[U4.32.04] Opérateur CALC_FONCTION

[U4.32.04] Opérateur CALC_FONCTION
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default
Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 1/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
Opérateur CALC_FONCTION
1
But
Effectuer des opérations mathématiques sur des structures de données de type fonction.
Les opérations suivantes sont actuellement disponibles :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
la dérivation d'une fonction,
l'intégration d'une fonction,
l’inverse d’une fonction,
la valeur absolue d’une fonction,
la recherche de l’enveloppe de plusieurs fonctions,
le calcul du fractile de nappes ou de fonctions,
la combinaison linéaire réelle ou complexe de plusieurs fonctions,
la composition de deux fonctions,
le produit de fonctions,
la concaténation (mise bout à bout avec gestion des chevauchements) de plusieurs
fonctions,
l’extraction d’une fonction réelle à partir d’une fonction complexe,
le calcul de la puissance n ième d’une fonction,
la régression polynomiale d'une fonction,
le calcul de FFT directe ou inverse d’une fonction,
la correction d’un accélérogramme mesuré en vue du calcul d’une réponse
sismique,
le lissage enveloppe d’un ou plusieurs spectres bruts d’oscillateur,
le calcul du spectre d'oscillateur d'un accélérogramme (fonction de la fréquence et
de l’amortissement) sous forme d'une nappe,
le calcul d'une fonction de densité spectrale équivalente à la donnée d'un spectre
d'oscillateur à l'aide de la formule de Vanmarcke.
Produit une structure de données fonction, fonction_c ou nappe, selon le mot clé facteur utilisé.
En sortie de la commande, la fonction est réordonnée par abscisses croissantes.
Manuel d'utilisation
Fascicule u4.32 : Tables et fonctions
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 2/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
Table des matières
1 But...................................................................................................................................................... 1
2 Syntaxe.............................................................................................................................................. 4
3 Opérandes.......................................................................................................................................... 7
3.1 Mot clé DERIVE........................................................................................................................... 7
3.2 Mot clé INTEGRE ....................................................................................................................... 7
3.3 Mot clé INVERSE........................................................................................................................ 8
3.4 Mot clé ABS................................................................................................................................. 8
3.5 Mot clé ENVELOPPE.................................................................................................................. 8
3.5.1 Opérande FONCTION........................................................................................................ 8
3.5.2 Opérande CRITERE........................................................................................................... 8
3.6 Mot clé FRACTILE....................................................................................................................... 9
3.6.1 Opérande FONCTION........................................................................................................ 9
3.6.2 Opérande FRACT............................................................................................................... 9
3.7 Mot clé COMB et opérande LIST_PARA..................................................................................... 9
3.8 Mot clé COMB_C et opérande LIST_PARA.............................................................................. 10
3.9 Mot clé MULT et opérande LIST_PARA.................................................................................... 10
3.10 Mot clé COMPOSE.................................................................................................................. 10
3.11 Mot clé ASSE........................................................................................................................... 10
3.11.1 Opérande FONCTION.................................................................................................... 10
3.11.2 Opérande SURCHARGE................................................................................................ 11
3.11.3 Vérifications.................................................................................................................... 11
3.12 Mot clé EXTRACTION............................................................................................................. 11
3.12.1 Opérande FONCTION.................................................................................................... 11
3.12.2 Opérande PARTIE.......................................................................................................... 11
3.13 Mot clé PUISSANCE............................................................................................................... 11
3.14 Mot-clé REGR_POLYNOMIALE.............................................................................................. 11
3.15 Mot clé FFT............................................................................................................................. 12
3.16 Mot clé CORR_ACCE.............................................................................................................. 13
3.16.1 Opérande FONCTION.................................................................................................... 13
3.16.2 Opérande CORR_DEPL................................................................................................. 13
3.17 Mot clé LISS_ENVELOP......................................................................................................... 13
3.18 Mot clé SPEC_OSCI................................................................................................................ 14
3.18.1 Opérande FONCTION.................................................................................................... 15
3.18.2 Opérande METHODE..................................................................................................... 15
3.18.3 Opérande AMOR_REDUIT............................................................................................. 15
