauteur
c)
3
direction y (µm)
Moule
350 nm
760 nm
70°
Polymère
660 nm
Substrat
100 nm
0
0
direction x (µm)
3
Figure 6.6 – Motif axisymétrique utilisé pour la fabrication de lentilles submicroniques. Le
motif est répété périodiquement (a), a une forme de plot en creux de 350 nm de hauteur, avec
une base de forme conique d’angle 70˚ et avec un diamètre de base de 660 nm (b). La zone
élémentaire utilisée dans les simulations est délimitée par le cercle blanc en trait interrompu de
760 nm de diamètre. L’impression partielle du motif dans un film de polymère permet de créer
des calottes sphériques (c).
350 nm de hauteur, avec une base de forme conique avec un angle de 70˚ comme présenté sur
la figure 6.6b. Sur cette dernière figure on voit que le raccord entre la base et la partie haute
n’est pas parfaitement axisymétrique, à cause de défauts de fabrication, mais que le reste du
motif vérifie bien la symétrie de révolution. La zone élémentaire utilisée dans les simulations
est délimitée par le cercle blanc en trait interrompu de 760 nm de diamètre présenté sur la figure 6.6a. Les dimensions les plus importantes sont le diamètre de base, qui vaut 660 nm, et la
période des motifs, qui seront comparées aux épaisseurs des films imprimés. Avec une épaisseur
de film suffisante la déformation du polymère aux premiers instants de l’impression peut générer
une surface axisymétrique convexe, principe illustré sur la figure 6.6c. Ces dimensions montrent
que les surfaces axisymétriques seront submicroniques. Ces surfaces pourront par exemple être
utilisées pour augmenter la collection de photons sur des capteurs. Ces dimensions submicroniques permettent également de mettre en évidence les difficultés intrinsèques à l’utilisation de
cette méthode sur des films de polymère avec des contraintes de fabrication sévères.
Rowland et al. [113] ont montré en 2005 qu’il était possible de contrôler la déformation
de la surface libre d’un film pour générer une forme de dôme simplement à partir de l’espacement entre les motifs, de leur largeur et de l’épaisseur de polymère. Les auteurs étudient
des écoulements où la tension de surface est négligeable dans le cas de motifs longiformes et
axisymétriques. Notre étude s’intéresse uniquement au cas axisymétrique, avec pour différence
majeure la prise en compte de la tension de surface. Nous verrons que dans ce cas l’obtention
de formes bombées dépend des rapports de forme comme le prévoit [113], mais aussi du nombre
capillaire Ca qui évalue la compétition entre les forces visqueuses et la tension de surface.
L’objectif de cette étude est donc de déterminer numériquement et expérimentalement les
conditions de temps, pression, température et épaisseur initiale de polymère qui nous permettront d’obtenir la forme bombée illustrée sur la figure 6.6c, et enfin de valider les simulations.
Dans cette étude les impressions seront faites avec le PS280 sur la presse à piston mécanique
EVG520.
118
6.2.2
Modes de remplissage d’une cavité axisymétrique
b)
a)
Single Peak
Embossing Tool
Dual Peak
Embossing Tool
Cavity
Cavity
Polymer Film
Polymer Film
Figure 6.7 – Extraits des résultats de Rowland et al. [113]. Modes de remplissage mécanique
d’une cavité en nanoimpression, pour des épaisseurs faibles (dual peak ) et grandes (single
peak ) devant la largeur des cavités. Les simulations sont faites en déformation plane et en
axisymétrique.
Les études publiées par Rowland et al. [113] ont montré qu’il était possible de changer le
mode de remplissage d’un motif simplement en modifiant l’épaisseur initiale du polymère. Ces
auteurs montrent également que le mode de remplissage est très peu dépendant du comportement, qu’il soit newtonien ou rhéofluidifiant. Ces travaux supposent que la tension de surface
est négligeable et n’étudient que l’écoulement dû à la pression mécanique exercée par le motif
en contact avec le polymère. Ces auteurs montrent que pour des épaisseurs faibles devant la
largueur de la cavité, la montée de matière se fait près des flancs du motif, formant un plateau dans la région centrale encadré par deux bosses comme présenté sur la figure 6.7a. Dans
le cas d’une symétrie de révolution le plateau central est un disque, et les deux bosses font
partie d’un même anneau. Pour des films ayant une épaisseur supérieure à la largeur de la
cavité, cette montée de matière se fait par le centre formant ainsi un profil proche d’un arc
de cercle, présentée sur la figure 6.7b. Les auteurs mettent donc en évidence une transition
entre deux modes de remplissage appelés mode à deux pics (films minces) et mode à un pic
(film épais), transition qui existe aussi bien dans le cas de la déformation plane que dans le cas
axisymétrique. Dans notre cas la géométrie du motif est fixée, et cette transition ne dépend
plus que de l’épaisseur initiale du film, que nous nous proposons dans un premier temps de
déterminer avec une étude inspirée de celle de [113]. Dans un second temps on introduit la
tension de surface et le mouillage, et l’on étudie son influence sur la forme de la surface libre.
Cette étude comprend alors l’influence de la longueur de glissement b, inconnue pour le couple
de matériau polymère et silicium traité avec un anti-adhésif, et celle de la pression exercée par
le motif.
6.2.2.1
Épaisseur de transition du remplissage mécanique
On réalise une série de simulations sans forces capillaires pour des épaisseurs de film comprises entre 50 et 700 nm, pour un enfoncement du moule de 20 nm, et une pression moyenne
sur les motifs de 0,6 bar. Ces simulations utilisent la loi de Carreau, à 110˚C pour le PS280,
soit respectivement 10˚C au dessus de la température de transition vitreuse. La condition aux
limites sur le bord extérieur est une condition de symétrie. Cette condition est une approximation du cas réel, présenté sur la figure 6.6, où la symétrie n’est pas rigoureusement circulaire.
) entre le moule dur en silicium
Enfin on utilise une condition de glissement parfait (b
traité avec un anti-adhésif et le PS280 (40 µm), choix guidé par les résultats expérimentaux
présentés dans la partie 6.2.3.4.
119
300
a)
350
b)
250
300
h0 = 50 nm
200
p (bar)
deux pics
un pic
1
200
d (nm)
h (nm)
250
0,6
transition à 380 nm
150
0,2
150
−0,2
100
100
d
50
50
0
0
50
100
150
200
250
300
350
0
100
200
300
400
500
600
700
h0 (nm)
r (nm)
Figure 6.8 – Évolution de la distance de l’axe de symétrie au sommet du pic en fonction de
l’épaisseur initiale et identification des deux modes de remplissage sans tension de surface, ni
mouillage et ni frottement entre le polymère et le moule.
Pour identifier la transition, on mesure la distance d entre l’axe de symétrie et le point le
plus haut de la surface libre, comme présenté sur la figure 6.8a, avec d 0 pour la formation
d’un seul pic. Les résultats sont présentés sur la figure 6.8b, où l’on peut voir une transition
pour une épaisseur proche de 380 nm. Rowland et al. [113] identifient cette transition pour un
1,4, avec R rayon de la base du motif et h0 l’épaisseur initiale du film, soit
rapport R h0
ici une épaisseur de 236 nm. Dans notre cas le rapport vaut 0,86, la différence pouvant être
expliquée par la prise en compte du glissement. Les résultats pour un contact collant entre le
polymère et les solides, non développés ici, montrent que l’épaisseur de transition est abaissée
et que le rapport de 1,4 mentionné par [113] est vérifié.
Dans le cas présenté, la pression et la viscosité ont peu d’importance. Malgré le comportement non linéaire ces paramètres influencent essentiellement le temps d’impression, mais pas
la forme finale. La transition identifiée à 380 nm ne dépend donc que de la géométrie lorsque
la tension de surface est négligée. Ces paramètres prennent néanmoins toute leur importance
si les effets capillaires sont pris en compte.
6.2.2.2
Influence de la capillarité et de la longueur de glissement
Le mouillage entre le moule et le polymère fait également partie des paramètres influant sur
le profil de la surface libre, notamment la vitesse de mouillage, ou vitesse du point triple. Cette
vitesse résulte de l’équilibre entre la force capillaire appliquée au point triple et le glissement
du fluide sur le moule, glissement piloté par la longueur de glissement b. La forme de la surface
libre dépendra alors de la différence entre cette vitesse, près du bord, et la vitesse d’impression,
qui tend à faire monter le polymère près de l’axe de révolution. Comme la longueur de glissement n’est pas connue on étudie son influence sur le profil imprimé, ce qui nous permettra
d’interpréter les résultats expérimentaux. L’angle de mouillage statique est connu et vaut 87˚.
Les simulations sont effectuées pour des pressions de 3,2 et 12 bar, et pour des longueurs
120
420
a)
b)
415
415
b = 40 µm
410
motif
b = 40 µm
405
h (nm)
h (nm)
motif
410
b = 100 nm
405
400
400
395
point d’inflexion
395
b = 1 nm
b = 0,1 nm
b = 40 µm
390
b = 0,1 nm
390
385
420
385
0
50
100
150
200
150
300
350
r (nm)
380
0
50
100
150
200
150
300
350
r (nm)
Figure 6.9 – Évolution du profil de la surface libre pour des longueurs de glissement variant
entre 0,1 nm et 40 µm, avec une pression de 3,2 bar (a) ou 12 bar (b). Les simulations sont faites
avec effets capillaires pour une température de 110˚C (trait continu) et de 125˚C (symboles sur
la figure (a)). L’enfoncement du moule dans le film est de 20 nm pour toutes les simulations.
de glissement comprises entre 0,1 nm et 40 µm. Les résultats sont présentés sur la figure 6.9.
Dans le cas d’une faible pression (a) la longueur de glissement a une influence non négligeable
sur la forme finale de la surface libre et sur l’angle de contact. Lorsque b est supérieure à
10 nm, les vitesses de mouillage et d’impression s’équilibrent près du point triple, et l’on observe
l’apparition d’un point d’inflexion sur la surface libre. Pour des valeur de b inférieures à 10 nm,
le point d’inflexion disparaı̂t, la vitesse du point triple devient négligeable par rapport à la
vitesse d’impression, et les surfaces axisymétriques convexes souhaitées sont alors obtenues. En
pratique il faut donc que la vitesse d’impression soit suffisamment élevée pour que la tension de
surface et le mouillage n’effacent pas la surface axisymétrique. Ce constat est confirmé par les
simulations à 12 bar présentées sur la figure 6.9b, où l’on voit que l’influence de b est négligeable.
Sur cette figure seules les deux longueurs extrêmes b 0,1 nm et b 40 µm sont présentées.
On montre également que la température n’a pas d’influence significative sur la forme de la
surface libre, et qu’elle ne modifie que le temps d’impression. Cette propriété est illustrée sur
la figure 6.9a, où l’on présente les résultats des simulations effectuées pour une température de
125˚C (symboles). Pour des raisons de lisibilité on ne présente que les résultats pour b 0,1 nm
et b
40 µm, qui se superposent aux courbes correspondantes en trait continu. À 110˚C,
l’enfoncement de 20 nm du motif est respectivement obtenu en 13 s et 8 s pour b 0,1 nm et
b 40 µm, contre 0,1 s et 0,06 s à 125˚C. Ici le rapport des temps d’impression à b constant
vaut environ 130, et correspond exactement à une augmentation de 15˚ de la température.
6.2.2.3
Influence de la pression
La pression exercée par le motif est le dernier paramètre à prendre en compte pour nos
impressions. En effet, si l’impression se fait à basse pression, elle sera lente et laissera le temps
à la tension de surface d’effacer la surface axisymétrique de la surface libre. À l’inverse, la
surface axisymétrique convexe peut être conservée si l’impression est rapide. Nous étudions
donc la transition entre ces deux régimes.
121
420
a)
b)
25 bar
13 bar
6,4 bar
4,7 bar
3,2 bar
415
motif
30
2,5 bar
1,6 bar
r (µm)
h (nm)
410
405
0,6 bar
20
400
10
9
395
8
390
0
50
100
150
200
150
300
350
0
1,6
5
r (nm)
10
15
20
25
p (bar)
Figure 6.10 – Évolution du profil de la surface libre (a) et de la courbure au niveau de l’axe
de révolution (b) en fonction de la pression appliquée, pour T
110˚C, b
40 µm, et une
épaisseur initiale de 400 nm. Pour des pressions supérieures à 25 bar le profil et la courbure
n’évoluent quasiment plus.
Les résultats sont présentés sur la figure 6.10, où l’on voit que pour une pression inférieure
à 1,6 bar la tension de surface est prédominante avec un profil quasiment plat près de l’axe
de révolution. Pour une pression comprise entre 2,5 bar et 6,4 bar, la surface axisymétrique
commence à se former près du centre, mais avec des effets capillaires toujours visibles au voisinage du point triple. Ces deux régions sont séparées par un point d’inflexion sur la surface
libre, qui disparaı̂t si la pression dépasse 6,4 bar. Au delà de cette valeur, la courbure de la
surface libre évolue très peu, comme le montre la figure 6.10b, et l’on observe une asymptote
horizontale donnant une courbure minimale de 7 µm. Ainsi la pression minimale à exercer pour
obtenir des surfaces axisymétriques convexes dans un film de 400 nm est évaluée à 6,4 bar. Ce
résultat est bien entendu dépendant de la longueur de glissement, et sera comparé aux mesures
expérimentales.
