Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal

Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal
UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
IMPLÉMENTATION D’UN MODÈLE NUMÉRIQUE DE COUPLAGE
HYDROMÉCANIQUE DES DISCONTINUITÉS GÉOLOGIQUES
FRÉDÉRIC CHOQUET
DÉPARTEMENT DES GÉNIES CIVIL, GÉOLOGIQUE ET DES MINES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
MÉMOIRE PRÉSENTÉ EN VUE DE L’OBTENTION
DU DIPLÔME DE MAÎTRISE ÈS SCIENCES APPLIQUÉES
(GÉNIE MINÉRAL)
DÉCEMBRE 2010
c Frédéric Choquet, 2010.
UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL
Ce mémoire intitulé :
IMPLÉMENTATION D’UN MODÈLE NUMÉRIQUE DE COUPLAGE
HYDROMÉCANIQUE DES DISCONTINUITÉS GÉOLOGIQUES
présenté par : CHOQUET Frédéric
en vue de l’obtention du diplôme de : Maı̂trise ès sciences appliquées
a été dûment accepté par le jury d’examen constitué de :
M. JAMES Michael, Ph.D., président
M. SIMON Richard, Ph.D., membre et directeur de recherche
M. LI Li, Ph.D., membre
iii
DÉDICACE
Utilisateurs de FLAC
du monde entier. . .
Unissez-vous !
iv
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier mon tuteur Richard Simon pour ses conseils avisés, sa compétence
et son encadrement qui m’ont permis d’aboutir à la finalisation de ce projet de recherche.
Merci à l’ensemble des professeurs du département de génie civil, géologique et des mines
de l’École Polytechnique de Montréal pour leur disponibilité et leur soutien. Je tiens plus
particulièrement à remercier Mme. Maria Helena Leite et M. Robert Corthésy pour leur
conseils en mécanique des roches et leur suggestions qui m’ont aidé dans l’utilisation du
logiciel FLAC. Merci à M. Chapuis pour son humour hydrogéologiesque. Merci également
à Mme.Manon Latour qui, en plus de m’avoir aidé pour les formalités administratives, a
toujours été là le 15ème jour de chaque mois.
Merci à tous mes camarades pour tous les bons moments passés ensemble à discuter,
travailler, voyager et se désaltérer. Merci à Romain pour ses conseils et ses remarques dans
la réalisation de mon projet, merci à Antoine pour ses blagues, son soutien technologique
et son incontournable Apple-Touch. Merci à Fred d’avoir choisi d’utiliser FLAC : je me suis
senti moins seul... Merci à François son ordinateur sur-puissant. Merci à Amélie d’avoir été
présente et de m’avoir soutenu et encouragé tout au long de mon projet de maı̂trise.
Je remercie mes parents, ma soeur et toute ma famille pour leurs sacrifices, leurs conseils
et leur soutien dans la poursuite de mes études et de ma carrière.
Merci à mon laptop d’avoir supporté mes injures et mes crises de colères. Merci à l’équipe
d’Itasca : vous m’avez permis de passer tant de bon moments, tant de journées et tant de
soirées toutes plus charmantes les unes que les autres...
v
RÉSUMÉ
La présence d’une exploitation minière a des répercussions importantes sur le milieu qui
l’entoure. D’un point de vue mécanique, les excavations entrainent le transfert des contraintes
initiales sur une portion plus restreinte du massif. D’autre part, les lieux de stockage des rejets
miniers créent de nouvelles surcharges. D’un point de vue environnemental, l’apparition de
zones excavées bouleverse le réseau d’écoulement initial et la possible création de drainage
minier acide est une menace directe pour le biotope.
Le massif dans lequel se déroule l’exploitation minière est généralement parcouru par
des discontinuités géologiques témoignant de son histoire tectonique. Le long d’une discontinuité, la modification des contraintes in situ génère des déformations. Ces déformations
(ouverture ou fermeture de la discontinuité) modifient les caractéristiques hydrauliques du
réseau d’écoulement. Ces modifications changent la répartition des pressions interstitielles et
par là-même, celle des contraintes effectives qui agissent dans le massif. La relation qui existe
entre grandeurs mécaniques (ouverture mécanique et contrainte effective) et les grandeurs hydrauliques (pression interstitielle, débit et ouverture hydraulique) constitue le comportement
hydromécanique du massif. Les discontinuités constituent, à la fois, des chemins d’écoulements préférentiels pour l’eau souterraine et des zones de faiblesses mécaniques du matériau.
Il est donc essentiel, pour comprendre le comportement hydromécanique d’un massif fracturé,
de s’intéresser au comportement hydromécanique des discontinuités qui le parcourent.
Cependant, lors des modélisations, les comportements hydrauliques et mécaniques sont
souvent évalués individuellement par manque de modèles et d’outils adéquats.
Le présent travail propose ainsi un modèle de couplage entre contraintes mécaniques et
pressions interstitielles le long d’une discontinuité géologique. Le modèle de couplage a été
implémenté dans le logiciel FLAC 2D, en utilisant le langage natif du logiciel : FISH.
Le modèle analytique retenu est le modèle CSDSw (pour Complete Stress Displacement
Surface with Water) qui propose une relation entre contraintes effectives et déformations ainsi
qu’une expression de la dilatation du joint sous forme de double exponentielle. Le mode de
couplage est de type discret, direct et la discontinuité est supposée saturée. C’est-à-dire que
les joints sont modélisés individuellement et les pressions sont actualisées en même temps que
les pressions interstitielles lors des étapes de calculs. Le modèle est validé en le comparant à
des essais de littérature. Il est également appliqué à des exemples typiques.
vi
ABSTRACT
A mine site has important effects on its surrounding area. In a mechanical point of view,
loads previous to mining are redistributed on a smaller part of rock mass. Moreover, mining
wastes storage parks overload local areas of the rock mass. In an environmental point of view,
the excavated zones disturb the hydrogeological flow and possible creation of acid waters is
a direct hazard for wildlife.
The mining operations generally take place in a rock mass which contains discontinuities.
These discontinuities result from the tectonical history of the rock. Along a discontinuity, a
change in local stresses brings deformations. Deformations modify the hydrogeological behavior of the discontinuity. Pore pressures are thus modified and effective stress are modified
too. Relationship between mechanical values (mechanical aperture and effective stress) and
hydrological values (hyrdaulic aperture, pore pressure and flow) is the hydromechanical behavior of the rock mass. This behavior is entirely conditionned by the one of discontinuities
as they are both preferential flow path for underground water and weakness zones.
However, hydrogeological studies and mechanical studies are generally performed separately due to a lack of efficient models.
In the present document, a hydromechanical model for rock joints is introduced. The
coupled model is implemented with FLAC embedded language : FISH.
The chosen analytical model is the CSDSw (stands for Complete Stress Displacement
Surface with water) model which consists in a stress – strain relation and a dilation – shear
displacement relation. Both of these relations are made from two exponential forms. It is
a discrete and direct coupling model, which respectively means that joint are individually
modeled and pore pressures are updated at the same time as stresses. The model has been
validated by comparisons with tests reported in literature. Some typical applications of it
are also shown.
vii
TABLE DES MATIÈRES
DÉDICACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
RÉSUMÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
LISTE DES TABLEAUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
LISTE DES ANNEXES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xviii
LISTE DES SIGLES ET DES ABRÉVIATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
CHAPITRE 1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHAPITRE 2 REVUE DE LITTÉRATURE . . . . . . . . . . . .
2.1 Rupture de la roche intacte . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Critère de Mohr Coulomb . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Le critère de Hoek et Brown (1980a,b) . . . . . . .
2.2 Comportement mécanique des discontinuités géologiques .
2.2.1 Modèle de Mohr Coulomb . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Le modèle bilinéaire de Patton (1966) . . . . . . . .
2.2.3 Modèle de Barton (1973, 1976, 1986) . . . . . . . .
2.2.4 Modèle de Bandis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Ladanyi et Archambault (1970) . . . . . . . . . . .
2.2.6 Seidel et Haberfield (1995) . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Le modèle de Saeb et Amadei (1990) . . . . . . . .
2.2.8 Le modèle CSDS, Simon (1999) . . . . . . . . . . .
2.3 Caractérisation hydraulique des discontinuités géologiques
2.3.1 Rappel sur la Loi de Darcy (1856) . . . . . . . . . .
2.3.2 Établissement de la loi cubique . . . . . . . . . . .
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37
viii
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CHAPITRE 3 PRÉSENTATION DE L’OUTIL DE MODÉLISATION NUMÉRIQUE :
FLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Présentation du calcul des contraintes sous FLAC . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Critère de stabilité du modèle mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Équations de base de l’écoulement fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Stabilité numérique du modèle hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Couplage hydromécanique, éléments de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Critère de stabilité du couplage hydromécanique . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Vérification du logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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52
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2.4
2.3.3 Écoulement dans une fracture rugueuse . . .
Couplages hydromécaniques . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Approche globale, modèle équivalent continu
2.4.2 Le modèle CSDSw . . . . . . . . . . . . . .
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CHAPITRE 4 IMPLÉMENTATION DES MODÈLES CSDS ET CSDSw SOUS FLAC 62
4.1 Implémentation du modèle de Saeb et Amadei (1992) sous FLAC . . . . . . . 62
4.1.1 Test de compression uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 Test de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.3 Cisaillement à charge normale constante (CNL) . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.4 Cisaillement à raideur normale constante (CNS) . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Implémentation du modèle CSDS sous FLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Descriptif du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Test de cisaillement à charge normale constante (CNL) . . . . . . . . . 84
4.2.3 Test de cisaillement à raideur normale constante (CNS) . . . . . . . . . 88
4.3 Implémentation du modèle CSDSw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Application à un joint simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1 Joint horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2 Adjonction d’un écoulement interstitiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 Test du modèle CSDS dans deux exemples typiques . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5.1 Chantier approchant une fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5.2 Chantier traversant une fracture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Tests des modèles CSDS et CSDSw sur un cas typique . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.1 Ouverture circulaire à proximité d’un joint vertical sec . . . . . . . . . 121
4.6.2 Ouverture circulaire à proximité d’un joint vertical avec écoulement
interstitiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ix
CHAPITRE 5 DISCUSSION ET CONCLUSION
5.1 Synthèse des travaux . . . . . . . . . . . .
5.2 Limitations de la solution proposée . . . .
5.3 Améliorations futures . . . . . . . . . . . .
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RÉFÉRENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
ANNEXES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
x
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 2.1
Tableau 2.2
Tableau 2.3
Tableau 2.4
Tableau 2.5
Tableau 2.6
Tableau 2.7
Tableau 2.8
Tableau comparatif des résultats expérimentaux de cisaillement direct
de joint en Calcarenite avec les prédictions du modèle de LadanyiArchambault et Seidel-Haberfield, d’après Seidel et Haberfield (1995)
Tableau récapitulatif des valeurs de knn et de kns proposées par Saeb
et Amadei (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des coefficients a,b,c,d,e du modèle CSDS dans la relation τ
vs u pour les trois essais de Flamand et al. (1994) à charge normale
constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des coefficients (βi )i du modèle CSDS pour les essais de Flamand et al. (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficients du le modèle CSDSw, tirés d’Esaki et al. (1999) . . . . .
Coefficients du modèle CSDSw pour les expériences de Lee et Cho
(2002), série GH, relation v − u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficients du modèle CSDSw pour les expériences de Lee et Cho
(2002), série GH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données de sortie du modèle CSDSw (modèle prédictif) pour les expériences de Lee et Cho (2002), série MH . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 29
. 34
. 36
. 45
. 48
. 49
. 50
xi
LISTE DES FIGURES
Figure 2.1
Figure 2.2
Figure 2.3
Figure 2.4
Figure 2.5
Figure 2.6
Figure 2.7
Figure 2.8
Figure 2.9
Figure 2.10
Figure 2.11
Figure 2.12
Figure 2.13
Représentation graphique du critère de Mohr – Coulomb dans l’espace
de (τ, σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique du critère de Hoek et Brown, d’après Hoek
et Brown (1997), (a) enveloppe de rupture dans le plan σ1 – σ3 , (b)
enveloppe de rupture dans le plan de Mohr et comparaison avec l’enveloppe de Mohr-Coulomb, (c) évolutions de l’angle de friction instantané
et la cohésion instantanée en fonction du déplacement de cisaillement .
Influence du paramètre m sur l’enveloppe du critère de Hoek-Brown
représenté dans l’espace de Mohr, d’après Hoek et Brown (1997) . . . .
Influence du paramètre s sur l’enveloppe du critère de Hoek-Brown
représenté dans l’espace de Mohr, d’après Hoek et Brown (1997) . . . .
Modèle bilinéaire de Patton dans l’espace τ − σ, d’après Patton (1966)
Modèle de Jaeger (en bleu) comparé au modèle bilinéaire de Patton
dans l’espace τ − σ, d’après Jaeger (1971) . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la relation empirique de Barton (1973)
pour différents joints possédant chacun un JRC différent, d’après Barton et Choubey (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Profils de rugosité typiques et valeur correspondante du JRC, d’après Barton et Choubey (1977), adapté par Hoek (2007) . . . . . . . . . . . . .
discrétisation du profil d’une éponte selon la méthodologie de Tse et
Cruden (1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Travaux associés à la friction dans le joint, d’après Ladanyi et Archambault (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résistance au cisaillement d’un joint rempli avec de la poudre de mica,
soumis à une charge normale de 746kPa, pour différentes valeur du
rapport t/a, d’après Goodman (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résistance au cisaillement d’un joint en béton rempli avec du kaolin,
soumis à une charge normale de 8.69MPa, pour différentes valeur du
rapport t/a et différentes pente d’aspérités, d’après Ladanyi et Archambault (1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Déformation élastique de la discontinuité, d’après Seidel et Haberfield
(1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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18
18
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Figure 2.14
Figure 2.15
Figure 2.16
Figure 2.17
Figure 2.18
Figure 2.19
Figure 2.20
Figure 2.21
Figure 2.22
Figure 2.23
Figure 2.24
Figure 2.25
Forces extérieures agissant sur l’aspérité qui plastifie, d’après Seidel et
Haberfield (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(a)Chemin de chargement d’un joint artificiel en Calcarenite avec des
aspérités à 12,5˚ (b) Évolution de la dilatation avec le déplacement
horizontal, d’après Seidel et Haberfield (1995) . . . . . . . . . . . . . .
(a)Chemin de chargement d’un joint artificiel en Calcarenite avec des
aspérités à 22,5˚ (b) Évolution de la dilatation avec le déplacement
horizontal, d’après Seidel et Haberfield (1995) . . . . . . . . . . . . . .
(a)Fermeture du joint (v versus σn ) (b) Contrainte de cisaillement versus u pour différentes valeurs de σn (c) v versus u pour différentes
valeurs de σn , d’après Saeb et Amadei (1990) . . . . . . . . . . . . . .
Réponses d’un joint à différents chemin de chargement (a)Contrainte
normale versus fermeture du joint pour différentes valeurs de la contrainte
de cisaillement (b)Contrainte de cisaillement versus déplacement horizontal (c)Fermeture versus déplacement horizontal (d)Contrainte normale versus déplacement horizontal, d’après Saeb et Amadei (1990) . .
Réponses d’un joint à différents chemin de chargement (a)Contrainte
normale versus fermeture du joint pour différentes valeurs de la contrainte
de cisaillement (b)Contrainte de cisaillement versus déplacement horizontal (c)Fermeture versus déplacement horizontal (d)Contrainte normale versus déplacement horizontal, d’après Saeb et Amadei (1990) . .
Représentation graphique de la contrainte normale versus le déplacement normal pour un joint dont les épontes coı̈ncident (trait plein) et
pour un joint désenchevêtré (pointillés), d’après Saeb et Amadei (1992)
Représentation graphique de la fonction F(e), avec ur = 25mm, up =
0, 52mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des courbes obtenues avec les résultats du tableau 2.3 et
des points expérimentaux de Flamand et al. (1994) . . . . . . . . . . .
Comparaison des courbes obtenues avec les résultats du tableau 2.4 et
des points expérimentaux de Flamand et al. (1994) . . . . . . . . . . .
Représentation schématique d’une colonne de matériau poreux dans
laquelle circule un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition des vitesses dans une discontinuité d’épaisseur 2.ei de vecteur normal (O, ~z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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xiii
Figure 2.26
Figure 2.27
Figure 2.28
Figure 2.29
Figure 2.30
Figure 2.31
Figure 3.1
Figure 3.2
Figure 4.1
Figure 4.2
Figure 4.3
Figure 4.4
Figure 4.5
Figure 4.6
Figure 4.7
Figure 4.8
Figure 4.9
Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement déplacement de cisaillement à partir des résultats expérimentaux tirés
de Esaki et al. (1999) et des résultats du CSDSw . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la relation déplacement vertical - déplacement de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de
Esaki et al. (1999) et des résultats du CSDSw . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la relation déplacement vertical - déplacement de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de
Lee et Cho (2002) (série GH) et des résultats du CSDSw . . . . . . .
Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement déplacement de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés
de Lee et Cho (2002) (série GH) et des résultats du CSDSw . . . . .
Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement déplacement de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés
de Lee et Cho (2002) (série MH) et des résultats du CSDSw . . . . .
Représentation graphique de la relation dilatation - cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de Lee et Cho (2002) (série MH)
Représentation schématique de la séquence de calculs opérés par le
logiciel FLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple de décomposition d’une cellule quadrilatère en deux sousgrilles de sous-cellules triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation hyperbolique σn – v obtenue par la modélisation numérique
Modèle utilisé pour l’essai de compression uniaxiale simple . . . . . .
Représentation dans l’espace i-j de la grille utilisée pour l’étude du
programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fermeture du joint lors de la mise en charge . . . . . . . . . . . . . .
Augmentation de la contrainte normale de compression au cours du
chargement initial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation contrainte tangentielle – déplacement de cisaillement au centre
du joint pour trois valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation déplacement normal – déplacement de cisaillement au centre
du joint pour trois valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation déplacement normal – déplacement de cisaillement au centre
du joint et aux deux coins supérieurs du joint en CNL, σn = 21 M P a
Évolution de la raideur normale knn en fonction de u pour différentes
raideurs extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 45
. 46
. 48
. 50
. 51
. 51
. 53
. 55
. 64
. 65
. 65
. 67
. 67
. 68
. 68
. 69
. 70
xiv
Figure 4.10
Figure 4.11
Figure 4.12
Figure 4.13
Figure 4.14
Figure 4.15
Figure 4.16
Figure 4.17
Figure
Figure
Figure
Figure
4.18
4.19
4.20
4.21
Figure 4.22
Figure 4.23
Figure 4.24
Figure 4.25
Figure 4.26
Figure 4.27
Évolution de la raideur normale kns en fonction de u pour différentes
raideurs extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur tangentielle kss en fonction de u pour différentes
raideurs extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur tangentielle ksn en fonction de u pour différentes
raideurs extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dilatation du joint en condition de CNS, pour différentes valeurs de la
raideur extérieure appliquée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la contrainte normale au joint, en condition de CNS, pour
différentes valeurs de la raideur extérieure. . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation contrainte normale – déplacement vertical en CNS, pour différentes valeurs de la raideur extérieure appliquée . . . . . . . . . . . .
Relation contrainte tangentielle – déplacement de cisaillement au centre
du joint pour trois valeurs de σn , pour une même raideur normale
constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la contrainte tangentielle au joint, en condition de raideur
normale constante, pour une même valeur de la contrainte normale initiale
Diagramme de l’algorithme de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vérification de la valeur de σn au cours des calculs . . . . . . . . . . .
Relation τ – u, conditions de CNL, pour différentes valeurs de σn . . .
Comparaison des résultats fournis par FLAC et par la modélisation
Excel du 2.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison de la dilatation du joint au cours du cisaillement, en trait
plein le résultat calculé par FLAC, en pointillés le résultat analytique
d’après l’équation (2.76) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison de la dilatation calculée au cours de la modélisation Excel
et de la modélisation FLAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur normale knn au cours d’un cisaillement en CNL,
pour 3 valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur normale kns au cours d’un cisaillement en CNL,
pour 3 valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur tangentielle ksn au cours d’un cisaillement en
CNL, pour 3 valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la raideur tangentielle kss au cours d’un cisaillement en
CNL, pour 3 valeurs de σn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
72
73
74
75
76
77
78
83
85
85
86
87
87
88
88
88
88
xv
Figure 4.28
Figure 4.29
Figure 4.30
Figure 4.31
Figure 4.32
Figure 4.33
Figure 4.34
Figure 4.35
Figure 4.36
Figure 4.37
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
Figure 4.43
Figure 4.44
Figure 4.45
Figure 4.46
Figure 4.47
Figure 4.48
Figure 4.49
Figure 4.50
Valeur de σn en fonction de v, en condition de CNS, pour différentes
valeurs de la raideur extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valeur de σn au cours des calculs, en condition de CNS, pour différentes
valeurs de la raideur extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation τ – u pour différentes valeurs de la raideur extérieure kext ,
d’aprés les résultats du modèle numérique (traits pleins) et analytique
(pointillés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dilatation du joint au cours du cisaillement pour différentes valeurs de
la raideur extérieure kext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation τ – u avec les valeurs de kss et ksn données par les expressions (4.21) et (4.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relation τ – u avec les valeurs de kss et ksn données par Simon (1999)
Évolution des différentes raideures internes du joint pour σn0 = 10 M P a
et ke = 12 P a/mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la fermeture initiale du joint . . . . . . .
Évolution de la contrainte normale à l’intérieur du joint pendant la
phase de mise en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la dilatation des deux cellules extrêmes
(i=1 et i=10) et au milieu (i=5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de la dilatation le long du joint . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours des déplacements horizontaux . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours des déplacements verticaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la relation τ –u pour quelques cellules . .
Évolution de la contrainte normale le long du joint, au cours du cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours des contraintes normales σyy . . . . . . . . . . . . . . . .
Isocontours des contraintes tangentielles σxy . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la contrainte tangentielle au cours du cisaillement le long de la verticale (i=5) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la contrainte normale au cours du cisaillement le long de la verticale (i=5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique de la fermeture initiale du joint . . . . . . .
Évolution de la contrainte normale à l’intérieur du joint pendant la
phase de mise en charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition initiale des déplacements verticaux . . . . . . . . . . . . .
Répartition initiale des pressions interstitielles . . . . . . . . . . . . .
. 89
. 90
. 91
. 91
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. 95
. 95
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96
96
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99
. 100
. 100
. 100
. 101
. 102
. 102
. 102
. 103
. 103
xvi
Figure
Figure
Figure
Figure
4.51
4.52
4.53
4.54
Figure 4.55
Figure 4.56
Figure 4.57
Figure 4.58
Figure 4.59
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
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Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
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4.71
4.72
4.73
4.74
4.75
4.76
4.77
4.78
4.79
Répartition des pressions interstitielles lors de la mise en charge . . .
Répartition finale des pressions interstitielles lors de la mise en charge
Évolution de la porosité le long du joint au cours de la mise en charge
Évolution des pressions interstitielles le long du joint au cours du cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Évolution de l’ouverture du joint lors du chargement . . . . . . . . .
Évolution de la porosité du joint lors du chargement . . . . . . . . . .
Évolution de la contrainte tangentielle le long du joint au cours du
cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison de la contrainte tangentielle pour différentes valeurs du
gradient de pression imposé de part et d’autre de l’échantillon . . . .
Comparaison du déplacement vertical pour différentes valeurs du gradient de pression imposé de part et d’autre de l’échantillon . . . . . .
Déplacements horizontaux initiaux obtenus avec FLAC . . . . . . . .
Déplacements verticaux initiaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . .
Contrainte principale majeure initiale obtenue avec FLAC . . . . . .
Contrainte principale mineure initiale obtenue avec FLAC . . . . . .
Déplacements horizontaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . . . . . .
Déplacements verticaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . . . . . . .
Contrainte principale majeure obtenue avec FLAC . . . . . . . . . . .
Contrainte principale mineure obtenue avec FLAC . . . . . . . . . . .
Contrainte principale majeure obtenue par Simon (1999) . . . . . . .
Contrainte principale mineure obtenue par Simon (1999) . . . . . . .
État de plasticité du massif : (a) à l’état initial, (b) après la première
excavation, (c) après la deuxième excavation, (d) après la troisième
excavation, (e) après la quatrième excavation et (e) après la dernière
excavation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Déplacements horizontaux initiaux obtenus avec FLAC . . . . . . . .
Déplacements verticaux initiaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . .
Déplacements horizontaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . . . . . .
Déplacements verticaux obtenus avec FLAC . . . . . . . . . . . . . .
Contrainte principale majeure initiale obtenue avec FLAC . . . . . .
Contrainte principale mineure initiale obtenue avec FLAC . . . . . .
Contrainte principale majeure obtenue avec FLAC . . . . . . . . . . .
Contrainte principale mineure obtenue avec FLAC . . . . . . . . . . .
État de plasticité du massif après l’excavation. . . . . . . . . . . . . .
. 103
. 103
. 104
. 104
. 105
. 105
. 106
. 106
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110
110
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111
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112
113
113
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114
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116
116
117
117
118
118
119
119
120
xvii
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
Figure
4.80
4.81
4.82
4.83
4.84
4.85
Grille utilisée pour l’exemple du paragraphe4.6.1 à l’état initial . . .
Détail du remplissage de l’excavation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détail de l’excavation à l’état final . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contrainte de cisaillement dans une cellule du joint . . . . . . . . .
Contrainte de cisaillement dans une cellule du joint . . . . . . . . .
Isocontours des pressions interstitielles une fois l’excavation réalisée
.
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122
123
124
124
126
127
xviii
LISTE DES ANNEXES
Annexe A
FICHIERS DES MODÈLES IMPLÉMENTÉS . . . . . . . . . . . . . . 139
xix
LISTE DES SIGLES ET DES ABRÉVIATIONS
CN L
CN S
u
ur
up
v
τ
τp
τr
σn
σni
σt
σT
C0
S0
T0
φb
φ0
φr
JRC
JCS
knn
kns
kss
ksn
i0
i
aS
p
θ
kni
a, b, c, d, e
test de cisaillement à charge normale constante
test de cisaillement à raideur normale constante
le déplacement en cisaillement (shear displacement)
le déplacement de cisaillement résiduel
le déplacement de cisaillement au pic
le déplacement vertical du joint
la contrainte de cisaillement agissant le long de la discontinuité
la contrainte de cisaillement au pic
la contrainte de cisaillement résiduelle
la contrainte normale à la discontinuité
contrainte normale initiale
la contrainte longitudinale le long de la discontinuité
contrainte de transition ductile – fragile, généralement égale à C0
résistance en compression uniaxiale de la roche intacte
cohésion de la roche
résistance en tension de la roche intacte
angle de friction de base de la roche intacte
(angle de friction entre deux épontes découpées à la scie)
angle de friction interne de la roche intacte
angle de friction résiduel
coefficient de rugosité d’une discontinuité
coefficent de raideur d’une discontinuité
n
raideur normale interne de la discontinuité, ∂σ
∂v
n
raideur normale interne de la discontinuité, ∂σ
∂u
∂τ
raideur tangentielle interne de la discontinuité, ∂u
raideur tangentielle interne de la discontinuité, ∂τ
∂v
angle initial des aspérités d’une discontinuité
angle des aspérités d’une discontinuité
coefficent représentant l’aire des aspérités cisaillées
pression interstitielle
inclinaison de la discontinuité ou du plan de faiblesse par rapport à l’horizontal
raideur initiale de la discontinuité
coefficents du modèle CSDS
xx
β1 , β2 , β3 , β4 , β5
em
eh
Re
Lc
ep
zs11
zs12
zs22
zs33
zde11
zde12
zde22
zdpp
du
dv
dt
coefficients du modèle CSDS
ouverture mécanique de la discontinuité
ouverture hydraulique de la discontinuité
nombre de Reynolds
taille caractéristique d’une maille de calcul
variable locale du fichier FISH contenant l’épaisseur de la discontinuité
variable locale représentant σxx dans le fichier FLAC
variable locale représentant σxy dans le fichier FLAC
variable locale représentant σyy dans le fichier FLAC
variable locale représentant σzz dans le fichier FLAC
variable locale représentant l’incrément de déformation longitudinale
variable locale représentant l’incrément de déformation de cisaillement
variable locale représentant l’incrément de déformation transversale
variable locale représentant l’incrément de pression interstitielle
incrément de déplacement de cisaillement
incrément de déplacement normal (fermeture de la discontinuité)
incrément de déplacement longitudinal le long de la discontinuité
1
CHAPITRE 1
INTRODUCTION
Une exploitation minière a des répercussions, tant sur le plan géomécanique que sur le plan
environnemental. D’un point de vue géomécanique, les excavations entrainent le transfert des
charges initiales sur une portion plus restreinte du massif et les lieux de stockage des rejets
miniers créent de nouvelles surcharges. D’un point de vue environnemental, l’apparition de
zones excavées bouleverse le réseau d’écoulement initial et la possible création de drainage
minier acide constitue une menace directe pour le biotope.
Le massif rocheux qui est excavé lors de l’exploitation minière est souvent parcouru par
des discontinuités géologiques issues de son histoire tectonique. Tandis que la résistance d’une
roche fracturée est conditionnée par le nombre, l’orientation et les caractéristiques mécaniques
des discontinuités, sa conductivité hydrauliques dépend de l’interconnectivité, de la perméabilité, de la tortuosité et de l’état de surface des discontinuités. Les discontinuités géologiques
constituent donc, à la fois des chemins d’écoulement préférentiels pour l’eau souterraine et
des zones de faiblesse mécanique. Modifier les contraintes in situ génère des déformations
le long des discontinuités. Ces déformations (ouverture ou fermeture de la discontinuité)
modifient les caractéristiques hydrauliques (ouverture hydraulique, conductivité) des discontinuités. Ces dernières changent la répartition des pressions interstitielles et par là-même,
celle des contraintes effectives qui agissent dans le massif.
La modification du réseau d’écoulement et la modification des contraintes in situ sont liées.
Cependant, ces changements sont bien souvent évalués individuellement, faute de modèles et
d’outils adéquats. Dans les études hydrauliques, le comportement mécanique est bien souvent
négligé tandis que dans les études mécaniques, la variation des paramètres hydrauliques
n’est pas prise en compte. Considérer l’évolution conjointe de l’écoulement souterrain et des
contraintes agissant au sein du massif rocheux permettrait de mieux prédire les modifications
qu’entraı̂ne la présence d’excavations ; que ce soit pour diminuer les risques de pollution afin
de rencontrer les normes environnementales ou de sécurité.
Les discontinuités géologiques jouant un rôle essentiel dans le comportement hydromécanique d’un massif rocheux, il est donc normal de s’intéresser à leur comportement hydromécanique.
Le terme « discontinuités » désigne différents « accidents » géologiques selon Priest (1993) :
– les failles (faults) témoignent d’une rupture en cisaillement du massif soumis à des forces
tectoniques.