3.18.4 Opérandes FREQ / LIST_FREQ.................................................................................... 15
3.18.5 Opérandes NATURE / NATURE_FONC........................................................................ 15
3.18.6 Opérande NORME......................................................................................................... 15
3.19 Mot clé DSP............................................................................................................................. 16
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Fascicule u4.32 : Tables et fonctions
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 3/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
3.19.1 Opérande FONCTION.................................................................................................... 16
3.19.2 Opérandes AMOR_REDUIT, FREQ, LIST_FREQ........................................................ 16
3.19.3 Opérandes FREQ_COUP .............................................................................................. 16
3.19.4 Opérande DUREE.......................................................................................................... 16
3.19.5 Opérande NORME......................................................................................................... 16
3.20 Attributs du concept fonction en sortie..................................................................................... 16
3.20.1 Valeurs par défaut.......................................................................................................... 16
3.20.2 Surcharge des attributs................................................................................................... 17
3.20.2.1 Opérande NOM_PARA...................................................................................... 17
3.20.2.2 Opérande NOM_RESU...................................................................................... 18
3.20.2.3 Opérande INTERPOL......................................................................................... 18
3.20.2.4 Opérandes PROL_DROITE / PROL_GAUCHE................................................. 18
3.20.2.5 Opérandes NOM_PARA_FONC / INTERPOL_FONC / PROL_DROITE_FONC /
PROL_GAUCHE_FONC...................................................................................... 18
3.21 Opérande INFO....................................................................................................................... 18
4 Exemples.......................................................................................................................................... 19
4.1 Calcul d'une enveloppe.............................................................................................................. 19
4.2 Calcul de la dérivée de la fonction si......................................................................................... 19
4.3 Concaténation de deux fonctions............................................................................................... 19
4.4 Composition de deux fonctions.................................................................................................. 20
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Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
2
Date : 29/08/2012 Page : 4/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
Syntaxe
fr
= CALC_FONCTION
(
♦
/
DERIVE
=
_F( ♦
◊
),
FONCTION
METHODE
=
=
f,
[fonction]
'DIFF_CENTREE', [DEFAUT]
/
INTEGRE
=
_F( ♦
◊
FONCTION
METHODE
=
=
f,
/
/
/
/
◊
COEF
=
'TRAPEZE',
'SIMPSON',
0.,
r,
[fonction]
[DEFAUT]
[DEFAUT]
[R]
),
/
INVERSE
=
_F( ♦
),
FONCTION
=
f,
[fonction]
/
ABS
=
_F( ♦
),
FONCTION
=
f,
[fonction]
/
ENVELOPPE =
_F( ♦
◊
FONCTION
CRITERE
=
=
f,
/ 'SUP',
/ 'INF',
[l_fonction]
[DEFAUT]
FONCTION
FRACT
=
=
f,
/ 1.,
/ fract
[l_fonction]
[DEFAUT]
[R]
=
=
f,
r,
[fonction]
[R]
),
/
FRACTILE
=
_F( ♦
◊
),
/
COMB
=
_F( ♦
♦
),
FONCTION
COEF
/
COMB_C
=
_F( ♦
♦
FONCTION = f_c,
/ COEF_R = r ,
/ COEF_C = c ,
[fonction_c]
[R]
[C]
),
/
MULT
=
_F( ♦ FONCTION
),
/
REGR_POLYNOMIALE =
_F( ♦
♦
=
f,
[fonction]
FONCTION
DEGRE =
= f,
n,
),
# si COMB ou COMB_C ou REGR_POLYNOMIALE
◊ LIST_PARA = lpara,
[fonction]
[I]
[listr8]
/
COMPOSE
=
_F( ♦
♦
),
FONC_RESU =
FONC_PARA =
f_resu ,
f_para ,
[fonction]
[fonction]
/
ASSE
=
_F( ♦
◊
FONCTION =
SURCHARGE =
l_f,
/ 'DROITE',
/ 'GAUCHE',
[l_fonction]
[DEFAUT]
FONCTION
f_c,
[fonction_c]
),
/
Manuel d'utilisation
EXTRACTION=
_F( ♦
=
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Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 5/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
♦
PARTIE
=
/
/
/
/
'REEL',
'IMAG',
'MODULE',
'PHASE',
FONCTION
EXPOSANT
=
=
f,
/ n,
/ 1,
FONCTION
METHODE
=
=
f,
/
/
/
/
/
),
/
PUISSANCE =
_F( ♦
◊
[fonction]
[I]
[DEFAUT]
),
/
FFT
=
_F( ♦
◊
◊
SYME
=
[fonction]
'PROL_ZERO', [DEFAUT]
'TRONCATURE',
'COMPLET',
'OUI',
[DEFAUT]
'NON',
),
/
CORR_ACCE = _F( ♦
◊
FONCTION =
CORR_DEPL =
f,
/ 'NON',
/ 'OUI',
[fonction]
[DEFAUT]
n,
/
/
/
/
/
/
/
/
[nappe]
[R]
[DEFAUT]
[R]
[DEFAUT]
[R]
[DEFAUT]
[R]
[DEFAUT]
),
/
LISS_ENVELOP = _F(
♦
NAPPE
◊ FREQ_MIN
=
=
◊
FREQ_MAX
=
◊
ELARG
=
◊
TOLE_LISS =
fmin,
0.2
fmax,
35.5
elar,
0.1,
toleliss,
0.25,
),
/
DSP = _F(
♦
♦
FONCTION
AMOR_REDUIT
◊ / FREQ
/ LIST_FREQ
♦ FREQ_COUP
♦ DUREE
♦ NORME
◊ FRACT
/
SPEC_OSCI =
_F( ♦
=
=
=
=
=
=
=
=
sro ,
lam,
lfreq,
list_freq,
frc
tsm
r,
/ 0.5,
/ fract
[fonction]
[l_R]
[l_R]
[listr8]
[R]
[R]
[R]
[DEFAUT]
[R]
FONCTION
=
◊ METHODE
◊ AMOR_REDUIT
◊ / FREQ
/ LIST_FREQ
◊ NATURE
f,
=
=
=
=
=
[fonction]
[DEFAUT]
[l_R]
[l_R]
[listr8]
[DEFAUT]
◊
♦
=
=
NATURE_FONC
NORME
'NIGAM',
lam,
lfre,
lfreq,
/ 'ACCE',
/ 'VITE',
/ 'DEPL',
'ACCE',
r,
[DEFAUT]
[R]
),
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Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
◊
Date : 29/08/2012 Page : 6/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
◊
NOM_PARA
NOM_RESU
PROL_DROITE
=
=
=
◊
PROL_GAUCHE
=
◊
INTERPOL
=
◊
INTERPOL_FONC
=
◊
◊
NOM_PARA_FONC
=
PROL_DROITE_FONC =
◊
PROL_GAUCHE_FONC =
◊
INFO
◊
=
/
/
para,
resu,
/ 'CONSTANT',
/ 'LINEAIRE',
/ 'EXCLU',
/ 'CONSTANT',
/ 'LINEAIRE',
/ 'EXCLU'
I
'LIN',
I
'LOG',
I
'NON',
I
'LIN',
I
'LOG',
I
'NON',
parf,
/ 'CONSTANT',
/ 'LINEAIRE',
/ 'EXCLU',
/ 'CONSTANT',
/ 'LINEAIRE',
/ 'EXCLU',
[Kn]
[K n ]
[l_Kn]
[l_Kn]
[Kn]
1,
2,
[DEFAUT]
)
Si mot-clé facteur COMB_C
alors
fr = [FONCTION_C],
si mot-clé facteur SPEC_OSCI
alors
fr = [NAPPE],
si mot-clé facteur ENVELOPPE, FRACTILE, PUISSANCE alors fr est du même type que la ou les
fonctions en entrée,
pour tous les autres mot-clé facteur,
fr = [FONCTION].