Enfin notons que dans tous les cas les simulations prévoient une diminution de la viscosité
due au comportement non linéaire. Les non linéarités sont essentiellement localisées sous la
zone de contact entre le motif et le polymère. Dans le cas d’une pression de 0,6 bar la viscosité
diminue déjà d’un facteur 10 dans cette zone. Ainsi les pressions envisagées pour la fabrication
des surfaces axisymétriques entraı̂neront nécessairement des non linéarités.
6.2.3
Protocole expérimental et caractérisations
Cette partie présente le protocole expérimental d’impression et la caractérisation des géométries obtenues à l’échelle des motifs et à l’échelle de la plaque.
6.2.3.1
Impression sur EVG520
Les impressions sont réalisées sur la presse à piston mécanique EVG520. L’empilement
retenu pour réaliser les impressions est présenté sur la figure 6.11. L’élément de silicone inséré
entre le substrat et le piston permet de minimiser le transfert des défauts de surface du piston,
dans le polymère à travers le substrat, comme illustré sur la figure 6.11. Le support inférieur
étant une pièce rectifiée, cet élément en silicone n’est pas nécessaire en face arrière du moule.
Cette presse permet de bien contrôler le vide dans la chambre et la force globale appliquée sur
122
le moule. Le contrôle de la température a été quant à lui plus délicat (dysfonctionnement du
dispositif de refroidissement du piston) et seul le support inférieur contribue au refroidissement
de tout l’empilement. L’élément en silicone est alors un inconvénient, notamment pour les
impressions inférieures à la dizaine de minutes, car il joue le rôle d’isolant thermique et ralentit
le refroidissement du piston. Pour contourner ce problème, on peut imposer deux températures
différentes, une pour le support qui sera proche de la température de fonctionnement, et une
pour le piston légèrement inférieure à la température de transition vitreuse. On contrôle alors
la température moyenne que l’on peut plus facilement faire varier autour de Tg .
p0
Piston
Silicone
substrat
Polymère
moule
Support inférieur
Figure 6.11 – Empilement utilisé lors des impressions des motifs axisymétriques avec la presse
à piston mécanique EVG520. La couche de silicone permet de minimiser le transfert des défauts
de surface du piston dans le polymère, mais joue également le rôle d’isolant.
Les étapes du protocole expérimental retenu, représentées sur la figure 6.12, sont les suivantes :
étape 1 : maintien d’un espacement entre le moule et le substrat grâce à un séparateur ;
1 bar) dans l’enceinte d’impression, avec une consigne de
étape 2 : retrait de l’air (Patm
pression de P
10 2 mbar) et passage à l’étape suivante à P 10 1 mbar ;
étape 3 : retrait du séparateur et mise en contact du moule et du substrat sur lequel repose
le polymère ;
étape 4 : montée en température, avec une consigne de 110˚C pour le support et une consigne
de 95˚C pour le piston, et un passage à l’étape suivante à la température de consigne
moins 2˚C ;
étape 5 : mise sous pression de l’assemblage (40 kN dans l’exemple, soit une pression moyenne
de 12 bar) ;
étape 6 : attente pendant la durée d’impression, 3 minutes dans notre cas ;
étape 7 : refroidissement du support à 15˚C/min, avec remise sous pression atmosphérique et
maintien de l’effort presseur ;
étape 8 : fin de l’impression lorsque la température du support est inférieure à Tg
10˚C.
Ce protocole est utilisé pour l’impression d’un film de PS280 de 430 nm d’épaisseur déposé
par tournette. La pression moyenne est de 12 bar et le temps d’impression est de 3 minutes. Le
gradient thermique créé dans l’empilement permet difficilement de connaı̂tre la température du
film. Dans une première approche on suppose que la température du film est celle du support
du moule.
123
1
3
2
4
5
6
7
8
1.2
115
support
1
110
log (P / P∞)
0.8
105
log (Patm / P∞)
moyenne
0.6
100 = Tg
0.4
95
T (°C)
piston
0.2
90
0
85
F / 40 kN
−0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
13
80
temps (min)
Figure 6.12 – Courbes expérimentales pour une impression sur la presse à piston mécanique
EVG520. La pression dans la chambre (trait noir interrompu) et la force appliquée par le piston
(trait noir continu) sont normalisées et représentées sur l’axe de gauche. La température du piston (trait bleu continu) et celle du support du moule (trait interrompu rouge) sont représentées
sur l’axe de droite. La température moyenne (pointillés verts) est également représentée. Les
instants correspondant aux différentes étapes d’impression sont repérés par les lignes verticales,
avec le numéro de l’étape correspondante.
80
h (nm)
a)
points
d’inflexion
R = 80 mm
60
R = 60 mm
40
130°
90°
R = 50 mm
20
R = 23 mm
0
−400
−300
−200
−100
0
100
200
300
400
x (nm)
h (nm)
80
70
b)
60
50
40
30
20
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
R (mm)
Figure 6.13 – Mesures expérimentales des profils imprimés (a) et de la hauteur maximale (b)
en fonction de la distance R au centre de la plaque.
124
6.2.3.2
Caractérisation à l’échelle de la plaque
La caractérisation des impressions à l’échelle de la plaque, présentée sur la figure 6.13a,
montre que globalement les motifs imprimés ont les formes recherchées, c’est-à-dire avec une
surface libre convexe. Cependant, on remarque que la hauteur des motifs n’est pas la même,
avec des différences importantes entre les motifs situés à 23 mm du centre de la plaque, qui
font 5 nm de haut, et ceux situés à 80 mm, qui ont une hauteur de 75 nm. Les mesures ont
montré que ces différences dépendaient essentiellement de la position du motif sur la plaque.
Différentes hauteurs d’impression sont présentées sur la figure 6.13b en fonction de leur position
radiale. Cette différence de hauteur est due à des vitesses d’impression différentes, qui semblent
provenir ici d’un gradient de température au niveau du support du moule. En effet, les éléments
chauffant sont des plots disposés en quinconce sous le support du moule. Pour des impressions de
courte durée (quelques minutes), la diffusion de la chaleur n’est pas assez rapide pour avoir une
température homogène en face arrière du moule. Les épaisseurs du moule et du film permettent
alors au gradient de température d’être immédiatement transféré dans le polymère, comme
présenté sur la figure 6.14. La viscosité varie ainsi en fonction de la position sur la plaque. La
figure 6.13b suggère que les éléments chauffants été placés à 40, 60 et 80 mm du centre de la
plaque dans la direction de mesure.
film polymère
moule
support inférieur
résistances chauffantes
Figure 6.14 – Illustration de la répartition de la température sous le moule et dans le polymère
pour des impressions de courte durée. Le moule et le film ayant une inertie thermique plus
faible que le support, le gradient de température créé au niveau du support est immédiatement
transféré dans le film. La viscosité est alors moins élevée (zones rouge) pour le polymère situé
juste au-dessus des éléments chauffants.
Le différentiel de vitesse d’impression induit nécessairement des petites variations de la
pression et ainsi une légère flexion du moule. Cependant nous supposerons dans la fin de ce
chapitre que ces variations de pression sont négligeables devant celles de la viscosité, et que la
pression est homogène sur les faces arrières du moule et du substrat. Ainsi les différences avec
les simulations ne seront expliquées qu’en termes de variation de température.
6.2.3.3
Comparaison des temps d’impression
Les géométries présentées dans cette partie ont été localisées à la périphérie des plaques.
Les images présentées sur la figure 6.15 sont obtenues avec un microscope à force atomique (a)
et avec un microscope électronique à balayage (b). Ces images montrent que, localement, on est
capable d’obtenir des surfaces axisymétriques, avec un procédé stable sur au moins quelques
centimètres carrés. Ici la pression moyenne est de 12 bar, la température de 110˚C, et l’on obtient
des motifs ayant une hauteur de 75 nm pour un enfoncement du moule d’environ 44 nm.
La simulation de l’impression à 110˚C pour un enfoncement de 44 nm donne un temps d’impression de 4 s, soit un temps environ 52 fois plus court que la valeur expérimentale de 3 minutes.
Si on avait un comportement newtonien et avec nos hypothèses faites sur l’homogénéité de la
125
h (nm)
−0,5
80
direction y (µm)
a)
b)
60
0
75 nm
40
430 nm
20
100 nm
0,5
−0,5
0
0,5
0
direction x (µm)
Figure 6.15 – Images de la surface libre du film de 430 nm après impression partielle, obtenues
par microscopie à force atomique (a) et avec un microscope électronique à balayage (b). Les
motifs obtenus vérifient bien la propriété d’axisymétrie et ont une forme assimilable à celle
d’une lentille.
pression, cela supposerait que la viscosité dans le film mince serait 52 fois plus élevée que la
viscosité mesurée de manière macroscopique à la même température. Cette différence est expliquée ici par l’incertitude sur la température d’impression. En utilisant la loi WLF identifiée
au chapitre 2 on montre que ce facteur 52 correspond à peu près à une diminution de 8˚C de la
température pour un comportement rhéofluidifiant. En simulant l’impression à 102˚C avec la loi
de Carreau l’on obtient bien le même temps d’impression par la simulation et les expériences.
Cette température est très proche de la température de transition vitreuse, mais également de
la température moyenne entre le piston et le support du moule, présentée sur la figure 6.12 de
la partie 6.2.3.1.
La température n’ayant pas d’influence sur la forme de la surface libre d’après les simulations
de la partie 6.2.2.2, les résultats expérimentaux concernant la géométrie seront quand même
comparés à la simulation à 110˚C, faute de temps pour refaire toutes les simulations à 102˚C.
6.2.3.4
Mesure de l’angle de contact
La mesure des angles de contact figés par le refroidissement entre la surface libre et le
moule nous permet d’évaluer la longueur de glissement b. Ces angles, d’après les parties 6.2.2.2
et 6.2.2.3, sont liés à la longueur de glissement entre le polymère et le solide, et varient avec
la force appliquée sur le motif. Dans nos résultats ces angles de contact sont très variables,
avec un angle minimal proche de 90˚, et un angle maximal de 130˚, visibles sur la figure 6.13a.
Ces valeurs sont à comparer à l’angle de mouillage statique de 87˚imposé dans les simulations.
De plus l’angle mesuré dépend également de la section choisie. Ces conditions ne permettent
donc pas de déduire une valeur fiable de la longueur de glissement. Néanmoins, les simulations
montrent qu’avec une longueur de glissement de 40 µm, l’angle de contact était compris entre 91˚
et 106˚, pour des pressions comprises entre 6,4 et 13 bars, ce qui est la meilleure correspondance
que l’on ait pu obtenir. De plus cette valeur change peu la forme de la surface libre au centre
du motif.
Dans le cas où les incertitudes sur la pression et la température seraient moins importantes,
ces résultats suggèrent une autre méthode de mesure de la longueur de glissement. En effet la
méthode présentée dans le chapitre 5 ne pouvait pas s’appliquer aux substrats traités avec un
126
anti-adhésif, faute de pouvoir y coucher le polymère, structurer ce dernier et retirer le moule sans
décoller le film. Ici l’on observe des variations mesurables d’angle en fonction de la pression,
qui pourraient être corrélées aux valeurs des simulations. Ce type d’expérience correspond
aux expériences réalisées par Hoffman [114] qui étudiait la translation d’un ménisque dans un
tube capillaire, ce qui a été simulé avec NanoNem par Teyssèdre et Gilormini [97] dans le cas
de la déformation plane. Cette méthode demande donc à être développée avec le procédé de
nanoimpression.
6.2.3.5
Caractérisation de la courbure
On souhaite déterminer la courbure des surfaces libres. Pour cela on ajuste l’équation
cartésienne
P x, y
ax2
by 2
2cxy
dx
ey
1
0
(6.1)
aux points de mesure. Les constantes du polynôme P sont déterminées en minimisant la fonc2 et conduisent à l’étude de la matrice
tionnelle φ
i,j P xi , yj
A
a c
c b
.
(6.2)
Les vecteurs propres de la matrice A correspondent alors aux directions principales de la surface,
et ses valeurs propres définissent la nature de celle-ci.
Sur l’ensemble des profils mesurés, la forme de la surface libre est trouvée très proche de
celle d’un arc de cercle. Le rayon de courbure moyen vaut 3,14 µm, que l’on compare à la valeur
de 3,37 µm obtenue par simulation. Ici les résultats numériques surévaluent de 7 % le rayon de
courbure, ce qui suggère que la pression locale est plus faible ou que la longueur de glissement
est plus grande que dans les simulations effectuées.
6.2.4
Bilan
La fabrication de surfaces axisymétriques convexe à partir de l’impression partielle d’un motif axisymétrique profond a été réalisée. Le logiciel de simulation NanoNem a permis de définir
des conditions expérimentales permettant d’obtenir ces formes en présence d’effets capillaires.
Nous avons montré que les profondeurs imprimées obtenues expérimentalement et numériquement ne correspondaient pas, mais que cela devait provenir d’une incertitude sur la température
d’impression. En ajustant la température avec la température moyenne dans l’empilement une
bonne correspondance est obtenue entre les deux approches.
La caractérisation de l’angle de contact entre le PS280 et le silicium traité avec un antiadhésif a permis de suggérer que la longueur de glissement est beaucoup plus grande dans ce
cas que dans le premier exemple avec le moule souple et le PS35. Une détermination plus fine
serait envisageable avec l’utilisation de la presse pneumatique utilisée dans le premier exemple
de validation afin de mieux contrôler les paramètres expérimentaux.
