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Politecnico di Torino
Giuseppe Vecchi
Paola Pirinoli
Appunti su
Irradiazione e Antenne
Versione 2.1.0, A.A. 2000/2001
Queste sono note interne del corso ad uso didattico. Ne sono pertanto tassativamente vietate la diusione, l'uso e la riproduzione al di fuori degli ambiti
istituzionali dei corsi di Elettromagnetismo Applicato del Politecnico di Torino,
e comunque non espressamente autorizzati dall'autore.
Queste note interne NON possono essere distribuite SENZA questa copertina.
1
Queste note sono basate sugli appunti dalle lezioni sull'Irradiazione e la teoria elementare
delle Antenne tenute al Politecnico di Torino dall'autore. Esse hanno l'obiettivo di fare da
supporto alla didattica, ovvero di integrare gli appunti presi a lezione.
Questa versione sostituisce completamente le versioni precedenti di questi appunti, che non
dovrebbero piu venire usate e distribuite.
RINGRAZIAMENTI
Desideriamo ringraziare gli studenti che ci hanno aiutato nella stesura di queste note.
Giuseppe Vecchi, Paola Pirinoli
Febbraio 2001
versione 2.1.0
2
versione 2.1.0
Indice
1 Introduzione
1.1 Introduzione qualitativa alle antenne . . . . . . . . . . .
1.2 Tipi di antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Antenne a lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Antenne ad apertura . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Antenne a riettore . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Antenne stampate . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Antenne a schiera . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Antenne a lente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Generazione nello spazio libero e teorema di equivalenza
1.4 Principale utilizzo delle bande in frequenza . . . . . . . .
2 Irradiazione nello spazio libero
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2.1 Problema-guida: equazioni di una linea indenita con sorgenti . . . .
2.2 Il problema dell'irradiazione nello spazio libero . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Calcolo della funzione di Green spettrale . . . . . . . . . . .
2.2.2 Calcolo della funzione di Green spaziale . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Funzione di Helmholtz e onde sferiche . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Caratterizzazione di lontananza e vicinanza dalle sorgenti . .
2.2.5 Integrali di irradiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico
2.4 Formulazione del campo elettromagnetico in termini di potenziali . .
2.5 Forme approssimate del campo di una sorgente estesa . . . . . . . . .
2.5.1 Irradiazione di una sorgente generica e regione di Fraunhofer
2.5.2 Campo lontano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Sorgente piccola e dipolo elementare . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Proprieta di direttivita e vettori di irradiazione . . . . . . . .
2.5.5 Relazione di impedenza e vettore di Poynting . . . . . . . . .
2.5.6 Approssimazione locale del campo irradiato . . . . . . . . . .
2.5.7 Diagramma di irradiazione e polarizzazione del campo . . . .
2.5.8 Riassunto dei risultati ottenuti nei paragra 2.5 . . . . . . . .
2.6 Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche . . . . .
2.6.1 Campo vicino per un dipolo elementare . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Campo lontano per un dipolo elementare . . . . . . . . . . .
2.6.3 Considerazioni energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
INDICE
3 L'antenna in trasmissione
3.1 Parametri fondamentali delle antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Direttivita e guadagno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Antenne con due morsetti e altezza ecace . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Diagramma di irradiazione isotropico, direzionale e omnidirezionale .
3.2.4 Piani principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 L'antenna in ricezione e reciprocita
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4.1 Antenne in ricezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Circuito equivalente e parametri caratteristici per un'antenna in ricezione
4.1.2 Potenza ricevuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Introduzione alla reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Lemma di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Versione integrale del Lemma di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Forma forte del teorema di reciprocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Equivalenza di un'antenna in RX e in TX . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Antenne lari
5.1 Introduzione alle antenne lari . . . . . . . . . . . .
5.2 Antenne a dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Linea di trasmissione biconica e dipolo a =2
5.2.2 Dipolo corto e dipolo a =2: confronto . . . .
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6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Irradiazione da apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare .
6.3.1 Calcolo del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Analisi del campo irradiato . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 \Tapering" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 \Errore di fase" sull'apertura . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Diagramma d'irradiazione e interferenza di fase . . . . .
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6 Antenne ad apertura
7 Schiere di antenne
7.1 Irradiazione da una schiera di antenne . . . . . . . . . .
7.2 Schiera lineare uniforme a sfasamento costante . . . . . .
7.2.1 Schiere broadside ed endre. . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Grating lobes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Lobi secondari e schiere non uniformi . . . . . . . . . . .
7.4 Reti di alimentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Alimentazione ad albero (corporate, equal-length)
7.4.2 Alimentazione in cascata (Linea risonante) . . .
7.5 Schiere planari: caso cartesiano separabile . . . . . . . .
7.5.1 Esempio di rete di alimentazione . . . . . . . . .
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INDICE
5
7.5.2 Esempi di antenne equivalenti a schiere planari separabili . . . . . . . . 153
8 Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
8.1 Equazione della trasmissione (formula di Friis) . . . . .
8.2 Adattamento di polarizzazione . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Direzione di osservazione e incidenza . . . . . .
8.2.2 Polarizzazione non lineare . . . . . . . . . . . .
8.3 Eetti del rumore in un collegamento radio . . . . . .
8.3.1 Rumore nel sistema di comunicazione via radio
8.3.2 Potenza di rumore in ingresso all'antenna . . .
8.3.3 Bilancio energetico di tratta (link-budget) . . .
9 Collegamento radio in presenza di terreno piano
9.1 Riessione da terreno conduttore . . . . . . . .
9.1.1 Campo irradiato in presenza di terrreno
9.1.2 Ricezione . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Terreno non conduttore . . . . . . . . . . . . .
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10 Introduzione al radar
10.1 Il radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Caratteristiche generali dei sistemi radar . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Elementi costitutivi di un sistema radar . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Cenni storici sulla nascita, lo sviluppo e l'evoluzione del radar .
10.2 Tipologie fondamentali di radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Eetto Doppler e applicazioni radar . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Le frequenze del radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Equazione del radar e radar cross section (RCS) . . . . . . . . . . . . .
10.5 Esempio di RCS: sfera conduttrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Legame con le equazioni dei circuiti
11.1 Derivazione delle equazioni di Kirchho dalle equazioni di Maxwell
11.2 Caratterizzazione di un N -polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Strutture guidanti TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Antenna con due morsetti sici . . . . . . . . . . . . . . . .
A
B
C
D
E
Relazione tra i sistemi di coordinate cartesiano e sferico
Un'introduzione al calcolo diadico
Calcolo di g(z) con il metodo dei residui
Calcolo della funzione di Green scalare
Forma esplicita della funzione diadica di Green
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E.1 Valutazione della funzione di Green tramite espressioni integro-dierenziali . . . 221
E.2 Valutazione mediante calcolo diretto (dierenziale) . . . . . . . . . . . . . . . . 224
versione 2.1.0
6
F Potenza di segnali stazionari in senso lato
G Brillanza
H Termini tecnici
versione 2.1.0
INDICE
227
229
233
1
Introduzione
1.1 Introduzione qualitativa alle antenne
Dal punto di vista di un sistema di trasmissione un'antenna e un elemento di interfaccia fra
una parte circuitale e lo spazio libero, sia in trasmissione che in ricezione.
In trasmissione (TX) dell'energia guidata (cioe un campo elettromagnetico connato) giunge
all'antenna, la quale si occupa di irradiare tale energia nello spazio libero con determinate
caratteristiche di direttivita; in ricezione (RX) invece l'antenna permette all'energia proveniente
dallo spazio di uire in una struttura guidante e di giungere alla parte circuitale. Per essere
in condizioni ottime occorre che ci sia adattamento alla parte circuitale e che l'energia venga
irradiata nello spazio libero in modo eciente, cioe in direzione e polarizzazione adeguate.
Per evidenziare qualitativamente la caratteristica di direttivita di un'antenna si pensi ad
una parabola (esempio di antenna a riettore). Il principio di funzionamento e analogo a
quello del \fanale" di un auto: un fanale ha il compito di illuminare una porzione limitata di
spazio, a spese di un'altra porzione di spazio che pero non interessa illuminare (viceversa una
lampadina garantisce una illuminazione quasi omnidirezionale). Se una lampada e posta nel
fuoco di un paraboloide i raggi luminosi (ottica geometrica) si riettono sulla supercie interna
del paraboloide stesso ed assumono poi la direzione parallela all'asse ottico principale dello
specchio; in questo modo si riesce ad indirizzare il fascio di luce in una direzione ben precisa.
Per frequenze \alte" il comportamento di un'antenna parabolica e analogo a quello del fanale.
Inoltre la proprieta del campo di riscalamento delle dimensioni con la frequenza permette di
ottenere le stesse caratteristiche di irradiazione a frequenze inferiori aumentando le dimensioni
dell'oggetto che irradia.
L'esempio della parabola permette di capire che le antenne possono accrescere l'energia
irradiata in alcune parti dello spazio, ma a discapito dello spazio in cui non si vuole irradiare.
Nel seguito inizieremo a occuparci di antenne in trasmissione, lo studio delle quali appare
piu semplice rispetto a quello delle antenne in ricezione. Infatti tale studio si puo separare,
almeno approssimativamente, dal calcolo dei campi che si generano sull'antenna quando ai suoi
capi viene, ad esempio, imposta una certa tensione (risoluzione delle equazioni di Maxwell in
presenza di un termine forzante); questo calcolo rappresenta un problema molto oneroso dal
punto di vista analitico e computazionale. D'altra parte vedremo che esiste un importante teorema di reciprocita, che ci consentira di stabilire una precisa equivalenza tra il comportamento
di un'antenna in ricezione e quello in trasmissione.
7
8
Introduzione
1.2 Tipi di antenne
Elenchiamo i tipi piu comuni di antenna, attualmente in uso.
1.2.1 Antenne a lo
Se una distribuzione di corrente e denita su di un supporto assimilabile geometricamente
ad una linea, detto supporto prende il nome di antenna a lo (detta anche antenna lare o
lineica). Vi sono vari tipi di antenne a lo, i cui elementi costitutivi sono in genere il dipolo
elettrico (costituito da un lo metallico diritto) ed il dipolo magnetico (un lo metallico avvolto
a formare una spira (loop)).
a)
b)
Figura 1.1. Esempi di antenne lari: a)un dipolo elettrico, b) una spira.
1.2.2 Antenne ad apertura
Sono una classe di antenne denibili per la distribuzione di campo elettromagnetico su di una
supercie (ovvero una regione bidimensionale) detta apertura, ottenuta in genere alla terminazione di guide d'onda di vario tipo.
Questo tipo di antenna e oggi molto diuso a causa della crescente domanda di antenne
sosticate per frequenze di funzionamento superiori al GHz (gamma delle microonde); sono
utilizzabili per applicazioni terrestri ed aeronautiche perche possono essere collegate a strutture
meccaniche di varia natura, trovano inoltre impiego per l'alimentazione di antenne a riettore
(feeder o illuminatore). In aggiunta l'apertura irradiante puo essere protetta dall'ambiente
esterno con speciali coperture dielettriche (radome).
1.2.3 Antenne a riettore
Le antenne a riettore costituiscono una vasta classe di antenne, di solito impiegate al di sopra
del GHz, ma talvolta anche al di sotto (qualche centinaio di MHz), il cui campo irradiato e essenzialmente quello diratto da una supercie metallica (il riettore) illuminata da una sorgente
primaria (l'illuminatore, in genere costituito da una antenna ad apertura). Il campo diratto
versione 2.1.0
1.2 { Tipi di antenne
9
Porta d’accesso
in guida
Apertura
Figura 1.2. Esempio di antenna ad apertura: antenna a tromba.
dal riettore e spesso indicato come campo secondario. Esistono anche dei sistemi d'antenna
che impiegano due (o piu) riettori, dette antenne a doppio riettore con caratteristiche di
maggiore ecienza e prestazioni.
Illuminatore
Riflettore
Figura 1.3. Esempio di antenna a riettore.
1.2.4 Antenne stampate
Sono antenne di sviluppo relativamente recente, divenute comuni a partire dagli anni 70. Sono
caratterizzate da una struttura metallica irradiante (patch) separata da un piano di massa
tramite uno o piu strati dielettrici, detti substrati, ed eventualmente da un ulteriore strato di
copertura posto al di sopra (detto superstrato).
La forma del patch impiegata varia a seconda delle applicazioni; tra le forme piu comuni
(in particolare nelle prime applicazioni) vi e la forma quadrata o rettangolare, ma si incontrano
anche elementi circolari, anulari o altro ancora. Sono antenne di facile fabbricazione e basso
costo, inoltre sono adattabili a superci planari e non; tuttavia, specie per le applicazioni piu
complesse, sono di dicile progettazione.
versione 2.1.0
10
Introduzione
Figura 1.4. Esempio di antenna in microstriscia.
1.2.5 Antenne a schiera
Si denisce schiera un insieme di radiatori disposti nello spazio con un certo ordine, al ne di
avere un sistema irradiante con forte direttivita o con particolari caratteristiche del diagramma
d'irradiazione. Si possono avere schiere a una, due o tre dimensioni a seconda che i radiatori
siano disposti lungo una linea, su una supercie, od in un volume.
z
x
y
Figura 1.5. Esempio di schiera: schiera di antenne a dipolo elettrico.
1.2.6 Antenne a lente
Le lenti sono impiegate specialmente per collimare un campo elettromagnetico incidente divergente per impedirne la diusione in direzioni indesiderate. Scegliendo opportunamente la
congurazione geometrica ed adottando dei materiali opportuni, le antenne a lente permettono
di trasformare un campo incidente divergente in un'onda piana. Sono antenne impiegate a
frequenze elevate perche le loro dimensioni e peso divengono eccessivi a frequenze basse.
versione 2.1.0
1.3 { Generazione nello spazio libero e teorema di equivalenza
11
1.3 Generazione nello spazio libero e teorema di equivalenza
L'analisi del problema elettromagnetico e basata sulla soluzione delle equazioni di Maxwell nel
dominio della frequenza, con opportune sorgenti e condizioni al contorno. Queste ultime dovrebbero in teoria tenere conto di ogni singolo oggetto che puo inuenzare la propagazione, ma
cio in pratica non e realizzabile a causa del grandissimo numero di elementi che si frappongono
sulla linea del collegamento. Per semplicare il problema si puo tenere conto del fatto che tutte
le distanze, per come sono formulate le equazioni, vengono misurate in lunghezze d'onda; tutto
cio che dista dall'antenna diversi multipli della lunghezza d'onda inuisce in modo trascurabile
sul dispositivo (tipicamente un'antenna) che genera il campo (quindi per esempio lavorando ad
una frequenza di 10 GHz la lunghezza d'onda risulta 3 cm e tutto cio che si trova oltre una trentina di centimetri dalla sorgente risulta pertanto trascurabile nel senso detto). E quindi usuale
semplicare il problema considerando che la generazione dell'onda elettromagnetica avvenga
nello spazio libero o vuoto (free space) e che gli eventuali oggetti che si trovano sul percorso
di propagazione diano origine a fenomeni di riessione, rifrazione e dirazione delle onde cos
generate che vengono considerati durante la ricezione del segnale. Operando in questo modo,
in pratica, le condizioni al contorno \spariscono" dal problema (o piu correttamente vengono
rimosse all'innito). La generazione dell'onda elettromagnetica avviene tramite delle sorgenti
da cui si ricava il campo, mentre il problema della ricezione e piu complicato, ma verra trattato
in maniera del tutto simmetrica grazie al teorema di reciprocita. Rimane da trattare il problema di cosa siano le sorgenti da impiegare nelle equazioni di Maxwell. L'elemento preposto alla
ricezione ed alla trasmissione delle onde radio e l'antenna; essa e un oggetto di interfaccia in
quanto fa da tramite tra lo spazio libero e la circuiteria che lo alimenta o ne ricava il segnale:
l'antenna e l'interfaccia tra la propagazione libera e la propagazione guidata. La \sorgente"
e in pratica rappresentata da un generatore di tensione o di corrente posto ai morsetti di ingresso dell'antenna di cui si conosce l'impedenza d'ingresso. Nelle equazioni di Maxwell pero
non appaiono ne generatori, ne tantomeno si prende in considerazione l'impedenza d'ingresso
dell'antenna; inoltre, l'antenna stessa e un oggetto materiale su cui dovrebbero essere imposte
condizioni al contorno. Risulta pertanto di fondamentale importanza il teorema di equivalenza
grazie al quale si riuscira a mettere in relazione il generatore sico con i termini di sorgente J es
e J ms che compaiono nelle equazioni di Maxwell. Consideriamo una struttura arbitrariamente
complicata e una supercie arbitraria che racchiuda la struttura, sostituiamo tutto cio che
e interno ad essa con delle sorgenti superciali equivalenti poste sulla supercie stessa (Fig.
1.6). Specializzato al nostro caso, il teorema di equivalenza1 aerma appunto che il campo
elettromagnetico in un generico punto esterno a non cambia se si rimuove cio che e interno
alla supercie (ovvero lo si sostituisce con il vuoto) e si pongono delle correnti superciali su denite da:
8
>
< J es = n^ H j
(1.1)
> J = ;n^ E j
:
ms
1 Consultare anche P.Savi, R.Zich., Appunti di Campi Elettromagnetici, Politecnico di Torino, 1998- 1999,
cap 2.5 .
versione 2.1.0
12
Introduzione
Jms
Jes
n^
Situazione1
n^
Situazione 2
Figura 1.6. Supercie con sorgenti equivalenti
Con riferimento alla Fig. 1.6 il teorema di equivalenza aerma in pratica che risolvere il problema elettromagnetico nella situazione 1 e equivalente a risolvere il problema nella situazione 2,
in cui si e sostituita la parte circuitale con una distribuzione di correnti elettriche e magnetiche
sulla supercie . Il seguente esempio di applicazione pratica del teorema di equivalenza puo
chiarire il concetto: consideriamo un'antenna a dipolo alimentata da un generatore (Fig. 1.7)
e applichiamo il teorema di equivalenza con una supercie \appoggiata" sul dipolo, come in
Fig. 1.8. A stretto rigore anche la struttura sica che racchiude il generatore andrebbe considerata; per semplicita ci concentriamo sull'antenna e trascuriamo tale struttura. Se il metallo
puo essere considerato un conduttore elettrico perfetto (PEC) si ha (condizione al contorno):
(1.2)
;n^ E j = 0
e quindi:
J ms = 0
(1.3)
Cioe le correnti magnetiche sono nulle e rimangono da prendere in considerazione ai ni del
problema dell'irradiazione soltanto le correnti elettriche. E bene notare che l'applicazione del
teorema di equivalenza non risolve il problema ma lo riformula in una forma piu trattabile
dal punto di vista analitico e numerico. Infatti, le correnti equivalenti sono incognite, e non
sono altro che i campi sulle strutture: la loro determinazione quindi ri riduce alla soluzione
del medesiom problema di valori al contorno da cui si era partiti. Tuttavia, la forma ottenuta
consente di calcolare il campo prodotto dalle sorgenti equivalenti se esse sono note. Vedremo
nel seguito che esistono varie considerazioni siche per dare una forma approssimata a tali
correnti per le classi piu semplici di antenne. Il calcolo esplicito e rigoroso di esse va al di
la degli scopi di questa trattazione. Da questo esempio traspare l'importanza del teorema
versione 2.1.0
1.3 { Generazione nello spazio libero e teorema di equivalenza
~
13
I
Figura 1.7. Antenna a dipolo collegata ad un alimentatore
Jes
Jms=0
Figura 1.8. Sorgenti equivalenti per un'antenna a dipolo
di equivalenza: infatti siamo riusciti a legare la parte circuitale con le sorgenti equivalenti;
queste ultime risulteranno calcolabili o approssimabili in base alla struttura dell'antenna e nota
l'alimentazione di quest'ultima.
versione 2.1.0
14
Introduzione
Una volta note J es e J ms il problema fondamentale da risolvere e dunque quello del campo
generato da esse, ovvero la soluzione delle equazioni di Maxwell in spazio libero con sorgenti
assegnate
8
>
< r H = j!E + J e
(1.4)
>
: ;r E = j!H + J m
in cui ed non hanno natura ne diadica ne vettoriale, ma sono delle costanti in quanto il
mezzo in cui avviene la propagazione e lineare2. La tecnica di soluzione e basata sulla presenza
di un mezzo omogeneo invariante per traslazione e innitamente esteso; si useranno quindi le
trasformate di Fourier per algebrizzare le derivate (spaziali) che compaiono nelle ( 1.4). Questo
si chiama abitualmente problema dell0irradiazione che verra arontato nel Cap. 2.
1.4 Principale utilizzo delle bande in frequenza
Nella tabella in Fig. 1.1. vengono riassunte le principali denizioni delle bande in frequenza
che vengono comunemente utilizzate e il servizio che tipicamente viene fornito lavorando in
tali bande. Le microonde coprono un intervallo compreso tra 500 MHz no ad oltre 40 GHz.
Questo intervallo e suddiviso in diverse bande denite tramite delle lettere. Nella tabella in
Fig. 1.2 vengono elencate le denizioni di tali bande. Da notare che la vecchia designazione
delle lettere non coincide con quella nuova: quella piu vecchia fu stabilita durante la meta degli
anni 40 ed e ancor oggi in uso.
2 Sulla natura di ed consultare P.Savi, R.Zich, Appunti di Campi Elettromagnetici, Politecnico di Torino,
1998 - 1999, Cap 4.
versione 2.1.0
1.4 { Principale utilizzo delle bande in frequenza
15
Frequenza
Definizione
Utilizzo tipico
3 – 30 kHz
Very Low Frequency (VLF)
Navigazione, sonar
30 – 300 kHz
Low Frequency (LF)
Segnali radio, soccorso navale
300 – 3000 kHz
Medium Frequency (MF)
Trasmissioni radio AM, comunicazioni navali,
comunicazioni della Guardia costiera, orientamento
3 – 30 MHz
High Frequency (HF)
Comunicazioni internazionali ad onde corte; radio
amatori; comunicazioni nave-costa, nave-velivoli
30 – 300 MHz
Very High Frequency (VHF)
300 – 3000 MHz
Ultrahigh Frequency (UHF)
3 – 30 GHz
Superhigh Frequency (SHF)
Radar per aviotrasporti, collegamenti a microonde,
comunicazioni satellitari
30 – 300 GHZ
Extremely High Frequency (EHF)
Radar, esperimenti
Televisione, trasmissioni radio FM, controllo del
traffico aereo, polizia, soccorso navale
Televisione, comunicazioni satellitari, radiosonde,
radar di sorveglianza, soccorso navale;
comunicazioni mobili (GSM, etc.)
Tabella 1.1. Nomi convenzionali delle bande di frequenza
Frequenza
Vecchia designazione
Nuova designazione
500 – 1000 MHz
VHF
C
1 – 2 GHz
L
D
2 – 3 GHz
S
E
3 – 4 GHz
S
F
4 – 6 GHz
C
G
6 – 8 GHz
C
H
8 –10 GHz
X
I
10 – 12.4 GHz
X
J
12.4 –18 GHz
Ku
J
18 – 20 GHz
K
J
20 – 26.5 GHz
K
K
26.5 – 40 GHz
Ka
K
Tabella 1.2. Classicazione delle bande di frequenza
versione 2.1.0
16
versione 2.1.0
Introduzione
2
Irradiazione nello spazio libero
2.1 Problema-guida: equazioni di una linea indenita
con sorgenti
Prima di arontare il problema della risoluzione delle equazioni di Maxwell ci proponiamo, al
ne di avere un'idea della strategia che adopereremo, di risolvere un problema-guida analogo,
ma con la semplicazione della scalarita ed unidimensionalita. Il problema e quello del calcolo
di tensioni e correnti prodotte da sorgenti impresse su una linea di trasmissione innitamente
estesa, chiaramente analogo a quello del calcolo del campo elettromagnetico prodotto da sorgenti
impresse nello spazio libero.
Scriviamo dunque le equazioni di una linea con sorgenti
8 d
>
>
< ; dz V (z) = jkZ1I (z) + vs(z)
(2.1)
>
>
d
: ; I (z) = jkY1V (z) + is(z)
dz
avendo rappresentato le sorgenti con dei generatori distribuiti di tensione e corrente. Supponiamo anche che la linea abbia perdite, e quindi scriviamo k = 0 ; j. Dato che il supporto
in z e innito, possiamo considerare le trasformate di Fourier che legano il dominio spaziale z
al dominio spettrale Z
~V ( ) = FTfV (z)g = +1 dz V (z) ejz
(2.2)
;1
Siccome si ha
Z +1
d V~ ( ) e;jz
V (z) = FT;1fV~ ( )g = 21
;1
Z
~I ( ) = FTfI (z)g = +1 dz I (z) ejz
;1
Z +1
I (z) = FT;1fI~( )g = 21
d I~( ) e;jz
;1
d ;!
FT
;j
dz
17
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
18
Irradiazione nello spazio libero
le equazioni di partenza possono essere scritte nel dominio spettrale come segue:
8 ~
>
< j V ( ) = jkZ1I~( ) + v~s( )
>
: j I~( ) = jkY1V~ ( ) +~s( )
(2.7)
avendo posto v~s( ) = FTfvs(z)g e ~s( ) = FTfis(z)g. Utilizzando una notazione matriciale
abbiamo
"
#"
# "
#
j ;jkZ1 V~ ( ) = v~s( )
(2.8)
;jkY1 j
~s( )
I~( )
Per ottenere V~ ( ) e I~( ) dobbiamo invertire la matrice dei coecienti, ricordando che
A;1 =
"
a b
c d
#;1
"
= det1 A ;dc ;ab
#
Si ottiene
" ~ # h i"
#
V ( ) = G~ ( ) v~s( )
~s( )
I~( )
h i
dove si e introdotta la matrice G~ ( )
"
#
h~ i
1
j
j
kZ
1
G( ) = ; 2 ; k2 jkY
1 j
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Esprimendo separatamente tensione e corrente possiamo scrivere
8~
>
< V ( ) = G~ 11 ( ) v~s( ) + G~ 12 ( )~s( )
>
: I~( ) = G~ 21 ( ) v~s( ) + G~ 22( )~s( )
(2.12)
e quindi otteniamo, antitrasformando
dove
8
>
< V (z) = G11 (z) vs(z) + G12 (z) is(z)
>
: I (z) = G21 (z) vs(z) + G22(z) is(z)
(2.13)
Z +1
G~ ij ( )e;jz d
Gij (z) = FT;1fG~ ij ( )g = 21
(2.14)
;1
e il simbolo \" indica il prodotto di convoluzione. Osserviamo che i termini G~ ij ( ) hanno il
signicato di funzioni di trasferimento e quindi i termini Gij (z) di risposte all'impulso nello
spazio. A questo punto V (z) e I (z) possono essere espresse in forma compatta
"
versione 2.1.0
#
#
"
V (z) = [G(z)] vs(z)
is(z)
I (z)
(2.15)
2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
19
dove la matrice [G(z)], che chiamiamo funzione di Green, generalizza il concetto di risposta
all'impulso nello spazio. Per quanto riguarda la forma esplicita della funzione di Green, notiamo
che la sua trasformata dipende dal termine
(2.16)
g~0( ) = 2 ;1 k2
E utile allora introdurre anche la sua antitrasformata
Z +1
g0(z) = FT;1fg~0( )g = 21
d 2 ;1 k2 e;jz
(2.17)
;1
La funzione g~0 ( ) presenta due poli, in = ;k e = +k, con k = 0 ; j. Si tratta dei due
valori della variabile spettrale per cui l'uscita ha un valore nito se la sorgente tende a zero,
cioe si autosostiene: essi corrispondono dunque alle soluzioni libere dell'equazione. Calcolando
l'integrale (2.17) otteniamo (vedi App. C)
;jkjzj
Inoltre
g0(z) = e 2jk
(2.18)
d g (z)
G~ 11( ) = G~ 22 ( ) = ;j 2 ;1 k2 ) G11 (z) = G22 (z) = dz
0
(2.19)
e dunque, in forma matriciale
"
#
z) Z1
(2.20)
[G(z)] = ; 21 e;jkjzj sgn(
Y1 sgn(z)
Osserviamo che la (2.18) rappresenta un'onda che si allontana dalla sorgente in entrambe le
direzioni z > 0 e z < 0; dunque la sorgente e il centro della perturbazione ondosa, e le caratteristiche propagative sono legate ai poli della funzione di Green spettrale, ovvero ai poli della
funzione g0(z). Tenendo conto delle perdite, k = ; j, la (2.18) rappresenta correttamente
un'onda che si attenua allontanandosi dalla sorgente (z = 0). Notiamo che il caso senza perdite
( = 0) va ottenuto come limite ( ! 0) della soluzione generale; la presenza di perdite e
essenziale, dal punto di vista matematico, in quanto per = 0 i poli, nell'integrale che denisce
g0, sono sull'asse immaginario e la deformazione del cammino di integrazione (vedi App. C) non
e denita. Notiamo che non abbiamo imposto esplicitamente condizioni al contorno (che sarebbero condizioni al contorno all'innito); queste risultano \intrinseche" alla forma di soluzione
cercata, purche si consideri un mezzo con perdite (sia pur piccole).
2.2 Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
Arontiamo ora il problema dell'irradiazione nello spazio libero (mezzo omogeneo e isotropo),
cioe della soluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti+
8
>
< r H = j!E + J e
(2.21)
> ;r E = j!H + J
:
m
versione 2.1.0
20
Irradiazione nello spazio libero
Anche qui non imporremo esplicitamente le condizioni al contorno all'innito, considerando poi
che la soluzione ottenuta sia sica. Come nel problema guida, adotteremo una tecnica spettrale,
cioe basata sulla funzione di trasferimento. Il punto di forza della trasformata di Fourier sta
d ! ;j ); avendo qui a che fare con 3
nel rendere algebrico l'operatore di derivata (esempio dz
derivate spaziali (r, ad esempio @ , @ , @ ) dovremo considerare una tripla trasformata di
@x @y @z
Fourier. Per denire tale trasformata dei campi vettoriali, cominciamo a notare che un generico
campo A(r) viene univocamente determinato dai versori coordinati u^i e dalle componenti del
campo Ai rispetto al particolare sistema di riferimento, cioe
A(r) 3
X
i=1
Ai(r) u^i
(2.22)
(cambiando il sistema di riferimento cambiano le componenti Ai). Per semplicita consideriamo
un sistema cartesiano (x1;x2 ;x3 ), che ha il vantaggio di avere dei versori coordinati u^i = x^i
che non dipendono dalla posizione nello spazio. Deniamo la trasformata tripla scalare della
generica componente Ai(r) come
A~i = FT3 fAi(r)g = A~i(k) =
Z
R
dx1ejk1 x1
Z
R
dx2 ejk2x2
Z
R
dx3ejk3 x3 Ai(x1 ;x2 ;x3 )
(2.23)
Indichiamo con d3r l'elemento di volume dx1 dx2dx3 nello spazio r e riscriviamo la (2.23) in forma
piu compatta insieme alla trasformata inversa, introducendo un vettore k = k1x^1 + k2x^2 + k3 x^3
che chiamiamo variabile spettrale.
Z
Z
1
3
j
k
r
~
(2.24)
Ai(k) = 3 d r Ai(r) e ; Ai (r) = (2)3 3 d3k A~i(k) e;jkr
R
R
Avendo trasformato le singole componenti scriviamo quindi
X
A~(k) A~i(k) x^i
3
i=1
(2.25)
e dunque, compattamente
Z
1
d3k A~(k) e;jkr
; A(r) =
(2.26)
(2)3 R3
R3
sottintendendo il passaggio nella base cartesiana per il calcolo esplicito della trasformata di
Fourier. Un campo viene in questo modo espresso come espansione in onde piane. Ad una
singola onda piana e associata una densita di potenza costante, e dunque un'energia innita;
quindi le onde piane non possono sussistere singolarmente ma, come abbiamo visto, riescono
a descrivere l'andamento di un campo se sovrapposte opportunamente in forma integrale. Il
discorso e analogo a quello dei segnali nel tempo, che possono essere espressi come somma
(integrale) di segnali armonici, i quali tuttavia non possono esistere da soli perche non sono
segnali ad energia nita. Dato che
A~(k) =
Z
d3r A(r) ejkr
rejkr = jkejkr
versione 2.1.0
(2.27)
2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
21
le equazioni di Maxwell nel dominio spettrale k diventano
8
>
< ;jk H~ = j!E~ + J~e
(2.28)
>
: jk E~ = j!H~ + J~m
Il sistema (2.28) puo essere scritto compattamente in forma matriciale se introduciamo degli
\oggetti" che rappresentino, in forma indipendente dalle coordinate, le trasformazioni lineari
(omogenee) tra vettori. Tali \oggetti" sono le diadi (diadiche), descritte nell'App. B. Per
esempio possiamo scrivere
k H~ = k I H~ = k I H~
(2.29)
dove D k I e una diade che esprime la trasformazione lineare H~ ! k H~ . Possiamo allora
riscrivere la (2.28) come
ovvero anche
dove
2
3
;
j! I ;jk I " E~ # " J~ #
64
75 e
~ = J~m
H
jk I ;j! I
h i " E~ # " J~e #
L H~ = J~
m
2
3
h i 6 ;j!I ;jk I 7
L 4
5
jk I ;j!I
(2.31)
h ~ i h i;1
G (k) = L
(2.33)
(2.30)
(2.32)
Formalmente allora, il problema e risolto nel dominio spettrale dalla funzione di Green spettrale
ed campi nello spazio saranno ricavati a partire dalle antitrasformate della soluzione spettrale.
2.2.1 Calcolo della funzione di Green spettrale
h
i
h i
;1
Per rendere esplicita l'operazione formale di inversione G~ (k) = L deniamo tale operazione:
h i h~ i h i
(2.34)
L G (k) = I
h i
dove I e l'elemento identico denito da
e quindi
h i " E~ # " E~ #
I H~ = H~
(2.35)
h i "I 0#
I = 0 I
(2.36)
versione 2.1.0
22
Irradiazione nello spazio libero
Se poniamo dunque
2 ~ ~ 3
h ~i 66 G 11 G 12 77
G =4
5
~
G~
21
(2.37)
G 22
la relazione formale (2.34) diventa un sistema esplicito
3
2
32
;
j! I ;jk I 6 G~11 G~12 7 " I 0 #
64
75 6
75 =
4
0 I
jk I ;j! I
G~ G~
21
cioe
(2.38)
22
8
>
< ;j! G~11 ; jk G~21 = I
>
: jk G~ ; j! G~ = 0
11
21
8
>
< ;j! G~12 ; jk G~22 = 0
>
: jk G~ ; j! G~ = I
12
22
(2.39)
(2.40)
che possiamo risolvere procedendo nel modo solito, ma tenendo conto del calcolo diadico. Data
la dualita delle equazioni (derivante dalla dualita delle equazioni di Maxwell), consideriamo
solo la prima coppia di equazioni, esplicitando G 21 dalla seconda e sostituendolo nella prima
1 jk G~
G~21 = j!
11
(2.41)
!
1 jk G~ = I
;j! G~11 ; jk j!
(2.42)
11
(2.43)
(;j!)(j!) G~11 ; jk jk G~11 = j! I
h 2
i ~
! I + k (k I ) G 11 = j! I
(2.44)
Dunque, posto uguale a Q il termine in parentesi quadre, possiamo svolgere il doppio prodotto
esterno e quindi scrivere
h
i
Q = !2 I + (k I ) k ; (k k) I = (!2 ; k2) I + k k
(2.45)
avendo posto k2 = k k ed essendo k I = k. A questo punto il problema si e ridotto al calcolo
della diade inversa Q;1 , nota la quale possiamo determinare G~11. Dobbiamo dunque ssare due
sistemi di riferimento opportuni per passare alla rappresentazione matriciale [Q] della diade Q,
determinare [Q];1 e cos ottenere la diade Q;1. In un mezzo omogeneo il sistema di riferimento
sferico ore notevoli vantaggi. Introducendo il sistema sferico k ! (k;; ) (vedi Fig. 2.1), i
cui tre versori sono k^, ^, ^ (corrispondenti a r^, ^ ,^ spaziali), il termine k k, puo anche essere
scritto come k2 k^k^, visto che k = kk^. La diade identita e data da
I = k^k^ + ^^ + ^^
(2.46)
versione 2.1.0
2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
23
z
^
β
^
k
α^
α
y
β
x
Figura 2.1. Sistema di riferimento sferico (k^, ^ , ^)
e dunque la diade Q puo essere scritta come
Q = (!2 ; k2 )(k^k^ + ^^ + ^^) + k2k^k^ =
= !2 k^k^ + (!2 ; k2 ) (^^ + ^^)
(2.47)
Notiamo che con la scelta del sistema di riferimento sferico otteniamo una matrice [Q] diagonale,
come si vede dall'assenza di accostamenti tra versori coordinati di tipo misto. Vale a dire che
Qij = u^i Q u^j = 0 se i 6= j
(2.48)
(per esempio Q12 = k^ Q ^ = k^ (!2 ; k2 ) ^ = 0 perche (k^k^) ^ = k^ (k^ ^) = 0,
(^^) ^ = ^ (^ ^) = ^ e (^^) ^ = ^ (^ ^) = 0). Di conseguenza
2 2
! 0
6
2
[Q] = 4 0 ! ; k2
0
e ovviamente
0
2 1
66 !20
;
1
[Q] = 4
0
0
1
!2 ;k2
E altrettanto immediato scrivere la diade Q;1:
0
3
0
75
0
!2 ; k2
0
0
1
!2 ;k2
3
77
5
Q;1 = !21 k^k^ + !21; k2 (^^ + ^^)
(2.49)
(2.50)
(2.51)
versione 2.1.0
24
Irradiazione nello spazio libero
Dato che
si ha
Q G~11 = j! I
(2.52)
G~11 = Q;1 j!I = j! Q;1 I =
#
"
= j! 21 k^k^ + 2 1 2 (^^ + ^^) =
! ! ; k
"
#
(2.53)
1 k^k^ + ! (^^ + ^^)
= j !
!2 ; k2
Dalla coppia di sistemi (2.39) e (2.40) hsi iricavano G~12 , G~21 , G~22, e dunque abbiamo completamente determinato la matrice di diadi G~ .
2.2.2 Calcolo della funzione di Green spaziale
Il problema successivo e il ritorno al dominio spaziale dal dominio spettrale. Iniziamo con il
denire due grandezze nel dominio spettrale
~ k) = 2 1 2 = ~ (k)
G~ (k) = ;Q;1 ; (
(2.54)
k ; ! Riscriviamo allora l'espressione di G~ (k) tenendo conto che
^kk^ = k 2k = (;jk)(;jk) ; 12
k
k
Otteniamo la seguente espressione:
G~ (k) =
(2.55)
!
1
I
+ 2 1 2 ; 21 k^k^ =
2
2
k ; ! ! ; k ! (2.56)
! "
#
2
k
1
~ k) I ; 2 k^k^ = I + 2 (;jk)(;jk) (
~ k)
= (
! ! Questa manipolazione ci consente di calcolare l'antitrasformata G~ (k) in forma chiusa. Dato che
3
FT;3f I g = I ; ;jk FT! r
si ottiene infatti la seguente espressione formale
n o
G(r) = FT;3 G~ (k) =
essendo
versione 2.1.0
(2.57)
!
I + !rr
2 (r )
(r) = FT;3f ~ (k) g
(2.58)
(2.59)
2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
25
Alla diade G(r) diamo il nome di funzione diadica di Green. Si ottiene allora, partendo dalla
forma spettrale
2
3
h ~ i 6 ;j! G~ jk G~ 7
(2.60)
G (k) = 4
5
~
~
;jk G ;j! G
il seguente risultato nel dominio spaziale:
3
2
h i 6 ;j! G ;r G 7
(2.61)
G (r ) = 4
5
r G ;j! G
La soluzione e dunque formalmente ricavata, ma e possibile semplicarla eliminando il rotore
di G. Infatti se poniamo
G~ 0 = ;jk G~
(2.62)
notiamo che e possibile scrivere
"
#
1
0
~ k)
~
(2.63)
G (k) = ;jk I + !2 (;jk)(;jk) (
Si puo ora notare che
(;jk) (;jk)(;jk) = [ (;jk) (;jk) ] (;jk) = 0
e quindi si semplica l'espressione di G~ 0(k) nel modo seguente:
cioe, antitrasformando
(2.64)
G~ 0(k) = ;jk I ~ (k) = ;jk ~ (k) I
(2.65)
G 0 (r) = r(r) I
(2.66)
2.2.3 Funzione di Helmholtz e onde sferiche
La funzione (r); nota come funzione di Green scalare o funzione di Helmholtz, e l'antitrasformata di Fourier di ~ (k), cioe
Z
~ k) e;jkr
(2.67)
(r) = (21 )3 3 d3k (
R
Come riportato in App. D si ottiene
1 e;jk0r = (r)
(r) = 4r
(2.68)
con k02 !2. Osserviamo che la funzione di Helmholtz risulta funzione non del vettore di
osservazione, bens solo del suo modulo, cioe della distanza di osservazione. La funzione di
~ k) ha un polo per k k = k02 : questa relazione e gia nota, trattandosi
trasferimento spettrale (
della relazione di dispersione di un'onda piana. Questo ci consente di dire che le onde piane sono
possibili modi del nostro sistema, cioe sono soluzioni libere, che si autosostengono a sorgenti
versione 2.1.0
26
Irradiazione nello spazio libero
nulle, come gia visto altrimenti. Possiamo aggiungere che i poli si trovano su una supercie
sferica di raggio k0 nello spazio k, e che il vettore k ha solo il modulo ssato dalla relazione
di dispersione, non la direzione; quindi sono possibili onde piane in qualunque direzione, anche
se in realta le onde piane non sono oggetti sici, come abbiamo gia discusso in precedenza. In
presenza di perdite, le quali garantiscono l'univocita del risultato, si ha k02 2 C , quindi i poli
non sono sull'asse reale e non ci sono ambiguita nel calcolo della funzione di Helmholtz con il
lemma di Jordan. Il caso senza perdite, per cui k02 2 R, va invece trattato come caso limite del
caso con perdite, quando la parte immaginaria di k02 e molto piccola: in tal caso l'esponenziale
della funzione di Helmholtz tende ad essere un esponenziale puramente di fase.
La presenza di tale esponenziale dice che la funzione di Helmholtz (r) rappresenta un'onda;
le superci a fase costante e ad ampiezza costante sono date rispettivamente da
k0 r = cost ) r = cost
(2.69)
1 = cost ) r = cost
jj = cost ) 4r
(2.70)
Trattandosi di superci sferiche possiamo concludere che (r) e un'onda sferica. In eetti intuitivamente se pensiamo al campo generato da una sorgente concentrata in un punto possiamo
immaginare che la perturbazione abbia un andamento di tipo sferico (si pensi ad un sasso che
cade in acqua: la perturbazione e circolare perche in due dimensioni).
Per convincerci che (r) si espande nel tempo sfericamente possiamo esaminarla nel dominio
del tempo. Consideriamo un segnale del tipo
1 e;j !c r
(2.71)
X (r;!) = A(!) 4r
(k0 = !c , essendo c la velocita della luce nel vuoto) dove A(!) indica l'ampiezza della trasformata
del nostro segnale. Chiamando a(t) l'antitrasformata di A(!), si ha
Z +1 A(!) !
x(t) = F ;1fX (!)g = 21
d! 4r e;j c r ej!t =
;1
(2.72)
1 a t ; r = 4r
c
Fissando un istante di tempo e evidente che i punti spaziali alla stessa ampiezza sono sulla sfera
descritta da r = ct, con l'altrettanto evidente espansione del raggio di tale sfera al trascorrere del
tempo. Anche in assenza di perdite si ha comunque una diminuzione della densita di potenza
come r12 all'aumentare della distanza r dalla sorgente in ogni punto: cio e semplicemente
dovuto al fatto che l'onda si allarga e quindi la potenza totale irradiata deve rimanere costante,
ma su uno spazio sempre maggiore, cioe l'energia si ridistribuisce su una supercie sempre
piu grande (torneremo su questo aspetto parlando dell'irradiazione di un dipolo elementare in
campo lontano).
Per dimostrare che eettivamente la funzione di Helmholtz rappresenta un'onda dobbiamo
comunque provare che essa soddisfa ad una equazione d'onda. Partendo dalla denizione
1
~ k) =
(2.73)
(
k k ; !2
versione 2.1.0
2.2 { Il problema dell'irradiazione nello spazio libero
scriviamo
k k ~ (k) ; !2 ~ (k) = 1
i~
h
k) = 1
; (;jk) (;jk) + !2 (
che nel dominio spaziale corrisponde a
2 2 r + ! (r;!) = (r)
27
(2.74)
(2.75)
(2.76)
che e appunto l'equazione scalare di Helmholtz, cioe l'equazione d'onda nel dominio della frequenza, cui corrisponde nel dominio del tempo l'equazione di D'Alembert
2!
@t2
r2 ; @
(r;t) = (r) (t)
(2.77)
essa rappresenta l'equazione delle onde, ma con un termine esplicito di sorgente. Possiamo
anche cercare l'equazione cui deve soddisfare G~ (k). Ricordando che
G~ (k) = ;Q;1
(2.78)
otteniamo
Q G~ (k) = ;I
possiamo dunque scrivere
h 2 2
i
(k ; ! ) I ; k k G~ (k) = I
Questa espressione era stata ricavata manipolando l'espressione seguente:
i
h
; k (k I ) + !2 I G~ (k) = I
n
h
i
o
(;jk) (;jk) I ; k02 I G~ (k) = I
Otteniamo dunque nel dominio spaziale
h
i
r (r I ) ; k02 I G(r) = (r) I
(2.79)
(2.80)
(2.81)
(2.82)
(2.83)
cioe l'equazione d'onda vettoriale che si puo ricavare partendo dalle equazioni di Maxwell.
2.2.4 Caratterizzazione di lontananza e vicinanza dalle sorgenti
L'espressione esplicita di G e G0 si puo inne ricavare mediante una valutazione integrodierenziale oppure mediante la valutazione dei termini r e rr, ambedue riportate in
App. E. Si ottiene:
h
i
G(r) = A(k0r) r^r^ + B (k0r) (^^ + ^^) (r)
(2.84)
dove si e posto
!
1
j
(2.85)
A (k0r) = 2 k r + (k r)2 ; B (k0 r) = 1 ; A(k20r)
0
0
e
G0(r) = ;jk0 C (k0r) (^^ ; ^^) (r)
(2.86)
versione 2.1.0
28
Irradiazione nello spazio libero
dove il termine (^^ ; ^^) deriva dal prodotto
r^ I = r^ ^^ + ^^ = ^^ ; ^^
e dove si e posto
C (k0r) = 1 ; kj r
0
(2.87)
(2.88)
Da tali espressioni si puo notare la presenza di un termine 1 a fattore, mentre per il resto
r
r non compare mai se non moltiplicato per k0. Questo signica che il termine k0r
k0r = 2 r
(2.89)
0
e quello che esprime l'eetto della distanza della sorgente (in r = 0) sui fenomeni elettromagnetici. Quindi il metro della valutazione della distanza da sorgenti elettromagnetiche e \tarato"
in lunghezze d'onda (del mezzo in cui ci si trova). Distinguiamo allora fra campo lontano,
osservato lontano dalla sorgente, per r 0 e campo vicino, osservato nelle vicinanze della
sorgente, per r 0. Va notato che la vicinanza e la lontananza dalle sorgenti dipendono dalla
frequenza che si considera e la condizione r = rfc 1 signica vicinanza alla sorgente se si
0
ragiona a f ssata, oppure bassa frequenza se si considera r ssato; alternativamente r 1
0
esprime la condizione di campo lontano o di alta frequenza. Questa dualita frequenza - distanza
e una caratteristica importante delle equazioni di Maxwell ed esprime una proprieta generale
di riscalamento: per esempio la riessione di onde elettromagnetiche da parte di un aereo e
uguale a quella alla frequenza di 100 MHz di un modellino in scala 1:100 alla frequenza di 10
GHz.
La distinzione fra campo lontano e campo vicino e molto utile per semplicare, tramite delle
approssimazioni, le conclusioni generali cui siamo pervenuti risolvendo le equazioni di Maxwell.
Ovviamente il campo lontano e molto piu importante ai ni delle Telecomunicazioni, tuttavia
nella pratica il campo vicino e utile per la soluzione numerica di problemi di elettromagnetismo
nonche per descrivere l'accoppiamento tra antenne aancate.
2.2.5 Integrali di irradiazione
Abbiamo gia determinato la funzione di Green e ci resta dunque da antitrasformare la relazione
" ~# h i " ~ #
E
Je
~
(2.90)
H~ = G (k) J~m
Possiamo dunque scrivere
8 ~
>
< E (k) = G~11 (k) J~e(k) + G~12 (k) J~m (k)
>
: H~ (k) = G~ (k) J~e(k) + G~ (k) J~m(k)
21
22
Se consideriamo una sola componente delle relazioni vettoriali abbiamo, ad esempio
E~x = G~11 (k) xx J~ex(k) + G~12 (k) xx J~mx (k)
versione 2.1.0
(2.91)
(2.92)
2.3 { Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico
e quindi possiamo antitrasformare ottenendo l'usuale prodotto di convoluzione
Ex = G 11 (r) xx Jex(r) + G 12 (r) xx Jmx (r)
29
(2.93)
E allora chiaro che raggruppando le componenti si ottiene
E (r) =
Z
d3 r0 G 11 (r ; r0) J e(r0) +
3
R
Z
R3
d3r0 G 12 (r ; r0) J m (r0)
(2.94)
Z
Z
(2.95)
H (r) = 3 d3r0 G 21(r ; r0 ) J e(r0) + 3 d3r0 G 22(r ; r0 ) J m(r0)
R
R
che si chiamano integrali di irradiazione e si possono compattare introducendo un prodotto di
convoluzione rispetto al prodotto scalare, indicato con il simbolo \" (siccome non useremo mai
il prodotto di convoluzione per il prodotto esterno non c'e rischio di ambiguita), sicche
8 E (r) = G (r) J (r) + G (r) J (r)
>
e
m
<
11
12
(2.96)
>
: H (r) = G (r) J e(r) + G (r) J m (r)
21
22
ovvero, in una forma ancora piu compatta:
" # h i " #
E = G (r) J e
(2.97)
H
Jm
E evidente che gli integrali di irradiazione sono in generale complicati da risolvere, ma
vedremo dei casi in cui si possono fare delle utili semplicazioni.
2.3 Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di
campo quasi-statico
Supponiamo di essere nella condizione di campo vicino, cioe k0r 1, e supponiamo anche
di non avere sorgenti di tipo magnetico, cioe J m = 0. Come abbiamo appena visto il campo
elettrico e il campo magnetico sono esprimibili in termini di integrali di irradiazione. Si puo
dunque scrivere:
8
Z
>
E
(
r
)
=
;
j
!
d3r0 G(r ; r0 ) J e(r0)
>
<
R3
(2.98)
Z
>
>
0
0
0
0
3
: H (r) = 3 d r G (r ; r ) J e(r )
R
dove, essendo k0r 1 e quindi k1r 1, le espressioni A(k0r), B (k0r) e C (k0r) assumono
0
asintoticamente la seguente forma:
A(k0r) ' (k 2r)2 ; B (k0r) ' ; (k 1r)2 ; C (k0r) ' ; kj r
(2.99)
0
0
0
come si ottiene facilmente a partire dalle espressioni generali delle tre quantita. Vogliamo
adesso vedere se e come le espressioni trovate si riducono a quelle statiche (o quasi-statiche)
versione 2.1.0
30
Irradiazione nello spazio libero
note dal Corso di Fisica II. Analizzeremo quindi il caso k0r 1 ed esamineremo anche il limite
piu propriamente statico, cioe ! ! 0. Nel fare cio assumeremo J m = 0, riconducendoci cos al
caso statico usuale.