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
3
Opérandes
3.1
Mot clé DERIVE
/
Date : 29/08/2012 Page : 7/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
DERIVE =
On dérive la fonction
♦
f t .
FONCTION = f
Nom de la fonction que l'on désire dériver.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
◊
METHODE =
Nom de la METHODE que l'on désire utiliser : la seule méthode disponible est actuellement
DIFF_CENTREE (par défaut).
Remarques :
Voir mot clé INTEGRE .
3.2
Mot clé INTEGRE
/
INTEGRE =
On intègre la fonction
◊
COEF =
f t .
r
Constante d'intégration, par défaut 0.
♦
FONCTION = f
Nom de la fonction que l'on désire intégrer.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
◊
METHODE =
Nom de la METHODE que l'on désire utiliser.
Deux méthodes sont disponibles : la méthode des 'TRAPEZE' (par défaut) et la méthode de
'SIMPSON'.
L'intégrale est exacte pour les fonctions linéaires par morceaux telle que fournies en entrée.
2
L'erreur commise par rapport à l'intégrale de la fonction que l'on a discrétisé est en o 1/n 
pour des fonctions de classes
C2 .
La méthode de Simpson est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3.
4
L'erreur est en o 1/ n  pour des fonctions de classes C 4 .
Pour les fonctions quelconques, très chahutées, comme les accélérogrammes, il est conseillé
d'utiliser la méthode des trapèzes.
En revanche, quand la fonction f t  (avant discrétisation) est suffisamment régulière, la
méthode de Simpson est bien plus précise.
Remarques :
1)
Manuel d'utilisation
Pour INTEGRE comme pour DERIVE, le NOM_PARA de la fonction produite est inchangé.
En revanche, le NOM_RESU peut être modifié dans les cas suivants : pour la dérivation,
DEPL devient VITE, VITE devient ACCE ; pour l'intégration, ACCE devient VITE, VITE
devient DEPL. L’utilisateur a toujours la possibilité de le modifier par le mot clé du même
nom dans CALC_FONCTION.
Fascicule u4.32 : Tables et fonctions
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
2)
3.3
Date : 29/08/2012 Page : 8/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
Concernant les prolongements, la fonction produite a, par défaut des prolongements
EXCLU à gauche et à droite quelques soient ceux de la fonction de départ. Ne pas
s’attendre donc à ce qu’un prolongement linéaire devienne constant dans la fonction
dérivée… Là encore, l’utilisateur est maître de ses prolongements pour la fonction
produite par les mots clés PROL_DROITE et PROL_GAUCHE.
Mot clé INVERSE
/
INVERSE =
On inverse la fonction
♦
f t .
FONCTION = f
Nom de la fonction que l'on désire inverser, il est nécessaire que celle-ci soit bijective
(strictement croissante ou strictement décroissante).
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
Remarque :
1)
2)
3)
3.4
Les labels des paramètres ne sont pas inversés ! Le soin est laissé à l’utilisateur
d’affecter les valeurs correctes par les mots clés NOM_PARA et NOM_RESU. Par défaut, le
NOM_PARA est inchangé et NOM_RESU est affecté à ‘TOUTRESU’ .
Les modes d’interpolations sont intervertis : par ex. ( ‘LIN’ , ’LOG’ ) devient ( ‘LOG’ ,
’LIN’ ).
Les prolongements EXCLU et LINEAIRE sont inchangés. En revanche, un prolongement
CONSTANT est changé en EXCLU.
Mot clé ABS
/
ABS =
Fournit la valeur absolue d’une fonction ou d’une nappe.
♦
FONCTION = f
Nom de la fonction dont on désire la valeur absolue.
Remarque :
1)
2)
3.5
Les paramètres (prolongements, interpolations, NOM_PARA et NOM_RESU) de la fonction
produite sont les mêmes que ceux de la fonction de départ.
Sauf pour le prolongement LINEAIRE : systématiquement changé en EXCLU par
précaution. En effet, le prolongement linéaire à droite d’une fonction décroissante
conduit pour des abscisses suffisamment grandes à des valeurs négatives :
responsabilité
est
donc
laissée
à
l’utilisateur
d’affecter
lui-même
PROL_DROITE=’LINEAIRE’ (et respectivement à gauche).
Mot clé ENVELOPPE
/
ENVELOPPE =
Calcul de l’enveloppe de plusieurs fonctions.
Cette opération est disponible sur des opérandes de nature fonction ou nappe.
3.5.1
Opérande FONCTION
♦
FONCTION = f
Liste des fonctions ou nappes dont on cherche l’enveloppe.
3.5.2
Opérande CRITERE
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
◊
CRITERE
/
Date : 29/08/2012 Page : 9/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
=
'SUP'
On cherche l’enveloppe supérieure.
/
'INF'
On cherche l’enveloppe inférieure.
Remarques pour la recherche de l’enveloppe :
•
•
•
3.6
les fonctions doivent être toutes de même nature ( fonction ou nappe ),
Cas des fonctions simples : pour les prolongements, interpolations, NOM_PARA et
NOM_RESU, ce sont les paramètres de la première des fonctions dans la liste qui sont
retenus. Le support d’abscisses de la fonction enveloppe sera la réunion des listes
d’abscisses de toutes les fonctions.
Cas des nappes : les paramètres (prolongements, interpolations, NOM_PARA,
NOM_RESU, NOM_PARA_FONC) doivent impérativement être identiques entre les nappes
fournies. Les supports d’abscisses (valeurs des paramètres et abscisses des fonctions
des nappes) sont homogénéisés pour pouvoir calculer l’enveloppe. La nappe produite
aura cette discrétisation pour abscisses.