Enfin la caractérisation de la courbure a montré une différence de 7 % entre les profils
imprimés et les simulations. Comme la longueur de glissement influence cette courbure, la
validation des résultats n’est que partielle.
127
6.3
Conclusion
Les deux exemples de validation proposés nous ont permis de mettre en évidence la nécessité
de considérer un modèle de comportement plus élaboré que le comportement newtonien pour
simuler le procédé de nanoimpression pour des géométries ayant un rapport de forme h L
équivalent ou supérieur à 0,1.
Le premier exemple montre qu’avec des conditions expérimentales bien contrôlées le comportement rhéofluidifiant donne une meilleure approximation des profondeurs imprimées que le
comportement newtonien. Moins de 10 % d’écart ont été obtenus entre les mesures expérimentales des profondeurs d’impression et les simulations. Cet exemple traitait en particulier le cas
d’un film très mince de 89 nm, soit 16 fois la taille des rayons de giration du polymère et proche
de la limite de 81 nm établie au chapitre 2. Cette faible épaisseur a permis de mettre en évidence
les limites du comportement visqueux non linéaire. L’étude de la surface libre montre alors que
la correspondance est très discutable sur l’ensemble du profil. L’utilisation d’un comportement
viscoélastique est suggérée pour décrire plus fidèlement les profils observés.
Le second exemple concernait un cas axisymétrique pour une épaisseur de film de PS280
37 fois plus importante que le rayon de giration du polymère. Les géométries imprimées étaient
plus proches des résultats numériques que dans l’exemple précédent. Le logiciel de simulation NanoNem a permis de déterminer les conditions expérimentales permettant d’obtenir des
géométries convexes de type “lentilles” en s’inspirant des résultats de Rowland et al. [113]. La
prise en compte de la tension de surface pour fabriquer ces géométries était ici un challenge
que nous avons su relever. La longueur de glissement reste un paramètre peu influent pour la
profondeur d’impression mais déterminant pour la forme de la surface libre. L’ajustement des
formes obtenues avec les simulations suggèrent une longueur de glissement très grande devant
les dimensions du film et des motifs (40 µm). Dans cet exercice où l’épaisseur du film était du
même ordre de grandeur que la dimension des motifs, la relaxation du matériau n’a pas été
remarquée. Comme nous avons montré que la rhéofluidification devait être prise en compte avec
les pressions d’impression retenues, le modèle newtonien n’est donc pas suffisant.
128
Chapitre 7
Conclusion et perspectives
7.1
Conclusion générale
Ces travaux de thèse visaient à étudier le procédé de nanoimpression thermique pour la
fabrication de micro- et nanostructures. La problématique que nous nous étions fixée consistait à évaluer les vitesses d’impression des motifs dans des films minces de polymère. Cette
problématique avait déjà été abordée par de nombreux auteurs avec pour objectif principal la
détermination des conditions optimales d’impression. Derrière cette problématique se cachait un
point très délicat qui était le comportement du polymère pour les films minces. Dans les modèles
existants pour la nanoimpression thermique, les comportements les plus fréquemment utilisés
sont celui du fluide newtonien, celui du fluide visqueux rhéofluidifiant et le comportement de
fluide viscoélastique. Peu d’auteurs proposent une validation expérimentale des simulations à
partir des propriétés macroscopiques des matériaux. Trois raisons principales peuvent expliquer
cela. La première est que certains polymères pour la nanoimpression sont vendus en très petite
quantité (quelques grammes) et le coût de fabrication d’un film épais (2 mm) devient prohibitif. La seconde raison est qu’il faut pouvoir simuler les écoulements à l’échelle nanométrique,
où les forces capillaires ne sont pas négligeables, et dans des conditions représentatives des
expériences. Enfin il faut pouvoir réaliser des expériences en contrôlant précisément les paramètres expérimentaux. Les films étant très minces (inférieurs au micromètre) ils sont par
exemple très sensibles aux variations de la température.
Dans cette thèse nous avons souhaité étudier cette possibilité d’utiliser un comportement
obtenu avec des mesures macroscopiques pour décrire le comportement des films minces. Ces
films ne devaient cependant pas avoir des épaisseurs inférieures à la limite de 40 nm définie par
Keddie et al. [25] en dessous de laquelle la température de transition vitreuse du polystyrène
est supposé être dépendant de l’épaisseur du film. Pour cela deux polystyrènes de masses molaires différentes ont été caractérisés sur un rhéomètre à plateaux parallèles. Ces polymères ont
été caractérisés comme des fluides viscoélastiques. Les composantes visqueuses des matériaux
ont été extraites de ces mesures. L’étude que nous avons menée [39] sur le domaine de validité du comportement newtonien nous a suggéré de prendre en compte la rhéofluidification
dans nos modèles de comportement. Ainsi le principe de Cox-Merz a été appliqué aux mesures
en petites déformations pour obtenir les lois d’évolution de la viscosité en fonction de la vitesse de cisaillement. Cette démarche consistait à négliger la composante élastique du matériau
bien que les expériences réalisées par Scheer et al. [31] et Schulz et al. [18] ont montré que la
129
viscoélasticité avait une influence sur le profil des motifs imprimés. Dans notre cas nous avons
supposé que la composante élastique n’avait pas d’influence majeure sur les vitesses d’impression. Les géométries étudiées étant inférieures à la longueur capillaire (2 mm) de nos matériaux,
nous devions prendre en compte les énergies de surface du polystyrène dans l’air, sur le silicium
vierge et sur le silicium traité avec un anti-adhésif comme les moules en nanoimpression. Ces
mesures ont été faites avec les dispositifs de la goutte pendante et de la goutte posée. Les valeurs
retenues pour la tension de surface et les différents angles de mouillage étaient indépendantes
de la température et de la masse molaire dans la suite de notre étude.
Les logiciels de simulation d’écoulements visqueux disponibles dans le commerce et au laboratoire au début de la thèse ne permettaient pas d’étudier des écoulements à l’échelle nanométrique en prenant en compte la tension de surface du polymère et le mouillage de celui-ci
sur les solides. De plus nous avons réalisé une étude [67] avec le logiciel Abaqus montrant que
les modèles simplifiés newtoniens ne permettaient pas d’évaluer la vitesse d’impression avec
les rapports de forme des géométries utilisées. Nous avons donc décidé de développer un code
de calcul pour répondre à notre besoin. La mise en œuvre de ce code à nécessité d’établir la
formulation variationnelle pour un problème de Stokes, avec des forces capillaires, la prise en
compte de solides mobiles et un comportement rhéofluidifiant. Cette formulation a été établie
en déformation plane et en axisymétriques et discrétisée à l’aide de la méthode des éléments
naturels contraints. Le chapitre 3 présentait tout le développement nous permettant d’obtenir
la formulation variationnelle faible de l’équation d’équilibre, avec une formulation mixte nous
permettant de traiter un problème sûrement incompressible. La construction et l’assemblage
des matrices ont été présentés avec la solution retenue pour pouvoir simuler des impressions à
effort constant.
NanoNem, l’outil de simulation numérique mis en place pour simuler le procédé de nanoimpression, a été validé numériquement sur des exemples de la littérature. Quatre exemples ont été
proposés à travers lesquels il apparaı̂t que l’incrémentation en temps, la prise en compte d’un
comportement aussi bien linéaire que non linéaire en loi de Carreau et de l’incompressibilité, le
calcul de la pression, le traitement du contact, du glissement de Navier, de l’angle de mouillage
et de la tension de surface implantés dans NanoNem ont été validés, en déformation plane et en
axisymétrique. Ces tests ont confirmé la fiabilité et la robustesse de NanoNem, mais la question
de sa performance en termes de temps de calcul reste ouverte. Ce logiciel a été développé à
partir de deux routines fournies par Illoul [91] pour calculer le gradient des fonctions de forme
CNEM et pour extraire les nœuds de la surface libre. Une centaine de fonctions ont été ajoutées
pour réaliser les différentes opérations de simulation et de post traitement, dont le programme
principal qui compte environ 2000 lignes de code. Un effort particulier a permis de rendre ce
logiciel accessible à des utilisateurs tiers et un manuel complet (voir annexe page 149) a été
rédigé à cette fin. Enfin, au vu des résultats présentés dans cette thèse et des exploitations
possibles présentées par Teyssèdre et Gilormini [97], NanoNem n’est finalement pas un code
exclusivement dédié à la nanoimpression thermique et pourra trouver d’autres domaines d’application nécessitant de simuler des écoulements plans ou axisymétriques, à faible nombre de
Reynolds et avec des effets capillaires.
La formulation utilisée dans le code de calcul introduisait un nouveau paramètre spécifique
aux écoulements à petites échelles : la longueur de glissement. Ce paramètre caractérise la
propriété que peut avoir un fluide de glisser partiellement sur une surface et est difficilement
accessible avec des moyens conventionnels de caractérisation. Le chapitre 5 proposait alors une
méthode permettant de mesurer cette longueur à partir d’un film structuré par nanoimpres130
sion posé sur un substrat. En élevant la température du film au-dessus de la température de
transition vitreuse les motifs s’effacent sous la seule action de la tension de surface. Le temps
caractéristique d’effacement devait alors permettre de mesurer la viscosité du film et la longueur
de glissement entre le polymère et le substrat. Les mesures n’ont pas complètement abouti mais
nous avons mis en évidence la sensibilité de la viscosité du film de polymère aux incertitudes
sur la température. Les viscosités mesurées étaient quatre à dix fois plus élevées que les viscosités mesurées macroscopiquement. La première interprétation est celle proposée par Teisseire
et al.[103] qui est une augmentation de la viscosité dans les films minces à une température
donnée. La seconde interprétation est celle que nous proposons dans ce chapitre, à savoir que
la température du film n’est pas nécessairement égale à la température de la plaque chauffante.
Cette hypothèse est avancée à l’aide d’une expérience faite à une même température mais avec
des isolations différentes des échantillons. Notre hypothèse est que si l’air en contact avec le
film n’est pas à la même température que le substrat alors l’air abaisse la température du film.
Une simple surestimation de la température du film peut alors expliquer les différences avec les
valeurs macroscopiques.
Le dernier chapitre visait à valider l’ensemble des hypothèses faites sur le comportement
des matériaux et sur l’utilisation des modèles continus pour décrire les écoulements, mais avec
l’objectif principal d’avoir une bonne approximation des vitesses d’impression. Un résultat important de ce chapitre est que le modèle newtonien simulé avec les mesures macroscopiques
de la viscosité donne des vitesses d’impression dix à cent fois plus faibles que celles obtenues
expérimentalement. Ainsi la validation était essentiellement portée sur la pertinence du comportement non linéaire pour combler cette différence. Notre démarche consistait alors à réaliser des
impressions, puis simuler ces impressions à partir des paramètres expérimentaux mesurés, puis
comparer les profondeurs imprimées. Un premier exemple étudiait l’impression de structures
longiformes dans des films très minces. Les conditions expérimentales nous ont permis d’avoir
un bon contrôle des différents paramètres et une très bonne correspondance des profondeurs
imprimées. Dans notre comparaison nous avons pris soin d’utiliser les mêmes temps d’impression dans les simulations et les expériences. Ces résultats sont d’autant plus encourageants que
les épaisseurs des films imprimés étaient proches des épaisseurs limites définies par Bodiguel et
Fretigny [22] et Leveder [23] où les propriétés des matériaux peuvent dépendre de l’épaisseur
du film. L’interprétation de nos mesures n’a pas nécessité d’utiliser ce résultat. Néanmoins,
plus de caractérisations sont nécessaires pour s’assurer que nos modèles conviennent pour des
épaisseurs plus importantes et avec d’autres géométries. Cet exemple a également permis de
mettre en évidence les limites du modèle visqueux non linéaire et nous suggérons d’utiliser un
comportement viscoélastique pour mieux décrire la surface libre. Le second exemple traitait
un cas axisymétrique avec des épaisseurs de film plus importantes. La correspondance entre les
temps d’impression était moins bonne que dans le premier exemple, mais nous avons soulevé un
problème de contrôle de la température sur la presse utilisée. Au regard des résultats du premier
exemple, nous avons supposé que les différences de temps d’impression ne pouvaient pas venir
d’un changement de comportement. L’étude visait à fabriquer des formes convexes proches des
formes de lentilles sphériques. NanoNem a permis d’établir les conditions d’impression et une
bonne correspondance a pu être établie entre les profils simulés et expérimentaux.
En somme les hypothèses faites au début de la thèse semblent être pertinentes pour répondre
au problème posé. Le comportement visqueux non linéaire caractérisé macroscopiquement a
permis une bien meilleure évaluation des vitesses d’impression que le comportement newtonien généralement utilisé. De plus la prise en compte du comportement viscoélastique pour la
131
simple estimation de ces vitesses avec les épaisseurs des films considérés ne semble pas être
nécessaire. Les exemples présentés permettent de valider partiellement le code de simulation
pour la nanoimpression, en attendant plus de comparaisons avec d’autres géométries, et d’autres
épaisseurs de films.
7.2
Perspectives
La modélisation et les simulations proposées dans cette thèse s’intéressaient uniquement
à l’impression d’un motif isolé. Au regard des conditions expérimentales la force appliquée
sur ce motif était supposée constante et les simulations permettaient de calculer les vitesses
d’impression. Ce motif appartenait à un réseau périodique et ne pouvait que se translater. En
pratique ces conditions ne sont pas toujours respectées. En bordure d’un réseau par exemple,
où l’on a une rupture de symétrie, Gourgon et al. [13] ont montré que le moule fléchissait.