2
– les joints sont définis par la plupart des auteurs (Goodman (1980), Price (1966), Ragan
(1985)) comme étant des « fractures » ou des « fissures » le long desquelles il n’y a
pas ou peu de déplacement. Leur taille va du millimètre (on parlera alors plutôt d’une
fissure) au kilomètre (on parlera d’une fracture).
– les plans de litage mettent en avant un changement de granulométrie, de composition
chimique ou minéralogique entre deux couches d’une roche sédimentaire.
Selon Junya et al. (2005), les démarches adoptées pour modéliser le comportement hydromécanique d’un massif fracturé peuvent être décomposées en deux principaux groupes :
les modèles continus équivalents (« effective continuum model ») et les modèles discrets de
réseaux (« discrete network model »). Dans la première approche, l’effet des joints est intégré
dans l’élément de calcul sous forme d’un bloc continu anisotrope équivalent. De cette façon,
le couplage intervient sous la forme de variables hydrauliques et mécaniques corrélées. Tandis
que dans la deuxième approche, chaque joint constitutif du réseau est susceptible de bouger selon les variations locales des contraintes in-situ. Généralement, le couplage par modèle
discret donne de meilleurs résultats à petite ou moyenne échelle (échelle de l’excavation ou
inférieure). Cependant il demande un outil informatique plus performant.
L’intérêt du présent travail est d’implémenter un modèle discret de couplage hydromécanique direct : les pressions interstitielles sont actualisées avec les contraintes mécaniques.
C’est-à-dire que les variations des grandeurs mécaniques (contraintes effectives, ouverture
mécanique) vont évoluer avec les grandeurs hydrauliques (pressions interstitielles, ouverture
hydraulique et débit). Le modèle analytique utilisé est le modèle CSDS (Complete Stress
Displacement Surface) présenté par Simon (1999) et Simon et al. (2003, 1999a), modifié en y
adjoignant l’effet de pressions interstitielles (CSDSw). Le modèle proposé a été implémenté
dans le logiciel FLAC de la société Itasca.
Le travail présenté contient, au chapitre deux, une revue bibliographique sur les critères utilisés pour modéliser la roche intacte et ceux qui servent à la modélisation mécanique des
discontinuités. Le modèle CSDS est plus particulièrement analysé et des exemples de la littérature servent à illustrer son application. La deuxième partie de la revue bibliographique
porte sur le comportement hydraulique des discontinuités. La troisième et dernière partie
de cette revue de littérature traite des couplages hydromécaniques en général et du modèle
CSDSw en particulier.
Le troisième chapitre porte sur l’outil numérique utilisé, ses limites et sa stabilité. Un
certains nombres de cas particuliers dont on connaı̂t les solutions analytiques, ont été réalisés
mais ne sont pas présentés. Le lecteur est invité à consulter le manuel d’utilisation du logiciel
publié par Itasca (2005) pour prendre connaissances des exemples de vérifications du logiciel.
Enfin, au chapitre quatre, le modèle hudromécanique tel qu’il fut implémenté est présenté
3
et testé sur des cas simples ou d’applications typiques. Les exemples illustrent les obstacles
rencontrés lors de l’utilisation du programme.
Dans le chapitre cinq, les résultats obtenus sont discutés et un certains nombre de recommandations sont faites.
4
CHAPITRE 2
REVUE DE LITTÉRATURE
2.1
Rupture de la roche intacte
Deux modèles de comportement de la roche intacte sont ici présentés : le modèle de
Mohr-Coulomb et le modèle de Hoek et Brown. Ces deux modèles sont largement utilisés
en mécanique des roches. Ils serviront notamment à décrire le massif lors des modélisations
numériques.
2.1.1
Critère de Mohr Coulomb
Soit un solide soumis au champ de contraintes principales (σ1 , σ2 , σ3 ). Les contraintes
normales et tangentielles, notées respectivement σ et τ , agissant sur une face centrée autour
d’un point du solide sont situées à l’intérieur de la zone hachurée sur la figure 2.1. Le critère
de Mohr-Coulomb donne une relation linéaire entre σ et τ :
τ = σ. tan(φ0 ) + S0
(2.1)
Où φ est l’angle de friction interne du matériau et S0 sa cohésion. Les contraintes critiques
agissent sur un plan incliné d’un angle θ par rapport à la contrainte principale. θ vérifie :
2θ =
π
+ φ0
2
(2.2)
La figure 2.1 représente le cercle de Mohr et la courbe enveloppe du critère.
Figure 2.1 Représentation graphique du critère de Mohr – Coulomb dans l’espace de (τ, σ)
5
Ce critère est intéressant car il donne une relation linéaire entre τ et σ. En revanche, le
critère de rupture est peu précis lorsqu’on a des valeurs élevées de σ. Dans ce cas là, le critère
surestime la contrainte de cisaillement critique.
2.1.2
Le critère de Hoek et Brown (1980a,b)
Hoek et Brown ont développé un critère en accord avec les valeurs expérimentales, pouvant
prendre la forme d’une expression mathématique simple et pouvant être extrapolé aux milieux
anisotropes et aux roches fracturées. Le critère dans sa forme finale résulte d’approches
successives pour coı̈ncider au mieux avec les résultats expérimentaux. Il est donné par :
σ1′ = σ3′ + (m.C0 σ3′ + C02 )a
(2.3)
Où σ1′ et σ3′ sont, respectivement, les contraintes effectives principales majeure et mineure.
m et a sont deux paramètres constants dont les valeurs vérifient :
– m ∈ [0.001; 25] selon Hoek et Brown (1980a)
– a = 12
La figure 2.2 (a) est une représentation graphique du modèle dans le plan σ1 – σ3 . Trois
points sont remarquables : (σ1 < 0 ;σ3 = 0) qui correspond à la rupture en traction de l’échantillon, (σ1 = 0 ;σ3 > 0) qui correspond à la rupture en compression uniaxiale de l’échantillon
et (σ1 > 0 ;σ3 > 0) qui correspond à la rupture au cours d’un essai triaxial. L’enveloppe de
rupture du critère de Hoek-Brown est représentée dans l’espace (τ ; σ) à la fibure 2.2 (b)
avec celle du critère de Mohr-Coulomb. La courbe enveloppe du critère de Mohr-Coulomb
est une droite qui approche bien la forme parabolique du critère de Hoek-Brown autour du
point de tangence avec le cercle de Mohr. Au-delà, on remarque que le critère de MohrCoulomb va systématiquement surestimer la contrainte tangentielle critique pour une valeur
de la contrainte normale donnée. Enfin, à la figure 2.2 (c), les évolutions de l’angle de friction
instantanée (en rouge) et de la cohésion instantanée (en bleu) sont représentées pour un test
de cisaillement direct du matériau.
À la figure 2.3, on a tracé la courbe enveloppe pour différentes valeurs du paramètre m.
L’influence de m sur l’enveloppe, dans l’espace (τ ;σ), montre que ce paramètre joue un rôle
similaire à l’angle de friction interne dans le critère de Mohr-Coulomb. La figure 2.4 quant
à elle, illustre l’influence du paramètre s sur l’aspect de la courbe enveloppe du critère dans
l’espace (τ ;σ). Son influence est comparable à celle de la cohésion c d’un matériau obéissant
au critère de Mohr-Coulomb.
6
Figure 2.2 Représentation graphique du critère de Hoek et Brown, d’après Hoek et Brown
(1997), (a) enveloppe de rupture dans le plan σ1 – σ3 , (b) enveloppe de rupture dans le plan de
Mohr et comparaison avec l’enveloppe de Mohr-Coulomb, (c) évolutions de l’angle de friction
instantané et la cohésion instantanée en fonction du déplacement de cisaillement
Dans ce critère, la contrainte effective intermédiaire σ2 n’est supposée avoir qu’un effet
négligeable sur la rupture du matériau. On suppose également que la vitesse de chargement
de l’échantillon n’a pas d’influence sur la résistance du matériau.
7
Figure 2.3 Influence du paramètre m
sur l’enveloppe du critère de HoekBrown représenté dans l’espace de
Mohr, d’après Hoek et Brown (1997)
Figure 2.4 Influence du paramètre s
sur l’enveloppe du critère de HoekBrown représenté dans l’espace de
Mohr, d’après Hoek et Brown (1997)
8
2.2
Comportement mécanique des discontinuités géologiques
Les discontinuités ont une résistance inférieure à celle de la roche intacte. La résistance
d’un massif fracturé est donc moindre que celle de la roche intacte constituant le massif. Les
discontinuités dans un massif sont décrites par leur :
– fréquence
– orientation
– taille
– résistance au cisaillement
– altération
– remplissage
– écoulement interstitiel
En effet, on observe rarement dans la nature des joints parfaitement propres. Selon Priest
(1993), différents évènements peuvent nuire à l’intégrité des discontinuités géologiques :
– les écoulements d’eau depuis la surface peuvent transporter des matériaux lâches
– les eaux calcaires ou ferrugineuses peuvent également être à la base de dépôts dans les
joints
– lors des mouvements tectoniques, les parois du joint peuvent être abrasées et le joint
peut se remplir avec les résidus
– l’altération des parois par les fluides qui circulent dans les joints donne naissance à des
matériaux de remplissage de type argileux
Mais l’altération de la roche au niveau des épontes peut également pénétrer en profondeur le
roc, dépendamment de la perméabilité du matériau.
Plusieurs modèles permettent d’évaluer la résistance en cisaillement des fractures. Quelquesuns d’entre eux sont présentés plus loin.
2.2.1
Modèle de Mohr Coulomb
Ce modèle reprend la théorie des contacts de Coulomb. Soit deux surface planes en contact.
Lorsqu’il y a glissement relatif des surfaces, la contrainte tangentielle τ est égale à la résistance
au cisaillement et a pour expression :
τ = σn . tan(φb ) + c
(2.4)
Où φb est l’angle de friction de base des deux surfaces, σn la contrainte normale appliquée
sur l’interface et c la cohésion initiale de l’interface. Lorsque la contrainte normale atteint la
résistance en compression uniaxiale de la roche intacte, C0 , la résistance au cisaillement du
9
joint chute à 0.
2.2.2
Le modèle bilinéaire de Patton (1966)
Dans ce modèle, le profil du joint est en dents de scie. Les aspérités font un angle i avec
la direction moyenne de la discontinuité (voir la figure 2.5). Les deux épontes du joint sont
inclinées par rapport à l’horizontal d’un angle θ. La surface de contact est soumise à l’action
d’une charge normale W appliquée sur la partie supérieure de l’échantillon. La charge normale
est constante (condition de Constant Normal Load ou CNL).
Les surfaces inclinées de θ + i par rapport à l’horizontal restent en contact. Ce sont elles
qui contrôlent le glissement de la partie supérieure sur la partie inférieure du joint. Le long
de ces surfaces, les contraintes normale et tangentielle vérifient :
W cos(θ + i)
A
W sin(θ + i)
τ=
A
σn =
(2.5)
(2.6)
Où A est l’aire de la surface de contact. On a donc :
τ
= tan(θ + i)
σn
(2.7)
L’inclinaison de la discontinuité par rapport à l’horizontale a un effet similaire à un angle de
friction entre les épontes de la discontinuité. L’angle de friction apparent d’une discontinuité
est de la forme :
φ = φb + i
(2.8)
Où φb est l’angle de frottement entre deux surfaces lisses de roche intacte.
D’où :
τ = σn . tan(φb + i)
(2.9)
Lorsqu’il y a glissement (pour σn faible).
Lorsque σn devient très élevée, la dilatation du joint est empéchée et il y aura augmentation de la contrainte de cisaillement jusqu’à atteindre la résistance de cisaillement des
aspérité. Le mouvement de cisaillement sera donc le résultat d’une rupture de la roche le
long d’un plan parallèle à la ligne de l’effort de cisaillement. Le massif rocheux parcouru par
la discontinuité se comporte alors comme une roche intacte. Le modèle de Patton redevient
10
alors une loi de Mohr-Coulomb pour la roche intacte :
τ = σn . tan(φr ) + S0
(2.10)
Où S0 et φr sont – respectivement – la cohésion et l’angle résiduel de frottement du matériau
constitutif des aspérités. Le modèle de Patton est donc bilinéaire, comme représenté sur la
figure 2.5.
Figure 2.5 Modèle bilinéaire de Patton dans l’espace τ − σ, d’après Patton (1966)
Le modèle de Patton rend compte des deux phénomènes intervenant lors du cisaillement
d’une discontinuité : le glissement le long des aspérités et la rupture de la roche intacte avec
glissement le long des plans de rupture. Ce modèle reste toutefois trop simplifié pour être
représentatif. La rupture en σT est notamment peu réaliste.
Jaeger (1971) propose une transition courbe entre les deux droites du modèle de Patton :
τ = σn . tan(φr ) + S0 (1 − e−b.σn )
(2.11)
Où b est une constante traduisant l’effet de σn sur p, l’écart entre la droite de pente φr et la
courbe de Jaeger. Le modèle de Jaeger (1971) est montré à la figure 2.6.
2.2.3
Modèle de Barton (1973, 1976, 1986)
Le critère de Barton s’exprime comme suit :
τ = σn . tan(JRC log10 (
JCS
) + φb )
σn
(2.12)
11
Figure 2.6 Modèle de Jaeger (en bleu) comparé au modèle bilinéaire de Patton dans l’espace
τ − σ, d’après Jaeger (1971)
Où JRC et JCS sont, respectivement, les coefficients de rugosité et de raideur de la discontinuité.
La relation ci-dessus est illustré à la figure 2.7 où la courbe enveloppe a été dessinée pour
différente valeurs du JRC. Le chiffre au bout de chaque courbe est la valeur du JCS exprimée
en M P a pour le joint considéré. Cette figure est tirée des résultats de Barton et Choubey
(1977).
Barton et Choubey (1977) proposent de mesurer le JCS à l’aide du marteau de Schmidt :
log10 JCS = 0, 88.γ.R + 1, 01
(2.13)
Où γ est le poids volumique de la roche en N/m3 et R est le nombre de rebonds du marteau
en L. Selon les auteurs, le JCS peut varier de C0 pour une discontinuité non altérée à C40
dans le cas d’une discontinuité fortement altérée.
Le JRC peut varier de 0 pour une discontinuité très lisse à 20 pour une discontinuité très
rugueuse. Barton et Choubey (1977) proposent une caractérisation visuelle du JRC à partir
d’un ensemble de profil-types (cf. figure 2.8).
Tse et Cruden (1979) proposent une estimation du JRC basée sur la discrétisation du
profil du joint en M segments horizontaux de largeur constante ∆x (fonction escalier). Si yi
est l’élévation du segment i par rapport à la ligne moyenne de la discontinuité alors on peut
définir la grandeur Z par :
Z=
M
−1
X
i=1
(yi+1 − yi )2
M.(∆x)2
La figure 2.9 illustre la disrétisation du profil de l’éponte effectué.
(2.14)
12
A - Joint rugueux ondulé
(Joints de tension, foliation,
plan de littage)
B - Joint lisse ondulé
(Foliation ou plan de littage
non-plans)
C - Joint lisse quasi-plan
(Foliation, plan de littage ou
joint de cisaillement plans)
φr = 30°
JRC = 20
φr = 30°
JRC = 10
φr = 30°
JRC = 5
τ (MPa)
τ (MPa)
100
τ (MPa)
50
5
5
5
4
4
10
5
3
100
50
4
10
5
2
2
2
1
1
1
0
1
2
σn (MPa)
3
100
50
10
5
3
3
0
1
2
3
0
σn (MPa)
1
2
3
σn (MPa)
Figure 2.7 Représentation graphique de la relation empirique de Barton (1973) pour différents
joints possédant chacun un JRC différent, d’après Barton et Choubey (1977)
De là, Tse et Cruden (1979) donnent la valeur du JRC en fonction de Z :
JRC = 32, 2 + 32, 47. log10 Z
(2.15)
13
Profils de rugosité types
Valeur du JRC
0-2
2-4
4-6
6-8
8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
16 - 18
18 - 20
0
5
10 Échelle (cm)
Figure 2.8 Profils de rugosité typiques et valeur correspondante du JRC, d’après Barton et
Choubey (1977), adapté par Hoek (2007)
Figure 2.9 discrétisation du profil d’une éponte selon la méthodologie de Tse et Cruden (1979)
14
2.2.4
Modèle de Bandis
Ce modèle propose une relation hyperbolique entre l’ouverture de la discontinuité et la
contrainte normale qui s’y applique. Goodman (1976) est le premier à proposer de relier
la contrainte normale σn au joint à la contrainte normale initiale σni et à la déformation
transversale v de la discontinuité :
v
σn = σni 1 + R
(2.16)
Vm + v
Où R est une constante expérimentale et Vm la fermeture maximale de la discontinuité.
Lorque v = −Vm , le joint est fermé et σn tend verst ∞.
Bandis et al. (1983) reprennent l’équation 2.16 en proposant :
σn = σni +
v
a + bv
(2.17)
Avec a et b des constantes.
On note σn la différence de contrainte agissant sur la fracture : σn = σn − σni
Lorsque σn → ∞, v → −Vm donc :
Vm =
a
b
(2.18)
La rigidité normale de la discontinuité est donnée par :
kn =
1 − bσn
∂(σn )
=
∂v
a + bv
(2.19)
Si σn = σni , alors σn = 0 et v = 0 dans 2.19. On trouve alors kn = kni = a1 .
En utilisant (2.18) :
1
kni
1
b =
Vm kni
a =
D’où
kn = kni
kni Vm − σn
kni Vm
(2.20)
(2.21)
2
(2.22)
L’équation 2.17 peut être écrite ainsi :
σn =
v.kni .Vm
Vm + v
(2.23)
15
kni a été empiriquement estimé par Bandis et al. (1983) :
kni = 0, 02
JCS
+ 1, 75JRC − 7
t0
(2.24)
Où e0 est l’ouverture initiale de la discontinuité, en mm et kni s’exprime en M P a/mm.
Pour Vm , Bandis et al. (1983) donnent l’expression suivante :
Vm = R
JCS
e0
S
(2.25)
Où R et S sont des constantes expérimentales.
2.2.5
Ladanyi et Archambault (1970)
Le modèle proposé par Ladanyi et Archambault (1970) est une extension du modèle de
Patton (1966) qui permet de rendre compte du glissement et du cisaillement des aspérités
qui intervient dans les joints naturels. Ils ont considéré un joint artificiel constitué d’aspérités
régulières en dent de scie inclinées de +i et −i par rapport à la direction générale du joint.
Ce modèle est basé sur l’équilibre énergétique du joint soumis au cisaillement suggéré par
Rowe et al. (1964).
La force de cisaillement est donnée par :
Tt = T1 + T2 + T3
(2.26)
Où
– T1 est la composante nécessaire pour aller à l’encontre de la force normale N appliquée
sur le joint : T1 = N v̇ avec v̇ le taux de dilatance
– T2 est la composante pour aller à l’encontre du frottement lorsqu’il y a dilatance :
T2 = T v̇ tan(φb ) où φb est l’angle de résistance au glissement de base
– T3 est la composante liée au travail interne de friction dans le cas où l’échantillon ne
change pas de volume : T3 = N tan(φb )
La figure 2.10 rend compte des différentes composantes intervenant dans Tt .
La force de cisaillement totale est donnée par :
T = Tt .(1 − aS ) + T4 .as
(2.27)
Où
– T4 est la composante due au cisaillement des aspérités à leur base. T4 = AC0 + N tan φ0
16
Figure 2.10 Travaux associés à la friction dans le joint, d’après Ladanyi et Archambault
(1970)
avec C0 et φ0 les paramètres de la roche intacte (résistance en compression uniaxiale et
angle de frottement interne)
– as est le rapport entre l’aire effective sur laquelle il y a cisaillement et l’aire totale du
joint :
σn
aS = 1 − 1 −
σT
k 1
(2.28)
Avec k1 constante du modèle LADAR égale à 1, 5.
Le taux de dilatance v̇ est égal au rapport de l’incrément de déplacement vertical dy par
l’incrément de déplacement en cisaillement dx (voir figure 2.10). On suppose que les aspérités
sont rigides, le taux de dilatance v̇ est donc assimilable à la tangente de l’angle des aspérités
(tan(i)). En transposant l’équation (2.27) en termes de contrainte (division par l’aire A) et
en remplaçant v̇ par tan i, on retrouve alors le modèle de Patton :
τ = σn′ . tan(φ0 + i)
(2.29)
L’expression de i est :
i = arctan
"
σn
1−
σT
k 2
. tan(i0 )
#
(2.30)
Avec k2 deuxième constante du modèle LADAR égale à 4, i0 l’angle initial des aspérités par
rapport à la direction moyenne de la discontinuité, σT , la contrainte de transition. Good-
17
man (1976) suggère de prendre pour valeur de σT la valeur de la résistance en compression
uniaxiale, C0 .
Pour les joints réels dont le profil n’est pas constitué seulement d’irrégularités du premier
ordre (dents de scie), Ladanyi et Archambault suggèrent de conserver la valeur de v̇ obtenue
expérimentalement plutôt que de chercher i.
Les auteurs donnent donc comme expression de résistance en cisaillement d’un joint, en
négligeant la composante de cisaillement des aspérités (T4 ) :
τ = σn
v̇ + tan φ0
1 − v̇ tan φ0
= σn tan(φ0 + v)
(2.31)
(2.32)
Avec v = arctan(v̇).
L’hypothèse de rigidité des aspérités faite dans ce modèle entraine une sous-estimation de
la résistance au cisaillement du joint.
Ce modèle est également applicable à des joints remplis. Ainsi, Goodman (1970) teste en
cisaillement direct des joints en dent de scie remplis de poudre de mica. La résistance du
joint rempli est alors supérieure à la résistance du matériau de remplissage seul tant que le
rapport de l’épaisseur moyenne du remplissage, t, sur la hauteur moyenne des aspérités, a est
inférieur ou égal à 1, 25. (voir figure 2.11)
Ces résultats sont corroborés par les travaux de Ladanyi et Archambault (1977) sur des
joints en béton remplis de kaolin. Lorsque i0 augmente, la résistance en cisaillement du joint
augmente. Cette augmentation est d’autant plus grande que at tend vers 0.(voir figure 2.12)
Soit τmax le cisaillement maximal pour un joint non rempli et τmin la résistance minimale
potentielle du joint atteinte pour t = tcritique .
tcritique est atteint lorsque l’épaisseur du remplissage empêche les aspérités d’avoir une
influence sur le comportement en cisaillement du joint. Il est fonction de la taille des grains
du matériau de remplissage et de la hauteur des aspérités. Par exemple, tcritique,sable > a
tandis que tcritique,argile ≤ a. Pour un joint rugueux, ondulé et caractérisé par une forte pente
des aspérités, τmin = τremplissage est une approximation acceptable. Pour un joint plat, peu
ondulé et lisse, τmin = σn . tan(φb ).
2.2.6
Seidel et Haberfield (1995)
Seidel et Haberfield (1995) proposent d’intégrer la déformation élastique des aspérités
triangulaires d’un joint artificiel à la théorie précédente.
La figure 2.13 montre une déformation verticale de due à la force N appliquée perpendicu-
18
Figure 2.11 Résistance au cisaillement d’un joint rempli avec de la poudre de mica, soumis
à une charge normale de 746kPa, pour différentes valeur du rapport t/a, d’après Goodman
(1970)
Figure 2.12 Résistance au cisaillement d’un joint en béton rempli avec du kaolin, soumis à
une charge normale de 8.69MPa, pour différentes valeur du rapport t/a et différentes pente
d’aspérités, d’après Ladanyi et Archambault (1977)
19
Figure 2.13 Déformation élastique de la discontinuité, d’après Seidel et Haberfield (1995)
lairement à la ligne moyenne du joint. Il y a donc une diminution de la dilatation du joint : la
dilatation devient dy − de. Cependant le mouvement relatif des deux faces demeure inchangé.
En effet, les mouvements horizontal et vertical qui génèrent des pertes de friction sont toujours dx et dy. T2 et T3 restent inchangées. En revanche, dans T1 , Seidel et Haberfield (1995)
changent dy par dy−de mais ajoutent la composante correspondant au travail nécessaire pour
de
augmenter l’énergie de déformation interne du solide dU = N.de. Soit T1 = N dy−de
+ N dx
.
dx
T1 reste donc inchangée. La résistance au cisaillement du joint s’en trouve donc inchangée.
Seidel et Haberfield (1995) étendent leur à des joints naturels comportant des aspérités
rigides d’angle différents, alors les aspérités mobilisées au court du glissement sont celles
qui ont la plus forte pente (pente seuil ic ). Avec la déformation des aspérités au court du
cisaillement, ic diminue. Du fait de la déformation élastique des aspérités, le glissement va
s’opérer, non seulement le long des aspérités de pente égale à ic qui se seront déformées,
mais aussi le long des aspérités de pente légèrement inférieure à la pente critique (pente
sub-critique) qui ne se seront pas encore déformées.
Avec la déformation élastique des aspérités critiques, Seidel et Haberfield (1995) expliquent qu’il y a apparition d’un travail interne pour contrer la déformation élastique du
corps. Les termes T1 , T2 et T3 restent donc inchangés et τ = σn′ . tan(φb + i).
La résistance instantanée du joint comportant n familles d’aspérités ayant chacune une
pente ij , j compris entre 1 et n, obéit à l’expression suivante :
n
1X
′
aj σnj
tan(φ0 + ij )
τ=
A j=1
(2.33)
20
′
Où A est l’aire totale du joint, σnj
est la contrainte normale effective locale agissant sur l’aire
aj des aspérités de type j. Pour les aspérités le long desquelles il n’y a aucun glissement,
′
σnj
= 0.
Lors de l’application d’une force de cisaillement, les aspérités vont se déformer élastiquement puis plastiquement : la structure du joint (nombre de points de contact, cimentation du
joint etc.) s’effondre et celui-ci va se remplir avec les matériaux dégradés. Soit un chargement
de cisaillement T .
Figure 2.14 Forces extérieures agissant sur l’aspérité qui plastifie, d’après Seidel et Haberfield
(1995)
La figure 2.14 montre une aspérité idéalisée (en dent de scie) qui suit une déformation
linéaire dp sous l’application d’un effort de cisaillement. Alors, la réduction du travail extérieur
pour contrer la contrainte normale, T1 , n’est pas compensée par l’énergie de déformation
interne du solide comme dans le cas de la déformation élastique. La composante T3 liée au
travail interne de friction dans le cas où l’échantillon ne change pas de volume est inchangé
puisque le déplacement horizontal dx reste identique au cas élastique traité précédemment.
La composante T2 diminue : si le taux de dilatation, v̇, vérifie v̇ ≤ tan φb alors T2 vaut :
T v̇ tan φb .
La force de cisaillement totale est donc, d’après Seidel et Haberfield (1995) :
T = N tan i + S v̇ tan φ0 + N tan φ0
(2.34)
21
Ou encore, mis sous forme de contraintes, d’après Seidel et Haberfield (1995) :
τ = σn
tan i + tan φ0
1 − v̇ tan φ0
(2.35)
Seidel et Haberfield (1995) définissent un angle de frottement de l’interface dégradée
φdegrade :
φdegrade
tan i + tan φ0
= arctan
1 − v̇ tan φ0
(2.36)
En appliquant l’équation (2.33) au cas du chargement tangentiel, Seidel et Haberfield
(1995) expriment la contrainte de cisaillement pour une discontinuité contenant n familles
d’aspérités de pente ij .
n
τ=
1X
′ tan ij + tan φu
aj σnj
A j=1
1 − v̇ tan φu
(2.37)
Seidel et Haberfield (1995); Haberfield et Seidel (1999) ont mené une série de test sur
des joints en dent de scie avec une pente des aspérités allant de 5˚ à 27, 5˚. Les résultats
expérimentaux sont donnés dans les figures 2.15 et 2.16.
Dans le tableau 2.1, ils ont comparé la valeur de φdegrade donnée par l’équation 2.36 à celle
de arctan( στpn ) et à celle de φb + v donnée par l’équation 2.32 dans le modèle de Ladanyi et
Archambault.
Tableau 2.1 Tableau comparatif des résultats expérimentaux de cisaillement direct de joint
en Calcarenite avec les prédictions du modèle de Ladanyi-Archambault et Seidel-Haberfield,
d’après Seidel et Haberfield (1995)
angle des
aspérités
i
(˚)
5,0
10,0
12,5
17,5
22,5
27,5
angle de
dilatance
mesuré v̇
(˚)
1,2
2,9
3,8
10,5
11,9
14,4
angle de
frottement
de base φb
(˚)
37,5
37,5
37,5
37,5
37,5
37,5
arctan( στn )
expérimental
φdegrade
(eq. 2.36)
φb + i
(eq 2.32)
φb + v
(˚)
42,1
44,5
47,0
51,3
56,1
60,0
(˚)
41,0
44,5
46,2
49,7
54,7
58,1
(˚)
42,5
47,5
50,0
55,0
60,0
65,0
(˚)
38,7
40,4
41,3
48,0
49,4
51,9
22
Figure 2.15 (a)Chemin de chargement
d’un joint artificiel en Calcarenite avec
des aspérités à 12,5˚(b) Évolution de la
dilatation avec le déplacement horizontal, d’après Seidel et Haberfield (1995)
2.2.7
Figure 2.16 (a)Chemin de chargement
d’un joint artificiel en Calcarenite avec
des aspérités à 22,5˚(b) Évolution de la
dilatation avec le déplacement horizontal, d’après Seidel et Haberfield (1995)
Le modèle de Saeb et Amadei (1990)
Les modèles proposés considèrent généralement une condition de charge constante à la
frontière (CNL). Or, dans la réalité, le massif rocheux avoisinant tend à contrer la dilatation
du joint. De ce fait, la condition aux limites d’un joint est une condition de raideur normale
constante (CNS). Saeb et Amadei (1990) ont apporté une méthodologie permettant d’accéder
à la réponse d’un joint dilatant cisaillé en CNS à partir de résultats de la littérature ou de
laboratoires obtenus avec des tests en CNL. Les auteurs s’intéressent essentiellement à des
joints non altérés. Les joints, dans leur position initiale, possèdent deux faces qui coı̈ncident
parfaitement.
23
Présentation de la méthode graphique
Figure 2.17 (a)Fermeture du joint (v versus σn ) (b) Contrainte de cisaillement versus u pour
différentes valeurs de σn (c) v versus u pour différentes valeurs de σn , d’après Saeb et Amadei
(1990)
Un joint est cisaillé tandis que la contrainte normale est maintenue constante. Les résultats
visibles sur la figure 2.18 montrent que les résistances en cisaillement au pic et résiduelle du
joint augmentent avec σn . Quant à la dilatation du joint, elle diminue lorsque σn augmente.
Lorsque le déplacement horizontal u dépasse la valeur seuil ur il n’y a plus de variation du
déplacement vertical v.
Grâce aux figures 2.17(b) et 2.17(c), Saeb et Amadei (1990) tracent σn en fonction de v
pour différentes valeurs de u. Ils obtiennent la figure 2.18(a). Chaque courbe de cette figure,
de paramètre ui , représente le comportement du joint soumis à une charge normale après
avoir été décalé d’un déplacement horizontal ui .