Mot clé FRACTILE
/
FRACTILE =
Calcul du fractile de plusieurs fonctions.
Cette opération est disponible sur des opérandes de nature fonction ou nappe.
3.6.1
Opérande FONCTION
♦
FONCTION = f
Liste des fonctions ou nappes dont on cherche à calculer le fractile.
3.6.2
Opérande FRACT
♦
FRACT = fract
Valeur du quantile à calculer. Par défaut fract = 1, le fractile est alors l’enveloppe supérieure.
3.7
Mot clé COMB et opérande LIST_PARA
/
COMB
=
Combinaison linéaire réelle de plusieurs concepts de nature fonction ou nappe.
♦
FONCTION = f
Nom de la fonction à combiner.
♦
COEF = r
Valeur du coefficient.
◊
LIST_PARA = lpara
Liste des valeurs des paramètres pour laquelle la combinaison des fonctions sera discrétisée. Si
ce mot clé n’est pas renseigné, une liste par défaut est construite en prenant l’union des listes des
valeurs des paramètres de chaque fonction.
Attention :
Ce n’est pas un mot clé du mot clé facteur COMB .
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Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 10/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
Remarques pour la combinaison :
Voir les remarques pour le mot clé ENVELOPPE
3.8
Mot clé COMB_C et opérande LIST_PARA
/
COMB_C =
Combinaison linéaire complexe de plusieurs concepts de nature fonction_c.
♦
FONCTION =
f_c
Nom de la fonction à combiner. Elle peut être à valeurs complexes ou réelles.
/ COEF_R = r,
/ COEF_C = c,
Valeur du coefficient multiplicateur, soit sous forme réelle r, soit sous forme complexe c.
◊
LIST_PARA = lpara
Liste des valeurs des paramètres pour laquelle la combinaison de fonctions sera discrétisée. Si ce
mot clé n’est pas renseigné, une liste par défaut est construite en prenant l’union des listes des
valeurs des paramètres de chaque fonction.
Remarques pour la combinaison :
Voir les remarques pour le mot clé ENVELOPPE
3.9
Mot clé MULT et opérande LIST_PARA
/
MULT
Produit de concepts de même nature fonction, fonction_c ou nappe.
♦
FONCTION =
f
Nom de la fonction à multiplier avec les autres.
LIST_PARA permet de discrétiser la fonction résultat comme pour COMB.
3.10 Mot clé COMPOSE
Mot clé facteur permettant de calculer la composée de deux fonctions F (G( t)) .
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
/
COMPOSE =
♦
FONC_RESU = f_resu
Fonction f_resu(x)
♦
FONC_PARA = f_para
Fonction f_para(t)
On vérifie que le NOM_PARA de f_resu correspond au NOM_RESU de f_para.
3.11 Mot clé ASSE
/
ASSE =
Mot clé facteur permettant de créer une fonction réelle en concaténant deux fonctions réelles
tabulées.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
3.11.1 Opérande FONCTION
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Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
♦
Date : 29/08/2012 Page : 11/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
FONCTION = l_f
Fonctions à concaténer. On attend exactement deux fonctions.
3.11.2 Opérande SURCHARGE
◊
SURCHARGE =
/
/
'DROITE',
'GAUCHE',
Les points de discrétisation de la fonction créée sont ceux de l’ensemble des deux fonctions,
modulo les effets de surcharge.
Si les domaines de définition des fonctions se chevauchent, l’une des fonctions impose ses
points sur la zone de recouvrement et pour les prolongements :
SURCHARGE = / 'DROITE' : c’est la fonction qui a le plus grand xmax qui est choisie,
SURCHARGE = / 'GAUCHE' : c’est la fonction qui a le plus petit xmin qui est choisie.
3.11.3 Vérifications
On vérifie que toutes les fonctions ont le même NOM_PARA, ainsi que les mêmes interpolations.
3.12 Mot clé EXTRACTION
/
EXTRACTION =
Mot clé facteur permettant de construire à partir d’une fonction complexe (type fonct_c),
une fonction réelle représentant soit la partie réelle, soit la partie imaginaire, soit le module,
soit la phase de la fonction complexe.
3.12.1 Opérande FONCTION
♦
FONCTION = f_c
Fonction complexe.
3.12.2 Opérande PARTIE
♦
PARTIE =
/
/
/
/
'REEL'
'IMAG'
'MODULE'
'PHASE'
:
:
:
:
extraction
extraction
extraction
extraction
de la partie réelle de f_c,
de la partie imaginaire de f_c,
du module de f_c,
de la phase (en degré) de f_c.
3.13 Mot clé PUISSANCE
Ce mot clé permet de construire la puissance nième d’une fonction ou d’un ensemble de fonctions
fourni sous forme d’une nappe.
♦
FONCTION = f
Nom de la fonction f concernée (type fonction ou nappe).
♦
EXPOSANT = n
La fonction résultat calculée sera
x  f  xn . Par défaut, n=1 .
3.14 Mot-clé REGR_POLYNOMIALE
Ce mot clé calcule la régression polynomiale d'une fonction par la méthode des moindres carrés (en
utilisant la fonction polyfit de numpy).
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♦
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FONCTION = f
Nom de la fonction f concernée (type fonction).
♦
DEGRE = n
Degré du polynôme recherché.
On peut utiliser le mot-clé LIST_PARA pour tabuler le polynôme calculé. Sinon, il est tabulé sur la
liste des abscisses de la fonction f.
3.15 Mot clé FFT
/
FFT =
On calcule la transformée de Fourier directe ou inverse d’une fonction (dont par l’algorithme
FFT).
♦
FONCTION = f
Nom de la fonction sur laquelle s’effectue l’opération.
Si le NOM_PARA de la fonction est INST, alors la FFT directe est calculée.