Cette flexion implique nécessairement une légère rotation des motifs pendant l’impression. En
fonction de la raideur du moule, l’impression d’un même réseau peut alors entraı̂ner une rotation
plus ou moins importante du motif. Dans l’objectif d’optimiser le procédé de nanoimpression,
ce constat soulève plusieurs questions qui s’inscrivent dans la continuité des travaux de cette
thèse. Les vitesses d’impressions calculées dans le cas idéal sont-elles suffisantes pour décrire la
cinématique d’un moule entier ? Doit-on prendre en compte l’intégralité des motifs d’un réseau
pour estimer la vitesse d’impression de celui-ci ? Le substrat sur lequel est couché le polymère se
déforme-t-il pendant l’impression ? Quelles stratégies sont envisageables pour simuler la flexion
d’un moule entier sur lequel sont gravés des millions de motifs ? Les perspectives ci-dessous
apportent des éléments de réponse à l’ensemble de ces questions.
7.2.1
Équation de comportement du moule
La modélisation du comportement du moule et du substrat pose moins de difficultés que
celle du polymère. Les moules et substrats ont des dimensions (200 mm de diamètre et 750 µm
d’épaisseur dans cette thèse) qui permettent d’utiliser la théorie des coques minces pour décrire
leur comportement. Cela revient à supposer que la déformation dans l’épaisseur est négligeable.
L’hypothèse des petites déformations peut également être utilisée, ce qui simplifie la résolution
des équations.
Le cas du moule en silicium est le cas le plus simple. Le matériau étant relativement rigide,
les courbures du moule sont petites. Cela permet d’utiliser le modèle des plaques de LoveKirchhoff [115] pour avoir l’équation d’équilibre local du moule donné par la relation :
∆∆u x, y
D.p x, y
avec
D
12 1 ν 2
Et3
(7.1)
où u est le déplacement vertical d’un point de la plaque, D le module de raideur, t l’épaisseur du
moule et p la résultante de pression sur le segment normal au plan moyen au point considéré.
E et ν désignent respectivement le module d’Young et le coefficient de Poisson du silicium.
Cette équation est celle utilisée par Taylor [17] dans son logiciel de calcul de flexion de moule
et peut être facilement résolue numériquement. Dans la relation (7.1) les effets inertiels sont
négligés. Sans considérer le problème des zones de contact qui peuvent changer entre le moule
et le polymère, toute la difficulté ici est d’évaluer la pression p. Si la distribution de p sur le
moule est connue, alors la résolution de (7.1) donne immédiatement la flexion du moule. Or
132
p comprend la pression en face arrière p0 , que l’on peut évaluer, et la force de réaction du
polymère que l’on note F . Comme F dépend de la vitesse d’impression l’équation (7.1) devient
une équation temporelle. L’étude de ce couplage est présentée dans la partie suivante. Enfin
notons que l’utilisation d’un moule rigide implique nécessairement une étude à deux échelles.
Plus le moule est rigide, plus les déformations auront tendance à se propager sur des grandes
distances (supérieures au millimètre). On pourra alors distinguer l’échelle des motifs et l’échelle
des déformations du moule. La partie 7.2.7 développera un peu plus la relation entre ces deux
échelles.
De manière évidente le même raisonnement s’applique pour les substrats en silicium ou tout
matériau de rigidité équivalente. Dans le cas des moules souples les courbures peuvent ne plus
être négligeables et l’utilisation de la relation (7.1) doit être faite avec précaution, notamment
dans le cas de substrats très rugueux ou non plans.
7.2.2
Équilibre d’un motif avec flexion du moule
P0
Ti
Ti+1
F
w
Figure 7.1 – Illustration des efforts appliqués à un motif lors d’une impression avec la prise
en compte de la flexion.
Lorsque le moule fléchit, un motif élémentaire n’est plus soumis uniquement à deux forces,
celle du polymère en face avant et celle de la presse en face arrière, mais également aux efforts
tranchants dans le moule. Pour se représenter ces efforts on isole un motif élémentaire comme
présenté sur la figure 7.1. La pression p0 est la pression exercée par la presse et reste la donnée
d’entrée. Les efforts Ti et Ti 1 sont les efforts les parties adjacentes du moule sur le motif isolé
et sont liés par la relation de comportement du moule, comme la relation (7.1) pour les moules
élastiques. L’effort F est l’effort de réaction du polymère et c’est l’opposé de l’effort qui était
appliqué dans nos simulations. L’équilibre du motif est donné par la relation
p0 .w
Ti
Ti
1
F
0
(7.2)
où w est la période du motif. Dans le cas où la flexion est négligée Ti et Ti 1 sont nuls et
p0 .w qui était utilisée dans nos simulations. Lorsque les efforts
l’on retrouve la relation F
tranchants ne sont plus nuls, le problème comporte trois inconnues et deux équations à résoudre.
La résolution de ces équations dépend du choix fait pour décrire l’écoulement du polymère.
133
7.2.3
Les modèles d’écoulement simplifiés
En utilisant un modèle simple comme le modèle issu de la théorie de la lubrification (cf.
chapitre 3) qui suppose l’écoulement parallèle au substrat, F peut être explicitement donné
en fonction de la viscosité du polymère, de l’épaisseur du film sous le motif, de la largeur du
motif et la vitesse d’impression. Dans ce cas F peut être directement intégré dans l’équation
de comportement du moule et l’on obtient l’équation différentielle non linéaire suivante pour
les moules élastiques :
∆∆u x, y
η
u
L
D p0
3
L
h0
(7.3)
u
hauteur de la ligne moyenne (nm)
où h0 est l’épaisseur initiale du film de polymère, η la viscosité du polymère et L la largeur du
motif. La résolution de cette équation peut être faite à l’aide de la méthode des éléments finis
et une méthode itérative de Newton. Le résultat d’une simulation est présenté sur la figure 7.2
pour l’impression de motifs micrométriques dans un film de polymère de 400 nm d’épaisseur.
Trois réseaux de largeur 2 mm sont utilisés dans cet exemple pour montrer que l’on peut
facilement prendre en compte un nombre important de motifs avec cette méthode avec un coût
raisonnable : le temps de simulation est de l’ordre de la minute. Ici la simulation est arrêtée
avant que les parties vides de motifs n’entrent en contact avec le film de polymère.
w = 3 µm
L = 1.5 µm
w
L
1000
900 t = 0.01 s
800
t = 0.05 s
700
t = 0.1 s
600
500
400
300
polymère
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x (mm)
Figure 7.2 – Illustration de la flexion du moule en utilisant les efforts du modèle issu de la
théorie de la lubrification pour l’impression de motifs micrométriques dans un film de polymère
de 400 nm d’épaisseur.
Une approche similaire a été proposée par Kehagias et al. [15]. Ces auteurs utilisent les
équations de la théorie de la lubrification pour simuler l’écoulement du polymère et évaluer
le taux de remplissage du moule. Ils proposent également une vérification expérimentale et
ajustent la viscosité du polymère considéré comme un fluide newtonien. Une autre approche
intéressante est celle proposée par Taylor et al. [17] qui modélisent le film de polymère comme un
solide semi-infini et utilisent les solutions de la mécanique du contact pour décrire la déformation
du film. Cette méthode donne une équation explicite entre la déformée de la surface libre et
l’effort résultant sur le motif. Ici l’effort ne peut pas être intégré directement dans l’équation de
flexion du moule. Le couplage fort nécessite alors la résolution de deux équations, ce que font
les auteurs.
134
7.2.4
Utilisation de NanoNem dans le problème de flexion
L’utilisation des modèles analytiques ne permet pas de prendre en compte la rhéofluidification du matériau. Or nous avons montré dans la partie 2.2.3 et dans le chapitre 6 que ce
phénomène était très présent dans des conditions classiques d’impression (p0
10 bars) avec
nos polymères. La détermination de la relation entre la force F et la vitesse d’impression avec
un tel comportement ne peut alors être faite qu’à l’aide d’une méthode numérique. Il existe alors
deux stratégies. La première qui est compliquée à mettre en œuvre en traitant le problème de
couplage fort où l’on cherche en même temps la vitesse d’impression et la flexion du moule. Cette
stratégie pose problème car d’une part la rigidité des matériaux n’est pas équivalente entre le
polymère et le moule, ce qui rend le problème mal conditionné, et d’autre part il faudrait simuler
l’impression de motifs sur un grand nombre de périodes, ce qui est très coûteux en termes de
calculs. L’autre stratégie consiste à considérer un couplage faible. C’est ici que NanoNem peut
être utilisé.
Figure 7.3 – Découpage près d’un bord d’un réseau périodique pour générer une base de
données en vue de calculer la flexion du moule avec un couplage faible.
L’effort appliqué aux motifs va légèrement varier autour de la valeur nominale p0 .w. Il faut
d’abord évaluer cette plage de variation de l’effort, ce qui peut être fait en estimant la flexion
maximale du moule et en connaissant sa raideur. Puis il faut simuler l’impression des motifs
dans cette plage d’efforts. On aura alors autant de simulations que de types de motifs multiplié
par le nombre de valeurs prises pour l’effort. Cela nous permet de constituer une banque de
donnée d’efforts calculés numériquement qui dépendent de l’effort de réaction du polymère, de
la profondeur d’impression et du type de motif. La figure 7.3 illustre cette méthode où l’on
voit qu’un réseau périodique peut être réduit à l’étude de deux géométries, une à l’intérieur
du réseau et l’autre sur son bord. Ce découplage suppose que les propriétés de symétrie et de
périodicité restent valables dès le deuxième motif en partant du bord. Cet effort sera alors intégré
à l’équation de flexion du moule (7.1) comme l’effort calculé avec la théorie de la lubrification
de l’exemple de la partie 7.2.2. Dans ce cas la résolution est un peu plus complexe puisque l’on
ne dispose pas de formule explicite pour l’effort F mais simplement de valeurs discrètes. Une
telle résolution n’a pas été effectuée dans nos travaux faute de temps et fait partie des objectifs
à court terme.
7.2.5
Optimisation du procédé de nanoimpression
L’homogénéisation de l’épaisseur résiduelle reste un sujet de recherche très important pour la
nanoimpression thermique. Ce sujet est d’autant plus difficile lorsque l’on regarde les paramètres
du procédé sur lesquels on peut intervenir : la pression, la température, le vide et le temps
135
d’impression. Ici l’on voit que la nanoimpression souffre de sa simplicité pour corriger des
défauts d’impression mesurés localement. L’optimisation de l’épaisseur résiduelle nécessite alors
de travailler directement sur le moule, ce qui complexifie l’opération. Les techniques proposées
par Nielsen et al. [11], avec un moule à rigidité variable, ou Pedersen et al. [16], avec des
motifs d’équilibrage, donnent des pistes de recherche mais pas de règles de dimensionnement.
Étant donnée la complexité du problème de flexion du moule, une méthode numérique itérative
semble être la plus appropriée pour définir de telles règles. Une itération consisterait à calculer
la flexion du moule et mesurer l’épaisseur résiduelle.
Avec la solution de Nielsen et al. [11] l’épaisseur du moule peut alors être localement modifiée
pour homogénéiser cette épaisseur en rigidifiant les zones où la flexion est importante (bords de
réseaux) et inversement. Cette stratégie a été utilisée et mise en œuvre par Taylor et al. [17],
mais avec une évaluation des efforts faite avec des modèles d’écoulement simplifiés. Avec la
solution proposée par Pedersen et al. [16] il faut pouvoir calculer rapidement la relation effortvitesse d’impression d’un motif dont les dimensions changent, pour une plage d’efforts donnée
autour de la valeur nominale et pour différentes épaisseurs comme présenté dans la partie 7.2.4.
Pour y arriver on peut envisager de calculer au préalable des solutions pour un ensemble fini de
géométries d’équilibrage de tailles différentes. Le problème d’optimisation peut être effectué en
utilisant une méthode d’interpolation comme la décomposition orthogonale aux valeurs propres
utilisée par Bialecki et al. [116] dans un problème de condition thermique en transitoire. En
imaginant que seule la largeur L des motifs soit variable, un ensemble discret de largeurs
serait simulé. La méthode d’interpolation pourrait alors permettre de chercher continûment
et rapidement la largeur optimale pour minimiser l’épaisseur résiduelle. Cette méthode reste
néanmoins beaucoup plus complexe que celle de Nielsen et al. [11] car l’optimisation dépend de
la taille des motifs d’équilibrage, mais également de leur position sur le moule.
7.2.6
Les conditions aux limites
a)
b)
p0 (air)
substrat
moule
polymère
piston
rigide
élément souple
polymère
polymère
support
support
Figure 7.4 – Illustration des différentes conditions aux limites rencontrées expérimentalement.
Les plaques peuvent être directement mises en contact avec un support rigide (moule sur son
support, cas (a) et (b)) créant un contact unilatéral. La plaque peut être en contact avec un gaz
sous pression (substrat dans le cas (a)) et la pression est alors homogène. Un élément souple
peut être introduit entre le substrat et le piston rigide (b) et créer une distribution de pression
en forme de cloche sur le substrat.
