Notes and Workbook

Notes and Workbook
WISKUNDE OPKNAPPINGSKURSUS/ MATHEMATICS REFRESHER COURSE NOTAS EN WERKBOEK VIR/ NOTES AND WORKBOOK FOR 2015
NOORDWES UNIVERSITEIT: POTCHEFSTROOMKAMPUS/ NORTH‐WEST UNIVERSITY: POTCHEFSTROOM CAMPUS
Materiaal saamgestel deur Vakgroep Wiskunde van die Fakulteit Natuurwetenskappe Natural Sciences Vakgroep Wiskunde‐onderwys van die Fakulteit Opvoedingswetenskappe Bladuitleg deur Rudi van de Venter, Vakgroep Page layout by Rudi van de Venter, Subject Wiskunde‐onderwys Kopiereg © 2015 uitgawe. Revision date 2015 Hersieningsdatum 2015 Noordwes‐Universiteit, Potchefstroomkampus Kopiereg voorbehou. Geen gedeelte van hierdie dokument, mag in enige vorm sonder skriftelike toestemming van die skrywers weergegee word nie. Dit sluit fotokopiëring van die hele, of gedeeltes van die dokument, in. Potchefstroom Campus 1 Algemene inligting/ General information ................................................................................. 3 0.1 Verwelkoming/ Welcome ........................................................................................................ 3 0.2 Die doel van hierdie kursus/ Purpose of this course ............................................................... 3 0.3 Studiemateriaal/ Study material ............................................................................................. 4 0.4 ‘n Nuttige beskrywing van wat Wiskunde is/ A useful description of what Mathematics is .. 5 0.5 Algebraïese vaardighede en eksponente/ Algebraic proficiency and exponents ..................... 11 1.1 2 1.2 Die reële getalle/ The real numbers ...................................................................................... 20 1.3 Eksponente/ Exponents ......................................................................................................... 28 1.4 Eenvoudige eksponensiële vergelykings/ Simple exponential equations ............................. 37 2.2 Die oplos van ingewikkelder eksponensiële vergelykings d.m.v logaritmes/ Solving more complicated exponential equations using logarithms....................................................... 49 3 3.2 Definisie en waardeversameling/ Domain and range ........................................................... 54 3.3 Inverse van 'n funksie/ Inverse of a function ........................................................................ 64 3.4 4 Radiaalmaat en trigonometrie/ Radian measure and trigonometry ....................................... 73 4.1 Radiaalmaat/ Radian measure .............................................................................................. 74 1 4.2 Berekening van booglengte/ Calculation of arc length ......................................................... 79 4.3 Berekening van die oppervlakte van ‘n sirkelsektor/ Calculation of the area of a circle sector
........................................................................................................................................... 81 4.4 Die ses trigonometriese verhoudings en hul funksiewaardes in al vier kwadrante van die platvlak/ The six trigonometric ratios and their function values in all four quadrants of the flat plane ........................................................................................................................... 85 5 6 4.5 Die som‐ en verskilformules/ The sum and difference formulae ........................................ 108 4.6 Absolute waardes en limiete/ Absolute values and limits ..................................................... 117 5.1 Ongelykhede/ Inequalities .................................................................................................. 118 5.2 Absolute waardes/ Absolute values .................................................................................... 123 5.3 Limiete en kontinuïteit/ Limits and continuity .................................................................... 141 5.4 Berekening van sekere limiete/ Calculation of certain limits ............................................. 158 5.5 Die epsilon‐delta definisie van 'n limiet/ The epsilon‐delta definition of a limit ................ 162 Die afgeleide van 'n funksie uit eerste beginsels/ The derivative of a function from first principles ......................................................................................................................... 167 2 6.2 Differensieerbaarheid/ Differentiability .............................................................................. 177 6.3 Differensiasiereëls/ Differentiation rules ............................................................................ 180 6.4 Saamgestelde funksies en die kettingreël/ Composite functions and the chain rule ......... 186 6.5 0 Algemene inligting/ General information 0.1 Verwelkoming/ Welcome Ons wens u as voornemende Wiskunde‐ student geluk met u keuse om universiteitstudies aan te pak. Dit is ‘n voorreg om u te ontmoet en ‘n rol te mag speel by u voorbereiding op u studies. Ons as akademiese personeel hoop dat u studies van die begin af voorspoedig en suksesvol sal verloop. 0.2 Die doel van hierdie kursus/ Purpose of this course Hierdie kursus is ontwerp om: •
U voorkennis van Wiskunde te aktiveer •
•
U brein se abstrakte en logiese werking na die vakansie aan die gang te kry •
•
Vae kolle in u wiskunde‐kennis en wiskunde‐vaardighede op te vul •
•
U met noodsaaklike kennis en vaardighede waarmee u miskien nie voorheen kennis gemaak het nie, toe te rus •
•
•
•
•
•
U bekend te stel aan die werkwyse wat tydens die onderrig van universiteitswiskunde‐modules gevolg word Die kunsmatige afskortings tussen verskillende “gedeeltes” van Wiskunde af te breek en die verbande tussen elke “deeltjie” en die groot geheel aan te toon, asook die verbande tussen Wiskunde en ander vakdissiplines 3 •
U belewenis van Wiskunde as vakdissipline te verander sodat dit vir u meer betekenis en lewe as ooit voorheen sal kry 0.3 Studiemateriaal/ Study material In die ou dae het die studiemateriaal vir enige Wiskunde‐kursus uit een of meer handboek en klasaantekeninge bestaan, aangevul deur addisionele materiaal vanuit biblioteke. Die prentjie is nou egter anders; u studiemateriaal vir enige moderne Wiskunde‐
kursus sal waarskynlik ‘n kombinasie wees van die volgende: •
Klasaantekeninge (nota’s) • een of meer handboeke • leermateriaal wat vanaf betroubare internetbronne verkry is • draagbare sakrekenaar (met of sonder die vermoë om grafieke en tabelle te genereer) • interaktiewe rekenaartegnologie soos gespesialiseerde programme wat op lessenaar‐rekenaars en skootrekenaars geïnstalleer word • applikasies (“apps”) wat op slimfone en tabletrekenaars geïnstalleer word from U moet onmiddellik besef dat die dae vir ewig verby is dat u alle materiaal wat u benodig, in u handboek en by die dosent gaan kry. U as wiskundige moet self ‘n plan kan maak indien u met u Wiskunde‐studie vasbrand – u en u klasmaats moet byvoorbeeld die vermoë ontwikkel om ‘n soekenjin (bv. Google) in te span om inligting oor enige stuk wiskunde op te spoor. U het nie ‘n lessenaar‐rekenaar of skootrekenaar hiervoor nodig nie; u selfoon het al vir jare ‘n webblaaier waarmee u die 4 soekenjins oopmaak. kan bereik en webblaaie Webblaaie soos Wolfram Mathworld is uiters waardevol en raak elke dag meer gebruikersvriendelik. U moet ook aanleer om u redenasies en berekeninge self te toets. In die meeste gevalle is die gevorderdste tegnologie wat u sal benodig ‘n potlood, papier en miskien ‘n sakrekenaar – Wiskunde as vakgebied is self ‘n groot abstrakte stuk tegnologie. U vermoë om onafhanklik te kan leer sal een van u magtigste gereedskapstukke in die studie van Wiskunde wees. 0.4 ‘n Nuttige beskrywing van wat Wiskunde is/ A useful description of what Mathematics is Wiskunde is ‘n groot versameling abstrakte idees wat almal op ‘n groot aantal maniere met mekaar verband hou. Hierdie verbande gaan oor die betekenis van die idees. Wiskunde is onder meer ‘n masjien of taal waarmee abstrakte sowel as konkrete verskynsels op ‘n elegante manier beskryf kan word – ‘n beskrywing so elegant dat dit nie staties is nie maar gemanipuleer kan word volgens sekere afsprake en reëls om nuwe lig op die oorspronklike verskynsel te werp. Sommige geleerdes beskryf Wiskunde as die “maak van patrone” – soms is hierdie patrone sigbaar en meetbaar en die gevolge van menslike waarnemings; ander kere is hulle onsigbaar of selfs onmeetbaar en kan hulle slegs simbolies, numeries of grafies voorgestel word deur middel van modelle. Wiskundige en wetenskaplike modelle is abstrakte denkvoorstellings van werklike of denkbeeldige patrone. Hierdie modelle kan verskillende vorme aanneem, bv. •
‘n stel formules •
tabelle gevul met numeriese data •
‘n grafiese voorstelling • ‘n rekenaarsimulasie • ‘n woordelikse beskrywing Die Wet van Ohm wat in Graad 9 bespreek word is ‘n voorbeeld van ‘n wiskundige model vir die gedrag van stroom, weerstand en potensiaalverskil in ‘n eenvoudige elektriese stroombaan. •
•
Hierdie wiskundige modelle werk volgens die beginsels wat in die teorie van Wiskunde geformuleer en uitgedruk word. Wiskundige en wetenskaplike teorie is ‘n baie belangrike begrip, aangesien die woord teorie in die konteks van wetenskap en Wiskunde ‘n heel ander betekenis besit as die betekenis wat dit gewoonlik in die alledaagse lewe het. In Wiskunde en wetenskap beteken die woord “teorie” NIE ‘n raaiskoot of losstaande idee of vermoede nie. ‘n Wiskundige of wetenskaplike teorie is ‘n robuuste stelsel samehangende idees en verbande wat suksesvol gebruik kan word om waarnemings te verklaar en voorspellings te maak. ‘n Teorie geld slegs wanneer dit sin maak en praktiese waarde het. Drie voorbeelde van suksesvolle teorieë: Die teorie van eksponente en logaritmes bevat die versameling begippe, definisies, verbande of verwantskappe, formules en betekenisse wat ons in staat stel om onder meer die eindwaarde van ‘n vaste belegging teen saamgestelde rente te bereken. Eksponente en logaritmes is abstrakte 6 verskynsels, so ook die wette, formules en verbande wat daarop van toepassings is – maar die teorie werk, aangesien ons dit prakties kan gebruik om betekenisvolle antwoorde op berekeninge te kry. Die teorieë van gravitasie bevat die versameling begrippe, definisies, verbande of verwantskappe, formules en betekenisse wat ons in staat stel om byvoorbeeld die gedrag van ‘n vryvallende voorwerp te beskryf en selfs te voorspel. Gravitasie self is onsigbaar en so ook die universele swaartekragkonstante en die algebraïese reëls – die elemente van die Algemene Relatiwiteitsteorie is nog meer abstrak – en tog beskryf, verklaar en voorspel hierdie teorieë die waarnemings wat ons maak wanneer voorwerpe aan gravitasie onderwerp word. Die teorie van evolusie bevat die versameling begrippe, definisies, wetmatighede en betekenisse wat ons in staat stel om die lang‐
termyn patrone wat by die studie van spesies in die natuur waargeneem word, te verklaar. Dit verklaar en beskryf die fossiele wat waargeneem word, asook die eienskappe van die DNS van organismes. Groot dele van die moderne mediese wetenskap is die gevolg van die suksesvolle toepassing van die teorie van evolusie. Hierdie teorie verklaar ook waarom die meeste moderne organismes (die mens ingesluit) se DNA tot ‘n baie hoë persentasie met dié van ander organismes (selfs plante en diere) ooreenstem. Teorie is dus uiters noodsaaklik by enige wetenskap, ook by Wiskunde: Dit verskaf die raamwerk waarbinne en die meganismes waarmee die bepaalde studieveld werk. Daarom is dit fataal as u Wiskunde sien as ‘n blote versameling van resepte en reëls; Wiskunde gaan oor die patrone en verbande (konneksies) tussen abstrakte begrippe – die sogenaamde reëls en wette van Wiskunde is eintlik veralgemenings van die patrone en verbande wat ons ontdek wanneer ons met getalle, simbole, bewerkings ens. werk. U kennis en vaardighede van Wiskunde mag dus nie in netjiese afsonderlike kompartemente bestaan, soos gereedskapstukke wat op die rakke van ‘n pakkamer gestoor word nie. Dit moet eerder ‘n netwerk wees van begrippe en vaardighede, waar elke deel van die netwerk op baie maniere met al die ander dele van die netwerk verbind is. So is die subvelde van Wiskunde, byvoorbeeld algebra, Euclidiese meetkunde, trigonometrie en differensiasie, kunsmatige indelings wat mense maak om die vakgebied te organiseer – daar bestaan in werklikheid geen werklike skeidings tussen hierdie subvelde nie en elkeen van hulle is met elkeen van die ander verbind. Wanneer ons ‘n wiskundige probleem oplos, gebruik ons tipies idees wat uit meer as een subveld kom. Die bewys van ‘n trigonometriese identiteit, byvoorbeeld, benodig kennis van meetkunde, trigonometrie en algebra. U studie van Wiskunde verloop dus nie soos ‘n huis wat onbeweeglike steen vir onbeweeglike steen, laag op laag, netjies van onder na bo opgebou word nie – dit verloop eerder soos ‘n boom, wat van onder na bo groei deur te vertak en weer te vertak, elke takkie uniek en afsonderlik maar tog aan elke ander deel van die boom verbind as ‘n vaste maar buigsame eenheid. 8 0.5 Hoe om Wiskunde te bemeester/ How to master Mathematics Die studie van Wiskunde verg fokus en tyd. •
•
•
•
Maak ten alle tye seker dat u elke stukkie van elke bespreking verstaan Wiskunde is die wetenskap van betekenis‐making. Indien u ‘n stuk werk moet memoriseer omdat u die betekenis daarvan nie kan verstaan nie, dan is u nie meer met Wiskunde besig nie. Indien u aanvanklik nie ‘n greep op ‘n begrip of metode kan kry nie, werk verder en probeer ‘n voorbeeld in die hande kry waar met daardie begrip of metode gewerk word. Werk hierdie voorbeeld deur en gaan dan terug na die bespreking wat u aanvanklik nie kon verstaan nie. Probeer insien waar die nuwe stukkie werk inpas en met watter vorige werk wat u al gedoen het, dit verband hou. Soek patrone en konneksies – daar is fout indien u enige nuwe stukkie werk as ‘n afsonderlike aparte deeltjie beskou wat losstaan van die res van u Wiskunde‐kennis. •
Maak gedurig planne om u antwoorde te toets. Dit help om u begrip uit te brei. •
Raak gemaklik daarmee om saam met een of meer klasmaats te werk. Bespreek enige nuwe openbarings wat u ontvang terwyl u deur ‘n stuk werk met mekaar. •
Maak gedurig u eie notas en opsommings in ‘n vorm wat u self goed verstaan. •
Bestee tyd. Dit is die belangrikste hulpbron. Kyk weer na die aanhaling op die voorblad van hierdie •
•
•
•
•
•
werkboek. understand well. •
10 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 1 Algebraïese vaardighede en eksponente/ Algebraic proficiency and exponents Leerdoelstellings vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 1. Te onderskei tussen die volgende factorize, solve, instruksies/ aksiewoorde: Vereenvoudig, faktoriseer, los op, differensieer, bewys die identiteit 2. Te onderskei tussen die volgende konsepte: concepts: Expression, Uitdrukking, term, teller, noemer, faktor, oplossing, vergelyking 3. Die eienskappe van reële getalle en hulle bewerkings korrek toe te pas 4. Die absolute waarde van ‘n getal te definieer en die eienskappe daarvan in berekeninge en redenasies te gebruik denominator, term, numerator, solution, 5. Die eienskappe van eksponente te kan gebruik om uitdrukkings te vereenvoudig 6. Toepaslike eksponensiële exponents vergelykings op te los deur van die eienskappe van eksponente gebruik te maak 11 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 1.1 Instruksies, aksiewoorde en inleidende begrippe in wiskunde/ Instructions, action words and introductory concepts in mathematics Wiskunde as menslike aktiwiteit is eintlik 'n sekere manier om die konkrete en abstrakte wêreld te ondersoek. Wanneer 'n ingenieur, ekonoom, natuurwetenskaplike, onderwyser of wie ook al "wiskunde doen" beteken dit eintlik dat hy 'n situasie op 'n sekere manier beskou en volgens sekere kreatiewe beginsels probeer om daardie situasie beter te verstaan. Dit is eintlik verskriklik kunsmatig om wiskunde te reduseer tot "die doen van somme" of selfs tot "die oplos van probleme". Tog is dit dikwels wat van ons in wiskunde‐
klasse of tydens wiskundige take en toetse verwag word. Ons moet dus tog eers fokus op watter soort wiskundige probleme ons kan teëkom, sodat ons kan agterkom wat ons in elke geval moet doen om "die antwoord te kry". In wiskunde‐lesings, tydens wiskunde‐ oefensessies en gedurende wiskundetoetse kom ons instruksies of aksiewoorde teë wat vir ons aandui wat ons moet doen. Voorbeelde van sulke aksiewoorde is: •
Vereenvoudig •
•
faktoriseer •
factorize •
los op vir •
solve for •
differensieer •
differentiate •
bewys die identiteit •
By die toepassing van wiskunde in ander vakgebiede soos rekeningkunde, ekonomie, 12 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente fisika, chemie, rekenaarwetenskap en statistiek is die werklikheidsgetroue probleme wat ons moet oplos, dikwels nie in terme van aksiewoorde gedefinieer nie: •
Bepaal die eindwaarde van die belegging •
•
Vergelyk die vraag‐ en aanbod‐
grafieke •
•
Bereken die maksimumhoogte van die projektiel •
•
Wat die konsentrasie van oplossing na 30 sekondes? •
die By die toepassing van wiskunde in ander vakgebiede moet ons dus meestal self bepaal watter wiskundige instruksies of aksiewoorde geïmpliseer word. 'n Mens leer deur ervaring hoe om werlikheidsgetroue probleme in wiskundige instruksievorm te interpreteer. Let ten slotte daarop dat "'n probleem" in wiskunde eintlik nie iets negatiefs is wat vermy moet word, soos wat die woord in die alledaagse lewe verstaan word nie. In wiskunde is "'n probleem" in werklikheid die instrument of gereedskapstuk waardeur ons tot kennis en insig van wiskunde self kom, asook begrip van die situasie waaruit die probleem spruit. 13 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 'n Mens leer wiskunde dus deur probleemsituasies te bestudeer en op allerlei maniere te hanteer. Meestal lê die waarde van 'n wiskundige probleem in die prosesse waardeur die probleem hanteer word, eerder as net in die oplossing. Daarom het elke wiskunde‐probleem wat u doen, waarde – selfs al kry u nie die "mees korrekte antwoord" in die hande nie. Daar is baie aksiewoorde in wiskunde waarmee u nog in u verdere studie te doen sal kry. Maak seker dat u presies weet wat elke aksiewoord beteken en hoe die oplossing lyk wat by daardie aksiewoord (instruksie) pas. 14 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente Oefening 1.1 Beskou elkeen van die volgende gegewe probleme. By elkeen moet u self besluit wat om te doen (wat die instruksie by daardie vraag moet wees). By sommige van hulle kan daar twee of meer moontlike instruksies wees. Doen dan die berekening(s) wat by die instruksie(s) pas. 1. −2 x 2 + 7 x − 6 Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 2.