Si le NOM_PARA de la fonction est FREQ, alors la FFT inverse est calculée.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
♦
METHODE =
L’algorithme FFT est plus rapide pour les échantillons dont la longueur est une puissance de 2.
La méthode 'PROL_ZERO' (par défaut) propose de prolonger le signal d’entrée avec des zéros
jusqu’à avoir un nombre total d’échantillon qui est la première puissance de 2 dont la valeur est
supérieure au nombre d’échantillons initial.
La méthode 'TRONCATURE' ne va considérer que les premiers échantillons dont le nombre total
est la plus grande puissance de deux dont la valeur est inférieure au nombre initial d’échantillon.
Par exemple, sur un signal de 601 valeurs, la méthode 'PROL_ZERO' va compléter le signal
pour avoir 1024 échantillons, alors que la méthode 'TRONCATURE' ne va considérer que les
512 premiers instants.
Si le signal d’entrée a un nombre d’échantillon qui est une puissance de deux, les deux méthodes
sont bien évidemment équivalentes : on prend en compte le signal sans le modifier.
La méthode 'COMPLET' permet de prendre en compte la totalité du signal d’entrée, quelque soit
le nombre d’échantillons.
Nota bene : dans le cas d’un échantillon de longueur N , dont le pas de temps serait dt , la
fréquence d'échantillonnage de la FFT est 1/ N.dt  . En revanche, la dernière fréquence pour
laquelle la transformée discrète est calculée n’est pas 1/ dt , mais  N −1/ N.dt  .
♦
SYME =
Mot clé qui ne s’applique que pour la transformée de Fourier inverse.
Dans le cas où on fournirait le spectre complet, alors la transformée inverse est calculée
directement en utilisant SYME = 'OUI'. Les méthodes 'TRONCATURE' et 'PROL_ZERO' ne sont
alors pas actives.
Si le spectre (complexe) fourni en entrée de la FFT inverse ne contient pas la partie repliée
(associées aux fréquences négatives du spectre), on peut néanmoins estimer un signal temporel
ayant le même contenu spectral sur la partie associée aux fréquences positives. Si on note X k
le k ième échantillon de la transformée de Fourier d’un échantillon de longueur N , alors on a
X k = X * N −k  , où * correspond au complexe conjugué. Cette information peut être exploitée
pour reconstruire un signal temporel en ne connaissant que la moitié du spectre. Cette opération
est réalisée lorsqu’on choisit SYME = 'NON'. Le signal temporel est alors reconstruit pour obtenir
un échantillon temporel de longueur paire. En théorie, pour reconstruire un signal temporel de
longueur 2×M , le spectre doit vérifier certaines conditions :
1. Le spectre doit être de longueur M 1 ,
2. Le premier point du spectre doit être réel,
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3. Le dernier point du spectre doit être réel.
Si ces conditions ne sont pas vérifiées, alors on construit un spectre approché de longueur
impaire vérifiant ces conditions. Si le spectre initial est de longueur paire, le dernier point est alors
reconstruit en effectuant un prolongement par interpolation du spectre initial. Cette reconstruction
peut introduire un léger biais lorsque le contenu spectral de l’échantillon est très significatif sur les
derniers points du spectre.
Les méthodes 'TRONCATURE' et 'PROL_ZERO' sont encore disponibles pour la FFT inverse.
Attention, cependant, avec l’utilisation de la méthode 'TRONCATURE'. Si le nombre de point
tronqué est significatif, alors les résultats peuvent être très sensiblement différents.
3.16 Mot clé CORR_ACCE
/
CORR_ACCE =
Mot clé facteur permettant de corriger un accélérogramme mesuré en vue du calcul de la
réponse sismique d’un système.
On supprime la dérive du signal, calculée par lissage linéaire au sens des moindres carrés
sur la totalité du signal, afin de rendre l’accélérogramme plus réaliste. La dérive de la vitesse
relative correspondante est également supprimée.
On retourne en sortie l’accélérogramme corrigé.
3.16.1 Opérande FONCTION
♦
FONCTION = f
Accélérogramme réel mesuré.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
3.16.2 Opérande CORR_DEPL
◊
CORR_DEPL =
/
'NON'
On ne corrige pas la dérive du déplacement relatif, c’est la valeur par défaut.
/
'OUI'
On supprime aussi la dérive du déplacement relatif. Cette option est à utiliser avec
précaution, car on ne connaît pas a priori la valeur du déplacement final après le séisme.
3.17 Mot clé LISS_ENVELOP
Les données d’origine sont constituées d’une nappe de spectres SRO brut définis sur un grand
nombre de points pour un niveau de plancher donné.
La première étape consiste, pour chaque spectre, à l’élargissement en fréquence (décalage à gauche
et à droite) suivi d’une diminution du nombre de point de définition. Ces opérations effectuées, on
s’assure du caractère enveloppe du spectre lissé par rapport au spectre initial. A ce stade, chaque
spectre possède sa propre base de fréquence.
La seconde étape consiste à homogénéiser la base de fréquence de l’ensemble des spectres de la
nappe en s’assurant du non recouvrement des spectres entre eux.
♦
NAPPE = n
Nom de la nappe d’entrée formée des spectres bruts associés à chaque niveau d’amortissement.
◊
FREQ_MIN et FREQ_MAX
Plage de définition en fréquence du spectre lissé.
Les fréquences mentionnées sous FREQ_MIN et FREQ_MAX doivent être choisies parmi les
fréquences de discrétisation du spectre brut.
Par défaut, on considère le spectre complet.
◊
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L’élargissement porte sur l’ensemble du spectre,
Il est donné en pourcentage et vaut 0.1 (10%) par défaut.
Pour chaque fréquence Fi du spectre brut, on définit deux nouvelles valeurs de fréquences
telles que :
•
F ­=F i 1− g  avec 0 g1 ;
•
F + =Fi  1 d  avec 0 d 1 .
 g et  d représentent l’amplitude de l’élargissement en fréquence.