Les conditions aux limites rajoutent une difficulté supplémentaire à la modélisation de la
flexion du moule. Dans l’ensemble des simulations et modèles proposés nous avons supposé que
la pression était constante en face arrière du moule. Pour une étude sur quelques centimètres
136
carrés cette hypothèse peut être justifiée, mais à l’échelle d’une plaque elle dépend de l’empilement choisi pour réaliser l’impression. Trois grands cas se présentent. Soit la plaque est
directement en contact avec son support (ou un piston rigide), soit la plaque est en contact
avec un gaz (air), soit un élément souple est introduit entre la plaque et le support. Dans le
premier exemple du chapitre 6 l’empilement comprenait les deux premiers cas comme présenté
sur la figure 7.4. Dans le cas où l’on utilise une pression pneumatique, la pression en face arrière
de la plaque est homogène égale à la pression du gaz (a). Lorsqu’un élément souple est introduit
entre le substrat et le piston rigide (b) il crée une distribution de pression en forme de cloche
sur le substrat, avec une pression au centre pouvant être six fois plus importante que sur les
bords. Enfin, lorsque le moule est posé sur un support rigide on a un contact unilatéral. On
a alors deux configurations possibles, soit supposer que le contact est parfait entre les deux
surfaces (a), soit prendre en compte la flèche du moule (b), non négligeable devant la taille des
motifs. Prendre en compte ce type de condition aux limites nécessite de résoudre un problème
non linéaire de contact.
7.2.7
Le moule vu comme un filtre mécanique
k
p1
p2
p3
Figure 7.5 – Modélisation des conditions aux limites sur le substrat dans le cas d’un empilement
avec un matériau souple en face arrière et une distribution de pressions en face avant.
Nous proposons une approche originale du problème de flexion du moule en transposant
l’équation (7.1) dans le domaine de Fourier. L’idée consiste ici à résoudre le problème de flexion
du moule avec des solutions périodiques, idée inspirée de la disposition des motifs sur les plaques.
Le cas étudié est celui présenté sur la figure 7.5. Ce cas nous a permis de montrer que l’élément
souple introduit entre le piston et le substrat pour absorber les défauts de surface du piston
donne de la souplesse à l’assemblage et favorise la flexion du moule. Il a également permis
d’avoir un modèle permettant d’interpréter l’influence de la densité des motifs et de la raideur
du moule sur sa flexion. On suppose ici que la transmission de contraintes des motifs au substrat
à travers le film de polymère résulte en une distribution localisée de pressions p1 , p2 et p3 audessus des motifs. Un modèle plus élaboré pourra prendre en compte une variation des forces en
fonction de l’écoulement du polymère. L’élément souple est modélisé par un ensemble continu
de ressorts de raideur par unité de longueur k.
Ce modèle nous permet d’expliciter la pression p de l’équation (7.1) :
p x, y
pi Hi x, y
k.u x, y
avec
Hi x, y
1 sur le motif i
0 sinon
.
En appliquant ces transformations à l’équation (7.1) avec la pression définie ci-dessus on obtient :
X2
Y2
2
û X, Y
D.p̂ X, Y
137
D.
pi Ĥi
k.û X, Y
(7.4)
Ce qui permet d’obtenir immédiatement la transformée de Fourier du déplacement :
û
pi Ĥi k
1
λX
2
λY
2 2
Ĝ X, Y .
avec
pi Ĥi
distribution des motifs
fc
4
k
12 1 ν 2
Et3
(7.5)
déplacement (nm)
0
200
10
A
position (mm)
20
C
300
30
400
40
500
50
600
60
B
700
70
800
80
900
90
100
1000
0
20
40
60
position (mm)
80
20
100 0
40
60
position (mm)
80
100
Figure 7.6 – Distribution arbitraire de motifs pour le réseau élémentaire de côté l
(a) et calcul du déplacement du moule avec la méthode de Fourier (b).
10 cm
Dans cette dernière équation pi Ĥi est la transformée de Fourier du profil de pression sur le
motif i et Ĝ une fonction de transfert type passe-bas d’ordre 4 de fréquence de coupure fc . La
méthode proposée ici permet donc de déterminer la transformée de Fourier du déplacement u
étant donnée une distribution de pression. Par transformée inverse il est donc possible de calculer
u. Le champ u peut être calculé en 2D, comme le montre la figure 7.6, pour une distribution
quelconque de motifs. La distribution choisie permet d’avoir une densité importante de motifs
dans la partie haute du réseau (a) et des densités moins importantes autour. Les formes des
motifs sont soit des anneaux, soit des plots, soit des lignes orientées suivant l’horizontale ou la
verticale. Le calcul de la déformée (b) montre alors que la flexion est la plus importante entre
la zone dense en motifs (A) et les zones moins denses (B et C). Ce type de résolution peut
alors permettre de simuler la déformation du moule pour un très grand nombre de motifs. Elle
devra cependant inclure le comportement du polymère et la limitation de flexion par la prise
en compte du contact entre le moule et le polymère dans les zones sans motifs.
Enfin la fonction de transfert de type passe-bas montre alors qu’une légère variation de
densité des motifs sur des petites distances modifie très peu la déformée du moule. Ces mêmes
variations mais suffisamment espacées provoquent par contre une flexion du moule. Cette distance de transition est définie par l’inverse de la fréquence de coupure λ 1 fc . Elle dépend des
propriétés du moule mais également de l’empilement avec une couche de silicone par exemple.
Dans le cas d’un moule en silicium les paramètres valent :
E
110 GPa
t
750 µm
0,3
ν
k
1 GPa.m
1
.
La raideur k est calculée comme le rapport Er e0 du module d’Young du silicone Er et de son
épaisseur e0 . Ces valeurs donnent alors :
D
0,24 Pa
1
.m
3
138
λ
8,1 mm .
On met ici en évidence la notion de filtre mécanique. λ s’écrit :
λ
4
kEt3
12 1 ν 2
(7.6)
ce qui montre que plus le moule est épais (t grand), plus la longueur λ est grande. La variation
de densité de motifs a donc très peu d’influence sur un moule très rigide. Cependant, un moule
très rigide propage les déformations très loin. Si l’on a un défaut (poussière) sur le moule, alors
l’impression sera de mauvaise qualité sur une zone importante autour de ce défaut. Dans le cas
d’un moule souple (moule fin ou matériau souple), alors cette distance de propagation diminue.
Le moule sera plus sensible aux variations de densité des motifs, les déformations seront donc
plus importantes qu’avec un moule souple, mais plus localisées (on isole des défauts).
7.3
Conclusion
Toutes ces perspectives montrent une partie des travaux réalisés sur la flexion du moule
dans le cadre de cette thèse. Les idées nouvelles proposées et l’analyse des progrès qu’il reste
à faire par rapport aux résultats de la littérature montrent que l’estimation de la flexion du
moule pour la nanoimpression thermique reste un sujet attractif et prometteur.
139
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147
148
Annexe A
Manuel d’utilisation de NanoNem
pour la résolution d’un problème
plan de Stokes (2D plan ou
axisymétrique)
ano
em
149
A.1
Introduction
Le code Matlab a été utilisé pour réaliser un algorithme de résolution d’un problème de
Stokes, NanoNem, pour des écoulements plans ou axisymétriques, prenant en compte les effets
de tension superficielle, de mouillage et le glissement de Navier. Il permet également de prendre
en compte les effets de rhéofluidification avec une loi de Carreau-Yasuda. Ce code utilise la
méthode des éléments naturels contraints (C-NEM) et permet d’étudier l’écoulement d’un fluide
visqueux en contact avec un ou plusieurs solides pouvant se translater et considérés comme des
solides indéformables.
Ce guide explique comment installer le code, construire les fichiers utiles à la simulation,
lancer la simulation et extraire les résultats. Il est accompagné d’exemples prêts à l’emploi
situés dans le répertoire :
..\NanoNem\Manuel NanoNem\fichiers simu\
L’installation est présentée dans la première partie. Pour illustrer ce guide, deux exemples
simples d’un demi-cylindre et d’une demi-shpère posés sur un solide sont proposés, et feront
l’objet de la deuxième partie. Le logiciel permettant de créer une géométrie et de générer le
maillage associé sera présenté dans la troisième partie. La quatrième partie expliquera comment
créer le fichier interprétation exemple.cnm qui servira à mettre en œuvre notre simulation. La
dernière partie présentera les résultats de la simulation pour notre exemple et les possibilités
de post-traitement. Une conclusion terminera ce guide.
A.2
A.2.1
Installation de NanoNem
Le compilateur C++
Pour installer NanoNem, vous devez disposer du dossier NanoNem, avoir installé Matlab et disposer d’un compilateur C++. Sous les systèmes UNIX le compilateur est normalement déjà intégré. Sous Windows, pour les machines en 32bits, on recommande d’installer
Visual Studio C++ 2005. Pour les système en 64bits, l’installation peut être un peu compliquée. Voici un lien qui vous permettra d’installer le compilateur sur ce type de machine :
www.mathworks.fr/support/solutions/en/data/1-6IJJ3L/index.html?solution=1-6IJJ3L.
Pour vérifier si un compilateur est installé, ouvrir Matlab et exécuter ensuite la commande :
mex -setup
Matlab vous propose alors les différents compilateur installés, en choisir un et Répondre “yes”.
Le compilateur Gcc suffit sur les systèmes UNIX. Le compilateur Lcc pré-installé sous Windows
ne fonctionne pas systématiquement. En cas d’erreur, installer un des compilateurs proposés
ci-dessus.
Une fois le compilateur sélectionné il reste à compiler les fonctions comme expliqué dans la
partie suivante.
A.2.2
Compilation des routines C-NEM
La compilation permet d’obtenir les routines qui serviront à calculer les fonctions de forme
de la C-NEM, routines qui dépendent de la machine de calcul. On recommande d’effectuer la
compilation sur chaque nouvelle machine.
150
Pour lancer la compilation, se placer dans le répertoire de travail NanoNem et lancer :
Install_NanoNem.m
La compilation ne devrait durer que quelques secondes. Cette fonction permet d’exécuter
simultanément la fonction :
..\NanoNem\Comp_cnem\cnem\matlab\libbuild\make_cnem2d.m
pour créer la routine cnem2d.mex*** où *** est une extension qui dépend du système d’exploitation (maci64 pour Mac OS X 64bits, w64 pour Windows 64bits, etc. . .), et la fonction :
..\Comp_cnem\scr_hd\make_func_hd.m
qui crée les routines B_extractfront.mex*** et F_integration_frontiere.mex***. On retrouve ces trois fonctions dans le dossier
..\NanoNem\Routines_Lounes
En cas d’échec, sélectionner un autre compilateur. Si aucun compilateur ne fonctionne
contacter hubert.teyssedre@silsef.com.
A.3
Problème de référence
A
R=1μm
air
polymère
B
C
substrat
Figure A.1 – Quart de disque de polymère posé sur un substrat - géométrie de référence.
Les commandes présentées dans ce manuel sont illustrées par deux exemples qui utilisent une
seule et même géométrie, qui représente dans un cas un demi-cylindre (cas plan) et dans l’autre
cas une demi-sphère (cas axisymétrique) de polymère, posé(e) sur un substrat. Les symétries
respectives nous permettent de n’étudier qu’une demi-section des géométries, qui se résume à
un quart de cercle dans les deux cas, un solide (qui sera le substrat sur lequel va glisser le
matériau) et un axe de symétrie (symétrie plane ou axiale selon le cas), comme présenté sur
la figure A.1. Pour la demi-sphère, l’axe (AB) est l’axe de symétrie de révolution. Le problème
est le suivant : l’angle de mouillage est tel que la géométrie n’est initialement pas en équilibre,
et celle-ci va évoluer au cours du temps pour atteindre un angle d’équilibre au niveau du point
triple C (air-polymère-solide), avec des temps différents dans chaque cas.
151
La solution analytique temporelle de ces problèmes n’est pas connue, mais les configurations
initiales et finales le sont. Étant donné un volume initial, un angle de contact statique θS et une
énergie de surface γ, il est possible de déterminer analytiquement la configuration à l’équilibre.
En effet, pour un angle de mouillage donné, la position à l’équilibre est celle de la figure A.2,
pour laquelle on peut calculer la hauteur H atteinte par la goutte, la distance D du point
triple à l’axe et la pression peq à l’intérieur du matériau. Cette configuration d’équilibre est
indépendante du comportement du polymère et des conditions de glissement sur le substrat,
mais dépend du cas considéré, et les formules sont présentées ci-dessous. Dans les deux cas,
on exploite la conservation de volume, des relations géométriques et l’équation de Laplace qui
donne la pression à l’intérieur du polymère :
κ.γ
peq
où κ est la courbure totale de la surface libre.
A
peq
H
Req
θS
C
B
substrat
D
Figure A.2 – Demi-section de polymère posé sur un substrat - géométrie à l’équilibre.
L’application numérique se fera avec un rayon initial de 1 µm, une tension de surface γ 40
135˚ pour l’angle de mouillage. Le disque ayant un angle de
mJ/m2 et un angle statique θ
contact initial de 90˚, on devrait voir la géométrie évoluer jusque la position d’équilibre avec
un angle de 135 . Le point A étant sur un axe de symétrie, l’angle y reste contant et égal à
90˚. Les applications numériques seront comparées avec les résultats de la simulation que nous
allons mettre en place dans la partie suivante.
A.3.1
Solution à l’équilibre dans le cas plan
Dans le cas plan la conservation de volume peut s’exprimer par la conservation de surface,
et l’on a :
cos θS
π 2
2 θS
S0
D.Req .