Avec les graphes de la figure 2.17, Saeb et Amadei (1990) développent une méthode
graphique (décrite ci-dessous) permettant de prédire la valeur de la résistance au cisaillement
du joint quelque soit le chemin de chargement :
– choisir de travailler en CNL ou CNS
24
– reporter les coordonnées des points d’intersection du chemin de chargement retenu avec
les courbes de paramètres u dans un espace τ – u
Sur la figure 2.18 différents chemins de chargement sont représentés :
– contrainte normale constante (ABCDE)
– déplacement normal constant (AJKLM)
– raideur normale constante (AFGHI)
– raideur normale variable (ANPQR)
(a)
(b)
σn
τ
24σ
20σ
20σ
20σ
18σ
16σ
K
M
L
I
K H
J G P R
Q
F N
A
B
C
U0
Vm
12σ
L
8σ
D
U1
U2
U3
0
U4
I
K H R
G Q E
P D
C
4σ
E
12σ
M
0
U0
U2
U4 U6
4σ
U8
U10 U12 U14
σ
v (c)
2σ
3σ
E
4σ
D
C
0
A
B P Q R
H I
N
FG
JK L M
Vm
U0
U 2 U4 U 6 U8
5σ
6σ
7σ
8σ
10σ
12σ
18σ
20σ
U10 U12 U14
σn
(d)
20σ
16σ
12σ
L M
JK
H I
FG
NP Q R
A BC D E
8σ
4σ
0
U0
U2
U4 U6 U8 U10 U12 U14
Figure 2.18 Réponses d’un joint à différents chemin de chargement (a)Contrainte normale versus fermeture du joint pour différentes valeurs de la contrainte de cisaillement (b)Contrainte
de cisaillement versus déplacement horizontal (c)Fermeture versus déplacement horizontal
(d)Contrainte normale versus déplacement horizontal, d’après Saeb et Amadei (1990)
Les abaques utilisées (figure 2.18) ne sont valables que pour un joint particulier. Saeb et
Amadei (1990) montrent que l’application de cette méthode à un joint plus dilatant donne
de nouveaux abaques, comme ceux de la figure 2.19.
Pour tout déplacement horizontal u de valeur supérieure à ur (noté u4 sur les figures tirées
de Saeb et Amadei (1990)), la courbe représentative de σn vs u est inchangée.
25
(a)
τ (b)
σn
20 σ
24 σ
16 σ
20 σ
20 σ
16 σ
16 σ
M
L
K HI
J G P R
F
Q
N
A
B
C
U0
Vm
K
12 σ
8σ
D
U1
4σ
E
U2
U3
U4
U5
0
0
(c) σ
12 σ
10 σ
8σ
6σ
4σ
2σ
M
L I
R
K H
GQ E
P D
C
U0 U 2
U4 U 6
U8 U10 U12 U14
2σ 3σ
v
D
C
A
Q R
B
P
N
H I
F G
J K L M
Vm
U0
U2
U4 U6
4σ
σn
3σ
20 σ
6σ
16 σ
7σ
12 σ
8σ
8σ
10σ
12σ
16σ
20σ
4σ
(d)
J
F
N
A B
U0
L M
K
I
G H R
P Q
C D E
U2
U4
U6
U8 U10 U12 U14
U8 U10 U12 U14
Figure 2.19 Réponses d’un joint à différents chemin de chargement (a)Contrainte normale versus fermeture du joint pour différentes valeurs de la contrainte de cisaillement (b)Contrainte
de cisaillement versus déplacement horizontal (c)Fermeture versus déplacement horizontal
(d)Contrainte normale versus déplacement horizontal, d’après Saeb et Amadei (1990)
Développement d’un modèle mathématique
Saeb et Amadei (1992) ont développé un modèle mathématique décrivant le comportement du
joint. Pour cela, ils se sont basés sur les modèles développés par Bandis et al. (1983), Patton
(1966), Jaeger (1971) ou Ladanyi et Archambault (1970).
L’équation de Bandis retenue est celle obtenue en utilisant les valeurs de a et b des
relations (2.20) et (2.21) dans l’expression (2.17).
L’expression de la dilatance utilisée par Saeb et Amadei (1992) est donnée par Goodman
et St-John (1977) :
∂v
= v̇ = tan i =
∂u
σn
1−
σT
k 2
tan(i0 )
Pour u ≤ ur et σn < σT
(2.38)
∂v
=0
∂u
Pour u > ur ou σn ≥ σT
(2.39)
26
Saeb et Amadei (1992) reformulent en termes de contraintes :
τr = τp
1 − BO
B0 +
σn
σT
τr = τp
pour σn < σT
pour σn ≥ σT
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Enfin, ils utilisent le modèle de Ladanyi et Archambault – Ladanyi et Archambault (1970)
– qu’ils ont modifié :
τpic = σn tan(φ + i)(1 − as ) + as Sr
(2.43)
Où :
– 1 − as est la proportion du joint le long de laquelle il y a glissement
– φ est l’angle de frottement le long des aspérités
– Sr est la résistance au cisaillement des aspérités c’est-à-dire de la roche intacte
– i = tan(v̇), v̇ étant la vitesse sécante de dilatance
Selon Ladanyi et Archambault (1970) as et v̇ sont dépendantes de σn .
k
σn 1
as = 1 − 1 −
σT
k 2
σn
tan(i0 )
v̇ = 1 −
σT
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Avec k1 = 1.5 et k2 = 4.
En intégrant la relation (2.38), on a
σn
v = u. 1 −
σT
En u=0 on trouve :
v0 =
k 2
tan(i0 ) + f (σn )
σn V m
kni Vm − σn
(2.47)
(2.48)
Pour u > ur et σn < C0 , le joint cesse de se dilater et v = v(ur ).
Pour σn ≥ C0 , le premier terme de 2.47 disparait et aucune dilatation n’est possible
durant le cisaillement.
En notant w = u.(1 − σσTn )k2 tan(i0 ), Saeb et Amadei (1992) reformulent les équations de
27
la façon suivante :
σn =
(v − w)kni Vm
Vm + (v − w)
(2.49)
Où w est l’augmentation d’ouverture du joint due au cisaillement.
Cette équation modélise le comportement σn versus v d’un joint après qu’il a été décalé
par un déplacement en cisaillement u (cf. figure 2.20). La 2.20 montre qu’un joint décalé est
plus déformable qu’un joint parfaitement ajusté.
Figure 2.20 Représentation graphique de la contrainte normale versus le déplacement normal pour un joint dont les épontes coı̈ncident (trait plein) et pour un joint désenchevêtré
(pointillés), d’après Saeb et Amadei (1992)
Saeb et Amadei (1992) précisnet qu si le joint n’est pas dilatant (tan i0 = 0) alors w = 0
et le comportement σn devient indépendant de u.
Formulation différentielle du problème :
L’expression de la relation σn – v sous forme différentielle permet de calculer les raideurs normales et tangentielles du problème. Deux types de modèles constitutifs existent : les modèle
à déplacements constants dans lesquels up et ur sont supposés être des données intrinsèques
de la discontinuité (ils ne varient donc pas d’un essai à l’autre) et les modèle à raideurs
constantes dans lesquels la raideur du joint est supposée indépendante de la contrainte nor-
28
male appliquée à la discontinuité.
dσn =
2
− uk
σT
k2
tan(i0 ).du
dv − 1 − σσTn
k2 −1
2
1 − σσTn
tan(i0 ) + (k VVm−σ
ni m
(2.50)
2
n)
Soit : dσn = knn dv + kns du Ou encore :
∂σn
∂v
∂σn
=
∂u
knn =
(2.51)
kns
(2.52)
De façon analogue, dτ = ksn dv + kss du. Différentes valeurs de ksn et kss sont proposées
par Saeb et Amadei (1990, 1992) selon le mode de sollicitation du joint (déplacement constant
ou raideur constante).
∂τ
∂v
∂τ
=
∂u
ksn =
(2.53)
kss
(2.54)
Saeb et Amadei (1990) écrivent :
ksn kns
τp
+
knn
up
τp − τr
ksn kns
+
=
knn
u p − ur
ksn kns
=
knn
kss =
pour u < up
(2.55)
pour up ≤ u ≤ up
(2.56)
pour u > ur
(2.57)
Le tableau 2.2 récapitule les valeurs des raideurs du joint selon le mode de sollicitation retenu.
Le modèle de Saeb et Amadei (1992) est intéressant car il propose des relations linéaires
simples entre la contrainte de cisaillement et le déplacement de cisaillement. En revanche, il
ne rend pas correctement compte du comportement post-pic de la discontinuité.
29
Tableau 2.2 Tableau récapitulatif des valeurs de knn et de kns proposées par Saeb et Amadei
(1990)
Déplacement constant
∂τp
ksn = uup knn ∂σ
n
τp
∂τp
kss = uup kns ∂σ
+
up
n
u < up
up ≤ u ≤ ur
ur < u et
σn < σT
∂τp
∂τp
nn
0
ksn = upk−u
{ ∂σ
(u − ur ) + (up − u)[ ∂σ
B0 + 1−B
σn + στTp (1 − B0 )]}
σT
r
n
n
∂τp
∂τp
r
ns
0
kss = uτpp −τ
+ upk−u
{ ∂σ
(u − ur ) + (up − u)[ ∂σ
B0 + 1−B
σn + στTp (1 − B0 )]}
−ur
σT
r
n
n
∂τp
0
ksn = knn { ∂σ
(B0 + 1−B
σn ) + στTp (1 − B0 )}
σT
n
∂τp
0
kss = kns { ∂σ
(B0 + 1−B
σn ) + στTp (1 − B0 )} = 0
σT
n
Raideur constante
ksn = 0
kss = uτpp
u < up
up ≤ u ≤ ur
ur < u et
σn < σT
kss =
τp −τr
up −ur
∂τp 1 up τr −τp ur
ksn = knn ∂σ
( up −ur )
n τp
∂τp
∂τp
kns
+ up −ur { ∂σn (u − ur ) + (up − u)[ ∂σ
B0 +
n
∂τp
0
ksn = knn { ∂σ
(B0 + 1−B
σn ) + στTp (1
σT
n
∂τp
0
kss = kns { ∂σ
(B0 + 1−B
σn ) + στTp (1 −
σT
n
1−B0
σn
σT
+
− B0 )}
B0 )} = 0
τp
σT
(1 − B0 )]}
30
2.2.8
Le modèle CSDS, Simon (1999)
Ce modèle, développé par Simon (1999) et Simon et al. (1999b) s’appuie sur l’existence
supposée d’une surface unique dans l’espace à quatre dimensions (τ, σ, u, v), pour un chargement monotone, selon Fortin et al. (1990). Ce modèle a été développé afin de modéliser
au mieux le comportement post-pic d’un joint. L’équation de base du modèle est inspirée du
modèle de Chapuis (1990) :
τ = G(u) = a + b exp(−cu) − d exp(−eu)
(2.58)
Où τ est la contrainte de cisaillement en MPa, u le déplacement tangentiel au plan de la
discontinuité en mm, a, b, c, d et e des paramètres vérifiant :
a, b, c, d, e > 0
(2.59)
c<e
(2.60)
La condition de l’équation (2.60) permet de vérifier que la deuxième partie de l’expression
biexponentielle est négligeable devant la premier partie dès que u devient grand (entendre
par là u > ur ).
Les paramètres d’entrée du modèle sont :
– ur et up les déplacements résiduel et au pic, respectivement
– σT la contrainte de transition, généralement prise égale à la résistance en compression
de la roche intacte
– φr et φb les angles de friction résiduel et de base de la fracture, respectivement
– φ0 l’angle de friction interne de la roche intacte constituant la fracture
– i0 angle initial des aspérités
– S0 la cohésion de la roche intacte formant les aspérités
– kni la raideur normale initiale de la fracture
– Vm la fermeture maximale de la fracture
La condition initiale τ (u = 0) et la condition à la limite τ (u → ∞) Simon (1999) donne :
b = d−a
τr = G(u ≥ ur ) = a
(2.61)
(2.62)
Afin de pouvoir suivre au mieux les courbes expérimentales, une valeur de c suffisamment
petite est nécessaire. Simon (1999) a analysé plusieurs séries de résultats expérimentaux. Il
est apparu que la valeur de exp(−c.ur ) = 0, 007 convenait, soit c = u5r .
31
Donc l’équation (2.58) précédente devient :
5u
) − d exp(−e.u)
ur
5u
5u
= τr [1 − exp(− )] + d[exp(− ) − exp(−e.u)]
ur
ur
τ = τr + (d − τr ) exp(−
(2.63)
(2.64)
Au pic (u = up ), on a :
5up
∂G
5
) + d.e. exp(−e.up ) = 0
= − (d − τr ). exp(−
∂u
ur
ur
(2.65)
d.e.ur
5
− exp[up (e − )] = 0
5(d − ur )
ur
(2.66)
Soit
Une deuxième relation entre d et e peut être obtenue en considérant l’équation (2.64) en
u = up :
d=
p
)]
τp − τr [1 − exp(− 5u
ur
p
exp(− 5u
) − exp(−e.u)
ur
(2.67)
Les équations (2.66) et (2.67) forment un système de deux équations non-linéaires à deux
inconnues d et e. Ce système peut se résoudre par itérations successives en veillant à ne
conserver que la solution qui permet de vérifier la condition c < e. Il est également possible
de substituer l’expression de d dans l’équation (2.66) par sa valeur donnée en (2.67). Cette
substitution donne une expression du type F (e) = 0. Chercher les valeurs de e solutions de
notre système de deux équations à deux inconnues, revient à chercher les zéros de la fonction
F (e) représentée à la figure 2.21. Sur cette figure, le premier zéro de F(e) est obtenu en
c = 0, 4 mm. Le deuxième zéro, en 1, 3 environ, correspond à la valeur de e pour le modèle
CSDS.
τr se calcule en utilisant le critère de Coulomb :
τr = σn . tan φr
(2.68)
Simon et al. (2003) proposent d’utiliser le critère de LADAR –Ladanyi et Archambault
(1970)– modifié par Saeb et Amadei (1992) pour calculer τp , .
τp = σn (1 − as ). tan(i + φb ) + as .Sr
(2.69)
32
Figure 2.21 Représentation graphique de la fonction F(e), avec ur = 25mm, up = 0, 52mm
Où φb est l’angle de friction de base entre deux surfaces lisses de roche intacte.
Saeb et Amadei (1992) suggèrent également d’utiliser le critère de Mohr-Coulomb pour
calculer la résistance au cisaillement des aspérités, Sr :
Sr = S0 + σn tan φ0
(2.70)
Où S0 est la cohésion de la roche intacte et φ0 l’angle de friction interne.
Le modèle CSDS de Simon et al. (1999b) donne également une relation entre les déplacements normal et de cisaillement :
v = β1 + β2 . exp(−β3 .u) − β4 . exp(−β5 .u)
(2.71)
Comme il est très difficile d’évaluer les paramètres de l’équation (2.71), on utilise une
forme simplifiée en imposant β2 = 0 :
v = β1 − β4 . exp(−β5 .u)
(2.72)
En u = 0, v = v0 = β1 − β4 . La fermeture initiale, v0 , peut être obtenue par l’équation (2.23) de Bandis et al. (1983) :
β4 = β1 −
σn V m
kni Vm − σn
(2.73)
Pour (u ≥ ur ), v = vr = β1 , ce qui correspond au déplacement tangentiel maximum.
Simon (1999) propose d’utiliser l’expression de la dilatation donnée par Saeb et Amadei
33
(1990, 1992) :
β1 = ur
|
k
σn 2
σn V m
1−
tan i0 +
σT
kni Vm − σn
{z
}
(2.74)
β4
Le paramètre β5 peut être relié au déplacement résiduel ur . Simon (1999) en donne la valeur
suivante :
β5 ≃
1, 5
ur
(2.75)
En utilisant les valeurs de β1 , β4 et β5 dans l’équation (2.72) Simon (1999) obtient l’expression
suivante de la dilatation :
" k 2 #
1, 5u
σn
σn Vm
(2.76)
+
v = ur 1 −
tan(i0 ) 1 − exp −
σT
ur
kni σn − Vm
Le modèle CSDS a été implémenté sur Excel afin de mieux comprendre son fonctionnement
(entrées - sorties, sensibilité, etc.).
Application du modèle aux essais de Flamand et al. (1994)
Les essais de Flamand et al. (1994) sont des essais de cisaillement direct d’une discontinuité
à charge normale constante. Trois essais ont été réalisés pour trois valeurs de la contrainte
normale appliquée au joint : σn = 7 M P a, σn = 14 M P a et σn = 21 M P a. Les grandeurs
τr , τp , ur et up sont mesurées expérimentalement. La valeur de la contrainte de transition
dans les essais de Flamand et al. (1994) est σT = 82M P a.
Afin de tester le modèle CSDS, les paramètres d’entrée ont été déterminés en faisant leur
moyenne sur les deux premiers essais de Flamand et al. (1994) (σn = 7M P a et σn = 14M P a).
Puis le modèle a servit à prédire la réponse de la discontinuité testée sous une contrainte
normale constante égale à 21M P a. Les résultats du modèle CSDS ont enfin été comparés
aux résultats expérimentaux de Flamand et al. (1994).
Par lecture des résultats expérimentaux, on accède à up et ur :
up = 0, 52mm
(2.77)
ur = 4mm
(2.78)
L’angle de frottement de base φb pour les essais de Flamand et al. (1994) vaut φb = 37˚.
On lit les des valeurs de τp et τr à partir des nuages de points expérimentaux.
À partir des valeurs expérimentales de τr , on peut calculer un φr moyen grâce à l’équa-
34
tion (2.68) :
φr = 41˚
(2.79)
Les grandeurs τp , σn et Sr sont reliées par l’équation (2.69). as s’obtient pour chaque
valeur de σn grâce à l’équation (2.28). Une valeur de 14˚ a été arbitrairement retenue pour
i0 . i peut alors être calculé pour chacun des deux premiers tests. On a alors accès à Sr . De
là, on déduit phi0 .
φ0 = 64˚
(2.80)
Le tableau 2.3 montre les valeurs des 5 coefficients nécessaires au calcul de la relation τ
– u.
Figure 2.22 Comparaison des courbes obtenues avec les résultats du tableau 2.3 et des points
expérimentaux de Flamand et al. (1994)
Tableau 2.3 Valeurs des coefficients a,b,c,d,e du modèle CSDS dans la relation τ vs u pour
les trois essais de Flamand et al. (1994) à charge normale constante
σn (MPa)
7
14
21
a (MPa)
6,14
12,29
18,43
b (MPa)
10,17
21,52
36,66
c (mm−1 )
1,25
1,25
1,25
d (MPa)
16,31
33,81
55,09
e (mm−1 )
4,74
4,68
5,53
35
La figure 2.2.8 montre les résultats du modèle CSDS (traits plein ou pointillés) et les
nuages des points expérimentaux. Pour les deux premiers essais à σn = 7M P a et σn =
14M P a, les résultats renvoyés par le modèle CSDS sont de type descriptif : à partir des
résultats expérimentaux, on voit qu’on peut retrouver ces résultats par le modèle analytique.
Dans le cas du troisième essai (σn = 21M P a) on utiise les paramètres d’entrée moyens
déterminés ci-dessus pour chercher à prdire la réponse du joint. Le modèle n’est pas prédictif
car il y a un trop grand écart entre la contrainte au pic prédite et réelle. En revanche l’aspect
général de la courbe est bien rendu. L’écart peut s’expliquer par une différence des trois joints
utilisés pendant les expériences. En effet, on a supposé que chacun des test de cisaillement à
charge normale constante était réalisé sur un joint identique pour chaque test. Or il se peut
que le joint utilisé n’ait pas été strictement reproduit.
Relation v - u
Pour le calcul des coefficients β1 , β4 et β5 , on utilise les équations (2.74), (2.73) et (2.75).
Dans le cas de l’expérience de Flamand et al. (1994), les valeurs de Vm et kni ne sont pas
données par les auteurs. Pour accéder aux valeurs de Vm et kni , on lit la valeur de v0 pour
les deux premiers tests (σn = 7M P a et σn = 14M P a). On remarque que les trois nuages de
points semblent partir de l’origine, comme si v0 était nul. Les auteurs ont donc pris comme
origine de la dilatation du joint l’ouverture lue après mise en charge du joint. Il est donc
difficile de trouver une véritable de v0 pour chacun des deux premiers essais. Cependant, en
utilisant l’expression de v en u = ur , on a :
v(u = ur ) = v0 + β4 × 0.777
(2.81)
σ n k2
) . tan(i0 )
σT
(2.82)
Et β4 est connu :
β4 = ur .(1 −
À partir des valeurs de v0 pour les deux premiers essais, on trouve les valeurs de kni et Vm :
– kni = 100M P a/mm
– Vm = 3.10−2 mm
Les coefficients (βi )i , nécessaires au calcul de la relation v–u sont présentés dans le tableau (2.4).
Les courbes représentant les résultats du modèle CSDS visibles sur la figure 2.2.8 montrent
que le modèle ne prédit pas avec suffisament de précision le comportement du joint soumis à
un test sous charge normale constante à 21M P a.
36
Tableau 2.4 Valeurs des coefficients (βi )i du modèle CSDS pour les essais de Flamand et al.
(1994)
σn
7
14
21
2.3
β1
0,681
0,449
0,280
β4
0,698
0,472
0,305
β5
0,38
0,38
0,38
Caractérisation hydraulique des discontinuités géologiques
L’eau souterraine présente dans un massif fracturé a deux possibilités pour s’écouler : à
travers la roche (par l’intermédiaire des pores) ou au travers des fractures, joints et autres
discontinuités. Dans le cas d’une exploitation minière, celle-ci prend généralement place dans
un massif constitué de roche ignée. Celle-ci est généralement peu perméable car ses pores ne
sont pas reliés en nombre suffisamment grand afin de créer un réseau d’écoulement. L’eau
empruntera donc préférentiellement les fractures du massif rocheux pour « voyager ».
Au moins trois facteurs conditionnent la perméabilité d’une fracture :
– Sa rugosité
– Son ouverture
Figure 2.23 Comparaison des courbes obtenues avec les résultats du tableau 2.4 et des points
expérimentaux de Flamand et al. (1994)
37
– Son remplissage
Dans la présente étude, différents cas seront étudiés : pour une fracture seule puis pour un
réseau d’écoulement.
2.3.1
Rappel sur la Loi de Darcy (1856)
Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel dans un échantillon de matériau poreux de
longueur L, de section A, aux bornes de laquelle une variation de charge ∆h est appliquée
~ de fluide circulant à travers
(cf. figure 2.24), Darcy (1856) relie empiriquement le débit Q
l’échantillon au gradient hydraulique J = ∆h
:
L
Q = K.A.J
(2.83)
Où K est la conductivité hydraulique du milieu.
Figure 2.24 Représentation schématique d’une colonne de matériau poreux dans laquelle
circule un fluide
Cette loi est exprimée sous forme matricielle dans le cas d’un écoulement tridimensionnel :
 

 ∂h 

qx
kxx kxy kxz
∂x
 

 

qy  = − kyx kyy kyz  .A.  ∂h
∂y 
∂h
qz
kzx kzy kzz
∂z
(2.84)
La matrice des perméabilité, (kij )ij , est supposée symétrique.
Le signe négatif nous indique que le flux va des points de plus haute charge (plus haute
énergie), vers les points de plus basse charge.
2.3.2
Établissement de la loi cubique
Une des hypothèses simplificatrices communément utilisées pour modéliser une fracture
est d’apparenter cette dernière à deux plaques planes parallèles infinies. On a alors une frac-
38
ture d’ouverture constante, parfaitement lisse. Selon Louis (1969), en régime établi, l’équation
de Navier-Stokes qui régit l’écoulement dans la fracture est :
−−→ ν −−→
DV~
1 −−→
= P~ − gradp + ν ∆V + grad(div V~ )
Dt
ρ
3
(2.85)
Où V~ est le vecteur des vitesses du fluide, P~ la force volumique qui s’applique au fluide,
ρ la masse volumique du fluide, p la pression hydrostatique, ν la viscosité cinématique du
−−→
fluide et t le temps et ∆V le Laplacien vectoriel du champ des vitesses.
Louis (1969) propose de faire l’hypothèse d’un écoulement incompressible (div(V~ ) = 0),
de la constance de la viscosité du fluide (température constante) et de la seule attraction
gravitationnelle comme force agissant sur le fluide. Il obtient alors :
−−→
−−→
DV~
p
= −g.grad(Z + ) + ν ∆V
Dt
γw
(2.86)
Avec Z la coordonnées verticale du point M considéré.
La discontinuité considérée est détaillée à la figure 2.25. La variation de vitesse dans la
direction du joint (plan contenant ~x et ~y ) est négligeable devant la variation de la vitesse
dans la direction perpendiculaire au joint (~z). Il n’y a pas d’écoulement selon ~z donc Vz = 0.
∂·
≡ 0), alors on obtient un système de trois
Si de plus on considère un flux stationnaire ( ∂t
équations :
∂Z
1 ∂p
∂ 2 Vx
+
)+ν 2 = 0
∂x γw ∂x
∂z
1 ∂p
∂ 2 Vy
∂Z
+
)+ν 2 = 0
−g(
∂y
γw ∂y
∂z
∂Z
1 ∂p
+
= 0
∂z
γw ∂z
− g(
(2.87)
(2.88)
(2.89)
En intégrant les équations précédentes entre +ei et −ei (où ei est la demi-ouverture de la
fracture), Louis (1969) obtient l’expression des composantes du vecteur des vitesses :
Jx 2
(ei − z 2 )
2ν
Jy
= g (e2i − z 2 )
2ν
Vx = g
(2.90)
Vy
(2.91)
39
Figure 2.25 Répartition des vitesses dans une discontinuité d’épaisseur 2.ei de vecteur normal
(O, ~z)
Les composantes de vitesse moyenne d’écoulement sont :
Vx
Vy
Z ei
1
=
Vx .dz =
2ei −ei
Z ei
1
=
Vy .dz =
2ei −ei
gJx
(2ei )2
12ν
gJy
(2ei )2
12ν
(2.92)
(2.93)
En intégrant sur la section du joint, on accède au débit moyen par unité de largeur :
gJx
(2ei )3
12ν
gJy
(2ei )3
=
12ν
Qx =
(2.94)
Qy
(2.95)
Cette dernière relation est appelé loi cubique. On l’exprime généralement comme suit :
Q = C.(2ei )3 .∆h
(2.96)
Où C est une constante dépendant de l’écoulement :
– pour un écoulement radial,
C=
2π
ρg
ln(re /rw ) 12ν
(2.97)
w ρg
l 12ν
(2.98)
– pour un écoulement parallèle,
C=
Avec w la largeur du joint et l sa longueur
40
2.3.3
Écoulement dans une fracture rugueuse
La loi cubique précédemment établie a été proposée dans le cas d’un joint lisse, d’ouverture
constante et propre. Or, dans la réalité, les discontinuités géologiques présentent des défauts
de surface (aspérités, zones de contact) qui réduisent l’épaisseur dans laquelle le fluide pourra
passer. On distingue donc l’ouverture mécanique d’une fracture qui correspond à l’ouverture
effective de la fracture (c’est une grandeur qu’on peut mesurer « avec une règle ») de l’ouverture hydraulique qui est utilisée dans la loi cubique. L’ouverture hydraulique tient compte
de la rugosité de la fracture, de sa tortuosité. Ainsi, une fracture d’ouverture mécanique 2em
aura une ouverture hydraulique 2eh :
– égale à 2em si les parois sont parfaitement lisses et parallèles
– inférieure strictement à 2em si les parois sont rugueuses ou si le chemin d’écoulement
est tortueux
Les travaux de Lomize (1951) rapportés par Louis (1969) montrent la validité de la loi
cubique entre deux plaques parallèles dont l’état de surface a été modifié. En reprenant
l’équation (2.96), on peut dire qu’il existe λ ≤ 1 tel que :
Q = λ.C.(2em )3 .∆h
(2.99)
L’équation empirique suivante a pu être établie par Lomize (1951) :
"
1,5 #
96
ǫ
λ=
1 + 6, 0
Re
2em
(2.100)
Où ǫ est égal à la valeur absolue de la hauteur moyenne des aspérités de la surface rugueuse.
L’équation (2.100) reste valable pour 2eλm > 0, 065.
L’expression de Lomize (1951) peut être réécrite comme suit :
λ=
96
Re.f
(2.101)
Où f est un facteur qui rend compte de l’écart entre la réalité et le cas idéal d’un joint lisse.
L’expression 2.101 sert à retrouver l’ouverture hydraulique d’une fracture à partir de son
ouverture mécanique :
√
3
eh = em . λ
(2.102)
41
Barton et al. (1985) proposent une relation empirique entre ouverture mécanique et ouverture hydraulique :
eh =
e2m
JRC 2,5
(2.103)
Validation de la loi cubique pour une fracture fermée
Si la fracture est ouverte est rugueuse, on vient de voir que la loi cubique est toujours valable.
Seul un terme de perte énergétique proportionnel à λ apparaı̂t dans l’expression du débit en
fonction de l’ouverture mécanique. Cependant, il est fréquent d’avoir des fractures dont les
surfaces ont un certain degré de contact. Witherspoon et al. (1980) proposent de vérifier la
validité de la loi cubique pour une fracture fermée (em = 0) d’ouverture résiduelle 2er .
Pour cela, ils supposent la loi cubique valide pour un fracture fermée et détermine une
série de valeurs à partir de données expérimentales. D’autre part, ils fixent le coefficient de
Q
= C(2em + 2er )n par la méthode des moindres carrés :
correction f à 1 et optimisent ∆h
minn,
2er {χ
2
=
X
i∈{points experimentaux}
ωi log
Q
∆h
i
− log [C(2.em + 2.er )]ni }
(2.104)
Q
Q
Où ωi = 12 | log( ∆h
)i+1 −log( ∆h
)i−1 | est un facteur de pondération. Une étude de sensibilité
2
montre que χ est peu sensible aux variations de ωi .
Les résultats montrent que n ≈ 3 et que 2er est proche de la valeur calculée en appliquant
la loi cubique à la fracture fermée à partir de données expérimentales. La loi cubique est donc
applicable aux fractures fermées et la loi est bien cubique.
42
2.4
Couplages hydromécaniques
L’approche par modèle à double porosité est présentée dans cette section afin de comprendre la différence de formulation qu’elle présente avec le CSDSw.
2.4.1
Approche globale, modèle équivalent continu
Cette approche, mise au point pour les réservoirs fracturés de pétrole, consiste à décomposer le milieu en deux matériaux :
– la matrice rocheuse, généralement considérée comme imperméable
– les fractures qui peuvent être remplies ou non et qui sont des chemins d’écoulement
préférentiels
Tandis que la roche occupe un volume conséquent au sein du réservoir fracturé considéré, les
fractures en constituent une faible portion. Barenblatt et al. (1960), Warren et Root (1963) et
Kazemi (1969) ont proposé des modèles à double porosité sans y intégrer l’effet des contraintes
et des déformations sur la matrice et les fractures.