Les valeurs des fréquences excentrées F ­ et F + ne correspondent pas aux valeurs Fi de
la liste de définition du spectre brut. On définit ainsi F j et F k telles que :
F j : valeur appartenant à la liste, immédiatement inférieure ou égale à F ­ ,
•
F k : valeur appartenant à la liste, immédiatement inférieure ou égale à F + .
•
Les paramètres
Fi , deux points de coordonnées F j , i et F k , i  sont
définies où i représente l’accélération à la fréquence F i . Deux nouveaux spectres
Pour chaque fréquence
résultants du décalage du spectre brut sur l’axe des fréquences sont donc construits.
◊
TOLE_LISS
Critère en pourcentage portant sur l’élimination des points lors de lissage. Cette tolérance est
fixée à 0.25 fois la valeur par défaut.
Le lissage est réalisé sur l’enveloppe des spectres brut, décalés à droite et à gauche.
Un exemple d’application est proposé dans le cas test ZZZZ100E.
3.18 Mot clé SPEC_OSCI
/
SPEC_OSCI =
Calcule le spectre d'oscillateur d'un accélérogramme, fonction de nature fonction [R4.05.03].
Le spectre d’oscillateur n’est calculable que sur les fonctions de NOM_RESU = 'ACCE' et de
NOM_PARA = 'INST'.
Pour tout
i
i
i et tout j on considère q j la solution de l'équation différentielle :
i
2
i
q̈ j 2 j  i q̇ j i q j = f t 
avec
i
i
q j  0= q̇ j 0= f 0  et i =2 i
fr est une nappe (fonction à deux variables) constituée des fonctions
 fr i ,... , fr j ,...  avec fr j fonction définie aux points i avec :
Le concept produit
fr j i = Max∣qi t ∣ et D= { t / f définie }
j
t ∈D
Par défaut pour le calcul du spectre d’oscillateur
•
on considère pour les amortissements réduits les valeurs :
0.02
•
0.05
0.10
on considère pour les fréquences, les 150 valeurs suivantes en
Hz ,
la première est à 0.2 Hz et on déduit les suivantes par la règle ;
de la
2ème
à la 57ème : par pas de
0.05 Hz
58
65
0.075 Hz
66
79
0.10 Hz
80
103
0.125 Hz
104
131
0.25 Hz
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132
137
0.5
Hz
138
141
1.
Hz
142
150
1.5
Hz
La fréquence de coupure par défaut est donc 35,5 Hz (l'utilisateur doit vérifier que
cette valeur est cohérente avec le contenu fréquentiel du signal d'entrée, si ce n'est
pas le cas, il faut définir une liste de fréquence adaptée).
•
le spectre est normé selon la valeur de NORME.
3.18.1 Opérande FONCTION
♦
FONCTION =
f
Nom de la fonction sur laquelle s'effectue l'opération.
Ne s’applique pas aux concepts de type nappe.
3.18.2 Opérande METHODE
◊
METHODE =
Nom de la METHODE que l'on désire utiliser : la seule méthode utilisable actuellement est
'NIGAM' (par défaut) qui est détaillée dans le document [R5.05.01].
3.18.3 Opérande AMOR_REDUIT
◊
AMOR_REDUIT = lam
lam =
 1 , ... , i ,... 
Liste des amortissements réduits : exemple 0.01, 0.05, …
3.18.4 Opérandes FREQ / LIST_FREQ

◊
FREQ = lfre
lfre =

◊
 1 , ... , i ,...  . Liste des fréquences.
LIST_FREQ = lfreq
Liste des fréquences fournies sous un concept listr8.
Les fréquences doivent être strictement positives.
3.18.5 Opérandes NATURE / NATURE_FONC
◊
NATURE =
Nature de la grandeur de la nappe créée par la commande CALC_FONCTION.
◊
ACCE
Spectre de pseudo-accélération
ü t= 2i u t
VITE
Spectre de pseudo-accélération
u̇ t=i u t
DEPL
Spectre de pseudo-accélération
u t
NATURE_FONC = 'ACCE'
Nature de la fonction qui sert à construire le spectre. Pour l'instant seule la valeur 'ACCE'
est disponible. Ce mot clé permet de surcharger le NOM_RESU de la fonction spécifiée sous le
mot clé FONCTION lorsque celle-ci est créée par RECU_FONCTION [U4.32.03].
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Révision : 9420
3.18.6 Opérande NORME
♦
NORME = r
Le spectre d'oscillateur sera normé à la valeur r (valeur de la pseudo-accélération), cette
valeur est rappelée dans le fichier de message.
3.19 Mot clé DSP
/
DSP =
Calcule la densité spectrale de puissance (DSP) équivalente à la donnée d'un spectre de réponse
d'oscillateur (SRO) avec la formule de Vanmarcke, fonction de nature fonction [R4.05.03].
Le spectre d’oscillateur n’est calculable que sur les fonctions de NOM_PARA = 'FREQ'.
Pour le calcul de la DSP à partir d'un spectre d’oscillateur, on considère que
•
•
•
le SRO exprime le maximum médian (fractile 0.5), sinon il faut renseigner une autre
valeur via le mot clé FRACT.
la DSP vaut zéro pour des fréquences inférieures ou égales à 1/2 πHz .
le spectre est normé selon la valeur de NORME.
L'utilisateur doit vérifier que la discrétisation fréquentielle (liste des fréquences) est suffisante par
rapport au contenu fréquentiel des signaux à modéliser. Il convient également de vérifier l'équivalence
entre le DSP et le SRO donnée en faisant des tirages ou en déterminant des valeurs de réponse
maximale d'un oscillateur avec POST_DYNA_ALEA. L'opérateur calcule la densité spectrale de
puissance (DSP) équivalente à la donnée d'un spectre de réponse d'oscillateur (SRO) avec la formule
de Vanmarcke. On n'effectue pas d'itération pour optimiser le fit.