R (initial), Seq Req
(équilibre)
4
2
2
avec S0 Seq , ce qui nous permet d’en déduire :
Req
R.
2. θS
152
π
sin θS cos θS
(A.1)
On déduit les autres grandeurs des relations géométriques suivantes :
H
Req . 1
cos θS
D
Req . sin θS
(A.2)
(A.3)
Enfin, la courbure totale vaut 1 Req dans le plan, ce qui donne pour la pression :
γ
Req
peq
(A.4)
L’application numérique donne :
0, 7416 µm
Req
A.3.2
H
1, 266 µm
D
0, 5244 µm
peq
5, 394
10
2
MPa
Solution à l’équilibre dans le cas axisymétrique
Dans le cas axisymétrique, le volume initial de la demi-sphère vaut V0
à l’équilibre est lui donné par la formule :
Veq
4 3
πR sin2
3 eq
1
πD 2 H
3
θS
2
2
3
3 πR .
Le volume
Req
On peut en déduire l’expression du rayon à l’équilibre :
R
Req
3
22
cos θS sin
(A.5)
4
θS
2
Les expressions de H et D sont inchangées mais la courbure totale vaut maintenant κ
L’application numérique donne alors :
Req
A.4
0, 81 µm
H
1, 382 µm
D
0, 573 µm
peq
9, 88
10
2
2 Req .
MPa
Création des fichiers pour la simulation
Une simulation est exécutée à partir de deux fichiers minimum, un qui contient le maillage
et l’autre les données d’interprétation. Dans notre cas le fichier contenant le maillage est généré
à partir du logiciel GMSH 1 en créant d’abord une géométrie parfaite, puis en maillant cette
géométrie. Le ficher interprétation est fait à partir d’un fichier texte vierge. Un dernier fichier
peut être ajouté et contenir les données de température en fonction du temps. Cette partie
présente la construction de ces fichiers.
1. C. Geuzaine, J.-F. Remacle, Gmsh: a three-dimensional finite element mesh generator with built-in preand post-processing facilities, Int. J. Numer. Meth. Engng 79 (2009) 1309-1331.
153
A.4.1
Créer sa géométrie avec GMSH
Pour générer une géométrie on utilise le logiciel libre GMSH. Ce logiciel permet de créer assez
facilement des surfaces (géométries planes même de formes complexes), de les mailler et de créer
des ensembles de nœuds. La création de la géométrie peut se faire à partir de l’interface graphique, en cliquant sur le module “Geometry” dans l’arborescence, ou en définissant à la main les
différentes entités de notre géométrie dans le fichier exemple.geo (à ouvrir à l’aide d’un éditeur
de texte). La première méthode a l’avantage d’être interactive et efficace pour des géométries
simples, mais trouve vite ses limites dès lors que l’on a des nœuds de deux géométries qui se
superposent (dans le cas d’un solide initialement en contact avec le polymère par exemple).
La deuxième méthode sera donc celle présentée dans ce guide. Dans une première partie sont
présentées les différentes commandes permettant de réaliser les éléments géométriques. Puis on
énumère les règles de base qui permettent d’avoir une géométrie compatible avec le programme,
la prise en compte de la tension de surface et du mouillage nécessitant d’orienter correctement
les différents éléments. Dans un troisième temps la fonction de vérification du maillage est
présentée.
A.4.1.1
Les entités géométriques
Un certain nombre de géométries élémentaires sont proposées par GMSH, voici quelques
unes d’entre elles et le code associé.
– Point(k) = {x, y, z, d} permet de créer un nœud d’indice “k”, et de coordonnées (x,y,z).
Le paramètre “d” est le paramètre de maille qui servira lors du maillage et désigne la
taille visée des éléments autour de ce point (ou nœud associé),
– Line(k) = {i, j} permet de créer un segment d’indice “k” entre les points “i” et “j”,
– Circle(k) = {i, m, j} permet de créer un arc de cercle d’indice “k” et de centre “m” entre
les nœuds “i” et “j”,
– Spline(k) = {i, j, l, m} permet de créer une courbe spline d’indice “k” passant par les
points d’indice “i”, “j”, “l” et “m”,
– Line Loop(k) = {i, j, l, m} permet de créer un contour fermé à partir des courbes “i”,
“j”, “l” et “m”,
– Plane Surface(k) = {i} permet de créer la surface d’indice “k” à partir du contour d’indice
“i”.
D’autres fonctions sont disponibles permettant entre autre de faire des translations, rotations,
symétries mais ne seront pas présentées ici. Toutes ces fonctions sont à mettre à la suite les
unes des autres dans le fichier exemple.geo. Il est possible de faire des géométries paramétrées
en utilisant les opérations usuelles (addition, multiplication), des fonctions usuelles (Cos, Sin)
ou encore des boucles. Les paramètres de la géométrie s’ils existent sont à entrer au tout début
du fichier exemple.geo sous la forme :
param = “valeur”;
La documentation en ligne présente toutes ces fonctionnalités. À la fin de chaque instruction il
faut mettre un point virgule (”;”). Dans notre cas nous aurons besoin de créer deux géométries :
une pour le polymère et une pour le solide. Pour le polymère il faudra créer successivement :
– trois points pour les sommets A, B et C du polymère,
– deux segments et un arc de cercle,
154
– un contour fermé
– une surface.
Pour le solide (uniquement sa frontière), il faudra créer successivement :
– deux points pour délimiter le substrat,
– un segment pour relier les deux points et matérialiser la frontière du solide.
Pour les axes de symétrie, aucune géométrie n’a besoin d’être créée. L’orientation des frontières
des objets étant importante, on veillera à appliquer les règles présentées dans la partie suivante
lors de la création des géométries.
A.4.1.2
Les règles de base
Deux règles sont à appliquer pour la réalisation de la géométrie, elles concernent l’orientation
du contour et sa continuité. Ces règles sont les suivantes :
orientation : on choisit comme convention d’orientation des contours la convention trigonométrique, pour le fluide comme pour les solides, i.e, quand on est à l’intérieur d’un objet
on parcourt sa frontière dans le sens trigonométrique. Pour que le logiciel maille le contour
dans le sens trigonométrique, il suffit de joindre les points (ou créer des lignes entre points)
du contour dans le sens trigonométrique.
continuité : on doit créer les portions de frontière dans la continuité du contour. Par exemple
il ne faudra pas créer un segment, le précédent puis son suivant. Même orienté individuellement dans le sens trigonométrique, ce schéma ne permettra pas au code de retrouver la
frontière.
Par exemple, pour notre quart de disque de polymère, on pourra créer le contour en créant
successivement les lignes [A,B], puis [B,C], puis [C,A]. Cette étape est importante car le code
va appeler une liste d’éléments créés sur la frontière par GMSH, puis les nœuds associés à ces
éléments pour retrouver la frontière.
1
3
1
Y
2
5
3
4
2
4
Z
X
Figure A.3 – Géométrie obtenue sous GMSH pour notre quart de cylindre.
155
Ces nœuds seront correctement rangés si l’on applique les règles précédentes. L’arc [C,A]
est amené à être une surface libre, donc le point C ne peut pas être le point d’ancrage de notre
contour. On choisira dans notre cas le point A comme point de départ, point 1, puis on créera
le point 2 à l’emplacement de B, puis le point 3 à l’emplacement de C. On crée ensuite les
deux segments 1 et 2 pour [A,B] et [B,C], puis un cercle 3 de centre le point 2 (B) pour l’arc
(C,A). On crée enfin le contour fermé 1 avec les lignes 1, 2 et 3 et la surface 1 avec le contour
fermé 1. Nous verrons dans la suite qu’il est possible de choisir un facteur d’échelle pour la
simulation. On choisit ici le micromètre ce qui donne {0,1,0} comme coordonnées pour le point
A. On prendra cl1=0.05 comme longueur des éléments autour des points 1 et 2, et cl2=0.015
autour du point triple. Pour le solide, on parcourt sa frontière de droite à gauche en application
de la règle sur l’orientation. On supposera qu’il est de longueur 1.2 µm matérialisé par deux
points 4 et 5 reliés par un segment 4 avec cl3 = 1.2 comme paramètre de maille. Il faut donc
ouvrir un fichier texte vierge, l’enregistrer sous exemple.geo et y entrer :
cl1 = 0.05;
cl2 = 0.015;
cl3 = 1.2;
Point(1) = {0, 1, 0, cl1};
Point(2) = {0, 0, 0, cl1};
Point(3) = {1, 0, 0, cl2};
Point(4) = {cl3, 0, 0, cl3};
Point(5) = {0, 0, 0, cl3};
Line(1) = {1, 2};
Line(2) = {2, 3};
Circle(3) = {3, 2, 1};
Line(4) = {4, 5};
Line Loop(1) = {1, 2, 3};
Plane Surface(1) = {1};
Les deux dernières lignes permettent de définir le contour fermé et la surface construite
sur ce contour. En ouvrant le fichier avec GMSH la géométrie doit apparaı̂tre. Pour modifier
la géométrie, cliquer sur “edit”, et il est alors possible d’éditer le fichier exemple.geo. Une
fois les modifications faites, enregistrer, cliquer sur “reload” et la nouvelle géométrie s’affiche.
Pour faire apparaı̂tre les numéros des nœuds et lignes, aller dans “Tools/option/Geometry”
et sélectionner les cases correspondantes. La figure obtenue est celle de la figure A.3. Si l’on
souhaite imposer n éléments le long d’une ligne “i” avec une progression r, on pourra rajouter
la commande suivante à la suite des éléments géométriques :
Transfinite Line{i} = n Using Progression r
A.4.1.3
Les groupes de nœuds
Avant de mailler la géométrie il faut créer des groupes de nœuds. Ce sont ces groupes que
nous allons utiliser pour définir le matériau, les axes de symétrie, les solides etc. On utilise alors
les commandes :
– Physical Line(k) = {i,j}, qui crée un groupe physique “k” avec les nœuds des lignes “i”
et “j”,
156
– Physical Surface(k) = {i}, qui crée un groupe physique “k” avec les nœuds de la surface
“i”.
Par défaut on crée des groupes de nœuds en fonction des conditions aux limites pour chaque
objet pris de façon indépendante. Par exemple si l’on considère le polymère seul, les lignes 2
et 3 sont des surfaces libres (condition aux limites en effort). Comme elles se touchent, c’est
une seule surface libre. Elles seront donc rangées dans le même groupe physique. La ligne 1 est
un axe de symétrie (condition aux limites en vitesse/déplacement), elle sera donc rangée toute
seule dans un groupe physique.
On crée en plus un groupe physique pour le matériau lui même (surfacique). Pour les solides,
on crée un groupe de nœuds par solide (1 condition cinématique par solide). C’est le code qui
détectera les noeuds qui sont en contact avec les solides, et il n’est donc pas nécessaire de
faire un groupe pour un ensemble de nœuds qui seraient simplement “initialement au contact
avec un solide”. Ainsi pour notre exemple, on devra rajouter les lignes suivantes dans le fichier
exemple.geo :
Physical
Physical
Physical
Physical
Line(1) = {1};
Line(2) = {2, 3};
Line(3) = {4};
Surface(4) = {1};
De cette façon les nœuds de l’axe sont rangés dans le groupe 1, ceux de la surface libre dans
dans le groupe 2, le substrat dans le groupe 3 et le matériau dans le groupe 4. Une fois que
cette opération est finie, il faut actualiser la géométrie qui est prête à être maillée.
A.4.1.4
Maillage
Pour mailler la géométrie il suffit d’ouvrir le fichier exemple.geo, d’aller dans le module
“Mesh” de GMSH et de cliquer sur “2D”. Si on doit actualiser le maillage pour changer les
paramètres de maille par exemples, une fois que le maillage est acceptable, il faut fermer GMSH,
réouvrir le fichier et créer le maillage, sinon les numéros des nœuds seront incrémentés à chaque
actualisation et NanoNem ne peut pas retrouver les connexions. On ne détaille pas ici comment
améliorer le maillage et régler les paramètres de maille, voire le nombre d’éléments le long d’un
bord. La seule règle que l’on recommande, mais qui n’est pas obligatoire, c’est de choisir le
paramètre de maille le plus grand possible pour les solides (typiquement égal à la plus grande
dimension du solide considéré) pour n’avoir qu’un seul élément sur les portions rectilignes. Si
le code trouve plusieurs nœuds alignés sur un solide l’alerte suivante est simplement renvoyée
dans le fichier log :
-------------------------- !!!!!!! -------------------------Plusieurs noeuds appartiennent à une m^
eme section de solide
-------------------------- !!!!!!! -------------------------De plus, la frontière du solide ne doit pas avoir d’angle supérieur ou égal à 90˚, il faut nécessairement rajouter un congé ou un chanfrein si c’est le cas.
Une fois le maillage généré, il faut cliquer sur “save” pour l’enregistrer. Le fichier maillage
exemple.msh est alors créé au même endroit que le fichier géométrie. On procède ensuite à la
vérification du maillage en utilisant la fonction “Read geometry” dans Matlab. Se placer dans le
répertoire principal de NanoNem et exécuter cette fonction. Il faut alors lui donner le chemin du
157
fichier exemple.msh. Il affiche alors les différents groupes de nœuds, ainsi que les numéros des
groupes. La figure A.4 est le résultat obtenu. On retrouve nos deux ensembles sur la frontière
en rouge et bleu ciel, le solide en vert et l’intérieur du domaine en jaune. Sur cette figure sont
représentées les tangentes de chaque élément de la frontière et des solides. Les tangentes sont
représentées sur le premier nœud de l’élément en le parcourant dans le sens trigonométrique.