Wilson et Aifantis (1982) propose un modèle de couplage flux-déformations pour un matériau élastique à double porosité. Dans l’étude faite par Zhang et Roegiers (2005), on suppose
que le matériau est un matériau à double-porosité (ou double-perméabilité) idéal. C’est-à-dire
que le massif est représentable par un ensemble de mailles de matériau ayant chacune des
propriétés de double-perméabilité distinctes.
Afin de déterminer les paramètres des matériaux équivalents, le massif est subdivisé en
blocs qui seront homogénéisés. La taille caractéristique des blocs à homogénéiser doit être
suffisamment grande pour contenir assez de fractures mais suffisamment petite pour que les
paramètres caractérisant la famille de fractures étudiée ne varient pas trop dans le bloc. Le
bloc homogénéisé est le RVE (Representative Volume Element). Certains auteurs comme
Jing et Hudson (2004) montrent que la dimension du RVE correspond à la taille de la fenêtre
d’échantillonnage au delà de laquelle les caractéristiques du joint rocheux (amplitude des
aspérités par exemple) sont sensiblement stationnaires.
2.4.2
Le modèle CSDSw
Pour utiliser le modèle CSDSw, on remplace la contrainte totale σn dans les expressions (2.68), (2.69), (2.30), (2.28), (2.70), (2.73), (2.74) et (2.76) par la contrainte effective σn′ .
Dans ce cas là, l’analyse mécanique avec le odèle CSDS va modifier les contraintes effectives qui à leur tour vont affecter la répartition des pressions interstitielles. Le couplage est
implicite.
43
Le modèle a été testé sur trois séries de résultats tirés de la littérature. La première
série de résultats expérimentaux provient de Esaki et al. (1999) tandis que les deux séries
suivantes proviennent de Lee et Cho (2002). D’autres essais tels que ceux de Gentier (1986),
Gentier et al. (1997) ou Olsson et Brown (1993) pourraient également servir à tester le modèle
CSDSw.
Analyse des résultats expérimentaux de Esaki et al. (1999)
Esaki et al. (1999) étudient les effets de la dilatance d’un joint et de sa déformation en
cisaillement sur sa conductivité hydraulique. Ils présentent un appareil mis au point dans le
but d’effectuer des tests de cisaillement à charge normale constante sur des joints naturels
ou artificiels.
Présentation de l’appareil de mesure
L’appareil est composé de quatre parties distinctes :
– une cellule de cisaillement direct
– une unité d’acquisition de données
– une unité de test de la conductivité hydraulique
– une partie recréant un joint
Il permet donc de :
– créer un joint artificiel à partir d’un spécimen intact de roche
– solliciter le spécimen en cisaillement de façon précise
– appliquer d’importants déplacements de cisaillement au-delà de la limite de plasticité
– appliquer une charge normale constante
– réaliser des tests de conductivité en appliquant une charge hydraulique à l’entrée du
joint pendant le cisaillement
L’eau est injectée dans le joint par l’intermédiaire d’un trou de diamètre 8mm, normal au
plan moyen du joint, réalisé dans la partie inférieure du joint. La charge d’entrée est régulée
par un réservoir à charge constante, tandis que la charge de sortie est maintenue par un trop
plein de 5mm au dessus du plan moyen du joint. L’écoulement dans le joint est radial à partir
du point d’injection.
Présentation des mesures
Le matériau utilisé pour constituer les joints est un granite dont les propriétés sont les suivantes :
– masse volumique ρ = 2610kg/m3
– porosité n = 37%
– résistance en compression uniaxiale C0 = 162M P a
Le joint testé a les dimensions suivantes :
44
– largeur W = 100mm
– longueur L = 80mm
Esaki et al. (1999) appliquent un cisaillement par palier successifs. La vitesse de cisaillement
est de 0, 1 mm/s. Le joint est cisaillé par palier jusqu’à atteindre un déplacement total de
20 mm. À chaque palier, on attend que le régime permanent s’établisse tout en maintenant
le déplacement de cisaillement constant et la contrainte normale constante.
Résultats
Les paramètres d’entrées moyens du modèle CSDSw ont été calculés à partir des résultats
expérimentaux pour σn = 1 M P a, σn = 5 M P a, σn = 10 M P a et σn = 20 M P a. L’allure
des nuages de points expérimentaux laissent supposer que les déplacements au pic et résiduel
dépendent de la contrainte normale appliquée. Cependant la différence est de l’ordre du
dixième voire du centième de millimètre. On en reste donc à notre hypothèse initiale selon
laquelle up et ur sont intrinsèques au joint étudié. Ainsi, on conserve les valeurs suivantes :
up = 1 mm et ur = 15 mm. En supposant que la pression interstitielle évolue linéairement
entre le point d’injection et la périphérie du joint et que la différence de charge appliquée de
part et d’autre de notre système est de 10 cm, on détermine la pression interstitielle moyenne.
Celle-ci est retranchée à la valeur de la contrainte normale totale appliquée pour chaque essai.
À partir de la valeur de τr pour chacun des trois essais expérimentaux, on calcule φr avec le
critère de Mohr-Coulomb, sachant que la contrainte normale effective est constante au cours
de chaque essai. On trouve φr = 41˚. N’ayant pas de valeurs pour φb , on choisit arbitrairement
une valeur courante de φb = 40˚. De la même façon, on impose i0 = 12˚. La résistance en
compression uniaxiale de la roche, C0 , vaut 162 M P a. On choisit d’affecter à la contrainte
de transition σT la valeur conseillée par Goodman et St-John (1977) : C0 . Pour chacun des
trois premiers essais aS et i sont calculés. Puis on calcule la valeur moyenne de φ0 : 11˚. La
cohésion de la roche intacte des éponte, S0 , est déterminée à partir de la résistance en traction
T0 = −6, 6 M P a : S0 = 1, 13 M P a. Les paramètres kni et Vm sont choisit afin de pouvoir
retrouver le déplacement à l’origine. On a pris kni = −200 M P a/mm et Vm = 0, 03 mm.
Les coefficents a, b, c, d et e sont présentés au tableau 2.5 pour chacun des quatre
essais à charge normale totale constante. Les courbes correspondantes sont représentées à la
figure 2.26. On remarque que le modèle analytique s’éloigne des résultats expérimentaux pour
σn = 10 M P a et σn = 20 M P a. L’écart vient du fait que les valeurs moyennes utilisées ne
permettent pas de retrouver exactement les valeurs expérimentales des contraintes résiduelles
et au pic. Les différentes valeurs de φr et φ0 qui servent au calcul des valeurs moyennes de φr
et φ0 son trop étalées. Cette dispersion montre que le joint n’est pas strictement identique
d’un essai à l’autre.
45
Figure 2.26 Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement - déplacement
de cisaillement à partir des résultats expérimentaux tirés de Esaki et al. (1999) et des résultats
du CSDSw
La relation v – u est représentée à la figure 2.27. On remarque que le modèle analytique ne
permet pas de retrouver exactement les résultats de l’expérience. Cet écart peut s’expliquer
par le choix des paramètres kni et Vm ou encore par le choix du déplacement résiduel qui
n’est pas strictement le même selon l’essai. En effet, nous respectons l’hypothèse du CSDS
selon laquelle up et ur sont des grandeurs intrinsèques au joint. La valeur de ur choisie est la
plus grande valeur possible.
Tableau 2.5 Coefficients du le modèle CSDSw, tirés d’Esaki et al. (1999)
[1]
[2]
[3]
[4]
σn (MPa)
1
5
10
20
a (MPa)
0, 86
4, 29
8, 59
17, 18
b (MPa)
5, 14
16, 40
18, 39
7, 64
c (mm−1 )
1, 25
1, 25
1, 25
1, 25
d (MPa)
6, 00
20, 69
26, 98
24, 82
e (mm−1 )
1, 73
1, 90
2, 20
3, 44
46
Figure 2.27 Représentation graphique de la relation déplacement vertical - déplacement de
cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de Esaki et al. (1999) et des résultats
du CSDSw
Discussion
Le modèle CSDSw parvient à retranscrire le comportement du joint, en particulier dans la
phase post-pic, ce que le modèle de Bandis et al. (1983) et Barton et al. (1985) ne parvient
pas à faire aussi bien.
Pour ce qui est de la relation v − u, le modèle a du mal à suivre les différentes courbes.
Ceci peut venir d’un mauvais choix des valeurs de Vm et kni dans le modèle. Il est également
possible que les joints testés par Esaki et al. (1999) ne sont pas tous identiques et donc n’ont
pas les mêmes paramètres Vm et kni . Cependant, on remarque que les courbes expérimentales ont toutes une ordonnée à l’origine quasi-nulle. Ceci signifie que les auteurs des essais
expérimentaux ont mis à zéro les déplacements verticaux après avoir mis en charge le joint.
La présence d’eau n’a pas d’impact réel sur le comportement du joint : dans ce calcul, l’eau
a seulement été introduite sous la forme d’une pression interstitielle moyenne retranchée à la
contrainte normale totale appliquée. Ce n’est donc pas à proprement parler une modélisation
hydromécanqiue mais plutôt une analyse mécanique en contraintes effectives.
47
Analyse des résultats expérimentaux de Lee et Cho (2002)
Présentation de l’installation expérimentale
Selon Lee et Cho (2002), les essais d’Esaki et al. (1999) ne permettent pas d’identifier aisément
l’effet de couplage car l’écoulement interstitiel y est radial alors que le déplacement y est
longitudinal. Lee et Cho (2002) présentent les résultats d’essais hydrauliques menés sur des
fractures de tensions crées dans des échantillons de granite de Hangdeung et de marbre de
Yeosan. Le flux dans les fractures est linéaire. Les échantillons sont soumis, lors des essais
de cisaillement direct, à une contrainte normale constante. Les dimensions des échantillons
testées sont :
– largeur W = 120mm
– longueur L = 160mm
– hauteur H = 120mm
Afin de maintenir une surface de contact constante au cours du cisaillement, le bloc supérieur
a été taillé de 20mm dans la longueur. 20 spécimens de chaque sorte de roche ont été préparés.
La série avec les échantillons de granite est repérée par les initiales GH tandis que la série
avec les échantillons de marbre est repérée par les initiales MH.
Afin d’éviter les fuites le long du joint mais tout en permettant au joint de se dilater, il a
fallu sceller avec des gels silicone souples et de la gomme naturelle trois des quatre côtés de
l’échantillon. Les joints d’étanchéité sont maintenus par un ensemble de boulons à écartement
fixe.
Le cisaillement est appliqué jusqu’à atteindre un déplacement de 15 mm. Trois séries de
tests ont été réalisées, correspondant à trois valeurs de la contraintes normale σn : 1, 2 et 3
MPa. Pour chaque valeur de σn , il y a une valeur de la pression interstitielle : 4, 91, 12, 28 et
19, 64 kPa respectivement. Une fois que le régime permanent est atteint, le débit moyen est
calculé sur 2 minutes.
Résultats Pour obtenir les paramètres φr et φ0 , on a suivi la démarche décrite à la
section 2.2.8.
L’obtention des paramètres kni et Vm reste problématique. Une solution graphique a été
envisagée. Les courbes expérimentales sont supposées être de la forme β4 .(1 − exp(−β5 .t)) +
β1 − β4 . La tangente à ce type de courbe en ur = 1/β5 a pour équation :
1
y = .β4 .β5 .u + δ
e
Avec δ = v0 − βe4 .
La valeur de β5 =
1,5
ur
est connue.
(2.105)
48
En assimilant la tangente à la courbe expérimentale en u = 1/β5 à son approximation
linéaire en ce point, on peut utiliser Excel pour tracer une courbe de tendance linéaire autour
des points retenus. Les équations de ces portions de droites nous donnent accès aux coefficients
du CSDSw. Connaissant la pente de la tangente, on détermine β4 . Avec l’expression de
l’ordonnée à l’origine δ, on trouve v0 . Sachant que β1 = β4 + v0 on obtient β1 .
Les courbes sont visibles sur la figure 2.28 et les coefficients sont consignés dans le tableau
2.6.
Figure 2.28 Représentation graphique de la relation déplacement vertical - déplacement de
cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de Lee et Cho (2002) (série GH) et
des résultats du CSDSw
L’approche graphique met en évidence une limitation du modèle CSDSw utilisé : les
courbes expérimentales n’ont pas vraiment une expression de la forme β1 − β4 . exp(−β5 .u).
Tableau 2.6 Coefficients du modèle CSDSw pour les expériences de Lee et Cho (2002), série
GH, relation v − u
σn (MPa)
1
2
3
v0 (mm)
0, 98
−0, 03
−1, 24
β1 (mm)
3, 60
3, 27
2, 77
β4 (mm)
2, 62
3, 30
4, 01
β5 (mm−1 )
0, 13
0, 13
0, 13
49
Ce type de courbe suit mal les résultats expérimentaux lorsque u → 0. Si on ajoutait la
partie négligée +β2 . exp(−β3 .u) au modèle simplifié, on pourrait mieux rendre compte du
comportement autour de 0. Mais les coefficients β2 et β3 sont encore indéterminés.
Les appareils utilisés lors des expérimentations ne lisent pas la contraction initiale du
joint : l’ouverture du joint part d’une valeur nulle. La nécessité d’avoir v0 pour utiliser le
modèle CSDS nous a poussé à utiliser une méthode graphique qui n’est pas forcément très
fiable car basée sur un petit nombre de données expérimentales.
Cette méthode graphique ne permet cependant pas de déterminer kni et Vm . Elle donne
uniquement accès à v0 . Pour retrouver kni et Vm , on peut chercher le couple de valeurs
permettant de retrouver les valeur du déplacement initial de notre joint (v0 ) établies par la
méthode « graphique ». En fait on résout un système de trois équations à deux inconnues.
Ce système n’a pas de solution ce qui signifie bien que les trois essais ne se font pas avec les
mêmes joint strictement.
Les paramètres d’entrées accessibles du modèle CSDSw pour la série des GH sont :
– up = 3 mm
– ur = 12 mm
– C0 = 151 M P a
– S0 = 2, 1 M P a
– φb = 37˚
– φr = 37, 5˚
– φ0 = 11, 7˚
– i0 = 12˚
Les coefficients a, b, c, d et e sont présentés dans le tableau 2.7 et les courbes de la relation
τ – u sont présentées à la figure 2.29. On voit que le modèle CSDSw donne une bonne
approximation du comportement réel du joint. En particulier, la courbe du modèle CSDSw
est bien représentative du comportement post-pic du joint.
Pour la série des échantillons de Marbre (MH), on procède de la même façon. Les paramètres d’entrées accessibles du modèle CSDSw pour la série des MH sont :
– up = 2, 37 mm
Tableau 2.7 Coefficients du modèle CSDSw pour les expériences de Lee et Cho (2002), série
GH
test
1
2
3
a (MPa)
0, 76
1, 53
2, 29
b (MPa)
5, 00
8, 97
11, 78
c (mm−1 )
0, 42
0, 42
0, 42
d (MPa)
5, 77
10, 50
14, 07
e (mm−1 )
0, 57
0, 58
0, 59
50
Figure 2.29 Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement - déplacement
de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de Lee et Cho (2002) (série GH)
et des résultats du CSDSw
– ur = 13 mm
– C0 = 72 M P a
– S0 = 0, 34 M P a
– φb = 37˚
– φr = 40, 8˚
– φ0 = 3, 3˚
– i0 = 12˚
Dans ce cas, les courbes représentant la relation τ –u sont visibles à la figure 2.30 et les
coefficients du modèle sont dans le tableau 2.8. En revanche dans ce cas, le modèle CSDSw
n’est même pas utilisable pour les relations de dilatation – cisaillement car, comme on le voit
sur la figure 2.31, les courbes expérimentales se croisent ce qui signifierait, par exemple, que
le joint soumis à une charge normale de 3 MPa finit par se dilater davantage que lorsqu’il est
soumis à une charge normale de 2 MPa ou encore que le joint soumis à une charge normale
de 2 MPa se dilate davantage, pour une faible valeur du cisaillement, que lorsqu’il est soumis
à une charge normale de 1 MPa.
Tableau 2.8 Données de sortie du modèle CSDSw (modèle prédictif) pour les expériences de
Lee et Cho (2002), série MH
σn (MPa)
1
2
3
a (MPa)
0, 86
1, 72
2, 59
b (MPa)
0, 97
1, 55
1, 75
c (mm−1 )
0, 38
0, 38
0, 38
d (MPa)
1, 83
3, 27
4, 34
e (mm−1 )
1, 08
1, 16
1, 28
51
Figure 2.30 Représentation graphique de la relation contrainte de cisaillement - déplacement
de cisaillement, à partir des résultats expérimentaux tirés de Lee et Cho (2002) (série MH)
et des résultats du CSDSw
Figure 2.31 Représentation graphique de la relation dilatation - cisaillement, à partir des
résultats expérimentaux tirés de Lee et Cho (2002) (série MH)
52
CHAPITRE 3
PRÉSENTATION DE L’OUTIL DE MODÉLISATION NUMÉRIQUE : FLAC
Cette section englobe la présentation et les conditions d’utilisation du logiciel utilisé pour
le projet.
3.1
Présentation du calcul des contraintes sous FLAC
Le logiciel FLAC (pour Fast Lagrangian Analysis Continua) est un programme de calcul
par différences finies en deux dimensions. Il permet de simuler le comportement de structures faites de matériau continus et est plus particulièrement adapté à la mécanique des
géomatériaux.
Les rappels théoriques qui suivent sont tirés du manuel d’utilisation du logiciel publié
par Itasca (2005).
Les méthodes par différences finies et éléments finis, sont basées sur la linéarisation des
équations différentielles régissant le comportement du matériau étudié. Dans le cas de la
méthode par différences finies, les déplacements et les vitesses sont uniquement définies aux
noeuds de calcul. Dans le cas de la méthode par éléments finis les déplacements varient au sein
de chaque cellule du maillage. Ces variations sont régies par des fonctions d’interpolations.
Les deux méthodes de calcul fournissent le même système d’équations linéaires. Dans la
méthode par éléments finis, la relation contraintes – déformations fait intervenir une matrice
de rigidité que l’outil de calcul devra inverser pour résoudre le système. Cette inversion est
coûteuse en temps mais aussi en mémoire. En revanche, dans le cas d’une résolution par
différences finies, il n y a pas de matrice de rigidité. Les équations sont résolues au fur et à
mesure.
Le logiciel que nous utilisons, FLAC, contient les équations du mouvement dans sa formulation. Selon ses développeurs, cet ajout assure la stabilité du modèle numérique même
lorsque le modèle physique est instable (en rupture ou en plasticité par exemple).
La séquence de calcul de FLAC est représentée par la figure 3.1.
Plaçons-nous au début de la i-ème étape de calcul. À partir d’un ensemble de valeurs
des contraintes, le logiciel utilise les équations du mouvement pour déterminer les vitesses
de déformation et les déformations en chacun des noeuds. Grâce à la loi de comportement
du matériau modélisé, FLAC établit les contraintes. À la fin de la boucle, les contraintes
trouvées ne sont pas strictement identiques aux contraintes qui ont servi d’entrée à l’étape
53
Figure 3.1 Représentation schématique de la séquence de calculs opérés par le logiciel FLAC
de calcul i. Le logiciel va donc réaliser une certain nombre de boucles de calcul jusqu’à ce
que les contraintes trouvées à la fin de la n-ème étape de calcul soient suffisamment proches
des contraintes trouvées à la fin de la (n-1)-ème étape de calcul. Le critère d’arrêt du logiciel
est fixé par l’utilisateur.
Chaque boucle de calcul correspond à un pas de temps. Lorsqu’on est dans une des
« boı̂tes » du schéma 3.1, les entrées sont figées tandis que les sorties sont mises à jour.
Cette façon de calculer n’est physiquement pas réaliste car si une contrainte agissant en un
point change, elle influence les vitesses des points avoisinants. Les développeurs de FLAC,
précisent dans le manuel publié par Itasca (2005) qu’un pas de temps de calcul suffisamment
faible permet d’affirmer que l’information ne passe pas d’un élément à l’autre dans ce laps de
temps. Dans une telle configuration, ce qu’ils appellent « l’onde de calcul » est toujours en
avance sur l’onde physique et il est physiquement acceptable de dire qu’à un moment donné,
les vitesses de déformations sont figées tandis que les contraintes varient.
Il est précisé dans le manuel de Itasca (2005) que le terme Lagrangien utilisé dans la définition du logiciel signifie que les incréments de déplacement sont ajoutés aux coordonnées.
De cette façon, la grille bouge et se déforme en même temps que le matériau qu’elle représente. Le terme Lagrangien vient en opposition à la formulation Eulérienne dans laquelle le
matériau se déforme et se déplace relativement à une grille fixe.
3.2
Critère de stabilité du modèle mécanique
Selon le manuel du logiciel publié par Itasca (2005), le pas de temps de calcul noté ∆t,
doit être inférieur au temps caractéristique de transfert de l’information d’une cellule à la
cellule adjacente afin d’assurer la stabilité et la cohérence de la réponse mécanique :
∆t <
Lc
C
(3.1)
54
Où Lc est la longueur caractéristique du milieu et C la vitesse de propagation de l’information à travers le milieu. Généralement C est prise égal à la célérité des ondes de compression
dans le matériau.
Pour un système masse-ressort, selon Itasca (2005), le pas de temps de calcul doit vérifier :
∆t < 2π
r
m
k
(3.2)
C’est-à-dire que ∆t doit être inférieur à la période propre du système. Pour un ensemble
de systèmes masse-ressort, le pas de temps doit donc être inférieur à la plus petite période
propre. Lors d’une simulation, la détermination de ce minimum nécessite donc d’établir toutes
les périodes propres du système. FLAC fait des estimations du pas de temps critique local
pour adapter son pas de temps de calcul (Itasca, 2005).
3.3
Équations de base de l’écoulement fluide
L’équation de conservation de la masse de fluide donnée dans le manuel publié par Itasca
(2005) est :
∂qi
∂ζ
=−
+ qv
(3.3)
∂t
∂xi
Avec :
– ζ variation du volume de fluide par unité de volume de matériaux poreux
– qv terme source (sans dimensions)
– qi i-ème composante du vecteur des débits selon (O, x~i )
Dans le cas d’un matériau saturé, les développeurs de FLAC (Itasca, 2005) montrent que
l’évolution de la pression est liée aux variations temporelles de ζ et ǫv –déformation volumique
de l’élément considéré– par l’intermédiaire du module et du coefficient de Biot :
∂P
=M
∂t
∂ζ
∂ǫv
−α
∂t
∂t
(3.4)
Avec :
– M module de Biot, dépendant de la porosité et du module de compressibilité du matériau et du fluide
– α coefficient de Biot égal au rapport de la variation de volume occupé par le fluide sur
la variation de volume de l’élément de matériau poreux considéré
La valeur de M est donnée par (Itasca, 2005) :
M=
Kw
n + (α − n)(1 − α) KKw
(3.5)
55
Avec Kw et K, respectivement, modules de compressibilité du fluide et du matériau drainé.
Pour un matériau poreux idéal (Itasca, 2005) :
α=1−
K
Ks
(3.6)
Avec Ks module de compressibilité de la matrice solide.
Pour un solide incompressible, α = 1.
D’une façon générale (Itasca, 2005) :
3n
≤α≤1
2+n
(3.7)
La combinaison des équations (3.3) et (3.4) associée à la subdivision de la grille de quadrilatères en sous-cellules triangulaires dans lesquelles la pression varie linéairement, constituent
la formulation de base des écoulements fluides de FLAC.
3.4
Stabilité numérique du modèle hydraulique
Pour l’écoulement hydraulique, la stabilité de la solution requiert de trouver un pas de
temps inférieur à une valeur critique. Considérons le noeud d’une cellule quadrilatérale. Cette
cellule est divisée en 4 sous-cellules qui se chevauchent (voir la figure 3.2 pour le schéma de
subdivision). La pression est supposée varier linéairement entre les noeuds de chaque souscellule.
Figure 3.2 Exemple de décomposition d’une cellule quadrilatère en deux sous-grilles de souscellules triangulaires
56
La loi de Darcy généralisée utilisée est :
~
~ = −K.grad(h)
Q
(3.8)
Où K est le tenseur des perméabilités. En négligeant la gravité ainsi que l’effet de la vitesse,
on remplace la charge par la pression divisée par le poids volumique du fluide γw . Ce qui
donne en terme de composantes vectorielles :
1 X
Qi = − .
Kij .
γw j
I
∂p∂xi
(3.9)
~ dans la cellule est
Si on considère une sous-cellule triangulaire d’aire A, le débit entrant Q
le vecteur moyen des débits passant à travers les 3 côtés de la cellule. C’est-à-dire le vecteur
dont les composantes sont les moyennes sur l’ensemble de la cellule triangulaire des vecteurs
débits.
Z Z
1
~
~ =−
Q
K.grad(p).da
(3.10)
Aγw
A
D’après le Théorème de Gauss, en notant ∂A la frontière fermée de la sous-cellule triangulaire,
on obtient :
Z
1
~
~ =−
K.p(x).dl
(3.11)
Q
Aγw ∂A
Pour une cellule triangulaire, la pression variant linéairement le long des côtés, on trouve :
X
~ =− 1
K. < p >k .lk .n~k
Q
Aγw k
(3.12)
Où k indique le k-ème côté du triangle, n~k sa normale, lk sa longueur et < p >k la pression
moyenne le long du côté k.
D’après le manuel d’utilisation du logiciel publié par Itasca (2005), la contribution de la
première sub-division (subdivision (a) de la figure 3.2) au point M1 :
1
. (K11 A1 − k12 B1 )
2Aγw
1
= −
. (K21 A2 − k22 B2 )
2Aγw
= −
Q(1)
x
(3.13)
Q(1)
y
(3.14)
57
Avec :
A1 = (P (2) − P (4) )(y2 − y4 ) + (P (4) − P (1) )(y4 − y1 ) + (P (1) − P (2) )(y1 − y2 ) (3.15)
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Contribution de [M2 ;M4 ]
Contribution de [M1 ;M4 ]
Contribution de [M1 ;M2 ]
B1 = (P (2) − P (4) )(x2 − x4 ) + (P (4) − P (1) )(x4 − x1 ) + (P (1) − P (2) )(x1 − x2 ) (3.16)
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Contribution de [M2 ;M4 ]
Contribution de [M1 ;M4 ]
Contribution de [M1 ;M2 ]
A2 = A1
(3.17)
B 2 = B1
(3.18)
P (k) étant la pression au point Mk et (xk ; yk ) sont les coordonnées du point Mk dans le repère
global.
Le facteur 1/2 qui apparaı̂t dans les expressions (3.13) et (3.14) vient de l’expression de
la pression moyenne au centre du côté du triangle.
Le flux total entrant dans le noeud M1 est égal à la demie somme des flux entrant à ce
noeud pour les deux décompositions de la cellule M1 M2 M3 M4 , présentées à la figure 3.2. À
partir des flux selon les axes (O~x) et (O~y ), on exprime le débit total entrant au point Mi sous
la forme d’un produite scalaire du vecteur des débits unitaires ~q par les vecteurs normaux
aux faces de chaque sous-cellule :
Qi =
X
{sous−cellules}
X
(i)
qk .nk .s(k)
(3.19)
k
Les développeurs de FLAC écrivent finalement le vecteur des débits entrants à chaque
~ sous la forme du produit d’une matrice de taille 4 × 4 M et d’un vecteur pression
noeud, Q,
contenant la pression en chacun des noeuds, P~ :
~ = M.P~
Q
(3.20)
M est fonction des coordonnées des point de la cellule et des perméabilités Kij .
La variation de pression associée à la variation de flux en un noeud, ∆P , vaut (Itasca,
2005) :
M.Q.∆t
∆P = −
(3.21)
V
Avec Q le débit entrant, V le volume de la cellule autour du noeud considéré et M le module
de Biot.
P
En utilisant l’équation 3.20, on a Q0 = 4k=1 Mkk P0 (Itasca, 2005). Soit une nouvelle
58
pression P1 de :
P1 = P0 + ∆P
= P0 1 −
(3.22)
M.
P4
k=1
Mkk P0 .∆t
V
!
(3.23)
Afin d’avoir une stabilité dans notre calcul numérique, il faut avoir une variation monotone
et stable de notre équation (Itasca, 2005). Il faut donc que P1 /P0 soit positif. Soit :
∆t <
3.5
M.
V
P4
k=1 Mkk
(3.24)
Couplage hydromécanique, éléments de base
Le couplage se fait à partir d’un état d’équilibre mécanique. À chacune des T étapes de
calcul, on effectue X étapes de calcul de flux puis Y étapes de calcul mécanique. X et Y sont
choisis afin de maintenir un équilibre quasi-statique dans le système. La variation de pression
interstitielle liée à l’écoulement fluide est calculée pendant les X étapes de calcul de flux.
La variation de pression interstitielle due à une variation du volume des cellules est calculée
pendant les Y étapes de calcul mécanique. Les contraintes effectives sont corrigées au fur et
à mesure du calcul avec l’incrément de pression calculé.
Il est à noter que le couplage hydromécanique devient peu précis et chronophage dès que
le module de confinement du matériau drainé (K + 4/3.G pour le modèle de Mohr-Coulomb)
devient faible devant le module de compressibilité du fluide (Kwater = 2.109 P a). Il en va de
même s’il y a de forts gradients de perméabilité, de porosité ou de taille de la grille dans le
système étudié (Itasca, 2005).
Dans le cas d’un modèle défini par l’utilisateur, la variation de pression due à la variation
de volume d’une cellule est prise en compte par défaut. C’est-à-dire qu’à l’issue des calculs
mécaniques, les contraintes effectives sont mises à jour en tenant compte de la variation des
incréments de déformations volumiques des cellules. Si notre modèle prend en considération
l’écrasement des grains de notre matériau poreux, on doit entrer la variation de pression
associée à cet écrasement dans la variable de zone zdpp. Dans notre cas, la déformation
volumique de notre joint prend en compte l’écrasement des épontes par l’intermédiaires de
aS et i. Il n’est donc pas nécessaire d’utiliser zdpp.
Au cours du cisaillement du joint, la perméabilité ainsi que l’indice des vides (et donc la
porosité) se modifient. Or FLAC n’actualise ni la porosité ni la perméabilité du milieu au
cours des calculs. D’après Itasca (2005), l’actualisation de ces paramètres au cours d’un calcul
est trop coûteuse en temps. Il y a cependant moyen d’implémenter des tables de conversions
59
donnant la porosité et/ou la perméabilité du milieu en fonction de la déformation volumique
cumulée ǫv . La convention de signe retenue est ǫv > 0 pour la dilatation et ǫv < 0 pour la
contraction. Les valeurs de la porosité et de la perméabilité sont dans ce cas mises à jour
toutes les dix étapes.