Iniziamo con la determinazione del campo magnetico, la quale non da grandi problemi; per
semplicita consideriamo una corrente rettilinea con J e k z^. Sotto questa ipotesi si ha
G 0(r) z^ = ;jk0 C (k0r) (r) (h^^ ; ^^) z^ = i
(2.100)
= ;jk0 C (k0r) (r) ^ (^ z^) ; ^ (^ z^)
Siccome ^ z^ = ; sin e ^ z^ = 0 possiamo scrivere
G 0 (r) z^ = jk0 C (k0r) (r) sin ^
(2.101)
Si puo notare che il campo magnetico e sempre diretto lungo ^, 8(k0 r), come nel caso magnetostatico gia noto.
Vogliamo adesso ottenere il risultato del campo magnetostatico per una geometria generale
di lo percorso da corrente, a partire dalle relazioni che abbiamo sinora ottenuto tramite un
processo al limite, cioe considerando la frequenza tendente a zero. Supponiamo quindi di avere
un lo generico su cui sia impressa una corrente J e, caratterizzato dall'ascissa curvilinea s,
dalla curva specicata da r = r (s) e dal versore tangente s^ in ogni punto, avente inoltre
dimensione trasversale caratteristica a e lunghezza totale L (vedi Fig. 2.3), con a L.
L
a
Figura 2.2. Filo generico (a L).
Scriviamo la J e per tale lo iniziando a considerare il caso piu semplice, un lo rettilineo con
J e k z^, cioe J e(x;y;z) = (x)(y)I (z)^z , dove
I (z ) =
Z
t
d z^ J e
(2.102)
essendo t la sezione trasversale del lo. Cio si estende al caso generale scrivendo J e(r) =
(r ; r )I (s)^s, dove
Z
I (s) = d s^ J e
(2.103)
t
versione 2.1.0
2.3 { Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico
31
s
L
a
γ
s^
rγ
O
Jc
Figura 2.3. Calcolo del campo generato da una corrente che uisce lungo un lo.
e dove la di linea (r ; r ) e denita dal fatto di \campionare" solo lungo i punti della curva
, trasformando un integrale di volume in uno di linea; matematicamente diremo che
Z
Z
d3 r f (r) (r ; r (s)) = ds f (r (s))
(2.104)
da cui e chiaro che le dimensioni di (r ; r ) sono [m;2].
Si noti che nel caso esattamente statico deve essere I (s) = cost. Usando la seconda equazione
delle (2.98) e l'espressione di J e possiamo scrivere il campo magnetico come
H (r) =
=
=
=
=
Z
R3
ZL
0
ZL
0
ZL
0
ZL
0
d3r0 G 0(r ; r0 ) s^ (r0 ; r (s)) I (s) =
ds G 0(r ; r (s)) I (s) s^ =
h
i
ds r(r) I I (s) s^ =
(2.105)
ds [ r(r) s^ ] I (s) =
h
i
ds g(r ; r ) s^ I (s)
avendo posto r(r) = g(r). Passando al limite per ! ! 0, cioe per k0 ! 0 (k0 = ! ) si ottiene
c
d = ; r^
g0(r) = !lim
g
(
r
)
=
lim
r
^
(2.106)
!0
k0 !0 dr
4r2
Il campo magnetico quasi-statico e dato allora da
H 0 (r) = klim
H (r) =
0 !0
ZL
0
ds g0(r ; r ) s^ I (s)
(2.107)
versione 2.1.0
32
Irradiazione nello spazio libero
Ponendo d = r ; r (vedi Fig. 2.4), si ottiene
^
g0 (d) = ; d 2
4r ; r ZL
h
i
H 0 (r) = ; ds 1 2 d^ s^ I (s)
0
4r ; r (2.108)
(2.109)
Questa relazione esprime un risultato ben noto nel caso magnetostatico: la legge di Biot-Savart.
γ
^s
ds
d
d^
r
rγ
O
Figura 2.4. Legge di Biot-Savart.
Dunque la formula generale che esprime il campo magnetico e coerente con i risultati gia noti
dal campo statico.
E ragionevole pensare che cio valga anche per il calcolo del campo elettrico, cioe che si
possano ottenere le relazioni dell'elettrostatica a partire dall'espressione generale del campo
elettrico in campo vicino. Per k0 ! 0 abbiamo
G ' (k 1r)2 / !12
(2.110)
0
da cui, per la presenza del termine ! a fattore nell'espressione del campo elettrico
1
Z
3
0
E / ! 3 d r : : : !2 ) E / !1
(2.111)
R
Sembrerebbe allora che E diverga per ! che tende a 0, e questo appare evidentemente un paradosso. In realta occorre osservare che nel campo elettrostatico le cariche elettriche sono ferme,
e dunque il termine di corrente J e legato a cariche elettriche in moto e nullo. Il problema va
riformulato introducendo esplicitamente la densita volumica di carica elettrica q(r;t) (misurata
in C m;3), a norma dell'equazione di continuita r J e + @ q = 0. Tale equazione mette in
@t
evidenza che le due sorgenti non sono indipendenti: spesso si utilizza J e per lo stesso motivo
per cui in uidodinamica un uido viene studiato dal punto di vista macroscopico e statistico,
versione 2.1.0
2.3 { Dalle equazioni di campo vicino alle equazioni di campo quasi-statico
33
e non studiando il moto di ogni sua singola particella. Nel dominio della frequenza, e poi nel
dominio spettrale, si ha
3
FT
r J e(r;!) + j!q(r;!) = 0 ;!
;jk J~e(k;!) + j!q~(k;!) = 0
Ponendo J m = 0 e ricordando che
(
)
~ k)
G~ (k) = I + !21 (;jk)(;jk) (
(2.112)
(2.113)
si ha
E~ (k) = ;j! G~ (k) J~e(k) =
= ;j! ~ (k) J~e(k) ; j! !21 (;jk)(;jk) J~e(k) ~ (k) =
~ k) q~(k)
= ;j! ~ (k) J~e(k) ; 1 (;jk)(
Si puo passare, a questo punto, nel dominio spaziale ottenendo
Z
Z
1
3
0
0
0
0
0
0
3
E (r) = ;j! 3 d r (r ; r ) J e(r ) ; r 3 d r (r ; r ) q(r )
R
R
Passando al limite si ottiene facilmente
1
0(r) = !lim
(
r
)
=
!0
4r
"Z
#
1
1
3
0
0
E 0 (r) = !lim
E (r) = ; r 3 d r 4 jr ; r0 j q(r )
!0
R
cioe
#
"Z
1
3
0
0
E 0(r) = ;r 3 d r 4 jr ; r0j q(r )
R
(2.114)
(2.115)
(2.116)
(2.117)
(2.118)
Come ci aspettavamo abbiamo ottenuto l'espressione del campo elettrostatico, in cui la quantita
1
0
4 jr ; r0j q(r ) e il potenziale generato da una carica elettrica elementare. Il suo integrale
rappresenta dunque la sovrapposizione dei contributi di potenziale dovuti alle singole cariche,
quindi si puo denire come potenziale scalare nel modo seguente:
(r) =
Z
R
Z
1
3 r0
0) = ; 1
3 0
0
0
d
q
(
r
3
4 jr ; r0j
j! 3 d r 0 (r ; r ) r J e(r )
R
(2.119)
in modo da porre l'equazione dell'elettrostatica in forma di campo irrotazionale
E 0(r) = ;r(r)
(2.120)
versione 2.1.0
34
Irradiazione nello spazio libero
2.4 Formulazione del campo elettromagnetico in termini
di potenziali
Dunque abbiamo visto come le relazioni che si ottengono in campo vicino sono perfettamente
coerenti con le equazioni del campo statico quando ! ! 0, cioe nel caso di campo quasi-statico.
Dall'analisi delle (2.114) e (2.115) notiamo che in generale il campo elettrico ha sempre, 8!,
un termine irrotazionale (il termine di gradiente nella (2.115)) e che e presente un ulteriore
termine che compare a frequenza non nulla; scriviamo allora
(2.121)
E (r) = ;j!A(r) ; r(r)
dove
Z
~ k) q~(k)
(r) 1 3 d3r0 (r ; r0) q(r0 ) ; ~ (k) 1 (
(2.122)
R
e
Z
(2.123)
A(r) 3 d3r0 (r ; r0) J e(r0) ; A~(k) = ~ (k) J~e(k)
R
Il termine non irrotazionale A(r) nella (2.121) e intimamente legato al campo magnetico H ,
cioe agli eetti elettromagnetici propri dei campi dinamici. Infatti dalla (2.60) e dalla seconda
delle (2.91) abbiamo
H~ (k) = ;jk G~ J~e(k) = G~ 0(k) J~e(k) =
(2.124)
~
~
~
~
= ;jk I (k) J e(k) = ;jk J e(k)(k)
ovvero, per confronto con la (2.123)
H~ (k) = 1 ;jk A~(k)
(2.125)
In analogia al potenziale elettrico nel caso elettrostatico il vettore A(r) prende il nome di
potenziale vettore.
In generale dunque si puo concludere che
8
>
>
< E (r) = ;j!A(r) ; r(r)
(2.126)
1
>
: H (r) = r A(r)
Come noto il potenziale scalare (r) non e denito in modo univoco e si puo vedere che tale non
univocita sussiste anche per il potenziale vettore. Infatti considerando un potenziale vettore
A0 = A + rU si ha H 0 = H ma ancora E 0 6= E ; pero se si pone 0 = ; j!U , allora si
ha eettivamente anche E 0 = E . Cio e una diretta conseguenza del fatto che due vettori
che dieriscono per un gradiente hanno lo stesso rotore, e due scalari che dieriscono per una
quantita costante hanno lo stesso gradiente. Ogni particolare scelta che si puo fare sui termini
da aggiungere ai due potenziali e detta gauge, e la scelta piu usuale nei problemi di irradiazione
e detta gauge di Lorentz, vale a dire la seguente:
r A + j!() = 0
(2.127)
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
35
Con il gauge di Lorentz si dimostra che le equazioni d'onda di Maxwell equivalgono a due
equazioni di Helmholtz del tipo
8
>
2 + k2 (r) = ; 1 q (r)
r
>
0
<
(2.128)
>
>
: r2 + k02 A(r) = ; J e(r)
Si tratta di due equazioni che in spazio libero (dove non si considerano le condizioni al contorno) sono disaccoppiate, e che costituiscono lo stesso risultato che si era ottenuto mediante la
rappresentazione spettrale.
Notiamo che mettendo insieme potenziale scalare e potenziale vettore si ottengono quattro
grandezze scalari: si parla di quadripotenziale. Uno dei modi di risolvere le equazioni di Maxwell
e proprio quello che presuppone la formulazione del campo elettromagnetico in termini di
potenziali, strada che noi non abbiamo seguito, preferendo il metodo della funzione di Green.
Il gauge di Lorentz permette allora di ottenere esattamente i potenziali che avevamo ottenuto
in precedenza, mentre i campi sono comunque gli stessi per il noto teorema di unicita.
Ricordiamo che questa formulazione con i potenziali e stata fatta nel caso J m = 0. Quando
tale non sia il caso e necessario introdurre opportuni potenziali duali (uno scalare per le caratteristiche elettriche e uno vettoriale per le caratteristiche magnetiche).
Sottolineiamo inne che la funzione di Helmholtz compare negli integrali che esprimono i potenziali, dunque assume, fra l'altro, il ruolo di funzione di Green per i potenziali: cio giustica
il nome di \funzione di Green scalare" che le avevamo attribuito.
2.5 Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
2.5.1 Irradiazione di una sorgente generica e regione di Fraunhofer
Consideriamo ora il campo irradiato da una sorgente di dimensioni nite, a \grande" distanza
dalla sorgente stessa; i criteri per valutare questa distanza sono legati alle dimensioni caratteristiche della sorgente e alle approssimazioni che si vogliono fare sulla funzione di Green.
Supponiamo dunque di avere una regione , avente centroide 0 e dimensione caratteristica h,
in cui sono racchiuse le sorgenti J e e J m del campo; h e cioe il diametro della sfera minima,
avente centro 0, che contiene tutte le sorgenti:
h = max jr0j
(2.129)
2 r 0 2
Supponiamo di voler valutare il campo in un punto P individuato dal vettore r = P ; O rispetto
all'origine 0 del riferimento, come in Fig. 2.5. L'espressione esatta del campo elettrico irradiato
dalla sorgente ed osservato nel punto r e data da
Z
Z
E (r) = ;j! d3r0 G(r ; r0) J e(r0) ; d3 r0 G 0(r ; r0) J m (r0)
(2.130)
Sfruttando l'ipotesi di essere a grande distanza dalla sorgente ovvero ad una distanza d h,
possiamo introdurre delle approssimazioni sulla funzione diadica G. Ciascuno dei due integrali
versione 2.1.0
36
Irradiazione nello spazio libero
r-r’ = d
r′
Je
h
O
P
r
Ω
Jm
Figura 2.5. Volume racchiudente le sorgenti.
di irradiazione puo essere visto come la somma di molti contributi elementari, ciascuno dovuto
ad una sorgente elementare d3r0 J e(r0 ), come nel primo integrale della (2.130), avente le dimensioni di un momento elettrico (infatti d3 r0 si misura in m3 e J e(r0) in A m;2), oppure di un
momento magnetico, come nel secondo integrale della (2.130). Tali contributi sono in funzione
del vettored = r ; r0, che indica la posizione dell'osservatore vista dal punto Q = O + r0 detto
punto di sorgente (o anche punto potenziante) mentre P = O + r e il punto di osservazione
(anche detto punto potenziato). Come mostrato in Fig. 2.6, la diadica di Green nella (2.130) e
quindi G(r ; r0) = G(d). Cerchiamo ora come estrarla dal segno di integrale per semplicare
quest'ultimo. La diadica data dalla (2.84) ha qui espressione:
h
i
(2.131)
G(d) = A(k0d)d^d^ + B (k0d)(^d ^d + ^d^d ) (d)
dove le funzioni A(k0d) e B (k0d) sono date dalla (2.85) e (d) dalla (2.68).
Introduciamo ora un'approssimazione di tipo geometrico: allontanandosi dalla sorgente in modo da poterla considerare puntiforme, cioe in modo tale che l'angolo solido sotto cui e vista
dal punto di osservazione P sia molto piccolo, si nota che l'angolo che discrimina le direzioni r e d tende ad annullarsi, come si puo notare dalla Fig. 2.7. Essendo h2 = maxr02
jr0 j,
P
r
O
^z
r’
Q
d
^y
^x
Figura 2.6. Sistema di riferimento centrato nel punto di sorgente Q = O + r0 .
avremo d^ = r^ + O( h=r 2 ) (infatti l'errore e proporzionale alla tan ). L'entita dell'errore dipende quindi dalla distanza del punto di osservazione r e per r h si ha d^ ' r^, possiamo quindi
approssimare i versori d^, ^d e ^d contenuti nella diade G con r^, ^ e ^, ossia
d^ ' r^
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
37
d
r’
^r
δ
r
Figura 2.7. Approssimazione di d con r.
^d ' ^
^d ' ^
A questo punto il nostro obbiettivo e quello di approssimare le due funzioni d1 e e;jk0d contenute nell'espressione di G(d) (eq.(2.131)). Considerando d = d (r ; r0), vogliamo determinare
l'approssimazione necessaria per eliminare la dipendenza da r0. Scriviamo allora
q
0 r
0
d = jr ; r j = (r ; r0 ) (r ; r0) = r rb ; r = r (1 + )
(2.132)
dove
0 j = h=2
j
r
1r max
(2.133)
0
r 2
r
e l'errore introdotto approssimando d con r. Il caso peggiore si presenta quando r0 e opposto
ad r e d = r + r0. Data la maggiorazione (2.129) si puo scrivere allora
!
h
(2.134)
d = r + O 2r
Per quanto riguarda il termine di ampiezza (1=d) abbiamo
1=1 1
(2.135)
d r 1+
ovvero, sviluppando in serie
!
1 = 1 (1 ; + : : :) = 1 + O h
(2.136)
d r
r
r
Notiamo che l'errore puo essere reso piccolo a piacere semplicemente imponendo r h. Grazie
a questa approssimazione abbiamo
A(k0 d) ' A(k0r)
B (k0 d) ' B (k0r)
versione 2.1.0
38
Irradiazione nello spazio libero
Per quanto riguarda il termine di fase, abbiamo invece
d = r + ; j j h2 ) k0d = k0r + k0
(2.137)
dove k0 rappresenta l'errore di fase maggiorabile come
k0 k0 h2 = 2 h2
(2.138)
0
Tale errore non dipende dalla distanza di osservazione, cioe allontanandosi a piacere dalla
sorgente non si riesce mai ad ottenere una limitazione per questo termine. Per questo motivo
l'approssimazione di ordine zero, d = r, non puo essere sfruttata per la fase, a meno che
h= 1 (e un caso quasi banale in cui anche l'esponenziale nella (2.131) si apprrossima ad 1,
che considereremo in seguito). Ponendo quindi D(r;r0 ) = d ; r possiamo comunque scrivere il
campo estraendo dall'integrale la diade di Green e lasciando al suo interno cio che rimane del
termine di fase in funzione di D. Avremo quindi
Z
E (r) = ;j!G(r) d3r0 e;jk0D J e(r0)
(2.139)
Questa approssimazione rimane valida anche per gli altri termini del campo elettrico e magnetico per cui avremo:
Z
Z
E (r) ' ;j! G(r) d3r0 e;jk0D J e(r0) ; G0(r) d3r0 e;jk0D J m (r0)
Z
Z
H (r) ' ;j! G(r) d3r0 ejk0D J m(r0) + G0 (r) d3 r0 ejk0D J e(r0)
(2.140)
(2.141)
0
Cerchiamo ora di approssimare il termine di fase. Dato che comunque rr h=r 2 1, cerche0
remo uno sviluppo di d in serie di Taylor in funzione di rr . Scriviamo
d =
q
q
(r ; r0 ) (r ; r0) = r2 + (r0)2 ; 2 r r0 =
r0 2 r r0 s r0 2
0
= r 1 + r ; 2 r2 = r 1 + r ; 2 (^r r^0) rr
s
(2.142)
e ponendo
0 !2
0
0!
r
r
r
0
x = r ; 2 (^r r^ ) r = O r
possiamo determinare lo sviluppo in serie di Taylor della radice
1 1
p
2
d = r 1 + x = r 1 + 2 x ; 8 x + :::
versione 2.1.0
(2.143)
(2.144)
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
39
Arrestando lo sviluppo al termine quadratico per l'errore di approssimazione cos compiuto
possiamo scrivere
2 0 !2
3 2 0 !2
32
0
0
d ' r + 21 r 4 rr ; 2(^r r^0) rr 5 ; 8r 4 rr ; 2(^r r^0) rr 5 =
2 0 !4
3
0 !2
0 !2
0 !3
r
r
r
r
r
1
= r + 2 r r ; (^r r^0) r0 ; 8 4 r + 4(^r r^0)2 r ; 4 r (^r r^0)5 =
!3
h
i r0 !2
h
1
0
2
0
= r ; r^ r + r 1 ; (^r r^ )
2
r +O r
Se inoltre poniamo
0 !2 h
i
1
r
r = r 2 r 1 ; (^r r^0)2
otteniamo la seguente espressione per k0d:
!3
h
k0 d = k0 r ; k0
0 r + O
r
Arrestandoci al termine lineare otteniamo la nuova approssimazione per d
(2.145)
(2.146)
r^ r0 + k
(2.147)
d ' r ; r^ r0
(2.148)
Imponiamo, inne, una limitazione all'errore che si commette con la (2.148) imponendo
= k0r (dove e un numero piccolo), e dunque
0 !2 h
i
2
1
r
= 2 r r 1 ; (^r r^0)2
0
(2.149)
Sapendo che r0 h e che r^ r^0 1 ovvero [1 ; (^r r^0)2] 1 abbiamo
2
2
2
(2.150)
2 12 h r=4 ) h r 4
0
0
2
1
h
La scelta convenzionale che si fa per e = 8 , cioe 8 e quindi r 21 , ovvero
0
2h2 1 ) r 2h2
(2.151)
0 r
0
2
La distanza rmin = 2h viene detta distanza di Fraunhofer e la regione r > rmin regione di
0
Fraunhofer. Si noti che la scelta = e un limite superiore all'errore di fase, in quanto gli
8
versione 2.1.0
40
Irradiazione nello spazio libero
errori di fase tendono comunque, in genere, a cancellarsi. Se e quindi vericata la condizione
(2.151) e valida la seguente relazione asintotica:
(2.152)
e;jk0D ' ejk0 r^r0
e quindi possiamo scrivere
Z
(2.153)
E (r) = ;j!G(r) d3r0 e;jk0r^r0 J e(r0)
Il discorso fatto si puo ripetere per le sorgenti magnetiche e possiamo quindi generalizzare a
tutti i termini della formula:Z
Z
0
0
3
0
j
k
r
^
r
0
0
E (r) ' ;j! G(r) d r e
J e(r ) ; G(r) d3r0 ejk0r^r0 J m(r0)
(2.154)
Z
d3r0 ejk0 r^r0 J
Z
(r0 ) + G(r) d3r0 ejk0 r^r0 J e(r0)
H (r) ' ;j! G(r)
(2.155)
m
Si noti che i termini di sorgente sono presenti sotto il segno di integrale nella forma
Z
(2.156)
d3r0 ejk0 r^r0 J (r0 )
dove puo essere il pedice e oppure il pedice m. Il dominio di integrazione puo essere esteso
indierentemente da a tutto lo spazio, in quanto le sorgenti sono comunque limitate in ,
quindi
Z
3 r0 e+jk0 r^r0 J (r0 ) = FT3 fJ g d
(2.157)
k=k0 r^ = J~ (k0 r^)
R3
Quindi e possibile legare le proprieta del campo irradiato a quelle della trasformata di Fourier
delle sorgenti calcolate in k0r^.
0
2.5.2 Campo lontano
Alla luce di quanto detto sopra possiamo dare un'ulteriore riscrittura del campo come
(2.158)
E (r) ' ;j! G(r) J~e(k0r^) ; G0(r) J~m (k0r^)
H (r) ' ;j! G(r) J~m (k0r^) + G0(r) J~e(k0 r^)
(2.159)
dove
Z
~
J e(k0r^) = 3 d3r0 ejk0r^r0 J e(r0)
(2.160)
ZR
J~m (k0r^) = 3 d3r0 ejk0r^r0 J m(r0)
(2.161)
R
Assumiamo adesso che d (campo lontano) e quindi k0 d 1, il che implica G (r) ' I tr^ (r)
e G 0(r) ' ;jk0r^ I (r), avendo trascurato i termini k1r . Introducendo le notazioni
0
G0 (r) ;jk
Ga(r) (r) I tr^ ;
0 r^ I (r)
a
possiamo riscrivere le (2.158) e (2.159) come segue
E (r) ' ;j! Ga (r) J~e(k0r^) ; G0a(r) J~m (k0r^)
H (r) ' ;j! Ga(r) J~m(k0 r^) + G0a (r) J~e(k0 r^)
espressione del campo elettrico e magnetico in condizione di campo lontano.
versione 2.1.0
(2.162)
(2.163)
(2.164)
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
41
2.5.3 Sorgente piccola e dipolo elementare
Vogliamo adesso specializzare le conclusioni generali nora ricavate nel contesto di situazioni
particolari sempre piu complesse, al ne di introdurre lo studio delle antenne.
Iniziamo con il caso piu semplice possibile considerando un'antenna le cui dimensioni sono
piccole rispetto alla lunghezza d'onda h 0 . Questa caratteristica semplica i calcoli nell'integrale di irradiazione. Il campo elettrico e quello magnetico
sono espressi rispettivamente
0
j
k
r
^
r
0
che compare nell'espressione di
dalla (2.158) e dalla (2.159). Dato che h 0 il termine e
~
~
J e(k0r^) e J m(k0r^) puo essere trascurato. Infatti sotto questa ipotesi
(2.165)
k0r^ r0 k0 h2 = 2 h2 1 =) ejk0r^r0 ' 1
0
Le sorgenti equivalenti, date dalla (2.160) e dalla (2.161), diventano
J~e(k0 r^) '
J~m (k0r^) '
avendo denito i vettori
Z
R3
d3r0J e(r0) = M e
(2.166)
R3
d3r0J m (r0) = M m
(2.167)
d3r0 J e(r0)
(2.168)
Z
Me =
Z
Z
M m = d3r0 J m (r0 )
(2.169)
detti rispettivamente momento elettrico, che ha evidentemente le dimensioni siche di A m,
e momento magnetico, con le dimensioni siche di V m. Dunque in luogo delle trasformate
si hanno i momenti
elettrico e magnetico ordinari. Per tale ragione, in virtu del termine \di
peso" ejk0 r^r0 nelle J~e , J~m in (2.160) e in (2.161), questi ultimi si possono considerare momenti
elettrico e magnetico \generalizzati".
Se consideriamo, ad esempio, J m = 0, il campo elettrico e magnetico diventano
E (r) ' ;j! G(r) M e
H (r) ' G 0(r) M e
Per semplicita abbiamo considerato un'antenna centrata, cioe abbiamo considerato un sistema
di riferimento centrato nel centroide O della regione che contiene la struttura. Se quest'ultima
non e centrata, cioe si sceglie, ad esempio, l'origine del riferimento in un punto O0 = O + r0
all'esterno della regione che contiene l'antenna si ottengono le formule
8
>
< E (r) ' ;j!G(r ; r0) M e
(2.170)
>
: H (r) ' G 0(r ; r0 ) M e
dove r0 e il vettore posizione del centroide O0 della regione rispetto al nuovo riferimento.
Ricordando inoltre che (nel caso di J m = 0 nelle (2.158) e (2.159)) E (r) = ;j! G(r) J e(r)
e H (r) = G0 (r) J e(r), si conclude che un'antenna le cui dimensioni sono piccole rispetto
alla lunghezza d'onda, produce lo stesso campo di una sorgente matematicamente puntiforme,
versione 2.1.0
42
Irradiazione nello spazio libero
cioe descritta da J e(r) = M e(r ; r0), purche, pero, si osservi il campo a distanza suciente
dalla sorgente. Una sorgente puntiforme e detta abitualmente dipolo elettrico elementare di cui
parleremo piu dettagliatamente nel par. 2.6. Alla luce di quanto abbiamo detto no ad ora,
appare chiaro che il dipolo elementare e rappresentato matematicamente da una (r), mentre
sicamente e un'antenna piccola rispetto a . Un esempio tipico di realizzazione di dipolo
elementare e un lo rettilineo conduttore di lunghezza l, diretto per semplicita lungo z; in tal
caso la sorgente si puo porre nella forma
(2.171)
J e(x;y;z) ' (x) (y) I (z) z^
da cui
Z l=2
M e = z^
dz I (z)
(2.172)
l=2
e, se I (z) = cost = I , si ha jM ej = I l.
Quanto detto sinora vale sia in campo lontano (r ), sia nelle regioni intermedie e in campo
vicino (r ), purche h = l r, ovvero per poter considerare puntiforme una sorgente
bisogna osservare il campo ad una distanza r molto maggiore della dimensione caratteristica
h = l della sorgente. Si faccia comunque attenzione al fatto che la condizione r l1
non signica necessariamente che siamo in campo lontano, perche nella diseguaglianza r non
e confrontato alla lunghezza d'onda. Ad esempio se siamo alla frequenza f = 1 MHz e ci
troviamo ad una distanza di r = 10 m dal dipolo di lunghezza l = 1 m si ha rl 1, ma
anche r 0 perche 0 = 3 102 m.
2.5.4 Proprieta di direttivita e vettori di irradiazione
Possiamo notare che l'espressione del campo elettromagnetico in campo lontano nelle (2.158)
e (2.159) e molto simile a quella ottenuta per un dipolo elettrico elementare, per il quale
J e = M e(r), E (r) = ;j! Ga (r) M e. Questa stretta analogia e dovuta al fatto che il
campo viene osservato da un punto sucientemente lontano, s da considerare la sorgente come
puntiforme. Ma si deve notare che c'e una fondamentale dierenza fra il dipolo elementare e
la sorgente estesa: se consideriamo, senza perdere in generalita, il caso J m = 0 si nota che la
trasformata della corrente calcolata in k0r^, anche detta momento elettrico equivalente, non e
costante, ma dipende dalla direzione di osservazione r^, cioe da (;). Si tratta dell' importante
proprieta di direttivita: l'intensita del campo irradiato a distanza ssa dalla sorgente puo essere
marcatamente diversa da una direzione all'altra. Per una sorgente estesa dobbiamo pertanto
parlare di momento elettrico equivalente, la cui intensita dipende dalla direzione di osservazione.
Risulta conveniente separare, nell'espressione del campo elettromagnetico, il termine dipendente solo dalla direzione. Considerando l'espressione di E (r) ed H (r) abbiamo1
n
o ;jk0r
(2.173)
E (r) = ;j! I tr^ J~e(k0r^) + jk0 r^ I J~m (k0r^) e4r
o ;jk0 r
n
H (r) = ;j! I tr^ J~m (k0r^) ; jk0 r^ I J~e(k0r^) e4r
(2.174)
1 D'ora in poi useremo il simbolo \=" anzich
e il simbolo \'" per le relazioni asintotiche di campo lontano
esprimenti il campo elettrico e magnetico.
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
43
Il termine in parentesi grae esprime la dipendenza dei campi dalla direzione r^ ! (;).
;jk0 r
Inoltre, ssata una direzione di osservazione, il campo assume la forma di onda sferica e4r .
Cerchiamo quindi di riscrivere il campo in una forma che evidenzi il comportamento appena
descritto. Sfruttando la relazione
(2.175)
! = Z0k0 = Z0 2
0
otteniamo
(
) ;jk0r
j
k
0
E (r) = ;j! I tr^ J~e(k0r^) + ;j! r^ I J~m (k0r^) e4r
(2.176)
ovvero
;jk0 r
(2.177)
E (r) = ;jZ0 2 e4r P e(^r) = ;j 2Zr0 e;jk0r P e(^r)
0
0
avendo posto
0
P e(^r) = I tr^ J~e(k0r^) + ;jjk!
(^r I ) J~m(k0r^) =
(2.178)
1
= I tr^ J~e(k0r^) ; Z (^r I ) J~m (k0r^)
Analogamente per il campo magnetico,
0
;jk0 r
H (r) = ;j! e4r P m(^r) = ;j 2Yr0 e;jk0r P m (^r)
0
(2.179)
dove il vettore P m(^r) e dato da
k0 (^r I ) J~ (k r^) =
P m (^r) = I tr^ J~m(k0r^) + ;;jj!
e 0
= I tr^ J~m(k0r^) + Z0 r^ I J~e(k0r^)
(2.180)
avendo posto ! = k0 = Y0 2 . I vettori P e(^r) e P m (^r) sono detti vettori di irradiazione o
Z0
0
vettori di Schelkuno e contengono tutta l'informazione legata alle caratteristiche direttive del
campo irradiato da un'antenna, in quanto dipendono dalla sola direzione r^. Osservando le
espressioni (2.178) (2.180) notiamo che P e(^r) e P m (^r) sono legati dalla seguente relazione:
P m(^r) = Z0 r^ P e(^r)
(2.181)
2.5.5 Relazione di impedenza e vettore di Poynting
Si e vista l'analogia del campo irradiato da un dipolo e da una sorgente qualsiasi, in presenza
del termine di momento elettrico equivalente, cioe
M e ! J~e(k0r^)
(2.182)
versione 2.1.0
44
Irradiazione nello spazio libero
Ora, dal momento che nel dipolo e stata riscontrata la validita della relazione di impedenza
che lega E e H , possiamo pensare che tale relazione valga anche per le sorgenti estese. Usan;jk0 r
do l'espressione del campo nella forma (2.173) e sapendo che (r) = e4r possiamo dunque
scrivere
n
h
io
r^ E (r) = ;j! r^ I tr^ J~e(k0r^) + r^ jk0r^ J~m(k0 r^) (r)
(2.183)
Separando i due termini abbiamo
(2.184)
r^ I tr^ J~e(k0r^) = r^ I J~e(k0r^) = r^ J~e(k0 r^)
h
i
r^ (^r J~m) = rh^ (^r i I ) J~m = (^r I ) r^ ; (^r r^) I J~m (k0r^) =
= r^r^ ; I J~m(k0r^) = ;I tr^ J~m (k0r^)
La (2.183) puo allora essere scritta nel modo seguente:
n
o
r^ E (r) = ;j! (^r I ) J~e(k0r^) ; jk0I tr^ J~m (k0r^) (r) =
(
)
k
0
~
~
= ;j! (^r I ) J e(k0r^) + ! I tr^ J m(k0 r^) (r)
(2.185)
(2.186)
Per ricondurci alla forma del campo magnetico vista in (2.174) dividiamo ambo i membri
dell'equazione precedente per Z0 , quindi
1 r^ E (r) = ;j! (r) (^r I ) J~ (k r^) + 1 I J~ (k r^) )
(2.187)
e 0
Z0
Z0
Z0 tr^ m 0
(
)
k
0
) Y0 r^ E (r) = ;j(r) k0 (^r I ) J~e(k0r^) + Z I tr^ J~m (k0r^)
0
!qp
k
0
= ! perveniamo all'espressione del campo magnetico
Inne, poiche Z =
0
=
o
n
Y0r^ E (r) = (r) ;j! I tr^ J~m (k0r^) ; jk0(^r I ) J~e(k0r^) = H (r)
cioe
H (r) = Z1 r^ E (r)
0
(2.188)
(2.189)
(2.190)
Passiamo adesso a considerare la descrizione degli aspetti energetici dell' irradiazione in
campo lontano, e quindi consideriamo il vettore di Poynting complesso
S = E H =
cioe
Y0
Z
0 ;jk0 r
;
j
k
r
0
;j 2r e P e(^r) ;j 2r e P m (^r)
0
0
(2.191)
S = 4r122 [P e(^r) P m(^r)]
(2.192)
0
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
45
Dal momento che P m(^r) = Z0r^ P e(^r) possiamo scrivere
S = 4r122 Z0 [P e(^r) r^ P e (^r)] =
0
= 4r122 Z0 f [P e(^r) P e (^r)] r^ ; [P e(^r) r^] P e (^r) g =
0
(2.193)
= 4rZ202 jP e(^r)j2 r^
0
Al variare della direzione di osservazione si ha una variazione del usso di energia che dipende
dal quadrato del modulo del vettore di irradiazione P e.
2.5.6 Approssimazione locale del campo irradiato
Consideriamo adesso il campo irradiato da una sorgente, localizzata nell'origine del nostro
sistema di riferimento, nella regione individuata dalla direzione r^ e descritta dall'angolo
solido , come in Fig. 2.8. Abbiamo
z
∆Σ
∆Ω
y
x
Figura 2.8. Campo irradiato nella regione .
(2.194)
= r2 1
E ragionevole supporre che il versore r^ sia uguale per tutti i punti della regione . Questa
assunzione permette di aermare che il termine P e(^r) e costante in tutta la regione , ovvero
che se anche il campo non e globalmente un'onda sferica, lo e localmente attorno ad una
data direzione. Ma cio puo risultare addirittura restrittivo: se all'interno della regione si
considera il disco denito da 1r ' cost, come in Fig. 2.9. allora il campo diventa approssimabile
ad un'onda piana con vettore di propagazione k = k0r^, valendo le relazioni d'impedenza e
di trasversalita dei campi elettrico e magnetico, nonche la relazione di dispersione jkj = k0.
Abbiamo gia avuto occasione di precisare che le onde piane non sono sicamente realizzabili
singolarmente, tuttavia abbiamo anche appena scoperto che in una regione limitata dello spazio,
se r^, jP e(^r)j e 1r sono approssimativamente costanti, l'onda piana riesce da sola a descrivere il
campo con una certa accuratezza, quando ci si trovi nella regione di Fraunhofer.
versione 2.1.0
46
Irradiazione nello spazio libero
r
Figura 2.9. Disco 1r ' cost.
2.5.7 Diagramma di irradiazione e polarizzazione del campo
Avendo scomposto il campo irradiato in un termine di onda sferica ed uno dipendente solo dalla
direzione di osservazione e lecito chiedersi quali siano le superci ad ampiezza costante e come
queste vengano inuenzate dal termine direzionale P e(^r). Ponendo
jE (r)j = cost
(2.195)
si perviene all'equazione
1 jP (^r)j = 1 jP (;)j = cost
(2.196)
r e
r e
e quindi le superci ad ampiezza costante SA sono individuate dall'equazione
(2.197)
SA : r(;) = cost jP e(^r)j
Risulta conveniente tracciare tali superci in un sistema di coordinate sferiche, e i diagrammi
cos ottenuti sono detti diagrammi di irradiazione in forma polare. Essi danno le informazioni
globali piu evidenti e, per avere un'idea quantitativa, si eettuano dei tagli del tipo = cost e
= cost sulle superci jP e(;)j2 o jP e(;)j. Si noti che, ssata la direzione di osservazione,
cioe e ,la dipendenza del campo dalla distanza e jE (r)j / 1r , cioe il campo si comporta
come un'onda sferica. Il diagramma di irradiazione di una antenna e in genere spazialmente
illimitato. Questo e dovuto al fatto che l'espressione del campo e data dalla trasformata di
Fourier (spaziale) della distribuzione di sorgente che usualmente e spazialmente connata (e
che non ha tutte le derivate continue al bordo), per cui quello che otteniamo e la trasformata
convoluta con la trasformata di una porta che come noto ha un andamento oscillante. Il
diagramma di irradiazione riferito a avra quindi una forma come quella mostrata in Fig. 2.10.
La regione angolare tra il massimo e il primo zero (o minimo) e detta lobo principale, mentre
le altre sono dette lobi secondari.
Concludiamo il discorso sull'irradiazione in campo lontano richiamando il noto concetto di
polarizzazione del campo elettromagnetico. La polarizzazione e la corrispondenza tra il fasore
del campo e la sua rappresentazione istantanea nel dominio del tempo, e rappresenta pertanto
una caratteristica puntuale del campo stesso. La polarizzazione si puo studiare in generale, e
non necessariamente per campi trasversali rispetto alla direzione di propagazione. Nel nostro
caso e inoltre valida la relazione di impedenza ed e dunque indierente se lo studio viene fatto
a partire dal campo elettrico o magnetico. Generalmente si considera il campo elettrico, il cui
fasore viene scomposto nelle sue componenti reale ed immaginaria
E = E 0 + jE 00
(2.198)
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
P e (θ ,ϕ )
47
2
lobi secondari
lobo principale
−π
−π 2
0
π 2
π
θ
Figura 2.10. Esempio di diagramma di irradiazione.
Si noti che E 0 , E 00 sono vettori reali. Si denisce per i campi trasversali un piano di polarizzazione che individua le possibili direzioni del vettore di campo. Essendo nel nostro caso
E r^ ' 0 ; H r^ ' 0
(2.199)
e evidente che, puntualmente, r e la normale a tale piano ortogonale. In ogni punto i vettori
E 0 ed E 00 identicano il piano di polarizzazione, tranne nel caso degenere in cui E 0 k E 00 o
E 0 ;E 00 = 0; in tal caso e necessario conoscere anche H . Nel dominio del tempo il campo
elettrico e identicato dal vettore istantaneo
n
o
E (r;t) = Re E (r) ej!t
(2.200)
che possiamo scrivere, dalla (2.198), come
n
o
E (t) = Re E 0(r) + jE 00 (r)ej!t =
(2.201)
= E 0(r) cos(!t) ; E 00(r) sin(!t)
Andando a vedere quanto vale tale vettore a veri istanti di tempo, per esempio ogni quarto di
periodo, notiamo che
E (r;t = 0) = E 0 (r)
E (r;t = T=4) = ;E 00(r)
(2.202)
E (r;t = T=2) = ;E 0(r)
E (r;t = 3T=4) = E 00(r)
essendo T = 2 . Si vede allora che l'estremita del vettore E (r;t) ruota nel piano individuato
!
dai vettori E 0 e E 00 descrivendo in generale un'ellisse, detta ellisse di polarizzazione; possiamo
quindi dire che la polarizzazione del campo e generalmente ellittica. Possono presentarsi due
casi particolari:
l'ellisse e una circonferenza: polarizzazione circolare;
l'ellisse degenera in un segmento: polarizzazione lineare.
Denendo il versore di polarizzazione
E
(2.203)
p^ jE
j
e suciente studiare tale versore per conoscere lo stato di polarizzazione del campo.
versione 2.1.0
48
Irradiazione nello spazio libero
1. Polarizzazione lineare:
E 0 e parallelo ad0 E 00 , cioe E 00 = CE 0 , oppure00 uno dei vettori E 0 o E 00 e nullo. In tal caso,
indicando p^ = jEE0 j , E = jE j e = arctan( EE0 ) si ha
E = (E 0 + jE 00)^p = E ej p^
(2.204)
2. Polarizzazione circolare:
jE 0 j = jE 00 j ed E 0 E 00 = 0
3. Polarizzazione ellittica (in senso stretto):
Si ha in tutti gli altri casi; i semidiametri coniugati dell'ellisse di polarizzazione sono legati
ai vettori E 0 ed E 00 , ma in generale E 0 ed E 00 non coincidono con i semidiametri.
Il vettore di irradiazione P e(^r) contiene dunque tutte le caratteristiche del campo: jP e(^r)j
descrive il diagramma di irradiazione e il versore P e(^r) = p^ ad esso associato descrive complejP e(^r)j
tamente la polarizzazione del campo. La polarizzazione e una caratteristica importante che e
legata all'intrinseca vettorialita del campo, per cui sono necessarie le informazioni su ampiezza
e polarizzazione per averne una descrizione completa. Ad esempio la polarizzazione permette
di raddoppiare la quantita di informazione in un canale di comunicazione, tramite la cosiddetta
diversicazione in polarizzazione: usando due polarizzazioni ortogonali si possono trasmettere
due segnali diversi alla stessa frequenza (vedi anche Cap. 8).
E bene notare che la polarizzazione dipende dalla direzione di osservazione: dalla relazione
;jk0r
E (r) = ;j! e4r P e(^r)
(2.205)
abbiamo che il campo nel punto r1 sara dato da E 1 = E (r1) = E 01 + jE 001 con polarizzazione
p^1, mentre il campo in r2 sara identicato dal vettore E 2 = E (r2) = E 02 + jE 002 , il cui versore p^2
denira una polarizzazione diversa dalla precedente. Tuttavia se si considera
r1 = r1r^ ; r2 = r2r^
(2.206)
;jk0 r1
e
E (r1 ) = ;j! 4r P e(^r)
1
(2.207)
il campo sara dato nei due punti da
;jk0 r2
E (r2 ) = ;j! e4r P e(^r)
2
(2.208)
La dierenza tra i due campi e evidentemente nel solo termine di onda sferica, mentre il vettore
di irradiazione P e(^r) sara il medesimo per entrambe: la polarizzazione del campo risulta allora
invariante per propagazione lungo una stessa direzione.
versione 2.1.0
2.5 { Forme approssimate del campo di una sorgente estesa
49
2.5.8 Riassunto dei risultati ottenuti nei paragra 2.5
Con riferimento alla Fig. 2.5 l'espressione esatta del campo elettrico irradiato dalla sorgente ed osservato nel punto r e data da
Z
Z
E (r) = ;j! d3r0 G(r ; r0) J e(r0) ; d3 r0 G 0(r ; r0) J m (r0)
(2.209)
in cui essendo d (che implica G (d) ' I td^ (d) e G 0(d) ' ;jk0d^ I (d) ) il primo
integrale della 2.209 risulta:
Z
Z
;jk0 d
I = d3r0 G(d) J e(r0 ) ' d3 r0 I td^ J e(r0 ) e4d
(2.210)
dove I td^ = ^d ^d + ^d ^d. Utilizzando l'approssimazione d = r si ottiene un errore di fase che
non dipende dalla distanza e quindi non si puo introdurre una limitazione per questo termine.
Sfruttando invece l'approssimazione:
(2.211)
d ' r ; r^ r0
2
si ottiene che per avere un errore di fase 8 (convenzionale) si deve avere r > rmin = 2h
0
detta regione di Fraunhofer. In tale regione le formulazioni del campo elettrico e del campo
magnetico risultano:
Z
Z
E (r) ' ;j! (r) I tr^ d3r0 ejk0r^r0 J e(r0) + jk0r^ I (r) d3r0 ejk0 r^r0 J m (r0 ) (2.212)
Z
Z
H (r) ' ;j! (r) I tr^ d3r0 ejk0r^r0 J m (r0 ) ; jk0r^ I (r) d3r0 ejk0 r^r0 J e(r0) (2.213)
che possono essere riscritte come :
E (r) ' ;j! Ga(r) J~e(k0r^) ; G0a (r) J~m(k0r^)
(2.214)
H (r) ' ;j! Ga (r) J~m (k0r^) + G0a(r) J~e(k0r^)
(2.215)
dove
Ga (r) (r) I tr^ ; G0a (r) ;jk0 r^ I (r)
(2.216)
Per i termini di sorgente si ha:
Z
Z
J~e(k0r^) = 3 d3r0 ejk0r^r0 J e(r0) ' 3 d3r0 J e(r0 )
(2.217)
R
R
Z
Z
0
3
0
j
k
r
^
r
0
0
~
J m (r ) ' 3 d3r0 J m(r0)
J m (k0r^) = 3 d r e
(2.218)
R
R
Poiche i termini J~e(k0r^) e J~m (k0r^) dipendono evidentemente dalla direzione di osservazione
(cioe da r^) si ricava la proprieta di direttivita: l'intensita del campo irradiato a distanza ssa
dalla sorgente puo essere marcatamente diversa da una direzione all'altra. Volendo isolare
nell'espressione del campo elettromagnetico il termine dipendente dalla direzione si ottiene:
E (r) = ;j 2Zr0 e;jk0r P e(^r)
(2.219)
0
versione 2.1.0
50
avendo posto
Irradiazione nello spazio libero
H (r) = ;j 2Yr0 e;jk0r P m(^r)
(2.220)
P e(^r) = I tr^ J~e(k0r^) ; Z1 (^r I ) J~m (k0r^)
(2.221)
0
0
(2.222)
P m(^r) = I tr^ J~m(k0r^) + Z0 r^ I J~e(k0r^)
I vettori P e e P m sono i vettori di irradiazione o vettori di Schelkuno e sono legati tra loro
dalla relazione:
P m (^r) = Z0 r^ P e(^r)
(2.223)
Poiche si e dimostrato che vale la relazione di impedenza:
H (r) = Z1 r^ E (r)
(2.224)
0
il vettore di Poynting complesso puo essere scritto come:
(2.225)
S = E H = 4rZ202 jP e(^r)j2 r^
0
Inne considerando una supercie piana per cui 1r ' cost il campo puo essere approssimato
con un'onda piana con vettore di propagazione k = k0r^, valendo le relazioni d'impedenza e di
trasversalita dei campi elettrico e magnetico, nonche la relazione di dispersione jkj = k0.
2.6 Irradiazione di un dipolo elettrico elementare e relative questioni energetiche
Nella sua forma tipica, il dipolo elettrico elementare, consta di due conduttori elettrici, racchiusi
in un volume avente dimensione caratteristica l 0, sui quali viene forzata una corrente
(tempo-variante). Un esempio tipico, che e stato uno dei primi oggetti adoperati come antenne,
e costituito da una coppia di barre conduttrici poste ad una distanza 0 l'una dall'altra, e
un'altra congurazione e quella che uso Hertz (vedi Fig. 2.11). Nel paragrafo 2.5.3 abbiamo visto
che il campo, elettrico e magnetico, prodotto da un dipolo elettrico elementare e funzione del
vettore momento elettrico di dipolo denito dalla (2.168) (essendo nulle le correnti magnetiche).
Vediamo ora l'espressione del campo vicino e del campo lontano per questo tipo di antenna.
2.6.1 Campo vicino per un dipolo elementare
La condizione che determina la situazione di campo vicino e data, come e gia stato detto, da
r 0 cioe k0 r 1 e quindi da k1r 1.
0
Iniziamo con l'approssimazione del campo elettrico, notando che
!
A(k0r) = 2 kj r + (k 1r)2 ' (k 2r)2
0
0
0
versione 2.1.0
(2.226)
2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche
51
Zg
∆l
g
δ<<∆l
(b)
(a)
Figura 2.11. Due congurazioni possibili di dipolo elementare: (a)
coppia di barre conduttrici; (b) dipolo hertziano.
Da cio si ottiene
B (k0 r) = 1 ; A(k20 r) ' ; (k 1r)2
0
"
(2.227)
#
1
G(r) ' GNF (r) = (k 2r)2 r^r^ ; (k 1r)2 ^^ + ^^ 4r
(2.228)
0
0
dove il pedice NF sta per near eld (campo vicino) e in cui l'esponenziale e approssimato con
1, date le ipotesi. Siccome abbiamo visto che
E (r) ' ;j! G(r) M e
(2.229)
supponendo che il dipolo sia centrato, e ponendo M e = u^ M possiamo scrivere
n
o 1
E (r) ' ;j! (k 1r)2 2^r (^r u^) ; ^ (^ u^) ; ^ (^ u^) 4r
M
(2.230)
0
Dal momento che (k0r)2 = !2r2 si ha
j M e(^r) = 1 M e(^r)
E (r) = ;
(2.231)
! 4r3
j! 4r3
dove
n
o
e(^r) = 2^r (^r u^) ; ^ (^ u^) ; ^ (^ u^)
(2.232)
Il fatto che si possa introdurre il termine e(^r), dipendente unicamente dalla direzione individuata
dal versore r^ e non dalla distanza r cioe solo da (;), e una conseguenza del fatto che in
un sistema di riferimento sferico le direzioni ^ e ^ sono univocamente determinate a partire
dalla conoscenza della direzione r^ . Ad esempio se u^ = z^ si ha: r^ u^ = r^ z^ = cos ,
^ u^ = ^ z^ = ; sin , ^ u^ = ^ z^ = 0 . Si puo allora scrivere
1 M
(2.233)
E (r;;) = a(r;!) e(;) = a(r;!)e (^r); a(r;!) = |!
42r3
versione 2.1.0
52
Irradiazione nello spazio libero
dove il termine di ampiezza a(r;!) contiene il termine M
j! che e il solo che dipende dalla frequenza. Per un lo rettilineo percorso da corrente si ha
Z
Z
M = 1 Z l dz I (z;!) ;!
F ;1 t dt0 l dz i(t0 ;z )
(2.234)
j! j! 0
0
;1
Si vede quindi che il campo elettrico in campo vicino e strettamente legato alla variazione di
carica elettrica.
Per il campo magnetico il discorso e analogo. Abbiamo
1
1
0
0
^
^
^
^
(2.235)
G (r) ' GNF (r) = ;jk0 ;j k r ( ; ) 4r
0
perche C (k0r) ' ;j 1 . Siccome poi
k0 r
(2.236)
H (r) ' G 0 (r) M e
supponendo sempre che il dipolo sia centrato, otteniamo
^^
^^
H (r) ' ; 4M
(2.237)
r2 h(^r); h(^r) = f( u^) ; ( u^)g
in stretta analogia a quanto ottenuto per il campo elettrico. Va notato, pero, che il campo
elettrico decresce con il cubo della distanza, mentre il campo magnetico come il quadrato.
2.6.2 Campo lontano per un dipolo elementare
In campo lontano si ha r 0 e dunque k1r 1.