( p − 2) ( p2 + 2 p + 4 ) Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 15 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 3.
(10 − 5t )( 2 + t )
t −3
= 0 Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 4. 30k 3 − 22k 2 − 28k = 0 Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 16 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 5.
f ( x) = 6 x −
3
+ 5 x2 x
Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 6.
P ( x ) = x 3 − 6 x 2 − x + 30 en/and P ( 3 ) = 0 Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 17 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 7.
Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: 18 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 9. Gegee/Given Instruksie/Instruction: Instruksie/Instruction: Berekening/Calculation: Berekening/Calculation: Soos u kan sien, is elke probleem op sy eie manier interessant, dikwels met verskillende aspekte waarin ons kan belang stel. 19 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 1.2 Die reële getalle/ The real numbers Getallestelsels Ons klassifiseer getalle Number systems (abstrakte mensgemaakte simboliese en konseptuale voorstellings wat aantal en hoeveelheid voorstel) volgens hulle eienskappe soos volg: (Voorsien die beskrywende name van elkeen van die volgende versamelings) Begenoemde verwantskappe word ook in versamelingsnotasie soos volg geskryf: = {1; 2; 3; 4;...} 0
20 = {0;1; 2; 3; 4;...} (natuurlike getalle/ natural numbers) = {...; − 4; − 3; − 2; − 1; 0;1; 2; 3; 4;...} (heelgetalle/ integers) ⎧
⎫
p
= ⎨ x x = , p ∈ , q ∈ , q ≠ 0⎬ q
⎩
⎭
(rasionale getalle/ rational numbers) Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente I = {x x ∈ , x ∉
= {x x ∈
} (irrasionale getalle/ irrational numbers) (reële getalle/ real numbers) Dit volg dat al die versamelings hierbo genoem deelversamelings is van die reële ⊂ 0⊂ ⊂ ⊂
en getalle, d.w.s. I⊂
∪I =
Verder volg dat en ∩ I = ∅ . ∪I =
and ∩ I = ∅ . Wat beteken bogenoemde in woorde? U MOET weet! Basiese eienskappe van die reële getalle Gestel a en b en c is reële getalle. Dan geld: 1. Eienskappe van die getal nul (optellingsidentiteitselement) 1.1
a + 0 = ................ 1.1
a + 0 = ................ 1.2
a × 0 = ................. 1.2
a × 0 = ................. 1.3
0
= ....... met a ≠ 0 a
1.3
1.4
a
is ongedefineerd .........
1.4
1.5
1.5
(.........‐produk‐stelling) 1.6
As 1.6
2. Bewerkingseienskappe van reële getalle 2.1
Geslotenheid a + b∈
2.2
Kommutatiwiteit en ab ∈
a + b = .............. en
ab = ............
If 2.1
Closure a + b∈
2.2
ab = ............
21 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 2.3
2.3
( a + b) + c = a + (b + c )
( ab ) c = a ( bc )
en
(a + b) + c = a + (b + c )
( ab ) c = a ( bc )
2.4
Identiteit: a + 0 = ........... en
a × 1 = ............
2.5
a × 1 = ............
2.5
1
= ........
a
Distributiwiteit: (berus op afsprake en patrone) 3.3
3.4
22 a ( b ± c ) = ...........................
1
a
2.6
3. Volgorde van algebraïese bewerking Vir herhaalde optelling en 1
= ........
a
3.2
Inverse: a×
1
waar a ≠ ........ by a ×
a
3.1
a + ( −a ) = ....... en
2.6
Inverse: a×
and
2.4
3.1
of algebraic conventions and aftrekking werk ons van links na regs. Vir herhaalde 3.2
vermenigvuldiging en deling werk ons van links na regs. Vir gekombineerde 3.3
bewerkings kan ons nie net van links en regs werk nie, maar word optelling en aftrekking laaste gedoen. Uitdrukkings in hakies word eerstens verreken – dan vermenigvuldiging en deling (gelyke prioriteit) en laastens word opgetel en afgetrek. Vir gekombineerde 3.4
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente bewerkings is die volgorde soos volg: Prioriteit/ Bewerking/ Verduideliking 1 Met hakies binne hakies word die binneste hakies eerste verwyder/ With sets of parentheses inside other sets of parentheses, proceed from inside out 2 Magsverheffing en Worteltrekking/
Moet as spesiale hakies beskou word/ 3 vervang met ‘n × ‐teken/ 4 Gelyke prioriteit/ same priority 5 Sommige wiskundiges vereenvoudig bogenoemde skema soos volg: Identifiseer alle plus en minus tekens buite Identify all plus and minus signs outside hakies. Evalueer dan alle uitdrukkings tussen plus en minus tekens (faktore) en tel laastens op en trek af. Die belangrikste sake wat u omtrent algebra moet verstaan, is dat: •
enige uitdrukking of formule uit •
terme saamgestel is – die terme word deur minustekens plustekens geskei en (wortels, exponents, multiplication and 23 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente eksponente, maal en deel skei NIE division does NOT separate terms) terme van mekaar nie) •
•
Wat dus ook al tussen plustekens minus signs must be regarded as one en minustekens staan, moet as een getal gelees en verstaan word. ‘n “Algebraïese terme” beteken “stukke van ‘n uitdrukking wat deur •
plus en minus van mekaar geskei Hakies word”. •
groepeer alles wat daarbinne saam as een getalwaarde •
– daarom bereken ons altyd die A horizontal division sign inhoud van ‘n stel hakies heel the eerste. numerator and in the denominator in brackets. ‘n horisontale deelteken (lyntjie met teller bo en noemer onder) plaas outomaties alles in die teller en alles in die noemer in hakies. 4. Ontoelaatbare bewerkings by reële 4. Illegal or non‐permissible getalle Vereenvoudig die volgende uitdrukking: 3
7
+ log10 ( −10 ) +
− 2 3 + 3 −64 + sin−1 ( 2 ) + cos−1 ( −1,5 ) − tan ( 90° )
log
1
7 + −343
10 ( )
3
= .................................................................................................................................
Gebruik u bevindinge en maak ‘n lys van ontoelaatbare bewerkings: permissible operations: ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... 24 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ...................................................................... ..................................................................... Ons moet altyd bedag wees op gevalle soos hierbo, waar reële getalle interessante ongewone gedrag vertoon. Oefening 1.2 1. Bepaal die waarde van die volgende uitdrukkings (met ander woorde, evalueer die volgende) sonder enige sakrekenaar: 1.1 3(4)
2
+ 6 (2 + 3) −
27 − 7
7+3
=.................................................................................................................. =................................................................................................................. 1.2 4 − 3 ( −2 )( 3) +
53
12
−
− 52 − 32
2
25 2 +
5
Die simbool ' n reële getal staan as "die absolute waarde‐bewerking" bekend ‐ in die algemeen
is ' n reële getal = positiewe waarde van daardie reële getal. Later meer hieroor./
The symbol a real number is known as "the absolute value operation " ‐ in general , it holds that
a real number = positive value of that real number. Later more about this./
25 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente =.................................................................................................................. =................................................................................................................. =................................................................................................................. 1.3 2 169 − 144 ( 8 − 16 )
100 − 25
+
− 64 − 128 +
2
3
5
2
(10 − 5)
=.................................................................................................................. =................................................................................................................. =................................................................................................................. 1.4 26 ⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0
7
6 ⎞ ⎜⎜
−3
⎟
1
144
216 ⎠ ⎜
+⎜
1
⎞
3
1000 ⎟ ⎜ 1
50
⎜ −2+
3 ⎟
48 − 3 ( 2 )
23
⎠ ⎜2 2
64
−
⎜
12 − 3
5−
⎜
72
⎜
9−
⎜
5 1
−
⎜
2 2
⎝
(
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
12− 8
5
⎛
⎞
2
⎜
5 ⎟
3 ⎞
⎟ + 10 4 ⋅ ⎛⎜ 1 +
− 3 ⎜ 12 −
⎟ ⎛1⎞⎟
⎝ 100 ⎠
⎜
⎜ ⎟⎟
⎜
⎝2⎠⎠
⎝
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente =.................................................................................................................. =................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 1. Bepaal die waarde van die volgende uitdrukkings (met ander woorde, evalueer die volgende) sonder enige sakrekenaar: 2.1
4 − 16
= ...................................................................................................................... 3+2
2.2
12 − 8
= .................................................................................................................. 10 − 100
2.3 5 − 16 − 25 = ................................................................................................................ 2.4 3 − 2 169 − 25 = ........................................................................................................... 27 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 1.3 Eksponente/ Exponents 'n Maatskappy beoog om vir die volgende vyf jaar ‘n tariefverhoging van 20% per jaar in te stel op 'n diens wat in 2013 per eenheid R 1,10 gekos het. Voltooi die volgende tabel en grafiek: Jaartal/Year 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Term nr. ( n ) 1 2 3 4 5 6 1,10 28 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente Lê die punte in ‘n reguit lyn? ...................................... ................................... Bogenoemde is ‘n voorbeeld van eksponensiële gedrag; dit het met herhaalde vermenigvuldiging van ‘n sekere konstante waarde te doen. Kan u ‘n formule vir vergelyking van u grafiek in terme van n neerskryf? ................................................................... ................................................................... Die formule vir die algemene term van ‘n meetkundige ry is ‘n voorbeeld van ‘n eksponensiële funksie. Ons definieer in die algemeen We define in general x × x × x × x × ... × x
= xn Gebruik u kennis en voltooi die ontbrekende inligting in die volgende tabel: 29 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente Eienskappe van eksponente Eienskap/ Property: Voorbeeld/ Example Pasop/ Beware a 0 = ............... 100 = ............... 00 = ............................ a1 = ............... 51 = ............... 01 = ............................ a m × a n = ............... 102 × 103 = 100 000 = 10........ a m × a n ≠ a mn am
= ............... an
106 1000000
=
= 10........ 3
1000
10
am
≠an n
a
⎛ 103 ⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
4
⎛ 1000 ⎞
=⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
p
⎛ am ⎞
⎜⎜ n ⎟⎟ = ..................... ⎝b ⎠
m
4
p
⎛ a m ⎞ ⎛ a ⎞mp − np
⎜⎜ n ⎟⎟ ≠ ⎜ ⎟
⎝ b ⎠ ⎝b⎠
= 250 4 = ........................
1012
28
212 × 512
= 24 × 512
8
2
= ....................................
=
2−3 = .....................
( a )− n = ..................... ( a )− n ≠ −a n
⎛3⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
−4
(a )
= ......................
x = .........................
n
a = ......................... 3
30 ab = ......... × .......... a
m
1
≠ an
y = ........................
6
64t 8 = ......... × ..........
=
n
m
≠a
m
n
n
−n
n
n
am ≠ am−n
a+b ≠ n a +n b
x 2 ± y 2 = ...........................
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente Bogenoemde mag moontlik eenvoudig en onskouspelagtig lyk, maar die foute wat met die toepassing van hierdie beginsels gemaak word, gaan die verstand te bowe. Oefening 1.3 1. Vereenvoudig sakrekenaar: sonder ‘n 1.1 4 ( a + b ) − 4 ( a × b ) 4
=
2
31 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 3
3
3
3 ⎞
⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3
1.2 ⎜ x 2 ⎟⎜ x 2 ⎟⎜ x 2 ⎟ − ⎜ x 2 ⎟ − ⎜ x 2 + x 2 + x 2 ⎟ 2
2 ⎠
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
=
( )
2⎤
⎡
1.3 ⎢ z 2 ⎥
⎣
⎦
=
−1
( ) ⋅ z −1
3
(
)
1.4 ( p − m ) p 2 + pm + m2 =.......................................................................................................................................... =.......................................................................................................................................... =........................................................................................................................................... =............................................................................................................................................ = (.........) − (.......... )
3
32 3
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente (
)
1.5 ( 2 x + 3 y ) 4 x 2 − 6 xy + 9 y 2 =.......................................................................................................................................... =.......................................................................................................................................... =........................................................................................................................................... =............................................................................................................................................ = (.........) + (..........)
3
3
1.6 ( a − b ) 3
=.......................................................................................................................................... =.......................................................................................................................................... =........................................................................................................................................... =............................................................................................................................................ 33 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 1.7
t3 + t2
t5
=
1.8
r3 + r3
2r 2 + 3r 2
1.9
34 3α ⋅ 9α + 1
27α + 2
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 1.10
β
5β + 2 + 5β +1 ....... ⋅ ...... + ....... ⋅ ........ 5 (.......... + ............)