Dans le cas de notre joint cisaillé, la déformation volumique est définie comme :
ǫv =
ep.l − ep0 .l0
ep0 .l0
(3.25)
Où ep, ep0 et l sont respectivement l’épaisseur à un instant donné, l’épaisseur initiale et la
largeur d’une cellule constituant le joint. Si on note ∆v la déformation transversale cumulée
du joint et ∆l sa déformation longitudinale cumulée, alors :
ǫv =
∆v ∆l
+
ep0
l0
(3.26)
D’après l’équation 3.25, on obtient :
ep.l = (ǫv + 1)ep0 .l0
(3.27)
Si on considère que le paramètre ep du modèle CSDS contient l’ouverture mécanique du joint,
alors :
l0
(3.28)
em = (ǫv + 1)ep0 .
l
En utilisant l’équation 2.103 de Barton et al. (1985) :
2
l0
ep20
eh = (ǫv + 1) .
.
2,5
l
|JRC
{z }
2
eh,
(3.29)
0
Le coefficient de mobilité k qui est entré dans FLAC en tant que perméabilité est relié à la
perméabilité au sens hydrogéologique, notée kh , par la relation :
k=
kh
ρg
(3.30)
C’est-à-dire que le coefficient de mobilité utilisé par FLAC vaut environ la perméabilité du
matériau divisé par 104 pour un écoulement d’eau.
Pour un écoulement parallèle, le long d’un joint d’aire transversale eh .w, la loi cubique
utilisée par FLAC nous donne l’expression suivante pour la perméabilité hydrogéologique :
kh =
ρgw 2
e
12ν h
(3.31)
60
En combinant les expressions des équations (3.29), (3.30) et (3.31) en négligeant la déformation longitudinale du joint (l ≈ l0 ) et en négligeant les termes d’ordre 2, on trouve :
4
l0
1
k = (ǫv + 1) .
.e2h0 .
l
12ν
1
= e2h0 .
.(1 + 4ǫv )
12ν
4
(3.32)
(3.33)
Pour la porosité, on peu supposer que le long du joint, la porosité vaut :
Vs
Vt
eh .l
=
em .l
eh
=
em
em
=
JRC 2,5
n=
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
En utilisant la relation (3.28) :
(ǫv + 1)ep0 . ll0
JRC 2,5
En négligeant la déformation longitudinale du joint au cours du temps :
n=
(ǫv + 1)ep0
JRC 2,5
= (ǫv + 1)n0
(3.39)
n=
3.6
(3.38)
(3.40)
Critère de stabilité du couplage hydromécanique
Tandis que l’évolution des contraintes dans un matériau poreux peut être quasi-instantanée,
la dissipation des pressions interstitielles peut durer de quelques secondes à plusieurs jours,
voire quelques mois. Les développeurs du logiciel FLAC comparent les temps caractéristiques
de l’écoulement fluide dans un certain nombre de géomatériaux. En utilisant l’équation (3.1)
d’une part et en écrivant que le temps caractéristique de l’écoulement fluide vaut CLfc où Cf
k
est la diffusivité du fluide (Cf = M −1 +α2 (K+
, d’après Itasca, 2005) ils trouvent :
4
G)−1
3
tfc
=
tm
c
s
M + 4/3G Lc
. .
ρ
k
1
α
+
M
K + 4/3G
(3.41)
61
Pour un fluide incompressible (α = 1), avec M = Knw ≈ 1000 P a l’ordre de grandeur du
coefficient de mobilité du matériau poreux est (Itasca, 2005) :
– 10−19 m2 P a.s−1 pour un granite
– 10−17 m2 P a.s−1 pour un calcaire
– 10−15 m2 P a.s−1 pour un grès
– 10−13 m2 P a.s−1 pour une argile
– 10−7 m2 P a.s−1 pour un sable
Pour un sol ou une roche, la masse volumique est de l’ordre de 103 kg/m3 et K + 43 G vaut
de 108 P a à 1010 P a Le rapport de la relation (3.41) va donc de Lc pour un sable à 1012 Lc
pour un granite en passant par 106 Lc pour une argile, 108 Lc pour un grès et 1010 Lc pour un
calcaire. Pour des matériaux de conductivité hydraulique inférieure à 10−9 m2 .s−1 (soit un
coefficient de mobilité inférieur à 10−13 m2 P a.s−1 ), le rapport des temps caractéristiques fluide
et mécanique reste élevé même pour des cellules de longueur caractéristique, Lc , faible. Donc
d’une façon générale, il faudra procéder à un nombre important de calcul d’écoulement fluide
pour une étape de calcul mécanique. Cependant au début de la résolution d’un problème
couplé, un léger incrément de pression peut déséquilibrer le système. Il est donc conseillé
dans le manuel publié par Itasca (2005) de procéder à plusieurs étapes mécaniques pour
une étape de calcul d’écoulement au début d’un calcul couplé. Dès que les pressions ont
commencé à se dissiper, on peut inverser les rapports et procéder à un grand nombre d’étapes
de calcul d’écoulement pour une étape de calcul mécanique. Afin de choisir le nombre d’étapes
mécaniques et hydrauliques que le logiciel doit réaliser à chaque étape de résolution couplée,
on utilise les commandes respectives SET ngw et SET nmech.
3.7
Vérification du logiciel
Afin de s’assurer que l’emploi du logiciel de modélisation numérique est correct, il faut
généralement tester le logiciel sur des cas simples dont les solutions analytiques sont connues.
Le logiciel FLAC étant largement utilisé il n’est pas nécessaire de le vérifier.
Quatre tests, tirés du manuel d’utilisation du logiciel, ont cependant été étudiés. Ils ne
sont pas retranscrits dans les sections suivantes. Les exemples sont les numéros 3, 4, 7 et 14
de la rubrique Verification Problems du manuel de FLAC.
62
CHAPITRE 4
IMPLÉMENTATION DES MODÈLES CSDS ET CSDSw SOUS FLAC
Le but du présent travail est de mener des analyses numériques tenant compte de l’écoulement interstitiel dans une discontinuité en utilisant le modèle CSDSw. Le modèle CSDSw a
été implémenté sous FLAC puis testé. Cette implémentation est précédée par celle du modèle
de Saeb et Amadei (1992). Ce dernier a l’avantage d’être plus simple à implémenter car il
est multilinéaire (alors que le modèle CSDS est biexponentiel). Cependant il est peu précis
car justement trop simple : en condition de charge normale constante, le radoucissement
post-pic (entre up et ur ) est représenté par une portion de droite de pente moyenne, et la
résistance résiduelle (au-delà de ur ) est une portion de droite horizontale. Le modèle CSDS,
lui, permet de suivre le comportement post-pic d’une discontinuité comme on a pu le voir à
la section 2.2.8.
Les résultats du modèle CSDS seront confrontés à des résultats de la littérature (par
exemple, ceux présentés à la section 2.4.2) et seront illustrés par des exemples d’application
typiques.
Lors des premières tentatives d’implémentation, on a voulu utiliser les modèles d’interface
proposés par Itasca. Cependant il n’est pas possible de modifier la valeur des raideur d’une
discontinuité en cours de calcul. De plus le modèle pour les interfaces proposé par Itasca est
basé sur des pointeurs, voir section (4.2) du manuel Itasca (2005). Les lignes de code étant
difficile à comprendre il aurait été difficile de les modifier. La solution retenue consiste alors à
modéliser la discontinuité par un matériau équivalent. Ce matériau aura les propriétés globale
de la discontinuité modélisée. Il sera réparti sous forme d’une couche constituée d’une seule
cellule en épaisseur et attachée à la matrice rocheuse voisine.
4.1
Implémentation du modèle de Saeb et Amadei (1992) sous FLAC
Afin de modéliser le joint, on implémente un modèle de matériau qui reprend les mêmes
caractéristiques que le modèle de Saeb et Amadei (1992) pour un joint. Vu que le matériau
reprend les caractéristiques globales du joint, il suffira d’une couche comportant une seule
cellule en épaisseur pour modéliser le joint dans son ensemble.
63
Les équations constitutives du modèle sous forme différentielle sont :
dσn = knn dv + kns du
(4.1)
dτ = ksn dv + kss du
(4.2)
Les rigidités sont explicitées au tableau 2.2 de la section 2.2.7.
4.1.1
Test de compression uniaxiale
La première étape dans la validation du modèle numérique est le test de compression
simple. Les lignes de code sont présentées en annexe. Le programme écrit cesse d’utiliser la
loi hyperbolique pour les calculs lorsque v atteint −Vm ou lorsque σn atteint la résistance
en compression uniaxiale de la roche C0 . Au-delà d’une de ces deux limites, la contrainte
verticale est posée égale à C0 . Le modèle étudié est une grille unicellulaire au sommet de
laquelle est appliquée une vitesse de compression (yvel< 0) tout en maintenant la base fixe
(figure 4.2). Le calcul est répété en cisaillant au préalable le joint (sans lui appliquer une
quelconque charge). Le faisceau de courbes obtenu est montré à la figure 4.1.
La relation σn − v de la figure 4.1 est bien hyperbolique. On remarque que pour toute
valeur de u positive, l’hyperbole est décalée vers la droite (sens des v positifs). À chaque fois
que le joint est cisaillé, il se dilate. Puis lorsqu’on le met en charge, il se contracte comme
prévu par la relation (2.23) de Bandis et al. (1983).
64
Figure 4.1 Relation hyperbolique σn – v obtenue par la modélisation numérique
4.1.2
Test de cisaillement
Description de la grille
Comme il est incompatible d’appliquer une contrainte mécanique et un déplacement en un
même point, et qu’on souhaite à la fois appliquer une contrainte normale à notre joint et
un déplacement de cisaillement, plusieurs couches d’un matériau élastique sont ajoutées audessus de la couche modélisant le joint (voir figure 4.3). Ce matériau servira à transmettre la
contrainte normale au joint.
La condition de charge normale constante (CNL) est recrée en appliquant une contrainte
normale au sommet de la grille tout au long du cisaillement. Pour la condition de raideur
normale constante (CNS), le joint est mis en charge puis le déplacement vertical du sommet
de la grille est bloqué. Dans ce dernier cas de figure, les couches de matériau élastique servent
à créer une raideur normale. Le choix du matériau des couche supérieure est donc important :
il ne doit pas être trop souple pour ne pas se déformer à la place du joint lors de la mise
65
Figure 4.2 Modèle utilisé pour l’essai de com- Figure 4.3 Représentation dans l’espace i-j de
pression uniaxiale simple
la grille utilisée pour l’étude du programme.
en charge et comme il représentera un ressort en conditions de CNS il devra éviter de se
dilater transversalement. C’est-à-dire que son module de Poisson est nul. Les paramètres
d’entrée d’un matériau dans FLAC sont les modules de compression et de cisaillement K et
G, respectivement. On passe donc par les relations entre ces quatre grandeurs :
E
3.(1 − 2.ν)
E
G =
2.(1 + ν)
K =
(4.3)
(4.4)
En prenant ν = 0, on obtient :
E
3
E
G =
2
K =
(4.5)
(4.6)
E représentera la raideur extérieure.
Le joint étant représenté par une couche de matériau, celle-ci est attachée (avec la commande
ATTACH) à la cellule au-dessus. Pour une application du modèle à plus grande échelle, le
joint sera également attaché à la matrice rocheuse puisque si les épontes du joint se déforment,
le joint doit suivre ces déformations.
66
Mise en charge du modèle
Une contrainte normale négative (compression) qui correspond à la contrainte de confinement
de l’expérience est appliquée au sommet de la grille. La figure 4.4 montre la fermeture du
joint qui a lieu lors de la mise en charge tandis que la figure 4.5 montre l’augmentation de la
contrainte de compression. Dans l’exemple ci-dessous, les paramètres d’entrée du joint sont :
– ur = 4 mm
– up = 0, 52 mm
– σT = 82 M P a
– s0 = 11, 4 M P a
– Vm = 3, 3 mm
– kni = 10 M P a/mm
– φr = 41˚
– φb = 37˚
– φ0 = 60˚
– i0 = 13˚
Le signe des paramètres du modèle est celui correspondant à la convention de signe de FLAC :
dσn < 0 en compression, dv < 0 en contraction, kni > 0 et Vm > 0.
Les grandeurs du matériau élastique sont les suivantes :
– K = 2.108 M P a
– G = 3.108 M P a
La contrainte extérieure est fixée à −7 M P a.
Le modèle se stabilise autour de la valeur de σn imposée (figure 4.5). v tend vers une
valeur légèrement inférieure (v0, num = −5, 93.10−4 ) à celle prévue par le modèle de Saeb et
Amadei (1992). D’après l’équation (2.47), en u = 0 :
v0 = u.tan(i0 ).(1 −
=
−7 ∗ 3, 3
10 ∗ 3, 3 + 7
= −5, 78.10−4
σn k2
σn .Vm
) +
σT
k + ni.Vm − σn
(4.7)
(4.8)
(4.9)
67
Figure 4.5 Augmentation de la contrainte norFigure 4.4 Fermeture du joint lors de la mise male de compression au cours du chargement
initial
en charge
4.1.3
Cisaillement à charge normale constante (CNL)
Après avoir mis en charge le joint, on le cisaille. Les déplacements horizontaux sont d’abord
remis à 0. La grille est soumise à une vitesse de déformation appliquée aux cellules supérieure
du matériau élastique ainsi qu’à la frontière supérieure du joint. On maintient une contrainte
normale constante au sommet de la cellule du dessus (le long de la ligne j=5 dans notre
exemple de la figure 4.3). Différentes grandeurs caractérisant le cisaillement sont représentées
sur les figures 4.6 à 4.8.
La figure 4.6 montre la contrainte tangentielle τ au cours du déplacement horizontal. Pour
u compris entre 0 et up , τ croit jusqu’à atteindre τp en u = up puis décroit pour atteindre
τr en u = ur et devient constant lorsqu’on dépasse ur . Le modèle de Saeb et Amadei (1992)
retenu et illustré ici est celui des déplacements constants dans lequel up et ur restent des
données intrinsèques du joint.
La figure 4.7 représente le déplacement vertical (dilatation du joint) pour différentes valeurs de σn . Plus la contrainte normale est élevée, moins le joint se dilate. Au-delà de u = ur ,
le déplacement vertical devient constant. Ce résultat correspond à l’hypothèse selon laquelle
au-delà du déplacement résiduel, il n’y a plus de dilatation car toutes les aspérités ont été
rompues par cisaillement.
La figure 4.8 compare le déplacement v calculé par le modèle avec le déplacement des
deux coins supérieurs du joint. La grandeur v contient le déplacement vertical calculé dans
le modèle, c’est donc une valeur au centre de la cellule. Au début du cisaillement, les deux
coins supérieurs du joint se dilatent en sens opposé : le coin supérieur gauche se déplace vers
68
Figure 4.6 Relation contrainte tangentielle – déplacement de cisaillement au centre du joint
pour trois valeurs de σn
Figure 4.7 Relation déplacement normal – déplacement de cisaillement au centre du joint
pour trois valeurs de σn
69
Figure 4.8 Relation déplacement normal – déplacement de cisaillement au centre du joint et
aux deux coins supérieurs du joint en CNL, σn = 21 M P a
le haut tandis que le coin supérieur droit s’enfonce. Le joint entame donc une rotation. Dès
que le déplacement au pic est atteint (u ≥ up ) le joint se redresse. Finalement on atteint un
plateau au-delà de ur .
70
4.1.4
Cisaillement à raideur normale constante (CNS)
Comme précédemment, après la mise en charge, les déplacements horizontaux sont réinitialisés. Le sommet de la grille est bloqué en déplacement et une vitesse horizontale est
appliquée sur la partie supérieure du joint. Différentes grandeurs caractérisant le cisaillement
sont représentées de la figure 4.9 à 4.15.
Figure 4.9 Évolution de la raideur normale knn en fonction de u pour différentes raideurs
extérieures
Les figures 4.9, 4.10, 4.11 et 4.12 montrent l’évolution respective de knn , kns , kss et ksn
en fonction de u. On remarque qu’au delà du déplacement résiduel du joint, les raideurs
∂τ
n
intrinsèques kns = ∂σ
et kss = ∂u
s’annulent. Quant à knn = ∂σ
et ksn = ∂τ
elles deviennent
∂u
∂v
∂v
constantes.
Sur la figure 4.13, on peut voir la dilatation du joint au cours du cisaillement : il se dilate
linéairement entre 0 et ur puis reste stationnaire au-delà. L’incrément de dilatation dv devient
donc nul au-delà de ur .
D’après ce qu’on a dit (kns = 0 et dv = 0 pour u > ur ), on comprend pourquoi la
contrainte normale devient stationnaire pour tout u > ur comme montré à la figure 4.14.
De la même façon, on a dv = 0 et kss = 0 ∀u > ur donc τ devient constante au-delà de ur .
71
Figure 4.10 Évolution de la raideur normale kns en fonction de u pour différentes raideurs
extérieures
Comme on le voit sur la figure 4.17.
Selon la raideur appliquée, il se peut que τr (ur ) soit supérieure ou égale à τp (up ). La
variation de τ (u) pour différentes valeurs initiales de σn est montrée dans la figure 4.16. La
raideur retenue dans ce cas là est de 1012 P a/m pour chaque calcul.
La figure 4.15 permet de vérifier la condition de CNS en mettant en relation σn et v pour
une même valeur de la contrainte de confinement initiale. La valeur du module de Young
retenue pour chacun de ces calculs est exactement la pente de la courbe de tendance associée
à chacune des droites.
En revanche on remarque une différence dans l’ordonnée à l’origine de chacune des courbe.
Lors de la mise en charge, le joint se ferme (v < 0). Une valeur nulle de v nécessite donc
une dilatation du joint. Plus la raideur externe est élevée, plus la contrainte normale va
tendre vers −∞. C’est pourquoi lorsque v est nul, la contrainte normale au joint diminue
avec l’augmentation de la raideur externe imposée.
72
Figure 4.11 Évolution de la raideur tangentielle kss en fonction de u pour différentes raideurs
extérieures
4.2
Implémentation du modèle CSDS sous FLAC
Cette fois-ci, on crée un matériau équivalent à la discontinuité suivant le modèle CSDS.
Les équations constitutives du modèle sont :
dσn = knn dv + kns du
(4.10)
dτ = ksn dv + kss du
(4.11)
L’expression des raideurs internes de la discontinuité utilisées ne suivent pas exactement
celles de Simon (1999). En effet, la différenciation de l’équation (2.76) du modèle CSDS
donne :
dv = A.du + B.dσn
(4.12)
73
Figure 4.12 Évolution de la raideur tangentielle ksn en fonction de u pour différentes raideurs
extérieures
Avec :
k
σn 2
u
. tan(i0 )
(4.13)
. 1−
A = 1, 5. exp −1, 5.
ur
σT
k −1
−k2 .ur
σn 2
u
kni Vm2
B = −
. 1−
. tan(i0 ). 1 − exp(−1, 5. ) +
(4.14)
σT
σT
ur
(kni Vm − σn )2
Les expressions des raideurs knn =
knn =
∂σn
∂v
et kns =
∂σn
∂u
sont donc (Simon, 1999) :
−k2 .ur
σn k2 −1
u
kni Vm2
.(1 −
)
. tan(i0 ).(1 − exp(−1, 5. )) +
σT
σT
ur
(kni Vm − σn )2
1, 5. exp(−1, 5. uur ).(1 − σσTn )k2 . tan(i0 )
kns = − −k
2 .ur
σT
.(1 −
σn k2 −1
)
. tan(i0 ).(1
σT
− exp(−1, 5. uur )) +
2
kni Vm
(kni Vm −σn )2
−1
(4.15)
(4.16)
Pour kss et ksn , on sait, grâce à la relation (2.58) du CSDS, que τ est une fonction de u.
D’autre part, les coefficients a et e et donc les coefficients d et b font intervenir la contrainte
normale σn . En réalité, τ est une fonction de u et de σn et est donc différenciable par rapport
74
Figure 4.13 Dilatation du joint en condition de CNS, pour différentes valeurs de la raideur
extérieure appliquée.
à ces deux grandeurs. C’est-à-dire que :
∃(α, β) tel que : dτ = α.dσn + β.du
(4.17)
dσn = knn .dv + kns .du
(4.18)
Or, d’après 4.12 :
En réintroduisant ce résultat dans (4.17), on obtient :
dτ = α.knn .dv + (α.kns + β).du
(4.19)
dτ = ksn .dv + kss .du
(4.20)
Or
Après identification membre à membre des équations (4.19) et (4.20), on trouve :
kss = α.kns + β
(4.21)
ksn = α.knn
(4.22)
75
Figure 4.14 Évolution de la contrainte normale au joint, en condition de CNS, pour différentes
valeurs de la raideur extérieure.
Avec, par définition :
∂τ
∂σn
∂τ
β =
∂u
α =
(4.23)
(4.24)
Comme les coefficients de la relation (2.58) sont indépendants du déplacement horizontal :
β = −b.c. exp(−cu) + d.e. exp(−du)
(4.25)
Le calcul de α nécessite de déterminer la dérivée de e puis celle de d par rapport à σn
car :
∂b
∂d
∂e
∂a
+
. exp(−cu) −
. exp(−eu) −
.d. exp(−eu)
(4.26)
α=
∂σn ∂σn
∂σn
∂σn
Il vient :
∂a
= tan(φr )
∂σn
(4.27)
76
Figure 4.15 Relation contrainte normale – déplacement vertical en CNS, pour différentes
valeurs de la raideur extérieure appliquée
Quant à b, il vérifie :
∂d
∂a
∂b
=
−
∂σn
∂σn ∂σn
(4.28)
La combinaison des équations (2.66) et (2.67) donne une relation entre e et les grandeurs
intrinsèque au joint :
up
τp − τr . 1 − exp(−5 )
ur
5
e.ur = 5 exp up (e − ) [τp − τr (1 − exp(−eup ))]
ur
(4.29)
Après dérivation et réarrangement de l’égalité (4.29), il vient :
n
h
io h
i
5up
5up
5
1
−
exp
−
−
5
exp
u
−
exp(−eu
(e
−
)
.
exp
−
)
p
p
ur
ur
ur
∂e
n h
i
o
=
5up
p
∂σn
+
exp(−eu
up τr −5 exp − 10u
+
eu
)
1
−
exp(−
)
−
τ
.
exp(−eu
)
p
p
p
p
ur
ur
(4.30)
∂τp
∂σn
−
∂τr
∂σn
77
Figure 4.16 Relation contrainte tangentielle – déplacement de cisaillement au centre du joint
pour trois valeurs de σn , pour une même raideur normale constante
Connaissant
∂e
, ∂d
∂σn ∂σn
s’obtient grâce à la relation :
∂d
=
∂σn
D1 − D 2
exp(−5 uupr )
− exp(−e.up )
(4.31)
2
Avec :
D1
D2
∂τp
∂τr
5up
5up
=
−
1 − exp −
exp −
− exp(−eup )
∂σn ∂σn
ur
ur
5up
∂e
=
τp − τr 1 − exp −
up exp(−eup )
ur
∂σn
Les équations (2.30), (2.28) et (2.70) permettent de trouver
donné par Saeb et Amadei (1992) :
∂τp
= T1 − T2 − T3 + T4 + T5
∂σn
∂τp
.
∂σn
(4.32)
(4.33)
Le résultat est également
(4.34)
78
Figure 4.17 Évolution de la contrainte tangentielle au joint, en condition de raideur normale
constante, pour une même valeur de la contrainte normale initiale
Avec :
T1 =
T2 =
(1 − aS ) tan(φb + i)
k2 −1
tan(i0 ) 1− σσn
σn k2 (1−as )
T
2k2
.
σT cos2 (φb +i)
1+tan2 (i0 ) 1− σσn
(4.35)
(4.36)
T
T3 = k1 σσTn 1 −
T4 =
T5 =
4.2.1
σn
σT
k1 −1
k1 σSTr 1 −
σn
σT
tan(φb + i)
k1 −1
aS tan(φ0 )
(4.37)
(4.38)
(4.39)
Descriptif du programme
Le programme présenté en annexe se décompose en quatre parties :
– une première partie qui contient la déclaration de toutes les variables locales
– case 1 est l’étape durant laquelle toutes les propriétés du modèle sont initialisées. En
l’absence de commande, FLAC affecte une valeur nulle à toute propriété du modèle qui
n’a pas été initialisée.
79
– case 2 correspond au processus de calcul. Au cours de cette étape, les contraintes
locales sont actualisées en accord avec les nouveaux incréments de déformations établis
par FLAC grâce aux équations du mouvement.
– case 3 est l’étape appelée en premier par FLAC lors de l’utilisation d’un modèle défini
par l’utilisateur. Elle contient une valeur du module de confinement maximal et du
module de cisaillement maximal de notre matériau notés cmax et smax , respectivement.
Ces deux modules permettent au logiciel de déterminer la vitesse de propagation de
l’information dans le milieu et donc choisir un temps de calcul adapté.
Choix des paramètres cmax et smax
Il est raisonnable d’affecter à cmax et smax les mêmes valeurs que dans le modèle de MohrCoulomb. Soit cmax = K + 43 G et smax = 2G, où K et G sont respectivement les modules de
compressibilité et de cisaillement de la roche intacte. Cependant les premiers essais numériques avec de telles valeurs divergent. Avec une série d’essais erreur, les valeurs empiriques
de 10. K + 43 G et 20.G ont été retenues car elles confèrent une stabilité au modèle. Si on
note K et G les modules de compressibilité et de cisaillement du matériau constituant la
matrice rocheuse, alors la discontinuité doit avoir un module de compressibilité de 10K et
un module de cisaillement de 10G pour vérifier la condition précédemment énoncée sur les
modules de confinement et de cisaillement maximaux. Ce qui revient à dire que si la matrice
rocheuse a un module de Young E et un module de Poisson ν, alors le module de Young de
la discontinuité vaut 10E et son module de Poisson vaut ν. En effet :
9K.G
3K + G
3K − 2G
ν =
2(3K + G)
E =
(4.40)
(4.41)
La discontinuité serait donc 10 fois plus rigide que la matrice mais aussi dilatante. Cela signifie
que le temps caractéristique de la discontinuité est plus élevé que le temps caractéristique
de la roche. Les calculs dans le matériau constituant la discontinuité réclament donc un
pas de temps supérieur au pas de temps de calcul dans la roche avoisinante. Ceci est très
certainement du aux nombreux calculs intermédiaires que le programme doit réaliser pour
actualiser les contraintes selon le modèle CSDS.
Initialisation des paramètres
Pour l’initialisation des déplacements, une sentinelle a été introduite : ini. Cette variable
vaut 0 par défaut et 1 si les propriétés dans la cellule actuelle ont déjà été initialisées. Si
80
ini = 0 alors on initialise les déplacements u et v. u est initialisé à 0 tandis que v prend la
valeur de fermeture du joint une fois chargé (β1 − β4 ). Au cours de l’étape d’initialisation, le
signe des variables d’entrée est également vérifié et les contraintes sont initialisées.
Corps du programme
Le corps du programme est décrit par le diagramme de la figure 4.18. La deuxième partie
du programme (case2 ) commence par la mise à jour, par l’utilisateur, des incréments de
déplacement horizontal et vertical dans les cellules de la discontinuité. Ces incréments, notés
du et dv respectivement, sont établis à partir des incréments de déformation dans le repère
global (O, ~x, ~y ) , notés, par défaut dans les modèles définis par l’utilisateur, zdeij (i, j ∈
J1, 2K). Ces incréments de déformations sont déterminés par FLAC, grâce aux équations du
mouvement, à partir des contraintes actualisées à l’étape de calcul antérieure.
Si le joint fait un angle θ par rapport à l’horizontale (O, ~x), alors du et dv s’expriment
comme suit :
zde12
zde11 − zde22
sin(2θ) +
cos(2θ) .2.ep
(4.42)
du =
−
2
2
zde11 + zde22 zde11 − zde22
zde12
−
cos(2θ) −
sin(2θ) .ep
(4.43)
dv =
2
2
2
Où ep est l’épaisseur de la cellule représentant une section du joint (notation utilisée dans
les lignes de code).
On a choisi d’actualiser les déplacements u et v une fois que FLAC a fait les calculs pour
toutes les sous-cellules de la cellule courante. Pour cela, la variable locale, notée zsub a été
utilisée. Cette variable vaut 0 tant que le logiciel n’a pas fini de résoudre les équations dans
chacune des sous-cellules triangulaires et 4 dès qu’il a fini.
Les déplacements u et v sont ensuite comparés à up et ur d’une part et à Vm d’autre part.
Les deux premières comparaisons permettent de déterminer si le joint est en phase pré-pic
(u ≤ up ), post-pic (up < u ≤ ur )ou résiduel (ur < u). La formulation du modèle CSDS étant
de type biexponentielle (donc C ∞ ), savoir si la discontinuité est en phase pré-pic, post-pic
ou résiduelle n’a pas d’influence réelle sur l’actualisation des contraintes. En revanche, cela
permet de vérifier l’état du joint par l’intermédiaire de la variable u qui prend successivement
les valeurs 0, 1 et 2 selon qu’il soit en phase pré-pic, post-pic ou résiduelle. Le troisième test
indique si le joint est fermé (dans le cas où v > Vm ). Dans ce cas, le joint réagira comme la
roche intacte avoisinante qui elle suit un modèle de Mohr-Coulomb. Un dernier test, sur la
valeur de Cσn0 , précise si la contrainte externe dépasse la résistance en compression des épontes
( Cσn0 > 1) ou si le joint subit une traction ( Cσn0 > 0).
81
Pour actualiser les contraintes à partir des nouveaux déplacements, on commence par
calculer le tenseur des raideurs. On commence par calculer les paramètres intermédiaires
(aS , i, τp , τr , a, b, c, d, e) puis on utilise les équations 4.21, 4.22.
Connaissant le tenseur des raideurs, on actualise les contraintes locales Sn, St et tau dans
le repère local lié à la cellule. Les contraintes dans le repère global (O, ~x, ~y ), notées zs11,
zs22 et zs12, sont établies en changeant de repère :
St + Sn St − Sn
+
. cos(2θ) + tau. sin(2θ)
2
2
St + Sn St − Sn
zs22 =
−
. cos(2θ) − tau. sin(2θ)
2
2
St − Sn
. sin(2θ) + tau. cos(2θ)
zs12 = −
2
zs11 =
(4.44)
(4.45)
(4.46)
On détermine ensuite les contraintes principales pour enfin recalculer les contraintes dans
le repère (O, ~x, ~y ). Ces lignes de code sont tirées du modèle de Mohr-Coulomb fournit par
Itasca (2005).
Si la résistance à la compression du joint est dépassée, on se retrouve dans le deuxième
cas du programme. Dans ce cas, aS = 1 et i = 0. Les épontes du joint sont totalement en
contact. Les raideurs se voient attribuer les mêmes valeurs que dans le modèle de Saeb et
Amadei (1992) implémenté auparavant.
Si la contrainte normale au joint est positive (le joint est sollicité en traction), le programme passe au troisième cas ($icase = 3). Dans ce cas-là, le joint suit la loi de MohrCoulomb tirée du manuel du logiciel, publié parItasca (2005). Le modèle proposé par Itasca
(2005) est basé sur le calcul d’un potentiel plastique lié au phénomène de traction. Si les
contraintes in situ se situent en dehors de l’enveloppe de rupture, elles sont ramenées sur
l’enveloppe par l’intermédiaire du gradient du potentiel plastique. La loi d’écoulement plastique est associée (ψ = 0).