0
Abbiamo allora per il campo elettrico
1
1
A(k0r) = O k r ; B (k0 r) = 1 + O k r
(2.238)
0
0
Possiamo allora scrivere
G(r) ' Ga (r) = ^^ + ^^ (r)
(2.239)
dove il pedice a sta per asintotico. In un sistema di riferimento sferico la diade
I ; r^r^ = ^^ + ^^ = I tr^
(2.240)
e tale che I tr^ A = A ; r^ (^r A) = A ^ + A ^, e cioe essa elimina la componente radiale di
ogni vettore cui e applicata lasciando inalterato il resto, percio si chiama diade trasversa alla
direzione r^ (vedi appendice B). Scriviamo allora
E (r) ' ;j! I tr^ M e(r)
(2.241)
Per il campo magnetico abbiamo
C (k0r) = 1 + O( k1r )
(2.242)
0
versione 2.1.0
2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche
53
e quindi
G 0(r) ' G0a(r) = ;jk0 r^ I (r)
Il campo magnetico si approssima allora nel modo seguente:
(2.243)
H (r) = ;jk0r^ M e (r)
(2.244)
Dalla forma della funzione di Helmholtz possiamo dedurre che il campo elettrico e il campo
magnetico sono in modulo decrescenti come 1 quando ci si allontana dalla sorgente, cioe hanno
r
un andamento simile, a dierenza di quanto accade in campo vicino. Inoltre, siccome r^ r^ = 0
abbiamo
r^ M e = r^ I tr^ M e
(2.245)
Allora otteniamo
s
H (r) ' ;jk0 r^ I tr^ M e (r) = r^ E (r)
(2.246)
visto che
"
#
1 E (r) ' I M (r) ) H (r) ' ;jk r^ 1 E (r)
0
e
tr^
;j!
;j!
Introducendo l'impedenza intrinseca del vuoto
r
Z0 (2.247)
(2.248)
possiamo scrivere
H (r) ' Z1 r^ E (r)
(2.249)
0
(si tratta di una relazione gia nota dallo studio delle onde piane); ne concludiamo che in campo
lontano il campo elettrico e il campo magnetico soddisfano ad una relazione di impedenza, e
l'impedenza intrinseca del rappresenta il rapporto fra il modulo del campo elettrico e il modulo
del campo magnetico (se il mezzo considerato e il vuoto)
Ej
Z0 ' jjH
j
Possiamo ancora notare che
!
r^ E = O (k 1r)2 ; r^ H = O (k 1r)2
0
0
(2.250)
!
(2.251)
e quindi la (2.249), la forma del termine di fase e di ampiezza ci fanno desumere che nelle
condizioni di campo lontano il campo elettromagnetico tende ad assumere la forma di onda
piana avente vettore di propagazione dato da k = k0 r^, con k = k(^r). Dato che k 6= cost: questa
non e una vera onda piana, nel senso che solo localmente (cioe r^ cost:) si comporta come
tale. Il fattore di fase e;jk0r si puo pensare come k0r = k r con k = k0 r^, ed il termine di
versione 2.1.0
54
Irradiazione nello spazio libero
ampiezza k10r e circa costante in un volume attorno ad r di dimensione caratteristica r r.
Inoltre il vettore di Poynting e dato da
1
S = E H = E Z r^ E =
0
(2.252)
1
= Z [(E E ) r^ ; (^r E ) E ] ' r^ jE j2 Z1
0
0
in quanto r^ E ' 0 perche E = I tr^ M e(r) e Z0 2 R nel vuoto e in tutti i mezzi senza perdite.
Tutto cio ci porta a concludere che r^ puo essere interpretata come la direzione di propagazione
dell'onda, in quanto e la direzione del usso energetico, la direzione lungo cui decresce la fase
dei campi elettrico e magnetico, la direzione ssata la quale il campo decresce in ampiezza come
1 all'aumentare della distanza r dalle sorgenti ed e inne un versore trasversale al campo.
r
Se localmente e un'onda piana, di che tipo di onda si tratta globalmente? Ponendo M e =
u^ M si puo scrivere E (r) = ;j! ^^ + ^^ u^ M (r). Senza perdere in generalita, se si
orienta l'asse polare lungo l'asse del dipolo, cioe u^ = z^, si ottiene ^(^ z^) + ^(^ z^) = (; sin ) ^,
e quindi (Fig. 2.12)
;jk0 r
(2.253)
E (r;;) ' ;j! M e4r (; sin ) ^
Il fattore sin prende il nome di fattore di obliquita e la sua presenza fa s che in alcune
direzioni, a parita di distanza r, il campo sia piu intenso che in altre, e che le superci ad
ampiezza costante del campo non siano sferiche. Il campo dunque non e globalmente un'onda
sferica, perche le superci ad ampiezza costante sono invece date da
jE j = cost ) j sinr j = cost ) r = r() = cost j sin j 8
(2.254)
z
°
°
E
x
Figura 2.12. Campo elettrico per il dipolo, ssato r.
che rappresenta un toro degenere, cioe la supercie ottenuta per rotazione intorno all'asse
z del cerchio di Fig. 2.13, giacente sul piano (x;z) (per ssare le idee).
versione 2.1.0
2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche
55
z
r(θ)
x
Figura 2.13. Taglio sul piano (x;z ) del toro degenere.
2.6.3 Considerazioni energetiche
Eseguendo il prodotto esterno nel vettore di Poynting S = E H si puo facilmente vedere, dalle
(2.231) e (2.237), che in campo vicino esso e puramente immaginario, e sembrerebbe quindi che
al campo non sia associato alcun trasporto di potenza attiva. D'altro canto, abbiamo gia visto
che in campo lontano il vettore di Poynting e dato da
S ' r^ jE j2 Z1
0
(2.255)
e quindi e puramente reale, ovvero in campo lontano si verica un trasporto di potenza attiva
associato al campo elettromagnetico. Dunque l'assenza di trasporto energetico riscontrata in
campo vicino e evidentemente un eetto delle approssimazioni fatte; l Im(S ) Re(S ), e la
parte reale e associata alla componente di campo che abbiamo trascurato perche piccola.
Vediamo dunque il calcolo completo. In generale la potenza complessa si puo scrivere nella
forma
P~ = Pirr + jQ
(2.256)
dove Pirr e la potenza attiva netta irradiata dal dipolo e Q e la potenza reattiva. Supponiamo
che il dipolo abbia momento elettrico M e = M z^ e che sia centrato nell'origine 0 del nostro
sistema di riferimento, il che non e restrittivo. Allora
dP~ = 1 n^ S ; dPirr = 1 Re (^n S )
d n^ 2
d n^ 2
(2.257)
dove n^ e il versore normale uscente dalla supercie che si considera. Per una supercie sferica
centrata in 0 si ha n^ = r^, e
dP~ = 1 r^ S ) 2P~ = Z d r^ S = Z d r^ E H d r^ 2
(2.258)
versione 2.1.0
56
Irradiazione nello spazio libero
Determiniamo allora l'espressione di E .
E (r) = ;j! Gh (r) M e =
i
= ;j! hA(k0 r) r^r^ + B (k0 r) (^^ +^^) z^ M (r) = i
= ;j! hA(k0 r) r^ (^r z^) + B (k0 r) ^ (^ i z^) + ^ (^ z^) M (r) =
= ;j! A(k0 r) r^ cos ; B (k0r) ^ sin M (r)
perche
r^ z^ = cos ; ^ z^ = ; sin ; ^ z^ = 0
Determiniamo ora l'espressione di H .
H = G 0 M e = ;jk0 r^ C (k0r) M z^ (r)
e quindi, essendo r^ z^ = ;^ sin , si ottiene
h
i
r^ S = r^ E H = r^ E ^ + Er r^ H^ = E H =
= j! sin M B (jk0 C sin M )
= !k0 sin2 jM j2 jj2 B C Siccome jj2 = 1 2 2 si ottiene ancora
(4) r
r^ S = !k0 sin2 jM j2 (41)2r2 B C Per quanto riguarda la potenza scriviamo allora
Z
2P~ =
r2 sin d d !k0 sin2 jM j2 (41)2r2 B C =
Z 2
Z
B
C
3
2
d sin d =
= !k0 jM j
(4)2 0
0
= !k0 jM j2 (42)2 43 B C dove
Z
d sin3 = 34
0
Essendo
B (k0r) = 1 ; kj r ; (k 1r)2 ; C (k0r) = 1 ; kj r
0
0
0
Si ha dunque
!
j
1
j
B C = 1 ; k r ; (k r)2 1 + k r = 1 ; (k jr)3
0
0
0
0
e quindi
"
#
1
j
1
2
~
P = 2 !k0 jM j 6 1 ; (k r)3
0
versione 2.1.0
(2.259)
(2.260)
(2.261)
(2.262)
(2.263)
(2.264)
(2.265)
(2.266)
(2.267)
(2.268)
2.6 { Irradiazione di un dipolo elementare e questioni energetiche
57
Si puo vericare che dimensionalmente
la P~ e una potenza. Infatti [!] = m;1, [k0 ] =m;1 e
h
i
[jM j2 ] = A2 m2, e dunque P~ = V A. Inoltre
! = ! = r = Z ) !k = Z k2 = Z (2)2
(2.269)
0
0
0 0
0
k0 !p
20
La potenza complessa puo allora essere scritta come
#
#
2 (2 )2 "
2 2 "
1
j
M
j
j
1
j
M
j
j
~
P = 2 Z0 2 6 1 ; (k r)3 = 2 Z0 2 3 1 ; (k r)3
(2.270)
0
0
0
0
e concludiamo cos che
8
n ~ o 1 jM j2 2
>
>
P
=
Re
P = 2 Z0 2 3 8r
>
< irr
0
(2.271)
>
2
n
o
>
1 jM j 2 1
>
: Q = Im P~ = ; 2 Z0 20 3 (k0r)3
Notiamo che la potenza reattiva decade come 13 se ci allontaniamo dalla sorgente (decadenza
r
molto rapida), mentre la potenza attiva irradiata non dipende dalla distanza cui ci troviamo
dalla sorgente, come deve essere visto che il mezzo e senza perdite. La regione di campo vicino e
la regione in cui si concentra l'energia reattiva, e quello che accade nelle vicinanze di un'antenna
e analogo a quello che accade nelle vicinanze di un induttore o un condensatore. Si noti che,
mentre la potenza irradiata non dipende da r, la densita di potenza invece non e costante e
diminuisce come 12 all'aumentare di r: cio non e legato assolutamente alle perdite (che sono
r
assenti), bens al fatto che una potenza costante deve distribuirsi su una supercie sferica di
raggio sempre maggiore.
Benche derivate per un dipolo elementare, le considerazioni svolte sopra risultano di validita
generale.
versione 2.1.0
58
versione 2.1.0
Irradiazione nello spazio libero
3
L'antenna in trasmissione
3.1 Parametri fondamentali delle antenne
Per descrivere completamente un'antenna e necessario introdurre alcune denizioni e vari parametri. In generale non tutti i parametri sono scorrelati e sovente non e necessario specicarli
tutti per una completa descrizione delle prestazioni di un'antenna, qui introdurremo solo i
parametri piu signicativi 1 .
3.2 Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero
Abbiamo detto che un'antenna e l'interfaccia tra una parte circuitale e lo spazio libero: quindi
essa va caratterizzata relativamente a questi due sistemi. Dobbiamo cioe considerare le sue
caratteristiche sia verso il circuito di alimentazione, rispettivamente nel caso della trasmissione e
della ricezione, sia verso lo spazio libero. In questo paragrafo vogliamo caratterizzare un'antenna
verso lo spazio libero, basandoci sulle proprieta del campo irradiato, ed in particolare rispetto
all'energia (scalare) e alla polarizzazione (vettoriale).
3.2.1 Direttivita e guadagno
Si denisce direttivita di un'antenna la grandezza:
d(^r) (dPdPirr=d=d)
(3.1)
irr
rif
cioe il rapporto tra la densita di potenza irradiata dall'antenna nella direzione r^ e quella irradiata
da una sorgente di riferimento. La sorgente di riferimento che noi consideriamo e il radiatore
isotropico, il quale produce un'onda sferica pura omnidirezionale, cioe irradia una densita di
potenza data da
!
dPirr = Pirr
(3.2)
d
4r2
rif
1 Per una trattazione completa consultare C. Balanis \Antenna Theory", John Wiley and Sons,1997, pp. 28
- 112 ed i riferimenti bibliograci ivi indicati.
59
60
Possiamo quindi scrivere
ovvero, essendo d = r2 d
L'antenna in trasmissione
d(^r) = PdPirr=4=dr2
(3.3)
irr =d
d(^r) = dP
P =4
(3.4)
g(^r) = PdPirr=4=dr2 = d(^r)
(3.8)
irr
irr
Quando non specicato altro, questa e la denizione universalmente usata; in alcuni casi si usa
come riferimento un'antenna particolarmente semplice, cioe il dipolo (vedi oltre).
Si consideri ora la potenza di alimentazione Pal dell'antenna, cioe la potenza erogata all'antenna dal circuito che la alimenta. Una parte Pirr di questa potenza viene eettivamente
irradiata dall'antenna sotto forma di energia elettromagnetica, mentre la restante, Pcalore, si
trasforma in calore per eetto Joule connesso con le perdite ohmiche nella struttura materiale
dell'antenna
Pal = Pirr + Pcalore
(3.5)
e Pal Pirr (varrebbe l'uguaglianza nel caso ideale in cui non ci fossero perdite). Si denisce
poi rendimento ohmico di un'antenna il rapporto
(3.6)
PPirr 1
al
Alle frequenze VHF e UHF, alle quali le antenne vengono realizzate con dei conduttori in cui
uisce corrente, le perdite non sono sempre trascurabili. A frequenze piu alte, invece, le antenne
sono tipicamente realizzate sfruttando delle guide d'onda, con rendimenti quasi unitari.
Un altro parametro globale che possiamo denire e il guadagno di un'antenna, dato da
irr =d
(3.7)
g(^r) dP
Pal =4r2
ed, essendo Pal = 1 Pirr , possiamo anche scrivere
irr
Il guadagno e la direttivita sono chiaramente funzioni della direzione di osservazione. Dal
punto di vista pratico, sono utili i loro valori massimi, cioe la direttivita massima e il guadagno
massimo, dati rispettivamente da
G max
g(^r) ; D max
d(^r)
(3.9)
r^
r^
Quando non viene specicato altro, per \guadagno" di un'antenna si intende quello massimo.
Inoltre e noto che la densita di potenza irradiata e legata al vettore di Poynting dalla relazione
dPirr = 1 Re fS r^g
(3.10)
d 2
Sfruttando la relazione d'impedenza valida per il campo in regione di campo lontano si ha
2
H = Z1 r^ E ) S = E H = r^ jEZ j = r^ Z0 jH j2
(3.11)
0
0
versione 2.1.0
3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero
61
e dunque si puo scrivere
dPirr = 1 Re fS r^g = 1 1 jE j2 = 1 Z jH j2
d 2
2 Z0
2 0
(3.12)
Dalle (3.7) e (3.12) si vede che g(^r) / jE j2, ed essendo il campo elettrico in campo lontano proporzionale al vettore di irradiazione P e (vedi (2.177)) abbiamo che g(^r) / jP ej2. Concludiamo
quindi che il guadagno ha la stessa forma del diagramma di irradiazione.
Passiamo adesso a considerare la normalizzazione del guadagno. Data la relazione
dPirr = g(^r) Pal
(3.13)
d
4r2
se integriamo ambo i membri rispetto ad una supercie (viene considerata una sfera come
area di integrazione semplicemente per ragioni di semplicita di calcolo) otteniamo
Z
ma ovviamente
e quindi
Z
d dPdirr = P4al d g(^r) r12
Z dPirr
d d = Pirr
Z
Pirr = P4al dr2 g(^r)
Z d
g
(^r) = 4 Pirr = 4
2
r
P
al
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
Spesso conviene scrivere l'integrale in coordinate sferiche, dove
d = r2 d d sin (3.18)
cioe
d = d
= sin d d
(3.19)
r2
Possiamo allora scrivere
Z 2 Z d d sin g(;) = 4
(3.20)
0
0
e si ottiene cos la relazione di normalizzazione del guadagno. Questa relazione ci dice che il guadagno (massimo) di un'antenna non e indipendente dalla forma del diagramma di irradiazione
g(^r).
L'obiettivo che ci porremo nel seguito e quello di determinare la distribuzione delle correnti
elettriche e magnetiche sull'antenna. Nella grande maggioranza dei casi tale calcolo e molto
oneroso e richiede un approccio numerico, ma per molte delle antenne di uso comune e possibile
dare una ragionevole approssimazione della distribuzione della corrente sulla loro supercie.
Notiamo che questo problema e l'\inverso" di quello arontato nel precedente capitolo, in cui si
e visto come determinare il campo elettromagnetico quando e nota la distribuzione di corrente
responsabile dell'irradiazione.
versione 2.1.0
62
L'antenna in trasmissione
3.2.2 Antenne con due morsetti e altezza ecace
Appartengono alla classe delle antenne con due morsetti tutte le antenne per le quali e possibile
isolare due morsetti attraverso i quali alimentarle (per esempio le antenne alimentate da guide
d'onda non rientrano in questa categoria). Due classi importanti di antenne con due morsetti
sono quella delle cosidette antenne lari, composte da li, o meglio da tubi, metallici (ad
esempio un dipolo o una spira, Fig. 3.1), e quella delle antenne stampate, le quali vengono
realizzate su supporti dielettrici e sono molto adoperate oltre il GHz (ad esempio l'antenna in
microstriscia, Fig. 3.2).
b)
a)
Figura 3.1. Esempi di antenne lari.
Figura 3.2. Antenna in microstriscia.
La schematizzazione che verra utilizzata e quella di Fig. 3.3, che indica propriamente una
antenna a dipolo, ma che useremo qui come simbolo per una qualunque antenna con due
morsetti (a meno che ci sia un disegno piu specico).
Avendo a disposizione due morsetti possiamo supporre che valgano le leggi dell'Elettrotecnica2;
dunque pensiamo di applicare una tensione Va misurando la corrente Ia che si stabilisce nei
morsetti. In questo modo agli eetti del circuito di alimentazione l'antenna puo essere vista
come un dispositivo lineare e passivo di impedenza Za data da
2 Intendiamo con il termine \Elettrotecnica" sia la teoria dei circuiti concentrati (leggi di Kircho) che
distribuiti (linee di trasmissione).
versione 2.1.0
3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero
63
Ia
Va
Figura 3.3. Schema di un'antenna con due morsetti sici.
Za = IV = Ra + jXa
(3.21)
a
Pal
Ia
Za
Va
Figura 3.4. Equivalente elettrico di un'antenna con due morsetti.
che diremo impedenza di antenna. La potenza di alimentazione, ovvero la potenza erogata
all'antenna puo quindi essere espressa in funzione di queste quantita come
n
o
Pal = 21 Re Za jIa j2 = 21 Ra jIaj2
(3.22)
Nel paragrafo 3.2.1 si e visto che non tutta la potenza assorbita dall'antenna viene eettivamente irradiata, in quanto una parte viene dissipata in calore (vedere eq. 3.5); in termini delle
quantita che caratterizzano il circuito equivalente dell'antenna, ora introdotti, la (3.5) potra
essere riscritta come
Pal = 21 Rirr jIa j2 + 12 R
jIaj2
(3.23)
dove 12 R
jIa j2 e la potenza dissipata in calore, mentre per dierenza 12 Rirr jIa j2 deve essere intesa come la potenza eettivamente irradiata. La resistenza di antenna Ra e allora da
versione 2.1.0
64
L'antenna in trasmissione
intendersi composta di due termini, cioe
Ra = Rirr + R
(3.24)
dove R
e la resistenza responsabile delle perdite ohmiche e Rirr tiene conto circuitalmente
della potenza irradiata, cioe che il generatore che alimenta l'antenna cede allo spazio circostante;
questa resistenza Rirr e detta resistenza di irradiazione. Si giunge cos ad una nuova espressione
del rendimento ohmico dell'antenna (denito nel paragrafo 3.2)
1 R jI j2
P
irr a
irr
irr
2
= R R+
= P = 1
2
2
1
al
irr R
2 Rirr jIa j + 2 R
jIa j
(3.25)
La reattanza di antenna Xa esprime invece l'eetto reattivo della stessa, cioe la \reazione"
del dispositivo al tentativo di fornirgli potenza attiva. Essa e dunque legata all'energia reattiva
concentrata nelle immediate vicinanze dell'antenna (in regione di campo vicino, come e stato
visto per il dipolo elementare). Per poter trasformare (o estrarre) in modo eciente energia
alla (o dalla) antenna e quindi necessaria una opportuna compensazione della parte reattiva di
Za.
Spesso ai ni del progetto di un'antenna, e importante stabilire un legame tra i parametri
circuitali e quelli che descrivono l'irradiazione nello spazio; ad esempio, il valore della Rirr puo
essere inuenzato dalla proprieta di direttivita. Il campo elettromagnetico irradiato puo essere
determinato attraverso la conoscenza della funzione vettoriale P e(^r) (come visto nel paragrafo
2.5.4), che coinvolge le trasformate di Fourier delle densita di corrente J e e J m e dipende
quindi dalla potenza di alimentazione. Le informazioni contenute in P e(^r) sono dunque di
duplice natura: riguardano la geometria dell'antenna (distribuzione delle correnti) e la sua
alimentazione. Per disaccoppiare tali informazioni nell'espressione di P e(^r) si normalizza il
vettore di irradiazione rispetto alla corrente di alimentazione Ia . Si scrive allora
P e(^r) = Ia he(^r)
(3.26)
dove la nuova grandezza he(^r) esprime le sole caratteristiche direzionali dell'antenna ed e invece
indipendente dalla potenza di alimentazione. Dall'analisi dimensionale della espressione (3.26)
risulta evidente che tale grandezza deve essere espressa in metri e viene per questo chiamata
altezza ecace (in trasmissione) dell'antenna.
Possiamo legare il guadagno dell'antenna al modulo della sua altezza ecace. Infatti abbiamo
1 1 jE j2
dP
irr =d
(3.27)
g(^r) = P =4r2 = P2 Z0=4r2
al
e quindi
versione 2.1.0
al
E (r) = ;j 2Zr0 e;jk0r P e(^r) = ;j 2Zr0 e;jk0r Ia he(^r)
0
0
(3.28)
dP = 1 1 Z02 jI j2 jh (^r)j2
d 2 Z0 4r220 a e
(3.29)
3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero
65
Il guadagno puo dunque essere espresso nella forma
2
2
2
2
g(^r) = 21 Z0 jI4ra2j jhe(^2r)j = 12 Z0 jIaPj jh2e(^r)j =
al 0
4r2 Pal 0
j2 jh
(^r)j2
(^r)j2
Z0 jhe
= 21 Z01jIa e2 2 = R
a 20
2 Ra jIa j 0
(3.30)
essendo Pal = 12 Ra jIaj2 . Questa espressione permette di avere un legame fra le grandezze g, he,
Ra . Si noti che he caratterizza completamente il comportamento irradiativo di un'antenna, ed
include sia informazioni energetiche e di direttivita, sia informazioni sullo stato di polarizzazione
del campo irradiato. Se si suppone che il rendimento sia pressocche unitario, cioe che R
Rirr , allora
Pal ' Pirr = 21 Rirr jIa j2
(3.31)
Sfruttando il vettore di Poynting possiamo poi scrivere
I
1
(3.32)
Pirr = 2 Re d n^ S
dove e una qualunque supercie che circonda l'antenna. Questo ci consente di determinare
una formula per il calcolo di Rirr , ed integrando su una supercie sferica in campo lontano
1 R jI j2 = 1 Z d 1 jE j2
(3.33)
2 irr a
2 Z0
Considerando la (3.28) abbiamo inoltre che
2
jE j2 = 4Zr202 jIaj2 jhe(^r)j2
0
(3.34)
e dunque
1 R jI j2 = 1 Z d 1 Z02 jI j2 jh (^r)j2
2 irr a
2 Z0 4r220 a e
1 R jI j2 = 1 1 Z02 jI j2 Z d jh (^r)j2
e
2 irr a
2 Z0 4r220 a In coordinate sferiche d = r2 d d sin = r2d
e quindi
1 R jI j2 = 1 Z0 jI j2 r2 Z d
jh (^r)j2
e
2 irr a
2 4r220 a
tot
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Z
Z
Z 2 jhe(^r)j2
2
Z
j
h
(^
r
)
j
Z
0 0
e
Rirr = 4
d
2 = 4 d sin d 2
(3.38)
tot
0
0
0
0
Ne risulta che la resistenza di irradiazione e legata all'integrale del diagramma di irradiazione
normalizzato. Se si riesce a stimare la corrente Ia e il modulo dell'altezza ecace, si puo
determinare l'espressione della Rirr dalla formula precedente.
versione 2.1.0
66
L'antenna in trasmissione
3.2.3 Diagramma di irradiazione isotropico, direzionale e omnidirezionale
Per radiatore isotropico, come gia accennato, si intende un'ipotetica antenna, senza perdite,
che irradia la medesima potenza in ogni direzione dello spazio. Il radiatore isotropico e spesso
preso come riferimento per la denizione di guadagno, cioe per esprimere le caratteristiche di
direttivita delle antenne reali.
Un'antenna direttiva e caratterizzata dalla proprieta di irradiare o ricevere onde elettromagnetiche con maggior ecacia in alcune direzioni anziche in altre, questa terminologia e spesso
applicata a quelle antenne la cui direttivita massima e molto piu grande di quella del dipolo in
mezz'onda.
Inne un'antenna si dice omnidirezionale, quando presenta un diagramma di irradiazione
essenzialmente non direzionale in un dato piano e direzionale nel piano ortogonale al precedente
(un'antenna omnidirezionale e un caso particolare di quella direttiva).
3.2.4 Piani principali
Per le antenne a polarizzazione lineare si denisce
piano E il piano contenente il vettore campo elettrico e la direzione di massima irradiazione,
piano H il piano contenente il vettore campo magnetico e la direzione di massima irradiazione.
Questi sono i piani principali dell'antenna, in cui vengono spesso denite le caratteristiche
irradiative.
Lobi del diagramma d'irradiazione
Un lobo e una porzione del diagramma d'irradiazione limitato da due minimi (o nulli); in
particolare si denisce lobo principale quello che contiene la direzione di massima irradiazione,
mentre tutti gli altri sono detti lobi secondari.
HPBW e FNBW
Spesso per denire le caratteristiche di un'antenna sono molto utili due parametri che deniscono l'ampiezza del lobo principale e la direttivita dell'antenna (vd. Fig 3.5). La denizione
di HPBW (Half Power Beam Width) e la seguente: in un piano contenente la direzione del
massimo di irradiazione, l'HPBW corrisponde all'angolo tra le due direzioni in cui la densita
di potenza irradiata e pari alla meta del valore massimo; in altre parole se g () indica il diagramma d'irradiazione nel piano = cost: considerato, e 3dB e l'angolo per cui g(3dB ) = G2 ,
allora HPBW = 23dB .
Parimenti con FNBW (First Null Beam Width) si indica l'ampiezza angolare totale del lobo
principale, cioe tra due nulli (se presenti); altrimenti detto, FNBW = 20 con 0 tale per cui
g(0) = 0.
Esiste una formula approssimata che lega la larghezza del lobo principale ed il guadagno di
un'antenna; essa e data da:
G HPBWKHPBW
(3.39)
1
versione 2.1.0
2
3.2 { Caratterizzazione di un'antenna verso lo spazio libero
67
lobo principale
lobi secondari
HPBW
FNBW
−π
−π 2
0
π 2
π
θ3dB
Figura 3.5. Diagramma d'irradiazione e lobi associati
ove G indica il guadagno dell'antenna e HPBW1;2 sono le ampiezze del fascio a 3 dB nei due
piani tra loro principali (piano E e piano H per polarizzazione lineare), K e una costante che,
se si esprime il guadagno in numero (cioe non in dB) e gli angoli in gradi, allora e pari circa a
3 104.
versione 2.1.0
68
versione 2.1.0
L'antenna in trasmissione
4
L'antenna in ricezione e reciprocita
4.1 Antenne in ricezione
Fino ad ora abbiamo considerato il problema della determinazione del campo irradiato da una
antenna nota l'alimentazione al suo ingresso. Vogliamo ora trattare l'aspetto duale per giungere
ad un modello idoneo a descrivere l'antenna in ricezione, ovvero quando e \investita" da un
campo esterno. In questo caso sara nota l'espressione del campo elettromagnetico in spazio
libero e si dovra determinare la distribuzione della corrente sulla supercie dell'antenna. La
trattazione appare meno \intuitiva" rispetto a quella vista per l'antenna trasmittente, ma possiamo avvalerci del teorema di reciprocita {che qui tratteremo{, il quale permette di asserire
una completa simmetria tra il fenomeno trasmissivo e quello ricettivo. Deniamo, come d'abitudine nella letteratura sull'argomento, il campo incidente come quello che ci sarebbe nella
regione occupata dall'antenna se questa non ci fosse. Inoltre, considereremo sempre che l'antenna ricevente sia nella regione di campo lontano della sorgente (antenna, disturbo, etc.) che
genera il campo incidente, cos come i parametri irradiativi dell'antenna in trasmissione sono
deniti rispetto alla regione di campo lontano. Il campo incidente sull'antenna in ricezione
sara allora un'onda sferica; si assume sempre, nella denizione dei parametri di antenna in
ricezione, che le dimensioni dell'antenna stessa siano tali da poter considerare l'onda sferica
come (localmente) piana e che vi sia una sola sorgente per il campo incidente, cioe una sola
onda piana incidente sull'antenna ricevente. (Il caso di piu sorgenti si tratta per diretta estensione con la sovrapposizione degli eetti dovuta alla linearita del problema). L'analisi rigorosa
comporterebbe la soluzione di un problema ai valori al contorno sulla supercie dell'antenna
(tipicamente, condizioni di annullamento del campo sulla supercie di un'antenna conduttrice). L'analisi in questi termini e assai complessa, ci limiteremo pertanto a cercare opportune
approssimazioni (come gia fatto per l'antenna in trasmissione). Notiamo soltanto che il campo
eettivamente presente intorno ad una antenna in ricezione (RX) e signicativamente diverso
dal campo incidente, a causa del campo \riesso" dall'antenna stessa. Deniamo quindi i parametri dell'antenna2 in ricezione per il caso di una sorgente di dimensione massima DT a distanza
R e R 2 DT ; dobbiamo inoltre richiedere che l'onda incidente sia sostanzialmente piana
nella regione occupata dall'antenna in ricezione. Piu ragioni che provengono da considerazioni
di reciprocita che vedremo piu oltre (vedi 4.2), chiederemo che la sorgente stia in un punto S
nella regione di campo lontano rispetto all'antenna ricevente pensata come trasmittente. In
un sistema di riferimento come quello mostrato in Fig. 4.1, centrato nel punto di osservazione
69
70
L'antenna in ricezione e reciprocita
O in cui e posta l'antenna ricevente, la sorgente e collogata in un punto S , per cui il versore
O individua la direzione da cui incide l'onda, ovvero la direzione in cui e vista la
r^ = jSS ;
; Oj
sorgente S dall'antenna ricevente in O, ed e quindi chiamata \direzione di incidenza". Si noti
che la direzione n^ di propagazione dell'onda che raggiunge l'antenna ricevente e n^ = ;r^.
S
z
n̂
r̂
O
y
x
Figura 4.1.
Sistema di riferimento centrato nel punto di
osservazione. La sorgente e posta in S .
4.1.1 Circuito equivalente e parametri caratteristici per un'antenna
in ricezione
La determinazione del circuito equivalente per l'antenna in ricezione si aronta come un problema elettrotecnico. L'oggetto che sta al di la dei morsetti e lineare per la linearita delle
equazioni di Maxwell, e fornisce potenza ad un circuito utilizzatore quando e investito da una
onda elettromagnetica. Pertanto si puo in generale rappresentare con un comune generatore
reale, rappresentabile per esempio con l'equivalente Thevenin di Fig. 4.2 (o con un equivalente
Norton). Sempre per la linearita delle equazioni di Maxwell, l'intesita del generatore equivalente sara proporzionale al campo incidente. Applicando il teorema di Thevenin, Zg rappresenta
l'impedenza misurata ai morsetti A quando e stato \spento" il generatore di tensione Vg . Essendo Vg un segnale proporzionale al campo incidente porre Vg = 0 equivale a \spegnere" la
sorgente che genera tale campo. Applicando allora in tali condizioni un generatore Vt ai morsetti d'antenna si misurera la corrente che entra in essi: cos facendo l'antenna in ricezione si
trasforma evidentemente in antenna in trasmissione. In questa congurazione l'impedenza Zg
che si misura e chiaramente l'impedenza di ingresso Za della stessa antenna considerata pero
in trasmissione,
Zg(rx) = Za(tx)
(4.1)
l'intensita Vg del generatore ideale nel circuito equivalente Thevenin e legata, come abbiamo gia
detto, al campo incidente sull'antenna, e inoltre il legame deve essere lineare in quanto lo sono
versione 2.1.0
4.1 { Antenne in ricezione
71
Za
A
°
Vg
°
Figura 4.2. Equivalente Thevenin in ricezione.
Ia
Vt
Figura 4.3. Misura dell'impedenza dell'antenna in ricezione.
le equazioni di Maxwell. La generica relazione lineare che esprime la dipendenza della tensione
dal campo deve consentire di trasformare una grandezza vettoriale (campo) in una grandezza
scalare (tensione), e quindi scriviamo
Vg = h(erx) E inc(0)
(4.2)
dove 0 e il centroide dell'antenna. Deniamo h(erx) altezza ecace (in ricezione), funzione della
direzione di osservazione, che ha la dimensione di una lunghezza
h (rx)i
Vg ] i = V = m
he = h [inc
(4.3)
E (0) V=m
In generale, l'antenna puo avere un comportamento direttivo anche in RX: si pensi ad esempio
ad un telescopio che riceve (luce) solo da una regione angolare molto ristretta. Pertanto, in generale dobbiamo scrivere Va = Va (^r). Appare dunque chiara l'importanza della direzione in cui e
orientata l'antenna rispetto alla direzione dell'onda incidente. Per evidenziare le caratteristiche
energetiche e quelle vettoriali del campo incidente e dell'antenna, possiamo scrivere
h(erx) = h(erx) p^(rx)
(4.4)
con
(rx)
(4.5)
p^(rx) = he(rx) he versione 2.1.0
72
L'antenna in ricezione e reciprocita
^r
Einc
Figura 4.4. Campo incidente su un'antenna con due morsetti.
che chiamiamo versore di polarizzazione dell'antenna in ricezione, che tiene conto delle proprieta
vettoriali dell'antenna ricevente (in modo duale era stato denito un versore p^ per l'antenna
trasmittente).
4.1.2 Potenza ricevuta
Procediamo quindi nell'analisi dell'antenna ricevente per denire una grandezza scalare che
esprima lo scambio energetico tra l'antenna stessa e il circuito utilizzatore. Quello che ci
interessa calcolare e la potenza P (rx) erogata al ricevitore, la quale dipende dai tre parametri Vg
(funzione del campo incidente), Za e Z (rx), impedenza che caratterizza lo stadio di ingresso del
ricevitore a valle dell'antenna (vedi Fig. 4.5). Precisiamo che l'impedenza Z (rx) e un parametro
Prx
Za
Z
Va
A
Figura 4.5. Equivalente di antenna e circuito ricevente.
\esterno" all'antenna, mentre e evidente l'esigenza di caratterizzare le proprieta (per esempio
energetiche) dell'antenna \indipendentemente" dalle caratteristiche dei circuiti ad essa connessi
(per esempio indipendentemente dal tipo di ricevitore che e collegato all'antenna). Il modo piu
procuo di denire tali caratteristiche energetiche e quello di fare ricorso alla potenza disponibile
ai morsetti dell'antenna, che e la massima potenza erogabile a qualunque circuito utilizzatore
versione 2.1.0
4.1 { Antenne in ricezione
73
(a parita di tutte le altre condizioni), ovvero quando Z (rx) = Za , e per cui
2
Pdisp = 21 j4VRaj
(4.6)
a
dove Ra = Re fZag. Sostituendo l'espressione della tensione abbiamo
2
(4.7)
Pdisp = 21 4R1 h(erx) E inc
a
Separando le grandezze vettoriali (dipendenti dalla polarizzazione) da quelle scalari legate alle
questioni energetiche otteniamo
(4.8)
E inc = E inc p^inc
campo che si suppone noto (e il campo che \investe" l'antenna). p^inc rappresenta il vettore di
polarizzazione della sorgente che ha generato il campo. Intoducendo la (4.8) nella (4.7) si ha
2
2 2 Pdisp = 21 4R1 h(erx) E inc p^inc p^(rx)
(4.9)
a
Si pone poi
2
p^inc p^(rx)
(4.10)
Cos da determinare una dipendenza di Pdisp dalla direzione dell'onda, cioe Pdisp = Pdisp(^r).
2 2
Pdisp(;r^) = 21 4R1 h(erx)(^r) E inc(^r) (^r)
(4.11)
a
Fissata la direzione del campo incidente r^ la potenza disponibile infatti dipende dal termine
(^r) ovvero dai due versori di polarizzazione in trasmissione e ricezione. Dato che jp^j2 = 1 e
evidente che
2
= p^inc p^(rx) 1
(4.12)
Se = 1 per una certa direzione di osservazione r^ si dice che si e in condizioni di adattamento
di polarizzazione. In tal caso possiamo scrivere
2 2
h(erx) E inc
1
(4.13)
Pdisp;max(^r) = 2
4Ra
La caratterizzazione energetica dell'antenna in ricezione per ogni direzione r^, cioe la potenza
disponibile ai suoi morsetti, sara quindi determinata dalle grandezze
8
< P disp;max(^r)
: p^(rx) p^inc2 = (4.14)
Si tenga conto che, mentre Pdisp rappresenta la massima potenza trasferibile al carico, per
le assegnate condizioni di incidenza e polarizzazione Pdisp;max rappresenta invece la massima
potenza trasferibile ad un carico per incidenza da una certa direzione r^, ovvero quando
a) il carico e adattato;
versione 2.1.0
74
L'antenna in ricezione e reciprocita
b) l'antenna in RX ed il campo incidente sono equipolarizzati.
Appare evidente dalla (4.12) che la condizione per avere adattamento di polarizzazione e data
da
(rx) inc2
p^ p^ = 1
(4.15)
e svolgendo i calcoli si vede che cio si ottiene se p^(rx) = (^pinc). Si noti che in generale p^ sono
versori complessi.
Le espressioni che sono state derivate permettono di constatare immediatamente l'esigenza
di adattare la polarizzazione dell'antenna in ricezione con le caratteristiche vettoriali del campo
incidente al ne di rendere massimo il trasferimento di potenza. Proseguendo la nostra analisi,
scriviamo
2
(4.16)
Pdisp;max(^r) / E inc
e sfruttando la relazione
dP
d
!
2
E inc
= 12 Z
0
inc
(4.17)
e possibile esprimere
la potenza disponibile Pdisp;max in funzione della densita di potenza inci!
dP
dente
d inc, tramite il parametro aeq ,
Pdisp;max(^r) = aeq (^r) dP
d
!
inc
(4.18)
L'analisi dimensionale dell'espressione permette di concludere che il parametro aeq deve essere
espresso in m2, pertanto si denisce aeq (^r) area equivalente in ricezione dell'antenna. Per un'antenna in cui si puo determinare un'area geometrica (per esempio un paraboloide) si denisce il
parametro ecienza di apertura o fattore di bocca che lega l'area geometrica Ageom all'area
equivalente massima Aeq tramite la relazione
Aeq = maxr^faeq g = Ageom
con 1
(4.19)
Essendo aeq (^r) legata alle caratteristiche energetiche dell'antenna, e naturale pensare che esista
una relazione tra questa quantita ed il guadagno in trasmissione. L'area equivalente e un
parametro che contraddistingue qualsiasi tipo di antenna, indipensentemente dalla forma sica
della sua connessione circuitale (morsetti o guida di accesso), in quanto e sempre possibile
determinare una relazione tra la potenza e la sua densita. Pertanto potra essere considerato
un parametro generale utilizzabile per il confronto tra classi diverse di antenne. Ad esempio
per un'antenna con due morsetti (per la quale ha senso denire un'altezza ecace in ricezione)
abbiamo
(rx) inc2
inc2
2
E
h
E Pdisp;max = 21 e 4R
= aeq 1
)
a
r
) = h(erx) Z0
(4.20)
eq (^
2 Z0
4Ra
a
versione 2.1.0
4.2 { Reciprocita
75
4.2 Reciprocita
4.2.1 Introduzione alla reciprocita
Per introdurre il concetto di reciprocita delle equazioni di Maxwell, possiamo citarne una forma
che appartiene alla comune esperienza sensibile, considerando un semplice esempio nel campo
del visibile. Dati un osservatore e una sorgente luminosa, se la sorgente e posta in maniera tale
che l'osservatore e in grado di vederla, scambiando la posizione dell'osservatore con quella della
sorgente l'osservatore continua a vedere la sorgente. D'altro canto e noto dall'Elettrotecnica
il concetto di reciprocita per una rete; allora procedendo per gradi richiamiamo inizialmente
il teorema di reciprocita per una rete a parametri concentrati e poi, in seguito, introdurremo
questo concetto nel campo dell'Elettromagnetismo.
Per l'analisi della reciprocita per un doppio bipolo (vedi Fig. 4.6.a), si possono considerare
due situazioni circuitali dierenti; l'una (a) con il doppio bipolo alimentato sulla porta 1 con un
generatore di corrente Iga (sorgente) e caricato sulla porta 2 dall'ammettenza Ye2, e l'altra (b) in
cui si scambia la posizione della sorgente (generatore di corrente Igb ) con quella dell'osservatore
(tensione V sul carico), lasciando immutato il resto della rete (vedi Fig. 4.6.b). Una rete a
Iga
Igb
Yc1 1
2
V2
Yc2
V1
Yc2
a)
1
2
Yc1
b)
Figura 4.6. Doppio bipolo in due situazioni circuitali dierenti.
parametri concentrati si dice reciproca se il prodotto delle sorgenti nel circuito (a) per l'eetto
nel circuito (b) e uguale alle sorgenti in (b) per l'eetto in (a). In termini di grandezze elettriche
si ha
IgaV1(b) ; IgbV2(a) = 0
(4.21)
ovvero il rapporto tra l'eetto (V ) e la sorgente (Ig ) che lo ha prodotto nella situazione (a) e
uguale al rapporto tra l'eetto e la sorgente che lo ha prodotto nella situazione (b)
V1(b) = V2(a)
Igb Iga
(4.22)
Si puo dimostrare che la presenza di soli componenti lineari e reciproci in una rete e condizione
suciente per la sua reciprocita globale. Il concetto di reciprocita per una rete si ripercuote
sulla matrice delle impedenze [Z ]: per il doppio bipolo indicato in Fig. 4.6 si ha
"
# "
#" #
V1 = Z11 Z12 I1
V2
Z21 Z22 I2
(4.23)
Dalla relazione matriciale, con riferimento alla Fig. 4.6 e ponendo rispettivamente Ye2 = 0 e
versione 2.1.0
76
L'antenna in ricezione e reciprocita
Ye1 = 0 otteniamo le seguenti espressioni:
V1(b) = V1 ;
Igb I2 I1 =0
V2(a) = V2 Iga I1 I2=0
(4.24)
dalle quali, applicando successivamente la condizione di reciprocita, rappresentata dalla relazione (4.22), si ricava
V1 = V2 (4.25)
I
I
2 I1 =0
1 I2 =0
Poiche i due membri della (4.25) non sono altro che le mutue impedenze della matrice [Z ] si ha
allora
[Z ] = [Z ]T
(4.26)
La (4.26) esprime la simmetria della matrice [Z ] per una rete che soddisfa il concetto di reciprocita.
4.2.2 Lemma di Lorentz
In questo paragrafo ci proponiamo di generalizzare il concetto di reciprocita dell'Elettrotecnica
ricavando, appunto, il teorema di reciprocita per le equazioni di Maxwell. Nel derivare tale
teorema (o lemma) procederemo utilizzando l'analogia esistente tra le grandezze che descrivono
una rete elettrica, tensioni e correnti, e le grandezze elettromagnetiche, rispettivamente campo
E e campo H . Questo ci permettera di comprendere meglio il procedimento ed il suo risultato.
Procedendo come per il paragrafo precedente, ricaviamo un legame tra sorgenti e campi in una
data struttura (passiva) in due condizioni diverse di eccitazione. L'interesse per due diverse
condizioni di eccitazione e dovuto qui anche al fatto che un'antenna puo trasmettere e ricevere;
in un caso le sorgenti alimentano l'antenna, nell'altro l'antenna riceve il campo prodotto dalle
sorgenti.
Il teorema di reciprocita ammette due formulazioni, una di tipo dierenziale, detta lemma
di Lorentz, e l'altra di tipo integrale. Iniziamo col ricavare la prima di esse. Consideriamo
una struttura materiale qualunque (per esempio due antenne), e due insiemi di sorgenti, la
coppia (J e1;J m1 ) e la coppia (J e2 ;J m2 ); l'irradiazione avviene sempre nelle stesse condizioni,
nel senso che i mezzi e le condizioni d'interfaccia rimangono immutate quando si usi l'uno o
l'altro insieme di sorgenti. Ciascuna di queste coppie di sorgenti produce campi elettrici e
magnetici che soddisfano le equazioni di Maxwell. Siano E 1 (r) e H 1 (r) i campi prodotti dalle
sorgenti con pedice 1 ed E 2 (r) e H 2 (r) i campi prodotti dalle sorgenti con pedice 2. D'ora in
poi faremo a meno di indicare la dipendenza dal punto cos da evitare un appesantimento della
notazione. Le equazioni di rotore risultanti sono
8
>
< ;r E 1 = j!H 1 + J m1
>
: +r H 1 = j!E 1 + J e1
8
>
< ;r E 2 = j!H 2 + J m2
>
: +r H 2 = j!E 2 + J e2
versione 2.1.0
(4.27)
(4.28)
4.2 { Reciprocita
77
Per avere un'espressione analoga alla (4.21) occorre avere termini in cui compaiono i prodotti
tra le sorgenti e gli eetti. Eseguiamo pertanto il prodotto di ambo i membri della prima della
(4.27) per ;H 2 e della seconda per +E 2 e le (4.28) rispettivamente per +H 1 e ;E 1 . Sommando
le equazioni risultanti membro a membro otteniamo
+r E 1 H 2 + r H 1 E 2 ; r E 2 H 1 ; r H 2 E 1 =
= ;j!H 1 H 2 + j!E 1 E 2 + j!H 2 H 1 ; j!E 2 E 1 +
(4.29)
;J m1 H 2 + J e1 E 2 + J m2 H 1 ; J e2 E 1
dove il secondo membro e stato ridotto nell'ipotesi di lavorare con mezzi isotropi, per i quali ed
sono quantita scalari. Nel caso piu generale di mezzi anisotropi ed sono grandezze diadiche
(tensoriali) e la riduzione vale solo se le diadi con cui esse vengono denite sono simmetriche,
cioe
(r) = T (r) ; (r) = T (r)
(4.30)
Infatti si puo osservare dalla equazione (4.29) che la riduzione e possibile solo se sussiste l'uguaglianza
H1 H2 = H2 H1
(4.31)
dalla quale si ottiene
H 1 T H 2 = H 2 H 1 =) (r) = T (r)
(4.32)
Condizione analoga si ricava per la permeabilita dielettrica (r).
Le ipotesi fatte sono del tutto realistiche nella stragrande maggioranza di applicazioni di
tipo comunicazionistico, se si tiene conto che nel campo dell'irradiazione vengono sempre usati
mezzi isotropi o anisotropi ma reciproci. Esse non valgono tipicamente in mezzi girotropici, quale il plasma (fortemente) magnetizzato, e ferromagnetici magnetizzati, quali le ferriti.
Quest'ultima classe di mezzi e usata, nelle microonde, proprio per generare componenti non
reciproci (isolatori, circolatori). Riprendendo il primo membro della (4.29) e usando l'identita
r (A B ) = B (r A) ; A (r B )
(4.33)
si ha inne
r (E 1 H 2 ; E 2 H 1) = (J e1 E 2 ; J e2 E 1 ) ; (J m1 H 2 ; J m2 H 1 )
(4.34)
che e nota come lemma di Lorentz.
4.2.3 Versione integrale del Lemma di Lorentz
La versione piu utile del teorema di reciprocita per noi e quella che si ottiene dall'integrazione
del lemma di Lorentz. Consideriamo una supercie chiusa con volume V , e integriamo sul suo
volume la (4.34) ottenendo
Z
V
d3 r (r (E
1 H 2 ; E 2 H 1 )) =
Z
V
d3r [(J e1 E 2 ; J e2 E 1) ; (J m1 H 2 ; J m2 H 1 )]
(4.35)
versione 2.1.0
78
L'antenna in ricezione e reciprocita
Il primo membro della (4.35), utilizzando il teorema di Gauss, si puo trasformare in un integrale
di supercie. Denotiamo con = @V la frontiera del volume V e n^ la normale a detta supercie
come indicato in Fig. 4.7. Otteniamo allora
I
d n^ (E 1 H 2 ; E 2 H 1 ) =
Z
Z
d3r [(J e2 E 1 ; J m2 H 1)]
V
(4.36)
dove i due integrali a secondo membro esprimono la media delle sorgenti con pedice 1 pesata
dai campi con pedice 2 e viceversa. Al primo integrale a secondo membro si dara il nome di
reazione dei campi (2) sulle sorgenti (1) e si indichera con il simbolo \(2;1)", mentre il secondo
e la reazione dei campi (1) sulle sorgenti (2) e si indichera con il simbolo \(1;2)". L'espressione
che ne risulta esprime allora il teorema di reciprocita
I
(2;1) ; (1;2) = d n^ (E 1 H 2 ; E 2 H 1 )
(4.37)
d3 r (J
e1 E 2 ; J m1 H 2 ) ; V
Osserviamo che il teorema di reciprocita non e una relazione energetica in quanto e coinvolto il
prodotto esterno E H anziche E H , come nel vettore di Poynting. D'altronde la reciprocita
nota dall'Elettrotecnica implica la simmetria di [Z ] ([Z ] = [Z ]T ) e non che [Z ] = [Z ]T .
4.2.4 Forma forte del teorema di reciprocita
L'espressione del teorema di reciprocita per l'elettromagnetismo formulata nell'espressione
(4.37) e analoga a quella vista in Elettrotecnica (Eq. (4.21)) a meno dell'integrale di supercie, pertanto e interessante esaminare in quali casi esso si annulli. Cio accade quando
I
d n^ (E 1 H 2 ; E 2 H 1 ) = 0
(4.38)
1. e su un conduttore ideale elettrico o magnetico.
(I conduttori magnetici ovviamente non esistono, ma sono un'utile schematizzazione).
Se e su un conduttore elettrico ideale la componente tangenziale del campo elettrico
deve essere nulla, cioe
n^ E j = 0
(4.39)
^n
V
Σ = ∂V
Figura 4.7. Rappresentazione delle grandezze usate.
versione 2.1.0
4.2 { Reciprocita
79
allora se si commuta il prodotto triplo nell'integrando dell'equazione (4.38) si ottiene,
considerando la (4.39)
(4.40)
n^ (E 1 H 2 ) ; n^ (E 2 H 1 ) = (^n E 1) H 2 ; (^n E 2) H 1 = 0
da cui segue l'espressione (4.38). Discorso analogo puo essere fatto per il campo magnetico
su un conduttore magnetico.
2. e una supercie di impedenza.
In tal caso, come per esempio nei conduttori imperfetti, la condizione al contorno su
e
(4.41)
n^ E j = ZsH tan
dove Zs e l'impedenza superciale. Si ottiene cos l'integrando della (4.38) nullo per
cancellazione infatti (ricordando che n^ (E H ) = n^ (E tan H tan ))
n^ (E 1 H 2 ; E 2 H 1) = n^ E 1 H 2 ; n^ E 2 H 1 = ZsH 1 H 2 ; ZsH 2 H 1 = 0 (4.42)
3. e una sfera di raggio R ! 1.