On vérifie alors sur cette figure que la géométrie est bien construite avec toutes les tangentes
dans le bon sens et au bon nœud.
Il reste maintenant à créer le fichier interprétation exemple.cnm qui servira d’intermédiaire
entre le maillage et le code.
1
Set
Set
Set
Set
0.9
1
2
3
4
0.8
position y (µm)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
position x (µm)
1
1.2
Figure A.4 – Maillage obtenu pour notre quart de cylindre avec les groupes de nœuds.
A.4.2
Créer le fichier .cnm pour la simulation
Le fichier .cnm contient toutes les conditions cinématiques, le type d’objet associé aux
groupes définis précédemment, les propriétés du matériau, et les conditions de simulation. Il
se divise en quatre parties, pour les conditions aux limites en vitesse, les conditions en effort,
les propriétés du matériau et les paramètres de la simulation. Chaque instruction est définie
sur une nouvelle ligne qui doit commencer par le symbole étoile ‘*’. Toutes les grandeurs sont
en unité SI sauf les vitesses et paramètres de glissement qui seront multipliés par le facteur
d’échelle de simulation défini dans la partie A.4.2.3.
A.4.2.1
Conditions aux limites
Les conditions aux limites se situent entre deux lignes qui sont :
**CL CINEMATIQUE
**END CL CINEMATIQUE
**CL EFFORT
**END CL EFFORT
158
Entre ces deux lignes on définit les propriétés d’un groupe et les conditions aux limites associées.
Toutes les options à affecter à un groupe sont entrées sur une seule ligne, chacune séparée par
une virgule. Pour les conditions cinématiques, une ligne contient nécessairement les options
suivantes :
*set=“groupe”, type=“type”
où “groupe” est le numéro du groupe définit dans GMSH, et “type” une des trois valeurs
suivantes :
axe : le groupe considéré appartient à l’axe de symétrie de révolution, uniquement dans un
cas axisymétrique,
sym : le groupe considéré appartient à un axe de symétrie qui n’est pas un axe de révolution,
solide : le groupe considéré est un solide rigide.
On précise ensuite la valeur des vitesses suivant les directions “u” et/ou “v” pour le groupe de
nœuds en ajoutant les options suivantes :
u=“valeur”, v=“valeur”
ou la valeur de l’effort résultant sur cet ensemble de nœuds dans les directions “x” et/ou “y” :
Fx=“valeur”, Fy=“valeur”
Si un effort résultant est imposé dans une direction, alors les vitesses des nœuds dans cette
direction sont liées par une relation de type solide rigide en translation (vitesses toutes égales).
La valeur renseignée pour l’effort s’exprime dans les unités du système international,
n’est pas corrigée par le facteur d’échelle comme le sont les vitesses imposées et les longueurs
de glissement, et elle dépend du cas considéré :
cas plan : la force s’exprime en N/m. Par exemple pour une pression moyenne pm appliquée
pm .L avec pm exprimée en Pa et L en
sur une ligne de longueur L la force vaut F
mètres.
cas axisymétrique : la force s’exprime en N/rad. Par exemple pour une pression moyenne
pm appliquée sur une ligne perpendiculaire à l’axe de révolution et située entre Ri et Re ,
on a F pm . Re2 Ri2 2, avec pm exprimée en Pa et les rayons en mètres.
Pour ne pas imposer de vitesse dans l’une des deux directions (exemple d’un axe de symétrie),
il suffit d’omettre l’option associée à cette direction. Pour le cas d’un solide, si rien n’est précisé
(ni vitesse ni effort résultant), par défaut le problème est résolu avec un effort résultant nul.
Pour un solide, on doit compléter l’instruction avec les options suivantes :
set test=“groupe”, Theta=“valeur”, b ou beta bar=“valeur”
où “set test” est le groupe susceptible de rentrer en contact avec le solide, “Theta” l’angle
de contact à l’équilibre entre le solide et le polymère, et “b” ou “beta bar” le paramètre du
glissement de Navier. Ce paramètre de glissement a la dimension d’une longueur et s’exprime en
unité métrique dans l’échelle définie par les paramètres de simulation (cf paragraphe A.4.2.3)
et non pas dans le système international. “b” permet d’imposer une longueur de glissement
constante indépendamment de la viscosité, alors que “beta bar” permet d’avoir un coefficient
d’adhérence (défini par la longueur de glissement divisée la viscosité) constant. Ces deux cas
159
ne sont équivalents que si la viscosité reste constante. On pourra également définir un contact
collant en imposant :
b=0
Dans notre exemple, nous avons un axe de symétrie à définir sur le groupe 1, avec une vitesse
nulle suivant x, soit la commande :
*set=1,type=sym,u=0
et un solide sur le groupe 3, qui va interagir avec le groupe 2, pour un angle de mouillage
statique de 135 , et de vitesse nulle dans les deux directions. La longueur de glissement sera
considérée comme constante et égale à 1 µm. Cela correspond alors à la commande :
*set=3,type=solide,set_test=2,Theta=135,b=1,u=0,v=0
Sur les surfaces libres, il est seulement possible d’imposer une pression constante uniforme
normale à la surface, définie positive suivant la normale entrante au domaine. L’instruction
permettant d’imposer la pression est la suivante :
*set=“groupe”, p=“valeur”
Dans notre exemple la pression extérieure est nulle, et on a donc :
*set=2,p=0
A.4.2.2
Propriétés matériau
Un seul matériau peut être pris en compte. On a la possibilité de définir un comportement
newtonien, ou bien d’utiliser une loi de Carreau-Yasuda pour un comportement rhéofluidifiant.
Le cas le plus simple est le cas newtonien incompressible. Pour le définir il faut préciser :
– le groupe auquel il est rattaché, *set=“valeur”,
– sa viscosité η0 , *Eta=“valeur”,
– son énergie de surface γ, *Gamma=“valeur”.
Il est également possible de définir la viscosité en fonction de la température avec les coefficients
de la loi WLF telle que :
T Tref
η T
aT
c1 .
log
η0
T T
Il faut alors en préciser les coefficients avec les instructions suivantes :
*C1=“valeur”
*T=“valeur”
*Tref=“valeur”
*Tinf=“valeur”
Si la température de T n’est pas précisée, alors la viscosité est prise égale à η0 . Pour utiliser
une loi de Carreau-Yasuda définie par :
η γeq
η0 a T
1
160
γeq b
a
n 1
a
on doit rajouter les paramètres a, b, n avec les instructions suivantes :
*a=“valeur”
*b=“valeur”
*n=“valeur”
qui sont aussi compatibles avec la loi WLF, avec a et n constants, et b T suivant une loi en
1 a T . Il est également possible d’introduire un facteur de compressibilité λ tel que l’on ait :
λ.η.div v
p
0
Il suffit de rajouter *Lambda=“valeur” aux instructions. Cette ligne est optionnelle et si elle
n’est pas renseignée le problème est supposé incompressible et résolu avec une formulation
mixte (λ 103 104 correspond à un comportement quasi-incompressible).
Enfin, la gravité peut être prise en compte en précisant la masse volumique ρ0 du matériau.
Les forces de gravité sont alors dirigées suivant la verticale descendante. On rajoute
Rho=“valeur”
parmi les instructions pour activer la gravité.
Toutes ces instructions doivent être écrites sur des lignes successives entre les deux lignes
d’ouverture “**MATERIAU” et de fermeture “ **END MATERIAU” des données matériau.
Pour nos demi-cylindre et demi-sphère, le comportement est newtonien, le groupe concerné est
le groupe 4, avec une viscosité de 104 Pa.s, et une énergie de surface de 40 mJ/m2 , soit :
**MATERIAU
*set=4
*Eta=1e4
*Gamma=0.04
**END_MATERIAU
A.4.2.3
Paramètres de simulation
Les paramètres de simulation correspondent au critère d’arrêt de la simulation, à l’échelle
métrique du système, au nombre de sauvegardes intermédiaires à réaliser, au type de problème
traité et au facteur multiplicatif de l’incrément de temps. On peut définir trois types de critères
d’arrêt de la simulation à l’aide de l’instruction *Cond=“critère”, avec “critère” prenant les
valeurs suivantes :
– time=“valeur” pour simuler une étape d’une durée de “valeur” secondes,
– xlim“k”=“valeur”, avec “k” un entier, pour arrêter la simulation lorsque le nœud “k”
aura atteint l’abscisse “valeur”,
– ylim“k”=“valeur”, avec “k” un entier, pour arrêter la simulation lorsque le nœud “k”
aura atteint l’ordonnée “valeur”.
Pour simuler un incrément unique il suffira de mettre time=0, ou renseigner les coordonnées
initiales du nœud “k” avec ylimk ou xlimk. Le choix de l’échelle métrique nous permet d’utiliser
le même maillage pour simuler un même scénario à plusieurs échelles. Ainsi, avec la commande
*Echelle=“valeur”
161
toutes les valeurs renseignées dans le fichier .cnm pour les positions, longueurs et vitesses
seront multipliées par le coefficient “valeur” avant le début de la simulation. Les sauvegardes
sont effectuées avec l’instruction
*Save=“valeur”
de façon régulière en fonction du critère d’arrêt, à intervalle de temps fixe ou déplacement
fixe. Si “valeur” est strictement supérieur à 1, NanoNem sauvegarde “valeur” étapes dont les
configurations finale et initiale, sinon seule la configuration finale est sauvegardée.
Par défaut NanoNem simule des écoulements plans. Pour simuler un écoulement axisymétrique on rajoute l’instruction
*Axisym=x ou y
pour définir l’axe (O, &x) ou (O, &y ) comme axe de révolution. Si des nœuds appartiennent à cet
axe, se référer à la partie A.4.2.1. Dans le cas axisymétrique, si des points sont sur l’axe de
révolution il faut le préciser en suivant la procédure de la partie A.4.2.1 de la page 158. En
axisymétrique la définition des axes de symétrie est aussi possible.
L’incrément de temps est calculé automatiquement à chaque incrément de façon à limiter
la rotation des éléments sur la surface libre, ou le glissement des nœuds sur les solides. Il est
possible de modifier cet incrément de temps par un facteur multiplicatif avec l’instruction :
*Timescale=“valeur”
Une valeur supérieure à 1 permet d’accélérer la simulation avec le risque de voir des oscillations se produire sur la surface libre. Dans certains cas la valeur par défaut peut ne pas suffire
à limiter ces oscillations et il faudra donc utiliser cette option avec une valeur inférieure à 1
jusqu’à stabiliser les champs de vitesse et de pression. Aucune règle absolue n’est établie pour
régler ce paramètre.
Ces paramètres doivent être renseignés entre les commandes d’ouverture “**PARAM SIMULATION” et de fermeture “**END PARAM SIMULATION” des données de simulation. Dans
notre exemple, le temps de simulation est fixé à 4 secondes, à l’échelle du micromètre, avec
2000 sauvegardes, soit les commandes :
**PARAM_SIMULATION
*Cond=time=4
*Echelle=1e-6
*Save=2000
**END_PARAM_SIMULATION
Dans cet exemple on prend volontairement une valeur importante de sauvegardes pour
enregistrer des valeurs aux temps courts.
A.4.2.4
Multi-étapes
NanoNem peut simuler plusieurs étapes successives, avec un changement de conditions aux
limites entre chaque étape (vitesses, effort résultant, pression). Pour cela on renseigne des
séquences de conditions pour chaque ensemble et chaque direction. Une séquence est définie
entre des crochets et les conditions sont séparées par des points-virgules. Le nombre de conditions définit le nombre d’étapes. Une condition reprend le même format que dans les parties
162
précédentes pour les vitesses, efforts résultants et pression. Ainsi pour simuler deux étapes avec
vitesse imposée puis effort résultant imposé sur x et vitesse imposée sur y, on aura pour les
conditions cinématiques :
{u=“valeur”;Fx=“valeur”}, {v=“valeur”;v=“valeur”}
et les conditions statiques :
{p=“valeur”;p=“valeur”}
Le multi-étapes est activé si au moins une séquence est détectée. Dans ce cas, même si les valeurs
ne changent pas entre les étapes pour certaines conditions aux limites, toutes les conditions
aux limites doivent être écrites sous forme de séquences et doivent contenir le même nombre de
conditions. De plus, il faut renseigner les paramètres de simulation pour chaque séquence :
*Cond={time=“valeur”;xlimk=“valeur”}
*Save={“valeur”;“valeur”}
les autres paramètres étant constants pendant la simulation.
A.4.2.5
Bilan .cnm
Le fichier .cnm contient donc quatre blocs qui renseignent les conditions aux limites, les
propriétés matériau et les paramètres de simulations. Dans l’exemple que l’on traite ce fichier
contient donc les instructions suivantes pour la configuration plane :
**CL_CINEMATIQUE
*set=1,type=sym,u=0
*set=3,type=solide,set_test=2,Theta=135,b=1,u=0,v=0
**END_CL_CINEMATIQUE
**CL_EFFORT
*set=2,p=0
**END_CL_EFFORT
**MATERIAU
*set=4
*Eta=1e4
*Gamma=0.04
**END_MATERIAU
**PARAM_SIMULATION
*Cond=time=4
*Echelle=1e-6
*Save=2000
**END_PARAM_SIMULATION
modifié par les instructions suivantes dans le cas axisymétrique :
**CL_CINEMATIQUE
*set=1,type=axe
163
...