Un exemple d’application est proposé dans le cas test ZZZZ100D.
3.19.1 Opérande FONCTION
♦
FONCTION =
sro
Nom de la fonction définissant le SRO.
3.19.2 Opérandes AMOR_REDUIT, FREQ, LIST_FREQ
Mots-clés identiques à SPEC_OSCI.
3.19.3 Opérandes FREQ_COUP
◊
FREQ_COUP = frc
La fréquence de coupure : on détermine la DSP jusque cette fréquence. Le SRO est
prolongé (valeur constante correspondante à la ZPA) jusqu'à cette valeur si nécessaire.
3.19.4 Opérande DUREE
♦
DUREE = tsm
Durée de la phase forte du séisme. Le signal sismique est considéré comme stationnaire sur
cette durée. Cette valeur est nécessaire pour évaluer le facteur de pic qui intervient dans la
formule de Vanmarcke.
3.19.5 Opérande NORME
♦
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NORME = r
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Titre : Opérateur CALC_FONCTION
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Date : 29/08/2012 Page : 17/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
On considère des spectres d'oscillateur normés à la valeur r (valeur de la pseudoaccélération). En général, les SRO sont donnés en g, il faut donc renseigner NORME =
9.81.
3.20 Attributs du concept fonction en sortie
3.20.1 Valeurs par défaut
Par défaut les attributs du concept fonction en sortie de la commande CALC_FONCTION sont pour les
différentes options (cf. commandes DEFI_FONCTION [U4.31.02] et DEFI_NAPPE [U4.31.03]).
•
Option DERIVE :
Interpolation : donnée par la fonction en entrée
Prolongement gauche : EXCLU
Prolongement droit : EXCLU
NOM_PARA = 'INST' (exemple) donné par la fonction en entrée
NOM_RESU = 'VITE' (exemple) donné par la fonction en entrée
•
Option INTEGRE :
Même règles que pour DERIVE
•
Options COMB / COMB_C :
Les attributs de la première fonction combinée.
•
Option SPEC_OSCI : le résultat est une nappe
Les attributs de la nappe :
NOM_PARA = 'AMOR'
NOM_RESU = 'DEPL' ou 'VITE' ou 'ACCE'
Interpolation : 'LOG'
Prolongement gauche : 'EXCLU'
Prolongement droit : 'EXCLU'
Les attributs de chaque fonction :
NOM_PARA = 'FREQ'
Interpolation : 'LOG'
Prolongement gauche : 'EXCLU'
Prolongement droit : 'CONSTANT'
•
Option ENVELOPPE :
Les attributs de la première fonction donnée.
•
Option FFT :
NOM_PARA = FREQ si NOM_PARA de la fonction est INST
Sinon c’est l’inverse
•
Option COMPOSE :
NOM_PARA : celui de la fonction FONC_PARA
NOM_RESU : celui de la fonction FONC_RESU
INTERPOL : celui de la fonction FONC_RESU
Prolongement : celui de la fonction FONC_RESU
•
Option EXTRACTION :
Attributs identiques à ceux de la fonction donnée en entrée
•
Option ASSE :
NOM_PARA : celui des fonctions
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NOM_RESU : celui des fonctions
INTERPOL : linéaire
Prolongement : 'EXCLU'
3.20.2 Surcharge des attributs
L'utilisateur peut surcharger les attributs donnés par défaut en utilisant les mots clés suivants :
3.20.2.1 Opérande NOM_PARA
◊
NOM_PARA = para
Il désigne le nom du paramètre (variable ou abscisse) de la fonction ou de la nappe. Les
valeurs actuellement autorisées pour para sont :
/
/
/
/
/
/
'TEMP'
'X'
'FREQ'
'DX'
'DRX'
'ABSC'
/
/
/
/
/
'INST'
'Y'
'PULS'
'DY'
'DRY'
/
/
/
/
/
'EPSI'
'Z'
'AMOR'
'DZ'
'DRZ'
3.20.2.2 Opérande NOM_RESU
◊
NOM_RESU = resu
Il permet de documenter, la fonction créée en donnant un nom (8 caractères) à la fonction.
Sauf exception (cf. [§3.1], [§3.2], [§3.5]), ce nom n'est pas testé.
3.20.2.3 Opérande INTERPOL
◊
INTERPOL
Quand le concept produit est une nappe, INTERPOL définit le type d'interpolation entre deux
valeurs consécutives du paramètre de la nappe et entre deux fonctions (une fois celles-ci
évaluées). Même sens que dans DEFI_NAPPE.
Quand le concept produit est une fonction (réelle ou complexe), il définit le type
d'interpolation pour les abscisses et les ordonnées de la fonction. On attend jusqu'à deux
valeurs. S'il une seule valeur est fournie, elle est utilisée pour les abscisses et les ordonnées.
Même sens que dans DEFI_FONCTION.
3.20.2.4 Opérandes PROL_DROITE / PROL_GAUCHE
◊
PROL_DROITE et PROL_GAUCHE
Ils définissent le type de prolongement à droite (respectivement à gauche) du domaine de
définition de la variable :
•
•
•
'CONSTANT' pour un prolongement avec la dernière (ou la première) valeur de la
fonction,
'LINEAIRE' pour un prolongement le long du premier segment défini
(PROL_GAUCHE) ou du dernier segment défini (PROL_DROITE),
'EXCLU' si l'extrapolation des valeurs en dehors du domaine de définition du
paramètre est interdite.
3.20.2.5 Opérandes NOM_PARA_FONC / INTERPOL_FONC / PROL_DROITE_FONC / PROL_GAUCHE_FONC
Ces mots clés permettent de modifier les attributs de la nappe et s'appliquent aux paramètres des
fonctions de celle-ci. Ils ont la même signification que les mots clés sans le suffixe FONC.