Se e molto lontana dalla sorgente vale l'approssimazione di campo lontano (vedi Eq.2.190)
(4.43)
r^ E = Z0H + O R12
Se si arresta lo sviluppo all'ordine R12 si ottiene una relazione d'impedenza e, come nel
caso precedente, vale la relazione (4.38). Infatti poiche
d = O R2
(4.44)
1
1
(4.45)
(E H ) r^ = E r^ E Z r^ + O R4
0
l'integrale (4.38) diviene
I
1
I
1
1
(4.46)
d E 1 r^ E 2 Z ; E 2 r^ E 1 Z + d O R4
0
0
Il primo integrale e nullo in quanto lo e l'integrando, il secondo tende anch'esso a zero
poiche il suo integrando
1
1
d O R 4 = O R 2
(4.47)
tende a 0 per R ! 1. Si noti che se non ci fosse stata la relazione d'impedenza (termine
dominante), il primo integrale della (4.46) non sarebbe stato nullo.
Nei casi sopra esaminati il teorema di reciprocita si riduce a
Z
V
d3r (J e1 E 2 ; J m1 H 2 ) =
Z
V
d3 r (J e2 E 1 ; J m2 H 1)
(4.48)
che viene chiamata forma forte del teorema di reciprocita.
versione 2.1.0
80
L'antenna in ricezione e reciprocita
4.2.5 Equivalenza di un'antenna in RX e in TX
Applichiamo ora il teorema di reciprocita per vedere quale \equivalenza" si possa stabilire tra
un'antenna in TX e la stessa antenna in RX. Indichiamo come situazione (1) quella in cui
l'antenna e in TX, cioe viene alimentata, e come situazione (2) quella in cui la stessa antenna
e in RX, cioe e presente una sorgente esterna (e lontana).
Ci chiediamo ora se esiste un legame tra la he in ricezione (h(er) ) e quella in trasmissione (h(et) ).
Chiamiamo E 1 e H 1 i campi relativi all'antenna in TX e E 2 e H 2 quelli relativi all'antenna in
RX. La h(et) e legata al campo trasmesso dalla relazione
Z0 e;jkr h(t) (^r) I
(4.49)
E 1 (r) = ;2jr
at
e
mentre la h(er) soddisfa la relazione
Va = h(er) (^r) E inc
(4.50)
2 (r )
Quindi il quesito precedentemente posto si riduce a cercare il legame tra E 1 e Va. Per le sorgenti
(J e2;J m2 ) la scelta e arbitraria: si hanno cos due gradi di liberta. Poiche vogliamo calcolare
solo il campo E 1 risulta conveniente porre la sorgente J m2 nulla; in questo modo il termine H 1
scompare dalla relazione (4.36). Per quanto riguarda la sorgente J e2 essa sara del tipo
J e2 = M (r ; R)
(4.51)
perche di essa sappiamo calcolare il campo irradiato. Resta ancora un grado di liberta che
viene usato nella scelta della supercie. Volendo caratterizzare l'antenna e non la struttura che
la alimenta, si racchiude con un conduttore la regione che contiene le sorgenti (generatore a
radiofrequenze (B )) e la si collega tramite un cavo coassiale all'antenna (ANT ); se necessario
si inserisce anche un simmetrizzatore (C ) (vedi Fig. 4.8). Cos facendo, siamo sicuri che ad
irradiare e soltanto l'antenna (che vogliamo caratterizzare), e non quello che sta a monte di
essa. Applichiamo ora il teorema di reciprocita. Poiche la presenza di sorgenti all'interno della
ANT
B
C
Figura 4.8. Schema di un dipolo con la struttura che lo alimenta.
supercie d'integrazione complica i conti, allora quest'ultima verra scelta come mostrato in
Fig. 4.9, dove c indica la supercie che circonda il conduttore (B ) e il cavo coassiale, A e la
regione di piano che collega il cavo coassiale con l'antenna e 1 e la supercie della sfera (vedi
versione 2.1.0
4.2 { Reciprocita
81
anche particolare in Fig. 4.10). La sezione A indica la sezione della guida (cavo coassiale) che
corrisponde all'ingresso dell'antenna. L'integrale di supercie della formula (4.36) si semplica
tenendo conto del fatto che gli integrali di supercie su c e 1 sono nulli in quanto si integra
o su un conduttore o su una supercie che recede a innito. Quindi l'integrale di supercie
della (4.36) diventa Z
(4.52)
d n^ (E 1 (A) H 2(A) ; E 2(A) H 1(A))
A
Supponendo che la sezione A sia sucientemente distante dall'antenna in modo che nella guida
(coassiale) sia presente solo il modo fondamentale si puo aermare che
E t (A) = Va e() ; H t (A) = IA h ()
(4.53)
dove e() e h() sono le autofunzioni modali. Sostituendo, la (4.52) diventa
Z
A
d2 z^ e() h() (VA1IA2 ; VA2IA1 )
(4.54)
in cui il termine (VA1 IA2 ; VA2IA1) non dipende da e puo essere portato fuori dall'integrale.
Si ponga
Z
d2 z^ e() h() = c
(4.55)
A
Analizzando il circuito concentrato nella sezione A corrispondente ad un'antenna in trasmissione, vedi Fig. 4.11, notiamo che
IA1 = Iat ; VA1 = IA1Za
(4.56)
mentre considerando un'antenna in ricezione (Fig. 4.12), abbiamo
^
Va = h(er) R^ E inc
(4.57)
2 R
Esprimendo il tutto in funzione di Va otteniamo
IA2 = ; Z V+a Z ; VA2 = Va Z Z+g Z
g
a
g
a
(4.58)
M
ANT
B
Σc
C
R
O
ΣA
Σ∞
Figura 4.9. Visualizzazione della supercie di integrazione .
versione 2.1.0
82
L'antenna in ricezione e reciprocita
n=z
ΣC
Σ∞
ΣA
Figura 4.10. Particolare ingrandito del circuito di Fig. 4.9, con le superci di integrazione.
Sostituendo le espressioni (4.56), (4.57), (4.58) e esplicitando il campo incidente come (vedi
paragrafo 2.5.4)
^
jZ0 ;jkRI M
E inc
(4.59)
2 R = ; 2R e
tR^
la (4.54) diventa
^ ;jZ0 ;jkR
(
r
)
;Iat he R 2R e I tR^ M c
(4.60)
Per quanto riguarda gli integrali di volume della (4.36) (integrali di reazione), ricordiamo che
le sorgenti J e1 e J m1 sono esterne al volume V (vedi Fig. 4.9), e quindi
Z
V
d3r J e1 E 2 =
Z
V
d3r J m1 H 2 = 0
(4.61)
mentre nel secondo termine J m2 = 0, per scelta, e quindi
Z
V
jZ0 e;jkRh(t) R^ I M
d3r (;E 1 (r) J e2 (r)) = ;E 1 (R) M = ;2R
at
e
(4.62)
Applicare il teorema della reciprocita in (4.36) corrisponde ora ad eguagliare la (4.60) con la
(4.62), da cui ricaviamo
c h(er) R^ I tR^ M = h(et) R^ M
(4.63)
Iat
Zg
A
g
VAI
Zg
Pa
Figura 4.11. Circuito equivalente di un'antenna in trasmissione.
versione 2.1.0
4.2 { Reciprocita
83
IA2
Za
A
A2
Va
Zg
Pin
Figura 4.12. Circuito equivalente di un'antenna in ricezione.
Sapendo che il campo e trasverso a R^ si ha che
h(er) R^ I tR^ = h(er) R^
da cui
c h(er) R^ M = h(et) R^ M
ma quest'ultima relazione, poiche deve valere 8M (che e arbitrario), equivale a
ch(er) R^ = h(et) R^
(4.64)
(4.65)
(4.66)
Procediamo allora al calcolo di c. Sfruttando la denizione di potenza e ipotizzando e e h reali
(cioe che non ci siano perdite) si ottiene
Z
1 Z
1
2
2
d z^ (E H ) = 2 Re VAIA d z^ e() h()
PA = 2 Re
(4.67)
A
A
Ma poiche e noto che
(4.68)
PA = 12 Re fVAIA g
segue che
Z
(4.69)
c = d2 z^ e() h() = 1
per cui la (4.66) diventa
A
h(er) R^ = h(et) R^
(4.70)
2
g (^r) = RZ0 jhe(2r)j
(4.71)
Cio vuol dire che
l'antenna ha lo stesso diagramma d'irradiazione e di ricezione jhej2;
le caratteristiche vettoriali di polarizzazione (^p = jhhej ) sono uguali sia in ricezione che in
e
trasmissione.
Dato che per una stessa antenna e stato dimostrato che h(er) = h(et) , e evidente che g (^r) e in
relazione con aeq . Questa relazione puo essere ottenuta a partire dalla espressione di g (^r)
a
versione 2.1.0
84
e dalla relazione (4.20),
L'antenna in ricezione e reciprocita
aeq (^r) = jhej2 4ZR0
(4.72)
g (^r) = 42 aeq (^r)
(4.73)
Sostituendo la (4.72) nella (4.71), si ha che
versione 2.1.0
a
5
Antenne lari
5.1 Introduzione alle antenne lari
Tutte le antenne che sono geometricamente individuabili mediante una o piu linee si dicono
antenne lari (per ragioni essenzialmente storiche). Il supporto di tali antenne, con alcune
semplicazioni geometriche, puo essere rappresentato come in Fig. 5.1. Le antenne lari sono
Σt
2a << λ
2a
Figura 5.1. Supporto delle antenne lari.
caratterizzate da una sezione trasversale t di dimensioni molto minori della lunghezza d'onda
(non si pongono vincoli sulla lunghezza del lo). Per queste antenne, supposte di materiale perfettamente conduttore, applichiamo il teorema di equivalenza, rimuovendo il metallo e
lasciando al suo posto una corrente elettrica superciale J es sulla supercie del lo. La condizione al contorno sul conduttore (^n E = 0) annulla la corrente magnetica (come intuitivo).
Tuttavia e intuitavamente piu semplice assumere la densita di corrente distribuita all'interno
di tutto il lo, anziche solo sulla sua supercie, e questa e la strada che seguiremo. Vogliamo
valutare l'espressione dell'integrale di irradiazione in campo lontano calcolando il vettore di
irradiazione P e che e funzione della trasformata di Fourier della densita di corrente elettrica
Z
(5.1)
J~e(k0 r^) = d3r0 J e(r0) ejk0r^r0
R3
Data la geometria dell'antenna cercheremo di ridurre l'integrale di volume ad un integrale di
linea, valutando come sempre quali approssimazioni cio comporta e in quali condizioni valga.
Cominciamo per semplicita a considerare il caso particolare di antenna lare rettilinea, prendendo in esame un lo rettilineo a sezione trasversale t costante, come mostrato in Fig. 5.2.
85
86
Antenne lari
Se ^ indica la direzione lungo cui si estende il conduttore, il vettore r0, che descrive i punti
z
Σt
l2
Σt
^s
O
y
O
ρ
x
l1
Figura 5.2. Filo rettilineo a sezione trasversale costante.
dell'antenna a partire dall'origine 0 (supposta interna al lo), puo essere scomposto in una
componente longitudinale ed una trasversale rispetto a ^
r0 = s^ + (5.2)
dove
s e la coordinata curvilinea, cioe e la coordinata d'arco rispetto all'origine.
e la coordinata trasversale.
Utilizzando un sistema di riferimento cartesiano possiamo scrivere
^ = z^ ; = xx^ + yy^
(5.3)
L'ipotesi di dimensioni trascurabili rispetto a impone una dimensione massima data da
a = max
(5.4)
2t
L'integrale di volume (5.1) puo essere scomposto nella parte longitudinale e trasversale utilizzando la (5.2)
Z l2 Z
~
J e(k0 r^) =
ds d2 J e(;s)ejk0(^r^)sejk0 r^ =
l1
t
(5.5)
Z l2
Z
=
ds ejk0(^r^)s d2 J e(;s)ejk0r^
l1
t
In virtu della (5.4) e possibile eseguire la seguente approssimazione:
k0r^ k0a = 2 a 1
0
ovvero
ejk0r^ ' 1
versione 2.1.0
(5.6)
(5.7)
5.1 { Introduzione alle antenne lari
87
sostituendo nell'Eq. (5.5) otteniamo
J~e(k0r^) '
Z l2
l1
ds ejk0(^r^)s
Z
t
d2 J e(;s)
(5.8)
E ragionevole supporre che nell'integrale di supercie della (5.8) si possano trascurare i termini
di sorgente ortogonali alla supercie esterna del lo. Possiamo quindi scrivere
Z
t
d2 J
Z
e (;s) ' ^ d
t
2 ^ J
e(;s) = ^I (s)
(5.9)
essendo I (s) la corrente che scorre nel lo avente la seguente forma:
I (s) =
Z
t
d2 ^ J e(;s) =
Z
t
d2 n^ J e(;s)
(5.10)
dove n^ = ^ indica la normale alla supercie t .
Diamo ora una giusticazione dell'approssimazione adottata per l'integrale di supercie.
Scomponiamo il termine di sorgente in una componente trasversale ed in una longitudinale
rispetto alla direzione dell'antenna
J = J k + J ? = Jk^ + J?u^?
(5.11)
Jρ1 ρ^
Jθ1 θ^
1
1
Jθ2 θ^
2
2
Jρ2 ρ^
Figura 5.3. Sezione trasversale in coordinate polari.
Considerando la sezione trasversale nel sistema di coordinate polari otteniamo (vedi Fig. 5.3)
(5.12)
J ? = J^ + J ^
E suciente utilizzare l'ipotesi a per poter aermare che dati due punti qualsiasi 1 e 2 di
t avremo J1 ' J2 e ^1 = ;^2 . Da questo segue che
Z
t
d2 ^ J (;s) ' 0
(5.13)
Analogamente possiamo dire che la componente J e nulla. In base a queste ultime considerazioni scriviamo la (5.8) nella forma
J~e(k0r^) '
Z l2
l1
ds ^I (s)ejk0(^r^)s
(5.14)
versione 2.1.0
88
Antenne lari
Cerchiamo ora di dare una forma piu semplice alla J~e. Abbiamo, dal momento che ^ r^ = cos ,
che la (5.14) puo essere riscritta come segue:
J~e(k0r^) '
Z l2
l1
ds ^I (s)ejk0s cos (5.15)
In altri termini se poniamo k0 cos , l'espressione (5.15) diventa
J~e(k0r^) '
Z l2
l1
ds ^I (s)ejs
(5.16)
che corrisponde alla trasformata di Fourier sul lo della corrente.
Prendiamo in esame un caso semplice ^ = z^ ; = P e(^r) = I tr^ J~e(k0r^) = (^^ + ^^) z^
Z l2
l1
dz I (z)ejk0 z cos (5.17)
Siccome
^ z^ = ; sin ; ^ z^ = 0
(5.18)
otteniamo
P e(^r) = ^(; sin )I~( )=k0 cos (5.19)
che esprime il vettore di irradiazione di un'antenna lare disposta lungo z^ con origine sul lo, in
funzione della trasformata di Fourier della distribuzione di corrente dell'antenna. Cerchiamo di
interpretare i risultati ottenuti scrivendoli in modo piu compatto: agli eetti del campo lontano
l'espressione (5.14) esprime una sorgente concentrata lungo il lo, cioe
J e(r) = ^I (s)()
(5.20)
dove I (s) esprime la dipendenza longitudinale della sorgente e () campiona l'integrale in = 0
se, per semplicita, si considera l'origine sul lo. Se invece consideriamo la situazione generale
ρ0
O
Σt
Figura 5.4. Riferimento con origine esterna alla sezione del lo.
con l'origine non sul lo possiamo scrivere la sorgente nella forma
J e(r) ' ^I (s)( ; 0) = ^I (s)(r ; r )
(5.21)
dove r = 0 + s^ identica l'equazione dell'asse del lo. Con l'estensione (5.21) e possibile
arontare il problema del lo rettilineo senza la limitazione dell'origine sul lo e considerando
la corrente concentrata sull'asse del conduttore. In Fig. 5.5 abbiamo che
versione 2.1.0
5.1 { Introduzione alle antenne lari
89
τ
γ
rγ (s)
O
Figura 5.5. Congurazione generale di un'antenna lare.
r (s) e la funzione vettoriale che descrive i punti della curva.
^ = ^(s) versore tangente alla curva nel punto s.
Si ha
(5.22)
J e(r) ' ^(s)I (s) r ; r (s)
Si noti che (r ; r ) ha dimensioni m;2. La trasformata di Fourier di J e in (5.8), che compare
nel vettore di irradiazione in (5.17), si semplica in
Z l2
(5.23)
J~e(k0r^) = ds ^(s)I (s)ejk0r^r (s)
l1
Quest'ultima espressione e la piu generale possibile, poiche elimina la dipendenza dalla coordinata trasversale, vale per una qualsiasi curva descritta da r e non dipende dalla scelta
dell'origine. Un disegno esemplicativo della geometria e rappresentato in Fig. 5.6. La situazione in cui l'origine del sistema di coordinate e esterna al lo si presenta in molti casi di
interesse pratico, nei quali una antenna e composta da piu \li" che irradiano. La scelta di
τ
r
rγ (s)
r
O
Figura 5.6. Disegno esemplicativo della congurazione generale
porre l'origine al di fuori dell'antenna non comporta alcun cambiamento nella forma del campo
irradiato, ma introduce un termine di spostamento di fase. Consideriamo infatti l'esempio di
un lo rettilineo parallelo all'asse z^, nel caso in cui l'origine delle coordinate non stia sul lo
versione 2.1.0
90
Antenne lari
stesso, come in Fig. 5.7. Chiamiamo C l'origine locale delle coordinate sul lo, identicata dal
vettore rC = C ; O. Se chiamiamo s la coordinata lungo il lo, la posizione di un punto su di
esso sara data da sz^ a partire da C , e da r = rC + sz^ a partire dall'origine O. L'esponenziale
z
y
d
τ^
C
rc
x
O
Figura 5.7. Filo rettilineo non centrato.
che compare nella (5.23) assume allora la forma
ejk0 r^r = ejk0r^rC ejk0(^rz^)s
(5.24)
quindi l'Eq. (5.23) puo essere scritta nella forma seguente:
J~e(k0r^) = z^ ejk0 r^rC
Z l2
l1
ds I (s)ejk0s cos (5.25)
dove il termine ejk0r^rC esprime lo spostamento di fase dovuto al fatto che l'origine non appartiene
al lo. Nel caso piu semplice in cui rC = ;dx^ (come in Figg. 5.7 e 5.8) lo spostamento di fase e
jk0r^ rC = ;jdk0 (^r x^) = ;jk0 d sin cos , da cui e evidente che il termine r^ x^d = d sin cos =
w (vedi Fig. 5.8) e la dierenza di fase di un'onda piana che \parte" da C rispetto a quella
che parte da O (ricordiamo che nel campo lontano le onde sferiche sono approssimabili da
onde piane). E immediato vericare che nel dominio del tempo questi spostamenti di fase
corrispondono a dei ritardi.
Consideriamo ora l'estensione al caso di un lo curvilineo, in tal caso, considerando la 5.14
e la 5.2 si perviene ad una espressione del tipo:
J~e(k0r^) '
Z s2
s1
ds s^(s)I (s)ejk0(^rs^)s
(5.26)
Consideraiamo ad esempio, il caso di un anello circolare di raggio a , in queste condizioni
si ha:
ds = ad0 ; s^ = ^0
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
91
z
y
θ
w
O
x
d
Figura 5.8. Spostamento di fase.
e pertanto la 5.26 diviene
J~e(k0r^) ' a
Z 2
0
^0
0
d0 ^0 I (0 )ejk0(^r )a
(attenzione a non confondere 0 con ), in coordinate cartesiane risulta:
^0 = ;x^ sin 0 + y^ cos 0
^0 r^ = sin sin( ; 0 )
siccome a , si approssima il termine esponenziale nella 5.27 come:
^0 0
ejk0(^r )a ' 1 + jk0(^r ^0 )a0
(5.27)
(5.28)
5.2 Antenne a dipolo elettrico
Consideriamo un'antenna composta da due stili conduttori di opportuna lunghezza, distanziati
di ed alimentati da una linea di trasmissione, come in Fig. 5.9. Siccome , si
suppone di poter considerare i morsetti dell'antenna come quelli di un componente elettrico
concentrato e quindi di poter individuare una tensione V e una corrente I . La possibilita che
scorra una corrente lungo gli stili, lasciati aperti come in Fig. 5.9 appare una evidente violazione
della teoria dei circuiti a parametri concentrati (secondo cui la resistenza di ingresso e innita),
e dobbiamo cercare di dare una nuova interpretazione del fenomeno in esame sfruttando la
teoria delle linee. Un modo per comprendere il problema e quello di studiare una struttura
nota come linea di trasmissione biconica. Per studiare le caratteristiche di irradiazione di una
tale antenna dovremo conoscere la forma I (s) della corrente sui conduttori.
5.2.1 Linea di trasmissione biconica e dipolo a =2
La linea biconica e una struttura costituita di due coni conduttori di uguale apertura angolare
aacciati alle punte, come si puo vedere in Fig. 5.10. Si puo studiare la linea biconica come
guida d'onda, prendendo pero come asse della guida la direzione radiale r^. Tale studio e al di
la dei nostri scopi, ma si puo mostrare1 che tale guida, detta sferica, ammette un modo TEM,
1
per esempio in N.Marcuvitz, Waveguide Hand Book, Mc Graw-Hill, New York: 1951; Secs. 1.8 e 2.8.
versione 2.1.0
92
Antenne lari
°
°
δ << λ
Figura 5.9. Antenna a dipolo elettrico.
α
°
°
a)
b)
Figura 5.10. Linea biconica.
come intuibile dal fatto che questa struttura consente trasporto di potenza in continua e a bassa
frequenza. La velocita di fase risulta essere c. Si possono quindi denire tensione V e corrente
I nel senso sia modale che elettrotecnico, purche si considerino superci a r = cost: (cos
come nel coassiale si devono considerare superci a z = cost:), come in Fig. 5.10.b; in generale
V = V (r), I = I (r), ma sulla supercie del cono ovviamente r = r(z) e V = V (z), I = I (z).
Considerando le superci a raggio costante possiamo dunque ricondurci all'equivalente linea di
trasmissione (Fig. 5.11), dove possiamo individuare gli stati elettrici ad ogni sezione. Si noti
che, contrariamente a quanto parrebbe intuitivo dalla Fig. 5.11a, la linea \c'e" solo per z > 0,
in quanto i due conduttori nello schema equivalente in Fig. 5.11b corrispondono ognuno ad uno
dei due coni della struttura biconica. Procedendo verso il nostro dipolo, supponiamo adesso
di tagliare i due coni ad una distanza L dall'origine, ottenendo una transizione guida-spazio
libero rappresentabile in prima approssimazione con una linea in circuito aperto a distanza L
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
93
z
I(z)
z
I(z)
V(z)
V(z)
a)
b)
Figura 5.11. Circuito equivalente di un'antenna biconica innita.
dal generatore, come in Fig. 5.12. A questo punto e suciente limitare lo studio a tale linea
c.a.
°
L
2L
°
L
≡
°
°
Figura 5.12. Circuito equivalente di una linea biconica nita.
di trasmissione. Calcoliamo il diagramma di onda stazionaria relativo alla corrente I noto lo
stato elettrico della linea nella sezione z = L (Fig. 5.13). L'espressione analitica della corrente
L
Γ=I
I(z) 
z
Figura 5.13. Diagramma di corrente per una linea biconica nita.
lungo la linea sara dunque del tipo
I (r) = cost cos(r)
versione 2.1.0
94
Antenne lari
dove = k0. Per questa antenna siamo riusciti a dare una forma della corrente, anche se
ovviamente la descrizione monomodale (TEM) del campo e la rappresentazione del cono tagliato
come circuito aperto e approssimata e pertanto il diagramma d'onda stazionaria puo essere
considerato un'approssimazione ragionevole della corrente. Questa struttura biconica tagliata
e detta antenna biconica ed e un'antenna relativamente a larga banda usata soprattutto come
antenna di misura nel contesto delle misure di compatibilita elettromagnetica.
Cerchiamo ora di adattare i risultati ottenuti per l'antenna biconica al caso dello stilo
conduttore. Se lo stilo e sottile, ed il rapporto tra il suo diametro 2a e la sua lunghezza l e
1, e chiaro che non dierisce molto da un cono sottile. Piu accuratamente, il dipolo puo
essere visto come una linea biconica a sezione non costante: infatti ogni intervallo z del dipolo
puo essere localmente approssimato con un cono di opportuna apertura, come e mostrato in
Fig. 5.14; l'equivalente in linea di trasmissione e rappresentabile con una serie di tratti di linea
di impedenza caratteristica diversa, come mostrato in Fig. 5.15.
Figura 5.14. Approssimazione di uno stilo con una linea biconica.
Figura 5.15. Equivalente di una linea biconica a sezione non costante.
Noi qui trascuriamo tale non uniformita, e quindi approssimiamo la distribuzione della
corrente sul dipolo con un diagramma d'onda stazionaria, come in Fig. 5.16. La situazione piu
usata e quella per cui si ha il massimo valore di corrente in corrispondenza dell'alimentazione.
Una situazione tipica e quella del dipolo a =2, o dipolo a mezz'onda, per cui L = 0 =2 , l = 0=4
(vedi Fig. 5.17). In base alle sole considerazioni fatte sinora, e chiaro che la reattanza all'ingresso
e X = 0 (0=4 da un circuito aperto); da quanto sappiamo dalla teoria delle risonanze sulle
linee di trasmissione e evidente che in un circuito del tipo in Fig. 5.13 siamo in condizioni di
risonanza. In base alla sola teoria approssimata, l'impedenza d'ingresso del dipolo sara sempre
reattiva: stiamo infatti trascurando gli eetti della irradiazione; vedremo piu avanti questo
aspetto (vedi paragrafo 5.2.2). Utilizzando la stessa geometria, ma cambiando la lunghezza
in funzione di , possiamo ottenere distribuzioni diverse della corrente lungo l'antenna. In
particolare, se scegliamo l la distribuzione della corrente lungo la linea di trasmissione
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
95
|I(z)|
z
° °
Figura 5.16. Diagramma d'onda stazionaria per un dipolo.
|I(z)|
z
°
°
l
L
Figura 5.17. Distribuzione di corrente per un dipolo a 2 .
e circa triangolare, come mostra la Fig. 5.18. Infatti il coseno si approssima con una retta
ottenendo
I (z) / cos(k0l) ' k0l se k0l 1
(5.29)
|I(z)
z
Ia
Figura 5.18. Distribuzione di corrente per un dipolo corto.
5.2.2 Dipolo corto e dipolo a =2: confronto
Il dipolo a =2 e quello corto sono i due tipi di dipolo piu utilizzati nella pratica: vediamo dunque
di mettere a confronto le prestazioni, premettendo che quello corto ha degli ovvi vantaggi di
ingombro, supposto a frequenze \basse".
versione 2.1.0
96
Antenne lari
Diagramma di irradiazione
Per una antenna rettilinea corta la trasformata della sorgente ha una forma semplice per via
delle considerazioni in 2.6 e dalle equazioni (2.172) e (2.140), cioe
Z
Zl
J~e(k0r^) ' M e = dz J e = ^ ds I (s)
;l
(5.30)
dove Ia e la corrente di alimentazione dell'antenna, I (0) = Ia e quindi la (5.30) diventa (L = 2l)
M e = ^
Zl
;l
ds I (s) = 21 ^LIa
(5.31)
Questa e l'espressione del momento elettrico di un dipolo corto del tipo visto prima. In generale
per un dipolo corto con una corrente I (s) = Ia f (s) dove jf (s)j < 1 otteniamo il momento
elettrico
Zl
Zl
M e = ^ ds Iaf (s) = ^Ia ds f (s)
(5.32)
;l
;l
e, facendo il cambiamento di variabile u = 2sl , possiamo scrivere
M e = ^Ia L
dove Z
1
2
; 21
Z
1
2
; 12
du f (u) = ^IaL
(5.33)
du f (u). Nel caso di dipolo corto visto prima (5.31), con distribuzione f triangolare, e chiaro che = 21 , mentre se la corrente fosse costante (f = cost:) si avrebbe = 1.
Risulta chiaro che, essendo il campo irradiato proporzionale a M e, l'intensita di tale campo dipende dall'intensita e dalla geometria della distribuzione di corrente (si deve cioe massimizzare
l'integrale della corrente lungo il lo). Questa esigenza ha portato alla ricerca delle terminazioni
piu adatte per garantire una corrente costante nel lo (e di conseguenza = 1). Per avere I
costante lungo il lo dobbiamo \caricare" il dipolo alle estremita in modo reattivo, introducendo ad esempio un eetto capacitivo. Due esempi di realizzazione sono il dipolo hertziano e il
dipolo con terminazioni a piatto, mostrati nelle Figg. 5.19 e 5.20. Le terminazioni consentono
di ottenere una linea equivalente rappresentabile come in Fig. 5.21. La realizzazione pratica
della seconda soluzione sfrutta spesso il terreno come uno specchio e una serie di li tesi come
terminazione a piatto, come schematizzato in Fig. 5.22.
Esaminiamo adesso piu in dettaglio il dipolo a =2, che e una struttura molto usata nella
pratica (vedi Fig. 5.18). L'espressione analitica della corrente risulta essere
z
z
(5.34)
I (z) = Ia cos 2l = Ia cos L
Quindi prendendo l'origine al centro del dipolo e utilizzando la (5.23) otteniamo
z
Zl
Zl
j
z
~
J e(k0r^) = z^ dzI (z)e = z^Ia dz cos L ejz
(5.35)
;l
;l
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
97
°
°
Figura 5.19. Dipolo hertziano.
Figura 5.20. Dipolo con terminazioni a piatto.
dove = k0 cos = k0(^z r^). Facendo il cambio di variabile u = z , dz = Ldu l'espressione
L
|I(z)
z
L
Figura 5.21. Linea equivalente di un dipolo con terminazioni.
versione 2.1.0
98
Antenne lari
Figura 5.22. Congurazione pratica di un monopolo.
(5.35) puo essere scritta come segue:
J~e(k0r^) = z^IaL
Se chiamiamo
F ( ) =
Z
Z
1
2
; 12
1
2
; 12
du cos(u)ejLu
(5.36)
du cos(u)ejLu
l'Eq. (5.36) assume la forma
J~e(k0r^) = z^Ia LF ( )
Possiamo esprimere il vettore di irradiazione elettrico come
P e(^r) = (^^ + ^^) J~e(k0r^) = ^(; sin )Ia LF ( )
Per un dipolo corto procedendo nello stesso modo otteniamo invece
P e(^r) = ^(; sin )IaL
(5.37)
(5.38)
(5.39)
Appare quindi evidente la dierenza tra la (5.38) e la (5.39): mentre e un termine costante
rispetto alla direzione, nel termine F ( ) del dipolo a =2 e contenuta la direttivita dell'antenna.
Calcoliamo dunque il termine F ( )
F ( ) =
Se scriviamo cos(u) come
abbiamo
versione 2.1.0
Z
1
2
; 21
du cos(u)ejLu
cos(u) = 1 eju + e;ju
2
(5.40)
Z 12 1
F ( ) = 2 1 du eju + e;ju ejLu =
;2
!
Z 21
Z 12
1
j(
L
+
)
u
j(
L
;
)
u
= 2 1 du e
+ 1 du e
;2
;2
(5.41)
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
99
Calcoliamo separatamente i due integrali.
1 Z 12 du ej(L+)u = 1 Z 1 du (u)ej(L+)u
2 ; 12
2 ;1
(5.42)
dove (u) e la funzione porta di larghezza 1 centrata nello zero, cioe (x) = ;u(x ; 1=2) +
u(x + 1=2), ove u(x) e il gradino unitario. Possiamo interpretare la (5.42) come la trasformata
di Fourier della porta e quindi otteniamo
1Z
2
1
2
; 21
sin L2+ 1
j(
L
+
)
u
du e
=2
L2+ e analogamente calcoliamo il secondo integrale
1Z
2
1
2
; 21
sin L2; 1
j(
L
;
)
u
du e
=2
L2; (5.43)
(5.44)
Sostituendo inne i risultati (5.43) e (5.44) nell'Eq. (5.41) otteniamo
sin L2 + 2 sin L2 ; 2
F ( ) =
L + + L ; =
(L ; ) sin
L2 + 2
+ (L + ) sin
(L)2 ; 2
che, dopo opportune manipolazioni, risulta ridursi a
=
L2
;
2
(5.45)
;2 cos L2
F ( ) = (L)2 ; 2
(5.46)
Guadagno e resistenza di irradiazione del dipolo corto
Calcoliamo il guadagno di un dipolo corto utilizzando la (3.7). Come abbiamo gia visto in
precedenza, dalla relazione di impedenza che soddisfa il campo irradiato possiamo scrivere
dP = 1 1 jE j2
d 2 Z0
e quindi
1 1 jE j2
2
g(^r) = g() = Z0Pal
(5.47)
4r2
Assumiamo = 1 e quindi Pal = Pirr (avremo come conseguenza che il guadagno risultera
uguale alla direttivita dell'antenna). Ricaviamo la potenza irradiata come integrale di supercie
della densita di potenza irradiata
Z dPirr
Pirr = d d
(5.48)
versione 2.1.0
100
dove
Antenne lari
dPirr = 1 1 jE j2 = 1 1 Z0 2jP j2 = 1 Z0 jP j2
(5.49)
e
d 2 Z0
2 Z0 2r0
2 4r202 e
possiamo assumere, senza perdere in generalita, che l'asse z^ sia lungo la direzione del dipolo, e
quindi per un dipolo corto P e(^r) = ;^ sin Me, da cui
dPirr = 1 Z Me2 sin2 (5.50)
d 2 0 4r220
Considerando come supercie d'integrazione una sfera possiamo esplicitare d in coordinate
sferiche, cioe d = r2 d d sin . Dunque
Z
Z 2
2 2
Pirr = r2 d sin d 12 Z0 Me 2sin2 =
0
0
4r 0
(5.51)
Z
2
2
= 2 1 Me Z2 0 d sin3 = 1 2 Me 2Z0
2 40 0
2 3 0
Sostituendo la (5.51) nella (5.47) otteniamo
g() = 32 sin2 (5.52)
da cui G = 3 . Notiamo che il guadagno di un dipolo corto e indipendente dalla distribuzione
2
di corrente, cioe da .
Possiamo calcolare la resistenza di irradiazione Rirr , essendo nota, a questo punto, la potenza
irradiata Pirr . Sfruttando la relazione
(5.53)
Pirr = 21 Rirr jIa j2
e la (5.51) abbiamo
1 R jI j2 = 1 2 Z0 Me2 = 1 2 Z02 jI j2 L2 2
(5.54)
2 irr a
2 3 20
2 3 20 a
e quindi
2
Rirr = 23 Z0 L 2
(5.55)
0
Possiamo osservare che la resistenza d'irradiazione cresce al crescere delle dimensioni del dipolo
(rispetto a ), ed e sensibile alla distribuzione di corrente lungo lo stilo. Nel caso di = 1=2
(distribuzione triangolare della corrente), ricordando che Z0 = 120 , abbiamo
L 2 1
L 2
2
2
(5.56)
Rirr = 3 120 4 = 20 0
0
Per avere un'idea dei valori numerici in gioco, consideriamo il caso tipico di L = 101 0 (dipolo
corto), ottenendo
Rirr (5.57)
= 2
Un'antenna a dipolo corto ha una Rirr molto piccola, al punto da essere dicilmente distinguibile dalla resistenza di perdita: questo evidenzia che le antenne corte sono dicilmente
utilizzabili.
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
101
Dipolo corto e lungo
Lo studio delle caratteristiche di guadagno e di direttivita di un'antenna puo essere fatto a
partire dai diagrammi di irradiazione in forma polare. Tali diagrammi vengono realizzati a
partire dal guadagno normalizzato dell'antenna, e costituiscono un valido strumento di paragone. Infatti confrontando i diagrammi di irradiazione di un dipolo corto e di un dipolo a =2
possiamo riscontrare un maggiore guadagno di quest'ultimo, come si puo dedurre in Fig. 5.23
dalla minore apertura angolare del lobo. Il dipolo a =2, benche di poco, nella direzione di
a)
b)
Figura 5.23. Diagrammi di irradiazione: a) dipolo a =2; b) dipolo Hertziano.
massima irradiazione (direzione perpendicolare al dipolo) produce un campo leggermente piu
elevato del dipolo corto. Le caratteristiche di tipo irradiativo sono comunque solo una parte
delle caratteristiche dell'antenna: infatti la grande dierenza tra il dipolo a =2 e il dipolo corto
sta nella resistenza di irradiazione Rirr . Il dipolo a =2 risulta vantaggioso per l'elevato valore
della resistenza d'irradiazione che si puo calcolare2 in Rirr ' 73 . Cio comporta ovviamente
una maggiore facilita di adattamento dell'antenna al circuito di alimentazione (generalmente
realizzato in cavo coassiale con impedenza caratteristica Z1 ' 75 ).
Nelle applicazioni reali si usano anche delle antenne a monopolo: sono antenne provviste di
un solo stilo, alimentato rispetto ad un piano di massa come illustrato in Fig. 5.24. Sfruttando il
teorema delle immagini possiamo studiare il monopolo come un normale dipolo (vedi Fig. 5.25).
Per meglio comprenderene il comportamento di un dipolo, riportiamo i risultati relativi alla sua
impedenza Za ,validi nel caso di dipolo sottile. Tali curve sono il risultato di calcoli numerici che
esulano dallo scopo di queste note; citiamo pero il fatto che la parte resistiva si puo ottenere
per integrazione numerica dalla formula (3.38), che lega il campo irradiato alla resistenza di
irradiazione.
In Figg. 5.26 e 5.27 sono rappresentati l'andamento della resistenza e della reattanza di un
monopolo, da cui si ottengono quelle del dipolo moltiplicando per due. In ascissa e riportata la
lunghezza elettrica k0A = 2A= dell'antenna in gradi (2 = 3600). Le curve sono parametrizzate in funzione del rapporto di snellezza A=D (con A lunghezza, D dimensione trasversale). Si
nota subito il comportamento risonante, ed esiste un valore di lunghezza elettrica che annulla
2
Questo calcolo va fatto per via numerica, e si trova su tutti i testi di Antenne.
versione 2.1.0
102
Antenne lari
I
V0
Figura 5.24. Monopolo con piano di massa.
Figura 5.25. Congurazione equivalente di un monopolo con piano di massa.
la reattanza, per ogni valore di A=D; si dovra pertanto vericare tale condizione sul funzionamento dell'antenna. La risonanza e ottenuta per l ' 0;47 perche la terminazione aperta ha
un eetto capacitivo. Si nota che la banda di utilizzo, banda in cui la reattanza assume valori
150
RESISTANCE − OHMS
100
50
0
50
60
70
80
90
100
ANTENNA LENGTH − DEGREES
110
120
130
Figura 5.26. Resistenza di irradiazione di un monopolo, per snellezza
costante, al variare della lunghezza elettrica.
versione 2.1.0
5.2 { Antenne a dipolo elettrico
103
500
400
300
REACTANCE − OHMS
200
100
0
A/D
−100 10
50
−200
100
−300 500
1000
−400
50
60
70
80
90
100
ANTENNA LENGTH − DEGREES
110
120
130
Figura 5.27. Reattanza di un monopolo, per snellezza costante,
al variare della lunghezza elettrica.
bassi, e molto limitata attorno alla risonanza. In particolare, aumentando il rapporto A=D
aumenta la pendenza della curva quindi diminuisce la banda di utilizzo.
versione 2.1.0
104
versione 2.1.0
Antenne lari
6
Antenne ad apertura
6.1 Introduzione
Analizziamo ora una nuova classe di antenne per la quale si puo individuare una regione interessata all'irradiazione che e tipicamente bidimensionale. Poiche tipicamente questa regione fa
da tramite tra il \circuito" (spesso in guida d'onda) e lo spazio libero, tali antenne sono dette
antenne ad apertura. La determinazione delle correnti equivalenti sulla struttura dell'antenna
e un problema che in generale richiede l'impiego di tecniche numeriche, oppure di opportune
approssimazioni. Alcuni esempi tipici, di larga applicazione nella pratica, sono le antenne a
tromba, a riettore e a fessura.
a) Antenna a tromba.
E un'antenna in cui si \adatta" la guida allo spazio libero tramite la \svasatura" della
transizione
guida
apertura irradiante
Figura 6.1. Rappresentazione schematica di una antenna a tromba.
guida che da il nome a questa antenna. A stretto rigore, il campo irradiato e generato
dalle correnti equivalenti su tutta la struttura, e non solo sull'apertura della tromba;
tuttavia gli eetti irradiativi delle pareti laterali sono in genere assai meno importanti di
quelli dell'apertura.
b) Antenna a riettore.
Nella congurazione piu semplice essa e composta da due elementi, l'illuminatore e il
riettore (vedi Fig. 6.2). L'illuminatore e tipicamente un'antenna a basso o moderato
guadagno, spesso a tromba. Il regime in cui funziona quest'antenna e quello quasi-ottico,
105
106
Antenne ad apertura
D>>λ
riflettore
illuminatore
Figura 6.2. Esempio e schematizzazione del funzionamento di
una antenna a riettore (parabolico).
cioe il rapporto D e molto grande, e per l'analisi dell'andamento del campo elettromagne
tico sul riettore si possono usare approssimazioni di tipo raggistico, ovvero proprie della
teoria dell'Ottica geometrica. Il principio base del funzionamento e quello delle analoghe
strutture ottiche, per esempio di focalizzazione nella regione dell'illuminazione di un'onda
piana incidente (pensandola in RX).
c) Antenna a fessura.
Questo tipo di antenna si realizza aprendo delle fessure su una guida d'onda che perturfessura
Figura 6.3. Rappresentazione schematica di una antenna a fessura.
bano le linee di corrente sulla guida stessa provocando cos l'irradiazione. Si deve notare
che non tutte le fessure hanno lo stesso eetto irradiativo; infatti aprendo delle fessure
lungo la mezzeria della struttura guidante (linea a fessura) e possibile studiare il campo
all'interno della guida senza alterarla.
Lo studio dell'irradiazione si basa sul risultato del teorema di equivalenza. Quest'ultimo
aerma che dato un volume chiuso delimitato da una supercie , i campi presenti all'interno
della struttura sono sostituibili con delle correnti equivalenti superciali sulla frontiera della
struttura stessa. Per il momento supponiamo che i campi siano noti in qualche modo, e ci
concentriamo sull'irradiazione in campo lontano. Applicando il teorema dell'equivalenza al
volume V (vedi Fig. 6.4) si ottengono le correnti equivalenti superciali, espresse come
(6.1)
J es = n^ H j ; J ms = ;n^ E j
Notiamo che il volume V , con tutto cio che contiene, e stato rimosso, e al suo posto e stato
messo lo stesso mezzo esistente all'esterno. In questa maniera ci siamo ricondotti al calcolo
versione 2.1.0
6.1 { Introduzione
107
n
Σ
Σ
Th. equivalenza
Jes
Jms
oggetti
Figura 6.4. Applicazione del teorema di equivalenza ad un generico volume V .
dell'irradiazione in spazio libero, descrivibile mediante la diade G. Vediamo ora alcuni esempi
di applicazione.
Conduttore elettrico perfetto (PEC).
Usando il teorema di equivalenza si rimuovono i conduttori e si calcolano le correnti
sulla supercie. Le condizioni al contorno per un conduttore perfetto stabiliscono che
n^ E j = 0. Si ha allora J ms = 0 e J es = n^ H j su una qualunque supercie metallica
\rimossa".
Jms
Figura 6.5. Applicazione del teorema di equivalenza ad una antenna a fessura.
Per ogni antenna con parti metalliche, le J e sono correnti equivalenti, cioe campi, e quindi
non contano nel teorema di reciprocita, in quanto generatori pilotati.
Antenna a fessura. Questo caso e il duale del precedente; infatti applicando il teorema di
equivalenza si \rimuove" la fessura sostituendola con il metallo. In questo caso, applicando
il teorema delle immagini (vedi Fig. 6.5), la J es e nulla e quindi sulla supercie metallica
sono presenti solo le correnti magnetiche J ms. Questo discorso vale esattamente se la
supercie metallica e innita. In generale questo non accade, ma si puo lo stesso mostrare
che J es = 0 nel problema equivalente in cui si chiude la fessura con il metallo.
Antenna a riettore.
Usualmente illuminatore e riettore vengono considerati separatamente in quanto quest'ultimo puo essere considerato in campo lontano per l'illuminatore. Per i calcoli, esatti
o approssimati, si hanno tipicamente due possibilita: o si applica il teorema di equivalenza rimuovendo cos la supercie del riettore ed avendo correnti solo elettriche J es o,
senza togliere il metallo, si considera un piano innito e si considerano le J es e J ms sulla
supercie stessa (vedi Fig. 6.6).
versione 2.1.0
108
Antenne ad apertura
Jes
∞
Jes
Jms
∞
Figura 6.6. Possibili equivalenze per lo studio di una antenna a riettore.
Jes
Jes
Jes
∞
Jes
Jms
∞
Figura 6.7. Possibili equivalenze per lo studio di una antenna a tromba.
Antenna a tromba.
Per le correnti equivalenti si possono utilizzare entrambi i metodi visti per il riettore. Si
puo cioe considerare una supercie che racchiude l'intera struttura e su essa considerare
le J es e J ms , tenendo presente che le J ms non sono nulle solo sulla supercie \irradiante".
In alternativa si puo usare un piano innito appoggiato alla bocca dell'antenna, come
supercie per l'applicazione del teoremah diequivalenza. In tal caso i risultati ottenuti
saranno ovviamente validi solo per 2 0; 2 (vedi Fig. 6.7), che e la regione esterna.
versione 2.1.0
6.2 { Irradiazione da apertura
109
6.2 Irradiazione da apertura
Si procede al calcolo delle trasformate J~e(r) e J~m(r), che compaiono nell'espressione del campo
(lontano) irradiato. Indicando l'equazione della supercie con r = r (u;v) e usando il pedice
al posto di e;m si puo scrivere
J e(r) = J es(u;v) (r ; r)
J m (r) = J ms(u;v) (r ; r)
(6.2)
dove (r ; r) indica una delta di supercie, denita implicitamente dalla relazione
Z
R3
d3r(r ; r
)A(r ) =
Z
dA(r )
(6.3)
( ricordiamo che J es e J ms hanno dimensioni di Am; 1 e V m; 1 rispettivamente ). Passando
nel dominio trasformato
Z
J~ (k) =
d3r e(jkr) J (r) =
=
=
R3
Z
R3
Z
d3r e(jkr) J s(u;v) (r ; r) =
(6.4)
d e(jkr ) J s(u;v)
Nel caso piano, in cui sta nel piano (x;y) (vedi Fig. 6.8), la (6.4) si semplica in
y
x
ρ
Dy
Dx
z
Σ
Figura 6.8. Rappresentazione del sistema di riferimento
relativo ad una generica supercie piana .
J~ (k) =
Z
d2 e(jk) J s()
(6.5)
versione 2.1.0
110
Antenne ad apertura
dove, al solito, = xx^ + yy^; particolarizzando a k = k0r^ si ha
J~(k0r^) =
Z
dxdy e[jk0r^(xx^+yy^)] J s(x;y)
(6.6)
Esplicitando in coordinate sferiche, e ponendo
k0r^ x^ = k0 sin() cos() = k0r^ y^ = k0 sin() sin() = abbiamo
(6.7)
ZZ
J~ (k0r^) = dydx ej(x+y) J s(x;y)
(6.8)
Quest'ultima espressione e evidentemente la trasformata di Fourier bidimensionale del campo
di apertura (ricordiamo che J es = n^ H e J ms = ;n^ E ).
Questo ci permette di stabilire importanti relazioni tra la forma della distribuzione di apertura e la proprieta del campo irradiato, proprio utilizzando le proprieta generali note della
traformata di Fourier. Tali relazioni, anche quando qualitative, costituiscono delle linee-guida
nella fase di progetto, o di scelta, di una antenna.
In primo luogo, e chiaro che se il supporto spaziale e \largo", allora il supporto trasformato
(\banda") sara \stretto" (si pensi per esempio alla sinc come trasformata di una porta, ed
alla relazione tra il primo zero della sinc e l'ampiezza della porta). Ne segue che un'antenna
\grande" avra un diagramma di irradiazione con un lobo principale stretto, cioe sara direttiva,
e viceversa.
Per evidenziare meglio tale proprieta cerchiamo di separare, nella (6.8), la dipendenza della
forma della distribuzione di apertura dalle dimensioni siche dell'apertura stessa; deniamo
quindi innanzitutto delle variabili normalizzate
qx = Dx ; Dx = max
jxj ; jqxj 1
(6.9)
x2
x
qy = Dy ; Dy = max
jyj ; jqy j 1
(6.10)
y2
y
e chiamiamo ^ la supercie descritta in tali variabili, cioe formalmente
^ = f(qx;qy ) : (x;y) 2 g
(6.11)
Per evidenziare la forma della J s sull'apertura (omettiamo per brevita il pedice ), diciamo che
J s(Dxqx;Dv qy ) = j s(qx;qy )
(6.12)
In questo modo, se dilatiamo la supercie senza alterare la forma della distribuzione di
apertura, j s(qx;qy ) resta invariata, e variano solo le dimensioni Dx e Dy di . Benche non indispensabile ai ni di quello di cui stiamo discutendo ora, e conveniente anche estrarre l'ampiezza
del campo di apertura, che e proporzionale alla potenza di alimentazione dell'antenna; poniamo
ZZ
J0 =
versione 2.1.0
d2 J~s
A
(6.13)
6.2 { Irradiazione da apertura
dove A =
ZZ
111
d2, e scriviamo
Abbiamo allora che la (6.6) diventa
J~s(k0r^) = DxDy J0
ovvero
ZZ
^
J~s(x;y) = J0 f (qx ;qy )
(6.14)
dqxdqy e(jk0Dx sin cos qx+jk0Dy sin sin qy )f (qx;qy )
(6.15)
J~s(k0r^) = DxDy J0f~(u;v)
(6.16)
con u = k0Dx sin cos , v = k0 Dy sin sin . E ora chiaro che le proprieta di direttivita
dell'antenna, legate alla forma del campo irradiato come funzione di e , dipendono dalla
forma f della distribuzione di apertura, e dipendono dalle dimensioni dell'apertura Dx e Dy
D
D
esclusivamente tramite i prodotti k0Dx = 2 x e k0 Dy = 2 y . Ancora una volta, \grande"
e \piccolo" per le proprieta irradiative si riferiscono al confronto con la lunghezza d'onda .
Un'altra importante osservazione e legata alla regolarita ed alla forma intrinsecamente oscillante delle trasformate J~s; per semplicita e bene considerare il caso semplice (e importante)
in cui a ed il campo di apertura siano separabili in coordinate cartesiane, trattato piu nel
dettaglio in precedenza, in modo da poter considerare la nota trasformata di Fourier unidimensionale. Poiche tutte le antenne hanno ovviamente dimensioni nite, le correnti hanno
supporto limitato; di conseguenza le trasformate (che possono essere viste come convoluzione
con la trasformata di una porta, cioe una sinc) avranno un andamento tipicamente oscillante
in e (o u e v). Dato che pero e , o u e v in (6.7), sono legate alle coordinate siche e
da funzioni sin e cos, e evidente che tutto lo spazio ( 2 [0;], 2 [0;2]) corrisponde ad un
intervallo limitato in u, v; pertanto il diagramma di irradiazione non avra innite oscillazioni.