=
=
5β + 2 − 5β +1 ....... ⋅ ...... − ....... ⋅ ........ 5β (.......... − ............)
= ...............................................................................
= ................................................................................
= ................................................................................
2. In Matriek het u die volgende differensiasiereël teëgekom: ( )
dy
ax n = an ⋅ x n −1 dx
Bv. For example dy ⎛ 4
1
1
⎞
2
3
⎜ 3 x − 5 x + x − 9 ⎟ = 12 x − 10 x + dx ⎝
2
2
⎠
Bereken nou g ' ( t ) indien... 2.1 g ( t ) = t +
1
t
35 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 2.2 g ( t ) = 4 3 t 2 −
5
2
+
+π
2
3
t
3t
3. Vereenvoudig: 3.1
36 4 x × 5x
103 y
+
20
2y × 5y
(
)
2
Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 1.4 Eenvoudige eksponensiële vergelykings/ Simple exponential equations Uit die einskappe van eksponente kan ons sekere vergelykings oplos, waar eksponente betrokke is. Oefening 1.4 1. Bereken sonder 'n sakrekenaar die waarde van die onbekende: 1.1 9 y −2 = 271−2 y 1.2 43 p − 322 p−5 = 0 37 Leereenheid 1: Algebraïese vaardighede en eksponente 1.3 3 ⋅ 10 x − 0,03 = 0 1.4 6 ⋅ 22 x − 2 x − 1 = 0 Verklaar waarom daar slegs een oplossing is/ Explain why there is only one solution.
38 Leereenheid 1 Algebraïese vaardighede en eksponente 1.5 2r 5 = −
243
16
Hoe verskil hierdie vergelyking van die vorige vier?/ How is this equation different from the previous four?
39 Leereenheid 2: Logaritmes 2 Logaritmes/ Logarithms Leerdoelstellings vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 1. Die eienskappe van logaritmes te kan gebruik om uitdrukkings te vereenvoudig 3. Solve more complicated exponential 2. Die eienskappe van logaritmes te kan by the gebruik om logaritmiese vergelykings op te los 3. Ingewikkelder eksponensiële vergelykings op te los deur van die verbande tussen eksponente en logaritmes gebruik te maak 40 equations Leereenheid 2: Logaritmes 2.1 Logaritmes en eksponente/ Logarithms and exponents Beskou onderstaande voorstelling: Watter waarnemings en gevolgtrekkings kan gemaak word i.v.m. die eksponensiële bewerking en die logaritmiese bewerking? Logaritmes is basies ‘n ander manier om dieselfde inligting te verstrek as wat deur ‘n eksponensiële vergelyking gegee word. Om ‘n logaritme te definieer maak ons gebruik van die teorie van inverse funksies: Beskou die grafiek hierbo. As f ( x ) = 10 x dan kan ons dit skryf y = 10 x . Om die inverse funksie van f ( x ) = 10 x te verkry, ruil ons die afhanklike en die onafhanklike veranderlike: and independent variables: x = 10 y x = 10 y 41 Leereenheid 2: Logaritmes Maak nou vir y die onderwerp deur te definieer dat y = log10 x y = log10 x Dit lewer die grafiek g hierbo, wat die spieëlbeeld is van f in die lyn h ( x ) = x . Ons definieer in die algemeen: As p = a x met a > 0 en a ≠ 1 dan is p > 0 vir x ∈ en x = loga p
Voorbeelde: We define in general: for x ∈ and x = loga p
Examples: 8 = 23 ⇔ 3 = log2 8 8 = 23 ⇔ 3 = log2 8 1000 = 103 ⇔ 3 = log1000 1000 = 103 ⇔ 3 = log1000 0,008 =
1
= 5−3 ⇔ −3 = log5 ( 0,008 ) 125
0,008 =
1
= 5−3 ⇔ −3 = log5 ( 0,008 ) 125
Eienskappe van logaritmes/ Eienskap/ Property: Voorbeeld/ Example “ log3 1 ” beteken/ means: loga 1 = ............... log3 1 = ............... 3WAT / WHAT = 1? “ log7 7 ” beteken/ means: loga a = ............... loge e = ............... 7WAT / WHAT = 7? “ log7
⎛1⎞
log a ⎜ ⎟ = ............... ⎝a⎠
⎛ 1 ⎞
log5 ⎜ ⎟ = ............... ⎝ 25 ⎠
1
” beteken/ means: 343
7WAT / WHAT =
3
1 ⎛1⎞
=⎜ ⎟
343 ⎝ 7 ⎠ = 7−3 ?
42 Leereenheid 2: Logaritmes loga ( xy ) = ................................ ⎛x⎞
loga ⎜ ⎟ = ................................ ⎝ y⎠
log8 + log125
= log............ = ............
a x × a y = a........... log5 500 − log5 20
= log5 ............
= ............
ax
a
= a ........... y
log5 625
( )
loga x m = ........................ = log5 54
= .... × ............
(a )
m x
= a............ = ................
64 = 26
log32 64
log a b =
log c b
log c a
=
∴log2 64 = 6
log..... 64
log..... 32
32 = 25
=
∴log2 32 = 5
= ........
32 5 = ..............
6
1
log27 3
1
=
⎛ log27 3 ⎞
⎜
⎟ ⎝ log27 27 ⎠
log3 27 =
log a b =
1
logb a
log3 27 =
1
log27 3
=
log27 27
log27 3
Die logaritme‐bewerking is die .................. van die aloga x = ................. 10log10 p = ................. .............................. operation
43 Leereenheid 2: Logaritmes Eienskappe wat NIE geld by logaritmes nie/Properties which does NOT hold for logarithms Eienskap/ Property: Voorbeeld/ Example log10 (1000 ± 100 )
loga ( x ± y ) ≠ log a x ± logb y ≠ log10 1000 ± log10 100 loga ( xy ) ≠ loga x × logb y log10 (1000 ) ≠ log10 100 × log10 10
log a
x log a x
≠
y log a y
log3
81 log3 81
≠
27 log3 27
Korrekte vorm/ Correct form log a ( xy ) = log a x + log a y
loga ( xy ) = loga x + loga y ⎛x⎞
loga ⎜ ⎟ = loga x − loga y ⎝ y⎠
( )
log a x m = m ⋅ log a x
(loga x )
m
≠ m ⋅ log a x (log5 25 )
3
≠ 3 ⋅ log5 25 of / or
log a x m = m ⋅ log a x
Dit is belangrik om die implikasies van bogenoemde baie goed te begryp, aangesien ons dit by baie toepassings benodig. 44 Leereenheid 2: Logaritmes Oefening 2.1 1. Vereenvoudig sakrekenaar: sonder ‘n 1.1 log10 20 + log10 50 1.2 log6 36 + log6
1
− 3log6 1 36
1.3
log81 − log16
log9 − log4
1.4 log4 420 + (log4 4 )
20
− (log4 16 )(log 4 64 )
45 Leereenheid 2: Logaritmes 1.5 (log7 49 ) ⋅ log7 1
1.6 (log100 ) ⋅ log (1000 )
1.7
3log3 x
2. Daar bestaan in Wiskunde ‘n natuurlike grondtal, wat ons met die simbool e aandui. Die waarde van e word in later Wiskunde‐
kursusse afgelei, maar ons neem die benaderde waarde as e ≈ 2,718 28... Hierdie grondtal gehoorsaam al die gewone eksponentwette en logaritmiese wette, maar dit is die gebruik om loge x te skryf as ln x . Ons lees ln x as “lin ex”. Vereenvoudig sonder ‘n sakrekenaar en gebruik slegs in die laaste stap ‘n sakrekenaar: 46 Leereenheid 2: Logaritmes 2.1 e2 + 3e2 + e2 ⋅ e −2 −
e5
+ e0 3
e
2.2
( )
ln x + 2ln x
3
− ln e3 + (ln e ) + ln1 3
ln x
3. Bepaal die waarde van die onbekende (Los op): 3.1 log3 x = 4 47 Leereenheid 2: Logaritmes 3.2 log x + log ( x + 3 ) = 1 3.3 log (1 − 2 x ) − log ( x + 2 ) = log1 3.4 ln x = ln ( 2 x − 1 ) + 2ln x 48 Leereenheid 2: Logaritmes 2.2 Die oplos van ingewikkelder eksponensiële vergelykings d.m.v logaritmes/ Solving more complicated exponential equations using logarithms Aangesien die definisie van 'n logaritme in terme van eksponente gedoen is, kan ons ingewikkelde eksponensiële vergelykings oorskryf na logaritmiese vorm. Sulke logaritmiese vergelykings is dan makliker om op te los as wat die oorspronklike eksponensiële vergelyking was. Voorbeeld/ Example 5x
1. Los op vir x / Solve for x : ⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
2. Los op vir t / Solve for t : 3,5 ⋅ 0,13t = 2,5t −1 =
343
64
⎛ 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
5x
343
64
343
∴ 5 x = log 3
64
=
10
⎛ 343 ⎞
log ⎜
⎟
⎝ 64 ⎠ ∴5 x =
⎛ 3 ⎞
log ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
⎡ ⎛ 343 ⎞ ⎤
⎢ log ⎜ 64 ⎟ ⎥
⎠⎥
⎢ ⎝
3
⎛
⎞
⎢ log
⎥
⎜ ⎟⎥
⎢⎣
⎝ 10 ⎠ ⎦
∴x =
5
= −0,279
49 Leereenheid 2: Logaritmes 3,5 ⋅ 0,13t = 2,5t −1
2.
(
) ( )
∴log ( 3,5 ) + log ( 0,1 ) = log ( 2,5 )
∴log 3,5 ⋅ 0,13t = log 2,5t −1
3t
t −1
∴log ( 3,5 ) + 3t ⋅ log ( 0,1 ) = ( t − 1 ) ⋅ log ( 2,5 )
∴log ( 3,5 ) + 3t ⋅ log ( 0,1 ) = t ⋅ log ( 2,5 ) − log ( 2,5 ) ∴3t ⋅ log ( 0,1 ) − t ⋅ log ( 2,5 ) = − log ( 2,5 ) − log ( 3,5 )
∴ t ⎡⎣3log ( 0,1 ) − log ( 2,5 ) ⎤⎦ = − log ( 2,5 ) − log ( 3,5 )
∴t =
− log ( 2,5 ) − log ( 3,5 )
3log ( 0,1 ) − log ( 2,5 )
= 0,277
Oefening 2.2 1. Los die volgende vergelykings op: t
⎛1⎞
1.1 0,002 93 = 3 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
1.2
50 1 ⎛4⎞
⋅⎜ ⎟
3 ⎝3⎠
n−1
= 2,497 180 Exercise 2.2 Leereenheid 2: Logaritmes 1
1.3 4 ⋅ 23t = ⋅ 52t−1
2
⎛1⎞
1.4 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎝3⎠
2n
1
− ⋅ 51−3n = 0
2
51 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 1. Die formele definisie van ‘n funksie as ‘n spesiale relasie kan toepas 2. Die definisie‐ en waardeversameling van ‘n funksie kan identifiseer 3. Die inverse van ‘n gegewe funksie kan bepaal 4. Bewerkings met funksies kan uitvoer 3.1 Definisie van'n funksie en inleidende aspekte/ Definition of a function and introductory aspects Relasies In Wiskunde dui ‘n relasie op twee versamelings (groepe getalwaardes), waartussen daar ‘n verband bestaan. Vir elke element uit die een versameling kan ‘n verbinding gemaak word met een of meer elemente van die ander versameling Hierdie verband is een of ander patroon of reël. Hierdie reël kan ‘n woordelikse instruksie wees, of ‘n algebraïese formule, of ‘n tabel met waardes, of ‘n grafiek. 52 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Voorbeeld van ‘n relasie: Voltooi die patroon: ( getal ; ±
getal
)
vir die ( number; ±
getalle {0; 4; 9;16; 25} number
)
for the {( 0;.........) ; ( 4;...........) ; ( 9; ± 3 ) ; (16;............) ; (25;............)} Let daarop dat elke eerste element met twee ander elemente verbind word. Funksies Functions 'n Funksie is 'n reël wat elke element van een definisie−
versameling) verbind met een en slegs een element van 'n ander versameling (die versameling (die waardeversameling). Voorbeeld van ‘n funksie: Voltooi die patroon: ( getal ; getal )
2
vir getalle {−2; − 1; 0;1; 2 } die ( number; number )
2
for the numbers {−2; − 1; 0;1; 2 } {( −2;.........) ; ( −1;...........) ; ( 0; ...........) ; (1;............); (2;............)} 53 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 3.2 Definisie en waardeversameling/ Domain and range Let daarop dat elke eerste element met slegs een ander elemente verbind word. Ons noem dit ‘n eenduidige verband. Meer‐eenduidige‐funksies ‘n Meer‐eenduidige funksie het die eienskap dat elke element uit die definisieversameling nie op ‘n unieke, mapped unto a unique, different element of verskillende die waardeversameling afgebeeld word nie. U sien dit duidelik by die voorbeeld hierbo element van oor die kwadrate. Verskillende getalle ‘n Een‐een‐duidige funksie het die eienskap dat elke element definisieversameling verskillende op element uit ‘n die unto a unique, different element of the unieke, van range. die waardeversameling afgebeeld word. Example Voorbeeld Voltooi die patroon: (
getal ; getal 3
)
( number; number )
3
vir die getalle for {−2; − 1; 0;1; 2} {−2; − 1; 0;1; 2} {( −2;.........) ; ( −1;...........) ; ( 0; ...........) ; (1;............); (2;............)} 54 the Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Oefening 3.1 tot 3.2 1. Beskou onderstaande skematiese voorstelling van 'n funksie en vul al die ontbrekende begrippe in. 2 Stel die inligting in die skematiese voorstelling nou hieronder voor: 55 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 3 Doen interpolasie (trek 'n gladde kromme deur die punte wat u geplot het tussen en insluitende waar t = −2 en t = 4 ). 4 Gebruik die gegewe inligting en skryf die vergelyking (formule) van die grafiek neer. Wenk: op skool sou dit iets gewees het Hint: at school it would have been soos y = ax + bx + c 2
5 Beskryf die vorm van die kromme. konkaafheid/ concavity: .................................................................. 6 Skryf die definisieversameling van die funksie neer: Dg = {...... ...... ≤ ....... ≤ .......;...............} 7 Skryf die waardeversameling van die funksie neer: Wg = {...................................................} 56 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 8 Doen nou ekstrapolasie (verleng die kromme "verby" die punte waar t = −2 en t = 4 . 9 Gebruik 1.4 en bereken die waardes van ⎛3⎞
g ( −1,5 ) en g ⎜ ⎟ en g ( 5 ) en g ( 2 + h ) ⎝2⎠
⎛3⎞
g ( −1,5 ) and g ⎜ ⎟ and g ( 5 ) en ⎝2⎠
g (2 + h ) 57 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 10 Dui op die grafiek aan waar u die eerste drie antwoorde op vraag 1.9 sou aflees. 11 Gebruik 1.4 en bereken die waardes van t sodat g = 7 . 12 Dui op die grafiek aan waar u die antwoorde op vraag 1.11 sou aflees. Beskou die voorstelling: 13 Watter van die gegewe gevalle stel funksies voor? 58 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 14 Watter van die funksies hierbo is een‐tot‐ een‐funksies? 15 As A = {−1; 0;1; 2; 3}
en If A = {−1; 0;1; 2; 3}
B = {−3; − 2; − 1; 0;1; 2; 3;...; 9;10} , skryf B = {−3; − 2; − 1; 0;1; 2; 3;...; 9;10}
die volgende funksies as versameling getallepare: 15.1 , {( x; y ) y = x; x ∈ A, y ∈B} {( x; y ) y = x ; x ∈ A, y ∈B} 15.2 2
16 Sê of elkeen van die funksies by Vraag 15 een‐tot‐een‐funksies of meer‐tot‐een‐
funksies is. 16.1.............................................................................................................................. 16.2.............................................................................................................................. 16 Skets rofweg elkeen van die volgende funksies en skryf die funksie se definisieversameling en waarde‐
versameling neer: 59 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 16.1 {
( x; y ) y = ( x − 1 )2 − 4; x ∈
, y∈
}
16.2 {(t; y ) y = − (t − 2) + 2; t ∈
2
, y∈
} 16.3 ⎧
8
⎫
+ 1; z ∈ , y ∈ ⎬ ⎨( z ; y ) y = −
z +1
⎩
⎭
60 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 16.4 {( p; r ) r =
p − 2; p ∈ , r ∈
} 16.5 {( x; y ) y = e ; x ∈
x
, y∈
} 16.6 {( x; y ) y = ln x; x ∈
, y∈
} 61 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Funksie‐waardes Funksiewaardes is die afhanklike veranderlike‐waardes wat op die vertikale as afgelees word. Dit word bereken deur bepaalde waardes van die onafhanklike veranderlike in die funksie se definiërende vergelyking te vervang. Oefening 3.2 Function values Exercise 3.2 n −1
……………………………………………………………………….. en/ and T4 = ......................................................................................................... ……………………………………………………………………………………………………………… en/ and g ( t ) = ......................... ⎛2⎞