La compression uniaxiale d’un joint obéissant au modèle CSDS est équivalente à la compression d’un joint suivant le modèle de Saeb et Amadei (1992) déjà présentée à la section
précédente (section 4.1). Seul le cisaillement du joint est traité dans la suite.
82
Figure 4.18 Diagramme de l’algorithme de calcul
83
84
4.2.2
Test de cisaillement à charge normale constante (CNL)
La grille utilisée pour les tests de cisaillement est la même que celle utilisée dans la
section 4.1.2, figure 4.3.
Les propriétés du modèle utilisées pour le CNL sont :
– ur = 4 mm
– up = 0, 52 mm
– σT = −82 M P a
– s0 = 11, 4 M P a
– Vm = 3, 3 mm
– kni = 10 M P a/mm
– φr = 41˚
– φb = 37˚
– φ0 = 60˚
– i0 = 14˚
Le signe des paramètres du modèle est celui correspondant à la convention de signe de
FLAC : dσn < 0 en compression, une contraction est notée négativement, donc kni > 0
et lim vσn →σT = −Vm < 0. Avec cette convention, on veillera, lors de l’implémentation, à
modifier les signes de τp et τr qui doivent être positifs pour σn < 0 :
τr = −σn . tan(φr )
(4.47)
τp = −σn . tan(φb + i) + aS .Sr
(4.48)
Comme C0 est également négatif selon la convention de signe de FLAC, les signes de i, aS et
Sr sont inchangés.
Les modules de compressibilité et de cisaillement du matériau élastique sont les suivantes :
– K = 2 GP a
– G = 3 GP a
Différentes grandeurs caractérisant le cisaillement sont représentées sur les figures 4.19
à 4.27. Les calculs ont été menés pour trois valeurs de la contrainte normale σn : 7M P a,
14M P a et 21M P a. Les propriétés choisies et les conditions extérieures sont celles des essais
de Flamand et al. (1994).
Afin de s’assurer que la condition externe est bien respectée dans le joint (charge normale
constante), contrainte normale lue par FLAC au centre de la cellule représentant le joint a
été tracée à la figure 4.19. La contrainte normale reste constante au cours du cisaillement,
pour chacune des trois valeurs de pression de confinement. La condition de CNL est donc
bien respectée.
85
Figure 4.19 Vérification de la valeur de σn au cours des calculs
L’évolution de la contrainte de cisaillement en fonction du déplacement horizontal de
cisaillement est montrée à la figure 4.20. τ suit la variation attendue : elle est croissante de 0
à up . En up elle vaut τp . τ décroit au-delà de up et a pour limite τr en +∞. À partir de u = ur
l’écart entre τ et τr devient négligeable. L’évolution de τ avec u est parfaitement identique à
celle obtenue par la modélisation Excel de la section 2.2.8 (cf. figure 4.21).
Figure 4.20 Relation τ – u, conditions de CNL, pour différentes valeurs de σn
L’évolution du déplacement vertical avec le déplacement horizontal est visible à la figure 4.22 : en trait plein, le résultat retourné par FLAC, en pointillés, le résultat obtenu en
déterminant, à chaque étape de calcul, les coefficients (βi )1,4,5 . L’écart est relativement faible
86
Figure 4.21 Comparaison des résultats fournis par FLAC et par la modélisation Excel du 2.2.8
mais augmente avec l’augmentation de σni . Les déplacements déterminés par FLAC à partir
des contraintes suivant la loi de comportement du CSDS ne suivent pas parfaitement la loi
de dilatation du CSDS. L’écart peut provenir de la façon dont on modélise le joint (par un
matériau et non par une interface).
La figure 4.23 montre la dilatation calculée avec le modèle Excel et la dilatation obtenue
avec FLAC. Dans le tableur Excel, afin d’approcher au mieux les déplacements initiaux v0 ,
on avait trouvé une valeur de Vm = 3, 3.10−2 mm. Or, si on entre une telle valeur dans FLAC,
v dépasse Vm au bout d’une dizaine d’étape de calcul au cours de la mise en charge du joint
et le reste du calcul est impossible (le matériau est brisé avant même le cisaillement). En
ajustant la valeur d’entrée dans FLAC afin d’éviter la rupture lors du chargement initial, on
remarque que Vm = 3, 3mm assure un bon comportement du joint.
Les figures 4.24 à 4.27 montrent l’évolution des 4 raideurs du modèle pour les trois valeurs
de σn retenues. knn et ksn ont une limite finie non nulle en +∞ tandis que kns et kss ont une
limite nulle en +∞. Ceci permet d’affirmer que v a une limite finie en +∞ (i.e. dv tend vers
0 à l’infini) pour pouvoir satisfaire la condition CNL :
dσn = 0 = knn .dv + kns .du
(4.49)
87
Figure 4.22 Comparaison de la dilatation du joint au cours du cisaillement, en trait plein le
résultat calculé par FLAC, en pointillés le résultat analytique d’après l’équation (2.76)
Figure 4.23 Comparaison de la dilatation calculée au cours de la modélisation Excel et de la
modélisation FLAC
88
Figure 4.24 Évolution de la raideur normale Figure 4.25 Évolution de la raideur normale
knn au cours d’un cisaillement en CNL, pour kns au cours d’un cisaillement en CNL, pour
3 valeurs de σn
3 valeurs de σn
Figure 4.26 Évolution de la raideur tangen- Figure 4.27 Évolution de la raideur tangentielle ksn au cours d’un cisaillement en CNL, tielle kss au cours d’un cisaillement en CNL,
pour 3 valeurs de σn
pour 3 valeurs de σn
4.2.3
Test de cisaillement à raideur normale constante (CNS)
Les propriétés sont identiques à celles des conditions CNL précédente. Cette fois-ci, la
contrainte normale initiale est de −10 M P a. Quatre simulations ont été faites pour quatre
valeurs de la raideur normale : 3, 6, 9 et 12 M P a/mm. La figure 4.29 montre l’évolution de
la contrainte normale au cours du cisaillement, après l’étape de mise en charge du joint. σn
89
diminue au cours du cisaillement et tend vers une valeur constante pour u ≥ ur . Ce phénomène traduit la rupture en cisaillement des aspérités des épontes du joint. Sur la figure 4.28,
on a tracé la relation entre σn et v. Cette relation est linéaire. La pente de la courbe est
proche de la valeur de la raideur. L’écart entre la valeur de la pente et la raideur supposée
appliquée peut s’expliquer par le cisaillement du matériau des couches supérieures. En effet,
on ne peut pas entrer à la fois un déplacement de cisaillement et bloquer le déplacement
dans le sens vertical pour un même noeud. Il apparaı̂t donc un léger cisaillement des couches
supérieures qui font office de raideur externe appliquée au joint. Ce cisaillement peut entraı̂ner une dilatation du matériau et donc une augmentation de la contrainte normale dans la
cellule représentant le joint. L’utilisation d’un plus grand nombre de cellules pour le joint, la
présence d’une matrice rocheuse et d’avantage de cellules pour représenter la raideur externe
devraient annuler ces effets de bord.
Figure 4.28 Valeur de σn en fonction de v, en condition de CNS, pour différentes valeurs de
la raideur extérieure
La figure 4.30 montre la relation entre la contrainte de cisaillement τ et le déplacement
horizontal u. On voit qu’après ur , τ continue d’augmenter étant donné qu’elle suit τr et
que τr augmente en même temps que σn diminue. En trait plein, la valeur de τ d’après la
modélisation numérique, en pointillés, la valeur de τ d’aprés une implémentation sous Excel
du modèle.
Sur la figure 4.31, la dilatation du joint calculée par FLAC (traits pleins) est comparée
à celle obtenue par la détermination analytique des coefficients (βi )1,4,5 . Les deux séries de
90
Figure 4.29 Valeur de σn au cours des calculs, en condition de CNS, pour différentes valeurs
de la raideur extérieure
courbes se superposent bien. On remarque que les résultats analytiques et numériques sont
d’autant plus proches que la raideur extérieure est élevée.
Si on compare les résultats obtenu en utilisant les valeurs de kss et ksn données par les
expressions (4.21) et (4.22) de la section 4.2.1, aux résultats obtenus en utilisant les valeur
de ces raideurs données par Simon (1999), on obtient les figures 4.32 et 4.33. Les expressions
de kss et ksn permettent de suivre la résistance au cisaillement résiduelle. Ce résultat est
confirmé par la figure 4.34 qui montre que lorsque u tend vers ur , kss et kns tendent vers 0
tandis que knn et ksn tendent vers des valeurs opposées.
91
Figure 4.30 Relation τ – u pour différentes valeurs de la raideur extérieure kext , d’aprés les
résultats du modèle numérique (traits pleins) et analytique (pointillés)
Figure 4.31 Dilatation du joint au cours du cisaillement pour différentes valeurs de la raideur
extérieure kext
92
Figure 4.32 Relation τ – u avec les valeurs de kss et ksn données par les expressions (4.21) et (4.22)
4.3
Implémentation du modèle CSDSw
Pour utiliser le modèle CSDSw, on a simplement utilisé le modèle CSDS implémenté
précédemment en configurant la grille de calcul pour qu’elle prenne en compte la presence
d’eau. La seule ligne de code ajoutée est :
_poro = zporo
Cette commande permet d’accéder à la porosité du milieu au cours de l’analyse numérique.
93
Figure 4.33 Relation τ – u avec les valeurs de kss et ksn données par Simon (1999)
4.4
Application à un joint simple
Cette section contient un exemple de cisaillement direct d’un joint obéissant au modèle
CSDS. Dans un deuxième temps, un écoulement est ajouté aux conditions initiales du joint
afin de voir l’effet des pressions interstitielles dans le modèle CSDSw.
4.4.1
Joint horizontal
Considérons un échantillon de roche possédant les caractéristiques suivantes :
– dimensions de l’échantillon : 20cm de large et 60cm de haut
– ouverture mécanique initiale du joint : 2mm
– joint horizontal (pendage nul)
– module de Young de la roche E = 50 GP a
– coefficient de Poisson de la roche ν = 0, 3
– déplacement résiduel du joint ur = 5 mm
– déplacement au pic du joint up = 0, 5 mm
– angle de frottement résiduel du joint φr = 30˚
– angle de frottement interne de la roche intacte φ0 = 50˚
94
Figure 4.34 Évolution des différentes raideures internes du joint pour σn0 = 10 M P a et
ke = 12 P a/mm
– angle de frottement de base du joint φb = 37˚
– angle initiale des aspérités i0 = 4˚
– cohésion de la roche S0 = 9, 1 M P a
– résistance à la traction de la roche σtrac = 6 M P a
– résistance à la compression uniaxiale de la roche C0 = −50 M P a
– raideur normale initiale du joint kni = 100 M P a/mm
– fermeture maximale du joint Vmax = 10 mm
Mise en charge du joint
La fermeture de chacune des cellules constituant le joint tend vers une même valeur comme
le montre la figure 4.35. La valeur atteinte est très proche de la valeur prévue par le modèle
analytique de Saeb et Amadei (1992) (équation (2.48), section 2.2.7) :
vpred =
σn Vm
kni Vm − σn
(4.50)
= 0, 101 mm
(4.51)
≈ vnum
(4.52)
Dans chacune des cellule du joint, la contrainte normale converge vers la valeur imposée
à l’extérieur du joint (voir la figure 4.36) Le joint en entier se comporte comme une grille
unicellulaire (voir le calcul décrit à la section 4.2).
Cisaillement du joint
Le programme est en mode « grandes déformations » (SET =large).
95
Figure 4.36 Évolution de la contrainte norFigure 4.35 Représentation graphique de la male à l’intérieur du joint pendant la phase
de mise en charge
fermeture initiale du joint
Une vitesse de cisaillement ẋ = 10−7 m/s est appliquée à l’ensemble des points de la matrice rocheuse supérieure. L’application d’une vitesse de cisaillement à l’intérieur de toute la
grille supérieure diminue les chances d’instabilité du système : lorsqu’on déplace une éponte
du joint par application d’une vitesse de cisaillement aux frontières de la grille constituant la
matrice, il arrive que les déplacements ne soient pas homogènes au sein du matériau. Cet effet
est négligeable lorsqu’on est en petite déformations mais dès qu’on passe en grandes déformations (dans notre cas, le déplacement relatif des deux épontes est supérieur à 1cm), alors
cette inhomogénéité des déplacements entraine une instabilité du modèle et une incohérence
des résultats.
Lors du cisaillement, la cellule à l’entrée du joint (i = 1) subit une dilatation très importante comparativement aux autres cellules (figure 4.37). La forte variation des déplacements
verticaux de la première cellule à gauche du joint (voir figure 4.40) montre que cette cellule
joue un rôle tampon. Par la suite, on écartera systématiquement le comportement de cette
cellule.
La dilatation du joint, présentée à la figure 4.38, varie d’une cellule à l’autre : les premières
cellules (i = 2, 3, etc.) ont tendance à moins se dilater que les dernières cellules.
Quant à la contrainte de cisaillement, τ , représentée à la figure 4.41, elle varie le long du
joint au cours du cisaillement mais le comportement général décrit à la section 2.2.8 est bien
présent.
96
Figure 4.37 Représentation graphique de la dilatation des deux cellules extrêmes (i=1 et
i=10) et au milieu (i=5)
Figure 4.38 Évolution de la dilatation le long du joint
97
La figure 4.42 représente l’évolution de la contrainte normale dans le joint au cours du
cisaillement. σn ne reste pas constante au cours du cisaillement et n’est pas identique le long
du joint ni même à l’intérieur de la matrice rocheuse (voir figure 4.43)
Le fait que les grandeurs dans chaque cellule du joint ne soient pas strictement identiques
entre elles peut s’expliquer par la souplesse du système. Étant donné que la demi-grille inférieure n’est bloquée en translation qu’aux frontières et que le matériau qui la constitue n’a
pas une rigidité infinie, il se peut que la grille inférieure se déforme lors du cisaillement. Les
figures 4.39 et 4.40 montrent les déplacements horizontaux et verticaux à l’état final. Une
non homogénéité des déplacements est remarquable. Les parties supérieure et inférieure de
l’échantillon sont soumises à un déplacement horizontal différentiel et sont donc cisaillées,
comme le confirme la figure 4.44.
Figure 4.39 Isocontours des déplacements horizontaux
Autour du joint, la figure 4.45 montre que la contrainte tangentielle dans les cellules autre
que la cellule contenue dans le joint (j=5) suit un comportement similaire à celui du joint.
Cependant l’amplitude est plus faible dans la roche que dans le joint et diminue d’autant plus
qu’on s’éloigne du joint. Nous avons là, la confirmation que la matrice rocheuse se déforme
et amortie la réponse du joint.
98
Figure 4.40 Isocontours des déplacements verticaux
4.4.2
Adjonction d’un écoulement interstitiel
Un écoulement interstitiel est ajouté à l’exemple précédent. Les propriétés hydrauliques
des matériaux sont les suivantes :
– porosité initiale du joint n = 30%
– coefficient de mobilité initial (dix mille fois plus faible que la perméabilité du milieu,
voir l’équation (3.30), section 3.5) k = 10−15 P a.m2 .s−1
Sur la face x = 0, la pression est de 12 kP a et elle est de 2 kP a sur la face x = 20 cm. Le
long de la discontinuité, la pression suit une répartition linéaire à l’état initial.
La matrice reçoit arbitrairement une porosité de 20% et un coefficient de mobilité 100 fois
∆tmeca
plus faible que celui du joint. Afin d’établir un régime permanent, on fixe le rapport ∆t
f luide
1
à 100
.
Mise en charge du joint
Les figures 4.47 et 4.48 montrent, respectivement, le déplacement vertical du joint (valeur de
m v au centroı̈de de chaque cellule) et la contrainte normale au centroı̈de de chaque cellule
dans le joint. Par rapport au joint sec précédemment étudié, on remarque que :
– toutes les cellules ne présentent pas la même réponse
99
Figure 4.41 Représentation graphique de la relation τ –u pour quelques cellules
– une certaine symétrie des résultats est cependant observable autour du plan médian du
joint (i = 6) :
v(i = 1) ≈ v(i = 10)
(4.53)
v(i = 2) ≈ v(i = 9)
(4.54)
v(i = 3) ≈ v(i = 8)
(4.55)
v(i = 4) ≈ v(i = 7)
(4.56)
v(i = 5) ≈ v(i = 6)
(4.57)
– l’écart entre les valeurs de part et d’autre du plan médian augmente d’autant plus
qu’on s’éloigne de ce plan (i.e.kv(i = 1) − v(i = 10)k > kv(i = 2) − v(i = 9)k > kv(i =
3) − v(i = 8)k > kv(i = 4) − v(i = 7)k > kv(i = 6) − v(i = 5)k)
– la convergence vers l’état final se fait sans oscillations
La fermeture initiale du joint prédite par le modèle de Saeb et Amadei (1992) est donnée
par l’équation (2.48) de la section 2.2.7 en remplaçant la contrainte totale par la contrainte
effective. La pression interstitielle prévue au centre du joint est égale à la pression moyenne
soit pmoy = 7 kP a. La fermeture prévue est 100, 94 µm. L’ordre de grandeur des résultats
100
Figure 4.42 Évolution de la contrainte normale le long du joint, au cours du cisaillement
Figure 4.43 Isocontours des contraintes nor- Figure 4.44 Isocontours des contraintes tanmales σyy
gentielles σxy
numérique correspond au résultat attendu. Cependant aucune cellule n’atteint la fermeture
prévue : dans la modélisation numérique, le joint s’écrase moins que prévu analytiquement.
Cet écart entre le modèle analytique et le modèle numérique peut s’expliquer par l’écrasement
de la grille représentant la matrice rocheuse visible sur la figure 4.49. Cet écrasement est
symétrique par rapport à l’axe médian vertical de la grille de calcul.
101
Figure 4.45 Représentation graphique de la contrainte tangentielle au cours du cisaillement
le long de la verticale (i=5)
L’augmentation de l’écart entre les valeurs finales de v avec l’éloignement au plan médian
provient de la répartition linéaire des pressions le long du joint (voir figure 4.50). Cette
répartition linéaire des pressions donne une répartition linéaire de la contrainte normale
effective le long du joint. La figure 4.50 montre les isocontours des pressions. Ces isocontours
sont des droites verticales. Puisqu’il y a un gradient de pression dans la matrice rocheuse,
il y a donc un écoulement dans cette dernière. La faible conductivité de la matrice rend
l’écoulement en son sein négligeable devant celui qui a lieu dans le joint.
On peut quand même remarquer que la valeur de la contrainte normale au niveau des
cellules centrales, correspond à la valeur attendue : (10 − .07) M P a = 9.93 M P a.
L’évolution des pressions montrée à la figure 4.51 montre une très forte augmentation des
pressions au début de la mise en charge. Puis une dissipation progressive (i.e. pendant les
sept milles premières étapes) pour enfin trouver une répartition linéaire des pressions le long
du joint (voir figure 4.52). La première évolution brutale des pressions correspond à une non
dissipation des pressions interstitielles au début du cisiallement. Réaliser 1 étape de calcul
mécanique pour 100 étapes de calcul hydraulique n’est peut-être pas suffisant au vue de la
perméabilité des matériaux de l’analyse numérique.
102
Figure 4.46 Représentation graphique de la contrainte normale au cours du cisaillement le
long de la verticale (i=5)
Figure 4.47 Représentation graphique
de la fermeture initiale du joint
Figure 4.48 Évolution de la contrainte
normale à l’intérieur du joint pendant
la phase de mise en charge
L’évolution de la porosité visible sur la figure 4.53 est à mettre en relation avec l’évolution
de la fermeture le long du joint montrée à la figure 4.47.
Cisaillement du joint
Une vitesse de cisaillement ẋ = 10−7 m/s est appliquée aux frontières et à l’intérieur de la
103
Figure 4.49 Répartition initiale des déplace- Figure 4.50 Répartition initiale des pressions
ments verticaux
interstitielles
Figure 4.51 Répartition des pressions intersti- Figure 4.52 Répartition finale des pressions
tielles lors de la mise en charge
interstitielles lors de la mise en charge
nombretapesmcaniques
1
grille supérieure. Le rapport nombretapeshydrauliques
choisi est de 100
et le programme est en
mode « grandes déformations » (SET =large).
Lors du cisaillement, les pressions interstitielles augmentent dans un premier temps. Cette
augmentation, visible sur la figure 4.54, est directement liée à la fermeture du joint et à la diminution de la porosité lorsqu’on entame le cisaillement, elles-mêmes visibles, respectivement,
aux figures 4.55 et 4.56. Une fois cette contraction passée, le joint entame une dilatation et
les pressions deviennent négatives. Il y a succion dans le joint lorsque la dilatation commence.
Puis les pressions se stabilisent autour des valeurs finales obtenues lors de la mise en charge
(voir figure 4.52).
104
Figure 4.53 Évolution de la porosité le long du joint au cours de la mise en charge
Figure 4.54 Évolution des pressions interstitielles le long du joint au cours du cisaillement
La relation τ – u représentée figure 4.57 montre que la contrainte de cisaillement n’est
pas strictement identique d’une cellule à l’autre. Cette différence provient de la répartition
105
Figure 4.55 Évolution de l’ouverture du joint Figure 4.56 Évolution de la porosité du joint
lors du chargement
lors du chargement
linéaire de la pression interstitielle le long du joint. Plus la pression interstitielle est élevée
dans la cellule, moins la contrainte de cisaillement est mobilisée dans cette cellule.
La figure 4.58 compare l’évolution de τ dans la cellule centrale i = 5 dans le cas du CSDSw
et du CSDS. La différence de comportement est très faible voire inexistante si la différence de
pression entre les deux bornes est de 100 kP a/20cm. Si le différentiel de pression est élevé,
l’amplitude de la contrainte tangentielle est diminuée. Les courbes de la figure 4.58 sont
décalées horizontalement uniquement car on a pris la même origine des temps. Ce décalage
temporel est le temps nécessaire pour atteindre l’équilibre hydromécanique du système.
Le déplacement vertical au centre de la cellule est comparé pour différentes valeurs de la
différence de pression appliquée aux bornes (voir figure 4.59). Si la différence de comportement
est très faible voire inexistante lorsque la pression interstitielle est de l’ordre de 100 kP a,
elle s’accentue lorsque la pression interstitielle devient de l’ordre du M P a. La présence d’eau
entraı̂ne une plus faible contraction du joint lors de sa mise en charge mais une dilatation plus
importante lors de son cisaillement. La contrainte tangentielle mobilisée lors du cisaillement
chute avec l’augmentation de pression mais le comportement dilatant du joint est plus fort.
En fait, l’eau diminue la contrainte normale effective qui s’applique sur le joint. On retrouve
le comportement décrit par les expériences de Flamand et al. (1994).
106
Figure 4.58 Comparaison de la contrainte tangentielle pour différentes valeurs du gradient
Figure 4.57 Évolution de la contrainte tangen- de pression imposé de part et d’autre de
tielle le long du joint au cours du cisaillement l’échantillon
4.5
Test du modèle CSDS dans deux exemples typiques
Le modèle implémenté a été testé sur deux exemples d’application typiques proposés
par Simon (1999).
4.5.1
Chantier approchant une fracture
Dans cet exemple, on considère un massif modélisable par un modèle de Mohr-Coulomb,
dans lequel se trouve une fracture. Les paramètres de la roche sont les suivants :
– Module de Young : Em = 50 GP a
– Module de Poisson : ν = 0.30
La fracture possède les caractéristiques suivantes :
– up = 1 mm
– ur = 20 mm
– σT = 50 M P a
107
Figure 4.59 Comparaison du déplacement vertical pour différentes valeurs du gradient de
pression imposé de part et d’autre de l’échantillon
–
–
–
–
–
i0 = 4˚
φb = 37˚
φ0 = 50˚
φr = 30˚
S0 = 9, 1 M P a
108
– kni = 1000 M P a/mm
– Vm = 10mm
– pendage : −10˚
Les conditions in situ initiales sont :
– σv = −25 M P a
– σh = −60 M P a
Dans ce massif, on entame une excavation de 5m de large par 15m de haut. Une première
excavation de 3m de haut est réalisée puis on monte, en 5 étapes, en excavant 3m de haut à
chaque fois.
Les dimensions minimales de la grille pour englober la zone d’influence de l’excavation
sont déterminées par la méthode de Brady et Brown (2004). Soit K le rapport des contraintes
in situ de telle sorte que K ≤ 1. Ici, K = σσhv = 0, 417. Les axes x~′ et z~′ de la méthode de
Brady et Brown (2004) sont, respectivement, les axes (O, ~y ) et (O, ~x) de la modélisation.
L’excavation est assimilée à une ellipse d’axe ~q parallèle à (O, ~x) et p~ parallèle à (O, ~y ).
– 2p = 15m
– 2q = 5m
La zone d’influence est une ellipse centrée sur l’excavation, d’axes p etq parallèle à x~′ et z~′
respectivement.
( s
p = max q
)
s
2
p
p
p
p
10. K(1 + 2 ) − (3 ) + 2; q 10(K + 2 ) + 1
q
q q
q
( s
q = max q
)
s
2
2
p p
p
p
p
10. ( + 2) − K(3 + 2 ); q 10(K 2 ) + K 2
q q
q
q
q
(4.58)
(4.59)
On trouve p = 25 m et q = 43 m
Les résultats successifs sont montrés aux figures 4.64 à 4.66. Celles qui nous intéressent le
plus sont les figures 4.66 et 4.67 qui montrent la contrainte principale mineure et la contrainte
principale majeure dans le massif une fois l’excavation achevée. Ces deux figures sont comparables aux résultats de Simon (1999) montrés aux figures 4.68 et 4.69. La répartition des
contraintes principales autour de l’excavation est similaire dans les deux cas. La différence
d’ordre de grandeur est due à la différence de géométrie : l’excavation étudiée par Simon
(1999) n’a pas la même dimension que celle étudiée dans le cas présent.
La représentation des cellules en rupture sur la figure 4.70 montre les zones de rupture.
Au cours du chantier, il y a rupture élastique du coin supérieur droit de l’excavation vers la
fracture. Le long de la fracture, des éléments en rupture apparaissent. Les éléments en rouge
ont rompu en cisaillement ou ont subi une rupture volumique, les éléments violets ont déjà
109
atteint leur limite élastique
4.5.2
Chantier traversant une fracture
Le massif rocheux de cet exemple a les mêmes propriétés que précédemment. Il est traversé
par une fracture. La fracture à les mêmes propriétés qu’à l’exemple précédent seul son pendage
change : +20˚. Les conditions initiales in situ sont les mêmes que ci-dessus.
L’excavation réalisée est de section carrée et mesure 12m × 12m. Elle est réalisée en une
seule fois.
Comme pour le premier exemple, la zone d’influence de l’excavation est déterminée par la
méthode de Brady et Brown (2004). Le tenseur in situ étant inchangé, les axes x~′ et z~′ sont,
respectivement, les axes (O, ~y ) et (O, ~x) de la modélisation. L’excavation est assimilée à un
cercle inscrit, d’axe ~q parallèle à (O, ~x) et p~ parallèle à (O, ~y ).
– 2p = 12m
– 2q = 12m
La zone d’influence est une ellipse centrée sur l’excavation, d’axes p etq parallèle à x~′ et z~′
respectivement.
n p
o
p
p = max q 10. |3 − 5K| ; q 10(K + 1) + K
(4.60)
n p
o
p
q = max q 10. |3K − 5| ; q 10(K + 1) + 1
(4.61)
On trouve p = 23 m et q = 37 m
La grille choisie mesure environ 100m×100m. Les résultats sont montrés aux figures 4.73 à 4.78.
110
Figure 4.60 Déplacements horizontaux initiaux obtenus avec FLAC
Figure 4.61 Déplacements verticaux initiaux obtenus avec FLAC
111
Figure 4.62 Contrainte principale majeure initiale obtenue avec FLAC
Figure 4.63 Contrainte principale mineure initiale obtenue avec FLAC
112
Figure 4.64 Déplacements horizontaux obtenus avec FLAC
Figure 4.65 Déplacements verticaux obtenus avec FLAC
113
Figure 4.66 Contrainte principale majeure obtenue avec FLAC
Figure 4.67 Contrainte principale mineure obtenue avec FLAC
114
Figure 4.68 Contrainte principale majeure obtenue par Simon (1999)
Figure 4.69 Contrainte principale mineure obtenue par Simon (1999)
115
Figure 4.70 État de plasticité du massif : (a) à l’état initial, (b) après la première excavation,
(c) après la deuxième excavation, (d) après la troisième excavation, (e) après la quatrième
excavation et (e) après la dernière excavation.
116
Figure 4.71 Déplacements horizontaux initiaux obtenus avec FLAC
Figure 4.72 Déplacements verticaux initiaux obtenus avec FLAC
117
Figure 4.73 Déplacements horizontaux obtenus avec FLAC
Figure 4.74 Déplacements verticaux obtenus avec FLAC
118
Figure 4.75 Contrainte principale majeure initiale obtenue avec FLAC
Figure 4.76 Contrainte principale mineure initiale obtenue avec FLAC
119
Figure 4.77 Contrainte principale majeure obtenue avec FLAC
Figure 4.78 Contrainte principale mineure obtenue avec FLAC
120
Figure 4.79 État de plasticité du massif après l’excavation.
121
4.6
4.6.1
Tests des modèles CSDS et CSDSw sur un cas typique
Ouverture circulaire à proximité d’un joint vertical sec
Une excavation circulaire de rayon 5m est creusée dans un massif rocheux parcouru par
une fracture verticale. Les propriétés mécaniques de la roche intacte sont :
– module de Young 40 GP a
– coefficient de Poisson ν = 0, 3
– angle de friction interne φ0 = 60˚
– cohésion S0 = 1 M P a
– résistance à la compression uniaxiale C0 = 60 M P a
Les propriétés de la discontinuité sont :
– déplacement au pic up = 0, 5 mm
– déplacement résiduel ur = 1 mm
– angle de friction de base φb = 37˚
– angle de friction résiduel φr = 30˚
– angle de friction interne des aspérités φ0 = 60˚
– résistance à la compression uniaxiale des aspérités C0 = 60 M P a
– angle initial des aspérités i0 = 10˚
– fermeture maximale Vm = 10 mm
– raideur initiale du joint kn,i = 1 GP a/mm
Pour créer l’excavation, il est possible de créer un maillage suffisamment étroit et de dessiner un cercle à l’intérieur puis d’affecter les propriétés d’un matériau NULL à la région ainsi
délimitée. Cependant, cette méthode génère une déformation de la grille dans la zone immédiatement adjacente à l’excavation. Certaine cellules peuvent avoir une forme « illégale »,
c’est-à-dire que le ratio longueur sur largeur est supérieur à 10 ou bien qu’elles sont concaves.
Dans de telles cellules, le logiciel risque de diverger.