In particolare, nel nostro caso di 2 [0; 2 ] (vedi paragrafo 6.2) abbiamo
2 0; 2 ; 2 [0;2] ! u 2 [;k0 Dx;k0Dx] ; v 2 [;k0 Dy ;k0Dx]
(6.17)
e quindi, ssata la forma del campo di apertura, e cioe l'espressione di f e f~, ci saranno tante
piu oscillazioni nel diagramma di irradiazione (in e ) quanto piu grande sara l'apertura
(cioe Dx e Dx ). Inoltre, avendo i campi di apertura supporto limitato, le loro trasformate non
avranno singolarita al nito.
Come gia detto in diverse occasioni, il calcolo delle correnti superciali costituisce la parte
piu dicile del problema, che noi eviteremo cercando una forma approssimata del campo sull'apertura. In primo luogo, benche si richiedano i campi su tutto il piano (x;y), poiche la tromba
e formata da superci metalliche, i campi possono essere considerati connati sull'apertura a ,
cioe
ZZ
ZZ
2 (: : :) '
d2 (: : :)
(6.18)
d
2
R
a
Per quel che riguarda la forma dei campi su a , notiamo che il principio di funzionamento su
cui si basa questo tipo di antenna e l'\adattamento" tra la guida e lo spazio libero. In virtu di
cio, possiamo assumere che, nella guida di accesso, il coeciente di riessione ;a dell'antenna
sia trascurabile per il modo considerato (che spesso e quello fondamentale della guida, anche
versione 2.1.0
112
Antenne ad apertura
y
∞
x
Σa
z
Σa
∞
Figura 6.9. Sistema di riferimento per l'irradiazione di una antenna a tromba.
se non sempre). Questa assunzione e assai ben vericata per trombe con angoli di apertura
non troppo grandi (per esempio 45, con coeciente di riessione misurati al di sotto di -20
dB. Ovviamente, l'antenna e comunque una discontinuita, e quanto sopra vale a distanza dalla
transizione guida-antenna suciente a far decadere i modi sottotaglio in guida; indicheremo
con B tale sezione, che considereremo la sezione d'ingresso dell'antenna ai ni dei nostri calcoli.
Inoltre, nella regione di transizione, si puo supporre che il campo mantenga la stessa forma,
cioe la stessa dipendenza funzionale da x e da y che aveva in guida. Se nella sezione B della
guida scriviamo il campo come
sezione B
B
b
C
a
sezione C
B
A
Figura 6.10. Forma del campo elettrico nelle sezioni B e C di una
antenna a tromba (rettangolare, nell'esempio).
x y
E t = V0 e a ; b
(6.19)
E a = ;(^z H a )Z0
(6.21)
Sull'apertura, cioe nella sezione C (vedi Fig. 6.10), avremo cioe
x y E t = V1 e A ; B
(6.20)
Un'altra approssimazione non strettamente necessaria, ma che si fa spesso per semplicare i
calcoli, e che sulla supercie di apertura a valga la stessa relazione d'impedenza che vale in
spazio libero; indicando cioe con E a ed H a i campi sull'apertura, assumiamo che:
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
113
(avendo supposto ;a = 0, nella guida vale ancora una relazione di impedenza analoga, ma con
l'impedenza caratteristica del modo in luogo di Z0). Su a , dove n^ = z^, le densita di corrente
superciale sono allora
(6.22)
J ms = ;z^ E a = ;z^ E at
J es = +^z H a = +^z H at
(6.23)
che, usando la relazione d'impedenza (6.21), risultano entrambe funzioni di un solo campo (in
cio semplicando i calcoli)
J es = +^z H a = +^z (;z^ E at ) Z1 = ; Z1 E at :
0
0
(6.24)
Calcolando ora la trasformata di Fourier (6.8) con le espressioni (6.22) e (6.24) si ha in
generale che
Z
1
1
e
~
J e(k0r^) = ; Z E at = ; Z
d2 E at ej(k0 r^)
(6.25)
0
0 A
J~m (k0r^) = ;z^ Ee at = ;z^ Z
A
d2E at ej(k0 r^)
(6.26)
Il vettore di irradiazione di conseguenza si puo scrivere come
P e(^r) = I tr^ J~e(k0r^) ; Z10 r^ I J~m (k0r^) =
= ; Z10 I tr^ Ee at ; Z10 r^ I ;z^ Ee at =
n
= ; Z10 (I tr^ Ee at + r^ I ;z^ Ee at =
n
o
= ; Z10 I tr^ ; r^ I z^ I Ee at
(6.27)
Tale espressione vale in generale, cioe per qualunque forma di a , purche valga l'assunzione
(6.21).
6.3 Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura
rettangolare
6.3.1 Calcolo del campo
Nel caso di una guida con apertura rettangolare l'espressione della P e(^r) e del campo E at si
possono semplicare in quanto sia e() che l'equazione della supercie a (rettangolare) sono
separabili in coordinate cartesiane. Per ovvi motivi di simmetria si considera il sistema di
riferimento al centro della guida stessa (vedi Fig. 6.11)1. Consideriamo il caso piu usuale,
1 Si noti che, in altre trattazioni, si preferisce centrare il sistema di riferimento su uno spigolo della guida
anziche nella mezzeria.
versione 2.1.0
114
Antenne ad apertura
y
B
b
x
a
A
Figura 6.11. Sistema di riferimento sulla supercie di apertura
dell'antenna a tromba rettangolare.
quello in cui l'antenna funziona in modo TE10 , per cui l'espressione dell'autofunzione modale
con le coordinate di Fig. 6.11 si scrive
x
00
e10 (x;y) = cost y^ cos a
(6.28)
Con le approssimazioni fatte, l'espressione del campo sull'apertura a assume la forma
E at = E0y^ cos Ax Ax By
8 (x;y) 2 R2
(6.29)
dove (t) e la funzione porta rappresentata in Fig. 6.12; usando la separabilita della (6.29),
Π(t)
1
-1/2
t
1/2
Figura 6.12. Funzione porta.
l'integrale doppio nella (6.8) si separa in due integrali su x e y, e possiamo riscrivere la (6.27)
come
o
n
P e(^r) = ; Z1 Eo I tr^ y^ ; r^ I (^z y^) F (k0r^)
(6.30)
0
dove
ZZ
F (k0r^) =
dx dy ej(x+y) cos xa Ax By =
A
(6.31)
x Z B2
Z A2
jx
jy
=
A dx e cos A
B dy e
;2
versione 2.1.0
;2
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
115
mentre
= k0 sin cos (6.32)
= k0 sin sin L'unico termine vettoriale rimasto e quello entro le parentesi grae dell'Eq. (6.30), che possiamo
svolgere come segue:
f: : :g = ^^ y^ + ^^ y^ ; ^^ (;x^) + ^^ (;x^) =
= ^ (cos sin ) + ^ cos + ^(cos cos ) + ^ sin =
(6.33)
= (1 + cos ) ^ sin + ^ cos =
= 2 cos2 2 p^ (;)
avendo posto
p^ ( ; ) = sin ^ + cos ^
(6.34)
La P e(^r) risultante e allora
!
E
0
2
P e(^r) = ; Z 2 cos 2 p^ (;) F (;)
(6.35)
0
Per quanto concerne le due trasformate presenti nella (6.31), esse sono due semplici integrali;
quello in y e la trasformata di una porta, cioe una sinc, e l'integrale in x si calcola senza
dicolta separando il cos in due esponenziali. Introducendo una notazione usata abitualmente
in letteratura, poniamo
u)
FE (u) = sinc(u) ; FH (u) = cos(
(6.36)
2 2
1 ; u
e, raggruppando i termini, scriviamo
1
1
2
F ( ; ) = A B FH 2 k0 A sin cos FE 2 k0B sin sin (6.37)
Osserviamo che entrambe le FE ed FH hanno solo singolarita apparenti; questo e un caso
particolare del risultato generale di assenza di singolarita nelle trasformate di Fourier a supporto
nito.
6.3.2 Analisi del campo irradiato
Notiamo innanzitutto che la polarizzazione e determinata esclusivamente da p^, che rappresenta
quindi il versore di polarizzazione dell'antenna, e dall'Eq. (6.34) e evidente che la polarizzazione
dell'antenna e lineare in qualunque direzione di osservazione r^. Invece le proprieta di direttivita
sono date da quelle di jP ej.
jP e
(;)j2
= cost
"
cos2
2
!#2 2 2
FH 1 A FE 1 B 2
2
(6.38)
Si pu
nell'equazione (6.38) che il termine cos2 (=2); nell'intervallo d'osservazione
o osservare
2 0; 2 , non ha zeri e quindi non inuisce molto sulla direttivita. Notiamo che l'inviluppo
versione 2.1.0
116
Antenne ad apertura
FH
FE
u/π
Figura 6.13. Diagramma di FE e FH .
di FH decresce come la variabile u12 , mentre quello della FE ha un andamento del tipo u1 . Si
ha dunque che FH (u) presenta il primo lobo piu largo di quello di FE (u) (vedi Fig. 6.13). Del
diagramma d'irradiazione tipicamente si studiano gli andamenti a = cost e variabile, detti
tagli; i due casi piu importanti sono i tagli = 0, oppure = e = 2 , oppure = ; 2 .
a) = 0 o (ovvero piano coordinato (x;z)).
In questo caso il versore di polarizzazione diviene
p^ ( ; 0) = ^ ( = 0) = y^
(6.39)
e quindi E k y^; d'altro canto in tal piano ^ giace sul piano stesso, e cos H k (^r E );
pertanto questo piano = 0;, ovvero (x;z), e il piano H (vedere denizione in 3.2.4). Il
modulo della P e(;) assume la forma seguente:
jP e(;)j = cos tcos 2 2 FH A sin () jFE (0)j
(6.40)
/ cos2 2 FH A sin () Gli andamenti dei campi sono rappresentati in gura (6.14).
b) = 2 (ovvero piano coordinato (y;z).
Il versore di polarizzazione p^ e dato dall'espressione seguente:
(6.41)
p^ ; 2 = ^ = 2
E facile vericare che in tale piano ^ giace sul piano stesso, che e quindi il piano E (vedere
denizione in 3.2.4). Per il modulo si ricava che
! B
2
jP e(;)j / cos 2 FE sin () (6.42)
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
117
y
y
x
x
H
E
Figura 6.14. Andamento qualitativo dei campi E e H in una
sezione trasversale della guida, o sulla bocca.
FE
A/λ
A’/λ
u/π
Figura 6.15. Dipendenza dell'intervallo del visibile dall'apertura dell'antenna a tromba.
Rispetto a tali risultati, appare ovvio il nome dato alle due funzioni FE e FH . Notiamo
che la denominazione piano E / piano H e molto usata in tutte le antenne a polarizzazione
lineare, e non solo per l'antenna a tromba, in quanto identica univocamente i tagli in base a
grandezze osservabili (i campi), e non e legata a scelta di coordinate. Notiamo inne che anche
sull'apertura (z = 0) E giace nel piano E (qui ridotto all'asse y) ed H nel piano H (asse x),
come mostrato in Fig. 6.14.
Per quanto riguarda il diagramma di irradiazione, e chiaro dalle (6.40 ) e (6.42) che le
variabili osservabili e sono legate all'argomento delle trasformate FE e FH in modo non
lineare. L'intervallo degli argomenti di FE e FH corrispondenti ai valori
ammissibili degli angoli
e si chiama intervallo visibile. Poiche nel nostro caso 2 0; 2 , 2 [0;2], il visibile per
l'argomento di FH , cioe = A sin cos , e l'intervallo 2 0; A , nel senso che valori di u al
di fuori di esso non corrispondono a direzioni sicamente osservabili.
Analogamente, l'intervallo
B
B
visibile per l'argomento = sin sin di FE e 2 0; .
versione 2.1.0
118
Antenne ad apertura
E evidente dalla Fig. 6.15 che, al crescere dell'apertura dell'antenna a tromba, aumenta
anche l'intervallo visibile; infatti il numero di lobi secondari nel diagramma di irradiazione e
proporzionale a d=; dove d (A o B ) e la dimensione dell'apertura. Un esempio chiarichera il
concetto appena esposto.
Esempio
Disegniamo il diagramma di irradiazione polare nel piano E, trascurando il termine cos2
seguenti:
; nei casi
2
a) B = ;
b) B = 2 .
Nel caso a) L'intervallo del visibile e l'intervallo [0;], cioe viene incluso solo il lobo principale (vedi
Fig. 6.16.a) mentre il suo diagramma d'irradiazione polare e rappresentato in Fig. 6.16.b.
Invece nel caso (b) l'intervallo del visibile e [0;2]. Dalla Fig. 6.31.a possiamo vedere che oltre al lobo
principale e incluso anche il primo lobo secondario. Il diagramma polare e rappresentato in Fig. 6.17.b. Si
1
120
caso B = λ
FE(u)
0.8
90 1
150
60
0.5
30
0.6
0.4
180
0.2
0
210
330
-0.2 intervallo visibile
-0.4
240
0
0.5
1
1.5
u/π
a)
2
2.5
3
300
270
b)
Figura 6.16. Diagramma di irradiazione con B = di FE (a) e di FE () (b).
puo notare che nel caso (b) l'antenna e piu direttiva, cio e dovuto al fatto che la dimensione dell'apertura
e maggiore, a conferma del fatto che la direttivita e proporzionale ad B=.
Confrontiamo ora piano E e piano H a parita di dimensioni di apertura cioe per A = B . Il primo zero
3=2
: Analogamente per il piano
H 1 nel piano H si ha quando A sin H 1 = 32 , quindi quando sin H 1 = B=
1
E ricaviamo sin (E1 ) = A= : Si osserva allora che il lobo principale e piu stretto nel piano E , mentre i
lobi secondari sono piu bassi nel piano H (vedi Fig. 6.13).
6.3.3 \Tapering"
Analizzando l'espressione della FE e della FH notiamo di nuovo che lapar FE e la trasformata
di Fourier di una porta, mentre la FH e proporzionale alla trasformata di Fourier di un coseno
per una porta (vedi Fig. 6.18). Le discontinuita presenti nella funzione porta (t) generano un
inviluppo della FE del tipo u1 mentre quelle presenti nella FH (funzione continua con derivata
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
1
119
90
1
120
caso B = 2λ
FE(u)
60
0.8
150
0.6
0.5
30
0.4
180
0.2
0
0
-0.2
-0.4
0
210
330
intervallo visibile
0.5
1
1.5
u/π
2
2.5
3
a)
240
300
270
b)
Figura 6.17. Diagramma di irradiazione con B = 2 di FE (a) e di FE () (b).
Π(t)
cos(t)Π(t)
t
t
Figura 6.18. Distribuzione di apertura nei piani E (sinistra) e H
(destra) per la tromba rettangolare (modo TE10 ).
prima discontinua) danno luogo ad un inviluppo della FH del tipo 12 . Questo concetto e
u
espresso dalla grandezza detta tapering (\rastrematura") t denita come il rapporto tra il campo
(elettrico) sul bordo e quello al centro (valore massimo). Il tapering usualmente e espresso in
dB. Nel caso del piano E si ha t = 0 dB, mentre nel piano H si ha t ! 1 dB. In generale si
puo aermare che maggiore e il salto (discontinuita) della funzione e piu alto e il livello dei lobi
secondari. Notiamo che nella tromba analizzata il tapering nei due piani e ssato, cos come
il diagramma di irradiazione, e quindi non si possono imporre vincoli (di progetto) al livello
dei lobi secondari. Tuttavia il concetto di tapering e generale, e di grande importanza nelle
antenne a riettore, in cui la forma del campo di apertura e usualmente controllabile. Cio e
possibile anche in una tromba, ma meno agevolmente: tipicamente si altera la forma del campo
di apertura \innescando" anche modi superiori.
6.3.4 \Errore di fase" sull'apertura
Abbiamo sinora considerato una semplice forma di campo sull'apertura, in cui il campo ha la
stessa fase su tutta l'apertura. In realta, se all'interno della guida i fronti di fase sono piani
paralleli (e quindi a parita di coordinata z la fase e la stessa per ogni x e y), nella transizione
e nello spazio libero invece i fronti di fase sono all'incirca sferici, e quindi sull'apertura (piano
a z = cost) il campo ha fase diversa in punti (x;y) diversi (vedi Fig. 6.19). perche i punti
sull'apertura appartengono a diverse superci a fase costante. Allora il campo sull'apertura e
versione 2.1.0
120
Antenne ad apertura
z
Figura 6.19. Andamento dei fronti di fase del campo elettrico
all'interno e nella transizione della guida.
con migliore approssimazione del tipo
E a (x;y) = E ao (x;y) ej(x;y)
(6.43)
dove E ao(x;y) e il campo della guida \dilatata" che abbiamo considerato sinora, mentre ej(x;y)
indica la non uniformita di fase sull'apertura chiamata comunemente (e impropriamente) \errore di fase". L'errore di fase complica lo studio dell'irradiazione, anche quando, come usuale,
si possa approssimare quadraticamente
(x;y) = ax2 + by2
(6.44)
Infatti, in tal caso l'integrale di irradiazione (6.31) diviene, per la tromba in TE10
E a (x;y) = cost
Z B2 Z
A
2
; B2 ; A2
dx dy cos Ax ej(ax2 +by2 )ej(x+y)
(6.45)
che non e piu la trasformata di Fourier di semplici funzioni, e da invece luogo a funzioni speciali
note come integrali di Fresnel. L'eetto qualitativo dell'errore di fase e quello di ridurre, a parita
di dimensione dell'apertura, la direttivita dell'antenna, di \riempire" gli zeri (che diventano
minimi pio o meno pronunciati), e di alzare il livello dei lobi secondari. In generale quindi
l'eetto dell'errore di fase e sgradito, ma la variazione di fase sull'apertura = centro ; bordo
e proporzionale all'allargamento del fronte di fase; infatti, a parita di dimensioni piu e grande
la lunghezza l della tromba (vedi Fig. 6.20) e minore e la variazione di fase. Quindi l'errore di
l
Figura 6.20. Tromba a transizione graduale.
fase si puo contenere, ma a costo di un ingombro maggiore; tuttavia, per ridurre l'errore di fase
a parita d'ingombro si puo fare un'apertura come quella rappresentata in gura (6.20) con una
transizione piu graduale.
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
121
6.3.5 Diagramma d'irradiazione e interferenza di fase
Cominciamo col notare che il termine ejk0r^r0 che compare nell'espressione
della P e (caso ge0)
j
k
d
(
r;r
0
nerale) e l'approssimazione di campo lontano del termine e
(che compare nell'integrale
di irradiazione esatto), come mostrato in Fig. 6.21; quindi tale termine corrisponde alla fase
accumulata da un'onda piana o sferica nel \cammino" tra il punto \di sorgente" r0 ed il punto
di osservazione r. Poiche la funzione di Green esprime il campo di una sorgente puntiforme,
P
d
r’
P
O
∆=d(r,r’)-r ≅ r ·r’
r
Figura 6.21. Schema per il calcolo della dierenza di cammino tra un punto di
sorgente generico e il centro del sistema per un osservatore in P .
l'integrale d'irradiazione (vedi Eq. (2.25)) e la sommatoria di contributi di sorgenti elementari di ampiezza e fase corrispondenti a quelli nel punto r0. Nelle approssimazioni di campo
lontano, l'ampiezza (modulo) dei vari contributi elementari di campo dell'osservatore viene considerata costante; pertanto il diagramma d'irradiazione dipende solo dalla fase relativa dei vari
contributi (interferenza di fase). Cio vuol dire che quando si ha un massimo del diagramma
di irradiazione si e in presenza di interferenza costruttiva, mentre quando si ha un minimo o
uno zero c'e un'interferenza distruttiva. Notiamo inne che l'approssimazione della regione di
Fraunhofer, d(r;r0) ' r0 r^ ; r r^, ovvero
;jk0 r
E / e4r P e(^r)
(6.46)
dove
Z
P e(^r) = dr0 ejk0(r0 )J (r0) ; (r0) = r^ r0
(6.47)
corrisponde ad assumere la fase e;jk0r tra l'osservatore in r e l'origine O (centro della sorgente), e
descrivere il diagramma di irradiazione (jP e(^r)j) in termini di interferenza di fase tra i contributi
che arrivano all'osservatore, e che geometricamente il termine di fase ejk0 corrisponde alla fase
accumulata dalla propagazione di un'onda lungo il cammino che e la proiezione mostrata in
Fig. 6.21; questo e equivalente a considerare r all'innito (vedi Fig. 6.22, e e la dierenza di
cammino tra il punto di riferimento O ed il punto di sorgente r0.
Esempio
Consideriamo due sorgenti S1 e S2 e un osservatore posto in P a grande distanza dalla sorgente,
come rappresentato in Fig. (6.23). Nella direzione di osservazione le due sorgenti hanno lo stesso sfasamento,
quindi se quest'ultime sono in fase in P ci sara un interferenza costruttiva mentre se sono in opposizione di fase
l'interferenza sara distruttiva. Supponiamo di essere ora nel caso rappresentato in gura (6.24) in cui c'e uno
sfasamento = k0 () dovuto alla dierenza di cammino () che dipende dall'angolo di osservazione .
Analizzando le varie situazioni al variare di si ottiene il diagramma d'irradiazione.
Si puo estendere questo concetto al caso in cui si e in presenza di una sommatoria di
contributi elementari del tipo
X
f (xi) ejxi
(6.48)
i
versione 2.1.0
122
Antenne ad apertura
^r
r′
O
∆
Figura 6.22. Schema per il calcolo della dierenza di cammino tra un punto di
sorgente generico e il centro del sistema per un osservatore posto all'innito.
S1
P
S2
Figura 6.23. Rappresentazione di due sorgenti S1 e S2 equidistanti dall'osservatore P .
che puo rappresentare il caso del fattore di schiera (vedi (7.6)) di un allineamento di antenne,
oppure la versione discretizzata (approssimata) degli integrali di irradiazione di un'apertura.
Cominciamo ad esaminare l'eetto della distribuzione di ampiezza delle sorgenti, cioe assumiamo f (x) reale e positiva. Per facilita di comprensione, consideriamo l'esempio della distribuzione
di apertura di una tromba, ed usiamo la terminologia corrispondente per i piani E ed H . Nel
piano E il campo ha la distribuzione costante rappresentata in Fig. 6.25.a. I vari contributi
all'osservatore hanno tutti la stessa ampiezza f (x) = 1 e nella direzione = 0 anche la stessa
S1
S2
∆
α
P
Figura 6.24. Rappresentazione di due sorgenti S1 e S2 con una
dierenza di cammino dall'osservatore O.
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
fase ( = ko sin () = 0) si ottiene allora che
E/
Z
A
2 jx
e f
; A2
(x) dx =
Z
A
2
; A2
123
1 dx = A
(6.49)
Se si considera ora il piano H con una distribuzione non uniforme, come in Fig. 6.25.b, segue
piano E
piano H
H
E
Figura 6.25. Distribuzione dei contributi elementari del campo
elettrico nei piani E (a) ed H (b).
che
x
E/
(6.50)
cos B dx = 2B < B
a parita di dimensioni dell'apertura (A = B ) il campo generato da una distribuzione uniforme
Z
B
2 jx
e
; B2
e maggiore, e quindi maggiore sara la sua direttivita.
Per analizzare l'eetto della fase non uniforme, consideriamo per semplicita tre sorgenti con
la stessa ampiezza ma con fasi diverse, e analizziamo cosa capita alla somma dei contributi
all'osservatore. Consideriamo sorgenti di ampiezza 1 e fase rispettivamente = 0, = 2 e
= 0 (vedi Fig. 6.26). Si ha allora che
Φ=0
dΦ
Φ=π/2
O
Σ di contributi
1
Φ=0
Figura 6.26. Rappresentazione di tre contributi elementari con
stessa ampiezza e fase diversa.
X
f (xi ) ejxi 2 = 1 + ej 2 + 12 = j2 + jj2 = 5
i
(6.51)
versione 2.1.0
124
Antenne ad apertura
mentre se la fase fosse stata uniforme avremmo avuto
X
f (xi ) ejxi 2 = j1 + 1 + 1j2 = 9
i
(6.52)
Possiamo allora vedere che a parita di ampiezza delle sorgenti c'e una riduzione del massimo di
ampiezza nel caso di fase non uniforme cui corrispondera una riduzione del guadagno massimo.
Vediamo ora cosa accade ai punti in cui c'e interferenza distruttiva, considerando per semplicita
solo due sorgenti poste ad una distanza d come rappresentate in Fig. 6.27. Se esse hanno fase
S1
∆
θ
θ
S2
O
Figura 6.27. Rappresentazione di due sorgenti con dierenza di cammino .
uniforme si ha = d sin (), il diagramma d'irradiazione si annulla quando k0 = cioe
1 . Invece se S e S sono del tipo
quando = 20 e quindi quando sin (0 ) = d=
1
2
0
S1 = 1
S2 = ej
abbiamo che il diagramma d'irradiazione si annulla per k0 + = n. Possiamo dunque
notare che gli zeri non sono piu in corrispondenza di quelli trovati nel caso di fase uniforme.
L'aggiunta di termini di fase, anche se piccoli tra di loro, porta alla scomparsa degli zeri, ad un
innalzamento dei lobi secondari e ad un allargamento di quello principale (vedi Fig. 6.28).
versione 2.1.0
6.3 { Irradiazione di un'antenna a tromba con apertura rettangolare
125
FE |
fase non uniforme
fase uniforme
u
Figura 6.28. Andamenti del FE nel caso di fase uniforme e non.
versione 2.1.0
126
versione 2.1.0
Antenne ad apertura
7
Schiere di antenne
7.1 Irradiazione da una schiera di antenne
Sinora si e parlato dell'irradiazione di un'unica antenna, ma e lecito chiedersi cosa accade al
diagramma di irradiazione di un'antenna quando non irradia una sola antenna, bens una serie
di antenne aancate, identiche ed equiorientate, cioe una schiera. In Fig. 7.1 sono rappresentati due insiemi di antenne: nella Fig. 7.1.a siamo in presenza di una schiera perche i dipoli
sono equiorientati, nella Fig. 7.1.b invece non abbiamo una schiera, perche i due dipoli sono
ruotati tra di loro. Nel progetto di una schiera di N antenne, oltre alla scelta delle antenne i
a)
b)
Figura 7.1. Antenne aancate: a) Schiera di dipoli; b) Gruppo
di antenne che non e una schiera.
parametri liberi sono la posizione spaziale delle antenne, cioe i vettori frng, e i loro coecienti
di alimentazione, cioe le ampiezze fAng, con n = 0;1; : : : ;N ; 1 (vedi Fig. 7.2). Per l'analisi
delle schiere si assume che le correnti (elettriche e/o magnetiche) sulle antenne siano gia note,
quindi l'interazione fra le antenne e rilevata dal solo valore dei coecienti fAng. Per linearita
il campo prodotto dalla schiera in un generico punto dello spazio sara dato dalla somma dei
campi prodotti in tale punto da ciascuna antenna, cioe
E (r) =
dove
NX
;1
n=0
E n(r)
E n(r) = ;j 2RZ0 he(Rn) In e;jk0Rn
n
127
(7.1)
(7.2)
128
Schiere di antenne
r1
O
rn
r2
Figura 7.2. Posizione nello spazio delle varie antenne.
essendo r il vettore posizione del punto considerato rispetto ad un certo sistema di riferimento,
Rn il vettore che identica l'n-esima antenna rispetto allo stesso sistema (vedi Fig. 7.3), ed
In il coeciente di alimentazione dell'n-esima antenna. Assumiamo di essere nella regione di
r
O
Rn
r1
(n)
Figura 7.3. Posizione nello spazio dell'n;esimo radiatore.
Fraunhofer dell'intera antenna a schiera; cioe, detta H la dimensione caratteristica della regione
che contiene la schiera, si suppone che valgano le ipotesi
r > 2H ; r 2
(7.3)
Pertanto, seguendo la stessa sequenza di approssimazioni fatte per una antenna singola, possiamo approssimare
1 ' 1 ; e;jk0Rn ' e;jk0r ejk0 r^rn ; R^ ' r^
(7.4)
n
R r
n
versione 2.1.0
7.2 { Schiera lineare uniforme a sfasamento costante
129
e quindi il campo elettrico (7.1) assume la forma
NX
;1
E (r) = ;j 2Zr0 e;jk0r he(^r) In ejk0r^rn =
n=0
NX
;1 I
;
j
Z
0 ;jk0 r
n ;jk0 r^rn
= I0
e he(^r)
2r
I e
(7.5)
n=0 0
In questo modo si e fattorizzato il campo in due contributi. La quantita che precede la sommatoria e il campo prodotto da un singolo radiatore (si noti che la scelta del radiatore numero
0 e arbitraria), mentre il termine scalare
F (^r) NX
;1
n=0
an e;jk0r^rn ; an IIn
(7.6)
0
viene chiamato fattore di schiera, ed e il termine che rappresenta di fatto l'eetto della presenza
di un gruppo di radiatori. Si puo notare che la polarizzazione della schiera e la stessa di
ciascun radiatore elementare, in quanto il fattore di schiera e scalare. Invece, il diagramma
di irradiazione della schiera e dato dal prodotto del diagramma di irradiazione di una singola
antenna per il fattore di schiera, cioe
jP e(^r)j = jP e0(^r)j jF (^r)j
(7.7)
Analizziamo ora il signicato del fattore di schiera. Siccome
jP e(^r)j = jF (^r)j
(7.8)
nel caso in cui jP e0(^r)j = 1 allora ne risulta che il fattore di schiera e il diagramma di irradiazione
di una schiera costituita da radiatori isotropici alimentati (fAng), e disposti (frng) come le
antenne della schiera.
Si noti che il diagramma di irradiazione della schiera puo essere modicato cambiando semplicemente le alimentazioni an e/o le posizioni relative delle antenne nello spazio. Il problema
del progetto delle schiere, cioe della determinazione delle posizioni e dei coecienti di alimentazione in funzione di assegnate speciche sul diagramma di irradiazione si chiama \sintesi"
della schiera.
Inoltre, il fattore di schiera puo essere visto come la versione discreta (cioe campionata)
dell'integrale di irradiazione e quindi varranno per esso le stesse proprieta generali derivanti da
quelle della trasformata di Fourier.
7.2 Schiera lineare uniforme a sfasamento costante
Si considera ora una schiera semplice, ma che costituisce uno dei casi piu importanti. Studiamo
cioe la struttura formata da una serie di antenne equiorientate, equispaziate e i cui centri sono
allineati lungo un'unica retta (vedi Fig. 7.4). Si puo scrivere in tal caso rn = ndu^ e quindi
ejk0 r^rn = ejk0(^ru^)nd. Si noti che nel fattore di schiera la direzione di osservazione r^ compare solo
tramite la sua proiezione r^ u^ sull'asse u^ della schiera, cioe tramite il coseno cos dell'angolo compreso tra le due direzioni. Questo riette la simmetria assiale (cilindrica) di F (^r) che infatti
versione 2.1.0
130
Schiere di antenne
^r
α
^u
d
Figura 7.4. Schiera lineare equispaziata.
e il diagramma di irradiazione di una disposizione assiale di antenne isotropiche. Il fattore di
schiera puo allora essere espresso nella forma seguente:
F () =
NX
;1
n=0
n
an ejk0d cos (7.9)
Ponendo t = ejk0d cos si ottiene un polinomio di grado N ; 1 nella variabile t, con jtj = 1. Cio
e importante per la sintesi dei diagrammi di schiera, perche ci si riconduce allo studio di un
polinomio sul cerchio unitario, che e completamente caratterizzato dai suoi zeri.
Esiste una versione ancora piu semplice della schiera considerata, avente janj = 1 8n. In
questo caso cambiano solo le fasi e quindi si ha una schiera lineare uniforme a sfasamento
costante. Il fattore di schiera puo essere scritto nella forma
F ( ) =
Introducendo la nuova variabile
si ha
NX
;1
n=0
ejn ejk0nd cos k0d(^u r^) + F( ) =
NX
;1
n=0
ejn
(7.10)
(7.11)
(7.12)
E dunque possibile esprimere il fattore di schiera in forma chiusa. Infatti si ha
NX
;1
n=0
wn = 11;;ww
N
(7.13)
e quindi possiamo scrivere
jN 2 ;jN 2
jN 2
jN
F ( ) = 11;;eej = e j e ;j ; ej =
e 2 e 2 ;e 2
sin
N
2
= ej(N ;1) 2
sin 2
versione 2.1.0
(7.14)
7.2 { Schiera lineare uniforme a sfasamento costante
131
Il modulo del fattore di schiera e allora dato da
sin N
jF ( )j = 2 sin
(7.15)
2
Questa funzione non presenta poli, cioe altre singolarita al nito, ed inoltre vale N in = 0,
per cui si puo normalizzare nella forma
FN ( ) = FN( )
con jFN (0)j = 1, o meglio
(7.16)
= 1
sin N 2
1
lim
jF ( )j = lim
!0 N
!0 N sin
2
(7.17)
Si puo notare ancora che jF ( )j e una funzione periodica di periodo 4 ed e una funzione pari.
In 2 [0;2], gli zeri sono dati da zm = mN2 con m numero intero tale che 0 < m < N ,
perche quando = Nq (q numero intero) si hanno zeri apparenti, cancellati dagli zeri del
2
denominatore. Occorre fare attenzione al fatto che non e un angolo geometrico, ma e legato
1
0.9
N =7
0.8
0.7
N =9
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
N = 11
0.1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Figura 7.5. Graco della funzione jF ( )j.
all'angolo di osservazione dalla relazione
= 2 d cos + (7.18)
versione 2.1.0
132
Schiere di antenne
Dunque con F ( ) e possibile rappresentare ogni tipo di schiera (uniforme): i parametri liberi
di progetto sono solo N;d; e, ssato N , d e sono contenuti in . Proprio perche non e un
angolo geometrico siamo interessati al solo intervallo del visibile, quello, cioe, per cui 2 [0;]
( e un angolo polare), dato da
"
2 ; 2 d ; + 2 d
#
(7.19)
e quindi, ssati d e , cambia la \nestra" in cui si considera il fattore di schiera (vedi Fig.
7.6).
|F(Ψ)|
Ψ
visibile
Figura 7.6. Fattore di schiera ed intervallo del visibile per = 0.
La direzione di massima irradiazione max di una schiera e relativa ad un valore di pari
a 0 o 2. Si ha allora
1
2 d cos max + = 0 ) cos max = ; 2 d=
(7.20)
La presenza dello sfasamento nell'espressione di max e importante: variando lo sfasamento
varia la direzione di massima irradiazione della schiera. Si puo dunque fare la cosiddetta
\scansione del fascio" (beam scanning) semplicemente variando le fasi dei radiatori (cioe senza
la necessita di muovere meccanicamente l'antenna). Notiamo altres che / d e quindi
dipende dalla frequenza di lavoro; dunque le schiere raramente possono essere utilizzate su
larghe bande di frequenza, e cio ne costituisce un aspetto negativo.
versione 2.1.0
7.2 { Schiera lineare uniforme a sfasamento costante
133
7.2.1 Schiere broadside ed endre.
Consideriamo due esempi notevoli di schiere:
1. max = =2;
2. max = 0, oppure max = .
Nel primo caso la schiera e detta broadside (BS); poiche max = =2,
2 d cos + BS = 0
2
(7.21)
deve essere BS = 0.
Nel secondo caso la schiera e detta endre (EF); siccome
2 d cos 0 + EF = 0
(7.22)
si ha EF = ;2 d . Alternativamente, per max = , EF = 2 d . I fattori di schiera nei due
casi sono rappresentati nella Fig. 7.7.
120
150
190
0.8
0.6
0.4
0.2
120
60
0
80
210
330
240
270
a)
150
30
300
u
90
1
0.8
0.6
0.4
0.2
60
30
0
180
210
u
330
240
270
300
b)
Figura 7.7. Fattore di schiera per schiera BS (a) e schiera EF (b), nel caso N = 4 e d = 1=2.
Supponiamo ora di avere una schiera BS con N elementi, e di voler determinare l'espressione
del primo zero del fattore di schiera. Si ha
2 d cos z1 = 2N
(7.23)
perche BS = 0. Quindi
1
(7.24)
cos z1 = N1 d=
versione 2.1.0
134
Schiere di antenne
βz1
αz1
Figura 7.8. Angolo z1 tale che cos z1 = sin z1 .
Il lobo principale si stringe se aumenta N (aumenta z1 e quindi diminuisce z1 tale che
cos z1 = sin z1 , vedi Fig. 7.8), dunque aumenta il guadagno. Sembrerebbe suciente aumentare il numero di elementi della schiera, oppure aumentare d , per ottenere un guadagno
elevato quanto si vuole; tuttavia, ssato N , aumentando la distanza d fra i radiatori (per aumentare il guadagno) oltre un certo valore, si puo vericare (numericamente) che il guadagno
inizia a diminuire. Cio accade perche crescendo d si allarga l'intervallo visibile in , sino ad
includere altri massimi (lobi principali) nel visibile.
7.2.2 Grating lobes.
La presenza di due o piu lobi principali nel visibile, detti grating lobes (GL), e usualmente un
fenomeno indesiderato, in quanto causa una diminuzione del guadagno massimo. Intuitivamente
cio accade perche non c'e un angolo unico in cui vi e irradiazione massima, e quindi la direttivita
e chiaramente piu bassa. Il fenomeno dei grating lobes puo presentarsi per qualsiasi tipo di
schiera, non solo per il caso particolare considerato.
Analizziamo ora il fenomeno nel caso piu semplice di schiere lineari uniformi a sfasamento
progressivo, cercando il valore di d che corrisponde all'insorgenza di GL; in genere si considera
come situazione limite per l'assenza dei GL quella in cui il limite del visibile corrisponde con
l'ultimo zero prima del secondo lobo principale. Consideriamo dapprima il caso BS (broadside)
che e piu semplice; in tal caso = 0, e l'espressione di diventa allora
(7.25)
= 2 d cos Si e visto che gli zeri del diagramma di irradiazione sono dati da
2 ; m < N
(7.26)
zm = m
N
e l'ultimo zero prima del GL si ha per m = N ; 1, (vedi la Fig. 7.9). Anche non si abbia
l'insorgenza dei grating lobes occorre che
2
d
(7.27)
max = 2 zN ;1 = (N ; 1)
N
versione 2.1.0
7.2 { Schiera lineare uniforme a sfasamento costante
135
|F(Ψ)|
-2π(N-1)/N
2π(N-1)/N
Ψ
visibile
Figura 7.9. Campo del visibile per = 0.
dove
e l'estremo del visibile, da cui si ricava
d 1; 1
(7.28)
N
Nel caso generale di schiera lineare uniforme a sfasamento progressivo si ha
(7.29)
= 2 d cos + dove l'intervallo del visibile e dato da
"
#
d
d
2 ; 2 ; + 2 (7.30)
centrato in , e con semiampiezza pari a = 2 d (vedi Fig. 7.10).
d
Cerchiamo il valore critico di per il caso 0, in cui e l'estremo destro dell'intervallo
ad essere piu prossimo al primo massimo secondario (in = 2). Imponiamo quindi di nuovo
che max zN ;1 , che adesso e:
1
+ 1;
(7.31)
N 2
da cui
d 1 ; 1 ; (7.32)
N
2
max
versione 2.1.0
136
Schiere di antenne
|F(ψ)|
-2π/N
Φ
2π/N
ψ
visibile
Figura 7.10. Campo visibile per 6= 0( > 0).
Analogamente, per il caso 0 si ottiene
1
(7.33)
; ; 1 ; N 2
d 1 ; 1 + (7.34)
N 2
Si possono quindi riassumere i due casi nell'espressione seguente
d 1 ; 1 ; (7.35)
N 2 E spesso utile esprimere la (7.35) in funzione di max, cioe in funzione della direzione di massima
irradiazione; sapendo che
(max ) = 0
(7.36)
Ricordando l'espressione di si ha
2 d cos max + = 0 ) = ; 2 d cos max
(7.37)
e sostituendo nella (7.35) si ottiene
2 d 1 ; N1 2 ; 2 d jcos max j
(7.38)
1 ; N1
d (7.39)
1 + jcos max j
Se si ha la possibilita di scegliere la direzione di massima irradiazione si cerca di posizionarla
trasversalmente all'asse della schiera in maniera tale da massimizzare il guadagno ed evitare
versione 2.1.0
7.3 { Lobi secondari e schiere non uniformi
137
l'insorgenza dei GL. Dal punto di vista pratico, sapendo che il diagramma d'irradiazione della
schiera e dato dal prodotto del fattore di schiera per il diagramma d'irradiazione del singolo
radiatore, si puo superare il limite trovato per d cancellando i grating lobes con gli zeri del
diagramma d'irradiazione del radiatore. Questa soluzione viene particolarmente utilizzata per
radiatori con dimensioni paragonabili alla lunghezza d'onda, come per esempio la tromba.
Infatti in questi casi per evitare GL e sempre necessario avere d e quindi le antenne
verrebbero sicamente a sovrapporsi essendo le loro dimensioni circa uguali a . Nella Fig. 7.11
e rappresentato un esempio di annullamento dei grating lobes.
y
120
150
190
0.8
0.6
0.4
0.2
120
60
0
210
330
270
150
30
80
240
y
y
300
|Fschiera(α)|
x
190
0.8
0.6
0.4
0.2
120
60
0
210
330
240
270
150
30
180
300
|Fdipolo(α)|
190
0.8
0.6
0.4
0.2
x
60
30
0
180
210
x
330
240
270
300
|Ftot(α)|
Figura 7.11. Esempio di annullamento dei GL.
7.3 Lobi secondari e schiere non uniformi
Fino ad ora abbiamo parlato di schiere uniformi a sfasamento costante, per cui janj = 1,
n = 0;::::;N .
Abbiamo visto (nella (7.24)) che, variando la distanza tra gli elementi, si riesce ad ottenere
una direttivita piu o meno marcata, mentre, come vericheremo ora, il livello del primo lobo
secondario non scende mai al di sotto di circa -13dB. Il diagramma d'irradiazione relativo e
sempre determinato dalla (7.16)
sin N 2
1
FN = N sin 2
Il primo zero e z1 = 2N mentre il secondo z2 = 4N ; approssimiamo la posizione del massimo
del primo lobo secondario con il valore medio
4 2 3
1
1
s1 ' ( z1 + z2 ) =
2
2 N+N =N
Calcoliamo allora il valore di FN per = s1:
3 sin N 2N 1 1 1
jFN ( s1 )j = N '
sin 3 N sin 3 2N
2N
(7.40)
versione 2.1.0
138
Se N 1 si ha
3
2N
1 e dunque sin
3 2N
Schiere di antenne
' 23N ; l'equazione (7.40) diventa allora
jFN ( s1 )j ' N1 31 = 32 ' ;13;5 dB
2N
(7.41)
Dalla (7.41) si puo dedurre che, per N sucientemente grande, il livello del lobo secondario
non dipende ne da N ne da d ; cioe per una schiera di questo tipo non si riesce a controllare
il livello dei lobi secondari. Ricordando che il diagramma d'irradiazione di una schiera e dato
dal prodotto del fattore di schiera e del diagramma d'irradiazione del singolo elemento, si
puo pensare di utilizzare dei radiatori elementari che abbiano un diagramma di irradiazione
sucientemente direttivo, per esempio l'antenna a tromba, che permette di diminuire il livello
dei lobi secondari del fattore di schiera. Questo non sempre e possibile, anche perche per essere
direttivi gli elementi devono avere dimensioni confrontabili con la lunghezza d'onda, creando
problemi (risolubili) con le dimensioni d= che evitano i GL.
Se gli elementi della schiera sono poco direttivi (dipoli, fessure etc..) allora e necessario agire
direttamente sulla schiera, ossia modicare la distribuzione dell'eccitazione considerando cioe
schiere non unformi. Vediamo allora a grandi linee, alla luce di quanto detto sopra, l'eetto
di questa distribuzione dei coecienti di alimentazione (an) sul diagramma d'irradiazione. I
coecienti di alimentazione ai si possono pensare come campioni (discreti) di una funzione
(continua) f (x), cioe ai = f (xi). L'espressione del fattore di schiera che compare nella (7.6) e
del tipo
1
X
f (xi ) ejxi
i=;1
che puo rappresentare sia il fattore di schiera sia la versione discretizzata dell' integrale di
irradiazione da un'apertura. Infatti quest'ultimo e dato da (rif. alla (6.27))
Pe (^r) /
Z
a
df ()e j = F (^r)
(7.42)
dove = k0 r^ ^. Consideriamo ora, per semplicita, il caso unidimensionale lungo u^, in cui
avremo = xu^ e f () = f (x); la regione a diventa un intervallo a = [;a ; a], cioe f (x) 6= 0
solo per x 2 [;a ; a].
Se ora f ( x ) e una sequenza di campioni
f [i] =
1
X
i=;1
f (x) (x ; xi )
(7.43)
ricordando le proprieta della delta di Dirac e sostituendo la (7.43) nella (7.42) otteniamo il
campionamento dell'integrale (7.42)
F (^r) =
1
X
i=;1
f (xi) ejk0r^u^xi
(7.44)
Dato che f (xi) = 0 per x 2= [;a ; a] la sommatoria nella (7.44) e limitata all'intervallo i 2
[0 ; N ; 1], cioe
NX
;1
f (xi) ejk0r^u^xi
i=0
versione 2.1.0
7.3 { Lobi secondari e schiere non uniformi
139
Un discorso analogo vale nel caso bidimensionale; ricordando infatti la denizione di delta di
supercie data dalla (6.3), la sequenza di campioni sara espressa da
f [i] =
quindi anche in questo caso otterremo
1
X
i=;1
F (^r) =
f ()( ; i)
1
X
i=;1
f (i)ejk0 r^i
ed essendo f () = 0 se i 2= a abbiamo i 2 [0 ; N ; 1]. In questo caso quindi otteniamo il
campionamento dell'integrale d'irradiazione.
La schiera puo dunque essere considerata come il campionamento di una distribuzione continua:
in particolare una schiera uniforme sara il campionamento di un distribuzione unforme.
Nel paragrafo ( 6.3.3) abbiamo visto, per un'antenna a tromba, l'eetto della \rastrematura"
(tapering) ai bordi sul diagramma d'irradiazione. In quel caso infatti la funzione cosinusoidale
dava luogo ad un inviluppo della FH del tipo 1 = u2, e si avevano lobi secondari piu bassi
rispetto a quelli determinati dalla FE , caratterizzata da un'inviluppo del tipo 1 = u. In base
a(x)
a1 a2
…..
aN-2 aN-1
Figura 7.12. Distribuzione smussata (tapered) ai bordi.
alla relazione discussa sopra, se consideriamo una distribuzione dei coecienti di alimentazione
smussata verso i bordi della schiera (Fig. 7.12), si ottiene una schiera con una direttivita minore
rispetto al caso uniforme ma con lobi secondari piu bassi. Consideriamo ora un caso semplice
e signicativo di schiera non uniforme: la schiera binomiale.
Inizialmente esaminiamo una schiera BS in cui si ha = 0. I coecienti sono del tipo
!
N
;
1
an =
n
Notiamo (Fig. 7.13) che questi sono caratterizzati da un \tapering" estremo, hanno infatti
una decrescita che e pressoche esponenziale. Inoltre si puo notare che, per N elevato, soltanto
versione 2.1.0
140
Schiere di antenne
pochi coecienti an sono molto diversi da zero, e solo pochi elementi contribuiscono quindi in
modo sensibile all'irradiazione. Ne segue che la \ecienza d'apertura" della schiera e bassa, e
ci aspettiamo basso guadagno. D'altro canto la distribuzione dei coecienti scende a zero in
modo cos \morbido" che la sua trasformata avra un decadimento molto rapido, il che implica
bassi lobi secondari.
Il fattore di schiera e sempre espresso dalla (7.9). Ponendo, come in quel caso, = k0d cos e
t = ej , possiamo scriverlo in forma chiusa; infatti
6
140
N=5
5.5
N = 10
120
5
100
4.5
4
an
an
80
3.5
60
3
2.5
40
2
20
1.5
1
1
10
1.5
x 10
2
2.5
3
N
3.5
4
4.5
0
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
4
7
x 10
13
N = 20
9
N = 50
6
8
5
7
4
an
an
6
5
3
4
3
2
2
1
1
0
0
2
4
6
8
10
N
12
14
16
18
0
20
0
5
10
15
20
25
N
30
35
40
45
50
Figura 7.13. Forma dei coecienti di eccitazione per le schiere binomiali.
!
N
;
1
an
=
tn =
n
n=0
n=0
N ;1
(1 + t)N ;1 = 1 + ej
NX
;1
versione 2.1.0
ejk0 dn cos NX
;1
(7.45)
7.3 { Lobi secondari e schiere non uniformi
ovvero
141
F ( ) = ej 2 2 cos 2
e
jF (
La versione normalizzata e data da
)j = 2N ;1 cos
!N ;1
(7.46)
N ;1
2
(7.47)
N ;1
bin FN ( ) = cos 2 (7.48)
La funzione F ( ) e periodica di periodo 4, e gli zeri sono dati da zm = m con m dispari.
Dal graco, mostrato in Fig. 7.14, si puo notare l'assenza di lobi secondari veri e propri e la
 FNbin(ψ)
1
N=2
0.9
N=3
0.8
N=4
0.7
N=5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
ψ /π
Figura 7.14. Graco della funzione FNbin ( ).
presenza dei soli grating lobes (GL). Considerando
max
= k0d < ovvero
d1
(7.49)
2
si ottiene un unico lobo (quello principale) la cui apertura angolare diminuisce al crescere di N
e quindi la direttivita (legata alla larghezza a 3dB) aumenta, come mostrato in Fig. 7.15. Se
confrontiamo la (7.49) con la (7.28) notiamo che in questo caso la distanza d e indipendente dal
numero di elementi N ed e minore di quella trovata nel caso di schiera uniforme BS (escludendo
versione 2.1.0
142
Schiere di antenne
| F Nbin ( ψ ) |
90 1
120
N=2
N=3
N=4
N=5
1
0.8
0.6
60
30
150
180
0
0.4
210
0.2
0
-1
-0.5
0
1
0.5
330
ψ/π
240
300
270
Figura 7.15. Fattore di schiera della schiera binomiale per d= = 1=2 (assenza di GL).
| F(ψ) |
1
non uniforme
uniforme
0.8
90
0.6
120
0.99365
60
0.74524
0.4
150
0.2
0
-2
0.49683
30
0.24841
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ψ/π
180
0
Figura 7.16. Confronto tra il caso non uniforme (d= = 1=2) e
quello uniforme (d= = 4=5), con N=5.
il caso con N pari a 2 in cui coincidono). Il guadagno piu elevato della schiera uniforme e anche
dovuto alla maggiore spaziatura tra gli elementi.
Il graco riportato in Fig. 7.16 mostra un confronto con la schiera uniforme, nel caso di spaziatura tra gli elementi tale da garantire assenza di GL sia per la schiera uniforme sia per
quella non uniforme. Notiamo, come era prevedibile, che la schiera uniforme ha una direttivita
maggiore con lo svantaggio pero che compaiono i lobi secondari che nel caso binomiale non
troviamo.
Se ora consideriamo il caso k0 d > (Fig. 7.17) vediamo che e possibile controllare il livello dei
lobi secondari aumentando N o variando l'intervallo visibile. Quest'ultimo e dato da 2 [0;]
cioe 2 [;k0 d ; k0d] e quindi aumenta all'aumentare del parametro d, sino ad includere parte
dei GL. Fino a quando k0d < 2, la parte di GL compresa nell'intervallo visibile determina cio
che verra considerato \lobo secondario".