en/ and g ⎜ ⎟ = ................................................................................................. ⎝3⎠
62 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… 63 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 3.3 Inverse van 'n funksie/ Inverse of a function Inverse funksies Voorbeeld Indien y = sin x en x =
⎛π ⎞
dan is y = sin⎜ ⎟
6
⎝6⎠
π
π
1
wat y = lewer. 2
Gestel egter dat ons weet dat y =
1
in 2
y = sin x maar ons wil vir x bepaal. Dan gaan ons soos volg te werk: 1
⎛1⎞
= sin x so x = sin−1 ⎜ ⎟ en dit lewer 2
⎝2⎠
onder meer x =
π
6
π
6
Bogenoemde illustreer die gebruik van ‘n inverse funksie of inverse funksie‐
bewerking. Berekening van inverse funksies In gees en wese kom die berekening van die inverse van ‘n funksie daarop neer dat... •
ons die afhanklike en onafhanklike veranderlike in die definiërende vergelyking omruil en •
•
dat ons die vertikale as‐
veranderlike (afhanklike veranderlike) weer die onderwerp van die vergelyking maak. •
Daar is nietemin ‘n komplikasie by die berekening van inverse funksies, en dit is dat slegs een‐een‐duidige funksies inverses besit. Beskou bv. die sinus‐funksie f en sy inverse f −1 wat deur die grafiese 64 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies rekenaarprogram aangedui word deur g : 65 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Dit is duidelik dat slegs die gedeelte van die sinus‐kromme tussen die punte waar hy horisontaal loop (by sy draaipunte), ‘n spieëlbeeld in die lyn y = x het. Onthou dat ‘n funksie y = f −1 ( x ) per definisie een en slegs een y ‐waarde besit vir elke x ‐waarde. Dit beteken meetkundig dat ‘n vertikale lyn wat oor die kromme van f −1 skuif, die kromme by elke x ‐waarde slegs een keer mag sny. Maar die inverse funksie f −1 is uit f verkry deur die afhanklike veranderlike en die onafhanklike veranderlike te ruil – effektief het ons dus die asse geruil – en dit impliseer dat ‘n horisontale lyn wat oor f skuif, dit by elke y ‐waarde slegs een keer mag sny – slegs daardie deel van f se waardeversameling waarop horisontale lyntoets slaag, definisieversameling van f
(Onthou dat f
beteken nie.) 66 −1
−1
hy sal die die vorm. 1
in hierdie konteks NIE f
1
f
Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Oefening 3.3 Exercise 3.3 Bepaal die inverse van die volgende funksies en skets f sowel as f −1 : 2. f ( x ) = x − 1 67 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Kombinasies van funksies (bewerkings) Aangesien funksiewaardes getalle is, tree funksies soos getalle op waarmee ons bewerkings kan doen. Die komplikasie, natuurlik, is die definisieversameling van die resultaat van die bewerking – in die algemeen is die definisieversameling van die resultaat die snyding van die definisieversamelings van die afsonderlike funksies – in die geval van deling (kwosiënte) is die waardes van die onafhanklike veranderlike waarvoor die noemerfunksie nul is, ook uitgesluit. 68 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies Oefening 3.4 1. As f ( x ) = 2 x 2 en g ( x ) = 3 x + 5 , bepaal die volgende 1.1
(f
+ g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) = .................... + ..................... …………………………………………………………………………………. 1.2 ( g + f )( x ) = ................ + ................ = .................... + ..................... ……………………………………………………………………………….... 1.3
(f
− g )( x ) = ................ − ................ = .................... − ..................... ……………………………………………………………………………….... 1.4 ( g − f )( x ) = ................ − ................ = .................... − ..................... ……………………………………………………………………………….... 1.5
( fg )( x ) = ................ × ................ = .................... ⋅ ..................... ……………………………………………………………………………….... 69 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 1.6 ( gf )( x ) = ................ × ................ = .................... × ..................... ……………………………………………………………………………….... ⎛f ⎞
1.7 ⎜ ⎟ ( x ) = ________________ = ________________________________ ⎝g⎠
= ____________________________________________________ =………………………………………………………………………………................. ⎛g⎞
1.8 ⎜ ⎟ ( x ) = ________________ = ________________________________ ⎝f ⎠
= ____________________________________________________ =………………………………………………………………………………................. 2. Watter van die bewerkings in hierbo is kommutatief? 70 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 3. As f ( x ) = 2 x 2 , a = 3 en x = 2 bepaal: 3. If
f ( x ) = 2 x 2 , a = 3 and x = 2 determine: 3.1 a ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ = ………………………………………………….…………………. ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.2 f ( ax ) = …………………………………………………………..………………. ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….. 3.3 Watter gevolgtrekking kan u maak oor 3.1 en 3.2/ 4. As g ( x ) = x , a = 9 en x = 16 bepaal: 4.1 g ( a + x ) = ………………………………………………….…………………. ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 71 Leereenheid 3: Inleiding tot funksies 4.2 g ( a ) + g ( x ) = …………………………………………………………..………………. ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………….. 4.3 Watter gevolgtrekking kan u maak oor 4.1 en 4.2? 72 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4 Radiaalmaat en trigonometrie/ Radian measure and trigonometry Leerdoelstellings vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 1. Radiaalmaat te definieer en hoeke van grade na radiale om te skakel en 2. Calculate arc length bereken 4. Al ses trigonometriese verhoudings te definieer en hul funksiewaardes in formulas al vier kwadrante van die platvlak te 6. Apply the double angle formulas bereken 7. Prove trigonometric identities 5. Die som‐ en verskilformules toe te pas 6. Die dubbelhoekformules toe te pas 7. Trigonometriese indentiteite te bewys 73 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.1 Radiaalmaat/ Radian measure Die verdeling van ‘n sirkel in 360 gelyke dele wat ons grade noem, asook die onderverdeling van ‘n graad in 60 gelyke dele wat ons minute noem, is ‘n antieke gebruik wat by die Babiloniese en Sumeriese geleerdes van voor 540 vC oorgeneem is. Probeer gerus met behulp van die volgende sketse verduidelik wat ons bedoel met die begrip “hoek”. Vir moderne Wiskunde en wetenskap vereis ons ‘n formele definisie vir die begrip hoek. Beskou onderstaande skets waarop akkurate metings aangetoon word en bereken vir al drie sektore die waarde van die verhouding booglengte
: radius
74 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie booglengte
bly konstant in al radius
drie gevalle, ongeag die grootte van die oppervlakte van die gebied tussen die lyne en/of boë wat die sektore omsluit. Daarom is dit nuttig om die hoek tussen enige twee radiusse voortaan eenvoudig te booglengte
definieer as θ =
. radius
Let daarop dat die hoek θ geen eenheid besit nie; hoekom? Ons defineer daarom eenheid van ‘n hoek θ booglengte
wat gedefineer is as θ =
as radius
radiale. Die verhouding Hoe groot is ‘n radiaal en hoeveel radiale pas in ‘n volsirkel, wat ons tradisioneel beskou as die boog van een omwenteling (360°)? Beskou die volgende skets en voltooi die ontbrekende inligting: 75 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie U kan sien dat ‘n hoek van 1 radiaal ‘n groot hoek is; skat gerus hoe groot die hoek hierbo in grade sou wees. Laat ons nou ‘n metode ontwikkel om radiale in grade om te skakel: Beskou ‘n sirkel met radius r en sirkelboog s waar die sirkelboog die hele omtrek van die sirkel is. In hierdie geval is die hoek wat deur twee radiusse en die boog (dit is nie omtrek) onderspan word, tog een omwenteling, dit is 360° volgens ons tradisionele hoekmaat. Voltooi nou die redenasie: Een omwent ( ° ) = 1 Omwent (radiale )
∴360° =
booglengte (volsirkel )
radius
∴360° =
............................
(omtrek=?)
r
One rev ( ° ) = 1 Rev (radians )
(per def.)
∴360° =
arc length ( full circle)
radius
∴360° =
............................
(circumf=?)
r
∴360° = ...................... radiale
∴360° = ...................... radians
∴1 ° = ..................... radiale
∴1 ° = ..................... radians
1 radiaal = .................°
1 radian = .................°
76 (by def.)
Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Dit is nou maklik om te sien dat ons ‘n hoek van π radiale as ‘n hoek van 180° kan beskou. Omskakelings soos die volgende volg dan maklik: Voorbeeld/ Example 1 Skakel 240° om na radiale/ Convert 240° to radians 2. Skakel 315° om na radiale/ Convert 315° to radians 3
3
3. Skakel π radiale om na grade/ Convert π radians to degrees 4
4
4. Skakel 11
11
π radiale om na grade/ Convert π radians to degrees 6
6
Oplossing/ Solution 1. 240° = 180° + 60°
1
= π rad + π rad
3
3
1
= π rad + π rad
3
3
4
= π rad
3
2. 315° = 360° − 45°
1
= 2π rad − π rad
4
8
1
= π rad − π rad
4
4
7
= π rad
4
3.
4.
3
3
π rad = × 180°
4
4
= 135°
11
11
π rad = × 180°
6
6
= 330°
77 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Oefening 4.1 Voltooi nou die ontbrekende inligting in onderstaande skets: 78 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.2 Berekening van booglengte/ Calculation of arc length booglengte
volg radius
nou die volgende interessante toepassings: Uit die definisie θ in rad =
Oefening 4.2 1. ‘n Speelgoedtrein ry in ‘n sirkelbaan met ‘n oppervlakte van 25 446,900 49 cm2 . Indien dit 2,5 m aflê tussen twee punte op die spoor, wat is die hoek in grade waardeur die treintjie gery het? 2. Gestel ‘n sirkelsektor het ‘n radius van x en ‘n middelpuntshoek van 2 radiale . Bereken die lengte van die boog van die sektor. 79 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3. Bepaal die oppervlakte van ‘n sirkel indien ‘n booglengte van 200 mm onderspan word deur ‘n hoek van 171,887 339° . 80 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.3 Berekening van die oppervlakte van ‘n sirkelsektor/ Calculation of the area of a circle sector Beskou die volgende tabel en kyk of u die patroon kan raaksien: Oppervlakte‐ Middelpunts‐ Formule/ hoek in rad/ Area formula Angle in rad A = π r2 2π Figuur/ Figure Volsirkel/ Full circle Halfsirkel/ π A = ...........π r 2 Semi‐circle Kwartsirkel/ A = .............π r 2 ........... 1
A = π r2 8
π
A = .............π r 2 ........... Quarter circle Agstesirkel/ 4
Voltooi: Indien ‘n sirkelsektor ‘n hoek van θ radiale by die middelpunt maak, is die formule vir die oppervlakte van die sektor: A = ..............r 2
A = ..............r 2
81 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Oefening 4.3 Exercise 4.3 1. Die straal van ‘n waterspreier beweeg deur ‘n hoek van 50° en die straal kan 5 m ver bykom. Bereken die oppervlakte wat dit kan natlei. 2. Gestel die hoek θ waardeur die straal beweeg, verdubbel maar die radius van die straal halveer. Met watter persentasie sal die oppervlakte wat besproei kan word, dan verander? Is dit ‘n toename of afname? 82 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3. Gestel die hoek θ waardeur die straal beweeg, halveer maar die radius van die straal verdubbel. Met watter persentasie sal die oppervlakte wat besproei kan word, dan verander? Is dit ‘n toename of afname? 83 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4. Bepaal die radius: 4. Bepaal die radius: 84 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.4 Die ses trigonometriese verhoudings en hul funksiewaardes in al vier kwadrante van die platvlak/ The six trigonometric ratios and their function values in all four quadrants of the flat plane Beskou die reghoekige driehoek: Fig. 4.4.1 Aangesien daar ses verskillende maniere bestaan om die teenoorstaande sy, aangrensende sy en skuinssy van ‘n regte driehoek as verhoudings van mekaar te skryf, geld nie net die volgende drie verhoudings 85 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie sinθ =
b
c
en/and
sinα =
.........
..........
cosθ =
.............
............
en/and
cos α =
.......... c
tanθ =
.............
............
en/and
tanα =
.........
..........
nie, maar ook die volgende verhoudings cosecθ =
en/and
cosecα =
1
.........
=
sinα ..........
secθ =
1
.............
=
cosθ ............
en/and
sec α =
1
.......... =
cosα ...........
cotθ =
1
.............
=
tanθ ............
en/and
cot α =
1
.........
=
tanα ..........
Die verhoudings in die tweede groep hierbo staan as resiprookverhoudings of omgekeerde verhoudings van die sinus‐, cosinus‐ en tangensverhoudings bekend. (NIE INVERSE VERHOUDINGS NIE) Dit kan maklik aangetoon word dat sinθ
deur van die eerste skets in Fig. tanθ =
cos θ
4.4.1 gebruik te maak: 86 sinθ
cos θ
Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Voorbeeld/ Example 1. Bewys dat tanθ =
sinθ
cos θ
sinθ
cosθ
Maak nou van die tweede skets in Fig. 4.4.1 cos α
gebruik en bewys self dat cot α =
. sinα
87 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Die tweede skets in Fig. 4.4.1 gee ook aan ons ‘n manier om die ko‐verhoudings van die ses trigonometriese verhoudings verkry. Voltooi die volgende: sinα =
..............
..............
en/ and cosθ =
dus/ so.............. = ....................
...............
...............
maar aangesien/ but because θ =
sin......... = cos (..............................)
cos α =
2
− α kan ons skryf/ we may write
..............
..............
en/ and sinθ =
dus/ so.............. = ....................
...............
...............
maar aangesien/ but because θ =
cos......... = sin (.............................. )
tanα =
π
π
2
− α kan ons skryf/ we may write
..............
..............
en/ and cotθ =
dus/ so.............. = ....................
...............
...............
maar aangesien/ but because θ =
tan......... = cot (.............................. )
π
2
− α kan ons skryf/ we may write
sec α =
..............
..............
en/ and cosecθ =
dus/ so.............. = ....................
...............