La solution retenue consiste à créer une grille carrée avec une ouverture circulaire au centre
grâce à la fonction hole.DAT vue dans les exemples de vérifications. Le reste du massif est
construit autour de cette grille. La grille issue de la fonction hole.DAT et le reste du massif
sont attachés avec la commande ATTACH. L’utilisation de cette commande nécessite un
nombre proportionnel de cellules de part et d’autre de l’interface concernée. Les coordonnées
de chaque cellules constituant le massif sont déterminées grâce à des boucles sur les indices
i et j des régions à modeler (voir programme en Annexe).
Pour éviter de percer l’excavation en une seule fois, ce qui risque de déstabiliser le modèle,
l’excavation est générée en plusieurs étapes. Elle est d’abord remplie par une couronne de
matériau grâce à la fonction qdonut.DAT de la bibliothèque de FLAC. Le rayon central est
122
de 30cm et le rayon externe de 5m. Lors du percement, on enlèvera des couronnes d’éléments
en partant de la couronne la plus au centre pour finir par celle qui jouxte la forme finale de
l’excavation. Entre chaque suppression de matériau, l’équilibre hydromécanique sera établi.
Afin de diminuer les effets de bord, la fracture ne traverse pas le massif de part en part.
L’ensemble de la grille est entouré par une couche épaisse d’une dizaine de cellules ayant les
mêmes propriétés mécaniques et hydrauliques que la roche intacte.
La grille est montrée aux figure 4.80 et 4.81. La deuxième étant un détail de la première.
La grille une fois l’excavation terminée est visible à la figure 4.82. Sur les figures4.81 et 4.82,
la matrice rocheuse apparaı̂t en gris foncé et le joint en gris clair ou fuchsia, respectivement.
Figure 4.80 Grille utilisée pour l’exemple du paragraphe4.6.1 à l’état initial
Lors du relâchement des contraintes, une zone de cisaillement se développe de part et
d’autre de l’excavation tandis que l’ouverture crée tend à se refermer. Le calcul des contraintes
dans la zone cisaillée du joint ne donne cependant aucune réponse cohérente. La figure 4.83
montre la contrainte de cisaillement agissant dans le joint dans une cellule proche du coin
inférieur droit de la grille contenant l’excavation. Si τ suit un comportement similaire à celui
123
Figure 4.81 Détail du remplissage de l’excavation
attendu, le joint n’atteint pas son pic de résistance au moment où u atteint up mais après.
La contrainte de cisaillement commence même à décoller de 0 après up .
124
Figure 4.82 Détail de l’excavation à l’état final
Figure 4.83 Contrainte de cisaillement dans une cellule du joint
125
4.6.2
Ouverture circulaire à proximité d’un joint vertical avec écoulement interstitiel
L’exemple précédent a été repris en ajoutant un écoulement fluide vertical. Les paramètres
hydrogéologiques de la fracture sont :
– porosité n = 70%
– la perméabilité de la fracture k = 10−5 m/s
– ouverture mécanique initiale 2em = 0, 2mm
Pour éviter un trop grand contraste dans la taille des cellules de la grille, l’épaisseur de
la fracture est multipliée par un facteur 1000 et sa conductivité est diminuée dans les mêmes
proportions. Ainsi, le flux unitaire est inchangé.
De la même façon, pour éviter un trop grand contraste des perméabilités, la matrice
rocheuse reçoit une perméabilité non nulle 20 fois plus faible que la discontinuité. Ainsi, la
fracture conserve un rôle prépondérant dans l’écoulement, sans pour autant nécessiter un
temps de calcul trop long pour atteindre l’état permanent dans la matrice rocheuse.
Finalement, les paramètres hydrauliques de la roche sont :
– porosité n = 0, 3
– coefficient de mobilité de l’eau k = 50.10−15 ms / Pma
Et ceux de la discontinuité sont :
– porosité n = 0, 7
– coefficient de mobilité de l’eau k = 10−12 ms / Pma
– ouverture mécanique initiale 2em = 0, 2 m
Le champ des pressions est linéaire. Il a pour valeur maximale 200 kP a à la frontière
supérieure et 100 kP a à la frontière inférieure. Aux frontières latérales, la pression évolue
linéairement du haut vers le bas.
Les contraintes initiales sont :
– σyy = −22 M P a
– σxx = −50 M P a
– σzz = −50 M P a
L’équilibre hydromécanique est calculé. Durant cette première étape, aucune condition
de pression n’est donnée aux parois de l’excavation : FLAC considère cette frontière imperméable.
Une fois que le modèle est initialisé, les déplacements à la paroi de l’excavation sont
libérés et la pression y est fixée à zéro (pression atmosphérique). Afin de permettre une
dissipation des surpressions interstitielles lors des déformations du matériau, une centaine
d’étapes de calculs hydrauliques sont effectuées pour chaque étape de calcul mécanique. Une
fois l’équilibre atteint, on enlève une couronne d’éléments qui est à l’intérieur de l’excavation.
126
La pression à la paroi de la nouvelle excavation est fixée à zéro et on calcule de nouveau
l’équilibre hydromécanique.
La figure 4.84 représente l’évolution de la contrainte tangentielle en fonction du déplacement horizontal dans une des cellules du joint où il y a cisaillement. Le joint ne suit pas
le comportement décrit dans les sections précédentes. La résistance est mobilisée après avoir
dépassé up et atteint un maximum en amplitude lorsque ur est atteint. Au-delà de ur , il y a
un plateau.
Figure 4.84 Contrainte de cisaillement dans une cellule du joint
L’écoulement final est semblable à celui d’un écoulement perturbé par un puits, selon la
figure 4.85.
Finalement, les calculs menés sous FLAC avec le modèle CSDSw implémenté en FISH
n’ont pas donné de résultats concluants. Il doit y avoir une erreur dans le code du modèle
comme par exemple une variable locale masquée par une variable globale, ou encore un critère
de convergence incorrect.
127
Figure 4.85 Isocontours des pressions interstitielles une fois l’excavation réalisée
128
CHAPITRE 5
DISCUSSION ET CONCLUSION
5.1
Synthèse des travaux
La modélisation du comportement hydromécanique des discontinuités géologiques est essentielle à une modélisation correcte de l’interaction entre contraintes mécaniques et écoulement souterrain. Le présent travail avait pour but d’implémenter et de tester un modèle de
couplage hydromécanique des discontinuités rocheuses sous FLAC.
Avant d’implémenter les modèles CSDS et CSDSw sous FLAC, ceux-ci ont été appliqués
à des expériences tirées de la littérature. Les modèles CSDS et CSDSw ont été confrontés
aux résultats de, respectivement, Flamand et al. (1994), d’une part et de Esaki et al. (1999)
et de Lee et Cho (2002), d’autre part. Ces essais constituent des essais à charge normale
constante. À partir des données expérimentales de chaque auteur, on a établi des caractéristiques globales moyennes du joint utilisé pour chaque série de mesures. Cette démarche
s’appuie sur l’hypothèse selon laquelle le joint est identique pour une même série de mesure.
Le modèle CSDS donne des résultats proches des résultats expérimentaux aussi bien pour
la relation τ – u (allure des courbes, emplacement du pic) que pour la relation v – u. Les écart
entre le comportement prédit par le modèle CSDS et les résultats expérimentaux de Flamand
et al. (1994) vient du fait que les auteurs des essais n’ont pas utilisé exactement le même
joint pour chacune des séries de mesures : les paramètres φ0 , φr etc. varient trop d’une série
de mesures à l’autre. Si l’aspect général de la courbe τ – u est respecté, le modèle CSDS
a cependant du mal à retranscrire le comportement du joint au début du cisaillement. Cet
écart avec l’expérience vient du fait que les termes d’une des exponentielles du modèle CSDS
sont négligés.
Le modèle CSDSw rend compte lui aussi de l’évolution de τ avec u. La trop grande disparité dans les résultats expérimentaux permet difficilement de trouver la valeur des paramètres
d’entrée du modèle CSDSw qui sont supposés être des paramètres intrinsèque au joint. Il est
possible que les joints utilisés par les auteurs pour une même série de mesures n’étaient pas
identiques.
L’implémentation du modèle CSDS a été précédée par l’implémentation du modèle de Saeb
et Amadei (1992) dans lequel les déplacements caractéristiques sont supposés constants. Ce
modèle a l’avantage d’être plus simple dans sa formulation que le modèle CSDS. Il a été testé
sur des grilles simples (grilles unicellulaires) sous trois types de chargement : une compres-
129
sion uniaxiale, un cisaillement à charge normale constante (appelé CNL) et un cisaillement à
raideur normale constante (appelé CNS). Cette première approche a permis de se familiariser
avec le langage FISH dans le cas d’un modèle simplifié. Les relations σn – v, τ – u et v – u
suivent les comportements attendus. Mais le modèle implémenté n’est pas utilisable sur un
joint incliné. En effet, le programme montré en annexe ne passe par pas les axes globaux pour
actualiser les contraintes. Il convient uniquement pour la modélisation d’un joint horizontal.
Ce programme devra être adapté, comme l’a été le programme du modèle CSDS, pour voir
le champ de ses utilisations étendu.
Une fois implémenté, le modèle CSDS a d’abord été validé avec des cas de compression
uniaxiale et de charge normale constante. La compression uniaxiale donne les mêmes résultats que le modèle de Saeb et Amadei (1992). En ce qui concerne le test à charge normale
constante, les paramètres d’entrée du modèle étaient tirés des expériences de Flamand et al.
(1994). Les résultats ont été comparés à ceux de l’analyse du modèle sous Excel présentée
dans la section 2.2.8. Cette comparaison a permis de s’assurer que le programme implémenté
donnait la même valeur de la contrainte de cisaillement que le modèle analytique. En revanche, la dilatation calculée à partir du programme FISH s’écarte des résultats analytiques.
Cette différence peut venir du fait que les auteurs des essais expérimentaux ont mesuré la
dilatation du joint une fois chargé, en prenant sa fermeture initiale comme origine de la
dilatation.
Lors du calcul avec le modèle CSDS implémenté, le programme détermine, en parallèle
du calcul des raideurs internes de la discontinuité, les coefficients β1 , β4 , β5 et en déduit le
déplacement v avec la formulation analytique du modèle. Ce calcul permet seulement de voir
si la dilatation du joint correspondant aux raideurs internes implémentées est identique à
l’expression analytique de la dilatation. On remarque que la fermeture du joint à l’étape i+1
calculée par FLAC à partir des contraintes actualisées à l’étape i n’est pas strictement égale
à la fermeture calculée avec la formulation analytique à l’étape i+1. Il est possible que l’utilisation des équations du mouvement par le logiciel FLAC lorsqu’il calcule les déformations
à partir des contraintes actualisées introduise cet écart avec les valeurs analytiques.
La formulation du modèle utilisée dans ce travail n’est pas strictement la même que celle
proposée par Simon (1999). Les raideurs ksn et kss n’ont pas les mêmes valeurs. Simon (1999),
dans un but de simplification, proposait une valeur nulle de ksn . Une expression analytique
de ksn a été explicitée dans ce travail. Les tests sous raideur normale constante – avec un
joint identique à celui des tests à charge normale constante – ont montré qu’une valeur non
nulle de ksn permet à la contrainte de cisaillement de suivre la condition de raideur normale
extérieure constante. Les tracés de σn en fonction de la fermeture du joint v confirment la
condition de raideur normale constante appliquée au joint.
130
Le modèle CSDSw a été testé en introduisant un écoulement interstitiel au sein d’un joint
dont le comportement suivait le modèle CSDS. La prise en compte de l’écoulement interstitiel
est facilitée par le logiciel qui travaille par défaut en contraintes effectives. Les incréments de
pressions liés à une déformation volumique du milieu perméable sont pris en compte par le
logiciel dès qu’on réalise un couplage hydromécanique. Il a été possible d’affiner le couplage
en établissant une relation entre les déformations volumiques du joint et sa conductivité
ainsi que sa porosité (section 3.5, équations 3.33 et 3.40). Cependant l’amélioration apportée
par l’implémentation de lois reliant la porosité et la perméabilité du joint à sa déformation
volumique n’a pas été quantifiée. Dans le cas d’un joint soumis à un cisaillement simple
(sections 4.4.1 et 4.4.2), le programme permet de retranscrire l’effet de l’eau. Celle-ci a pour
effet de diminuer la fermeture du joint lors de sa mise en charge et d’augmenter sa dilatation
lors de son cisaillement. Elle diminue également la résistance au cisaillement mobilisée le long
du joint.
Les deux exemples typiques tirés de Simon (1999) montrent les utilisations possibles
du programme. Lorsqu’une excavation approche une discontinuité, une zone de cisaillement
apparaı̂t le long de cette discontinuité.
Les dernières simulations numériques ont mis en lumière les limites du modèle. Modéliser
l’effet d’une excavation circulaire sur une fracture verticale proche requiert certaines précautions lors de la génération d’une grille. Afin d’éviter les contrastes de dimensions, le joint
doit être élargi et sa perméabilité diminuée en conséquence pour conserver un débit unitaire
constant. Pour éviter les contrastes de perméabilité et porosité que FLAC ne sait pas gérer,
tout en respectant les conditions idéalisées de matrice imperméable, une perméabilité non
nulle est attribuée à la roche ainsi qu’une porosité supérieure à 0, 25 selon les recommandations de Itasca (2005).
En l’état actuel du travail, les modèles CSDS et CSDSw n’ont pas permis de modéliser les
comportements d’un massif traversé par une fracture verticale. Les comportements observés
le long du joint ressemblent à ceux attendus (forme de la courbe τ – u respectée) mais le pic
de cisaillement intervient après up et la valeur de τp est très faible devant celle prévue par le
modèle analytique.
Le programme fourni en annexe, codé en FISH (langage natif de FLAC) permet donc
d’utiliser les modèles CSDS et CSDSw sous FLAC. Il a cependant quelques limites.
5.2
Limitations de la solution proposée
Les limites de la solution proposée reposent sur trois points :
– le modèle analytique utilisé
131
– le logiciel employé
– la calibration du modèle
Premièrement, le modèle CSDS utilisé est une version simplifiée. Les termes β2,3 qui
retranscrivent la contraction initiale d’un joint cisaillé sont supposés nuls. Le comportement
exposé ici est seulement dilatant. Même si l’ouverture du joint converge vers la valeur prévue
par le modèle analytique, la relation v – u pendant la mise en charge, représentée à la
figure 4.35 par exemple, ne correspond en aucun cas au comportement réel d’un joint soumis
à une compression.
D’autre part, on peut se poser la question de la validité du coefficient β5 qui est supposé
constant. Il est possible que celui-ci dépende de σn ou de u. La valeur attribuée à β5 est basée
sur un ensemble de résultats de la littérature.
Deuxièmement, l’utilisation de FLAC nécessite une construction judicieuse de la grille de
calcul. Ce logiciel étant adapté aux milieux continus, il gère difficilement les contrastes de
taille. Deux cellules adjacentes dont les tailles caractéristiques varient d’un ordre de grandeur
peuvent être responsable d’une divergence du modèle. En effet, si on se réfère à la section 3.1,
on sait que FLAC fige les contraintes pour déterminer les déformations puis fige la déformation pour actualiser les contraintes avec la loi de comportement retenue. Cette méthode ne
fonctionne que si le temps de calcul est plus faible que le temps caractéristique nécessaire à
un noeud du maillage pour influencer un de ses voisins. En d’autres termes, le front de calcul
doit se déplacer plus vite que la propagation physique de l’information dans le matériau. Donc
si deux cellules adjacentes ont un trop grand écart de taille et si le front de calcul est calibré
pour être cohérent dans la plus grande cellule, alors il ne le sera probablement plus dans la
plus petite. Or, dans notre cas, on représente le joint par une couche de matériau qui initialement a pour épaisseur l’ouverture mécanique initiale du joint. Pour avoir une continuité de
l’épaisseur entre les cellules du joint (épaisseur caractéristique de l’ordre du mm) et celles de
la roche intacte constituant le massif ou l’éprouvette (épaisseur de l’ordre du m ou du cm),
il faudrait un trop grand nombre de cellules. La solution retenue est donc de multiplier la
taille du joint. Lorsqu’on voudra modéliser un massif dans son ensemble, parcouru par des
familles de fractures, il faudra peut-être aller jusqu’à multiplier l’épaisseur des joints par dix,
cent ou mille. On ne travaillera donc plus avec un modèle qui reprend les dimensions du cas
réel mais avec une maquette dont les résultats devront être réduits par un facteur d’échelle
à déterminer.
L’adaptation de la vitesse du front de calcul aux dimensions et aux caractéristiques d’une
cellule entraı̂ne une divergence de FLAC dans une cellule beaucoup plus longue que large
(rapport longueur–largeur supérieur à dix). Or, dans le cas de la méthode retenue pour
modéliser une discontinuité, c’est-à-dire par une mince couche de cellule de matériau ayant
132
les propriétés globales du joint, il est plutôt logique d’envisager des cellules bien plus longues
que large. Il faudra donc veiller à diviser le joint en un nombre suffisant de cellules pour ne
pas générer de « difformités » du maillage.
Le calibrage de la vitesse du front de calcul dans le cas du programme présenté a été
établi empiriquement comme valant dix fois celui de la roche intacte. Ce choix empirique
n’est basé que sur un petit nombre de simulations avec un éventail restreint de coefficients
multiplicatifs. Il serait intéressant d’établir clairement quel lien existe entre les coefficients
cmax et smax du matériau représentatif du joint d’une part, et de la roche intacte d’autre part.
Autre source de discontinuité numérique, les paramètres hydrogéologiques. La roche intacte ne peut pas être parfaitement imperméable lorsqu’on utilise un modèle numérique. Seule
une gamme de valeurs pour la perméabilité et la porosité de la roche sont acceptables : de
trop grands écarts avec les caractéristiques des joints déstabilisent le logiciel mais de trop
faibles écarts estompent le rôle des discontinuités dans l’évolution de l’écoulement souterrain. La perméabilité du joint doit être changée de manière inversement proportionnelle à
l’augmentation de son épaisseur décrite plus haut. Un rapport de 20 a été choisi entre la
perméabilité de la matrice rocheuse et la perméabilité du joint. Quant à la porosité, Itasca
(2005) suggère de ne pas passer en dessous de 20%. En dessous de cette limite, la raideur
apparente du fluide (égale à Kw /n) devient bien plus grande que celle du solide et le temps
de convergence est très long.
La réalisation de la grille est donc pour beaucoup dans la stabilité du modèle utilisé.
FLAC v.5.0 ne possède pas vraiment générateur de grilles. La grille est généralement créée à
la main et le raffinement local du maillage nécessite bien souvent de refaire toute la grille.
Les déformations de la matrice ainsi que l’écoulement qui y prend place peuvent avoir une
influence non négligeable sur le comportement du joint étudié. Par défaut, FLAC ne modifie
pas la porosité du milieu ou celle de la conductivité lorsque les contraintes évoluent. Les
modifications de la perméabilité et de la porosité en fonction de la déformation volumique
cumulée apportent une précision supplémentaire. Cependant les relations sur lesquelles elles
reposent mériteraient d’être vérifiées. D’autre part, l’implémentation de ces relations nécessite
un surplus de temps de calcul car le logiciel va chercher, par défaut, toutes les dix étapes, la
valeur de la porosité et du coefficient de mobilité correspondant à la déformation volumique
actuelle. Les tables de la porosité et du coefficient de mobilité sont calculées et enregistrées
par FLAC. L’incrément de déformation volumique retenu doit donc être suffisamment petit
afin d’avoir une bonne précision.
Le couplage nécessite notamment de choisir judicieusement le nombre de sous-étapes de
calcul mécanique et hydraulique. Une méthode conseillée est de commencer la modélisation
en forçant le logiciel à faire une dizaine d’étapes mécaniques pour une étape hydraulique.
133
Puis le ratio nmech/ngw est diminué à 1/100 comme fait à la section (4.6.1). Généralement,
le temps caractéristique de l’écoulement est affiché par FLAC lors du lancement du calcul.
Ce temps caractéristique de l’écoulement fluide est obtenu à partir de la relation (3.41) dans
laquelle les valeurs locales des grandeurs sont introduites. Le temps caractéristique affiché
par FLAC est donné pour la valeur du temps caractéristique du calcul mécanique du cas en
ngw
cours de calcul. Il incombe à l’utilisateur de s’assurer que le ratio nmech
respecte les temps de
calculs du modèle. Les résultats d’une modélisation ne sont donc valides que si les paramètres
du calcul sont cohérents.
En résumé, le gros obstacle lors de l’implémentation du modèle CSDSw est le logiciel choisi
qui est un logiciel qui fonctionne bien avec des milieux continus. Or on cherche à modéliser
des discontinuités géologiques.
5.3
Améliorations futures
La calibration du modèle numérique réclame des séries de mesures en laboratoire. Les
études en laboratoire pourront être réalisées sur des joints synthétiques idéalisés (en dent de
scie) ou des copies conformes de joints réels. Un mélange convenable pour la reproduction des
joints est donné par Indraratna (1990). Ce mélange est constitué de 10, 0% de plâtre blanc,
75, 8% de sable fin uniforme, 15, 15% d’eau à température ambiante et 0, 05% de phosphate
de sodium anhydre (retardateur). Les propriétés mécaniques du matériau de synthèse devront
être vérifiées sur un certain nombre d’échantillon afin de s’assurer de la reproductibilité des
joints synthétiques et de la cohérence de ces propriétés vis-à-vis des propriétés du matériau
réel. En effet, s’il est seulement possible de reproduire une gamme restreinte de propriétés
mécaniques en laboratoire, le modèle numérique ne pourra être calibré que sur une gamme
restreinte de propriétés mécaniques.
L’application du modèle à un cas grandeur nature permettrait de confronter les prédictions
du modèle avec ce qui est réellement observé. Il faudrait donc mettre en place des campagnes
de mesures in situ. Le choix des instruments de mesure et le nombre de forage nécessaires
à la détermination du tenseur de contraintes in-situ sont encore à définir. Une fois que le
comportement d’une discontinuité a pu être mesuré in-situ, il conviendrait de comparer le
comportement prédit avec le modèle CSDS (ou CSDSw) avec le comportement prédit par un
modèle de joint simple de type Mohr-Coulomb. Cette comparaison permettra de quantifier la
précision du modèle CSDSw mais également la complexité (ou la simplicité) de son utilisation
et le temps nécessaire pour arriver à une solution par rapport à un modèle simple largement
utilisé.
La détermination des coefficients β1 et β2 du modèle CSDS améliorerait la précision du
134
logiciel puisqu’elle lui permettrait de rendre compte de la phase de contraction initiale du
joint. La détermination de ces paramètres nécessite une série d’expériences de laboratoire. Il
faudrait envisager des séries de mesures expérimentales au cours desquelles on porterait une
attention particulière à la phase de contraction du joint. L’expression analytique du modèle
devrait être également utilisée afin d’expliciter les valeurs de ces deux coefficients en fonction
des grandeurs caractéristiques du joint.
Le modèle analytique pourrait également être affiné en menant une analyse paramétrique
exhaustive. Cette analyse paramétrique permettrait de repérer les éventuels ensembles de
plages de valeurs dans lesquelles le modèle CSDS est peu précis ou carrément inutilisable.
Une fois déterminées, ces plages de valeurs devront être comparées aux valeurs observables
dans la réalité grâce à des résultats de la littérature ou de mesure in-situ.
Les expériences de laboratoire qui pourraient être menées afin de calibrer le modèle numérique devront également permettre de calibrer les équations (3.29) et (3.37) proposées à
la section 3.5 qui permettent de relier, respectivement, la porosité et la perméabilité à la
déformation volumique.
Enfin, il serait intéressant d’implémenter le modèle CSDSw sous un autre logiciel prenant
en compte les contrastes de caractéristiques hydrogéologiques et mécaniques. Par exemple,
UDEC de la société Itasca, pourrait être utilisé dans un travail ultérieur. Ce logiciel permet
lui aussi d’implémenter des modèles définis par l’utilisateur. Comme il possède le même
langage natif que FLAC (FISH), l’adaptation sous UDEC du programme développé au cours
de ce travail serait facilitée. Une fois que le modèle CSDSw aura été amélioré, calibré et
implémenté sous UDEC, il pourrait être implémenté en C++. La compilation d’un modèle
défini par l’utilisateur, rédigé en C++ donne une application .dll directement téléchargeable
par le logiciel. Le nouveau modèle est alors disponible par défaut dans la bibliothèque de
modèles de FLAC ou UDEC ce qui rend son utilisation beaucoup plus aisée et plus efficace.
135
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139
ANNEXE A
FICHIERS DES MODÈLES IMPLÉMENTÉS
A.1
Implémentation du modèle analytique de Saeb et Amadei (1992)
;Name:Saeb_Amadei model
;Diagram:
def saeb_amadei
constitutive_model 990
f_prop m_ur m_up m_phir m_phi0 m_phib m_i0 m_s0 m_c0 m_kni m_Vm
f_prop m_aS m_i m_Sr t_p t_r ep
f_prop Sn c0 Snn
f_prop d_i1 d_i2 d_i d_as d_Sr
f_prop dtp dtp1 dtp2 dtp3 dtp4 dtp5 B0 sent_sig sent_v
f_prop m_u m_v d_u d_v sig_n sig_nn _vf
f_prop m_knn m_ksn m_kss m_kns
f_prop _u _ini
int
float
float
float
float
float
float
float
$icase $m_err
$B011 $B012 $B02
$knn2 $knn1
$ksn1 $ksn21 $ksn22 $ksn23 $ksn3 $ksn4 $ksn_n $ksn_d
$kns1 $kns2
$kss1 $kss2
$test_ur $test_up $test_sig $test_v
$coef $k2 $k1
float $tg_psi $tan_psi
float $ycase
float $s11i $s22i $s12i $s33i $sdif $s0 $rad $s1 $s2 $s3
float $si $sii $psdif $cs2 $si2 $dc2 $dss
140
case_of mode
;\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
case 1
$m_err = 0
;---------if m_phi0 > 89.0 then
$m_err = 1
end_if
if m_phib > 89.0 then
$m_err = 2
end_if
if m_phir > 89.0 then
$m_err = 3
end_if
if m_i0 > 89.0 then
$m_err = 4
end_if
;---------if m_s0 < 0.0 then
$m_err = 5
end_if
if m_c0 > 0.0 then
$m_err = 6
end_if
;---------if m_Vm < 0.0 then
$m_err = 7
end_if
if m_kni > 0.0 then
$m_err = 8
end_if
;---------if m_ur < 0.0 then
141
$m_err = 9
end_if
if m_up < 0.0 then
$m_err = 10
end_if
;---------if $m_err # 0 then
nerr = 126
error = 1
end_if
;---------sig_n = zs22
sig_nn= zs22
dtp
= 0
$icase = 1
if _ini=1 then
_vf
= m_v
end_if
if _ini=0
m_v
m_u
_ini
_u
end_if
then
= 0
= 0
= 1
= 0
;\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
case 2
ep = 1
d_u = d_u + zde12*ep
d_v = d_v + zde22*ep
if d_u#0 then
$tan_psi = d_v/d_u + $tan_psi
142
end_if
if zsub>0
m_u = m_u
m_v = m_v
tan_psi =
$tan_psi=
d_u = 0
d_v = 0
end_if
then
+ d_u/zsub
+ d_v/zsub
$tan_psi/zsub
0
;On teste la valeur du déplacement
$test_v =
$test_ur =
$test_up =
$test_sig=
m_v + m_Vm
m_ur - m_u
m_up - m_u
sig_n/m_c0
if $test_up<=0 then
if $test_ur>=0 then
if _u=0 then
_u = 1
end_if
else
if _u=1 then
_u = 2
end_if
end_if
else
if _u=0 then
_u=0
end_if
end_if
SECTION
143
if $test_v<=0 then
sent_v = 1
$icase = 2
EXIT SECTION
end_if
if $test_sig<=1 then
if $icase # 2 then
$icase=1
EXIT SECTION
end_if
else
$icase=2
sent_sig = 1
EXIT SECTION
end_if
END_SECTION
;On va calculer le tenseur des rigidités pour ensuite
; déterminer les contraintes locales
$k2
= 4
$k1
= 1.5
$coef = pi/180
; ============================
case_of $icase
case 1
Sn = -sig_n
c0 = -m_c0
Snn= -sig_nn
144
;............................ tau p et tau r ............................
m_aS = 1-(1-Sn/c0)^$k1
m_i = atan(tan(m_i0*$coef)*(1-Sn/c0)^$k2)/$coef
m_Sr = m_s0+Sn*tan(m_phi0*$coef)
t_r
t_p
= Sn*tan(m_phir*$coef)
= 1*(Sn*(1-m_aS)*tan((m_i+m_phib)*$coef)+m_aS*m_Sr)
;Dérivée des grandeurs précédentes par rapport à sigma n = -Sn
; On multiplie donc, au final par -1
d_as
d_i1
d_i2
d_i
d_Sr
dtp1
dtp2
dtp3
dtp4
dtp5
dtp
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1/c0*$k1(1-Sn/c0)^($k1-1)
-1*tan(m_i0*$coef)*$k2*(1-Sn/c0)^($k2-1)/c0
1+(tan(m_i0*$coef)*(1-Sn/c0)^$k2)^2
d_i1/d_i2/$coef
tan(m_phi0*$coef)
(1-m_aS)*tan((m_i+m_phib)*$coef)
Sn*(-d_as)*tan((m_i+m_phib)*$coef)
Sn*(1-m_as)*d_i*$coef/(cos((m_i+m_phib)*$coef))^2
d_as*m_Sr
m_aS*d_Sr
-1*(dtp1 + dtp2 + dtp3 + dtp4 + dtp5)
;On peut fixer B0 tel que tau(u>ur)=t_r strictement
;
; multiplié c0 pour respecter c0 = -c0
if _u=0 then
B0
= tan(m_phir*$coef)/tan((m_i0+m_phib)*$coef); valeur conseillée par Goodman
end_if
if _u=1 then
$B011 = -dtp*c0*m_u + dtp*c0*m_ur + m_up*dtp*Sn
145
$B012
$B02
B0
end_if
=
=
=
m_up*t_p - m_u*dtp*Sn - m_u*t_p
((-m_up + m_u)*(-dtp*c0 - dtp*Sn - t_p))
($B011+$B012)/$B02
if _u=2 then
B0
= 0
end_if
;.......................... Raideurs ...................................