Possiamo ora tornare al confronto con la schiera uniforme; se rilassiamo il limite imposto
versione 2.1.0
7.3 { Lobi secondari e schiere non uniformi
143
precedentemente sulla dimensione della schiera non uniforme (d= = 1=2) e accettiamo la presenza dei lobi secondari, che imponiamo abbiano un livello ad esempio pari a -20dB, notiamo
(Fig. 7.18) che, nel caso non uniforme, la direttivita e aumentata ma resta sempre comunque
minore di quella della schiera uniforme (maggiore apertura angolare del lobo principale), anche
a parita di numero di elementi e di spaziatura tra questi. Utilizzando la schiera non uniforme
pero abbiamo il vantaggio di poter imporre il livello dei lobi secondari desiderato (in questo
caso -20dB).
| F (ψ) |
1
N=2
N=3
N=4
0.9
0.8
0.7
90
0.6
120
60
0.5
0.4
150
0.3
30
0.2
0.1
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ψ/π
180
0
Figura 7.17. Fattore di schiera della schiera binomiale per
k0 d; > e d= = 3=4 (presenza di GL).
1
| F (ψ) |
schiera binomiale
schiera uniforme
0.9
0.8
90
0.7
1
120
0.6
60
0.8
0.5
0.6
0.4
150
30
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
ψ/π
180
0
Figura 7.18. Confronto tra il caso non uniforme e quello uniforme (d= = 0:7), N=5.
Come nel caso di schiera uniforme, quello che determina la direzione di massima irradiazione
e la fase dei coecienti di eccitazione. Fino ad ora abbiamo considerato = 0 e quindi la
direzione di massima irradiazione data da max = 2 . Per orientare il fascio in altre direzioni
bastera porre
an = Anejn
versione 2.1.0
144
Schiere di antenne
!
N
;
1
con An =
n . In questo caso si ha
= k0d cos + quindi il fattore di schiera e sempre espresso dalla (7.47); quello che cambia e la direzione di
massima irradiazione, quindi, variando e possibile eettuare la scansione del fascio (beam
scanning).
7.4 Reti di alimentazione
Nello studio delle schiere si e visto il ruolo fondamentale dello sfasamento relativo e delle
ampiezze relative an tra i vari radiatori. Nella fase realizzativa della schiera, per riuscire ad
ottenere le variazioni di fase volute tra i vari radiatori bisogna tenere conto dello sfasamento
di propagazione tra un elemento e l'altro, termine non trascurabile e dipendente anche dalla
frequenza. Infatti si cerca di avere
) e se consideriamo
d= maggiore possibile (d= =(d=)critico
1
d
la (7.35) si ha che 1 ; , per una schiera BS, e d 12 1 ; N1 , per una schiera EF;
N
la distanza tra gli elementi non e quindi trascurabile rispetto a , percio bisogna considerare
lo sfasamento prodotto dalla rete che si utilizza per l'alimentazione. La rete di alimentazione
(Beam Forming Network, BFN) piu facile da realizzare e quella per le schiere broadside ( = 0).
Due tipiche reti, sono quelle ad albero (corporate, equal-length) e serie che vengono esaminate
nel seguito.
7.4.1 Alimentazione ad albero (corporate, equal-length)
Caratteristica fondamentale dell'alimentazione corporate e l'uguaglianza dei tratti li che collegano il singolo radiatore con la porta di ingresso (feed point) li = l 8 i = 1;:::;N . Per soddisfare
queste condizioni si utilizza una struttura ad albero (corporate) mostrata in Fig. 7.19. In questa struttura ci sono delle discontinuita che dipendono sia dai livelli di impedenza delle linee
di trasmissione sia dalle discontinuita siche nelle strutture guidanti. Queste ultime, causate
dalla realizzazione sica dei nodi dell'albero che richiedono l'utilizzo di biforcazioni (Fig 7.20),
possono essere trascurate se ad esempio si considerano delle strutture che supportano il modo
TEM quali linee bilari o cavi coassiali.
Per evitare invece gli sfasamenti localizzati causati dai livelli di impedenza delle linee di trasmissione e possibile, ad esempio, adattare le impedenze di ingresso della rete. In questo modo,
considerando un collegamento antenna-connettore si avranno solo onde progressive e quindi
6 Ii = li , dove e la parte reale della costante di propagazione. Avendo li = l 8 i = 1;:::;N
ed essendo
= 6 Ii ; 6 Ii;1
si ottiene
= li ; li;1 = 0
ossia una dierenza di fase nulla, realizzando quindi il caso BS.
Esaminiamo il caso di schiera uniforme e vediamo come realizzare l'adattamento. Consideriamo
Z11 l'impedenza della linea che collega le antenne tutte con impedenza pari a Za (Fig. 7.21).
versione 2.1.0
7.4 { Reti di alimentazione
145
Φ = ∠ai - ∠ ai-1
λ
λ
φ1 , l1
Figura 7.19. Rete di alimentazione equal-length .
Figura 7.20. Esempio di realizzazione di biforcazioni .
Adattiamo le antenne alle singole linee di trasmissione ponendo Za = Z11 . Considerando il
circuito equivalente mostrato in Fig. 7.22, appare chiaro che l'impedenza nella sezione B e data
da
(7.50)
ZB = Z11 k Z11 = Z2a
Per adattare si pone quindi Z1b = ZB = Z2a . Iterando questo ragionamento si ha che il livello
di impedenza viene dimezzato ad ogni giunzione. Utilizzando questo tipo di adattamento ad
ogni biforcazione anche la potenza viene ripartita in modo eguale (divisore a 3dB). In generale
quindi si avra
Zin = Z2na Pa = P2inn
(7.51)
dove Zin e Pin sono rispettivamente l'impedenza e la potenza alla porta di ingresso, Pa e
la potenza di alimentazione all'antenna ed n e il numero di antenne (e facile realizzare cio
versione 2.1.0
146
Schiere di antenne
Za
Z∞1 = Za
Za/2
Za/4
Figura 7.21. Rete di alimentazione adattata.
Pa
Za
P1 Z∞1
Z∞B
PB
P2
Pa
Z∞1
ZC
Za
ZB
Figura 7.22. Circuito equivalente.
in microstriscia perche la resistenza e inversamente proporzionale alla larghezza della striscia).
L'impedenza d'ingresso Zin e tanto piu piccola quanto piu e elevato il numero di antenne presenti
nella schiera quindi, per avere un livello di impedenza di ingresso accettabile, si ha bisogno di una
Za molto elevata. Questo crea dei problemi pratici di realizzazione. Si possono allora utilizzare
degli adattatori a =4 (singola o multi cella) per rialzare i livelli di impedenza (Fig. 7.23). Per
avere ZC = Za dobbiamo progettare l'adattatore con un'impedenza caratteristica pari a
Zg =4
s
= ZB ZC = Za Za
2
q
(7.52)
Quindi intoducendo i tratti g =4 si riesce ad avere Zin = Za indipendentemente dal numero di
antenne. L'adattatore pero funziona eettivamente in questo modo quando lavora in condizioni
versione 2.1.0
7.4 { Reti di alimentazione
147
Za
ZB = Za/2
λg/4
λg/4
ZC = Za
Figura 7.23. Utilizzo dell'adattatore =4.
di risonanza, ossia solo se = g (si ricorda che g 6= 0, dove g e la lunghezza d'onda guidata
e 0 e la lunghezza d'onda nello spazio libero), quindi e un dispositivo a banda stretta. Per
minimizzare questo problema si possono utilizzare piu adattatori in cascata 1 .
Nel caso in cui si abbia una schiera non uniforme, utilizzando impedenze diverse nelle biforcazioni, si riescono ad avere partizioni di potenza non uniformi. Considerando PB la potenza di
ingresso, P1 e P2 le potenze sulle due partizioni e Z11 e Z12 le impedenze delle linee utilizzate
per le partizioni, si ha
P
P1 = +
1 B
dove = Z11
Z12
P2 = +1 1 PB
7.4.2 Alimentazione in cascata (Linea risonante)
Il circuito mostrato in Fig. 7.24 rappresenta una schematizzazione della rete di alimentazione
in cascata. Le correnti Is1 ;Is2 ; ;IN rappresentano le alimentazioni delle N antenne tutte con
impedenza pari a Zs, Zsi = Zs i = 1; ;N . Dopo l'utima antenna c'e un circuito aperto, spesso
realizzato in guida con un tratto di linea g =4 che termina con un cortocircuito. Ricordando che
un tratto di linea lungo g =2 non modica il valore dell'impedenza (si compie un giro completo
sulla Carta di Smith), facendo riferimento alla Fig 7.24, si ha
Zi = NZ;s i
1
F.Canavero,I.Montrosset,R.Orta Linee di trasmissione, Levrotto e Bella, Torino,1990; par 1.3.1
versione 2.1.0
148
Schiere di antenne
Circuito aperto
I1
I1’
I2
Is1
Is2
Zs1
Zs2
λg/2
ZsN
λg/4
Z1
Figura 7.24. Circuito equivalente per la rete di alimentazione in cascata.
e, usando il partitore di corrente
Quindi, nel caso i = 1 si ha
Isi = Ii G G+s G
s
i
I1 I 0 = I N ; 1
Z1 = NZ;s 1 I1 = N
1
1
N
Ricordando che un tratto di linea pari a g = 2 provoca uno sfasamento di per le correnti e le
tensioni si ottiene
I1
Is2 = ; N
Iterando questo ragionamento si dimostra che tutte le correnti di alimentazione sono uguali in
modulo ma con uno sfasamento pari a :
Is1 = ;Is2 = Is3 ecc
e quindi
= 6 In ; 6 In;1 = La schiera, alimentata in questo modo, non sarebbe piu di tipo BS, quindi bisogna trovare il
modo di invertire le fasi. Se per la realizzazione sica si utilizzano ad esempio le linee bilari, un
metodo per invertire le fasi relative e quello di usare un \twisting" detto \criss-cross" (Fig. 7.25)
che permette di compensare lo sfasamento. La rete di alimentazione in cascata si puo realizzare
non solo con le linee bilari ma anche, ad esempio, in guida d'onda; in questo caso come
antenne elementari vengono tipicamente utilizzate le fessure (Fig. 7.26). Come si e visto (vedi
pag. 107, Antenna a fessura) la fessura viene \sostituita" con il metallo, sul quale sono presenti
versione 2.1.0
7.4 { Reti di alimentazione
149
Dipoli
Zs
Zs
λg/2
λg/2
Figura 7.25. Esempio di utilizzo di \Criss-cross", a sinistra: il circuito
equivalente; a destra: esempio di realizzazione pratica.
"
x
x
a
z
d = λg/2
b
λg/4
Figura 7.26. Schiera realizzata mediante fessure in una guida d'onda.
le sole correnti magnetiche. Per il modo fondamentale, se si considerano due fessure identiche,
poste ad una distanza s dalla mezzeria, in posizione simmetrica (si veda Fig. 7.27(a)), si puo
mostrare che (riferimento al libro di antenne) le correnti magnetiche risultano in opposizione
di fase, quindi
s = 6 In1 ; 6 In2 = Se in piu poniamo le fessure ad una distanza d = 2g come mostrato in Fig. 7.27(b) si ha un
ulteriore sfasamento
d = Complessivamente lo sfasamento relativo tra le due correnti magnetiche e dato da (g. 7.27(c))
= 6 an ; 6 an;1 = s + d = 2
In questo modo si realizza una schiera di tipo BS.
Se s 1 si ottiene una schiera che puo essere considerata unidimensionale (lineare), altrimenti
si ha una composizione di due schiere. Inne si noti che, utilizzando questo tipo di alimentaversione 2.1.0
y
150
Schiere di antenne
λg/2
λ/2
s
s
∆φs= π
∆φd =π
(b)
(a)
φ=2π
(c)
Figura 7.27. (a),(b),(c) Sfasamenti tra le correnti equivalenti delle fessure in guida.
zione, la distanza tra due antenne della schiera non e piu un parametro libero ma, nel caso di
schiera BS, risulta essere ssato al valore d = 2g .
7.5 Schiere planari: caso cartesiano separabile
Nel caso di schiere planari non ci sono in genere grandi semplicazioni rispetto al caso generale
della formula del fattore di schiera in (7.6). Esiste pero un analogo del semplice caso lineare visto
nei paragra 7.2 7.2.1. Consideriamo innanzitutto il caso di una schiera planare rettangolare con
i radiatori disposti nei nodi di un reticolo cartesiano, cioe con ri = mdxx^ + ndy y^; (i ! (m;n))
dove m = 0;:::;(Mx ; 1) , n = 0;:::;(My ; 1) e N = MxMy (vedi Fig. 7.28) per cui il fattore di
versione 2.1.0
7.5 { Schiere planari: caso cartesiano separabile
151
y
My
ri
dy
1
2
3
Mx
4
x
dx
Figura 7.28. Schiera planare rettangolare cartesiana.
schiera F (^r) diventa
F (^r) =
NX
;1
i=0
aiejk0r^ri
=
y ;1
MX
x ;1 MX
m=0 n=0
a(m;n) ejk0(umdx +vndy )
(7.53)
con
u = r^ x^ ; v = r^ y^
(7.54)
Questa formula si semplica se la distribuzione fai g dei coecienti di eccitazione e \separabile",
cioe se vale l'assunzione
ai = amn = axm ayn
(7.55)
In tal caso allora il fattore di schiera diventa
F (^r) = F (u;v) = Fx(u)Fy (v)
con
Fx(u) =
Fy (v) =
MX
x ;1
axm ejk0umdx
(7.57)
ayn ejk0vndy
(7.58)
m=0
MX
y ;1
n=0
(7.56)
cioe il fattore di schiera di una schiera planare cartesiana separabile e il prodotto di due fattori
di schiera lineari.
Per fare un esempio, se la schiera giace nel piano xy, (^z e la normale al piano della schiera) si
ha che
u = r^ x^ = sin cos v = r^ y^ = sin sin (7.59)
Si noti che per il campo irradiato dalla schiera, da (7.7), e con (7.56), abbiamo che
P e(^r) = P e0(^r) Fx(^r)Fy (^r)
(7.60)
versione 2.1.0
152
Schiere di antenne
ed il diagramma di irradiazione puo essere interpretato come quello di una schiera lineare (1D)
i cui radiatori elementari sono a loro volta delle schiere lineari; per esempio, scrivendo
P xe0 (^r) P e0 (^r) Fx(^r)
(7.61)
(7.62)
P e(^r) = P xe0(^r) Fy (^r)
ovvero: una schiera lineare con allineamento lungo y (e fattore di schiera Fy (^r)) i cui radiatori
elementari sono ciascuno una schiera lineare con allineamento lungo x e fattore di schiera
Fx(^r). Ovviamente si possono scambiare i ruoli di Fx e Fy e la conseguente interpretazione.
Un esempio di quanto sopra e mostrato nelle Figg. 7.29 e 7.30 Nel caso in cui la schiera sia
dx
y
Figura 7.29. Schiera planare separabile.
dx
dy
a)
b)
Figura 7.30. a) Schiera planare; b) schiera lineare equivalente.
uniforme, cioejai j = cost: e a sfasamento relativo costante, cioe
ayn = ejny ; axm = ejmx
(7.63)
si ottiene che il fattore di schiera totale F e il prodotto di due fattori F x e F y del tipo gia visto
in ( 7.57).
versione 2.1.0
7.5 { Schiere planari: caso cartesiano separabile
153
7.5.1 Esempio di rete di alimentazione
Abbiamo visto che il diagramma di irradiazione di una schiera planare si puo interpretare
come quello di una schiera unidimensionale i cui radiatori elementari sono delle schiere lineari;
questo permette una semplicazione della rete di alimentazione. Nel paragrafo 7.4 sono state
presentate le reti di alimentazione corporate e serie; in questo caso possiamo combinare questi
due tipi di alimentazione come mostrato dalla Fig. 7.31.
hhhhh
hhhhh
h
hhhhh
hhhhh
Alimentazione
corporate
Alimentazione serie
Figura 7.31. Esempio di rete di alimentazione nel caso di schiera planare.
Con riferimento alla gura precedente e alle formule (7.61) e (7.62), si ha un'alimentazione
corporate per la schiera lineare equivalente disposta lungo y^ con fattore di schiera Fy (^r) e
radiatori elementari con diagramma di irradiazione P xe0(^r); mentre si ha un'alimentazione serie
per i radiatori elementari composti da una schiera lineare con allineamento lungo x^.
7.5.2 Esempi di antenne equivalenti a schiere planari separabili
Alcune antenne di uso comune non sono apparentemente delle schiere planari, ma per la presenza in esse di riettori piani possono essere trattate approssimatamente come delle schiere
planari in virtu del teorema delle immagini.
Un primo esempio e quello di una schiera lineare, per esempio di dipoli, aacciata ad un
piano metallico, come in Fig. 7.32a; trascurando la nitezza della piastra metallica, per il
teorema delle immagini si ottiene la schiera planare di Fig. 7.32b; si noti che i dipoli (elettrici)
immagine hanno la stessa ampiezza di quelli reali, ma fase opposta, e quindi la schiera lungo x
ha Mx = 2, dx = 2h, jaxm = 1j e x = . Ovviamente il diagramma di irradiazione ottenuto e
valido (approssimato) nel solo semispazio \sico", nella Fig. 7.32 quello per x 0; al di fuori
di tale regione angolare il modello approssimato (con il piano innito) prevede campo nullo, e
nella realta ci saranno invece i contributi di dirazione dai bordi della piastra.
versione 2.1.0
154
Schiere di antenne
dx=2h
dy=d
y
y
y
x
z
z
a)
x
x
b)
Figura 7.32. a) Schiera con pannello riettente; b) schiera planare equivalente ottenuta
dall'applicazione del teorema di equivalenza assumendo la piastra come innita.
Un altro esempio e quello della cosidetta antenna a corner reector mostrata in Fig. 7.33a
per il caso semplice di radiatore a dipolo. Il riettore questa volta e un diedro metallico, che
l2
l1
l2
l1
2l1
l1
l2
2l2
a)
b)
c)
Figura 7.33. Antenna corner reector.a) Congurazione reale; b) dopo la prima applicazione del teorema di equivalenza e c) dopo la seconda.
Nella gura e rappresentato il caso piu semplice di diedro ad angolo retto.
se considerato innito da luogo alle immagini mostrate in Fig. 7.33b.c, si noti che il teorema
va applicato prima ad una faccia (qualunque) del diedro (Fig. 7.33b) e poi alla congurazione
risultante. Prendendo gli assi come in Fig. 7.33c, si ha Mx = My = 2, dx = 2l2, dy = 2l1,
jamn j = 1 e x = y = . In genere le antenne reali non hanno come piano riettore una piastra
elettrica piena ma si montano dei reticolati metallici dove i buchi hanno dimensioni almeno dieci
volte piu piccole della lunghezza d'onda; in questo modo dal punto di vista elettromagnetico
la piastra risulta essere piena e dal punto di vista meccanico si ha il grosso vantaggio del peso
inferiore.
versione 2.1.0
8
Bilancio energetico in un collegamento
radio in spazio libero
8.1 Equazione della trasmissione (formula di Friis)
Dato un sistema di trasmissione in cui si utilizzano due generiche antenne, consideriamo i
circuiti equivalenti in RX e in TX come mostrato nelle Figg. 8.1 e 8.2. L'obiettivo che ci
RX
r̂r
O
r̂t
S
TX
Figura 8.1. Sistema con due antenne in TX e RX.
Pal
Zg
Za
Var
Vg
Zat
A
Zrx
B
Figura 8.2. Equivalente circuitale in TX e RX.
155
156
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
poniamo e quello di determinare il rapporto
(r)
Pdisp
Pal(t)
(r )
dove Pdisp
e la potenza disponibile ai morsetti dell'antenna in RX (cioe che verrebbe fornita al
carico ricevente se questo fosse adattato energeticamente) e Pal(t) la potenza di alimentazione in
TX, cioe quella erogata all'antenna in TX. Utilizzando i risultati ottenuti nel paragrafo 4.1.2
(vedi (4.11) e (4.18)) possiamo scrivere
2 2
!
h(r) E inc
dP
1
e
(r)
= aeq (^rr ) d Pdisp = 2 4R
a
inc
(8.1)
dove rappresenta il disadattamento di polarizzazione, dato da
jp^r (^rr ) p^t (^rt)j2
(8.2)
dove
p^r (^rr ) e il versore di polarizzazione dell'antenna ricevente;
p^t(^rt ) e il versore di polarizzazione dell'antenna trasmittente,
entrambi valutati nella direzione del collegamento, che e r^r per l'antenna che riceve e r^t per
; S e r^ = S ; O , ovvero r^ = ;r^ .
l'antenna in trasmissione, cioe, rispetto a Fig. 8.2 r^t = jO
t
r
O ; S j r jS ; Oj
Supponendo che nel collegamento via etere non vi siano perdite dovute ad assorbimento
atmosferico, possiamo scrivere
dP
d
!
= dP
d
inc
!
irr
(8.3)
!
dP
densita di potenza irradiata dall'antenna trasmittente. Per l'antenna in trasmiscon d
irr
sione vale la relazione (vedi (3.13))
!
dP (t) = g (^r ) Pal(t)
(8.4)
t t
d
4r2
irr
(r )
per cui si giunge ad una nuova espressione per la Pdisp
1 a (r) (^r ) jp^ (^r ) p^ (^r )j2
(r)
Pdisp
= Pal(t) gt (^rt) 4r
r r r
t t
2 eq
(8.5)
(r)
Pdisp
= Pal(t) gt(^rt )gr (^rr )Afs jp^r (^rr ) p^t (^rt)j2
(8.6)
Sfruttando inne la (4.73) l'equazione della trasmissione (8.5) diviene
versione 2.1.0
8.1 { Equazione della trasmissione (formula di Friis)
157
dove
!2
(8.7)
Afs 4r 1
Nel seguito indicheremo semplicemente con r^ la direzione del collegamento, intendendo che
sia r^r o r^t a seconda che si tratti di un parametro denito per l'antenna in ricezione o per quella
in trasmissione.
Il termine Afs e detto attenuazione di spazio libero (free-space), attenuazione dovuta al fattore di onda sferica e non all'assorbimento (non ci sono perdite). L'equazione della trasmissione
cos ottenuta viene detta formula di Friis o equazione della trasmissione in senso stretto
(r )
Pdisp
= Pal(t) gr (^r)GtAfs (8.8)
Si possono dare le seguenti interpretazioni alla formula:
(r)
Pdisp
Il rapporto (t) e proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. E importante
Pal
sottolineare che il decadimento algebrico della potenza ricevuta rispetto a quella trasmessa
non e da attribuire ad un assorbimento (trasformazione in calore) nello spazio libero,
ma alla presenza di un fattore di attenuazione di onda sferica. Il trasmettitore, infatti,
irradia la potenza in tutte le direzioni dello spazio. Pertanto per ricoprire una supercie
che cresce come il quadrato della distanza la densita di potenza deve diminuire in modo
proporzionale. La ricezione interessa solo una limitata porzione dello spazio in cui e stato
irradiato il campo. Se si supponesse di ricoprire l'intera regione in cui e presente il campo
con antenne riceventi, la somma delle potenze ricevute dai singoli utilizzatori equivarrebbe
alla potenza trasmessa dalla sorgente.
I parametri gt (^r), gr (^r) e aeq (^r) esprimono la direttivita dell'antenna, rispettivamente in
trasmissione e in ricezione. Il ne di un apparato di trasmissione-ricezione dovra essere
quello di massimizzare i due parametri nella direzione r^ del collegamento per compensare
(per quanto possibile) il decadimento / 1=R2 della potenza.
(r)
Pdisp
La conoscenza di (t) permette un confronto tra la propagazione via etere e quella
Pal
guidata (quando questo abbia un senso, ovvero se entrambe le tecniche possono essere
impiegate per un dato collegamento). Per la propagazione guidata si ha
(r)
Pdisp
;2r
(t) / e
Pal
(8.9)
essendo l'attenuazione della struttura guidante (cavo coassiale, guida metallica, bra
ottica). Si tratta di confrontare un decadimento esponenziale con uno quadratico: appare
evidente che il confronto puo essere vantaggioso per l'una o per l'altra tecnica a seconda
del valore assunto dal coeciente di attenuazione , ovvero a seconda della struttura
guidante (\supporto trasmissivo").
versione 2.1.0
158
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
Vediamo ora alcuni complementi di uso pratico. L'utente, nel momento in cui riceve, non
conosce le prestazioni dell'antenna in TX, ma e interessato al valore del prodotto Pal(t) gt . Questo
termine viene chiamato Equivalent Isotropic Radiated Power, cioe EIRP
EIRP Pal gt(^r)
(8.10)
perche corrisponde alla potenza di alimentazione di un radiatore isotropico (g = 1) necessaria
per avere la stessa dP
d . Spesso nella pratica e conveniente esprimere l'equazione della trasmissione in unita logaritmiche, per cui
(8.11)
PdBW 10 log10 1PW
A anco del dBW si usa anche il dBmW, abbreviato in dBm
P
PdBm 10 log10 1 mW
(8.12)
legato al dBW dalla relazione
PdBm = PdBW ; 30 dB
(8.13)
Misurando tutte le grandezze in dB si ottiene per l'equazione della trasmissione la seguente
forma:
(2) Pdisp dBW = Pal(1) dBW + (gt )dB + (gr )dB ; fs ; pol
(8.14)
oppure
(2) Pdisp dBW = (EIRP )dBW + (gr )dB ; fs ; pol
(8.15)
dove fs 10j log10 Afsj e pol 10j log10 j.
8.2 Adattamento di polarizzazione
8.2.1 Direzione di osservazione e incidenza
Notiamo in primo luogo che il risultato della simmetria ricezione-trasmissione (dovuta alla
reciprocita) fa s che in ricezione la direzione r^ in h(^r) indichi la direzione in cui e presente la
sorgente (lontana) che emette il campo incidente sull'antenna in ricezione; pertanto in ricezione
r^ in h(^r) e opposto alla direzione di incidenza.
Data l'equivalenza hR (^r) = hT (^r), la polarizzazione di un'antenna in ricezione e quella
del campo irradiato nella direzione r^ dalla stessa antenna quando trasmette. Per esempio la
polarizzazione di un dipolo lungo z^ (vedi g. 8.4) e p^ = ^ e quindi in ricezione p^r del dipolo e
p^r = ^ (e non z^ come a volte parrebbe di intuire; e invece p^ = z^ solo per = =2).
8.2.2 Polarizzazione non lineare
Quando la polarizzazione non e lineare, il termine = jp^r p^t j2 richiede qualche commento;
per semplicita consideriamo il caso piu importante, quello di polarizzazione circolare; sempre per semplicita disponiamo la direzione del collegamento lungo l'asse z^ , e prendiamo
versione 2.1.0
8.2 { Adattamento di polarizzazione
159
RX
r̂
r̂
TX
Figura 8.3. Antenna in trasmissione e ricezione.
z
θ
~
z
r̂
r̂
θ
pˆ t (rˆ)
pˆ r ( rˆ)
RX
Figura 8.4. Esempio di polarizzazione in trasmissione e in ricezione: caso del dipolo.
p^t = p1 (^x ; j y^); ora se p^r = p^t si ha che
2
(^z) = jp^r p^t j2 = 21 j(^x ; j y^) (^x ; j y^)j2 = 0
viceversa, se p^r e p^t rappresentano due polarizzazioni circolari opposte, p^r = p^t = p1 (^x + j y^),
2
si ha adattamento di polarizzazione:
(^z ) = jp^r p^t j2 = 21 j(^x + j y^) (^x ; j y^)j2 = 1
A tutta prima questo puo apparire sorprendente, ma il paradosso scompare se si considera il
signicato sico-geometrico. Se prendiamo due antenne con identica polarizzazione quando sono
nello stesso punto ed orientate nello stesso modo, una di esse deve essere ruotata per arrivare alla
congurazione di antenne aacciate in g. 8.5: questo rovescia il verso (orario/antiorario) della
polarizzazione. Quindi p^r = p^t vuol dire due antenne che avrebbero identica polarizzazione (per
esempio antioraria) se fossero connesse allo stesso modo al connettore d'uscita del trasmettitore.
Ci si puo convincere matematicamente di questo partendo dalla g. 8.6 che mostra due
antenne identiche di cui una (la numero 2) e stata ruotata in modo da essere aacciata all'altra
(la numero 1), cos come si avrebbe se la numero 2 fosse disposta per ricevere il campo irradiato dalla numero 1. Chiamiamo (u(1i) ;u(2i) ;u(3i)) il sistema (cartesiano) di riferimento proprio
dell'antenna numero i. Per un punto di ossevazione P sull'asse dell'antenna 1 r^ = u^(1)
3 = z^
versione 2.1.0
160
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
y
~
x
RX
z
TX
Figura 8.5. Sistema di due antenna aacciate.
1
la polarizzazione del campo irradiato dall'antenna 1 e p^(1) = p1 (^u(1)
^(1)
1 + ju
2 ) = p (;x^ + j y^)
2
2
e ovviamente non ruota, rispetto al riferimento proprio, quando l'antenna e ruotata. Si noti
che la polarizzazione, espressa rispetto al sistema di riferimento solidale con l'antenna, non
muta se l'antenna stessa viene ruotata. L'antenna 2 e la 1 ruotata, e quindi il sistema di
(2) (2)
(2)
(1) (2)
(1) (2)
(1)
riferimento solidale ad essa e (u(2)
1 ;u2 ;u3 ), con u1 = ;u1 , u2 = u2 , u3 = ;u3
(vedi Fig. 8.6). Pertanto, nel punto P il versore di polarizzazione p^(2) dell'antenna 2 sara
1
1
(2)
(2)
p^(2) = p1 (^u(2)
^(2)
1 + j u^2 ) = p (;u^1 + j u
2 ) = p (;x^ + j y^). Quindi, ruotando una antenna
2
2
2
per passare dalla trasmissione alla ricezione si inverte il suo verso di polarizzazione (si ricordi
anche che la polarizzazione dell'antenna in ricezione e la medesima del campo irradiato quando
l'antenna e in trasmissione).
u2(1)
O1
u2(2)
u1(1)
x
P
u3(1)
u3(2)
O2
u1
ant. 1
y
z
(2)
ant. 2
Figura 8.6. Sistema di due antenne aacciate: sistemi di riferimento locale e globale.
versione 2.1.0
8.3 { Eetti del rumore in un collegamento radio
161
8.3 Eetti del rumore in un collegamento radio
8.3.1 Rumore nel sistema di comunicazione via radio
Ricordiamo innanzitutto che il rapporto segnale-rumore e di importanza fondamentale in un
sistema di comunicazione. Prima di arontare questo argomento e pero necessario denire che
cosa si intende nel nostro caso per segnale e per rumore.
Il rumore in un collegamento radio puo essere generato o dalla circuiteria interna al sistema o
dall'ambiente esterno. Il primo e dovuto alle perdite ohmiche sull'antenna e sul sistema ricevente
ad essa collegato. Il rumore che ha origine nella circuiteria a valle dell'antenna ricevente non
verra considerato qui, se non per brevi cenni alla trasmissione del rumore all'interno del sistema
ricevente. L'antenna stessa e fonte di rumore termico come elemento circuitale, per eetto delle
perdite nei materiali che la costituiscono (si ricordi che il circuito equivalente comprende una
resistenza ohmica) e tale rumore non e ovviamente dipendente dall'ambiente esterno. Nel
seguito non considereremo questo eetto, sia perche di tipo \circuitale", sia perche le perdite
ohmiche sono trascurabili alle frequenze di cui ci occupiamo qui. Ci concentreremo qui invece sul
rumore presente ai morsetti dell'antenna ricevente per eetto dell'ambiente esterno all'antenna
stessa, cioe quello che si avrebbe nel caso ideale in cui l'antenna non avesse perdite ohmiche.
Il rumore proveniente dall'ambiente esterno puo essere generato da: apparecchi elettronici,
scariche atmosferiche, radiazioni da corpo nero (originate da tutti i corpi presenti nello spazio
circostante l'antenna), ecc...
Per quanto concerne il segnale, abbiamo qui quello vero e proprio (in \banda base") per
esempio un segnale telefonico ed il segnale che viene trasmesso attraverso lo spazio, cioe a
radiofrequenza (dalla banda UHF in su). E bene pertanto soermarsi sulle elaborazioni subite
dal segnale nei vari stadi di un sistema di comunicazione via radio.
Nella trasmissione tramite onde radio il segnale vero e proprio modula le oscillazioni a
radiofrequenze alla frequenza centrale f0 , detta portante (carrier), tipicamente dalle UHF in
su. Il segnale a radiofrequenza inviato all'antenna ricevente e a banda stretta (la banda B
del segnale utile e B f0 ) e la forma specica dello spettro dipende dal tipo di modulazione
usata (AM, FM, PCM...): chiameremo f la banda del segnale a radiofrequenza modulato.
Quest'ultimo viene poi trasmesso mediante l'antenna in spazio libero. In ricezione si ha una
conversione dalla radiofrequenza a frequenze piu basse1 (ad esempio dalle radiofrequenze 10GHz alle UHF 400 1000MHz) e quindi una demodulazione, che alla ne restituisce il
segnale in banda base. Lo schema tipico di un sistema di trasmissione e riportato in (Fig. 8.7).
Il rapporto tra la potenza di segnale (data dall'equazione della trasmissione (8.8)) e la
potenza di rumore N ai morsetti di un'antenna non e quello che viene usualmente chiamato
rapporto segnale-rumore ( NS ) in un sistema di comunicazione, perche sia il segnale che il rumore
sono a radiofrequenza; come detto sopra, il segnale utile si ottiene dopo la conversione di
frequenza e la demodulazione. Per evitare confusione, si usa pertanto indicare con C la potenza
1 Secondo lo schema del \ricevitore supereterodina" cfr.: J.G.Proakis e M.Salehi, Communication System
Engineering, Prentice-Hall, 1994,x5.4.1
versione 2.1.0
162
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
TX
RX
(1)
a
f0 a
(2)
(b)
(a)
a
(e)
(d)
(c)
fL
Pdisp=C
(Radiofrequenza)
Pdisp=S
(Banda base)
Figura 8.7. Schema di un sistema di trasmissione:(1) Sistema di trasmissione;
(2) Sistema ricezione; (a) segnale da trasmettere ; (b) modulatore; (c) downconverter; (d) demodulatore; (e) segnale ricevuto in banda base
di segnale a radiofrequenza ed il rapporto:
RX
C = Pdisp
N
N
(8.16)
viene detto carrier-to-noise ratio. Tale rapporto e diverso dal rapporto S all'utente nale, ed
N
C
S
il legame ; dipende fortemente dal tipo di modulazione.
N N
C , in quanto caratteristico del collegamento
Nel seguito, noi ci occuperemo solo del rapporto N
via radio (e indipendente dal tipo di modulazione e di apparato trasmissione-ricezione).
8.3.2 Potenza di rumore in ingresso all'antenna
Se consideriamo solo il rumore proveniente dall'ambiente esterno all'antenna ricevente, ciascuna
fonte di rumore emette radiazioni indipendentemente dalle altre, pertanto e possibile descrivere
l'eetto di questi disturbi mediante sorgenti che irradiano in modo incoerente, cioe in maniera
scorrelata le une dalle altre.
In particolare, considereremo che tutto lo spazio intorno all'antenna emmetta radiazione di
corpo nero (black-body); questa e un'assunzione usuale in letteratura, anche se molte sorgenti di
rumore di origine terrestre hanno una statistica dierente. Dobbiamo quindi valutare la potenza
disponibile ai morsetti dell'antenna per ricezione di un campo elettromagnetico emesso da un
oggetto esteso e in cui ogni punto di esso emette in modo scorrelato dagli altri punti. Si noti
che sinora si sono sempre considerati sorgenti in campo lontano, dove cioe sono considerabili
come puntiformi, e le denizioni dei parametri di ricezione di una antenna a tale situazione
si riferiscono; inoltre abiamo sempre considerato sorgenti coerenti. Vediamo allora come si
estendono i risultati noti a tali casi.
Nel seguito, per semplicita di notazione, ometteremo il pedice disp nella potenza ricevuta.
versione 2.1.0
8.3 { Eetti del rumore in un collegamento radio
163
Ricezione di campo emesso da sorgenti scorrelate
Iniziamo a considerare delle sorgenti puntiformi (solite) ma chen emettono "segnali" scorrelati.
Dato che sinora abbiamo sempre trattato sorgenti coerenti, per capire come trattare l'eetto
complessivo di molte sorgenti incoerenti consideriamo dapprima il caso piu semplice di due sorgenti di rumore (vedi Fig.8.8); considereremo sempre il caso in cui il rapporto tra le dimensioni
S1
S2
r̂1
RX
r̂2
Figura 8.8. Sorgenti di rumore (caso semplicato): S 1 e S 2 sono le sorgenti di
rumore; r^1 e r^2 individuano le direzioni di collegamento sorgente-antenna ricevente
delle sorgenti e la loro distanza dall'antenna ricevente sono tali da vericare la condizione di
campo lontano (cioe sono viste geometricamente come puntiformi dall'antenna in ricezione) e
i loro centri S 1 e S 2 sono nella regione di campo lontano dell'antenna ricevente. Ricordando
che la tensione del generatore equivalente in ricezione e denita, per un'onda piana all'antenna
ricevente e per sorgente singola, come (vedi eq.(4.50)):
Va1 = heff (r^1) E (1)
inc ;
Va2 = heff (r^2) E (2)
inc
(8.17)
la tensione totale ai capi dell'antenna e
Va = Va1 + Va2
=
da cui:
Ora, in generale
(2)
heff (r^1) E (1)
inc + heff (r^2 ) E inc
(8.18)
P / jVaj2 = jVa1 + Va2 j2
(8.19)
jVa1 + Va2 j2 6= jVa1 j2 + jVa2 j2
(8.20)
versione 2.1.0
164
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
in quanto bisogna tener conto di ampiezze e fasi relative; tuttavia, se le sorgenti sono incoerenti
ed intendendo valori medi (in senso statistico), si ha:
jVaj2 = jVa1 j2 + jVa2j2
(8.21)
nel ricavare il risultato sopra va anche tenuto conto del fatto che i segnali hanno media nulla,
in quanto la continua non puo essere irradiata ne ricevuta. Ne segue che le potenze (in senso
medio) si sommano,
P = P1 + P2
(8.22)
Con ovvia estensione al caso di piu sorgenti si ottiene:
P=
X
i
Pi
(8.23)
Se le sorgenti occupano una regione angolarmente estesa, dovremo suddividerla in zone le
cui dimensioni siano puntiformi nel senso specicato sopra; cio comporta la suddivisione della
regione di sorgente in sottodomini di area A, che siano visti dall'antenna in ricezione come
puntiformi, cioe sotto un angolo solido = RA2 1 (vedi Fig. 8.9).
Chiamiamo P la potenza ricevuta dall'emissione di una area elementare A del corpo
r̂
Σ
∆A
ΩΣ
∆Ω
RX
R
Figura 8.9. Densita di potenza irradiata dalla sorgente di rumore: e la regione
su cui si estende la sorgente; A e l'elemento di supercie; e l'angolo solido che
individua ; l'elemento di angolo solido; R la distanza sorgente-antenna ricevente.
emettente, e scriviamo
versione 2.1.0
P = P~ 8.3 { Eetti del rumore in un collegamento radio
. Passando al limite di ! 0 si ha:
P=
165
Z
d
P~ (^r)
(8.24)
P~ (^r) e la (densita di) potenza ricevuta per eetto dell'emissione di una sorgente elementare
posizionata nella direzione r^, e che occupa una regione dA vista sotto un angolo solido d
dall'antenna ricevente.
Nel caso che ci interessa, tutto lo spazio circostante l'antenna e sorgente di rumore: anche
lo spazio intergalattico emette (debole) radiazione di corpo nero (con T ' 2:8K). Pertanto,
l'integrale su d
in (8.24) va esteso a tutte le direzioni:
Z
P=
d
P~ (^r)
(8.25)
(4)
dove la notazione(4) indica l'integrazione su tutte le direzioni possibili ovvero, esplicitando in
coordinate sferiche centrate sull'antenna,
P=
Z 2
0
d
Z
0
d sinP~ (;)
(8.26)
Radiazione di corpo nero
Come detto sopra, nel seguito consideriamo il rumore termico come dovuto alla radiazione di
corpo nero. Dalla teoria del corpo nero si ottiene la "densita spettrale" di potenza emessa,
cioe la potenza emessa nell'unita di banda; indicheremo tale densita di potenza con p(f ) (in
W/m2). Ora, si ottiene che un elemento di corpo nero di area dA emette in modo isotropico
con intensita proporzionale all'area; dai nostri risultati sappiamo che la dP=d decade come
1=R2, e quindi possiamo dire che
!
dp / dA 1
(8.27)
d
R2
irr
si noti l'uso di p per indicare la densita spettrale di potenza. La costante di proporzionalita in
(8.27) si chiama brillanza B , e dipende in generale dalla frequenza f e dalla temperatura del
corpo nero T ; ovvero
!
dp = B (f ; T )dA 1 = B (f ; T )d
(8.28)
d
R2
irr
Adesso siamo in grado di valutare la (densita spettrale di) potenza p(f ) disponibile all'antenna ricevente per eetto della radiazione di corpo nero, utilizzando l'equazione della trasmissione
(4.18); per far cio dobbiamo considerare la ricezione da una sola sorgente puntiforme alla volta,
come nell'integrando della (8.25). Il contributo di una areola dA di corpo nero sara dunque
!
2
2
dp
p~(f;r^) = 4 g(^r) d = 4 g(^r) B d
(8.29)
inc
Poiche le sorgenti che emettono radiazioni di corpo nero sono distribuite su tutto lo spazio
circostante l'antenna ricevente, la potenza di rumore totale disponibile in ricezione, dalla (8.29)
e dalla (8.25) e
Z
2
d
4 g(^r) B
p=
(8.30)
(4)
versione 2.1.0
166
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
La potenza totale si ha inne integrando sull'intervallo di frequenza considerato, ovvero sulla
banda [f0 ; f=2;f0 ; f=2] del sistema ricevente (antenna, ltri del ricevitore, etc.),
P=
Z f0+f=2
f0 ;f=2
Z
2
df
d
4 g(^r) B (f ; T )
(4)
(8.31)
Temperatura equivalente di rumore dell'antenna
La brillanza del corpo nero (B ) e descritta dalla legge di Planck:
B (f;T ) = 22 eBB
(8.32)
dove
eBB = hfhf
(8.33)
e kB T ; 1
e inoltre: T e la temperatura di corpo nero; h = 6:62 10;34 (J s) e la costante di Planck;
kB = 1:38 10;23 (J K;1) e la costante di Boltzmann. In (Fig. 8.10) e riportato il diagramma
della brillanza (B (f;T )) in funzione della frequenza (f ) e al variare della temperatura di corpo
nero (T ). Nel caso che ci interessa qui, cioe per frequenze non superiori a qualche decina di
2
x 10
32
T = 100 K
1.8
1.6
1.4
1.2
B( f ,T)
W

 2
 m ⋅ Hz ⋅ rad
2



T = 80 K
1
0.8
0.6
T = 60 K
0.4
0.2
T = 40 K
0
10
10
10
11
10
f
12
10
13
10
14
(Hz )
Figura 8.10. Diagramma della brillanza (B (f;T )) in funzione della
frequenza (f ) e al variare della temperatura di corpo nero (T )
GHz e per temperature dell'ordine delle centinaia di K, si ha che khfT 1 (approssimazione
B
versione 2.1.0
8.3 { Eetti del rumore in un collegamento radio
167
di Rayleigh-Jeans); per esempio per f = 10 GHz e T = 800 K si calcola che:
hf = 6:6 10;34 HzJ 1010(Hz) ' 10;3 1
kB T 1:38 10;23 KJ 8 102(K)
(8.34)
Espandendo quindi l'esponenziale, si ottiene
eBB ' kB T
(8.35)
e
(8.36)
B (f;T ) ' 22 kB T
Per quanto riguarda l'attenuazione per depolarizzazione , ricordiamo che l'antenna ricevente e un oggetto deterministico, con una ben precisa polarizzazione p^r ; invece, il campo emesso
dalla sorgente di rumore avra una polarizzazione casuale p^t ovvero il campo assume in modo
equiprobabile una delle polarizzazioni possibili; di conseguenza = jp^r p^tj2 assume in maniera
equiprobabile tutti i valori possibili nell'intervallo [0,1] con media 1 . Sostituendo allora nella
2
(8.31) la (8.36), ed assumendo trascurabili le variazioni di guadagno nella banda (stretta) f
si ha l'espressione nale
Z
k
B
P ' f 4
d
g(^r)T (^r)
(8.37)
(4)
Data la somiglianza con la potenza di rumore nei circuiti, deniamo come temperatura equivalente di rumore dell'antenna:
Z
(8.38)
Ta = 41 d
g(^r)T (^r)
4
con cui la potenza disponibile di rumore ricevuta dall'antenna, che d'ora in poi chiameremo N
(come d'uso), e del tipo solito:
N ' kB Ta f
(8.39)
8.3.3 Bilancio energetico di tratta (link-budget)
Dall'equazione della trasmissione (8.8) si ricava l'espressione della potenza di segnale (C ) associata alla portante:
C = EIRP gr Afs Aagg
(8.40)
dove Aagg e il termine relativo alle attenuazioni aggiuntive dovute a: dirazione da ostacoli,
riessione da terreno, assorbimento atmosferico, ecc...
La potenza di rumore ricevuta dall'antenna e data dalla (8.39); di conseguenza il rapporto
carrier-to-noise puo essere espresso dall'Equazione del link-budget:
C = EIRP gr Afs Aagg
(8.41)
N
kB Ta f
Esaminiamo la (8.41) dal punto di vista dell'utente in ricezione. Supponiamo di essere gli utenti
di un sistema di telecomunicazioni e di voler in qualche modo interagire col sistema stesso al ne
C (per ricevere un segnale meno disturbato). Notiamo che f ed
di incrementare il rapporto N
versione 2.1.0
168
Bilancio energetico in un collegamento radio in spazio libero
EIRP sono parametri ssati dal servizio in trasmissione. Per quanto concerne le attenuazioni:
quella di free-space dipende dalla distanza fra le due antenne (che e imposta dalla situazione),
nonche dalla frequenza (caratteristica del servizio); quella aggiuntiva e invece legata a eventi non
controllabili dall'utente. La depolarizzazione puo essere controllata, e tipicamente sara ' 1, a
meno di errori e in modo pressoche indipendente dall'antenna in ricezione. Ne concludiamo che
l'unico parametro che dipende direttamente dall'antenna ricevente e il rapporto Tgr ; tipicamente
a
si puntera l'antenna ricevente in modo che gr = GR e il rapporto:
GR
(8.42)
Ta
denisce quindi il fattore di merito dell'antenna in ricezione. Notiamo che per aumentare
GR e necessario aumentare le dimensioni dell'antenna; si noti pero che anche Ta dipende dal
diagramma di irradiazione dell'antenna ricevente, come chiaro dalla (8.38). Per innalzare GTRa
bisognera quindi fare attenzione a che i lobi secondari dell'antenna stiano molto bassi in quelle
direzioni da cui proviene massimamente il rumore, tipicamente dalle direzioni verso il suolo
terrestre.
In analogia a quanto fatto per l'equazione della trasmissione, ricaviamo anche qui la forma
in dB dell'equazione del link-budget, tenendo presente la (ovvia) identita 1 W=1 W/(Hz K )
1K 1 Hz. Si ha dunque:
C = EIRPdBW ; link ; (kB )dBWHz;1K;1 ; (f )dBHz;1 + Gr
(8.43)
N dB
Ta dBK;1
in cui risultano:
(Ta )dB K = 10log
(f )dB Hz = 10log
G
Ta
Ta 1K
f 1Hz
= GdB ; 10log
dB K;1
Ta 1K
B
(kB )dB J K;1 = 10 log 1W=k(HzK)
= ;228:6dB (W(Hz;1K;1))
link = pol + fs + agg
versione 2.1.0
9
Collegamento radio in presenza di
terreno piano
Benche la supercie terrestre non sia ne piana ne liscia, il calcolo dell'eetto di un terreno piano
e liscio sul collegamento radio e in grado di mostrare alcuni eetti fondamentali del problema, e
di dare delle linee guida per il dimensionamento di massima di un sistema di radiocollegamento.
Per quel che riguarda la curvatura terrestre, per le frequenze di attuale interesse commerciale
l'attenuazione per propagazione oltre la linea dell'orizzonte e tale da impedirne l'applicazione
pratica. L'approssimazione fondamentale nel considerare un terreno piano e invece quella che
sia liscio.
Inizieremo la nostra analisi con approssimazione di terreno perfettamente conduttore, piano
ed indenito. Per quanto in pratica tale approssimazione sia valida a stretto rigore solo nel caso
di propagazione sopra il mare o regioni paludose, vedremo che i suoi risultati sono estensibili
senza grandi variazioni al caso di un terreno dielettrico.
9.1 Riessione da terreno conduttore
Per un terreno perfettamente conduttore, piano ed indenito e possibile applicare il teorema
dell'immagine (Fig. 9.1), e la situazione e equivalente ad avere due sorgenti (vera e immagine)
in spazio libero.
Dato che le immagini delle sorgenti hanno segno diverso a seconda dell'orientamento rispetto
al piano e la natura delle stesse (elettriche o magnetiche), separiamo le sorgenti in una componente verticale (V), ovvero ortogonale, e orizzontale (H), e quindi parallela, rispetto al piano;
ci poniamo inoltre nel caso di collegamento quasi radente, il caso cioe in cui sia l'osservatore
che le sorgenti sono prossime al conduttore.
Noi vogliamo inoltre separare i termini verticale e orizzontale rispetto al campo invece
che rispetto alle sorgenti equivalenti, che tipicamente non sono \accessibili". Per il campo di
ciascuna sorgente (vera o immagine) si ha che
(9.1)
P e = I tr^ J~e(k0r^) + Y0[(^r I ) J~m (k0r^)] = (^^ + ^^) J~e + Y0(^^ ; ^^) J~m
Vediamo ora quale e l'eetto delle componenti verticali (V) ed orizzonatli (H) delle due correnti,
tenendo presente che stiamo esaminando il caso di collegamento radente, ovvero (Fig. 9.2)
169
170
Collegamento radio in presenza di terreno piano
Jm , Je
ẑ
osservatore
sorgente
Piano conduttore
immagine
J mi , J ei
Figura 9.1. Sorgenti e osservatori su un piano conduttore
h2 ; h1 1 per cui risulta e di conseguenza ^ ;z^. Ne segue che la (9.1) diventa
d
2
P e (^z z^ + ^^) J~e ; Y0(^z^ ; z^^) J~m
(9.2)
Si noti che ^ e sempre orizzontale (^z^ = 0), e quindi z^ e ^ in (9.2) individuano, rispettivamente,
le direzioni verticale e orizzontale. Separando anche le componenti verticali ed orizzontali delle
J~e;J~m , cioe
J~ = J~H ^ + J~V z^
(9.3)
dalla (9.2) si la corrispondenza alle parti verticali e orizzontale della P e:
P He ^(J~eH ; Y0J~mV ); P Ve z^(J~eV + Y0J~mH )
(9.4)
Utilizzando il teorema delle immagini (v. Fig. (9.3)) si riconosce immediatamente che
le sorgenti immagine danno un contributo equiverso per la componente verticale della P e e
controverso per quella orizzontale. Pertanto l'altezza ecace heff e separabile in due contributi:
hHeff , che ha immagine ;hHeff , e hVeff , che ha immagine pari a hVeff . Possiamo unicare la
notazione scrivendo heff;imm = heff , dove = +1 per la polarizzazione V e = ;1 per la
polarizzazione H.