• NOM_PARA_FONC est le nom du paramètre des fonctions (comme dans DEFI_NAPPE).
• INTERPOL_FONC est le type d'interpolation pour les abscisses et ordonnées des fonctions de la
nappe (identique au mot-clé INTERPOL du mot-clé facteur DEFI_FONCTION de DEFI_NAPPE).
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•
Date : 29/08/2012 Page : 19/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
PROL_GAUCHE_FONC/PROL_DROITE_FONC définissent les prolongements des fonctions
(identiques aux mots-clés PROL_GAUCHE/PROL_DROITE du mot-clé facteur DEFI_FONCTION de
DEFI_NAPPE).
3.21 Opérande INFO
◊
INFO
Si INFO=2, on imprime la fonction (IMPR_FONCTION format TABLEAU) dans le fichier MESSAGE.
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Clé : U4.32.04
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4
Exemples
4.1
Calcul d'une enveloppe
Le fichier de commandes qui suit :
DEPI=2. * pi
PAS0=DEPI / 200.
LI1=DEFI_LIST_REEL( DEBUT=0.,
INTERVALLE=_F(
JUSQU_A = DEPI, PAS = PAS0) )
COa = FORMULE(NOM_PARA='INST',VALE='cos(INST)')
SIa = FORMULE(NOM_PARA='INST',VALE='sin(INST)')
CO
= CALC_FONC_INTERP(
FONCTION=COa,
LIST_PARA=LI1,
NOM_PARA='INST',
NOM_RESU='DEPL',
PROL_GAUCHE='EXCLU', PROL_DROITE='LINEAIRE',
INTERPOL='LIN',
TITRE=' FONCTION COSINUS'
)
SI
= CALC_FONC_INTERP(
FONCTION=SIa,
LIST_PARA=LI1,
NOM_PARA='INST',
NOM_RESU='DEPLACEMENT',
PROL_GAUCHE='EXCLU',
PROL_DROITE='CONSTANT',
INTERPOL='LIN',
TITRE=' FONCTION SINUS '
)
ENV1=CALC_FONCTION( ENVELOPPE=_F(
FONCTION = ( SI,
CRITERE = 'SUP') )
4.2
CO, ),
Calcul de la dérivée de la fonction si
Les commandes qui suivent
der1 = CALC_FONCTION( DERIVE=_F( FONCTION= si ),)
inst1 = 20. * pas
TEST_FONCTION(
VALEUR=
_F( FONCTION = der1, NOM_PARA = 'inst',
VALE_PARA= inst1, VALE_REFE= COa(inst1),)
)
produisent sur le fichier 'RESULTAT' :
---- FONCTION : DER1
OK INST
RELA
6.28319E-01 TOLE
4.3
-0.016 %
0.100 %
VALE: 8.0888392298046D-01
REFE: 8.0901699437495D-01
Concaténation de deux fonctions
DFC1=DEFI_FONCTION( NOM_PARA='X',
NOM_RESU='Y',
VALE=( 0., 10.,
4., 14.,
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Date : 29/08/2012 Page : 21/22
Clé : U4.32.04
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6., 16.,),
PROL_DROITE='LINEAIRE',
PROL_GAUCHE='LINEAIRE'
)
#
DFC2=DEFI_FONCTION( NOM_PARA='X',
NOM_RESU='Y',
VALE=( 5., 25.,
7., 27.,
8., 28.,),
PROL_DROITE='LINEAIRE',
PROL_GAUCHE='LINEAIRE'
)
#
DFC3=CALC_FONCTION( ASSE=_F(
FONCTION = ( DFC2, DFC1, ),
SURCHARGE = 'DROITE')
)
DFC4=CALC_FONCTION( ASSE=_F(
FONCTION = ( DFC1, DFC2, ),
SURCHARGE = 'GAUCHE')
)
Les valeurs de la fonction dfc3 sont :
x
y
=
=
0.
10.
4.
14.
5.
25.
7.
27.
8.
28.
7.
27.
8.
28.
Les valeurs de la fonction dfc4 sont :
x
y
4.4
=
=
0.
10.
4.
14.
6.
16.
Composition de deux fonctions
fonc1 = DEFI_FONCTION
fonc2 = DEFI_FONCTION
Manuel d'utilisation
(
(
NOM_PARA
NOM_RESU
VALE
NOM_PARA
NOM_RESU
VALE
=
=
=
=
=
=
'X',
'F',
( 0.,
2.,
3.,
5.,
7.,
8.,
10.,
12.,
13.,
15.,
20.,
0.,
5.,
10.,
15.,
13.,
10.,
9.,
8.,
5.,
1.,
0.
'INST',
'X',
( 0.,
0.1,
0.2 ,
0.3 ,
0.4 ,
0.5 ,
0.6 ,
0.,
2.,
4.,
6.,
8.,
10.,
12.,
)
)
Fascicule u4.32 : Tables et fonctions
Copyright 2015 EDF R&D - Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
Version
default
Code_Aster
Titre : Opérateur CALC_FONCTION
Responsable : Mathieu COURTOIS
Date : 29/08/2012 Page : 22/22
Clé : U4.32.04
Révision : 9420
0.7 ,
0.8 ,
0.9 ,
1.0 ,
comp1 = CALC_FONCTION
(
14.,
16.,
18.,
20.
COMPOSE = _F( FONC_RESU =
FONC_PARA =
)
)
fonc1,
fonc2 )
)
Les valeurs de la fonction comp1 sont :
inst
F
Manuel d'utilisation
=
=
0. 0.1
0. 5.
0.2
12.5
0.3
14.
0.4
10.
0.5
9.
0.6
8.
0.7
3.
0.8
0.8
0.9
0.4
1.0
0.
Fascicule u4.32 : Tables et fonctions
Copyright 2015 EDF R&D - Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
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