;Détermination de k_ns = dsigma/du = -dSn/du
;Détermination de k_nn = dsigma/dv = -dSn/dv
;Détermination de k_sn et k_ss
if _u=0 then
$kns1 = -(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)
$kns21 = -m_u*$k2/c0
$kns22 = (1-Sn/c0)^($k2-1)
$kns23 = tan(m_i0*$coef)
$kns3 = m_Vm^2*m_kni
$kns4 = (m_kni*m_Vm-Sn)^2
$kns_n = $kns1
$kns_d = ($kns21*$kns22*$kns23+$kns3/$kns4)
m_kns = -1*($kns_n/$kns_d)
$knn1
$knn2
m_knn
= -$k2*m_u/c0*(1-Sn/c0)^($k2-1)*tan(m_i0*$coef)
= m_kni*m_Vm^2/(m_kni*m_Vm-Sn)^2
= -1*(1/($knn2+$knn1))
m_ksn = m_u/m_up*m_knn*dtp
m_kss = m_u/m_up*m_kns*dtp+t_p/m_up
end_if
if _u=1 then ;----------------- u>up et u<ur
$kns1 = (1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)
146
$kns21
$kns22
$kns23
$kns3
$kns4
$kns_n
$kns_d
m_kns
=
=
=
=
=
=
=
=
-m_u*$k2/c0
(1-Sn/c0)^($k2-1)
tan(m_i0*$coef)
m_Vm^2*m_kni
(m_kni*m_Vm-Sn)^2
-$kns1
($kns21*$kns22*$kns23+$kns3/$kns4)
-1*($kns_n/$kns_d)
$knn1
$knn2
m_knn
= -$k2*m_u/c0*(1-Sn/c0)^($k2-1)*tan(m_i0*$coef)
= m_kni*m_Vm^2/(m_kni*m_Vm-Sn)^2
= -1*(1/($knn2+$knn1))
$ksn1 = dtp*(m_u-m_ur)
$ksn2 = (m_up-m_u)*(dtp*(B0+(1-B0)/c0*Sn)+t_p/c0*(1-B0))
m_ksn = m_knn/(m_up-m_ur)*($ksn1+$ksn2)
$kss1 = (t_p-t_r)/(m_up-m_ur)
$kss2 = m_kns/(m_up-m_ur)
m_kss = $kss1+$kss2*($ksn1+$ksn2)
end_if
if _u=2 then
m_kns = 0
$knn1
$knn2
m_knn
= -$k2*m_ur/c0*(1-Sn/c0)^($k2-1)*tan(m_i0*$coef)
= m_kni*m_Vm^2/(m_kni*m_Vm-Sn)^2
= -1*(1/($knn2+$knn1))
m_kss = m_kns*(dtp*(B0+(1-B0)/c0*Sn)+t_p/c0*(1-B0))
m_ksn = m_knn*(dtp*(B0+(1-B0)/c0*Sn)+t_p/c0*(1-B0))
end_if
;...................... Relation v-u ..................................
if _u#2 then
_vf = m_u*(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)+Sn*m_Vm/(m_kni*m_Vm-Sn)
147
else
_vf = m_ur*(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)+Sn*m_Vm/(m_kni*m_Vm-Sn)
end_if
;...................... Contraintes principales .......................
;Actualisation des contraintes
$s11i = zs11
$s22i = zs22 + m_knn*zde22*ep + m_kns*zde12*ep
$s33i = zs33
$s12i = zs12 + m_ksn*zde22*ep + m_kss*zde12*ep
;--------------------------$sdif = $s11i - $s22i
$s0
= 0.5 * ($s11i + $s22i)
$rad = 0.5 * sqrt ($sdif*$sdif + 4.0 * $s12i*$s12i)
;Contraintes principales
$si
= $s0 - $rad
$sii
= $s0 + $rad
$psdif = $si - $sii
;Détermination du
if $s33i > $sii
;s33 est majeure
$ycase = 3
$s1
= $si
$s2
= $sii
$s3
= $s33i
else
;s33 est mineure
if $s33i < $si
;s33 est mineure
cas
then
ou intermediaire
then
148
$ycase = 2
$s1
= $s33i
$s2
= $si
$s3
= $sii
else
;s33 est intermédiaire
$ycase = 1
$s1
= $si
$s2
= $s33i
$s3
= $sii
end_if
end_if
;cosinus directeurs
if $psdif = 0 then
$cs2 = 1
$si2 = 0
else
$cs2 = $sdif/$psdif
$si2 = 2*$s12i/$psdif
end_if
;Retour aux axes globaux
case_of $ycase
;---------------------------------------------------case 1
$dc2 = ($s1 - $s3) * $cs2
$dss = $s1 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s1 - $s3) * $si2
zs33 = $s2
dsig_n
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
149
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
dsig_n = 0
end_if
;---------------------------------------------------case 2
$dc2 = ($s2 - $s3) * $cs2
$dss = $s2 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s2 - $s3) * $si2
zs33 = $s1
dsig_n
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
dsig_n = 0
end_if
;---------------------------------------------------case 3
$dc2 = ($s1 - $s2) *$cs2
$dss = $s1 + $s2
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s1 - $s2) * $si2
zs33 = $s3
dsig_n
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
150
dsig_n = 0
end_if
;---------------------------------------------------end_case
; ============================
case 2
Sn = -sig_n
c0 = -m_c0
Snn= -sig_nn
m_aS = 1
m_i = 0
m_Sr = m_s0+c0*tan(m_phi0*$coef)
t_r
t_p
= -c0*tan(m_phir*$coef)
= -m_aS*m_Sr
;-----------------------------
d_as
d_i
d_Sr
dtp
= 0
= 0
= tan(m_phi0*$coef)
= -m_aS*d_Sr
;Détermination de k_ns=dsigma/du
m_kns = 0
;Détermination de k_nn
m_knn = -m_kni*((m_kni*m_Vm-Sn)/(m_kni*m_Vm))^2
;Détermination de k_sn et k_ss
151
if _u=0 then
m_ksn = m_u/m_up*m_knn*dtp
m_kss = -t_p/m_up
end_if
if _u=1
$ksn1 =
$ksn2 =
m_ksn =
then ;----------------- u>up et u<ur
dtp*(m_u-m_ur)
(m_up-m_u)*dtp
m_knn/(m_up-m_ur)*($ksn1+$ksn2)
$kss1 = (t_p-t_r)/(m_up-m_ur)
m_kss = $kss1
end_if
if _u=2 then
m_kss = 0
m_ksn = 0
end_if
;Actualisation des contraintes
$s11i = zs11
$s22i = zs22 + m_knn*zde22*ep + m_kns*zde12*ep
$s33i = zs33
$s12i = zs12 + m_ksn*zde22*ep + m_kss*zde12*ep
$sdif = $s11i - $s22i
$s0
= 0.5 * ($s11i + $s22i)
$rad = 0.5 * sqrt ($sdif*$sdif + 4.0 * $s12i*$s12i)
;Contraintes principales
$si
= $s0 - $rad
$sii
= $s0 + $rad
$psdif = $si - $sii
;Détermination du cas
152
if $s33i > $sii then
;s33 est majeure
$ycase = 3
$s1
= $si
$s2
= $sii
$s3
= $s33i
else
;s33 est mineure ou intermediaire
if $s33i < $si then
;s33 est mineure
$ycase = 2
$s1
= $s33i
$s2
= $si
$s3
= $sii
else
;s33 est intermédiaire
$ycase = 1
$s1
= $si
$s2
= $s33i
$s3
= $sii
end_if
end_if
;cosinus directeurs
if $psdif = 0 then
$cs2 = 1
$si2 = 0
else
$cs2 = $sdif/$psdif
$si2 = 2*$s12i/$psdif
end_if
;Retour aux axes globaux
case_of $ycase
;---------------------------------------------------case 1
153
$dc2
$dss
zs11
zs22
zs12
zs33
=
=
=
=
=
=
dsig_n
($s1 - $s3)
$s1 + $s3
0.5 * ($dss
0.5 * ($dss
0.5 * ($s1
$s2
* $cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s3) * $si2
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
dsig_n = 0
end_if
;---------------------------------------------------case 2
$dc2 = ($s2 - $s3) * $cs2
$dss = $s2 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s2 - $s3) * $si2
zs33 = $s1
dsig_n
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
dsig_n = 0
end_if
; ============================
case 3
$dc2 = ($s1 - $s2) *$cs2
$dss = $s1 + $s2
154
zs11
zs22
zs12
zs33
=
=
=
=
dsig_n
0.5 * ($dss + $dc2)
0.5 * ($dss - $dc2)
0.5 * ($s1 - $s2) * $si2
$s3
= dsig_n + zs22
if zsub>0 then
sig_nn = sig_n
sig_n = dsig_n/zsub
dsig_n = 0
end_if
;---------------------------------------------------end_case
end_case
;================================================================
case 3
cm_max = -m_kni
sm_max = 4e10
end_case
end
A.2
Implémentation du modèle analytique CSDSw
def csdsw
constitutive_model 997
f_prop m_ur m_up m_phir m_phi0 m_phib m_i0 m_s0 c0 m_kni m_Vm
f_prop ep dip cmx smx
f_prop m_aS m_Sr t_p t_r m_i
f_prop Sn Snn Stg tau
float $dSn $dSt $dtau
f_prop dSn dSt dtau
f_prop m_u m_v d_u d_v
155
f_prop m_knn m_ksn m_kss m_kns
f_prop _u _ini
f_prop lr
f_prop bulk_r shear_r t0 _ten
f_prop m_nphi m_npsi m_csnp m_e1 m_e2 m_x1 m_sh2
float $sphi $spsi
f_prop d_i1 d_i2 d_i d_as d_Sr
f_prop dtp dtp1 dtp2 dtp3 dtp4 dtp5 B0
f_prop beta1 beta4 beta5 _vv
f_prop aa bb cc dd ee f_f
f_prop d_a d_b d_d d_e alfa beta
float $d_e11 $d_e12 $d_e21 $d_e22 $d_d11 $d_d12 $d_d21 $d_d22 $d_dn $d_dd
float
float
float
float
$ff1 $f11 $f12 $f13 $ff2 $f21 $f22 $f23
$ee1 $ee2
$eei $ffi $fi1 $fi2 $fi3
$m $lim
f_prop cs2th sn2th cs_2th sn_2th
float $du $dv $dt
float
float
float
float
float
float
$icase $knn2 $knn1 $knn11
$kns1 $kns11 $kns21 $kns22 $kns23 $kns3 $kns_n $kns_d
$ksn1 $ksn2
$kss1 $kss2
$test_ur $test_up $test_sig $test_v
$m_err $coef $k2 $k1
float $ycase
float $s11i $s22i $s12i $s33i $sdif $s0 $rad $s1 $s2 $s3
156
float $si $sii $psdif cs2 $si2 $dc2 $dss
f_prop _poro
float $delta_V
float $cmax1 $cmax2
case_of mode
;=============================================================
case 1
$m_err = 0
;---------if m_phi0 > 89.0 then
$m_err = 1
end_if
if m_phib > 89.0 then
$m_err = 2
end_if
if m_phir > 89.0 then
$m_err = 3
end_if
if m_i0 > 89.0 then
$m_err = 4
end_if
;---------if m_s0 < 0.0 then
$m_err = 5
end_if
if c0 > 0.0 then
$m_err = 6
end_if
;---------if m_Vm < 0.0 then
$m_err = 7
end_if
if m_kni < 0.0 then
157
$m_err = 8
end_if
;---------if m_ur < 0.0 then
$m_err = 9
end_if
if m_up < 0.0 then
$m_err = 10
end_if
;---------if ep <= 0.0 then
$m_err = 11
end_if
;---------if $m_err # 0 then
nerr = 126
error = 1
end_if
;---------sn2th = sin( 2*dip*pi/180)
cs2th = cos( 2*dip*pi/180)
sn_2th = sin(-2*dip*pi/180)
cs_2th = cos(-2*dip*pi/180)
;---------Sn = (zs11+zs22)/2 - (zs11-zs22)/2*cs2th - zs12*sn2th
Stg = (zs11+zs22)/2 + (zs11-zs22)/2*cs2th + zs12*sn2th
tau =
- (zs11-zs22)/2*sn2th + zs12*cs2th
;---------m_e1
= bulk_r + 4.0 * shear_r / 3.0
m_e2
= bulk_r - 2.0 * shear_r / 3.0
;---------if _ini=0
;
m_v
= (Sn*m_Vm)/(m_kni*m_Vm-Sn)
m_u
= 0
_ini = 1
158
;
dtp
_u
$icase
$du
$dv
=
=
=
=
=
0
0
1
0
0
;
end_if
;---------;=============================================================
case 2
zvisc = 1.0
;$dv est l’incrément de fermeture du joint
;$du est l’incrément de cisaillement du joint
;$dt est l’incrément d’élongation longitudinale
$dv = ((zde11+zde22)/2-(zde11-zde22)/2*cs2th-zde12/2*sn2th)*ep
$du = (-(zde11-zde22)/2*sn2th + zde12/2*cs2th)*ep*2
$dt = ((zde11+zde22)/2+(zde11-zde22)/2*cs2th+zde12/2*sn2th)*ep
d_u = $du + d_u
d_v = $dv + d_v
if zsub>0 then
m_v = m_v + d_v/zsub
m_u = m_u + d_u/zsub
d_u = 0
d_v = 0
end_if
;.......... Relation u-v ... (pour comparaison) ..............
;Détermination de beta 1, 4 et 5
beta1
= m_ur*(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef) + (Sn*m_Vm)/(m_kni*m_Vm-Sn)
159
beta4 = m_ur*(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)
beta5 = 1.5/m_ur
;Détermination du déplacement recherché
_vv
= (beta1-beta4*exp(-beta5*m_u))
;.............................................................
;Constantes de LADAR et coefficient de passage des degrés
;au radians
$k2
= 4
$k1
= 1.5
$coef = pi/180
section
$test_v = m_v + m_Vm
$test_sig= Sn/c0
;On regarde si on est encore dans le domaine de
; déformation du joint
if $test_v<=0 then
$icase = 2
exit section
;La roche intacte doit assurer la résistance du joint
end_if
if $test_sig>1 then
$icase = 2
exit section
;La roche intacte doit assurer la résistance du joint
end_if
if $test_sig>0 then
if $icase = 1 then
$icase = 1
exit section
160
;On est dans le domaine de résistance en cisaillement
;du joint
end_if
end_if
if $test_sig<0 then
$icase = 3
;Le joint travaille en tension
exit section
end_if
end_section
;On teste la valeur du déplacement de cisaillement
if m_u>0 then
$test_ur = m_ur - m_u
$test_up = m_up - m_u
else
$test_ur = m_ur + m_u
$test_up = m_up + m_u
end_if
if $test_up<=0 then
if $test_ur>=0 then
if _u=0 then
_u = 1
;u compris entre up et ur
end_if
else
if _u=1 then
_u = 2
;u au-delà de ur
end_if
end_if
else
161
if _u=0 then
_u=0
end_if
end_if
;------------------------------------------------------------case_of $icase
;
case 1
======================
;............ tau p et tau r ................................
if Sn=0 then
$test_Sn = 1
m_aS = 0
m_i = m_i0
m_Sr = m_s0
else
$test_Sn = 2
m_aS = 1-(1-abs(Sn/c0))^$k1
m_i = atan(tan(m_i0*$coef)*(1-abs(Sn/c0))^$k2)/$coef
m_Sr = m_s0-Sn*tan(m_phi0*$coef)
end_if
t_r
t_p
= -Sn*tan(m_phir*$coef)
= -Sn*(1-m_aS)*tan((m_i+m_phib)*$coef)+m_aS*m_Sr
;Dérivée des grandeurs précédentes par rapport à sigma n
d_as
d_i1
d_i2
d_i
d_Sr
=
=
=
=
=
1/c0*$k1(1-Sn/c0)^($k1-1)
-$k2/c0*tan(m_i0*$coef)*(1-Sn/c0)^($k2-1)
1+(tan(m_i0*$coef)*(1-Sn/c0)^$k2)^2
d_i1/d_i2/$coef
-tan(m_phi0*$coef)
162
dtp1
dtp2
dtp3
dtp4
dtp5
dtp
=
=
=
=
=
=
-(1-m_aS)*tan((m_i+m_phib)*$coef)
-Sn*(-d_as)*tan((m_i+m_phib)*$coef)
-Sn*(1-m_as)*d_i*$coef/(cos((m_i+m_phib)*$coef))^2
d_as*m_Sr
m_aS*d_Sr
dtp1 + dtp2 + dtp3 + dtp4 + dtp5
;............. coefficients a,b,c,d et e .....................
aa = t_r
cc = 5/m_ur
$ee1 = cc*1.01
$ee2 = 15e3
$f11
$f12
$f13
$ff1
=
=
=
=
t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur))
exp($ee1*m_up)*(t_p-t_r)+t_r
5*exp(-5*m_up/m_ur)
$ee1*m_ur*$f11-$f12*$f13
$f21
$f22
$f23
$ff2
=
=
=
=
t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur))
exp($ee2*m_up)*(t_p-t_r)+t_r
5*exp(-5*m_up/m_ur)
$ee2*m_ur*$f21-$f22*$f23
f_f
= max($ff1,-$ff2)
$eei = ($ee1+$ee2)/2
$ffi = 0
$m
= 0
$lim = ln(1e6*($ee2-$ee1))/ln(2)-1
loop while $m<$lim
$eei = ($ee1+$ee2)/2
163
$fi1
$fi2
$fi3
$ffi
=
=
=
=
t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur))
exp($eei*m_up)*(t_p-t_r)+t_r
5*exp(-5*m_up/m_ur)
$eei*m_ur*$fi1-$fi2*$fi3
if $ffi>0 then
$ee1 = $eei
$ff1 = $ffi
else
$ee2 = $eei
$ff2 = $ffi
end_if
f_f=max($ff1,-$ff2)
$m = $m +1
end_loop
ee
= ($ee1+$ee2)/2
dd
bb
= (t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur)))/(exp(-5*m_up/m_ur)-exp(-ee*m_up))
= dd-aa
;Dérivée des coefficients par rapport à sigma n
d_a
= -tan(m_phir*$coef)
$d_e11=
$d_e12=
$d_e21=
$d_e22=
5*exp(-5*m_up/m_ur)*(exp(ee*m_up)*(dtp-d_a)+d_a)
-ee*m_ur*(dtp-d_a*(1-exp(-5*m_up/m_ur)))
m_ur*(t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur)))
-5*exp(-5*m_up/m_ur)*exp(ee*m_up)*(t_p-t_r)
if Sn#0 then
d_e = ($d_e11+$d_e12)/($d_e21+$d_e22)
end_if
$d_d11= dtp-d_a*(1-exp(-5*m_up/m_ur))
$d_d12= exp(-5*m_up/m_ur)-exp(-ee*m_up)
164
$d_d21=
$d_d22=
$d_dn =
$d_dd =
d_d
=
t_p-t_r*(1-exp(-5*m_up/m_ur))
d_e*m_up*exp(-ee*m_up)
$d_d11*$d_d12-$d_d21*$d_d22
(exp(-5*m_up/m_ur)-exp(-ee*m_up))^2
$d_dn/$d_dd
d_b
= d_d-d_a
alfa
alfa
alfa
= d_a + d_b*exp(-cc*m_u)
= alfa - d_d*exp(-ee*m_u)
= alfa + d_e*dd*m_u*exp(-ee*m_u)
beta
= -bb*cc*exp(-cc*m_u)+dd*ee*exp(-ee*m_u)
;.................... tenseur des raideurs ...................
;Détermination de k_ns=dsigma/du
$kns1 = -1.5*(1-Sn/c0)^$k2*tan(m_i0*$coef)*exp(-1.5*m_u/m_ur)
$kns21 = -$k2*m_ur/c0*(1-Sn/c0)^($k2-1)*tan(m_i0*$coef)
$kns23 = (1-exp(-1.5*m_u/m_ur))
$kns22 = (m_kni*m_Vm^2)/(m_kni*m_Vm-Sn)^2
$kns_n = $kns1
$kns_d = ($kns21*$kns23+$kns22)
m_kns = ($kns_n/$kns_d)
;Détermination de k_nn
$knn1 = -$k2*m_ur/c0*(1-Sn/c0)^($k2-1)*tan(m_i0*$coef)
$knn11 = (1-exp(-1.5*m_u/m_ur))
$knn2 = m_kni*m_Vm^2/(m_kni*m_Vm-Sn)^2
m_knn = 1/($knn1*$knn11+$knn2)
;Détermination de kss
m_kss = beta + alfa*m_kns
165
;Détermination de ksn
m_ksn = alfa*m_knn
;.............. Actualisation des contraintes ................
;On introduit la variation de volume due à l’écrasement et
;au glissement le long des aspérités
_poro = zporos
;On calcule en premier les contraintes dans le repères incliné
;de theta="dip" i.e. Sn et tau
$dSn = m_knn*$dv + m_kns*$du
$dSt = $dv/ep* m_e2 + $dt/ep * m_e1
$dtau = m_ksn*$dv + m_kss*$du
dSn
dSt
dtau
= dSn + $dSn
= dSt + $dSt
= dtau + $dtau
;On transpose dans
$s11i = zs11 +
$s22i = zs22 +
$s33i = zs33
$s12i = zs12 -
le repère global
($dSt+$dSn)/2 + ($dSt-$dSn)/2*cs_2th + $dtau*sn_2th
($dSt+$dSn)/2 - ($dSt-$dSn)/2*cs_2th - $dtau*sn_2th
($dSt-$dSn)/2*sn_2th + $dtau*cs_2th
$sdif = $s11i - $s22i
$s0
= 0.5 * ($s11i + $s22i)
$rad = 0.5 * sqrt ($sdif*$sdif + 4.0 * $s12i*$s12i)
;Contraintes principales
$si
= $s0 - $rad
$sii
= $s0 + $rad
$psdif = $si - $sii
166
;Détermination du cas
if $s33i > $sii then
;s33 est majeure
$ycase = 3
$s1
= $si
$s2
= $sii
$s3
= $s33i
else
;s33 est mineure ou intermediaire
if $s33i < $si then
;s33 est mineure
$ycase = 2
$s1
= $s33i
$s2
= $si
$s3
= $sii
else
;s33 est intermédiaire
$ycase = 1
$s1
= $si
$s2
= $s33i
$s3
= $sii
end_if
end_if
;cosinus directeurs
if $psdif = 0 then
cs2 = 1
$si2 = 0
else
cs2 = $sdif/$psdif
$si2 = 2*$s12i/$psdif
end_if
;Retour aux axes globaux
case_of $ycase
167
case 1
$dc2 = ($s1 - $s3)
$dss = $s1 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss
zs22 = 0.5 * ($dss
zs12 = 0.5 * ($s1
zs33 = $s2
case 2
$dc2 = ($s2 - $s3)
$dss = $s2 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss
zs22 = 0.5 * ($dss
zs12 = 0.5 * ($s2
zs33 = $s1
case 3
$dc2 = ($s1 - $s2)
$dss = $s1 + $s2
zs11 = 0.5 * ($dss
zs22 = 0.5 * ($dss
zs12 = 0.5 * ($s1
zs33 = $s3
end_case
* cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s3) * $si2
* cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s3) * $si2
*cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s2) * $si2
; ------ retranscription dans le repère lié au joint --------if zsub>0 then
Sn = Sn + dSn/zsub
Stg = Stg + dSt/zsub
tau = tau + dtau/zsub
;
dSn = 0
dSt = 0
dtau= 0
end_if
;-------------------------------------------------------------
168
;
==================
case 2
m_aS = 1
m_i = 0
m_Sr = m_s0-c0*tan(m_phi0*$coef)
t_r
t_p
= -c0*tan(m_phir*$coef)
= -m_aS*m_Sr
;-----------------
d_as
d_i
d_Sr
dtp
= 0
= 0
= tan(m_phi0*$coef)
= -m_aS*d_Sr
;Détermination de k_ns=dsigma/du
m_kns = 0
;Détermination de k_nn
m_knn = 0;-m_kni*((m_kni*m_Vm-Sn)/(m_kni*m_Vm))^2
;Détermination de kSn et k_ss
if _u=0 then
m_ksn = m_u/m_up*m_knn*dtp
m_kss = -t_p/m_up
end_if
if _u=1 then ;----------------- u>up et u<ur
169
$ksn1 = dtp*(m_u-m_ur)
$ksn2 = (m_up-m_u)*dtp
m_ksn = m_knn/(m_up-m_ur)*($ksn1+$ksn2)
$kss1 = (t_p-t_r)/(m_up-m_ur)
m_kss = $kss1
end_if
if _u=2 then
m_kss = 0
m_ksn = 0
end_if
;On calcule en premier les contraintes dans le repères incliné
;de theta="dip" i.e. Sn et tau
$dSn = m_knn*$dv + m_kns*$du
$dSt = $dv/ep* m_e2 + $dt/ep * m_e1
$dtau = m_ksn*$dv + m_kss*$du
dSn
dSt
dtau
= dSn + $dSn
= dSt + $dSt
= dtau + $dtau
;On transpose dans
$s11i = zs11 +
$s22i = zs22 +
$s33i = zs33
$s12i = zs12 -
le repère global
($dSt+$dSn)/2 + ($dSt-$dSn)/2*cs_2th + $dtau*sn_2th
($dSt+$dSn)/2 - ($dSt-$dSn)/2*cs_2th - $dtau*sn_2th
($dSt-$dSn)/2*sn_2th + $dtau*cs_2th
$sdif = $s11i - $s22i
$s0
= 0.5 * ($s11i + $s22i)
$rad = 0.5 * sqrt ($sdif*$sdif + 4.0 * $s12i*$s12i)
;Contraintes principales
$si
= $s0 - $rad
$sii
= $s0 + $rad
170
$psdif =
$si - $sii
;Détermination du cas
if $s33i > $sii then
;s33 est majeure
$ycase = 3
$s1
= $si
$s2
= $sii
$s3
= $s33i
else
;s33 est mineure ou intermediaire
if $s33i < $si then
;s33 est mineure
$ycase = 2
$s1
= $s33i
$s2
= $si
$s3
= $sii
else
;s33 est intermédiaire
$ycase = 1
$s1
= $si
$s2
= $s33i
$s3
= $sii
end_if
end_if
;cosinus directeurs
if $psdif = 0 then
cs2 = 1
$si2 = 0
else
cs2 = $sdif/$psdif
$si2 = 2*$s12i/$psdif
end_if
171
;Retour aux axes globaux
case_of $ycase
case 1
$dc2 = ($s1 - $s3) * cs2
$dss = $s1 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s1 - $s3) * $si2
zs33 = $s2
case 2
$dc2 = ($s2 - $s3)
$dss = $s2 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss
zs22 = 0.5 * ($dss
zs12 = 0.5 * ($s2
zs33 = $s1
case 3
$dc2 = ($s1 - $s2)
$dss = $s1 + $s2
zs11 = 0.5 * ($dss
zs22 = 0.5 * ($dss
zs12 = 0.5 * ($s1
zs33 = $s3
* cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s3) * $si2
*cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s2) * $si2
end_case
;
case 3
_ten
=============================
= 1
172
$sphi
$spsi
m_nphi
m_npsi
m_csnp
m_x1
m_sh2
=
=
=
=
=
=
=
sin (phi0 * $coef)
sin (0)
(1.0 + $sphi) / (1.0 - $sphi)
(1.0 + $spsi) / (1.0 - $spsi)
2.0 * S0 * sqrt(m_nphi)
m_e1 - m_e2*m_npsi + (m_e1*m_npsi - m_e2)*m_nphi
2.0 * shear_r
; --- get new trial stresses from old,
$s11i = zs11 + (zde22 + zde33) *
$s22i = zs22 + (zde11 + zde33) *
$s33i = zs33 + (zde11 + zde22) *
$s12i = zs12 + zde12 * m_sh2
$sdif = $s11i - $s22i
$s0
= 0.5 * ($s11i + $s22i)
$rad = 0.5 * sqrt ($sdif*$sdif
; --- principal stresses --$si
= $s0 - $rad
$sii
= $s0 + $rad
$psdif = $si - $sii
; --- determine case --section
if $s33i > $sii then
; --- s33 is major p.s. --$ycase = 3
$s1
= $si
$s2
= $sii
$s3
= $s33i
exit section
end_if
if $s33i < $si then
; --- s33 is minor p.s. --$ycase = 2
$s1
= $s33i
$s2
= $si
$s3
= $sii
assuming elastic increments --m_e2 + zde11 * m_e1
m_e2 + zde22 * m_e1
m_e2 + zde33 * m_e1
+ 4.0 * $s12i*$s12i)
173
exit section
end_if
; --- s33 is intermediate --$ycase = 1
$s1
= $si
$s2
= $s33i
$s3
= $sii
end_section
; ---
; ---
; ---
; ---
; ---
section
shear yield criterion --$fs
= $s1 - $s3 * $anphi + m_csnp
$alams = 0.0
tensile yield criterion --$ft
= t0 - $s3
$alamt = 0.0
tests for failure --if $ft < 0.0 then
$bisc = sqrt(1.0 + $anphi * $anphi) + $anphi
$pdiv = -$ft + ($s1 - $anphi * m_ten + m_csnp) * $bisc
if $pdiv < 0.0 then
shear failure --$alams = $fs / m_x1
$s1
= $s1 - $alams * (m_e1 - m_e2 * m_npsi)
$s2
= $s2 - $alams * m_e2 * (1.0 - m_npsi)
$s3
= $s3 - $alams * (m_e2 - m_e1 * m_npsi)
else
tension failure --$alamt = $ft / m_e1
$tco
= $alamt * m_e2
$s1
= $s1 + $tco
$s2
= $s2 + $tco
$s3
= t0
t0
= 0.0
end_if
174
; ---
; ---
else
if $fs < 0.0 then
shear failure --$alams = $fs /
$s1
= $s1 $s2
= $s2 $s3
= $s3 else
no failure --zs11 = $s11i
zs22 = $s22i
zs33 = $s33i
zs12 = $s12i
exit section
end_if
end_if
m_x1
$alams * (m_e1 - m_e2 * m_npsi)
$alams * m_e2 * (1.0 - m_npsi)
$alams * (m_e2 - m_e1 * m_npsi)
; --- direction cosines --if $psdif = 0.0 then
cs2
= 1.0
$si2
= 0.0
else
cs2
= $sdif
/ $psdif
$si2
= 2.0 * $s12i / $psdif
end_if
; --- resolve back to global axes --case_of $ycase
case 1
$dc2 = ($s1 - $s3) * cs2
$dss = $s1 + $s3
zs11 = 0.5 * ($dss + $dc2)
zs22 = 0.5 * ($dss - $dc2)
zs12 = 0.5 * ($s1 - $s3) * $si2
zs33 = $s2
case 2
$dc2 = ($s2 - $s3) * cs2
175
$dss
zs11
zs22
zs12
zs33
case 3
$dc2
$dss
zs11
zs22
zs12
zs33
end_case
end_section
;
=
=
=
=
=
$s2 + $s3
0.5 * ($dss + $dc2)
0.5 * ($dss - $dc2)
0.5 * ($s2 - $s3) * $si2
$s1
=
=
=
=
=
=
($s1 - $s2)
$s1 + $s2
0.5 * ($dss
0.5 * ($dss
0.5 * ($s1
$s3
*cs2
+ $dc2)
- $dc2)
- $s2) * $si2
=============================
end_case
; -------------- retranscription dans le repère lié au joint ---------------if zsub>0 then
Sn = Sn + dSn/zsub
St = St + dSt/zsub
tau = tau + dtau/zsub
;
dSn = 0
dSt = 0
dtau= 0
end_if
if zsub>0 then
$dtau = 0
$dSn = 0
$dSt = 0
;
176
$du = 0
$dv = 0
end_if
zvisc = 0.0
;=============================================================
case 3
$cmax1 = bulk_r + 4/3*shear_r
cm_max = cmx*($cmax1)
sm_max = smx*shear_r
end_case
end
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