9.1.1 Campo irradiato in presenza di terrreno
Si consideri la situazione di Fig. 9.4: l'obiettivo e valutare il campo totale, dovuto alla sorgente
ed alla sua immagine, incidente nel punto P . Ci si pone sul piano ove giacciono il trasmettitore
ed il ricevitore (l'immagine e ovviamente complanare), e dalla geometria del sistema :
q
rr = d2 + (h2 + h1 )2
versione 2.1.0
9.1 { Riessione da terreno conduttore
171
z
r̂
ϑ
ϑˆ
h2
h1
d
Figura 9.2. Geometria di riferimento
J eH
J mV
τ = −1
J eiH
J eV
V
J mi
J mH
τ =1
J eiV
H
J mi
Figura 9.3. Teorema dell'immagine per le componenti orizzontale H, parallela
al terreno, e verticale V, ortogonale al terreno, delle sorgenti.
versione 2.1.0
172
Collegamento radio in presenza di terreno piano
P
rd
h2
ϑd
Ia
rr
h1
τI a
h1
ϑr
d
Figura 9.4. Riessione da terreno piano perfettamente conduttore
q
rd = d2 + (h2 ; h1 )2
mentre il segno dell'immagine risulta, dalla discussione precedente = ;1 per polarizzazione
orizzontale e = 1 per polarizzazione verticale. Considerando una polarizzazione alla volta,
ma omettendo le indicazioni V ed H per brevita il campo totale al ricevitore risulta:
E (P ) = E d(P ) + E r (P ) = ;2rjZ0 e;jkrd Ia he(^rd) + ;2rjZ0 e;jkrr Ia he(^rr )
(9.5)
d
r
siccome h1;2 d (decine di metri vs. km), gli angoli d;r che identicano r^d , r^r in Fig. 9.4 sono
ricavabili con le seguenti approssimazioni:
d = tan;1( h2 ;d h1 ) h2 ;d h1 ; r = tan;1( h2 +d h1 ) h2 +d h1
risulta pertanto che la dierenza tra le due direzioni r^r e r^d e = r ; d h1 . Se l'antend
na in trasmissione non `e troppo direttiva, oveero se la sua larghezza di fascio e HPBW hd1
allora he(^rr ) he(^rd ); inoltre, approssimando rr e rd al primo ordine in h1;2 1, si ottiene:
s
2
(
h
1
(
h
2 + h1 )2
2 + h1 )
rr d 1 + d2 d(1 + 2 d2 )
s
2
(
h
1
(
h
2 ; h1 )2
2 ; h1 )
rd d 1 + d2 d(1 + 2 d2 )
versione 2.1.0
9.1 { Riessione da terreno conduttore
173
Al solito, per i termini di ampiezza vale r1 1d , mentre la fase richiede un'approssimazione
r;d
al 1 ordine; introducendo queste approssimazioni nella 9.5, il campo E (P ) e allora esprimibile
come segue:
Z0 e;jkdI h ( )[e;jk (h2 ;2dh1 )2 + e;jk (h2 +2dh1)2 ]
(9.6)
E ;2jd
a e d
Sviluppando i quadrati e raccogliendo i fattori comuni si ottiene
Z0 e;jk(d+ h222;dh21 )I h ( )[ejk h1dh2 + e;jk h1dh2 ]
E ;2jd
(9.7)
a e d
Si pu notare come il termine di fase sia il termine piu rilevante ai ni dell'interferenza. Indicando
con:
hh
hh
A (h1 ;h2 ) = ejk 1d 2 + e;jk 1d 2
1 h2
= k h1dh2 = 2 hd
risulta per le due polarizzazioni:
polarizzazione orizzontale : = ;1 ! A; = 2j sin = AH
polarizzazione verticale : = 1 ! A+ = 2 cos = AV
p
si pone H = h1 h2 (altezza media) e = 2 H H ; vediamo ora di capire come varia E (P ) se
d
la polarizzazione dell'antenna in trasmissione e orizzontale oppure verticale.
Se 1, ovvero se Hd H allora per la polarizzazione orizzontale risulta AH = 4 H Hd
ed il campo aumenta al crescere delle altezze. Per la polarizzazione verticale risulta AV 2 pertanto questa polarizzazione non e attenuata dall'interferenza con la componente riessa
(anzi l'interferenza costruttiva , AV > 1)(ma ha altri problemi, infatti interagisce con strutture
verticali quali pali, edici etc).
La condizione 1 puo non essere soddisfatta se H 1, per ponti radio i valori caratteristici sono di decine di metri per H e di decine di Km per la distanza d, pertanto questa
approssimazione rimane valida per > 1 m. Per valori inferiori l'approssimazione di terreno perfettamente conduttore non e piu valida ed assumono un'importanza determinante la
rugosita del terreno e le perdite ohmiche del terreno. Si noti inoltre che, nelle condizioni di
1, la polarizzazione circolare risulta fortemente corrotta, infatti in queste condizioni le
due attenuazioni AH;V sono molto dierenti (AH 2 e AV 2) e pertanto la polarizzazione
ricevuta in P risultera fortemente ellittica. Inoltre nel caso limite sul piano e lineare perche
E H = Etg = 0
9.1.2 Ricezione
Si calcola ora la tensione ai morsetti dell'antenna ricevente, in presenza di piano conduttore
(Fig. 9.5). Si ha, come noto:
Va = hd (^rd) E d + hr (^rr ) E r
(9.8)
versione 2.1.0
174
Collegamento radio in presenza di terreno piano
Se anche la larghezza del fascio dell'antenna ricevente soddisfa le stesse condizioni di quella
trasmittente (fascio abbastanza largo), si ha hd (^rd) hr (^rr ) e quindi
Va hd (^rd) (E d + E r ) = hd(^rd ) E tot
(9.9)
Si noti nel caso di antenne ad alto guadagno (in ricezione, trasmssione, o entrambe) questa
approssimazione non e piu valida; in questo caso pero l'eetto del terreno e irrilevante, perche
il lobo principale dell'antenna trasmittente non viene praticamente riesso dal terreno, e/o
l'antenna ricevente, se anch'essa ad alto guadagno, riceve con un livello molto basso il contributo
riesso dal terreno.
Ed
Za
Va
Er
Figura 9.5. Antenna in ricezione e circuito equivalente
Notiamo anche che l'espressione del modulo del campo elettrico totale e :
jE tot j2 = jE H + E V j2 = jE H j2 + jE V j2 = jE Hd j2(2 sin )2 + jE Vd j2(2 cos )2
se la polarizzazione e circolare allora jE Hd j = jE Vd j, per cui
jE tot j2 = 4jE Vd j2(sin2 + cos2 ) = 4jE Vd j2
(9.10)
(9.11)
ovvero non si ha attenuazione; cio capita perche cio che viene perso dalla componente H viene
recuperato dalla componente V.
9.2 Terreno non conduttore
Finora abbiamo studiato il caso di terreno perfettamente conduttore ove la trattazione del
campo ricevuto era semplice. L'estensione piu immediata e quella a terreno dielettrico. Benche
la trattazione completa sia assai complicata, se il terreno e nella zona di campo lontano per
entrambe le antenne, il campo che incide su di esso puo essere approssimato localmente come
onda piana. Sotto questa ipotesi, e mantenendo quella di incidenza radente gia vista si puo
estendere la (9.5) al caso di terreno dielettrico, semplicemente sostituendo a il coeciente
di riessione pertinente alla polarizzazione considerata per direzione di riessione speculare;
indicando con R il punto di riessione speculare, la direzione considerata e la direzione R ; S
in Fig. 9.6.
versione 2.1.0
9.2 { Terreno non conduttore
175
Tali coecienti di riessione vengono sono derivabili dal noto problema di riessione su
interfaccia piana 1, che richiede la scomposizione della polarizzazione nelle componenti TE e
TM, ovvero l'identicazione della corrispondenza tra questa designazione della polarizzazione,
e quella naturale qui, cioe V o H.
Disponendo gli assi in modo da avere incidenza nel piano (x;z), e subito chiaro che nel caso
di polarizzazione orizzontale si ha E H = y^EH , e quindi si deve considerare il modo TE, per cui
il campo elettrico e solo quello trasverso a z^. In tale caso il campo elettrico e completamente
proporzionale alla tensione modale, e si verica facilmete che
inc
TE
E rifl
H (R) = ; (i )E H (R)
dove ;TE (i ) e il coeciente di riessione delle linee modali equivalenti per il modo individuato
dalla direzione di incidenza i; si ha quindi H ! ;TE (i ).
Per la polarizzazione orizzontale, si ha E V z^Ez , benche il campo debba avere anche una
(piccola) componente trasversale a z^ per poter essere ortogonale alla direzione di incidenza,
che e prossima, ma non esattamente uguale, a =2. E facile in questo caso vedere che si tratta
di un modo TM (Ez 6= 0). Dato che la componente dominante del campo e Ez , bisogna
riferirsi ad essa nel descrivere la riessione nel punto R; sappiamo dalla teoria modale che Ez
e proporzionale alla corrente modale, e quindi si verica che in questo caso
rifl
TM
inc z ;;TM ( )E inc (R)
E rifl
i V
V (R) z^Ez (R) = ;; (i )Ez (R)^
dove si e ricordato che il coeciente di riessione di corrente ha segno opposto a quello di
tensione. Nel caso di polarizzazione verticale abbiamo allora V ! ;;TM (i).
E
TM
≅E
V
S
E
TE
.
=E
H
ϑi
P
ε1, µ 0
R
ε 2 , µ0
x
z
Figura 9.6. Incidenza radente su terreno non conduttore
Nel caso di conduttore ideale si riottiene il risultato della teoria delle immagini (il conduttore equivale ad un corto circuito, ed entrambi ;TM e ;TM valgono ;1). Nel caso semplice di
mezzo omogeneo per z > 0 i coecienti di riessione all'interfaccia sono in genere chiamati "di
Fresnel"; per un dielettrico, si verica che nel limite i ! =2 si ha ;TE ! ;1 e ;TM ! 1, in
modo sostanzialmente indipendente dalla costante dielettrica del mezzo; si ha cioe una sostanziale riessione completa all'interfaccia dielettrica che rappresenta il terreno non conduttore.
1
Vedere P.Savi, R.Zich., Appunti di Campi Elettromagnetici, Politecnico di Torino, 1998 - 1999, cap 4.
versione 2.1.0
176
Collegamento radio in presenza di terreno piano
Il caso di conduttore non ideale e un poco piu complicato perchee la presenza di perdite
assorbe parte dell'energia dell'onda incidente a ;TM dipende fortemente dalle resistenza superciale del conduttore e dall'angolo di incidenza.
versione 2.1.0
10
Introduzione al radar
10.1 Il radar
10.1.1 Caratteristiche generali dei sistemi radar
L'acronimo RADAR signica per esteso RAdio Detection And Ranging (\Intercettazione radio
e localizzazione"). Il radar e un sistema che sfrutta la radiazione elettromagnetica per rivelare
la presenza di oggetti, detti bersaglio (target), ed individuarne la distanza che li separa dalla
posizione della stazione radar stessa o, indirettamente, da altri riferimenti spaziali d'interesse.
In termini generali il funzionamento di un radar puo essere schematizzato nel modo seguente:
trasmissione di una particolare forma d'onda, in relazione al tipo di informazione sul
bersaglio che si desidera ricavare (in questo paragrafo si fa riferimento, per semplicita
di trattazione, ai soli radar che trasmettono treni di impulsi che modulano una portante
sinoidale. In seguito verranno presentate anche altre tipologie di radar);
\ascolto dell'eco", cioe del segnale eventualmente riesso da un qualche ostacolo;
estrazione del segnale utile (cioe del segnale che contiene informazioni sull'oggetto che si
vuole osservare) dal segnale ricevuto (signal processing).
Si e detto che, essendo presente un oggetto sulla traiettoria percorsa dal segnale radar inviato, questo riette parte di tale segnale. Ebbene la letteratura anglosassone distingue a questo
proposito tra un campo riesso dall'oggetto nella medesima direzione di provenienza del segnale
radar (backscatter) ed un campo riesso nelle altre direzioni (bistatic scatter o electromagnetic
scatter), cosicche un sistema radar in cui antenna ricevente e antenna trasmittente coincidono
viene detto radar monostatico o backscatter (dal momento che il segnale utile e quello che
viene riesso nella direzione del radar), mentre radar bistatico e il termine che si assegna ad
un radar in cui tali antenne risultano distinte. Le informazioni sul bersaglio che i moderni
radar sono in grado di ricavare dal segnale ricevuto sono molteplici. Una di queste, la distanza
(range), viene determinata, per esempio nel caso di radar monostatico, misurando il tempo TR
impiegato dal segnale per raggiungere l'oggetto e tornare indietro. Ora, dal momento che le
onde elettromagnetiche si propagano alla velocita c, la distanza R che separa l'oggetto dalla
177
178
Introduzione al radar
posizione del radar si ricava dal prodotto tra tale velocita e il tempo TR diviso due (dato che
in tale intervallo di tempo il segnale percorre due volte la distanza radar-oggetto):
(10.1)
R = c T2R
Per quanto attiene alle unita di misura, generalmente la distanza viene espressa in km o in
miglia marine (nautical miles). Si ha allora:
R[km] = 0:15TR [s]
(10.2)
R[nmi] = 0:081TR[s]
(10.3)
In tal modo e immediato notare che ad ogni microsecondo di tempo corrisponde una distanza
di 0:081 nmi o di 150 m. Come si e detto un sistema radar e caratterizzato da una fase di invio
del segnale e da una di ascolto. Ebbene, si pone il problema di come ripartire adeguatamente
i periodi di tempo riservati all'una o all'altra attivita. E chiaro che il tempo di ripetizione
dell'impulso sara ssato sulla base della distanza massima alla quale ci si aspetta di rilevare
l'oggetto. Un tempo di ripetizione troppo elevato rischia di provocare ambiguita nei rilevamenti
in quanto puo succedere di ricevere un eco corrispondente ad impulsi precedenti senza essere in
grado di individuare esattamente quale. Tali echi vengono detti echi second time-around. Per
quanto detto e necessario individuare una distanza detta massima distanza di non ambiguita,
al di la della quale gli echi si presentano come second time-around:
Rmna = 2cf
(10.4)
p
dove fp e la frequenza di trasmissione degli impulsi.
10.1.2 Elementi costitutivi di un sistema radar
Un sistema radar e costituito da quattro elementi fondamentali, ognuno dei quali e deputato
allo svolgimento di una ben determinata funzione (vedi Fig.10.1):
trasmettitore: genera una forma d'onda dotata di un livello di potenza ritenuto adeguato al
tipo di intercettazione da eettuare, livello di potenza che puo essere al solito determinato
con l'equazione del radar (10.33);
antenna: costituisce l'elemento di interfaccia tra la linea di trasmissione del radar e il
mezzo in cui si propaga la radiazione e viceversa ed ha il compito, grazie alle proprieta
di direttivita e guadagno, di privilegiare alcune direzioni di irradiazione e di ricezione
dell'energia elettromagnetica;
ricevitore: capta il segnale reirradiato dall'eventuale ostacolo, lo amplica per portarlo
ad un livello di potenza che lo renda \maneggiabile" e lo riporta dalle frequenze radio in
banda base. Il segnale risulta cos pronto per essere processato;
indicatore: converte le informazioni ricavate dal segnale ricevuto in una forma immediatamente comprensibile all'utente, per esempio rappresentandole su un display (DSP).
versione 2.1.0
10.1 { Il radar
179
ANTENNA
ONDA TRASMESSA
CIRCOLATORE
Trasmettitore
TARGET
ONDA RIFLESSA
Ricevitore
R
PROCESSAMENTO
DEL SEGNALE
Indicatore
Figura 10.1. Elementi costitutivi del radar.
10.1.3 Cenni storici sulla nascita, lo sviluppo e l'evoluzione del radar
Benche la tecnologia radar abbia trovato una vasta applicazione e un rapido sviluppo solo negli
anni del Secondo Conitto Mondiale, i principi che ne costituiscono i presupposti teorici furono
gia noti ai primi studiosi che si occuparono di fenomeni elettromagnetici. La formulazione
completa delle equazioni di Maxwell, si sa, risale al 1873; gia nel 1886 Hertz riusc a dimostrare
che le onde radio venivano riesse da oggetti sia di natura metallica sia dielettrica. Egli si
serv, peraltro, nei suoi esperimenti di onde corte, un'idea questa che avrebbe trovato riscontro
nell'ingegneria dei sistemi radar solo negli Anni '30. Nel 1903 un ingegnere tedesco, Hulsmeyer,
fu in grado di captare le onde radio riesse dalle navi. Nel 1922 Marconi, in un celebre discorso
all'Institute of Radio Engineers, spiego l'importanza dell'utilizzo di onde corte per il rilevamento
di oggetti. Negli anni che vanno dal 1922 al 1930 altri studiosi riuscirono ad intercettare con
apparecchiature radar CW (per maggiori chiarimenti si veda il paragrafo successivo relativo
alle tipologie di radar) dapprima navi poi aeromobili. Tra il 1934 e il 1936 comparve il radar
ad impulsi. Negli anni che precedettero la Seconda Guerra Mondiale e durante la guerra stessa
la tecnologia dei sistemi radar conobbe un periodo di ricerca intensa, tale da non avere eguali
neppure in tempi piu recenti. I risultati e la documentazione acquisita in questo periodo furono
diusi solo al termine delle ostilita. Dopo la Seconda Guerra Mondiale il radar trovo sempre
piu spazio in applicazioni civili e la tecnologia fu gradualmente adeguata alle nuove necessita
no a giungere alle numerose moderne applicazioni, alcune delle quali sono di seguito riportate:
1. Controllo del traco aereo
2. Navigazione aerea (individuazione di perturbazioni, localizzazione di altri velivoli, sistema
di conduzione automatica della navigazione, individuazione dell'altezza di crociera, etc.)
3. Sicurezza navale (radioaiuti alla navigazione, applicazioni simili a quelle del punto precedente)
4. Volo spaziale (partenza ed attracco sui pianeti, misurazioni di vario tipo)
5. Telerilevamento e diagnostica dell'ambiente (rilevamento e monitoraggio delle condizioni
marine, risorse idriche, studio e controllo dell'agricoltura, delle condizioni delle foreste,
delle formazioni geologiche, dell'inquinamento ambientale, etc.)
6. Sicurezza civile (antifurti, controllo della velocita delle automobili, etc.)
versione 2.1.0
180
Introduzione al radar
7. Applicazioni militari (aerei radar di nuova concezione, missili autoguidati, etc.)
10.2 Tipologie fondamentali di radar
Ci si e riferiti in precedenza, accennando ad una caratterizzazione generale dei sistemi radar,
solo a quelli di tipo impulsato. In realta i radar si distinguono in due principali categorie in
relazione al tipo di forma d'onda che viene utilizzata per l'intercettazione: i radar ad impulsi
appunto e i radar ad onda continua (continuous wave, CW). Come lascia intendere il nome i
primi trasmettono treni di impulsi che modulano una portante sinoidale, mentre i secondi si
servono di segnali tempo continui. I radar CW piu semplici trasmettono segnali non modulati
e sono tuttavia in grado di individuare oggetti in movimento rispetto alla locazione del radar,
basandosi sull'eetto Doppler, anche se non la loro distanza. E possibile determinare la distanza
se ci si serve delle tecniche di modulazione di frequenza (FM) o di fase (PM). Di contro i radar ad
impulsi sono in grado di intercettare e localizzare gli obiettivi ma non sono capaci di misurarne lo
spostamento ne la velocita (a questo scopo sarebbe necessario introdurre una strumentazione per
il processamento del segnale piuttosto complessa). Va detto che i radar CW sono caratterizzati
generalmente da una circuiteria piu semplice di quella dei radar impulsati; inoltre i radar CW
si servono di segnali il cui livello di potenza trasmessa e inferiore a quello che caratterizza i
radar impulsati aventi la stessa potenza media. Inne i radar CW individuano anche oggetti a
breve distanza dalla stazione radar ma sono caratterizzati da un meno ecace isolamento tra
trasmettitore e ricevitore, parametro circuitale, questo, di notevole importanza nelle procedure
di processamento. Si distingue inne tra radar monostatico (backscatter), per il quale l'antenna
in trasmissione e quella in ricezione coincidono, e radar bistatico (bistatic scatter) in cui dette
antenne sono distinte. La Fig.10.2 e la Fig.10.5 rappresentano rispettivamente i diagrammi
Duplexer
Trasmettitore
Modulatore ad
impulsi
ntenna
Amplificatore a
Radio
Frequenza a
basso rumore
Mixer
Amplificatore a
Frequenza
Intermedia
(filtro adattato)
Ricevitore
Amplificatore
Video
Display
Oscillatore
Locale
Figura 10.2. Diagramma a blocchi di un radar ad impulsi.
a blocchi delle due tipologie fondamentali di sistemi radar; una trattazione piu dettagliata
delle problematiche relative all'eettivo trattamento del segnale nonche di quelle di carattere
circuitale o di progetto va al di la degli scopi di questi Appunti.
10.2.1 Eetto Doppler e applicazioni radar
L'eetto Doppler e un fenomeno che interessa ogni tipo di propagazione ondosa, tanto quella
di natura elettromagnetica quanto quella di origine meccanica (ad es. il suono). Esso consiste
nello spostamento della frequenza dell'onda che si verica allorquando la sorgente e l'osservatore
sono in moto relativo l'una rispetto all'altro. Di seguito si riportano alcuni brevi passaggi che
versione 2.1.0
10.2 { Tipologie fondamentali di radar
181
consentono di pervenire ad un'espressione analitica per quello che la letteratura anglosassone
denomina Doppler shift. Prendiamo in considerazione a questo scopo un radar CW che utilizza
segnali sinusoidali di periodo T0 e frequenza f , cui corrisponde una lunghezza d'onda . Per
semplicita di calcolo supponiamo che il radar sia fermo ed il bersaglio in movimento alla velocita
costante v verso il radar (vedi Fig.10.3). Fissiamo l'istante di tempo t = t0 in corrispondenza
di un massimo dell'onda trasmessa, indichiamo con A tale massimo e chiamiamo R0 la distanza
del bersaglio dal radar nel medesimo istante di tempo (vedi Fig.10.4); si noti che l'aver ssato
l'istante di tempo t0 in modo tale che in corrispondenza di esso l'onda trasmessa assuma un
massimo e una scelta del tutto arbitraria; dopo un periodo di tempo T0 la stessa onda assume
un altro massimo che indichiamo con B. Al tempo t = t0 + T0 la distanza dell'oggetto dal radar
e cambiata in R1. Il tempo t impiegato dal massimo A per giungere al bersaglio e la distanza
Radar
Bersaglio all’istante
t=t0+T0
Bersaglio all’istante
t=t0
distanza
0
R1
R0
Figura 10.3. Geometria del problema.
Figura 10.4. Segnali trasmesso e ricevuto (eetto Doppler).
percorsa per raggiungere il bersaglio divisa per la velocita della luce; dato che il bersaglio si
sposta, la distanza corrispondente e R0 ; vt e
t = R0 ;c vt
(10.5)
ovvero
(10.6)
t = R0
c+v
Lo stesso tempo viene impiegato dal massimo per ritornare al radar all'istante t1 , che vale
allora:
(10.7)
t1 = t0 + c2+R0v
Un discorso analogo vale per il massimo B, il quale tuttavia giunge nuovamente al radar solo
al tempo t2 :
t2 = t0 + T0 + c2+R1v
(10.8)
versione 2.1.0
182
Introduzione al radar
Il periodo del segnale ricevuto e dunque diverso da quello del segnale trasmesso e vale:
0 ; R1 )
(10.9)
T00 = t2 ; t1 = T0 ; 2 (Rc +
v
dove si e messa in evidenza la distanza vT0 = R0 ; R1 percorsa dall'oggetto nell'intervallo
di tempo T0 . Quest'ultima relazione mostra come il periodo della forma d'onda ricevuta sia
minore di quello del segnale trasmesso (o, che e lo stesso, come la frequenza della prima sia
maggiore di quella del secondo). Con la nalita di individuare lo spostamento di frequenza
dovuto all'eetto Doppler sviluppiamo l'espressione precedente ricordando che vT0 = R0 ; R1,
da cui
v
T00 = T0 cc ;
(10.10)
+v
v=c
(10.11)
f 0 = f 11 +
; v=c
Essendo in pressoche tutti i casi di interesse pratico la velocita del bersaglio notevolmente
inferiore a quella della luce,
v 1
(10.12)
c
si puo sviluppare in serie di Taylor la frazione 1 ;1v=c nella (10.11).
Ricordando lo sviluppo 1 = 1 + x + x2 + ::::
1;x
!
!
v
2
2
v
v
2
v
2
v
0
f = f 1 + c 1 + c + c2 + ::: = f 1 + c + c2 + :::
(10.13)
Arrestando lo sviluppo al primo ordine si puo scrivere
(10.14)
f 0 = f 1 + 2cv = f + 2v
Nel caso in cui il bersaglio si allontanasse dal radar si otterrebbe lo stesso risultato, a meno del
segno; si avrebbe cioe:
f 0 = f 1 ; 2cv = f ; 2v
(10.15)
Si ricava cos lo spostamento di frequenza dovuto all'eetto Doppler (Doppler frequency shift):
(10.16)
fd = 2v
Si capisce da quest'ultima relazione che la velocita v del bersaglio puo essere ricavata dalla
misura dello spostamento di frequenza Doppler
v = f2d
(10.17)
( e la lunghezza d'onda del segnale trasmesso) e che tale misurazione richiede, almeno nella
forma piu semplice di radar CW, un'onda sinusoidale (almeno per tutto l'intervallo di misura),
per la quale ha senso parlare di frequenza e di lunghezza d'onda. In tali sistemi, come mostra
la Fig.10.5, l'individuazione di fd e compito del ricevitore.
versione 2.1.0
10.3 { Le frequenze del radar
183
f0
f0 ± fd
Trasmettitore CW
alla frequenza f0
f0
TARGET
Ricevitore
(mixer)
fd
Amplificatore
fd
Indicatore
Figura 10.5. Diagramma a blocchi di un radar CW semplice.
10.3 Le frequenze del radar
Le applicazioni radar interessano solo una parte dello spettro elettromagnetico, quella che va
dalla banda di frequenze HF alla banda Ka (vedi Tabella 1.2). Frequenze superiori sono
utilizzate per ora solo in via sperimentale. Di seguito viene riportata la Tabella 10.1 con
informazioni piu dettagliate sulle bande di frequenza e sul loro utilizzo nelle applicazioni radar.
Banda di frequenze
HF
VHF
Intervallo di frequenze
3-30 MHz
30-300 MHz
UHF
300-1000 MHz
L
1-2 GHz
S
2-4 GHz
C
X
4-8 GHz
9-12 GHz
Ku
12-18 GHz
K
Ka
18-27 GHz
27-40 GHz
Onde millimetriche
40-100 GHz
Utilizzo radar
Sorveglianza OTH
Sorveglianza a distanza molto
elevata
Sorveglianza a distanza molto
elevata
Sorveglianza a distanza elevata
Controllo del traffico in volo
Sorveglianza a media distanza
Controllo del traffico aereo
Meteo a lunga distanza
Intercettazione a lunga distanza
Intercettazione a breve distanza
Guida di missili
Mappaggio
Radar marittimi
Intercettazione di velivoli
Mappaggio ad alta risoluzione
Altezza dei satelliti
Uso minore (vapor acqueo)
Mappaggio a risoluzione molto
elevata
Sorveglianza aeroportuale
Sperimentazione
Tabella 10.1. Bande di frequenze radar e loro utilizzo.
10.4 Equazione del radar e radar cross section (RCS)
L'equazione del radar mette in relazione tra loro la distanza dell'oggetto dal radar, le caratteristiche del trasmettitore, del ricevitore, dell'antenna, del bersaglio e dell'ambiente. Di seguito
viene ricavata la forma semplice dell'equazione del radar, nel caso piu generale di radar bistatico; il passaggio al caso monostatico risulta, come si vedra, immediato. Con riferimento
alla Fig.10.6, indichiamo con Pal la potenza erogata all'antenna trasmittente, con Ri ed Rs le
distanze tra antenna in trasmissione e bersaglio e tra bersaglio e antenna in ricezione rispettivamente e, inne, con r^i ed r^s i versori che individuano le direzioni in cui sono misurate tali
versione 2.1.0
184
Introduzione al radar
distanze. Per denire le proprieta di reirradiazione di un oggetto si parte dalla denizione della
+
r̂i
Ri
r̂s
Rs
Pdisp
Pal
~
~
Tx
Rx
Figura 10.6. Rappresentazione schematica di un radar bistatico.
sezione radar (radar cross section, RCS, secondo le considerazioni che seguono.
Nel punto di osservazione O dell'eco radar (dove e posta l'antenna ricevente), l'onda incidente e quella "scatterata" (re-irradiata) dal bersaglio, cioe
dP
d
!
= dP
d
inc;RX
!
scat;B
Si introduce allora una "potenza isotropica equivalente" di re-irradiazione Peqiso tale che
dP
d
!
scat;B
Peqiso
= 4R
2
s
ovvero anche (usando la densita di potenza per unita di angolo solido),
dP
d
!
= dP
d
inc;RX
!
Peqiso
= 4
scat;B
(10.18)
Il signicato di Peqiso e che se al posto del bersaglio illuminato dall'onda emessa dala trasmittente
ci fosse un una sorgente isotropica, allora questa dovrebbe
avere una potenza di alimentazione
Peqiso per dare nel punto di osservazione la stessa dP
provocata
dallo "scattering".
d
Si denisce quindi sezione radar di un oggetto la grandezza che, moltiplicata per la densita
di potenza incidente sul bersaglio genera la potenza equivalente Peqiso
Peqiso = dP
d
!
inc;B
(10.19)
che, se irradiata isotropicamente, produce al ricevitore la stessa densita di potenza per unita di
angolo solido
!
!
Peqiso
dP
dP
(10.20)
=
=
d
d
4
inc;RX
versione 2.1.0
scat;B
10.4 { Equazione del radar e radar cross section (RCS)
185
che il bersaglio reale eettivamente produce, cioe:
)scat;B
(10.21)
(^ri; r^s) = 4 ((dP=d
dP=d)inc;B
Tale grandezza quantica la capacita di un oggetto di riettere le onde elettromagnetiche ed
e misurata in m2. La sezione radar puo essere esplicitata in termini di campo (e utile questo
approccio quando si debbano svolgere calcoli analitici o numerici) ricordando che
!
dP
Rs2 jE sj2
=
(10.22)
d
scat;B
2Z0
!
2
dP
j
E
j
i
(10.23)
d inc;B = 2Z0
dove E s e il campo reirradiato dal bersaglio mentre E i e il campo incidente sul bersaglio. In
questo modo si ottiene la seguente relazione
2
2 =2Z
j
E
j
0
s
2
2
(^ri; r^s) = 4Rs jE j2=2Z = 4Rs EEs (10.24)
0
i
i
Dato che la (10.22) vale in condizioni di campo lontano e la (10.23) vale nel caso di incidenza
di onda piana, si denisce formalmente la sezione radar come
2
E s 2
(^ri; r^s) = Rlim
4
R
(10.25)
s
Ei s !1
Ci occupiamo ora di calcolare quale parte della potenza irradiata dall'antenna in trasmissione
venga ricevuta come eco radar dall'antenna in ricezione. La densita di potenza (per unita di
angolo solido) irradiata da un'antenna puo essere messa in relazione con la potenza di alimentazione tramite la (10.26):
!
dP = g (^r ) Pal
(10.26)
t i
d
4
irr
dove gt(^ri) e il guadagno dell'antenna in trasmissione. Supponendo trascurabili gli eetti dissipativi dovuti ad assorbimento atmosferico si ha
!
!
dP
dP
(10.27)
d
inc;B = d
irr
La densita di potenza incidente sul bersaglio e
!
dP
= Pal gt (^2ri )
d inc;B
4Ri
(10.28)
mentre la potenza per angolo solido (misurata in W
sr ) reirradiata nella direzione dell'antenna
in ricezione e
!
dP
1 Pal gt (^ri) (^r ; r^ )
=
(10.29)
i s
d
4 4R2
scatt;B
i
versione 2.1.0
186
Introduzione al radar
Si noti che tale densita di potenza e diversa (in generale) a seconda della direzione r^s considerata.
Inne la densita di potenza che ritorna alla stazione ricevente e
!
Pal gt (^ri) dP
=
(10.30)
d inc;RX
4Ri2 4Rs2
La potenza che giunge al ricevitore della stazione ricevente dipende dall'area equivalente dell'antenna in ricezione:
2
Aeq = 4 gr (^rs)
(10.31)
Si ottiene inne l'equazione del radar:
1 1 A
Pdisp =
P| al {zgt (^ri})
4R
(10.32)
2
4Rs2 eq
i
|potenza irradiata nella direzione
{z del bersaglio
}
densita di potenza al bersaglio
|
{z
}
potenza reirradiata nella direzione del radar
|
{z
}
densita di potenza della radiazione riflessa in prossimita del radar
|
{z
potenza al ricevitore del radar
}
Sostituendo la (10.31) nella (10.32), l'equazione del radar diventa:
P
r
r
al gt (^
i ) gr (^
s ) 2 Pdisp =
(10.33)
(4)3Ri2 Rs2
Qualora antenna in trasmissione e antenna in ricezione coincidano (radar monostatico), la
relazione precedente diventa:
2 r ) 2 (^
r)
Pdisp = Pal g(4(^
(10.34)
3
4
) R
Questa risulta essere la formulazione piu semplice dell'equazione del radar (formulazione che
ricorda formalmente l'equazione della trasmissione 8.6). Una forma piu precisa ma necessariamente piu complessa si puo ottenere prendendo in considerazione parametri a questo livello
trascurati, quali il mezzo di propagazione, il rumore introdotto dall'atmosfera terrestre, perdite attribuibili ai componenti del sistema o al processamento del segnale, rumore termico,
etc. Nondimeno essa e utile da un lato alla comprensione dei principi di base che caratterizzano un sistema radar, dall'altro ad una valutazione quantitativa, per quanto approssimata, dei
parametri di progetto.
Un importante indice delle prestazioni di un radar monostatico e la massima distanza Rmax
alla quale esso e in grado di rilevare la presenza di un oggetto (maximum detection range). La
sua espressione si ricava dall'equazione del radar (10.33). Quando un oggetto si trova a tale
distanza, infatti, la potenza del segnale ricevuto dal radar Pdisp e eguale a quella del minimo
segnale rilevabile Smin, si ha cioe:
#1=4
"
P
dispGAeq (10.35)
Rmax = (4)2S
min
che e come dire, ricordando la relazione che lega l'area equivalente al guadagno
"
2 2 #1=4
P
dispG (10.36)
Rmax = (4)3S
min
versione 2.1.0
10.5 { Esempio di RCS: sfera conduttrice
187
10.5 Esempio di RCS: sfera conduttrice
Il calcolo analitico esatto della sezione radar di un oggetto e generalmente complesso. Esso
risulta, tuttavia, relativamente semplice nel caso di una sfera1. La sezione radar di una sfera
conduttrice in funzione della sua circonferenza misurata in lunghezze d'onda 2a
e riportata nel
graco di Fig.10.7. Su detto graco e possibile individuare tre dierenti regioni. La regione in
Figura 10.7. Sezione radar di una sfera. a = raggio; = lunghezza d0 onda.
cui la sfera ha dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d'onda e chiamata regione di Rayleigh.
In corrispondenza di questa regione la sezione radar della sfera cresce con la frequenza con una
Bersagli
Missile convenzionale
Velivolo piccolo ad un solo motore
Caccia piccolo o jet a 4 passeggeri
Caccia grande
Bombardiere medio o medio jet di linea
Bombardiere grande o grande jet di linea
Jumbo jet
Piccolo battello
Piccolo battello da diporto
Incrociatore
Camioncino
Automobile
Bicicletta
Uomo
Uccello
Insetto
RCS ( in m2 )
0.5
1
2
6
20
40
100
0.02
2
10
200
100
2
1
0.01
10-5
Tabella 10.2. Esempi di radar cross section misurate alle frequenze tipiche delle microonde.
legge approssimativamente lineare. La regione opposta alla precedente (a destra nel graco)
e detta regione ottica. In tale regione, come si vede, la sezione radar della sfera tende a a2 .
Tale valore e indipendente dalla frequenza, non solo, ma e anche eguale alla sezione ottica della
sfera stessa: a2 e infatti l'area del cerchio che ha per raggio il medesimo raggio della sfera.
La regione di mezzo inne, detta regione risonante, vede oscillare con la frequenza la sezione
radar. Si noti che, essendo l'oggetto in questione sferico, la sezione radar e indipendente dalla
1
vedi Skolnik, M.I.: Introduction to radar systems, 2nd edition, McGraw-Hill Book Co., New York, 1980
versione 2.1.0
188
Introduzione al radar
direzione dalla quale viene osservato dal radar. Alcuni valori noti per le sezioni radar (misurate
alle frequenze tipicamente in uso per i radar (microonde), relativi agli oggetti in questione,
per esempio marittimo per un battello, etc.) di oggetti di interesse pratico sono riportati nella
Tabella 10.2.
versione 2.1.0
11
Legame con le equazioni dei circuiti
11.1 Derivazione delle equazioni di Kirchho dalle equazioni di Maxwell
Nel paragrafo 3.2.2 si e derivata la caratterizzazione circuitale di un'antenna a due morsetti,
sfruttando le leggi dell'Elettrotecnica applicate ai terminali d'ingresso. Per capire no a quale
livello di approssimazione sia valida la teoria vista vogliamo ora determinare come possono
essere derivate le equazioni che governano l'Elettrotecnica (essenzialmente le leggi di Kirchho)
da quelle dell'Elettromagnetismo (leggi di Maxwell).
Consideriamo quindi le equazioni di Maxwell nella loro formulazione denita e asimmetrica
(J m = 0)
8
>
< r H = j!(E ) + J e
(11.1)
> ;r E = j!(H )
:
Il termine j!(E ) e detto corrente di spostamento elettrico, ed esprime il passaggio dal caso
magnetostatico
r H = Je
(11.2)
a quello elettromagnetico (dinamico)
r H = j!(E ) + J e
(11.3)
(infatti nel caso magnetostatico j! = 0). Le leggi di Kirchho possono essere applicate a circuiti
1. in corrente continua (DC)
2. in corrente alternata (AC) a \bassa frequenza", ovvero per tutti quei valori di frequenza
per cui sia possibile trascurare le dimensioni circuitali rispetto alla lunghezza d'onda.
Con queste ipotesi si deniscono
V , potenziale elettrico, dato dalla relazione
(11.4)
E = ;rV
dove E viene detto campo irrotazionale in senso stretto (in continua) o in senso lato (in
alternata).
189
190
Legame con le equazioni dei circuiti
I corrente di conduzione, forzata sui conduttori tra i quali e stata applicata una dierenza
di potenziale.
Possiamo notare che
le equazioni di Maxwell sono riconducibili ad un sistema di 4 equazioni scalari accoppiate
attraverso derivate parziali;
le equazioni di Kirchho sono due equazioni scalari accoppiate da derivate ordinarie.
Appare allora chiara l'esigenza di utilizzare le leggi di Kirchho per la simulazione di circuiti
elettrici dovunque possibile (si ottiene una drastica semplicazione di analisi).
L'obiettivo, ora che ci occupiamo di condizioni piu generali, e quello di determinare quali
sono i termini che vengono trascurati nell'utilizzare le leggi dell'elettrotecnica. Si consideri a
tale scopo una supercie c attraversata dalle linee di corrente in Fig. 11.1. Se n^ e il versore
^n
Σc
Figura 11.1. Supercie c attraversata da linee di corrente.
normale alla supercie in ogni suo punto, integrando le equazioni di Maxwell rispetto a c si
ottiene
Z
Z
Z
d n^ r H = j! d(E ) n^ + d (^n J e)
(11.5)
c
c
c
L'integrale
Z
(11.6)
d (^n J e) = Ic
c
rappresenta la corrente totale nel senso \usuale" (corrente di conduzione) che attraversa c,
mentre
Z
d(E ) n^ = D
(11.7)
c
e detto usso dielettrico. L'integrale di supercie a primo membro dell'Eq. (11.5) puo essere
trasformato in un integrale di linea sfruttando il teorema di Stokes
Z
c
versione 2.1.0
d n^ r H =
I
[email protected] c
ds ^ H
(11.8)
11.1 { Derivazione delle equazioni di Kirchho dalle equazioni di Maxwell
191
dove rappresenta il bordo di c e ^ e il versore tangente alla curva in ogni suo punto.
L'espressione precedente viene scritta come segue:
I
ds ^ H = j!D + Ic
(11.9)
ed e l'equivalente scalare dell'equazione di Maxwell di partenza. In condizioni statiche si ha
D = 0 per cui
I
Ic = ds ^ H
(11.10)
La corrente e pari dunque alla circuitazione del campo magnetico, e l'approssimazione e valida
anche nel caso dinamico, purche j!D ' 0, ovvero a \basse frequenze". Dall'Eq. (11.10) si
nota che la corrente dipende solo dal contorno della supercie c . Possiamo allora pensare di
stringere la curva no a \strozzarla", cioe di far tendere a zero la sua misura (vedi Fig. 11.2).
In queste condizioni la supercie c tende a diventare una supercie chiusa, dunque
Σc
γ −> 0
Figura 11.2. Supercie c di cui si \strozza" il bordo.
I
ds ^ H = 0 ) j!D + Ic = 0
(11.11)
Allora, nelle condizioni in cui e possibile trascurare il termine j!D , si perviene alla prima
equazione di Kirchho, cioe la legge di Kirchho per i nodi (o delle correnti)
Ic = 0 )
X
n
In = 0
(11.12)
Procedendo nello stesso modo per la seconda equazione di Maxwell abbiamo
;r E = j!(H )
(11.13)
Si integrano ambo i membri rispetto alla supercie c
;
Z
c
d n^ r E = j!
Z
c
d^n (H )
(11.14)
versione 2.1.0
192
Legame con le equazioni dei circuiti
dove
B =
Z
c
d n^ (H )
(11.15)
e detto usso magnetico. A primo membro utilizzando la relazione di Stokes abbiamo
I
ds ^ E = ;j!B
(11.16)
Nel caso statico in bassa frequenza possiamo trascurare il secondo membro per cui
I
ds ^ E = 0
(11.17)
L'Eq.(11.17) implica che il campo elettrico sia irrotazionale. Si consideri ora una supercie il
cui bordo e a contatto con i due conduttori A e B , come in Fig. 11.3. Possiamo spezzare il
Σc
A
B
γ
Figura 11.3. Supercie c con bordo a contatto con i conduttori A e B .
percorso chiuso nella somma di due percorsi, il primo diretto da A verso B , il secondo da B
verso A. Abbiamo
I
ZB
ZA
(: : :) = 0 ) (: : :) = ; (: : :)
(11.18)
A
B
indipendentemente dal percorso per andare da A a B . Possiamo allora denire una dierenza
di potenziale tra A e B VAB , funzione soltanto dei punti A e B ,
I
ds ^ E = 0 )
ZB
A
ds ^ E = VAB
(11.19)
Da quest'ultima formula discende la seconda equazione di Kirchho, cioe la legge di Kirchho
alle maglie (o delle tensioni).
In conclusione l'approssimazione che si introduce analizzando un circuito con le leggi di
Kirchho anziche con quelle di Maxwell e tanto piu buona quanto piu piccoli sono i termini D
e B .
versione 2.1.0
11.2 { Caratterizzazione di un N -polo
193
11.2 Caratterizzazione di un N -polo
Un N -polo e un componente circuitale caratterizzato da una supercie c, dalla quale fuoriescono N terminali. Una generica supercie costituisce un N -polo quando j!D Ic e
j!B ' 0. Non importa quanto sia intenso il usso magnetico o dielettrico all'interno di c,
ma quello che fuoriesce dalla supercie deve essere comunque trascurabile. Analizziamo il caso
di bipolo (N = 2), considerando la Fig. 11.4. Al di fuori di c devono essere valide le leggi del2
Σc
1
Figura 11.4. Supercie c che identica un bipolo.
l'Elettrotecnica, per cui la corrente che entra nel morsetto 1 deve uscire dal morsetto 2, e deve
esistere una dierenza di potenziale tra i due morsetti indipendente dal percorso che li unisce.
Si noti che non e aatto detto che le leggi di Kirchho continuino a valere anche all'interno
di c; un esempio pratico di quest'ultimo aspetto e rappresentato da induttori e condensatori. Consideriamo, ad esempio, le armature di un condensatore piano ed una supercie c che
ne contenga solo una, come mostrato in Fig. 11.5. All'interno del dielettrico non vi e alcun
C
ΣC
Figura 11.5. Supercie c che comprende solo un'armatura di un condensatore piano.
passaggio di cariche associate a portatori. Vi sara pero una corrente di spostamento che impedisce di considerare la struttura identicata dalla supercie c come un N-polo (le equazioni di
Maxwell non possono essere approssimabili da quelle di Kirchho); questo signica che le leggi
dell'Elettrotecnica valgono purche si rimanga al di fuori di tale zona critica. Vediamo invece
cosa succede andando a considerare un induttore (vedi Fig. 11.6). Se la supercie c e posta
vicino all'avvolgimento dell'induttore e possibile dimostrare che B / R12 e quindi si nota che
il campo magnetico non decade molto rapidamente. Una diretta conseguenza di questo e che
si possono usare le leggi di Kirchho solo ad una certa distanza dall'induttore. Analogamente,
nel caso in cui si hanno due induttori L1 ed L2 si dovra scegliere una supercie c tale per cui
j!B 0 ovvero tale da rendere trascurabili non solo gli eetti induttivi dovuti alle singole
versione 2.1.0
194
Legame con le equazioni dei circuiti
Σc
Figura 11.6. Supercie c che delimita un induttore.
bobine, ma anche l'accoppiamento che si genera tra i campi di L1 ed L2. Si dovranno pertanto
considerare due superci c1 e c2 sucientemente distanti in modo tale da trascurare l'eetto
di mutua induttanza, oppure, quando la distanza tra L1 e L2 non consente di trascurare l'eetto
di mutuo accoppiamento se ne dovra considerare una sola che racchiuda entrambi gli induttori,
la quale dara origine ad un quadripolo (trasformatore). Anche per i condensatori vi e un campo
elettrico esterno alla supercie racchiusa tra le armature, tuttavia per le basse frequenze tale
campo ha un andamento jE j / 1=r3 che permette di trascurare l'eetto di accoppiamento gia
a piccole distanze, mentre jH j / 1=r2 (vedi paragrafo 2.6.1).
11.3 Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
Da quanto sviluppato nel paragrafo precedente puo sembrare dicile assegnare ad un'antenna
le proprieta di un bipolo. In realta e possibile sotto alcune ipotesi; ricapitoliamo ora in quali
condizioni valgono le approssimazioni che portano all'impiego delle equazioni di Kirchho,
trascurando il caso (banale per le antenne) di frequenza nulla:
all'esterno di superci chiuse, su cui i termini j!B e j!D sono approssimativamente nulli
@ 0). Tali condizioni coinvolgono lo spazio e la frequenza e stabiliscono:
(ovvero @t
B;D
{ il limite di validita della teoria dei circuiti.
{ quali dispositivi possono essere descritti come degli N-poli nella teoria dei circuiti (si
pensi al precedente esempio per condensatori ed induttori).
nelle strutture guidanti TEM (cavi coassiali, linee biconiche, linee bilari, etc), in cui E e
B sono perpendicolari all'asse z^ di propagazione e quindi B e D sono nulli su superci
ortogonali alla direzione z^ (^n=^z ), indipendentemente dalla frequenza1 .
1
vedi Savi-Zich, appunti di Campi Elettromagnetici I, Politecnico di Torino, 1998-99.
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
195
11.3.1 Strutture guidanti TEM
Allo scopo di capire se ed in quali condizioni si possa considerare un'antenna a due morsetti
come un bipolo, riesaminiamo ora in maggior dettaglio il caso del cavo coassiale, assumendo
l'asse della guida lungo z^. Poiche nel modo TEM del cavo coassiale E ?z^ e H ?z^ si ha che B
e D sono uguali a zero su ogni supercie trasversa a z^; inoltre la direzione del campo fa s
che queste condizioni siano indipendenti dalle alte frequenze, sempre che si sia in condizioni di
monomodalita. In questo caso l'equazione (11.9) diventa:
I
;R
ds ^ H = j!D +
X
n
In
dove Pn In rappresenta la somma delle correnti di conduzione relative alla curva ;R. Riferendoci
I1
Γb
Γa
I2
I1
metallo
Figura 11.7. Cavo coassiale.
alla Fig. 11.7 possiamo dire che se consideriamo come linea su cui eettuare la circuitazione la
curva ;a si ha che:
X
In = I1(z)
(11.20)
n
I
ds ^ H = I1(z)
(11.21)
se invece si considera la curva ;b, all'interno del metallo del conduttore stesso, segue che:
X
In = I1(z) + I2 (z)
(11.22)
n
I
(11.23)
ds ^ H = I1 (z) + I2(z)
;a
;b
Sappiamo che all'interno di un metallo (considerato ideale) H = 0, quindi
I
ds ^ H = 0
(11.24)
I1(z) = ;I2 (z)
(11.25)
;b
Da questo risultato segue dunque che
versione 2.1.0
196
Legame con le equazioni dei circuiti
cioe la corrente di andata e uguale in modulo alla corrente di ritorno, ma ha verso opposto.
Nel cavo coassiale la condizione (11.24) rimane naturalmente valida anche per i modi superiori,
mentre in generale D 6= 0 e quindi I1(z) 6= ;I2 (z). Da questo si deduce che e la corrente di
spostamento j!E (il cui usso e D ) a bilanciare le correnti che vanno in direzioni opposte.
Passiamo adesso a considerare la linea bilare, nella quale e possibile dimostrare che esiste un
modo TEM e quindi su ogni supercie piana perpendicolare a z^ si ha che E ?z^, H ?z^, B = 0
e D = 0 . La linea bilare e una struttura guidante aperta, a dierenza del cavo coassiale che
invece e una struttura chiusa. Si dimostra che, a grande distanza dai conduttori,
H;E / cost exp (;R)
(11.26)
Come per il cavo coassiale analizziamo le correnti di ritorno sfruttando la relazione (11.9):
I
ds ^ H = j!D + I1(z) + I2(z)
;R
Considerando come linea su cui eettuare la circuitazione una circonferenza ;R (vedi Fig. 11.8),
I1 ( z )
D
+
nˆ = zˆ
V (z )
d
R
I 2 ( z)
ΓR
Figura 11.8. Linea bilare.
poiche il campo decade esponenzialmente con R (mentre la lunghezza di ;R cresce linearmente
con R), si ha che:
I
(11.27)
lim ds ^ H = 0:
R!1
;R
Avendo j!D = 0 (perche il modo e TEM) e
I1(z) = ;I2 (z).
H ds ^ H ! 0 per R ! 1 si ottiene che
;R
11.3.2 Antenna con due morsetti sici
Ci occupiamo ora di antenne viste come bipoli circuitali. Mentre per le antenne con accesso in
guida (vedi tromba, etc.) tutte le relazioni circuitali sono riferite a tensioni e correnti modali
(non necessariamente misurabili), vogliamo qui vedere se e come si puo considerare un'antenna
come un componente circuitale (bipolo) interfacciato a reti in cui valgono le leggi di Kircho,
nel senso precisato nei paragra precedenti. Consideriamo quindi un'antenna con due morsetti
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
197
sici, quale ad esempio il dipolo. Per evidenziarne meglio tali aspetti consideriamo una linea
bilare collegata a un dipolo elettrico simmetrico, e una supercie c (Fig. 11.9), costituita da
un piano parallelo al dipolo e perpendicolare alla linea di accesso (supercie chiusa all'innito).
y
x
∑c
∑c
Figura 11.9. Antenna con due stili di uguali dimensioni.