...............
maar aangesien/ but because θ =
π
2
sec......... = cosec (.............................. )
− α kan ons skryf/ we may write
Dit is ook aan u bekend dat die trigonometriese funksiewaardes vir sekere bekende hoeke, nl. 0°, 30°, 45°, 60° en 90° baie maklik uit die volgende sketse bepaal en ook maklik gememoriseer kan word; Ons pas onderstaande sketse vir radiaalmaat aan. 88 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Voltooi die ontbrekende inligting: Fig 4.4.2 Let op dat die driehoeke hierbo nie regtig bestaan nie; ons gebruik ons verbeelding om te bepaal wat met die driehoek gebeur indien die sy en die skuinssy van die driehoek "op mekaar val"/
Note that the triangle above does not actually exist ; we use our imagination in order to establish
what happens with the triangle when one of its sides and the hypotenuse " co − incides ".
89 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Fig. 4.4.3 Aangesien dit dikwels gebeur dat ‘n hoek ‘n π
waarde van meer as radiale besit, moet ons 2
trigonometrie kan doen met hoeke in al vier kwadrante van die platvlak. 90 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Voltooi onderstaande skets: Fig. 4.4.4 Op die volgende bladsy is nog 'n interessante manier om die meeste van ons trigonometrie‐
kennis op te som: 91 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Meer oor spesiale hoeke Gebruik die definisies in terme van die eenheidsirkel en bepaal die waardes van sinus, cosinus en tangens vir die volgende spesiale hoeke met behulp van die sketse: 92 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie (a) cos π
= ……………………………… 2
(b) sin π
= ………………………………. 2
(c) tan π
= ………………………………. 2
(d) cos π = …………………………………. (e) sin π = ………………………………….. (0, 1)
(−1, 0)
(f) (g) tan π = ………………………………….. cos 3π
= ……………………………… 2
(h) sin 3π
= ………………………………. 2
(i) tan 3π
= ………………………………. 2
(j) cos 2π = …………………………………. (k) sin 2π = ……………………………………. (l) tan 2π = …………………………………… (0, −1)
(1, 0)
93 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Oefening 4.4 Exercise 4.4 1. Bereken sonder ‘n sakrekenaar die waarde van 1.1
⎛4 ⎞
⎛3 ⎞
⎛ 11 ⎞
tan2 ⎜ π ⎟ + sec2 ⎜ π ⎟ × 4cos2 ⎜ π ⎟ ⎝3 ⎠
⎝4 ⎠
⎝ 6 ⎠
2
⎛ ⎛2 ⎞
⎛ 5 ⎞⎞
⎛π ⎞
1.2 ⎜ sin ⎜ π ⎟ + cos ⎜ π ⎟ ⎟ + cosec2 ⎜ ⎟ 3
3
⎠
⎝
⎠⎠
⎝6⎠
⎝ ⎝
94 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 1.3
⎛π ⎞
⎛5 ⎞
cos ⎜ ⎟ + sin ⎜ π ⎟ + 3cos ( 2π ) ⎝2⎠
⎝2 ⎠
1
⎛4 ⎞
⎛5 ⎞
⎛3 ⎞
1.4 3cos2 ( 2π ) + tan2 ⎜ π ⎟ + 2sin ⎜ π ⎟ + 2cos5 ⎜ π ⎟ 3
3
6
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝2 ⎠
95 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie ⎛5 ⎞ ⎛4 ⎞
⎛ 11 ⎞
sin2 ⎜ π ⎟ tan ⎜ π ⎟ sec2 ⎜ π ⎟
⎝4 ⎠ ⎝3 ⎠
⎝ 6 ⎠ 1.5
2
⎛
⎞
tan ⎜ π ⎟
⎝3 ⎠
⎛4 ⎞
⎛7 ⎞
1.6 sin2 ⎜ π ⎟ + sin2 ⎜ π ⎟ ⎝3 ⎠
⎝6 ⎠
96 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie ⎛π ⎞
⎛π ⎞
1.7 sec 2 ⎜ ⎟ − tan2 ⎜ ⎟ 3
⎝ ⎠
⎝3⎠
⎛2 ⎞
⎛2 ⎞
1.8 cosec 2 ⎜ π ⎟ − cot2 ⎜ π ⎟ 3
⎝
⎠
⎝3 ⎠
2. Gebruik die eerste skets in Fig. 4.4.1 en bewys dat 2.1 cosec2θ = cot2 θ + 1 97 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 2.2 sec2θ = tan2 θ + 1 2.3 tan4 θ + tan2 θ = sec4 θ − sec2 θ 98 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie Linkerkant/LHS = sin2α + cos2 α
2
⎛a⎞ ⎛b⎞
=⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝c⎠ ⎝c⎠
=
=
=
a2
+
2
Volgens 2e skets in Fig. 4.4.1/ Using 2nd sketch in Fig. 4.4.1
b2
c2 c2
a 2 + b2
c2
c2
c
=1
2
Regterkant/RHS = 1
∴Linkerkant/LHS = Regterkant/RHS dus / so sin2α + cos2 α = 1
99 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3. Vereenvoudig na eenvoudigste vorm: 3.1
sin (π − θ ) cot (π + θ ) sec ( 2π − θ )
2 ⎛π
⎞
cos (π + θ ) + cos ⎜ − θ ⎟
⎝2
⎠
2
3.2
100 tan (π − θ ) 1 − sin2 θ
⎛π
⎞
cos ⎜ − θ ⎟
2
⎝
⎠
Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3.3
sin (π + A) cos ( 2π − A)
⎛π
⎞
cos ⎜ − A ⎟ cos ( 2π + A )
⎝2
⎠
4. Voltooi die volgende drie voorstellings van die basiese trigonometriese grafieke: 0 1
π 4
1
π 2
3
π 4
π 5
π 4
3
π 2
7
π 4
2π y 101 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 102 x 0 1
π 4
1
π 2
3
π 4
π 5
π 4
3
π 2
7
π 4
2π y Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie x 0 y π
4
45π
100
π
2
55π
100
3π
4
π 5π
4
145π
3π
100
2
155π
7π
100
4
2π 103 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 5. Los die volgende trigonometriese vergelykings op vir waardes van θ sodat 0 ≤ θ ≤ 2π : 1
5.1 sinθ = − 2
104 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 5.2 2cosθ = 3 5.3
3 tanθ + 1 = 0 105 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 5.4 sec 2θ + 2 = 0
5.5
106 3cosec2θ + 2 = 0 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 6. Los die volgende trigonometriese vergelykings op vir alle radiaal‐waardes van θ , met ander woorde, vind die algemene oplossings: 6.1 π
π
cos( x + ) = sin(3 x − ) 3
3
6.2 sin(cos x ) = 0 107 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.5 Die som‐ en verskilformules/ The sum and difference formulae Uit die definisies van die trigonometriese funksies kan die volgende belangrike indentiteite afgelei word; in hierdie kursus het ons nie tyd om hul afleidings te bespreek nie, maar u kan dit gerus self naslaan: sin ( A ± B ) = sin Acos B ± cos A sin B
cos ( A ± B ) = cos Acos B ∓ sin A sin B tan ( A ± B ) =
tan A ± tan B
1 ∓ tan A tan B
Oefening 4.5 5
met 13
3
cos B = −
met 5
1. Indien gegee is dat sin A =
0≤ A≤
π
2
3π
π ≤B≤
2
en , bereken sonder ‘n sakrekenaar: 108 calculator: 1.1 sin ( A − B ) Exercise 4.5 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 1.2 cos ( A + B ) 1.3 tan ( B − A ) 2. Bereken sonder ‘n sakrekenaar die π
waarde van cos ⎛⎜ ⎞⎟ deur gebruik te 12
⎝ ⎠
π π
maak van cos ⎛⎜ − ⎞⎟ : ⎝4 6⎠
109 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3. Bewys dat tan (π + θ ) = tanθ 3. Bewys dat tan (π + θ ) = tanθ 4. Bereken die sonder ‘n sakrekenaar die waarde van cos23° cos67° − sin23° sin67° . 110 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 5. Bereken sonder ‘n sakrekenaar die tan18° + tan27°
waarde van 1 − tan18° tan27°
111 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 4.6 Die dubbelhoekformules/ The double angle formulae Uit die som‐ en verskilformules kan die volgende belangrike indentiteite afgelei word: sin2 A = 2sin Acos A
cos2 A = cos2 A − sin2 A
= 2cos2 A − 1
= 1 − 2sin2 A
tan2 A =
2tan A
1 − tan2 A
Oefening 4.6 Exercise 4.6 Linkerkant/ LHS = s in2 A
= sin( A + A)
112 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 3. Gebruik u resultaat uit vraag 2 om 'n indentiteit vir sin2 A af te lei in terme van cos2 A / Use your result from question 2 in order to derive an identity for sin2 A in terms of cos2 A 5. Gebruik u resultaat uit vraag 4 om 'n indentiteit vir cos2 A af te lei in terme van cos2A / Use your result from question 4 in order to derive an identity for cos2 A in terms of cos2 A 113 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 6. Bewys die indentiteit/ Prove the identity: sin2φ
= tanφ 1 + cos2φ
114 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 8. Bewys die indentiteit/ Prove the identity: cos
π
28π
= cos 6
6
2π
28π
= cos( − ) 3
3
115 Leereenheid 4: Radiaalmaat en trigonometrie 11. Bewys die indentiteit/ Prove the identity: 116 cos 4 x + cos 2 x
= cot x sin 4 x − sin 2 x
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5 Absolute waardes en limiete/ Absolute values and limits Leerdoelstellings vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 2. Apply the absolute value operation 1. Ongelykhede op te los 2. Die absolute waarde‐bewerking op algebraïese uitdrukkings toe te pas 3. Die absolute waarde‐funksie as 'n stuksgewyse funksie te definieer 4. Die absolute waarde‐funksie as die "afstand"‐funksie te interpreteer en grafies voor te stel 5. Die limiet van 'n funksie in terme van linkerlimiete en regterlimiete in die omgewing van 'n punt te bepaal 6. Uitspraak te kan lewer oor die kontinuïteit van 'n funksie in 'n judgment regarding the bepaalde punt 8. Apply the epsilon‐delta definition of 7. Sekere limiete te bereken 8. Die epsilon‐delta‐definisie van die limiet van 'n funksie toe te pas om te particular point exists bewys dat die limiet van 'n funksie in 'n bepaalde punt bestaan 117 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5.1 Ongelykhede/ Inequalities Indien ons die = in 'n vergelyking vervang met een van die relasietekens < , ≤ , > of ≥ dan verkry ons 'n ongelykheid. Sulke ongelykhede kan op soortgelyke wyse opgelos word as gewone vergelykings, solank die volgende in gedagte gehou word: Eienskap/ Property Voorbeeld/ Example 4 < 12 is waar/ is true (vermenigvuldiging of deling met −1 verander die Maar/ but −4 < −12 is onwaar/ is false ongelykheidsteken/ Multiplication or division by −1 Dus/ So −4 > −12 of/ or −12 < −4 changes the sign of the relationship symbol) Die dodelikste gevaar by die oplos van ongelykhede is waarskynlik by rasionale ongelykhede, wat NIE soos rasionale vergelykings gehanteer kan word NIE. Beskou die volgende voorbeelde aandagtig: 118 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Rasionale vergelyking/ Rational equation x −3
=2
x+2
x −3 x +2
x+2
∴
×
=2×
1
1
x+2
∴ x − 3 = 2x + 4
−7 < x < −2 . x −3
> 2 is x+2
dus/ is therefore −7 < x < −2 , ook geskryf as/ 119 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2x + 1
2
−
=1 x −1 x −3
∴
( x − 1 )( x − 3)
1
2x + 1
2
−
<1 x −1 x −3
( x − 1 )( x − 3 )
2 ⎞
⎛ 2x + 1
×⎜
−
⎟ = 1×
1
⎝ x −1 x − 3 ⎠
∴ ( 2 x + 1 )( x − 3 ) − 2 ( x − 1 ) = ( x − 1 )( x − 3 )
∴
2x + 1
2
−
−1 < 0
x −1 x − 3
∴
2 ( x − 1)
( 2 x + 1 )( x − 3 )
( x − 3 )( x − 1 )
−
−
<0
( x − 1 )( x − 3 ) ( x − 3)( x − 1 ) ( x − 3 )( x − 1 )
∴
x2 − 3 x − 4
<0
( x − 1 )( x − 3)
∴2 x2 − 7 x − 1 = x2 − 4 x + 3
∴ x − 3x − 4 = 0
2
∴ ( x − 4 )( x + 1 ) = 0
( x − 4 )( x + 1 )
∴
<0
( x − 1 )( x − 3 )
120 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Oefening 5.1 Los op die volgende ongelykhede: 1.
x −3
≥0 x +1
2.
2x + 1
≤3 x −5
121 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 3.
122 1+ x 1− x
−
≤ −1 1− x 1+ x
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5.2 Absolute waardes/ Absolute values Die afstand‐definisie x beteken x − 0 en dit beteken die grootte van die afstand tussen die punt 0 op die getallelyn en die punt x . Dit is duidelik dat x aan enige kant van die punt 0 kan lê; die afstand x − 0 is altyd positief – so, die waarde van x vir enige waarde van x sal altyd positief wees. Die getal x − 0 kan verkry word deur ‘n The number Die getal x − 0 may be passer se radius op x te stel en die punt op die nulpunt neer te sit. Dan kan die punt x aan weerskante van die nulpunt afgemerk word. Die formele algebraïese definisie ⎧x
x =⎨
⎩− x
as/if x ≥ 0
of in die algemeen/or in general as/if x < 0
⎧x − a
x − a = ( x − a) − 0 = ⎨
⎩− ( x − a )
123 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Die formule algebraïese definisie gee ons 'n manier om die absolute waarde‐funksie, gedefinieer deur f ( x ) = a bx − d + h maklik te skets. Die geheim is om die funksie as 'n stuksgewyse funksie te hanteer; dan gedra die absolute waarde‐funksie haarself soos 'n kombinasie van twee beperkte reguit lyn‐
grafieke. Die knakpunt is die punt op die grafiek waaromheen die grafiek simmetries is: f ( x ) = a bx − d + h
⎧⎪ a ( bx − d ) + h
∴ f (x) = ⎨
⎪⎩ − a ( bx − d ) + h
⎧ abx − ad + h
=⎨
⎩ − abx + ad + h
c
⎧ m
⎪( ab ) x + ( − ad + h )
⎪
=⎨
⎪⎛ − ab ⎞ x + ( ac + h )
⎪⎜⎝ m ⎟⎠
c
⎩
as/if
bx − d ≥ 0
as/if
bx − d < 0
as/if
bx ≥ d
as/if
bx < d
as/if
x≥
as/if
d
b
d
x<
b
Die knakpunt is dus by/ So the vertex is at x =
d
b
c
m
d
Vervang/ substitute x = in/ into y = ( ab ) x + ( − ad + h ) om die/ in order to obtain the y ‐ko‐
b
oordinaat/ co‐ordinate te verkry. Voorbeeld/ Example Skets die grafieke van die volgende funksies/ Sketch graphs of the following functions: 1.
y=2
1
x −2 +4 4
2.
y=−
1
3x + 5 − 3 4
124 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Oplossing/ Solution 1.
y=2
1
x −2 +4
4
⎧ ⎛1
⎞
⎪2 ⎜ 4 x − 2 ⎟ + 4
⎪ ⎝
⎠
∴y = ⎨
1
⎪ −2 ⎛ x − 2 ⎞ + 4
⎟
⎪⎩ ⎜⎝ 4
⎠
⎧1
⎪⎪ 2 x − 4 + 4
=⎨
⎪− 1 x + 4 + 4
⎪⎩ 2
⎧1
⎪⎪ x
= ⎨2
⎪− 1 x + 8
⎪⎩ 2
Knakpunt/ vertex: ( 8; 4 )
as/ if
1
x −2≥ 0
4
as/ if
1
x −2< 0
4
1
x≥2
4
1
x<2
4
as/ if
x≥8
as/ if
x<8
Dit lewer/ this yields: Normaalweg wys ons nie die twee "hulplyne" nie/ Normally, we do not show the two "auxilliary lines": 125 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2.