**END_CL_CINEMATIQUE
.
.
.
**PARAM_SIMULATION
...
*Axisym=y
**END_PARAM_SIMULATION
A.4.3
Le fichier .ant
Si on souhaite faire évoluer la température du polymère lors de la simulation, cela est
possible en ajoutant un fichier .ant à la liste des fichiers avec le même nom que le fichier
maillage. Ce fichier doit alors contenir deux colonnes séparées par un espace ou tabulation,
une pour la variable temps, l’autre pour les températures. Le logiciel recalcule alors à chaque
incrément la température par une simple interpolation linéaire de ces données, et modifie les
paramètres matériau qui dépendent de la température, à condition d’avoir fourni les coefficients
de la loi WLF.
Si le temps de simulation dépasse le temps le plus long du fichier .ant , alors la température
est prise égale à la dernière température du fichier et le message suivant est ajouté au fichier
log :
----------------------------------------------------Erreur température, fin de simulation avec T = ***
-----------------------------------------------------
A.5
Simulation
Les deux fichiers .msh et .cnm, et éventuellement le fichier .ant doivent se trouver dans
le même dossier et porter le même nom (sans l’extension). Pour lancer la simulation il faut
exécuter la fonction :
NanoNem.m
qui se trouve à la racine du dossier NanoNem. Le code nous demande le fichier maillage à
étudier. Une fois ce fichier chargé, le programme s’exécute.
A.5.1
Suivi de la simulation
Lors de la simulation, deux fichiers sont créés, le fichier zz_progress_nomdefichier.txt
qui indique la progression de calcul tous les 3%, et le fichier zz_simulation_nomdefichier.txt
qui indique les conditions de simulation détectées, le nombre de surfaces libres et solides
détectés, les sauvegardes qui sont faites, la date de la sauvegarde, les temps de calcul entre
les sauvegardes et les éventuelles erreurs de calcul. Si la simulation est stoppée et relancée sur
le même maillage, alors ces deux fichiers sont écrasés.
164
A.5.2
Sauvegardes
Les sauvegardes sont faites de façon régulière en fonction des paramètres de simulation. Les
grandeurs enregistrées sont :
– la position des nœuds et le temps de la simulation,
– les champs de vitesses, pression, vitesse de déformation, contrainte, viscosité et divergence
du champ des vitesses,
– la puissance visqueuse dissipée, le travail des efforts extérieurs, la température du fluide,
le second moment de la divergence des champs des vitesses,
– les angles de contact et les forces de réaction sur les solides.
Une fois que le programme est lancé, un dossier nommé avec la date et l’heure de début
de la simulation est créé sous le format yyyymmddThhmmss où seront stockées les sauvegardes
intermédiaires. Par exemple si NanoNem est exécuté le 5 août 2013 à 14h00, alors le dossier
20130805T140000 est créé et stocke les sauvegardes. Si la simulation se termine sans erreur,
ces sauvegardes sont compilées et enregistrées dans un seul fichier nommé
yyyymmddThhmmss_output_data_nomdefichier.mat
dans le dossier du maillage, et le dossier yyyymmddThhmmss est alors supprimé. Si la simulation
n’aboutit pas, il faut compiler les sauvegardes avec la fonction :
Rescue_NanoNem.m
On sélectionne le maillage puis le dossier de sauvegarde, la fonction compile les sauvegardes
disponibles et supprime le dossier temporaire.
A.5.3
Séquence de fichiers
Figure A.5 – Interface de sélection des fichiers pour la simulation en série.
Il est possible de lancer des simulations en série. Pour cela il faut créer un maillage et un
fichier .cnm par simulation, pas nécessairement dans le même dossier, et on doit créer un fichier
qui contient les chemins des différents maillages. Ce fichier est le fichier Seq2load.txt qui se
trouve à la racine du dossier NanoNem. Pour y inscrire les fichiers, il faut exécuter la fonction :
Build_seq.m
Une fenêtre similaire à la figure A.5 apparaı̂t permettant de sélectionner les géométries (plusieurs géométries peuvent être sélectionnées à la fois) et de terminer la procédure. On pourra
vérifier que tous les maillages sont bien enregistrés dans le fichier Seq2load.txt. On exécute
ensuite la fonction :
165
NanoNem_seq.m
Les sauvegardes et les fichiers de suivi de simulation sont faits comme précédemment. Deux
fichiers sont créés en plus à la racine du dossier de NanoNem, le fichier
yyyymmddThhmmss_Seq_loaded.txt
qui est une copie de Seq2load.txt et
yyyymmddThhmmss_File_in_progress.txt
qui donne le fichier en cours de simulation. Si le code rencontre une erreur qui n’est pas critique (comme une erreur dans les routines CNEM), le fichier sauvegarde est compilé avec les
sauvegardes disponibles et la simulation suivante est lancée.
A.6
Post-traitement
Historique des résultats
Video
Champs locaux calculés
Champ locaux
Historique
Puissance dissicpée
T fluide
Puissance des efforts ext.
Taux Def max
Temps\incrément
2nd moment de la divergence
Vx
Angles de contact
Pression
Vy
pression
Ensemble(s)
Fy
Fx
Sxx
Syy
Sxy
Dxx
Dyy
Dxy
Div(V)
Gameq
Viscosite
Zomm, unité :
Ensemble(s)
Position
Entrer la liste des noeuds
Ensemble(s)
Vx
Vy
Entrer la liste des noeuds
Noeud
Taille
Ensemble(s)
Pression
Générer le film
Entrer la liste des noeuds
Charger résultats
Sauver données
Quitter
Figure A.6 – Interface de post-traitement pour NanoNem permettant d’extraire l’historique
d’une grandeur ou la valeur d’un champ sur tout le domaine sous forme de fichier texte, ou de
créer une vidéo.
Une interface de post-traitement a été développée afin d’extraire les résultats des calculs et
s’obtient avec la commande :
Post_NanoNem
166
L’interface, qui se veut intuitive et qui est présentée sur la figure A.6, permet d’avoir l’historique
d’une grandeur (position, vitesse, pression, angle de contact, etc.) en un ou plusieurs nœuds,
ou ensemble de nœuds, ou le champ de pression, vitesse, vitesse de déformation, contrainte à
un instant donné sur le domaine d’étude. Pour cela il est nécessaire de charger le fichier de
sauvegarde compilé, sélectionner les options et cliquer sur sauver les données. Le fichier de
sortie est créé dans le dossier de la sauvegarde considérée et contient une première ligne donnant
les grandeurs extraites et les colonnes des données correspondantes.
Astuce : on peut obtenir la moyenne de la pression (uniquement) dans le domaine en fonction
du temps en sélectionnant la pression et en laissant vide la liste des nœuds.
Vidéo : il est également possible de faire une vidéo en choisissant la grandeur à afficher,
avec éventuellement un zoom autour d’un nœud et une fenêtre autour de ce nœud dont les
dimensions sont en mètres.
Image : enfin si on souhaite faire une image d’une grandeur à un instant donné sur l’ensemble
du domaine, il faut exécuter la fonction :
Plot_cnem
Il faut charger le fichier de résultats, sélectionner l’incrément et cliquer sur Plot CNEM.
A.7
Résultats
x 10-2
6.6
pression (MPa) −−−− date : 0.2
1
6.4
6.2
0.8
position y (µm)
6
5.8
0.6
5.6
0.4
5.4
5.2
0.2
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
position x (µm)
1
1.2
Figure A.7 – Répartition de pression sur le domaine dans le cas plan à t
avec la fonction Plot cnem.
167
0.2 sec obtenue
140
135
plan b=10 µm
Angle (°)
130
axi b=1µm
plan b=1µm
125
plan b=0.1 µm
120
115
110
105
100
10-2
10-1
Temps (s)
1
Figure A.8 – Évolution de l’angle de contact dans les cas plan et axisymétrique (traits continus)
avec b
1 µm et pour deux autres longueurs de glissement dans le cas plan (0.1 et 10 µm,
traits discontinus) en fonction du temps.
Avec les exemples proposés, la simulation dure 1 heure environ sur un core i7 avec 4Go de
RAM. Dans le fichier
zz_Simulation_***.txt
on retrouve au tout début les informations suivantes :
----------------------------------------------------------Comportement retenu pour la simulation~: Newtonian
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 solide(s) pris en compte
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 interface(s) libre(s) identifiee(s)
----------------------------------------------------------qui nous informent sur la nature du comportement, le nombre de solides pris en compte et le
nombre de surfaces libres identifiées. À la fin de ce fichier on retrouve les informations sur le
nombre de sauvegardes et la durée du calcul :
----------------------------------------------------------Simulation terminee
Temps total de calcul : 0d:0h:59m:11s
Nombre de sauvegardes : 376
----------------------------------------------------------168
En utilisant la fonction Plot_cnem on trace la géométrie à t 0.2 sec comme présenté sur la
figure A.7 pour le cas plan. Sur cette figure on observe que la pression près du point triple est
plus importante qu’ailleurs dans le domaine.
1.4
1.3
longueur (µm)
1.2
H (axi)
1.1
H (plan)
1
0.9
0.8
D (axi)
0.7
D (plan)
0.6
0.5
10-2
10-1
temps (sec)
1
Figure A.9 – Évolution de la hauteur H et de la distance D en fonction du temps pour le cas
plan (traits continus) et le cas axisymétrique (traits discontinus).
En utilisant l’interface de post-traitement, on extrait l’angle de contact, la hauteur du
nœud 1, l’abscisse du nœud 3 et la pression moyenne dans le domaine. La figure A.8 montre
les résultats pour l’angle de contact dans les cas plan et axisymétrique avec b 1 µm, où est
également présentée l’angle de mouillage statique (ligne horizontale discontinue) et les courbes
pour deux valeurs différentes de la longueur de glissement b 0.1 et 10 µm (courbes discontinues). On observe que la valeur asymptotique est atteinte plus rapidement dans le cas d’une
longueur de glissement plus importante. Les évolutions de H et D sont présentées sur la figure A.9 où l’on observe également une convergence vers l’angle de mouillage statique. Enfin
l’évolution de la pression moyenne est présentée sur la figure A.10 où l’on observe les mêmes
tendances.
A.8
Récapitulatif
Les fonctions utiles à l’utilisateur sont les suivantes :
Install_NanoNem.m
%% installe les routines CNEM
Read_geometry.m
%% lit le maillage pour la construction du fichier interprétation
NanoNem.m
169
11
Pression (10-2 MPa)
10
Axisymétrique
9
8
7
6
5
plan
4
10-2
10-1
temps (sec)
1
Figure A.10 – Évolution de la pression moyenne sur le domaine en fonction du temps pour
le cas plan et le cas axisymétrique. Les valeurs asymptotiques théoriques sont présentées en
pointillés.
%% lance un calcul
NanoNem_seq.m
%% lance une séquence de simulations
Build_seq.m
%% construit le fichier contenant les adresses des maillages
%% pour des simulations en série
Rescue_NanoNem.m
%% compile les sauvegardes en cas de plantage
Plot_cnem.m
%% Trace la figure à un instant donné pour une grandeur donnée
Post_NanoNem
%% extrait les données des sauvegardes pour le post traitement.
La liste de toutes les commandes possibles pour la création du fichier interprétation est
présentée ci-dessous. Pour rappel toutes les grandeurs sont en unité SI sauf les vitesses et
paramètres de glissement qui seront multipliés par le facteur d’échelle de simulation.
**CL_CINEMATIQUE
*set=...,type=sym,u=...
170
*set=...,type=sym,u=‘‘valeur",v=...
*set=...,type=axe
*set=...,type=solide,set_test=...,Theta=...,b=...,u=...,Fy=...
*set=...,type=solide,set_test=...,Theta=...,b=...,{u=...;Fx=...},{v=...;v=...}
**END_CL_CINEMATIQUE
**CL_EFFORT
*set=...,p=...
*set=...,{p=...;p=...}
**END_CL_EFFORT
**MATERIAU
*set=...
*Eta=...
*C1=...
*Tinf=...
*Tref=...
*T=...
*a=...
*b=...
*n=...
*Lambda=...
*Gamma=...
**END_MATERIAU
**PARAM_SIMULATION
*Cond=time=...
*Cond={time=...;xlim...=...}
*Echelle=...
*Save=...
*Save={...;...}
*Axisym=x ou y
*Timescale=...
**END_PARAM_SIMULATION
A.9
Conclusion
Ce guide donne les éléments nécessaires à mettre en place une simulation avec le code
NanoNem écrit sous Matlab pour un problème de Stokes plan ou axisymétrique avec tension
superficielle et lignes triples. Les différents fichiers et logiciels utiles à cette simulation ont été
présentés (.geo, .msh, .cnm, .ant et .m), ainsi que leur construction, avec comme fil rouge un
cas simple d’un quart de disque soumis à de la tension de surface et posé sur un substrat. Le
contenu du fichier .cnm a été présenté ainsi qu’un récapitulatif de toutes les options et fonctions
disponibles. Les outils de post-traitement pour extraire l’historique des grandeurs, tracer une
figure ou faire une vidéo ont été présentés et utilisés pour présenter les résultats sur notre
exemple.
171


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




             

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