Abbiamo visto che nel cavo coassiale e nella linea bilare, in modo TEM, B e D risultavano
nulli in quanto E n^ = e H n^ = 0; adesso invece la presenza della radiazione del dipolo modica
le considerazioni precedenti e dunque:
I ussi D e B non sono trascurabili, soprattutto in campo vicino;
In generale limR!1 H;R ds ^ H 6= 0, perche su ;R ^ = ^ e ^ HH = H ' R1 per R ! 1,
mentre la lunghezza di ;R e 2 R; ne consegue che in generale ;R ds ^ H e una quantita
non nulla.
Tuttavia per un dipolo simmetrico (come in Fig. 11.10), la simmetria della struttura implica
simmetria della corrente sul dipolo e quindi dei campi prodotti.
Per comprendere meglio quanto detto rifacciamoci ad un esempio numerico, analizzando
un esempio di antenna costituita da due morsetti sici, sia nel caso simmetrico che in quello
asimmetrico. La geometria considerata e quella di Fig. 11.12 in entrambi i casi, con la dierenza
che nel caso asimmetrico l'antenna ha una sola asta. In quest'ultimo caso l'antenna e un
monopolo sbilanciato, a dierenza del monopolo su piano di massa, nel quale il bilanciamento
viene eettuato dall'immagine. Le gure 11.14, 11.16, 11.18, 11.20 riportano i graci
ottenuti per l'andamento del campo per due diverse distanze: r = 1=6 e r = 2:5; per
visualizzare meglio l'andamento del campo nelle gure 11.21, 11.22 viene anche riportato
l'andamento tridimensionale di esso, mettendo direttamente a confronto i risultati ottenuti nel
caso simmetrico e asimmetrico rispettivamente con r = 1=6 e con r = 2:5. Inne in Fig. 11.23
sono riportati i due (diversi) andamenti della distribuzione di corrente, sulla linea bilare di
accesso. Si puo vedere che la simmetria rispetto al piano xy genera campi con simmetria dispari
rispetto a tale piano, come chiaro dall'esempio numerico nelle gure 11.14, 11.16. Si ha che
versione 2.1.0
198
Legame con le equazioni dei circuiti
I1
I2
Σ
Figura 11.10. Forma qualitativa della corrente per un dipolo
costituito da due stecche di uguale dimensione.
Ey (x;y;z) = ;Ey (x;z; ; y) e lo stesso per le altre componenti del campo elettomagnetico.
Sfruttando queste caratteristiche del campo le varie componenti si annullano per cancellazione
e rifacendoci all'equazione (11.9) ritroviamo la stessa situazione della linea bilare, cioe che
I1 + I2 = 0, che si puo denire univocamente una tensione tra due morsetti e quindi l'integrale
tra due punti non dipende dal percorso eettuato, e che a sinistra del dipolo valgono le leggi
di Kircho. Se le due stecche non sono di lunghezza uguale si perde la simmetria e in questo
la forma delle correnti sul dipolo non simmetrica (vedi Fig. 11.11) si verica che
Hcasodsessendo
;R ^ H 6= 0 e dunque I1 (z ) 6= I2 (z ).
I1
I2
Σ
Figura 11.11. Forma qualitativa della corrente per un dipolo
costituito da due stecche di diversa dimensione.
L'eetto sulle correnti nella linea bilare di alimentazione e chiaro dalla Fig 11.23: i moduli
sono uguali nel caso simmetrico e palesemente diversi nel caso asimmetrico. Nel caso asimmetrico, in cui I1 6= I2 , si puo separare l'eetto della asimmetria scrivendo I2 = ;I0 + I2d (si noti
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
199
che I2d = 0 nel caso simmetrico), con I0 = ;I1 ; la situazione e dunque equivalente a quella di
una linea TEM connessa ad un carico che soddisfa le leggi di Kircho (I1 sul conduttore 1 e
I0 = ;I1 sul conduttore 2) piu una corrnte I2 d sul solo conduttore 2. Quest'ultima corrente
e detta spesso modo di antenna perche, non bilanciata da una corrente contraria, perturba in
modo sensibile l'irradiazione dell'antenna, con eetti negativi sul diagramma di irradiazione.
Ne segue che un'antenna sbilanciata(asimmetrica) irradia e riceve sensibilmente peggio di una
bilanciata(simmetrica)2. Si noti che il monopolo su piano di massa, per via della simmetria
dell'immagine che lo rende equivalente al dipolo simmetrico, non ha i problemi del monopolo
sbilanciato esaminato prima. Dal punto di vista storico questa fu una delle importanti innovazioni di Marconi, realizzata in pratica connettendo un terminale del trasmettitore o ricevitore
all'antenna e l'altro a terra.
z
L
r
O
y
D
d
x
d
D=4mm
Z∞=100Ω
L=1.5m
d=1mm
F=1GHz
λ=30cm
O=0.47λ=14.1cm
Figura 11.12. Geometria dell'antenna usata per i calcoli numerici, con
i relativi dati geometrici (disegno non in scala).
2 Tutti i risultati numerici visualizzati sono stati ottenuti usando il programma di calcolo NEC (vedi NEC-2
Manual, Part III: User's Guide).
versione 2.1.0
200
Legame con le equazioni dei circuiti
y
1/6λ
z
Ey
Figura 11.13. Geometria per r = 1=6, dipolo simmetrico (piano yz ).
Figura 11.14. Modulo della componente Ey (0; ; r;z ) per r = 1=6 (Caso
simmetrico). La fase per x > 0 e opposta a quella per x < 0.
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
201
y
z
2.5λ
Ey
Figura 11.15. Geometria per r = 2:5, dipolo simmetrico (piano yz ).
Figura 11.16. Modulo della componente Ey (0; ; r;z ) per r = 2:5 (Caso
simmetrico). La fase per x > 0 e opposta a quella per x < 0.
versione 2.1.0
202
Legame con le equazioni dei circuiti
y
z
Ey
1/6λ
Figura 11.17. Geometria per r = 1=6, caso non simmetrico
e monopolo sbilanciato (piano yz ).
Figura 11.18. Componente Ey (0; ; r;z ) per r = 1=6 (Caso asimmetrico).
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
y
203
z
2.5λ
Ey
Figura 11.19. Geometria per r = 2:5, caso non simmetrico
e monopolo sbilanciato (piano yz ).
Figura 11.20. Componente Ey (0; ; r;z ) per r = 2:5 (Caso asimmetrico).
versione 2.1.0
204
Legame con le equazioni dei circuiti
Figura 11.21. Rappresentazione tridimensionale del campo Ey a distanza r = 1=6. In
alto abbiamo il caso asimmetrico, mentre in basso vi e quello simmetrico.
versione 2.1.0
11.3 { Bipoli e leggi circuitali ad alta frequenza
205
Figura 11.22. Rappresentazione tridimensionale del campo Ey a distanza r = 2:5.
In alto abbiamo il caso asimmetrico, mentre in basso vi e quello simmetrico.
versione 2.1.0
206
Legame con le equazioni dei circuiti
Figura 11.23. Distribuzione della corrente sulla linea di alimentazione. La linea continua rappresenta il modulo di I1 , mentre quella tratteggiata il modulo di I2 . In alto e
rappresentato il caso asimmetrico, mentre in basso vi e quello simmetrico.
versione 2.1.0
Appendice A
Relazione tra i sistemi di coordinate
cartesiano e sferico
x = r sin cos '
y = r sin sin '
z = r cos r$
z$
P
ϑ$
ϑ
x$
ϕ$
ϕ
y$
x^ = r^ sin cos ' + ^ cos cos ' ; '^ sin '
y^ = r^ sin sin ' + ^ cos sin ' + '^ cos '
z^ = r^ cos ; ^ sin r^ = x^ sin cos ' + y^ sin sin ' + z^ cos ^ = x^ cos cos ' + y^ cos sin ' ; z^ sin '^ = ;x^ sin ' + y^ cos '
P’
@ r^
^ = @
@ r^
'^ = sin1 @'
elemento di supercie sulla sfera ! d = r2 dd sin 207
208
versione 2.1.0
Relazione tra i sistemi di coordinate cartesiano e sferico
Appendice B
Un'introduzione al calcolo diadico
La necessita di introdurre il calcolo diadico nasce dall'esigenza di manipolare equazioni e sistemi
di equazioni vettoriali senza rappresentare le grandezze vettoriali in uno specico sistema di
riferimento. Precisiamo che le diadi costituiscono a rigore un sottoinsieme delle diadiche, ma
preferiamo non fare distinzione e parlare per semplicita solo di diadi.
Supponiamo di avere i vettori X e Y , e indichiamo genericamente con L una trasformazione
lineare omogenea fra X e Y . Rappresentiamo i due vettori in due sistemi di riferimento,
in generale non coincidenti, adoperando le basi ortonormali fe^ig e fu^j g. Per ssare le idee,
possiamo pensare che fu^j g = fx^;y^;z^g sia la base cartesiana e fe^j g = fr^;^;^g quella sferica.
Abbiamo quindi
3
3
X
X
(B.1)
X = Xie^i ; Y = Yj u^j
essendo
i=1
j =1
Xi = e^i X ; Yj = u^j Y
(B.2)
le generiche componenti dei vettori, intesi come terne di numeri complessi. La relazione fra i
vettori si puo scrivere nel modo seguente:
3
X
Yi = Lij Xj
(B.3)
j =1
che fa corrispondere all'operatore lineare L la matrice [L] con elemento generico Lij (si puo fare
grazie alla linearita dell'operatore). Dunque sostituendo la (B.2) nella (B.1) si ha
Y=
3 X
3
X
i=1 j =1
Lij u^i (^ej X )
(B.4)
Ma il vettore X non dipende dagli indici della sommatoria doppia, che possiamo scrivere:
03 3
1
X
X
Y [email protected]
Lij u^ie^j A X
i=1 j =1
(B.5)
Il termine (:::) nella( B.5) esprime in modo semplice la trasformazione lineare omogenea; in
esso compaiono termini costituiti da due vettori accostati (^ui;e^j ) che chiamiamo diadi. Si noti
209
210
Un'introduzione al calcolo diadico
che non c'e alcun prodotto vettoriale o scalare tra di essi. Deniamo allora un nuovo oggetto,
denito costruttivamente come visto
L=
3 X
3
X
i=1 j =1
Lij u^ie^j
(B.6)
che chiamiamo diadica, combinazione lineare di diadi, per cui
Y =LX
(B.7)
si noti che proiettando L a destra su u^m, ed a sinistra su e^n, essendo le basi ortogonali si ottiene
(B.8)
Lmn = u^m L e^n
Si osservi che nell'espressione di L compaiono sia gli elementi Lij della trasformazione lineare
nella coppia di basi scelte, sia i versori di tali basi, e che la (B.8) ci dice che i coecienti Lij
(ovviamente) dipendono non solo dalla natura della trasformazione lineare L, ma anche dalle
basi utilizzate. Pertanto la rappresentazione diadica (B.6) e indipendente dalle coordinate. Per
quanto riguarda i termini, le diadiche sono a rigore delle combinazioni lineari di diadi, ma noi
spesso confonderemo i due termini, ove cio non crei delle ambiguita.
Le diadi del tipo u^ie^j , costituite da versori di basi ortogonali sono un caso particolare
di diade. Piu in generale, una diade e data dall'accostamento tra due vettori qualunque, in
generale complessi, ed e caratterizzata in termini di notazione da una doppia sottolineatura. In
generale, allora, dati due vettori A e B possiamo scrivere la diade D come
D = AB
(B.9)
ove il vettore A e detto antecedente e il vettore B conseguente. L'ordine in cui appaiono i due
vettori e molto importante, e cio e evidente in tutte le proprieta che considereremo. Si puo
subito introdurre la diade trasposta, che e data, se D e denita come sopra, da
(B.10)
DT = B A
Ogni diade puo essere pensata come la somma di proiettori ognuno dei quali e moltiplicato
per un opportuno coeciente complesso. In questo modo si puo ottenere in modo abbastanza
semplice la matrice associata alla diade, in quanto il versore antecedente e il versore conseguente
determinano la posizione del relativo termine nella matrice indicandone rispettivamente la riga
e la colonna. Ad esempio la diade seguente (in cui si e scelta la base cartesiana sia per il vettore
antecedente sia per il conseguente):
(B.11)
D = (1 + j)^xx^ + 2^xy^ + j^yx^ + 3j^yz^ + (2 ; j)^z x^ ; z^y^ + j^z z^
ha matrice associata data da
2
3
1+j 2 0
64 j 0 3j 75
(B.12)
2 ; j ;1 j
Il prodotto scalare di una diade per un vettore, rispettivamente a destra e a sinistra, si
denisce nel modo seguente:
(A B ) C = (B C )A
(B.13)
versione 2.1.0
211
C (A B ) = (C A)B
(B.14)
Si tratta dunque di un vettore parallelo al vettore antecedente per il prodotto a destra, al
conseguente per il prodotto a sinistra.
Una diade del tipo P ij = u^ie^j , data cioe dall'accostamento di due versori coordinati, prende
il nome di proiettore, perche moltiplicando scalarmente tale diade a destra per un vettore si
ottiene la proiezione lungo la direzione u^i della componente lungo e^j di tale vettore. Infatti
P ij A = (^uie^j ) A = (^ej A) u^i
(B.15)
L'elemento generico della matrice che individua il proiettore puo essere posto nella forma Pij =
u^i P ij e^j . Un esempio di proiettore e la diade P = x^y^ e si ha P A = (^xy^) A = Ay x^, essendo
A un vettore qualunque: si ottiene cioe la proiezione lungo x^ della componente di A lungo y^.
Particolari proiettori sono quelli di tipo non misto, quali x^x^, o r^r^: essi, moltiplicati scalarmente
per un vettore, ne cancellano tutte le componenti che non sono lungo x^ o r^.
Il prodotto esterno di una diade per un vettore, rispettivamente a destra e a sinistra, si
denisce invece nel modo seguente:
(A B ) C = A (B C )
C (A B ) = (C A)B
In entrambi i casi si tratta stavolta di diadi, cioe di accostamenti fra vettori.
Una diade molto importante e la diade identita, indicata con I e denita da
I V = V I =V
(B.16)
(B.17)
(B.18)
qualunque sia il vettore V : si tratta dunque dell'elemento neutro rispetto al prodotto scalare
fra una diade e un vettore. Se l'elemento generico della matrice che identica la diade identita
e Iij , esso e dato da
Iij = u^i I e^j
(B.19)
e quindi se si usa lo stesso sistema di riferimento per i vettori antecedente e conseguente che
costituiscono la diade si ha Iij = ij , cioe la matrice associata alla diade identita e la matrice
identita (ma cio non vale se i due sistemi di riferimento sono diversi). Questo signica che
se si usa il sistema di riferimento cartesiano si ha I = x^x^ + y^y^ + z^z^, e se si usa il sistema di
riferimento sferico I = r^r^ + ^^ + ^^: in generale la diade identita, usando uno stesso sistema
riferimento, sara data dalla somma dei proiettori di tipo non misto. Per la diade identita vale
poi la seguente proprieta:
V I =I V
(B.20)
che non e per nulla ovvia, se si tiene conto che il prodotto esterno fra vettori non e commutativo.
Importante e anche la diade identita trasversa rispetto ad una data direzione. Vediamone
due esempi, rispetto alla direzione z^ (riferimento cartesiano) e rispetto alla direzione r^ (riferimento sferico):
(B.21)
I tz^ = I ; z^z^ = x^x^ + y^y^
I tr^ = I ; r^r^ = ^^ + ^^
(B.22)
versione 2.1.0
212
Un'introduzione al calcolo diadico
L'importanza di questo operatore consiste nel fatto che consente di proiettare su un piano un
vettore cui e moltiplicato scalarmente. E facile ad esempio dimostrare che, se A e un generico
vettore, si ha
I tz^ A = Axx^ + Ay y^
(B.23)
cioe si ottiene proprio la proiezione di A sul piano (x;y).
Le due operazioni che si deniscono fra diadi sono la somma fra diadi ed il prodotto fra diadi
D1 = AB e D2 = CD si denisce nel modo seguente:
D X = D1 X + D2 X = A(B X ) + C (D X ); 8X
(B.24)
ed il prodotto (scalare) nel modo seguente:
D1 D2 = A B C D = (B C ) A D
(B.25)
Evidentemente i risultati sono ancora delle diadi. L'elemento neutro della somma fra diadi e la
diade nulla 0, peraltro non molto adoperata, tale che, 8D, si ha
D =0+D =D+0
(B.26)
Deniamo poi la diade inversa D;1
D;1 D = D D;1 = I
(B.27)
Per determinare la diade inversa si procede nel seguente modo: si rappresenta la diade che
si vuole invertire in forma matriciale utilizzando opportune basi per i vettori antecedente e
conseguente, si inverte la matrice e di conseguenza si ottiene la diade inversa adoperando gli
stessi sistemi di riferimento usati in precedenza.
Un ultimo risultato, utile nel calcolo della funzione di Green, e la seguente relazione:
a (b C ) = (a C ) b ; (a b) C
(B.28)
qualunque siano i vettori a e b e qualunque sia la diade C . Per dimostrarla e suciente scrivere
la diade come C = C 1C 2 e dunque
a (b C ) = a (b C 1 C 2) = [(a C 1) b ; (a b) C 1] C 2 =
= b (a C 1 ) C 2 ; (a b) C 1C 2 = b (a C ) ; (a b) C
versione 2.1.0
(B.29)
Appendice C
Calcolo di g(z) con il metodo dei
residui
In questa appendice ci proponiamo di calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui:
Z +1
1
g(z) = 2
d 2 ;1 k2 e;jz
;1
(C.1)
La determinazione del cammino di integrazione viene eettutata come caso limite dell'analogo
problema in un mezzo con piccole perdite omhiche. In questo caso la costante dielettrica sara
un numero complesso: ~ = ; j ! e quindi di conseguenza anche la costante di propagazione
sara complessa
r
q
~k = ! ~ = ! ; j (C.2)
!
nell'ipotesi di piccole perdite, cioe 1 la parte immaginaria di k~ e piccola e negativa
!
ottenendo la situazione della Fig. C.1. Per calcolare l'integrale utilizzamo il teorema dei residui
Im{k}
∼
-kε
Re{k}
∼
kε
Figura C.1. Eetto piccole perdite
213
Calcolo di g (z ) con il metodo dei residui
214
1.
La funzione da integrare ha due poli che nel caso limite di un mezzo senza perdite si trovano
sull'asse reale. L'applicazione del metodo prevede l'individuazione di un percorso chiuso su
cui integrare. Questo percorso sara costituito dall'asse reale (escludendo le singolarita) e da
una semicirconferenza di centro l'origine e raggio R. Il contributo della semicirconferenza
all'integrale e nullo per R ! 1 2 quindi l'unico contributo sara quello dell'integrale sull'asse
reale. Si puo ora procedere al calcolo: poniamo = 0 + j 00 e quindi l'esponenziale diventa:
e;jz = e;j0z e00 z
(C.3)
Per far convergere
l'integrale deve convergere questo esponenziale ovvero deve convergere il
00 z
termine e . Quindi dovra essere 00z < 0 ovvero z < 0; 00 < 0 e z > 0; 00 < 0. Questa situazione condiziona la scelta della semicirconferenza di chiusura che sara nel semipiano positivo se
00 > 0 e negativo se 00 < 0: Consideriamo separatamente i casi z < 0 e z > 0.
Caso1 z > 0 00 < 0. Il percorso di integrazione dovra chiudersi nel semipiano negativo.
Per avere il valore dell'integrale con segno positivo (ovvero per calcolare l'integrale da ;1 a
+1) il verso di percorrenza del cammino dovra essere orario come in Fig. C.2. Il cammino di
Im{β}
2
Re{β}
1
Figura C.2. Denizione del percorso di integrazione in presenza di piccole perdite
integrazione nel caso senza perdite sara il caso limite di quello con perdite. Al limite per ! 0
i poli si adageranno sull'asse reale. Il cammino di integrazione pero dovra ancora contenere il
polo 1 ed escludere il polo 2 come in Fig. C.3. Si ricorda che nel calcolo dei residui il verso di
percorrenza del cammino di integrazione e preso positivo in verso antiorario. Nel nostro caso
il polo 1 e compreso all'interno di un cammino percorso in senso orario, quindi nel calcolo del
residuo il fattore moltiplicativo dovra essere ;2j
(
)
Z
1
1
;
j
z
;
j
z
d 2 ; k2 e
= ;2j Res 2 ; k2 e ; = +k =
C+
1
(C.4)
= ;2j lim
e;jz ( ; k) =
!+k ( + k)( ; k)
;jkz
= ;2j e2k
1 vedi Giancarlo Teppati ; Lezioni di Analisi Matematica III edizione Levrotto e Bella 1995 par: III:5:2
2 vedi Giancarlo Teppati ;Lezioni di Analisi Matematica III edizione Levrotto e Bella 1995 par: V:2:2:1 V:3:1 V:3:2
versione 2.1.0
215
Im{β}
2
Re{β}
1
Figura C.3. Denizione del percorso di integrazione
e quindi
+jkz
e
(C.5)
g(z) = ;j 2k
Caso 2: z < 0 , 00 > 0 Nel caso in cui z > 0, la situzione simmetrica alla precedente: la
chiusura del cammino di integrazione avverra nel semipiano positivo come in Fig. C.4 Questa
Im{β}
2
Re{β}
1
Figura C.4. Denizione del percorso di integrazione nel caso di piccole perdite
volta sara il polo 2 ad essere compreso nel percorso di integrazione. Facendo nuovamente il
limite per ! 0 ottengo la situazione della Fig. C.5 Il contorno avvolge il polo 2 in verso orario
questa volta, quindi il fattore moltiplicativo del residuo sara 2j
(
)
Z
1
1
;
j
z
;
j
z
d 2 ; k2 e
= +2j Res 2 ; k2 e ; = ;k =
C+
1
(C.6)
e;jz ( + k) =
= +2j lim
!;k ( + k)( ; k)
+jkz
= ;2j e2k
versione 2.1.0
Calcolo di g (z ) con il metodo dei residui
216
Im{β}
Re{β}
2
1
Figura C.5. Denizione del percorso di integrazione nel caso senza perdite
e quindi
+jkz
g (z) = ;j e 2k
(C.7)
E quindi evidente che il risultato ottenuto nei due casi puo essere scritto nella forma compatta
;jkjzj
g(z) = e 2jk
(C.8)
Nota: il calcolo dell'integrale appena eettuato non deve essere confuso con quello di un valore
principale che e denito come:
Z
v:p: dz f (z) = lim
!0
Z c;
a
f (z) dz +
Zb
c+
f (z) dz
dove c e il polo. Nel caso del calcolo di un valore principale tutti i poli sull'asse reale danno
un contributo pari a jRes(polo), dove Res(polo) indica il residuo della funzione calcolato nel
polo. Nel nostro caso invece si ha l'inclusione di un polo e l'esclusione di un altro poiche non si
tratta di un valore principale . In tal caso i poli contenuti all'interno del ciclo contribuiranno
secondo il fattore 2jRes(polo) al valore dell'integrale e quelli all'esterno saranno ininuenti.
versione 2.1.0
Appendice D
Calcolo della funzione di Green scalare
Calcoliamo il seguente integrale
Z
~ k) e;jkr
(r) = (21)3 3 d3k (
R
(D.1)
Il calcolo va fatto in coordinate sferiche, in cui d3k = k2 dk d sin d , dunque
Z 2 Z Z + 1
1
d d
dk k2 ~ (k) sin e;jkr k^r^ =
(r) = (2)3
0
0
0
Z +1
Z
= (21)3 2
dk k2 ~ (k) d e;jkr cos sin =
0
0
=
1
jr(2)2
Z +1
0
~ k)
dk k (
Z
0
d jkr e;jkr cos sin =
(D.2)
Z +1
= ; j2
dk k ~ (k) (e+jkr ; e;jkr )
4 r 0
perche k^ r^ = cos e
Z
0
h
i
d jkr e;jkr cos sin = e;jkr cos 0 = e+jkr ; e;jkr
(D.3)
Dunque l'integrale si spezza in due contributi
" Z +1
#
Z +1
j
k
k
;
j
kr
+j
kr
dk k2 ; !2 e ;
dk k2 ; !2 e
=
(r) =
42r 0
0
" Z +1
#
Z0
j
k
k
;
j
kr
;
j
kr
= 42r
dk k2 ; !2 e ;
dk
e
=
0
;1 k2 ; ! 2 (D.4)
Z +1
k e;jkr
j
dk
=
2
2
4 r ;1 k ; !2
~ k) la sua espressione. L'integrale che e rimasto si puo calcolare utilizzando
avendo sostituito a (
il teorema dei residui e la deformazione del contorno, vedendo k come una variabile complessa.
217
218
Calcolo della funzione di Green scalare
Sull'asse reale abbiamo due punti singolari dovuti ai poli k = k della funzione integranda,
dove k02 !2. Si hanno tre possibili scelte per il cammino d'integrazione che illustriamo nella
Fig. D.1. Il caso a) si riferisce al calcolo del valore principale mentre le possibilita b) e c) sono
l'una la duale dell'altra.
Im{k}
a)
Re{k}
Im{k}
b)
Re{k}
Im{k}
c)
Re{k}
Figura D.1. Denizione del percorso di integrazione
Dal momento che siamo interessati al caso r > 0 e la funzione integranda contiene il termine
la chisura del cammino di integrazione va fatta nel semipiano Im(k) < 0. Il calcolo del
residuo va fatto secondo lo schema b); essendo orario il senso di percorrenza del cammino chiuso
(vedi Fig. D.2) il fattore moltiplicativo per la formula del residuo e ;2j.
Possiamo notare che l'unico contributo e dato dal polo in k = k; chiamiamo f (k) la funzione
e;jkr
versione 2.1.0
219
Im{k}
Re{k}
R→∞
Figura D.2. Applicazione del teorema dei residui
integranda dell'Eq. (D.4)
si ha dunque
f (k) =
k
;jkr
e
k 2 ; k0 2
(D.5)
Res ff (k)(k ; k0) ; k = k0g
"
#
k
dk f (k) = ;2j k2 ; k2 e;jkr (k ; k0 )
;1
0
k=k0
Z +1
Pertanto
"
(D.6)
(D.7)
#
(D.8)
(r) = j2 (;2j) k0 e;jk0 r
4 r
2k0
(r) = 1 e;jk0r
(D.9)
4r
Si puo osservare che la scelta indicata con c) nella Fig. D.1 porta al risultato
(r) = 1 ejk0r
(D.10)
4r
Sommando la (D.9) e la (D.10) si ottiene il doppio del valore principale che corrisponde al
caso a). Prediamo come risultato utile la (D.9). La giusticazione di questa scelta la si trova
riformulando il problema, consideriamo un mezzo con piccole perdite ohmiche e quindi una
costante dielettrica complessa ~ = ; j ! e quindi una costante di propagazione anch'essa
complessa
r
q
~k = ! ~ = ! ; j (D.11)
!
s
k~ = ! 1 ; j !
(D.12)
Nell'ipotesi di piccole perdite cioe con ! 1 la parte immaginaria della (D.12) e piccola e
sicuramente negativa. Possiamo quindi ridisegnare la posizione dei poli (vedi Fig. D.3
versione 2.1.0
220
Calcolo della funzione di Green scalare
Im{k}
∼
-kε
Re{k}
∼
kε
Figura D.3. Eetto piccole perdite
Pertanto il cammino di integrazione passa al di sopra del polo posto a sinistra (Reff g < 0).
Se le perdite tendono ad annullarsi riotteniamo la situzione b) illustrata in precedenza.
versione 2.1.0
Appendice E
Forma esplicita della funzione diadica
di Green
E.1 Valutazione della funzione di Green tramite espressioni integro-dierenziali
Ci proponiamo di calcolare la forma esplicita della funzione diadica di Green tramite espressioni
integro-dierenziali. Il vantaggio che si ha rispetto all'utilizzo della strategia utilizzata nella
seconda parte dell'appendice e costituito dall'assenza dell'operatore rr. Infatti la strategia
utilizzata mira ad isolare il termine di sorgente dal resto dei termini per ottenere la diade
desiderata in modo diretto. Nel paragrafo 2.4 si e giunti alla scrittura del campo come somma
di un termine irrotazionale (;r(r) nella 2.121) ed uno presente solo a frequenza non nulla
(;j!A(r) nella 2.121); nel seguito per evitare confusione con gli angoli sferici indicheremo con
U il potenziale elettrico che era stato indicato come , scrivendo quindi:
dove
E (r) = ;j!A(r) ; rU (r)
(E.1)
Z
1
U (r) 3 d3r0 (r ; r0 ) q(r0) ; q = r J e
R
(E.2)
Z
(E.3)
A(r) 3 d3r0 (r ; r0) J e(r0)
R
In un generico sistema di coordinate ortogonali 1;2;3 , il gradiente r ha la seguente espressione:
3
X
r = u^i(r) h 1(r) @@
(E.4)
i
i
i=1
dove gli u^i sono i versori delle coordinate, e gli hi sono detti coecienti metrici. Data la
simmetria sferica del problema (sorgente puntiforme, spazio omogeneo) e conveniente utilizzare
il sistema sferico per la valutazione delle quantita di interesse, nel nostro caso si ha quindi
(1;2;3) = (r;;)
(h1 ;h2;h3 ) = (1;r;r sin )
e
221
222
Forma esplicita della funzione diadica di Green
(^u1;u^2;u^3) = (^r;^;^)
si noti che in un sistema di riferimento sferico i versori non sono indipendenti dal punto considerato e quindi devono essere derivati anch'essi (questo non avviene invece in un sistema di
riferimento cartesiano). Cerchiamo ora di riscrivere in una una forma piu conveniente il termine
;rU (r). Come descritto nel paragrafo 2.4 passiamo alla formulazione della (E.1) nel dominio
della frequenza
~ k) q~(k) =
; 1 (;jk)U~ (k) = ; 1 (;jk)(
1 (;|k)(;|k)(
~ k) J
= ;j! !21 (;jk)(;jk) J~e(k) ~ (k) = ; j!
(E.5)
Tornando quindi nel dominio dello spazio riscriviamo la (E.5) come
dove
E q (r) = ;rU (r)
(E.6)
1 Z d3r0 r (r ; r0) J (r0)
U (r) = j!
e
3
(E.7)
R
Procediamo ora all'esplicitazione dei calcoli iniziando dalla (E.7). Calcoliamo r utilizzando
la (E.4), che in coordinate sferiche si semplica in
_ r)
r(r) = r^ddr = r^ (
(E.8)
otteniamo quindi
Z
_ r) r^0 Je(r ; r0 )
U (r) = 3 d3 r0 (
(E.9)
R
E importante notare il carattere convoluzionale della (E.9) (dovuto all'omogeneita dello spazio)
e il fatto che l'integrale e esteso a tutto lo spazio (anche se l'integrale e non nullo solo dove lo
e J e). Possiamo allora operare un cambio di variabile e, indicando con R = r ; r0 e R^ = R /
R otteniamo:
Z
_ r ; r0 ) R^ (r;r0 ) J e(r0 )
U (r) = 3 d3r0 (
(E.10)
R
(si noti che R era indicato nel paragrafo 2.5 come d). Esplicitando ulteriormente i calcoli il
campo irrotazionale della (E.6) si esprime ora come
E q (r ) =
Z
3
X
_ r ; r0 ) R^(r;r0 ))] J e(r0 ) (E.11)
u^i h 1(r) @@ U (r) = u^i(r) h 1(r) 3 d3r0 @@ [(
R
i
i
i
i
i=1
i=1
3
X
Questo e possibile poiche l'operatore r e ora applicato alla variabile r per cui puo essere
portato
0
dentro l'integrale. Nella formula (E.11) possiamo notare come il termine J e(r ) all'interno
dell'integrale moltiplica un'altro termine di natura diadica. Indicando questa diade con D
possiamo ricrivere la (E.6) come integrale di convoluzione tra un termine di natura diadica e il
termine di sorgente:
1 Z d3 r0 D(r ; r0 ) J (r0 )
E q (r) = ; j!
(E.12)
e
3
R
versione 2.1.0
E.1 { Valutazione della funzione di Green tramite espressioni integro-dierenziali
223
Procediamo ora al calcolo del termine diadico. Chiamiamo
R^ ^ ^ i versori di un sistema di
0
coordinate sferico centrato in R = 0 (cioe in r = r ); calcoliamo i singoli termini della (E.11)
"
!#
@ [ d R^] = @ R^ d + R^ @ d
(E.13)
@R dR
@R dR
@R dR
"
!#
@ [ d R^ ] = @ R^ d + R^ @ d
(E.14)
@ dR
@ dR
@ dR
"
!#
@ [ d R^] = @ R^ d + R^ @ d
(E.15)
@ dR
@ dR
@ dR
Per svolgere questi calcoli ci spostiamo in coordinate cartesiane relative comunque al riferimento
che stiamo considerando. Avremo quindi:
R^ = (X^ cos + Y^ sin ) sin + Z^ cos (E.16)
Calcolando quindi le derivate parziali e ricordando le relazioni che intercorrono tra i versori del
sistema di coordinate sferico otteniamo (vedi appendice A):
@ R^ = 0
(E.17)
@R
@ R^ = ^
(E.18)
@
@ R^ = ^ sin (E.19)
@
_ R)
per completare il calcolo della (E.11) dobbiamo ora calcolare d = (
dR
d = d 1 e;|k0R = 1 e;|k0R ;|k ; 1 = (R) ;|k ; 1 (E.20)
_ = dR
0
0
dR 4R
4R
R
R
A questo punto possimo calolare le derivate parziali di _
!
!
@ d = (R) ;|k ; 1 ;|k ; 1 + (R) 1 = ;k2 + 2 + |2k0 (R) (E.21)
0
0
0 R2
@R dR
R
R
R2
R
!
@ d = 0
(E.22)
@ dR
!
@ d = 0
(E.23)
@ dR
Sostituendo (E.17) (E.18) (E.19) (E.20) (E.21) (E.22) in (E.11) avremo quindi come risutato
nale
"
!
#
Z
2
1
1
1
0 ^ ^ 2k0
3
2
^
^
^
^
E q (r) = ; j! 3 d r RR | R + R ; k0 + ( + ) R ;|k0 ; R (R) J e(r0 )
R
(E.24)
versione 2.1.0
224
Forma esplicita della funzione diadica di Green
confrontando questa espressione con la (E.12) possiamo subito identicare il termine diadico
D (R )
!
"
#
2
1
1
2
k
0
(E.25)
D(R) = R^ R^ | R + R ; k02 + (^ ^ + ^ ^ ) R ;|k0 ; R (R)
Per trovare l'espressione del campo totale dobbiamo aggiungere il termine ;j!A(r) della (E.1).
Data la forma in (E.3) e notando che J e = I J e e quindi suciente aggiungere alla diade
D(r)/k2 la diade I (r) ottenendo come risultato
Z
1 Z d3r0 D(r ; r0 )J (r0 ) =
(E.26)
E (r) = ;j! 3 d3r0 I (r ; r0) J e(r0) ; j!
e
R
R3
Z
D(r ; r0 )
= ;j! 3 d3(I (r ; r0 ) + k2 ) J e(r0)
(E.27)
R
Ricordando la scrittura del campo elettrico data nel paragrafo 2.4 ci rendiamo conto che la
diade I (r ; r0 ) + D=k2 e appunto la forma esplicita della funzione diadica di Green che ci
eravamo proposti di trovare. Possiamo quindi scrivere l'espressione nale della funzione diadica
di Green
!#
"
#
"
|
1
|
1
G(r) = r^r^ 2 k r + (k r)2 (r) + (^^ + ^) 1 ; k r ; (k r)2 (r)
(E.28)
0
0
0
0
E.2 Valutazione mediante calcolo diretto (dierenziale)
Lo scopo di questa appendice e di ricavare le espressioni delle due diadi G(r) e G 0(r), che
giocano un ruolo fondamentale nel calcolo completo della funzione di Green. Partiamo da
!
!
rr (r)
G(r) = I + !rr
2 (r) = I + k 2
(E.29)
Poniamo g = r(r) e quindi a = rr(r) = rg. Conviene lavorare nel sistema di riferimento
sferico, perche dipende solo da r. Allora otteniamo
g = r(r) = r^ddr
(E.30)
perche @ = 0 per i = 2;3. Inoltre
@i
!
3
X
@
d
1
(E.31)
rg = u^i h d r^ dr
i i
i=1
con
!
!
@ r^d = r^ @ d + d @ r^
(E.32)
@ dr
@ d
dr @
i
i
i
i
Esplicitando la E.31 otteniamo
"
!#
"
!#
"
!#
@
@
@
@
r
^
d
d
1
@
r
^
d
d
1
@
r
^
d
d
^
^
rg = r^ @r dr + r^@r dr + r @ dr + r^@ dr + r sin @ dr + r^@ dr
(E.33)
versione 2.1.0
E.2 { Valutazione mediante calcolo diretto (dierenziale)
225
Si passa a questo punto in coordinate cartesiane, cioe
r^ = (^x cos + y^ sin ) sin + z^ cos (E.34)
Le derivazioni parziali @@ si eettuano nel sistema cartesiano, in cui i versori coordinati non
i
dipendono dalla posizione nello spazio. Sostituendo ad r^ la E.34 otteniamo
@ r^ = 0
(E.35)
@r
@ r^ = x^ cos cos + y^ sin cos ; z^ sin (E.36)
@
@ r^ = (;x^ sin + y^ cos ) sin (E.37)
@
e, ricordando che
^ = x^ cos cos + y^ sin cos ; z^ sin ^ = ;x^ sin + y^ cos possiamo riscrivere le E.35, E.36, E.37 nel sistema sferico
@ r^ = 0
@r
@ r^ = ^
@
@ r^ = ^ sin @
(E.38)
(E.39)
(E.40)
(E.41)
(E.42)
calcoliamo ora i singoli termine della E.33
d = d 1 e;|k0r = 1 e;|k0r ;|k ; 1 = (r) ;|k ; 1 0
0
dr dr 4r
4r
r
r
da cui
!
!
@ d = (r) ;|k ; 1 ;|k ; 1 + (r) 1 = ;k2 + 2 + |2k0 (r)
0
0
0 r2
@r dr
r
r
r
r
!
@ d = 0
@ dr
!
@ d = 0
@ dr
Sostituendo le E.40, E.41, E.42, E.43, E.44, E.45 e E.46 nella E.33 otteniamo
"
!
#
2
1
2
k
1
0
2
^
^
^
rg = rr(r) = r^r^ | r + r2 ; k0 + ( + ) r ;|k0 ; r (r)
(E.43)
(E.44)
(E.45)
(E.46)
(E.47)
versione 2.1.0
226
Forma esplicita della funzione diadica di Green
Cio che si ottiene alla ne sostituendo la E.47 nella E.29 e il risultato seguente:
!
"
#
2
1
1
1
2
k
0
2
^
^
^
^
^
^
^
G(r) = (^rr^ + + ) + r^r^ | r + r2 ; k0 k2 + ( + ) k2 r ;|k0 ; r (r) (E.48)
0
0
ovvero
"
!#
"
#
1
|
1
|
^
^
^
G(r) = r^r^ 2 k r + (k r)2 (r) + ( + ) 1 ; k r ; (k r)2 (r)
(E.49)
0
0
0
0
che possiamo scrivere come
h
i
G(r) = A(kr) r^r^ + B (kr) (^^ + ^^) (r)
ove
!
A (kr) = 2 kj r ; (k 1r)2 ; B (kr) = 1 ; A(k2r)
0
Passiamo adesso a G (r).
G 0(r) = r G(r) = r(r) I
(E.50)
(E.51)
(E.52)
ove
1
1
d
d
;
j
k
r
= 4 f (r) r^
(E.53)
r(r) = r^ dr = r^ dr 4r e
e f (r) = drd 1r e;jkr . Svolgendo i calcoli
;jk r (E.54)
f (r) = ; r12 e;jkr + 1r (;jk)e;jkr = ; e r 1r + jk
Abbiamo dunque
j
;jk r 1
1
e
r(r) = ; 4 r r + jk r^ = jk r^ k r ; 1 (r)
(E.55)
Se poniamo C (k r) = 1 ; kj r otteniamo G0(r) = ;jk r^ I C (kr) (r). Ma se esprimiamo la
diade identita in coordinate sferiche abbiamo I = r^r^ + ^^ + ^^, e allora
r^ I = r^ (^rr^ + ^^ + ^^) = (^r ^) ^ + (^r ^) ^ = ^^ ; ^^
(E.56)
Otteniamo inne
versione 2.1.0
G0(r) = ;jkC (kr) (r) (^^ ; ^^)
(E.57)
Appendice F
Potenza di segnali stazionari in senso
lato
Ricordiamo brevemente che un segnale (V ) e stazionario in senso lato (wide sense stationarity,
WSS) se sono vericate due condizioni:
media costante:
E fV g = V
autocorrelazione invariante per traslazioni temporali:
R(t;t + ) = R( ) E fV 2 ( )g
Consideriamo ora la somma (V = V1 + V2) di due processi casuali WSS (V1 e V2). Nel nostro
caso V1 e V2 sono le tensioni dei generatori equivalenti in RX (Va1 e Va2) dovute a due sorgenti
di onde piane incoerenti, pertanto sono segnali scorrelati e quindi si ha:
E fV1V2g = E fV1g E fV2g
Inoltre le sorgenti che emettono campi elettromagnetici, non possono irradiare la componente
continua (! = 0), per cui i segnali V1 e V1 saranno anche a media nulla:
E fVig = 0
Sotto queste ipotesi calcoliamo la potenza (P ) associata al segnale somma V = V1 + V2:
P =
=
=
=
=
cost: E fV 2g
cost: E f(V1 + V2)2g
cost: E fV12g + E fV22g + 2E fV1V2g
cost: (P1 + P2 + 2E fV1gE fV2g)
cost: (P1 + P2)
(F.1)
Pertanto la potenza della somma di segnali WSS scorrelati puo essere calcolata come somma
delle potenze di ogni singolo segnale.
227
228
versione 2.1.0
Potenza di segnali stazionari in senso lato
Appendice G
Brillanza
Ricordiamo che le modalita con cui puo avvenire scambio di energia termica fra due corpi sono
di tre tipi fondamentali e nella pratica, all'interno di uno stesso processo di scambio termico,
in genere si riscontrano tutti e tre; queste tre categorie vanno sotto il nome di: conduzione,
convezione e irraggiamento1. Mentre i primi due si sviluppano solo in presenza di mezzi materiali, il terzo puo avvenire anche nel vuoto in quanto legato a fenomeni di propagazione di onde
elettromagnetiche.
L'irraggiamento e dunque un fenomeno dovuto all'emissione di energia (detta calore radiante), sotto forma di onde elettromagnetiche, da parte di un corpo. La natura e la temperatura
di quest'ultimo sono i fattori che determinano l'intensita della radiazione emessa: quanto piu
elevata e la temperatura della sorgente di energia tanto piu signicativa sara la radiazione da
essa prodotta. Se la temperatura del corpo emittente e costante nel tempo, questa emissione
di calore rediante e continua (cioe il usso di energia termica uscente dal corpo si mantiene
costante nel tempo); in tal caso si parla di stato di equilibrio termodinamico della sorgente
termica. L'energia irradiata dalla sorgente, inne, puo investire un altro corpo e da questo
venirne completamente assorbita o in parte riemessa.
Volendo ora quanticare l'energia scambiata fra corpi per irraggiamento, deniamo il potere
emissivo (R) come la quantita di energia (dEirr ) che viene emessa nell'unita di tempo (dt) e
nell'intervallo spettrale di ampiezza (d) dall'unita di supercie (d) del corpo che emette la
radiazione:
dEirr = R d dt d
(G.1)
analoga denizione vale per l'illuminamento raggiante (H ) corrispondente invece all'energia
incidente sul corpo (dEinc):
dEinc = H d dt d
(G.2)
e moltiplicando per (coeciente di assorbimento) ricaviamo la quantita di energia incidente
che viene assorbita dal corpo:
dEass = H d dt d
(G.3)
Un caso di rilevante interesse e l'emissione e l'assorbimento di energia da parte del corpo nero
(black-body, BB ); questo e un sistema capace di assorbire tutte le radiazioni elettromagnetiche
(a tutte le frequenze) da cui e investito. In natura pero tutti i corpi sottoposti a una radiazione
1
C.Boa e P.Gregorio, Elementi di sica tecnica, Levrotto & Bella, 1984, Parte quinta
229
230
Brillanza
elettromagnetica in parte assorbono (secondo quanto precisato prima) e in parte riettono
(sotto ben precise frequenze) tale radiazione, pertanto il corpo nero e soltanto un modello utile
che permette di semplicare lo studio del fenomeno dell'irraggiamento.
Un grandezza sica particolarmente usata nelle telecomunicazioni per descrivere l'emissione
di energia da parte di un corpo nero e la brillanza; questa e denita come2:
la quantita di energia (dE ) irradiata dal corpo nell'unita di tempo (dt) e nell'unita di banda
(df ) attraverso l'unita di supercie (dBB ), sottesa dall'angolo solido (d
):
dE = B cos dBB d
dt df
(G.4)
Per ricavare l'espressione esplicita della brillanza per un corpo nero si ricorre ad alcuni
risultati noti dalla meccanica quantistica. In particolare si assume il corpo nero come un sistema
contenente particelle (fotoni) che vengono suddivise, a seconda dell'energia da esse posseduta,
in vari sottosistemi detti livelli energetici; ciascun livello energetico e popolato dunque da fotoni
aventi tutti la stessa energia (Ei) data da:
Ei = h fi
(G.5)
dove h = 6:6 10;34 (J s) e la costante di Planck e fi e la frequenza di oscillazione del generico
fotone. Tutti i fotoni dell' i-esimo livello, oscillando alla frequenza fi, generano onde elettromagnetiche caratterizzate dalla frequenza fi stessa e da una certa direzione di propagazione k^i;
le onde dovute a ciascun livello di energia contribuiscono tutte alla formazione della radiazione
emessa dal corpo nero.
Volendo ora quanticare il numero medio (n) di fotoni del sistema, che vibrano tutti alla stessa
frequenza f e appartenenti allo stesso livello energetico, applichiamo la statistica di BoseEinstein(supponendo che il BB sia all'equilibrio termodinamico) da cui:
n = hf 2
(G.6)
e kB T ; 1
dove T e la temperature di corpo nero e kB = 1:38 10;23 (J s) e la costante di Boltzmann;
mediante ulteriori considerazioni geometriche e di meccanica quantistica, si ricava l'energia
emessa attraverso l'elemento di supercie dBB da tutti i fotoni alla stessa frequenza f che
vibrando generano un'onda elettromagnetica piana nella direzione k^ (individuata dall'angolo
solido d
) (vedi Fig. G.1 e Fig. G.2):
dE = 22 hfhf cos dBB d
dt df
(G.7)
e kB T ; 1
Se a questo punto volessimo determinare la radiazione complessiva emessa dal BB , dovremmo considerare tutte le possibili direzioni di irradiazione k^ (e quindi integrare la (G.7)
sull'angolo solido 2, che individua la supercie di irradiazione (BB ) del corpo nero). Tuttavia il nostro studio e incentrato su quella parte di radiazione di BB che incide su un'antenna in
ricezione e, poiche i parametri in ricezione sono deniti per incidenza di onda piana, dovremo
considerare un'unica direzione di propagazione (k^) della radiazione emessa: quella corrispondente al collegamento diretto fra BB e antenna ricevente; in altri termini la radiazione a cui
siamo interessati e proprio quella specicata dalla (G.7) (vedi Fig. G.3).
2
cfr. J.D.Kraus, Radio astronomy, 2nd.ed., Cygnus-Quasar Books, 1986
versione 2.1.0
231
k$
dΩ
BB
dΣ BB
n$
θ
Σ BB
Figura G.1. Radiazione emessa dal corpo nero: BB e la supercie di emissione
del BB ; dBB e l'elemento di supercie; k^ e la direzione di propagazione dell'onda
elettromagnetica; n^ e il versore normale alla supercie di emissione; e l'angolo
individuato dalla direzione di propagazione rispetto alla normale alla supercie BB
BB
k$
θ
dΣ BB
dΣBB ⋅ cosθ
n$
ΣBB
Figura G.2. Costruzione geometrica: BB e la supercie di emissione del BB ;
dBB e l'elemento di supercie; dBB cos e dBB visto dalla direzione k^
Dalle considerazioni fatte e dalla (G.7) si ricava che:
dE = 22
hf
hf
e kB T
;1
d d
dt df
(G.8)
dove d e ora l'elemento di supercie dello spazio circostante l'antenna ricevente, che coincide
con la supercie di emissione del BB , in quanto questo e visto come puntiforme dall'antenna
in ricezione. Da questa equazione, confrontando con la (G.4), si ottiene l'espressione della
brillanza associata alla rediazione di corpo nero, osservato da un'antenna ricevente in campo
lontano:
(G.9)
B (f;T ) = 22 hfhf
k
T
B
e ;1
Quando vale l'approssimazione di Rayleigh-Jeans:
hf 1
kB T
(G.10)
versione 2.1.0
232
Brillanza
Σ
RX
k$
dΣ
BB
Figura G.3. Collegamento diretto BB-antenna ricevente: delinea lo spazio circostante l'antenna; d individua il BB; RX e l'antenna ricevente; k^ e la direzione
che collega il BB (elementare) considerato e l'antenna ricevente
sviluppando in serie di Mc Laurin l'esponenziale della (G.9), si ricava:
B (f;T ) ' 22 kB T
versione 2.1.0
(G.11)
Appendice H
Termini tecnici
Con la nalita di rendere maggiormente agevole la consultazione di pubblicazioni in lingua
inglese concernenti gli argomenti trattati in questi Appunti, sono riportate di seguito due tabelle con i termini tecnici usati piu di frequente e di maggiore interesse pratico ai ni delle
applicazioni.
Inglese
Biconical Antenna
Short Dipole Antenna
Half-Wave Dipole Antenna
Monopole Antenna
Antenna Arrays
Wire Antenna
Aperture-Type Antenna
Microstrip Antenna
Open Waveguides
Horn Antenna
Corner Reflector
Reflector Antenna
Italiano
Antenna biconica
Antenna a dipolo corto
Antenna a dipolo a mezz’onda
Antenna a monopolo
Schiere di antenne
Antenna filare
Antenna ad apertura
Antenna in microstriscia
Guide d’onda aperte
Antenna a tromba
Riflettore ad angolo
Antenna a riflettore
Tabella H.1. Tipologie di antenne.
Inglese
Bandwidth
Directivity
Gain
Aperture efficiency
Polarization
Equivalent Isotropic Radiated Power (EIRP)
Beamwidth
Half Power Beam Width (HPBW)
First Null Beam Width (FNBW)
Beam shape
Beam scanning
Radiation pattern
Sidelobes
Tapering
Effective area
Effective lenght
Polarization mismatch factor
Array factor
Thermal Noise
Noise Figure
Noise temperature
Italiano
Larghezza di banda
Direttività
Guadagno
Efficienza d’apertura o fattore di utilizzazione di
bocca
Polarizzazione
Potenza equivalente irradiata isotropicamente
Larghezza del fascio
Larghezza di banda a 3 dB
Larghezza di banda al primo zero
Forma del fascio
Scansione del fascio (nelle schiere)
Diagramma d’irradiazione
Lobi secondari
Rastrematura
Area equivalente
Altezza efficace
Disadattamento di polarizzazione
Fattore di schiera
Rumore termico
Cifra di rumore
Temperatura di rumore
Tabella H.2. Parametri d'antenna.
233
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