1
3x + 5 − 3
4
⎧ 1
⎪⎪ − ( 3 x + 5 ) − 3
∴y = ⎨ 4
⎪ + 1 ( 3 x + 5 ) − 3 as/ if
⎪⎩ 4
5
⎧ 3
⎪⎪ − 4 x − 4 − 3
=⎨
⎪3 x + 5 − 3
⎪⎩ 4
4
17
⎧ 3
⎪⎪ − 4 x − 4
=⎨
⎪3 x − 7
⎪⎩ 4
4
⎛ 5
⎞
Knakpunt/ vertex: ⎜ − ; − 3 ⎟
3
⎝
⎠
y=−
3x + 5 ≥ 0
as/ if
3x + 5 < 0
3 x ≥ −5
as/ if
3 x < −5
as/ if
5
3
5
x<−
3
x≥−
Dit lewer/ this yields: Meetkundige definisie Hoe kan ons ‘n passer en ‘n getallelyn gebruik om betekenis te gee aan iets soos x − a = r ? (Wat is die meetkundige betekenis van x − a = r ?) x − a = r beteken ( x − a) − 0
= r en dit beteken x − a lê presies r eenhede vanaf 0 op die getallelyn, so plaas die passer se punt op 0 en stel die radius op r . Trek dan ‘n sirkel om 0 en let op waar die sirkel die getallelyn sny. x − a lê op die snypunte 126 x − a = r means ( x − a) − 0
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete van die sirkel met die lyn, dit is die punte − r en − r . Hoe kan ons ‘n passer en ‘n getallelyn gebruik om betekenis te gee aan iets soos x − a < r of selfs x − a > r ? (Wat is die meetkundige betekenis van x − a < r en x − a > r ?) x − a < r beteken x − a > r ?) (x − a) − 0
< r en dit beteken x − a lê minder as r eenhede vanaf 0 op die getallelyn, so plaas die passer se punt op 0 en stel die radius op r . Trek dan ‘n sirkel om 0 en let op waar die sirkel die getallelyn sny. x − a lê enige plek op die deel van die getallelyn tussen die snypunte van die sirkel met die lyn.
x − a < r means (x − a) − 0
127 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Vir die geval x−a ≤r
oftewel ( x − a ) − 0 ≤ r lyk die situasie soos volg: 128 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Net so: ( x − a) − 0 > r
x−a >r
beteken en dit beteken x − a lê meer as r eenhede vanaf 0 op die getallelyn, so x − a lê enige plek op die deel van die getallelyn links en regs van die snypunte van die sirkel met die lyn. Similarly: x−a >r
means 129 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Vir die geval x−a ≥r
( x − a ) − 0 ≥ r lyk die situasie soos volg: 130 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Nog belangrike eienskappe van die absolute waarde‐bewerking x = x2
− x = − x2 a b = ab
a a
=
b b
−x + a = x − a
Voorbeeld/ example 1: •
Meetkundige definisie/ Geometric definition 131 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2 3x − 4 = 20
∴ 3x − 4 = 10
∴ ( 3x − 4 ) − 0 = 10
Bepaal dus die waarde van 3x − 4 sodat 3 x − 4 presies 10 eenhede vanaf die punt 0 op die getallelyn lê. Los dan op vir x./ So find the value of 3 x − 4 such that 3 x − 4 lies precisely 10 units from the
po int 0 . Then solve for x.
∴3x − 4 = −10
of / or
∴ x = −2
of / or
•
3x − 4 = 10
14
x=
3
Formele definisie/ Formal definition: 2 3x − 4 = 20
∴ 3x − 4 = 10
⎧⎪3x − 4 = 10
∴⎨
⎪⎩− ( 3x − 4 ) = 20
⎧3x = 14
∴⎨
⎩−3x + 4 = 10
⎧ 14
⎪⎪ x = 3
∴⎨
⎪−3x = 6
⎪⎩
⎧
⎪⎪ x = 4, 667
∴⎨
⎪ x = −2
⎪⎩
132 as
3x − 4 ≥ 0
as
3x − 4 < 0
as
as
3x ≥ 4
3x < 4
as
x≥
as
as
as
4
3
4
x<
3
4
x≥
3
4
x<
3
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete •
Grafiese interpretasie/ Graphical interpretation 133 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voorbeeld/ Example 2: •
Meetkundige definisie/ Geometric definition 3 2 x − 7 ≤ 30
∴ 2 x − 7 ≤ 10
∴ ( 2 x − 7 ) − 0 ≤ 10
Bepaal dus die waarde van x sodat 2 x − 7 binne 10 eenhede van die punt 0 op die getallelyn lê/
Find the value of x such that 2 x − 7 lies less than 10 units from the po int 0 on the number line
∴−10 ≤ 2 x − 7 ≤ 10
∴−3 ≤ 2 x ≤ 17
3
17
∴− ≤ x ≤
2
2
∴ x ∈[ −1,5; 8,5]
•
134 Formele definisie/ Formal definition: Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 3 2 x − 7 ≤ 30
⎧⎪3 ( 2 x − 7 ) ≤ 30
∴⎨
⎪⎩−3 ( 2 x − 7 ) ≤ 30
⎧6 x − 21 ≤ 30
∴⎨
⎩−6 x + 21 ≤ 30
⎧
⎪⎪6 x ≤ 51
∴⎨
⎪ −6 x ≤ 9
⎪⎩
51
⎧
⎪⎪ x ≤ 6
∴⎨
⎪x ≥ − 9
⎪⎩
6
⎧ x ≤ 8,5
∴⎨
⎩ x ≥ −1,5
as
2x − 7 ≥ 0
as
2x − 7 < 0
as
as
2x ≥ 7
2x < 7
as
x≥
as
as
as
as
as
7
2
7
x<
2
7
2
7
x<
2
x ≥ 3,5 x < 3,5
x≥
∴−1,5 ≤ x ≤ 8,5
∴ x ∈ [ −1,5; 8,5]
•
Grafiese interpretasie/ Graphical interpretation Voorbeeld/ Example 3: •
Meetkundige definisie/ Geometric definition − 2 3 x + 4 < −6
∴ 3x + 4 > 3
∴ ( 3x + 4 ) − 0 > 3
135 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Bepaal dus die waarde van x sodat 3x + 4 meer as 3 eenhede van die punt 0 op die getallelyn lê./
Deter min e the value of x such that 3 x + 4 lies more than 3 units from the po int 0 on the number line.
∴3x + 4 < −3
of / or
7
∴x < −
of / or
3
7⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛
∴⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎜ − ; ∞ ⎟
3⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝
•
3x + 4 > 3
1
x>−
3
Formele definisie/ Formal definition − 2 3x + 4 < −6
∴ 3x + 4 > 3
⎧⎪3x + 4 > 3
∴⎨
⎪⎩− ( 3 x + 4 ) > 3
⎧3x > −1
∴⎨
⎩−3 x − 4 > 3
⎧
⎪⎪3x > −1
∴⎨
⎪−3 x > 7
⎪⎩
as
3x + 4 ≥ 0
as
3x + 4 < 0
as
3 x ≥ −4
as
3 x < −4
as
x≥−
as
1
⎧
as
⎪⎪ x > − 3
∴⎨
⎪x < − 7
as
⎪⎩
3
7
1
∴x < −
of
x>−
3
3
7⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛
∴ x ∈ ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ⎜ − ; ∞ ⎟
3⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝
•
136 4
3
4
x<−
3
4
3
4
x<−
3
x≥−
Grafiese interpretasie/ Graphical interpretation Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 137 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Oefening 5.2 1. Los die onbekende op: 1.1 3 2 − k = 0 1.2 −2 2t + 1 = 6 1.3
1
1
r + = −2 2
2
2. Los op vir die onbekende en stel die oplossing op ‘n getallelyn voor. 138 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2.1 x + 2 ≤ 2 2.2 −3 2 x − 5 < −9 2.3 −6
2 − 3x
< −6 4
139 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 3. Skryf die volgende in absolute waarde‐notasie: 3. Skryf die volgende in absolute waarde‐notasie: 3.1 x is minder as 3 eenhede vanaf 7 3.1 x is minder as 3 eenhede vanaf 7 3.2 t is nie meer as 5 eenhede vanaf 8 3.2 t is nie meer as 5 eenhede vanaf 8 3.3 y lê tussen ‐3 en 3 3.3 y lê tussen ‐3 en 3 3.4 Die afstand tussen 6 en m is 4 3.4 Die afstand tussen 6 en m is 4 140 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5.3 Limiete en kontinuïteit/ Limits and continuity Dikwels stel ons daarin belang om te weet wat die waarde is wat 'n funksie aanneem wanneer die onafhanklike veranderlike baie groot negatief raak, of baie groot positief raak, of wanneer die onafhanklike 'n sekere waarde aanneem. Dit is nie in alle gevalle moontlik om gewoon die onafhanklike veranderlike in die funksie te vervang en dan die funksiewaarde te bereken nie. Vervolgens kyk ons na funksies wie se gedrag slegs met behulp van limiete volledig beskryf kan word. Voorbeeld 1 2x + 1
2
Beskou die funksie f ( x ) =
−
x −1 x −3
1. Bepaal f ( 2 ) , dit is die funksiewaarde in die punt waar x = 2 . 2. Die funksiewaarde in die punt waar x = 2 gee egter geen inligting oor die gedrag van die funksie baie naby aan die punt waar x = 2 nie. Laat ons die gedrag van die funksie ondersoek in die omgewing van hierdie punt. 141 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voltooi die volgende tabel: 2.1.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die linkerkant streef na 2, dan streef die funksiewaarde na ................................................. ................................................. 2.1.2 Skryf dit in limiet‐notasie: 2 ⎞
⎛ 2x + 1
−
lim− ⎜
⎟ = ..................... x −3⎠
x →2 ⎝ x − 1
2 ⎞
⎛ 2x + 1
−
lim− ⎜
⎟ = ..................... x −3⎠
x →2 ⎝ x − 1
of korter: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x → 2−
2.2.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die regterkant streef na 2, dan streef die funksiewaarde na x → 2−
................................................. 2.2.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x → 2+
x →2+
2.3 142 Vergelyk 2.1.2 en 2.2.2. 2.3 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voltooi: Complete: lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x →2−
lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x →2−
x →2
x →2
Wanneer die linkerlimiet en die regterlimiet van 'n funksie dieselfde waarde aanneem in 'n punt, dan sê ons die funksie het 'n limiet in daardie punt. Beskou 2.1.2 en 2.2.2 en voltooi: Omdat lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. kan Because lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. ons skryf: x →2
x →2
x →2
lim f ( x ) = .............. x →2
lim f ( x ) = .............. x →2
x →2
Die limiet van 'n funksie in 'n bepaalde punt bestaan slegs as beide die linkerlimiet en die regterlimiet in daardie punt bestaan en biede die linkerlimiet en die regterlimiet dieselfde waarde het. In hierdie geval het ons dat die funksiewaarde in die punt waar x = 2 en die limiet van die funksie wanneer x van albei kante streef na 2 dieselfde waarde lewer: lim f ( x ) = f ( 2 ) x →2
x →2
Hierdie spesiale sameloop van omstandighede impliseer dat die funksie f kontinu (aaneenlopend, sonder spronge of onderbrekings) is in die punt waar x = 2 . 3. Laat die gedrag van die funksie ondersoek waar x baie groot negatief en waar x baie groot positief word. Voltooi die volgende tabel: 143 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 3.1.1 Voltooi: Wanneer x streef na negatief oneindig, dan streef die funksiewaarde na ................................................. ................................................. 3.1.2 Skryf dit in limiet‐notasie: 2 ⎞
⎛ 2x + 1
lim ⎜
−
⎟ = ..................... x −1 x −3⎠
2 ⎞
⎛ 2x + 1
lim ⎜
−
⎟ = ..................... x −1 x −3⎠
x →−∞ ⎝
x →−∞ ⎝
of korter: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →−∞
x →−∞
3.2.1 Voltooi: Wanneer x streef na positief oneindig, dan streef die funksiewaarde na ................................................. ................................................. 3.2.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →∞
x →∞
Uit die limiete lim f ( x ) en lim f ( x ) kan x →−∞
x →∞
ons dikwels die horisontale asimptote van 'n funksie vind. 144 x →∞
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 4. Bepaal f ( 3 ) , dit is die funksiewaarde in die punt waar x = 3 . 5. Die funksiewaarde in die punt waar x = 3 sou selfs al het dit bestaan, geen inligting gegee het oor die gedrag van die funksie in die omgewing van die punt waar x = 3 is nie. Laat ons die gedrag van die funksie ondersoek in die omgewing van hierdie punt, waar die funksie ongedefinieerd is. Voltooi die volgende tabel: 5.1.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die linkerkant streef na 3, dan streef die funksiewaarde na ................................................. 145 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5.1.2 Skryf dit in limiet‐notasie: 2 ⎞
⎛ 2x + 1
lim ⎜
−
⎟ = ..................... x −1 x − 3 ⎠
2 ⎞
⎛ 2x + 1
lim ⎜
−
⎟ = ..................... x −1 x − 3 ⎠
x →3 − ⎝
x →3 − ⎝
of korter: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →3 −
5.2.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die regterkant streef na 3, dan streef die funksiewaarde na x →3 −
................................................. 5.2.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →3 +
x →3 +
5.3 Vergelyk 5.1.2 en 5.2.2. 5.3 Voltooi: Complete: lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x →3 −
lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x →3
x →3 −
x →3
Wanneer die linkerlimiet en die regterlimiet van 'n funksie nie dieselfde waarde aanneem in 'n punt nie, dan sê ons die funksie het nie 'n limiet in daardie punt nie. Beskou 5.1.2 en 5.2.2 en voltooi: Omdat lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) kan ons skryf: x →3
x →3
lim f ( x ) bestaan nie. x →3
Opmerking: Aangesien die linkerlimiet en regterlimiet elk ook nie na 'n vaste reële waarde streef nie, bestaan die linker‐ en regterlimiet in hierdie geval ook nie. 146 x →3
lim f ( x ) does not exist. x →3
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Ons noem die vertikale lyn met vergelyking x = 3 'n vertikale asimptoot van die funksie. Die limiet van 'n funksie in 'n bepaalde punt bestaan slegs as beide die linkerlimiet en die regterlimiet in daardie punt bestaan en dieselfde waarde besit. In hierdie geval het ons dat die funksiewaarde in die punt waar x = 3 nie bestaan nie en dat die limiet van die funksie wanneer x van albei kante streef na 3 ook nie bestaan nie. Hierdie spesiale sameloop van omstandighede impliseer dat die funksie f diskontinu (nie‐
aaneenlopend, met 'n sprong of onderbreking) is in die punt waar x = 3 . Vir duidelikheid toon ek hieronder 'n rekenaarvoorstelling van die funksie wat ons ondersoek het: 147 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voorbeeld 2 Example 2 Beskou die funksie ⎧x
⎪
f ( x ) = ⎨2
⎪x
⎩
2
as
x <1
as
as
x =1 x >1
3. Bepaal f (1 ) , dit is die funksiewaarde ⎧ x2
⎪
f ( x ) = ⎨2
⎪x
⎩
if
x <1
if
if
x =1 x >1
in die punt waar x = 1 . 4. Die funksiewaarde in die punt waar x = 1 gee egter geen inligting oor die gedrag van die funksie baie naby aan die punt waar x = 1 nie. Laat ons die gedrag van die funksie ondersoek in die omgewing van hierdie punt. Voltooi die volgende tabel: 148 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2.1.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die linkerkant streef na 1, dan streef die funksiewaarde na ................................................. ................................................. 2.1.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x→1−
2.2.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die regterkant streef na 1, dan streef die funksiewaarde na x→1−
................................................. 2.2.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →1+
x →1+
2.3 Vergelyk 2.1.2 en 2.2.2. Voltooi: lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x→1−
2.3 x→1
lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x→1−
x→1
149 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Wanneer die linkerlimiet en die regterlimiet van 'n funksie dieselfde waarde aanneem in 'n punt, dan sê ons die funksie het 'n limiet in daardie punt. Beskou 2.1.2 en 2.2.2 en voltooi: Omdat lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. kan Because lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. ons skryf: x→1
x→1
x→1
lim f ( x ) = .............. x→1
lim f ( x ) = .............. x→1
x→1
Die limiet van 'n funksie in 'n bepaalde punt bestaan slegs as beide die linkerlimiet en die regterlimiet in daardie punt bestaan en biede die linkerlimiet en die regterlimiet dieselfde waarde het. In hierdie geval het ons dat die funksiewaarde in die punt waar x = 1 en die limiet van die funksie wanneer x van albei kante streef na 1 verskillende waardes lewer: lim f ( x ) ≠ f (1 ) x→1
x→1
Hierdie spesiale sameloop van omstandighede impliseer dat die funksie f diskontinu is in die punt waar x = 1 . x = 1 . Vir duidelikheid toon ek hieronder 'n rekenaarvoorstelling van die funksie wat ons ondersoek het: 150 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voorbeeld 3 Example 3 Beskou die funksie f ( x ) =
8− x
2− x
3
1. Bepaal f ( 2 ) , dit is die funksiewaarde 8 − x3
2− x
in die punt waar x = 2 . 2. Laat ons die gedrag van die funksie ondersoek in die omgewing van hierdie punt. Voltooi die volgende tabel: 151 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2.1.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die linkerkant streef na 2, dan streef die funksiewaarde na ................................................. ................................................. 2.1.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x →2−
2.2.1 Voltooi: Wanneer x vanaf die regterkant streef na 2, dan streef die funksiewaarde na x →2−
................................................. 2.2.2 Skryf dit in limiet‐notasie: lim f ( x ) = ..................... lim f ( x ) = ..................... x→2+
x→2+
2.3 Vergelyk 2.1.2 en 2.2.2. Voltooi: 152 lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x→2−
2.3 x→2
lim f ( x ) ....... lim+ f ( x ) x→2−
x→2
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Wanneer die linkerlimiet en die regterlimiet van 'n funksie dieselfde waarde aanneem in 'n punt, dan sê ons die funksie het 'n limiet in daardie punt. Beskou 2.1.2 en 2.2.2 en voltooi: Omdat lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. kan Because lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = .............. ons skryf: x→2
x→2
x→2
lim f ( x ) = .............. x→2
lim f ( x ) = .............. x→2
x→2
Die limiet van 'n funksie in 'n bepaalde punt bestaan slegs as beide die linkerlimiet en die regterlimiet in daardie punt bestaan en beide die linkerlimiet en die regterlimiet dieselfde waarde het. LET DAAROP dat die funksie nie in daardie punt gedefinieer hoef te wees nie; die limiet bestaan in elk geval as beide die linkerlimiet en die regterlimiet dieselfde waarde het. In hierdie geval het ons dat die funksiewaarde in die punt waar x = 2 en die limiet van die funksie wanneer x van albei kante streef na 2 nie dieselfde waarde lewer nie; die funksiewaarde bestaan dan nie eers nie: x→2
x→2
Hierdie spesiale sameloop van omstandighede impliseer dat die funksie f diskontinu is in die punt waar x = 2 . x = 2 . Vir duidelikheid toon ek hieronder 'n rekenaarvoorstelling van die funksie wat ons ondersoek het: 153 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Let egter daarop dat die limiet van hierdie funksie ook soos volg verkry kan word: 8 − x3
x→2 2 − x
lim
= lim
x→2
= lim
(2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 )
2− x
( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 ) x→2
(
( 2− x )
= lim 4 + 2 x + x 2
x→2
)
= 4 + 2(2) + 22
= 12
Hierdie tipe limiet, waar die noemer wat nul sou word tydens direkte vervanging verwyder kan word deur faktorisering en deling, word 'n verwyderbare diskontinuït genoem. 154 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 0
Hulle word gekenmerk deur dat die vorm 0
ontstaan wanneer die waarde waarheen die onafhanklike veranderlike streef, direk in vervang word. Die uitdeelbewerking is toelaatbaar, aangesien die noemer streef na nul, maar nie nul word nie. Oefening 5.3 1. Ondersoek al die voorwaardes vir kontinuïteit en spesifiseer watter van die voorwaardes verbreek word by x = a vir elke funksie. 1.1 155 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 1.2 1.3 156 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 2. Gebruik die voorwaardes van kontinuïteit om aan te toon dat die volgende funksie kontinu is by die t −3
, t = −3 gegewe punt: g ( t ) =
9t
157 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Direkte metode berekening van limiete kom daarop neer dat ons 'n tabelmetode vermy en eerder direkte vervanging probeer. Wanneer direkte vervanging nie werk nie, toets ons of ons een van die volgende twee spesiale soort limiete het. 5.4.1 Die spesiale geval 0
0
Ons het hierdie soort aan die einde van Leergedeelte 5.3 teëgekom. 0
0
Voorbeeld/ Example p 2 − 25
p→−5 p + 5
Bereken/ Calculate lim
p2 − 25
lim
p→−5 p + 5
vervanging lewer / substitution yield
( −5 )2 − 25
−5 + 5
=
( p − 5) ( p + 5)
p→−5
( p + 5)
= lim ( p − 5 )
0
0
= lim
p→−5
= −5 − 5
= −10
5.4.2 Die spesiale geval ∞
∞
By hierdie soort deel ons in elke term deur die hoogste mag van die veranderlike wat voorkom. Voorbeeld/ Example Bereken/ Calculate lim
t2
t →∞ t 2
158 ∞
∞
−1
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Oplossing/ Solution t2
lim
−1
⎛ t2 ⎞
⎜⎜ 2 ⎟⎟
t
= lim ⎝ ⎠
2
t →∞ ⎛ t
1⎞
⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟
t ⎠
⎝t
t →∞ t 2
= lim
1
maar/ but
t →∞ ⎛
=
vervanging lewer / substitution yield
1⎞
⎜1 − 2 ⎟
t ⎠
⎝
1
tn
∞
∞
→ 0 as / if t → ∞ en / and n > 0 1
1
−
( 0)
=1
Oefening 5.4 Bereken die volgende direk (geen tabel) 1.
10 x 2
x →0 x
2.
x2 − 1
x→−1 x + 1
lim
lim
159 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete t 2 − 5t + 6
t →3
t −3
3. lim
4.
64 + k 3
k →−4 4 + k
5.
10 x 2
x→∞ x
6.
3 x2 − 5 x + 7
x→∞ 2 x 2 − x
lim
lim
160 lim
Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 7.
lim
2t + 5
t →∞ 3t + 2
8.
m3 − 27
m→∞ m − 3
lim
161 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete 5.5 Die epsilon‐delta definisie van 'n limiet/ The epsilon‐delta definition of a limit Die behoefte bestaan om 'n limiet op so 'n wyse formeel te definieer, dat ons wiskundig kan bewys dat 'n bepaalde funksie f 'n limiet L besit wanneer x → a . In die definisie dui ε op 'n afstand vanaf die punt L op die y ‐as. In die definisie dui δ op 'n afstand vanaf die punt a op die x ‐as. Die definisie stel kortliks dat as ons 'n sekere interval ( L − ε ; L + ε ) op die y ‐as neem en dit in die funksie f op die x ‐as afbeeld en ons om die punt a op die x ‐as 'n interval ( a − δ ; a + δ ) kan kry sodat elke x in hierdie interval se funksiewaarde nader aan L lê as ε , dan geld dat f ( x ) → L as x → a . 162 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Die bewering lim f ( x ) = L beteken dus dat L die limiet van die funksie f is indien f ( x ) willekeurig naby aan L x →a
x →a
gebring kan word deur x naby genoeg aan a te kies. Definisie van 'n limiet Laat f ( x ) gedefinieer wees vir alle x in 'n Let f ( x ) be defined for all x in some open oop interval wat die getal a bevat, met die f ( x ) nie moontlike uitsluiting dat gedefineer is in die punt a nie. Ons skryf lim f ( x ) = L x →a
as ons vir enige positiewe getal ε 'n bybehorende positiewe getal δ kan vind sodat f ( x ) − L < ε wanneer x voldoen aan 0 < x − a < δ . 163 Leereenheid 5: Absolute waardes en limiete Voorbeeld/ Example (3 x − 5) − 1 < ε
f ( x)
as / if
L
0< x−2 <δ
a
Maar ons kan dit herskryf as / But we may rewrite this as
3x − 6 < ε
as / if
0 < x −2 <δ
∴3 x − 2 < ε
as / if
0 < x −2 <δ
as / if
0 < x −2 <δ
∴ x −2 <
ε
3
ε
kies word die regterkant van die bewering: / If we choose δ =
0 < x −2 <
ε
ε
ε
3
wat impliseer dat/ which implies that x − 2 < .
3
3
Dit is wat vereis word deur die linkerkant van die bewering/That is what is required for the left side
of the statement.
Dus / So :
164 lim ( 3 x − 5 ) = 1
x→2
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise vir hierdie leereenheid benodig word: U behoort reeds uit u skoolkennis of uit die hersiening wat ons in Leereenheid 3 gedoen het, die volgende te kan doen: 1. Die formele definisie van ‘n funksie as ‘n spesiale relasie kan toepas 2. Die definisie‐ en waardeversameling van ‘n funksie kan identifiseer 3. Die inverse van ‘n gegewe funksie kan bepaal 4. Bewerkings met funksies kan uitvoer Blaai gerus terug indien nodig. Leerdoelstellings vir hierdie leereenheid Na afhandeling van hierdie leereenheid moet die student in staat wees om die volgende te doen: 1. Die afgeleide van 'n funksie te bereken deur gebruik te maak van die definisie van 'n afgeleide in terme van die limiet van die gradiënt van die snylyn deur 'n kromme wanneer die afstand tussen die 165 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise snypunte infinitesimaal word: f ( x + h) − f ( x)
dy
= lim
dx h→0
h
2. Te bepaal of 'n differensieerbaar is in 'n punt of nie, deur van die gradiënt van die raaklyn aan 'n kromme gebruik te maak 3. Differensiasiereëls toe te pas om die afgeleide van sekere enkelvoudige funksies te bereken 4. Die afgeleide van saamgestelde funksies te bereken 5. Differensiasie toe te pas om 'n verskeidenheid funksies kan teken en ontleed 166 f ( x + h) − f ( x)
dy
= lim
dx h→0
h
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.1 Die afgeleide van 'n funksie uit eerste beginsels/ The derivative of a function from first principles Die gradiënt van die snylyn deur ‘n kromme as die gemiddelde veranderingstempo van ‘n funksie Gestel 'n funksie is soos volg gedefinieer: f ( x ) = 3 x 2 + 45 x Beskou twee punte A en B op die kromme van die funksie sodat A by x = 3 en B by x = 6 geleë is. at x = 6 . 1. Bereken die koördinate van A en B. 2. Bereken nou die gradiënt van die snylyn AB. AB. Let op dat die gradiënt van die snylyn AB eintlik meet "hoe vinnig" die funksiewaarde 167 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise op hierdie interval ( 3; 6 ) verander. Omdat die interval lank is, noem ons die gradiënt van die snylyn die "gemiddelde veranderingstempo van die funksiewaardes met betrekking tot die onafhanklike the independent variable". veranderlike". Dit is wat ons met die simboool m AB =
Δy
Δx
m AB =
Δy
. Δx
bedoel. Die gradiënt van die raaklyn aan ‘n kromme as die oombliklike veranderingstempo van ‘n funksie Gestel 'n funksie is soos volg gedefinieer: f ( x ) = 3 x 2 + 45 x Beskou twee punte A en B op die kromme van die funksie sodat A by x = 3 en B by 'n punt x = 3 + h regs van A geleë is. 1. Bereken die koördinate van A en B. 168 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 2. Bereken nou die gradiënt van die snylyn AB in terme van h . 3. Gestel nou ons maak die waarde van h baie klein, sodat die punt B geweldig naby aan die punt A kom. Dan sal die snylyn AB al hoe meer soos 'n raaklyn aan die kromme by A begin lyk. m AB → mraaklyn by A as h → 0 Dus kan ons die naderskuif van B na A ten einde die snylyn AB in 'n raaklyn te verander, soos volg formuleer: mtan gent at A = lim m AB h →0
mraaklyn by A = lim m AB h →0
In terme van ons gewone notasie: 169 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Δy
h →0 Δ x
y − yA
= lim B
h →0 x B − x A
mraaklyn by A = lim
= lim
h →0
Let daarop dat u nou net hierbo vir f (3 + h ) − f (3)
3+h −3
Δy
h →0 Δ x
y − yA
= lim B
h →0 x B − x A
mtan gent at A = lim
= lim
h →0
in terme van h bereken het. Al wat u nou hoef te toen om die gradiënt van die raaklyn by A te kry, is om die waarde van h infinitesimaal (oneindig klein) te laat word: Die waarde wat u pas verkry het, gee die gradiënt van die raaklyn aan die kromme by die punt A, dit is waar x = 3 . Aangesien die interval waaroor die gradiënt van die raaklyn bereken is, dit is die grootte van h , infinitesimaal is meet die gradiënt van die raaklyn dus die oombliklike veranderingstempo van die funksiewaarde met betrekking tot die onafhanklike veranderlike. independent variable. Ons dui die oombliklike veranderingstempo, dit is die gradiënt van die raaklyn, aan met die simbool 170 dy
en dx
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise noem dit die afgeleide van die funksie. Voorbeeld Bepaal die afgeleide van die funksie Example f ( t ) = 4t 3 − 2t 2 uit eerste beginsels Oplossing (
)
Beskou punte A t; 4t 3 − 2t 2 en (
Solution Consider )
(
(
A t; 4t 3 − 2t 2
points )
and )
B t + h; 4 ( t + h ) − 2 ( t + h ) op die kromme van f . 3
2
Die twee punte is dus : 3
2
(
)
A t; 4t 3 − 2t 2 (
)
B t + h; 4t 3 + 12ht 2 + 12h2t + 4h3 − 2t 2 − 4ht − 2h2 =
4t 3 + 12ht 2 + 12h 2 t + 4h 3 − 2t 2 − 4ht − 2h 2 − ( 4t 3 − 2t 2 )
t +h−t
4t + 12ht + 12h t + 4h 3 − 2t 2 − 4ht − 2h 2 − 4t 3 + 2t 2
=
h
2
2
3
12ht + 12h t + 4h − 4ht − 2h 2
=
h
2
h (12t + 12ht + 4h 2 − 4t − 2h )
=
h
2
= 12t + 12ht + 4h 2 − 4t − 2h
Laat B na A beweeg deur h baie klein te maak/ Let B move to A by making h very small :
3
2
2
= lim (12t 2 + 12ht + 4h 2 − 4t − 2h )
h →0
= 12t 2 + 0 + 0 − 4t − 0
= 12t − 4t
2
171 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Let daarop dat sommige wiskundiges verkies om die berekening vanuit eerste beginsels effens meer kompak te doen: Voorbeeld Bepaal die afgeleide van die funksie y = x uit eerste beginsels Oplossing Example f ( x + h) − f ( x)
dy
= lim
dx h→0
h
x+h − x
= lim
h →0
h
⎛ x+h − x
⎞
= lim ⎜
×1⎟
h →0
h
⎝
⎠
⎛ x+h − x
x+h + x ⎞
= lim ⎜
×
⎟
h →0
h
x+h + x ⎠
⎝
x+h−x
= lim
h →0 h x + h +
x
h
= lim
h →0 h
x+h + x
1
= lim
h →0
x+h + x
1
=
x+0 + x
dy
1
∴ =
dx 2 ⋅ x
172 Solution Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Oefening 6.1 Bereken die afgeleides van die volgende vanuit eerste beginsels: 1.
g (t ) =
3
t
173 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 2. s ( t ) =
174 2t − 3
3t + 2
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 3.
f ( x ) = 3 x2 − 3 x + 4 4.
175 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise cos h − 1
sin h
= 1 en/and lim
= 0 h→0 h
h →0
h
5.
6.
g ( p) = 2 p 176 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.2 Differensieerbaarheid/ Differentiability Uit die vorige Leergedeelte volg dat die konsep van 'n afgeleide onlosmaakbaar deel is van die konsep van 'n raaklyn. Daarom kan ons differensieerbaarheid beskou as 'n eienskap wat beteken: Indien 'n funksie differensieerbaar is op 'n oop interval, dan is dit by elke punt in daardie oop interval moontlik om 'n unieke raaklyn met 'n reëlwaardige gradiënt aan die funksie te trek. Dit kom in beginsel daarop neer dat 'n funksie differensieerbaar is waar dit kontinu en glad is. 'n Funksie is dus ondifferensieerbaar waar dit 'n skerp punt vertoon, diskontinu is of vertikaal loop. Oefening 6.2 Exercise 6.2 1. Ondersoek al die voorwaardes vir differensieerbaarheid en spesifiseer watter van die voorwaardes verbreek word by elkeen van onderstaande gevalle. 1.1 177 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 1.2 1.3 178 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 179 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.3 Differensiasiereëls/ Differentiation rules In Leergedeelte 6.1 het ons beleef dat differensiasie vanuit eerste beginsels 'n omslagtige proses is. Gelukkig word gerieflike differensiasiereëls maklik afgelei deur die definisie van 'n afgeleide op 'n verskeidenheid funksies toe te pas. U sal sommige van hierdie differensiasiereëls nog self bewys; vir vandag aanvaar ons die volgende differensiasiereëls sonder bewys: Dx (constant) = 0 Konstantes/ Constants: Dx [f ( x ) + g ( x )] = Dx f ( x ) + Dx g ( x ) Aftrekking/ Subtraction: Dx [f ( x ) − g ( x )] = Dx f ( x ) − Dx g ( x ) Skalaarvermenigvuldiging/ Scalar multiplication: Dx [cf ( x )] = cDx f ( x ) Magsfunksie/ Power function : Produkreël/ Product rule: Dx [f ( x )g ( x )] = f ( x )Dx g ( x ) + g ( x )Dx f ( x ) Kwosiëntreël/ Quotient rule: Dx Kettingreël/ Chain rule: g ( x ) Dx f ( x ) − f ( x ) Dx g ( x )
f (x)
= , where g ( x ) ≠ 0 . g( x )
(g ( x ))2
dy dy dv du
=
, with y = f (v ) ; v = g (u ) , u = h( x ) dx dv du dx
Trigonometriese funksies/ Trigonometric functions: Dx sin x = cos x Dx csc x = − csc x cot x Dx cos x = − sin x D x sec x = sec x tan x Dx tan = sec 2 x Dx cot x = − csc 2 x Eksponensiële funksies/ Exponential functions: Dx e x = e x Dx a x = a x (ln a ) Dx loga x =
Dx e u = e u Dx u Logaritmiese funksies: Dx ln x =
1
x
Absolute waarde funksie: 180 1
1
(loga e ) Dx ln u = Dx u x
u
Dx x = x
x
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Laat ons nou ondersoek hoe hulle gebruik word. Oefening 6.3 Bereken die afgeleides in elkeen van die volgende gevalle deur van differensiasiereëls gebruik te maak. 1. Bepaal die gemiddelde gradiënt van f ( x ) = x 2 + 2 tussen x = 3 en x = 5/ Calculate the average slope of f ( x ) = x 2 + 2 between x = 3 and x = 5 2. As f ( x ) = 3 x 2 + 2 , bepaal die helling van raaklyn aan die kromme f by die punt x = 2 / If f ( x ) = 3 x 2 + 2 , determine the slope of the tangent to the curve f at the point x = 2 5
x4
181 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise (b) f(x) = 4 4 x 2 − 6 x f(x) = (2x2 + 4x)100 (c) 182 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise f(x) = (x2 + 6x)(x3 − 6x2) (d) (e) f(x) = x2 −1
x2 + 1
183 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise (f) f(x) = x2 + 3
5
(g) f(x) = sin x cos x (h) f(x) = 184 sinx
x
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise f(x) = x 2 e x (i) (m) f(x) = e x × ln x 185 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.4 Saamgestelde funksies en die kettingreël/ Composite functions and the chain rule Saamgestelde funksies Composite functions ‘n Saamgestelde funksie kan beskou word as ‘n funksie binne‐in ‘n ander funksie – soms word daar van “geneste funksies” gepraat. Wanneer so ‘n funksie se waarde bepaal word, werk ons van binne na buite. Voorbeeld 1 Example 1 Die volume van ‘n sferiese ballon word 4
gegee deur die formule V ( r ) = π r 3 . Die 3
radius van die ballon verander egter met tyd volgens die formule r ( t ) = −t 2 + 6t met 0 ≤ t ≤ 3 waar radius in cm gemeet word en tyd in sekondes. Ons wil die volume bereken op die 3
oomblik wanneer t = . 2
Nou kan ons die volume skryf as 3
⎛
⎞
⎟
4 ⎜ 2
(V r )( t ) = V ( r ( t ) ) = π ⎜ −t + 6t ⎟ 3
⎜ r(t ) ⎟
⎝
⎠
V (r)
Ons kan die uitdrukking regs probeer vereenvoudig deur die hakies uit te vermenigvuldige totat ons die volume as ‘n veeltermfunksie V ( t ) het – daarna kan ons 3
⎛3⎞
die waarde van t = in vervang om V ⎜ ⎟ 2
⎝2⎠
186 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise te verkry. Dit sou egter ‘n groot klomp rekenwerk afgee. Die teorie van saamgestelde funksies laat ons toe om eerder soos volg te werk te gaan: ⎛3⎞
Bereken r ⎜ ⎟ en vervang die antwoord in ⎝2⎠
4
die formule V ( r ) = π r 3 ; dan verkry ons 3
3
ook die waarde van V as t = . 2
Voltooi/ Complete: ⎛3⎞
r ⎜ ⎟ =………………………………………………… ⎝2⎠
=………………………………………………… 4
3
V (......) = π (.............. ) 3
=…………………………………………….. =……………………………………………… Wat is die definisieversameling van r ? Wat is die waardeversameling van r ? Wat is die definisieversameling van V ? Wat is die waardeversameling van V ? 187 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Voorbeeld 2 Example 2 Gegee: A( r ) = 4π r 2 Given: A( r ) = 4π r 2 r ( t ) = t 2 + 5t + 5 met 0 ≤ t ≤ 10 Ons wil A bereken vir t = 6 . Voltooi: Complete: 2
⎛
⎞
⎜
⎟
( A r )( t ) = .................... = 4π ⎜ .............................. ⎟ ⎜
⎟
r(t )
⎝
⎠
A( r )
r ( 6 ) =………………………………………………… =………………………………………………… = A (......) = 4π (..............) 3
=…………………………………………….. =……………………………………………… Wat is die definisieversameling van r ? Wat is die waardeversameling van r ? Wat is die definisieversameling van A ? Wat is die waardeversameling van A ? 188 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise In die algemeen definieer ons ‘n saamgestelde funksie soos volg: As f en g funksies van x is, dan is die saamgestelde funksie (f
g )( x ) die composite function ( f
geneste funksie f ( g ( x ) ) vir alle x in die definisieversameling van g sodat g ( x ) die definisieversameling van f vorm. Skematies kan ons die voorbeeld oor die ballon soos volg voorstel: By die kettingreël vir differensiasie wat u later vanjaar behandel, sal u in staat moet wees om ‘n saamgestelde funksie se binneste en buitenste deel te identifiseer. 189 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise function. By die kettingreël vir differensiasie moet u in staat moet wees om ‘n saamgestelde funksie se binneste en buitenste deel te identifiseer. Gewoonlik word die simbool u of g vir die binneste funksie gebruik en die simbool v of f vir die buitenste funksie. Voorbeeld 1 Example 1 (f
g )( x ) = f ( g ( x ) ) = ⎡⎣ x + 2 ⎤⎦ en dit lewer/ this yields ( f g )( x ) = x + 2 2
(g
f )( x ) = g ( f ( x ) ) =
( x ) + 2 en dit lewer/ this yields ( g
2
Voorbeeld 2 f
)( x ) =
x2 + 2 Example 2 1
⎛
⎞
f ( x ) = cos ⎜ 2
⎟ ⎝ x − x +1⎠
u( x)
v(u )
Dus/ So u ( x ) =
190 1
en/ and v ( u ) = cos u x − x +1
2
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Oefening 6.4 Exercise 6.4 1. As v ( t ) = 3 t en u ( t ) = sin t , bepaal 1. If die volgende: v (t ) = 3 t
and u ( t ) = sin t
, determine: 1.1 ( v u )( t ) 1.2 ( u v )( t ) 2. Gebruik die afgeleides, dit is kettingreël vir dy dy du
=
⋅ waar dx du dx
is u = g ( x ) en bereken die volgende dy dy du
=
⋅
where u = g ( x ) and dx du dx
afgeleides. 2.1 f ( x ) = 3 x − 2 1
191 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 2.2 f ( x ) =
(x
1
2
−1
)
2
wenk/ hint . (
)
5
2.3 f ( x ) = x 3 − x 2 + x + 1 . 192 1
= a −2 2
a
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 2.4 f ( x ) = 5tan x . 2.5 f ( x ) = cos2 x . 193 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.5 Toepassing van differensiasie/ Application of differentiation Analise is een van die kragtigste gereedskapstukke wat die mens nog ontwikkel het. Alhoewel u nog net van differensiasie kennis dra, kan u alreeds 'n groot verskeidenheid werklikheidsgetroue situasies wat met veranderingstempo te doen het, wiskundig hanteer. Binnekort sal u ook met integrasie kennis maak. Die volgende oefening is bedoel om u aan die toepassing van u bestaande kennis bloot te stel. Oefening 6.5 1.1 Exercise 6.5 Vraag 1/ Question 1 Die temperatuur van ‘n mengsel in ‘n fabriek verander volgens die funksie 1
5 375
vir 0 ≤ t ≤ 25 met T (t ) = − t2 + t +
4
2
4
T in °C en t in minute. met T in °C en t in minutes. Beskou twee punte A en B op die kromme van die funksie T : 194 1
5 375 ⎞
1 2 1
1 2 5 5
375 ⎞
⎛
⎛
A ⎜ t ; − t 2 + t +
⎟ en/ and B ⎜ t + h; − t − th − h + t + h +
⎟ 4
2
4 ⎠
4
2
4
2 2
4 ⎠
⎝
⎝
Bereken die gradiënt van snylyn AB. Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 1.2 Bereken vanuit eerste beginsels die gradiënt van die raaklyn aan die kromme by die punt A. (wenk: laat A h → 0 in die antwoord wat u op vraag 2.1 verkry het) 1.3 1
5 375
op Differensieer T ( t ) = − t 2 + t +
4
2
4
die kort manier. 1.4 Bereken dT
dt
en maak ‘n afleiding t =5 minute
Calculate dT
dt
195 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise uit antwoord (wat impliseer u antwoord)? 1.5 Bereken die temperatuur op die oomblik wanneer die temperatuurveranderingstempo −7,5 °C/minute . −7,5 °C/minuut is. Vraag 2/ Question 2 196 Gegee: Given:
Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise f ( x ) = x 3 − 4 x 2 − 11x + 30 A en B is die draaipunte van die gegewe funksie. 2.1 Skets die grafieke van f ( x ) , f ' ( x ) en f '' ( x ) op dieselfde stel asse. Toon die koördinate van die draaipunte (A en B) asook die infleksiepun aan.. 197 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 198 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 2.2 Wat word bedoel met die begrip "infleksiepunt"? "inflection point"? Wat is die gemiddelde veranderingstempo van die funksie vanaf A na B? 2.3 2.4 Bereken die vergelyking van die raaklyn aan die kromme by x = 1 . 199 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Vraag 3/ Question 3 Gegee: Given: H ( x) = − x 3 + 5 x 2 + 8 x − 12 = ( x − 1)(− x 2 + 4 x + 12) 3.1 Bepaal die koördinate van die kritieke punte. 3.2 200 Pas die eerste‐afgeleide‐toets en die tweede‐afgeleide‐toets toe om te toon watter van die kritieke punte is lokale minima of lokale maksima. maxima. Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 3.3 Bepaal die koördinate van die punte waar die konkaafheid verander. 3.4 Pas die tweede‐afgeleide‐toets toe om te toon dat die konkaafheid verander het. Vraag 4/ Question 4
Gegee: g(x ) =
Given: 2x + 6
− 6x + 3
201 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 4.1 Bepaal die vertikale en horisontale asimptote deur van limiete gebruik te maak. 4.2 Bepaal al die afsnitte met die asse. Skets die grafiek van die funksie. Toon alle 4.3 202 inligting aan wat u bepaal het in 4.1 en 4.2. determined in 4.1 and 4.2. Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Vraag 5/ Question 5 ‘n Oop kartonkrat word vervaardig deur vier identiese vierkante uit die hoeke van ‘n vel karton wat 24 cm lank en 18 cm breed is, te sny en die oorblywende gedeeltes na bo te vou om die wande van die krat te vorm. 5.1 Toon aan dat die volume van die kartonkrat gegee word deur die V = 4 x3 − 84 x 2 + 432 x for x ∈ [0; 9] . vergelyking V = 4 x3 − 84 x 2 + 432 x vir x ∈ [0; 9] . 5.2 Skets ‘n netjiese grafiek van die funksie V teenoor x vir −2 ≤ x ≤ 14 . Toon alle snypunte met asse, asook draaipunte en infleksiepunte, duidelik aan in koördinaatvorm. 203 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 5.3 204 Wat moet die oppervlakte van elke vierkant wees sodat die volume van die krat ‘n maksimum sal wees en wat is die waarde van hierdie maksimum volume? maximum volume? Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise Vraag 6/ Question 6 ‘n Regte kegel word gegenereer deur die deel van die parabool y = 4 − x2 tussen die punte x = 0 en x = 2 om die Y‐as te roteer en die kegel in die paraboloïed in te skryf sodat die tophoek op die oorsprong staan en die basis by die punt P aan die parabool raak: 6.1 Toon aan dat die volume van die kegel gegee word deur die funksie V ( x) =
4 2 1 4
πx − πx . 3
3
4 2 1 4
πx − πx 3
3
205 Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.2 206 Skets die kromme van V teenoor x netjies op die grafiekpapier wat voorsien is of in u antwoordskrif. Neem alle beperkings op die definisieversameling in ag. domain. Toon alle wortels, draaipunte en infleksiepunte binne die beperkte definisieversameling. domain. Leereenheid 6: Inleiding tot funksie‐analise 6.3 Maak van u berekeninge en resultate uit Vraag 5.1.2 gebruik en bereken die maksimum moontlike volume wat die kegel kan besit. cone can have. Neem gerus aan dat die eenhede op die 207 208 
Was this manual useful for you? yes no
Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Download PDF

advertisement

Languages

Only pages of the document in Afrikaans were displayed